МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

5

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1955

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 5

СЕНТЯБРЬ — ОКТЯБРЬ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

СЧЕТНЫЕ МАШИНЫ

В. С. МИХЕЛЬСОН (Москва)

Счетные машины широко применяются в нашей стране. Они быстро совершают большое число арифметических действий и создают огромные возможности для использования математических методов в науке и технике. Эти машины, позволяющие производить вычисления с высокой скоростью, делают возможным решать важнейшие проблемы физики, механики, астрономии, химии, метеорологии и т. п. Усовершенствованные счетные машины, в особенности современные универсальные электронные счетные машины, совершающие тысячи арифметических действий в секунду и заменяющие труд десятков тысяч вычислителей, помимо невиданной ранее скорости исполнения математических действий и грандиозного увеличения производительности труда, дают возможность решать такие проблемы науки и техники, которые считались неразрешимыми. Такие машины находят большое применение и на производстве. Они контролируют работу конвейеров, движение резцов на станках и способствуют автоматизации процессов производства. Применение счетных машин и различных приборов счета облегчает героический труд советского народа, осуществляющего грандиозные задачи строительства коммунизма.

Из истории развития счета и счетных приборов

История развития счета уходит в глубь веков. Невозможно указать, кто первый изобрел счет. У древних народов существовали различные способы счета. Одни племена считали по пальцам. Другие пользовались камешками, зернышками, косточками и т. п. Ацтеки, старинные обитатели Мексики, употребляли для обозначения чисел точки. Но только развитие торговли, мореплавания и ремесла на более поздней ступени истории человеческого общества дало толчок к усовершенствованию счета и изобретению счетных приборов.

Разные народы использовали различные инструменты для вычислений. Для иллюстрации простейших приборов счета можно упомянуть о греческих и римских абаках. Греческий абак (рис. 1) представляет собой доску, разделенную на ряд вертикальных параллельных полос. Крайняя правая полоса предназначалась для единиц, вторая — для десятков, третья — для сотен и т. д. Числа на абаке обозначались при помощи камешков. В каждой полосе раскладывалось столько камешков, сколько ими хотели обозначить единиц в данном разряде. Позднее камешки были заменены жетонами, на которых стали писать цифры. Это облегчало пользование абаком. С по-

Рис. 1. Греческий абак.

Рис. 2. Римский абак.

мощью абака можно было выполнять сложение и вычитание. Римский абак (рис. 2) отличается от греческого имеющимися на нем колонками для долей единицы, например для 1/2, 1/3, а иногда 1/24, 1/48, 1/72. Кроме того, на римском абаке счет велся десятками и пятками. Для этого каждая колонка разбивалась на две части (углубления). В первой части клались камешки, соответствующие единицам данного разряда, во второй — пяткам.

Рис.3. Китайские счеты «уан-пан». На счетах набрано число 16282.

Большой интерес представляют китайские счеты «уан-пан» (рис. 3). Они состоят из деревянной рамы, разделенной на две части перегородкой. Поперек рамы продеты металлические спицы, на каждой из которых нанизано по семи косточек. С одной стороны от перегородки помещается пять косточек, с другой — две. Каждая из этих двух косточек равна по значению пяти единицам соответствующего разряда.

В России счеты известны с XIV в. Они получили большое распространение в качестве оригинального и удобного прибора. И до сих пор, благодаря простоте устройства и удобства счета, они находят широкое применение в повседневной практике.

Народы разных стран обозначали числа зарубками на палочках. Этот способ применялся для записей долговых обязательств или налоговых платежей. На палочке делались насечки, соответствующие сумме долга или налога. В России такие расчетные палочки, которые назывались бирками, употреблялись для учета сбора налога (рис. 4). Бирка разрезалась на две продольные части, одна из которых оставалась, например, у крестьянина, другая — у сборщика налогов. По зарубкам на обеих частях и велся счет уплаты налога, который проверяли складыванием обеих частей бирки.

С дальнейшим ростом промышленности и торговли усиливаются потребности в развитии и совершенствовании вычислительной техники. Эти практические потребности привлекают к себе внимание величайших умов современности. Ученые ряда стран, такие, как Паскаль во Франции, Лейбниц в Германии, Куммер, Буняковский, Однер, Чебышев в России, внесли огромный вклад в дальнейшее развитие и усовершенствование счетных приборов и машин.

В середине 30-х годов XVII в. Паскаль начал работу над изобретением счетной машины. Он сконструировал около 50 различных моделей счетных машин, и только в 1642 г. ему удалось создать машину, позволяющую складывать и вычитать многозначные числа. Машина Паскаля предназначалась для денежных расчетов. В 1694 г. Лейбниц изобрел ступенчатый валик, с помощью которого он сконструировал прибор, позволяющий производить все четыре арифметических действия.

Рис. 4. Русские бирки.

Научно-техническая мысль в России уделяла большое внимание развитию теории и конструированию счетных приборов и машин. В XVIII в. русский механик Волосков создал астрономические часы, производящие нужные вычисления. Они показывали дни и годы. В 1847 г. Куммер сконструировал новый прибор, позволяющий производить сложение и вычитание. Удобство этого прибора заключалось в его малых размерах (его можно было носить в кармане) и простоте пользования им. Весьма интересен счетный прибор академика Буняковского, изобретенный им в 1867 г. Ученый применял этот прибор для суммирования большого количества многозначных чисел, что очень помогало ему в его научных математических работах.

В 1874 г. русский инженер Однер изобрел арифмометр. Это явилось подлинным переворотом в развитии вычислительной техники. Арифмометр Однера позволяет производить сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня, что в значительной степени расширяет область применения счетных машин. Этот прибор сразу же завоевал всеобщее признание. Мы пользуемся им и по сей день. Более 50% счетных машин, которые применяются во всем мире, основано на принципе действия зубчатых колес Однера. Имеется около 40 типов счетных машин, работающих по принципу машины Однера.

Не останавливаясь на достигнутом, русские ученые продолжали совершенствовать счетные машины. Одни из них вносили изменения и упрощения в ранее сконструированные счетные приборы, другие же создавали принципиально новые машины. Так, например, академик Чебышев в 1878 г. построил новую счетную машину. Она замечательна тем, что в ней Чебышев впервые осуществил постепенную передачу десятков с одних разрядов на другие. Это и сейчас используется для создания новейших быстродействующих счетных автоматов.

Дальнейшее развитие вычислительной техники привело к созданию многих типов и сложных конструкций счетных машин. Были сконструированы специальные машины для решения сложнейших задач в области теоретической физики, механики, геодезии, астрономии, гидрометеорологии и т. п. Без применения этих сложных машин решение этих важных задач было бы невозможно.

Создателем первой в мире машины для решения уравнений высшей математики был академик А. Н. Крылов. В 1904 г. он впервые создал машину для решения дифференциальных уравнений. В дальнейшем были сконструированы еще более совершенные машины для решения широкого круга уравнений высшей математики. Под руководством Л. И. Гутенмахера было построено несколько типов электрических интеграторов, позволяющих чрезвычайно быстро решать сложные дифференциальные уравнения различных классов. В. С. Лукьянов сконструировал гидроинтегратор, который также успешно применяется для решения дифференциальных уравнений. Наконец, нужно упомянуть о современных быстродействующих универсальных электронных машинах дискретного счета. В Академии наук, в Министерстве машиностроения и приборостроения и в других организациях созданы и успешно работают первоклассные электронные счетные машины, открывающие неограниченные возможности в решении важнейших задач строительства коммунизма.

Счетчики первичного учета, мерная тара и счетные весы

Основой всякой счетной машины являются счетчики (рис. 5). Применение счетчиков первичного учета на производстве во много раз сокращает время учета готовой продукции и дает возможность постоянного контроля за количеством вырабатываемых изделий.

Рис. 5. Счетчик первичного учета.

На заводе могут употребляться счетчики для подсчета количества машин или других видов продукции, сходящих с конвейера, причем одни из них для учета дневной выработки, другие — для недельной, третьи — для учета продукции за месяц. Когда конвейер приходит в движение, начинают работать счетчики. Это показывает важное значение счетчиков первичного учета и широкую возможность их применения для контроля и учета продукции.

Счетчики отличаются разнообразными конструкциями, осуществляющими передачу десятков с одного разряда на другой; они употребляются

Рис. 6. Мерная тара и счетные весы.

на производстве и в быту. В электрических и газовых счетчиках, в спидометрах автомобилей, в приборах для научных исследований — везде, где дело касается массового учета единичных предметов, объемов газа или жидкости, расстояния или времени, — счетчики первичного учета находят широчайшее применение.

Наряду со счетчиками применяется мерная тара и счетные весы (рис. 6). Весы предназначены для подсчета большого количества одинаковых деталей. Они устроены таким образом, что сто таких деталей на одной чаше уравновешиваются одной такой же деталью на другой чаше. Мерная тележка вмещает определенное число деталей. Она служит для их подсчета и переноса. Все эти приборы значительно сокращают время подсчета готовой продукции.

Основные принципы конструкций счетных машин

Ознакомимся с основными принципами конструкций счетных машин. Мы видели, что счетчики первичного учета применяются для подсчета единичных предметов. Поэтому их можно использовать в счетных машинах для выполнения различных арифметических действий. Например, для сложений на счетной машине двух чисел достаточно, чтобы машина передала эти два числа в счетчик, после чего там появится сумма этих двух слагаемых. Существующие счетные машины отличаются различными способами передачи чисел в счетчик. Среди распространенных в настоящее время конструкций для передачи чисел в счетчик нужно отметить два основные типа. Первый — основанный на применении колеса Однера, второй — на применении ступенчатого валика Лейбница.

Рассмотрим принцип устройства колеса Однера. Это колесо имеет две шайбы (рис. 7): подвижную 1 в форме кольца с продольным пазом 6 и наглухо скрепленную с осью установочного механизма 2. В теле шайбы 2 имеются девять радиальных вырезов, в которые входят девять выдвижных зубцов 3. Каждый зубец имеет небольшой выступ 4. Подвижная шайба 1 надевается на шайбу 2 так, чтобы выступы всех зубцов входили в паз кольца (рис. 8). Этот паз имеет скос, поэтому, если шайбу 1 повернуть за установочный рычаг 5 по ходу часовой стрелки, то зубцы при помощи боковых выступов будут выдвигаться из тела шайбы 2. В зависимости от угла поворота установочного рычага может быть выдвинуто от одного до девяти зубцов. При помощи этих зубцов числа передаются в счетчик результатов. Для этого нужно повернуть на 360° ось установочного механизма, при этом зубцы колес Однера приходят в зацепление с шестеренками счетчика, и число при вращении оси передается в этот счетчик. В арифмометре приходится употреблять столько колес, сколько разрядов имеет данное число.

Другой тип конструкции счетных машин основан на применении принципа ступенчатых ва-

Рис. 7. Устройство колеса Однера.

ликов. На ступенчатом валике (рис. 9) расположено девять ступенчатообразных зубцов, длина которых равномерно увеличивается от самого короткого до самого длинного. Параллельно валику расположена ось, на которой может передвигаться шестерня с 10 зубцами. Ось расположена на таком расстоянии от валика, что зубцы шестерни могут цепляться за зубцы валика. При нажатии имеющихся на машине различных цифровых клавиш шестерня передвигается вдоль оси на определенное расстояние. Так как зубцы валика отличаются различной длиной, то при изменении положения шестерни на оси при полном обороте валика она будет зацепляться с различным числом зубцов и поэтому поворачиваться на различные углы. Например, если нажать в каком-либо разряде клавишу с цифрой 6, то шестерня передвинется вдоль оси на соответствующее расстояние, и при полном повороте валика она придет в зацепление с 6 зубцами валика. Наденем на конец оси циферблат. Теперь при вращении шестерни будет вращаться и ось, поворачивая циферблат. Циферблат повернется на 0,6 части окружности. На кожухе машины имеется окошко для наблюдения за показаниями циферблата. Если раньше мы видели на циферблате цифру 0, то теперь там появится цифра 6.

Вычислительные машины

Вычислительные машины производят сложение и вычитание, умножение и деление. На них можно также возводить в степень и извлекать корни. Развитие вычислительных машин стало возможным только после изобретения Однером колеса с переменным числом зубцов, о котором мы рассказали выше. Арифмометр Однера был первой вычислительной машиной, сконструированной на принципе этих колес. К числу таких машин относится современный арифмометр «Феликс». Он состоит из двух частей: неподвижной и подвижной каретки. На кожухе верхней неподвижной части имеются девять вертикальных прорезей, из которых выступают установочные рычаги девяти колес Однера. Вдоль каждой прорези сверху вниз написаны цифры от 0 до 9. Если установочный рычаг в данном разряде поставить рядом с какой-либо цифрой, то из тела шайбы колеса выступит столько же зубцов, поэтому при полном повороте всех колес их зубцы передадут соответствующие цифры в счетчик. Этот счетчик, называемый счетчиком результатов, расположен справа, на подвижной каретке. Слева расположен счетчик оборотов, который подсчитывает число оборотов, совершаемых колесами Однера. Колеса расположены на оси и приводятся во вращение при помощи рукоятки. Таким образом, при вращении рукоятки, например, на восемь полных оборотов число столько же раз передается с колес Однера в счетчик. Поэтому в счетчике результатов появится число в восемь раз больше набранного, а в счетчике оборотов — число восемь. Отсюда видно, что умножение на арифмометре можно совершать методом последовательного сложения. Если нужно умножить данное число, например, на 254, то нет необходимости вращать ручку 254 раза. Для этого надо умножить данное число на 4, перевести каретку на один разряд вправо и сделать умножение на 5, после этого остается перевести каретку еще на один разряд вправо и два раза повернуть рукоятку на полный оборот — число умножится на 254. Ответ мы читаем на счетчике результатов, а в счетчике оборотов появится число 254. Мы же повернули рукоятку всего 4 + 5—2 = 11 раз. Если надо сложить несколько чисел, то после передачи первого слагаемого в счетчик результатов набирают при помощи установочных рычагов второе слагаемое, и его тоже передают путем вращения рукоятки

Рис. 8. Принцип работы колеса Однера.

Рис. 9. Принцип работы ступенчатого валика.

в счетчик, где появится сумма этих двух чисел. Чтобы произвести вычитание, вращаем рукоятку в противоположную сторону. Для сложения и умножения — снизу от себя вверх и на себя, для вычитания и деления — наоборот. Рассмотрим, как производится деление на арифмометре. Пусть требуется разделить 14 564 на 34. Обычно на бумаге это действие совершается следующим образом;

Цифры частного 4, 2, 3 показывают, сколько раз можно вычитать делитель 34 из соответствующих разрядов делимого. Произведем это деление на арифмометре. Для этого ставим каретку в крайнее правее положение и набираем делимое 14 564 на рычагах в таких разрядах, чтобы ого передавалось в счетчик результатов с левой стороны. Теперь набираем на рычагах делитель 34 и начинаем производить вычитание. После того как делитель был вычтен из делимого 4 раза, в счетчике результатов останется число 00964. Дальше вычитать делитель 34 из оставшихся в соответствующих разрядах цифр делимого (09) нельзя. Что же произойдет, если произведем еще одно вычитание? В счетчике результатов появится число 96 564 и раздается звонок, предупреждающий, что мы произвели вычитание один лишний раз. Поэтому нужно един раз передать обратно делитель в счетчик результатов. После этого в счетчике оборотов появится цифра 4 — первая слева цифра частного. Передвинем теперь каретку на один разряд влево и опять начнем вычитать делитель 34 из 96. Это можно сделать два раза. В счетчике оборотов теперь уже двузначное число 42, которое означает две первые цифры частного. Передвинем каретку еще на один разряд влево и продолжаем деление. Таким образом мы получим в счетчике оборотов частное 428, а в счетчике результатов — остаток 12.

Хотя при работе на арифмометре и достигается большая экономия времени, но все же при этом затрачивается много времени на установку чисел, освобождение счетчиков от цифр, да и вращать рукоятку рукой неудобно и утомительно. Поэтому дальнейшее усовершенствование счетных машин шло по пути устранения этих недостатков. Были созданы клавишные счетные машины. Простейшей машиной этого типа является машина Д1-Е. Ее клавиатура представляет собой систему вертикальных рядов, в каждом из которых имеются по 10 клавиш. На них написаны цифры от 0 до 9. Для того чтобы з данном разряде задать какую-нибудь цифру, достаточно нажать в этом разряде соответствующую клавишу. Такая клавиатура называется многоклавишной, так как в каждом разряде имеется по 10 клавиш. На этой машине, как и на арифмометре, имеется рукоятка для вращения колес Однера. Но все же многоклавишная клавиатура тоже отнимает много времени для установки чисел, так как, например, для установки числа 11111 приходится нажимать пять различных клавиш, расположенных в пяти различных рядах. Поэтому были созданы счетные машины с десятиклавишной клавиатурой. Для того чтобы набрать на такой клавиатуре число 11 111, достаточно одну и ту же клавишу, а именно ту, на которой написано 1, нажать пять раз. Работа на ней производится теми же приемами, что и на рычажном арифмометре. При этом, благодаря десятиклавишной клавиатуре, значительно повышается производительность работы, особенно если освоить работу слепым методом (когда устанавливаются числа, не глядя на клавиатуру). Таким образом были созданы три вида арифмометров: рычажные, с многоклавишной клавиатурой, с десятиклавишной клавиатурой.

Большие успехи были достигнуты благодаря применению электрических моторов в счетных машинах. Полуавтомат КЕЛР-2Ц (рис. 10, «b») имеет многоклавишную клавиатуру. Для того чтобы произвести сложение или вычитание, достаточно нажать клавишу со знаком « + » или « — ». Сложение, вычитание и умножение производится так же, как на арифмометре. Для деления здесь имеется особая клавиша со знаком После установки делимого в счетчике результатов и делителя на клавиатуре нажимаем эту клавишу. Машина производит деление, и в счетчике оборотов появляется частное. Умножение в этих машинах пока еще не автоматизировано и производится методом последовательного сложения. Большой интерес вызывает приспособление, с помощью которого числа, получаемые в результате арифметических действий в счетчике результатов, автоматически передаются на установочный механизм, что делает возможным производить над ними новые операции.

Счетные машины все время совершенствуются. Были созданы полуавтоматы с десятиклавишной клавиатурой. На машине ВК-2 (рис. 10, «а») так же, как и на КЕЛР-2Ц, имеется моторный привод и деление производится автоматически. Десятиклавишная клавиатура ускоряет темп работы. Затем были созданы еще более совершенные машины, на которых и умножение

Рис. 10. Полуавтоматические вычислительные машины: а) полуавтомат ВК — 2, b) полуавтомат КЕЛР — 2Ц.

производится автоматически (рис. 11). Все автоматы имеют моторный привод. Машины этого типа (CAЛ, САСЛ и некоторые другие) имеют специальный умножающий механизм — мультипликатор (рис. 11), на котором находится десятиклавишная клавиатура для установки множителя. Множимое устанавливается на основной многоклавишной клавиатуре. Нажатием на клавишу автоматического умножения включаем машину, и она начинает умножать данные два числа. В процессе умножения каретка передвигается автоматически, а после его окончания возвращается в исходное положение. Все машины этого типа (машины с мультипликатором) основаны на принципе ступенчатых валиков.

Другие вычислительные автоматы сконструированы на принципе пропорционального рычага. Они отличаются от рассмотренных выше автоматов тем, что имеют одну многоклавишную клавиатуру, на которой набирается как множимое, так и множитель.

Мы ознакомились с различными вычислительными машинами и видели, что у одних имеется ручной привод, у других—мотор, одни являются полуавтоматами, на других все действия совершаются автоматически, кроме того, у разных типов машин различен и способ набора чисел.

Все рассмотренные вычислительные машины можно разделить на следующие группы: по способу установки чисел: 1) рычажные, 2) клавишные, 2а) многоклавишные, 2b) десятиклавишные; по приводу: 1) ручные, 2) моторные; по степени автоматизации: 1) полуавтоматические, 2) автоматические.

Суммирующие машины

Суммирующие машины предназначены главным образом для сложения и вычитания большого количества чисел. В учетно-оперативной работе учреждений Государственного банка СССР и в других учреждениях действия умножения и деления занимают незначительное место. Поэтому рассмотренные выше машины применяются здесь весьма ограниченно. Хотя на таких машинах и можно производить сложение, но гораздо удобнее употреблять специальные суммирующие машины, которые и получили в этих учреждениях наиболее широкое распространение. Некоторые суммирующие машины имеют десятиклавишную клавиатуру для набора чисел (рис. 12). Важнейшая особенность этих машин заключается в том, что одновременно с подсчетом набранных на клавиатуре чисел все слагаемые и результаты подсчета печатаются на бумажной ленте. Эта лента служит для контроля. Использование широких подвижных кареток в суммирующих машинах позволяет выполнять подсчеты на многографных бланках.

Рис. 11. Автоматическая вычислительная машина. С левой стороны расположен десятиклавишный мультипликатор.

Рис. 12. Суммирующая машина СДУ-138.

Фактурные машины

Фактурная машина соединяет в себе пишущий и суммирующий механизмы, также механизм для автоматического умножения. Она предназначена для составления счета-фактуры. По внешнему виду эта машина похожа на пишущую, но цифровые клавиши здесь могут быть использованы как для печатания чисел с передачей их на счетный механизм, так и для печатания чисел без такой передачи. Фактурная машина может производить сложение, вычитание и умножение. На кей можно перемножать 8-значные числа и получать 16-значные произведения. Все клавиши управления счетным механизмом расположены в один ряд впереди буквенной клавиатуры. Отметим одну интересную особенность расположения граф на фактуре при работе на этих машинах. Графа «Текст» расположена после граф «Количество» и «Цена». Пока машина производит автоматически умножение цены на количество товара, можно записать наименование товара, и сразу же машина отпечатает общую стоимость. Машина также вычисляет проценты.

Счетно-аналитические машины

При применении счетных машин производительность труда увеличивается в среднем в пять раз. Однако это совершенно недостаточно для тех вычислительных работ, где приходится иметь дело с громадным количеством чисел, которые необходимо несколько раз обрабатывать. Поэтому возникает необходимость создания машин, выполняющих автоматически процесс чтения первичного документа и процесс установки чисел на машине. Существуют машины, которые могут воспринимать числовые данные первичных документов. Однако выполнить эту операцию они могут лишь в том случае, если эти данные нанесены на первичный документ особым способом, например путем пробивки отверстий. Поэтому для этой машины приходится затрачивать дополнительное время на создание специальных документов. Но во многих случаях параллельное создание этого специального документа обеспечивает большой эффект работы. Это особенно заметно в тех случаях, когда приходится производить различные вычисления, пользуясь одними и теми же числами; например, подсчет зарплаты каждому рабочему в отдельности, всем рабочим одной специальности, цеха, всего предприятия, за один месяц, за квартал и т. д. При таких вычислительных работах необходимо иметь: перфоратор — машину для изготовления этих специальных карточек (перфокарт) с пробитыми отверстиями вместо цифр, контрольник — для контроля правильности изготовления перфокарт, сортировочную машину — для сортировки всех перфокарт по какому-либо определенному признаку, например по табельным номерам, и, наконец, табулятор. Табулятор Т-5 состоит из восьми 11-разрядных счетчиков. На табуляторе имеется магазин подачи перфокарт, воспринимающий механизм, счетный механизм, печатающий и контрольный механизмы, а также коммутационная доска. К находящимся на этой доске гнездам подведены цепи управления основными механизмами табулятора. При помощи гнезд на этой доске соединяются электрическими шнурами отдельные механизмы табулятора, и таким

Рис. 13. Табулятор Т-4.

образом обеспечивается управление ими и их взаимодействие. Воспринимающий механизм состоит из двух контактных валиков и двух колодок со щетками. При их помощи воспринимаются пробивки на перфокартах. Когда между щетками попадает отверстие, то замыкается определенная электрическая цепь. В результате этого и производится подсчет, печатание и другие действия табулятора. На табуляторе делается до 75 000 сложений в час, и, несмотря на затрату времени на подготовку перфокарт, он дает огромную экономию времени и значительно повышает производительность труда вычислителей.

Электронные счетные машины*

Современные электронные счетные машины можно разделить по принципу действия на два большие класса: моделирующие (непрерывного действия) и цифровые (дискретного счета).

Рассмотрим моделирующую машину ЭЛИ-12. Электронно-ламповый интегратор ЭЛИ-12 разработан по идее профессора Л. И. Гутенмахера в 1945 году. Этот интегратор предназначен для решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, относящихся к высшей математике. Интегратор создан в первую очередь для решения задач, которые встречаются в научной и инженерной практике при исследованиях сложных физических процессов в различных устройствах, машинах и аппаратах. При помощи этого интегратора проводились исследования: систем автоматического регулирования, продольных и поперечных колебаний самолета, переходных процессов электрических приводов скоростных лифтов для высотных зданий, вынужденных колебаний автомобиля «Победа» и т. п. Электронно-ламповый интегратор ЭЛИ-12 необходим в научно-исследовательских институтах, конструкторских бюро и крупных заводах. Этот интегратор имеет большое научное и учебно-педагогическое значение, так как является хорошим пособием для объяснения физического смысла математических уравнений, их коэффициентов и получаемых решений.

Электронно-ламповый интегратор ЭЛИ-12 состоит из следующих основных узлов: электронно-ламповых усилителей, конденсаторов, сопротивлений, измерительных устройств, трубчатых коммутаторов (для задания в машину постоянных коэффициентов уравнений) и т. п. Всего в интеграторе 75 электронных ламп. В центре интегратора находится катодный осциллограф, на экране которого наблюдаются решения, появляющиеся в виде графиков. Справа и слева от осциллографа в виде колонн расположены трубчатые коммутаторы, на которых помещены карболитовые кольца. На них выгравированы цифры. При помощи этих колец и задаются коэффициенты уравнений. Внизу, слева от осциллографа, расположена измерительная панель. При ее помощи можно производить измерения координат любой точки кривой — осциллограммы, получаемой на экране катодного осциллографа в качестве решения.

Скорость решения дифференциальных уравнений на ЭЛИ-12 очень большая. Как только все постоянные коэффициенты уравнений при помощи движущихся колец коммутаторов установлены, интегратор производит решение примерно в 0,1 секунды. Решение в виде графика появляется на экране катодного осциллографа и может быть сфотографировано. Таким образом, на ЭЛИ-12 можно производить как качественный, так и количественный анализ решения дифференциальных уравнений.

Время, необходимое для решения на ЭЛИ-12 дифференциальных уравнений с большим числом неизвестных, раз в 200 меньше, чем время, необходимое для решения тех же уравнений одним человеком вручную. Если на ЭЛИ-12 происходит решение однотипных задач, что бывает, например, когда нужно исследовать влияние изменения всех коэффициентов на протекание исследуемого процесса или устойчивость системы, то экономия времени может быть достигнута в 1000 и больше раз. Это значит, что если человеку на работу по решению задач вручную потребуется около нескольких лет, то при помощи электронно-лампового интегратора ЭЛИ-12 можно выполнить ту же работу в несколько дней.

ЭЛИ-12 является счетно-решающим устройством непрерывного действия. В основу этого интегратора положен имеющий место в природе принцип глубокой аналогии. Принцип электрической аналогии, используемый в интеграторе ЭЛИ-12, состоит в том, что при наборе на нем коэффициентов системы уравнений создается такая электрическая цепь, распределение напряжений и токов в которой в каждый момент времени в определенных точках удовлетворяет заданной системе уравнений. Таким образом, в машинах (интеграторах) непрерывного действия обычные арифметические операции над числами, которые имеют место при численном интегрировании, не производятся. При решении дифференциальных уравнений получаются ответы в виде функций. Интегратор производит операции с непрерывно меняющимися величинами (напряжением, током и т. д.). Результирующее изменение этих величин происходит по законам,

* Этот раздел написан инженером Г. К. Кузьминок (Москва).

Рис. 14. Электронно-ламповый интегратор ЭЛИ-14.

соответствующим искомым функциям. Поэтому на экране осциллографа получаются решения заданных уравнений в виде графиков.

Существуют и другие типы машин непрерывного действия, которые решают широкий класс дифференциальных уравнений как в обыкновенных, так и в частных производных. Машины непрерывного действия обычно предназначаются для решения определенного класса задач.

Машины дискретного счета являются универсальными и могут быть настроены на решение весьма различных классов уравнений. Это вытекает из того, что решение задач в области высшей математики можно свести к определенному числу арифметических действий. Эти машины производят операции с числами. Для решения различных классов задач на машинах дискретного счета составляют подробную программу последовательных арифметических операций, которые она должна выполнить. Эта программа кодируется определенным образом и при помощи магнитной ленты вводится в машину. Настроенная таким образом на определенную работу машина производит с поступающими в нее числами заданные в программе операции. Применение электроники в этих машинах резко увеличивает скорость их работы. Они могут производить до 20 000 сложений в секунду. Машины дискретного счета и машины непрерывного действия не исключают, а дополняют друг друга. Развитие каждой из этих классов машин имеет весьма важное значение для современного прогресса.

* * *

В Политехническом музее в Москве организована выставка механизации учета и вычислительных работ. В просторных залах размещены многочисленные экспонаты различных типов счетных машин. Эта выставка представляет большой интерес и дает возможность проследить развитие счетных приборов и вычислительных машин от простейших инструментов счета до современных электронных машин. Она наглядно показывает разнообразные конструкции счетных машин и иллюстрирует современные методы вычислительной техники. Опытные экскурсоводы рассказывают о счетных машинах и различных приборах счета, имеющих широкое применение в нашей стране. Весь богатый материал выставки используется для большой и важной работы. Здесь проводятся экскурсии со студентами различных вузов, со школьниками. Сотрудниками выставки подготовлены специальные экскурсии для учащихся V—VI классов. Приводим тематику школьных экскурсий:

1. История способов счета: счет на пальцах, на веревочных узлах, по зарубкам на дереве, предметами и т. д.

2. Происхождение систем счисления.

3. Простейшие счетные приборы и приспособления: счетные доски-абаки, бруски Непера, счеты (русские и китайские), самосчеты Буняковского, счислитель Куммера.

4. Основные принципы конструкций счетных машин.

5. Приоритет нашей родины в построении счетных машин: счислитель Куммера, арифмометр Однера, машины Чебышева, интегратор Крылова и др.

6. Современные счетные машины: вычислительные, суммирующие и счетно-текстовые машины.

Для учащихся IX—X классов содержание этой экскурсии дополняется ознакомлением со счетно-аналитическими машинами и с электронно-ламповым интегратором ЭЛИ-12.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

БОРЬБА Т. Ф. ОСИПОВСКОГО ПРОТИВ МИСТИКИ В МАТЕМАТИКЕ

Р. А. СИМОНОВ (Москва)

Тимофей Федорович Осиповский (1765—1832) принадлежит к числу выдающихся русских мыслителей-материалистов. Будучи преемником прогрессивных идей М. В. Ломоносова, А. Н. Радищева и французских материалистов XVIII столетия, Т. Ф. Осиповский подверг сокрушительной критике философский идеализм, начиная с учения Платона и кончая школами Канта, И. Фихте, Ф. Шеллинга. Он оказал непосредственное влияние на формирование материалистического мировоззрения Н. И. Лобачевского и М. В. Остроградского*. Ему принадлежал лучший в то время трехтомный курс математики, который являлся основой математического образования М. В. Остроградского. Последний давал высокую оценку исследованиям Т. Ф. Осиповского, «которого математические сочинения обратили в свое время на себя внимание французской Академии и были бы напечатаны в ее периодическом сборнике, если бы не явились уже в печати на русском языке, а известно, в означенный сборник не допускаются сочинения, уже однажды изданные на каком-либо языке»**.

Трудовая деятельность Т. Ф. Осиповского началась с работы в качестве учителя. Четырнадцать лет Т. Ф. Осиповский был учителем московского главного народного училища. Затем в 1800 г. он занял должность профессора математики в Петербургском педагогическом институте, образованном из учительской гимназии, которую Т. Ф. Осиповский сам окончил раньше. В 1803 г. ученый переехал в Харьков, где сперва стал профессором, а затем и ректором вновь открытого университета.

Т. Ф. Осиповский, как ярый противник «просветительной» политики царизма, был грубо отстранен от всякой деятельности в университете в 1820 г. и последние годы жизни, обремененный большой семьей, провел в Москве, испытывая большие материальные затруднения*.

* И. Н. Кравец, Т. Ф. Осиповский — выдающийся русский философ-материалист и естествоиспытатель, «Вопросы философии», 1951, № 5, стр. 120.

** «Санктпетербургские ведомости» от 22/II 1858 г., № 40, стр. 221.

* Э. Я. Бахмутская, Тимофей Федорович Осиповский и его «Курс математики», «Историко-математические исследования», выпуск V, 1952.

В России в то время развивался капиталистический уклад, и феодально-крепостнический строй стал оковами дальнейшего развития производительных сил. Народный характер войны 1812 года пробудил самосознание трудящихся масс. Александр I, боясь разрастающегося возмущения народа, перешел от политики либерального заигрывания к жесточайшей реакции. Проводниками этой политики были граф А. Аракчеев и мракобес князь А. Н. Голицын—министр духовных дел и народного просвещения. В науке царизм особенно усиленно пытался насаждать мистицизм. Мистика и религия нужны были крепостникам как средства отвлечения трудящихся от революционной борьбы, оправдания эксплуатации народных масс. «В царской России церковь верно служила самодержавию, помещикам и капиталистам, оправдывала жестокую эксплуатацию народных масс, поддерживала эксплуататоров в борьбе против трудящихся»*.

Мистика — форма религиозно-идеалистического мировоззрения. Ее основой служит нелепое положение о том, что возможно постичь «тайны» бытия путем духовного общения человека с божеством. С возникновением религии мистика стремилась проникнуть в науку, в частности в математику.

В 1815 г. была переведена на русский язык книга немецкого мистика и алхимика Карла Эккартсгаузена под загадочным названием «Наука числ, служащая продолжением ключа к таинствам натуры», в которой каббалистика, пифагорейская мистика чисел и астрология обновлялись с помощью философии И. Канта.

Цель К. Эккартсгаузена — доказать «научно» с помощью математики существование бога. Свои мистические вымыслы К. Эккартсгаузен высокопарно именовал «наукой числ натуры». Элементами ее служили первые десять чисел натурального ряда. Мистик пытается уверить, что к его «науке» применим математический аппарат вплоть до дифференциального исчисления. Каждые из десяти элементов — чисел обладают «таинствами», которые К. Эккартсгаузену якобы открылись благодаря божественному провидению. Например, таинством числа три является то, что оно выражает премудрость, так сказать, в рафинированном виде. Определяется это таинство тем, что все третье (отсюда — число три) якобы возникает благодаря «действию и противодействию». С помощью подобной нелепой аргументации доказывается, что отрицательные числа — порождение дьявола, что единица — это бог, что все существующее произошло из единицы и тому подобное. Замечательно, что в конце концов даже сам К. Эккартсгаузен вынужден признать свою теорию по крайней мере путаной. В одном месте своей книги, посвящая читателя в «тайны» чисел, он разочарованно заключает: «...из сего произойдет такая путаница, что и не разберешь ничего»*.

«Труды» К. Эккартсгаузена — пример маразма, грубого невежества и цинизма, но несмотря на 150-летнюю давность, они вполне типичны для современной растленной буржуазной философии.

Реакционная философия современного буржуазного общества откровенно стала на путь внедрения мистики в науку. Возникает даже так называемое «статистико-математическое» социологическое направление, которое объявило число «мистическим» творцом вселенной и ее истории. Это направление проповедует, что числа якобы представляют мир во всем его качественном многообразии.

Основоположники марксизма, создавшие последовательно-материалистическое мировоззрение, до конца враждебное идеализму, дали сокрушительную критику мистицизма в науке. Хорошо известно, как высмеивал Ф. Энгельс незадачливого лейпцигского астронома Цельнера, который «открыл» с помощью математики четвертое измерение и существование духов.

Начиная с основоположника материалистической философии и естествознания в России М. В. Ломоносова, передовая русская наука всегда была враждебна мистике. Ярким примером самоотверженной борьбы против философского идеализма и мистики в науке может служить научная и общественная деятельность Т. Ф. Осиповского.

Философский идеализм тесно связан с религией и всегда приводит к идее бога. В. И. Ленин указывал, что «идеализм философский есть («вернее» и «кроме того») дорога к поповщине»**. Для агностицизма, одной из разновидностей идеализма, особенно характерна проповедь мистицизма. Агностицизм был теоретически разработан в XVIII столетии в философии И. Канта и Д. Юма. Кантианство до сих пор служит оружием идеологов империализма в целях подрыва веры в возможность познания объективных законов природы и общества. И. Кант пытался найти опору для своей философии в математике: он рассматривал истины геометрии не как результат опыта человечества, а как врожденные формы человеческого сознания. Резкую критику идеалистической философии И. Канта дал Т. Ф. Осиповский в своих работах «О простран-

* Постановление ЦК КПСС «Об ошибках в проведении научно-атеистической пропаганды среди населения», «Правда» от 11 ноября 1954 г., № 315.

* К. Эккартсгаузен, Наука числ, ч. 1, 1815, стр. 90.

** В. И. Ленин, Философские тетради, 1947, стр. 330.

стве и времении» (1807) и «О динамической системе Канта» (1813).

Т. Ф. Осиповский смело выступил против кантовского представления о доопытном, априорном происхождении геометрических истин. Он утверждал, что истинность геометрии объективна и обусловлена подтверждаемой на опыте верностью отражения геометрией реальной действительности. Истины геометрии «согласны с тем, указывает Т. Ф. Осиповский, что действительно в вещах усматривается»*.

Философия И. Канта была с огромным удовлетворением встречена мистиками. В ней они видели прекрасное основание для «теоретических обоснований» своих вымыслов. Приветствуя кантовское положение о непознаваемости действительности для нашего сознания, они утверждали, что только бог своим провидением может открыть человеку путь к познанию.

Т. Ф. Осиповский бесстрашно выступал против мистиков, раскрывал их чуждые здравому рассудку замыслы, несущие гибель науке. Развенчав философскую систему И. Канта в ее попытке дать объяснение всему существующему, он непримиримо боролся с мистицизмом, подхватившим кантовские вымыслы. Т. Ф. Осиповский зло смеялся над горе-мистиком К. Эккартсгаузеном и его апологетами. В одном заявлении ученому совету Харьковского университета он писал: «Профессор Дудрович при студенческих экзаменах, — по случаю отзыва моего об эккартсгаузенских таинствах чисел, что „я не знаю никаких таинств в числах“, — сказал мне: еще математиком себя считаешь, а и чисел не знаешь!»**. Т. Ф. Осиповский, иронически насмехаясь над представителем официальной философии, отстаивает свое убеждение в том, что наука математика не имеет ничего общего с мистикой.

В основе всех религий лежат представления о сверхъестественных силах, управляющих миром. Поэтому борьба против философского идеализма, мистики в науке есть одновременно борьба против религии. Правильное понимание объективных законов природы и общества, составляя одну из основ материалистического мировоззрения, несет гибель религиозным предрассудкам.

С древности человек понимал огромное значение Солнца для жизни Земли. Это нашло отражение в культах Солнца, остатки которых сохранились в современных религиозных верованиях. Разгадать истинную природу Солнца, солнечного света — значит нанести сокрушительный удар по религии. В статье «О излияниях Солнца», опубликованной в «Украинском вестнике» за 1819 г., Т. Ф. Осиповский рассматривает вопрос о природе света. Он приходит к заключению, что сущность солнечного света материальна, а не духовна*.

В этой работе Т. Ф. Осиповский провозглашал возможность материалистического объяснения всех явлений природы, яростно обрушивался на попытки рассматривать природу света с точки зрения «полудуховного состояния». Являясь сторонником корпускулярной теории строения света, он утверждал: «Я уверен, что свет есть материя, бросаемая во все стороны Солнцем».

С давнего времени поддерживают религиозные представления некоторые природные явления, которые до сих пор еще иногда называют «необыкновенными» небесными явлениями. Это гало солнечные и лунные: светящиеся круги, кресты, столбы и тому подобное. Т. Ф. Осиповский заинтересовался этими явлениями и разгадал их сущность. В замечательной работе «Исследование светлых явлений, видимых иногда на небе» (1827), он показал, что все эти явления, выдаваемые за «божественные знамения», подчиняются не сверхъестественным силам, а физическим законам преломления света.

Однако выяснение сущности объективных законов природы не является единственной формой выступления Т. Ф. Осиповского против религии. Он принадлежал к числу представителей науки, которые открыто заявляли о своем атеизме и смело боролись против религии. Ни в одном из своих печатных исследований Т. Ф. Осиповский не упомянул о боге. Он откровенно заявлял о своем отрицательном отношении к идее бога и не уставал повторять об этом студентам. Это вызывало к нему ненависть среди реакционной части чиновников Харьковского университета.

Знаменательным в этом отношении является одно письмо, показывающее, как относились к Т. Ф. Осиповскому реакционеры-церковники и как влиял атеизм ученого на сознание студентов-математиков. Письмо-донос писал профессор философии Дудрович, которого Т. Ф. Осиповский презирал как мистика и неустанно критиковал за неудачное подражание Шеллингу. Адресат — попечитель харьковского учебного округа 3. Я. Карнеев, которого Т. Ф. Осиповский публично называл «невеждою, не читавшим ничего другого, кроме библии».

«Ваше превосходительство, извольте знать образ мыслей г. ректора совершенно противным началам веры и святого писания, — писал Дуд-

* Т. Ф. Осиповский, О пространстве и времени, «Историко-математические исследования», вып. V, 1952, стр. 16.

** «Журнал Министерства народного просвещения», 1890, октябрь, стр. 383.

* «Историко — математические исследования», вып. V, 1952, стр. 40—41.

рович, — образ мыслей, говорю, по которому он, как известно Вашему превосходительству, при публичном испытании студентов из философии, бывшем в июне месяце сего 1820 года, в присутствии профессора протоиерея Афанасия Могилевского, адъюнктов Куницкого и Робуша и многих посторонних посетителей, из злобы против внушаемого мною юношеству благочестия, не устыдился громко утверждать: что Бог не живет... » И далее: «... ни один почти из обучающихся в Харьковском университете по части математики студентов, коих он глава, почитающий явно все за вздор и сумасшествие, что не подлежит математическим его выкладам, не ходит ни на богопознание и христианское учение, ни на лекции мои по части философии»*.

Антирелигиозная, материалистическая направленность лекций Т. Ф. Осиповского воспитывала студентов в духе атеистического подхода к действительности. Ученик Т. Ф. Осиповского академик М. В. Остроградский писал: «Я был полным материалистом и атеистом, признавал только то, что можно осязать, вымерять, свесить»**.

Атеизм всегда был присущ русской прогрессивной науке.

Так, академик М. В. Остроградский утверждал, что наука противоположна религии, и пытался обосновать абсурдность идеи о существовании бога. Он заявлял: «Следует верить лишь в доказанные вещи. Но мы не можем доказать существование высшего существа, таким образом, мы не должны верить в бога»*.

Великий русский математик Н. И. Лобачевский, еще будучи студентом Казанского университета, «в значительной степени явил признаки безбожия»**.

Н. И. Лобачевский ревностно охранял любимую науку от поползновений фидеизма. Как свидетельствует современник, однажды ученый указал одному архимандриту, который в своих проповедях пытался опереться на математику, что он «выходит из богословских рамок»***.

Другой выдающийся русский математик, академик А. А. Марков потребовал даже, чтобы его отлучили от церкви, так как считал церковные сказания выдумкой, а религию враждебной идеям гуманизма. Сохранилось письмо А. А. Маркова в синод, в котором изложены причины, побудившие его сделать этот шаг. Он писал: «Честь имею покорнейше просить Святейший Синод об отлучении меня от церкви. Надеюсь, что достаточным основанием для отлучения может служить ссылка на мою книгу «Исчисление вероятностей», где явно выражено мое отрицательное отношение к сказаниям, лежащим в основании еврейской и христианской религии».

