Математическій Вестникъ.

Журналъ, посвященый вопросамъ преподаванія ариѳметики и началъ алгебры и геометріи.

№ 1.

Сентябрь 1914 г.

Москва

Открыта подписка на полугодіе „Сентябрь—Декабрь" 1914 г.

на НОВЫЙ журналъ

МАТЕМАТИЧЕСКІЙ ВЕСТНИКЪ

Журналъ ставитъ своею цѣлью: 1) работу надъ вопросами обученія ариѳметикѣ (преимущ. въ начальной школѣ) и началамъ алгебры и геометріи, 2) стремленіе дать своимъ читателямъ въ формѣ, доступной для лицъ и не обладающихъ высшимъ математическимъ образованіемъ, матеріалъ для пополненія и углубленія ихъ математическихъ знаній.

Программа: 1. Вопросы о постановкѣ курса математики въ начальной и средней школахъ и вопросы методики математики. 2. Вопросы и задачи математическаго содержанія. 3. Свѣдѣнія о книгахъ по математикѣ и ея методикѣ. 4. Математическая хроника. 5. Объявленія.

Журналъ будетъ выходить 8 разъ въ годъ (по 4 книжки въ полугодіе): въ Январѣ, Февралѣ, Мартѣ, Апрѣлѣ, Сентябрѣ, Октябрѣ, Ноябрѣ и Декабрѣ; объемъ каждой книжки 1г/2—2 листа. Подписная цѣна: на годъ 2 руб., на полгода 1 руб., а для гг. учащихъ въ начальныхъ школахъ, при условіи непосредственнаго обращенія въ редакцію, на годъ 1 руб. 70 коп., на полгода 85 коп. Цѣна отдѣльнаго нумера 30 коп.

За перемѣну адреса 20 коп.

Книжные магазины пользуются скидкою 5% съ подписной цѣны.

Объявленія: За 1 стр. 12 руб., на обложкѣ 20руб.

» г/2 » 6 >у » » 10 » » 2/4 » 3 » » » 5 »

При повтореніи объявленія дѣлается уступка.

Математическій Вѣстникъ.

№ 1. Сентябрь 1914 г.

Адресъ редакціи: Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9. Тел. 3-19-55.

Содержаніе: Отъ редакціи. — Н. Извольскій. О правилахъ въ учебномъ курсѣ математики. — Д. Волковскій. О значеніи числовыхъ фигуръ при первоначальномъ обученіи ариѳметикѣ. — Е. Томашевичъ. Задача о двухъ лодочникахъ. — Н. Извольскій. О среднихъ линіяхъ треугольниковъ и четыреугольниковъ. — Хроника. — Свѣдѣнія о книгахъ. (Новый путь. — А. П. Павловъ. Методика нагляднаго обученія счисленію простыхъ дробей. — Ѳ. М. Дубовъ. Сборникъ ариѳметическихъ задачъ для начальныхъ училищъ.—Д. Л. Волковскій. Дѣтскій міръ въ числахъ.)

Отъ редакціи.

Въ послѣдніе годы все болѣе и болѣе обращаютъ на себя вниманіе вопросы математическаго образованія на всѣхъ его стадіяхъ, начиная отъ начальной школы и кончая высшею. Объ этомъ свидѣтельствуютъ и рядъ статей по методикѣ ариѳметики и начальной геометріи, появляющихся въ общихъ педагогическихъ журналахъ, и возникновеніе новаго чисто математическаго журнала «Математическое Образованіе», издаваемаго Московскимъ Математическимъ Кружкомъ, и состоявшіеся два Всероссійскихъ съѣзда преподавателей математики.

Матеріалъ по вопросамъ преподаванія математики настолько возросъ за послѣдніе годы, что, думается, двухъ существующихъ въ Россіи математическихъ журналовъ («Вѣстникъ опытной физики и элементарной математики» и «Математическое Образованіе») уже становится недостаточнымъ. Чувствуется потребность въ журналѣ, который, оставляя въ сторонѣ болѣе высокіе вопросы математической науки, работалъ бы надъ вопросами, связанными съ курсомъ ариѳметики въ начальной и средней школахъ и съ начальными курсами алгебры и геометріи и который давалъ бы матеріалъ для пополненія и

углубленія математическихъ знаній читателю, знакомому лишь съ элементами математики.

Вышеизложенныя соображенія и явились причиною возникновенія настоящаго журнала.

Основною задачею «Математическаго Вѣстника» является разработка какъ общихъ вопросовъ о постановкѣ курса математики въ начальной и средней школахъ, такъ и частныхъ вопросовъ методики отдѣльныхъ частей курса, преимущественно ариѳметики и началъ алгебры и геометріи. Поэтому «Математическій Вѣстникъ» ставитъ на первый планъ запросы курса математики въ начальной школѣ, тѣмъ болѣе что, какъ мы въ этомъ убѣждены, хорошая постановка обученія ариѳметикѣ въ начальной школѣ должна повлечь за собою и стремленіе учащихся къ дальнѣйшему математическому образованію и легкость усвоенія дальнѣйшихъ частей курса математики.

Второю задачей «Математическаго Вѣстника» является проведеніе полнаго библіографическаго отдѣла, пользуясь которымъ, читатели могли бы слѣдить за всѣми, какъ положительными, такъ и отрицательными, явленіями въ области математической педагогической литературы. Здѣсь имѣется въ виду давать свѣдѣнія о всѣхъ книгахъ, представляющихъ какой-либо интересъ для гг. учащихъ какъ въ начальной, такъ и въ средней школахъ.

Редакція «Математическаго Вѣстника» не отказывается и отъ чисто математическаго матеріала, если онъ доступенъ для читателей, знакомыхъ лишь съ элементарными курсами математики. Здѣсь могли бы найти мѣсто статьи, излагающія нѣкоторые вопросы науки о числахъ и науки о пространственныхъ образахъ, которые, хотя уже и рѣшены, но рѣшеніе которыхъ необщеизвѣстно.

Наконецъ, «Математическій Вѣстникъ» будетъ слѣдить за всѣми событіями, связанными съ вопросами математическаго образованія какъ въ Россіи, такъ и за границею. Всѣ тѣ факты и событія которые могутъ интересовать читателей, будутъ своевременно сообщаться въ «Математическомъ Вѣстникѣ».

Мы надѣемся, что наши читатели не откажутъ намъ въ присылкѣ матеріала для «Математическаго Вѣстника». Все интересное, все, что имѣетъ цѣлью стремленіе къ улучшенію постановки обученія математикѣ, съ благодарностью будетъ нами принято и найдетъ мѣсто на страницахъ «Математическаго Вѣстника».

О правилахъ въ учебномъ курсѣ математики.

Уже въ первые годы обученія математикѣ ребенокъ знакомится съ правилами: при обученіи ариѳметическимъ дѣйствіямъ учащихся заставляютъ запоминать рядъ правилъ. Вотъ одно изъ такихъ правилъ (привожу его своими словами): чтобы сложить два или нѣсколько чиселъ, надо подписать ихъ одно подъ другимъ такъ, чтобы единицы приходились подъ единицами, десятки подъ десятками и т. д., затѣмъ надо провести черту, поставить слѣва знакъ сложенія и складывать по столбцамъ, начиная справа; если отъ сложенія чиселъ, стоящихъ въ одномъ вертикальномъ столбцѣ, получится число меньшее десяти, то это число подписывается подъ чертою въ томъ же столбцѣ, а если получится число большее десяти, то единицы этого числа подписываются подъ чертою, а десятки запоминаются и прибавляются затѣмъ къ тому числу, которое получается въ слѣдующемъ столбцѣ.

Подобныя же громоздкія правила существуютъ (въ нѣкоторыхъ учебникахъ ариѳметики они иногда печатаются какимъ-либо особымъ шрифтомъ) и для вычитанія, и для умноженія и даже для дѣленія. Приходилось слышать при разговорѣ съ гг. учащими въ начальныхъ школахъ, что на экзаменѣ гг. экзаминаторы въ нѣкоторыхъ случаяхъ не довольствуются тѣмъ, что дѣти умѣютъ выполнятъ дѣйствія надъ числами, но требуютъ еще, чтобы дѣти сказали то или иное правило.

Въ виду указанныхъ обстоятельствъ возникаетъ вопросъ: цѣлесообразно ли заставлять дѣтей заучивать правила, подобныя тому, какое выше приведено для сложенія? Если этотъ вопросъ будетъ рѣшенъ отрицательно, то необходимыми слѣдствіями отсюда будутъ: 1) удаленіе этихъ правилъ изъ учебниковъ ариѳметики и 2) отказъ гг. экзаменующихъ отъ традиціоннаго экзаменаціоннаго пріема спрашивать «правила».

Итакъ, обратимся къ разсмотрѣнію поставленнаго вопроса. Прежде всего, достойно ли названія «правило» то громоздкое словесное описаніе внѣшняго порядка выполненія сложенія, какое дано выше? Вѣдь можно, напримѣръ, написать знакъ сложенія не слѣва, а справа, можно не провести черты и т. д.,

а все-таки сложеніе будетъ выполнено и безъ этихъ внѣшнихъ деталей тѣмъ учащимся, который усвоилъ самую суть этого дѣйствія. По существу самое дѣйствіе сложеніе состоитъ въ томъ, что для двухъ данныхъ чиселъ мы находимъ въ натуральномъ рядѣ

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;...

