Математическій Вестникъ.

Журналъ, посвященый вопросамъ преподаванія ариѳметики и началъ алгебры и геометріи.

№ 1.

Октябрь 1914 г.

Москва

Математическій Вѣстникъ.

№ 2. Октябрь 1914 г.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел.3-19-55.

Содержаніе: Н. Извольскій. О правилахъ въ учебномъ курсѣ математики (окончаніе). — I. Чистяковъ. Объ одной группѣ признаковъ дѣлимости. — Н. Извольскій. Описаніе двухъ уроковъ во 2-мъ отдѣленіи начальной школы. — Е. Томашевичъ. Задачи, заслуживающія вниманія.— А. Н. По поводу одной изъ резолюціи Перваго Съѣзда по вопросамъ народнаго образованія. — Нѣкоторые ариѳметическіе вопросы. — Хроника (А. Цвѣткова. Съѣздъ дѣятелей по народному образованію въ Московскомъ Уѣздномъ земствѣ. — Постановленія Ученаго Комитета Мнн. Нар. Просв.). — Свѣдѣнія о новыхъ книгахъ. (Л. Залѣсскій. Методологическія замѣтки къ систематическому курсу ариѳметики цѣлыхъ чиселъ.—А. В. Туфановъ. Практическое руководство по ариѳметикѣ и геометріи въ 1-й годъ обученія. — И. С. Теръ-Степановъ. Сборникъ ариѳметическихъ задачъ, частъ I и частъ II. — Книги, поступившія въ редакцію).

О правилахъ въ учебномъ курсѣ математики.

(Окончаніе.)

III.

Я не имѣю въ виду въ дальнѣйшемъ разобрать вышепоставленные вопросы въ ихъ полномъ объемѣ. Хотѣлось бы лишь на отдѣльныхъ примѣрахъ выяснить законность этихъ вопросовъ и возможность различныхъ рѣшеній для каждаго отдѣльнаго правила.

Мы уже видѣли, что нѣтъ никакой нужды сохранять въ курсѣ ариѳметики вышеразобранное «правило» сложенія; самое большое, можно оставить лишь слѣдъ этого правила въ формѣ: «Удобно при сложеніи длинныхъ чиселъ, или если надо сложить много чиселъ, хотя бы и не длинныхъ, подписывать ихъ одно подъ другимъ такъ, чтобы единицы одинаковыхъ разрядовъ приходились въ одномъ вертикальномъ столбцѣ». Здѣсь, слѣдовательно, остается лишь описаніе удобной формы записи

данныхъ чиселъ, но ни слова не говорится о томъ, какъ выполнять самое сложеніе. И это понятно: кто уже научился выполнять сложеніе, тому незачѣмъ говорить словами, какъ его выполнять, а кто не научился выполненію сложенія, тому эти слова не помогутъ, — его надо продолжать обученію сложенія. Совершенно такой же участи должны подвергнуться правила вычитанія, умноженія и дѣленія цѣлыхъ отвлеченныхъ и именованныхъ чиселъ, а также правила раздробленія и превращенія и правила для обращенія смѣшаннаго числа въ неправильную дробь и для исключенія цѣлаго изъ неправильной дроби. Какъ же, могутъ спросить, вести обученіе безъ этихъ правилъ? Разсмотримъ, для примѣра, вопросъ объ обращеніи смѣшаннаго (или цѣлаго) числа въ неправильную дробь.

Уже при первомъ знакомствѣ съ дробями въ начальной школѣ, дѣти безъ всякихъ правилъ сумѣютъ отвѣтить на вопросъ: сколько половинъ въ І^? Они считаютъ: въ одной единицѣ двѣ половины, да еще одна половина, — всего 3 половины. Преподавателю остается лишь воспользоваться этимъ умѣніемъ учащихся и, усложняя рядъ примѣровъ, довести, съ теченіемъ времени, до того, что вышеуказанный расчетъ лишь промелькнетъ въ сознаніи учащагося, но онъ даже не сочтетъ нужнымъ объ немъ говорить и сразу дастъ отвѣтъ. Порядокъ веденія упражненій въ общихъ чертахъ возможенъ такой: сначала разбираютъ подробно нѣсколько примѣровъ.

Напр:

1) з|; сколько въ этомъ числѣ четвертыхъ долей?

2) 5-; раздробить въ 8-я доли.

3) Сколько шестыхъ долей въ числѣ 7?

4) Сколько 12-хъ долей въ числѣ 10— ?

и т. п.

Каждый изъ этихъ примѣровъ разбирается вслухъ: въ одной единицѣ 8 восьмыхъ долей, въ 5 единицахъ — 40 восьмыхъ да еще одна восьмая — всего 41 восьмая (2-й примѣръ), т.-е. 5^=~. Здѣсь указывается, что мы смѣшанныя или цѣлыя числа въ этихъ примѣрахъ замѣнили неправил. дробями (обратили въ неправ. дроби).

Затѣмъ можно дать рядъ подобныхъ же упражненій, но не требовать ихъ полнаго разбора, а требовать лишь написаніе отвѣта: здѣсь учащіеся развиваютъ подобныя соображенія про себя, а если они кажутся имъ очень легкими, то эти соображенія лишь промелькнутъ въ ихъ сознаніи, и учащіеся сразу пишутъ соотв. отвѣтъ. Такихъ спеціальныхъ упражненій

вовсе и не требуется очень много. Слѣдуетъ зато въ дальнѣйшемъ курсѣ, если при рѣшеніи какой либо задачи встрѣтится надобность въ такомъ обращеніи смѣшаннаго или цѣлаго числа въ неправильную дробь, время отъ времени (но отнюдь не всякій разъ) спрашивать у ученика, какъ онъ это выполняетъ, при чемъ отвѣтъ ученика долженъ состоять въ разсказѣ соображеній въ родѣ предыдущихъ (въ одной единицѣ 8 восьмыхъ, въ 5 един.—40 восьмыхъ и т. д.), но отнюдь не долженъ состоять въ указаніи механизма, какъ это очень часто имѣетъ мѣсто въ современной практикѣ («цѣлое надо умножить на знаменателя и прибавить числителя»). Мнѣ приходилось наблюдать (да, вѣроятно, многіе преподаватели могутъ это подтвердитъ), что когда учащіеся пріучаются къ правилу — для обращенія смѣшаннаго числа въ неправильную дробь надо цѣлое умножить на знаменателя и т. д., то въ дальнѣйшемъ курсѣ иногда цѣлое умножаютъ на числителя. Бытъ можетъ, если вовсе отказаться отъ обычнаго способа (выводъ правила, его запоминаніе, его примѣненіе), а вести дѣло вышеуказаннымъ порядкомъ, то такихъ ошибокъ у учащихся не будетъ встрѣчаться.

Далѣе остановимся на правилѣ сложенія дробей (а также и вычитанія) съ одинаковыми знаменателями. Слѣдуетъ ли удержать соотвѣтствующее правило («для сложенія дробей съ одинаковыми знаменателями надо сложить ихъ числителей и подписать общаго знаменателя»)? Здѣсь дѣло нѣсколько осложняется. Если разсматривать только курсъ ариѳметики, то, думается, не можетъ быть сомнѣнія въ ненужности этого правила: опять слѣдуетъ не выводить правило и не заставлять учениковъ его запоминать (а слѣдов. и не спрашивать его у учениковъ), а поставить дѣло такъ, чтобы учащіеся и не ощу щали потребности здѣсь въ какомъ-либо правилѣ, все равно, какъ при сложеніи чиселъ съ названіями (7 ябл. + 14 ябл. = 21 ябл.), вѣдь и рѣчи не бываетъ о правилѣ: чтобы сложитъ числа съ одинаковыми названіями, надо сложить самыя числа и приписать ихъ общее названіе. Однако, вѣдь за курсомъ ариѳметики слѣдуетъ (правда, не для всѣхъ учащихся) курсъ алгебры, а тамъ мы пишемъ равенство —+~= - или какъ слѣдствіе распредѣлительнаго закона или какъ обобщеніе сложенія ариѳметическихъ дробей. Если даже преподаватель желаетъ провести чисто теоретическую точку зрѣнія и предыдущее равенство доказываетъ, исходя изъ распредѣлительнаго закона для умноженія (сомнѣваюсь, однако, чтобы такой способъ обученія былъ цѣлесообразенъ при первомъ знакомствѣ съ алгебраическими дробями), то во всякомъ случаѣ онъ не можетъ достигнутъ того, чтобы учащіеся, хотя бы про себя, не подмѣтили бы здѣсь аналогіи со сложеніемъ дробей въ ариѳ-

метикѣ и не считали бы эту аналогію наиболѣе убѣдительною для признанія справедливости равенства ""I"""-~—• въ такомъ случаѣ, повидимому, необходимо пойти навстрѣчу учащимся и ввести въ курсъ ариѳметики разбираемое правило, но сдѣлать это надо не тогда, когда дѣти еще учатся сложенію (а также и вычитанію) дробей, а тогда, когда они уже научились этому дѣйствію: можетъ быть въ дальнѣйшемъ курсѣ ариѳметики найдется удобный моментъ для этого, а можетъ быть слѣдуетъ даже отнести установленіе этого правила къ тому моменту, который непосредственно предшествуетъ сложенію алгебраическихъ дробей.

Затѣмъ остановлюсь на правилѣ умноженія на дробь (напр. цѣлаго на дробь). Опять-таки современная практика въ огромномъ большинствѣ случаевъ стремится сначала вывести правило умноженія цѣлаго числа на дробь, затѣмъ упражнять учениковъ въ примѣненіи этого правила. При этомъ среди преподавателей возникаютъ споры 1) о томъ, какъ лучше вывести это правило и 2) о томъ, въ какой его формѣ предпочтительнѣе выразить. Между тѣмъ не лучше ли будетъ поступить съ этимъ правиломъ такъ, какъ и съ правиломъ сложенія дробей съ одинаковыми знаменателями, т.-е. вовсе его не выводить, даже и не упоминать до поры до времени объ его существованіи, выполнять умноженіе на дробь (цѣлаго ли числа или дроби — безразлично) безъ всякаго правила, а исходя изъ его смысла, и лишь впослѣдствіи, для перехода къ курсу алгебры, установить возможность механическаго выполненія умноженія на дробь и можетъ быть настолько измѣнить форму этого правила, что уже, пожалуй, и правиломъ его называть не придется.

Вотъ въ какомъ видѣ рисуется мнѣ постановка обученія умноженію на дробь въ только что высказанномъ направленіи.

