МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

4

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1955

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 4

ИЮЛЬ — АВГУСТ

ВОПРОСЫ УЛУЧШЕНИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ

(К предстоящему 1955—56 учебному году)

П. А. ЛАРИЧЕВ (Москва)

Вопросы перестройки преподавания математики в связи с задачей осуществления политехнического обучения привлекли внимание широчайших масс учительства, методистов и научных работников.

Основные кадры учителей математики городских и сельских школ успешно решают задачу вооружения учащихся глубокими и прочными знаниями, практическими умениями и навыками и обеспечивают высокий идейно-теоретический уровень преподавания математики. Массы учителей напряженно работают над вопросами связи теории с практикой в процессе преподавания математики, над вопросами подготовки к решению практических задач.

Широкое распространение получили в школах практические работы учащихся по измерению на местности, по изготовлению учебно-наглядных пособий по математике, по моделированию, по вычерчиванию графиков, диаграмм.

Большое внимание обращается учителями на вычислительную технику. Многие учащиеся умеют пользоваться при вычислениях математическими таблицами, графиками, номограммами, логарифмической линейкой.

В борьбе за осуществление политехнического обучения большое значение приобретает решение на уроках математики задач, имеющих практическое, жизненное значение. Несомненным достижением следует считать ту работу, которую выполняют передовые учителя математики по составлению задач производственного содержания, задач, связанных со смежными дисциплинами (физика, химия, астрономия и т. д.).

Существенное значение в повышении идейно-теоретического уровня преподавания математики приобрела внеклассная работа, получившая широкое распространение в наших лучших школах. Содержанием внеклассной работы во многих случаях служат вопросы, связанные с осуществлением политехнического обучения, как-то: изготовление учебных пособий по математике, изучение логарифмической линейки, изучение арифмометра, планиметра, пантографа, номограмм и т. д.

Передовые учителя, настойчиво работая над повышением своего идейно-теоретического уровня, совершенствуя свое педагогическое мастерство, успешно решают почетную и ответственную задачу воспитания всесторонне развитых, активных строителей коммунизма.

Многочисленные материалы по проверке качества знаний учащихся школ по математике дают основание утверждать, что в основной массе учащиеся имеют твердые знания школьного курса математики и владеют необходимыми навыками и умениями в решении упражнений и задач. Так, например, итоги школьных экзаменов показывают, что учащиеся успешно справляются с решением предлагаемых на экзаменах задач, умеют дать содержательное и логически обоснованное объяснение решения задач, правильно выполнить вычисления и преобразования, построить график, могут связно и последовательно доказать теорему, дать точную формулировку определения, правила, обнаруживают достаточное математическое развитие.

Во многих школах достигнуто значительное повышение успеваемости учащихся по математике. Лучшие учителя добиваются полной успеваемости своих учащихся без снижения требований к качеству знаний. Можно отметить как большое достижение высокую успеваемость по математике учащихся старших классов.

Значительно ниже успеваемость по математике учащихся VII и VIII классов и недопустимо низка успеваемость в V классах, где во многих школах до 20% учащихся оказываются отстающими.

Многочисленные материалы по анализу качества знаний учащихся по математике (итоги письменных и устных экзаменов в школе и при приеме в вузы, специальные обследования школ) позволяют установить наличие некоторых устойчивых недостатков в знаниях учащихся по отдельным математическим предметам (арифметике, геометрии и тригонометрии).

Несмотря на то, что на изучение систематического курса арифметики в V и VI классах выделяется вполне достаточное количество учебного времени, большое количество учащихся не справляется с усвоением арифметики. Так, например, анализ экзаменационных работ по арифметике учащихся V и VI классов показывает, что многие учащиеся не могут правильно решить пример на совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями.

В письменных работах учащихся имеются многочисленные ошибки в действиях над десятичными дробями, обнаруживается низкий уровень вычислительной культуры, неумение правильно располагать записи, применять рациональные приемы и т. д., нередки случаи, когда учащиеся не доводят до конца сокращение дробей, при сложении и вычитании смешанных чисел многие учащиеся обращают эти числа в неправильные дроби, уравнивают в делимом и делителе число десятичных знаков после запятой и т. д.

Недостатки в усвоении учащимися курса арифметики в V и VI классах особенно проявляется в решении задач. Так, например, значительная часть учащихся V и VI классов не справляется с решением даже тех несложных задач, которые обычно предлагаются на школьных экзаменах. Анализ письменных работ обнаруживает, что многие учащиеся затрудняются, например, в нахождении части числа, в нахождении числа по его части, допускают грубые ошибки в решении задач на проценты, не умеют правильно сформулировать вопросы, объясняющие ход решения задач.

Слабое математическое развитие учащихся V и VI классов проявляется и при проверке усвоения теоретического материала. Имеют место случаи, когда сознательное усвоение теории заменяется ее заучиванием без умения сделать вывод правила, указать его применение, привести пример и т. д.

В некоторой части школ слабо выполняется требование объяснительной записки к программе по арифметике о выполнении практических работ по измерениям на местности, по определению поверхности и объема тел, сооружений и т. д.

В связи с этим изучение арифметики нередко носит книжный характер, не обогащает учащихся конкретным жизненным материалом и не достигает целей коммунистического воспитания.

Качество знаний по алгебре значительно выше, чем по арифметике. Как правило, например, учащиеся успешно справляются с решением задач и упражнений, предлагаемых на экзаменах по алгебре. Вместе с тем анализ качества знаний учащихся позволяет отметить и ряд существенных недостатков в преподавании алгебры. Уже в начале изучения алгебры в VI классе учащиеся испытывают затруднения и допускают много ошибок при нахождении числовых значений алгебраических выражений, что объясняется слабыми навыками в вычислительной технике, особенно в вычислениях с дробями.

С большими трудностями усваивают учащиеся шестых классов раздел «Разложение на множители». В VII классе много ошибок допускают учащиеся в действиях над алгебраическими дробями.

Заметные достижения имеют многие учащиеся седьмых классов в решении задач на составление уравнений первой степени с одним неизвестным.

Следует отметить напряженное положение с изучением алгебры в VIII классе. Большой по объему и сложный курс алгебры VIII класса усваивается учащимися с трудом. Особенно много ошибок допускают учащиеся в действиях над радикалами, в решении иррациональных уравнений, систем уравнений; тема «Графики и функции» нередко изучается формально, учащиеся вычерчивают графики функций без должного понимания, не умеют, например, найти по графику значение функции при заданном значении аргумента, не умеют указать те промежутки, где функция возрастает, убывает, достигает наибольшего или наименьшего значения.

В IX классе не все учащиеся овладевают теорией логарифмов, не все достаточно хорошо усваивают свойства показательной и логарифмической функций.

Раздел «Вычисления с помощью таблиц логарифмов» большинство учащихся усваивает неплохо, однако в записях логарифмических вычислений допускается небрежность, отсутствие рационального расположения вычислений, неаккуратное написание цифр и т. д.

При прохождении алгебры в десятых классах некоторые преподаватели математики недостаточно обращают внимание на систематизацию и повторение курса алгебры, нередко произвольно расширяют объем программы дополнительным материалом; например, проходят дей-

ствия над комплексными числами в тригонометрической форме, теорему Моавра и т. д.

Крупным недостатком в преподавании алгебры, получившим широкое распространение, следует считать некоторое снижение теоретической части курса алгебры; нередко изучение алгебры в школе сводится главным образом к решению примеров и задач, вследствие чего остается в тени усвоение основных идей и понятий алгебры, вывод формул, доказательства теорем. Так, например, во многих школах недостаточно изучается теория равносильности уравнений, при изучении показательной и логарифмической функций многие преподаватели ограничиваются наглядным, графическим толкованием свойств этих функций, не используя возможность дать аналитическое доказательство, при решении уравнений и выполнении тождественных преобразований недостаточно обстоятельно рассматриваются вопросы, связанные с допустимыми значениями букв.

Не все преподаватели математики при опросе учащихся проверяют глубину усвоения ими теории данного раздела, не всегда при решении примеров и задач учащимся предлагается теоретически обосновать выполненное решение, проверить правильность полученного ответа, исследовать решение задачи и т. д.

Так, например, значительная часть учащихся, оканчивающих среднюю школу, имеет недостаточно глубокие знания по таким вопросам, как иррациональное число, теория пределов и др.

Изучение геометрии, как науки о пространственных формах материального мира, имеет огромное общеобразовательное и практическое значение. Преподавание геометрии имеет целью «изучение пространственных форм, их свойств и взаимоотношений и применение этих свойств к решению задач вычислительного и конструктивного характера, развитие у учащихся логического мышления, пространственного воображения и умения применять полученные знания к выполнению практических работ» (Объяснительная записка к программе по геометрии).

На пути к достижению поставленных целей изучения геометрии в школе имеются значительные трудности, связанные со специфическими особенностями этого предмета. Многие учащиеся VI класса не понимают смысл доказательств теорем, не чувствуют в них потребности, логическая сущность доказательств от них ускользает. В результате значительная часть учащихся шестых классов механически заучивает доказательство теорем, запоминает форму чертежа и расстановку букв, данные в учебнике.

Анализ знаний учащихся по геометрии показывает, что многие учащиеся не справляются с решением даже несложных геометрических задач. Особенно неудовлетворительно обстоит дело с решением задач на построение и на доказательство.

Так, например, многие учащиеся седьмых классов не в состоянии доказать, что в равнобедренном треугольнике две высоты равны, две медианы равны.

Большое количество недочетов допускают учащиеся в выполнении чертежей, особенно стереометрических.

Не во всех школах обращается должное внимание на практические работы по изготовлению моделей геометрических тел, по выполнению измерений на местности, по съемке простейших планов, по определению площадей, фигур, поверхностей и объемов тел.

Недостатки в знаниях учащихся по геометрии непосредственно связаны с нарушением требований методики преподавания этого предмета. Учащиеся не умеют пользоваться моделями, не привыкают видеть геометрические образы в окружающем мире, обучение геометрии оторвано от практики, от жизни. При выборе задачи учитель предпочитает решать вычислительные задачи, избегая решений задач на построение и доказательство. Нередко учителя математики, ссылаясь на отсутствие оборудования, совершенно не проводят практические занятия на местности, не приучают учащихся пользоваться простейшими геодезическими инструментами (эккер, астролябия, эклиметр).

Небольшой курс тригонометрии проходится в IX и X классах и обычно не вызывает затруднений.

Из недостатков в знаниях учащихся по тригонометрии следует отметить большое количество ошибок при нахождении общего вида углов, удовлетворяющих заданному тригонометрическому уравнению, ошибки в упражнениях, связанных с обратными тригонометрическими функциями, ошибки при определении допустимых значений аргументов и др.

Подводя итоги, необходимо отметить, что в условиях современных требований к школе, сдвиги, имеющиеся в улучшении качества преподавания математики и знаний учащихся, нельзя считать достаточными.

В настоящее время главной задачей органов народного образования, директоров школ и учителей является борьба за дальнейшее повышение качества учебно-воспитательной работы по математике, так как неуспевающие по математике составляют большую часть второгодников.

Основной причиной низкого уровня математической подготовки и неудовлетворительной успеваемости учащихся является наличие существенных недостатков в преподавании математики, нередко связанных с отсутствием требуе-

мой подготовки части учителей и должной ответственности их за результаты своего труда. В части школ все еще не изжиты такие недостатки, как снижение идейно-теоретического уровня преподавания математики, нарушение основных требований советской педагогики и дидактики, невнимание к качеству урока, однообразие методов обучения, неумение возбудить интерес учащихся к изучению математики, недостаточное использование наглядных пособий.

Существенным недостатком в работе учителей следует считать неумение правильно организовать учет знаний учащихся, подмену углубленной проверки знаний поверхностным способом, сводящимся иногда к требованиям сформулировать определение, правило или теорему.

В некоторых школах недооценивается значение письменных работ в повышении уровня математической подготовки учащихся; контрольные работы проводятся от случая к случаю, предлагаемые в них упражнения и задачи трафаретны; нередко письменные работы проверяются небрежно; часто итоги проверки контрольных работ не анализируются, отметки за работы не всегда соответствуют нормам оценки, установленным Министерством просвещения.

Неумело организуется работа с отстающими учащимися. Так, например, во многих школах практикуются дополнительные занятия с группами учащихся, имеющих самые различные пробелы в знаниях, вместо проведения конкретных мероприятий для устранения индивидуальных недочетов в знаниях. Указанные недостатки особенно заметны в работе учителей, не имеющих требуемой квалификации.

Эта категория учителей нуждается в большой методической помощи со стороны отделов народного образования и институтов усовершенствования учителей, но такой помощи в должной мере она часто не получает.

Существенной причиной указанных выше недостатков в преподавании математики является недостаточный контроль за работой учителей со стороны органов народного образования и директоров школ. Директора школ и инспектора ОНО в ряде случаев недостаточно квалифицированно контролируют постановку преподавания математики и не могут оказать существенной помощи тем учителям, которые в такой помощи нуждаются.

Серьезные недостатки имеются в организации методической работы с учителями и в работе методических объединений учителей.

Многие институты усовершенствования учителей не обеспечены квалифицированными кадрами методистов по математике и мало работают с учителями.

Наблюдаются существенные недостатки и в системе заочного обучения учителей математики, не имеющих высшего образования. Некоторые учителя в течение ряда лет числятся заочниками, а требуемой квалификации не получают.

На качественные показатели работы школ и успеваемость по математике отрицательно влияют слабое оборудование многих школ учебными пособиями, недостатки стабильных учебников, теснота помещений, сменность занятий, отсутствие школьных интернатов и т. д.

Устранение указанных и многих других недостатков в деле преподавания математики является важным условием поднятия уровня математической подготовки учащихся.

Однако опыт школьной работы показывает, что и при существующих условиях многие учителя умело преодолевают стоящие перед ними трудности и добиваются хороших результатов в своей работе.

Качество преподавания зависит прежде всего от степени научно-методической подготовки учителя, от его педагогического мастерства. Поэтому среди мероприятий, направленных на улучшение постановки преподавания математики, первое место должна занять работа по повышению квалификации учителя. Отделы народного образования и институты усовершенствования учителей в первую очередь должны обратить внимание на преподавателей, не имеющих соответствующего образования, на учителей начальной школы, назначенных для преподавания математики в средние школы. Необходимо добиться, чтобы учителя данной категории обязательно были включены в систему заочного обучения и регулярно сдавали установленные зачеты и экзамены. В порядке помощи учителям в текущей работе в школе необходимо организовать систематические занятия по планированию учебного материала, по методике преподавания отдельных разделов курса, по изучению программы и объяснительной записки к ней и т. д.

Не менее важным является проведение ряда мероприятий и для учителей, которые имеют формальные данные для работы в школе. Систематическое повышение научного и методического уровня учителей должно осуществляться путем проведения курсор, семинаров, конференций, путем методических совещаний с докладами по вопросам, наиболее затрудняющим преподавателей (например, о пределах, о функциях и их графиках).

Весьма важным мероприятием следует считать проведение практических занятий учителей по измерениям на местности, по изготовлению своими силами учебных пособий и т. д.

Исключительно важное значение для успешного преподавания математики имеет работа по

детальному изучению учебников и задачников. Каждый учитель не только должен решить любую задачу из школьного задачника, но должен уметь целесообразно выбрать из него задачи для классной работы, для самостоятельных занятий и т. д. В связи с этим следует проводить семинары по решению геометрических задач (особенно на доказательство и построение), по решению наиболее трудных задач по алгебре, тригонометрии и геометрии с применением тригонометрии.

Следует отметить, что облОНО и институты усовершенствования учителей проводят большую работу по оказанию помощи учителям. Так, например, почти всюду на местах издаются сборники в помощь учителю математики, проводятся семинары, практические занятия на местности. Многие учителя выступают с докладами на научно-практических конференциях, на «Педагогических чтениях», местных и центральных.

Большое значение в деле улучшения преподавания математики и повышения научно-методической квалификации учителя имеет содержание и качество работы школьной математической комиссии. В части школ директора недооценивают роль предметной комиссии. Между тем математическая комиссия является тем органом, опираясь на который директора и завучи должны поднять эффективность внутришкольного контроля.

Важнейшим условием в борьбе за повышение успеваемости по математике должно быть поднятие требовательности к качеству работы учителя, к повышению его ответственности перед государством и народом за результат своего труда.

Учитель математики обязан строго соблюдать требования советской педагогики и дидактики, тщательно готовиться к каждому уроку и настойчиво добиваться правильной организации педагогического процесса.

Директора и завучи школ обязаны систематически и по существу проверять работу каждого учителя и давать ему конкретные указания. Необходимо взять под особое наблюдение отдельные классы и отдельных учителей математики, дающих низкую успеваемость. В этой работе директора школ должны опираться на школьные математические комиссии. Весьма важно, чтобы математическая комиссия периодически обсуждала отчеты о работе каждого преподавателя, анализировала контрольные работы учащихся и результаты их проведения, итоги успеваемости учащихся, мероприятия по оказанию помощи отстающим. Особого внимания математической комиссии требуют вопросы преемственности работы по математике между учителями IV и V классов, VII и VIII классов. Деловой контакт в работе учителей этих классов поможет устранить ряд недочетов в математической подготовке учащихся.

В порядке обмена опытом работы целесообразно обсуждать на математических объединениях материалы для внеклассных занятий: доклады о жизни и деятельности наших отечественных математиков, материалы для математических вечеров, математических газет, олимпиад и т. д.

Отделам народного образования необходимо проводить глубокий анализ итогов работы по математике, проверять состояние учебно-воспитательной работы во всех семилетних и средних школах, в которых успеваемость по математике оказалась особенно низкой, и осуществлять конкретные мероприятия по оказанию помощи этим школам силами инспекторов, методистов и лучших учителей.

Улучшение качества преподавания математики и повышение успеваемости учащихся должно осуществляться на основе изучения и внедрения опыта лучших учителей. В связи с этим отделы народного образования совместно с институтами усовершенствования учителей должны обеспечить коренное улучшение работы по изучению, обобщению и распространению лучшего опыта преподавания математики в свете задач политехнического обучения. С этой целью следует практиковать организацию выставок в школах, райОНО и облОНО, издание методических трудов учителей, монографий с описанием опыта работы лучших учителей и т. п.

Изучение опыта работы учителей, обеспечивающих приобретение учащимися прочных, глубоких и сознательных знаний по математике при высокой их успеваемости, дает основание утверждать, что достижения лучших учителей связаны с правильным пониманием ими требований политехнического обучения в практике преподавания математики.

Решая задачу осуществления политехнического обучения, лучшие учителя математики никогда не упускают из виду, что прочное и глубокое усвоение математики основано на неразрывной связи знаний теоретического материала с практическим применением этих знаний в различных областях деятельности людей. Раскрывая содержание школьного курса математики, передовые учителя добиваются, чтобы учащиеся ясно понимали, для чего нужна та или иная формула или теорема, какие практические вопросы привели к постановке изучаемой математической теории.

Опыт работы лучших учителей убедительно показывает, какое большое значение для сознательного и прочного усвоения математики имеет привлечение учащихся к выполнению практических работ по измерениям на местности, по

определению поверхностей и объемов тел путем непосредственного измерения, по моделированию, изготовлению простейших измерительных приборов, вычерчиванию графиков, диаграмм, всевозможных таблиц и т. д. Практические работы учащихся, обеспечивая глубокое и сознательное усвоение математики, вместе с тем вооружают умением обращаться с некоторыми столярными и слесарными инструментами, навыками в работе с картоном, фанерой, стеклом, металлом и т. д.

В свете задач политехнического обучения на уроках математики весьма важное значение имеет проблема вооружения учащихся навыками и умениями в выполнении письменных и устных вычислений. Современная жизнь предъявляет высокие требования к культуре вычислений. Помимо умения правильно, быстро и рационально выполнять арифметические действия над целыми и дробными числами письменно и устно, учащиеся школы должны быть ознакомлены с приемами вычислений при помощи таблиц и графиков, с вычислениями при помощи русских счетов, арифмометра, логарифмической линейки.

Существенное значение в свете задач политехнического обучения приобретает вопрос о приближенных вычислениях. Уже в V классе учащиеся должны уметь округлять данные и результаты действий с заданной точностью; в дальнейшем при изучении извлечения корня, при вычислении при помощи таблиц логарифмов, таблиц тригонометрических функций знания учащимися по приближенным вычислениям закрепляются и углубляются.

Большие возможности в свете осуществления задач политехнического обучения представляет изучение геометрии.

Уже в V классе при решении задач геометрического содержания учащиеся знакомятся с основными геометрическими фигурами и их свойствами.

Объяснительная записка к программе рекомендует «прививать учащимся навыки в измерении длин, углов, в вычислении площадей фигур, поверхностей и объемов тел путем применения простейших измерительных инструментов». Во всех классах при изучении геометрии рекомендуется изготовлять силами учащихся модели тел, проводить несложные измерительные работы на местности.

В IX и X классах практические занятия учащихся охватывают изготовление моделей по курсу стереометрии, а также более сложные работы по измерениям на местности с использованием тригонометрии.

Большое значение в деле осуществления политехнического обучения на уроках математики имеет подбор задач. Известно, что нередко ученик легко решает задачи, имеющиеся в школьных задачниках, но испытывает серьезные затруднения и даже проявляет беспомощность при решении задач жизненного практического содержания.

Объяснительная записка к программе по математике указывает на необходимость решать задачи, «содержанием которых являются общеизвестные зависимости, например, между ценой, стоимостью и количеством; между скоростью, расстоянием и временем; между нормой выработки, временем работы и полученной продукцией».

Весьма существенно, чтобы учащиеся умели составить несложную смету по изготовлению предметов оборудования, по ремонту помещения, ведомость по оплате труда и т. д. Особо рекомендуется решать задачи, в которых находят отражение вопросы социалистического хозяйства (объяснительная записка, стр. 9).

При решении жизненно практических задач, как правило, приходится одновременно опираться на знания из различных областей науки. Следует отметить, что применение учащимися математических методов в других областях не всегда совершается легко и успешно. Так, например, хорошо известны затруднения, которые испытывают учащиеся при решении задач по курсу физики, химии, астрономии. В связи с этим необходимо добиваться, чтобы на уроках математики решались задачи, содержание которых было связано с материалом, изучаемым в смежных с математикой дисциплинах (физика, химия, астрономия и др.).

Особое значение в свете политехнического обучения имеет решение задач по геометрии.

Развитие логического мышления, развитие пространственного и конструктивного воображения, достигаемое в результате решения геометрических задач, особенно задач на построение и доказательство, имеет огромное значение в любой отрасли знания, а также в любой практической деятельности.

Борьба с недостатками в преподавании математики является делом большой важности в осуществлении задачи подготовки всесторонне развитых, активных строителей коммунистического общества, и нет никакого сомнения в том, что наша школа успешно справится с этой задачей.

МЕТОДИКА

О ТРЕБОВАНИЯХ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ

Л. М. ФРИДМАН (Красноярск)

Многие вопросы методики обучения решению геометрических задач на вычисление еще не получили своего окончательного решения. К их числу относится вопрос о требованиях к решению геометрических задач на вычисление. Каковы же должны быть общие принципы и положения, на основе которых мы должны объективно выработать эти требования?

Очевидно, что в первую очередь следует основываться на каких-то общих требованиях к решению любых математических задач в школе. Как известно, такие требования были сформулированы В. М. Брадисом еще в 1946 г.* в следующем виде: решение всякой математической задачи в школе должно быть: 1) безошибочным, 2) обоснованным, 3) исчерпывающим, 4) по возможности простым и 5) надлежащим образом оформлено (запись решения)**.

При установлении конкретных требований к решению того или иного вида математических задач на основании этого общего положения следует, как мне кажется, руководствоваться следующими тремя принципами:

1) Принцип объективности.

Все конкретные требования, предъявляемые к решению того или иного вида задач, должны вытекать из указанных общих требований, и никакое требование, непосредственно из них не вытекающее, не может быть предъявлено в качестве обязательного (т. е. такого, невыполнение которого влечет за собой снижение оценки за решение задачи).

2) Принцип доступности.

Всякое конкретное требование, предъявляемое к решению задач данного вида, должно быть доступным для учащихся данного класса, т. е. среди знаний, умений и навыков, необходимых для выполнения этого требования, нет таких знаний, умений и навыков, которыми не обладают, согласно программе, учащиеся.

3) Принцип методической целесообразности.

Если к решению задач данного вида на основании предыдущих двух принципов могут быть предъявлены два равносильные требования или же выполнение одного какого-либо требования может быть осуществлено двумя различными способами, то из этих двух возможностей выбирается то требование или тот способ, который методически более целесообразен, т. е. тот, который в большей степени, чем другой, способствует осуществлению основных целей обучения в советской школе.

Если мы примем эти три принципа, то при их помощи можно установить объективные обязательные требования к решению геометрических задач на вычисление. Однако для этого надо предварительно решить вопрос об определении геометрических задач на вычисление и об определении сущности их решения.

В каждой задаче на вычисление указан вид некоторой геометрической фигуры (например,

* В. М. Брадис, Математические задачи в школе, журн. «Математика в школе», 1,946, № 1, стр. 33—39.

** Требования: ясность пути, приведшего к решению задачи, и обобщение решенной задачи, также указываемые В. М. Брадисом, мною не включены в формулировку, так как эти требования имеют совершенно необязательный характер.

призма, шар, пирамида и т. д.) и даны численные величины некоторых ее элементов.

Рассмотрим, например, следующую задачу.

Задача 1 (Н. Рыбкин, Сб. задач по геометрии, ч. 1, § 10, № 106). В равнобедренной трапеции определить длину диагоналей, если основания равны 4 м и 6 м, а боковая сторона равна 5 м.

В этой задаче, во-первых, указано название фигуры (равнобочная трапеция), а во-вторых, указаны размеры некоторых определенных элементов этой фигуры (основания 4 м и 6 м, а боковая сторона 5 м).

В некоторых других задачах дана не одна геометрическая фигура, а совокупность нескольких фигур, но тогда указано или их соотношение (например, что они подобны), или их взаимное положение (например, что одна из них вписана в другую).

Геометрической задачей на вычисление будем называть требование найти размер (числовую характеристику) одного или нескольких элементов указанной в условии задачи фигуры (например, длину отрезка, величину угла, площадь, поверхность или объем тела и т. п.) по численным значениям ее элементов, заданных в условии.

Некоторые виды геометрических задач на вычисление

Виды геометрических задач на вычисление чрезвычайно многочисленны; остановимся лишь на некоторых из них.

По способу указания в условии размеров известных элементов фигуры возможны следующие виды задач:

1) Числовые задачи, в которых размеры известных элементов суть определенные, конкретные числа.

2) Задачи с параметрами, в которых размеры известных элементов выражены при помощи букв-параметров.

3) Комбинированные задачи, являющиеся задачами с параметрами, в которых требуется еще вычислить значение искомого элемента при определенных значениях параметров.

Числовые задачи в зависимости от того, сколько фигур определяют заданные известные элементы, можно разделить на четыре вида:

1) Заданные известные элементы определяют единственную фигуру.

Вот пример такой задачи.

Задача 2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4 см; угол при вершине равен 120°. Найти площадь треугольника.

Известные элементы (боковая сторона и угол при вершине) определяют единственный равнобедренный треугольник (конечно, с точностью до положения на плоскости).

2) Заданные известные элементы определяют несколько (конечное множество) фигур. Вот пример такой задачи. Задача 3. В окружность радиуса 8 см, вписан равнобедренный треугольник ABС. Рарадиус OA образует с основанием AB треугольника ABC угол в 30°. Найти боковую сторону треугольника.

Известные элементы (радиус окружности и угол, образуемый радиусом OA с основанием AB вписанного равнобедренного треугольника), заданные в условии этой задачи, определяют две сложные фигуры:

а) окружность центра О радиуса 8 см и вписанный в эту окружность остроугольный равнобедренный треугольник ABC;

b) та же окружность и вписанный в нее тупоугольный равнобедренный треугольник АВC1 (черт. 1).

Заметим, что если задачи первого вида имеют одно решение, то задачи второго вида могут иметь или одно, или несколько решений.

3) Заданные элементы определяют бесконечное множество (семейство) фигур.

Задача 4 (Н. Рыбкин, Сб. задач по геометрии, ч. 1, § 9, № 44). Периметр параллелограма равен 48 см, а его высоты относятся, как 5:7. Определить соответствующие им стороны.

Заданные в условии задачи элементы параллелограма (периметр и отношение высот) определяют бесконечное множество (семейство) параллелограмов, у которых стороны равны 14 см и 10 см, а угол между ними изменяется от 0° до 180°.

В этой задаче искомые элементы у всех фигур заданного семейства имеют одни и те же размеры (14 и 10 см). Может случиться, что искомые элементы заданного множества фигур имеют несколько различных размеров. Это является следствием того, что заданное множество фигур представляет собой не одно семейство, а несколько семейств и у каждого семейства искомые элементы имеют одни и те же размеры. Примером такой задачи может служить задача № 68 сборника задач Н. Рыбкина, § 7.

Наконец, заданные элементы могут определять такое бесконечное множество фигур, у

Черт. 1

которых размеры искомых элементов все различны. В последнем случае мы имеем неопределенную задачу.

4) Заданные элементы не определяют никакой геометрической фигуры.

Рассмотрим следующую задачу.

Задача 5 (С. В. Назарьев и др., Сб. задач по геометрии, Учпедгиз, 1948, № 559). В прямоугольном равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружности равен 8 см, а периметр треугольника равен 64 см. Определить гипотенузу.

В задачнике приведен такой ответ: AB = 24 см. Между тем нетрудно заметить, что ответ неверен. Действительно, если гипотенуза равна 24 см, а периметр 64 см, то каждый из равных катетов должен содержать по 20 см и тогда по теореме Пифагора должно было бы быть:

202 + 202 = 800 ≠ 242.

Причина получившегося противоречия состоит в том, что указанный в условии равнобедренный прямоугольный треугольник не существует. В самом деле, известно, что равнобедренный прямоугольный треугольник определяется одним своим элементом, например периметром, а в условии задачи, кроме периметра, дан еще и радиус вписанной окружности. Следовательно, задача 5 содержит противоречивые данные.

Таким образом, заданные в условии задачи 5 элементы не определяют никакой геометрической фигуры.

Рассмотрим другую задачу.

Задача 6 (А. А. Лямин и Т. Ф. Сваричевский, Методический сборник геометрических задач на вычисление. Планиметрия, изд. 2, 1915, № 306).

Периметр параллелограма равен 24 см, а его высоты равны 6,4 см и 9,6 см. Найти стороны параллелограма.

В задачнике приведен такой ответ:

AО = 4,8 см и DC = 7,2 см.

Нелепость этого ответа становится очевидной, если сравнить его с условием задачи, ибо получается, что, например, в прямоугольном треугольнике ADE гипотенуза AD = 4,8 см меньше катета DE = 6,4 см.

Причина получившейся нелепости, как и в предыдущей задаче, состоит в том, что не существует заданного в условии задачи параллелограма. Но в отличие от предыдущей задачи здесь нет лишних данных, так как параллелограм определяется тремя элементами и столько же элементов дано в условии задачи.

Здесь мы встречаемся со случаем, когда размеры данных элементов взяты не из множества допустимых для них значений. Пусть периметр параллелограма со сторонами а и b равен р, а высоты его h1 и h2. Тогда очевидно, что h1 < a и h2 < b. Значит, h1 + h2 < a + b = 0,5p, или

(1)

В условии задачи соотношение (1) не выполнено, ибо

В приведенной задаче нелепость полученного ответа настолько очевидна, что трудно понять, как ее не заметили авторы задачника. Можно предполагать, что авторы этого задачника, как и многих других, просто не задумались над этим вопросом и не предполагали возможности таких задач, в которых заданные элементы не определяют никакой геометрической фигуры. Что это так, подтверждает наличие в недавно изданном задачнике Р. И. Позойского следующей задачи, а особенно ответа к ней.

Задача 7 (Р. И. Позойский, Сб. задач по тригонометрии, Учпедгиз, 1950, гл. 1, § 1, № 6). Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 5. Гипотенуза равна 15. Найти сумму синусов острых углов треугольника.

В задачнике приведен такой ответ: 1/3, т. е. автор считал, что задача имеет решение, между тем, даже не решая задачи, сразу ясно, что задача не имеет решения, ибо в ней дано, что сумма катетов (5) меньше гипотенузы (15), вопреки известной зависимости между сторонами треугольника.

Но иногда бывает довольно трудно заметить, что заданные в условии задачи элементы не определяют никакой фигуры, вследствие того, что их размеры взяты не из множества допустимых для них значений.

Рассмотрим, например, такую задачу из того же задачника.

Задача 8 (Р. И. Позойский, Сб. задач по тригонометрии, гл. 1, § 1, № 23). Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 16 см, гипотенуза равна 10 см. Найти произведение синусов острых углов треугольника.

В данной задаче сразу не видно, что размеры заданных элементов взяты не из множества допустимых для них значений.

Пусть а и b — катеты прямоугольного треугольника, с — гипотенуза и а — один из острых углов.

Тогда

Очевидно, что наибольшее значение m будет

иметь при

Тогда

и, значит, всегда

В приведенной же задаче 8 это соотношение не выполняется, ибо 16 > 10√2, и приведенный в задачнике ответ (0,78) неверен, ибо задача не имеет решения.

Очевидно, что сущность решения задач различного вида различна.

Решение задачи первого или второго вида сводится к нахождению размера искомого элемента для каждой из указанных в условии фигур. Если же имеем задачу третьего вида и размер искомого элемента является одним и тем же для всех фигур заданного семейства, то решение такой задачи сведется к нахождению размера искомого элемента, причем сам процесс решения такой задачи есть доказательство того, что размер искомого элемента у всех фигур заданного семейства действительно один и тот же. Если размер искомого элемента у всех фигур заданного семейства различный, то задача— неопределенная и ее решение сведется к выявлению этой неопределенности.

Наконец, если мы имеем задачу четвертого вида, то решение состоит в доказательстве того, что ее условие не определяет никакой фигуры.

Приступая к решению какой-либо числовой геометрической задачи на вычисление, мы не знаем, какого она вида, поэтому первым шагом решения всякой числовой задачи является выяснение, определяет ли ее условие какую-либо геометрическую фигуру или нет. Сделать это можно или на основании известных теорем, в которых указываются необходимые и достаточные условия существования тех или иных фигур, или при помощи построения заданной фигуры.

Но должен ли решающий задачу обязательно производить исследование существования фигуры, заданной в условии задачи?

Составитель задачника, а также учитель, подбирающий задачи для очередного урока, обязаны провести такое исследование в отношении каждой задачи. Учащиеся же, как правило, могут и не производить такого исследования и при решении предложенной им учителем задачи могут исходить из естественного предположения, что заданная в условии задачи фигура существует.

Однако изредка и тем чаще, чем старше учащиеся, они по предложению учителя должны производить такое исследование с тем, чтобы понять его необходимость и получить соответствующие навыки. Для этого полезно иногда давать учащимся задачи, условие которых не определяет никакой фигуры (конечно, такие задачи не следует давать в контрольных работах). Разбор таких задач является очень поучительным и полезным занятием.

Рассмотрим задачи с параметрическими данными.

Если мы дадим параметрам определенные числовые значения, то получим геометрическую задачу с числовыми данными. Искомый элемент задачи с параметрами есть функция от параметров, и решить такую задачу — значит найти формулу, показывающую, какие операции и в каком порядке надо произвести над значениями параметров, чтобы найти размер искомого элемента*.

Но для задания какой-либо функции недостаточно указать закон соответствия (например, формулу), а необходимо еще указать область ее определения. Отсюда понятно, что решение геометрической задачи на вычисление с параметрами не сводится лишь к нахождению формулы, выражающей функциональную зависимость искомого элемента от данных параметров: необходимо еще указать область определения найденной функции, т. е. множество допустимых значений для параметров, являющихся аргументами этой функции.

Решить геометрическую задачу на вычисление с параметрами — это значит найти аналитическое выражение искомого элемента от заданных параметров, указав при этом множество допустимых значений для параметров.

Допустимыми значениями параметров геометрической задачи на вычисление следует считать те значения параметров, при которых указанная в условии задачи геометрическая фигура существует.

Рассмотрим, например, такую задачу.

Задача 9. Найти полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна а, а угол, образованный боковым ребром со стороной основания, равен а.

Если указанная в условии пирамида существует, то а, как длина произвольного отрезка, являющегося стороной основания пирамиды, может быть лишь положительным числом (a > 0). Угол же а, с одной стороны, является углом при основании равнобедренного треугольника — боковой грани пирамиды, и поэтому 0 < α < 90°, a с другой стороны, угол а есть плоский угол трехгранного угла, у которого остальные два

* Так ставится вопрос в школьном курсе математики.

угла равны а и 90°. Поэтому 90° < 2α, и, значит, α > 45°.

Итак, если пирамида существует, то

(I)

Очевидно, что справедливо и обратное положение: если условия (I) выполнены, то рассматриваемая пирамида существует. Значит, условия (I) могут быть приняты за определение множества допустимых значений для параметров а и а задачи.

Наконец, заметим, что область определения аналитического выражения функции искомого элемента от данных параметров, как правило, шире множества допустимых значений для параметров найденной из условий существования заданной геометрической фигуры*.

Например, в рассмотренной выше задаче для полной поверхности пирамиды мы получим такое выражение:

Если S рассматривать просто как функцию от а и α (вне связи с задачей), то легко видно, что область определения ее будет следующая:

Между тем выше мы установили, что заданная пирамида существует лишь при а > 0 и 45° < α < 90°.

Отсюда понятно, что множество допустимых значений для параметров геометрической задачи на вычисление может быть найдено лишь в результате исследования условий существования указанной в условии задачи геометрической фигуры.

Если мы согласимся со всеми выводами, сформулированными выше, то мы должны будем ряд требований к решению геометрических задач на вычисление с параметрами, выдвинутых в качестве обязательных в некоторых опубликованных статьях, таковыми не считать, и наоборот, некоторые другие требования принять как обязательные. В частности:

1) Ю. О. Гурвиц и С. В. Филичев выдвинули как обязательное требование описание чертежа пространственной фигуры. «Выполнив чертеж в карандаше (а почему обязательно в карандаше? — Л. Ф.) и проставив на нем требуемые обозначения, учащийся должен в краткой и четкой форме пояснить, как выполнен им чертеж»** (подчеркнуто мною. — Л. Ф.).

Для того чтобы выяснить, действительно ли это требование является обязательным, надо установить, какую роль играет чертеж в решении геометрических задач на вычисление. Совершенно очевидно, что чертеж играет лишь вспомогательную, иллюстративную роль; принципиально можно обойтись и совсем без чертежа.

