Математическій Вестник

Журналъ, посвященный вопросамъ преподаванія ариѳметики и началъ алгебры и геометріи.

№ 3

Ноябрь 1914 г.

МОСКВА

Математическій Вѣстникъ.

№ 3. Ноябрь 1914 г.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел. 3-19-55.

Содержаніе: А. Цвѣткова. Математическое образованіе въ Японіи. — Н. Извольскій. Перемѣстительный и сочетательный законы умноженія. — Ф. Боболовичъ. Задача о значеніи одной копейки. — Н. Извольскій. Нахожденіе суммы нѣкоторыхъ дробныхъ рядовъ. — Н. Извольскій. Къ методикѣ одного случая дѣленія. — Свѣдѣнія о новыхъ книгахъ. (Е. И. Игнатьевъ. Начатки ариѳметики. — И. А. Макаровъ. Сборники ариѳм. задачъ. Книги, поступившія въ редакцію). — Объявленія.

Математическое образованіе въ Японіи.

Въ одномъ изъ иностранныхъ математическихъ журналовъ недавно появилась статья, дающая общую характеристику состоянія математическаго образованія въ Японіи. Всѣ данныя этой статьи почерпнуты изъ доклада японской комиссіи, подготовленнаго для международнаго математическаго конгресса въ Римѣ (1908 г.) и напечатанная въ 1912 г. въ двухъ томахъ на англійскомъ языкѣ «Report on the teaching of mathematics in Japan, prepared by the Japanese Sub-Commission of the international commission on the teaching of mathematics and Summary Report on the teaching of mathematics in Japan by R. Fusijawa».

Приведемъ нѣкоторыя выдержки изъ указанной статьи.

Въ Японіи только съ 1868 г., которымъ открывается эпоха ея возрожденія, народное образованіе стало заботой государства. До 1868 г. тамъ существовали школы исключительно для дѣтей знатныхъ гражданъ и было только нѣсколько частныхъ школъ для дѣтей другихъ сословій. Въ 1871 г., съ возникновеніемъ министерства народнаго просвѣщенія, вся Японія была раздѣлена на 8 большихъ округовъ, каждый изъ этихъ округовъ дѣлился на 32 промежуточныхъ округа, каждый же промежуточный округъ заключалъ въ себѣ 210 малыхъ округовъ. Признаки такого дѣленія состояли въ томъ, что въ каждомъ изъ 8 большихъ округовъ долженъ быть по крайней

мѣрѣ одинъ университетъ, въ каждомъ промежуточномъ округѣ — по крайней мѣрѣ одна средняя и въ каждомъ маломъ округѣ — хотя бы одна начальная школа. Благодаря тому, что прошло только около 40 лѣтъ съ тѣхъ поръ, какъ былъ установленъ такой порядокъ, въ настоящее время въ Японіи существуютъ еще не всѣ изъ намѣченныхъ школъ. Въ то время какъ среднихъ школъ открыто на 58 больше установленнаго минимума (ихъ насчитываютъ 314), вмѣсто 8 университетовъ открыто 4 — въ Tokio, Kioto, Kiushiu и Tohoku, число же начальныхъ школъ вмѣсто предполагаемаго 53760 достигло только 27000. Несмотря на это въ Японіи обучаются въ школахъ около 95—98% дѣтей школьнаго возраста1).

Японская школьная система отличается согласованностью программъ всѣхъ отдѣльныхъ ступеней образованія, т.-е. конецъ программы каждой изъ школъ совпадаетъ съ началомъ программы школы, непосредственно за ней слѣдующей. Такимъ образомъ тамъ поступленіе въ одну изъ школъ требуетъ полнаго окончанія предшествующей школы и никогда не можетъ случиться такъ, какъ это бываетъ у насъ, что ученикъ прошедшій нѣсколько классовъ низшей школы и поступившій въ 1-й классъ среднеучебнаго заведенія, говоритъ на урокахъ, что тѣ отдѣлы, которые проходятся классомъ, ему уже извѣстны.

Первоначальное образованіе японскія дѣти получаютъ въ Фребелевскихъ дѣтскихъ садахъ, откуда они вступаютъ шести лѣтъ въ народную школу съ шестигодичнымъ курсомъ. Тѣ дѣти, образованіе которыхъ должно окончиться на этой ступени, могутъ прослушать еще трехгодичный курсъ высшей начальной школы гдѣ главнымъ образомъ происходитъ обученіе какому-нибудь иностранному языку — въ большинствѣ случаевъ англійскому. Дѣти, которыя могутъ продолжать свое образованіе, поступаютъ по окончаніи народной школы въ среднюю, гдѣ обученіе продолжается 5 лѣтъ и оканчивается одногодичнымъ экзаменомъ. Потомъ они вторично держатъ экзаменъ для поступленія въ высшую среднюю школу, курсъ которой разсчитанъ на 3 года и которая подготовляетъ ихъ къ университету. Въ высшей средней школѣ начинается уже раздѣленіе по спеціальностямъ. Тамъ существуютъ 3 отдѣленія:

1. Отдѣленіе юридическихъ наукъ и литературы.

2. Отдѣленіе техническихъ, естественныхъ наукъ (математика), сельскохозяйственныхъ наукъ и фармаціи.

3. Отдѣленіе медицинскихъ наукъ.

На всѣхъ этихъ отдѣленіяхъ проходятся однѣ и тѣ же науки, они отличаются одно отъ другого только числомъ часовъ, удѣляемыхъ каждой наукѣ.

1) Надо думать, что въ данный моментъ японскія школы переполнены.

Приведемъ таблицу, указывающую на число часовъ, отведенныхъ математикѣ на каждомъ изъ 3 отдѣленій.

1 отдѣленіе.

2 отдѣленіе.

3 отдѣленіе.

1 годъ

2

5

3

2 годъ

4

2

3 годъ

4

Всего часовъ въ теченіе года. . .

62

416

160

По окончаніи высшей средней школы японцы вступаютъ въ университетъ, гдѣ пробываютъ три года. Японскій университетъ имѣетъ 6 факультетовъ: юридическій, медицинскій, техническій, философскій, естественно-научный и сельскохозяйственный, благодаря чему устраняется необходимость открытія спеціальныхъ техническихъ и сельскохозяйственныхъ школъ.

Разсмотримъ теперь въ общихъ чертахъ программы и методы преподаванія математики въ японской народной школѣ и въ непосредственно за ней слѣдующихъ — высшей начальной и средней школахъ.

Какъ особенность преподаванія въ Японіи слѣдуетъ отмѣтить, что тамъ устный счетъ не идетъ параллельно съ письменнымъ, а предшествуетъ ему, при чемъ письменный счетъ начинается только съ третьяго года обученія. Десятичныя дроби проходятся раньше простыхъ. Слѣдуетъ отмѣтить еще, что рядъ чиселъ отъ 1—10 имѣетъ въ Японіи два названія: hitotsu, futatsu, mittsu, yottsu, itsutsu, muttsu, nanatsu, yattsu, kokonotsu, to—такъ называютъ ихъ маленькія дѣти, взрослые же считаютъ: ichi, ni, san, shi, go, roku, shichi, hachi, ku, jin.

Приведемъ программу ариѳметики японской народной школы.

Первый годъ. Знаніе чиселъ до 100. Сложеніе и вычитаніе чиселъ, не превышающихъ 20.

Второй годъ. Расширеніе области извѣстныхъ чиселъ до 1000. Умноженіе и дѣленіе чиселъ, не превышающихъ 100.

Третій годъ. Въ то время, какъ прежде всѣ вычисленія производились устно, съ этого года начинается письменное рѣшеніе упражненій на четыре дѣйствія надъ числами до 10 000. При дѣленіи дѣлитель можетъ быть или однозначнымъ, илк двухзначнымъ числомъ.

Четвертый годъ. Упражненія въ выполненіи четырехъ дѣйствій надъ числами до 100 000 000 (это число носитъ въ Японіи особое названіе — оки). Дѣленіе чиселъ, когда дѣлитель есть трехзначное или четырехзначное число. Введеніе именованныхъ чиселъ и десятичныхъ дробей.

Пятый годъ. Болѣе трудныя вычисленія съ цѣлыми числами, десятичными дробями и именованными числами. Прикладныя задачи. Японская и метрическая системы мѣръ. Важнѣйшія иностранныя мѣры. Упражненія на измѣреніе отрѣзковъ, площадей и объемовъ.

Шестой годъ. Вычисленія съ простыми дробями и процентами.

Программа математики въ японской высшей начальной школѣ слѣдующая:

Первый годъ. Повтореніе и расширеніе вычисленій съ дробями и процентами. Простыя пропорціи.

Второй годъ. Расширеніе ученія о пропорціяхъ. Повтореніе всего предыдущаго. Учетъ векселей. Построеніе графикъ.

Третій годъ. Примѣры на черченіе и измѣреніе: углы, треугольники, четыреугольники, многоугольника круги, эллипсы, призмы, цилиндры, пирамиды. Извлеченіе квадратнаго и кубическаго корней. Вычисленія съ soroban'омъ (soroban—японскіе счеты).

Приведемъ, наконецъ, программу математики въ японской средней школѣ и таблицу чиселъ недѣльныхъ часовъ, удѣляемыхъ въ ней каждому отдѣлу математики.

Программа математики.

Первый годъ. Ариѳметика: Повтореніе всего пройденнаго въ народной школѣ и расширеніе ученія о цѣлыхъ числахъ, десятичныхъ дробяхъ, именованныхъ числахъ, простыхъ дробяхъ, процентахъ и пропорціяхъ.

Второй годъ. Алгебра: Отрицательныя числа. Алгебраическія выраженія, ихъ сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе. Алгебраическія дроби. Упрощеніе ихъ. Линейныя уравненія съ одной неизвѣстной.

Третій годъ. Алгебра: Квадратные корни. Кубическіе корни. Ирраціональныя числа и ирраціональныя выраженія. Геометрія: Прямая линія. Уголъ. Параллельныя линіи. Плоскія фигуры: треугольникъ, параллелограммъ, кругъ.