Дроби суть новыя числа, отличающія отъ ранѣе знакомыхъ дѣтямъ цѣлыхъ чиселъ; поэтому и смыслъ дѣйствій въ области дробныхъ чиселъ долженъ отличаться отъ смысла дѣйствій надъ цѣлыми числами. 8x3 значитъ 8 повторить 3 раза слагаемымъ, но сказать, что8х| значитъ 8 повторить | раза слагаемымъ, уже не имѣетъ смысла. Поэтому первою заботою учителя, и это сдѣлать не легко, на это надо потратить много и времени и труда, должно быть стремленіе поставить дѣло такъ, чтобы учащіеся согласились измѣнить свое представленіе объ умноженіи и согласились придавать этому дѣйствію новый смыслъ: удобно, такъ какъ тогда задачи одинаковаго содержанія, но съ различными, то съ цѣлыми, то съ дробными числами, рѣшаются однимъ и тѣмъ же дѣйствіемъ, признать, что умноженіемъ какого-либо числа на дробь слѣдуетъ находить одну

или нѣсколько опредѣленныхъ частей этого числа (и этотъ новый смыслъ умноженія надо главнымъ образомъ выяснить не общею фразою, въ родѣ предыдущей, а на примѣрахъ: 8х^ значитъ найти - отъ 8, — соотвѣтствующія задачи покажутъ, что дѣйствительно въ этомъ смыслѣ понимать новое умноженіе удобно). Затѣмъ всѣ упражненія на умноженіе на дробь выполнять, исходя изъ этого смысла, а не на основаніи правила. Пусть, если учащемуся надо 8х^, онъ про себя разсуждаетъ: ищу сначала одну четвертую частъ отъ 8, — она = 2, а 3 четвертыхъ части равны, слѣд., 6 и пусть напишетъ результатъ лишь въ такомъ видѣ: 8х|—6, а не такъ, какъ принято: 8х^=-^-=6. Если надо 12 - х -> то ходъ мысли таковъ: ищу сначала ^ отъ 12 (-отъ 12=2, а ^ отъ 12=101, а затѣмъ ищу | отъ Х- ^ отъ |=^, а| отъ |=^); поэтому 12-х^=10+—=Ю~- Если надо 5х-> то ходъ мысли таковъ: ищу, думаетъ или говоритъ учащійся, одну восьмую отъ 5, для чего надо 5 раздѣлить на 8, и учащійся пишетъ послѣ знака равенства ^5 Х^ = |Ц> ищу затѣмъ3такихъ части, — надо полученное умножить на 3, и учащійся дополняетъ предыдущую запись (.3). Тогда, въ зависимости отъ желанія учащагося, можетъ появиться одна изъ слѣдующихъ двухъ записей:

или

Рядъ такихъ упражненій поведетъ къ тому, что всѣ предыдущія разсужденія лишь промелькнутъ въ сознаніи учащагося, и онъ будетъ быстро выполнять умноженіе на дробь (безразлично цѣлаго ли, дробнаго ли, или смѣшаннаго числа) безъ всякаго механическаго правила. Когда учащійся уже научится умноженію на дробь, то можно выбрать моментъ, чтобы вести въ дѣло и правило (этого не избѣжать, если имѣть въ виду курсъ алгебры, гдѣ имѣютъ мѣсто равенства а . -=-или -г- — — *) Однако

*) Въ учебникахъ алгебры эти равенства формально доказываются, но слѣдуетъ сознаться, что главною причиною, почему учащіеся увѣрены въ ихъ справедливостію является привычка къ нимъ въ курсѣ ариѳметики.

думается, наилучшею формою введенія въ дѣло этого правила явится лишь описаніе того, какъ и гдѣ приходится въ результатѣ писать различные элементы (числителя и знаменателя) данныхъ чиселъ. Такъ, напримѣръ, можно установить, что когда цѣлое число умножается на дробь, то надо написать черту для дроби, надъ нею данное цѣлое и числителя данной дроби, между ними знакъ умноженія (точку), а внизу знаменателя дроби.

Перейду затѣмъ къ курсу алгебры. Уже изъ предыдущаго можно замѣтить, что въ курсѣ алгебры безъ правилъ обойтись во многихъ случаяхъ невозможно. Однако слѣдуетъ по возможности не спѣшить съ тѣмъ, чтобы учащіеся, запомнивъ правило, въ дальнѣйшемъ механически слѣдовали бы его указаніямъ. Остановлюсь лишь на одномъ примѣрѣ. Обычно, какъ уже я выше указывалъ, въ самомъ началѣ знакомства съ квадр. ур-іями выводится формула для ихъ рѣшенія и учащіеся приглашаются ею пользоваться. Думается, что дѣло должно быть поставлено иначе: прежде чѣмъ ввести въ обиходъ учащихся формулу для рѣшенія квадр. ур-ія, слѣдуетъ долгое время рѣшать квадр. ур-ія безъ формулы. Напр. такъ:

Возможны и иныя формы, напр.: сдѣлаемъ такъ, чтобы первая частъ ур-ія оказалась разностью квадратовъ, а вторая оставалось бы нулемъ. Замѣчаемъ, что для этого надо къ первой части прибавить и вычесть (чтобы она не измѣнилась) по ^9 (возможно по^) т.-е.имѣемъ

Соединяя первые 3 члена въ одну группу, а послѣдніе два въ другую, имѣемъ:

Раскладывая разность квадратовъ на множители, получимъ

откуда получаемъ: 1) х—3 = 0 или 2^=3 и 2) х—4=0 или

Выводъ общей формулы и введеніе ея въ обиходъ учащихся должны послѣдовать только въ видѣ завершенія статьи объ рѣшеніи квадр. ур-ія. Поэтому, думается, однимъ изъ главныхъ вопросовъ экзаминатора должно быть требованіе рѣшить какое-либо квадратное ур-іе; хотя бы очень простое, безъ употребленія формулы (напр. рѣшить ур-іе х2+6х—16=0Г не прибѣгая къ формулѣ).

Остановлюсь еще на двухъ примѣрахъ изъ геометріи.

1) Боковая поверхность правильной пирамиды равна половинѣ произведенія ея периметра основанія на апоѳему. Нужно ли это правило? Не лучше ли, вмѣсто того, чтобы добиваться запоминанія учащимися этой теоремы-правила, стремиться къ тому, чтобы учащіеся представляли себѣ эту боковую поверхность? Вычислять ее для каждой опредѣленной задачи возможно въ такомъ порядкѣ: вычислю сперва площадь одного бокового треуг-ка (пусть напр. она = —^ кв. дм. = 40 кв. дм.), а затѣмъ умножу полученное число, напр. на 6 (если пирамида 6-угольная).

2) Объемъ пирамиды равенъ ^ произведенія площади основанія на высоту. Здѣсь дѣло сложнѣе, потому что эта теорема-правило въ основѣ имѣетъ болѣе сложное представленіе, чѣмъ въ предыдущемъ примѣрѣ. Рѣшеніе вопроса о томъ, нужно ли запоминать это правило, зависитъ отъ того, признаемъ ли мы возможнымъ довести ясность представленія учащагося до того, что онъ во всякій моментъ можетъ представить себѣ, не прибѣгая къ чертежу или модели, что объемъ призмы разбивается на объемы трехъ равновеликихъ пирамидъ. Если мы признаемъ это возможнымъ, то слѣдуетъ отказаться отъ заучиванія учащимися указанной теоремы; если же не признаемъ этого возможнымъ, а удовольствуемся лишь тѣмъ, что учащійся одинъ или 2, 3 раза увидалъ возможность такого разложенія объема призмы на моделяхъ или чертежахъ, то мы должны признать, что необходимо, чтобы учащійся запомнилъ этотъ фактъ: въ дальнѣйшемъ вѣдь на него придется опираться.

Можно указать болѣе сложные примѣры, гдѣ, повидимому, послѣдняя точка зрѣнія явится единственно возможной, напр. формула 4тгД2 для поверхности шара.

IV.

Какое же общее заключеніе о правилахъ слѣдуетъ сдѣлать изъ предыдущаго ихъ разбора?

Прежде всего несомнѣнно, что много правилъ оказывается вовсе излишними, — ихъ необходимо удалить. Однако прежде чѣмъ послѣднее сдѣлать для каждаго отдѣльнаго правила, необходимо послѣднее разсмотрѣть по возможности тщательнѣе: удобно ли всякій разъ, когда впослѣдствіи понадобится что-либо выполнить, обращаться не къ правилу, которое заучено учащимися, а къ непосредственному ихъ представленію о томъ, что нужно сдѣлать. Если, какъ это выяснено выше для нѣкоторыхъ правилъ, никакихъ неудобствъ для дальнѣйшаго удаленіе правила не вызоветъ, слѣдуетъ безъ сожалѣнія его

удалить. Въ первую очередь такому удаленію подлежатъ «правила» дѣйствій надъ цѣлыми числами, тѣ именно правила, которыя характеризуются словами «надо провести черту».

Что касается вопроса о другихъ правилахъ, которыя тоже желательно удалить изъ курса до поры до времени (напр. правило умноженія дробей, какъ выше было указано, для самого курса ариѳметики врядъ ли нужно), то имѣется одно условіе, безъ котораго сдѣлать это опасно: надо, чтобы учащій привыкъ вести дѣло такъ, чтобы не ссылаться на эти правила. А между тѣмъ при подготовкѣ учителей начальныхъ школъ на эту сторону дѣла, насколько мнѣ извѣстно, не обращаютъ достаточнаго вниманія. Надо слѣдов., если кто-либо изъ учащихъ признаетъ желательномъ удаленія какого-либо правила, напр. одного изъ выше разобранныхъ, чтобы это лицо самостоятельно подготовило себя къ веденію дѣла обученія безъ этого правила.

Однимъ изъ такихъ подготовительныхъ средствъ — кромѣ того, это средство должно оказать хорошее вліяніе на обученіе ариѳметикѣ (а также и алгебрѣ и геометріи) — является такая постановка дѣла обученія, при которой выводъ правила по возможности замедляется. Напримѣръ, при обученіи умноженію на дробь, учащій сначала ведетъ дѣло такъ, чтобы учащіеся выполняли долгое время это дѣйствіе лишь на основаніи его смысла, а не на основаніи заученнаго правила. Такимъ образомъ въ основу обученія будетъ положено усвоеніе смысла дѣйствія, а не механическое слѣдованіе заученному правилу. Пусть, спустя нѣкоторое время, будетъ въ обиходъ учащихся введено и правило, — все же уже одно то обстоятельство, что нѣкоторое время учащіеся обходились безъ него, должно оказать благотворное вліяніе на дѣло обученія.

Въ заключеніе замѣчу, что провести въ только что указанномъ направленіи курсъ алгебры или геометріи гораздо труднѣе, чѣмъ курсъ ариѳметики, и причина этому ясна: для алгебры и геометріи дается слишкомъ мало времени. Несмотря на послѣднее обстоятельство все же необходимо, хотя бы лишь для нѣкоторыхъ отдѣльныхъ моментовъ курса, поставить дѣло такъ, чтобы учащіеся нѣкоторое время выполняли соотвѣтствующія задачи, не зная даже о существованіи подходящихъ къ этимъ задачамъ правилъ.

Здѣсь, думается, умѣстно выразить пожеланіе: если мы хотимъ, чтобы обученіе математикѣ (алгебрѣ и геометріи) было поставлено на болѣе прочныя основанія, чѣмъ тѣ, какія представляютъ собою правила, запоминаемыя для механическаго слѣдованія имъ, мы должны громко заявлять о недостаткѣ времени для этихъ курсовъ. Дайте намъ больше времени!

Н. Извольскій.

Объ одной группѣ признаковъ дѣлимости.

Въ учебникахъ ариѳметики обыкновенно приводятся признаки дѣлимости лишь на весьма немногія и небольшія числа: 2, 3, 5 и пр. Между тѣмъ учащіеся нерѣдко интересуются вопросомъ о дѣлимости и на другія, большія числа. Поэтому въ дальнѣйшемъ я и имѣю въ виду изложить группу признаковъ дѣлимости, основанную на одномъ простомъ принципѣ и пригодную, по моему мнѣнію, для сообщенія интересующимся учащимся.

