МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

2

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1955

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 2

МАРТ — АПРЕЛЬ

ВСЕПОБЕЖДАЮЩАЯ СИЛА ИДЕЙ ЛЕНИНИЗМА

22 апреля нынешнего года исполняется 85 лет со дня рождения Владимира Ильича Ленина — величайшего гения человечества, создателя Коммунистической партии и Советского государства, любимого вождя, отца и учителя трудящихся всего мира.

Бессмертное учение Ленина владеет ныне умами всего трудящегося человечества, указывает народам путь освобождения от оков капитализма, путь обновления мира на социалистической основе.

Центральный Комитет Коммунистической партии Советского Союза в своем постановлении «О дне памяти В. И. Ленина» указывает: «Ленинизм является великим жизнеутверждающим учением, освещающим путь строительства коммунизма. Ленин живет в великих делах Коммунистической партии Советского Союза, в новых успехах нашей советской Родины, уверенно идущей по пути к коммунизму. Идеи Ленина оказывают могучее влияние на весь ход мировой истории. Идеи Ленина живут и побеждают в делах трудящихся лагеря мира, демократии и социализма, в растущем и крепнущем международном движении за мир и дружбу между народами, за демократию и социализм»*.

Велики и безмерны заслуги В. И. Ленина в истории человеческого общества, в развитии мирового революционного движения. Ленин создал боевую революционную партию рабочего класса; всесторонне разработал и обосновал теорию и тактику пролетарской революции вообще, теорию и тактику диктатуры пролетариата в особенности. Ленин открыл Советы как государственную форму диктатуры рабочего класса, обосновал возможность построения социализма в одной стране.

Ленин, гениальный продолжатель учения и дела Маркса и Энгельса, отстоял марксизм в борьбе против его многочисленных врагов, творчески развил марксизм дальше в новых условиях, на основе нового опыта классовой борьбы пролетариата.

Известно, что первые труды В. И. Ленина появились на рубеже XIX—XX столетий, и это явление было началом нового этапа в развитии марксизма. И. В. Сталин определил ленинизм как марксизм эпохи империализма и пролетарской революции.

Возникновение и развитие ленинизма — нового этапа в истории марксизма — было обусловлено потребностями не только российского, но и международного революционного движения. Международное значение ленинизма подтвердила сама жизнь, ленинизм является интернациональным учением пролетариев всего мира. Сегодня, как и раньше, коммунистические и рабочие партии всех стран мира руководствуются теорией марксизма-ленинизма, используя всемирно-исторический опыт Коммунистической партии Советского Союза и советского народа. Вооруженные этим опытом, трудящиеся стран народной демократии под руководством коммунистических и рабочих партий успешно строят основы социализма.

* Постановление ЦК КПСС «О дне памяти В. И. Ленина», «Правда», 11 января 1955 года.

Важнейшие события мировой истории неопровержимо свидетельствуют о правоте и верности учения Маркса — Энгельса — Ленина — Сталина. Великая Октябрьская социалистическая революция, вождем и руководителем которой был В. И. Ленин, победа социализма в СССР, разгром империалистических агрессоров Советской Армией во второй мировой войне были осуществлены на основе теории ленинизма, под руководством Коммунистической партии. Торжество идей марксизма-ленинизма с необычайной силой обнаружилось в образовании стран народной демократии, в победе великого китайского народа, в подъеме национально-освободительного движения народов колониального Востока.

В. И. Ленин первый в истории марксизма создал учение о партии как руководящей организации пролетариата, как основного оружия, без которого невозможна победа диктатуры пролетариата. Более полувека прошло с того времени, когда Ленин начал строить большевистскую партию, партию нового типа. От разрозненных марксистских кружков и групп до могучей многомиллионной партии, руководящей партии первого в мире социалистического государства рабочих и крестьян — таков путь нашей славной Коммунистической партии, созданной гением В. И. Ленина.

Только наша партия смогла осуществить всемирно-историческое дело преобразования капиталистического общества в социалистическое, ибо она в своей практической деятельности руководствуется единственно правильной научной теорией — теорией марксизма-ленинизма.

Коммунистическая партия Советского Союза, единство которой Ленин завещал хранить как зеницу ока, ныне сильна, монолитна и крепка, как никогда. Единство партии, народа и правительства представляет главную животворную силу развития и движения нашей страны вперед, к коммунизму.

Советские люди, руководимые великой Коммунистической партией, добились всемирно-исторических побед социализма потому, что они боролись и побеждали врагов, внутренних и внешних, строили новую жизнь по Ленину, следуя бессмертным заветам Ленина.

Коммунистическая партия под руководством Центрального Комитета, возглавляемого И. В. Сталиным, отстояла и претворила в жизнь положение о возможности построения социализма в нашей стране, успешно осуществила строительство социалистического общества. Победоносное осуществление ленинско-сталинской политики индустриализации страны и коллективизации сельского хозяйства и проведение культурной революции в стране позволили начать постепенный переход от социализма к коммунизму.

Основой несокрушимой мощи советского социалистического строя является союз рабочего класса и крестьянства. Он был и остается основой непобедимости Советского государства. Этот союз явился той решающей силой, которая обеспечила победу Великой Октябрьской социалистической революции и построение социализма в СССР. Коммунистическая партия и в настоящее время считает одной из главных задач всемерное укрепление союза рабочего класса и крестьянства. Этому служат и последние мероприятия Центрального Комитета партии и Советского правительства.

Коммунистическая партия руководствуется основным экономическим законом социализма — обеспечение максимального удовлетворения постоянно растущих материальных и культурных потребностей всего общества. Вооруженный решениями XIX съезда партии, советский народ успешно выполняет задания пятилетнего плана. Непрерывно растет тяжелая промышленность — основа всего народного хозяйства и обороноспособности страны. Советский народ воздвигает электростанции, совершенствует методы строительства, осваивает миллионы гектаров целинных земель, борется за подъем сельского хозяйства и лучшее удовлетворение растущих потребностей трудящихся в продуктах и товарах народного потребления.

Огромное значение в связи с этим имеет постановление январского Пленума Центрального Комитета Коммунистической партии Советского Союза, который поставил задачу в ближайшие пять-шесть лет довести ежегодный сбор зерна не менее чем до 10 миллиардов пудов и увеличить производство основных продуктов животноводства в два-два с лишним раза.

В. И. Ленин учил, что политика мира является единственно правильной и отвечающей искренним интересам советского народа. Коммунистическая партия и наше правительство делают все необходимое для ослабления международной напряженности, для мирного урегулирования всех нерешенных вопросов и вдохновляют миролюбивые народы к борьбе за мир во всем мире.

В современных условиях Коммунистическая партия уделяет особую заботу и вни-

мание дальнейшему подъему культурного уровня и коммунистической сознательности трудящихся, а также научному и техническому прогрессу в стране. Советское государство по праву может гордиться крупными достижениями в развитии культуры. Борьба за всесторонне развитого человека, за развитие всех способностей человека представляет одну из главнейших забот Коммунистической партии и Советского правительства.

Теоретическим фундаментом советской науки и культуры является марксизм-ленинизм. Ленинизм, являясь новым этапом в развитии марксизма, вершиной передовой науки, в то же время — наследник достижений культуры всего человечества. В знаменитой исторической речи на III Всероссийском съезде комсомола В. И. Ленин говорил: «Без ясного понимания того, что только точным знанием культуры, созданной всем развитием человечества, только переработкой ее можно строить пролетарскую культуру — без такого понимания нам этой задачи не разрешить... Пролетарская культура должна явиться закономерным развитием тех запасов знания, которые человечество выработало под гнетом капиталистического общества, помещичьего общества, чиновничьего общества»*. Бережно отбирая из наследия прошлых эпох все плодотворное, что и в современных условиях может приносить пользу народу и обществу, советская культура отметает все неверное и реакционное, что примешивалось к ценным элементам культуры, созданным в эксплуататорском обществе. Имеющееся еще кое-где нигилистическое отношение к прогрессивным культурным и научным достижениям прошлого всех времен и народов является глубоко неправильным.

В целях дальнейшего развития социалистической экономики и культуры советская наука по-хозяйски использует все то ценное, что дает и еще может дать наука и культура при капитализме.

Достижения советской социалистической культуры являются прежде всего результатом социально-экономических преобразований, происшедших в нашей стране, итогом культурной революции.

Культура, социалистическая по содержанию, национальная по форме, достигла в нашей стране подлинного расцвета. Только в условиях социалистического государства можно было совершить великую культурную революцию и перейти к осуществлению задачи огромной важности — сделать всех рабочих и всех крестьян культурными и образованными, как это было намечено в решениях XVIII съезда партии. А на XIX съезде Коммунистическая партия поставила новую задачу — перейти в следующей пятилетке ко всеобщему десятилетнему обучению. Коммунистическая партия, заботясь о развитии культуры и образования, исходит из ленинского положения о том, что сила и прочность советского строя зависят от сознательности трудящихся масс.

Центральный Комитет партии вынес ряд важнейших постановлений о школе, о коммунистическом воспитании советских детей. Эти постановления являются дальнейшим развитием марксистско-ленинской педагогики, выражают огромную заботу партии и Советского государства об образовании и воспитании молодого поколения. Эти постановления развивают программу Коммунистической партии, в которой роль советской школы определена в качестве решающего звена в системе коммунистического воспитания молодого поколения, проводника социалистической идеологии в трудящиеся массы.

Социалистические преобразования и осуществление культурной революции создали возможность ликвидировать противоположность интересов людей умственного и физического труда, позволили сделать серьезные шаги в сторону преодоления еще сохраняющихся при социализме существенных различий между умственным и физическим трудом. Такими мерами являются введение всеобщего среднего образования (десятилетки) в столицах республик, городах республиканского подчинения, в областных, краевых и крупнейших промышленных центрах, постепенный переход в дальнейшем от семилетнего образования ко всеобщему десятилетнему образованию в остальных городах и сельских местностях, введение политехнического обучения, открытие технических училищ и т. д.

Советский народ и государство не жалеют сил и средств на развитие образования и просвещения в нашей стране. Достаточно привести некоторые данные об итогах выполнения государственного плана в 1954 г.

В связи с развитием среднего образования число учащихся VIII—X классов средних школ увеличилось по сравнению с 1953 г. на 756 тыс. человек, а по сравнению с 1950 г. — на 4 млн. 111 тыс. человек. Выпуск из десятых классов средних школ увеличился по сравнению с 1953 г. на 76 про-

* В. И. Ленин, Соч., изд. 4-е, т. 31, стр. 262.

центов. В 1954 г. в высших и средних специальных учебных заведениях (включая заочные) обучалось около 3522 тыс. человек, или на 314 тыс. человек больше, чем в 1953 г. Высшие и средние специальные учебные заведения выпустили в 1954 г. свыше 560 тыс. молодых специалистов.

В 1955 г. выделяются значительные средства на социально-культурные мероприятия. Всего на эти цели ассигнуется 146,9 млрд. руб., из них на просвещение—68,4 млрд. руб.

До последнего времени основной функцией средней школы была подготовка оканчивающих среднюю школу к поступлению в высшие учебные заведения. В настоящее время в связи с переходом ко всеобщему среднему образованию школа стала также базой для подготовки кадров в средние профессиональные учебные заведения и наряду с этим — для подготовки кадров младшего технического персонала и массовых высококвалифицированных рабочих профессий.

В ближайшие годы через среднюю школу будет проходить все молодое подрастающее поколение нашей страны, которое в школе должно получить подготовку к свободному выбору профессии.

Современное содержание общего образования не отвечает в полной мере этим новым задачам, вставшим перед средней школой. Средние школы совершенно недостаточно готовят учащихся к участию в материальном производстве, они слабо воспитывают у молодежи интерес и уважение к физическому труду.

Развитие социалистического хозяйства нашей страны, непрерывное совершенствование техники, применяемой во всех отраслях промышленности и сельского хозяйства, широкая механизация всего народного хозяйства, внедрение техники в быт, а также общие задачи, поставленные нашей партией по всестороннему физическому и умственному развитию всех членов общества, как одному из предварительных условий перехода от социализма к коммунизму, со всей остротой поставили вопрос о необходимости внести качественно новое содержание в само понятие общего образования. Общее образование, как это вытекает из решений XIX съезда партии, должно стать в нашей стране образованием политехническим.

Средняя общеобразовательная политехническая школа должна не только давать своим воспитанникам прочные и систематические знания основ наук, но и вместе с тем знакомить их с основами современного социалистического производства, его важнейшими элементами (энергетикой, машинами, технологией и организацией производства), а также вооружать учащихся умениями и навыками, необходимыми для их будущей практической деятельности.

Большая роль в осуществлении задач коммунистического воспитания учащихся принадлежит учителям и работникам народного образования. Хорошо выполнить эту ответственную роль может тот, кто вооружен марксистско-ленинской теорией, кто в совершенстве владеет своим делом, добросовестно относится к порученному участку работы. Советские педагоги воспитывают в наших детях любовь к Родине и Коммунистической партии, учат ценить их щедрую заботу о молодом поколении нашей страны.

Коммунистическая партия своей самоотверженной борьбой за дело рабочих и крестьян, за коммунизм, своей деятельностью по революционному преобразованию общества заслужила безграничную любовь и доверие советского народа. Закаленная в боях под руководством гениального Ленина, ученика и продолжателя дела Ленина великого Сталина и их соратников, наша партия является ведущей, руководящей и направляющей силой советского общества.

Верная учению Маркса — Энгельса — Ленина — Сталина, Коммунистическая партия твердо и уверенно ведет советский народ по пути к коммунизму.

О НЕКОТОРЫХ МЕТОДОЛОГИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ В ПРЕПОДАВАНИИ ГЕОМЕТРИИ*

Чл.-корр. АПН РСФСР проф. Н. Ф. ЧЕТВЕРУХИН (Москва)

В преподавании каждого предмета, каждой научной дисциплины, в частности геометрии, большое значение для успеха преподавания имеет его идеологическая направленность. От того, какие задачи и цели мы поставим перед преподаванием геометрии в школе, какими знаниями и умениями, по нашему мнению, должны обладать школьники, прошедшие курс геометрии, — зависит методика и методология преподавания предмета. Хорошее и глубокое усвоение фактического содержания геометрии, правильное понимание ее значения, умение применять геометрические знания к практическим вопросам, наконец, выработка научно обоснованного мировоззрения — все это теснейшим образом связано с теми идеологическими принципами, которые положены преподавателем в основу учебного процесса.

Вот почему необходимо тщательно изучать методологические вопросы в преподавании геометрии, останавливая свое внимание на тех из них, которые не получили должного освещения и развития.

Как часто отмечалось в печати, В. И. Ленин выразил диалектический путь познания истины, познания объективной реальности следующими словами:

«От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике»**.

В этой формуле намечены три стадии в формировании и развитии научного познания. Мы будем говорить о них применительно к геометрии. При этом нашей задачей является проанализировать эти стадии с точки зрения их значения и отражения в учебном процессе, в школьном преподавании.

Первая стадия — «живое созерцание»

Сюда должно быть отнесено формирование основных («первоначальных») понятий и простейших закономерностей (аксиом) геометрии, заимствуемых человеком непосредственно у природы, из опыта, из наблюдения окружающей действительности. Так, лучи света, стебли растений и многое другое приводят к понятию прямой линии. Поверхность воды, плоские грани кристаллов — к понятию плоскости. Форма ствола дерева — к понятию цилиндрической поверхности. Шарообразные формы некоторых плодов — к понятию сферы и т. д. Вместе с этими простейшими геометрическими понятиями вырабатываются и связывающие их элементарные закономерности. Например, плавающие на поверхности воды тела создают предпосылки для установления аксиом принадлежности. Расположение листьев на стебле растения — к установлению закономерностей порядка на прямой. Одинаковые форма и размер листьев растения — к понятию конгруентности и т. п.

Разумеется, мы говорим лишь о немногих примерах тех многочисленных и разнообразных наблюдений, которые приводили к установлению простейших абстракций геометрии. «Прежде чем прийти к мысли выводить форму цилиндра из вращений прямоугольника вокруг одной из сторон, нужно было исследовать некоторое количество реальных прямоугольников и цилиндров, хотя бы и в очень несовершенных формах»*.

* Настоящая статья является докладом, который прочитал проф. Четверухин на заседании Школьной секции Московского математического общества в феврале 1954 г.

** В. И. Ленин, Философские тетради, 1947, стр. 146—147.

* Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1950, стр. 37.

Преподавая геометрию в школе, необходимо обратить серьезное внимание на правильное, материалистическое изложение вопроса о происхождении основных понятий и аксиом геометрии. Идеалистическим извращениям буржуазной науки о том, что аксиомы геометрии являются произвольными созданиями человеческого мышления и не зависят от окружающей действительности, должно быть противопоставлено ясное и убедительное учение диалектического материализма об опытном происхождении основных понятий и аксиом геометрии.

Это настолько важно для формирования научно обоснованного мировоззрения учащихся, что в том или ином виде, на ранней или более поздней стадии учебного процесса необходимо должно находить свое место в преподавании геометрии в советской школе. В школьном учебнике геометрии А. П. Киселева его редактором проф. Н. А. Глаголевым было сделано в конце второй части дополнение: «Об аксиомах геометрии». Однако вопросу о происхождении аксиом в нем почти не уделяется внимания. Кроме того, не являясь обязательной частью учебника, «дополнение» вообще может не проходиться в школьном курсе геометрии.

Все это показывает, что, несмотря на научно-методологическую ясность вопроса о происхождении аксиом геометрии, он далеко еще не разрешен как методический вопрос курса геометрии.

В каком месте курса геометрии или, быть может, в каких местах курса следует говорить о происхождении основных понятий и аксиом геометрии — эти вопросы принадлежат к числу мало исследованных. Нам представляется, что такие «экскурсы» в форме, соответствующей возрасту учащихся, было бы полезно делать неоднократно. Например, при первом знакомстве с аксиомами геометрии, при изучении начал стереометрии, при объяснении простейших особенностей неевклидовой геометрии Лобачевского и общего обзора аксиом геометрии. При этом полезно показать, что не только в самых истоках геометрии, но и в более сложных ее построениях непосредственное наблюдение природы позволяет устанавливать геометрические закономерности. Одним из примеров может служить известный опыт с мыльной пленкой, который указывает правильное решение следующей знаменитой задачи Штейнера:

«Четыре вершины прямоугольника ABCD требуется соединить между собой прямолинейно-ломаными линиями таким образом, чтобы общая протяженность всех путей была наименьшей».

Возьмем пару параллельных пластинок, соединенных между собой четырьмя перпендикулярно поставленными к пластинкам стержнями A, B, С, D (черт. 1). Если опустить такую систему в мыльный раствор и затем вынуть, то мыльная пленка образует фигуру, состоящую из вертикальных полос между параллельными пластинками. Так как мыльная пленка (вследствие поверхностного натяжения) может находиться в равновесии лишь при условии, что площадь всей ее поверхности минимальна, то в данном случае мы должны иметь минимальную проекцию нашей поверхности на каждую из пластинок. Другими словами, на пластинке протяженность путей, соединяющих точки A, B, С, D, должна быть наименьшей. Опыт показывает, что пленка располагается в виде фигуры ABXYCD (черт. 2), причем в узловых точках X и Y прямолинейные отрезки образуют между собой углы в 120° каждый. Таково опытное решение задачи Штейнера. Оно совпадает с геометрическим теоретическим решением этой задачи. Таким образом, можем сказать, что «природа решает геометрические задачи». Человек учится у природы.

Вторая стадия — абстрактное мышление

Абстрактные математические понятия, в частности основные понятия геометрии, такие, как точка, прямая, плоскость, а также их простей-

Черт. 1

Черт. 2

шие взаимосвязи, необходимы для дальнейшего развития геометрии. Вторая стадия развития этой науки состоит в процессе образования новых закономерностей (теорем и следствий) путем логических выводов и заключений из системы первоначальных понятий и аксиом. Школьный курс геометрии почти целиком относится к этой стадии. Здесь существенное значение имеет включение аппарата мышления (логики) для формирования законов геометрии. Может возникнуть вопрос, не приведет ли вмешательство аппарата мышления человека к выводам, противоречащим объективным закономерностям природы. На это был дан исчерпывающий ответ еще Энгельсом в его «Диалектике природы» (1952, стр. 213):

«Над всем нашим теоретическим мышлением господствует с абсолютной силой тот факт, что наше субъективное мышление и объективный мир подчинены одним и тем же законам и что поэтому они и не могут противоречить друг другу в своих результатах, а должны согласоваться между собою».

Итак, человеческое мышление при помощи объективно действующих законов логики открывает новые и новые теоремы геометрии, развивает ее дальнейшее содержание.

Как уже было упомянуто, эта стадия абстрактного мышления, логических рассуждений, доказательств занимает большую часть школьного курса геометрии. Обращают внимание на то обстоятельство, что геометрический материал особенно хорош для «упражнения» на нем в логических силлогизмах и других построениях логического мышления. Хотя последнее могут развивать у учащихся и другие дисциплины, но только в программах по геометрии никогда не забывают упоминать в числе задач преподавания развитие логического мышления. Следовательно, эта часть преподавания геометрии не остается в тени. Надо только, чтобы удельный вес логического аппарата при прохождении курса возрастал постепенно, в соответствии с общим умственным развитием учащихся и возникающей у них потребностью в более строгих доказательствах.

Третья стадия— «к практике»

Было бы совершенно неправильно закончить обучение второй стадией, т. е. пройти теоретический курс, скажем, по учебнику А. П. Киселева, показать решение некоторого количества задач и считать дело сделанным. Так обычно поступали в дореволюционных гимназиях, но к практической жизни учащиеся гимназий были плохо подготовлены. Между тем учащиеся должны знать, где и как человек применяет свои геометрические знания на практике. Без этого цикл преподавания геометрии остается незаконченным в одной из своих важнейших частей. Это неправильно и с точки зрения методологии и с точки зрения методики. Марксизм-ленинизм учит о том, что человек познает, изучает окружающий мир с целью его переделки, преобразования в интересах человеческого общества.

Карл Маркс в «Тезисах о Фейербахе» писал: «Философы лишь различным образом объясняли мир, но дело заключается в том, чтобы изменить его»*.

В. И. Ленин писал в «Философских тетрадях»:

«Сознание человека не только отражает объективный мир, но и творит его»**. И далее:

«Мир не удовлетворяет человека и человек своим действием решает изменить его».

Итак, целью познания объективного мира является возможность его преобразования, и каждая наука, каждое знание должно служить этой цели.

Вся деятельность ученого-новатора И. В. Мичурина блестяще подтверждала эту мысль. «Только на основе учения Маркса, Энгельса, Ленина и Сталина можно полностью реконструировать науку»,—писал И. В. Мичурин. «Объективный мир — природа есть примат, человек — есть часть природы, но он не должен только внешне созерцать эту природу, но, как сказал К. Маркс, он может изменять ее. Философия диалектического материализма есть орудие изменения этого объективного мира, она учит активно воздействовать на эту природу и изменять ее, но последовательно и активно воздействовать и изменять природу в силах только пролетариат, — так говорит учение Маркса, Энгельса, Ленина и Сталина — непревзойденных умов — гигантов»***.

Убежденный в успехе на основании своих знаменитых опытов, Мичурин говорил: «Человек может и должен создавать новые формы растений лучше природы».

Как ярко и красочно был подтвержден этот тезис самим Мичуриным и его учениками на практике!

Обратимся теперь к геометрии и спросим себя, как велики успехи человека в практическом использовании геометрических знаний.

Следует признать, и в этом нетрудно убедиться, что применение геометрии в практической жизни настолько широко по своему

* К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., т. IV, стр. 591.

** В. И. Ленин, Философские тетради, 1947, стр. 184 и 185.

*** И. В. Мичурин, Соч., т. 1, Сельхозиздат, 1948, стр. 623.

охвату и распространено повсюду, что мы перестаем его замечать, принимая как привычное. В самом деле, ведь всем предметам, сделанным руками человека, придается целесообразная геометрическая форма. Так стоит ли об этом говорить? Нам думается, что говорить об этом необходимо, и особенно в школе. Надо обратить внимание учащихся на огромное практическое применение геометрических знаний. На ряде примеров можно видеть, что потребность в геометрической науке все возрастает. Любая производственная деятельность человека, будь то изготовление примитивных орудий первобытного общества или современных сложных машин, всегда требовала и требует знания геометрических форм, соответствующих уровню производства. Было бы, может быть, весьма интересно изучить для различных периодов истории развития человеческого общества его геометрические представления, наиболее применявшиеся им геометрические формы как в производственной деятельности, так и в строительном деле, архитектуре. Однако нам сейчас надо подумать о том, что должно быть сделано в школе, в частности на уроках геометрии. Говоря о практическом применении геометрических закономерностей, известных школьникам из курса геометрии, мы не только сделаем последний для них более интересным и жизненным, но и восстановим методологическую законченность цикла целесообразного познания, изучения окружающего мира человеком.

По решению XIX съезда КПСС наша школа переходит на систему политехнического обучения. Учащиеся будут знакомиться с основами производства. Они должны получить подготовку к практической деятельности. Математика сама является элементом политехнических знаний, поэтому учащиеся уже на уроках математики должны начать свое знакомство с тем, как применять математику, в частности геометрию, на практике. При этом надо предусмотреть два вида такого знакомства.

Во-первых, надо сообщить учащимся некоторые сведения о том, как, где и в каких конкретных условиях используются в практической жизни геометрические знания.

Во-вторых, привить учащимся некоторые умения и навыки в пользовании математическими инструментами, приборами, таблицами и в выполнении практических измерений и вычислений.

В ряде статей и брошюр, опубликованных в последнее время, рассматривается преимущественно второй из указанных вопросов. Внесены многочисленные предложения. В то же время первый вопрос остается вне поля зрения, несмотря на все его методологическое значение. Поэтому мы в дальнейшем и сосредоточим на нем свое внимание.

Прежде всего следует подчеркнуть, что именно в курсе геометрии открываются буквально на каждом шагу разнообразные и вполне доступные возможности показать широкое использование геометрических знаний в практической жизни. Все предметы вокруг нас, сделанные руками человека, имеют приданную им ту или иную геометрическую форму. При этом бросается в глаза особенное изобилие прямолинейных, плоских, прямоугольных форм, а также форм, ограниченных поверхностями вращения. Достаточно посмотреть вокруг себя, чтобы убедиться в этом. Можно ли считать это случайным? Разумеется, нет. Такое оформление изделий человеком является целесообразным и имеет свое объяснение в ряде условий.

Вот некоторые из них.

1) Физические условия. Так, например, удобства передвижения заставляют делать пол комнаты или танцевальной площадки плоским и, учитывая вертикальное направление силы тяжести, располагать его горизонтально, чтобы иметь устойчивое положение предметов, стоящих на полу. Наоборот, крышу дома делают плоской и наклонной, чтобы обеспечить легкое скатывание по крыше осадков в виде дождя и снега. Физические свойства света вызывают необходимость придавать строго плоскую форму оконному стеклу или зеркалу и т. д.

2) Промышленные (производственные) условия. Здесь речь идет о том, что обработка изделия происходит при помощи инструментов и станков. В последних используются простейшие виды движений: прямолинейное, поступательное, вращательное. Таковы движения в строгальных и долбежных станках (поступательные), в токарных и фрезерных станках (поступательные и вращательные), в сверлильных (сочетание поступательного с вращательным). В результате действия этих станков изделие приобретает плоскую поверхность или поверхность вращения. Вот, например, перед нами так называемый с гончарный круг», на котором изготовляется глиняная посуда (черт. 3). Материал помещается на вращающемся столике и обрабатывается вручную. Понятно, что изделие будет иметь форму поверхности вращения!

Таким образом, мы видим, что в работе инструментов и станков по большей части (и это вполне естественно) применяются простейшие виды движения, что и сообщает продукции, обрабатываемой на этих станках,

соответствующие формы (прямолинейные, плоские, поверхности вращения). Было бы весьма интересно произвести подробный элементарно-геометрический анализ работы инструментов и станков. Это могло бы доставить богатый методологический материал для лиц, изучающих и преподающих геометрию.

Заметим, что обработка изделия упрощается, если его форма имеет плоскости или оси симметрии. В этом случае возможны повороты изделия на 180°, что является одной из причин такого подавляющего распространения предметов прямоугольной формы (столы, рамы, двери, окна, листы бумаги и т. п.)

Черт. 3

3) Эстетические требования. Наряду с промышленными условиями, предъявляемыми к форме изделий, должны быть также учтены эстетические требования. Каждое изделие, в особенности такое, которое будет занимать видное место в окружающей обстановке, должно иметь красивую форму. Это относится к архитектурным формам различных сооружений и зданий, к предметам домашнего обихода и т. д. Школьники знакомы из курса черчения с «орнаментами», в которых геометрические фигуры используются для украшений. Часто разнообразят формы поверхностей вращения предметов, добиваясь наиболее красивого и совершенного рисунка. Человек стремится сделать окружающий его мир прекрасным и совершенным во всех отношениях, поэтому и к форме своих изделий он предъявляет экстетические требования.

4) Геометрические условия. Наконец, следует отметить, что в самих геометрических свойствах фигур кроются причины их использования в изделиях человека. Так, например, плашки паркета должны иметь форму фигуры, которой можно заполнить плоскость. Поэтому чаще всего для паркета используются плашки прямоугольной или квадратной формы (см. черт. 4 и 5), а также в форме правильных шестиугольников (черт. 6).

Мы уже говорили о производственных причинах распространения прямоугольных форм изделий человека. Они связаны с геометрическими свойствами прямоугольника, имеющего 2 оси симметрии. С другой стороны, ко многим изделиям предъявляется требование многократного складывания. Так, например, различные изделия из бумаги (карты, планы), из материала (скатерти, простыни, платки) должны допускать многократное складывание.

Черт. 4 Черт. 5

Черт. 6

Произведем геометрический анализ этого понятия. Пусть какая-либо плоская фигура имеет ось симметрии. «Сложить» эту фигуру по оси симметрии означает совместить ее часть, лежащую по одну сторону от оси симметрии, с частью, лежащей по другую сторону от оси симметрии, оставляя неподвижными все точки фигуры, лежащие на оси (см. черт. 7 и 8).

Для того чтобы складывание можно было произвести несколько раз, необходимо и достаточно, чтобы после каждого складывания полученная фигура имела ось симметрии. Это не всегда имеет место. Так, например, равносторонний треугольник ABC (черт. 9) имеет три

оси симметрии, но после складывания около одной из них он преобразуется в прямоугольный треугольник ACD, не имеющий оси симметрии.

Черт. 7

Черт. 8

Поэтому для равностороннего треугольника возможно лишь однократное складывание. Для ромба (черт. 10) или эллипса (черт. 11) возможно двукратное складывание: первый раз около одной из осей симметрии, например AС, а затем около второй — DE.

Прямоугольник является фигурой, которая допускает неограниченное число складываний. В этом нетрудно убедиться, так как после каждого складывания прямоугольника мы снова имеем прямоугольник (черт. 12). Быть может, это свойство прямоугольника является одной из причин, почему многим изделиям из бумаги и ткани придается прямоугольная форма.

Заметим, что свойствам неограниченного складывания обладают также некоторые круговые фигуры, например сектор круга* (см. черт. 13), а также «круговая трапеция» (черт. 14), «основаниями» которой служат дуги концентрических окружностей, боковыми сторонами — отрезки радиусов.

Черт. 9

Черт. 10

Черт. 11

Представляется интересным изучить свойства геометрических фигур по отношению к операции «складывания».

Черт. 12

Операцию «складывания» можно рассматривать в более общем виде. Следующий опыт с листом бумаги, часто встречающийся на практике, дает интересный материал для этого.

Предположим, что мы имеем лист бумаги произвольной формы (черт. 15). Попытаемся сложить его так, чтобы он имел какую-либо

* Включая самый круг как частный случай.

линию сгиба (рис. 16). Для этого, как известно, достаточно провести ладонью руки, прижимая согнутый лист к столу. Лист складывается, причем линией сгиба всегда оказывается прямая. Последняя настолько правильна, что вполне естественно желание выяснить причину этого явления. Обыкновенно приходится слышать самые различные варианты объяснений и возможных причин возникновения столь точной прямой линии. Мы покажем, однако, что причина заключается в геометрических свойствах плоскости.

Сформулируем задачу геометрически. Прежде всего дадим определение операции «складывания поверхности по линии». Сделаем это в самой общей форме.

Пусть имеем поверхность Ф и на ней линию s. Тогда поверхность называется «сложенной по линии s», если существует такое «изгибание поверхности на себя» (наложение), при котором все точки линии s остаются неподвижными, но хотя бы одна точка поверхности меняет свое место.

Предположим, что поверхность Ф есть плоскость. Тогда докажем следующую теорему:

Теорема. Для плоскости возможно складывание только по прямой линии. По любой прямой на плоскости существует складывание последней.

Докажем сперва невозможность складывания плоскости по линии, не являющейся прямой. Пусть имеем на плоскости σ какую-нибудь не прямую линию s (черт. 17). Докажем, что «складывание» плоскости σ по линии s невозможно. Отметим на линии s три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Все точки линии s (в том числе точки А, В, С) при складывании остаются неподвижными. В то же время должна существовать такая точка M, которая при складывании меняет свое место. Обозначим ее новое положение буквой М'. Треугольник АВМ при складывании перейдет в треугольник АВМ!. Причем, конечно, должны иметь: △АВМ = △ABM'*. Существует единственная точка M', удовлетворяющая этому условию и не совпадающая с точкой М. Это точка, симметричная точке M относительно прямой AВ. Поэтому будем иметь: MM' ⊥ AB.

Рассуждая аналогичным образом относительно треугольника ВСМ, придем к выводу, что единственное возможное положение точки M после складывания плоскости а, отличное от первоначального, дает точка М", симметричная

Черт. 13

Черт. 14

Черт. 15

Черт. 16

* Так как при складывании точки А и В остаются неподвижными, а точка M переходит в М'.

с M по отношению прямой ВС. Поэтому должны иметь:

Так как три точки A, В, С не лежат на одной прямой, то прямые AB и ВС образуют угол φ, не равный 0 (см. черт. 17). Следовательно, будем иметь:

Откуда и вытекает невозможность совпадения точек М' и М", а значит, и невозможность существования точки М, меняющей свое место на плоскости. Итак, единственное наложение плоскости а на себя, не изменяющее точки линии s, есть тождественное наложение, при котором все точки о совпадают. Но такое наложение не является, по определению, складыванием.

Черт. 17

Далее нетрудно убедиться в том, что необходимым и достаточным условием складывания плоскости по линии s является требование, чтобы линия s была прямой.

В самом деле, как видно из чертежа 1, для совпадения точек M и М" необходимо, чтобы φ = 0. Но это означает, что каждые три точки A, B, С линии s должны лежать на одной прямой. Таким образом, линия s должна быть прямой. Это — необходимое условие; оно в то же время и достаточно. Пусть s — произвольная прямая на плоскости σ (черт. 18). Повернув плоскость σ вокруг линии s на 180°, мы получим, очевидно, складывание плоскости по линии s, так как каждая точка M плоскости σ перейдет в симметричную относительно 5 точку М', a все точки прямой s останутся неподвижными.

Теорема доказана.

Вместе с тем выяснена причина, почему лист бумаги складывается всегда по прямой линии.

Следствие. Как выше было установлено, складывание плоскости возможно только по прямой, причем каждая точка плоскости занимает положение, симметричное по отношению к первоначальному.

Черт. 18

Отсюда заключаем, что, выполнив новое складывание плоскости по прямой s1 таким образом, чтобы прямая s наложилась сама на себя, мы должны иметь: s1 ⊥ s, т. е. будет построен прямой угол. Точки прямой s, оставаясь на этой прямой, перейдут в симметричное положение (черт. 19). При помощи дальнейших складываний можно получить угол в 45° и решить ряд других задач (см., например, С. Роу, Геометрические упражнения с куском бумаги, 1910).

Примечание. Заметим, что вопрос о «складывании поверхности по линии», исследование которого было нами проведено для плоскости, и является вполне элементарным, может быть поставлен и по отношению к другим поверхностям. Так, например, очевидно, что раз-

Черт. 19

вертывающиеся поверхности могут «складываться» по своим геодезическим линиям. Действительно, при развертывании такая поверхность преобразуется в плоскость, а геодезические линии — в прямые.

Приведенные примеры показывают, что в созидательной деятельности человека, наряду с другими условиями, должны учитываться и законы геометрии. Чем дальше развивается техника и усложняются задачи, стоящие перед человечеством, тем более совершенствуются геометрические формы, дающие необходимое решение. Достаточно напомнить определяемые путем тонких методов расчета обтекаемые формы современных самолетов или других машин, движущихся в воде и воздухе.

Хотелось бы еще упомянуть о двух классических примерах использования геометрии в практической жизни. Это работа нашего великого соотечественника П. Л. Чебышева «О кройке одежды» (1878 г.), в которой он доказал, что линии основы и утка остаются в равновесии на поверхности тела только в том случае, если они являются геодезическими. При этом из первоначальной фигуры квадрата (ткань) они преобразуются в криволинейный четырехугольник (на поверхности тела).

Второй пример — разыскание линий кривизны на поверхности, которое знаменитый французский геометр Гаспар Монж ставил в связь с задачей разбиения поверхности свода на плиты. В качестве линий деления всего удобнее выбирать такие, нормали вдоль которых образуют развертывающиеся поверхности, т. е. линии кривизны (см. Монж, Приложение анализа к геометрии, 1936, стр. 232).