число, которое находится въ извѣстныхъ соотношеніяхъ съ данными числами и которое называется ихъ суммою. Найти можно различно: тотъ, кто обладаетъ достаточно развитымъ воображеніемъ, можетъ найти это число непосредственно, замѣняя въ своемъ воображеніи каждое данное число соотвѣтствующею группою какихъ-либо предметовъ; возможно найти это число механически: напр., на счетахъ или при помощи двухъ линеекъ, на которыхъ нанесены равноотстоящія дѣленія и эти дѣленія пронумерованы. Нижеслѣдующій чертежъ указываетъ, какъ можно механически, при помощи двухъ линеекъ, найти сумму чиселъ 9 и 14 (стрѣлка указываетъ, гдѣ надо искать сумму). Вообще же говоря, приходится выполненіе сложенія дробить на отдѣльные шаги, результаты которыхъ, чтобы не обременять памяти, слѣдуетъ записывать. Естественно стремиться къ такой формѣ записи этихъ отдѣльныхъ, вспомогательныхъ результатовъ, которая представлялась бы намъ наиболѣе удобною. Эта форма записи и дается вышеприведеннымъ «правиломъ». Поэтому становится яснымъ, что здѣсь мы вовсе не имѣемъ правила, а имѣемъ лишь описаніе той формы записи и данныхъ чиселъ и вспомогательныхъ результатовъ, которая на практикѣ представляется наиболѣе удобною. Заучивать наизусть описаніе этой формы конечно, излишне: тотъ, кто знаетъ сложеніе (т.-е. научился выполнять сложеніе данныхъ чиселъ), не нуждается въ этомъ «правилѣ», — онъ и безъ него умѣетъ выполнять сложеніе; если же учащійся еще недостаточно опытенъ въ сложеніи, то слѣдуетъ продолжать обучать его сложенію различныхъ чиселъ, а отнюдь не заставлять его выучивать наизусть вышеприведенное описаніе формы записи, неправильно называемое «правиломъ» сложенія.

Возможно возраженіе: пусть такъ, пусть это — не правило,, а лишь описаніе удобной формы записи; однако, вѣдь надо

же добиться, чтобы учащіеся усвоили эту форму записи, а если они усвоятъ эту форму, то можно и задавать требованіе, чтобы они описали словами эту форму. Конечно, отвѣтимъ мы, слѣдуетъ добиться, чтобы учащіеся усвоили указываемую форму записи, такъ какъ такая форма удобна при выполненіи сложенія «длинныхъ» чиселъ. Но это усвоеніе и должно въ своей основѣ имѣть требованія удобства: при первыхъ шагахъ сложенія, въ предѣлѣ десятка и даже въ предѣлѣ сотни, отнюдь не слѣдуетъ записывать сложеніе въ этой формѣ (какъ это, къ сожалѣнію, имѣетъ мѣсто въ нѣкоторыхъ задачникахъ и руководствахъ по методикѣ), т.-е. отнюдь не слѣдуетъ писать

и т. п.,

потому что здѣсь никакого удобства подмѣтить нельзя. Когда упражненія въ сложеніи усложнятся, все чаще и чаще будутъ встрѣчаться случаи, когда, при записи въ строчку, напр. 247+52+104=403, становится затруднительно сосредоточивать свое вниманіе на опредѣленныхъ разрядахъ слагаемыхъ чиселъ. Въ это время и является потребность въ иной записи, и учащіеся охотно принимаютъ болѣе удобную для разбираемыхъ случаевъ сложенія запись столбцомъ. Можно (хотя я и сомнѣваюсь, нужно ли это) требовать и описаніе этой формы записи, но отнюдь не дѣлая какого-либо обязательнаго правила и не обращая вниманія на несущественныя особенности этой записи: существенно и важно лишь то, что при сложеніи длинныхъ чиселъ удобно подписывать ихъ другъ подъ другомъ такъ, чтобы единицы одинаковыхъ разрядовъ приходились въ одномъ столбцѣ, но неважно и вовсе иногда неудобно, напр., ставить знакъ сложенія слѣва, — его можно поставить и справа, или вовсе не ставить, не важно также, гдѣ пишется сумма: ее иногда удобно писать подъ чертою, а иногда гдѣ-либо въ иномъ мѣстѣ. Напомню, напр., что въ коммерческихъ вопросахъ часто имѣютъ мѣсто записи сложенія, въ родѣ слѣдующей:

Совершенно такое же отношеніе и со стороны учителя и со стороны экзаминатора должно быть къ такъ называемымъ правиламъ (теперь, полагаю, ясно, что это названіе здѣсь употребляется незаслуженно) вычитанія, умноженія и дѣленія.

Въ дальнѣйшемъ курсѣ ариѳметики, а затѣмъ и въ курсѣ алгебры появляются новыя правила, при чемъ уже эти правила,

во многихъ случаяхъ, выгодно отличаются отъ только что разобранныхъ своею лаконическою формою. Вотъ нѣкоторыя изъ этихъ правилъ: 1) Чтобы число умножить на 10, на 100 и т. д., надо приписать къ нему справа одинъ нуль, два нуля и т. д.; 2) чтобы сложить дроби съ одинаковыми знаменателями, надо сложить числителей и подписать общаго знаменателя; 3) чтобы умножить дробь на дробь, надо произведеніе числителей раздѣлить на произведеніе знаменателей; 4) (въ курсѣ алгебры) чтобы раскрытъ скобки, когда передъ ними стоитъ знакъ минусъ, надо перемѣнить знакъ у каждаго члена, стоящаго въ скобкахъ; 5) (при рѣшеніи квадратнаго уравненія) неизвѣстное равно половинѣ коэффиціента при неизвѣстномъ въ первой степени съ обратнымъ знакомъ, плюсъ или минусъ корень квадратный изъ квадрата этой половины безъ извѣстнаго члена (полагая, что коэффиціентъ при квадратѣ неизвѣстнаго естъ 1); 6) чтобы привести ирраціональныя выраженія къ общему показателю корня, надо найти наименьшее кратное показателей корней и умножить въ каждомъ данномъ выраженіи показатель корня и показатели подкоренныхъ количествъ на соотвѣтственный дополнительный множитель и т. д. и т. д.

Нѣкоторыя изъ этихъ правилъ, а ихъ оченъ много и въ курсѣ ариѳметики и въ курсѣ алгебры, благодаря своей краткости легко запоминаются; другія, напр. послѣднее изъ приведенныхъ (оно выписано изъ одного учебника алгебры), не такъ легко запомнитъ. Въ курсѣ геометріи мы имѣемъ рядъ теоремъ, замѣняющихъ собою правила. Напр.: 1) объемъ пирамиды равенъ одной трети произведенія площади основанія на высоту (эта теорема замѣняетъ собою правило: чтобы вычислить объемъ пирамиды, надо...); 2) касательная къ кругу перпендикулярна къ радіусу, проходящему черезъ точку касанія, и обратная теорема: если прямая, имѣющая общую точку съ окружностью, перпендикулярна къ радіусу, проходящему черезъ эту точку, то она касательная къ окружности (эта теорема также замѣняетъ правило: чтобы построить касательную къ окружности-надо построить такую прямую, чтобы она имѣла общую точку съ окружностью и была перпендикулярна къ радіусу, проходя, щему черезъ эту точку) и т. д. и т. д.

Разсмотримъ отношеніе къ этимъ правиламъ учебника, отношеніе учителя и отношеніе учащихся.

Учебникъ обычно ведетъ изложеніе въ такомъ направленіи (впрочемъ, нѣкоторые новые учебники, вышедшіе въ послѣднее время, въ нѣкоторыхъ случаяхъ отступаютъ отъ обычнаго шаблона), что главною цѣлью изложенія является выводъ того или другого правила, которое, повидимому, предлагается учащимся запомнить (оно печатается особымъ шрифтомъ), послѣ чего даются примѣры, какъ примѣнять это правило къ отдѣльнымъ случаямъ. Слѣдуя за учебникомъ, учитель

(конечно, имѣются и исключенія) своею первою обязанностью считаетъ объяснить классу выводъ правила, послѣ чего задается выучить это объясненіе къ слѣдующему разу; въ слѣдующій разъ учитель спрашиваетъ одного, двухъ учениковъ повторить выводъ правила, а затѣмъ даетъ классу рядъ примѣровъ и задачъ на примѣненіе этого правила. Ученики, согласно изложенію учебника и согласно требованіямъ учителя, считаютъ своею главною обязанностью заучить разбираемое правило и научиться примѣнять его на практикѣ: вѣдь выводъ правила спрашивается лишьу одного, двухъ учениковъ изъ всего класса, а остальнымъ приходится лишь примѣнять это правило, кромѣ того и тѣ одинъ, два ученика, которыхъ спросятъ выводъ правила, на слѣдующій же день могутъ забыть этотъ выводъ, — имъ понадобится теперь лишь знаніе самого правила и умѣніе его примѣнять.

Разсмотримъ нѣсколько отдѣльныхъ примѣровъ. Прежде всего остановимся на умноженіи на дробь, напр. на умноженіи дроби на дробь. И учебникъ, и учитель прежде всего стараются вывести правило для умноженія дроби на дробь (много приходилось слышать споровъ о томъ, какъ лучше вывести это правило). Правило, послѣ ряда соображеній, выводится, этотъ выводъ повторяется, и ученики заучиваютъ его въ видѣ фразы: чтобы умножить дробь на дробь, надо числителя умножить на числителя, знаменателя на знаменателя, и первое произведеніе раздѣлить на второе. Сюда присоединяется другое правило, которое также выводится: чтобы найти часть числа, надо умножить это число на дробь, выражающую искомую часть. Послѣ этого даются учащимся примѣры и задачи на примѣненіе этихъ правилъ. Схема работы, которую здѣсь выполняетъ мысль учащихся, такова: мнѣ надо найти въ этой задачѣ три четвертыхъ части отъ числа -; я знаю, что часть числа находится умноженіемъ на дробь; поэтому надо - умножить на ^; я знаю, что для выполненія умноженія дроби на дробь слѣдуетъ числителя умножить на числителя, знаменателя на знаменателя и первое произведеніе раздѣлить на другое; поэтому получу: gX4==g~~4 и т. д. И такою работою по премуществу занято почти все время учащихся, когда они проходятъ умноженіе дробей, — выше было указано, что самый выводъ этихъ правилъ обычно занимаетъ и немного времени и немногіе учащіеся активно участвуютъ въ немъ. Такимъ образомъ во главу работы учащихся ставится слѣдованіе правилу: я дѣлаю то-то и то-то потому, что я помню такое-то правило.