Въ общемъ, упомянутые признаки дѣлимости сводятся къ слѣдующему: для того, чтобы судить о дѣлимости даннаго числа на нѣкотораго дѣлителя, не содержащаго множителей 2 и 5, отдѣляютъ въ данномъ числѣ цифру единицъ, умножаютъ ее на нѣкоторое вполнѣ опредѣленыое число, которое менѣе даннаго дѣлителя и которое мы назовемъ характеристическимъ, и прибавляютъ произведеніе къ оставшемуся числу; если въ суммѣ получится число, которое дѣлится на даннаго дѣлителя, то и испытусмое число на него раздѣлится. Если послѣ перваго прибавленія полученное число все еще довольно велико, то съ нимъ можно снова поступить такъ же, какъ съ испытуемымъ; повторяя это дѣйствіе нѣсколько разъ, придемъ къ достаточно малому числу, дѣлимость или недѣлимость котораго на даннаго дѣлителя будетъ очевидна, что и дастъ намъ возможность судить о дѣлимости на него же испытуемаго числа. Напр., для 19 упомянутое характеристическое число, какъ увидимъ, естъ 2; поэтому, чтобы узнать, напр., раздѣлится ли 97717 на 19, поступаемъ такъ: цифру единицъ 7 отдѣляемъ отъ даннаго числа, удваиваемъ ее и результатъ 14 прибавляемъ къ оставшемуся числу 9771; получимъ:

9771+14=9785;

поступая подобнымъ же образомъ далѣе, найдемъ:

978+10=988,

98+16-114,

11+8=19;

такъ какъ послѣдняя сумма дѣлится на 19, то и испытуемое число раздѣлится, что можно провѣрить дѣленіемъ.

Докажемъ теперь правильность приведеннаго признака дѣлимости на 19 п съ этою цѣлью выяснимъ значеніе характеристическаго числа 2. Замѣтимъ, что

19 = 10 . 2 — 1, или 10 . 2 = 19 + 1,

и представимъ испытуемое число въ видѣ суммы десятковъ и единицъ:

97717=9771 . 10+7;

умножая обѣ части этого равенства на 2, имѣемъ:

97717 . 2=9771 . 20 + 14,

или 97717 . 2=9771 . (19+1) + 14,

иначе 97717 . 2=9771 . 19+(9771+14).

Но въ правой части послѣдняго равенства первое слагаемое 9771 .19 дѣлится на 19; поэтому если второе слагаемое (9771 + 14) раздѣлится на 19, то и сумма ихъ, т.-е. 97717.2, тоже раздѣлится. Но такъ какъ 2 и 19 не имѣютъ общихъ дѣлителей, то окончательно заключаемъ, что если (9771 + 14) дѣлится на 19, то и испытуемое число 97717 тоже раздѣлится безъ остатка.

Итакъ, правильность изложеннаго признака дѣлимости доказана, и изъ приведеннаго разсужденія легко усмотрѣть значеніе числа, которое мы назвали характеристическимъ для даннаго дѣлителя. Именно, оно показываетъ, сколько десятковъ нужно взять, чтобы получилось число, которое, по отнятіи отъ него 1, дѣлилось бы на разсматриваемаго дѣлителя. Легко найти характеристическія числа для различныхъ дѣлителей; напр. для 13 такимъ числомъ будетъ 4, ибо 10 . 4=40 = 13 . 3 + 1. Слѣдовательно, чтобы судить о дѣлимости числа на 13, надо учетверить его послѣднюю цифру и прибавить къ предшествующему числу и т. д. Испытывая этимъ способомъ, напр. число 448721, найдемъ:

448721

44876

4511

455

65,

слѣдовательно, данное число дѣлится на 13. Для 7, такъ же какъ и для 49, характеристическое число естъ 5, ибо 10 . 5=49+1, для 29 — число 3 и т. д. Наиболѣе просто этотъ признакъ выражается, очевидно, для 9, такъ какъ здѣсь характеристическое число естъ 1, ибо 10 . 1=9 + 1. Слѣдовательно, чтобы судить о дѣлимости числа на 9, нужно послѣднюю цифру прибавить къ предшествующему числу, съ результатомъ поступить такъ же и т. д. Очевидно, это равносильно обычному признаку дѣлимости на 9.

Въ нѣкоторыхъ случаяхъ, однако, пользуясь изложеннымъ принципомъ для вывода признаковъ дѣлимости, удобнѣе искать число десятковъ, которое на единицу менѣе, а не болѣе числа, кратнаго испытуемаго дѣлителя. Въ подобныхъ случаяхъ, какъ

легко видѣть, нужно послѣ умноженія единицъ на характеристическое число произведеніе не прикладывать, а отнимать отъ остающагося числа. Напр., для числа 7 мы имѣемъ: 10 . 2=3 .1 — 1. Поэтому для испытанія, дѣлится ли число на 7, нужно удвоить его послѣднюю цифру и вычесть изъ числа, выраженнаго предыдущими цифрами; съ остаткомъ снова поступаемъ такъ же и т. д., пока не придемъ къ числу, очевидно дѣлящемуся или не дѣлящемуся на 7. Напр., испытывая число 192843, имѣемъ послѣдовательно: 192843—19278—1911—189—0; этотъ результатъ показываетъ, что данное число дѣлится на 7. Въ правильности этого заключенія убѣждаемся, подобно предыдущему, такъ:

192843 = 19284 .10+3,

умноживъ обѣ части равенства на 2, получимъ:

2.192843 = 19284 . 20+6=

= 19284 . (21—1)4-6= = 19284 . 21-19284+6;

или 2 .192843 = 19284 . 21^(19284—6).

Такъ какъ уменьшаемое 19284 . 21 дѣлится на 7, то дѣлимость разности, стоящей во 2-й части равенства, зависитъ отъ вычитаемаго: если 19284—6 дѣлится на 7,то и 2.192843, а слѣдовательно и данное число 192843 раздѣлится на 7, что и требовалось доказать.

Проще всего этимъ послѣднимъ способомъ вывести признакъ дѣлимости на 11, такъ какъ здѣсь характеристическое число естъ 1, ибо 10 . 1 = 11—1. Отсюда, для опредѣленія дѣлимости даннаго числа на 11, нужно послѣднюю его цифру вычесть изъ предыдущаго числа, съ остаткомъ поступить такъ же и т. д., пока не дойдемъ до числа, явно дѣлящагося или не дѣлящагося на 11. Напр.,испытывая дѣлимость числа 67749, послѣдовательно получимъ: 67749—6765—671—66, т.-е. оно дѣлится на 11. Для признака дѣлимости на 17 имѣемъ: 10 . 5 = 17 . 3—1, т.-е. характеристическимъ числомъ является 5, для 31 — число 3 и т. д. Вотъ небольшая таблица характеристическихъ чиселъ для нѣкоторыхъ простыхъ дѣлителей, при чемъ числа второй разсмотрѣнной категоріи (когда нужно пользоваться вычитаніемъ, а не прикладываніемъ) обозначены знакомъ минусъ:

дѣлители

7

11

13

17

19

23

29

31

41

59

характ. числа

-2

-1

4

—5

2

7

3

—3

—4

6

Указанными способами можно вывести признаки дѣлимости не только на двузначныя, но и на трехзначныя, четырехзначныя и пр. числа. Но въ этихъ случаяхъ характеристическія числа будутъ уже выражать соотвѣтственно числа сотенъ, тысячъ и пр., которыя нужно взять, чтобы получилось число, отличающіеся на 1 отъ числа, кратнаго по отношенію къ испытуемому дѣлителю. Возьмемъ въ качествѣ примѣра число 233. Замѣчая, что 100 . 7 = 233 . 3+1, убѣждаемся подобно предыдущему, что для опредѣленія дѣлимости какого-либо числа на 233, нужно отдѣлить въ немъ двѣ послѣднія цифры, полученное число умножить на 7 и прибавить къ предыдущему числу; съ полученнымъ результатомъ поступать такъ же и т. д., пока не придемъ къ достаточно малому числу. Напр., испытывая дѣлимость на 233 числа 5038625, получимъ:

5038625 + 175 50561 + 427 _^ 932"

такъ какъ 932 дѣлится на 233, то и все число раздѣлится.

І. Чистяковъ.

Описаніе двухъ уроковъ во 2-мъ отдѣленіи начальной школы.

Описываемые здѣсь уроки были даны, согласно моимъ указаніямъ, двумя ученицами VIII класса одной изъ московскихъ женскихъ гимназій въ видѣ пробныхъ уроковъ.

Въ своемъ докладѣ на 2-мъ Всероссійскомъ Съѣздѣ преподавателей математики «Комбинаціонная работа, какъ основа преподаванія математики» я указывалъ на желательность проведенія черезъ курсъ ариѳметики, начиная съ первыхъ шаговъ обученія, упражненій, преслѣдующихъ цѣль развитія комбинирующей дѣятельности учащихся1). Содержаніе настоящихъ уроковъ и является примѣромъ такихъ упражненій. Дѣти 2-го отдѣленія уже прошли сложеніе и вычитаніе въ предѣлѣ до 100; если въ нѣкоторыхъ школахъ эти дѣйствія

1) См. также по этому поводу мою рецензію задачника «Новый Путъ», «Мат. Вѣст.» № 1 за 1914 г., стран. 27.

проходятся въ 1-мъ отдѣленіи, то и разсматриваемые уроки могутъ быть перенесены въ это отдѣленіе.

1-й урокъ, На доскѣ пишется примѣръ:

4+14+24+34=

Дѣти переписываютъ его въ тетради и вычисляютъ, послѣ чего и въ тетрадяхъ и на доскѣ появляетея запись:

4+14+24+34=76

(конечно, я пропускаю тѣ моменты урока, во время которыхъ ведется самое вычисленіе: 4 + 14 = 18 и т. д., преподаватель долженъ вести дѣло такъ, чтобы возможно большее число учащихся принимало активное участіе въ этомъ вычисленій).

Послѣ этого ведется разборъ вычисленнаго примѣра: сколько чиселъ требовалось здѣсь сложитъ? Четыре. Назовите первое число (4), второе (14), третье (24), четвертое (34). (Если въ предыдущемъ курсѣ дѣти ознакомились съ терминомъ «слагаемое», то можно здѣсь употреблять термины «первое слагаемое» вмѣсто «первое число» и т. д.) Какое число больше, первое или второе? Второе. На сколько второе. число больше перваго? На 10. Также выяснилось, что третье число тоже на 10 больше второго, и четвертое на 10 больше третьяго. «Итакъ, установила ученица VIII класса, ведущая урокъ, я написала первое число 4, слѣдующее на 10 больше, потомъ еще на 10 больше и, наконецъ, еще на 10 больше». Были сдѣланы опросы, изъ которыхъ выяснилось, что дѣти видятъ, что въ примѣрѣ, написанномъ на доскѣ, надо сложить четыре числа, первое изъ которыхъ естъ 4, а каждое слѣдующее на 10 больше предыдущаго. «Давайте теперь вмѣстѣ составимъ новый примѣръ, чтобы тоже требовалось сложить 4 числа и чтобы тоже первое число было 4, но чтобы увеличивались числа не на 10, а на 11». Постепенно, при участіи дѣтей (желательно, чтобы это участіе было возможно больше) былъ такой примѣръ составленъ, и на доскѣ и въ тетрадяхъ появилась запись:

4+15+26+37 =

Этотъ примѣръ былъ также вычисленъ, послѣ чего было приступлено къ составленію новаго примѣра, гдѣ каждое слѣдующее число на 12 больше предыдущаго, при чемъ уже сначала дѣти написали этотъ примѣръ въ своихъ тетрадяхъ, а потомъ къ доскѣ вызывались постепенно для составленія такого примѣра тѣ изъ дѣтей, которыя, какъ было замѣчено во время обхода класса, сдѣлали тѣ или другія ошибки. Этотъ примѣръ также былъ вычисленъ, и отвѣтъ записанъ, послѣ чего дѣтямъ было предложено составлять дальнѣйшіе подобные примѣры («теперь, раздались отдѣльные голоса, на 13 больше», а спустя нѣкоторое время: «теперь на 14»), до тѣхъ поръ, пока въ отвѣтѣ не получится 100. Такимъ образомъ въ тетрадяхъ учащихся появился рядъ примѣровъ:

4 + 14+24+34= 76

4+15+26+37= 82

4+16+28+40= 88

4+17+30+43= 94

4+18+32+46=100.