Четвертый годъ. Алгебра: Ученіе о пропорціяхъ. Ариѳметическая и геометрическая прогрессіи. Геометрія: Отношеніе отрѣзковъ. Ученіе о подобіи.

Пятый годъ. Алгебра: Логариѳмы. Сложные проценты. Геометрія (Стереометрія): Плоскость и прямая. Призма, пи-

рамида, цининдръ, конусъ, шаръ. Тригонометрія: Тригонометрическія функціи острыхъ и тупыхъ угловъ. Тригонометрическія формулы суммы и разности двухъ угловъ. Рѣшеніе треугольниковъ. Простыя задачи на измѣренія на мѣстности. Таблица чиселъ недѣльныхъ часовъ.

I.

II.

III.

IV.

V.

Ариѳметика

4

Алгебра

4

5

4

4

Геометрія

Тригонометрія

Надо замѣтить еще, что въ японскомъ преподаваніи всѣ эти отдѣлы математики тѣсно связаны другъ съ другомъ. Такъ напримѣръ, алгебра не стоитъ отдѣльно отъ ариѳметики, а разсматривается какъ ея обобщеніе, задачи геометріи рѣшаются не однимъ только путемъ чистыхъ геометрическихъ построеній, но и при помощи алегбры, алгебраическія задачи часто получаютъ геометрическое рѣшеніе и наконецъ въ тригонометріи объединяются алгебра и геометрія.

Слѣдуетъ указать еще на одну особенность японскихъ учебниковъ. Въ Японіи учебники всегда выходятъ въ двухъ изданіяхъ — одно для учениковъ, а другое для учителей. Каждая страница изданія для учителей раздѣлена на двѣ части, въ одной части перепечатывается мелкимъ шрифтомъ содержаніе изданія для учениковъ, другая же часть заключаетъ въ себѣ приложеніи къ матеріалу, помѣщенному въ текстѣ учебника и также нѣкоторыя задачи, предназначенныя спеціально для учителей.

Большой интересъ представляютъ также вычисленія на японскихъ счетахъ, называемыхъ soroban, чему будетъ посвящена особая статья. А. Цвѣткова.

Перемѣстительный и сочетательный законы умноженія.

Общеизвѣстно свойство произведенія двухъ чиселъ: отъ перестановки множимаго и множителя произведеніе не измѣняется. Это свойство называется перемѣстительнымъ или

коммутативнымъ закономъ умноженія и можетъ быть выражено алгебраически въ видѣ равенства: аЬ—Ьа.

Справедливость этого закона видна непосредственно, если мы разсматриваемъ лишь цѣлыя числа; для этого мы прибѣгаемъ къ помощи какихъ-либо предметовъ. Такъ возьмемъ 3 группы кружочковъ, по 5 въ каждой:

Изъ разсмотрѣнія этихъ группъ мы непосредственно видимъ, что 5x3=3x5. То же самое мы можемъ увидать изъ разсмотрѣнія группъ квадратовъ:

Вопросъ «сколько здѣсь всего квадратовъ?» ведетъ къ двоякому выраженію отвѣта: 1) 5x3 (3 ряда по 5 квадратовъ) и 2) 3x5 (пять столбцовъ по 3 квадрата), откуда и заключаемъ, что 5x3=3x5.

Такъ какъ подобные рисунки могутъ быть выполнены для умноженія двухъ любыхъ цѣлыхъ чиселъ, то мы и приходимъ къ заключенію объ обязательности этого закона для произведенія всякихъ двухъ цѣлыхъ чиселъ.

Перейдемъ теперь къ разсмотрѣнію произведенія трехъ множителей, напр. 4x3x2. Чтобы воспроизвести эти дѣйствія образно, обратимся къ кубикамъ.

Составимъ группу кубиковъ (см. чертежъ) въ слѣдующемъ видѣ: положимъ пластъ кубиковъ, въ длину котораго умѣщается

4 кубика и въ ширину 3 кубика, и такихъ пластовъ возьмемъ 2 (одинъ наложенъ на другой).

Расчетъ для отвѣта на вопросъ: «сколько здѣсь всего кубиковъ?» можетъ быть сдѣланъ различно:

1) (см. чертежъ I) въ каждомъ пласту кубиковъ 4x3 или 3x4, а такихъ пластовъ два; слѣдов., всего кубиковъ 4x3x2 или 3x4x2;

2) (см. чертежъ II) въ каждомъ пласту — теперь уже пласты иные — кубиковъ 3x2 или 2x3, а такихъ пластовъ всего 4: слѣдов. всего кубиковъ 3x2x4 или 2x3x4.

3) (см. чертежъ III) въ каждомъ пласту — опять пласты иные—кубиковъ 4x2 или 2x4, а такихъ пластовъ всего 3; слѣдов., всего кубиковъ 4x2x3 или 2x4x3.

Всѣ получаемыя произведенія должны дать одинъ и тотъ же результатъ, т.-е.

4x3x2=3x4x2=3x2x4=2x3x4=4x2x3=2x4x3.

Отсюда, имѣя въ виду, что подобное образное представленіе мы имѣемъ возможность дать всякому произведенію трехъ цѣлыхъ чиселъ, мы приходимъ къ общему заключенію: въ произведеніи трехъ множителей мы можемъ эти множители переставлять въ любомъ порядкѣ,—отъ этого произведеніе не измѣнится.

Разсматривая предыдущія равенства: 4.3. 2=3 . 4 . 2=3 . 2 . 4-2 . 3 . 4-4 . 2 . 3-2 .4.3, или въ общемъ видѣ:

a.b. с^=Ь . а . с— Ъ . с . а=с . Ь . а=а . с . Ъ—с . а . J,

мы видимъ, что нѣкоторыяизъ нихъ не даютъ ничего новаго, они являются слѣдствіями перемѣстительнаго закона. Такъ: напр., равенство 4.3.2—3.4.2 есть слѣдствіе того, что 4 .3—3 . 4.

Поэтому возникаетъ желаніе выбрать среди выше полученныхъ равенствъ такія, которыя даютъ какія-либо новыя свойства умноженія, при чемъ желательно выбрать это новое въ наименьшемъ числѣ, т.-е. такъ, чтобы всѣ остальныя равенства, нами полученныя, явились бы слѣдствіями (логическими слѣдствіями) того, которое будетъ нами выбрано вновь, и перемѣстительнаго, уже знакомаго намъ, закона.

Выбираютъ слѣдующее равенство: 4.3. 2 — 4 .2.3 или въ общемъ видѣ a.b. с—а . с . Ь.

Въ учебникахъ ариѳметики это равенство выражаютъ обычно словами: если мы имѣемъ произведеніе трехъ множителей, то можно переставлять два послѣднихъ, — отъ этого произведеніе не измѣнится.

Всѣ остальныя изъ выше полученныхъ равенствъ явятся тогда логическими слѣдствіями сейчасъ отмѣченнаго свойства произведенія трехъ множителей и перемѣстительнаго закона.

Примѣръ: Докажемъ, что 4.3. 2—3 .2.4.

Такъ какъ 4 . 3—3 . 4 (перемѣстит. законъ), то, умножая каждое изъ этихъ чиселъ (4.3 и 3.4) еще на 2, получимъ 4.3. 2—3 .4.2. Но на основаній новаго избраннаго нами свойства (можно въ произведеніи трехъ множителей переста-

влять два послѣднихъ) имѣемъ 3.4. 2—3 .2.4. Поэтому 4.3. 2-3 .2.4.

Можно увеличить число равенствъ, получаемыхъ изъ разсмотрѣнія выше данной группы кубиковъ. Станемъ расчетъ дѣлать не по пластамъ, а по «столбцамъ». Мы можемъ опять всю группу кубиковъ раздѣлить на «столбцы» трехъ видовъ:

Столбцовъ перваго вида въ нашей группѣ всего 4 . 3 или 3 . 4 (это видно на черт. А при разсмотрѣніи верхней поверхности всей группы кубиковъ). Такъ какъ въ каждомъ столбцѣ этого вида 2 кубика, то всего кубиковъ 2 . (4 . 3) или 2 . (3 . 4), т.-е. надо 2 умножить на число всѣхъ столбцовъ.

Столбцовъ второго вида въ нашей группѣ всего 2 .3 или 3 . 2 (это видно на черт. А при разсмотрѣніи «правой» грани нашей группы). Такъ какъ въ каждомъ столбцѣ 4 кубика, то всего кубиковъ 4 . (2 . 3) или 4 . (3 . 2).

Столбцовъ третьяго вида въ нашей группѣ всего 4 . 2 или 2 . 4 (см. на черт. А ту грань, которая обращена къ намъ). Такъ какъ въ каждомъ столбцѣ здѣсь 3 кубика, то всего у насъ 3 . (4 . 2) или 3 . (2 . 4) кубиковъ.

Поэтому мы къ прежнимъ равенствамъ присоединяемъ еще новыя, т.-е.

4.3.2=3 .4.2=3.2.4=2.3.4-4.2.3-2.4.3= =2 . (4 . 3)=2 . (3 . 4)=4 . (2 . 3)=4 . (3 . 2)=3 . (4 . 2)= -3 . (2 . 4).

или въ общемъ видѣ:

abc=bac=bca=cba-acb=cab^c(a . b)=c(b . а)~а{с . b) = — a(b . c)=b(a . c)—b(c . a).

Теперь мы имѣемъ болѣе широкій выборъ для установленія того равенства, которое можно было бы признать за основное и остальныя получить, какъ логическія слѣдствія этого основного и перемѣстительнаго закона. Останавливаются обычно на слѣдующемъ равенствѣ: 4 . 3 . 2=4 . (3 . 2) или, написавъ его въ обратномъ порядкѣ: 4 . (3 . 2)=4 . 3 . 2, или, наконецъ, въ послѣднемъ произведеніи подчеркнувъ порядокъ дѣйствій при помощи скобокъ: 4 . (3 . 2) = (4 . 3) . 2. Такъ какъ всевышеизложенное справедливо для всякихъ трехъ цѣлыхъ чиселъ, то получимъ тоже равенство въ общемъ видѣ: а . (Ь . с)=(а . Ъ) . с.