* «Русская старина», 1876, ноябрь, стр. 484.

** «Успехи математических наук», 1952, вып. 48, стр. 134.

* «Историко-математические исследования», 1953, VI, стр. 496.

** Л. Б. Модзалевский, Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, 1948, документ № 20.

*** Там же, стр. 657.

МЕТОДИКА

ДОМАШНЯЯ РАБОТА ПО АРИФМЕТИКЕ В V КЛАССЕ

Е. Л. ОДЛЯНИЦКАЯ и П. П. ЧЕРНЯЕВА (Ленинград)

Изучение систематического курса арифметики в V классе имеет фундаментальное значение для всего математического образования школьников.

Здесь учащиеся должны усвоить ряд теоретических вопросов в связи с прохождением целых и дробных чисел; овладеть навыками в выполнении действий и научиться решать задачи.

Основным звеном учебной работы является работа в классе, но не может быть прочного усвоения и закрепления полученных знаний без домашней работы.

В целях учета времени, которое ученики тратят на приготовление домашних заданий, нами однажды был проведен такой опыт: в тот день, когда в V классе было два часа по арифметике, ученикам было предложено намеченное к следующему дню домашнее задание выполнить на втором уроке в классе. Тщательно учитывалось время, которое отдельные учащиеся затратили на приготовление этого задания.

Было дано следующее задание:

1. Сумма двух чисел равна наименьшему общему кратному чисел 224 и 288, а разность этих чисел равна наибольшему общему делителю чисел 1300 и 1800.

Найти эти числа.

2. Не выполняя сложения, указать, почему сумма чисел 528 и 176 делится на 2 и 4.

3. Написать четырехзначное число, не оканчивающееся нулем, которое делится на 3, но не делится на 9.

Результаты были таковы: 1 ученица выполнила работу за 25 мин., 7 учениц — за 30 мин., 32 — за 35—40 мин.

Учитывая, что средний ученик затратил на выполнение этой работы минут 35, можно считать ее объем нормальным, так как не следует давать работу более чем на 30—35 мин., принимая во внимание указания Министерства просвещения РСФСР.

Перегрузка домашними заданиями не только вредно отзывается на здоровье ученика, но приучает его поспешно, небрежно и безответственно выполнять порученную работу. Часто учащимся необходимо дать пояснения к задаваемым упражнениям, и чем сложнее материал, тем глубже должны быть пояснения. Нужно добиться того, чтобы каждый ученик твердо знал, что и как он должен сделать дома.

Домашние задания можно разделить на четыре группы:

1) тренировочные упражнения;

2) задания повторительного характера;

3) работы практического характера;

4) задания, требующие от ученика некоторого творчества.

Деление домашних работ на указанные четыре группы весьма условно. Например, в тренировочных работах могут быть элементы повторения, в повторительных заданиях — элементы творчества и т. д. Поэтому приводимые нами конкретные примеры для иллюстрации каждого вида домашней работы могут быть иногда при некотором изменении перенесены из одного вида задания в другой.

1. Первая группа заданий состоит из работ тренировочного характера для закрепления пройденного материала. С этой целью следует давать решение систематически подобранных примеров

и задач. Здесь учителю предоставляются широкие возможности разнообразить материал, возбудить интерес учащихся и научить их самостоятельно работать. С этой целью, кроме обычного решения примеров и задач, можно давать следующие работы:

a) Решение задачи несколькими способами; рассмотрим, например, задачу № 858 (из сборника Е. С. Березанской).

От рельса длиной в 6 3/4 м отрезали часть, равную 4/9 ее длины. Определить вес отрезанной и оставшейся частей, если погонный метр рельса весит 30 1/4 кг.

I способ: Определить общий вес рельса и найти вес каждой части (3 действия).

II способ: Определить длину каждой части и затем вес каждой части (4 действия).

b) Изменение условия задачи. Пусть, например, в классе решена задача № 293 (из сборника С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева):

Мастерская сшила 8 одинаковых пальто и несколько одинаковых костюмов, истратив 61 м материи. На каждое пальто расходовалось 3 м 25 см материи, а на каждый костюм — на 25 см больше, чем на пальто. Сколько костюмов сшила мастерская?

После решения этой задачи предлагается составить новую задачу, в которой изменяется условие данной задачи: найденное число костюмов надо считать известным; требуется найти, сколько пальто сшила мастерская; все остальные числа надо оставить без изменения.

На дом задается составить новую задачу, сходную с двумя первыми, используя количество материи, расходуемой на пошивку одного пальто и костюма. Все остальные числа изменить.

c) Выбор лучшего способа решения задачи и примера.

Положим, что в классе решается задача № 1129 (из сборника Е. С. Березанской).

Автомобиль в первый час прошел 2/7 расстояния между городами, во второй 7/13 оставшегося расстояния и в третий — остальные 90 км. Найти расстояние между городами.

Можно предложить учащимся решить эту задачу самостоятельно. При последующей проверке обнаружится, что некоторые ученики решили эту задачу, не проявив находчивости и удлинив ее решение. В том месте решения задачи, где надо определить оставшееся расстояние в частях единицы, учащиеся, не воспользовавшись уже имеющимся остатком пути после первого часа движения автомобиля, узнают сумму частей единицы и только тогда определяют оставшееся расстояние в частях единицы. Подобный недостаток решения оказывается частым явлением, и на него надо обращать должное внимание.

После этого на дом можно задать такую задачу:

Задача. Сумма денег, 1/7 которой равнялась 540 руб., была израсходована детским домом на покупку книг, обуви и одежды.

За книги уплатили 1/15 всей суммы, а за обувь — на 125 руб. больше, чем за одежду. Сколько уплатили за обувь?

Задача должна быть решена без нахождения стоимости одежды, между тем ученики иногда включают в решение задачи этот лишний вопрос.

d) Решение задач с письменным объяснением.

В классе с учителем решили задачу № 2201 (из сборника Е. С. Березанской) с письменным объяснением. На дом была задана задача № 2222 (из сборника Березанской); требовалось решить ее с письменным объяснением.

Вот домашняя работа ученицы С.

«В курином яйце вес белка равен 5/9 веса всего яйца, вес желтка равен 2/5 веса белка, остальной вес яйца приходится на скорлупу. Сколько яиц весом по 63 г каждое было в ящике, если вес скорлупы этих яиц равен 10 2/25 кг?

Решение с объяснением

1) Вес белка в курином яйце равен 5/9 веса всего яйца. Вес желтка равен 3/5 веса белка*.

Узнаем, какую часть веса всего яйца составляет вес желтка, для этого умножаем

2) Вес белка равен 5/9 веса всего яйца, вес желтка равен 1/3 веса всего яйца. Узнаем, какую часть веса всего яйца составляет вес желтка и белка вместе. Для этого складываем:

3) Все яйцо весит 63 г, чтобы узнать, сколько весит желток и белок, вес которых вместе состав-

* Это повторение, уже сказанного в условии, излишне. — Ред.

ляет 8/9 веса всего яйца, надо умножить:

(часть числа находится умножением на дробь).

4) Все яйцо весит 63 г, яйцо без скорлупы весит 56 г, узнаем вес скорлупы:

63 — 56 = 7 (г).

Б) Вес скорлупы всех яиц, которые были в ящике, равен 10 2/25 кг, вес скорлупы одного яйца равен 7 г, значит, яиц в ящике столько, сколько раз содержится по 7 г в 10 2/25 кг.

Проверка.

Ответ. В ящике было 1440 яиц»*.

Решение задач с составлением схемы анализа. Приведем пример такого задания.

После предварительной работы в классе было предложено решить дома задачу № 1133 (из сборника Е. С. Березанской).

Пароход прошел расстояние между двумя пристанями за 3 7/10 часа, идя со средней скоростью 22 1/2 км в нас. За сколько времени пароход сделает обратный путь против течения, если он будет двигаться в час на 4 км медленнее, чем по течению?

После составления аналитической схемы решения ученик записывает синтетический план.

2. Вторая группа домашних работ может быть связана с повторением пройденного в целях закрепления или в целях подготовки к восприятию нового материала. Так, при изучении действий с десятичными дробями полезно предварительно дать на дом повторение тех же действий с обыкновенными дробями; перед прохождением умножения десятичных дробей можно дать повторение умножения обыкновенных дробей; перед решением обратных задач на вычисление объемов можно дать прямые задачи на вычисление объемов (например, № 836—838, на вычисление объемов — № 840; 841; 842; 1025 из сборника Березанской).

Домашние задания могут служить подготовкой к классной работе. В целях подготовки к решению в классе сложной задачи на дом можно дать в виде отдельных задач элементы такой задачи. Эти элементарные задачи, изученные ранее, помогут учащимся лучше осознать решение сложной задачи.

Возьмем задачу № 994 (из сборника Е. С. Березанской):

4/9 всей земли занято лугом, 3/7 остатка — пашней и остальное — лесом. Найти площадь всей земли и площадь леса, если известно, что площадь луга больше площади пахотной земли на 260 га.

Для подготовки учащихся к решению этой задачи полезно дать на дом задачи, подобные следующим:

№ 1. Поезд прошел 72 км. 2/3 этого пути он шел по ровному месту, 1/4 оставшегося пути — в гору и остальной путь — под уклон. Сколько километров поезд прошел под уклон?

№ 2. Какой путь прошел поезд, если по ровному месту он прошел 2/3 пути, в гору 1/4 оставшегося пути и под уклон 18 км?

* Заметим, что находить вес скорлупы одного яйца не обязательно. — Ред.

№ 3. Поезд прошел по ровному месту всего 2/3 пути, в гору 1/4 оставшегося пути. Какой путь прошел поезд, если по ровному месту он прошел на 12 км больше, чем в гору?

Наконец, домашние задания повторительного характера могут применяться с целью обзора перед заключительным уроком по теме, когда ученик по указанию учителя дорабатывает слабо усвоенный материал.

Например, перед заключительным уроком на делимость чисел ученику предлагается повторить по книге признаки делимости, проверить себя, умеет ли он вывести более трудные признаки делимости на 3 и 9; хорошо ли он усвоил разложение степени числа 10 и т. п.

Для повторения геометрического материала можно предложить вспомнить и выписать те формулы, которыми учащиеся пользовались при вычислении площадей и объемов; уметь объяснить эти формулы.

Накануне урока, на котором рассматривается геометрический материал, например площадь треугольника или вычисление площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда (в частности куба), учащиеся получают ранее заготовленный раздаточный материал в виде квадратов и прямоугольников различных размеров. Они должны дома обмерить полученную фигуру, вычислить ее площадь и периметр и записать на одной из сторон полученные результаты, а на другой стороне — свою фамилию и класс. На следующем уроке этот материал надо собрать, проверить, оценить и лучшие работы продемонстрировать в классе. Заметим, что это повторительное задание вместе с тем относится и к третьей группе.

3. Третья группа домашних заданий содержит работы практического характера.

Обычно теоретический материал после объяснения учителем в классе закрепляется дома по учебнику. Но наряду с этим часть программного материала может быть выделена для самостоятельной работы дома. Например, после изучения теоремы о делимости суммы можно дать на дом самостоятельно разобрать делимость разности, после вывода признаков делимости на 6, 12, 18 можно дать для самостоятельной работы вывод признаков делимости на 15, 24, 36 и т. д. Научить учащихся самостоятельно работать по учебнику очень важно, так как работа с книгой занимает большое место в жизни человека.

Поэтому умение работать по учебнику можно считать очень ценным практическим навыком.

Кроме работы с учебником, можно давать такие работы практического характера:

а) Измерить длину, ширину, высоту комнаты и вычислить объем комнаты, площадь пола.

b) Найти отношение световой площади окон к площади пола в своей комнате.

c) Измерить длину окружности нескольких предметов (тарелки, блюдца, чашки и т. п.) и найти в каждом случае отношение длины окружности к длине ее диаметра. Определить расстояние на глаз (длина дома, ширина улицы, площадь садика и др.), затем измерить его шагами, а величину шага измерить метром и полученное число шагов выразить в метрах.

В домашних заданиях может устанавливаться связь с другими предметами. Например, задачи из задачника Березанской № 1745—1756 — изучение масштаба — связаны с курсом географии — изображение масштаба на географической карте. Задания на дом могут носить такой характер:

Задача № 1752 (сборник Е. С. Березанской): Огород имеет длину 340 м, ширину 220 м. Какие размеры (длину, ширину и площадь) будет иметь изображение этого огорода на плане, вычерченном в масштабе 1/500?

Задав эту задачу, учитель предлагает учащимся вычертить план этого огорода на листе бумаги, изменив масштаб

Решение:

1) Определить длину огорода на плане:

Определить ширину огорода на плане:

3) Вычислить площадь огорода на плане:

План огорода.

Можно предлагать задания на составление таблиц разного содержания, например: 1) Степени чисел:

Степени числа 2:

2) Простые числа первой сотни, их распределение по десяткам и т. д.

3) Произведения простых чисел в пределе 100 (задача № 917 из сборника С. В. Филичева и Я. Ф. Чекмарева):

4) Выписать числа кратные 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47 в пределе 100 (задача № 426 из сборника С. В. Филичева и Я. Ф. Чекмарева).

5) Выполнение чертежа к задачам на движение (сборник Е. С. Березанской, № 1137, 1598 и др.); к задачам на нахождение чисел по их сумме и разности и т. д.

Приведем пример чертежа к следующей задаче:

В сберкассу в течение четырех месяцев положено 145 200 руб. Во второй месяц внесено в 3 раза больше, чем в первый, в третий — в 2 раза больше, чем в первый и второй месяцы вместе, а в четвертый — на 5200 руб. больше, чем в первый. Определить размер вкладов, которые вносились каждый месяц в отдельности.

Можно предложить учащимся составить таблицу распределения времени в течение одних суток:

Количество часов

В процентах к 24 час

Сон................

Занятия в школе..........

Прогулка на воздухе в свободное время ..............

Завтрак, обед и ужин.......

Приготовление уроков

Выполнение работ по хозяйству

Черчение столбчатых, а позднее секторных диаграмм, иллюстрирующих успеваемость класса по четвертям, посещаемость уроков по неделям, ряд достижений, связанных с выполнением пятилетнего плана.

Например, после того, как на уроке учащиеся научились составлять круговую диаграмму и пользоваться процентным транспортиром, на дом можно дать решить задачу, составленную по материалам XIX съезда КПСС:

Расход на просвещение в СССР в 1940 г. составил 22,5 миллиарда рублей, а в 1951 г. 53,3 миллиарда руб. Во сколько раз увеличился расход на просвещение в СССР в 1951 г. по сравнению с 1940 г.?

Решить задачу и составить диаграмму:

Задача: Показать диаграммой успеваемость класса, если в классе из 42 учащихся 5 человек учатся на «5», 18 человек— на «4», 17 человек — на «3» и 2 человека — на «2».

Еще задача: До революции, в 1914 г., в России во всех общеобразовательных школах было 8,1 миллиона учащихся. В 1940 г. число обучающихся в СССР доходило до 40 миллионов человек, а в 1952 г. число обучающихся в СССР составляло 57 миллионов человек.

Определить рост числа учащихся в процентах по сравнению с 1914 г.

Решить задачу и составить столбчатую диаграмму.

4. Особо важное значение имеет четвертая группа домашних заданий (задания творческого характера). В этих работах наиболее полно выявляется умение ученика воспользоваться приобретенными знаниями на практике, что дает возможность учителю видеть, как ученик овладел тем или другим разделом пройденного.

К заданиям этой группы можно отнести, например, следующие работы:

1) От железного листа прямоугольной формы длиной в 14 дм и шириной 8 дм вырезали по углам равные квадраты со сторонами по 2 дм и из оставшейся части сделали открытую коробку.

Каков объем коробки?*

Задача решается в классе, для чего учащимся раздается заранее заготовленный материал — прямоугольники из твердой бумаги одинаковых размеров.

Учащиеся вычерчивают, вырезают и склеивают коробочку по заданным размерам. И затем вычисляют объем этой коробочки.

На дом дается задание, в котором предлагается: из прямоугольника тех же размеров сделать коробку, изменив размеры квадратов, вырезанных по углам.

2) Составление примеров на заданную тему, например: на прибавление и вычитание суммы

* Задача № 216 (из сборника Е. С. Березанской).

или разности, на умножение и деление произведения на число и числа на произведение, на использование законов действий, на различные рациональные приемы вычислений и др.

3) Составление задач на данную тему, например:

a) Составить задачу на нахождение части числа или нахождение числа по данной величине его части (№ 794 и 902 из сборника Е. С. Березанской).

b) Составить две задачи так, чтобы в одной требовалось данное число умножить на дробь, а в другой данное число разделить на это же число (№ 903а из сборника Е. С. Березанской).

c) Составить задачу, обратную задаче № 1351 из сборника Е. С. Березанской.

d) Составить числовую формулу к задачам № 1348 и 1349 (из сборника Е. С. Березанской).

e) Составить задачу к числовой формуле, например:

1:(1:6 + 1:4); 26,5—63,5:2,2.

f) Составить задачу на проценты любого данного типа по данным пятилетнего плана (некоторое количество числовых данных дается учителем).

Вот примеры такого рода заданий.

В настоящее время в стране работает около 5,5 миллионов специалистов с высшим и средним специальным образованием, т. е. в 2,2 раза больше, чем до войны.

Поставить вопрос и решить задачу.

Трудящиеся города и деревни в 1940 г. получили за счет государства различных выплат и льгот на сумму 40,8 миллиарда руб., а в 1951 г. — 125 миллиардов руб.

Поставить вопрос и решить задачу.

До революции (1913 г.) было 106 тысяч общеобразовательных школ, а в 1950 г. число таких школ увеличилось на 82%.

Поставит вопрос и решить задачу.

g) Составить задачу на процентные отношения, взяв материал из газет последней недели.

Последнее задание можно распределить по группам: одни подбирают материал, относящийся к промышленности, другие—к сельскому хозяйству, третьи—к транспорту и т. д.

h) Составить комбинированную задачу с чертежом, в которой пришлось бы вычислить площадь прямоугольника и треугольника или объем прямоугольного параллелепипеда и цилиндра.

После проведения практических работ на местности в качестве домашнего задания можно предложить написать отчет о проделанной работе на местности. Отчет пишет каждый ученик на отдельном листке.

Примерный отчет.

Практическая работа № 1.

Тема: Провешивание прямой.

Ученицы VA класса 218-й школы Петровой Марии

5/Х 1953 г.

Тема: Провешивание прямой.

Оборудование:

1) 3—6 вех;

2) 3—6 колышков;

3) эккер;

4) рулетка, веревка—10 м.

Краткое описание хода работы:

Данные измерения:

Прямая линия — 35,5 м (черт. 1).

Заключение

Конечно, здесь приведены далеко не все виды домашних работ, разнообразие которых во многом зависит от учителя.

В практике нашей работы очень часто все внимание учителя уделяется более слабым учащимся и очень редко учащимся, стоящим выше среднего уровня. Между тем весьма полезно, хотя бы время от времени давать и более сложные задания, не обязательные для всех, а только для желающих, ибо такие задания поднимают интерес и увлекают учащихся, причем часто за сильными учащимися подтягиваются и учащиеся со средними способностями.

Выполнение домашних заданий имеет громадное значение для усвоения программного материала, поэтому контроль за выполнением домашних заданий должен быть поставлен очень четко, чтобы учащиеся знали, что их работа будет подвергнута проверке.

Обычно проверка производится так: учитель вызывает ученика к столу, и тот подробно рассказывает по задачнику, как он выполнил работу, а учитель проверяет в это время его тетрадь. В случаях трудных вычислений ответы могут давать другие ученики.

Если в домашней задаче было дано нахождение части числа или нахождение числа по его части, то следует дать маленькую задачу с такими же вопросами.

Вызванные ученики обдумывают и записывают решение на доске, а остальные занимаются с учителем фронтальной проверкой домашнего задания или устным счетом на протяжении 7—10 мин. По мере готовности вызванные ученики начинают отвечать, класс слушает, учащиеся могут задавать отвечающим вопросы по данной теме. Однако мнения об этой форме опроса расходятся, так как некоторые считают, что при таком опросе рассеивается внимание учащихся, сидящих за партами, с другой стороны, учащиеся, вызванные к доске, оторваны от работы класса.

Положительной стороной такой проверки является возможность опросить большее количество учащихся и проверить самостоятельность выполнения домашнего задания.

Чтобы устранить рассеивание внимания класса, можно вызвать учащихся не к доске, а дать задание на месте. Так, если на дом были заданы примеры на вычитание разности, в которых целесообразно было сначала вычесть уменьшаемое, а потом прибавить вычитаемое, например:

то новый пример можно дать такой, чтобы сначала было целесообразно прибавить вычитаемое, а затем вычесть уменьшаемое, например:

При проверке домашних заданий, как и вообще на всех уроках, особое внимание следует обращать на правильность математической речи учащихся, нужно требовать и добиваться точных выражений.

В случае трудных заданий или когда возникает какое-либо сомнение в самостоятельности решения, проверку следует сделать с полной записью на доске.

Все домашние задания должны выполняться самостоятельно; работы творческого характера дают полную гарантию в этом отношении. Если у учителя возникнут сомнения в самостоятельности выполнения домашней работы, то следует изменить способ проверки. Так, например, можно предложить ученику написать на доске формулу решения домашней задачи и объяснить ее или дать аналогичное задание на карточке.

Иногда учащиеся выполняют домашнее задание с помощью кого-либо из взрослых или товарищей. Если эта помощь оказана разумно, т. е. дано объяснение и это объяснение осознано и усвоено учащимся, то такую помощь можно признать полезной. Но эта помощь допустима лишь как исключение и не должна часто повторяться, так как в противном случае ученик не научится работать самостоятельно.

Если учащийся заявляет, что он не смог справиться с заданием, то у такого ученика нужно потребовать черновик, чтобы убедиться в том, что он действительно работал, и указать ему допущенные ошибки.

Если домашние задания посильные и учащиеся приучены к самостоятельному их выполнению, то проверка в классе отнимет 8—10 мин. Вообще же вопрос о проверке домашних заданий и тетрадей до сих пор не получил полного разрешения. Учителю не представляется никакой возможности ежедневно проверять все домашние тетради. Однако проверку работ надо производить возможно чаще, чтобы ученики знали, что учитель в любой момент может потребовать тетради. С этой целью необходимо выборочно просматривать ежедневно тетради не менее 1/3 класса, причем иногда полезно в течение нескольких дней подряд брать тетради у одного и того же ученика, чтобы у него не появлялось чувство «успокоения». Время от времени надо без предупреждения брать тетради у всего класса. Это надо делать не реже одного-двух раз в месяц.

Каждый ученик должен иметь две тетради. Все работы должны быть выполнены четко и аккуратно. Каждую работу надо датировать.

После просмотра учитель должен дать заключение о том, как ведется тетрадь, отметить недостатки и достоинства и поставить оценку.

Для учащихся, пропустивших много уроков, следует давать индивидуальные задания, чтобы они наряду с классной работой могли нагнать пропущенное и усвоить весь материал.

Выполняя домашнее задание и подбирая материал для составления той или иной задачи или диаграммы из нашей советской действительности, пользуясь цифрами, взятыми из газет, справочников, учащиеся знакомятся с гигантским ростом нашего строительства, нашей промышленности, сельского хозяйства и проникаются чувством гордости за свою страну, чувством любви к ней. Такая работа может и должна способствовать идейно-политическому воспитанию учащихся.

Систематическое выполнение различных видов домашних заданий, и особенно творческого характера, поможет учащимся лучше осознать, усвоить и закрепить весь программный материал.

К ВОПРОСУ О ДОМАШНИХ ЗАДАНИЯХ И ИХ ПРОВЕРКЕ

К. С. БОГУШЕВСКИЙ (Москва)

По вопросу о домашних заданиях по математике и их проверке в редакцию журнала поступил ряд статей от учителей—М. С. Белякова (Ивановская обл., г. Комсомольск); П. С. Тупикина (Черкасская обл., Христиновский район); В. Е. Бушуева (пос. Мыски, Кемеровская обл.); М. Д. Приймаченко (Житомирская обл., Попельнянский район); Г. Н. Скобелева (Киевская обл., УССР, станция Фастов); В. И. Коваленко (Краснодарский край, Усть-Лабинская); А. С. Давидян (Армянская ССР, пос. Шаумян).

Естественно, что полученные статьи в известной мере повторяют друг друга. Это в особенности относится к общеизвестным положениям о видах заданий, о требованиях, предъявляемых к ним, о целях домашних заданий и т. п. Однако почти в каждой статье имеется и нечто новое, свежее. Чаще всего этим свежим материалом оказываются отдельные детали личного опыта учителей, групп учителей или даже школ.

Изложить этот свежий материал, извлеченный из полученных редакцией статей, обобщить его, высказать ряд критических замечаний и является задачей настоящей обзорной статьи.

I. Виды домашних заданий

Даже в этом вопросе, казалось бы достаточно общеизвестном, некоторые преподаватели находят неиспользованные возможности для оживления преподавания.

Так, М. С. Беляков, А. С. Давидян, М. Д. Приймаченко и другие среди видов домашних заданий указывают изготовление моделей, таблиц, диаграмм, графиков, выполнение тех или иных измерительных работ и т. п.

А. С. Давидян приводит пример, как домашнее задание подобного рода можно использовать для оживления классной работы.

Учащимся V класса предлагается изготовить дома кубики, причем размеры кубиков не указываются. Затем на уроке предлагаются вопросы по сравнению объемов кубиков, изготовленных отдельными учащимися. Мы бы предпочли начать не со сравнения объемов, а со сравнения поверхностей, т. е. количества картона, пошедшего на их изготовление: это и легче, и более жизненно, и более удобно для непосредственной проверки.

II. Требования, предъявляемые к домашним заданиям

Во всех статьях в качестве основных выставляются следующие два требования: 1) не перегружать задания в количественном отношении (П. С. Тупикин указывает, что задания должны быть рассчитаны на 25—30 минут, не более); 2) задания должны быть посильными по степени трудности.

В некоторых статьях эти требования подробно мотивируются, но нам представляется, что они настолько бесспорны, а обоснование их настолько общеизвестно, что останавливаться на этом не следует. Однако следует указать, что эти требования, как показывает практика школ, иногда нарушаются. Об этом говорит в своей статье М. Д. Приймаченко.

М. Д. Приймаченко приводит таблицу загрузки учащихся домашними заданиями.

По этой таблице выходит, что «для приготовления одного урока в среднем необходимо среднему ученику»:

в IX классе

в X классе

по алгебре .....

по геометрии . . . .

по тригонометрии . .

2 часа

1,5 часа

1 час

1,25 часа

1 час

1,5 часа

Из других предметов больше всего времени требуется для подготовки одного урока:

в IX классе

в X классе

по литературе русской .......

50 минут

1,5 часа

по литературе украинской ......

30 минут

1,5 часа

по истории.....

2 часа

2 часа

по черчению ....

2 часа

3,5 часа

по иностр. языку . .

1,5 часа

1,5 часа

Таким образом, оказывается, что на выполнение домашних заданий учащиеся каждый день затрачивают в IX классе от 4 до 6 часов, а в X классе от 7 до 9 часов.

Конечно, таблица, приводимая М. Д. Приймаченко, составлена без соблюдения требований научной статистики (она составлена на основании «личных бесед» с учащимися), но что она до известной степени отражает истинное

положение дела (по крайней мере в некоторых школах) — это бесспорно. Каковы же причины такой перегрузки учащихся?

М. Д. Приймаченко указывает несколько, по его мнению, основных причин:

1. Учащиеся не научены работать с книгой — учебником и задачником; в частности, не научены разбираться в тексте.

2. Учащиеся вообще не приучены работать дома, главным образом вследствие слабости контроля за выполнением домашних заданий.

3. Вследствие недоработки тех или иных разделов курса математики в средних классах школы (V—VII) у учащихся VIII—X классов накапливается большое число пробелов в знании курса, а это ведет к особым трудностям при усвоении нового материала и повторении старого.

4. Перегруженность программ, а также учебников и задачников.

Указывая на эти причины как на основные, М. Д. Приймаченко, строго говоря, подменяет вопрос о перегрузке учащихся домашними заданиями вопросом о перегрузке их домашней работой и для старших классов эту перегрузку считает следствием указанных выше объективных причин. В известной мере эти причины оказывают влияние на перегрузку учащихся, но нельзя закрывать глаза и на то, что отдельные учителя всех классов, а особенно старших, давая домашние задания, не считаются с возможностями учащихся — временем и подготовкой. Задания даются чрезмерно большие по объему и по степени трудности.

Нам известен такой факт: опытный учитель IX класса изложил на одном уроке весь раздел о нулевом, отрицательном и дробном показателе степени и все это задал выучить к следующему уроку с добавлением нескольких примеров из задачника.

Был также случай, когда учитель в VI классе задал на дом к одному уроку три задачи, на решение которых, по мнению другого учителя VI класса, нужно потратить среднему ученику до 3 часов времени, причем одну из задач вряд ли вообще он сможет решить, так как она нового типа, не разобранного в классе.

Замечалось также, что на повторение задавались к одному уроку вся тема о биноме Ньютона или весь материал о прогрессиях и т. п.

Нужно признать, что в перегрузке учащихся домашней работой повинны не только программа, недоработка в предшествующие годы и т. п. объективные причины, но и невнимательное и поверхностное отношение некоторых учителей к дозировке домашних заданий, причем главным и наиболее распространенным злом является неравномерность заданий. Какие же можно указать меры и способы для устранения перегрузки учащихся домашними заданиями и домашней работой?

Здесь в первую очередь следует назвать устранение тех объективных причин перегрузки, о которых говорилось выше. Эта задача является частью основной задачи — повышения качества обучения и воспитания — и потому должна рассматриваться в связи с ней.

Некоторые меры в этом отношении уже предприняты Министерством просвещения РСФСР. Это — сокращение и упрощение программ, переработка учебников, замена части стабильных учебников и задачников новыми, более совершенными, и т. д.

О мерах, которые следовало бы применить в рамках каждой школы, к сожалению, ни в одной из присланных статей подробно не говорится.

Упоминается о контроле за объемом и трудностью заданий со стороны учебной части и классных руководителей, об обязательности для учителей более внимательно относиться к дозировке заданий, однако недостаточная конкретность этих указаний очевидна.

В этой связи представляется целесообразным напомнить о следующих более конкретных, хотя и несколько примитивных мероприятиях, применяемых отдельными учителями:

1. Руководствоваться принципом—не задавать на дом задач, над решением которых задумывается сам учитель.

2. Определять приближенно время, потребное среднему учащемуся на выполнение упражнений, путем увеличения в 5 раз времени, потребного учителю на полное и аккуратное оформление решения.

3. Время, необходимое учащимся на выполнение устного задания, учитывать, исходя из того, что учащийся должен 2—3 раза медленно прочесть текст теоремы, выучить его, затем 2—3 раза прочесть доказательство, затем сделать чертеж и записать доказательство, пользуясь учебником, и, наконец, повторить запись, не заглядывая в учебник.

Конечно, указанные мероприятия только очень приближенно определяют время, потребное учащимся на выполнение домашних заданий, но в этих мероприятиях ценно уже то, что они заставят учителя активно поработать над данным вопросом.

Более точные критерии для определения времени, необходимого среднему учащемуся на выполнение той или иной работы, мог бы дать тщательно и широко поставленный хронометраж домашней работы школьника. Поставить эту экспериментально-исследовательскую работу силами школы, конечно, невозможно, но Академия педагогических наук могла бы ее организовать.

Заканчивая обсуждение вопроса о перегрузке учащихся домашней работой, нам хочется подчеркнуть, что, несмотря на бесспорность самого факта перегрузки учащихся, в таблице, приведенной М. Д. Приймаченко, цифры безусловно преувеличены и характеризуют в основном отдельные случаи «искривления» педагогической практики.

Наш опыт и опыт ряда учителей позволяет утверждать, что подобные излишества в загрузке учащихся домашней работой не носят систематического и массового характера, но они все-таки имеют место.

В статьях приводятся еще и другие требования к домашним заданиям.

Так, например, указывается, что задания не должны быть однообразными, т. е. не следует заполнять задания упражнениями, требующими буквально одних и тех же приемов решения. Чтобы избежать однообразия, рекомендуется включать в задания наряду с упражнениями по текущему материалу и упражнения на повторение; целесообразно разнообразить и характер заданий: включать в них выполнение чертежей, графиков, моделей и т. п., вводить вопросы на исследование формул и задач.

М. Д. Приймаченко указывает, что в каждом отдельном задании должно соблюдаться известное дидактическое правило — «от простого и легкого к более сложному и трудному», поэтому в начале задания следует помещать упражнения более легкие (на непосредственное применение определенной формулы или теоремы), а затем переходить к более трудным (мотивировка этого положения очевидна). Наконец, указывается, что каждое задание должно быть полезным, т. е. должно содействовать уяснению и закреплению изучаемого материала; не следует «топтаться на месте», увлекаясь тренировочными упражнениями, после того как изучаемый материал учащимися достаточно понят и усвоен. Это снижает интерес учащихся к предмету и ведет к формализму.

III. Мероприятия, облегчающие учащимся выполнение домашних заданий

Чтобы облегчить учащимся выполнение задания и обеспечить возможность его выполнения всеми учащимися, недостаточно составить задание, которое было бы посильно и по объему, и по трудности; необходимо, как указывают П. С. Тупикин, Г. Н. Скобелев, В. И. Коваленко, М. С. Беляков и другие, создать условия для его выполнения.

1. Разъяснить учащимся, что именно они должны выполнить. Учащимся должно быть конкретно указано, что следует выучить наизусть, что следует научиться рассказывать, что следует записать: необходимо ли записать анализ задачи или достаточно только подготовиться излагать его устно, необходимо ли записывать все обоснования к решению задачи и т. п. Недопустимы, например, задания типа: «продумайте такой-то вопрос», «просмотрите решение задачи, разобранной в классе», и т. п.

2. Убедиться путем опроса, что материал, входящий в задание, усвоен классом.

3. Задавать задачи и примеры только такие, с приемами решения которых учащиеся ознакомлены в классе.

4. Организовать систематические консультации.

В статьях М. С. Белякова и Г. Н. Скобелева рекомендуется проводить консультации по выполнению домашних заданий перед началом занятий в те дни, в которые имеется урок по данному предмету. Каждый учащийся, затруднившийся выполнить то или иное упражнение, должен посетить консультацию и выполнить задание с помощью учителя в его присутствии.

Это мероприятие, конечно, очень действенно, так как почти в полной мере обеспечивает выполнение задания каждым учащимся, но оно таит в себе и опасности: отдельные учащиеся могут привыкнуть всецело полагаться на помощь учителя, и тогда домашнее, по идее самостоятельное, решение задач и примеров сведется к дублированию классной работы над упражнениями под непосредственным руководством учителя. Это повлечет за собой снижение активности учащихся и ослабление чувства ответственности за выполнение задания.

IV. Проверка домашних заданий

Этот раздел работы занимает в полученных статьях наибольшее место: ему всецело посвящены некоторые из статей (статьи М. С. Белякова, В. Е. Бушуева и А. С. Давидяна).

Цель проверки домашних заданий очевидна и общеизвестна, также общеизвестна и необходимость ее, поэтому авторы статей почти не говорят об этом, а все внимание сосредоточивают на описании конкретных приемов и способов проверки.

В основном, отмечается, что всесторонняя проверка домашнего задания должна разбиваться на несколько видов.

1. Проверка факта выполнения задания.

Большинство авторов указывает на легкую возможность такой проверки путем беглого просмотра тетрадей учащихся при обходе класса

по рядам между партами. Иногда подчеркивается возможность производить этот обход во время ответов учащихся, вызванных к доске.

Однако многие из наблюдающих за такой системой одновременного опроса и просмотра тетрадей составляли о ней неблагоприятное суждение: во время просмотра тетрадей учитель отвлекается от слушания ответов и иногда вступает в беседу с теми или иными учащимися. Это очень нервирует отвечающих. Наконец, учитель, недостаточно внимательно слушая отвечающего, может пропустить (и пропускает) неточности и ошибки в ответе, а иногда не замечает особых достоинств ответа. В результате случается, что отвечавшему ставится неправильная оценка.

Нам представляется, что на такой беглый просмотр тетрадей с целью проверки факта выполнения задания следует выделять на уроке специально несколько минут (не более 3—4) и не проводить его параллельно с опросом.

Возникает вопрос: что же будут в это время делать учащиеся? Не пропадут ли эти 3—4 минуты даром? Не нарушится ли дисциплина?

Мы наблюдали, что почти все учащиеся эти 3—4 минуты используют на собирание «своих мыслей, на последнее повторение» домашнего задания. (Очень часто вызов к доске для ответа еще не закончен или даже не начат, и на него может повлиять результат просмотра тетрадей.)

В статьях М. С. Белякова и М. Д. Приймаченко предлагается дополнительный прием для установления факта выполнения или, вернее, невыполнения задания отдельными учащимися.

М. С. Беляков говорит о докладах учителю специально выбранными или выделенными (это в статье не уточнено) учащимися о всех невыполнивших задания или выполнивших его неполностью, о внешнем качестве выполнения и т. п.

М. Д. Приймаченко пишет о целесообразности введения специальной «ведомости выполнения домашних заданий», которая ведется особо выделенными для этого учащимися и на каждом уроке подается учителю.

М. С. Беляков напоминает о необходимости время от времени контролировать сообщения «уполномоченных». М. Д. Приймаченко, наоборот, подчеркивает нежелательность выражать «недоверие» не только «уполномоченным», но и всем вообще учащимся.

Нам представляется, что приемы, предлагаемые М. С. Беляковым и М. Д. Приймаченко, являются дискуссионными; мы не наблюдали случаев их применения.

2. Проверка правильности выполнения домашнего задания.

Основной формой этой проверки является, как указывают авторы почти всех статей, опрос учащихся, причем имеется в виду так называемый уплотненный опрос: вызываются к доске 2—3 учащихся, которые сперва воспроизводят на доске ход решения заданных на дом задач или ход доказательства заданных теорем, а затем излагают это устно. (Конечно пользоваться при подготовке к ответу и во время ответа записями в тетради учащимся не разрешается.)

Во время подготовки учащихся к ответу (выполнение записей и чертежа) учитель проводит фронтальную работу с классом. Содержание ее мыслится разными авторами по-разному.

Одни (например, А. С. Давидян) предлагают посвятить ее проверке решения тех задач или примеров из числа заданных на дом, проверку которых легко выполнить без чертежа и без записей. При таком способе проверки учащиеся с места читают по своей тетради решение заданных упражнений; все остальные учащиеся следят по своим тетрадям и в случае ошибок у себя отмечают их подчеркиванием.

В целях привлечения к такой проверке возможно большего числа учащихся, М. С. Беляков предлагает проводить ее так: «Спрашиваем одного ученика, который говорит номер задачи и передает ее содержание своими словами; другой ученик излагает план решения ее; третий формулирует 1-й вопрос и дает решение; четвертый—второй вопрос и т. д. до конца».

В успехе указанного способа проверки большую роль играет правильный отбор учителем подходящих упражнений. Если же его применить для проверки задачи, «допускающей» различные решения или хотя бы различные обозначения при решении, то организованность работы может нарушиться и не получится положительного результата.

Авторы других статей (например, Г. Н. Скобелев) предлагают фронтальную работу посвятить з основном опросу ранее пройденного материала, заданного для повторения.

Никем из авторов статей не рекомендуется во время подготовки к ответу вызванных к доске учащихся предлагать классу самостоятельное решение задач или примеров. В. И. Коваленко даже специально подчеркивает, что этого ни в коем случае не следует делать.

Такое указание вполне понятно и справедливо, так как подобная самостоятельная работа будет препятствовать учащимся переключать свое внимание на слушание и обсуждение ответов учащихся, вызванных к доске. Для сокращения времени подготовки этих учащихся к ответу В. И. Коваленко рекомендует, чтобы в числе вызванных к доске был всегда один более сильный ученик. Практика показывает, что этот прием

действительно ускоряет процесс проверки задания.

Авторы многих статей указывают на желательность допускать и поощрять предложения со стороны учащихся других способов решения задач, тех или иных упрощений в решении и в преобразованиях и т. п. Это, конечно, не только желательно, но и необходимо, однако при посещении уроков нам приходилось наблюдать, как поток таких предложений, часто по существу однообразных, чрезмерно затягивал опрос и в известной мере даже дезорганизовал урок.

В отдельных же случаях в этом потоке предложений не успевал разобраться сам учитель, и вследствие этого он одобрял предложения нецелесообразные и даже ошибочные.

Преподаватель должен регулировать подобные «прения» по ответам учащихся, не допуская чрезмерного затягивания их; предложения неясные и сомнительные следует переносить на внеклассные занятия. Вообще же учитель при подготовке к уроку должен постараться разыскать и оценить возможные варианты решения тех задач, которые будут разбираться в классе.

В дополнение к ответу по решению задач и примеров, входивших в домашнее задание, учащемуся задаются вопросы теоретического характера по текущему материалу и по материалу, ранее пройденному. (Примеры организации такого опроса приводятся в статье Г. Н. Скобелева.) После этого ему ставится отметка за ответ. Учащемуся, не выполнившему домашнего задания, ставится, как правило, неудовлетворительная оценка. Если ученик заявляет, что он старался решить задачу или пример, но не смог, то, как рекомендуют Г. Н. Скобелев и М. Д. Приймаченко, от ученика следует потребовать представления черновиков, которые бы показали попытки решить задачу.

В случае если значительное число учащихся не смогло решить задачу, решение ее должно быть разобрано в классе, причем как подчеркивает А. С. Давидян, решить надо именно эту самую задачу, а не однотипную, как часто делается. Действительно, решение той задачи, которая непосредственно вызвала затруднение, заинтересует учащихся в большей степени, чем решение другой задачи, хотя бы и однотипной.

Вопросу организации проверки тетрадей уделяется в присланных статьях сравнительно мало внимания. В каждой статье говорится о необходимости более или менее регулярной проверки тетрадей; все признают, что у отстающих и «нерадивых» учащихся тетради надо просматривать наиболее часто, а ошибки исправлять наиболее подробно и т. д. Говорится также, что за ведение тетради следует ставить оценки, не занося, однако, их в журнал. (По этому вопросу было ранее напечатано несколько статей в «Учительской газете».) Но все это излагается как-то сухо, трафаретно и формально. Только в статье В. Е. Бушуева, напечатанной в данном номере журнала, вопрос о проверке тетрадей выдвинут на первый план, так как поставлен в связь с работой учащихся над ошибками. Автор предлагает, безусловно, интересное решение этого вопроса; нас смущает только некоторая сложность и громоздкость предлагаемого им приема.

Желательно было бы, чтобы предложение В. Е. Бушуева было проверено на опыте и результаты проверки были обсуждены.

3. Проверка самостоятельности выполнения домашнего задания.

Описанные выше приемы проверки домашних заданий путем опроса могут дать ответ на вопрос о правильности и сознательности выполнения задания, на вопрос же о том, консультировался ли с кем-нибудь данный учащийся при выполнении задания, получить ответ с помощью этих приемов невозможно. Таким образом, если под самостоятельным выполнением задания подразумевать строго индивидуальное выполнение его каждым учащимся, то придется признать, что используемые учителями приемы опроса не дают возможности установить полную самостоятельность выполнения домашней работы.

М. С. Беляков в своей статье указывает, что «едва ли и есть такой способ массовой и недолговременной проверки выполнения домашних заданий, с помощью которого можно было бы определить самостоятельность ученика в работе над домашним заданием». И затем продолжает: «Мы в этом деле придаем большее значение сознательности. Если ученик сам все выполнил, — очень хорошо. Если выполнил с помощью консультанта и понял, — тоже полезно».