Конечно, имѣли мѣсто отдѣльныя ошибки въ работѣ отдѣльныхъ дѣтей, — надо было слѣдить за ихъ работой и своевременно обращать вниманіе на замѣченныя неправильности. Въ заключеніе, тѣ же примѣры были воспроизведены на доскѣ.

Если бы позволило время (настоящій урокъ имѣлъ продолжительномъ нѣсколько меньшую обычной), то можно было бы составить, преимущественно предлагая это дѣтямъ выполнить самостоятельно, еще два ряда подобныхъ примѣровъ: 1) начать съ числа 7 (7+17+27+37=88 и т. д.), 2) начать съ числа 1 (1 + 11+21+31=64 и т. д.); если бы начать съ иныхъ однозначныхъ чиселъ (кромѣ 1, 4 и 7), то нельзя, идя въ описанномъ порядкѣ, дойти до примѣра, гдѣ бы отвѣтъ былъ ровно 100. Можно также одинъ изъ двухъ послѣднихъ рядовъ примѣровъ (или даже оба) предложить для домашней, или для самостоятельной классной работы.

2-й урокъ.

Тетради должны быть закрыты. «Вспомнимъ, какіе примѣры мы вычисляли въ прошлый урокъ». Постепенно на доскѣ

воспроизводятся примѣры предыдущаго урока, но безъ отвѣтовъ, т.-е.

4+14+24+34

4+15+26+37

4+16+28+40

4+17+30+43

4+18+32+46.

Вычисленъ былъ вновь первый примѣръ и отвѣтъ записанъ на доскѣ (=76). Послѣ этого началась работа сравненія 2-го примѣра съ первымъ: первыя числа (слагаемыя, если этотъ терминъ извѣстенъ учащимся) у нихъ одинаковы, второе число во 2-мъ примѣрѣ больше, чѣмъ въ первомъ. На сколько? на 1. Третье число во 2-мъ примѣрѣ больше, чѣмъ въ 1-мъ, на 2 единицы и четвертое—на 3 единицы. На сколько единицъ всего во 2-мъ примѣрѣ больше, чѣмъ въ 1-мъ? На 6 единицъ. Поэтому и отвѣтъ долженъ во 2-мъ примѣрѣ получиться не 76, а больше; на сколько? На 6 единицъ. Значитъ, отвѣтъ (сумма, если этотъ терминъ уже употреблялся) долженъ быть не 76 единицъ, а на 6 больше, т.-е. 82 единицы. Конечно, этотъ отвѣтъ давали, отвѣчая на вопросы, сами учащіеся. Также изъ сопоставленія чиселъ 3-го примѣра съ числами 2-го выяснилось, что въ 3-мъ примѣрѣ въ отвѣтѣ должно было получиться число еще на 6 большее и т. д. пока не дошли до послѣдняго примѣра. Всѣ эти отвѣты, по мѣрѣ ихъ полученія, записывались на доскѣ. Когда были такимъ образомъ записаны всѣ отвѣты, то дѣтямъ было предложено раскрыть тетради и сравнить отвѣты, записанные теперь, съ тѣми, которые были получены на предыдущемъ урокѣ.

Возможно измѣненіе этой части урока: слѣдуетъ тогда начать съ послѣдняго примѣра 4+18+32+46=100 и постепенно переходить вверхъ, выясняя, что съ переходомъ къ предыдущему примѣру, отвѣтъ всякій разъ долженъ уменьшаться на 6 единицъ.

Послѣ этого было выполнено еще нѣсколько упражненій, гдѣ еще выяснялся (на примѣрахъ) вопросъ объ измѣненіи суммы въ зависимости отъ измѣненія слагаемыхъ. Укажу лишь на одинъ такой примѣръ.

Былъ написанъ и вычисленъ примѣръ

8+11+43=62.

Затѣмъ дѣти составилы новый примѣръ такъ, чтобы первое число увеличилось на 3 единицы, второе на 4, третье на 5 и выяснилось, что отвѣтъ (сумма) долженъ получиться на 12 единицъ больше. Затѣмъ былъ составленъ еще примѣръ, гдѣ первое число (сравнителыю съ предыдущимъ) увеличилось на 7 единицъ, второе на 5 и третье на 9, и выяснилось, что отвѣтъ долженъ получиться на 21 единицу больше предыдущаго. Здѣсь уже отвѣты не записывались. Послѣ этого было сдѣлано общее заключеніе въ слѣдующей формѣ: если мы сложимъ нѣсколько чиселъ и найдемъ отвѣтъ, а затѣмъ каждое число увеличимъ на нѣсколько единицъ, то мы сумѣемъ разсчитать, на сколько долженъ увеличиться отвѣтъ.

Такимъ образомъ на этомъ урокѣ былъ сдѣланъ первый шагъ, къ выясненію вопроса объ измѣненіи суммы въ зависимости отъ измЬненія слагаемыхъ.

Н. Извольскій.

Задачи, заслуживающія вниманія.

Въ предыдущей книжкѣ «Мат. Вѣстн.» было изложено мною рѣшеніе задачи о лодочникахъ. Обращаю вниманіе читателей еще на двѣ задачи, въ рѣшеніи которыхъ многіе допускаютъ ошибки:

1) Задача при рѣшеніи которой сбиваются не только ученикиг но и взрослые.

Два брата получили въ наслѣдство 1000 десятинъ земли съ условіемъ раздѣлить ее поровну. Старшій пожелалъ имѣть на 100 десятинъ больше младшаго ;послѣдній на это соглашается и получаетъ за уступленную землю 10000 рублей. Сколько десятинъ получилъ каждый и по какой цѣнѣ шла десятина?

Обыкновенно отвѣчаютъ: цѣна десятины 100 рублей и гораздо рѣже объявляютъ правильную цѣну — 200 руб.

Находятся и такіе рѣшатели, которые старшему отводитъ 600, а младшему 400 десятинъ, но таковые сравнительно рѣдки.

2) Соблазнительная задача для легкомысленныхъ. Книгопродавецъ, покупая книгу у издателя, пользуется скидкою 20°/0 съ номинальной цѣны, т.-е. съ той, которая выставлена на обложкѣ. Сколько °/0 наживаетъ книгопродавецъ на затраченныя деньги, продавая книгу покупателю по номинальной цѣнѣ?

Е. Томашевичъ.

По поводу одной изъ резолюцій Перваго Съѣзда по вопросамъ народнаго образованія.

Одна изъ резолюцій V секціи Перваго Съѣзда по вопросамъ народнаго образованія, происходившаго въ Петроградѣ на Рождественскихъ каникулахъ 1913/14 учебнаго года, гласитъ:

Принимая во вниманіе: 1) огромныя преимущества вообще, а для начальной школы въ особенности, метрической системы передъ существующей, какъ въ смыслѣ ея простоты, такъ и въ смыслѣ экономіи времени и силъ, 2) что метрическая десятичная система факультативно введена уже въ Имперіи еще съ 1 января 1900 года, V секція выражаетъ свое пожеланіе о скорѣйшемъ введеніи въ общее и обязательное для всѣхъ употребленіе метрической системы мѣръ.

При чтеніи этой резолюціи сейчасъ же возникаетъ вопросъ: въ чемъ состоитъ то огромное преимущество метрич. системы вообще, а для начальной школы въ особенности, которое отмѣчено въ этой резолюціи? Отвѣтъ, повидимому, можетъ быть лишь одинъ: въ метрической системѣ каждая крупная единица подраздѣляется непремѣнно на 10 равныхъ частей для полученія слѣдующей единицы, болѣе мелкой, а въ существующей русской приходится дѣлить и на 16, и на 3, и на 7, и на 12 и т. п. равныхъ частей. Слѣдствіемъ этой особенности метрической системы мѣръ является то обстоятельство, что съ числами, получаемыми при измѣреніяхъ при помощи единицъ метрической системы, удобнѣе вести вычисленія десятичными дробями. И эта особенность метрической системы учтена наукою и техникою: измѣренія, необходимыя для научныхъ и техническихъ цѣлей, въ большинствѣ случаевъ выполняются при помощи метрической системы и соотвѣтствующія вычисленія ведутся десятичными дробями. Однако населеніе тѣхъ странъ, въ которыхъ введена метрическая система мѣръ, не охотно воспринимаетъ это десятичное подраздѣленіе и по прежнему пользуется во многихъ случаяхъ иными подраздѣленіями: такъ продаютъ и покупаютъ ^ килограмма, ^ килограмма и т. п., и въ школахъ, при изученіи дробей, впередъ разсматриваютъ дроби |> і> I и т. п. прежде чѣмъ ~ (или 0,1), щ*** Ясна, въ сущности, причина этого: во всѣхъ ариѳметическихъ подсчетахъ, опирающихся на измѣреніе, мы руководствуемся прежде всего образнымъ представленіемъ, а дѣленіе пополамъ и на 3 равныхъ части несомнѣнно легче представить, чѣмъ дѣленіе на 10 равныхъ частей. Подраздѣленія, имѣющія

мѣсто въ нашей русской системѣ мѣръ, основаны, за малыми исключеніями, на дѣленіи пополамъ и на 3 равныхъ части: аршинъ дѣлится пополамъ и еще пополамъ, — получается четверть аршина, она въ свою очередь подвергается двоекратному дѣленію пополамъ, — получается вершокъ; лотъ дѣлится на 3 золотника и т. д. Въ школѣ мы широко пользуемся нашими русскими мѣрами, чтобы при помощи нихъ изучить простѣйшія дроби; мы задаемъ постоянно вопросы: сколько вершковъ въ четверти аршина, сколько золотниковъ въ і фунта и т. д., и т. д. Повидимому большая простота для представленія дѣленія пополамъ и на 3 равныхъ части заставила въ свое время отказаться отъ намѣренія провести это десятичное подраздѣленіе для единицъ времени: по прежнему сутки подраздѣляются на 24 часа, часъ на 60 минутъ, минута на 60 секундъ.

Все предыдущее заставляетъ отнестись съ большимъ сомнѣніемъ къ положенію резолюціи, говорящему объ «огромныхъ преимуществахъ вообще, а для начальной школы въ особенности, метрической системы, передъ существующій».