Другіе примѣры возьму сначала изъ курса алгебры. Учитель, согласно изложенію многихъ учебниковъ, выводить формулу

для рѣшенія квадратнаго ур-ія (напр. беретъ ур-іе въ формѣ x2+px+q=0 и получаетъ формулу х——^1^/^ ~~^). Этотъ выводъ задается къ слѣдующему уроку, къ которому нѣкоторые изъ учащихся (далеко не всѣ) запоминаютъ болѣе или менѣе послѣдовательно разсказъ объ этомъ выводѣ. Послѣ того какъ учитель спросить одного, двухъ учащихся разсказать этотъ выводъ, является возможность его забыть, а запомнить лишь самую формулу и умѣніе ее примѣнять, чѣмъ и заполняются дальнѣйшіе уроки алгебры.

Совершенно въ такомъ же порядкѣ (пожалуй даже съ еще меньшимъ вниманіемъ на самый выводъ) идетъ дѣло съ правиломъ или теоремою: если показателя корня и показателя подкоренного числа умножить на одно и то же (цѣлое и положительное) число, то величина корня не измѣнится. Этимъ правиломъ рекомендуется пользоваться при приведеніи корней къ общему показателю и, слѣдов., при умноженіи и дѣленіи корней съ различными показателями.

Наконецъ возьму еще примѣръ изъ курса геометріи. Учитель, слѣдуя учебнику, весьма тщательно доказываетъ теорему, что, напр., площадь треуг-ка равняется половинѣ произведенія основанія на высоту, или, напр., что объемъ пирамиды равенъ ^ произведенія площади основанія на высоту. Съ этими теоремами — а онѣ для дальнѣйшаго являются въ сущности правилами — дѣло обстоить такъ же, какъ и съ тѣми правилами, которыя уже были разобраны: ученики временно (но далеко не всѣ) могутъ, съ помощью учителя, повторить доказательства этихъ теоремъ; затѣмъ эти доказательства является возможнымъ забыть, а запомнить лишь самыя теоремы и развить нѣкоторое умѣнье примѣнять ихъ на практикѣ.

Можно къ этому прибавить, что оченъ часто мнѣ приходилось видѣть на экзаменѣ, что, когда ученику достается отвѣчать выводъ какого-либо правила или доказательство какой-либо теоремы и когда оказывалось, что ученикъ не можетъ этого вывода или этого доказательства воспроизвести, то экзаминаторъ требуетъ отъ него лишь, чтобы онъ сказалъ самое правило или самую теорему, и этимъ довольствуется. Замѣчу, что и мнѣ самому, въ особенности въ первые годы своей педагогической дѣятельности, приходилось довольствоваться такимъ «знаніемъ» экзаменующихся.

Все вышеизложенное позволяетъ сказать, что оченъ часто у насъ обученіе математикѣ сводится къ заучиванію правила и къ механическому слѣдованію этому правилу.

Не мѣшаетъ также здѣсь прибавить, и это, вѣроятно, подтвердятъ всѣ опытные преподаватели, что очень часто, когда правило является слишкомъ механическимъ и страдаетъ нѣ-

которою неясностью, при примѣненіи такихъ правилъ появляется рядъ ошибокъ. Такъ, напр., при примѣненіи вышеданнаго правила, что величина корня не измѣнится, если показателя корня и показателя подкоренного числа умножить на одно и то же число, часто можно видѣть ошибки въ родѣ слѣдующихъ:

у2а. у/2а = у/6а. ]/іа=\/2іа2 (учащійся обратилъ вниманіе лишь на слова «умножить на одно и то же число»).

Или

|/3а. j/2a=}/3a3 . j/2a-=j/6a5 (учащійся обратилъ вниманіе лишь на слова «умножить показателей»).

На этой же почвѣ возможна ошибка въ курсѣ дробей: при сложеніи двухъ дробей складываютъ числителя съ числителемъ и знаменателя съ знаменателемъ. Вѣроятно, здѣсь у ученика, которому надо запомнить цѣлый рядъ правилъ, сейчасъ же возникаетъ аналогія: при умноженіи приходится числителя умножать на числителя и знаменателя на знаменателя, такъ и при сложеніи надо ихъ между собою складывать. Полагаю, что гг. учащіе и въ низшей и въ средней школахъ могутъ привести много поучительныхъ примѣровъ ошибокъ учащихся (въ особенности характерны такія ошибки у учащихся, которымъ помогаютъ репетиторы) и изъ курса ариѳметики, и изъ курса алгебры, и изъ курса геометріи, причиною которыхъ является стремленіе запомнить словесную форму правила и механическое слѣдованіе словамъ правила.

II.

Все предыдущее заставляетъ поставить общій вопросъ: нельзя ли поставить дѣло обученія математикѣ такъ, чтобы вовсе обойтись безъ правилъ? Приходится на этотъ вопросъ отвѣтить отрицательно. Въ самомъ дѣлѣ, пусть рѣшается какая-либо задача по ариѳметикѣ. Для ея рѣшенія, допустимъ, понадобится выполнять и умноженіе на дробь и дѣленіе на дробь, а можетъ быть и еще какія-либо дѣйствія. Возможно ли, не отвлекая мысли учащихся отъ плана задачи, всякое дѣйствіе выполнять такъ, какъ будто оно встрѣчается впервые? Конечно, нѣтъ, такъ какъ тогда мы отвлекали бы вниманіе учащихся отъ того, на что оно въ данномъ случаѣ должно быть направлено, а именно отъ усвоенія плана рѣшенія задачи, и кромѣ того такое выполненіе каждаго дѣйствія заняло бы столь много времени, что можетъ быть не удалось бы рѣшить всю задачу въ теченіе урока. Такъ же точно нельзя всякій разъ рѣшать квадратное ур-іе такъ, какъ будто бы мы никакой формулы для этого рѣшенія не знаемъ. Нельзя также ни при рѣшеніи задачъ, ни при прохожденіи дальнѣйшихъ частей

курса выводить формулу для вычисленія, напр., площади треугольника и т. п. Необходимы, такъ сказать, опорные пункты, которые уже считаются усвоенными, — опираясь на нихъ, можно лишь итти впередъ. Такими опорными пунктами и являются правила и теоремы.

Въ такомъ случаѣ возникаютъ дальнѣйшіе вопросы: 1) не слишкомъ ли много въ курсахъ ариѳметики, алгебры и геометріи правилъ и теоремъ? не слѣдуетъ ли число ихъ значительно уменьшить? 2) не слѣдуетъ ли измѣнить словесныя выраженія правилъ и теоремъ какъ-либо: въ иныхъ случаяхъ удаляя изъ нихъ чрезмѣрную механизацію, а въ иныхъ приближаясь къ описанію лишь того, что учащіеся должны писать, чтобы выполнить указанія правила? 3) какъ слѣдуетъ вести обученіе математикѣ, чтобы во главу этого обученія не ставилось запоминаніе правила и механическое слѣдованіе ему?

Къ разсмотрѣнію этихъ вопросовъ мы и переходимъ.

(Окончаніе слѣдуетъ.).

Н. Извольскій.

Значеніе числовыхъ фигуръ при первоначальномъ обученіи ариѳметики.

Числовой фигурой называется группа одинаковыхъ значковъ (точекъ, кружковъ) или тѣлъ (соотвѣтствующихъ значкамъ), расположенныхъ въ опредѣленномъ порядкѣ, подобно тому, какъ размѣщены очки на игральныхъ картахъ или точки на камняхъ игры домино.

Числовыя фигуры являются однимъ изъ наглядныхъ пособій при первоначальномъ обученіи ариѳметикѣ.

Родиной ихъ считается Германія. На сколько извѣстно, первые ихъ примѣнилъ при обученіи ариѳметикѣ Буссе въ XVIII вѣкѣ, а затѣмъ стали пользоваться ими въ XIX вѣкѣ Генчель, Собелевскій, Борнъ, Казелицъ, Боме, Беетцъ, Лай и др.

У всѣхъ названныхъ педагоговъ въ составъ числовыхъ фигуръ входили точки, только Генчель примѣнялъ кольца. Вотъ образцы числовыхъ фигуръ:

Буссе.

Генчель.

Собелевскій.

Борнъ.

Казелицъ.

Боме.

Беетцъ.

Лай.

Не смотря на свою давность, вопросъ о числовыхъ фигурахъ считается однимъ изъ спорныхъ въ методикѣ ариѳметики. Болыпе всего этотъ вопросъ, какъ и большинство методиче-

скихъ вопросовъ, обсуждался и обсуждается въ нѣмецкой литературѣ. Тамъ о числовыхъ фигурахъ существуетъ обширная литература.

Одни изъ методистовъ признаютъ числовыя фигуры полезными, другіе — безполезными. Среди тѣхъ, которые считаютъ ихъ полезными, одни придаютъ имъ второстепенное значеніе, другіе, наоборотъ, отводятъ имъ главное мѣсто.

Мы остановимъ наше вниманіе на двухъ противоположныхъ мнѣніяхъ: на мнѣніи, особенно отстаиваемомъ Лаемъ, по которому числовыя фигуры имѣютъ главное значеніе въ дѣлѣ первоначальнаго обученія ариѳметикѣ, при созданіи же числовыхъ представленій онѣ являются единственнымъ и необходимымъ нагляднымъ пособіемъ, и на мнѣніи швейцарскаго педагога Штёклина, который считаетъ ихъ «безусловно вредными». Это мы сдѣлаемъ потому, что, во-первыхъ, Лай и Штёклинъ выдающіеся нѣмецкіе методисты, а, во-вторыхъ, потому, что труды этихъ авторовъ переведены на русскій языкъ и пользуются большимъ вниманіемъ русскихъ педагоговъ.

