МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

6

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1955

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 6

НОЯБРЬ — ДЕКАБРЬ

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ РУССКОЙ ДОРЕВОЛЮЦИОННОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ В XX ВЕКЕ (1900—1917 гг.)

Б. П. БЫЧКОВ (Бельцы)

§ 1. Вопрос о понятии функции в проектах реформы средней школы, разрабатывавшихся на рубеже XX века

«Сравнительно быстрый рост промышленности в 90-х годах и рост прогрессивного общественного движения во второй половине 90-х годов остро поставили к началу XX столетия вопрос о реформе средней школы»*. 8 июля 1899 г. министр народного просвещения Боголепов разослал попечителям учебных округов циркуляр, в котором предложил избрать по 2—4 представителя от каждого округа для участия в работе комиссии по реформе средней школы. В связи с подготовкой материалов для работы комиссии, попечителями ряда учебных округов были созваны совещания педагогов и профессоров. Совещания московских педагогов и профессоров происходили во второй половине 1899 г.**. На этих совещаниях было разработано пять проектов организации средней школы. Соответственно составлено пять вариан-

тов программ по математике. Во всех программах и объяснительных записках к ним видно стремление улучшить преподавание математики в основном за счет более рационального распределения учебного материала и путем сокращения ряда разделов.

Совещание преподавателей математики киевских средних учебных заведений, состоявшееся в ноябре и декабре 1899 г.*** при Киевском учебном округе, также обратило внимание главным образом на сокращение и более рациональное распределение учебного материала.

Комиссия, созванная министром народного просвещения Боголеповым, начала свою работу 7 января 1900 г. и закончила 7 марта 1900 г. Труды комиссии напечатаны в 8 объемистых выпусках****. В этой комиссии было разработано шесть проектов организации средней общеобразовательной школы.

После смерти Боголепова новый министр народного просвещения Ванновский издал в июне 1901 г. новый проект так называемой «единой общеобразовательной средней школы». Курс

* Е. Н. Медынский, История педагогики, М., 1947, стр. 465.

** Совещания, происходившие в 1899 г. в Московском учебном округе по вопросам средней школы, в связи с циркуляром министра народного просвещения от 8 июля 1899 г. за № 16212, вып. 1 — 6, М., 1899.

*** К. М. Щербина, Математика в русской средней школе, Киев, 1908, стр. 35 — 40.

**** Труды высочайше учрежденной комиссии по вопросу об улучшениях в средней общеобразовательной школе, СПБ, 1900, вып. I—VIII.

математики по этому проекту значительно сокращался, причем из алгебры исключались такие важные с общеобразовательной точки зрения разделы, как исследование уравнений первой степени с одним и двумя неизвестными и обобщение понятия степени.

Проект Ванновского был подвергнут резкой критике как на собраниях преподавателей, так и в печати. Одновременно разрабатывались новые проекты программ преподавания математики.

В проекты программ преподавания математики в средней школе, созданные в этот период, были включены и прогрессивные требования, среди которых наиболее существенными являются следующие: 1) отказ от исключительно формальных целей преподавания математики; 2) усиление связи школьного курса математики с наукой и жизнью; 3) систематичность курса математики; 4) исключение из курса математики тех разделов, которые не заключают в себе общеобразовательного элемента, а также таких, которые по сложности своей конструкции и выводов отнимают много времени, а вместе с тем не имеют приложения в средней школе; 5) учет возрастных особенностей учащихся; 6) введение в курс алгебры понятия о функции и о методе координат, а в некоторых случаях введение в курс математики аналитической геометрии и элементов анализа. В этих проектах была сделана попытка осуществления большинства из тех требований к реформе преподавания математики, которые были выработаны русской передовой математической общественностью к началу XX века*.

Ни один из разработанных в это время проектов не был претворен в жизнь, но публичное обсуждение их привело к мобилизации сил прогрессивной педагогической общественности на дальнейшую борьбу за реформу преподавания математики, закончившуюся частичной победой в 1906 г., когда под давлением революционных событий 1905 года правительство вынуждено было провести реформу реальных училищ.

§ 2. Пропедевтика функциональной зависимости в курсе алгебры реальных училищ в связи с программами 1906 года

Циркуляром Министерства народного просвещения от 30 июня 1906 г. за № 12414 «Об учебных планах и программах предметов, входящих в курс реальных училищ»**, были утверждены изменения в учебных планах и программах реальных училищ.

По математике эти изменения сводились в основном к исключению некоторых разделов, перемещению иных разделов между классами и к введению в дополнительном классе сведений из аналитической геометрии и анализа бесконечно малых. Программы первых шести классов по содержанию не менялись, так что основания аналитической геометрии и анализа, которые вводились в VII, дополнительном классе, получались в виде какого-то придатка, органически не связанного с предшествующими разделами математики. Кроме того, вводимый курс был велик по объему. Основания аналитической геометрии, например, включали: все сведения по аналитической геометрии на плоскости вплоть до кривых второго порядка, за исключением общей теории. Основания анализа содержали: теорию пределов, натуральную систему логарифмов, понятия функции, непрерывности, производной, дифференциала, определенного и неопределенного интеграла и их приложений.

Эти основные недостатки новых программ не преминули сказаться в первые же годы преподавания по ним. Никому почти из преподавателей не удавалось выполнить полностью программу, кроме того, оторванность вновь введенного курса элементов высшей математики от курса элементарной математики создавала большие методические трудности. Опыт работы по новым программам привел преподавателей к выводам, которые сводились в основном к необходимости установления органической связи вновь введенного курса с предыдущими разделами, для чего потребовалось бы перестроить весь курс преподавания математики, и к сокращению его объема, ограничившись, в основном, методом координат, производной и ее применением к исследованию функций. Эти мысли были довольно четко сформулированы С. Н. Бернштейном (тогда приват-доцент Харьковского университета) в его статье «К вопросу об изменении программы по математике в средней школе»***.

По вопросу о введении в среднюю школу элементов анализа бесконечно малых автор высказывает следующую точку зрения на новую программу реальных училищ, опираясь на собственный опыт работы в одном из них.

«1. Необходимо органическое слияние курса так называемой высшей математики с элементарной математикой.

2. Не следует гнаться за обилием материала,

* См. статью автора «Понятие функции в курсе алгебры русской средней школы в XIX веке», «Математика в школе», 1954, № 4.

** Журнал Министерства народного просвещения, 1906, сентябрь, стр. 36—62.

*** «Педагогический сборник», 1909, № 11, стр. 371—388.

а обратить главное внимание на усвоение основных понятий и методов и умение правильно их применять.

3. Лишь в виде дополнительного курса (при благоприятных обстоятельствах) можно и желательно ознакомить в общих чертах кончающих среднюю школу с дальнейшим развитием методов и основными задачами современной математики».

С. Н. Бернштейн указал на перегруженность программы VII класса, сославшись при этом на мнение всех преподавателей, с которыми ему приходилось говорить по этому вопросу: «...никому из нас фактически не удалось выполнить всей программы», — заключает он и приходит в связи с этим к предложению возможных, на его взгляд, сокращений.

По аналитической геометрии С. Н. Бернштейн считает нужным сохранить только теорию прямой, круга и геометрических мест; по математическому анализу — рассматривать лишь те функции, с которыми ученику постоянно приходится иметь дело на школьной скамье: многочлены, дроби, корни, тригонометрические функции. Теорию натуральных логарифмов, показательной функции он находит желательным исключать, обратив вместо этого особое внимание на упражнения по исследованию функций и решение связанных с ними геометрических и физических задач.

Почти к таким же выводам относительно рассматриваемой программы пришел и К. М. Щербина*.

Несмотря на указанные недостатки, программы преподавания математики в реальных училищах имели прогрессивные черты, так как в них признавалась необходимость введения в курс математики средней школы новых идей, связанных с изучением переменных величин.

Введение элементов высшей математики в седьмые классы реальных училищ оказало влияние и на постановку преподавания алгебры в этих училищах. Для осуществления связи введенного курса с предыдущими разделами передовые учителя пошли по правильному пути пропедевтического ознакомления учащихся с идеей функциональной зависимости в курсе алгебры предшествующих классов. Как следует из доклада Б. К. Крамаренко «К вопросу о постановке преподавания математики, главным образом аналитической геометрии и анализа бесконечно малых, в реальных училищах Кавказского учебного округа»**, прочитанного на 1-м Всероссийском съезде преподавателей математики в 1911 г., почти во всех реальных училищах Кавказского учебного округа это ознакомление проводилось следующим образом. Начальное ознакомление с функциональной зависимостью вводилось в курсе алгебры IV класса в связи с изучением одного уравнения 1-й степени с двумя неизвестными, затем вводилась система координат и строились по точкам графики эмпирических и линейных функций, после чего решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными находилось сначала графически, а затем общеизвестными приемами. Для ознакомления учащихся с идеей функциональной зависимости использовались не только уроки элементарной математики, но и уроки по другим предметам, где к этому представлялась возможность.

§ 3. Понятие функции в программах преподавания математики, разрабатывавшихся математическими обществами

Реформа 1906 г. коснулась только реальных училищ, преподавание же учебных предметов в гимназиях осталось без изменения. Поэтому усилия передовой педагогической общественности направились главным образом на борьбу за перестройку преподавания математики в гимназиях.

В первом десятилетии XX века, кроме петербургского и московского методических центров, возникли крупные методические центры в Киеве и Варшаве. В 1906/07 уч. году в Киевском физико-математическом обществе был разработан проект учебного плана по математике для мужских гимназий***.

В основу курса арифметики и алгебры были положены две главные идеи: 1) развитие понятия о числе; 2) выяснение и раскрытие понятия о функциональной зависимости величин. Осуществлялась вторая идея в курсе алгебры путем исключения некоторых разделов и введения новых. Из курса алгебры предлагалось исключить: извлечение квадратного корня из многочленов и кубического корня из чисел, непрерывные дроби, решение систем линейных уравнений способом Безу, теория соединений и бином Ньютона.

Взамен предлагалось ввести: в IV классе — в связи с изучением уравнений 1-й степени — понятие о функциональной зависимости; в V классе — графическое представление линейной и квадратичной функции одного переменного; в VI классе — графическое представление логарифмической функции и принципы линейного интерполирова-

* К. М. Щербина, Математика в русской средней школе, Киев, 1908, стр. 122—123.

** Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики, т. 1, СПБ, 1913, стр. 412—431.

*** К. М. Щербина, Математика в русской средней школе, Киев, 1908, «Приложение», стр. 129—144.

ния — в связи с изучением логарифмов; в VII классе — обзор функций, рассматриваемых в алгебре, геометрии, тригонометрии, физике; графическое представление этих функций; понятие о непрерывности функций; понятие о производной с ее графическим представлением; признаки возрастания и убывания функций; понятие об интеграле и его графическое представление площадью; в VIII классе — при повторении и обобщении классификация функций. В VIII же классе вводился курс аналитической геометрии.

Программа К. Ф. М. О. послужила предлогом для составления «Проекта учебного плана по математике для мужских гимназий с одним древним (латинским) языком»*, разработанного варшавским кружком преподавателей физики и математики в 1908 г. Принципы, положенные в основу этого проекта, примерно совпадали с теми, которыми руководствовались составители проекта К. Ф. М. О., но осуществление их было иное.

Из курса алгебры предлагалось исключить те же разделы, что и киевским проектом, кроме теории соединений и бинома Ньютона, которые сохранились, а взамен исключались неопределенные уравнения. Вводились в курс алгебры следующие вопросы: IV класс — понятие о функциональной зависимости; V класс — понятие о координатах; графическое представление изменения явления, зависящего от одного переменного, кривые температуры, давления, приложение к статистике; графическое представление изменения функций одного переменного: линейной у = ах; у = ах + b и простейших квадратичных у = х2; у = ах2, VI класс — непрерывное изменение показательной функции ах и ее геометрическое изображение; понятие о приближенных вычислениях в связи с логарифмами; VII класс — переменная независимая (аргумент) и зависимая (функция); понятия о непрерывности, производной, интеграле; приложение геометрического метода к изучению свойств функций:

Понятие о maxima и minima; в VIII классе — анализ бесконечно малых и аналитическая геометрия (систематические курсы).

Курсы анализа бесконечно малых и аналитической геометрии охватывали круг вопросов гораздо более широкий, чем в реальных училищах, а также чем в киевском проекте.

Общее достоинство обоих планов в том, что составители их связывали элементы высшей математики с предшествующим материалом, делали попытку своевременно ввести и постепенно развить идею функциональной зависимости.

19 января 1910 г. на заседании отдела математики Педагогического музея военно-учебных заведений был заслушан доклад Д. М. Левитуса «О курсе алгебры в средних общеобразовательных учебных заведениях»**.

Сложившийся к тому времени школьный курс алгебры докладчик характеризовал как «конгломерат разнородных учений, не связанных между собой какой бы то ни было общей идеей». Идеей, объединяющей разные отделы алгебры, он считает идею функциональной зависимости.

Д. М. Левитус придает большое значение вычислению по формулам. «Уметь читать формулы и вычислять по ним необходимо всякому технику, статистику. Умение исследовать функцию необходимо всякому изучающему какую-либо точную науку», — говорит он,—поэтому упражнения для такого рода вычислений следует брать из области вычислительных задач, встречающихся в технике и точных науках, и избегать нарочно выдуманных задач, искусственных по своему содержанию.

Докладчик дал краткие указания, как ознакомить учащихся, начиная с уроков арифметики, с понятием о зависимости и постепенно довести их до ясного представления о функции.

Д. М. Левитус считает, что понятие о функциональной зависимости, постепенно расширяясь и углубляясь, достигнет к концу учебного курса той степени солидности, при которой ученик легко сможет усвоить простейшие вопросы анализа бесконечно малых. Он считает, что курс алгебры следует пополнить рядом вопросов высшей математики.

Время, необходимое для изучения этих вопросов, Д. М. Левитус предлагает выиграть путем исключения из курса алгебры ряда разделов: извлечение корней квадратных из многочленов, решение трехчленных и возвратных уравнений, непрерывные дроби, а также путем сокращения тождественных преобразований за счет отказа от слишком громоздких, искусственных преобразований.

Среди других предложений, выдвинутых в докладе, заслуживает внимания предложение о необходимости связать изучение линейных функций с изучением линейных уравнений, а квадратичных — с изучением уравнений 2-й степени.

19 февраля 1910 г. известный методист К. Ф. Лебединцев прочел в Московском математическом кружке доклад «Программа и метод

* «Русская школа», 1909, № 10, стр. 131 — 140.

** Д. М. Левитус, О курсе алгебры в средних общеобразовательных учебных заведениях, СПБ, 1910.

преподавания алгебры в средней школе»*, в котором рассмотрел преобразование программы алгебры с целью введения в этот курс вопросов, связанных с изучением понятия о функции и функциональной зависимости, а также краткого учения о производной и об интеграле. Автор предложил свести изучение алгебраических преобразований до минимума, который необходим для решения уравнений и изучения других отделов курса; упразднить такие отделы, как решение возвратных, двучленных и трехчленных уравнений, решение неопределенных уравнений; теорию непрерывных дробей; теорию соединений и бином Ньютона. А взамен этого ввести: понятие о функции и ее графическом изображении, а также краткое учение о производной и об интеграле с приложением этих понятий к решению различных вопросов математики и других наук.

Далее докладчик подчеркнул, что нельзя считать целесообразным, чтобы элементы анализа изучались в виде совершенно обособленного отдела, хотя бы и завершающего собой курс математики средней школы. Необходимо поэтому перестроить программу так, чтобы эти элементы вошли в нее как органическая живая часть и чтобы между ними и другими частями курса математики существовала тесная связь и простой и естественный переход.

С этой целью К. Ф. Лебединцев предложил следующий план ознакомления учащихся с функциональной зависимостью. После изучения отрицательных чисел дать понятие о координатах, определяющих положение точки на прямой. После изучения уравнений 1-й степени познакомить учащихся с прямоугольной системой координат и изложить вопрос об определении положения прямой на плоскости при помощи уравнения 1-й степени; затем дать понятие о функции, остановиться на свойствах функции первого порядка у = ах + b и дать ее графическое изображение. На этом основании иллюстрировать решение и исследование уравнений 1-й степени с одним и двумя неизвестными и указать графический способ решения этих уравнений; также может быть дано понятие о графиках железнодорожного движения, графиках температуры и т. д. Дальнейшее развитие понятия о функции должно найти себе место в связи с изучением квадратных уравнений и неравенств; здесь квадратный трехчлен уместно рассматривать как функцию второго порядка вида у = ах2 + bх + с и иллюстрировать изучение его свойств графически, а также указать графический способ решения квадратных уравнений с одним неизвестным, а в частных случаях с двумя неизвестными.

Ценной в обоих докладах, в особенности в докладе К. Ф. Лебединцева, являлась разработка основных положений методики изучения функций в курсе алгебры средней школы. Недостаток их состоял в предложении дополнить курс алгебры элементами высшей математики, охватывавшими столь широкие и глубокие вопросы, что выполнение их в средней школе оказалось бы невозможным, если учесть как число часов, отводимых на изучение алгебры, так и реальные возможности сознательного усвоения этих вопросов учащимися. Вторым недостатком рассматриваемых докладов является недооценка значения тождественных преобразований для прочного усвоения курса алгебры.

§ 4. Идея функциональной зависимости в курсе алгебры в период всероссийских съездов преподавателей математики

В первом десятилетии XX века движение за реформу преподавания математики приобрело всероссийский характер. Вопросы преподавания математики стали предметом обсуждения на съездах.

Выдающееся явление в развитии передовых методических идей в России представляют два всероссийских съезда преподавателей математики** (1911 — 1913), которым предшествовали: съезд преподавателей математики Виленского учебного округа*** (1908 г.) и 1-й Всероссийский съезд учителей городских училищ**** (1909 г.).

На съездах были поставлены многие актуальные проблемы, такие, как психологические основы обучения, цель и содержание школьного курса математики, учебные планы и программы по математике для средней школы, место элементов высшей математики в курсе средней школы, методы преподавания, место и роль внеклассных и практических занятий в преподавании математики и многие другие.

На съездах имел место широкий обмен опытом преподавания отдельных математических дисциплин, который обнаружил полное едино-

* «Педагогический сборник», 1910 № 9, стр. 236—264.

** Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики, т. 1, СПБ, 1913.

Доклады, читанные на 2-м Всероссийском съезде преподавателей математики в Москве, М., 1915.

*** Съезд преподавателей математики, физики, естествознания и географии средних учебных заведений Виленского учебного округа, секция математики, Вильна, 1908.

**** «Труды первого Всероссийского съезда учителей городских по положению 1872 года училищ», СПБ, 1910.

гласие передовых представителей математической общественности по вопросу о необходимости перестройки школьного курса математики на основе идеи функциональной зависимости.

Обсуждение опыта преподавания элементов высшей математики в реальных училищах, проведенное на съездах, показало, что основным недостатком этого курса является прежде всего его оторванность от общего курса математики, а также перегруженность фактическим материалом. С целью увязки курса элементов высшей математики с остальными разделами математики передовые учителя пришли к выводу о необходимости заблаговременного ознакомления учащихся с понятием функции и методом координат, что и начали осуществлять в процессе преподавания алгебры. Относительно объема этого курса многие пришли к заключению, что элементы анализа достаточно ограничить следующими основными идеями: о функции, о пределе, о непрерывности, о производной и ее применении к исследованию функций.

По вопросу о методах осуществления обновления программы средней школы введением новых идей анализа и аналитической геометрии на съездах определились две точки зрения: одна — насыщение установившегося уже материала новыми идеями, а другая — введение новых дисциплин анализа и аналитической геометрии.

Первая точка зрения начала приобретать все больше сторонников. Так, проф. Д. Д. Мордухай-Болтовской, подводя итоги 1-го Всероссийского съезда, писал: «Не следует выделять анализ в отдельную дисциплину, но бесконечно малое не должно прятаться и маскироваться в курсе средней школы». И далее: «Дело не в том, чтобы приклеить к старому курсу элементарной математики старый и может быть настолько же ждущий обновления первый курс университета, урезанный по-новому, а дело в том, чтобы изложить старые и вместе с тем и вечно юные геометрические истины по-новому, осветив их новыми идеями»*.

Резолюции всероссийских съездов преподавателей математики определили направление дальнейшего развития методики преподавания математики в России.

Так, в 1915 г. комиссия под председательством А. К. Власова, избранная Московским математическим кружком для обсуждения нового проекта программы преподавания математики**,

выработанного комиссией министерства народного просвещения, отмечала, что общий характер проекта остался прежний, «на него не оказали влияния ни работы Международной комиссии, ни резолюции двух всероссийских съездов преподавателей математики».

Действительно, в духе резолюций, принятых на съездах, идея функциональной зависимости должна проводиться через весь курс школьной математики, где представляется к тому случай и возможность, и графически истолковываться методом координат, а в проекте программы метод координат и понятие функции отнесены к последним классам, что привело к выделению анализа и аналитической геометрии в отдельные курсы. Совершенно правильно заключила комиссия, что «Если бы метод координат и понятие функции были поставлены в органическую связь с общим курсом элементарной математики, то, быть может, не оказалось бы надобности вводить в среднюю школу курсов анализа и аналитической геометрии как отдельных предметов»***.

После съездов усилилась работа по составлению учебников и задачников по алгебре, в которых надлежащее место занимает понятие функции и учение о простейших функциях.

Если до 1911 г. можно указать три такие учебника и один задачник: «Элементарная алгебра» ч. I, 1907, А. Н. Глаголева; «Курс алгебры для средних учебных заведений», ч. I, 1910, К. Ф. Лебединцева и его же «Систематический сборник задач и других упражнений по курсу алгебры» ч. I, 1910; «Курс элементарной алгебры для средних учебных заведений», ч. I, 1910, Д. Левитуса; то в период с 1911 по 1916 г. вышло, по имеющимся у нас данным, 12 таких учебных пособий. Это следующие: «Курс алгебры для средних учебных заведений», ч. II, 1911, К. Ф. Лебединцева; «Графическое изображение некоторых функций, рассматриваемых в элементарной алгебре», 1911, А. П. Киселева; «Графики и их применение к решению уравнений», 1912, М. Щебарцевич; «Курс элементарной алгебры для средних учебных заведений» ч. II, 1912, Д. Левитуса; «Концентрический учебник алгебры», ч. I, 1912, ч. II, 1913, В. Г. Фридмана; «Систематический курс алгебры для средних учебных заведений», 1913, П. А. Долгушина; «Элементарная алгебра и собрание упражнений и задач», 1914, А. Н. Глаголева; «Основы графической алгебры и собрание задач», 1914, В. Я. Гебеля; «Сборник упражнений и задач по элементарному курсу алгебры», ч. I, 1914, ч. II, 1915, трех авторов: Д. А. Бема, А. А. Волкова, Р. Э. Струве; «Элементарные

* Д. Мордухай-Болтовской, О первом Всероссийском съезде преподавателей математики, Варшава, 1912, стр. 11—12.

** Проект напечатан в «Материалах по реформе средней школы», П., 1915, стр. 246—283.

*** «Математическое образование», 1916, № 4, стр. 109.

функции и их графическое изображение», 1915, И. Флерова; «Учение о простейших функциях, их графиках и теория пределов», 1916, К. Ф. Лебединцева; «Применение графического метода к решению и исследованию уравнений», 1916, В. Г. Трубина.

Исследование учебных пособий, вышедших в послесъездовский период, дает возможность установить следующие этапы изучения функций в курсе алгебры средней школы: 1) идея изменяемости величин вводится с самого начала курса, —рассматриваются числовые значения алгебраического выражения в зависимости от числовых значений букв его составляющих; 2) числовая ось вводится в связи с изучением положительных и отрицательных чисел; 3) система координат вводится в связи с построением графиков эмпирических функций; 4) изучение линейных функций связывается с изучением линейных уравнений, квадратных — с изучением квадратных уравнений; 5) графики используются для геометрического истолкования решений, а также как метод решения уравнений и систем уравнений; 6) изучение показательной функции связывается с расширением понятия степени, логарифмической функции—с изучением логарифмов; 7) изучение функций заканчивается введением понятия производной.

§ 5. Понятие функции в курсе алгебры кадетских корпусов

Гораздо лучше, чем в общеобразовательной школе, было поставлено преподавание математики в средних военных учебных заведениях, которые не входили в ведомство министерства народного просвещения.

В 1911 г. были введены новые программы преподавания математики в кадетских корпусах, но им предшествовала длительная работа, проведенная Главным управлением военно-учебных заведений, которое в первые годы XX века стало на правильный путь усовершенствования преподавания математики; это путь опытной проверки предлагаемых нововведений и изменений. Так, к началу 1903/04 уч. года был разработан проект программы и инструкции для проведения опыта преподавания математики в трех кадетских корпусах (1-м, Донском и Псковском)*.

В проекте указывалось, что цель математики, как учебного предмета общеобразовательного курса, двоякая: образовательно-воспитательная и практическая. Одной из практических целей преподавания математики считалось употребление кривых для графического изображения изменений одной величины в зависимости от изменений другой. По этому проекту понятие о функции вводилось в VII классе.

Как следует из циркулярного предписания от 26 мая 1911 г. за № 11469**, опыт работы по программам 1903 г. проводился в шести кадетских корпусах и послужил одним из отправных пунктов при составлении программ 1911 г. В остальных кадетских корпусах предпринимались попытки привлечь методы аналитической геометрии, которая была введена в программы средних военно-учебных заведений еще в 1882 г., для геометрической иллюстрации в процессе преподавания алгебры. Так, в циркулярном предписании от 28 августа 1908 г. за № 21040*** «О повторении курса математики в седьмых классах кадетских корпусов» давалось указание на то, что при повторении алгебры следует везде, где можно, прибегать к геометрическим иллюстрациям, привлекая точки зрения аналитической геометрии (геометрическое значение уравнений:

геометрическое значение решения системы:

а также говорилось о том, что непременно должно быть выработано понятие о функции и ее непрерывности.

Вновь было привлечено внимание преподавателей к этому же вопросу циркулярным предписанием от 27 октября 1910 г. за № 23155****. В этом предписании читаем: «Понятие функции в курсе алгебры остается до сих пор не вполне использованным и изолированным от графиков, изучаемых в аналитической геометрии». По этому поводу вновь подтверждаются указания вышеупомянутого циркулярного предписания и далее «снова рекомендуется обратить особое внимание на задачи, относящиеся к составлению уравнений, и на сопровождаемые графиками исследования функций, получаемых при решении геометрических вопросов».

В 1909/10 уч. году вводится в виде опыта преподавание оснований анализа бесконечно малых в четырех кадетских корпусах (2-м, 3-м, Киевском и Полтавском)*****. На основании первого года опытной проверки Главное управление военно-учебных заведений 12 октября 1910 г. издало циркулярное предписание № 22020******,

* Проект общей программы и инструкции для производства опыта преподавания учебных предметов в 1-м, Псковском и Донском кадетских корпусах с начала 1903/04 уч. года, СПБ, 1903.

** «Педагогический сборник», 1911, № 7.

*** «Педагогический сборник», 1908, № 10.

**** Научный архив АПН РСФСР, Архив С. И. Шохор-Троцкого, ф. 22, ед. хр. II, лл. 42—43.

***** Циркулярное предписание от 3 ноября 1909 г., «Педагогический сборник», 1910, № 2.

****** Научный архив АПН РСФСР, Архив С. И. Шохор-Троцкого, ф. 22, ед. хр. II, лл. 39—40.

в котором указывалось, что ввиду недостатка времени для прохождения предложенного курса анализа следует отказаться от понятия о дифференциале и интеграле, ограничившись только производной.

В 1911 г. были утверждены новые программы по математике. Как на одну из сторон образовательно-воспитательной цели в них указывалось на развитие «функционального мышления, устанавливающего зависимость одного явления от другого, с умением оценивать количественную сторону простейших явлений, изучаемых в области физики, химии, космографии, артиллерии, и проч.»*. В объяснительной записке по алгебре обращалось внимание на важность функциональной зависимости, которая должна красной нитью проходить через весь курс математики кадетских корпусов.

В курсе алгебры V класса в связи с изучением уравнений 1-й степени вводилось: понятие о функции, изменение функции, графики функций, преимущества графиков перед таблицами, график функций у = ах + b, геометрические интерпретации решений уравнения у = ах + b и системы двух уравнений 1-й степени с двумя неизвестными, графики движения поездов. В связи с изучением уравнений 2-й степени вводился график функции у = ах2 + bх + с и геометрические интерпретации (очевидно, имелось в виду геометрическое истолкование решений уравнения 2-й степени).

В VI классе в связи с изучением логарифмов вводились графики показательной и логарифмической функций.

Начала аналитической геометрии и высшего анализа вводились в VII классе, примерно в таком же объеме, как в реальных училищах.

Результат более чем трехлетнего опыта работы по изучению элементов анализа в объеме, предусматриваемом программой, был изложен преподавателем 2-го кадетского корпуса П. Самохваловым в статье «К постановке курса анализа бесконечно малых в кадетских корпусах»**. Выводы П. Самохвалова почти полностью совпадали с выводами, к которым пришел С. Н. Бернштейн в результате опыта преподавания элементов анализа в реальных училищах, и сводятся в основном к следующим: 1) на протяжении всего курса алгебры следует проводить работу, направленную на подготовку учащихся к усвоению основных идей анализа путем изложения соответствующих разделов этого курса с функциональной точки зрения; 2) сократить курс анализа, поставив основной его целью исследование функций при помощи производной. Эти выводы были учтены при составлении новых программ преподавания математики в кадетских корпусах в 1915 г.

Заключение

К 1917 г. передовой русской методической мыслью были выработаны основные требования к построению курса алгебры, находящегося на уровне математической науки и прививающего навыки применения алгебраического аппарата к решению жизненных задач. Эти требования можно сформулировать в следующем виде: 1) центральное место в курсе алгебры должно занять понятие функции, вводимое как можно раньше, развивающееся при изучении простейших функций и построении графиков, доведенное до понятия производной и ее применения к исследованию функций; 2) изучение функций должно быть введено в школьный курс алгебры за счет исключения тех разделов, которые не заключают в себе ни общеобразовательной, ни практической ценности; 3) в школьном курсе алгебры должны иметь место лишь простейшие тождественные преобразования, необходимые в рамках школьной практики; 4) должна быть установлена наиболее тесная связь преподавания алгебры с другими школьными дисциплинами и, в первую очередь, с физикой.

* Программы для кадетских корпусов, СПБ, 1911, стр. 72.

** «Педагогический сборник», 1913, № 5 и 6.

МЕТОДИКА

О ПОВТОРЕНИИ КУРСА АРИФМЕТИКИ В СТАРШИХ КЛАССАХ

С. А. ПОНОМАРЕВ (Москва)

За последние годы учителя математики средней школы добились определенных успехов: учащиеся более осознанно и прочно усваивают программный материал; учителя стали уделять больше внимания развитию логического мышления и пространственных представлений учащихся; различные вычисления и тождественные преобразования учащиеся стали выполнять более тщательно и с применением рациональных приемов.

Но, несмотря на эти достижения, в целом состояние успеваемости по математике имеет существенные недостатки. Математика и русский язык были и, к сожалению, остаются предметами, дающими самую низкую успеваемость. О неблагополучии в состоянии знаний учащихся по математике пишется в многочисленных статьях, помещаемых в журнале «Математика в школе» (например, в журнале № 2 за 1955 г.).

Особенно неблагополучно обстоит дело с успеваемостью по арифметике в V классе. Слабые знания по арифметике, приобретенные учащимися в V и VI классах, резко отзываются на глубине и прочности знаний учащихся в старших классах.

Одним из важнейших звеньев борьбы учителя за прочные и сознательные знания у учащихся является организация повторения учебного материала, проходимого в V и VI классах. Повторение является необходимым элементом процесса обучения и должно органически входить в него.

Состояние знаний по арифметике в старших классах некоторых школ г. Москвы

В целях определения прочности знаний по арифметике учащихся VIII—X классов в школах

№ 131, 213 и 352 г. Москвы были проведены контрольные работы. Учителя математики указанных школ являются хорошо подготовленными специалистами, имеющими за плечами большой опыт педагогической работы. Некоторые из них систематически повторяют арифметику, другие повторяют от случая к случаю, а есть и такие, которые не уделяют внимания повторению арифметики. Как и следовало ожидать, результаты контрольной работы показали, что там, где учитель уделяет внимание повторению арифметики, учащиеся знают и умеют пользоваться аппаратом арифметики, а там, где повторению внимания не уделялось, результаты были крайне плачевные. Интересная особенность, что чем старше класс, тем хуже результаты контрольной работы. Остановимся на анализе выполнения контрольной работы только по X классу.

Контрольные работы были проведены в различных школах по четырем классам: в одном классе, где учитель систематически повторял арифметику, в другом — где повторение было от случая к случаю, и в двух классах, где специальное повторение арифметики отсутствовало. Приводим текст контрольной работы.

1-й вариант

1. На основании зависимости между компонентами и результатом действий найти х, если

Вычислить:

4. На сколько процентов возрастет покупательная способность населения при снижении цен на 20%?.

5. Число 3285 разделить на части, обратно пропорциональные числам: 1/2; 0,3 и

6. Доказать, что разность a3 — а, где а — любое натуральное число, есть число, кратное 6.

2-й вариант

1. На основании зависимости между компонентами и результатом действий найти х, если

Вычислить:

4. Объем работ по жилищному строительству в районе увеличился на 173% по сравнению с прошлым годом, а производительность труда строительных рабочих повысилась на 40%. На сколько процентов нужно увеличить число строительных рабочих, чтобы выполнить план?

5. Число 765 разделить пропорционально числам 1/5, 1/4 и 0,3.

6. Доказать, что разность между квадратом нечетного числа и единицей делится на 8.

Из содержания контрольной работы видно, что решение первого примера должно было показать умение учащихся пользоваться зависимостью между компонентами и результатом действия; второй пример — знание свойств действий и умение рационально производить вычисления; третий пример — умение производить действия с обыкновенными и десятичными дробями, а также знание порядка действий; четвертый пример понимание теории процентов; пятый пример знание пропорционального деления и, наконец, — шестой пример — знание теории делимости чисел.

Приведем результаты работы по двум классам, в которых не было повторения арифметики. Всего писало работу по этим классам 63 ученика. Первый пример решили правильно, т. е. определили неизвестное на основании зависимости между компонентами и результатом действий 8 учеников, а остальные 56 учеников воспользовались приемом решения уравнения 1-й степени с одним неизвестным. Второй пример полностью и рационально выполнили только 10 учеников, т. е. эти ученики пользовались свойствами действий. Остальные 53 ученика деление смешанного числа на целое число выполнили, обратив смешанное число в неправильную дробь, и 46 учеников выполнили вычисление 8⋅4⋅0,125⋅0,25 и 0,8⋅23,9⋅12,5 последовательно, не использовав законов переместительности и сочетательности. Третий пример рационально решили 26 учеников, а остальные 37 допустили следующие ошибки и недочеты: 4 ученика сделали ошибки в порядке действий, а именно: вычисляя результат (1,295 + 1,936 : 3 1/5), вначале находили сумму 1,295 и 1,936, а затем эту сумму делили на 3 1/5; 20 учеников производили действия, обращая все десятичные дроби в обыкновенные, например, вычисляя выражение

обращали 68,1 и 7,5 в обыкновенные дроби; 17 учеников при сложении и вычитании смешанных чисел обращали их в неправильные дроби; так, например:

8 учеников при сложении и вычитании дробей находили не наименьший общий знаменатель, а общий знаменатель; 7 человек вообще не решили третьего примера.

Четвертый пример, если не принимать во внимание результат решения шестого примера, дал наиболее плачевные итоги. Правильно решили этот пример только 11 учеников, 31 ученик совсем его не решил.

Поражает отсутствие критической оценки учащимися своих результатов; так, например, решая задачу: «На сколько процентов возрастет покупательная способность населения при снижении цен на 20%»,—одни получили результат 80%, а другие —16% и были удовлеттворены этим результатом.

Пятый пример 2-го варианта не встретил затруднения у большинства учащихся, хотя

9 учеников из 30, решавших его, не приступали к решению. Подавляющее большинство, решивших этот пример, не заменило отношение дробных чисел отношением целых чисел. Чрезвычайно большое затруднение у учащихся вызвало решение пятого примера 1-го варианта. Только 4 ученика из 33, решавших этот пример, получили искомый ответ; 18 учеников вообще не знали, как приступить к решению.

Шестой пример правильно решили только 5 учеников, а остальные, забыв свойства чисел натурального ряда, не смогли доказать требуемое.

Результат контрольной работы в X классе, где повторение проводилось несистематически, был следующий. В классе присутствовало 27 учеников. Первый, пример решили согласно условию только 6 учеников, а остальные решили как уравнение. Второй пример рационально решили 16 учеников, а у остальных учащихся были те же ошибки, что и в ранее разобранных контрольных работах. Третий пример правильно решили 20 учеников. Четвертый пример сделан 18 учениками. Пятый пример правильно решил 21 ученик.

Шестой пример правильно сделали 17 учеников, причем интересно отметить, что подавляющее большинство из выполнивших этот пример доказательство провели методом математической индукции.

Совершенно иная картина была в классе, где курс арифметики систематически повторялся. Это характеризуется оценками, полученными учениками этого класса за ту же контрольную работу:

получили оценку «5» — 3 ученика,

„ „ «4» — 14 учеников,

„ „ «3» — 8 учеников,

„ „ «2» — 2 ученика.

Примерно такое же состояние знаний и умений показал анализ работ по VIII и IX классам, хотя учащиеся VIII класса написали работу несколько лучше, чем учащиеся IX и X классов, конечно, исключая учащихся X класса, где было систематическое повторение.

Картина состояния знаний и умений учащихся старших классов, как показывает анализ, весьма неприглядна. Но может быть, она такова только в этих школах? Возможно, что по другим школам нашей Федерации имеет место иная картина знаний по арифметике? К сожалению, этот недостаток в знаниях арифметики свойственен и учащимся других школ. Анализ результатов приемных испытаний в вузы и техникумы, приводимый в статьях, публикуемых ежегодно в журнале «Математика в школе», показывает, что учащиеся — выпускники средней школы—в своем большинстве не умеют сознательно и наиболее рационально производить действия с целыми и дробными числами и допускают грубые ошибки.

В чем причина слабых знаний по арифметике у оканчивающих среднюю школу? Основная причина заключается в том, «что в ряде школ преподавание арифметики не обеспечивает сознательного усвоения учебного материала учащимися. Учащиеся больше берут памятью, механически усваивая материал. Самостоятельное мышление учащегося не развивается. Многие учителя пятых классов используют учебник арифметики Киселева как справочник, как сборник правил. Законы и свойства действий изучаются без должных упражнений на упрощение вычислений. Мало внимания уделяется устным упражнениям и рационализации вычислений.

Недостатки в арифметических знаниях учащихся, как показывает опыт ряда учителей, могут быть устранены в старших классах средней школы. На необходимость устранения этих недостатков указывается и в объяснительной записке к программам средней школы: «Изучение арифметики как самостоятельного предмета заканчивается в VI классе. Но и в старших (VII—X) классах преподаватели математики обязаны постоянно совершенствовать арифметические (вычислительные) навыки учащихся»*.

ЦК ВКП (б) в своем постановлении от 5 сентября 1931 года «О начальной и средней школе» осудил те прожектерские методы, которые применялись при обучении, и подчеркнул, что главной задачей школы является борьба за прочные знания основ наук. Абсолютное большинство учителей после постановления ЦК ВКП (б) стало уделять значительное место вопросам повторения.

Первая научно-педагогическая конференция учителей школ РСФСР (1939 г.), обобщив опыт работы учителей и школ по проведению повторения, вынесла следующее решение: «Многие учителя думают, что если ученики поняли то, что им объясняет учитель, то они уже прочно усвоили материал. Это глубокое заблуждение: разъясненные учителем и воспринятые учеником знания необходимо всемерно закреплять особыми педагогическими приемами».

В послевоенные годы Министерство просвещения РСФСР в объяснительной записке к программам по математике подчеркнуло необходимость повторения курса арифметики в старших

* Программы средней школы на 1954/55 уч. год, Учпедгиз, 1954, стр. 12.

классах средней школы. Это нашло выражение во включении в экзаменационные письменные работы по VII классу примеров по арифметике и в билеты для экзаменов на аттестат зрелости за курс средней школы некоторых вопросов по теории арифметики.

Рассмотрим особенности повторения.

Повторение есть средство против забывания главного, существенного в пройденном материале. Повторение надо рассматривать как одно из средств прочного усвоения знаний, как составную часть процесса обучения.

Наша память не может удержать приобретенные знания в течение длительного времени в том объеме, в каком они даны при первоначальном изложении. Поэтому мы с течением времени должны возвращаться к закреплению старых знаний и навыков.

Специфика математики такова, что повторение неизбежно будет иметь место даже вне зависимости от желания учителя. В математике, как ни в одной из наук, особенно сильна взаимосвязь материала. Не только различные разделы математики представляют внутри себя стройную логическую систему, но эта логическая связь существует и между самими разделами. Изучение и понимание всякой темы или раздела по математике невозможно без знания ранее пройденных разделов или тем. Отсюда вытекает неизбежность повторения решительно на каждом уроке, даже помимо желания учителя.

Этот вид повторения, вытекающий из логической структуры построения курса, имеет основной недостаток, заключающийся в том, что в таком повторении отсутствует система, вопросы для повторения определяются вновь изучаемым материалом, берутся разрозненно из самых различных отделов арифметики. Этот вид повторения, в силу отсутствия системы, в силу подчинения повторяемого материала вновь проходимому, не может заменить целенаправленного повторения. Так, например, значимость знания основных свойств делимости для учащихся чрезвычайно велика, но в курсе арифметики, кроме обоснования признаков делимости и некоторых приемов устного счета, они в явном виде при прохождении арифметического материала не повторяются, а потому возникает необходимость специального повторения этих свойств.

При повторении ученики в ранее изучаемых ими свойствах чисел открывают много нового, видят эти свойства с других сторон в связи с последующим материалом. Например, при повторении в X классе темы «Системы счисления» некоторые учащиеся заявляли, что они только сейчас отчетливо поняли, что такое система счисления.