Допустимъ, что метрическая система мѣръ будетъ сдѣлана обязательною. Такъ какъ обыкновенные люди, не ученые, не склонны къ десятичнымъ подраздѣленіямъ, то они попрежнему будутъ оперировать съ половинами, четвертями, восьмыми частями иногда даже съ третьими частями, даже съ шестыми частями метра, километра, килограмма и т. п., и во многихъ случаяхъ принуждены будутъ имѣть дѣло съ дробями (напр. ^ метра = 12^ сантиметровъ, | килограмма=333^ граммовъ и т. п.). Врядъ ли можно здѣсь увидѣть какое-либо «огромное преимущество» вообще для обывателей.

Въ начальной школѣ пришлось бы тогда выключить вопросы тіодобные тѣмъ ,которые теперь постоянно имѣютъ мѣсто: сколько вершковъ въ ^ аршина, сколько золотниковъ въ ^ фунта, сколько аршинъ въ ^ сажени и т. п., такъ какъ при первоначальномъ ознакомленіи съ дробями неумѣстны были бы вопросы: сколько сантиметровъ въ | дециметра, сколько граммовъ въ ^ килограмма и т. п. Даже знакомство съ подраздѣленіемъ метра на сантиметры пришлось бы отнести къ тому концентру курса, гдѣ изучаются дѣйствія въ предѣлѣ до 100, между тѣмъ какъ теперь ознакомленіе съ раздѣленіемъ аршина на вершки можетъ быть проведено въ концентрѣ, изучающемъ дѣйствія въ предѣлѣ до 20. Также подраздѣленіе килограмма на граммы пришлось бы ввести при прохожденіи ариѳметики въ предѣлѣ до 1000, между тѣмъ какъ теперь подраздѣленіе фунта на золотники возможно дать въ предѣлѣ чиселъ отъ 1 до 100.

Особыхъ преимуществъ метрической системы для начальной школы во всемъ вышеизложенномъ увидать нельзя.

Что касается запоминанія системы мѣръ, то кажущаяся простота метрической системы (единичныя отношенія всегда равны числамъ 10, 100, 1000...) поглощается двумя трудностямъ 1) названія «метръ», «дециметръ», «литръ», «гектолитръ» и т. д. не свойственны русскому языку и въ начальной школѣ заучить ихъ труднѣе, чѣмъ теперешнія: аршинъ, вершокъ, фунтъ, ведро и т. д., 2) не всѣ производныя единицы метрической системы равно-употребительны. Такъ, съ одной стороны, почти не употребляются декаметръ и гектометръ, а съ другой стороны, часто употребляются декалитръ, гектаръ. Благодаря этому опять-таки при переходѣ отъ основной единицы къ другимъ, которыя постоянно употребляются, придется запоминать различныя числа: километръ = 1000 метровъ, а декалитръ = 10 литровъ и т. п. Приставки: дека, гекто, кило, деци и т. д., много помогающія тѣмъ, кто знакомъ съ латинскимъ и греческимъ языками, ничего не говорятъ учащемуся въ начальной школѣ. Все это заставляетъ думать, что отъ введенія во всеобщее обязательное употребленіе метрической системы мѣръ никакой экономіи ни силъ, ни времени въ начальной школѣ не получится.

Метрическая система мѣръ имѣетъ большія удобства, какъ уже было указано, въ научныхъ и техническихъ вопросахъ, и, если учащійся, окончивъ начальную школу, пойдетъ дальше и станетъ когда-либо работать въ этихъ областяхъ, то тогда метрическая система мѣръ дастъ ему, дѣйствительно, экономію и силъ и времени, но усвоить эту систему тогда для него уже будетъ дѣломъ чрезвычайно простымъ, — въ самой начальной школѣ достаточно дать лишь понятія о наиболѣе употребительныхъ единицахъ этой системы, т.-е. о метрѣ, километрѣ, сантиметрѣ, килограммѣ, граммѣ, такъ какъ при чтеніи книгъ или газетъ можно встрѣтиться съ этими единицами мѣръ.

Поэтому мы отказываемся согласиться съ заключеніемъ резолюціи о желательности введенія во всеобщее обязательное употребленіе метрической системы. Можно было бы выразить иное, врядъ ли осуществимое, пожеланіе: пусть будетъ составлена международная комиссія, которая выработала бы новую систему мѣръ, обязательную для всѣхъ народовъ, обладающую слѣдующими свойствами: 1) названія единицъ мѣръ этой системы могутъ быть и различны, но сами мѣры для всѣхъ странъ одинаковы (напр. итальянская лира въ сущности то же самое, что французскій франкъ), 2) подраздѣленія крупныхъ мѣръ на мелкія должны основываться главнымъ образомъ на дѣленіи пополамъ и лишь иногда на дѣленіи на 3 равныхъ части, такъ какъ именно эти дѣленія

наиболѣе доступны образному представленію и наиболѣе соотвѣтствуетъ практическимъ цѣлямъ; такимъ образомъ единичныя отношенія выражались бы числами 4; 6; 12; 8; 16; 24; 9, 18 и лишь въ нѣкоторыхъ отдѣльныхъ случаяхъ числами 100 или 1000, если имѣетъ мѣсто переходъ къ очень крупнымъ мѣрамъ, гдѣ уже образное представленіе не имѣетъ существеннаго значенія.

А. Н.

Нѣкоторые ариѳметическіе вопросы.

I.

Извѣстно, что можно найти всѣхъ дѣлителей даннаго числа. Пусть, напр., дано число 360. Разлагая его на простые множители, получимъ:

360=23.32.5.

Тогда составляемъ сначала всѣхъ дѣлителей, состоящихъ изъ множителей 2; они суть

1; 2; 4; 8.....................(1)

(1 можно разсматривать, какъ 2°, 4=22 и 8=23).

Также находимъ дѣлителей изъ множителей 3, а затѣмъ изъ множителей 5:

1; 3; 9......................(2)

1; 5........................(3)

Затѣмъ, перемножая каждый дѣлитель ряда (1) на каждый дѣлитель ряда (2), получимъ дѣлителей, состоящихъ изъ множителей 2 и 3 (отдѣльно или вмѣстѣ):

1; 2; 4; 8; 3; 6; 12; 24; 9; 18; 36; 72........(4)

Умножая каждое число этого послѣдняго ряда на каждое число ряда (3), получимъ всѣ дѣлители даннаго числа 360:

1; 2; 4; 8; 3; 6; 12; 24; 9; 18; 36; 72; 5; 10; 20; 40; 15; 30;, 60; 120; 45; 90; 180; 360.

Нетрудно, не пересчитывая всѣхъ дѣлителей, заранѣе узнать ихъ число. Въ рядѣ (1) 4 числа, во (2) 3 числа; слѣдовательно въ рядѣ (4) должно быть 4 .3, т.-е. 12 чиселъ. Такъ какъ въ рядѣ (3) 2 числа, то всего дѣлителей окажется 4.3.2, т.-е. 24.

Вообще если какое-либо число N разлагается на простые множители а, Ь, с, d,... въ такомъ видѣ:

N=am Лп .ср .<?...,

то число всѣхъ дѣлителей числа N должно бытъ равно произведенію

(ііі+1)(л+1)(р+1)(?+1)...,

т.-е. чтобы узнать, сколько дѣлителей имѣетъ данное число, надо разложить его на простые множители, увеличить показателя каждаго, входящаго въ это число, простого множителя на единицу и перемножить полученныя числа.

Во французскомъ курсѣ ариѳметики Таннери (J. Tannery, «Leçons d'Arithmétique») имѣются слѣдующіе вопросы, относящіеся къ указанному отдѣлу ариѳметики (отвѣты не даны):

1) Найти наименынее число, имѣющее 15 дѣлителей.

2) Найти двузначное число, имѣющее наибольшее число дѣлителей.

Обращаемъ вниманіе читателей на эти вопросы. Особеннаго вниманія заслуживаетъ второй вопросъ, такъ какъ желательно найти путь, который по возможности скорѣе привелъ бы къ намѣченной въ этомъ вопросѣ цѣли. Если окажется возможнымъ изыскать этотъ путь, то, вѣроятно, возможно рѣшить и такой вопросъ (его въ курсѣ Таннери не имѣется):

3) Найти трехзначное число, имѣющее наибольшее число дѣлителей.

II.

Въ томъ же курсѣ ариѳметики Таннери предлагается въ видѣ упражненія выяснить слѣдующее свойство дробей:

Если расположить въ постепенно возрастающемъ порядкѣ всѣ несократимыя дроби, меньшія единицы, знаменатель которыхъ меньше даннаго числа, то дроби, равноотстоящія отъ начала и конца полученнаго ряда, имѣютъ одинъ и тотъ же знаменатель и дополняютъ другъ друга до 1.

Вотъ примѣръ. Разсмотримъ правильныя дроби, знаменатель которыхъ меныпе 6. Среди нихъ несократимыя суть: -; -; -; 7; Расположимъ ихъ въ рядъ, начиная съ самой

малой, — таковою является дробь слѣдующею по величинѣ является дробь р затѣмъ |, затѣмъ ^ (въ самомъ дѣлѣ 3=15' а 5=15) и т. д.

Получимъ такимъ образомъ слѣдующій рядъ дробей:

И мы видимъ, что на этомъ примѣрѣ оправдывается указанное свойство: 5+5=1; 4+4=1; 5 + 5=1; 2 + 2=1 <2 есть 5-я дробь отъ начала ряда и 5-я дробь отъ конца ряда).

Хотя указанное свойство дробей имѣетъ и очень простое объясненіе, однако оно представляется намъ не общеизвѣстнымъ, и поэтому обращаемъ на него вниманіе читателей.

Мы ждемъ отъ читателей отвѣтовъ на эти вопросы.

Хроника.

Съѣздъ дѣятелей по народному образованію въ Московскомъ Уѣздномъ Земствѣ.

На Съѣздѣ, состоявшемся въ Москвѣ отъ 7 до 13 апрѣля 1914г., было выдвинуто нѣсколько вопросовъ, касающихся преподаванія математики въ начальныхъ школахъ. Докладчики, опредѣляя задачу преподаванія въ начальной школѣ, какъ такую, которая имѣетъ цѣлью развитіе самодѣятельности учениковъ, предлагали соотвѣтствующее ей измѣненіе и въ преподаваніи ариѳметики. Указывалось на то, что трудныя задачи съ условіями, не встрѣчающимися въ жизни не могутъ играть большой роли въ развитіи учениковъ, такъ какъ составленіе плановъ такихъ задачъ ученикамъ недоступно, пользованіе же готовыми пріемами создастъ у нихъ только поверхностный навыкъ, который не поможетъ имъ по окончаніи школы рѣшать задачи, предлагаемыя самой жизнью. Поэтому выражалось пожеланіе, чтобы трудныя задачи были совершенно исключены изъ курса ариѳметики и замѣнены задачами, хотя и болѣе простыми,но имѣющими непосредственное отношеніе къ окружающей учениковъ жизни. При чемъ ученики не только бы рѣшали такія задачи, но и упражнялись въ ихъ составленіи. Тезисъ, выставленный одной изъ докладчицъ, «не слѣдуетъ требовать, чтобы дѣти

умѣли рѣшать задачи съ трудными условіями», былъ принятъ единогласно.