Рассмотрим, например, такую задачу, приведенную в упомянутой статье Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева:

«Основанием четырехугольной пи рамиды служит квадрат; две боковые грани этой пирамиды перпендикулярны к плоскости ее основания; две другие ее боковые грани образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, каждый из которых равен а. Высота пирамиды равна h. Определить ее боковую поверхностью*.

Будем решать эту задачу так.

Общее ребро двух боковых граней, перпендикулярных к основанию, будет само перпендикулярно к основанию, и следовательно, это ребро есть высота пирамиды. Значит, эти две боковые грани представляют собой равные прямоугольные треугольники, общий катет которых равен h, а другие катеты — это стороны квадрата, лежащего в основании пирамиды.

Острый угол каждого из этих треугольников, прилежащий к основанию, есть линейный угол заданного двугранного угла, образуемого каждой из двух других боковых граней с основанием. Действительно, одна сторона этого угла, являющаяся стороной квадрата, лежащего в основании пирамиды, перпендикулярна к стороне этого же квадрата, являющейся ребром рассматриваемого двугранного угла, а другая сторона этого угла (боковое ребро пирамиды) также перпендикулярна к ребру двугранного угла, ибо ее проекции на плоскость основания (первая сторона этого острого угла) перпендикулярна к ребру двугранного угла.

Значит, острый угол прямоугольных треугольников — боковых граней, прилежащих к высоте пирамиды, равен α. Поэтому сторона квадрата основания пирамиды равна h ctg α, a площадь каждого из этих треугольников равна 0,5h2ctgα. Площадь же двух этих треугольников равна h2 ctg α и т. д.

В этом решении совсем отсутствует чертеж. Однако что можно принципиально возразить против такого решения? Думаю, что ничего. Больше того, считаю, что некоторые простые геометрические задачи на вычисление полезно решать устно. Отсюда понятно, что описание выполнения чертежа не является органической

* Об этом подробнее см. редакционную статью С. И. Новоселова в настоящем номере (стр. 36 лев.)

** Ю. О. Гурвиц и С. В. Филичев, Требования к письменным работам по математике, журн. «Математика в школе», 1947, № 1, стр. 48.

* Там же, стр. 50.

частью решения геометрической задачи на вычисление.

2) Нельзя считать обязательным и такие требования (выдвинутые этими же авторами): «учащийся обязан записать, пользуясь чертежом то, что дано в задаче, и то, что требуется определить», а также, что «он (учащийся) в первую очередь должен записать формулу, с помощью которой дается ответ на вопрос задачи»*.

Конечно, учащийся, решая геометрическую задачу на вычисление, должен указать, какие элементы построенного им чертежа соответствуют заданным в условии задачи параметрам, но это совсем не обязательно делать в форме: «дано ... требуется определить...».

Точно так же, если ученик при решении задачи будет пользоваться какими-то формулами, то он, конечно, их выпишет, но эти формулы отнюдь не обязательно выписывать в первую очередь.

3) Также, очевидно, нельзя считать обязательным требование выделять специальными заголовками отдельные части решения задачи. Решение задачи можно записывать сплошным текстом, не выделяя и не отделяя друг от друга отдельные части решения.

4) Особо следует остановиться на требованиях, выдвинутых в статье Л. В. Кривлевой «Приложение тригонометрии к решению и исследованию геометрических задач», изданной Издательством Академии педагогических наук РСФСР в 1951 г. отдельной брошюрой, а в 1952 г. — в сборнике «Решение задач в средней школе».

Как известно, сущность предложения Л. В. Кривлевой состоит в том, чтобы при решении обычных геометрических задач на вычисление производить особого рода исследование. Вот пример такого исследования

Задача 10. «Угол α, вписанный в окружность, опирается на хорду, длина которой а. Найти радиус круга R.

Решение. Из треугольника ODK имеем:

Черт. 2

Исследование. Границы изменения а: 0° < α < 180°. Если α = 90°, то R = a/2 (хорда стала диаметром). Пусть хорда BD = а постоянна; с увеличением угла α от 0° до 90° радиус уменьшается. Наименьшая его длина a/2, когда α = 90°, с уменьшением а от 90° до 0°, a также с увеличением от 90° до 180° радиус увеличивается неограниченно (проверить по формуле и на чертеже).

Выводы. Если 0° < α < 90°, то

Если α = 30° или 150°, то R = a, т. е. а — сторона правильного вписанного шестиугольника.

сторона правильного вписанного треугольника»*.

Попробуем внимательно вдуматься в приведенный пример, взятый наудачу. Задача была вполне определенная: найти радиус круга. Решение этой задачи заняло одну строчку. После этого начинается исследование, занимающее целую страницу.

В чем же оно состоит? Сначала автор указывает «границы изменения» параметра а. Что это за «граница изменения»? Судя по тексту статьи, это не что иное, как просто множество допустимых значений угла α. Для чего же вводить новый термин, имеющий обычно несколько иной смысл? Затем рассматривается, как изменяется искомая величина, т. е. R, в зависимости от изменения параметра а. Причем сделано это весьма неудачно, ибо читателю довольно трудно представить себе, почему изменяется именно так радиус круга, как указывает автор. Все стало бы ясно, если было бы указано, что речь по существу идет об изменении боковой стороны равнобедренного треугольника, основание которого равно а, при изменении угла α при вершине этого треугольника. Но дело не в том, как изложено это исследование, а в том, что все это исследование не имеет никакого отношения к решению задачи и является искусственным привеском к нему. Ведь вопрос задачи был вполне определенный: найти радиус круга, а Л. В. Кривлева отвечает на вопрос: что произойдет с радиусом круга, если будет изменяться угол а?

Таким образом, Л. В. Кривлева решает по существу, кроме той задачи, которую она явно сформулировала, еще другую, ею не сформулированную. Тем самым она вносит путаницу в понимание сущности решения задачи, ибо, по справедливому замечанию Я. М. Дымшиц, «ре-

* Журн. «Математика в школе», 1947, № 1, стр, 48.

* Сборник «Решение задач в средней школе», изд. АПН РСФСР, 1952, стр. 244—245.

шение задачи должно сводиться к тому, чтобы найти ответ на вопрос задачи в точном соответствии с формулировкой ее условия»*, ничего, конечно, не прибавляя от себя.

Осуществление предложения А. В. Кривлевой может привести (и привело) к путанице и в понимании роли и сущности исследования решения задач, ибо у нее и ее последователей исследование является не необходимой и естественной частью решения, а искусственным придатком к нему.

Однако некоторые учителя не сумели разоббраться в сущности статьи Л. В. Кривлевой и применили в своей работе предложенную в этой статье методику. К каким последствиям это привело, было уже однажды показано в журнале «Математика в школе»**.

Ту же путаницу и те же нелепости, на которые указывал М. Г. Парафило, да еще в большей степени, пришлось нам наблюдать во всех случаях (весьма, правда, немногочисленных) применения методики Л. В. Кривлевой в практике работы отдельных учителей Красноярского края.

До сих пор мы говорили о требованиях, выдвинутых в качестве обязательных в свое время разными авторами и не являющимися таковыми.

Остановимся теперь на одном требовании, которое должно быть обязательным. Речь идет об определении множества допустимых значений для параметров.

Решение всякой задачи должно иметь исчерпывающий характер. Как мы показали, решение геометрических задач на вычисление с параметрами будет неполным, неисчерпывающим, если не установить множество допустимых значений для параметров. Значит, согласно первому принципу, требование определения множества допустимых значений для параметров должно являться обязательным для решения геометрических задач на вычисление с параметрами.

Но согласно второму принципу, всякое требование может быть обязательным лишь тогда, когда оно доступно для учащихся. Доступно ли требование определения множеста допустимых значений для параметров для учащихся X (и отчасти VIII и IX) классов?

В 1949 г. мною был поставлен вопрос о необходимости нахождения множества допустимых значений для параметров при решении геометрических задач на вычисление. Многие учителя тогда высказывали сомнение в том, что учащиеся справятся с этим делом. Мой личный опыт хотя и подтверждал доступность для учащихся решения геометрических задач с определением множества допустимых значений для параметров, все же был недостаточен для того, чтобы рассеять все сомнения в этом вопросе. Надо было организовать широкую экспериментальную проверку методики решения геометрических задач на вычисление с параметрами. При активной помощи передовых учителей математики нашего края—Б. Н. Козминых, Н. П. Щербаковой, Н. Ф. Ивановой, К. К. Михайловой, Е. К. Шалаевой, М. И. Кузнецовой и многих других такой эксперимент был организован. После издания моей брошюры «К вопросу о решении задач по математике в средней школе» в 1949 г. и брошюры «Анализ полугодовых контрольных работ» в 1950 г., где довольно подробно была изложена методика решения геометрических задач на вычисление, причем главное внимание уделялось вопросу определения множества допустимых значений для параметров, в экспериментальную проверку разработанной методики включились почти все учителя старших классов средних школ Красноярского края и города Красноярска.

Результаты применения разработанной методики многократно обсуждались на учительских конференциях, краевых совещаниях руководителей районных методических объединений, на секции математики Краевого съезда учителей и в других местах, и во всех случаях учителя единодушно подверждали и доступность и целесообразность этой методики. Больше того, некоторые учителя творчески продолжали разработку некоторых вопросов методики решения геометрических задач на вычисление. Так, учительница Минусинской средней школы № 4 Щербакова Н. П. на краевые «Педагогические чтения», проведенные в апреле 1954 года представила очень интересную работу о системе подготовки учащихся к решению геометрических задач на вычисление с параметрами.

Пятилетний опыт многих учителей Красноярского края дает нам право утверждать доступность для учащихся требования определения множества допустимых значений параметров и предложить принять это требование как обязательное.

Резюмируя все сказанное, перечислим все обязательные требования к решению геометрических задач на вычисление с параметрами:

1) Если при решении используется чертеж заданной в условиях задачи фигуры, то следует назвать в принятых на чертеже обозначениях все заданные в условии задачи элементы

* Журн. «Математика в школе», 1954, № 2, стр. 7.

** См. статью М. Г. Парафило «Об исследовании решения задач по геометрии с применением тригонометрии», журн. „Математика в школе“, 1953, № 2.

фигуры, а также заданные соотношения между ними.

2) Необходимо дать полное объяснение всех проводимых самим учеником вспомогательных построений или тех построений, которые требуются самим условием задачи (построение линейных углов заданных двугранных углов, углов наклона прямой к плоскости, проведение сечений и т. д.).

3) Необходимо определить множество допустимых значений для параметров, заданных в условии задачи и для искомых элементов.

4) Задача решается сначала в общем виде (с параметрами), и только тогда, когда будет найдено общее решение, следует приступить к вычислениям при заданных значениях параметров (если это предусмотрено условием задачи). При этом необходимо проверить, принадлежат ли заданные значения параметров множеству их допустимых значений.

5) При нахождении отдельных величин в общем решении необходимо дать пояснения, из рассмотрения каких фигур и на основании каких теорем записана та или иная зависимость между данными и искомыми величинами. Общеизвестные зависимости, в частности зависимости между сторонами и углами треугольника, применяются без особых пояснений.

6) Полученную общую формулу следует, если только это целесообразно, привести к виду, удобному для логарифмирования.

7) После решения задачи в общем виде следует проверить, принадлежат ли значения искомой величины множеству ее допустимых значений при всех допустимых значениях параметров.

8) После вычисления значения искомой величины при заданных значениях параметров следует выписать ответ на вопрос задачи как в общем виде (в виде формулы) с указанием множества допустимых значений для параметтров, так и числовой ответ (значение искомой величины) с указанием, при каких значениях параметров он найден.

Рассмотрим теперь, как может быть найдено множество допустимых значений параметров.

Приемы определения множества допустимых значений параметров

Предварительно отметим, что все встречающиеся в задачах геометрические величины (длины отрезков, площади плоских фигур, объемы тел, углы) могут иметь лишь положительные значения, а углы обычно меньше 180°.

Приемов определения множества допустимых значений для параметров геометрических задач на вычисление можно указать довольно много; рассмотрим лишь основные.

1-й основной прием. Использование известных соотношений между элементами заданной фигуры.

Задача. Боковые ребра треугольной пирамиды равны между собой, и каждое из них равно а; плоские углы при вершине пирамиды равны α, ß и γ. Вычислить объем пирамиды.

Чтобы определить множество допустимых значений для параметров, воспользуемся известными соотношениями между плоскими углами многогранного и, в частности, трехгранного угла. Тогда получим:

Учитывая, что параметры могут принимать лишь положительные значения, получим следующие необходимые условия существования данной треугольной пирамиды:

Чтобы эти условия можно было принять за определение множества допустимых значений для параметров рассматриваемой задачи, нужно еще убедиться, что эти условия не только необходимые, но и достаточные для существования данной треугольной пирамиды.

Сделать это можно, например, так: если плоские углы α, ß и γ удовлетворяют указанным выше условиям, то, как мы знаем, всегда существует трехгранный угол с такими плоскими углами; отложив на ребрах этого трехгранного угла отрезки, равные а, и соединив концы этих отрезков между собой, мы получим данную треугольную пирамиду. А это и значит, что указанные выше условия являются не только необходимыми, но и достаточными для существования треугольной пирамиды. Эти условия можно принять за определение множества допустимых значений для параметров.

Но нужно ли каждый раз доказывать достаточность найденных необходимых условий существования заданной в условии задачи геометрической фигуры?

Конечно, составитель задачника и учитель, подбирающий задачи для очередного урока, должны провести такое доказательство, чтобы

* Написанные здесь соотношения не независимы между собой. Вообще требование нахождения системы независимых соотношений не является обязательным, ибо для его выполнения понадобится часто решение системы неравенств со многими неизвестными, что программой средней школы не предусмотрено.

убедиться, что найденные необходимые условия действительно определяют множество допустимых значений для параметров. Но ученик, решающий предложенную ему учителем задачу, естественно, может и должен исходить из того, что геометрическая фигура, о которой идет речь в условии задачи, ему дана, а поэтому он может ограничиться нахождением лишь необходимых условий, которым должны удовлетворять параметры задачи для существования заданной фигуры. Лишь иногда, по предложению учителя, ученики могут проделать полное исследование условий существования заданной геометрической фигуры, причем для такого полного исследования следует брать лишь простейшие задачи.

Исходя из всего сказанного, в дальнейшем под множеством допустимых значений для параметров геометрической задачи на вычисление мы будем понимать то множество, которое определяется лишь необходимыми условиями существования заданной в условии задачи фигуры, т. е. теми условиями, которые вытекают из факта существования фигуры.

2-й основной прием. Сравнение параметра с однородным ему постоянным элементом.

Задача. Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно, а, а двугранный угол между двумя смежными боковыми гранями равен α (черт. 3).

Для определения множества допустимых значений для параметров данной задачи применим такой прием: сравним линейный угол заданного двугранного угла α с каким либо постоянным известным углом.

Так, если угол BKD есть линейный угол заданного двугранного угла α (ВК⊥СМ и DK⊥CM), то сравним угол BKD с прямым углом BCD (черт. 3). Для этого будем вращать треугольник BKD вокруг стороны BD до совмещения с плоскостью треугольника BCD. Так как ВК < ВС и DK < DC (ибо ВК и DK—катеты, а ВС и DC—гипотенузы треугольников ВКС и DKC), то точка К при этом упадет внутрь треугольника BCD. Поэтому ясно, что ∠BKD > ∠BCD, т. е. α > 90°.

Кроме того, α < 180° и a > 0, значит, окончательно получаем:

Заметим, что и этот прием дает нам необходимые условия существования заданной фигуры, которые мы принимаем за определение множества допустимых значений для параметров.

3-й основной прием. Исследование условий возможности построения заданной фигуры.

Рассмотрим такую задачу.

Задача. Две боковые грани треугольной пирамиды — равные прямоугольные треугольники, общий катет которых равен а, а гипотенузы равны с и образуют между собой угол φ. Найти объем пирамиды.

Построим указанную в условии задачи треугольную пирамиду.

Анализ. Пусть пирамида АВСМ — искомая (черт. 4). Тогда АВМ и АСМ — равные прямоугольные треугольники, у которых

Значит,

и поэтому AM⊥пл. ABC, т. е. AM — высота пирамиды.

Построив прямоугольный треугольник АВМ, мы определим сторону AB = АС треугольника ABC, а построив равнобедренный треугольник ВМС по боковой стороне с и углу φ при вершине, мы определим третью сторону ВС треугольника ABC.

Построение. Вспомогательные построения.

1. Строим прямоугольный треугольник KLN по катету а и гипотенузе с (черт. 5).

2. Строим равнобедренный треугольник EHF по боковой стороне с и углу φ при вершине (черт. 6).

Основное построение.

1. На произвольной плоскости Р строим равнобедренный треугольник ABC по боковой стороне AB = АС = KL и основанию ВС = EF.

2. В вершине А восставляем перпендикуляр AM⊥Р.

Черт. 3 Черт. 4

3. Откладываем AM = а.

4. Точку M соединяем с точками В и С. Полученная пирамида АВСМ — искомая (черт. 7).

Доказательство очевидно и мы его опускаем. Исследование. Вспомогательные построения:

1. Возможно при условии

(1)

2. Возможно при

Основное построение.

1. Возможно при условии ВС < 2АВ или EF < 2KL. Выразим EF и KL через заданные параметры:

значит,

Так как обе части неравенства положительны, то можно возвести их в квадрат, предварительно разделив обе части на 2, Тогда получим:

откуда

(2)

Остальные пункты построения всегда выполнимы. Так как условие (1) выполняется при выполнении условия (2), то пирамида существует, если

Этими неравенствами и определяется множество допустимых систем значений параметров.

При применении этого приема надо исследовать, можно ли данным геометрическим построением получить любую фигуру заданного в условии задачи вида. Без такого исследования можно утверждать лишь достаточность (но не необходимость) полученных условий.

4-й основной прием. Исследование формул таких элементов заданной фигуры, которые определяют ее единственным образом.

Задача. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол α, а с боковой гранью угол ß. Высота параллелепипеда равна Н. Определить объем параллелепипеда.

Если ABCDA1B1C1D1 (черт. 8) есть заданный в условии задачи прямоугольный параллелепипед, то

Очевидно, что

(1)

Чтобы уточнить множество допустимых значений для параметров α и ß, найдем формулы для таких элементов, которые определяют заданный прямоугольный параллелепипед единственным образом. Очевидно, что такими элементами являются стороны основания параллелепипеда AB и AD, которые вместе с заданной высотой параллелепипеда определяют его единственным образом. После этого мы исследуем, при каких значениях α и β по найденным формулам можно вычислить стороны AB и AD. Этим самым мы и найдем множество допустимых значений для α и β.

Из треугольника АСA1 найдем:

Черт. 5 Черт. 6

Черт. 7

Черт. 8

Из треугольника CDA1 найдем:

Теперь, зная АС и CD = AB, можно найти по теореме Пифагора и ВС. Но для этого необходимо, чтобы АС > CD, или

Приняв во внимание (1), из последнего неравенства получим:

Но так как 90° — α и ß — острые углы, то последнее неравенство равносильно:

откуда

(2)

Итак, при выполнении условий (1) и (2) можно вычислить стороны основания AB и AD по формулам:

а значит, и построить параллелепипед.

Значит, окончательное множество допустимых значений для параметров таково:

Заметим, что в этой задаче применение такого приема определения множества допустимых значений для параметров весьма выгодно, ибо все равно для нахождения объема параллелепипеда нам надо находить стороны AB и AD, и следовательно, определение множества допустимых значений для параметров ведется этим приемом попутно с общим решением задачи.

Наконец, остановимся еще на одном приеме определения множества допустимых значений для параметров.

Если рассматривать формулу искомого элемента не в множестве всех действительных чисел, а лишь при предварительно найденных возможных значениях параметров, то во многих случаях можно найти тем самым и множество всех допустимых систем значений для параметров.

Например, в предыдущей задаче искомый объем V параллелепипеда должен быть числом положительным. Решив задачу, мы найдем:

Предварительно мы уже нашли неравенства (1). При выполнении этих неравенств

значит, остается установить, будет ли подкоренное выражение положительно.

Ясно, что 0° < |α — β| < 90°, поэтому cos (α — ß) > 0, следовательно, и cos (α + ß) > 0, откуда α + ß < 90°.

Мы получаем уже найденное множество допустимых значений:

При использовании последних двух приемов множество допустимых значений определяется сначала ориентировочно (из геометрических соображений), а затем оно уточняется путем исследования формул.

Но если применение четвертого приема дает, как правило, множество всех допустимых значений, то последний прием в некоторых случаях может дать более широкое множество для систем значений параметров.

Рассмотрим, например, такую задачу:

Задача. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды, равное b, образует со стороной основания угол α. Найти боковую поверхность пирамиды.

Предварительно можно установить, что b > 0 и 0° < α < 90°, как угол при основании равнобедренного треугольника.

Попытка уточнить это множество при помощи последнего приема ничего не дает. Действительно, относительно боковой поверхности пирамиды Sб. в данном случае можно лишь установить, что Sб. > 0. Тогда, найдя, что Sб. = 1,5b2sin2α, получим: 1,5b2sin2α > 0, откуда sin 2α > 0, следовательно, 0° < 2α < < 180° и окончательно получаем то же, что уже раньше нашли: 0 < α < 90°.

Между тем множество всех допустимых значений для α таково: 30° < α < 90°.

Поэтому определение множества допустимых значений для параметров лучше производить одним из первых четырех приемов, а последним приемом пользоваться как способом проверки правильности решения.

Сущность этой проверки состоит в следующем.

Найдя одним из первых четырех приемов множество допустимых значений для параметров, мы затем находим формулу, являющуюся аналитическим выражением функции искомого элемента от параметров.

Если при этом окажется, что все значения искомого элемента принадлежат к множеству его допустимых значений при всех допустимых системах значений параметров, то это является подтверждением правильности решения задачи.

Если же для того чтобы значения искомого элемента принадлежали множеству его допустимых значений, параметры должны удовлетворять еще каким-то дополнительным условиям, то это показывает, что в решении задачи имеется ошибка, в частности, что найденное множество допустимых значений для параметров не является истинным.

В заключение приведем два примера решения геометрической задачи на вычисление с параметрами, взятые нами из экзаменационных работ учащихся школ Красноярского края. Работы мы приводим без всяких изменений. Внимательный читатель обнаружит в них ряд погрешностей, но все же работы учащихся с несомненностью подтверждают все те выводы, которые сделаны выше.

1. Работа ученика X класса средней школы № 10 г. Красноярска Овчинникова Ю. (учитель — Михайлова К. К.).

Задача. Основанием пирамиды SABC служит равнобедренный треугольник, в котором AB = АС; грани SAB и SAC перпендикулярны к основанию, третья грань образует с основанием двугранный угол α; боковое ребро SB наклонно к основанию под углом ß и равно b. Найти объем пирамиды. Вычислить объем пирамиды при

Решение. Пусть изображенная на чертеже (черт. 9) пирамида SABC — данная по условию задачи. Тогда △ ABC, служащий основанием — равнобедренный (AB — АС); грани SAB и SAC перпендикулярны к основанию ABC, следовательно, общее их ребро SA перпендикулярно к основанию, т. е. AS — высота пирамиды ABС. Третья грань SBC образует с основанием двугранный угол ВС, равный α. Построим линейный угол данного двугранного угла ВС. Так как треугольники ABC и BSC равнобедренные (ABC— по условию, BSC потому, что SB = SC как наклонные, выходящие из общей точки S и имеющие равные проекции AB = АС), то медианы на сторону ВС в этих треугольниках будут перпендикулярны к ВС. Поэтому, если точку К— середину стороны ВС соединим с S и A, то полученный угол AKS и будет линейным углом двугранного угла ВС (АК⊥ВС и SK⊥ВС). Значит, ∠AKS = α. Очевидно, что 0° < α < 90°, так как а есть угол прямоугольного △ AKS, где ∠КAS = 90°.

Боковое ребро SB = b (b > 0) и наклонено к основанию ABC под углом ß. Так как SA⊥пл. ABC, то AB—проекция SB на плоскость основания. Значит, ∠SBА есть заданный угол между боковым ребром SB и плоскостью основания, следовательно, ∠SBА = ß. Очевидно, что 0° < ß < 90°, ибо β — острый угол прямой с плоскостью.

Уточним теперь область допустимых значений для параметров, сравнив между собой α и ß. Для этого вращаем плоскость △ SKA вокруг катета AS до совмещения с плоскостью △ SB А. Так как SB > SК (в прямоугольном △ SBK SB — гипотенуза, а SK — катет), то точка К упадет между точками А и Яна отрезке AB и ребро SK займет положение SK1 (черт. 10).

По отношению к △ SBK1 ∠SK1A внешний, поэтому ∠. SK1A > ∠SBK1, т. е. α > β. Итак, окончательно получаем такую область допустимых значений для параметров:

(1)

(Далее в работе идет вычисление объема, выкладки опущены — ред.)

Очевидно, что область допустимых значений для объема пирамиды такая: V > 0.

Проверим, действительно ли выражается V в полученной формуле положительным числом при всех допустимых значениях параметров.

Из условия (1) имеем:

Значит, sin (α + ß) sin (α — ß) > 0, следовательно, V есть действительное число.

Так как b > 0, то и b3 > 0. Остальные множители перед корнем также, очевидно, положительны.

Следовательно, V > 0.

Вычислим V при b = 49,56 дм, α = 56°40', и ß = 48°16'.

Значения b, а и ß удовлетворяют условиям (1), поэтому вычисление можно произвести (вычисления опущены—ред.).

2. Работа ученицы X класса Минусинской средней школы № 4 Карпович Г. (учитель — Щербакова Н. П.).

Задача. В цилиндр, образующая которого равна l, вписана треугольная пирамида. Две

Черт. 9

Черт. 10

боковые грани этой пирамиды перпендикулярны к плоскости ее основания, а два боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом α и образуют между собой угол ß. Найти боковую поверхность пирамиды.

Вычислить боковую поверхность при l = 35,12 дм, α = 46°37' и ß = 37°16'.

Решение (черт. 11). Пусть OO1 и SAВС — цилиндр и треугольная вписанная в него пирамида, заданные в условии задачи. Грани ASB и BSC перпендикулярны к плоскости основания пирамиды. Следовательно, ребро SB перпендикулярно к плоскости основания пирамиды (на основании следствия о линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных к третьей плоскости) и является высотой пирамиды. Так как цилиндр прямой (его образующая перпендикулярна к плоскости основания), а основание пирамиды лежит в плоскости основания цилиндра (так как пирамида вписана в цилиндр), то высота пирамиды совпадает с образующей цилиндра

SB = l > 0.

Боковые ребра пирамиды SA и SC образуют с основанием углы, по условию равные а. Этими углами являются углы SAB и SCB по определению угла прямой с плоскостью (AB — проекция ребра SA на плоскость, так как SB есть перпендикуляр к плоскости ABC по выше доказанному, точно так же ВС — проекция ребра SC), ∠SAB = ∠SCB = α, причем 0° < α < 90°, так как угол между наклонной и ее проекцией всегда острый. Угол, образованный ребрами SA и SC, равен ß, т. е. ∠ASC = β.

Определим область допустимых значений для углов α и ß. Боковые грани пирамиды ASB и BSC равны, как прямоугольные треугольники, имеющие общий катет SB и равные острые углы: ∠BAS = ∠BCS = α. Тогда АВ = ВС и AS = CS.

Следовательно, в основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник ABС. Проведем в нем высоту BD и точку D соединим с точкой S. Тогда SD будет апофемой грани ASC (SD⊥АС) — согласно теореме о трех перпендикулярах. Так как, кроме того, треугольник ASC равнобедренный, то

Поместим треугольники CBS и SCD в одну плоскость так, как это показано на чертеже (черт. 12) (ВС > CD, ибо ВС — гипотенуза, a CD — катет в треугольнике BCD). Угол DMC, равный 90° — а, есть внешний по отношению к MSC, и значит, он больше внутреннего угла MSC, не смежного с ним.

Откуда:

Таким образом имеем окончательно:

В условии задачи требуется найти боковую поверхность пирамиды. Она равна сумме площадей боковых граней.

(Далее в работе следует вычисление боковой поверхности, выкладки опущены—ред).

Проверим, выражается ли боковая поверхность по полученной формуле положительным числом. Всегда l2 > 0 и sin2 α > 0,

Найдем числовое значение Sбю, при l = 35,12 дм, α = 46°37' и ß = 37°16'.

Вычисление возможно, ибо эти значения l, α и ß принадлежат области допустимых для них значений (вычисления опущены—ред.)

Черт. 11 Черт. 12

* Это условие можно было найти проще так: рассмотрим трехгранный угол при вершине пирамиды. Один из плоских его углов ASC равен ß, а остальные два равны 90° — α. Тогда, по известному свойству плоских углов трехгранного угла, получим:

** Ученица здесь указала лишние условия, достаточно указать такие:

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ

Я. АЙЗЕНШТАТ и Б. БЕЛОЦЕРКОВСКАЯ (Киев)

В журнале «Математика в школе», № 2 за 1953 г. напечатана статья М. Г. Парафило «Об исследовании решения задач по геометрии с применением тригонометрии». В примечании редакции к этой статье говорится: «Пока еще преждевременно выставлять исследование геометрических задач в качестве обязательного требования при выполнении экзаменационных работ, но эти исследования полезно проводить при решении некоторых задач в течение года». К сожалению, в практической работе многих школ оба полезные совета редакции не выполняются.

Мы совершенно согласны с М. Г. Парафило в том, что «Если нет никаких указаний в условии самой задачи на исследование того или другого вопроса, то никакого специального исследования проводить не надо, следует лишь показать, что решение задачи имеет определенный смысл».

Но затем автор пишет: «Если же в задаче есть указание об исследовании, то его нужно провести со всей тщательностью», и дается образец такого исследования.

С этим мы не согласны. Исследование различных специальных вопросов выходит за рамки действующих программ (и норм оценок), требует значительного времени, которое может быть взято только из часов, предназначенных для изучения и повторения программных вопросов, является одним из источников перегрузки учащихся и может быть рекомендовано только для наиболее сильных учащихся или для внеклассной работы.

К тому же рассмотрение вырождений данной фигуры при граничных условиях (как это делается в книге Л. В. Кривлевой) является теоретически далеко не всегда обоснованным и должно производиться с определенной осторожностью (этот вопрос очень хорошо разъяснен в примечании редакции к статье А. И. Волхонского «О проверке стереометрических задач на вычисление при помощи геометрических построений», «Математика в школе», 1949, № 5).

Однако каждая геометрическая задача на вычисление должна содержать в себе некоторое исследование, являющееся неотъемлемой частью самого решения.

Об этом исследовании в статье М. Г. Парафило не совсем точно и не совсем четко сказано так: «...следует лишь показать, что решение задачи имеет определенный смысл»*.

Именно этот вопрос мы и хотим осветить более подробно. Что значит решить задачу на вычисление (в средней школе)? Это означает установить определенную функциональную зависимость (обычно в виде некоторой формулы) между данными и искомыми величинами.

Мы можем сформулировать требование исследования задачи, выдвигаемое нами в качестве обязательного, так: решая задачу на вычисление, необходимо установить допустимые значения для параметров, при которых данная задача (а следовательно, и полученная функция) имеют смысл.

Если в задаче даны числовые значения для параметров, то, прежде чем находить числовое значение искомой величины, необходимо убедиться, что заданные числовые значения являются допустимыми и что, следовательно, задача с такими данными имеет решение.

Если такого исследования не проводить (а во многих школах оно не проводится), то можно прийти к абсурду: вычислять объемы и поверхности несуществующих тел.

Рассмотрим задачу: Найти боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды с плоским углом при вершине α и боковым ребром b. Вычислить искомую поверхность при b = 10 см, α = 72°18'.

Решив задачу, найдем:

Подставив числовые значения, найдем:

Внешне как будто все хорошо. В действительности же полученное значение 285,5 см2 является фикцией. В самом деле, сумма плоских углов многогранного угла должна быть менее 360°, т. е. должно быть 6α < 360°, откуда α < 60°, и при а = 72°18' пирамида не существует.

Остановимся на некоторых методических вопросах обучения учащихся исследованию геометрических задач на вычисление.

Мы рекомендуем учащимся проводить исследование в три этапа.

1. Установить допустимые значения для параметров путем непосредственного рассмотрения условий задачи, чертежа и геометрических соотношений между элементами фигуры.

2. Используя полученные выводы, произвести исследование формулы, служащей для определения искомой величины, и установить

* Точнее так: «следует установить, когда решение задачи имеет смысл».

допустимые значения содержащихся в ней аргументов.

3. Если допустимые значения для параметров, полученные при исследовании формулы, находятся в более узких границах, чем их значения, полученные при первоначальном геометрическом исследовании (в пункте 1), то необходимо провести дополнительное рассмотрение геометрических соотношений данной фигуры с целью установления соответствия границ.

Можно ли обойтись без первого этапа? Нет.

Во-первых, потому, что иногда исследование, проведенное на первом этапе, дает точные границы для значений параметров, и тогда остается только проверить, что при этих границах полученная формула имеет смысл.

Во-вторых, установление даже неточных границ для параметров может сильно сократить исследование формулы, освободив его от чисто формального рассмотрения различных случаев. Так, например, неравенство

вообще говоря, может выполняться в двух случаях:

если же известно, что 0° < α < 90° и 0° < ß < 90°, тогда cos (α — ß) > 0, и второй случай отпадает.

Можно ли обойтись без второго этапа исследования формулы? Нет. Разумеется, что очень часто геометрическое исследование сразу устанавливает точные границы для параметров, и в таком случае исследование формулы ничего нового не приносит. В этом случае исследование формулы может служить контролем. Но иногда установить геометрически точные границы для параметров бывает очень трудно, и тогда алгебраическое исследование подсказывает эти границы, облегчая поиски соответствующих геометрических соотношений. Во многих классах мы предлагали учащимся следующую задачу:

В прямоугольном параллелепипеде диагональ его а наклонена к основанию под углом α, а к боковой грани под углом ß. Найти объем (черт. 1).

Ни один учащийся не смог увидеть, что α + ß < 90°, до решения задачи и исследования формулы. Решив задачу, учащиеся получили для объема выражение:

Так как α и ß —углы наклона прямой к плоскости, то, по определению,0° < α < 90° и 0° < ß < 90°, следовательно, |α — ß| < 90° и cos (α — ß) > 0. Теперь ясно, что для действительности объема необходимо, чтобы cos (α + ß) > 0, a следовательно, чтобы α + ß < 90°. Только получив это условие, учащиеся догадывались, что в точке B1 имеется трехгранный угол с углами

и, в силу свойств плоских углов, должно быть:

откуда

Следующую задачу мы взяли из брошюры Л. В. Кривлевой «Приложение тригонометрии к решению и исследованию геометрических задач», 1951, стр. 28.

В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник, сторона которого равна а. Два боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания углы, равные φ, а грань, заключенная между ними, наклонена к основанию под углом α. Найти объем пирамиды V.

Именно пренебрежение к исследованию формулы привело к тому, что автором неправильно указаны допустимые значения для параметров.

Решив задачу, найдем:

Исследование. Угол φ — угол прямой с плоскостью, по определению, острый, следовательно,

(1)

Двугранный угол а должен, очевидно, удовле-

Черт. 1

* Заметим, что неравенство α + ß < 90° можно получить проще: достаточно заметить, что ß, как угол, образованный диагональю DB1 с плоскостью грани DCD1C1, меньше угла 90° — α, образованного BB1 с ребром DD1. (Ред.)

творять соотношению

(2)

Обращаясь теперь к полученной формуле для объема, мы видим, что объем будет выражаться действительным числом только при условии sin (α — φ) sin (α + φ) > 0.

Это последнее неравенство может быть удовлетворено, очевидно, в двух случаях.

Случай 1.

Из неравенств (1) и (2) легко получаем:

Поэтому неравенство sin (α + φ) > 0 может быть выполнено только при 0° < α + φ < 180°, а неравенство sin (α — φ) > 0 — только при 0° < α — φ < 180°.

Таким образом, допустимые значения для углов α и φ определяются неравенствами:

Этим неравенствам могут удовлетворять пирамиды двух видов.

Для пирамид первого вида (черт.2) 0° < α < 90° и неравенство a + φ < 180°, очевидно, выполняется. Условие а > φ в этом случае также легко получить непосредственно. Из треугольников AOS и DOS имеем:

Но из прямоугольного треугольника AOD имеем: DO < AO, следовательно, ctgα < ctgφ, и поэтому φ.

Для пирамид другого вида (черт. 3) 0° < α < 180°. Так как в этом случае α — тупой угол, а φ — острый, то, очевидно, что

Кроме того, из треугольников SAO и SOD имеем:

и так как

откуда

φ и 180 — α — острые углы и, следовательно,

Рассмотрим теперь второй случай, при котором подкоренное выражение положительно.

Случай 2.

Так как

то условие sin (α + φ) < 0 может быть выполнено, если

Далее:

откуда α ⩽ р, и так как φ < 90°, то α < 90° и тогда α + φ < 180°, что противоречит только что полученному условию α + φ > 180°. Полученное противоречие показывает, что второй случай невозможен.

Наконец, можно ли обойтись без третьего этапа — вторичного геометрического исследования (точнее, установления чисто геометрическим путем соотношений, полученных при алгебраическом исследовании)? Да, если первые два этапа исчерпали исследование. Последнее имеет место, очевидно, тогда, когда границы, установленные при первоначальном геометрическом исследовании, совпадают с границами, полученными при аналитическом исследовании. Значение вторичного геометрического исследования заключается в том, чтобы выяснить конструктивные особенности данной фигуры.

В заключение приведем примеры исследования задач.

Задача 1. Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой даны сторона основания а и двугранный угол между боковыми гранями a (черт. 4).

Решив задачу, найдем для объема выражение

Исследование. Так как α — угол треугольника, то 0° < α < 180°. Для действительности полученного для объема выражения не-

Черт. 2 Черт. 3

обходимо выполнение неравенства cosα < 0; при указанных границах для угла α это неравенство выполняется при 90° < α < 180°.

Установим, из каких геометрических соотношений вытекает полученное нами соотношение

Из прямоугольного треугольника ОЕС с гипотенузой ОС следует: ОС > ОЕ, но OC = OD, поэтому OD > OЕ. Но тогда в треугольнике OED угол OED = α/2 больше угла ODE =

откуда

Условие α < 180° очевидно. Легко видеть, что если 90° < α < 480°, то полученное выражение для объема будет положительным.

