МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

3

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1955

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 3

МАЙ — ИЮНЬ

О КИНОФИКАЦИИ КУРСА МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Ф. Ф. НАГИБИН (Киров)

Вопрос о значении наглядности для школьного курса математики рассматривается во всех наших руководствах по методике математики. Повторять общеизвестные положения нет необходимости. Следует только подчеркнуть, что в настоящее время роль и значение наглядности при обучении математике значительно повышаются. С одной стороны, это вызывается необходимостью осуществления в преподавании математики политехнического обучения, которое, как известно, требует усиления связи теории с практикой. С другой стороны, повышенные требования к наглядности в преподавании математики предъявляют введение всеобщего среднего десятилетнего образования и необходимость повышения успеваемости учащихся по математике. При этом, дело не сводится только к «количественному» усилению наглядности, но и «качественно», наглядность должна быть приведена в соответствие с новыми задачами. Если раньше мы основное внимание уделяли наглядности, как необходимому условию перехода в процессе обучения от живого созерцания к абстрактному мышлению, то сейчас одного этого мало. Наглядность нужна и для обеспечения перехода от абстрактного мышления к практике. Нужна она и для более быстрого, более глубокого и прочного усвоения изучаемых вопросов.

Правильно поступила редакция журнала «Математика в школе», напечатав в № 6 журнала за 1954 г. несколько статей о наглядных пособиях по школьному курсу математики и изготовлению их учащимися. Однако было бы неправильным ограничиться этими статьями. Вопросы наглядности в обучении математике должны разрабатываться и освещаться в нашей печати значительно больше и лучше, чем это делалось раньше.

Одним из особенно важных вопросов такого рода мы считаем вопрос о кинофикации курса математики средней школы. Изучение этого вопроса привело нас к выводу о явном неблагополучии в этом деле. Вот некоторые факты, иллюстрирующие такой вывод.

1. Математических кинофильмов у нас почти совсем нет. Даже в фонде московских фильмотек* имеются только два математические фильма: «Образование поверхностей линиями» и «Тригонометрические функции» (из 374 фильмов). Во многих областных центрах, как, например, в г. Кирове, и этих фильмов нет. А ведь были еще фильмы о прямой и обратной пропорциональности величин и об обратных тригонометрических функциях. Конечно, и раньше математических кинофильмов было недопустимо мало, но сейчас их практически совсем нет. Есть фильмы по географии, истории, литературе, ботанике, зоологии, физике, химии и т. д. Есть фильмы даже по такому учебному предмету, как иностранные языки, но по математике нет. Между тем по удельному весу математики в учебном плане средней школы, по ее специфическим особенностям, по тем высоким требованиям, которые она предъявляет к наглядности, математических кинофильмов должно было бы быть особенно много.

2. В методико-математической литературе почти совсем нет работ по вопросам кинофикации в обучении математике. Показательна в этом отношении библиография по учебной и научной кинематографии, составленная С. И. Архангельским и напечатанная в «Ученых записках ка-

* См. «Использование кино и диапозитивов на уроках и во внеклассной работе в V—X классах школы», Учпедгиз, 1952, стр. 431—438.

федры методики учебного кино» Московского городского пединститута им. В. П. Потемкина, т. XXX, вып. 1, Москва, 1953. Из перечисленных в ней 520 работ только две небольшие статьи (Перепелкиной и Сорокина) посвящены кинофикации преподавания математики. Если прибавить сюда вторую статью А. Н. Перепелкиной, напечатанную в этих «Ученых записках», и еще одну, не вошедшую в указанную библиографию статью, напечатанную в «Математическом просвещении», то этим список работ и исчерпывается.

3. В 1952 году было выпущено в свет солидное методическое пособие по вопросам использования кино и диапозитивов на уроках и во внеклассной работе*. В этой книге напечатано 18 статей, освещающих опыт применения кино в учебной и внеклассной работе. Бесполезным делом было бы искать в этих статьях хотя бы упоминания о применении кино на уроках математики.

Может быть, вопросы кинофикации курса математики средней школы не заслуживают внимания и нет необходимости заниматься их разработкой? Мы глубоко убеждены в том, что это не так. Кино в обучении математике должно стать одним из основных средств наглядности. Оно может и должно сыграть важную роль в формировании у учащихся основных математических понятий, в развитии мышления и пространственных представлений, в установлении связей и взаимозависимостей между математикой и практической деятельностью людей, в показе многообразных практических применений математической теории, в упрочении и углублении математических знаний учащихся. При помощи кино в яркой и доступной для учащихся форме можно изучать такие вопросы математики, которые связаны с движением, с изменением положения, формы, вида и т. д. Систематическое применение математических кинофильмов повысит интерес учащихся к математике, поможет поднять успеваемость, позволит более экономно использовать учебное время. Короче говоря, кинофикация преподавания математики является одним из тех значительных и все еще не используемых резервов, приведение которых в действие поможет поднять общий уровень математического образования в нашей стране. Забвение этого резерва и плохое его использование — недопустимы.

Возможные возражения против использования кино в учебной работе по математике сколько-нибудь серьезными признать нельзя. Они могут сводиться только к тому, что усиление наглядности в школьном курсе математики вызовет ослабление работы, проводимой в школе по развитию логического мышления учащихся. Такое «обоснование» отказа от использования кино в обучении математике свидетельствует лишь о неглубоком понимании сути дела. В действительности же применение кино поможет учащимся в усвоении математических абстракций, так как основой для этих абстракций и сознательного усвоения их должны быть достаточно конкретные представления о формах, числовых соотношениях, зависимостях и т. д. Развитие абстрактного мышления находит в кино не врага, а верного союзника.

Что же должно быть сделано в ближайшее время в отношении кинофикации школьного курса математики?

1. Основное — это обеспечение школ математическими кинофильмами (целесообразнее — «немыми», на узкой пленке). Киноаппараты имеются почти во всех средних школах. Многие учителя математики умеют пользоваться ими, а неумеющие легко могут научиться. Принципиальные вопросы методики использования кино в учебной работе можно считать решенными. Все дело за кинофильмами.

Практически вопросы выпуска математических кинофильмов, нам думается, можно решать так:

a) Разработку сценариев новых фильмов по математике для средней школы следует поручить прежде всего кафедрам методики математики и элементарной математики крупных пединститутов, обеспечив консультирование этих кафедр и тщательное научно-методическое редактирование сценариев. Так можно будет сравнительно быстро разработать 10—20 сценариев. Нужно лишь Министерству просвещения РСФСР организовать эту работу.

b) Можно согласиться с тем, что характер большинства математических кинофильмов должен быть фрагментарным. Но не следует отказываться и от тематических кинофильмов в 1 — 2 части.

Ориентировочный список тем для небольших картин (1—2 части) и фрагментов, по нашему мнению, мог бы быть таким.

Алгебра

1) Положительные и отрицательные числа (числовая ось, практические применения отрицательных чисел). 2) Графики температуры, движения и некоторые другие. 3) Метод координат. 4) Понятие функции. 5) Функции: kx, kx + b. 6) Геометрическое истолкование решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. 7) Функции:

* «Использование кино и диапозитивов на уроках и во внеклассной работе в V—X классах школы». Сборник статей под общей редакцией Арнаутова, Учпедгиз, 1952.

8) Функции второй степени (VIII кл.). 9) Степенная функция. 10) Числовые последовательности и их пределы. 11) Понятие обратной функции. 12) Процессы органического роста и другие применения показательной функции. 13) Преобразование графиков функций. 14) Графическое решение уравнений и систем двух уравнений с двумя неизвестными. 15) Квадратный трехчлен (X кл.)

Геометрия

1) Симметрия на плоскости. 2) Геометрические места точек на плоскости (VI и VII кл.) 3) Основные линии в треугольнике и их пересечение. 4) Взаимное положение прямой линии и окружности. 5) Взаимное положение двух окружностей и касательные к ним. 6) Применение геометрических мест точек при решении задач на построение. 7) Геометрические места точек на плоскости (VIII кл.) 8) Подобие фигур и подобное преобразование. 9) Исследование решений некоторых задач на построение. 10) Геометрические преобразования. 11) Геометрические места точек в пространстве. 12) Симметрия в пространстве. 13) Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве. 14) Предельные переходы в геометрии (длина окружности и площадь круга). 15) Предельные переходы в геометрии (площади поверхностей и объемы некоторых тел). 16) Образование тел вращением плоских фигур. 17) Конические сечения. 18) Стереометрические чертежи.

Тригонометрия

1) Обобщение понятия угла. 2) Тригонометрические функции (графики их и некоторые свойства). 3) Гармоническое колебательное движение.

Практические приложения метематики

1) Зубчатые колеса, шкивы и ременные передачи. 2) Применение математики в токарном деле и фрезеровании. 3) План и масштаб. 4) Съемка плана. 5) Измерение площадей земельных участков. 6) Измерение недоступных расстояний и высот. 7) Нивелирование. 8) Аэрофотосъемка. 9) Триангуляция. 10) Прокладывание железнодорожной линии, трассы канала и т. д. 11) Счетные машины.

История математики

1) Н. И. Лобачевский. 2) П. Л. Чебышев. 3) С. В. Ковалевская.

Составляя этот список, мы исходили из таких положений:

1) Кинофицировать следует лишь то, что представляет большую познавательную ценность, что является достаточно важным в курсе математики средней школы.

2) Математические кинокартины должны показывать и разъяснять то, что при помощи иных средств наглядности совсем не может быть показано и разъяснено или что без кино сделать очень трудно.

3) Учебные кинофильмы по математике должны быть достаточно целеустремленными. Нужны фильмы, систематизирующие и обобщающие знания учащихся, развивающие логическое мышление (исследование задач на построение и других задач), показывающие практические приложения математики, развивающие пространственные представления учащихся. Нужны и такие фильмы, основное назначение которых — воспитание учащихся (фильмы о великих русских математиках). Некоторые из перечисленных фильмов могут быть в указанном отношении и комбинированными.

4) Во всех математических кинофильмах (без искусственных натяжек) большое внимание должно уделяться вопросам практических применений тех теоретических положений, которые в них разъясняются. Нужны и особые кинофильмы по техническим и другим приложениям математики.

5) Широкое применение в учебных кинофильмах по математике должна найти мультипликация.

Предложенный нами список математических кинофильмов является первым приближением к решению вопроса. Окончательное решение его — это дело авторитетного коллектива.

Следовало бы для большего разъяснения наших предложений хотя бы кратко определить основное содержание, вкладываемое нами в каждую тему. Но это кажется нам несколько преждевременным, так как все изложенное о кинофикации обучения математике сказано в порядке постановки вопроса.

Нужно размножить имеющийся фильм «Образование поверхностей линиями», а может быть, и другие (пусть даже и не совсем удачные) ранее выпущенные фильмы.

Организации, планирующие и выпускающие учебные кинофильмы, должны решительным образом изменить свое отношение к выпуску кинофильмов по математике.

Необходимо выявить учителей, методистов и математиков-специалистов, интересующихся вопросами кинофикации преподавания математики. Их нужно привлечь к этому делу. Могли бы принять активное участие в этой работе также некоторые научно-исследовательские институты и лаборатории, разрабатывающие вопросы математики и ее приложений.

Вопросы применения кино в учебной работе

в принципиальном отношении решены. Им посвящены два содержательные сборника работ: 1) «Ученые записки кафедры методики учебного кино» Московского городского пединститута, т. XXX, вып. 1, Москва, 1953; 2) Сборник статей «Использование кино и диапозитивов на уроках и во внеклассной работе в V классах школы», Учпедгиз, 1952. Однако научно-исследовательская работа в этом направлении должна продолжаться. Общие положения, относящиеся к использованию кино в учебной работе в средней школе, должны быть пересмотрены и детализированы применительно к обучению математике. Вопросам кинофикации курса математики средней школы желательно посвятить несколько кандидатских диссертаций по методике математики.

Некоторые коррективы должны быть внесены и в подготовку учителей математики. Так, в курсе методики математики следует рассматривать вопросы использования кино в преподавании математики. Будущих учителей математики нужно знакомить со всеми выпускаемыми кинофильмами по математике и некоторым другим учебным предметам (физика, астрономия, физическая география). Наконец, надо обучить студентов математиков пользоваться узкопленочным киноаппаратом.

Наряду с учебным кино одним из наиболее эффективных средств наглядности следует признать также диафильмы. В практике работы советской средней школы этот вид наглядности широко применяется по многим учебным предметам. Он хорошо зарекомендовал себя и из года в год находит все более широкое применение. К сожалению, математике и в этом отношении очень «не везет». Мы не знаем ни одного диафильма по математике, истории ее развития и практическим приложениям. Ни разу нам не приходилось даже слышать об использовании диафильмов на уроках математики.

Чем же может быть объяснено такое положение? У нас нет никаких сомнений в необходимости математических диафильмов, и мы убеждены в том, что такая точка зрения не может встретить возражений. Значит, дело в отсутствии организационной работы по обеспечению школ математическими диафильмами.

Если раньше с недооценкой экранизации обучения математике еще можно было как-то мириться, то сейчас настало время добиться решительного перелома. Надо всерьез взяться за обеспечение школ диафильмами по математике. Эта задача, как и задача кинофикации, может быть решена лишь на путях коллективной творческой работы.

Перечислим некоторые вопросы школьного курса математики, по которым особенно нужны диафильмы.

Диаграммы (столбчатые и секторные). Геометрический материал (V класс). Линейный масштаб, понятие о плане. Применения треугольника в конструкциях машин, станков и в архитектурных сооружениях. Симметрия. Виды четырехугольников. Подобие фигур и подобное преобразование. Некоторые практические применения тригонометрических функций острого угла. Графики некоторых функций (алгебраических и трансцендентных). Площади многоугольников. Симметрия в пространстве. Стереометрические чертежи. Виды многогранников. Объем пирамиды. Правильные многогранники. Тела вращения. Применение математики в топографии и геодезии. Применение математики в металлообработке. Метрические меры. Некоторые измерительные инструменты и их применение. Счетные машины.

Много тем для диафильмов дает история математики. Наши историки математики в этом отношении в долгу перед школой.

Материальными возможностями для экранизации обучения математике наша страна располагает, как никакая другая. Кадры для успешного решения этой задачи у нас также есть. Остается, не ослабляя работы по обеспечению средних школ обычными наглядными пособиями по математике, проявить необходимую настойчивость в этом новом для нас деле, и тогда мы сумеем добиться новых значительных успехов в деле обучения математике подрастающего поколения.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ПОСТРОЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ФОРМУЛ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

С. И. ЗЕТЕЛЬ (Москва)

Эта статья может быть рассмотрена как продолжение нашей статьи «О построении некоторых формул», помещенной в журнале «Математика в школе», № 3 за 1950 г.

Мы покажем, что эти построения могут быть значительно обобщены. Статья дает материал для занятий школьных кружков. В ней дано 24 задачи.

Задача 1. Построить отрезки a/2, a/3,..., a/n линейкой и циркулем при растворе, равном а.

(Эта задача была дана в нашей статье, напечатанной в 1950 г.)

Построим окружность радиуса а (черт. 1) и засечем на ней от произвольной точки A1 две точки: A2 и A3; A1A2 = а и A2A3 = а. Далее проведем прямые A1ОA4, A2ОA5 и A3ОA6. Точки A1, A2, A3, A4, A5, A6 — вершины правильного шестиугольника.

Проведем прямую A1A3 до пересечения в точке Х2 с прямой ОA2. Отрезок ОХ2 = а

Действительно,

Далее проведем прямую A4Х2 до пересечения в точке X3 с прямой OA3. Покажем, что

Черт. 1

Аналогично строим Для построения

воспользуемся методом математической индукции. Пусть

тогда

Так как ОХ2 может быть построено, то и ОXn + 1 может быть построено.

Приведенное построение может быть использовано при построении графика у = a/x для целочисленных значений х. Данное нами построение производится линейкой и циркулем при растворе, равном данному отрезку а.

Покажем, что рассмотренная нами последовательность может быть построена линейкой и циркулем при произвольном растворе.

Для этого решим две вспомогательные задачи.

Задача 2. На стороне AB построить линейкой и циркулем при постоянном растворе равносторонний треугольник.

Из точек А и В (черт. 2) сделаем засечки данным неизменным радиусом соответственно в точках С и D; на AD и ВС, пользуясь линейкой и циркулем при постоянном растворе, построим равносторонние треугольники AED и BFC; их стороны АЕ и BF пересекутся в точке G. Треугольник ABG — искомый.

Задача 3. На стороне ОA1 построить правильный шестиугольник, пользуясь линейкой и циркулем при постоянном растворе.

Строим на ОA1 (черт. 3) два равносторонние треугольника ОA1A2 и ОА1A6. При вершинах A2 и A6 строим углы в 60°. Точки пересечения сторон этих углов соответственно с прямыми A6O и A2O определят вершины A3 и A5 искомого шестиугольника.

На отрезке ОA3 (или ОA5) строим равносторонний треугольник ОA3A4. Итак, нами построен правильный шестиугольник с его диагоналями.

Построив правильный шестиугольник с его диагоналями, мы далее сможем решить задачу № 1 одной линейкой.

Задача 4. Построить отрезки.

Построим отрезки

(черт. 4); на прямой OA2 отметим точки

Задача 5. Построить сумму отрезков:

Предел Sn =

Легко видеть, что

Задача 6. Рассмотреть на чертеже 1: 1) последовательность отрезков

Черт. 2 Черт. 3 Черт. 4

2) последовательность площадей

2. Площадь

площадь

площадь

Определим

Задача 7. Построить отрезки:

На чертеже 4 имеем:

Построить сумму отрезков:

Предел

Задача 8. Построить сумму отрезков:

Показать, что

Задача 9. Показать, что

Частные случаи:

Задача 10. Показать, что

Задача 11. Построить отрезок

Для построения искомого отрезка проведем концентрические окружности (черт. 5) радиусов ОA1 = а; ОB1 = b. Засечем на первой окружности точку A2 (A1A2 = а) и точку A3 (A2A3 = а).

Черт. 5

Проведем диаметры A1OA4, A2OA5, A3ОA6, пересекающие вторую окружность в точках B1, B2, B3, B4, B5, B6 — вершинах правильного шестиугольника, вписанного во вторую окружность; A1, A2, A3, A4, A5, Лб — вершины правильного шестиугольника, вписанного в первую окружность.

Проведем прямую A1B3 (или A3B1). Прямая A1B3 пересечет ОB2A2 в точке Х2,

Действительно,

или

Задача 12. Построить отрезки:

Отрезок ОХ2 нами построен. Для построения отрезка OX3 = — достаточно найти точку Х3 — точку пересечения A4Х2 с прямой ОB3A3:

или

Для построения отрезка ОXn + 1 воспользуемся методом математической индукции. Предположим, что нами построен отрезок (черт. 5)

Соединив точку Xn с надлежащей вершиной шестиугольника A1A2A3A4A5A6, найдем точку Xn + 1:

Отрезок ОХ2 может быть построен (задача 11), а потому может быть построен отрезок ОXn + 1.

Задача 1 является частным случаем задачи 12.

Действительно, если b = а, то последовательность

обращается в последовательность

Задача 13. Построить отрезки (черт. 6):

Задача 14. Построить отрезки:

Положив в выражениях

получим:

Построить отрезки:

Построить отрезки:

Построить отрезки:

Задача 15. Построить отрезки

Задача является частным случаем задачи 12. Построение может быть применено для построения у = a/x.

Задача 16. Построить отрезки:

На чертеже 6 отложим от центра О на прямой ОA2 отрезок ОХ'3 = 0Х3. Отрезок

Аналогично:

Найдем сумму отрезков

Отсюда получаем:

(1)

При b = а получаем:

От равенства (1) легко перейти к следующему неравенству:

Например, при а = 2, b = 3 получаем:

Задача 17. Построить

Проведем концентрические окружности (черт. 7) радиусов ОA1 = a1, ОB1 = b, ОC1 = с. Прямая A1B3 определит на ОC2B2A2 точку Х2:

Прямая C4X2 определит точку Х3 на прямой ОC3B3A3:

Задача 18. Построить отрезки (черт. 7).

Черт. 6

Соединив точку C5 с Х3, определим точку X4:

Соединив точку C6 с Х4, определим точку Х5:

Задача 19. Построить отрезок

Для построения отрезка ОXn воспользуемся математической индукцией. Проведем (n — 1) концентрических окружностей и построим

Проведем еще одну концентрическую окружность радиуса an и построим ОXn (аналогично построению ОХ3 в задаче № 17):

Задача 20. Построить

Задача 21. Даны отрезки: Построить отрезки:

Построить отрезки:

Задача 22. Построить отрезок

Последовательность Фибоначчи.

Последовательность, в которой первый член u1 = 1, второй член u2 = 1 и каждый следующий равен сумме двух предыдущих, называется последовательностью Фибоначчи, а члены последовательности — «числами Фибоначчи».

Задача 23. Построить отрезки, длины которых равны a/u, где а — данный отрезок, un — число Фибоначчи.

Построим окружность радиуса а (черт. 8). Пусть A1, A2, A3, A4, A5, A6 — вершины правильного шестиугольника. ОA1 = a/u1, где 1Y = 1; ОA3 = a/u2, где u2 = 1; Of3 = a/u3, u3 = u2 = 2 (третье число Фибоначчи).

Отложим на продолжении полупрямой f3O от точки О отрезок Of'3 = Of3 (точка f'3 — симметрична точке f3 относительно центра О).

Прямая A3f'3 определит отрезок Of4 = a/u4, где u4 = 3.

Далее отложим Of'4 = Of4. Прямая f'3f'4 определит точку f5; Of5 = a/u5. Пусть построены точки f'n-1 и f'n. Легко построить точку fn + 1. Действительно,

Черт. 7

Известно, что числа Фибоначчи выражаются формулой

(см. Н. И. Воробьев, Числа Фибоначчи, Госуд. изд. тех.-теор. литер., 1951, и А. И. Mаркушевич, Возвратные последовательности, Госуд. изд. тех.-теор. литер., 1950). Отсюда следует, что отрезок

Найдем разность между Of2 и Of3 и т. д.

Сложим написанные равенства:

Заменив числа Фибоначчи их значениями, получим:

Заменив в знаменателе каждой дроби число Фибоначчи uk числом uk + 1 получим:

Задача 24. Построить отрезки, длины которых равны

где a1 и a2 — произвольные отрезки; un-1, un — числа Фибоначчи.

Построим концентрические окружности радиусов ОA1 = а1 и ОB1 = a2 (черт. 9).

Проведем A1B3, пересекающую ОA2 в точке φ3:

Точка симметрична точке φ3 относительно центра О:

A3φ3 пересечет ОA4B4 в точке φ4:

Аналогично строим

Черт. 8

Черт. 9

Пусть

тогда

Найдем разность

Сложим все написанные равенства:

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

ПЕРВЫЕ РУССКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЖУРНАЛЫ — НОСИТЕЛИ ПРОГРЕССИВНЫХ МЕТОДИЧЕСКИХ ИДЕЙ*

Р. А. СИМОНОВ (Москва)

Первые русские математические периодические издания сыграли значительную роль в деле становления и развития важнейших идей методики математики. Важна заслуга «Учебного математического журнала» в формировании правильного взгляда на сущность метода математических упражнений в преподавании. Значительна роль «Вестника математических наук», впервые в России выступившего с научной популяризацией математики. Характер содержания второго отдела «Математического сборника», предназначенного главным образом для учителей, уже сближает его с научным методическим журналом. Он являлся проводником ряда плодотворных методических идей, пропагандировал достижения русской математической науки; в частности, впервые громко заявил о гениальном открытии Н. И. Лобачевского.

Более 120 лет назад в России стал издаваться первый математический журнал для учителей. Редактором и издателем этого «Учебного математического журнала» был доктор философии Карл Яковлевич Купфер (1789—1838), который преподавал математику в гимназии г. Ревеля (Эстония). Здесь он стал издавать журнал, просуществовавший два года: 1833-й и 1834-й.

А. В. Ланков в работе «К истории развития передовых идей в русской методике математики» (Учпедгиз, 1951) говорит об этом журнале, что он «начинает пропагандировать идеи Песталоцци» (стр. 29), и только. Ограничивать этим значение «Учебного математического журнала» не столько ошибочно, сколько несерьезно. Чтобы убедиться в этом, достаточно внимательно просмотреть журнал. В начале помещена биография Песталоцци. С какой целью это делается, объясняется здесь же рядом, в предисловии издателя: «В программе я обещал по возможности извещать читателей о вновь учреждаемых училищах и о заслугах умерших учителей. Последнее обещание я сдержал, поместив жизнеописание знаменитого Песталоцци. Я намерен и впредь от времени до времени предлагать подобные сведения, если найду занимательные известия о сем предмете, или же жизнеописания великих математиков, коих чтение может быть полезным и приятным отдохновением в обучении математике, которая для многих несколько обременительна»*. Очевидно, что написанная с целью принести «отдохновение» заметка о Песталоцци не может служить серьезным аргументом в пользу утверждения А. В. Ланкова. Если же познакомиться с содержанием журнала, то станет ясно, что этот журнал — замечательное явление в истории русской методики математики — проводник совершенно оригинальных методических идей, а не репродукция с иностранщины. Чтобы окончательно отделаться от навязанного А. В. Ланковым представления об этом журнале, прежде всего посмотрим, какое отражение здесь получили ошибочные, псевдонаучные утверждения Песталоцци. Последний, будучи замечательным педагогом, однако вы-

* «Учебный математический журнал» (1833—1834), «Вестник математических наук» (1861—1862), «Математический сборник» (отдел второй) (1867—1882).

* «Учебный математический журнал» ч. 1, 1833, стр. IV.

сказывал и ошибочные мысли. Например, он имел неверное представление о природе математического знания, отрывал последнее от вопросов жизни, практики, естественных наук. «Учебный математический журнал» в этом отношении занимает прямо противоположную позицию. Его издатель — К. Я. Купфер не только чувствовал существование тесной, неразрывной связи между математической теорией и упражнениями, но прекрасно понимал, что успех примеров и задач в познании математических закономерностей определяется связью последних с практикой, естествознанием. Он специально знакомится с последними достижениями естествознания, чтобы собрать материал для упражнений, о чем говорит в предисловии к первой части журнала; публикует задачи, имеющие сугубо практический характер (например, как провести прямую или восставить перпендикуляр в поле, как измерить высоту стены, дерева и т. д.). Издатель прямо указывает на необходимость отмечать, какой интерес представляет данная задача в приложениях, т. е. для практической деятельности человека. «Весьма много способствует к пояснению утверждаемых положений (тригонометрических задач. — Р. С), если можно в то же время представить и приложение их и пользу их в приложении»*, — говорит К. Я. Купфер.

На этой стороне педагогического творчества К. Я. Купфера далее остановимся подробнее. Перейдем к содержанию журнала.

Цели и задачи «Учебного математического журнала» заключались в следующем: излагать содержание учебных руководств по математике и естествознанию, которые появлялись в отечественной и иностранной печати; печатать статьи, посвященные методам преподавания элементарной математики; помещать математические упражнения, отвечающие программам начальных и средних учебных заведений. Редактор призывал учителей использовать его журнал как средство педагогического совершенствования преподавания математики. «Иной преподаватель, — замечает К. Я. Купфер, — искусный в своем деле, мог бы и другим приносить пользу и вообще содействовать к усовершенствованию преподавания, сообщая свои замечания об учебных книгах и о самом преподавании; такие замечания журнал сей будет принимать и распространять**».

Учебной литературе в журнале уделялось большое внимание. Публиковались библиогра-

фические списки выходящих учебников, русских и зарубежных; помещались краткие аннотации или давалось подробное изложение книг. В последнем случае издатель приводил большие отрывки из сочинений и давал разъяснения. К. Я. Купфер указывал, что каждый читатель вправе требовать от журнала «обозрения хороших учебных книг, основательного разбора лучших из них и сличения разных сочинений об одном предмете, которое показывало бы преимущества и недостатки каждого»*.

Подробное изложение в журнале сведений об учебной литературе объясняется стремлением издателя облегчить знакомство русских учителей с разнообразными образцами учебников.

Из статей, посвященных изложению методов преподавания математики, наибольший интерес представляет сочинение «Первоначальная алгебра», написанное самим издателем. К. Я. Купфер задумал написать статью, которая удовлетворяла бы как интересам научного подхода к преподаванию, так и запросам, предъявляемым к учебнику. «Предначертая ход обучения алгебры, — пишет автор, — мы в то же время старались развить все так, чтобы и юноши, желающие учиться алгебре, могли с пользою читать сию статью»**.

Работа посвящается изложению методов решения систем уравнений первого порядка с несколькими неизвестными. К. Я. Купфер указывает два метода решения. Первый, который он называет «методом испытания», или «способом приближения уравнений к корням», заключается в последовательной подстановке в уравнения различных чисел. Второй метод, названный «общим», состоит в «последовательном преобразовании предложенного уравнения дотоле, пока в одной части уравнения останется одно искомое количество, а в другой части будут находиться все известные»***.

Изложение статьи строго подчиняется правилу: прежде чем сделать теоретический вывод, нужно рассмотреть ряд примеров, в которых данное математическое положение лучше всего отражено. Такое правило, по убеждению К. Я. Купфера, «прилично естественному ходу исследования, потому что прежде надобно рассматривать предметы, а потом рассуждать об оных»****.

Прежде математические упражнения рассматривались лишь как способ для иллюстрирования теории. К. Я. Купфер восстал против та-

* «Учебный математический журнал», г. Ревель, 1834, стр. II.

** «Учебный математический журнал», ч. 1, 1834, стр. 5.

* Там же, стр. 1, ч. 2.

** Там же, ч. 2, 1834, стр. 257.

*** Учебный математический журнал, ч. 2, 1834, стр. 290.

**** Там же, стр. 273.

кого мнения, построил изложение своей статьи, опираясь на уверенность в существовании между упражнениями и теорией более тесной связи, угадав их взаимопроникновение. Это привело К. Я. Купфера к мысли рассматривать связь теоретического изложения с математическими упражнениями как особый метод, основу преподавания. Весь «Учебный математический журнал» проникнут мыслью об особой роли в преподавании математических упражнений в силу таких методических особенностей последних, как способность сообщать очевидность теоретическим положениям, наглядно раскрывать их содержание, служить связующим звеном с практикой.

Вот, например, как К. Я. Купфер советует знакомить учащихся с тригонометрическими функциями. «Должно для объяснения сперва научить ученика находить их для 30° и 45°, потом еще некоторые хотя только посредством начертания и измерения, после того дать ему таблицу оных от градуса до градуса, не давая еще однакоже таблицы логарифмов сих количеств, чтобы не развлечь тем внимание его. За сим должны следовать задачи о прямоугольном треугольнике, которые не только пояснят пред сим истолкованные понятия и не только укажут на преимущества их в приложении, но все представят в наивозможной очевидности»*.

Журнал содержит около четырехсот различных задач и примеров по арифметике, алгебре, геометрии и тригонометрии. Подписчики журнала могли особо выписывать отдельные листы с упражнениями. Поэтому его можно рассматривать как своего рода задачник.

Задачи группировались по отделам на основе учета возрастных особенностей учащихся и учебных программ. Отдельно расположены задачи для уездных училищ и гимназий. Все задачи, помещенные в журнале, снабжены ответами, многие — решениями (геометрические — с анализом и построениями). Условия некоторых из них даны с «объяснениями» и «примечаниями», в которых подробно анализируется содержание задачи. Упражнения К. Я. Купфер брал главным образом из различных иностранных источников, а также составлял сам.

Журнал К. Я. Купфера был с интересом встречен русской общественностью. На первую часть издания подписались многие учебные заведения, а также отдельные лица. Число подписчиков достигало 450. В печати появились отклики на это новое литературно-педагогическое начинание. Из Москвы, Петербурга и других городов в журнал присылались письма, в которых авторы приводили свои способы решения задач, сообщали результаты математических исследований. Например, в первой части журнала К. Я. Купфер с похвалой отзывается о присланных решениях задач, указывает на их оригинальность и обещает опубликовать. Во второй части журнала помещена присланная из Петербурга инженером П. И, Татариновым статья, излагающая теорию параллельных линий, «основанную на началах хотя не новых, однако же новым образом».

Журнал «Вестник математических наук» стал выходить почти тридцать лет спустя после «Учебного математического журнала». Он так же, как и последний, издавался в Прибалтике, в городе Вильно (теперь Вильнюс), два года: 1861-й и 1862-й. Если К. Я. Купфер преследовал своим журналом учебно-методические цели, то издатель нового журнала — Матвей Матвеевич Гусев (1826—1866), директор виленской обсерватории, хотел создать орган научных исследований по математике и наукам математического естествознания. (В то время последние, физика например, рассматривались как часть математики, отсюда — название журнала.) В «Вестнике математических наук», кроме русских, активное участие принимали иностранные ученые. Статьи печатались на русском, немецком, французском языках. В журнале принимали участие учителя средних школ, например Е. Ф. Сабинин, М. Е. Ващенко-Захарченко.

По словам последнего, М. М. Гусев, предпринимая издание журнала, имел «благую мысль сообщить русской математической публике то, что делается в математическом мире Западной Европы и в нашем отечестве, составлявшем до сих пор единственное исключение»*. Кроме статей научного характера (в 37 номере помещен русский перевод статьи П. Л. Чебышева «О преобразовании суставчатого параллелограма Уатта»), «Вестник математических наук» содержал библиографические обзоры и указатели русской и иностранной математической, естественно-научной литературы, а также «оригинальные и переводные статьи популярного содержания, представляющие не столько ученый, сколько практический интерес»**. Таких работ, очевидно, предназначенных для преподавателей математики, напечатано в журнале немного. Среди них статьи: А. Жбиковского — «Относительно признаков делимости чисел» (№ 1), А. Попова—«Доказательство геометрического положения о кратчайшем расстоянии между двумя точками» (№ 21), Л. Износкова — «Числовой цирк пифагорейцев» (№ 22). Они

* «Учебный математический журнал», ч. 2, стр. I—II.

* «Вестник математических наук», № 1, 1861, стр. 2.

** Там же, стр. II.

явились пионерами научно-популярной математической литературы и сейчас еще в руках учителя могут быть полезными для кружковой работы.