Главное возраженіе1), которое дѣлается противъ числовыхъ фигуръ, заключается въ томъ, что онѣ будто бы приводятъ къ представленію формы, а не числа. «При наблюденіи числовой фигуры,—говоритъ Штёклинъ, — ребенокъ пріобрѣтаетъ на ряду съ вѣрнымъ понятіемъ фигуры и представленіе формы ея, совершенно такъ же, какъ впослѣдствіи онъ пріучается обозначать цифрой 5 число 5, а отнюдь не количество единицъ этого числа»2).

Но противъ этого ясно говорятъ опыты, произведенные Лаемъ и другими сторонниками числовыхъ фигуръ. «Цѣлый рядъ опытовъ и фактовъ, взятыхъ изъ области начальнаго преподаванія ариѳметики, при которомъ примѣняются числовыя фигуры, а не счетъ, показываетъ намъ, — пишетъ Лай,— что дѣти представляютъ себѣ 4 вещи не только въ формѣ хотя бы квадрата; они видятъ и наблюдаютъ ихъ до и послѣ постулированія при всев.озможномъ расположеніи, т.-е. сознаютъ, что число не зависитъ отъ «фигуры»3).

Главная цѣнность числовыхъ фигуръ заключается въ томъ, что онѣ даютъ возможность сразу схватывать числа перваго десятка и тѣмъ самымъ облегчаютъ первоначальное обученіе ариѳметикѣ. Но пользу мгновеннаго воспріятія чиселъ при-

1) Желающихъ подробнѣе познакомиться съ возраженіями противъ числовыхъ фигуръ и критикой этихъ возраженій отсылаемъ къ «Руководству къ первоначальному обученію ариѳметикѣ» Лая, изд. Сытина 3-е, стр. 53—56, 121—124.

2) Штёклинъ. «Методика ариѳметики», ч. I, изданіе Сытина 2-е, стр. 10—11.

3) «Руководство къ первоначальному обученію ариѳметикѣ», изд. 3-е, стр. 122.

знаетъ и Штёклинъ1). Да строго говоря, и тѣ «темныя и свѣтлыя точки», которыя употребляетъ Штёклинъ при изученіи первыхъ двухъ десятковъ2), имѣютъ много общаго съ числовыми фигурами.

Итакъ, польза числовыхъ фигуръ несомнѣнна. Но при этомъ лучше всего надо избрать одинъ какой-либо видъ числовыхъ фигуръ, такъ какъ постоянная форма ихъ значительно облегчаетъ узнаваніе — схватываніе количества предметовъ безъ счета и производства дѣйствій.

Но какому же виду числовыхъ фигуръ слѣдуетъ отдать предпочтеніе?

Опыты, произведенные надъ различными числовыми фигурами, даютъ основаніе утверждать, что изъ всѣхъ видовъ числовыхъ фигуръ приводятъ къ лучшимъ результатамъ такъ называемыя нормальныя числовыя фигуры, изобрѣтенныя Борномъ, и квадратныя числовыя фигуры, изобрѣтенныя Лаемъ, въ общемъ болѣе похожія другъ на друга, чѣмъ остальные виды числовыхъ фигуръ.

Что же касается того, какому изъ этихъ двухъ видовъ числовыхъ фигуръ отдать пальму первенства,—вопросъ этотъ пока еще спорный и нуждается въ дальнѣйшихъ изслѣдованіяхъ. По крайней мѣрѣ, опыты Лая говорятъ за квадратныя числовыя фигуры3), а опыты нѣмецкаго педагога Вальземана — за нормальныя числовыя фигуры4). Въ виду этого мы пока не будемъ отдавать предпочтеніе одному какому-либо виду изъ этихъ двухъ видовъ числовыхъ фигуръ, предоставляя выборъ личному усмотрѣнію педагоговъ, а сами избираемъ лаевскія (квадратныя) числовыя фигуры при изученіи перваго десятка и борновскія (нормальныя) числовыя фигуры при изученіи второго десятка.

Какое же назначеніе могутъ имѣть числовыя фигуры?

Онѣ могутъ имѣть четыре различныхъ назначенія. Объ одномъ изъ этихъ назначеній — о способствованіи возникновенію у дѣтей числовыхъ представленій мы уже говорили выше. Теперь только скажемъ, что это самая главная польза отъ числовыхъ фигуръ, ибо непосредственное воспріятіе чиселъ можетъ быть осуществлено надлежащимъ образомъ только

1) «Методика ариѳметики», ч. I, изд. 2-е, стр. 8.

2) Вотъ образцы этихъ точекъ:

3) «Руководство къ первоначальному обученію ариѳметикѣ», изд. 3-е, стр. 136—139, 141—144.

4) Мейманъ, «Лекціи по экспериментальной педагогикѣ», ч. III, стр. 193. Перев. съ нѣмецкаго подъ редакціей прив.-доц. Н. Д. Виноградова.

при помощи числовыхъ фигуръ, между тѣмъ какъ остальныя три назначенія числовыхъ фигуръ могутъ быть осуществлены при помощи другихъ наглядныхъ пособій и пріемовъ.

Второе по важности назначеніе числовыхъ фигуръ — это облегченіе производства дѣйствій надъ однозначными числами и главнымъ образомъ въ предѣлѣ перваго десятка, при чемъ мы не склонны придавать числовымъ фигурамъ въ этомъ отношеніи столъ большого значенія, какое придаютъ имъ ихъ поклонники. Дѣло въ томъ, что результаты дѣйствій, напр., сложенія однозначныхъ чиселъ на числовыхъ фигурахъ усваиваются исключительно при помощи зрительной памяти. Поэтому стоитъ только ребенку забыть числовую фигуру, и онъ забудетъ результатъ сложенія. А надо научить ребенка умѣнію отыскивать результаты дѣйствій безъ помощи числовыхъ фигуръ такъ, чтобы онъ одинъ могъ добраться до этихъ результатовъ. Пояснимъ это на примѣрѣ. Пусть дано ребенку сложить 4 и 3. Хорошо зная расположеніе числовой фигуры 7, онъ скоро назоветъ результатъ сложенія 4 и 3. Но разъ онъ забылъ расположеніе числовой фигуры 7, то онъ останется безпомощнымъ въ отысканіи результата сложенія. Если же онъ наученъ умѣнію прибавить 3 къ 4 по 1, т.-е. такъ: 4+1=5, 5+1 = 6, 6 + 1=7, или же такъ:4 + 2=6,6 + 1=7, то онъ всегда можетъ воспроизвести забытый результатъ*). Вотъ почему мы, не отвергая пользы употребленія числовыхъ фигуръ при производствѣ дѣйствій, совѣтуемъ вмѣстѣ съ тѣмъ обучать дѣтей умѣнію добывать результаты дѣйствій.

Третье назначеніе числовыхъ фигуръ заключается въ томъ, что онѣ могутъ служить предметомъ для счета, но, какъ неподвижныя и неподлежащія осязанію1), онѣ менѣе цѣнны, чѣмъ подвижныя вещественныя наглядныя пособія, какъ, напр., палочки, кубики, орѣхи и т. под.

Четвертое назначеніе числовыхъ фигуръ можетъ состоять въ томъ, что онѣ могутъ облегчать переходъ отъ числа къ цифрѣ, ибо числовая фигура, подобно цифрѣ, является знакомъ для числа, явно показывающимъ число единицъ въ данномъ числѣ. Тѣмъ не менѣе, однѣхъ числовыхъ фигуръ

*) Этотъ доводъ не вполнѣ убѣдителенъ: если мы признаемъ возможность того, что ребенокъ забылъ разученную числовую фигуру числа, напр. 7, то слѣдуетъ также признать возможность случая, что ребенокъ забылъ, что для сложенія чиселъ 4 и 3 надо къ 4 присчитывать по 1. Однако это обстоятельство еще болѣе укрѣпляетъ въ мысли, что при обученіи первымъ шагамъ сложенія слѣдуетъ использовать и числовыя фигуры и присчитываніе по единицѣ. Ред.

1) Здѣсь разумѣются не тѣла (въ видѣ особыхъ счетныхъ приборовъ, какъ у Лая), а значки (точки) числовыхъ фигуръ, какъ болѣе распространенный и доступный для всякой школы видъ числовыхъ фигуръ.

недостаточно для надлежащаго усвоенія цифръ. Цифры, помимо своего, такъ сказать, внутренняго значенія, какъ условнаго знака для числа, имѣютъ извѣстную внѣшнюю форму, начертаніе которой дается дѣтямъ не безъ труда. Поэтому, по нашему мнѣнію, переходной ступенью къ изображенію цифръ, въ дополненіе къ числовымъ фигурамъ, можетъ служить рисованіе знакомыхъ дѣтямъ предметовъ, въ начертаніе которыхъ входили бы тѣ же основныя линіи, что и въ письмо цифръ.

Попытка подробнаго практическаго примѣненія квадратныхъ и нормальныхъ числовыхъ фигуръ при первоначальномъ обученіи ариѳметикѣ сдѣлана въ нашемъ Руководствѣ къ «Дѣтскому міру въ числахъ»1), къ каковому и отсылаемъ интересующихся этимъ вопросомъ.

Д. Волковскій.

Задача о двухъ лодочникахъ.

Два лодочника одинаковой силы одновременно начинаютъ состязаніе, состоящее въ томъ, чтобы проплыть отъ начальнаго мѣста какое-нибудь заданное разстояніе и вернуться затѣмъ обратно; одинъ лодочникъ долженъ ѣхать по рѣкѣ, а другой по бассейну стоячей воды, проложенному параллельно рѣкѣ. Спрашивается: который изъ лодочниковъ вернется раньше? иначе — одинаково ли время, затраченное лодочниками въ обоихъ случаяхъ? Время на поворотъ въ расчетъ не принимается и усилія лодочниковъ во все время движенія остаются неизмѣнными.