Задача 2 (Рыбкин, Сборник задач по тригонометрии, § 21, № 5),

В параллелепипеде длины трех ребер, выходящих из общей вершины: а, b, с; ребра а и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол α. Определить объем параллелепипеда (черт. 5),

Решив задачу, найдем:

Так как a — угол параллелограма, то 0° < α < 180°, Чтобы полученное выражение было действительным, необходимо, чтобы

так как 0° < 2α < 360°, то полученное неравенство удовлетворяется при

Установим, из каких геометрических соотношений вытекает это неравенство. Так как в точке С имеется трехгранный угол с плоскими углами α, α и 90°, то по свойству трехгранных углов должно быть: α + α > 90°, или 2α > 90°, или α > 45°, кроме того, по свойству многогранных углов должно иметь место неравенство:

откуда

Итак,

Черт. 4 Черт. 5

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ЗАДАЧ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ

А. И. ВОЛХОНСКИЙ (Можайск)

В журнале «Математика в школе», № 2 за 1953 г., помещена статья М. Г. Парафило «Об исследовании решения задач по геометрии с применением тригонометрии». М. Г. Парафило пишет: «Как среди преподавателей, так и среди методистов существует большой разнобой, доходящий иногда до абсурдного толкования исследования решения геометрических задач». С этим нельзя не согласиться: само «исследование» автора статьи убеждает нас в этом.

Речь идет о задаче:

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания а см; грани наклонены к основанию под углом а. Найти: 1) площадь сечения, проведенного через сторону основания перпендикулярно боковой грани*; 2) объем верхней отсеченной части пирамиды. Исследовать, как меняется вид и площадь сечения с изменением угла α, рассмотрев случаи:

М. Г. Парафило решил задачу, пользуясь чертежом 1, т. е. решил ее для случая

(1)

При этом была получена формула:

(2)

* Лучше бы сказать: «перпендикулярно плоскости боковой грани».

Далее, напомнив, что формула (2) получена

им при условии (1), он пишет*:

«1) ... Формула площади сечения S = a2 sin3α при α = 0 дает S = 0.

2) При 0 < α < 45° формула (2) дает положительное решение, площадь увеличивается с увеличением угла α (sin α1 > sin α2, если α1 > α2 для значений 0 < α < 45°). ..

Черт. 1

3) При α = 45° формула для площади сечения дает:

Таким образом, М. Г. Парафило трижды применяет формулу (2) для таких значений угла а, которые вовсе не удовлетворяют условию (1).

Это явная логическая ошибка. В самом деле, нельзя без всяких дополнительных разъяснений выводы, полученные при условии выполнения неравенств (1), считать верными и тогда, когда эти неравенства не выполняются!

М. Г. Парафило был бы прав, если бы он предварительно показал, что формула (2) верна и при 0° ⩽ α ⩽ 45°, но он этого не сделал. Более того, оказывается, это нельзя сделать.

Мы предоставляем читателю убедиться, что при 0° < α < 45° сечение имеет уже совсем иной вид (черт. 2)*** и его площадь выражается формулой:

(3)

Значит, цитированный выше вывод 2 исследования М. Г. Парафило получен явно незаконным путем: чтобы сделать такой вывод, надо было пользоваться не формулой (2), а формулой (3). Изменим условие задачи так, чтобы вывод 2 оказался явно ошибочным:

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания а см, грани наклонены к основанию под углом а. Через сторону ВС основания пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная плоскости противоположной боковой грани и пересекающая ее ребра (или их продолжения) в точках M и N. Найти величину площади трапеции с основаниями MN и ВС.

При условии (1) задача совпадает со старой. Однако вывод 2 явно неверен: площадь трапеций с основаниями MN и ВС при 0° < α < 45° выражается формулой:

(4)

которая показывает, что при α = 36° площадь эта составляет 0,3848а2 см, а при α = 40° только 0,3773а2 см2, это явно противоречит выводу 2*.

Незаконно сделан и вывод 1, хотя бы даже потому, что для значений а, близких к нулю, формула (2), на основании которой он получен, теряет силу и заменяется формулой (3)**.

Не менее необоснованным оказывается и вывод 3 рассматриваемого исследования. Значение α = 45° является концом того интервала, в котором формула (2) верна, однако это не дает нам право пользоваться ею при α = 45°. Ведь для вывода этой формулы мы рассматривали треугольники SMN и SEK, которых вовсе нет при α = 45°!

Правда, использование формулы (2)*** для нахождения площади сечения при а = 45° можно было бы пытаться оправдать известным свой-

Черт. 2

* Эти выводы исследования М. Г. Парафило мы будем ниже называть: «вывод 1», «вывод 2» и т. д.

** Далее следует четвертый пункт исследования, но против него мы ничего не имеем.

*** На чертеже 2 мы сохраняем обозначения чертежа 1 статьи М. Г. Парафило: M — точка пересечения прямой AS с секущей плоскостью, N — пересечение прямой DS с секущей плоскостью и т. п.

* Взяв производную от Sтрап. формулы (4), читатель может убедиться, что площадь эта возрастает только при 0° < α < arctg ≈ 35°, a далее, с увеличением α до 45°, убывает.

** Формула (3) тоже не может быть использована для получения вывода 1. Об этом см. ниже.

*** Или формулы (3).

ством непрерывных функций (limf(x) = f(x0)), но такое оправдание, во-первых, не пригодно для школы (учащиеся не знакомы с понятием непрерывной функции), а во-вторых, нелогично. Прежде чем ссылаться на свойство непрерывности, надо еще доказать непрерывность исследуемой функции в конце промежутка. Для этого придется найти значение функции в конце промежутка и сравнить его с пределом функции в этой точке. Поэтому следовало бы найти величину сечения при α = 45°, не пользуясь формулой (2), a непосредственно геометрически. Лишь после этого можно будет судить о том, верна или не верна формула (2) при α = 45°, непрерывна или не непрерывна рассматриваемая функция в этой точке.

В итоге оказывается, что рассуждения, которые приводит М. Г. Парафило для получения трех первых выводов своего исследования, логически ошибочны.

Чтобы исследование было логически безупречным, следовало, получив формулу (2), ограничиться выводом, приведенным М. Г. Парафило в пункте 4, затем надо было получить формулу (3) и, пользуясь ею, делать те или иные выводы о внешнем сечении, наконец, отдельно рассмотреть случаи α = 0° и α = 45°.

Ошибки такого же рода содержит и работа Л. В. Кривлевой, о которой упоминает редакция журнала в примечании к статье М. Г. Парафило*.

На странице 254 приводится формула

о которой читаем: «по формуле находим: 30° < α < 150°». (В других задачах объясняется, почему: в противном случае под корнем получается отрицательное число.)

Конечно, формула может указать, какие значения аргумента α являются явно недопустимыми, но отсюда вовсе не следует, что все прочие значения а являются допустимыми. Иными словами, множество значений аргумента, допустимых по условию задачи, может и не совпадать со множеством тех значений аргумента, для которых формула решения имеет смысл. Поэтому формула не всегда может указать границы допустимых значений аргумента. Лишь по условию задачи, по тем геометрическим соотношениям, из которых получена данная формула, можно установить, когда она применима. И действительно, ниже Л. В, Кривлева сама приходит к выводу, что 30° < а < 90°.

Далее, на странице 255, находим: «при α = 45° Q = 0, что видно и из формулы». При этом речь идет о формуле, для которой допустимыми значениями а являются лишь 0° < α < 45° (при α = 0 сечения нет, и вывод формулы теряет смысл).

Можно было бы привести еще очень много примеров, подобных только что приведенным. Это дает основание полагать, что мы имеем дело не с недосмотром, не со случайной ошибкой.

Нельзя проводить исследование решения задачи по формуле ответа без установления условий, при которых эта формула получена.

Рассматривая полученное решение, надо прежде всего, исходя из условия задачи, определить границы допустимых систем значений параметров, входящих в формулу ответа. В дальнейшем, проводя исследование, использовать формулу только для этих допустимых систем значений.

К сожалению, нам приходилось слышать, как некоторые методисты защищают ошибки, подобные тем, о которых шла речь, и, более того, возводят их в принцип исследования. Говорят, что «формула умнее нас»: она может открыть нам факты, которые мы не видели до этого. Говорят даже об «аналитическом продолжении» за границы допустимых значений по аналогии с аналитическим продолжением функций комплексного переменного!!

Разумеется, использование формулы — весьма важное средство исследования. Надо только пользоваться этим средством умело: нельзя забывать, при каких условиях эта формула получена.

* Цитируем по книге «Решение задач в средней школе» под общей ред. Н. Н. Никитина, изд. АПН, 1952.

О РАСПРОСТРАНЕННЫХ ОШИБКАХ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

Г. М. БАТРАЧЕНКО (Сумы)

Под исследованием общего решения задачи на вычисление надо понимать определение множества допустимых систем значений параметров, при которых формула решения дает ответ на вопрос задачи*. Такое исследование является необходимым, оно выполняется для того, чтобы дать полный ответ на вопрос задачи.

Исследование решения можно выполнить только по условиям задачи. В частности, аналитическое исследование решения можно выполнить только с обязательным учетом ограничений (для параметров и неизвестных), вытекающих из условия. Исследование решения без учета условий задачи выполнить нельзя.

При определении множества допустимых систем значений параметров, кроме условий, данных недосредственно, принимаются во внимание и дополнительные условия; например, чтобы решение было положительным числом, и т. п.

К сожалению, исследования решений геометрических задач с применением тригонометрии, приводящиеся в методической литературе, во многих случаях являются путаными и громоздкими или совсем неправильными, поэтому исключается практическая возможность применить такие исследования в средней школе.

Основная ошибка таких исследований состоит в попытке исследовать решение без учета условий задачи, чего, вообще говоря, выполнить нельзя.

Иногда исследование общего решения пытаются выполнить только на основании формулы, не связывая его непосредственно со смыслом задачи, а чтобы привести такое «исследование» к определенному результату, придумывают различные дополнительные условия, что приводит к необоснованным и ошибочным выводам.

Рассмотрим следующую задачу.

Задача 1. Плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды равен α; сторона основания пирамиды равна m. Определить поверхность шара, вписанного в эту пирамиду (черт. 1).

После решения получим:

(I)

Будем иметь в виду, что по условию угол α есть угол при вершине равнобедренного треугольника, поэтому

Исследование решения, которое приводится ниже, взято из брошюры А. И. Власенко «Требования к экзаменационным работам по математике на аттестат зрелости и анализ работ выпускников средних школ Сумской области» (Областное издательство, Сумы, 1953).

«Поскольку S > 0, а также π > 0 и m2 > 0, то и

(II)

Поэтому

(III)

Так как а есть величина угла треугольника (например, BSC), а в треугольнике мы рассматриваем углы только по абсолютной величине*, то отрицательные значения угла отпадают. Из сказанного выше также следует, что надо отбросить и нулевое значение угла.

Следовательно, 0 < α < 90°. Совокупность неравенств 180° < 45° — α/2- < 270° не рас-

Черт. 1

* Никаких других искусственных исследований нет надобности рассматривать, так как они не имеют никакого отношения к решению задач на вычисление.

* Следует заметить, что фраза «в треугольнике мы рассматриваем углы только по абсолютной величине» не позволяет сделать вывода о высоком научно-идейном уровне критикуемой брошюры. (Ред.)

сматриваем, поскольку при α > 0 она не имеет смысла».

Можно отметить следующие ошибки в приведенном исследовании:

1) Система неравенств (III) написана без всяких оснований, бесконечное множество интервалов, в которых выполняется неравенство (II), пропущено, так как не принята во внимание периодичность тангенса.

Действительно, в приведенном исследовании не определены границы изменения угла 45° - α/2 по условию задачи, значит, при решении неравенства (II) о величине угла 45° - α/2 можно судить только на основании самого этого неравенства, из которого вытекает:

(IV)

где n—произвольное целое число.

Следовательно, мы получили бесконечное множество интервалов (IV).

Из неравенств (IV) имеем:

(V)

2) Но и после правильного решения неравенства (II) исследование не придет к логическому концу, если оно выполняется без учета условий задачи.

Чтобы получить определенный результат, автор рассматриваемого исследования вводит дополнительное условие об «абсолютной величине» угла α, сущность которого сводится к тому, что а > 0.

Если бы неравенство (II) было решено верно, то после введения указанного условия надо было рассмотреть систему:

При n = 0 получим: 0 < α < 90°.

Угол а положителен также при всех положительных значениях n.

Таким образом, мы получили бы бесконечное множество интервалов для а, в которых S > 0, но которые условиям задачи не удовлетворяют, так как по условию α < 180°.

Значит, при отсутствии первой ошибки выполнить исследование только при условии α > 0 также нельзя. Поэтому дополнительное условие «рассматривать угол а по абсолютной величине» ничего не дает для исследования.

Следовательно, результаты, которые получил автор, являются необоснованными, так как их нельзя получить теми способами, которыми он их пытался получить.

Основная ошибка такого «исследования» состоит в том, что оно выполнялось без учета условий задачи.

Аналитическое исследование решения (I) по условиям задачи можно выполнить примерно так.

Параметр m может быть произвольным положительным числом. Из неравенства S > 0 следует:

(VI)

По условию, угол а есть угол при вершине равнобедренного треугольника, поэтому

Тогда

следовательно,

из неравенства (VI) получим:

Откуда

При исследовании, которое рекомендует делать А. И. Власенко, можно получить самые неожиданные результаты.

Действительно, заменим неравенство (II) эквивалентным ему неравенством:

(VII)

В пределах первого положительного периода тангенса неравенство (VII) будет выполняться тогда, когда

Откуда и

Задача 2. Около шара описан конус. Найти отношение поверхности шара к полной поверхности конуса, если образующая конуса видна из центра шара под углом а (черт. 2).

После решения получена формула:

(I)

Конечно, промежуточные результаты надо было своевременно упростить, а полученную формулу привести к простейшему виду, тогда исследование упростилось бы и мы получили бы:

Будем иметь в виду, что по условию угол α—тупой, так как смежный с ним ∠ОО1В острый, потому

Черт. 2

Исследование полученного решения, которое приведено ниже, взято из указанной выше брошюры А. И. Власенко.

«Потому что х > 0 (величины поверхности шара и конуса выражаются положительными числами)

Потому

(II)

Поскольку 2α—180° есть величина угла (SBO) треугольника (черт. 2), а в треугольнике мы рассматриваем углы только по абсолютной величине, то отрицательные значения мы отбрасываем. Из сказанного выше следует, что надо отбросить и нулевое значение угла. Следовательно,

и, значит,

Здесь допущенные ошибки носят тот же характер, что и в предыдущем примере.

1) Неравенство cos (2α — 180°) > 0 не решено в общем виде.

2) Сделав неправильный вывод (II), автор рассматриваемого исследования и после этого не может получить окончательный результат, он вынужден вводить дополнительное условие об «абсолютной величине» угла 2α — 180° треугольника, сущность этого условия он сводит к тому, что 2α— 180° > 0.

Что это за условие? Если 2α—180° есть величина угла (SBO) треугольника да, кроме того, угла острого, чего в исследовании не отмечается, то это значит:

откуда

Получается, что все предыдущее аналитическое «исследование» решения совсем не нужно, так как допустимые значения для параметра а можно установить из условия

3) В приведенном исследовании не сделано правильных выводов относительно величины угла 2α — 180° из прямоугольного треугольника SOВ. Дополнительное условие вводилось только для того, чтобы сказать, что угол 2α — 180° выражается положительным числом.

Однако и после введения дополнительного условия, при отсутствии первой ошибки, правильный результат нельзя получить, так как исследование выполняется без учета условий задачи.

Задача 3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а и составляет с боковым ребром угол α. Определить площадь сечения, проведенного через боковое ребро и высоту пирамиды (Рыбкин, § 19, № 14).

После решения получим:

(I)

Исследование полученного решения, которое приводится ниже, взято из статьи Л. В. Кривлевой «Приложение тригонометрии к решению и исследованию геометрических задач», задача 29, сборник «Решение задач в средней школе» (изд. АПН РСФСР, М., 1952).

«Пусть а—постоянно. По формуле находим:

Рассмотрение трехгранного угла С показывает, что 2α > 60° и α > 30° (сумма двух плоских углов всякого трехгранного угла больше третьего его плоского угла).

Верхняя граница а, однако, не 150°, как позволяет заключить формула, а только 90°; угол а — острый, как угол при основании равнобедренного треугольника. Итак, промежуток возможных значений а будет:

При исследовании решений задач 28, 30, 32, 33 и ряда других автор указанной статьи объясняет, что интервал для параметра а определяется по формуле. В приведенном исследовании автор указывает, что интервал для а (30° < α < 150о) определяется по формуле, но считает, что нижняя граница определена (по формуле) окончательно, а верхняя не подходит, так как по геометрическим соображениям верхней должна быть граница в 90°.

Однако рассуждения автора являются ошибочными.

Из формулы (только лишь из формулы), как было показано выше, нельзя получить окончательный интервал для углового параметра, в частности нельзя получить как нижнюю, так и верхнюю границы.

Множество допустимых значений параметра а можно получить только при исследовании фор-

мулы по условиям задачи. В данном случае надо было принять во внимание, что

В исследовании автора нет системы. В начале исследования делается попытка исследовать формулу решения, и в результате ошибочных выводов автор получает неравенство 30° < α < < 150°, но потом объясняет, что верхняя граница не подходит по геометрическим соображениям, и переходит к геометрическому исследованию. Зачем же тогда выполнять такое исследование формулы, которое не приводит к определенному результату?

Самое же геометрическое исследование не доведено до конца, в исследовании не показано, что полученный интервал для параметра а удовлетворяет всем условиям задачи.

В этом исследовании отсутствует метод исследования.

Ошибки этого характера содержатся и в ряде других мест указанной статьи Л. В. Кривлевой.

Исследование решения (I) по условиям задачи (аналитический способ) можно выполнить примерно так.

Чтобы площадь Q выражалась действительным числом, необходимо, чтобы

По условию, угол а есть острый (угол при основании равнобедренного треугольника), поэтому

Тогда

а потому

Но

поэтому

Откуда

В этом интервале cos α > 0. По условию, параметр а может быть положительным числом. Следовательно, Q > 0.

Исследование решения (I) геометрическим способом можно выполнить примерно так.

По условию, угол а — острый, как угол при основании равнобедренного треугольника, поэтому

Кроме того, этот угол является плоским углом трехгранного угла, образованного плоскостью основания и двумя смежными боковыми гранями; тогда по свойству плоских углов трехгранного угла имеем:

Откуда

Поэтому

Тогда

значит,

а потому подкоренное выражение — положительно; cosα > 0.

По условию, параметр а > 0. Следовательно, Q > 0.

Задача 4. Б правильной шестиугольной усеченной пирамиде стороны основания а и b (а > b)*, угол между стороной нижнего основания и боковым ребром α. Определить объем пирамиды (черт. 3).

После решения получим:

Исследование решения, которое приводится ниже, взято из статьи М. Б. Осипова «Исследование геометрических задач с применением тригонометрии (методический сборник «Математика в школе», выпуск VII, «Радянська школа», Киев, 1952).

Черт. 3

* Задача решена при условии a > b, хотя в тексте задачи этого не указано.

Если угол а «...будет острым углом равнобедренной трапеции (боковой грани пирамиды), изменение его происходит в интервале 0 < α < 90° и, во-вторых, этот самый угол будет плоским углом трехгранного угла, который образуется плоскостью нижнего основания и двумя смежными боковыми гранями. Угол нижнего основания, как угол правильного шестиугольника, равен 120°. По свойству плоских углов трехгранного угла имеем: α + α > 120°, т. е. α > 60°. Следовательно, интервал возможных изменений угла α будет:

Если во время анализа ученик берет для угла α интервал 0 < α < 90°, то во время исследования он должен уточнить этот интервал: 60° < α < 90°».

«... устанавливаем, когда выражение

будет числом положительным. Для этого необходимо, чтобы оба сомножителя были одинакового знака. Имеем два случая:

(I)

что возможно, когда

(II)

Решая эту систему неравенств и принимая во внимание, что по предварительному анализу 60° < α < 90°, мы будем иметь:

Окончательный интервал для α будет 60° < α < 90°, т. е. исследование интервала для α подтвердило вывод, сделанный в анализе. Если бы в анализе для α был установлен интервал 0 < α < 90°, то мы имели бы такую систему неравенств:

из которой снова имеем: 60° < α < 90°. (Геометрический смысл этого интервала указан нами в анализе.)

(III)

откуда

Оба эти интервала несовместны с выводами анализа и потому отпадают. Чтобы ответ был положительным числом, необходимо также, чтобы выражение a3 — b3 и cos a были одного знака. Потому, что мы принимаем а за сторону большего нижнего основания усеченной пирамиды, а > b. Из этого вытекает потребность в том, чтобы cos α > 0, а это будет при установленном интервале для α».

Можно отметить такие основные ошибки и недочеты в этом исследовании:

1) Автор приведенного исследования выводит из системы неравенств (I) систему неравенств (II).

Такой вывод является ошибкой, так как приводится не общее, а лишь частное решение этой системы.

2) В начале исследования автор как будто бы пытается выполнить исследование геометрически, он определяет окончательный интервал для а, но не доводит это исследование до конца. Надо было показать, что в полученном интервале для α (60° < α < 90°) значение V есть число положительное.

Но автор приведенного исследования пытается заново определить интервал для а, исследуя формулу, что является совсем ненужным, так как интервал для α уже определен. Исследование же формулы автор делает необоснованно и получает две громоздкие системы неравенств. Потом принимаются во внимание результаты так называемого предварительного анализа, но после того как из каждой системы неравенств были сделаны необоснованные выводы. Кроме того, как уже было показано выше, для аналитического исследования решения нет надобности делать полный геометрический анализ для определения допустимых значений параметра α, а достаточно взять ограничения параметра α, которые непосредственно даются по условию.

В результате всей этой путаницы получены очень громоздкие выкладки. Это показывает, что в рассмотренном исследовании нет определенного метода и системы. Если бы при исследовании подкоренного выражения формулы были сделаны правильные выводы, то все выкладки были бы еще более громоздкими.

3) Если бы исследование решения выполнялось на основании условий задачи, то это исследование было бы настолько простым, что никаких ошибок не было бы допущено.

Чтобы объем V выражался действительным числом, необходимо, чтобы

(IV)

По условию, угол а есть острый угол равнобедренной трапеции, поэтому

Тогда

следовательно, из неравенства (IV) получим:

(V)

Но — 60° < α — 60° < 30°, a потому из неравенства (V) имеем:

Откуда

В этом интервале cosα > 0. По условию, а > b > 0. Следовательно, V > 0.

Приведем примеры исследования из книги О. Кобелевой и А. Киселевича «Пособие по тригонометрии» (издательство «Радянська школа», 1939).

а) Задача. Периметр боковой грани правильной треугольной пирамиды равен 2р, угол между боковым ребром и стороной основания равен ос.

Пирамида пересечена плоскостью, которая делит высоту пирамиды на две равные части и параллельна плоскости основания. Определить боковую поверхность усеченной пирамиды.

На странице 212 аналитическое исследование решения

(I)

указанной задачи выполнено так:

«По этой формуле (? — Ред.) задача возможна, когда

b) На странице 217 аналитическое исследование решения

(II)

выполнено так:

«Ребра призмы должны выражаться числами действительными и (? — Ред.) положительными, а для этого, на основании полученной формулы, необходимо, чтобы

откуда

с) На странице 219 аналитическое исследование решения

(III)

выполнено так:

«Радиус шара должен выражаться числом r действительным и положительным. Чтобы получить значения для г, нужно, чтобы удовлетворялось такое неравенство:

Откуда

или

Здесь также исследование формулы (решения) выполняется без учета условий задачи. В частности, при исследовании второго и третьего решений не приняты во внимание ограничения параметра a по условию

В первом случае вообще нельзя определить множество допустимых значений параметра 30° < α < 90° аналитическим способом на основании формулы (I).

Рассмотренные в этой статье ошибки при исследовании общего решения геометрической задачи с параметрическими данными имеются и в других методических и специальных руководствах. Такие «исследования» часто вводят в заблуждение учителя средней школы и наносят вред сознательному усвоению курса математики учащимися.

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ С ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ ДАННЫМИ

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

В настоящем номере журнала редакция помещает ряд статей по вопросу об исследовании стереометрических задач на вычисление с применением тригонометрии с параметрическими данными. Многочисленные статьи, опубликованные в различных методических сборниках на данную тему, а также статьи, письма и заметки, поступившие в редакцию, показывают, что обсуждение этой темы представляет интерес для широких кругов нашего учительства. В порядке такого обсуждения и помещается ряд статей на данную тему в настоящем номере.

Так как авторы статей придерживаются различных точек зрения, то, как нам кажется, необходимо сопоставить различные мнения и по возможности сделать некоторые выводы.

Рассмотрим какую-либо задачу на вычисление с параметрическими данными; если параметрам, содержащимся в условии, придать некоторую систему численных значений, то задача превратится в задачу на вычисление с числовыми данными. Эта последняя задача может иметь решение (хотя бы одно), может не иметь ни одного решения. Иными словами, геометрическая фигура с данными числовыми значениями известных элементов (параметров) может существовать (хотя бы одна), а может ни одной такой фигуры не существовать.

Система значений параметров называется допустимой, если существует хотя вы одна фигура (указанного в условии вида) с данными численными значениями ее известных элементов (параметров); если ни одной такой фигуры не существует, то данная система значений параметров считается недопустимой.

Множество всех допустимых систем значений параметров будем называть областью определения данной задачи.

В элементарной математике, как правило, ограничиваются таким задачами, в которых при каждой допустимой системе значений параметров получается лишь конечное множество соответствующих фигур заданного в условии вида (в большинстве школьных упражнений даже одна единственная фигура). Такими задачами ограничимся и мы.

Множеству всех допустимых систем значений параметров соответствует некоторое множество фигур. Это множество будем называть семейством фигур данной задачи.

Под решением задачи на вычисление подразумевается установление способа вычисления некоторого (одного или нескольких) указанного в условии «неизвестного» элемента (например, объема, поверхности, площади сечения и т. п.) геометрической фигуры при произвольной допустимой численной системе значений параметров.

Таким образом, в результате решения задачи должен быть установлен способ вычисления неизвестного элемента для произвольной фигуры семейства.

В такой постановке вопроса установление множества допустимых значений параметров входит в процесс решения задачи как его составная часть. Нельзя мыслить решение задачи вне связи с условиями существования фигуры, элементы которой подлежат вычислению.

В задачах из курса элементарной математики обычно бывает возможно выразить величины искомых элементов через величины известных элементов (параметров) в виде некоторой элементарной функции, т. е. возможно составить формулу, выражающую искомые величины через параметры.

Формулой решения определяется некоторая функция от параметров. Эта функция имеет свою собственную область определения. В общем случае область определения задачи и область определения формулы различны: область определения задачи устанавливается из геометрических условий существования фигуры с данными значениями известных элементов, тогда как область определения формулы устанавливается чисто аналитически: все математические операции, указанные в формуле, должны быть выполнимы. При решении задач могут встретиться следующие случаи.

Во-первых, возможно, что по выведенной формуле искомый элемент может быть вычислен не для всякой фигуры семейства.

Во-вторых, возможно, что при некоторой системе значений параметров все указанные в формуле вычисления выполнимы, но фигуры с данными числовыми значениями известных элементов не существует.

Чтобы убедиться в возможности первого случая, рассмотрим обычный общий прием решения задач с параметрическими данными. Обычно изображают на чертеже некоторую фигуру того вида, который указан в условии задачи, затем изучают взаимное расположение и соотношения между различными элементами

этой фигуры и, наконец, устанавливают соотношения (в виде формул) между известными и неизвестными элементами. Мы согласны с Л. М. Фридманом, что чертеж можно и не выполнять, но для данного вопроса это не меняет сути дела; разница лишь в том, что фигура фиксируется не «на бумаге», а в воображении.

Здесь возникает следующий вопрос: быть может семейство фигур данной задачи содержит такие фигуры, для которых имеет место иное расположение элементов по сравнению с фигурой, фиксированной при выводе формулы, возможно, что при ином расположении элементов прежние рассуждения окажутся неприменимыми и об выведенной формуле нельзя сделать никаких заключений: она может оказаться, а может и не оказаться справедливой. Таким образом, в каждой задаче должна быть выяснена «область применимости» формулы, т. е. множество систем значений параметров (либо соответствующая часть семейства фигур), для которых формула дает значение искомого элемента. Возможно, что все семейство фигур разобьется на части так, что для различных частей семейства будут иметь место различные формулы.

Указанное обстоятельство весьма удачно разъяснено в статье А. И. Волхонского, автор которой убедительно показал, что нельзя рассматривать формулу в отрыве от условий, при которых она была выведена. Изменив условие задачи, рассмотренной в статье М. Г. Парафило, А. И. Волхонский на примере показал, что площадь трапецеидального «сечения» пирамиды вычисляется по существенно различным формулам в случаях α > 45° и α < 45°, где а — двугранный угол при основании пирамиды.

Можно указать и более элементарный пример задачи обычного школьного типа. В работе Л. В. Кривлевой* под номером 34 изложено «исследование» такой задачи: Основание пирамиды — равносторонний треугольник, сторона которого равна а. Два боковые ребра составляют с плоскостью основания углы, равные φ, а грань, заключенная между ними, наклонена к основанию под углом α. Найти объем пирамиды.

В результате «исследования» получен следующий вывод.

«Границы изменения: для а:

(1)

для φ:

Прежде всего заметим, что сама форма записи ответа (если бы даже он и был верным) способна вызвать недоумение. Выше в тексте было сказано, что φ < α, но тогда область определения задачи следовало бы записать так:

(2)

Неравенства (1) и (2) неэквивалентны, в чем нетрудно убедиться, изобразив геометрически соответствующие области (черт. 1).

Однако суть дела не в форме записи ответа, а в том, что все «исследование» автора вместе с полученным на его основании выводом принципиально ошибочно. Фиксировав на чертеже пирамиду с острым двугранным углом, Л. В. Кривлева при помощи рассмотрения прямоугольного треугольника с острым углом а получила следующую формулу объема:

По этой формуле Л. В. Кривлева и пыталась установить область определения задачи.

Однако пирамида указанного в условии вида может иметь при основании как тупой, так и прямой угол а, и тогда прямоугольного треугольника с углом а не существует.

Следовало бы рассмотреть все возможные случаи, и если это сделать, то получится такой вывод:

Черт. 1

(I)

(II)

(III)

* Л. В. Кривлева, Приложение тригонометрии к решению и исследованию геометрических задач, изд. Академии педагогических наук РСФСР, М., 1951. Эта же работа напечатана в сборнике «Решение задач в средней школе» (под общей редакцией Н. Н. Никитина), изданном тем же издательством в 1952 г.

На эту ошибку Л. В. Кривлевой обратили внимание Я. Айзенштат и Б. Белоцерковская (см. статью в настоящем номере), однако они дали неправильное объяснение источника ошибки: они видят ошибку Л. В. Кривлевой в пренебрежительном отношении к формуле, однако автора следует упрекнуть вовсе не в этом, а в слепом доверии формуле и в пренебрежении к геометрической сущности вопроса. Указанная ошибка вряд ли была бы допущена, если предварительно из геометрических соображений была бы выяснена возможность существования пирамиды и с острым, и с прямым, и с тупым углом α.

В данной задаче все три формулы можно объединить в одну пригодную для произвольной пирамиды семейства:

(IV)

Эту формулу можно получить, преобразовав ответ Л. В. Кривлевой, затем преобразовав формулу (II) (при 90° < α < 180°):

и убедившись, наконец, в справедливости формулы (IV) при а = 90°.

К сожалению, Я. Айзенштат и Б. Белоцерковская не объяснили, как они получили формулу (IV). Если они вывели ее путем преобразования ответа Л. В. Кривлевой, то они допустили ту же ошибку, что и Л. В. Кривлева. В самом деле, пример А. И. Волхонского показывает, что объединение формул не всегда возможно. Если же Я. Айзенштат и Б. Белоцерковская вывели формулу либо путем раздельного рассмотрения формул (I), (II) и (III), либо из геометрических соображений, применимых к произвольной пирамиде семейства, то они не допустили никакой ошибки.

Аналогичное замечание надо сделать и относительно задачи 2), рассмотренной в конце статьи Я. Айзенштат и Б. Белоцерковской. Обычное решение этой задачи получается из рассмотрения прямоугольного треугольника с острым углом а. Если данный угол а — тупой, то противоположное ребро образует со сторонами основания острый угол 180° — α, но полученная формула оказывается справедливой:

наконец, при α = 90° получим:

Возможность второго случая, о котором шла речь в начале настоящей статьи, общеизвестна и показана в целом ряде печатных работ. В частности, примеры случаев, когда все вычисления, указанные в формуле, выполнимы, однако фигура с данными значениями известных элементов не существует, приведены авторами статей, помещенных в настоящем номере: см. статью Л. М. Фридмана, пример на стр. 9, статью Я. Айзенштат и Б. Белоцерковской (стр. 20), статью А. А. Чебаевской (пример на стр. 79).

Авторы статей справедливо предостерегают от возможности вычисления «по формулам» элементов несуществующих фигур.

Подведем итог сказанному: решение задачи с параметрическими данными заключается не только в выводе формулы для вычисления неизвестных элементов, но и в исследовании области определения задачи (множество допустимых систем значений параметров) и области применимости формулы. Если не удалось найти формулы, применимой к произвольной фигуре семейства, то надо установить совокупность формул применительно к различным частям этого семейства.

Исследование областей определения задачи и применимости формул имеет вполне определенное содержание применительно к каждой данной задаче и может быть различным лишь по методам его выполнения. В дальнейшем условимся это исследование называть основным исследованием. Итак, основное исследование есть составная часть решения задачи. Весьма убедительные доводы в пользу такого взгляда на основное исследование приведены в статьях Л. М. Фридмана, Я. Айзенштат и Б. Белоцерковской, Г. М. Батраченко.

Обратимся теперь к вопросу о выполнении основного исследования.

Фиксировав (на чертеже или в воображении) некоторую фигуру указанного в условии задачи вида, следует выяснить, для всякой ли фигуры семейства справедливы те рассуждения, которые проводились при выводе формулы применительно к фиксированной фигуре. Этим рассмотрением определяется область применимости формулы. Практически это достигается рассмотрением различных геометрически возможных случаев (например, случай острого, случай

прямого и случай тупого угла в цитированной задаче 34 из работы Л. В. Кривлевой).

Нахождение области определения задачи является наиболее трудной частью основного исследования.

При решении задачи прежде всего следует принять во внимание ограничения общего характера; под этими ограничениями мы понимаем такие условия, которые имеют место для тех или иных элементов произвольных многогранников (в школьной геометрии обычно рассматриваются выпуклые многогранники) и простейших «круглых тел», как, например: плоские углы граней меньше 180°, двугранные углы также меньше 180°, угол между прямой и плоскостью не больше чем 90°, длины отрезков, площади граней, объемы положительны и т. д.

Чтобы найти «истинное множество» всех допустимых систем значений параметров, недостаточно (вообще говоря) принять во внимание лишь ограничения общего характера, так как кроме этих ограничений могут быть ограничения «специальные», вытекающие из геометрической конструкции фигур рассматриваемого вида. Напомним пример, приводимый в ряде статей. Пусть а — плоский угол боковой грани при основании правильной треугольной пирамиды. Если учесть лишь то обстоятельство, что а есть угол при основании равнобедренного треугольника, то получим 0 < α < 90°, однако этот интервал не есть множество допустимых значений а. В самом деле, приняв во внимание, что а есть плоский угол трехгранного угла при основании, получим: 30° < α. В данном случае искомым множеством допустимых значений оказывается интервал 30° < α < 90°.

Однако где гарантия того, что нами на самом деле учтены все «специальные» ограничения, быть может, некоторые ограничения оказались вне поля зрения, и полученное множество не есть истинная область определения задачи? Таким образом, учитывая общие и те или иные специальные ограничения, мы (вообще говоря) получим необходимые, но не достаточные условия существования фигуры с данными значениями известных элементов. Необходимо указать на следующую весьма распространенную логическую ошибку, встречающуюся в подавляющем большинстве публикаций на тему об исследовании стереометрических задач. Авторы, приняв во внимание ряд общих и специальных ограничений, заявляют, что таким образом якобы ими найдено множество допустимых значений параметров. Во всех подобных случаях авторы рассуждают так: если геометрическая фигура существует, то ее элементы удовлетворяют таким-то условиям. Это типичный пример вывода необходимых условий существования фигуры. Чтобы показать, что найденное множество систем значений параметров на самом деле является областью определения задачи, надо доказать существование фигуры для любой системы значений параметров, удовлетворяющей выведенным условиям. Одним из способов такого доказательства является построение фигуры по данным величинам известных элементов (здесь построение понимается в широком смысле, не обязательно классическими средствами).

На указанное весьма важное обстоятельство обратил должное внимание Л. М. Фридман, в его статье читатель найдет ряд подробно разработанных приемов отыскания истинной области определения задачи.

Одной из наиболее распространенных ошибок при выполнении основного исследования является «вера в формулу» и отрыв исследования формулы (аналитического исследования) от геометрического исследования. Г. М. Батраченко в статье, помещенной в настоящем номере, весьма убедительно показал, что исследование формулы в полном отрыве от геометрического исследования в общем случае и не может привести к области определения задачи. По указанной причине нельзя согласиться с образцами исследования, предложенными в статье А. А. Чебаевской; в этих образцах автор разбивает исследование на две последовательные рубрики: исследование формулы и «геометрические соображения». Вместе с Г. М. Батраченко законно задать автору такой вопрос: почему при решении тригонометрических неравенств не бралось общее решение этих неравенств, в виде бесконечного множества интервалов, а выбирался лишь некоторый определенный интервал? Полагаем, что на этот вопрос будет дан следующий ответ: принималось во внимание, что угловые параметры не могут иметь совершенно произвольных значений, так как эти значения подчиняются ограничениям общего характера. Но тогда ясно, что исследование на самом деле проводилось не только по формуле, но и с непременным учетом «геометрических соображений», а потому нелогично эти геометрические соображения формулировать в явном виде после «аналитического исследования». Ведь «геометрические соображения» в известной степени послужили одним из оснований для аналитического исследования, а не только явились его иллюстрацией. По тем же соображениям нельзя согласиться и с И. М. Кипнисом, который при исследовании первой задачи (см. статью, помещенную в настоящем номере) поступает в обратном порядке: он сначала проводит геометрическое исследование, а затем утверждает, что

«к тому же выводу можно прийти также аналитическим путем». Здесь опять следует заметить, что «к тому же выводу» чисто аналитически без учета геометрических соображений прийти нельзя.

Привычка не говорить явно об ограничениях общего характера настолько сильна, что мы даже незаметно для себя допускаем ошибочные утверждения; на это справедливо и указал Г. М. Батраченко.