Процесс познания законов природы и общественной жизни происходит непрерывно, он бесконечен. В любой период истории развития науки можно усмотреть три ленинские стадии познания объективной реальности, о которых говорилось выше применительно к развитию геометрии. Они должны найти свое отражение и в школьном курсе элементарной геометрии. Однако сделано в этом отношении очень мало, особенно в освещении вопросов использования геометрических знаний в творческой, преобразующей деятельности человека. Между тем в преподавании геометрии, как полагает автор, можно дать очень убедительные и яркие примеры значения геометрии в практической жизни. Это содействовало бы выработке у учащихся цельного диалектико-материалистического мировоззрения и создавало бы предпосылки для разработки вопросов политехнического обучения.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЛОГАРИФМОВ*

Г. К. ОСТАПОВ (Рига)

Вычисление логарифмов, особенно с большой точностью, представляется для многих учителей, а тем более учащихся средней школы, неясной и сложной задачей. Некоторые учителя говорят, что вычислить логарифмы можно только при помощи высшей математики, и забывают то, что первые таблицы логарифмов (Непера, Бюрги и Бригга) были вычислены элементарным путем.

В настоящей статье мы даем изложение ряда элементарных методов вычисления логарифмов, вполне доступных учащимся старших классов средней школы. Наиболее интересными методами, с которыми было бы желательно познакомить учащихся в кружке, являются видоизмененные методы Непера и Бригга (первый).

Строгое доказательство теоремы существования логарифма в средней школе дать невозможно, так как теоретическое обоснование того, что каждое положительное число b можно представить как степень любого положительного основания а, не равного единице:

ах = b (а>0, а ≠ 1, b>0),

базируется на теории пределов и на теории иррационального числа. Но можно этот факт принять без доказательства, ограничившись только фактическими вычислениями х с известным приближением, т. е. дать приближенное решение уравнения

ах = b.

Перейдем к рассмотрению элементарных методов вычисления логарифмов.

Видоизмененный метод Непера

Непер во второй своей книге в «Прибавлении» дал два метода вычисления логарифма. Сейчас мы и рассмотрим один из этих методов, который был развит К. Ф. Лебединцевым («Руководство алгебры»).

Данный метод вычисления логарифмов вытекает из следующих соображений: чтобы определить десятичный логарифм числа а с точностью до 1/n, где а и n — целые положительные числа, достаточно знать, между какими последовательными целыми степенями числа 10 заключается число an. В самом деле, если мы имеем неравенства

то из них следует, что

таким образом, искомый логарифм равен x/n с точностью до 1/n (с недостатком).

Определим по этому методу lg3 с точностью до 1/100 (по К. Ф. Лебединцеву). Для этого нам необходимо будет узнать, между какими последовательными степенями числа 10 заключается число 3100.

Непосредственным умножением находим, что

Отсюда ясно, что число 310 заключается между 59000 и 60 000, или

* Материал настоящей статьи Г. К. Остапова может быть рекомендован для занятий школьных кружков. Ред.

Возвысив каждое из этих чисел в квадрат, найдем:

(1)

или после округления результата:

Возвысив каждое число снова в квадрат, получим:

или после округления:

Возвысив каждое число снова в квадрат, получим:

(2)

Если теперь перемножить неравенства (1) и (2), то найдем:

или

откуда

Итак, искомый lg 3 = 0,47 с точностью до 0,01.

Приведем еще вычисление lg3 с точностью до 1/105.

Выше было найдено, что 310 = 59049. Далее находим:

и затем будем иметь последовательно такие неравенства:

Таким образом, lg 3 = 0,47712 с точностью до

Следует заметить, что при производстве действий надо пользоваться приемами приближенных и сокращенных вычислений. Полезно также ограничиться вычислением одной только мантиссы искомого логарифма, как, например, при определении lg 51 лучше определить lg 5,1.

При вычислении логарифмов по этому методу можно пользоваться для определения числа цифр степени an следующим известным правилом: число цифр произведения равно или сумме числа цифр сомножителей, когда произведение начальных цифр представляет двузначное число, или сумме цифр сомножителей минус единица, когда произведение начальных цифр представляет однозначное число.

Для квадратов чисел будем иметь или вдвое больше цифр, или вдвое больше без одной.

Пользуясь этим правилом, можно производить вычисления по следующей схеме:

Для экономии времени можно при вычислении логарифмов ограничиваться вычислением их с точностью до 0,01 или 0,001 и лучше, конечно, брать небольшие числа.

1-й видоизмененный метод Бригга

Для вычисления натурального логарифма Бригг предварительно извлекал 54 раза корень квадратный из 10 и составил соответствующую таблицу. Можно воспользоваться этой таблицей и элементарным методом вычислить десятичный логарифм.

Сущность этого метода заключается в следующем: необходимо то число, логарифм которого мы ищем, представить в виде степени с основанием 10, а для этого можно воспользоваться таблицей √10, где n = 2; 4; 8; 16;... Точность, с которой получается логарифм числа, выражается последней из взятых в показателе дробей 1/2n.

Прежде чем дать примеры на вычисление логарифмов чисел по этому методу, приведем необходимую часть таблицы √10:

При помощи этой таблицы можно вычислить логарифм числа с восьмизначной мантиссой.

Пример 1. Вычислим lg 2 с трехзначной мантиссой.

Взяв из таблицы число 1,778, наиболее близкое с недостатком к числу 2, положим:

(снова пользуемся таблицей)

Заметим еще, что для вычисления логарифма по этому методу можно воспользоваться и другой готовой таблицей √10, а именно:

При помощи этой таблицы можно вычислить логарифм числа не больше чем с пятизначной мантиссой. Чтобы вычислить мантиссу с большим числом знаков, необходимо таблицу составить с большим числом десятичных знаков.

Приведем вычисление lg 2. Вычислим вначале lg 2 с двузначной мантиссой:

Далее найдем lg 2 с трехзначной мантиссой:

Затем найдем lg 2 с четырехзначной мантиссой:

Наконец, найдем lg 2 с пятизначной мантиссой;

Итак,

Как видим, этот метод вычисления логарифмов является убедительным и наглядным. Рассмотренный метод вполне доступен ученикам средней школы. При этом необходимо пользоваться готовой таблицей √10 (одной из двух приведенных, лучше — первой).

Следует отметить, что этот метод был избран великим русским математиком Н. И. Лобачевским при вычислении им десятичного логарифма числа 2 в его книге «Алгебра или вычисление конечных» (1834 г.). Приведем выдержку из главы XIII «О логарифмах» (§ 172): «Из примеров предыдущей статьи можно видеть, как много таблицы логарифмов сокращают вычисление. Для составления самих таблиц существуют различные способы, из которых предложенный в 175-й статье как доказательство возможности определять логарифм всякого числа делается несравненно уже легче, когда постепенным извлечением квадратного корня заменяем здесь отыскивание десятичных долей в показателе.

В прилагаемой таблице по левую сторону черты поставлены значения постепенно извлекаемого квадратного корня от 10, а на правой — соответствующий показатель степени от того же основания логарифмов

[В книге пропущен конец этой таблицы, воспроизведенный в первоначальной рукописи. Вот он:

Пусть теперь требуется найти десятичный логарифм от числа а>1, a <10. Число а или должно встретиться между корнями на левой стороне черты, и тогда

где n — целое положительное число, или а будет заключаться между двумя корнями так, что

следовательно,

Здесь число a10-2-n = а' снова >1 (ст. 165), потому что log а > 2-n, и снова найдем или

или

где целое число m > n, потому что

Так продолжая, или получим

где целые числа m>n, r>m и т. д. Если log а не будет найден строго, то по крайней мере последний показатель р можно сделать

как угодно великим и, следовательно, принимая ту или другую сумму за log а, допустим ошибку менее, нежели 2-р.

Когда а>10, то стоит взять такое целое положительное число и, чтобы a10-u>1, <10, найти log (а-10-u), и тогда

Например, надо найти

Складываем показатели, соответствующие знаменателям в таблице.

Число 1024 = 210; следовательно, log2 = 0,301029996.

2-й видоизмененный метод Бригга

Для вычисления логарифмов с трехзначной мантиссой можно воспользоваться одним из приемов, которым пользовался Бригг для облегчения вычислительной работы при составлении своей таблицы логарифмов.

Например, найдем lg 2. Возьмем равенство:

Прологарифмировав его, получим:

откуда

Мы можем считать, что приближенно (с точностью до двух цифр) lg 1024 равен lg 1000, и тогда lg 2 ≈ 0,30. Ошибка, допущенная при замене числа 1000 на 1024, равна 0,024 от 1000.

Сейчас уместно вспомнить следующее: небольшую прибавку логарифма можно считать пропорциональной соответствующей прибавке числа.

Исходя из этого положения, нужно будет приближенный результат 0,30 исправить путем прибавления к нему 0,024 от 1/10 его величины:

Итак,

Аналогично вычисляется lg3, но только надо исходить из равенства: 34 = 81. Логарифм 5 находится просто, так как

Для нахождения lg 7 Бригг пользовался равенством:

Чтобы найти lg 11, надо воспользоваться равенством:

откуда

Прологарифмировав последнее приближенное равенство, получим:

Для нахождения lg 13, исходим из равенства:

Чтобы вычислить lg 17, исходим из равенства:

и т. д. Логарифмы трехзначных чисел 111 и т. д., за исключением 101, 102 и др., вычисляются путем пропорционального изменения логарифмов чисел 110 и т. д.

Логарифмы чисел 101, 102 и других вычиляются при помощи равенств

и т. д.

Следует заметить, что логарифмы составных чисел определяются очень просто, а именно: как суммы логарифмов простых чисел.

Итак, мы видим, что трехзначную таблицу логарифмов очень легко вычислить, т. е. такую таблицу может вычислить ученик средней школы.

Таблица трехзначных логарифмов была составлена английским физиком Лоджем и усовершенствована Я. И. Перельманом (прибавлением готовых поправок).

Метод Саррюса

Более шестидесяти лет тому назад Саррюсом был предложен элементарный метод вычисления логарифмов. Этот метод основан на двоичной системе счисления. В двоичной системе счисления умножение на 2 выполняется весьма легко: достаточно перенести запятую на одну цифру вправо. На этом свойстве и основан метод Саррюса. Пусть

10x = N (1),

откуда

x = lgN.

Характеристика логарифма находится по известному правилу.

Пусть характеристика логарифма равна л. Пусть мантисса в двоичной системе счисления будет: x1, x2 x3, ..., где x1, x2, x3, ... — нули или единицы.

Подставив в равенство (1) вместо х его значение, а именно: n, x1, x2, x3, ..., получим:

Разделив обе части последнего равенства на 10n, получим:

Если обозначим N:10n через N1, то последнее равенство можно переписать в виде:

Возведя в квадрат обе части этого равенства, получаем:

х1 будет характеристика логарифма числа

После того как найдена цифра x1, делим обе части последнего равенства на 10x1 и получим:

Далее продолжаем аналогично тому, как для нахождения x1, т. е. находим x2.

Таким приемом мы сможем найти произвольное число цифр логарифма, который будет записан в двоичной системе счисления, но от двоичной системы нетрудно перейти к десятичной системе счисления.

Пример. Вичислить lg5.

Возведем в квадрат, получим:

получим:

Разделив обе части равенства на 10, получим:

Возведя в квадрат, получим:

следовательно:

Возведя в квадрат, имеем:

Продолжая этот процесс, составим таблицу

Таким образом получим: 0, x1, x2 x3 ... x10 = 0,1011001011. Теперь нужно перейти от двоичной системы счисления к десятичной. Нам нужно подсчитать сумму:

При помощи следующей таблицы будет легче найти сумму:

Итак, имеем сумму:

Следует заметить, что возведение в квадрат* было выполнено приближенно.

Метод этот является интересным, вполне доступным учащимся средней школы, но перед тем как давать этот метод, нужно познакомить учащихся с двоичной системой счисления.

Метод непрерывных дробей

Непрерывные дроби представляют довольно простой метод приближенного вычисления логарифмов какого-нибудь числа. Этот метод был открыт в 1717 г. Тейлором.

Положим, что нужно определить логарифм числа 2 при основании 10.

Обозначим логарифм числа 2 через 1/x, так что

10 1/x =2.

Возведя в степень х обе части равенства, получим:

10 = 2x.

Нетрудно заметить, что х содержится между 3 и 4.

Положив

находим: и отсюда

Заметив, что x1 содержится между 3 и 4, положим:

находим:

и отсюда

В результате находим следующие равенства:

и т. д.

Для lg 2 получим выражение в виде непрерывной дроби:

Подходящие дроби будут:

Черт. 1

* Возводим число в квадрат при помощи таблицы квадратов чисел, которая находится в пятизначных таблицах логарифмов Пржевальского.

Трудность этого метода заключается в возведении дробных чисел в довольно высокие степени.

Если не пользоваться понятием непрерывной дроби, то изложение по этому методу в конце рассуждения следует несколько изменить, а именно: после нахождения x5 = 4 + 1/x6 следует заметить, что lg 2 нельзя точно вычислить, а потому, не продолжая действия, примем x5 = 4. Тогда

итак:

Обратив эту дробь в десятичную, получим: lg 2 = 0,30103.

Графический метод вычисления логарифмов

Кроме рассмотренных нами методов вычисления логарифмов, существует еще графический метод.

Приведем изложение одного из методов графического вычисления таблицы логарифмов, который был дан В. М. Брадисом («Как надо вычислять», вып. 3, 1934).

Составим, например, таблицу десятичных логарифмов всех целых чисел от 1 до 100. Характеристики логарифмов чисел 1—9 равны 0, а чисел 10—99 равны 1. Итак, нужно составить таблицу только для мантисс. Таблицу мантисс нужно будет составить для чисел от 10 до 100, так как числа 2; 3; 4; 5; ... имеют одинаковые мантиссы с числами 20; 30; 40; 50; ... Возьмем дробные числа 1,0; 1,1; 1,2;...; 1,9; 10,0, имеющие те же мантиссы, что и целые числа 10; 11; 12;...; 99; 100. Вычислим для дробных чисел мантиссы, ограничиваясь двумя десятичными знаками. Возьмем следующую первоначальную таблицу:

N

1

10

lgN

0

1

Сделаем три последовательные уплотнения этой таблицы путем введения средних арифметических и средних геометрических.

Первоначальная таблица после первого уплотнения:

N

1

3,162

10

lgN

0

0,5

1

После второго уплотнения:

N

1

1,778

3,162

5,623

10

lgN

0

0,25

0,5

0,75

1

После третьего уплотнения:

N

1

1,334

1,778

2,371

3,162

4,217

5,623

7,499

10

lgN

0

0,125

0,250

0,375

0,500

0,625

0,750

0,875

1,100

Вместо продолжения уплотнения таблицы найдем логарифмы чисел 11; 12; 13;... посредством графика. График построим по последней таблице; на оси абсцисс будем откладывать числа, а на оси ординат их логарифмы (черт. 1).

Простое чтение данного чертежа дает нам возможность найти таблицу логарифмов чисел первой сотни. Логарифмы по данному графику будут вычислены с двумя десятичными знаками.

Графический метод вычисления логарифмов дает малую точность, является довольно длинным и отнимает много времени.

МЕТОДИКА

О ТРЕБОВАНИЯХ К ПИСЬМЕННЫМ РАБОТАМ НА АТТЕСТАТ ЗРЕЛОСТИ*

С. В. ФИЛИЧЕВ (Москва)

Дискуссия об оформлении письменных работ по геометрии с тригонометрией на аттестат зрелости ведется на страницах журнала «Математика в школе» с № 1 за 1947 г.

Обзорная статья К. С Богушевского по вопросу об оформлении экзаменационных работ, помещенная в № 2 за 1953 г., вызвала многочисленные отклики. Поэтому редакция снова вернулась к данному вопросу, поместив в № 2 за 1954 г. три статьи:

1) В. А. Буртаев, К вопросу о выполнении экзаменационных работ на аттестат зрелости;

2) Я. М. Дымшиц, По поводу требований, предъявляемых к письменным экзаменационным работам;

3) М. С. Черепнин, О причинах разногласий в оценках экзаменационных работ по геометрии.

Поместив эти статьи, редакция подвела первые итоги дискуссии по вопросу оформления работ по геометрии на аттестат зрелости.

Но материал, помещенный в № 2 журнала за 1954 г., снова вызвал многочисленные отклики.

Ниже приведен ряд высказываний, содержащихся в полученных редакцией откликах.

1) Тов. Лолаев Г. А. (Северная Осетия, сел. Дигора) отмечает, что все авторы статей стремятся расширить требования к экзаменационным работам без учета условий работы и степени подготовленности учащихся сельских национальных школ. Далее автор отмечает, что необходимо в учебнике геометрии или тригонометрии поместить образцы решения задач по геометрии с применением тригонометрии с тем, чтобы не только учителя, но и учащиеся имели возможность узнать конкретные требования, предъявляемые к экзаменационным работам.

Возражения против схемы оформления решения задач как средства, облегчающего выполнение экзаменационной работы, автор считает необоснованными.

2) Тов. Моланова М. В. (г. Самарканд) ставит вопрос, можно ли считать работу отличной, если учащийся не привел при решении задачи доказательства дополнительной теоремы, не указанной в программе для школы.

3) Тов. Столяр Е. Я. (Винницкая обл.) отмечает, что тов. Буртаев в своей статье о решении геометрических задач с применением тригонометрии, помещенной в № 2 журнала за 1954 г., во многих местах дал излишние или не совсем рациональные объяснения.

4) Тов. Бевз Г. П. (УССР, Черкасская обл.) считает, что ученик должен описать сделанный им чертеж, но описывать его построение — лишнее, если этого не требует условие задачи. Исследованию подлежат только те задачи, в условиях которых указано, что надо исследовать решение.

5) Тов. Кучава В. Г. (г. Тбилиси) считает, что при решении стереометрических задач на-

* Статья написана С. В. Филичевым по поручению редакции.

ряду со знанием формул учащийся должен уметь строить геометрические фигуры, проводить в них требуемые сечения с соответствующим обоснованием этих построений.

6) Тов. Ягодовский М. И. (Курск) подробно, критически разбирает статьи, помещенные в № 2 журнала за 1954 г. Автор отмечает длинноты и нечеткость в объяснении решения задачи в статье В. А. Буртаева.

По поводу выполнения стереометрических чертежей автор отмечает, что при изображении круглых тел лучше придерживаться ортогонального проектирования, ориентируясь на книгу проф. Н. Ф. Четверухина. Кабинетную же проекцию оставить для многогранников и некоторых комбинаций тел, где достаточно ограничиться одним фронтальным сечением шара.

Тов. Ягодовский не согласен с точкой зрения Я. М. Дымшица, согласно которой отрицается схема объяснения хода решения задач. В конце статьи он дал образец решения одной задачи, который ниже приведен.

7) Тов. Горбушин Ф. А. (Ярославль) в заметке к вопросу о чертежах пространственных фигур тщательно разобрал статью М. С. Черепнина, напечатанную в № 2 журнала за 1954 г. Автор не согласен с тов. Черепниным и стоит на той точке зрения, что ученики не обязаны строить чертежи ко всем задачам в той или иной проекции, так как это построение во многих случаях будет непосильным для учащихся.

8) Тов. Батраченко Г. М. (г. Сумы) в статье «Ошибки в методической литературе при исследовании общего решения задачи по геометрии с применением тригонометрии» считает, что исследование общего решения необходимо. Он подробно анализирует ошибки при исследовании общего решения в методической литературе. В заключение автор отмечает, что ошибочное и примитивное исследование вводит учителя в заблуждение и не помогает сознательному усвоению курса математики учащимися.

9) Тов. Михелович (Латвийская ССР) отмечает, что работы кандидатов на медаль имели недочеты: 1) решения громоздкие, в объяснениях уделено много внимания ясным вопросам, а вопросы, требующие разъяснений, не получили достаточного освещения; 2) с большими недостатками выполняются чертежи, не используются элементы теории проекций; 3) нерациональные приемы решения следует отметить не только «в целом», но и в деталях; 4) многие недочеты в работах остаются при первом чтении без внимания со стороны преподавателей-экзаминаторов.

Кроме вышеприведенных откликов, редакцией были получены и некоторые другие; в них повторялись в основном те же самые мысли, а потому редакция их не приводит.

Редакция считает, что помещенными в журнале статьями и откликами на них, а также статьями тт. Смирнова и Рассыпнова, помещенными в настоящем номере, дискуссия об оформлении письменных работ по геометрии с тригонометрией на аттестат зрелости может быть закончена и есть все основания сделать окончательные выводы.

Подводя окончательные итоги дискуссии, редакция журнала отмечает, что наиболее рациональный план объяснения решения задачи как минимум должен состоять из следующих частей: 1) условие задачи, заголовок: «решение»; 2) пояснения к чертежу; 3) решение в общем виде; 4) вычисление числового результата; 5) ответ на вопрос задачи с наименованием.

Заголовки частей должны быть краткие. Часто пояснения к чертежу озаглавливают, например, так: «Выполнение чертежа данной пространственной фигуры и объяснение к нему»; это излишне длинно. Рубрики нумеровать необязательно.

Объяснение может быть дано в виде связного рассказа без выделения вышеприведенных частей. Объяснение целесообразно давать в такой последовательности: чертеж с пояснениями, обоснованное решение в общем виде и нахождение числового ответа.

Выполнение работы по вышеприведенной схеме тем удобно, что разбивка большого решения на отдельные части облегчает средним учащимся понимание и выполнение всей работы.

Часто после выполнения чертежа и объяснения к нему дается краткая запись того, что дано в условии задачи, что дополнительно установлено при объяснении чертежа согласно условию задачи и что требуется найти. Это делать необязательно.

Точно так же необязательно вводить рубрику об исследовании общего решения, так как исследование общего решения не предусмотрено инструкцией о проведении экзаменов и, следовательно, не требуется.

Массового учителя больше всего волнует вопрос о выполнении чертежа. Чертеж должен быть правильным, наглядным и аккуратно выполненным.

Пусть в задаче требуется провести в правильной треугольной пирамиде высоту и апофему. Чертеж будет правильным и наглядным, если высота проходит через центр правильного треугольника, лежащего в основании пирамиды, апофема правильной пирамиды делит сторону основания пополам, высота изображена вертикальным отрезком, основание расположено на горизонтальной плоскости (черт. 1).

Возьмем задачу: «Основанием треугольной пирамиды служит равнобедренный (неравносторонний) треугольник с углом при вершине 2α. Боковые грани образуют с основанием одинаковые углы ß. Высота пирамиды Н. Определить боковую поверхность пирамиды».

Черт. 1

Чертеж был бы выполнен неправильно, если бы точка M была помещена в точке пересечения биссектрисы угла В со стороной АС, а точка L в точке пересечения биссектрисы угла А со стороной ВС, этого не может быть в равнобедренном неравностороннем треугольнике (черт. 2).

Черт. 2

Чертеж должен быть аккуратно выполненным:

1) исполнен при помощи чертежных инструментов, кроме изображения окружности в виде эллипса (это делается от руки);

2) чертеж целесообразно помещать в левой части страницы и делать небольшого размера (5—8 см); в правой части даются выноски, а если их нет, то правая часть остается чистой;

3) чертеж не загромождать лишними обозначениями.

Допустимо выполнение чертежа на отдельном листе при помощи чертежных инструментов. Видимые линии обязательно выполняются сплошными, а невидимые — штриховыми. Сечения полезно штриховать, так как это наглядно показывает форму сечения и помогает объяснению решения задачи. Можно сечения вычерчивать отдельно. При выполнении чертежей на комбинацию тел можно допустить пользование цветными карандашами.

Вполне допустимо при выполнении стереометрических чертежей пользоваться образцами, помещенными в стабильном учебнике геометрии А. Киселева (последние издания)*.

При решении задачи в общем виде надо добиваться, чтобы учащиеся применяли наиболее простой способ решения, рационально выполняли тождественные преобразования, связно, обоснованно вели объяснение. В тексте объяснения хода решения сокращенная запись слов не допускается, заменять слова математическими знаками также не разрешается.

В статьях учителей, присланных в редакцию, встречаются такого рода сокращения: то постр.», «по док.», «сеч. ABС», «пл. сеч.», «пир-да», «пар-д», «тр-к», «Д-к», «бок. ребро», «усеч. кон.», «в пл. ABС О —центр...» (вместо: в плоскости треугольника ABС точка О есть центр...)». Это свидетельствует о том, что многие учителя не только не борются за культуру математических записей, но и сами применяют совершенно недопустимые, уродливые сокращения в тексте объяснения хода решения задачи.

Наименования в ответах лучше ставить без скобок.

Если при объяснении делается ссылка на теорему, которая не предусмотрена программой, то эту теорему надо доказать.

Редакция снова повторяет, что единой формы объяснения решения задачи не может быть, так как каждая задача обладает известной индивидуальностью, которую невозможно предусмотреть, и потому трудно уложить решение в стандартную схему. Кроме того, единая схема объяснения решения задач приводит к шаблону, задерживает творческую работу учителя и учащихся.

При решении задачи от учащихся необходимо требовать лишь того, что сказано в условии задачи. Если в задаче сказано, что проведено сечение, то учащийся обязан установить (с обоснованием), какая фигура получилась в сечении. Если в условии задачи сказано, что в правильную четырехугольную пирамиду вписан шар, учащийся должен обосновать местоположение центра шара.

Кроме выполнения чертежа, большие затруднения у учащихся вызывает объяснение решения в общем виде. Формы объяснения решения могут быть различны, но строго логическое рас-

* К вопросу о выполнении чертежа редакция вернется в специальной статье.

суждение при этом должно быть обязательно (см. нижеприведенное решение задачи).

Нельзя считать строго логическим рассуждение при решении вышеприведенной задачи (см. черт. 2), если ученик вначале утверждает, что ∠SLO = ∠SMO = ∠SNO = ß, а несколько позже утверждает, что SL, SM, SN являются высотами боковых граней пирамиды; следовало бы рассуждать в обратном порядке.

Или учащийся утверждает, что высота пирамиды SO проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC, так как треугольники SOL, SOM и SON равны и AB⊥ON, BC⊥OL, АС⊥ОМ, а здесь ход обоснований должен быть обратным: из того, что AB⊥ON, BC⊥OL и АС⊥ОМ, следует, что ∠SLO = ∠SМО = ∠SNO = ß, откуда следует, что треугольники SLO, SMO и SNO равны и SO проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC.

Итак, на данном этапе работы школ при оформлении решения геометрических задач на аттестат зрелости будет вполне достаточно, если чертеж выполнен по образцу тех чертежей, которые помещены в стабильном учебнике, дано строго логическое объяснение решения в общем виде, правильно и аккуратно выполнены логарифмические вычисления.

Необязательно решать задачи на проекционном чертеже, а также производить исследование полученного общего решения.

Вместе с тем редакция повторяет, что целесообразно в течение года прорешать несколько задач на проекционном чертеже и с исследованием параметрических данных.

Ниже приводится образец решения одной из экзаменационных задач.

Задача. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют между собой тупой угол ß. Две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом а. Найти боковую поверхность пирамиды. Вычислить боковую поверхность пирамиды при а =11,08 м; α = 69°16'; ß = 106°50'.

Решение. 1. Пояснения к чертежу. Пусть SABCD—данная пирамида, ее основание ABCD— ромб с тупым углом ABC (черт. 3).

Боковые грани SAB и SBC перпендикулярны к плоскости основания, тогда ребро SB перпендикулярно к плоскости ABCD (на основании свойства линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных к третьей плоскости), SB⊥AB и SB⊥BC на основании определения перпендикуляра к плоскости, отсюда: угол ABC будет служить линейным углом двугранного угла ASBC и, следовательно, равен ß.

Грань SAD составляет с плоскостью ABCD двугранный угол AD. Из точки В опустим перпендикуляр ВК на AD и точку К соединим с точкой 5.

Отрезок SK перпендикулярен к AD на основании теоремы о трех перпендикулярах. Угол SKB является линейным углом двугранного угла AD и, следовательно, равен а.

Черт. 3

Прямоугольные треугольники SBA и SBC равны, так как у них катет SB общий, а катеты AB и ВС равны по условию. Тогда AS = SС. Треугольники SAD и SDC равны по трем сторонам (SD — общая сторона, AS = SC и AD = DC).

2. Решение в общем виде. Имеем:

Требуется найти боковую поверхность пирамиды (Sбок).

(SK— высота треугольника SAD).

или

(1)

Из прямоугольного треугольника АВК, где ∠ABK = ß — 90°, получим:

Из прямоугольного треугольника SKB имеем:

(2)

(3)

Подставляя равенства (2) и (3) в равенство

(1), получим:

3. Вычисление при

Логарифмируем:

4. Ответ. Боковая поверхность пирамиды:

Приведенное решение разбиралось на заседании математического объединения преподавателей математики г. Курска.

Приведенный образец решения вполне доступен для учащихся, оканчивающих десятилетку. Он краткий, исчерпывающий в смысле обоснования решения.

О ТРЕБОВАНИЯХ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ ПО ГЕОМЕТРИИ НА АТТЕСТАТ ЗРЕЛОСТИ И ОБ ОЦЕНКЕ ЭТИХ РАБОТ

И. И. СМИРНОВ (Москва)

Вопрос о требованиях к выполнению экзаменационных работ неоднократно дискутировался на страницах журнала «Математика в школе» (см. № 1 и № 6 за 1947 г., № 2 за 1953 г., № 2 за 1954 г.), причем по ряду положений: о чертеже, об объеме и содержании объяснения решения задачи — были высказаны диаметрально противоположные утверждения. Просмотр работ, представленных школами на соискание медалей, и ознакомление с оценками этих работ рецензентами комиссий, присуждающих награждение медалями, показывают, что на страницах журнала следует рассмотреть итоги широкого опыта работы и прийти к возможным обобщающим выводам.

При дальнейшем изложении предполагается, что задача письменного экзамена по геометрии на аттестат зрелости заключается в выявлении:

1) уровня знаний теоретического курса геометрии (аксиом, определений, теорем и их следствий); уровня пространственного воображения; навыков в выполнении геометрических построений, доказательств и вычислений;

2) знания теории гониометрии и решения треугольников, навыков в выполнении тождественных преобразований тригонометрических выражений;

3) степени общего развития и умения логически последовательно с полноценным обоснованием изложить решение задачи, которое должно быть написано правильно стилистически и с соблюдением требований грамматики;

4) навыков в вычислении выражений при. помощи таблиц логарифмов.

Приводим решение двух задач, предлагавшихся на весенних экзаменах в г. Москве в 1954 г. с утвержденной оценкой «5».

1°. В шар радиуса R вписана пирамида, основанием которой служит прямоугольник; боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом α, а одна из боковых rраней образует с плоскостью основания угол ß. Найти объем пирамиды.

Вычислить объем пирамиды при R = 28,65, α = 42°53', ß = 62°15' (черт. 1).

Примечание. Хорда MM1 эллипса на чертеже 1 к данному решению не относится; она показана для сопоставления с чертежом 3, помещенным ниже.

Предварительные объяснения

Пусть N0 — высота пирамиды NABCD, вписанной в шар. Тогда отрезки ОA, OB, ОС и OD

будут проекциями боковых ребер пирамиды на ее основание и, по условию задачи,

так как это прямоугольные треугольники, у которых катет NO — общий, а противолежащие этому катету острые углы равны. Из равенства треугольников следует равенство других катетов:

значит, точка О — основание высоты пирамиды — лежит в центре окружности, описанной около основания пирамиды.

Черт. 1

Вершины А. В, С и D вписанной пирамиды лежат на поверхности шара и поэтому отстоят от его центра на одном и том же расстоянии, равном радиусу шара; следовательно, центр шара должен быть на перпендикуляре к основанию пирамиды, проходящем через центр окружности, описанной около этого основания (этот перпендикуляр является геометрическим местом точек, равноотстоящих от вершин А, В, С и D). По доказанному, такой перпендикуляр — высота NO пирамиды, и, значит, эта высота совпадает с диаметром NN1 шара, является его частью.

Пусть двугранный угол AB, образованный боковой гранью ANB пирамиды с ее основанием, равен ß; построим его линейный угол. Проведем OK ⊥ AB и точку К соединим с вершиной пирамиды; тогда будем иметь: NO⊥пл. ABCD, NK — наклонная к этой же плоскости, а OK — ее проекция; ОК⊥АВ (по построению), а потому NK⊥AB, ∠NKO — линейный двугранного угла AB и численно равен ему: ∠NKO = ß.

Данные для решения задачи: радиус шара равен R, ∠NAO = α; ∠NKO = β.

Решение в общем виде

где V — объем пирамиды, В — площадь ее основания (прямоугольника ABCD), H — высота пирамиды; по чертежу:

Определим отрезки AD, AB и N0.

Д NAN1, является вписанным в окружность сечения шара плоскостью этого треугольника, ∠NAN1 (как вписанный и опирающийся на диаметр) равен 90° и NA ⊥ AN1, ∠NN1А = ∠NAO (как острые углы, стороны которых взаимно перпендикулярны), NN1 = 2R; отсюда

Из прямоугольного треугольника AON:

OA = АС, так как точка О — точка пересечения диагоналей прямоугольника, поэтому

Из прямоугольного треугольника МОК (NO ⊥пл. ABCD, NO⊥OK), в котором ∠NKO = ß, находим:

OK — средняя линия треугольника ABC, так как OK || ВС (OK⊥AB, ВС⊥АВ) и AО=ОС, следовательно:

Из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора вычисляем AB:

Находим выражение объема пирамиды через данные в условии задачи:

Проверка решения

Объем тела выражается положительным числом кубических единиц.

По смыслу задачи R > 0; углы α и ß — острые углы прямоугольных треугольников, их тригонометрические функции — положительные числа.

α + ß — сумма острых углов — лежит в границах:

sin(α+ß) в этих границах — положительное число.

(катет меньше гипотенузы), следовательно,

Все сомножители в формуле решения — положительные числа, а потому она выражает положительное число кубических единиц (R3) и удовлетворяет условию задачи. (Вычисление опускаем.)

2°. В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от середины высоты пирамиды до боковой грани равно а. Найти полную поверхность вписанного в пирамиду конуса, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом α.

Черт. 2

Вычислить полную поверхность конуса при

а = 37,42 дм, α = 46°28' (черт. 2).

Примечание. Отрезок DM на чертеже 2 к настоящей работе не относится, он понадобится в дальнейшем изложении.

По условию задачи, конус вписан в пирамиду; это значит, что конус и пирамида имеют общую вершину, а основание конуса — круг — вписано в основание пирамиды.

N0 — общая высота пирамиды и конуса, так как из одной точки пространства можно провести к плоскости единственный перпендикуляр.

Пусть основание конуса касается стороны DC квадрата, лежащего в основании правильной четырехугольной пирамиды NABCD, в точке К. Соединив точку К с вершиной конуса, получим образующую NК. Тогда будем иметь: N0 — перпендикуляр к плоскости ABCD, NK — наклонная к этой плоскости, OK — ее проекция; по условию ∠ NKO = α.

Допустим, что точка L — середина высоты N0, т. е. NL = LО. В плоскости NOK проводим LM ⊥ NК. Докажем, что LM — перпендикуляр к боковой грани DCN пирамиды.

Проекция OK образующей NK является радиусом вписанной окружности, проведенным в точку касания с окружностью стороны DC квадрата, поэтому OK ⊥ DC, следовательно, NK ⊥ DC; NKO — линейный угол двугранного угла DС. Ребро CD двугранного угла перпендикулярно к плоскости NKO линейного угла, оно перпендикулярно к отрезку LM, лежащему в плоскости NOK.

Если LM ⊥ CD и LM ⊥ NK, то LM ⊥ пл. NCD, что и требовалось доказать.

Теперь можем использовать для решения задачи следующие данные по чертежу: ∠ NKO = α, LM = а.

По формуле полной поверхности конуса

где OK — радиус основания конуса, NK — его образующая; находим эти отрезки.

Из прямоугольного треугольника NLM, в котором ∠LNM = 90° — α и катет LM = a:

Высота конуса в точке L делится пополам, следовательно:

Из прямоугольного треугольника NOK (NO ⊥ пл. ABCD, NO ⊥ OK):

Находим полную поверхность конуса:

Полученная формула очевидно выражает положительное число квадратных единиц (a2 и 0°<α<90°).

Теперь остановимся на замеченных недостатках в работах и на оценке последних; попутно коснемся решения дискуссионных вопросов.

Заметим здесь, что нормы оценки («Нормы оценки успеваемости учащихся по математике в V—X классах средней школы», М. П. РСФСР, изд. 1952 г.) предусматривают две группы недостатков письменных работ: грубые ошибки и ошибки-недочеты, причем последняя группа включает чрезвычайно разнообразные по характеру недостатки — от существенных до мелких и случайных. В дальнейшем изложении грубые ошибки названы ошибками, ошибки-недочеты — существенными недочетами, мелкие и случайные недостатки — недочетами (при наличии даже недочетов, не единичных и не носящих случайного характера, работа кандидата на медаль не может считаться отлично выполненной).

Выполнение чертежа

Прежде всего следует отметить многочисленные ошибки геометрического порядка при изображении заданной условием задачи пространственной фигуры; для иллюстрации приводим два неверные чертежа из просмотренных работ (черт. 3 и черт. 4).

При изображенном на чертеже 3 (к задаче 1°) положении полюсов шара N и N1 отрезок МM1 является не диаметром сечения, а его хордой, расположенной ближе к наблюдателю от диаметра NN1 шара; точка О пересечения хорды МM1 и диаметра NN1 не существует: это только кажущаяся точка пересечения (сравнить с чертежом 1).

На чертеже 4 изображена вписанная в цилиндр пирамида, две боковые грани которой перпендикулярны к ее основанию, а два боковые ребра образуют с основанием равные углы.