Это равенство называется сочетателънымъ или ассоціатиенымъ закономъ умноженія и оно можетъ быть выражено въ словесной формѣ: чтобы какое-либо число умножить на произведеніе двухъ множителей, надо умножить это число на перваго множителя и полученное произведеніе умножить еще на второго множителя.

Слѣдуетъ замѣтить, что если мы за основное равенство примемъ то, которое назвали сочетательнымъ закономъ умноженія, то равенство abc=acb, которое мы выбрали раньше, теперь явится уже логическимъ слѣдствіемъ сочетательнаго и перемѣстительнаго законовъ. Покажемъ это.

Задача состоитъ въ томъ, чтобы доказать, что аЬс1)=асЬ9 основываясь 1) на перемѣстительномъ законѣ, т.-е. на томъ, что ab=ba и 2) на сочетательномъ законѣ, т.-е. на томъ, что а . (Ьс) = (а . Ь) . с.

Возьмемъ выраженіе abc или, что то же самое, (ab)c. На основаній перемѣстпт. закона оно равно выраженію с . (а . Ь.) На основаній сочетат. закона, послѣднее выраженіе равно выраженію (с . а) . ô, а это, на основаній перемѣст. закона, равно выраженію (ас)Ь или, пропуская скобки, выраженію acb, что намъ и требовалось доказать. Сводя все вмѣстѣ, имѣемчь:

abc=(ab)c = c{ab) = (ca)b = {ac)b = acb.

Перемѣст. Сочетат. Перемѣст. законъ. законъ. законъ.

1) При отсутствіи скобокъ слѣдуетъ выраженіе abc понимать въ томъ смыслѣ, что сначала число а умножается на число b и полученное произведеніе умножается на число с, т.-е. выраженіе abc указываетъ тотъ же порядокъ дѣйствій, какъ и выраженіе (ab)c.

Такъ же точно можно и обратно, принявъ равенство аЪс—асЪ за основное и пользуясь также перемѣст. закономъ, вывести равенство a(bc)=(ab) . с.

Въ виду этого можно, пожалуй, оба равенства [abc=acb и a(bc) = (ab)c] считать за различныя лишь формы сочетательнаго закона. Первая форма, т.-е. abc=acb, имѣетъ мѣсто главнымъ образомъ въ учебникахъ ариѳметики, а вторая, т.-е. а(Ьс)= =(ab)c, имѣетъ мѣсто въ научныхъ курсахъ ариѳметики.

Въ учебникахъ ариѳметики равенство abc=acb выясняется обычно при помощи слѣдующей таблицы:

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5,

откуда, считая по столбцамъ, получимъ, что здѣсь всего (5x3x4) единицъ, а считая по рядамъ, получимъ, что здѣсь всего (5x4x3) единицъ, — слѣдов., 5x3x4 = 5x4x3.

Еще лучше было бы воспользоваться, напр. пятачками. Пусть изображеніе пятачка есть цифра 5 въ кружочкѣ.

Тогда, расположивъ пяточки въ нижеуказанномъ порядкѣ и рѣшая задачу, сколько здѣсь всего денегъ, придемъ къ тому же равенству 5.3.4 = 5.4.3.

Но мы можемъ отсюда же получить сочетательный законъ и въ другой формѣ. Сдѣлаемъ сначала расчетъ, сколько здѣсь всего пятачковъ. Пятачковъ всего (3x4). Поэтому, чтобы узнать сколько здѣсь всего денегъ, надо 5 коп. умножить на полученное число (3x4), т.-е. здѣсь всего денегъ 5х(3х4) коп. Расчетъ по столбцамъ даетъ на этотъ же вопросъ иной отвѣтъ, а именно (какъ уже выше имѣли) (5хЗ)х4. Итакъ, 5х(Зх4) = (5хЗ)х4.

Это и есть вторая форма сочетательнаго закона.

Н. Извольскій.

Задача о значеніи одной копейки.

Предлагаемая задача представляетъ усложненіе давно извѣстной задачи. Въ нѣкоторыхъ математическихъ хрестоматіяхъ, появившихся въ послѣднее время, а также въ книгѣ Игнатьева: «Въ царствѣ смекалки», задача эта предлагалась въ разныхъ перефразировкахъ, напр. въ родѣ слѣдующей: Крестьянинъ мечталъ разбогатѣть; ему встрѣтился чортъ и предложилъ переходить мостъ, при чемъ послѣ каждаго перехода его деньги удваивались, но за это онъ долженъ былъ чорту всякій разъ платить по 24 коп. Тотъ согласился, но нослѣ третьяго перехода денегъ у крестьянина ничего не осталось. Сколько у него было денегъ первоначально? (Отвѣтъ 21 коп.) Является желаніе усложнить эти задачу; кромѣ того, предлагаемый варіантъ ея представляетъ нѣкоторую новость въ томъ отношеніи, что выясняетъ значеніе одной копейки.

Шулеръ пошелъ однажды въ игорный домъ безъ копейки въ карманѣ. Здѣсь встрѣтилъ онъ компанію неопытныхъ юношей, полюбившихъ легкую наживу, и шулеру удалось обдегчить ихъ карманы. Посвистывая отъ удовольствія, онъ возвращался поздно ночью домой по пустыннымъ улицамъ. Когда ему нужно было переходить черезъ мостъ, то вдругъ изъ-подъ моста выскочилъ врагъ человѣческаго рода и сдѣлалъ шулеру привѣтствіе длиннымъ своимъ хвостомъ. Шулеръ сначала испугался было дьявола, но послѣдній сказалъ ему: «Не бойся меня! я знаю, что ты выигралъ, и въ этомъ я даже тебѣ усердно иомогалъ; но не желаешь ли теперь свои выигрышъ увеличить и разбогатѣть? Для этого я могу тебѣ предложить слѣдующія условіи.

«Всякій разъ, какъ ты перейдешь мостъ и вернешься обратно, твои деньги въ карманѣ удвоятся, но за это ты долженъ мнѣ заплатить въ первый разъ 50 руб., во второй 100 руб., въ третій 150 руб. и т. д., увеличивая каждый разъ мое вознагражденіе».

Немного подумавши, жадный шулеръ согласился. Къ несчастію онъ былъ хорошимъ шулеромъ, но плохимъ математикомъ и, разсчитавъ, что отъ нѣсколькихъ первыхъ пріемовъ гулянія по мосту, онъ будетъ быстро обогащаться, началъ ходить, платя чорту условленную комиссію.

Въ концѣ концовъ оказалось, что шулеръ прошелъ но мосту всего 17 разъ впередъ и назадъ и, хотя за первые 13 переходовъ онъ значительно обогащался, зато въ послѣдніе 4 перехода не только спустилъ все, что пріобрѣлъ, но даже остался долженъ чорту 360 руб. 72 коп., а послѣдній исчезъ, оставивъ его полумертвымъ отъ усталости.

Если бы шулеръ имѣлъ первоначально лишь на 1 коп. больше, то при всѣхъ изложенныхъ выше условіяхъ онъ былъ бы всегда въ выигрышѣ и въ концѣ концовъ сильно бы разбогатѣлъ.

Спрашивается, сколько въ этотъ вечеръ выигралъ шулеръ денегъ въ клубѣ.

Рѣшеніе.

Ариѳметически задачу можно рѣшить слѣдующимъ пріемомъ. Такъ какъ за 17-й переходъ шулеръ долженъ былъ заплатить 50 руб.X 17=850 руб., а по условію задачи онъ остался еще долженъ 360 руб. 72 коп., то послѣ 17 перехода до расплаты съ чортомъ онъ имѣлъ 489 руб. 28 коп.

Эти деньги образовались у шулера благодаря удвоенію за 17-й переходъ, т.-е. онъ началъ 17-й переходъ съ суммою денегъ = =489 руб. 28 коп. : 2=244 руб. 64 коп. Эта сумма денегъ у него имѣлась послѣ 16-го перехода и послѣ уплаты чорту 800 руб. за 16 переходъ (50 руб. X 16=800 руб.). Поэтому до расплаты съ чортомъ за 16-й переходъ шулеръ имѣлъ 244 руб. 64 коп.+ +800 руб. = 1 044 руб. 64 коп., а передъ 16-мъ переходомъ, слѣдовательно, онъ имѣлъ 1 044 руб. 64 коп. : 2 = 522 руб. 32 коп. Также найдемъ, что передъ 15-мъ переходомъ шулеръ имѣлъ. (522 руб. 32 коп.+750 руб.) : 2, т.-е. 636 руб. 16 коп.; передъ. 14-мъ переходомъ... (636 руб. 16 коп. + 700 руб.) : 2, т.-е. 668 руб. 8 коп. Также:

передъ 13 . . 659 руб. 4 коп., передъ 12 . . 629 руб. 52 коп.

» 11 . . 589 » 76 » » 10 . . 544 » 88 »

» 9 . . 497 » 44 » » 8 . . 448 » 72 »

» 7 . . 399 » 36 » » 6 . . 349 » 68 »

» 5 . . 299 » 84 » » 4 . . 249 » 92 »

» 3 . . 199 » 96 » » 2 . . 149 » 98 »

» 1.. 99 » 99 »

т.-е. шулеръ выигралъ въ этотъ вечеръ въ клубѣ 99 руб. 99 коп.

Въ виду длинныхъ и утомительныхъ вычисленій въ вышеизложенномъ ариѳметическомъ рѣшеніи даемъ еще алгебраическое рѣшеніе.

Положимъ, что у шулера до встрѣчи съ чортомъ было а руб., другими словами, что его выигрышъ въ клубѣ=а руб., и что онъ долженъ былъ заплатить за первый переходъ 6 руб., за второй — 26 руб., за третій — 36 руб. и т. д. Тогда мы имѣемъ слѣдующій подсчетъ денегъ шулера:

Послѣ 1-го перехода 2а—Ь = а . 21—6

» 2 » 4а — 46 = а . 22— (26+26)

» 3 » 8а— 11Ь = а . 23—(46+46+36)

» 4 » 16а—266 = а . 24—(86+86+66+46)

» 5 » 32а—576 = а . 2б— (166+166+126+86+56)

и т. д.

