МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

1

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1955

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 1

ЯНВАРЬ—ФЕВРАЛЬ 1955 г.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

О НАИМЕНЬШЕМ ОБЩЕМ КРАТНОМ НЕСКОЛЬКИХ ЧИСЕЛ

Ц. А. ЦВЕТКОВ (Пловдив, Болгария)

В учебнике теоретической арифметики для педагогических училищ Б. А. Тулинова и Я. Ф. Чекмарева (§ 101) дано описание общеизвестного «практического способа быстрого нахождения НОК ...посредством разложения чисел на их простые множители». Следует заметить, что быстрота указанного способа как в его описании, так и в приложении на практике недостаточно удовлетворительна. Здесь мы ставим целью изложить теоретические основы более рационального приложения этого способа, дав ему иное освещение.

Обозначим через D (а, b, с) наибольший общий делитель чисел a, b, с, а через К (а, b, с) их наименьшее общее кратное. Напомним следующие известные из теоретической арифметики теоремы:

На основании этих пяти теорем докажем следующую теорему: T6. Если данная совокупность чисел содержит хотя бы одно число а, кратное данному числу m, и если разделить а на m, а каждое из остальных чисел на наибольший общий делитель этого числа и числа m, то НОК чисел данной совокупности будет равно произведению числа m и НОК полученных частных.

Доказательство. 1°. Доказываем, что теорема верна для двух чисел.

Дано: a:m и D (m, b)= р.

Доказать:

Действительно, так как р есть НОД чисел m и b, то частные m/p и b/p взаимно простые. Поэтому, согласно T3,

откуда

Так как, согласно T5,

то

следовательно,

2°. Дано:

допустим, что теорема верна для чисел

где

В таком случае, согласно теореме T4,

а на основании доказанного (пункт 1°)

следовательно,

Воспользуемся вновь теоремой T4, заменив число k' группой чисел

для которых k' есть НОК, тогда получим:

Допустив, что теорема верна для n чисел, мы установили, что она будет верна и для чисел, а так как мы доказали (пункт 1°), что теорема верна для двух чисел, то заключаем (согласно принципу полной математической индукции), что она верна для произвольного количества данных чисел.

Можно убедиться, что теоремы T3 и Т5 суть частные случаи теоремы T6.

Вот некоторые другие ее следствия.

Следствие I.

или словесно: Если дан какой-либо ряд чисел, из которых некоторые числа кратные m, а другие взаимно простые с m, и если каждое из первых разделить на m, а каждое из вторых оставить без изменения, то получим такой второй ряд чисел, что НОК чисел первого ряда равно произведению числа m и НОК чисел полученного второго ряда.

Следствие II. Наименьшее общее кратное попарно взаимно простых чисел равно их произведению.

Действительно, если a1, a2,. ...., an-1, an — числа попарно взаимно простые, то:

(согласно T6).

2°. Если допустим, что

получим:

(согласно T6)

(согласно Т4)

(согласно допущению).

Следовательно, на основании принципа полной математической индукции заключаем, что наше предложение верно для произвольного количества попарно взаимно простых чисел.

Теорема T6, вместе с ее следствиями, обосновывает тот вычислительный процесс (алгоритм), который осуществляется в практическом способе нахождения НОК.

Обозначим через S данную совокупность чисел, а через m1 — число, которое является делителем хотя бы одного из данных чисел.

Если каждое из данных чисел разделить на НОД этого числа и числа m1, то получим вторую совокупность чисел S1; согласно теореме T6, получим:

Применяя далее эту теорему получим:

Из этих равенств находим:

(1)

Для всякой совокупности чисел, в которой хотя бы одно из чисел не равно 1, можно найти соответствующее число m и применить теорему Т6. С другой стороны, произведение m1.m2.m3...mn в равенстве (1) не превышает числа К (S); поэтому существует лишь конечное множество делителей m1, m2, ..., mn, каждый из которых больше 1. Значит, после конечного числа шагов можно получить такую совокупность чисел Sn, в которой каждое из чисел равно 1, и, следовательно,

Таким образом, из равенства (1) получим:

(2)

Так обычно делается на практике, причем числа m1, m2, m3, ..., mn нередко подчиняются следующим двум ненужным требованиям:

1) Каждое из этих чисел простое число.

2) Они образуют неубывающую последовательность.

Также ненужным является требование, чтобы каждое из чисел последней полученной совокупности чисел Sn было равно 1. Достаточно, чтобы совокупность Sn состояла из чисел, НОК которых легко найти, а таковой является всякая совокупность попарно взаимно простых чисел.

Если an, bn, ..., gn — числа совокупности Sn и если они попарно взаимно простые, то К(Sn) = an.bn...gn, и в таком случае из равенства (1) получим:

(3)

На практике этот «способ последовательного извлечения общих делителей» до получения попарно взаимно простых чисел прилагается легче всего, когда находятся:

1) общие делители всех данных чисел;

2) такие «частные общие делители», каждый из которых, будучи общим делителем некоторых чисел, в то же время взаимно прост с каждым из остальных.

В первом случае применяется теорема T5, во втором случае — следствие I теоремы T6.

Вот несколько примеров:

Теорему T6 удобно применить, если выбранный делитель m имеет малое количество делителей. В приведенном ниже примере после каждого делителя m записаны в скобках все его делители. Каждое из чисел соответствующего ряда делим на m, если оно кратно m, или на наибольшего из его возможных делителей среди чисел в скобках после m.

Примечание. В примере 3 применена теорема T4, причем числа 3 и 15 заменены их НОК — 15. В таком случае, ставя число 3 в скобки, принято говорить, что оно «исключается». Подобное пояснение надо дать и к примеру 4, где число 4 (делящее 112) исключено.

МЕТОДИКА

ОПЫТ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ»

С. В. СИНАКЕВИЧ и Б. А. ЛУРЬЕ (Ленинград)

Как совершенно верно указывает И. И. Смирнов в своей статье «Тригонометрические уравнения в школьном курсе» (журнал «Математика в школе», 1953, № 3), в существующей учебно-методической литературе нет достаточно четкого и обстоятельного освещения ни содержания темы «Тригонометрические уравнения», ни методики ее преподавания.

В практике преподавания мы разрешали этот вопрос, исходя из того значения, которое имеет эта тема для усвоения школьного курса тригонометрии и для общего математического развития учащихся средней школы.

Как известно, не существует общих методов решения всякого тригонометрического уравнения.

Мы умеем найти формулу общего решения тригонометрического уравнения только в частных, не очень многочисленных случаях. Поэтому затрачивать много усилий на решение особо сложных тригонометрических уравнений, нелегко приводимых к этим частным случаям, не имеет никакого смысла.

Значение тригонометрических у равнений заключается главным образом в том, что они, во-первых, являются прекрасным средством для закрепления знаний учащихся о свойствах тригонометрических функций, а во-вторых, предоставляют большие возможности для развития у учащихся вдумчивого отношения к вопросам равносильности уравнений. Знакомить учащихся с тригонометрическими уравнениями нужно так, чтобы это их двоякое значение могло проявиться в полной мере.

Отсюда мы делаем вывод, что методически нерационально выделять тригонометрические уравнения в одну главу и относить ее на конец курса, как это сделано в учебнике А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника, и как это проведено в ныне действующей программе.

О необходимости заниматься тригонометрическими уравнениями гораздо раньше, чем это требуется программой, и знакомить учащихся с ними постепенно в процессе изучения курса тригонометрии говорит и наша методическая литература [см. 1) Методическое письмо Министерства просвещения РСФСР, изд. 1952 г., стр. 91, и 2) Н. М. Бескин «Вопросы тригонометрии и ее преподавания», стр. 96—97].

В упоминавшейся статье И. И. Смирнова мы имеем уже конкретные предложения по этому вопросу: основные сведения о тригонометрических уравнениях переносятся на IX класс, а в X классе тема «Тригонометрические уравнения» изучается в первом полугодии.

Но эти предложения еще не разрешают в полной мере вопроса о наиболее целесообразном расположении материала по теме «Тригонометрические уравнения».

1. Важно установить, с какого именно момента изучения тригонометрических функций в IX классе следует вводить тригонометрические уравнения.

2. Сосредоточивая все остальное содержание темы в X классе, И. И. Смирнов отрывает приемы решения тригонометрических уравнений, связанные с тригонометрическими преобразованиями, от изучения теории этих преобразований в IX классе, что уменьшает значение тригонометрических уравнений для усвоения школьного курса тригонометрии и нисколько не содействует закреплению навыков в их решении.

3. Недостаточно уточнено, в каком месте курса, при решении каких уравнений внимание учащихся должно быть сосредоточено на вопросах равносильности уравнений. Как это видно из дальнейшего изложения, автор рассматривает случаи неравносильности главным образом на дробных уравнениях, что, конечно, недостаточно для хорошего усвоения этого важнейшего вопроса.

4. Не уточнено, в каком именно месте темы производится работа над формулой общего вида корней, удовлетворяющих данному уравнению, объединение нескольких формул, исключение посторонних решений, исключение повторяющихся корней.

В практике нашего преподавания мы проводили совершенно иной план работы по теме «Тригонометрические уравнения». Прежде чем перейти к изложению нашей системы, остановимся на некоторых общих принципах, на которых она построена.

Очень долго в учебно-методической литературе делалась попытка провести классификацию тригонометрических уравнений по способам их решения. Опыт показал, что подобная классификация является совершенно ненужной не только потому, что большинство тригонометрических уравнений может быть решено различными способами (принадлежат одновременно различным классам), но и потому, что наличие такой классификации связывает инициативу учащихся. Все приемы решения тригонометрического уравнения представляют собой применение тригонометрических и алгебраических преобразований для приведения его к основным тригонометрическим уравнениям:

(в книге С. И. Новоселова «Специальный курс тригонометрии» эти уравнения называются простейшими) или к уравнениям вида:

Естественнее всего учащимся знакомиться с тригонометрическими уравнениями вместе с изучением теории тригонометрических преобразований. Мы убедились на опыте, что учащийся, решающий тригонометрические уравнения на всем протяжении курса тригонометрии и хорошо усвоивший этот курс, не нуждается ни в какой классификации, чтобы выбрать рациональным образом нужное тригонометрическое преобразование для решения того или иного тригонометрического уравнения.

Особенности тригонометрического уравнения, отличающие его от алгебраического, как-то:

формула общего решения и ее преобразования, множество допустимых значений аргумента и вопросы равносильности по отношению к тригонометрическим уравнениям, должны изучаться учащимися сразу после ознакомления их с решением основных тригонометрических уравнений, т. е. до применения тригонометрических преобразований для приведения тригонометрических уравнений к вышеуказанным двум видам.

Поэтому сразу после основных тригонометрических уравнений мы рассматриваем уравнения, где могут встретиться наибольшие трудности в нахождении общей формулы удовлетворяющих уравнению корней. Это — уравнения, в которых левая часть представляет собой произведение или дробь, а правая часть равна нулю.

Разделяя точку зрения И. И. Смирнова, что понятие о корнях, связанных с предельным переходом, выходит за рамки школьной программы, мы при решении тригонометрических уравнений исключаем из рассмотрения те значения аргумента, при которых та или иная часть уравнения теряет смысл.

Преобразования формулы общего решения тригонометрического уравнения мы производим не с помощью тригонометрического круга, как это делает И. И. Смирнов в своей статье, а с помощью арифметики (теория делимости). Арифметический прием имеет целый ряд преимуществ перед тригонометрическим: он скорее приводит к цели, позволяет лишний раз повторить, углубить и закрепить сведения учащихся из арифметики, играет известную роль в общей системе приемов постепенного перехода от тригонометрической функции угла к тригонометрической функции числа.

Ознакомление учащихся с различными преобразованиями формулы общего решения тригонометрического уравнения производится при решении уравнений вышеуказанного вида. Примеры подбираются в порядке возрастающей трудности этих преобразований с таким расчетом, чтобы были охвачены наиболее часто встречающиеся на практике случаи.

Переходим к изложению нашей системы работы по теме «Тригонометрические уравнения».

I. Решение основных тригонометрических уравнений, являясь одной из ведущих идей в данной теме, требует особого внимания преподавателя. Для того чтобы эта идея не была усвоена формально, необходимо посвятить ей достаточно времени и связать ее с геометрическими представлениями о построении угла по заданному значению его тригонометрической функции. Задачу построения угла по данному

значению его тригонометрической функции мы решаем, когда учащиеся уже ознакомились с основными свойствами тригонометрических функций, с периодичностью, четностью или нечетностью. Это дает возможность сразу выяснить многозначность решения и установить две серии ответов, соответствующие двум положениям вектора при данном косинусе (или синусе), одну серию ответов для тангенса и записать решение с помощью формул общего вида углов.

В нашей системе изложения тригонометрические функции изучаются не параллельно, а последовательно (начиная с косинуса). Изучение свойств каждой функции завершается задачей о построении угла по заданному значению этой функции. Это отражается весьма благоприятно на усвоении формул общего вида углов: учащийся прочно связывает каждую формулу со свойствами соответствующей функции и имеет достаточно времени, чтобы хорошо ее усвоить, прежде чем перейти к другой.

Построение угла по заданному значению его тригонометрической функции мы обыкновенно начинаем с задачи, когда наименьший по абсолютной величине угол может быть указан учащимися совершенно точно, т. е. с задач

При решении такой задачи, где этой возможности нет, например cosx = 2/3, совершенно естественно ввести новый символ для обозначения точной величины наименьшего положительного угла: arccos 2/3. На решении ряда конкретных примеров учащиеся очень хорошо осваиваются с этим символом, совершенно четко и ясно представляют себе его значение и правильно им пользуются при составлении формул общего вида углов.