Возьмем, хотя бы, первую статью. В ней автор средствами элементарной математики получает общий признак делимости на числа вида 10n + 1 и их делители. У этого признака есть одно преимущество: он удобен для многозначных чисел. Например, необходимо выяснить, делится ли многозначное число N на семь. Тогда, по признаку, в числе нужно отбросить цифру единиц, а из полученного таким образом числа D вычесть удвоенную цифру единиц т. е. 2а; если разность D — 2а делится на семь, то число N также делится на семь. При большом D эту операцию можно проделать с K = D — 2а и так далее.

Автор приводит такое доказательство указанного признака делимости.

Если

тогда

Так как в последнем выражении коэффициент перед а делится на семь, то если N делится на семь, выражение

непременно делится на семь, т. е. должна делиться на семь разность D — 2а и обратно. В примечании автор говорит, что так как 21 делится не только на семь, но и на три, то указанный признак делимости справедлив и для числа 3. Основываясь на приведенном доказательстве, А. Жбиковский делает такие выводы:

1) число N делится на число о вида 10n + 1, например: 31, 51, 61, если разность D — па делится на число δ, ибо

2) по предыдущему можно рассмотреть не только делимость чисел вида 10n + 1, но и их делители. Эти два условия выражают общий признак делимости.

Статья А. Попова посвящается доказательству положения, что прямая, соединяющая две точки в пространстве, короче всякой ломаной, проведенной между теми же точками.

Статья Л. Износкова «Числовой цирк пифагорейцев», напечатанная в № 22 журнала, имеет дополнения в № 28 и № 29.

В ней рассматривается одна древняя теорема, приписываемая пифагорейцу Ямблику, следующего содержания. Если записать два ряда чисел, начиная от единицы до n, причем последнее рассматривать как общее для этих рядов, то сумма всех выписанных чисел дает n2:

Такое расположение чисел получило название числового, или численного, цирка. Автор посредством элементарной математики дает доказательство указанного факта, а также находит для любого четного числа числовой цирк, составленный из нечетных чисел. Л. Износков показал, что сумма чисел, записанных таким образом:

дает число (2n)2.

С 1866 года по сегодняшнее время издается научный журнал «Математический сборник» — орган печати Московского математического общества. Это первый специальный математический журнал на русском языке. Начиная со второго тома (1867 г.) и по десятый (1882 г.), он состоял из двух отделов: первого и второго. В первом отделе помещались статьи научного характера, во втором — печатались материалы, рассчитанные на учителей математики. Великий русский математик П. Л. Чебышев давал высокую оценку второму отделу журнала и рекомендовал последний библиотекам средних учебных заведений. «В состав этого издания, — говорил П. Л. Чебышев о «Математическом сборнике», — кроме записок, относящихся к высшей математике, входят статьи по тем частям математики, которые преподаются в гимназиях, и статьи эти имеют особый интерес в педагогическом отношении... Ознакомление учителей гимназии и учеников высших классов со статьями такого рода обещают несомненную пользу, а потому я полагаю, что «Математический сборник» как единственное у нас издание, где та-

кие статьи печатаются, должен быть приобретен гимназическими библиотеками*.

Судьба второго отдела «Математического сборника» такова. Организовав этот отдел, Московское математическое общество рассчитывало привлечь внимание широких слоев учителей. Но русское учительство, душимое духовно и материально «просветительной» политикой царизма, служившей целям затемнения сознания народных масс, тогда еще не оказалось в состоянии принять активное участие в новом журнале. Это вызвало большие затруднения при подготовке изданий «Математического сборника».

В феврале 1869 г. на одном публичном заседании президент Московского математического общества А. Ю. Давидов сказал о втором отделе журнала: «Доставляемый для него материал скуден, и все страницы почти исключительно наполнены статьями самих членов Общества. Желательно иметь и для этого отдела большее число участников, чтоб он мог быть разработан с тем же успехом, как первый»**. Но это желание не осуществилось, даже более того, начиная с пятого тома, второй отдел журнала становился все менее и менее интересным в методическом отношении, но все же продолжал существовать до десятого тома включительно.

Среди материалов журнала, отражающих творчество учителей, представляет интерес изложение доказательства теоремы, которое было «придумано и сообщено» преподавателем ветлужского уездного училища Д. И. Малеевым (напечатано во втором томе журнала, 1867 г.).

Теорема. Площади треугольников, вписанных в круг, пропорциональны произведениям их сторон.

Доказательство. Соединим вершины D и Е, изображенных на чертеже вписанных треугольников CBD и CAE (черт. 1). Площади полученных при этом треугольников пропорциональны произведению сторон, заключающих углы CAE и CDE (на основании равенства этих углов). Тогда

На том же основании записываем аналогичную пропорцию для треугольников DCE и DBC:

Умножив пропорции по частям, получим:

Теорема доказана.

Как видно, теорема доказывается фактически для одного частного случая, когда совпадает пара вершин у вписанных треугольников.

Черт. 1

На вступительных экзаменах в Московский инженерно-физический институт в 1954 г. эта теорема предлагалась в качестве дополнительного вопроса. Абитуриенты без особого труда находили верное решение, не ограничивая расположение треугольников обязательным совпадением пары вершин. При этом использовалось соотношение

которое очень просто получается тригонометрически.

Материалы журнала, ценные в методико-математическом отношении, можно подразделить на отдельные группы в соответствии с их содержанием. Это целый ряд библиографических статей, в которых анализируются отдельные учебные руководства; историко-математические материалы; научно-популярные статьи; упражнения по элементарной математике. В отличие от ранее рассмотренных журналов, которые служили проводниками какой-нибудь одной методической идеи, «Математический сборник» можно назвать «полиметодическим».

Содержание второго отдела журнала позволяет рассматривать его как прообраз специального методического журнала. В «Математическом сборнике» нет статей, излагающих методическое кредо. Но зато имеется масса удачных методических мыслей во многих статьях журнала. Здесь трудно встретить четкую формулировку того или иного методического положения, но легко обнаружить в высказываемых мыслях зародыши, зачатки идей, которые выражают сущность основных педагогических принципов математического преподавания.

* П. Л. Чебышев, Полное собр. соч., 1951, стр. 401—402.

** «Математический сборник», т. 4, 1869, стр. VIII.

Четкое отражение в журнале получил, например, принцип ясности изложения учебного материала. В статье Н. В. Бугаева «Математика как орудие научное и педагогическое» (т. 3), посвященной памяти профессора Н. Е. Зернова, дается характеристика педагогической деятельности последнего. Н. Е. Зернов был убежденным сторонником ясности и простоты в математическом преподавании. «Наклонность к таинственному, преувеличенные понятия о трудностях математики, заставляли некоторых ставить ясность и простоту на втором плане. Привыкнув темнотою и неясностью изложения измерять глубину научного содержания, иные наклонны отказать в глубокомыслии тому, что очевидно и просто»*. Не таким преподавателем был Н. Е. Зернов. Ему присуще глубокое убеждение в том, что наиболее важные математические идеи должны характеризоваться простотой; ему было чуждо стремление нарочито запутать, затемнить свои мысли или не пытаться дать им простую и понятную форму выражения.

Идея ясности изложения учебного материала находит отражение в ряде других статей, например в рецензиях: «Руководство арифметики для гимназий А. Малинина и К. Буренина» (т. 2), «Пятизначные таблицы логарифмов Пржевальского» (т. 3) и других. В первой — одобряется введение авторами определения числа как результата операции счета, способствующее ясности изложения первоначальных арифметических сведений; во второй — указывается на необходимость ясности, простоты устройства тригонометрических таблиц.

Яркое отражение на страницах «Математического сборника» получило развитие важнейшего методического принципа — применения упражнений в математическом преподавании. Основой этого принципа, по мнению журнала, должно быть не «натаскивание» учащихся путем решения массы задач и примеров, а разъяснение методов выполнения упражнений. Это раскрывает перед учеником сущность, настоящий смысл решения, показывает, как теория отражается в практике. «Едва ли из одних примеров, как бы ни были они многочисленны, можно вывести что-нибудь общее: но именно указание и разъяснение методов решения задач... весьма много может помочь этому и если не научит решать всякую задачу, то, по крайней мере, покажет ученику, в чем заключается настоящий смысл решения»**.

В журнале приводятся упражнения по элементарной математике, рассчитанные на учащихся, и более сложные, видимо, для учителей. В четырех первых томах журнала (второй отдел) помещено всего 25 задач. В других томах задачи не помещались. Ко всем задачам первых трех томов приводятся решения.

Видное место занимают в журнале статьи и материалы историко-математического характера. Здесь в первую очередь нужно указать материалы, относящиеся к популяризации идей гениального русского математика Н. И. Лобачевского. Статья «О теории параллельных линий Н. И. Лобачевского», напечатанная в третьем томе журнала (1868 г.), является первой попыткой широкого распространения среди русской общественности идей великого соотечественника. «В настоящей статье мы хотели бы обратить внимание наших читателей на весьма замечательные, но мало известные труды о том же предмете (речь идет о теории параллельных линий— Р. С.) другого нашего соотечественника, бывшего профессора Казанского университета Н. И. Лобачевского»*. Здесь публикуются интересные документы: переписка Гаусса, в которой излагаются взгляды последнего на геометрию Н. И. Лобачевского, и дается русский перевод статьи Н. И. Лобачевского «Геометрические изыскания о теории параллельных линий». К рассматриваемой статье тесно примыкает заметка «О сумме углов треугольника», помещенная в четвертом томе, в которой изложены взгляды известного французского математика Бертрана на вопрос о доказательстве пятого постулата Евклида. В частности, Бертран указывает: «Замечательный геометр Лобачевский, из Казани, имел смелость спросить: что станется с геометрией, если, признав постулат Евклида неточным, мы допустим, что сумма углов треугольника отличается от двух прямых? Обладая сильным и проницательным умом и глубокими сведениями в самых высших отделах науки, Лобачевский с помощью рассуждений, строго вытекающих из его положений, получил странные выводы, составившие новую геометрию»**.

Пропаганда журналом достижений русской математики касалась также научных заслуг академиков С. Е. Гурьева, М. В. Остроградского, П. Л. Чебышева. Например, в работе «Несколько слов о системе изложения чистой математики» (т. 4) харьковский ученый Д. М. Деларю отметил важность и указал на необходимость изложения в учебных курсах исследований

* «Математический сборник», т. 3, отдел второй, 1868, стр. 214.

** «Математический сборник», т. 2, отдел, второй 1867, стр. 123.

* «Математический сборник», т. 3, отдел второй, 1868, стр. 79.

** «Математический сборник», т. 4, отдел второй, 1896, стр. 199.

М. В. Остроградского об интегрируемости рациональных дробей и радикальных функций в алгебраической форме и работ П. Л. Чебышева относительно интегрирования радикальных функций при помощи элементарных трансцендентных функций.

В подходе к зарубежной научной работе журналу была чужда идея преклонения перед заграницей. Вместе с тем он отмечает удачные образцы иностранной учебной математической литературы. Например, в рецензии «Об элементарной геометрии Руше и Комберусса» (т. 2) дается хорошая оценка французскому математическому трактату, цель которого — охватить все вопросы элементарной геометрии. Здесь же дается оценка английской и немецкой учебной математической литературе. В частности, обсуждается консерватизм английской школы, где изучение геометрии ведется не по учебникам, а по «Началам» Евклида*. «Кто же решится утверждать, что Евклидовы начала, этот действительно величавый памятник древности, не может быть подвержен никакой критике со стороны научных и тем более педагогических требований?»**, — справедливо недоумевает журнал.

Основным пороком немецких учебных руководств рецензент считает пренебрежение методическими сторонами изложения; «определения часто не выработаны, главнейшие пункты геометрического учения, каковы теория пропорциональности и способ пределов излагается в довольно грубом виде; достаточно сказать, что до сих пор редкий автор не предлагает своей теории параллельных линий»***.

Обзор статей историко-математического характера, помещенных в журнале, следует дополнить указанием на ряд характерных в этом отношении материалов. Например, здесь изложены биографии Э. Бура, М. Фарадея, Б. Римана; в качестве особого приложения к журналу напечатана книга известного французского математика Шаля «История геометрии»; опубликованы статьи об античной математике.

Во втором томе помещено изложение лекции Ф. А. Слудского «Предмет теории чисел и отношение ее к другим отделам математики». Многие положения этой статьи теперь покажутся устаревшими, даже наивными. Но что в ней важно, так это взгляд Ф. А. Слудского на ход исторического развития математики. Вот, например, как он объясняет возникновение арифметики и алгебры: «За арифметикой возникла алгебра и опять-таки не из отвлеченной идеи о количестве, а из вопросов жизни, из решений вопросов первой прикладной математической науки — геометрии»*. Это замечание очень важно. Ф. А. Слудский совершенно определенно указывает на материальное (вопросы жизни, прикладной математики), а не идеальное (отвлеченная идея о количестве) происхождение алгебры. Эта попытка дать материалистическое объяснение происхождению математических наук играет, несомненно, огромную роль в проблеме распространения материалистического взгляда на происхождение и природу математики в русском школьном преподавании.

Научная популяризация математики, начатая «Вестником математических наук», занимает в журнале очень видное место. В этом отношении интересен целый ряд статей.

В. Я. Цингер в заметке «Об основной теореме высшей геометрии» (т. 4) рассмотрел вопрос возникновения и развития проективной геометрии и популярно изложил теорему о равенстве сложного отношения четырех точек сложному отношению четырех соответственных лучей пучка. Одновременно автор выступил с требованием повышения качества преподавания математики в школах.

Исследование Ф. А. Слудского «О свойствах степеней двух и трех» (т. 4) посвящено свойству «минимальности» этих степеней. Автор заканчивает статью попыткой показать практическую применимость полученного при помощи теории чисел вывода. Он указывает, что этот теоретический вывод дает возможность установить наименьшее число разновесков для любого взвешивания. Для этого, говорит автор, нужно сделать разновески в 1,3, 9, 27,... весовых единиц. Рассматривая аналогичный вопрос в отношении наиболее удобного денежного платежа, автор показывает, что деньги должны быть в 1, 2, 4, 8,... единиц, если идет речь о платежах без сдачи, или в 1, 3, 9, 27,.. .единиц, если имеются в виду платежи со сдачей.

В большой статье А. Ю. Давидова «Распространение формулы бинома на дробные и отрицательные показатели» (т. 3) рассмотрено разложение бинома (х — а)r, где r — рациональное число. Исследование является обобщением известной теоремы о биноме Ньютона. В другой работе «Элементарный вывод формулы

(т. 2) А. Ю. Давидов руководствуется не только

* Подобное положение в геометрическом преподавании сохраняется в Англии до настоящего времени.

** «Математический сборник», отдел второй, т. 2, 1867, стр. 118—119.

*** «Математический сборник», отдел второй, т. 2, 1867, стр. 119.

* «Математический сборник», т. 2, отдел второй, 1867, стр. 198.

стремлением дать простейший вывод так называемой формулы Эйлера, но также желанием показать, как указанное соотношение позволяет расширить представление о комплексном числе. Он показывает, что логарифмы отрицательных чисел и аргументы синусов и косинусов, значения которых превышают |1| — величины, не имеющие вещественного выражения, — могут быть найдены как комплексные числа. Изложена статья с исчерпывающей ясностью. Все вычисления проводятся до конца. Автор разъясняет каждый шаг доказательства.

Вывод формул sin (α + ß), cos(α + ß) обычно производится для дуг, которые меньше четверти окружности. В этом случае необходимы дополнительные рассуждения, чтобы убедиться в справедливости этих формул для произвольных дуг.

А. В. Летников в статье «Общее доказательство основных формул тригонометрии» (т. 2) дал прием вывода указанных формул для произвольных дуг. Для этого он применил теорему о равенстве нулю сумм проекций на координатную ось сторон замкнутого многоугольника. Метод проекций замкнутого многоугольника, примененный А. В. Летниковым, был успешно использован К. Гертцем для вывода некоторых формул сферической тригонометрии. Этому вопросу посвящена его работа «Об основных формулах сферической тригонометрии» (т. 4).

Статьи, подобные рассмотренным выше, являясь замечательными образцами научной популяризации математики, содержат ценный материал, который может быть успешно использован в работе школьных математических кружков.

РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ АЗИИ В IX—XV ВВ.*

К. А. МАЛЫГИН (Куйбышев)

Математика как наука есть продукт творческой деятельности человеческого гения в течение многих тысяч лет. Она возникла и развивалась для удовлетворения непрерывно возраставших потребностей общества.

Народы, некогда населявшие территорию нашей родины, внесли огромный вклад в развитие математики. Мы гордимся тем, что многие великие математические открытия были сделаны нашими предками в давно прошедшие исторические времена.

В настоящей статье делается попытка перечислить хотя бы наиболее крупные достижения математиков, населявших в IX—XV вв. территорию нынешних среднеазиатских республик.

В мрачные времена средневековья, когда наука и культура на Западе пришли в упадок, на территории Средней Азии жило много крупных ученых—математиков и астрономов, которые не только сберегли для будущих поколений достижения науки древних греков и египтян, но и двинули науку далеко вперед.

Работая в условиях гонения на передовую науку со стороны реакционных сил ислама, в условиях отсутствия книгопечатания и единой математической символики, они сумели добиться выдающихся результатов. Деспотизм и невежество правителей зачастую гнали ученых с родины. Так, долгие годы провели в изгнании: азербайджанец Насирэддин Туси, таджик Омар ал-Хайям, узбек ал-Хорезми и многие другие.

Остановимся вкратце на работах некоторых наиболее крупных математиков Средней Азии.

Знаменитый узбекский ученый Мухаммед-бен-Муса ал-Хорезми (жил около 830 г.) написал целый ряд ценных работ по математике и астрономии. Одна из них—«Хисаб алджебр вал-мукабала» была переведена на латинский язык и в течение ряда веков служила основным руководством по алгебре. Трактат посвящен в основном решению уравнений первой и второй степеней методом «алджебр вал-мука-бала», что значит: восстановление и сопоставление. Под словом «алджебр» (откуда и произошло современное название «алгебра») он подразумевал перенесение вычитаемых членов из одной части уравнения в другую; под словом «вал-мукабала» — отбрасывание от обеих частей уравнения равных членов.

Некоторые способы решения уравнений 1-й и 2-й степеней были известны еще и до ал-Хорезми. Его заслуга состоит в том, что он дал общий метод решения квадратного уравнения, не относя его к какой-нибудь конкретной задаче, как это делалось до него. Современное правило вычисления корней квадратного уравнения

* Настоящая статья написана на базе доклада, сделанного автором на занятии математического кружка в Куйбышевском Суворовском военном училище — Ред.

впервые встречается в трактате ал-Хорезми. При этом он замечает, что если с > (b/2)2, то решение задачи невозможно.

Для числа π у него встречаются не только значения 22/7, или √10, известные и до него, но и более точное число 3,1416.

О популярности трудов ал-Хорезми в средние века говорит также тот факт, что слово «алгорифм» есть искаженное латинизированное произношение слова «ал-Хорезми».

Огромную роль в истории математики и человеческой культуры сыграла «Арифметика» ал-Хорезми. В этой небольшой книге в систематической форме изложена позиционная система счисления, описаны действия с шестидесятеричными и обыкновенными дробями. Эта книга ал-Хорезми ... «явилась источником распространения в странах Ближнего и Среднего Востока и Европы десятичной позиционной системы счисления, заменившей гораздо менее совершенную алфавитную систему счисления греков и громоздкую римскую нумерацию»*.

Другой знаменитый среднеазиатский астроном и математик Абуль-Вафа (940—998 гг). был уроженцем города Хоросана. Абуль-Вафа очень много сделал для развития плоской и сферической тригонометрии. Он составил довольно точные для своего времени таблицы синусов через каждые 10', а также таблицы тангенсов, с точностью порядка 1/604. Впервые в его работах встречается теорема синусов для сферического треугольника. Им было написано сочинение об извлечении корня 3-й, 4-й и 5-степеней. Он ввел в математику понятия: «линия секанса», «линия косеканса».

Ученому ал-Бируни принадлежит простой и оригинальный способ определения радиуса земного шара. В переводе на современную символику рассуждения его выглядят так (черт. 1):

откуда

где R — радиус земли, h — высота горы, на которую он поднимался, а — измеренный угол. Знаменательно, что методы научных исследований этого ученого в основном совпадают с нашими. А он жил почти тысячу лет назад!

Крупнейший таджикский поэт и ученый Омар ал-Хайям (1040—1123 гг.) оставил большой след и в математике. В своем труде «Алгебра», переведенном позднее на французский язык, Хайям подробно рассматривает решение линейных уравнений и геометрическое построение корней кубического уравнения. Теория построения корней методом конических сечений дана систематически и достаточно полно. Не лишне заметить, что календарь, реформу которого он в 1074 г. произвел по указанию султана, имел значительно большую точность, чем календарь нового стиля. В течение 4500 лет ошибка составляла лишь один день, а в нашем новом стиле ошибка в одни сутки накапливается за 3300 лет.

Омар ал-Хайям написал труд об извлечении корней с любым натуральным показателем. К сожалению, труд этот утерян, на него лишь есть ссылка в трудах другого ученого Джемшид ал-Каши.

Крупнейший азербайджанский ученый Насирэддин Туси (1201 — 1274 гг.) многое сделал для развития геометрии, тригонометрии, астрономии и теории отношений. Насирэддин перевел на арабский язык «Начала» Евклида, сделав к ним много существенных толкований и дополнений. Большого внимания заслуживают его попытки доказать V постулат Евклида, которые сыграли большую роль в подготовке к созданию неевклидовой геометрии и представляют собой существенное дополнение теории параллельных линий.

Разрабатывая теорию отношений, Насирэддин Туси впервые в науке ввел понятие отвлеченного отношения одной величины к другой величине того же рода. В Европе только Ньютон (через четыре века!) предложил понимать под числом «... не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу ».

Черт. 1

* См. А. П. Юшкевич, Арифметический трактат Мухаммеда бен-Муса ал-Хорезми, Труды Института истории естествознания и техники АН СССР, т. 1, 1954, стр. 85.

В трактате «Шакл-ул-Кита» Насирэддин Туси вводит понятия: «синус дуги» (то, что мы теперь называем линией синуса), «косинус дуги» (синус дуги, дополнительной до четверти окружности), «тангенс дуги», «котангенс дуги», «секанс дуги», «косеканс дуги». Автор доказывает теоремы синусов и тангенсов.

Одной из важнейших заслуг Насирэддина Туси в области сферической тригонометрии является решение сферического треугольника по трем углам, что в Западной Европе было сделано лишь Снеллем (XVII в.).

Насирэддин Туси в основном завершил развитие прямолинейной и сферической тригонометрии. Характерно, что результаты, изложенные им в этой книге, приписывались до сих пор немецкому математику Региомонтану (XV в.) и голландцу Снеллю (XVII в.).

Большой известностью во всем мире пользуются труды по астрономии самаркандского государя Улугбека (1393—1449 гг.) Улугбек был высокообразованным человеком. В Самарканде он создал лучшую для своего времени астрономическую обсерваторию и собрал вокруг себя большие научные силы.

О популярности трудов Улугбека свидетельствует хотя бы тот факт, что каталог звезд Улугбека был издан еще на заре книгопечатания в 1665 г. в Оксфорде и с тех пор многократно переиздавался в Европе и Америке (1767 г., 1843 г., 1853 г., 1917 г. и т. д.).

В обсерватории Улугбека работали крупнейшие ученые того времени: Казы-Заде, Ал-Кушчи, Махмуд ибн Мухаммед, Мансур Каши, Абд-ал-Али бин Хусейн, Бирджани, Гиясэддин Джемшид, родом из Кашана и многие другие.

Остановимся вкратце на работах последнего из них, поскольку он занимал ведущую роль в обсерватории Улугбека.

Джемшиду ал-Каши принадлежит приоритет в открытии десятичных дробей. Еще в 1427 г. в труде «Ключ к арифметике» он дает правила действий над десятичными дробями и правила перехода от господствовавшей тогда шестидесятиричной системы счисления к десятичной, и обратно. В Европе лишь Стевин в труде «О десятой» (1585 г.) дает правила действия с десятичными дробями. Ал-Каши опередил его на 150 лет.

В этом же труде можно встретить прием извлечения корня с любым натуральным показателем, общее правило биномиального разложения вида

правило составления внутренних биномиальных коэффициентов, которое мы теперь записываем формулой

(заметим в скобках, что в Европе общий прием извлечения корней и таблица биномиальных коэффициентов до 17-й степени впервые были опубликованы через 120 лет Штифелем).

В сочинении об измерении длины окружности «Трактат о хордах и синусах» ал-Каши вычислил периметры вписанного и описанного многоугольника с 800 335 168 сторонами (3—228), пользуясь формулой удвоения числа сторон. Каждое вычисление он сопровождал проверкой в десятичной и шестидесятиричной системах счисления. В итоге огромного труда ал-Каши нашел, что

2π = 6,283 185 307 179 5865.

Все 17 знаков — верные!

Для сравнения скажем, что Архимед дошел в своих вычислениях тс только до 96-угольвика. В Европе Франсуа Виет в 1593 г. вычислил стороны 393 216-угольника (3—217) и нашел для тс значение с 9 верными знаками. Только Лудольф Ван Цейлен в 1615 г. опубликовал работу, где тс было вычислено с точностью до 32 знаков.

Для составления тригонометрических таблиц необходимо было умение решать кубическое уравнение

Численное решение этого уравнения при помощи правильного девятиугольника было известно еще ал-Бируни. Ал-Каши разработал новый, весьма оригинальный прием решения этого уравнения методом последовательных приближений. Точность таблиц синусов, вычисленных по этому методу, составляла 110—9. Европейские математики только в конце XVI в. сумели достичь такой степени точности.

Не имея возможности осветить достижения среднеазиатских математиков IX—XV вв. достаточно подробно, отметим, что к числу капитальных их достижений относятся:

«В области арифметики и комбинаторики:

1. Усовершенствование позиционной шестидесятиричной системы счисления.

2. Открытие десятичных дробей.

3. Разработка приемов извлечения корней из чисел.

4. Первое точно установленное в истории математики применение формулы бинома Ньютона для любого натурального показателя.

5. Расширение понятия о действительном (положительном) числе.

В области алгебры:

6. Выделение алгебры в особую математическую дисциплину.

7. Применение числовой алгебры в измерительной геометрии и открытие замечательного итерационного приема решения одного вида численного кубического уравнения.

8. Создание геометрической теории решения кубических уравнений.

В области тригонометрии:

9. Создание системы плоской и сферической тригонометрии.

10. Вычисление чрезвычайно точных и полных тригонометрических таблиц»*.

Единая математическая символика в те годы еще не была выработана. Даже самые сложные математические выкладки ученые производили на словах. Тяжеловесные фразы лишали работу наглядности, затрудняли действия.

Отсутствие единой символики и книгопечатания, феодальная раздробленность и непрерывные войны правителей между собою, гонение со стороны реакционного духовенства на передовую науку — вот исторический фон, на котором приходилось работать ученым тех лет. О силе сопротивления религии свидетельствует хотя бы тот факт, что даже сам самаркандский государь Улугбек пал жертвой интриг служителей ислама, обсерватория его была разрушена, ценные научные труды уничтожены.

Достойны удивления умы, которые в таких тяжелых условиях сумели добиться выдающихся результатов.

С XI в. усилилось разобщение между мусульманским миром и «неверными». Это привело к тому, что многие достижения ученых Средней Азии стали известны в Европе после того, как были открыты здесь заново.

Развитие капитализма в Европе (развитие производительных сил) дало толчок развитию наук. Средняя же Азия до Великой Октябрьской социалистической революции оставалась на положении полуколонии с феодальным укладом жизни.

В литературе, особенно старой и переводной, часто встречается термин «арабская математика». Арабам приписываются большие заслуги в области математики. В действительности же дело обстоит несколько иначе.

После распространения власти халифата в VII в. арабский язык стал официальным языком на обширной территории Средней Азии, Ближнего и Среднего Востока. В силу разных исторических причин даже после распада халифата в IX в. арабский язык оставался долго наиболее распространенным языком в этой части света. Многие ученые и поэты писали на арабском языке (так же, как в Европе на латинском). Это и дало основание приписывать арабам необычайно высокие достижения в области математики.

Реакционные историки Запада отрицают созидательную роль математиков Средней Азии, приписывая им лишь роль хранителей и толкователей достижений древних греков. Так, американский историк математики Белл писал в 1945 г.: «Если человек не вносит чего-либо нового в математику, то он не математик. С точки зрения этого критерия мусульмане в своей крайне полезной переводческой и комментаторской работе математиками не были».

Мы не собираемся полемизировать с мистером Беллем: факты истории говорят сами за себя. Но наш долг, долг советских учителей, популяризировать достижения ученых, некогда населявших территорию нашей родины, и тем самым воспитывать у учащихся благородное чувство советского патриотизма.

А ведь в этой области делается далеко не все. Достаточно сказать, что только в последнем издании стабильных учебников изложен исторически правильный взгляд на развитие алгебры и тригонометрии. А до этого в краткой исторической справке говорилось о Брадвардине, Региомонтане и ни слова о наших соотечественниках.

Преподавателям, желающим более детально познакомиться с достижениями среднеазиатских математиков, можно рекомендовать следующую литературу:

1. Т. Н. Кары-Ниязов, Астрономическая школа Улугбека, М., 1950.

2. «Историко-математические исследования», под редакцией Г. Ф. Рыбкина и А. П. Юшкевича, выпуск IV, 1951; выпуск VI, 1953.

3. Большая Советская Энциклопедия (второе издание), т. 2, стр. 53—57; т. 1, стр. 44; т. 3, стр. 14—16; т. 26, стр. 469.

4. Труды Института истории естествознания и техники АН СССР, т. 1, 1954.

5. Бартольд, Улугбек и его время, Петроград, 1919.

6. Г. Г. Цейтен, История математики в древности и в средние века, М., 1938.

К последним двум работам следует отнестись критически. Для учащихся:

1. И. Депман, Рассказы о математике, Детгиз, Ленинград, 1954.

* «Историко-математические исследования», под ред. Г. Ф. Рыбкина и А. П. Юшкевича, выпуск IV, 1951, стр. 461.

МЕТОДИКА

О РАБОТАХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ ПО ИЗГОТОВЛЕНИЮ И КОНСТРУИРОВАНИЮ НАГЛЯДНЫХ ПОСОБИЙ

М. И. КАЧЕНОВСКИЙ (Москва)

1. Готовые и самодельные наглядные пособия по математике

Под готовыми наглядными пособиями чаще всего понимают покупные наглядные пособия фабричного изготовления; готовым наглядным пособиям часто приписывают совершенство конструкции, прочность, красоту внешней отделки, надежность в действии и целый ряд других свойств и качеств, которыми в действительности многие покупные пособия и не обладают.

Под самодельными наглядными пособиями обычно понимают невзрачные заменители хороших пособий, обязательно грубой работы и с очень плохой отделкой.

Почему-то многие считают, что самодельные наглядные пособия всегда делаются из плохих материалов, плохими инструментами и очень плохими мастерами.

На основе таких неправильных понятий о готовых и самодельных наглядных пособиях и строятся требования к промышленности дать скорее полный комплект наглядных пособий по математике фабричного изготовления под видом того, что плохо сделанные самодельные пособия приносят не пользу, а только вред.

Те, кто выступает с критикой самодельных наглядных пособий, вернее, плохих, неудавшихся пособий, не могут и не хотят видеть той огромной пользы, которую приносит процесс конструирования и изготовления самодельных наглядных пособий воспитанию и обучению подрастающего поколения и совершенствованию педагогического мастерства учителя.

Для педагогической оценки в дальнейшем мы будем относить к готовым наглядным пособиям не только купленные наглядные пособия, но и всякие самодельные наглядные пособия, изготовленные другими учителями или учениками другого класса.

Под самодельными наглядными пособиями мы будем понимать всякое наглядное пособие, изготовленное заново самими учениками или собранное ими из готовых деталей конструктора, а также пособие, сконструированное учителем для своей педагогической работы, независимо от того, чьими руками оно сделано.

Значение изготовления и конструирования самодельных наглядных пособий и измерительных инструментов учителем неоценимо для совершенствования его педагогического мастерства.

Учителю обычно приходится изготавливать самодельные наглядные пособия в следующих случаях:

a) если в школе отсутствуют необходимые наглядные пособия;

b) если учитель считает, что имеющееся наглядное пособие не будет способствовать ясному и четкому восприятию изучаемого материала;

c) если учитель желает, чтобы ученики получили глубокие и прочные знания и умели применять теоретический материал на практике.

Творчески работающий учитель всегда ста-

рается усовершенствовать свои методы обучения, и поэтому он не может мириться с отсутствием хорошего наглядного пособия.

Самодельное наглядное пособие, сконструированное учителем, — это показатель заботы учителя об облегчении процесса обучения, это вклад самостоятельного творчества учителя в методику обучения.

В своей работе «Методика преподавания физики в семилетней школе» Е. Н. Горячкин пишет:

«Не будет преувеличением, если признать, что конструирование преподавателем самодельных приборов является не только необходимым, но и неизбежным спутником деятельности учителя как проявление его собственной инициативы и роста квалификации и как неотъемлемая часть его профессиональной работы. В конструировании приборов преподаватель находит полезный и приятный отдых от своей многотрудной работы и если подчас встретит „муки творчества“, то зато испытает и „радости творчества“»*.

Самодельные наглядные пособия и измерительные инструменты, рожденные в результате творческих исканий учителя математики, можно найти почти в любой школе. Очень часто такие наглядные пособия являются первыми образцами для дальнейшего их массового изготовления на фабриках.

Особенности развития мышления учащихся от конкретного к абстрактному обусловливают принцип наглядности, поэтому при всяком улучшении процесса обучения в школах непрерывно возрастает спрос на наглядные пособия.

Для того чтобы пользоваться готовыми наглядными пособиями, их нужно прежде всего иметь. Наша промышленность из года в год значительно увеличивает количество выпускаемых наглядных пособий, но она еще сильно отстает от растущего спроса на них.

Лучшие учителя страны в борьбе за качество знаний постепенно начинают применять вместо готовых наглядных пособий свои самодельные пособий.

Попробуем дать теперь педагогическую оценку готовым и самодельным наглядным пособиям.

Готовое наглядное пособие безусловно играет свою положительную роль в развитии пространственного мышления, оно способствует формированию нового понятия. Красиво оформленное готовое пособие способствует эстетическому воспитанию детей. Такое пособие учителя берегут как материальную ценность, его часто не дают в руки учащимся, не разрешают с ним производить различные манипуляции и т. д.; оно остается без движения и его будут только «созерцать».