Из условия задачи вытекает, что в основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник ACD, высота АК которого делит его основание CD пополам, что и предполагалось на чертеже. В действительности, в данном изображении (в прямоугольной проекции) хорда CD не будет перпендикулярной к диаметру AB; в точке К, лежащей на диаметре АВ, хорда CD не делится пополам.

черт. 3

Подобные ошибки на чертеже говорят не только о слабости пространственного воображения, но и о несовершенном усвоении теории геометрии.

Черт. 4

Часто наблюдается невыполнение пунктира при изображении на чертеже невидимых линий; это существенный недочет для работы оканчивающего десятилетку — неумение видеть взаимного расположения в пространстве элементов изображаемой фигуры.

Заметим попутно, что при изображении вписанных тел пунктиры можно выполнять — в целях большей наглядности — независимо от наличия описанного тела, как это сделано на чертежах 1 и 2; можно пользоваться цветными чернилами.

В связи с чертежом 1 возникает такой вопрос. Если принять во внимание заданное зна-

чение параметра α = 42°53', то ∠ANC = 180 — 2α = 94°14' и, следовательно, центр шара должен лежать вне пирамиды. Является ли чертеж 1 не соответствующим условию задачи и следует ли при таком чертеже снижать оценку работы? — Не является, и оценку снижать не должно: по смыслу задачи ее предлагается решить в общем виде и затем дополнительно вычислить объем при заданных частных значениях параметров. Чертеж 1 не соответствовал бы условию задачи, если бы в тексте самой задачи (а не в дополнительном задании) были указаны частные значения параметра.

Объем и содержание объяснений

Большинство авторов статей, помещенных в журнале, принимая совершенно верные предпосылки —

что при решении задачи следует исходить из ее условия, ничего к нему не добавляя и не перетолковывая этого условия;

что в объяснении должно быть обосновано только существенно необходимое для решения задачи, —

выдвигают ряд неоправданных требований, носящих чрезвычайно субъективный характер, несмотря на попытки теоретически их обосновать.

Это в первую очередь относится к вопросам о построении заданного в задаче пространственного образа и об исследовании задачи или ее решения.

Заметим, что ссылки некоторых авторов в защиту своих взглядов на образцы решений в книгах Б. Делоне и А. Житомирского, Д. И. Перепелкина, Ж. Адамара здесь неуместны: решение задач в этих книгах преследует совершенно другие цели, чрезвычайно отличные от тех, которые имеют в виду экзаменационные работы и которые были сформулированы во вступительной части данной статьи.

Об изложении построения чертежа. В этом вопросе высказаны два диаметрально противоположные взгляда: одни авторы утверждают, что изложение построения чертежа (в полном соответствии с принципом решения задач на построение) обязательно; другие считают наличие такого изложения в задачах на вычисление дефектом работы в силу несоответствия «типу» (в задаче нет задания «построить»).

Первые рассматривают задачу на вычисление как комбинированную, в которой одинаково существенны все элементы решения: построение, доказательство и вычисление, почему все эти составные части решения задачи и должны быть обстоятельно изложены. Вторые исходят из формального (по заданию) противопоставления трех основных типов задач: на построение, доказательство и вычисление с присущей каждому из них спецификой решения. В данном ортодоксальном противопоставлении оба взгляда неприемлемы, достаточно для этого вдуматься во второй (выделенный курсивом) тезис о содержании объяснения — «должно быть обосновано только существенно необходимое для решения задачи»; вопрос, как наиболее рационально выполнить это обоснование, решается каждый раз спецификой задачи.

Действительно, по содержанию решения преобладающее число задач являются задачами комбинированными и решающее звено часто не соответствует «типу» задачи. Таким решающим звеном в задачах на построение или доказательство иногда является элемент вычисления (решение задач на построение с приложением алгебры и т. п.); с другой стороны, нередко в задачах на вычисление решающим является элемент построения. Убедительные примеры иллюстрации последнего утверждения приведены в статье М. С. Черепнина (№ 2 журнала за 1954 г.).

В 1953 году школам была предложена такая экзаменационная задача:

Периметр основания прямоугольного параллелепипеда равен р; острый угол между диагоналями основания равен а. Через меньшую сторону основания параллелепипеда и середину отрезка, соединяющего точки пересечения диагоналей оснований, проведена плоскость. Определить площадь полученного сечения, зная, что плоскость сечения образует с основанием параллелепипеда угол ß.

В этой задаче плоскость «проведена», однако положение сечения, являющееся ключом к выполнению вычислительных операций, совершенно неясно; это положение проще может быть определено путем построения сечения. Описание этого построения в качестве обоснования взаимного расположения элементов пространственного образа, заданного условием задачи, здесь будет уместным.

С другой стороны, для чего на странице 40 журнала (№ 2 за 1953 г.) нагромождено описание построения комбинации, изображение которой элементарно просто и доступно, а для решения задачи требуется обосновать только совпадение высот пирамиды и конуса, показать угол наклона образующей конуса к плоскости основания и построить линейный угол. Такое ненужное загромождение объяснения

следует считать существенным недочетом работы.

Описание построения чертежа вполне допустимо и в тех случаях, если оно рационально ведет к выполнению упомянутого второго тезиса. В приведенной выше задаче 1° для решения существенно было установить совпадение высоты пирамиды с диаметром шара, проведенным из вершины пирамиды, и показать углы между боковыми ребрами и основанием пирамиды. Приводим начало объяснения в варианте решения с описанием построения (для варианта оценка «5» также была утверждена комиссией).

«Пусть NN1 — диаметр шара. Проведем сечение этого шара плоскостью, перпендикулярной к диаметру в произвольной его точке О, и впишем в это сечение прямоугольник ABCD. Соединив вершины A, В, С и D прямоугольника с концом N диаметра, получим изображение вписанной в шар пирамиды, высотой которой будет отрезок N0 диаметра шара и боковые ребра которой наклонены к основанию под равными углами; докажем последнее утверждение.

(треугольники — прямоугольные, катет NO у них общий, а катеты OA, OB, ОС и OD также равны, как радиусы описанной около прямоугольника ABCD окружности). В этих равных треугольниках углы, лежащие против общего катета, равны:

∠NAO = ∠NBO = ∠NCO = ∠NDO.

Эти углы являются углами наклона боковых ребер пирамиды к. ее основанию, так как отрезки OA, OB, ОС, и OD — проекции боковых ребер пирамиды на ее основание.

Принимаем по условию задачи, что ∠NAO = α.

Здесь при изложении построения непосредственно установлено совпадение высоты пирамиды с частью диаметра шара и указаны углы между боковыми ребрами и основанием пирамиды; ничего лишнего, не относящегося к решению задачи, не внесено.

Изложенное построение чертежа вполне соответствует условию задачи, которое требует общего решения для любых произвольных значений заданных углов из множества допустимых их значений.

С другой стороны, имеются задачи на вычисление, для которых попытка построить фигуру (наглядную иллюстрацию) была бы неоправданной затратой времени; таким примером может служить следующая задача:

Все грани куба, вписанного в шар, продолжены до пересечения с поверхностью шара. На сколько частей будет разделена сферическая поверхность полученными линиями пересечения?

Из сказанного вытекает такое решение поставленного вопроса:

изложение построения чертежа в объяснении к решению задачи на вычисление может иметь место, когда оно рационально подводит к усстановлению существенно необходимых для решения задачи данных, как это было сейчас показано на двух примерах.

Не следует сковывать творческую мысль решающего какими-либо неоправданными каноническими формами; наоборот, следует создавать доступную свободу выбора рациональных путей решения задачи и содействовать творческим исканиям этих путей.

Отметим, что построение (а потому и изложение в объяснении) отдельных элементов чертежа особо часто имеет место: построение линейного угла в задаче 1°; отрезка а в задаче 2° и т. п.

Об элементах исследования. В решении задачи 1° проведена проверка общего решения, включающая элементы исследования. Проверка решения задач в целях самоконтроля составляет естественную составную часть этого решения; она выполняется устно или письменно, об ее значении неоднократно писалось на страницах журнала и в методических руководствах: решающий должен осознать соответствие полученного решения требованиям задачи. В задачах по геометрии рекомендуется, например, проверять, во избежание ошибок, что формула для площади должна быть второго измерения, формула для объема — третьего. С включением в формулу тригонометрических функций дополнительно возникает необходимость контроля за тем, чтобы формула выражала положительное число, тем более, что в решениях нередко встречается знак минус:

(задачник Рыбкина, § 21, № 24),

(задачник П. С. Моденова, изд. 1954 г., № 567).

В большинстве просмотренных экзаменационных работ, представленных на соискание

медали, такая проверка выполнена; это, несомненно, дополнительное достоинство работ. Разумеется, что в тех случаях, когда формула очевидно удовлетворяет решению задачи, то об этом достаточно сделать только замечание (см. решение задачи 2°). Однако отсутствие проверки, производимой в целях самоконтроля, не может считаться недочетом работы.

В то же время необязательным является исследование решения на изменение параметров в множестве их допустимых значений или исследование на изменение форм геометрических фигур; оба вопроса находятся в начальной стадии методической разработки и являются дискуссионными.

Об изложении обоснований (доказательств). Часто размеры объяснений чрезвычайно разрастаются ссылками на теоремы и определения с формулировкой последних. В приведенных решениях задач 1° и 2° осуществлена достаточная лаконичность изложения. Приводим для сопоставления вариант объяснения углов наклона боковых ребер пирамиды к ее основанию, отличный от изложенного в решении задачи 1°. В некоторых работах объяснение записано так.

«По условию задачи все боковые ребра пирамиды наклонены к ее основанию под углом а. Мы знаем, что углом прямой с плоскостью, если эта прямая является наклонной, называется острый угол, образованный наклонной и ее проекцией на плоскость. Проекцией наклонной называется отрезок прямой, соединяющий основание перпендикуляра к плоскости, проведенного из конца наклонной, с основанием наклонной. N0 — высота пирамиды, т. е. перпендикуляр, опущенный из вершины N пирамиды на плоскость ее основания; NA, NB, NC и ND — наклонные, проведенные из вершины N пирамиды к ее основанию, поэтому отрезки OA, OB, ОС и OD будут проекциями боковых ребер пирамиды на ее основание, а углы NAB, NBO, NCO, NDO — углами наклона боковых ребер пирамиды к ее основанию. По условию задачи

Все это верно, но записаны элементарно известные истины, а объяснение в объеме выросло в 4 раза.

Излишнюю детализацию объяснений, пример которой только что приведен, в данное время не следует считать недочетом, но все же следует вырабатывать у учащихся умение лаконичнее писать обоснования.

Нет смысла каждый раз доказывать одно и то же положение, если один раз это сделано: в той же работе (1°) в предварительном объяснении было доказано, что △AON —прямоугольный, поэтому при решении в общем виде непосредственно утверждается: «Из прямоугольного треугольника AON».

Лаконичность объяснений не следует смешивать с отсутствием обоснований. В некоторых работах (задача 2°) просто фиксировалось: «NO — общая высота пирамиды и конуса»; «проводим LM ⊥ NK; LM — перпендикуляр к боковой грани пирамиды». Такой лаконизм, конечно, недопустим для работы, претендующей на высокую оценку.

Как уже указывалось выше, в объяснении должно быть обосновано только существенно необходимое для решения задачи.

В задаче 2° (в приведенном варианте решения) было достаточно установить:

совмещение высот пирамиды и конуса;

соответствие отрезка NK образующей конуса;

что ∠NKO — угол наклона образующей к основанию конуса;

что LM — расстояние от середины высоты до боковой грани пирамиды.

Естественно, что при разных вариантах решения одной и той же задачи элементы для обоснования могут быть различными.

При решении задачи 1° в некоторых вариантах отпадала необходимость фиксировать совпадение высоты пирамиды с диаметром шара; вместо этого приводилось доказательство, что центр шара находится в плоскости △NOA на пересечении высоты N0 пирамиды и перпендикуляра к ее боковому ребру NA, проходящего через середину последнего. При этом, разумеется, весь ход решения был иной.

Следовательно, содержание предварительного объяснения должно быть в полном соответствии с последующим решением; наличие всего лишнего, не имеющего непосредственного отношения к решению задачи, должно рассматриваться как существенный недочет работы (в некоторых работах в объяснении к задаче 2° доказывалось без дальнейшего использования, что образующая NK совмещается с апофемой пирамиды, и т. п.).

Часто имеют место излишества пояснений в ходе решения задачи в общем виде: если установлено, что треугольник прямоугольный, то все известные из теории соотношения между элементами прямоугольного треугольника следует писать без предварительной словесной формулировки этих соотношений; другие аналогичные примеры приведены в статье К. С. Богушевского (№ 2 журнала за 1953 г.). Излишества пояснений следует отнести к недочетам работы.

О некоторых «требованиях»

В статьях журнала встречается требование предварять объяснение к чертежу описанием чертежа, приводится даже обоснование:

«Во многих ученических работах такого описания не приводится, и потому иногда остается неясным, что именно изображают отдельные детали чертежа» (см. № 2 журнала за 1953 год, стр. 35).

Указанное требование не является обязательным: при наличии текста задачи и верного, четкого чертежа к ней содержание чертежа может (и должно) пониматься отчетливо без всякого описания, если же этого нет, то чертеж плохой, и это уже предрешает оценку работы. Требование это не является принципиальным, его невыполнение не должно влиять на оценку работы.

Таким же непринципиальным является требование о полной записи данных, предваряющей решение в общем виде (см. № 2 журнала за 1953 г., стр. 40). Такая запись естественна только при отсутствии текста задачи, как заменяющая этот текст. Можно ограничиться в конце объяснения к чертежу компактной записью данных, на которых основывается решение задачи (см. объяснения к задачам 1°, 2°).

К необязательным относится и требование о записи плана решения, предваряющей решение задачи в общем виде (№ 2 журнала за 1953 г., стр. 42); этот план естественно определяется записью соответствующей формулы поверхности, объема и т. д., сделанной в отрезках чертежа: подлежащие вычислению отрезки непосредственно устанавливаются по этой формуле, причем способы и порядок их вычисления могут быть различными (это будет показано ниже в последующей рубрике).

Подводя итоги сказанному об объеме и содержании объяснений, можно указать как на одну из возможных такую простейшую схему оформления экзаменационной работы:

1. Текст задачи.

2. Чертеж.

3. Объяснения к чертежу с краткой записью данных.

4. Решение в общем виде.

5. Вычисления по заданным значениям параметров.

6. Полный ответ на вопрос задачи, в общем виде и вычисленный.

Естественно, что эту схему следует рассматривать как возможный план выполнения работы, причем рубрикация в работе необязательна.

Рациональное решение

К оценке работ с точки зрения рационального выполнения решения в целом или в деталях следует подходить с особо большой осторожностью.

Выше были указаны три варианта предварительных объяснений в решениях задачи 1°:

1) с доказательством совпадения высоты пирамиды с частью диаметра шара;

2) с изложением построения комбинации;

3) с обоснованиями положения центра шара в точке пересечения высоты пирамиды и перпендикуляра к боковому ребру, проведенного через середину последнего.

Какой из этих трех вариантов считать рациональным и какие нерациональными?

Приводим сокращенно некоторые из встречавшихся в работах варианты решения задачи 1° (см. черт. 1).

1. △ ANC — равнобедренный,

Далее решение совпадало с приведенным в начале статьи.

2. По третьему приведенному здесь варианту предварительного объяснения:

Далее решение совпадало с предыдущими вариантами.

Какой из приведенных вариантов решения считать рациональным?

В некоторых работах встречался такой вариант решения задачи 2° (черт. 5).

«Проводим в треугольнике NOK перпендикуляр OR к гипотенузе NK.

OR || IIM (два перпендикуляра к одной прямой);

LM — средняя линия треугольника NOR,

Из прямоугольного треугольника ORK:

Из △ NOK (прямоугольного):

Черт. 5

Решение оригинальное, но можно ли считать его более рациональным, чем приведенное в начале статьи?

Укажем еще некоторые варианты доказательств построения отрезка а при решении задачи 2° (см. черт. 2).

1. «Проводим (в плоскости треугольника NOK) LM ⊥ NK.

NO ⊥ пл. ABCD, NO ⊥ CD; OK ⊥ CD (радиус OK проведен в точку касания окружности со стороной CD квадрата); следовательно, CD ⊥ пл. NOK и CD ⊥ LM.

Теперь имеем: LM ⊥ NK (по построению), LM ⊥ CD (по доказанному), LM ⊥ пл. NDC, по условию задачи LM = а».

2. «Проводим LM ⊥ NK и соединяем точки M и D. DC⊥OK (OK— радиус, проведенный в точку касания), DC ⊥ NK (по теореме о трех перпендикулярах); DC ⊥ пл. NOK, DC-перпендикуляр к пл. NOK DM — наклонная к этой плоскости и КМ ее проекция; LM ⊥ КМ (по построению), LM ⊥ DM (по теореме о трех перпендикулярах).

Если LM ⊥ МК и LM ⊥ DM, то LM ⊥ пл. NDC».

Некоторые рецензенты предлагали считать второй вариант доказательства нерациональным, но комиссия, обсуждавшая работы, справедливо признала его оригинальным и потому полноценным.

Комиссия признала все приведенные сейчас варианты решения задач 1° и 2° полноценными, и это вполне естественно.

Если бы какая-либо группа учителей рассматривала те же варианты решений, то едва ли было бы достигнуто согласованное решение, какие из них считать рациональными и какие нерациональными.

Из практики школьной работы учителям известно, что учащимися нередко предлагаются чрезвычайно оригинальные и простые решения задач, которые не были предусмотрены самим учителем. Задача школы — развивать самостоятельное мышление учащихся, организовать и поощрять их творческие искания, а не канонизировать его (мышление) в застывших, кажущихся идеальными формах.

Наиболее оригинальные решения должны отмечаться как особое достоинство работ, что и было сделано комиссией по отношению первого приведенного сейчас варианта доказательства в решении задачи 2°.

Приведем пример того, насколько может быть субъективен подход к оценке решения с точки зрения рационального выполнения.

В. А. Буртаев в статье, опубликованной в № 2 журнала за 1954 г., пишет (стр. 4 журнала), что при оценке работ должно быть принято во внимание, насколько рационален способ, которым решена задача. Далее (на стр. 5) он же дает такое вычисление боковой стороны SC равнобедренного треугольника SBC, в котором ∠S = a и ВС = а (черт. 6):

Черт. 6

Между тем, проведя высоту равнобедренного треугольника, непосредственно получим:

Здесь неуместное применение теоремы синусов осложнило вычисление настолько, что такое осложнение следует рассматривать как недочет.

П. С. Моденов в своей книге «Сборник конкурсных задач по математике» уже в первом издании 1950 г. ставит перед учительством задачу развивать у учащихся навыки рационального решения задач, свою мысль он проиллюстрировал рядом ценных примеров. Предлагаем читателю проследить в последующих изданиях книги вариации решения задачи, помещенной в последнем издании книги (1954 г.) под № 609, чтобы увидеть, что не всегда удается сразу найти наиболее рациональное решение задачи.

Все сейчас сказанное приведено для иллюстрации того, насколько осторожно должен применяться критерий рационального решения.

В просмотренных работах кандидатов на награждение медалями были отмечены следующие нерациональные приемы, оцененные как существенные недочеты работ:

1. В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза и острый угол. Решавший задачу один катет определил через гипотенузу и синус острого угла, а другой катет определял по теореме Пифагора — явное осложнение.

2. Нерациональные преобразования:

3. В некоторых работах решение в общем виде не приводилось к простейшему, что снижало точность вычисленного логарифмированием ответа.

Ошибки

Кроме указанных выше ошибок геометрического порядка на чертеже, ошибки встречаются и в объяснениях.

Определения и теоремы. В ряде случаев обнаруживается незнание или непонимание смысла определений, теорем, понятий. Приводим примеры.

«NO⊥пл. ABCD, следовательно, на основании теоремы о двух перпендикулярах (? — И. С.) NO⊥OK» (черт. 2).

«NO ⊥ пл. ABCD, следовательно, по определению перпендикуляра к плоскости, N0 ⊥ OK и ∠ NKO = α, как угол, образованный наклонной NK к плоскости ABCD и ее проекцией OK на эту плоскость». Здесь указание, что N0 ⊥ ОK, — лишнее: писавший работу смешивает проекцию наклонной на плоскость с проекцией наклонной на прямую.

«NO — перпендикуляр к площади ABC»; здесь смешение понятий «плоскость» и «площадь».

«По условию, конус вписан в пирамиду; это значит, что конус и пирамида имеют общую вершину, а основание конуса — окружность вписана в основание пирамиды».

«Высота на плоскость». И т. д.

Доказательства. Иногда формулировка доказательства обнаруживает полное отсутствие соответствующих навыков и математического развития:

«Теперь будем рассматривать треугольники NOK и NLM (черт. 2), которые будут подобны по двум углам (если два угла равны, следовательно, и третьи будут равны). Значит, углы NKO и NLM равны, как углы с перпендикулярными сторонами, и равны а» (??). Здесь совершенно лишне фигурирует «подобие» и, кроме того, мотивированное (неудачно) равенство углов еще раз обосновывается (и опять недостаточно): с другой стороны, какая связь между подобием треугольников и взаимной перпендикулярностью сторон углов? — Цитированное доказательство представляет набор пустых фраз.

«Треугольники (прямоугольные. — И. С.) подобны по трем углам».

«OK⊥CD, как радиус, проведенный в точку касания окружности основания конуса со стороной CD квадрата. Поэтому плоскость NOK, проходящая через перпендикуляр OK к боковой rрани NCD пирамиды (? — И. С.), будет перпендикулярна к этой грани» (черт. 2).

Пользование таблицами логарифмов. В ряде работ lg π вычисляется как lg 3,14, т. е. с точностью до третьего знака, что обнаруживает непонимание точности вычисления с четырехзначными таблицами логарифмов; к тому же lg π в таблицах дан непосредственно (подстрочно).

Неверно берутся табличные поправки при вычислении логарифмов тригонометрических функций.

Существенные недочеты

Существенные недочеты логического порядка. «Углы равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами». Такие углы могут в сумме составлять 2d, поэтому необходимо было уточнить: как острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами».

«Прямоугольные треугольники равны, как имеющие общий катет и по равному острому углу». Такие треугольники обязательно подобны, но могут быть неравными.

В обоих случаях делается ссылка на недостаточный признак.

«По условию задачи конус вписан в пирамиду; это значит, что конус и пирамида имеют общую вершину, лежащий в основании конуса круг вписан в основание пирамиды, а боковая поверхность конуса касается всех боковых граней пирамиды».

Здесь в определении смешаны существенные признаки со следствием из определения, которое доказывается на основе определения.

Логическая непоследовательность изложения. В объяснении к решению задачи 1° встречалась такая непоследовательность. Сначала доказывалось равенство (черт. 1): △AON=△BON=△CON=△DON — со ссылкой на равенство противолежащих общему катету углов; потом доказывалось совпадение высоты N0 пирамиды с частью диаметра шара; только потом рассматривались углы NAO,

NBO, NCO и NDO как углы между боковыми ребрами пирамиды и ее основанием, чем и обосновывалось в соответствии с условием задачи равенство этих углов.

Недостатки письменной речи. Работы часто страдают стилистическими недостатками. Нередко можно встретить предложение, занимающее страницу и более, хотя это предложение включает ряд последовательных законченных мыслей. Такой недостаток в работе по математике должен расцениваться как существенный недочет, говорящий о слабом развитии логического мышления.

К такому же роду недостатков следует отнести разделение точкой главного и придаточного предложения, что говорит о неясном представлении излагаемых математических фактов.

Наконец, часто наблюдается или полное отсутствие пунктуации при математических записях в вычислениях, или случайная постановка знаков (см. стр. 10 журнала № 2 за 1954 г.).

Отсутствие пунктуации говорит о недостаточно осознанной логической последовательности и взаимосвязи вычислительных операций. Неверная пунктуация говорит о том же.

К существенным недочетам следует отнести небрежное выполнение работ (отсутствие дисциплины в работе), подчистки.

Недочеты в работах

К недочетам работ относятся мелкие недостатки разнообразного характера:

невыполнение пунктирной линии;

описки, оговорки («основание высоты пирамиды равно удалено от ее боковых граней» вместо — по смыслу изложения — «от сторон ее основания»);

неудачная перефразировка определений, понятий («на основании понятия перпендикулярности прямой к плоскости» вместо «на основании определения перпендикуляра к плоскости»);

употребление символов в тексте («как два ⊥ к одной прямой»);

иногда усложненное вычисление или преобразование тригонометрических выражений;

неполноценная запись ответа на вопрос задачи;

отдельная небрежность (помарка); искажение записи слов: «т. к.» вместо «так как», «сл-но» и др.;

тавтология, частое повторение слов — «следовательно» и др.

единичные случаи неверной пунктуации;

невыделение запятыми вводных слов: следовательно, значит и др.;

орфографические ошибки.

Укажем в заключение, что оценка работ должна проводиться по нормам оценки, указанным в приведенном выше инструктивном письме М. П. РСФСР, причем рецензент, исходя из качества всей работы, должен различать ошибки и существенные недочеты от случайных погрешностей, оговаривая это в рецензии.

О ПОДГОТОВКЕ К ПИСЬМЕННОЙ РАБОТЕ ПО ГЕОМЕТРИИ С ТРИГОНОМЕТРИЕЙ НА АТТЕСТАТ ЗРЕЛОСТИ

И. А. РАССЫПНОВ (Калинин)

Мы считаем правильным, что не следует требовать от учащихся в решении экзаменационной задачи по геометрии на вычисление построения изображения геометрических тел и их комбинации (описания построения), так как в большинстве случаев полного и грамотного обоснования таких построений нельзя провести элементарными приемами построений, изучаемыми в средней школе.

В. А. Буртаев (№ 2 за 1954 г., стр. 3) указывает, что «само учительство во многих случаях в смысле графической культуры не стоит еще на надлежащем уровне», а поэтому, ввиду отсутствия методической литературы о решении задач на проекционном чертеже, нет никаких обоснованных причин для включения подобных требований в экзаменационные работы.

Лица, утверждающие, «что описание построений — лучший метод решения стереометрических задач», не исходят из программного количества часов, отводимых на задачи «на построение».

Учителям математики и тем лицам, которые имеют отношение к проверке и оценке экзаменационных работ, достаточно убедиться в том, что чертеж был выполнен в одной из принятых проекций (желательно в параллельной), а главное внимание следует обратить при оценке ра-

боты на обоснования рассматриваемых фигур, объяснения и формулировки, их верность и последовательность, на необходимость выполненных вычислений и преобразований, чтобы все записи хода решения были верными, аккуратными, последовательно расположенными, и т. п. (см. нормы оценок).

С правильным выводом, сделанным К. С. Богушевским, что так как «вопрос об исследовании решения задачи в полном его объеме выходит за рамки средней школы и фактически не отражен ни программой по математике, ни стабильными учебниками и даже не является определенным по содержанию, то и вопрос исследования решения задачи не может являться обязательным», — нужно согласиться.

Нужно придерживаться приведенной редакцией (см. № 2 за 1954 г.) схемы решения задач, но пояснения давать в виде связного изложения без разбивки на рубрики по стандартной схеме.

Так как вопрос о построениях геометрических тел отпадает, то все обоснования свойств фигур и их комбинаций нужно делать, исходя из определений и теорем.

Учителей, впервые начинающих преподавать в X классе, обычно затрудняет вопрос о том, как начинать подготовку учащихся к работе на аттестат зрелости по геометрии, чтобы ученик был твердо убежден в том, что нужно обосновывать и как это делать практически.

Ниже приведен ряд простейших упражнений подготовительного характера, которые я даю учащимся в течение всего года в X классе.

На эти упражнения я отвожу по 5—10 минут для устных ответов учащихся у доски в целях применения теории (определений и теорем) к решению задач, а также в целях развития логического мышления, культуры математической речи.

В целях экономии времени на уроке чертежи на доске готовит сам учитель, а условие задачи формулируется словесно.

Во втором полугодии такие задачи я даю учащимся на дом для письменного оформления решения и возвращаю решение с замечаниями о недостатках в пояснениях.

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде АC1 провести сечение, проходящее через два противоположные ребра AD и B1C1. Определить (с обоснованием) вид сечения.

Задача 2. Концы отрезка AB находятся на двух гранях прямого двугранного угла. Установить вид треугольника ABC, если точка С является проекцией В на ребро двугранного угла.

Задача 3. В треугольной пирамиде SABC, основанием которой является тупоугольный треугольник ABC, все боковые ребра равны. Указать в плоскости ABC положение основания О высоты SO пирамиды.

Задача 4. В пирамиде SABC все боковые грани наклонены к основанию под углом α (α < 90°), a в основании лежит равнобедренный треугольник ABC (AB = ВС). Определить положение точки О — основания высоты SO пирамиды.

Задача 5. В правильном тетраэдре с ребром а из вершины В на боковую грань ASC опущен перпендикуляр BD. Указать положение точки D в грани ASC.

Задача 6. В правильной треугольной пирамиде SABC через сторону основания АС провести сечение, перпендикулярное противоположному боковому ребру BS.

Задача 7. Основанием призмы служит правильный треугольник ABС. Вершина A1 проектируется в центр треугольника нижнего основания. Определить вид грани СC1B1В.

Указание. Провести через ВС перпендикулярное к боковым ребрам сечение, тогда в параллелограме СC1B1В ребро СC1 будет перпендикуляром к плоскости сечения, а потому и к стороне ВС (по определению перпендикуляра к плоскости).

Задача 8. В правильной треугольной призме боковое ребро равно стороне основания. Определить вид сечения, проведенного через сторону основания под углом в 60° к плоскости основания (черт. 1).

Черт. 1

Указание. Доказать, что BB1<BF, где F — точка пересечения секущей плоскости с ребром ВВ1.

Задача 9. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD провести сечение, проходящее через вершину основания А и перпендикулярное к противоположному боковому ребру SС. Установить вид этого сечения (дельтоид).

Задача 10. Ребро правильного октаэдра равно а. 1) Доказать, что противоположные грани октаэдра параллельны. 2) Определить расстояние между этими параллельными гранями.

Задача 11. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны верхнего и нижнего оснований b и a (b<a), а высота —А. Определить объем той части пирамиды, которая заключена между боковой гранью и параллельной ей плоскостью, проведенной через сторону верхнего основания.

Задача 12. Около шара радиуса R описан усеченный конус, образующая которого наклонена к плоскости большего основания под углом ß (ß < 90°). Определить расстояние секущей плоскости, проходящей через окружность касания шара с конической поверхностью, от плоскости нижнего основания конуса.

Задача 13. В четырехугольную пирамиду SABCD, основанием которой является ромб ABCD, а боковые грани наклонены к основанию под углом α (α<90°), вписан шар. Указать положение центра шара внутри пирамиды.

ОТ РЕДАКЦИИ

В редакцию и в Министерство просвещения поступили письма учителей математики по вопросу о порядке выполнения действий в арифметических вычислениях. Проф. И. К. Андронов в книге: «Арифметика». «Натуральные числа» (Учпедгиз, 1954) предлагает при выполнении действий второй ступени (умножение и деление) везде делать сначала умножение, а потом деление, например:

12:2×3=12:6=2.

В стабильном учебнике арифметики, в сборниках задач по арифметике, а также в методических пособиях для учителей, всюду дается один и тот же нормальный порядок действий: действия первой ступени (сложение и вычитание), а также и действия второй ступени (умножение и деление) выполняются в том же порядке как они написаны. Например:

12:2×3=6—3=18.

По справке, полученной в Главном управлении школ, Министерство просвещения не давало указаний об изменении принятого в учебниках порядка действий, а потому высказывания И. К. Андронова следует считать его личной точкой зрения.

ИТОГИ ЭКЗАМЕНОВ

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ ОКАНЧИВАЮЩИХ СРЕДНЮЮ ШКОЛУ

С. М. ЧУКАНЦОВ (Калуга)

I. Письменные экзамены

Задачи для письменных экзаменов по математике в Калужском государственном педагогическом институте были предложены с таким расчетом, чтобы проверить знания абитуриентами теории, умение применять теорию к решению задач и технику вычислений.

Всего было предложено восемь вариантов письменной работы, по две задачи и два примера в каждом варианте: 1) задача по стереометрии или задача по стереометрии с применением тригонометрии; 2) задача по алгебре на составление квадратного уравнения или системы уравнений; 3) доказательство тригонометрического тождества или построение графика трехчлена второй степени и 4) арифметический пример на вычисления с обыкновенными и десятичными дробями.

Все задачи были средней трудности и взяты из школьных задачников Н. Рыбкина и П. А. Ларичева (в некоторых вариантах с небольшими изменениями числовых данных). Поэтому естественно было ожидать, что все абитуриенты, успешно окончившие среднюю школу и имеющие по математике в аттестате балл «5» и «4», так же успешно выполнят письменную работу и будут допущены к устным экзаменам.

Действительно, среди поступавших были абитуриенты, которые быстро и правильно решили все предложенные задачи и упражнения, правильно и аккуратно оформили свои работы и заслуженно получили отличные оценки. Некоторая же часть абитуриентов выполнила работу посредственно, а 28,7% абитуриентов выполнили работу неудовлетворительно. Наибольшее затруднение вызвало решение задачи по геометрии.

Как исключение были, к сожалению, и такие отдельные абитуриенты, для которых одинаково непосильными оказались все задачи и упражнения письменной работы: и задача по геометрии, и задача по алгебре, и доказательство тригонометрического тождества, и даже решение арифметического примера. Это — абитуриенты Ю. (Сухиничская средняя школа), П. (ШРМ № 1, г. Калуга), Н. (Думиничская средняя школа) и К. (областная заочная средняя школа).

Для многих абитуриентов характерным является неумение вести отчетливо, в определенном порядке вычисления. Отсюда, как следствие, неумение проделать без ошибки сколько-нибудь длинные вычисления. Погоня за скорейшим получением ответа при решении задачи делается в ущерб внимательному изучению условия задачи, отсюда ряд ошибок вследствие непонимания смысла задачи.

Письменное оформление решения задачи часто неудовлетворительное: много пропусков в объяснении, неясностей в ходе рассуждений. Абитуриенты часто не могут дать краткие, но исчерпывающие суть дела объяснения. В большинстве работ объяснения проводятся очень кратко и в таком виде, что читатель не в состоянии уловить их смысла. Решающий задачу, очевидно, считает, что правильный ход решения и верный ответ — это все, что от него требуется, и не заботится о качестве пояснений, В то же время иногда встречаются очень длинные пояснения второстепенных деталей. Например, пространное пояснение по поводу построения фигуры, полная запись формулировок теорем и даже такие пояснения, как, например: «Треугольник со сторонами 3, 4, 5 является египетским, поэтому ∠ ADB = 90°», но далее площадь боковой грани треугольника—вычисляется по формуле Герона и не учитывается, что боковая грань также является прямоугольным треугольником (работа абитуриента К., Кировская средняя школа № 3). В другой работе записано: «Площадь основания равна AB ⋅ BD = 48 дм2 (следствие из египетского треугольника, ∠ ABD = 90е)» (работа абитуриента З., школа № 4, г. Корсунь-Шевченковский, Киевская область).

Полученный ответ не всегда подвергается должному рассмотрению. Как следствие этого иногда не замечаются нелепые ответы, например: 1) объем или поверхность пирамиды выражается через стороны треугольника, лежащего в основании пирамиды, хотя в условии задачи ни одна из этих сторон не дана; 2) в ответе появляется тригонометрическая функция вспо-

могательного угла (не данного в условии задачи) и не дается никаких пояснений, из каких данных должен быть определен этот угол; 3) при решении квадратного уравнения второй корень или не вычисляется вовсе, или неправильно отбрасывается без всяких оснований и мотивов (ошибка, которая встречается в работе многих абитуриентов); 4) не на все вопросы задачи даются ответы (например, при решении задачи № 16 из § 11 задачника по геометрии Н. Рыбкина, часть II, абитуриенты забывают определить двугранный угол между плоскостью сечения и нижним основанием пирамиды); 5) допускаются ошибки в вычислениях. Так, при делении 35/100 на 11/10 в ответе получено 3 2/11 вместо 7/22 (абитуриент К., Лаптевская средняя школа, Тульская область) или при делении 39 на 207/20 получено 36, вместо 3 53/69; 6) √10609 = 13 вместо 103 (абитуриент С. 57-я м.-д. средняя школа, г. Калуга) и другие подобные ошибки.

Все эти и подобные им ошибки могли бы быть легко обнаружены абитуриентами, если бы в средней школе систематически обращалось внимание на выработку у учащихся навыка и привычки самоконтроля, если бы их систематически приучали к проверке результата своих вычислений «на глаз». Обнаружив ошибку при повторном рассмотрении того же вопроса, многие абитуриенты сумели бы ее исправить и дать правильное решение. Здесь уместно вспомнить совет академика А. Н. Крылова: «Настоящий инженер должен верить своему глазу больше, чем любой формуле»*. Не следует также забывать, что привитие учащимся — будущим строителям коммунизма — навыка критического отношения к своей работе есть необходимое требование политехнической школы.