На каждом конкретном случае построения угла по заданному значению его тригонометрической функции мы выясняем учащимся связь этой задачи с решением соответствующего уравнения. Действительно, решив, например, задачу: «построить угол, косинус которого равен 2/3», мы ответили на вопрос, существуют ли такие значения аргумента x, при которых функция cos x равна 2/3, и если существуют, то какие и сколько их; другими словами, мы решили тригонометрическое уравнение:

Решение основных тригонометрических уравнений в общем виде рассматривается также раздельно и является заключительным этапом изучения каждой тригонометрической функции. Прежде чем перейти к общему решению, мы даем общее определение символов arccos а, arcsin a и arctga. Общее решение основных тригонометрических уравнений производится с полным исследованием. Приводим пример такого исследования.

Пусть решается уравнение

Рассмотрим все возможные значения а.

1. 0<a<1. Тогда геометрическое построение дает два вектора, имеющие одну и ту же проекцию на данную ось. Наименьшие по абсолютной величине углы, образуемые этими векторами с данной осью, будут равными по абсолютной величине и противоположными по знаку. Положительный угол, в данном случае острый, обозначается символом arccos а; тогда отрицательный угол будет: —arccos а. Решение уравнения записывается формулой:

2. 0>а> — 1. Геометрическое построение дает также два вектора, имеющие одну и ту же проекцию на данную ось, и наименьшие по абсолютной величине углы, образуемые этими векторами с данной осью, будут равными по абсолютной величине и противоположными по знаку. Положительный угол, в данном случае тупой, обозначается символом arccos a; тогда отрицательный угол будет: — arccos а. Решение уравнения записывается той же формулой:

3. а = 1. Геометрическое построение дает только один вектор. Наименьший положительный угол, образованный этим вектором с данной осью, равен 0: arccos 1 = 0. Следовательно, решение уравнения запишется в виде формулы:

x = 2πk.

4. a = —1. Геометрическое построение дает только один вектор. Наименьший положительный угол, образованный этим вектором с данной осью, равен π: arccos (—1) = π. Следовательно, решение уравнения запишется в виде формулы:

x = π + 2πk = π(2k+1).

5. a = 0. Геометрическое построение дает два вектора. Наименьшие по абсолютной величине углы, образуемые этими векторами с данной осью, будут прямыми, но противоположными по знаку: π/2 и -π/2. Решение

уравнения записывается в виде формулы:

Следует показать учащимся упрощение этой формулы, преобразовав ее следующим образом:

Выражения 4k+1 и 4k — 1 охватывают все множество нечетных чисел и могут быть заменены выражением: 2k + 1. Получаем решение уравнения cos х = 0 в таком виде:

6. |а|>1. Уравнение cosx = a не имеет решений.

Такое исследование дает возможность выделить часто встречающиеся частные случаи уравнения cosx = a, когда а = 0 или а = ±1, для которых возможно упрощение формулы общего вида углов: вместо двух формул — одна. Аналогичное исследование, проведенное для уравнения sin х = а, дает упрощенное решение для случая

Выделение частных случаев, допускающих упрощение формулы общего вида углов, воспитывает сознательное, неформальное отношение к этим формулам. К сожалению, наши учебники и задачники недостаточно уделяют внимания этому вопросу. Недавно вышедший задачник К. С. Барыбина и А. К. Исакова дает решение уравнения sin x = 1 в виде сложной по своей структуре формулы:

(задачи №№ 1620, 1634, 1643).

II. После того как учащиеся познакомились с графиками тригонометрических функций, переход от тригонометрической функции угла к тригонометрической функции числа делается для учащихся совершенно убедительным. График иллюстрирует зависимость между множеством действительных чисел, изображенных точками на оси абсцисс, и множеством значений тригонометрической функции.

Представление о тригонометрической функции как о функции числа закрепляется в сознании учащихся на решении тригонометрических уравнений, в которых выражение, находящееся под знаком тригонометрической функции, само является функцией аргумента х. Приводим примеры таких уравнений и указания к их решению.

1.

Решение.

Знак слагаемого, содержащего k множителем, произволен, так как k может принимать произвольное целое значение (положительное, отрицательное, нуль). Поэтому уславливаются это слагаемое писать всегда со знаком

2.

Решение.

Уравнение имеет решение лишь при

3. sin πx = -√3/2. Найти все острые углы, удовлетворяющие этому уравнению.

Решение.

4. sin x2 = 0.

Решение.

Значения аргумента х действительны при m > 0:

5.

Решение

При k = 0 x2 может равняться только π/3, а не -π/3, поэтому этот случай выделяется особо:

Во всех остальных случаях 2π должно умножаться на целое положительное число. Обозначив это число так: |k|+1, получим:

6. cos (sin х) = 1/2.

Решение.

Но |sinx|⩽1, тогда как при любом целом k абсолютная величина правой части больше 1.

Уравнение не имеет решений.

7. cos (cos x) = √3/2 .

Решение.

Но |cosx|⩽1; следовательно, cos х может равняться только ± π/6, a k надо считать равным нулю. Получаем два уравнения:

Решаем первое уравнение:

Решаем второе уравнение:

Формулы

могут быть объединены в одну:

Но для этого требуется знакомство учащихся с зависимостью

относящейся к теории обратных тригонометрических функций. Так как обратные тригонометрические функции мы проходим после тригонометрических уравнений, то на данном этапе мы такого объединения не делаем,

8. cos (5 cos 5x) =0.

Решение.

Так как | cos 5x | ⩽ 1, то k может быть или 0, или 1, или —1.

Когда учащиеся хорошо усвоили решение основных тригонометрических уравнений, мы решаем с ними такие тригонометрические уравнения, которые являются алгебраическими относительно какой-нибудь тригонометрической функции, например:

1) 3 sin x = 2; 2) 2 cos2 х + cos х — 1 = 0.

III. Уравнения, левая часть которых представляет собой произведение двух или нескольких тригонометрических функций, а правая часть равна нулю.

В тригонометрии учащиеся впервые встречаются с такими случаями, когда наличие множителей, равных нулю, является условием необходимым, но недостаточным для того, чтобы произведение равнялось нулю. Если среди сомножителей, кроме равных нулю, имеются сомножители, теряющие смысл, то и все произведение теряет смысл.

Примеры:

Поэтому прежде чем начинать решение уравнений данного типа, надо фиксировать следующее положение:

Для того чтобы произведение двух или нескольких сомножителей (функциональных) было равно нулю, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:

1) по крайней мере один из сомножителей равен 0;

2) каждый из остальных сомножителей имеет смысл.

Приводим подбор уравнений этого вида:

1. sin x (1+2 cos x) = 0.

Решение.

Так как sin х и cos х имеют смысл при любых действительных значениях аргумента, то обе серии решений пригодны.

2. tg 3х ⋅ cos x = 0.

Решение.

Эта серия решений удовлетворяет уравнению, так как cosx имеет смысл при любых действительных значениях аргумента.

Эта серия не удовлетворяет уравнению, так как

не имеет смысла.

Ответ:

3. cos x (tg x + 1) = 0.

Ответ:

4. sin 2x ⋅ tg x = 0.

Решение.

Из этой серии решений не пригодны те, которые получаются при нечетном k, так как тогда второй сомножитель теряет смысл. Значит, нужно положить k = 2m:

Эти корни пригодны, так как sin2πk имеет смысл. Обе серии решений совпадают.

5. tg3x⋅tg6x = 0.

Решение.

Эта группа корней уравнению удовлетворяет, так как

Вычисляем:

Если k — четное число, то получаются числа, входящие в серию корней х = πk/3 (при k, кратном трем).

Если k — нечетное число, то tg 3x: не имеет смысла.

Ответ: x=πk/3.

6. tg3x⋅tg4x = 0.

Решение.

Так как

имеет смысл при любом то эти корни удовлетворяют уравнению.

имеет смысл при k, кратном четырем, и k нечетном и не имеет смысла при k четном и не кратном четырем. Итак, k не должно быть числом вида 2(2m+1). Если исключить эти значения k, то получим:

Получаем следующие серии корней:

Группа х = ът входит в группу

при k, кратном трем. Ответ:

7. ctg x ⋅ sin 3x = 0.

Решение.

Корни пригодны, так как имеет смысл.

ctg x = ctg π/3 k теряет смысл при k, кратном трем. Следовательно, пригодными из этой серии корней будут только те значения x, которые получаются из этой формулы, если k есть число вида

Уравнению удовлетворяют две серии корней:

8. 4tgx⋅sin4x = 0.

Решение.

tg X = tg π/4 ⋅ k существует при k, кратном четырем, и k нечетном.

При k = 4m получаем серию корней х = m⋅π уравнения tgx = 0.

Ответ:

9. sin5x⋅tg 4x⋅cos2x = 0 (задачник Рыбкина, № 14, № 20).

Решение.

Корни пригодны.

Корни серии X = π/4 (2k +1) входят в серию

Ответ:

10. sin3x⋅tg2x⋅secx = 0 (задачник Рыбкина, § 14, № 72).

Решение. Нулю могут равняться лишь два сомножителя:

Корни пригодны.

Из этой серии нужно исключить случаи, когда k — нечетное число, ибо sec π/2 k при к нечетном теряет смысл; следовательно,

Эта серия корней входит в серию при k, кратном трем.

Ответ:

Примечание. В ответе задачника Рыбкина это последнее обстоятельство не учтено, и ответ дан в виде двух формул.

Затем решаются уравнения, которые можно привести алгебраическими преобразованиями к рассматриваемому виду.

Примеры.

IV. Уравнения, левая часть которых представляет собой дробь, а правая часть равна нулю.

Из курса алгебры известно, что дробь равна нулю лишь в том случае, если числитель ее равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Остается еще добавить, что знаменатель должен иметь смысл. Если знаменатель не имеет смысла, то и вся дробь не имеет смысла, и о ее равенстве нулю нельзя говорить.

Поэтому сначала фиксируем следующее положение.

Для того чтобы дробь была равна нулю, необходимо и достаточно выполнение следующих условий;

1) числитель дроби равен нулю;

2) знаменатель дроби имеет смысл и не равен нулю.

Приводим подбор соответствующих уравнений.

Решение.

Эти корни удовлетворяют уравнению, так как знаменатель не обращается в нуль ни при каких значениях аргумента.

Решение.

Уравнение не имеет корней.

Решение.

sin x = sin π/3 k обращается в нуль при k, кратном трем. Эти значения k надо исключить.

Ответ:

Решение.

Но эти корни обращают знаменатель в нуль, поэтому они уравнению не удовлетворяют.

Уравнение не имеет корней.

Примечание. Следует предостеречь учащихся, что преобразование левой части уравнения в sin X cos X посредством сокращения на sin x является незаконным и приводит к уравнению, неравносильному данному.

Решение.

cos π/6 (2k+ 1) ≠ 0, если множитель (2k + 1) есть нечетное число, не кратное трем, т. е. если этот множитель имеет вид (6m ± 1). Следовательно, уравнению удовлетворяют корни

(задачник Рыбкина, § 14, № 64).

Решение.

Уравнению удовлетворяет только серия корней x = π/4 + πk, ибо вторая серия обращает знаменатель в нуль.

Ответ:

Примечание. В ответе задачника (старое издание 1934 г.) указана еще одна серия корней:

X = 90°+ 180°⋅k.

Определение таких корней связано с понятием о пределе функции; как было указано выше, мы такие корни не рассматриваем.

(задачник Рыбкина, § 14, № 65).

Решение.

Проверим, не обращают ли эти корни знаменателя в нуль:

Ответ:

Решение.

Уравнение корней не имеет, ибо

не имеет смысла.

Решение. Переносим все члены уравнения в левую часть и приводим к общему знаменателю:

Эти корни удовлетворяют уравнению.

2) 1+cos x = 0.

Корни этого уравнения не удовлетворяют данному уравнению, так как обращают знаменатель в нуль.

V. Большую роль в выборе наиболее рациональных приемов решения тригонометрических уравнений играют условия равенства одноименных тригонометрических функций. Пользование условиями равенства одноименных тригонометрических функций является одним из основных приемов решения тригонометрических уравнений, ибо он связан с формулами общего вида углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции. Знакомство с этим приемом целесообразно провести сразу после того, как учащиеся усвоили решение основных тригонометрических уравнений и уравнений, приводящихся к основным.

Изучение условий равенства одноименных

тригонометрических функций мы основываем на расширенном толковании формул общего вида углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции.

1. Составляя формулу х = ± arccosa+2πk, мы исходили из наименьшего положительного угла, косинус которого равен а (т. е. arccosa) и пользовались периодичностью и четностью косинуса. Но можно рассуждать и иначе. Пусть один из углов (все равно какой), косинус которого равен а, будет x0. Вследствие четности косинуса такой же косинус будет иметь и угол — x0; а вследствие периодичности косинуса такой же косинус будут иметь и любые углы, получающиеся из формул:

x = x0 + 2πk и X = — x0 + 2πk.

Эти формулы содержат все углы, косинус которых равен а, в том числе и наименьший положительный.

Пример: Пусть

Возьмем какой-нибудь угол, косинус которого равен √3/2 , например, 11π/6 , Тогда формула общего вида углов, косинус которых равен будет:

Положив во второй формуле k = 1, получим:

т. е. наименьший положительный угол, косинус которого равен √3/2 . Такое расширенное толкование формулы общего вида углов, соответствующих данному значению косинуса, позволяет высказать следующее положение.

Косинусы двух углов равны в том и только в том случае, если эти два угла связаны одной из зависимостей:

Переписав эти формулы так:

получаем необходимое и достаточное условие равенства косинусов двух углов.

Для того чтобы косинусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий:

1) сумма этих углов равна π, умноженному на четное число;

2) разность этих углов равна π, умноженному на четное число.

Примечание. Безразлично, какой из этих углов считать уменьшаемым, какой вычитаемым, так как k — любое целое число произвольного знака.