Послѣ 17-го перехода

а . 217—(1 . 216 + 2 . 21б+3 .1214+4 . 213+ +16 . 2г+П . 1)6

(здѣсь 6 вынесено за скобки).

Вычисленіе суммы, имѣющейся въ скобкахъ, ясно изъ слѣдующей таблицы:

Общая сумма=(218—2)—17

Если бы мы имѣли не 17 переходовъ, а и, то у шулера послѣ л?-го перехода, за уплатой чорту условленнаго вознагражденія, оказалось бы [а . 2п— (2П+1— 2— п)Ь] руб.

Теперь же при я = 17, при 6 = 50 и при условіи, что шулеръ остался долженъ 360 руб. 72 коп., имѣемъ ур-іе:

Замѣтивъ, что 217 = 131072 и 218=262144, мы получимъ изъ нашего ур-ія:

или а=99,99 руб.

Остается пояснить, почему шулеръ ошибся въ расчетѣ. Возьмемъ сначала примѣръ попроще, а именно допустимъ, что у шулера было при встрѣчѣ съ чортомъ 7 руб. и что чортъ предложилъ ему такую же операцію, но съ уплатою чорту за 1-й переходъ 4 руб., за 2-й 8 руб. и т. д. (иначе: положимъ, что а = 1 и 6 = 4). Тогда, выполнивъ соотвѣтствующій расчетъ, мы найдемъ, что 3-й и 4-й переходъ шулеръ совершаетъ, имѣя одно и тоже число (12) рублей въ карманѣ; это значитъ, что его деньги начнутт, уменьшаться уже послѣ 4-го перехода. Если предположимъ, что у шулера было вначалѣ не 7 руб., а 7^ руб. (т.-е. а = 7^, 6=4), то моментъ уменьшенія денегъ наступилъ бы послѣ 5-го перехода.

При а = 7- и 6=4, 5-й и 6-й переходы совершатся шулеромъ при наличности въ его карманѣ 20 руб., послѣ чего его деньги начнутъ убывать. Если а еще увеличить, оставляя это число, однако, меньше 8, то моментъ начала уменьшенія денегъ шулера отодвинулся бы еще дальше. При а—8 и 6=4, т.-е. при а=26, моментъ этотъ не наступилъ бы вовсе, такъ какъ каждый переходъ шулеръ совершалъ бы, имѣя постоянно на 4 руб. больше, чѣмъ при предыдущемъ переходѣ, т.-е. деньги его увеличивались бы въ возрастающей ариѳметической прогрессіи. Стало быть, при условіяхъ, имѣющихъ мѣсто въ нашей задачѣ, шулеръ могъ бы безпредѣльно богатѣть, имѣя не меньше (2 . 50) руб., т.-е. 100 руб. — у него, слѣдовательно, не хватало лишь 1 коп.

Вѣроятно, шулеръ, обдумывая предложеніе чорта, не принялъ во вниманіе этой копейки и считалъ свои деньги за 100 руб.: онъ не догадался, что одна копейка могла имѣть для него столь роковое значеніе.

Ф. Боболовичъ.

Нахожденіе суммы нѣкоторыхъ дробныхъ рядовъ.

Если написать сумму дробей т^'2~з"'з~4 и т. д. кончая, напр., дробью j^-yQ' то можно сразу сказать, что сумма всѣхъ такихъ дробей (а ихъ всего 49 дробей) равна т.-е.

Также

Выяснимъ справедливость этого.

Мы можемъ замѣнить первую изъ нашихъ дробей, т.-е. (или просто разностью двухъ чиселъ, а именно 1— |і т.-е.

Также вторая дробь у-^ можетъ быть замѣнена разностью двухъ дробей, а именно

111111 -с,

также —— = - — — — ==- — -, и т. д. Если мы въ вышеуказанныхъ суммахъ беремъ послѣднюю дробь 86 *87? то ее замѣнимъ черезъ ^ — Поэтому

Раскрывая скобки, найдемъ, что эта сумма равна

Мы видимъ, что всѣ члены этой суммы, за исключеніемъ перваго (1) и послѣдняго взаимно уничтожаются ( — | и + —5 м + ^ и т.д.; легко понять, что на мѣстѣ точекъ, передъ

числомъ -fg£ подразумѣвается — и т. n.J. Отсюда заключаемъ, что искомая сумма =1—— = —. Ясно также теперь, что первая изъ суммъ, напечатанныхъ въ началѣ этой замѣтки 49 должна равняться

Можно по вышеуказанному образцу изыскать другіе случаи, болѣе сложные, сложенія ряда дробей.

Легко получить : и т. д.

Поэтому, напримѣръ:

Мы видимъ, что здѣсь всѣ члены, кромѣ перваго и послѣдняго, взаимно уничтожаются, т.-е. искомая сумма =1—23=23* Если бы намъ требовалось найти сумму

то мы сейчасъ же замѣтили бы, что она въ 2 раза меньше предыдущей, т. е. она равна

Также

Можно, наконецъ, такъ же быстро находить суммы дробей, числителями которыхъ служатъ единицы, а знаменателями произведенія попарно взятыхъ послѣдователыіыхъ четныхъ чиселъ.

Напримѣръ, найдемъ сумму

Изъ начала этой замѣтки, мы знаемъ, что

Но дробь въ 4 раза меньше дроби уі^* также дробь -^-^ въ 4 раза меньше дроби ^--j и т. д. Поэтому вся искомая сумма + ГТ + ёГіИ-----^Зб"1"^) также въ 4 раза меньше

найденной суммы

Поэтому

искомая сумма равна

Теперь мы сразу можемъ написать, что, напр., сумма

Н. Извольскій.

Къ методикѣ одного случая дѣленія.

При изученіи дѣленія въ предѣлѣ первой сотни обыкновенно сначала изучается тотъ случай дѣленія, когда данный дѣлитель и искомое частное суть однозначныя числа, напр. 28 : 4, 72 : 9 и т. д. Наши руководства по методикѣ ариѳметики относятся къ методикѣ этого случая различно. Методика А. И. Гольденберга рекомендуетъ сначала учить дѣлить пополамъ, при чемъ здѣсь разсматривается и случай, когда частное получается двузначнымъ, т.-е. сюда входятъ не только дѣйствія вида 16 : 2=8, но и 30 : 2 = 15, 56 : 2=28 и т. д., затѣмъ дѣти учатся дѣлеыію на 5, затѣмъ на 4 (по такой схемѣ: сначала надо данное число раздѣлить пополамъ, а затѣмъ еще пополамъ), на 8 (пополамъ, еще пополамъ и еще пополамъ), затѣмъ на 3, на 6 (пополамъ, а каждую полученную часть еще на 3 равныхъ части), на 9 (на 3 равныхъ части и каждую часть опять на 3 равныхъ части) и наконецъ на 7. Во всѣхъ этихъ случаяхъ, такъ же какъ и при дѣленіи на 2 (пополамъ), А. И. Гольденбергъ не раздѣляетъ случаи, когда получается однозначное частное (напр. 42 : 6=7), отъ случаевъ, когда частное двузначное (напр. 96 : 6=16). Попутно выясняется ученикамъ, что дѣленіе на равныя части ведетъ къ тому же результату, какъ и дѣленіе-сравненіе1); напр., при дѣленіи какого-либо числа на 3 равныхъ части въ каждую часть придется столько единицъ, сколько разъ 3 содержится въ данномъ числѣ.

Методика начальной ариѳметики К. П. Арженикова выдѣляетъ тотъ случай дѣленія на однозначеное число, когда искомое частное однозначное: К. П. Аржениковъ выдвигаетъ на первое мѣсто изученіе таблицы дѣленія, а затѣмъ уже переходитъ къ «внѣтабличному дѣленію». Прежде чѣмъ начать изученіе таблицы дѣленія, К. П. Аржениковъ считаетъ необходимымъ объединить оба вида дѣленія: если 24 раздѣлить

1) Обычный терминъ «дѣленіе по содержанію».

на 3 равныя части, то въ каждой части будетъ столько единицъ, сколько троекъ въ 24, сколько разъ 3 содержится въ 24. Для нахожденія частного, при изученіи таблицы дѣленія, рекомендуется, главнымъ образомъ, 3 пріема: 1) отысканіе частнаго путемъ вычитанія, 2) отысканіе частнаго путемъ умноженія и 3) отысканіе частнаго по частямъ (напр. 30 : 6 сводится къ знакомымъ уже случаямъ 18 : 6 и 12 : 6); кромѣ того, даны еще два пріема (разложеніе дѣлителя на сомножители и округленіе дѣлителя), имѣющіе второстепенное значеніе.

Въ «Запискахъ по методикѣ элементарной ариѳметики» Г. М. Вишневскаго интересующій насъ случай дѣленія разсматривается отдѣльно, но очень коротко: если требуется 32 : 8 въ смыслѣ «дѣленія по содержанію», то надо отъ 32 отнимать по 8; если требуется 32 раздѣлить на 8 равныхъ частей, то пробуемъ, не будетъ ли каждая часть равна единицѣ, затѣмъ 2, затѣмъЗ,...

И всякій разъ умноженіемъ (напр. 3x8) повѣряемъ, годится ли это. Послѣ этого указывается, что въ обоихъ случаяхъ дѣленіе приводится къ тому, чтобы подыскать такое число, которое, будучи умножено на дѣлителя, въ произведеніи дало бы дѣлимое или ближайшее меньшее число.

«Методика ариѳметики» В. Беллюстина указываетъ, что объединять оба вида дѣленія здѣсь еще рано и совѣтуетъ чередовать при изученіи разсматриваемаго случая дѣленія дѣленіе-сравненіе (т.-е. «дѣленіе по содержанію») съ дѣленіемъ на равныя части. Напр. изучать дѣленіе на 3 въ смыслѣ дѣленія-сравненія, дѣленіе на 4 въ смыслѣ дѣленія на равныя части. Рекомендуется, прежде чѣмъ начать, напр., дѣленіе на 3, повторить таблицу умноженія 3 (т.-е. 3x1=3; 3x2=6; 3x3=9; 3x4=12 и т. д.), затѣмъ написать эту часть таблицы умноженія на доскѣ и добиваться, чтобы дѣти давали правильные отвѣты на вопросы въ родѣ: сколько троекъ въ 27? всматриваясь въ эту, написанную на доскѣ, часть таблицы умноженія.