II. Характерные ошибки, допущенные абитуриентами

В письменных работах абитуриентов наиболее часто встречаются следующие ошибки: 1. Перенесение свойств правильной пирамиды на неправильные. Так, при решении следующей задачи: Определить объем пирамиды, если ее высота равна h, боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом φ и в основании треугольник с углами α и ß — многие абитуриенты предполагали, что проекции боковых ребер совпадают с биссектрисами углов треугольника и «доказывали», что данная пирамида является правильной. Не избавило некоторых абитуриентов от подобной ошибки и то, что в другом аналогичном варианте угол ß был заменен углом в 40°. В результате получилось, что в основании пирамиды лежит правильный треугольник, сумма внутренних углов которого равна 120°, и все же некоторые «определили» объем этой «пирамиды» (например, работа абитуриента К., Ленинская средняя школа, Тульская область). В третьем варианте, решая задачу на определение полной поверхности пирамиды, в основании которой лежит параллелограм (Н. Рыбкин, Сборник задач по геометрии, ч. II, § 10, № 16), некоторые абитуриенты считали, что высоты всех боковых граней равны, и вычисляли боковую поверхность по формуле

где «апофема» а вычислялась так, как будто бы в основании пирамиды лежит прямоугольник, хотя при определении площади основания пирамиды никто не пользовался формулой площади прямоугольника, а все предварительно вычисляли (причем правильно) высоту параллелограма. Подобные ошибки допущены многими абитуриентами, а потому можно предположить, что они не являются случайными.

Стремление многих абитуриентов «видеть» всюду правильную фигуру, повидимому, является следствием формализма в преподавании математики. Некоторые учителя сами при объяснении материала строят на доске, например, правильный треугольник, когда говорят вообще о треугольнике, правильную пирамиду, когда говорят вообще о пирамиде, и т. п., опускают вопрос о боковой поверхности неправильной пирамиды и т. п. Частично повинны в этом наши учебники и задачники. Например, вопрос о боковой поверхности неправильной пирамиды в учебнике геометрии А. П. Киселева вообще не рассматривается.

В большинстве задач на пирамиды из задачников Н. Рыбкина (по геометрии и тригонометрии) дается правильная пирамида, задач на неправильные пирамиды мало, и помещены они все обычно в конце соответствующих параграфов. Но это не значит, что преподаватель может обойти молчанием этот вопрос, напротив, вычислению поверхности и объема неправильной пирамиды нужно уделить должное внимание. Здесь первой задачей может явиться задача на рассмотрение конкретно данной неправильной пирамиды (на руки каждому учащемуся

* А. Н. Крылов, акад. Мои воспоминания, изд. АН СССР, 1945, стр. 84.

выдается неправильная пирамида, заблаговременно изготовленная из картона или дерева).

Абитуриенты редко применяют рациональные приемы вычислений. Например, при решении задачи № 16 из § 11 задачника Н. Рыбкина многие абитуриенты не обратили внимания на то, что диагональ основания разбивает параллелограм на два прямоугольные треугольника. Они вычисляли площадь параллелограма сложным, а некоторые и неправильным путем, вместо того чтобы использовать уже данную высоту параллелограма. Почти никто не обратил внимание на то, что, в силу теоремы о трех перпендикулярах, две боковые грани являются прямоугольными треугольниками. Эти высоты вычислялись сложным путём, и иногда получались неправильные ответы.

Решая задачу по стереометрии с применением тригонометрии (№ 16, § 21 задачника Н. Рыбкина), некоторые абитуриенты заявляли, что в условии нет линейных данных для определения площади треугольника. Очевидно, в некоторых школах недостаточно уделяется внимания решению задач в общем виде. Это подтверждается и тем фактом, что некоторые абитуриенты в конце решения записали, расположив записи столбиком:

а под чертой — lgv=...

Решению задач в общем виде следует уделять должное внимание в средней школе, так как это имеет большое значение для математического развития учащихся. При этом иногда полезно проводить исследование решений в зависимости от изменения некоторых параметров в условии. Это в большей мере способствует развитию логического мышления и пространственного воображения учащихся.

2. Задачу по алгебре правильно решило большее число абитуриентов, чем задачу по геометрии.

Наибольшее затруднение вызвало решение задачи: После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов цена велосипеда упала с 800 руб. до 578 руб. На сколько процентов снижалась цена велосипеда каждый раз.

Ошибка чаще всего заключалась в том, что не учитывалось, что второй раз делалась скидка на столько же процентов, как и в первый раз, но уже с новой, сниженной цены. Задача часто решалась арифметически: разница в цене (800 — 578 = 222) выражалась в процентах, и результат делился на два, при этом одни абитуриенты находили процентное отношение 222 руб. к 800 руб. и получали 13 7/8%, другие — к 578 рублям и получали 19%. А так как проверять свою работу многие абитуриенты не считают нужным, то они и не обнаружили своей ошибки.

Некоторые абитуриенты решение задачи: Две артели вместе могут выполнить всю работу за 4,8 дня. На самом же деле сначала первая артель выполнила четвертую часть всей работы, а затем вторая оставшуюся часть работы и, таким образом, вся работа была выполнена за 9 дней. За сколько дней может выполнить всю работу каждая артель, работая отдельно? — закончили только вычислением х и у, записав ответ в таком виде:

не дали, таким образом, полного ответа на вопрос задачи.

Ряд абитуриентов второе значение х, а следовательно, и у отбросил, ничем это не мотивируя. Если же второе значение неизвестных и учитывалось, то все же ответ часто выписывался неправильно. Пишут: «Первая бригада может выполнить всю работу или за 12 дней, или за 14 дней, а вторая или за 8 дней, или за 7,2 дня», не указывая того, что в данном случае срок выполнения работы одной бригадой находится в строгом соответствии со сроком выполнения той же работы другой бригадой. Ответ следовало бы записать, например, так: «Вся работа может быть выполнена или первой бригадой за 12 дней, а второй за 8 дней; или же первой бригадой за 14 дней, а второй за 7,2 дня». Как выяснилось, часто это является не только результатом небрежной записи, но и следствием непонимания сути дела.

3. Многие абитуриенты успешно справились с построением графика трехчлена второй степени:

Преобразовав трехчлен к виду

они определили положение вершины параболы, а найдя корни трехчлена, определили точки пересечения параболы с осью ОХ. Затем, вычислив значения у для некоторых значений х и указав единицу масштаба, нанесли соответствующие точки параболы. Соединив их плавной кривой линией, они правильно построили график трехчлена второй степени.

Многие же абитуриенты строили график по точкам без какого бы то ни было предварительного исследования расположения ветвей параболы, а потому на чертеже получилась только

одна ветвь параболы, а у отдельных абитуриентов— даже прямая линия (1). Двое даже сделали приписку к чертежу: «График трехчлена

есть прямая, проходящая через точку (0, 7) оси OK» (абитуриент К., школа № 3, г. Калуга и абитуриент К., школа № 4, станция Вязьма Смоленской области).

В другом варианте, строя график трехчлена

некоторые абитуриенты построили параболу без вершины, так как, давая аргументу только целочисленные значения, они пропустили точку (2/ 1/2, -4 1/4), а две смежные точки (2, —4) и (3, —4) соединили отрезком прямой, параллельной оси ОХ (абитуриент С, Бабынинская средняя школа Калужской области; абитуриент Б., школа № 20, г. Вязьма Смоленской области и др.). Единица масштаба при графике, как правило, отсутствует.

Повидимому, в практике многих школ не уделяется должного внимания построению графика и исследованию квадратного трехчлена ни в VIII, ни в X классах.

В X классе в теме «Неравенства» имеется специальный раздел — «Исследование квадратного трехчлена», но, повидимому, изучение этого раздела во многих школах никак не связывается с тем, что изучалось по этому же вопросу в VIII классе в теме «Функция и их графики». Подтверждением этого, помимо вышеизложенного, являются и такие факты, как наличие в одних и тех же работах правильного аналитического исследования квадратного трехчлена и совершенно неудовлетворительное построение графика этого же трехчлена, что говорит о неумении применить результаты аналитического исследования к построению графика.

Поводом к такому отрыву графического и аналитического исследования квадратного трехчлена, возможно, служат недостаточно четкие указания в объяснительной записке к программе. В ней сказано: «Во всех классах при построении графиков нельзя ограничиваться схематическими чертежами. Необходимо добиваться построения графиков с достаточной степенью точности по точкам на клеточной бумаге»*, что как бы дает право некоторым учителям в VIII классе ограничиваться требованием построения графика по точкам без всякого предварительного исследования.

Ценные указания к построению графиков в VIII классе даны в § 27 «Сборника задач по алгебре», часть II, П. А. Ларичева (упражнения № 676—686). Жаль только, что здесь каждое упражнение снабжено рядом указаний, дающих полное и подробное исследование трехчлена, построение же графика часто требуется только схематическое. В результате учащийся затрудняется, как ему строить график в том случае, если таковых указаний к упражнению не дано. Что касается программы X класса, то, к сожалению, в упражнениях этого задачника имеется в виду аналитическое исследование квадратного трехчлена и построение лишь схематического графика изменения функции у в зависимости от х (в № 1460), что также может дать повод к изучению вопроса об исследовании квадратного трехчлена в X классе в отрыве от материала, изученного в VIII классе.

Отметим, что указанные недостатки наблюдались у абитуриентов Калужского пединститута и в прошлом, 1953 году.

4. Некоторые абитуриенты затруднялись в доказательстве тригонометрического тождества, что объясняется нетвердым знанием основных тригонометрических формул, иногда неумением применить их, неправильным представлением о свойствах четной функции (cos α), ошибками в знаках, нечеткостью записи, приводящей к опискам, пропускам и ошибкам.

5. Арифметический пример на действия с обыкновенными и десятичными дробями далеко не все абитуриенты решили правильно. Основной недостаток — это небрежность в расположении вычислений и записи цифр, порождающая описки и ошибки, а также нерациональные приемы вычислений. Например, абитуриент Ш. (Боровская средняя школа), получив в ответе 9225/900, не упростила его (10 1/4), а при дальнейших вычислениях (16,66 — 10 1/4) получила уже неверный ответ:

Арифметика в школе изучается в течение шести лет, и за это время можно и должно добиться, чтобы учащиеся безошибочно, рационально и быстро производили арифметические вычисления.

Конечно, ответственность за качество арифметических вычислений не может быть снята и с преподавателей VII—X классов. Они систематически должны уделять внимание тому,

* Программы средней школы на 1954/55 учебный год. Математика, Учпедгиз, 1954, стр. 14.

чтобы культура арифметических вычислений все время совершенствовалась. На это обращает внимание и объяснительная записка к программе по математике, рекомендуя направлять внимание учащихся «на наиболее рациональное выполнение вычислений, указывать методы контроля и следить за тем, чтобы учащиеся заранее «прикидывали» числовой результат действия»*.

III. Устные экзамены

Как правило, материал X класса абитуриенты знают хорошо, материал IX класса знают несколько хуже и очень посредственно знают материал VIII и VII классов. Из программы VI и V классов часто знают только факты, что же касается теоретических обоснований, то они приводятся очень редко.

Недостаточно твердые и осознанные знания многие абитуриенты имеют по темам: «Параллельные прямые» и «Подобие фигур». При доказательстве первого признака подобия треугольников некоторые говорят: «Если сторона одного треугольника пропорциональна (!) стороне другого треугольника и прилежащие углы равны, то треугольники подобны» — и пишут при этом: «A1B1/AB, ∠A1 = ∠A, ∠B1 = ∠B», не подозревая нелепости высказанного утверждения относительно сторон треугольника даже после замечания экзаминатора (это яркий пример формальных знаний по математике). Абитуриенты часто затрудняются в доказательствах лемм о подобии треугольников и о равновеликости пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты, а некоторые просто заявляют, что в школе они эти леммы не изучали.

Общие недостатки в ответах многих абитуриентов следующие: не умеют проводить строгие геометрические доказательства: ряд важных деталей остается опущенным; выделяются лишь основные детали доказательства; нет привычки сопровождать каждое утверждение соответствующим обоснованием, даже и тогда, когда оно известно отвечающему; у многих абитуриентов нет надлежащего умения выражать свои мысли правильным литературным языком.

Указанные недочеты относятся к различным разделам математики, но в геометрии они наиболее заметны.

По тригонометрии недостаточно усвоены графики тригонометрических функций. На оси ОХ абитуриенты произвольно наносят точки π/2, π, 2π и т. д., но на вопросы: «Как на чертеже определить положение точки, например, π?»—дать правильный ответ многие не могут; более того, некоторые приходят в замешательство, когда им указывается, что π есть число, а не отрезок.

Линию тангенсов некоторые переносят на левый конец горизонтального диаметра, когда речь идет об изменении тангенса угла во второй четверти; по их словам, тангенс угла во второй четверти убывает, в третьей возрастает от 0 до — сю. Это говорит о том, что и сравнение отрицательных чисел по величине забыто ими довольно основательно.

Доказав теорему синусов, некоторые абитуриенты заявляют, что к прямоугольным треугольникам она неприменима.

График функции у = kx все строят правильно, но доказать, почему получается прямая линия, многие не могут. Почему параметр k называется угловым коэффициентом, многие не знают, а некоторые утверждают, что они такого названия не слышали.

Ряд абитуриентов затруднялся ответить на вопрос о практическом применении доказанной теоремы или вспоминали это как выученный урок. Видно, что самим им применять полученные знания на практике не приходилось, а знают они это со слов. Некоторые абитуриенты заявляют при этом, что никаких практических измерений на местности в школе они никогда не проводили.

Повидимому, многие из отмеченных недостатков в знаниях абитуриентов являются результатом формализма в преподавании математики и в изучении теории учащимися. Основное внимание обращается на внешнее разучивание теории и меньше на ее осмысливание. Отсюда заучивание наизусть выводов и формул и беспомощность, если что ускользнет из памяти. В результате у абитуриента возникают затруднения, если вопрос поставлен несколько необычным путем, хотя бы речь шла о материале, хорошо знакомом отвечающему.

Формализм сказывается и в оценке отвечающим своего ответа. Ему кажется, что формально верный ответ является вполне достаточным для получения высокой оценки; он не различает качества своих ошибок и самые грубые ставит наравне с второстепенными. Многие абитуриенты не понимают, что для успешного изучения математики в первую очередь нужно хорошо понимать и твердо знать основное. На консультациях по математике некоторые абитуриенты обращались с просьбой разъяснить им, как решается тот или иной пример из сборника задач по математике П. С. Моденова,

* Программы средней школы на 1954/55 учебный год. Математика, Учпедгиз, 1954, стр. 12.

а когда мы предлагали им попытатъся самим решить этот пример, обещая помочь при затруднении, то оказывается, что они нетвердо знают основное (например, тригонометрические функции пишут без аргументов, основные тригонометрические формулы усвоены нетвердо и т. п.)

Учителя должны разъяснить учащимся, что для успешного изучения математики в первую очередь необходимо твердо знать школьные учебники и уметь самостоятельно и без ошибок решать задачи из школьных задачников.

Следует также помочь учащимся в правильном выборе будущей профессии. Несколько абитуриентов, имея в аттестате зрелости по всем математическим дисциплинам «тройки» или имея по физике «4», а по математике «3», поступали на специальность физики физико-математического факультета. Преподавателям следовало бы своевременно разъяснить, что для успешных занятий физикой надо хорошо знать и математику.

Больше того, если ученик имеет желание поступить на физико-математический факультет, то он еще в школе должен попробовать свои силы в области математики и физики на самостоятельной работе в решении задач и на более глубоком изучении теории, не ограничиваясь тем, что задает учитель.

Несколько абитуриентов, хорошо сдав математику, получили неудовлетворительную оценку по сочинению. Каждый учащийся хорошо должен понимать, что знание родного языка необходимо на любом факультете любого вуза.

Было бы несправедливо умолчать о наличии среди державших экзамены хорошо подготовленных абитуриентов и о той большой работе, которую проделала школа и многие учителя при изучении программного материала. Ряд абитуриентов, поступивших на физико-математический факультет, получил общий балл 35—32 из 35 возможных. Для поступления на специальность математики минимальный общий балл был 29, т. е. необходимо было иметь по крайней мере одну отличную оценку при сдаче всех остальных дисциплин на «хорошо».

В ряде случаев, очевидно, перегрузка программ помешала глубокому ее усвоению. Некоторая разгрузка программ, предпринятая Министерством просвещения в этом году, и дальнейшее усиление политехнического обучения в школах, проводимое по указанию XIX съезда КПСС, позволит школе и учителям добиться еще лучших результатов в деле обучения подрастающего поколения.

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

В. Е. СЕМЕНОВ (Харьков)

Отрадно отметить, что с каждым годом наши высшие учебные заведения пополняет молодежь, все лучше подготовленная средней школой.

Опыт приемных экзаменов по математике в Харьковский авиационный институт за последние три года убеждает нас в том, что средние школы дают основной массе выпускников твердые знания по элементарной математике, достаточные для перехода к изучению высшей математики и технических дисциплин.

Однако есть ряд вопросов, которые слабо усваиваются в средней школе. На некоторых из них мы и остановимся.

Графики функций. Николай Егорович Жуковский, отец русской авиации, придавал большое значение геометрическим интерпретациям в теоретической механике. Он говорил, что «математическая истина только тогда должна считаться вполне отработанной, когда она может быть объяснена всякому из публики, желающему ее усвоить» (Н. Е. Жуковский, О значении геометрического истолкования в теоретической механике. Собр. соч., т. 7, 1950), и указывал, что путь приближения к этому идеалу — геометрическое толкование или моделирование.

Эти выводы, сделанные великим русским ученым на основании богатого педагогического опыта, вполне можно отнести к графическому толкованию вопросов математики. Формулы, аналитические соотношения, преобразования, правила и т. п. легко запоминаются, но столь же быстро и забываются, в то время как раз усвоенные геометрические, графические образы надолго живут в представлении. А между тем поступающие как раз обнаруживают слабое знание графиков функций (мы не говорим о тех немногих поступающих, которые не могут отличить уравнения прямой от уравнения параболы). Мы полагаем, что графикам должно

быть в школе уделено большее внимание. Возражение, что по программе на них отводится очень немного времени, не обосновано, так как графики показательной, логарифмической, тригонометрических функций изучаются попутно при изучении соответствующих разделов программы, и более тщательное изучение графиков функций не только не отнимет времени, а, напротив, принесет облегчение при изучении материала. Общеизвестно также значение графиков в изучении школьного курса физики, не говоря уже о том, что они имеют самое широкое распространение в разнообразных технических дисциплинах, на производстве, в жизни.

Обычно поступающие начинают построение графиков с расчерчивания таблички, где должны фигурировать координаты. Но ведь построение графика должно начинаться прежде всего с выяснения его характера в общих чертах, выяснения его особенностей, характерных точек и т. п. Например, пусть нужно построить график функции

Обратим внимание на то, что у принимает одинаковые значения при одинаковых по абсолютной величине x, т. е. график этой функции симметричен относительно оси ординат. Представим заданную функцию в виде у = y1+4, где y1 = — 2х2. График y1 = — 2х2 — парабола, проходящая через начало координат, ее ветви направлены в сторону отрицательных ординат. График функции

получится переносом графика y1 = — 2х2 на 4 единицы вверх, так как ординаты первого графика на 4 больше, чем ординаты второго при том же значении х.

Несомненно, что выяснение характера графика средствами элементарной математики намного ценнее, чем вычисление координат ряда точек. Тем более, что вычислять координаты ряда точек не всегда необходимо, так как это не дает ничего нового для более полного представления характера графика, кроме некоторой его точности. Обратим внимание на то, что для выяснения характера графиков многих тригонометрических функций достаточно четкого представления графика функции y = sinx.

В самом деле, зная характер графика синуса, мы на основании того, что

где u = π/2 — x, можем построить график косинуса. Характер графиков:

может быть установлен «делением графиков». Небольшой опыт изложения этих вопросов на консультациях для поступающих убеждает нас в том, что эти вопросы легко усваиваются учащимися.

Приведем пример. Построить график у = cosecx. Знаем, что

следовательно, если известен характер графика синуса, то сможем делением единицы на ординаты синуса построить интересующий нас график. Характерная точка графика:

Выясним характер графика в интервале 0<x<π/2 . При продвижении по оси абсцисс от точки, где x = π/2, к началу координат соответствующие ординаты косеканса получаются делением единицы на все меньшие ординаты синуса, т. е. они будут большими для меньшего х. При приближении к началу координат ординаты косеканса будут как угодно большими, так как они получаются делением единицы на как угодно малые ординаты синуса. График косеканса будет симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через точку х = π/2 оси абсцисс.

«Делением графика» синуса на косинус можно установить характер графика y = tgx, «делением» косинуса на синус—характер графика y = ctgx. Графики могут служить если не средством, то прекрасной иллюстрацией к решению различных тригонометрических неравенств.

При помощи графиков можно иллюстрировать общий вид углов, соответствующих заданному значению тригонометрической функции.

Общеизвестным правилам для формул приведения можно дать простое графическое толкование.

Если говорить не только о тригонометрических функциях, то можно также привести целый ряд интересных задач, которые или решаются, или хорошо иллюстрируются при помощи графиков. Сюда можно отнести решение трансцендентных неравенств, алгебраических неравенств второй и более высоких степеней, нахождение значений аргумента, при которых функция определена, нахождение числа корней уравнения, определение знаков различных выражений и т. д.

Обратные тригонометрические функции. Очень немногие из поступающих умеют правильно оперировать с обратными три-

гонометрическими функциями, хотя примеры, которые им предлагаются, не выходят за пределы знания определений главных значений обратных тригонометрических функций. Такой пример, как доказать:

решается формально даже хорошо подготовленными поступающими.

Доказательство ведется так. Возьмем синусы от обеих частей равенства и убедимся, что они (синусы) равны. Но это, вообще говоря, неверно, так как из равенства значений тригонометрической функции не всегда следует равенство дуг. Когда экзаминатор говорит, что это еще не доказательство, то это вызывает недоумение и следует обычный довод: «Нас так учили в школе». Если это заявляют хорошо подготовленные абитуриенты, то приходится согласиться с тем, что здесь действительно недоработка средней школы. В ответ поступающему обычно предлагаем доказать неверное равенство

для которого синусы обеих частей равны. Только после этого поступающий понимает, что если равны тригонометрические функции, то равенство их аргументов еще требует дополнительного обоснования, исходя из определения обратных тригонометрических функций. По программе от поступающих требуется понятие об обратных тригонометрических функциях. О главных значениях обратных тригонометрических функций в учебнике Рыбкина сказано только, в каких четвертях они берутся, без обоснования того, почему это так. Мы полагаем, что усвоение определений обратных тригонометрических функций, а следовательно, и умение оперировать с ними будет до тех пор формальным, пока учащимся не будет объяснено, почему приняты соответствующие определения главных значений обратных тригонометрических функций. Так, например,

означает:

Для иллюстрации этого на помощь можно привлечь графики прямых тригонометрических функций. Так, из графика синуса видно, что каждому значению sin х = m соответствует бесконечное множество дуг.

Если же углы брать только в пределах одной полуволны графика, где синус принимает все возможные (положительное и отрицательное) значения, например, π/2 ⩽ х ⩽ 3π/2 или 3π/2 ⩽ х ⩽ 5π/2 и т. п., то каждому значению синуса будет соответствовать только одно значение дуги. Из всех возможных значений дуг, для которых каждому значению синуса соответствует только одно значение дуги, взяты дуги, наименьшие по абсолютной величине, так что для

Для лучшего усвоения определений обратных тригонометрических функций можно построить их графики. Поступающие легко строят их, если заметить, что, например, из определения у = arcsin x следует:

Следовательно, при построении графика у = arcsin x по оси ординат откладываются дуги, а по оси абсцисс — соответствующие этим дугам значения синуса, так как x = siny. То же самое можно сказать и о других обратных тригонометрических функциях. Следовательно, графики обратных тригонометрических функций — это лишь иначе расположенные графики прямых тригонометрических функций.

Если графики обратных тригонометрических функций построены, то из них наглядно видно, что

и т. д., хотя графики и не могут служить доказательством последних соотношений.

Некоторые тригонометрические преобразования. Отметим слабое умение поступающих пользоваться формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, что часто необходимо при доказательстве различных тождеств, при решении тригонометрических уравнений, а в математическом анализе при дифференцировании и интегрировании тригонометрических функций.

Только отдельные абитуриенты преобразуют, например, sin 2х cos 5х в сумму тригонометрических функций, и то чаще всего подбором.

Следует также обратить внимание на формулы:

дающие рациональные выражения sin α и cos α через tg α/2.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Очень немногие из поступающих отвечают верно на вопрос: «Каков по величине знаменатель q у бесконечно убывающей геометрической прогрессии?».

Разговор обычно происходит так:

— Каков по величине знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии?

— Меньше единицы.

— Например, — 20.

— Нет. Знаменатель дробное число.

— Например, 15/2.

— Нет, правильная положительная дробь.

— А отрицательной она может быть?

— Нет, не может.

Правильного ответа, что |q|<1, удается добиться лишь у немногих.

Кстати говоря, понятие абсолютной величины действительного числа также усваивается не очень твердо. Это объясняется, наверное, тем, что первоначально это понятие вводится еще в неполной средней школе и затем забывается. Но его легко восстановить при введении понятия модуля комплексного числа, который геометрически трактуется как расстояние от начала координат до точки плоскости, изображающей комплексное число.

Логарифмы. Поступающие хорошо знают свойства десятичных логарифмов, хорошо пользуются логарифмическими таблицами. Значительно хуже дело обстоит с решением логарифмических уравнений, хотя и имеется прекрасный задачник П. С. Моденова, где им уделено достаточно много внимания.

Беда здесь в том, что учащиеся не уясняют себе достаточно четко основного в теории логарифмов тождества

(1)

которое является записью определения логарифма. Если учащийся усвоит это тождество, то он легко понимает и тождество

(2)

так как оно получается логарифмированием (1) по основанию N, а также переход от одного основания к другому

(3)

что получается логарифмированием (1) по основанию b.

Для усвоения тождества (1) можно рекомендовать теоремы о логарифме произведения, частного, степени доказывать при помощи этого тождества. Те из поступающих, которые усвоили эти три тождества (1) — (3), легко справились с логарифмическими уравнениями типа тех, которые помещены в задачнике П. С. Моденова, так как идея почти всех их одна и та же — свести логарифмы входящих в уравнение выражений к одному и тому же основанию.

В заключение нам бы хотелось выразить пожелание, чтобы между высшей школой и средней (особенно сельскими школами) наладилась более тесная связь как в вопросах объема требований, которые предъявляет высшая школа на конкурсных экзаменах, так и в вопросах методики изложения отдельных тем, а также чтобы предметные комиссии высших учебных заведений шире делились своим опытом приемных экзаменов не только в виде отчетов перед Министерством высшей школы, но и в виде живых бесед с преподавателями средних школ, а также через печать.

О НЕКОТОРЫХ НЕДОЧЕТАХ В ЗНАНИЯХ УЧАЩИХСЯ

Л. Ш. МАТЛИН (Архангельск)

Мы рассмотрим некоторые недочеты в знаниях учащихся, с которыми нам приходилось встречаться на экзаменах.

Ученик А. отвечает на экзамене по геометрии. Во втором вопросе билета предлагается описать основные свойства плоскости. Мы просим доказать третье следствие из третьей аксиомы: через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну (см. учебник Киселева, стр. 3, § 3, 1941 года изд.).

Ученик читает следствие следующим образом: через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну, вместо того, чтобы сказать, что через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость.

Ученик не видит разницы между этими фор-

мулировками, его знания по этому вопросу носят явно формальный характер. В самом деле, из формулировки, данной учеником, вытекает следующее: даны две параллельные прямые, требуется доказать два положения: во-первых, что через две параллельные прямые можно провести плоскость, а во-вторых, что эта плоскость единственная.

Тот факт, что параллельные прямые лежат в некоторой плоскости (а это предложение эквивалентно тому, что через две параллельные прямые можно провести плоскость), является органической частью определения понятия параллельных прямых. Таким образом, доказывать этот факт — значит «ломиться в открытую дверь». В следствии же надо доказать только одно положение, что плоскость, в которой расположены параллельные прямые, единственная. Значит, и формулировать следствие надо так: через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость.

Вышеуказанная ошибка очень распространена, хотя в учебнике вопрос рассмотрен совершенно верно. Дело в том, что учащиеся по аналогии с первыми двумя следствиями формулируют и третье, не вдумываясь в его содержание, а учитель недостаточно четко поясняет разницу в формулировках этих следствий.

Ученик В. отвечает о длине окружности. Бойко дается определение длины окружности. На доске появляется окружность и вписанные в нее правильные многоугольники. Ученик поясняет вопрос следующим образом:

«Периметры правильных многоугольников

удовлетворяют неравенствам:

согласно известной лемме (лемма читается учеником). Но последовательность

ограничена, так как ни один из периметров не превосходит окружности (?!).

Возрастающая ограниченная последовательность имеет предел».

На наш вопрос, что же ученик доказывал, мы слышим следующий ответ: «Я доказал (?!), что длина окружности есть предел периметра правильного вписанного в круг многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон».

Из ответа явствует, что ученик вопроса не понимает.

Во-первых, все рассуждения должны быть направлены на то, чтобы доказать существование предела числовой последовательности

и только это. То, что длина окружности есть соответствующий предел, является определением.

Во-вторых, ученик путает два различные понятия: понятие окружности — геометрический образ и понятие длины окружности — число.

Когда мы хотим доказать, что последовательность

ограничена, надо сравнивать члены последовательности, например, с периметром описанного квадрата, величина которого равна 8R, а не с окружностью, потому что это бессмысленно, и не с длиной окружности, потому что это понятие еще не определено, оно еще находится в стадии определения.

Существенные недочеты имеются в знаниях учащихся по алгебре.

Например, на вопрос, что можно сказать о равенстве

(*)

ученик предлагает раскрыть скобки. Он не понимает, что равенство (*) есть определение произведения двух комплексных чисел. Из этого равенства вытекает, что мы можем раскрыть скобки по правилу умножения многочленов, но не наоборот. Ученик не понимает, что произведение чисел определяется.

Слабо укладываются в сознании учащихся вопросы, связанные с расширением понятия показателя степени, вопросы, связанные с арифметическим значением корня.

Например, ученик выполняет следующее упражнение: упростить

После соответствующих преобразований он в результате получает ответ, равный 1.

На вопрос, любые ли числа можно подставлять вместо а и b в равенство

ученик отвечает, что b ≠ 0, так как b — знаменатель дроби, а>0, иначе выражение √ лишено смысла в области действительных чисел (если а < 0) и а ≠ 0, так как а — знаменатель дроби. Мы просим проверить равенство при a = 1 и b= — 1. Ученик

в результате решения получает противоречие, так как при а — 1 и b = — 1 данное алгебраическое выражение равно — 1. Объяснить, почему так получилось, ученик не может.

Мы считаем, что если учащиеся с каждым годом лучше решают задачи, лучше овладевают методами решения уравнений, методами исследования, то в отношении изучения принципиальных вопросов сказать этого пока еще нельзя. Необходимо, чтобы методическая литература и учебники более рельефно ставили эти вопросы и убедительно раскрывали их.

В самом деле, что пишется в учебнике о равенстве a0 = 1, если а ≠ 0?

У учащихся, да и у начинающего учителя появляются недоуменные вопросы: почему равенство а° = 1 есть определение, почему оно не доказывается? Если согласились считать a0 = 1, то почему бы не согласиться считать a0=2, почему предпочтение отдано единице?

Доказательство целесообразности соглашения a0 = 1 при а ≠ 0, данное в учебнике, нередко понимается как доказательство равенства a0 = 1 при а ≠ 0.

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ, ОКОНЧИВШИХ VII КЛАСС

М. Р. ЛИНДЕР (Семипалатинск)

Настоящая статья составлена на основании систематически проводимого в течение последних шести лет анализа результатов приемных экзаменов в Семипалатинский топографический техникум. Испытания проводились как письменно, так и устно.

На письменных экзаменах предлагались упражнения и задачи следующего типа:

1. Два ученика хотели купить книгу, стоимость которой превышала деньги одного ученика на 35 коп., а деньги другого на 40 коп. Когда они сложили свои деньги и отдали их за книгу, то получили сдачу, равную 2/5 стоимости книги. Сколько стоит книга?

2. На элеватор поступило 2000 ц пшеницы двух сортов. Первый сорт содержит 5% отходов, а второй сорт 9%. После очистки получили 1880 ц чистой пшеницы. Сколько пшеницы того и другого сорта поступило на элеватор?

3. Если на странице некоторой книги отбросить от каждой строки по 3 буквы и потом отнять 2 целые строки, то число всех букв уменьшится на 145; если же прибавить к каждой строке по 4 буквы и приписать 3 такие целые строки, то число всех букв увеличится на 224. Сколько строк в странице и букв в строке?

4. В равнобедренной трапеции диагональ делит острый угол пополам; периметр этой трапеции равен 4,5 м, а большее основание равно 1,5 м. Определить среднюю линию трапеции.

5. Хорда пересекает диаметр под углом в 30° и делит его на два отрезка: 2 см и 6 см. Найти расстояние хорды от центра.

6. Стороны параллелограма равны 8 см и 3 см. Биссектрисы двух углов параллелограма, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три части. Найти каждую из них.

7. Произвести указанные действия:

9. Решить систему уравнений:

Знания и навыки учащихся из года в год неуклонно растут. Программный материал с каждым годом усваивается все более сознательно и прочно; уделяется больше внимания развитию логического мышления; вычисления и преобразования выполняются учащимися все более уверенно, тщательно и правильно, с применением более рациональных приемов. Повышаются требования к учащимся, развивается самостоятельность, настойчивость в преодолении трудностей. Математические кружки в школах помогают систематическому углублению и расширению знаний учащихся, пробуждают интерес и стремление к самостоятельному пополнению знаний. Все это является результатом упорного и настойчивого труда советских учителей.

Этот несомненный и неуклонный рост качества учебной и воспитательной работы не должен, однако, создавать впечатления, будто все обстоит благополучно и преподавание математики в средней школе уже свободно от существенных недостатков.

По нашим наблюдениям, основные недостатки в преподавании математики заключаются в следующем:

1) Не все преподаватели четко выделяют пункты условия и заключения теорем и ведут запись всего хода рассуждения. Учителя не всегда требуют этого от учащихся при выполнении классных и домашних работ.

2) В своих объяснениях преподаватели нередко допускают ряд логических дефектов (недостаточная строгость рассуждений, неполнота аргументации, необоснованность обобщений и аналогий, неправильность классификации) и не всегда борются с этими дефектами в письменных и устных ответах учащихся.

3) Нередко ослабляются требования к учащимся при решении геометрических задач и при построении геометрических фигур.

4) Особенно сильно ослаблены требования преподавателей к теоретическому обоснованию положений в алгебре.

5) Из-за отсутствия систематического контроля допускаются ошибки в записях учащихся как в классе, так и дома, беспорядочная (и, следовательно, нелогичная) запись, непоследовательное устное и письменное изложение своих рассуждений. Одним из наиболее существенных требований, обеспечивающих повышение качества обучения, является пробуждение интереса и активности учащихся. Это может быть достигнуто прежде всего правильным и умелым изложением учителем нового материала, в результате чего учащимся должна быть ясна цель изучения новой темы, основное ее содержание и пути решения поставленных вопросов.

6) Не все преподаватели следят за языком учащихся, так как фразы, выговариваемые учащимися, в некоторых случаях построены грамматически неправильно. Учащиеся не приучены к точному математическому языку.

Остановимся на недостатках и недочетах в знаниях учащихся по различным разделам математики. Иногда даже в самых элементарных случаях (например, при нахождении процента от данного числа и числа по данному его проценту) ученики стараются применить формулу автоматически, не умея и даже не пытаясь ее объяснить. Вера в формулу бывает настолько велика, что нелепые ответы, полученные при решении задачи, не только не вызывают никаких сомнений, но даже возбуждают нездоровую уверенность.

Учащиеся слабо понимают сущность процентного отношения двух чисел.

Некоторые учащиеся не имеют точного представления о соотношениях между квадратными, а также кубическими мерами, например, пишут: 3,6 м2 = 360 см2 или 2,5 дм3 = 25 см6.

Большинство учащихся не может находить НОД способом последовательного деления. Учащиеся слабо выполняют устные вычисления, несмотря на то, что значение устных вычислений общеизвестно и что знание соответствующих приемов отвечает требованиям ныне действующей программы.

Учащиеся недостаточно понимают вопрос о делении числа прямо и обратно пропорционально двум и нескольким числам. Некоторые не знают законов арифметических действий, их формулировок, записей. Некоторые учащиеся при операциях с дробями отбрасывают общий знаменатель; неправильно делают сокращение:

Неправильно производят вычитание многочленов, забывают переменить знак на обратный у членов вычитаемого, начиная со второго члена. Некоторые учащиеся при нахождении общего знаменателя не умеют применять формулы сокращенного умножения. Так, в примере

неправильно выбирают общий знаменатель

Некоторые не знают, как надо преобразовать выражение

При решении уравнений учащиеся иногда приводят к общему знаменателю только члены одной части уравнения и затем отбрасывают этот знаменатель:

Учащиеся затрудняются при решении уравнений первой степени с буквенными коэффициентами.

Учащиеся, приученные обозначать неизвестное только через х, не в состоянии решить уравнение, если неизвестное обозначено иначе, например у, z или t. Это показывает, что некоторые учителя главное внимание обращают на механическое заучивание правил, а не на логическое их осмысливание.

Учащиеся затрудняются при разложении многочлена на множители. Отдельные ученики не могут разложить многочлен:

Некоторые учащиеся не знают, что называется корнем уравнения, не знают два основные свойства уравнений, некоторые не знают, что называется уравнением и что называется тождеством. Встречаются и такие ответы: «Алгебраическое выражение, соединенное знаком равенства, называется тождеством»? «Уравнением называется, которое уже решено»?! Или: «Уравнением называется равенство двух отношений»?!

Не все учащиеся могут делать проверку решения задачи (говорят, что в школе не проходили).