Примеры:

так как не выполнено ни одно из условий равенства косинусов:

2. Точно так же, как для косинуса, можно при составлении формул общего вида углов, соответствующих данному значению синуса, исходить не из наименьшего по абсолютной величине угла, а из любого угла, синус которого равен а. Пусть этот угол будет x0. Тогда, вследствие зависимости sin (—α + π) = sin α, такой же синус будет иметь и угол — x0 + π; а вследствие периодичности синуса такой же синус будут иметь и любые углы, получаемые из формул:

Эти формулы содержат все углы, синус которых равен а, в том числе и наименьший по абсолютной величине. Теперь можно высказать следующее положение: синусы двух углов равны в том и только в том случае, если эти два угла связаны одной из зависимостей:

Переписав эти формулы так:

получаем необходимое и достаточное условие равенства синусов двух углов.

Для того чтобы синусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий:

1. Сумма этих углов равна π, умноженному на нечетное число.

2. Разность этих углов равна π, умноженному на четное число.

Примеры:

так как не выполнено ни одно из условий равенства синусов.

3. Рассуждая аналогично, мы получим формулу общего вида углов, соответствующих данному значению тангенса, равному а:

где x0 — один из углов, тангенс которого равен а. Отсюда вытекает, что тангенсы двух углов, если они (тангенсы) существуют, равны в том и только в том случае, если эти два угла связаны зависимостью:

Следовательно, для того чтобы тангенсы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнение двух следующих условий:

1) тангенс каждого из этих углов существует;

2) разность этих углов равна π, умноженному на целое число.

Примеры:

4) Нельзя утверждать, что

так как тангенс каждого из этих углов не имеет смысла.

Условия равенства одноименных тригонометрических функций дают возможность свести решение тригонометрических уравнений в очень многих случаях к решению алгебраического уравнения.

Ввиду того, что в учебной литературе этому приему либо совсем не уделяется внимания (учебник А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника), либо уделяется мало внимания, приводим примеры применения этого приема, начиная от простейших.

1. cos 5х = cos 4х.

Решение. На основании условий равенства косинусов двух углов имеем:

Решение уравнения охватывается одной формулой:

так как корни x = 2πk получаются из этой формулы при k, кратном девяти.

Решение. На основании условий равенства синусов двух углов имеем:

Первое условие приводит к противоречивому равенству.

Из второго условия получаем:

3. sin 5х = — sin x.

Решение.

4. cos x = — cos 3x.

Решение.

Множитель (2k — 1) заменяется обычно множителем (2k+1), так как и тот и другой изображают множество всех нечетных чисел:

5. cos x = sin 9x.

Решение.

6. cos 5πx = cos 7πx. Найти все положительные острые углы, удовлетворяющие этому уравнению.

Решение.

2) 7πх — 5πx = 2πk; х = k; х = 1 (входит в состав корней, удовлетворяющих первому уравнению).

7. cos 3x = cos x/3. Найти все решения в интервале 5 <х<10.

Решение.

8. tg(x — α) + tg(2x — ß) = 0.

Решение.

9. tg3x.tg7x = 1.

Решение. Делим обе части уравнения на tg3x (преобразование законное, так как в наших условиях tg3x не может равняться нулю):

Так как

имеют смысл, то найденные корни уравнению удовлетворяют.

10. tg3x = tgx.

Решение.

Надо исключить из рассмотрения те значения Х, при которых части уравнения теряют смысл, т. е. k не должно быть нечетным числом.

Ответ: х = πm.

Решение. Умножим обе части уравнения на tg x.

При k нечетном числитель и знаменатель дроби теряют смысл, при k четном знаменатель этой дроби обращается в нуль. Уравнение не имеет решений.

Решение. Умножаем обе части уравнения на tgx:

Из этой серии корней надо исключить те значения неизвестного, которые получаются при кратном трем, ибо такие корни обращают знаменатель дроби — в нуль.

Ответ:

13. tg x = tg 7x.

Решение.

Из этой формулы надо исключить те значения аргумента, которые получаются при k нечетном и кратном трем, т. е. k не должно быть числом вида (6m±3). Уравнению удовлетворяют корни, получающиеся при k четном и при k нечетном и не кратном трем. Одна группа четных k будет кратна трем, т. е. это будут числа вида 6m. Общий вид таких корней: X = πm.

Другая группа четных k не будет кратна трем. Это числа вида 2(3m±1). Общий вид этих корней:

Если k — нечетное число, не кратное трем, то оно имеет вид:

Общий вид таких корней:

Итак, из формулы х = πk/6 надо выделить три серии корней, удовлетворяющих уравнению:

14.

Решение.

(1)

(2)

(3) (4)

Формулы (1), (3) и (4) объединяются в одну:

Действительно, формула (3) переписывается x=π/4«2k и объединяется с формулой (1) в формулу:

где b обозначает произвольное целое число. Формула (4) получается из этой формулы при k, кратном четырем.

Общее решение может быть задано двумя формулами:

15. cos x2 = cos x.

Решение.

Так как х — действительное число, то k⩾0.

Решение.

Так как √х > 0, то пригоден только корень

Итак:

Корни действительны при k⩽0. Так как √x⩾0, то корень 1 — √1 — 4πk пригоден только для значения k = 0.

VI. В дальнейшем решение тригонометрических уравнений связывается с тригонометрическими преобразованиями, которые имеют целью привести тригонометрическое уравнение либо к основным, либо к уравнениям, представляющим собой равенство одноименных тригонометрических функций. Естественно поэтому, что тригонометрические уравнения уже утрачивают самостоятельное значение и являются одним из видов упражнений для лучшего усвоения того или иного раздела тригонометрии. Решение тригонометрического уравнения как такового уже затруднений не представляет, так как все основное содержание этого вопроса проработано предварительно.

Руководствуясь накапливающимся запасом различных тригонометрических преобразований, мы приучаем учащихся применять к каждому тригонометрическому уравнению всевозможные способы решения и выбирать из них наиболее рациональные. Наша учебно-методическая литература всегда отводила центральное место роли тригонометрических преобразований при решении тригонометрических уравнений. Однако вопрос о рациональном выборе тригонометрического преобразования разрешается до сих пор еще неудовлетворительно. Так, например, в сборнике задач К. С. Барыбина и А. К. Исакова к решению уравнения

авторы считают нужным сделать указание: обе части уравнения умножаются на sin х+ cos х ≠ 0 (в тексте небрежное выражение: «умножить уравнение>). Если пользоваться указанием авторов, то получается такое решение:

Если представить произведение 4 sin х cos2 х в виде суммы, то не потребуется искусственных преобразований (умножение на функцию) и решение выйдет значительно короче:

В практике преподавания вообще не учитываются в достаточной мере выгоды, которые представляет собой преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. Это преобразование не изучается как самостоятельное (исключение представляет собой учебник А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника).

Между тем преобразование произведения тригонометрических функций в сумму является не только рациональным приемом решения многих тригонометрических уравнений, но имеет и самостоятельное значение как в школьном курсе для облегчения вычислений с натуральными таблицами тригонометрических функций, так и в курсе высшей математики при интегрировании тригонометрических выражений. Недостаточное внимание к этим преобразованиям в средней школе едва ли может быть оправдано.

VII. В связи с вопросом о выборе рациональных приемов решения тригонометрических уравнений мы считаем необходимым обратить особое внимание на решение уравнения

В учебной и методической литературе приводятся следующие три способа решения уравнения этого вида.

1-й способ. Применяем формулу

и решаем иррациональное уравнение относительно sinx.

2-й способ. Заменяя sin х через

и cosx через

приходим к уравнению, квадратному относительно

С нашей точки зрения указанные способы решения уравнения

нецелесообразны, так как они приводят к приобретению или к потере корней.

Причина приобретения корней при решении уравнения первым способом кроется в возведении в квадрат обеих частей уравнения.

Причина потери корней при решении вторым способом состоит в том, что соотношения

являются тождествами лишь при

Правильное решение уравнения

этим способом приведено, например, в статье И. И. Смирнова. Автор указывает, что при b = — с уравнение a sin х + b cos х = — b следует решать иначе, а именно:

и далее пользоваться уже разложением на множители. Следовательно, 2-й способ решения уравнения

не является универсальным.

Наиболее целесообразным и универсальным является 3-й способ, так называемый способ «введения вспомогательного угла», который, нам кажется, почему-то находится «в загоне».

Вот как мы применяем этот способ в практике преподавания.

Пусть требуется решить уравнение

где а и b одновременно не равны нулю (при а = b = 0 данное уравнение противоречиво или обращается в тождество, если с = 0).

Вынесем за скобки в левой части уравнения положительный множитель √а2+b2.

При любых заданных значениях а и b можно положить:

так как

Этот факт полезно иллюстрировать геометрически: всегда можно построить вектор R, проекции которого на оси координат соответственно равны а и b (черт. 1).

Черт. 1

Тогда длина вектора равна

Данное уравнение приводится к виду

Вспомогательный угол можно всегда выбрать в интервале

и данное уравнение приобретает в зависимости от знаков а и b один из видов:

Угол φi0 можно определить и равенством

Еще легче положить a>0. Этим мы не нарушаем общности решения, ибо при а < 0 можно обе части уравнения умножить на —1. Тогда уравнение может быть представлено в виде:

Это уравнение имеет решения при условии

Приведем некоторые примеры решения указанным способом тригонометрических уравнений.

Решение.

Решение. Делим обе части уравнения на √2:

Если |а|>√2, то данное уравнение корней не имеет.

Решение. Преобразовав левую часть уравнения по теореме сложения, получим:

Метод вспомогательного угла имеет большое значение не только для решения тригонометрических уравнений; он позволяет легко и просто решить ряд интересных задач на исследование тригонометрических функций. Приводим примеры таких задач и их решение.

1. При каких значениях аргумента функция у = 3 sin X — 2 cos X принимает наибольшее значение?

Решение.

2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

Решение.

Так как

3. Определить наибольшее и наименьшее значение функции

Решение.

4. Доказать, что при любом значении аргумента x

Решение.

Таким образом, метод введения вспомогательного угла имеет неоспоримые преимущества:

1) он наиболее быстро приводит к цели

(подстановка tg x/2 связана часто с громоздкими преобразованиями);

2) исключает возможность приобретения или потери корней;

3) имеет большое познавательное значение, являясь одним из основных приемов в приложениях тригонометрии при изучении различных отделов математики и физики;

4) дает простые и изящные приемы решения задач на исследование функций.

В настоящее время, когда методика по инициативе С. И. Новоселова настойчиво рекомендует знакомить учащихся с исследованием функций элементарными приемами, приходится только удивляться, что метод вспомогательного угла не нашел себе места в программе.

В статье И. И. Смирнова методу введения вспомогательного угла не уделено никакого

внимания. Мало того, анализ И. И. Смирновым решения уравнения

из задачника Р. И. Позойского (гл. VII, № 273) может создать впечатление о неполноценности этого метода и о преимуществе подстановки tg x/2, приводящей к верному ответу.

Ошибка в ответе задачника Р. И. Позойского прежде всего заключается в том, что группа корней

удовлетворяет уравнению и при b ≠ 0. На эту ошибку И. И. Смирнов не указал.

Во-вторых, Р. И. Позойский, приведя уравнение к виду

и решая его введением вспомогательного угла, не учел вопроса о знаках параметров а и b. Случай отрицательных а и b дает такое же решение, как и случай положительных, ибо обе части уравнения можно умножить на —1, и поэтому должен быть из рассмотрения исключен. Автор задачника должен был дать два ответа:

1) для случая положительных а и b:

И. И. Смирнов не вскрыл ошибки Р. И. Позойского и привел решение того же уравнения с помощью тангенса половинного угла, как решение, исключающее ошибки, допущенные Р. И. Позойским.

А вообще говоря, уравнение

может быть решено гораздо проще разложением на множители:

Этот факт, когда два автора: и Р. И. Позойский и И. И. Смирнов — считают нужным привести уравнение к определенному «типу» и решают его методами, применяющимися для решения уравнений этого типа, еще раз свидетельствует, как вредна всякая «классификация» тригонометрических уравнений и как важно постоянно развивать у учащихся свободную инициативу при выборе приемов их решения.

В заключение надо сказать, что наша система изучения тригонометрических уравнений значительно облегчает учащимся их усвоение, так как учащиеся знакомятся с этой темой в связи с вопросами, идейно ей близкими. Ни о какой перегрузке в часах нет и речи. Требуется только перераспределение программного материала. Предложение И. И. Смирнова перенести в IX класс основные тригонометрические уравнения перегружает программу IX класса, на который и так ложится большая и самая значительная часть школьного курса тригонометрии. Мы идем дальше И. И. Смирнова и предлагаем перенести в IX класс всю основную часть темы «Тригонометрические уравнения». Это, конечно, должно повлечь за собой перераспределение всего программного материала. Мы полагаем, что темы «Тригонометрические уравнения» и «Обратные тригонометрические функции» в основном должны быть изложены в IX классе, а теоремы сложения и их следствия должны быть перенесены в X класс. Это сообщит школьному курсу тригонометрии ту идейную направленность, которой он в настоящее время лишен.

О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ, РЕШАЕМЫХ ВСЛЕД ЗА ПРОСТЕЙШИМИ

А. И. ВОЛХОНСКИЙ (Можайск)

Какие тригонометрические уравнения следует рассматривать вслед за простейшими? Разумеется, совершенно естественно, ознакомив учащихся с простейшими уравнениями, показать далее, как формулы и метод решения простейших уравнений прилагаются к решению других тригонометрических уравнений. Однако, судя по очень интересной и содержательной статье И. И. Смирнова («Математика в школе», № 3 за 1953 год) эти приложения далеко не всегда попадают в поле зрения учащихся. Поэтому мы считаем нужным рассказать о двух таких приложениях, что и составляет содержание нашей статьи.

I

Уравнения, выражающие равенство одноименных тригонометрических функций, т. е. уравнения вида:

(1)

которые, ради краткости*, записывают часто еще и так:

(1)

где u = f (x), v = φ (х), естественно рассматривать как обобщение простейших тригонометрических уравнений

(2) и т. д.