Итакъ, методическая разработка разсматриваемаго случая дѣленія въ различныхъ руководствахъ по методикѣ ариѳметики не одинакова, и нѣтъ сомнѣнія, что научить одному и тому же дѣйствію можно различными способами. Врядъ ли возможно даже спрашивать, какимъ способомъ скорѣе можно научить этому дѣйствію,—все зависитъ отъ точки зрѣнія лица, ведущаго обученіе. Я хочу однако обратить въ настоящей статьѣ вниманіе на одно обстоятельство, на которое опредѣленно не указывается ни въ выше перечисленныхъ, ни, на сколько мнѣ это извѣстно, въ другихъ, здѣсь не упоминаемыхъ, руководствахъ по методикѣ ариѳметики.

Въ математикѣ одною изъ плодотворныхъ идей является идея прямыхъ и обратныхъ дѣйствій: вычитаніе обратно сложенію, дѣленіе обратно умноженію, извлеченіе корня и нахожденіе логлриѳма суть дѣйствія обратныя возведенію въ степень. Обрат-

ныя дѣйствія являются причиною, благодаря которой нарастаетъ тотъ матеріалъ, который подлежитъ изученію въ математикѣ: отрицательныя числа введены въ математику съ цѣлью сдѣлать вычитаніе всегда возможнымъ, дробныя числа позволяютъ считать дѣленіе всегда возможнымъ, далѣе понятія объ ирраціональныхъ и мнимыхъ числахъ введены съ цѣлью сдѣлать всегда возможнымъ извлеченіе корней, нахожденіе логариѳмовъ. Возможно было бы этотъ перечень еще увеличить.

Въ виду высказаннаго возникаетъ желаніе поставить дѣло обученія такъ, чтобы эта идея о прямыхъ и обратныхъ дѣйствіяхъ по возможности раньше сдѣлалась достояніемъ учащихся. Разсматриваемый въ настоящей статьѣ случай дѣленія представляетъ матеріалъ, при помощи котораго возможно, сдѣлать первый шагъ къ достиженію этой цѣли.

Въ самомъ дѣлѣ, два знанія: 1) 8 умножить на 5 — получится 40 и 2) 40 раздѣлить на 5 — получится 8, въ сущности выражаютъ одну и ту же зависимость между входящими сюда числами, она лишь здѣсь выражается различно: 1) 8x5=40 и 2) 40:5=8. По существу дѣла, тотъ кто знаетъ, что 8x5=40, тотъ, долженъ знать, что и 40 : 5=8.

Если предыдущія соображенія раздѣляетъ то лицо, которое ведетъ обученіе, то наиболѣе пріемлемымъ явится тотъ способъ обученія разсматриваемому случаю дѣленія, который изложенъ въ методикѣ ариѳм. В. Беллюстина: учащіеся, смотря на таблицу умноженія (написанную на доскѣ) или воспроизводя ее мысленно, при помощи нея выполняютъ примѣры на дѣленіе.

Однако мнѣ думается, что было бы цѣлесообразно въ способъ обученія этому случаю дѣленія ввести, сравнительно съ изложеніемъ В. Беллюстина, нѣкоторыя видоизмѣненія.

Въ своей статьѣ «Методика дѣленія», напечатанной въ № 7—8 за 1912 г. журнала «Педагогическій Вѣстникъ Моск. Учеб. Округа» я высказываюсь въ томъ смыслѣ, что методика дѣленія должна быть построена на раздѣлѣ на равныя части. Съ тѣхъ поръ я еще болѣе укрѣпился въ этой мысли и теперь полагаю, что 1) слѣдуетъ вовсе удалить задачи на дѣленіе-сравненіе (или «дѣленіе по содержанію») изъ 1-го года обученія1); ихъ явится возможнымъ ввести въ курсъ лишь тогда, когда будетъ пройдено дѣленіе (на равныя части) въ предѣлѣ первой сотни; лишь послѣ этого можно будетъ приступить къ задачамъ на

1) Если лица, держащіяся противоположнаго взгляда, станутъ утверждать, что дѣти даже еще при прохожденіи дѣйствій въ предѣлѣ десяти легко понимаютъ вопросы въ родѣ: узнать, сколько разъ 2 содержится въ 8, то я соглашусь съ этимъ, но укажу, что дѣло вовсе не въ томъ, легко ли или не легко подобные вопросы усвоиваются дѣтьми, а въ томъ что раннее введеніе въ обиходъ учащихся подобныхъ вопросовъ вредно отзовется на дальнѣйшемъ усвоеніи дѣйствія дѣленія. Эта мысль и положена въ основу моей статьи «Методика дѣленія», которая упоминается выше.

дѣленіе-сравненіе, при чемъ каждая изъ такихъ задачъ должна быть сведена къ дѣленію на равныя части по слѣдующей схемѣ: надо узнать, напримѣръ, сколько разъ 3 содержится въ 24,— для этого надо 24 разложить на 3 равныхъ части: сколько единицъ придется въ каждую часть, столько разъ 3 содержится въ 24. Такъ какъ такое сведеніе дѣленія-сравненія къ дѣленію на равныя части равносильно объединенію двухъ видовъ дѣленія, то, согласно указанію г. Беллюстина, врядъ ли цѣлесообразно было бы выполнить его до полнаго прохожденія дѣленія въ предѣлѣ до 100. Поэтому я склоняюсь теперь (въ статьѣ «Методика дѣленія» я высказывался нѣсколько иначе) къ мысли, отложить введеніе въ курсъ задачъ на дѣленіе-сравненіе до того момента, когда всѣ случаи дѣленія въ предѣлѣ до 100 будутъ пройдены въ смыслѣ раздѣла на равныя части.

Вообще говоря, я считаю необходимымъ при прохожденіи курса ариѳметики широко проводить принципъ наглядности; такъ, даже при изученіи дѣленія большихъ чиселъ, полагалъ бы необходимымъ 1—2 примѣра иллюстрировать наглядно раздѣломъ на равныя части предметовъ. Для этой цѣли могли бы служить спички. Напр. возьмемъ 8 связокъ спичекъ, по 100 въ каждой, 6 пучковъ, по 10 въ каждомъ, и еще 4 спички и выполнимъ ихъ разложеніе на 6 равныхъ частей, — здѣсь мы получимъ иллюстрацію дѣленія 864 на 6. Однако для того случая дѣленія, которому посвящена настоящая статья, подобная иллюстрація явится излишнею, если только пожелаемъ использовать этотъ случай дѣленія для цѣли усвоенія учащимися мысли, что дѣленіе обратно умноженію. Здѣсь цѣлесообразенъ окажется пріемъ, близкій къ тому, какой излагается въ методикѣ ариѳм. В. Беллюстина, и иногда склоняющійся къ пріему, изложенному въ руководствѣ г. Вишневскаго. Перехожу къ изложенію той формы методики этого случая дѣленія, какая мнѣ представляется наиболѣе цѣлесообразною.

Необходима предварительная подготовка. А именно необходимо, при изученіи умноженія однозначныхъ чиселъ, добиться, чтобы каждый учащійся составилъ таблицу умноженія для себя на отдѣльномъ листѣ или на опредѣленномъ листикѣ (напр. на послѣднемъ) тетради. Такое составленіе потребуетъ отъ учителя нѣкоторой затраты времени: необходимо слѣдить и за тѣмъ, чтобы въ ней (у каждаго ученика отдѣльно) не было ошибокъ и за тѣмъ, чтобы форма ея была удобна для быстраго пользованія ею. Трудъ учителя здѣсь вознаградится тѣмъ, что такое составленіе таблицы умноженія каждымъ учащимся для себя много поможетъ и запоминанію этой таблицы. Когда такая таблица каждымъ учащимся составлена, то слѣдуетъ ввести въ практику широкое ею пользованіе: если учащійся забылъ, чему равно, напр., 6x8, то онъ можетъ, вмѣсто того чтобы выполнять сложеніе: 6+6+6+6+6+6+6+6, посмотрѣть

въ свою таблицу и взять оттуда нужный результатъ. Я подчеркнулъ слово «свою» потому, что здѣсь необходимо считаться съ психологическимъ фактомъ: если я смотрю въ свою таблицу, надъ составленіемъ которой моя мысль работала, то при этомъ въ моемъ сознаніи промелькнетъ и та работа, результатомъ какой явилась эта таблица (я вспомню, какъ я ее составлялъ), и полная увѣренность въ правильности написаннаго въ ней результата.