При преобразовании

некоторые учащиеся не догадываются, что

Здесь сказывается незнание формул сокращенного умножения.

Учащиеся не знают производные пропорции, затрудняются привести пример обратной пропорциональной зависимости.

Учащиеся не знают, как превратить периодическую десятичную дробь в обыкновенную, не умеют привести десятичные дроби 3,6 и 5,43 к общему знаменателю.

Иногда ответы учащихся по геометрии сводятся к рассказу заученной теоремы, причем смысл ее не всегда понимается. Стоит только немного изменить чертеж или буквы, как учащиеся запутываются. Учащиеся не всегда уясняют себе, что дано и что требуется доказать.

При доказательстве теоремы: «Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и притом только одну» — учащиеся говорят, что центр окружности лежит на пересечении двух перпендикуляров к серединам сторон треугольника, а почему, не понимают, не знают также, почему эти перпендикуляры должны пересекаться.

Некоторые учащиеся (по их заявлению) в школе решали мало задач по геометрии. При решении задач на построение учащиеся иногда говорят, что надо делать, но не умеют объяснить, почему это надо делать.

Учащиеся затрудняются привести пример геометрического места точек.

Следует отметить также, что в ряде случаев оценки знаний, выставленные школой, оказывались завышенными.

НЕКОТОРЫЕ ИТОГИ ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЙ В МОСКОВСКИЙ ТЕХНИКУМ СОВЕТСКОЙ ТОРГОВЛИ

Е. Н. ЗОЛОТОВИЦКИЙ (Реутово Московской области)

В настоящем 1954/55 учебном году на экзамены, как и в предыдущие годы, прибыли преимущественно выпускники седьмых классов средних и семилетних школ Москвы и Московской области.

Приемные экзамены показали, что значительная часть учащихся имеет прочные и глубокие знания, устные ответы многих учащихся оставили хорошие впечатления.

Но мне хочется остановиться на тех недостатках, которые были обнаружены в процессе письменных и устных экзаменов.

Подавляющее большинство державших экзамены имело в свидетельствах об окончании

школы оценки «4», но не все из поступавших оправдали эту оценку—только несколько человек получили балл «5», многие же получили оценку «3».

Обнаруженные недостатки в знаниях учащихся свидетельствуют, что учителя математики семилетних и средних школ во многом несут серьезную ответственность за эти пробелы. Нельзя мириться с тем, что оканчивающие семилетнюю школу усваивают материал формально, без ясного понимания математических фактов.

Экзамены по математике проводились в объеме программы семилетней школы. Письменная работа по алгебре с арифметикой для каждой группы состояла из двух вариантов одинаковой трудности. Эти задачи предлагались на выпускных экзаменах в 1954 и предыдущих учебных годах в школах Москвы и Московской области.

В письменную работу были включены:

1. Задача на составление уравнений с одним или двумя неизвестными.

2. Примеры на все действия с алгебраическими дробями.

3. Арифметический пример.

В устный экзамен включался один вопрос по геометрии, задача по геометрии и элементарный вопрос по арифметике или алгебре.

Вот примеры некоторых из вариантов, которые предлагались на письменных экзаменах.

Вариант 1

Задача. Две бригады трактористов вспахали колхозное поле за шесть дней. Первая бригада, работая отдельно, могла бы вспахать это поле в полтора раза скорее, чем одна вторая бригада. За сколько дней могла бы вспахать это поле каждая бригада отдельно?

Выполнить действия:

Задача. Бак наполняется двумя трубами, причем через одну первую трубу можно наполнить в два раза быстрее, чем через одну вторую трубу. За сколько времени наполнит бак каждая труба отдельно, если при одновременном действии обеих труб бак наполняется за 8 минут?

Выполнить действия:

Вариант 2

Задача. Две швейные мастерские изготовили в январе 720 костюмов. В феврале первая мастерская изготовила таких же костюмов на 15%, а вторая на 12% больше, чем в январе, а потому обе мастерские за это время изготовили 819 костюмов. Сколько костюмов изготовила каждая мастерская в феврале?

Выполнить действия:

Задача. Колхоз собрал с двух участков 360 т клевера. На второй год урожай клевера на первом участке увеличился на 10%, а на втором на 15%, а потому колхоз собрал с этих участков 404 т клевера. Сколько клевера было собрано с каждого участка на второй год?

Выполнить действия:

В основном с решением текстовых задач поступающие справились. Но анализ решений задач дает возможность сделать целый ряд выводов.

Абитуриенты испытывали большие затруднения при решении задач варианта 1. До 50% поступавших одной группы не осмыслили такое выражение условия задачи, как «первая бригада, работая отдельно, могла бы вспахать это поле в полтора раза скорее, чем одна вторая бригада», или «через одну первую трубу можно наполнить бак в два раза быстрее, чем через одну вторую трубу».

40% учащихся решали так задачу: «Вторая бригада могла бы вспахать колхозное поле за x дней, тогда первая бригада могла бы вспахать это поле за 1 1/2 х дней», затем находили, какую часть поля могла вспахать каждая

бригада в один день, решали такое уравнение;

или:

в результате получали ответ: х = 10, и писали: «Первая бригада могла бы вспахать поле в 1 1/2 х дня, т. е. в 15 дней, а вторая в 10 дней». Делали проверку и в заключение писали: «Значит, задача решена правильно».

Точно так же многие решали вторую задачу этого варианта о наполнении бака и получали, что первая труба наполнит бак в 24 часа, а вторая — в 12 часов.

Получение такого ответа, который не соответствует условию задачи, говорит о том, что учащиеся, зная формально прием решения задачи такого типа, не вникали в текст условия и механически решали ее, делали проверку и были убеждены в правильности полученного результата.

В задаче, связанной с процентами, учащиеся упускали главное, где требовалось обосновать и записать, что если в январе первая швейная мастерская изготовила х костюмов, то в феврале, увеличив выпуск костюмов на 15%, изготовила (х + 0,15x) костюмов, и записывали условие так: «В феврале первая мастерская изготовила (x + 0,15) костюмов» или «вторая мастерская (y+0,12) костюмов».

При дальнейшем решении неизвестно, почему и каким образом выходило:

и в результате решения системы учащиеся получали правильный ответ. Таких решений было немало. Некоторые прибавляли к числу костюмов, выпущенных в январе, 0,15 костюма.

При проверке решения задач многие учащиеся записывали так: «Первая мастерская в феврале выпустила:

вторая мастерская в феврале выпустила:

не давая себе отчета, что они нашли.

Следует отметить как положительный момент, что многие выпускники пытались писать объяснения к решению задачи, записать, что

означает введенное неизвестное, но среди правильных объяснений имели место и нелепые, ничем не оправданные записи.

Так, ученица Д. (456-я школа г. Москвы), имевшая оценку по алгебре «4», писала объяснения так: «1 — все поле; 1/x — за столько дней может выполнить работу первая бригада; 1/1,5x - за столько дней может выполнить вторая бригада.

Следовательно,

Ученица Б. (342-я школа г. Москвы) писала: «х минут — время, за которое наполнит бак первая труба; 2х — время, за которое наполнит бак вторая труба; 1/x — за столько минут наполнит бак первая Труба; 1/2x — за столько минут наполнит бак вторая труба. Получаем уравнение:

Ученица К. (345-я школа г. Москвы) писала объяснение так: «Все время, за которое вспахали все поле, примем за 1; вторая бригада вспашет все поле за х дней, а первая за 1 1/2 дня (?!). За час первая бригада может вспахать 1 1/2х дня, а вторая — 1/x (дней), а вместе обе бригады вспашут все поле за 6 дней, а за один день они вспашут (1 1/2x + 1/2), что должно составить 1/6.

На основании этого (?) составим и решим уравнение:

Ученица Б. (Раменский район Московской обл.), имеющая в свидетельстве оценку «4», пишет: «Известно, что одна труба наполняет бак за 1/x минуту, а другая — 1/2x минут, так как обе трубы наполнят бак за 1/8 минуту, то имеем уравнение:

Ученица А. (398-я школа г. Москвы), имеющая в свидетельстве оценку «5» по алгебре, при решении задачи варианта 2 делает следующие пояснения: «x т — столько тонн клевера собрали с первого поля во второй год, (404 — х) т — столько тонн клевера собрали со второго поля во второй год, x10/100 т — на столько

тонн увеличился урожай на первом участке во второй год, — т — на столько тонн увеличился урожай клевера на втором участке во второй год, х - x/10 = 9x/10 - столько клевера собрали в первый год с первого участка,

— столько клевера собрали со второго участка. И дальше:

а отсюда x = 332 (столько собрали с 1-го участка во второй год), 404 — 332 = 72 — столько собрали клевера со второго участка во второй год» Нелепый ответ!

Многие учащиеся нерационально решали систему уравнений. Например, получалась такая система:

Проще было первое уравнение умножить или на — 1,15, или на — 1,12, а затем почленно сложить; но многие решали эту систему так: умножали второе уравнение на 100, получали:

затем первое уравнение умножали на 115 и получали:

затем умножали одно из уравнений на — 1, получали:

— bу= — 900; 3у = 900; у = 300.

Следует отметить, что до сих пор нет определенной системы записи при решении задач на составление уравнений. Некоторые учащиеся пишут наименования в полученной системе уравнений, некоторые совсем не пишут никаких наименований, многие пишут текстуально: «составим уравнение», «решим уравнение», «перенесем х влево», «умножим на —5», «разделим на — 1». После проверки пишут: «значит, задача решена правильно», «что и требовалось решить» и т. д. Вся беда в том, что учащиеся пишут много фраз неосмысленно. Получив нелепый ответ, некоторые пишут: «Задача решена верно».

Анализ решения более двухсот задач дает нам право утверждать, что многие учителя математики еще мало работают с учащимися над ясным обоснованием решений задач, объяснением, выбором неизвестных, над рациональным и правильным введением обозначений и составлением уравнений, над культурным расположением записей, умением делать проверку решенной задачи.

На устных экзаменах учащимся предлагались по алгебре элементарные вопросы. Из 28 учащихся одной группы 27 не смогли ответить на такой вопрос: «при каком значении а и b ≠ 0 дробь a/b может обратиться в 0?» Многие прямо говорили: «А мы это не проходили».

Ученице Ю. (18-я школа г. Москвы) был предложен такой пример:

но она не смогла его решить, а другая ученица К. получила такой ответ:

Ученица Е. отказалась решать уравнение на основе законов арифметических действий, она не смогла найти х из уравнения

Многие учащиеся не справились с таким примером, как: найти частное от деления а — b на b— a. Большая часть получила 1. Большие затруднения вызывали у учащихся вопросы на сравнение относительных чисел по величине: что больше: — 2 или — 5, — 7 или 0, и т. д. На просьбы подсчитать (а — b)2 при а = — 2 и b = — 1 многие, не задумываясь, начинали писать так:

некоторые получали:

Над нелепостью ответов абитуриенты не размышляли.

Еще до сих пор имеет место путаница в формулах сокращенного умножения: путают куб суммы и сумму кубов, разность квадратов и квадрат разности, разность кубов и куб разности. Лишь одна ученица из двух групп (50 человек) ответила на вопрос, при каких значениях а

это выражение будет равно 1.

Ученица А. (Купавинская школа Московской обл.) не смогла разделить a3 — 27 на 3 — а хотя в ее свидетельстве стоит оценка «4». Ни один из учащихся не ответил на вопрос.

можно ли разложить а+b на два множителя, из которых один а.

Устные ответы по алгебре убедили нас, что в школах еще имеет место формализм при обучении учащихся алгебре: многие учащиеся механически усваивают действия с относительными числами, недостаточно понимают связь алгебры с арифметикой. Идея функциональной зависимости еще слабо доведена до сознания учащихся.

С арифметическими примерами, которые были предложены как на письменных, так и на устных экзаменах, учащиеся справились неплохо.

Но были обнаружены досадные пробелы.

1. Неумение применять законы арифметических действий

В одном из примеров требовалось вычислить 8—0,277×1,25. Никто из учащихся не применил переместительный закон умножения, а умножали так: 8 умножали на 0,277, а затем на 1,25. Таким же способом вычислялось произведение:

4.0,825—2,5.

Учащиеся на экзаменах слабо справлялись с применением законов арифметических действий. Ученица Л. (Крюковская средняя школа Московской обл.) при решении примера 2∙0,55∙4,5/0,5 все вычисления производила столбиком и не догадалась, что, применив законы действий, можно данный пример решить устно. Учащиеся довольствовались получением правильных ответов, не думая о рациональном приеме вычислений.

При делении 6 3/8 на 3 все отвечающие обращали смешанное число в неправильную дробь и делили, как дробь на целое число. Однако, применив законы умножения, можно сразу получить 2 1/8.

2. «Боязнь» десятичных дробей

Значительная часть поступающих не смогла разделить десятичную дробь на десятичную, но приходила к правильным результатам, заменив десятичные дроби простыми. Например: при делении 0,7007:0,014 записывали:

В действиях с десятичными дробями (в особенности при делении десятичной дроби на десятичную) поступающие допускали грубые ошибки:

и т. д.

Многие учащиеся не умеют приводить десятичные дроби к общему знаменателю, не понимают значения нулей справа и слева от запятой в десятичной дроби. Многие бойко отвечали правило умножения десятичных дробей, но не сумели объяснить, почему в произведении мы справа налево отделяем запятой столько знаков, сколько десятичных знаков во множимом и множителе вместе.

Имеет место неправильная запись деления десятичных дробей. Например, встречались такие записи:

Учащиеся Ч. (Солнцевская школа), У. (Кунцевская школа), В. (Малаховская школа), Н. (школа № 408 г. Москвы) и многие другие не смогли сказать, когда обыкновенная дробь обращается в десятичную конечную и бесконечную.

3. Слабое усвоение сравнения дробей по величине

Ученица Е. ответила, что дроби 8/9 и 7/8 равны, так как у одной дроби знаменатель на 1 больше, а у другой числитель на 1 меньше. Ученица Н. не смогла сравнить 11/12 и 10/11.

Многие при сравнении дробей такого вида приводили их к общему знаменателю, но не смогли ответить, для чего это нужно и каким свойством дробей мы пользуемся. Ни один из учащихся не воспользовался таким приемом, как сравнение разности между единицей и данными дробями, т. е. остатком. Например: раз

Несколько учениц пытались убедить экзаминаторов, что 5/90 больше 1/18, так как знаменатель у первой больше.

4. Слабое знание процентов и умение их применять

Многие учащиеся точно формулируют правила нахождения заданного числа процентов от данного числа, нахождения числа по данной величине процентов, нахождения процентного отношения двух чисел, но становились втупик, если им предлагалось найти 6% от 12; 8% от 8; найти число, если 2,5% его равно 25; 4% числа равно 8; выразить в процентах числа 6; 1,5; 2,5 и т. д.

Десяти абитуриентам была предложена такая задача: «Рабочий должен был сделать в час две детали, но сделал 6. На сколько процентов он выполнил план и на сколько он перевыполнил план?» Лишь один абитуриент ответил правильно, а остальные давали такие ответы: на 600%, на 400%.

5. Слабые знания метрической системы мер, в особенности мер площадей и объемов

Абитуриенты ошибались в ответах на вопросы: сколько квадратных дециметров в одном квадратном метре? сколько кубических сантиметров в одном кубическом дециметре?

6. Простейшие вычисления учащиеся производят на бумаге, записи располагают нерационально. Например:

Таким образом, напрашивается вывод: учителям математики необходимо на протяжении всех лет обучения систематически повторять курс арифметики, обращать внимание не только на техническую сторону, но и на понимание существа всех действий с обыкновенными и десятичными дробями; показывать необходимость и практическое значение каждого закона и арифметического правила.

Экзамены по геометрии показали, что и в этом разделе курса имеет место заучивание теорем без ясного понимания их смысла, логической связи. При доказательстве теорем учащиеся не всегда пользовались данными условия теорем.

Экзаменующаяся Л. (172-я школа г. Москвы) при доказательстве признаков параллелограма считала, что ей дан по условию параллелограм, а не выпуклый четырехугольник. При доказательстве теоремы о свойствах ромба многие не сумели доказать, почему диагонали ромба взаимно перпендикулярны, т. е. не знали, что равные смежные углы прямые.

Имеет место путаница в определении вписанного и описанного центрального углов, углов с вершиной вне круга и внутри круга. В затруднительном положении оказались многие при ответе на вопрос, во сколько раз центральный угол больше вписанного, опирающегося на ту же дугу.

Некоторые учащиеся при решении задач неправильно делали запись условия. В одной из задач, формулировка которой следующая: «Окружность разделена точками A, B, С, D в отношении 3, 4, 5, 6. Найти величину вписанных углов, опирающихся на дуги», ученица записывала условие так: А : В : С : D = 3 : 4:5 :6, не понимая, что значит A, B, С, D.

Экзамены по геометрии показали, что вопросы политехнического обучения все еще мало внедряются в практику преподавания.

До 70% учащихся не смогли выполнить действий над приближенными числами, не смогли составить таблицу прямо пропорциональных величин. Многие не имеют представления о мерном шнуре, эккере. У учащихся еще слабо развита метрическая точность, отсутствует соответствие между данными в условии задачи и чертежом.

О ПРИЕМНЫХ ЭКЗАМЕНАХ ПО МАТЕМАТИКЕ В СТАЛИНОГОРСКИЙ ГОРНЫЙ ТЕХНИКУМ

П. М. САВЧУК (Сталиногорск)

В 1954 г. по решению Министерства высшего образования СССР впервые в техникумах проводились приемные экзамены окончивших десять классов и желающих поступить в техникум с сокращенным сроком обучения — 2,5 года. Эти учащиеся должны были держать экзамены по русскому языку (письменно) и математике (письменно и устно) за десять классов средней школы.

В Сталиногорский горный техникум (Московская обл.) было подано около 300 заявлений от лиц, окончивших десять классов. Среди них преимущественно были учащиеся, окончившие школу в 1953/54 учебном году.

На письменных экзаменах по математике каждому учащемуся было предложено решить одну из следующих задач, на которую отводилось три астрономических часа.

Вариант 1. Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно b, а плоский угол при вершине а.

(b = 9 см, α = 62°12'.)

Вариант 2. В треугольной пирамиде две боковые грани — равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны b и образуют между собой угол а. Определить объем этой пирамиды.

(b = 6 см, α = 40°.)

Вариант 3. В прямоугольном параллелепипеде даны: сторона основания а, угол α, составленный диагональю основания со стороной а, и угол ß, составленный диагональю параллелепипеда с плоскостью основания. Найти объем и боковую поверхность параллелепипеда.

(а = 8,2 см, α = 28°36', ß=64° 15'.)

Вариант 4. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с боковой гранью угол α; сторона основания а. Определить объем призмы.

(а = 3,28; α = 38°24'.)

Несмотря на то, что предложенные задачи по своей трудности намного легче тех, которые решались на выпускных экзаменах в школе, все же многие абитуриенты не могли решить этих задач.

Проверка письменных работ показала, что учащиеся особенно слабо знают тригонометрию. Так, например, из варианта 2 при вычислении объема пирамиды у ряда абитуриентов получилось выражение:

Учащиеся так и не смогли упростить этого выражения и привести его к виду 1/2cosα, что потребовало много лишних и ненужных вычислений в работах.

Во многих письменных работах обнаружено, что учащиеся не умеют преобразовывать в произведения, часто путают нахождение поправок для косинуса с поправками для синуса.

В ряде работ обнаружено незнание учащимися начальных формул тригонометрии:

Так, например, абитуриент В. (Малевская средняя школа Тульской области) пишет:

Чертежи к задачам выполнены учащимися малограмотно. Чувствуется, что десятиклассники слабо владеют техникой построения чертежа. Некоторые абитуриенты не решили задачу из варианта 1 только потому, что не знали, что такое плоский угол при вершине пирамиды.

Несколько абитуриентов не решили задачу из варианта 4 из-за того, что перепутали угол между диагональю и боковой гранью с углом между диагональю и ребром призмы. Это были учащиеся П. (Поленская средняя школа Становлянского района Липецкой обл.), Ч. (Мухановская средняя школа Загорского района Московской обл.), М. (школа № 14 ст. Елец) и ряд других.

Были учащиеся, которые в экзаменационных работах допустили ошибки в действиях с отрицательными характеристиками. Так, например, учащиеся П. и X. (Издешковская школа Смоленской обл.) писали:

Многие абитуриенты допустили ошибки при вычислении:

Немаловажное значение в контрольных рабо-

тах имеет правильное написание математических терминов. К сожалению, есть еще учащиеся, которые в этой части показали себя безграмотными людьми. Так, например, учащиеся К. и Р. (школа № 11 Сталиногорска Московской обл.) написали в работах диогональ, параллелепипед. Учащийся П. (Издешковская школа) написал бессиктриса. Часто в работах можно было встретить такие безграмотные записи, как: паралелепипед, параллепипед, экзаменоционная работа, экзаминоционная работа. Учащийся В. (Узловская средняя школа № 1) даже написал так: «экзаменационная работа по математике».

Преподавателям указанных школ следует строже контролировать знания учащихся выпускных классов и обращать особое внимание на правильное написание математических слов. Хорошо было бы иметь в классе на стене табличку отдельных слов из математического лексикона.

На устных экзаменах выявилось, что ряд школ слабо подготовил своих выпускников. Целый ряд учащихся очень слабо решают тригонометрические уравнения, не могут доказывать простейшие тождества, которые содержат обратные тригонометрические функции. Так, например, из группы в 35 человек, которые подвергались устным экзаменам, ни один не мог правильно решить уравнение

Все поступающие обычно решали так:

Ни один из них не дал общего решения этого уравнения. Учащиеся М. (школа № 1 г. Узловая), Д. (Никитская школа Воловского района Тульской обл.) и ряд других решали уравнение

таким образом:

Учащиеся К. (школа № 11 г. Сталиногорска) и С. (Скопинская школа № 1) уравнение

решали так:

Еще хуже обстояло дело с решением уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции. Поголовное большинство абитуриентов не могло решить таких уравнений:

Многие учащиеся ссылались на то, что в школе они не решали подобных уравнений.

Учащийся Г. (Новодеревенская школа Рязанской обл.) на вопрос, что называется тождеством, ответил так: «Тождество — это алгебраическое выражение, содержащее тождественное равенство». Он отказался доказать такое тождество:

Этот абитуриент не имеет никакого представления, как следует решать уравнение:

Учащиеся Г. и Л. (Поленская средняя школа Становлянского района Липецкой обл.) оказались так слабо подготовленными, что не знали даже формул для нахождения

а также формул приведения. Примерно на 4 — 5 человек поступавших только один правильно решал такие уравнения:

Слабым местом в познаниях учащихся были вопросы, связанные с исследованием системы линейных уравнений и с формулировкой и доказательством теоремы Безу. Слабые знания показали учащиеся и в доказательствах теорем о частях шара.

Абитуриенты часто путали условие теоремы с заключением, не было ясности и в построении чертежей. Некоторые учащиеся, зная формулировку той или иной теоремы, не могли провести ее доказательство. Как показали устные экзамены, многие учащиеся при решении простейших геометрических задач не находят рациональных методов, а пользуются длинными способами решений. Так, например, при вычислении площади основания правильной треугольной пирамиды со стороной основания а многие находили сначала высоту основания, а затем определяли его площадь по формуле:

И почти никто из абитуриентов не пользовался формулой:

Были и такие абитуриенты, которые вычисляли площадь правильного треугольника со стороной а по формуле Герона.

На устных экзаменах можно было встретить немало курьезов при ответах учащихся. Так, например, вместо того чтобы начертить пирамиду, учащийся чертил призму, вместо скрещивающихся прямых чертил пересекающиеся прямые, вместо ребер пирамиды показывал ее грани и т. д.

Такие слабо подготовленные учащиеся, поступая на производство, не могут быть высококвалифицированными рабочими, ибо слабые знания по математике не дадут им возможности глубоко изучить ту профессию, по которой они квалифицируются.

Некоторые школы, учитывая то, что большинство учащихся желают пойти на производство, и, видимо, считая, что из них выйдут квалифицированные рабочие и без твердого знания математики, ослабили требования по основным предметам. Это глубокая ошибка тех, кто так думает.

Сопоставляя итоги вступительных экзаменов в наш техникум по математике учащихся, окончивших десять классов, с итогами экзаменов учащихся, окончивших семь классов, следует отметить, что последние сдавали вступительные экзамены гораздо лучше, чем первые.

Итоги полуторамесячной учебы в техникуме показали, что учащиеся, окончившие десять классов, труднее всего усваивают техническое черчение, техническую механику и математику. Так, например, по проведенной контрольной работе по аналитической геометрии на тему «Прямая линия» из группы в 33 человека 8 человек получили «двойки», столько же «двоек» выставлено по контрольной работе, проведенной по технической механике.

Анализируя ошибки, сделанные учащимися по математике и механике на контрольных работах, следует сказать, что преобладающее большинство ошибок относится к незнанию учащимися материала школьного курса. Так, например, отдельные учащиеся затрудняются решать систему трех уравнений 1-й степени с тремя неизвестными, а также не знают, как найти tg2a по заданному tga. По технической механике при проектировании сил на оси координат учащиеся путают понятие косинуса угла с синусом, затрудняются решать систему линейных уравнений с иррациональными коэффициентами, как, например:

ОТ РЕДАКЦИИ

По примеру предыдущих лет редакция и в настоящем году помещает ряд статей, посвященных вопросу о состоянии знаний учащихся по итогам экзаменов. Изучение итогов экзаменов поможет учителям установить, в каких разделах школьного курса математики знания учащихся являются наиболее слабыми, и выявить ошибки, носящие массовый характер. Наиболее ценными надо признать те статьи, авторы которых не только фиксируют ошибки, допущенные учащимися, но вскрывают источники этих ошибок и намечают пути их преодоления. В этом отношении безусловный интерес представляют статьи С. М. Чуканцова, В. Е. Семенова, Л. Ш. Матлина, М. Р. Линдера, помещенные в настоящем номере журнала.

В полученных редакцией статьях освещены главным образом итоги приемных испытаний в вузы и техникумы, в дальнейшем редакция предполагает также поместить ряд статей об итогах школьных экзаменов. Соответствующий материал редакция надеется получить от институтов усовершенствования учителей, методических объединений и от отдельных учителей и методистов.

Следует заметить, что, несмотря на вполне определенное указание Министерства высшего образования и Министерства просвещения о недопустимости предъявлять требования сверх программы, некоторые экзаминаторы не считаются с этим указанием. Так, например, В. Е. Семенов дает рекомендации, относящиеся к формуле перехода от одного основания логарифмов к другому, М. Р. Линдер отмечает, что учащиеся, окончившие семь классов, не умеют обращать периодическую десятичную дробь в обыкновенную, М. П. Савчук считает недостатком, что поступающие при выполнении тригонометрических преобразований не пользуются секансами и косекансами, а между тем объяснительная записка к программе рекомендует в основном ограничиться лишь четырьмя тригонометрическими функциями.

Кроме помещенных в настоящем номере статей, в редакцию поступил ряд писем и заметок о недостатках в знаниях и навыках учащихся.

Так, например, в письме в редакцию тов. М. А. Мейлахс (Акмолинская область) указывает на недостаточное знание метрической системы мер. Он пишет, что на вопрос: «В ширину ты занимаешь 4 дециметра, а в длину 1,5 метра; какую площадь ты займешь?»: восьмиклассники давали такие ответы: 600 кв. дециметров, 6000 кв. дециметров, 6 кв. метров и т. п. Л. Н. Андрианов (Уфа) указывает на неумение поступающих в техникумы пользоваться чертежными инструментами, на слабые навыки в быстрых приближенных вычислениях.

ИЗ ОПЫТА

К ВОПРОСУ О СОСТОЯНИИ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ VIII КЛАССА СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ ПО АЛГЕБРЕ

Е. С. БЕРЕЗАНСКАЯ (Москва)

В настоящее время одной из основных задач методики преподавания математики в средней школе является разработка системы мероприятий для достижения высокого качества знаний учащихся, предупреждения неуспеваемости, преодоления формализма в преподавании и в знаниях учащихся, разработка вопросов политехнического обучения на занятиях по математике.

В настоящей статье мы рассматриваем состояние знаний учащихся по некоторым разделам курса алгебры VIII класса, методика преподавания которых мало освещена в литературе. Мы предлагаем некоторые приемы, проверенные на практике, для того чтобы повысить успеваемость по алгебре в VIII классе, чтобы изжить имеющиеся недочеты и обеспечить учащимся более глубокие и осознанные знания, чем те, которые имеются у них в настоящее время.

В настоящей статье изложены результаты непосредственного наблюдения за преподаванием алгебры в восьмых классах средней школы, результаты бесед, проведенных с отдельными учениками и с группами учеников восьмых классов различной успеваемости, а также результаты анализа ученических тетрадей и письменных работ по рассматриваемым темам курса алгебры VIII и частично VII классов. Последние были взяты для уточнения причин распространенных недочетов, которые имеются в знаниях по алгебре учащихся восьмых классов.

В проведении и анализе контрольных работ по экспериментальной теме приняли участие студенты III курса физико-математического факультета Московского государственного педагогического института им. В. И. Ленина во втором семестре 1951/52 учебного года и IV курса в первом семестре 1952/53 учебного года.

Степени и корни

Изучая первую тему курса алгебры VIII класса, учащиеся обычно приобретают навык выполнять требуемые тождественные преобразования без больших затруднений. Но в этой теме более чем в какой-либо другой возможно формальное усвоение теории, механическое решение упражнений, иногда довольно громоздких, в особенности на преобразования радикалов и действия с ними.

В VIII классе в теме «Степени и корни» учащиеся изучают степени и корни только с натуральными показателями. Но это не указывается и не подчеркивается в школьном учебнике и задачнике по алгебре. Уже в следующем, IX классе в теме «Обобщение понятия показателя степени» учащимся сообщается, что до сих пор они имели дело только с натуральными показателями степени. Учащиеся знают числа положительные, отрицательные, целые и дробные, они возводят эти числа в степень, но на ограничение для показателей степени их внимание не обращается. Еще в VII классе, когда учащиеся выполняют деление

(«Сборник задач по алгебре», ч. 1, П. А. Ла-

ричева) и дают ответ: 1/2 (а — b)m-n, они приучаются несколько поверхностно относиться к изучаемой теории.

Законно ли из показателя степени m вычесть показатель степени x что больше: m или п; будет ли показатель степени (m — n) целым положительным числом? — вот примерно те вопросы, которые справедливо поставили сильные ученики VII класса, когда им было предложено сократить алгебраическую дробь —, в то время как их менее подготовленные товарищи, не раздумывая, дали ответ:

без всяких указаний, что следует считать 3> n; m>4.

Приобретая в целом неплохие навыки в действиях со степенями и корнями с натуральными показателями, учащиеся нередко допускают в своих работах грубые ошибки. Это вытекает прежде всего из недостаточно глубокого усвоения теории, а также из неумения проконтролировать свою работу. Так, задача самоконтроля, проверки своей работы, как правило, не ставится перед учениками на занятиях по алгебре. Самым простым приемом проверки правильности выполнения алгебраических преобразований служит подстановка вместо букв определенных чисел, т. е. проверка того, что в результате выполненных преобразований получено выражение, тождественно равное данному. Взяв вместо букв любые числовые данные (в простейшем случае — целые одно- или двузначные числа), ученик может самостоятельно проверить, правильно ли он выполнил действия со степенями, не ожидая проверки работы учителем*. Если он обнаружит ошибку в работе и попытается ее исправить, это будет одним из ценных приемов сознательного отношения к работе, углубления и закрепления получаемых знаний. В настоящее же время, когда учащиеся стараются выполнять преобразования и действия «по правилам», которые ими заучены, мы встречаем грубые ошибки в письменных работах и устных ответах учеников; например, пишут:

говорят, что 43 равно 12; пишут:

считают, что у (] больше, чем

и т. п. Приходится наблюдать случаи, когда на уроках, вместо того чтобы предложить ученику, допустившему ошибку, проверить свою работу, или применить другой прием, или указать на недопустимость полученного ответа, предлагается «вспомнить» правило перемножения степеней одинаковых чисел или правило возведения степени в степень и исправить свою ошибку. Здесь налицо обращение к памяти, но не к здравому смыслу и к теории.

Такие же факты имеют место и в IX классе на уроках алгебры, когда ученики пишут:

причем последнее решение объясняют так: «основания степени равны, но показатель степени первого числа больше показателя степени второго числа, так как 4/5 > 2/5», и т. д. В результате менее подготовленные ученики допускают даже в своих итоговых работах, уже после изучения в VIII классе темы «Действия со степенями», следующие ошибки: при возведении в степень одночлена умножают его коэффициент на показатель степени и складывают показатели степени буквенных множителей с показателем степени, в которую возводится одночлен, например:

или возводят первый показатель степени в степень, равную второму показателю, например:

и т. п. Эти ошибки, вызванные недостаточным уяснением соответствующей теории и непониманием практического смысла производимых преобразований, отрицательно сказываются в дальнейшем, при изучении в курсе алгебры IX класса действий с отрицательными и дробными показателями.

Надо также указать, что в новом задачнике по алгебре П. А. Ларичева, часть 1, мало упражнений на умножение и деление степеней с буквенными показателями и вовсе нет упражнений вида:

и т. п. Нет также упражнений на разложение на множители выражений вида 2—3m-1 — 2 9m и т. п. Поэтому такие упражнения учащиеся VIII класса в большинстве случаев выполняют неверно; для сознательного же усвоения понятия степени эти упражнения очень полезны.

* Этот прием, вообще говоря, не дает полной гарантии в правильности проведенного преобразования и является, разумеется, средством контроля, но не полной проверки.

В преобразованиях и в действиях с корнями и иррациональными числами учащиеся VIII класса допускают те же ошибки, которые указаны выше для действий со степенями. В процессе беседы с учениками, сделавшими те или иные ошибки, мы убедились, что достаточно небольшого указания о необходимости проверки тождественного равенства данного и полученного алгебраических выражений, чтобы учащиеся самостоятельно находили и исправляли свои ошибки. Это дает нам право считать, что в том случае, когда учащиеся действительно сознательно, а не механически по выученному правилу выполняют алгебраические преобразования, они усваивают требуемые правила и выполняют требуемые операции без каких-либо особых затруднений, быстро, и, главное, верно. Слабые ученики, встречая в примере выражение √m+n, писали: √ m + √n но, когда они подставили числа m = 5 и n = 4, им сразу стала ясна ошибка. В последующих предложенных упражнениях, более трудных, чем указанное, они остереглись дать ответ, хотя и не знали, как быть в этих случаях, а именно: когда в упражнениях встретились выражения

и ученики при подстановке а = 4, b = 1 не получили ответ, численно равный 5а+3 или а — b (который они хотели дать), они оставили указанные выражения без преобразования.

Заметим, что в рассмотренных случаях нами было предложено ученикам проверить свой ответ подстановкой частных числовых значений букв, но не выполнять проверку обратным действием, так как, выполняя обратное действие, они могли вторично сделать ошибку и получить для

подкоренное выражение (m+n).

Только после нескольких выполненных аналогичных упражнений ученики, с которыми мы беседовали, пришли самостоятельно к мысли, что нельзя извлечь корень из суммы или разности так просто, как это делается при извлечении корня из произведения или из дроби. Вопрос о возведении в степень суммы и извлечении из нее корня должен быть разработан особенно тщательно, что не всегда делается в настоящее время в школе.

Затем, очень много ошибок допускают ученики в действиях с квадратными корнями из конкретно данных чисел, что особенно подчеркивает неосознанность выполняемой работы. В самом деле, может ли √3,6 равняться 0,6, или √2,5 равняться 0,5, или, наконец, √0,9 равняться 0,3, как нередко пишут ученики? Стоит ученику VIII класса, знающему действия с десятичными дробями, сделать проверку, как ошибки будут обнаружены им самим. Ученик с трудом нашел ошибку, написав (3√7) =21 (вместо 63); ему было предложено «прикинуть» ответ, зная, что √7 больше 2; значит, 3√7 больше 6. Может ли квадрат числа, большего, чем 6, равняться 21?

Приведем еще один пример. Ученица с хорошей успеваемостью по математике долго не могла понять, что 5+√21 и написанное ею число 5√21 не одно и то же (5 + √21 > 9, но в то же время 5 + √21 < 10, а ее ответ: 5 √21 > 20). Такая ошибка нередко встречается в ответах по алгебре, когда ученики, привыкшие в курсе арифметики пользоваться смешанными числами, не уточнив, что число 4 2/3 представляет собой сумму 4 + 2/3, считают 4 2/3 равным произведению 4.2/3 и выражение a 1/a приравнивают выражению a + 1/a Нередки ошибки и такого порядка:

или

Эти ошибки можно предотвратить требованием постоянного самоконтроля при выполнении работы.

В действиях с иррациональными выражениями ученики VIII класса допускают ошибки, аналогичные тем, которые указаны для действий со степенями. Здесь и умножение коэффициента одночлена на показатель корня вместо возведения его в степень, например:

и возведение в степень коэффициента, когда этого делать не нужно, например:

и деление коэффициента и показателя корня на их общий делитель, например:

и сохранение знака радикала при делении по-

казателей степени и корня на число, равное показателю корня, например:

Мы не останавливаемся на других ошибках, часто встречающихся в работах учеников VIII класса по рассматриваемой теме, скажем только, что знание заученных формулировок, правил действий мало способствует устранению ошибок. Поэтому при изучении темы «Степени и корни» следует при решении упражнений время от времени требовать не только применения правила, но и его вывода для данного частного случая. Тогда учащиеся сумеют в любое время восстановить нужное правило и безошибочно его применить.