При повторении арифметики надо избегать следующих основных недостатков, наблюдаемых в практике работы отдельных учителей:

1. Повторение только в конце года. Это приводит к перегрузке учащихся, материал повторяется чисто механически, без осмысливания и углубления. Повторение носит характер «натаскивания».

2. Неумение выделить главное, существенное для повторения.

3. Однообразие методов повторения.

Система повторения и приемы повторения

Повторение ранее пройденного материала может преследовать разные цели: повторение в целях обобщения и систематизации какого-либо раздела, повторение в целях восстановления отдельных правил, повторение в целях выработки определенных навыков и т. д. Исходя из цели повторения, оно может производиться одновременно с прохождением нового материала или самостоятельно, без связи с новым материалом. Если повторение проводится наряду с изучением нового материала, то связь должна быть естественной. Виды повторения арифметики в V и VI классах и в VII—X классах различны. Укажем главные виды повторения в этих классах.

1. Повторение материала прошлых лет обучения. Этому отводятся первые часы каждого года обучения.

2. Повторение ранее пройденного материала на уроке. Этот вид находит отражение почти на каждом уроке, в начале урока при проверке домашнего задания.

3. Повторение предыдущих тем при прохождении новой темы в целях установления связи между пройденным и новым материалом. Например, изучая тему «Обращение обыкновенных дробей в десятичные», при решении упражнений «округлить данное число с наперед заданной точностью», естественно и необходимо вспомнить правила округления натуральных чисел.

4. Повторение нового материала на уроке. Обычно после своего изложения учитель спрашивает учеников по изложенному материалу, проверяя качество его усвоения. Вместе с тем учитель проверяет доступность, полноту и ясность своего изложения.

5. Обзорные повторения. Они обычно проводятся после прохождения раздела, темы. Например, после прохождения обыкновенных

дробей надо несколько уроков отвести на повторение всего раздела.

6. Повторение в конце учебного года. В конце IV четверти повторяются узловые вопросы. Например, вопросы умножения и деления дробей являются трудными для учеников, а поэтому в конце года, несмотря на неоднократное повторение раздела «Обыкновенные дроби», эти вопросы надо снова повторить.

Что касается других классов (VII—X), то там, кроме повторения на каждом уроке отдельных правил арифметики, возможен только один вид повторения теории, а именно: повторение основных разделов арифметики, связанных с материалом других математических дисциплин.

При повторении следует придерживаться следующих приемов:

1) Установление связи ранее изученного материала с новым. Например, изучая умножение смешанного числа на целое и целого на смешанное число, надо повторить законы переместительности и распределительности умножения.

2) Сопоставление и сравнение. Например, указывая учащимся преимущества выполнения действий над десятичными дробями в сравнении с действиями над обыкновенными дробями, мы способствуем более глубокому и осознанному пониманию действий над дробными числами. Сравнения и сопоставления особенно полезны тогда, когда они проводятся на резко различных или, наоборот, на сходных объектах.

3) Формулировка правил и определений своими словами с последующим сравнением с формулировкой, данной в учебнике. Этот прием приучает учащихся вникать в значение каждого слова и предложения, помогает связывать различные мысли в единое целое, не нарушая полноты и точности определения. Ученик при повторении должен начинать не с заучивания текста формулировки, а с попытки сознательного воспроизведения и выражения своими словами содержания припоминаемого определения, закона, правила.

Планирование учебного материала по арифметике для повторения

Задача овладения учащимися прочными знаниями решается не просто повторением ранее пройденного, а систематическим его повторением. Поэтому учитель должен уже в начале учебного года наметить план повторения и осуществлять его с первых дней занятий. Программой по арифметике для V и VI классов предусмотрено повторение пройденного в предыдущем году. Планируя материал для повторения, учитель должен помнить следующие особенности памяти ученика:

1. Неравномерность процесса забывания: в первые дни забывание идет более сильно, а чем дальше, тем слабее.

2. Чем больше повторений, тем более прочные ассоциации создаются в памяти ученика, причем эти ассоциации будут прочнее, если повторение будет распределено на более длинный промежуток времени. Исходя из этих особенностей памяти, учитель должен сделать следующие выводы:

a) В первые дни после изложения надо чаще повторять материал.

b) Материал для повторения должен быть распределен на большее число занятий, т. е. при повторении нельзя ограничиваться однократным повторением. Например, при изучении признаков делимости первое повторение будет проведено на следующем уроке, второе (более короткое) — через урок или два, третье повторение — через несколько уроков, причем время, затрачиваемое на повторение этого вопроса, соответственно уменьшается.

Планируя, надо учитывать особенности материала, намеченного для повторения. Если повторяемый материал содержит большое количество логических рассуждений, то время, отводимое для этого, должно быть больше, чем время, отводимое для повторения учебного материала, не требующего обоснования. Например, повторение темы «Делимость чисел и признаки делимости» в сравнении с темой «Десятичные дроби» потребует большего времени.

При планировании в первую очередь возникает вопрос, что же повторять.

Мы не рассматриваем сейчас так называемое «текущее повторение», т. е. повторение того материала, который был изучен накануне или несколько уроков назад.

При отборе материала, подлежащего повторению, надо исходить:

1) из степени значимости материала; 2) из трудности усвоения этого материала для учащихся; 3) из необходимости расширения и углубления основных понятий арифметики, способствующих обобщению и систематизации знаний.

На наш взгляд, повторению по классам подлежат следующие темы арифметики:

Для V класса

1. Округление чисел.

2. Законы действий.

3. Изменения результатов действий при изменении компонентов.

4. Делимость чисел и признаки делимости.

5. Обыкновенные дроби.

6. Десятичные дроби.

7. Нахождение площадей некоторых геометрических фигур.

Для VI класса

1. Законы действий.

2. Основные теоремы о делимости чисел.

3. Обыкновенные дроби.

4. Десятичные дроби.

5. Процентные вычисления.

6. Пропорциональность величин.

Для VII класса

1. Законы действий.

2. Обоснование правил действий.

3. Десятичные дроби.

4. Процентные вычисления.

Для VIII класса

1. Количественные и порядковые числа, нумерация; различные системы нумерации.

2. Общий наибольший делитель и общее наименьшее кратное.

3. Учение о пропорциональности величин.

Для IX класса

1. Система нумерации.

2. Аксиомы и свойства натурального ряда.

3. Обращение обыкновенной дроби в десятичную и обратно. Периодические дроби.

Для X класса

1. Нумерация. Историческое развитие идей нумерации. Различные системы нумерации.

2. Аксиомы и свойства натурального ряда.

3. Законы действий.

4. Обоснование правил действий.

5. Расширение понятия числа.

6. Понятие о приближенных вычислениях.

Наметив материал для повторения, учитель должен обеспечить применение различных методов и приемов повторения с целью обеспечения активной работы всего класса, а также и учета индивидуальных особенностей отдельных учащихся. Учитель в процессе повторения может использовать различные методы: лекцию, беседу, доклады учащихся, упражнения в решении задач, индивидуальные работы над книгой и т. д.

Трудным вопросом в организации проведения повторения арифметики в VII—X классах является изыскание времени, необходимого для проведения специальных уроков по арифметике. Так как программа по математике не указывает источник необходимого времени для повторения, то решение этого вопроса зависит от учителя. В качестве примера изыскания этого времени, а также и некоторых других моментов организации повторения, приведу свой опыт работы в X классе.

В целях усиления внимания учащихся к рациональным вычислениям и к более глубокому знанию основ арифметики, в первую же неделю занятий в X классе я даю домашнюю контрольную работу по арифметике. Учитывая, что для успешного решения упражнений по теме «Соединения и бином Ньютона» учащимся необходимо знать: свойства натурального ряда чисел, основные свойства делимости чисел, признаки делимости и понятие о приближенных вычислениях, — учащимся X класса была предложена следующая работа.

Домашняя контрольная работа по арифметике

Срок представления работы — 10 сентября т. г.

А. Прочитать из учебника арифметики Киселева: § 2, 3, 20, 45, 59.

Решить следующие уравнения:

1. Умножить наивыгоднейшим образом, используя законы умножения:

a) 48⋅9⋅5⋅125⋅5;

b) 16—499.

2. Найти частное (двумя способами):

a) (84⋅35⋅18):9;

b) (51⋅399): 17.

3. На основании зависимости между компонентами и результатом действий найти х, если:

2448: [119 — (х — 6)] = 24.

4. Описать на примерах известные вам сокращенные приемы умножения натуральных чисел.

В. Прочитать из учебника арифметики Киселева: § 82—87, 93.

Решить следующие упражнения:

1. Из цифр 0; 3; 4; 8 составить все числа, делящиеся на 15.

2. Не производя действий и пользуясь признаками делимости, установить, будет ли делиться произведение 54⋅50⋅11 на 4; 5; 9; 18.

3. Если произведение двух чисел — число нечетное, то сумма этих чисел — число четное. Доказать.

4. Ответить на следующие вопросы:

a) сколько всего простых чисел до 100?

b) На какие цифры оканчиваются простые числа, большие 10?

c) Почему в любом десятке не может быть больше четырех простых чисел?

С. Пользуясь правилами округления чисел, округлить данные числа:

1) до десятков: 40508; 70004; 82005;

2) до сотен: 13453; 25149; 42450;

3) до тысяч: 162457; 10501; 73500.

Проверив выполнение домашней контрольной работы и проанализировав ошибки и недочеты,

допущенные учащимися, я отвожу час на разбор контрольной работы. В I четверти провожу еще два часовых занятия по темам: 1) «Различные системы нумерации» и 2) «Обоснование правил действий».

Во II четверти в связи с темой «Комплексные числа» два часа я отвожу на повторение темы «Расширение понятия о числе». Занятия обычно проводились путем изложения кратких докладов учащихся по частным вопросам этой темы.

В III четверти на повторение арифметики было отведено 4 часа, включая и 1 час на контрольную работу, и, наконец, в IV четверти на повторение арифметики я отводил 2 часа. Примерно такое же число часов и в таком же отношении отводилось на повторение арифметики в VIII и IX классах.

Методика проведения уроков

Различное содержание учебного материала, различные методы уроков повторения обусловливают и их структурные особенности. Но все уроки повторения имеют следующие общие элементы:

1. Постановка учителем темы и подготовка учащихся к усвоению урока.

2. Воспроизведение учащимися под руководством учителя узловых, принципиальных вопросов повторяемого материала.

3. Углубление ранее изученного материала путем привлечения новых фактов, установления более глубоких и разносторонних связей в повторяемом материале.

4. Обобщение итогов повторения учителем.

Приемы и методы повторения должны быть направлены на то, чтобы поднять интерес к ранее пройденному материалу, активизировать мыслительную деятельность учащихся. Для возбуждения у учащихся стремления к повторению могут быть использованы различные средства.

Иногда целесообразно поставить перед учащимися жизненную задачу, решение которой требует знания учебного материала; иногда — рассказать историю возникновения теории, подлежащей повторению; иногда полезно наметить план повторения, который придаст целенаправленность в проведении урока.

Важным условием для успешного проведения урока повторения является продуманная форма работы на уроке с классом в целом и с отдельными учениками. Конечно, прежде всего надо иметь в виду интересы всего класса, но не следует упускать из виду интересы и отдельных учащихся, особенно тех, кто имеет невысокую успеваемость.

Учитель должен развертывать повторение в логической последовательности, стремясь к тому, чтобы учащиеся сами делали обобщения, доказательства, расширяли и устанавливали новые связи повторяемого материала с изучаемым в данный момент.

В конце урока учитель непременно должен дать заключение как по ходу урока, так и по его содержанию, а также дать оценку знаний отдельных учеников.

Как мы уже раньше говорили, формы проведения урока повторения могут быть различны. Они зависят от степени сложности материала, уровня развития класса, наличия времени и других причин. Как правило, в старших классах (IX и X) надо чаще обращаться к самодеятельности учащихся в виде связного сообщения, краткого доклада ученика по повторяемой теме.

Хорошей формой закрепления являются домашние контрольные работы по повторяемому разделу. На выполнение этих работ надо давать несколько дней, причем эти работы должны содержать, кроме упражнений, и изложение теории отдельных вопросов.

О СОСТАВЛЕНИИ УЧАЩИМИСЯ ЗАДАЧ ПО АРИФМЕТИКЕ

Г. Б. ПОЛЯК (Москва)

Одной из целей советской школы является подготовка инициативных, творчески мыслящих людей, которые умели бы не только выполнять чужие задания, но и могли бы сами ставить перед собой задачи и решать их.

Преподавание арифметики будет мало способствовать развитию этих качеств советского человека, если учащиеся будут решать только готовые задачи, если они не будут — параллельно с этим — упражняться в самостоятельном составлении задач.

Составление учащимися задач ценно не только с точки зрения воспитательных целей обучения в школе, но и для повышения эффективности

обучения, для поднятия успеваемости. При составлении задачи ученик глубже вникает в ее структуру и условие, глубже осмысливает зависимость между входящими в нее величинами, чем при решении готовой задачи. Составление задач повышает интерес учащихся к занятиям арифметикой.

К сожалению, в школьной практике составление учащимися задач встречается в практике лишь отдельных учителей.

Некоторые учителя смотрят на составление учащимися задач как на ненужную затею. Здесь сказывается консервативная сила традиции дореволюционной школы, где, как правило, учащиеся упражнялись лишь в решении готовых задач.

Придавая большое значение составлению учениками задач, мы нисколько не умаляем роли готовых упражнений, которые должны занимать главенствующее место в системе работы по арифметике. Но з дополнение к последним определенное место должно уделяться упражнению учащихся в самостоятельном составлении задач.

Чтобы составление задач было эффективным, оно должно проводиться в единой системе с решением готовых задач так, чтобы после осмысления учениками способа решения того или иного вида задач (что достигается посредством готовых упражнений) им предлагались упражнения в составлении своих задач данного вида.

При этого рода упражнениях от учащихся можно требовать частичного или полного составления условий задач. В первом случае условия задачи частично даются им в готовом виде и от них требуется лишь придумать недостающий вопрос или подобрать отдельные недостающие данные. Во втором случае от учащихся требуется составление задачи полностью.

Приведем образцы упражнений в частичном составлении задач.

В колхозе засеяно пшеницей 540 га, что составляет 2/5 пахотной земли колхоза. (Поставить вопрос и решить задачу.)

Из двух городов, расстояние между которыми 495,5 км, одновременно вышли навстречу друг другу два поезда. Первый поезд шел со скоростью 48 1/2 км, второй со скоростью 50,6 км в час. (Поставить вопрос и решить задачу.)

Из полученной зарплаты рабочий внес в сберегательную кассу 275 руб. Какую часть зарплаты внес он в сберкассу? (Дополнить условие и решить задачу.)

Учащиеся сельской школы отправились на экскурсию в Москву. Они ехали 3/4 часа на автобусе и 3 1/5 часа по железной дорога.

На автобусе они ехали со скоростью 40 км в час. На каком расстоянии от Москвы находилась школа? (Дополнить условие и решить задачу.)

К одним и тем же числовым данным можно в ряде случаев ставить не один, а несколько вопросов. Так, к приведенным выше данным о встречном движении поездов можно поставить такие вопросы:

Через сколько часов поезда встретятся?

Сколько километров прошел первый (или второй) поезд до встречи?

Сколько километров прошел каждый поезд до встречи?

На сколько километров меньше прошел до встречи первый поезд, чем второй?

Какое расстояние осталось каждому поезду идти после встречи?

Сколько часов осталось каждому поезду идти после встречи? и т. п.

В случае, когда учащиеся ставят несколько вопросов к предложенным числовым данным, из этих вопросов выбирается один, либо по очереди рассматриваются все вопросы, и каждый раз выясняется, как следует решать задачу для нахождения ответа на данный вопрос. Постановку учащимися различных вопросов к данным условиям следует всячески поощрять.

Иногда условия задачи предлагаются в форме краткой записи, по которой ученики должны составить задачу, например:

Составить и решить задачу по следующей краткой записи условий:

Практикуется и такое упражнение в частичном составлении задач.

Учащимся дается словесный текст задачи без числовых данных, например:

На машину погрузили... мешков пшеницы, весом... кг каждый, и... мешков овса. Вес мешка овса составлял... % веса мешка пшеницы. Определить вес всего груза.

Недостающие числовые данные подбираются учащимися.

Так полезно поступать во всех тех случаях, когда в условии задачи выступают числовые данные, знакомые учащимся по их жизненному опыту. Так, учащиеся могут подобрать данные об известных им ценах товаров, о количестве материи, которое требуется на различные предметы одежды, о нормах оплаты почтовых отправлений, о скорости движения различных тел, о грузоподъемности различных видов транспорта, о среднем весе мешка ржи, овса, картофеля

и т. д., о среднем урожае с 1 га зерновых культур и овощей, о среднем надое молока от одной коровы и др.

Подбор таких числовых данных способствует связи задач с жизнью, с опытом учащихся, делает для них задачи более близкими и понятными, повышает интерес к решению.

Само собою разумеется, что к опыту учащихся следует обращаться лишь тогда, когда у учителя имеются основания полагать, что ученикам известны соответствующие показатели.

Одним из видов упражнений в частичном составлении задач является придумывание учащимися условий к данному вопросу, например:

Составить задачу, в которой требовалось бы узнать, на сколько процентов увеличилась продукция завода за год.

Подобные задания можно иногда дополнять требованием, чтобы составленная задача решалась определенным образом, например:

Составить задачу, в которой требовалось бы узнать, во сколько дней два маляра, работая вместе, могут покрасить полы в школе, и которая решалась бы так:

Иногда вместо главного вопроса и решения учащимся дается начало условия и решение, например:

Автомобиль прошел 2520 км за 3 дня... Продолжить условие задачи так чтобы она решалась следующим образом:

Вместо начала условия можно было дать здесь учащимся развернутый ответ, например:

Ответ. В третий день автомобиль прошел 792 км.

В приведенных выше примерах решение давалось в развернутом виде. Вместо этого оно может даваться в виде числовой формулы, например:

Составить задачу, в которой требовалось бы узнать, через сколько часов скорый поезд догонит почтовый, и которая решалась бы так:

130:(60 — 43,75) = 8 (часов).

Ответ. Через 8 часов.

К упражнениям в частичном придумывании задач можно также отнести составление задач, обратных данной. Так, после решения задачи № 1108 из сборника С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева можно в записанном на доске условии поставить на месте х найденное число (2 2/3 т), а x поставить на месте одного из числовых данных. Получится запись:

Для 16 голов на 36 дней 1,92 т подстилки

От учащихся требуется составить задачу по данной краткой записи условий.

Переходим к рассмотрению вопросов, связанных с упражнением в полном составлении задач. Хотя при этого рода упражнениях (в отличие от рассмотренных выше) ученики составляют условия полностью, все же и здесь учителю следует каждый раз указывать, какие задачи надо составлять, так как лишь упражнения, определяемые учителем в соответствии с общим планом преподавания, могут быть эффективными. Этого трудно ожидать от свободного составления учениками задач, когда им предоставляется право составлять задачи совершенно произвольно. В последнем случае некоторые учащиеся могут составлять слишком легкие задачи, иногда даже по курсу предшествующих классов. Но даже и в тех случаях, когда учащиеся будут составлять более трудные задачи, нельзя рассчитывать, чтобы последние находились в полном соответствии с планом преподавания.

Последнее может достигаться лишь тогда, когда учитель в своем задании каждый раз

указывает, какого рода задачи требуется составить, положим:

a) Придумать задачу на определенные действия; например, составить задачу, которая решалась бы делением; придумать задачу, которая решалась бы делением и умножением.

b) Составить задачу, которая решалась бы определенным числом действий; например, придумать задачу в 2, 3 или 4 действия.

c) Придумать задачу к данной числовой формуле; например, составить задачу, которая решалась бы так:

1) 100% + 25% = 125%,

2) 125% = 1,25; 680⋅1,25 = 850.

d) Придумать задачу определенного вида; например:

Составить задачу, в которой требовалось бы узнать, сколько процентов одного числа составляет другое число.

Составить задачу, в которой требовалось бы найти два или несколько чисел по их сумме и разности (или по сумме и отношению).

Составить задачу на сложное тройное правило и т. п.

Многие задачи трудно подвести под определенные типы, поэтому в ряде случаев можно после решения задачи предложить ученикам составить задачи, подобные данной (задачи, похожие на нее по способу решения).

Таким образом, и при полном составлении задачи учащимся указываются определенные вехи, определенные способы, которыми должны решаться придумываемые задачи.

Грань между частичным и полным составлением поэтому является условной. В последнем случае ученикам лишь предъявляются несколько большие требования, чем в первом случае, главным образом в части, касающейся тематики задачи, выбор которой предоставляется учащимся, хотя и здесь иногда полезно в определенной мере направлять творчество учащихся. Покажем это на примере.

После решения задачи:

Для детского дома куплено одинаковое число детских костюмов и платьев, всего на 2910 руб. Костюм стоил 80 1/2 руб., а платье 65 руб. Сколько денег уплачено за костюмы и платья в отдельности?

Учащимся было предложено придумать подобную задачу. После заслушания нескольких задач, в которых речь шла о различных покупках, учитель предложил учащимся составить задачи, похожие по способу решения на исходную, но так, чтобы у данных чисел были наименования «килограммы».

Приведем одну из задач, составленных после этого учащимися.

В ларек доставлено одинаковое число ящиков конфет двух сортов, всего 550 кг. Ящик конфет первого сорта весил 30 кг, а ящик конфет второго сорта 25 кг. Сколько килограммов конфет каждого сорта доставлено в ларек?

Учащимся было затем предложено составить подобные задачи, в которых данные числа имели бы наименования: «литры», а потом «метры», « тонны», « километры ».

В результате учащиеся придумали на этом уроке разнообразные по содержанию задачи, например:

В швейной мастерской из 260 м материи сшили одинаковое число платьев и рубашек.

На каждое платье пошло 4 1/2 м, а на рубашку— 2 м материи. Сколько метров материи пошло на платья и на рубашки в отдельности?

Колхоз должен был отправить в город 120 т картофеля. Картофель возили на двух грузовиках: — трехтонном и пятитонном, при этом каждый из них сделал одинаковое число поездок. Сколько тонн картофеля перевезли на каждом грузовике?

Две бригады рабочих построили железнодорожный путь длиной 240 км и работали одинаковое число месяцев. В месяц одна бригада укладывала 32 км пути, а другая — 28 км. Сколько километров железнодорожного пути уложила каждая бригада?

Хотя учащиеся составляли условия полностью, все же в определенной мере им указывалось содержание задач. Легко, однако, видеть, что ограничение творчества учащихся определенными рамками здесь полностью оправдывалось, так как благодаря этому были получены разнообразные по содержанию задачи данной структуры, тогда как, если бы им не предъявлялись приведенные выше требования, они могли бы ограничиться копированием исходной задачи.

Составление подобных задач с различными величинами ценно тем, что это содействует формированию у учащихся обобщенного представления о структуре данного вида задач и способе их решения. Кроме того, это учит их замечать общее в явлениях, внешне отличных друг от друга, что весьма полезно для умственного развития учеников.

Такая работа педагогически очень эффективна, так как на каждом из таких уроков учащиеся решают целые группы задач и успевают решить их больше, чем при решении одиночных готовых задач. Таким образом, этот прием повышает продуктивность занятий по арифметике.

Составление задач может проводиться так, чтобы от учащихся требовалось устное изложе-

ние условия или письменная его фиксация. Первый прием применим только на уроках, второй может, кроме того, применяться в порядке домашних заданий.

При устном составлении задач обычно заслушиваются лишь несколько учащихся, так как заслушивание задач, составленных всеми учениками, отняло бы слишком много времени. После заслушания каждой задачи в классе обсуждается, правильно ли она составлена, главное, соответствует ли она заданию и правдоподобны ли ее данные. Из нескольких заслушанных задач затем выбирается лучшая, которая, если учитель находит нужным, предлагается учащимся для устного или письменного решения. Иногда можно ограничиться лишь устным разбором выбранной задачи (устным составлением плана решения и устной наметкой действий).

При письменном составлении задач работы учащихся проверяются учителем, как и другие письменные работы. При раздаче тетрадей учитель зачитывает несколько ученических задач, обычно лучших и худших, каждая из которых обсуждается в классе.

В задачах, составляемых учащимися, иногда неправдоподобны числовые данные, а то и все содержание. Каждый такой недочет должен разъясняться учащимся с тем, чтобы в дальнейшем подобные дефекты ими не допускались.

ИЗ ОПЫТА ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТАБЛИЦ

А. К. АРТЕМОВ (Пенза)

Вопрос о математических таблицах в общей системе политехнического обучения является весьма важным, однако в настоящее время в школьной практике ему еще не уделяется достаточного внимания.

В IX классе на уроках алгебры изучается тема «Употребление четырехзначных логарифмических таблиц», вместе с тем имеющееся в учебнике описание таких таблиц является недостаточным для сознательного пользования ими. Наиболее слабым местом является вопрос об интерполировании. Умея формально по таблицам находить поправки на четвертую цифру, учащиеся часто не могут объяснить того, как получена эта поправка, почему ее надо прибавлять или вычитать, и т. п., т. е. не осмысливают таблицы с функциональной точки зрения.

Без дополнительного разъяснения для учащихся остается неясным, почему можно принять, что «разности между логарифмами пропорциональны разностям между соответствующими числами» (А. П. Киселев, Алгебра, ч. II, 1952, стр. 119). В учебнике алгебры отсутствуют также какие-либо разъяснения относительно допустимости линейной интерполяции.

Совершенно ясно, что в условиях политехнической школы отмеченные явления нельзя признать нормальными.

С другой стороны, ничем не оправданным было бы ограничение изучать в IX классе на уроках алгебры только логарифмические таблицы. Фактически учащиеся пользуются некоторыми таблицами (например, таблицами тригонометрических функций и др.) задолго до изучения логарифмов. Поэтому представляется необходимым более глубоко вникнуть в структуру математических таблиц, взглянуть на них с более общей точки зрения.

Ниже приводится краткое описание изложения темы о четырехзначных математических таблицах, проводимого автором на уроках алгебры в IX классах школы № 4 г. Пензы. По содержанию уроки на эту тему воспроизводят идеи В. М. Брадиса, изложенные в его книге «Средства и способы элементарных вычислений» (Учпедгиз, 1954 г.), а также в объяснениях к его четырехзначным математическим таблицам. С методической стороны упор делается на осмысливание таблиц с функциональной точки зрения и на широкое использование графических иллюстраций, которые в значительной мере способствуют облегчению усвоения процесса интерполяции.

Устройство и разновидности математических таблиц

Предварительно дается повторить: определение функции, способы задания функции, графики линейной и логарифмической функций. Учащимся предлагается составить таблицу значений веса Р стального брусочка при следующих значениях объема V: 4,0; 4,1; 4,2; 4,3; 4,4; 4,5;...; 5,9 куб. см, считая удельный вес равным 7,8 г/см3. При проверке устанавливается,

что данная таблица может быть расположена по-разному, именно:

v

p

v

p

4,0

31,20

5,0

39,00

4,1

31,98

5,1

39,78

4,2

32,76

5,2

40,56

4,3

33,54

5,3

41,34

4,4

34,32

5,4

42,12

4,5

35,10

5,5

42,90

4,6

35,88

5,6

43,68

4,7

36,66

5,7

44,46

4,8

37,44

5,8

45,24

4,9

38,22

5,9

46,02

v

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4

31,20

31,98

32,76

33,54

34,32

35,10

35,88

36,66

37,44

38,22

5

39,00

39,78

40,56

41,34

42,12

42,90

43,68

44,46

45,24

46,02

Во втором случае в первом слева столбце по вертикали расположены целые значения объема, а его десятые доли располагаются в первой сверху строке. Искомое значение объема будет находиться на пересечении строки для целого значения аргумента и столбца для его десятых долей. Вторая таблица является более компактной, требует меньше места; такое расположение является обычным для многих математических таблиц.

Далее выясняется, что является в этой таблице аргументом, что функцией, и определяется характер изменения функции (возрастает с возрастанием аргумента). Предлагается назвать несколько соседних значений аргумента (например, 4,3; 4,4; 4,5 и т. д.); выясняется разность между ними (0,1); устанавливается, каким значениям аргумента соответствуют значения функции 34,32; 42,90 и т. д.

Разность между соседними табличными значениями аргумента называется ступенью таблицы.

Определяются ступени таблицы квадратов, синусов и др. по четырехзначным таблицам В. М. Брадиса.

Разность между двумя соседними табличными значениями функции называется табличной разностью.

По таблицам В. М. Брадиса находим, что табличная разность, например, для таблицы квадратов в строке, соответствующей числу 6,5, равна 0,13 и 0,14; в строке, соответствующей числу 8,4, табличная разность равна 0,16; 0,17 и т. д.

Далее устанавливается, что в зависимости от табличной разности можно наметить три вида таблиц.

1) Таблицы с равномерным изменением функции — табличная разность остается постоянной на протяжении всей таблицы.

В приведенной выше таблице зависимости веса тела от объема табличная разность всюду постоянна и равна 0,78. Следовательно, эта таблица является таблицей с равномерным изменением функции.

Зависимость веса стального бруска выражается формулой Р = 0,78V.

Графически эта зависимость изображается прямой линией, проходящей через начало координат.

Если взять линейную функцию, например: у = 2х + 1, то можно составить следующую таблицу ее значений:

x

—3

—2

—1

0

1

2

3

y

-5

—3

—1

1

3

5

7

Здесь табличная разность постоянна и равна 2.

Таблицы значений линейной функции имеют постоянную табличную разность и, следовательно, являются таблицами с равномерным изменением функции. Графически эти таблицы дают точки прямой линии.

2) Таблицы с почти равномерным изменением функции — табличная разность для нескольких соседних значений функции меняется незначительно. Рассматривая, например, таблицу мантисс логарифмов для N от 69 до 84, находим, что табличная разность меняется от 0,0007 до 0,0005, т. е. на две единицы разряда последней цифры.

Для таблицы квадратов при N от 4,5 до 5,9 табличная разность меняется от 0,09 до 0,12, т. е. на 3 единицы разряда последней цифры.

Вообще принято считать, что если табличные разности во всей таблице или на отдельных ее участках отличаются друг от друга не более,

чем на 4 единицы разряда последней цифры, то такие таблицы или участки таблиц являются таблицами с почти равномерным изменением функции. Таким образом, рассмотренные выше таблицы на данных участках являются таблицами с почти равномерным изменением функции*.

Таблицы с почти равномерным изменением функции на одних участках могут не быть таковыми на других; например, в таблице тангенсов, в самом конце, почти равномерное изменение функции нарушается.

Обращаясь к графику логарифмической функции, устанавливаем, что дуга кривой для двух соседних достаточно близких значений аргумента почти совпадает с хордой.

Таким образом, таблицы с почти равномерным изменением функции графически дают точки кривой, которая на отдельных участках мало отличается от прямой.

3) Таблицы с резко неравномерным изменением функции. В этом случае табличная разность сильно меняется даже при небольших изменениях аргумента. Примером может служить таблица кубов натуральных чисел, т. е. функция, заданная выражением: у = x3 (x = 1,2, 3, 4...):

x

1

2

3

4

5

6

y

1

8

27

64

125

216

По графику устанавливаем, что эта таблица дает точки кривой, которая для двух соседних табличных значений х сильно отличается от прямой.

Линейная интерполяция

Рассматривая, например, таблицу квадратов, убеждаемся, что не для всякого значения аргумента можно в таблице указать соответствующее значение функции.

Пример 1. 5,622 = 31,58, 5,632 = 31,70.

Как найти квадрат числа 5,624?

Геометрически поставленный вопрос означает следующее: зная значения функции y1 и y2 для значений аргумента x1 и x2 (при x1 = 5,62, y1 = 31,58; при x2 = 5,63, y2 = 31,70), найти значение функции y0 для промежуточного значения аргумента x0, т. е. для x1 < x0 < x2 (черт. 1).

Нахождение значения (приближенного) функции, не данного в таблице, называется интерполированием.

Задачу интерполирования можно значительно упростить, если на отрезке [х1, x2] график данной функции (кривую) заменить прямой линией и находить значение y0 не для данной кривой, а для прямой, которая на данном участке заменяет кривую. В этом случае интерполяция называется линейной интерполяцией.

Черт. 1 Черт. 2

Как же в этом случае найти y0? Из чертежа 2 ясно:

Значения d и h находим по таблице; значение и дано. Задача сводится к нахождению так называемой поправки V на избыток аргумента (u), в частности, на четвертую цифру аргумента.

Зная V, легко можно найти y0. Так как △ ABE ~ △ ACD, то v:d = u:h.

В данном примере d = 0,12; h = 0,01; u = 0,004.

В данном случае поправку 0,05 прибавляем, так как значения функции возрастают при возрастании аргумента.

Эту же задачу можно решить и по-другому, если воспользоваться подобием треугольников ADC и ВСК.

В этом случае находим длину отрезка CК. Тогда y0 = у2 — CK.

В нашем примере

* При таком ограничении линейная интерполяция допустима и дает незначительную погрешность; см., например, М. Л. Франк, Элементарные приближенные вычисления.

Тогда y0 = 31,70 — 0,07 = 31,63. Второй прием удобнее применять для случая, когда

Пример 2. Найти значение 1/n при n = 2,132. От руки строим график функции (черт. 3) и по таблице находим:

Черт. 3

Тогда

Так как y1 = 1/2,13 = 0,4695 и при возрастании аргумента значения функции убывают, то y0 = 0,4695 — 0,0004 = 0,4691.

Пример 3. Найти логарифм числа 653,4. По таблице находим:

Тогда

В данном случае поправку 0,0003 прибавляем, так как lg х возрастает с возрастанием х.

При помощи линейной интерполяции можно решить и обратную задачу: найти (приближенное) значение аргумента по данному значению функции, не помещенное в таблице.

Пример 4. Найти значение числа, куб которого равен 2,666.

В данном случае искомое значение x0 заключено между 1,386 и 1,387; d = 0,005; h = 0,001; v = 0,003. Тогда

Рассматривая пропорцию v : d = u : h, отмечаем, что для случая таблиц логарифмов и и h являются разностями между данными числамu, v и d — разностями логарифмов этих чисел. Поэтому (приближенно): разности между логарифмами пропорциональны разностям между соответствующими числами. Такой вывод был получен в предположении, что на отдельных участках кривая заменялась отрезком прямой.

Применяя линейную интерполяцию, мы допускаем некоторую погрешность. Результат будет более точным, если на данном отрезке значений аргумента график функции почти не отличается от прямой.

На основании сказанного выше отмечаем, что линейная интерполяция допустима для таблиц (или участков таблиц) с равномерным или почти равномерным изменением функции, так как в этом случае погрешность от применения линейной интерполяции будет незначительной, ею можно пренебречь.

Для таблиц с резко неравномерным изменением функции линейная интерполяция дает весьма неточный результат.

Например, имея 23 = 8; 33 = 27, найти 2,43.

В данном случае h = 1; d = 19; u = 0,4. Тогда

На самом деле: 2,43 = 13,824.

Чтобы в этом случае оказалось возможным применить линейную интерполяцию, можно уменьшить ступень таблицы, сделав ее равной, например, 0,001. В этом случае получим таблицу с почти равномерным изменением функции, для которой линейная интерполяция допустима.

В дальнейшем при работе с таблицами наряду с использованием готовых поправок от учащихся время от времени требуется объяснять сущность линейной интерполяции по графику данной функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКА В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

П. П. АНДРЕЕВ (Москва)

Ряду геометрических терминов в элементарной геометрии без всяких на то оговорок придается часто различный смысл, а иногда различные определения даются геометрическим образам при одном и том же их наименовании.

Так, например, периметром многоугольника одни авторы называют отрезок, равный сумме всех его сторон (А. П. Киселев, Н. А. Глаголев и др.), другие авторы называют периметром контур (обвод) фигуры (А. Давыдов и авторы курсов теоретической механики), третьи за периметр принимают сумму длин всех сторон многоугольника (М. Я. Выгодский, Краткий учебник геометрии, Трудрезервиздат, 1949, стр. 23).

При формулировке задач на построение и доказательство периметр понимается как отрезок, а при формулировке задач на вычисление — как длина контура.

Следует, очевидно, определив периметр как отрезок, своевременно оговорить, что только для сокращения речи вместо «длина периметра» при формулировке задач на вычисление будем говорить «периметр».

Очень часто не только у различных авторов, но даже в одном и том же руководстве или задачнике окружность и круг фигурируют как синонимы.

Отсутствует единое определение в наших учебниках и многоугольника.

Согласно «Началам» Евклида (книги I—VI, Огиз, Гостехиздат, 1948), многоугольник — часть плоскости, содержащаяся внутри границы, состоящей из отрезков прямой: «Прямолинейные фигуры суть те, которые содержатся между прямыми, трехсторонние — между тремя, четырехсторонние же — четырьмя, многосторонние же — те, которые содержатся между более чем четырьмя прямыми» (стр. 12).

Этого определения придерживается часть авторов современных курсов и учебников по Элементарной геометрии.

В курсе Ж. Адамара «Элементарная геометрия» (ч. 1, Учпедгиз, М., 1948) дано определение, аналогичное определению, имевшемуся в «Началах» Евклида: «Многоугольником называется часть плоскости, ограниченная отрезками прямых линий. Эти последние образуют стороны многоугольника. Их концы образуют вершины многоугольника» (стр. 36).

По существу такое же определение дано в курсе С. А. Богомолова «Геометрия». Систематический курс, Учпедгиз, 1949: «Даны три точки A, В, С, не лежащие на одной прямой; совокупность точек, лежащих на всевозможных отрезках, соединяющих одну из данных точек с точками отрезка, образованного остальными, называется треугольником ABC». Вершины, стороны, обвод треугольника определяется как обычно (стр. 34). И далее: «Совокупность внутренних точек всевозможных диагоналей и трансверсалей выпуклой ломаной A1A2...Аn-1Аn, исходящих из какой-нибудь ее вершины, в соединении с точками самой ломаной, называется выпуклым многоугольником (или n-угольником) A1A2...Аn-1Аn» (стр. 39).

Как часть плоскости определяется многоугольник в учебниках А. Давыдова «Элементарная геометрия в объеме гимназического курса», 1914, стр. 15, и К. Н. Рашевского «Элементарная геометрия». Курс средних учебных заведений, 1918.

В некоторых курсах математического анализа или дается аналогичное определение, или в отдельных формулировках такое определение подразумевается. Так, в курсе математического анализа В. Немыцкого, М. Слудской и А. Черкасова, т. 1, ОГИЗ, Гостехиздат, 1944, плоской фигурой называется любое множество К точек на плоскости. Точка А этого множества называется внутренней, если можно найти круг с центром в точке A, целиком состоящий из точек множества К.

Точка В этой плоскости называется граничной, если всякий круг с центром в точке В содержит как точки, принадлежащие К, так и точки, не принадлежащие К. Совокупность всех граничных точек множества К образует границу этого множества.

Формулируя задачи на вычисление объема тел вращения, Н. Н. Лузин («Интегральное исчисление», Советская наука, 1946, стр. 107, задачи 6 и 7) говорит о вращении фигур, ограниченных линиями. Такое определение плоской фигуры встречается в других учебниках и сборниках задач по высшей математике. Другая группа авторов определяет многоугольник как замкнутую линию.

В «Основаниях геометрии» Д. Гильберта, ОГИЗ, Гостехиздат, 1948, дано следующее определение: «Система отрезков AB, ВС, CD,... ...KL называется ломаной, соединяющей точки А и L; эта ломаная обозначается короче так: ABCD...KL. Точки, лежащие внутри отрезков AB, ВС, CD,. . .KL, а равно и точки А, В, С, D,...,K,L называются точками ломаной. Если точки A, В, С, D,...K, L все находятся в од-

ной плоскости и, кроме того, точка L совпадает с точкой A, то такая ломаная называется многоугольником ».

Такое же определение имеет место, например, в «Вопросах элементарной геометрии» Ф. Энриквеса (СПБ, Phisice, 1913). Ни тот ни другой курс не являются учебниками для средней школы.

В то же время часть авторов учебников по элементарной геометрии переносит это определение и в свои учебники.

В учебнике Н. А. Глаголева «Элементарная геометрия» (ч. 1, Учпедгиз, М., 1954, стр. 44 и 92) треугольник и многоугольник определяются как замкнутые ломаные линии. В учебниках «Геометрия для самообразования», Гостехиздат, 1950, и «Краткий учебник геометрии» (Трудрезервиздат, 1949). М. Я. Выгодский придерживается того же определения. Такое же определение многоугольнику дано в учебнике геометрии А. Н. Перепелкиной «Геометрия и тригонометрия» (Учпедгиз, 1947, стр. 8 и 10, учебник для учительских институтов).

Определение многоугольника, помещенное в стабильном учебнике по геометрии для средней школы А, П. Киселева (Учпедгиз, М., 1953), можно рассматривать как попытку объединить указанные выше определения. В результате такой попытки определение получилось громоздкое («фигура, образованная замкнутой ломаной линией вместе с частью плоскости, ограниченной этой линией, называется многоугольником») и выделяющее многоугольник как фигуру особую по сравнению с другими плоскими фигурами. Определяется же круг как часть плоскости, ограниченная окружностью, а не дается определения кругу как окружности вместе с частью плоскости, ею ограниченной. То же следует сказать о секторе и сегменте. Странно звучало бы определение сектора как фигуры, образованной двумя радиусами и дугой окружности вместе с частью круга, ограниченной этими линиями.

Учащийся наиболее легко усваивает определение, которое в возможно сжатой форме выражает понятие, сформировавшееся уже у него, но еще не получившее четкой формулировки. В окружающей обстановке ребенок постоянно встречается с частными видами многоугольника (квадратом, прямоугольником, треугольником) и воспринимает их как часть плоскости: пол, потолок, стена, лист бумаги, прямоугольное поле и т. д. В некоторых темах пропедевтического курса геометрии преподаватель пользуется разрезанием фигур, а потому фигуры, естественно, запечатлеваются в сознании учащегося как части плоскости. Кроме того, учащимся постоянно приходится иметь дело с треугольником для черчения. В предисловии к первому изданию своего учебника по элементарной геометрии Н. А. Глаголев говорит, что построения выполняются при помощи трех инструментов: циркуля, линейки и треугольника, а в курсе определяет треугольник как ломаную линию, предварительно предупредив, что геометрической линии в природе не существует. Начиная изучение систематического курса геометрии, учащийся сразу попадает в круг противоречий.