(здесь m — данное действительное число). В самом деле, уравнения (2) суть те уравнения (1), у которых

Легко заметить, что формулы, выражающие необходимые и достаточные условия равенства одноименных тригонометрических функций

(3)

очень сходны с формулами, выражающими решения уравнений (2):

(4)

Однако это сходство никак не отражается методикой, изложенной в статье И. И. Смирнова. Теоремы, выражающие соотношения (3), излагаются вне всякой связи с решением уравнений (2), ученик рассматривает свойства сумм и разностей дуг, удовлетворяющих уравнениям (1), как совершенно новые факты, не имеющие ничего общего с формулами (4). В этом отношении вывод формул (3) в хорошо известной советскому учителю книге С. И. Новоселова «Обратные тригонометрические функции» обладает явным преимуществом: этот вывод показывает, что формулы (3) являются следствием формул (4).

Желая сделать еще более очевидной эту связь формул (3) и (4), мы несколько изменим метод доказательства*, изложенный С. И. Новоселовым, что в свою очередь открывает возможность иного подхода к решению уравнений (1).

Предварительно заметим, что величина x1 в формулах (4) не обязательно является дугой полусегмента [0, 2π) или дугой arcsin m, arccos m и т. д.; это, вообще говоря, любая из дуг, удовлетворяющих заданному уравнению (1), одно из его решений.

Теперь перейдем к доказательству соотношений (3). Докажем, например, что из равенства

(5)

следует равенство

(6)

Пусть u1 и v1 — любая пара дуг, удовлетворяющих уравнению (5), т. е. такая, что

(7)

Рассмотрим уравнение:

(8)

* Кажется, поводом к этому служит еще страх перед новыми символами. Лично мы считаем употребление этих символов не только вполне доступным, но и весьма целесообразным, по крайней мере в десятом классе. Они значительно облегчают понимание доказательств теорем о равносильности неравенств, теоремы Безу и т. п. Мы никогда не наблюдали, чтобы они затрудняли учащихся больше, чем любой из прочих математических символов (lgx, sin x и т. п.). Поэтому вторая форма уравнений (1) введена нами лишь как уступка школьной традиции.

* Точнее, мы говорим о доказательстве необходимости выполнения условий (3) для выполнения равенств (1).

Это уравнение относительно аргумента и является уравнением вида

(где m — действительное число: m = sin v1), т. е. простейшим уравнением, значит, решается по первой формуле (4). Одним из его решений является дуга v1 (это очевидно: при u = v1 уравнение (8) обращается в тождество:

Поэтому все дуги, удовлетворяющие уравнению (8) выразятся формулой:

(9)

Так как, согласно равенству (7), дуга u1 удовлетворяет уравнению (8), то она содержится среди множества дуг, выражаемых формулой (9), т. е. получается из этой формулы при некотором частном значении n, которое обозначим n1. Значит,

(10)

Итак, дуги u1 и v1 связаны соотношением (10). Но u1 и v1 — любая пара дуг, удовлетворяющая уравнению (5). Следовательно, какова бы ни была пара дуг и и v, удовлетворяющая уравнению (5), всегда для дуг этой пары найдется такое целое число n, что

Это и требовалось доказать.

Как видно из доказательства, соотношения (3), являясь соотношениями вида (10), получаются из уравнений (1) по формулам (4). Значит, можно, не воспроизводя каждый раз подробно всех рассуждений, приведенных в доказательстве, решать уравнения (1) формальным применением соотношений (4), т. е. формул решений простейших уравнений.

Отпадает необходимость в заучивании соотношений (3). Так, например, чтобы ответить на вопрос, какое соотношение между аргументами следует из равенства sin u = sin v, достаточно, рассматривая его как уравнение sin u=m*, написать формулу его корней (u = ( — 1)пи1 + πn), принимая в ней за известное решение u1 = v.

Поэтому мы считаем целесообразным уравнения (1) рассматривать непосредственно за простейшими как уравнения, формально решаемые применением формул решения простейших уравнений. Это заметно экономит время, затрачиваемое на обучение решению тригонометрических уравнений, и совершенно устраняет ошибки, связанные с заучиванием соотношений (3).

Для более отчетливого понимания приведенного доказательства (а значит, и обоснования приема решений уравнений (1)) полезно предложить учащимся следующие упражнения:

а) Провести доказательство для одного из уравнений

b) Повторить эти же рассуждения для какого-нибудь частного случая, например

с конкретным указанием дуг, о которых идет речь.

с) Можно ли без всяких оговорок утверждать, что если

d) Указать ошибку в таком «доказательстве». В уравнении

обозначим sin v через m. Тогда получим уравнение sin u = m, одним из решений которого является дуга u1 = v (проверьте), а поэтому, согласно первой из формул (4),

ч. т. д.*

II

Идея метода решения простейших тригонометрических уравнений четко сформулирована в книге С. И. Новоселова «Обратные тригонометрические функции»: «Для нахождения общего вида дуг по известному численному значению тригонометрической функции достаточно (в силу периодичности тригонометрических функций) найти все дуги, лежащие в пределах одного периода (т. е. на любом полусегменте**, величина которого равна периоду) и имеющие данное значение тригонометрической функции. Прибавляя к каждой из найденных дуг любое целое число периодов, мы и получим искомое общее решение данного простейшего уравнения». Но ведь эта идея применима не только к простейшим уравнениям: чтобы решить любое уравнение, достаточно (речь идет об уравнениях, для которых левая и правая части имеют общий период, который для определенности считаем равным 2π) указать все решения одного

* Хотя оно на самом деле, разумеется, вовсе не является простейшим.

* Ошибка состоит в том, что первую из формул (4), полученную для уравнений, правая часть которой постоянна, применяем здесь к уравнению, правая часть которого (sinv) не постоянна.

** В тексте стоит «сегменте», но мы полагаем, что период лучше считать полусегментом, например [0,2π); — видимо, это опечатка.

периода, а затем к каждому из них прибавить любое целое число периодов (2πn). Значит, метод решения простейших уравнений практически применим ко всякому уравнению, для которого мы можем указать все решения, принадлежащие полусегменту [0, 2π). (Следуя И. И. Смирнову, будем называть эти решения элементарными.)

Правда, чаще всего, трудно указать все дуги периода [0, 2π), являющиеся решениями данного уравнения. Именно поэтому уравнения подвергают преобразованиям, сводящим данное уравнение к ряду простейших уравнений. Однако существует немало уравнений, для которых все решения периода [0, 2π) легко отыскиваются непосредственно, без сведения к простейшим уравнениям. Более того, среди этих уравнений много таких, для которых преобразования к простейшим выполняются труднее, чем непосредственное указание корней. Так как сведение уравнений к простейшим не является самоцелью, то и решение таких уравнений сведением к простейшим приходится расценивать как проявление школьного формализма. Для иллюстрации этого приведем два примера.

1. Решить уравнение:

cos10x — sin10x = 1* (1)

Решение. Если |cosx|<1, то cos10x<1, тем более cos10x — sin10x < 1, и такая дуга х не может быть решением уравнения (1). Поэтому из дуг периода [0, 2π) уравнению (1) могут удовлетворять только такие дуги, для которых | cos x |=1, т. е. дуги 0 и π. Непосредственной проверкой устанавливаем, что обе они являются решениями. Итак, на периоде [0, 2π) две и только две дуги, 0 и π, удовлетворяют уравнению (1). Значит, общее решение уравнения (1) может быть задано двумя формулами:

объединив которые в одну, получим х = πk.

2. Решить уравнение (из отдела задач журнала «Математика в школе», № 1 за 1951 г.):

(2)

Решение. Рассматриваем дуги периода [0, 2π). Те дуги х, для которых sin х = 0 или cos x = 0 (границы четвертей), не могут удовлетворять уравнению (2): для них равенство (2) не имеет смысла. Для прочих дуг х:

что очевидно, ибо

и поэтому знак левой части равенства (2) совпадает со знаком 1/cosx, знак правой — со знаком 1/sinx; знак левой части определяется знаком косинуса, знак правой — знаком синуса. Так как синус и косинус имеют одинаковые знаки лишь в первой и третьей четвертях, то только в этих четвертях и следует искать решения уравнения (2). Но в I и III четвертях при

имеем:

и так как слагаемые имеют одинаковые знаки, то

т. е. левая часть равенства (2) меньше правой; так же можно убедиться, что при

левая часть равенства (2) больше правой. Поэтому, если существуют такие дуги, для которых выполняется равенство (2), то это только те дуги первой и третьей четвертей, для которых sin x = cos x, т. е. дуги π/4 и 5π/4. Проверкой убеждаемся, что обе они являются решениями. Все элементарные решения уравнения (2) найдены.

Добавим, что есть очень простые уравнения, для решения которых, именно в силу их простоты, бессмысленно применять какие-либо преобразования, зато надо ясно понимать, как по частным решениям периода [0,2π) следует находить общее решение. Примером может служить уравнение*

на периоде [0,2π) решениями являются те и только те дуги, которые удовлетворяют соотношению 0⩽x⩽π; для получения общего решения к каждому из этих решений следует

* Можно даже взять уравнение cos2mx — sin2mx= 1, где m — любое целое число.

* П. С. Моденов, Сборник задач, 1952, № 861.

прибавить 2πn, значит, все решения задаются соотношением 2πn ⩽ х ⩽ π + 2πn.

Таким образом, знания учащихся в области решения тригонометрических уравнений будут весьма неполны, если не показать, что метод прямого отыскания всех решений одного периода применим не только к простейшим уравнениям.

В рассмотренных выше примерах мы находили элементарные решения простым сравнением величины членов уравнения. Есть и другие способы находить эти решения. Иногда удобно использовать геометрические соображения, связанные с определением тригонометрических функций. Поясним это примерами.

3. Решить уравнение (из статьи И. И. Смирнова)

sin x = tg x. (3)

Решение. Рассматриваем дуги периода [0, 2π).

Если дуга x не является границей какой-нибудь четверти

то она имеет линию синусов и линию тангенсов, и последняя по абсолютной величине всегда больше (черт. 1) ее линии синусов (следует из подобия двух неравных треугольников AOD и ВОС; неравных, так как катет АО одного равен гипотенузе ВО другого), а поэтому равенство (3) невозможно. Значит решения следует искать только среди дуг, являющихся границами четвертей. Среди чисел 0, π/2, π, 3π/2, проверкой находим два решения: 0 и π. Итак, уравнение (6) имеет два элементарные решения: 0 и π.

Черт. 1

4. Решить уравнение (из статьи И. И. Смирнова)

sin x + cos x = 1. (4)

Решение. Ни одна из дуг, лежащих внутри заштрихованного на чертеже 2 интервала (π/2, 2π), не может быть решением уравнения (4), так как для таких дуг, по крайней мере, одно из слагаемых левой части отрицательно, а другое не больше единицы. Ни одна из дуг, которая лежит внутри первой четверти (например, w AB = x) тоже не может быть решением, так как у нее подвижный радиус (OB=1), линия синусов (ВС = sinx) и линия косинусов (ОС = cos x) образуют треугольник, в котором, как и во всяком треугольнике, сумма двух сторон больше третьей и, значит, для нее

Черт. 2

Таким образом, решениями уравнения (4) на периоде [0, 2π) могут быть только дуги 0 и

Проверка показывает, что эти дуги действительно являются решениями. Все элементарные решения уравнения (2) найдены.

5. Решить уравнение (из статьи И. И. Смирнова)

(5)

Решение. Опять ограничиваемся теми значениями X, которые принадлежат периоду [0,2π). Равенство (5), очевидно, выполняется для тех и только тех дуг х, для которых

т. е. для тех и только тех дуг х, у которых линия синуса и линия косинуса вместе с подвижным радиусом образуют равнобедренный прямоугольный треугольник, т. е. треугольник с острым углом π/4. Таких дуг, очевидно, четыре (черт. 3): π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4. Это и суть все элементарные решения уравнения (5)*.

* На наш взгляд, уравнения 3, 4, 5 должны решаться учащимися устно на основании геометрических соображений. Применение аналитических приемов имеет смысл лишь в достаточно сложных случаях.

Возможности применения рассматриваемого метода значительно расширяются, если при поисках элементарных корней пользоваться тригонометрическими неравенствами. Вот соответствующий пример.

6. Решить уравнение (П. С. Моденов, Сборник задач, 1952, № 759)

(6)

Черт. 3

Решение. Так как каждое слагаемое левой части уравнения (6) не превышает единицы, то их сумма окажется меньше единицы, если хотя бы одно слагаемое отрицательно, что на периоде [0, 2π) будет иметь место для любой дуги x, лежащей вне сегмента [0, π/2] (вне первой четверти или sînx<0, или cosx<0). Значит, из дуг периода [0, 2π) уравнению (6) не могут удовлетворять те, которые лежат вне сегмента [о, π/2]. Далее, оказывается, что ни одна из дуг, лежащих внутри этого сегмента, тоже не может быть решением. В самом деле, при

значит,

откуда следует:

и равенство (6) не выполняется. Остается рассмотреть, не могут ли удовлетворить уравнению (6) концы сегмента [o, π/2]. Проверка дает утвердительный ответ. Значит, из дуг периода [0, 2π) две и только две дуги являются решениями уравнения (6): 0 и π/2*.

Нельзя, наконец, не упомянуть о графиках тригонометрических функций, которые иногда тоже могут весьма отчетливо указать элементарные решения данного уравнения. Например, чтобы решить уравнение

можно поступить так. Построим графики (черт. 4). Два элементарные решения очевидны;

Черт. 4

Из чертежа видим, что третья общая точка этих графиков симметрична со второй относительно прямой X = π/2, значит, третье решение x3 связано со вторым соотношением

откуда

четвертая общая точка этих графиков симметрична с первой относительно прямой х = π/2, значит, четвертое решение x4 связано с первым соотношением

* В журнале «Математика в школе», № 3 за 1950 г., есть очень интересная статья Ф. М. Больсена, убедительно показывающая, что тригонометрическими неравенствами следует заниматься на протяжении всего курса вплоть до решения косоугольных треугольников. Забывать о неравенствах при решении уравнений, как видим, тоже не следует.