Большое сочувствіе вызвалъ также докладъ «О преподаваніи геометріи въ начальной школѣ». Основная мысль докладчика состояла въ томъ, что необходимо ввести въ начальную школу геометрію, но не какъ отдѣльный предметъ, а какъ новый методъ знакомства съ отдѣлами ариѳметики. Причемъ не слѣдуетъ преподавать геометрію, излагая ее по Евклиду, а достаточно только познакомить учениковъ съ нѣкоторыми свойствами геометрическихъ образовъ, кладя въ основу наблюденіе и измѣреніе. Ввести геометрію въ курсъ начальной школы можно за счетъ рѣшенія трудныхъ задачъ. Докладчикъ сослался на успѣшный опытъ, сдѣланный имъ самимъ въ этомъ направленіи. Докладъ вызвалъ продолжительныя пренія, которыми особенно была подчеркнута необходимость введенія геометріи въ начальную школу. Мотивировалась желательность такого введенія, съ одной стороны, тѣмъ, что геометрія много помогаетъ развитію дѣтей, съ другой же, тѣмъ, что знакомство съ геометріей имѣетъ практическое значеніе для крестьянской жизни, закладывая основы правильнаго землемѣрія. Тезисы докладчика:

1. «желательно введеніе въ курсъ начальной школы геометріи, какъ предмета, дополнительнаго къ ариѳметикѣ, для лучшаго усвоенія способовъ вычисленія площадей и объемовъ»;

2. «наблюденія, измѣренія и вырѣзыванія должны лечь въ основу преподаванія начатковъ геометріи»,

были приняты. Третій же тезисъ «Знакомство съ геометріей желательно начинать со 2-го полугодія II отдѣленія» докладчикомъ былъ снятъ, такъ какъ выяснилось изъ преній, что дѣти не только школьнаго, но и болѣе ранняго возраста слегка могутъ усвоивать простѣйшія геометрическія соотношенія. Такимъ образомъ, выборъ момента для начала занятій по геометріи рѣшено было предоставить усмотрѣнію каждаго отдѣльнаго преподавателя.

А. Цвѣткова.

Въ «Журналѣ Мин. Нар. Просв.» за іюнь мѣсяцъ 1914 г. напечатано постановленіе Ученаго Комитета Мин. Нар. Просв., воспрещающее пользоваться въ качествѣ учебнаго пособія ариѳметическимъ задачникомъ И. Верещагина (изданіе 28-е), который пользовался до настоящаго времени большимъ распространеніемъ.

Въ книжкѣ того же журнала за іюль мѣсяцъ напечатана рецензія В. Соллертинскаго на послѣднее изданіе этого задачника, которая выясняетъ до нѣкоторой степени причину этого запрещенія. Этою причиною служатъ тѣ измѣненія и дополненія въ содержаніи задачника, которыя появились, постепенно увеличиваясь, въ изданіяхъ, вышедшихъ послѣ смерти автора.

Такъ же точно воспрещены учебники: Н. Горячевъ, Основанія аналитической геометріи на плоскости, 4-е изд. 1913 г., и Н. Горячевъ, Основанія анализа безконечно малыхъ, изд. 6-е. 1914 г.

Эти учебники въ свое время были удостоены преміи имени Императора Петра I. Причиною настоящаго запрещенія выставляется неисправленіе авторомъ тѣхъ погрѣшностей, какія были указаны въ рецензіи на 1-е изданіе этихъ книгъ.

Въ «Журналѣ (за іюнь) Мин. Нар. Просв.» напечатана рецензія Н. Сонина на указанныя изданія этихъ книгъ, въ которой, помимо замѣчаній о неисправленіи погрѣшностей, указанныхъ Уч. Ком. ранѣе, можно видѣть общее недовольство этими учебниками.

Свѣдѣнія о новыхъ книгахъ по математикѣ и ея методикѣ.

Л. Залѣсскій, Методологическія замѣтки къ систематическому курсу ариѳметики цѣлыхъ чиселъ. Кіевъ. 1913.

Предисловіемъ книги служитъ докладъ, читанныя авторомъ на Всероссійской выставкѣ въ Кіевѣ 2 августа 1913 г. Въ этомъ предисловіи, среди громкихъ по формѣ, но въ сущности малосодержательныхъ фразъ, порою высказываются мысли, которымъ нельзя не сочувствовать: такъ, авторъ возстаетъ противъ той системы преподаванія, во главу которой ставится заучиваніе по учебнику; надо, — говоритъ авторъ, — чтобы учебникъ пополнѣлъ въ объемѣ, и перестать требовать пересказа текста учебника; такъ же точно авторъ справедливо указываетъ, что учащіеся должны долгое время производить умноженіе дробей не на основаніи правила, а только исходя изъ яснаго представленія дѣйствія умноженія (здѣсь слѣдовало бы нѣсколько измѣнить положеніе автора: слѣдуетъ во главу обученія поставить не правило умноженія на дробь и механическое слѣдованіе ему, а усвоеніе смысла этого дѣйствія, и долгое время слѣдуетъ выполнять умноженіе дробей, исходя изъ смысла — а не изъ правила — этого дѣйствія).

Что касается содержанія самой книги, то она представляетъ описаніе наиболѣе важныхъ моментовъ занятій ариѳметикою съ дѣтьми приготовительнаго класса среднихъ учебныхъ заведеній. Дѣти поступаютъ въ этотъ классъ уже со значительнымъ запасомъ свѣдѣній по ариѳметикѣ, и учителю приготовительнаго класса представляется задача привести эти свѣдѣнія въ систему. Авторъ является сторонникомъ экспериментальнаго преподаванія; всегда онъ начинаетъ съ того, что предлагаетъ дѣтямъ продѣлать рядъ упражненій надъ соотвѣтствующими цѣли предметамм. Начинаетъ авторъ съ ознакомленія дѣтей съ различными системами счисленія, для этой цѣли онъ пользуется указаніемъ на безграмотную молочницу,

которая будто бы умѣетъ считать лишь до 5 (сомнительно, можно ли найти такую молочницу), а въ то же время ведетъ большое молочное хозяйство и отпускаетъ даже молоко въ долгъ, дѣлая засѣчки на дверяхъ своей хаты, доходитъ даже до 378 отпущенныхъ въ долгъ кувшиновъ молока. Учащіяся дѣти должны на этомъ примѣрѣ усвоить систему счисленія съ основаніемъ 5. Далѣе выдвигаются, какъ пособіе, «счетные мѣшки». Такъ авторъ называетъ мѣшочки, сшитые изъ матеріи разныхъ цвѣтовъ: бѣлые, напр., служатъ для представленія десятковъ (въ нихъ кладутъ по 10 горошенокъ) и т. д. При помощи этихъ счетныхъ мѣшковъ авторъ приводитъ якобы въ систему всѣ свѣдѣнія о дѣйствіяхъ надъ цѣлыми отвлеченными именованными числами.

Много, однако, сомнѣній возбуждается при чтеніи этой книги:

1) Нужно ли знакомить дѣтей приготовительнаго класса съ различными системами счисленія? не достаточно ли одной десятичной?

2) Чѣмъ лучше «счетные мѣшки» автора того общепринятаго въ начальныхъ школахъ пособія, которое иногда называютъ именемъ «солома» (палочка представляетъ единицу, пучокъ въ 10 палочекъ — десятокъ и т.д.)

3) Слишкомъ мудреные разговоры долженъ вести, согласно изложенію автора, учитель съ учениками. Напр. (по поводу той же молочницы): «Что помогло молочницѣ достичь наивозможно яснаго представленія о числѣ отпущенныхъ ею въ долгъ кувшиновъ молока? Отвѣтъ извѣстенъ: форма и сравненіе (?). Какъ называется такая упорядоченность представленія, приведеніе его въ порядокъ? — Приведеніемъ въ систему». И т. д. (стран. 43).

4) Сомнительно, чтобы учащіеся, послѣ тѣхъ упражненій, какія рекомендуетъ авторъ, и послѣ разговоровъ, подобныхъ вышеприведенному, привели въ систему свои знанія по ариѳметикѣ, тѣмъ болѣе что изложеніе несвободно и отъ ошибокъ. Такъ, на стран. 86 и 87 авторъ даже спуталъ распредѣлительный законъ умноженія съ сочетательнымъ.

Н. Извольскій.

А. В. Туфановъ, Практическое руководство по ариѳметикѣ и геометріи въ 1-й годъ обученія. Изд. журнала «Обновленіе школы». С.-Петербургъ-Варшава. 1914. Ц. 30 коп.

Авторъ въ предисловіи утверждаетъ, что «на книжномъ рынкѣ нѣтъ книгъ, по которымъ можно было бы обучать дѣтей математикѣ, не противорѣча психологіи дѣтскаго возраста и основнымъ положеніямъ науки о возникновеніи и сущности числовыхъ представленій». Очень жалъ, что авторъ не указываетъ, какія именно «основныя положенія» онъ имѣетъ въ виду: вѣдь, извѣстно, что вопросъ о природѣ числа, о происхожденіи чиселъ рѣшается различными математиками-философами различно. Однако, изъ замѣчанія въ концѣ предисловія, а также изъ всего содержанія книги можно видѣть, что авторъ принадлежитъ къ числу «монографистовъ» и очень близокъ къ тому, что даетъ въ своемъ «Руководствѣ къ первоначальному обученію ариѳметикѣ» (переведено на русскій языкъ) глава этого направленія В. А. Лай. Сходство имѣетъ мѣсто даже и въ такомъ

пунктѣ: какъ Лай, такъ и г. Туфановъ, излагая подробно обученіе ариѳметикѣ въ предѣлѣ до 10, даютъ очень краткое изложеніе того, какъ слѣдуетъ вести дѣло при обученіи ариѳметикѣ въ предѣлѣ до 20.

Впрочемъ, имѣется и отличіе: г. Туфановъ къ занятіямъ ариѳметикою присоединяетъ и занятія по геометріи. Уже при изученіи числа 3 дѣти должны, по плану г. Туфанова, ознакомиться съ треуг-комъ и угломъ, со смежными углами и съ прямымъ угломъ, при изученіи числа 4 — съ квадратомъ, при изученіи числа 5 — съ разверткой куба и съ самимъ кубомъ и даже получаютъ нѣкоторое представленіе объ измѣреніи поверхности и объема куба, при изученіи числа 6 — съ прямоугольникомъ, съ параллелепипедомъ и т. д., наконецъ, рекомендуется весной передъ каникулами пройти теорему Пиѳагора.

Много и много сомнѣній появляется при разсмотрѣніи этой книги. Отмѣтимъ лишь нѣкоторыя изъ нихъ. Прежде всего почему учителю необходимо читать только «Руководство къ первоначальному обученію ариѳметикѣ» Лая и «Педагогику математики» гг. Мрочека и Филипповича (стран. 14)? Учителю, думается, слѣдуетъ рекомендовать читать книги различныхъ направленій: чѣмъ разностороннѣе знанія учителя по самой математикѣ и по ея методикѣ, тѣмъ лучше.

На стран. 15 рекомендуется задать учащимся странное требованіе: «Назовите, что вы слышали одинъ разъ». Выполнить такое требованіе крайне трудно. Еще страннѣе ожидаемый (напечатанъ въ скобкахъ) отвѣтъ: ударъ колокола при вѣтрѣ (??) и т. д. На стран. 16 также имѣется врядъ ли выполнимое для дѣтей 6 лѣтъ требованіе: скажите 1 предложеніе.

На стран. 17 на вопросъ: что вы скажете о нихъ (о двухъ шарахъ прибора Лая), ожидается отвѣтъ непремѣнно «они тяжелые», что служить основаніемъ для слѣдующаго вопроса: «что тяжелѣе, одинъ или два шарика?» Но вѣдь дѣти на первый вопросъ могутъ дать совсѣмъ иной отвѣтъ; напр.: они бѣлые, они круглые, они сдѣланы изъ кости и т. п., — какъ же ихъ навести на мысль о тяжести: для этого мало взять шаръ въ руку.