К оценке самодельных наглядных пособий должно подходить с точки зрения осуществления всех принципов советской педагогики (принцип наглядности, принцип сознательности, принцип прочного усвоения, принцип систематичности, принцип научности, принцип доступности, принцип единства теории и практики) и выполнения задач школьного обучения (общеобразовательные цели, воспитательные цели, практические цели).

Уважение к физическому труду — одна из важнейших черт коммунистической морали, и ее нужно воспитывать у детей.

Принцип политехнизации в преподавании математики требует усиления связи теории с практикой, умения прилагать свои знания к решению практических задач.

Процесс же изготовления самодельных наглядных пособий дает ученику не только теоретические знания и практические навыки, не только знакомит ученика с различными способами обработки материалов, а самое главное — воспитывает и приучает к труду и дисциплинирует его. Труд делает дисциплину ученика сознательной. В процессе общественно-полезного труда крепнет воля и сознательная дисциплина ученика.

Готовое самодельное наглядное пособие — это не только объект для наблюдения, не только средство для формирования нового понятия, это результат уже сформировавшегося нового понятия в процессе труда.

В процессе изготовления наглядных пособий, кроме теоретических знаний и навыков, ученики закрепляют сформировавшиеся новые понятия при помощи чертежа и фактического решения задачи на построение.

При самостоятельном изготовлении наглядных пособий образ создается по частям, в восприятии участвует не только зрение, но и осязание; с самодельным наглядным пособием можно производить различные манипуляции, его свойства и особенности изучаются в процессе изготовления.

Вот почему при политехническом обучении в нашей советской школе следует отдавать предпочтение самодельным наглядным пособиям.

Лучшие учителя наших школ, в соответствии с задачами политехнического обучения, широко практикуют практические работы учащихся: измерения на местности, моделирование, вычерчивание графиков, диаграмм, изготовление учебно-наглядных пособий, изучение приемов вы-

* Е. Н. Горячкин, Методика преподавания физики в семилетней школе, том III. Основные детали самодельных и упрощенных приборов, Учпедгиз, 1953, § 1, стр. 13.

числений при помощи таблиц, номограмм, логарифмической линейки, решение и составление задач с производственным содержанием.

Только за последний год более 25 учителей в порядке обмена опытом прислали в редакцию свои работы по вопросам конструирования и изготовления наглядных пособий и измерительных инструментов.

Учитывая различное направление в конструкциях наглядных пособий, постараемся дать характеристику этих работ.

2. Универсальные пособия по стереометрии

Переход от плоских геометрических образов к пространственным требует очень большой работы воображения учащихся, поэтому первые уроки по стереометрии являются для учителя наиболее трудными.

Для облегчения своей работы учитель должен постоянно обращаться к реальным образам окружающего нас мира, а при отсутствии таких образов к их реальным заменителям — к наглядным пособиям.

Методика преподавания стереометрии уже знает очень много различных конструкций стереометрических ящиков. Каждую такую конструкцию можно характеризовать очень большим количеством различных понятий: портативные, красивые, дорогие, универсальные, прочные, удобные в работе, легко можно сделать самому и т. д., и т. д.

Характеризуя пособие несколькими определениями одновременно, мы можем получить примерно такие оценки: красивое, портативное, легкое, но очень дорогое или, например, хотя и грубоватое, но прочное, его можно сделать самому.

Понятно желание наших учителей создать такое универсальное пособие, которое сможет удовлетворить наибольшему числу требований.

Стереометрический ящик, выпускаемый в настоящее время нашей промышленностью, представляет собой ящик, внутри которого находится доска с пластелином, две сетки в рамах (модели плоскостей), набор деревянных или металлических спиц, шнур и стойки для укрепления плоскостей и т. д.

На этом приборе при желании можно демонстрировать различные теоремы о прямых и плоскостях, почти все многогранники и их сечения.

Этот стереометрический ящик имеет следующие недостатки: 1) выполнять построения на нем довольно трудно, 2) построенные сооружения не прочны, 3) с пластелином работать довольно грязно, 4) пособие дорого стоит, 5) этого пособия нет в достаточном количестве в продаже.

В поисках наиболее лучшего стереометрического конструктора наши учителя в порядке обмена вносят различные предложения.

1. П. Трифонов (Нижний Тагил) прислал в редакцию описание универсального стереометрического конструктора при помощи которого можно демонстрировать почти все, что нужно в преподавании стереометрии и при решении задач.

Автор дает подробное описание своего универсального конструктора на 22 страницах с приложением 75 фотографий.

Общий вид этого прибора дан на чертеже 1.

Как видно из чертежа, основной частью прибора является его остов в виде куба размером 40×40×40 см (или 50×50×50 см).

Черт. 1 Черт. 2

На ребрах куба имеются по две перемещающиеся планки, их можно закрепить в любом месте при помощи зажимов. На верхних планках имеются ползунки.

В основании прибора крепится туго натянутая на раму сетка с ячейками 1 × 1 см. К прибору прилагается: еще две такие же сетки, окрашенные в белый цвет, комплект резиновых шнуров различной окраски с крючками на концах, набор плоских картонных или проволочных многоугольников, каркас шарнирного куба, каркас шарнирного параллелепипеда, каркас шара и набор проволочных фигур для образования поверхностей вращения на центробежной машине.

Некоторое представление о приборе и работе с ним дают чертежи 2, 3, 4, 5.

Автор потрудился очень много и получил хорошее, солидное универсальное пособие. К сожалению, это пособие нельзя рекомендовать к массовому производству ввиду его большой дороговизны и потому, что, вопреки утверждению автора, за толстыми стойками основного куба мелкие детали плохо видны (каркас куба отвлекает внимание). Для умелых рук и для школ, имеющих в качестве шефов металлообрабатывающие предприятия, такие универсальные пособия можно будет легко сделать.

В № б за 1954 год опубликована статья «Универсальная доска» Б. И. Воронова (Кунья). Читатели помнят это портативное пособие, которое состоит из простой доски с отверстиями, нескольких кусочков проволоки с запиленными концами (шейками), цветных ниток и набора картонных плоских контуров.

Конструктивные возможности такого прибора значительно меньше, чем универсального конструктора т. Трифонова, но простота изготовления и пользования дает нам право широко рекомендовать его в качестве объекта для самодельного изготовления и пользования им дома и на уроках.

Черт. 3 Черт. 4

Черт. 5

Можно с уверенностью сказать, что такое пособие принесет большую пользу школьнику, а пытливый ум и изобретательность наших школьников значительно видоизменят и улучшат его конструкцию.

В том же номере журнала помещена статья М. В. Клочкова «Универсальное наглядное пособие по геометрии». Это пособие состоит из набора проволочных спиц, колец и различных контуров, подобранных таким образом, что в течение нескольких минут при помощи резиновых колечек можно собрать любую необходимую по ходу урока модель.

Универсальное наглядное пособие по геометрии т. Клочкова имеет значительные преимущества перед универсальной доской т. Воронова, а именно: изготовить такое пособие проще, а при демонстрации оно подвижно, динамично, позволяет демонстрировать процесс изменения геометрических образов и этим может способствовать усвоению идеи движения в геометрии.

Пособие т. Клочкова можно рекомендовать для проведения фронтальных работ в классе и для самостоятельной работы дома.

Учитель средней школы № 30 г. Чкалова Н. А. Молев прислал в редакцию описание упрощенной модели стереометрического конструктора. Основой модели служат три рамы размером 60 × 60 или 80 × 80 см с туго натянутой металлической сеткой, ячейки сетки могут быть любой формы, размером в 5—8 мм. Рамы можно изготовить из дерева, но лучше из толстой проволоки диаметром 6—8 мм.

Рамы с сетками устанавливаются и укрепляются в любом положении при помощи двух школьных штативов.

В качестве прямых и отрезков используются кусочки резинового шнура с крючками на концах. Для большей наглядности рекомендуется употреблять шнур различной окраски.

Общий вид модели и способ ее применения ясны из чертежей (черт. 6 и 7).

Такую модель под руководством учителя изготовили члены математического кружка школы № 30 г. Чкалова и успешно применяют ее на уроках математики и на экзаменах в IX и X классах.

Это действительно упрощенная модель стереометрического ящика, к сожалению, немного громоздкая и пригодная только для работы в классе.

Учитель А. Ф. Лебедев из г. Валуйки Белгородской области сообщил редакции о своем двухлетнем опыте работы с новым стереометрическим ящиком (см. статью А. Ф. Лебедева в настоящем номере).

Стереометрический ящик т. Лебедева очень прост в изготовлении, но для того, чтобы хорошо работать с ним, нужна большая тренировка. Конструктивное построение прямых в виде отвесов неудачно, так как отвесы в ящике будут путаться, могут быть случаи, когда в самый нужный момент прибор откажет в работе и будет затрачено много времени.

Если в этом приборе заменить отвесы резиновыми шнурами с крючками, то работа с прибором значительно упростится.

Студент Горьковского педагогического института А. И. Раев сконструировал весьма оригинальную стереометрическую модель.

Предлагаемая им модель состоит из следующих частей:

1) корпуса с выдвижным ящиком, в котором хранятся плоские геометрические фигуры и детали модели; размеры ящика 380 × 230 × 60 мм;

2) металлического стержня (длиной 340 мм, диаметром 5 мм) с двумя втулками, на одной

Черт. 6 Черт. 7

из которых закреплены 6 крючков, служащих для закрепления верхних оснований многогранников;

3) набора плоских геометрических фигур, изготовленных из фанеры; в вершинах фигур установлены крючки;

4) экрана из полотна для изображения тел вращения;

5) фанерного круга с закрепленными на нем двенадцатью петлями из резинового зеленого шнура — для демонстрирования тел вращения;

6) резинового шнура двух размеров (150 мм и 250 мм) синего цвета, с петлями на концах;

7) красного шелкового шнура (150 + 250 мм) с петлями на концах;

8) на верхней плоскости корпуса нанесены чертежи плоских фигур, описанных и вписанных в окружность; для обведения контура фигур резиновым шнуром в вершинах этих фигур установлены 24 крючка; в плоскости укреплены три гнезда для вертикальной установки металлического стержня;

9) плоскости из органического стекла с 24 крючками и повторением чертежа, выполненного на верхней плоскости корпуса;

10) для демонстрирования тел вращения к прибору прилагается два шкива различных диаметров и фанерные фигуры.

Построение пространственных образов производится при помощи цветных резиновых шнуров с петлями на концах и металлических стержней, на которых крепятся верхние основания многогранников. Цветной резиновый шнур очень легко и просто зацепляется за крючки на основании прибора и на верхних контурах.

На этом приборе легко демонстрируются теоремы о прямых и плоскостях.

Набор хорошо продуманных деталей (картонных геометрических фигур) дает возможность легко и быстро строить всевозможные сечения многогранников и модели для наиболее трудных задач.

Представление о приборе дают чертежи 8—11.

Черт. 8

Черт. 9

Черт. 10

Черт. 11

Следует отметить, что в настоящее время это, пожалуй, один из лучших вариантов стереометрического ящика; он, безусловно, будет широко использован не только для демонстраций в классе, но и для индивидуальных работ учащихся дома и в школе при решении задач.

Мы здесь рассмотрели ряд новых вариантов конструкции стереометрического ящика. Следует отметить, что наряду с появлением чрезвычайно простых конструкций тт. Клочкова, Воронова, Раева и других имеются довольно капитальные и сложные конструкции т. Трифонова.

К сожалению, иногда авторы этих конструкций в погоне за универсальностью предлагают демонстрировать на своих приборах даже и то, что явно не удается. Не вдаваясь в подробности этого вопроса, отметим, что легче и лучше удаются те конструкции наглядных пособий, которые ставят перед собой меньшую задачу в смысле объема демонстрационного материала; на моделях простейших конструкций геометрические образы воспринимаются полнее и ярче, чем на сложных пособиях, в которых имеются детали, не нужные для данного представления, но без которых нельзя обойтись при демонстрации в других случаях.

Поэтому мы не будем рекомендовать изготавливать самодельным путем сложные универсальные стереометрические ящики.

3. Работы учителей по организации практических занятий по математике

Педагогическая ценность и преимущество самодельных наглядных пособий над готовыми подтверждается практическим опытом большого коллектива учителей.

Необходимые наглядные пособия и измерительные инструменты может изготовить каждый ученик и может их иметь всегда при себе. Это дает возможность в любую минуту при подготовке к уроку наглядно представить соответствующий геометрический объект или произвести необходимые измерения и вычисления.

Наличие достаточного количества наглядных пособий и измерительных инструментов дает возможность организовать фронтальные практические работы: моделирование, измерение, вычисление, графическое построение и некоторые другие виды работ.

Учительница Хвисюк Л. М. (г. Молотов) в своей работе «О подвижных моделях по стереометрии» пишет: «Для осуществления принципа наглядности в геометрии учащиеся должны располагать известным минимумом наглядных пособий, которые должны быть изготовлены ими самими и которые находились бы у ученика, чтобы он мог не только их видеть, но и работать с ними». Далее в работе проводится сравнительная оценка готовых и самодельных наглядных пособий и отмечаются следующие недостатки готовых наглядных пособий:

1) Они демонстрируются перед учащимися в раз навсегда застывшей форме.

2) Так как в изготовлении данного пособия учащийся не принимал никакого участия, то он не мог глубоко усвоить и прочувствовать геометрическую форму объекта и ее особенности.

3) Одну модель можно показать только всему классу, каждый ученик сможет ее только созерцать, но лишен возможности работать с ней.

4) В самый нужный момент при выполнении домашних заданий ученик не может воспользоваться наглядным пособием потому, что оно осталось в школе.

В целях устранения этих недостатков т. Хвисюк рекомендует применять комбинированные подвижные модели геометрических тел.

В качестве примера при изучении темы «Многогранники» в X классе автор рекомендует каждому ученику в обязательном порядке изготовить и иметь всегда при себе следующие модели:

1) правильную четырехугольную призму — пирамиду,

2) правильную шестиугольную призму — пирамиду,

3) правильную треугольную призму — пирамиду,

4) параллелепипед, в основании которого лежит параллелограм с острым углом в 60°.

Для демонстрационных целей изготовляется такой же комплект подвижных моделей увеличенных размеров.

Для представления о конструкции этих подвижных моделей мы дадим описание правильной четырехугольных призмы — пирамиды.

Из плотного картона или фанеры вырезаются два одинаковые квадрата с ребром приблизительно 10 см. В вершине каждого угла шилом прокалывается небольшое отверстие. Совместив оба квадрата так, чтобы они совпали отверстиями, в каждое отверстие продевается толстая (туго свитая) нить длиною приблизительно в 25 см. На концах нитей делается узелок такого размера, чтобы он не мог пройти сквозь отверстие. Свободные концы нитей завязываются в один общий узел — и пособие готово.

Если придержать совмещенные квадраты и приподнять общий узел, получим модель правильной четырехугольной пирамиды, а если

разъединить квадраты, то получим модель правильной четырехугольной призмы.

Положительными качествами таких пособий автор считает следующее:

1) При самостоятельном моделировании, кроме зрительных восприятий, участвуют осязательный и моторный способ познания, а поэтому представление и усвоение получается более глубоким.

2) Широко представлена идея движения при построении геометрических образов.

3) Модели находятся всегда у учащегося, и он может с ними работать в любом месте и в любое время.

4) Одна и та же модель путем небольшого и всегда возможного изменения (например, путем перевязывания общего узла) может быть применена к другим задачам и теоремам.

В описании методики применения автор обращает внимание на способ развития конкретных представлений у учащихся.

Так, например, после решения задачи преподаватель ставит следующие вопросы:

1. Какова действительная величина и форма данного и полученного геометрического образа? Покажите приближенно на глаз.

2. Покажите на полу или на стене квадрат, равновеликий боковой поверхности пирамиды, призмы и т. д.

В конце работы автор как будто отходит от своей основной, и надо сказать, очень правильной установки о необходимости самостоятельного изготовления учениками этих пособий и высказывает пожелание: «чтобы органы Министерства просвещения, ведающие выпуском наглядных пособий, наладили изготовление подвижных моделей по стереометрии на фабриках наглядных пособий».

Удивительно, как автор сам, по своей доброй воле отказывается от своей идеи осуществления элементов политехнического обучения на уроках геометрии.

В самом конце работы автор предлагает другой, более совершенный способ построения подвижных моделей многогранников. Он предлагает вместо картонных многоугольников делать проволочные, а вместо нитей применять резиновый шнур.

Из этого краткого описания работы учительницы Хвисюк видны все преимущества преподавания математики с широким применением самодельных наглядных пособий.

Работа Н. И. Благовещенского (см. журнал «Математика в школе», № 6 за 1954 г.) «Моделирование по школьному курсу геометрии» представляет собой примерную тематику заданий по моделированию для организации практических работ в классе и дома».

Большая ценность этой работы заключается не в самой тематике, по небольшому числу образцов заданий (в работе помещено их только девять) каждый учитель сможет придумать сколько угодно новых и даже иногда более интересных и более полезных заданий; главная ценность этой работы заключается в том, что она дает учителю в руки новый метод проведения целенаправленных практических занятий. Моделирование такого типа по специальным заданиям способствует развитию пространственного воображения и конструктивных навыков и одновременно является средством показа единства теории и практики.

Такие практические занятия дают богатейший материал для воспитательной работы (можно ставить и решать вопросы экономии материала, времени, количества работы, они дают возможность знакомиться с работами лучших передовиков наших предприятий).

Учитель средней школы № 77 г. Одессы Каменецкий М. Д. в своей практике широко применяет измерительные работы на местности. Критически анализируя свою работу, он пришел к выводу, что при ознакомлении с измерительными работами на местности без предварительной подготовки очень много времени тратится непродуктивно.

Для того чтобы избежать такой затраты времени, он предлагает до выхода на местность проводить специальную подготовку в классе.

В качестве основной подготовительной работы т. Каменецкий использует обыкновенный стол для устройства классного полигона. Он пишет:

«Наши школьники изготовили комплект очень маленьких самодельных геодезических инструментов. Вся аппаратура этого комплекта вехи, шнур, колья, миниатюрный угломер свободно размещаются на столе. Здесь же, в классе, при помощи этих миниатюрных геодезических инструментов выполняются все измерительные работы.

Во время измерительных работ на полигоне все время ведется полевая тетрадь, в которой полностью отражается ход работы и все данные измерений.

После такой подготовки в классе все учащиеся при выходе на местность самостоятельно (по бригадам) выполняли те же работы с обыкновенными измерительными приборами. Каждая бригада вела свою полевую тетрадь, в которой подробно отражались все этапы работы. Положительным в этом является то, что в результате такой подготовки получалась большая экономия времени и все учащиеся активно участвовали в работе».

Учитель Е. М. Гельфан (Калужская область)

в своей статье «Проведение в классе и на местности практических работ по геометрии» делится своим опытом проведения практических работ на классном полигоне и на местности (статью Е. М. Гельфана см. в настоящем номере).

Нужно отметить, что т. Гельфан удачно решает конструкцию классного полигона размером (90× 100 см).

Методика проведения работ по измерению на местности с предварительным выполнением их на классном полигоне безусловно заслуживает одобрения. Что же касается конструкции миниатюрных геодезических инструментов, то подобное описание их уже имеется в литературе.

Опыт работы учителей М. Д. Каменецкого и Е. М. Гельфана может быть рекомендован как способ большой экономии времени при измерениях на местности и включения всего класса в активную работу и как средство для более глубокого и сознательного усвоения текущего материала.

Заслуженный учитель школ РСФСР М. Юшко и Т. Ольшевская (г. Бежица) в своей работе «Применение самодельных моделей при решении задач по стереометрии» (см. № 6 журнала за 1954 г.) сообщают, что «в целях более быстрого развития пространственного воображения учащихся в нашей школе планы уроков по черчению строятся так, чтобы многогранники, круглые тела, развертки и сечения тел чертились параллельно прохождению этих тем в геометрии».

Действительно, при таком планировании материала на уроках черчения будут выполняться геометрические чертежи, а на уроках геометрии будут даваться теоретические обоснования этих построений и производиться различные вычисления.

Этот метод нужно распространить на все школы потому, что такая тесная связь между смежными дисциплинами будет способствовать лучшему и более глубокому усвоению не только математики, но и черчения.

В дальнейшем, при составлении программы по черчению, это обстоятельство нужно будет учесть составителям программ.

Тов. Юшко и Ольшевская сообщают, что в их школе широко практикуется изготовление моделей силами учащихся.

Далее они дают описание техники изготовления своих моделей и одновременно сообщают, что «неизбежная большая потеря времени, связанная с применением моделей при решении задач, в дальнейшем компенсируется более быстрым развитием пространственных представлений учащихся».

Что может быть лучшего, когда учитель свои планы уроков увязывает со смежными дисциплинами, когда он для обеспечения своей дисциплины использует все достижения смежных дисциплин? Этим повышается интерес к науке, и, самое главное, знания учеников становятся глубокими и конкретными.

Относительно конструкции моделей следует сказать, что они в своей работе исчерпали все технические свойства бумаги и картона и даже непрозрачный материал сделали «прозрачным» (см. журнал № 6 за 1954 г.)

По нашему мнению, описанные выше пять работ являются лучшими и их можно рекомендовать для перенесения опыта работы в другие школы.

Если в этих работах еще иногда встречаются несовершенные конструкции моделей, то идеи, заложенные в темах и организации работ, — безупречны.

Отметим еще раз наиболее важные положительные стороны этой группы работ.

1) В этих работах показан опыт массового изготовления самодельных наглядных пособий по математике.

2) На этих работах практически доказано преимущество самодельных наглядных пособий над готовыми и покупными.

3) Опыт проведения таких работ практически показал (открыл) широкие возможности борьбы за качество знаний, за ликвидацию формализма в преподавании, за единство теории и практики.

4) Практика проведения таких работ открывает широкие возможности улучшить дисциплину и воспитательную работу с учениками в школе.

4. Наглядные пособия по тригонометрии

Особого внимания заслуживает статья доц. А. К. Окунева «О наглядных пособиях в преподавании тригонометрии» (статья помещена в настоящем номере). Она идет не в порядке обмена опытом, в ней не даются новые разработки старых конструкций, а даются совсем новые конструкции наглядных пособий.

Автор в своей системе наглядных пособий по тригонометрии настоятельно рекомендует излагать все разделы тригонометрии с точки зрения развития понятия функции.

Предлагаемая им система наглядных пособий приближает содержание теоретического курса к практическим приложениям математики в смежных дисциплинах (физике, механике, геодезии, астрономии и географии) и дает возможность учителю легко перейти от задач чисто математического (тригонометрического)

содержания к задачам политехнического содержания.

Применение наглядных пособий в виде различных графиков, рисунков, чертежей, моделей, измерительных инструментов, стробоскопа и кино безусловно облегчит и ускорит процесс изучения теории тригонометрических функций. Учитель, применяющий такие пособия, сможет скорее отойти от формализма и сухости в изложении, в результате чего учащиеся получат возможность проявить свою личную инициативу и находчивость.

В процессе самостоятельного изготовления таких наглядных пособий ученики получат возможность применить свои математические знания к решению практических задач, взятых из окружающей жизни.

К недостатку этой полезной статьи следует отнести схематичность изложения конструкций приборов; нужно было дать больше чертежей и более конкретные указания, какие вопросы и как нужно демонстрировать при помощи занимательных книжечек, стробоскопа и кино.

5. Измерительные инструменты и счетные приборы

В своей статье «Из опыта работы по изготовлению наглядных пособий и измерительных инструментов по математике» учитель средней школы № 6 г. Саратова В. В. Карпенков дает описание специального измерительного инструмента для определения высот при изучении раздела геометрии «Подобные треугольники» (статья помещена в настоящем номере). В статье подробно описан способ определения высот при помощи этого инструмента.

Далее дано описание другого измерительного инструмента — угломерного инструмента. Этот прибор тоже предназначен для определения высот, но при помощи решения прямоугольных треугольников.

Относительно конструкций этих двух приборов следует отметить, что они в принципе ничем не отличаются и если бы стал вопрос о массовом изготовлении их, то пришлось бы изготавливать один объединенный прибор. В качестве самодельных приборов объединять их, конечно, нет никакой нужды.

Применение таких измерительных инструментов поможет оживить решение задач на определение недоступных высот и будет способствовать более сознательному усвоению материала.

В статье «Самодельная логарифмическая линейка» К. И. Образ (Великие Луки) дает описание, как самому можно изготовить логарифмическую линейку. Помимо описания способа изготовления линейки, автор совершенно верно подчеркивает, что изготовление самодельной линейки, в особенности построение собственными руками логарифмической шкалы, поможет ученику уяснить принцип устройства линейки как счетного прибора (см. журнал № 4, за 1954 г.).

Легко научиться считать на линейке может только тот, кто хорошо усвоил построение шкал.

Пользуясь описанием устройства логарифмической линейки, ученики смогут у себя в школе изготовить демонстрационную модель логарифмической линейки со шкалой в один метр.

6. Разные наглядные пособия

Под этим заголовком мы кратко познакомим читателей с некоторыми работами учителей на различные темы. Все эти работы можно было разделить по каким-либо признакам, например: наглядные пособия по планиметрии, наглядные пособия по стереометрии, или другому какому-либо принципу и т. д.

Мы заранее попросим у читателя извинения за то, что мы такой классификации не проводили; это объясняется тем, что мы с самого начала разделили все работы не по признакам программы или материала (из которого они сделаны), а по признакам их педагогической ценности.

Учитель М. В. Носов (г. Свердловск) прислал в редакцию описание наглядного пособия, при помощи которого можно очень легко демонстрировать большое количество теорем и задач по планиметрии.

Подобное описание такой же модели прислал учитель Анненковской с. ш. Пензенской области Н. В. Бычков.

Это пособие представляет собой белый щит, изготовленный из куска фанеры размером 50×60 см. В центре щита начерчена окружность радиусом в 20 см. В окружности проведены два взаимно перпендикулярные диаметра.

По окружности через каждые 10° вбиты гвоздики (головки гвоздиков удаляются кусачками). Вместо гвоздиков можно забить патефонные иголки. Такие же гвоздики забиваются на диаметрах через каждые 5 см.

Для образования углов и сторон многоугольников используется резиновый шнур с маленькими металлическими петлями. Вместо гвоздиков иногда сверлят отверстия, тогда для крепления шнура применяют проволочные штыри диаметром, равным диаметру отверстий (черт. 12).

Черт. 12

На резиновый шнур надевают сразу несколько штырей.

По желанию из проволоки делают к прибору подвижные радиусы, диаметры, касательные и некоторые другие детали. Представление о пособии дают чертежи 13, 14, 15, 16.

Следует отметить, что подобные конструкции этого прибора известны давно. Так, например, подобное описание мы находим в книге П. А. Карасева «Научно-наглядные пособия по математике и методика работы с ними в средней школе», Учпедгиз, 1933. Такое пособие можно с большим успехом применять в любой школе.

Ф. Г. Геревиц и И. Л. Деркауцян из г. Кишинева в своей работе «Изготовление моделей силами учащихся — элемент политехнизации во внеклассной работе по стереометрии» делятся своим семилетним опытом по привитию практических навыков учащимся в неразрывной связи с прохождением теоретического материала.

В своей работе они стараются с первых уроков прохождения стереометрии в IX классе применять наглядные пособия и приучать учащихся к самостоятельному изготовлению этих пособий. Они пишут:

«Семилетняя практика по изготовлению наглядных пособий силами учащихся доказывает, что такая работа имеет большое образовательное и воспитательное значение. Она развивает конструктивную мысль у учащихся, приучает их к точному измерению и вычислению, прививает навыки в пользовании инструментами и способствует установлению связи с физикой и химией».

Всю работу по моделированию они проводят на занятиях математического кружка.

В качестве тематики они берут теоремы и наиболее трудные задачи. Как пример тематики, ниже помещаем чертежи моделей. На чертежах 17, 18, 19 показаны модели, изготовленные из проволоки и ниток, на чертеже 20

Черт. 13

Черт. 14

Черт. 15

Черт. 16

Черт. 17

Черт. 18

Черт. 19

Черт. 20

Черт. 21

показан образец модели, изготовленный из стекла, на чертеже 21 — образец модели, изготовленной из дерева.

Описание способа изготовления не приводим, так как он ничем не отличается от способов построения подобных моделей, описанных в № б нашего журнала за 1954 г.

О значении таких работ говорить не приходится; нужно только пожелать, чтобы такими работами занимались не только члены математического кружка, а и все учащиеся.

Будем надеяться, что наш огромный коллектив учителей в борьбе за повышение качества преподавания математики в политехнической школе сумеет создать такие формы работ по моделированию, в которых будут принимать активное участие все учащиеся.

От редакции

В редакцию журнала «Математика в школе» продолжает поступать много статей, писем и заметок, в которых учителя делятся опытом по изготовлению и конструированию наглядных пособий и измерительных инструментов.

Для того чтобы наши читатели могли на местах успешно воспользоваться опытом своих коллег, редакция журнала помещает в этом номере еще несколько статей об изготовлении наглядных пособий (ряд статей помещен в № 6 за 1954 г.).

За истекший период в редакцию журнала прислали свои работы следующие товарищи:

1. Окунев А. К. (г, Москва) «О наглядных пособиях в преподавании тригонометрии».

2. Карпенков В. В. (г. Саратов) «Из опыта работы по изготовлению наглядных пособий и измерительных инструментов по математике».

3. Лебедев А. Ф. (г. Валуйки Белгородской области) «Стереометрический ящик».

4. Трифонов П. (г. Н. Тагил) «Конструктивное решение задач геометрии пространства».

5. Молев Н. А. (г. Чкалов) «Упрощенная модель стереометрического ящика».

6. Каменецкий М. Д. (г. Одесса) «Моделирование в помощь измерительным работам на местности».

7. Преображенский Н. К. (п/о Селище-Уголь Калининской обл.) «Наглядность в преподавании арифметики».

8. Соколов «Точный транспортир».

9. Гельфан Е. М. (Калужская область) «Проведение в классе и на местности практических работ по геометрии».

10. Долгов Н. М. (п/о Сиява, Чувашская АССР) «Определение поверхностей и тел вращения».

11. Синельников К. П. и Четвериков М. З. (г. Харьков) «Об одной модели, иллюстрирующей решение арифметических задач на движение».

12. Старостин И. (г. Москва) «Простейшие модели по стереометрии».

13. Ковалев В. И. (г. Москва) Описание подвижной модели «Окружность».

14. Ковалев В. И. Описание подвижной модели «Углы и треугольники».

15. Ковалев В. И. Описание подвижной модели «Четырехугольники».

Так как редакция не имеет возможности поместить все статьи, то в порядке завершения обмена опытом по изготовлению и конструированию наглядных пособий по математике редакция помещает обзорную статью М. И. Каченовского по этим работам.

Некоторые из перечисленных статей помещаются в настоящем номере.

Редакционная обработка помещенных в журнале статей о наглядных пособиях выполнена М. И. Каченовским.

О НАГЛЯДНЫХ ПОСОБИЯХ В ПРЕПОДАВАНИИ ТРИГОНОМЕТРИИ

А. К. ОКУНЕВ (Москва)

Основными наглядными пособиями в преподавании тригонометрии являются:

1) графики различных функций;

2) чертежи, рисунки и схемы, облегчающие процесс исследования функций и доказательство тождеств, иллюстрирующие преобразование графиков функций и графическое решение уравнений и неравенств;

3) шаблоны (лекало) для построения различных кривых;

4) проволочные модели кривых, модель тригонометрического круга, а также модели для демонстрации гармонических колебаний и преобразования одного вида периодических движений в другой;

5) кино.

Для сложения и вычитания дуг и углов полезно изготовить транспортир в виде тригонометрического круга с осями координат и с подвижными радиусами-стрелками. На таком транспортире должно быть две шкалы: градусная и радианная; последняя необходима при изучении тригонометрических функций числового аргумента.

В последние годы Учпедгиз выпустил несколько плакатов-чертежей, но они далеко не охватывают всех разделов школьного курса тригонометрии. В целях привития учащимся навыков в простых, элементарных исследованиях функций желательно иметь набор чертежей-рисунков, иллюстрирующих различные преобразования графиков функций и, в частности, их геометрическое сложение. Например, хорошо бы на чертеже передать прием построения графиков функций y1 = sin2 x и y2 = cos2 x, основанный на возможности замены их тождественно равными функциями:

а затем на этом же (или отдельном) чертеже показать, что геометрическое сложение графиков функций sin2 x и cos2 x дает прямую y = 1, параллельную оси абсцисс (черт. 1), что соответствует тождеству:

Здесь же следует отметить, что данным тож-

деством выражается сложение двух периодических колебаний, определяемых функциями:

Такой точки зрения желательно придерживаться в толковании и других тождеств и, в частности, следующего:

Чертеж, соответствующий этому тождеству (черт. 2), наглядно показывает, как геометрическим сложением графиков функций:

получается график новой функции у = 0, тождественно равной нулю. Разумеется, учащимся надо объяснить, что на чертеже передан в геометрической форме процесс сложения трех гармонических взаимно уничтожающихся колебаний, и сообщить, что данными функциями в электротехнике выражаются законы трехфазных токов, имеющих широкое применение в промышленности и в быту.

Техническая сторона исследования тригонометрических функций значительно облегчается при наличии шаблонов для вычерчивания графиков и проволочных моделей этих графиков. Как шаблоны, так и проволочные разноцветные «графики-кривые» должны соответствовать не только функциям простейших аргументов sinx, cos x, tgx и ctg x, но и функциям вида Asin(ax + b) при различных значениях параметров A, а и b, чтобы можно было показывать влияние этих параметров на характер изменения функций A sin (ах + b).

Демонстрацию таких графиков лучше всего производить на специальной демонстрационной доске с координатной сетью, снабженной приспособлениями (крючками) для закрепления проволочных кривых (одной или нескольких) в соответствующем положении.

Нет необходимости описывать методику пользования такими моделями кривых в соответствующих разделах курса, так как она очевидна для каждого учителя. При их помощи можно демонстрировать изменение функций, сравнение функций между собой, простейшие преобразования аргументов (формулы приведения), графическое толкование решений уравнения, сложение функций и т. п. Так, например, имея в своем распоряжении только две разноцветные «проволочные синусоиды», можно с успехом дать графическое толкование всех формул приведения для косинуса и синуса. Расположив одну синусоиду вдоль оси абсцисс, а другую вдоль оси ординат, можно легко продемонстрировать обращение функции sinx, симметрию графиков прямой и обратной функции относительно биссектрисы координатного угла и т. п.