откуда

пятая общая точка симметрична с четвертой относительно точки (π,0) и т. д. Так находим все восемь элементарных решений.

Черт. 5 Черт. 6

Несмотря на разнообразие способов, которыми можно отыскивать элементарные решения, и на обилие уравнений, к которым эти способы применимы, не следует переоценивать практические возможности описываемого приема решений. Уже в последнем из приведенных выше примеров его преимущества, в сравнении с обычным аналитическим приемом, довольно сомнительны, а непосредственные поиски элементарных решений у уравнений более сложных могут быть и вовсе безнадежными. Однако не сказать ничего об этом общем приеме тоже нельзя. Поэтому на решение уравнений непосредственным нахождением корней одного периода не следует тратить более одного часа учебного времени, зато при обсуждении наиболее рациональных способов решений домашних задач или контрольных работ надо вновь и вновь возвращаться к этому приему, сравнивая его с другими приемами*, добиваясь разнообразия средств, которыми пользуется ученик при решении уравнений, и разумного выбора этих средств, вырабатывая у учащихся привычку придерживаться правила: прежде чем приступить к преобразованию уравнения, посмотри, есть ли в этом необходимость.

В заключение приведем несколько уравнений**, которые могут быть использованы в качестве упражнений на применение описанного выше приема решений (без каких бы то ни было предварительных преобразований). Ниже даем указания к решению этих уравнений; при этом считаем х дугой промежутка [0,2π).

Указания. 1) Рассмотреть случаи cos x < sin x, cos x > sin x. 2) Необходимо, чтобы cos x = 0. 3) Для х ≠ 0, π/2, π, 3π/2 правая часть отрицательна. 4) При x ≠ 0, π/2, π, 3π/2 левая часть больше двух. 5) Левая часть меньше двух. 6) Разность между аргументами сомножителей 90°. Поэтому, если сомножители существуют, они разных знаков и произведение отрицательно. 7) Равенство невозможно, если cosх ≠ 1 или sinx ≠ 0. 8) Решается как пример 3, разобранный в тексте. 9) и 10) Решается как пример 5, разобранный в тексте. 11) Использовать теорему о разности сторон треугольника. 12) Решается аналогично примеру 4, рассмотренному в тексте. 13) Решений нет, так как площадь прямоугольника ACOD (черт. 5) со сторонами sin x и cos x меньше площади квадрата MBON со стороной R=1. 14) В I четверти рассмотреть треугольник с катетами

tg x — sin x и 1 — cos x

(черт. 6, △ AMN), такой же треугольник в III четверти. Во II и IV четвертях

tg x — sin x < 0, 1 — cos x > 0.

15) Принять во внимание, что: при а ≠ 1, а ≠ 0, a + 1/a ≠ 2. 16) Одно решение очевидно: x = π/4. Остальные легко найти с помощью графика.

* Иногда это сравнение можно будет использовать для подчеркивания преимущества аналитических приемов решений.

** Уравнения взяты из сборников П. С. Моденова, Р. И. Позойского, Н. Рыбкина, К. У. Шахно и др.

ПО ПОВОДУ СТАТЬИ И. И. СМИРНОВА «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ»*

И. А. ГИБШ (Москва)

В этой статье И. И. Смирнов подробно рассматривает вопрос о методике преподавания темы «Тригонометрические уравнения» и, подвергая критике относящуюся к этой теме методику, выдвигает в качестве «более совершенных» употребляемые им приемы изложения отдельных частей темы «Тригонометрические уравнения».

Однако в ряде случаев высказывания и предложения автора вызывают серьезные возражения. Мы считаем необходимым обратить на них внимание учителя, который может пожелать руководствоваться в своей работе статьей И. И. Смирнова, и предложить соответствующие коррективы.

1. В первую очередь рассмотрим предлагаемый автором «метод разложения формул корней на элементарные». Автор говорит (стр. 45): «Ограничимся рассмотрением случая, когда обе части тригонометрического уравнения имеют общий период. Для простоты (?) будем считать этот период равным 2π (этот случай наиболее часто встречается в школьной практике»). По поводу этого предложения сразу же возникают вопросы: 1) что называется периодом «части уравнения»; 2) какой период имеет та часть уравнения, которая не содержит функций неизвестной; 3) почему обе части должны иметь «общий период»; 4) как быть в тех случаях, когда обе части уравнения имеют не один и тот же период или когда общий период отличен от 2π.

Эти вопросы не возникнут, если: 1) ввести понятие о «периоде уравнения»**, т. е. о периоде функции f(х), составляющей левую часть уравнения f(x) = 0, полученного из данного уравнения путем перенесения всех его членов в левую часть; 2) назвать элементарной формулой корней уравнения f(x) = 0 формулу

где n — есть целое число, h — период функции f(x), а а удовлетворяет соотношению

Очевидно, что в качестве h удобнее всего брать всюду, где это возможно, наименьший период.

Поясним сказанное примерами.

Пример 1. Уравнение sin x = 0 удовлетворяется всеми теми и только теми числами, которые содержатся в формуле

x = nπ. (1)

Так как период функции sinx есть 2π, то формула (1) разлагается на следующие элементарные:

График функции у = sin х на полусегменте [0,2π), длина которого равна периоду 2π, пересекает ось абсцисс в точках 0 и π.

Пример 2. Уравнение

sin 2х = 0

имеет формулу корней

(2)

Так как период функции sin 2x есть π, то формула (2) разлагается на следующие элементарные:

График функции у = sin2х на полусегменте [0, π) пересекает ось абсцисс в точках 0 и π/2.

Пример 3. Уравнение

имеет формулу корней

(3)

Так как период функции sin x/2 есть 4π, то формула (3) разлагается на следующие элементарные:

График функции у = sin x/2 на полусегменте [0, 4π) пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2π.

Так можно обосновать предлагаемый автором «метод разложения формул на элеменарные».

2. Указанные исправления заставляют внести существенный корректив и в применение предлагаемого автором приема проверки корней

* «Математика в школе», 1953, № 3.

** Так решает этот вопрос М. Цыпкин (Казань).

тригонометрического уравнения. Так, в примере 2 проверке подлежат лишь корни 0и π/2, так как наименьший период уравнения есть π, а в примере 3 — не только корень 0, но и корень 2π, так как наименьший период уравнения есть 4π.

Пример 4. Уравнение

рассматриваемое на странице 46, имеет наименьший период π, а не 2π; поэтому формула его корней

разлагается на следующие элементарные:

так что проверке подлежат лишь корни π/3 и 2π/3; корни же 4π/3 и 5π3, выделенные автором из формулы корней, не подлежат проверке, так как, а π есть период уравнения.

Пример 5. Уравнение

рассмотренное на странице 57, имеет наименьший период 2π/3; поэтому формула его корней должна быть представлена в виде

и проверке подлежат лишь корни 0, π/3, принадлежащие полусегменту [0, 2π/3), а указанные автором в скобках корни 2π/3, π, 4π/3 и 5π/3 проверке не подлежат.

Пример 6. Уравнение

имеет период 6π; поэтому все его корни должны быть представлены формулами:

проверке подлежат все корни, заключенные в скобки.

Из приведенных рассуждений следует, что введенное автором понятие об элементарной формуле корней существенным образом связано с понятием о периоде уравнения и вне этой связи теряет свое значение при установлении системы корней, к проверке которых сводится проверка всех корней уравнения.

3. Для того, чтобы в школьных условиях установить период функции f(x), составляющей левую часть уравнения f(x) = 0, достаточно знать, что

1) период функций sin ах и cos аx, где а ≠ 0, есть 2π/a;

2) период функции tg ах, где а ≠ 0, есть π/a;

3) функции sin2x и cos2x, соответственно тождественно равные функциям:

имеют, в силу пункта 1, период 2π/2, т. е. π;

4) функция ig2 X, тождественно равная функции

имеет, в силу пункта 1, период

Свойство 1 следует из того, что тождество

имеет место при условии

т. е. при условии

так что наименьшее значение приращения h, т. е. наименьший период функции sin ах, есть 2π/a.

Свойства 2 и 3 устанавливаются вполне аналогично.

Пример. Сумма

имеет период 4π, который является общим для периодов:

4. Теперь сделаем еще одно важное замечание.

Если период уравнения f(x)=0 есть h, то систему корней, представляющую все множество корней уравнения, можно выделять не на полусегменте [0, h), как это всегда делает автор, а на полусегменте [-h/2, h/2), имеющем ту же длину h*.

* Вообще на любом отрезке оси, имеющем длину h.

Пример 7. Уравнение cos 2х = 1/2 имеет период π; его корни содержатся в формуле

и нет необходимости корень -π/6 заменять корнем 5π/6.

Пример 8. Уравнение

рассмотренное на страницах 46 — 47, имеет период 4π; его корни представляются формулами:

5. Наконец, обратим внимание на то, что число корней уравнения f (х) = 0, подлежащих проверке, может быть уменьшено вдвое (или вдвое без единицы) в том случае, если f (х) — четная функция, т. е. если f(—x)≡f(x). В самом деле, в этом случае каждому корню α функции f (х) соответствует корень — а, который в силу этого проверке не подлежит.

Пример 9. Уравнение

рассматриваемое на страницах 43 и 45—46, имеет период 360°; при этом левая часть его — четная функция; поэтому, найдя формулу корней

мы выделяем для проверки лишь корни:

принадлежащие сегменту [0°, 180°], и опускаем корни: —40°, —80°, —160°, принадлежащие сегменту [-180°, 0°].

Именно этими соображениями мы и руководились, сделав в «Методическом письме Министерства просвещения» указание по поводу ошибки, обнаруженной при проверке работ учащихся (стр. 82); ошибка состояла в том, что учащийся проверил лишь корни ±40°, оставив без проверки корни 80° и 160°.

И. И. Смирнов дважды (на стр. 431 и 461) заявляет, что это наше указание ошибочно и что проверке подлежат также корни 200° и 280°. Но очевидно, что это его утверждение неправильно, так как в данном случае следует учесть четность функции

cos 4х + cos 2х + cos x,

чего он, к сожалению, не сделал. Мы согласились бы с автором, если бы он упрекнул нас в том, что мы включили в число подлежащих проверке корней также корень — 40°; но мы сделали это, ориентируясь на работу учащегося.

Таким образом, направленный по нашему адресу (на стр. 461) упрек И. И. Смирнова в том, что мы применили «несовершенную методику», лишен всякого основания.

В приведенных выше примерах 4 и 7 проверке следует подвергнуть соответственно только корни π/6 и π/3, принадлежащие сегменту [0, π/2], длина которого равна π/2, т. е. половине периода.

Пример 10. Уравнение

имеет период π; при этом левая часть его — четная функция; поэтому, найдя формулу его корней

выделяем для проверки лишь корни π/6 и π/2, принадлежащие сегменту [0, π/2], длина которого равна π/2, т. е. половине периода.

Особенную наглядность для учащегося эти факты приобретут в том случае, если он построит по точкам график функции

у = cos 4x + cos 2х

и увидит, что этот график: 1) в пределах сегмента [-π/2, π/2], длина которого равна периоду π, пересекает ось абсцисс в точках ±π/2 ±π/6; 2) симметричен (в силу четности функции) по отношению к оси ординат; 3) в пределах сегмента [0, π], длина которого равна периоду π, пересекает ось абсцисс в точках π/6, π/2, 5π/6; 4) симметричен по отношению к прямой, проходящей через точку π/2 и параллельной оси ординат, так как в данном случае имеет место тождество

где f(x) есть левая часть данного уравнения.

6. В «Методическом письме Министерства просвещения» (стр. 82) мы четко указали, что «учащийся должен ясно отличать случаи, в которых он обязан проверить найденные корни уравнения, так как эта операция составляет существенный элемент процесса решения уравнения, от случаев, в которых эта операция может не выполняться». На этом положении мы настаиваем и сейчас. Поэтому мы не согласны с автором, включившим «проверку полученного решения подстановкой корней в данное уравнение» (стр. 48) в качестве обязательного этапа в процесс решения уравнения. Учащийся должен выполнять проверку в тех случаях, когда он имеет основание предполагать, что среди найденных им корней могут находиться посторонние корни. В этом случае рекомендуемое автором выделение системы корней, представляющих все найденное множество корней и подлежащих проверке, с учетом всего сказанного об этом выше, целесообразно.

7. Теперь остановимся на методике выделения системы корней-представителей (будем их так называть для краткости) на основании найденной формулы корней. На странице 45 автор делает это так: полагая в формуле х = nπ/2 + π/4 последовательно n = 0, 1, 2, 3, автор получает искомую систему корней: π/4, 3π/4, 5π/4, принадлежащих полусегменту [0, 2π). Однако, поскольку неизвестно, к какому уравнению относится рассматриваемая формула корней, нет никаких оснований, как это разъяснено выше, выделять корни, принадлежащие именно полусегменту [0,2π), и разлагать эту формулу на элементарные путем прибавления к выделенным корням члена 2πn. Такая методика, не учитывающая периода уравнения, может явно привести к усложнениям или даже к ошибкам. Если бы, например, решая уравнение

и найдя формулу

мы выделили корни:

и затем заменили эту формулу следующими элементарными:

то мы, конечно, допустили бы усложнение: так как период данного уравнения есть частное 2π:3/2, т. е. 4π/3, то для составления элементарных формул надо было выделять лишь корни π/3 и π, не превосходящие периода 4π/3, и к каждому из них прибавить член 4kπ/3. Впрочем, заметив, что cos 3x/2 четная функция, можно было ограничиться выделением корня π/3, принадлежащего сегменту [0, 2π/3]; только этот корень и подлежит проверке.