Против фетишизма «абсолютной самостоятельности», не допускающей каких-либо совещаний или консультаций при выполнении работы, высказываются и другие авторы статей.

Г. Н. Скобелев пишет: «Следует оговориться, что под несамостоятельностью выполнения домашних заданий надо понимать не совместное выполнение этих заданий рядом учащихся, а частичное или полное механическое списывание упражнений из тетрадей более сильных учащихся. Товарищеская же помощь в преодолении затруднений отдельных учащихся при решении задач должна не преследоваться, а поощряться».

А. С. Давидян высказывается в таком же смысле: «Вопрос о том, что ученики могут дома выполнить работу с чьей-либо помощью, мне кажется несущественным. Я считаю, что если дети работу выполнили и дают о ней соствет-

ствующие объяснения—значит цель учителя достигнута: материал учащимися усвоен». Таково же мнение П. С. Тупикина и других.

Таким образом, по мнению почти всех авторов, вопрос о самостоятельности или несамостоятельности выполнения учащимися домашнего задания должен пониматься в смысле сознательности или несознательности выполнения задания и, как таковой, разрешаться (в основном) рассмотренным выше методом уплотненного опроса учащихся в классе.

V. Подготовка учителя к проверке домашних заданий учащихся

В статьях обращается внимание на необходимость для учителя подготовляться к опросу учащихся по выполнению домашнего задания.

П. С. Тупикин пишет: «Опыт лучших учителей показывает, что проверка домашних заданий проходит более успешно, когда учитель сам решил данные задачи и примеры» И далее: «В своем плане урока учитель должен намечать учащихся, которых надо вызвать к доске для опроса, намечает дополнительные вопросы, проверяющие глубину усвоения теоретического материала, упражнения для устного счета и т. д.».

В. И. Коваленко высказывает то же мнение: «Идя на урок, учитель математики должен иметь свои решения всей домашней работы, в противном случае иногда можно попасть в неловкое положение». Добавим от себя, что эта опасность вполне реальна, и нам приходилось наблюдать, как учитель отвергал правильное решение, одобряя ошибочное.

В. И. Коваленко дает следующий совет: «Каждому учителю нужно постепенно накапливать и составлять решебники задачников, с которыми работаешь, чтобы ежегодно не тратить времени на одну и ту же работу».

М. С. Беляков сопровождает высказывания аналогичного характера образцами кратких записей в своем плане решений задач и примеров, подлежащих проверке в классе:

«При подготовке к каждому уроку мы решаем все домашнее задание, которое будет проверяться завтра на уроке, и решение вписывается в завтрашний план. Например:

Если учащимся были заданы задача № 853 и пример № 849 (2) из задачника Е. С. Березанской, то краткое решение их будет записано в план в таком зиде:

Задача № 853. 1) 230 га (II уч.); 2) 575 га (I + II уч.); 3) 230 га (III уч.); 4) 805 га (всего).

Пример № 949(2).

В высказываниях авторов статей встречаются также указания на необходимость при подготовке решений задач и примеров учесть различные варианты и наметить их сравнительную оценку.

* * *

Заканчивая обзор статей, поступивших в редакцию журнала «Математика в школе» по вопросу о домашних заданиях и их проверке, хочется высказать пожелание, чтобы учителя, имеющие сказать что-либо новее по данному вопросу, продолжали писать в редакцию. Однако вряд ли следует включать в эти заметки общеизвестные рассуждения о значении домашних заданий и описания общеупотребительных приемов их проверки.

ОБ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЯХ И АКСИОМАХ ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ*

А. С. ИЛЬИН (Москва)

Для науки существенны ее содержание и метод. Охарактеризуем с этой стороны геометрию.

Геометрия изучает пространственные формы реального мира. Формы и виды различных тел и предметов реального мира можно познавать только в движении, в отношении тел друг к другу. Только в движении тело показывает, что оно есть (см. Ф. Энгельс, Диалектика природы, 1933, стр. 227). Отсюда следует, что в геометрии главное внимание должно быть обращено на изучение «движений» на плоскости и в пространстве. Идея «движения», пронизывая содержание геометрии, позволяет путем сравнения различных геометрических фигур познавать их сходство и различие, связи и зависимости между ними, особенности и характерные свойства отдельных фигур и их классов.

С этой точки зрения понятие о геометрических преобразованиях, отражающее идею «движения», должно быть основной частью содержания геометрии, так как только при этом условии геометрия будет наиболее точно отображать сущность окружающей реальной действительности.

Для геометрии, кроме того, весьма существенно ее аксиоматическое строение.

* Статья печатается в порядке обсуждения. — Ред.

Понятия, изучаемые в геометрии, отображая формы и отношения конкретных предметов, в результате длительной абстрагирующей работы человеческого мышления лишены конкретности (см. И. В. Сталин, Относительно марксизма в языкознании, 1950, стр. 21—22).

Изучают в геометрии не конкретные предметы, а тела вообще — параллелепипеды, пирамиды, шар и т. п.

В связи с этим метод исследования в геометрии аксиоматический. Именно: в основе изучения лежат первоначальные понятия — «точка», «прямая», «плоскость» и др. С них начинается изучение геометрии, причем они не определяются, — о них дается представление из опыта — в результате наблюдения за соответствующими предметами и абстрагирования.

Так, конец какого-либо острия создает представление о том, что такое геометрическая точка; натянутая нить, солнечный луч, проникающий в какое-либо узкое отверстие дают возможность понимать, что такое в геометрии прямая линия; крышка стола, поверхность озера и т. п. дают понятие о «плоскости».

Целесообразно эти первоначальные понятия характеризовать различными примерами повседневной практики или опытами.

К понятию о точке можно прийти, наблюдая границу между прилегающими друг к другу ребрами, например, куба или наблюдая место пересечения между собой трех граней, положим, того же куба. К понятию о прямой линии можно прийти, рассматривая линии пересечения двух граней (плоскостей) куба; к понятию плоскости — рассматривая границу двух прилегающих друг к другу пространственных тел (в общем случае такой границей будет поверхность).

Наконец, эти же первоначальные понятия мы получим в результате наблюдаемого в практической деятельности механического движения.

Линию можно рассматривать как след перемещающейся точки; точно так же плоскость может быть получена движением прямой и т. п.

Далее, на основе первоначальных понятий развертывается в геометрии изучение последующих понятий и создается цепь связанных друг с другом определений, например: отрезка угла, треугольника, параллелограма и т. д.

На основе таких наблюдений и опытов вполне естественно сделать суждение о том, что такое аксиомы.

Аксиомами называются предложения, принятые нами без доказательства, об отношениях между основными первоначальными понятиями.

Это положение иллюстрируется любой аксиомой, так, например: «через две точки можно провести прямую и притом только одну», или: «три точки не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость» и т. д. Такое толкование первоначальных основных понятий и аксиом вполне согласуется с материалистическим взглядом на их происхождение:

«...практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом». (В. И. Ленин, Философские тетради, 1947, стр. 164.)

Идея геометрических преобразований, являясь существенной частью содержания геометрии, требует включения в число основных понятий понятия о геометрическом движении:

1) скольжение прямой вдоль самой себя;

2) прямолинейное скольжение плоскости по самой себе;

3) вращение на плоскости вокруг какой-либо из ее точек;

4) отражение плоскости относительно какой-либо прямой, на ней лежащей.

Эти понятия не надо определять; их надо характеризовать на основе наблюдения и опыта, например: вполне реально скольжение линейки по чертежной доске или вращение листа бумаги, скрепленного с плоскостью стола булавкой в какой-либо точке, и т. д.

Если понятия «точка», «прямая», «плоскость» анализировать теперь в связи с понятиями движения, то мы должны будем включить в систему аксиом школьного курса еще следующие аксиомы «движения» на плоскости:

1) любые две точки плоскости могут быть совмещены при помощи вращения или прямолинейного скольжения плоскости по самой себе, а также отражения относительно лежащей на ней оси;

2) любые две прямые на плоскости могут быть совмещены при помощи вращения или прямолинейного скольжения плоскости по самой себе;

3) прямая а с находящейся вне ее точкой В может быть приведена в совпадение с прямой а', притом так, чтобы точка В оказалась по любую сторону от прямой а'. Это может быть сделано с помощью прямолинейного скольжения, вращения плоскости по самой себе и отражения относительно прямой а'.

Известно, что основным методом исследования геометрических фигур является сравнивание путем наложения одной из них на другую. Понятие «наложения» будет вполне естественным, если воспользоваться «движениями» — прямолинейным перенесением, вращением, симметрией, вытекающими из вышеупомянутых аксиом. Тогда и понятие равенства двух фигур непосредственно вытекает из принятых аксиом движения:

Две фигуры называются равными (конгруентными), если одна из них может быть сов-

мещена с другой с помощью движения.

Остановимся теперь более конкретно на вопросе, как должны быть отражены изложенные положения в школьном преподавании.

Основные первоначальные понятия «прямая», «плоскость» наряду с понятием «точка» должны быть познаны учащимися главным образом в результате всюду наблюдаемого в природе и в практической деятельности людей процесса движения.

Прямую линию и линию вообще надо рассматривать как след перемещающейся тонки.

Например, мы получим на бумаге прямую линию, если будем двигать острие карандаша по линейке (черт. 1).

Черт. 1

Плоскость может быть образована перемещающейся прямой. Примером такого образования плоскости может являться формовка кирпича из глины (черт. 2).

Черт. 2

В качестве упражнений учащиеся могут разобрать ряд других примеров из окружающей практической деятельности человека, когда в процессе движения образуется линия, плоскость.

Например:

1) проведение окружности на земле при разбивке цветочных клумб;

2) способ, которым плотники намечают направление пилы, если надо распилить брус по скосу (в плоскости, не перпендикулярной ребрам бруса), и т. п.

Основные понятия «точка», «прямая», «плоскость» должны быть показаны на различных образах и примерах не только раздельно, но и во взаимной связи между собой, подтвержденной практикой. В результате такого их изучения мы ознакомим учащихся с аксиомами.

Через две тонки можно провести прямую и притом только одну.

Действительно, если взять на бумаге две точки и с помощью линейки соединить их прямой, то сколько раз мы ни пытались бы это сделать, прямая получится одна. Это свойство мы принимаем из опыта, без доказательства, как аксиому.

Так, плотники, распиливая бревно на доски, натягивают шнур между двумя точками на концах бревна и по нему мелом намечают линию распила.

Для того чтобы на местности (в поле) провести прямую, вбивают в землю вехи на некотором расстоянии друг от друга так, чтобы первая закрывала собой все остальные, если приблизить глаз к ее концу и смотреть на концы всех других вех. Поставленные таким образом вехи определяют прямую на местности.

Если две тонки плоскости соединить прямой линией, то все точки этой прямой будут лежать на плоскости.

Учащимся надо наглядно показать, принеся в класс параллелепипед, цилиндр, шар, что линейка укладывается всеми своими точками на грани параллелепипеда, в каком бы направлении мы ее ни положили на грань; в то же время на цилиндрической поверхности линейку можно уложить всеми точками только в одном направлении, а на поверхности шара линейку никак нельзя уложить.

Этим свойством плоскости пользуются при проверке качества шлифовки или полировки. К шлифованной поверхности прикладывают край линейки и смотрят, нет ли просветов, т. е. все ли точки края линейки плотно прилегают к плоскости. Если нет просветов, то качество работы считается хорошим.

Но основные геометрические понятия не будут изучены до конца, если мы ограничимся рассмотрением их свойств в «законченном», статическом виде, как мы сейчас показали.

Прямая линия может скользить вдоль самой себя.

Учащимся можно привести ряд примеров такого скольжения прямой по себе: движок на счетной арифметической линейке, движение передач и шкивов на различных трансмиссиях, движение отдельных деталей эскалатора и т. д.

Плоскость может скользить по себе.

Это можно представить как прямолинейное перемещение одной плоскости (подвижной) по другой плоскости (неподвижной).

Примером может служить движение рейсшины

по чертежной доске (черт. 3), а также движение чертежного треугольника по краю линейки при черчении параллельных прямых (черт. 4).

Черт. 3

Если одну из точек плоскости закрепить, то скольжение плоскости по самой себе будет ограниченным—будет возможно только вращение ее вокруг этой точки.

Черт. 4

Образом такого вращения является движение листа бумаги, приколотого булавкой к столу, неподвижная точка есть центр вращения. Учащиеся могут видеть и ряд других примеров, особенно в конструкциях различных механизмов и машин.

Возможности движения плоскости будут показаны не полностью, если мы не рассмотрим с учащимися отражение плоскости относительно любой прямой, лежащей на ней.

Черт. 5

Это должно быть предложено учащимся элементарно, конкретно (не надо называть это отражением). Например, можно взять пластинку (черт. 5), окрашенную в разные цвета, и повернуть ее вокруг оси, расположенной на этой пластинке на угол 180°. Очевидно, что при таком повороте мы обменяем цвета пластинки местами. В этом случае любая точка будет иметь свой образ по другую сторону оси.

Это же можно продемонстрировать на листе бумаги, складываемом по линии сгиба (черт. 6).

Конкретных примеров такого «движения» плоскости очень много, так как это есть симметрия, образами которой богата и природа, и творения человека.

Черт. 6

Если теперь мы рассмотрим основные геометрические понятия в динамической взаимосвязи друг с другом, как это есть на самом деле с их прообразами в конкретной действительности, то мы получим аксиомы движения, перечисленные нами выше.

В самом деле, можно взять два промасленные листа бумаги, наметить на каждом из них по одной точке и показать, что эти две точки можно совместить между собой либо прямолинейным перемещением одного листа бумаги по другому вдоль прямой, соединяющей эти две точки, либо вращением одного листа бумаги по другому вокруг скалывающей их булавки, либо перегибанием листа бумаги по определенной линии сгиба.

Точно так же можно начертить на них две произвольные прямые и показать, как их можно совместить с помощью комбинированного движения — прямолинейного перенесения и вращения одного листа бумаги к другому.

Наконец, прямая а и находящаяся вне ее точка В может быть совмещена с прямой а' на той же плоскости, притом так, чтобы точка В оказалась по любую заданную сторону от а'. Для иллюстрации этой аксиомы будем перемещать один лист бумаги по другому до совпадения соответствующих прямых. Затем, в зависимости от того, по какую сторону от совмещенных прямых должна быть точка В, надо либо оставить плоскости как они есть, либо один лист бумаги наложить на другой обратной стороной.

О КРУПНОМ НЕДОЧЕТЕ В ПРОГРАММЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Ф. Т. ДЗЮБА (Краснодар)

В октябре 1952 г. XIX съезд КПСС принял решение об осуществлении политехнического обучения в средней школе. В связи с этим учителя с нетерпением ожидали появления новых программ, которые были бы близки к потребностям жизни. Наконец, во второй половине 1954 г. появилась новая программа по арифметике для средней школы. Это было немаловажным событием в жизни школы: в результате работы по пересмотру учебного плана и составлению новых программ в соответствии с директивами XIX съезда КПСС о переходе к всеобщему среднему образованию и введении политехнического обучения в V классе вводилась новая программа по арифметике.

Основное требование к программе состоит в том, что она должна дать четкий перечень систематических знаний, удовлетворяющих потребностям жизни и школы, и ясные указания о формах и методах работы. Содержание программы должно удовлетворять требованиям политехнического обучения, т. е. обеспечить получение глубоких и прочных знаний основ наук и умения применять их на практике. Но, чтобы успешно применять свои знания в практической деятельности, нельзя обойтись без приближенных вычислений, необходимых в различных областях социалистического хозяйства, поэтому политехническое обучение невозможно без приближенных вычислений. В наш век бурного развития техники расчеты и гычисления настолько проникли в жизнь, что практическая деятельность в любой отрасли нашего хозяйства не обходится без них.

Программа по математике рекомендует: «Учителям математики всех классов необходимо, на основе опыта передовых учителей, усилить в преподавании своего предмета связь теории с практикой» (стр. 1). Одним из серьезных препятствий в усилении этой связи является отсутствие в программе элементов теории приближенных вычислений.

В результате того, что учащиеся не изучают приближенных вычислений, в школе создалось тяжелое положение, о котором в своих выступлениях сообщают учителя. Н. А. Мацко в статье «Вычисление веса сена в скирдах и стогах» («Матетематика в школе», 1955, № 1) пишет: «Учащиеся не умеют пользоваться приближенными вычислениями. Так, при определении объема стога ученик может делать измерение с точностью до сантиметров, значение π брать 3,14, а вычисления производить с точностью до 0,0001 и т. п. Неумение пользоваться приближенными вычислениями приводит к тому, что учащиеся делают очень много лишней работы и часто допускают грубые ошибки».

Многие ли задумывались над вопросом: сколько лишней работы в вычислениях делают наши учащиеся? Подсчитано, что в проектах, которые представляли в прежнее время заводы в Морской технический комитет, было 90—97% совершенно бесполезной вычислительной работы, попусту затраченной на выписывание цифр и на выполнение совершенно ненужной работы над числами, изображенными этими цифрами. Меньше ли выполняют наши учащиеся под руководством своих учителей такой ненужной вычислительной работы? Сколько бесполезной работы приходится выполнять в школе вследствие незнания приближенных вычислений, еще не подсчитано, но, несомненно, что результат такого подсчета удивил бы всех.

Попусту затраченная работа на выписывание лишних цифр и на вычисление с ненужной точностью не только бесполезна в школе, но и приносит вред: она тормозит осуществление политехнического обучения, направляя усилия учащих и учащихся в сторону от расчетов, действительно применяемых на практике, она заслоняет от учащихся смысл производимых действий и приучает «за деревьями леса не видеть», т. е. производить вычисления, не связывая их с реальностью, не вдумываясь в смысл производимых операций, наконец, она играет немаловажную роль и в перегрузке учащихся домашними заданиями.

Веками сложившаяся традиция строить школьный курс арифметики без приближенных вычислений привела школу к тому, что она уже не может обеспечить приемами рациональных вычислений даже своих расчетов и вычислений, производимых на уроках математики, физики и химии! Над этим грустным фактом стоит призадуматься, тем более, что недооценка значения приближенных вычислений сказалась и на новой программе по арифметике.

Несмотря на очевидную пользу приближенных вычислений, несмотря на крайнюю необходимость изучения их в школе, переходящей к осуществлению политехнического обучения, элементы теории приближенных вычислений не нашли себе места и в новой программе.

Действий над приближенными числами эта программа не содержит, перечня систематических знаний о приближенных числах не дает, в объяснительной записке говорится о них так мало и

невнятно, что уместно привести здесь весь текст: «...достаточно научить их обращать данную обыкновенную дробь в десятичную (с данным числом десятичных знаков и надлежащим округлением)»... «При изучении десятичных дробей в том же V классе вводится понятие о приближенных значениях дроби с недостатком и с избытком (с необходимой степенью точности)» и, наконец: «Уже в первой теме программы V класса при изучении целых чисел впервые вводится понятие об округлении целых чисел»—вот все, что говорится о приближенных числах в объяснительной записке к новой программе по арифметике.

Как видно из приведенного текста, объяснительная записка не дает учителю должной ориентации ни в значении приближенных вычислений, ни в их содержании, ни в методике преподавания. Нельзя признать содержательным и совет: делать «надлежащее» округление с «необходимой» степенью точности. Расшифровки этих понятий программа не дает, хотя и есть ссылка на то, что уже в первой теме для V класса вводится понятие об округлении целых чисел, где, действительно, сразу же после нумерации многозначных чисел и метрической системы мер следует тема: «Округление целых чисел с точностью до 10; 100; 1000 и т. д.».

Эта тема вызывает недоумение, так как понятие об округлении чисел дается здесь раньше, чем понятие о приближенных числах, которое вводится в программу позже, в связи с понятием о приближенном частном.

Понятие об округлении чисел появляется в программе впервые, поэтому неизбежны вопросы: «Почему числа можно округлять?», «Когда надо округлять числа с точностью до 10, а когда надо делать это с точностью до 100 или до 1000?», «Можно ли округленные числа делить и умножать?» и т. д. На такие вопросы учитель обязан ответить, поэтому он не может ограничиться только изложением способа округления, а так как в программе не указан объем и содержание этого понятия, то каждый учитель по своему усмотрению устанавливает их, что вряд ли можно считать целесообразным.

Так как программа не содержит понятия о приближенном числе до округления целых чисел, а округлять можно не только приближенные, но и точные числа, то неясно, об округлении каких чисел говорится в программе.

Понятие о приближенном числе, как уже отмечалось выше, вводится в программу после деления с остатком, в связи с понятием о приближенном частном, а понятия—«с избытком» и «с недостатком» объяснительная записка рекомендует вводить почему-то позже, лишь в IV теме при изучении десятичных дробей, что не может не вызвать недоумения, так как непонятно, как можно округлять целые числа и приближенные частные в первой теме без понятий — «с избытком» и с «недостатком».

В программе нельзя признать удачным и изложение приближенных чисел, текст которого ввиду его краткости приводим полностью: «Округление целых чисел с точностью до 10; 100; 1000 и. т. д.», «Приближенное частное с точностью до единицы», «Приближенное частное с точностью до 0,1; 0,01; 0,001 и т. д.» и «Приближенные значения периодических дробей с точностью до 0,1; 0,01; 0,001 и т. д.»

Этим исчерпывается все содержание новой программы по приближенным числам в курсе арифметики для V класса средней школы.

Приведенный выше текст содержания программы и объяснительной записки показывает, что перечень вопросов о приближенных числах в программе очень краток, не отличается систематичностью и носит случайный характер.

О приближенных числах есть несколько фраз и в программе по математике для последующих классов. В программе для VII класса о приближенных числах сказано: «Приближенные корни из рациональных чисел с точностью до 0,1; 0,01; 0,001 и их нахождение», а в программе для VIII класса есть тема: «Приближенные квадратные корни с точностью до 1/10n, их нахождение».

На этом и заканчивается в настоящее время изучение приближенных чисел в средней школе. Возможно, что приближенные вычисления найдут себе место в новых программах для тех классов, для которых они еще не обнародованы, но недостатков, допущенных в программе для V класса, это не исправит.

Программа по арифметике не дает ответов и на вопросы: Почему нужно уметь находить приближенные значения частного в периодической дроби с точностью до 0,1; 0,01; 0,001 и т. д.?, «Когда следует находить приближенные значения с точностью до 0,1, а когда их нужно находить с точностью до 0,01 или до 0,001?», «Где и как применять эти приближенные значения?» Создается впечатление, что приближенные значения частного и периодической дроби включены в новую программу лишь по необходимости: нельзя же, в самом деле, не упомянуть, что при делении с остатком невозможно продолжать действие бесконечно и надо же где-нибудь остановиться!

Учащиеся знают, что при делении с остатком нужно остановиться там, где прикажет им учитель, или там, где указывает автор задачника. Содержание программы не дает ответа на вопрос: чем же будут руководствоваться учащиеся в своей будущей практической деятельности, когда им придется самостоятельно решать вопрос о необходимой степени точности прибли-

женных значений? Недооценка значения приближенных вычислений вызывает серьезную тревогу при осуществлении политехнического обучения в средней школе. Недооценка эта вызывает и удивление, так как новая программа является результатом того, что в соответствии с директивами XIX съезда Коммунистической партии Советского Союза о переходе к всеобщему среднему образованию и о введении политехнического обучения «Министерство просвещения РСФСР совместно с Академией педагогических наук уже провело работу по пересмотру учебного плана и составлению новых программ для начальной, семилетней и средней школы» (стр. 3).

Небезынтересно отметить, что сборник задач по физике для VIII—X классов средней школы, который был принят в 1940 г., в разделе «Введение» содержит параграф «О приближенных величинах и действиях с ними»*, а принятый ныне в школе сборник вопросов и задач по физике для тех же классов, изданный в 1953 г., уже никаких сведений о приближенных вычислениях не содержит**.

Не является ли этот факт проявлением недооценки значения приближенных вычислений? Не станем спорить о полезности этих сведений в указанных сборниках, нона тенденцию, проявленную в приведенном факте, нельзя не обратить внимания.

На неблагополучие в отношении приближенных вычислений в школе указывают и методисты. Автор известных пособий по приближенным вычислениям В. М. Брадис в своей «Методике» говорит: «Великая Октябрьская революция вызвала коренную перестройку средней школы, но в отношении приближенных вычислений положение продолжает оставаться неблагополучным и до сегодня». К сожалению, не исправила этого неблагополучия и новая программа по арифметике.

В программе по математике, в объяснительной записке, рекомендуется ознакомить учащихся девятых классов с приемами вычислений при помощи логарифмической линейки, «с тем, чтобы учащиеся могли пользоваться ею на уроках математики и смежных дисциплин» (стр. 6). Введение логарифмической линейки в практику школьной работы объективно влечет и необходимость изучения приемов приближенных вычислений, так как линейка дает приближенные значения. Поэтому отсутствие приближенных вычислений в программе средней школы в значительной мере обесценивает это полезное указание об использовании логарифмической линейки на уроках в школе. Это указание ценно тем, что линейка вводится не как учебное пособие, а как орудие счета, которое рекомендуется применять не только на уроках математики, но и на уроках смежных дисциплин. Логарифмическая линейка в сочетании с приемами приближенных вычислений позволит учителю научить учащихся применять их в расчетах и вычислениях не только в школе, но и в практической деятельности по окончании школы.

Введение приближенных вычислений в практику работы школы связано с некоторыми трудностями, из которых наиболее существенной является отсутствие соответствующих знаний и навыков у значительной части учителей. Новизна и методические трудности в изложении приближенных вычислений тоже играют немаловажную роль при введении их в среднюю школу. Но основным тормозом, задерживающим введение приближенных вычислений в школу, все же является недооценка их значения.

За последние годы школа накопила уже некоторый опыт в преподавании приближенных вычислений, так как передовые учителя применяют их в своей работе; сделаны и попытки обобщить этот опыт. В оценке значения приближенных вычислений передовые учителя и методисты проявляют единомыслие, что является одним из доказательств того, что приближенные вычисления нужно включить в программу средней школы в кратчайший срок.

Опыт работы передовых учителей показывает, что приближенные вычисления нужно ввести в программу школы в таком объеме, чтобы учащиеся могли практически выполнять эти вычисления уже в школе при решении задач по математике, физике и химии. Учителям этих предметов надо оказать помощь литературой, организацией занятий по приближенным вычислениям на летних учительских курсах, квалифицированными консультациями при педагогических кабинетах и ясными четкими требованиями в программе по вопросам приближенных вычислений.

Пора смело перейти во всех средних школах к преподаванию приближенных вычислений и к практическому их применению во всех расчетах и вычислениях, которые выполняют учащиеся в классе и вне класса.

У нас есть областные и краевые институты усовершенствования учителей с широко разветвленной сетью горпедкабинетов и райпедкабинетов, у нас есть большое количество пединститутов и учительских институтов с многочисленным контингентом научных работников, у нас есть и широкая сеть издательств, которые смогут в короткий срок снабдить учителей необходимой литературой. Таким образом, мы имеем все воз-

* К. А. Волков, Н. Н. Демидович, М. Ф. Федоров, Н. А. Феопемптов, Н. А. Щербаков, Сборник задач по физике, 1940.

** П. А. Знаменский, С. С. Мошков, М. Н. Пиотровский, П. А. Рымкевич, И. М. Швайченко, Сборник вопросов и задач по физике, 1953.

можности для того, чтобы школа смогла быстро преодолеть традицию отрыва школьной арифметики от практических потребностей.

Объем приближенных вычислений в средней школе можно установить на основе опыта передовых учителей, к широкому обобщению которого следует приступить уже сейчас. За основу для обсуждения содержания программы для средней школы по приближенным вычислениям можно взять предложенную В. М. Брадисом схему: в V классе изучать приближенные вычисления по способу подсчета цифр, в VI классе — вычисления со строгим учетом погрешностей по способу границ и в VII классе — способ границ погрешностей.

В V классе, где проходится значительная часть арифметики, приближенные вычисления по способу подсчета цифр должны быть изучены так, чтобы ими можно было пользоваться в обязательном порядке и в старших классах не только на уроках математики, но и на уроках смежных дисциплин. Только обязательное применение приемов приближенных вычислений сделает навыки их прочными и будет служить гарантией того, что учащиеся и по окончании школы будут уметь применять их на практике.

Наряду с уточнением содержания элементов теории приближенных вычислений в программе средней школы нужно позаботиться и об изложении их в литературе для учащихся и для учащих.

Осуществление политехнического обучения в средней школе настоятельно выдвигает требование ввести приближенные вычисления в программу средней школы в кратчайший срок.

О ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ШАРАХ

С. Б. НОРКИН (Вологда)

Решение задач на вписанный и описанный шары обычно вызывает у учащихся значительные затруднения. При этом наиболее трудными оказываются задачи на комбинацию шара с многогранниками.

Наш опыт показал, что можно значительно облегчить решение задач на описанные около шара и вписанные в шар многогранники (призму, пирамиду, усеченную пирамиду), рассмотрев предварительно задачи на круглые тела в комбинации с шаром. Описав (вписав) около указанных многогранников соответственно цилиндр, конус или усеченный конус, можно легко свести решение задач на многогранники и шар к задачам на круглые тела. Эта методика не только облегчает решение задач, но и помогает учащимся глубже уяснить геометрические связи рассматриваемых тел, ибо возможность построения около многогранника круглого тела (цилиндра, конуса, усеченного конуса) наиболее полно характеризует возможность построения около него шара. С этой точки зрения легко указать необходимые и достаточные условия вписания и описания шара около многогранников (призмы, пирамиды, усеченной пирамиды).

Кроме того, такой метод решения делает излишним громоздкие чертежи, которыми неизбежно приходится сопровождать почти каждую задачу при решении в общепринятой последовательности. В предлагаемых решениях, как правило, все сводится к построению плоских сечений, где все элементы изображаются в натуральную величину. Заметим, что обучение строить такого рода сечения есть обязательный элемент работы по развитию пространственного воображения учащихся.

Ниже приводим полное теоретическое обоснование предлагаемой методики решения задач на вписанные и описанные шары.

Определение 1. Шар называется описанным около многогранника, а многогранник — вписанным в шар, если все вершины многогранника лежат на поверхности шара.

Определение 2. Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник — описанным около шара, если поверхность шара касается всех граней многогранника.

Круглые тела

Рассмотрим следующие так называемые круглые тела:

1) прямой круговой цилиндр (в дальнейшем — цилиндр);

2) прямой круговой конус (в дальнейшем — конус или прямой конус);

3) наклонный круговой конус (в дальнейшем — наклонный конус);

4) прямой круговой усеченный конус (в дальнейшем — усеченный конус).

Следующие определения являются естественным обобщением определений 1 и 2 на круглые тела.

Определение 3. Шар называется описанным около цилиндра (усеченного конуса), а цилиндр (усеченный конус) — вписанным в шар, если окружности его оснований лежат на поверхности шара.

Определение 4. Шар называется описанным около конуса (прямого или наклонного), а соответствующий конус — вписанным в шар, если окружность его основания и вершина лежат на поверхности шара.

Определение 5. Шар называется вписанным в цилиндр (усеченный конус), а цилиндр (усеченный конус) — описанным около шара, если его поверхность касается боковой поверхности* и оснований цилиндра (усеченного конуса).

Определение 6. Шар называется вписанным в конус, а конус — описанным около шара, если его поверхность касается боковой поверхности* и основания конуса.

Лемма 1**. Геометрическое место касательных, которые можно провести к шару из внешней точки, есть боковая поверхность прямого кругового конуса. Геометрическое место их точек касания есть малый круг шара.

Для доказательства рассмотрим сечение, проходящее через центр шара О и данную вне шара точку S. Пусть Т — точка касания касательной, проходящей через точку S и лежащей в рассматриваемой плоскости. Лемма доказывается вращением полученной конфигурации вокруг оси OS. При этом касательная ST опишет коническую поверхность, а точка Т — окружность касания.

Лемма 2**. Геометрическое место касательных к шару, параллельных данной прямой, есть боковая поверхность цилиндра. Геометрическое место точек касания есть большой круг, плоскость которого перпендикулярна данной прямой.

Сделаем сечение построенного геометрического места точек и шара плоскостью, проходящей через центр шара и параллельной данной прямой. Лемма доказывается вращением указанного сечения вокруг его оси симметрии.

Следствие. Шар, вписанный в цилиндр (конус, усеченный конус), касается его боковой поверхности по окружности.

Цилиндр и шар

Теорема 1. Около всякого цилиндра можно описать шар и притом единственным образом. Центр описанного шара совпадает с центром окружности, описанной около осевого сечения цилиндра (черт. 1).

Черт. 1

Теорема доказывается вращением прямоугольника O1B1BO и полуокружности KmL около оси KL.

Из треугольника OO2В находим зависимость между элементами шара и цилиндра. Пусть R — радиус шара, r — радиус цилиндра, h — высота цилиндра. Тогда

(1)

Теорема 2. Для вписания шара в цилиндр необходимо и достаточно, чтобы высота цилиндра была равна диаметру его основания. При выполнении этого условия шар вписывается единственным образом. Центр вписанного шара совпадает с центром окружности, вписанной в осевое сечение цилиндра (черт. 2). Необходимость условия первой части теоремы

Черт. 2

* Здесь подразумевается касание по замкнутой кривой.

** Ж. Адамар, Элементарная геометрия, часть II. Стереометрия, Учпедгиз, Москва, 1951, стр. 148—149.

следует из определения 5, ибо шар может касаться боковой поверхности и оснований цилиндра лишь тогда, когда диаметр шара равен высоте цилиндра и диаметру его основания. Достаточность и вторую часть теоремы можно доказать путем вращения прямоугольника O1B1BO и полуокружности О1nО вокруг оси О1О. Из чертежа 2 очевидно, что

R = r (2r = h). (2)

Черт. 3

Прямой и наклонный конус и шар

Теорема 3. Около всякого прямого ила наклонного конуса можно описать шар и притом единственным образом. Центр описанного шара совпадает с центром окружности, описанной около сечения конуса плоскостью симметрии (черт. 3 и 4).

Справедливость теоремы следует из того, что окружность основания конуса определяет семейство шаров, центры которых расположены на перпендикуляре к плоскости основания, восставленном в его центре (доказывается методом вращения). При этом через точку, не лежащую в плоскости основания (вершина конуса), проходит один и только один шар рассматриваемого семейства. Последнее легко доказать, проведя плоскость через линию центров шаров этого семейства и данную точку — вершину конуса.

Пусть R — радиус шара, r — радиус основания конуса, h — высота конуса.

Рассмотрим прямой конус (черт. 3).

Из треугольника АО1О (черт. 3), в силу известной леммы о стороне треугольника, справедливой для любого из случаев a, b и с, найдем:

(3)

Рассмотрим наклонный конус (черт. 4).

Пусть, кроме ранее данных элементов конуса, дано x — расстояние проекции вершины на плоскость основания от центра основания конуса.

Тогда из треугольника ASB найдем:

(4)

Пусть φ — угол между образующими в сечении конуса плоскостью симметрии. Тогда

(5)

Черт. 4

Теорема 4. Во всякий прямой конус можно вписать шар и притом единственным образом. Центр вписанного шара совпадает с центром окружности, вписанной в осевое сечение конуса (черт. 5).

Черт. 5

В наклонный конус шар вписать нельзя.

Первая часть теоремы легко доказывается методом вращения. Вторую часть докажем методом от противного.

Допустим, что в наклонный круговой конус вписан шар. Тогда образующие конуса (прямые, проходящие через одну точку — вершину конуса) касаются шара (определение 6). Но в этом случае геометрическое место этих образующих (касательных) есть боковая поверхность прямого кругового конуса (лемма 1). Полученное противоречие и доказывает теорему.

Из треугольника AO1O (черт. 5) найдем:

(6)

Усеченный конус и шар

Теорема 5. Около всякого усеченного конуса можно описать шар и притом единственным образом. Центр описанного шара совпадает с центром окружности, описанной около осевого сечения усеченного конуса (черт. 6).

Осевое сечение усеченного конуса — равнобочная трапеция, около нее всегда можно описать окружность. Теорема легко доказывается методом вращения.

Черт. 6

Теорема 6. Для вписания шара в усеченный конус необходимо и достаточно, чтобы диаметр среднего сечения конуса был равен его образующей. При выполнении этого условия шар вписывается единственным образом. Центр вписанного шара совпадает с центром окружности, вписанной в осевое сечение усеченного конуса (черт. 7).

Черт. 7

Условие, наложенное на диаметр среднего сечения, обеспечивает возможность вписания окружности в осевое сечение конуса. Необходимость условия непосредственно следует из определения 5. Достаточность и вторую часть теоремы можно доказать методом вращения.

Рассмотрим вписанный усеченный конус. Здесь, как и для полного конуса, возможны три случая: центр шара находится внутри конуса, вне конуса и на большом основании конуса.

Пусть R — радиус шара, r1 — радиус большого основания усеченного конуса, r2 — радиус малого основания, h — высота усеченного конуса.

Из треугольников АО2О и A1O1O2 (черт. 6) получим:

(7)

Для описанного усеченного конуса из треугольника АО2O (черт. 7) получим:

(8)

Многогранники

Изложенные далее теоремы позволяют свести рассматриваемые в школе задачи на многогранники и шар к значительно более простым задачам на круглые тела. При этом определение элементов круглых тел по элементам многогранников обычно затруднений не вызывает. Приводимые примеры поясняют применение излагаемого метода.

Призма и шар

Теорема 7. Около призмы можно описать шар тогда и только тогда, если около нее можно описать цилиндр. Центр шара совпадает с центром окружности, описанной около осевого сечения этого цилиндра.

Пусть около призмы описан шар. Тогда плоскости оснований вписанной в шар призмы пересекают шар по равным окружностям, центры которых лежат на одном диаметре, перпендикулярном к плоскостям этих окружностей; вершины призмы лежат на указанных окружностях (определение 1). А это значит, что призма — прямая и около ее оснований можно описать окружности. Следовательно, около призмы можно описать цилиндр, и необходимость условия первой части теоремы доказана.

Обратно, пусть около призмы описан цилиндр. Тогда вершины призмы лежат на окружностях оснований этого цилиндра. Но около цилиндра всегда можно описать шар (теорема 1). Окружности оснований цилиндра, а следовательно, и вершины призмы будут лежать на поверхности этого шара (определение 3). Построенный шар удовлетворяет определению 1. Достаточность условия первой части теоремы доказана.

Вторая часть непосредственно следует из теоремы 1.

Следствие. Около наклонной призмы шар описать нельзя.

В школьном курсе обычно ограничиваются вписанием шара в прямую призму. Для этого случая необходимые и достаточные условия вписания шара дает следующая теорема.

Теорема 8. В прямую призму можно вписать шар тогда и только тогда, если в нее можно вписать равносторонний цилиндр. Центр шара совпадает с центром окружности, вписанной в осевое сечение этого цилиндра.

Пусть в прямую призму вписан шар. Он касается боковых граней призмы (определение 2). Через точки касания в плоскостях граней проведем прямые, параллельные ребру призмы. Эти прямые принадлежат геометрическому месту касательных к шару, параллельных данной прямой, т. е. боковой поверхности прямого кругового цилиндра (лемма 2). Таким образом, существует цилиндрическая поверхность, имеющая с каждой боковой гранью призмы по одной и только по одной общей прямой. Следовательно, указанная цилиндрическая поверхность вписана в боковую поверхность призмы. Образующие цилиндрической поверхности, по построению, перпендикулярны основанию призмы. Отсюда следует возможность вписать в призму цилиндр. При этом шар, вписанный в призму, будет вписан и в цилиндр. Следовательно, вписанный цилиндр — равносторонний (теорема 2). Необходимость условия первой части теоремы доказана.

Обратно, пусть в прямую призму вписан равносторонний цилиндр. Но в равносторонний цилиндр всегда можно вписать шар (теорема 2). Цилиндр и шар касаются по большому кругу шара, плоскость которого перпендикулярна образующей цилиндра (лемма 2). Таким образом, каждая образующая цилиндра имеет одну и только одну общую точку с вписанным в цилиндр шаром. Это относится и к тем образующим цилиндра, по которым цилиндр касается боковых граней призмы. Следовательно, шар касается боковых граней призмы. Шар касается и оснований призмы, ибо плоскости оснований призмы и цилиндра совпадают. Таким образом, построенный шар удовлетворяет определению 2. Достаточность условия первой части теоремы доказана.

Вторая часть следует из теоремы 2.

Опираясь на лемму 2, можно показать, что в общем случае имеет место следующая теорема.

Теорема 8-А. В призму можно вписать шар тогда и только тогда, если в ее боковую поверхность можно вписать боковую поверхность прямого кругового цилиндра, диаметр которого равен высоте призмы. Центр шара совпадает с центром окружности, вписанной в сечение плоскостью симметрии цилиндра, ограниченного указанной цилиндрической поверхностью и плоскостями оснований призмы.

В качестве примера на приложение метода рассмотрим задачу № 11 из § 23 задачника Рыбкина.

Задача. Около шара описана правильная треугольная призма, а около нее описан шар. Как относятся между собой поверхности этих шаров?

Теоремы 7 и 8 сводят построение шаров около призмы к построению шаров около цилиндров. Пусть r — радиус вписанного шара. Опишем около этого шара цилиндр. Его элементы из (2) суть:

Черт. 8

На чертеже 8 показаны в плане призма, описанный около нее и вписанный в нее цилиндры. Отсюда находим элементы описанного цилиндра:

Около цилиндра опишем шар. Его радиус из (1) равен:

Поверхности шаров относятся, как квадраты радиусов. Отсюда искомое отношение:

Рассмотрим пример приложения теоремы 8-А.

Задача. Определить высоту наклонной призмы, в которую вписан шар, если перпендикулярное сечение призмы — ромб со стороной а и острым углом а.

Пусть r — радиус вписанного шара, H — высота призмы. Впишем в призму боковую поверхность прямого кругового цилиндра и рассмотрим сечение призмы, цилиндра и шара плоскостью, проходящей через центр шара и перпендикулярной к ребрам призмы.

В сечении получим ромб со вписанным в него кругом (черт. 9).

Из треугольников АОС и AOF:

Черт. 9

Отсюда, на основании теоремы 8-А, искомая высота

Пирамида и шар

Теорема 9. Около пирамиды можно описать шар тогда и только тогда, если около нее можно описать прямой или наклонный конус. Центр шара совпадает с центром окружности, описанной около сечения этого конуса плоскостью симметрии.

Пусть около пирамиды описан шар. Тогда плоскость основания пирамиды пересекает шар по окружности, на которой расположены вершины основания пирамиды (определение 1). Отсюда следует возможность описать около пирамиды прямой или наклонный конус, и необходимость условия первой части теоремы доказана.

Обратно, пусть около пирамиды описан прямой или наклонный конус. Тогда вершины пирамиды и конуса совпадают, а вершины основания пирамиды лежат на окружности основания конуса. Но около конуса (прямого или наклонного) всегда можно описать шар (теорема 3); вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности шара (определение 4). Следовательно, построенный шар удовлетворяет определению 1. Достаточность условия первой части теоремы доказана.

Вторая часть непосредственно следует из теоремы 3.

В школьном курсе обычно ограничиваются вписанием шара в правильную пирамиду. Мы рассмотрим несколько более общий случай.

Лемма 3. В пирамиду можно вписать прямой конус тогда и только тогда, если ее двугранные углы при основании равны.

Пусть в пирамиду вписан конус. Опустим из вершины пирамиды перпендикуляр на ее основание. Основание перпендикуляра совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды (с центром основания вписанного конуса). Проводим радиусы в точки касания последней со сторонами основания пирамиды и, наконец, эти точки касания соединяем прямыми с вершиной пирамиды. Полученные при этом прямоугольные треугольники равны (по двум катетам), а их острые углы, вершины которых лежат на сторонах основания пирамиды, являются линейными углами двугранных углов при основании пирамиды (теорема о трех перпендикулярах). Отсюда следует равенство этих двугранных углов, и необходимость условия доказана.