Так, в частности, и в нашей книге «Специальный курс тригонометрии» (см. стр. 378 и 380) написано, что множество допустимых значений параметра устанавливается из «полученного выражения», но не сказано, что, кроме условия действительности «полученного выражения», были приняты во внимание ограничения общего характера.

Исследование формулы ставится во главу угла в работе Л. В, Кривлевой, геометрические же соображения нередко привлекаются, когда это исследование оказывается явно недостаточным. В таком «исследовании» нет системы, как правильно отметил Г. М. Батраченко: неясно, когда можно доверять формуле, а когда нет. К каким ошибкам может привести такое «исследование», мы уже показали выше.

Однако исследованием формулы нельзя пренебрегать при установлении области определения задачи. Предположим, что областью применимости формулы оказалось все семейство фигур. Тогда, будучи применимой к произвольной фигуре семейства, формула не может иметь более узкую область определения, чем область определения задачи. Очевидно, именно этот случай имел в виду Л. М. Фридман, сказав, что в общем случае область определения формулы шире множества допустимых значений параметров. Таким образом, в рассматриваемом случае те системы значений параметров, при которых формула теряет смысл, не могут являться допустимыми.

При исследовании формулы можно идти двумя путями: сначала чисто аналитически установить область определения формулы (в подавляющем большинстве упражнений приходится решать тригонометрические неравенства), а затем, приняв во внимание ограничения, например, общего характера, выбрать из области определения формулы лишь те системы значений параметров, которые удовлетворяют этим ограничениям. Можно поступать иначе: с самого начала выписать ограничения общего характера (и, быть может, некоторые специальные), а затем в процессе решения неравенств принимать во внимание эти ограничения и отбрасывать системы значений параметров, им не удовлетворяющие. Как справедливо отметили Г. М. Батраченко, Я. Айзенштат и Б. Белоцерковская, второй путь является более рациональным, так как он освобождает решающего от необходимости рассматривать явно нереальные случаи.

О роли исследования формулы обстоятельно изложено в статье Л. М. Фридмана, к которой мы и отсылаем читателя.

Л. М. Фридман привел пример, показывающий, что исследование формулы искомого элемента может и не дать истинную область определения задачи (стр. 17). Об этом мы уже говорили выше, здесь же выясним причину этого явления на примере Л. М. Фридмана. Исследуя формулу объема боковой поверхности пирамиды:

автор исходил из ограничения общего характера и получил 0 < α < 90°, тогда как на самом деле 30° < α < 90°. Причина расхождения заключается в том, что автором не были учтены специальные ограничения для значения боковой поверхности пирамид данного семейства, В самом деле, боковая поверхность пирамиды проектируется в основание, поэтому 5бок. < B, где В—площадь основания. Приняв во внимание также и это условие, мы получим интервал 30° < α < 90°.

Несколько примеров, интересных с этой точки зрения, привел У. С. Давыдов в конце своей статьи.

В настоящее время многими методистами рекомендуется рассматривать случаи вырождения фигуры семейства. Здесь прежде всего надо установить, что следует понимать под вырожденной фигурой. Предельную фигуру будем называть вырожденной, если она не является фигурой того вида, который указан в условии задачи. Так, например, в цитированной задаче № 34 из работы Л. В. Кривлевой пирамида с прямым двугранным углом а (где φ < α) не является вырожденной фигурой, тогда как призматическая поверхность (при α = φ = 90°) является вырожденной фигурой.

Рассуждения, при помощи которых была выведена формула для искомого элемента, в общем случае неприменимы к вырожденным фигурам, так как эти фигуры не принадлежат к указанному в условии задачи виду. Поэтому применение формул для вычисления элементов вырожденных фигур требует специального обоснования. Этот вопрос обстоятельно изложен в статье А. И. Волхонского.

Сущность дела сводится к следующему: вычислив непосредственно (а не из формулы) элемент вырожденной фигуры, мы расширяем множество допустимых систем значений пара-

метров, присоединив к нему системы значений параметров, соответствующие случаю вырождения; будем эти системы значений кратко называть предельными. Если при таком расширении искомый элемент оказывается непрерывной функцией параметров, то вычислить значение предельного элемента можно, исходя из формулы путем предельного перехода. Если же функция, определяемая формулой, непрерывна и при самой предельной системе значений параметров, то вычисление предельного элемента возможно путем непосредственной подстановки в формулу.

Значит, здесь, вопреки убеждению многих методистов, непосредственное вычисление значений предельных элементов вовсе не является средством контроля, а оно есть необходимый этап в обосновании применимости формулы. Положение дела изменится, если из геометрических соображений заранее известно, что величина исследуемого элемента продолжает оставаться непрерывной функцией параметра и после присоединения предельного элемента. В этом случае, при непрерывности функции, определяемой формулой, вычисление элемента вырожденной фигуры непосредственно и по формуле действительно может явиться средством контроля.

Все изложенное выше говорит о том, что в саму постановку вопроса должна быть внесена ясность. Во всяком случае важно компетентное суждение геометров о возможности применения геометрического принципа непрерывности и о границах его применимости.

Авторы ряда работ в исследование задачи на вычисление включают и такие вопросы, рассмотрение которых никак не вытекает из условия задачи на вычисление. Сюда относятся, в частности, исследования на монотонность, отыскание наибольших и наименьших значений и т. п., сюда же относится и рассмотрение случаев вырождения. Л. М. Фридман вполне резонно упрекает Л. В. Кривлеву в том, что она в своей работе в ряде случаев старается дать ответ на вопросы, которые и не поставлены в условии (см. статью Л. М. Фридмана стр. 12).

Всякое исследование, не вытекающее из условия задачи на вычисление, будем в дальнейшем называть дополнительным исследованием. В отличие от основного, дополнительное исследование не имеет определенного содержания, если точно не указано, что должно явиться предметом исследования.

Наблюдающееся в методической литературе и в установках отдельных методистов отсутствие разграничения основного исследования от дополнительного может иметь самые печальные последствия.

При таком смешении сам термин «исследование» теряет точный смысл. Не только для учащихся, но и для учителей становится неясным, что надо, а чего не надо исследовать. Вспомним ту путаницу, которая одно время царила в вопросе об исследовании задач на составление уравнений. Нередко учащихся заставляли предпринимать совершенно ненужные исследования из боязни, а вдруг при проверке кто-то скажет, что исследование выполнено «не по всем условиям» или что оно не является « исчерпывающим ».

Самопроизвольное толкование содержания исследования совершенно недопустимо в учебной и методической литературе, а также в методических указаниях.

Из сказанного вытекает следующее конкретное предложение: никаких дополнительных исследований производить не следует, если на то нет указаний в условии задачи. Если составитель задачи имеет в виду выполнение какого-либо дополнительного исследования, это требование необходимо ввести в условие (например, найти наибольшее значение, рассмотреть предельные случаи, выяснить вопрос о возрастании и убывании и т. д., и т. п.).

Отсутствие разграничения основного исследования от дополнительного характерно для работы Л. В. Кривлевой. Этот же дефект присущ образцам исследования, данным в статье И. М. Кипниса. На этих образцах легко проиллюстрировать, насколько неопределенной становится само задание «выполнить исследование». Так, например, И. М. Кипнис при исследовании первой задачи отметил, что объем параллелепипеда пропорционален длинам его ребер a, b и с, но тогда в целях «исчерпывающей полноты» было бы логично отметить, что объем пропорционален квадратному корню из косинуса удвоенного угла, образованного боковым ребром со сторонами основания, взятому с обратным знаком. Когда же тогда наступит конец исследования? А между тем автор исследования оставил в стороне вопрос о применимости формулы объема для произвольного параллелепипеда семейства (о важности этого для данной задачи мы уже говорили выше).

Решение и исследование следующей несложной задачи:

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α.

Через сторону основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол ß и пересекающая противолежащую этой стороне боковую грань. Найти площадь полученного сечения.

в работе И. М. Кипниса занимает девять страниц машинописного текста (исследование этой задачи ввиду громоздкости выпущено редакцией).

Указав на необходимость отличать основное исследование от дополнительного, заметим, что в ряде случаев дополнительное исследование может облегчить выполнение основного. Так, например, представив себе наглядно деформацию фигуры семейства при изменении параметров, можно сделать предварительные заключения и о множестве его допустимых значений.

Отсутствию отчетливости в постановке вопроса об исследовании немало способствует применение нечеткой терминологии. Во избежание всякого рода кривотолков и произвольных интерпретаций совершенно необходимо придерживаться точной общепринятой терминологии, применение же всякого рода доморощенных терминов недопустимо. К сожалению, с «легкой руки» некоторых любителей вольных словечек в учебную литературу начали проникать такие выражения, точный смысл которых не устанавливается, а предполагается вроде как ясным сам по себе. К числу таких выражений можно отнести, например, «ход изменения функции». Можно было бы согласиться даже и с таким несколько игривым термином как «поведение функции» (он начал встречаться даже в некоторых руководствах по математическому анализу), если бы было точно сказано, какой комплекс свойств функции следует понимать под ее поведением. В особенности неясными и неопределенными становятся «ход изменения» и «поведение» применительно к функциям от нескольких аргументов, а между тем весьма многие задачи с параметрическими данными школьного типа содержат несколько параметров.

Видимо, стремление к «исчерпывающему» изучению «хода изменения» и заставили И. М. Кипниса предпринять пространные и тягостные «исследования».

Нельзя согласиться, как вполне правильно указал Л. М. Фридман, с употреблением Л. В. Кривлевой термина «границы изменения» в смысле «промежуток изменения».

Столь же неудачны и такие «образные», но бессодержательные выражения, как «одновременное возрастание». Вот какими словами завершается исследование цитированной выше задачи 34 (из работы Л. В. Кривлевой):

«Углы а и φ возрастают одновременно: при α = 0 и φ = 0 пирамида вырождается в треугольник основания».

Какая логическая связь между «одновременным» возрастанием углов и рассматриваемым случаем вырождения фигуры? А между тем на самом деле, ввиду наличия двух угловых параметров, случаи вырождения в данном примере вовсе не так просты, как они представляются автору работы. Предлагаем внимательному читателю принять во внимание, что при данном α и φ → а боковая поверхность пирамиды вырождается в наклонную призматическую поверхность, следовательно, при α и φ, как угодно и «одновременно» близких к нулю, семейство пирамид содержит пирамиды такого вида, как показано на чертеже 2 с «как угодно большими» боковыми ребрами.

В точке α = 0, φ = 0 предельное положение для пирамид данного семейства не существует, однако автор работы утверждает, что таким положением якобы является треугольник основания. Здесь можно видеть воочию, как разного рода нестрогие и «приблизительные» соображения могут приводить к научным ошибкам.

Заметим, что среди часто применяемых терминов есть и «масляное масло», к числу таких терминов принадлежит, например, «монотонное возрастание». Как известно, всякая возрастающая функция относится к классу монотонных функций и, таким образом, слово «монотонное» является лишь риторическим балластом.

Вряд ли можно согласиться с злоупотреблением термином «область». Теперь некоторые методисты понимают этот термин чуть ли не как синоним термина «множество», тогда как в слова «область» и «область определения» в современной математике вкладывается вполне определенное (вовсе не столь широкое) содержание.

Неудачным надо признать и излюбленное выражение «задача невозможна». Задача возможна всегда, ибо можно ставить любой, даже самый нелепый вопрос, другое дело, имеет задача решение или нет.

Перейдем к методическим выводам.

В старой учебной и методической литературе требование решить задачу на вычисление понимается в несколько ином смысле, отличном от того, в котором мы условились выше понимать это требование. В старой литературе не требовалось выполнения никакого, не только дополнительного, но и даже основного исследования. Такое требование к решению правильнее было бы охарактеризовать как требование только лишь составить формулу, выражающую неизвестные элементы через известные. С нашей

Черт. 2

точки зрения, это решение является неполным, однако все упражнения, содержащиеся в ныне действующем школьном задачнике, составлены из расчета именно на такое неполное решение. Поэтому, исходя из установок ныне действующих учебников, ниже, говоря о решении задач на вычисление в школьной практике, и мы будем понимать решение в таком же ограниченном смысле. Если никак не перетолковывать условия задачи и не прибавлять от себя ничего к тому, что имел в виду составитель, то учащийся должен считать задачу решенной, если им выведены все требуемые в условии формулы.

Наша советская школа, в которой сознательность и развитие творческих способностей принадлежат к числу основных принципов обучения, поставила и перед частными методиками проблему внедрения элементов исследования в изучение школьных учебных предметов. Отсюда понятен тот интерес, который проявляют советские учителя к исследованию задач.

В области разработки вопросов исследования задач наша методика достигла значительных успехов, однако, в частности, разработка методики исследования задач по геометрии с применением тригонометрии находится еще в самой первоначальной стадии. Все изложенное выше подтверждает этот вывод: из сопоставления различных существующих точек зрения видно, что еще не достигнуто единства в понимании постановки ряда вопросов, нет единого мнения по поводу содержания и объема исследования, нет достаточно подробно разработанных применительно к школьной практике образцов исследования задач, имеют распространение и некоторые ошибочные в научном отношении точки зрения на исследование.

В силу этих обстоятельств, надо признать правильной установку методических органов Министерства просвещения РСФСР, согласно которой никакое исследование, даже и основное, в настоящее время не может выставляться в качестве обязательного требования к решению стереометрических задач с параметрическими данными при выполнении экзаменационных работ. Разумеется, не надо препятствовать отдельным учащимся вносить элементы исследования в экзаменационную работу, но это не должно оказывать влияния на оценку и может поощряться лишь другими средствами.

Современная методика рекомендует решать задачи с исследованием на протяжении года, однако здесь нужно избегать крайностей. Полный отказ от какого бы то ни было исследования при решении задач означал бы чисто формалистический подход к изучению материала, что не свойственно духу советской школы. С другой стороны, неукоснительное выполнение исследования (если даже ограничиться лишь основным исследованием) при решении всех без исключения школьных задач потребовало бы много времени, резко сократило бы количество необходимых тренировочных упражнений и поставило бы под угрозу выработку необходимых математических навыков. Поэтому некоторая часть упражнений должна решаться без исследования и преследовать узкую цель выработки необходимых навыков, другая же часть упражнений должна решаться с исследованием. Заметим, что, по нашему мнению, вопрос об области применимости формулы должен рассматриваться при решении всякой задачи.

Требование выполнить то или иное исследование надо бы включать в само условие задачи, но этого можно ожидать лишь от новых учебников, теперь же учитель вынужден ориентироваться на ныне действующие учебники.

Имея в виду предложить учащимся то или иное исследование, учитель прежде всего должен сам убедиться, что это исследование окажется посильным для учащихся; надо еще раз напомнить, что задачи из сборника Н. Рыбкина не рассчитаны на выполнение каких бы то ни было исследований. После составления формул искомых элементов, указанных в условии задачи, надо подчеркнуть, что требование, выставленное в задачнике, выполнено, а потому решение окончено, и затем в качестве особого задания предложить учащимся произвести то или иное исследование. Соответствующее задание должно быть сформулировано предельно точно. Учащиеся должны выполнять не исследования «вообще», а исследования вполне определенных вопросов.

О содержании основного исследования мы уже говорили выше, что же касается различных дополнительных исследований, то учащимся должно быть прямо указано, что именно подлежит исследованию. Надо иметь в виду, что понятие «исчерпывающего исследования вообще» является фикцией, ибо при всяком самом «полном» исследовании можно указать вопросы, оставшиеся вне поля зрения. Поэтому нельзя превращать исследование в нечто безграничное и аморфное, а ученические работы в многословные трактаты, в которых нередко под видом полноты оказывается или «переливание из пустого в порожнее», или нарочито изобретаются разного рода надуманные постановки вопроса.

Так как основное исследование есть составная часть полного решения задачи, то его включение в упражнения, выполняемые с исследованием, вполне естественно.

Мы вполне согласны с мнением многих педагогов, что рассмотрение ряда вопросов, относимых по нашей терминологии к дополнительному исследованию, имеет большую ценность не только с методической, но и с методологической точки зрения. Вряд ли кто-нибудь станет отрицать ценность воспитания таких качеств, как умение проследить за деформациями геометрической фигуры и представлять себе геометрические образы в их изменении. Здесь, как мы полагаем, надо иметь в виду следующее. Так как исследование функций от нескольких аргументов далеко выходит за пределы возможностей средней школы, то и соответствующие исследования надо выполнять применительно лишь к однопараметрическим семействам фигур. Как переменный следует рассматривать лишь один определенный параметр. На примере исследования, приведенного в работе Л. В. Кривлевой, мы уже видели, к чему может привести поверхностное рассмотрение « одновременного » изменения двух параметров.

В исследовании геометрической задачи аналитическое исследование искомого элемента как функции параметра не должно являться самоцелью, оно должно явиться средством, позволяющим сделать определенные геометрические выводы. Возьмем, например, образцы исследования, приведенные в статье И. М. Кипниса. В первой задаче автор исследования проследил, как деформируется параллелепипед в зависимости от значений углового параметра, это исследование является вполне доступным и полезным упражнением для учащихся. Однако далеко не всегда в последующих примерах автор дает результатам аналитического исследования геометрическую интерпретацию. Если ограничиться лишь исследованием формулы (например, констатацией того, что объем является возрастающей функцией параметра), то из исследования выхолащивается геометрическая сущность. Ведь в исследовании функций, заданных формулами, можно сколько угодно упражняться в алгебре и тригонометрии вне связи с геометрическими задачами.

В ряде примеров (разумеется, не всегда) случаи вырождения фигуры семейства являются хорошим объектом для дополнительного исследования. Так как исследование функций на непрерывность далеко выходит за рамки возможностей средней школы, то можно рекомендовать вопрос о вычислении элементов вырожденных фигур ставить следующим образом: выяснить, остается ли справедливой выведенная формула и для элемента вырожденной фигуры.

Мы считаем, что вовсе не надо стремиться к тому, чтобы в задачах, решаемых с дополнительным исследованием, это исследование выполнялось по одному и тому же стандартному перечню вопросов. Мы не разделяем мнения методистов, считающих, что лучше решить меньшее число задач с исследованием, но зато чтобы исследование было «исчерпывающим»; как мы уже говорили, такая постановка вопроса даже и не имеет смысла. Напротив, учитель должен иметь в виду, что содержание дополнительного исследования, как не вытекающего из условия задачи, всецело находится в его власти. Это открывает возможности разнообразить объекты дополнительного исследования, в зависимости от геометрического содержания задачи. Надо стремиться так выбирать эти объекты, чтобы исследование было легко выполнимым и удобообозримым, чтобы в результате получались интересные геометрические выводы. При многообразии содержания геометрических задач в разных случаях разные вопросы могут представить интерес, а потому тенденцию уложиться в одну и ту же раз и навсегда созданную схему надо признать порочной.

Нельзя считать правильной тенденцию к расширению условия задачи путем рассмотрения того, что в нем не было предусмотрено. Примером может служить рассмотрение «внешних сечений». Как правильно указал А. И. Волхонский, при отсутствии надлежащего обоснования здесь можно прийти к ошибочным выводам, а «принцип продолжения формулы» есть всего лишь недоразумение.

Для успешной разработки вопроса об исследовании задач с параметрическими данными прежде всего необходимо обстоятельно проанализировать школьные упражнения и выяснить, какими средствами в каждом случае может быть выполнено основное исследование и какие вопросы было бы целесообразно включить в дополнительное исследование. Эта весьма кропотливая, но вместе с тем и совершенно необходимая работа могла бы явиться, как мы думаем, хорошей темой для диссертации.

Итоги такого анализа показали бы, для каких задач выполнение основного исследования посильно учащимся средней школы, а также какие вопросы дополнительного исследования возможно ставить для различных задач в качестве школьных упражнений.

Дальнейшая экспериментальная (в широком масштабе) работа позволила бы выработать вполне определенные методические рекомендации.

Но и в настоящее время всякая экспериментальная работа с критическим обсуждением ее результатов, а также обсуждение различных существующих точек зрения имеют ценность для разработки данной методической проблемы.

Имея в виду такой обмен мнений, редакция поместила в настоящем номере образцы исследований в том виде, в каком они были даны авторами статей. Несмотря на ряд дискуссионных вопросов и на ряд вполне обоснованных возражений против некоторых установок предлагаемых образцов исследования, редакция полагает, что помещение статей, отражающих различные точки зрения, имеет и положительную сторону. В помещенных статьях указываются образцы задач, решение которых с исследованием доступно учащимся старших классов (см. статьи Л. М. Фридмана, Я. Айзенштат и Б. Белоцерковской, И. М. Кипниса, А. А. Чебаевской), намечается тот запас знаний по геометрии, который, по мнению авторов, необходим для выполнения исследования (например, см. статью А. А. Чебаевской). Всякий обмен опытом в вопросе, находящемся в стадии разработки, имеет практическую ценность.

Наибольшее число возражений вызвала работа Л. В. Кривлевой. Однако надо иметь в виду, что эта работа явилась одной из самых первых публикаций по данному вопросу. Эта работа интересна по своему замыслу, она содержит много правильных методических положений; безусловно она сыграла также и положительную роль. Статья Л. В. Кривлевой характеризует автора как творчески работающего учителя. Вместе с тем, к сожалению, нельзя не согласиться с Л. М. Фридманом, что наличие большого количества ошибок принципиального характера не позволяет (вопреки мнению составителей сборника) рекомендовать работу Л. В. Кривлевой в значительной ее части для практического руководства в школе. При вторичном печатании работы Л. В. Кривлевой в сборнике АПН «Решение задач в средней школе» составители утверждают, что ими текст работы тщательно просмотрен и исправлены ошибки и недосмотры (далее следует перечень исправлений, внесенных редакцией). К сожалению, составители ограничились очевидными погрешностями, не имеющими принципиального значения (например, ошибка в коэффициенте, опечатка в постановке знаков неравенства), но, видимо, они не смогли устранить существенных недостатков, на которые и указывают читатели нашего журнала.

Вопрос об исследовании стереометрических задач на вычисление с параметрическими данными затрагивается в многочисленных статьях, письмах и заметках, поступивших в редакцию журнала «Математика в школе». Поместить весь полученный материал редакция не имеет возможности, да и в этом нет надобности, поскольку в основном высказывания авторов непомещенных корреспонденций повторяют то, что сказано авторами помещенных статей. Заслуживает внимания предложение учителя Е. И. Мунтян (Дрокиевский район МССР), который в качестве классных и домашних заданий предлагает учащимся выполнение практических работ. Так, например, решив задачу на вычисление объема прямоугольного параллелепипеда, Е. И. Мунтян предлагает вычислить вес воды в прямоугольном баке путем измерения элементов, данных в условии задачи, с последующим вычислением объема при помощи логарифмических таблиц. Правильность результата можно проверить, налив воду в бак и выполнив непосредственное взвешивание.

Для выполнения практических работ по измерению Е. И. Мунтян пользуется моделями, изготовленными самими учащимися.

О ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ НЕКОТОРЫХ ТЕОРЕМ СТЕРЕОМЕТРИИ

У. С. ДАВЫДОВ (Гомель)

I. При надлежащей перестановке учебного материала доказательства ряда теорем стереометрии могут быть значительно упрощены. Приведем примеры.

Понятие об угле двух скрещивающихся прямых дает возможность значительно упростить доказательства некоторых теорем и решения задач. Это понятие рекомендуется дать учащимся сейчас же после теоремы об углах с соответственно параллельными сторонами (§ 18 учебника Киселева, ч. II). Здесь же следует ввести понятие о перпендикулярных скрещивающихся прямых. Для построения угла двух скрещивающихся прямых выгодно в большинстве случаев взять на одной из них произвольную точку и провести через нее прямую, параллельную другой данной прямой. Нет необходимости указывать на прямых определенные направления; полезно усвоить, что и в пространстве две прямые образуют два угла, сумма которых равна 180°.

При изучении темы о перпендикуляре к плоскости следует основную теорему (§ 23 учебника Киселева) сформулировать в более общем виде, а именно: если прямая перпендикулярна к каким-нибудь двум непараллельным прямым на плоскости, то она перпендикулярна ко всякой третьей прямой, лежащей в этой плоскости.

Для доказательства сначала рассматриваем случай, когда три прямые, взятые на плоскости, проходят через точку пересечения данной прямой и плоскости; затем путем проведения вспомогательных параллельных прямых обобщаем теорему.

Данное в § 24 определение перпендикуляра к плоскости рекомендуем изложить так: прямая называется перпендикуляром к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей на этой плоскости. Для этого достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна по крайней мере к двум непараллельным прямым, лежащим в данной плоскости.

Теперь можно упростить доказательство теоремы о трех перпендикулярах следующим образом:

Дано: МО пл. Р; AB⊥СО. Доказать: AB⊥MC (черт. 1).

Доказательство. MO⊥AB — по определению перпендикуляра к плоскости; проведя через МО и MC плоскость, замечаем, что AB⊥СО и AB⊥МО; следовательно, AB⊥MC, ч. т. д. Это доказательство отличается от обычного более простым чертежом (нет никаких вспомогательных построений).

Этим же способом можно доказать и обратную теорему:

Дано: МО⊥пл. Р; AB⊥MС. Доказать: AB⊥ОС.

Доказательство. МО⊥AB — по определению перпендикуляра к плоскости; проведя через МО и MC плоскость, замечаем, что AB⊥MC и AB⊥МО, следовательно, AB⊥СО, так как AB перпендикулярна к двум непараллельным прямым MC и МО в плоскости МСО.

При доказательстве теоремы о плоскости, перпендикулярной к одной из двух параллельных прямых (§ 31), достаточно провести одну пару прямых BE и BF и принять во внимание, что, в силу определения угла двух скрещивающихся прямых, CD будет перпендикулярна к BE и BF, а следовательно, и к плоскости Р.

Известная задача о проведении через данную точку перпендикуляра к данной плоскости (§ 36) может быть решена следующим образом (черт. 2).

Дана точка О на плоскости Я; проведем через эту точку произвольную прямую ОС в плоскости Р; через точку С проведем в плоскости Р прямую AB⊥СО; через AB проведем произвольную плоскость Q и в ней CD⊥AВ;

Черт. 1

Черт. 2

наконец, из точки О проведем в плоскости COD прямую ОМ⊥ОС. Так как AB⊥ОС и AB⊥CD, то AB⊥МО, теперь замечаем, что МО⊥ОС и МО⊥AB; следовательно, МО⊥пл. Р, ч. т. д.

Аналогично можно рассуждать и в случае, когда точка О находится вне плоскости Р (черт. 3).

Черт. 3

Для этого берем в плоскости Р произвольную прямую AB и опускаем на нее перпендикуляр ОС; далее, в плоскости Р проводим CN⊥AB и, наконец, из точки О проводим ОМ⊥CN. Так как AB⊥СМ и AB⊥СО, то AB⊥ОМ; теперь видим, что ОМ⊥CN и ОМ⊥AB; поэтому ОМ⊥пл. Р.

Это построение представляется нам более доступным для учащихся, чем построение, изложенное в учебнике.

Для доказательства единственности решения необходимо восполнить один пробел, имеющийся в учебнике Киселева: в главе о перпендикулярах и наклонных к плоскости следует поместить теорему о том, что через данную точку можно провести только один перпендикуляр к данной плоскости. Этой теоремой приходится часто пользоваться при доказательсте теорем и решении задач.

а) Точка M лежит в плоскости Р (черт. 4). Пусть через точку M можно провести два перпендикуляра MA и MB к плоскости Р. Проведя через MA и MB плоскость Q и отметив линию MC пересечения Р и Q, заключаем, что МА⊥МС и МВ⊥МС; но это невозможно, так как в одной плоскости через данную точку можно провести только один перпендикуляр к данной прямой (это доказывается в планиметрии).

b) Точка M лежит вне плоскости Р. Рассуждения аналогичные.

Доказанная теорема позволяет несколько разгрузить доказательство теоремы § 32 о параллельности двух прямых, перпендикулярных к одной и той же плоскости.

Понятие о перпендикулярности скрещивающихся прямых дает возможность решить более простым способом ряд задач.

Задача. Доказать, что если боковое ребро треугольной пирамиды перпендикулярно к противоположному ребру основания, то вершина пирамиды проектируется на высоту основания (черт. 5).

Дано: AM⊥ВС; МО⊥пл. ABС. Доказать: AD⊥BC.

Доказательство. МО⊥ВС; заметив, что ВС⊥МО и ВС⊥MA, заключаем, что BC⊥AD, ч. т. д.

Обратно: если вершина треугольной пирамиды проектируется на высоту основания, то противоположные ребра пирамиды перпендикулярны.

Дано: МО⊥пл. ABC; AD⊥ВС. Доказать: АМ⊥ВС.

Доказательство. МО⊥ВС; заметив, что BC⊥AD и ВС⊥МО, заключаем, что ВС⊥МА, ч. т. д.

Следствие. Противоположные ребра правильной треугольной пирамиды перпендикулярны.

Задача. Определить форму сечения тетраэдра плоскостью, параллельной двум противоположным ребрам, при условии, что эти ребра взаимно перпендикулярны (черт. 6).

Пусть AM⊥ВС, тогда DE || AM и KL || AM (§ 11 учебника); следовательно, DE || KL (§ 13 учебника); аналогично КЕ || DL; следовательно, KLDE — параллелограм; но так как, по усло-

Черт. 4 Черт. 5 Черт. 6

вию, AM⊥ВС, то KL⊥DL, поэтому сечение есть прямоугольник. В частности, это имеет место в правильной треугольной пирамиде.

Задача. Построить кратчайшее расстояние между двумя перпендикулярными прямыми AB и CD (черт. 7).

Для построения из произвольной точки Е прямой AB проводим EF⊥CD, затем из точки F проводим FK⊥AВ. Отрезок FK есть искомое кратчайшее расстояние. Действительно, проведем плоскость через FE и AB; тогда CD⊥FK, так как CD⊥FE и CD⊥AB.

Отметим еще некоторые упрощения.

Доказательство теоремы о наклонных, имеющих равные проекции, в стабильном учебнике основано на идее вращения, которая еще недостаточно отчетливо усвоена учащимися. Полагаем, что проще рассуждать так: прямоугольные треугольники ABC и ABD равны по двум катетам; поэтому АС = AD (черт. 8).

Случай неравенства наклонных можно рассмотреть так:

если BD > BC, то из рассмотрения подкоренных выражений заключаем, что AD > AC.

Желательно «узаконить» второй признак параллельности прямой и плоскости, а именно: прямая и плоскость, перпендикулярные к одной и той же прямой, параллельны. Этот признак легко доказывается способом от противного и может быть применен при решении многих задач.

Доказательство теоремы о двугранных и линейных углах, приведенное в стабильном учебнике (§ 39), нельзя считать убедительным: оно страдает упрощенчеством. Интересно заметить, что Н. А. Глаголев, переработавший учебник Киселева, приводит в своем учебнике стереометрии (изд. 1948 г.) строгое доказательство, которое имелось еще в старом издании учебника Киселева. Нам представляется необходимым восстановить это доказательство.

В главе о перпендикулярных плоскостях желательно доказать следующую теорему: прямая, перпендикулярная к линии пересечения двух перпендикулярных плоскостей и лежащая в одной из них, перпендикулярна к другой (черт. 9).

Дано: P⊥Q; AB⊥CD. Доказать: AB⊥пл. Q.

Доказательство. Проведем в плоскости Q прямую ВМ⊥CD; тогда ∠ АВМ будет линейным углом; но так как двугранный угол — прямой, то и линейный угол — прямой, т. е. AB⊥ВМ, поэтому AB⊥пл. Q, так как AB перпендикулярна к двум непараллельным прямым в этой плоскости.

Эта теорема полезна при решении многих задач (например Рыбкин, ч. II, § 4, № 6 (1), 3, 13, 17).

Доказательство леммы о равновеликости треугольных пирамид с равновеликими основаниями

и равными высотами можно значительно упростить, если не избегать понятия о пределе. Достаточно заметить следующее: так как величины x и у (см. § 90 учебника Киселева) стремятся к нулю, то

но было доказано, что

поэтому V = V1, ч. т. д.

В главе о круглых телах следует дать понятие о касательной плоскости к цилиндрической и конической поверхностям и указать (хотя бы без доказательства), что эта плоскость содержит образующую этой поверхности. Это необходимо при решении задач (например, Рыбкин, ч. II, § 13, № 10), а также в начертательной геометрии.

Черт. 7 Черт. 8 Черт. 9

Неясно, почему в доказательстве теоремы об объеме усеченного конуса не использовано понятие предела; это значительно упростило бы доказательство. Заметим, что Н. А. Глаголев в своем учебнике стереометрии пользуется пределами.

II. Вопрос о доказательстве единственности в курсе стереометрии был поставлен М. П. Ляпиным в статье «О доказательствах существования и единственности в курсе стереометрии»*. Автор статьи правильно указывает на то, что приводимые в учебнике геометрии Киселева доказательства единственности нельзя считать убедительными: «в том случае, когда среди построений имеются произвольно выполненные или для построения берутся произвольные элементы, единственность решения можно доказать только методом от противного».

К сожалению, М. П. Ляпин в ряде случаев исходит из единственности тех построений, которые применяются при решении задачи. Здесь естественно возникает вопрос, а как будет, если решать задачу при помощи других построений, — не получим ли в этом случае нового решения?

Приводим для образца доказательства единственности решения некоторых задач (сохраняем нумерацию, принятую в статье М. П. Ляпина) методом от противного.

№ 4. Через данную прямую а провести плоскость, параллельную другой данной прямой b.

Пусть прямые а и b — непараллельны. Если допустить, что через прямую а можно провести две плоскости, параллельные прямой b, то прямая b будет параллельна линии пересечения этих плоскостей, т. е. прямой а (см. Киселев, ч. II, § 12), что противоречит условию.

В случае параллельности прямых а и b задача имеет бесконечное множество решений.

№ 10. Даны две скрещивающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая ни на одной из данных прямых. Провести через точку А прямую, пересекающую обе данные прямые.

Эта задача имеет единственное решение. Действительно, если допустить, что через точку А можно провести по крайней мере две прямые, удовлетворяющие требованию задачи, то проведя через эти две прямые плоскость, заключаем, что в этой плоскости должны находиться четыре точки пересечения, а следовательно, и данные прямые вместе с данной точкой А, чего мы в общем случае не предполагаем.

№ 13. Даны две прямые а и b. Построить прямую, пересекающую данные прямые и перпендикулярную к ним (черт. 10).

Задача в общем случае имеет единственное решение. Действительно, допустим противное: пусть существуют по крайней мере две прямые AB и CD, пересекающие каждую из данных прямых а и b и перпендикулярные к ним.

Проведем ВМ || а и CN || AВ. Ввиду того, что a⊥AB, то a⊥CN, но так как, по условию, a⊥CD, то а⊥пл. DCN; далее, прямая b⊥AB, а потому b⊥CN; по предположению b⊥CD. Следовательно, BD⊥пл. DCN, поэтому данные прямые а и b, как перпендикуляры к одной плоскости DCN, параллельны, чего мы в общем случае не предполагаем.

Здесь же замечаем, что если данные прямые параллельны, задача имеет бесконечное множество решений.

III. В № 3 журнала «Математика в школе» за 1954 г. помещена интересная статья Г. М. Щипакина «О решении задач по геометрии», в которой автор правильно замечает, что получаемый при решении задачи в общем виде ответ, не заключающий ничего «подозрительного», не всегда указывает на возможность задачи. Я хочу подтвердить эту мысль некоторыми дополнительными примерами с целью предостеречь учителей математики от неполноценных решений.

Задача 1 (Н.Рыбкин, Задачник по стереометрии, § 9, № 18). В правильной треугольной пирамиде через сторону основания проведена плоскость, перпендикулярная к противоположному боковому ребру. Определить площадь сечения, если сторона основания равна а, а высота пирамиды равна h.

В задачнике приведен ответ:

Хотя это выражение имеет смысл при любых положительных значениях а и h, однако задача не всегда имеет решение. Действительно, для возможности задачи необходимо, чтобы угол

Черт. 10

* Журн. «Математика в школе», 1954, № 3.

ASL был острым, т. е. (черт. 11):

отсюда

Задача 2 (Худобины, Сборник задач по тригонометрии, № 1787). Через вершину основания правильной треугольной пирамиды под углом а к нему проведено сечение, параллельное противолежащей стороне основания и перпендикулярное противолежащей боковой грани. Определить объем пирамиды, зная ее апофему а (черт. 12).

В задачнике приведен ответ:

Этот ответ неполный, так как задача не всегда имеет решение. Действительно, ∠ASD должен быть острым; поэтому, заметив, что ∠OSD = ∠KAD = α и обозначив ∠ASO = ß, получим:

но из треугольников AOS и DOS имеем:

поэтому

Задача 3 (Худобины, № 1809). Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны b и углы при основании α. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом ß. Найти площадь сечения, проходящего через вершину угла α и высоту пирамиды (черт. 13).

В задачнике приведен ответ:

Из условия cos 3α < 0 можно было бы заключить, что единственное условие возможности задачи будет 90° < 3α < 270°, т. е. 30° < α < 90°. Однако этого еще недостаточно: необходимо, чтобы центр О окружности, описанной около основания, находился внутри основания, т. е. ∠АBС должен быть острым; отсюда непосредственно вытекает, что 2α > 90°, т. е. α > 45°.

Таким образом, исчерпывающий ответ будет:

Задача 4. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, стягивающей меньшую дугу α. Найти образующую конуса, если радиус основания равен r, а угол при вершине сечения равен ß. Вычислить при r = 2 м, α = 20°. ß = 30° (черт. 14).

Черт. 11 Черт. 12 Черт. 13

Черт. 14

Решение.

но при данных в условии числовых значениях задача не имеет решения, так как угол ß должен быть меньшим а. Действительно, SD > OD, следовательно,

отсюда β < α

Ответ в общем виде будет такой:

при условии ß < α.

Последнее условие, впрочем, вытекает из рассмотрения выражения

ПРОВЕРКА РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ УПРАЖНЕНИЙ В СТАРШИХ КЛАССАХ

П. М. ЭРДНИЕВ (с. Нечунаево, Алтайский край)

Настоящая статья является продолжением нашей статьи «Проверка решения, как необходимый элемент обучения математике», посвященной вопросу о проверке математических упражнений в V—VII классах*.

Рассмотрение темы проведено, как и в первой статье, в порядке расположения разделов по предметам, согласно программе.

Алгебра

I. Преобразование радикалов

1. Практика показывает, что даже самые простые приемы проверки, как, например, проверка результата извлечения корня или вынесения множителя из-под знака радикала возведением в степень (и наоборот), не должны оставаться вне внимания учителя.