Для демонстрации изменения тригонометрических функций, а также для грубого определения их величин полезно иметь так называемый тригонометр, представляющий модель тригонометрического круга с подвижным радиусом. Такая модель теперь изготовляется фабриками учебных наглядных пособий.

При изложении тригонометрии надо уделять большое внимание связи тригонометрических функций с природой тех реальных периодических процессов, законы которых они выражают. С этой целью нам представляется целесообразным изготовление прибора, дающего кинематическое представление о простом гармоническом движении и позволяющего определять приближенно значение синуса для любого значения аргумента в промежутке [0, 2π].

Конструкция этого прибора столь примитивна, что его могут сделать сами учащиеся. На листе плотной бумаги чертят четыре концентрические

Черт. 1

Черт. 2

окружности O(R1), O(R2), O(R3) и O(R4), где R2 = 2R1 (черт. 3). Можно взять R1 = 10 см, R2 = 20 см, R3 = 21,5 см и R4 = 23 см.

Окружность О (R4) делят на возможно большее число равных частей и в точки деления проводят радиусы окружности. В соответствии с полученными делениями наносят между второй и третьей окружностями rрадусную шкалу, а между 3-й и 4-й окружностями — радианную шкалу. Затем проводят оси координат так, чтобы окружность О(R1) стала тригонометрическим кругом. Приняв точку О за полюс, а луч Ох за полярную ось, строят в полярных координатах кривую Р = R1 + R1 sin φ.

Построение точек этой кривой (представляющее само по себе большой интерес для учащихся) весьма просто. На окружности O(R1) берется точка М, соответствующая данному значению аргумента φ (на чертеже 3 точка M соответствует значению φ = 60°), и из нее опускается на ось Ох перпендикуляр MP, а затем на луче ОМ от точки M откладывается отрезок MN = MP в направлении от центра окружности, если ордината точки M положительна, и в обратном направлении, если эта ордината отрицательна; полученная точка N принадлежит искомой кривой, так как ее полярные координаты φ и ρ удовлетворяют уравнению р = R1 + R1sinφ.

Действительно,

Точка Мх на чертеже 3 соответствует значению φ = 210°, P1M1 = R1 sin 210° < 0, поэтому ON1 = OМ— MX1N, где M1N1 = |Р1M1|.

Построив таким путем достаточное число точек и соединив их плавной красной линией, получают график функции ρ = R1 + R1 sin φ.

Теперь надо вырезать из жести, фанеры или плотного картона круг радиуса R4 и наклеить на него сделанный чертеж. Затем вырезать другой круг радиуса R2, сделать в нем вдоль радиуса узкую щель (2—3 мм шириной) и вдоль щели от центра до конца радиуса нанести равномерную шкалу от —1 до + 1. Если материал толстый, то предварительно его следует срезать по краям щели.

Наконец, оба круга насаживают через их центры на одну ось, причем круг со щелью закрепляют наглухо, а кругу с градусными и радианными шкалами позволяют вращаться вокруг оси. Таким образом неподвижный круг со щелью закрывает весь вращающийся круг за исключением той его части, где нанесены шкалы, и той узкой полоски, которая расположена против щели. На этой полоске будет видна через щель единственная красная точка, принадлежащая построенной нами красной кривой (на чертеже 4 выполнена жирным пунктиром).

При вращении подвижного круга мы будем наблюдать через щель гармоническое движение «красной точки» вдоль щели. Из способа построения кривой и конструкции самой модели очевидно, что закон этого движения выражается функцией sinφ. Отклонение «красной точки» от среднего (нулевого) положения равно зна-

Черт. 3

Черт. 4

чению синуса для той отметки шкалы, которая совпадает со щелью. Изменение угловой скорости вращения подвижного круга модели позволит демонстрировать изменение периода функции, т. е. времени, в течение которого совершается полное колебание «красной точки».

Прибор 2 имеет еще более простую конструкцию. Его отличие от первого прибора следующее:

1) На вращающемся круге вместо кривой с уравнением ρ = R1 + R1sinφ чертят красной тушью окружность, у которой диаметром является радиус окружности О (R2), направленный в точку с меткой 90°.

2) Щель неподвижного (переднего) круга распространяется вдоль всего диаметра, а шкала наносится по краю щели так, чтобы середине диаметра соответствовала метка 0, правому концу диаметра метка 1 и левому концу диаметра метка — 1 (черт. 5).

При вращении подвижного круга такой модели наблюдается через щель простое гармоническое движение видимой красной точки вдоль щели, а отклонение «красной точки» от среднего (нулевого) положения всегда равно значению синуса для угла той метки круговой шкалы, которая совпадает с правым концом щели.

Объясняется это весьма просто. Любая точка M «красной окружности» (черт. 6) отстоит от центра О основной окружности на расстоянии ОМ = sin φ. где φ — метка — угол круговой шкалы, соответствующая направлению ОМ. Действительно, треугольники ОМК и ONP равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, равны соответствующие катеты этих треугольников: ОМ = PN = sin φ.

Данная модель дает возможность демонстрировать превращение равномерного кругового движения в прямолинейное возвратно-поступательное периодическое движение. Преподаватель расскажет о такого рода преобразованиях движений в различных машинах и станках и для возбуждения творческого конструкторского интереса предложит учащимся самим подумать о влиянии формы красной кривой на характер движения вдоль щели «видимой точки» и установить, какую форму должна иметь эта кривая с условием, чтобы ее видимая точка совершала равномерное периодическое движение.

Большое применение в нашей школе начинает приобретать кино. Еще в 1936 году Учпедгизом Наркомпроса были выпущены два учебные фильма по тригонометрии: «Тригонометрические функции», ч. I, и «Круговые функции», ч. II*. Авторами сценария этих фильмов являются проф. Н. Четверухин, М. Юкин и А. Сердан. Разумеется, эти фильмы являются лишь первым опытом в создании такого рода учебных пособий, поэтому они не лишены целого ряда существенных недостатков (особенно во второй части). Главный недостаток у этих фильмов по сути дела тот же, что и у всех традиционных учебников: в них не раскрывается глубокое содержание понятия тригонометрических функций как математического средства познания явлений окружающей жизни. В них нет никаких намеков на то, что тригонометрическими функциями выражаются законы реальных периодических процессов, изучаемых физикой, механикой, астрономией, математикой и другими науками, что такого рода процессы можно наблюдать в работе моторов, станков и различных машин, в часовом механизме, в звуковых, световых и электромагнитных яв-

Черт. 5

Черт. 6

* Круговыми функциями авторы сценария называют обратные тригонометрические функции.

лениях. Все содержание указанных фильмов сведено к иллюстрации изменения тригонометрических функций и объяснению построения их графиков, конечно в этих узких целях их можно с большой пользой демонстрировать школьникам.

Ввиду отсутствия фильмов более широкого содержания, а также потому, что пока еще не все школы имеют возможность приобрести кинопроектор, можно рекомендовать использование весьма распространенного в школах прибора — стробоскопа, который позволяет демонстрировать различного рода периодические процессы и изменение тригонометрических функций. Устройство этого прибора несложно, и если бы он отсутствовал в школьном кабинете, его следовало бы сделать своими силами.

Стробоскоп представляет собой свободно вращающийся на оси цилиндр (открытую консервную банку) с узкими параллельными щелями в его стенках (черт. 7). Внутрь этого цилиндра вкладывается полоска бумаги, на которой по принципу киноленты изображены отдельные, следующие друг за другом моменты движения, например, точки по окружности и ее проекции на диаметр. Рисунки делаются таких размеров и так располагаются, что против каждой щели в стенке цилиндра приходится отдельный рисунок (кадр). Наблюдателю, смотрящему на рисунки сквозь щели вращающегося цилиндра, кажется, что указанная точка и ее проекция совершают соответствующие движения: круговое и прямолинейное гармоническое. Преподаватель может сам изготовить для стробоскопа такие своеобразные кольцевые мультипликационные ленты необходимого содержания и демонстрировать их учащимся.

Полезно иногда демонстрировать некоторым учащимся изменение тригонометрических функций при помощи известной, игрушечной книжечки с движущимися фигурками. Автор рекомендует учителю самостоятельно организовать изготовление таких пособий у себя в школе.

Черт. 7

НАГЛЯДНЫЕ ПОСОБИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ

В. И. КОВАЛЕВ (Москва)

Подвижные модели по планиметрии

В результате многолетней работы по моделированию наглядных пособий мною изготовлены и проверены на практике подвижные наглядные пособия: 1) углы и треугольники, 2) четырехугольники, 3) окружность.

Получив одобрение Учебно-методического совета Министерства просвещения, я решил поделиться своим опытом с читателями журнала «Математика в школе».

1. Модель «Углы и треугольники» представляет собой белую панель, на которой проведены две параллельные линии, а к одной из точек верхней линии шарнирно прикреплены три стержня (черт. 1).

Вращая эти три стержня вокруг оси, можно продемонстрировать образование и свойства смежных, развернутого и полного углов, вертикальных углов и углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой. На этой же модели можно проследить процесс образования и свойства всех видов треугольников и главнейших линий в треугольниках, зависимость между элементами треугольников и т. д.

Для привития учащимся навыков в измерении отрезков и углов и вычерчивания чертежей фигур в определенном масштабе к модели приложена масштабная линейка и транспортир.

Пользоваться моделью можно по разному; так, например, некоторые теоремы можно доказывать после предварительных наблюдений и соответствующих измерений элементов изучаемой фигуры и этим способом дать ученикам наводящий материал, или, наоборот, путем

Черт. 1

измерений подтверждать справедливость той или иной теоремы.

При изучении теоремы о средней линии треугольника, а также при изучении подобных треугольников должен быть использован дополнительный стержень, который перемещается параллельно основанию треугольника.

На этом приборе мне удавалось демонстрировать до 36 различных теорем.

2. Модель «Четырехугольники» (черт. 2)

Черт. 2

представляет собой тоже белую панель, на которой проведены две параллельные прямые, на верхней прямой к двум различным точкам прикреплены шарнирно по два стержня.

Вращая эти стержни и передвигая вверх и вниз нижнюю подвижную планку, можно продемонстрировать все виды четырехугольников, свойства их углов, сторон и диагоналей, а также процесс превращения одной фигуры в другую, что очень важно для понимания идеи функциональной зависимости между элементами фигур.

На этом примере я в своей практике демонстрирую до 23 различных геометрических теорем.

3. Модель «Окружность» представляет собой белую панель, на которой начерчена окружность (R = 120 мм) с нанесенными делениями через каждые 5°.

В центре окружности шарнирно закреплены два стержня (подвижные радиусы). В правом верхнем углу подвешены шарнирно еще два стержня. К прибору прилагается дополнительно окружность, которая может передвигаться по панели и позволяет демонстрировать различные взаимные расположения двух окружностей.

На этой модели путем вращения стержней можно демонстрировать до 18 геометрических теорем по теме: понятие окружности, окружность, вписанные и описанные многоугольники, длина окружности и площадь круга.

Изготовление подвижной модели «Углы и треугольники»

Из деревянных брусков 30 × 20 мм связывается в шип рама размером 400 × 400 мм.

На одну из сторон рамы наклеивается или прибивается такого же размера 3—4-милиметровая фанера или плотный картон.

На нижней части панели на расстоянии 5—6 мм от нее прикрепляется из такой же фанеры планка шириной 60 мм (см. черт. 1 прибора в разрезе). Эта планка образует как бы карман, в котором будут спрятаны концы подвижных стержней.

Стержни лучше сделать из полосового железа сечением 2—3 мм, длиной в 320 мм. При отсутствии такого профиля железа, стержни можно изготовить из проволоки диаметром в 3 мм.

Для оси вращения стержней нужен винт с гайками длиной 20 мм, диаметром 4 мм. На концах трех стержней загибают круглые петли внутренним диаметром 6—7 мм.

Чтобы стержни сами держались в нужном положении и при вращении одного другой оставался на месте, нужны три пружинящие шайбы и три втулки. Такие шайбы можно изготовить самим из листовой упругой латуни. Наружный диаметр шайбы 12 мм, внутренний немного более 4 мм.

Чтобы шайба стала пружинящей, нужно ножницами сделать на 10—12 радиальных над-

Черт. 3

резов, не доводя их до внутреннего отверстия на 1—0,5 мм, а надрезанные части нужно отогнуть поочередно в разные стороны.

Втулки нарезают шлицовкой из трубочек с внутренним диаметром немногим более 4 мм, длина втулок должна быть немного больше толщины стержней. Затем втулки запрессовываются в петли стержней и производится сборка основного узла модели.

На винт одевается обыкновенная шайба диаметром 12 мм, затем пружинящая, затем стержень — вторая пружинящая шайба — второй стержень — третья пружинящая шайба — третий стержень — обыкновенная шайба. Наконец, винт вставляется в отверстие панели на середине верхней горизонтальной черты и с помощью шайбы и двух гаек закрепляется на панели (черт. 4).

На верхней грани кармана наносится черная линия шириной в 3 м.

Для удобства обозначения изготовляются съемные буквы.

К прибору нужно из картона изготовить набор различных треугольников, размеры даны на чертеже 4 (стр. 44).

Линейка и большой транспортир покупаются готовыми и хранятся вместе с треугольниками на задней стороне панели под пружинящей пластинкой.

Модель с помощью двух ушек можно вешать на стену или при помощи подставки устанавливать на столе учителя.

Устройство моделей «четырехугольник» и «Окружность» аналогичны (черт. 2 и 3).

Проволочные модели тел вращения

При решении геометрических задач на тела вращения очень важно представить себе пространственные фигуры, образованные при вращении треугольников, ромбов, трапеций и т. д. Без модели по одному чертежу трудно представить себе расположение в пространстве тех или иных элементов фигуры.

Опишем изготовление тела вращения, образованного при вращении правильного шестиугольника вокруг одной из его сторон.

Для изготовления модели необходима проволока диаметром 0,5—1,5 мм.

Прежде чем приступить к изготовлению модели, нужно тщательно выпрямить проволоку. При изготовлении отдельных частей модели нужно делать так, чтобы пришлось как можно меньше паять.

Готовую модель рекомендуется оклеить прозрачной цветной бумагой.

Опишем приемы изготовления проволочной модели тела вращения.

Прежде всего делаем два симметричные шестиугольника, которые будут служить основой каркаса всей фигуры (черт. 5).

Эти шестиугольники лучше сделать из одного куска проволоки, тогда паять придется только в одном месте. В двух общих вершинах шестиугольников нужно припаять шайбы или сделать петли из проволоки для оси.

Вращающийся шестиугольник нужно сделать немного меньше каждого из шестиугольников каркаса для того, чтобы он свободно вращался в шестиугольниках каркаса (черт. 6).

Затем делают четыре окружности: две большого и две меньшего диаметра.

Диаметры окружностей соответствуют размерам шестиугольников каркаса.

Окружности припаивают к шестиугольникам каркаса (черт. 7).

Работа по спайке должна быть выполнена точно, иначе вращающийся шестиугольник будет задевать за неподвижный каркас.

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

Черт. 4

После спайки каркаса вставляют ось вращения и припаивают к ней вращающийся шестиугольник (черт. 8).

При вращении шестиугольника вокруг одной из его сторон образуются два усеченные конуса без двух конусов и цилиндр.

Чтобы тело вращения было лучше видно, контуры оклеивают тонкой прозрачной бумагой, вращающийся шестиугольник оклеивают темной бумагой.

При быстром вращении оси подвижный шестиугольник описывает поверхность тела вращения.

При наличии электромоторчика можно изготовить специальный прибор для иллюстрации образования тел вращения (черт. 9).

Прибор состоит из ящика, внутри которого укреплены мотор и шкив. Шкив мотора соединен приводным ремнем со шкивом ящика, насаженным на цилиндрическую трубку, конец которой выходит на верхнюю крышку ящика. В выступающий конец цилиндрической трубки вставляется модель, служащая для образования тела вращения. Мотор включается при помощи штепсельной вилки в осветительную сеть. Когда цилиндрическая трубка, а вместе с ней и закрепленная в ней винтом модель приходят во вращательное движение, образуется тело вращения. Имея указанный на чертеже 10 набор моделей, можно наблюдать образование различных поверхностей тел вращения. Аналогичный прибор можно устроить по принципу центробежной машины без мотора.

Черт. 8

Черт. 9

Черт. 10

ПРОВЕДЕНИЕ В КЛАССЕ И НА МЕСТНОСТИ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ГЕОМЕТРИИ

Е. М. ГЕЛЬФАН (Калужская область)

Ряд учителей математики с большим успехом применяет при прохождении программного материала по геометрии пособие для проведения в классе практических работ. Это пособие обычно называют классным полигоном.

Работа на классном полигоне вызывает естественную потребность провести эти же работы на местности. Упражнения с геодезическими приборами на классном полигоне, подробное объяснение, как проводить работу на местности, проведение на классном полигоне измерительных работ на плане местности — все это настолько подготовляет учащихся к работам на местности, что за один выход они успевают проделать в три раза больше, чем без предварительной подготовки в классе.

Наиболее удачной конструкцией полигона я считаю следующую:

Основанием полигона служит тонкая доска (из осины, липы и т. п., но не из фанеры) или картон толщиной 5—8 мм, размером 100×90 см. Вешки и другие измерительные приборы сделаны из дерева твердой породы (например, бука, березы и т. п.) с вбитыми в них хорошо отточенными гвоздиками.

При расстановке вешки прикалываются к доске или картону и стоят очень устойчиво, так, что они не падают, если даже доска принимает вертикальное положение*.

Такая конструкция полигона позволяет проводить более точные измерения и дает возможность выполнять самые разнообразные работы.

Для работы на классном полигоне достаточно иметь 20 вешек, 4 эккера, 2 астролябии, 1—2 полевые циркуля и 3 ученические линейки в 10—20 и 30 см. Длина вешки вместе с гвоздиком примерно 13 см, крестовина эккера 3 см × 3 см, расстояние между ножками полевого циркуля 5 см.

Для занятия со всем классом доска (картон) помещается перед классом с уклоном в 20—30° на подставке вышиной 1 м (черт. 1).

Для проведения фронтальных работ со всеми учащимися я применяю индивидуальные полигоны. Индивидуальный полигон представляет собой доску или кусок картона размером 18×35 см. В качестве вех применяются обыкновенные швейные иголки. Для индивидуального полигона достаточно иметь 2 эккера, 10 иголок и астролябию или транспортир.

Каждая школа может изготовить все необходимое для работы на полигоне.

Вешки делаются из дерева твердой породы цилиндрической формы длиной — деревянная часть — в 12 см, диаметром 7—8 мм, а гвоздик выдается на 1 см. В торец вешки вбивается гвоздик на глубину в 1,5 см, шляпка гвоздика удаляется кусачками и оставшийся конец тщательно оттачивается напильником.

В качестве вешек можно использовать деревянную часть ученической ручки. Нужно иметь по нескольку вешек разных цветов для выделения какого-либо построения.

Вешки, служащие подставкой для эккера и астролябии, делают короче на 2—3 см.

Крестовину эккера делают из фанеры или из картона толщиной 0,5 см. Если трудно хорошо сделать крестовину, можно визирные гвоздики вбить на углах квадрата со стороной в 5 см.

Астролябия вычерчивается при помощи транспортира на фанерном или картонном круге достаточной толщины. Удобно круг астролябии сделать съемным. Для этого в верх вешки нужно вбить тонкую иголку и на нее надевать этот круг. На эту иголку также надевается визирная линеечка или просто стрелка.

Полевой циркуль делается из дерева или проволоки. Между ногами циркуля расстояние 5 см (черт. 2).

Так как на полигоне решаются задачи почти исключительно практического характера (взятые из жизни), то необходимо иметь вырезанные из цветной бумаги примерные формы реки, озера, пруда, башни, дерева, постройки и т. п. и эти изображения прикалывать кнопками к полигону.

Ниже дан перечень возможных работ на полигоне в VI классе по темам программы.

Программный материал

Работы на полигоне

1. Прямая линия. § 4

1. Провешивание прямой; нахождение точки пересечения 2-х прямых, обозначенных вешками на концах этих прямых.

Провешивание одной прямой через две точки.

2. Луч, отрезок.

2. Провешивание прямой от определенной точки.

Измерение определенной длины провешенной прямой ученической линейкой или полевым циркулем.

3. Сумма отрезков § 7.

3. Нахождение суммы провешенных отрезков на одной прямой.

4. Угол. § 13.

4. Провешивание двух прямых под углом.

Черт. 1

* Другим преимуществом таких вешек является правдоподобность их установки в вертикальное положение. Работать с вешками на подставках из катушек не рекомендую, так как после работы на класном полигоне с такими вешками ученики на местности попадают в другие условия.

Черт. 2

Программный материал

Работы на полигоне

5. Градусы дуговой и угловой. Транспортир; § 18 и 20.

5. Построение и измерение углов при помощи астролябии.

6. Прямой, острый и тупой углы; § 21, перпендикуляр; § 23.

6. Начало занятий с эккером и продолжение занятий с астролябией.

7. Многоугольник; § 34 (треугольник)

7. Показать площади многоугольных земельных участков (вырезанных из цветной бумаги), и сказать, что нужно будет чертить контуры и измерять площади.

8. Симметрия геометрических фигур относительно оси; § 37.

8. Построение симметричных фигур при помощи вешек и эккера.

9. Признаки равенства остроугольных треугольников.

9. Оределение недоступных расстояний.

10. Признаки равенства прямоугольных треугольников; § 56, 57.

10. Определение недоступных расстояний.

11. Построить угол равный данному.

11. Построить угол с данным количеством градусов посредством астролябии.

12. Из данной точки на прямой восставить к этой прямой перпендикуляр; § 65.

13. Из точки вне прямой опустить на данную прямую перпендикуляр; § 66.

12. Эккер ставят на провешенную прямую в данной точке.

13. Вести эккер по провешенной прямой до тех пор, пока визирные гвоздики не будут с данной точкой на одной прямой.

14. Провести перпендикуляр через середину отрезка. Разделить отрезок пополам.

14. Разделить отрезок пополам (ученической линейкой) и восставить эккером перпендикуляр.

15. Два перпендикуляра к одной прямой не пересекаются; § 71.

15. Один из видов построения параллельных при помощи вешек и эккера, когда дано расстояние между параллельными.

16. Признаки параллельности 2-х прямых; § 73.

16. Построение параллельных при помощи построения равных углов астролябией.

17. Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой; § 74.

17. К прямой восставить два перпендикуляра (эккером), один из которых проходил бы через данную точку, отложить на другом перпендикуляре отрезок первого перпендикуляра и конечные точки соединить.

18. Сумма углов треугольника; § 81.

18. Определение недоступного расстояния при помощи равнобедренного треугольника.

Ознакомившись в классе с миниатюрными и настоящими геодезическими приборами и с их применением и выполнив ряд упражнений на классном полигоне и на индивидуальных полигонах, следует периодически выходить на местность и тренироваться в выполнении тех же упражнений.

Хорошо производить работу на полигоне непосредственно после объяснения нового теоретического материала и тем самым показать его практическое применение.

При повторении пройденного следует сделать ряд построений, связанных с этим материалом; например, повторяя в начале года в VII классе часть курса VI класса, мы успели на одном уроке сделать на полигоне восемь разных построений (выполненных ранее в VI классе).

Работы на полигоне не занимают много времени, так как они совпадают с задачей урока.

При изучении в VII классе параллелограма и прямоугольника я давал задание на дом: подумать, как провести эти построения на полигоне. Учащиеся хорошо справились с заданием: у большинства построение было правильное и точное.

Мною была намечена в VII классе двухчасовая работа на местности: определение расстояний четырьмя способами, с использованием теорем о равенстве остроугольных и прямоугольных треугольников и свойства равнобедренного прямоугольного треугольника и прямоугольника.

Предварительно я провел на одном уроке подготовку учащихся на общеклассном и индивидуальных полигонах. В качестве объекта я раздал вырезанные из цветной бумаги контуры, подобные контурам действительного пруда.

Один из учащихся строил на классном полигоне, остальные — на своих. Большинство учащихся хорошо справлялись с работой и сделали точные измерения.

Перед выходом учащихся на местность все намеченные работы я проделал с членами математического кружка, являющимися моими первыми помощниками по проверке правильности намеченной организации работ.

Далее те же работы на местности я проделал с бригадирами; каждая бригада получила индивидуальное задание. О всех возможных затруднениях я предупредил в классе всех учащихся.

Бригадиры хорошо руководили работой учащихся с измерительными приборами.

Здесь же на местности и на взятом с собой небольшом полигоне учащиеся решали теоретические вопросы: какие треугольники получились, почему они равны, и т. д.

О СВЯЗИ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ И ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ НА МЕСТНОСТИ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ VI И VII КЛАССОВ

Г. П. СЕННИКОВ (Горький)

Изучение практических измерений на местности должно проводиться параллельно с изучением геометрической теории и по мере овладения учащимися (в теории и на практике) следующими геометрическими построениями: а) построение прямой по двум данным точкам; b) построение окружности по ее радиусу и центру; с) построение отрезка прямой; d) построение угла, равного данному; е) построение перпендикуляра к прямой через точку, данную вне этой прямой; f) построение перпендикуляра к прямой через точку, принадлежащую этой прямой; g) построение перпендикуляра к отрезку через середину этого отрезка (деление отрезка пополам); h) деление угла пополам; i) построение треугольника по двум сторонам и углу между ними; j) построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам; к) построение треугольника по трем сторонам; 1) построение прямой, параллельной данной через точку, данную вне данной прямой; m) построение окружности по трем ее точкам; n) построение на данном отрезке дуг сегментов, вмещающих данный угол.

Исходя из сказанного, необходимо показать связь работ на местности, проводимых в геометрии, и небольшого материала по геометрическим построениям, изучаемого в школе. Учащиеся должны видеть связь задач и соответствие между чертежными инструментами и инструментами для работы на местности.

Здесь учитель встречается с двумя затруднениями; во-первых, работы на местности проводятся обычно в определенное время года,

причем не всегда в это время изучаются соответствующие задачи на построение; во-вторых, времени у учителя настолько мало, что кажется трудным осуществить эту очень ценную, но все-таки двойную работу. Учитель школы им. В. И. Ленина (в Горках-Ленинских Московской области) П. И. Черных, нашел следующий выход из этого затруднительного положения.

С помощью учащихся был сделан классный полигон; его устройство весьма несложно. Это прямоугольный ящик, размерами около 2×1,2м, передняя стенка которого ниже задней. Поверхность песка, наполняющего ящик, несколько наклонена к классу, а потому хорошо видна учащимся. Ящик стоит на прочном столе высотой около 1 м, так что ученикам VI и VII классов вполне доступна любая точка поверхности полигона.

К доске вызываются четыре ученика. Ученик К., вызванный к доске, кроме теоретического вопроса, получает «задачу на полигоне».

— Вот река, — говорит учитель, — прочерчивая бороздку на поверхности песка, — а вот населенные пункты А и В (в песок втыкаются два миниатюрные колышка). Найдите место для пристани на берегу реки, одинаково близкое к тому и другому населенному пункту.

Порядок принят такой, что ученик сначала формулирует и решает у доски соответствующую задачу на построение, а потом на основе решения должен выбрать нужный инструмент и решить задачу на полигоне. Допускается и обратный порядок работы.

Ученик К. у доски быстро решает задачу: на данной прямой найти точку, одинаково удаленную от двух данных точек. Затем он переходит к полигону. В руке К. несколько палочек — вешек. С помощью еще двух учеников К. провешивает участок AB на полигоне. Не обходится и без казуса: не сообразуясь с масштабами, К. ставит одну вешку в A, а его товарищ — в пункт В; третий ученик, следя за сигналами К., помещает вешку между А и В. Так участок, в натуре протяженностью в 600—700 м, оказался провешен... тремя вешками!

Провешив AB, ученик К. берет миниатюрный землемерный циркуль и промеряет расстояние AВ. В середине он ставит маленькую модель эккера и сигнализирует одному из своих помощников, «идущему по берегу реки». Наконец, тот ставит вешку в искомой точке.

Ученик К. толково объясняет суть решения* и отвечает на вопросы учителя относительно правил использования примененных на полигоне инструментов. Ответ занимает не более 5—6 минут, и задачу на полигоне получает второй ученик, из отвечавших у доски.

Класс следит за ответами и работой учеников у полигона, вносит поправки, отвечает на вопросы учителя. Мы наблюдали, как на том же полигоне школьники решали и угломерные задачи в горизонтальной и вертикальной плоскостях.

Ответы учеников о правилах применения вех, эккера, астролябии, мерного шнура были весьма обстоятельны, видно, что эти инструменты неоднократно применялись на полигоне. П. И. Черных подчеркивает, что полигон внес большие перемены в отношение учеников к геометрии: повысился интерес к занятиям, улучшились знания. Не приходится говорить о том, какое огромное значение имеет полигон при подготовке учащихся к выходу на «настоящую» местность.

Устройство классного полигона вполне посильно каждой школе. Изучение геометрии пойдет более эффективно, если ряд задач на построение получит интерпретацию на полигоне или, наоборот, после решения на полигоне будет выполнен соответствующий чертеж.

Приведем примерный список задач для VI и VII классов, решаемых на местности, и соответствующих задач на построение с указанием инструментов, применяемых для решения тех и других задач. Мы приводим только те задачи, решаемые на местности, для которых интересно указать соответствующие задачи на построение. Поэтому на приведенный ниже список нельзя смотреть как на полный перечень работ, подлежащих проведению на местности.

При составлении списка мы руководствовались опытом учителей, в частности опытом преподавателя математики г. Сталинграда П. И. Конопатова.

Совершенно очевидно, что не каждую (даже из перечисленных в приведенном ниже списке) задачу надо обязательно решать на местности. Классный полигон значительно сократит расход времени, если часть задач проработать на нем, а на местность выйти только с наиболее важными задачами (например, задачи № 3, 7а, 7б, 9, 11, 12а или 13).

* Был упущен вопрос, всегда ли существует решение задачи.

Список некоторых практических работ на местности и соответствующих им задач на построение (VI и VII классы)

п/п

Содержание работы (или задачи) на местности

Основные инструменты*

Соответствующие геометрические построения

Инструменты для выполнения

1

Провешивание прямой через два ориентира

Вехи

Построение прямой по двум данным точкам

Линейка

2

Определение точки пересечения двух прямых

»

Построение точки пересечения двух прямых

»

3

Построение прямого угла:

a) провешивание перпендикуляра к данному направлению через данный ориентир

b) провешивание перпендикуляра к отрезку прямой через недоступную середину этого отрезка

1) Эккер, вехи;

2) мерный шнур 12 метров с отметками 3 и 7 м, вехи

Вехи, мерный шнур

Построение прямого угла:

a) построение перпендикуляра к прямой, лучу и отрезку (через середину этого отрезка)

b) построение перпендикуляра к отрезку через недоступную середину этого отрезка

a) циркуль, линейка;

b) линейка и чертежный угольник

4

Измерение и построение углов различной величины

a) самодельный угломер, вехи

b) астролябия, вехи

c) буссоль или компас, вехи

Измерение углов

Построение угла, равного данному

Транспортир. Линейка и циркуль

5

Построение углов в 45°, 90°, 135°

Эккер (черт. 1)

Построение перпендикуляра

Деление прямого угла пополам

a) Транспортир.

b) Линейка и циркуль

6

Построение углов в 30°, 60°, 120°

Мерный шнур, свернутый в равносторонний треугольник

Построение равностороннего треугольника. Деление прямого угла на три равные части

Линейка, угольник

7

Определение недоступных расстояний:

а) при помощи центральной симметрии (черт. 2)

Вехи, мерный шнур

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольника)

Циркуль, линейка

b) при помощи осевой симметрии (черт. 3)

Эккер, вехи, мерный шнур

Построение отрезка, симметричного данному относительно данной прямой

a) Циркуль и линейка

b) Линейка, угольник, циркуль

* Подразумевается, что одним из необходимых средств решения задачи на местности является луч зрения.

Продолжение

п/п

Содержание работы (или задачи) на местности

Основные инструменты*

Соответствующие геометрические построения

Инструменты для выполнения

Определение недоступных расстояний:

с) при помощи «обратной засечки» (с переносом на планшет, черт. 4)

Астролябия, вехи, мерный шнур

Построение треугольника по основанию и двум углам

Линейка, циркуль и транспортир.

d) при помощи центральной симметрии (черт. 5)

Эккер, вехи, мерный шнур

Построение прямоугольного треугольника по катету и острому углу

Циркуль и линейка

е) при помощи осевой симметрии (черт. 6)

Эккер, вехи, мерный шнур

Построение равнобедренного треугольника по высоте и углу при вершине

То же

8

Деление угла пополам, если вершина его недоступна

Вехи, мерный шнур

Деление угла пополам, если вершина его недоступна

Линейка, циркуль

9

Съемка плана несложного контура с разбивкой на треугольники

То же

Построение треугольника по трем сторонам

»

10

Провешивание параллельных прямых (при помощи равных отрезков перпендикуляров к данной прямой)

Вехи, мерный шнур, эккер

Построение прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку

a) Линейка и циркуль

b) Линейка и угольник

11

Съемка плана методом «обратной засечки»

Буссоль (астролябия), мерный шнур, вехи

Построение треугольника по стороне и двум углам, прилежащим к ней

Циркуль, линейка, транспортир.

* Подразумевается, что одним из необходимых средств решения задачи на местности является луч зрения.

Продолжение

п/п

Содержание работы (или задачи) на местности

Основные инструменты*

Соответствующие геометрические построения

Инструменты для выполнения

12

Определение недоступных расстояний:

а) при помощи центральной симметрии (черт. 7)

Мерный шнур, вехи

Построение параллелограмов (центр симметрии параллелограма)

Циркуль, линейка

b) при помощи осевой симметрии и «обратной засечки» (черт. 8)

Буссоль, астролябия, вехи, мерный шнур

Построение треугольника симметричного данному относительно прямой основания по углам при основании

» »

13

Задача карты (задача Снеллиуса)**. Имеются в виду лишь измерительные работы и последующий перенос на планшет

Буссоль, компас

Построение точки, из которой два смежные отрезка видны под данными углами

» »

14

Провешивание прямой через точку O и недоступную точку пересечения двух прямых (черт. 9)

Эккер, вехи

Построение прямой через данную точку и недоступную точку пересечения двух данных прямых (теорема о пересечении высот треугольника)

Линейка, чертежный угольник

* Подразумевается, что одним из необходимых средств решения задачи на местности является луч зрения.