Известно, что процесс выполнения той или иной операции при наличии достаточно хорошего навыка протекает почти автоматически, и в школе этого надо добиваться. Но на деле при решении упражнений учащиеся иногда, не думая о соответствующем правиле (считая, что они его знают) и опуская промежуточные операции, делают много ошибок, например, смешивают возведение степени в степень с умножением степеней и т. п. Поэтому учителю необходимо, подбирая систему упражнений по какому-либо разделу курса, включать упражнения и по предыдущим разделам, приучать учеников обосновывать выполняемые ими операции и сопоставлять различные правила.

В свете требования политехнизации советской средней школы одной из важнейших задач преподавания математики является задача воспитания у учащихся определенных практически нужных вычислительных навыков, умения сознательно, рационально, где возможно, устно, бегло и обязательно правильно выполнять действия и преобразования. Следует добавить, что при выполнении учениками тождественных преобразований со степенями и корнями простейшие преобразования должны всегда выполняться устно, кроме того, необходимо требовать от учащихся подробных, логически последовательных, четких объяснений. «Реальность мысли проявляется в языке», учит И. В. Сталин («Марксизм и вопросы языкознания», Госполитиздат, 1950, стр. 39). Необходимо по возможности показывать ученикам практическую значимость и целесообразность выполняемых преобразований, показывать рациональные приемы работы.

Приходится слышать от учеников восьмых классов, что очень скучно все время решать примеры на вынесение рационального множителя из-под знака корня, освобождение от иррациональности знаменателя и т. д.; нам пришлось слышать от хорошо успевающего по математике ученика, что он «все действия с корнями умеет делать», но для чего все это — не знает.

Действительно, если учащимся ясно, какая польза от вынесения рационального множителя из-под знака корня (√72 = 6√2, где приближенное значение √2 им известно), то полезно ли обратное преобразование, совсем не очевидно. Можно указывать, что 200 раз взятое приближенное значение √2 даст менее точный результат, чем √80000; в этом случае целесообразно выполнить обратное преобразование:

Кроме того, учащихся следует приучать пользоваться таблицами корней квадратных из заданных чисел; по таблицам можно сразу найти, например, √639, не преобразовывая:

Поэтому в каждом отдельном случае следует выяснять, какое преобразование более целесообразно:

или

Упрощение работы в случае освобождения выражения от иррациональности в знаменателе может быть показано ученикам на многих примерах; несомненно, легче (полуписьменно) вычислить a√b/b, чем a/√b, например 5√2/2 вместо 5/√2, где за √2 принимается приближенное значение 1,4142. Если по формуле

надо вычислить, сколько времени падало тело с высоты 2,5 м (ускорение силы тяжести g ≈ 9,8 м/сек2), то проще вычислить

Действительно: 4,9.2,5 = 49:4= 12,25; √12,25 = 3,5. Ответ: ≈ 0,7 секунды; в данном случае использовано преобразование

Надо отметить, что вопрос об извлечении квадратного корня из приближенного числа, о точности получаемого ответа совсем не ставился на уроках алгебры в школах, с которыми мы ознакомились.

Следует обратить внимание еще на одно преобразование радикалов, которое сейчас не встречается на уроках алгебры в VIII классе, — это преобразование

исключенное из программы алгебры, как трудное для учащихся. В то же время среди упражнений с радикалами в задачниках немало выражений этого вида, например:

и т. д., с которыми учащиеся должны производить операции, не понимая и не видя их смысла. Нет необходимости выводить и давать ученикам формулы, по которым преобразовываются выражения вида

но научить их приближенно вычислять результат такого выражения, чтобы понимать его практическую значимость, обязательно. Кроме того, никаких затруднений для учащихся не представляет извлечение квадратного корня из двучлена рассматриваемого вида в частных случаях (с числовыми данными). Это было нами проверено на упражнениях:

и др. («Сборник вопросов и упражнений по алгебре» Е. С. Березанской и Ф. Ф. Нагибина, Учпедгиз, 1951).

Замечание. В IX классе, приступая к теме «Обобщение понятия показателя степени», следует еще раз обратить внимание учащихся на то, что: 1) определение действия возведения в степень и все правила действий над степенями давались в предположении, что показатель степени — число натуральное; 2) что теперь при обобщении (при расширении понятия степени) соотношения, при помощи которых устанавливается смысл степени с нулевым, отрицательным и дробным показателями, доказательству не подлежат; во всех этих случаях даются определения:

Очень важно для сознательного отношения учащихся к новым символам конкретно показать, почему приняты именно эти определения и что та цель, которая имелась в виду при выборе определений, достигнута.

Арифметический корень

Вопрос об арифметическом значении корня совершенно не освещен в школьном учебнике алгебры. Имеется лишь небольшое замечание в § 107 первой части учебника А. П. Киселева. В первом издании нового задачника по алгебре (П. А. Ларичева) для VIII—X классов было лишь два упражнения в самом начале раздела «Радикалы и действия над ними» и несколько упражнений в конце этого раздела, затрагивающих вопросы об арифметическом значении корня. В последующих изданиях этого задачника число подобных упражнений несколько увеличено (№ 124—128), но все эти упражнения или даны (фактически) уже с ответами, или ограничиваются наиболее элементарными соотношениями, не закрепляющими в сознании учащихся понятие об арифметическом корне.

Среди последующих упражнений почти нет таких, которые заставили бы учащегося все время помнить, что все преобразования с радикалами производятся только с арифметическими корнями. Для того чтобы усвоить понятие арифметического корня и научиться правильно его применять, нельзя ограничиться введением нескольких соотношений, вытекающих из его определения; необходимо иметь довольно много систематически подобранных упражнений для того, чтобы приобрести навык в применении теории на практике. Этой возможности ни учебник, ни задачник не дают. Вопрос об арифметическом корне крайне робко вводится в нашу среднюю школу. Его еще вполне не освоили.

Сказанное довольно ясно показывает состояние вопроса об арифметическом значении корня в нашей учебной литературе по математике. Поэтому надо считать преждевременным то, что на экзаменах по алгебре в VIII классе весной 1952 г. (т. е. в первый год введения в школе задачника П. А. Ларичева) в экзаменационных работах, составленных школьным Управлением Министерства просвещения РСФСР было предложено выполнить действия:

при условии

(в одном из вариантов работ) и аналогичные упражнения были даны в других вариантах. Многие учащиеся восьмых классов вовсе не учли указанного условия, те же, которые, не зная теории вопроса, действовали по соображению, часто, получив корень вида

считали небходимым уже под знаком корня писать (b — a)2, a именно:

В некоторых работах даже приводятся объяснения: «нужно под корнем брать не (а — b)2, а (b — а)2, что одно и то же, но при извлечении корня из этих чисел получится не а — b<0, a b — a>0».

Между прочим, ни в одной из 160 просмотренных экзаменационных работ не было сказано, что «берется арифметический корень». Этот термин не вошел в лексикон учащихся VIII класса средней школы.

Ввиду всего сказанного при изучении рассматриваемой темы в курсе алгебры VIII класса необходимо тщательно разработать методику введения понятия «арифметическое значение корня» и его применение в действиях с иррациональными выражениями.

При первом же ознакомлении учащихся с действием извлечения корня надо указать им, что в практических вычислениях пользуются только арифметическим значением корня (или арифметическим корнем). Арифметическим корнем называется неотрицательное значение корня из неотрицательного числа (единственное число), т. е. √а ⩾ 0 при а ⩾ 0; n — любое натуральное число, большее 1.

1-я группа упражнений, 1. Требуется найти √4 (корень четной степени из положительного числа).

Учащиеся немедленно отвечают: ±2. Выясняется, что арифметическим корнем будет число 2;

Примеры:

Выбор арифметического значения корня позволяет избежать двойственности при выполнении действий с корнями;

Обычно учащиеся так и вычисляют, забыв, что они дали только что ответ:

При извлечении корня нечетной степени из положительного числа всегда получается только арифметический корень:

После достаточного числа решенных примеров делается вывод: арифметический корень √аm = а при а 0 в случаях, когда m — четное или нечетное.

2-я группа упражнений. Если а<0 (подкоренное число отрицательно), то в этом случае не может быть и речи об арифметическом корне ни при четном, ни при нечетном показателе степени:

1) что √—4 не имеет смысла* — ясно учащимся,

2) но решение примера ∛—8 требует дополнительного разъяснения. В стабильном учебнике говорится, что в случае нечетного показателя степени корень из отрицательного числа — число отрицательное. Необходимо вы яснить, что при вычислении ∛—8 получается значение — 2; арифметического же корня (согласно определению) из отрицательного числа не существует. Полезно выяснить учащимся, что, отыскивая ∛—8, они по существу прежде отыскивают арифметический корень, ∛8 , и берут его со знаком «минус»:

где ∛8 есть арифметический корень.

3-я группа упражнений. Случай, когда подкоренное выражение положительно (арифметический корень существует) и является степенью (четной) отрицательного числа.

число 2 — арифметический корень;

и т. д. Делается вывод:

В этом случае (когда а<0) найден арифметический корень.

* В поле действительных чисел. (Ред.)

Затем следует объединить выводы, сделанные из упражнений 1-й и 3-й групп: арифметический корень √аn = | а | при an > 0, причем, так как абсолютная величина числа всегда неотрицательна, т. е. |a|>0, то в случае, когда а > 0, имеем:

и когда а < 0

(число, противоположное а).

Упражнения для проверки усвоения.

Детальная разработка рассматриваемого вопроса необходима, так как большинство проверенных нами учащихся для примера √(— 4)2 дают ответ (— 4), т. е., несмотря на знание определения арифметического корня, полного усвоения этого понятия нет. Необходимо, чтобы учащиеся усвоили два требования для получения арифметического корня: во-первых, подкоренное число не должно быть отрицательным как в том случае, когда извлекается корень четной степени, так и тогда, когда извлекается корень нечетной степени; во-вторых, ответ не может быть отрицательным.

Источник ошибок, конечно, в недостаточном внимании к этому вопросу в стабильном учебнике и задачнике по алгебре. Кроме того, трудности возникают у учеников еще в связи с тем, что понятие абсолютной величины числа, сравнение чисел по их абсолютным величинам недостаточно усваивается учениками в VI и VII классах.

В дальнейшем в действиях с корнями учащиеся не видят никаких затруднений, выполняют их по известным правилам, но та мысль, что эти правила преобразований справедливы только для арифметических корней, в большинстве случаев остается неосознанной.

Для выяснения и закрепления вопроса о безусловной верности правил преобразования корней только для арифметических корней полезно выполнить упражнения с конкретными данными, например:

1) √а2 = а. Всегда ли верно это равенство? Проверить для частных случаев и внести поправку. Например, при а>0; пусть а = 3, √32 =3; действительно, 32 = 9; при а = 0 √0 = 0 — верно. При а < 0, пусть а = — 3, √(—3)2 =3; в этом случае равенство √а2 —а не имеет места, так как 3 ≠ а; 3 = — а, т. е. при а < 0 √а2 = — а (где а — число положительное), поэтому и пишут:

2) √а2 = √а. Всегда ли верно это равенство? Пусть а = 4 > 0, тогда

и так как корень четной степени извлекается только из неотрицательного числа, то указанное преобразование не имеет места при а < 0*.

3) Всегда ли

(преобразование, аналогичное второму)? Если а > 0, например, а = 8, то

Если а < 0, например, а = — 8, то

* Не получится арифметический корень и при преобразовании √( — 4)3 = √ — 4, т. е. при делении показателя корня и показателя степени на одно и то же число (нечетное).

Аналогично рассматриваются упражнение ∛a9 и некоторые другие. Таким образом учащиеся на конкретных примерах усваивают тот факт, что равенство

безусловно справедливо при а⩾0.

В таком же плане конкретно рассматриваются с учащимися и все остальные правила действий с радикалами, причем берутся корни второй, третьей, четвертой, шестой степеней. Например, формула

для случая а = — 5, m = 3 применима, но не дает в результате арифметического значения:

формулы

и т. д. безусловно применимы только к арифметическим корням.

В настоящее время при посещении многих уроков по алгебре в восьмых классах нам не пришлось слышать этого необходимого указания от учащихся при выполнении ими действий с корнями.

Для закрепления приобретенных знаний полезно предлагать вопросы и упражнения для устного ответа, например:

1) При каком условии

(Ответ: при

2) Преобразовать √a2b при условии b>0, а <0.

(Ответ: — a √b ).

3) Имеет ли смысл арифметический корень √a2b при a<0? b<0?

Приведем несколько более сложных упражнений, требующих использования решения самых простых неравенств, с которыми учащиеся знакомились в курсе алгебры VII класса.

Найти арифметические корни (примеры даны с ответами):

7) √(х + 2)3 = x+2 при x ⩾ — 2, иначе нет арифметического значения корня, при x < — 2 ответом будет отрицательное число

Аналогичные упражнения входят составными частями в комбинированные упражнения, имеющиеся в задачниках по алгебре, и ошибки, связанные с понятием арифметического корня, приводят к неверным ответам, о чем уже было сказано. Ниже дано верное решение двух примеров, для которых в различных задачниках имеются различные ответы.

Надо еще добавить, что в этой теме полезно рассмотреть некоторые упражнения, которые понадобятся учащимся в дальнейшем при изучении иррациональных уравнений и при разборе многих распространенных алгебраических софизмов, например:

1) В каком случае из равенства a2 = b2 вытекает равенство а = b? Объяснить ответ.

2) Надо доказать тождество

Почему для его доказательства можно обе части данного тождества возвысить в квадрат? 3) Можно ли доказать тождество

возведением обеих частей его в квадрат? Объяснить ответ.

* В этом случае показатель корня и показатель степени подкоренного числа делили на четное число.

4) Всегда ли справедливо равенство

Упражнения. I (№ 398 «Сборника задач по алгебре» П. А. Ларичева, издания 1952 г.). «Доказать, что дробь

при

принимает значение, равное

Имеем далее;

II (№ 392 того же «Сборника»), «Упростить выражение:

Замечание. В дальнейшем, при изучении дробного показателя степени, учащиеся должны понимать, что

1) a1/n = √а, при a>0 и n — натуральном, большем 1; am/n = √ат, где а>0; n и m — натуральные числа;

2) a1/п при a < 0 не имеет смысла при n четном (в поле действительных чисел); рассматривать a1/п при а < 0 можно только в случае нечетного n;

3) an при a<0 можно рассматривать только, когда n = 2k+1, например: (— 2)3/5 ; (—4)5/7; вообще же дробные степени отрицательных чисел на практике приходится рассматривать очень редко.

О ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ В КУРСЕ VIII КЛАССА

В. И. БЕЛЯЕВ (Коломна)

§ 1. Постановка вопроса

Преобразования иррациональных выражений по сравнению с ранее изучаемыми преобразованиями рациональных выражений имеют свои особенности. Главная особенность заключается в том, что преобразования иррациональных выражений должны проводиться в зависимости от множества допустимых значений, входящих в выражения букв (переменных). Если на допустимые значения букв не накладывать дополнительных ограничений, то преобразование иррационального выражения может привести к различным выражениям, тождественно равным данному при различных, взаимно исключающих системах допустимых значений букв.

Например:

С таким же явлением придется встретиться учащимся в дальнейшем при преобразовании выражений, содержащих переменные под знаком логарифма и под знаком обратных тригонометрических функций.

Например: lg(x—1)2 =

Указанные особенности преобразований иррациональных выражений не находят отражения в практике преподавания. Преобразования проводятся формально, без внимания к множеству допустимых значений букв, что приводит к прямым ошибкам при применении свойств арифметического корня.

Причиной такого положения являются применяемые в школе учебник и задачник.

Ведущая роль в приобретении правильных навыков в преобразованиях принадлежит задачнику. Поэтому недостатки учебника в рассматриваемом вопросе могли бы быть сведены «на нет» при соответствующей системе упражнений, даваемой задачником. Однако такой системы упражнений школьные задачники не дают.

Если проанализировать ответы к упражнениям на преобразования иррациональных выражений в задачнике Шапошникова и Вальцова, то они оказываются в значительном числе по существу неверными. Часто в ответе должны быть даны два (если не пользоваться знаком абсолютной величины) или даже большее число выражений, на самом же деле дается одно выражение и, как правило, без всякого указания на допустимые значения аргументов. Лишь в очень немногих случаях вместе с ответом даются такие указания*.

Чтобы все ответы в задачнике соответствовали условиям задач, надо во многих случаях наложить на допустимые значения входящих в него букв некоторые ограничения.

Указанный недостаток в разделе тождественных преобразований иррациональных выражений характерен для всех старых учебников и задачников.

В последние годы ставится вопрос об устранении этого недостатка, об отказе от формального выполнения преобразований без учета множества допустимых значений, входящих в преобразовываемые выражения букв.

Некоторые шаги в этом направлении сделаны в новом задачнике П. А. Ларичева. Однако этот вопрос по-настоящему здесь не решен. Здесь в начале упражнений на преобразования иррациональных выражений (часть 2, § 9) обращается внимание на соотношение:

К этому соотношению автор возвращается затем только в упражнениях повторительного параграфа (§ 18, № 385, 389, 392, 393). Другие случаи зависимости преобразований от множества допустимых значений букв в задачнике не отражены. При переходе к систематическим упражнениям в преобразованиях иррациональных выражений имеется замечание автора о том, что ответы даны при условии, когда буквы

* См. Шапошников и Вальцов, Сборник алгебраических задач, гл. IX, № 53, 108, 125, 146, 312, 361, Учпедгиз, 1941.

в подрадикальных выражениях обозначают положительные числа и разности вида а — b рассматриваются при а> b. С учетом данных ограничений ответы соответствуют условиям задач. Это замечание следует, нам кажется, рассматривать как рекомендацию автора проводить все преобразования иррациональных выражений при указанных ограничениях. При такой постановке зависимость преобразований этого вида выражений от множества допустимых значений букв не будет уяснена учащимися. Все сведется к формальному выполнению преобразований со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Во всяком случае, если автор и не рекомендует всегда проводить преобразования с указанными ограничениями, то он и не дает такой системы упражнений, которая способствовала бы привитию навыков в преобразованиях иррациональных выражений с учетом допустимых значений входящих в них букв.

Мы согласны с С. И. Новоселовым* в том, что в упражнениях на тождественные преобразования иррациональных выражений нельзя встать на такой путь, когда на допустимые значения букв не накладывается никаких дополнительных ограничений. При проведении всех упражнений без дополнительных ограничений учащимся придется преодолевать одновременно две трудности, а именно: 1) применять новые для них свойства корня и 2) проводить исследования, связанные с рассмотрением различных случаев, в зависимости от знака выражений, к которым эти свойства применяются. Указанные исследования часто довольно громоздки, особенно при преобразовании выражений, содержащих несколько букв, и в более сложных случаях требуют больших, чем располагают восьмиклассники, знаний о неравенствах. Увлечение преобразованиями иррациональных выражений без дополнительных ограничений на допустимые значения букв приведет, как справедливо указывает С. И. Новоселов, к сокращению тренировочных упражнений, что не обеспечит привитие учащимся прочных навыков в преобразованиях.

Упражнения на преобразования иррациональных выражений без дополнительных ограничений на допустимые значения букв необходимы, но они должны быть поставлены в определенные рамки как по количеству и месту в общей системе упражнений, так и по степени сложности.

Помимо этих упражнений, необходимы также упражнения в преобразованиях иррациональных выражений с наложенными в самом условии дополнительными ограничениями на допустимые значения букв, которые дают возможность на некотором этапе преобразования сделать заключение о знаке тех или иных выражений и избежать рассмотрения нескольких возможных (если бы не были наложены дополнительные ограничения) случаев. Ясно, что среди этих упражнений большое место должны занимать упражнения с общим ограничивающим условием, которое дано в задачнике П. А. Ларичева, так как они главным образом и обеспечат привитие навыков в непосредственном применении свойств корня.

Только в результате разумного сочетания указанных двух типов упражнений можно добиться привития учащимся правильных навыков и уяснения ими зависимости преобразований иррациональных выражений от множества допустимых значений входящих в них букв.

Основная цель настоящей статьи — предложить систему упражнений для решения этой методической проблемы.

§ 2. О понятии корня при преобразованиях иррациональных выражений и его свойствах

Для правильной постановки изучения преобразований иррациональных выражений необходимо добиться ясного понимания того, что в этих выражениях символ √а обозначает:

1) при а⩾0 и любом натуральном n — единственное неотрицательное число, n-я степень которого равна а, — арифметический корень;

2) при а < 0 и нечетном n — единственное отрицательное число, я-я степень которого равна а;

3) при а<0 и четном n символ √а не имеет смысла.

В таком смысле при преобразованиях иррациональных выражений понимают действие извлечения корня в множестве действительных чисел. При этом действие извлечения корня является однозначным, выполнимым во всем множестве действительных чисел при нечетных показателях корня и в множестве неотрицательных действительных чисел при четных показателях корня.

Следует отметить соотношение:

позволяющее от корня нечетной степени из отрицательного числа перейти к арифметическому корню.

* С. И. Новоселов, О тождественных преобразованиях, «Математика в школе», 1953, № 3.

Далее необходимо знание основных свойств корня:

и, что особенно важно, условий их выполнимости.

Учащиеся должны знать, что равенства 1—7 имеют место:

1) для неотрицательных значений букв при любых натуральных показателях корней (свойства арифметического корня);

2) для любых действительных значений букв, если все показатели корней в этих равенствах нечетны (свойства корня нечетной степени)*.

В силу этого, используя свойства корня для преобразований, необходимо применять свойства арифметического корня, если преобразуемое выражение содержит радикал четной степени или если радикал четной степени должен появиться в результате преобразования.

Применяя свойства арифметического корня, нужно следить за тем, чтобы все выражения, к которым они применяются, были неотрицательны. Если они отрицательны, то их нужно предварительно «подправить» (использовать тождества:

выделить множитель — 1)**. Если же они при некоторых допустимых значениях (системах значений) букв неотрицательны, а при других отрицательны, то необходимо учесть обе эти возможности (ввести знак абсолютной величины, рассмотреть каждую возможность отдельно)*.

Необходимо добиваться не просто формального знания свойств арифметического корня, но также понимания того, в каком случае они должны применяться, и умения применять их, сообразуясь с каждым конкретным случаем.

Необходимо также добиваться сознательного усвоения самого понятия арифметического корня. При таком усвоении «преобразования» вроде:

и т. п. должны обращать на себя внимание своей несуразностью: несоответствием знаков числовых значений выражений, стоящих в левой и правой частях равенств в примерах 1—4, отсутствием смысла выражений √1— √2 и √х ⋅ √х — 1 (при x <0) соответственно в примерах 5 и 6.

При применении в преобразованиях свойств корня нечетной степени все значительно проще. Так как равенства, выражающие эти свойства, имеют место при любых действительных значениях букв, то необходимость учитывать знаки выражений, к которым эти свойства применяются, отпадает. Применяются же указанные свойства в том случае, когда преобразуемое выражение содержит только радикалы нечетной степени и в результате преобразований не появляются радикалы четной степени.

§ 3. О системе упражнений в тождественных преобразованиях иррациональных выражений

В сентябре 1951 г. нами проводился семинар по преобразованиям иррациональных выражений для учителей старших классов г. Коломны и Коломенского района. На последнем занятии семинара был проведен обмен мнениями о том, какова должна быть система упражнений для отработки основных преобразований

* Все эти свойства могут быть доказаны единым способом — возведением в соответствующую степень выражений, стоящих в правой и левой частях равенств, и сравнением полученных результатов, опираясь в первом случае на теорему: «Если A⩾0, В ⩾ 0 и n — любое натуральное число, то из An = Bn следует, что А = В», а во втором случае на теорему: «Если А и В — любые действительные числа и n — нечетное число, то из An = Bn следует, что А = В». Свойства 3 и 4, кроме того, могут быть получены как следствия свойства 2.

** См. примеры § 3, п.п. I и II.

* См. примеры § 3, п. III.

радикалов, чтобы учащиеся усвоили не только внешнюю, формальную сторону преобразований, но и научились бы проводить их с учетом множества допустимых значений букв*.

В результате обсуждения мы пришли к выводу о целесообразности описанной ниже системы упражнений в овладении каждым из основных преобразований радикалов. При этом к основным преобразованиям мы относим:

1. Извлечение корня из выражений.

2. Вынесение множителя за знак радикала.

3. Введение множителя под радикал.

4. Сокращение показателя корня и показателя подкоренного выражения.

5. Умножение показателя корня на некоторое число с одновременным возведением в соответствующую степень подкоренного выражения.

6. Умножение и деление корней.

7. Представление корня в виде произведения и частного корней.

8. Возведение корня в степень.

9. Извлечение корня из корня.

Переходим к описанию предлагаемой нами системы упражнений**.

I. Вначале проводятся упражнения в применении изучаемого преобразования к числовым выражениям, содержащим радикалы. Упражнения подбираются так, чтобы при их выполнении были использованы как свойства арифметического корня, так и свойства корня нечетной степени. Среди этих упражнений должны быть и такие, в которых для применения соответствующего свойства арифметического корня необходимо предварительно «исправить» знак того или иного компонента.

Цель последних упражнений — заострить внимание учащихся на условии выполнимости указанных свойств.

Приведем примеры таких упражнений.

Примечание. Здесь и ниже соответствующие упражнения иллюстрируем в применении к основным преобразованиям радикалов, причем ход решения примеров даем подробный, чтобы указать, в каком направлении должна идти мысль учащегося.

В упражнениях на свойства корня нечетной степени необходимо подчеркивать независимость применения этих свойств от знаков чисел, к которым они применяются.

II. Далее идут упражнения в применении изучаемого преобразования к выражениям, содержащим буквы. При этом упражнения ставятся так, чтобы в результате было получено одно выражение (без использования знака абсолютной величины).

В целях разделения трудностей целесообразно эти упражнения разбить на два этапа:

а) Сначала проводятся упражнения с общим ограничивающим условием, что все преобразо-

* План семинара:

1. Что понимается под действием извлечения корня при преобразованиях иррациональных выражений.

2. Зависимость преобразований иррациональных выражений от допустимых значений входящих в них букв (на примерах основных преобразований радикалов).

3. Анализ с этой точки зрения упражнений по разделу преобразований иррациональных выражений в задачниках Шапошникова—Вальцова и Ларичева.

4. Решение более трудных примеров на преобразование иррациональных выражений в такой постановке, которая требует учета допустимых значений букв.

** Этой системе упражнений следовала в практике преподавания учительница школы № 25 г. Коломны Е. В. Митрофанова.

вываемые выражения рассматриваются во множестве неотрицательных чисел, т. е. все буквы обозначают неотрицательные числа и в случае разности уменьшаемое не меньше вычитаемого. После того как учащиеся выполнили некоторое число упражнений типа вышеприведенных примеров, им будет ясен смысл этого ограничения.

В силу принятого условия все радикалы обозначают арифметические корни, и так как выражения, к которым придется применять свойства арифметического корня, неотрицательны, то эти свойства применяются непосредственно без всяких предварительных преобразований, связанных с «исправлением» знака.

Эти упражнения должны иметь наибольший удельный вес среди всей суммы упражнений на преобразования иррациональных выражений. Они должны обеспечить привитие навыков в непосредственном применении свойств корня.

b) В дальнейшем общее ограничивающее условие снимается. Преобразовываемые выражения рассматриваются во множестве всех действительных чисел.

Чтобы при применении свойств арифметического корня в результате получилось одно выражение, в одних случаях на допустимые значения букв данного выражения нужно накладывать дополнительные ограничения, которые дают возможность судить о знаке того или иного компонента, а в других случаях никаких дополнительных ограничений не требуется, так как знаки необходимых компонентов определяются по виду данного выражения.

Приведем примеры того и другого рода.

а) С дополнительными ограничениями:

при любых значениях а и b), (а⩾0 по смыслу данного выражения).

(х ⩾ 1 > 0 по смыслу данного выражения),

(a⩾0 по смыслу данного выражения).

(х + 1 ⩾0, x — 1⩾0 по смыслу данного выражения).

К рассматриваемому роду упражнений относятся умножение и деление корней четной степени, возведение их в степень и извлечение корня из корня, если по крайней мере один из показателей корней четный.

Действительно, в этом случае речь идет о преобразовании выражений вида:

где по крайней мере один из показателей m или k четный. Здесь а⩾0, b⩾0, с>0 по смыслу данных выражений, и поэтому свойства арифметического корня применяются непосредственно.

К этому же роду упражнений, очевидно, следует отнести все преобразования выражений, содержащих радикалы нечетной степени, в том случае, когда в результате преобразования не появляются радикалы четной степени.

Применение свойств корня нечетной степени трудностей не вызывает, поэтому основную массу упражнений составят здесь упражнения на применение свойств арифметического корня.

Техника выполнения изучаемого преобразования будет к этому времени отработана, и, следовательно, главное внимание можно и нужно обратить на подготовку выражения к применению соответствующего свойства арифметического корня: на оценку знака того или иного компонента преобразуемого выражения, на преобразования, связанные с «исправлением» знака.

III. Завершающим этапом в овладении тем или иным основным преобразованием радикалов являются упражнения, в которых при применении соответствующего свойства арифметического корня необходимо учитывать обе возможности относительно знаков компонентов, к которым это свойство применяется. Причем в итоге хорошо рассмотреть изучаемое преобразование в общем виде.

Приведем соответствующие примеры:

Замечание. Иногда приходится данное выражение представлять в виде корня некоторой степени из данного выражения той же степени. Это преобразование в случае корня четной степени удобно рассматривать как введение множителя под радикал по следующей схеме:

Из сказанного выше следует, что для умножения, деления корней, возведения их в степень и извлечения из них корня, а также для всех преобразований, требующих применения свойств корня нечетной степени, последний этап не имеет места.

После овладения основными преобразованиями радикалов выполняются упражнения на все «действия» над радикалами. При постановке этих упражнений, как и упражнений в основных преобразованиях, должно быть четко указано, считать ли значения букв любыми допустимыми для данного выражения или иметь в виду какие-либо дополнительные ограничения.

При выполнении упражнений в преобразовании иррациональных выражений с дополнительными ограничениями на допустимые значения букв необходимо устанавливать знак того или иного компонента преобразовываемого выражения. В других случаях приходится решать обратную задачу, а именно: устанавливать, при каких условиях тот или иной компонент неотрицательный, а при каких — отрицательный. И то и другое требует умения оперировать с неравенствами, решать неравенства.

Программой с 1949 г. предусматривается в VII классе изучение основных свойств неравенств и решение Неравенств первой степени. При подборе вышеуказанных упражнений надо исходить из этого круга сведений учащихся о неравенствах. Чтобы понять принципиальные особенности преобразований иррациональных выражений, научиться правильно применять свойства арифметического корня, этого, вообще говоря, достаточно.

Однако целесообразно было бы основной раздел учения о неравенствах, относимый ныне к X классу, изучать в VIII классе. Тогда упражнения в преобразовании иррациональных выражений могли бы быть более содержательными.

* Но √а2m + 1 = √а, так как а > 0 по смыслу данного выражения.

** Но √a = √ak, так как а > 0 по смыслу данного выражения.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

УЧИТЕЛЯ О НОВОМ СБОРНИКЕ ЗАДАЧ ПО АРИФМЕТИКЕ

А. НЕВСКИЙ (Черкасск)

В 1954/56 учебном году для V и VI классов введен новый задачник по арифметике С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева. Этот задачник был подвергнут обсуждению среди учителей г. Черкесска и области (Ставропольский край).

Результаты обсуждения были мною доложены на заседании секции учителей математики в сентябре текущего года. Они сводятся к следующему.

Материал в задачнике вполне соответствует программе.

Первое и главное достоинство задачника — хороший подбор упражнений и задач. Многие задачи интересны по содержанию, обогащают знания учащихся сведениями из географии, естествознания, техники и т. д. Данные многих задач взяты из действительной жизни. Так, например, в пятой главе о процентах половина всех задач по содержанию связана с производством, три задачи географического содержания.

В § 42 из 88 текстовых задач на пропорциональную зависимость одна задача по содержанию связана с историей общества (№ 1090), 4 задачи — с географией и 38 задач производственного характера.

Среди задач производственного характера есть и такие, которые приходится решать разного рода специалистам в их практической деятельности. К таким задачам относится, например, задача № 161. Но все же в сборнике таких задач производственного характера, которые приходится решать разного рода специалистам, мало. Нет, например, задач, в которых требуется определить количество выпаренной воды в связи с сушкой различных материалов, дать расчет горючего для тракторов, автомашин и т. д.

Хорошо, что большое внимание в сборнике уделено задачам на составление диаграмм» таблиц и задачам на линейный масштаб.

В первой главе помещены портреты великих русских математиков Н. И. Лобачевского и П. Л. Чебышева и даны задачи, связанные с их биографиями.

При подборе упражнений авторы учитывают те трудности, с которыми часто встречаются учащиеся. Так, например, учащиеся часто не понимают, что при умножении числа на дробь в произведении может получиться либо число, меньшее множимого, либо большее множимого, либо равное ему. Поэтому авторы помещают такие упражнения (№ 388, 389), которые помогают учащимся преодолеть эти трудности.

Авторы задачника заботятся также и о том, чтобы учитель приучал учеников к рациональным вычислениям. Так, в задаче № 186 предлагается найти частное кратчайшим способом. В задачах № 385 и 386 предлагается умножить смешанное число на дробь (и наоборот) рациональным путем, используя распределительный закон умножения.

Проценты всегда были наиболее слабым местом в арифметических знаниях учащихся. Для лучшего усвоения процентов весьма целесообразно проходить их не только отдельной темой в конце курса арифметики, но и ввести некоторую пропедевтику процентов при изучении дробей. Поэтому очень хорошо, что в новом сборнике уделено достаточное внимание процентам в главах об обыкновенных и десятичных дробях.

Хорошо то, что среди задач встречаются такие, в которых предполагается самостоятельно сделать измерения или придумать задачи, которые соответствовали бы заданным рисункам или решение которых сводилось бы к вычислению заданных числовых выражений, или, наконец, предлагается самостоятельно иллюстрировать задачу рисунком. К таким задачам относятся, например, упражнения на выяснение понятия дроби и ее происхождения, задачи под № 417, 734, 381, 639, 114, 115 и другие. Эти задачи пробуждают творческую мысль учащихся, вносят разнообразие в их работу и делают ее более интересной.

Упражнения, выясняющие многие теоретические положения о дробях (понятие дроби, сравнение дробей, изменение дроби с изменением ее членов, сложение дробей и т. д.), хорошо иллюстрированы чертежами.

Многие типичные задачи с конкретным содержанием также хорошо иллюстрированы чертежами и рисунками. При этом иллюстрации эти таковы, что наталкивают учащихся на путь решения задачи.

Уже в первой главе даны иллюстрации к задачам на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их сумме и кратному отношению. Также удачно иллюстрированы задачи на движение и задачи, решаемые исключением одного из неизвестных, и пр.

Весьма удачна первая глава, предназначенная для

повторения пройденного в начальной школе. В первом параграфе этой главы задачи таковы, что учащиеся, решая их, могут хорошо закрепить основные теоретические положения десятичной системы счисления и усвоить соответствующую терминологию.

Хорошо и то, что есть примеры на действия с нулем и единицей.

В упражнениях на действия с натуральными числами и десятичными дробями большое внимание уделено вычислениям на счетах, что необходимо с точки зрения политехнического обучения и что в настоящее время является слабым местом в школьном преподавании.

Очень хорошо в сборнике дан геометрический материал. Основные теоретические положения, необходимые для решения задач, напечатаны жирным шрифтом. Эти теоретические положения и некоторые задачи хорошо иллюстрированы чертежами. Содержание задач жизненно, и количество их вполне достаточно.

Задачник приучает учащихся пользоваться таблицами. Так, например, на странице 19 приведена таблица умножения двузначных чисел на 48 и предложено решить несколько примеров при помощи этой таблицы.

В конце сборника помещено шесть таблиц. В процессе решения некоторых задач учащимся предложено обращаться к этим таблицам. Однако желательно, чтобы эти таблицы использовались в большем числе задач.

Положительной чертой сборника является также введение нескольких лабораторных работ: провешивание прямой, измерение расстояния между точками, вычисление длины окружности и площади круга.

Текстовые задачи в каждой главе расположены группами по методу их решения, что облегчает работу учителя.

В некоторых главах есть упражнения для устного счета. В третьей главе их 31, в четвертой — 23, в первой — 4, в шестой—1, в остальных главах нет. Нужно пожелать, чтобы в следующем издании устные упражнения были включены в достаточном количестве во все главы.

На странице 6 сборника дано правило округления чисел. В задаче № 611 по этому правилу требуется округлить десятичные дроби.

В задаче № 690 требуется найти приближенное частное нескольких чисел. Приближенные вычисления встречаются еще в задачах № 773, 782, 783, 789, 799, 802, 803, 823, 835, 975 (2); 994 (2); 1145 (2). Таким образом, и приближенным вычислениям в задачнике уделено внимание. Но во всех перечисленных задачах данными являются числа точные, а не приближенные. Желательно, чтобы в сборнике были и такие задачи, в которых действия приходилось бы производить над приближенными числами. Этого требует жизненная практика.

В задачах с геометрическим содержанием также не сказано, какими числами изображены данные: точными или приближенными. Между тем от того, каковы данные, зависит и ответ. Так, если радиус окружности 4,6 см (зад. 807) является числом точным, то длину окружности нужно изобразить приближенно числом 28,9 см, если же 4,6 см — приближенное число, то длина окружности будет 29 см.

В конце V главы и в конце VIII главы приведены образцы контрольных работ. Это очень хорошо. Желательно, чтобы аналогичные образцы контрольных работ были в конце каждой главы.