Задача эта на первый взглядъ кажется очень простою, и весьма нерѣдко можно получить такой отвѣтъ: «ну, конечно, вернутся оба одновременно». Однако это «конечно» легко опровергается такимъ сображеніемъ. Допустимъ, что первый лодочникъ пускаетъ свою лодку сначала по теченію рѣки и скорость его равна скорости теченія воды; тогда конечной точки заданнаго разстоянія онъ достигнетъ вдвое скорѣе, чѣмъ второй лодочникъ, плывущій по стоячей водѣ; но когда онъ повернетъ обратно, то рѣка остановитъ его, и возвратиться къ мѣсту отплытія ему не придется. Это, такъ ска-

1) Изданіе Т-ва Сытина, Москва, 1914 г.

зать, предѣльный случай, указывающій прежде всего, что дѣло вовсе не такъ просто, какъ это можетъ показаться съ перваго раза. Задача для своего рѣшенія требуетъ подсчета. Для примѣра возьмемъ протяженіе 600 метровъ, скорость теченія рѣки 1 метръ въ 1 секунду, а скорость лодки въ стоячей водѣ 3 метра въ 1 сек. Время, затраченное первымъ лодочникомъ, будетъ

600:4+600:2=450 мин.,

а время второго

600:3+600:3=400 мин.

Но можно обойтись безъ ариѳметическаго расчета и удовольствоваться болѣе общими соображеніями. Текущая вода сокращаетъ время, когда лодка идетъ по теченію, и удлиняетъ его, когда движеніе имѣетъ противоположное направленіе; въ одномъ случаѣ рѣка, такъ сказать, помогаетъ, въ другомъ препятствуетъ. Но ясно, что на помощь отводится меньшее время, чѣмъ на сопротивленіе; въ окончательномъ результатѣ препятствіе, создаваемое встрѣчнымъ теченіемъ, не уравновѣшивается теченіемъ попутнымъ; рѣка во всякомъ случаѣ заставитъ лодочника притти къ цѣли позже плывущаго по стоячей водѣ.

Поставленная задача вовсе ужъ не такъ теоретична, какъ это можетъ сначала показаться. Она имѣетъ болыпое практическое значеніе и впервые его обнаружило дѣло воздухоплаванія во Франціи, года 4 тому назадъ. Авіаціонныя состязанія требовали отъ летчиковъ облетѣть вокругъ обширнаго прямоугольнаго поля, отмѣченнаго четырьмя столбами; надо было при поворотахъ огибать эти столбы. Состязанія могли происходить и въ тихую погоду, и при болѣе или менѣе сильномъ вѣтрѣ. Въ вѣтряную погоду летчику приходилось летѣть конечно и по вѣтру, и противъ него. И вотъ возникъ вопросъ, одинаковы ли условія полета въ томъ и другомъ случаѣ, т.-е. при вѣтрѣ или безъ него. Вопросъ былъ рѣшенъ именно такъ, какъ указано выше.

Нечего и говорить о томъ, что общія соображенія и хороши, и полезны, но математическій расчетъ всегда убѣдительнѣе, и мы позволимъ себѣ дать простое алгебраическое рѣшеніе задачи, нѣсколько дополнивъ ее, именно допустивъ существо-

ваніе, кромѣ бассейна, стоячей воды, двухъ рѣкъ съ разною скоростью теченія воды.

Обозначимъ заданное по водѣ разстояніе черезъ s, скорость лодки въ стоячей водѣ черезъ скорости теченія рѣкъ черезъ а и 6, при чемъ Ь^>а.

Тогда время, употребляемое лодками, выразится соотвѣтственно дробями , знаменатели которыхъ послѣдовательно убываютъ.

Ясно слѣдовательно, что .

Итакъ, съ возрастаніемъ скорости рѣки возрастаетъ время, затрачиваемое лодочникомъ при состязаніи.

Е. Томашевичъ.

О среднихъ линіяхъ треугольниковъ и четыреугольниковъ.

Въ учебникахъ геометріи обычно даются теоремы: 1) средняя линія треуг-ка параллельна одной изъ его сторонъ и равна половинѣ ея и 2) средняя линія трапеціи параллельна параллельнымъ ея сторонамъ и равна полусуммѣ ихъ. У различныхъ авторовъ неизмѣнно доказываются эти теоремы, измѣняется можетъ быть лишь форма доказательства, но къ удивленію самое содержаніе этой части курса во всѣхъ учебникахъ геометріи неизмѣнно остается однимъ и тѣмъ же. Между тѣмъ это содержаніе можетъ быть развито и притомъ въ различныхъ направленіяхъ. Настоящая статья и имѣетъ цѣлью дать одно изъ возможныхъ развитій этой статьи о среднихъ линіяхъ. Читатель, можетъ быть, замѣтитъ, что, если въ курсъ того класса, гдѣ проходится статья о среднихъ линіяхъ, ввести подобную предлагаемой разработку этой статьи, то появится интересъ, который не имѣетъ мѣста при традиціонномъ доказательствѣ двухъ указанныхъ теоремъ. Второю цѣлью настоящей статьи является желаніе показать на примѣрѣ, насколько поднимается у учащихся интересъ къ изученію геометріи, если отказаться отъ доказательствъ ряда теоремъ, а изучать тѣ вопросы, какіе само собою появляются при разсмотрѣніи извѣстной фигуры, построить которую намъ удалось.

I.

Необходимо предварительно (это могло быть сдѣлано и значительно раньше) рѣшить рядъ вопросовъ:

1) Даны двѣ параллельныя прямыя; гдѣ располагаются точки (каково геометрич. мѣсто точекъ...), равноудаленныя отъ этихъ двухъ прямыхъ?

Выясняется (это оченъ легко), что точекъ, равноудаленныхъ отъ двухъ данныхъ параллельныхъ прямыхъ, безчисленное множество и всѣ онѣ расположены на прямой, параллельной даннымъ и проходящей посерединѣ разстоянія между данными, — мы будемъ называть эту прямую среднею паралелльною. Мы можемъ сказать теперь: Всѣ точки, равноудаленныя отъ двухъ данныхъ параллельныхъ, располагаются на средней параллельной или геометрическое мѣсто точекъ, равноудаленныхъ отъ двухъ данныхъ параллельныхъ прямыхъ, есть средняя параллельная. На черт. 1 даны двѣ параллельныя прямыя и средняя параллельная (послѣдняя начерчена пунктиромъ). Если мы возьмемъ какую-либо точку А на средней параллельной, то перпендикуляры АК и AL, опущенные изъ точки A на данныя прямыя, должны быть равны между собою. Если черезъ какую-либо точку В средней параллельной построимъ прямолинейный отрѣзокъ CD, то, построивъ также BMLCK и BNLNL, найдемъ, что /\СВМ=/\BND (ибо они прямоугольные и у нихъ по равному катету BM=BN и по равному острому углу — углы при точкѣ В); слѣд. BC=BD, т.-е. любой прямолинейный отрѣзокъ, заключенный между данными параллельными, дѣлится среднею параллельною пополамъ. Теперь можно поставить вопросъ:

2) Гдѣ расположены середины всевозможныхъ отрѣзковъ, заключенныхъ между двумя данными параллельными?

Отвѣтъ ясенъ. Какіе бы отрѣзки EF, GH... мы ни взяли, середины, согласно предыдущему, располагаются на средней параллельной. Такимъ образомъ, средняя параллельная представляетъ собою геометрическое мѣсто серединъ всевозможныхъ отрѣзковъ, заключенныхъ между двумя данными параллельными.

Если даны двѣ параллельныхъ, то на основаніи предыдущаго, можно построить среднюю параллельную такъ: 1) построимъ

Черт. 1.

два произвольныхъ отрѣзка (напр., CD и GH), заключенные между данными прямыми, 2) раздѣлимъ эти отрѣзки пополамъ и 3) построимъ прямую черезъ середины двухъ нашихъ отрѣзковъ, — эта прямая и есть средняя параллельная.

II.

Построимъ какой-либо ДАВС (черт. 2); раздѣлимъ его стороны въ точкахъ К, L и М каждую пополамъ. Тогда, напр., прямая KL проходитъ черезъ середину двухъ отрѣзковъ АВ иАС; эта прямая KL моглабы служить среднею параллельною, если бы концы отрѣзковъ АВ и AC были расположены на двухъ параллельныхъ прямыхъ. Два конца этихъ отрѣзковъ, а именно точки В и С расположены на прямой ВС; построивъ черезъ точку А прямую EF \\ ВС, мы получимъ двѣ параллельныхъ прямыхъ ВС и EF, и прямую KL, которая, согласно предыдущему, должна служить среднею параллельною для прямыхъ ВС и EF. Слѣдовательно, прямая KL \\ ВС (она II также и прямой EF, но для насъ это не существенно); поэтому имѣемъ: прямая, соединяющая середины двухъ сторонъ треуг-ка, параллельна третъей его сторонѣ. Отрѣзокъ KL называютъ среднею линіею треуг-ка ABC. Такъ же получимъ еще двѣ среднія линіи этого треуг-ка, а именно LM и KM, при чемъ LM II АВ и KM II AC. Разсматривая полученную фигуру, мы видимъ, что получилось 3 параллелограмма: AKML, BKLM и CLKM. Мы знаемъ, что противоположныя стороны паралл-ма равны между собою, т.-е. напр. МЬ=ВК, но ВК есть половина стороны АВ, такъ какъ мы раздѣлили въ точкѣ К сторону АВ пополамъ; поэтому МЬ = ^-- Также KL = -— и КМ=-^-і т.-е. средняя линія треуг-ка равна половинѣ параллелъной ей стороны.

Замѣчаніе 1. Хорошо было бы, если бы при изученіи паралл-мовъ была рѣшена задача: построить паралл-мъ, если даны 3 его вершины; сколько такихъ паралл-мовъ можно построить? Рѣшеніе этой задачи приводитъ какъ разъ къ фигурѣ, которую приходилось сейчасъ изучать.

Замѣчаніе 2. Кстати, изъ той же фигуры можно увидать, что каждая сторона Д ABC въ 2 раза больше соотвѣтствующей сто-

Черт. 2.