Для доказательства достаточности условия проведем апофемы боковых граней пирамиды. Затем из вершины пирамиды опустим перпендикуляр на ее основание и основание перпендикуляра соединим прямыми с основаниями апофем. Последние прямые, в силу теоремы, обратной теореме о трех перпендикулярах, перпендикулярны к соответствующим сторонам основания. Полученные при этом прямоугольные треугольники равны (по катету и острому углу — линейному углу двугранного угла при основании пирамиды). Следовательно, вершина пирамиды проектируется в точку основания, равноудаленную от его сторон. Отсюда следует достаточность условия.

Теорема 10. Во всякую пирамиду с равными двугранными углами при основании можно вписать шар. Центр шара совпадает с центром окружности, вписанной в осевое сечение конуса, вписанного в пирамиду.

Действительно, в силу леммы 3, в пирамиду с равными двугранными углами при основании можно вписать конус, а в конус — шар (теорема 4). Шар, вписанный в конус, касается боковой поверхности последнего по окружности, которая пересекает каждую из образующих конуса (следствие из лемм 1 и 2). Таким образом, каждая образующая конуса имеет одну и только одну общую точку с вписанным в конус шаром. Это относится и к тем образующим конуса, по которым конус касается боковых граней пирамиды. Следовательно, шар касается боковых граней пирамиды. Шар касается и основания пирамиды, ибо плоскости оснований пирамиды и вписанного в нее конуса совпадают. Построенный шар удовлетворяет определению 2, и первая часть теоремы доказана.

Вторая часть непосредственно следует из теоремы 4.

Теорема 10 дает лишь достаточное условие вписания шара в пирамиду. Опираясь на лемму 1,

можно показать, что в общем случае имеет место следующая теорема.

Теорема 10 — А. В пирамиду можно вписать шар тогда и только тогда, если в ее боковую поверхность можно вписать боковую поверхность прямого кругового конуса. Центр шара совпадает с центром окружности, вписанной в сечение плоскостью симметрии конуса, ограниченного указанной конической поверхностью и плоскостью основания пирамиды.

Для иллюстрации применения метода рассмотрим задачу № 21 из § 23 задачника Рыбкина.

Задача. Основанием пирамиды служит правильный треугольник, сторона которого равна 3 дм. Одно из боковых ребер равно 2 дм и перпендикулярно к основанию. Найти радиус описанного шара.

Опишем около пирамиды конус. Его элементы суть: радиус основания r = √3 (дм), высота h = 2 (дм), х = r. По формуле (4) найдем радиус описанного шара:

Рассмотрим пример приложения теоремы 10-А.

Задача. Дана треугольная пирамида SАСВ. Грань пирамиды SCB перпендикулярна плоскости основания; ревpa SC = SB = а; плоские углы при вершине равны между собой и равны 60°. Определить радиус вписанного шара.

На ребре SA отложим отрезок SD = a (черт. 10,а). Тогда пирамида SDCB — правильная, и в нее, следовательно, можно вписать прямой круговой конус. Его боковая поверхность будет конической поверхностью, вписанной в боковую поверхность данной пирамиды.

Рассмотрим конус, ограниченный построенной конической поверхностью и плоскостью основания данной пирамиды. Шар, вписанный в пирамиду, будет вписан и в этот конус. Сечение этого конуса и вписанного в него шара плоскостью симметрии — прямоугольный треугольник SFE (черт. 10,с вписанным в него кругом. Решение сводится к определению радиуса круга, вписанного в треугольник SFE.

Пусть r — радиус вписанного шара. Обозначим (черт. 10,b):

SE = u; KE = v. В силу подобия треугольников SKE и SOM имеем:

(здесь МЕ = r). Отсюда

Из треугольников SEC и СDВ (черт. 10, а):

Черт. 10

Отсюда окончательно:

Усеченная пирамида и шар

Теорема 11. Около усеченной пирамиды можно описать шар тогда и только тогда, если около нее можно описать усеченный конус. Центр шара совпадает с центром окружности, описанной около осевого сечения этого усеченного конуса.

Пусть около усеченной пирамиды описан шар. Тогда плоскости оснований вписанной в шар усеченной пирамиды пересекают шар по окружностям, центры которых лежат на одном диаметре, перпендикулярном к плоскостям этих окружностей; вершины усеченной пирамиды лежат на указанных окружностях (определение 1). Следовательно, около усеченной пирамиды можно описать усеченный конус. Необходимость условия первой части теоремы доказана.

Обратно, пусть около усеченной пирамиды описан усеченный конус. Тогда вершины усе-

ченной пирамиды лежат на окружностях оснований описанного усеченного конуса. Но около усеченного конуса всегда можно описать шар (теорема 5). Окружности оснований усеченного конуса, а следовательно, и вершины усеченной пирамиды будут лежать на поверхности этого шара (определение 3). Построенный шар удовлетворяет определению 1. Достаточность условия первой части теоремы доказана.

Вторая часть непосредственно следует из теоремы 5.

Рассмотрим вписание шара в усеченный конус.

Лемма 4. В усеченную пирамиду можно вписать усеченный конус тогда и только тогда, если двугранные углы при основании усеченной пирамиды равны.

Для доказательства дополним усеченную пирамиду до полной и применим лемму 3.

Теорема 12. В усеченную пирамиду с равными двугранными углами при основании можно вписать шар тогда и только тогда, если диаметр среднего сечения усеченного конуса, вписанного в усеченную пирамиду, равен его образующей. Центр шара совпадает с центром окружности, вписанной в осевое сечение этого усеченного конуса.

В силу теоремы 10 всегда существует шар, который касается боковых граней и нижнего основания данной усеченной пирамиды, а также боковой поверхности и нижнего основания вписанного в нее усеченного конуса. Плоскости верхних оснований усеченной пирамиды и вписанного в нее усеченного конуса совпадают. Шар будет касаться и верхнего основания усеченного конуса, а значит, и верхнего основания усеченной пирамиды тогда и только тогда, если диаметр среднего сечения усеченного конуса равен его образующей (теорема 6).

Вторая часть теоремы непосредственно следует из теоремы 6.

Рассмотрим общий случай. Дополним данную усеченную пирамиду до полной и впишем, если это возможно, в боковую поверхность полученной пирамиды боковую поверхность прямого кругового конуса. Будем рассматривать усеченный конус (вообще эллиптический), ограниченный построенной конической поверхностью и плоскостями оснований данной усеченной пирамиды. Тогда можно показать, что имеет место следующая теорема:

Теорема 12-А. В усеченную пирамиду можно вписать шар тогда и только тогда, если:

1. В боковую поверхность пирамиды, полученной дополнением данной усеченной пирамиды до полной, можно вписать боковую поверхность прямого кругового конуса (условие теоремы 10-А).

2. Суммы противоположных сторон четырехугольника, полученного сечением указанного выше усеченного конуса плоскостью симметрии, равны.

Центр шара совпадает с центром окружности, вписанной в рассматриваемое сечение.

Рассмотрим для примера задачу № 25 из § 23 задачника Рыбкина.

Задача. Около шара радиуса R описана правильная четырехугольная усеченная пирамида, у которой двугранный угол при основании равен 45°. Определить ее полную поверхность.

Опишем около шара усеченный конус, у которого угол ß = 45°.

В этом случае h = r1 — r2 и из формулы (8):

Из условий теоремы 6, налагаемых на диаметр среднего сечения усеченного конуса, в нашем случае следует:

Отсюда

Опишем теперь около усеченного конуса правильную четырехугольную усеченную пирамиду. При этом двугранные углы при ее основании окажутся, очевидно, равными 45°. Элементы усеченной пирамиды суть:

сторона нижнего основания

сторона верхнего основания

апофема

Отсюда искомая полная поверхность усеченной пирамиды:

От редакции. Изложенный автором метод сведения ряда задачи на комбинацию шара и многогранника к соответствующей задаче на комбинации шара и тела вращения упрощает решение многих задач школьного типа. Поэтому статья С. Б. Норкина представляет интерес с точки зрения школьной практики. Материал, выходящий за рамки школьной программы, может быть использован для занятий математических кружков.

ВОПРОСЫ ПО НЕКОТОРЫМ ТЕМАМ ГЕОМЕТРИИ

В. С. КАРНАЦЕВИЧ (Тюмень)

Черт. 1

Предлагаемый перечень вопросов содержит такие вопросы, для ответа на которые, как мы полагаем, недостаточно одного лишь знания определений, формулировок теорем и т. п., а требуется сознательное усвоение учащимися предмета.

Вопросы по теме «Треугольники» в VI классе.

1. Нарисовать буквы, изображенные выпуклой (невыпуклой) ломаной линией.

2. Начертить ломаную, все звенья которой равны и углы, образуемые ими, равны.

3. Начертить выпуклую замкнутую ломаную, состоящую из десяти отрезков.

4. Начертить замкнутую ломаную, имеющую периметр, равный данному отрезку.

5. Сколько диагоналей можно провести в n-угольнике.

6. Начертить четырехугольник с равными диагоналями.

7. Существует ли равнобедренный и в то же время прямоугольный треугольник?

8. Может ли медиана одного треугольника быть катетом другого?

9. Какие из главнейших линий треугольника могут проходить вне его?

10. Может ли медиана треугольника быть равной его высоте? Ответ пояснить чертежом.

11. Может ли быть биссектриса треугольника перпендикулярной его основанию. Ответ пояснить чертежом.

12. Какие печатные буквы русского алфавита имеют одну ось симметрии, какие две оси?

13. Какие линии совпадут при перегибании треугольника по биссектрисе?

14. Какие совпадения произойдут при перегибании треугольника по высоте?

15. Как доказать, что биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является высотой и медианой, опираясь на признаки равенства треугольников.

16. Начертить два разные треугольника, имеющие одинаковые основания и равные углы.

17. Только ли в равнобедренном треугольнике высота совпадает с биссектрисой, проведенной из той же вершины?

18. Равны ли эти треугольники (черт. 1), если MN = ВС? Можно ли их совместить наложением?

19. Сколько внешних углов можно построить для n-угольника?

20. Может ли внешний угол треугольника равняться внутреннему?

21. Могут ли два внешние угла при двух вершинах треугольника быть прямыми?

22. Может ли перпендикуляр к прямой быть длиннее наклонной к той же прямой?

23. Сколько равных наклонных можно провести из данной точки к данной прямой?

24. Всякий ли прямоугольный треугольник можно разрезать одной прямой на равные прямоугольные треугольники?

25. Доказать устно, что квадрат делится диагональю на два равные треугольника.

26. Начертить разные прямоугольные треугольники с равными гипотенузами.

27. Будут ли прямоугольные треугольники равны, если острые углы одного равны острым углам другого?

28. Всегда ли можно разделить треугольник на два равные прямоугольные треугольника?

29. Можно ли доказать свойства равнобедренного треугольника, используя признаки равенства прямоугольных треугольников?

30. Сколько существует точек, одинаково удаленных от двух данных точек?

31. Сколько существует точек, удаленных от каждой из двух данных точек на 3 см?

32. Будет ли высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, геометрическим местом точек, равноудаленных от концов основания?

33. Будет ли прямая, на которой лежит медиана треугольника, геометрическим местом точек, равноудаленных от концов основания?

34. Можно ли круг считать геометрическим местом точек, удаленных от центра на отрезок, равный радиусу?

35. Что является геометрическим местом точек, удаленных от данной точки на расстояние, меньшее 2 см?

Вопросы по теме «Четырехугольники» в VII классе

1. Дать четыре различные определения параллелограма.

2. Можно ли определить параллелограм как трапецию, у которой бока параллельны?

(Нет, если следовать определению трапеции, данному в учебнике Киселева.)

3. Существует ли параллелограм с равными диагоналями?

4. Существует ли параллелограм с взаимно перпендикулярными диагоналями?

5. Можно ли из шести равных отрезков составить параллелограм с его диагоналями?

6. Имеет ли параллелограм оси симметрии?

7. Можно ли найти точку, равноудаленную от всех вершин параллелограма?

8. Вырезать из картофелины (или глины) такой многогранник, чтобы все его грани были косоугольные параллелограммы.

9. Что общего между прямоугольником и ромбом?

(Ответ. Наличие по крайней мере двух осей симметрии и общее родовое понятие, а потому все свойства параллелограма.)

10. Дать два определения ромба. Будет ли ромбом четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны?

11. Дать два определения квадрата.

12. Могут ли диагонали ромба равняться друг другу?

13. Как на клетчатой бумаге можно быстро наметить вершины ромба?

14. Указать признаки равенства различных видов параллелограмов (ромбов, прямоугольников, квадратов, разносторонних и косоугольных параллелограмов).

15. Сколько пар равных треугольников образуется при проведении в параллелограме диагоналей? Почему?

16. Могут ли образующиеся при проведении в параллелограме диагоналей треугольники быть прямоугольными? Сколько?

17. Верно ли утверждение: «Если в четырехугольнике диагонали равны и один угол прямой, то этот четырехугольник прямоугольный»?

18. Составить пять задач на построение параллелограма.

Составить две задачи на построение квадрата. Составить три задачи на построение ромба.

19. Не делая чертежа, сказать, сколько получится параллелограмов (не имеющих общих внутренних точек), если пять параллельных прямых пересечь пятью параллельными прямыми?

20. Сколько квадратов на чертеже 2?

21. Во сколько раз площадь квадрата, построенного на диагонали данного квадрата, больше площади данного квадрата?

22. Существуют ли параллелограмы, имеющие соответственно равные основания и равные высоты, но не равные между собою?

23. Чем выделяются трапеции из всех четырехугольников?

24. Разрезать ножницами трапецию на четыре части, каждая из которых имела бы форму трапеции.

25. То же задание, но с дополнительным условием: две трапеции должны иметь ту же высоту, что и данная трапеция.

26. Есть ли у трапеции ось симметрии?

27. Может ли высота трапеции быть равной ее боковой стороне?

28. Можно ли доказать теорему о средней линии трапеции, не пользуясь теоремой о средней линии треугольника?

29. Что можно сказать о точке пересечения диагоналей равнобедренной трапеции?

30. Имеет ли центр симметрии трапеция?

31. Сколько элементов (сторон, углов, диагоналей и т. д.) определяет трапецию?

Вопросы по теме «Подобные фигуры» в VIII классе

1. Существует ли общая мера у отрезков в 10 м и 3 м?

2. Какова наибольшая общая мера отрезков в 3/5 м и 2 м.

3. Могут ли гипотенуза и катет прямоугольного треугольника быть соизмеримыми?

4. Могут ли быть несоизмеримыми стороны прямоугольника?

5. Каким числом выражается отношение двух несоизмеримых отрезков?

6. Как найти наибольшую общую меру сторон тетрадного листа?

7. Что такое «пропорциональные отрезки»?

8. Может ли отношение диагоналей ромба быть равным 1.

9. Может ли половина диагонали квадрата быть соизмеримой с его стороной?

10. Могут ли десятые части несоизмеримых отрезков быть соизмеримыми?

11. Может ли прямая, не параллельная сторонам треугольника, отсечь от него подобный треугольник?

12. Сколько прямых, отсекающих от данного треугольника подобный ему, можно провести через данную точку, взятую на стороне данного треугольника?

13. В каком треугольнике можно провести высоту так, чтобы он разделился на два подобные треугольника?

Черт. 2

14. Сколько прямых можно провести через точку, взятую на катете прямоугольного треугольника так, чтобы отсеченный треугольник был подобен данному?

15. Подобны ли равнобедренные треугольники, имеющие равные углы при вершинах?

16. Подобны ли треугольники, если основание и высота одного соответственно в два раза больше основания и высоты другого?

17: Сколько пар подобных треугольников получится, если в трапеции провести диагонали?

18. Сколько подобных треугольников получится, если в треугольнике провести все средние линии?

19. Можно ли равные треугольники назвать подобными?

20. Могут ли быть подобными неравные прямоугольные треугольники с равными гипотенузами?

21. Стороны треугольника уменьшены на один и тот же отрезок и остатки приняты за стороны другого треугольника. Будут ли эти треугольники (в общем случае) подобны?

22. Указать равноугольные, но не подобные четырехугольники.

23. Указать четырехугольники, имеющие пропорциональные стороны, но не подобные.

24. Отношение диагоналей одного параллелограма (ромба) равно отношению диагоналей другого параллелограма (ромба). Подобны ли эти четырехугольники?

25. Подобны ли равнобедренные трапеции, имеющие один и тот же угол при основании?

26. Подобны ли многоугольники ABCDE и AMNDE, изображенные на чертеже 3?

Черт. 3

27. Подобны ли наружный и внутренний контуры прямоугольной рамки (см. черт. 4), имеющий везде одну и ту же ширину?

Черт. 4

28. Указать признак подобия ромбов.

29. На плоскости дан отрезок, параллельный данному и разделенный на n равных частей. Как при помощи одной линейки разделить данный отрезок на n равных частей?

30. Верна ли теорема, обратная теореме о биссектрисе треугольника?

31. Катеты одного прямоугольного треугольника больше катетов другого на 2 см. Подобны ли треугольники?

ОБ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ

И. Г. ПОЛЬСКИЙ (Москва)

Понятие о прямом угле между скрещивающимися прямыми является частным случаем известного общего понятия об угле между скрещивающимися прямыми (см. § 46 учебника стереометрии А. П. Киселева), но, несмотря на это, почему-то часто выпадает из поля зрения при решении некоторых типов стереометрических задач. Игнорирование весьма важного понятия о прямом угле между непересекающимися прямыми приводит зачастую к значительному усложнению решения задач. Это, между прочим, можно видеть на примерах решения некоторых задач, помещенных в отдельных статьях и в разделе «Задачи» журнала «Математика в школе». Напротив, если пользоваться этим понятием, то при помощи теоремы о трех перпендикулярах в ее обобщенной формулировке можно в значительной степени упростить обоснование почти всех задач, в которых по ходу решения требуется доказать перпендикулярность прямых.

В чем особенность обобщенной теоремы о трех перпендикулярах?

Обобщенная теорема о двух перпендикулярах изложена в учебнике проф. Н. А. Глаголева «Элементарная геометрия. Стереометрия», Москва, 1954, §31, стр. 25, следующим образом:

Прямая, пересекающая плоскость и перпендикулярная к двум каким-либо пересекающимся прямым на плоскости (хотя бы и не проходящими через след данной прямой), перпендикулярна и ко всякой прямой, лежащей на той же плоскости. (В 3-м издании 1954 г. она помещена в конце § 32 с незначительными несущественными изменениями.)

В книге Ж. Адамара «Элементарная геометрия», ч. II, перевод проф. Д. И. Перепелкина, М., 1938, стр. 31; 1951, стр. 27, п. 350, следствие, — эта теорема гласит так;

Для того чтобы какая-либо прямая была перпендикулярна к плоскости, достаточно, чтобы она была перпендикулярна к двум прямым, не параллельным между собою и лежащим в этой плоскости или ей параллельным.

Соответствующим образом можно также сформулировать прямую и обратную обобщенные теоремы о трех перпендикулярах. Они гласят примерно так:

Прямая, проведенная на плоскости перпендикулярно к проекции наклонной или к прямой, ей параллельной, перпендикулярна к самой наклонной.

Прямая, проведенная на плоскости перпендикулярно к наклонной или к прямой, ей параллельной, перпендикулярна и к ее проекции.

Если сличить обобщенную формулировку теоремы о трех перпендикулярах с формулировкой этой теоремы, данной в § 28 и 29 учебника А. П. Киселева, то увидим, что в обобщенной формулировке опущена стеснительная оговорка: «через основание наклонной» и прибавлены слова: «или к прямой, ей параллельной ».

Доказательство этих обобщенных теорем не составит большого труда. Они аналогичны доказательству обобщенной теоремы о двух перпендикулярах, имеющемуся в вышецитированном параграфе учебника проф. Н. А. Глаголева.

Примечание. Было бы вполне уместным, в связи с обобщенными теоремами о двух и трех перпендикулярах, ввести понятие об ортогональности двух прямых, охватывающее как понятие о пересекающихся перпендикулярных прямых, так и понятие о скрещивающихся прямых, образующих прямой угол, в смысле определения § 46 учебника А. П. Киселева.

Приведем несколько примеров, показывающих, насколько применение этих теорем в их расширенном толковании упрощает доказательства, необходимые для обоснования правильности решения определенных типов стереометрических задач на вычисление, построение и доказательство.

Пример 1. В треугольной пирамиде SABC высота SO проходит через ортоцентр О основания ABС. Доказать, что остальные три высоты пирамиды, проведенные из вершин А, В и С основания, тоже проходят через соответствующие ортоцентры боковых граней SBC, SAC и SAB (см. журнал «Математика в школе», 1952, № 3; решение задачи № 91. Тов. Лоповок дал алгебраическое решение этой задачи).

Доказательство (черт. 1). Рассмотрим треугольник SAD, где AD — высота треугольника ABС. В этом треугольнике проведем высоту АО1. Докажем сначала, что АО1 перпендикулярна к грани SBС. Это следует из того, что AL = AD — проекция АО1 на плоскость основания ABC, перпендикулярна ВС, следовательно, АО1⊥ВС, но AO1 перпендикулярна, по построению, также и к SD, лежащей в плоскости грани SBС. Теперь докажем, что O1 — ортоцентр треугольника SBС. В самом деле, АС — наклонная к плоскости грани SBC, AO1 — перпендикуляр к ней, значит, СO1 ≡ СO1К — проекция АС. Но AC⊥SB, потому что ВО ≡ ВОЕ⊥АС, по условию, следовательно, СО1⊥SB, т. е. CO1 — вторая высота треугольника SBC, точка О1, таким образом, есть ортоцентр грани SBC.

Черт. 1

Такими же рассуждениями докажем, что остальные две боковые высоты, проведенные из вершин В и С, также проходят через ортоцентры треугольников SAC и SAB.

Пример 2. В правильной треугольной пирамиде SABC дана сторона основания а и двугранный угол при основании а. Определить площадь сечения DEFK, проведенного через центр основания параллельно двум непересекающимся ребрам SA и ВС пирамиды. (Н. Рыбкин, Сборник задач по тригонометрии, § 19, № 17.)

Решение самой задачи не входит в план настоящей заметки. Для решения этой задачи требуется доказать, что сечение DEFK— прямоугольник (чертеж помещен при задаче в самом сборнике). Доказательство весьма несложное и очень краткое.

В самом деле, DK || SA, так как секущая плоскость параллельна SA, но SA⊥BC (по теореме о трех перпендикулярах: проекция АО ≡ АОМ ребра AS перпендикулярна к ВС). Так как DE || ВС, то SA⊥DE*.

* См. статью У. С. Давыдова в № 4 за 1955 г. — Ред.

Н. С. Воробьев в статье «Решение задач по стереометрии методом прямоугольных проекций» (журнал «Математика в школе», 1953, № 3) для доказательства того, что DEFK — прямоугольник, тратит 21 строку журнала на одно словесное объяснение, не считая строк, занятых математическими выкладками.

Пример 3. Основанием прямой четырехугольной призмы служит ромб с острым углом α. Как надо пересечь эту призму, чтобы в сечении получить квадрат с вершинами на боковых ребрах? (Задача № 5, § 19, там же; черт. 2.)

Черт. 2

Чтобы доказать правильность построения сечения A1MKN, требуется доказать, что A1K⊥MN (диагонали A1К и MN равны по построению, см. ниже). Докажем это следующим образом: A1K⊥B1D1, так как A1C1 —проекция A1K на плоскость нижнего основания A1B1C1D1 — перпендикулярна к B1D1. Но MN || B1D1 — по построению; следовательно, A1K|⊥MN.

Н. С. Воробьев доказывает перпендикулярность A1К и MN сложнее.

Примечание. Построение сечения A1MKN на аксонометрическом чертеже можно провести следующим образом. Чертим отдельно диагональную плоскость АСC1A1 в натуральную величину (по существу строим ее фронтальную проекцию, как это указывает Н. С. Воробьев). Радиусом, равным натуральной длине BD, из вершины A1, как из центра, засекаем СC1 в точке К. На аксонометрическом чертеже (черт. 2) на ребре СC1 откладываем отрезок КC1, длина которого не должна искажаться параллельной проекцией.

Прямая ОО1, соединяющая точки О и О1 пересечения диагоналей оснований, пересечет отрезок А1К в его середине O2; точка O2, очевидно, принадлежит также диагональной плоскости BDD1B1. В этой последней плоскости проводим через O2 прямую MN || BD. Искомое сечение A1МКМ.

A1 — вершина тупого угла ромба.

Разобранные примеры показывают, насколько эффективно может быть использована теорема о трех перпендикулярах, если применять понятие об ортогональности скрещивающихся прямых. Но дело не ограничивается этими примерами. Можно указать множество задач как из сборника задач по стереометрии, так и из последних параграфов сборника задач по тригонометрии Н. Рыбкина и из аналогичных сборников задач других авторов, которые весьма просто решаются вышеуказанным способом.

ИЗ ОПЫТА

ИЗ ОПЫТА ПРОВЕРКИ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ

Г. Н. СКОБЕЛЕВ (ст. Фастов, Киевская обл.)

В настоящей статье мы приводим на основе стенографической записи, образец практикуемой нами проверки домашних заданий.

Для удобства записи фамилии учащихся заменены их порядковыми номерами в списке, имеющемся в классном журнале.

Учитель: Что было задано на дом, 13?

Ученик 13: На дом была задана теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограма и задачи № 26.

Учитель: Для проверки решения задачи № 26 (первая задача) к доске пойдет 3. Для проверки решения задачи № 26 (вторая задача) к доске пойдет 15. Для доказательства теоремы к доске пойдет 22.

(Вызванные учащиеся выходят к доске и готовятся к ответу, отдав учителю тетради и дневники. Учитель задает вопросы остальным учащимся.)

Учитель: Имеется прямоугольный треугольник, из вершины прямого угла которого на гипотенузу опущена высота. Известны проекции обоих катетов. Как определить остальные элементы этого треугольника? Ответит 20.

Ученик 20: Мы вначале находим гипотенузу, которая равна сумме проекции. Затем находим высоту по правилу «квадрат высоты равен произведению проекций». Потом определяем каждый катет по правилу «квадрат катета равен произведению своей проекции на гипотенузу».

Учитель: Правильно. Теперь повторим ход доказательства теоремы Пифагора. Расскажет 9.

Ученик 9: Мы вначале определяем квадрат катета а, затем квадрат катета b. Квадрат каждого катета равен произведению его проекции на гипотенузу. Затем оба полученные равенства складываем и в правой части за скобки выносим гипотенузу с как общий множитель. В скобках получится сумма проекций, которая равна гипотенузе, следовательно, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Учитель: Хорошо. Теперь послушаем, как решила задачу 3.

Ученица 3: Определить диагонали ромба, если они относятся, как 3:4, а периметр равен 1 м.

(На доске записано решение (черт. 1).)

Дано: ромб ABCD,

Черт. 1

Объяснение. Для решения задачи обозначим наибольшую общую меру диагоналей через х.

* Наибольшая общая мера.

Тогда одна диагональ будет равна 3x, а другая 4x. Половина одной диагонали равняется 1,5x, а половина другой 2х.

Потом применяем теорему Пифагора и находим общую наибольшую меру. Она равна 10 см.

А теперь находим обе диагонали. Одна диагональ равна 30 см, а другая равна 40 см.

Учитель: Правильно. А кто эту задачу решил другим способом?

Как решил 1?

Ученик 1: Я рассматривал ромб как параллелограм. А в параллелограме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон.

Я записал такое уравнение:

У меня получилось:

А конец задачи у меня такой же.

Учитель: Правильно, решить задачу можно и так.

Скажите, 3, как построить отрезок, средний пропорциональный двум данным.

Ученица 3: Нужно на прямой отложить последовательно оба отрезка, построить на них полуокружность, а из общей точки провести перпендикуляр к прямой.

Учитель: Достаточно. Садитесь. Теперь послушаем 15.

Ученик 15: Диагонали ромба равны 24 см и 70 см. Определить сторону (черт. 1).

(На доске записано решение (черт. 1).)

Дано: ромб ABCD,

Найти AВ.

Решение.

Я нашел вначале ВО, а потом АО. А потом по теореме Пифагора из треугольника АВО нашел AB.

Учитель: Решение правильное. Но объяснять решение не умеете. Нужно подробно объяснить, почему треугольник АВО прямоугольный. Нужно сформулировать теорему Пифагора. Ребята, а какая у него ошибка. Скажите, 10.

Ученик 10: Он написал

вместо того, чтобы написать

Учитель: Правильно. Скажите, 15, а если в прямоугольном треугольнике будет дана гипотенуза и катет, то как найти остальные (какие? — Ред.) элементы.

Ученик 15: Вначале найдем другой катет. А потом... (затрудняется ответить).

Учитель: Давайте ему поможем. Что можно найти вслед за катетом, 4?

Ученик 4: Можно найти проекции по правилу «квадрат катета равен произведению проекции его на гипотенузу».

Учитель: Правильно. Садитесь. А когда узнаем проекции, тогда что можно будет найти, 15.

Ученик 15: По двум проекциям можно будет найти высоту.

Учитель: Правильно. Теперь послушаем 22.

Опросом ученика 22 закончилась проверка домашнего задания, продолжавшаяся 11 минут.

Методы проверки домашних заданий разнообразны и по цели проверки, и по форме, и по расположению во времени урока.

Например, я допускаю и такую форму проверки домашних заданий, когда учитель оставляет в конце урока минут 15—20 и, собрав у учащихся тетради, предлагает им воспроизвести ход решения домашнего задания на листках бумаги, которые также собираются.

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ В VIII—X КЛАССАХ

М. Д. ПРИЙМАЧЕНКО (С. Паволочь, Житомирской обл.)

Цель домашнего задания — не только закрепление знаний, полученных на уроке, но и привитие ученику любви к труду и навыков самостоятельно организовывать свой труд. Для достижения этой цели домашнее задание должно быть, во-первых, тесно связано с темой урока.

Выполняя домашнее задание, ученик возобновляет в памяти урок. Вместе с тем домашнее задание не должно быть простым повторением классной работы. Оно должно развивать творческую мысль ученика и учить применять полученные знания. Важно, чтобы ученик при выпол-

нении домашнего задания увидел урок в другом свете, особенно полезно, если он увидит практическое применение полученных знаний.

Второе очень важное требование к домашнему заданию — педагогически правильная доза. В этом вопросе мы допускаем много ошибок.

Часто некоторые ученики совсем не выполняют заданий, заявляя: «Не мог решить. Не понял». Учителю математики трудно проверить правильность этих слов, а потому эта фраза иногда прикрывает ленивцев. Имея пробелы в знаниях, ученик не умеет решать задач в старших классах и даже не знает, что ему нужно сделать, чтобы ликвидировать отставание.

Все это требует очень тщательного индивидуального подхода к учащимся.

Третьим важным требованием мы считаем правильную проверку выполнения домашнего задания. Если учитель не сумеет каждый раз установить, кто не выполнил задания, то количество учеников, не выполняющих заданий, будет быстро увеличиваться. Проверку выполнения домашних заданий нужно проводить так, чтобы она помогла еще больше закрепить изучаемый материал, чтобы она показала, что и как усвоено учениками, кто не выполнил задания и почему. Вместе с тем проверка домашних заданий должна быть проведена настолько рационально, чтобы она заняла не больше 1/3 урока. Все это с трудом удается многим учителям.

Чтобы концентрировать внимание учащихся на материале последнего урока, мы всегда требуем от учащихся проработать этот материал сначала по учебнику, а потом сделать задачи. Задач обычно даем на дом по 2—3 на каждый урок.

Первая задача подбирается так, чтобы ее решение легко вытекало из содержания урока (закрепление изученной формулы, тренировочные упражнения). Первая задача легкая, а потому она посильна каждому, — она укрепляет уверенность ученика в своих силах, мобилизует его на решение второй, более трудной задачи. Цель второй задачи — связать изучаемый материал с предыдущим и показать различные его применения.

Третья задача дается не всегда, и она имеет чисто практический характер: «Вычислить объем скирды соломы»; «Определить площадь побелки комнаты, при этом количество измерений должно быть наименьшим»; «Изготовить правильный многогранник из картона или из проволоки»; «Составить задачу на определение числа комбинаций»; «Начертить графики функций у = ах2 + bx + c, у которых D > 0, D = 0, D < 0»; «Изготовить настенную таблицу для класса» и т. д. Практические задания часто получают только некоторые ученики (или даже один ученик), в зависимости от их индивидуальных особенностей. Например, ученики, имеющие плохое пространственное воображение, чаще получают задание по изготовлению моделей геометрических фигур и иллюстраций к стереометрическим теоремам и задачам. Лучшие работы учеников сохраняются в школе и используются как наглядные пособия в последующие годы.

В практическом задании ученику предоставляется инициатива, и только через 2—3 дня ученик получает после уроков консультацию или образец прошлогодней работы (срок выполнения практической работы — 1 неделя). Иногда объявляется конкурс на изготовление лучшего пособия.

Чтобы не перегружать учащихся и в то же время дать им необходимую дозу домашних заданий по математике, мы опытным путем устанавливаем время, необходимое для решения каждой задачи средним учеником. Если задачи по новому материалу требуют немного времени и нет надобности увеличивать их количество, то в этот день даются добавочные задачи на повторение. Это делает нагрузку равномерной, и ученики привыкают определенное время уделять математике. Конечно, не всегда ученики укладываются в «прошлогодние нормы» по расходу времени, — это зависит от подготовки класса. Если ученикам оказалось мало «нормы», то выясняется, что именно явилось причиной задержки, и таким образом обнаруживают пробелы в знаниях учащихся. В таких случаях всем или отдельным ученикам даются задания на повторение соответствующего материала. Ученики, имеющие дополнительные задания по повторению, освобождаются на некоторое время от менее важной части общего домашнего задания. Это исключает перегрузку отстающих учеников и поднимает в их глазах важность дополнительных заданий, — некоторые ученики даже сами просят учителя дать им дополнительные задания по определенным темам ранее изученного материала.

Особенное внимание мы уделяем тщательной количественной и качественной проверке выполнения домашних заданий.

Дежурный ученик ведет ведомость о выполнении домашних заданий по математике учениками данного класса. Первая графа — фамилии учеников, следующие графы — номера задач, заданных для домашней работы. По заявлению ученика дежурный ставит ему минус против номера задачи, которую он не решил. Если ученик не мог решить задачу, хотя и решал, то этой отметки достаточно. Если же ученик совсем не решал этой задачи, то, кроме этой отметки, он должен предупредить учителя и объяснить причину невыполнения задания.

В начале урока ведомость лежит на столе, и учитель видит, кто какой задачи не решил (здесь же видно, как он выполнял задания к предыдущим урокам). В это время два ученика на доске без тетрадей записывают решения первой и второй задач.

Третий ученик опрашивается обычно устно по теории. Пока ученики пишут на доске решение, их тетради лежат на столе. Если обнаруживается, что решение в тетради списано, то ученик получает балл « 1 » без опроса по какому-либо другому материалу. Об этом надо предупредить учащихся в начале года раз навсегда: «Списывает тот, кто ничего не знает, а потому за списывание всегда будет оценка „1“». Необходимо просматривать черновики тех учеников, которые не решили задач, потому что кое-кто под видом «не мог решить» ничего не делает.

Чтобы опросить больше учеников и чтобы усилить внимание учеников во время опроса, мы иногда останавливаем отвечающего ученика и предлагаем продолжать следующему.

Практические работы анализируются в классе и оцениваются. Лучшие из них сразу отбираются для школьного кабинета.

Во время объяснения нового материала часто приходится ссылаться на знания учеников, полученные в процессе домашней работы, особенно если специально было задано повторение для связи с новым материалом. Обращение в этих случаях к ученикам оживляет урок и является одним из способов проверки выполнения домашних заданий.

В конце урока мы кратко объясняем новое домашнее задание, а иногда проводим самостоятельную работу такого типа, как будущее задание.

Один раз в неделю (для каждого класса есть свой день) после уроков мы проводим «ликвидацию задолженности»: учитель проверяет решения задач, которые ученики не решили своевременно. При этом задаются вопросы по ходу решения, чтобы убедиться в самостоятельности работы каждого ученика.

Кроме обыкновенных ежедневных общих заданий отдельным ученикам, имеющим пробелы в знаниях, даются дополнительные задания.

Выполнение дополнительных заданий мы проверяем один раз в неделю после уроков во время дополнительной работы с отстающими. Если ученик имеет много дополнительных заданий, то он освобождается от некоторых общих заданий, а в ведомостях против фамилий таких учеников дежурный ставит знак «V».

В конце четверти дежурный сдает ведомость о выполнении заданий учителю; она принимается во внимание при выводе оценки за четверть и большое значение будет иметь в планировании уроков в следующем году, так как показывает, на какие задачи следует обратить внимание.

О ПРОВЕРКЕ ТЕТРАДЕЙ И О РАБОТЕ НАД ОШИБКАМИ

В. Е. БУШУЕВ (пос. Мыски, Кемеровская обл.)

Успех работы преподавателя математики во многом зависит от того, как он проверяет письменные работы учащихся и как при этом он организует работу над ошибками.

Я убедился, что не получается должного эффекта, если при проверке тетрадей учитель сам исправляет ошибки учащихся. Учащиеся, особенно отстающие, смотрят пассивно в свою «разукрашенную» тетрадь, а выводов для себя не делают и к активной ликвидации пробелов в своих знаниях не привлекаются. Дополнительное задание еще больше увеличивает нагрузку отстающего ученика, и он окончательно теряет надежду когда-либо догнать класс.

Меня из года в год занимала проблема создания эффективных способов проверки тетрадей и работы над ошибками при условии соблюдения известных норм нагрузки учащихся во внеурочное время. Испробованы были различные приемы, и последние годы установился уже определенный метод работы, о котором и будет идти речь ниже (речь будет идти о VIII—X классах).

Учащиеся VIII класса имеют в работе пять тетрадей по математике (2 по алгебре и 2 по геометрии, пятая — для контрольных работ). Учащиеся девятых и десятых классов имеют по семь тетрадей (2 по алгебре, 2 по геометрии, 2 по тригонометрии, седьмая — для контрольных работ). На руках у ученика имеется по одной тетради по каждому предмету и тетрадь для контрольных работ, остальные тетради находятся у учителя на проверке.

Проверяя тетрадь в первый раз, учитель по обнаружении ошибки подчеркивает соответствующее место и ставит вопросительный знак красными чернилами. Такая (первичная) проверка не потребует большой затраты времени со стороны учителя. С надписью «См.» в конце проверенного текста тетрадь вручается ученику. При этом в классе происходит обмен тетрадями. Ученики получают проверенные тетради от учи-

теля, а сдают ему на проверку тетради, в которых они выполняли текущие классные и домашние работы. Выполняя новые работы после надписи «См.», ученики обязаны просмотреть проверенные учителем записи и там, где стоит вопросительный знак, исправить ошибку на небольшом листке бумаги. Если была ошибка в графике, то график на листке перечерчивается полностью. Отстающие ученики (их единицы) иногда не понимают с первого взгляда, по какому поводу поставлен учителем вопросительный знак в том или ином месте. В таком случае они обязаны обратиться за консультацией к сильному ученику или к учителю на перемене, либо на дополнительных занятиях.

Получив устное разъяснение от учителя, такой ученик на дополнительных занятиях в присутствии учителя исполняет на листках примеры или задачи, в которых им допущены ошибки (или с того места, где допущена ошибка, или полностью).

Большая часть учеников, конечно, эту работу над ошибками выполняет дома, наряду с текущими заданиями.

Наконец, происходит очередной обмен тетрадями (чаще через два урока). Ученик получает тетрадь из проверки и сдает в проверку учителю ту тетрадь, которая была у него на руках. В тетради, сданной учителю, вложены в соответствующих местах листки с исправлением ошибок.

Учитель, приступая к проверке такой тетради, проверяет сперва работу над ошибками, т. е. вложенные листки. Если ошибки исправлены, то учитель на листке делает надпись «См.». Если на листке допущена новая ошибка, то ее учитель подчеркивает. Надпись «См.» на листке есть разрешение ученику приклеить этот листок на то место, где была ошибка в основном тексте. При этом первоначальный текст не заклеивается полностью, а клей намазывается узкой полоской с краю листка так, чтобы он был приклеен на том месте, где учеником оставлено поле в тетради. Если такой листок с исправленной ошибкой отвернуть, то под ним будет первоначальный текст. Затем учителем подвергается первичной проверке указанным выше образом остальной текст и в конце ставится пометка «См.».

Когда тетрадь попадет учителю на проверку в третий раз, то он перелистывает ее полностью. При этом должно быть в тетради следующее:

1) В конце тетради (на 2 урока) непроверенный текст, который подвергнется первичной проверке.

2) В тексте между последней и предпоследней пометками «См.» вложенные листки с непроверенной работой над ошибками.

3) В тексте более раннего периода — приклеенные листки с проверенной работой над ошибками.

Когда у ученика кончается тетрадь, то он, не ожидая очередного обмена, немедленно сдает ее на проверку учителю.

Следует отметить, что число вклеенных листков уменьшается к концу изучения темы, а тем более к концу учебного года. Все меньше становится учеников, допускающих ошибки.

Читателю может показаться, что проверка 2—3 раза одного и того же места создает перегрузку в работе учителя. Это не так: учитель выигрывает время на том, что не сам исправляет ошибку при первичной проверке, а при вторичной проверке он сразу видит ошибку и работу над ней. Ученик никаких дополнительных заданий не получает. Учащиеся быстро привыкают и справляются с такой формой работы над ошибками.

ВОПРОСЫ ДАЛЬНЕЙШЕГО РАЗВИТИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Л. Г. КРУПОВЕЦКИЙ (Харьков)

В последнее время опубликован ряд официальных документов о дальнейшем развитии некоторых важнейших отраслей народного хозяйства в нашей стране.

Изучение этих документов и разработка с учащимися приведенных в них показателей наших планов и достижений является одной из важнейших обязанностей учителя математики, особенно в настоящее время — в свете задач политехнического обучения.

С целью облегчения труда учителя по подбору материала для задач мы даем в настоящей статье наиболее яркие числовые показатели, поддающиеся математической обработке. Учителю предоставляется возможность комбинировать их соответствующим образом путем составления задач по всем разделам курса арифметики (обыкновенные и десятичные дроби, процентные расчеты, отношения и пропорции, графики и диаграммы).

По некоторым числовым данным можно составлять также и алгебраические задачи (например, задачи на уравнения первой степени).

Во избежание громоздких вычислений числовые показатели, где это казалось удобным, мы дали в округленном выражении, в других же случаях оставили в том виде, в каком они даны в первоначальных источниках, предоставляя учителю самому сделать необходимые округления и упрощения.

Для удобства работы числовые данные расположены в систематизированном порядке с последовательной нумерацией.

Покажем на нескольких примерах, как учитель может использовать приведенный материал для составления задач. При этом необходимо иметь в виду, что задачу можно составить не только по числовым данным, значащимся под одним номером, но можно условие комбинировать из разных номеров.

Подберем сначала материал лля составления задачи на дроби. Для этой цели следует выбрать такие числовые данные, где могли бы получиться небольшие сократимые дроби. Рассматривая, например, числовые данные под № 37, замечаем, что показатели по производству маргарина за каждый год сокращаются на 30. Эти числа дают возможность составить такую задачу (с небольшими дробями) на применение правила нахождения дроби числа и числа по данной величине его дроби.

Задача 1. Производство маргарина в период с 1954 г. по 1956 г. выражается в 1350 тыс. т. При этом выработка его в 1955 г. превышает уровень 1954 г. на 2/13 производства его за этот год, а выработка в 1956 г. будет в 1 1/15 раза больше, чем в 1955 г. Определить производство маргарина за каждый год в отдельности.