Положительной чертой сборника является и то, что после главы о десятичных дробях есть повторительный отдел. Этот отдел поможет учителям пятых классов в конце года лучше организовать повторение пройденного.

В общем отделе более трудные задачи отмечены звездочками. Задач нетрудных и средней трудности в общем отделе недостаточно, желательно чтобы их было больше.

В заключение следует сказать, что выход сборника в свет безусловно будет способствовать улучшению преподавания арифметики в средней школе.

Т. Н. ДЕНИСОВА (Москва)

Роль арифметики, как основного школьного предмета, исключительна. От степени сознательности усвоения законов арифметики, умения вычислять и решать задачи зависит в первую очередь успешное усвоение таких школьных дисциплин, как алгебра, геометрия, тригонометрия, физика, химия, черчение и др. Успешное же изучение арифметики зависит главным образом от мастерства учителя и хороших учебников.

В средней школе в течение ряда лет был принят сборник задач по арифметике Е. С. Березанской. Этот задачник не отличался выдержанной системой в расположении материала. По своему содержанию он не соответствовал силам учащихся. Задачник Е. С. Березанской мало обращал внимания на теоретические вопросы. В задачнике слабо отражалась современность; темами большинства задач были вопросы купли-продажи, бассейны, т. е. задачи не носили воспитательного характера, идейной направленности. Не приходится говорить об отражении в нем хотя бы некоторых элементов политехнического принципа обучения. Поэтому Министерство просвещения РСФСР поступило правильно, отобрав в результате конкурса новый сборник задач по арифметике. В какой же степени удовлетворяет требованиям советской школы новый сборник?

1. Содержание книги соответствует новой программе по арифметике. В сборнике имеется небольшое число таких задач, решение которых не предусмотрено программой, но обычно авторы отмечают эти задачи звездочкой. Количество задач и упражнений примерно соответствует количеству часов, отводимых на арифметику. В сборнике помещено 1292 задачи и упражнения, не считая дублирующих задач, т. е. в среднем по пять задач и упражнений на один учебный час.

2. По степени трудности упражнения составлены применительно к возрасту и развитию учащихся, поступающих в школу в семилетнем возрасте. Задачи и упражнения составлены, исходя из принципа преемственности содержания нового задачника со знаниями учащихся. В разделе «Повторение пройденного в начальной школе» авторы, расширяя основные понятия арифметики, все время восстанавливают в памяти учеников знания, полученные ими в начальной школе.

3. Все содержание сборника излагается на высоком идейно-теоретическом уровне. Авторы последовательно дают развитие основных математических понятий, исходя из основного положения «от конкретного к абстрактному». Так, например, изучение дробей авторы начинают, подводя широкую наглядную основу под усвоение понятия дроби. Авторы

умело используют наглядность не только при раскрытии понятия дроби, но и при сравнении дробей, сокращении дробей и действиях над дробными числами.

Такое изложение — единственно правильный путь, и, надо признать, этот путь впервые принят в учебниках по арифметике для учащихся. Так же излагаются и другие разделы программы. Авторы всю систему упражнений построили с тем расчетом, чтобы учащиеся сознательно воспринимали математические понятия. В задачах и упражнениях авторы требуют от учащихся «привести примеры», «дать объяснения», «проверить», «сделать вывод», «выполнить вычисления самым выгодным путем», «проверить с помощью счет» и т. д., т. е. требуют от учащихся подходить к изучению материала так, как от них этого потребует жизнь во всякой творческой деятельности.

Помещение задач-дублетов под одним номером, одинаковых по математическому содержанию и разных по тематике, позволяет учащимся находить математическую сущность явлений.

4. Отражение в сборнике элементов политехнического обучения. Это прежде всего нашло место в тематике задач. Тематика задач берется из окружающей ребенка советской действительности, причем выбираются темы, интересующие учащегося (спорт, достижения техники в промышленности и сельском хозяйстве и т. д.). Много внимания уделено округлению чисел и решению задач с нахождением приближенных ответов, т. е. тому, с чем обычно встречается человек в практической деятельности. Авторы ряд упражнений составили так, что учащимся необходимо пользоваться русскими счетами и применять таблицы, которые помещены в сборнике. Имеются упражнения на составление диаграмм и выполнение нескольких практических лабораторных работ как на местности, так и в классе.

5. Методическая последовательность изложения упражнений и задач по степени трудности. Упражнения и задачи, при наличии дублирующих задач, расположены в порядке возрастающей трудности.

6. Язык задачника — доступный пониманию учащихся V и VI классов.

Таковы главные положительные качества нового сборника задач по арифметике. К сожалению, новый сборник не лишен и недостатков. Некоторые из них (опечатки и ошибки) уже отмечены на страницах «Учительской газеты». Практика трехмесячной работы в V классе по новому задачнику показала, что в разделе «Повторение пройденного в начальной школе» мало задач средней трудности и имеется несколько задач трудности, не доступной большинству учащихся V класса (№ 121, 139 (2), 196, 200). В задачнике нет образцов для контрольных работ по ряду разделов. В некоторых задачах на нахождение длины окружности и площади круга авторы допустили отступления от строгого применения теории приближенных вычислений. Хотя в программе по арифметике нет темы «Приближенные вычисления», но так как авторы включили ряд задач, требующих приближенных ответов, то и условие задач надо составлять в строгом соответствии с теорией приближенных вычислений. Возможно, что практика работы по новому задачнику покажет еще ряд недостатков, но, оценивая задачник в целом, надо признать, что средняя школа получила новый задачник, способствующий улучшению работы школы, воспитывающий материалистическое мировоззрение и обеспечивающий необходимый уровень подготовки учащихся по арифметике.

* * *

На собрании учителей Москворецкого района г. Москвы

Мы, учителя математики школ Москворецкого района, после почти полугодовой работы с новым задачником пришли к выводу, что он является одним из наиболее удачных стабильных задачников, которыми пользовались учащиеся в последнее десятилетие.

Основным достоинством нового задачника является четкость и простота изложения. Задачи интересны и близки по содержанию учащимся V и VI классов, так как отражают реальную, понятную учащимся действительность (например, задачи № 11, 56, 83, 122 и др.).

Вторым достоинством задачника является соответствие его новой программе не только со стороны систематического и последовательного расположения глав и разделов, но, и это наиболее ценно, соответствие с самим содержанием каждой темы и подтемы и с количеством часов, отведенных на них программой.

Наиболее ценными в этом задачнике являются следующие задачи и упражнения:

a) упражнения на счетах (стр. 3, 5, 6, 15, 16, 9, 36, 38, 39, 113 и др.);

b) упражнения и примеры на правило округления чисел (стр. 6—7) и на приближенные вычисления (стр. 121);

c) примеры для повторения и углубления изученного арифметического материала;

d) подбор примеров и задач в порядке возрастающей трудности для изучения метрической системы мер (стр. 8—10 и др.);

e) применение устных вычислений для прочного и сознательного усвоения законов арифметических действий (стр. 12, 13, 14, 16, 17, 21, 22, 24, 25 и др.) и зависимости между компонентами и результатом арифметических действий;

f) достаточно большое количество задач и примеров с геометрическим содержанием (стр. 14, 18, 28, 29, 33, 34, 35, 36, 47 и др.) во всех разделах;

g) очень полезные лабораторные работы (стр. 38, 45, 47, 49, 127, 756, 805 и др.);

h) масштаб и построение диаграмм (стр. 87, 88, 172 и др.).

Хорошо дан очень важный раздел — повторение.

Много задач, полезных с точки зрения идейно-политического воспитания, а также привития учащимся в процессе изучения арифметики практических навыков, что соответствует решению XIX съезда КПСС «О политехническом обучении» (№ 34, 42, 69, 76, 107, 120, 130, 140, 141, 144, 157, 163, 196, 199, 364, 394, 400, 402, 405, 430, 431, 445, 448, 469, 508, 514, 517, 519, 614, 615, 668, 669, 678, 737—739, 756, 805, 860, 872, 878, 908, 916, 919, 959, 971, 972, 984, 986, 987, 994, 997, 1007, 1021, 1076, 1087, 1090, 1143 и др.).

Многие задачи-догадки в этом задачнике полезны для внеклассной работы.

Хорошо подобраны примеры и задачи на делимость чисел.

Последовательно, наглядно, методически правильно дается понятие дроби с учетом возрастных особенностей учащихся V и VI классов.

Установлена четкая связь повторения со вновь изучаемым материалом; особенно удачен раздел повторения курса арифметики I—IV классов и постепенный переход к курсу арифметики V, а затем VI класса.

Тематика задач разнообразна, живя и увлекательна для учащихся.

Целесообразно и своевременно даются учащимся задания: «сделать самостоятельный вывод», «привести примеры», «составить задачу» и др.

Методически обоснована проверка полученного результата по таблицам и на счетах.

В целом сборник удовлетворяет современным научным и методическим требованиям. Мы, учителя, считаем необходимым обеспечить этим задачником каждого ученика V и VI классов. К сожалению, с этой стороны дело далеко не благополучно: даже учащиеся пятых классов не все имеют этот задачник.

Нам представляется желательным внести следующие изменения в задачник:

1) Снять совершенно ответы, так как они только мешают работе: учащиеся стремятся при наличии ответов подгонять решения к ответу, вместо того чтобы проверять полученный ответ на основании законов арифметических действий или составлением самостоятельно новой задачи

2) Желательно поместить в конце каждой главы материал для подведения итога по теме, а также набор устных вопросов, задач, примеров для закрепления пройденного и учета усвоения изученного материала.

3) Полагаем более правильным сложные задачи и задачи-догадки (их немного) отмечать звездочкой, и этим ориентировать учителя и учащихся на внеклассную работу.

4) Желательно иметь больше примеров и задач для устных вычислений и примеров на зависимость между компонентами и результатом действий.

От имени учителей математики школ Москворецкого района методист и учитель школы № 559 Е. Н. Обуховская.

СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 3 за 1954 год

Ахвердов Г. (Ленинград) 25, 26, 28, 29, 30, 32; Гаас А. (Караганда) 25. 28, 30, 31, 32; Демчинский В. (Ровно) 25, 26, 29, 30, 31, 32; Давыдов У. (Гомель) 25, 26, 28, 29, 30, 31, 32; Джабаров С. (Куйбышевская обл.) 25, 26, 29—332; Исмагилов Р. (Башкирская АССР) 25, 26, 28, 29, 30, 31, 32; Кузьмин Е. (Чебоксары) 25, 27, 28, 29, 30, 31; Математический кружок 17-й школы (Киев) 25, 28, 29—32; Нахамчик С. (Рогачев) 25, 26, 29—32; Печерский И. (Фрунзе) 25—32, Петров С. (Винницкая обл.) 25, 29—32; Рознатовский Н. (Киев) 25, 26, 28—32; Сергиенко Ф. (Запорожье) 25, 28—32; Смышляев В. (Марийская АССР) 28—32; Тишков Е. (Полоцк) 25, 26, 29—32; Утемов В. (Красноуфимск) 25, 28—32; Черепнин М. (Караганда) 25, 28—32; Чемисов И. (Орловская обл.) 25—27, 29—32; Ясиновый Э. (Куйбышев) 25—27; 29—32.

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 4 за 1954 год

Боков Е. (Краснодарский край) 33—35, 37—40; Владимиров А. (Асбест) 33—35; 37—40; Гаас А. (Караганда) 33—35, 37—40; Дейнега А. (Винницкая обл.) 33—35, 37—40; Демчинский В. (Ровно) 33—35, 37—40; Джабулов С. (Куйбышевская обл.) 33—35, 37—40; Давыдов У. (Гомель) 33—35, 37—40; Кравчишин М. (Дорогобыч) 33—35, 38—40; Кошелев А. (Ульяновская обл.) 33, 34, 37, 40; Лось Г. (Хмельницкая обл.) 33, 34—36, 38, 39; Лейбман М. (Свердловская обл.) 33—35, 37—40; Математический кружок шк. № 17 (Киев) 33, 34, 37, 38, 39, 40; Нахамчик С. (Рогачев) 33—35, 37—40; Радченко Е. (Белградская обл.) 33—35, 37—40; Смышляев В. (Марийская АССР) 33—35, 37—40; Сергиенко Ф. (Запорожье) 33—35, 37—40; Сирота М. (Полтавская обл.) 33, 34, 37, 39, 40; Тишков Е. (Полоцк) 33—35, 37—40; Утемов В. (Красноуфимск) 33—35, 37, 38, 40; Циммерман Я. (Ейск) 33, 34, 35, 39, 40; Чудутов (Омская обл.) 33—35, 37—40; Чепкасов Г. (Краснодарский кр.) 33—35, 37—40; Чемисов И. (Орловская обл.) 33—35, 37, 39, 40; Черепин М. (Караганда) 33—35, 37—40; Яремчуков (Дорогобыч) 33—35, 38, 40; Ясиновский Э. (Куйбышев) 33—35. 37, 40.

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 5 за 1954 год

Бекаревич Б. (Гомель) 41, 43, 46, 47, 48, 49, 50; Боков Е. (Краснодарский край) 41—45, 48, 49, 50; Вейман Б. (Киев) 41—44, 47, 48; Владимиров А. (Асбест), 41—45, 48—50; Давыдов У. (Гомель) 41—50; Головачев Е. (Белградская обл.) 41—45; 48, 49, 50. Гаас А. (Караганда) 42, 43, 44, 47, 48, 49, 50; Джабаров С. (Куйбышевская обл.) 44, 45, 47, 48, 49, 50; Дейнега А. (Винницкая обл.) 41—45, 48, 49; Демчинский В. (Ровно) 41—50; Готлер М. (Вильнус) 41, 42, 45, 46, 48; Гнетуль С. (Норинск) 41, 50; Жагунас А. (Литовская ССР) 41, 43—45, 48, 49; Кравчишин М. (г. Дрогобыч) 42, 43, 44, 47, 48, 49; Лейбман М. (Свердловская обл.) 42—45, 48, 49; Мышакова 7. (Одесса) 41—50; Математический кружок 17-й φ. школы (Киев) 41—44, 47, 48; Могильный Н. (ст. Игрень Сталинск. м. д.) 42, 43, 44, 48, 50; Смышляев В. (Марийская АССР) 41—45, 48—50; Тишков Е. (Полоцк) 41—46, 48, 49; Утемов В. (Красноуфимск) 41—45, 49; Чепкасов Г. (Краснодарский край) 41—50; Яремчук Ф. (Киев) 41—46, 49; Ясиновый Э. (Куйбышев) 41—50.

ХРОНИКА

О СОВЕЩАНИИ ПО ШКОЛЬНЫМ УЧЕБНИКАМ

Р. С. ТЕРЮКАЛОВА (Москва)

С 8 по 10 декабря 1954 г. в Москве проходило созванное Министерством просвещения РСФСР совещание по вопросу подготовки и издания школьных учебников. В совещании приняли участив руководящие работники Министерства просвещения, Академии педагогических наук РСФСР, Учебно-педагогического издательства, авторы учебников, учителя Москвы, Ленинграда и других городов.

Совещание открыл министр просвещения РСФСР И. А. Каиров.

На пленарном заседании с докладом о мерах по улучшению качества учебников для начальной, семилетней и средней школы выступила заместитель министра просвещения РСФСР Л. В. Дубровина. По докладу развернулись оживленные прения. Выступавшие указали на недостатки многих действующих сейчас учебников.

Требования, которые должны предъявляться к каждому учебнику в отдельности, обсуждались затем в предметных секциях.

9 декабря на заседании секции математики были заслушаны три доклада: информационный доклад о проекте новых программ консультанта-методиста Министерства просвещения РСФСР П. А. Ларичева; доклад на тему «Анализ существующих учебников по математике и требования Министерства просвещения РСФСР к созданию новых учебников» зав. редакцией математики Учпедгиза С. А. Пономарева и доклад на тему «Общие требования к учебникам по математике для средней школы» зав. Сектором методики математики Института методов обучения АПН Н. Н. Никитина.

Доклад П. А. Ларичева носил информационный характер. Докладчик ознакомил участников совещания с проектом новой программы по математике.

В своем докладе С. А. Пономарев дал характеристику ныне действующих в школе учебников и задачников по математике.

Он указал на особенность этих учебников: «...все они написаны для дореволюционной средней школы. Если в свое время они много способствовали развитию среднего математического образования в России, то в настоящее время, в силу особенностей советской школы и тех задач, какие перед ней поставлены решениями партии и правительства, эти учебники уже не могут удовлетворить советскую школу».

Докладчик отметил следующие основные недостатки учебников: они устарели в научном и методическом отношениях, это особенно относится к учебнику алгебры, который характеризуется формальным изложением материала, без достаточного отражения функционального начала, а также к учебнику тригонометрии, где гониометрическая часть излагается не с современной точки зрения. Содержание учебников не вполне соответствует ныне действующей ярограмме и тем более не будет соответствовать новой программе. В учебниках отсутствуют вопросы политехнического обучения, нет связи теории с практикой.

Затем был дан краткий анализ каждого учебника.

Учебник по арифметике Киселева был составлен в 90-х годах прошлого столетия и, конечно, был приспособлен к школе и программам той эпохи. Учебник выдержал несколько десятков изданий. В настоящем виде этот учебник обладает некоторыми неоспоримыми достоинствами: удовлетворительный научный уровень, сжатость изложения, удачный отбор наиболее важного материала. Однако, несмотря на отмеченные выше положительные стороны этой книги, содержание курса не соответствует современным программным требованиям. В нем отсутствуют такие важные, выдвинутые самой жизнью, отделы, как устные вычисления, вычисления на счетах, табличные вычисления, геометрические сведения, диаграммы и графики. В учебнике нет сведений, относящихся к решению задач. Учебник изложен языком, трудно воспринимаемым учащимися V—VI классов.

В учебнике по арифметике, написанном в прошлом веке и переработанном в 1930 году, не отражены требования политехнизации обучения.

Докладчик сообщил, что Министерство просвещения приняло решение провести закрытый конкурс по отбору нового учебника по арифметике для V—VI классов.

Приступив к анализу учебника по алгебре Киселева, ч. 1 (впервые изданного в 1888 г.), докладчик указал на следующие достоинства книги: удовлетворительный для своего времени научный уровень содержания; удачный общий план книги.

Однако этот стабильный учебник в настоящее время окончательно устарел, став непригодным для

школы: несоответствие учебника новой программе по алгебре, ненаучность и расплывчатость ряда определений (положительные и отрицательные числа, уравнения, алгебраические корни и пр.); в учебнике господствует формальное начало преподавания и почти не представлено функциональное начало; учебник составлен без учета возрастных особенностей учащихся VI—VII классов.

Как отметил докладчик, конкурс будет проведен с таким расчетом, чтобы ввести новый учебник по алгебре, если он будет принят конкурсной комиссией и Министерством просвещения РСФСР, — первой части в 1956/57 учебном году, второй части — в 1957/58 учебном году.

Далее докладчик перешел к характеристике учебника по геометрии Киселева.

Учебник впервые издан в 1892 г. и выдержал до революции 26 изданий. С. А. Пономарев отметил следующие положительные качества учебника: четкость изложения и систематичность распределения материала; книга в достаточной степени охватывает весь цикл понятий, предложений и разделов элементарной геометрии, который имеет наибольшее теоретическое и практическое значение.

Однако, наряду с несомненными достоинствами, учебник имеет и ряд существенных недостатков.

Прежде всего следует обратить внимание на то, что учебник был предназначен для дореволюционных средних учебных заведений, работавших по иному учебному плану. В гимназиях и реальных училищах геометрию проходили четыре года, так что изучать систематический курс геометрии учащиеся начинали примерно 14—15 лет. В силу этого автор имел возможность провести все изложение в одном стиле.

Представляется совершенно немыслимым, чтобы двенадцатилетние дети, только что приступившие к изучению геометрии, могли сознательно усвоить этот весьма абстрактный и трудный материал. Каждый преподаватель геометрии VI класса неоднократно убеждался в этом на своем личном опыте.

В силу этих причин нередки случаи, когда учащиеся VI и VII классов, вместо того, чтобы сознательно усвоить изучаемый материал, механически заучивают лишь сочетания слов по учебнику, запоминают чертеж и расстановку букв на нем, недостаточно понимая их смысл и значение.

Идея геометрического преобразования в учебнике отсутствует; не показана связь геометрии с другими дисциплинами, с техникой, с практической жизнью.

Согласно плану издания новых учебников, сообщил докладчик, Учпедгиз проводит закрытый конкурс на написание нового учебника по геометрии.

Затем докладчик остановился на характеристике учебника «Прямолинейная тригонометрия» Рыбкина. Учебник появился впервые в двух выпусках в 1894 г., а «Сборник тригонометрических задач» Рыбкина — в 1933 г.; учебник Рыбкина был принят в качестве стабильного.

Положительным в учебнике является краткость изложения материала и его доступность учащимся.

Следует также отметить и его недостатки.

Взгляд на тригонометрию как на учение о тригонометрических функциях, которое должно составлять неразрывное целое с общим учением о функции, в очень малой степени отражен в учебнике Рыбкина. Это главный недостаток учебника.

Недостаточный научный уровень содержания книги: не использованы необходимые научные понятия, теория не доведена до желаемой строгости, допущены неточные и даже ошибочные формулировки. Отдельные главы, например, «Обратные тригонометрические функции», «Тригонометрические уравнения», составлены неудовлетворительно.

Учпедгиз в настоящее время также проводит закрытый конкурс и на новый учебник по тригонометрии.

Говоря о задачниках по геометрии и тригонометрии, составленных впервые в конце прошлого века, докладчик отметил их общие недостатки: отсутствие политехнической направленности, почти полное отсутствие задач конструктивного и практического характера, нет связи с другими предметами.

Сборники задач по алгебре П. А. Ларичева введены в практику школы с 1950 г. и в основном отвечают задачам советской школы. В этих задачниках в значительно большей мере, чем в существовавших ранее, отражены современные научно-методические идеи.

К числу недостатков сборников относятся следующие:

1) отвлеченный, формальный характер задач к некоторым разделам (прогрессии, бином Ньютона);

2) мало упражнений, преследующих цель ознакомления учащихся с идеей функциональной зависимости;

3) отсутствие задач с политехническим содержанием.

Министерство просвещения, учитывая, что задачники по алгебре П. А. Ларичева удовлетворяют в основном потребности школы, решило в связи с введением новой программы по математике поручить П. А. Ларичеву переработать задачники в соответствии с новой программой.

В настоящее время переработанный автором задачник принят решением коллегии Министерства просвещения в качестве стабильного. Он будет введен в VI—VII классах в 1955/56 учебном году.

В следующем докладе Н. Н. Никитин зачитал общие требования, которым должен удовлетворять учебник по математике. Приводим некоторые из основных положений, зачитанных докладчиком:

1. Учебник должен быть «руководством для усвоения, закрепления и повторения знаний».

2. Учебник должен «содержать в систематическом изложении весь материал, установленный программой».

3. «Истолкование основных понятий математики в школьном учебнике должно быть в соответствии с современным состоянием науки».

4. Особое внимание при составлении учебника должно быть обращено на «идейно-воспитательное значение для учащихся элементарной математики».

5. Учебник «должен удовлетворять основным общепедагогическим и дидактическим требованиям».

6. «После изложения каждого раздела полезно поместить ряд вопросов для повторения, исчерпывающих содержание раздела, и задачи для самостоятельной работы учащихся».

7. «Учебник должен быть написан безукоризненным литературным языком, правильным, четким и ясным».

Затем докладчик перешел к формулировке требований к каждому учебнику; в частности, он зачитал некоторые требования к учебнику арифметики.

«Содержание учебника арифметики определяется: общеобразовательными задачами школы, местом, какое занимает арифметика по отношению к алгебре, практической значимостью отбираемого материала...»

«Теоретические положения школьного курса арифметики, т. е. законы действий, различные свойства чисел и действий, как правило, должны выводиться индуктивным путем».

«В учебнике должно быть уделено внимание ознакомлению учащихся с простейшими приемами устных вычислений».

«После изложения каждой темы следует кратко сформулировать важнейшие выводы».

«Учебник арифметики должен содержать в себе помимо теоретических сведений практическую часть, т. е. числовые примеры и текстовые задачи».

«Учебник целесообразно построить так, чтобы он обеспечивал ученику возможность повторения пройденного».

«Учебник арифметики для V и VI классов по объему должен иметь примерно 8—10 авторских листов» и «должен быть написан хорошим языком, вполне доступным пониманию учащихся V и VI классов».

Затем докладчик зачитал требования к учебнику алгебры. Учебник алгебры должен:

1) «соответствовать современному уровню науки»;

2) «построить курс алгебры в соответствии с задачами политехнического обучения»;

3) «сочетать формальные и функциональные начала в правильном их соотношении»;

4) «реализовать принцип наглядности в преподавании (диаграммы, графики, другие геометрические представления) алгебраических фактов».

«Примерный объем учебника алгебры для VI—VII классов — 7—8 авторских листов, для VIII—X классов — 12—14 авторских листов».

Далее докладчик зачитал следующую примерную систему требований, предъявляемых к учебнику по элементарной геометрии.

1. «С методической и мировоззренческой точки зрения геометрия должна быть изложена как учение о пространственных свойствах материального мира».

2. «С педагогической точки зрения нужно считать безусловно необходимым, чтобы язык и весь стиль изложения учебника были приспособлены к возрастным особенностям учащихся».

3. «С теоретической и методической точки зрения учебник должен быть написан в полном соответствии с требованиями науки».

4. «С точки зрения политехнического обучения учебник должен систематически обращаться к примерам и иллюстрациям, показывающим применение изученных геометрических свойств в науке, в технике, в быту».

5. «Для удобства пользования учебником в процессе преподавания в нем должно быть проведено четкое расчленение всего материала на главы и параграфы».

6. «Объем учебника по планиметрии должен составлять примерно 12—14 авторских листов, а по стереометрии — 7—8 авторских листов».

7. «Книга должна быть напечатана четким и выразительным шрифтом и снабжена красивым и прочным переплетом».

Говоря о требованиях к учебнику по тригонометрии, докладчик сообщил, что учебник по тригонометрии для средней школы должен:

1) «изложить курс тригонометрии как учение о тригонометрических функциях, составляющее часть общего учения о функциях»;

2) «построить курс тригонометрии в соответствии с задачами политехнического обучения»;

3) «в возможно большей мере построить изложение на принципе наглядности, стремясь использовать для этого геометрические представления»;

4) «объем учебника по тригонометрии не должен превышать 5—6 авторских листов».

Далее докладчик перешел к зачитыванию требований, предъявляемых к задачникам.

1. «Задачники должны быть составлены таким образом, чтобы они в полной мере соответствовали учебникам по математике и составляли с ними единое целое».

2. «Упражнения должны быть расположены в тщательно продуманной системе и тем самым обеспечить постепенное нарастание трудностей».

3. «Задачи должны содержать реальные данные и отражать нашу современную действительность».

4. «В упражнениях и задачах должны найти отражение решения XIX съезда партии о политехническом обучении».

«Целесообразно включить в задачи такие термины и производственные процессы, с которыми учащиеся ознакомились ранее на уроках смежных дисциплин (физика, химия, естествознание) или на производственной практике в мастерских, в сельском хозяйстве, на промышленном предприятии».

«Задачи производственного характера следует ставить таким образом, чтобы они соответствовали тому, как они ставятся на производстве в действительности».

При переходе к прениям председательствующий А. И. Маркушевич выступил с кратким словом, в котором поставил перед участниками совещания ряд вопросов.

Прежде всего он обратил внимание присутствующих, что все положения, приведенные здесь докладчиками, суть только предварительные наметки требований, которые надо предъявлять к учебникам.

«Нам нужно очень хорошо разобраться в том, — сказал председательствующий, — насколько эти наметки должны послужить руководством к действию для Учпедгиза, все ли эти требования надо предъявлять, может быть, от некоторых требований нужно отказаться и заменить их другими требованиями. Надо по-деловому разобраться в этих вопросах».

А. И. Маркушевич особо подчеркнул и следующие вопросы. Нужны ли задачи и упражнения в теоретическом курсе?

Какое место должны найти в учебнике и задачнике задачи и вопросы, показывающие приложение математики к естествознанию, промышленности и технике?

Надо выявить вполне определенное отношение к тренировочным задачам.

Могут ли в учебник входить сведения, не предусмотренные программой?

Должны ли входить в учебник вопросы для повторения и в какой форме они должны ставиться?

Председатель отметил, что нормативы в отношении объемов учебников, приведенные Н. Н. Никитиным, «были взяты на-глазок».

Как должен меняться стиль изложения, язык учебника в связи с учетом возраста?

В прениях, которые начались 9 декабря и продолжились 10 декабря, выступили учителя, методисты, научные работники тт. И. К. Андронов, Принцев (Курск), В. М. Брадис. А. Н. Барсуков, М. Н. Покровская, Б. В. Кутузов, В. Г. Чичигин, Е. С. Березанская и другие.

Выступавшие высказали ряд соображений о ныне действующих школьных учебниках и о требованиях к новым учебникам: высказали критические замечания относительно требований к учебнику, зачитанных Н. Н. Никитиным.

По вопросу, нужны ли упражнения в теоретическом курсе, большинство выступавших не поддер-

жало тезисов, выдвинутых в докладе Н. Н. Никитина; выступавшие тт. Квасникова, Барсуков, Кутузов, Чичигин высказали мнение, что задачи в учебнике не нужны, они должны включаться в задачник.

В учебнике могут быть лишь примеры, поясняющие теорию.

А. Н. Барсуков отметил, что упражнения и задачи, помещенные в конце каждого раздела учебника, это «ненужный придаток». В тезисах было сказано, что эти упражнения и задачи должны быть даны в порядке возрастания трудности, должны обеспечить повторение и закрепление материала. Спрашивается, для чего же тогда существует задачник? «Этот пункт тезисов безусловно должен быть отвергнут».

Б. В. Кутузов считает наличие в учебнике задач и упражнений явлением «вредным» с методической точки зрения; «это связывает инициативу учителя».

В. Г. Чичигин сказал, что «достаточно в учебнике дать один пример как иллюстрацию».

Большинство выступавших высказалось против включения в учебник вопросов методики (например, подведение итогов в конце темы, вопросы для повторения, задачи для самостоятельной работы).

Материал методического характера не должен включаться в учебник, а должен быть отнесен к методике.

М. Н. Покровская считает, что «итоговые вопросы в конце книги в методическом отношении даже вредны».

А. Н. Барсуков сказал: «Излишним я считаю выводы или краткий конспект в конце главы. Эти выводы представляли бы собой повторение определений, теорем и пр., изложенных в данной главе. Зачем это нужно?»

И. Ф. Суворов (г. Саратов) сказал: «Учебник не является рабочей книгой, поэтому никаких задач для самостоятельной работы в нем не должно быть».

По вопросу об объеме учебников были высказаны такие мнения:

«Нельзя так механически определять объем учебника, как предложено в докладе Н. Н. Никитина: столько-то страниц на каждый урок, — сказала 3. Я. Квасникова, — вопрос об объеме вытекает из необходимости сжато или более пространно изложить определенную тему курса, в зависимости от степени трудности той или иной темы».

В. М. Брадис высказал мнение, что учебник должен быть кратким и содержать лишь необходимый материал. Вместе с тем он высказал пожелание, чтобы параллельно с кратким учебником был выпущен более подробный задачник для учителя.

Мнение о желательности параллельного задачника высказала Е. С. Березанская: «...должен быть параллельный задачник, в котором нужно дать дополнительный материал для учителя. В задачнике должны быть более трудные, более оригинальные задачи и упражнения».

За краткость и лаконичность учебников высказались также П. А. Ларичев и С. А. Пономарев.

И. К. Андронов подверг критике намеченные рамки объема учебников и высказал мнение в пользу учебника, излагающего материал в развернутом виде.

По вопросу о порядке изложения были высказаны различные мнения.

В. М. Брадис сказал, что «нельзя требовать абсолютного совпадания программы и учебника». Противоположное мнение высказала М. Н. Покровская;

«должно быть абсолютное соответствие учебника с программой».

С большим интересом было выслушано присутствовавшими выступление проф. И. К. Андронова, который затронул целый ряд принципиальных вопросов, в частности вопрос о программе. В программу не введены такие понятия, как «приближенные вычисления» и «именованные числа». «Как можно говорить о политехнизме, если не знать законов приближения? Это большой ляпсус, — сказал проф. Андронов. Это же мнение раньше было высказано З. Я. Квасниковой (Ленинград). И. К. Андронов отметил спорность проекта программы для X класса.

И. К. Андронов высказался также по вопросу о «естественном отборе» учебников.

В настоящее время происходит «искусственный отбор» учебников, что является положительным явлением в сравнении с существовашим в прошлом «естественным отбором». Однако «здесь надо очень многое предусмотреть, чтобы этот искусственный отбор не сделался субъективным отбором».

И. К. Андронов высказался также о субъективности и неопределенности требований к объему учебника. По поводу высказывания докладчика, что «объем учебника не может быть чрезмерно малым и чрезмерно большим», И. К. Андронов отметил, что «какая-то определенность должна быть внесена в это «чрезмерно», иначе этим ничего нельзя сказать».

Некоторые из выступавших выразили сожаление о том, что данное совещание не было созвано раньше.

По вопросу о своевременности данного мероприятия выступавшие тт. Покровская, Кутузов, Чичигин отметили, что уже ряд учебников представлен, а требования к ним только обсуждаются.

«Я хочу остановиться на сроке подачи рукописи и сроках утверждения программы, — сказал Б. В. Кутузов, — Объявляется конкурс и срок подачи — 1 ноября, причем авторам не дается никаких программ. Во-вторых, не дается никаких конкурсных требований. Все это автор должен решать по своему усмотрению. Ни один автор не думал, что 2 декабря будет утверждена программа, а 8 декабря будут предъявлены требования к учебникам». Далее Б. В. Кутузов отметил, что авторы конкурсных учебников оказались в различных условиях, так как некоторые из них принимали участие в разработке требований к учебникам, другие же не имели никакой информации об этих требованиях.

В. Г. Чичигин поддержал мнение Б. В. Кутузова и отметил, что «это трехдневное совещание происходит очень поздно». Он высказался против тезиса, что «теоретические положения школьного курса арифметики, т. е. законы действий, различные свойства чисел и действий, как правило, должны выводиться индуктивным путем». Это повело бы к излишнему разбуханию учебника, а учащийся «не поймет наших тонкостей». Мнение В. Г. Чичигина поддержала Е. С. Березанская, отметив, что «индуктивного метода при изложении в учебнике не должно быть».

По вопросу о трудных задачах высказался В. М. Брадис: «Наблюдая за детьми, видишь, что есть потребность в более трудных задачах, но, конечно, их должно быть немного».

Касаясь вопроса о том, почему некоторые учебники, написанные научными работниками, и в частности «Алгебра» П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова, «Тригонометрия» А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника, не были приняты в школе, М. Н. Покровская высказала мление, что одной из причин явилась недостаточная связь авторов с учителями. В заключение она сказала: «Я прошу получше, подоверчивее относиться к учителям».

В заключение выступили Н. Н. Никитин и С. А. Пономарев.

Н. Н. Никитин обратил внимание участников совещания на то, что тезисы требований к учебникам, зачитанные им в докладе, «это не императивный документ и его нельзя так рассматривать; этот документ представляется как материал для обсуждения, тут нет ничего законодательного, все подлежит обсуждению и многое может быть изменено».

Заканчивая выступление, Н. Н. Никитин сказал: «Будет организована комиссия, которая учтет высказывания, дополнит их и составит новый документ».

«Министерство и Учпедгиз должны выразить благодарность тем, кто высказал свою точку зрения.

Все это будет принято во внимание при переработке документа, чрезвычайно важного для нашей школы».

В своем выступлении С. А. Пономарев сказал: «Эти требования даны в порядке обсуждения, они не являются обязательными».

Далее в ответ на выступление Б. В. Кутузова С. А. Пономарев высказал уверенность в том, что конкурсные комиссии не будут подходить формально к представленным рукописям учебников «по пунктам» в соответствии с данными требованиями.

Касаясь разработки теории учебника, С. А. Пономарев отметил, что «теория учебника, которая служила бы научной основой наших требований к учебнику, к сожалению, у нас отсутствует».

ОБСУЖДЕНИЕ КНИГИ И. К. АНДРОНОВА «АРИФМЕТИКА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ»

С. В. ПАЗЕЛЬСКИЙ (Москва)

20 декабря 1954 г. в Учебно-педагогическом издательстве Министерства просвещения РСФСР было проведено широкое совещание по обсуждению книги И. К. Андронова «Арифметика натуральных чисел», изданной в 1954 году.

В работе совещания приняли участие учителя математики, методисты и научные работники педагогических институтов г. Москвы.

С кратким сообщением о работе над книгой выступил автор — И. К. Андронов. В процессе работы над рукописью автор поставил перед собой три задачи. Во-первых, повысить теоретический уровень учебника арифметики. Во-вторых, приблизить практические вопросы арифметики к современной практике. В-третьих, пересмотреть все термины и определения.

При решении первой задачи автором за основу было взято понятие конечного множества. В этом состоит одна из особенностей данного пособия. На базе теории множеств автор проводит доказательство законов арифметических действий.

Практические вопросы в книге проводятся по трем направлениям: рационализация письменного механизма, усовершенствование устных вычислений и применение инструментальной арифметики.

При выполнении третьей задачи автор базируется на народном фольклоре. Например, при рассмотрении натурального ряда чисел в книге проводится такая мысль: наш народ создал соответствующую упорядоченную систему названий, другие народы также сделали это. Отсюда — связь с историей, в особенности с историей речи. Историческому моменту в книге уделено большое внимание. Книга знакомит читателя с выдающимися математиками прошлого и настоящего нашей родины, причем этот материал преподносится образно, красочно. Следует отметить, что книга хорошо иллюстрирована.