** Ошибочно именуемая задачей Потенота.

ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ

И. СТАРОСТИН (Москва)

Коробка спичек дает готовый материал для маленьких простейших моделей куба, пирамиды, призмы и т. д. Заостренные с двух концов спички легко соединяются при помощи карто-

фельных кубиков размером в 8 мм. При изготовлении, например, модели куба сначала составляются из спичек два квадрата, верхнее и нижнее основания куба, затем в кубики нижнего

квадрата втыкаются спички — боковые ребра, на которые насаживается верхнее основание.

Вспомогательные линии, плоскости сечений делаются, как и в других моделях, из цветных ниток: иголка с ниткой легко проходит сквозь картофельный кубик в требуемой точке. Картофельные кубики обладают интересным свойством: при высыхании, уменьшаясь в объеме, они крепче соединяют прутики и поэтому могут служить для изготовления постоянных моделей из прутиков большего размера.

В степных районах вместо деревянных прутиков можно применять жесткие, прочные стебли травянистых растений» предварительно проколов отверстия в картофельных кубиках.

Изготовление простейших стереометрических моделей из спичек или прутиков при помощи маленьких картофельных кубиков при небольшой затрате времени облегчает изучение ряда теорем стереометрии, а также решение сложных задач.

Общий вид таких моделей показан на чертеже 1.

При наличии тонких проволочных прутиков можно таким же способом из них изготовлять подобные модели.

ПОДВИЖНАЯ МОДЕЛЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

Л. М. ДЕМИХОВСКИЙ (Арзамас)

В преподавании геометрии большую ценность имеют те наглядные пособия, которые можно применить не только на одном уроке, а на многих и на различном изучаемом материале. Пособие, которое подвижно в своих частях, дает возможность создать многообразие форм, размеров и соотношений частей геометрических фигур, выявить функциональную зависимость величин.

Наглядное пособие, о котором идет речь в настоящей статье, в основном состоит из четырех деревянных планок размерами в 360 ×10 × 3 мм. На них сделаны посередине продольные прорези шириной в 1,5 — 2 мм, которые не доходят до концов планок на 10 мм. Планки соединяются друг с другом через прорези небольшими винтами с заклепанной шайбой на одном конце и гайкой с насечкой или небольшим барашком на другом конце. Это позволяет передвигать планки по прорезям, вращать и закреплять их в том или ином положении.

На планки нанесены деления с нумерацией, хотя бы через один сантиметр на каждой планке. Пособие может быть сделано не только из дерева, но и из другого материала, самое лучшее из стальной ленты (как складной плотничий метр), из аллюминия или из пластмассы. Я сам, пользуясь только простыми инструментами, сделал несколько моделей. Удачным получился прибор из березовых планок, окантованных (для прочности) на концах полосками жести (черт. 1).

В другом варианте я взял сплошные планки и вместо прорезей использовал попарно скрепленные шарниром жестяные муфточки, в которых передвигаются (скользят и вращаются) планки (черт. 2).

Черт. 1

Важно соблюсти большую подвижность планок для образования различных фигур с изменением углов при вращении планок и движении их в прямолинейном направлении и по окружности.

Пособие очень просто, но динамично и широко применимо в курсе геометрии. Две планки, взятые отдельно от других, но скрепленные подвижным винтом, представляют раздвижной угол (малку). На нем показывается острый, прямой, тупой, развернутый углы. Выясняется, что величина угла не зависит от длины сторон, а от их разворота. Малкой быстро можно взять угол, равный начерченному на доске, и перенести его из одного места в другое, сравнить углы по величине, найти сумму и разность углов. Малкой можно пользоваться как измерительным циркулем для измерения расстояния между двумя точками, для сравнения, измерения и перенесения отрезков прямой при выполнении чертежей на классной доске (черт. 3).

Две планки, соединенные в прорезях подвижным винтом, дают представление о смежных и о вертикальных углах (черт. 4), о переходе при вращении луча острого и тупого угла в прямой угол.

Две планки могут служить и делительным (пропорциональным) циркулем, так как, двигая винт по прорезям, можно установить любые отношения расстояний между концами реек (черт. 5).

Если к малке подвинчивать другие планки, то можно получить разнообразные прямолинейные геометрические фигуры. Легко и быстро строятся все виды треугольников и их основные линии: медиана, высота и биссектриса из вершин любого угла (черт. 6).

Модель ясно показывает, что треугольник — жесткая фигура: из трех отрезков определенной длины можно составить только один треугольник, и углы его строго определены, причем против большей стороны лежит больший угол.

Четырехугольник — не жесткая фигура: из четырех отрезков можно получить бесконечное множество четырехугольников, меняя размеры его углов.

Прикладывая модель к чертежу на доске или пользуясь двумя такими приборами, можно практически показать методы наложения, приложения, параллельного перенесения.

Модель успешно можно применить при изучении параллелограмов и трапеций, используя для диагоналей и других линий дополнительные рейки или шнурки.

На фоне фанерного круга или круга, начерченного на классной доске, прибор дает возмож-

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

ность иллюстрировать центральные, вписанные и все другие виды углов и некоторые вписанные и описанные фигуры и соотношения их элементов.

Подвижную модель как наглядное пособие можно использовать при изучении подобия треугольников и метрических соотношений в треугольнике. Благодаря тому, что планки разделены на сантиметры, конкретно в числах определяется коэффициент пропорциональности и на числах практически проверяются метрические соотношения.

СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ЯЩИК

А. Ф. ЛЕБЕДЕВ (Валуйки)

Для устройства такого пособия нужен ящик размером 100 × 250 × 500 мм с двумя верхними крышками, первая служит экраном, а вторая — основанием пособия. Весь ящик можно изготовить из фанеры, а дно делается из доски. На внутренней крышке и дне по окружностям радиуса 70 и 100 мм в вершинах правильных вписанных 3-, 4-, 6-, 8- и 12-угольников сверлят отверстия диаметром в 3 мм. В верхней крышке все отверстия нумеруются числами, указывающими, вершиной каких многоугольников является данная точка; кроме этого, в каждом отверстии этой крышки лобзиком выпиливаются зубья (черт. 1). Глубина отверстий на дне ящика на 3 — 4 мм менее толщины доски.

Затем из проволоки диаметром в 3 мм делают двенадцать прямых и три Г-образные стойки.

Для построения вспомогательных линий нужно изготовить двенадцать отвесов (7 — черных, 5 — красных) (черт. 2).

Важной частью прибора является набор чертежей — оснований пространственных тел. Размеры чертежей многоугольников соответствуют размерам многоугольников, вписанных в окружность радиусом 10 см. В вершинах и центре многоугольников делаются такие отверстия, как на верхней крышке ящика.

Для верхних оснований делаются контуры разных многоугольников с выделением на них диаметров описанных окружностей, апофем и высот.

Буквы изготовляются из жести. Основание буквы в виде полоски с двумя дырочками отогнуто под прямым углом.

Укрепляются буквы одеванием их на вилки стоек (черт. 2 и 3).

Для демонстрации верхнюю крышку-экран устанавливают в вертикальное положение. Ящик освобождается от содержимого, выбирается необходимое количество стоек, отвесов, чертеж, шаблон верхнего основания и нужные буквы.

Накладывают чертеж на основание ящика так, чтобы соответствующие отверстия совпали. Затем из внутренней стороны ящика продеваются соответствующие отвесы; устанавливаются

Черт. 1

Черт. 2

стойки, на вилки стоек накладывается шаблон, укрепляются отвесы путем надевания крючков на вилки.

В конце чертеж прикрепляется кнопками к основанию и укрепляются буквы.

При необходимости построить пирамиду или конус устанавливают Г-образную стойку, а образующие конуса или ребра пирамиды крючками зацепляют за вилку стойки. Если нити отвесов не натягиваются, прибор нужно наклонить. Общий вид прибора показан на чертеже 4.

После небольшой тренировки сборка очередной модели происходит легко и быстро.

Черт. 3 Черт. 4

ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ ПО ИЗГОТОВЛЕНИЮ НАГЛЯДНЫХ ПОСОБИЙ И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

В. В. КАРПЕНКОВ (Саратов)

При изучении темы «Подобные треугольники» с учащимися восьмых классов можно привести несколько интересных и полезных практических работ. Среди них особый интерес представляют работы по определению высоты предмета, непосредственное измерение которой недоступно или затруднительно.

В восьмых классах при изучении темы «Подобные треугольники» мною применяется специальный инструмент, общий вид и схема устройства которого даны на чертеже 1. Инструмент устроен очень просто и поэтому может быть сделан самими учащимися при некоторой помощи учителя. Основными его частями являются три планки, образующие в своей совокупности прямоугольный треугольник ABF. Планка ВС, имеющая Г-образную форму, установлена на штатив неподвижно посредством основания К. При помощи отвеса Р этой планке можно придать горизонтальное направление.

Вторая планка (AB) имеет ось вращения в точке В, и, следовательно, ее можно направить под любым углом к ВС. Планка AB на одном конце снабжена рамкой M со щелью, а на другом — выступом N. Наблюдая выступ N через щель М, мы можем привести планку AB в положение, совпадающее с направлением луча зрения, направленного от наблюдателя к вершине предмета, являющегося объектом измерения. Третья планка AD подвешена к планке AB

в точке А так, что она под влиянием собственной тяжести всегда принимает вертикальное положение. Эти планки образуют прямоугольный треугольник ABF. Размеры катетов этого треугольника можно прочитать в точке F так как на планках ВС и AD имеются масштабные шкалы с нулевыми пометками в точках А и B.

Как практически можно пользоваться этим инструментом, показано на чертеже 2.

Чтобы измерить высоту предмета, например дерева, необходимо установить инструмент на некотором расстоянии от его основания F2. Путем перемещения ножек штатива необходимо добиться того, чтобы нить отвеса совпала с линией отвеса, прочерченной на ВC1 (черт. 1).

Этим будет придано горизонтальное направление планке ВС. Далее необходимо планку AB направить так, чтобы луч зрения, проходящий через щель рамки M и выступ N, прошел бы и через верхнюю крайнюю точку предмета (в данном случае через вершину дерева). В результате мы будем иметь два подобные прямоугольные треугольника: △ ABF и воображаемый △ A1BF1. Размеры катетов треугольника ABF можно прочитать непосредственно на планках AD и ВС в точке F. Затем путем измерения находим расстояние B1F2 = BF1.

Из подобия треугольников ABF и A1BF1 следует:

где неизвестной величиной является A1F1, которая затем и определяется:

Далее надо найти величину F1F2. Очевидно F1F2 = BB1, но ее легко найти путем измерения. После чего находим высоту дерева:

Первоначально эту работу с учащимися я обычно провожу в классе — измеряем высоту стены классной комнаты.

В этом случае имеется возможность путем непосредственного измерения высоты стены убедиться в степени точности полученного результата. Ошибка при измерении высоты стены комнаты была 2 — 3 см.

После проведенной таким образом подготовительной работы с учащимися можно выйти на местность с целью определения высоты дерева, школьного здания и т. п.

Аналогичную работу с учащимися восьмого класса рекомендуется проводить и при изучении темы «Тригонометрические функции острого угла». В этом случае для определения высоты предмета нужно иметь в распоряжении соответствующий угломерный инструмент. На чертеже 3 дана одна из наиболее простых конструкций этого инструмента.

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Чтобы определить угол, под которым видна вершина предмета относительно горизонта и данной точки горизонтальной плоскости, надо сначала планку ВС привести в горизонтальное положение (при помощи отвеса), а затем планку AB, как и в предыдущем случае, направить так, чтобы луч зрения, проходящий через щель рамки M и выступ N, прошел бы и через верхнюю крайнюю точку предмета. Тогда стрелка К, будучи перпендикулярной к AB, покажет величину искомого угла а. После этого высоту предмета (дерева, здания) (черт. 4) находим по формуле:

Черт. 4

НАГЛЯДНОЕ ПОСОБИЕ К ТЕМЕ «ОКРУЖНОСТЬ»

Б. П. ДРОБЫШЕВ (Серпухов)

Пособие (черт. 1) представляет собой подвижной чертеж (выполненный на отдельных, смонтированных в одно целое листах) окружности с выделенной на ней дугой и соответствующими ей радиусами и хордой (величину этой дуги можно изменять по желанию в пределах от 5° до 170°) и сектора с хордой, который можно поворачивать по желанию на любой угол, а хорду которого можно при соответствующем положении сектора совмещать с хордой, изменяющейся по величине дуги.

Пользуясь этим пособием, можно показать: а) как осуществляется поворот дуги или сектора вокруг центра; b) как сравниваются длины хорд (поворот или перенос хорды); с) как изменяется длина хорды с изменением величины дуги и т. п.

Изготовление пособия

Основной лист (черт. 2) и подвижный круг вырезаются из тонкого (от 1 до 2 мм) картона, лучше плотного. Если картон не белый, желательно предварительно оклеить его белой бумагой.

Размеры основного листа 60 × 70 см2. В листе на 5 см ниже центра шилом прокалывается отверстие О для болтика, заклепки или гвоздя, служащего осью для подвижного круга и подвижного сектора (соответствующие отверстия на них О' и O". Эти же отверстия служат центрами окружности на основном листе и дуг на подвижном листе и подвижном секторе, во всех случаях — радиусом в 25 см. Толщина линий дуг, радиусов и хорд от 1 до 1,5 см.

Под углом 7—10° с вертикалью на основном листе изображается неподвижный радиус. От него по часовой стрелке тем же цветом наносится дуга в 170° (эти и другие залитые на

Черт. 1

чертеже тушью линии желательно наносить черной краской). Остальная часть окружности наносится другой краской (например, красной), как и соответственно заштрихованная дуга подвижного круга. На основном листе по левой кромке радиуса от точки A' до точки В', отстоящей от центра О на 2 см, прорезается щель для пропускания части подвижного круга. Радиус левой половины подвижного круга для лучшего прохождения в прорезь основного листа уменьшен по сравнению с радиусом правой половины на 3 см (равен 22 см).

Подвижный круг прорезается по левой кромке радиуса от точки А' до точки В' и далее по дуге радиусом в 3 см и величиной в 180° до точки С. Ушко, заблаговременно оставленное при вырезании круга, служит для поворота круга, и фиксирования его в определенном положении, когда подвижная дуга равна дуге подвижного сектора, путем надевания его отверстием К на соответствующий гвоздь без шляпки К' основного листа (с обратной стороны основного листа приклеить кусочек фанеры или дощечки и вбить в него гвоздь, чтобы он выступал на лицевой стороне листа на 1,5—2 см; таким же образом крепятся гвозди L' и L").

К концу радиуса подвижного круга крепится хорда длиной 60 см, отверстием F' изготовленная из толстой (4—7 мм) проволоки или деревянной рейки, окрашенная в черный цвет. Второй конец хорды пропускается в отверстие в конце радиуса основного круга D.

Подвижной сектор (угол между радиусами от 70° до 100°) вырезается из более плотного картона или фанеры. Картон или фанера, заключенные между радиусами и хордой и между хордой и дугой, за исключением кружка вокруг центрального отверстия радиусом в 1,5 см, удаляются.

Ушко служит ручкой для поворота сектора, а отверстие L в нем — для фиксации сектора в двух положениях путем надевания на гвозди основного круга L' и L" (в первом положении радиус сектора совмещается с неподвижным радиусом круга основного листа, во втором другой радиус сектора является продолжением радиуса круга основного листа). К точке M сектора подвижно крепится фанерная или картонная полоска, по размерам и окраске одинаковая с хордой подвижного сектора (подвижная хорда). Конец подвижной хорды Е' должен иметь возможность фиксации в точке Е подвижного сектора (крючок, гвоздь или зажим).

Черт. 2

ИЗ ПИСЕМ И ЗАМЕТОК ЧИТАТЕЛЕЙ

К. С. БОГУШЕВСКИЙ (Москва)

Заметки по вопросам общей методики

1. Е. Е. Ошерова (г. Запорожье), откликаясь на заметки Н. В. Метельского (см. обзорную статью «Из писем и заметок читателей», «Математика в школе», 1954, № 1), категорически высказывается против индивидуализации заданий для контрольных работ с учетом подготовки отдельных учащихся. Автор заметки соглашается, что эта система (более «сильным» — более трудные задания) до известной степени содействует обеспечению самостоятельности выполнения работы, так как у сильных учащихся не остается времени для оказания помощи затрудняющимся в выполнении работы. Однако Е. Е. Ошерова подчеркивает недопустимость ставить учащихся в неравные условия при оценке их успеваемости. В этом случае, по мнению Е. Е. Ошеровой, оценка сплошь и рядом оказывается неправильной и несправедливой.

Для обеспечения самостоятельности работы учащихся необходимо, по мнению Е. Е. Ошеровой, поддержание на уроке самой строгой дисциплины, выражающейся в соблюдении учащимися всех правил выполнения контрольной работы. В качестве мероприятий, содействующих установлению такой дисциплины, Е. Е. Ошерова рекомендует следующие два:

1. Учащиеся, закончившие работу досрочно, должны уходить из класса. (Это мероприятие обычно запрещается администрацией школы, так как нарушает порядок и тишину в коридорах во время уроков.)

2. Учащимся, которые были замечены в попытках воспользоваться помощью товарищей, должна обязательно снижаться оценка за работу.

Однако эти мероприятия по борьбе с несамостоятельностью работ учащихся (безусловно известные большинству учителей) признаются, повидимому, недостаточными. По крайней мере в учительской среде не прекращаются поиски такой формы заданий, которая в наибольшей степени содействовала бы обеспечению самостоятельности работы, но вместе с тем не ставила бы учащихся в неравные условия при выполнении контрольной работы.

Можно указать, например, на следующую систему заданий, применяемую рядом учителей и, по нашему мнению заслуживающую внимания.

Если работа состоит из нескольких упражнений, то первые 2—3—4 упражнения даются средней трудности («массовые»); правильное выполнение их обеспечивает оценку «3» или «4» (в зависимости от качества выполнения, опрятности, последовательности записей и т. п.). Следующие 1—2 упражнения во всех заданиях даются повышенной трудности, правильное выполнение этой части работы ведет к повышению оценки, намеченной за выполнение первой части работы.

Вопрос о системе заданий еще более осложняется, когда для работы предлагается решение только одной задачи (например, в X классе по геометрии). В этом случае индивидуализация заданий с учетом подготовки отдельных учащихся применяется более часто.

Осторожное применение этой системы заданий выражается в том, что сильным учащимся дается задача, решение которой требует более тонких объяснений или более сложного исследования.

Вопрос о допустимости такой системы заданий продолжает дискутироваться; безусловно, что эта система заданий (при контрольных работах данного типа в старших классах) наряду с таящимися в ней опасностями, обладает и достоинствами.

Некоторые учителя, чтобы не применять системы индивидуальных заданий, но вместе с тем загрузить сильных учащихся на весь срок и дать им возможность проявить свою более глубокую подготовку, предлагают всем вообще учащимся задачи, требующие трудных и тонких объяснений и исследований. Решение таких задач большинство учащихся сопровождает объяснением и исследованием по существу неудовлетворительными. При оценке работ учителю волей-неволей приходится с этим мириться и ставить за такие работы оценку «3» и даже «4». Другая часть учителей, наоборот, дает всем учащимся задачи весьма элементарные во всех отношениях. При решении таких задач сильным учащимся негде «развернуться».

Оба эти приема нам представляются нежелательными. Иногда удается подобрать такие задачи, для решения которых помимо «шаблонного», разученного способа, имеется способ более простой и изящный, или же такими возможностями обладают объяснение и исследование и т. д. Подобное решение вопроса обладает серьезными достоинствами, но составление и подбор таких задач — дело, весьма трудное и не при всех обстоятельствах доступное учителю.

В заключение необходимо отметить, что не следует отождествлять понятия многовариантности и индивидуализации, как это делает

Е. Е. Ошерова. Многовариантность работ может не быть связанной с индивидуализацией заданий, так как варианты могут быть одинаковыми по трудности. Такую многовариантность, повидимому, почти все учителя поддерживают и применяют в практике своей работы.

2. В. В. Карпенков (г. Саратов) в статье «О содержании устного опроса учащихся» противопоставляет два типа устного опроса учащихся: формальный и обучающий. Формальный опрос преследует одну цель — выявить, выучил ли ученик заданный материал и помнит ли он те или иные факты из ранее пройденного. Характеризуется этот тип опроса тем, что для ответа на предлагаемые вопросы и задания учащемуся оказывается достаточным привести отдельные выдержки из текста теорем и правил или выполнить упражнения на непосредственное их применение. Такой опрос, по мнению автора, должен входить только в качестве составной части опроса обучающего.

Целью обучающего опроса является не только проверка знаний опрашиваемого учащегося, но и работа со всем классом — обучение чему-либо новому, углубление понимания данного вопроса, усовершенствование практических навыков, развитие логического мышления и т. п. Этой задаче должна отвечать система вопросов, предлагаемых вызванному учащемуся.

Для иллюстрации своей мысли автор приводит примеры, в которых конкретно противопоставляет формальному опросу опрос обучающий. Так, автор указывает, что опрос по разделу о подобии треугольников был бы формальным, если бы он заключал только такие вопросы и задания, как, например:

1. Какие треугольники называются подобными?

2. Как читается лемма о подобии треугольников?

3. Сказать, какие признаки подобия треугольников вы знаете?

4. Сформулировать специальные признаки подобия прямоугольных треугольников.

5. Сформулировать теорему об отношении высот в подобных треугольниках и т. д.

Эти вопросы, конечно, должны задаваться, но ограничиваться ими нельзя; главную роль должны играть, по мнению В. В. Карпенкова, вопросы и задания, расширяющие и углубляющие знание пройденного материала, способные заинтересовать класс. Например, по теме «Подобие треугольников» такими вопросами и заданиями могут быть следующие:

1. Сформулировать признаки подобия равнобедренных треугольников.

2. Почему все правильные треугольники подобны между собой?

3. Стороны треугольника: 5 см; 7 см; 9 см; привести пример треугольника, подобного данному.

4. Участок имеет треугольную форму. Какие измерения необходимо провести, чтобы составить план этого участка? (Указать несколько вариантов.)

5. Как от данного треугольника линией, не параллельной ни одной из его сторон, отсечь треугольник, подобный данному? и т. д.

В заключение автор подчеркивает, что такой обучающий опрос должен проводиться систематически, на каждом уроке, при изучении каждой темы.

3. И. Биченков (г. Заславль Минской обл.) в заметке «О содержании математических задач» приводит примеры задач, явно нелепых с точки зрения реальной действительности. К сожалению, такие задачи все еще встречаются в школьной практике. В одной задаче (предложенной, как указывает автор, на математической олимпиаде в г. Смоленске) скорость пешехода получается равной 7200 км/час. В другой задаче «два путешественника» проезжают в первый день: один 4 км, другой 1 км, а в последний день один из них проезжает 116 км. Действительно странные «путешественники». Автор заметки вполне справедливо замечает, что нельзя проявлять такую небрежность в подборе задач.

4. П. П. Крашенинников (станция Дема Уфимская жел. дороги) в статье «Систематическое (итоговое) повторение по математике в V—VII классах» выдвигает, в качестве основного, положение о том, что это повторение должно представлять интерес новизны для учащихся. Поэтому материал при повторении должен быть углублен, рассмотрен с новых точек зрения: упражнения должны быть несколько сложнее, чем при первоначальном прохождении, и т. п. Вообще тема должна быть освещена глубже и по-новому. Для иллюстрации этих положений автор приводит образцы планов повторения, составленных на весь период и поурочных.

План повторения арифметики и алгебры в VII классе

1. Дробь как число—1 ч.

2. Преобразование дробей — 1 ч.

3. Сокращение дробей и общий наибольший делитель — 3 ч.

4. Приведение дробей к общему знаменателю — 2 ч.

5. Сложение и вычитание дробей — 2 ч.

6. Умножение и деление дробей — 1ч.

7. Отрицательные числа и распространение на них законов действий — 3 ч.

8. Графическое изображение функциональной связи между величинами — 2 ч.

9. Уравнение и неравенство — 2 ч.

10. Возвышение в степень и извлечение корня — 1 ч.

Итого 18 часов.

План урока повторения арифметики в V классе

Тема урока: дробь как число.

Цель урока: Восстановить в памяти учащихся, что дробь — это частный вид числа, потребность в котором вытекает из необходимости считать доли целых единиц.

Содержание урока. После проверки домашних работ и опроса, предусмотренного планом урока, повторяется в порядке ряда вопросов и упражнений (примеров), что дробь — это число, получаемое при измерении и при делении некоторых чисел; отмечается, что дробные числа расширяют возможности счета и вычислений, уточняют результаты последних; вспоминаются определения обыкновенной и десятичной дроби. Из группы последних особое внимание уделяется процентам (вспоминается определение); бегло упоминается, что обыкновенные дроби могут быть правильными и неправильными; останавливается внимание учащихся на вопросе, могут ли быть правильными и неправильными десятичные дроби и имеет ли место здесь смешанное число (странный вопрос — К. Б.). После упоминания об изменении величины дроби при изменении числителя и знаменателя внимание учащихся сосредоточивается на основном свойстве дроби, которое проверяется в применении как к обыкновенной, так и к десятичной дроби (записанной со знаменателем и без него). Урок заканчивается упражнениями на обращение обыкновенной дроби в десятичную и обратно и упражнениями в выражении процентов дробями и обратно.

В плане урока, приведенном в редакции автора, не все изложено вполне ясно, но мысль о необходимости проводить повторение материала в несколько ином порядке и с несколько иных точек зрения, чем при первоначальном прохождении, проведена в нем вполне отчетливо.

Методические заметки по арифметике

5. Я. Т. Анохин (Пензенская обл., Городищенский район, село Ивановка) в заметке «Некоторые приемы устных и полуписьменных вычислений при умножении и делении обыкновенных дробей» указывает на возможность ряда упрощений при выполнении этих действий.

Так, например, в случае, когда один из компонентов — смешанное число, а другой — целое число, не всегда целесообразно превращать смешанное число в неправильную дробь.

При умножении и делении смешанного числа на дробь полезно раньше восполнить деление на соответствующий член дроби, а потом уже умножение:

(В неправильную дробь обращается смешанное число с меньшими членами дроби.)

Интересно также предложение автора применять в подходящих случаях свойство деления (разделить делимое и делитель на одно и то же число):

(Делимое и делитель делим на 39.)

Автор правильно указывает на возможность поручать учащимся придумывать примеры на применение указанных приемов. Это будет полезно не только для упрощения вычислений, но в особенности для развития у учащихся наблюдательности и смекалки.

6. В. А. Уметский (с. Горелое Тамбовской области) в заметке «Некоторые замечания к статье А. В. Ланкова» возражает против предложения А. В. Ланкова «изъять» типовые задачи из сборников, а следовательно, и из практики школьного преподавания*.

* Тов. Уметский не совсем точен: полное изъятие типовых задач вовсе не предлагается, предлагается (и не одним А. В. Ланковым) только сокращение числа типов задач, изучаемых в арифметике. Эта же точка зрения проведена и в новой программе по арифметике для V и VI классов.

В. А. Уметский пишет: «при изучении явлений в любой отрасли знаний мы пользуемся их классификацией». И далее: «следовательно, разделение задач по типам и усвоение их решения отдельно по типам отвечает указанной особенности познания».

Чтобы избежать механического решения учащимися типовых задач В. А. Уметский указывает, что, во-первых, учащимися должны быть уяснены зависимости между входящими в задачу величинами и, во-вторых, «подбор задач не должен сводиться лишь к изменению числовых данных; каждая задача должна иметь свою особую фабулу, свою особую формулировку». При соблюдении этих условий «ученик будет неизбежно вдумываться в ее (задачи) смысл, отыскивать сходство и различие с другими задачами, думать над формулировкой вопросов при составлении плана решения и т. п.».

В этой работе мысли, а также в использовании и развитии памяти при решении типовых задач автор видит основную пользу, которую приносят эти задачи при обучении арифметике.

Следует отметить, что автор рекомендует строить задачи на материале, взятом из реальной действительности, в том числе и на материале, полученном путем тех или иных измерений и опытов, проделанных самими учащимися. Конечно, осуществление этого предложения автора будет хорошим противоядием против проявлений формализма при решении арифметических задач.

7. Г. И. Бобырь (Улан-Удэ) в заметке «О способе нахождения общего наименьшего знаменателя для обыкновенных дробей» предлагает сокращенный способ приведения обыкновенных дробей к наименьшему общему знаменателю, основанный на следующих двух свойствах дробей:

1. Наименьшим общим знаменателем для дробей, у которых знаменатели взаимно простые числа, является произведение знаменателей.

2. Дополнительные множители не изменяются при умножении или делении всех данных дробей на одно и то же число.

Пример. Пусть требуется привести к наименьшему общему знаменателю дроби:

Делим знаменатели на их общих делителей:

Заменяем данные дроби дробями:

Наименьшим общим знаменателем последних дробей будет произведение их знаменателей, а дополнительными множителями соответственно 2 и 5. Такие же дополнительные множители будут и для данных дробей, так как, заменив данные дроби дробями 1/5 и 1/2, мы умножили обе данные дроби на 27:

Этот же прием приведения дробей к наименьшему общему знаменателю применим при любом числе данных дробей. Форма записи рекомендуется автором следующая:

Можно согласиться с т. Бобырь, что техника выполнения вычислений по предложенному им способу довольно проста, легко запоминается и может предохранять от приведения дробей к ненаименьшему общему знаменателю. В этом положительная сторона способа; однако обоснование его весьма сложно для учащихся, и потому возникает опасность, что учащиеся будут применять этот способ механически, не понимая его существа.

Ознакомление учащихся с описанным способом можно рекомендовать в порядке внеклассной работы.

8. Я. М. Конаревский (г. Чита) в заметке «Определение процента выполнения показателей, измеряемых временем» ставит вопрос о способе определения «процента выполнения показателей, измеряемых временем». Приведенная формулировка задачи представляется неясной. Следовало бы отчетливо сказать, что речь идет об определении процента выполнения задания (плана) в том особом случае, когда даны показатели, измеряемые временем. Именно в таком понимании задача ставится как в задачниках по арифметике, так и на предприятиях. Очевидно, так именно понимает задачу и Я. М. Конаревский.

Если показатели выражены в единицах количества продукции, то определение процента выполнения показателей не вызывает сомнений.

Пусть, например, указано, что выработано а единиц продукции при норме b единиц. Процент выполнения плана определится по формуле р = a100/b (%). Но если указаны показатели, измеряемые временем, то, по мнению Я. М. Конаревского, применение аналогичной формулы

приводит к результату, кажущемуся учащимся «непонятным», парадоксальным.

Пусть, например, для ремонта машины установлена норма 10 часов. Определить процент выполнения плана, если машина отремонтирована 1) за 8 дней и 2) за 12 дней.

Применяя указанную формулу и полагая a = 10; b1 = 8; b2 = 12, получаем:

Учащимся представляется неправильным, что при одном и том же (по абсолютной величине) отклонении во времени получается в первом случае перевыполнение плана в 25%, а во втором случае недовыполнение в 16,7%. По мнению учащихся, процент перевыполнения в первом случае должен «естественно» равняться проценту недовыполнения во втором случае. С подобным же ошибочным представлением приходится встречаться при решении задач на движение тел по течению и против течения, по ветру и против ветра и т. п. Кажется, что если путь по течению проделан пароходом за 4 часа, а против — за 6 часов, то в стоячей воде весь указанный путь был бы пройден за 10 часов (понятно при постоянной собственной скорости). На самом деле путь в стоячей воде будет пройден за меньший промежуток времени.

Объяснение этого факта, кажущегося неестественным, основывается на том, что путь с уменьшенной скоростью (против течения) пароход идет дольше, а следовательно, средняя скорость его оказывается меньше, чем скорость в стоячей воде.

Аналогичным путем разъясняется и кажущаяся неправильность (неестественность) ответа на приведенную выше задачу о проценте выполнения плана ремонта машины. По условию задачи работа должна быть выполнена за 10 дней, значит, за 8 дней должно было бы быть выполнено 80% работы: (100⋅80/10), а за 12 дней: 120% (100⋅12/10). Фактически же в первом случае за 8 дней выполнено 100%, т. е. перевыполнено 20%. Это перевыполнение приходится на 8 дней. Во втором случае за 12 дней выполнено 100%, следовательно, недовыполнено тоже 20%, но это недовыполнение приходится не на 8 дней, а на 12 дней. Очевидно, что за норму времени (10 дней) перевыполнение плана (в процентах) в первом случае должно быть больше, чем недовыполнение во втором случае*.

Перевыполнение за 10 дней в I случае равно 20⋅10/8, т. е. 25%.

Недовыполнение за 10 дней во II случае равно 20⋅10/12, т. е. 16,7%.

Таким образом, следует признать, что и в случае, когда показатели измеряются временем, для определения процента выполнения плана пригодна та же формула:

где р — искомый процент выполнения плана, а — норма времени на выполнение работы, b — фактическое время выполнения работы.

Методические заметки по алгебре

9. Б. М. Шумягский (Москва) в заметке «Вопрос о приведении к нормальному виду» считает настоятельно необходимым уже с V класса вводить понятие «нормальный вид выражения» (нормальный вид дроби, одночлена, радикала, уравнения и т. д.). Ввиду известной условности этого понятия необходимо, как указывает автор, определять его для каждого вида выражений.

Например, нормальным видом радикала, по определению автора, называется такой вид, к которому радикал приводится после того, как:

1) подкоренное выражение преобразовано в одночлен (если это возможно);

2) сокращены показатели корня и подкоренного выражения (если эти показатели имеют общий делитель);

3) вынесен из-под знака корня знаменатель подкоренного выражения;

4) вынесены из-под знака радикала те множители, из которых извлекается корень;

5) вынесен за знак радикала нечетной степени знак минус.

Автор приводит образцы определения понятий нормального вида ряда других выражений.

Можно согласиться с автором, что введение понятия «нормальный вид выражения» во многих случаях поможет учащимся разобраться в том, какие преобразования они должны выполнить, решая тот или иной пример. Кроме того, используя это понятие, можно будет короче и точнее формулировать ряд правил (например, правила решения уравнений, действий над радикалами и т. д.). Однако не следует «нормальный вид выражения» обращать в своего рода фетиш, так как иногда приведение выражения к нормальному виду может усложнить дальнейшую работу. Например, для нахождения приближенного значения выражения √128 нецелесообразным было бы предварительное приве-

* Мы остановились на разъяснении данного вопроса потому, что некоторые учителя затрудняются достаточно точно и понятно разъяснить его учащимся.