Сопоставляя числовые данные под № 3 и № 6, можно составить такую, интересную по своим результатам, задачу:

Задача 2. В 1956 г. предположено довести посевы зерновых и других сельскохозяйственных культур на целинных и залежных землях до 30 млн. га. Сколько пудов зерна будет получено за счет освоения целинных и залежных земель в 1956 г. при урожайности 15 ц с гектара (как это было намечено первоначальным планом), считая 1 пуд равным 16,38 кг. Вычислить с точностью до 0,01 млрд. пудов.

Рассмотрим теперь числовые данные под № 56, которые дают возможность составить задачи на проценты в разных вариантах (всех трех типов). Составим задачу на нахождение процентного отношения чисел.

Задача 3. Всего в 1954 г. вспахано под урожай 1954 и 1955 гг. целинных и залежных земель 17,6 млн. га при плановом задании 13 млн. га. На сколько процентов перевыполнено плановое задание?

Используя числовые данные в условии задачи и найденный результат, можно легко составить задачи на нахождение процентов от числа и на нахождение числа по данному его проценту.

Составим теперь задачу, которая часто встречается в практической работе, когда приходится вычислять процентное отношение отдельных показателей к общему итогу (сумме), для чего используем данные № 17.

Задача 4. По данным последней переписи в нашей стране под плодово-ягодными насаждениями занято в колхозах 700 тыс. га, в государственных хозяйствах — 230 тыс. га и у колхозников, рабочих и служащих — 1 млн. 250 тыс га. Сколько процентов всей земли, занятой плодово-ягодными насаждениями, находится отдельно в колхозах, в государственных хозяйствах и у индивидуальных владельцев?

Эти же числовые данные учитель может использовать для составления задачи на отношения и пропорции в таком варианте:

Задача 5. Площади, занятые в настоящее время под плодово-ягодными насаждениями в колхозах, государственных хозяйствах и у индивидуальных владельцев (у колхозников, рабочих и служащих), относятся между собой, как 14: 4 3/5 : 25. Определить размеры этих площадей в отдельности, если площадь под этими насаждениями в колхозах больше, чем в государственных хозяйствах, на 470 тыс. га, и вычислить с точностью до 0,1 млн. га общую площадь, занятую под плодово-ягодными насаждениями в нашей стране.

По приведенным в настоящей задаче числовым данным учитель имеет возможность составить также круговую (секторную) диаграмму.

В приведенной выше задаче № 4 мы использовали данные для нахождения процентного отношения отдельных показателей к общему их итогу. Но представляют также интерес задачи, где требуется находить проценты по отношению к какому-нибудь исходному (основному) числу, принятому за 100%. Оба эти приема можно включить в условие одной и той же задачи.

Возьмем, например, некоторые числовые данные из № 43 и представим условие задачи в виде такой таблицы (таблицу см. на странице 53):

Задача 6. Рост производства животного масла за период 1953—1956 гг. характеризуется следующими данными (уровень 1953 г. принимается за 100%):

Годы

Выработка масла (в тыс. тонн)

В проц. к 1953 г.

В проц. к предыдущему году

1953

400

(100%)

(100%)

1954

476

?

?

1955

560

?

?

1956

650

?

?

Заполнить таблицу (вычислить в целых процентах).

По числовым данным № 43 можно составить задачу на отношения и пропорции в таком варианте:

Задача 7. Числа, обозначающие производство животного масла в 1950, 1953 и 1956 гг. (по трехлетиям), относятся между собой, как 6,5 : 8 :13. Определить производство животного масла за каждый год в отдельности, если известно, что в 1956 г. его будет произведено больше, чем в 1953 г., на 250 тыс. т.

По числовым данным под № 43 можно также составить график или прямоугольную диаграмму.

По числовым данным № 37 можно составить такую интересную задачу в виде таблицы, характеризующей рост производства указанных в таблице товаров:

Задача 8. Производство некоторых важнейших продовольственных товаров в 1954—1956 гг. характеризуется следующими данными (в тыс. тонн):

Продовольственные товары

1954 г.

1955 г.

1956 г.

1956 г. в проц.

к 1954 г.

к 1955 г.

Мясо.....

и т. д.

2180

2550

3000

?

?

Знаки вопроса показывают, что таблицу эту следует заполнить, поставив вместо знака ? соответствующее число процентов. Данные числовые показатели можно округлить и выразить их в миллионах тонн с точностью до 0,1 млн. т.

По числовым данным № 31 можно составить задачу, где требовалось бы находить число, которое на несколько процентов выше или ниже данного числа.

Задача 9. Выработка резиновой обуви в 1955 г. составит 109,4 млн. пар, что на 226,6% больше выработки валяной обуви и на 65,6% ниже выпуска кожаной обуви в том же году. Сколько пар кожаной и валяной обуви будет выработано в отдельности в 1955 г.? (Вычислить с точностью до 0,1 млн. пар.)

Составим по числовым данным № 53 такую задачу, где приходится вычислять проценты от процентов.

Задача 10. Национальный доход СССР в 1954 г. вырос по сравнению с 1953 г. на 11%, а в 1953 г. национальный доход вырос по сравнению с 1952 г. на 8%. Определить (в целых процентах), на сколько процентов увеличился национальный доход в 1954 г. по сравнению с 1952 г.

Некоторые простые задачи и отдельные несложные вопросы (например, выражение дроби в виде процентов или процентов в виде дроби по числовым данным № 20; 29; 46; 49 и т. п.) могут служить тренировочным материалом для устного счета.

Переходим теперь к изложению материалов с числовыми данными, почерпнутых нами из разных официальных источников и расположенных в этой статье для удобства и облегчения работы учителя по отдельным отраслям народного хозяйства.

I. О дальнейшем развитии сельского хозяйства СССР.

1. По общему плану освоения новых земель было предусмотрено в ближайшие два года (1954—1955 гг.) расширить посевы зерновых культур за счет освоения целинных и залежных земель на 13 млн. га, из них: в колхозах — 8,7 млн. га и в совхозах — 4,3 млн. га.

2. В 1954 г. было предусмотрено расширить за счет освоения новых земель посевы зерновых культур на 2,3 млн. га, а в 1955 г. — на 10,7 млн. га.

3. В результате освоения намеченных по плану 13 млн. га целинных и залежных земель предусмотрено получить за счет освоения этих земель до 1200 млн. пудов зерна, в том числе до 900 млн. пудов товарного зерна, при урожайности 14—15 и, с гектара.

4. Весной 1954 г. на вновь осваиваемых землях посеяно пшеницы и других культур на площади 3,6 млн. га при плане 2,3 млн. га. План посева зерновых культур на целинных и залежных землях в колхозах выполнен был на 156% и в совхозах — на 176%.

5. Всего в 1954 г. вспахано под урожай 1954 и 1955 гг. целинных и залежных земель 17 млн. 600 тыс. га при плановом задании 13 млн. га.

6. Исходя из достигнутых в 1954 г. огромных успехов по освоению новых земель, предположено в 1956 г. довести посевы зерновых и других сельскохозяйственных культур до 28—30 млн. га на вновь осваиваемых землях.

7. Постановлением январского Пленума ЦК КПСС одобрено решение ЦК КПСС и Совета Министров СССР о расширении посевов на целинных и залежных землях в 1956 г. не менее чем до 28—30 млн. га.

8. В 1954 г. посевные площади яровых зерновых культур по сравнению с 1953 г. увеличены на 6429 тыс. га, в том числе посевы пшеницы расширены на 3583 тыс. га, кукурузы на зерно на 756 тыс. га.

9. Колхозы, МТС и совхозы посеяли в 1954 г. озимых 40,9 млн. га, в том числе пшеницы свыше

20 млн. га, т. е. на 1,6 млн. га больше чем в 1953 г.

10. Колхозы и колхозники получили за свою продукцию, сданную и проданную государству, в 1953 г. на 12 млрд. руб. больше, а в 1954 г. на 25 млрд. руб. больше чем в 1952 г.

11. Площадь под пшеницей по сравнению с 1940 г. возросла с 40,3 млн. га до 49,3 млн. га в 1954 г., а удельный вес пшеницы в зерновых посевах увеличился за это время с 36,4% до 44%.

12. До укрупнения колхозов в нашей стране насчитывалось 254 тыс. колхозов, а в настоящее время — 89 тыс. колхозов.

До укрупнения колхозов в среднем на колхоз приходилось 589 га пашни, а после укрупнения — 1693 га пашни.

13. К концу пятилетки предусмотрено увеличить производство сахарной свеклы на 65—70%, довести валовой сбор свеклы примерно до 350 млн. ц в год, вместо 220 млн. ц в 1952 г.

14. Задания по посеву, урожайности хлопчатника и валовому сбору хлопка-сырца в колхозах и совхозах Узбекской ССР на 1955 г. и на 1958 г. установлены в следующих размерах:

1955 г.

1958 г.

Площадь посева хлопчатника (в тыс. га).........

1248,0

1450,0

Средняя урожайность хлопчатника по республике (в центн. с 1 го)..........

26,5

29,0

Валовой сбор хлопка-сырца (в млн. т).........

3,3

4,2

15. Задания по посеву, урожайности хлопчатника и валовому сбору хлопка-сырца в колхозах и совхозах Туркменской ССР установлены на 1955 и 1958 гг. в следующих размерах:

1955 г.

1958 г.

Площадь посева хлопчатника (в тыс. га).........

180,0

230,0

Урожайность хлопчатника (в центн. с 1 га).......

22,5

27,0

Валовой сбор хлопка-сырца (в тыс. т).........

405,0

621,0

16. В колхозе «Вперед, к коммунизму» Раменского района Московской области при квадратно-гнездовом способе затрачено было на посадку и обработку картофеля только 1,6 человеко-дня на один гектар, тогда как при рядовой посадке на эти же работы затрачивается 30 человеко-дней.

В этом же колхозе урожай картофеля при рядовой посадке составил 80 ц с гектара, а при посадке квадратно-гнездовым способом —167 ц с гектара.

17. По данным последней переписи, под плодово-ягодными насаждениями в нашей стране занято 2,2 млн. га, из них: около 700 тыс. га — в колхозах, 230 тыс. га — в государственных хозяйствах, 1 млн. 250 тыс. га — у колхозников, рабочих и служащих.

18. Постановлением январского Пленума ЦК КПСС предусмотрено довести к 1960 г. валовой сбор зерна в Советском Союзе не менее чем до 10 млрд. пудов в год с целью полностью удовлетворить все потребности страны в хлебе, создать более мощные резервы, расширить торговлю с зарубежными странами и вместе с тем выделить для животноводства более 4 млрд. пудов зерна.

19. Постановлением январского Пленума ЦК КПСС намечено довести к 1960 г. посевные площади под кукурузой не менее чем до 28 млн. га.

В Советском Союзе в 1953 г. посевами кукурузы было занято всего 3,5 млн. га, т. е. 3,3% общей площади зерновых культур, а собрано было всего кукурузы 230 млн. пудов.

20. К 1960 г. намечено увеличить по сравнению с 1954 г. производство мяса, сала (всех видов) и молока — в 2 раза, яиц — в 2,2 раза, шерсти (всех видов) — в 1,8 раза.

21. Увеличение удоя молока в 1960 г. предусмотрено в целом по стране в среднем на одну корову в колхозах не менее чем до 1700 кг и в совхозах— не менее чем до 3100 кг.

22. Средний настриг шерсти намечено повысить в колхозах не менее чем до 3,0 кг и в совхозах — до 4,2 кг на каждую овцу.

23. Поголовье птицы в колхозах и совхозах намечено увеличить в 1960 г. в сравнении с 1954 г. в 2,5—3 раза.

24. На основе повышения продуктивности животноводства и роста поголовья скота постановлено увеличить в 1960 г. в сравнении с 1954 г. объем заготовок и закупок мяса не менее чем в 1,6 раза, а свинины — не менее чем в 2,8 раза, молока и молочных продуктов — не менее чем в 1,8 раза, яиц — более чем в 3 раза и шерсти — в 2 раза.

25. В совхозах намечено увеличить в 1960 г. по сравнению с 1954 г. производство мяса не менее чем в 1,8 раза, молока — в 2,8 раза, шерсти — в 2,2 раза, яиц — в 4 раза.

26. С целью укрепления кормовой базы январский Пленум ЦК КПСС постановил:

Увеличить производство кормов в 1960 г. в колхозах и совхозах до следующих размеров:

концентрированных кормов — не менее чем до 65 млн. т вместо 12 млн. т в 1953 г. (т. е. больше в пять с лишнем раз);

силоса — не менее чем до 176 млн. т вместо 32 млн. т в 1953 г. (т. е. больше в пять с половиной раз);

корнеплодов, кормовых бахчевых культур —не менее чем до 38 млн. т вместо 9 млн. т в 1953 г. (т. е. больше в четыре раза);

картофеля — не менее чем до 25 млн. т вместо 5 млн. т в 1953 г. (т. е. больше в пять раз);

грубых кормов — до 178 млн. т вместо 129 млн. т в 1953 г. (т. е. больше почти в полтора раза).

27. За последние шесть лет в колхозах построены силосные сооружения общей емкостью только на 10 млн. т. В ближайшие шесть лет намечено построить в колхозах капитальные силосные сооружения общей емкостью не менее 45 млн. т.

II. О расширении производства промышленных товаров широкого потребления.

28. Задание по выпуску некоторых промышленных товаров широкого потребления установлено на 1955 г. в следующих размерах (в тыс. штук): швейных машин — 2615, велосипедов — 3455, часов всех видов — 22 000, радиоприемников и телевизоров — 4527.

На 1956 г. намечен дальнейший рост производства этих же товаров: швейных машин будет выпущено 3 млн. штук, велосипедов — 3,8 млн. штук, или в 14 раз больше, чем в 1940 г., часов — 23 млн. штук, что почти в 9 раз больше чем в 1940 г., радиоприемников и телевизоров — 5,4 млн. штук (в том числе

телевизоров 1 млн. штук), в то время как в 1940 г. радиоприемников было произведено 200 тыс. штук, а телевизоры не выпускались.

29. Рост производства важнейших видов промышленных товаров широкого потребления в 1956 г. по сравнению с 1950 г. предусмотрен в следующих размерах: шерстяных тканей — в 2 раза, шелковых тканей — в 5,2 раза, хлопчатобумажных тканей — на 70%, бельевого трикотажа — в 2,8 раза, чулочно-носочных изделий — на 80%, обуви кожаной — на 70%, швейных машин — в 5,9 раза, велосипедов — в 5,8 раза, часов — в 3,2 раза, радиоприемников и телевизоров — в 5 раз, мебели — в 3,9 раза.

30. На 1955 г. намечен выпуск разных тканей в следующих количествах: хлопчатобумажных тканей будет выпущено 6267 млн. м, шерстяных — 271 млн. м, шелковых — 573 млн. м и льняных тканей — 406 млн. м.

31. В 1955 г. будет выработано обуви кожаной 318 млн. пар, валяной — 33,5 млн. пар и резиновой — 109,4 млн. пар.

32. Рост производства некоторых важнейших промышленных товаров в 1955 г. по сравнению с 1954 г. характеризуется такими данными:

Наименование товаров

1954 г.

1955 г.

Швейные изделия (млн. рублей) ............

44014

51805

Мебель (млн. рублей) ....

5336

6958

Кровати металлические (тыс. штук)...........

13500

16540

Чулочно — носочные изделия (млн. пар).........

673

777

Бельевой трикотаж (млн. штук)

326

382

Верхний трикотаж (млн. штук)

79

88

Мотоциклы (тыс. штук) . . .

190

225

33. Задание по выпуску хлопчатобумажных, шерстяных, шелковых и льняных тканей установлено на 1955 г. в 7,5 млрд. м против 6,6 млрд. м в 1954 г.

34. Выработка кожаной, валяной и резиновой обуви установлена на 1955 г. в 450,9 млн. пар против 400,6 млн. пар в 1954 г.

III. О расширении производства продовольственных товаров.

35. В 1955 г. рост производства продовольственных товаров составит по сравнению с 1950 г. 84,7% против 71,4%, предусмотренных в директивах XIX съезда партии по пятому пятилетнему плану.

36. Рост производства сахара в СССР за период с 1950 г. по 1956 г. характеризуется такими данными (в млн. т):

1950 г.

1953 г.

1954 г.

1955 г.

1956 г.

3,2

3,6

5,7

6,4

7,1

37. Производство некоторых важнейших продовольственных товаров в 1954—1956 гг. характеризуется следующими данными (в тыс. т.):

Продовольственные товары

1954 г.

1955 г.

1956 г.

Мясо........

2180

2550

3000

Колбасные изделия .

710

850

1000

Животное масло . . .

476

560

650

Растительное масло .

1300

1500

1650

Маргарин ......

390

450

510

Сахар-песок ....

4300

4800

5300

Сахар-рафинад . . .

1350

1550

1800

38. Задание по добыче рыбы и морского зверя на 1956 г. установлено в 36 млн. ц, или в 2,1 раза больше чем в 1950 г., в том числе: сельди — в количестве 7,8 млн. ц, или в 3,2 раза больше чем в 1950 г.

39. В 1956 г. намечено довести выработку овощных, томатных и фруктовых консервов примерно до 2500 млн. банок, или увеличить в 2,7 раза по сравнению с 1950 г., а выработку всех видов консервов (мясных, рыбных, молочных, овощных, томатных и фруктовых) до 4150 млн. банок, или увеличить в 2,9 раза по сравнению с 1950 г.

40. Рост выработки овощных, томатных и фруктовых консервов в 1953—1956 гг. по сравнению с 1950 г. характеризуется следующими данными (в млн. банок):

1950 г.

1953 г.

1954 г.

1955 г.

1956 г.

922

1363

1780

2045

2500

41. В 1956 г. намечено довести производство мяса государственной промышленностью примерно до 3 млн. т, или увеличить в 2,4 раза по сравнению с 1950 г., производство колбасных изделий — до 1 млн. т, или увеличить в 2,2 раза, а производство мяса птицы — в 4,7 раза больше против 1950 г.

42. В 1956 г. предусмотрено довести производство животного масла до 650 тыс. т, или увеличить в 2 раза по сравнению с 1950 г., растительного масла — до 1650 тыс. т, или увеличить в 2,1 раза по сравнению с 1950 г., а сыра — до 160 тыс. т, или увеличить в 3,3 раза по сравнению с 1950 г.

43. Рост производства животного масла в СССР за период 1953—1956 гг. по сравнению с 1913 г. и 1950 г. характеризуется такими данными (в тыс. т):

1913 г.

1950 г.

1953 г.

1954 г.

1955 г.

1956 г.

104

325

400

476

560

650

44. Добыча рыбы и морского зверя была намечена в таких размерах: в 1954 г. — 27 млн. ц, в 1955 г. — 32 млн. ц, в 1956 г.—36 млн. ц.

45. Рост выработки кондитерских изделий в нашей стране характеризуется такими данными (в тыс. т):

1950 г.

1953 г.

1954 г.

1955 г.

994

1387

1579

1825

IV. О дальнейшем развитии советской торговли.

46. Прирост рыночных фондов продовольственных и промышленных товаров для продажи населению в 1955 г. по сравнению с 1950 г., установленный пятилетним планом, по новому заданию увеличен и предусмотрен в следующих размерах:

Наименование товаров

Прирост, установленный пятилетним планом на 1955 год

Новое задание на 1955 год

Мясопродукты.....

на 90%

в 2,3 раза

Рыбопродукты .....

на 70%

в 2,1 ,

Масло животное ....

на 70%

в 1,9 .

Сыр..........

в 2 раза

в 2,2 .

Масло растительное . .

в 2 раза

в 2,6 .

Сахар .........

в 2 раза

в 2,3 .

Вино виноградное . . .

в 2 раза

в 2,4 „

Одежда........

на 80%

в 2,4 ,

Ткани .........

на 70%

в 1,8 „

в т. ч. шерстяные и шелковые ткани . . .

в 2,4 „

Чулки, носки......

в 2 раза

в 2,2 ,

Трикотаж.......

в 2,2 раза

в 2,7 „

Мебель........

в 3,0 раза

в 4,0 „

Металлическая посуда .

в 2,5 раза

в 4,9 „

Велосипеды......

в 3,5 раза

в 5,5 .

Швейные машины . . .

в 2,4 раза

в 5,1 .

Радиоприемники и телевизоры .......

в 2 раза

в 4,4 раза

Часы.........

в 2,2 раза

в 2,6 раза

в том числе наручные часы ......

в 4,7 раза

Домашние холодильники, стиральные машины, пылесосы......

в несколько раз

более чем в 10 раз

47. В 1954 — 1956 гг. предусмотрено построить и открыть в городах и сельских местностях:

a) 40 тыс. магазинов, из них: 10,8 тыс. — в 1954 г.» 13,5 тыс. — в 1955 г. и 15,7 тыс. — в 1956 г.

b) 11 тыс. ресторанов, столовых, закусочных, кафе, чайных и буфетов, в том числе: в 1954 г. —3150; в 1955 г. — 3700 и в 1956 г. — 4150 единиц.

48. В общей торговой сети в настоящее время насчитывается 43 тыс. специализированных магазинов, а в 1954—1956 гг. намечено построить и открыть еще 9 тыс. таких магазинов.

49. На 1956 г. предусмотрено дальнейшее увеличение рыночных фондов основных продовольственных и промышленных товаров по сравнению с 1950 г. примерно в следующих размерах:

Мясопродукты........... в 2,6 раза

Рыбопродукты........... в 2,3

Масло Животное.......... в 2,1

Масло растительное........ в 2,8

Сахар............... в 2,4 „

Ткани............... в 2,0 „

Обувь............... в 2,0 „

Швейные машины......... в 5,9

Радиоприемники и телевизоры ... в 5,3

Мебель.............. в 4,8

Велосипеды............ в 6,0 „

V. Об итогах выполнения государственного плана развития народного хозяйства СССР в 1954 г.*

50. Годовой план по производству валовой продукции в СССР в 1954 г. выполнен в целом по промышленности на 103%. Валовая продукция всей промышленности СССР в 1954 г. выросла по сравнению с 1953 г. на 13%, а по сравнению с 1950 г. — на 65%.

(Валовая продукция всей промышленности в СССР в 1953 г. выросла по сравнению с 1952 г. на 12% и по сравнению с 1950 г. — на 45%.)

51. Производство некоторых важнейших видов промышленной продукции в 1954 г. увеличилось по сравнению с 1953 г. следующим образом: производство чугуна в процентах в 1953 г, составляло 109, стали — 108, проката — 109, угля — 108, нефти — 112, электроэнергии — 111.

52. Производство некоторых важнейших продовольственных товаров в 1954 г. в процентах в 1953 г. составляло: производство мяса — 109, колбасных изделий— 111, рыбы—114, масла животного—102, масла растительного—111, маргарина—116, молочных продуктов— ИЗ, сыра—112, кондитерских изделий—103, макаронных изделий —115, консервов —116.

53. Национальный доход СССР в 1954 г. вырос по сравнению с 1953 г. на 11%.

(Национальный доход СССР в 1953 г. вырос по сравнению с 1952 г. на 8%.)

54. В 1954 г. было посеяно яровых культур по всем категориям хозяйств на 10,8 млн. га больше чем в 1953 г., в том числе яровых зерновых культур — на 7,2 млн. га. Общая площадь озимых и яровых культур под урожай 1954 г. возросла по сравнению с 1953 г. на 8,9 млн. га.

55. В 1954 г. заготовлено и закуплено государством больше, чем в 1953 г.: картофеля на 1 млн. 230 тыс. т, овощей — на 445 тыс. т.

56. Всего в 1954 г. вспахано под урожай 1954 и 1955 гг. целинных и залежных земель 17 млн. 600 тыс. га при плановом задании 13 млн. га.

57. В колхозах и совхозах посеяно озимых культур под урожай 1955 г. 40,9 млн. га, или на 1,2 млн. га больше чем было засеяно под урожай 1954 г.

58. В 1954 г. сельское хозяйство получило 137 тыс. тракторов общего назначения (в 15-сильном исчислении) и 46 тыс. физических пропашных тракторов, 37 тыс. зерновых комбайнов, из них 17 тыс. самоходных, 15 тыс. комбайнов для уборки картофеля и 5 тыс. комбайнов для уборки технических культур, 116 тыс. грузовых автомобилей, 100 тыс. тракторных плугов, 94 тыс. тракторных сеялок, 94 тыс. тракторных культиваторов, около 200 тыс. самоходных и тракторных сеноуборочных машин и много других машин для обработки почвы, Посева и уборки урожая, а также машин и оборудования для животноводческих ферм.

* В настоящем разделе разработаны некоторые из важнейших, наиболее ярких показателей итогов выполнения плана за 1954 г., содержащихся в сообщении Центрального Статистического Управления при Совете Министров СССР, опубликованном 21 января 1955 г. В некоторых случаях здесь приведены в скобках числовые показатели за прошлые периоды, взятые из других официальных источников, с целью дать возможность учителю более полно охватить и анализировать материал путем сопоставления показателей за разные периоды при самостоятельном составлении задач по изложенному здесь материалу.

59. В районы освоения целинных и залежных земель завезено в 1954 г. 115 тыс. тракторов (в 15-сильном исчислении), 18 тыс. зерновых комбайнов и соответствующее количество тракторного прицепного инвентаря и других сельскохозяйственных машин.

60. Общее поголовье скота во всех категориях хозяйств: в колхозах, в совхозах, у колхозников и у рабочих и служащих по данным переписи на 1 октября 1954 г. по сравнению с 1 октября 1953 г. составляло (миллионов голов):

На I/X 1953 г.

На I/X 1954 г.

Коров ......

26,0

27,5

Всего крупного рогатого скота .

63,0

64,9

Свиней .....

47,6

51,0

Овец......

114,9

117,5

61. Годовой план грузооборота железнодорожного транспорта в 1954 г. по сравнению с 1950 г. вырос на 42%. Это означает, что задание, предусмотренное пятым пятилетним планом по росту грузооборота железодорожного транспорта в 1955 г. по сравнению с 1950 г. на 35—40%, выполнено досрочно, в 4 года.

(Грузооборот в 1953 г. по сравнению с 1952 г. возрос на 7%.)

62. Объем государственных капитальных вложений в 1954 г. составил 115% к 1953 г. В 1953 г. объем капитальных вложений составлял 104% к 1952 г.

63. Численность рабочих и служащих в народном хозяйстве СССР на конец 1954 г. составила около 47 млн. человек и была больше чем в конце 1953 г., на 2 млн. человек.

(С начала первой пятилетки число рабочих и служащих в народном хозяйстве СССР росло следующим образом: 1928 г.—10,8 млн. человек; 1932 г. — 22,8 млн. человек; 1937 г. — 27,0 млн. человек; 1940 г. — 31,5 млн. человек; 1953 г. — 44,8 млн. человек; 1954 г. — 47,0 млн. человек.

64. В течение 1954 г. населению было продано товаров в государственной и кооперативной торговле, в сопоставимых ценах, на 18% больше чем в 1953 г.

(В течение 1953 г. населению было продано товаров, в сопоставимых ценах, по линии государственной и кооперативной торговли на 21% больше чем в 1952 г.)

65. Розничный товарооборот в 1954 г. возрос по сравнению с 1950 г., в сопоставимых ценах, на 80%. Это означает, что задание пятого пятилетнего плана, предусматривающее увеличение розничного товарооборота государственной и кооперативной торговли в 1955 г. по сравнению с 1950 г. примерно на 70%, выполнено досрочно, в 4 года.

66. В высших учебных заведениях (включая заочные) в 1954 г. обучалось 1732 тыс. студентов, или на 170 тыс. человек больше чем в 1953 г. В техникумах и других средних специальных учебных заведениях (включая заочные) обучалось около 1790 тыс. человек, или на 144 тыс. человек больше чем в 1953 г. Высшие и средние специальные учебные заведения выпустили в 1954 г. свыше 560 тыс. молодых специалистов.

(В 1953 г. высшие и средние специальные учебные заведения выпустили более 500 тыс. молодых специалистов.)

67. В 1954 г. в нашей стране имелось около 390 тыс. библиотек всех видов с числом книг в них 1,2 млрд. экземпляров.

(В 1953 г. в стране имелось более 380 тыс. библиотек всех видов с числом книг в них свыше 1 млрд. экземпляров.)

68. Количество киноустановок в стране достигло в 1954 г. 54 тыс., увеличившись по сравнению с 1953 г. более чем на 2 тыс.

69. Число врачей в нашей стране по сравнению с 1953 г. возросло более чем на 10 тыс. человек.

(Число врачей в 1953 г. по сравнению с 1952 г. возросло более чем на 11 тыс. человек.)

70. Число мест в санаториях и домах отдыха возросло в 1954 г. по сравнению с 1953 г. почти на 8 тыс. человек.

(Число мест в санаториях и домах отдыха в 1953 г» возросло по сравнению с 1952 г. на 12 тыс.)

71. Капитальные вложения в государственное жилищное строительство увеличилось в 1954 г. по сравнению с 1953 г. на 19%.

(Капитальные вложения в государственное жилищное строительство в 1953 г. увеличилось по сравнению с 1952 г. на 11%.)

VI. О государственном бюджете СССР на 1955 г.*

72. Государственный бюджет СССР на 1955 г. утвержден по доходам в сумме 590,2 млрд. руб. и по расходам в сумме 563,5 млрд. руб. с превышением доходов над расходами в 26,7 млрд. руб.

73. Расходы на финансирование народного хозяйства установлены по государственному бюджету на 1955 г. в сумме 222,4 млрд. руб. и, кроме того, за счет собственных средств предприятий и хозяйственных организаций в сумме 112,9 млрд. руб., а всего — 335,3 млрд. руб.

74. На дальнейшее развитие всех отраслей промышленности по государственному бюджету на 1955 г. направляется 189,6 млрд. руб., в том числе из бюджета 111,8 млрд. руб. В отдельности из этих ассигнований на финансирование тяжелой промышленности направляется 163,6 млрд. руб., из них бюджетных ассигнований 101,2 млрд. руб. и за счет собственных средств предприятий и хозяйственных организаций — 62.4 млрд. руб.

75. На осуществление мероприятий по сельскому хозяйству выделяется 65,2 млрд. руб., в том числе из бюджета 55,1 млрд. руб. и за счет собственных средств хозяйственных организаций — 10,1 млрд. руб.

Из общей суммы расходов на финансирование сельского хозяйства в 1955 г. государственных ассигнований на содержание и новое строительство машинно-тракторных станций предусмотрено 32,6 млрд. руб. (что превышает расходы 1953 г. в полтора раза) и на мероприятия по использованию целинных и залежных земель предусмотрены расходы в сумме 11 млрд. руб.

76. По государственному бюджету на все виды транспорта и связи в 1955 г. будет израсходовано 40.5 млрд. руб., в том числе из бюджета 23 млрд. руб.

77. Расходы на мероприятия по дальнейшему увеличению производства товаров народного потребления и улучшению их качества, а также по расширению сети торговых организаций составят в 1955 г. 27,9 млрд. руб., в том числе из бюджета 11,4 млрд. руб. и за счет собственных средств предприятий и хозяйственных организаций 16,5 млрд. руб.

78. На социально-культурные мероприятия ассигновано по государственному бюджету на 1955 г. 147,0 млрд, руб., из них, на просвещение и культуру — 68,5 млрд. руб., на здравоохранение и физическую культуру — 30,5 млрд. руб., по социальному обеспечению и социальному страхованию — 45,8 млрд. руб. Кроме того, на разные другие оздоровительные мероприятия ассигновано 2,2 млрд. руб.

* Числа даны здесь с округлением до 0,1 млрд. рублей.

ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ НАД ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОНЯТИЯМИ

В. Д. ЧИСТЯКОВ (Витебск)

Содержание большинства геометрических понятий раскрывается через определения. От того, насколько правильно дано определение того или иного геометрического понятия, зависит и правильное его понимание.

Методика обучения составлению правильных определений не представляет трудностей. Все ее требования сводятся к одному: нужна повседневная систематическая работа учителя с учащимися.

К этому нужно еще добавить следующее:

1) работа над составлением определений геометрических понятий начинается с самых первых уроков изучения систематического курса, т. е. с VI класса;

2) нужно руководствоваться принципом, чтобы учащиеся под руководством учителя пытались давать определения самостоятельно;

3) считать законом спрашивать определения всех геометрических терминов, входящих в заданный урок. Кроме того, время от времени заниматься повторением усвоенных ранее определений;

4) всякая ошибка в определении геометрического понятия, допущенная учеником, должна быть детально разобрана до полного уяснения ее смысла.

На всякую ошибку, связанную с неправильным употреблением слов обиходной речи, как и на всякую другую ошибку, учитель должен немедленно реагировать, подвергнуть ее всестороннему тщательному анализу и после того, как ошибка будет всеми осознана, потребовать ее исправления.

Многие учителя г. Витебска уделяют большое внимание работе над геометрическими понятиями. Работа над определениями ведется систематически на каждом уроке, часто при опросе учащихся и повторении. Так, на уроке в VII классе, посвященном решению задач на построение параллелограмов, попутно ведется работа над определениями параллелограма, прямоугольника, квадрата, ромба (школа № 1).

Учащимся предлагаются вопросы:

a) Какой параллелограм называется квадратом?

b) Какой ромб называется квадратом?

На последний вопрос одна ученица ответила: «Квадрат есть ромб с одинаковыми диагоналями».

На вопрос: «Придумайте сами определение параллелограма, положив в основу существенное свойство его», — ученики давали ответы:

1) параллелограм есть четырехугольник, у которого противоположные стороны равны; 2) параллелограм есть четырехугольник, у которого диагонали, пересекаясь, делятся пополам.

На вопрос учителя: «Придумайте сами какие-нибудь определения ромба», — один из ответов был таков: «Ромб есть параллелограм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны».

Среди многих ответов учащихся не было ошибочных определений, кроме одного: «Квадрат есть ромб с прямыми углами и равными диагоналями». Ошибка была обнаружена быстро самими же учащимися*.

Для работы над определениями геометрических понятий учителя многих витебских школ (школы № 13, 20 и др.) в процессе преподавания широко используют следующие вопросы-упражнения.

1. Выделить родовое понятие и видовое отличие в определении: а) угла, b) центрального угла, с) смежных углов, d) вертикальных углов, е) вписанного угла, f) двугранного угла, g) угла скрещивающихся прямых.

2. Указать, в чем состоит ошибка в следующем определении: взаимное наклонение двух прямых называется углом.

3. Указать ошибку в следующем определении: «два угла, у которых одна сторона и вершины общие, называются смежными».

4. Можно ли считать логически правильным определение: «два угла называются вертикальными, если они имеют общую вершину и стороны одного составляют продолжение сторон другого» ?

5. Произвести логический анализ определения: «угол, образованный двумя хордами, называется вписанным углом» (указать, чего в нем недостает).

6. Указать ошибку в следующем определении: «двугранным углом называется угол, образованный двумя плоскостями, имеющими общую прямую».

7. Выделить родовое понятие и видовые отличия в определениях: а) многоугольника, b) треугольника, с) медианы, d) биссектрисы.

8. Указать ошибку в следующих определениях:

а) «прямая, соединяющая вершину какого-нибудь угла треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой»;

* Здесь лучше говорить не об ошибке, а о наличии в определении лишнего признака.—Ред.

b) «прямая, делящая какой-нибудь угол треугольника пополам, называется биссектрисой».

9. Выделить родовое понятие и видовые отличия в определении: а) параллельных прямых, b) параллелограма, с) прямоугольника, d) ромба, е) квадрата, f) трапеции.

10. Произвести логическую критику следующих определений, помещенных в учебнике А. П. Киселева: а) параллельных прямых (§ 70), b) прямоугольника (§ 92), с) ромба (§ 93), d) квадрата (§ 94).

(Указать, что в каждом из указанных определений является лишним.)

11. Произвести логический разбор определения: «две прямые, не имеющие общей точки, сколько бы их ни продолжали, называются параллельными» (указать, чего в нем недостает и что лишнее).

12. Указать, в чем ошибка в следующих определениях:

a) «четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны, называется параллелограмом»;

b) «фигура, у которой противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограмом»;

c) «фигура, у которой противоположные стороны попарно равны, называется параллелограмом».

13. Указать различные логические правильные определения: а) параллелограма, b) прямоугольника, с) ромба, d) квадрата.

(Выделить в каждом из приведенных определений родовое понятие и видовые отличия.)

14. Указать, в чем состоит ошибка в следующих определениях: а) «параллелограм — это не прямоугольник», b) «прямоугольник — это не ромб», с) «ромб — это не квадрат», d) «квадрат — это не трапеция».

15. Указать, в чем состоит логическая несостоятельность следующего определения: «две прямые называются параллельными, если все точки одной находятся на одинаковых расстояниях от другой».

16. Выделить родовое понятие и видовые отличия в определении:

а) подобных треугольников, b) подобных одноименных многоугольников, с) правильного многоугольника, d) площади фигуры.

17. Произвести логическую критику определения подобных треугольников, которое имеется в стабильном учебнике Киселева (§ 158).

18. Произвести логическую критику определения: «правильный треугольник есть правильный многоугольник с тремя равными между собой сторонами».

19. Указать, в чем состоит ошибка в следующих определениях:

a) «прямая, соединяющая середины двух сторон треугольника, называется его средней линией»;

b) «квадрат с непрямыми углами называется ромбом».

20. Выделить родовое понятие и видовые отличия в определении: а) скрещивающихся прямых, b) параллельных прямой и плоскости, c) параллельных плоскостей, d) прямой, перпендикулярной к плоскости, е) перпендикулярных плоскостей.

21. Произвести логическую критику следующих определений, помещенных в стабильном учебнике А. П. Киселева: а) параллельных прямой и плоскости (§ 9), b) параллельных плоскостей (§ 14), с) прямой, перпендикулярной к плоскости (§ 24).

(Указать, что в каждом из указанных определений является лишним.)

22. Можно ли определить плоскость при помощи более простого геометрического понятия? Если нет, то как раскрывается содержание понятия плоскости?

23. Выделить родовое понятие и видовые отличия в определении: а) многогранника, b) призмы, с) пирамиды, d) подобия многогранников.

24. Показать неточность определения призмы, помещенного в стабильном учебнике Киселева. Привести примеры многогранников, соответствующих этому определению, но не являющихся призмами.

25. Произвести логический анализ определения: «правильной пирамидой называется такая пирамида, у которой в основании правильный многоугольник, боковые грани — равные треугольники и вершина проектируется в центр основания».

(Указать, что в нем является лишним.)

26. Указать ошибку в следующем определении: «многогранник, у которого одна грань — квадрат, а другие грани — равнобедренные треугольники, называется пирамидой».

27. Чем генетическое определение, употребляемое в школьной практике, отличается от логического.

28. Дать генетическое определение следующим геометрическим понятиям: а) поверхности вращения, b) конической поверхности, с) шара, d) шарового сектора.

29. Выделить родовое понятие и видовые отличия в определении: а) цилиндра, b) конуса, с) шарового сегмента.

ЗА РУБЕЖОМ

ПОСТРОЕНИЕ КУРСА МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ БОЛГАРИИ

Л. Н. МИЛОВАНОВА (Москва)

В настоящей статье приводится программа по математике для единой общеобразовательной школы Народной Республики Болгарии и дается обзор содержания принятых в школе учебников.

Школа в Болгарии одиннадцатилетняя, с обязательным семилетним образованием. Обучение начинается с семилетнего возраста.

Приведем краткое содержание программы*.

V класс

Арифметика

(4 1/2 часа в неделю, 149 часов в год)

1) Повторение пройденного в начальном училище —21 час

2) Делимость чисел — 14 час.

3) Обыкновенные дроби — 64 часа

4) Десятичные дроби — 34 „

5) Повторение, обобщения, классные работы — 16 час.

Планиметрия

(1 1/2 часа в неделю, 49 час. в год)

1) Прямая линия. Отрезок, действия с отрезками — 2 часа

2) Масштаб. Чертежи в масштабе — 2 „

3) Углы, их виды — 1 час

4) Параллельные и перпендикулярные прямые — 1 „

5) Окружность. Центральный

угол. Градусы — дуговой и угловой — 1 „

6) Измерение углов. Транспортир — 2 часа

7) Треугольник — определение, его элементы. Виды треугольников — 1 час

8) Сумма внутренних углов треугольника — 2 часа

9) Вычерчивание треугольников —2 „

10) Равнобедренный треугольник, его свойства и приложения. — 2 „

11) Четырехугольник — определение, элементы, виды — 1 час

12) Параллелограм, линии в параллелограме — 2 часа

13) Различные задачи на треугольники и четырехугольники — 1 час

14) Многоугольник — определение, элементы, виды — 1 „

15) Вписанные и описанные многоугольники. Вычерчивание правильных многоугольников. Радиус и апофема — 2 часа

16) Площади фигур: прямоугольника, параллелограма, треугольника, трапеции, правильного и неправильного многоугольника — 7 час.

17) Длина окружности — 2 часа

18) Площадь круга — 2 п

19) Различные задачи на вычисление площадей треугольников и многоугольников — 7 час.

20) Повторение, обобщения, классные работы — 8 „

VI класс

Арифметика

(3 1/2 часа в неделю, 116 час. в год)

1) Проценты — 16 час.

2) Пропорции — 14 „

3) Пропорциональные величины — 58 „

Прямая и обратная пропорциональность. Задачи на простое и сложное тройное правило. Пропорциональное деление. Кооперативное дело. Страхование.

4) Повторение, обобщения, классные работы — 28 час.

Стереометрия

(1 1/2 часа в неделю, 49 час. в год)

1) Призма — определение, виды, элементы. Вычерчивание призмы и ее развертки. Вычисление поверхности и объема — 7 час.

2) Цилиндр — определение, его

* По материалам программы 1951 года.

свойства, вычерчивание развертки, вычисление поверхности и объема — 6 час.

3) Пирамида — определение, виды, линии в пирамиде. Вычерчивание пирамиды и ее развертки. Вычисление поверхности и объема — 6 „

4) Конус — определение, вычерчивание конуса и его развертки. Вычисление поверхности и объема —6 „

5) Шар. Вычисление его поверхности и объема — 2 часа

6) Практическое измерение объемов — 14 час

7) Повторение, обобщения, классные работы —8 „

VII класс Алгебра

(3 часа в неделю, 99 час в год)

1) Арифметические числа — 16 час

2) Алгебраические числа —21 час

3) Целые алгебраические выражения — 19 час

4) Уравнения первой степени с одним неизвестным — 15 „

5) Повторение, обобщения, классные работы — 28 „

Геометрия (2 часа в неделю, 66 час в год)

1) Введение — 1 час

2) Основные геометрические понятия — 3 часа

3) Угол — 9 час

4) Треугольник — 24 часа

5) Параллельные прямые — 14 час

6) Повторение, обобщения, классные работы — 15 „

VIII класс Алгебра

(4 часа в неделю, 132 часа в год)

1) Повторение — 4 часа

2) Разложение многочленных выражений на множители —8 час

3) Алгебраические дроби — 11 „

4) Пропорции — 4 часа

5) Буквенные уравнения первой степени — 22 „

6) Функция — 10 час

7) Системы уравнений —30 „

8) Извлечение квадратного корня — 13 „

9) Иррациональные выражения —15 „

10) Повторение, обобщения, классные работы — 14 „

Геометрия

(2 часа в неделю, 66 час в год)

1) Многоугольники — 3 часа

2) Четырехугольники — 16 час

3) Окружность —19 „

4) Вписанные и описанные многоугольники — 4 часа

5) Пропорциональные отрезки — 10 час

6) Повторение, обобщения, классные работы — 14 „

IX класс

Алгебра

(1 1/2 часа в неделю, 49 час в год)

1) Квадратные уравнения —22 часа

2) Биквадратные и иррациональные уравнения — 4 „

3) Системы уравнений второй степени — 10 час

4) Повторение, обобщения, классные работы — 13 „

Геометрия (2 1/2 часа в неделю, 83 часа в год)

1) Подобные фигуры — 13 час

2) Метрические соотношения между отрезками в треугольнике и круге — 11 „

3) Тригонометрические функции острого угла — 8 „

4) Правильные многоугольники — 9 „

5) Длина окружности — 6 „

6) Площади многоугольников и площадь круга. — 16 „

7) Повторение обобщения, классные работы — 20 „

X класс

Алгебра

(2 часа в неделю, 66 час. в год)

1) Прогрессии — 11 час.