роны KL, но площадь ДЛ XL составляетъ лишь 4-ю часть площади /\АВС (легко выяснить, что /\AKL=/\KLM = ДВІШ= — f\CLM, основываясь, напр., на томъ, что діагональ паралл-ма составляетъ съ его сторонами равные треуг-ки). Здѣсь мы можемъ установить, что можно построить два такихъ треуг-ка, чтобы стороны одного были каждая въ 2 раза больше (или меньше) сторонъ другого, но площадь такого треуг-ка въ 4 раза больше (или меньше) площади другого.

III.

Перейдемъ теперь къ изученію среднихъ линій четыреугольниковъ. Предварительно однако замѣтимъ, что подъ именемъ «4-угольникъ» мы понимаемъ не часть плоскости, ограниченную четырьмя прямыми (такое опредѣленіе еще сохранилось въ нѣкоторыхъ учебникахъ), а совокупность четырехъ точекъ, заданныхъ въ опредѣленномъ порядкѣ (точка A—первая точка, точка В — вторая и т. д.), вмѣстѣ съ четырьмя, соединяющими ихъ по порядку прямыми. Поэтому и на черт. 3 и на черт. 4 мы имѣемъ четыреугольники ABCD. Все дальнѣйшее относится къ обоимъ чертежамъ (и къ 3-му и къ 4-му). Раздѣлимъ каждую сторону четыреуг-ка пополамъ: точка К середина АВ, точка L — середина ВС, точка М — середина CD и точка N — середина DA. Соединяя попарно середины сторонъ нашихъ четыреуг-ковъ, получимъ 6 среднихъ линій для каждаго. Четыре изъ нихъ, а именно KL, LM, MN и NK соединяютъ середины сосѣднихъ сторонъ, и двѣ KM и LN — середины противоположныхъ. Разсмотримъ сначала первыя четыре среднихъ

Черт. 3. Черт. 4.

линіи. Мы замѣчаемъ, что, напр., ЛХ могла бы служить среднею линіею треуг-ка, если бы построить отрѣзокъ AC. Построивъ этотъ отрѣзокъ — діагональ AC, — получимъ /\АВС, для котораго АХ есть средняя линія. Поэтому 1° KL \\ AC и 2° KL=—^-- Далѣе мы видимъ, что еще получился Д ACD и его средняя линія MN. Поэтому 3° MN \\ AC и 4° MN=-?r- Отсюда (изъ 1° и 3°) мы заключаемъ, что KL \\ MN и (изъ 2° и 4°) KLJrMN=AC. Также, построивъ діагональ J9Z), найдемъ LM II KN и LM+KN=BD. Общее заключеніе: KLMN естъ паралл-мъ и его периметръ равенъ суммѣ діагоналей даннаго четыреуг-ка (KL+LM+MN+NK=AC+BD), т.-е. среднія линіи четыреугольника, соединяющія середины сосѣднихь сторонъ, составляютъ параллелограммъ, периметръ котораго равенъ суммѣ діагоналей даннаго четыреугольника.

Теперь ясно свойство среднихъ линій KM и LN, соединяющихъ середины противоположныхъ сторонъ четыреуг-ка, — онѣ, будучи діагоналями паралл-ма, дѣлятъ другъ друга пополамъ.

IV.

Пусть теперь двѣ стороны четыреугольника, напр. ВС и AD, становятся параллельными между собою. Получаемый четыреугольникъ ABCD называется трапеціею. На черт. 5 и 6 даны два вида трапецій. Середины К и М двухъ другихъ сторонъ АВ и CD трапеціи (см. какъ на черт. 5, такъ и на черт. 6), согласно I отдѣлу настоящей статьи, должны быть расположены на средней параллельной, т.-е. КМ \\ ВС и || AD. Итакъ, сред-

Черт. 5. Черт. 6.

няя линія трапеціи, соединяющая середины двухъ непараллельныхъ ея сторонъ, параллелъна ея параллельнымъ сторонамъ.

Обратимся теперь лишь къ трапеціи, данной на черт.5; построивъ діагональ BD, мы найдемъ, что середина отрѣзка ДО, заключеннаго между параллельными ВС и AD, должна лежать на средней параллелыюй, т.-е. на KM. Пусть эта середина есть точка Р. Тогда КР есть средняя линія треуг-ка ABD, и, согласно отдѣлу II этой статьи, KP=^J^. Также РМ^?^-- л vnjr AD+BC Отсюда мы заключаемъ, что КМ=-^--

Обращаясь къ трапеціи, данной на черт. 6, и построивъ также діагональ BD, мы найдемъ, какъ и раньше, что середина Р этой діагонали распологкена на средней параллельной KM. Тогда КР есть средняя линія Д ABD и КР=^~і MP есть средняя линія ДСДО и МР=^-^-. Отсюда (такъ какъ КМ=КР—MP) ѴЪЙ AD—BC находимъ КМ=-2--

Итакъ средняя линія трапеціи, соединяющая середины двухъ непараллельныхъ ея сторонъ, равна или полусуммѣ или полуразности ея параллельныхъ сторонъ, смотря по тому является ли трапеція выпуклымъ четыреуг-комъ (черт. 5) или звѣздчатымъ (черт. 6).

Возможно было бы еще изслѣдовать особенности средней линіи, соединяющей середины параллельныхъ сторонъ трапеціи, но этотъ вопросъ можетъ составить предметъ особой статьи.

Н. Извольскій.

Хроника.

Минувшій 1913—14 учеб. годъ долженъ быть отмѣченъ по обилію съѣздовъ, на которыхъ обсуждались вопросы преподаванія математики вообще и въ начальной школѣ въ частности.

На Рождественскихъ каникулахъ въ Москвѣ работалъ Второй Всероссійскій Съѣздъ преподавателей математики. Всего на Съѣздѣ было прочитано болѣе 40 рѣчей и докладовъ. Изъ нихъ относились къ преподаванію въ начальной школѣ слѣдующіе:

1) Н. Г. Богуславская. Изученіе первой тысячи, какъ подготовка къ нумераціи, основанное на наглядныхъ и лабора-

горныхъ пріемахъ преподаванія; 2) Д. Л. Волковскій. О значеніи картинокъ при первоначальномъ обученіи ариометикѣ; 3) Н. Г. Панковъ. Измѣрительный методъ въ начальномъ курсѣ ариѳметики; 4) Н. А. Извольскій. Комбинаціонная работа, какъ основа преподаванія математики (докладъ затрагивалъ и среднюю и начальную школу); 5) П. А. Долгушинъ. Упрощенное вычисленіе (докладъ затрагивалъ курсъ ариѳметики и въ средней и въ начальной школахъ).

Одновременно съ этимъ Съѣздомъ въ С.-Петербугѣ происходилъ многолюдный «Первый Съѣздъ по вопросамъ народнаго образованія».

Приводимъ резолюціи V секціи этого Съѣзда, относящіяся къ преподаванію математики въ начальной школѣ.

Ариѳметика. 1. Имѣя въ виду, что начальная школа должна учить наблюдать, описывать и воспроизводить, что въ ней какъ бы закладывается фундаментъ мышленія, которое должно строиться на знакомствѣ съ конкретнымъ, обученіе математикѣ въ начальной школѣ желательно строить по такъ называемому лабораторному методу. 2. Наблюденіе явленій и предметовъ должно предшедствовать изученію величинъ и существующихъ между ними зависимостей; ариѳметическія дѣйствія должны считаться однимъ изъ способовъ выраженія этихъ зависимостей числомъ. 3. Во всѣхъ начальныхъ школахъ должно быть обращено вниманіе на развитіе пространственнаго воображенія дѣтей; съ этою цѣлью желательно изготовленіе дѣтьми простѣйшихъ тѣлъ и фигуръ изъ бумаги и другихъ матеріаловъ, пользованіе на урокахъ ариѳметики геометрическими иллюстраціями, черченіемъ, а гдѣ возможно рисованіемъ и лѣпкой.

Геометрія. 1. Обученіе ариѳметикѣ связывается съ обученіемъ наглядной геометріи; курсъ геометріи въ начальной трехъ-, четырехъ- и шестилѣтней школѣ долженъ имѣть характеръ не дедуктивно-логическій, а инудктивный, практическій и наглядный. 2. Въ первые два года обученія элементы геометрическаго содержанія надобно по возможности вносить на уроки ариѳметики, да и въ остальные годы проработка геометрическаго учебнаго матеріала должна итти рука объ руку съ ариѳметикой. 3. Необходимо появленіе въ печати какъ сочиненій, разрабатывающихъ вопросы обученія геометріи въ начальной школѣ, такъ и геометрическихъ задачниковъ для начальныхъ школъ съ трехъ-, четырехъ- и шестилѣтнимъ курсомъ жизненнаго практическаго характера. 4. Необходимо введеніе во всѣхъ учрежденіяхъ, подготовляющихъ учителей, курсовъ методики геометріи.

Характеръ школьнаго задачника. Исходя изъ убѣжденія, что обученіе должно начинаться съ болѣе близкаго и доступнаго, съ опредѣленныхъ предметовъ и явленій и лишь постепенно переходить къ обобщеніямъ и систематизаціи пройденнаго, секція признаетъ: 1) что по своему содержанію задачи должны быть жизненными, практическими, взятыми изъ близкой для дѣтей обстановки. 2) Въ старшихъ отдѣленіяхъ умѣстны и желательны задачи съ содержаніемъ изъ области естествознанія, географіи, изъ жизни сельско-хозяйственной, кустарной и фабричной промышленности. 3) Устныя вычисленія должны преобладать надъ вычисленіями письменными, такъ канъ подобная форма преподаванія является наиболѣе жизненной и свободной. 4) Книжный языкъ задачника, сухой и однообразный, необходимо замѣнить языкомъ литературнымъ, т.-е. та-

кимъ, которыя нелишенъ красокъ, образовъ и сравненій. 5) Большинство современныхъ школьныхъ задачниковъ не удовлетворяетъ своему назначенію.