Начинаемъ теперь изучать интересующій насъ случай дѣленія. Задаемъ задачу (всѣ задачи здѣсь должны задаваться исключительно на дѣленіе на равныя части): 24 яблока раздѣлили поровну 3 мальчикамъ; ск. яблокъ получилъ каждый? Дѣти даютъ сразу отвѣты: одни говорятъ правильный отвѣтъ, по 8-ми, другіе даютъ невѣрпые отвѣты, по 5, по 6, по 7 и т. п. Тогда ставится общій для всего класса вопросъ: правда ли это? Здѣсь отнюдь не слѣдуетъ задавать вопросъ, обращенный къ отдѣльному ученику, часто имѣющій мѣсто на практикѣ: какъ ты это получилъ (сдѣлалъ)? Не слѣдуетъ задавать этого вопроса потому, что мы имѣемъ цѣлью добиться того, чтобы учащіеся для отвѣта на задачу не дѣлали бы что-либо, а сразу видѣли бы этотъ отвѣтъ изъ той таблицы умноженія, которая или лежитъ написанная передъ каждымъ или усвоена каждымъ уже на столько, что ясно рисуется въ его воображеніи. Итакъ, ставится вопросъ: правда ли это? Вызывается одинъ изъ тѣхъ учащихся, который далъ невѣрный отвѣтъ, и ему этотъ вопросъ вновь повторяется. Для отвѣта на этотъ вопросъ о правильности учащійся долженъ то число, которое онъ назвалъ, умножить на 3: напр., если онъ далъ отвѣтъ по 6 ябл., то ему придется теперь 6x3. Смотря въ свою таблицу умноженія (или на память, если онъ уже хорошо усвоилъ эту часть таблицы умноженія), учащійся приходитъ къ заключенію, что всего яблокъ роздали мальчикамъ 18, а не 24. Поэтому его отвѣтъ не вѣренъ: по 6 ябл. каждому — мало. Тогда онъ или сразу переходитъ къ 8 ябл., или пробуетъ еще дать отвѣтъ по 7 ябл.— вопросъ «правда ли это?» опять поможетъ ему выяснить тѣмъ же путемъ, что по 7 ябл.мало, а по 8—вѣрно, потому что 7x3=21, а 8x3=24. Далѣе задаемъ еще подобную задачу: 27 книгъ разставили на 3 полки, на каждую поровну. Ск. книгъ пришлось поставить на каждую полку? Теперь возможно послѣ постановки общаго вопроса «правда ли это» призвать къ отвѣту одного изъ тѣхъ учениковъ, которые дали правильные отвѣты,— этотъ ученикъ долженъ выяснить, что «по 9 книгъ» есть правильный отвѣтъ, потому что 9x3=27 (это онъ или знаетъ или видитъ въ своей таблицѣ умноженія). Затѣмъ задаются подобныя задачи (2 или 3), гдѣ требовалось бы раздѣлить на 4 равныхъ части, и рѣшаются въ томъ же порядкѣ.

При рѣшеніи всѣхъ указанныхъ задачъ учащіеся уже пріобрѣли нѣкоторую привычку справляться съ таблицей умноженія.

Полезно еще рѣшеніе каждой задачи, послѣ того какъ будетъ найденъ правильный отвѣтъ, записывать на доскѣ, напримѣръ, 24 : 3=8 (можно названій и не писать). Затѣмъ уже можно перейти къ примѣрамъ: 20 раздѣлить на 4,—сколько будетъ? Или прямо на доскѣ написать нѣсколько примѣровъ: 32 : 4, 15 : 3, 28 : 4, 21 : 3, 32 : 4, 12 : 4 (всегда слѣдуетъ включать и тѣ случаи дѣленія, которые уже проходились при изученіи ариѳметики въ предѣлѣ до 20). Учащіеся должны сразу сказать или написать отвѣты на эти примѣры, причемъ имъ рекомендуется или смотрѣть каждому въ свою таблицу умноженія, или, кто хорошо ее знаетъ, вспоминать эту таблицу. Нѣкоторые изъ полученныхъ отвѣтовъ повѣряются, при чемъ для повѣрки опять ставится вопросъ: правда ли это? (Напр., пусть кто-либо написалъ 32 : 4=9. Ставится вопросъ: правда ли это? Для отвѣта на этотъ вопросъ надо 9x4. Въ нѣкоторыхъ случаяхъ, когда учащійся затрудняется, какъ ему повѣрить написанный имъ отвѣтъ, возможно замѣнить примѣръ соотвѣтствующею задачей. Напр., вышенаписанный примѣръ замѣняется задачею въ родѣ слѣдующей: посѣяли 32 пуда ржи на 4 десятины; ск. ржи посѣяли на каждую?).

Въ такомъ же порядкѣ идетъ и дальнѣйшая работа, дѣленіе на 5, на 6 и т. д. Однако вовсе не необходимо сплошь продѣлывать всѣ возможныя дѣленія на 5, а потомъ всевозможныя дѣленія на 6 и т. д. Возможно, и даже желательно, рядомъ давать задачи и примѣры, гдѣ приходилось бы дѣлить на разныя числа. Вѣдь все равно, для нахожденія правильнаго отвѣта на задачу слѣдуетъ или вспомнить одну изъ строчекъ таблицы умноженія или подыскать ее въ той своей таблицѣ, которая имѣется передъ глазами учащагося. Слѣдуетъ еще добавить, что въ предыдущемъ не было дано раздѣленія матеріала по отдѣльнымъ урокамъ. И я полагаю, что это раздѣленіе во многомъ зависитъ отъ той обстановки, въ какой приходится заниматься: хорошій ли или плохой составъ класса, его многочисленность, занимается ли учитель съ однимъ лишь отдѣленіемъ или съ двумя и т. п. Несомнѣнно, что въ каждый послѣдующій урокъ должно быть повторено кое-что изъ того, что было пройдено на предыдущемъ.

Наконецъ, полагаю, что послѣ того, какъ разсматриваемый случай дѣленія будетъ законченъ, слѣдуетъ посвятить 2—3 урока другимъ пріемамъ выполненія того же случая дѣленія. Такъ, можно показать, что, напр., 45 : 5 можно выполнить такъ: отъ дѣленія одного десятка на 5 равныхъ частей въ каждую часть придется положить по 2 единицѣ, а отъ дѣленія 4 десятковъ получится, слѣдов., въ каждой части 8 единицъ, да еще отъ дѣленія 5 един. на 5 получится 1 единица; итого въ каждой части будетъ 9 единицъ (все это можно иллюстрировать на спичкахъ, или возможно обратиться къ вообра-

женію учащихся и предложить имъ дѣлить 45 яблокъ на пятерыхъ поровну). Также можно, напр., 27 : 9 выполнить согласно А. И. Гольденбергу въ такомъ порядкѣ: сначала 27 : 3 и полученное число еще раздѣлить на 3. Однако, думается, здѣсь пока надо избѣгать примѣровъ, гдѣ промежуточныя частныя двузначныя (напр. 36 : 9).

Почему я рекомендую посвятить 2—3 урока тѣмъ пріемамъ дѣленія, какіе въ предыдущемъ полномъ изученіи этого случая дѣленія не встрѣчались? Отвѣтъ простъ. Я считаю однимъ изъ грѣховъ многихъ методистовъ настаивать непремѣнно при выполненіи дѣйствія на опредѣленномъ пріемѣ, наоборотъ, надо пользоваться всякою возможностью съ цѣлью показать, что одного и того же возможно достигнуть различными путями. Предыдущее полное изученіе разсматриваемаго случая дѣленія должно создать въ сознаніи учащихся хотя бы зародышъ мысли, что дѣленіе обратно умноженію (возможно въ ближайшемъ же будущемъ вполнѣ закрѣпить эту мысль, однако этому вопросу слѣдуетъ посвятить особую статью), — цѣль будетъ достигнута, а послѣ этого законно и естественно показать учащимся, что тѣ же случаи дѣленія возможно выполнить и иначе. И если это будетъ сдѣлано, то учитель будетъ свободенъ отъ упрека въ тенденціозности. Послѣдняя и при обученіи ариѳметикѣ является зломъ, которое надо стараться удалить изъ жизни школы.

Н. Извольскій.

Свѣдѣнія о новыхъ книгахъ.

Е. И. Игнатьевъ, Начатки ариѳметики. Концентрическое руководство для обученія и самообученія. Часть первая. Изданіе Т-ва А. С. Суворина — «Новое Время». Петроградъ, 1914.

Авторъ начинаетъ «Предисловіе» словами: «Настоящая книжка представляетъ собой попытку дать концентрическій учебникъ начальной ариѳметики». Изъ дальнѣйшаго развитія предисловія видно, что авторъ, будучи не довольнымъ существующими учебниками ариѳметики, стремится, съ одной стороны, дать учебникъ, который и для маленькихъ учащихся (повидимому, здѣсь надо понимать учениковъ и ученицъ 1-го и приготовительнаго классовъ среднихъ учебныхъ заведеній) оказался бы интереснымъ, а съ другой — стремится написать этотъ учебникъ такъ, чтобы онъ оказался и книгой, полезной внѣ школы, подразумѣвая, что читателями этой книги должны явиться окончившіе курсъ сельской и вообще начальной школы. «Составитель былъ бы поистинѣ счастливъ и удовлетворенъ, если бы этой книжкѣ удалось сдѣлаться хотя до нѣкоторой степени «народной ариѳметикой», т.-е. книгой, отвѣчающей потребности стремящихся къ просвѣщенію «низовъ» (стран. VII).

Повидимому, авторъ желаетъ совмѣстить 3 задачи: дать книгу, пригодную въ качествѣ учебника ученикамъ младшихъ классовъ среднихъ

учебныхъ заведеній, дать книгу, пригодную для чтенія лицамъ, окончившимъ начальную школу и желающимъ вспомнить свое обученіе ариѳметикѣ, и дать книгу, пригодную для самообученія. На первую и третью изъ этихъ задачъ указываетъ и подзаголовокъ книги: «Концентрическое руководство для обученія и самообученія», а на вторую — стран. VII предисловія, гдѣ авторъ выражаетъ, повидимому, желаніе, чтобы эта книга не бросалась учениками и по окончаніи начальной школы.

Послѣ чтенія этой книги, приходищь къ заключенію, что достигнуть этихъ цѣлей автору не удалось, и возникаетъ сомнѣніе въ возможности совмѣщенія вышеуказанныхъ задачъ. Все время при чтеніи этой книги невольно приходится ставить вопросъ: для кого это написано? И приходится отвѣчать на него различно: иногда — для лицъ, вовсе незнающихъ ариѳметики и даже плохо владѣющихъ перомъ (напр. на стран. 16, гдѣ указывается, какъ писать цифры по косымъ линейкамъ или клѣткамъ); иногда — для учениковъ, которымъ въ классѣ все разъяснили и которые настолько владѣютъ умѣньемъ обращаться съ книгою, что могутъ по ней повторить пройденное въ классѣ, а существуютъ ли такіе ученики, обучающіеся, напр., ариѳметикѣ въ предѣлѣ до 100, — это уже другой вопросъ (напр., на стран. 21—22, меньше чѣмъ на 2 страницахъ, изложено все умноженіе въ предѣлѣ 10; для вовсе незнающаго ариѳметики это очень мало, для ученика 1-го отдѣленія начальной школы вовсе недоступно, благодаря его неумѣнію пользоваться книгою; поэтому приходится думать, что это написано для воображаемаго ученика, который, хотя и не знаетъ ариѳметики въ предѣлѣ 10, но очень свободно читаетъ книги и которому учитель уже разъяснилъ умноженіе); иногда — вопреки, повидимому, намѣренію автора — для учителя (напр. рисунки на стран. 9—11 являются какъ бы краткими методическими указаніями, какъ долженъ учитель знакомить дѣтей съ числами 1—10 и пріучать ихъ пользоваться числами для оцѣнки группъ предметовъ); иногда —вовсе не находишь отвѣта (примѣры даны ниже).