Итак, с точки зрения лучшего усвоения в начале курса геометрии методически более приемлемым является определение многоугольника как части плоскости, а линии, ограничивающей эту часть плоскости, — как контура многоугольника; причем контур многоугольника рассматривается тоже как геометрическая фигура.

Такое определение больше соответствует формулировкам теорем и задач в дальнейшем курсе элементарной геометрии (и в курсе теоретической механики).

Как только в курсе геометрии подходят к изучению раздела об измерении площадей, так наименование «многоугольник» приходится распространять на часть плоскости, ограниченной многоугольником, если в начале курса было дано определение многоугольника как линии (см., например, в «Элементарной геометрии» Н. А. Глаголева, ч. 1, стр. 212).

При формулировке задач на тела вращения, рассматривая многоугольники как линию, часто придают термину «площадь» значение части плоскости вместо числа, определяющего размер этой части плоскости. Это можно встретить в учебнике геометрии А. П. Киселева на странице 80, где без всякой оговорки в упражнениях 8, 9 и 12 под площадью подразумевается часть плоскости (вычислить поверхность, образуемую контуром квадрата, и объем, образуемый площадью квадрата). Часто применяется слово «площадь» не в своем прямом значении и в курсах высшей математики (В. А. Кудрявцев и Б. П. Демидович, Краткий курс высшей математики, 1949, стр. 284; Грэнвиль и Лузин, Курс дифференциального и интегрального исчисления, ч. 2, стр. 147; Г. Н. Берман, Сборник задач к курсу математического анализа для втузов и др.).

Совершенно отсутствовала бы необходимость распространять наименование «площадь» на часть плоскости, если определять многоугольник как часть плоскости, а не как ломаную линию.

Особенно ярко проявляется неудобство определения многоугольника как ломаной линии при формулировке задач на отыскание центра тяжести геометрических фигур.

Так, например, если понимать треугольник как часть плоскости, то его центр тяжести — точка пересечения его медиан; если же под треуголь-

ником мыслить замкнутую линию, то его центром тяжести служит точка пересечения биссектрис треугольника, вершины которого лежат на серединах сторон данного треугольника.

Никакой неопределенности в формулировках той или иной из этих двух задач не будет, если треугольник считать частью плоскости, а ломаную, его ограничивающую, как контур. В одном случае будет идти речь о центре тяжести треугольника, в другом — о центре тяжести контура треугольника.

Примером неопределенности в формулировке понятия о центре тяжести треугольника служит текст и указание к упражнению 11 на странице 75 учебника элементарной геометрии Н. А. Глаголева, ч. 1, 1953. В этом учебнике, как было уже выше сказано, треугольник определяется как линия; формулировка задачи 11 гласит: найти геометрическое место центров тяжести треугольников с заданным основанием с и данной высотой h.

По тексту задачи надо находить геометрическое место центров тяжести, согласно определению треугольника, — замкнутых ломаных линий, а согласно ссылке в указании к задаче на теорему Фалеса — в задаче треугольник понимается как часть плоскости.

Такие же соображения, которые только что приведены относительно треугольника, следует иметь в виду и для других фигур: надо различать центр тяжести фигуры как части плоскости и центр тяжести контура фигуры.

В курсах методики тоже рекомендуется, хотя исходя и из нескольких иных соображений, определять плоскую фигуру как часть плоскости (Н. М. Бескин, Методика геометрии, 1947, стр. 84, и С. Е. Ляпина, 1952, стр. 381).

Повидимому, со всех точек зрения такое определение в элементарной геометрии наиболее приемлемо.

Вообще следует пересмотреть некоторые основные определения в учебниках геометрии как с точки зрения их строгости, так и с точки зрения их методической целесообразности. В тех же случаях, когда для краткости речи наименование применяется не в прямом его значении («периметр» вместо «длина периметра», «треугольник» вместо «контур треугольника», «сторона» вместо «длина стороны», «поверхность» вместо «площадь поверхности» и т. д.), надо непременно делать соответствующую оговорку.

К ВОПРОСУ О ШКОЛЬНОМ ИЗЛОЖЕНИИ ТЕОРИИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

К. А. РУПАСОВ (Елец)

В XIX и начале XX в. в учебниках алгебры господствовал формально-логический (условно-отвлеченный) метод изложения теории положительных и отрицательных чисел.

Этот метод был основным и в распространенном у нас учебнике алгебры А. П. Киселева, и только в 1911 г. (в 23-м издании учебника) под влиянием критиков А. П. Киселев вынужден был отказаться от этого метода.

При формально-логическом методе введения отрицательных чисел обоснование действий над ними осуществляется в соответствии с принципом перманентности, а именно: всякий раз когда в имеющемся числовом множестве какое-либо действие не всегда выполнимо, производится расширение понятия числа. При расширении понятия числа вводятся определения равенства и неравенства новых чисел и действий над ними.

Все эти определения должны удовлетворять принципу перманентности, а именно:

a) расширенное множество чисел должно содержать как часть множество «прежних чисел»;

b) в расширенном множестве должны быть выполнимы те же действия, которые выполнимы в прежнем числовом множестве; эти действия должны подчиняться тем же законам, которым они подчиняются в прежнем множестве;

c) если над числами прежнего множества выполняются действия по правилам, установленным в расширенном множестве, то должен получиться тот же результат, который получится при выполнении тех же действий над данными числами в прежнем множестве.

d) данное действие, не всегда выполнимое в прежнем числовом множестве, в расширенном

множестве должно оказаться выполнимым (и притом однозначно).

Многие методисты в свое время резко критиковали применение условно-отвлеченного (формально-логического) метода изложения теории отрицательных чисел в школьном преподавании. Критикуя условный метод в преподавании алгебры, эти методисты утверждали, что формальное определение отрицательных чисел представляет для учащихся огромные, почти непреодолимые трудности, а потому предлагали вводить отрицательные числа, исходя из рассмотрения конкретных задач и различного рода графических иллюстраций.

Так, например, К. Ф. Лебединцев рекомендует вводить отрицательные числа на примере конкретной задачи. Он берет задачу: Гребец отъехал в лодке в правую сторону от пристани, против течения реки и проплыл а сажен, затем перестал грести, и течение снесло его назад на b сажен. На каком расстоянии и по какую сторону от пристани находится он теперь?

Далее К. Ф. Лебединцев рассматривает формулу решения задачи х = а — b и устанавливает, что задача не теряет смысла и дает вполне определенный ответ и при а < b. Такое изложение обеспечивает понимание некоторой необходимости введения отрицательных чисел, что с методической точки зрения является очень ценным.

При ознакомлении учащихся с действиями над положительными и отрицательными числами К. Ф. Лебединцев рекомендует использовать задачи и графические иллюстрации.

В своем стремлении устранить условно-отвлеченный метод из школьного преподавания и конкретизировать понятие об отрицательных числах и действиях над ними К. Ф. Лебединцев не был одиноким. В разное время на страницах педагогических журналов появлялись статьи, в которых крупные методисты того времени высказывали свое отрицательное отношение к условному методу.

Так, например, М. Попруженко в статье, носившей название «Оскудение», резко высказывается против условного метода в изложении теории отрицательных чисел*. Статья «Оскудение» была посвящена критике алгебры Гензеля и Цытовича. М. Попруженко, не соглашаясь с авторами в вопросе изложения ими отрицательных чисел, рекомендует изложение Э. Бореля, которое основывается на графических представлениях и на понятии о противоположных величинах.

В 1906 г. в журнале «Вестник опытной физики и элементарной математики» появилась статья А. Н. Шапошникова под названием «Разговорный метод в алгебре».

Автор статьи, критикуя условный метод, называет его «разговорным», так как при пользовании этим методом учащиеся в надлежащих случаях говорят те или иные фразы, смысл которых им не понятен. А. Н. Шапошников указывает, что если бы доказывалась непротиворечивость вновь вводимых условий с прежними определениями, то условный метод обладал бы строгой научностью. Но так как такие доказательства в школьных учебниках не проводятся, то условный метод введения новых чисел нельзя признать научным.

В 1912 г. вышла брошюра Н. А. Шапошникова «Критические заметки по вопросам математики в связи с преподаванием ее». Автор брошюры, защищая свои учебники, которые попали под запрет Ученого комитета Министерства народного просвещения, весьма решительно и обоснованно критикует условный метод.

А. Н. Шапошников и Н. А. Шапошников критиковали условный метод и в ряде других своих работ.

С весьма острой и решительной критикой условного метода выступил на II Всероссийском съезде преподавателей математики Е. Кедрин. В докладе «По поводу нового взгляда на значения условных выражений в математике» Е. Кедрин указывает, что такие, например, выражения, как а⋅0, a0, а⋅(—b), из первоначального определения умножения не вытекают и сами по себе не имеют никакого определенного смысла, а потому относительно их значений мы делаем известные соглашения, лишь бы они были целесообразны. Так, например, выражение а⋅0 мы считаем равным нулю, чтобы сохранить для этого произведения закон переместительности, так как тогда а⋅0 будет равно 0⋅а. Е. Кедрин указал на то, что учебник алгебры Киселева испещрен совершенно произвольными соглашениями («условились разность между двумя равными числами считать равной нулю», «условились произведение двух сомножителей брать со знаком + , если сомножители имеют одинаковые знаки» и т. д., и т. д.). Подобное изложение Е. Кедрин считает с методической точки зрения недопустимым.

Крайне резко критикуя условный метод, Е. Кедрин говорил: «Какое мучительное недоумение должно возникать у него (у ученика. — К. Р.): почему устанавливается именно это, а не иное соглашение?!».

В 1916 г. в журнале «Вестник опытной физики и элементарной математики» была напеча-

* «Вестник опытной физики и элементарной математики», 1904, № 361.

тана статья И. А. Гибша под выразительным названием «Один из «проклятых» вопросов в области педагогики начальной алгебры». Автор статьи, анализируя изложение рациональных чисел в «Курсе алгебры для средних учебных заведений» приват-доцента Новороссийского университета Д. А. Агура, высказывает ряд замечаний о школьном изложении теории рациональных чисел. Рассуждения автора статьи сводятся к тому, как объяснить учащимся сущность действия над рациональными числами и обеспечить устранение тех естественных недоумений, которые возникают у учащихся при изучении этого вопроса.

Несмотря на то, что с момента появления этой статьи прошло около 40 лет, «проклятый» вопрос попрежнему привлекает к себе внимание методистов-математиков, т. е. и в наши дни вопрос о школьном изложении положительных и отрицательных чисел не потерял своей значимости. Так, например, И. В. Арнольд в пособии для учителей «Отрицательные числа в курсе алгебры» писал: «Обилие и разнообразие относящихся сюда способов изложения и методических приемов, предлагаемых различными авторами, свидетельствуют о неизменной актуальности вопроса и о том, что удовлетворительное его разрешение еще не достигнуто».

Мы добавим, что появление работы И. В. Арнольда также свидетельствует об актуальности этого вопроса.

Некоторые авторы учебников алгебры, пытаясь конкретизировать отрицательные числа, пользовались при изложении учащимся теории отрицательных чисел явно неправильными иллюстрациями. Такие неправильности имеют место, например, в «Алгебре для экстернов» А. В. Португалова*.

Так, желая показать, из какой задачи может получиться равенство 10 — (— 3) = 13, автор придумал следующий пример: «Если у кого есть 10 рублей капитала и 3 рубля долга, то, уничтоживши каким-либо образом этот долг (например, долг может быть прощен кредитором), имущество этого лица будет равно 13 рублям против прежних десяти, когда существовал при них долг в 3 рубля».

На абсурдность этого примера впервые обратил внимание К. Ф. Лебединцев. По этому вопросу он писал:

«Нетрудно видеть, что человек, обладающий 10 рублями капитала и 3 рублями долга, имеет чистого капитала 7 рублей, а если долг ему будет прощен, то имущество его будет равно 10 рублям, а никак не 13**.

Было время, когда некоторые авторы полагали, что «правило знаков» при умножении отрицательных чисел конкретизировать нельзя. Так, например, А. В. Португалов в своем учебнике алгебры пишет: Для начинающих изучать алгебру это («правило знаков».—К. Р.) кажется весьма странным, в особенности если под отрицательными числами мы захотим подразумевать долг. Выходит так, что долг, умноженный на долг, дает вдруг капитал. Объяснить это явление каким-либо наглядным примером нет возможности»***.

Интересно, какую конкретную задачу мог бы придумать А. В. Португалов, для решения которой нужно было бы «умножить долг на долг»?

Были и противники графического истолкования отрицательных чисел. Так, например, В. Г. Фридман в своем учебнике алгебры**** свойства отрицательных чисел выводит из свойств положительных чисел. Так, например, разность 5—7 В. Г. Фридман находит так:

5 — 7 = 5 — (5 + 2) = 5 — 5 — 2 = — 2.

Являясь противником графического истолкования отрицательных чисел, В. Г. Фридман в предисловии к своему учебнику алгебры пишет:

«...такой (графический. —К. Р.) способ изложения вовсе не так прост и нагляден или легок, как это могло бы казаться с первого взгляда, а во-вторых, при таком изложении является необходимость показать, что те отрицательные числа, которые получаются при решении уравнений и вообще при алгебраических преобразованиях, подчиняются тем же правилам действий, что и графически истолкованные отрицательные числа».

Вывод свойств отрицательных чисел из свойств положительных чисел, конечно, не выдерживает никакой критики. Что касается графического способа истолкования отрицательных чисел, то он, как показывает и наш личный опыт, не вызывает у учащихся недоумений, этот способ чрезвычайно нагляден и убедителен, он прост и легок.

Критика условного метода на страницах педагогической печати и появление в 1909 г. первой части «Курса алгебры» К. Ф. Лебединцева заставили А. П. Киселева в 23-м издании

* А. В. Португалов, Алгебра для экстернов, Киев, 1904.

** «Педагогическая мысль», Киев, 1905, вып. 2, стр. 2—3 отдела библиографии.

*** А. В. Португалов, Алгебра для экстернов, Киев, 1904.

**** В. Г. Фридман, Концентрический учебник алгебры, ч. I, Москва, 1913.

своего учебника алгебры отказаться от условного метода в изложении отрицательных чисел.

О влиянии К. Ф. Лебединцева на 23-е издание учебника алгебры А. Киселева свидетельствует, например, такое высказывание В. Г. Фридмана на II Всероссийском съезде преподавателей математики:

«...начиная с 23-го издания своего учебника, г. Киселев радикально изменил изложение вопроса об относительных числах. С легкой руки г. Лебединцева вводятся графические и иные истолкования относительных чисел...»

23-е издание учебника алгебры Киселева вышло в 1911 г. В предисловии к этому изданию автор писал:

«Прежняя, искусственно введенная, условность в изложении отрицательных чисел теперь устранена; в настоящем издании числа эти рассматриваются конкретно как символы для выражения величин, имеющих «направление», т. е. таких величин, которые могут быть понимаемы в двух противоположных смыслах. Хотя в таком виде изложение теряет ту краткость, которую оно имело прежде, но зато оно в значительной степени выигрывает в ясности и в легкости усвоения»*.

Общеизвестно, что научные определения (именно определения, а не определение!) понятия отрицательного числа охватывают следующие положения:

1) введение символов для обозначения новых чисел; так, например, для обозначения положительных и отрицательных чисел предлагались в разное время такие символы:

2) определение равенства и определение неравенств;

3) определение арифметических действий.

Все эти три момента в определении понятия отрицательного числа весьма выпукло представлены в книге С. И. Новоселова «Алгебра и элементарные функции».

В самом деле, автор пишет так:

«Всякому положительному рациональному числу а поставим в соответствие новый объект, обозначаемый символом — а. Так, например (в силу установленного соответствия), числу 1 соответствует — 1, числу 3 соответствует —3, числу 1/3 соответствует — 1/3.

Эти объекты будем рассматривать как новые числа и назовем их отрицательными рациональными числами.

Этого определения недостаточно (подчеркнуто нами. — К. Р.) для характеристики понятия отрицательного числа, так как нами пока еще не установлено никаких взаимоотношений, связывающих «новые числа» между собой и со «старыми числами"».

Далее автор вводит ряд определений, позволяющих сравнивать между собой рациональные числа, а затем определяет действия над рациональными числами.

Таким образом, здесь налицо все три момента определения понятия отрицательного числа.

Рассмотрим, как авторы современных школьных учебников и пособий алгебры вводят понятия об отрицательных числах и определяют действия над ними и какое отражение в новых учебниках алгебры находят перечисленные выше три момента в определении понятия отрицательного числа.

а) П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, Алгебра. Пособие для средних школ, ч. I, Учпедгиз, 1940.

В этой книге понятие об отрицательных числах дается в результате рассмотрения вопроса об измерении изменений величин. Устанавливается, что «известных из арифметики положительных чисел недостаточно, чтобы выражать изменения величин без дополнительных приписок «увеличение», «уменьшение».

Авторы указывают, что известные учащимся положительные числа употребляются только для выражения увеличения. Для выражения уменьшения величины вводятся новые числа — отрицательные.

Авторы рассматривают два примера: изменение высоты подъема аэростата и изменение вклада на сберегательной книжке.

При таком способе введения отрицательных чисел в книге дается простое объяснение, почему при обозначении отрицательных чисел употребляется знак минус: «В нашем примере со сберегательной книжкой каждое увеличение вклада (приход) прибавляется к уже имеющемуся вкладу, а каждое уменьшение вклада (расход) вычитается из вклада... Поэтому, уменьшение вклада и обозначается тем же знаком, как и действие вычитания».

Изложение вопроса о введении отрицательных чисел авторы резюмируют следующим образом:

«Положительные числа служат для выражения увеличения величин. Для выражения уменьшения величин вводятся новые отрицательные числа. При этом каждому положительному числу а соответствует свое особое отрицательное число — a, выражающее уменьшение на а единиц измерения».

* А. Киселев, Элементарная алгебра, 23-е изд., стр. III предисловия.

Таким образом, авторы рассматривают положительные и отрицательные числа как меру изменения величины (увеличения или уменьшения).

Хорошо вводится в этом руководстве алгебры понятие об абсолютной величине чисел: «Абсолютной величиной положительного числа называется само это число. Абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Абсолютной величиной числа нуль называется само число нуль». Изложение этого вопроса в последнем издании учебника алгебры А. П. Киселева приведено в полное соответствие с рассматриваемой нами концепцией.

Смысл неравенства для любых рациональных чисел авторы разъясняют при помощи числовой прямой.

Правила сложения и вычитания любых рациональных чисел авторы выводят на основе введенного ими конкретного истолкования отрицательных чисел.

В учебнике П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова изложение вопроса об умножении рациональных чисел дается без предварительной конкретизации. Сначала авторы дают общее правило:

Произведение двух множителей равно:

1) произведению абсолютных величин множителей, если оба множителя положительны или оба множителя отрицательны;

2) произведению абсолютных величин множителей, взятому со знаком минус, если один из множителей положителен, а другой отрицателен;

3) нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю»*.

Из этого правила выводятся различные следствия, а затем рассматриваются основные свойства умножения.

Таким образом, авторы этого руководства придерживаются традиционной точки зрения на вопрос о введении «правила знаков».

Только ниже П. С. Александров и А. Н. Колмогоров пишут: «В следующей главе мы увидим, что это правило установлено в полном соответствии с потребностями, возникающими при решении практических задач. Сейчас же следует его просто запомнить и разобраться в вытекающих из него следствиях»** (подчеркнуто нами. — К. Р.).

К. Ф. Лебединцев по поводу такого введения правила знаков при умножении говорил следующее: «Такой прием находится в соответствии с научными взглядами: так называемое «правило знаков» есть, в сущности говоря, определение произведения; но с педагогической точки зрения такой прием никак не может быть оправдан, так как учащиеся, естественно, спросят, с какой же целью принимается подобное условие»***.

В. М. Брадис, комментируя в своей «Методике преподавания математики» изложение П. С. Александровым и А. Н. Колмогоровым вопроса об умножении рациональных чисел, указывает, что авторы начинают с общего правила умножения, а затем только переходят к конкретным приложениям по той причине, чтобы уменьшить опасность смешения определения с доказательством.

Мы полагаем, что если такая опасность есть, то ее легко избежать при правильном применении конкретно-индуктивного метода. Да и сам В. М. Брадис признает, что «Добиться ясности в понимании того, что определяется и что доказывается, необходимо, но на первых порах здесь, как и всегда, нужно обеспечить правильное понимание смысла операции в конкретных частных случаях, гораздо лучше достигающих сознания учащихся, а детали общих формулировок лучше отделывать при подведении итогов работы по данной теме и при повторении»****.

Таким образом, В. М. Брадис указывает на необходимость конкретизации при введении «правила знаков».

b) Д. К. Фаддеев и И. С. Соминский, Алгебра, ч. I. Пособие для учителей семилетней школы, Учпедгиз, 1951.

Характерной особенностью этого пособия является то, что в нем даются различные методы введения отрицательных чисел, а именно:

1) вычитание из меньшего положительного числа большего;

2) применение отрицательных чисел при описании изменения переменной величины;

3) применение отрицательных чисел к измерению величин, изменяющихся в двух противоположных направлениях;

4) изображение чисел в виде точек на прямой линии.

Такой подход к введению понятия отрицательного числа нам представляется весьма целесообразным. Другое дело, стоит ли различные конкретные истолкования понятия отрицательного числа использовать при построении всего школьного курса теории рациональных чисел.

* П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, Алгебра, 1940, ч. 1, стр. 60.

** Там же.

*** «Математическое образование», 1912, № 2, стр. 77.

***** В. М. Брадис, Методика преподавания математики в средней школе, Учпедгиз, 1954, стр. 224.

Возможно, что, следуя совету В. М. Брадиса, лучше подробнее рассмотреть одно какое-нибудь истолкование и при выводе различного рода правил обращаться в первую очередь к выбранному конкретному истолкованию.

Ряд положений, выдвигаемых в рассматриваемом пособии, можно считать спорными.

Так, например, авторы пишут:

«Дадим теперь точное (подчеркнуто нами. — К. Р.) определение отрицательного числа.

Каждому положительному числу сопоставляется число, называемое отрицательным. При этом считается, что добавление к какому-либо числу отрицательного числа равносильно вычитанию соответствующего положительного*».

Если это пишется для учащихся, то едва ли педагогические соображения позволят в школе пользоваться этим определением. Если для учителей, то «точность» этого определения можно поставить под сомнение.

Сравнению чисел по величине в этом учебнике даются геометрические истолкования (при помощи числовой прямой). В «Алгебре» Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского сначала дается правило умножения положительных и отрицательных чисел, а затем авторы указывают, что сформулированное правило представляет собой определение и не может быть доказано. И далее пишут: «Однако легко на примерах показать его целесообразность». Здесь же приводятся соответствующие примеры (используется уравнение равномерного движения s = v⋅t).

Больше того, целесообразность правила умножения рациональных чисел оправдывается авторами еще и тем, что при этом правиле сохраняются законы действий, сформулированные ранее для положительных чисел. Таким образом, изложение Д. К. Фаддеевым и И. С. Соминским вопроса об умножении положительных и отрицательных чисел, как нам кажется, с педагогической точки зрения вполне оправдано.

с) А. П. Киселев, Алгебра, ч. 1, изд. 28, Учпедгиз, 1954.

Так как в этот учебник постепенно вносятся некоторые новшества, то считаем необходимым остановиться на одном из них.

В прежних изданиях этого учебника давалось следующее определение абсолютной величины рационального числа: «Абсолютной величиной относительного числа называется это число, взятое без знака». В последующих изданиях учебника (начиная с 26-го) приводится вполне научное определение: «Абсолютной величиной положительного числа называется само это число.

Абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Абсолютная величина нуля есть нуль».

Введение научной трактовки понятия абсолютной величины числа в школьный учебник нужно приветствовать. Но беда в том, что новая формулировка была внесена в текст без связи с ним, а потому образовался порочный круг: определение абсолютной величины отрицательного числа опирается на понятие противоположного числа, но определение противоположного числа дается ниже и в свою очередь опирается на понятие абсолютной величины числа**.

По вопросу о том, как авторы методических пособий трактуют вопросы школьного изложения теории рациональных чисел, нам хотелось бы сделать несколько отдельных замечаний.

Общеизвестно, что методика преподавания математики — молодая наука. Советские учителя математики, основываясь на общих принципах советской педагогики, вносят много нового в методику преподавания математики. Над усовершенствованием методики преподавания математики работают и многие наши научные работники.

И очень досадно, когда в различного рода методические пособия для учителей математики проникают надуманные, искусственно созданные в «тиши кабинетов» методические приемы. Часто бывает и так, что в советскую методику преподавания математики некритически переносится наследие прошлого.

Приведем некоторые примеры по затронутым в нашей статье вопросам.

а) И. В. Арнольд в книге «Отрицательные числа в курсе алгебры*** в целях конкретизации отрицательных чисел и действий над ними рекомендует использовать весы особой конструкции. Если на чашку этих весов положить груз, то стрелка весов поднимется вверх, если же к чашке весов прикрепить воздушный шарик, который потянет чашку весов вверх, то стрелка будет опускаться вниз. Автор книги допускает, что такие весы могут найти в школе «широкое использование в качестве наглядного пособия» (?!— К. Р.). Для целей первоначального ознакомления с отрицательными числами И. В. Арнольд отдает «схемам весов с шариками... предпочтение перед обычной геометрической интерпретацией».

При помощи своих весов автор так интерпретирует сложение и вычитание рациональных

* Д. К. Фаддеев и И. С. Соминский, Алгебра Учпедгиз, 1951, стр. 38.

** В издании 1955 г. этот недочет устранен. — Ред.

*** Проф. И. В. Арнольд, Отрицательные числа в курсе алгебры, изд. АПН РСФСР, 1947.

чисел. «Мы можем рассматривать прибавление положительного числа как увеличение числа гирек, а прибавление отрицательного числа как присоединение соответствующего числа шариков, равносильное снятию такого же числа гирек (если они есть)... Вычитанию положительного числа отвечает снятие гирек... или, что во всех случаях равносильно этому в смысле действия на показания стрелки — присоединение шариков, что возможно всегда. Вычитанию отрицательного числа отвечает снятие шариков (если прицеплено достаточное число их) или равносильное добавление гирек (что возможно всегда)». Напомним, что все время идет речь о воздушных шариках!

Автор этих строк питает глубокое уважение к памяти И. В. Арнольда, но вместе с учителями, которым знакома книга И. В. Арнольда, должен заявить, что как сама конструкция предлагаемых весов, так и приведенное выше рассуждение, есть не более и не менее, как свидетельство полного отрыва от школьной практики, от запросов учителей.

Мы считаем, что в книге И. В. Арнольда содержатся нежизненные, надуманные интерпретации отрицательных чисел. В самом деле, какой же человек, знающий школу, будет к чашке весов привешивать воздушные шарики и класть на нее гири! Для истолкования отрицательных чисел в достаточном количестве имеются соотношения, которые можно взять из реальной действительности.

b) Н. С. Истомина в книге «Планы уроков по алгебре в VI классе»* хотела отойти от того определения абсолютной величины относительного числа, которое давалось в прежних изданиях учебника Киселева. Она вводит такое определение: «Число единиц и долей единицы, входящих в число, которое соответствует данной величине, называют абсолютной величиной числа». Здесь вместо ясного и вполне доступного учащимся научного определения абсолютной величины относительного числа (мы сохраняем термин «относительное число» только потому, что он существует еще в программе) дается неудобоваримый суррогат. Едва ли вводимое Н. С. Истоминой «новшество» можно рекомендовать учителю.

Можно предполагать, что Н. С. Истомина следовала за К. Ф. Лебединцевым, у которого в «Руководстве алгебры» можно найти такое определение: «Число, показывающее, сколько именно заключается в данном относительном числе одноименных с ним единиц и их долей, называется абсолютной величиной этого алгебраического числа». Возможно, что это определение лучше, чем определение А. П. Киселева (число «без знака»), но формулировка Н. С. Истоминой не выдерживает никакой критики.

В этой же книге дается такое конкретное истолкование умножения отрицательного числа на отрицательное:

«(—6), (-2/3). Найти— 2/3 от долга в 6 руб. и эту часть долга взять вычитаемым. А вычесть долг — это все равно, что прибавить наличные деньги; поэтому результат должен быть положительным».

Мы полагаем, что предложение вместо повторного сложения рассматривать повторное вычитание есть «не более чем фокус».

в) В «Методике преподавания математики» под редакцией С. Е. Ляпина** теория положительных и отрицательных чисел строится в самой непосредственной связи с числовой осью. Авторы глубоко правы, полагая, что наглядность — единственная вполне надежная опора при первоначальном изучении положительных и отрицательных чисел в их взаимном сопоставлении.

Таким образом, в основу изложения теории «относительных чисел» авторы положили один из главнейших принципов дидактики. Больше того, в основу положен именно тот дидактический принцип, соблюдение которого наиболее соответствует психологии и возрастным особенностям учащихся VI класса.

Рассмотрим, как этот принцип авторы реализуют в своей книге. Они вводят отрицательные числа так:

«Представим себе, что на числовом луче с началом О вправо, как обычно, отмечены точки 1, 2, 3 и т. д., соответствующие числам натурального ряда. Предположим луч в противоположную сторону, влево, получим прямую линию. От точки О влево отложим отрезки, равные 1, 2, 3 и т. д., и отметим концы отрезков числами —1,-2, —3 и т. д.

Таким же образом можно поступить и с дробными числами...».

Итак, концы отрезков отмечаются числами — 1, —2, —3 и т. д.

Мы сомневаемся, что эти «концы отрезков» учащиеся VI класса будут рассматривать как числа. Дело в том, что «учащиеся привыкли представлять себе число как символ, которому может соответствовать значение какой-либо величины, вообще некоторая реальность; для них понятен смысл числа 10, так как с этим числом может быть связано представление о 10

* Н. С. Истомина, Планы уроков по алгебре в V классе, Учпедгиз, Москва, 1954.

** «Методика преподавания математики». Пособие для учительских институтов, под общей редакцией С. Е. Ляпина, Учпедгиз, 1952.

пальцах, 10 яблоках и т. д.; также понятным является и число 3/4 так как с ним связывается представление о 3/4 листа бумаги, 3/4 часа и т. д., но как могут они усвоить себе смысл числа — 3, если ему не соответствует никакого предмета или явления, свойства которого могли бы быть при помощи этого числа выражены?

При таких условиях теория отрицательных чисел является в их глазах попыткой истолкования и замены чего-то невозможного чем-то непонятным и закладываются первые зерна того сомнения, которое впоследствии разрастается в формулу: «алгебра — это ряд каких-то странных логических фокусов»*.

Слов нет, что в изложении авторов книги каждому отрицательному числу соответствует некоторая реальность (длина отрезка и его направление), но все же едва ли в школе можно вводить понятие о числе как о конце отрезка**.

Здесь надо что-то еще переработать. Если первые трудности будут преодолены, то дальнейшее изложение вопроса о положительных и отрицательных числах при помощи числовой прямой представляет значительные удобства. Так, например, на всю числовую ось распространяется правило: между двумя различными числами а и b может быть поставлен знак < или > , смотря по тому, расположена ли точка а на числовом луче левее или правее, чем точка b. Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел при помощи числовой прямой получает наглядное истолкование. Стремления учителя математики должны быть направлены к тому, чтобы в воображении учащегося числовая прямая никогда не исчезала, чтобы при возникновении ошибок ученик всякий раз обращался к числовой прямой.

Однако при объяснении «правила знаков» при умножении авторы отказываются от конкретных истолкований. Случай произвольного множимого и целого положительного множителя трактуется в книге как повторное сложение. О случае отрицательного множителя авторы учебника пишут так:

«При умножении положительного числа на отрицательное число ( + 3)⋅(— 2) можно допустить справедливость закона коммутативности для произведения, т. е. что ( + 3)⋅(—2) = (—2)⋅( + 3), или постулировать, что ( + 3)⋅(-2) = (-6).

Мы решительно восстаем против догматического сообщения учащимся вновь вводимых условий, так как такой прием изложения не может быть оправдан. От учащихся можно всегда ожидать вопроса, с какой целью вводится новое условие. Едва ли преподаватель будет в своем ответе ссылаться на принцип перманентности, так как учащиеся его все равно не поймут.

Что касается применения закона коммутативности, то мы возражаем против этого приема. Дело в том, что определение умножения на отрицательное число еще не установлено, но уже используется закон переместительности, справедливость которого пока установлена только для случая положительных сомножителей. Такой прием умножения положительного числа на отрицательное число (с перестановкой сомножителей) осуждался еще в дореволюционной методике.

Краткий обзор взглядов на школьное изложение теории рациональных чисел приводит к выводу, что вопрос не получил еще удовлетворительного решения.

Наши предложения сводятся к следующему:

1) Следует издать методическую разработку школьной темы «Относительные числа». Образцом для такой методической разработки может служить методическое пособие для учителей А. Н. Барсукова «Первые уроки алгебры в VI классе».

2) В VI классе изложение вопроса об отрицательных числах следует всемерно конкретизировать. В программу старших классов следует включить тему «Развитие понятия числа», при изучении которой дать синтез всех идей, изложенных в младших классах.

* К. Ф. Лебединцев, Метод обучения математике в старой и новой школе, Москва, 1914, стр. 74—85.

** В учебнике алгебры А. П. Киселева этот вопрос изложен лучше, так как введено понятие о направленных отрезках. — К. Р.

КАК ВЕЛИК МИЛЛИОН

Д. Д. ГАЛАНИН (Москва)

Одной из важных задач при политехническом обучении является установление органической связи между знаниями, получаемыми учеником в разных школьных предметах. Значение этой связи вытекает из того, что надо научить учеников применять свои школьные знания в жизни, а для этого научить еще в школе применять знания одного предмета при изучении другого.

Ученик должен понять ценность приобретенных знаний, а это он может сделать, когда увидит, как знания одного предмета облегчают усвоение другого. Ученик должен глубоко понять значение для своей будущей жизни изучения каждого школьного предмета и увидать жизненную ценность образования, даваемого школой. Особенно это относится к таким предметам, как математика, знание которой нужно всюду, где идет речь о числах и вычислениях. На путях разработки приемов преподавания математики, дающих такие «применимые», «плодоносящие» знания, одной из важнейших задач является дать наглядные, жизненные представления о больших числах. Представление о миллионе, миллиарде и вообще о больших числах нужно на уроках геометрии и истории, физики и астрономии, оно полезно и для развития математического воображения.

Если часто говорят о геометрическом воображении, о развитии способности ученика мысленно представить себе те или иные геометрические соотношения, то с таким же правом можно говорить о «числовом» или «аналитическом» математическом воображении и, в частности, о способности представить себе величину числа в сравнении его с единицей.

В настоящей заметке мне как физику хочется поделиться с преподавателями математики несколькими приемами образования наглядного представления о величине миллиона, которые мне неоднократно приходилось излагать в ряде популярных лекций и статей, главным образом в связи с представлением о величине вселенной. Мне хочется это сделать, чтобы попытаться установить значительно более тесные связи между изучением учащимися физики и математики, чем те, которые, к сожалению, существуют в настоящее время.

I

Самое простое и достаточно наглядное представление о величине миллиона можно получить из сравнения длин миллиметра и километра. Наглядное представление о каждой из этих двух длин может быть получено учеником на основе жизненного опыта. О правильном представлении размера километра должен позаботиться не только преподаватель математики, но и преподаватель географии. С этой целью может быть использована любая экскурсия в природу или на предприятие, где встречается путь по шоссе с указателями километров или путь вдоль железнодорожного полотна. Многократное представление о размерах миллиметра ученик получает, конечно, при обращении с линейкой и клетчатой бумагой. Поэтому достаточно ученику сосчитать в метрических мерах длину километра, чтобы убедиться, что километр равен миллиону миллиметров. Это позволяет при указанных выше сведениях реально представить себе величину миллиона.

Географ также использует это соотношение и скажет, что при масштабе карты в 1: 1000 000 длина в один миллиметр на карте соответствует длине в один километр на местности.

II

Создав такое первое представление о величине миллиона, полезно предложить ученикам сосчитать, сколько суток составляет миллион секунд (11,6 суток), сколько лет составляет миллион часов? В связи с этим расчетом интересно указать, что от Земли до Солнца 150 000 000 километров. Следовательно, если лететь на Солнце с Земли на старом самолете, делающем 150 км в час, то путешествие займет только что полученное число лет. Если скорость самолета или ракеты увеличить в 10 раз—до 1500 км/час, то время убавится также в 10 раз.

Миллиард равен 1000 миллионам, поэтому числа секунд и часов, полученные для миллиона, по отношению к миллиарду увеличиваются в 1000 раз и приобретают уже поистине «астрономическую» величину.

Можно поставить перед учеником задачу — назвать и написать подряд все числа от единицы до миллиона; на это пойдет, считая по 2 секунды на цифру, 23,2 суток непрерывного счета или записи. Считать до миллиарда уже не хватит человеческой жизни...

«Работая» по 8 час. в сутки, на счет до

миллиона придется затратить времени в три раза больше — почти 70 суток или 2 1/2 месяца.

III

Если привлечь для изображения миллиона поверхность (величину двух измерений), то уже легко указать способ, позволяющий сразу окинуть глазом миллион. Для этого достаточно склеить из миллиметровой бумаги квадратный метр и повесить его в классе. В квадратном метре бумаги будет миллион клеточек в квадратный миллиметр. Ученики, конечно, должны не раз работать с миллиметровкой, и площадь в квадратный миллиметр должна быть для них привычной величиной, хорошо им знакомой.

Еще более малые размеры приобретает наша модель миллиона, если обратиться к пространственному изображению. В кубическом дециметре миллион кубических миллиметров — 1000 кубических сантиметров, а в кубическом сантиметре — 1000 кубических миллиметров.

В кубическом метре, модель которого из палочек полезно иметь в школе, кубических миллиметров будет уже миллиард.

Кубические миллиметры также полезно иметь как наглядное пособие; их нетрудно нарезать тонкой пилкой из куска чертежной линейки, подобрав ее толщину равной миллиметру. О большой точности изготовляемых кубических миллиметров заботиться не имеет большого смысла.

При таком приеме изучения миллиона ученики получают очень важное геометрическое представление о числовых соотношениях в пространстве одного, двух и трех измерений.

К одной и той же мере в миллиметр (линейный, квадратный, кубический) величина, в миллион раз большая, в пространстве двух измерений — квадратный метр, в пространстве трех измерений — кубический дециметр.

Чтобы еще больше помочь физике и химии при изучении учениками молекулярных явлений и коллоидов, было бы ценно дать представление о соотношении площади наружной поверности и объема кубического миллиметра, сантиметра, дециметра и метра. Однако на этом вопросе стоит более подробно остановиться в отдельной статье.

Внимательный читатель может заметить, какая методическая идея положена в основу предлагаемых изображений числа в миллион. Она сводится к тому, чтобы дать ученику некоторые «чувственные» образы, опираясь на которые он мог бы более уверенно строить отвлеченные числовые представления. Мне кажется, что эта методическая мысль о значении чувственных восприятий далеко не достаточно учитывается методикой математики. Политехническое обучение в области математики должно уделить эмпирической, опытной основе математики значительно большее внимание. Это будет соответствовать и идеям И. П. Павлова о значении первой сигнальной системы для развития второй и идеям, высказанным А. М. Горьким о том, что «руки учат голову».

Всякие средства, позволяющие отвлеченной мысли опереться на чувственные восприятия, методикой математики не должны быть забыты. Мы, преподаватели физики, давно оценили значение непосредственного опыта ученика и считаем невозможным без такого опыта вести политехническое обучение в физике.

ПОПРАВКИ

1) В номере 3 журнала за 1955 год на фотографии № 1 в тексте статьи Е. М. Гельфана «Проведение в классе и на местности практических работ по геометрии» вешки на полигоне расположены неправильно:

они должны прикалываться не перпендикулярно плоскости полигона, а строго вертикально.

2) В номере 5 журнала за 1955 г. на стр. 89 неправильно указаны инициалы автора «Об одной ошибке»: напечатано М. И. Лиман, следует М. М. Лиман.

ИЗ ОПЫТА

ОБУЧАЮЩИЙ ОПРОС НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ*

Заслуженный учитель школ РСФСР М. Н. ПОКРОВСКАЯ (Москва)

Как правило, в конце четверти учителя, ученики и администрация перегружены работой. Учителя спешат провести последние контрольные работы, переспросить отдельных учащихся, чтобы обеспечить объективность оценки за четверть, еще раз спрашивают учеников по просьбе классного руководителя или администрации. Бывают случаи, когда еще многие ученики не имеют достаточного числа оценок, позволяющего вывести итоговой балл. В чем причина скученности работы на конец четверти? Причины две: или учитель спрашивал в течение четверти малое число учеников и не каждый урок, или спрашивал каждый урок и подолгу держал их у доски.

Чтобы избежать этого, учитель должен отнестись к текущему опросу со всей серьезностью, должен правильно организовать его и выработать его методику.

I. Виды опроса и его воспитательное значение

— У вас интересно учиться, только очень трудно, — «в минуту откровенности» признался мне раз один из моих учеников.

— Вы как-то чудно спрашиваете. Хорошо уроки выучишь — не вызываете, а стоит только раз не выучить — обязательно спросите. Как нарочно!

Потом я узнала, что далеко не один этот ученик пострадал от неожиданностей в моем опросе, а потому во всем классе выработалось небесполезное для дела беспокойство. Это очень важно. Ученики изучают учителя, его привычки, его систему работы, и если в этой системе они обнаружат элементы штампа, схемы, то найдутся отдельные охотники использовать их; они составляют собственные «календари» опроса, строят свои «прогнозы», всячески лавируют, лишь бы только не учить каждый раз уроки. Поэтому учитель должен избегать всяких штампов, проявлять наибольшую гибкость, а порою изобретательность, чтобы разрушить все эти «прогнозы» и заставить всех, даже самых нерадивых учеников, каждый раз аккуратно выполнять домашние задания. Для стороннего или поверхностного взгляда это может показаться довольно мелкой целью. На самом же деле здесь кроется большой смысл— приучить учащихся к упорному, систематическому труду. А систематический труд воспитывает в свою очередь волю, настойчивость, внимание, тренирует память, — и частный, как будто бы, вопрос о системе опроса принимает очень важное значение.