дение его к «нормальному виду» 8√2. Точно так же нецелесообразно было бы приводить к «нормальному виду» квадратное уравнение

Кроме основного понятия «нормальный вид выражения», автор предлагает ввести понятия «нормальный порядок записи; нормальный порядок выполнения действий» и т. п.

В заключение автор приводит перечень важнейших из этих «нормативов».

I. В арифметике:

1. Нормальный порядок действий.

2. Нормальный порядок разложения чисел на простые множители (120 = 2⋅2⋅2⋅3⋅5).

3. Нормальный вид дробного числа

4. Приведение ряда отношений к нормальному виду:

II. В алгебре

1. Лексикографический порядок записи букв в одночлене (в алфавитном порядке).

2. Нормальный порядок записи одночленных и многочленных множителей, например 3а2b (а + с), но не 3а2(а + с)b и т. п.

3. Нормальный порядок записи многочлена.

4. Нормальный вид системы уравнений.

5. Нормальный вид радикала.

6. Нормальный вид квадратного уравнения и т. д.

Фактически часть из этих «нормативов» используется в практике преподавания, хотя и не определяется сколько-нибудь точно.

10. П. К. Антонов (с. Игнатовка Ульяновской обл.) в заметке «Показательная и логарифмическая функции» предлагает доказательство одного свойства показательной и логарифмической функций, отличное от изложенного в учебнике Киселева.

Теорема. Показательная функция у = ах при а > 1 — возрастающая, при 0 < а < 1 — убывающая.

Доказательство.

Пусть x2 > x1, т. е. x2 — x1 > 0.

1. При а > 1 будем иметь:

И так как числитель и знаменатель дроби оба положительны, то ах2 > ах1, т. е. функция возрастающая.

2. При 0 < а < 1 будем иметь:

И так как числитель и знаменатель дроби оба положительны, то аx2 < ах1, т. е. функция убывающая.

Указанный способ доказательства теоремы безусловно проще приведенного в стабильном учебнике.

Примечание. Можно привести еще один вариант доказательства данной теоремы. Пусть x2 > x1, тогда

1. При а > 1 будем иметь:

Следовательно, ах2 — аx1 > 0, т. е. функция возрастающая.

2. При 0 < а < 1 будем иметь:

Следовательно,

т. е. функция убывающая.

Здесь важно, чтобы учащиеся хорошо знали свойства показательной функции, на которых основываются рассуждения, например, что ах > 1 при x > 0 и а > 1.

Для доказательства аналогичной теоремы о логарифмической функции автор применяет метод доказательства от противного.

Теорема. При а > 1 функция logax — возрастающая, а при 0 < а < 1 функция logax —убывающая.

1. Дано:

Доказать:

Доказательство. Предположим,

тогда возможны два случая:

Случай 1). Обозначим:

тогда, по предположению:

y2 = y1, но x2 = аy2 и x1 = ay1.

Следовательно, на основании теоремы о монотонности показательной функции должно быть: x2 = x1, что противоречит условию теоремы.

Случай 2).

По предположению,

Следовательно, на основании теоремы о монотонности показательной функции должно быть: x2 < х1 (при а > 1), что противоречит условию.

Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.

Примечание. В процессе доказательства лучше не вводить вспомогательные величины y1 и y2, а воспользоваться тождеством

Дано: Доказать:

Доказательство:

но x2 > х1 и а > 1, следовательно,

Отсюда по свойству показательной функции, при а > 1:

Кроме того, нет необходимости различать случаи 1 и 2.

11. Ф. А. Бартенев (г. Евпатория) в заметке «Еще раз об одном вопросе алгебры» высказывается за необходимость сообщить учащимся формулу

где а > 0. Справедливость этой формулы, как указывает автор, можно установить проверкой:

(Конечно, после того как будет установлена возможность применить к выражению i√a правило возвышения в степень произведения.) Но автор предпочитает другой способ доказательства, основанный на решении уравнения:

которое проводится следующим образом:

На основании условия равенства комплексного числа нулю получаем систему уравнений, для которой нужно найти действительные решения:

Так как а > 0, то, согласно первому уравнению, x и у одновременно не могут равняться нулю. Следовательно, данная система распадается на две системы:

Первая система дает:

Вторая система не дает действительных решений (уравнение x2 + а = 0, где а > 0, действительных корней не имеет).

Таким образом получаем, что

что и требовалось доказать.

12. П. М. Эрдниев (с. Нечунаево Шипуновского района Алтайского края) в заметке «К вопросу об изучении алгебры в VI—VII классах и работе с задачником П. А. Ларичева» вносит несколько интересных предложений.

1. При изучении темы «Уравнения 1-й степени с одним неизвестным» автор предлагает «не давать сразу перечисления всех преобразований уравнений», а предоставлять учащимся самим додумываться до необходимости тех или иных упрощений. «Кроме того, — говорит автор, — следует требовать, чтобы учащиеся объясняли каждое преобразование». Для записи этих объяснений автор рекомендует применение сокращенных обозначений:

(I) — первое свойство уравнения;

(II) — второе свойство уравнения;

(р. с.) — раскрытие скобок;

(п. п.) — приведение подобных членов;

(в. с.) — разложение на множители вынесением за скобки.

Тогда запись решения уравнения, по указанию автора, будет выглядеть так [Ларичев, ч. I, № 10431 (13)]:

Следует, однако, заметить, что переход от уравнения 3х = 15 к окончательному ответу естественно мотивировать применением деления как действия, обратного умножению.

«После закрепления соответствующих навыков, — говорит автор, — от записей с обозначением преобразований следует перейти к записям обычным, в которых операции уже не обозначаются ».

Подобную же систему сокращенных обозначений выполняемых преобразований автор рекомендует применять при решении примеров на пропорции и в ряде других случаев.

2. Упражнения на сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел автор советует решать следующим образом:

Это подготовит учащихся к решению примеров на сложение и вычитание многочленов.

3. Автор указывает на возможность видоизменять примеры на сложение и вычитание алгебраических дробей, имеющиеся в задачнике (с целью упрощения ответов, а также с целью получения упражнений для контрольных работ).

Например, взяв из задачника пример:

и зная его ответ:

можно предложить учащимся для контрольной работы видоизменение примера:

Ответом, конечно, будет дробь

Дополнительной выгодой будет то, что этот ответ получится не сразу, а после сокращения на 3m — 2.

4. Наконец, автор высказывается за то, чтобы в условия примеров на действия с алгебраическими дробями не включались сократимые дроби, так как это будто бы может привести к тому, что учащиеся приучатся давать ответы тоже в виде сократимых дробей. Вряд ли данное утверждение автора справедливо. Нам представляется, наоборот, что наличие сократимых дробей в условии примера приведет к тому, что учащиеся будут внимательнее относиться к возможности своевременного сокращения дробей, так как оно большей частью заметно упрощает выполнение действий.

13. Н. Т. Коноваленко (с. Александровское Ставропольского края) в статье «О рациональном расположении вычислений, производимых с помощью логарифмов» приводит образцы записей, рекомендуемых им при этих вычислениях. Приведем один из этих образцов.

Пусть требуется вычислить

1. Обозначаем:

2. Находим у и z:

Особенностью в предлагаемой системе записи является порядок расположения (и заполнения) колонок: сперва заполняется колонка (а), затем (с) и, наконец, (b).

3. Определяем разность у — z.

Порядок заполнения колонок:

а, с, d, b.

Примерно такой записью пользуется большинство учителей: однако обычно колонка (b) помещается на последнем месте. Предложение автора отвести для нее второе место имеет смысл, так как в противном случае слагаемые логарифмы оказываются расположенными не в одной колонке и, чтобы устранить это неудобство, учащимся приходится по несколько раз переписывать одни и те же логарифмы.

14. Л. М. Лоповок (г. Проскуров) в заметке «Квадратные уравнения» предлагает изменить принятый в учебнике Киселева порядок вывода формул решения квадратного уравнения, а именно: начинать непосредственно с вывода формулы для уравнения вида ах2 + bх + с = 0. Вывод этой формулы общеизвестен, но все-таки вкратце напомним его.

Дано уравнение: ах2 + bх + с = 0. Умножаем на 4а:

Из общей формулы

легко получается формула для b = 2k. Знания этих двух формул, по мнению автора, совершенно достаточно.

В связи с поднятым Л. М. Лоповок вопросом об изменении порядка вывода формул решения квадратного уравнения интересно напомнить совершенно иной прием вывода формулы, основанный на способе замены неизвестного. Введем вместо неизвестного х неизвестное у с таким расчетом, чтобы исключить в уравнении член, содержащий у в первой степени.

Положим: x = у + m.

Получим уравнение:

Так как m совершенно произвольно, то выберем его так, чтобы 2аm + b = 0, т. е. возьмем

Получим:

откуда

Этот прием можно проработать на внеклассных занятиях, связав его с вопросом об истории решения квадратных уравнений и уравнений 3-й и 4-й степени.

15. М. А. Иглицкий (Москва) в заметке «Об одной категории задач на свойства корней квадратного уравнения» высказывает пожелание, чтобы учащихся VIII класса знакомили с тремя способами решения задач на применение свойств корней квадратного уравнения типа: составить квадратное уравнение, корни которого представляют собой данную функцию корней данного уравнения. Сущность этих способов автор характеризует следующим образом.

Первый способ заключается в том, что решается данное уравнение, затем на основании условия задачи определяются корни искомого уравнения и, наконец, по этим корням составляется искомое уравнение.

Второй способ состоит в том, что, не решая данного уравнения, выражают (на основании условия задачи) через коэффициенты данного уравнения сумму и произведение корней искомого уравнения, а затем составляют и искомое уравнение.

Сопоставляя эти два общеизвестные способа решения задач, М. А. Иглицкий говорит, что первый способ представляется учащимся естественным и легко усваивается, второй же способ «представляет существенные трудности для учащихся средних способностей, едва ли преодолимые без помощи учителя».

Следовало бы еще добавить, что этот второй способ часто представляется учащимся искусственным, нарочито придуманным для того, чтобы усложнить решение задачи. «Чем же объясняется то обстоятельство, — задает вопрос М. А. Иглицкий, — что учителя все же предпочитают знакомить учащихся с обоими способами?» И отвечает: «Двум обстоятельствам принадлежит здесь, как нам кажется, решающая роль. Первое из них имеет формальный характер: в стабильном задачнике имеются задачи, где требование не решать данное уравнение содержится в условии. Второе обстоятельство заключается в убеждении, разделяемом всеми, с кем нам пришлось беседовать, что от знакомства со вторым способом существенно выигрывает математическое развитие учащихся».

Нам представляется, что М. А. Иглицкий упускает из виду, как это делают, вообще говоря, многие учителя, третье очень важное

обстоятельство, реабилитирующее в глазах учащихся применение второго способа.

Дело в том, что существуют задачи (их можно составить сколько угодно), для решения которых второй способ оказывается более целесообразным, чем первый.

Например, пусть требуется составить квадратное уравнение, корни которого соответственно равнялись бы удвоенной сумме и половине произведения корней уравнения

Обозначив корни искомого уравнения через y1 и y2, получим:

Искомое уравнение примет вид:

Применение первого способа решения потребовало бы гораздо более громоздких вычислений; это полезно продемонстрировать учащимся.

Если преподаватель использует ряд подобных примеров и будет требовать применение второго способа только в тех случаях, когда этот способ оказывается более целесообразным, учащиеся постараются его усвоить и не будут считать искусственным.

М. А. Иглицкий упоминает еще третий способ решения задач указанного типа. Сущность этого способа М. А. Иглицкий излагает следующим образом:

«Пусть дано квадратное уравнение

и требуется составить квадратное уравнение, корни которого y1 и y2 даются равенствами:

(1)

где x1 и x2 — корни данного уравнения, a f (х) — данная функция.

Решаем уравнения (1) относительно х (по указанию автора, это легко выполнимо для всех примеров, помещенных в задачнике П. А. Ларичева)*. Получаем:

(2)

Подставляя в данное уравнение вместо х выражение (у), получаем уравнение:

которое и является искомым, в чем легко убедиться, подставив в него у1 и y2 вместо у и приняв во внимание соотношения (2).

Пример. Дано уравнение:

Составить квадратное уравнение, корни которого являлись бы квадратами корней данного уравнения.

Рассматривая х и у как символы корней данного и искомого уравнений, записываем, на основании условия задачи, соотношение у = x2, отсюда

Полученное выражение для х подставляем в данное уравнение:

освобождаемся от радикала:

окончательно имеем:

Указанный способ интересен по идее, но применение его в большинстве случаев ведет к громоздким преобразованиям и легко может запутать учащихся.

Этот способ можно показать на внеклассных занятиях.

16. Е. Я. Столяр (с. Рахны-Лесовые Шпиковского района Винницкой обл.) в заметке «По поводу одной задачи» указывает на необходимость исследования ответов, полученных при решении задач, с точки зрения соответствия их реальной действительности. В частности, ответы, полученные для задач с геометрическим содержанием, должны быть исследованы с геометрической, а не только с алгебраической точки зрения.

Решая задачу № 894 из сборника алгебраических задач П. А. Ларичева:

Определить число сторон многоугольника, у которого число градусов, содержащихся в последовательных внутренних углах, составляет арифметическую прогрессию с первым членом 120° и разностью 5°, получаем два ответа: 9 и 16. То есть получаем, что число сторон может быть или 9, или 16.

Исследование ответов приводит к выводу, что при числе сторон n = 9 многоугольник получается выпуклый, а при числе сторон n = 16— невыпуклый, так как последний член прогрессии в данном случае оказывается равным 195°. Поскольку в курсе элементарной геометрии рассматриваются только выпуклые многоугольники, то и в условии задачи должен подразумеваться только выпуклый многоугольник. Поэтому учащимся следует второй ответ (n = 16) отбросить.

Проведение подобного рода исследований действительно чрезвычайно полезно, так как приучает учащихся сознательнее относиться к решению задач и не забывать о реальном их содержании.

* С этим указанием автора согласиться нельзя.

Примечание. В исследовании приведенной задачи нам пришлось отступить от изложения принятого Е. Я. Столяром, так как Е. Я. Столяр основывает его на ошибочном утверждении, что формула суммы углов многоугольника S = 2d(n — 2) пригодна только для выпуклых многоугольников, тогда как она пригодна, например, и для такого невыпуклого многоугольника, как многоугольник ABCDE (черт. 1).

17. А. Нагибин в письме в редакцию журнала называет неправильными решения некоторых неравенств, приведенные В. И. Севбо в его статье «К изучению неравенств в X классе» («Математика в школе», № 5 за 1954 г.).

Так, решая общеизвестным способом неравенство

взятое из примера № 5, А. Нагибин получает:

и, наконец:

тогда как у В. И. Севбо, при его способе решения, получается несколько иной ответ:

Подобное же расхождение в ответах А. Нагибин обнаруживает и для примеров № 9 и 10.

Однако это расхождение в ответах происходит не потому, что решение, предложенное В. И. Севбо, неправильно, а потому, что В. И. Севбо ставит задачу не в обычной форме — решить неравенство, — а предлагает найти значения x, при которых неравенства удовлетворяются наверное, иначе говоря, предлагает вывести условие достаточное (но не необходимое) для значений х, удовлетворяющих данным неравенствам.

При такой постановке задачи решение, предлагаемое В. И. Севбо, следует признать вполне правильным, однако решение, изложенное т. Нагибиным, является более рациональным.

Методические заметки по геометрии

18. Я. М. Черняков (Москва) в заметке «Формулировку теорем (прямой и обратной) о параллельности прямых необходимо уточнить» отмечает неточность некоторых формулировок в стабильном учебнике в главе о параллельных прямых.

Так совершенно справедливо указание Я. М. Чернякова, что «когда учитель приступает к ознакомлению учащихся с каким-нибудь новым геометрическим понятием (например, с углами, образующимися при пересечении двух прямых третьей), он не может просто указать учащимся на чертеж и сказать, что эта пара углов называется внутренними накрест лежащими, а эта пара внешними накрест лежащими и т. д. К сожалению, таким именно образом этот вопрос изложен в стабильном учебнике. Поэтому учитель должен внести добавления к учебнику и дать определения вводимых понятий.

Определение, которое Я. М. Черняков рекомендует для понятия накрест лежащих углов, слишком широко и потому включает углы, которые никогда не называются накрест лежащими (например, ∠2 и ∠5 на черт. 2), это, конечно, нехорошо, так как заставляет автора настаивать на добавлении в тексте теоремы о признаке параллельности прямых поясняющих слов «внутренние и внешние» к словам «накрест лежащие углы».

Нам представляется, что определение накрест лежащих углов следует изложить так, чтобы оно охватывало только те углы, которые обычно принято называть накрест лежащими.

В практике преподавания мы предлагали учащимся такое определение:

Черт. 1

Черт. 2

«Если две прямые пересекаются третьей, то ... накрест лежащими углами называются два угла, у которых:

1) вершины различны;

2) внутренние области расположены по разные стороны от секущей;

3) стороны, лежащие на секущей, имеют противоположные направления.

(К этим пунктам можно добавить указание, что накрест лежащие углы разделяются на внутренние и внешние.)

При наличии указанного определения нельзя будет считать накрест лежащими углами ∠2 и ∠5, ∠4 и ∠7 и т. д. Поэтому отпадет необходимость в добавлении к термину «накрест лежащие углы» слов «внутренние и внешние» при формулировке теоремы о признаке параллельности.

Аналогичные определения учитель должен будет дать для углов соответственных и односторонних. Это приведет к целесообразности исключения слов «внутренних и внешних» при формулировке признака параллельности прямых на основании равенства 2d суммы односторонних углов.

19. М. С. Арецкин (Москва) в заметке «Об одной формулировке» обращает внимание на методическую опасность и научную нецелесообразность применения термина «определенный предел», который встречается в учебниках алгебры и геометрии Киселева (§ 229) и в учебнике геометрии Н. А. Глаголева (§ 238).

Нецелесообразность применения этого термина М. С. Арецкин подтверждает указанием на то, что в курсах высшей математики говорится просто о пределе без добавления слова «определенный».

Методическую опасность употребления термина «определенный предел» М. С. Арецкин видит в том, что благодаря этому термину у учащихся естественно должна будет возникнуть мысль о существовании пределов «неопределенных».

В связи с этими замечаниями автор предлагает:

1) Потребовать, чтобы учащиеся зачеркнули слово «определенный» в названных местах учебников А. П. Киселева и Н. А. Глаголева.

2) Тщательно разъяснить учащимся, что предел, как единственное для данной последовательности число, может быть только «определенным ».

3) Дополнить тексты названных учебников указанием, что отыскание предела не всегда удается средствами элементарной математики.

20. А. Аляев (с. Старый Валовай Пачелмского района Пензенской области) в заметке «Об одном интересном свойстве биссектрисы угла треугольника» приводит интересное, основанное только на использовании подобия треугольников, доказательство теоремы о квадрате биссектрисы угла треугольника (квадрат биссектрисы внутреннего угла треугольника равен разности между произведением сторон, заключающих этот угол, и произведением отрезков третьей стороны, на которые ее делит биссектриса).

Пусть BD — биссектриса угла В (черт. 3). Строим ∠BCF = ∠ADB; тогда

а потому

На основании подобия треугольников, получаем следующие равенства

или

(1)

(2)

Из равенств (1) и (2) следует:

(3)

что и требовалось доказать.

Данная теорема, как замечает т. А. Аляев, дает возможность привести еще одно доказательство теоремы Пифагора.

Пусть АВ = ВС, тогда AD = DC, и на основании формулы (3) получаем:

Формула (4) выражает теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABD.

(4)

Черт. 3

21. Б. А. Милорадов (г. Щербаков) в статье «О применении формул суммирования степеней натуральных чисел к вопросам геометрии и техники» излагает вывод формул объема шарового сегмента и шара, основанный на формулах суммирования степеней натурального ряда. Вывод, предлагаемый Б. А. Милорадовым, основан на той же идее, что и вывод, приведенный в учебнике Ю. О. Гурвица и Р. В. Гангнуса, но несколько улучшен. Поэтому представляется целесообразным познакомить с ним читателей журнала.

Пусть дан шаровой сегмент DAEC (черт. 4). Разделим его высоту АС = Н на n + 1 равных частей и через точки деления проведем сечения, параллельные основанию сегмента. В каждый из полученных шаровых поясов впишем цилиндр; получим n вписанных цилиндров. Высота каждого цилиндра равна n/n + 1. Объем k-го цилиндра (считая от вершины сегмента А) выразится формулой:

Определим rk. Расстояние от вершины А до верхнего основания k-го цилиндра будет содержать k делений высоты сегмента, т. е. будет равно

На основании теоремы о перпендикуляре, опущенном из точки окружности на диаметр, будем иметь:

где R—радиус шара. Отсюда

Полагая k = 1, 2, 3, . . ., n, получим:

Суммируя, получим:

(по формуле суммы членов арифметической прогресии),

(по формуле суммы квадратов чисел натурального ряда).

Следовательно, объем ступенчатого тела, образованного вписанными цилиндрами, т. е. Vс. т. выразится формулой:

Взяв предел этого выражения, который и принимается за объем шарового сегмента, получим:

Формулу для объема шара получим, положив H = 2R:

Объем шарового сектора получается как сумма объемов шарового сегмента и конуса.

Примечание. При таком способе вывода формул объема шара и его частей отпадает необходимость вводить леммы об объеме тел, полученных от вращения треугольника.

Следует заметить, что указанный автором статьи метод на новизну претендовать не может.

Черт. 4

Такого рода упражнения помещаются в обычных задачниках по математическому анализу с целью выяснения понятия определенного интеграла как предела суммы. Таким же образом в учебнике геометрии Н. А. Глаголева выводится формула объема пирамиды. Учитывая важность процесса предельного суммирования для математического анализа, полезно подробнее знакомить учащихся с указанным методом, если не в классе, то на занятиях кружка.

22. Тов. А. Столяр (г. Могилев) указывает на неправильность утверждения П. М. Эрдниева о невозможности, на основании приведенной в учебнике А. П. Киселева прямой теоремы о диаметре, перпендикулярном к хорде, доказать обратные теоремы методом от противного, не доказав предварительно теорему, противоположную прямой (см. статью П. Эрдниева в журнале «Математика в школе», № 3 за 1953 г.)

Свое правильное указание А. Столяр обосновывает в первую очередь общим соображением об эквивалентности теорем обратной и противоположной, поэтому, если нельзя доказать теорему обратную, то нельзя доказать и теорему противоположную. Кроме того А. Столяр приводит и образец доказательства одной из обратных теорем методом от противного.

Прямая теорема.

Дано: AB — диаметр; AB⊥CD (черт. 5) Требуется доказать:

1-я обратная теорема.

Дано: CK = KD; AB — диаметр. Требуется доказать:

Доказательство. Предполагаем, что AB не перпендикулярно CD, тогда другой диаметр А'В'⊥CD.

Отсюда, по прямой теореме, А'В' проходит через точку К. Получаем, что через две точки О и К проходят две прямые AB и А'В', что противоречит известной аксиоме.

Следовательно, наше предположение, что диаметр AB не перпендикулярен к хорде CD, приводит к противоречию, а следовательно, AB⊥CD, что и требовалось доказать.

А. Столяр указывает еще и на то, что в варианте списка аксиом, предложенном П. Эрдниевым для учащихся VII класса, 2-ая аксиома (две прямые, лежащие в одной плоскости, могут пересечься только в одной точке) является непосредственным следствием 1-й аксиомы (через две точки можно провести только одну прямую). Поэтому А. Столяр вполне справедливо полагает, что 2-ю аксиому следует из списка аксиом исключить.

23. Возвращаясь к вопросу об изучении в VII классе теорем о диаметре, перпендикулярном к хорде, затронутому им в статье «К вопросу об учебнике геометрии для VI и VII классов» («Математика в школе», № 3 за 1953 г.), П. Эрдниев предлагает образцы прямых доказательств обратных теорем, считая, что эти доказательства легче усваиваются учащимися.

Первая обратная теорема.

Диаметр, проведенный через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит каждую из дуг, стягиваемых ею, пополам.

Дано: CK = KD; AB — диаметр, (черт. 6) Требуется доказать:

Доказательство. Проведя радиусы ОС и OD, получим два равные треугольника: △ ОСК и △ ODK (3-й признак равенства треугольников). Следовательно, ∠1 = ∠2, а потому AB⊥CD, ∠3 = ∠4, откуда -CS = -BD, а значит, ^СА = ^AD.

Черт. 5

Черт. 6

Вторая обратная теорема доказывается аналогично.

Возможно, что некоторые преподаватели предпочтут в данном случае прямые доказательства обратных теорем доказательствам их способом от противного, однако вряд ли можно одобрить тенденцию уклонения от доказательства теорем способом от противного под предлогом (пусть даже справедливым), большей трудности этого способа для усвоения и особенно изложения его учащимися. Во всяком случае, учащихся VII класса к этому способу доказательства надо приучать.

24. Р. Г. Бернштейн (г. Мукачево, Закарпатье) предлагает следующее доказательство теоремы о сумме плоских углов выпуклого многогранного угла.

После проведения, как и в доказательстве, изложенном в учебнике Киселева, плоскости сечения и получения многоугольника ABCDE, предлагается следующий ход доказательства.

«Опустим из вершины S перпендикуляр SO на плоскость сечения и соединим точку О с вершинами сечения; получим ряд треугольников: АОВ, ВОС и т. д. (черт. 7). Повернем треугольник АОВ вокруг стороны AB так, чтобы он оказался в плоскости ASВ. Тогда

∠АО1М > ∠ASO1

∠ВО1М > ∠BSO1

— по свойству внешнего угла треугольника.

Откуда

Повторив рассуждение для треугольников ВОС, COD и т. д., получим:

т. е. получим, что 360° больше суммы плоских углов выпуклого многогранного угла.

Действительно, изложенное доказательство проще доказательства, приведенного в учебнике Киселева, но зато в нем есть уязвимое место. Оно верно лишь в предположении, что точка О находится внутри многоугольника ABCDЕ. Следует заметить, к сожалению, что эта и ей подобные ошибки являются довольно распространенными.

25. В. С. Карнацевич (г. Тюмень) в заметке «К методике изучения геометрического места точек, из которых отрезок виден под данным углом» предполагает формулировку задачи «построить сегмент, вмещающий данный угол» заменить более естественной и ясной формулировкой «построить геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом».

Построение этого геометрического места точек автор предлагает выполнять следующим образом (черт. 8).

1-й случай. Данный угол — острый.

Пусть MN — данный отрезок и α — данный угол. Строим по разные стороны MN два какие-нибудь треугольника с основанием MN и углом а при вершине. Около каждого треугольника описываем окружность.

Искомым геометрическим местом будет совокупность тех двух дуг, стягиваемых хордой MN, на которых находятся вершины углов а. Удобно построить, например, прямоугольные треугольники с катетом MN и острым углом при нем, равным 90° — α. Другой острый угол каждого треугольника будет равен а. Центром

Черт. 7

Черт. 8

каждой окружности будет служить середина гипотенузы.

2-й случай. Данный угол — тупой.

Если а — тупой угол, то строим геометрическое место точек, из которых данный отрезок MN виден под острым углом 180° — α. Совокупность двух других дуг будет геометрическим местом точек, из которых отрезок MN виден под тупым углом а.

3-й случай. Данный угол —прямой.

Искомым геометрическим местом будет служить окружность, построенная на MN, как на диаметре.

26. Д. А. Вахрамеев (дер. Нижние Мичары Ядринского района Чувашской АССР) в заметке «О доказательстве следствий из теоремы о линии пересечений двух плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости» справедливо указывает на трудность усвоения доказательств двух следствий (§ 12 и § 13 учебника А. П. Киселева) из теоремы о линии пересечения двух плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости.

Особые затруднения вызывает доказательство 2-го следствия: «Если две прямые (AB и CD) параллельны третьей прямой (EF), то они параллельны между собой»

Для облегчения доказательства Д. А. Вахрамеев предлагает дополнить чертеж, данный в учебнике, прямой AS — предполагаемой линией пересечения плоскостей M и N (черт. 9).

Тогда краткую запись доказательства можно будет дать в таком виде:

следовательно,

следовательно:

следовательно,

следовательно, AS и AB сливаются (по аксиоме Евклида). (2) Поэтому по n. n, (1) и (2) AB || CD, что и требовалось доказать. Аналогичным образом можно изложить и доказательство 1-го следствия.

27. К. Е. Агринский (Москва) в заметке «Мнемонические приемы запоминания» указывает несколько мнемонических приемов запоминания формул и чисел.

Так, отмечая, что учащиеся часто путают формулы

автор предлагает обратить внимание учащихся на созвучие «синус минус». Заметив это, учащиеся уже не смешают указанные формулы.

Для запоминания приближенного значения числа π К. Е. Агринский предлагает указать учащимся двустишие, напечатанное несколько лет тому назад в журнале:

Учи и знай в числе известном

За цифрой цифру без ошибки.

В ноябре м-це 1954 г. в редакцию поступило письмо от тов. Митина (г. Буй, Костромской обл.), в котором были подвергнуты критике некоторые цифровые данные, сообщенные в статье Р. Н. Абаляева«Экскурсии по математике» (см. № 5 журнала за 1954 г.)

Ниже приводится выдержка из письма.

«Из опроса участниками экскурсии знатного машиниста установлено, что платформа весит 4,5 т; товарный вагон 5,5 т; пассажирский вагон 6,5 т (!?). Позволительно спросить автора, что это за вагоны.. ?

В 60-х годах прошлого столетия вес платформы (тара) составлял более 6 т, а к настоящему времени платформы, которые доживают свой век (двухосные) и больше не строятся, имеют вес (тару) от 7,3 до 9 т., а четырехосные современные платформы имеют вес (тару) от 18 до 24 т.

Черт. 9

По данным статьи товарный вагон весит в среднем 5,5 т., а на самом деле товарный двухосный вагон весит от 8,2 до 12 т, четырехосный вагон имеет вес (тару) 22—25 т.

Пассажирский вагон имеет вес (тару) от 21 до 58 т., а не 6,5 т., указанных автором. Причем, если эти «средние» данные получены были учениками от машиниста, то при желании их легко можно было проверить на месте, ибо у каждого вагона есть точное указание тары.

В той же статье ученики узнают от машиниста, что средний вес поезда груженного 2000—2200 тонн. Это верно, но как же их перевести составом, имеющим в среднем 20 вагонов (!?), да еще вмещающем, по словам автора, в себя только 35 т. Если все это принять за истину, то выходит, что вес вагона брутто составит 5,5 + 35 = 40,5 т, а состав в 20 вагонов вместе с паровозом будет иметь (20 × 40,5) + 90 = 900 т (90 это вес паровоза), а где же остальные 1100—1300 т.?

Причем вес паровоза взят самого малого. Таких сейчас не строят и с поездами весом в 2000 т они не ходят. А на Северной дороге, и в частности, в депо Иваново можно и нужно было показать современные паровозы, вес которых достигает от 130 до 235 т. и т. д. Вот тогда экскурсия была бы еще более интересной».

Редакция обратилась к автору статьи Р. Н. Абаляеву с просьбой дать соответствующие разъяснения. Ниже приведена выдержка из ответного письма Р. Н. Абаляева.

«Среди числовых данных полученных на экскурсии, между прочим, были и следующие:

Паровоз с тендером весит 90 т.

Платформа весит в среднем 4 т 500 кг.

Товарный вагон весит в среднем 5 т 500 кг.

Пассажирский вагон весит в среднем 6 т 500 кг.

Все полученные данные я сверил по авторитетным источникам, где в частности приводится такая таблица.

Техническая характеристика паровозов

Элементы характеристики

Единица измерения

Серия и колесная формула

ФД 1—5—1

СО 1—5—0

ЭУ 0—5—0

9П 0—3—0

ОВ 0—4—0

№ 157 0—4—0

Вес паровоза в рабочем состоянии ......

т

135

97,7

85,6

54

53,2

26

Расчетный вес паровоза и тендера ......

т

240

150

130

50,5

95

42,6

Приведенная таблица взята из книги «Машиностроение» (энциклопедический справочник), т. 14, стр. 422, Государственное научно-техническое издательство машиностроительной литературы, Москва, 1946.

Там же, на стр. 423, приводятся технические характеристики различных железнодорожных платформ и вагонов, где, в частности, указан вес их тары, который колеблется от 3,3 т до 21 т.

Это соответствует числовым данным, приведенным нами в статье.

Все это, конечно, не говорит о том, что я отрицаю заявление автора письма. Я с ним во всем, что касается числовых данных, согласен, потому что, действительно, в настоящее время на наших железных дорогах имеются более мощные паровозы и вагоны и т. д., чем те, о которых говорится в статье. Они конечно, имелись и в то время, когда проводилась экскурсия в железнодорожное депо, а поэтому ясно, что следовало бы тогда сосредоточить внимание учащихся на последних достижениях современной техники на железнодорожном транспорте. Но, к сожалению, этого тогда не было сделано. К тому же при проверке числовых данных, полученных на экскурсии, мной был использован (теперь это очевидно!) устаревший источник.

Я очень благодарен автору письма».

СОВЕТСКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

ВАСИЛИЙ ИВАНОВИЧ КОСТИН

(1910—1953)

И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

13 августа 1953 г. скончался в Одессе в возрасте 43 лет профессор местного университета Василий Иванович Костин, автор курса «Основания геометрии», по которому учился ряд поколений учителей математики за последнее десятилетие и по которому учатся в настоящее время будущие учителя.

В. И. Костин, сын крестьянина Саратовской области, в 1928 г. окончил среднюю школу в гор. Аткарске и поступил на механико-математический факультет Московского университета им. М. В. Ломоносова. Здесь В. И. Костин обратил на себя внимание своих учителей профессоров Д. Ф. Егорова, Н. А. Глаголева и других своими выдающимися способностями и после окончания университета был оставлен в аспирантуре по кафедре геометрии. В это же время он начал заниматься педагогической работой. Кандидатская диссертация на тему «Метрическая двойственность геометрии Римана» В. И. Костиным была защищена в 1935 г., после чего В. И. был приглашен на работу в Горьковский университет в качестве заведующего кафедрой геометрии и алгебры. Одновременно В. И. читал соответственные курсы в Горьковском педагогическом институте. Работая в последнем, В. И. подготовил к печати свой курс «Основания геометрии» (первое издание вышло в 1946 г.), который в течение последних десяти лет являлся и является настольной книгой каждого учителя геометрии.