Метрическая система. Принимая во вниманіе: 1) Огромныя преимущества вообще, а для начальной школы въ особенности, метрической системы передъ существующій, какъ въ смыслѣ ея простоты, такъ и въ смыслѣ экономіи времени и силъ, 2) что метрическая десятичная система факультативно введена уже въ Имперіи еще съ 1 января 1900 года, V секція выражаетъ свое пожеланіе о скорѣйшемъ введеніи въ общее и обязательное для всѣхъ употребленіе метрической системы мѣръ.

Мы предполагаемъ въ ближайшемъ будущемъ нѣкоторыя ивъ этихъ резолюціи подвергнутъ разсмотрѣнію.

Свѣдѣнія о книгахъ.

Новый Путъ, Ариѳметическій задачникъ для начальныхъ школъ Первый годъ обученія. Составленъ Г. Мундтомъ и переработанъ съ 205-го изданія для русскихъ школъ подъ редакціею В. И. Романова. Москва, 1914 г., ц. 20 коп.

Новый Путь, Руководство для преподавателя къ пользованію задачникомъ «Новый Путь». Первый годъ обученія. Составлено Г. Мундтомъ и переработано для русскихъ школъ подъ редакціею В. И. Романова. Москва, 1914 г., ц. 50 коп.

Задачникъ «Новый путь» (онъ по частямъ входитъ и въ «Руководство») содержитъ матеріалъ для упражненій въ предѣлахъ отъ 1 до 100 и обладаетъ слѣдующими особенностями:

1) Въ предѣлахъ чиселъ отъ 1 до 10 и отъ 1 до 20 задачникъ не содержитъ «прикладныхъ» задачъ, т.-е. содержитъ лишь примѣры для вычисленій, но не содержитъ задачъ, выраженныхъ словами; сдѣлано это потому, что дѣти въ началѣ 1-го года обученія еще не умѣютъ обращаться съ такими задачами, —въ руководствѣ для преподавателя такія задачи даны.

2) Умноженіе и дѣленіе появляются въ задачникѣ Лишь въ предѣлѣ отъ 1 до 100.

3) При изученіи чиселъ до 100 появляются въ задачникѣ и задачи, выраженныя словами («прикладныя» задачи), но ихъ очень мало.

4) Всѣ дѣйствія записаны «въ строчку».

5) Имѣются упражненія, какія почти не встрѣчаются въ нашихъ русскихъ задачникахъ, гдѣ учащіеся должны сами составлять примѣры для вычисленій въ указанномъ порядкѣ.

Обратимся къ разсмотрѣнію какъ этихъ особенностей, такъ и тѣхъ указаній, какія даны въ «Руководствѣ для преподавателя».

Непривычно для насъ, что и въ задачникѣ и въ руководствѣ дано очень мало задачъ (принятые у насъ задачники, наоборотъ, стремятся какъ можно больше дать «прикладныхъ» задачъ) и что центръ тяжести работы перенесенъ на вычисленіе примѣровъ (ихъ очень много). Хорошо ли это? Затруднительно дать категорическій отвѣтъ на послѣдній вопросъ, но эта мысль заслуживаетъ вниманія: дѣйствительно, не слишкомъ ли мало въ обычно употребляемыхъ у насъ задачникахъ обращается вниманіе на самыя числа, безъ разсмотрѣнія примѣненія ихъ къ практическимъ вопросамъ? Развитіе этой мысли и привело къ упражненіямъ въ родѣ №64 на стран. 47 задачника, гдѣ учащіеся приглашаются составлять примѣры въ опредѣленной послѣдовательности: 100—-3 = 97; 97—5 = 92; 92—3=?; изъ полученнаго числа вычесть опять 5 и т. д. до тѣхъ поръ, пока въ отвѣтѣ получится 1. Такія упражненія, по нашему убѣжденію, чрезвычайно полезны, ибо они служатъ цѣли развитія у дѣтей стремленія къ изысканію комбинацій, почему-либо достойныхъ вниманія, ивъ разученныхъ чиселъ. Думается, что въ этомъ направленіи слѣдуетъ итти дальніе, чѣмъ это дѣлаетъ «Новый Путь».

Заслуживаетъ также вниманія то обстоятельство, что учащіеся пріучаются всѣ дѣйствія въ предѣлѣ до 100 ваписывать въ строчку: запись одного числа подъ другимъ вовсе изгнана.

Въ основу методики дѣйствій (см. «Руководство») положено «разложеніе каждаго числа (въ предѣлѣ до 10) на двѣ составныя части», т.-е. усвоеніе того, что, напр., число 7 состоитъ изъ 4 и 3, или изъ 5 и 2 и т. д. Эта мысль пользуется большимъ распространеніемъ среди нѣмецкихъ методистовъ. Уже по одному этому, не предрѣшая вопроса объ ея достоинствѣ, слѣдуетъ на нее обратить вниманіе.

При чтеніи «Руководства» можно, съ одной стороны, указать на нѣкоторые мелкіе его недостатки [напр. его чрезмѣрная краткость, оперированіе надъ грифелями, которые теперь уже почти изгнаны изъ школы, странное употребленіе на стран. 96 термина «превращеніе»: «Умноженіе и оба его превращенія (курсивъ мой) дѣленіе по содержанію и дѣленіе на равныя части» (здѣсь умѣстнѣе былъ бы терминъ «обращеніе») и т. п.], можно, съ другой стороны, не соглашаться съ нѣкоторыми принципіальными особенностями отдѣльныхъ частей методики дѣйствій (такъ, съ нашей точки зрѣнія, во главу обученія дѣленію должно быть положено дѣленіе на равныя части, а не дѣленіе по содержанію, и это, думается, явствуетъ изъ замѣчанія въ концѣ стран. 98 «Руководства», что «первое ознакомленіе съ дѣленіемъ по содержанію лучше производить не на счетахъ, а на какихъ-либо предметахъ; если на предметахъ, то наиболѣе простымъ процессомъ является раздѣлъ на равныя части), но должно признать, что и задачникъ и руководство въ виду указанныхъ выше особенностей заслуживаютъ большого вниманія со стороны гг. учащихъ въ начальныхъ школахъ.

Н. И.

А. П. Павловъ. Методика нагляднаго обученія счисленію простыхъ дробей. Изданіе 2-е. Тифлисъ, 1914 г., ц. 50 коп.

Несмотря на то, что на оберткѣ книги приведенъ рядъ отзывовъ изъ печати, одобрительно относящихся къ 1-му изданію книги, слѣдуетъ отнестись къ этой книгѣ крайне отрицательно. Исходя изъ основной мысли: «весь счетъ съ простыми дробями основывается на умѣньи находить часть отъ части единицы и считать дроби (?) въ одинаковыхъ доляхъ, или, проще сказать, умѣть каждый разъ отыскивать новую подходящую единицу счета», авторъ рекомендуетъ для этой цѣли воспользоваться палочками, которыя дѣтьми разрѣзаются на части, или прямолинейными отрѣзками (нарисованными), которые также отмѣтками дѣлятся на равныя части; рекомендуется еще пользоваться таблицами, составленными авторомъ, гдѣ также изображенъ рядъ полосокъ, раздѣленныхъ на части.

Все это не ново, важно лишь, какъ этими пособіями рекомендуетъ авторъ пользоваться и въ какой послѣдовательности изучаетъ дѣйствія надъ дробями. Здѣсь-то и имѣютъ мѣсто недоразумѣнія, лишающія книжку какой-либо цѣнности. Укажемъ на нѣкоторыя изъ нихъ.

Прежде всего рекомендуется (уже при прохожденіи ариѳметики отъ 1 до 10) ознакомить дѣтей съ двумя значеніями дроби, разсматривая ее, какъ число нѣсколькихъ одинаковыхъ частей одной единицы и какъ одну часть нѣсколькихъ единицъ, при чемъ, къ удивленію, уже послѣ выясненія перваго взгляда дѣтямъ рекомендуется смотрѣть на дробь, какъ на частное отъ дѣленія числителя на знаменателя (стран. 18—21). Оставляя въ сторонѣ послѣднее замѣчаніе, нельзя не поставить вопроса: цѣлесообразно ли въ самомъ началѣ знакомства дѣтей съ дробями, и съ методической и даже съ теоретической точекъ зрѣнія, устанавливать двоякій смыслъ дроби?

Дѣйствія надъ дробями: сложеніе, вычитаніе и дѣленіе разсматриваются «совмѣстно одно послѣ другого» (стран. 25) и на однихъ и тѣхъ же наглядныхъ пособіяхъ. Намъ прежде всего не ясенъ смыслъ выраженія «совмѣстно одно послѣ другого». Кромѣ странности сочетанія этихъ словъ, обращаетъ на себя вниманіе то обстоятельство, что здѣсь почему-то рѣчь идетъ только о сложеніи, вычитаніи и дѣленіи, а между тѣмъ на стран. 28 сейчасъ же послѣ дѣленія идетъ и умноженіе. Какъ-будто имѣлось въ виду на 26 стран. разъяснить это обстоятельство, но разъясненіе таково, что ничего не разъясняетъ: «Отступленіе оказывается только для умноженія, но оно совершается просто, если только выяснено хорошо понятіе о дроби; впрочемъ и самое умноженіе на дробь служить еще болѣе къ укрѣпленію этого понятія».