По мысли автора, этой книгой может пользоваться не только учитель, но и ученик. С этой целью первые страницы книги посвящены ученику. «Слово к учащимся» имеет большое воспитательное значение. Вместе с тем оно, как выразился автор, «дает маленькую методику и для учителя». В V и VI классах материал этой книги может быть использован в кружковой работе, здесь автор подчеркивает ту мысль, что следует учителям обращать внимание на тех учащихся, которые рано пристрастятся к математике, надо развивать их математические способности.

Автор считает, что эта книга может быть использована в старших классах при повторении арифметики. В связи с этим им высказано пожелание, чтобы в старших классах программой было отведено время для повторения арифметики.

Затем И. К. Андронов остановился на дефектах, имеющихся в книге. В частности, он указал на не совсем строгое определение понятия равночисленных множеств. Имеются погрешности и редакционного характера.

В обсуждении книги приняли участие Ф. Я. Блеклов (355-я школа), Н. Н. Николаева (методист Сталинского района г. Москвы), И. И. Смирнов (88-я школа), Н. Я. Виленкин (пединститут им. Ленина), С. И. Новоселов, П. В. Стратилатов (методист Бауманского района г. Москвы), т. Гольдберг (144-я школа) и др.

В своем выступлении тов. Блеклов отметил, что выход в свет книги И. К. Андронова «Арифметика натуральных чисел» надо рассматривать как большой и отрадный факт. Появление этой книги свидетельствует о серьезной попытке улучшить преподавание арифметики в средней школе в свете решений XIX съезда партии и в соответствии с современными требованиями науки.

В книге имеется материал, выходящий за пределы программы, но он может быть с успехом использован в кружковой работе. Ценным является обширный исторический материал, который правильно освещает вопросы возникновения и развития некоторых разделов арифметики, а это способствует развитию материалистического мировоззрения учащихся. Удачно подобраны упражнения, которые способствуют закреплению теоретического материала. В упражнениях использован материал современности, что имеет большое воспитательное значение. Большое внимание уделяется вычислительной технике: устные вычисления, вычислительные приборы, что также является положительным моментом в связи с осуществлением политехнического обучения.

Далее тов. Блеклов остановился на первой главе книги. Он отметил, что понятие множества дано в доступной для учащихся форме. Очень хо-

рошо, на конкретных примерах, дано понятие взаимно-однозначного соответствия без введения этого термина. Так как эта книга вышла в свет после начала учебного года, то учителя не могли применить ее в классных занятиях, поэтому учителя 355-й школы пользуются ею при повторении материала.

Н. Н. Николаева в своем выступлении обратила внимание на методическую ценность книги.

Учебник арифметики Киселева труден для учащихся, в нем нет примеров, иллюстрирующих то или иное правило, поэтому многие учителя не пользуются им, а предпочитают диктовать правила; на это, естественно, уходит много времени, и в конце концов нужных результатов учителя не получают.

Книга И. К. Андронова выгодно отличается от книги Киселева. В этой книге арифметические правила и законы вытекают из конкретных примеров. Причем примеры весьма яркие и доходчивые для учащихся. Тов. Николаева считает, что если ученики получат эту книгу в руки, то отвращение к арифметике, которое нередко наблюдается у учащихся, исчезнет. Эта книга написана ярким, эмоциональным языком, и в то же время она ближе к современной науке, что естественно вызовет интерес и любовь к математике. Тов. Николаева высказала пожелание, чтобы в учебнике арифметики для V класса было больше иллюстраций.

И. И. Смирнов остановился на вопросе обоснования теоретических положений. Как известно, учащиеся в V и VI классах привыкают эмпирически усваивать то или иное правило и не любят обоснований. Существующие учебники и методика не способствуют этому. В книге И. К. Андронова этот недостаток в известной мере устранен, это пособие способно двинуть преподавание арифметики вперед. Но объем этой книги (с учетом выхода в свет 2-й части) потребует больше времени, чем это предусмотрено программой. В связи с этим тов. Смирнов считает, что следует или увеличить число часов в V классе, или включить в программу X класса повторение арифметики.

Ценные замечания сделал Н. Я. Виленкин, который остановился главным образом на недостатках книги. Так, на странице 14 приводится неточное определение равночисленных множеств. Особое возражение вызывает определение натурального числа. Из определения выходит, что натуральное число — это слово. Ясно, что с этим согласиться нельзя. На странице 18 читаем: «Присоединяя нуль к натуральному ряду чисел, его помещают перед числом один; нуль, один, два, три, четыре, пять, десять, сто, тысяча, ...миллион... тем самым образовано множество целых чисел». Известно, что целые числа содержат в себе как целые положительные, так и целые отрицательные числа. Таким образом здесь исключается множество целых отрицательных чисел. В книгу вкралась и довольно серьезная историческая погрешность: когда говорится о римской нумераций, сказано, что наряду с десятичной нумерацией применялась нумерация римская — в средние века. Однако не сказано, что римская нумерация применялась в древние века.

В § 19 дается определение равенства натуральных чисел, но это не согласуется с определением натурального числа, данным в этой книге.

В книге дается такое определение високосного года: если номер года делится на четыре, то этот год високосный, но известно, что годы 1900, 1700 високосными по грегорианскому летосчислению не являются.

Далее Н. Я. Виленкин высказал сомнение, что можно построить доступными для учащихся средствами арифметику натуральных чисел на базе конечного множества. Целесообразнее было бы положить в основу понятие натурального числа, как более доступное для учащихся.

Н. Я. Виленкин указал также на некоторые редакционные погрешности.

В своем выступлении С. И. Новоселов отметил те же недостатки книги, которые были высказаны Н. Я. Виленкиным, но «эти недостатки не являются органическими, они легко исправимы». Далее С. И. Новоселов отметил, что автор поставил перед собой очень интересную и в то же время весьма трудную педагогическую проблему — изложение начальной арифметики на базе понятия множества. Но, несмотря на трудность этой проблемы, все же изложить арифметику на базе понятия множества вполне возможно. Следует, однако, заметить, что строгого определения ряда основных понятий ученику дать невозможно. И нередко научные определения в учебниках заменяются педагогическими определениями описательного характера. В этой области надо серьезно поработать с тем, чтобы найти такую форму изложения, которая будет, с одной стороны, выдержанной с научной точки зрения и, с другой стороны, доступной для учащихся.

Издание этой книги надо приветствовать. Очень хорошо разработан такой вопрос, как законы арифметических действий.

В книге уделяется серьезное внимание политехническому обучению, например, хорошо изложены элементы инструментального счета.

П. В. Стратилатов оценивал книгу И. К. Андронова с той точки зрения, насколько она способствует математическому развитию учащихся. Перед учителем стоит серьезная задача — повысить математическое развитие учащихся. Иногда учитель делает это за счет усиления теории, иногда путем увеличения числа упражнений. Для этой цели учителя используют литературу, изданную для высших учебных заведений, но учитель при этом испытывает затруднение в отношении дозировки материала.

Автор в ряде случаев правильно разрешил эти затруднения учителя и дал ему в руки пособие, из которого учитель может взять не только фактический материал, но и правильно методически применить его.

Ценность книги заключается и в том, что в ней дан богатый исторический материал. Причем в книге даются не только краткие биографические сведения о великих математиках, но в доступной форме говорится о проблемах, которыми занимался тот или иной ученый. Так, например, в книге очень интересно рассказано о простых числах, и это имеет непосредственную связь с программой.

Учитель школы № 144 тов. Гольдберг также расценивает выход в свет книги И. К. Андронова как хороший подарок советскому учительству. Он остановился на воспитательной стороне этой книги. В книге сообщается не только сумма знаний, фактов, но она способствует воспитанию фантазии; чтобы убедиться в этом достаточно прочитать прекрасные слова учебника — «Слово к учителю».

В конце совещания Н. Я. Виленкин отметил, что, выступив с указанием на существенные недостатки книги, он вместе с тем также считает, что книга имеет методические достоинства, а некоторые отмеченные недостатки исправимы.

Обсуждение книги И. К. Андронова «Арифметика натуральных чисел» показало, что, несмотря на имеющиеся отдельные недостатки, она вызвала живой интерес учительства и является шагом вперед в нашей учебной литературе по арифметике.

РЕСПУБЛИКАНСКИЕ «ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ЧТЕНИЯ» В МОЛДАВСКОЙ ССР

Б. П. БЫЧКОВ (г. Бельцы МССР)

В 1954 г. в городе Кишиневе состоялись вторые республиканские «Педагогические чтения» по математике, организованные Научно-исследовательским институтом школ Министерства просвещения МССР и республиканским институтом усовершенствования учителей.

На «Чтениях» было заслушано 14 докладов. Политехническому обучению в преподавании математики было посвящено три доклада:

1) «Из опыта составления арифметических задач с производственным содержанием» (учитель Г. А. Аронович, Фалешты, молдавская средняя школа).

2) «Из опыта составления задач с производственным содержанием» (Н. Ф. Феч, г. Тирасполь, средняя школа № 3).

3) «Как я осуществляю политехническое обучение в преподавании геометрии в V—VII классах» (В. Е. Стурдзе, с. Саука, Атакского района, молдавская семилетняя школа).

Г. А. Аронович поделился опытом работы по сбору материалов в колхозе имени Н. М. Шверника и Еленовской МТС для составления задач и расчетных таблиц. На основании полученных числовых данных был составлен ряд задач, которые решались в V—VI классах в процессе повторения действий над целыми числами и десятичными дробями. Вот пример такой задачи: «В 1953 г. квадратно-гнездовым способом посажен картофель на площади 318 000 га, что составляет 10% общей площади посадки картофеля. На сколько процентов предусмотрено увеличить площадь посадки картофеля в 1954 г., если запланирована посадка картофеля на площади 4 390 500 га?»

Учащимися были составлены различные таблицы по начислению трудодней, в помощь колхозному продавцу и т. п. По данным, полученным в МТС, учащиеся составили ряд диаграмм, отражающих рост механизации и механизаторских кадров в период с 1945 по 1952 г.

В таком же направлении, только в городских условиях, проводил работу учитель Н. Ф. Феч. Например, во время экскурсии, проведенной с учащимися V класса в район города, застроенный новыми домами для рабочих, были собраны данные о размерах и количестве домов. Эти данные были использованы затем для составления следующей задачи: За последний год в городе выстроено для рабочих 36 домов, причем средний размер большего 556 кв. м, а меньшего— 146 кв. м. Определить число семей, получивших квартиры в этих донах, если известно, что число меньших домов в два паза больше, чем больших, и что в среднем на семью необходимо 32 кв. м площади.

Большинство докладов было посвящено усовершенствованию методов преподавания отдельных математических предметов в средней школе.

По методике преподавания геометрии было заслушано три доклада:

1) О преподавании геометрии в шестых классах (Г. В. Кулев, Чадыр-Лунгская средняя школа).

2) «Таблицы по геометрии для VI—VII классов» (М. Д. Сиверивер, с. Бырново, Окницкого района, семилетняя школа).

3) «Изготовление наглядных пособий по стереометрии силами учащихся IX—X классов» (Ф. Г. Геревиц и И. А. Деркауцян, Кишинев, средние школы № 8 и 37).

Особый интерес у участников «Педагогических чтений» вызвал последний доклад, в котором докладчики поделились опытом изготовления наглядных пособий по стереометрии силами учащихся. Учащиеся моделировали доказательства теорем о двух и трех перпендикулярах, приготовили проволочные, деревянные и стеклянные модели для решения задач из стабильного задачника на сечение тел. Работы учащихся были продемонстрированы. Эти модели изготовлялись в основном на занятиях математического кружка IX—X классов.

По методике алгебры было заслушано четыре доклада.

В докладе «Проверка решений уравнений как составная часть решения» (В. К. Ветер, Кишинев, средняя школа № 3) были рассмотрены различные способы проверки решений уравнения. Докладчик рассмотрел случаи проверки корней подстановкой их не в первоначально заданное уравнение, а в преобразованное, считая, что так можно поступать в тех случаях, когда над данным уравнением не было выполнено никаких преобразований, которые могли сопровождаться приобретением посторонних корней.

Два доклада было посвящено методике изучения функций в курсе алгебры средней школы, что имеет особое значение в связи с осуществлением политехнического обучения в преподавании математики.

В докладе «Изучение графиков в курсе алгебры VI—VII классов» (Б. П. Бычков, г. Бельцы, молдавская средняя школа № 1) был сообщен опыт изучения графиков линейных функций в тесной связи с изучением уравнений и неравенств 1-й степени, а также систем уравнений 1-й степени с двумя неизвестными.

В докладе «Графики функций, изучаемых в VIII—X классах» (учительница Ф. Б. Крельберг, г. Тирасполь, средняя школа № 2), был изложен опыт работы по построению графиков функций, изучаемых в VIII—X классах, на основе исследования свойств этих функций. Результатом такой работы явилось то, что учащиеся научились судить о «ходе» кривой, зная свойства функции, и делать заключения о свойствах функции по ее графику, т. е. «читать» график».

Доклад «Тождественные преобразования иррациональных выражений» (учительница 3. И. Турлакова, г. Бендеры, средняя школа № 2) был посвящен опыту работы по выполнению тождественных преобразований иррациональных выражений, основываясь на понятии арифметического корня, что дает возможность избежать ряда типичных ошибок, допускаемых в этих преобразованиях.

По одному докладу было посвящено общей методике преподавания, методике преподавания арифметики, тригонометрии и черчения: «Повторение пройденного по математике в VIII классе» (учительница А. К. Синявская, г. Кишинев, средняя школа № 3); «Из опыта преподавания арифметики в V классе» (учительница П. П. Малай, Рышканская средняя школа); «Обратные тригонометрические функции в десятых классах» (учитель Е. И. Мунтян, средняя школа, с. Нэдушиты, Дрокиевского района); «Из опыта преподавания черчения в IX классе» (Я. А. Моисеенко, г. Бендеры),

ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА О СЕГМЕНТЕ, ВМЕЩАЮЩЕМ ДАННЫЙ УГОЛ, В ПРАКТИКЕ ШТУРМАНА

С. Б. НОРКИН (Вологда)

Решение задач с практическим содержанием является одним из элементов политехнического образования школьников в процессе изучения математики.

Интересный материал для задач на построение такого рода может дать учителю математики практика судовождения. В предлагаемой заметке рассматривается пример применения в практике штурмана задачи о сегменте, вмещающем данный угол.

Штурман морского корабля пользуется каждой возможностью для определения места своего корабля на карте. Без этого он никогда не может быть уверен в безопасности плавания. Определение места корабля должно быть особенно точным при плавании вблизи берегов, где корабль может встретить мели, подводные камни и т. п. Эти определения завершаются построениями, которые выполняются непосредственно на путевой карте.

Одним из наиболее точных методов определения места корабля при плавании вблизи берегов является метод определения по трем береговым предметам,

Черт. 1

Черт. 2

Допустим, что штурман видит на берегу три предмета: A —отдельная вершина горы (цифра 150 указывает высоту вершины в метрах), В — отдельный дом и С — маяк, положение которых нанесено на карту (черт. 1). Тогда он может воспользоваться этими ориентирами для определения места корабля. При помощи специального инструмента, секстана*, штурман измеряет углы, под которыми видны ему с корабля точки А и B, а затем точки В и С (эти измерения на практике выполняются очень быстро и точно). Затем на карте на отрезках AB и ВС (черт. 2) строятся сегменты, вмещающие найденные путем измерения углы. Положение (место) корабля на карте (О) определяется как точка пересечения построенных сегментов.

Проведем исследование решения задачи, исходя из условий практики. Заметим прежде всего, что

* Этот интересный прибор школьники могут изготовить своими силами. Описание дано в книге П. В. Албычева «Самодельные приборы по физике», ч, I, Учпедгиз, 1950.

случай отсутствия решения практически невозможем, ибо измерение углов АОВ и ВОС велось с корабля, находящегося в определенной точке моря, изображение которой есть на карте. Поэтому остается рассмотреть случай, когда нарушается единственность решения.

Легко видеть, что это может случиться лишь тогда, когда центры сегментов O1 и O2 совпадут, т. е. когда корабль находится на окружности, проходящей через точки A, B и С. В этом случае задача имеет бесконечное множество решений.

Если ломаная ABC направлена выпуклостью в сторону моря, то такого случая на практике быть не может (с корабля, находящегося на окружности, проходящей через три точки А, В и С, нельзя будет наблюдать все эти точки одновременно). То же самое можно сказать и о случае, когда точки A, В и С расположены на одной прямой. Таким образом, случай нарушения единственности решения задачи может представиться лишь тогда, когда ломаная ABC расположена выпуклостью в сторону берега.

Если определение места ведется при движении корабля, то в этом случае следует повторить определение, так как корабль уже успеет сойти с окружности, проходящей через точки A, В и С. Если определение ведется на стоянке, то следует применить другой метод.

Указанные построения столь важны, что для их выполнения существует специальный прибор.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 5 ЗА 1954 г.

№ 41

Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

z=x2 + xy+y2,

при условии

Решение 1. Представим данную функцию z в виде тождества:

(1)

Так как выражение x2+у2 ограничено, то наибольшее значение функции z будет при х — у = 0, отсюда х=у, тогда

(2)

(3)

Из равенства (3) имеем:

(4)

Учтя неравенства (2), получим:

Для нахождения наименьшего значения функции Z преобразуем ее следующим образом:

Так как выражение x2+у2 ограничено, то наименьшее значение функции z будет зависеть от величины выражения (х+у)2, и так как это выражение не может быть отрицательным, то наименьшее значение (х+у)2 будет равно нулю, т. е.

отсюда

В этом случае z будет иметь свое наименьшее значение. Имеем:

Итак, наибольшее значение z заключено между 1,5 и 3, т. е.

Черт. 1

а наименьшее

Объединив два последних неравенства, получим:

Наименьшее значение z, равное 0,5, будет при

т. е. при

а наибольшее, равное 3, будет при

В геометрической интерпретации это означает, что x и у — координаты точек плоскости, заключенной между двумя концентрическими окружностями с общим центром в начале координат, радиусы которых равны 1 и √2, и точек этих двух окружностей.

В точках M и M1 имеем максимум функции z, в точках N и N1— минимум (черт. 1).

Решение 2. Перейдем от прямоугольной системы координат к полярной, положив

имеем:

(1)

Учтя неравенства (1), получим:

Итак,

№ 42

Найти максимум функции:

если

Решение 1. Так углы х и у, согласно условию, расположены в первой четверти, то

Так как по условию

откуда следует, что

причем знак равенства имеет место только в случае

Итак, имеем:

Отсюда имеем:

Так как u⩾0, то максимум функции и соответствует максимуму функции tg2u, т. е. минимуму выражения

т. е. при

причем знак равенства имеет место, если

Откуда

Тогда имеем:

Итак, функция и достигает своего максимума при

Решение 2. Имеем:

Итак, соотношение tgx = 3tgy можно заменить соотношением

Так как с возрастанием угла от 0° до 90° синус этого угла увеличивается, то разность u = х — у будет иметь максимум при максимальном значении sin (х — у).

Из равенства (1) вытекает, что наибольшее значение sin(x-y) будет при sin (x+y) = 1, т. е. при

Решив систему уравнений:

получим:

Итак, функция u = х— у достигает максимума при

№ 43

В равнобедренном треугольнике ABC:

Доказать, что

Решение 1. В треугольнике ABC (черт. 2) проведем отрезок AD, образующий с основанием АС угол CAD = 20°, тогда треугольник DAC будет подобен треугольнику ABC.

Черт. 2

Имеем:

Отсюда получим:

По теореме косинусов имеем:

или

Откуда

Решение 2. На основании теоремы синусов имеем;

(1)

Подставив данные соотношения в равенстве

получим:

(2)

Итак, данное соотношение

можно заменить равносильным равенством (2). Докажем справедливость равенства (2). Имеем:

(3)

Имеем:

№ 44

Решить в поле действительных чисел уравнение:

Решение 1. Обозначив через

получим:

(1)

Итак, данное уравнение заменим эквивалентной ему системой (1). Имеем:

(2)

Возведя в квадрат первое уравнение системы (1), получим:

(3) (4)

Подставив значения для u2+v2 и u4+v4 из соотношений (3) и (4) в уравнение (2), получим:

(5)

Из уравнения (5) находим:

Итак, имеем:

Корни последних двух уравнений являются действительными корнями заданного уравнения:

Решение 2. Если ввести обозначение

то решение значительно упрощается. В самом деле:

откуда имеем:

(1)

Разложив на множители, получим:

(2)

Из уравнения (2) следует, что действительными корнями уравнения будут числа 1 и —2 Имеем:

Откуда

Решение 3. Обозначим

Имеем:

(1)

(2)

Откуда

(3) (4)

Имеем:

(5)

Итак, мы получим уравнение (5), эквивалентное данному уравнению; в поле действительных чисел уравнение (5) имеет корни: z = + 3.

Подставив эти значения г в соотношения (3) и (4), получим уравнения:

которые дают те же корни.

Примечание. Последнее решение, самое оригинальное, принадлежит автору уравнения.

№ 45

Вычислить площадь четырехугольника, длины сторон которого являются корнями уравнения:

а сумма противоположных углов равна 2d.

Решение. Так как четырехугольник вписан в окружность, то площадь его можно определить по известной формуле:

(1)

где а, b, с, d — стороны, р — полу периметр. Имеем:

так как согласно условию а, b, с, d — корни данного уравнения

Преобразовав подкоренное выражение в формуле (1), получим:

№ 46

Дано изображение некоторого треугольника в параллельной проекции и изображение центра вписанной окружности. Построить изображение точек, в которых вписанная окружность касается сторон треугольника.

Решение 1. Выполним сначала на оригинале те построения, которые основаны на свойствах, не изменяющихся при параллельном проектировании.

Пусть треугольник ABC (черт. 3) — не деформированный проекцией, в котором Q — центр вписанной окружности, M, N и Р — точки касания окружности со сторонами треугольника. Через точку Q проведем прямые N1N2 || AB, P1P3 || AC, N3P2 || ВС, получим три ромба: AN1QP1, BM2QP2, CN3QP3, в которых M3Р3⊥СQ, M2P2⊥BQ, N1P1⊥AQ. Так как CM = CN, то и MN ⊥ CQ, m. e. MN || N3P3; аналогично доказывается, что MP || M2 P2 и NP || N1P1.

Черт. 3

Отсюда вытекает способ построения точек касания эллипса (параллельная проекция окружности есть эллипс) со сторонами треугольника A1B1C1, являющегося проекцией данного треугольника ABС. Итак, пусть треугольник A1B1C1 является параллельной проекцией треугольника ABC и точка Q1 — проекция центра круга, вписанного в оригинал. Проведем через точку Q1 прямые, параллельные сторонам треугольника N'1M'2||A1B1, P'3P'1||C1A1 и N'3P'2 || C1B1. Для построения точек M', N', Р' воспользуемся методом подобия, выбрав вершину А за центр подобия.

Проведем N'1K1 || n'3Р'3 и Р'1K1 || M'2Р'2; соединив точки A1 и К1, получим точку М', затем проведем М'Р' || М'2Р'2 и M'N' || P'3N'3, тогда N'Р' || N'1Р'1; в самом деле,

следовательно,

Отсюда следует, что N'Р' || N'1Р'1.

Построенные таким образом точки M1, P1, N1 являются точками касания эллипса.

Черт. 4

Решение 2. Пусть ABC—изображение некоторого треугольника A1B1C1 в параллельной проекции и О— изображение центра O1 окружности, вписанной в треугольник A1B1C1. Тогда АОМ, BON, СОК — изображения биссектрис A1M1, B1N1, C1К1 внутренних углов треугольника A1B1C1. Пусть X1 — точка касания стороны B1C1 с окружностью, вписанной в этот треугольник, а X — изображение точки Х1 в той же проекции. Обозначим:

Имеем:

но в параллельной проекции сохраняется отношение трех точек, т. е.

следовательно,

откуда

(1)

Черт. 5

На основании свойства биссектрисы внутреннего угла треугольника имеем:

Подставив последние соотношения в равенство (1), получим:

(2)

Так как изображение центра окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, дано, то точки M, N и К легко построить, причем они определяются однозначно. Итак, построив отрезок ВХ, получим изображение точки касания окружности со стороной ВС.

Задача имеет решение при

Изображение центра вписаной окружности нельзя задавать внутри треугольника — изображения, где угодно. Действительно, пусть N — фиксированная точка на АС. Если точка К будет перемещаться от A к В, то величина отношения AK/KB может стать как угодно большой, следовательно, существует на AB точка K, такая, что AK/KB > 1 + AN/NC, а для любой точки K1 на отрезке ВК будем иметь, что AK/KB > 1 + AN/NС. Следовательно, на отрезке ВО, например, нельзя изобразить центр окружности, вписанной в треугольник A1B1C1.

Примечание. Из всех участников конкурса правильные и общие решения прислали только Т. Мышакова (Одесса) и Э. Ясиновый (Куйбышев), остальные все решения или неверны, так как соотношения, которыми они пользовались, основаны на свойствах, которые не сохраняются при параллельном проектировании (ортогональность), или в них рассматривались частные случаи, когда одна из сторон треугольника-оригинала проектируется в натуральную величину; некоторые считали заданным угол, под которым наклонена плоскость, в которой лежит оригинал, к плоскости, в которой лежит проекция его. (Неправильное решение дано также и автором задачи.)

№ 47

Построить трапецию, зная углы при основании и диагонали.

Черт. 6

Решение 1. Пусть ABCD — искомая трапеция, где ∠BAD = α,∠CDA = β, АС = a, BD=b.

Выполним следующие вспомогательные построения, которые дадут ключ к решению задачи чисто конструктивным способом.

Проведем BE || CD и построим медиану BF в треугольнике ABE, затем проведем DQ || BF, получим два параллелограма: BGDF и ACGF, так как CG = FE (из равенства треугольников CGD и BFE), но FE = AF. Итак, отрезки CG и AF равны и параллельны, следовательно, фигура ACGF — параллелограм.

Теперь построение трапеции свелось к построению треугольника BFD по стороне BD = b, противолежащему углу BFD (который мы можем построить) и медиане FO=1/2 a.

Дальнейшее построение осуществляется следующим образом: проведем ВС || FD и строим угол FDC = ß; получим вершину С и строим DE = ВС и FА = EF, получим вершину А.

Решение 2. Пусть ABCD (черт. 6) — искомая трапеция. Продолжим боковые стороны AB и CD до пересечения в точке M и соединим точку M с точкой О пересечения диагоналей. Прямая МО при пересечении с основаниями в точках N и F делит их пополам (теорема Штейнера).

Справедлива и обратная теорема: если точка пересечения продолжений двух противоположных сторон четырехугольника, середины двух других сторон и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой, то этот четырехугольник есть трапеция (последняя доказывается методом от противного).

Из подобия треугольников AOD и ВОС имеем:

Черт. 7

Отсюда вытекает способ построения.

Строим произвольный треугольник A1M1D1, где ∠A1 = α, ∠D1 = β. Геометрическим местом точек плоскости, отношение расстояний которых до двух точек A1 и D1 равно d1:d2, есть окружность Аполония. Итак, строим окружность Аполония и проведем медиану M1N1; точка 01 пересечения этих двух геометрических мест на основании предыдущих рассуждений является точкой пересечения диагоналей трапеции A1B1C1D1. Далее впишем в угол A1M1D1 два отрезка: EF и QL, параллельные A1C1 и B1D1, равные d1 и d2. Полученная фигура EQFL есть искомая трапеция. Действительно, из построения следует, что

следовательно,

Примечание. Большинство участников конкурса решили эту задачу не конструктивно, а приложением алгебры и тригонометрии и получили такие сложные уравнения, содержащие тригонометрические функции и неизвестные отрезки, которые оказались неразрешимыми. Тов. Дейнега дал решение для прямоугольной трапеции, не оговорив этого.

№ 48

Если

(1) (2) (3)

Доказать.

Решение. Заданное соотношение имеет место при а ≠ 0, | а | ≠ 1. Итак, пусть а ≠ 0 и | а | ≠ 1, а на числа m, n, р, q не будем накладывать никаких ограничений.

Возведя в куб обе части соотношения (1), получим;

Учтя соотношения (2) и (1), получим:

Откуда следует, что

(4)

Из соотношений (1) и (4) следует, что

Последняя система имеет только два решения:

Отсюда

Итак, в обоих случаях имеем:

№ 49

Решить уравнение:

Решение. Преобразуем левую часть уравнения следующим образом:

Отсюда имеем:

откуда

Итак, корнями уравнения являются числа:

Примечание. Все участники конкурса решали это уравнение при помощи различных, в большинстве нерациональных подстановок и получали уравнение третьей степени, которое решили по формуле Кардана и поэтому получили решения в очень сложной форме.

ЗАДАЧИ

№ 11

Определить угол при основании осевого сечения усеченного конуса (прямого кругового), если объем и поверхность вписанного шара составляют n-ую часть соответственно объема и полной поверхности этого конуса.

С. Петров (Гайсин)

№ 12

Из вершин треугольника ABC со сторонами а, b, с восставлены к его плоскости (в одну сторону) перпендикуляры h1, h2, h3 и через их концы проведена плоскость.

Найти угол между этой плоскостью и плоскостью треугольника.

Б. Мильто (Смоленская область)

№ 13

При помощи циркуля и линейки построить n окружностей, сумма площадей которых равна площади данного круга радиуса R, rде n — любое натуральное число.

Юн Сугон (Южно-Сахалинск)

№ 14

Найти максимум и минимум функции:

если

В. Смышляев (Марийская АССР)

№ 15

В треугольной пирамиде SABC с прямым двугранным углом при вершине двугранные углы при основании соответственно равны α, ß, γ.

Доказать, что

М. Крайзман (Львов)

№ 16

Из всех правильных треугольных пирамид с данной боковой поверхностью пирамида с прямым трехгранным углом при вершине имеет наибольший объем.

Е. Боков (Краснодарский край)

№ 17

Самолет совершает перелет с аэродрома А на аэродром В по дуге полуокружности. Расстояние между

аэродромами по прямой равно с километров. Наблюдатель находится на прямой AВ. Определить наибольшее расстояние от наблюдателя до самолета в момент, когда самолет и наблюдатель находятся на равных расстояниях от аэродрома А.

Е. Боков (Краснодарский край)

№ 18

Решить уравнение:

М. Крайзман (Львов)

№ 19

Решить систему уравнений (приложением геометрии к алгебре):

№ 20

Показать, что

где u и v — многочлены относительно х и у.

№ 21

Доказать, что существуют треугольные призмы, которые могут быть разрезаны на три равные пирамиды.

Х. Хамзин (Стерлитамак)

№ 22

Из вершин треугольника восставлены к его плоскости перпендикуляры различной длины. Как нужно расположить их, чтобы абсолютная величина острого угла между плоскостью, проходящей через их концы, и плоскостью треугольника была наибольшей?

(Смоленская обл.)

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 6 за 1954 год

Балышкин П. (Новосибирская обл.) 51—58; Боков Е. (Краснодарский край) 52, 54, 55, 56, 57, 58; Вейцман Б. (Киев) 51—58; Владимиров А. (Асбест) 51—57; Гаас А. (Караганда) 52, 53, 55, 58; Герасимов Ю. (Абакан) 51, 52, 54, 55, 58; Готлер М. (Вильнюс) 51—58; Гогичадзе М. (Грузинская ССР) 52—56; Джабаров С. (Куйбышевская обл.) 51, 52, 56, 57; Дейнега А. (Винницкая обл.) 51, 52, 54, 55, 56; Демчинский В. (Ровно) 51—55; 57—58; Давыдов У. (Гомель) 51. 52, 54—58: Жагунов Л. (Литовская ССР) 52, 54, 55, 56, 57, 58; Лейбман M (Свердловская обл.) 51; 52, 54—58; Лось Г, (Хмельницкая обл.) 51—58; Молибога И. (Ворошиловская обл.) 51—58; Мышакова Т. (Одесса) 51—58; Математический кружок Полоцкого ж.-д. института (Полоцк) 51, 52, 54—56, 58; Математический кружок 17-й средней школы (Киев) 51—58; Математический кружок Слободо-Туринской средней школы (Свердловская обл.) 51, 54, 55, 56; Полознев Г. (Полоцк) 51—55, 58; Печерский (Фрухзе) 51—58; Ренерт Р. (Польша) 52—58; Рудштейн 3. (Киев) 51, 52, 55, 57, 58; Рачинский Г. (Ставропольский край) 51, 62, 53, 55, 57, 58; Рознатовский И. (Киев) 51—58; Решетников Г (Тюменская обл.) 52, 54, 55, 56; Смышляев В. (Марийская АССР) 51/52, 54, 55, 56, 57, 58; Тишков Е (Б ССР) 51—58; Утемов В. (Красноуфимск) 51—58; Утемов В. (Красноуфимск) 51—58; Чепкасов Г. (Краснодарский край) 51, 52, 54, 56, 58; Яремчук (Киев) 51—55, 58, Ясиновый Э. (Куйбышев) 51—55, 57, 58.

ИТОГИ КОНКУРСА ЗА 1953 год

Бартош П. (Чехословакия) 50; Бернштейн С. (Киев) 61; Вейнман В. (Киев) 62; Владимиров А. (Асбест) 64; Давыдов У. (Гомель) 81; Джабаров С. (Куйбышев) 58; Демчинский В. (Ровно) 49; Епимашенко П. (Гродно) 48; Лейбман М. (Свердловская обл.) 59; Мирау Б. (Алма-Ата) 54; Нахамчик С. (Рогачев) 60; Пигарев Ю. (Корсунь Шевченковский) 73; Рознатовский Н. (Киев) 48; Смышляев В. (Марийская АССР) 62; Цхай (Андижан) 62, Черепнин М. (Караганда) 49; Чепкасов Г. (Краснодарский край) 69; Шебаршин М. (Кемеровская обл.) 52; Яремчук Ф. (Дорогобыч) 66; Ясиновый Э. (Куйбышев) 77.

ОПЕЧАТКИ

В настоящем номере журнала на стр. 58 в части тиража по вине типографии допущены следующие опечатки: левый столбец (сверху)

напечатано:

1. ...учащиеся К. и Р.... написали в работах: «параллелепипед»

2. Учащийся В. даже написал так: «экзаменационная работа по математике».

следует читать:

1. ...учащиеся К. и Р.... написали в работах: «паралеллепипед»

2. Учащийся В. даже написал так: «экзаменнационная работа по матемматике».

СОДЕРЖАНИЕ

Всепобеждающая сила идей ленинизма............, . . . 1

Н. Ф. Четверухин — О некоторых методологических вопросах в преподавании геометрии.......................... . . 5

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Г. К. Остапов — Элементарные методы вычисления логарифмов...... 14

МЕТОДИКА

С. В. Филичев — О требованиях к письменным работам на аттестат зрелости . 22

И. И. Смирнов—О требованиях к выполнению экзаменационных работ по геометрии на аттестат зрелости и об оценке этих работ......... 26

И. А. Рассыпнов — О подготовке к письменной работе по геометрии с тригонометрией на аттестат зрелости .................. 36

ИТОГИ ЭКЗАМЕНОВ

С. М. Чуканцов — О математической подготовке оканчивающих среднюю школу 39

В. Е. Семенов — О некоторых вопросах математики в средней школе .... 44

Л. Ш. Матлин — О некоторых недочетах в знаниях учащихся...... 47

М. Р. Линдер — О математической подготовке учащихся, окончивших VII класс............................. 49

Е. Н. Золотовицкий — Некоторые итоги приемных испытаний в Московский техникум советской торговли.................. 51

П. М. Савчук — О приемных экзаменах по математике в Сталиногорский горный техникум........................... 57

ИЗ ОПЫТА

Е. С. Березанская — К вопросу о состоянии знаний учащихся VIII класса средней школы по алгебре...................... 60

В. И. Беляев — О тождественных преобразованиях иррациональных выражений в курсе VIII класса....................... 69

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Учителя о новом сборнике задач по арифметике.............. 76

Сводка решений задач по №№ 3, 4 и 5 за 1954 год............ 79

ХРОНИКА

Р. С. Терюкалова — О совещании по школьным учебникам 80

С. В. Пазельский — Обсуждение книги И. К. Андронова «Арифметика натуральных чисел» ....................... 84

Б. П. Бычков —Республиканские «Педагогические чтения» в Молдавской ССР . 86

ЗАДАЧИ

С. Б. Норкин — Задача о сегменте, вмещающем данный угол, в практике штурмана......................... 87

Решения задач, помещенных в № 5 за 1954 г................ 88

Задачи .................... 94

Сводка решений по № 6 за 1954 год и итоги конкурса за 1953 год . . . 95

Редакционная коллегия:

Редактор А. Н. Барсуков, зам. редактора С. И. Новоселов, члены редакционной коллегии: К. С. Богушевский, П. А. Ларичев, В. В. Немыцкий, Н. Н. Никитин, С. В. Филичев, Н. Ф. Четверухин. Зав. редакцией Р. С. Терюкалова

Технический редактор С. Н. Шахов Корректор А. А. Журавлев

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

Сдано в производство 5/I 1955 г.Подписано к печати 16/III 1955 г. Учетно-изд. л. 11,32+0,07. A01644. Заказ 5 Тираж 94650 экз.

Цена 4 р. 50 к. Бумага 84×1081/16=6 п. л. (9,84) +0,20

Министерство культуры СССР. Главное управление полиграф, промышленности 13-я типография. Москва, Гарднеровский пер., д. 1а.