Но если бы, решая уравнение

и найдя формулу

мы выделили корень 2π/3, принадлежащий полусегменту [0, 2π), и решили бы, что все корни данного уравнения могут быть представлены формулой

то мы явно допустили бы ошибку, так как член принимает форму 2mπ только при n = 3k.

Так как период рассматриваемого уравнения есть частное 2π:3/4, т. е. 8π/3, a cos 3x/4 есть четная функция, то достаточно проверить корень 2π/3, принадлежащий сегменту [0, 4π/3], причем все корни найдутся по формуле

Таким образом, предложенная автором методика составления элементарных формул, примененная к уравнениям, имеющим период, отличный от 2π, может приводить к ошибкам.

Слабая сторона этой методики заключается еще в том, что заранее неизвестно, сколько значений и какие значения надо дать букве n или k, входящей в формулу корней, чтобы выделились все корни-представители; на странице 45 автор говорит: «будем придавать k значения 0, 1, 2,..., —1, —2,...»; однако значений — 1 и —2 он не дает, но почему он так делает и как надо делать, не объясняет; таким

образом, это указание автора страдает неопределенностью, которая, конечно, будет не по вкусу ни преподавателю, ни учащимся.

Наконец, укажем, что допущенный автором на странице 45 отрыв формулы корней уравнения от самого уравнения (каким в данном случае могло бы быть, например, уравнение cos2x = 0, имеющее период π) повел к тому, что автор приписал этому отсутствующему уравнению период 2π, между тем как оно имеет меньший период π; в самом деле, полагая в формуле x = + k = 2k' и k = 2k'+1, соответственно получаем:

От этих недостатков свободен прием, указанный нами на страницах 82 и 89 «Методического письма Министерства просвещения». Этот прием основан на известном факте, состоящем в том, что все целые числа могут быть представлены: 1) в виде 2k (четные) и 2k + 1 (нечетные); 2) в виде 3k (делящиеся на 3), 3k + 1 (дающие при делении на 3 остаток 1), 3k+2 (дающие при делении на 3 остаток 2); 3) в виде 4k (делящиеся на 4), 4k + 1 (дающие при делении на 4 остаток 1), 4k+2 (дающие при делении на 4 остаток 2). 4k+3 (дающие при делении на 4 остаток 3).

Так можно продолжать и дальше, но в школьной практике этих сведений, пожалуй, достаточно.

Преподаватель легко объяснит, что, вводя отрицательные остатки, можно заменить 3k+2 на 3k — 1 и 4k+3 на 4k — 1.

Пользуясь этими сведениями, мы можем выполнять разложение формулы корней на элементарные с полной четкостью.

Выясним это.

1) Если формула корней имеет вид

то для выделения периода 2π достаточно положить n = 2k и n = 2k+1; для выделения периода Зтс достаточно положить n = 3k, n — = 3k±1; для выделения периода 4я достаточно положить n = 4k, n = 4k ± 1, n = 4k + 2. 2) Если формула корней имеет вид

то для выделения периода π достаточно положить n = 2k и n = 2k + 1; для выделения периода 2π достаточно положить

3) Если формула корней имеет вид

то для выделения периода π достаточно положить n = 3k, n = 3k±1.

4) Если формула корней имеет вид

то для выделения периода 2π достаточно положить n=3k, n = 3k±1.

В более сложных случаях приходится пользоваться подстановками:

однако этих случаев надо избегать в школе, разве сделав их предметом изучения в школьном математическом кружке.

8. Теперь обратимся к поставленному автором вопросу об исключении «кратных» корней тригонометрического уравнения.

Мы полагаем, что ради того, чтобы, как говорят, сохранить чистоту риз, нет необходимости заставлять учащихся во что бы то ни стало выполнять исключение кратных корней.

Но поскольку автор изложил методику решения этого вопроса, покажем, что он нашел не лучший путь.

1) Для установления того, не содержатся ли общие корни в формулах (стр. 47):

зададим себе вопрос, возможно ли равенство

которое по упрощении сводится к равенству

(1)

Очевидно, что если это равенство имеет место, то 2n +1 есть нечетное число, делящееся на 3, т. е. число, имеющее вид 3 (2k+1), или 6k+-3. Поэтому равенство (1) невозможно, если 2k+l имеет вид 6k ±1; заменяя во второй формуле множитель 2n+1 множителем 6k±1, имеем:

Может показаться, что методика, используемая автором на странице 47 при решении того же примера, проще, чем только что изложенная, но это не так: автор попросту не говорит, как он исключает общий корень 180° +- 360° k, а между тем для этого надо, заметив, что корень 180° получается при n = 3k+ 1, устранить этот вид целого числа n, оставив для него только виды 3k и 3k— 1, при которых формула x2 = 120° n + 60° заменяется формулой

2) Решим более сложный пример, приведенный на странице 53. Надо исключить общие корни из трех серий корней:

Равенство — возможно при условии, если 11m = 3(2n+ 1), т.е. если m = 3k; следовательно, m может иметь только вид 3k ± 1. Равенство - возможно при условии, если 3k ± 1 = 6р; но это условие не имеет места, так как число 3k ± 1. не делящееся на 3, не делится на 6. Наконец, равенство - = 2pπ возможно при условии 2n +1 = 22p, но и это условие не имеет места, так как нечетное число не равно четному числу. Итак,

Уравнение

имеет две серии корней:

Если имеет место равенство

то n = 3k; следовательно, это равенство не имеет места при n = 3k±1. Сохраняя эти значения буквы n, приходим к выводу, что данное уравнение имеет две серии корней:

среди которых нет повторяющихся.

9. Укажем еще на некоторые недочеты в работе И. И. Смирнова.

1) На странице 501 автор указывает, что произойдет при делении обеих частей уравнения

на φ (х). Но это уравнение должно решаться не делением обеих его частей на φ (x), а сведением его к двум уравнениям.

2) На странице 511 автор вывел только необходимое условие равенства двух косинусов, а сформулировал теорему при помощи термина «необходимо и достаточно».

3) На странице 531 в ответе nπ + arctg ≈ надо перед буквой b оставить только знак +. Кроме того, ответ kπ - π/4 годен при любых значениях параметров а и b.

4) На странице 581 допущена опечатка: надо a2—1⩽0.

5) На странице 612 автор утверждает, что «уравнению удовлетворяет положительный корень». Но без проверки этого утверждать нельзя.

6) На странице 552 уравнение решено неверно.

7) На странице 441 не указано, что уравнение № 711 из сборника задач П. С. Моденова при α= π/4 (4k+ 1) обращается в тождество, так что ограничение принимает вид

ПО ПОВОДУ СТАТЬИ И. И. СМИРНОВА «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ»

Д. Ф. ИЗААК (Орск)

Напечатанную в № 3 журнала за 1953 год статью И. И. Смирнова «Тригонометрические уравнения в школьном курсе» я прочитал с большим удовлетворением. Хочу высказать несколько замечаний по поводу этой статьи.

1. Считаю, что в школе должны решаться не слишком сложные тригонометрические уравнения (в соответствии с программой). Уравнение вида a sin х + b cos х + с = 0 можно решать как однородное, представив его в виде:

2. Считаю, что несобственные корни уравнений в школе не должны рассматриваться.

3. Считаю, что вопрос о повторяющихся корнях не является важным.

4. В статье И. И. Смирнова большое внимание уделено вопросу о проверке корней тригонометрического уравнения. Справедливо отметить, что этот вопрос методически совершенно не разработан. И. И. Смирнов предложил при проверке корней тригонометрического уравне-

ния пользоваться способом «разложения формулы корней на элементарные». Этот способ имеет, безусловно, свои достоинства. Он, например, позволяет легко сопоставить различные формы, в которых может быть представлено общее решение уравнения. Но здесь есть одно затруднение, о котором И. И. Смирнов не пишет. Для выделения элементарных формул корней нужно знать общий период обеих частей уравнения. Он не всегда равен 2π. В задачнике Рыбкина в § 14 уравнения № 9—12, 14, 18, 24, 25, 27,39, 41 — 44, 46 и др. таковы, что общий период обеих частей уравнения не равен 2π. Значит, учащиеся должны при решении для каждого уравнения прежде всего определить этот период. Иначе возможны грубые ошибки. Так, например, решая уравнение

ученик вместо правильного ответа 45°+135° ⋅ n получил ответ 45° + 360° ⋅ n. Он по привычке проверит только 45° и ошибку свою не обнаружит.

Стоит ли этим заниматься? Определению периода ведь надо учащихся научить! А времени и так мало. Я считаю, что проверкой решения тригонометрического уравнения вообще не стоит заниматься. Учащиеся ко времени изучения этой темы в X классе уже достаточно владеют техникой тождественных преобразований, и в этом отношении ошибок в решении тригонометрического уравнения почти не будет.

Упор надо сделать на обоснованность всего хода решения, на то, чтобы учащиеся хорошо знали теорию равносильности уравнений и сознательно применяли ее при решении тригонометрических уравнений. Поэтому в начале изучения этой темы примерно два часа следует заниматься повторением свойств уравнений.

5. Дальше И. И. Смирнов говорит об исследовании решения тригонометрического уравнения. Здесь, мне кажется, не следовало говорить об исследовании решения уравнения, а просто— о решении уравнения с параметрами, понимая под этим нахождение всех корней уравнения при всех допустимых значениях параметров. А допустимые значения параметров устанавливаются в самом начале решения уравнения. Рассмотрим пример № 711 из задачника П. С. Моденова (изд. 1951 г.):

Пример 1.

П. С. Моденов дает ответ:

И. И. Смирнов пишет: «Ответ неполноценный следовало указать ограничение: при

Легко заметить, что и при этом ограничении ответ неполноценный. Решим это уравнение.

Обе части уравнения имеют смысл при любом действительном значении а. Это значит, что нужно указать корни уравнения или отсутствие таковых для всех значений а. Имеем:

Полученное уравнение равносильно исходному. Пусть cos 2α = 0. Тогда при

или

корнем уравнения является любое действительное число, а при

или

уравнение корней не имеет (0 ⋅ cos 2х = —2). Пусть теперь cos 2α ≠ 0. Тогда

Это уравнение имеет решения при условии, что

Поэтому при

Ответ: 1) Если

то x — любое действительное число. 2) Если

то

3) При других значениях а уравнение корней не имеет.

Пример 2.

Нам кажется, что до решения уравнения следует установить, в каком именно множестве чисел его будем решать. В данном случае x ≠ π/2 ⋅ n. Тогда в множестве всех действительных чисел, за исключением х = π/2 n, исходное уравнение будет равносильно уравнению:

Решая его дальше, приходим к совокупности уравнений:

равносильной исходному (в указанном выше множестве). У первого уравнения cosx = 0 (в этом множестве) корней нет, а у второго

Ответ:

Нам кажется, что при таком подходе к решению дробных уравнений больше ясности, чем в предложенном И. И. Смирновым.

6. Считаю, что уравнения с неизвестными под знаком аркфункций в средней школе не следует решать.

7. Наконец, мне хотелось поделиться опытом изучения этой темы. Материал я распределяю примерно следующим образом:

1. Повторение свойств алгебраических уравнений. При этом выполняются упражнения типа № 107—120 (стр. 86—87) из задачника Позойского (изд. 1950 г.) — 2 часа.

2. Решение уравнения sin х = m. Упражнения — 1 час.

3. Решение уравнения cos х = m. Упражнения — 1 час

4. Решение уравнений

5. Решение простых тригонометрических уравнений и уравнений, приводящих к решению алгебраических уравнений — 2 часа.

Примерные упражнения для выполнения в классе и дома: Р. И. Позойский, стр. 89, № 129—144.

6. Решение уравнений разложением на множители — 2 часа.

Примерные упражнения для классной работы:

е) Р. И. Позойский, стр. 89, № 184, 188, 195, 197, 199. Примерные упражнения для домашней работы:

d) Р. И. Позойский, стр. 89, № 185, 189, 191, 194, 196, 205.

7. Решение уравнений, однородных относительно sin x и cos x — 2 часа.

Тут следует учащимся сообщать (или напомнить) теорему: «Если обе части уравнения разделить на выражение, обращающееся в нуль при таких значениях неизвестного, которые не являются корнями уравнения, то получим уравнение, равносильное первому».

Примерные упражнения для классной работы:

Примерные упражнения для домашней работы.

Решение тригонометрических уравнений, при решении которых нужно пользоваться уже известными учащимся приемами и формулами.

Примерные упражнения для классной работы:

g) Р. И. Позойский, стр. 92, № 247, 250, 252, 256.

П. С. Моденов (изд. 1950 г.), № 33, 48, 62, 126.

Примерные упражнения для домашней работы:

Ответ: если а = 2, то

Р. И. Позойский, № 251, 253, 254, 255, 259.

П. С. Моденов (изд. 1950 г.), № 30, 54, 122, 130.

9. Контрольная работа — 2 часа.

О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

Статья И. И. Смирнова «Тригонометрические уравнения в школьном курсе»* вызвала многочисленные отклики в виде статей, заметок и писем, поступивших в редакцию. Эти отклики показывают, что вопрос об идейном содержании данной темы, о методике ее преподавания и о ее месте в школьном курсе вызывает живой интерес в широких кругах советских учителей.

В настоящем номере редакция, в порядке откликов на статью И. И. Смирнова, поместила следующие статьи: С. В. Синакевича и Б. А. Лурье «Опыт работы по теме „Тригонометрические уравнения“», А. И. Волхонского «О тригонометрических уравнениях, решаемых вслед за простейшими» и две статьи под названием «По поводу статьи И. И. Смирнова „Тригонометрические уравнения в школьном курсе“» авторов Д. Ф. Изаак и И. А. Гибш.

Ниже мы остановимся на рассмотрении различных точек зрения, высказывающихся в методической литературе и, в частности, в статьях, помещенных в настоящем номере.