При изучении преобразований радикалов и иррациональных выражений следует уделять время проверке тождественности выражений, написанных в разных видах.

Например:

Вычислим первое и последнее числа с точностью до 0,01:

Л. Ч. = П. Ч.

Подобные вычисления особенно желательны для более сложных выражений:

(уничтожение иррациональности в знаменателе):

Замечание 1. Предлагаемые здесь упражнения выполняют лишь роль контроля, а не исчерпывающей проверки.

Замечание 2. При вычислениях, подобных вышеприведенным, следует пользоваться как фактическим извлечением корней (в меньшей мере), так и готовыми значениями корней из таблицы (см. например, таблицы В. М. Брадиса).

В последнем случае значения корней берутся с табличной точностью или, если нужно, с соответствующим округлением. Данные упражнения (как и некоторые следующие) разрешают в некоторой мере вопрос культивирования приближенных вычислений,

2. При действиях с иррациональными выражениями возможна проверка результатов дейст-

* Журнал «Математика в школе», 1953, № 4.

вий на основании обычных зависимостей между компонентами действий. Этот прием дает также способ составления новых примеров по исходному, что может быть использовано при составлении текстов для самостоятельных и контрольных работ.

(В последующем изложении все упражнения взяты из задачника Ларичева, ч. II.)

Пример № 378 (1). Произвести действия:

Ответ:

Проверка.

с ожидаемым ответом

Пример № 358 (3). Уничтожить иррациональность в знаменателе дроби:

Рассматривая этот пример как пример на деление, мы можем проверить результат двумя способами:

a) находим делимое по делителю и частному,

b) находим делитель по делимому и частному.

3. При существующем порядке изучения иррациональных выражений упражнения построены так, что действия с ними производятся ради самих действий; последние не находят понятных учащимся приложений.

Чтобы учащиеся убеждались в общности действий и законов действий, в общности зависимостей между компонентами действий, следует практиковать решение линейных уравнений и даже несложных линейных систем с иррациональными коэффициентами.

Решение уравнений завершается проверкой найденных корней (к сожалению, в стабильном задачнике нет подобных упражнений).

Уравнения могут предлагаться, например, в таком порядке по возрастающей трудности:

и т. д.

Пусть, например, дано уравнение:

Ответ.

Проверка.

Значит, уравнение решено правильно. Эти упражнения ценны тем, что все действия над иррациональными числами производятся осмысленно и целеустремленно.

4. В связи с предыдущим возможно решение простейших неравенств с иррациональными числами. Упражнения мыслятся следующих типов:

Пусть дано неравенство:

Проверка. Пусть

Замечание. В случае неравенства термин «проверка» употреблен в смысле «контроль».

II. Уравнения.

1. Проверка корней квадратных уравнений с целыми коэффициентами проста и может производиться лишь изредка, в случае же квадратных уравнений с иррациональными коэффициен-

тами проверка корня ценна, так как при этом представляется возможность повторения действий с иррациональными числами.

Пример. № 436 (2).

Проверка, а) Подстановкой корней. b) На основании теоремы Виета:

Весьма ценным представляется внесение разнообразия в проверку, отход от шаблонных путей контроля, использование приемов проверки, создающих интерес и вызывающих живую мысль учащихся.

Например, корень рассмотренного уравнения № 436 (2) можно бы проверить, привлекая приближенные вычисления:

а) вычислим сначала приближенные корни с точностью до 0,01:

b) вычислим приближенно коэффициенты данного уравнения и решим его (приближенно):

2. Еще чаще должна применяться проверка корней при решении иррациональных уравнений, так как при их преобразованиях, как известно, может получиться уравнение, не равносильное первоначально данному.

(Примеры не приводим, ввиду общеизвестности вопроса.)

3. Проверка решения текстовых задач проводится посредством повторного чтения всего условия по логическим частям и проверки всех тех соотношений, которые должны выполняться согласно условиям задачи. Подробнее об этом сказано в первой части нашей статьи*.

Задача № 511.

Отпущено 3120 руб. на приобретение обуви для воспитанников детского дома. При покупке оказалось, что пара обуви на 5 руб. подешевела, а поэтому на ту же сумму можно было купить на 4 пары больше. Сколько пар обуви предполагалось купить первоначально?

Решение.

I. Предполагалось купить х пар обуви за 3120 руб.

II. Значит, одна пара обуви стоила 3120/x руб.

После того как пара обуви подешевела на 5 руб. цена одной пары обуви стала равняться 3120/x — 5 руб. Поэтому купили не х пар, а на 4 пары больше, т. е. x + 4 пары за 3120 руб.

III. Составляем уравнение:

IV. Решаем уравнение и находим корень:

x = 48.

V. Ответ. Предполагалось купить 48 пар обуви.

VI. Проверка.

Одна пара обуви стоила по старой цене 3120/48 = 65 (руб.). Новая цена одной пары обуви равна 65 — 5 = 60 (руб.). За 3120 руб. по новой цене можно купить 3120/60 = 52 (пары обуви), т. е. на 52 — 48 = 4 (пары) больше, чем предполагалось. Это и должно быть согласно условию; задача решена правильно.

III. Логарифмы

1. Твердому пониманию смысла логарифма, как показателя степени, содействуют частые упражнения (большей частью — устные) по проверке логарифмирования чисел возведением в степень или логарифмированием разными способами.

2. Проверкой всех трех видов простейших логарифмических уравнений:

может служить возведение в степень.

Пример. № 1066(6).

Ответ. Проверка.

* См. журн. «Математика в школе», 1953, № 4.

Небесполезно иногда практиковать параллельно производство логарифмирования и потенцирования, коль скоро они суть взаимно обратные операции.

Такие упражнения особенно целесообразны в случае сложных примеров.

Пример. № 1088 (1). Прологарифмировать выражение:

Ответ. Проверка,

Значит,

IV. Комплексные числа

1. Учащимся должно быть ясно, что компоненты действий над числами в поле комплексных чисел связаны между собой так же, как компоненты действий в поле действительных чисел. Это дает возможность применить способ проверки путем выполнения обратного действия.

Пример. № 1345 (2). Выполнить деление комплексных чисел в алгебраической форме:

Ответ.

Проверка производится вычислением делимого либо делителя по двум другим компонентам.

2. Решение отдельных примеров на действия с комплексными числами целесообразно перемежать с решением линейных уравнений в поле комплексных чисел. Подобных упражнений тоже нет в задачнике.

Так, например, решив уравнение:

получим:

Проверка. Вычисляем отдельно значения левой и правой частей. Такой порядок изучения темы обеспечивает целенаправленное повторение всех действий с комплексными числами.

Замечание. Вполне возможно и в приведенном выше примере для проверки привлечь приближенные вычисления, как было показано на приведенных выше примерах.

V. Неравенства

При решении неравенств с одним неизвестным для облегчения работы следует изображать множество решений неравенства на числовой оси. Контроль производится сравнением значений Л. Ч. и П. Ч. неравенства при различных значениях неизвестного.

Пример. № 1453 (3). Решить неравенство:

Ответ.

Черт. 1

а) Для контроля берем значения из обоих получившихся интервалов.

Например, для подстановки берем два значения:

b) Полезно иногда для контроля подставлять в неравенство значения границ:

При этом значения Л. Ч. и П. Ч. становятся равными (или теряют смысл).

с) При подстановке в неравенство значений аргумента х из внешней области относительно множества всех решений получится неравенство противоположного смысла.

Пусть x6 = 1/2 (из промежутка АО).

То же самое будет при

VI. Делимость многочленов

1. В стабильном задачнике предлагаются упражнения: «не выполняя деления, найти остаток от деления» (№ 1497, 1498, 1499). Следует, однако, иметь в виду, что для нескольких примеров полезно выполнить проверку непосредственным делением.

2. Повторением действий с комплексными числами явится проверка решения уравнений высших степеней (двучленных и трехчленных). При этом нет смысла проверять все корни; в случае комплексных корней достаточно ограничиться подстановкой одного из каждой пары сопряженных корней. Как показано ниже, вычисления при подстановке часто удается свести к минимуму.

Пример. № 1518 (3): x6 — 9х3 + 8 = 0.

Ответ.

Проверка. Подставим хотя бы x6:

Геометрия

I. Проверка (подтверждение) теорем

Так как в старших классах изучаются числовые соотношения между элементами фигур, то открывается широкий простор для проверки теорем при помощи измерения соответствующих элементов фигур, построенных согласно условиям теоремы.

1. Пусть, например, доказана теорема: Биссектриса любого угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Учитель дает задание: «Проверьте справедливость доказанной теоремы на чертеже измерениями и вычислениями. Постройте произвольный треугольник, проведите циркулем и линейкой биссектрису одного из внутренних углов; составьте пропорцию отрезков согласно теореме; измерив эти отрезки в сантиметрах, подставьте результаты в пропорцию, проверьте пропорцию» (черт. 2).

Учащиеся оформляют запись так:

Проверка.

Учащиеся с интересом проверяют соблюдение теоремы Пифагора, теорем о зависимостях между элементами треугольника и о пропорциональных отрезках в круге. Однако должно быть разъяснено учащимся, что такая проверка теоремы есть всего лишь ее подтверждение для частного случая. Надо пояснить учащимся, что при построениях и измерениях неизбежны естественные погрешности, тем меньшие, чем аккуратнее построена фигура и точнее взяты отсчеты по приборам. Отсюда ясно, что вычисления должны производиться согласно правилам приближенных вычислений.

Таким образом появляется возможность внедрения приближенных вычислений в геометрию на базе «отвлеченных» теорем.

2. При прохождении темы «Подобие фигур» оказываются эффективными задания учащимся следующего вида:

« Построить равнобедренный треугольник с углом при вершине в 35°. Найти отношение медианы боковой стороны к основанию.

Построения делать при помощи циркуля и линейки, измерения с точностью до 1 мм».

Сравнение результатов, полученных учащимися, их совпадение в границах допустимой погрешности приводит к выводу, что в подобных фигурах отношение соответственных элементов постоянно.

3. При изучении площадей фигур следует время от времени наряду с нахождением площади вычислением по формулам проводить контроль результата построением заданной фигуры в определенном масштабе и непосредственным подсчетом числа клеток, содержащихся внутри фигуры.

Черт. 2

Подобная работа особенно важна при изучении площади круга и его частей.

Пусть мы вычислим площадь треугольника со сторонами 35, 21, 44 по формуле Герона:

Проверка.

Строим треугольник по условию задачи в масштабе 1 :3 (черт. 3):

Черт. 3

Подсчитываем число целых клеток: 31. Подсчитываем число нецелых клеток и делим его на 2:

Общее число клеток: 31 + 9,5 ≈ 40,5 ≈ 40.

Но при масштабе в 1:п площадь фигуры уменьшается в n2 раз; поэтому результат мы умножаем на 32 = 9; 40—9 = 360 кв. ед, что в пределах допустимой погрешности хорошо совпадает с результатом вычислений. Контроль достиг цели.

Замечание. Подобная работа по контролю вычисленной площади подсчетом клеток вполне возможна и целесообразна при изучении геометрического материала в V классе.

II. Конструктивное решение задач как проверка

1. Уже в VI классе учащиеся знакомятся с построением треугольника, параллелограма и трапеции, умеют строить биссектрису, медиану, высоту. Это и позволяет решать с учащимися упражнения следующих типов:

a) Построить треугольник ABC по сторонам AB = 10 см, ВС = 6 см и углу между ними в 60°. Найти построением и измерением биссектрису угла ВАС.

b) Построить треугольник со сторонами:

Построить высоты на стороны а и b. Измерить их. Вычислить площадь треугольника двумя способами и сравнить результаты.

c) Построить параллелограм по двум сторонам:

а = 6 см, b = 8 см.

Измерить диагональ параллелограма.

Замечания. 1. Приближенное совпадение результатов у большинства учащихся для задач а), b) будет говорить об определенности этих задач.

2. Получение различных ответов по задаче с) истолковывается как факт ее неопределенности.

d) Построить равнобедренную трапецию по основаниям в 8 см и 6 см и боковой стороне в 5 см. Измерить углы трапеции.

Учащиеся не только верят, но и воочию убеждаются после решения таких упражнений в том, что треугольник определяется тремя элементами, параллелограм — тремя, трапеция — четырьмя (вообще говоря, не всякими).

2. Конструктивное решение планиметрических задач на вычисление является необходимой предпосылкой проверки решения задач построением в стереометрии.

Задача № 57 (1), § 10 (задачник Рыбкина, ч. I).

В равнобедренном треугольнике основание равно 30 дм, а высота 20 дм. Определить высоту, опущенную на боковую сторону.

Ответ. 24 дм. Проверка.

Строим чертеж согласно условию задачи в масштабе 1:50.

1) Откладываем основание АС = 6 см.

2) В середине О отрезка АС восставляем перпендикуляр OB = 4 см.

3) Опускаем из точки А перпендикуляр AD на ВС.

4) Измеряем отрезок AD = 4,8 см (черт. 4). Истинная величина искомого перпендикуляра:

Черт. 4

При изучении стереометрии средствами проверки, контроля, подтверждения результатов, полученных вычислениями, является моделирование и конструктивное решение задач.

В приведенных ниже примерах предполагается наличие исходного ориентировочного чертежа, необходимого для выработки плана решения задачи.

В начале применения проверки конструктивным решением следует каждый этап построения выполнять на отдельном чертеже. Затем следует переходить к получению результата на одном чертеже, ибо каждый перенос элементов фигуры с одного чертежа к другому вносит новые погрешности, отражающиеся суммарно на окончательном результате.

Учащиеся должны иметь в виду, что чем больше размеры фигуры (т. е. крупнее масштаб), тем точнее будет результат, получаемый измерением.

Задача № б, § 11 (задачник по геометрии Рыбкина, ч. II).

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований 3 см и 5 см. Определить диагональ этой усеченной пирамиды.

Ответ. 6 см.

Проверка (конструктивным решением). Масштаб 1:1.

1) По чертежу-наброску намечаем план решения. Следует построить трапецию АA1C1С (черт. 5).

2) Находим основание АС трапеции, для чего на сторонах прямого угла откладываем AD = CD = 5 см; АС — искомое основание.

3) На том же чертеже 5 находим верхнее основание A1C1, отложив A1D = C1D = 3 см.

4) Делим АС и A1C1 пополам (черт. 6).

5) Строим трапецию AA1C1С, для чего на произвольной прямой откладываем от точки О в обе стороны отрезок АО = ОС и проводим OO1⊥АС; на зтом перпендикуляре откладываем OO1 = 2 см; проводим A1C1 || АС; от О1 в обе стороны откладываем О1A1 = 01C1 (черт. 7).

6) Измерением находим АC1 = 6.

Задача № 21, § 23 (задачник Рыбкина, ч. II).

Основанием пирамиды служит правильный треугольник, стороны которого равны 3 дм. Одно из боковых ребер равно 2 дм и перпендикулярно к основанию. Найти радиус описанного шара.

Ответ. 2 дм.

Проверка. Масштаб 1:5.

1) Строим равносторонний треугольник ABC.

2) Описываем окружность около треугольника ABC.

3) Находим диаметр окружности BE.

4) Восставляем перпендикуляр BF⊥BE.

5) Откладываем BF = 2 дм (т. е. 4 см).

6) Разделив отрезок FE пополам в точке M находим радиус описанного шара, равный ME = 4 см-5 = 2 дм (черт. 8).

3. Часто бывает так, что учащиеся, оканчивающие среднюю школу, ни разу в школе не определяли объем реального телесного шара, реального цилиндра или другого тела вращения. Для активизации процесса усвоения уче-

Черт. 5 Черт. 6 Черт. 7

Черт. 8

ния об объемах целесообразно давать задания по вычислению объемов деревянных моделей или предметов обихода правильной геометрической формы. При выполнении таких упражнений учащиеся встретятся с необходимостью обращаться, кроме обычных чертежных инструментов, еще и со штангенциркулем, кронциркулем и т. д. Последнее само по себе важно с точки зрения выработки политехнических навыков у учащихся. Живо и интересно проходят уроки, когда учитель предлагает проверить вычисленный объем того или иного тела простым физическим опытом при помощи мензурки: учащиеся наяву видят безупречность математического метода исследования.

III. К вопросу об измерениях на местности

Прежде чем проводить измерение расстояний на местности, желательно в классной обстановке провести подготовительную работу. Эффектным бывает следующий прием моделирования на бумаге этих измерений.

На ровной поверхности стола (лучше — на чертежной доске) расстилается большой лист бумаги. Пусть требуется измерить расстояние между «недоступными» точками А и В.

Учащиеся отмечают произвольные точки А и B на бумаге, втыкают в них иголки (черт. 9). Поместив между ними какой-нибудь предмет (коробку спичек, чернильницу и др.), учащиеся имитируют непроходимость местности, чтобы и в самом деле нельзя было приложить линейку к этим точкам.

Все остальное делается совершенно так же, как на местности (способ равных треугольников).

Измеряем расстояние CD. Утверждаем: CD = AВ. Затем для проверки снимем «препятствие» и измеряем AB.

Равенство расстояний убеждает учащихся в применимости метода и в больших масштабах — на местности.

Замечание. Очевидно, такой по ход вполне применим при изучении темы в VI и VII классах.

Тригонометрия

1. В начале изучения тригонометрии следует не только строить углы по данным тригонометрическим функциям, как это предусмотрено программой, но и тренировать учащихся в обратных операциях — составлять простейшие тригонометрические таблицы при помощи построений. Значения тригонометрических функций, полученные построением, сравниваются с табличными (после округления последних).

a) Таблицу тангенсов лучше составлять по чертежу 10, выполненному на миллиметровой бумаге (основание AB = 10 единиц).

b) Таблицу косинусов удобнее всего составлять следующим образом: на диаметре AB, равном 10 единицам, строим полукруг. При помощи транспортира строим в точке А углы:

Косинусы этих углов выразятся соответственно числами

и т. д. (черт. 11).

Подобный способ, будучи наглядным и доступным, обеспечивает получение двузначных таблиц.

2. При изучении тригонометрических тождеств полезно иногда проводить проверку (контроль) справедливости этих формул подстановкой числовых значений аргументов.

Черт. 9

Черт. 10

Черт. 11

Пример.

Проверка. Находим значения функций из таблиц (для подобных упражнений вполне достаточно оставлять две значащие цифры):

в подобных упражнениях учащиеся встречаются еще раз с возможностью применять приближенные вычисления.

3. При изучении темы «Решение треугольников» очень важно культивировать систематический контроль результатов вычислений при помощи определения размеров искомых элементов на чертеже. Это явилось бы универсальным средством предупреждения ошибок. Построение фигуры лучше провести до вычислений.

При выполнении контрольных и самостоятельных работ обязательно наличие не приблизительно ориентировочного чертежа, а чертежа по возможности точного, построенного с соблюдением размеров, данных в условии (разумеется, в определенном масштабе). Построение такого чертежа почти не отнимает лишнего времени.

№ 37, § 6 (задачник по тригонометрии Рыбкина). В круге радиуса R = 35,8 дм проведена хорда длиной в а = 28,7 дм. Найти число градусов и минут в дуге, стягиваемой хордой, и расстояние хорды от центра.

Ответ. 47°16'; 32,8 м.

Проверка (черт. 12). Масштаб 1:1000.

1) Проводим окружность радиусом R = 3,58 ≈ 3,6 см.

2) в круге засекаем хорду AB = 2,87 ≈ 2,9 см. Строим угол АОВ.

3) Опускаем из точки О перпендикуляр OD.

4) Измеряем отрезок OD и угол АОВ и находим: 47°; 3,3 см, что с учетом масштаба вполне подтверждает результат вычислений.

4. В школьной практике возможно решение простейших тригонометрических уравнений графическим способом. Для этого каждый ученик должен иметь тщательно составленные на кальке графики, хотя бы двух функций: y = cosx и у = tg x. Располагая ими, мы можем контролировать аналитическое решение уравнений, находя их приближенные корни. Комбинируя только эти два графика, можно решать, например, такие уравнения:

(I)

(II) (III)

и т. п.

Примечания. Для решения второго уравнения сдвигаем график cosx на отрезок π/2 вправо в направлении оси ОХ.

В третьем случае график cosx поднимаем «вверх» на два деления (черт. 13).

В приведенных выше примерах уравнения (I) и (II) доступны для аналитического решения в школе. Относительно уравнения (III) учитель подчеркнет, что графическим способом можно получить приближенные ответы (вполне удовлетворяющие практиков) даже в тех случаях, когда аналитический путь не приводит к цели.

Следует напомнить учащимся, что, имея еще графики функций: y = logx, у = ах и др., можно решать графически и ряд других трансцендентных уравнений:

Черт. 12

Черт. 13

ИЗ ОПЫТА

К ВОПРОСУ О ПОЛИТЕХНИЧЕСКОМ ОБУЧЕНИИ В V КЛАССЕ

Т. А. ПЕСКОВ (Уфа)

В новой программе по математике для V класса, на которую школы переходят в 1954/55 учебном году, в достаточной степени предусмотрены элементы политехнического обучения. Однако методическая литература еще бедна соответствующими указаниями, детализирующими различные разделы программы и определяющими наиболее целесообразные способы внедрения в школьное преподавание элементов политехнического обучения.

В программе рекомендуется при изучении первой темы решать задачи на составление несложных смет. Учащимся можно предложить составить смету расходов на поездку в свой областной город. Они должны совместно с учителем установить виды расходов и числовые данные. В школах, находящихся в областных центрах, составляется смета на экскурсию в Москву.

Остановимся на черчении диаграмм. В качестве материала для черчения диаграмм при изучении целых чисел можно использовать следующие данные:

1) Средние колхозы получают с гектара 15 т картофеля, передовые 25 т, колхозницы Московской области т. т. Дианова и Кожуханцева — 50 т, украинская колхозница Худолий получила с гектара 80 т картофеля (из доклада Н. С. Хрущева на Пленуме КПСС 3 сентября 1953 года, Госполитиздат, 1954, стр. 31).

2) Число учащихся в начальных и средних школах СССР (в миллионах человек):

1914 г.

1929 г.

1937 г.

1949 г.

8

13

29

34

3) Сравнительная длина некоторых водных каналов с округлением до десятков километров:

Панамский 80 км

Волго-Донской имени В. И. Ленина 100 км

Канал имени Москвы 130 км

Суэцкий 170 км

Беломоро-Балтийский имени И. В. Сталина 230 км

Диаграмму каналов учащиеся должны начертить самостоятельно, установив без помощи учителя такой масштаб, чтобы диаграмма поместилась на странице тетради.

В первую тему программы включено решение задач на вычисление периметров и площадей прямоугольника и квадрата, объема куба и прямоугольного параллелепипеда. Эти задачи разбиваются на две категории:

а) с готовыми данными,

в) с данными, полученными путем непосредственного измерения.

При решении задач первой категории следует уделить достаточное внимание задачам практического характера.

В дополнение к практическим задачам из стабильного сборника можно рекомендовать такие задачи:

1) По постановлению Совета Министров СССР создано Цимлянское водохранилище, площадь которого равна площади прямоугольника длиной в 180 км и шириной в 30 км. Выразить площадь Цимлянского моря в гектарах (устно).

2) В школьном саду поставили перед началом дождя сосуд цилиндрической формы. Дождевая вода заполнила этот сосуд до высоты 3 см. Определить объем воды, выпавшей в школьном саду, площадь которого 1 га. 1 куб. см воды весит 1 г.

3) Нужно обнести забором школьный сад, имеющий форму прямоугольника длиною 60 м и шириною 30 м.

Преподаватель арифметики предложил ученикам V класса высчитать, сколько досок, стол-

бов и слег понадобится для изгороди, если слеги предполагаются длиною в 2 1/2 м, доски шириною в 2 дм, а для устройства калитки нужно добавить только один столб.

Ученики получили следующий результат: 144 слеги, 900 досок, 73 столба.

Нужно проверить все вычисления учеников этой школы.

Примечание. При расчете числа досок принимается во внимание вся граница сада, поэтому на калитку особой затраты досок не будет, а потребуется добавить только один столб. Слеги прибиваются в два ряда.

Задачи второй категории могут быть таковы: вычислить площадь прямоугольников и квадратов, начерченных на классной доске и в ученических тетрадях, определить объем ящика кубической формы или формы прямоугольного параллелепипеда, определить объем кирпича, определить объем комнаты, объем школьного дровяника. Вполне понятно, что результаты различных измерений нужно выражать в целых числах.

При изучении обыкновенных дробей необходимо прежде всего обратить внимание на решение практических задач из сборника С. А. Пономарева и Н. Н. Сырнева.

После ознакомления учащихся с числовым масштабом нужно выполнить упражнения на определение по карте расстояния между двумя пунктами земной поверхности. Следует рекомендовать определить расстояния от своего областного города до Москвы, до Ленинграда, до какого-нибудь города на побережье Черного моря и т. п.

По поводу задач на вычисление поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда и площади треугольника следует держаться того же порядка, какой был установлен относительно задач на вычисление объемов, т. е. сначала решать задачи с готовыми числовыми данными, а потом перейти к задачам, для решения которых числовые данные учащиеся должны найти путем непосредственного измерения. Так, например, можно решать задачи на определение поверхностей коробок или ящиков, имеющих форму куба или прямоугольного параллелепипеда, на определение площадей треугольников, начерченных на классной доске и в ученических тетрадях. Результаты измерений теперь следует выражать в дробных числах, применяя соответствующее округление: например, если длина ящика 7 дм 4 см, считать ее равной 7 1/2 дм.

При решении задач с готовыми числовыми данными полезно предлагать задачи на опредение плоoади треугольного участка земли в гектарах; например, участок земли имеет форму треугольника, основание которого 800 м, а высота 125 м. Выразить площадь участка в гектарах.

Для черчения диаграмм можно взять данные о количестве учеников в классах, считая параллельные классы за один класс. В тетрадях, разграфленных в квадратную клетку, можно отводить на четырех учеников один квадрат.

В программе предусмотрены упражнения в изготовлении из картона моделей кубического дециметра и кубического сантиметра, а также моделей прямоугольного параллелепипеда.

Первым шагом в изготовлении таких моделей является вычерчивание так называемых разверток.

Кроме граней куба и прямоугольного параллелепипеда, на развертках должны быть выступы в форме трапеции. При склеивании эти выступы должны оказаться внутри модели.

Задача на составление сметы. Вычислить, какая сумма потребуется на отопление школы, в которой 4 голландские печи и одна русская, если отопительный сезон продолжается 7 месяцев, на одну голландскую печь идет в месяц 1 1/4 куб. м дров, а на русскую печь 1 1/2 куб. м. Один кубометр дров стоит с доставкой 50 рублей.

При прохождении темы «Десятичные дроби» следует знакомить учащихся с действиями над приближенными числами, с вычислением абсолютной и относительной погрешностей, с оценкой на глаз размеров различных предметов и расстояний между двумя предметами. Рекомендуется решение задач на вычисление длины окружности и площади круга, поверхностей и объемов цилиндров по числовым данным, полученным путем непосредственного измерения, знакомство с таблицами для вычисления длины окружности по радиусу и обратно, построение секторных диаграмм и решение задачи на определение светового коэффициента класса.

Методика преподавания приближенных чисел изложена в методическом руководстве Е. С. Березанской и статье М. Г. Васильева («Математика в школе», № 5 за 1951 г.), поэтому в настоящей статье этот вопрос не затрагивается. По поводу определения на глаз размеров различных предметов и расстояний между предметами нужно сказать, что эту работу следует выполнять как в классе, так и на школьном дворе, а также на открытой местности, в связи с различными измерительными работами.

Подходящих упражнений может быть очень много: определение размеров классной доски, ученических парт, роста учащихся, карандаша,

ящика, кирпича, длины, ширины и высоты классной комнаты, длины и ширины школьной усадьбы и отдельно школьного учебного участка, длины, ширины и высоты дровяника, расстояния от школы до реки, до леса, до горы, до правления колхоза.

Весьма интересно отмечать, кто из учащихся правильнее отвечает на перечисленные вопросы. Все указанные упражнения способствуют развитию глазомера, что может быть полезным впоследствии в различных случаях жизни.

Задачи на вычисление длины окружности и площади круга, поверхности и объема цилиндра тоже следует разбить на две категории: задачи с готовыми числовыми данными и задачи с числовыми данными, установленными самими учащимися.

Примеры задач первой категории:

1) Чтобы поднять ведро от уровня воды в колодце до краев сруба, вал для выкачивания воды нужно повернуть 8 раз. Диаметр вала 30 см. Как велико расстояние от верхнего края сруба до поверхности воды в колодце. Ответ округлить.

2) Нужно покрасить 200 столбов для уличного освещения. Высота каждого столба 5 му а диаметр 35 см. Сколько олифы потребуется на окраску столбов, если на окраску 1 кв. м идет 0,2 кг олифы.

3) Определить вес нефти в цилиндрическом баке, диаметр которого 11 м. Нефть налита до высоты 4 м. 1 куб. м нефти весит 760 кг.

Пример задачи второй категории: Определить вместимость ведра, школьного бака для кипяченой воды, стакана, определить длину окружности, начерченной на доске, и площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Таблицы для нахождения длины окружности и площади круга имеются в сборнике задач и упражнений по арифметике С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева. В качестве домашней работы, рассчитанной на несколько дней, учащимся можно предложить составить таблицы для нахождения длины окружности и площади круга по радиусу, причем считать, что окружность больше диаметра не в 3,142 раза, как это сделано в указанном сборнике, а в 3,14 раза.

Нужно решить достаточное количество практических задач и в том числе задач, отражающих достижения нашей техники.

Укажем несколько образцов таких задач:

1. Минская грузовая машина-гигант имеет грузоподъемность в 8 1/3 раза больше, чем маленькая трехтонная машина. Определить грузоподъемность машины-гиганта (устно).

2. Длина окружности колеса Минской машины-гиганта равна 4,71 м. Определить диаметр колеса и сравнить его со средним ростом ученика V класса.

3. В течение рабочего дня один человек может выровнять 200 кв. м земной поверхности, а при помощи бульдозера можно выровнять площадь в б га. Сколько рабочих заменяет бульдозер? (Устно).

Примечание. При устройстве плотин, дорог и других сооружений приходится предварительно выравнивать местность, т. е. срывать бугры, засыпать ямы, выкорчевывать пни и кустарники. Для выполнения такой работы и применяется бульдозер, т. е. гусеничный трактор с укрепленным впереди трехметровым стальным ножом.

4. При рытье котлованов для наших гигантских гидроэлектрических станций для вычерпывания грунта со дна Волги применяется гигантская землечерпальная машина «Пятилетка». В каждую минуту такая машина поднимает со дна реки 12,5 куб. м грунта. Сколько грунта может поднять «Пятилетка» со дна реки в течение восьми часов?

Примечание. Землечерпалка «Пятилетка» является наиболее совершенной землечерпальной машиной во всем мире.

5. На великих стройках коммунизма применяются электрические подъемные краны грузоподъемностью в 25 т. На Ново-Краматорском машиностроительном заводе имени Сталина будут построены подъемные краны, грузоподъемность которых будет в 18 раз больше. Какого веса груз будут поднимать новые подъемные краны? (Устно).

Примечание. Подъемные краны огромной мощности нужны при сооружении гидроэлектрических станций для того, чтобы поднимать и устанавливать на место гигантские турбины.

6. На токарном станке обычным резцом за один оборот снимается металлическая стружка толщиной в 0,25 мм. Стахановец В. А. Колесов, усовершенствовав резец токарного станка, добился таких успехов, что при обточке металла стал снимать за один оборот металлическую стружку толщиной в 4 мм. Во сколько раз увеличилась толщина стружки, снимаемой новым резцом?

7. На асфальтирование улицы истратили 11 т асфальтовой массы. Сколько квадратных метров было покрыто асфальтом, если удельный вес асфальтовой массы 2,2 см, а толщина покрытия 8 см?

8. В состав асфальтовой массы входит 10% битума, 20% заполнителей и 70% песка и гравия. Сколько нужно взять заполнителей и песка с гравием для изготовления асфальта, если битума имеется 2 куб. м?

Примечание. В качестве заполнителей берут обыкновенно известковую муку или мраморную муку.

9. Какой длины можно устроить уличную мостовую, если при устройстве мостовой сначала насыпают слой песка толщиною в 20 см, затем идет слой булыжника толщиной тоже 20 см. Ширина мостовой 12 м, песка и булыжника имеется по 600 куб. м.

10. Составить смету на штукатурку и окраску полов в комнате, длина которой 8,4 м, ширина 6,2 м, высота 3,6 м, площадь окон и дверей равна 10,2 кв. м, печь занимает площадь в 1 кв. м, штукатурка одного квадратного метра стоит 9 руб., а окраска 1 кв. м пола 4 руб. 70 коп.

11. Составить смету на побелку стен и потолка в классе, если побелка одного квадратного метра стоит 1 руб. 15 коп. (Если в классе есть печь, учесть ее при определении площади, подлежащей побелке.)

12. На Уральском заводе тяжелого машиностроения сооружаются экскаваторы-гиганты с емкостью ковша в 20 куб. м. Такой экскаватор работает в среднем 22 часа в сутки, а на заполнение ковша грунтом и перемещение его уходит в среднем 1 минута. Сколько рабочих заменяет такой экскаватор, если один рабочий за рабочий день при ручной работе может выкопать и переместить 2,2 куб. м.

Программой предусмотрено при изучении десятичных дробей ознакомление учащихся со средним арифметическим, но не сказано, следует ли ограничиться только простым средним арифметическим или же проходить и среднее взвешенное.

Между тем если ученик, оканчивающий среднюю школу, не знаком с понятием о среднем взвешенном, то это свидетельствует о его слабой практической подготовке. Среднее взвешенное приходится находить, например, при определении среднего урожая, средней заработной платы на заводе, фабрике или учреждении, средней цены дров разной породы и т. п.

При ознакомлении учащихся со средним взвешенным нужно предложить им задачу: для школы куплено в леспромхозе 50 куб. м березовых дров по 40 руб. за 1 куб. м и 10 куб. м осиновых дров по 30 руб. за кубометр. Определить среднюю цену купленных дров.

Возможно, что некоторые ученики предложат найти среднее арифметическое 40 и 30. Тогда нужно воспользоваться их ошибкой и дать соответствующее разъяснение.

И в том случае, если ученики сразу станут на правильный путь, необходимо установить разницу между простым средним арифметическим и взвешенным средним арифметическим.

Нужно выяснить, что задачу нельзя решать путем нахождения среднего арифметического чисел, выражающих цену того и другого сорта дров, так как дорогих дров куплено больше, чем дешевых, и найденная учениками средняя цена дров 35 руб. при проверке не соответствует условию задачи: 35×60 = 2100 (руб.). тогда как действительная стоимость дров:

После этого преподаватель сообщает, что в данном случае нужно найти среднее взвешенное путем деления стоимости всех дров на их общее количество, т. е.

с точностью до 0,1 руб.

Приведем примеры задач на нахождение среднего взвешенного.

1) В совхозе на одном участке в 150 га получили урожай пшеницы по 18 ц с 1 га, а на другом участке в 180 га урожай составил 25 ц с 1 га. Как велика средняя урожайность пшеницы в колхозе? Ответ округлить до целых центнеров.

2) Магазин получил огурцы: из одного колхоза 50 ц, из другого 60 ц и из совхоза 90 ц. Огурцы, полученные из первого колхоза, стоили 45 руб. за 1 ц, из другого — 47 руб. за 1 ц и из совхоза 43 руб. за 1 ц. Определить среднюю цену 1 ц заготовленных огурцов.

После изучения десятичных дробей учащихся нужно познакомить с черчением секторных диаграмм. Прежде всего устанавливается, что \% площади круга соответствует площади сектора, дуга которого 3,6°. Затем выражают в процентах те величины, диаграмму которых нужно вычертить, высчитывают, сколько градусов приходится на каждую величину, и вычерчивают диаграмму.

Для объяснения учащимся способа черчения секторных диаграмм можно взять данные о количестве скота в СССР в начале 1953 года в миллионах голов. (Доклад Н. С. Хрущева на Пленуме ЦК КПСС 3 сентября 1953 года).

Крупный рогатый скот

Свиньи

Овцы и козы

Лошади

57

27%

97°

28

13%

47°

110

53%

191°

15

7%

25°

В качестве материала для черчения секторных диаграмм можно использовать распределение школьников по классам, причем несколько параллельных классов считать за один. Интересно также начертить секторную диаграмму

успеваемости класса по математике за II четверть.

В городах весьма интересной будет диаграмма распределения жителей по роду занятий: рабочие, служащие, учащиеся, кустари, пенсионеры, домашние хозяйки и прочие.

При изучении десятичных дробей следует решить задачу на определение светового коэффициента класса. Задачу можно формулировать так: узнать, достаточно ли света в нашем классе, если для нормального освещения площадь стекол в окнах должна быть не менее 1/6 части площади пола.

При решении этой задачи предполагается, что в каждом окне имеется три вертикальные ряда стекол. Решение выполняется в таком порядке. В каждом вертикальном ряде измеряют площади стекол два ученика, результаты измерения записываются на доске. Чтобы ученики при измерении не мешали друг другу, первый ряд стекол измеряется на одном окне, второй ряд стекол—на другом окне, третий — на третьем окне. Результаты измерения стекол проверяются другими учениками. Таким образом в работу будут вовлечены уже тринадцать человек. Кроме того, два ученика измеряют ширину класса и два ученика — длину класса и четыре человека их проверяют. Всего в измерительные работы будет вовлечено двадцать человек. После записи всех результатов измерений на доске производятся вычисления.

Нужно предупредить учащихся, чтобы длину и ширину стекол они измеряли с точностью до 1 сантиметра, а длину и ширину пола с точностью до 0,1 метра.

Определив площадь всех стекол, нужно округлить полученное число до квадратных дециметров. Общую площадь всех стекол нужно разделить на площадь пола, выраженную тоже в квадратных дециметрах, и обратить полученный результат в обыкновенную дробь.

Переходим к теме «Практические работы».

Необходимо иметь в школе 30 конторских счетов и одни так называемые шведские счеты. Нужно научить школьников сложению, вычитанию, умножению и делению целых чисел. Практической работой политехнического характера в V классе является работа на местности. Эти работы можно провести или на школьном дворе, или на открытой местности за школой.

Программой предусмотрены следующие работы измерительного характера на местности.

Обозначение точек и проведение прямых на местности. Измерение отрезков на местности мерным шнуром (лентой, рулеткой), полевым циркулем, шагами. Глазомерная оценка расстояний. Применение эккера. Построение прямоугольного участка и определение его площади.

Успешное выполнение указанных работ возможно только при правильной их организации. Нужно сделать два выхода из школы, продолжительностью два часа каждый.