В первые годы своей педагогической работы я переживала очень много неприятностей из-за недостатка оценок у моих учащихся. Не владея еще методикой опроса, я с трудом успевала опросить класс по одному разу за четверть главным образом потому, что жалела время на опрос. У меня выходило так, что от урока, от процесса обучения, которое я считала основным в своей работе, я отнимаю драгоценное время на проверку знаний одного-двух человек, не давая ничего нового остальным.

Только со временем я поняла, что опрос можно поставить таким образом, что он будет являться не потерей времени, а продолжением процесса обучения, его особой формой.

* Доклад, прочитанный на общем собрании преподавателей математики Киевского и Калининского районов и на годичных курсах Института усовершенствования учителей г. Москвы.

В повседневной педагогической практике приходится применять и чисто контролирующий опрос. Можно сказать даже больше: без него и нельзя обойтись, когда задача проверки знаний выступает на первый план. Например, в старших классах, когда на каждый раздел математики отводится очень мало часов, учитель вынужден, в целях выявления знаний учащихся, иногда прибегать к контролирующему опросу, устному или письменному.

Я лично провожу его так: на первые парты я вызываю 6—8 человек, им на индивидуальных карточках даю соответствующие вопросы и упражнения, которые и выполняются ими в письменном виде. Остальные ученики выполняют в это время самостоятельную работу.

Устный контролирующий опрос отдельно от всего класса приходится проводить и в некоторых исключительных случаях: если, например, учащийся заикается и не может отвечать перед всем классом. То же самое я делаю по отношению к очень слабым ученикам, беспомощность которых при ответах у доски может нервировать весь класс. Такого ученика я или оставляю для опроса после уроков, или спрашиваю в классе у стола, а остальным учащимся даю в это время самостоятельную работу.

Но в настоящее время обычной и даже излюбленной формой для многих преподавателей математики является обучающий опрос.

Сущность его заключается в том, что проверка знаний отдельных учащихся не занимает специального времени, не отрывает учителя от работы со всем классом и не прекращает проводимого на уроке процесса обучения и воспитания. Если при контролирующем опросе учитель занимается только с теми, которых он опрашивает, а весь класс к прослушиванию их ответов не привлекается, то при обучающем опросе, наоборот, проверку знаний одного учитель использует как возможность продолжения работы со всем классом, для повторения материала, или углубления и уточнения наиболее трудных вопросов программы, или для подведения учеников к восприятию новой темы.

В этом случае опрос, с успехом выполняя функции контроля и проверки знаний, становится в то же время и одной из форм процесса обучения.

При обучающем опросе к ответам одного ученика привлекается внимание всего коллектива. Обычно делается это таким образом.

К доске вызываются 2—3 ученика, и когда один отвечает у доски, остальные внимательно слушают, могут делать даже заметки в черновике, замечают недостатки, ошибки в ответе товарища. Затем учитель, обращаясь уже ко всему классу, предлагает указать ошибки в ответе стоящего у доски, внести поправки, дополнения, уточнения, указать недостатки чертежа, недостатки в оформлении записей и т. д.

При этом учащиеся должны знать, что преподаватель может спрашивать с мест не только тех, кто поднял руку, но и кто ее не поднял.

Подобное требование заставляет весь класс быть активным, способствует воспитанию внимания учащихся, позволяет учителю выставить за урок большее число оценок тем, кто помогал с места или показал отсутствие знаний по затронутому у доски вопросу.

Поскольку в этом случае любой учащийся может быть спрошен, школьники поставлены в необходимость готовить материал к каждому уроку, а это в свою очередь дает учащемуся, повторяю, жизненно важный и необходимый навык к повседневному, систематическому труду, воспитывает чувство ответственности.

Обучающий опрос при правильной его организации воспитывает также необходимые каждому советскому человеку качества личности: с одной стороны, уметь смело безбоязненно делать критические замечания своему товарищу, стоящему у доски, а с другой стороны, быть готовым самому выслушивать критику товарищей в свой адрес.

Учащиеся, если приучены к такой работе, делают с места иногда очень дельные замечания, дополняющие ответ вызванного к доске. Например, в одной из школ Киевского района г. Москвы в VI классе два ученика доказывали у доски признак равенства треугольников по трем сторонам; один — для тупоугольных треугольников с тупым углом при вершине, другой — то же для треугольников с тупым углом при основании.

По отношению к их ответам с места были сделаны следующие замечания:

1) «Он сказал неверно — наложим треугольники».

2) «На чертеже поставил те же буквы, что и в учебнике».

3) «Неточно сформулировал признак равенства треугольников».

На вопрос преподавателя: в чем заключается неточность? — последовал ответ:

4) «Он сказал: по двум сторонам и углу, но не сказал: «по углу, заключенному между ними ».

II. Образовательное значение обучающего опроса

Правильно поставленный и проводимый опрос имеет, наряду с воспитательным,

и большое образовательное и учебное значение, облегчая учителю борьбу за прочные и глубокие знания учеников.

a) Большое значение имеет то обстоятельство, что дополнительные вопросы учитель здесь задает, собственно говоря, всему классу и отвечать на них должен уметь каждый. Это дает возможность учителю путем предварительного вдумчивого подбора вопросов добиваться углубления и уточнения знаний по теме.

Например, в VI классе по теме «Рациональные числа» задаются вопросы:

1) Почему четная степень рационального числа неотрицательное число?

2) В каких случаях нечетная степень рационального числа положительная?

В X классе при подведении итогов по теме «Тела, вписанные в шар и описанные около него» целесообразно поставить вопросы:

1) Сформулируйте необходимое и достаточное условие, при котором около пирамиды можно описать шар.

2) То же об условиях, при которых около призмы можно описать шар.

3) То же около усеченной пирамиды.

После прохождения темы «Тела вращения» можно дать при опросе иную характеристику образов, как геометрического места точек, постановкой, например, таких вопросов:

Что является: 1) геометрическим местом прямых, проходящих через данную точку, лежащую на данной прямой, и образующих с этой прямой равные углы? (Коническая поверхность.)

2) геометрическим местом прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от нее на одном и том же расстоянии? (Цилиндрическая поверхность.)

3) геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом? (Шаровая поверхность.)

4) геометрическим местом точек, сумма квадратов расстояний которых от двух данных точек постоянна? (Шаровая поверхность с центром в середине данного отрезка.) И т. д.

b) Обучающий опрос может выполнять и функцию повторения. Для этого следует учесть в вопросах элементы повторения при подготовке учителем плана опроса на уроке.

Например, при опросе учащихся по алгебре в VI классе, когда уже давно пройдена тема «Рациональные числа», полезно ставить, например, такие вопросы:

1) ab > 0; a/b < 0. Что можно сказать о знаках чисел а и b в том, а затем в другом случае?

2) Может ли выражение 1 + a2 принимать отрицательные значения?

В X классе при опросе по теме «Комплексные числа» один учащийся изложил вопрос о тригонометрической форме комплексного числа, другому, который рассказывал о действиях над комплексными числами в алгебраической форме, учитель перед всем классом ставит, например, такие вопросы:

1) Где расположатся в координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам, имеющим один и тот же аргумент?

2) Где расположатся все точки, соответствующие комплексным числам, имеющим один и тот же модуль?

3) Чему равен аргумент числа минус единица? И т. д.

Первому же задает, положим, такие вопросы:

1) Чему равно i12n + 3? (n — целое число, положительное.)

2) В каком случае сумма двух комплексных чисел есть число действительное?

3) Какое понятие шире — число комплексное или действительное число?

4) То же — число действительное или число рациональное? И т. д.

В VI классе при опросе по теме «Треугольники» учитель ставит дополнительные вопросы:

1) Каковы особенности в расположении высот в прямоугольном и в тупоугольном треугольниках?

2) Какие из главнейших линий в треугольнике всегда лежат внутри его?

3) Какая линия в треугольнике и когда может совпадать со стороной треугольника?

4) Какая линия может лежать вне треугольника и при каких условиях?

5) Приведите примеры, когда на практике используются свойства треугольника как жесткой фигуры? И т. д.

с) Опрос обучающий может служить подготовкой учащихся, подведением их к восприятию нового, которое будет дальше сообщено учителем.

Примеры:

При переходе к теме «Алгебраические дроби» учитель VII класса в процессе опроса может поставить следующие подводящие к этой теме вопросы:

1) Дайте определение арифметической дроби.

2) Каково главное свойство дроби?

3) Какие преобразования дробей выполняются на основании этого свойства? (Сокращение и приведение к общему знаменателю.) И т. д.

В VI классе перед доказательством свойства углов с соответственно перпендикулярными сторонами учитель задает вопросы:

1) Может ли быть угол с перпендикулярными сторонами?

2) Какой угол при этом получится?

3) Могут ли быть углы с соответственно перпендикулярными сторонами?

4) Постройте такие углы при помощи угольника.

В IX классе на уроке алгебры учитель собирается начать тему «Обобщение понятия о показателе степени»; тогда при опросе на этом уроке он спросит свойства степени с целыми положительными показателями.

Итак, обучающий опрос обеспечивает повторение и углубление пройденного материала и подготовку к восприятию нового.

III. Методика проведения опроса

a) Планирование. Прежде чем приступить к изучению новой темы, учитель предварительно планирует весь материал по теме, точно разбивает его по часам, готовит к каждому уроку домашние задания. Точно так же к каждому уроку учитель планирует и опрос.

В чем состоит планирование опроса?

1) Намечается, кого спросить;

2) какой кому поставить основной вопрос;

3) какие дополнительные вопросы.

Как учитель узнает дома, кого спросить следующий раз, если журнал остается в школе? Практика работы показывает, что учителю математики целесообразно иметь особую тетрадку учета знаний своих учеников, где у него будут все выставленные им оценки, а также отмечены ответы учеников на накапливаемые вопросы; например, правильные ответы — знаком «плюс», неправильные — «минус». Пользуясь этой тетрадкой, учитель может заранее наметить, кого спросить и о чем, а не будет в классе отыскивать по журналу нужные фамилии.

Пример такого плана опроса я приводила в своей статье «Воспитание внимания» в сборнике АПН «Вопросы методики математики в средней школе», 1954, стр. 71.

b) Как ставить вопросы. Вопросы целесообразно ставить всему классу. Например: «Сейчас я у вас спрошу признак делимости на 4 и нахождение общего наибольшего делителя. Вспомните, что вы знаете об этом, повторите в уме».

И только тогда, дав ученикам время подумать, учитель называет тех, кто должен идти к доске.

Мне приходилось наблюдать у товарищей, да и сама иногда делала ошибку, повторяя без нужды вопрос, поставленный перед классом.

Повторение вопроса, не вызываемое необходимостью, мешает воспитанию внимания учащихся, привычке их «ловить слово учителя»; кроме того, повторение вопроса мешает учащимся думать.

c) О вопросах учащихся. В одной из школ Киевского района г. Москвы некоторые преподаватели разрешают постановку дополнительных вопросов отвечающему у доски самими же учащимися с мест.

Трудно переоценить громаднейшее воспитательное значение такой формы работы: чтобы «придумать» на ту или иную тему дополнительный вопрос, учащийся должен дома повторить соответствующий раздел и очень глубоко продумать его.

d) Требования к содержанию вопросов. Вопросы, планируемые учителем к предстоящему опросу, включают прежде всего новый материал, заданный к уроку. Затем готовятся вопросы, касающиеся самого существенного или трудно усваиваемого из ранее пройденного.

Примеры. На уроках арифметики в V и VI классах учитель многократно возвращается к вопросу о порядке действий. В VI классах целесообразно чаще проверять понимание учащимися значения букв, постановкой, например, таких вопросов:

1) 2а — всегда ли четное число (при а — целом)?

2) а — положительное или отрицательное число?

3) Может ли быть a + b < a — b и когда?

4) |а| > |b|, можно ли сказать, что а > b? И т. д.

При опросе желательно задавать вопросы из ранее пройденного, но связанные с проверяемым материалом. Например, при проверке навыков в решении иррациональных уравнений хорошо восстановить в памяти учащихся знания по вопросу об арифметическом корне:

1) Каково значение √а2 — 6ab + 9b2?

2) √1 — x — какие значения может принимать x?

3) √1 + x + √3 — может ли равняться нулю?

Если учитель параллельно с прохождением нового проводит систематическое повторение материала прошлых лет или пройденного в предыдущих четвертях, то при вызове учащихся задаются и вопросы из повторения, хотя бы эти вопросы касались материала, не связанного с текущим.

Дополнительными вопросами проверяются как знания фактического материала: правила, определения, так и развитие логического мышления учащихся. Этому, между прочим, способствует требование учителя провести сравнение объектов полное (и сходство, и различие) или неполное (или только сходство, или только различие).

В минувшем учебном году мне пришлось быть в одной из московских школ. Там на уроках

в VI и VII классах я слышала вопросы такого характера. При переходе к теме «Умножение одночленов» преподаватель предлагает ученикам сравнить выражения a2 и a3. Что у них одинаковое? (Коэффициенты, основания степени.) Что различное? (Показатели степени.)

В VII классе на уроке геометрии учащимся предлагалось:

1) Перечислить различие и сходство в свойствах диагоналей ромба, не являющегося квадратом, и квадрата.

2) Перечислить, чем отличается прямоугольник, не являющийся квадратом, и квадрат.

Учащиеся отвечали: «У квадрата все стороны равны, а у прямоугольника попарно. У квадрата четыре оси симметрии, а у прямоугольника — две, у квадрата диагонали взаимно перпендикулярны, а у прямоугольника — нет. У квадрата диагонали — биссектрисы внутренних углов, а у прямоугольника — нет».

3) Сколько окружностей можно провести через две точки и каково общее свойство всех окружностей, проведенных через две данные точки? И т. п.

Полезны в этом отношении вопросы, требующие обобщения. Например, в том же VII классе ставился вопрос: «Какие геометрические места вы знаете?»

e) Требования к словесной формулировке вопросов.

Вопросы целесообразно задавать в ясной форме, исключающей возможность двусмысленного толкования их.

1) Дайте определение перпендикуляра к плоскости и сформулируйте признак перпендикулярности.

2) Сформулируйте определение параллельности двух плоскостей и признак параллельности.

Желательно, чтобы вопросом четко определялось и ограничивалось содержание требуемого ответа.

Нецелесообразна, например, постановка вопроса:

«Расскажите о четырехугольниках. Расскажите о параллелограмме».

f) Поведение учащихся. Желательно добиваться максимальной активности всего класса при опросе у доски, а также готовности к ответу с места; все учебники и записи по темам убираются со стола.

g) Поведение учителя. Очень большой выдержки требуют от учителя вялые, слабые или неправильные ответы школьников, умения выслушивать такие ответы до конца и не перебивать отвечающего. Одновременно учитель вынужден замечать все ошибки, воздерживаясь при этом от подсказывания, от вмешательства.

Опыт работы каждого из нас, а также инструктивное письмо Министерства просвещения требуют от учителя всемерного поощрения, одобрения хороших ответов, а также исправления ошибок в конце ответа при подведении итога.

IV. Оценки

По инструкции учащийся должен иметь за четверть 3—4 оценки. Как накопить такое количество оценок? Если за урок спрашивать по одному ученику подолгу, то многих оценок учитель недоберет. Ведь бывают уроки, полностью занимаемые учителем для объяснения нового материала, за обычный же урок он может спросить 3—5 человек: трое отвечают у доски, двум ученикам ставятся оценки за ответы с места на вопросы или за критику ответа товарища у доски. Учителю предоставляется возможность оценить участие ученика в процессе объяснения нового или повторения вновь объясненного. Иногда одному-двум ученикам учитель может поставить оценки за ответы на вопросы при проверке домашнего задания. Кроме того, в распоряжении учителя имеется возможность, как крайняя мера, воспользоваться контролирующим письменным опросом — вызвать на передние парты 6—8 человек и раздать им предварительно заготовленные карточки, включающие не только задачи или упражнения, но и вопросы теоретического характера.

Несколько слов о так называемом «уплотненном» опросе, когда к доске вызывается не один ученик, а сразу три.

Если учитель имеет большой опыт работы с учащимися, если он владеет хорошо развитым распределенным вниманием, то он имеет возможность пользоваться уплотненным опросом. Трем учащимся дается задание у доски, а пока те готовятся, учитель или проверяет у остальных домашние задания, или проводит устный опрос с места, или дает остальному классу очень небольшую по объему самостоятельную работу. Давать большую по объему работу, требующую для выполнения больше того времени, в течение которого первый учащийся успеет подготовиться, нецелесообразно, ибо момент переключения внимания класса с того, что они делали на месте, к тому, что делается у доски, является трудным в психологическом отношении и травмирующим нервную систему учащихся.

Иногда мы бываем скупы, опасаясь поставить оценку как бы «ни за что».

В одной из школ мне пришлось наблюдать такой факт. В VII классе объяснялся новый материал. Преподаватель с помощью вызванной ученицы решал на доске задачу на построение: «Найти центр данной окружности». После того как задача была решена так же, как и в учеб.

нике Киселева, другой ученик предложил свой способ решения задачи, а именно: вместо проведения двух хорд и двух перпендикуляров к ним из их середин предложил провести одну хорду и перпендикуляр к ней через ее середину, а затем, продолжив этот перпендикуляр до пересечения с окружностью в двух точках, разделить получившийся диаметр пополам. Вместо того чтобы поставить этому ученику за его «творческий» подход к решению задачи оценку «5» и обратить на это внимание всего класса, учитель просто посадил ученика на место, сказав: «И так можно решить». Учитель утерял оценку и случай привлечь внимание класса к самостоятельному творческому мышлению.

Последнее, на чем бы я хотела остановиться, это — требования к оценке. Прежде всего оценка должна быть объективной: если отличник не знает урока, не приготовил его без уважительных причин, целесообразно оценить его ответ «невзирая на лица» баллом «2», и наоборот, если слабый ученик дал полноценный ответ, ему принесет большую пользу и поддержку балл «5» или «4».

Очень обижаются учащиеся, и вполне законно, на учителя, когда он оценку по своему предмету снижает за нарушение школьником дисциплины на уроке. Это, конечно, совершенно недопустимое явление.

Если позволяет время во время урока, в крайнем случае после урока, учитель отмечает достоинства и недостатки в ответе учащегося и указывает ему, на что следует дальше обратить внимание.

ПОВТОРЕНИЕ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Р. Б. СРОДА (пос. Мумра Астраханской обл.)

Практика показывает, что повторение пройденного материала в том порядке, в каком он изучался, дает незначительные результаты. Такое повторение не привлекает внимания учащихся и даже часто вызывает противодействие с их стороны.

Мы считаем, что повторение — это не только воспроизведение и закрепление в памяти пройденного. Повторение — это:

a) установление связей между изучаемым и пройденным;

b) расширение и обогащение изученного материала;

c) систематизация и обобщение пройденного;

d) приложение изученного материала к практике.

I. Повторение, предшествующее объяснению нового материала

Мы полагаем, что неправильно начинать работу по изучению нового с отвлеченного правила. Гораздо полезнее, если изучение нового опирается на ранее пройденный материал.

Приведем примеры:

а) Тема «Сложение десятичных дробей». Изучение было начато не с объяснения правила, а с повторения необходимого материала: сложения многозначных чисел и обыкновенных дробей с одинаковыми и различными знаменателями, записи десятичной дроби в виде обыкновенной, и наоборот. Учащиеся должны были решить с обоснованием два-три упражнения.

И только после этого учитель приступил к объяснению нового.

b) Тема «Умножение многочлена на одночлен». Урок был начат с опроса свойств умножения, повторение которых было задано на предыдущем уроке. Внимание учащихся было задержано на распределительном свойстве умножения. Вначале было предложено решить несколько упражнений вида (15 + 34)⋅3, затем вида (13 + 24)⋅а.

Обычно одна часть учащихся выполняет сложение, а затем умножение, другая же — наоборот. Но если никто из учащихся не предлагал второго решения, то мы обязательно ставили вопрос: как можно иначе найти результат?

Цель вопроса — привлечь внимание учащихся ко второму способу решения: вначале выполнить умножение, а затем сложение.

Дальше следовало решение упражнений вида (15 + а)⋅3; (a + b).4 и (а + b)⋅m.

Решение упражнений помогло учащимся не только закрепить пройденное, но и правильно понять новое. На вопросы: как умножить многочлен на одночлен? на чем основан вывод этого правила? учащиеся дали верные ответы.

c) Тема «Формула (a + b)2».

Урок также был начат с повторения необходимого материала:

1) что называется степенью? основанием степени? показателем степени?

2) записать без показателя степени:

3) упростить и прочитать полученный результат:

4) повторение правила умножения многочлена на многочлен.

После этого было дано задание найти произведения двух одинаковых биномов. Результаты были записаны в виде таблицы:

d) Тема «Вписанный угол и его измерение». Изучению нового предшествовало повторение: определение угла, центрального угла и его измерение; свойство углов при основании равнобедренного треугольника; свойство внешнего угла треугольника. Повторение не ограничивалось только опросом правил, теорем, но там, где было необходимо, от учащихся требовалось сделать соответствующее построение.

Практика показала, что повторение, предшествующее изучению нового, не только закрепляет в сознании учащихся пройденное, но и помогает им лучше понять новое, более сознательно усвоить его. В силу сказанного, этому виду повторения мы уделяем серьезное внимание.

II. Повторение в процессе изучения нового

В самом процессе изучения нового кроются большие возможности повторения ранее пройденного материала. Остановимся на разделах, повторение которых мы считаем необходимым проводить на протяжении всего курса обучения.

1. Повторение действий над целыми и дробными числами. Для повторения этого материала при изучении различных тем было использовано нахождение числового значения алгебраического выражения. Так, при изучении сложения положительных и отрицательных чисел учащимся было дано задание: вычислить x = a + b + c + d, если

Аналогичные таблицы предлагались учащимся и при изучении остальных действий над положительными, отрицательными числами и нулем.

Эта работа продолжалась при изучении других тем: действия над одночленами и многочленами, алгебраическими дробями, радикалами и т. д. Приведем примеры заданий по некоторым темам:

а) Действия над многочленами: вычислить:

b) Разложение на множители: вычислить:

с) Действия над дробями: вычислить:

d) Действия над степенями: вычислить:

е) Действия над радикалами: вычислить:

Работа по нахождению числовых значений алгебраических выражений была систематиче-

ской. При проведении ее мы считали необходимым соблюдение следующих условий:

a) входящим в алгебраическое выражение буквам давать любые значения: целые и дробные, положительные, отрицательные и нулевые.

b) требовать от учащихся предварительного упрощения алгебраического выражения, а затем уже нахождения его числового значения;

c) требовать нахождения более простого решения, производить вычисления устно, если это целесообразно.

Помимо нахождения числового значения алгебраического выражения повторение действий над целыми и дробными числами было организовано при решении задач. В IX и особенно X классах данные в задачах обычно выражены в общем виде. Мы требовали от учащихся находить искомое не только в общем виде, но и при конкретных числовых данных.

Систематическое повторение действий над целыми и дробными числами помогает учащимся закрепить эти знания.

2. Свойства арифметических действий. Повторение свойств арифметических действий было начато с темы «Повторение пройденного в начальной школе». Учащимся предлагалось указать, как проще и на основании каких свойств действий можно вычислить выражения вида:

129 + (154 + 171), 278 — (205 — 122) и т.д.

В дальнейшем при решении упражнений от учащихся мы требовали, где это было целесообразно, применения свойств действий. Были использованы для повторения, например, такие таблицы.

Уменьшаемое

Вычитаемое

Разность

Увеличить на 3,4

не изменится

?

Уменьшить на 1 3/4

увеличить на 0,3

?

Не изменится

?

увеличить на 4,3

уменьшить на 3,5

?

увеличить на 1 2/3

Увеличить на 6 5/9

?

?

уменьшить на 2 5/7

увеличить на 3/4

уменьшить на 0,5

Такие таблицы применялись при изучении положительных и отрицательных чисел, одночленов и многочленов.

В V классе при изучении умножения смешанного числа на целое число мы считаем необходимым ознакомить учащихся с возможностью найти произведение, не прибегая к общему правилу, а используя свойство распределительности. Цель заключалась не только в том, чтобы закрепить это свойство, но и указать более рациональный путь для нахождения произведения смешанного числа на целое. Мы придерживались следующего порядка: в результате умножения дробной части смешанного числа на целое число получается: 1) целое число, например:

2) правильная дробь, например:

3) неправильная дробь, например:

Ценность этого приема и в том, что расширяется возможность применения устных вычислений, получается экономия времени, а главное — у учащихся вырабатываются навыки в поисках более простого решения. Приведем пример:

(Е. С. Березанская, Сборник задач по арифметике, № 1632).

Приводим начало решения:

Известно, что для сокращения дроби достаточно числитель и знаменатель разложить на множители, а затем уже делать сокращение. Но в ряде случаев сокращение дроби возможно выполнить, применив свойство распределительности деления.

В самом деле, почему ученик X класса сокращение дроби должен делать так:

Ясно, что указанное свойство деления позволяет сократить дробь на 2R, не разлагая числитель и знаменатель на множители. Это бо-

лее ценно, ибо учащиеся не только повторяют свойство распределительности, но видят, как применение ранее пройденного материала облегчает работу.

Эта работа начиналась с простых упражнений:

В более сложных упражнениях, например:

учащимся разрешалось письменно сделать промежуточное упрощение:

а дальше они должны были сделать сокращение дроби, применив свойство распределительности деления.

3. Разложение на множители. Мы считаем весьма полезным занятия в VII классе начинать с повторения темы «Разложение на множители», что значительно облегчает усвоение алгебраических дробей. В дальнейшем повторение этой темы проводилось систематически, что давало хорошие результаты.

Приведем примеры. Упростить:

В результате настойчивого требования найти более простое решение учащиеся предлагали дробь - сократить на 2x + 3. По сокращении выражение приняло вид:

Для дальнейшего решения учащиеся предложили два способа: 1) выполнить действия, указанные в скобках, и 2) применить свойство распределительности умножения. Оба способа были приняты. Сравнение их показало, что они оба равноценны.

Учащиеся после внимательного рассмотрения упражнения заявили, что первые два множителя в произведении дадут разность кубов. Тогда получим:

При известном навыке в устных вычислениях учащиеся могут получить окончательный результат: — 1/x.

Повторение разложения на множители производилось при изучении действий над радикалами. Приведем соответствующие примеры:

а) вынесение множителя за скобки:

b) применение способа группировки:

с) применение формул:

и др.

В дальнейшем от учащихся требовалось при решении различных упражнений обязательно применять эти приемы (если это было целесообразно).

Аналогично было организовано повторение и при изучении темы «Обобщение понятия степени», причем от учащихся требовалось решать упражнения без замены радикалами степени с дробными и отрицательными показателями. Приведем пример:

Остановимся на одной возможности повторения пройденного в процессе изучения нового. Мы считаем необходимым при опросе по новому материалу, при решении задачи или упражнения обязательно спросить ученика: «почему?» «на каком основании?», т. е. потребовать от него обоснования доказательства или решения

задачи, объяснения к чертежу или объяснения применения той или иной формулы.

Такое требование, если оно предъявляется систематически, побуждает учащихся более вдумчиво и серьезно готовиться к уроку, повторять необходимый для данного задания материал из ранее изученного.

III. Повторение в конце изучения темы

Повторение мы старались организовать так, чтобы знания учащихся привести в некоторую систему; установить связи изученного по данной теме с ранее пройденным. Вместе с тем мы ставим себе задачей, чтобы повторение способствовало развитию творческой самостоятельной работы учащихся.

В этих целях вопросы для повторения мы подбирали так, чтобы для ответа пришлось выбирать материал из изученного, но чтобы он не был изложен в учебнике в виде готового ответа. Приведем примеры.

В V классе после изучения темы «Обыкновенные дроби» учащимся было дано задание — ответить на вопросы:

a) Где при изучении действий над обыкновенными дробями надо было применять НОД и НОК?

b) На какую дробь надо умножить целое, смешанное, дробное число, чтобы произведение было меньше множимого? равно ему? больше его?

c) От деления на какую дробь частное будет меньше делимого? больше делимого?

d) Произведение двух каких чисел равно единице ? От деления каких двух чисел частное равно единице?

Задание не исключало решение задач и примеров из стабильного задачника.

После изучения темы «Четырехугольники» учащимся было предложено дать ответы на вопросы:

В каких четырехугольниках:

a) диагональ делит его на два равных треугольника?

b) диагонали, пересекаясь в одной точке, делятся ею пополам?

c) диагонали являются биссектрисами внутренних углов?

d) диагонали взаимно перпендикулярны?

e) диагонали служат осями симметрии?

В IX классе после изучения графиков тригонометрических функций перед учащимися была поставлена задача: пользуясь графиком тригонометрической функции, указать ее основные свойства.

В X классе после изучения усеченного конуса учащимся было предложено дать ответы на вопросы и выполнить необходимые чертежи:

Что получится от вращения отрезка прямой вокруг некоторой оси, если отрезок расположен:

1) перпендикулярно оси один конец лежит на оси?

2) перпендикулярно оси и на некотором расстоянии от нее?

3) параллельно оси?

4) под некоторым углом к оси и один конец лежит на оси?

5) под некоторым углом к оси?

В отдельных случаях, когда изучение темы возобновляется в других классах, мы считаем весьма полезным составление вопросника, который постепенно пополнялся.

Известно, что изучению треугольников уделяется большое внимание. В каждом классе, начиная с VI, учащиеся узнают новое о треугольниках. Составление вопросника о треугольниках мы начинали в VI классе и заканчивали в Х. Приведем его полностью:

1. Виды треугольников в зависимости от величины углов.

1. Остроугольный, прямоугольный, тупоугольный.

2. Виды треугольников в зависимости от величины сторон.

2. Разносторонний, равнобедренный, равносторонний (правильный).

3. Зависимость между углами.

3. Сумма внутренних углов, внешних. Внешний угол и его свойства. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике.

Внутренний и внешний угол правильного треугольника.

Центральный угол его.

Формулы: sin (В + С) = sin А, cos (В + С) = — cos A, tg (B + C) = -tgA

4. Зависимость между сторонами.

4. Сумма и разность сторон треугольника. Теоремы о стороне, лежащей против острого, тупого и прямого угла (теорема Пифагора).

5. Зависимость между сторонами и углами.

5. Свойство стороны, лежащей против большего угла треугольника, и угла, лежащего против большей стороны. Свойство сторон, лежащих против равных углов, и углов, лежащих против равных сторон. Катет, лежащий против угла в 30°.

Зависимость между гипотенузой, катетом и острым углом, между катетами и острым углом.

Теоремы синусов, косинусов, тангенсов.

6. Площадь треугольника.

б. Косоугольного, прямоугольного, правильного. Формула Герона. Формула площади в зависимости от сторон и радиуса вписанного и описанного круга. Тригонометрические формулы для площади.

7. Треугольник и окружность.

7. Вписанный. Описанный. Правильный вписанный и описанный. Выражение стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности; вписанной.

Подобные схемы позволяют собрать разрозненный по отдельным классам материал, сделать некоторое обобщение и привести его в систему. Мы не жалеем времени на эту работу, так как такое повторение значительно укрепляет знания учащихся.

IV. Устные вычисления как средство повторения

Широкое применение устных вычислений развивает навыки в отыскании рациональных способов решения, что побуждает учащихся к повторению довольно большого объема материала.

Повторение это проводится нами на всех уроках.

Устные вычисления мы начинаем с V класса, с повторения приемов устного счета, изученных в начальной школе. В дальнейшем мы знакомим учащихся с приемами, основанными на материале, изучаемом в других классах.

Устные вычисления дают возможность повторения ряда теорем, формул и т. д. Учащимся была дана задача: Стороны треугольника соответственно равны 29 см, 25 см и 36 см. Определить площадь. По формуле Герона имеем: 5 = √45⋅16⋅20⋅9. Для вычисления значения корня мы потребовали применения теоремы об извлечении корня из произведения.

Настойчивое и постоянное требование проводить решение устно, где целесообразно, побуждает учащихся к повторению пройденного.

Приведенное выше деление повторения на отдельные виды является условным. В процессе урока трудно, а порой и невозможно разграничить виды повторения. Но важно одно: повторение должно быть организовано так, чтобы оно закрепляло пройденнное, помогало лучше понять и усвоить новое, чтобы оно имело воспитывающее значение.

ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ В VIII КЛАССЕ

(продолжение, см. № 4)

К. П. СИКОРСКИЙ

Второе полугодие — 16 недель, по 3 урока в неделю

1-я неделя

Определение равносильности уравнений. Примеры равносильных и неравносильных уравнений. Возведение в квадрат обеих частей уравнения, вообще говоря, дает новое уравнение, не равносильное исходному. Определение иррационального уравнения. При решении иррациональных уравнений (с радикалами четной степени) берется только арифметический корень. Общий прием решения иррационального уравнения, содержащего квадратные радикалы — возведение в квадрат обеих частей исходного уравнения. Эта операция может привести к появлению посторонних корней, а потому требуется проверка корней путем подстановки в исходное уравнение.

Следует показать примеры, в которых учащиеся должны, не решая уравнения, ответить, что данное уравнение не имеет корней. Например:

Решение иррациональных уравнений, содержащих параметры, вызывает большие затруднения, вследствие необходимости производить ряд дополнительных исследований. Поэтому к решению таких уравнений учитель должен подходить после тш,ательной подготовки, только после того, как учащиеся приобрели навыки в подобного рода исследованиях.

Упражнения: Л. №№ 404, 427, 640 (1,3); 641 (1,4); 645 (1,4), 646 (1,4).

Повторение: Задачи №№ 568, 569, упражнения №№ 217 (3,4).

2-я неделя

Решение иррациональных уравнений и разных упражнений на квадратные уравнения.

Упражнения: Л. №№ 644 (3), 646 (2), 647 (2), 648 (1,2), 651 (1, 2, 3).

Повторение: Л. №№ 518, 523, 225.

3-я неделя

Первые два урока — продолжение решения иррациональных уравнений; Л. №№ 644 (2,4), 645 (2,3), (646 (3), 648 (3).

Повторение: Л. №№ 539, 443 (2).

На третьем уроке дается контрольная работа: решение иррациональных уравнений.

Вот один из возможных вариантов:

4. При каком значении k отношение корней уравнения 3х2 + (k — 3) х — 8 = 0 равно —6?

Контрольная работа требует от учащегося: умения решать, кроме иррациональных уравнений (основная тема работы), биквадратные уравнения, исключать корни, обращающие знаменатель одного из дробных членов уравнения в нуль, и знания свойств корней квадратного уравнения (пример № 4 — повторение).

4-я неделя

Введение понятия о функции и соответствующих терминов вызывает после темы «иррациональное число» наибольшие трудности. Мы считаем, что от учащегося восьмого класса надо требовать следующих знаний: 1) знать определение понятий функции и аргумента; 2) уметь привести примеры некоторых функций; 3) понимать термины «область определения функции» и «допустимые значения аргумента»; 4) понимать термин «множество значений функции»; 5) уметь пользоваться обозначениями f(x), f(1), f(0) и т. д.; 6) понимать, что график функции есть средство геометрической иллюстрации свойств функции, и 7) уметь по данному графику указывать некоторые свойства соответствующей функции.

В течение первых двух уроков 4-й недели должны быть усвоены первые пять указанных выше пунктов.

Мы предпочитаем пользоваться следующим определением функции:

Если две величины х и у связаны между собой так, что каждому допустимому значению x соответствует определенное значение у, то у называется функцией от х.

X в этом случае называется независимой переменной или аргументом.

Обозначения у = f (х); y = F(x); y = Q(x) и т. п.

Примеры функций: у = 2х — 3; у = 3х2 — 2х — 1; F(x) = — 1 Эти функции заданы аналитически (формулами). Допустимые значения х для первых двух функций образуют множество всех действительных чисел, так как любое число можно возводить в квадрат, умножать на другое число и любые числа можно складывать. Следует найти некоторые частные значения функций, напр., f(2); f(1); f(0); f(-0,5); f(-√3) и т. п.

Для функции F(x) допустимые значения аргумента определяются условием |x| > 1.

Закон движения задан формулой (уравнением): S = 2t + 0,2t2; S — есть функция от t. По смыслу вопроса допустимые значения аргумента определяются условием t ⩾ 0.

В круге радиуса R = 12 см на расстоянии x см от центра проводится хорда; длина хорды l есть функция х. Допустимые значения х определяются системой неравенств 0 ⩽ х < 12.

Табличное задание функций: таблица квадратов чисел, тригонометрических функций и т. п.

Графическое задание функции: например график перевода аршинов в метры.

Во всех указанных случаях нахождение множества значений функции не представляет затруднений.

На третьем уроке следует повторить систему прямоугольных координат, построение точек по их координатам, определение координат данной точки. Затем дается определение прямо-пропорциональной зависимости, доказывается, что графиком функции y = kx является прямая линия.

Упражнения: Л. №№ 56 и 58 (устно), 62—66.

Повторение: Л. №№ 570; 239 (2).

5-я неделя

Линейная функция как функция, определяемая уравнением у = kx + b.

Вычисление координат точек графика линейной функции производится сравнением ординат графиков функций у = kx и у = kx + b, эти ординаты при одной и той же абсциссе отличаются на b единиц масштаба (это делается на каком-нибудь примере линейной функции с числовыми коэффициентами).

Квадратичная функция изучается в следующем порядке — на одном уроке: у = x2; у = ах2; у = ах2 + b и на другом: y = (x + m)2; y = (х + m)2 + n.

Графики этих функций строятся по точкам, обращается внимание на то, что областью определения этих функций является множество всех действительных чисел. В частности, следует брать в качестве значений х не только рациональные, но и иррациональные числа, например ±√2; ±√3 и т. п. Этим поясняется правомерность соединения сплошной, нигде не разрывающейся кривой линией точек, координаты которых были вычислены.

Обычно уже на втором уроке построение графиков функций у = x2; у = 1/2 x2; у = 2х2 не представляет затруднений. Поэтому следует предложить учащимся сделать из плотной бумаги (или из тонкой алюминиевой или пластмассовой пластинки) по крайней мере три лекала (шаблона) парабол у = x2; у = 0,5 x2 и у = 2х2.

За единицу масштаба наиболее целесообразно выбрать 1 см (две клетки обычной клетчатой бумаги). Удобно вычертить лекало на миллиметровой бумаге, а затем наклеить его на плотную бумагу и вырезать.

Аналогичные лекала следует построить и для выполнения чертежей на доске (за единицу масштаба взять 5 см). Пользование лекалами облегчает ведение уроков по изучению графиков квадратичной функции. Небольшой выбор параметров параболы (1; 0,5; 2) не мешает изучению квадратичной функции, так как изменение параметра не вносит принципиальных изменений в ход рассуждений. В то же время лекала позволяют быстро показывать, как изменяется положение параболы при изменении ее уравнения.

Упражнения: Л. №№ 655, 656, 657, 661.

Повторение: Л. №№ 578, 241 (1).

6-я неделя

На первом уроке этой недели можно дать контрольную работу, содержащую: 1) задачу на составление квадратного уравнения с очень кратким объяснением к решению, например в виде таблицы (задачу типа Л. № 614, 615, 623, 624) и 2) пример на преобразование радикалов, например 383 (1), 383 (2).

На других двух уроках разбирается квадратичная функция общего вида у = ах2 + bх + с (а ≠ 0; b ≠ 0; с ≠ 0). Для построения графика из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат и тем самым определяются координаты вершины параболы.

После того как построен график, учащимся можно предложить следующие вопросы (ответы даются каждый раз со ссылкой на график):

1) В каких промежутках функция убывает (возрастает)?

2) При каком значении х функция имеет наименьшее (наибольшее) значение и чему оно равно?

3) При каких значениях аргумента у = 0? y > 0? у < 0?

4) Чему равно значение функции при х равном (задать числа)?

5) Чему равна абсцисса х при заданном значении ординаты?

6) Как изменяется у при изменении х от... до... (задать числа)?

Упражнения: Л. №№ 663, 664, 665,666, 667.

7-я неделя

Продолжение изучения квадратичной функции общего вида.

Графическое решение квадратных уравнений, как нахождение абсцисс точек пересечения параболы с осью абсцисс (другого способа, изложенного в учебнике: нахождение координат точек пересечения параболы у = ах2 и прямой у = — bх — с, можно не разбирать).

Уравнение обратно-пропорциональной зависимости ху = k или у = — k/x (k > 0 и k < 0).

Гипербола — ее построение по точкам.

Упражнения: Л. №№ 668 (2,3), 669, 673, 674, 676, 677, 683. Несколько упражнений на графическое решение квадратных уравнений.

Повторение: Л. №№ 494, 541, 381 (1).

8-я неделя

Общий обзор темы «Функции и их графики». На этих уроках можно предлагать учащимся по произвольно начерченному графику указывать некоторые свойства функции. Например, рассматривая график, можно показать в каких интервалах функция возрастает и в каких убывает; при каких значениях х, значение функции равно нулю; можно указать, при каких значениях x функция имеет положительные, при каких — отрицательные значения.

На третьем уроке 8-й недели дается контрольная работа по теме «Функции и их графики».

Вот один из возможных вариантов работы:

1) Построить график функции y = 1/2 x2 — x — 4 и ответить на вопросы: а) при каком значении х функция имеет наименьшее зна-

чение? б) в каких промежутках возрастает? в) в каких промежутках имеет положительные значения?

2) Найти координаты точек пересечения графиков функций

3) Найти графически с точностью до 0,1 корни уравнения

Во время выполнения работы учащимся разрешается пользоваться лекалами. Построение графиков желательно (особенно при решении упражнения № 3) производить на миллиметровой бумаге.

Замечание к теме «Функции и их графики».