Формалистические тенденции, господствовавшие в дореволюционной школе, нашли свое отражение и в методике преподавания уравнений (в частности, трансцендентных). Вся «соль» решения уравнения (или системы) усматрива-

* Журн. «Математика в школе», 1953, № 3.

лась в формальных преобразованиях, позволяющих найти «формулу корней», в отыскании искусственных способов решения, в «распутывании» нарочито запутанных комбинаций. При этом такие принципиально важные вопросы, как обоснование процесса решения с точки зрения общей теории уравнений, исследование существования решения, осмысливание полученной «формулы корней», обычно оставались вне поля зрения. Естественно, что такой формалистический, узкий подход к решению уравнений породил протест со стороны прогрессивно мыслящих педагогов; разумеется, этот подход является неприемлемым для советской школы. Большинство методистов совершенно справедливо считает, что в целях разгрузки школьного курса от материала, не имеющего большой научно-идейной ценности, следует исключить искусственные упражнения, требующие излишне длительной тренировки в изобретении и применении различных «замысловатых» способов.

Эта справедливая критика породила и крайнюю точку зрения, согласно которой решение трансцендентных уравнений считается чем-то безидейным, мало ценным, пережитком старого, а потому подлежащим если не полному, то почти полному исключению из школьного курса. Это предложение вряд ли встретило бы возражения, если бы на трансцендентные уравнения сохранился прежний взгляд как на материал, предназначенный лишь для тренировки в формальных преобразованиях.

Однако современная советская методика, ищущая путей неуклонного повышения научно-идейного содержания школьного курса, выдвинула иную точку зрения. Сознательное решение и исследование трансцендентных (и, в частности, тригонометрических) уравнений требует хорошего знания основных свойств элементарных функций и вопросов общей теории уравнений. При надлежащей постановке изучения трансцендентных уравнений открываются большие возможности развития навыков в исследовании функций, эти уравнения дают богатый материал для иллюстрации и применения общих положений теории уравнений (равносильность, преобразование уравнений, потеря и приобретение корней и т. д.).

Именно в этом направлении высказываются авторы статей, помещенных в настоящем номере.

«Значение тригонометрических уравнений заключается главным образом в том, что они, во-первых, являются прекрасным средством для закрепления знаний учащихся о свойствах тригонометрических функций, а во-вторых, представляют большие возможности для развития у учащихся вдумчивого отношения к вопросам равносильности уравнений» (С. В. Синакевич и Б. А. Лурье, стр. 4).

«Упор надо сделать на обоснованность всего хода решения, на то, чтобы учащиеся хорошо знали теорию равносильности уравнений и сознательно применяли ее при решении тригонометрических уравнений» (Д. Ф. Изаак, стр. 32).

Полное методическое решение поставленного вопроса возможно лишь при условии, если будет разработана соответствующая система упражнений, посильных учащимся. Надо иметь в виду, что чрезмерное увлечение сложными и запутанными исследованиями может дать весьма отрицательные результаты*. Здесь надо соблюдать разумную меру. Система упражнений, о которой идет речь, должна разрабатываться на базе серьезной экспериментальной работы с последующим обсуждением ее результатов.

В статьях В. С. Синакевича и Б. А. Лурье, А. И. Волхонского приводится ряд интересных, с изложенной точки зрения, конкретных примеров, уравнений и методов их решения.

Очень интересны и содержательны примеры, приведенные во второй части статьи А. И. Волхонского, хотя некоторые (отдельные) из этих примеров по степени трудности превышают средний уровень школьных упражнений и могут быть рекомендованы для математических кружков. Обсуждение конкретных предложений авторов указанных статей и дальнейшая разработка системы упражнений представляют безусловный интерес.

Вопрос о месте тригонометрических уравнений в курсе тригонометрии является дискуссионным; здесь существуют две точки зрения: согласно первой точке зрения изучение тригонометрических уравнений должно быть сосредоточено в специально выделенной программной теме, согласно второй точке зрения «не следует выделять тригонометрические уравнения в особую главу курса» (Н. М. Бескин «Вопросы тригонометрии и ее преподавания», стр. 96). Аргументы сторонников как одной, так и другой точек зрения заслуживают внимания.

Выступая в защиту первой точки зрения, И. И. Смирнов пишет («Математика в школе», 1953, № 3): «Решение тригонометрических уравнений основано не только на свойствах тригонометрических функций, но и на общей теории уравнений, которая никакого отношения к гониометрии не имеет и будет уводить в сторону внимание учащихся от усвоения тео-

* О трудностях, которые встречаются при исследовании уравнений, можно судить хотя бы по примерам, приведенным в нашей книге «Специальный курс тригонометрии».

ретического содержания гониометрии. Такой отрыв будет еще усугубляться необходимостью изучения ряда специфических приемов решения тригонометрических уравнений... Сомнительна и польза от случайных отрывочных экскурсов в область тригонометрических уравнений...».

Как известно, одновременное преодоление нескольких трудностей не является правильным педагогическим приемом, а потому законны опасения, высказанные И. И. Смирновым по поводу рекомендации автора методического письма Министерства просвещения РСФСР «О преподавании математики», что «решение отдельных видов тригонометрических уравнений может и должно выполняться параллельно и в связи с изучением формул гониометрии, служа для него полезным средством и вместе с тем имея самостоятельное (курсив наш. — С. Н.) значение» (заметим попутно, что эти рекомендации не получили конкретной методической детализации в «Письме»).

Сторонниками первой точки зрения указывается также, что если изучение тригонометрических уравнений будет рассредоточено по различным разделам курса, то тем самым полученные сведения об этих уравнениях окажутся несистематизированными, что не согласуется с принципом систематичности обучения в советской школе.

Сторонники второй точки зрения выставляют следующие аргументы. Различные тригонометрические преобразования находят естественные применения к решению уравнений, и ознакомление учащихся с методами их решения должно происходить по мере изучения преобразований, на которых основываются эти методы. «Основные математические понятия (в данном случае понятия уравнения. — С. Н.) не должны быть сконцентрированы в отдельных главах, а должны пронизывать весь курс математики» (Н. М. Бескин «Вопросы тригонометрии и ее преподавания»). Нет оснований избегать упражнений и задач, связанных с решением уравнений, до изучения специальной темы «Тригонометрические уравнения». В пользу аргументов сторонников второй точки зрения высказываются С. В. Синакевич и Б. А. Лурье. Отсылая читателя к их статье, заметим, что, к сожалению, авторы не дали четких указаний, относящихся к распределению материала по различным разделам курса тригонометрии.

Несмотря на «взаимную противоположность», эти две точки зрения не представляются нам непримиримыми, и если отказаться от крайностей, то вполне возможно найти удовлетворительное методическое решение вопроса, например, в таком направлении. Решение простейших и несложных, приводящихся к простейшим, уравнений возможно на ранних ступенях изучения тригонометрии. Ведь построение углов по заданному значению тригонометрической функции есть уже решение уравнения!

Вполне возможно, например, применять формулы преобразования суммы в произведение к разложению на множители левой части уравнения f (х) = 0 и т. п. Соответствующие примеры имеются и в задачнике Н. Рыбкина. Здесь важен умелый подбор упражнений. Существенно, чтобы ведущей оставалась изучаемая тема, чтобы не происходило переключения внимания учащихся, например, от изучения формул гониометрии к теории уравнений и обратно. Поэтому решение тригонометрических уравнений здесь не получает «самостоятельного значения».

В специальной теме «Тригонометрические уравнения» систематизируются и обобщаются полученные сведения, закрепляются навыки и изучаются новые приемы. Теперь методы решения и исследования уравнений становятся в центре внимания и приобретают самостоятельное значение. Полученные ранее навыки позволят сократить число часов на изучение данной темы. Такое решение вопроса вполне возможно при ныне действующей программе.

Остановимся теперь на отдельных вопросах, затронутых авторами статей.

С. В. Синакевич и Б. А. Лурье, а также А. И. Волхонский считают полезным специальное изучение условий, выражающих равенство одноименных тригонометрических функций. Следует, однако, заметить, что соответствующие рассуждения, приведенные в статье А. И. Волхонского, довольно громоздки (хотя и поучительны) и будут трудны для учащихся. Рассуждения, приведенные в статье С. В. Синакевича и Б. А. Лурье, требуют дополнительного (хотя и несложного) обоснования. Так, например, чтобы убедиться, что формула x = ± x0 + 2kπ дает общее решение уравнения cos x = а и в том случае, когда cos x0 = а, но x0 не является наименьшим положительным углом, надо показать, что углы ±x0 дают все возможные (в общем случае два) геометрически различные положения подвижного радиуса. В этом отношении заслуживает внимания предложение И. И. Смирнова, высказанное в его статье (стр. 51). Необходимые и достаточные условия равенства значений одноименных функций, например косинуса, можно получить путем преобразования разности cos а — cos ß в произведение. По поводу этого предложения И. А. Гибш в конце своей статьи делает следующее замечание: «автор вывел только необходимое условие... а

формулировал теорему с помощью термина „необходимо и достаточно“». Здесь, видимо, приходится сделать следующее совершенно элементарное разъяснение: в силу обратимости преобразований полученное условие является не только необходимым, но и достаточным. Таким образом, данное возражение отпадает.

Этот прием можно применять в каждом конкретном случае, не обременяя курса необходимостью выучивать дополнительный теоретический материал и не требовать запоминания необходимого и достаточного условия в его окончательной формулировке.

Авторы многочисленных статей и заметок, поступивших в различное время в редакцию, неоднократно касались вопроса о преобразовании друг в друга различных формул общего решения данного тригонометрического уравнения. Однако едва ли можно считать данный вопрос имеющим принципиальное значение.

С теоретической точки зрения дело обстоит просто: в обычных школьных упражнениях общее решение уравнения составляется из конечного числа арифметических прогрессий, и все дело сводится к преобразованию этих прогрессий*.

Практическая сторона также не должна вызывать особых затруднений. Следуя установке о разгрузке школьного курса, надо избегать примеров, требующих сложных и запутанных преобразований. В простейших же случаях учащийся, написав в развернутом виде соответствующие прогрессии, без труда обнаружит, дают или нет две формулы одно и то же множество решений. Эта идея и лежит в основе методики, изложенной в статье И. И. Смирнова (разложение формулы общего решения на элементарные, т. е. на арифметические прогрессии).

Это же разложение формулы общего решения на прогрессии позволяет и исключать повторяющиеся решения. Следует, однако, заметить, что данный вопрос не имеет принципиального значения. Нет никакой ошибки, если в двух сериях окажутся одинаковые решения. Совершенно непонятно, почему некоторые методисты упорно считают чуть ли не грубой ошибкой, если в окончательном ответе не будут (либо, напротив, будут) исключены повторяющиеся решения.

По поводу проверки решения Д. Ф. Изаак пишет (стр. 32): «Я считаю, что проверкой решения тригонометрического уравнения вообще не стоит заниматься». Однако здесь надо иметь в виду, что проверка может преследовать две цели.

Во-первых, метод решения может внести посторонние корни, в этом случае проверка необходима и ее невыполнение есть математическая ошибка.

В применении к тригонометрическим уравнениям этот вид проверки часто встречается в тех (но и не только в тех) случаях, когда уравнение содержит выражения (дробные выражения, функции tgx, ctgx и т. п.), имеющие смысл не при всех значениях неизвестного. Соответствующие примеры приведены в статье И. И. Смирнова и в статье С. В. Синакевича и Б. А. Лурье. По поводу предложения Д. Ф. Изаака устанавливать предварительно множество, в котором решается уравнение, следует заметить, что здесь также необходима проверка принадлежности этому множеству найденных значений неизвестного.

Во-вторых, проверка может преследовать лишь дидактические цели. Это имеет место в случае, когда преобразования, применяющиеся в процессе решения уравнения, не приводят к уравнению, неэквивалентному исходному.

Этот второй вид проверки с точки зрения математической совершенно необязателен и применяется лишь как средство самоконтроля. К этому же второму виду можно отнести и те случаи, когда проверка делается в целях повторения и закрепления техники преобразований, требующихся для ее выполнения.

Большинство современных методистов считает неправильным категорическое требование неукоснительно выполнять проверку во всех случаях. Проверка второго вида выполняется лишь в отдельных случаях по указанию преподавателя, а также в случаях, когда ученик не уверен в безошибочности своего решения или сомневается в правильности ответа.

Во всех случаях учащемуся должна быть ясна цель проверки: нужна ли она по существу или является средством контроля.

В статье И. И. Смирнова (стр. 48) уравнение sin (x + 30°) = √3/2 решено с полной проверкой. Отсюда И. А. Гибш (стр. 29) сделал необоснованный вывод, что якобы И. И. Смирнов выставляет проверку «в качестве обязательного этапа в процессе решения уравнения». Такого утверждения в статье И. И. Смирнова не содержится. Более того, в письме в редакцию И. И. Смирнов заявил, что в данном случае он имел в виду проверку в дидактических целях. К сожалению, И. И. Смирнов не разъяснил этого в своей статье.

* Подробности см. в нашей книге «Специальный курс тригонометрии», § 45.

Если взять примеры уравнений:

которые И. А. Гибш использует для иллюстрации изложенных им соображений о проверке корней, а также уравнение:

cos 4х + cos 2х + cos х = 0

из методического письма М. П., то мы увидим, что здесь может идти речь лишь о проверке второго вида.

Большинство этих уравнений решается настолько просто, что полная проверка решений во всех указанных случаях методически нецелесообразна.

Заметим, что в большинстве школьных упражнений (см., например, уравнения из сборника Н. Рыбкина) проверка первого вида не требует сложных выкладок и легко может быть выполнена непосредственно, исходя из формулы общего решения, без разложения ее на элементарные формулы. Что же касается проверки второго вида, то ее применение всецело находится в руках учителя, который должен найти разумную меру и не обременять учащихся ни слишком громоздкими, ни слишком частыми проверками.