На стран. 18 для того, чтобы установить, что 1 шаръ и 1 шаръ будетъ 2 шара, рекомендуется выполнить цѣлое представленіе: «Смотрите, дѣти, я сдвигаю шаръ, а вы двигайте правыми руками въ воздухѣ такъ же, какъ я у прибора. Я опускаю руку (ученики описываютъ кривую линію внизъ) къ нижней проволокѣ и сдвигаю 2-й шаръ. Сколько шаровъ? (два)». Думается, что все это представленіе излишне. Кромѣ того не наведетъ ли тоску на классъ то, что рекомендуется дальніе: «Ученики выходятъ поочередно къ доскѣ и производятъ сложеніе, повторяя слова: одинъ шаръ и одинъ шаръ будетъ два шара. Остальные ученики смотрятъ, поднимаютъ правыя руки и воспроизводитъ дѣйствіе въ двигательныхъ образахъ». Подобно этому рекомендуется «двигать руками» и при началѣ дѣйствій въ предѣлѣ числа 3, числа 4 и т. д. Кстати, слѣдуетъ указать, что авторъ даетъ неправильныя заглавія. Нельзя говоритъ: «Дѣйствія надъ числомъ 3», если рѣчь идетъ напр. о дѣйствіи 2 + 1=3.

Знакомить дѣтей съ цифрами рекомендуется послѣ изученія числа 6 при помощи прибора Лая. Странно, что послѣ упражненій, служащихъ для усвоенія письма цифръ 1,2,3, 4,5 и б, сейчасъ же идутъ примѣры

на сложеніе, при чемъ сумма = 6 и ихъ рекомендуется не только пройти наглядно (при помощи прибора Лая и при помощи нарисованныхъ квадратныхъ числовыхъ фигуръ), но и записать цифрами, между тѣмъ какъ ни слова не сказано о томъ, что слѣдуетъ ранѣе разученныя дѣйствія теперь повторить, записывая ихъ цифрами. Неужели такъ и слѣдуетъ дѣлать? На стран. 44 дано странное опредѣленіе умноженія: «это дѣйствіе, когда мы коротко пишемъ, сколько разъ беремъ одну и ту же фигуру, называется умноженіемъ». Выходитъ, съ одной стороны, что мы выполняемъ умноженіе уже тогда, когда только напишемъ 3x2, а вовсе не тогда, когда находимъ результатъ этой записи, а съ другой стороны, здѣсь особенно обращаетъ на себя вниманіе склонность «монографистовъ» отождествлять «число» съ «числовой фигурой». Между тѣмъ, напр., на стран. 62 имѣется противорѣчіе только сейчасъ отмѣченной склонности: «Вотъ числовая фигура 6, раздѣлите ее пополамъ на приборѣ. Дѣти дѣлятъ и изображаютъ письменно такъ: :•/.:, 6 : 2 = 3. Здѣсь уже появляется не обычная фигура для числа 3 (обычная а здѣсь имѣется необычная — .:); то же самое должно имѣть мѣсто на стран. 63 при дѣленіи 10 на 2, а уже вовсе непонятно, какъ дѣти получатъ при помощи прибора Лая слѣдующій результатъ: 11 : 2 = 51/а«

Не будемъ болѣе останавливаться на ариѳметической части книги. Перейдемъ къ геометрическому содержанію «Практическаго руководства».

Прежде всего никакъ нельзя согласиться съ тѣмъ, что въ «Руководствѣ» дѣйствительно даны указанія для занятій геометріею. Нельзя признать за геометрическій треугольникъ, за уголъ тѣ комбинаціи изъ спичекъ (стр. 23 и 24), которыя даются въ «Практическомъ руководствѣ»; нельзя этого сдѣлать до тѣхъ поръ, пока не будетъ какъ-либо доведено до сознанія дѣтей, что каждая спичка является моделью и только моделью прямолинейнаго отрѣзка. Такъ какъ въ этомъ направленіи никакихъ шаговъ не сдѣлано, то слѣдуетъ признать, что въ сущности мы въ «Практическомъ руководствѣ» вовсе геометріи не имѣемъ. Можно лишь считать указываемыя въ этой книги упражненія за нѣкоторые подготовительные шаги къ ыастоящей геометріи. На сколько эти подготовительные шаги цѣлесообразны, можно видѣть изъ слѣдующаго: 1) Дѣти (на стран. 36), не зная еще числа 6, должны нарисовать развертку куба, состоящую изъ 6 квадратовъ, при чемъ одинъ изъ нихъ, который будетъ «дномъ» будущаго куба, должны дѣлить на кв. сантиметры (ихъ, согласно заданію, окажется 25!). На стран. 37 (дѣти только владѣютъ числами до 5 включ.) дается домашняя работа, выраженная очень неясно и, кромѣ того, не могущая привести къ результату: «Отрѣзать одинъ квадратъ у склееннной развертки кубическаго сантиметра и измѣрить кубическимъ сантиметромъ стаканъ воды, песка, снѣга и т.д.». Неужели въ стаканѣ 5 или меньше куб. сантиметровъ? А между тѣмъ здѣсь же дается примѣчаніе, въ которомъ указывается, что «дѣти, поступающіе въ наши школы, обыкновенно умѣютъ считать и даже писать, это — плохо; лучше, если бъ они поступали неграмотными». Неужели же послѣдовательно со стороны автора рекомендовать упражненіе, которое можетъ быть выполнено только тогда, когда это нежелательное обстоятельство (умѣніе считать далеко) имѣетъ мѣсто? На стран. 49 также при изученіи

числа 6 учитель долженъ, однако, говорить, что въ большомъ кубѣ содержится 125(!) куб. сант. песка.

Позволительно, въ виду всего вышеизложеннаго, сомнѣваться въ пользѣ этихъ подготовительныхъ шаговъ къ геометріи. Добавимъ еще, что, вообще, сомнительно, имѣются ли достаточно вѣскія основанія, позволяющія уже въ первый годъ обученія ввести въ курсъ вопросы объ измѣреніи и площадей и объемовъ. Еще болѣе сомнѣній вызываетъ совершенно несвязанное съ предыдущимъ введеніе въ курсъ конца 1-го года теоремы Пиѳагора. Способъ выясненія ея, даваемый г. Туфановымъ, имѣется въ нѣкоторыхъ руководствахъ по геометріи, и онъ хорошъ, но онъ имѣлъ бы подъ собою почву лишь тогда, когда этой теоремѣ предшествовалъ бы рядъ упражненій надъ площадями, разсматриваемыми съ чисто геометрической точки зрѣнія: выясненіе равновеликости извѣстныхъ многоугольниковъ, задачи на превращеніе даннаго, напр., параллелограмма въ равновеликій ему другой парал-мъ и т. п. Безъ этихъ же упражненій теряется все значеніе тѣхъ изслѣдованій, какія выполняются для выясненія теоремы Пиѳагора, и совершенно непонятно, съ какою цѣлью понадобилось автору присоединить ее къ курсу 1-го года обученія. Неужели только для того, чтобы закончить книгу странно-звучащею фразою: «Этимъ можно закончить 1-й годъ обученія; дѣти перейдутъ во II классъ по знаменитому «ослиному мосту» и такимъ образомъ покажутъ педагогамъ, что методъ — все и что при умѣломъ преподаваніи нѣтъ для дѣтей ослиныхъ мостовъ»?

А мы, съ своей стороны, позволимъ такъ формулировать свое впечатлѣніе отъ этой книги: если правда, что дѣти обучались ариѳметикѣ и указаннымъ подготовительнымъ шагамъ къ геометріи именно такъ, какъ описываетъ «Практическое руководство», то надо очень жалѣть этихъ дѣтей, такъ какъ здѣсь дѣти и ихъ развитіе принесены въ жертву квадратнымъ числовымъ фигурамъ, методу Лая и стремленію г. Туфанова показать педагогамъ, что нѣтъ для дѣтей ослиныхъ мостовъ.

Н. Извольскій.

И. С. Теръ-Степановъ, Сборникъ ариѳметическихъ задачъ для среднихъ учебныхъ заведеній. Ч. I. Цѣлыя числа. Ц. 35 коп. С.-Пб. 1913.

И. С. Теръ-Степановъ, Сборникъ ариѳметическихъ задачъ для среднихъ учебныхъ заведеній. Ч. II. Дроби. Ц. 40 коп. С.-Пб. 1914.

Задачники составлены въ согласіи съ обычными программами курса первыхъ двухъ классовъ среднихъ учебныхъ заведеній. Изъ особенностей задачниковъ авторъ въ предисловіи (къ I части) отмѣчаетъ, что каждая глава, посвященная тому или другому дѣйствію, состоитъ изъ трехъ частей. Первая часть даетъ примѣры и задачи, яснѣе обрисовывающіе теоретическую сторону этого дѣйствія; авторъ полагаетъ, что такія упражненія явятся хорошею подготовкою къ курсу алгебры. Вторая часть даетъ устныя задачи и третья часть — письменныя. Въ концѣ каждой главы помѣщены задачи «посерьезнѣе» для учениковъ — любителей рѣшать трудныя и оригинальныя задачи. Числа въ задачахъ подбирались такъ,

чтобы вычисленія не отвлекали вниманія отъ внутренней стороны вопроса. Задачи, рѣшаемыя по способу приведенія къ единицѣ, составлены съ такимъ разсчетомъ, чтобы при приведеніи къ единицѣ (въ какомъ бы порядкѣ это нй дѣлалось), всегда получались положенія мыслимыя и осуществимыя на практикѣ. Нѣкоторыя изъ задачъ снабжены указаніями или краткими рѣшеніями, а нѣкоторыя — даже подробнымй рѣшеніями.

Мы не имѣли возможности разсмотрѣть «Сборники» подробно. Ограничимся лишь изложеніемъ того, что мы вынесли изъ первоначальнаго знакомства съ этими «Сборниками». Прежде всего возникаетъ вопросъ: не устарѣла ли мысль объ раздѣленіи задачъ на устныя и письменныя? При разсмотрѣніи настоящаго сборника этотъ вопросъ ставится съ особенною настойчивостью: вѣдь здѣсь числа подобраны такъ, чтобы вычисленія не отвлекали вниманія отъ внутренней стороны вопроса. И вотъ мы находимъ въ I части «Сборника» среди устныхъ задачъ, напр., слѣдующія: 1) (Стран. 11.) Скорый поѣздъ проходитъ въ часъ 50 верстъ, а товарный на 23 версты меньше. Сколько верстъ проходитъ въ часъ товарный поѣздъ? 2) (Стран. 19.) Нѣкто купилъ 5 дюжинъ стульевъ по 3 руб. за стулъ. Сколько онъ заплатилъ всего денегъ? Среди письменныхъ задачъ находимъ: 1) (Стран. 12.) Отцу 54 года, а сынъ на 26 лѣтъ младше (моложе?). Сколько лѣтъ сыну? 2) (Стран. 20) Нѣкто платитъ за квартиру въ мѣсяцъ 75 руб.; сколько онъ платитъ за квартиру въ годъ?

Почему первыя двѣ задачи отнесены къ устнымъ, а послѣднія двѣ къ письменнымъ?