Учащихся обязательно нужно разбить на группы по 6—8 человек в каждой.

Двум группам следует дать задание — определить каждому ученику длину своего шага, для чего каждый ученик должен пройти отмеренное рулеткой расстояние в 20 м, сосчитать число своих шагов и сделать соответствующее вычисление. После этого выполняется работа на определение расстояний шагами и при помощи рулетки.

Двум группам дается задание определить на глаз два расстояния, например: длину и ширину школьного двора, длину и ширину сарая. Каждый из учеников записывает результат измерения на глаз в тетрадь, после чего указанные расстояния измеряются рулеткой и тоже записываются в тетрадь.

Остальным группам учитель показывает, как провешивать прямые линии на земле, и поручает им самостоятельно провешить две прямые и измерить их, а сам переходит к проверке результатов работы других групп, после чего каждая группа получает новое задание.

Таким образом, каждая группа выполняет три работы: провешивание и измерение прямых на земле, определение расстояний шагами и определение расстояний на глаз.

Во второй выход выполняются работы по построению прямых углов при помощи эккера, построение прямоугольных участков и определение их площадей.

Двум группам объясняется новая работа, а остальные повторяют предыдущие, после чего работы чередуются.

В случае отсутствия рулетки нужно пользоваться полевым циркулем или веревкой, на которой отмечены метры и дециметры.

ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ В VIII КЛАССЕ

К. П. СИКОРСКИЙ (Москва)

Курс VIII класса представляет особые трудности, так как наряду с теоретическими трудностями перед учителем и учащимися возникают трудности, если так можно выразиться, количественного порядка. Курс математики в VIII классе настолько велик, настолько разнообразен, что в конце учебного года почти вовсе не остается времени на повторение пройденного материала. Ниже мы даем такую схему плана, которой мы и некоторые из наших товарищей пользовались в своей работе в VIII классе.

При распределении всего учебного материала по срокам мы будем условно считать, что как в первом, так и во втором полугодии 16 полных недель.

Работа, спланированная по указанной ниже схеме, давала возможность повторить все основные вопросы курса алгебры в процессе прохождения программного материала и даже выделить время в конце учебного года для повторения основных вопросов курса.

Алгебра

Весь курс алгебры VIII класса мы распределяем следующим образом:

1-е полугодие (64 урока)

Повторение некоторых вопросов курса VII класса — 4 урока.

Решение квадратных уравнений с числовыми коэффициентами — 6 уроков.

Степени одночленов и дробей. Квадрат многочлена — 6 уроков.

Понятие об иррациональном числе — 4 урока.

Арифметическое значение корня. Извлечение корня из одночленов и дробей. Вынесение за радикал рационального множителя. Введение множителя под радикал — 4 урока.

Действия с радикалами — 16 уроков.

Квадратные уравнения: решение уравнений; решение задач, приводящих к квадратным уравнениям; свойства корней квадратного уравнения; исследование квадратного уравнения; разложение квадратного трехчлена на линейные множители — 24 урока.

2-е полугодие (48 уроков) Решение иррациональных уравнений — 9 уроков.

Понятие функции, аргумента. Область определения и множество значений функции. График функции. Линейная функция (у = ах и у = ах + b). Квадратичная функция у = ах2 + bх + с. Функция xy = k (14 уроков).

Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными — 15 уроков.

Повторение — 10 уроков.

1-я неделя

Мы предпочитали начинать курс VIII класса с повторения некоторых элементов курса VII класса: решение упражнений на преобразование алгебраических дробей, решение систем уравнений с числовыми коэффициентами, извлечение квадратного корня из чисел, представляющих точный квадрат, и приближенных корней из целых чисел и десятичных дробей с точностью до 0,1; 0,01 и 0,001. На это расходуется не более двух первых уроков. На 3-м уроке вспоминаем неполные квадратные уравнения вида

затем решаем квадратные уравнения только с числовыми коэффициентами вида

На 4-м уроке дается поверочная письменная работа, в которую входят: 1) пример на алгебраические дроби (типа № 14 задачника Ларичева, ч. II, 1954 г.)*; 2) решение системы линейных уравнений (Л. № 40); 3) извлечение квадратного корня из двух чисел, представляющих точный квадрат (например, 2916 и 42849). Основная цель этой работы — ознакомиться с уровнем знаний класса.

В течение этой недели в классе и дома учащиеся решают следующие упражнения; Л. № 14, 17—21, 23, 26, 40, 131 — 135, 141—2, 150, 398, 399.

2-я неделя

Вывод формул корней квадратного уравнения

и решение простейших задач на составление квадратных уравнений (на этой стадии от учащихся не требуется знания вывода формул корней квадратного уравнения). Упражнения (в классе и дома): Л. № 400, 401, 415, 416, 419—422; 500, 504, 508, 510,

* В дальнейшем ссылки на этот задачник будут обозначаться буквой «Л».

3-я неделя

На втором уроке проводится контрольная работа, имеющая целью проверку знания учащимися формул корней квадратного уравнения. Приведем пример одного из вариантов:

3) Найти с точностью до 0,1 корни уравнения:

В следующие два урока этой недели начинается систематический курс VIII класса.

Определение степени с натуральным показателем с дополнительным определением: а = a1. Правило знаков при возведении в степень отрицательного числа. Теоремы о возведении в степень произведения, дроби, степени. Повторение: действия со степенями с натуральным показателем при одном и том же основании (например:

Примечание. am + an не может быть, вообще говоря, записано при помощи степени числа а.

Упражнения: Л. № 429(3); 437(3,5); 507; 104—107; как повторение: решение задач № 506, 509.

4-я неделя

Вывод формулы квадрата многочлена. Два урока — упражнения на степени: Л. № 108—111, 112—114; повторение: Л. № 511, 513.

В классе следует разобрать упражнения № 102, 119.

Необходимо также решить упражнения на действия со степенями с числовыми основаниями, как например:

На 4-м уроке этой недели дается контрольная работа на степени (один из вариантов): 1) Л. № 109, 2) Л. № 110;

5-я неделя

На первых трех уроках 5-й недели выясняется понятие иррационального числа. Дается краткий очерк развития понятия о числе (натуральные числа, нуль, дробные числа, положительные и отрицательные числа). Надо особенно подчеркнуть, что практические потребности, а также и потребности самой математики вызвали необходимость вводить все новые и новые числа; следует указать, как задачи, не разрешимые в множестве одних чисел, становятся разрешимыми в расширенном множестве.

К моменту введения понятия об иррациональном числе на уроках алгебры учащиеся уже знакомы с понятием бесконечной непериодической десятичной дроби как отношения несоизмеримых отрезков, из которых один принят за единицу. На уроках алгебры надо выяснить другие случаи происхождения иррациональных чисел. Без их введения невозможно, например, решение таких уравнений, как x2 = 2; x3 = 6 и т. п. Надо показать, что такое уравнение, как x2 = 2, не плод досужей фантазии математиков, к этому уравнению приводит вполне реальная задача.

Пусть сторона квадрата равна 1, значит, его площадь равна 1 кв. единице; найти сторону квадрата, построенного на диагонали данного квадрата. После этой задачи ученикам становится более понятным смысл доказательства, что √2 — не может быть ни целым, ни дробным числом. Нужно показать учащимся прием доказательства, что и √3, и ∛2 и т. п. не могут быть ни целыми, ни дробными числами. Надо привести примеры других иррациональных чисел: тс = 3,14159. . .; 2,718281828459.. .; 7,030330333... и т. п. Указать, что множество рациональных и иррациональных чисел составляют множество действительных чисел. Любое из этих чисел может быть изображено на числовой оси, и обратно: любой точке числовой оси соответствует некоторое действительное число.

Достаточно подробно надо выяснить понятие равенства чисел: натуральных, дробных, отрицательных, иррациональных.

При сообщении определений суммы и произведения двух иррациональных чисел надо разобрать определения суммы и произведения: 1) двух натуральных чисел (эта сумма может быть изображена наглядно, например, на палочках); 2) натурального числа и 0; 3) двух дробных чисел (сумма двух дробных чисел a/b и c/d есть такое третье дробное число, кото-

* Желательно при помощи таблиц Брадиса «Квадраты чисел» и «Квадратные корни».

рое составлено так: —; произведение двух дробных чисел a/b и c/d есть такое третье число, которое составлено так: ac/bd); 4) двух любых положительных и отрицательных чисел (подчеркнуть, что в данном случае нельзя определить сумму и произведение без введения понятия абсолютной величины числа или модуля). Необходимо указать, что при данных определениях сохраняются переместительный и сочетательный законы сложения и умножения и распределительный закон умножения по отношению к сложению.

При таком подходе к выяснению понятия суммы и произведения двух чисел учащиеся начинают лучше понимать, что и сумму, и произведение иррациональных чисел надо определить.

Упражнения № 146—148 целесообразно разобрать в классе в порядке фронтального опроса.

В течение указанных трех уроков на дом даются для повторения следующие упражнения: Л. № 429 (1), 512, 515.

На 4-м уроке 5-й недели и 1-м 6-й недели дается определение арифметического корня:

Арифметическим корнем степени n из положительного числа а называется положительное число х, n-я степень которого равна а.

Арифметический корень степени n из числа 0 равен 0.

Корень нечетной степени из отрицательного числа а равен противоположному значению арифметического корня той же степени из абсолютной величины числа а, т. е. √a = — √|а|, где а < 0 и n — нечетное.

Корень четной степени из отрицательного числа в множестве действительных чисел не существует.

Доказываются теоремы об арифметическом корне из произведения, из дроби и из степени. Одновременно закрепляются понятия и вопросы, разобранные на предыдущих трех уроках («Иррациональные числа»).

Упражнения: Л. 152—166; повторение: Л. 517, 526.

6-я неделя

На 2-м уроке этой недели дается контрольная работа с целью выяснения степени усвоения основных сведений об иррациональном числе. Вот возможные варианты этой контрольной работы:

I. 1) Как можно объяснить происхождение натуральных чисел (привести примеры)?

2) Доказать, что не целое и не дробное число.

3) Что больше: √70 или 8 11/30?

II. 1) Какие практические задачи и какие потребности математики привели к введению дробных чисел? Показать на примерах, что рациональные числа — целые и дробные с любым знаменателем — могут быть изображены в виде или конечных десятичных дробей, или бесконечных периодических.

2) Доказать, что √5 не целое и не дробное число.

3) Дать определение суммы двух иррациональных чисел; пояснить на примере суммы чисел √3 = 1,7320... и √5 = 2,2360... с изображением на числовой оси.

На последующих двух уроках 6-й недели напоминается определение арифметического корня, приводятся примеры арифметических корней

и неарифметических корней

Затем доказывается основное свойство арифметического корня: величина арифметического корня не изменяется, если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число.

В дальнейшем все преобразования радикалов выполняются только с арифметическими корнями, на что обращено внимание в стабильном задачнике, но к этому надо время от времени возвращаться.

Затем разбираются все преобразования радикалов в обычном порядке.

Вынесение рационального множителя из-под радикала, в частности:

Введение под радикал рационального множителя. Это преобразование в дальнейшем встречается сравнительно редко, поэтому не следует решать на него очень много упражнений. Эти упражнения надо использовать как повторение действий со степенями.

Упражнения: Л. № 169—174, 176—180

(примеры 2 и 4); повторение: 531, 578, а также

7-я неделя

Приведение радикалов к нормальному виду. Подобие радикалов. Приведение подобных радикалов. Сложение и вычитание радикалов.

При решении упражнений на эти преобразования надо большое внимание уделить примерам с числовыми радикалами. Эти упражнения обычно с трудом даются учащимся. Упражнения: Л. № 198—201, 202 (3, 4), 203 (1) — сделать в классе, 208—210, 211 (2, 3), 213 (4), 214, 215 (1, 4), 216 (2,3), 221, 222 (1, 2), 224 (1, 4), 227, 228 (3, 4), 232, 234, 235; повторение: 576, 580, 533.

8-я неделя

На 1-м уроке 8-й недели дается контрольная работа для проверки навыков в приведении радикалов к нормальному виду и в сложении и вычитании радикалов.

Приведем один из возможных вариантов.

Выполнить действия:

Привести к простейшему виду.

если b > а > 0.

На последующих уроках 8-й недели и первых двух уроках 9-й недели изучаются теоремы об умножении и делении арифметических корней, возведение в степень радикалов, извлечение корня из радикалов.

Упражнения: Л. № 241 (1), 251, 252, 256, 260 (2, 3), 259, 262 (1, 3), 271 (2, 3), 272 (3, 4), 284 (2, 3), 286 (3, 4), 290 (2), 293, 300 (2, 3), 301 (3, 4), 316, 317 (2, 3), 318, 321, 322, 323 (2), 324 (2, 4), 326 (3, 4), 328 (1, 2), 343, 344, а также √—3-√—2, где нельзя найти произведение, так как это не арифметические корни.

Следует обратить внимание на упражнение Л. № 394 (5).

Учащиеся очень часто не замечают того, что 1 — 3√3 < 0, следовательно, √1 — 3√3 не арифметический корень, и при приведении к общему показателю 6 делают так:

и т. д. и получают неправильный результат. Надо:

На последних двух уроках 9-й недели изучается освобождение от иррациональности в знаменателе: 1) знаменатель — корень любой целой степени из одночлена и 2) знаменатель — алгебраическая сумма корней второй степени.

Цель этих преобразований: 1) при действиях с дробями проще иметь рациональные знаменатели и 2) при определении приближенных значений выражения, содержащего радикалы, проще делить на натуральное число, чем на бесконечную непериодическую десятичную дробь. Следует обратить внимание, что освобождение знаменателя от радикалов вида √а + √b целесообразнее производить так:

Такого рода преобразования в IX классе при прохождении темы «Правильные многоугольники» встречаются нередко.

Упражнения: Л. № 351, 352, 353, 354, 358, 360, 819 (2), 833 (3); повторение (8-я и 9-я недели): задачи № 544, 534, 579, 584, 526.

10-я неделя (начало второй четверти)

1-й, 2-й, 3-й уроки: выполняются разные упражнения на действия с радикалами.

Упражнения: Л. № 820 (2), 823 (2), 824 (2), 828 (2), 829 (2), 830 (2), 834 (3), 385, 391, 394, 379.

4-й урок — проводится контрольная работа на действия с радикалами (умножение, деление, возведение в степень, освобождение от иррациональности в знаменателе).

Приведем один из возможных вариантов:

Выполнить действия:

11-я неделя

Повторение решения квадратных уравнений в общем виде с выводом формул корней полного уравнения:

Упражнения: Л. № 399, 408, 410 (3), 421, 429 (2, 3), 431 (1, 3), 437 (3, 5); повторение: 365 (2, 4), 380 (3).

Решение уравнений с неизвестными в знаменателе. Возможность получения посторонних корней.

Пример.

В задачнике Ларичева, ч. II, в комплекте упражнений за № 837 дано квадратное уравнение, в «ответах» указаны корни:

Нетрудно видеть, что второй корень указан ошибочно, так как он обращает в 0 знаменатель дробей, входящих в уравнение.

На 3-м и 4-м уроках этой недели подводятся некоторые итоги решения задач на составление квадратных уравнений.

Задачи, данные в «Сборнике» Ларичева, могут быть в основном разделены на три группы*: 1) задачи, для которых соответствующие уравнения могут быть составлены путем выражения словесных предложений в математических формулах; 2) задачи, в которых данные и искомые величины связаны между собой функциональной зависимостью вида у = ах, и 3) прочие задачи.

В задачах первой группы формулы, представляющие собой левую и правую части уравнения, составляются путем непосредственной записи условия задачи математическими символами.

Для решения задач второй группы целесообразно, выбрав неизвестное, записать условие задачи в табличной форме.

12-я неделя

Решение задач на составление квадратных уравнений. На 4-м уроке 12-й недели проводится контрольная работа на решение задач путем составления квадратных уравнений. Для этого можно использовать следующие задачи: Л. 605, 608, 609, 610, 613, 621, заменив буквы числовыми данными. В каждый вариант включается только одна задача. От учащегося требуется связное мотивированное объяснение к решению задачи, составляемое по следующей схеме: 1) выбор неизвестного; 2) выражение в математических формулах величин, встречающихся в условии задачи, и выбранного неизвестного; 3) обоснование составления уравнения; 4) решение уравнения; 5) если при решении уравнения все его члены были умножены на выражение, содержащее неизвестное (неизвестное было в знаменателе), то проверка: являются ли найденные корни корнями составленного по условию задачи уравнения; 6) исследование соответствия найденных корней смыслу задачи (проверка решения задачи по ее условию).

Упражнения: Л. № 514, 516, 517, 519, 528, 535, 536, 538; повторение: № 380 (4), 381 (1), 343 (3).

Из указанных здесь задач 1—2 задачи (например, № 519, 536) должны быть решены учащимися с подробным объяснением.

13-я неделя

Свойство корней квадратного уравнения (приведенного и общего). Составление уравнения по его корням. Разложение квадратного трехчлена на множители.

* См. мою обзорную статью в журнале «Математика в школе», 1954, № 1.

При прохождении этой темы возникает следующий вопрос: в VIII классе мы рассматриваем уравнения только во множестве действительных чисел. Поэтому теоремы о свойстве корней квадратного уравнения, а затем и теорему о разложении квадратного трехчлена на множители следовало бы формулировать так: «Если данное квадратное уравнение (квадратный трехчлен) имеет действительные корни, то...». Однако, чтобы позднее (в X классе) не давать новых формулировок, мы полагаем, что указанного ограничения можно не делать, т. е. давать эти теоремы в общей формулировке. Однако при решении упражнений: «чему равна сумма (произведение) корней квадратного уравнения», «разложить данный квадратный трехчлен на множители» — необходимо прежде всего отвечать на вопрос: «Имеет ли данное уравнение (квадратный трехчлен) действительные корни? Если имеет, то... ».

Упражнения: Л. № 454, 456 (2, 3); 457 (4, 5), 462—464, 466 (1, 3), 469 (1, 2), 473—475; 476 (3, 4), 477; повторение: задачи № 529, 553; упражнения: № 394 (3), 394 (1).

14-я неделя

Один урок — продолжение решения упражнений на теоремы о свойстве корней квадратного уравнения.

На последующих уроках разбирается тема «Исследование корней квадратного уравнения». Полезно предложить учащимся следующую схему исследования.

Исследование корней квадратного уравнения:

Далее см. схему на стр. 67.

Упражнения: Л. № 448—451, 453, 478, 483, 487, 488; повторение: Л. № 540, 550, 385. Даем решение некоторых упражнений:

1. Исследовать уравнение:

а) с = — 7 < 0, следовательно, D > 0; уравнение имеет действительные различные корни; b) так как x1х2 = — 21 < 0, то знаки корней различные; с) так как x1 + х2 = + 15 > 0, то абсолютная величина положительного корня больше абсолютной величины отрицательного корня.

2. Составить квадратное уравнение, корни которого были бы числами, обратными корням уравнения ах2 + bх + с = 0 (причем с ≠ 0 и D > 0).

1-й способ. Пусть корни данного уравнения: хг и x2, а корни искомого уравнения: z1 и z2.

Тогда

искомое уравнение:

или

2-й способ. Корни искомого уравнения связаны с корнями данного соотношением

поэтому искомое уравнение

или

3. Найти сумму квадратов корней уравнения

отсюда или

4. Найти сумму кубов корней уравнения

отсюда

или

5. Составить уравнение, отношение корней которого к корням уравнения

равнялось бы m. (Аналогичное упражнение в задачнике сформулировано не совсем удачно: см. задачу № 485.) Дело в том, что понятие «больше — меньше во столько-то раз»

b и с

D

Какие корни

Знаки корней

Пример

Графическая иллюстрация*

b ≠ 0

с < 0

D > 0

Корни действительные, различные

Знаки корней различные, так как

Если b < 0, то x1 + x2 = -b/a > 0, следовательно, абсолютная величина положительного корня больше абсолютной величины отрицательного корня

(Делается схематический чертеж, показывающий расположение точек пересечения параболы с осью абсцисс)

Если b > 0, то абсолютная величина положительного корня меньше абсолютной величины отрицательного корня

c > 0

D > 0

Знаки корней одинаковые, так как

Если b < 0, то x1 + x2 = -b/a > 0, следовательно, оба корня положительные

Если b > 0, то оба корня отрицательные

с > 0

D = 0

Уравнение имеет двукратный корень. Левая часть уравнения есть квадрат двучлена (2ах + b)2 = 0

Если b < 0, то корень положительный

Если b > 0, то корень отрицательный

D < 0

Уравнение действительных корней не имеет

b = 0

c > 0

Уравнение действительных корней не имеет

b = 0 c < 0

Уравнение имеет два действительные знаками:

корня, отличающиеся

b ≠ 0 c = 0

Уравнение имеет два действительные корня, из которых:

b = 0 c = 0

Уравнение имеет двукратный корень

* Эта часть схемы заполняется позже, когда пройдено графическое решение квадратных уравнений.

имеет смысл только для положительных чисел, а корни квадратного уравнения могут быть и отрицательными числами.

1-й способ.

отсюда

Искомое уравнение:

или

2-й способ.

Отсюда искомое уравнение:

или

6. В уравнении 4x2 + kx — 2 = 0 найти k, если отношение корней равно — 8. Имеем;

Отсюда

Соответственно:

15-я неделя

На 1-м уроке проводится контрольная работа на свойства корней квадратного уравнения и на исследование корней. Приведем один из возможных вариантов:

1. Составить квадратное уравнение, если его корни равны:

2. Исследовать корни уравнения, не решая его:

3. При каком значении k уравнение

имеет двукратный корень?

4. Сократить, если возможно, дробь:

На 2-м уроке — решение биквадратного уравнения

заменой x2 = z с приведением его к квадратному уравнению:

Обратить внимание на то, что биквадратное уравнение может иметь или 4 действительные корня, или 2, или ни одного.

На 3-м и 4-м уроках решение задач на составление квадратных уравнений и решение биквадратных уравнений.

Упражнения: Л. № 443(3), 490, 491,546, 548, 551, 554, 556, 630, 631, 635.

16-я неделя

На 1-м уроке дается контрольная работа: решение задачи на составление квадратных уравнений. Можно дать одну из задач: № 615, 618, 627, 617, но с заменой буквенных данных числовыми.

На последних уроках решаются упражнения и задачи по всему курсу первого полугодия.

Упражнения: Л. № 636, 590, 591, 583, 367, 380(4).

При изложенном выше способе прохождения материала почти нет уроков, посвященных только повторению; с другой стороны, нет почти ни одного урока, в плане которого не было бы упражнений по повторению.

Мы начинаем курс не с темы «Степени», а с решения квадратных уравнений; это позволяет почти в течение всего полугодия решать задачи на составление уравнений. Такая система прохождения материала способствует лучшему усвоению понятия уравнения, а одновременное решение уравнений и упражнений на тождественные преобразования дает возможность отчетливее уяснить различие понятий уравнения и тождества.

При решении упражнений на радикалы, содержащие буквы, время от времени надо ставить вопрос об арифметическом значении корня, т. е. устанавливать множества возможных значений букв.

Так, например:

1) Л. № 380 (1, 2), 832 (2), 385.

2) При каком значении х

Ответ. При x ⩾ 0,5.

3) При каком значении х

Ответ. При x ⩽ 0,5.

4) При каком соотношении между a и b

Ответ. При а ⩾ b.

При решении уравнений, содержащих неизвестное в знаменателе, освобождаясь от дробных членов уравнения, правильнее употреблять не широко распространенный термин: «отбросим общий знаменатель», а «умножим все члены уравнения на...».

Не следует забывать, что при решении таких уравнений могут оказаться посторонние корни, поэтому необходимо прежде всего устанавливать, не обращают ли найденные корни в 0 хотя бы один из знаменателей дробей, содержащихся в уравнении.

При проверке решений уравнений надо каждый из найденных корней подставить сначала в левую часть первоначально данного уравнения, а затем — в правую. Получение равных чисел подтверждает, что корень последнего полученного после преобразований данного уравнения является корнем и данного.

(Продолжение в номере 6 с. г.)

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

(способом от противного)

Е. М. БОЛЬСЕН (Киев)

За последнее время среди учительства повысился интерес к задачам на доказательство. Задачи на доказательство заняли свое место не только на уроке, но и стали обязательным элементом домашнего задания. Важность значения задач на доказательство для логического развития мышления учащихся, для прочного и сознательного усвоения программного материала общеизвестна.

В настоящей заметке мы предполагаем остановиться на одном важном приеме, встречающемся при решении задач на доказательство, но мало освещенном в методической литературе, — на приеме решения задач на доказательство методом от противного. Этим приемом доказывается много обратных теорем, особенно в курсе геометрии VI и VII классов, однако учителя им почти не пользуются, ссылаясь обычно на его трудность. Но это не так: наш опыт работы показывает, что ученики с интересом применяют его при решении задач. Применение способа доказательства от противного не только повышает математическую культуру учащихся, но и закрепляет такие трудные понятия, как прямой и обратной теоремы, противоположной обратной. Приведем некоторые примеры.

В VII классе при повторении свойств трапеции ученикам была предложена такая задача:

1. Доказать, что в равнобедренной трапеции, у которой меньшее основание не равно боковой стороне, диагонали не являются биссектрисами углов при основании.

Решаем эту задачу так (черт. 1).

Ученик записывает на доске условие задачи, применяя определение равнобедренной трапеции:

AB = CD, AB ≠ ВС и обозначает углы.

Учитель. Предположим, что диагональ АС является биссектрисой угла А, тогда что можно сказать об углах 1 и 2?

Ученик.

(1)

Учитель. Какой из углов, обозначенных на рисунке, равен углу 2?

Ученик без труда устанавливает, что

(2)

и объясняет, почему.

Учитель. Какой можно сделать вывод относительно величин углов 1 и 5?

Ученик.

(3)

Дальше учащиеся самостоятельно устанавливают, что треугольник ABС — равнобедренный и

(4)

Черт. 1

Учащимся остается сделать вывод. Если они не могут сделать этот вывод самостоятельно, то учитель предлагает одному из учащихся повторить условие задачи и сопоставить условие задачи AB ≠ ВС с полученным результатом:

AB = ВС. (4)

В результате собеседования учащиеся без труда устанавливают, что противоречие получилось потому, что утверждение «диагональ АС является биссектрисой угла A»—неправильно; следовательно, диагональ АС не есть биссектриса угла А.

Необходимо, чтобы учащиеся прочно усвоили, что третьего утверждения быть не может.

Дома ученики должны решить задачу, предположив, что BD есть биссектриса угла D.

На последующем уроке при опросе учащихся было предложено решить задачу при других обозначениях вершин и углов.

Для закрепления теоремы об окружности, вписанной в четырехугольник, ученики под руководством учителя решали такую задачу:

Если в равнобедренную трапецию вписан круг, то боковая сторона равна средней линии трапеции (черт. 2). Перед решением задачи повторили свойства боковых сторон трапеции и свойства сторон описанного четырехугольника.

Предположив, что

(1)

имеем:

(2)

(3)

Следует напомнить ученикам, что AB— CD, тогда не вызовет затруднений и утверждение: AB + CD ≠ AD + BC. (4)

После этого учащиеся сделали вывод, что соотношение (4) невозможно.

Полезно, чтобы после решения задачи учащиеся исследовали вопрос о положении центра окружности, вписанной в трапецию.

В конце года при повторении темы «Окружность» с учениками бьыа разобрана следующая задача:

Доказать, что в круге две пересекающиеся хорды, кроме диаметров, не делят друг друга пополам (черт. 3).

Дано: AM ≠ MB; СМ ≠ MD (хотя бы одно). Предположим, что хорды AB и CD, пересекаясь, делятся пополам, т. е.

AM = MB; MC = MD. (1)

Проведем радиус ОМ через точку М, тогда

(2)

Как показывает опыт работы, ученики сразу не делают вывод из (2), поэтому необходимо проделать подготовительную работу. Учитель предлагает учащимся нарисовать на доске две непараллельные прямые и провести прямую, перпендикулярную к ним обеим; это учащимся не удается, и они делают вывод, что прямые AB и CD параллельны.

Сделав такой вывод, учащиеся без труда устанавливают ошибочность своего первоначального предположения (1).

В VIII классе при решении задач на доказательство мы тоже используем доказательство способом от противного. Приведем пример. Если суммы квадратов противоположных сторон четырехугольника равны, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Доказать (черт. 4).

Прежде чем начать доказательство, ученики припоминают теоремы о квадрате стороны, лежащей против острого и тупого углов, и след-

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

ствия из этих теорем. После этого записывают условие задачи.

Дано: ВC2 + AD2 = AB2 + DC2; доказать, что BD⊥AC.

Учитель. Эту задачу мы будем решать способом доказательства от противного. Итак, что нужно предположить?

Ученики. Диагональ BD не перпендикулярна к АС.

После этого ученики рассматривают углы. Если углы ВОС и AOD — тупые, то углы АОВ и COD — острые. Затем учащиеся из треугольников АВО и COD устанавливают такие неравенства:

(1)

(2)

Учитель замечает, что для доказательства целесообразно сложить почленно неравенства (1) и (2):

(3)

Аналогично устанавливаем такие неравенства:

(4) (5) (6)

Сопоставив соотношения (3) и (6) с условием задачи, делаем вывод, что наше предположение неправильно. Итак, АС⊥BD.

При прохождении темы «Пропорциональные отрезки в окружности» учащимся VIII класса было предложено доказать теорему способом от противного:

Доказать, что в круге две пересекающиеся хорды, кроме диаметров, не делят друг друга пополам.

При проверке домашнего задания оказалось, что учащиеся предложили такой способ (черт. 3).

Предположим, что точка M — середина отрезков AB и CD, тогда известное соотношение:

AM∙MB = CM∙MD (1)

перепишется так:

(2)

следовательно,

(3) (4)

Соединив точки A и D, С и В, получим, что во вписанном четырехугольнике диагонали равны, следовательно, четырехугольник ABCD — прямоугольник, а это возможно, если AB и CD — диаметры, что противоречит условию.

Итак, предположение, что точка M — середина отрезков, неправильно, что и доказывает теорему.

Характерно, что попытки учащихся доказать эту теорему прямо не имели успеха. Необходимо отметить, что доказательство способом от противного встречается в ходе решения более сложных задач.

Так, например, в IX классе при решении задачи:

ABC — вписанный правильный треугольник; AD — треть стороны AB; BE — треть стороны ВС. Доказать, что отрезок DE равен радиусу — необходимо было доказать теорему: Если в треугольнике один из углов 60°, а стороны, образующие данный угол, относятся, как 1:2, то треугольник — прямоугольный (черт. 5).

Найти прямое доказательство данного утверждения на уроке ученикам быстро не удалось, поэтому я предложил учащимся доказать теорему способом от противного. После того как было указано отложить на большей стороне AB меньшую сторону АС, ход доказательства был таким.

Предположим, что угол С ≠ 90°, тогда: △ ACF — равносторонний, так как

AF' = АС (по построению), (1)

и

(2)

Так как

(3)

С другой стороны,

(4)

Следовательно,

(5)

Итак, угол CFB ≠ 120°, но, как смежный с углом CFA = 60°, он должен равняться 120°; получилось противоречие*. Следовательно, △ АСВ — прямоугольный. Мы считаем целесообразным в VIII—X классах при повторении материала из планиметрии за предыдущие годы давать задачи на доказательство способом от противного.

Черт. 5

* Следует, однако, заметить, что прямое доказательство проще приведенного автором. (Ред.)

Например:

1. Доказать, что диагональ параллелограма в общем случае не является биссектрисой угла.

2. Доказать, что диагонали параллелограма в общем случае не равны между собой.

3. Доказать, что диагонали равнобедренной трапеции равны между собой.

4. Доказать, что диагонали равнобедренной трапеции в точке пересечения не делятся пополам.

5. Если два прямоугольные треугольника имеют равные гипотенузы, а катеты не равны, то против большего катета лежит и больший угол, и наоборот.

6. Доказать, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

7. Доказать теорему о средней линии треугольника.

После окончания курса планиметрии в IX классе мы всегда уделяем 2—3 часа на обзорные лекции: «Решение задач на построение», «Решение задач на доказательство», на которых обобщаем обширный геометрический материал, накопленный учениками в процессе изучения систематического курса планиметрии.

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ, РЕШАЕМЫХ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРИГОНОМЕТРИИ

И. М. КИПНИС (Кировоград)

Одной из наиболее существенных целей курса математики средней школы является воспитание навыков исследования функциональной зависимости между конкретными объектами.

«Элементарная алгебра должна воспитывать умение выполнять математические исследования прямыми методами непосредственно на основании определения и известных свойств исследуемых объектов...

В воспитании навыков непосредственного исследования функций элементарная математика имеет огромные возможности»*.

В целях воспитания этих навыков необходимо систематически вводить в решение задач элементы исследования. Особенно ценный объект для исследования представляют собой геометрические задачи, требующие применения тригонометрии, так как их буквенные решения содержат наряду с другими элементарными функциями также и тригонометрические функции.

Данная статья ставит своей целью обсуждение тех требований, которые следует предъявлять в X классе к исследованию геометрических задач, решаемых с применением тригонометрии.

Исследовать задачу — значит рассмотреть наиболее существенные для этой задачи особенности функциональной зависимости ее искомой величины от параметрически заданных величин.

Эта функциональная зависимость аналитически изображается формулой буквенного решения задачи.

Исследование задачи заключается в исследовании формулы ее буквенного решения, причем

должны быть полностью учтены все ограничения, налагаемые на эту формулу содержанием задачи.

В соответствии с этой установкой полное исследование геометрической задачи на вычисление, и, в частности, исследование геометрических задач, требующих применения тригонометрии, рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Определение условий возможности задачи, т. е. нахождение множества допустимых систем значений рассматриваемых в ней величин.

2. Определение в общем случае числа решений задачи.

3. Рассмотрение изменения искомой величины, а также хода изменения формы рассматриваемой геометрической фигуры и в связи с этим — рассмотрение наиболее существенных частных случаев задачи.

Отметим, что далеко не всякая задача требует реализации всех трех пунктов вышеприведенной схемы.

Безусловно, необходимой составной частью исследования всякой задачи является первый пункт. Практически ценность этой составной части исследования определяется тем, что учащийся, зная множество допустимых систем значений параметров, может установить, удовлетворяют ли задаче приведенные в ней числовые данные, а также может подобрать для нее ряд новых числовых данных.

Реализация второго пункта рекомендуемой нами схемы является необходимой составной частью исследования только таких задач, в которых формула буквенного решения выражает искомую величину как неоднозначную функцию. Таковы, например, задачи, приводящие к квад-

* С. И. Новоселов, Специальный курс элементарной алгебры. «Советская наука», М., стр. 4.

ратным, биквадратным или тригонометрическим уравнениям.

Практическая ценность этого пункта нашей схемы очевидна, так как ответ задачи может быть сформулирован лишь после того, как установлено, сколько решений и какие именно решения имеет эта задача.

Третий пункт схемы хоть и не имеет столь существенного прикладного значения, как предыдущие два пункта, но зато является той составной частью исследования, которая более всего содействует развитию у учащихся идей функциональной зависимости*.

Это наиболее трудный в методическом отношении и, следовательно, наиболее «опасный» пункт исследования. Как показывает опыт, основной причиной громоздкости исследования, делающей его малодоступным среднему учащемуся, является чрезмерное усложнение именно этого пункта исследования.

Знакомя учащихся с исследованием задач, следует в равной мере избегать двух крайностей: как чрезмерного увлечения полным исследованием большого количества задач, что не может не привести к недопустимой перегрузке учащихся, так и недооценки того огромного значения, которое имеет для математического развития учащихся систематическое воспитание навыков исследования задач.

Практика подсказывает такое решение этого вопроса.

a) Каждая из решаемых учащимся задач на применение тригонометрии к геометрии должна быть решена с исследованием, но в отношении большинства этих задач исследование ограничивается определением условий возможности задачи, а в тех случаях, когда формула решения выражает искомую величину задачи как неоднозначную функцию, следует требовать также определения числа ответов.

b) В целях основательного ознакомления учащихся с более полным исследованием геометрических задач необходимо, чтобы в X классе в течение учебного года было подвергнуто полному исследованию по всем трем пунктам вышеприведенной схемы 8—10 специально подобранных геометрических задач, имеющих содержательное исследование.

Ниже приводятся образцы таких задач и их исследования.

Задача 1. В параллелепипеде длина трех ребер, выходящих из общей вершины, a, b и с; ребра а и b взаимно перпендикулярны, а ребро с об разует с каждым из них угол α. Определить объем параллелепипеда. (Сборник задач Рыбкина, § 21, № 5.) Ответ:

где

— высота параллелепипеда*.

Исследование. 1. Геометрически очевидно, что множеством допустимых числовых значений для каждой из величин а, b, с и V является все множество положительных чисел.

Чтобы определить множество допустимых числовых значений угла а, применим к какому-либо из трехгранных углов этого параллелепипеда теорему о плоских углах трехгранного угла и теорему о сумме плоских углов выпуклого многогранного угла.

На основании этих теорем получим следующую систему неравенств:

Решив эту систему, получим:

К тому же выводу можно прийти также аналитическим путем.

В самом деле, из формулы

очевидно, что поскольку объем V должен выражаться действительным числом, не равным нулю, подкоренное выражение — cos 2а может принимать только положительные числовые значения.

Следовательно,

а поэтому

Итак, данная задача возможна только при

2. Данная задача имеет только один буквенный ответ, так как, поскольку V > 0, a > 0, b > 0 и с > 0, выражение √—cos2α в формуле для V означает арифметический корень, и следовательно, эта формула выражает V как однозначную функцию аргумента а.

3. Из формулы

очевидно, что V изменяется пропорционально каждому из параметров a, b и с.

* Существенным применением исследования частных случаев задачи является использование этих случаев для проверки общей формулы решения задачи. Этот способ проверки хорошо известен учителям, а поэтому мы здесь на нем не будем останавливаться.

* Чертеж помещен в статье Я. Айзенштат и Б. Белоцерковской (черт. 5), поэтому здесь он опущен. (Ред.)

Пусть a, b и с — постоянны, а угол а — переменная величина, монотонно возрастающая в интервале 45° < α < 135°.

Очевидно, что при α ≠ 90° и любых допустимых числовых значениях a, b и с данный параллелепипед является наклонным, а при α = 90° он становится прямым и к тому же прямоугольным, так как по условию задачи в его основании лежит прямоугольник.

Монотонному возрастанию угла а в интервале 45° < α < 90° соответствует монотонное возрастание выражения]/"—cos2а в интервале 0 < √—cos 2α < 1, a следовательно, монотонное возрастание V в интервале 0 < V < abc, причем на протяжении всего интервала 45° < α < 90° параллелепипед остается наклонным.