Научно-исследовательская работа В. И. в области геометрии продолжалась и в Горьком, где им были выполнены исследования: «Геометрические семейства, допускающие группу движений», «К гиперболической геометрии Кели-Клейна», «Н. И. Лобачевский и его геометрия».

В 1947 г. В. И. переехал в Одессу, где занял, как и в Горьком, должность заведующего кафедрой геометрии и алгебры в государственном университете. В 1948 г. В. И. защитил свою работу «Основания геометрии», дополненную разделом «Геометризация основных интерпретаций геометрии Лобачевского», в качестве диссертации на степень доктора педагогических наук.

Будучи глубоким знатоком самых разнообразных областей геометрии, В. И. читал курсы аналитической, дифференциальной, римановой и интегральной геометрии и из года в год курс оснований геометрии. В. И. довел последний курс до такого совершенства, что печатное издание его вытеснило из употребления существовавшие до этого руководства по данному предмету и, вероятно, долгие годы будет служить учебником для педагогических институтов.

Товарищи по работе и знавшие покойного математика посвятили в «Сборнике математического отделения физико-математического факультета Одесского государственного университета имени И. И. Мечникова» (том V, 1953) теплые слова памяти прекрасного лектора, энергичного общественника, горячего патриота В. И. Костина.

В некрологе сообщается, что в последние дни своей жизни В. И. закончил учебник по аналитической геометрии для педвузов и университетов.

Учителя математики нашей многонациональной Родины с благодарностью будут называть имя столь преждевременно ушедшего от нас ученого-педагога.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

КОНКРЕТНАЯ ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЮ МАТЕМАТИКИ

(По материалам обсуждения серии книг из опыта работы «Планы уроков по математике»)

В. В. ЕВГЕНОВ (Москва)

Осуществление в нашей стране всеобщего обязательного семилетнего обучения и введение в городах обязательного десятилетнего обучения потребовали в последнее время расширения сети неполных средних и средних школ, число которых растет с каждым годом такими темпами, что высшие педагогические учебные заведения порой не успевают удовлетворять растущие потребности в квалифицированных педагогических кадрах, в особенности в учителях математики средних и старших классов.

В ряды учителей влилось новое пополнение не только из числа окончивших высшие педагогические заведения, но и из состава учителей начальных классов — учителей-практиков, которые либо закончили учительские институты, либо прошли краткосрочные курсы и, получив квалификацию, были переведены в среднее звено школы — V—VII классы.

В силу этого обстоятельства возник вопрос об оказании немедленной методической помощи этим учителям. В такого рода помощи нуждаются также и молодые педагоги, только что окончившие педагогические высшие учебные заведения и не имеющие практического опыта работы.

«Молодой специалист не должен забывать, что, вступив на поприще самостоятельной практической деятельности, он должен постоянно совершенствовать свои знания, не останавливаться на достигнутом, изучать и использовать передовой опыт производства, держать связь с наукой, обогащая ее достижениями практики» («Правда» от 5 июля 1954 г.).

Все сказанное «Правдой» полностью относится и к специалисту-педагогу.

Одним из основных средств оказания методической помощи учителю математики является издание литературы, освещающей передовой опыт работы преподавателей этой дисциплины.

Передовой опыт преподавателя математики может быть различно изложен; одной из наиболее действенных форм помощи учителю, а особенно начинающему, является издание поурочных разработок по предметам с детальной методической иллюстрацией проведения хотя бы наиболее трудных уроков.

Начиная с 1951 г., Учпедгиз издал несколько книг «Планы уроков по математике» для V—VI классов, и все они в большей или меньшей степени сыграли положительную роль. Это работы:

1) Н. Я. Зайцевой «Планы уроков по арифметике в V классе»;

2) Н. И. Сырнева «Планы уроков по арифметике в VI классе»;

3) Н. С. Истоминой «Планы уроков по геометрии в VI классе»;

4) Н. С. Истоминой «Планы уроков по алгебре в VI классе»;

5) Т. Н. Денисовой «Планы уроков по геометрии в VII классе».

Редакцией математики Учпедгиза было созвано специальное совещание, посвященное обсуждению этих работ, где были заслушаны выступления учителей математики школ различных районов города Москвы, районных методистов преподавательского соства МГИУУ и представителей кафедры педагогики при МОПИ.

Выступавшие, подробно проанализировав каждую книгу и отметив полезные стороны, а также недочеты, дали положительные оценки перечисленным работам, кроме книги Н. Я. Зайцевой, которая требует коренной переработки. Собравшиеся приветствовали издание Учпедгизом этого вида методической литературы, являющейся «наиболее удобной и наиболее доступной формой популяризации лучшего опыта учителей». (Из выступления Е. Н. Обуховской, методиста Москворецкого района г. Москвы.)

В результате проведенного анализа содержания книг можно сказать следующее:

I. Работа Н. Я. Зайцевой «Планы уроков по арифметике в V классе» представляет собой схематическую разработку уроков в соответствии с про-

граммой. Программный материал разделен по четвертям учебного года и разбит поурочно. Положительным в работе является:

1) Довольно точная ориентировка учителя о порядке изложения программного материала.

2) Указание конкретных задач на данный урок (или их номеров из задачника Е. С. Березанской).

3) Введение с первых уроков в проходимый материал задач на процентные вычисления.

Работа была издана во второй половине 1952 г. и рассчитана на задачник Е. С. Березанской, тогда как с 1954/55 учебного года стабильным учебником является «Сборник задач и упражнений по арифметике» С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева, а потому в настоящий момент эта работа устарела.

Книга имеет ряд серьезных недочетов:

1) Дается лишь схема уроков, причем в подавляющем большинстве в однообразной форме.

2) Не содержится никаких указаний методического порядка учителю — ни общих, ни конкретных, хотя бы применительно к наиболее сложным по курсу урокам, а между тем учитель, особенно молодой, в таких указаниях очень нуждается.

3) Отсутствует четкая система изложения программного материала курса V класса. На первых уроках автор вводит понятие процента и решает задачи, а затем в IV четверти проводит урок: «Понятие о процентах. Выражение числа в процентах».

В некоторых местах автор допускает скачки от одной темы к другой, т. е., не подведя итога по пройденному разделу, переходит к другому.

4) На такой принципиально важный и трудный для учащихся вопрос, как округление частного, автор отводит лишь два урока.

5) Мало времени уделяется также порядку действий.

6) Чрезмерно большое количество уроков отводится на контрольные работы с их анализом (порядка 40 уроков), что приводит к нерациональному использованию учебного времени.

7) Не отражены элементы политехнизации.

8) Очень слабо представлен вопрос о наглядности при обучении арифметике.

9) Тематика задач, приводимых в работе, устарела, не имеет связи с современной жизнью и слабо отражает нашу советскую действительность.

10) Ряд уроков, в особенности при решении задач геометрического содержания, необходимо моделировать.

Работа Н. Я. Зайцевой, несмотря на ряд положительных качеств, в том виде, в каком она была издана в 1952 г., не удовлетворяет запросам учителя математики, работающего в V классе.

В следующих изданиях книгу необходимо коренным образом переработать; материал надо дать не в виде формальных поурочных разработок с указанием лишь номеров задач и примеров, а в виде развернутого методического пособия.

II. Книга Н. И. Сырнева «Планы уроков по арифметике» ставит своей целью оказать методическую помощь учителю, работающему в VI классе.

На страницах книги автор делится своим годами накопленным богатым опытом работы.

«Планы уроков» составлены в соответствии с программой.

Книга написана на должном идейно-теоретическом уровне и в краткой форме излагает сущность преподавания арифметики в VI классе; в ней автор дает детальную методическую иллюстрацию проведения наиболее сложных уроков.

В работе находит отражение решение XIX съезда КПСС о переходе к политехническому обучению в средней школе.

Автор показывает некоторые практические применения теоретических знаний. Например, на конкретных жизненных случаях он показывает, как надо научить учащихся VI класса определять расстояния на местности, имея карту, т. е. пользоваться масштабом, как определить крутизну лестницы, как определить концентрацию раствора, как составить план какой-либо местности (участка), и многому другому, полезному и необходимому в жизни. Подбор задач развивает логическое мышление учащихся.

Методически хорошо разработаны задачи на прямую и обратную пропорциональность.

Тематика задач разнообразна, что повышает интерес у учащихся к предмету; автор увязывает ее с современной жизнью. Например, он пользуется такими материалами, как «Пионерская правда». Очень ценно, что автор должное место отводит задачам с геометрическим содержанием.

Положительным моментом также является то, что автор все время обращает внимание учителя на привитие учащимся навыков нахождения рациональных способов решения задач и примеров.

Желательно, чтобы при подготовке к новому изданию книги автор более подробно дал методические указания к проведению уроков, а также уделил большее место проведению на уроках устного счета.

«Отличительной особенностью уроков Сырнева, — говорит П. В. Стратилатов (методист Бауманского района Москвы), — является их целеустремленность, четко и точно сформулированная в сжатой форме, показывающая, чего учитель хочет и должен добиться на данном занятии от ученика».

Таким образом, книга Н. И. Сырнева, освещая передовой опыт учителя математики, вполне достигает своей цели и удовлетворяет требованиям, предъявляемым к работе методического характера.

III. В работе Н. С. Истоминой «Планы уроков по геометрии в VI классе» детально разработан ряд методических вопросов.

Как известно, преподавание геометрии в VI классе, особенно на первых уроках, представляет большие трудности.

По многим методическим вопросам работа Н. С. Истоминой дает правильное направление молодому учителю, поэтому в целом она заслуживает положительной оценки.

Наиболее трудным разделам курса геометрии, как-то: симметрия, геометрические места точек и др., автор уделяет больше внимания и по возможности выделяет значительное время.

Автор правильно ориентирует учителя на проведение подготовительных упражнений перед доказательством ряда сложных для понимания учащихся теорем и задач на доказательство и построение.

Это в значительной мере облегчает подход к доказательству той или другой теоремы и решению задачи.

Рекомендуемые учителю и применяемые самим автором на многих уроках геометрии таблицы для решения задач являются весьма полезным наглядным пособием, а составление некоторых из них самими учащимися бесспорно принесет большую пользу.

К. П. Сикорский (методист Фрунзенского района Москвы) отметил: «Замечательная отличительная черта книги Н. С. Истоминой в том, что почти любой урок начинается с полезного раздела: «Наглядные пособия», говорящего учителю: «Не жалуйся на отсутствие наглядных пособий, а сделай их сам или силами учащихся».

Замечания автора по поводу использования учащимися стабильного учебника вполне правильны.

Разделы курса VI класса — симметрия и геометрические места точек—автором разработаны хорошо; уроки по этим разделам могут служить дополнением к стабильному учебнику.

Наряду с достоинствами книга имеет и ряд недостатков. Первым и, пожалуй, основным из них является перегруженность большинства уроков, и если малоопытный учитель захочет воспользоваться «планами» в той форме, в какой они вышли в свет, то в ногу с ними он пройдет 2—3, максимально 5 уроков, а затем неминуемо собьется.

Во-вторых, в работе преобладают задачи на доказательство и построение, вычислительные же задачи недооцениваются автором. Между тем решение задач на вычисление развивает у учащихся сообразительность и способствует подготовке к решению задач на построение и на доказательство.

В-третьих, первая и одна из основных частей урока — проверка выполнения домашнего задания — в «Планах» нашла бледное отражение, без указания каких-либо методических особенностей ее проведения, а это необходимо для молодого преподавателя.

Язык книги в основном правильный, но все же автором допущены некоторые неудачные выражения (например, срединный перпендикуляр).

Вот, примерно, те недостатки, которые в последующих переизданиях книги надо устранить.

IV. Работа Т. Н. Денисовой «Планы уроков по геометрии в VII классе» составлена в соответствии с программой и вполне удовлетворяет целям, поставленным автором, как в систематическом изучении свойств геометрических фигур и в применении этих свойств при решении практических заданий и задач вычислительного и конструктивного характера, так и в части развития у учащихся логического мышления и пространственного представления.

Решение XIX съезда КПСС о необходимости введения в программу средней школы основ политехнизации нашло должное отражение в книге.

Особое внимание автор уделяет вопросу наглядности преподавания геометрии, а также показу практического применения геометрии в ряде уроков — лабораторных работ. Это несомненно повышает интерес учащихся к предмету и показывает им, как надо самим применить то или другое научное знание в практической жизни. Например автор рекомендует после проведенной подготовительной работы в классе выводить учеников на пришкольный участок для проведения измерительных работ на местности. Оборудование для такой работы предложено автором с учетом возможностей любой школы. Учтена также территориальная стесненность школ в больших городах. Автор показывает, что проведение многих практических работ вполне выполнимо, а между тем нехватка оборудования и малая территория пришкольного участка смущали учителей многих школ, и в учебном году такие полезные и необходимые работы опускались.

Автор правильно ставит вопрос о необходимости проведения пионерских сборов по математике.

Язык работы построен стилистически правильно, а ряд формулировок и определений дан более четко, чем в стабильном учебнике; некоторые доказательства излагаются доступнее и лучше, чем в учебнике Киселева; другие же составляют хорошее дополнение к доказательствам, данным в учебнике; рекомендация автора проводить доказательства, «прибегая к анализу», делает их еще более ценными.

Автор правильно обращает внимание учителя на необходимость привития учащимся навыков самостоятельной работы как в классе, так и дома. Следует заметить, что до сих пор этот вопрос в достаточной мере не нашел отражения в печати.

Автор правильно ориентирует учителя на сообщение глубоко продуманного домашнего задания, которое играет не меньшую роль, чем классная работа.

Все примерные поурочные домашние задания составлены с учетом того, чтобы ученик мог применить полученные на уроке знания и вместе с тем проявить самостоятельность и сообразительность.

Большое внимание автор уделяет проверке домашнего задания, детально разрабатывая этот элемент урока применительно к каждому дню.

Положительным качеством работы является подробное развитие таких трудных для учащихся вопросов, как симметрия и геометрические места точек. Эти вопросы в учебнике Киселева освещены недостаточно полно.

Подбор задач в «Планах» произведен систематично, в порядке возрастающей трудности.

Значительное место в задачах занимают построения и доказательства с выделением затруднительных для учащихся разделов.

Наряду с перечисленными положительными сторонами «Планов» следует отметить некоторые их недостатки.

Во-первых, в работе не нашел должного отражения исторический материал, наличие которого на некоторых уроках повысило бы интерес учащихся к предмету.

Во-вторых, неясно освещен вопрос индивидуального подхода к учащимся (кстати сказать, это относится ко всем обсуждаемым книгам). Ведь в классе сидят ученики, не только имеющие различное развитие и по-разному усваивающие новый материал, но и ученики, которые могут пропустить часть объяснения и помешать другим ученикам. Это случается даже при самой отличной дисциплине в классе.

Далее.

1) Во введении автор рекомендует учителю постоянно напоминать ученику, что «...в задачах, которые ему даются, решение всегда осуществимо, а потому надо обязательно добиваться решения».

Это следовало бы изложить в такой редакции: «В задачах, которые предлагаются, надо обязательно добиваться решения или доказать, что оно не существует».

2) На шестнадцатом уроке при выполнении самостоятельного решения задач учащимися автор рекомендует:

«Учащимся, быстро справившимся с решением, можно поставить оценки».

Когда классу дана работа в одном варианте, трудно гарантировать самостоятельность решения всех учащихся, а потому оценка в этом случае может оказаться неверной.

3) На девятнадцатом уроке автор рекомендует для экономии времени при решении задач пользоваться заранее заготовленными плакатами-чертежами.

Это не может считаться верным, ибо чертеж должен рождаться в процессе анализа задачи и выполняться самим учеником иногда с помощью учителя, в зависимости от сложности задачи.

Подводя итог вышесказанному, можно сказать, что книга Т. Н. Денисовой является ценным пособием для учителя, работающего в седьмых классах, особенно начинающего, которому необходимо еще повышать свою квалификацию.

V. Работа Н. С. Истоминой представляет собой подробную поурочную методическую разработку уроков алгебры в VI классе.

Работа отвечает требованиям программы. Программный материал разбит по четвертям учебного года и распределен поурочно.

Методические указания автора для большинства уроков четкие и правильные.

Автор, тщательно планируя уроки, особое внимание уделяет вопросу проверки выполнения домашнего задания, а следующее домашнее задание автор рекомендует давать в строго продуманной системе. В «Планах» детально конкретизирована эта важная часть урока, указаны номера задач (примеров), которые необходимо дать учащимся для самостоятельной работы дома.

Рассмотрение нового материала автором производится на основе материала, уже известного учащимся из курса V класса.

Автор правильно уделяет много внимания основным понятиям алгебры, введению буквенной символики.

Методика изложения материала алгебры VI класса в учебнике Киселева несколько отходит от существующей программы, поэтому автор в значительной мере корректирует учебник, приближая его к требованиям программы.

Книга Н. С. Истоминой направлена к тому, чтобы выработать у учащихся твердые навыки в тождественных преобразованиях, что соответствует основному направлению преподавания алгебры в VI классе.

Автор наглядно показывает необходимость изложения материала в связи с другими, пройденными уже разделами программы, каждый предыдущий урок является почти всегда подготовкой к восприятию материала последующего урока.

Должное место уделено автором опросу учащихся как мероприятию, при правильном проведении которого обеспечивается высокая успеваемость и прочность усвоения материала учащимися.

Значительное внимание автором уделено наглядности преподавания алгебры в VI классе.

В работе нашел свое отражение исторический материал.

В целом работа Н. С. Истоминой является ценной для начинающего преподавателя.

Наряду с отмеченными положительными качествами книги следует отметить ряд ее недостатков:

1) Некоторые уроки значительно перегружены учебным материалом.

2) Слишком мало времени автор отводит сложному для учащихся и вместе с тем очень важному разделу алгебры «Разложение на множители».

В книге на него отведено 18 часов вместе с двумя контрольными работами, их анализом и заключительной итоговой беседой.

3) На пятом уроке автор дает правильное определение тождества, а рядом указывает совершенно неверное определение:

«Тождество можно назвать уравнением, имеющим бесчисленное множество корней».

4) Автор в своей работе на уроках № 90 и 97 дает новый материал, а всего уроков 99.

Это неверно. Программный материал должен быть закончен значительно раньше, примерно на 90 уроке.

5) За весь учебный год автор предусматривает 7 контрольных работ, что не может обеспечить должного контроля знаний учащихся.

6) Тема «Разложение на множители» начинается слишком поздно; к этой теме надо приступать одновременно с прохождением темы «Умножение одночлена на одночлен».

Участники совещания, подводя итог сказанному, сделали вывод: новый вид литературы «Планы уроков по математике», освещающей передовой опыт работы для различных классов, является необходимым, нужным видом методической литературы, которая не только оказывает помощь начинающим учителям, но и обогащает опыт работы учителей, имеющих значительный стаж. А поэтому издание «Планов уроков» по математическим дисциплинам следует приветствовать и в ближайшие 2—3 года необходимо не только переиздать уже вышедшие в свет указанные пособия, с внесением в них необходимых исправлений (или издать им параллельные), но и создать новые, охватив ими все классы.

ЛИТЕРАТУРА ПО НАГЛЯДНЫМ ПОСОБИЯМ

Е. М. БОЛЬСЕН (Киев)

Н. П. Александров, Наглядные пособия по геометрии (Из опыта работы преподавателей математики ремесленных, горнопромышленных и железнодорожных училищ), Трудрезервиздат, М., 1951.

С. С. Анциферов и др., Руководство по оборудованию учебного кабинета математики в ремесленных, горнопромышленных и железнодорожных училищах, Трудрезервиздат, М., 1951.

А. М. Антипов, О наглядности при обучении геометрии в средней школе. Сб. «Педагогический опыт». Обл. издательство, Сталинград, 1952.

Н. И. Благовещенский, Моделирование по школьному курсу геометрии, «МШ», 1954, № 6.

О. Василенко, Как мы изготовляли стеклянные стереометрические модели, «Научные записки УНИИПА», «Радянська школа», Киев, 1940.

Г. А. Владимирский, Альбом стереоскопических фигур к задачнику Рыбкина, Учпедгиз, М., 1940.

И. Н. Ветчинкин, О стереометрическом универсальном приборе (в помощь учителю мордовской школы № 3), Областное издательство, Саранск, 1951.

«Вопросы формирования и развития представлений и пространственного воображения учащихся». Сб. статей под ред. проф. Н. Ф. Четверухина, «Известия АПН РСФСР», 1949, вып. 21, М., изд. АПН РСФСР, 1949.

В. С. Воропай, Три прибора по математике для школы, Гос. изд. Украины, Одесса, 1926.

А. М. Воронец, Оборудование математического кабинета, «Педагогическая энциклопедия», том 1, М., изд. «Работник просвещения». 1927.

Б. И. Воронов, Универсальная доска, «МШ», 1954, № 6.

Р. В. Гангнус, Об одной модели для математического кабинета, «ФХМТШ», 1932, № 3.

П. А. Горбаты й, Оборудование школьного математического кабинета, «МШ», вып. 2, Радянська школа, Киев, 1948.

П. А. Горбатый, Из опыта преподавания математики в школе, «Радянська школа», Киев, 1950.

П. А. Горбатый, Методическая записка к стереометрическим таблицам (8 цветных стереометрических таблиц), «Радянська школа», Киев, 1951.

И. Гольденблатт, Опыт организации математического кабинета, Областное издательство, Одесса, 1936.

А. Григорьев, Самодельная школьная астролябия, «МШ», 1951, № 1.

И. Ф. Гризодуб, Применение наглядных пособий по геометрии в IX—X классах как методический прием, способствующий повышению качества знаний и помогающий развитию пространственных представлений. Сб. «Математика в школе», № 1 («Из опыта работы учителей»), изд. «Московский рабочий», М., 1951.

П. Я. Дорф, Учебные пособия по математике, Учпедгиз, М., 1941.

П. Я. Дорф, Роль наглядных пособий в развитии пространственного воображения учащихся, «Известия АПН РСФСР», вып. 21, изд. АПН РСФСР, М., 1949.

Г. Дресслер, О наглядных пособиях по математике, изд. «Матезис», Одесса, 1912.

И. Г. Иванов, Опыт изготовления наглядных пособий и использование их на уроках стереометрии, Обл. И. У. У., Свердловск, 1940.

Б. П. Иванов, Оборудование кабинета математики и работа в нем (Из опыта работы преподавателей математики ремесленных, горнопромышленных и железнодорожных училищ), Трудрезервиздат, М., 1951.

М. И. Иванов, Русские счеты и их использование в школе, Учпедгиз, М., 1953.

«Изготовление наглядных пособий по геометрии и их применение на уроках» (Из опыта учителей математики V—X классов). Сб. статей.

1. Инструктивные карточки по самодельным приборам и учебным пособиям.

Пособие для преподавателей, серия 3 (математическая), Учпедгиз, М., 1935; изд. АПН РСФСР, М., 1953.

П. Я. Карасев, Элементы геометрии, изучаемые на перегибании листка, М., 1923.

П. Я. Карасев, Модель теоремы Пифагора.

П. Я. Карасев, Работа с миллиметровой бумагой.

П. Я. Карасев, Геометрия на подвижных моделях, Государственное издательство, М., 1924.

П. Я. Карасев, Учебно-наглядные пособия по математике и методика работы с ними в средней школе. Учпедгиз, М., 1933.

П. Я. Карасев, П. Попов, Шкалы измерительных приборов и детали наглядных пособий по математике, применяемых в средней школе, Учпедгиз, М., 1954.

М. И. Каченовский, О самодельных наглядных пособиях по математике, «МШ», 1954, № 6.

Н. И. Кашин, Об одном счетном приборе, «МШ», 1951, № 5.

М. В. Клочков, Универсальное наглядное пособие по геометрии «МШ», 1954, № 6.

А. А. Колосов, Математический кабинет и работа в нем. «Опыт работы по математике в средней школе», изд. АПН РСФСР, М., 1949.

3. К. Краснова, Школьный математический кабинет как средство углубления знаний учащихся по математике (Из опыта работы учителей математики, не имеющих второгодников), Учпедгиз, М., 1952.

В. Кротов, Конструктор по планиметрии, «МШ», 1941, № 1.

Н. Кувыркин, О некоторых математических приборах для средней школы, М и Ф, 1936, № 1.

М. Леонтьев, Набор проволочных фигур. Методическое руководство к пособию, Л., 1935.

Д. М. Маергойз, Наглядные пособия по математике в средней школе, изд. «Радянська школа», Харьков, 1939.

И. П. Макаров, Школьный арифмометр, «МШ», 1950, № 4.

Я. Макаров, Метод моделирования в преподавании стереометрии, М и Ф, 1936, № 1.

Я. Михайленко, Самодельные приборы по стереометрии, изд. «Трансжелдориздат», Харьков, 1937.

Г. Михайлов, Наглядность в преподавании стереометрии, «МШ», 1941, № 1.

Г. Михайлов, Прибор-сечения куба, «МШ», 1954, № 6.

Н. Н. Никитин, Таблица для устных вычислений. Наглядное учебное пособие по арифметике для V—VII классов семилетних и средних школ, Учпедгиз, М., 1954.

Н. Нестерович, О внеклассных занятиях по математике, «ФХМТ», 1930, № 1.

Л. Никольский, Наглядные пособия по математике, «МШ», 1941, № 1.

К. И. Образ, Самодельная логарифмическая линейка, «МШ», 1954, № 4.

К. И. Образ, О приборе для демонстрирования прямой и обратной функции, «МШ», 1954, № 6.

С. В. Пазельский, Применение моделей на уроках стереометрии и их изготовление (Из практики преподавания математики и физики), Сб. статей, Областное издательство, Куйбышев, 1941.

В. Поляков, Наглядные пособия по математике для средней школы и педтехникумов, М и Ф, 1934, № 2.

С. А. Пономарев, П. В. Стратилатов, Таблицы по арифметике. Наглядное пособие по арифметике для V и VI классов семилетних средних школ (7 таблиц с методическим руководством для учителя), Учпедгиз, М., 1954.

С. А. Пономарев, П. В. Стратилатов, Таблицы по геометрии. Наглядное учебное пособие по геометрии для VI и VII классов семилетних и средних школ, Учпедгиз, М., 1954 (4 листа таблиц). Приложение: Руководство к таблицам.

«Преподавание математики в свете задач политехнического обучения», Сб. статей под ред. А. И. Фетисова, изд. АПН РСФСР, М., 1954.

Прибор для деления острого угла на три равные часта, ВОФЭМ, Л., 1891, №. 130.

В. В. Репьев, Школьный математический кабинет и лаборатория, ФХТМ, 1929, № 1.

В. В. Репьев, Модельно-математический кружок в школе, ФХМТ, 1931, №. 2.

В. В. Репьев, Наглядность при обучении математике, «МШ», 1941, № 1.

П. М. Рыбаков. Наглядные пособия по математике и работа с ними, «МШ», 1946, № 3—4.

П. М. Рыбаков, Задачи по стереометрии на чертежах, «МШ», 1954, № 6.

С. Рыбников, Складной метр как наглядное математическое пособие, ФХМТ, 1931, № 8.

С. Рыбников, Геометрическая складная линейка, «МШ», 1954, № 6.

И. А. Сигов, Об изготовлении и применении на уроках математики наглядных пособий, изд. «Начатки знаний», Петроград, 1923.

«Стереометрический ящик», изд. фабрики учебно-наглядных пособий Главучтехпрома Министерства просвещения РСФСР, 1951.

В. Ф. Тархов, Опыт изготовления и применения наглядных пособии по математике («Опыт Крымской школы»), Крымиздат, Симферополь, 1940.

Н. Г. Токарчук, Наглядное пособие для истолкования понятия предела числовой последовательности, «МШ», 1951, № 3.

П. Трифонов, Школьный нивелир, «МШ», 1953, № 6.

«Тригонометр упрощенный». Назначение и устройство, изд. фабрики учебно-наглядных пособий Главучтехпрома Министерства Просвещения РСФСР, 1952.

В. Н. Чуриловский, Школьный стереометр, Л., 1939.

В. Е. Чесноков, Наглядное пособие для демонстрации симметрии некоторых фигур, «МШ», 1954, № 6.

К. Щербина, У. Гольденблат, Наглядные пособия по математике в начальной и средней школе, изд. «Радянська школа», Киев, 1938.

Н. И. Шемянов, Математическая лаборатория, М., 1926.

А. И. Шугар, Математика в трудовой школе второй ступени, изд. «Новая Москва», М., 1925.

М. М. Шидловская. О применении наглядных пособий на уроке геометрии в VI—VII классах, «Ученые записки Ленинградского гос. пединститута (Кафедра методики математики), Т. XXV, изд. Ленингр. гос. пединститута, Л., 1948.

А. Шлейхер, Опыт оснащения уроков геометрии наглядными пособиями. Бюллетень по обмену опытом работы, Учебно-методический кабинет Челябинского управления трудовых резервов, Челябинск, 1954.

А. В. Штыкан, Учебные модели по стереометрии, «МШ», 1954, № 6.

Н. О. Юхтер, Опыт моделирования задач по стереометрии и тригонометрии (Из опыта работы передовых учителей математики), изд. АПН РСФСР, М., 1950.

М. Юшко, Т. Ольшевская, Применение самодельных моделей при решении задач по стереометрии, «МШ», 1954, № 6.

А. И. Фетисов, Таблицы по геометрии (6 таблиц: сечения куба плоскостью, призмы, пирамиды, цилиндра), Учпедгиз, М., 1951.

Филюкова, Линейный и поперечный масштаб, М., Учпедгиз, 1953.

Ф. Яновский, Самодельные приборы на уроках стереометрии, «МШ», 1941, № 1.

В. Л. Эменов, Математический кабинет, «Педагогическая энциклопедия», т. 1. изд. «Работник просвещения», М., 1927.

Список сокращений:

1) «ФХМТ» — журнал «Физика, химия, математика, техника в советской школе».

2) «М и Ф» — журнал «Математика и физика в средней школе».

3) «МШ» — журнал «Математика в школе».

4) ИУУ — Институт усовершенствования учителей.

5) Все издания издательства «Радянська школа» изданы на украинском языке.

6) АПН — Академия педагогических наук.

НОВАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

I. История и методология математики, советские математики, классики

Антропова В. И., М. В. Остроградский, «Вестник высшей школы», 1954, № 9, стр. 49—56.

Гайдук Ю. М., Первое выступление в защиту идей Лобачевского в России, «Природа», 1954, № 8, стр. 82—83. (О статье физика А. С. Савельева «К. Ф. Гаусс» в «Журнале Министерства народного просвещения» за январь и апрель 1858 г.).

Ляпунов А. М., Собрание сочинений (в шести томах), т. 1. Теория потенциала. Теория вероятностей. Теория рядов. Гидростатика и гидродинамика. Теоретическая и небесная механика, изд. Академии наук СССР, М., 1954, 448 стр. и 4 л. портр. Тираж 3500 экз. Цена 22 руб.

Отрадных Ф. П., Математика XVIII века и академик Леонард Эйлер, «Советская наука», М., 1954, 40 стр. Тираж 20 000 экз. Цена 70 коп.

II. Учебники и учебные пособия

Демидович Б. П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Учебное пособие для гос. университетов и педагогических институтов, изд. 2, исправл. и дополн., Гостехиздат, М., 1954, 512 стр. Тираж 25 000 экз. Цена И р. 10 к.

Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии. Учебник для вузов, изд. 2, переработ., Гостехиздат, М., 1954, 256 стр. Тираж 50 000 экз. Цена 6 р. 35 к.

Зайцев И. Л., Курс высшей математики. Для техникумов, под ред. Г. С. Бараненкова, Гостехиздат, М., 1954, 356 стр. с илл. Тираж 150 000 экз. Цена б р. 25 к.

Клетеник Д. В., Сборник задач по аналитической геометрии. Для вузов, под ред. Н. В. Ефимова, изд. 2, переработ. Гостехиздат, М., 1954, 240 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 5 р. 45 к.

Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1. Для физико-математических факультетов и втузов с расширенной программой, изд. 15, Гостехиздат, М., 1954, 472 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена 13 р. 20 к.

Сушкевич А. К., Теория чисел. Элементарный курс, изд. Харьковского университета, Харьков, 1954, 204 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 4 р. 20 к.

Тарасов Н. П., Курс высшей математики. Для техникумов, изд. 8, переработ., Гостехиздат, М., 1954, 391 стр. с черт. Тираж 100 000 экз. Цена 7 р. 80 к.

Черняев М. П., Сборник задач по синтетической геометрии. Пособие для педагогических институтов, Учпедгиз, М., 1954, 72 стр. Тираж 35 000 экз. Цена 1 р. 15 к.

III. Методика преподавания математики, пособия для учителей

Баранова И. В. и Ляпин С. Е., Задачи на доказательство по алгебре. Пособие для учителя, Учпедгиз, Л., 160 стр. Тираж 75 000 экз. Цена 2 р. 55 к.

Барыбин К. С., Сборник геометрических задач на доказательство. Пособие для учителей, изд. 2, Учпедгиз, М., 1954, 152 стр. Тираж 100 000 экз. Цена 3 р. 65 к.

Брадис В. М., Методика преподавания математики в средней школе. Учебное пособие для педагогических институтов и гос. университетов, под ред. А. И. Маркушевича, изд. 3, Учпедгиз, М., 1954, 504 стр. Тираж 100 000 экз. Цена 12 р. 70 к.

Брадис В. М., Средства и способы элементарных вычислений. Пособие для учителей средней школы, изд. 3, исправл. и дополн., Учпедгиз, М., 1954, 231 стр. и 1 л. илл. Тираж 75 000 экз. Цена 4 р. 70 к.

Енгурин Н. К. и Чмутов Д. И., Уроки арифметики в V классе, Таткнигоиздат, Казань, 1954, 287 стр. Тираж 4000 экз. Цена 4 р. 50 к.

Игнатьев Н. И. и Чекмарев Я. Ф., Преподавание математики и методики арифметики в педагогическом училище (Из опыта работы), Учпедгиз, М., 1954, 48 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 70 к.

Калмыкова З. И., Процессы анализа и синтеза при решении арифметических задач. Приложение: Экспериментальные задачи для взрослых испытуемых, «Известия Академии педагогических наук РСФСР», вып. 61, 1954, стр. 206—232.