Если учащимся было известно построение парабол еще в седьмом классе, то до начала данной темы следует повторить построение парабол. В этом случае на последующих уроках можно разобрать графики функций y2 = ах и у = с ± ± √ах + b. Для построения графиков этих функций при a = 0,5; 1; 2 могут быть использованы параболические лекала.

В порядке внеклассной работы следует разобрать геометрическое истолкование решения иррациональных уравнений.

9-я неделя

С этой недели начинается прохождение последней темы курса алгебры VIII класса «Системы уравнений 2-й степени с двумя неизвестными».

Следует подчеркнуть, что решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называется пара таких чисел, которые, будучи подставлены в систему вместо неизвестных, обращают каждое из уравнений системы в числовое тождество (Фаддеев и Соминский, Алгебра,ч. 1).

Все уравнения и системы уравнений второй степени решаются только в множестве действительных чисел.

Мы рекомендуем записывать ответы к решению системы одним из следующих способов:

1-е решение

2-е решение

x

а

с

y

b

d

с) (а; b), (с; d) и т. д. Решение задач на составление систем.

Упражнения: Л. №№ 705, 706, 712 (1, 2, 4), 781, 785.

Повторение: Л. № 697 (1, 2, 3).

10-я неделя

Геометрическое истолкование решения систем: Л. № 697—4; 703, 704.

Решение систем вида ах± by = с, ху = р при помощи теоремы Виета.

Упражнения: Л. №№ 721—723, 713 (1), 786.

Повторение: Л. №№ 470 (3, 4), 388.

11-я неделя

Решение систем вида

х2 + у2 = а; ху = b

приведением к четырем линейным системам. Геометрическое истолкование: нахождение координат точек пересечения окружности и гиперболы.

Геометрическое истолкование решения системы x2 + у2 = r2; ах + bу = с.

Алгебраическое и графическое решение систем

Упражнения: Л. №№ 714—716; 717(1), 789, 791.

На этой неделе дается контрольная работа на решение систем.

Вот один из возможных вариантов:

Решить системы:

Решить графически систему

12-я неделя Решение систем вида

Сначала решается первое уравнение относительно k = y/x, а затем подстановкой y = kx во второе уравнение.

Решение систем, левые части которых явля-

ются однородными многочленами второй степени относительно х и у

Эти системы решаются подстановкой у = kx.

Упражнения: Л. №№ 726, 727 (1—3), 716 (3), 728, 851 (3).

Повторение: Л. №№ 793, 798, 851 (1).

13-я неделя

Решение систем различного вида и вторая контрольная работа на решение систем.

Упражнения: Л. №№ 730, 732, 733, 715, 718 (1 и 3), 820 (1).

Возможный вариант контрольной работы:

1) Решить системы: а) Л. № 716—1.

2) Построить график функции

найти область ее определения.

Найти область определения функции

Последние недели учебного года (не менее 9—10 уроков) используются на повторение. Повторяются следующие темы: степени с натуральными показателями и действия со степенями, элементы теории иррационального числа, понятие об арифметическом корне, действия с радикалами, теория квадратных уравнений, иррациональные уравнения, решение задач на составление квадратных уравнений.

В течение этого заключительного периода дается одна контрольная работа, по возможности на два часа, содержащая: 1) задачу на составление квадратных уравнений, решение которой учащийся должен оформить в соответствии с требованиями, предъявляемыми к экзаменационной работе; 2) пример на преобразование радикалов и 3) упражнение на теорию Квадратного уравнения.

В качестве задачи на контрольной работе могут быть использованы Л. №№ 800, 801, 799, 1547, 1545, 1548, 1550 с заменой букв числовыми данными.

Примерами на преобразование радикалов могут быть следующие:

1) Что больше и на сколько:

2) Что больше:

3) Упростить:

4) Упростить:

5) Упростить:

6) Упростить:

Упражнениями на теорию квадратного уравнения могут быть следующие:

1) При каком значении k уравнение

имеет двукратный корень. Решение проверить.

2) При каком положительном значении m отношение корней уравнения (m + 12) x2 + mx — 3 = 0 равно —6?

3) Сократить дробь

4) Найти значение с в уравнении

если известно, что x1 + 6х2 = 0.

5) Не решая уравнения 10х2 — 8x — 1 = 0, найти сумму квадратов его корней.

6) При каком значении k корни уравнения kx2 + 2(k — 5)x + k — 10 = 0 действительны?

При повторении действий со степенями необходимо обратить внимание на то, что пока установлено лишь понятие степени с натуральными показателями и потому, в частности:

1) am-an = am + n только при условии m > n и 2) √аm = an только при условии, что m/n целое положительное число, а также, что a > 0, если m/n четное число.

При повторении понятия об иррациональном числе надо повторить основные моменты ранее разобранной теории.

Необходимо вновь обратить внимание на те действия с действительными (рациональными и иррациональными) числами, результаты которых могут быть выражены действительными числами.

В качестве контрпримера следует указать, что, например, уравнение x2 + 16 = 0 в множестве действительных чисел не имеет корней.

В качестве упражнений в течение этих 9—10 уроков следует использовать упражнения из задачника Ларичева №№ 819—851 за исключением, может быть, упражнений 845 (2), 846 (2).

К ВОПРОСУ О СОСТОЯНИИ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ VIII КЛАССА СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ ПО АЛГЕБРЕ*

Е. С. БЕРЕЗАНСКАЯ (Москва)

Квадратные уравнения

Учащиеся VIII класса обычно заучивают формулу решения квадратного уравнения и в дальнейшем, пользуясь ею, довольно успешно находят корни. Отдельные ошибки, встречающиеся при решении квадратных уравнений, связаны обычно с нетвердыми навыками в арифметических вычислениях и алгебраических преобразованиях по прежде пройденным темам.

Какие же недочеты и ошибки допускают учащиеся VIII класса при решении квадратных уравнений? Во-первых, очень часто они применяют нерациональные приемы решения и излишне подробные записи процесса преобразования данного уравнения к простейшему виду. Так, при решении простого примера

ученики переписывают его восемь и даже девять раз, пока доходят до ответа, или, например, выучив формулу решения полного квадратного уравнения, учащиеся нередко применяют ее и в случае решения таких квадратных уравнений, как

и даже

т. е. таких уравнений, левая часть которых представляет собой полный квадрат. Нередко при решении полного квадратного уравнения учащиеся представляют его в приведенном виде, а затем решают по соответствующей формуле.

Было внесено предложение: для того чтобы не загромождать памяти учащихся, достаточно знакомить их лишь с одной формулой решения полного квадратного уравнения:

С этим предложением согласиться нельзя, так как во многих случаях пользование указанной формулой приводит к загромождению работы ненужными вычислениями, как, например, для упомянутого выше уравнения x2 — 6x + 8 = 0. При решении квадратного уравнения с четным коэффициентом при неизвестном в 1-й степени

ученики писали

и производили письменно на бумаге сперва вычисление 282, затем сложение чисел под корнем и извлечение корня из четырехзначного числа, в то время как вычисление по формуле

выполняется крайне просто. Мы считаем, что формулу решения квадратного уравнения вида

а именно:

не обязательно заучивать наизусть, но в процессе решения упражнений следует постепенно приучать учеников пользоваться этой формулой.

Вывод формулы решения квадратного уравнения не всегда закрепляется достаточным числом упражнений, и учащиеся не всегда помнят, как она получилась. Отдельные ученики даже считают ее просто наперед кем-то данной. Лишь на одном из многих посещенных нами уроков преподаватель предложил ученикам решать квадратные уравнения, не пользуясь готовой формулой, т. е. повторять в частном случае процесс вывода формулы. Этот прием надо считать очень полезным.

Недостаточно также ведется работа по подготовке учащихся к изучению в дальнейшем

* Продолжение: см. № 2, 1955 г.

квадратного трехчлена. Нами было предложено решить квадратные уравнения:

воспользовавшись разложением на множители левых частей уравнения путем выделения полного квадрата. Двое учащихся VIII класса с хорошей успеваемостью (из девяти присутствовавших) довольно быстро выполнили работу, а затем решили и более трудное упражнение, а именно: нашли корни уравнения x2—5х + 6 = 0 указанным приемом:

Остальные ученики после решения первых двух упражнений не сразу разобрались в решении третьего.

Наконец, наиболее часто встречающиеся ошибки в работах учеников VIII класса при решении квадратных уравнений относятся к операциям с буквенными коэффициентами. Даже при решении уравнения х (a + b)2 = a + b были получены ответы: х = а + b. Этот факт снова подтверждает, что при оперировании с буквами ученики VIII класса не всегда видят их конкретный смысл. Если бы ученики были приучены контролировать свою работу, они придавали бы хотя бы мысленно численные значения буквам и сами бы вскрывали свои ошибки. Это обнаружилось в беседе с учениками, допустившими указанную и аналогичные ошибки в своих работах.

В настоящее время при обучении алгебре в школах значительно больше, чем прежде, обращается внимание на нахождение числовых значений алгебраических выражений и на аналогию в выполнении алгебраических преобразований и арифметических вычислений; тем самым учащиеся привыкают смотреть на буквенное выражение не только как на объект для тождественного преобразования, но и как на функцию входящих в него букв. Этому способствует и новый задачник по алгебре П. А. Ларичева, в котором имеется большое число соответствующих упражнений.

Остается все же неустраненным основной источник недочетов в работах учеников средней и слабой успеваемости при решении уравнений с буквенными коэффициентами. Дело в том, что в буквенных выражениях, содержащихся в уравнениях, учащиеся не всегда видят и различают коэффициенты. Так, получив после преобразований уравнение

ученики нередко группируют первые два члена, выносят a2 за скобки, получают:

и останавливаются перед дальнейшей работой. На вопрос: что называется коэффициентом? — мы получали от учеников VIII класса всегда (без исключения) один и тот же ответ: числовой множитель, стоящий перед буквенным выражением. Это определение, как известно, дается в учебнике алгебры для VI класса, в дальнейшем же понятие коэффициента не расширяется. Необходимо уже в VII классе, приступая к решению уравнений первой степени с буквенными коэффициентами, рассматривать любой из множителей в алгебраическом выражении как коэффициент при других сомножителях. В одночлене 4а2ху множитель 4а2 является коэффициентом для произведения ху; 4а2х — коэффициент при у и т. д. Тогда в дальнейшем ученики могут сознательно относиться к требованию выразить из данной функциональной зависимости один из сомножителей через остальные, не будут также допускать вышеуказанные ошибки и при решении квадратных уравнений с буквенными коэффициентами.

Сумма и произведение корней квадратного уравнения (теорема Виета)

Обычно этот вопрос легко усваивается учащимися VIII класса. Требование найти сумму и произведение корней данного приведенного квадратного уравнения, как правило, выполняется учениками быстро и верно, чего нельзя сказать относительно требования найти сумму и произведение корней неприведенного квадратного уравнения. В этом случае основная ошибка учащихся состоит в том, что они не принимают во внимание коэффициента при квадрате неизвестного. Так, для примера 2x2 — 3х + 1 = 0 ученики давали во многих случаях неверный ответ, что x1 + x2 = 3 и x1xх2 = 1. Некоторые ученики, хотя и не сделали ошибки в ответе, но пользовались нерациональными приемами для получения ответа, а именно: преобразовывали данное неприведенное квадратное уравнение, например 5x2 + х — 4 = 0, к виду приведенного, т. е. писали

что, конечно, излишне. Этот недочет в знаниях учащихся сказывается и при составлении квадратного уравнения как по его корням, так и по данным сумме и произведению его корней. Например, в случае, когда сумма корней была задана числом 1/12 произведение корней также было задано числом 1/12, составленное квадратное

уравнение в подавляющем большинстве случаев было дано в виде приведенного квадратного уравнения

То же повторилось при составлении квадратного уравнения по сумме его корней, равной -, и произведению их, равному 1. Был дан ответ:

Нельзя сказать, что ученикам VIII класса неизвестны выражения суммы и произведения корней неприведенного квадратного уравнения через его коэффициенты, но, как видно из сказанного, знания эти недостаточно четки и не прочны. Этому вопросу мало уделяется внимания, он не разрабатывается тщательно на уроке, нередко дается, как нам пришлось видеть, лишь в виде замечания после доказательства теоремы о сумме и произведении корней приведенного квадратного уравнения. Но стоит ученику, сделавшему вышеуказанную ошибку при нахождении суммы и произведения корней неприведенного квадратного уравнения, предложить обратную задачу — составить квадратное уравнение по найденным им сумме и произведению корней (ошибочным), как ученик самостоятельно и быстро догадывается, в чем ошибка. Если бы ученики были приучены контролировать свою работу, проверять ее, убеждаться в правильности проведенных рассуждений и полученных результатов, то и в этом вопросе, как и во многих других, результаты обучения были бы значительно лучше. В одной школе нам пришлось видеть доказательство теоремы Виета для случая неприведенного квадратного уравнения, а затем применение ее в частном случае — в случае приведенного квадратного уравнения. Однако этот прием не дал лучших результатов; кроме того, он осложнил работу отдельных учащихся, которые старались коэффициенты «делить на единицу», чтобы от выражений —b/a и c/a перейти к —р и q.

Для того чтобы учащиеся прочно освоили и закрепили свои знания, целесообразно, как всегда, проводить по данной теме устные упражнения. Учитель выписывает на доске ряд уравнений постепенно нарастающей трудности и предлагает ученикам устно называть сумму и произведение корней каждого из данных уравнений как приведенного, так и неприведенного вида. Предлагаются и неполные уравнения и уравнения с буквенными коэффициентами, что восполняет также пробел в понимании учащимися буквенного коэффициента.

Вот образцы таких упражнений:

и т. д. Обращается внимание учащихся на то, что обычно уравнение не оставляется в приведенном виде, когда коэффициенты дробные.

Нами были предложены группе учеников VIII класса некоторые вопросы по рассматриваемой теме для устного ответа, которые помогли им выяснить то, что ранее было недостаточно глубоко понято. Последующая проверка показала, что цель достигнута — ученики не допускали вышеуказанных ошибок в дальнейших работах.

Вопросы: 1) Известно, что сумма двух искомых чисел и их произведение — числа целые. Могут ли эти искомые числа быть дробными? Объяснить на примерах. (Примеры записываются на доске.)

2) Известно, что сумма и произведение корней квадратного уравнения — числа целые. Могут ли корни этого квадратного уравнения быть дробными числами? Объяснить на примерах.

Замечание. Мы говорили о сумме и произведении корней квадратного уравнения, а не о его коэффициентах. Это должны различать учащиеся.

3) Известно, что а) сумма корней квадратного уравнения (или сумма двух чисел) — число дробное, а произведение их (этих чисел) — число целое. Могут ли корни этого уравнения быть целыми числами? b) Сумма корней и их произведение — числа дробные. Могут ли корни данного уравнения быть числами целыми? Привести примеры для различных случаев.

4) Дано полное квадратное уравнение неприведенного вида, свободный член и коэффициенты которого не имеют общего множителя. Какими числами могут выражаться сумма и произведение его корней? Привести примеры неприведенных полных квадратных уравнений для случая, когда и сумма, и произведение их корней выражаются дробными числами; когда только одно из них выражается дробным числом. Могут ли в указанном случае оба корня быть целыми числами?

Замечания.

1. В процессе самостоятельного составления примеров для ответа на поставленные вопросы ученики допускали нередко одну типичную ошибку в том случае, когда мы предлагали

составить квадратное уравнение, взяв для суммы корней отрицательное число, например, взяв число — 2/3 или число m (при m < 0). Вначале учащиеся записывали x1 + х2 = — 2/3, x1 + х2 = — р и на этом останавливались; другие продолжали — 2/3 = — р, но также не доводили работы до конца, не зная, какое же число надо поставить как коэффициент при неизвестном в первой степени. Особое затруднение вызвало второе упражнение: надо ли в качестве коэффициента при х взять число m (оно отрицательное) или — m. Всеми студентами-математиками IV курса, проводившими по нашему заданию наблюдения за усвоением рассматриваемого вопроса учащимися VIII класса различных школ, было отмечено формальное знание равенства x1 + x2 = — р и неумение использовать его на практике, неумение перейти от суммы корней уравнения к коэффициенту при х. На это следует обратить внимание и требовать от учащихся четкой словесной формулировки зависимости: сумма корней квадратного уравнения и коэффициент при неизвестном в первой степени всегда имеют противоположные знаки. Были проведены устные упражнения, например: «Сумма корней квадратного уравнения (m2 + 2); чему равен коэффициент при х?» «Сумма корней квадратного уравнения (n — m); чему равен коэффициент при неизвестном в первой степени?», и обратно: «Известен коэффициент при х; чему равна сумма корней данного уравнения» и т. д. После ряда таких тренировочных упражнений с группой учащихся средней и слабой успеваемости все они безошибочно выполнили упражнения контрольной работы (без излишних записей).

2. Отметим, что в тех, правда, редких случаях, когда учащиеся пользовались формулой x1 + x2 = -b/a и x1x2 = c/a, им не удалось составить квадратное уравнение по сумме и произведению его корней. Были записи: -b/a = -2/3; c/a = 1/3, откуда —b = 2; a = 3; с = 1, и на этом работа прерывалась.

Изучая ошибки учащихся по рассматриваемому вопросу, приходим к выводу, что теорему Виета целесообразно изучать индуктивным путем, исходя из рассмотрения приведенного квадратного уравнения вида

Затем следует перейти к тщательному рассмотрению этого вопроса для неприведенного квадратного уравнения вида

и установить соотношение b/a = — р и c/a = q. Необходимо изжить излишние записи, не способствующие выяснению вопроса и только затемняющие его.

Исследование корней квадратного уравнения по его дискриминанту и коэффициентам

Исследование вопроса, будут ли корни данного квадратного уравнения действительными, различными или равными, или среди действительных чисел нет корня данного уравнения, — не затрудняет учащихся. Обычно допускаемая учащимися ошибка состоит в том, что за дискриминант они принимают не подкоренное выражение, а квадратный корень из дискриминанта, т. е. считают, что D = √b2 — 4ас или D = √(p/2)2 — q, а это достаточно только обратить внимание учащихся, чтобы изжить этот недочет. При проведении указанного исследования часто применяется нерациональный прием, который состоит в том, что для ответа на вопрос, будут ли корни данного квадратного уравнения действительными числами, будут ли они различны или равны, учащиеся вычисляют дискриминант, в то время как достаточно только установить его знак.

Сделаем еще одно замечание: ни один из проверенных нами учащихся не сумел самостоятельно указать квадратное уравнение, заведомо имеющее действительные корни, без нахождения числовой величины его дискриминанта. Не помог и приведенный нами пример:

x2 — 6х — 7 = 0.

Только после написания нескольких аналогичных примеров квадратных уравнений с отрицательным свободным членом и наводящего вопроса учащиеся догадались, что в этих случаях всегда D > 0 (здесь сказывается и недостаточный навык в вычитании отрицательного числа).

Наибольшее затруднение вызывало у учащихся требование составить квадратное уравнение в том случае, когда оно имеет равные корни. Ясно, что теория этого вопроса не была достаточно осознана учащимися, хотя по форме ответ был правильный.

Надо считать обязательным при изучении рассматриваемой темы доказательство того, что «если корни квадратного уравнения равны между собой, то левая часть его представляет полный квадрат двучлена». Когда учащиеся осознали это свойство квадратного уравнения, они без труда и устно, и письменно предлагали

составленные ими самими квадратные уравнения с равными корнями. Пусть x1 = x2 = 2/3 ; уравнение примет вид:

в данном случае:

Определение знаков корней квадратного уравнения до его решения как будто не вызывает у учеников VIII класса особых затруднений. Но все же и в этом вопросе учащиеся нередко допускают ошибки. Только от самых сильных учеников можно услышать полное, последовательное, доведенное логически до конца объяснение процесса исследования без наводящих и даже подсказывающих вопросов учителя. Четкость речи, как известно, неразрывно связана с осознанностью соответствующей мысли. Поэтому мы считаем, что при объяснении данного вопроса нецелесообразно пользоваться вопросо-ответным методом, который почти всегда применяется на уроках математики в средней школе. Учитель должен дать ученикам образец рассуждений, четко и ясно провести его. Прежде всего надо указать, что о знаках корней можно говорить только тогда, когда они существуют (в множестве действительных чисел). Для этого прежде всего надо убедиться, что D > 0, причем для этого нет необходимости доводить до конца вычисление дискриминанта, достаточно убедиться, что он не отрицателен. В случае, когда свободный член квадратного уравнения отрицателен, а коэффициент при x2 положителен, нет надобности вычислять дискриминант.

Затем рассматриваются на примерах все четыре возможные случая: когда оба корня уравнения отрицательные, положительные, когда один из корней отрицательный, положительный. Выводы следует оформить таблицей примерно такого вида:

Уравнения:

Из анализа сделанных учениками ошибок мы убедились, что обычно проводимые рассуждения, в которых исследование (с последующим составлением таблицы) ограничивается рассмотрением знаков коэффициентов:

не способствует до конца осознанному усвоению вопроса. Об ошибках, связанных со знаком коэффициента, было сказано нами ранее, там же указаны некоторые методические приемы их предупреждения.

Вновь следует отметить большое значение устных или полуписьменных упражнений для уяснения рассматриваемого вопроса. Записывается на доске только данное или составленное учащимися уравнение, никакие промежуточные записи не ведутся. Посмотрев на знаки членов в данном квадратном уравнении, учащиеся прежде всего устанавливают, одинаковые или различные знаки у его корней, а затем указывают, каковы именно эти знаки. Несмотря на простоту этого вопроса, приходилось видеть, как ученики находили в уравнении 3х2 + 4х + 5 = 0 произведение корней и сопровождали эту работу записью: x1⋅x2 = q; x1⋅х2 = 5/3 (а иногда ошибались, как было сказано выше, и писали: x1⋅х2 = 5), а затем делали заключение, что знаки корней одинаковы, и т. д. Необходимо тщательно выяснить учащимся, что знак произведения корней, который в данном случае нужно знать, будет такой же, как знак свободного члена в квадратном уравнении (коэффициент при x2 всегда считается положительным), и поэтому незачем производить вычисление c/a. Незачем вычислять и b/a для того, чтобы установить, какие именно знаки у корней квадратного уравнения. Достаточно посмотреть (как в приведенном, так и в неприведенном уравнении) на знак коэффициента при неизвестном в первой степени, помня, что сумма корней уравнения имеет знак, противоположный ему, и сделать соответствующее заключение.

Особое внимание надо обратить на тот факт, что сравнение абсолютных величин корней не легко усваивается менее подготовленными учениками. Приводим «решение», поданное нам учащимися средней успеваемости. Требовалось исследовать знаки корней уравнения x2 — 2х — 15 = 0; учащиеся написали: «х1 + x2 = 2; x1⋅х2 = — 15. Знаки корней разные». Больше ничего не было добавлено.

Даже сильных учащихся затрудняет запись |x1| > |x2|; вопрос об оперировании с абсолютными величинами чисел остается слабым местом в знаниях учащихся VIII класса, хотя определение понятия абсолютной величины в настоящее время давалось всеми учениками правильно, а именно: «абсолютной величиной положительного числа называется само это число; абсолютной величиной отрицательного числа называется число ему противоположное; абсолютная величина нуля — нуль»: | + 9 | = + 9; | — 9 | = + 9; |0| = 0. О числах «без знака» в настоящее время мы не слышали в тех школах, где проводили наблюдение и эксперимент. Но тот факт, что одно и то же число 9 может быть записано в виде: | + 9|; + 9; | — 9|; 9, усвоен еще не всеми учениками. Как всегда, мы добивались хороших результатов, проведя полуписьменно (полуустно) систему упражнений с использованием наглядности, например:

1) Расположить в порядке их возрастания (или убывания) ряд чисел, среди которых имелись положительные, отрицательные числа и нуль. Показать на числовой оси — 2,5; 4; — 3;

2) Расположить в порядке возрастания или убывания абсолютные величины тех же чисел. Сделать выводы.

3) Найти сумму, разность, произведение, частное абсолютных величин двух чисел, причем компонентами действий служили различные действительные числа в различных комбинациях, не исключая и нуля.

Варианты проведенных контрольных работ по этой теме.

Работа I.

1. Не решая уравнения, определить, имеют ли они действительные корни, и если имеют, то будут ли эти корни различны или равны между собой:

2) При каких значениях а данные уравнения имеют два равные корня:

Проверить ответ.

3. Не решая уравнений, определить знаки их корней (если корни имеются):

4. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

Проверить полученный ответ.

Примечание. В других одинаковых по трудности вариантах этой работы предлагались аналогичные упражнения, но с другими коэффициентами, с другими знаками у членов уравнения, предлагались для исследования неполные уравнения другого вида, давались корни для составления уравнения, выраженные десятичными дробями, иррациональными числами, различными буквенными выражениями, например:

Среди ответов имелись и такие:

что подтверждает высказанную выше мысль о недостаточной осознанности учащимися зависимости между коэффициентом р и суммой корней (в частности, перехода к — p).

Работа II.

1. Составить квадратное уравнение, корни которого в 3 раза больше корней уравнения 4x2 — 9x + 1 = 0, не решая последнего уравнения. Проверить полученный ответ.

2. При каком значении k уравнение kx2 — x — 1 = 0 имеет корень, равный (- 1/3)?

3. В уравнении 5х2 + 110х + m = 0 определить то значение m, при котором корни x1 и x2 удовлетворяют уравнению 3х1 + x2 = 16.

4. Не решая уравнения x2 + 9x + 4 = 0, вычислить сумму квадратов его корней. Проверить ответ.

Замечания.

1. Наиболее трудным оказалось упражнение 3; учащиеся не сумели составить систему двух уравнений для отыскания двух неизвестных. Упражнение 4 не затруднило большинство уча-

щихся, так как искусственный прием вывода формулы для вычисления x12 + x22 через коэффициенты приведенного квадратного уравнения (x12 + x22 = p2 — 2q) был показан на уроке. Учениками была также выведена зависимость x13 + x23 = -p (p2 — 3q), что надо считать очень полезным упражнением, подготовляющим их к решению уравнений высших степеней.

2. Приводим варианты упражнения 1:

«Составить квадратное уравнение, отношение корней которого к корням данного квадратного уравнения равно 3»;

«...каждый из корней которого меньше корней данного уравнения на 2,4» и т. д.

Варианты упражнения 3:

«При каком значении k уравнение x2 + kx + 9 = 0 имеет корень, равный —1». Или:

«При каком значении n уравнение x2 + 5х + m = 0 имеет корень, равный (- 2/3)?

«При каком значении m уравнение x2 + 3х + m = 0 имеет корни, разность которых равна б». Pi т. п.

Надо отметить, что ни в одной из школ, где мы наблюдали работу по алгебре в VIII классе, при составлении квадратного уравнения по его корням x1 и x2 не было указано, что можно составить квадратное уравнение по формуле

(х — x1) (х — x2) — 0.

Это не было сделано даже после изучения вопроса о разложении квадратного трехчлена на множители. Невнимание к этому приему не подготовляет учащихся к изучению теории алгебраических уравнений в дальнейшем. Однако еще в VII классе, не зная формул решения квадратного уравнения, учащиеся находят корни уравнений вида (x — а) (х — b) = 0, решают такие упражнения даже устно. Первые примеры на квадратное уравнение учащиеся решают разложением левой его части на линейные множители, но не делают из этих упражнений необходимого вывода и не устанавливают связи между различными вопросами одной и той же темы.

Разложение квадратного трехчлена на множители

В школьной программе вопрос о разложении трехчлена 2-й степени на линейные множители поставлен впервые в курсе алгебры VIII класса, где корни трехчлена находятся как корни квадратного уравнения, левой частью которого является этот трехчлен. Прием разложения устанавливается двумя формулами:

где x1 и x2 — корни соответствующего квадратного уравнения.

Эта работа не требует особых размышлений от учащихся и не очень их затрудняет. В то же время приходится наблюдать часто повторяющиеся ошибки одного и того же характера в работах учащихся. Эти ошибки имеют место в том случае, когда первый коэффициент трехчлена отличен от единицы.

Группе учащихся VIII класса, среди которых не было неуспевающих, было предложено представить в виде произведения двух линейных множителей трехчлен 21x2 + 22x — 8. Имелись, конечно, правильные ответы:

но много было и таких ответов:

Здесь обычная ошибка — «потеря» коэффициента 21. Учащиеся не приучены проверять свою работу; они пользуются готовой формулой, не осознавая до конца смысл работы — тождественное равенство данного и полученного выражений. В отдельных случаях были даны необъяснимые ответы:

и даже

Но и верные ответы изобиловали незаконченными записями, например:

и даже арифметическими недочетами:

При разложении на множители трехчлена 6х2 + 5х — 6 были получены такие ответы:

Ученики не сделали проверки правильности ответа, не сумели сами найти свою ошибку, и даже тогда, когда им был указан верный ответ, раздался вопрос: «А куда девалась шестерка?» Поэтому, решая с учениками первые упражнения на разложение квадратного трехчлена на множители, в частности, в случае, когда первый коэффициент не равен единице, учитель должен доводить решение до конца и предлагать ученикам убедиться в правильности выполненного ими тождественного преобразования.

Аналогичные ошибки были сделаны учащи-

мися и при разложении на множители трехчленов:

кроме того, в этих примерах многие ученики теряли знак «минус». В беседе с учащимися выясняется, что ясности в вопросе о том, какая связь между корнями трехчлена второй степени и соответствующего квадратного уравнения, у учащихся нет.

При разложении на линейные множители трехчлена — x2 — 3х + 4 некоторые учащиеся не могли указать коэффициента при x2, но когда им был предложен вопрос: какой коэффициент у каждого члена алгебраического выражения 3а2 — а + 5? — был получен правильный ответ. Это подтверждает ту мысль, что учащиеся изучают разложение квадратного трехчлена формально, без всякой связи с известными им преобразованиями, заучивают формулы, не видя их смысл и значение.

Надо еще отметить, что в контрольных работах, когда требовалось сократить такие дроби, как

учащимися было сделано значительно меньше ошибок в разложении, чем тогда, когда трехчлены, находящиеся в числителях и знаменателях, давались отдельно.

Таким образом, для того чтобы учащиеся научились сознательно представлять квадратный трехчлен в виде произведения двух линейных множителей, необходимо прежде всего показать им практическое значение, цель и смысл выполняемого преобразования. Поэтому надо показывать приемы разложения на множители трехчлена 2-й степени в простейших случаях не только в VIII классе, а значительно раньше, хотя бы еще в VII классе при разложении на множители алгебраических выражений и использовании этих преобразований в действиях с алгебраическими дробями.

В VII классе сперва даются простейшие упражнения с тем, чтобы их можно было решить по соображению. Например, представить в виде произведения двух сомножителей трехчлены:

Сделать проверку. Затем можно показать разложение трехчлена 2-й степени искусственным приемом, а именно: разбиением среднего члена на два слагаемые, причем здесь не ставится задача рассмотреть все возможные случаи; основная цель — показать один из приемов разложения на множители. Например;

Полученный ответ проверяется и используется в действиях с дробями.

Следует обратить внимание учащихся, что, пользуясь формулой квадрата суммы двух чисел, они также разлагают трехчлен 2-й степени на множители, например:

Этот же трехчлен можно разложить и искусственным приемом, так:

и т. д.

В VIII классе, когда учащиеся учатся выделять полный квадрат, они должны использовать этот навык и для разложения квадратного трехчлена на множители, например:

Проверка.

Учащиеся должны знать, что произведение двух линейных двучленов всегда дает квадратный трехчлен:

и т. д.

Надо требовать рационального приема вычисления при умножении: надо научить сразу давать ответ в виде:

не выписывая всех четырех членов произведения.

Сделаем еще одно замечание. Чтобы не допустить ошибки, указанной нами выше, когда хорошо успевающие ученики избегают преобразования выражения

в тождественно равное ему (7х — 2) (3x + 4), а менее подготовленные дают ответ:

надо предварительно упражняться в преобразовании выражений вида

к виду

Вопросы исследования при решении квадратных уравнений в VIII классе

В силу укоренившихся традиций и несмотря на имеющиеся указания в методической литературе, все вопросы, связанные с исследованием уравнений, до настоящего времени оставляются для рассмотрения в X классе в специальной теме «Исследование уравнений». Попытки учителей пересмотреть эту точку зрения крайне робки: даже сильные ученики восьмых классов, имея уравнение x/y = a, не указывают, что значением у не может быть число 0, не говорят, что в уравнении = 0, а ≠ 1, что в уравнении x/y + y/z = 26/5 значения у и z отличны от нуля, и т. д. Все учащиеся знают, что делить на 0 нельзя, но при решении уравнений и систем уравнений не умеют свои знания использовать на практике.

Причина заключается в том, что при решении упражнений в школе не приходится или очень редко приходится на деле об этом вспоминать.

Так, 12 человек из 36 в VIII классе при решении системы уравнений

даже после того как им напомнили, что в знаменателе дроби не может быть нуль, не сказали, что в данном случае b ≠ 0, что решением данной системы не может быть пара равных чисел: х и у.

Имея уравнение b (1 + b) y2 = а, из которого надо было найти y2, учащиеся делили обе части уравнения на b(1 + b), не указывая, что параметр b не должен равняться 0 или — 1.

Нами была проведена экспериментальная работа с группой учащихся трех восьмых классов (были приглашены учащиеся с отличной, хорошей и посредственной успеваемостью) для выяснения возможных затруднений при исследовании уравнений.

Было предложено несколько уравнений, содержащих неизвестное в знаменателе, при решении которых надо было провести некоторые несложные рассуждения как до решения уравнений, так и в процессе решения. После сделанных нами указаний выполнение работы не вызвало у учащихся особых затруднений, и они по своему почину заверили нас: «теперь уже никогда не забудем».

Приводим упражнения, которые были предложены учащимся во время эксперимента:

1) Решить уравнение:

После преобразования получается:

Почему x2 не может быть корнем данного уравнения? Делается заключение, что еще до решения данного уравнения надо было предвидеть, что x не может иметь значения 1 и — 1, иначе данные дроби не будут иметь числового смысла.

2) Дано уравнение:

Вопрос: Нельзя ли заранее сказать, какие числа не могут быть корнями данного уравнения?

Решив уравнение, получают: x1 = 3, x2 = 2; x2 не будет корнем данного уравнения. Почему? 3) Решить уравнение:

Учащиеся приступили к решению данного уравнения (большей трудности, чем предыдущие) осторожнее, чем прежде, и до начала решения указали, что х ≠ — 4 и х ≠ 1/2.

После преобразований получили квадратное уравнение

откуда

Указали, что 1/2 не может быть корнем данного уравнения.

Ответ:

Причина того, что школьное преподавание алгебры в данном вопросе стоит на давно устаревших позициях, объясняется исключительно недостаточным вниманием к этому вопросу со стороны авторов учебников и задачников по алгебре. Даже в 3-м издании нового задачника по алгебре П. А. Ларичева, часть II, в ответе к решению уравнения № 837 дан посторонний корень. Вообще же, как правило, уравнения, при решении которых получаются посторонние корни, в задачниках по алгебре отсутствуют.

Это относится не только к уравнениям 1-й и 2-й степени, но и к иррациональным уравнениям, где самый факт получения посторонних корней при решении уравнения должен способствовать уяснению теории.

Уравнения с буквенными коэффициентами (параметрами)

К решению уравнений с буквенными коэффициентами учащиеся приступают, еще будучи в VII классе, изучая уравнения и системы уравнений 1-й степени. Но ни там, ни в курсе VIII класса вопросы, связанные с исследованием возможных значений параметров для получения требуемого решения, не ставятся. Как было уже сказано, при решении уравнений, знаменатели которых содержат множители а, b, (а + 1) и т. д., учащиеся никаких ограничений для множителей не делают. Следует отметить, что даже в тех случаях, когда учащиеся решали уравнение, например уравнение

и указывали, что х ≠ 0, «так как делить на о нельзя», они ничего не сказали о параметре а, пока им не был задан дополнительный вопрос. Причина ясна: согласно программе по алгебре для средней школы, вопрос об исследовании уравнений с параметрическими данными ставится только в X классе. Но, поскольку для учащихся X класса требование «исследовать» является неожиданным, оно не подготовлено и не вытекает из всей их предшествующей работы, — даже больше, оно разрушает уже установившиеся связи, поэтому оно осваивается учащимися неглубоко и непрочно и мало помогает в дальнейшем при решении практических задач.

Мы считаем, что с учениками VII и VIII классов можно ставить вопрос об исследовании уравнений с буквенными коэффициентами в простейших случаях, а именно: с одним параметром — в VII классе при решении уравнений 1-й степени, в VIII классе,- при решении квадратных уравнений. Особенно важно приучать учащихся проводить исследование при решении текстовых задач составлением уравнения. Надо сказать, что ни в одной из посещенных нами школ нам не пришлось видеть в VIII классе решение уравнений с буквенными коэффициентами с исследованием.

Мы предлагаем в этой работе образцы исследования квадратного уравнения, соответствующего программе по алгебре VIII класса.

Пример 1. Квадратное уравнение, которое обычно решают ученики в VIII классе:

Прежде всего устанавливаем, что а ≠ 0, и если существует значение для х, то оно также не может равняться нулю, х ≠ 0. После преобразований имеем*:

1-й вопрос. При каких значениях параметра а данное квадратное уравнение имеет действительные корни? Ответ. Дискриминант D — (a2 + 1)2 — 4а2 должен быть неотрицательным, т. е. (a2 + 1)2 — 4а2 ⩾ 0 или должно быть (a2—1)2 ⩾ 0, что всегда имеет место. Другими словами: данное квадратное уравнение имеет действительные корни при любых значениях а.

Учащимся полученный вывод становится совершенно ясным после того, как им предлагается применить его в различных частных случаях, например, для случая а = 10; тогда:

Значение a = 0 в данном случае не рассматривается, так как по условию а ≠ 0.

2-й вопрос. В каких случаях (при каких значениях параметра а) корни данного уравнения будут различны; в каких случаях они будут равны между собой? Каковы будут знаки корней данного квадратного уравнения (х ≠ 0)? Напомним, что после преобразований уравнение имеет вид:

Произведение корней данного уравнения равно единице (a/a = 1), следовательно, корни данного уравнения при любых значениях параметра взаимно обратны; следовательно, они одинакового знака. В частных случаях при а = 1, x1 = x2 = 1; при а = —1, x1 = x2 = — 1 (корни равные).

3-й вопрос. Сумма корней данного уравнения (S = —) показывает, что в случае а > 0 (а ≠ 0) оба корня положительны, в слу-

* Обычно ученики сразу дают ответ х = а, в редких случаях добавляют х = 1/a после указания, что уравнение должно иметь два корня.

чае а < 0 оба корня отрицательны. В частных случаях: при а = 10,

оба корня положительны; при

оба корня отрицательны.

Попрежнему при а = 1, x1 = х2 = 1; при а = —1, = x2 = —1 (корни равные).

Учитель математики может использовать полученный вывод для того, чтобы подобрать для решения различные варианты квадратного уравнения одной и той же трудности. Он может предложить следующие упражнения:

Пример 2. Уравнение ^ —1 = 0.

Если уравнение имеет решение, то искомый корень x ≠ 0. После преобразований получим квадратное уравнение:

1) Данное уравнение имеет действительные корни при любых значениях параметра 6, так как его свободный член всегда отрицательный. Корни эти различны.

2) Произведение корней

a) если b ≠ 0, то корни различных знаков и, поскольку сумма корней S = 3/2 > 0, абсолютная величина положительного корня больше абсолютной величины отрицательного корня;

b) если b = 0, то произведение корней Р = 0;

следовательно, один из корней равен нулю.

Второй корень равен 3/2 , поскольку сумма обоих корней S = 3/2; значение х = 0 не может быть корнем данного уравнения.

Далее следует рассмотреть частный случай, положив, например, b = √2/2, b = 0, b = — √3/2.

В примерах 1 и 2 были рассмотрены простейшие случаи исследования квадратных уравнений, когда единственный параметр, входящий в уравнение, может принимать любое действительное значение. Эти несложные уравнения, как показал проведенный эксперимент, вполне доступны учащимся. Вводить большее число параметров для учащихся VIII класса не следует, но с более сильными учениками можно рассматривать и другие, несколько осложненные упражнения.

Пример 3. Уравнение: 2х2 + 3х— 36 = 0.

1) Данное уравнение имеет действительные корни, когда дискриминант D = 32 + 24b ⩾ 0.

При b > -3/8 данное уравнение имеет два различных корня, при b = -3/8 корни уравнения равны между собой. Ясно, что при b < -3/8 уравнение не имеет действительных решений.

2) Произведение корней

a) при b > 0 знаки корней различны; сумма корней данного уравнения S = — 3/2 отрицательна, значит, в рассматриваемом случае отрицательный корень имеет большую абсолютную величину, чем положительный;

b) при b = 0 произведение корней Р = 0, значит, один из корней равен нулю, а другой отрицательный, так как сумма корней S = -3/2 < 0;

c) b < 0. Условием действительности корней данного уравнения было b ⩾ -3/8, поэтому в данном случае надо брать -3/8 < b < 0. При значении b, взятом в указанном интервале, произведение корней положительно.

P = —3/2b > 0, оба корня одинаковых знаков, а так как сумма корней всегда отрицательна, S = — 3/2 < 0, то оба корня отрицательны;

d) в случае, когда b = — 3/8, Р = 9/16 > 0, S = —3/2 < 0, значит, равные корни отрицательны.

Далее следует рассмотреть различные частные случаи, положив, например: b = 0,3; b = 0; b = -0,3; b = — 3/8.

Учитель имеет возможность выбрать любое квадратное уравнение с одним параметром из тех примеров, которые имеются в сборнике упражнений по алгебре, исследовать возможные значения параметра для получения действительных решений, а затем составить сколько угодно вариантов уравнений с числовыми коэффициентами для проведения работы с учащимися.

О РАЗВИТИИ ТВОРЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ В ПРЕПОДАВАНИИ ГЕОМЕТРИИ

М. Л. КРАЙЗМАН (Львов)

Математика имеет весьма широкие возможности для развития творческого мышления учащихся, так как почти каждое математическое упражнение и в первую очередь задача являются для учащегося той проблемой, решение которой требует проявления сообразительности, находчивости и настойчивости в достижении поставленной цели. Обучение без соответственного развития творческого мышления учащихся ведет к формализму в знаниях. Одним из путей развития творческой мысли является поощрение учащихся к нахождению разнообразных и оригинальных приемов решения задач и доказательств теорем.