При а = 90° параллелепипед становится прямоугольным, а объем его достигает величины, равной abc √—cos 180°, т. е. равной произведению abc трех его измерений.

При монотонном возрастании а в остальной части своей области допустимых числовых значений, т. е. при монотонном возрастании а в интервале 90° < α < 135°, выражение √— cos 2α монотонно убывает в интервале 1 > √cos 2α > 0, и следовательно, V также монотонно убывает в интервале abc > V > 0, причем параллелепипед все время остается наклонным.

Из предыдущего очевидно, что при постоянных a, b и с и переменном а данный параллелепипед имеет наибольший объем при α = 90°.

Отметим, что при α = 90° и с = b = а данный параллелепипед становится кубом, объем которого a3.

Задача 2. Основанием пирамиды SABCD служит равнобедренная трапеция, в которой параллельные стороны а и b (а > b), а неравные отрезки диагоналей образуют угол а; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания; двугранные углы, прилежащие к параллельным сторонам основания, относятся, как 1:2. Определить объем пирамиды (черт. 1).

Ответ:

(Сборник задач Рыбкина, § 21, № 19.)

Исследование. 1. Геометрически очевидно, что

Уточним множество допустимых числовых значений отрезков а и b.

Так как по смыслу задачи V > 0, то в формуле ответа задачи подкоренное выражение а (а — 2b) может принимать только положительные числовые значения, т. е. а (а — 2b) > 0. Отсюда, приняв во внимание, что а > 0, заключаем, что а — 2b > 0; следовательно, а > 2b, т. е. b < a/2.

Итак, данная задача возможна только при

2. Данная задача имеет только один буквенный ответ, поскольку V может принимать только положительные числовые значения, а (а + b)2 и tg2 α/2 также положительны, то в формуле

выражение √а (а — 2b) означает арифметический корень, вследствие чего эта формула выражает V как однозначную функцию.

3. Пусть а и b — постоянные величины, а угол а — переменная величина, возрастающая монотонно.

Из формулы ответа данной задачи очевидно, что так как tg2 при монотонном возрастании α в интервале 0° < α < 480° монотонно возрастает от 0 до ос, то монотонному возрастанию а в интервале 0° < α < 180о соответствует монотонное возрастание V в интервале 0 < V < ∞.

Пусть b и α—постоянны, a отрезок а — величина переменная, монотонно возрастающая в интервале 2b < а < ∞.

Так как монотонному возрастанию а в этом интервале соответствует монотонное возрастание (a + b)2 и √а (а — 2b) соответственно в интер-

Черт. 1

валах

то, как видно из формулы ответа задачи, при монотонном возрастании а в интервале 2b < а < ∞ V также монотонно возрастает в интервале 0 < V < ∞.

Зависимость V от b не может быть исследована элементарными средствами, так как формула

содержит произведение таких двух функций аргумента из которых одна, y1 = (а + b)2, возрастает, а вторая, y2 = √а (а — 2b), убывает с увеличением b.

Изменение величин а, b и α не причиняет существенных изменений форме данной пирамиды.

Поэтому данная задача не имеет существенных (? — Ред.) частных случаев.

Задача 3. Отношение поверхности шара к полной поверхности вписанного в этот шар цилиндра равно m. Определить угол, образованный диагональю и стороной осевого сечения цилиндра (черт. 2).

Черт. 2

Ответ:

Решение. В соответствии с условием задачи составляем следующее уравнение:

После упрощения получим:

(1)

Обозначив искомый угол CAD через х, найдем из прямоугольного треугольника ACD, что

(2) (3)

Из формул (1), (2) и (3) получаем тригонометрическое уравнение:

(4)

Решим это уравнение:

(5)

(б) (7)

Исследование. 1. Геометрически очевидно, что m > 1 и что 0° < x < 90°, а поэтому 0 < tg х < ∞.

Уточним множество допустимых числовых значений m.

Из формул (6) и (7) очевидно, что поскольку x и tg x должны выражаться действительными числами, то

Корнями уравнения

являются:

причем m2 отбрасываем, так как по смыслу задачи m > 1 и поэтому не может быть отрицательным.

Следовательно,

Таким образом, множество допустимых числовых значений m есть полуинтервал

2. Формула (7) выражает х как двузначную функцию аргумента m, но задаче удовлетворяют только положительные значения этой функции, т. е. те значения х, которым соответствуют положительные корни уравнения (5).

Исследовав уравнение (5) по дискриминанту и коэффициентам, найдем, что

а)

следовательно, если

b)

и поэтому если

с)

следовательно,

и поэтому

Отсюда заключаем, что:

а) При m = √5 — 1 задача имеет только один ответ:

b) Каждому числовому значению m в интервале 2 > m > √5—1 соответствуют два числовые ответа, вычисляемые по формулам:

c) При m = 2 задача имеет только один ответ:

d) Каждому числовому значению m > 2 соответствует только один числовой ответ, вычисляемый по формуле:

3. Из формулы (7) очевидно, что с возрастанием m возрастает также x1*. Поэтому, как следует из формул (2) и (3), с увеличением m уменьшается диаметр и возрастает образующая соответствующего вписанного в данный шар цилиндра.

Рассмотрим частный случай, когда цилиндр, вписанный в шар, является равносторонним. Очевидно, что в этом случае х = 45°, a tg х = 1,

Полагая в уравнении (5), что tgx = 1, получим:

откуда

Следовательно, поверхность шара в 1 1/3 раза больше полной поверхности вписанного в него равностороннего цилиндра.

Заметим, что так как m = 1 принадлежит интервалу 2 > m > √5 — 1, то при этом значении m задача имеет два ответа:

Таким образом, при m = 1 1/3 задаче удовлетворяют два цилиндра, вписанные в шар: один — равносторонний, а второй, в котором образующая составляет 1/3 диаметра.

8 имеющихся сборниках задач на применение тригонометрии к геометрии (в стабильном сборнике и в ряде других сборников, например в задачниках Исакова и Барыбина, Погорелова, Шахно) учитель найдет немало задач, имеющих интересное исследование. В частности, из задач стабильного сборника наибольший интерес для исследования представляют следующие задачи: § 19, № 9, 14; § 20, № 2; §21, № 3,5, 6. 8, 17, 19, 24; § 22, № 10, 12.

Как уже было нами указано в начале данной статьи, равным образом является методически неправильным как игнорирование исследования, так и чрезмерное увлечение сложными и громоздкими исследованиями задач.

Ниже дадим, ссылаясь на вышеприведенные образцы исследования геометрических задач, ряд указаний, которые помогут учителю упростить полное исследование учащимися геометрических задач.

Множество допустимых числовых значений величин геометрической задачи определяются на основании соответствующих геометрических соображений, исходя из геометрического содержания этих величин и их взаимной связи, обусловленной свойствами геометрической фигуры и ограничениями, наложенными на нее условиями задачи.

Часто случается, что множество допустимых числовых значений параметра геометрической задачи может быть определено не только геометрическим путем, но также путем аналитического рассмотрения формулы решения.

В таких случаях рекомендуется применить оба метода, определив множество допустимых числовых значений параметра сначала геометрическим путем, а затем и аналитически.

Однако в тех случаях, когда нахождение множества допустимых числовых значений параметра задачи геометрическим путем сопряжено со значительными трудностями, а аналитически выполняется сравнительно легко, тогда, во избежание чрезмерной перегрузки учащихся, следует ограничиться только аналитическим нахождением этого множества (см., например, задачу 3).

* Исследование зависимости x2 от m опускаем вследствие его большой сложности.

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРИГОНОМЕТРИИ

А. А. ЧЕБАЕВСКАЯ (Иваново)

В последнее время редакция журнала с Математика в школе» выдвинула вопрос об исследовании решения задач по геометрии с применением тригонометрии для широкого его обсуждения со стороны научных работников и учителей-практиков (журнал № 2 за 1954 год).

Методической литературы по данному вопросу очень мало, поэтому обмен даже небольшим опытом приобретает особое значение.

В настоящей работе приводится исследование решения нескольких задач на вычисление из курса X класса. Задачи взяты преимущественно из задачника по тригонометрии Н. Рыбкина, причем ни в одной из указанных задач условием не предусмотрено исследование. Нами при исследовании выявляются предельные значения углового параметра полученной общей формулы. Происходящее при этом «вырождение» геометрических образов рассматривается в задачах обобщающего характера и в задачах, представляющих особый интерес в смысле исследования. Всякий же раз рассматривать «вырождение» геометрических образов в условиях средней школы пока неосуществимо по причине малого количества времени, отводимого по учебному плану на решение задач. Даже при таком несколько ограниченном варианте исследования, как показал опыт, идея качественного перехода одной геометрической формы в другую хорошо воспринимается учащимися и вполне отвечает следующим основным целям постановки исследования в средней школе:

1. Указание на условия применимости выведенной общей формулы приводит к точности ответа, поэтому должно считаться естественным и необходимым моментом при решении задачи.

2. Выявление предельных значений углового параметра служит проверкой возможности применения заданного в условии (для многих задач) численного его значения.

3. Учащиеся приобретают твердые навыки в исследовании общих формул, которыми им придется пользоваться в дальнейшем в вузах и на производственной работе.

4. Умение анализировать общую формулу, как правило, приводит к умению решать и специальные задачи на исследование.

5. Процесс исследования устанавливает соответствие аналитических выводов с чисто геометрическими положениями, приучает учащихся внимательно всматриваться в полученные ответы и проверять их, расширяет пространственные представления учащихся, дисциплинирует ум.

I. Общие положения для исследования формул

Почти каждая задача имеет свои специфические особенности, поэтому при исследовании формул решения необходимо наличие общей математической грамотности ученика.

Все же нужно отметить, что из курса тригонометрии учащиеся должны хорошо знать числовые значения тригонометрических функций часто встречающихся углов, изменение величины тригонометрических функций при изменении величины углов и формулы приведения. Из курса геометрии, как показал опыт, наиболее часто применяются при исследовании формул следующие теоремы, подлежащие изучению еще в IX классе:

1. Если из внешней точки на плоскость проекций проведены равные наклонные, то угол между ними меньше угла между их проекциями на плоскость.

2. Проекция острого угла, одна сторона которого (и только одна) параллельна плоскости проекций или лежит в ней, меньше самого угла.

3. Проекция тупого угла, одна (и только одна) сторона которого параллельна плоскости проекций или лежит в ней, больше самого угла.

4. Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций или лежит в ней, то проекция прямого угла — также прямой угол.

5. В трехгранном угле каждый плоский угол менее суммы двух других плоских углов, но больше их разности.

6. Во всяком выпуклом многогранном угле сумма всех плоских углов меньше 360°.

7. В многогранном угле, имеющем n плоских углов, сумма его двугранных углов менее 180°n, но более 180°n — 360°.

Следствие. Во всяком трехгранном угле сумма двугранных углов менее 540° и более 180°.

Нам приходилось в течение нескольких лет проводить исследование чисто геометрических задач и задач с применением тригонометрии. Нами подчеркивалось, что необходимо всматри-

ваться в полученный ответ при решении задачи, проверять пригодность выведенной формулы решения при разных значениях углового параметра, чтобы выявить предельные его значения и результат отразить при записи ответа.

II. Примеры исследования общих формул

Задача 1, (Рыбкин, § 19, № 14.) В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а и составляет с боковым реб ром угол α. Определить площадь сечения, проведенного через боковое ребро и высоту пирамиды (черт. 1).

Имеем:

Исследование. Из полученного ответа видно, что он имеет смысл только при α ⩾ 30°, в противном случае множитель sin (а — 30°) неположителен. При а = 90° формула теряет смысл, следовательно (?—ред.) α < 90°.

На основании чисто геометрических соображений можно подтвердить, что правильная треугольная пирамида может существовать только в том случае, если сторона основания составляет с боковым ребром угол, больший 30°, но меньший 90°. Для этого рассмотрим какой-нибудь трехгранный угол при основании; плоские его углы суть: а, а и 60°. В каждом трехгранном угле сумма двух плоских углов должна быть более третьего плоского угла, или 2α > 60°, откуда α > 30°. При α = 90° боковые ребра пирамиды становятся параллельными между собой, следовательно, α < 90°*. Ответ:

Задача 2. (Рыбкин, § 19, № 33.) В треугольной пирамиде плоские углы при вершине равны α, а и ß. Боковое ребро, служащее общей стороной равных углов, перпендикулярно к плоскости основания и равно а.

Определить боковую поверхность и объем этой пирамиды (черт. 2).

Решив задачу, получим формулы: боковая поверхность

и объем пирамиды

Исследование. Из формулы для объема ясно, что задача не имеет решения, если β/2 ⩾ α, так как в этом случае множитель sin(α — β/2), находящийся под корнем, не положителен.

Геометрические соображения. Плоские углы при вершине пирамиды равны а, α и β. Но

откуда

С другой стороны,

откуда

Ответы:

Задача 3. (Рыбкин, § 20, № 2.) В равностороннем цилиндре, радиус основания которого равен R, точка окружности верхнего основания соединена с точкой окружности нижнего основания. Соединительная прямая образует с плоскостью основания угол α. Определить кратчайшее расстояние между этой прямой и осью цилиндра (черт. 3).

В задаче требуется определить кратчайшее расстояние между двумя непараллельными и непересекающимися прямыми OO1 и КМ, это есть отрезок прямой линии OF, перпендикуляр-

Черт. 1

Черт. 2

* Критические замечания по поводу образцов исследования см. в редакционной статье С. И. Новоселова.

ный к обеим данным прямым; другими словами, нужно найти длину перпендикуляра OF, опущенного из центра основания О на проекцию наклонной КМ на плоскость основания. Выполнив решение, получим:

Исследование. Чтобы выражение √—cos 2α было положительным, необходимо следующее условие: α > 45°.

Геометрические соображения. Прямая KM1 в осевом сечении цилиндра KNM1L образует с плоскостью основания угол KM1N = 45°, так как треугольник КM1N— прямоугольный и равнобедренный (цилиндр равносторонний) имеем OF = 0. Для всякого же другого сечения угол α > 45°. При сближении точки M с N треугольник KMN остается прямоугольным, но MN становится меньше NM1 (хорда меньше диаметра). Угол а увеличивается при приближении точки M к N, причем предельное его значение есть 90°. В этом случае прямая КМ сливается с прямой KN. Отрезок OF при движении точки M по окружности до точки N увеличивается по длине и достигает предельной величины — длины радиуса, когда КМ сливается с KN.

Если продолжить движение точки M по окружности, то а будет убывать от 90° до 45°.

Возвратясь к рассмотрению формулы для OF, убеждаемся, что сделанные нами выводы верны, так как при α = 90° OF = R (? — ред.)

Ответ:

Задача 4. (Рыбкин, § 20, № 23.) В усеченном конусе высота равна h; образующая составляет с плоскостью нижнего основания угол а и перпендикулярна к диагонали осевого сечения, проходящей через верхний конец этой образующей. Определить боковую поверхность усеченного конуса (черт. 4).

Имеем радиусы нижнего и верхнего оснований:

боковая поверхность

Исследование. Из рассмотрения формулы L = πh2sec α устанавливаем, что она теряет смысл в том случае, если α = 90°, следовательно, α ≠ 90°. Между тем при решении этой задачи для радиуса верхнего основания r получилось значение с минусом, а именно:

Так как радиус r — величина положительная, то множитель ctg 2α непременно отрицателен, что возможно при 2α > 90°, или α > 45°. Таким образом, исследование двух формул позволяет сделать вывод о допустимых значениях угла α: 45° < α < 90°.

Из рассмотрения прямоугольного треугольника ABD можно доказать геометрически то же самое положение. В треугольнике ABD угол DBA = α — всегда острый; кроме того, а 45°, так как AD > DB (в равнобедренной трапеции диагональ всегда больше боковой стороны, ибо проекция АЕ больше проекции BE).

Ответ:

Черт. 3

Черт. 4

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О КНИГЕ Д. М. СМЫЧНИКОВА «ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ НА МЕСТНОСТИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ»

А. И. МОЖАЕВ (Ворошиловград)

Рецензируемая книга содержит описание основных форм и методов работы с простейшими геодезическими инструментами и определяет объем измерительных работ в курсе математики средней школы. В книге подробно, методически последовательно и достаточно аргументированы способы работы с эккером, мензулой, универсальным угломером, компасом и другими простейшими геодезическими инструментами. На многих примерах, взятых из практики работы с учащимися V—X классов, автор убедительно показывает сущность и особенность работы с каждым инструментом в отдельности.

Учитель, слабо владеющий простейшими измерительными инструментами, в книге найдет некоторый материал, после изучения которого он более или менее успешно справится с выполнением школьной программы по измерительным работам. Надо признать весьма удачной рекомендацию и описание устройства универсального школьного угломера конструкции автора рецензируемой книги Д. М. Смычникова. Этот угломерный инструмент прост по устройству, практичен в работе и вполне отвечает школьным требованиям. Наш опыт работы с универсальным угломером позволяет настойчиво рекомендовать этот прибор в качестве полезного пособия для школы.

В книге рассматривается большое количество различных примеров и задач для каждого года обучения, дается хорошее описание их решений, что окажет помощь как начинающим, так и достаточно опытным учителям, но еще практически мало проводившим полевые работы.

Автор пособия приводит целый ряд форм учета выполнения измерительных работ. Все эти формы хорошо продуманы, просты и удобны в работе.

Книга снабжена многими чертежами, тщательно исполненными, которые значительно облегчат работу учителя. Хорошо и то, что автор четко определил объем и содержание практических работ по каждому году обучения и в связи с этим дал методические указания к их выполнению. Именно такой прием рассмотрения фактического материала по геодезии надо признать наиболее удачным.

Опыт, накопленный нами в результате проведения полевых работ с учащимися, дает некоторый материал для критических замечаний по содержанию книги.

1. Раздел «К организации школьных измерительных работ» (стр. 25—29) написан неудовлетворительно. Учитель в нем не находит ответов на вопросы, вызываемые практикой организации занятия. Вместо конкретных методических советов автор часто прибегает к общим декларативным формулировкам. Вот некоторые из них:

«...все виды практических работ на местности должны быть организованы так, чтобы каждый учащийся класса проделал самостоятельно определенный круг практических упражнений... Достигнуть этого можно, только проводя работу фронтально и точно разграничивая один этап от другого...». Несколько ниже читаем еще: «Работа на местности от начала и до конца должна быть правильно организована и иметь ясную педагогическую цель. Только тогда она будет в полном соответствии с учебно-воспитательными задачами, и учащиеся будут работать и умом, и руками» (стр. 26). Известно, что учитель в методическом пособии меньше всего ищет общих суждении. Он хочет видеть в нем конкретный и передовой опыт, опираясь на который он мог бы более успешно справляться с новыми для него задачами.

В рассматриваемом разделе автор этого не учел и написал поверхностное повествование по поводу организации занятий. Так, на страницах 26—28 он пишет о том, что для практических работ класс надо делить на звенья. Это верно, но этого указания недостаточно, так как оно ничего не дает учителю, практически не проводившему полевых работ. Непосредственный опыт организации учебных звеньев подсказывает нам три мысли:

а) Образованные для практических работ ученические звенья не должны быть постоянными. В нашей работе они остаются лишь в течение одного полевого занятия. Каждый новый выход в поле требует создания и новых звеньев. Это педагогическое требование диктуется тем, что оставление учебного звена на более длительное время так или иначе будет способствовать делению ученического классного коллектива на мелкие группы и противопоставлять учебные звенья пионерским звеньям.

б) На время занятий в поле в каждом звене должен быть учителем назначен звеньевой, который выступает в роли старшего учащегося. Он отвечает

за сохранность инструментов, которыми пользуется звено, за выполнение звеном учебного поручения и следит за тем, чтобы каждый ученик звена выполнил лично все виды практических работ. Учитель не может обеспечить в поле должного наблюдения за работой всех учащихся класса; не исключена возможность, что отдельные учащиеся будут уклоняться от выполнения работ, которые им не нравятся. Звеньевой, как показывает наш опыт, оказывает учителю значительную помощь в более успешной организации практических работ. В своей практике мы не допускаем, чтобы звеньевой оставался звеньевым в классе и выполнял эти обязанности на двух или трех выходах в поле. Каждый новый выход в поле сопровождался назначением и новых звеньевых. Эта организационная сторона имеет свой педагогический смысл. Поочередное выполнение обязанностей звеньевого создает возможность всем учащимся испробовать свои силы в руководстве учебным звеном.

в) В звене должны быть мальчики и девочки, сильные и слабые учащиеся. Без руководящей роли учителя организацией учебных звеньев последние могут оказаться неработоспособными.

Эти вопросы, как нам кажется, и должны бы быть достаточно всесторонне освещены в разделе, посвященном организации занятий.

2. Рецензируемая книга предназначена для учителя математики. Круг рассматриваемых вопросов выходит за рамки школьной программы и имеет целью дать учителю, с одной стороны, элементарное, но научное изложение основ геодезии, а с другой стороны — дать ряд методических советов по проведению практических работ на местности. С этой точки зрения рецензируемая книга не удовлетворяет учителя. Она не дает ему достаточно материала, чтобы было можно овладеть фактической стороной предмета и затем справиться с новым для учителя делом — полевыми работами. Высказанную мысль проиллюстрируем некоторыми примерами.

Изложение одной и той же темы автор разрывает на несколько частей. Фактический материал темы он излагает в рамках того или иного школьного класса. Так, например, тема «Нивелирование» разделена на четыре части и освещается в четырех разных местах книги: страница 70, потом страница 77, далее автор к этому вопросу возвращается на странице 103, а потом на странице 106. Учет работы излагается на страницах: 36, 58, 79, 98, 109, 113. Масштаб — на страницах 52 и 93 и т. д.

К чему ведет такая клочкообразность в изложении материала?

Во-первых, к тому, что учитель встречается в самой книге с некоторыми искусственными препятствиями, не дающими ему в определенной и строгой системе увидеть весь объем изучаемой темы; прочитав все разделы, он получит представление о предмете только в пределах школьного учебника. Написана книга для учителя математики, но о фактическим материалом для учащихся школы. Книга таким образом не может поднять уровень знаний учителя.

Во-вторых, стремление автора ограничить книгу только рамками школьного материала привело к тому, что он не сумел показать учителю место геодезических работ в практике и осветить связь геодезии с геометрией.

Поясним сказанное на одном примере. Разве учителю, работающему в восьмых классах, не важно самому знать методы построения плана в прямоугольной системе координат или деление планов, имеющих треугольную, четырехугольную или многоугольную форму на наперед заданные части? Это важно учителю, и подобные вопросы должны быть освещены именно в этой книге, коль скоро она пред» назначена в качестве пособий для учителя.

Учитель математики продолжает ожидать книгу по основам геодезии и по методике проведения полевых работ. С этой точки зрения рецензируемая книга не удовлетворяет учителя.

3. Опираясь на собственный опыт и опыт коллег по школе № 12 гор. Ворошиловграда, практически проводивших геодезические работы с учащимися на местности, мы решительно выступаем против рекомендации автора требовать отчеты о выполненной работе не персонально от каждого ученика, а от учебного звена. Д. М. Смычников пишет: «В результате работы по измерениям на местности представляется каждым звеном VII класса следующая документация...» (стр. 79). На странице 98 читаем: «В результате выполнения в VIII классе работы звенья представляют следующую документацию...». На странице 109: «В результате практической работы на местности учащиеся девятого класса составляют следующую документацию (по звеньям)». Подобные утверждения читаем на страницах 36 и 58. Из приведенных цитат видно, что автор пособия отрицает индивидуальную работу учащихся, подводящую итоги работы ученика и показывающую его знания. В самом деле, какую оценку знаний может поставить учитель в классный журнал персонально данному ученику, если он располагает не работами каждого ученика в отдельности, а отчетной карточкой учебного звена? Ясно, что учитель либо откажется оценивать навыки учащихся, либо будет вынужден поставить всем членам учебного звена единую оценку. В первом случае учитель не будет оценивать навыки учащихся, приобретенные ими в результате практических работ, учитель утратит возможность руководить работами учащихся, он не будет знать действительных знаний и навыков учащихся и тем самым не сможет свое-временно оказать определенную помощь тому или иному ученику. Во втором случае, когда будет ставиться единая оценка всем членам звена, учитель вольно или невольно станет на путь подмены индивидуального учета знаний учащихся коллективным, что осуждено решениями ЦК ВКП (б) о школе. Легко понять, что такая система учета практических работ будет ослаблять дисциплину учащихся, способствовать развитию лени и безответственности. В этих случаях практические работы из крайне необходимой формы воспитания и обучения учащихся перерастут в свою противоположность. Они станут вредными в системе учебно-воспитательной работы. Опыт нас научил иному. В нашей практике звено выступает только организационной формой выполнения каждым в отдельности учеником практического задания. Такая постановка вопроса совершенно исключает оценку работы учебного звена и предполагает только оценку знаний и навыков персонально каждого ученика в отдельности.

4. Совершенно непонятна причина, почему автор пособия исключил из рассмотрения такой важный раздел, как изучение наиболее часто употребляемых топографических знаков. Известно, что построение планшета глазомерной съемки, составление схемы севооборота колхозных полей, составление плана размещения полей и построек совхозного хозяйства и множество других работ требуют знания топографических знаков и умения ими пользоваться при составлении различных планов. Без знания определенного минимума этих знаков нельзя успешно спра-

виться с поставленной в рецензируемой книге задачей.

Автор пособия обошел этот вопрос молчанием и тем самым поставил учителя в весьма большое затруднение. Наш опыт подсказал, что ученики уже к концу VII класса должны владеть определенным минимумом топографических знаков. Двухлетняя практика по проведению полевых работ показывает, что двадцати-двадцати пяти знаков для этого вполне достаточно. Дело остается за тем, чтобы установить необходимый минимум топографических знаков. Учитель ожидает, что этот вопрос найдет свое решение на страницах печати и тем самым будет внесена ясность не только в постановку полевых работ, но и технику оформления чертежей.

Несмотря на целый ряд неоспоримых достоинств рецензируемого пособия, книга все же не удовлетворяет возросших вопросов учителей. Они продолжают ожидать нового, более глубокого руководства.

О КНИГЕ В. Н. МОЛОДШЕГО «ОСНОВЫ УЧЕНИЯ О ЧИСЛЕ В XVIII ВЕКЕ»

(Пособие для учителей, Учпедгиз, 1953)

И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

Рецензируемая книга при перелистывании может показаться работой обычного диссертационного характера, устанавливающей документальными ссылками на источники, факты, исправляющей распространенные неточности, но не имеющей прямого практического значения для учителя. Такой взгляд на настоящую книгу был бы в корне неправильным. Надо со всей определенностью подчеркнуть, что книга в. Н. Молодшего является именно пособием для учителя, которое следует серьезно изучить каждому преподавателю арифметики и алгебры.

На протяжении XVIII в. разрабатывались основы современных взглядов почти на все основные идеи элементарной математики, в XVIII в. появились первые русские учебники математики, в этом веке происходила полемика крупных математиков по основам науки. Все это делает более детальный обзор истории развития понятия числа в XVIII в. крайне важными и поучительным для преподавателя математики.

Автор рассматривает в первых главах (I—IV) взгляды математиков XVII и XVIII вв. на математическую строгость, на предмет и методы математики, на число, иллюстрируя примерами известное высказывание Энгельса о метафизичности этих взглядов. Далее последовательно в отдельных главах книги дается картина попыток обоснования арифметики натуральных, дробных, иррациональных, отрицательных и комплексных чисел. Все изложение очень обстоятельно документировано ссылками на первоисточники, что одно уже придает книге чрезвычайную ценность как библиографическому указателю по всем вопросам арифметики. Автор проявил детальное знание русской математической литературы XVIII и XIX вв., изложив взгляды ряда мало популярных авторов. Учитель найдет в книге очень большое число приемов изложения разных вопросов учения о числе, которые в современных учебниках отсутствуют, но которые заслуживают внимания и могут быть частично использованы в классе или во внеклассной работе. Вместе с тем учитель узнает, с какими трудностями и какими извилистыми путями научная мысль двигалась на пути установления современных взглядов на основы арифметики. Отдельные трудности, встреченные при этом, скажем, Даламбером, Карно, Эйлером при толковании отрицательных чисел, предупреждают учителя о тех трудностях, которые возникают и у современного ученика в этих вопросах. Исторический обзор хода мысли XVIII века дает учителю полезные методические указания о том, как предусмотреть и преодолеть эти трудности в преподавании.

Книгу В. Н. Молодшего нужно горячо рекомендовать вниманию учителя математики.

ПО ПОВОДУ КНИГИ В. Н. МОЛОДШЕГО «ОСНОВЫ УЧЕНИЯ О ЧИСЛЕ В XVIII ВЕКЕ»

К. С. БОГУШЕВСКИЙ (Москва)

Книга В. Н. Молодшего — одна из самых необходимых книг для учителя математики, причем не только старших классов, но и V—VII классов. В этой книге, с одной стороны, дается изложение фактической истории развития арифметики натуральных чисел, чисел дробных, иррациональных, положительных и отрицательных и, наконец, комплексных.

С другой стороны, ряд глав книги (I, II и III) посвящен разработке вопросов обоснования математики н понятия математической строгости. В этих главах противопоставляется диалектический метод решения указанных вопросов метафизическому. Ни одна из книг и статей, появляющихся в печати и рассчитанных на массового читателя, не может идти в сравнение с книгой В. Н. Молодшего по обстоятельности изложения и богатству содержания. Однако некоторые особенности структуры книги делают чтение ее довольно затруднительным для некоторой части учительства.

Чисто историческая часть книги читается легко: написана она очень ясно, иллюстрирована большим числом примеров, очень полно документирована цитатами из первоисточников и ссылками на них. Внимательное изучение этой части книги В. Н. Молодшего хорошо ориентирует учителя в вопросах фактической истории математики (арифметики) и, в частности, истории развития понятия о числе. Ознакомление с этими вопросами учащихся представляло для многих учителей трудную задачу вследствие недостатка литературы. Книга В. Н. Молодшего безусловно облегчит учителю решение указанной задачи.

Главы книги, посвященные вопросам философского характера (глава I, II и III), изложены так, что содержание их становится вполне ясным читателю после прочтения всей книги в целом. Читателю же. начавшему чтение книги именно с этих первых глав,

понимание их будет даваться с большим напряжением, в особенности если читатель не слишком компетентен в вопросах обоснования математики.

Причина такой трудности понимания I—III глав книги заключается, повидимому, в том, что положения, устанавливаемые в этих главах, почти не иллюстрируются примерами, причем особенно обделенной в этом отношении оказывается глава I, наиболее новая и оригинальная по содержанию.

Правда, все последующее содержание книги в известной мере является иллюстрацией к общим положениям, устанавливаемым в указанных главах, но это обстоятельство не может облегчить положение читателя, начавшего изучать книгу с первых глав.

Например, на странице 11 автор устанавливает положение о том, что «достигнув определенного уровня, фактическое содержание математики перерастает как существующие способы его обоснования, так и отвечающее им понимание математической строгости». Чтобы это очень важное положение облечь в конкретную форму, читатель должен будет напряженно поработать, и далеко не каждому удастся найти эту конкретную форму, т. е. отыскать примеры, иллюстрирующие данное положение. Не проще ли было это сделать автору книги?

Мне известны случаи, правда единичные, что от чтения книги В. Н. Молодшего отказывались, сочтя изложение именно первой главы «слишком недоступным». Поскольку книга В. Н. Молодшего предназначена для массового читателя и в особенности для читателя, недостаточно полно знакомого с философскими вопросами математики, изложение глав I и III (главным образом I) должно быть сделано в последующих изданиях книги более конкретным.

По поводу содержания остальных глав книги можно высказать только несколько отдельных замечаний частного характера.

В главе VI очень полезным и ценным представляется противопоставление современного обоснования арифметики рациональных чисел обоснованию, применявшемуся в XVII в.

Конечно, такое противопоставление провести в сколько-нибудь популярной форме возможно не всегда, но все-таки расширить в книге применение этого приема изложения было бы желательно.

В книге несколько раз упоминается об арифметизации математики, следовало бы где-нибудь разъяснить это понятие. Не все ясно в изложении § 11 главы V. Следовало бы разъяснить смысл утверждения, что принцип математической индукции выражает характеристическое свойство натурального ряда чисел. В § 14 главы V указывается, что в XVIII в. «арифметика натуральных чисел освобождается от опеки геометрии», а несколько выше (стр. 57) утверждается, что «встречались математики, полагающие необходимым обосновать учение о числе целиком на базе геометрии», и что «число их к концу века несколько возросло». Приведенные цитаты как будто противоречат одна другой. На стр. 67 неудачно напечатано: «ac/b надо разделить на d2». Цифра «2» должна означать вторую сноску, а у читателя первым возникает намерение прочесть ее в качестве показателя степени.

В заключение считаю необходимым отметить, что книга В. Н. Молодшего уже многим учителям помогла провести в школе содержательные беседы по вопросу развития понятия о числе.

МЕТОДИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ВОПРОСАМ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛАХ РАБОЧЕЙ И СЕЛЬСКОЙ МОЛОДЕЖИ

Л. У. ТЕСТОЕДОВ (Свердловск)

За одиннадцать лет существования школ рабочей и сельской молодежи учителя математики накопили определенный опыт работы, который освещен в ряде статей, помешанных в методических сборниках и в журнале «Математика в школе». Разбросанность этого материала в значительной мере затрудняет работу учителей школ молодежи.

С целью выявления и некоторой систематизации имеющейся методической литературы по вопросам преподавания математики в школах рабочей и сельской молодежи и составлена настоящая библиография.

Библиография состоит из двух разделов и содержит литературу, изданную только центральными издательствами— Учпедгизом и АПН РСФСР.

Первый раздел содержит ряд названий общеметодического характера, необходимых в работе каждого учителя математики ШРМ.

Во втором разделе помещены методические сборники и статьи, описывающие опыт работы лучших учителей математики школ молодежи.

I. Методические письма, указания и пособия

1. Указания учителям о прохождении программ V—VII классов средней школы в школах сельской молодежи, раздел 4. Математика... 47—77, Учпедгиз, М., 1947.

2. Указания учителям школ рабочей молодежи о прохождении программ средних школ, вып. III. Математика, черчение, V—X классы, Учпедгиз, М., 1948.

Содержание: 1) В П. Плодухин, Указания о прохождении программ по математике V—X классов, стр. 3—66.

2) М. Д. Осипцев, Об улучшении преподавания математики в VII и X классах школ рабочей и сельской молодежи. Инструктивно-методическое письмо, стр. 67—157.

3) Н. И. Ткаченко, Указания о прохождении программ по черчению, стр. 158—184.

3. Указания учителям школ рабочей и сельской молодежи о планировании учебного материала, изд. 2, исправл. и дополн., изд. АПН РСФСР, М., 1952, 56 стр.

4. Об учете знаний учащихся в школах молодежи. Методическое письмо, Учпедгиз, М., 1949.

5. М. П. Трутнева, О содержании и формах методической работы в школах рабочей и сельской молодежи, изд. 2, исправл. и дополн., Учпедгиз, М. 1951.

6. И. М. Богданов, С. Д. Борисов, И. С. Ершов, П. В. Стратилатов, Вопросы преподавания математики в школах рабочей молодежи. Пособие для учителей, Учпедгиз, М., 1952.

7. Об организации и проведении консультации в школах рабочей молодежи. Методические указания, изд. 2, исправл. и дополн., Учпедгиз, М., 1953.

8 Я. Ф. Чекмарев, Методика обучения арифметике в школах рабочей молодежи, «Педагогическая библиотека учителя», изд. АПН РСФСР, М., 1953, 442 стр.

9. Материалы научно-практической конференции работников школ рабочей молодежи. Сборник докладов, Учпедгиз, М., 1953.

II. Из опыта работы учителей ШРМ. Методические сборники и книги

1. Самостоятельная работа учащихся школ рабочей молодежи (Из опыта работы учителей), составила М. П. Трутнева, Учпедгиз, М., 1951.

Сборник содержит семь статей, из них две по математике: 1) А. Н. Илькевич, О выработке у учащихся навыков самостоятельной работы при изучении математики, стр. 26—43; 2) Ц. М. Хуторецкая, Самостоятельная работа учащихся на уроках геометрии, стр. 44—51.

2. Преподавание математики и физики в школах рабочей молодежи, «Педагогическая библиотека учителя». Сборник статей под ред. Н. П. Суворова, изд. АПН РСФСР, М., 1951.

Содержание: 1) М. Д. Осипцев, О преподавании математики в V—VII классах школ рабочей и сельской молодежи, стр. 3—67) ; 2) Б. А. Игнатьев, О приучении учащихся к самостоятельной работе по математике, стр. 68—79; 3) Н. В. Гнусов, Из опыта повторения математики в X классе школ рабочей молодежи, стр. 80—103.

3. Из опыта преподавания математики в школах рабочей молодежи, «Педагогическая библиотека учителя». Сборник статей составил Я. Ф. Чекмарев, изд. АПН РСФСР, М., 1952.

Содержание: 1) И. М. Богданов, Опыт работы с поступающими в школу рабочей молодежи после длительного перерыва в занятиях, стр. 9—30; 2) А. Я. Модель, Из практики преподавания в школах рабочей молодежи, стр. 31—39; 3) Н. В. Гнусов, Устные занятия по математике в IX—X классе, стр. 40—63; 4) Т. И. Павук, Опыт преподавания арифметики в V классе, стр. 64—79;

5) Н. К. Здравомыслова, Письменные контрольные работы по алгебре в VII классе, стр. 80—85;

6) С. А. Борисов, К изучению неравенств в X классе школ рабочей молодежи, стр. 86—99;

7) П. И. Китайгородский, Обратные тригонометрические функции, стр. 100—130.

4. «Из опыта работы учителей школ рабочей молодежи», составила М. П. Трутнева, Учпедгиз, М., 1952.

Сборник содержит девять статей, из них три по математике: 1) А. Н. Колотилов, Развитие речи учащихся на уроках математики, стр. 57—64; 2) В. В. Ревзин, Числовые последовательности, стр. 65—105; 3) Ц. М. Хуторецкая, Устранение пробелов в знаниях учащихся по математике, стр. 106—118.

Статьи, опубликованные в журнале «Математика в школе»

1. М. В. Носов, О рационализации педагогического процесса в школах рабочей молодежи. 1949, № 6, стр. 33—35.

2. В. М. Розентуллер, Из опыта преподавания математики в школах рабочей молодежи, 1949, № 6, стр. 30—33.

3. И. М. Богданов и В. А. Лекторский, Процентные вычисления в школах рабочей молодежи, 1952, № 3, стр. 32—41.