2) Бесконечная последовательность. Предел — 9 „

3) Обобщение понятия о показателе — 7 „

4) Логарифмы — 21 час

5) Сложные проценты —3 часа

6) Повторение, обобщения, классные работы — 15 час

Стереометрия и тригонометрия

(3 часа в неделю, 99 час в год)

Стереометрия

1) Введение — 1 час

2) Взаимное положение прямой и плоскости в пространстве — 3 часа

3) Прямая и плоскость — 13 час

4) Две и более плоскостей — 5 час.

5) Многогранники — 20 „

6) Тела вращения — 13 „

Тригонометрия

1) Введение — 1 час

2) Предварительные понятия — 4 часа

3) Тригонометрические функции произвольного угла — 17 час.

4) Повторение, обобщения, классные работы — 22 часа

XI класс

Алгебра

(2 часа в неделю, 64 часа в год)

1) Соединения и бином Ньютона — 11 час.

2) Комплексные числа — 10 „

3) Неравенства — 14 „

4) Повторение, обобщения, классные работы — 29 „

Тригонометрия

(2 часа в неделю, 64 часа в год)

1) Формулы сложения — 19 час.

2) Тригонометрические уравнения — 6

3) Решение прямоугольных треугольников — 5 „

4) Решение косоугольных треугольников — 8 „

5) Приложения тригонометрии — 4 часа

6) Повторение, обобщения, классные работы — 22

Ниже приводится для сравнения учебный план нашей и болгарской школы.

Класс

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

Всего

Болгария

часов в неделю

6

5

5

6

4

5

4

35

часов в год

198

165

165

198

132

165

128

1151

СССР

часов в неделю

6

7

6

6

6

6

37

часов в год

198

231

196

196

196

196

1213

Рассматривая эту таблицу, мы видим, что хотя курс в болгарской школе растянут на одиннадцать лет, но общее число часов, отводимых на математику, меньше (на 62 часа), чем в нашей школе.

В программе совершенно отсутствуют обратные тригонометрические функции и теорема Безу, но, с другой стороны, имеются разделы, отсутствующие в нашей программе:

1) В VI классе решаются задачи на простое и сложное тройное правило. Изучаются страховое и кооперативное дело.

2) В X классе—«Сложные проценты», а в курс тригонометрии введены элементы теории направленных отрезков: понятие о векторе, тождество Шаля, теорема о проекциях.

3) Интересным является наличие в программе пропедевтического курса геометрии в V и VI классах.

У нас ведется много споров о целесообразности введения геометрии в курс V класса. Опыт болгарской и других зарубежных школ показывает, что введение такого курса вполне реально.

Рассматривая программу, мы видим, что во всех классах (кроме X) преподается только два предмета: в V и VI — арифметика и геометрия, в VII, VIII, IX и X — алгебра и геометрия (в X классе, кроме, того, затрачивается 22 часа на тригонометрию), в XI — алгебра и тригонометрия.

Положительной стороной программы является то, что алгебра и геометрия вводятся в разных классах.

То, что у нас, по ныне действующей программе, в VI классе помимо арифметики вводятся и алгебра, и геометрия затрудняет учащихся обилием новых понятий.

После реформы 1950/51 года, когда была организована единая общеобразовательная школа, были приняты следующие учебники:

Г. Моянов, Р. Петкова, П. Иванов*, Планиметрия за V клас на общеобразователните училища, София, 1954 г.

Н. Колев, В. Янтров, Стереометрия за VI клас на общеобразователните училища, София, 1954.

П. Иванов, А. Стоянов, Планиметрия за VII клас на общеобразователните училища, София, 1954.

П. Иванов и Е. Шаранков, Планиметрия

* Название учебников приводится на болгарском языке.

за VIII клас на общеобразователните училища, София, 1954.

К. Моянов и А. Анев, Планиметрия за IX клас на общеобразователните училища, София, 1954.

Ц. Цветков и М. Ганов, Стереометрия за X клас на общеобразователните училища, София, 1954.

В. Цървенков и М. Ганов, Сборник от задачи по планиметрия за VI, VIII и IX классы, София, 1954.

По стереометрии переведен задачник Н. Рыбкина (перевод В. Цървенкова).

Р. Раденков и М. Христов, Аритметика за V клас на общеобразователните училища, София, 1954.

Н. Павлов и И. Ваклиев, Аритметика за VI клас на общеобразователните училища, София, 1955.

М. Ганов и П. Иванов, Алгебра за VII клас на общеобразователните училища, София, 1954.

М. Ганов и В. Цървенков, Алгебра за VIII клас на общеобразователните училища, София, 1954.

Проф. д-р Н. Обрешков, В. Цървенков, К. Недялков, Алгебра за IX клас на общеобразователните училища, София, 1953.

Д. Василева, Л. Бунева-Недялкова, д-р Л. Илиев, Алгебра за X клас на общеобразователните училища, София, 1954.

Проф. д-р Н. Обрешков и Р. Раденков, Алгебра за XI клас на общеобразователните училища, София, 1953.

П. Стамболов, д-р Л. Илиев и А. Матеев, Сборник от задачи по алгебра за VII, VIII и XI клас на общеобразователните училища, София, 1954.

П. Стамболов и А. Ангелов, Сборник от задачи по алгебра за X и XI клас на общеобразователните училища, София, 1954.

Н. Павлов и В. Ялъмова-Табакова, Тригонометрия за X и XI клас на общеобразователните училища, София, 1954.

Все учебники содержат, помимо теории, задачи и упражнения, причем теория и задачи чередуются.

Перейдем теперь к обзору некоторых из этих учебников.

Планиметрия для V класса

Курс планиметрии в V классе чисто описательный, без доказательства и даже упоминания о теоремах. Учебник снабжен большим числом чертежей и рисунков.

Первая глава посвящена прямой линии, отрезкам и действиям с отрезками. Рассказано, как измерить отрезок, как пользоваться масштабной линейкой.

В параграфе «Сравнение отрезков» пользуются знаками « > » и « < », например: отрезок AB < CD; EM > MN.

Приводится правило сложения и вычитания отрезков.

Во второй главе дается определение масштаба, способ его записи, понятие о плане, изображен план квартиры.

Третья глава посвящена углам.

Дано определение угла: два луча с общим началом образуют на плоскости угол. Изображены различные углы. Нарисован циферблат часов и поясняется, что стрелки, показывающие 2 часа, 3 часа, 5 час, 6 час, 12 час, образуют различные по величине углы.

Нарисована девочка, которая при помощи угольника чертит на доске прямой угол.

Далее даются определения углов: развернутого, прямого, острого, тупого.

В следующей главе дается определение перпендикулярных и параллельных прямых. Рассказано, как при помощи угольника и линейки можно начертить параллельные прямые.

В главе «Окружность» нарисованы часы и колесо телеги. Даются определения дугового и углового градусов, минуты, секунды. Подробно рассказано об устройстве транспортира.

Глава, посвященная треугольнику, начинается с определения ломаной и замкнутой линий, затем дается определение треугольника, изображены различные виды треугольников. Даются определения медианы, высоты и биссектрисы.

Сумма углов треугольника определяется на конкретных задачах:

1. На чертеже изображен треугольник. Учащимся предлагается измерить его углы транспортиром: ∠A = 60°, ∠B = 50°, ∠С = 70°, ∠A + ∠B + ∠С = 60° + 50° + 70° = 180° = 2d.

2. Вырезать углы треугольника и приставить их друг к другу, как показано на чертеже (черт. 1).

Черт. 1

Далее решаются задачи на построение. Строятся треугольники по следующим данным:

1) по трем сторонам;

2) по двум сторонам и углу, заключенному между ними;

3) по стороне и прилежащим к ней углам.

Отдельная глава посвящена равнобедренному треугольнику. Учащемуся предлагается нарисовать равнобедренный треугольник, провести биссектрису и перегнуть чертеж по биссектрисе. Тогда обнаруживается, что биссектриса одновременно является медианой и высотой и, кроме того, что углы при основании равны.

В качестве приложений к этой главе решаются задачи на построение:

1. Из точки, не лежащей на прямой, опустить перпендикуляр на прямую.

2. Из точки, лежащей на прямой, восставить перпендикуляр к прямой.

3. Разделить отрезок пополам.

4. Разделить угол пополам.

Глава, посвященная треугольнику, заканчивается описанием эккера.

Следующие главы посвящены четырехугольникам и многоугольникам. Рассматриваются: прямоугольник, параллелограм, трапеция, квадрат, ромб, шестиугольник. Затем вычисляются площади прямоугольника, параллелограма, треугольника, трапеции, правильного и неправильного многоугольников.

Длина окружности определяется опытным путем. Учащемуся предлагается натянуть нитку на обруч. Измерить длину нитки и затем выяснить, сколько раз диаметр круга уложится на полученном отрезке. Предлагается проделать этот опыт с обручами различных диаметров и убедиться, что получается общее правило.

Для вычисления площади круга в него вписывают квадрат, затем восьмиугольник, а затем говорится, что если продолжать удваивать число сторон, то получится многоугольник, который почти сливается с кругом. Поэтому, чтобы вычислить площадь круга, нужно заменить периметр многоугольника длиной окружности, а апофему — радиусом. Следовательно, чтобы вычислить площадь круга, нужно умножить радиус на радиус круга и на число 3,14.

Черт. 2

В справедливости этого правила предлагается убедиться и другим способом. Правильный шестиугольник разделить на равные треугольники и разрезать, как показано на чертеже 2.

Круг радиуса, равного стороне шестиугольника, разделить на шесть равных частей и разрезать, как указано на том же чертеже. Получатся две фигуры, площади которых почти равны. Первая фигура—параллелограм, площадь которого равна произведению длины основания на высоту. У второй фигуры длина основания равна половине длины окружности, а высота — радиусу круга, значит, его площадь равна

Стереометрия для VI класса

Курс стереометрии в VI классе, так же как и планиметрии, в V классе пропедевтический.

В учебнике много чертежей и рисунков. Большое внимание уделяется вычерчиванию многогранников и их разверток.

Поверхности тел определяются при помощи разверток, а объемы — опытным путем.

Объем куба и параллелепипеда определяется обычным путем, а объем многоугольной призмы, пирамиды, цилиндра и конуса определяется пересыпанием песка из тела, объем которого известен, в тело, объем которого определяется (черт. 3 и 4).

Черт. 3 Черт. 4

Поверхность шара определяется следующим образом: берется деревянный шар и разрезается на две равные части. На одно полушарие набивается гвоздь сверху, а на другое — в центре. На каждое из полушарий наматывается веревка, как указано на чертеже 5, и затем длины веревок сравниваются.

Для определения объема шара делается следующий опыт: берутся цилиндр и щар, сделанные из тонкого железа, причем высота цилиндра должна равняться диаметру основания и диамет-

ру шара. Цилиндр и шар наполняются водой, затем шар опускают в воду.

При этом шар вытеснит некоторое количество воды. Эту воду опять наливают в цилиндр (вылив предварительно ту, которая осталась).

Черт. 5

Выясняется, что то количество воды, которое вытеснил шар, заполнило две трети объема цилиндра (черт. 6). Значит, объем шара равен двум третям объема цилиндра.

Черт. 6

В конце учебника показано, как применить полученные правила для практических измерений: объемов строительного материала, объема сооружений из песка и щебня, объема кадки и бочки и т. д.

Такое изложение курса геометрии не является новым для русской школы. До революции в начальной школе курс геометрии излагался примерно по такому же плану. Пособием для учащихся служил учебник проф. Астряб «Наглядная геометрия», который издавался и после революции.

Арифметика для VI класса

В программе и учебнике по арифметике для VI класса производит несколько необычное впечатление раздел «Кооперативное дело. Страхование».

В учебнике изложение этого раздела начинается с определения кооперативного общества, приводятся выдержки из устава кооперативного общества. Подробно рассказано, какие существуют виды коопераций. Далее говорится о том, что такое страхование, и, в частности, о том, что страховое дело очень развито в СССР. Перечисляются виды страхований: страхование жизни, народное страхование, страхование домашних животных, земледельческих культур. Приводится целый ряд таблиц размеров страховых сумм.

Учащимся предлагается решить и составить самим целый ряд задач на основании данных этих таблиц.

Страховое дело изучается, кроме VI, еще и в X классе, в разделе «Сложные проценты».

В учебнике по алгебре и геометрии для VII, VIII, IX и X классов содержится обычный материал, поэтому ограничимся лишь перечислением глав и параграфов этих учебников.

Геометрия для VII класса

В VII классе начинается систематический курс геометрии.

Глава 1. Введение.

§ 1. Предмет геометрии. Происхождение геометрии.

§ 2. Образование линии, поверхности и тела при помощи движения.

Глава II. Основные геометрические понятия.

§ 1. Геометрическое тело, поверхность и линия. Прямая, плоскость, луч, отрезок. Сравнение отрезков. Действия с отрезками. Измерение отрезков.

§ 2. Окружность и круг. Дуга, хорда.

Глава III. Угол.

§ 1. Определение. Сравнение углов. Биссектриса.

§ 2. Виды углов. Центральный угол. Измерение дуг и углов. Транспортир.

§ 3. Действия с углами. Виды углов — прямой, острый, тупой.

§ 4. Смежные и вертикальные углы.

§ 5. Перпендикулярные прямые.

§ 6. Математические предложения: аксиома, теорема, следствие.

Глава IV. Треугольник.

§ 1. Виды треугольников. Высота, медиана, биссектриса.

§ 2. Симметрия фигур относительно прямой.

§ 3. Симметрия в равнобедренном треугольнике. Некоторые свойства равнобедренного треугольника.

§ 4. Равенство треугольников (три признака).

Тут же, как следствие, дается равенство прямоугольных треугольников.

§ 5. Внешний угол треугольника, зависимость между внешним и внутренним углами треугольника.

§ 6. Другие признаки равенства треугольников:

1) По стороне и двум углам — прилежащему и противолежащему.

2) Четвертый признак. По двум сторонам и углу, противолежащему одной из них.

Кроме того, доказывается теорема:

Если в треугольнике имеются два равные угла, то противолежащие им стороны равны.

§ 7. Зависимость между сторонами и углами треугольника.

§ 8. Зависимость между сторонами треугольника (употребляются знаки неравенства: с — b < а,а > с — b...).

§ 9. Проекция точки и отрезка на прямую. Перпендикуляр и наклонная.

§ 10. Понятие о геометрическом месте. Окружность, ось симметрии и биссектриса как геометрические места.

§ 11. Основные задачи на построение. Метод геометрических мест.

Глава V. Параллельные прямые.

§ 1. Определение, основные теоремы. Свойства углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых третьей.

§ 2. Углы с взаимно параллельными и взаимно перпендикулярными сторонами.

§ 3. Зависимость между углами в треугольнике.

Алгебра для VII класса

Глава I. Арифметические числа.

§ 1. Натуральные числа и действия с ними. Натуральный ряд чисел. Геометрическое представление чисел натурального ряда.

§ 2. Буквенные выражения. Формула. Равенство и неравенство.

§ 3. Сложение и вычитание буквенных выражений. Их свойства.

§ 4. Умножение и деление. Их основные свойства.

§ 5. Умножение суммы на число и числа на сумму:

(а + b)⋅5; (a + b + c)⋅m; m (а + b + с).

Умножение разности на число и числа на разность.

Умножение суммы на сумму:

(a + b)(c + d).

§ 6. Деление суммы и разности на число:

§ 7. Возвышение в степень.

Умножение и деление степеней с равными основаниями:

а4а3 = a4 + 3

Степень с нулевым показателем. Степень произведения. Возвышение степени в степень.

Глава II. Дробные числа и действия с ними.

§ 1. Определение и свойства. Геометрическое представление дробных чисел.

§ 2. Действия с дробями (параллельно проводятся действия с дробными числами и дробями с буквенными числителем и знаменателем). Например:

Глава III. Понятие об алгебраическом выражении и уравнении.

§ 1. Алгебраическое выражение. Определение и численное значение. Здесь приводится такой пример: Найти численное значение выражений 2х—у и x2 + у для различных значений х и у.

x

2

3

3,5

y

1

2

3

2х—у

3

4

4

х2 + 2у

6

13

18,25

§ 2. Понятие о тождестве и уравнении.

Решение простейших уравнений на основании определения и свойств арифметических действий.

Глава IV. Алгебраические числа.

§ 1. Алгебраическая величина и число. Нуль. Геометрическое представление алгебраических чисел. Числовая ось.

§ 2. Сложение алгебраических чисел (определения получаются из геометрического представления).

§ 3. Вычитание и сравнение алгебраических чисел.

§ 4. Алгебраическая сумма. Скобки.

§ 5. Умножение алгебраических чисел. Основные свойства произведения.

§ 6. Деление алгебраических чисел.

§ 7. Возвышение алгебраических чисел в степень с целым положительным показателем.

§ 8. Алгебраические дроби — определение и действия с ними.

В программе и учебнике по алгебре непривычны такие устаревшие названия, как «арифметические числа» и «алгебраические числа».

Глава V. Целые алгебраические выражения.

§ 1. Виды алгебраических выражений. Подобные члены.

§ 2. Сложение и вычитание целых алгебраических выражений.

§ 3. Умножение одночленов. Степень одночлена.

§ 4. Умножение многочлена на одночлен и многочлена на многочлен.

§ 5. Формулы сокращенного умножения.

§ 6. Деление одночлена и многочлена на одночлен.

Глава VI. Уравнение первой степени с одним неизвестным.

В VII классе решаются уравнения только с числовыми коэффициентами.

§ 1. Основные свойства уравнений. Следствия.

§ 2. Решение уравнений первой степени с одним неизвестным.

§ 3. Задачи на составление уравнения первой степени с одним неизвестным: на движение, смеси, сплавы, растворы, на работу; бассейны и т. д.

Алгебра для VIII класса

Глава I. Повторение.

§ 1. Алгебраические числа.

§ 2. Целые одночлены и многочлены.

Глава II. Разложение целых алгебраических выражений на множители.

§ 1. Разложение способом вынесения общего множителя за скобки, способом группировки и по формулам сокращенного умножения.

§ 2. Наименьшее общее кратное.

Глава III. Дробные алгебраические выражения.

§ 1. Основные свойства алгебраических дробей, сокращение и приведение к общему знаменателю.

§ 2. Сложение и вычитание, умножение и деление алгебраических дробей.

Глава IV. Пропорции.

§ 1. Отношение.

§ 2. Пропорция—определение и свойства.

§ 3. Среднее геометрическое.

§ 4. Производные пропорции.

Свойство равных отношений:

Глава V. Буквенные уравнения 1-й степени с одним неизвестным.

§ 1. Решение более сложных уравнений с числовыми коэффициентами.

§ 2. Уравнения с дробными членами.

§ 3. Буквенные уравнения. Исследование решения уравнения ах = b (рассматриваются случаи, когда: 1) а ≠ 0, а и b имеют одинаковые знаки, разные знаки и когда b = 0; 2) а = 0, b ≠ 0; 3) а = b = 0.

§ 4. Решение более сложных уравнений. Составление уравнения и исследование смысла полученного решения.

Глава VI. Неравенства.

§ 1. Определение, свойства.

§ 2. Решение неравенств 1-й степени с одним неизвестным.

Глава VII. Функция.

§ 1. Постоянная и переменная величина.

Аргумент и функция. Способы выражения функциональной зависимости.

§ 2. Прямоугольная система координат.

§ 3. Прямая и обратная пропорциональность, их графическое представление.

§ 4. Линейная функция, ее исследование и графики.

§ 5. Графическое решение уравнений первой степени с одним неизвестным.

Следует отметить, что графические способы решений уравнений вводятся по мере прохождения того или иного раздела курса.

Глава VIII. Системы уравнений 1-й степени.

§ 1. Уравнение 1-й степени с двумя неизвестными (линейная функция — ее график).

§ 2. Определение и решение системы уравнений 1-й степени с двумя неизвестными. Различные случаи.

§ 3. Исследование решений системы двух уравнений 1-й степени с двумя неизвестными.

Графическое решение системы двух уравнений 1-й степени с двумя неизвестными.

§ 4. Одно уравнение 1-й степени с тремя неизвестными.

§ 5. Система двух уравнений 1-й степени с тремя неизвестными.

§ 6. Определение и решение системы трех уравнений 1-й степени с тремя неизвестными.

§ 7. Задачи на решение и составление систем двух уравнений 1-й степени с двумя неизвестными: 1) на движение, 2) задачи из планиметрии, 3) разные задачи (на сплавы, смеси, растворы и др.).

§ 8. Задачи на составление системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Глава IХ. Извлечение корней.

§ 1. Возвышение числа в квадрат при помощи формулы:

§ 2. Извлечение квадратного корня. Определение, алгебраический и арифметический корень.

§ 3. Извлечение корня из произведения, частного и степени.

§ 4. Квадратный корень из числа, представляющего точный квадрат.

§ 5. Приближенное значение квадратного корня.

§ 6. Понятие об иррациональном числе.

Изображение иррационального числа на числовой оси. Сравнение иррациональных чисел и действия с ними.

Глава X, Иррациональные выражения.

§ 1. Определение. Основное свойство радикала. Приведение корней к общему показателю.

§ 2. Внесение множителя под корень и вынесение за знак корня. Подобные корни.

§ 3. Сложение, вычитание, умножение, деление иррациональных выражений.

§ 4. Возвышение радикала в степень и извлечение корня из радикала.

§ о. Рационализация знаменателя иррациональной дроби.

Геометрия для VIII класса

Глава I. Многоугольники.

§ 1. Многоугольники, их виды, свойства.

§ 2. Равенство многоугольников.

Глава II. Четырехугольники.

§ 1. Центральная симметрия фигур.

§ 2. Четырехугольники, их виды. Параллелограм, его свойства.

§ 3. Прямоугольник, ромб и квадрат.

§ 4. Равенство параллелограмов.

§ 5. Трапеция. Виды, свойства углов в трапеции.

§ 6. Средняя линия в параллелограме, трапеции и треугольнике, ее приложения.

§ 7. Метод параллельного переноса и метод симметрии при решениии задач на построение.

Глава III. Окружность.

§ 1. Число точек, которые определяют окружность.

§ 2. Взаимно перпендикулярные диаметр и хорда.

§ 3. Зависимость между дугами и стягивающими их хордами.

§ 4. Зависимость между хордами и их расстояниями до центра.

§ 5. Прямая и окружность. Свойства касательной к окружности.

§ 6. Взаимное положение двух окружностей.

§ 7. Окружность и угол.

§ 8. Построение касательной к окружности (различные случаи).

§ 9. Задачи на построение.

Глава IV. Вписанные и описанные многоугольники. Четыре замечательные точки в треугольнике.

Глава V. Пропорциональные отрезки.

§ 1. Общая мера двух отрезков.

§ 2. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки.

§ 3. Измерение отрезков.

§ 4. Отношение двух отрезков. Пропорциональные отрезки.

§ 5. Теоремы о пропорциональных отрезках.

§ 6. Свойства биссектрисы углов треугольника.

§ 7. Задачи на построение, на пропорциональные отрезки.

Алгебра для IX класса

Глава I. Квадратные уравнения.

§ 1. Квадратное уравнение. Решение неполных и полных квадратных уравнений. Исследование решения.

§ 2. Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

§ 3. Разложение квадратного трехчлена на множители.

§ 4. Задачи на составление квадратного уравнения.

§ 5. График квадратной функции и графическое решение квадратного уравнения.

Глава II. Биквадратные и иррациональные уравнения.

Глава III. Система уравнений второй степени с двумя неизвестными.

§ 1. Решение системы уравнений, из которых одно 1-й, а другое 2-й степени.

§ 2. Искусственные способы решения системы:

х± у = а, ху = b.

§ 3. Решение системы двух уравнений, когда оба уравнения 2-й степени. Частные случаи.

§ 4. Графическое решение простейших систем 2-й степени. Решаются системы вида:

§ 5. Решение задач на составление систем двух уравнений 2-й степени с двумя неизвестными.

Геометрия для IX класса

Глава I. Подобные фигуры.

§ 1. Подобные фигуры. Подобные треугольники. Лемма.

§ 2. Признаки подобия треугольников.

§ 3. Подобные многоугольники. Отношение их периметров.

§ 4. Центр подобия.

§ 5. Метод подобия при решении задач на построение.

Глава II. Метрические соотношения между отрезками в треугольнике и круге.

§ 1. Метрическая зависимость между отрезками в правильном и произвольном треугольнике.

§ 2. Пропорциональные отрезки в круге.

§ 3. Алгебраический метод при решении задач на построение.

Глава III. Тригонометрические функции острого угла.

§ 1. Тригонометрические функции острого угла.

§ 2. Построение угла по данной функции.

§ 3. Изменение тригонометрических функций в интервале (0°, 90°).

§ 4. Таблицы тригонометрических функций. (В конце учебника приложена таблица значений тригонометрических функций углов 0°—90°.)

§ 5. Решение задач на прямоугольный треугольник.

Глава IV. Правильные многоугольники.

§ 1. Правильные многоугольники — определение, построение, теоремы.

§ 2. Зависимость между элементами правильных одноименных многоугольников.

§ 3. Выражение стороны правильного вписанного и описанного треугольника, четырехугольника и шестиугольника через радиус окружности.

§ 4. Выражение a2n через an.

Глава V. Длина окружности.

§ 1. Понятие о пределе.

В этом параграфе дается определение последовательности, предела последовательности и доказываются теоремы о монотонных последовательностях.

§ 2. Длина окружности.

В этом параграфе приводится сначала таблица периметров правильных вписанных и описанных многоугольников, если радиус окружности равен 1.

Число сторон

Периметр вписанного многоугольника

Периметр описанного многоугольника

Разность между периметрами

6

6

6,92820

0,92820

12

6,21165

6,43078

0,21913

24

6,26525

6,31931

0,05406

48

6,27870

6,29217

0,01347

96

6,28206

6,28542

0,00336

Затем дается понятие о вычислении гс и определяется длина окружности.

Глава VI. Площади фигур.

§ 1. Площадь фигуры. Понятие об измерении площади.

§ 2. Площадь прямоугольника и квадрата.

§ 3. Площадь параллелограма, треугольника и трапеции.

§ 4. Формула Герона.

§ 5. Площадь ромба и многоугольника (правильного и неправильного).

§ 6. Преобразование многоугольника в равновеликий ему треугольник или квадрат.

§ 7. Отношение площадей подобных фигур.

§ 8. Площадь круга и его частей.

Алгебра для X класса

Глава I. Арифметическая прогрессия.

§ 1. Определение и свойства.

§ 2. Сумма членов арифметической прогрессии.

Формула суммы квадратов n первых чисел натурального ряда.

Глава II. Геометрическая прогрессия.

§ 1. Определение и свойства. Сумма членов геометрической прогрессии. Среднее геометрическое.

Глава III. Бесконечная последовательность чисел. Предел.

§ 1. Понятие о пределе.

Здесь приводится целый ряд примеров последовательностей и, в частности, такой пример:

Квадрат со стороной, равной единице, разделим диагональю на две равные части. Одну из них заштрихуем. Затем разделим пополам незаштрихованную часть и одну из них тоже заштрихуем и т. д. (черт. 7).

Черт. 7

Составим последовательность площадей заштрихованных частей:

Далее показано, что эта последовательность сходится и предел ее равен единице.

§ 2. Неограниченная и ограниченная после-

довательность. «Нуль последовательность». Свойства «нуль последовательности». («Нуль последовательностью» называется такая последовательность, предел которой равен нулю.)

§ 3. Теоремы о пределах.

Доказываются следующие теоремы:

1) Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.

2) Возрастающая и убывающая последовательность имеет предел.

3) Теоремы о пределе суммы, произведения, частного.

4) Следствия доказанных теорем:

a) Если последовательность a1, a2,..., an... сходится, то и последовательность а1m, a2m,..., аnm... тоже сходится.

b) Если последовательность a1, a2, ..., an, — сходится, то последовательность a12, a22, ... an2,... тоже сходится.

c) Если последовательность a1,.а2,..., an,... сходится и предел ее равен a, то последовательность √а1, √а2,. ... √аn,... сходится и имеет предел

§ 4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Пожалуй, эта глава излишне перегружена теоремами и их следствиями, связанными с понятием о пределе.

Глава IV. Обобщение понятия о показателе.

§ 1. Степени с целым, нулевым и дробным показателем, действия с ними.

§ 2. Понятие о степени с иррациональным показателем.

§ 3. Показательная функция и ее свойства.

§ 4. Графики показательной функции:

Глава V. Логарифмы.

§ 1. Определение и общие свойства.

§ 2. Логарифмическая функция. Графики функций:

§ 3. Свойства логарифмов при основании a > 1.

§ 4. Логарифм произведения, частного, степени. Логарифмирование и потенцирование.

§ 5. Десятичные логарифмы. Устройство и употребление четырехзначных таблиц. Вычисления с помощью таблиц.

Глава VI. Сложные проценты.

§ 1. Определение и основные свойства.

Стереометрия для X класса

Глава I. Введение. Предмет и происхождение стереометрии.

Глава II. Взаимное положение прямой и плоскости в пространстве.

§ 1. Плоскость, ее свойства и определение положения в пространстве.

§ 2. Взаимное положение прямых в пространстве: параллельные прямые, углы с взаимно параллельными сторонами, угол между двумя пересекающимися прямыми.

Глава III. Прямая и плоскость.

§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости.

§ 2. Построение плоскости, перпендикулярной к прямой, и прямой, перпендикулярной к плоскости. Два перпендикуляра к одной плоскости.

§ 3. Проекция точки и прямой на плоскость.

§ 4. Угол между прямой и плоскостью.

§ 5. Перпендикуляр и наклонная к плоскости.

§ 6. Параллельность прямой и плоскости.

Глава IV. Две и более плоскостей.

§ 1. Параллельные плоскости.

§ 2. Двугранные углы.

§ 3. Перпендикулярные плоскости.

§ 4. Понятие о многогранном угле.

Глава V. Многогранники.

§ 1. Определение.

§ 2. Определение призматической поверхности. Призма.

§ 3. Параллелепипеды, их виды и свойства.

§ 4. Пирамидальная поверхность. Пирамиды — их виды, свойства, сечения. Усеченная пирамида.

§ 5. Свойства параллельных сечений в пирамиде.

§ 6. Вычисление поверхности и объема многогранников: призмы, пирамиды и усеченной пирамиды.

Глава VI. Тела вращения.

§ 1. Понятие о цилиндрической и конической поверхности. Поверхность вращения.

§ 2. Цилиндр, конус и усеченный конус.

§ 3. Вычисление поверхности и объема правильного кругового цилиндра, конуса и усеченного конуса.

§ 4. Шар, его свойства, поверхность и объем.

Алгебра для XI класса

Глава I. Соединения и бином Ньютона.

§ 1. Размещения, перестановки, сочетания, их определения, свойства и вычисление.

§ 2. Бином Ньютона. Вывод формулы, ее свойства.

Глава II. Комплексные числа.

§ 1. Мнимые и комплексные числа. Определения, действия с комплексными числами.

§ 2. Геометрическое представление комплексного числа.

§ 3. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Глава III. Неравенства.

§ 1. Понятие о неравенствах. Их виды, свойства.

§ 2. Теорема о преобразовании неравенств. Решение неравенств 1-й степени с одним неизвестным и системы неравенств 1-й степени с одним неизвестным.

§ 3. Исследование знака квадратного трехчлена.

§ 4. Неравенства 2-й степени.

В задачнике по алгебре для X и XI классов приводятся образцы задач, которые давались на письменном экзамене на аттестат зрелости:

1) в дневных общеобразовательных средних школах,

2) в вечерних общеобразовательных гимназиях,

3) в техникумах,

4) в педагогических училищах.

Кроме того, приводятся задачи, которые давались на приемных экзаменах в высшие учебные заведения:

1) в Советском Союзе,

2) в Софийском университете,

3) в высшем техническом училище в Русе,

4) в университете города Сталин,

5) в Государственном политехникуме «Сталин» — София.

Тригонометрия для X и XI классов

Дадим более подробный обзор учебника по тригонометрии для X и XI классов.

Первая глава «Введение» посвящена происхождению тригонометрии.

Во второй главе «Предварительные понятия» дается определение вектора, суммы векторов, определение оси и направленного отрезка, после чего доказывается тождество Шаля:

если А, В и С — три точки, лежащие на оси ОХ, то при любом их расположении сумма направленных отрезков AB, ВС и CA равна нулю, т. е. АВ + ВС + СА = 0.

Следующий параграф посвящен обобщению понятия угла, градусной и радианной мере угла.

Кроме того, вводится понятие града.

Глава III.

1) Тригонометрические функции произвольного угла.

Здесь даются следующие определения тригонометрических функций;

Синусом произвольного угла называется отношение ординаты точки к ее радиусу-вектору.

Косинусом произвольного угла называется отношение абсциссы точки к ее радиусу-вектору.

Тангенсом угла называется отношение ординаты к абсциссе точки.

Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки к ее ординате.

В учебнике не упоминаются секанс и косеканс.

§ 2. Тригонометрические функции углов 30°, 45° и 60°.

Черт. 8

1) Пусть α = 30°, тогда (черт. 8):

Аналогично получаются тригонометрические функции углов 45° и 60°.

§ 3. Представление тригонометрических функций через направленные отрезки.

В этом параграфе даются новые определения тригонометрических функций.

Изображен тригонометрический круг радиуса, равного единице.

Касательная t называется линией тангенсов, а касательная S — линией котангенсов (черт. 9).

Синус и косинус угла соответственно равны ординате и абсциссе точки пересечения луча с тригонометрической окружностью:

sin α = у, cos α = х.

Тангенс и котангенс угла равны соответственно ординате и абсциссе точки, в которой луч или его продолжение пересекают линию тангенсов или котангенсов.

§ 4. Зависимость между тригонометрическими

функциями произвольного угла. Тригонометрические тождества.

§ 5. Изменение тригонометрических функций в интервале (0°, 360°). Периодичность. Графики.

Черт. 9

В этом параграфе приводится следующая таблица, в которой обращает на себя внимание стрелка. В случае возрастания стрелка направлена вверх, в случае убывания — вниз.

Следует приветствовать тот факт, что при построении (черт. 10) графиков функций пользуются только радианной мерой угла и что масштаб по оси ОХ и OY выбирается одинаковый (что, к сожалению, не наблюдается в учебнике Н. Рыбкина).

Черт. 10

Глава IV. Формулы сложения.

§ 1. Доказывается теорема о проекциях:

Проекция суммы нескольких векторов на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых на ту же ось. При доказательстве теоремы используется тождество Шаля.

Из этой теоремы получаются следствия:

a) Проекция замкнутой линии на оси равна нулю.

b) Выводится формула проекций:

Черт. 11

с) sin α и cosα можно рассматривать как величину проекции вектора, конец которого лежит на тригонометрическом круге, соответственно на оси ОХ и OY.

§ 2. Тригонометрические функции суммы двух углов.

Сначала выводится формула:

Доказательство проводится следующим образом:

Делается построение, как указано на чертеже 11.

Спроектируем замкнутый ориентированный контур ОNM на ось OK, получаем:

Следовательно,

Формула для sin (α + β) справедлива для любого угла, так как теорема о проекциях, на которой основано доказательство, доказана для произвольного угла.

Остальные формулы сложения получаются из этой формулы.

Другие разделы учебника не содержат ничего оригинального, поэтому ограничимся лишь их перечислением:

§ 3. Тригонометрические формулы удвоенных и половинных углов.

§ 4. Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в произведение, и обратно.

§ 5. Устройство и употребление четырехзначных таблиц логарифмов тригонометрических функций.

§ 6. Тригонометрические уравнения.

Глава V. Решение прямоугольных треугольников.

ГлаваVI. Решение косоугольных треугольников.

§ 1. Теорема синусов.

§ 2. Задачи, решение которых основано на теореме синусов. Исследование и решение.

§ 3. Теорема косинусов.

§ 4. Площадь треугольника.

Глава VII. Приложения тригонометрии.

Эта глава содержит задачи на приложения тригонометрии к геометрии, физике и нахождение расстояний до недоступной точки.

Введение понятия вектора в связи с тригонометрическими величинами нам кажется весьма полезным, так как:

1) обогащает курс новым и важным для приложений математическим понятием;

2) дает возможность преподавателям физики использовать на своих уроках векторную форму физических величин — скорость, силу и т. д.;

3) в алгебре, в разделе «Комплексные числа», понятие вектора может быть использовано для разъяснения геометрического смысла комплексного числа (чего, к сожалению, не сделали авторы учебника «Алгебра» для XI класса).

Во время празднования двухсотлетия Московского государственного университета мне довелось беседовать с заместителем ректора Софийского университета и с одним из авторов учебника «Алгебра» для X класса проф. Л. Илиевым.

Пользуюсь случаем выразить искреннюю благодарность профессору Л. Илиеву за ценные указания, которые помогли мне в работе над этой статьей.

В настоящее время, по словам проф. Илиева, в Народной Республике Болгарии создана комиссия для переработки программы и создания новых учебников.

От редакции В № 4 за 1955 г. на стр. 89 вкралась опечатка: напечатано: С. Ю. Воскресенский, следует: С. Н. Воскресенский.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О КНИГЕ Д. К. ФАДДЕЕВА И И. С. СОМИНСКОГО «АЛГЕБРА», ЧАСТЬ II

Пособие для учителей, Учпедгиз, 1954

К. А. РУПАСОВ и И. М. ШАПИРО (Елец)

Рецензируемое пособие содержит весь тот материал школьного курса алгебры, который принято называть традиционным. Кроме того, в этом пособии есть и много нового, чего не содержит учебник алгебры А. П. Киселева.

Рассмотрим рецензируемую книгу по главам.

Глава I. Степень, корни и иррациональные числа.

Формулировки и доказательства теорем о действиях над степенями довольно удачны. Удачно изложена теорема о квадрате суммы любого числа слагаемых.

В § 3 доказательство теоремы 1 о возведении в степень отрицательного числа неудачно с точки зрения методики. Авторы, говоря об отрицательном числе, обозначают его через — а. Лучше было бы написать так: при а < 0 имеем: | а | = — a, отсюда а = — |а|, и далее: an = [(— 1)-|а|]n = (-1)n.|a|n.

В этом же параграфе доказывается теорема о том, что an > bn при а > b (а > 0, b > 0). Авторы предваряют доказательство двумя леммами из теории неравенств, хотя теория неравенств изложена в конце книги. Едва ли и есть надобность доказывать в школе эту теорему. Мы считаем излишним доказывать и теорему 3 § 3. Иллюстрация, приведенная перед доказательством, вполне убедительна.

В § б излагаются теоремы 1 и 2 об извлечении корня n-й степени из числа а с точностью до единицы и с точностью до m-го знака. Можно ограничиться только приведенными примерами, а общее доказательство опустить.

§ 7, на наш взгляд, изложен неудачно. Авторы, желая подчеркнуть мысль о геометрическом толковании иррационального числа ∛2, ссылаются на идеально построенный график функции у = x3.

К необходимости введения иррациональных чисел можно подвести учащихся значительно проще и естественнее: например, рассматривая задачу о нахождении ребра куба, объем которого равен 2 м3. Можно привести также пример с измерением диагонали квадрата со стороной 1. Следует указать учащимся, что свойства изучаемой нами объективной действительности требуют введения иррациональных чисел.

Доказательство о несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной (§ 8) путем ссылки на интуитивное представление о площади, по нашему мнению, убедительно.

Ссылаясь на то, что длина отрезка, соизмеримого с единицей измерения, есть рациональное число, авторы ведут читателя к мысли, что естественно считать длину отрезка, несоизмеримого с единицей измерения, также некоторым числом, но уже другой природы. Авторы убедительно проводят мысль, что процесс измерения длины отрезка аналогичен измерению других величин.

Делается важный вывод о необходимости введения иррациональных чисел для измерения непрерывных величин.

Вместе с тем проводится важная мысль о том, что «введение иррациональных чисел совершенно аналогично введению дробных чисел». Эту мысль можно было бы изложить более подробно.

С большим методическим тактом авторы проводят мысль, что для изучения свойств иррациональных чисел можно без умаления общности ограничиться рассмотрением конкретной интерпретации этих чисел — несоизмеримыми отрезками.

Ссылаясь на геометрическое толкование иррационального числа как длины отрезка (§ 9), несоизмеримого с единицей измерения, авторы естественно вводят определения равенства и неравенства для любых действительных чисел.

В § 11 рассматривается свойство непрерывности множества действительных чисел; далее авторы показывают (сначала на примере бесконечной непериодической дроби 2,1211211121111...), что каждая бесконечная десятичная дробь является записью некоторого действительного числа.

В курсе средней школы нет надобности проводить доказательство этого утверждения в общем случае.

Естественно и доступно для ученика авторы определяют сумму двух действительных чисел (§ 12) как длину отрезка, равного сумме отрезков, длинами которых являются слагаемые числа.

Хотя общее направление изложения выбрано, по нашему мнению, довольно удачно, но в таком виде оно пригодно лишь для учителя. Мы полагаем, что перед тем как излагать определение суммы иррацио-

нальных чисел, следовало бы подвести читателя к осознанию его необходимости.

В § 13 авторы указывают, что целесообразно определить произведение ab как длину отрезка, полученного в результате геометрического построения первого члена пропорции x/a = b/1. Такое направление изложения также удачное, доступное для ученика. Здесь можно сделать авторам следующий упрек: нужно сначала построить произведение двух определенных чисел, например √2⋅√3, и затем перейти к случаю, когда числа заданы в общем виде при помощи бесконечных десятичных дробей.

В § 14 определяется действие возведения в степень и извлечения корня из действительных чисел. Авторы ссылаются на график функции у = xn, хотя учащиеся к тому времени не изучали еще темы «Функции и их графики».

В § 15—20 изложение проведено в несколько ином порядке, чем в учебнике Киселева. Хорошо, что авторы иллюстрируют целесообразность выполнения преобразований над радикалами на числовых примерах.

В § 18 просто и убедительно рассказывается о введении множителя под радикал, затем о выводе множителя за знак радикала. Авторы связывают действия над радикалами с приближенными вычислениями.

Обращено внимание на равенство √аn = |а| при n четном. Авторы не перегружают изложение этого раздела действиями над радикалами с громоздкими буквенными выражениями, а ссылаются больше на числовые примеры.

В § 20 следовало бы говорить не только об исключении иррациональности в знаменателе дроби, но и в ее числителе.

В этой главе много достоинств, но чтение параграфов, относящихся к теории иррациональных чисел, все же оставляет некоторое чувство неудовлетворенности. Для целей школьного преподавания здесь многое надо изменить.

Глава II. Квадратные уравнения и уравнения, приводящиеся к квадратным.

Вся глава изложена ясно и доходчиво.

Мы полагаем целесообразным начинать вывод общих формул решения квадратного уравнения с установления формулы:

(1)

Авторы после вывода формулы:

выводят еще другую формулу:

которая удобнее первой в случае, если р и q — целые числа и р — нечетное число; однако обе эти формулы можно непосредственно получить из формулы (1).

Говоря о числе корней квадратного уравнения, авторы правильно указывают, что квадратное уравнение может иметь два решения, одно решение или ни одного (в курсе VIII класса. — Ред.). В самом деле, вопрос о том, имеет ли уравнение решение, зависит от числового множества, которому должны принадлежать решения.