На уроке в IX классе, на котором была доказана теорема о свойстве плоских углов трехгранного угла, один из учеников высказал неудовлетворение сравнительно сложным путем ее доказательства и предложил свой способ установления этого свойства. С этой целью через ребро SC трехгранного угла SABC была проведена плоскость CSD, перпендикулярная к плоскости наибольшего плоского угла ASВ. Пусть SD — линия их пересечения (черт. 1).

Проекции ребер SA и SB на плоскость CSD лежат на прямой SD.

Имеем:

Сложив эти два неравенства, получим:

Черт. 1

Своеобразный путь доказательства этой теоремы вызвал в классе интерес и всеобщее одобрение.

На последующих уроках, при повторении это доказательство оказалось настолько доходчивым, что даже менее успевающие ученики успешно справлялись с поставленным заданием. Для меня более важным был не сам факт нахождения другого доказательства теоремы, а те рассуждения, которые привели к нему ученика.

Сам ученик дал такое объяснение: «Неравенства между углами геометрических фигур можно доказать на основании двух общеизвестных неравенств: первое из них выражено в теореме о треугольниках с двумя соответственно равными сторонами, а другое — в теореме, выражающей свойство угла между прямой и ее проекцией на плоскость. Первая из указанных теорем использована при доказательстве свойства плоских углов трехгранного угла, приведенного в учебнике Киселева. Отсюда идея другого доказательства этого свойства должна была основываться на использовании другой теоремы».

Такое объяснение могло вызвать только большое удовлетворение, ибо свидетельствовало о том, что путь доказательства был найден не случайной догадкой, не блужданием в лабиринте большого количества известных девятиклассникам теорем, зависимостей и соотношений, а сознательным обоснованием того пути, который должен был привести к желаемому результату. Непосредственно на уроке, когда учитель своим объяснением сосредоточивает внимание учащихся в одном направлении, им бывает трудно проявить творческую мысль. Дома у них много больше возможности глубоко вникнуть в соотношения между элементами фигуры. Приведем такой пример.

С целью закрепления свойства биссектрисы внутреннего угла треугольника учащимся была предложена следующая задача:

Хорда АВ = 15 м, хорда AC = 21 м а хорда ВС = 24 м. Точка D — середина дуги СВ. На какие части BE и ЕС делится хорда ВС прямой AED? (Н. Рыбкин, Сборник задач по геометрии, ч. I, § 8, № 25.)

«Решая эту задачу, — рассказывает один из учеников — я установил, что прямая AED яв-

ляется биссектрисой угла ВАС, и заметил равенство углов BAD, DAC, DBC и BCD. а отсюда и равенство хорд BD и DC (черт. 2).

Черт. 2 Черт. 3

Установленные зависимости натолкнули меня на мысль отыскать другой путь доказательства самой теоремы. Действительно, из подобных треугольников ABD и BED имеем:

(1)

Из подобных треугольников ACD и DEC получим:

(2)

Из равенства правых частей равенств (1) и (2) следует желаемое соотношение:

Указанные примеры доказательства теорем выгодно отличаются от тех, которые приведены в учебнике. Это обстоятельство дает возможность ликвидировать наивное представление учащихся, будто доказательства стабильного учебника являются единственными и наиболее оригинальными.

В деле развития творческой мысли учащихся особое значение приобретает методически правильно организованная проверка домашнего задания. В процессе проверки мы проводим сравнительный анализ путей и приемов решения одной и той же задачи, найденных самостоятельно учащимися при ее решении.

Отдельные учителя не уделяют такому сравнительному анализу достаточного внимания по той причине, будто его проведение отнимает много времени. Мы считаем, что такая аргументация не является убедительной, ибо подробный и всесторонний разбор одной задачи приносит значительно больше пользы, чем поверхностное решение за это же время нескольких задач.

Фронтальным ознакомлением с выполнением домашнего задания учащимися на одном из уроков геометрии в VII классе был установлен разный подход к решению задачи № 66 из § 10 задачника Рыбкина. Согласно условию этой задачи, учащимся нужно было определить радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, если основание и боковая сторона его соответственно равны 6 дм и 5 дм. Каждому автору своего способа решения была предоставлена возможность ознакомить класс с главной идеей решения, не приводя каждый раз решение к окончательному числовому результату.

I способ. Центр О окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на пересечении высоты BD, проведенной к основанию АС, и перпендикуляра ОМ к боковой стороне, проходящего через ее середину (черт. 3).

Из центра О радиусом OB описываем окружность. Продолжаем высоту BD до пересечения с окружностью в точке К. Соединяем точки К и С. Треугольник КВС — прямоугольный; DB — проекция катета ВС на гипотенузу ВК. Имеем:

Из этого равенства находим ВК

II способ. Применив теорему о перпендикуляре, опущенном из вершины прямого угла на гипотенузу для треугольника ВСК, получим:

Определив из этого равенства KD, находим затем ВК, сложив BD и KD.

III способ. Применив теорему о хорде и диаметре, проведенных через точку D внутри круга, будем иметь:

IV способ. Из подобия треугольников О MB и DBC находим:

Из этого равенства находил OB, учитывая, что

V способ. К прямоугольному треугольнику ODC, в котором OC = R, OD = H — R (или R — H, если центр О лежит вне треугольника, что возможно, когда DC > BD), a DC = 1/2 АС, применив теорему Пифагора, получим уравнение, из которого определим радиус круга.

VI способ. Этот способ нахождения радиуса описанной окружности базируется на применении соотношения, ставшего учащимся известным в результате ранее решенной задачи на доказательство: Произведение двух сторон треугольника равно произведению диаметра описанной окружности на высоту, опущенную на третью сторону.

Затрата двадцати минут урока на изложение всех шести указанных способов решения задачи полностью себя оправдала, ибо при таком подходе к проверке домашнего задания было повторено значительное количество теорем, применение которых дало возможность раскрыть зависимости между данными и искомыми величинами и обеспечить высокую активность учащихся на уроке. Эти зависимости чрезвычайно важны, ибо находят себе конкретные применения в курсе геометрии X класса при решении задач на шар, описанный вокруг пирамиды или конуса.

Много внимания было уделено решению следующей задачи: Радиус окружности равен 7 см. Из точки, удаленной от центра на 9 см, проведена секущая так, что она делится окружностью пополам. Определить длину этой секущей. (Н. Рыбкин, Сборник задач по геометрии, ч. 1, § 11, № 23).

Учащимися было предложено три способа ее решения:

I способ. На основании следствия теоремы о секущей и касательной, проведенной из одной точки вне круга, будем иметь (черт. 4):

Черт. 4

Так как

II способ. В треугольнике АОС, OB есть медиана. Продлим ее на такую же длину и конец (точку К) соединим с точками A и С.

Четырехугольник СОАК есть параллелограмм. Применив теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма, получим:

III способ. Проведем вспомогательные хорды DC и BF и рассмотрим два подобных треугольника: ADC и АРВ⋅∠А — общий и ∠DCA = ∠AFB, ибо ∠DCB + DFB = 180° (на основании свойства вписанного четырехугольника) и ∠DFB + ∠AFB = 180° (как смежные). Из подобия этих треугольников получим:

Я считал полезным показать существование IV способа решения этой задачи. Проведя через точку С диаметр CL и соединив точки L и А, получим равнобедренный треугольник ALС. Действительно, BL есть медиана в этом треугольнике, ибо, по условию, СВ = АВ. С другой стороны, BL — высота, ибо ∠LBC = 90°. Таким образом, в равнобедренном треугольнике CLA известны боковые стороны CL и AL и медиана АО, проведенная к боковой стороне LC.

Следовательно,

Понятно, что решение этой задачи на вычисление первым способом скорее других ведет к цели и освобождает решение от дополнительных построений и вычислений.

Однако, в связи с тем, что домой было дано задание: Из данной точки вне окружности провести секущую так, чтобы она делилась окружностью пополам, то построение при помощи циркуля и линейки вторым и четвертым способом выполняется эффективнее (методом геометрических мест), чем первым или третьим, требующим применения алгебраического метода.

Объем изученного программного материала не всегда допускает различные способы решения определенной задачи, ибо они базируются на таких зависимостях между элементами геометрических фигур, которые будут изучены позже. Поэтому учитель должен к отдельным задачам возвращаться повторно, если новые приемы решения заслуживают внимания и могут вызвать у учащихся интерес. Рассмотрим такую задачу: Доказать, что во всяком треугольнике произведение двух сторон равно произведению диаметра описанного круга на высоту, опущенную на третью сторону. (Н. Рыбкин, Сборник задач по геометрии, ч. I, § 14, № 15.) Она решалась нами на уроке

в VIII классе после прохождения признаков подобия прямоугольных треугольников.

Из подобия треугольников ABF и BDC (черт. 5)

Черт. 5

будем иметь:

откуда

После изучения вопроса об отношении площадей треугольников, имеющих по одному равному углу, мы к этой задаче возвратились вновь и решили ее таким способом:

Проведем OK⊥АС, тогда AM = MC и ∠АОК = ∠АВС.

Следовательно,

окончательно:

Творческая мысль учащихся должна проявляться не только в нахождении различных способов решения одной и той же задачи. Составляя план решения задачи, учитель должен мобилизовать внимание учащихся на нахождение оригинальных путей реализации отдельных составных частей этого плана, отдельных его этапов. Поясним это на примере задачи № 7 из § 14 «Сборника задач по геометрии», ч. II, Н. Рыбкина: Высота конуса 20.

радиус его основания 25. Найти площадь сечения, проведенного через вершину, если его, расстояние от центра основания конуса равно 12.

При решении этой задачи было необходимо сначала установить положение основания D перпендикуляра, опущенного из центра О основания на плоскость сечения ASB.

Одни учащиеся рассуждали при этом так: «Проведем ОС⊥AB (черт. 6).

Соединим точки С и S. На основании теоремы о трех перпендикулярах AB⊥SС. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, имеем AB⊥пл. SOC, а на основании признака перпендикулярности двух плоскостей получим: пл. SOC⊥пл. ASВ. Если из точки О принадлежащей пл. SOC, опустить перпендикуляр на плоскость ASB, то этот перпендикуляр должен лежать в плоскости SOC и его основание будет находиться на линии SC пересечения этих плоскостей».

Черт. 6

Другие учащиеся при обосновании этого положения пошли другим путем. Стороны AS и BS треугольника ASB являются образующими конуса, и поэтому они образуют с высотой SO конуса равные углы. Отсюда проекция SO на плоскость угла ASВ будет биссектрисой этого угла. Таким образом, основание D перпендикуляра OD будет находиться на прямой SC, являющейся биссектрисой угла ASВ. Дальнейшее решение приняло вид:

(1)

(2)

(3)

При определении АС были сделаны два принципиально различные предложения. Первое из них сводилось к отысканию ОС из треугольника OSC:

а затем из прямоугольного треугольника ЛОС находим АС:

Учащиеся, отстаивавшие второе предложение, предлагали рассмотреть треугольники АОС и SOС. Они равны, ибо катет ОС —общий, а гипотенузы АО и SC равны, ибо каждая из них равна 25. Из равенства этих треугольников вытекает, что АС = SO = 20.

Роль учителя в развитии творческого мышления учащихся огромна. В тех случаях, когда учащиеся в поисках рационального пути решения задачи не могут его обнаружить, учитель должен прийти им на помощь, предлагая иногда только идею решения, а иногда изложить полное решение.

Рассмотрим задачу № 23 из § 8 «Сборника задач по геометрии, ч. II», Рыбкина, которая принесла учащимся немало хлопот:

Основанием прямой призмы служит правильный десятиугольник, вписанный в круг радиуса R. Боковое ребро призмы равно диагонали основания, проведенной из первой вершины к четвертой. Определить боковую поверхность этой призмы.

Черт. 7

Все попытки учащихся отыскать путь решения этой задачи не давали сколько-нибудь положительных результатов, ибо их мысли концентрировались в одном направлении: отыскать отдельно длину стороны и указанной в условии диагонали основания, а затем определить боковую поверхность из равенства:

Sб = 20⋅aH = 10AB⋅AD.

И только предложение одного из учеников оказалось достаточно эффективным, но при этом надо было прибегнуть к применению тригонометрии. В треугольнике ABD:

∠ABD = 126°, ∠АDВ = 18° (черт. 7).

На основании леммы, выражающей зависимость между стороной треугольника и диаметром описанной окружности, имеем:

Все же чисто геометрического способа и вместе с тем рационального никто из них не нашел. Мной была подана мысль о том, что очень часто при решении задач бывает полезно определять не отдельные компоненты, входящие в окончательное выражение искомой величины, а их сумму или произведение — в зависимости от общего вида этого выражения. В данной задаче необходимо найти величину произведения AB⋅AD.

Цель анализа этой задачи состоит в том, чтобы произведение AB⋅AD заменить равным ему произведением, величину которого легко можно было бы определить. В ходе беседы с учащимися было установлено, что равные произведения чаще всего можно получить из рассмотрения подобных треугольников или из сравнения площадей прямолинейных фигур.

После таких разъяснений эта задача была включена в домашнее задание учащимся с тем, чтобы отыскать чисто геометрические способы ее решения.

В ходе проверки домашнего задания на следующем уроке учащимися были предложены два способа решения.

I способ.

причем ∠BAF — вписанный, a ∠DOF — центральный. Отсюда AB || OD. Треугольники ABD и АОВ равновелики, так как основание AB — общее, а вершины О и D расположены на прямой AB, параллельной основанию АВ⋅∠АОВ = ∠BAD = 36°. Следовательно,

Так как

II способ.

Отсюда а потому и

Из подобия треугольников АВК и DOK имеем:

В «Сборнике задач по геометрии», ч. II, Рыбкина, помещены две задачи, очень сходные по своему содержанию: № 31 из § 21 и № 28 из § 24.

Рассмотрим одну из них.

Доказать, что объем тела, полученного при вращении кругового сегмента с хордой а вокруг диаметра, параллельного этой хорде, не зависит от величины радиуса круга (№ 31 из § 21).

Черт. 8

При решении этой задачи дома учащиеся руководствовались известным положением, согласно которому объем тела вращения равен алгебраической сумме объемов тел, образованных при вращении данной фигуры вокруг оси, а именно (черт. 8):

Метод решения не вызвал у учащихся особых затруднений, однако он оказался неприемлемым, так как требовал кропотливой работы по выполнению громоздких выкладок и тождественных преобразований, занявших в ученических тетрадях две страницы математического текста, в которых утонуло геометрическое содержание задачи.

Желаемый результат можно получить, если объем тела вращения рассматривать как разность между объемом шарового сектора, образованного вращением кругового сектора OBLA вокруг диаметра MN, и объемом тела, образованного вращением треугольника ОАВ вокруг той же оси.

В этом случае значительное упрощение вносит применение леммы для вычисления объема тела, образованного вращением треугольника ОАВ, согласно которой этот объем равен произведению поверхности тела, образованного вращением противоположной стороны AB на одну треть высоты, опущенной на эту сторону.

Итак,

Вывод формулы Герона для вычисления площади треугольника, приведенный в учебнике Киселева, также сводится к алгебраическим преобразованиям, среди которых теряется геометрическая сущность вопроса.

Считаем полезным ознакомить восьмиклассников на математическом кружке со следующим доказательством (с которым в математической литературе нам не приходилось встречаться).

О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC; K, L и M — точки касания этой окружности соответственно сторон ВС = а, АС = b и AB = с (черт. 9).

Черт. 9

O1 — центр вневписанной окружности; D, Е и F — точки касания этой окружности соответ-

ственно стороны ВС и продолжения сторон АС и AB.

Обозначим:

Отметим, что Тогда

(1)

где р — полупериметр △ ABС. Из равенстза (1) следует:

Кроме того,

Отсюда

(2)

Сравнив равенства (1) и (2), придем к выводу, что CE = CD = y, a BD = BF = z.

Треугольники AOL и АО1Е подобны, следовательно,

(3)

Треугольники СОК и DO1С подобны (∠ОКС = ∠O1DC = 90°, ∠OCK = CO1D как углы со взаимно перпендикулярными сторонами).

Из подобия этих треугольников имеем:

(4)

Перемножив почленно равенства (3) и (4), получим:

Отсюда

(5)

Так как r = S/p, то равенство (5) принимает вид:

или окончательно:

В тех случаях, где это целесообразно, мы углубляем содержание задачи за счет постановки дополнительных вопросов, решение которых иногда вызывает значительно большие трудности, чем решение самой задачи.

К примеру возьмем задачу № 15 (2) из § 16 («Сборник задач по геометрии», ч. II, Н. Рыбкина):

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда относятся, как т:п, а диагональное сечение — квадрат с площадью Q. Определить объем этого параллелепипеда.

Эта задача чрезвычайно проста как по содержанию, так и по методу ее решения, и окончательный результат:

был получен отдельными учащимися устно.

Затем был поставлен учащимся следующий вопрос:

«При каком соотношении m и n объем параллелепипеда будет наибольшим?» Для решения этого вопроса пришлось дать указание учащимся о представлении окончательного ответа в таком виде:

Воспользовавшись известным неравенством, что сумма двух взаимообратных дробей не меньше 2, учащиеся пришли к выводу, что величина дроби будет наибольшей, когда величина знаменателя будет наименьшей, т. е. когда m/n + n/m = 2, что возможно при m = n. Отсюда объем параллелепипеда, диагональное сечение которого есть квадрат, будет наибольшим, когда в его основании лежит квадрат. Такое углубление содержания задачи, безусловно, содействует развитию творческого мышления учащихся.

Для учителя такая систематическая и настойчивая работа по развитию творческого мышления учащихся является чрезвычайно полезной с точки зрения повышения его собственной квалификации, ибо вынуждает его всегда обдумывать и предвидеть самые разнообразные варианты решения задачи, которые могут быть предложены учащимися, быстро в них ориентироваться и давать оценку каждому из них.

О ВОСПИТАНИИ ИНТЕРЕСА К ЗАНЯТИЯМ ПО АРИФМЕТИКЕ

И. ФИНКЕЛЬШТЕЙН (Сев. Казахстан)

Учащиеся пятых классов занимают особое положение в школе. Причины этому следующие:

1) Возраст в 11—12 лет — это переходный период от детства к отрочеству. Дети в этом возрасте отличаются большой динамичностью и неуравновешенным тонусом работы. Быстрая психическая насыщаемость, скорая утомляемость при напряженной интеллектуальной работе мешают длительному сосредоточению детей.

2) Дети в этом возрасте находятся еще на стадии конкретного мышления. Хотя круг их представлений уже достаточно велик, но он ограничен все же восприятием живых и ярких образов. Это переходная стадия от конкретного и образного мышления к общим представлениям, к понятиям.

3) Организация педагогического процесса в пятых классах тоже представляет собой сложный переход от влияния одного учителя и воспитателя на предыдущих годах обучения к воздействию многих учителей с разными требованиями.

В этом периоде чаще всего начинают формироваться учебные интересы ученика, большей частью под влиянием личности учителя. Успех учителя в большой мере зависит от того, насколько он сумеет мобилизовать внимание учащихся на протяжении всего урока без лишней перегрузки. Речь идет об активном внимании, когда работа протекает с подъемом и интересом. Отвлечение внимания — частое явление у учащихся пятых классов. Учителю необходимо все время следить за классом, все время стимулировать часть учащихся к работе на уроке. Под стимуляцией я разумею поддержание постоянного интереса к материалу урока, приковывание внимания ученика. У меня первое время при сложном примере или трудной задаче быстро наступало у учащихся охлаждение. «Ответ не получается; пример не сходится», — разочарованно заявляли многие. В данном случае не помогало и убеждение: «Проверь! Реши еще раз!». Только лучшие ученики работали настойчиво, а большинство класса не прилагало видимых усилий. Чаще всего это повторялось на тех уроках, когда я добивался самостоятельного решения от каждого ученика.

Однако стоило взять задачу, содержание которой было связано с ближайшим окружением ребенка, и интерес неизменно повышался. Отсюда я вправе был сделать вывод, что вопрос о том, как решать, зависит в большой степени от вопроса, что решать, и что ни в коем случае не следует забывать о воспитывающем значении предмета.

Следовательно, первым стимулирующим средством на уроках арифметики является подбор соответствующего материала не только со стороны методической его выдержанности, но и со стороны психологической: насколько он близок, понятен, интересен для учащихся.

В нашей педагогической литературе уделяется много внимания вопросам успеваемости. Большинство статей, посвященных этому вопросу, трактует главным образом о методической стороне преподавания. Слов нет, методическое мастерство учителя является важнейшим и решающим звеном в усвоении любого предмета. Однако не следует забывать, что математические интересы ученика V класса нуждаются в тщательном воспитании, что они часто отстают от тех требований, которые предъявляются программой. Для успеха дела необходимо, чтобы ученик был в педагогическом и психологическом отношении подготовлен к восприятию материала.

Пробуждение активности ученика на уроках арифметики — это сложная педагогическая и психологическая проблема, которая требует своего самостоятельного исследования.

В методическом письме «О преподавании арифметики в начальной школе», выпущенном Министерством просвещения РСФСР в 1950 г., автор А. С. Пчелко описывает интересный урок, проведенный одной учительницей во II классе.

Привожу его целиком.

«Вхожу во II класс со стопкой новых тетрадей, кладу их на стол. Урок начинается; проверяем домашнее задание, решаем устно задачи и между делом говорю: «Витя, снеси в учительскую тетради».

Беру произвольно несколько тетрадей из принесенной стопки, и Витя уносит, а урок продолжается. Ведем беседу о Вите, как бы невзначай вызываю его. «Он ушел в учительскую, он понес тетради» — говорят дети.

— Да, да, верно, он понес тетради.

— А сколько он понес?

— Мы его спросим, когда придет.

Входит Витя, спросили, сколько он отнес тетрадей. Витя растерялся, он не считал. Желающих исправить ошибку Вити нашлось много.

— Никто не пойдет в учительскую считать унесенные тетради. Считайте здесь и дайте мне ответ!

Задумались дети. Тянут руки: «Скажите, сколько тетрадей вы на стол положили?»

— 47 тетрадей.

На мгновение дети затихли, а потом опять: «А сколько их осталось на столе?

— Выйди, Коля, сосчитай и дай ответ!

Коля считает тут же на глазах и объявляет, что осталось 20 тетрадей. Почти все быстро решили задачу и текст составили».

Такой метод решения трудной задачи для второго класса представляется мне весьма удачным, так как учительница сумела приковать внимание учащихся к задаче и возбудить интерес к ней.

В V классе в основном изучают по арифметике действия над дробями. Задался ли кто-либо из учителей целью выявить представления учащихся о частях, о долях целого? На экзамене по арифметике в V классе ученик, переведенный к нам из другой школы, отвечал хорошо, но при решении задачи: Длина комнаты 5,6 м, ширина комнаты составляет 3/4 ее длины. Узнать площадь комнаты — стал умножать 5,6 м на 3/4, «так как площадь вычисляется умножением длины на ширину». Мотивировка была правильная, но я обратил внимание ученика на то, что здесь не дана ширина, что необходимо ее сначала найти. Ученик все же не понял моего замечания. Я предложил ему графически изобразить отрезком длину, что он и сделал, потом на отрезке отложить величину ширины комнаты, т. е. взять 3/4 отрезка. Ученик не мог выполнить моего задания. Тогда я дал ему листочек бумажки и предложил взять 3/4 листка. Это тоже вызвало у него затруднения. Между тем ученик правильно производил действия над дробями, зная правила по учебнику. В чем же здесь дело? Оказалось, что ученик не имеет реального представления о долях. Сама жизнь не толкает детей на восприятие долей целого, необходимость дробных вычислений в этом возрасте встречается довольно редко; в лучшем случае в быту приходится иногда иметь дело с половиной, с четвертью, дроби же в 3/4, 2/3, 4/5 у детей этого возраста не вызывают реального образа, так как не было непосредственного восприятия этих величин.

Думаю, что реальные образы непосредственного восприятия долей целого надо создавать у учащихся, начиная с III и IV классов, поставив их перед необходимостью деления на части. Это будет пропедевтика дробей, но и в V классе нельзя пренебрегать этим, так как иначе мы не добьемся сознательного усвоения материала, не вызовем у детей должного интереса к изучению дробей. В конце концов понятие дроби абстрагируется от реального образа, так как, скажем, реально представить 1/100000 или 0,000001 невозможно. Мы должны от реального восприятия объекта идти к общим представлениям и понятиям, но оперировать понятиями сразу, минуя этапы реального восприятия объектов и формирования представлений, — это значит идти неверным путем.

Как это сделать? Я попытаюсь проиллюстрировать примерами.

Вы хотите дать учащимся реальное представление о дробях. Приготовьте бумажные полоски, листочки бумаги, тонкого картона, веревочки и другой раздаточный материал.

Предложите ученикам оторвать 3/4, 2/3 полоски или листочка. Для этого нужно полоску разделить на соответствующее количество частей сгибанием, потом взять нужное количество частей. Как это записать? Тут реально выступают значение числителя и знаменателя. Знаменатель показывает, на сколько частей мы разделили нашу полоску, числитель — сколько таких частей взято. Вот оказывается, в чем смысл дробного числа?

Но дробь имеет и другой смысл, — это результат деления двух чисел. Надо и это довести до сознания ученика.

Разделить два листочка бумаги между тремя учениками поровну, три листочка между четырьмя учениками. Как это сделать? Какую часть получит каждый ученик? Как это записать? Нельзя ли это решить, не разрывая бумаги? Что мы записываем в числителе, что в знаменателе? Что означает черта? и т. д.

Занятия проходят интересно и оживленно. Теперь можно решить без труда такие задачи*.

№ 557. Целый хлеб разделили на 8 равных частей и съели три таких части. Сколько и каких частей хлеба осталось?

Можно даже задачу эту продемонстрировать на полоске, графически изобразить ее. Тогда понятной становится и задача № 562: Из трех килограммов муки испекли 5 равных хлебов. Сколько муки употребили на каждый хлеб?, и другие подобные задачи.

Учитель не должен ограничиваться длительной демонстрацией разных объектов счета на одном уроке. Лучше всего вкрапливать это при знакомстве с дробями непродолжительными

* Приведенные задачи взяты из сборника задач Е. С. Березанской.

упражнениями на ряде уроков. Продолжая идти этим путем, учитель, может быть, придумает ряд других упражнений, когда придется оперировать более сложными объектами счета.

1. Раздайте 2/5 тетрадей, карандашей.

2. Постройте 3/4 класса.

3. Возьмите 3/7 количества палочек. Найдите 1/2 остатка. Как это записать?

Учащимся пятых классов очень трудно дается нахождение части от остатка, выраженного дробью, как, например, в задаче № 997:

В первый день переписчица переписала 1/4 работы, во второй день 1/2 остатка. Какую часть работы ей осталось еще переписать? Как правило, большинство начинает складывать 1/4 и 1/2, полученную сумму отнимают от 1. Происходит это потому, что нахождение части от части не представляется реально.

Можно облегчить это учащимся показом на конкретных объектах.

«Возьмите часть спичек, палочек. Сколько частей осталось? Как это записать? А сейчас возьмем половину остатка? Как это записать? 3/4⋅1/2. А почему мы здесь умножаем? » и т. д.

После такой предварительной работы решение вышеприведенной задачи не представляет никаких затруднений.

В мою задачу не входит описание методики работы по арифметике в пятых классах, поэтому я не буду придерживаться системы последовательного изложения материала программы. Мои примеры — это не больше как иллюстрация к теме «об интересе», который является стимулирующим фактором.

Приведу еще несколько примеров.

Трудным разделом в дробях является понимание зависимости между величиной дроби и ее членами, в частности — обратно пропорциональной зависимости между величиной дроби и ее знаменателем. Обыкновенно в этих случаях прибегают к рассмотрению зависимости между компонентами и результатом в действии деления или к пояснению, что увеличение знаменателя ведет к более мелким долям. И тот и другой способ методически правильны, тем не менее ребята продолжают часто ошибаться, потому что доказательства эти носят косвенный характер, что трудно воспринимается учениками пятых классов. Мне кажется, что это можно пояснить учащимся сначала путем прямого и очевидного показа.

Начнем от сравнения дробей по величине. Возьмем несколько одинаковых полосок. Сгибанием разделим каждую на 8 частей. Возьмем последовательно: 1/8, 3/8, 5/8, 7/8. Оторвем взятые части полосок. Разложим их одну под другой, запишем величину каждой части. Что в этих дробях одинакового? Чем они отличаются одна от другой? Какая из этих дробей больше? Почему? Дети самостоятельно выведут правило. Такую же работу мы можем проделать, сравнивая дроби с одинаковыми числителями, но с разными знаменателями. Возьмем несколько одинаковых полосок. Возьмем 3/4, 3/8, 3/16 каждой полоски. Разложим их одну под другой. Напишем величину каждой части. Что одинакового в этих дробях? Чем они отличаются одна от другой? Какая из этих дробей больше? Почему?

Дети убеждаются, что увеличение числителя и знаменателя в отдельности по-разному влияет на изменение величины дроби. Доказательство налицо, так как каждая из взятых дробей обозначает величину реального отрезка, который находится перед глазами учащихся. Постановкой вопроса «почему?» мы добиваемся, чтобы ученики пояснили этот очевидный факт, исходя из значения числителя и знаменателя или по аналогии с делимым и делителем. А дальше можно таким же путем показать, что 9/16 в три раза больше 3/16 или что 3/16 в четыре раза меньше 3/4 и т. п.

Следует помнить, что в таких случаях необходимо довести логическое звено до конца: почему ты так сделал? Как это можно записать? Как это можно решить? В противном случае это будет лишь показ, где может быть отражено творчество учителя, а не ученика.

Мне кажется, что такая форма работы должна иметь место и при решении некоторых задач, а также при прохождении геометрического материала.

Решаю я с учащимися задачу № 993: Когда турист прошел всего пути, то ему осталось еще пройти до середины пути 4 1/2 км.

Найти длину всего пути.

Бьюсь 15 минут над разъяснением этой задачи — не понимают, изображаю путь на доске при помощи отрезка, деленного на 10 частей, — не понимают. Лучшие ученики решают так: отнимают от единицы три десятых, так как до сих пор они встречали задачи, когда мы

весь путь принимаем за единицу. От полученных 7/10 отнимают 3/10, получают 4/10 и делят 4 1/2 км на 1/10. Обращаю внимание, что здесь речь идет не о целом пути, а о полпути, тогда вводится ими лишнее действие: 1 — 1/2, а дальше идет правильное решение, но большинство класса не справляется с задачей. Интерес к задаче заметно падает. Раздаются возгласы: «Непонятная задача». «Ответ не сходится». Решаю прибегнуть к следующему методу. Предлагаю одному ученику измерить метром длину класса, полученную величину записываю на доске. Делим полученную величину на 10, получаем 1/10 длины класса. Откладываем полученную величину 3 раза на полу, отмечая мелом, получаем 3/10 длины пола. Большой чертой на полу отмечаем 1/2 длины пола. Прошу ученика пройти 3/10 пола и остановиться у метки. Класс наблюдает. Спрашиваю, сколько частей расстояния прошел ученик? Отвечают: «Он прошел 3/10 длины пола». Спрашиваю: «Дошел он до половины класса или нет». Отвечают: «Нет! Не дошел еще».

— А как узнать, сколько частей всего пути ему осталось пройти до середины пола?

— Надо отнять от 1/2 пройденный путь, т. е. 3/10.

Отнимаем устно и получаем ответ: 2/10, или 1/5. Измеряем, сколько метров составляет оставшаяся до половины пути 1/5 часть.

Спрашиваю: «Можем ли мы узнать длину пола, зная, что 1/5 часть его составляет столько-то метров?» Учащиеся отвечают, что можно, так как здесь мы находим число по его части. Находим длину пола. Ответ получается такой же, как и при измерении; данные совпадают. Возвращаемся к задаче. Интерес к ней сразу возрастает. Задача решается легко. Составляем аналогичные задачи и решаем без затруднений. Вместо скучного начала урока, последняя часть его проходит оживленно при активном участии всего класса.

Изучаем площадь поверхности параллелепипеда. Дети дома приготовили развертку параллелепипеда. Начинаем измерять. Я предлагаю измерить каждую грань. Дети измеряют на развертке длину и высоту боковой поверхности сразу. Я настаиваю на своем: «Надо измерить площадь каждой грани», так как я хочу их подвести к формулировке правила, что для того чтобы узнать площадь поверхности параллелепипеда, надо найти сумму площадей его граней. Мне возражают «Так быстрее и удобнее!» Слов нет, дети правы, приходится согласиться. Измерили боковую поверхность, прибавили площадь верхнего и нижнего оснований. Пришлось изменить и формулировку правила: чтобы найти полную поверхность параллелепипеда, надо найти площадь боковой его поверхности и прибавить площадь верхнего и нижнего оснований. Решаем задачу: Найти площадь поверхности параллелепипеда, длина которого 20 см, ширина 15 см, а высота 10 см. Мнутся. «Трудно, — говорят. — Что здесь принимать за боковую поверхность, что за нижнее и верхнее основание?» Предлагаю сделать чертеж (приблизительный). Оказывается, что на чертеже полную боковую поверхность сразу не измеришь, приходится измерять и находить площадь каждой грани. Обращаю внимание, что противоположные грани равны, поэтому достаточно измерить одну боковую грань, одну нижнюю или верхнюю, одну переднюю или заднюю и сумму этих площадей умножить на 2. Выполняем, получаем нужный ответ. Предлагаю решить аналогичную задачу. У большинства класса не получается. В чем дело? Оказывается, не хватает пространственного воображения, трудно представить себе все плоскости параллелепипеда, да и не ясна цель: зачем требуется измерить площадь поверхности параллелепипеда? Кривая работоспособности падает, внимание отвлекается. Я это чувствую хорошо. Понимаю. Необходимо облечь это в форму жизненно-практической задачи. Урок подходит к концу. Предлагаю дома изготовить из картона или твердой бумаги коробочку размерами: 10 см x 4 см x 6 см. Объясняю, что для этого надо изготовить ту же развертку, которую ребята уже научились делать, и склеить ее. Предлагаю также учащимся принести по половинке газеты и ножницы.

На следующем уроке проверяю готовность учащихся к уроку. Почти все приготовили коробочки и вооружились ножницами и бумагой. Ждут, что-то будет интересное! Кто-то лукаво спрашивает: «Опять будем изучать поверхность параллелепипеда?» Я отвечаю уклончиво: «Возможно!»

— Ну, да мы вчера ничего не поняли!

Я это и сам знаю хорошо, рад этой детской прямоте, которая свидетельствует о том, что они не безразлично относятся к уроку, ждут чего-то интересного.

— Сегодня поймем, — отвечаю я спокойно.

Предлагаю учащимся решить следующую задачу:

Нам нужно обклеить нашу коробочку газетной бумагой со всех сторон. Сколько для этого потребуется квадратных сантиметров бумаги? Наступает напряженная тишина.

— Надо измерить, — говорит робкий голос.

— Размеры коробочки вам известны, — отвечаю я.

— Надо измерить бумагу, — говорит кто-то с места.

— Измеряйте!

Опять тишина, никто не начинает.

— Кто скажет, как решить эту задачу, с чего начинать?

Поднимается много рук.

— Надо вырезать сначала бумажки для обклейки коробочки.

— Правильно, а как это сделать?

— У нас ведь есть размеры коробочки, будем по ним вырезать.

Начинается деятельная, творческая работа. Весь класс заинтересован. Я слежу строго за тем, чтобы бумага измерялась линейкой, а не прикладыванием коробочки. Когда все кусочки бумаги вырезаны, мы начинаем подсчитывать площадь каждого куска. Оказывается, что у нас кусочки бумаги попарно равны: 10 см × 4 см — два куска, 6 см × 4 см — два куска, 10 см × 6 см — два куска, итого 248 кв. см.

— Итак, сколько нам нужно квадратных сантиметров бумаги, чтобы обклеить поверхность коробочки? Какая площадь поверхности коробочки? Но коробочка имеет форму параллелепипеда? Как вычислить площадь поверхности параллелепипеда? Ответ получаю быстро, рук поднимается много.

— Надо узнать площадь каждой грани, но их по две, их можно взять парами и сложить.

Цель урока достигнута.

Вопрос о привитии интереса к арифметике сравнительно мало затронут и тем более разработан в методической литературе. Здесь нами описана лишь попытка работы и поиски путей в этом направлении.

ОТ РЕДАКЦИИ

В редакцию продолжают поступать в большом количестве задачи, тематику которых составляет наше социалистическое строительство (пятилетний план и его выполнение, решения партии и правительства по вопросам народного хозяйства, достижения передовиков в области промышленности и сельского хозяйства и пр.). Это указывает на тот отрадный факт, что такого рода задачи, воспитывающие у учащихся чувства советского патриотизма, любви к родине, все шире внедряются в практику преподавания математики в средней школе, и что все более растет круг учителей, систематически составляющих такого рода задачи на основе новых материалов.

С другой стороны, следует отметить, что присылаемые задачи в подавляющей части очень элементарны по их математической структуре (задачи в одно действие) и однообразны по математическому содержанию (простые задачи на проценты, на пропорциональное деление и т. п.). Все они легко могут быть составлены каждым учителем, имеющим под рукой соответствующий цифровой материал.

Поэтому, учитывая:

1) что в течение ряда лет в журнале помещались задачи указанного вида;

2) что в силу простоты математической структуры они легко могут быть составлены самими учителями;

3) что в № 5 журнала за 1955 год была помещена статья т. Круповецкого, излагающая методику составления таких задач, — редакция предполагает в дальнейшем ограничиться помещением лишь отдельных задач, более оригинальных и более сложных по математической структуре. Одновременно с этим редакция будет систематически помещать новый цифровой материал по вопросам социалистического строительства для составления задач на основе этого материала самими учителями.

Редакция

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О КНИГЕ В. М. БРАДИСА «МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ»

для педагогических институтов, Учпедгиз, 1954 г.

Т. А. ПЕСКОВ (УФА)

За все время существования нашей методической литературы в первый раз появилась книга, в которой сделана попытка разработать общие вопросы методики преподавания математики в средней школе.

В первый раз также делается попытка объединить в одной книге все частные методики.

Положительные стороны книги В. М. Брадиса, изд. 1949 г., рассмотрены в статье Н. И. Благовещенского («Математика в школе», № 3 за 1951 г.).

Со своей стороны, считаем необходимым остановиться на таких недостатках книги В. М. Брадиса, которые не указаны в рецензии Н. И. Благовещенского и устранение которых в значительной степени повысит ценность книги.

Отметим прежде всего, что в рецензируемой книге недостаточно разработан вопрос о методах обучения математике.

Советская методика математики унаследовала лучшие традиции передовой русской дореволюционной методики, в которой личность ученика никогда не игнорировалась.

В. М. Брадис вполне признает это принципиальное положение, отмечая (стр. 43), что все методические работы дореволюционного методиста С. И. Шохор-Троцкого характеризуются вниманием к ученику, заботой о воспитании в нем интереса и любознательности, о развитии его самодеятельности; но эти тенденции очень слабо отражены в различных разделах книги и, в частности, в изложении принципов и методов обучения.

Вполне правильно утверждая, что значение индуктивного метода в преподавании математики заключается в обнаружении учащимися различных математических фактов из наблюдения и опыта (стр. 30—31), автор не конкретизирует это утверждение в достаточной степени и не дает трактовку этого вопроса с психологической точки зрения, как вопроса об одном из видов творческой работы учащихся, сопряженной с их положительными эмоциями.

Отрывочные замечания об ученическом творчестве, встречающиеся в разных местах книги (стр. 355, 361), не уясняют сущности вопроса и не мобилизуют учителей на такие методы и приемы работы, которые стимулировали бы учащихся к проявлению своего собственного хотя и маленького творчества. Кроме того, следует отметить, что на указанных страницах приведены примеры только из геометрии. В. М. Брадис недопустимо кратко излагает вопрос о дедуктивном методе, причем примеры дедуктивных выводов нельзя признать удачными (стр. 31).

В книге ни одного слова не сказано о силлогизмах, как о форме построения дедуктивных умозаключений, об изменении этой формы в школьной практике и вытекающих отсюда требованиях педагогического характера.

Весьма краткое и элементарное изложение вопросов о дедуктивном и индуктивном методах не обеспечивает глубокого понимания этих методов и их роли в преподавании математики.

Чрезвычайно бледно освещен в книге вопрос об аналитическом методе, огромное значение которого неоднократно подчеркивалось в дореволюционной и советской методической литературе.

Для выяснения сущности аналитического метода автор рассматривает пример из алгебры и ни в одном месте книги ни одного слова не говорит о применении аналитического метода к доказательству геометрических теорем, тогда как в методической литературе и школьной практике вопрос об аналитическом методе ставится главным образом именно по отношению к геометрии.

Неудачно изложен также в книге вопрос о применении аналитического метода к решению задач.

Автор так характеризует аналитический метод решения задач: «...надо искать путь к решению задач, применяя либо прямой (синтетический) метод, когда идут от данного к искомому, либо косвенный (аналитический) метод, когда исходят из допущения, что задача решена, чтобы потом, выяснив путь решения, пройти по нему еще раз уже от данных к искомым» (стр. 79).

Нельзя думать, что приведенная характеристика аналитического метода решения задач сможет моби-

лизовать учителей на его применение, в особенности по отношению к геометрическим задачам.

Совершенно очевидно, что будущий учитель, вооруженный такими неопределенными установками, не будет пользоваться аналитическим методом и тем более не научит учащихся применять этот метод к решению задач, а автор книги, говоря об аналитическом методе, имеет в виду и учащихся.

Кроме того, вопрос о методах решения задач следовало бы изложить в той части книги, в которой рассматриваются различные методы преподавания.

Вполне уместно было бы также говорить о методах решения задач в параграфе 19, озаглавленном «Решение задач», но автор излагает этот вопрос под заголовком «Самостоятельная работа учащихся».