Обратимся теперь къ разсмотрѣнію содержанія книги. Въ первую очередь разсмотримъ изложеніе того, какъ г. Игнатьевъ подготовляетъ учащихся по его книгѣ къ статьѣ объ устной и письменной нумераціи. Это мы дѣлаемъ потому, что въ предисловіи, критикуя наши обычные учебники ариѳметики, г. Игнатьевъ указываетъ: «Съ первой же страницы они начинаютъ обыкновенно говорить о безконечности чиселъ, объ общихъ основахъ устной и письменной нумераціи и тому подобнымъ отвлеченныхъ предметовъ, заинтересовать которыми, скажемъ, первоклассника — а то и кое-кого постарше — можно только въ томъ случаѣ, если его къ этому надлежащимъ образомъ подготовить и подвести». Вотъ и возникаетъ вопросъ, какъ г. Игнатьевъ подготовляетъ и подводитъ учащихся по его книжкѣ лицъ къ одному изъ этихъ отвлеченныхъ предметовъ, а именно къ нумераціи. Изъ предыдущей выписки ясно, что мы въ правѣ ожидать здѣсь какую-либо новую подготовку, не ту, какая обычно имѣетъ мѣсто у учениковъ, которымъ дается въ первый разъ въ руки учебникъ. За такую подготовку нельзя считать все, относящееся къ нумераціи, что дается

въ «Начаткахъ ариѳметики» въ концентрахъ 1—101), 1—20 и 1—100, такъ какъ все это обычно дѣлается въ первомъ отдѣленіи начальной школы. Остается этотъ подходъ видѣть на стран. 91—95 «Начатковъ ариѳметики». Здѣсь мы имѣемъ: 1) Разсказъ изъ книги Марка Твэна «Простаки за границей», въ которомъ описывается продавецъ гусей въ Константинополѣ и его способъ провѣрки, всѣ ли его гуси цѣлы; способъ состоитъ въ томъ, что продавецъ считалъ гусей, пропуская ихъ по одному. 2) Заключеніе, къ которому приводитъ предыдущій разсказъ и которое напечатано жирнымъ шрифтомъ: «Во всякой совокупности вещей число ихъ будетъ одно и то же, въ какомъ бы порядкѣ мы вещи не считали». 3) Выясненіе понятія «отвлеченное число» и положенія «рядъ чиселъ безконеченъ». 4) Указаніе, что въ виду безконечности чиселъ было бы непосильнымъ, напраснымъ и безплоднымъ трудомъ придумывать для каждаго числа особое слово и что «искусство устнаго счета состоитъ въ томъ, чтобы немногими различными словами называть сколь возможно больше чиселъ»; сюда присоединено мало понятное положеніе: «Эти названія чиселъ таковы, что указываютъ на мѣсто числа въ натуральномъ ряду послѣдовательныхъ чиселъ».

Новыми, по сравненію съ обычными учебниками, являются лишь первые два пункта, изъ которыхъ первый — разсказъ о продавцѣ гусей — не имѣетъ никакого значенія, а второй, хотя по существу и важный для науки о числахъ, врядъ ли можетъ быть сочтенъ за достаточную подготовку къ статьѣ о нумераціи, за такую подготовку, которая могла бы заинтересовать «первоклассника» и подвести его къ статьѣ о нумераціи. Такъ какъ сама статья объ устномъ и о письменномъ счисленіяхъ не представляетъ какихъ-либо особенностей, существенно отличающихъ книгу «Начатки ариѳметики» отъ обычныхъ учебниковъ, то мы пришли къ заключенію, что г. Игнатьевъ напрасно упоминаніемъ въ предисловіи этой статьи о нумераціи возбуждаетъ вниманіе читателей.

Разсмотримъ, хотя бы и кратко, остальное изложеніе книги г. Игнатьева.

Сначала идетъ знакомство съ числами въ предѣлѣ 10 (одинъ, много, ничего, эатѣмъ числа: одинъ, два и т. д. до 10 включительно), при чемъ для каждаго числа даются на стран. 9—11 соотвѣтствующія группы предметовъ (вопросъ: для кого это написано? — уже выше нами затронутъ). Много мѣста здѣсь отведено также народнымъ пословицамъ, поговоркамъ, загадкамъ, въ родѣ «Что козѣ будетъ, когда ей семь лѣтъ сравняется?» или «Я не робкаго десятка»2). Затѣмъ идутъ упражненія на дѣйствія въ предѣлѣ перваго десятка и, наконецъ, знакомство съ долями единицы. Послѣ этого идетъ ариѳметика двухъ десятковъ, затѣмъ счетъ и дѣйствія

1) Здѣсь впрочемъ имѣется особенность: даны санскритскія названія первыхъ десяти чиселъ, но признать это обстоятельство за ожидаемую подготовку мы отказываемся.

2) Опять вопросъ: для кого это написано? Неужели для взрослаго человѣка, умѣющаго читать и писать, но не знающаго ариѳметики и желающаго ей поучиться.

въ предѣлѣ 1—100, при чемъ постоянно возникаетъ вопросъ: для кого это написано?

Вотъ на стран. 48 начинается статья объ умноженіи (кстати здѣсь читаемъ: «мы уже знаемъ, что умноженіемъ называется дѣйствіе сложенія одного и того же числа нѣсколько разъ». Здѣсь, не обращая вниманія на странное строеніе фразы, слѣдуетъ замѣтить, что такое опредѣленіе умноженія врядъ ли хорошо: сложеніе всегда остается сложеніемъ, а умноженіе придумано для того, чтобы ускорить сложеніе равныхъ слагаемыхъ). Даны примѣры: 4x5=5 + 5 + 5 + 5 = 20 (г. Игнатьевъ, согласно порядку нѣкоторыхъ нѣмецкихъ методистовъ, пишетъ множитель впереди множимаго), 3x10 = 30, 3x6 = 18, затѣмъ объясняется устройство таблицы Пиѳагора и при помощи ея находится, что 6x7 = 42 и 7x6 = 42 — и все: умноженіе въ предѣлѣ первой сотни закончено, такъ что лицу, пожелающему пользоваться этою книгою въ качествѣ самоучителя, надо уже самому доискиваться, какъ выполнять упражненія, данныя на стран.55, въ родѣ: 3x30; 4x20; 3x32. Такою же странностью отличается и изложеніе статьи о дѣленіи въ предѣлѣ первой сотни (стран. 51—53). И совершенно не находишь отвѣта на вопросъ: для кого же это написано?

Разсматривая болѣе детально изложеніе, мы находимъ въ книгѣ много странныхъ мѣстъ. Вотъ нѣкоторыя изъ нихъ.

1) Стран. 6. «Надо, однако, принимать во вниманіе, что иногда количества можно считать однородными или нѣтъ, смотря, какъ на нихъ смотрѣть. Напримѣръ, лошадь и овца количества неоднородныя, если смотрѣть на нихъ съ точки зрѣнія продажной стоимости. Но если смотрѣть на нихъ, какъ на представителей животнаго царства, то они однородны и ихъ можно складывать».

Это мѣсто столь странно, что возникаетъ сомнѣніе, не явилось ли оно результатомъ какой-либо случайности.

2) Стран. 6. «Слово, которое точно обозначаетъ количество и выдѣляетъ какъ это количество, такъ и ему равныя изъ всѣхъ другихъ количествъ, большихъ или меньшихъ, называется числомъ».

Итакъ: 1) число есть какое-то слово; неужели же это такъ? 2) возникаетъ сомнѣніе, возможно ли опредѣлить понятіе о числѣ черезъ понятіе о количествѣ, да и вообще слѣдуетъ ли какъ-либо опредѣлять понятіе о числѣ? недостаточно ли сознанія, что человѣчество придумало числа и умѣетъ ими пользоваться для оцѣнки иногда группъ предметовъ, а иногда и отдѣльныхъ предметовъ? Кстати замѣтимъ, что данное на стран. 5 поясненіе для понятій «количество» и «величина» обладаетъ неясностью: неужели «величина» есть частный видъ общаго понятія «количество»?

3) На стран. 67. «Современные часы представляютъ наборъ (систему) зубчатыхъ колесъ, приводимыхъ въ движеніе грузомъ (опускающимися гирями) или пружиной. Ходъ часовъ регулируется маятникомъ (въ случаѣ груза) или балансиромъ (въ пружинныхъ часахъ)».

Кромѣ вопроса, который настойчиво приходится ставить при чтеніи этой книги: для кого это написано? здѣсь еще возникаетъ вопросъ: неужели авторъ думаетъ, что этою фразою онъ пояснилъ устройство современныхъ часовъ, или, по крайней мѣрѣ, идею этого устройства?

4) На стран. 163—165 выясняется дѣленіе по содержанію: «Отсюда вообще: Если даны два числа..., то дѣлить первое число на второе значитъ искать, сколько разъ можно вычесть дѣлитель изъ дѣлимаго, а также искать то число, которое остается».

На стран. 166—168 дѣленіе выяснется съ точки зрѣнія раздѣла на равныя части, при чемъ обращается много вниманія на остатокъ.

И вдругъ, послѣ всего предыдущаго, на стран. 168 дается такое «общее опредѣленіе дѣйствія дѣленія»:

«Дѣленіе есть дѣйствіе, въ которомъ по двумъ даннымъ числамъ (дѣлимому и дѣлителю) находятъ третье число — частное. И это искомое частное, будучи умножено на данный дѣлитель, должно дать дѣлимое».