Впрочемъ, повидимому, и самъ авторъ не строго слѣдуетъ тому, что обѣщаетъ въ предисловіи: главы «Общія задачи на четыре дѣйствія надъ цѣлыми числами», «Сложеніе составныхъ именованныхъ чиселъ», «Вычитаніе составныхъ именованныхъ чиселъ» и т. д. уже не содержатъ подраздѣленія задачъ на устныя и письменныя. Во II части «Сборника» уже нигдѣ не дано такого подраздѣленія задачъ на устныя и письменныя.

Второе сомнѣніе вызываютъ задачи №№ 436, 440 и 914 — первой части. Вотъ одна изъ нихъ: Въ бассейнъ проведены двѣ трубы; первая труба можетъ наполнить пустой бассейнъ въ 12 часовъ, а вторая — въ 24 часа. Во сколько часовъ обѣ трубы, дѣйствуя одновременно, могутъ наполнить пустой бассейнъ, если его вмѣстимость 600 ведеръ? Другія задачи имѣютъ пообное же содержаніе. Ясно, что для рѣшенія задачи вмѣстимость бассейна не нужна; задача рѣшается, при помощи дробей, беэъ этого лишняго даннаго числа,—вотъ формулэ рѣшенія: 1 : (^+^)- Поэтому возникаетъ вопросъ, цѣлесообразно ли къ такимъ задачамъ прибавлять лишнее условіе для того лишь, чтобы имѣть возможность перенести задачу изъ курса дробей въ курсъ цѣлыхъ чиселъ? Вѣдь такимъ образомъ мы создаемъ невѣрное представленіе у учащихся: мало знать время, въ которое наполняетъ бассейнъ каждая изъ проведенныхъ туда трубъ, чтобы отвѣтить на вопросъ, во сколько времени будетъ наполненъ бассейнъ, если открытъ всѣ трубы, надо еще, будто бы, знать вмѣстимость бассейна. Выходовъ, по нашему мнѣнію, здѣсь возможно два: 1) вовсе отказаться

отъ такихъ задачъ1) въ курсѣ цѣлыхъ чиселъ и перенести ихъ въ курсъ дробей; 2) дать въ курсѣ цѣлыхъ чиселъ рядъ задачъ, подобныхъ, напримѣръ, выше приведенной, въ которыхъ данные промежутки времени остаются неизмѣняющимися (12 часовъ и 24 часа, какъ въ вышеприведенной задачѣ), а вмѣстимость бассейна мѣняется. Тогда при рѣшеніи ряда такихъ задачъ выяснится, что отвѣтъ все время остается однимъ и тѣмъ же, т.-е. что искомое время не зависитъ отъ вмѣстимости бассейна.

Далѣе во II части обращаетъ на себя вниманіе слѣдующее: въ главѣ, посвященной выясненію понятія о дробяхъ (ея заглавіе: «Понятіе о дроби. Происхожденіе дробей. Смѣшанное число и неправильная дробь. Кратное увеличеніе и уменьшеніе дроби») имѣются задачи совершенно такія же, какъ и въ главахъ «Нахожденіе части по цѣлому» и «Нахожденіе цѣлаго по данной его части» (напр., № 98: Автомобиль въ ^ часа прошелъ 60 верстъ. Найти скорость его въ часъ. № 194. Товарный поѣздъ въ ^ часа проходитъ 24 версты. Найти скорость его въ часъ). Почему это такъ, авторъ въ предисловіи не объясняетъ. Повидимому, объясненіе кроется также въ уже устарѣвшей мысли дѣлить курсъ дробей на два, на приготовительный и систематическій. Быть можетъ правильнѣе было бы всѣ упражненія на нахожденіе части по цѣлому отнести къ главѣ «Умноженіе дробей», при чемъ начать эту главу слѣдуетъ не съ примѣровъ, подобныхъ №№ 363 и 364 (стран. 41), но съ вопросовъ, подобныхъ №№ 98, 194 (выше даны), имѣющихъ цѣлью прежде всего установить смыслъ этого новаго дѣйствія, умноженія на дробь. И если бы авторъ такъ сдѣлалъ, то онъ оправдалъ бы слова предисловія ко II части: «дѣйствія надъ дробями часто производятся механическй на основаніи заученныхъ правилъ». — Авторъ стремится освободить обученіе ариѳметикѣ отъ этого недостатка. Авторъ самъ далѣе указываетъ, что «умноженіе и дѣленіе дробей основаны на нахожденіи части по цѣлому и цѣлаго по части». Повидимому, авторъ этими словами хочетъ указать, что смыслъ новыхъ дѣйствій, умноженія на дробь и дѣленія на дробь, состоитъ именно въ томъ, что этими дѣйствіями находятъ по цѣлому часть и по части цѣлое. Если такъ, то главы, посвященныя умноженію и дѣленію на дробь, и надо начинать съ упражненій въ отысканіи части по цѣлому и цѣлаго по части.

Общее впечатлѣніе о началѣ II части «Сборника» именно таково, какъ слегка намѣчено выше: авторъ какъ-будто ищетъ чего-то новаго, какой-то новой системы для распредѣленія матеріала, относящагося къ курсу дробей, однако не можетъ освободиться отъ традицій и поэтому не даетъ здѣсь чего-либо цѣльнаго, чего-либо законченнаго.

Мы отмѣтимъ еще нѣкоторыя особенности «Сборника» какъ положительныя, такъ и отрицательныя.

1. Заслуживаетъ вниманія и широкаго подражанія, что авторъ съ самаго начала пріучаетъ учащихся къ правильному (общепринятому въ ма-

1) Замѣтимъ кстати, что большинство задачниковъ для начальной школы помѣщаютъ, къ сожалѣнію, подобныя задачи въ курсѣ цѣлыхъ чиселъ.

тематикѣ) порядку дѣйствій и не загромождаетъ упражненія излишними скобками. Напр., № 304 I части: 5 + 3 . 2 (сначала 3 . 2 = 6, потомъ 5 + 6=11), № 574 II части: і : ~^ : ^ + І^ . І^; во многихъ задачникахъ другихъ авторовъ здѣсь напечатали бы:

2. Сомнѣваемся въ раціональности стремленія автора съ самаго начала давать упражненія, близкія къ уравненіямъ. Напр., въ № 317 I части находимъ: 9—8 : ж=5 или въ № 587 II части: З^—х=\-х.

3. Имѣется много интересныхъ задачъ для «любителей». Напримѣръ, №№ 538, 541, 545 (Отцу 50 лѣтъ, а сыновьямъ: одному 27 лѣтъ, другому 25 лѣтъ, а третьему 22 года. Сколько лѣтъ тому назадъ отцу было столько же лѣтъ, сколько всѣмъ сыновьямъ вмѣстѣ?) 553 I части, 755, 757, 759 и т. д. II части. Однако здѣсь, повидимому, имѣется увлеченіе. Вотъ, напр., задача (№ 770 II части), которой скорѣе мѣсто въ курсѣ алгебры, чѣмъ ариѳметики. Въ пустой бассейнъ проведенія двѣ трубы; дѣйствуя отдѣльно, I труба можетъ наполнить бассейнъ въ 10 часовъ, а II труба — въ 20 часовъ. Дѣйствуя одна послѣ другой, обѣ трубы наполнили бассейнъ въ теченіе 15 часовъ. Сколько часовъ дѣйствовала каждая труба?

4. Рѣшенія, данныя послѣ нѣкоторыхъ задачъ, не всегда насъ удовлетворяютъ. Такъ, не слѣдовало бы давать рѣшенія задачи № 668, слѣдовало бы ограничиться лишь указаніемъ на № 658 (II часть). Объясненіе упражненія № 437 (II части) много выиграло бы въ отношеніи ясности, если бы оно излагалось, примѣняясь къ дѣленію на равныя части, а не къ дѣленію по содержанію.

Общее впечатлѣніе отъ задачника таково: задачникъ во всякомъ случаѣ не хуже многихъ другихъ, обычно употребляемыхъ. Въ умѣлыхъ рукахъ онъ несомнѣнно принесетъ учащимся много пользы. Поэтому мы полагаемъ, что слѣдуетъ обратить вниманіе гг. учащихъ на задачникъ г. Теръ-Степанова.

Н. Извольскій.

Книги, поступившія въ редакцію.

С. А. Богомоловъ. Различные пути для обоснованія геометріи. Петроградъ, 1914.

И. И. Александровъ. Методы рѣшеній геометрическихъ задачъ на построеніе и сборникъ геометрическихъ задачъ съ полными и краткими рѣшеніями. Изданіе 14-е. Москва, 1914. Цѣна 1 руб. 25 коп.

А. А. Данилевичъ. Методы выясненія сущности 4 ариѳметическихъ дѣйствій въ начальной школѣ. Цѣна 10 коп.

I. Штёклинъ. Методика ариѳметики. Частъ III. Переводъ съ послѣдняго нѣмецкаго изданія А. С. Долговой подъ редакціею Д. Л. Волковскаго. Москва, 1914. Цѣна 1 руб. 60 коп.

I. Штёклинъ. Ариѳметическій задачникъ. Выпускъ VII. Переводъ А. С. Долговой подъ редакціею Д. Л. Волковскаго. Москва, 1914. Цѣна 15 коп.

I. Штёклинъ. Ариѳметическій задачникъ. Выпускъ VIII. Переводъ А. С. Долговой подъ редакціею Д. Л. Волковскаго. Москва, 1914. Цѣна 20 коп.

Редакторъ-Издатель Н. А. Извольскій.

Типографія Г. Лисснера и Д. Собко. Москва, Воздвиженка, Крестовоздвиженскій пер., д. № 9.

Открыта подписка на полугодіе „Сентябрь—Декабрь" 1914 г.

на НОВЫЙ журналъ

МАТЕМАТИЧЕСКІЙ ВЕСТНИКЪ

Журналъ ставитъ своею цѣлью: 1) работу надъ вопросами обученія ариѳметикѣ (преимущ. въ начальной школѣ) и началамъ алгебры и геометріи, 2) стремленіе дать своимъ читателямъ въ формѣ, коступной для лицъ, и не обладающихъ высшимъ математическимъ образованіемъ, матеріалъ для пополненія и углубленія ихъ математическихъ знаній.

Программа: 1. Вопросы о постановкѣ курса математики въ начальной и средней школахъ и вопросы методики математики. 2. Вопросы и задачи Математическаго содержанія. 3. Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ. 4. Математическая хроника. 5. Объявленія.

Журналъ будетъ выходить 8 разъ въ годъ (по 4 книжки въ полугодіе): въ Январѣ, Февралѣ, Мартѣ, Апрѣлѣ, Сентябрѣ, Октябрѣ, Ноябрѣ и Декабрѣ; объемъ каждой книжки ІѴ-2—^ листа. Подписная цѣна: на годъ 2 руб., на полгода 1 руб., а для гг. учащихъ въ начальныхъ школахъ, при условіи непосредственнаго обращенія въ редакцію, на годъ 1 руб. 70 коп., на полгода 85 коп. Цѣна отдѣльнаго нумера 30 коп.

За церемѣну адреса 20 коп.

Книжные магазины пользуются скидкою 5% съ подписной цѣны.

Объявленія: За 1 стр. 12 руб., на обложкѣ 20руб.

» 1/а » 6 » ' » » 10 » » ХД » 3 » » » 5 »

При повтореніи объявленія дѣлается уступка.