Едва ли можно одобрить включение в число методов преподавания так называемого катехизического метода как особой разновидности эвристического метода, тем более, что автор не устанавливает четкого различия между этими методами. Мы думаем, что катехизический метод не должен фигурировать в методике математики.

Вторым недочетом книги В. М. Брадиса является отсутствие систематичности в расположении материала.

На странице 47 автор считает обязательным изложение школьной математики в виде стройной системы.

Вполне естественно, что и в изложении методики математики должен быть соблюден принцип систематичности, но в книге этот принцип неоднократно нарушается.

Приведем примеры:

1) На странице 45 говорится о принципе сознательности обучения, а на странице 166 рассматривается вопрос о борьбе с формализмом, причем автор не устанавливает, что формализм возникает именно в результате нарушения принципа сознательности.

Вопросы о сознательности обучения и о борьбе с формализмом нельзя отрывать один от другого и таким образом неправильно ориентировать будущих учителей.

2) Вопрос о наглядности обучения излагается в трех местах — на страницах 46, 79 и 104, что тоже следует признать неправильным.

3) Вопрос о самостоятельной работе учащихся вообще рассматривается на страницах 77—79, а о домашней самостоятельной работе говорится на странице 91. Было бы целесообразно объединить все сказанное автором о самостоятельной работе под оглавлением «Принцип активности учащихся».

4) Вопрос о повторении оторван от принципа прочности ученических знаний.

5) Резко бросается в глаза разрыв в изложении вопроса о воспитательной цели преподавания математики.

На странице 39 слишком кратко рассматривается одна сторона этого большого вопроса, относящаяся к формированию материалистического мировоззрения учащихся и развитию различных психических способностей.

На страницах 60—64 говорится о политико-воспитательной работе на уроках математики, а на странице 113 автор касается вопроса о поощрении учащихся, предлагающих оригинальные способы решения задач.

Таким образом, автор разбросал в трех местах изложение вопроса о воспитательном значении математики вместо того, чтобы сконцентрировать основные положения по этому вопросу в одном месте.

Вопросу о построении урока математики уделяется очень мало внимания. Автор не дал даже плана урока по сообщению новых знаний с соответствующим анализом каждого этапа такого урока (стр. 64 и 65).

В частности, ничего не сказано о раскрытии цели и темы урока.

В узком понимании этот этап урока означает краткое выяснение цели данного урока, что преподаватели обыкновенно делают в связи с объявлением темы, но в дореволюционной и советской методической литературе известно более широкое толкование вопроса о выяснении учащимся цели изучения сообщаемого им материала, заключающееся в том, что учитель в доступной для учащихся форме выясняет им полезность знания той или иной темы, рассчитанной на несколько уроков.

Вполне правильное утверждение автора о необходимости беречь на уроке время не сопровождается конкретными примерами растраты времени на уроке математики и поэтому является мало эффективным. Таким образом, приходится констатировать, что имеющий огромное значение вопрос о построении урока математики в средней школе не разработан в достаточной степени.

В. М. Брадис только мимоходом затрагивает вопрос о реформистском движении в преподавании математики. Несколько слов, совершенно не выясняющих сущности и результатов этого движения, мы находим под оглавлением «Крупнейшие русские и зарубежные методисты-математики» (стр. 42—45). Такое игнорирование одного из важнейших этапов в развитии методики математики тем более является непонятным, что автор книги на странице 42 вполне правильно утверждает, что каждый учитель математики должен интересоваться тем, как постепенно складывались методы преподавания математики.

Указания о внеклассной и внешкольной работе по математике очень скудны и не конкретны, а поэтому почти бесполезны для учителей (стр. 82, 83). Автор пишет, что вопрос о математических кружках и городских математических олимпиадах освещен в ряде журнальных статей, но в перечне литературы, относящейся к первой части книги, такие статьи отсутствуют.

Автор включает в число целей преподавания геометрии развитие пространственного воображения учащихся, но не пишет, какими способами можно достигнуть этой цели, и не указывает какие-либо источники.

Остановимся на некоторых вопросах частных методик.

Рассматривая различные разделы программы, В. М. Брадис во многих случаях правильно указывает, где можно найти приемлемую разработку той или иной темы, но иногда допускает в этом отношении ошибки; так, например, он отсылает читателей к учебнику арифметики А. П. Киселева по вопросу о пропорциональном делении (стр. 199). Между тем в этом учебнике названный вопрос изложен с методической точки зрения совершенно неудовлетворительно.

В частности, очень громоздким является изложение вопроса о делении числа на три части так, чтобы x1 : x2 = m : n, а x2 : x3 = p:q.

Рассуждение по этому вопросу в учебнике Киселева не заканчивается каким-нибудь правилом, вследствие чего при решении примеров и задач ученики бывают вынуждены каждый раз осуществлять это рассуждение полностью, что нельзя одобрить ни с какой точки зрения.

Очень мало уделено в книге внимания так называемой функциональной пропедевтике и не указаны источники, в которых можно было бы найти приемлемую разработку этого вопроса.

Также обстоит дело с решением задач на составление уравнений.

В настоящее время, в связи с появлением книги А. Н. Барсукова «Уравнения I степени в средней школе», перед всеми преподавателями, знающими эту книгу, стоит вопрос, как же в конце концов учить школьников составлять уравнения по условию задач: руководствоваться ли так называемыми общими правилами или встать на путь, указанный в книге А. Н. Барсукова, т. е. выбросить эти правила из школьного обихода и перейти к решению задач по типам. Быть может, целесообразно синтезировать старый метод решения задач на составление уравнений с новым?

Данная в рецензируемой книге методика изучения функций характеризуется резким несоответствием между принципиальными рекомендациями и фактическим содержанием раздела (стр. 259—269).

С одной стороны, автор говорит о важности понятия функциональной зависимости, а с другой — бросается в глаза крайняя скудость предлагаемой методической разработки в смысле иллюстрации принципиальных соображений соответствующими конкретными примерами.

В настоящее время в связи с введением политехнического обучения вопрос о такой постановке изучения функций в средней школе, которая обеспечила бы понимание учащимися функциональной зависимости между различными конкретными величинами, ставится особенно остро.

На странице 274 автор рекомендует для выяснения учащимся цели изучения комплексных чисел подвести учеников к вопросу, нельзя ли выразить положение любой точки на плоскости одним числом вместо двух чисел, означающих координаты данной точки, и дает ответ, что каждую пару чисел, характеризующих положение точки на плоскости в декартовых прямоугольных координатах, можно рассматривать как одно число, которое следует назвать составным, или комплексным.

Такая аргументация введения комплексных чисел не является убедительной для учеников X класса. Они всегда могут спросить: «А зачем нужно положение точки, обозначенное двумя числами, например 3 и 2, записывать одним числом 3 + 2i, которое имеет более сложный вид, чем два числа» — и учитель не может дать на этот вопрос удовлетворяющий учащихся ответ.

На странице 287 чрезвычайно кратко рассмотрена тема «Исследование уравнений». Автор книги, подчеркивая необходимость исследования уравнений с параметрами, не дает никаких указаний, как это делать, и не рекомендует на страницах 322—323 соответствующую литературу; в школьном же учебнике этот вопрос не рассматривается.

На странице 343 под заголовком «Первые уроки геометрии в VI классе» читатель надеется найти конкретные указания о построении самых первых уроков, крайне затрудняющих учителей, но автор ограничивается общими расуждениями об изучении основных понятий, о работе над определениями и только об изучении первых теорем дает приемлемые указания.

Автор считает целесообразным (стр. 349) отнести вопрос о математических предложениях ввиду его трудности на конец первого полугодия, но в таком случае ряд теорем учащиеся будут изучать без употребления термина «теорема» и без знания состава теоремы, что мы не считаем правильным.

Сам же автор несколько ранее пишет, что, разбираясь в каждой теореме, надо четко установить, что в ней дано (ее условие или условия) и что утверждается и доказывается (ее заключение).

Нужно заметить, что при методически правильной разработке вопрос о математических предложениях вполне усваивается учениками.

Указав (стр. 352), что в программе тема «Параллельные прямые» следует после темы «Треугольники», В. М. Брадис пишет: «Такой порядок, однако, не является необходимым. Он соблюдается в школьном учебнике геометрии Киселева, но в новом учебнике Н. А. Глаголева порядок изучения этих двух разделов обратный: сперва изучается вопрос о параллельности прямых, относящийся к взаимному расположению двух прямых на одной плоскости, а затем уже переходят к трем прямым, пересечение которых и образует треугольники; получается выигрыш в большей законченности изложения о треугольнике, так как только после изучения свойств параллельных становится возможным доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника».

Автор подчеркивает весьма незначительные преимущества расположения материала в учебнике Н. А. Глаголева, но почему-то не касается отрицательных сторон такого расположения.

Между тем изучение параллельных прямых в начале учебного года было бы сопряжено с непреодолимыми для учащихся трудностями и фактически являлось бы культивированием формализма.

Многие теоремы по теме «Параллельные прямые» доказываются способом от противного, а такие доказательства с большим трудом усваиваются учащимися, чем прямые доказательства; трудности будут усугубляться тем обстоятельством, что доказательства способом от противного будут предлагаться учащимся VI класса в начале учебного года, когда они очень мало знакомы еще вообще с доказательством теорем. Примером может служить доказательство первой теоремы о признаках параллельности прямых, данное в учебнике Н. А. Глаголева (изд. 1954 г., стр. 28).

Автор статьи, учившийся когда-то в семилетней школе старого времени и изучавший геометрию по учебнику Вулиха, в котором параллельные прямые излагаются раньше треугольников, очень хорошо помнит, что, несмотря на все старания опытного учителя, несмотря на применение наглядного пособия, учащиеся не могли понять доказательство теоремы о первом признаке параллельных прямых.

В советской школе опыт учителей, проводивших преподавание геометрии по учебнику Н. А. Глаголева, подтверждает, что усвоение доказательства этой теоремы трудно дается учащимся («Методика преподавания математики под общей редакцией С. Е. Ляпина», изд. 1952 г., стр. 397).

Из сказанного следует, что В. М. Брадис не критически отнесся к учебнику Н. А. Глаголева в части, касающейся расположения материала в VI классе.

Его аргументация, сводящаяся в основном к тому, что в случае более раннего изучения параллельных прямых возможно будет не отрывать теорему о сумме углов треугольника от первоначальных сведений о треугольнике, не является убедительной. Все равно и в этом случае мы не можем сконцентрировать все, относящееся к треугольнику, в одном месте. Подобие треугольников и площадь треугольника изучаются значительно позднее.

В большинстве русских учебников, в том числе и в учебниках для педагогических институтов, параллельные прямые рассматриваются после

треугольников (Киселев, Давидов, Рашевский. Гурвиц и Гангнус, Перепелкин, Богомолов).

Нет никаких оснований изменять расположение материала в VI классе.

На странице 357 автор считает возможным упомянуть в VI классе о Н. И. Лобачевском, в связи с изучением теории параллельных прямых.

В. М. Брадис пишет: «Показать в полном объеме значение открытий Лобачевского шестиклассникам невозможно, но одну сторону они прекрасно поймут: он показал полную безнадежность попыток доказать аксиому параллельных с помощью других аксиом геометрии». Из нескольких миллионов учеников VI классов едва ли найдется хоть один ученик, который прекрасно понял бы полную безнадежность попыток доказать аксиому параллельных с помощью других аксиом. Ученикам VI класса можно только сообщить, что аксиому параллельных пытались доказать в течение двух тысяч лет, но никто не мог ее доказать и что великий русский математик Н. И. Лобачевский установил невозможность доказательства аксиомы параллельных, а как он это сделал — говорить об этом шестиклассникам не только бесполезно, но даже вредно.

Следует отметить неправильное распределение объема книги между частными методиками.

На методику арифметики отведено 84 страницы, на методику алгебры 116 страниц, на методику геометрии 76 страниц, на методику тригонометрии 94 страницы.

Получилось так, что в книге рассмотрены многие вопросы преподавания арифметики и мало уделено внимания методике алгебры и геометрии.

Между тем по методике арифметики имеются такие солидные руководства, как, например, книги Е. С. Березанской и В. Г. Чичигина, тогда как многие вопросы преподавания геометрии и алгебры, особенно в старших классах, не освещены в методиках алгебры и геометрии.

Отсюда следует, что автор не учел в достаточной степени потребности учителей математики и не стремился поэтому восполнить пробелы в методических руководствах, изданных до появления его книги.

В рецензии Н. И. Благовещенского на первое издание книги В. М. Брадиса («Математика в школе», № 3 за 1951 г.) отмечена неудачная классификация арифметических задач, данная в книге. В. М. Брадис разделяет все задачи на 3 категории: 1) задачи-примеры, 2) задачи-расчеты, 3) развивающие задачи.

Рецензент пишет, что сам автор опровергает такую классификацию, признавая развивающее значение задач-примеров (стр. 113, изд. 1949 г.), тем не менее в третьем издании книги дана такая же классификация задач.

О порочности этой классификации арифметических задач говорит и тот факт, что задачи-расчеты тоже имеют большое значение для умственного развития учащихся.

Необходимо рассмотреть вопрос о целесообразности сосредоточения всей методики математики в одной книге. Н. И. Благовещенский одобряет такую структуру книги, аргументируя это тем, что до настоящего времени при лекционном курсе в 60—80 часов студенты вынуждены были обращаться минимум к четырем курсам частных методик, объемом свыше 1000 страниц, но он упускает из виду, что автор книги по многим вопросам частных методик ограничивается весьма краткими указаниями и отсылает читателей к различным источникам, перечисленным в пяти местах книги. Таким образом, для нахождения ответов на различные методические вопросы читатели вынуждены пользоваться несколькими десятками книг и журнальных статей, что является неосуществимым в огромном большинстве случаев.

Концентрация в одной книге общей части методики и всех частных методик только тогда имеет смысл, если в книге будут даны обстоятельные ответы на все вопросы учителя, но в этом случае размер книги должен быть значительно увеличен.

Вполне понятно, что и в этом случае нельзя считать исключенной необходимость пользоваться дополнительной литературой, так как методика математики, как и всякая наука, развивается. Мы полагаем, что более целесообразно создавать отдельные методические руководства по различным математическим предметам.

Во избежание повторений и противоречий сначала необходимо создать высокого качества общую часть методики, сообразуясь с которой писать частные методики.

Резюмируя все сказанное выше, приходим к следующим выводам:

1. Книга соответствует современному уровню развития методики математики, но в некоторых случаях прекрасные методические идеи отражены в ней очень слабо, вследствие чего внимание читателя не акцентируется на этих идеях.

2. Изложение общей части методики математики характеризуется отсутствием систематичности.

3. Разработка вопросов о методах преподавания, об уроке и о внеклассной работе оставляет желать много лучшего.

4. По многим вопросам методики алгебры и геометрии автор не дает исчерпывающих указаний, а отсылает читателя к другим книгам и журнальным статьям, которые далеко не всегда можно найти, особенно в сельских местностях.

В отдельных случаях автор и сам не дает достаточных разъяснений по тому или иному методическому вопросу и не указывает в перечне литературы соответствующие источники (вопросы о развитии пространственного воображения, о внеклассной работе, о сообщении учащимся сведений из истории математики).

Последний вопрос на странице 60 разрешен с принципиальной точки зрения вполне правильно, но никаких конкретных указаний не дано.

5. Книгу следует признать полезной, как первое приближение к доброкачественному руководству по общей части методики математики.

О «СБОРНИКЕ ЗАДАЧ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ » А. И. и Н. И. ХУДОБИНЫХ

Б. С. ЭППЕЛЬ (Москва)

Внимательное изучение содержания рецензируемого сборника говорит о большой ценности этого пособия для учителя средней школы.

Что же обращает на себя внимание в этом задачнике? Первое — это строгая систематизация всего материала: по разделам, темам, по возрастающей трудности. Мы знаем немало ценных задачников, заключающих в себе прекрасный тренировочный материал, но благодаря бессистемности в его расположении, практически мало полезных. Подберите, например, задачу средней трудности на поверхность конуса или объем пирамиды среди нескольких сот перемешанных между собой задач (см., например, сборники Березовокого, Погорелова, из старых — Клионовского, Минина). А в задачнике Худобиных это можно сделать довольно быстро. Думается, было бы еще удобнее, если бы в основу систематизации были положены те разделы, которыми мы руководствуемся при прохождении программы: «Поверхность призмы», «Поверхность пирамиды», потом «Объем призмы» и т. д., а не просто «Призмы» и «Пирамиды». Учителю легче и удобнее было бы пользоваться книгой с параллельным прохождением материала в школе.

Раздел «Применение тригонометрии к геометрии» представлен очень широко и богато. Задачи в подавляющем большинстве соответствуют требованиям школы. Так же полно и разносторонне представлен раздел «Тригонометрические уравнения». Очень удобна классификация внутри раздела по методам решения уравнений: «простейшие», «однородные» и т. п.

Не менее содержательна глава «Обратные тригонометрические функции». Хотелось бы немного дополнить параграфы о главных значениях и преобразованиях аркусов. Например:

1) № 1312 дополнить примерами с числовыми значениями аргумента:

2) Справедливы ли равенства:

Среди примеров на проверку равенств (№ 1391—1394) слишком много «избитых», повторяющихся из задачника в задачник. Это было бы уместно в стабильном задачнике, который должен заключать в себе полный набор типичных и распространенных задач, но не в пособии для учителя, дополняющем основной задачник.

В отделе приведения к логарифмическому виду удобно было бы рассортировать примеры по методам решения (суммы синусов и косинусов, тангенсов, котангенсов; с помощью вспомогательного угла, понижение степени и т. д.), как это сделано для тригонометрических уравнений. Для отдельных методов пришлось бы увеличить количество примеров. Обращает на себя внимание однообразие аргумента: всюду α, ß, х или y; ни 1/2; 2 ß; (х + 30°); (x — у) и т. д. Разделы: «Зависимость между функциями одного угла», «Формулы приведения, сложения, двойных и половинных углов» — тоже много выиграли бы, если бы они были дополнены. Однако в них также слишком много примеров, ставших традиционными и помещаемых почти во всех сборниках. Дублируется даже стабильный задачник (№ 331, 341—343; 521—523; 624—626; 636, 637 и т. д., — этот список дополнить очень легко). Примеры в этих главах не отличаются разнообразием.

Интересным, оригинальным и полным является параграф «Графики тригонометрических функций». Современно выглядят приложения тригонометрии — § 17, 21, 23, соответствующие задачам политехнического обучения. Удобна и полезна глава VI «Задачи для повторения и углубления пройденного материала». Десятиклассники изрядно забывают курс IX класса и напомнить его бывает необходимо.

Сделанные замечания и пожелания не умаляют достоинств рецензируемого сборника задач в целом. Думается есть все основания для замены этим сборникам давно отжившего свой век стабильного задачника Рыбкина. При некоторой переработке и доработке задачник будет удовлетворять современным требованиям советской школы. Желательно обсудить этот вопрос на страницах нашего журнала.

Если книга будет принята в качестве стабильного задачника, отпадет надобность исключать из нее и широко распространенные «традиционные» примеры; тогда не будут лишними и примеры, заимствованные из Рыбкина, если они представляют интерес и ценность.

* * *

Е. М. БОЛЬСЕН (Киев)

I. Наиболее удачно написана глава II «Тригонометрические функции произвольного аргумента».

Наряду с традиционными упражнениями по разделам: «Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же угла» и «Формулы приведения — имеется много упражнений, которые помогают проверить понимание учащимися основных свойств тригонометрических функций (периодичность, четность и нечетность функции и т. д.). Особенно привлекает новизной содержание § 10 «Графики тригонометрических функций» которые учителя уже с успехом применяли в истекшем учебном году в IX и X классах.

Приведем ряд упражнений, которые с интересом решаются учениками.

1. Какие области значений имеют функции:

2. При каком значении а функция 1/sinα имеет наименьшее значение [II, 210].

3. Какой смысл имеют выражения: 1) sin3x, 2) sin x2.

4. Являются ли периодическими функции:

5. Показать, что функции: у = sin/x;y = sinxtga являются четными и т. д. (II, 372).

Приведено достаточно упражнений, которые можно использовать в классной работе для закрепления радианного измерения углов.

Например. Положительными или отрицательными числами являются следующие значения тригонометрических функций:

[226]

Найти по таблицам:

II. В главе IX «Тригонометрические уравнения» дана удачная классификация тригонометрических уравнений, которая вполне приемлема для школьной практики. Особенно, по общему мнению учителей, интересны вопросы, помогающие учащимся глубже усвоить материал о равносильности тригонометрических уравнений. Так, например:

1) «Показать, что все корни уравнения sinx = 0 являются корнями уравнения sin 3х = 0. Можно ли считать эти уравнения равносильными» [1459] (аналогичные упражнения 1476, 77, 1557 и др.)?

2) Можно ли считать число π/2 корнем уравнения

Известно, что ученики часто затрудняются выразить одной формулой различные серии решений одного и того же тригонометрического уравнения не потому, что этот вопрос труден для понимания, а потому, что в существующих задачниках совершенно отсутствовали соответствующие пропедевтические упражнения. В задачнике Худобиных этот пробел восполнен и дан прекрасный набор упражнений типа 1424, 1425, 1426, которые мы решаем после раздела «Основные тригонометрические уравнения». В этом же разделе имеются задачи, приводящие к решению тригонометрических уравнений, которые с интересом решаются учениками.

Однако этот раздел имеет и недостатки, которые легко устранить в последующих изданиях, а именно:

1) необходимо выделить специальный раздел: задачи, приводящие к решению тригонометрических уравнений (по типам), включив задачи с приближенными ответами;

2) необходимо больше уделить внимания решению тригонометрических уравнений графическим путем.

III. Большой заслугой авторов задачника является тщательный подбор упражнений по теме «Тригонометрические функции острого угла» (глава I) для учащихся VIII класса, которые дают возможность учителю хорошо закрепить данный материал. Решение геометрических задач с применением тригонометрии в VIII классе не только дает возможность хорошо повторить соответствующий материал («Тригонометрические линии в круге», «Площади фигур» и т. п.), но закладывают прочный фундамент для усвоения систематического курса тригонометрии. Задачи с применением исследования, которые даны в § 4 главы I, способствуют развитию функционального мышления учащихся.

IV. В главе X «Применение тригонометрии к решению и исследованию геометрических задач» дан большой набор задач школьного типа, которые удачно систематизированы, особенно по разделу «Пирамида». Набор задач по разделу «Комбинации многогранников», «Многогранники и круглые тела» восполняет пробел в стабильном задачнике Рыбкина.

V. а) Выгодно отличает задачник Худобиных от стабильного задачника включение практических работ по курсу VIII класса (№ 137—140) и для X классов (№ 1273—1279).

b) Правильно сделали авторы, что включили специальную главу VI: «Задачи для повторения и углубления пройденного материала», которая дает удачный набор упражнений для повторения курса тригонометрии VIII—IX классов в выпускном классе.

VI. Некоторые общие выводы.

Почти во всех главах имеется много теоретических вопросов, помогающих учащимся усвоить понятие функции (прямой и обратной), монотонности, периодичности, четности и нечетности и т. д.

В сборнике содержатся практические работы на местности, что следует отнести к положительным качествам задачника.

Дан большой набор задач приложения тригонометрии к геометрии, набор физических задач, включая много упражнений, помогающих учащимся глубже осознать практическое значение тригонометрии (гармонические колебания в курсе физики, астрономические задачи и т. п.).

Задачник Худобиных при некоторой переработке может служить основой для создания стабильного задачника по тригонометрии для средней школы.

Недостатки. В процессе работы молодые учителя часто предлагают учащимся трудные упражнения, которые не по силам учащимся, считая, что раз они имеются в задачнике, то необходимо их решать с учениками. Поэтому необходимо четко разграничить, какие упражнения необходимо давать в классе, а какие для внеклассной работы.

Необходимо более трудные задачи отметить (звездочкой). Желательно в конце каждой главы дать примерную контрольную работу по изученному материалу.

Включить больше задач с техническим содержанием.

* * *

Л. М. ЛОПОВОК (Хмельницкий)

За последние годы Учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР выпустило значительное количество пособий для учителей. Учителя математики благодарны Учпедгизу за выпуск работ Н. Ф. Четверухина, учебников Н. А. Глаголева (по геометрии), Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского (по алгебре), издание сборников статей передовых учителей математики, методических материалов, многочисленных сборников задач и упражнений. Интерес к выпуску методических пособий велик, учителя внимательно знакомятся с каждой новой работой в этой области.

Недавно вышел в свет «Сборник задач по тригонометрии» А. И. Худобина и Н. И. Худобина. В этой книге под 1979 номерами собрано около 2900 упражнений.

Книга содержит 128 чертежей, выполненных верно и четко (за редкими исключениями: на чертеже 10 не вполне ясно положение точек, на чертеже 55 рельеф не соответствует необходимости проведения тоннеля, чертежи 96 и 112 ошибочны), многие чертежи могли бы быть образцами для учащихся.

По своему содержанию рецензируемый задачник относится не к числу «дополняющих стабильный за-

дачник». Приняв во внимание критику недостатков задачника Н. Рыбкина, авторы обратили должное внимание на радианное измерение дуг и углов, на графики, на обратные тригонометрические функции, на практические задачи. Весьма значителен отдел геометрических задач, решающихся при помощи тригонометрии (№ 71—136, 974—1046, 1187—1190, 1199 — 1201, 1208—1213, 1259—1272, 1642—1979).

Материал расположен по классам, в соответствии с программой средней школы.

Сборник содержит ряд интересных упражнений.

Например :

№ 257. Построить положительный угол x, меньший чем 60°, если:

(Такая комбинация данных удачнее задания четверти.)

№ 562. Построить графики функций:

№ 585. Решить графически уравнение sin х = — х.

№ 1056. Найти область определения функции:

№ 374. Указать, какие из нижеследующих функций являются четными, нечетными и какие не являются ни четными, ни нечетными:

№ 1425. Выразить одной формулой следующие серии углов:

№ 1426. Исключить повторяющиеся углы в следующих формулах:

Есть также ряд хороших планиметрических и стереометрических задач.

Однако в целом книга оставляет впечатление недоработанности. Остро ощущается отсутствие серьезной редакторской работы.

Прежде всего следует поставить вопрос о степени оригинальности книги. Как известно, в некоторых случаях для полноты изложения авторам сборников задач приходится включать и уже известные упражнения. Однако в таких случаях речь может идти о безусловно необходимых упражнениях, которые не могут быть заменены иными.

В задачниках по алгебре к таким упражнениям относятся тождества типа:

В геометрии к таким упражнениям относятся некоторые задачи на построение и на доказательство.

Иногда заимствуют особо оригинальные задачи, варьирование которых не может быть успешным. При всем этом количество заимствований следует по возможности уменьшать.

С этой точки зрения книга А. И. Худобина и Н. И. Худобина вызывает возражения.

Мы не будем останавливаться на той части работы, где возможно довольно свободное изменение числовых данных (работа с таблицами, приведение к острому углу и т. п.).

После изучения соотношений между функциями одного угла следуют упражнения на упрощение выражений. В рассматриваемом сборнике на эту тему даны примеры № 274—321. Из них взяты из стабильного задачника упражнения № 274, 275, 280, 281, 286—291, 293—296, 297—300), 312 и 313. Из задачника А. И. Погорелова* взяты № 276, 279, 284, 285, 306—311, 316—318, 321. Примеры № 277 и 278 мы нашли в сборнике Березовского, а № 304 — в сборнике Позойского. Авторам, повидимому, принадлежат лишь 6 примеров из 58, причем едва ли являются украшением задачника примеры № 282 (sec3 а — 1), № 283 (tg215°-ctg315°), № 302 Вклад явно невелик.

В следующей группе упражнений («Проверить равенства»), кроме № 329, все примеры из задачников Н. А. Рыбкина или А. И. Погорелова.

В теме «Доказательство тождеств» (№ 341—353) ни один пример не принадлежит авторам.

В отделе упражнений, связанных с формулами приведения, заимствованы примеры № 515, 516, 521, 522, 525, 528—530, 532—534, 538—540. Ряд примеров, не названных нами, отличается от известных упражнений подстановкой числовых значений вместо буквенных или изменением угла на несколько градусов.

§ 11 («Формулы сложения и вычитания») содержит не принадлежащие авторам упражнения № 595—600, 603, 605, 606, 616—619, 624—638 (все тождества!), 642—644, 647, 649, 650, 654—656, 659, 661, 663, 664, 666—668, 670—672, 675—577. Помимо перечисленных, многие мало оригинальны.

В § 12 заимствованы № 682,684—688,690,692—694, 699, 701—706, 709—711, 714, 716, 718—727, 729—735, 737 и т. д.

Этот список можно продолжить. Помимо названных выше сборников, использованы задачники Пржевальского, Шмулевича, Моденова, Минина.

В предисловии они указывают, что «при составлении сборника использован личный опыт работы в VII—X классах средней школы и обширная методическая литература». По содержанию книги видно, что личного опыта оказалось недостаточно, вследствие чего авторы стали на путь своеобразного «использования» чужих сборников...

Сборник А. И. Худобина и Н. И. Худобина содержит и ряд ошибок, свидетельствующих по меньшей мере о небрежности авторов.

В № 6 авторы предлагают убедиться, что сумма синусов острых углов прямоугольного треугольника меньше 2. Прежде всего заметим, что для доказательства этого предложения вовсе не требуется знать гипотенузу и сумму катетов (авторы дают эти данные). В самом деле, так как гипотенуза больше катета, то

* «Сборник задач по тригонометрии», Учпедгиз, 1949.

Во-вторых, сумма

значительно меньше двух. В самом деле:

Как ни странно, но авторы этого не замечают. Ведь только этим можно объяснить, что под № 7 значится задача:

«Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см, а гипотенуза его равна 24 см. Найти сумму косинусов острых углов этого треугольника».

Авторы приводят и ответ, получив его, вероятно, таким путем:

Решение простое, но... такого прямоугольного треугольника не может быть.

В № 24 (4) требуется найти такой острый угол α, чтобы выполнялось равенство:

sin (2α + 18°) = cos (12° + α).

Имея в виду дополнительные углы, авторы дают ответ: α = 20°. Между тем условию удовлетворяет еще один острый угол : α = 84°.

Найти это значение можно на основании формулы

В № 35 (2) предлагается доказать, что при a > 0 и 0 ⩽ α ⩽ 90° имеет место неравенство a/sinα ⩾ а .

Однако при а = 0, выражение теряет смысл.

В № 57 предлагается проверить по таблице неравенство sin 2α < 2 sin α. Подобная «проверка» ничего не дает. Если бы речь шла об опровержении теоремы, пример сыграл бы свою роль, но для подтверждения теоремы примеров недостаточно. В случаях 26/65, 19/95 «сокращение» путем зачеркивания одинаковых цифр в числителе и знаменателе дает верный результат. Однако отсюда не вытекает законность таких «сокращений». Между тем авторы неоднократно предлагают произвести проверку формулы № 58 — tg(α + ß) < tg α + tg ß, в № 594 — sin (α ± ß) и cos (α ± ß), таким образом. В № 62 они рекомендуют проверить формулу 2 sin α cos α = sin 2α при α = 10°. Здесь проверка не убеждает, так как 2⋅0,1736⋅0,9848 ≠ 0,3420.

Условие задачи № 63 требует узнать, «чему равен катет, если известны гипотенуза и острый угол». Столь же безграмотно сформулированы условия и трех следующих задач. Неужели авторы полагают, что величина катета зависит от того, знаем ли мы размеры элементов треугольника?!

В задаче № 121 говорится: «Две параллельные хорды AB = а и CD = b расположены по разные стороны от центра. Определить расстояние между хордами, если w AB содержит 43° 16', а ^ CD содержит 88° 10'. Авторы дают ответ, используя четыре величины (a, b, α и ß), но на самом деле среди данных есть лишние, так как

где α и β — градусные величины данных дуг.

В № 144 требуется «найти сумму квадратов косинусов острых углов прямоугольного треугольника со сторонами a, b и с». Размеры сторон треугольника давать не следовало, так как искомая сумма не зависит от a, b и с.

В № 920 предлагается искать угол х из равенства sin x = 1 — cos 63°17' при помощи таблиц логарифмов. Едва ли это целесообразно. При работе при помощи натуральных таблиц имеем:

Рекомендуемые авторами вычисления более громоздки:

Результат менее точен, чем предыдущий.

Такие же замечания относятся и к № 922, 923 и др.

В № 975 предлагается проверить при помощи тригонометрии пропорциональность соответственных линейных элементов подобных фигур. Авторы словно забыли, что не теория подобия основывается на тригонометрии, а наоборот.

Примеры № 1084 и 1085 требуют представить сложные выражения через одну из тригонометрических функций (заданную). На самом деле никаких специальных подстановок не требуется. Обычное упрощение приводит к заданной функции. Например, № 1084:

Поэтому задание плохо продумано.

В задаче № 1168 требуется выяснить, могут ли тригонометрические функции полусуммы всех углов треугольника принимать отрицательные значения. При этом игнорируется известное положение, что в геометрии Евклида упомянутая полусумма постоянна...

Нельзя не остановиться на том, что у авторов весьма своеобразные представления об исследовании. В № 1004 они требуют найти «границы возможного изменения угла α, считая а постоянным». Между тем α от а не зависит... Но бывает и хуже:

«Решение исследовать при φ = 0» (№ 996).

«Исследовать решение, рассмотрев случаи:

Конечно, такое «исследование» ничего общего с исследованием полученного ответа не имеет.

При решении уравнения a sin х + b cos х — с авторы ограничиваются двумя способами (введением вспомогательного угла и подстановкой z = tg x/2). Следовало учесть опубликованное в журнале «Математика в школе» предложение Моденова и Пархоменко, дающее во многих случаях весьма изящное решение. Они показали, что к уравнению a sin х — a cos х = с всегда можно присоединить второе:

после чего дело сводится к решению системы линейных уравнений (относительно sin х и cos х).

Во многих случаях условия задач должны быть

уточнены (№ 129, 194, 673, 674, 1873, 1954 и др.). В ответах авторы злоупотребляют знаком точного равенства. Вообще оформление ответов к задачам сделано с явным стремлением к краткости, в ущерб принятым в школе правилам.

Как мы уже указывали, замысел книги был удачным. Среди придуманных авторами упражнений есть и хорошие. Но отдельные удачные места книги А. И. Худобина и Н. И. Худобина не искупают отмеченных недочетов.

От редакции. «Сборник задач по тригонометрии» А. И. и Н. И. Худобиных предназначен в качестве пособия в практической работе учителя, поэтому понятен тот интерес, с которым данная книга была встречена читателями. Имея в виду всестороннее и объективное обсуждение книги, редакция помещает в настоящем номере три рецензии из числа отзывов, полученных редакцией. Сопоставление высказываний учителей позволяет в целом дать книге положительную оценку и признать ее полезным пособием. Однако книга не лишена и ряда существенных недостатков (см. рецензию Л. М. Лоповка). Можно согласиться с мнением рецензентов, что в сборнике, предназначенном в качестве пособия для учителей, не следовало бы в слишком большом количестве повторять традиционные упражнения из школьного задачника.

Следует отметить, что ряд высказываний рецензентов носит субъективный характер и отражает их личные точки зрения. Так, например, нет ничего предосудительного в требовании «доказать неравенство»

sin А + cos А < 2

(см. рецензию Л. М. Лоповка), поскольку в такой постановке вопроса не требуется указать точную верхнюю границу левой части. Нельзя согласиться с возражением Л. М. Лоповка против проверки тождеств подстановкой частных значений. Разумеется, здесь речь идет о проверке в смысле контроля, и как раз это обстоятельство и должны были подчеркнуть авторы сборника. Неполное совпадение результатов при проверке посредством таблиц естественно. На этих упражнениях учитель имеет возможность проиллюстрировать ряд положений из теории приближенных вычислений.

О НЕКОТОРЫХ ОШИБКАХ В УЧЕБНОЙ И МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ

В. В. ТУРЧАНИНОВ (Харьков)

До настоящего времени в ряде задачников и методических пособий решения тригонометрических уравнений сводятся почти всегда к ряду формальных преобразований, заключающихся в том, что данные тригонометрические уравнения путем таких преобразований сводятся к основным. При этом такой принципиально важный вопрос, как обоснование процесса решения, с точки зрения общей теории уравнений, или вообще не проводится, или проводится с серьезными ошибками.

Приведем примеры.

Автор «Методики преподавания тригонометрии» (Учпедгиз, 1954 г.) В Г. Чичигин на странице 239 пишет: «... особое внимание надо сосредоточить на идее равносильности уравнений, и в процессе решения уравнений учащиеся должны сами отмечать те преобразования, которые могут привести как к потере решения, так и к появлению посторонних решений».

Посмотрим, как сам автор сосредоточивает свое внимание на идее равносильности уравнений. Для этого рассмотрим ряд примеров, решенных автором.

На странице 245 пример № 4:

(1)

автор поступает так:

(2)

(это и есть решение данного уравнения, так как знаменатель дроби данного уравнения

При решении этого примера автор потерял корень x = π + 2kπ, в чем можно убедиться подстановкой. Эта потеря стала возможна потому, что при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) были выполнены преобразования, которые привели к сужению множества допустимых значений неизвестного. Значение х = π + 2kπ есть как раз то значение х, при котором члены уравнения (1) имеют числовое значение, а члены уравнения (2) теряют смысл. При таком способе решения автору следовало бы заметить, что корень x = π + 2kπ может быть потерян.

На странице 249 пример № 1:

решается автором так:

1-й вариант решения

Итак, данное уравнение имеет две системы решений:

В числе корней этого уравнения автор оставил посторонний корень х = π/2 + 2πk, в чем можно убедиться подстановкой. Приобретение постороннего корня стало возможно потому, что при переходе от уравнения

(1)

к уравнению

(2)

были выполнены преобразования, которые привели к расширению множества допустимых значений неизвестного. Значение х = π/2 + 2kπ есть как раз то значение х, при котором некоторые члены уравнения (1) теряют смысл, а все члены уравнения (2) имеют числовое значение.

На странице 250 пример № 2:

автор решает так:

При переходе от уравнения

(1)

к уравнению

(2)

автор замечает, что tg 3x ≠ 0 и считает, что этого достаточно для обоснования перехода от уравнения (1) к уравнению (2). Кроме этого замечания, автору следовало бы заметить, что tg3x имеет смысл на множестве допустимых значений неизвестного.

Авторы «Сборника задач по математике, предлагавшихся на вступительных экзаменах в вузы» (издание второе 1954 г.), Н. П. Антонов, М. Я. Выгодский, В. В. Никитин, А. И. Санкин в предисловии указывают, что принципиальным вопросам, мало освещенным в учебной литературе, как, например, вопросу об утрате корней уравнения и появлению посторонних корней, они будут уделять много места. В сноске на странице 499 авторы указывают, что, начиная с задачи № 865, исследованию будет уделяться большое внимание.

Рассмотрим примеры, решенные авторами данного «Сборника», которые покажут, что вопросу исследования уравнений они уделили все же недостаточное внимание.

Пример № 876:

авторы решают так:

«Левая часть равна 2 cos3 х — 3 cos х. Знаменатель правой части равен:

так что правая часть равна:

Произведение cosec x⋅sin х (т. е. sinx/sinx) можно заменить единицей. При этом, однако, предполагается, что sin x ≠ 0, ибо при x = 0 дробь sinx/sinx принимает неопределенный вид 0/0 (a cosec х «обращается в бесконечность»). Получаем уравнение:

откуда

В обоих случаях sin х не обращается в нуль, так что оба решения годятся; в этом можно убедиться проверкой. Ответ:

В числе корней данного уравнения авторы оставили посторонние корни:

в чем можно убедиться подстановкой (замечание авторов к примеру № 868 показывает, что они несобственные корни не расматривают).

Здесь так же, как и в примере № 1, решенном В. Г. Чичигиным, приобретение постороннего корня стало возможно потому, что при замене выражения

(1)

выражением

(2)

произошло расширение множества допустимых значений неизвестного.

В решении примера № 868 при переходе от выражения

следует заметить, что х ≠ 2πn, а при переходе от уравнения

В решении примера № 877 при переходе от выражения — к выражению 2 cos3 x, кроме замечания sin2 x ≠ 0, следовало бы заметить, что

В решении примера № 891 замена выражения

авторами не обоснована. Здесь следовало бы заметить, что

В решении примера № 895 замена выражения

тоже не обоснована. Здесь надо было бы заметить, что

НОВАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

ПЕРВОЕ ПОЛУГОДИЕ 1955 г.

I. История и методология математики» советские математики, классики

Александров П. С. и Ляпунов А. А., Людмила Всеволодовна Келдыш (К 50-летию со дня рождения), «Успехи математических наук», том 10, вып. 2, 1955, стр. 217—223.

Гайдук Ю. М., К истории борьбы за признание геометрических идей Лобачевского в России, «Украинский математический журнал», т. 6, № 4, 1954, стр. 476—478.

Гнеденко Б. В. и Калужнин Л. А., О математической жизни в Германской Демократической Республике, «Успехи математических наук», т. 9, вып. 4, 1954, стр. 133—154.

Гордевский Д. З., К. А. Андреев — выдающийся русский геометр (1848—1921), Харьков, Харьковский гос. университет имени А. М. Горького, 1955, 47 стр. Тираж 5000 экз. Цена 1 р. 30 к.

Кравец И. Н., Т. Ф. Осиповский — выдающийся русский ученый и мыслитель (1765—1832), М., изд. Академии наук СССР, 1955, 104 стр. Тираж 3000 экз. Цена 3 р. 65 к.

Крылов А. Н., Лекции о приближенных вычислениях, изд. 6, М., Гостехиздат, 1954, 400 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 12 р. 80 к.

Михайлов Г. К., Леонард Эйлер (К 170-летию со дня смерти), «Известия Академии наук СССР, Отделение технических наук», 1955, № 1, стр. 3—26.

Наумов И. А., Дмитрий Матвеевич Синцов (1867—1946) (Очерк жизни и научно-педагогической деятельности), Харьков, Харьковский гос. университет имени А. М. Горького, 1955, 72 стр. Тираж 5000 экз. Цена 2 р.

Перов В. А. и Тулисов М. П., 100 лет со дня смерти К. Ф. Гаусса, «Вестник Академии наук СССР», 1955, № 4, стр. 105—108.