Итакъ, во всякомъ случаѣ на стран. 28 сейчасъ же за дѣленіемъ слѣдуетъ умноженіе; оказывается «лучше всего дать новое опредѣленіе умноженія... а именно: умноженіе есть дѣйствіе, посредствомъ котораго изъ множимаго составляемъ новое число точно такъ же, какъ другое данное число (множитель) составленъ изъ единицы». Если прочесть стран. 9 и 10, то приходитъ, къ заключенію, что дѣти, изучая цѣлыя числа въ предѣлѣ до 10, должны по плану автора ознакомиться съ дѣйствіями надъ дробями

въ родѣ -» -» - и т. п., если лишь въ получаемомъ результатѣ числитель и знаменатель въ отдѣльности каждый меньше 10. Неужели же возможно дѣтей въ этотъ моментъ обученія знакомить съ выше даннымъ опредѣленіемъ? Замѣтивъ, что въ послѣдніе годы вышеприведенное опредѣленіе вызываетъ столь сильныя возраженія, что его уже стремятся удалить изъ курса даже средней школы, полагаемъ, что на вопросѣ объ умноженіи далѣе останавливаться не приходится. Разсмотримъ еще вопросъ о дѣленіи. На стран. 26 авторъ говоритъ: «и на цѣлыхъ числахъ всякое дѣленіе на части (равныя) можетъ быть разсматриваемо, какъ содержаніе одного числа въ другомъ. Наоборотъ же задачу, данную на содержаніе, при осмысленномъ объясненіи, никакъ нельзя объяснить дѣленіемъ на части». Это утвержденіе совершенно невѣрно: съ такою же легкостью (или, если угодно, съ такими же трудностями для дѣтей) задачу на одинъ видъ дѣленія можно перевести на другой, къ какому бы виду дѣленія ни относилась данная задача1). Авторъ, вѣроятно, исходя изъ этой мысли, объясняетъ дѣленіе дробей, основываясь на вопросѣ: сколько разъ содержится? Получаемый въ одномъ случаѣ отвѣтъ - онъ объясняетъ, что дѣлитель не содержится въ дѣлимомъ даже ни одного цѣлаго раза, а содержится 2 только - раза (стран. 28), не обращая вниманія на то, что послѣднее выраженіе не имѣетъ смысла и можетъ быть принято только условно, если предварительно рѣшенъ вопросъ: какую часть дѣлителя составляетъ дѣлимое,—авторъ идетъ какъ разъ въ обратномъ порядкѣ.

Не останавливаясь болѣе на частныхъ вопросахъ, замѣтимъ, что истинная цѣль методики умноженія и дѣленія числа на дробь должна заключаться не въ томъ, чтобы полумеханически (или вовсе механически), пользуясь туманными выраженіями въ родѣ <Л раза», научить выполнять умноженіе и дѣленіе на дробь, а въ томъ, чтобы заставить учащихся признать удобнымъ понимать умноженіе и дѣленіе въ новомъ смыслѣ, не въ томъ, какой былъ приписанъ этимъ дѣйствіямъ въ курсѣ цѣлыхъ чиселъ, и добиться ими усвоенія этого новаго смысла. Въ этомъ направленіи книга г. Павлова ничего не даетъ. Все это заставляетъ отнестись къ разсматриваемой книгѣ вполнѣ отрицательно.

Н. Извольскій.

Ѳ. М. Дубовъ, Сборникъ ариѳметическихъ задачъ для начальныхъ училищъ. Рига, 1914 г., Книгоиздательство «Педагогъ». Ц. 15 коп.

Задачникъ не представляетъ чего-либо оригинальнаго, что заставило бы выдѣлить его изъ числа другихъ, ему подобныхъ. Матеріала много, расположенъ онъ довольно систематично, за исключеніемъ послѣднихъ его страницъ, относящихся къ курсу дробей: весь курсъ дробей и обыкновенныхъ и десятичныхъ, съ включеніемъ упражненій на проценты, занимаетъ лишь 18 съ небольшимъ страницъ, при чемъ даются упражненія съ неудобными знаменателями и черезчуръ запутанныя.

1) См. мою статью «Методика дѣленія» въ № 7—8 за 1912 г. журнала «Педагогическій Вѣстникъ Моск. Учебн. Округа».

Врядъ ли вообще слѣдуетъ вводить въ курсъ ариѳметики подобныя упражненія, а въ курсъ начальной школы тѣмъ болѣе.

Въ остальной части задачникъ составленъ довольно обстоятельно. Однако въ немъ имѣютъ мѣсто погрѣшности такія же, какъ и въ другихъ подобныхъ задачникахъ.

1) Дано распредѣленіе задачъ по типамъ. Неужели авторъ полагаетъ, что, напр., слово «Встрѣча», которымъ озаглавленъ рядъ задачъ на стран. 64, помагаетъ рѣшать эти задачи?

2) Неужели, какъ это имѣетъ мѣсто на стран. 84, надо упражнять учащихся въ записяхъ умноженія, въ родѣ слѣдующей xg- Пора было бы всѣ умноженія, какія легко выполнить въ умѣ, пріучать записывать исключительно въ строчку: 1000x8 = 8000.

3) Въ задачахъ, озаглавленныхъ словомъ «Бассейны», встрѣчаются задачи съ лишними условіями, напр. № 1399 (стран. 109).

4) Пора съ самыхъ первыхъ шаговъ пріучать учащихся записывать примѣры въ родѣ (стран. 24) 4 + (10:2) безъ излишнихъ скобокъ, т.-е. въ видѣ 4+10 : 2: учащіеся должны пріучаться къ тому, что при такой записи сначала должно (это въ математикѣ общепринято) выполнять дѣленіе, а потомъ уже сложеніе.

Повторяю, что всѣ эти недостатки имѣютъ мѣсто во многихъ задачникахъ.

Н. И.

Д. Л. Волковскій, Дѣтскій міръ въ числахъ. Для начальныхъ школъ. Для перваго года обученія. Съ рисунками. Москва. 1913. Ц. 20 коп. Стран. 80.

Д. Л. Волковскій, Руководство къ «Дѣтскому міру въ числахъ». Ч. I. Первый годъ обученія. Москва. 1914. Ц. 1 р. 50 к. Стран. ѴІІІ+574.

Задачникъ «Дѣтскій міръ въ числахъ» даетъ упражненія для дѣтей въ первый годъ обученія ариѳметикѣ и распадается на слѣдующіе отдѣлы: 1) числа отъ 1 до 10; 2) десятки первой сотни; 3) числа отъ 1 до 20, и 4) числа отъ 1 до 100.

Въ послѣднемъ отдѣлѣ разсматриваются только сложеніе и вычитаніе. Въ задачникѣ даны также (въ различныхъ отдѣлахъ) упражненія съ простѣйшими дробями.

Задачъ, выраженныхъ словами, въ эзадачникѣ не имѣется; такія задачи даны въ «Руководствѣ». Послѣднее обращаетъ на себя вниманіе какъ разностороннимъ разсмотрѣніемъ общихъ вопросовъ методики ариѳметики, такъ и подробною обработкою отдѣльныхъ частныхъ вопросовъ обученія ариѳметикѣ.

Не соглашаясь съ нѣкоторыми особенностями, имѣющими мѣсто и въ задачникѣ и въ «Руководствѣ», мы не можемъ не обратить вниманія читателей на этотъ обстоятельный и солидный трудъ г. Волковскаго.

А. Н.

Редакторъ-Издатель Н. А. Извольскій.

Типографія Г. Лисснера и Д. Собко. Москва, Вовдвиженка, Крвстовоздвиженскій пер., д. Хі 9.

РУКОВОДСТВА ПО МАТЕМАТИКѢ, КНИГИ И БРОШЮРЫ Н. А. Извольскаго.

Ариѳметика. Изданіе 3-е (Книгоиздательства «Школа», Москва, Спиридоновка, д. 14), въ двухъ частяхъ. Ч. I. 30 коп. Ч. II. 60 коп.

Обѣ части допущены Уч. Ком. Мин. Нар. Просв. въ качествѣ руководства для среднихъ учебн. заведеній.

Алгебраическія числа и дѣйствія надъ ними. Для начинающихъ изучать алгебру. М., 1909. Ц. 15 коп. (Изданіе В. В. Думнова, Москва, Мясницкая, д. Обидиной.)

Сборникъ алгебраическихъ задачъ. Ч. I. Изданіе 2-е. М., 1912. Ц. 35 коп. Ч. II. М., 1908. Ц. 40 коп. (Изданіе Т-ва В. В. Думновъ, Москва, Мясницкая.)

Обѣ части допущены Уч. Ком. Мин. Нар. Просв. въ качествѣ пособія для среднихъ учебныхъ заведеній.

Геометрія на плоскости. М., 1914. Изданіе 2-е. (Магазина, «Сотрудникъ Школъ» А. К. Залѣсской, Москва, Воздвиж., д. Армандъ.) Ц. 1 руб. 20 коп.

Геометрія въ пространствѣ. М., 1913. Изданіе 2-е. (Т-ва В. В. Думновъ, Москва, Мясницкая.) Ц. 65 коп.

Начальный курсъ геометріи. М., 1914. (Изданіе Книгоиздательства «Школа», Москва, Спиридоновка.) Ц. 80 коп.

Упражненія къ начальному курсу геометріи. М., 1914. (Того же издательства.) Ц. 20 коп.

Таблицы для нагляднаго обученія сложенію дробей съ различными знаменателями (11 таблицъ съ пояснительной брошюрой). (Того же изда-тельства.) Ц. 60 коп.

Два предложенія элементарной геометріи. Одесса, 1910. (Складъ изданія въ редакціи журнала «Вѣстникъ опыт. физ. и элем. матем.) Ц. 20 коп.

Особыя явленія въ учебно-задачной русской литературѣ. Ц. 10 коп. (Складъ изданія у Книгоиздательства «Школа».)

Къ вопросу о длинѣ окружности. М., 1914. Ц. 35 коп. Складъ изданія въ редакціи «Матем. Вѣстника».

Къ ученію объ отношеніи прямолинейныхъ отрѣзковъ и объ ихъ пропорціональности. Ц. 15 к.

Цѣль обученія ариѳметикѣ. Ц. 10 к.

О превращеніи треугольника въ треугольникъ, симметричный съ даннымъ. Первые шаги курса геометріи. Ц. 10 к.

Всѣ означенныя книги можно получать и черезъ редакцію „Математическаго Вѣстника".