Таким образом, до изучения иррациональных чисел следует говорить, что, например, уравнение x2—4х — 8 = 0 решений не имеет. Почему же авторы в первой части книги утверждают, что это уравнение имеет два решения:

Рассматривая зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, авторы сначала выводят эти соотношения для приведенного квадратного уравнения. Мы этой точки зрения не разделяем и полагаем, что теорему Виета лучше формулировать сразу для уравнения общего вида и давать учащимся лишь одну пару формул:

В § 10 изученные свойства корней квадратного уравнения применяются к исследованию корней по коэффициентам и дискриминанту. Это помогает учащимся осознать изученные ранее зависимости.

В § 15—16 кратко излагается общая теория преобразования уравнений.

Напомнив читателю о равносильных уравнениях, авторы указывают, что возможен случай, когда решения уравнения А = В являются решениями уравнения С = D, но не наоборот. В таком случае, по определению, уравнение С = D является следствием уравнения А = В. Приводятся яркие примеры. Затем доказываются теоремы о равносильности уравнений. Однако вряд ли следует много говорить о необходимости доказывать эти теоремы.

Говоря о дробных алгебраических уравнениях, авторы проводят изложение на конкретных примерах, что вполне правильно. Убедителен вывод о том, что путем тождественных преобразований дробное уравнение приводится к уравнению, являющемуся следствием исходного.

Правильное решение иррациональных уравнений может быть обеспечено только при соблюдении трех условий:

1) строгое следование теории равносильности уравнений;

2) ясное и четкое введение понятия арифметического корня и его основных свойств;

3) установление множества допустимых значений букв в тех выражениях, которые стоят под знаком радикала.

Нам кажется, что все эти три условия в книге не раскрыты (§ 17).

Известно, что основным содержанием работы над иррациональными уравнениями в классе должно служить решение числовых иррациональных уравнений. Поэтому авторы поступают правильно, рассматривая суть вопроса на примерах решения числовых уравнений. Следовало бы только указать, как можно производить проверку пригодности корней по соображению на основе понятия арифметического корня.

Однако все же нельзя совсем обойти вопрос о решении параметрических иррациональных уравнений. Это тем более важно, что пособие предназначено для учителя.

Глава III. Функции и их графики.

Уже начало этой главы звучит отвлеченно. Не показаны живые, конкретные примеры, иллюстрирующие положение о том, что в различных вопросах естествознания и техники на каждом шагу встречаются переменные величины.

Здесь можно было очень хорошо показать основную черту диалектического метода изучения при-

роды — взаимосвязь и взаимозависимость явлений и процессов.

Неудачно и то, что изложение способов задания функции авторы начинают с аналитического способа. О табличном способе сказано вскользь, не дано конкретных примеров из физики или техники. О графическом способе задания функции сказано, что он обладает наглядностью, так как на нем непосредственно виден «ход изменения» функции. Это хорошо.

Плохо то, что авторы не показали применения графического способа в различных вопросах естествознания и техники.

Следовало бы сказать о том, что функция может быть задана графиком, а не сводить графический способ только к иллюстрации аналитического способа.

Говоря о словесном задании функции, авторы приводят пример функции: у = 5, пока x изменяется от 0 до 1; у = 6 — x, пока x изменяется от 1 до 3. Это функция, заданная двумя формулами. Лучше дать пример, когда зависимость между переменными легко обозрима, но не выражена формулой. Неудачен выбор первого примера на построение графика функции:

Нужно начать с более простого, хотя бы такого примера:

Неудачен также выбор графика функции:

Этот пример труден учащемуся, только начинающему изучать функции.

На первых порах, по-нашему, можно строить графики функций:

При этом нужно рассматривать изменение у с изменением x как путем исследования формулы, так и путем рассмотрения графика.

При построении графиков функций авторы не рассматривают функции, связанные с конкретными задачами физики, техники. Например, говоря о функциях у = пх и у = пх + b, очень уместно было бы сказать о движении с начальной скоростью, равной нулю, в первом случае или с начальной скоростью b — во втором.

Авторы не подводят учащихся к необходимости рассматривать квадратичную функцию, хотя это сделать легко путем постановки какой-либо задачи прикладного характера. После рассмотрения конкретной задачи следовало бы перейти к исследованию общей квадратичной функции у = ах2 + bх + с путем выделения полного квадрата, затем уже рассмотреть различные частные случаи.

При таком изложении отпадет необходимость рассматривать в отдельности графики функций:

При принятом у авторов изложении построение графика отрывается от исследования функции.

Итак, глава III учебника, посвященная одной из центральных тем школьного курса математики, страдает большими методическими недостатками;

1) формализм в изложении;

2) отрыв от задач политехнического обучения при изучении школьного курса математики;

3) совершенно недостаточно места и внимания авторы уделяют элементарному исследованию свойств функций: возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, нахождение промежутков знакопостоянства функций. Именно это способствовало бы развитию элементов функционального мышления, давало бы пищу для активного усвоения понятия функции;

4) глава III внесла мало нового по сравнению с учебником Киселева. Следует отметить также, что авторы как в этой, так и в других главах обращают мало внимания на развитие математической интуиции ученика, зачастую не предваряют изложение яркими примерами.

Глава IV. Системы уравнений высших степеней.

В этой главе рассматриваются все типы систем, предусмотренные программой. Кроме того, приводятся и более сложные примеры, при помощи которых авторы иллюстрируют метод введения вспомогательного неизвестного. Весьма ценным является следующее замечание авторов:

«Многообразие приемов, которые могут применяться к решению систем уравнений высших степеней, неисчерпаемо, и, тем не менее, найти пути к решению данной системы удается далеко не всегда. Важно проявить изобретательность при решении системы в тех случаях, когда это возможно».

Используя квадратное уравнение, авторы ведут читателя к мысли, что и уравнения высших степеней также можно решать графически, причем указывается, что корни уравнения находятся приближенно.

Удачно изложен § 6, дающий яркую функциональную трактовку решениям системы уравнений. Хорош переход от графического решения уравнения к графическому решению соответствующей системы уравнений. Весьма уместным является указание на то, что графическое решение приведенного квадратного уравнения сводится к решению системы:

Поэтому, тщательно построив в большом масштабе параболу у = x3, мы будем иметь возможность быстро решать любое приведенное квадратное уравнение.

Изложен в доступной форме метод Ньютона (§ 7). Этот материал может найти отражение в работе школьного математического кружка.

Глава IV в целом оставляет хорошее впечатление.

Глава V. Последовательности чисел.

В начале главы авторы приводят примеры числовых последовательностей. Указываются два способа задания последовательностей: путем словесного описания и путем указания формулы общего члена. В качестве примера следовало бы указать, что для последовательности простых чисел формула общего члена неизвестна, но любой ее член может быть найден при помощи «решета Эратосфена».

Замечание авторов о том, что последовательность можно рассматривать как функцию натурального аргумента, не раскрыто.

Прогрессии рассматриваются как частные виды последовательностей. Устаревшие термины: «возрастающая геометрическая прогрессия», «бесконечно убывающая геометрическая прогрессия»—авторами не употребляются. Точно так же не говорится о «пределе суммы бесконечно убывающей геометриче-

ской прогрессии», а говорится о «сумме членов бесконечной геометрической прогрессии».

Авторы в § 1 дают определения возрастающей и убывающей, а также ограниченной и неограниченной последовательности. Сразу же после этого надо знакомить учащихся с геометрическим изображением числовой последовательности, тогда смысл определений станет более ясным. Однако геометрическому представлению числовой последовательности посвящен § 4, т. е. в изложении допущен неоправданный разрыв.

Следовало бы указать на способ геометрического представления числовой последовательности, состоящий в том, что члены последовательности изображаются точками на координатной плоскости, абсциссы которых суть номера членов последовательности, а ординаты — соответствующие члены данной последовательности. Этот способ закрепляет взгляд на числовую последовательность как на функцию от натурального аргумента.

Авторы не говорят о колеблющихся последовательностях. О них следовало бы сказать, так как такими последовательностями являются некоторые геометрические прогрессии.

Сказав буквально несколько слов о необходимости изучения последовательностей (числовые последовательности имеют очень широкое применение в математике и в ее приложениях), авторы переходят к выяснению понятия предела бесконечной числовой последовательности. Примеры подобраны удачно, дана геометрическая интерпретация.

Затем даются определения предела. Нам кажется, что в школьном преподавании следует остановиться на третьем определении: «Число а называется пределом последовательности:

если члены последовательности, начиная с некоторого места, отличаются от а сколь угодно мало».

Добавим только, что в школе надо это определение расшифровать, а именно:

1) учащиеся должны усвоить смысл неравенства:

2) это неравенство учащиеся должны уметь записать и так:

или

Этих замечаний в книге, к сожалению, нет.

Весьма полезным было бы указать на то, что отрезок длины 2е с центром в точке а содержит «почти все» точки последовательности, имеющей своим пределом число а. Вне отрезка 2е остается лишь конечное число точек.

В § 6, 7 и 8 излагаются теоремы о пределах, арифметические операции над последовательностями, дается понятие о монотонных последовательностях. Удачным является то, что при доказательстве теорем авторы опираются на геометрическое изображение последовательности и ее предела.

Следует отметить, что изложение перегружено множеством деталей, которые не предусмотрены нынешней школьной программой.

Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности дается без доказательства, но с соответствующим геометрическим разъяснением. Следовало бы особым замечанием оттенить то обстоятельство, что не всякая ограниченная последовательность имеет предел.

Теорема 2 того же параграфа, ее доказательство, а также следствие делают изложение громоздким. Нет нужды доказывать их или даже формулировать в школьном курсе.

§ 9 посвящен нахождению суммы бесконечной геометрической прогрессии. Здесь приводятся вспомогательные теоремы. Теорема 1 посвящена доказательству неравенства (1 + h)n > 1 + nh (h > 0), нужного для дальнейшего изложения. В теореме 2 доказывается:

Доказательство утверждения а) громоздкое, формальное. Его можно провести короче.

§ 10 посвящен применению теории пределов к обращению десятичной периодической дроби в обыкновенную, изложение доступное, дано на примерах.

В изложении главы V имеются существенные недостатки.

Эта глава совершенно оторвана от задач политехнического обучения, и заявление авторов в § 5 о том, что числовые последовательности имеют очень широкое применение в математике и в ее приложениях, является чисто декларативным. В лучших прежних учебниках алгебры содержались особые главы, в которых излагались приложения теории пределов к решению различных вопросов математики (см., например, «Руководство алгебры» К. Ф. Лебединцева).

Изложение перегружено множеством теорем, которые в дальнейшем изложении не применяются и, стало быть, накапливаются в книге «мертвым грузом».

Глава VI. Обобщение понятия о показателе степени.

Глава производит благоприятное впечатление. Даются четкие определения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателями. Четко проведено изложение действий над степенями с отрицательными показателями. Удачно изложены свойства степени с рациональными показателями.

Весьма ценным являются все четыре замечания на страницах 164 и 165, а особенно последнее замечание: «Определение дробного показателя не распространяется на степени с отрицательными основаниями».

Доказательство теоремы о том, что последовательность {|/с} имеет пределом единицу, неудачно, длинно и в таком виде неприемлемо для школьного курса.

В § 7 авторы привели хороший пример для иллюстрации понятия о степени с иррациональным показателем. Ценность его в том, что рассматривается некоторое определенное иррациональное число с заданным законом образования десятичных знаков и вполне доступно для учащихся показано, что разность между последовательными десятичными приближениями степени с недостатком и с избытком стремится к нулю.

Даны два определения степени с действительным показателем. Пожалуй, второе определение предпочтительнее первого ввиду того, что оно является конструктивным.

В § 8 удачно изложены свойства степени с действительным показателем. Теоремы 1 и 2 этого параграфа дают возможность обосновать в дальнейшем свойства показательной функции. Они имеют определенное значение в формировании вкуса к доказательству тонких теорем.

Глава VII. Показательные функции и логарифмы.

Нам эта глава также представляется удачной. Изложение четкое, немногословное.

Свойства показательной функции обоснованы. На странице 180 доказывается важная теорема о том, что уравнение ах = N имеет единственное решение. Свойства показательной функции иллюстрируются затем на ее графике.

Хорошо изложено понятие о логарифме. Авторы вполне научно и доступно определяют логарифмическую функцию как функцию, обратную показательной.

Авторы правильно подчеркивают, что таблицы значений показательной и логарифмической функции при одном основании а совпадают, а график показательной функции у = ах является одновременно и графиком логарифмической функции х = logay. Разница лишь в том, какую переменную рассматривать как независимую, какую — как функцию.

Изложение теорем о логарифмах, логарифмирование и потенцирование выражений и других вопросов весьма удачно.

В § 11 авторы дают (и с успехом) представление читателю о составлении таблиц логарифмов.

В § 13—14 компактно изложены действия над десятичными логарифмами, а также действия над логарифмами с отрицательными характеристиками.

Очень ценно то, что в § 15 излагается устройство логарифмической линейки.

В § 16 излагаются приемы решения некоторых трансцендентных уравнений. Жаль, что авторы не остановились на графическом способе решения трансцендентных уравнений.

Глава VIII. Соединения и бином Ньютона.

Нам кажется, что эта глава с точки зрения методики не вносит нового в изложение темы. Изложение более формализовано по сравнению с изложением в стабильном учебнике.

Полезно включить в эту главу понятие о треугольнике Паскаля.

Глава IХ. Комплексные числа.

В § 1 дается обзор развития понятия о числе. Авторы говорят о том, что еще на ранних ступенях развития человеческого общества понятие числа возникло из потребностей счета и измерения. Авторы правильно обращают внимание читателя на то, что мы применяем числа для изучения окружающего нас мира. Излагается краткая история развития понятия о числе.

Авторы нашли оригинальный штрих для наведения читателя на мысль о необходимости уметь извлекать корень квадратный из отрицательного числа. Для этого они используют формулу Кардано для решения кубического уравнения

С одной стороны, корни кубического уравнения

находятся по формуле:

С другой стороны, разлагая левую часть на множители, получаем корни:

Отсюда авторы делают вывод, что нужно научиться извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

Весьма удачно проведена мысль о том, что правила равенства, сложения и умножения дробей не доказываются, а все вместе составляют содержание определения положительного рационального числа. Правила вычитания и деления дробей доказываются. Эта мысль затем используется для определения равенства комплексных чисел, а также правил сложения и умножения. Дальнейшее развитие понятия о числе, говорят авторы, приводит к необходимости введения комплексных чисел.

Авторы подчеркивают, что хотя комплексным числом нельзя измерить ни время, ни скорость, ни работу, тем не менее эти числа находят себе большое применение как в математике, так и в прикладных науках.

Строго и доступно изложены правила вычитания и умножения комплексных чисел. Нам кажется, что следовало бы более четко сказать, что модуль комплексного числа представляет расстояние точки, изображающей комплексное число, от начала координат. Для более глубокого понимания понятия модуля следовало бы доказать геометрическим путем свойства модуля суммы и модуля разности двух комплексных чисел.

В § 10 указаны приложения комплексных чисел к разложению cos nφ и sin nφ по степеням sin φ и cos φ, а также доказана теорема о том, что произведение двух целых чисел, являющихся каждое в отдельности суммой квадратов каких-то чисел, также есть сумма квадратов. Это способствует выяснению роли комплексных чисел в математике и ее приложениях.

Удачен пример на странице 227. Авторы, применяя теорему о делении комплексных чисел, находят значения cos 15° и sin 15°.

Упражнения на доказательство подобраны удачно. Недостатком главы является то, что авторы приводят мало примеров вычислительного характера.

Глава Х. Неравенства.

Авторами дано четкое определение соотношений а > b, а < b.

Компактны доказательства свойств неравенств.

В § 2 авторы на примере подводят читателя к тому, что в различных вопросах приходится доказывать неравенства, и дают хорошо подобранные примеры на доказательство неравенств.

В § 3 изложено понятие о равносильных неравенствах, а также доказаны теоремы об условиях равносильности неравенств.

При доказательстве этих теорем авторы в малой степени проводят функциональную точку зрения, не пользуются графиками, что приводит к сухости изложения.

Этот же недостаток мы встречаем в § 4 при решении неравенств с одним неизвестным. Доказательство теоремы § 4 выиграло бы, если бы авторы провели здесь функциональную точку зрения, рассматривая левую часть неравенства ах + b > 0 как линейную функцию.

При решении системы неравенств первой степени функциональное истолкование неравенств будет еще больше способствовать глубокому пониманию существа дела.

§ 7 главы X посвящен исследованию системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Авторы поступают вполне правильно, дав четкое определение системы двух уравнений с двумя неизвестными. Авторы вводят на странице 253 понятие приведенной системы и затем пользуются этим понятием при исследовании системы.

Исследование системы уравнений, изложенное в пособии, нам представляется удачным. Оно не формализовано, рассуждения не громоздкие, дается четкая, удобная схема исследования. Примеры подобраны хорошо.

Затем авторы вводят понятие об определителе системы и показывают простую связь, существующую между определителем системы и определителем приведенной системы. Сведя в таблицу все результаты исследования приведенной системы уравнений, авторы доказывают теорему об условиях существования решений системы.

§ 8 посвящен исследованию квадратного трехчлена. Изложение по существу многое повторяет из § 8 главы III, стр. 101—109. В итоге изложение получается рыхлым. Читая одно и то же в различных модификациях, ученик не сможет уловить суть дела.

В чем недостаток этого изложения? По нашему убеждению, авторы непоследовательно проводят функциональную точку зрения, отрывают, например, вопрос о построении графика квадратичной функции от исследования ее свойств, и получается, что вопросу построения графика квадратичной функции и исследованию ее свойств посвящено в общей сложности 10 страниц учебника, изложение проведено под разными заголовками и в разных местах. Можно было его сделать короче, собрав все это в один вопрос: «Исследование квадратного трехчлена».

Глава XI. Уравнения высших степеней.

Эта глава содержит изложение всех вопросов, входящих в последнюю тему школьного курса алгебры. Некоторые вопросы, включенные авторами в эту главу, отражения в программе не находят, но изложение их в пособии, предназначенном для учителя, вполне оправдано.

Удобна схема для получения коэффициентов частного и остатка при делении многочлена относительно х m х — а.

Авторы уделили место приближенному решению уравнений.

Говоря о действительных корнях уравнения n-й степени, следует всегда подчеркивать, что они суть абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

* * *

К числу общих недостатков книги надо отнести стремление авторов к чисто формальному изложению материала, стремление всюду на первое место выдвинуть логику, хотя во многих случаях полезнее было мы призвать на помощь интуицию.

Кроме того, совершенно в недостаточной степени используются примеры из техники и смежных дисциплин, что отрывает изложение от задач политехнического обучения.

Однако некоторые недостатки книги не снижают ее большой ценности. Выход в свет этого пособия — весьма отрадное явление в нашей учебной литературе. Нет сомнения в том, что Д. К. Фаддеев и И. С. Соминский внесли большой вклад в дело создания хорошего учебника алгебры для средней школы.

Т. А. ПЕСКОВ (Уфа)

В настоящей статье будет дана рецензия на этот учебник Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского главным образом с методической точки зрения. Отметим прежде всего как достоинство книги то обстоятельство, что понятие об иррациональном числе выясняется при помощи измерения отрезков, как это сделано в последних изданиях учебника алгебры Киселева, но в книге дается традиционная евклидовская трактовка вопроса об измерении отрезков с применением общей меры двух отрезков.

В новом учебнике алгебры не следовало пользоваться традиционным изложением вопроса об измерении отрезков, аналогичным изложению этого вопроса в учебнике геометрии Киселева, который тоже подлежит замене. Нужно было ориентироваться в этом вопросе на учебник Н. А. Глаголева, в котором впервые преодолена власть традиций и трактовка вопроса об измерении отрезков приведена в соответствие с практикой.

В связи с рассмотрением вопроса об иррациональных числах в книге дано учение о действительном числе, что следует признать крупным достоинством книги.

Совершенно непонятной представляется перестановка некоторых разделов по теме «Иррациональные числа».

Такие преобразования, как вынесение рационального множителя из-под знака корня и введение рационального множителя под знак корня, в учебнике рассматриваются после изложения правил действий с корнями, тогда как во всех школьных учебниках эти вопросы излагаются в обратном порядке и в таком же порядке располагаются упражнения в школьных задачниках.

Может быть, авторы учебника, переставляя указанные вопросы, руководствовались теми соображениями, что для доказательства теоремы о введении рационального множителя под знак корня необходимо знать умножение корней, но вполне возможно обосновать эту теорему без применения правила умножения корней, как это сделано в учебнике Киселева.

Слишком далеко отнесено также в учебнике изложение вопроса о подобных радикалах, тогда как в учебнике Киселева и сборнике задач Ларичева подобные радикалы рассматриваются перед сложением радикалов, что вполне естественно.

Трудно аргументировать указанные выше перестановки, которые влекут за собой только осложнение работы преподавателя и должны быть признаны вредными для дела.

Пояснение целесообразности введения рациональных множителей под радикал при приближенных вычислениях корней следует отнести к числу положительных сторон книги.

В учебнике Киселева по поводу введения рационального множителя под радикал сказано только, что иногда полезно бывает это сделать.

На 38 странице книги тождество (√а )n = а дано без указания условий, при которых оно верно в поле действительных чисел.

Несколько позднее рассматривается тождество √ak = а с соответствующими оговорками и, в частности, выражение иллюстрируется конкретными примерами.

В целях последовательности изложения нужно было сначала анализировать такие выражения, как и √ak , а затем уже перейти к тождеству (√a) = а.

Отсутствие анализа последнего тождества имеет своим последствием неправильное объяснение авторами софизма 1 = — 1.

Давая цепь равенства

авторы пишут: «Здесь все дело в том, что в ходе выкладок мы, неправильно применив теорему 1, ввели в рассмотрение выражения √—1 √—1, не имеющее смысла в области действительных чисел» (стр. 39).

Если считать, что допущена только одна ошибка, заключающаяся в замене имеющего смысл выражения √(—1) (—1) выражением √—1 √—1, не имеющим смысла в поле действительных чисел, то каким образом из этого последнего выражения могло получиться действительное число—1.

Так может получиться только в том случае, если допустить еще одну ошибку, именно, если считать, что (√—1)2 = —1, но в области действительных чисел такого равенства не существует.

Таким образом, только в результате двух ошибочных утверждений может получиться равенство 1 = — 1, и это нужно было выяснить.

В рецензируемой книге, в отличие от учебника Киселева и других русских учебников алгебры, слишком громоздко выясняется понятие о квадратном уравнении. Авторы определяют понятие «квадратное уравнение» через понятие «степень многочлена» (стр. 49—50). Затрачивать время в общеобразовательной школе на рекомендуемое в книге выяснение понятия о квадратном уравнении совершенно нецелесообразно. Бросается в глаза необычное название коэффициентов квадратного уравнения: старший коэффициент, средний коэффициент. Нет никаких оснований заменять названия: первый и второй коэффициенты каким-либо другим названием.

Доказательство теорем о равносильности уравнений, данное в учебнике Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского, небезупречно с логической точки зрения.

Приведем доказательство второй теоремы (стр. 77):

«Пусть А — В есть данное уравнение, с ≠ 0—данное число. Тогда если (при каком-нибудь значении х) А = В, то (при том же значении х) Ас = Вс. Обратно, если (при каком-нибудь значении х) Ас — Вс, то (при том же значении х) A = В. Таким образом, каждое решение уравнения А = В является решением уравнения Ас = Вс, и обратно, следовательно, уравнения А = В и Ас = Вс равносильны».

Слово «тогда», часто употребляемое в доказательствах, означает, что из какого-то предшествующего утверждения вытекает определенный вывод, но в приведенном выше доказательстве нет посылки, из которой вытекало бы, что каждое решение уравнения А — В является решением уравнения Ас = Вс. Перед словом «тогда» дано только условие теоремы, и, таким образом, вывод, что если при каком-нибудь значении X А = В, то при том же значении х Ас = Вс, — дан без указания основания выводов.

В этой же книге дано прекрасное доказательство теоремы о равносильных неравенствах, и казалось бы, что именно так нужно доказывать и теоремы о равносильных уравнениях.

Положительной стороной книги Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского является выяснение понятия о функции на основе понятий о переменной и постоянной величине.

Авторам книги оказались чуждыми те увлечения в трактовке вопроса о функциональной зависимости, которые свойственны некоторым методистам и которые нашли отражение в ряде статей, опубликованных в журнале «Математика в школе», а именно: № 4 за 1949 г., № 5 за 1953 г., № 4 за 1954 г.

К сожалению, авторы книги сделали только первый шаг для сближения вопроса о функциональной зависимости с окружающей нас действительностью. В книге очень хорошо сказано, что в физике, в технике, в естествознании — всюду, где только возможно применение методов математики, неизбежно появляется идея переменной величины, ибо все в природе находится в состоянии постоянного изменения и развития (стр. 87), но эти правильные мысли не получили соответствующей конкретизации.

В дальнейшем изложении совершенно отсутствуют конкретные примеры, иллюстрирующие как общее понятие функции, так и частные виды функциональной зависимости, изучаемые в средней школе, как, например, линейная функция, квадратная функция, что следует признать весьма крупным пробелом школьного учебника.

В изложении вопроса о способах выражения функциональной зависимости нет четкости и ясности. Этот вопрос в части, касающейся аналитического и табличного выражения функциональной зависимости, даже не выделен в отдельный параграф.

Сообщать учащимся, что функция может быть задана при помощи какого-либо сформулированного словами правила вычисления значений функции по значению независимой переменной, и не сопровождать такое сообщение конкретными примерами — не имеет никакого смысла. Данный в книге пример: у как функция от x задается так: у = 5, пока х меняется от 0 до 1, у = 6 — x, пока х меняется от 1 до 3, — может вызвать только недоуменные вопросы, где и когда так бывает.

Как минус нужно отметить отсутствие примера табличного выражения функциональной зависимости. Возникает также сомнение в правильности определения квадратной функции: функция у, значения которой выражаются через значения переменной х в виде квадратного трехчлена Ах2 + Вх + С, называется квадратичной функцией. В этом определении указывается внешний признак квадратной функции, тогда как в целях отчетливого представления учащимися квадратной функции следовало бы определение построить на таком существенном признаке, как степень аргумента. С другой стороны, нужно учитывать то обстоятельство, что учитель должен иллюстрировать понятие «квадратная функция» конкретными примерами, а наиболее подходящими примерами будут такие:

1) Площадь квадрата есть функция его стороны: у = x2.

2) Расстояние, проходимое свободно падающим телом, есть функция времени: s = 1/2 gt2.

В этих примерах аналитическое выражение функций ничем не напоминает квадратный трехчлен.

Из трех определений предела последовательности в учебнике следует оставить только последнее, как наиболее доступное школьникам. Давать учащимся первое или второе определения — это значит культивировать формализм. Учащиеся могут заучить эти определения, но не будут понимать, что такое предел.

В книге дано слишком много теорем о пределах, тогда как в программе сказано, что учащимся нужно сообщить только основные теоремы о пределах.

В отличие от учебника Киселева в рецензируемой книге нахождение логарифма числа не рассматривается как второе действие, обратное действию воз-

вышения в степень, что следует признать правильным.

Доказательства теорем логарифмирования слишком громоздки, в результате чего внимание учащихся будет отвлекаться от сущности вопроса и усвоение его может быть формальным.

В перечень основных свойств логарифмов авторы включили утверждение, что при положительном основании всякое положительное число имеет логарифм. В учебнике Киселева в этом отношении имеется пробел.

Как недостаток книги Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского нужно отметить отсутствие указаний об иллюстрации на графике логарифмической функции основных свойств логарифмов.

Такие указания, весьма ценные для учителя, в смысле понимания учащимися строения графика логарифмической функции, в учебнике Киселева даны.

Положительной стороной книги является то обстоятельство, что в связи с изложением вопроса о комплексных числах авторы дали некоторые сведения о развитии понятия числа, подчеркнув возникновение дробных, отрицательных и иррациональных чисел из потребностей практической деятельности человека.

Ввиду невозможности иллюстрировать комплексные числа какими-либо конкретными примерами авторы дали историческую справку, уясняющую необходимость извлекать квадратные корни из отрицательных чисел при решении уравнений 3-й степени по формуле Кардано, но так как решение данного в примере уравнения 3-й степени нельзя довести до конца ввиду незнания учащимися способа извлечения кубического корня из комплексных чисел, этот пример является мало убедительным. Несколько позднее в книге рассмотрено квадратное уравнение, при решении которого получаются корни, выраженные комплексными числами. Мы думаем, что решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом является единственным исходным пунктом в средней школе для ознакомления учащихся с комплексными числами.

Много лучшего оставляет желать изложение вопроса о решении системы неравенств 1-й степени с одним неизвестным (стр. 249).

В частности, авторы не рассматривают тот случай, когда при решении данной системы получаются границы противоположного смысла. Правда, границы противоположного смысла фигурируют в изложении названного раздела, но они получаются в результате решения двух систем и истолковываются не в смысле указания верхней и нижней границ, между которыми заключается значение неизвестного, тогда как в первую очередь нужно было рассмотреть именно этот случай.

В книге отсутствует общепринятая (?!—Ред.) терминология: пределы одинакового смысла, пределы противоположного смысла, пределы противоречащего смысла. Графической иллюстрации пределов разных видов нет.

Вместо четкого, последовательного изложения всех случаев, которые могут представиться при решении систем неравенств, в учебнике сразу рассматриваются две системы неравенств. Имеются все основания утверждать, что в учебнике Киселева указанный вопрос в смысле полноты и доступности для учащихся изложен гораздо лучше.

Вопрос об исследовании уравнений 1-й степени с одним неизвестным изложен недопустимо кратко (стр. 251). В книге дается доказательство теоремы: «Если коэффициент при неизвестном в уравнении 1-й степени отличен от нуля, уравнение имеет решение и притом единственное», но совершенно не рассматривается вопрос, всегда ли единственное решение уравнения удовлетворяет задаче, по условию которой составлено уравнение.

Нельзя также оставить без иллюстрации соответствующими задачами утверждения, что при некоторых условиях уравнение 1-й степени с одним неизвестным может иметь бесконечное множество решений и может совсем не иметь решений.

В заслугу авторам книги нужно поставить наличие в книге образца исследования задачи с параметрами. В учебнике Киселева этого нет.

Остановимся на общем характере изложения различных разделов алгебры.

Отметим прежде всего пристрастие авторов к теоремам. Многие утверждения, не считающиеся теоремами в других учебниках, в книге Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского возведены в ранг теорем, как, например, почти все правила выполнения действий над корнями, в том числе и такие преобразования, как вынесение рационального множителя из-под знака корня и введение рационального множителя под знак корня (стр. 43), причем последние две теоремы даны без всякой формулировки и без всякого названия. Едва ли такое обилие теорем можно считать достоинством книги.

Изложение почти всех теорем начинается с формулировки, т. е. в традиционном порядке, тогда как во многих случаях изложение теорем целесообразно начинать с постановки вопросов по поводу различных соотношений между алгебраическими объектами и в результате решения этих вопросов формулировать теорему. Такое изложение, называемое в методической литературе генетическим, довольно часто мы находим в учебниках алгебры Лебединцева и Киселева.

При генетическом изложении учащиеся не узнают сразу новую истину, а решают вместе с преподавателем тот или иной поставленный преподавателем вопрос. Вполне понятно, что при таком изложении они бывают больше заинтересованы и принимают более активное участие в разрешении поставленного вопроса. С другой стороны, учащимся предоставляется возможность самим формулировать полученный ответ в виде теоремы или правила, что содействует выработке математического языка. Весьма хорошо было бы, если бы в новом учебнике алгебры в большей степени фигурировало генетическое изложение.

В учебнике часто встречается мелкий шрифт. Согласно установившемуся толкованию, те разделы книги, которые напечатаны мелким шрифтом, не являются обязательными для изучения их школьниками, но тогда представляется непонятным, почему в книге набрано мелким шрифтом доказательство теоремы, в которой утверждается, что логарифмы рациональных чисел, за исключением чисел, являющихся степенью 10 с целым показателем, иррациональны (стр. 191, 192). Эту теорему учащиеся должны знать, причем доказательство ее должно быть более доступным для учащихся. Доказательство, данное в книге Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского, по существу ничем не отличается от доказательства в книге С. И. Новоселова для педагогических институтов.

Подводя итоги высказанным в настоящей статье соображениям, следует признать, что учебник Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского в научном отношении должен быть поставлен выше учебника Киселева и что этот учебник в большей степени соответствует программе VIII—X классов.

Что же касается расположения учебного материала, ясности и полноты изложения, в этом отношении рецензируемый учебник весьма и весьма далек от

совершенства, и авторы многое должны сделать, чтобы их книгу можно было бы считать стабильным учебником, которым может с успехом пользоваться наша школа.

Одним из условий, необходимых для создания доброкачественного учебника алгебры, является широкое использование опыта таких мастеров по составлению учебников алгебры, какими были А. П. Киселев и К. Ф. Лебединцев, и вообще опыта разных авторов.

К сожалению, внимательное изучение книги Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского не дает нам оснований утверждать, что авторы в достаточной степени учли положительные стороны старых учебников.

Наоборот, стиль книги говорит о стремлении авторов написать такую книгу, которая как можно меньше походила бы на учебник Киселева.

Такое стремление было бы понятным, если бы учебник Киселева был порочным во всех отношениях, но подобных утверждений, как известно, никто не высказывал и высказать не может.

И. А. СКРЫЛЕВ (Одесса)

Из изданных в последнее десятилетие различными советскими издательствами пособий по математике для учителей средней школы книга Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского более, чем другие, приближается к учебнику, ибо она «охватывает содержание материала, проходимого в VIII—X классах средней школы».

В этой книге дается полное изложение почти по всем разделам и темам школьной программы. Книга, очевидно, явилась ответом на давно высказывавшиеся пожелания улучшить школьный курс алгебры, обратив внимание в первую очередь на его научную сторону.

Проследим, в какой мере авторы справились с поставленной задачей. В «Алгебре» имеются:

1. Многочисленные случаи сложных формулировок теорем, следствий и определений, текстом которых никто и никогда не пользуется в приложениях, и сами авторы предпочитают пользоваться другими, более сокращенными.

Если иметь в виду, что в практике работы в школе является настоятельная необходимость в многократных повторениях текста теорем, следствий и определений, то легко представить себе непригодность громоздких формулировок: ведь в классе ученик не скажет — из теоремы 1 следует..., а должен будет сформулировать ее.

Здесь авторы пренебрегли основной истиной, что правила и важные положения должны быть выражены в предельно простой и ясной форме.

2. В книге имеются ненужные дублирования. Например, первые две теоремы главы I можно и должно заменить одной; вместо двух теорем о сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (стр. 160) можно ограничиться одной; свойство 5 показательной функции выражает и свойство 3 (стр. 179); повторный возврат к тем же теоремам выражается еще в том, что частные случаи выдаются за самостоятельные теоремы.

3. Нельзя признать в методическом и научном отношении верным стремление авторов размножить число теорем там, где целесообразно сократить их число, не усложняя при этом доказательств. Например, четыре теоремы § 4 главы I (стр. 11, 12): 1-ю, 3-ю, 4-ю и 6-ю можно заменить одной, такой:

Корень нечетной степени из числа а имеет только одно значение, — того же знака.

что и подкоренное число, а корень четной степени из положительного числа имеет два значения, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку.

4. Имеются случаи, когда важные положения выводятся приемом особой абстракции (стр. 24, 25), без достаточной убедительности и ясности.

Поэтому совсем необоснованными являются утверждения, содержащиеся в абзаце «Естественно считать. ..» (стр. 25).

Конечно, иной, лучший эффект получился бы, если бы эти выводы явились итогом рассмотрения конкретных случаев, например √2 и √3 ; у авторов же получилось наоборот (в нарушение известных требований дидактики): упомянув в начале о приближенных значениях √2, они только в конце параграфа говорят о представлении его в виде бесконечной десятичной дроби.

5. Имеет место нарушение систематичности в изложении программы по классам, когда для обоснования материала VIII класса привлекаются теоремы X класса о неравенствах (стр. 9, 30, 33).

6. Имеются не совсем удачные определения, логические неувязки (и, следовательно, нарушение научности в изложении), неупотребительные выражения; весьма много стилистических шероховатостей, недостаточно продуманных, если не сказать, произвольных выражений; неисправленных опечаток — и все это на фоне излишнего многословия в ущерб точности и ясности изложения.

Приведем примеры к каждому виду перечисленных недостатков.

В теореме 1, § 4, гл. I, не доказывается существование корня, а сформулирована она в форме утверждения его существования: «...имеет не более одного... значения», вместо — может иметь...

Поэтому вызывает недоумение изложение всего § б, где в двух теоремах доказывается существование приближенных значений корня, когда существование его еще не доказано. Следует заметить, что даже при устранении этого пробела (скажем, путем рассмотрения его в соответствующем месте) изложение оставляет желать много лучшего.

Приведем примеры неудачных выражений и стилистических недостатков.

«Наглядная сущность...» (стр. 26); бесконечная десятичная дробь у авторов является всюду только «записью» некоторого действительного числа, говорится о приближенных значениях во всех случаях — не корня, а «для» и «к» корню; «...отрезки (an, bn). Так мы обозначаем отрезок, концами которого являются точки, изображающие числа a1 и b1, a2 и b2» (стр. 29).

«Отрезки бесконечной десятичной дроби, т. е. дроби, составленной из конечных последовательностей ее цифр...» (стр. 25).

«Результат точного измерения этого отрезка в выбранном масштабе даст нам точное значение для √2».

«Действительно (вместо вообще) естественно считать...» (стр. 17); «Полученный результат называется (вместо — может быть выражен) теоремой...» (стр. 146).

Много сказано о степени с нулевым и отрицательным показателем (стр. 162—164), но при этом не выяснено, почему «Рассуждения .. .не являются... доказательствами того, что a0 = 1; a-q = 1/aq».

7. Имеют место случаи, когда сложные доказательства предпочитаются легким, или даются не совсем обоснованные доказательства, или когда его (доказательства) на самом деле нет, или не должно быть.

Например, совершенно непонятно, почему громоздкое доказательство теоремы 3 на странице 172, занявшее целую страницу (набранную, к тому же, петитом), авторы предпочли известному простому и строгому с выкладкой в одну строку.

Дается сложное доказательство свойства 5-й показательной функции на странице 179.

8. Авторы часто недостаточно считаются с возрастными возможностями учащихся VIII и IX классов, с их уровнем развития и интересами; поэтому во многих случаях и по объему, и по содержанию, и по способу изложения трактуемое недоступно для учеников, в особенности в части построения и обоснования теории действительных чисел и теории пределов.

Имея в виду, что учителя математики встречаются с наибольшими трудностями именно в этих вопросах, рассмотрим более подробно их изложение в разбираемой книге.

9. По нашему мнению, неправильно трактуются понятия об аксиоме и свойствах непрерывности прямой линии и множества действительных чисел.

Что же мы находим по этому весьма важному вопросу обоснования теории действительных чисел в «Алгебре»?

«Наглядная сущность свойства непрерывности прямой линии состоит в том (стр. 26), что между отдельными точками на прямой нет никаких пустот», и далее (стр. 27) поясняется смысл аксиомы: «Действительно, в аксиоме непрерывности как раз и утверждается, что всякая стягивающаяся последовательность промежутков «стягивается» к точке, а не к «пустому месту».

Расширяется ли интуитивное представление учащихся о прямой таким изложением затронутого вопроса? — Нисколько: именно без пустот, сплошной, непрерывной представляют они себе прямую линию. То же самое получилось и с понятием о непрерывности совокупности действительных чисел.

В самом деле, разве можно получить сколько-нибудь ясное представление о нем, сказав только, что «теорема, которая по сути дела является алгебраической формулировкой аксиомы непрерывности (прямой линии)... выражает свойство непрерывности совокупности всех действительных чисел».

Надо уже быть знакомым с построением теории действительных чисел по учебникам для математических факультетов педагогических учебных заведений, чтобы она (теорема) вызвала (известные) ассоциации.

Наконец, следует заметить, что, обладая чувством педагогического такта, основанным на знании школы, ее задач в целом, интересов учащихся, никак нельзя признать удачным привлечение принципа Кантора к решению вопросов школьной алгебры.

Действительно, во-первых, он в своей формулировке уже деликатен по содержанию, во-вторых, прием доказательства, на нем основанный, еще более тонок. Нельзя забывать, что этот принцип применяют в вопросах, обычно рассматриваемых на физико-математических факультетах педагогических учебных заведений, студенты которых имеют явно выраженные математические интересы, а здесь его предлагают учащимся VIII и IX классов, не искушенным еще в логических тонкостях, с различными интересами, часто находящимися вне математики.

10. Вряд ли следует во главу определения предела брать геометрическое истолкование его.

11. Без нужды, в ущерб краткости и ясности изложения теория пределов насыщена теоремами и следствиями.

Например, незачем вводить теоремы 1 и 2 § 7, являющиеся частными случаями теоремы 4.

Если нам скажут, что теорема 4 доказывается на основании теоремы 1, то мы ответим, что авторы избрали сложный путь, ибо теорема доказывается независимо от теоремы 1 общеизвестным приемом (на основании определения предела), более легким, чем громоздкое доказательство теоремы 1 и теоремы 4.

12. Нет нужды в определении на странице 160, чтобы сформулировать теорему о сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии; лишним представляется введение понятия о частичных суммах и основанная на нем теорема.

По поводу того, что в теории пределов «для большей наглядности применяются геометрические доказательства», надо заметить следующее. Если рассматриваемый вопрос относится к программному и строгое его изложение сопряжено с трудностями, то вполне естественно прибегнуть к геометрическому истолкованию. По всем же другим разделам и темам внешкольного материала, могущим составить интерес только для любителей математики, нельзя нарушать присущие алгебре методы.

Мы полагаем, что в целом рассматриваемая «Алгебра» не может служить хорошим пособием для учителей математики средних школ.

От редакции. В настоящем номере редакция помещает три рецензии на книгу Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского «Алгебра». И. А. Скрылев в своей рецензии вполне правильно отметил, что из изданных за последнее время пособий по алгебре эта книга «более, чем другие, приближается к учебнику». По этой причине в настоящее время, когда идет подготовка новых учебников, всестороннее обсуждение книги Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского приобретает особо важное значение.

Авторы критических статей дают книге не одинаковые оценки. Однако опубликованные рецензии скорее дополняют одна другую, чем противоречат друг другу, так как рецензенты подходят к оценке книги с различных точек зрения. Несомненным достоинством книги является то, что в ней учебный материал изложен на значительно более высоком и современном научно-идейном уровне, чем в ныне действующем учебнике алгебры Киселева. Это достаточно убедительно показано в рецензии К. А. Рупасова и И. М. Шапиро. С другой стороны, нельзя не согласиться с И. А. Скрылевым, что в отношении характера изложения книга Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского имеет многочисленные недостатки. Сложные формулировки некоторых теорем, излишнее дублирование материала, многословие и «вольный стиль» изложения нельзя отнести к достоинствам книги.

Разумеется, что в ряде вопросов, не получивших окончательного решения, авторы критических статей высказывают свои личные точки зрения. К числу таких дискуссионных вопросов относится, например, вопрос о том, на какой основе и в каком объеме следует строить учение об иррациональном числе в курсе средней школы. Редакция полагает, что обмен мнениями по дискуссионным вопросам сам по себе представляет интерес.

Редакция полагает, что, несмотря на ряд недостатков, книга Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского явится полезным пособием для учителя и что она сыграет положительную роль в деле подготовки нового учебника алгебры.

О КНИГЕ И. Я. ДЕПМАНА «РАССКАЗЫ О МАТЕМАТИКЕ»

Детгиз, Ленинград, 1954, 144 стр., цена 3 р. 05 к., тираж 200 000 экз.