4. К. Е. Агринский, Из опыта работы в школе рабочей молодежи. Рациональные приемы вычислений и решения задач, 1952,/ № 6, стр. 62—63.

5. А. Н. Чертков, Работа Одесского методического объединения учителей математики школ рабочей молодежи, 1953, № 1, стр. 84.

6. П. И. Егоршин, Об элементах политехнического обучения в школах рабочей молодежи, 1953, № 5, стр. 25—30.

7. И. А. Мхитаров, О самостоятельной работе учащихся при изучении математики (Из опыта преподавания в школах рабочей молодежи), 1953, № 6, стр. 52—56.

8. Я. М. Дымшиц, По поводу требований, предъявляемых к письменным экзаменационным работам (Из опыта работы в X классе ШРМ), 1954, № 2, стр. 7—10.

В Редакцию журнала „Математика в школе“

В № 6 журнала «Математика в школе» за 1954 г. помещена рецензия Ф. Т. Дзюба на книгу «Методические указания к преподаванию математики в V классе», вышедшую под редакцией А. Н. Эрастовой и В. С. Капустиной (ведущий редактор) в Издательстве АПН.

Сектор методики математики Института методов обучения рассмотрел содержание рецензии и считает, что она содержит ряд правильных указаний на недостатки, имеющиеся в книге.

Однако «Методические указания» содержат и много полезных советов для учителя, особенно для учителя начинающего и недостаточно опытного.

Составлены они пользующимися заслуженным авторитетом учительницами Н. Я. Зайцевой и А. И. Зыкус, обладающими многолетним опытом и дающими высокую успеваемость в своих классах.

Добавим, что А. И. Зыкус принадлежит работа: «Пути повышения успеваемости по математике в V—VII классах», заслушанная на «Педагогических чтениях» при АПН в 1952 г. и напечатанная в 1953 г. Н. Я. Зайцевой принадлежит работа: «Планы уроков по арифметике в V классе», напечатанная в 1952 г.

Обе эти работы, изданные Учпедгизом М. П. РСФСР совместно с АПН, пользуются широким спросом и признанием учительства.

В последней работе «Методические указания в преподавании математики в V классе» недостатки, указанные в рецензии, произошли в основном при печатании книги.

Следует сказать, например, что все задачи, помещенные в Методических указаниях, не составлялись авторами книги, а целиком были взяты из существующих печатных задачников. Неправильность в данных и ответах проникла в процессе редактирования и печатания.

Нельзя не отметить, что наряду с правильными замечаниями в рецензии есть утверждения спорные.

В целом рецензия заставила авторов тщательно просмотреть книгу при подготовке ко второму изданию и помогла устранить имеющиеся в ней недостатки.

Зав. Сектором методики математики: Никитин Н. Н.

ХРОНИКА

ОБСУЖДЕНИЕ «СБОРНИКА ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ» (ч. II) П. А. ЛАРИЧЕВА

Р. С. ТЕРЮКАЛОВА (Москва)

7 февраля 1955 г. в Учебно-педагогическом издательстве Министерства просвещения РСФСР состоялось совещание, посвященное обсуждению «Сборника задач по алгебре», ч. II, П. А. Ларичева В совещании приняли участие учителя и методисты г. Москвы.

Председательствующий С. А. Пономарев указал, что целью настоящего совещания является обобщение тех суждений, которые были высказаны в печати и на различных методических совещаниях об обсуждаемом сборнике.

Решением коллегии Министерства просвещения РСФСР этот задачник принят о качестве стабильного.

Задачи политехнического обучения и переход на новые программы требуют соответствующей переработки задачника.

Затем присутствующие заслушали выступление Н. Н. Николаевой и тов. Рыкова.

Н. Н. Николаева отметила, что большую ценность представляет наличие в задачнике материалов для повторения.

Недостатком задачника является отсутствие материала, связанного с программой VI класса и с первой темой VIII класса «Степени».

Большой переработки требует первая тема VIII класса.

8 задачнике не совсем правильно решен вопрос о том, когда следует ввести таблицы квадратов и квадратных корней.

В § 39 желательно было бы ввести примеры для классных и домашних упражнений на вычисление при помощи логарифмической линейки.

В § 9 необходимо ввести небольшой раздел, посвященный алгебраическому корню.

Тов. Рыков в своем докладе отметил следующие положительные качества задачника.

Задачник составлен почти в полном соответствии с требованиями программы и методическими указаниями Министерства просвещения РСФСР.

Детально разработан (по всем годам обучения) вопрос о функциональной зависимости и о графическом изображении функции.

В сборнике большое место уделяется повторению: задачник начинается главой на повторение пройденного в семилетней школе; в конце каждого года обучения выделяется глава на повторение; в конце задачника имеется глава на повторение всего курса алгебры.

Имеются задачи повышенной трудности, которые следует сохранить, расположив их по степени возрастания трудностей.

Тов. Рыков отметил и ряд недостатков задачника.

В § 8 («Возведение в степень одночленов и многочленов») дано недостаточно примеров на нахождение квадрата многочленов с целыми коэффициентами.

При повторении пройденного вопросу о функциональной зависимости и о графическом изображении функции уделено мало внимания.

В материале VIII класса недостаточно внимания обращено на исследование алгебраических выражений в связи с изучением иррациональных выражений.

В разделах «Преобразование радикалов», «Сложение и вычитание корней», «Умножение корней», «Деление корней» дано мало таких примеров, где подкоренные выражения можно разлагать на множители различными способами.

В главе VIII дано мало примеров на все действия с отрицательными и дробными показателями.

При изучении тем «Сложение и вычитание корней», «Умножение корней» автор дает упражнения на решение иррациональных уравнений. Но для этого надо знать действие возведения корня в степень. Поэтому целесообразно перенести эти примеры в раздел «Возведение корня в степень».

В § 24 («Иррациональные уравнения») не даны задачи на составление иррациональных уравнений.

При изучении логарифмических уравнений в главе IX автор дает по сравнению с другими уравнениями примеры большей сложности.

Большое образовательное значение имеют решения неравенств вида:

В задачнике же имеется всего два примера. Этого недостаточно.

В разделе повторения (гл. XII) на действия с комплексными числами имеется всего лишь один пример.

Разделы повторения по годам обучения необходимо оставить, но их надо привести в систему, распределив материал по темам с учетом возрастания трудностей.

В связи с политехническим обучением следует включить в сборник задачи на составление уравнений, тесно связанные с физикой, техникой, химией и биологией.

Далее выступил К. П. Сикорский.

Отметив кратко достоинства задачника: он безусловно соответствует всем требованиям программы, содержит материал для повторения и т. д., — докладчик остановился на некоторых недостатках задачника.

Сборник начинается главой на повторение пройденного в VII классе. В материале для повторения даны упражнения на функциональную зависимость и способы ее выражения. Между тем линейная функция изучается в программе VIII класса. Следовательно, учащиеся могут повторять этот раздел только тогда, когда проходится материал VIII класса.

В задачнике дается большое количество задач на составление уравнений, но они недостаточно систематизированы.

Задачи на повторение после VIII класса в целом довольно содержательны, но расположены в случайном порядке. Что касается задач на повторение курса IX класса, то здесь задачи легче, чем приводившиеся раньше, и, кроме того, составлены без соблюдения правил приближенных вычислений. Здесь следует поставить вопрос о применении четырехзначных таблиц.

Раздел «Комплексные числа» начинается в задачнике с понятия вектора. Говорится об операции поворота, а дальше идет самое обычное изложение комплексных чисел, как в учебнике Киселева. Эта вводная часть пропадает понапрасну. Учитель не может воспользоваться ею дальше.

В упражнениях на исследование уравнений дан ряд примеров (например, № 1417), требующих исследований, непосильных для учащихся (решение системы неравенств с двумя неизвестными — параметрами). Ответов в задачнике недостаточно.

Среди задач, предлагавшихся на испытаниях в вузы, имеются слишком сложные.

Затем присутствовавшими было заслушано выступление С. И. Новоселова.

Министерство просвещения РСФСР поступило совершенно правильно, — сказал выступающий, — решив принять этот учебник в качестве стабильного, его достоинства известны всем.

Надо ввести упражнения на пользование различными таблицами: квадратов, кубов, корней, обратных величин.

Желательно дать упражнения на пользование, например, трехзначными таблицами, а сами эти таблицы включить в число прочих таблиц Брадиса.

Желательно дать текстовые задачи на решение неравенств.

Далее С. И. Новоселов высказал свое мнение по вопросу о намеченной автором замене действий над радикалами действиями над дробными показателями в VIII классе.

Математическая сторона дела здесь не вызывает возражений. Все равно, доказывать свойства радикалов или обосновывать правила действий над дробными показателями. Это одно и то же. Будут одни и те же теоремы, но лишь в различных формулировках. Педагогическая опасность здесь заключается в том, что ученики, привыкнувшие оперировать с целыми показателями по определенным правилам, будут думать, что эти правила в применении к другим показателям очевидны, не нуждаются в обосновании.

Трудно сказать, даст ли это нововведение желаемый результат (сокращение учебного материала). Может быть, даст, а может быть, нет. Этот вопрос надо серьезно продумать.

По поводу намеченного автором исключения темы «Предел последовательности» С. И. Новоселов высказал отрицательное мнение, сказав, что это— ляпсус.

Далее выступил С. С. Щербаков, который предложил при переработке задачника внести в него параллельные номера задач, близкие по содержанию основным номерам. Эти параллельные номера можно использовать для домашних заданий.

В начале каждого раздела надо добавить задачи на устный счет. Таких примеров в задачнике мало.

С. С. Щербаков указал, что к предложению изучать дробные показатели в VIII классе следует отнестись осторожно. Он высказал опасение, что в головах учащихся будет таксе месиво, что потом не расхлебаешь.

В разделе «Функции и графики» следовало бы дать упражнения с абсолютной величиной. Желательно в разделе графики дать упражнения с техническим содержанием.

Выступивший затем П. В. Стратилатов высказал ряд замечаний по поводу задачника.

В задачнике много материала сверх программы.

Ряд задач на исследование в X классе можно было бы исключить без ущерба для дела.

По отдельным разделам мало упражнений средней трудности.

В § 36 на отрицательные показатели даются или очень простые упражнения, или значительно выше средней трудности. Некоторые задачи очень сложны. Надо их упростить. Например, № 919 (1) или № 926 (3).

Ряд пожеланий в отношении улучшения задачника высказала Е. Н. Обуховская.

Рациональнее было бы поставить неравенства первой степени перед § 21.

Желательно в разделе прогрессий ввести больше задач практического характера.

Не следует усложнять задачи, а для интересующихся математикой учащихся издать отдельные сборники.

Выступивший затем И. В. Морозкин указал, что задачи с практическим содержанием должны даваться не от случая к случаю, а в каждом разделе, в каждом параграфе.

Надо ввести в задачник только необходимые задачи и в достаточном количестве, не допуская превышения программы.

Задачи со звездочкой (более трудные) следует дать лишь в конце раздела, чтобы было ясно, что это не программный материал.

Желательно дать вводные упражнения по каждому разделу.

Желательно выпустить разные задачники, чтобы ученик и учитель могли пользоваться не одним задачником.

В конце совещания выступил П. А. Ларичев, поблагодарив выступивших за высказанные замечания и пожелания.

Многие, чрезвычайно ценные замечания, — сказал П. А. Ларичев, — будут нами учтены.

В заключение выступил С. А. Пономарев, указав, что объем учебника сокращен до 12 авторских листов. Это определяется задачей, которая поставлена сейчас перед школой: задачник и учебник должны быть рассчитаны на среднего ученика.

В этом году Министерство просвещения РСФСР решило пока издать задачник для VIII класса.

Как сказал Пономарев, это объясняется тем, что пока еще программа не совсем утверждена, Министерство просвещения РСФСР не выявило своего отношения к вопросу, нужно ли изучать элементы высшей математики в X классе. Не выяснен вопрос об утверждении программы по X классу.

ЗАДАЧИ

ЗАДАЧИ Л. Н. ТОЛСТОГО

Я. Е. ГАЛЬПЕРИН (Харьков)

В 60-х годах, в период увлечения педагогическими проблемами и работой в яснополянской школе, Л. Н. Толстой уделял много внимания арифметике. Популярный в те времена задачник Евтушевского его не удовлетворял. Ему приходилось самому придумывать для учащихся яснополянской школы разные упражнения и задачи.

Один из последователей Л. Н. Толстого Русанов в своих воспоминаниях приводит следующие две его задачи.

1. Некто пришел в магазин и купил шляпу, стоившую 10 руб. В уплату он дал хозяину 25 руб. У хозяина не было сдачи, и он послал к соседу разменять. Сосед разменял, и хозяин отдал покупателю 15 руб. Когда покупатель ушел, явился сосед, заявил, что 25-рублевая бумажка фальшивая, и потребовал свои деньги обратно. Хозяин отдал. Спрашивается, сколько хозяин лавки понес убытка при всей этой операции.

2. У двух торговок было по 30 слив. Одна продавала каждую пару слив за 1 коп., другая продавала каждые три сливы за 1 коп. Обе торговки решили соединить все сливы вместе и продавать каждые 5 слив по 2 коп. После продажи одна торговка рассчитывала получить 15 коп., а другая 10 коп., но, проверив выручку, они убедились, что не досчитались одной коп. Куда она делась?

Личный секретарь Толстого Ф. Булгаков в своих воспоминаниях сообщает:

«Очень увлекался Л. Н. задачей «О мухе и пауке», всем ее задавал и спрашивал решения». Вот эта задача:

На противоположных стенах комнаты определенной длины и ширины сидят муха и паук— муха на полтора метра от пола, а паук на полтора метра от потолка. Какое между ними кратчайшее расстояние, которое мог бы проползти паук, чтобы достать муху?

Как видно из приведенных задач, Л. Н. Толстой стремился главным образом развить сообразительность учащихся, их сметливость. Математический элемент почти отсутствует в приведенных задачах Л. Н. Толстого. Это скорее задачи-загадки, чем обыкновенные арифметические задачи. Для их решения не надо выполнять какие-либо арифметические действия. Так, например, на первую из вышеприведенных задел можно сразу дать ответ, что хозяин лавки понес убытку 25 руб., так как фальшивая бумажка в 25 рублей была одна и находилась у него. Более точный ответ будет, что он понес убытку в 15 руб. наличными и еще себестоимость шляпы, которая стоила ему несколько дешевле 10 руб.

Л. Н. Толстой очень увлекался такими занимательными задачами, которых знал очень много, и любил их задавать посещавшим его близким знакомым.

Профессор физики А. В. Цингер в своих воспоминаниях о Л. Н. Толстом приводит следующую задачу, сообщенную ему великим писателем на 70-м году жизни.

Артели косцов надо было скосить два луга — один вдвое более другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам; половина артели осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца. Другая же половина артели косила малый луг, на котором к вечеру остался еще участок, скошенный на другой день одним косцом за один рабочий день. Сколько косцов было в артели?

Эта задача в несколько видоизмененной редакции приводится в «Сборнике задач и упражнений по арифметике» Е. С. Березанской.

Известный популяризатор и автор многих книг по занимательной математике Я. И. Перельман дает такое решение этой задачи:

«Кроме главного неизвестного — числа косцов, — которое мы обозначим через х, приходится ввести еще и вспомогательное неизвестное — размер участка, скашиваемого одним косцом в один день. Обозначим это неизвестное через у. Хотя задача и не требует его определения, оно облегчит нахождение главного неизвестного.

Выразим через х и у площадь большого луга. Луг этот косили полдня x косцов; они скосили

Другую половину дня большой луг косила только половина артели, то есть x/2 косцов. Они скосили

Так как к вечеру был скошен весь луг, то площадь его равна

Выразим теперь через х и у площадь меньшего луга. Его косили полдня x/2 косцов. Они скосили площадь

Прибавим недокошенный участок, как раз равный у (площади, скашиваемой одним косцом за один рабочий день), и получим площадь меньшего луга:

Остается перевести на язык алгебры фразу: «первый луг вдвое больше другого», и уравнение составлено:

Сократим дробь в левой части уравнения на у; вспомогательное неизвестное исключено, и уравнение примет вид:

или откуда

В артели было 8 косцов».

При всем уважении к памяти покойного Я. И. Перельмана нельзя не признать данное им решение слишком громоздким.

Вряд ли Толстого удовлетворило бы такое решение, тем более, что число косцов можно найти гораздо проще, почти без всяких математических выкладок, при помощи простого логического рассуждения.

В самом деле, принимая работу всей артели в течение одного рабочего дня за 1, получим, что за первую половину дня вся артель выполнила вдвое меньшую работу, т. е. 1/2- рабочего дня всей артели, а за другую половину дня, когда на большом лугу работала только половина артели, она выполнила работу, равную 1/4 рабочего дня всей артели. Чтобы скосить весь большой луг, потребовалось таким образом 3/4 рабочего дня всей артели. Второй луг был вдвое меньше первого; следовательно, чтобы скосить его, потребовалось вдвое меньше работы, т. е. 3/4 : 2 = 3/8 рабочего дня всей артели. Фактически же в первый день меньший луг косила только половина артели в течение второй половины дня и выполнила работу, равную 1/4 рабочего дня. На второй день на меньшем лугу осталось докосить

рабочего дня всей артели. Эту работу выполнил один косец за 1 рабочий день. Таким образом работа одного косца за 1 день равна 1/8 рабочего дня всей артели; следовательно 1:1/8 = 8 (косцам), т. е. всех косцов было 8.

Такими занимательными задачами Л. Н. Толстой увлекался почти до самой своей смерти.

Вышеприведенную задачу о мухе и пауке Л. Н. Толстой задавал посетившим его знакомым 3 октября 1910 г., т. е. за месяц до своей смерти.

Об увлечении Л. Н. Толстого занимательными задачами рассказывает в своих воспоминаниях и известный артист Игорь Ильинский, в молодости посетивший Толстого.

«По вечерам Л. Н. обыкновенно играл в шахматы с кем-нибудь. Он любил также задавать разные задачи. Припоминаю одну из них:

Тростник торчит из воды реки. Как определить глубину реки в этом месте, подъехав к тростнику на лодке, но не вырывая его и не измеряя глубины реки веслом или другим каким-либо орудием.

Подъехав к тростнику, надо измерить длину той части его, которая торчит над поверхностью воды. Допустим что она равна единице длины, например 1 м. Обозначив длину части тростника под водою через x, получим, что длина всего тростника равна x + 1. Затем, отметив тот пункт (А), где тростник выходит из воды, отклоняем его верхушку в ту или иную сторону до тех пор, пока верхний конец его сравняется с поверхностью воды. Отмечаем и этот пункт (В) (черт. 1). Расстояние от А до В мы можем измерить с лодки, не нарушая требования задачи. Допустим, что это расстояние равно 3 м.

Обозначив основание тростника буквой С, мы получим прямоугольный треугольник АBС, в котором гипотенуза равна длине тростника (х + 1). Один катет AB = 3 м, а катет АС равен подводной части тростника (х). На основании теоремы Пифагора имеем:

т. е. подводная часть тростника равна 4 м, а это есть глубина реки.

ОБ ОДНОМ ИРРАЦИОНАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ

С. Ю. ВОСКРЕСЕНСКИЙ (Куйбышев)

В литературе по алгебре приходится встречаться с иррациональными уравнениями вида:

(1)

При этом некоторые авторы дают указание о целесообразности применения формулы:

Применение этой формулы сводит уравнение (1) к следующему:

(2)

Нетрудно видеть, что уравнение (2) над полем действительных чисел равносильно уравнению (1). Сделав замену:

получим:

(3)

Возникает вопрос о том, равносильны или нет уравнения (3) и (1) над полем действительных чисел, и если, вообще говоря, нет, то установить соответствующий критерий равносильности.

Рассмотрим два уравнения:

(4)

(5)

Преобразуем последнее уравнение:

(6)

согласно тождеству

Уравнение (6) равносильно совокупности уравнений:

(7)

(8)

Уравнение (7) равносильно (4), и, таким образом, вопрос о равносильности уравнений (4) и (5) сводится к вопросу о наличии корней уравнения (8), отличных от корней уравнения (4).

Уравнение (8), как известно, можно привести к виду:

Последнее уравнение равносильно над полем действительных чисел следующей системе:

или наконец,

(9)

Таким образом, уравнения (4) и (5) равносильны над полем действительных чисел, если система (9) несовместна. Если же система (9) в поле действительных чисел имеет решения, отличные от решений уравнения (4), то такие решения для уравнения (4) являются посторонними.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 1 ЗА 1955 Г.

№ 1

Найти простые трехзначные числа, остающиеся простыми при любой перестановке их цифр.

Решение 1. В состав цифр простых чисел, остающихся простыми при любой их перестановке, не могут входить четные числа и число 5. Поэтому числа, удовлетворяющие условию задачи, могут состоять из сочетания цифр 1, 3, 7, 9. Если все цифры искомого числа различны, то нужно рассмотреть числа, состоящие из цифр: 1, 3, 7; 1,3,9; 1, 7,9; 3, 7, 9. Но 371 = 7∙53, 319 = 11∙29, 791 = 7.113, 973 = 7∙139, поэтому остается рассмотреть числа, в которых будет по две одинаковые цифры. Так как числа 117, 339, 771, 993 кратны 3, а 119 = 7∙17, 133 = 7∙19, 377 = 13∙29, 779 = 19∙41, 799 = 17∙47, то остаются числа, записанные при помощи цифр: 1, 1, 3; 3, 3, 7; 1, 9, 9, которые, как легко проверить, удовлетворяют условию задачи. Если рассматривать числа, состоящие из трех одинаковых цифр, то они не удовлетворяют условию задачи, так как они кратны 3. Итак, искомыми числами будут числа 113, 131, 311, 337, 373, 733, 199, 919, 991.

Решение 2. В журнале № 2 за 1952 год приводилось решение задачи № 77, которая была сформулирована следующим образом: найти трехзначное число, которое при любой циклической перестановке его цифр дает простое число. Ответом этой задачи были числа 113, 337, 199 и 197.

Ясно, что все остальные трехзначные числа не будут удовлетворять условию данной задачи, так как рассматриваются любые перестановки цифр, которые включают и циклические.

Так как число 791 кратно 7, то остаются числа: 113, 131, 311, 337, 373, 733, 119, 919, 991, которые и являются решениями данной задачи.

№ 2

Найти число точек с целочисленными координатами, заключенных между параболой у — x2 и прямой у = n2 (n — целое число).

Решение 1. Найдем координаты точек пересечения А и В параболы у = x2 и прямой у = n2. Точка А имеет координаты (—n; n2), а точка В — (n; n2). Определим число точек с целочисленными координатами, ограниченных прямоугольником ABCD (черт. 1), включая и точки, лежащие на его сторонах. Так как на стороне AB лежат 2n + 1 точек с целочисленными координатами, а на стороне ВС лежат n2 + 1 таких точек, то в прямоугольнике ABCD всего (2n + 1) (n2 + 1) точек с целочисленными координатами. Число таких точек, ограниченных фигурой ОВС (без точки О), равно:

Черт. 1

Чтобы найти решение задачи, нужно из общего числа точек с целочисленными координатами в прямоугольнике ABCD вычесть число этих точек, ограниченных фигурами AOD и ВОС, число точек, лежащих на стороне AB, а также учесть точку (О; О). Так как на стороне AB лежат 2n — 1 точек (не считая точек А и В), то искомое число точек равно:

Решение 2. Возьмем произвольную точку k на оси x-ов с целочисленной координатой. На отрезке NM лежат (n2 — 1)— k2 точек с целочисленными координатами (исключая точек N и М). Суммируя число этих точек для k = ± 1, ± 2,.,., ± (n — 1) и учитывая, что на прямой OF лежат n2—1 таких точек, получаем ответ:

№ 3

В журнале № 1 дано неполное условие задачи № 3. Исправленное условие задачи помещено в этом номере (стр. 94).

№ 4

Решить уравнение:

Решение. Данное уравнение можно переписать следующим образом:

или

Так как х ≠ 0, то можно обе части уравнения разделить на x3, тогда получим:

Пусть тогда

Подставим эти значения в предыдущее уравнение, тогда оно примет вид:

или

Корнями этого уравнения будут:

Окончательно находим:

№ 5

Дать геометрическое доказательство.

Решение. Возьмем треугольную пирамиду ABCS, в которой ребра AS, BS и CS взаимно перпендикулярны и равны 1, и произвольную точку К в плоскости треугольника ABC (черт. 2). Обозначим расстояния от этой точки до боковых граней через х у и z,

Докажем, что х + y + z = 1.

Пусть КM1 = х, КM2 = у, КM3 — z — отрезки перпендикуляров, опущенных из точки К на боковые грани пирамиды. Построим параллелепипед KM2LM1M3PSR и проведем AF, АН, AN, FH и HN.

Так как FH || SN, S F || NH, SC = SB, то FH = FC = NS.

△ AM2L подобен △ AFS, т. е. поэтому

или

△ ASN подобен △ ALM1, т. е.

поэтому

Так как

то, заменив значения SF и SN, получим;

или

Теперь докажем, что

Из прямоугольного параллелепипеда KM2LM1M3PSR следует, что

Расстояние SK будет наименьшим, когда точка К лежит на перпендикуляре, проведенном из точки S к плоскости ABС. Найдем это расстояние, считая, что

△AHS подобен △SKH, поэтому

Так как SK2 (при SK⊥пл. ABC) — минимальное значение суммы КM12 + КM22 + КM32, то

№ 6

Решить систему уравнений:

(1)

Решение. Перемножив уравнения системы почленно, получим:

или

(2)

Если сложить все уравнения системы (1), то:

или

Так как х ≠ 0, у ≠ 0, z ≠ 0, то можно умножить обе части последнего уравнения на (xyz)2.

Черт. 2

Тогда

Под станин это выражение в уравнение (2), получим:

где m = xyz. Разложим левую часть этого уравнения на множители:

Поэтому

(3) Так как

го, подставив это значение z в (I) и (II), получим следующую систему:

(IV)

Умножив обе части уравнения (IV) на b и сложив эти два уравнения, находим значение х:

поэтому

где m определяется из (3). Итак,

где

где

где

Здесь

причем в предыдущих формулах индексы у Е должны быть либо все одинаковыми, либо все различными, гяк как EiEjЕk = 1. Таким образом, при данном знамении m система (1) имеет девять решений, поэтому всего она имеет 27 решений.

№ 7

Определите размеры прямоугольною параллелепипеда, если перпендикуляры, опущенные аз одной вершины параллелепипеда на диагонали, не проходящие через эту вершину, имеют длины m, n и p.

Решение. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (черт. 3)

Пусть AB = x, AD = у и АA1 = z. Проведем диагонали AD1, BD1 и опустим из точки А перпендикуляр AM = m на прямую BD1. Так как AB⊥AD1, то △ ABD1 — прямоугольный, поэтому

поэтому

Черт. 3

Аналогично получим:

Итак, чтобы решить данную задачу, необходимо решить следующую систему уравнений:

Эту систему запишем так:

Так как все левые части уравнений одинаковы, то

Образуем теперь производную пропорцию:

или

Так как х ≠ 0, у ≠ 0, z ≠ 0, то обе части можно сократить на z2, поэтому

или

Аналогично получим зависимость между z2 и x2:

Сложим эти два уравнения, тогда

Из этого соотношения находим:

поэтому

Из уравнения

получим:

Подставив в это выражение значение для

получим:

Аналогично находим значение y2 и z2. Итак,

где

№ 8

Доказать, что если x1 + x2 + ... + xn = S, причем ни одно из чисел x1, ..., xn не равно нулю и не отрицательно, то

Решение 1). Для любых n чисел (xi > 0) имеем:

Поэтому

Учитывая, что xi > 0, можно перемножить эти неравенства, тогда

По условию x1 + ... + xn = S, поэтому

Решение 2. Решим данную задачу методом математической индукции.

При n = 1 утверждение задачи справедливо. Пусть для n = k выполняется соотношение:

тогда

Докажем, что

Действительно, (S — kxk + 1)2 > 0, поэтому

или

Откуда получаем нужное неравенство. Таким образом, если утверждение задачи верно для n = k, то оно верно и для n = k + 1, поэтому оно верно для всех n.

№ 9

В правильную четырехугольную пирамиду со стороной а и высотой H вписать правильную четырехугольную призму наибольшей поверхности.

Решение. Рассмотрим случай, когда основания пирамиды и призмы лежат в" одной плоскости. Из всех призм с данной высотой, вписанных таким способом, наибольшую поверхность имеет такая, вершины которой М, Р, Q, R лежат на ребрах данной пирамиды (черт. 4).

Обозначим расстояние от вершины пирамиды до верхнего основания призмы через у, а сторону основания призмы через х. Тогда полная поверхность призмы равна:

Так как △ SO1R ~ △ SOD и △ MSR ~ △ASD, то

поэтому

Исследуем функцию S. Если а = 2H, то S = 4Нх = 2ах, и функция S = 2ах не имеет максимума, так как х < а и при x = а призма вырождается в квадрат. В данном случае двугранный угол при основании пирамиды

Если a > 2H, т. е. φ < 45°, то функция S = — возрастающая, не имеющая максимума при х < а.

Черт. 4

Если а < 2Н, т. е. φ > 45, то функция

имеет максимум

Наиболее полное решение этой задачи прислал т. С. Гнетулло (Норильск), который рассматривал еще другие случаи взаимного расположения призмы в пирамиде. Если, например, призма вписана в пирамиду так, что одно из ее оснований целиком лежит в одной из боковых граней пирамиды, а вершины другого лежат — две в основании пирамиды, а две другие — в боковой грани, то и в этом случае наибольшая поверхность призмы S*max меньше, чем Smax.

Тов. С. Гнетулло показал, что и при других расположениях призмы в пирамиде наибольшая поверхность призмы меньше, чем Smax.

Итак,

поэтому для того, чтобы построить отрезок X, достаточно построить четвертую пропорциональную к отрезкам а, H и 2H — а.

ЗАДАЧИ

3. Доказать неравенство (из ж-ла № 1—55 г.)

где a1, a2, ..., an-1, an — члены арифметической прогрессии с разностью, равной a1, если lnс1 равен наибольшему значению функции

А. Гемуев (Фрунзенская обл.).

.№ 32. Доказать, что из всех треугольных пирамид, описанных около шара радиуса R, правильный тетраэдр имеет наименьшее произведение высот.

Ю. Герасимов (Абакан).

№ 33. Пусть ak = 7 составлено из k семерок. Доказать, что если m и n ⩾ 2, то am — an делится на 20.

А Мачульский (Москва)

№ 34. При помощи одной линейки провести прямую параллельно основаниям данной трапеции так, чтобы ее отрезок, заключенный внутри трапеции, делился диагоналями на три равные части.

М. Шебаршин (Кемеровская обл.).

№ 35. Решить уравнение:

где Е (х)— наибольшее целое число, не превосходящее x.

В. Ушаков (Старый Оскол).

№ 36. Дан трехгранный угол, все плоские углы которого прямые. На одном из ребер взята точка А, на другом — точка В, на третьем — точка С. Обозначим вершину трехгранного угла через О, а проекцию этой вершины на плоскость ABC — через S. Доказать, что площадь треугольника АОВ есть средняя пропорциональная между площадями треугольников АСВ и ASB.

М. Шебаршин (Кемеровская обл.).

№ 37. в остроугольный треугольник вписать треугольник минимального периметра так, чтобы на каждой стороне данного треугольника находилось по одной вершине искомого, и выразить величину минимального периметра через стороны данного треугольника.

Е. Тишков (Полоцк)

№ 38. Решить уравнение:

№ 39. Во всякой неравнобедренной трапеции сумма оснований относится к их разности так, как разность квадратов диагоналей относится к разности квадратов боковых сторон. Доказать.

М. Крайзман (Львов).

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

1. Если для членов последовательности

a1, a2.....аn

выполняется соотношение

для любых n и k (k < n), то эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Доказать.

Л. Симаков (г. Углегорск, Сахалинская обл.)

2. В данный треугольник вписать треугольник с вершинами на сторонах данного так, чтобы сумма квадратов его сторон была в три раза меньше суммы квадратов сторон данного треугольника.

В. Ушаков (Старый Оскол).

3. Найти цифры a, b и с, удовлетворяющие приближенному равенству:

Л. Владимиров (Асбест).

4. Доказать, что

К. Хоменко (Черкасская обл.).

5. Решить уравнение:

К. Хоменко (Черкасская обл.).

6. Доказать, что уравнение

не имеет решений.

И. Гнерехов (Липецкая обл.).

7. Доказать тождество:

М. Крайзман (Львов).

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 1 ЗА 1955 Г.

Н. Аскерова (Баку) 1, 2, 4, 5, 8, 9; К. Агринский (Москва) 1, 4, 5, 7, 8; А. Азиев (СО АССР) 4, 5, 7, 8; В. Балицкий (Алтайский край) 1, 4, 5, 7—9; Е. Боков (Краснодарский край) 1, 4, 5, 7—9; П. Болышкин (Новосибирская обл.) 1, 2, 4, 6—9; А Бокаревич (Гомель) 4, 5, 6, 7, 8, 9; А. Владимиров (Асбест) 1, 2, 4, 6, 7; И. Войнов (Орловская обл.) 1, 2, 4—9; А. Гемуев (Фрунзенская обл.) 1, 2, 6—9; Ю. Герасимов (Абакан) 1, 2, 4, 5, 7—9; С. Гнетулло (Норильск) 2, 4, 7—9; М. Гогичадзе (Грузинская ССР) 1, 2, 4—6, 8, 9; У. Давыдов (Гомель) 1, 2, 5, 8, 9; А. Дейнега (Винницкая обл.) 1, 4—9; В. Демчинский (Ровно) 1, 2, 4, 5, 7—9; С. Джаббаров (Куйбышевская обл.) 1, 5, 6, 8; А. Дупло (Хмельницкая обл.) 1, 2, 4, 7—9; А. Жигу нас (Литовская ССР) 1, 2, 4, 7, 8; А. Кошелев (Карсун) 1, 2, 4, 7—9; П. Кривошея (Киевская обл.) 1, 2, 4, 6, 7—9; Г. Лось (Хмельницкая обл.) 1, 2, 4, 5, 7—9; Математический кружок 17-и школы (Киев) 1, 2, 4—8; Математический кружок Житомирского пединститута 1, 2, 4, 5, 8, 9; Математический кружок Чашникской русской школы (Витебская обл.) 1, 4, 5, 7; Математический кружок Полоцкого государственного педагогического института 1, 4, 9, 5, 7, 8; Х. Меликов (СО АССР) 2, 4, 5, 8, 9; Т. Мышакова (Одесса) 1, 2, 4—9; И. Павлов (Чувашская АССР) 2, 4, 7—9; И. Писаренко (Молдавская ССР) 1, 4, 7—9; С. Певзнер (Иркутская обл.) 1, 2, 4, 5, 7—9; С. Наумов (Коми АССР) 1, 2, 4, 5, 8, 9; Г. Рачинский (Ставропольский край) 1, 4, 5, 7—9; Р. Реннерт (Польша) 1, 2,5—9; В. Смышляев (Марийская АССР) 1, 2, 5, 7—9; Е. Тишков (Полоцк) 1, 2, 4, 5, 7—9; В. Токарев (Украинская ССР) 1, 2, 4, 5, 7—9; В. Утемов (Свердловская обл.) 1, 2, 4, 5, 7—9; М. Черепнин (Караганда) 1, 4, 7—9; Г. Чепкасов (Краснодарский край) 1, 5, 7—9: А. Шалтаев (Ульяновская обл.) 1, 2. 4, 7—9; Ф. Яремчук (Киев) 2, 4, 5, 7—9; Э. Ясинский (Куйбышев) 1, 2, 4, 5, 7, 9

СОДЕРЖАНИЕ

П. А. Ларичев — Вопросы улучшения преподавания математики в школе . . 1

МЕТОДИКА

Л. М. Фридман — О требованиях к решению геометрических задач на вычисление............................... 7

Я. Айзенштат и Б. Белоцерковская — Об исследовании стереометрических задач на вычисление......................... 20

А. И. Волхонский — Об исследовании задач по стереометрии....... 23

Г. М. Батраченко — О распространенных ошибках при исследовании решения задач по геометрии......................... 26

С. И. Новоселов — Об исследовании стереометрических задач на вычисление с параметрическими данными..................... 32

У. С. Давыдов — О доказательстве некоторых теорем стереометрии..... 42

П. М. Эрдниев — Проверка решения математических упражнений в старших классах............................... 47

ИЗ ОПЫТА

Т. А. Песков — К вопросу о политехническом обучении в V классе.....56

К. П. Сикорский — Из опыта работы в VIII классе............ 61

Е. М. Больсен — Решение задач на доказательство............. 69

И. М. Кипнис — Об исследовании геометрических задач, решаемых с применением тригонометрии ........................ 72

А. А. Чебаевская — Об исследовании решения задач по геометрии с применением тригонометрии......................... 77

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

А. И. Можаев — О книге Д. М. Смычникова «Измерительные работы на местности в курсе математики средней школы»............. 80

И. Я. Депман — О книге В. Н. Молодшего «Основы учения о числе в XVIII веке»............................ 82

К. С. Богушевский — По поводу книги В. Н. Молодшего «Основы учения о числе в XVIII веке»........................ —

Л. У. Тестоедов — Методическая литература по вопросам преподавания математики в школах рабочей и сельской молодежи............. 83

ХРОНИКА

Р. С. Терюкалова — Обсуждение «Сборника задач по алгебре» (ч. II) П. А. Ларичева............................ 85

ЗАДАЧИ

Я. Е. Гальперин — Задачи Л. Н. Толстого................ 87

С. Ю. Воскресенский — Об одном иррациональном уравнении....... 89

Решения задач, помещенных в № 1 за 1955 г................ —

Задачи.................................. 94

Задачи для учащихся........................... 95

Сводка решений по № 1 за 1955 г..................... —

Редакционная коллегия

Редактор А. Н. Барсуков, зам. редактора С. И. Новоселов, члены редакционной коллегии: К. С. Богушевский, П. А. Ларичев, В. В. Немыцкий, Н. Н. Никитин, С. В. Филичев, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией О. А. Чернокозова

Технический редактор С. Н. Шахов Корректор Л. А. Журавлев

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

Сдано в производство 29/1V 1955 г. Подписано к печати 20/VI 1955 г.

Учетно-изд. л. 11,71. A02083. Заказ 208. Тираж 93850 экз.

Цена 4 р. 50 к. Бумага 84 × 1081/16 = 6 п. л. (9,84).

Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической промышленности. 13-я типография. Москва, Гарднеровский пер., 1а.