Отрадных Ф. П., В. Я. Буняковский — профессор Петербургского университета (К 150-летию со дня рождения), «Вестник Ленинградского университета», 1955, № 5, стр. 49—54.

Чебышев П. Л., Избранные труды, ответ, ред. И. М. Виноградов, М., изд. Академии наук СССР, 1955, 927 стр. Тираж 4000 экз. Цена 37 р. 70 к.

Историко-математические исследования, вып. 7, под ред. Г. Ф. Рыбкина и А. П. Юшкевича, М., Гостехиздат, 1954, 720 стр. Тираж 3000 экз. Цена 20 р.

В книге помещены: два математических трактата среднеазиатского математика XV века Каши, пять статей о Леонарде Эйлере, две статьи о С. В. Ковалевской.

Историко-математические исследования, вып. 8, под ред. Г. Ф. Рыбкина и А. П. Юшкевича, М., Гостехиздат, 1955, 636 стр. Тираж 4000 экз. Цена 18 р. 85 к.

По истории математики в книге помещено 8 статей: П. С. Александров, Математика в Московском университете в первой половине XX века. — Два документа к биографии Н. Н. Лузина. — И. И. Лихолетов и С. А. Яновская, Из истории преподавания математики в Московском университете (1804—1860).—Л. Е. Майстров, А. Й. Герцен. — А. П. Юшкевич, О достижениях китайских ученых в области математики. — Н. Г. Алимов, Величина и отношение у Евклида —И. Я. Депман, Геометрия практика, СПБ, 1714. — И. Я. Депман, Первый русский доктор математических наук Парижского университета (П. А. Затеплинский, 1823).

II. Учебники и учебные пособия

Ахиезер Н. И., Лекции по вариационному исчислению. Учебник для гос. университетов, М., Гостехиздат, 1955, 248 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 4 р. 40 к.

Бермант А. Ф., Курс математического анализа. Учебное пособие для втузов, ч. 2, изд. 6, стереотип, М., Гостехиздат, 1955, 359 стр. Тираж 50 000 экз. Цена 7 р. 85 к.

Брадис В. М., Теоретическая арифметика, М., Учпедгиз, 1954, 208 стр., с илл. Тираж 50 000 экз. Цена 5 р. 45 к.

Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, изд. 2, переработ., М., Гостехиздат, 1954, 412 стр. Тираж 15 000 экз. Цена 9 р. 50 к.

Калнин Р. А., Курс алгебры. Для техникумов, под ред. С. И. Новоселова, изд. 2, стереотип, М., Гостехиздат, 1955, 328 стр. Тираж 200 000 экз. Цена 5 р. 90 к.

Кожеуров П. Я., Курс тригонометрии. Для техникумов, под ред. П. С. Моденова, изд. 2, стереотип., М., Гостехиздат, 1955, 296 стр. Тираж 200 000 экз. Цена б р. 10 к.

Колмогоров А. Н. и Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа. Курс лекций, М., изд. Московского университета, 1954, вып. 1, 155 стр., с черт. Тираж 10 000 экз. Цена 5 р.

Кутузов Б. В., Геометрия. Пособие для педагогических и учительских институтов, изд. 2, М., Учпедгиз, 1955, 296 стр. Тираж 35 000 экз. Цена 7 р. 75 к.

Лузин Н. Н., Интегральное исчисление. Учебное пособие для вузов, изд. 5, М., «Советская наука», 1955, 416 стр. Тираж 60 000 экз. Цена 10 р.

Моденов П. С., Аналитическая геометрия. Учебное пособие для университетов и педагогических вузов, М., изд. Московского университета, 1955, 564 стр. Тираж 20 000 экз. Цена 10 р. 80 к.

Привалов И. И., Аналитическая геометрия. Учебник для втузов, изд. 20, стереотип., М., Гостехиздат, 1955, 300 стр. Тираж 75 000 экз. Цена 6 р. 90 к.

Суворов И. Ф., Курс высшей математики. Для техникумов, изд. 2, М., «Советская наука», 1955, 352 стр. Тираж 100 000 экз. Цена 6 р. 80 к.

Толстов Г. П., Курс математического анализа, т. 1. Для вузов, М., Гостехиздат, 1954, 552 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 11 р. 40 к.

Тулинов Б. А. и Чекмарев Я. Ф., Арифметика. Для педагогических училищ, изд. 5, М., Учпедгиз, 1955, 287 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 4 р. 35 к.

Фихтенгольц Г. М., Основы математического анализа. Учебник для механико-математического и физико-математического факультетов гос. университетов и физико-математического факультета педагогических институтов, т. 1, М., Гостехиздат, 1955, 440 стр., с черт. Тираж 50 000 экз. Цена 9 р. 75 к.

Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. Для втузов, изд. 19, стереотип., М., Гостехиздат, 1955, 356 стр., с черт. Тираж 75 000 экз. Цена 8 р. 5 к.

Эльсгольц Л. Э., Обыкновенные дифференциальные уравнения, изд. 2, М., Гостехиздат, 1954, 240 стр., с черт. Тираж 10 000 экз. Цена 7 р. 40 к.

III. Методика преподавания математики, пособия для учителей

Березанская Е. С. и Нагибин Ф. Ф., Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии. Для VIII—X классов средней школы пособие для учителей, изд. 2, М., Учпедгиз, 1955, 160 стр. Тираж 60 000 экз. Цена 2 р. 15 к.

Богушевский К. С. и Сикорский К. П., Сборник задач по математике для повторения. Пособие для учителей V—VII классов средней школы, изд. 2, М., Учпедгиз, 1955, 168 стр. Тираж 100 000 экз. Цена 2 р. 75 к.

Грошев А. В., Приближенные вычисления в VII классе (Из опыта работы). Пособие для учителей, изд. 2, М., Учпедгиз, 1954, 135 стр., с черт. Тираж 500 экз.

Денисова Т. Н., Планы уроков по геометрии в VII классе (Из опыта работы). Пособие для учителей, изд. 2, М., Учпедгиз, 1954, 135 стр., с черт. Тираж 50 000 экз. Цена 2 р. 15 к.

Денисова Т. Н. и Георгиевская В. С, Планы уроков по алгебре в VII классе (Из опыта работы), М., Учпедгиз, 1954, 136 стр. Тираж 100 000 экз. Цена 1 р. 80 к.

Дорф П. Наглядные пособия по математике и методика их применения. Пособие для учителей, М., Учпедгиз, 1955, 160 стр. Тираж 75 000 экз. Цена 2 р. 85 к.

Жаворонков А. И., Подготовительная работа к изучению функций в V—VIII классах средней школы, «Ученые записки Кировского педагогического института», вып. 8, т. 2, 1955, стр. 47—90.

Зельцман В. Б., Идея геометрического преобразования в школьном курсе математики, «Ученые записки Кишиневского педагогического института», т. 3, 1955, стр. 29—44.

Зыкова В. И., Очерки психологии усвоения начальных геометрических знаний. Пособие для учителей, М., Учпедгиз, 1955, 164 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 2 р. 80 к.

Истомина Н. С, Планы уроков по геометрии в VI классе, под ред. В. М. Брадиса, изд. 2, М., Учпедгиз, 1954, 120 стр. Тираж 100 000 экз. Цена 1 р. 90 к.

Кутузов Б. В., Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии. Пособие для учителей средней школы, изд. 2, исправл. и дополн., М., Учпедгиз, 1955, 152 стр., с черт. Тираж 30 000 экз. Цена 4 р. 35 к.

Мазаник А. А., Решение задач на построение методом геометрических мест в VI и VII классах, «Ученые записки Могилевского педагогического института», вып. 1, 1954, 85—123 стр.

Ляпин М. П., О методике обучения анализу геометрических задач в X классе, Татарский институт усовершенствования учителей, Казань, 1955, 16 стр. Тираж 1060 экз.

Мазаник А. А., Столяр А. А. и Альшиц П. И., О решении задач по геометрии с применением тригонометрии. Методическое пособие для учителей математики VIII—X классов Могилезской области, Могилев, 1955, 16 стр. Тираж 500 экз.

Мовина А. П. и Петрова Л. А., Краткие итоги анализа экзаменационных письменных работ по математике учащихся X классов школы Сталинградской области за 1953/54 учебный год. Методическое письмо, Сталинградский обл. институт усовершенствования учителей, 1955, 7 стр. с черт. Тираж 500 экз.

Нагибин Ф. Ф., Вопросы методики изучения теорем в курсе геометрии, «Ученые записки Кировского педагогического института», вып. 8, т. 2, 1955, стр. 3—45.

Панченко В. М., К вопросу о политехнической основе в преподавании математики, «Ученые записки Тульского педагогического института», вып. 5, 1954, стр. 3—38.

Пестов М. А., Решение задач на сечения многогранников плоскостью в курсе средней школы. «Ученые записки Свердловского педагогического института», вып. 10, 1955, стр. 10—34.

Семенович А. Ф., О решении задач на построение основными инструментами в средней школе, «Ученые записки Свердловского педагогического института», вып. 10, 1955, стр. 35—84.

Синельников М. П., О привитии учащимся интереса к математике (Из опыта работы учителя школы рабочей молодежи № 2 ст. Москва), Смоленск, изд. Калининской м. д., 1954, 32 стр.

Столяр А. А., К вопросу о связи между развитием речи и мышления учащихся на уроках математики, «Ученые записки Могилевского педагогического института», вып. 1, 1964, стр. 125—143.

Урева Н. М., Радианная система измерения дуг и углов (Изложение темы в средней шкоде), «Ученые записки Свердловского пед. института», вып. 10, 1955, стр. 85—93.

Фейгин И. Как построить шкалы логарифмической линейки, «В помощь учителю математики», Ростов, Ростиздат, 1954, 16 стр., с черт. Тираж 2500 экз.

Харченко К. Я., К истории вопроса о введении пропедевтического курса геометрии в учебный план средней школы, «Ученые записки Свердловского педагогического института», вып. 10, 1955, стр. 99—116.

Шварцбурд С. И., Системы уравнений. Метод. разработка темы курса алгебры VIII класса, под ред. В. Л. Гончарова, М., изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1955, 96 стр. Тираж 40 000 экз. Цена 1 р. 10 к.

Щинова М. Ф., Значение языка для усвоения учащимися математики, «Ученые записки Глазовского педагогического института», вып. 1, 1954, стр. 69—93.

Чичигин В. Г., Методика преподавания тригонометрии. Пособие для учителей средних школ, М., Учпедгиз, 1954, 339 стр. Тираж 40 000 экз. Цена 6 р. 55 к.

«Математика в школе» (Из опыта работы учителей математики в школах Ворошиловградской области). Сборник статей, Ворошиловград, Обл. институт усовершенствования учителей, 1955, 80 стр. Тираж 1000 экз. Цена не указ.

Некоторые советы учителю математики. Урок арифметики в пятом классе. Урок алгебры в шестом классе. Первые уроки геометрии в шестом классе. Первые уроки стереометрии в девятом классе. Теория пределов в курсе алгебры девятого класса. Длина окружности. Некоторые методические советы молодому учителю, изучающему типовые задачи по арифметике.

«Из опыта работы учителей математики и физики». Сборник статей, Книжное издательство, Грозный, 1955, 68 стр. Тираж 2000 экз. Цена 1 р. 10 к.

Развитие рационализаторской мысли учащихся на уроках математики. Воспитание внимания на уроках математики.

«Из опыта преподавания математики в VIII—X классах средней школы». Сборник статей, под ред. П. В. Стратилатова, М., Учпедгиз, 1955, 352 стр. Тираж 50 000 экз. Цена 5 р. 95 к.

В сборнике помещены 23 статьи, посвященные вопросам методики преподавания алгебры (7 статей), геометрии (7 статей), тригонометрии (4 статьи) и общей методики преподавания математики (5 статей).

«Вопросы политехнического обучения в курсе математики и физики» (Из опыта работы в школах Дагестанской АССР). Сборник статей. Дагучпедгиз, Махачкала, 1955, 197 стр. Тираж 1000 экз. Цена Э р. 30 к.

Некоторые вопросы политехнического обучения в курсе математики V—VII классов. Из опыта преподавания геометрии в свете задач политехнического обучения. Из опыта преподавания черчения в школе в свете политехнического обучения. Предупреждение неуспеваемости по математике в школах Дагестана.

«Вопросы методики преподавания математики». Сборник статей, изд. 2, исправл., Таткнигоиздат, Казань, 1955, 244 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 3 р. 95 к.

Письменные работы по математике в V—VII классах. Типичные ошибки при обучении арифметике, меры их предупреждения и исправления. Элементарные упражнения в начале систематического курса геометрии. Задачи на построение. К методике преподавания темы «Теория соединений и бином Ньютона». Методика проверки и исследования корней тригонометрических уравнений. К истории развития логарифмов.

«Преподавание математики е школе в свете задач политехнического обучения». Материалы в помощь учителю, Казучпедгиз, Алма-Ата, 1954, 140 стр. Тираж 3000 экз. Цена 1 р. 80 к.

«В помощь преподавателям математики» (Материал педагогических чтений и Второй научно-практической конференции (преподавателей математики), Ставрополь, Книжное издательство, 1954, 275 стр. Тираж 3000 экз.

Делимость чисел. Первые уроки геометрии в VI классе. О равносильности уравнений. Арифметический корень в школьном изложении. Алгебраический метод решения задач на построение в средней школе. Геодезические работы в школе.

IV. Научно-популярная математическая литература, пособия для школьных кружков

Берман Г. Н., Циклоида. Об одной замечательной кривой линии и некоторых других с ней связанных, изд. 2, М., Гостехиздат, 1954, 116 стр. Тираж 30 000 экз. Цена 1 р. 90 к.

Болтянский В. Г., Что такое дифференцирование? Популярные лекции по математике, вып. 17, Гостехиздат, М., 1955, 64 стр. Тираж 50 000 экз. Цена 90 к.

Грацинская Л. Н., Киевская олимпиада юных математиков, «Успехи математических наук», том 10, выл. 1, 1955, стр. 221—225.

Кованько А. С., Математическая олимпиада школьников г. Львова в 1953/54 учебном году, «Успехи математических наук», т. 10, вып. 1, 1955, стр. 227—228.

«XVII Московская школьная математическая олимпиада», «Успехи математических наук», том 10, выи. 1, 1955, стр. 213—219.

Финкельштейн Г. М., Математические олимпиады в г. Астрахани в 1953—1954 гг., «Успехи математических наук», т. 10, вып. 1, 1955, стр. 229—232.

Депман И. Я., Меры и метрическая система, Учпедгиз, М., 1954, 128 стр., с илл. Тираж 50 000 экз, Цена 2 р.

Перельман Я. И., Занимательная геометрия, под ред. и с дополн. Б. А. Кордемского, изд. 9, Гостехиздат, М., 1955, 304 стр. Тираж 100 000 экз. Цена 4 р. 65 к.

Перельман Я. И., Занимательная арифметика. Загадки и диковинки в мире чисел, изд. 8, сокр., М., Детгиз, 1954, 192 стр. Тираж 100 000 экз. Цена 3 р. 15 к.

Серебровская Е. К., Опыт внеклассной работы по математике в V—VII классах. Пособие для учителей, Учпедгиз, М., 1954, 144 стр. Тираж 75 000 экз. Цена 2 р.

Чуриков Ф. С, Вторая математическая олимпиада в городе Орджоникидзе (1953/54 учебный год), «Успехи математических наук», т. 9, вып. 4, 1954. стр. 259—262.

V. Монографии по отдельным вопросам математики

Беллман Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, перев. с англ. А. Д. Мышкиса, Изд. иностранной литературы, М., 1954, 216 стр., с черт. Тираж не указ. Цена 10 р. 85 к.

Бэр Р., Линейная алгебра и проективная геометрия, перев. с англ. Е. Г. Шульгейфера, предисловие А. Г. Куроша, Изд. иностранной литературы, М., 1955, 400 стр. Тираж не указ. Цена 18 р. 65 к.

Гальперин И., Введение в теорию обобщенных функций. На основе лекций Л. Шварца, перев. с англ. М. С. Аграновича, под ред. Г. Е. Шилова, Изд-во иностранной литературы, М., 1954, 64 стр. Цена 2 р. 15 к.

Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, перев. с англ., под ред. М. Р. Шура-Бура, Изд. иностранной литературы, М., 1955, 291 стр. Цена 12 р. 65 к.

Ходж В. и Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, т. 3 (Бирациональная геометрия), перев. с англ. А. И. Узкова, Изд. иностранной литературы, М., 1955, 375 стр. Цена 17 р. 25 к.

VI. Пособия для заочников

Гончаров В. Л., Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Для студентов-заочников III курса физико-математического факультета педагогических институтов, Учпедгиз, М., 1955, 16 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 20 к.

Куницкая Е. С., Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Методическое пособие по практической части курса для студентов-заочников педагогических институтов, Учпедгиз, М., 1955, 100 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 1 р. 30 к.

Моденов П. С., Методические указания к программе по курсу «Аналитическая геометрия». Для студентов-заочников I курса физико-математического факультета педагогических институтов, Учпедгиз, М., 1954, 110 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 1 р. 25 к.

Прочухаев В. Г., Контрольные работы по методике математики, Учпедгиз, М., 1955, 99 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 1 р. 65 к.

Прочухаев В. Г., Методические указания к программе по методике математики (Общая методика математики). Для студентов-заочников физико-математического факультета педагогических институтов, Учпедгиз, М., 1954, 94 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 1 р. 25 к.

VII. Справочные издания

Выгодский М. Я., Справочник по элементарной математике. Таблицы, арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, функции и графики, изд. 8, Гостехиздат, М., 1955, 412 стр. с черт. Тираж 200 000 экз. Цена 8 р. 5 к.

Шахно К. У., Справочник по элементарной математике, изд. Ленинградского университета, Л., 1955, 208 стр., с черт. Тираж 20 000 экз. Цена 4 р. 55 к.

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 3 ЗА 1955 г.

П. Балев (Болгария) 22, 26, 28—31; В. Балицкий (Алтайский край) 26—31; П. Балышкин (Новосибирская обл.) 22—31; А. Бекаревич (Гомель) 23,26—31; Е. Боков (Краснодарский край) 24—26, 28—31; А. Владимиров (Асбест) 22—31; И. Войнов (Орловская обл.) 22—31; А. Гаас (Караганда) 22, 23, 27—29, 31; С. Гнетулло (Норильск) 22—31; М. Готлер (Вильнюс) 22—31; У. Давыдов (Гомель) 22, 23, 26, 28—31; А. Дейнега (Винницкая обл.) 22, 24—31; В. Демчинский (Ровно) 22, 23, 26—31; А. Жагунас (Литовская ССР) 22, 27—31; Р. Исмагилов (Башкирская АССР) 22—31; М. Лейбман (Свердловская обл.) 23, 29, 30, 31; Т. Мышакова (Одесса) 22—26, 28—31; И. Нигож (Карагандинская обл.) 23, 26—28, 30; Г. Рачинский (Ставропольский край) 23—26, 28—31; Р. Реннерт (Польша) 24—31; М. Сирота (Полтавская обл.) 23—26, 28, 29, 31; Е. Тишков (Полоцк) 23, 24, 26—31; В. Утемов (Свердловская обл.) 22—31; Г. Чепкасов (Краснодарский край) 23, 26, 28, 29, 31; М. Черепнин (Караганда) 22—31; Э. Ясиновый (Куйбышев) 22—31.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В ЖУРНАЛЕ № 3 ЗА 1955 г.

№ 22

Решить систему уравнений:

Решение 1. Пусть x2 — y2 = t, тогда

Первое уравнение можно записать так:

или

поэтому

Получаем следующую систему:

Откуда

Учитывая кратность корней, получаем восемь решений

Решение 2.

Пусть x = r cos φ, у = r sin φ, тогда заданная система примет вид:

Отсюда

Если

Поэтому:

№ 23

Вершинами многоугольника A1, A2,...,An являются точки плоскости, изображающие комплексные числа:

т — натуральное число. Доказать, что точка начала координат лежит вне многоугольника.

Решение. Вершиной Ak данного многоугольника является точка, изображающая комплексное число

Докажем, что Сk > 0 для k = 2, ..., n — 1. Для этого докажем методом математической индукции следующее соотношение :

(1)

Пусть тогда

Если формула (1) верна для всех значений k ⩽ l, то

Таким образом, эта формула верна и для k = l + 1, поэтому она верна для произвольного значения k. рассмотрим выражение для Сk. При помощи формулы (1) получаем следующее неравенство:

больше нуля, но меньше π.

Но Сn > 0, значит все вершины многоугольника лежат выше оси x-ов, так как C1 = 0; B1 ≠ 0; Сk > 0 для k = 2, ..., n. Поэтому точка О(0; 0) не лежит внутри него.

№ 24

Вписанная в прямоугольный треугольник окружность делит одну из медиан треугольника на равные части. Определить углы треугольника.

Решение 1. Условие задачи позволяет рассматривать следующие случаи:

Черт. 1.

а) Пусть медиана проведена из прямого угла (черт. 1) и AF = FC, BD = DE = EF. Докажем, что не существует такой прямоугольный треугольник, чтобы выполнялись эти условия. Действительно, предположим противное, т. е., что BD = DE = EF, тогда BD = EF.

Из этого равенства следует, что

Тогда

А это означает, что

Таким образом, из равенства EF = BD следует равенство

Так как

поэтому

т. е. СВ ≠ BF, но △ CBF — равносторонний и СВ = BF.

Это противоречие показывает, что не существует прямоугольный треугольник, у которого вписанная в него окружность делит на три равные части медиану, проведенную из прямого угла.

Черт. 2

b) Рассмотрим чертеж 2. Пусть медиана проведена из острого угла и AD = DE = EF. Аналогично предыдущему получаем равенства:

поэтому

Так как

тогда

Таким образом, из равенства AD = EF мы получили равенство tg А = 2, а из равенства AD = DE = EF получили:

Полученное противоречие показывает, что не существует треугольник, удовлетворяющий условию задачи.

Многие участники конкурса, как и автор задачи, считали, что ответом задачи в первом случае является ∠C = 60°, во втором — tg А = 2, так как эти соотношения были получены соответственно из равенств BD = DE = EF и AD = DE = EF.

Из приведенного решения видно, что при получении этих ответов мы использовали только равенства:

а уже из них следует соответственно, что

Равенствами BD = DE = EF и AD = DE = EF мы пользовались только тогда, когда доказывали от противного, что искомый треугольник не существует.

Таким образом, в этих треугольниках: BD = EF и AD = EF, но DE ≠ BD = EF и DE ≠ AD = EF.

Решение 2. Построим треугольник, у которого вписанная окружность делит медиану на три равные части.

Пусть AD = DE = ЕМ. — х (черт. 3). Так как АР = МК и РВ = PK, то ВС = 2АВ. Если обозначить сторону AB через а, то ВС = 2а, КM2 = АР2 = 2x2. Поэтому

Так как AM — медиана треугольника ABC, то

Решаем это уравнение:

Тогда

поэтому

Следовательно, стороны искомого треугольника пропорциональны числам: 5; 10; 13.

Найдем углы таких треугольников, пользуясь теоремой косинусов:

Итак, треугольник, удовлетворяющий условию задачи, не может быть прямоугольным.

№ 25

Периметр равнобедренного треугольника равен Р. Найти его стороны, зная, нто вписанная окружность делит медиану на три равные части.

Решение 1. По условию задачи AD = DE = EF (черт. 4). Тогда АК = FL, KC = CL, поэтому АС = FС. Так как треугольник АБС — равнобедренный, и EF = 1/3 AF, то вписанная окружность проходит через точку Е. Пусть KD⊥AF, так как AD = DE, то треугольник АКЕ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Тогда ∠CAE = 45°, а так как ∠AFC = 45°, то ∠ВСА = 90°.

Черт. 3 Черт. 4

Итак, мы получили, что угол при основании равнобедренного треугольника равен 90°. Полученное противоречие показывает, что не существует треугольник, удовлетворяющий условию задачи.

Решение 2. При решении задачи № 24 был получен ответ (второе решение), что треугольник, удовлетворяющий условию задачи, не может быть ни прямоугольным, ни равнобедренным, поэтому данная задача решения не имеет.

№ 26

Найти максимум выражения:

Решение 1. Рассмотрим выражение

Это выражение является квадратным трехчленом относительно z. Если в этом выражении раскрыть скобки и расположить все члены по степеням z, то

При любых действительных значениях z, xi, ai трехчлен H принимает неотрицательные значения. Это означает, что при любых действительных xi, ai дискриминант этого трехчлена не больше нуля, поэтому

Таким образом,

Решение 2. В силу неравенства Буняковского — Коши можно написать:

поэтому

№ 27

Струна длиною l дает основной звук, отвечающий N колебаниям в секунду. При помощи подставки (кобылки) ее делят на две части х и l — x, дающие соответственно n u n' колебаний в секунду. Найти соотношение, которым связаны n, п' и N при любых l и x.

Решение 1. Известно, что частоты колебаний струн обратно пропорциональны их длинам при прочих равных условиях, поэтому

Подставим это значение для х во второе уравнение:

Решение 2. Пусть λ — длина волны, с — скорость распространения волн, ν — частота. Известно, что длина волны равна половине длины струны, скорость распространения волн определенной струны равна скорости распространения волн какой-либо части этой струны (если рассматривать струну и ее часть в одной и той же среде). Так как

Из второго равенства найдем значение х и подставим его в последнее равенство. Теперь из этого равенства находим значение l и, подставив его в первое равенство, получаем:

№ 28

Решить систему уравнений:

Решение 1. Пусть тогда

поэтому

и заданную систему можно записать следующим образом:

Откуда поэтому

Итак, получаем две системы уравнений:

Окончательно находим:

Решение 2.

Для решения заданной системы необходимо сначала преобразовать левые части этих уравнений, представив их в виде:

На основании первого уравнения можно обозначить:

Отсюда

Исходя из второго уравнения, имеем:

№ 29

Решить систему у равнений:

Решение. Пусть

тогда

Возведем это равенство в квадрат:

Аналогично получаем следующие соотношения:

Таким образом, получаем следующую систему уравнений:

(1) (2) (3)

Выразим p4 + q4 и p2 + q2 через t. Для этого надо выразить произведение рq через t. Из уравнения (1) находим

поэтому

Так как

Подставим эти значения для p2 + q2 и p4 + q4 в уравнение (3):

поэтому

при t = 0 получаем следующую систему:

Откуда

Окончательно получаем следующие системы:

Поэтому получаем следующие решения:

№ 30

Пешеход находится в точке А покрытого снегом поля на расстоянии l м от прямой дороги, ведущей в село D. По снегу пешеход движется со скоростью v километров в час, а по дороге — со скоростью w километров в час. В каждой точке В он должен выйти на дорогу для того, чтобы в кратчайший срок попасть в село D.

Решение. Рассмотрим чертеж 5. Пусть АС⊥CD. Обозначим угол между направлением движения пешехода из пункта А и перпендикуляром к дороге через а. Тогда время, затраченное на переход из пункта А в село D, равно:

Черт. 5

Время это будет наименьшим при таких значениях а, при которых будет наименьшим выражение

Так как по смыслу задачи w > v и cos α > 0, то

поэтому значение этого выражения будет наименьшим при тех же значениях а, при которых значение выражения

также будет наименьшим. Но

Значит полученное выражение будет принимать наименьшее значение при

Таким образом, чтобы в кратчайший срок попасть из пункта А в село D, пешеход должен выйти на дорогу в точке В, удаленной от точки С на расстояние

Если CD ⩽ —, то пешеход должен сразу же взять направление на село D

№ 31

Решить уравнение:

если ab > dl; а, b, с, d и l — положительные числа.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:

(1)

Решаем квадратное уравнение:

(2)

Для исследования решения вычислим

Подставим значение х и √1 + x2 в заданное уравнение:

(3)

Итак, в формуле (2) надо брать перед корнем такой знак, чтобы выполнялось равенство (3). Пусть

тогда

Это равенство справедливо тогда и только тогда, когда

Пусть

Это равенство справедливо всегда, так как левая часть есть положительное число. Действительно, пусть

тогда но

поэтому или

Аналогично получаем, что из cu < b3l следует:

Пусть ас = bl, тогда в уравнении (1) коэффициент при x2 обращается в нуль и получаем уравнение:

так как

Итак,

ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ СТАТЕЙ, ПОМЕЩЕННЫХ В ЖУРНАЛЕ «МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ» ЗА 1955 ГОД

Передовые

Всепобеждающая сила идей ленинизма, № 2, стр. 1—4.

П. А. Ларичев — Вопросы улучшения преподавания математики в школе, № 4, стр. 1—6.

Ф. Ф. Нагибин — О кинофикации курса математики средней школы, № 3, стр. 1—4.

Н. Ф. Четверухин — О некоторых методологических вопросах в преподавании геометрии, № 2, стр. 5—13.

Научно-популярный отдел

С. И. Зетель — Построение некоторых формул и последовательностей, № 3, стр. 5—12.

Г. К. Остапов — Элементарные методы вычисления логарифмов, № 2, стр. 14—21.

В. С. Михельсон —Счетные машины, № 5, стр. 1—10.

Ц. А. Цветков — О наименьшем общем кратном нескольких чисел, № 1, стр. 1—3.

Методика

Я. Айзенштат и Б. Белоцерковская — Об исследовании стереометрических задач на вычисление, № 4, стр. 20—23.

П. П. Андреев — Определение многоугольника в элементарной геометрии, № б, стр. 23—25.

А. К. Артемов — Из опыта изучения математических таблиц, № 6, стр. 19—22.

Г. М. Батраченко — О распространенных ошибках при исследовании решения задач по геометрии, № 4, стр. 26—31.

К. С. Богушевский — Из писем и заметок читателей, № 3, стр. 60—76.

К. С. Богушевский — К вопросу о домашних заданиях и их проверке, № 5, стр. 22—27.

А. И. Волхонский — О тригонометрических уравнениях, решаемых вслед за простейшими, № 1, стр. 20—25.

А. И. Волхонский — Об исследовании задач по стереометрии, № 4, стр. 23—25.

Д. Д. Галанин — Как велик миллион, № 6, стр. 33—34.

И. А. Гибш — По поводу статьи И. И. Смирнова «Тригонометрические уравнения в школьном курсе», № 1, стр. 26—31.

Е. М. Гельфан — Проведение в классе и на местности практических работ по геометрии, № 3, стр. 45—48.

Л. М. Демиховский — Подвижная модель геометрических фигур, № 3, стр. 53—55.

Б. П. Дробышев — Наглядное пособие к теме «Окружность», № 3, стр. 58—59.

У. С. Давыдов — О доказательстве некоторых теорем стереометрии, № 4, стр. 42—47.

Ф. Т. Дзюба — О крупном недочете в программе средней школы, № 5, стр. 31—34.

Д. Ф. Изаак — По поводу статьи И. И. Смирнова «Тригонометрические уравнения в школьном курсе», № 1, стр. 31—34.

А. С. Ильин — Об основных понятиях и аксиомах геометрии в средней школе, № 5, стр. 27—30.

В. С. Карнацевич — Письменные контрольные работы по геометрии, № 1, стр. 39—45.

М. И. Каченовский — О работах учителей математики по изготовлению и конструированию наглядных пособий, № 3, стр. 24—35.

В. И. Ковалев — Наглядные пособия по геометрии, № 3, стр. 40—45.

В. В. Карпенков — Из опыта работы по изготовлению наглядных пособий и измерительных инструментов по математике, № 3, стр. 56—58.

В. С. Карнацевич — Вопросы по некоторым темам геометрии, № 5, стр. 42—44.

Г. А. Лось —О связи физики с математикой в курсе VIII класса, № 1, стр. 45—49.

А. Ф. Лебедев — Стереометрический ящик, № 3, стр. 55—56.

С. И. Новоселов — О тригонометрических уравнениях, № 1, стр. 34—39.

С. И. Новоселов — Об исследовании стереометрических задач на вычисление с параметрическими данными, № 4, стр. 32—41.

С. Б. Норкин — О вписанных и описанных шарах, № 5, стр. 34—41.

А. К. Окунев — О наглядных пособиях в преподавании тригонометрии, № 3, стр. 36—40.

Е. Л. Одляницкая и П. П. Черняева — Домашняя работа по арифметике в V классе, № 5, стр. 15—21.

М. С. Панченко — Серьезнее относиться к составлению контрольных работ, № 1, стр. 49—50.

Г. Б. Поляк — О составлении учащимися задач по арифметике, № 6, стр. 15—19.

С. А. Пономарев — О повторении курса арифметики в старших классах, № 6, стр. 9—15.

И. Г. Польский — Об ортогональности скрещивающих прямых, № 5, стр. 44—46.

И. А. Рассыпнов — О подготовке к письменной работе по геометрии с тригонометрией, на аттестат зрелости, № 2, стр. 36—38.

К. А. Рупасов — К вопросу о школьном изложении теории рациональных чисел, № 6, стр. 25—32.

С. В. Синакевич и Б. А. Лурье — Опыт работы по теме «Тригонометрические уравнения», № 1, стр. 4—19.

И. И. Смирнов — О требованиях к выполнению экзаменационных работ по геометрии на аттестат зрелости и об оценке этих работ, № 2, стр. 26—36.

Г. П. Сенников — О связи задач на построение и практических работ на местности в курсе геометрии VI—VII классов, № 3, стр. 48—52.

И. Старостин — Простейшие модели по стереометрии, № 3, стр. 52—53.

С. В. Филичев — О требованиях к письменным работам на аттестат зрелости, № 2, стр. 22—26.

Л. М. Фридман — О требованиях к решению геометрических задач на вычисление, № 4, стр. 7—19.

П. М. Эрдниев — Проверка решения математических упражнений в старших классах, № 4, стр. 47—55.

Из опыта

С. М. Бернштейн — Об элементах политехнизации на уроках тригонометрии, № 1, стр. 57—60.

Е. С. Березанская — К вопросу о состоянии знаний учащихся VIII класса средней школы по алгебре, № 2, стр. 60—68.

Е. С. Березанская — К вопросу о состоянии знаний учащихся VJTI класса по алгебре, № 6, стр. 50—60.

В. И. Беляев — О тождественных преобразованиях иррациональных выражений в курсе VIII класса, № 2, стр. 69—75.

Е. М. Больсен — Решение задач на доказательство, № 4, стр. 69—72.

В. Е. Бушуев — О проверке тетрадей и о работе над ошибками, № 5, стр. 50—51.

И. М. Кипнис — Об исследовании геометрических задач, решаемых с применением тригонометрии, № 4, стр. 72—76.

М. Л. Крайзман — О развитии творческого мышления учащихся в преподавании геометрии, № 6, стр. 61—67.

Л. Г. Круповецкий — Вопросы дальнейшего развития народного хозяйства на уроках математики, № 5, стр. 51—57.

А. И. Леничкин — Формулы сокращенного умножения в курсе VI класса, № 1, стр. 61—69.

Н. А. Мацко — Вычисление веса сена в скирдах и стогах, № 1, стр. 51—56.

Т. А. Песков — К вопросу о политехническом обучении в V классе, № 4, стр. 56—60.

М. Д. Приймаченко — Домашние задания в VIII—X классах, № 5, стр. 48—50.

М. Н. Покровская — Обучающий опрос на уроках математики, № 6, стр. 35—40.

К. П. Сикорский — Из опыта работы в VIII классе, № 4, стр. 61—69.

К. П. Сикорский — Из опыта работы в VIII классе, № 6, стр. 45—50.

Р. Б. Срода — Повторение на уроках математики, № 6, стр. 40—45.

Г. Н. Скобелев — Из опыта проверки домашних заданий, № 5, стр. 47—48.

А. А. Чебаевская — Об исследовании решения задач по геометрии с применением тригонометрии, № 4, стр. 77—79.

В. Д. Чистяков — Из опыта работы над геометрическими понятиями, № 5, стр. 58—59.

И. И. Финкельштейн — О воспитании интереса к занятиям по арифметике, № 6, стр. 68—72.

Русские педагоги-математики

Н. А. Столяров — Константин Александрович Торопов, № 1, стр. 70—71.

Советские педагоги-математики

И. Я. Депман — Василий Иванович Костин, № 3, стр. 77.

Итоги экзаменов

Е. Н. Золотовицкий — Некоторые итоги приемных испытаний в Московский техникум советской торговли, № 2, стр. 51—56.

М. Р. Линднер — О математической подготовке учащихся, окончивших VII класс, № 2, стр. 49—51.

Л. Ш. Матлин — О некоторых недочетах в знаниях учащихся, № 2, стр. 47—49.

В. Е. Семенов — О некоторых вопросах математики в средней школе, № 2, стр. 44—47.

П. М. Савчук — О приемных экзаменах по математике в Сталиногорский горный техникум, № 2, стр. 57—59.

С. М. Чуканцов — О математической подготовке оканчивающих среднюю школу, № 2. стр. 39—44.

Из истории математики

Б. П. Бычков — Понятие функции в курсе алгебры русской дореволюционной средней школы в XX в., № 6, стр. 1—8.

Р. А. Симонов — Борьба Т. Ф. Осиповского против мистики в математике, № 5, стр. 11—14.

За рубежом

Л. Н. Милованова — Построение курса математики в средней школе народной республики Болгарии, № 5, стр. 60—73.

Критика и библиография

Е. М. Больсен — О книге П. А. Горбатого «Опыт преподавания тригонометрии в школе», № 1, стр. 79—81.

Е. М. Больсен — Литература по наглядным пособиям, № 3, стр. 81—83.

К. С Богушевский — По поводу книги В. Н. Молодшего «Основы учения о числе в XVIII веке», № 4, стр. 82—83.

В. Н. Гришин — О книге Г. И. Линькова «Внеклассная работа по математике в средней школе», № 5, стр. 86.

И. Я. Депман — О книге В. Н. Молодшего «Основы учения о числе в XVIII веке», № 4, стр. 82.

В. В. Евгенов — Конкретная помощь учителю математики, № 3, стр. 78—81.

А. И. Можаев — О книге Д. М. Смычникова «Измерительные работы на местности в курсе математики средней школы», № 4, стр. 80—82.

И. Г. Мельников — О книге И. Я. Депмана «Рассказы о математике», № 5, стр. 84—85.

В. А. Невский — Новая литература по математике, № 1, стр. 82—83.

А. Невский и Т. Н. Денисова — Учителя о новом сборнике задач по арифметике, № 2, стр. 76—79.

В. А. Невский — Новая литература по математике, № 3, стр. 83—85.

В. А. Невский — Новая литература по математике, № 6, стр. 83—86.

Т. А. Песков — О книге Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского «Алгебра», ч. II, № 5, стр. 79—82.

Т. А. Песков — О книге В. М. Брадиса «Методика преподавания математики в средней школе для педагогических институтов», № 6, стр. 73—76.

К. А. Рупасов и И. М. Шапиро —О книге Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского «Алгебра», ч. II, № 5, стр. 74—78.

И. А. Скрылев — О книге Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского «Алгебра», ч. II, № 5, стр. 82—83.

А. Столяр — О книге У. С. Давыдова «Задачи на исследование уравнений», № 1, стр. 72—75.

Л. У. Тестоедов — Методическая литература по вопросам преподавания математики в школах рабочей и сельской молодежи, № 4, стр. 83—84.

В. В. Турчанинов — О некоторых ошибках в учебной и методической литературе, № 6, стр. 81—83.

Я. А. Шор — Обобщение передового опыта, № 1, стр. 75—78.

Б. С. Эппель, Е. М. Больсен, Л. М. Лоповок — О сборнике задач по тригонометрии А. И. и Н. И. Худобиных, № 6, стр. 77—81.

СОДЕРЖАНИЕ

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Стр.

Б. П. Бычков — Понятие функции в курсе алгебры русской дореволюционной средней школы в XX веке (1900—1917 гг.) .................. 1

МЕТОДИКА

С. А. Пономарев — О повторении курса арифметики в старших классах..... 9

Г. Б. Поляк — О составлении учащимися задач по арифметике......... 15

А. К. Артемов — Из опыта изучения математических таблиц.......... 19

П. П. Андреев—Определение многоугольника в элементарной геометрии .... 23

К. А. Рупасов — К вопросу о школьном изложении теории рациональных чисел . . 25

Д. Д. Галанин — Как велик миллион..................... 33

ИЗ ОПЫТА

М. Н. Покровская — Обучающий опрос на уроках математики......... 35

Р. Б. Срода — Повторение на уроках математики................ 40

К. П. Сикорский — Из опыта работы в VIII классе............... 45

Е. С. Березанская — К вопросу о состоянии знаний учащихся VIII класса средней школы по алгебре............................ 50

М. Л. Крайзман — О развитии творческого мышления учащихся в преподавании геометрии................................. 61

И. И. Финкельштейн — О воспитании интереса к занятиям по арифметике ... 68

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Т. А. Песков — О книге В. М. Брадиса «Методика преподавания математики в средней школе» для педагогических институтов................ 73

Б. С. Эппель, Е. М. Больсен, Л. М. Лоповок — О «Сборнике задач по тригонометрии» А. И. и Н. И. Худобиных..................... 77

В. В. Турчанинов — О некоторых ошибках в учебной и методической литературе 81 В. А. Невский — Новая литература по математике................ 83

ЗАДАЧИ

Сводка решений по № 3 за 1955 г....................... 86

Решения задач, помещенных в журнале № 3 за 1955 г.............. 87

Тематический указатель статей, помещенных в журнале «Математика в школе» за 1955 г.................................. 94

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

Сдано в производство 2/IX 1955 г. Подписано к печати 19/Х 1955 г.

Тираж 94 350 экз. Бумага 84 × 1081/16 = 6 п. л. (9.84). Учетно-изд. л. 11,72.

Цена 4 р. 50 к. A05838. Зак. 413.

Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической промышленности. 13-я типография, Москва, Гарднеровский пер., 1а.

Редакционная коллегия:

Редактор А. Н. Барсуков, зам. редактора С. И. Новоселов, члены редакционной коллегии: К. С. Богушевский, П. А. Ларичев, В. В. Немыцкий, Н. Н. Никитин, С. В. Филичев, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией О. А. Чернокозова Технический редактор С. Н. Шахов

Корректор А. А. Журавлев