И. Г. МЕЛЬНИКОВ (Ленинград)

Первое издание рецензируемой книги появилось в 1950 г. под названием «Из истории математики» (тираж 45 000 экз.). Книга, предназначенная для учащихся V—VII классов, встретила хороший прием не только со стороны учащихся V—X классов, но также и со стороны учителей, студентов и людей различных профессий. Интересная книга И. Я. Депмана сразу же стала источником сведений по истории математики для учащихся средней школы и удобным пособием для учителей математики.

Весьма трудная задача написания подобной книги была решена автором на основе его многолетнего научно-педагогического опыта и длительной работы с учителями ленинградских школ.

Опыт использования первого издания книги (частично освещенный на страницах журнала («Математика в школе»), доброжелательная критика на кафедре алгебры Ленинградского педагогического института и многочисленные письма читателей были учтены при работе над вторым изданием.

В настоящем, втором, дополненном издании книга получила новое название—«Рассказы о математике».

Автор поставил перед собой задачу (стр. 3) рассказать «о том, как из трудовой деятельности человека возникли главнейшие понятия и основные разделы начальной математики, как они развивались и совершенствовались и достигли их современного состояния».

Книга И. Я. Депмана состоит из введения и трех глав: «Зарождение математики» (пять рассказов), «Математика у народов нашей Родины» (девять рассказов), «Из истории развития начальной математики» (семнадцать рассказов), послесловия и списка литературы, содержащего шестьдесят названий.

Заметим, что название «Математика у народов нашей Родины» является слишком общим для второй главы, посвященной начальному этапу в истории развития математики в нашей стране. С другой стороны, содержание третьей главы, некоторые рассказы которой посвящены П. Л. Чебышеву, Н. И. Лобачевскому, С. В. Ковалевской, проблеме Гольдбаха и замечательным математикам-педагогам, не укладывается в рамки названия «Из истории развития начальной математики».

Значительная часть книги написана по материалам истории нашей отечественной науки, и это, несомненно, будет способствовать воспитанию высокого чувства советского патриотизма.

От древнейшего памятника египетской математики «Московского папируса» — к П. Л. Чебышеву, Н. И. Лобачевскому, И. М. Виноградову, а от них к А. П. Киселеву, т. е. к школьной науке, — такова весьма поучительная для учащихся канва книги.

Положение Ф. Энгельса о возникновении и развитии математики из практических нужд людей иллюстрируется многочисленными конкретными примерами (см. стр. 5; 6; 11; 15; 16; 23; 43; 56 и др.).

В книге отмечается прикладное значение математики (поучительный рассказ «Как ценили математику наши предки»), ее культурно-историческая ценность (на стр. 58 обсуждается высказывание М. В. Ломоносова: «...математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит», на странице 105 весьма кстати приводится утверждение академика А. Н. Крылова о том, что «...рано или поздно всякая правильная математическая идея находила применение в том или ином деле»), указывается место математики в системе наук.

На многих страницах книги приводятся интересные факты о борьбе мракобесия с наукой (о кодексе Юстиниана, стр. 23, о расправе испанской инквизиции с математиком Вальмесом, стр. 24; см. также страницы 27; 30; 31 и др.).

Можно надеяться, что книга внесет свою лепту в формирование марксистско-ленинского мировоззрения учащихся.

Остановимся теперь на некоторых особенностях построения книги.

Доступность значительной части содержания математики вавилонян, египтян, греков и индийцев позволяет автору даже в кратком изложении набросать картину математических представлений древнейших народов.

Ярко и достаточно подробно написаны рассказы о математике у армян, народов Средней Азии и о математических познаниях числолюбцев древней Руси. В подробно написанном рассказе «Русские счеты» убедительно опровергаются различные измышления о восточном происхождении этого замечательного счетного аппарата.

Обстоятельный рассказ посвящается Л. Ф. Магницкому и его «Арифметике». Заслуженная дань уважения воздается Л. Ф. Магницкому и в других местах книги (заглавный лист «Арифметики» Л. Ф. Магницкого украшает обложку книги и помещен также на стр. 115).

В рассказе «Геометрические сведения в старых русских памятниках» автор нашел удобный повод для знакомства с М. В. Остроградским. В другом месте (стр. 72) читатель познакомится с известным советским математиком И. А. Лаппо-Данилевским.

Несмотря на эти отступления, изложение в первых двух главах является вполне последовательным.

В третьей главе автор дает краткие исторические сведения, относящиеся к арифметике и началам алгебры и геометрии. Здесь же автор знакомит юного читателя с блестящими учеными, открытия которых прославили нашу родину: с П. Л. Чебышевым, Н. И. Лобачевским, С. В. Ковалевской, И. М. Виноградовым и другими замечательными представителями нашей математической науки.

Пестрота содержания этой главы, повидимому, не позволяет автору быть столь последовательным, как в предыдущих главах. Например, о глубоких исследованиях в области теории чисел, выполненных П. Л. Чебышевым, И. М. Виноградовым и другими, автор рассказывает почти сразу же после «способа умножения чисел, применяемого русскими крестьянами».

Большинство рассказов этой главы имеет самостоятельное значение.

В этих рассказах в наиболее отчетливой форме обнаруживается способность автора сближать вопросы, относящиеся к самым различным разделам науки.

Так, интересные сведения о вычислительных машинах автор удачно поместил в рассказе «Двоичная система счисления». В том же рассказе читатель впервые встретит имя Л. Эйлера в связи с законом 1797 г. о мерах.

Заметим, что сведения об Эйлере приводятся в нескольких местах книги (стр. 81; 102; 114). Однако, если собрать воедино все эти ссылки (что при отсутствии указателя весьма трудно сделать), то все же читатель не получит надлежащего представления об

Эйлере. В книге уместно было бы поместить рассказ, посвященный Л. Эйлеру.

Известно, что о современном этапе развития математики трудно разговаривать со школьниками; не только методы исследования, но даже содержание проблемы в большинстве случаев не может быть раскрыто перед учащимися средней школы.

Несмотря на эти трудности, автор сумел в понятной форме рассказать об асимптотическом законе простых чисел, о сочетании теории и практики во всей деятельности основателя Петербургской математической школы — П. Л. Чебышева.

Понятен будет учащимся и рассказ о труднейшей проблеме современной математики — проблеме Гольдбаха.

Рассказ, посвященный великому революционеру в науке Н. И. Лобачевскому, вызовет законное чувство гордости за передовую русскую мысль в математике и философии, сделает имя Лобачевского еще более близким и дорогим для учащихся.

Интересны и поучительны для нашей молодежи будут страницы, посвященные биографии С. В. Ковалевской.

Может быть, школьники, прочитав последний рассказ книги «Замечательные русские математики-педагоги», проникнутся еще большим чувством признательности и уважения к автору стабильных учебников — А. П. Киселеву.

Наблюдения, которыми мы располагаем, свидетельствуют о том, что школьники дорожат книгой И. Я. Депмана. Методическая конференция, проведенная в Ленинградском педагогическом институте (декабрь 1954 г.), показала, что книга пользуется большим успехом также у студентов и учителей.

Можно надеяться, что книга И. Я. Депмана еще не раз будет переиздаваться. Именно поэтому мы считаем целесообразным отметить некоторые недостатки книги и высказать наши пожелания.

1. Автор сам признает пробелом в своей книге отсутствие сведений о зарождении и развитии математики в Китае. Более 70 лет назад М. Е. Ващенко-Захарченко посвятил Китаю 25 страниц своей «Истории математики». Среди сообщенных им сведений часть носит явно легендарный характер, однако в настоящее время, когда мы гораздо ближе знакомимся с Китаем, автор, наверное, найдет и исторически обоснованные сведения о старой китайской математике и сообщит их в следующем издании своей книги.

2. Из слов автора на странице 104: «Начало создания этих новых методов математики было положено в 1930 году советским математиком Л. Г. Шнирельманом (1905—1938); выработанные же необходимые новые методы были академиком Иваном Матвеевичем Виноградовым (родился в 1891 году)» — можно сделать ошибочное заключение о том, что метод И. М. Виноградова родственен методу Л. Г. Шнирельмана. Метод И. М. Виноградова, основанный на рассмотрении тригонометрических сумм, является совершенно новым методом.

3. На странице 78 рассказывается о том, что Лудольф к 1596 г. успел вычислить только 20 десятичных знаков числа π; следовало бы указать, что приступил он к этому вычислению в 1586 г.

4. На странице 80, где рядом с портретом Л. Эйлера, сообщается о самом большом простом числе, известном в настоящее время (простота числа 22281 — 1 установлена при помощи электронной счетной машины), было бы уместно привести число 231 — 1, простота которого была установлена Эйлером в 1772 г. Это число считалось наибольшим известным простым числом до 1883 г., когда И. М. Первушин доказал что 261 — 1 — число простое.

На этом фоне сообщение об открытии Первушина (стр. 94) оказалось бы более поучительным.

5. Автор имел достаточно оснований для рассмотрения известного примера ошибочной индукции относительно чисел an = 22n + 1, n = 0,1,2,...

Предположение Ферма о простоте чисел an было опровергнуто Эйлером в 1732 г., показавшим, что a5 = 641.6—700417.

В 1877 г. И. М. Первушин двумя месяцами ранее французского математика Э. Люка сообщил, что число a12 также составное. Он же, как отмечает и автор, доказал в 1878 г., что составным является и число a23.

6. Утверждение И. Я. Демпана о том, что результаты Первушина были проверены и подтверждены в Петербургской и Парижской академиях наук, является неточным. Вычисления Первушина, относящиеся к числу 261 — 1, оказались столь громоздкими, что желающих проверить их не нашлось. Все же Петербургская академия наук сумела позаботиться о приоритете Первушина.

7. На странице 18 сообщается о неразрешимости посредством циркуля и линейки четырех древнейших задач на построение. Имеется существенное различие между абсолютной невозможностью, например, квадратуры круга и невозможностью построения любого правильного an-угольника. Разрешимость последней задачи, как показал в конце XVIII в. Гаусс, зависит только от теоретико-числовых свойств числа an; если an — простое число, то оно должно быть вида an = 22n + 1. Заговорив о числах an, естественно было бы вспомнить о результатах К. Гаусса. В книге Гаусс упоминается (стр. 122) лишь как математик, побоявшийся опубликовать свои взгляды о возможности неевклидовой геометрии.

8. О простых числах с учащимися можно разговаривать вполне конкретно. Например, Ферма предполагал что, все числа вида 22n + 1 — простые. Эйлер указал многочлены x2 + х + 17, 2×2 + 29, x2 + х + 41, числовые значения которых при многих последовательных целых значениях х являются простыми числами. Эйлер же доказал, что не существует многочлена с целыми коэффициентами, который давал бы только простые числа. Число подобных примеров можно умножить. Отметим, что сам автор в своей работе о славянских математиках Веге и Кулике («Историко-математические исследования», т. VI, 1953) вполне доступно для неспециалиста пишет о ряде этих вопросов.

9. Хорошо было бы включить в книгу рассказ о математиках, сделавших открытия в юные и студенческие годы (Паскаль, Клеро, Гаусс, Галуа, Е. И. Золотарев, Л. С. Понтрягин, С. Н. Маргелян, И. Р. Шафаревич и др.).

10. Успех, выпавший на долю многих ученых, обусловлен умением трудиться много, упорно и настойчиво. Это положение в книге должно звучать чаще.

В книге помещено несколько математических забав. Этот развлекательный материал (дань школьному возрасту!) пользуется особым расположением учащихся и практикантов педвуза.

В целом книга написана живо, языком вполне доступным для учащихся.

Книга расширяет кругозор учащихся и способствует лучшему пониманию роли и значения математики в большой созидательной работе нашего народа.

Приложенный к книге указатель литературы по основным вопросам содержания книги дает возможность читателю, заинтересовавшемуся какой-нибудь из тем, найти более подробные сведения в специальных книгах.

О КНИГЕ Г. И. ЛИНЬКОВА «ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ»

В. Н. ГРИШИН (Дубовка, Сталинградская область)

Автор книги обобщил опыт внеклассной работы по математике пяти учителей г. Курска и Курской области. Эта книга особенно полезна учителю, начинающему работать.

В книге рассматриваются все основные формы внеклассной работы: 1) математический кружок, 2) математическая газета, 3) математические вечера, 4) математические олимпиады.

Кратко, но содержательно автор излагает опыт внеклассной работы. Большое внимание уделяется занятиям математического кружка. Здесь учитель найдет образцы проведения кружковых занятий, примерный план работы математического кружка для каждого класса, с указанием литературы для каждого занятия.

Тематика занятий характеризуется достаточным разнообразием: задачи из народной арифметики, а также исторические задачи, отражающие нашу действительность; тема для докладов: «Л. Ф. Магницкий — автор первого учебника по математике в России», «А. П. Киселев— великий труженик в создании стабильных учебников по математике», «П. С. Александров — президент Московского математического общества», «Академик И. М. Виноградов — сильнейший математик мира»; занимательные задачи, софизмы, загадки, шарады, математические фокусы и т. д. Предложенная тематика значительно расширит познания учащихся по математике.

В книге мало уделено внимания счетным машинам (например, можно бы рассмотреть работу арифмометра в IX—X классах), вычислению при помощи таблиц (V—VI классах по арифметике), роли математики в развитии техники и социалистическом строительстве.

На занятиях кружка можно бы, как нам думается, рассмотреть более серьезные математические вопросы, как, например: 1) расширение понятия о числе, пределе и функции; 2) некоторые элементарные положения геометрии Н. И. Лобачевского; 3) решение с объяснением и исследованиэм задач, предлагавшихся на приемных экзаменах в вузы. Это все усилило бы интерес учащихся к математике и значительно углубило бы их знания.

Итоги работы кружка могут и должны быть отражены в стенной математической газете. Автор приводит содержание одной из газет, которая, как нам представляется, выглядит бледно (по содержанию): в ней не рассмотрено ни одного серьезного математического вопроса.

Математические вечера проводились по двум направлениям: 1) вечера занимательной математики, 2) тематические вечера. Приводится содержание вечера, посвященного Л. Ф. Магницкому: доклад о Л. Ф. Магницком и задачи из «Арифметики» Магницкого и др. Было бы лучше, если доклады делали не учителя, а сами члены кружка — учащиеся X класса. Это содействовало бы приобщению ученика к чтению математической литературы, выработке навыков в составлении рефератов.

Книга заканчивается рассмотрением организации и проведения математических олимпиад. На страницах областной газеты была проведена заочная математическая олимпиада института усовершенствования учителей для учащихся IV—X классов. Решения задач, присланные учащимися, были проверены и проанализированы. Лучшие участники премированы. Такой опыт проведения олимпиад заслуживает внимания, так как такая форма позволяет охватить больше участников разных школ и районов области.

Подведем итог сказанному. Книга заслуживает одобрения и может быть использована как методическое руководство внеклассной работы по математике. Во втором издании желательно расширить объем книги и устранить имеющиеся недостатки.

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 2 ЗА 1955 г.

П. Балев (Болгария) 11—18, 21, 22; В. Балицкий (Алтайский край) 11—15, 17, 18; П. Балышкин (Новосибирская обл.) 11—22; А. Бекаревич (Гомель) 11 — 13, 15—16, 20—22; Е. Боков (Краснодарский край) 11—19, 22; А. Владимиров (Асбест) 11—13, 15—19, 21, 22; И. Войнов (Орловская обл.) 11—22; А. Гаае (Караганда) 11—13, 16, 17, 19, 21, 22; Б. Гельруд (Нижний Тагил) 11—17, 19, 21, 22; Ю. Герасимов (Тюменская обл.) 11—13, 16, 18—19; С. Гнетулло (Норильск) 11—19, 21; Е. Головачев (Белогородская обл.) 11—13, 15—17; М. Готлер (Вильнюс) 11—17, 19, 20, 22, У. Давыдов (Гомель) 11—19, 21; А. Дейнега (Винницкая обл.) 11—19, 21, 22. В. Демчинский (Ровно) 11—13, 15, 16, 21, 22; А. Жегунас (Литовская ССР) 11—13, 16—19, 21; Н. Жуков (Архангельская обл.) 11—13, 16, 17, 19, 21, 22; Р. Исмагилова (Башкирская АССР) 11 — 19, 21; Я. Кривошея (Украинская ССР) 12, 13, 15—18; М. Лейбман (Свердловская обл.) 11—17, 19, 21, 22; Г. Лось (Хмельницкая обл.) 11—20. Математический кружок 17 средней школы (Киев) 11, 13—16, 19—21; И. Могильный (ст. Игрень) 11—13, 16, 17, 22; Т. Мышакова (Одесса) 11—22; И. Нигож (Карагандинская обл.) 11—17, 20; В. Повелий (Ровенская обл.) 11, 13, 15, 16, 18, 19; Г. Рачинский (Ставропольский край) 11—22; Р. Реннерт (Польша) 11—14, 17—19, 21, 22; В. Смыляев (Марийская АССР) 11—18; Е. Тишков (Полоцк) 11—17, 19, 21, 22; В. Утемов (Свердловская обл.) 11—22, Г. Чепкасов (Краснодарский край) 11—13, 15—19, 21, 22; М. Черепнин (Караганда) 11—19, 21, 22; Ф. Яремчук (Киев) 11 — 19; Э. Ясиновый (Куйбышев) 11—13, 15—22.

ФИЛИПП ПРОКОФЬЕВИЧ ОТРАДНЫХ

И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

27 января скоропостижно скончался на 54-м году жизни доцент Ленинградского университета Филипп Прокофьевич Отрадных, автор первого на русском языке курса лекций и нескольких книг и брошюр по истории математики.

Ф. П. родился в 1900 году в семье крестьянина Тобольской губернии. В 1919 году восемнадцати лет Ф. П. вступил добровольцем в Красную Армию. По окончании гражданской войны юноша жадно потянулся к знанию, в 1928 году он окончил педагогический институт в Феодосии, в 1930 — 1933 годах прошел аспирантуру по математике при Академии наук СССР. С этого времени жизнь Ф. П. неразрывно связана с Ленинградским университетом, в котором он, помимо преподавания, в течение 12 лет занимал трудный пост заместителя декана математико-механического факультета, кроме того, неоднократно избирался на выборные должности, до председателя университетского месткома включительно. В годы Великой Отечественной войны, с первого до последнего дня, Ф. П. находился на фронтах и возвратился оттуда, награжденный двумя орденами.

С 1925 года Ф. П. состоял членом Коммунистической партии.

Научная деятельность Ф. П. была посвящена в основном составлению курса лекций по истории математики, но нельзя не упомянуть и о его первом печатном выступлении с работой, адресованной непосредственно школе. В 1932 году, в период поисков новых путей преподавания в школе, вышла книга: В. Корепанов, Ф. Отрадных, Г. Соколов, Алгебра. Учебник для VI года ФЗС и II года ШКМ (бригадир Ф. Отрадных), Учпедгиз, 1932.

В 1947 году Ф. П. защитил диссертацию на степень кандидата физико-математических наук. Диссертация была посвящена изучению жизни и творчества Михаила Васильевича Остроградского и издана Ленинградским университетом в 1953 году под заглавием «Михаил Васильевич Остроградский». Среди литературы об Остроградском это одно из самых доступных для учителя изложений достижений великого русского математика.

В течение последних лет Ленинградский университет в литографированном виде издал лекции Ф. П. по истории математики. Первое издание состоит из 26 тетрадей, из второго, исправленного и дополненного издания при жизни автора вышло 15 тетрадей. Отдельными брошюрами в печатном оформлении издательство «Советская наука» выпустило лекции Ф. П.: «Жизнь и творчество П. Л. Чебышева» (1953) и «Математика XVIII века и академик Л. Эйлер» (1954).

Составление курса истории математики потребовало от автора колоссального труда. На русском языке почти не было попыток создания такого курса; можно назвать лишь издание В. В. Бобыниным части своих лекций в Московском университете в 80-х годах. Требовалась очень большая смелость, чтобы взяться за составление курса истории математики для современного читателя. Ф. П. сознавал трудность своего предприятия, но не имея возможности рекомендовать своим слушателям какое-нибудь связное изложение предмета, он пошел на риск потвергнуться резкой критике, но все же сделать первый шаг к созданию необходимого руководства.

Ф. П. тщательно собрал в своем курсе все, что имеется по истории математики на русском языке, и этим оказал большую услугу интересующимся этим предметом и авторам более совершенных аналогичных курсов в будущем.

Лекции Ф. П. вызывают очень много замечаний. Мировая литература по истории математики растет с каждым днем, трудно следить за всеми новинками. Недостатки курса лекций Ф. П. могут быть в дальнейшем исправлены, но за автором остается заслуга собирания и приведения в систему, с марксистско-ленинской точки зрения, очень большого числа фактов истории математики. Первые руководства всех наук были несовершенны, таковым является и курс лекций Ф. П. Но писать следующий курс по этому предмету будет значительно легче, и в этом заслуга Филиппа Прокофьевича.

Учителя школы широко пользуются книгами и лекциями Ф. П. и благодарны ему за выполненный труд. Все лично знавшие автора сохраняют об этом исключительно добром и отзывчивом человеке самые теплые воспоминания.

Ленинградский университет готовит печатное издание лекций Ф. П. после их тщательного просмотра. После этого труд Ф. П. получит гораздо более широкое применение и займет место на столе каждого учителя математики.

Из исследований Ф. П. Отрадных по частным вопросам истории математики надо отметить статью «Эпизод из жизни академика А. А. Маркова» («Историко-математические исследования», том VI, 1953).

ЗАДАЧИ

ЕЩЕ РАЗ О ЗАДАЧЕ ТРЕХ ПАСТУХОВ

В. И. ЛЕВИН (Москва)

В журнале «Математика в школе», № 3 за 1954 г., была помещена статья И. Я. Депмана, в которой приводится разбиение квадрата на три равновеликие части так, что в каждой части найдется точка, удаленная от всех других точек этой части не более, чем на √10/6 а, где а — сторона квадрата. Этот результат лучше приведенного в книге Г. Штейнгауза « Mathematical Snapshots» (1950), где квадрат делится на три одинаковые прямоугольника прямыми, параллельными одной из его сторон. Можно найти оптимальное решение задачи. Однако прежде уточним ее постановку.

Требуется разбить квадрат со стороной а = 1 на три односвязные (т. е. ограниченные каждая самонепересекающейся замкнутой кривой) равновеликие части так, чтобы больший из радиусов этих частей был наименьшим. Под радиусом односвязной плоской области будем понимать следующую величину: возьмем произвольную точку О' из области (D) и обозначим через d (O') расстояние от этой точки до наиболее удаленной от нее точки (D); меняя теперь положение точки О', найдем такую точку О в области (D), для которой это расстояние будет наименьшим, т. е. такую, что d (О) ⩽ (О') для всех точек О' из (D). Расстояние d (О) и назовем радиусом rD области (D). Для того чтобы все эти наибольшие и наименьшие расстояния существовали, примем, что рассматриваемые области — замкнутые (точки их границы принадлежат им) и что они ограничены достаточно гладкими кривыми, на которых допускается не более конечного числа угловых точек.

Теорема. При любом разбиении квадрата со стороной 1 на три равновеликие части (D1), (D2), (D3) с указанными выше свойствами имеет место неравенство:

причем существует такое разбиение, при котором

Доказательство. Допустим, в соответствии с предположениями, что квадрат ABCD (см. черт.) разбит на три области: (D1), (D2), (D3). Хотя бы одна из этих областей, пусть (D1), должна содержать по крайней мере две вершины квадрата. Пусть это будут вершины А И В. На сторонах AD и ВС возьмем наиболее удаленные, соответственно от А и В, точки (D1).

Пусть это будут точки A1 и B1. Рассмотрим теперь точку M — середину стороны CD. Если точка M принадлежит (D1), то для такого разбиения первое утверждение теоремы справедливо.

Пусть точка M принадлежит другой части, скажем (D2). Тогда к (D2) же принадлежит либо точка A1, либо точка Bv Допустим, что к (D2) принадлежит A1, тогда rD2 ⩾ 1/2 МA1. С другой стороны,

Определим АA1 = х, 0 ⩽ х ⩽ 1 так, чтобы ВA1 = MA1, т. е. чтобы

Это дает:

Таким образом, во всяком случае

и первое утверждение теоремы полностью доказано. Остается доказать, что существует такое разбиение, при котором

Для этого положим АA1 = ВB1 = 1/8 и выберем точку Е так, что ME = 11/24 (см. черт. 1). Тогда ABB1EA1, MDA1E и МСB1Е представляют собой искомое разбиение.

ОБ ОДНОЙ ОШИБКЕ

М. И. ЛИМАН (Краснодар)

Многие учителя г. Краснодара, преподающие математику в X классе, пользуются учебным пособием Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского («Алгебра», ч. II, Учпедгиз, 1954), в котором более полно и на более высоком научном уровне излагаются основные вопросы школьного курса элементарной математики.

В этом учебнике на странице 260 дается и решается задача, сводящаяся к исследованию системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

«Задача. Две группы лыжников общей численностью в 100 человек выделили сборную команду в 15 человек. Первая группа выделила р% своего состава, вторая группа выделила 10% своего состава. Сколько лыжников в каждой группе?».

Задача хороша тем, что при ее решении от учащихся требуется знание многих ранее изученных фактов (свойства неравенств, теория делимости), — это и побудило некоторых учителей решить эту задачу с учащимися на уроке (кстати сказать, таких задач очень немного в наших учебниках).

Однако на уроке выяснилось, что в решении имеется ошибка, которая сводит на нет ценность предложенной задачи.

Ошибка состоит в следующем:

После получения формул:

и установления границ для р (15 < p ⩽ 100) делается вывод: «Так как х должно быть целым числом, то 500/p -10 — целое, следовательно, число p — 10 должно быть делителем числа 500» (разрядка наша. — М. Л.). Это утверждение ошибочно: ведь число р есть число процентов, и оно не обязательно должно быть целым. Например, полагая р = 22,5, будем иметь:

Поэтому полученный ответ

р

x

y

20

50

50

35

20

80

60

10

90

является неполным.

Найти все решения задачи с помощью теории делимости чисел довольно громоздко. Мы предлагаем следующий простой способ нахождения всех решений.

Так как вторая группа выделила в сборную команду 10% своего состава, то десятая часть этой группы (y/10) должна выражаться целым числом, и, таким образом, число лыжников во второй группе должно быть делящимся на 10. Следовательно, для у возможны значения:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90

(принимая во внимание, что 0 < у < 100).

Вычисляя соответствующие значения для p, получаем окончательно такую табличку:

Значения р и соответствующие им значения х и у, взятые из этой таблицы, удовлетворяют всем условиям задачи.

Следовательно, задача имеет 9 различных решений. Желая получить более определенный ответ и учитывая необходимость в решении задач на исследование, мы предложили: задачу, помещенную в учебнике «Алгебра» Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского, заменить следующей:

Задача. Для библиотеки куплено 25 книг двух наименований на сумму 125 р. 65 к. Цена книги первого наименования 5 р. 60 к., цена книги второго наименования а руб. Определить, сколько куплено тех и других книг.

Решение. Пусть книг первого наименования купили X экземпляров, а книг второго наименования — у экземпляров. Чтобы не вводить новый параметр, будем под буквой а подразумевать цену книги второго наименования, выраженную в копейках. Тогда по условиям задачи можно составить систему уравнений:

Если а ≠ 560, то получаем единственное решение системы:

Исследуем это решение.

По смыслу задачи х > 0, у > 0, а > 0. Чтобы было у > 0, необходимо иметь : 560 — а > 0, т. е. а > 560. А чтобы было x > 0, необходимо, кроме того, иметь: 12565 — 25a > 0, т. е. a < 502,6. Так как a —число копеек — является целым, то а < 502. При а целом 560 — а также целое. Чтобы у — число книг — было целым, необходимо, чтобы число 560 — а являлось делителем числа 1435.

Число 1435 = 5∙7∙41 имеет следующие делители:

1, 5, 7, 35, 41, 205, 287, 1435,

Учитывая, однако, что a ⩽ 502, заключаем, что 560 — а ⩾ 58. Таким образом, остается испытать делители 205, 287 и 1435.

Если 560 — а = 205, то a1 = 355.

Если 560 — a = 287, то a2 = 273.

Если 560 — a = 1435, то a3 = —875.

а2 не может выражать цену книги в копейках, так как цена книги в копейках обычно является числом, кратным пяти.

a3 < 0, а потому не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, имеем единственное значение: а = 355, т. е. а = 3 р. 55 к.

Остается исследовать значение а = 560, так как при решении системы уравнений мы предполагали, что а ≠ 560. Но а = 560, очевидно, не удовлетворяет условиям задачи, поскольку тогда все книги стоили бы более 125 р. 65 к.

При а = 355 получаем: х = 18, у = 7.

Ответ. Куплено 18 книг по цене 5 р. 60 к. и 7 книг по цене 3 р. 55 к.

ПО ПОВОДУ ОДНОЙ ЗАДАЧИ

В. БЕШКАРЕВ (г. Горький)

В книге «Избранные задачи и теоремы элементарной математики, ч. I. Арифметика и алгебра» авторов Д. О. Шклярского, Н. Н. Ченцова и И. М. Яглома, 2-е издание, 1954, помещена задача № 9.

«Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно разложить на чашках весов так, что наступит равновесие. Доказать, что все гири имеют один и тот же вес».

Это утверждение неверно. В самом деле, возьмем 12 гирь по одному грамму и одну гирю весом в 3 грамма. Если надо разложить на чашках весов 12 однограммовых гирь, мы поместим их по 6 гирь на чашку. Если же надо разложить на чашках весов 11 однограммовых гирь и 1 трехграммовую, то мы поместим на одной чашке 7 однограммовых гирь, а на другой 4 однограммовых и одну трехграммовую. В обоих случаях достигнем равновесия. Других же случаев, очевидно, нет. Таким образом, из условия задачи не следует, что все три имеют одинаковый вес. Здесь нам приходилось на одну чашку весов ставить 7 гирь, а на другую 5, т. е. неодинаковое число гирь. Но ведь в тексте задачи нет указания, что на чашки весов следует ставить по 6 гирь!

Заметим, что в 1-м издании книги такое указание было (задача № 78). Отбросив это указание (или условие), авторы получили ложное утверждение.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 2 ЗА 1955 г.

№ 11

Опредилить угол при основании осевого сечения усеченного конуса (прямого кругового), если объем и поверхность вписанного шара составляют n-ую часть соответственно объему и полной поверхности этого конуса.

Решение. Рассмотрим осевое сечение прямого кругового усеченного конуса (черт. 1). Обозначим радиус вписанного шара через R, радиусы нижнего и верхнего оснований соответственно через R1 и R2, угол BDE — через α.

Черт. 1

a по условию задачи поэтому

Преобразуем левую часть этого уравнения. Так как

Итак, получаем следующее уравнение:

поэтому

Можно показать, что из условия Vк : Vш = n вытекает соотношение Sк:Sш = n, и наоборот. Поэтому для решения задачи достаточно воспользоваться одним из этих двух условий.

№ 12

Из вершин треугольника АБС со сторонами а, b и с восставлены к его плоскости (в одну сторону) перпендикуляры h1, h2, h3 и через их концы проведена плоскость. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью треугольника.

Черт. 2

Решение. Построим треугольник ABC (черт. 2) и проведем перпендикуляры SC = h1, NB = h2 и MA = h3. Продолжим отрезок SM до пересечения с продолжением отрезка CА. Получим точку A1. Аналогичным образом получим точку B1. Прямая A1B1 есть линия пересечения плоскости треугольника АBС и плоскости, проходящей через концы отрезков SC, NB и MA.

Опустим перпендикуляр CD из точки С на прямую A1B1 и соединим точки S и D. Так как CD⊥A1B1, то SD⊥A1B1, поэтому ∠φ = ∠SDC — искомый и

Приравнивая правые части, найдем:

поэтому

№ 13

При помощи циркуля и линейки построить n окружностей, сумма площадей которых равна площади данного круга радиуса R, где n — любое натуральное число.

Решение. Построим n равных окружностей радиуса r, сумма площадей которых равна площади данного круга.

Итак, радиус r равен среднему пропорциональному между R и R/n.

№ 14

Найти максимум и миниум функции:

если

Решение. По известному неравенству Буняковского— Коши имеем:

Поэтому — 2 < U < 2.

Таким образом, функция U не имеет максимума и минимума. Если

Некоторые участники конкурса, пользуясь неравенством

получили: Umin = — 2,5, Umax = 2,5. Такой ответ неверный, так как функция U не принимает этих значений.

№ 15

В треугольной пирамиде SABC с прямым трехгранным углом при вершине двухгранные углы при основании соответственно равны α, ß, γ.

Доказать, что

Решение. Рассмотрим треугольную пирамиду SABC с прямым трехгранным углом . (черт. 3). Пусть SA = a, SB = b и SC = с. Из точки S опустим пер-

пендикуляр SD на сторону AB и соединим точки С и D. Тогда

Найдем SD и CD.

Черт. 3

Аналогичным способом находим, что

Так как среднее геометрическое трех чисел не больше среднего арифметического, то

поэтому

№ 16

Из всех правильных треугольных пирамид с данной боковой поверхностью пирамида с прямым трехгранным углом при вершине имеет наибольший объем.

Решение. Рассмотрим правильную пирамиду ABCM (черт. 4). Опустим из точки M перпендикуляры на плоскость ABC и на прямую АС. Соединим полученные точки О и К. Пусть Sбок = Q, ∠AMC = φ, АС = b, МК = l и МО = h, тогда

Черт. 4

Поэтому

Тогда

Итак, необходимо определить, при каких значениях φ произведение

достигает наибольшего значения.

Обозначим

Произведение трех множителей, сумма которых постоянна, достигает наибольшей величины, когда эти множители равны. Таким образом, х = 6 — 2х и х = 2, поэтому

№ 17

Самолет совершает перелет с аэродрома А на аэродром В по дуге полуокружности. Расстояние между аэродромами по прямой равно с километров. Наблюдатель находится на прямой AВ. Определить наибольшее расстояние от наблюдателя до самолета в момент, когда самолет и наблюдатель находятся на равных расстояниях от аэродрома А.

Решение. Рассмотрим чертеж 5. Пусть AE = AD = x

Черт. 5

Так как сумма трех множителей постоянна, то их произведение достигает наибольшей величины, когда эти множители равны. Поэтому x = 2с — 2х

№ 18

Решить уравнение:

Решение. Двукратным возведением обеих частей в квадрат приводим уравнение к виду:

Это уравнение является квадратным по отношению к а.

Решим это уравнение относительно а. Получим:

Рассматривая полученное уравнение как квадратное уравнение относительно а, на основании теоремы Виета можно написать:

Таким образом получаем два квадратные уравнения:

Если ограничиться только действительными значениями неизвестного, то

при а < — 25/12 уравнение не имеет решений.

№ 19

Решить систему уравнений (приложением геометрии к алгебре).

Решение. Рассмотрим остроугольный треугольник ABC (черт. 6). Пусть высота BD = а, высота СЕ = b и высота AF = с и АС = х, AB = y, BC = z. Тогда

Черт. 6

Таким образом, задача сводится к нахождению сторон треугольника, имеющего заданные высоты. Докажем, что стороны треугольника обратно пропорциональны соответствующим высотам. Действительно,

поэтому

Подставляя эти выражения в формулу Герона, получаем:

№ 20

Показать, что

где U и V — многочлены относительно х и у. Решение. Пусть х = а + b и у = а — b, тогда

Поэтому

№ 21

Доказать, что существуют треугольные призмы, которые могут быть разрезаны на равные пирамиды.

Решение. Рассмотрим треугольную призму (черт. 7), у которой основания—равносторонние треугольники, а боковые грани ABCD, АВЕE1 и CDE1E — ромбы, одна из диагоналей которых равна стороне ромба. Так как АE1 = E1D = AD, то BD = ВE1 = СE1 = AD и ∠BAD = ∠BAE1 = ∠CDE1 = ∠BCD = ∠CEE1 = ∠BEE1 = 60°. Проведем две плоскости через точки В, E1, D и В, С, E1. Призма разобьется на три равные тетраэдра ABDE1, BCDE1 и BCEE1. Итак, треугольная призма ABCDEE1 удовлетворяет условию задачи.

Черт. 7

№ 22

Из вершин треугольника восставлены к его плоскости перпендикуляры различной длины. Как нужно расположить их, чтобы абсолютная величина острого угла между плоскостью, проходящей через их концы, и плоскостью треугольника была наибольшей?

Решение. Рассмотрим случай, когда все перпендикуляры расположены по одну сторону от плоскости треугольника. Не нарушая общности, можно считать, что

а > b > с.

При решении задачи № 12 была получена следующая формула для определения угла между плоскостью треугольника и плоскостью, проходящей через концы перпендикуляров :

Из этой формулы видно, что угол φ принимает наибольшее значение, когда числитель принимает наибольшее значение. Поэтому

h3 > h2 > h1.

Так как перпендикуляр h3 восставлен из угла А, а перпендикуляр h2 — из угла В и перпендикуляр h1 — из угла С, то двугранный угол между плоскостями будет наибольшим, когда из каждых двух перпендикуляров больший выходит из большего угла.

Черт. 8

Докажем теперь, что угол, образованный плоскостью, проходящей через концы трех перпендикуляров, проведенных по разные стороны от плоскости треугольника, больше угла φ (черт. 8). Пусть

Так как площадь проекции равна площади проектируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями, в которых они лежат, то при постоянной площади проекции фигура, большая по площади, составляет со своей проекцией больший угол.

Сравним площади треугольников A1B1C1 и A1DE: они имеют по равной стороне (B1C1 = DE) и A1Е > A1C1, поэтому площадь треугольника A1DE больше площади треугольника A1B1C1, а это значит, что плоскость A1DE составляет больший угол с плоскостью ABC, чем плоскость A1B1C1.

Итак, окончательно получаем следующий ответ: наибольший перпендикуляр нужно расположить против наибольшей стороны треугольника, остальные два перпендикуляра нужно расположить по другую сторону плоскости треугольника, причем наименьший по величине перпендикуляр должен противолежать наименьшей стороне треугольника.

ЗАДАЧИ

40. Вычислить объем и поверхность тела вращения, которое образуется вращением куба с стороной а вокруг его диагонали.

А. Захарченко (г. Черкасск)

41. Решить уравнение:

где [х] — наибольшее целое число, не превосходящее х.

Е. Ковтун (Харьков)

42. Дан остроугольный треугольник АБС, в котором ∠B > ∠С. В плоскости угла АБС отложим ∠ABD = ∠С. Докажем, что AD = АС. Для этого опустим высоту БЕ из вершины В на сторону АС, так как △ ABD ≈ △ ABC, то

(1)

поэтому

(2)

Из равенств (1) и (2) следует:

(3)

то из соотношения (3) получаем:

Прибавим к обеим частям этого равенства 2АЕ — AD — АС, тогда получим:

Из этого равенства следует, что AD = АС. Найти ошибку.

Е. Нотес (Прокопьевск)

43. Доказать, что если обыкновенная дробь a/b обращается в чистую периодическую дробь с длиною периода n = b — 1, то сумма цифр периода равна

Х. Хамзин (Стерлитамак)

44. Перестановкой коэффициентов многочлена

найти многочлен (той же степени) Q (х), чтобы

А. Гемуев (Фрунзенская обл.)

45. Найти уравнение, все корни которого обратны корням уравнения

А. Гемуев

46. На правильном многоугольнике, как на основании, построены пирамиды одинакового объема. Найти среди них ту, у которой наименьшая поверхность.

П. Эрдниев (Алтайский край)

47. Решить систему уравнений (приложением геометрии к алгебре):

А. Владимиров (Асбест)

ЗАДАЧИ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

1. На окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята точка М.

Доказать, что наибольший из отрезков MA, MB и MC равен сумме двух остальных.

2. Не решая уравнения

найти величину выражения

3. Построить треугольник по двум углам и расстоянию между центрами описанной и вписанной окружностей.

4. Могут ли числа 2; √6; 4,5 быть членами одной и той же арифметической прогрессии или одной и той же геометрической прогрессии?

5. Доказать, что если в трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов диагоналей равна квадрату суммы оснований.

6. Найти значения х, при которых многочлен

принимает наименьшее значение.

7. Доказать, что многочлен

(n — целое, положительное число) делится без остатка на (x — 1)2.

(Математическая олимпиада г. Витебска. Сообщил В. Чистяков.)

8. В ящике лежат 70 шаров: 20 красных, 20 зеленых, 20 желтых, остальные черные и белые. Какое наименьшее число шаров надо взять, чтобы среди них было не меньше 10 шаров одного цвета?

9. Разрезать данный треугольник на три части, чтобы из них можно было составить прямоугольник.

10. Два приятеля, живущие в разных местах, совершали в один и тот же день прогулку. Первый вышел в 10 час. 36 мин. из А и пришел в 16 час 21 мин. в В. Второй вышел в 10 час. 30 мин. из В и пришел в 15 час. 06 мин. в А. В какое время товарищи встретились?

(1-я республиканская математическая олимпиада Украины. Сообщил И. Зильберштейн.)

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

В. С. Михельсон — Счетные машины................... . 1

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Р. А. Симонов — Борьба Т. Ф. Осиповского против мистики в математике . 11

МЕТОДИКА

Е. Л. Одляницкая и П. П. Черняева — Домашняя работа по арифметике в V классе............................. 15

К. С. Богушевский — К вопросу о домашних заданиях и их проверке ... 22

А. С. Ильин — Об основных понятиях и аксиомах геометрии в средней школе................................ 27

Ф. Т. Дзюба — О крупном недочете в программе средней школы..... 31

С. Б. Норкин — О вписанных и описанных шарах ............ 34

В. С. Карнацевич. — Вопросы по некоторым темам геометрии....... 42

И. Г. Польский — Об ортогональности скрещивающихся прямых..... 44

ИЗ ОПЫТА

Г. Н. Скобелев — Из опыта проверки домашних заданий......... 47

М. Д. Приймаченко — Домашние задания в VIII—X классах....... 48

В. Е. Бушуев — О проверке тетрадей и о работе над ошибками...... 50

Л. Г. Круповецкий — Вопросы дальнейшего развития народного хозяйства на уроках математики........................ 51

В. Д. Чистяков — Из опыта работы над геометрическими понятиями ... 58

ЗА РУБЕЖОМ

Л. Н. Милованова — Построение курса математики в средней школе Народной Республики Болгарии..................... 60

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

К. А. Рупасов и И. М. Шапиро, Т. А. Песков, И. А. Скрылев—О книге Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского «Алгебра»............ 74

И. Г. Мельников —О книге И. Я. Депмана «Рассказы о математике» ... 84

В. Н. Гришин — О книге Линькова «Внеклассная работа по математике в средней школе».......................... 86

Сводка решений по № 2 за 1955 г..................... 86

И. Я. Депман — Филипп Прокофьевич Отрадных............. 87

ЗАДАЧИ

В. И. Левин — Еще раз о задаче трех пастухов.............. 88

М. И. Лиман — Об одной ошибке.................... 89

В. Бешкарев — По поводу одной задачи.................. 90

Решение задач, помещенных в № 2 за 1955 г................ —

Задачи................................. 95

Задачи из математических олимпиад для учащихся . . . ......... —

Редакционная коллегия:

Редактор А. Н. Барсуков, зам. редактора С. И. Новоселов, члены редакционной коллегии: К. С. Богушевский, П. А. Ларичев, В. В. Немыцкий, Н. Н. Никитин, С. В. Филичев, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией О. А. Чернокозова Корректор А. А. Журавлев

Технический редактор С. Н. Шахов

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

Сдано в производство 1/VII 1955 г. Подписано к печати 26/VIII 1955 г.

Тираж 94 300 экз. A04835. Бумага 84 × 1081/16 = 6 п. л. (9,84). Учетно-изд. л. 11,11. Цена 4 р. 50 к. Зак. 311.

Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической промышленности. 13-я типография, Москва, Гарднеровский пер., 1а.