Карасев П. А. и Попов П. И., Шкалы измерительных приборов и детали наглядных пособий по математике, применяемых в средней школе. Методические указания к изготовлению пособий и применению их в школе, Учпедгиз, М., 1954, 48 стр. Тираж 40 000 экз.

Ланков А. В., К истории развития методики геометрии. Краткий очерк развития методико-геометрических идей в России, «Ученые записки Молотовского педагогического института», вып. 13, 1954, стр. 19—37.

Ланков А. В., Приоритет русской методики математики в основных вопросах преподавания математики, «Ученые записки Молотовского педагогического института», вып. 13, 1954, стр. 3—17.

Ларичев, П. А. Математика, Об учебных программах для V—X классов на 1954/55 учебный год, «Народное образование», 1954, № 7, стр. 32—34.

Прозорова А., Ближе к запросам учителя. Обзор журнала «Математика в школе», «Народное образование», 1954, № 7, стр. 75—76.

Трунов И. П., Измерительные работы на местности в курсе математики средней школы, Учпедгиз, М., 1954, 72 стр. Тираж 50 000 экз. Цена 80 к.

Уметский В. А., Некоторые вопросы методики преподавания арифметики в V классе (Из опыта работы), изд. «Тамбовская правда», Тамбов, 1954, 33 стр. Тираж 2000 экз.

Чернышев К. И., Решение показательных и логарифмических уравнений (Из опыта работы), Книжное издательство, Курск, 1954, 24 стр. Тираж 1500 экз.

Фаддеев Д. К. и Соминский И. С., Алгебра. Пособие для учителей средней школы, ч. 2, Учпедгиз, Л., 1954, 288 стр. Тираж 50 000 экз. Цена 5 р. 10 к.

«Вопросы преподавания математики в V—X классах школы рабочей молодежи». Пособие для учителей, изд. 2, Учпедгиз, М., 1954, 212 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 4 р. 25 к.

«Вопросы методики математики в средней школе» (Из опыта учителей математики V—X классов). Сборник статей, под ред. А. Д. Сёмушкина, изд. АПН РСФСР, М., 1954, 112 стр. Тираж 20 000 экз. Цена 1 р. 80 к.

Содержание: Опыт индивидуальной работы с учащимися. Организация самостоятельной работы учащихся старших классов средней школы. Воспитание внимания на уроках математики. Повторение арифметики в связи с изучением алгебры. Изучение тригонометрических функций острого угла в свете задач политехнического обучения. Опыт разработки темы «Тригонометрические функции острого угла» (VIII класс).

«Преподавание математики в школе в свете задач политехнического обучения». Сборник статей, под ред. А. И. Фетисова, изд. 2, дополн. и исправл., изд. АПН РСФСР, М., 1954,256 стр. Тираж 30 000 экз. Цена 4 р. 10 к.

«Сборник задач по математике, предлагавшихся на вступительных экзаменах в вузы (с решениями)», составили Н. П. Антонов, М. Я. Выгодский, В. В. Никитин и А. И. Санкин, изд. 2, Гостехиздат, М., 1954, 532 стр. Тираж 100 000 экз. Цена 9 р. 45 к.

IV. Научно-популярная математическая литература, пособия для школьных кружков

Депман И. Я. Рассказы о математике, «Школьная библиотека». Для средней школы, дополн. и исправл. изд. Детгиз, Л., 1954, 144 стр. Тираж 200 000 экз. Цена 3 р. 5 к.

Игнатьев В. А., Внеклассная работа по методике арифметики в педагогических училищах, под ред. А. С. Пчелко, изд. АПН РСФСР, М., 1954, 56 стр. Тираж 15 000 экз. Цена 70 к.

Избранные задачи и теоремы элементарной математики, «Библиотека математического кружка», вып. 3, ч. 3. Геометрия (стереометрия), состав. Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов и И. М. Яглом, Гостехиздат, М., 1954, 267 стр. Тираж 40 000 экз. Цена 5 р. 20 к.

Линьков Г. И., Внеклассная работа по математике в средней школе, Учпедгиз, М., 1954, 64 стр. Тираж 40 000 экз. Цена 1 р. 5 к.

Пархоменко А. С., Что такое линия, Гостехиздат, М., 1954, 140 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 2 р. 30 к.

Фетисов А. И., О доказательстве в геометрии. Популярные лекции по математике, вып. 14, Гостехиздат, М., 1954. 60 стр. Тираж 50 000 экз. Цена 90 к.

Шафаревич И. Р., О решении уравнений высших степеней (метод Штурма). Популярные лекции по математике, вып. 15, Гостехиздат, М., 1954, 24 стр. Тираж 30 000 экз. Цена 40 к.

Шерватов В. Г., Гиперболические функции. Популярные лекции по математике, вып. 14, Гостехтехиздат, М., 1954, 56 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 90 к.

Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н. и Яглом И. М., Избранные задачи и теоремы элементарной математики, ч. 1. Арифметика и алгебра, «Библиотека математического кружка», вып. 1, изд. 2, переработ. и дополн., Гостехиздат, М., 1954, 455 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 6 р. 50 к.

Игркович И. А. и Сибирский К. С., Школьная математическая олимпиада в г. Кишиневе,

«Успехи математических наук», том. 9, вып. 3, 1954, стр. 263—265.

16-я Московская школьная математическая олимпиада учащихся VII—X классов (апрель 1953 г.), «Успехи математических наук», том 9, вып. 3, 1954, стр. 257—262.

Ланков А. В., Математические олимпиады как средство воспитания интереса учащихся к математике, «Ученые записки Молотовского педагогического института», вып. 13, 1954, стр. 39—46.

V. Монографии по отдельным вопросам математики

Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближенных функций, изд. 2, перераб., Гостехиздат, М., 1954, 328 стр. Тираж 5000 экз. Цена 15 р. 95 к.

Житомирский О. К., Проективная геометрия в задачах, Гостехиздат, М., 1954, 184 стр. Тираж 15 000 экз. Цена 3 р. 80 к.

Лопатинский Я. Б., Основы линейной алгебры, изд. Львовского университета, Львов, 1954, 95 стр. Тираж 500 экз. Цена 3 р.

Петер Р., Рекурсивные функции, перев. с нем. В. А. Успенского, под ред. и с предислов. А. Н. Колмогорова, изд. иностранной литературы, М., 1954, 264 стр. Цена 11 р. 15 к.

Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, изд. 2, перераб. и дополн. Гостехиздат, М., 1954, 516 стр. Тираж 6000 экз. Цена 19 р. 40 к.

Xодж В. и Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, перев. с англ. Л. И. Головиной и О. Н. Головина, под ред. А. И. Узкова, т. 1, изд. иностранной литературы, М., 1954, 462 стр. Цена 19 р. 75 к.

Ходж В. и Пидо Д. Методы алгебраической геометрии, перев. с англ., т. 2, перев. А. И. Узкова, изд. иностранной литературы, М., 1954, 432 стр. Цена 19 р. 20 к.

VI. Пособия для заочников

Окунев А. К., Контрольные работы по элементарной математике (Геометрические построения). Для студентов-заочников физико-математических факультетов, специальность физика, Учпедгиз, М., 1954, 15 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 15 к.

Окунев А. К., Контрольные работы по элементарной математике. Арифметика и алгебра. Для студентов-заочников физико-математических факультетов учительских институтов, Учпедгиз, М., 1954, 23 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 25 к.

Моденов П. С., Контрольные работы по математическому анализу. Для студентов-заочников II курса физико-математического факультета педагогических институтов, Учпедгиз, М., 1954, 72 стр. Тираж 20 000 экз. Цена 90 к.

Моденов П. С., Контрольные работы по математическому анализу. Для студентов-заочников I курса физико-математического факультета педагогических институтов, Учпедгиз, М., 1954, 96 стр. Тираж 20 000 экз. Цена 1 р. 20 к.

Каченовский М. И., Контрольные работы по основам высшей математики. Введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление. Для студентов-заочников II курса физико-математических отделений учительских институтов, Учпедгиз, М., 1954, 64 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 85 к.

Игнатьев В. А. и Пономарев С. А., Сборник задач по арифметике с указанием примеров их решений. Методическое пособие для заочников педагогических училищ, изд. 3, перераб., Учпедгиз, М., 1954, 152 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 2 р. 5 к.

Дринфельд Г. И., Дифференциальные уравнения. Методическое пособие для студентов-заочников, изд. Харьковского университета, Харьков, 1954, 47 стр. Тираж 100О экз.

Брадис В. М. и Нечаев Е. К., Контрольные работы по специальному курсу элементарной математики. Теория и практика вычислений. Учение о числе. Для студентов-заочников I курса физико-математического факультета педагогического института, Учпедгиз, М., 1954, 23 стр. Тираж 20 000 экз. Цена 30 к.

Брадис В. М., Методические указания к программе специального курса элементарной математики. Для физико-математического факультета педагогических институтов. Раздел «Арифметика», Учпедгиз, М., 1954, 44 стр. Тираж 20 000 экз. Цена 55 к.

VII. Справочные издания

Асатиани Л. Г., Таблицы вычисления процентов, умножения и деления, Госстатиздат, М., 1954, 368 стр. Тираж 15 000 экз. Цена 16 р. 40 к.

Выгодский М. Я., Справочник по элементарной математике. Таблицы, арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, функции и графики, изд. 7, Гостехиздат, М., 1954, 412 стр. Тираж 20 000 экз. Цена 8 р. 5 к.

ХРОНИКА

РАБОТА МЕТОДИЧЕСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ г. ОДЕССЫ в 1953 и 1954 гг.

Д. С. ГОНЧАРОВ (Одесса)

С 1937 года по настоящее время объединение преподавателей математики нашего города продолжает работать, собираясь регулярно по понедельникам с 8 до 10 часов вечера. За истекшие последние два календарные года (1953 и 1954 гг.) секция рассмотрела на своих заседаниях ряд вопросов и заслушала ряд докладов и сообщений, относящихся к преподаванию математики «в средней школе.

Секция уделила, в меру своих возможностей, серьезное внимание вопросам политехнического обучения. На заседаниях секции были заслушаны доклады преподавателя геодезии Одесского педагогического института Г. Н. Аксентьева на тему: «Геодезические работы на местности и составление планов». Кроме этого секция установила связь с кафедрой геодезии Одесского сельскохозяйственного института и организовала семь экскурсионных групп преподавателей математики (численностью по 20—25 человек в каждой группе) для ознакомления на практике с геодезическими инструментами, имеющимися в кабинете геодезии сельскохозяйственного института. С тремя группами преподавателей математики были проведены практические работы по геодезии.

Секция математиков при содействии Гороно договорилась с одесским Дворцом пионеров об изготовлении в школьных технических кружках при Дворце пионеров геодезических приборов школьного типа для проведения практических работ с учащимися. Образцы этих пособий были изготовлены под руководством инструкторов технических кружков Дворца пионеров. Руководством к изготовлению самодельных приборов для измерительных работ на местности служило пособие, изданное Академией педагогических наук РСФСР, П. Я. Дорфа и А. О. Румера «Измерения на местности». Изготовленные образцы самодельных приборов отличаются хорошим качеством.

Каждая школа имеет возможность направить своих учащихся во Дворец пионеров для того, чтобы они там в технических кружках изготовили необходимые приборы для измерения на местности, а также различные модели по курсу геометрии.

На секции был заслушан доклад преподавателя И. О. Гольденблата на тему: «План работы по политехническому обучению при изучении математики».

Ряд докладов был посвящен методологическим и научно-теоретическим вопросам. Сюда относятся следующие доклады:

1. Партийность в преподавании математики (Б. Н. Косюра).

2. Необходимые и достаточные условия (И. И. Матвеенко).

3. Идеи и элементы политехнического обучения в русской школе XVIII и XIX в. (Д. С. Гончаров).

4. Замечательные кривые в полярной системе координат (Д. С. Гончаров).

5. К вопросу о построении графиков обратных функций (Д. С. Гончаров).

Рассматривались также вопросы преподавания отдельных математических дисциплин.

Вопросам преподавания арифметики были посвящены следующие доклады:

1. Приближенные вычисления в средней школе (О. М. Зильберберг).

2. Устные упражнения на уроках арифметики и образцы контрольных работ по арифметике в V и VI классах (Н. М. Шапошников).

3. Повторение арифметики в старших классах (О. Б. Голик).

По методике преподавания алгебры были заслушаны следующие доклады:

1. Некоторые свойства бинома Ньютона (И. А. Скрылев).

2. Теория последовательностей и пределов (А. В. Колот).

3. Иррациональные уравнения (А. В. Колот).

4. Вопросы преподавания логарифмов (З. Н. Панова).

5. Графики линейной и квадратной функций (Д. С. Гончаров).

6. Уравнения высших степеней (А. В. Колот).

7. Действия с радикалами (О. Б. Голик).

8. Арифметический корень (М. А. Хуторян).

9. Исследование уравнений (Е. А. Гохман).

10. Самодельная демонстрационная логарифмическая линейка (М. Д. Каменецкий).

По геометрии и тригонометрии были заслушаны такие доклады:

1. Правильные многогранники (Э. Б. Гольберг).

2. Решение геометрических задач на исследование (И. А. Скрылев).

3. Решение задач на построение методом подобия и методом геометрических мест (М. А. Хуторян).

4. Построение четырехугольников в VII классах (П. И. Гуменюк).

5. Чертеж в стереометрии (М. А. Хуторян).

6. Первые уроки по тригонометрии в IX классах (И. И. Матвеенко).

7. Тригонометрические уравнения (Р. Б. Глузкин).

8. Решение задач по геометрии с приложением тригонометрии (В. Ю. Воскобойников).

По вопросам общей методики были заслушаны следующие доклады:

1. Оформление экзаменационных работ (А. М. Астряб и Д. С. Гончаров).

2. Проект новых программ по математике (Д. С. Гончаров).

3. Рабочие планы по математике преподавателей г. Москвы и Московской области (Д. С. Гончарова.

4. Методика уплотненного опроса (Е. А. Звездина).

5. Методика домашних заданий по математике (Д. С. Гончаров).

Ряд заседаний секции был посвящен следующим текущим вопросам:

1. Анализ экзаменационных работ.

2. Образцы задач к билетам по арифметике (С. И. Вайнберг), по алгебре (З. Н. Панова, С. М. Фрайберг), по геометрии (П. И. Гуменюк, З. Н. Панова, В. М. Близнюк, М. Д. Каменецкий, Е. Д. Маргулис).

3. Контрольные работы по геометрии в VII классах (Н. М. Шапошников).

Члены секции принимали участие в областных и республиканских педагогических чтениях. Участник республиканских УССР педагогических чтений К. Ф. Филиппович сделал доклад о республиканских педагогических чтениях, организованных при участии сектора методики математики Киевского научно-исследовательского института педагогики е 1953 году в г. Львове.

В наступающем новом учебном 1955/56 году перед городским объединением преподавателей математики г. Одессы возникнут сложные организационные вопросы. В связи с общим ростом численности населения нашего города, а также в связи с ростом количества школ и количества преподавателей математики (около 300 человек) встанет вопрос об организации районных методических объединений преподавателей математики.

ПРАКТИКУМ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ

В. Д. ЧИСТЯКОВ (Витебск)

Второй год в городе Витебске успешно работает математический практикум для учителей средних школ города, организованный Витебским институтом усовершенствования учителей и Витебским горпедкабинетом. Занятиями практикума руководят члены математических кафедр Витебского педагогического института им. С. М. Кирова. На занятиях рассматриваются наиболее актуальные вопросы элементарной математики и методика их изучения в средней школе в свете задач политехнического обучения.

В прошлом 1953/54 учебном году объектом изучения были вопросы:

1. Приближенные вычисления (четыре занятия);

2. Графические методы в физике и технике (два занятия);

3. Геодезические работы на местности (пять занятий);

4. Работа с логарифмической линейкой (четыре занятия);

5. Решение задач повышенной трудности (четыре занятия).

В этом 1954/55 учебном году (первое полугодие) учителя изучили вопросы:

1. Работа со счетными приборами: русские конторские счеты и арифмометры (три занятия);

2. Номограммы (два занятия);

3. Полулогарифмические шкалы и их применение в технике (одно занятие);

4. Моделирование в свете задач политехнического обучения (несколько занятий).

Учителя с большим интересом относятся к занятиям математического практикума. Несомненно, что математический практикум оказывает большую помощь витебским учителям в осуществлении политехнического обучения математики в средних школах.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В ЖУРНАЛЕ № 6 за 1954 г.

№ 51

В какой степени входит 10 в n!?

Решение. В ряде натуральных чисел каждое второе число — четное, а каждое пятое — кратно 5. Поэтому в произведении п\ множителей 2 имеется больше, чем множителей 5. Поэтому множитель 10 входит в ni в такой же степени, в какой имеется в n! множитель 5.

Обозначим [N] целую часть числа N (например,

В последовательности an = n кратными 5 являются члены с порядковым номером 5, т. е. a5k = 5k, k = 1, 2, 3,...

В произведении n! кратными 5 будет столько натуральных чисел, сколько раз 5 содержится в числе л, т. е. [n/5]. Но среди этих натуральных чисел, кратных 5, каждое пятое кратно 25, т. е.

a25k = 25k, где k = 1, 2, 3,... Поэтому чисел, кратных 25, имеется в n! столько, сколько раз 25 содержится в n, т. е. [n/25]. Далее находим, что в n! имеется [n/125] натуральных чисел, кратных 125, и вообще [n/5k] чисел, кратных 5k. Таким образом, в n! входит множитель 5 в степени:

(1)

где р — натуральное число, удовлетворяющее условию :

Согласно сделанному вначале замечанию, в такой же степени (1) входит в n! и число 10. Итак, окончательно:

где M — четное число, не кратное 5, т. е. оканчивающееся на одну из цифр: 2, 4, 6, 8,..., а Р —натуральное число, удовлетворяющее условию:

Пример. Сколькими нулями оканчивается число 847!? Имеем:

Итак,

При решении этой задачи несколько товарищей допустили одну и ту же ошибку: они решили эту задачу одним росчерком пера, положив 10x = n! (??) и получили x = log10(n!); откуда следует, что 10 может входить в n! дробное число раз.

№ 52

Плоскость делит объем шара в отношении 7:20. В каком отношении она делит поверхность шара?

Решение: Пусть плоскость делит шар на два сегмента: АОВС и OADC (черт. 1).

Пусть высота сегмента ОАВС равна h, тогда высота сегмента OADC равна OD = 2R — h. Объем сегмента ОАВС равен

(1)

а объем сегмента OADC равен

(2)

Согласно условию, отношение объемов (1) и (2) равно 7:20, отсюда имеем:

(3)

После упрощения левой части равенства (3) получим :

(4)

Пусть R = hx(α), подставив это выражение в равенство (4) получим:

Черт. 1

После упрощения получим:

(5)

Разложим левую часть уравнения (5) на множители:

или

Отсюда

Подставив значение х = 3/2 в равенство (α), получим :

Выразив таким образом радиус шара через высоту сегмента, получим отношение поверхностей сегментов, имеем:

Корни x2,3 условию задачи не удовлетворяют, так как один из них отрицательный, а другой образует отрицательную разность 2R — h; действительно, если

Итак, условию задачи удовлетворяет только корень x = 3/2. И искомое отношение поверхностей сегментов равно 1:2.

№ 53

На шахматной доске можно расставить 8 ладей так, чтобы ни одна из них не била другую и все находились на черных полях. Сколько возможно таких различных расстановок?

Решение. Так как фигур сколько же, сколько и горизонтальных рядов, то, следовательно, в каждом ряду должно быть по одной фигуре, так как если бы оказался пустой ряд, то в другом ряду оказалось бы две фигуры. Для помещения фигуры в ряду (1) (черт. 2) есть четыре способа: можно поместить ладью в одну из четырех клеток этого ряда. Пусть мы поместили ее в клетку (f, 1). При этом 7 клеток вертикального (f) и горизонтального (1) рядов, на пересечении которых находится клетка (f, 1), не будут принимать участие в дальнейших расстановках.

Для помещения фигуры в ряду (2) есть тоже четыре возможности: можно занять одну из четырех свободных клеток этого ряда.

Занимая какую-нибудь из черных клеток, например клетку (я, 2), мы этим самым исключаем весь горизонтальный ряд (2) и весь вертикальный ряд (a) — всего 7 мест.

Так как черные клетки нечетных горизонтальных рядов находятся в одних и тех же вертикальных рядах (b, d, f, h), то для помещения ладьи в ряду (3) имеются уже только три возможности. Занимая одну из трех свободных клеток третьего ряда, например (d, 3), мы вычеркиваем пять клеток, расположенных в горизонтальном (3) и вертикальном (d) рядах.

Для заполнения ряда (4) имеются также три возможности, так как одна из четырех черных клеток была исключена при заполнении ряда (2). Поместим ладью в клетку (g, 4) при этом исключаем 5 черных клеток рядов (4) и (g).

Для заполнения ряда (5) остается только две возможности, так как из четырех черных клеток этого ряда две были исключены при заполнении рядов (1) и (3).

Заняв клетку (5, b), исключаем этим самым три клетки (5, b), (5, h) и (7, b).

То же самое происходит при заполнении ряда (6), т. е. имеется две возможности, причем вычеркиваются три клетки. После этого в рядах (7) и (8) остается по одной клетке, которые заполняем оставшимися

Черт. 2

двумя фигурами. Так как каждому из четырех способов заполнения ряда (1) соответствует четыре способа заполнения ряда (2), то первые два ряда могут быть заполнены 16-ю способами, каждому из этих 16 способов заполнения первых двух рядов соответствует три способа заполнения ряда (3), поэтому первые три ряда могут быть заполнены 48-ю способами. Рассуждая дальше таким же образом, находим, что всего можно найти таких различных расстановок:

42.32.22.12 = 576.

Примечание. Тов. Гаас (Караганда) решал эту задачу экспериментально и начертил все возможные случаи, с его точки зрения, но все же задачу решил неверно, он получил 135 случаев. У т. Лейбмана М. (Свердловская обл.) получился ответ 404, у Джабарова —32, у Чепкасова — 1120, математический кружок Полоцкого пединститута получил 40320.

№ 54

В остроугольном треугольнике ABC высота па разделена в отношении 1:5, высота hb — в отношении 1:3, считая от основания высот, и через каждую точку деления проведена прямая, параллельная соответствующей стороне треугольника. Найти коэффициент подобия построенного треугольника и первоначального.

Решение. Пусть треугольник A1B1C1 образован прямыми, указанными в условии задачи. Обозначим высоты через hа , hb , hc . Через вершины A1, B1 и C1 проведем прямые A2A3||СВ, B2B3 || АС и C2C3||AB (черт. 3)

тогда

Черт. 3

Но треугольник ABС подобен треугольнику АA3A2. Отсюда имеем:

Но треугольник ВВ1B3 подобен треугольнику ABC, и поэтому

Треугольник ABC подобен треугольнику СC2C3. Отсюда

и

Имеем

Итак, искомый коэффициент подобия треугольников равен

№ 55.

Дан равносторонний треугольник ABC; AB = а. На стороне AB дана точка М; AM = m. Построить треугольник MNК минимального периметра так, чтобы вершина N лежала на стороне АС и вершина К — на ВС, и вычислить периметр треугольника MNK.

Решение 1. Пусть ВАС — данный равносторонний треугольник, где AB = a, AM = m. Построим равносторонний треугольник A1ВC1 (черт. 4) со стороной, равной 2а, имеющий общий угол В с треугольником ABC, отложим отрезок C1M1 = AM = m и соединим точки M и M1 отрезком МM1, тогда на стороне АС получим точку N. Далее отложим отрезок CK = СК1 и получим точку К. Треугольник MNK будет искомым. Действительно, если построим еще произвольный треугольник MN2K2 и отложим отрезок DF = BK2» то получим, что N2K2 = N2F, так как треугольник CN2K2 равен треугольнику CN2F (CN2 — общая сторона, CK2 = CF = a — DF, ∠N2CK2 = ∠N2CF = 60°).

MK2 = FM1,

так как треугольник МВК2 равен треугольнику M1DF (DF = BK2, M1D = MB = a — m, ∠M1DF = ∠B = 60°).

Следовательно, периметр треугольника MN2K2 равен длине ломаной линии MN2FM1, которая больше отрезка МM1, длина которого равна периметру треугольника MNK, так как NK1 = NK из равенства треугольников CNK и CNK1 и M1К1 = МК из равенства треугольников ВМК и DM1K1.

Периметр треугольника MNK равен длине отрезка, который можно определить из треугольника A1MN1, где

Имеем

Черт. 4

Итак, периметр треугольника MNK равен

Решение 2. Пусть ABC данный равносторонний треугольник, где AB — ВС — АС = а и AM — m (черт. 5). Строим точку M1, симметричную точке M относительно стороны АС, и точку M2, симметричную точке M относительно стороны ВС. Соединим прямой точки M1 и M2, которая пересечет стороны АС и ВС в точках N и К. треугольник MNK — искомый. Действительно, периметр треугольника MNK равен отрезку прямой M1M2, так как MN — M1N и МК = M2К. С другой стороны, периметр всякого другого треугольника MN1K1, имеющего вершину N1 на стороне АС и вершину К1 на стороне ВС, будет равен длине ломаной M1N1K1M2, так как MN1 = M1N1 и MK1 = M2K1.

Следовательно, периметр любого треугольника MN1K1 будет больше периметра треугольника MNK.

Так как периметр треугольника MNK равен длине отрезка M1N2, то вычислим его из треугольника

Отсюда

Черт. 5

Отрезок MC вычислим из треугольника AMС. Имеем:

Итак,

В неверных решениях, из точки M проводились прямые параллельные остальным сторонам треугольника, и считалось, что полученный таким образом треугольник будет искомым.

№ 56.

Доказать теорему, обратную теореме Птолемея: если произведение диагоналей четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон, то около него можно описать окружность.

Решение 1. Пусть ABCD (черт. 6) — четырехугольник, в котором, согласно условию, имеем:

(1)

Обозначим:

Имеем:

(1)

Из треугольников ABC и ADC имеем:

(2)

Из равенства (2) получим:

(3)

Определим площадь четырехугольника ABCD:

Черт. 6

откуда

Складывая соотношения (3) и (4), получим:

(5)

Из треугольников АОВ, BОС, COD, DOА имеем:

Отсюда получим:

(6)

С другой стороны, имеем:

Откуда

(7)

Складывая (6) и (7), получим:

(8)

Вычтем соотношение (5) из соотношения (8):

Отсюда имеем:

так как

и, следовательно, четырехугольник ABCD вписуем в окружность.

Решение 2. Пусть ABCD (черт. 7) — данный четырехугольник, в котором

Докажем, что около него можно описать окружность. Выполним следующие вспомогательные построения: Построим

Из подобия треугольников ABE и BCD имеем:

(1)

Откуда

(2)

Далее рассмотрим треугольники ABD и ВЕС; эти треугольники имеют по равному углу, а именно:

так как и

Поэтому

(3)

Из соотношения (3) следует, что

(4)

Складывая равенства (2) и (4) получим:

(5)

Черт. 7

(4)

Сравнивая равенство (5) с равенством, данным нам в условии, приходим к выводу, что в данном четырехугольнике точка Е должна лежат на диагонали АС, так как только в этом случае возможно равенство

Итак, данный четырехугольник обладает тем свойством, что если построить угол ABE = CED и угол ВАЕ = ∠BDC, то точка Е окажется на диагонали АС. Но в таком случае окружность, проведенная через вершины А, В и С, пройдет также и через вершину D (вследствии того, что ∠BDC = ∠ВАЕ).

Итак, около четырехугольника ABCD можно описать окружность.

Решение 3. Пусть в некотором четырехугольнике ABCD имеет место соотношение:

Умножим обе части этого равенства на выражение

где h — некоторая положительная величина. Имеем:

(1)

Если мы примем вершину D за полюс, a h — за степень инверсии, то для каждой из точек А, В, С существует, соответственно, только одна взаимно обратная точка А', В' и С' причем точки А', В', С', такие, что отрезки AB и А'В', ВС и В'С', АС и А'C' связаны соотношением:

Из равенства (1) получим:

А'В' + В'С' = А'C'. (2)

Следовательно, точки А', В', С' лежат на одной прямой. А так как прямой линии, не проходящей через полюс инверсии, соответствует окружность, проходящая через полюс инверсии, то отсюда вытекает, что точки А, В, С должны находиться на одной окружности с полюсом D и т. д.

№ 57

Найти положительные значения х, у, z из соотношения:

если a > 0, b > 0, с > 0.

Решение 1. Из условия следует, что

(1)

Имеем:

Если а ≠ b, то из последнего соотношения получим:

или

откуда

(2)

(3)

Из данного соотношения в условии задачи следует, что

Заменив в последнем соотношении

получим:

(4)

Итак, из формул (2), (3) и (4) имеем:

(5)

Из этих двух формул найдем:

(6)

(7)

Из соотношений (6) и (7) находим:

Решение 2. Умножим числитель и знаменатель соотношения

Имеем:

2с cos z > 0, так как z < 90°, следовательно, можно построить треугольник ABС с углами х, у, 2z и сторонами a, b, 2с cos z (черт. 8).

Имеем: Или

Имеем:

или

Откуда

Аналогично находим

В одном из неправильных решений были допущены две ошибки:

В другом решении после целого ряда довольно сложных и нестрогих рассуждений и преобразований получился такой ответ:

причем не было сделано попытки проверить решение подстановкой этих значений в условие

x + y + 2z = π.

№ 58

Около конуса, радиус основания которого равен R, а угол между образующей и основанием а описано n шаров, каждый из которых касается двух других, боковой поверхности конуса и плоскости его основания. Найти радиус шаров.

Решение. Пусть OA = R и ∠SАО = α (черт. 9).

n — число искомых шаров,

x — радиус шаров.

Соединив точки касания шара О с OB и SA, получим:

Из треугольника О1АВ имеем.

Спроектировав ортогонально всю конструкцию (черт. 9) на плоскость основания конуса, получим правильный многоугольник (черт. 10), вершинами которого будут проекции центров описанных шаров,

Черт. 8

Черт. 9

а расстояние между вершинами равно 2х, т. е.

Отсюда имеем:

Отсюда

Черт. 10

ЗАДАЧИ

№ 22. Решить систему уравнений:

Крайзман М. (г. Львов)

№ 23. Вершинами многоугольника A1A2...An являются точки плоскости, изображающие комплексные числа:

причем ρ < 1, n — натуральное число.

Доказать, что точка начала координат лежит вне многоугольника.

Мышакова Т. (Одесса)

№ 24. Вписанная в прямоугольный треугольник окружность делит одну из медиан треугольника на равные части.

Определить углы треугольника.

Лоповок Л. (г. Хмельницкий)

№ 25. Периметр равнобедренного треугольника равен Р. Найти его стороны, зная, что вписанная окружность делит медиану на три равные части.

Лоповок Л. (г. Хмельницкий)

№ 26. Найти максимум выражения:

№ 27. Струна длиною l дает основной звук, отвечающий N колебаниям в секунду. При помощи подставки (кобылки) ее делят на две части: у и l-х, дающие соответственно n и n1 колебаний в секунду.

Найти соотношение, которым связаны n, n' и N при любых l и x.

№ 28. Решить систему уравнений:

Крайзман М. (г. Львов)

№ 29. Решить систему уравнений:

Крайзман М. (г. Львов)

№ 30. Пешеход находится в точке А покрытого снегом поля на расстоянии l м от прямой дороги, ведущей в село D. По снегу пешеход движется со скоростью v километров в час, а по дороге — со скоростью w километров в час. В какой точке В он должен выйти на дорогу, для того чтобы в кратчайший срок попасть в село D?

Островский А. (Москва)

№ 31. Решить уравнение:

если а, b, с, d, l — положительные числа и ab ≠ dl.

Гельфанд М. (Москва)

СОДЕРЖАНИЕ

Ф. Ф. Нагибин — О кинофикации курса математики средней школы ... 1

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

С. И. Зетель — Построение некоторых формул и последовательностей ... 5

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Р. А. Симонов — Первые русские математические журналы — носители прогрессивных методических идей................... 13

К. А. Малыгин — Развитие математики в Средней Азии в IX—XV вв . . 20

МЕТОДИКА

М. И. Каченовский — О работах учителей математики по изготовлению и конструированию наглядных пособий................ 24

А. К. Окунев — О наглядных пособиях в преподавании тригонометрии ... 36

В. И. Ковалев — Наглядные пособия по геометрии............ 40

Е. М. Гельфан — Проведение в классе и на местности практических работ по геометрии.......................... 45

Г. П. Сенников — О связи задач на построение и практических работ на местности в курсе геометрии VI и VII классов............ 48

И. Старостин — Простейшие модели по стереометрии.......... 52

Л. М. Демиховский — Подвижная модель геометрических фигур..... 53

А. Ф. Лебедев — Стереометрический ящик................ 55

В. В. Карпенков — Из опыта работы по изготовлению наглядных пособий и измерительных инструментов по математике............. 56

Б. П. Дробышев — Наглядное пособие к теме «Окружность»....... 58

К. С. Богушевский — Из писем и заметок читателей........... 60

СОВЕТСКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

И. Я. Депман — Василий Иванович Костин ............... 77

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

В. В. Евгенов — Конкретная помощь учителю математики......... 78

Е. М. Больсен — Литература по наглядным пособиям........... 81

В. А. Невский — Новая литература по математике............ 83

ХРОНИКА

Д. С. Гончаров — Работа методического объединения преподавателей математики г. Одессы в 1953—54 гг.................... 86

В. Д. Чистяков — Практикум для учителей............... 87

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в журнале № 6 за 1954 год......... 88

Задачи................................. 95

Редакционная коллегия: Редактор А. Н. Барсуков, зам. редактора С. И. Новоселов, члены редакционной коллегии: К. С. Богушевский, П. А. Ларичев, В. В. Немыцкий, Н. Н. Никитин, С. В. Филичев, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Р. С. Терюкалова Корректор А. А. Журавлев.

Технический редактор С. Н. Шахов

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

Сдано в производство 1/III 1955 г. Подписано к печати 13/IV 1955 г. Учетно-изд. л. 10,79 A02146. Заказ 104 Тираж 94650 экз.

Цена 4 р. 50 к. Бумага 84Х108/16 = 6 п. л. (9,84)

Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической промышленности. 13-я типография, Москва. Гарднеровский пер., д. 1а.