Послѣдовательно ли, въ связи съ предыдущимъ, давать общее опредѣленіе дѣленія, ограничиваясь случаемъ дѣленія безъ остатка?

5) Объясненіе дѣленія на стран. 176—177 многозначныхъ чиселъ страдаетъ обычнымъ недостаткомъ: слишкомъ мало вниманія обращается на разряды, какіе выражаются цифрами постепенно получающагося частнаго.

Кромѣ того, здѣсь опять ясно, что книга не можетъ служить самоучителемъ: для этого совсѣмъ недостаточно разбора лишь одного примѣра на дѣленіе многозначныхъ чиселъ при многозначномъ же частномъ 485792 : 782, необходимо разобрать нѣсколько примѣровъ, постепенно усложняющихся.

Переходимъ къ общему заключенію о книгѣ.

Мы готовы согласиться съ г. Игнатьевымъ, что наши обычные учебники ариѳметики (я не исключаю и своего) не достаточно удовлетворяютъ запросамъ учащихся и что слѣдуетъ стремиться къ переработкѣ укрѣпившагося въ нашей учебной литературѣ характера этого учебника. Но мы совершенно не можемъ признать хоть сколько-нибудь удачною ту попытку, какую сдѣлалъ г. Игнатьевъ. Настойчиво возникающій и часто остающійся безъ отвѣта вопросъ: для кого это написано, рядъ недоразумѣній и странностей, нѣкоторыя изъ которыхъ выше указаны, — все это заставляетъ отнестись къ книгѣ отрицательно.

Однако обычно бываетъ, что и въ той книгѣ, къ которой въ общемъ относишься отрицательно, можно найти отдѣльныя мѣста, достойныя вниманія. Мы укажемъ на 2 такихъ мѣста въ «Начаткахъ ариѳметики». На стран. 146—147 дано очень хорошее выясненіе перемѣстительнаго закона умноженія (ахб=бха)\ на стран. 185 имѣются очень хорошія упражненія на дѣленіе. Однако слѣдуетъ указать, что три изъ этихъ 11 упражненій (№№ 4, 6 и 9) перепечатаны безъ всякихъ измѣненій изъ французскаго курса ариѳметики Таннери, два (№№ 8 и 10) также заимствованы изъ той же книги, но съ измѣненіями. Достойна вниманія и интересна задача подъ № 11.

И. А. Макаровъ, Сборникъ ариѳметическихъ задачъ для среднихъ учебныхъ заведеній и другихъ училищъ съ соотвѣтствующимъ курсомъ ариѳметики. Дроби простыя и десятичныя. М. 1913. Цѣна 35 коп.

Онъ же, Сборникъ ариѳметическихъ задачъ для среднихъ учебныхъ заведеній и другихъ училищъ съ соотвѣтствующимъ курсомъ ариѳметики.

Пропорціи и правила: тройныя, процентовъ, учета векселей, товарищества, смѣшенія и др. М. 1915. Цѣна 40 коп.

При первомъ ознакомленіи со «Сборниками» г. Макарова обращаетъ на себя вниманіе нѣкоторое сходство ихъ съ задачниками: 1) И. Верещагина и 2) А. Малинина и К. Буренина. Такъ, напр., заглавія различныхъ отдѣловъ перваго «Сборника» г. Макарова повторяютъ, съ небольшими измѣненіями, заглавія задачника И. Верещагина; въ каждомъ отдѣлѣ «Сборниковъ» г. Макарова можно найти задачи, похожія на нѣкоторыя изъ тѣхъ, которыя даны въ двухъ вышеупомянутыхъ задачникахъ; можно, наконецъ, указать на недостатки расположенія матеріала въ «Сборникахъ» г. Макарова таковые же, какъ и въ вышеупомянутыхъ задачникахъ.

Первое изъ этихъ замѣчаній по существу не важно, такъ какъ, конечно, курсъ ариѳметики всегда остается одинъ и тотъ же. Поэтому дадимъ подтвержденія лишь остальныхъ замѣчаній.

Въ отдѣлѣ «Разложеніе чиселъ на первоначальные множители» находимъ: №№ 28 и 29 схожи съ задачами №№ 1249, 1250 и 1251 задачника И. Верещагина1), № 34 съ № 1360 задачника гг. Малинина и Буренина2) въ слѣдующемъ отдѣлѣ (нахожденіе общаго наибольшаго дѣлителя) №№ 51, 52, 53 и 54 схожи соотвѣтственно съ №№ 1268, 1269, 1277, 1279 и 1281 задачника г. Верещагина. При этомъ можно подмѣтить, что редакція нѣкоторыхъ вопросовъ «Сборниковъ» г. Макарова страдаетъ тѣми же недостатками, какъ и редакція въ задачникѣ г. Верещагина. Такъ, оба автора задаютъ вопросъ (№ 498 перваго «Сборника» г. Макарова и № 1740 г. Верещагина): Что значитъ раздѣлить дробное именованное число, меньшее единицы, на цѣлое число того же наименованія?

Намъ непонятно зачѣмъ здѣсь даны слова «меньшее единицы»? Думается, что здѣсь важно лишь указаніе на то, что больше, дѣлимое или дѣлитель; такъ 1- арш.: 8 арш. значитъ узнать, какую часть арш. составляютъ отъ 8 арш., а 8 арш.: І^ арш. значитъ узнать, сколько разъ 11 арш. содержится въ 8 арш.

Что касается расположенія матеріала, то г. Макаровъ повторяетъ иногда недостатки задачника гг. Малинина и Буренина. Такъ, въ отдѣлѣ «Умноженіе дробей» врядъ ли умѣстны №№ 461 и 470 (подобное же имѣетъ мѣсто и въ задачникѣ гг. Малинина и Буренина: № 1764). Въ этихъ задачахъ наиболѣе существеннымъ моментомъ является нахожденіе цѣлаго по данной части; врядъ ли хорошо въ тѣхъ отдѣлахъ задачника, гдѣ идетъ развитіе ученія о дѣйствіяхъ надъ дробями, ссылаться на тѣ отдѣлы (нахожденіе частей отъ цѣлаго и цѣлаго по даннымъ частямъ), гдѣ дается предварительное знакомство съ дробями. Наконецъ, также подобно тому, что замѣчается въ задачникѣ гг. Малинина и Буренина, кажется нѣсколько страннымъ, что въ отдѣлѣ «Дѣленіе дробей» дано очень мало задачъ (мы насчитали лишь 3), которыми иллюстрируется

1) Изданіе 28-е.

2) Изданіе 34-е.

наиболѣе важный моментъ теоріи дѣленія на дробь, а именно дѣленіе какого-либо числа (цѣлаго или дробнаго - безразлично) на правильную отвлеченную дробь. Казалось бы, необходимо дать по возможности больше матеріала для выясненія значенія дѣленій въ родѣ слѣдующихъ: 16 верстъ :

|, 22^фунта:|5 т. д. Здѣсь имѣется въ «Сборникѣ» большой пробѣлъ.

Однако указанное сходство не настолько велико, чтобы признать «Сборники» г. Макарова подражаніемъ вышеупомянутымъ задачникамъ. Нѣтъ? авторъ внесъ въ «Сборники» много и своей работы. Эта работа лишь не бросается въ глаза при первомъ ознакомленіи со «Сборниками». Слѣдуетъ отмѣтить болѣе крупныя ея проявленія, замѣченныя нами. Намъ очень понравилась задача № 538 (въ 1-мъ «Сборникѣ»): Знаменатель одной дроби въ 5 разъ больше своего числителя, а числитель второй дроби въ раза меньше своего знаменателя. Узнать, сколько разъ сумма этихъ дробей содержится въ 1-1 Намъ не приходилось встрѣчать подобныхъ задачъ. Наконецъ, обратимъ вниманіе еще на одну особенность. Въ концѣ второго изъ разсматриваемыхъ «Сборниковъ» имѣется «Общій отдѣлъ», и изъ него выдѣлены въ особый подотдѣлъ «Задачи съ учетомъ векселей и періодическими дробями». Въ виду того, что въ послѣднее время раздается много голосовъ противъ введенія въ курсъ ариѳметики задачъ на учетъ векселей и задачъ съ періодическими дробями, слѣдуетъ привѣтствовать эту особенность «Сборника». Однако, чтобы быть послѣдовательнымъ, автору слѣдовало бы выкинуть изъ предыдущихъ отдѣловъ 452, 465, 466, 798, 814, 831, 1020 и 1021. На основной вопросъ—удобны ли «Сборники» для употребленія въ школѣ?—отвѣтъ можно было бы дать лишь при болѣе детальномъ ихъ разсмотрѣніи. Особенное значеніе имѣло бы здѣсь мнѣніе лицъ, которыя сдѣлаютъ опытъ примѣненія (а по первому впечатлѣнію, это слѣдовало бы сдѣлать) «Сборниковъ» г. Макарова къ нуждамъ школы.

Н. Извольскій.

Книги, поступившія въ редакцію.

А. Алмоевъ. Сборникъ задачъ, предложенныхъ въ 1914—13 гг. на выпусныхъ экзаменахъ за 8 классовъ гимназіи, за 6 и 7 классовъ реальныхъ училищъ 12 округовъ. Изданіе общеобразов. курсовъ А. Алмоева. Москва. Цѣна 75 коп.

Д. Л. Волковскій. Дѣтскій міръ въ числахъ. Для начальныхъ школъ. Для второго года обученія. Съ рисунками. Москва, 1915 года. Цѣна 20 коп.

И. Александровъ. Методы рѣшеній ариѳметическихъ задачъ. Седьмое, дополненное изданіе. Москва 1915. Цѣна 40 коп.

Д. А. Бемъ, А. А. Волковъ, Р. Э. Струве. Сборникъ упражненій и задачъ по элементарному курсу алгебры. Часть II. Книгоиздательство Т-ва Д. И. Сытина. М. 1915. Цѣна 1 р. 15 коп.

Редакторъ-Издатель Н. А. Извольскій.

Типографія Г. Лисснера и Д. Собко. Москва, Воздвиженка, Крестовоздвиженскій пер., д. №. 9.

[Объявления]

[Объявления]

[Объявления]

[Объявления]