Здесь уместно остановиться на дискуссии, возникшей между И. И. Смирновым и И. А. Гибшем по поводу проверки корней уравнения:

cos 4х + cos 2х + cos х = 0, (*)

приведенного в методическом письме Министерства просвещения РСФСР. В статье, помещенной в настоящем номере, И. А. Гибш дает весьма полезное практическое указание: если левая часть уравнения f (х) = 0 — четная (или нечетная) функция, то наличие корня х = а влечет за собой наличие корня — а, что позволяет сократить число испытаний при проверке. Поэтому применительно к уравнению (*) проверка корней — 40°, — 80°, — 160° излишня.

Корни 200° и 280° также не нуждаются в проверке, ибо они отличаются от — 80° и — 160° лишь на период. Но, к сожалению, все сказанное никак не объяснено в «Методическом письме», хотя, казалось бы, это должно входить в обязанность методиста.

С точки зрения изложенного И. А. Гибшем, корень — 40° не подлежит проверке; указание же, данное в письме, что и этот корень должен проверяться, И. А. Гибш мотивирует тем, что автор «Письма» ориентировался на работы учащихся.

Казалось бы, методист должен подвергать критике нерациональные способы решения в работах учащихся, а не ориентироваться на эти работы. Если и в самом деле автор «Письма» руководствовался такими соображениями при его составлении, то неметодичность изложения данного вопроса в методическом письме станет очевидной. Попробуйте угадать ход мысли автора!

Наибольшее число замечаний в адрес статьи И. И. Смирнова вызвано тем обстоятельством, что в этой статье метод разложения формулы общего решения изложен лишь для случая, когда период уравнения (общий период обеих его частей) равен 2π. Эти замечания содержатся в статьях И. А. Гибша и Д. Ф. Изаака, а также в заметке Б. И. Томашева, присланной в редакцию.

Наиболее обстоятельно этот данный вопрос изложен в статье И. А. Гибша.

Прежде всего надо отклонить упреки в адрес И. И. Смирнова в том, что, ограничившись уравнениями с периодом 2π, он допустил ошибку, а также в том, что якобы им рассматриваются формулы корней в отрыве от самого уравнения. Дело в том, что И. И. Смирнов с самого начала сделал оговорку: всюду в статье рассматриваются уравнения с периодом, равным 2π. Для полной иллюстрации идеи метода достаточно рассматривать уравнения с каким-либо определенным периодом (например, 2π). Само собой разумеется, в случае если период уравнения отличен от 2π, в изложенный метод должны быть внесены коррективы, но сама идея остается прежней.

И. И. Смирнов не указал, какие именно следует внести коррективы; этот пробел весьма обстоятельно восполнен в статье И. А. Гибша, а потому его статья может служить хорошим дополнением к статье И. И. Смирнова. На простых, удачно подобранных примерах И. А. Гибш показал, как следует поступать, если период уравнения отличен от 2π. Надо, однако, заметить, что рассмотрение этих примеров в статье И. А. Гибша имеет сугубо теоретическое значение. Применение громоздкого аппарата (определение периода, разложение общего решения на элементарные) в целях проверки формулы решения таких простых уравнений, как sin3x = 0, было бы методической ошибкой.

Упрекая И. И. Смирнова в отрыве формулы корней уравнения от самого уравнения, И. А. Гибш высказывает мысль (стр. 30), что по периоду множества всех решений уравнения можно судить о периоде самого уравнения. Позволим себе привести пример, показывающий, что этого сделать нельзя: уравнения

sin x = 0 и 1 — cos2 x = 0 имеют одно и то же множество корней, но период первого равен 2π, а период второго равен π.

И. А. Гибш пишет, что по поводу предложения И. И. Смирнова «сразу же возникают» (у кого? — С. Н.) четыре вопроса; эти вопросы он формулирует в начале статьи (не будем их повторять).

Первый вопрос решается легко: «части» уравнения суть функции от неизвестного; мы рассматриваем уравнения, для которых эти функции периодические.

На второй вопрос также легко ответить: если функция f (x) постоянна, f (x) = const, то она может рассматриваться как периодическая с любым периодом. Такова, в частности, правая часть уравнения f (х) = 0.

На третий вопрос мы затрудняемся дать ответ. По поводу уравнения f (х) = 0 можно поставить аналогичный вопрос: «Почему его левая часть должна иметь период?»

Весьма обстоятельный ответ на четвертый вопрос дал И. А. Гибш.

Относительно некоторых замечаний в конце статьи И. А. Гибша по поводу статьи И. И. Смирнова надо сказать следующее.

Ответ nπ+arctg (стр. 53 статьи И. И. Смирнова) И. А. Гибш, видимо, считает неверным. Предлагаем читателю в виде несложного упражнения показать, что ответ, данный И. А. Гибшем, представляет то же самое множество корней, которое представляет ответ, данный И. И. Смирновым.

Проверка положительного корня уравнения, рассмотренного на стр. 61 статьи И. И. Смирнова, опущена редакцией ввиду очевидности данного вопроса.

Как указывает И. А. Гибш, на стр. 44 статьи И. И. Смирнова в ответе к уравнению из сборника П. С. Моденова следует исключить значение α = π/4 (4k +1), при котором уравнение обращается в тождество. В статье Д. Ф. Изаака в ответе к тому же уравнению сказано: «Если α = π/4 + kπ, то х — любое действительное число». Полагаем, что точка зрения Д. Ф. Изаака более соответствует современным научно-методическим воззрениям.

В заключение позволим себе высказать наше личное мнение по поводу предложения С. В. Синакевича и Б. А. Лурье знакомить учащихся со способом решения уравнения:

путем введения вспомогательного угла. Мы полагаем, что это предложение заслуживает поддержки. Преобразование

часто встречается в физике и механике (например, сложение гармонических колебаний), а потому оно не лишено «политехнического значения».

ПИСЬМЕННЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ*

В. С. КАРНАЦЕВИЧ (Тюмень)

Из всех математических дисциплин, изучаемых в средней школе, учащиеся, как правило, обнаруживают наиболее слабые знания по геометрии.

Напомним некоторые факты, подтверждающие сказанное.

С. В. Назарьев и И. Р. Игнатенков, сообщая о результатах приемных экзаменов в Орехово-Зуевский учительский институт, пишут: «На устных экзаменах . . . худшие результаты, так же как и на письменных экзаменах, были даны по геометрии» («Математика в школе», 1950, № 2).

Г. Сенников из Горьковского педагогического института пишет: «Стереометрические задачи обоих вариантов, несмотря на их простоту, решили полностью (хотя и с недостатками) только 27,5% абитуриентов» («Математика в школе», 1951, № 2).

Консультант Главного управления школ Министерства просвещения РСФСР П. А. Ларичев в «Учительской газете» от 23 декабря 1953 г. пишет, что учащиеся «нередко механически заучивают теоремы по учебнику, запоминая зрительно форму чертежа и расстановку букв, а учителя удовлетворяются формальными ответами учащихся, не воспитывают у них самостоятельное математическое мышление».

Следует отметить, что оценки знаний учащихся по геометрии в аттестатах зрелости не

* Статья печатается в порядке обсуждения.

всегда соответствуют действительным знаниям и оказываются завышенными.

В сентябре 1952 г. и в сентябре 1953 г. в Тюменском педагогическом институте, 1 октября 1953 г. в Омском педагогическом институте, 6 октября 1953 г. в Свердловском педагогическом институте была предложена первокурсникам одна и та же контрольная работа по геометрии, которая преследовала следующие цели.

Во-первых, проверку умения составить определение математического понятия. Надо было дать определение биссектрисы треугольника в одном варианте и определение высоты параллелограма — в другом.

Во-вторых, проверку понимания различия между прямой и обратной теоремой, умения формулировать последнюю и проверять ее правильность.

Было предложено составить теорему, обратную следующей: «Прямая, пересекающая две стороны треугольника и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному», и проверить ее правильность. Аналогичная задача была и в другом варианте.

В-третьих, проверку уровня развитости пространственного воображения. Ставились вопросы:

«Можно ли через данную точку провести плоскость, параллельную каждой из двух скрещивающихся прямых?» и «Можно ли через данную точку провести прямую, пересекающую две данные скрещивающиеся прямые?»

В-четвертых, проверку умения провести самостоятельное доказательство простого предложения из планиметрии.

Например, «Доказать, что перпендикуляры, восставленные к сторонам угла на равных расстояниях от вершины, пересекаются на биссектрисе этого угла».

Эта работа показала, что большинство студентов, зная фактический материал школьного курса геометрии, не умеют:

1) составлять точные определения математических понятий;

2) самостоятельно проводить доказательство геометрических теорем;

3) проверять правильность обратных теорем, не понимая существенной разницы между прямой и обратной теоремами;

4) воображать соотношения между пространственными образами.

Учет знаний по геометрии

Я вижу причину такого несоответствия между фактическими знаниями и умениями окончивших школу и полученными ими оценками на экзаменах на аттестат зрелости в неправильно поставленном учете знаний по геометрии в средней школе. Полагаю, что система учета знаний именно по геометрии должна быть изменена. В настоящей статье я ограничусь только письменными контрольными работами по геометрии.

Контрольные работы по сравнению с устным опросом имеют в некоторых отношениях ряд преимуществ (это не значит, конечно, что в других отношениях нет преимуществ на стороне устного опроса).

Учет знаний посредством контрольной работы более объективен, документирован, экономен во времени, систематичен, позволяет выявить наиболее общие ошибки и пробелы в знаниях.

Многие преподаватели справедливо полагают, что удельный вес оценки за контрольную работу больше, чем за устный ответ.

Как справедливо указывает П. А. Ларичев, «в некоторых школах недооценивают значение письменных работ. . . Контрольные работы проводятся от случая к случаю, а предлагаемые в них упражнения и задачи очень трафаретны» («Учительская газета» от 23 декабря 1953 г.).

Но если учителя проводят более и менее систематически контрольные работы по арифметике и алгебре, то нет ни системы, ни традиций в проведении контрольных работ по геометрии.

Вот несколько фактов из жизни школ.

Число контрольных работ по геометрии в большинстве средних школ г. Тюмени в 3—4 раза меньше числа работ по алгебре (сравнивались те четверти учебного года, когда число недельных часов по этим предметам одно и то же).

В первом полугодии 1952/1953 учебного года в VI и VII классах школы № 21 г. Тюмени не было ни одной контрольной работы по геометрии. В Велижанской средней школе Тюменской области в шестых классах не было ни одной контрольной письменной работы по геометрии за весь 1952/53 учебный год.

Можно назвать еще ряд подобных фактов.

Причины такого игнорирования одного из надежных способов проверки знаний учащихся состоят в следующем.

1. Восприняв букву, а не дух приказа министра просвещения РСФСР о регламентации контрольных работ в школе, некоторые заведующие учебной частью, желая застраховать себя от нареканий, планируют недостаточное число контрольных работ и обязывают учителей выполнять составленный ими график.

2. Если в отношении содержания контрольных работ по алгебре и арифметике установились некоторые традиции, то контрольные работы по геометрии многие учителя не умеют составлять (а нерадивые и не ищут образцов).

3. Поскольку курс школьной геометрии пе-

регружен материалом и уроки, посвященные теории, составляют подавляющее большинство по сравнению с уроками по решению задач, то учителя не видят надобности в проверке умения решать задачи, удовлетворяясь нередко пересказом разученных теорем.

4. Проверять работы по геометрии труднее, чем по алгебре, и проверка отнимает значительно больше времени.

Учет знаний по геометрии недостаточно разработан в методической литературе. Опыт передовых учителей математики также остается неизученным.

Содержание контрольных работ по геометрии

Ниже приводится ряд текстов контрольных работ по геометрии, проведенных в первом полугодии 1952/53 учебного года, в VI и VII классах некоторых школ г. Тюмени и г. Омска.

Первая контрольная работа в шестых классах средней школы № 6 г. Тюмени (вариант 1-й):

Задача. Отрезок разделен на две неравные части, и расстояние между серединами этих частей равно 30 см. Найти длину этого отрезка.

Произвести действия и построить полученные углы:

Вторая контрольная работа тех же классов (вариант 1-й):

Задача. Определить два смежные угла, из которых один на 2/3d более другого.

Задача. Один из четырех углов, образуемых двумя пересекающимися прямыми, равен 2/5 d. Определить остальные углы.

Построить углы 50°, 120° и 160°.

Контрольная работа по геометрии в седьмых классах школы № 6 г. Тюмени, проведенная во второй четверти (вариант 1-й):

1. Свойство углов и сторон параллелограма (доказать).

2. Разделить отрезок на три равные части.

3. Свойство средней линии трапеции (формулировка).

Контрольная работа по геометрии в седьмых классах школы № 19 г. Омска (один из вариантов):

1. Первый признак параллелограма.

2. В параллелограме одна из сторон составляет 3/10 периметра. Найти (? — Ред.) все стороны параллелограма.

Выше были приведены наиболее типичные варианты контрольных работ по геометрии в младших классах.

Если просмотреть тексты контрольных работ по геометрии для VI и VII классов, в них на первый план в качестве объекта учета выдвигается знание теории — умение сформулировать теорему или изложить ее доказательство. Что же касается задач, то они либо также составляют часть теоретического курса (деление отрезка на равные части), либо являются по существу арифметическими задачами на геометрическом материале и могут быть решены без чертежа, что, по нашему убеждению, является недостатком геометрической задачи, предлагаемой не для устного решения.

Контрольные работы по геометрии в старших классах, особенно в десятых, составляются лучше, но в своей массе и они не свободны от указанных недостатков.

Вот, например, один из вариантов контрольной работы по геометрии в средней школе № 19 г. Омска, проведенной 2 декабря 1952 г.

1. В данный треугольник вписать ромб с данным острым углом.

2. Стороны треугольника относятся, как 2:5:4; периметр подобного ему треугольника равен 55 м. Определить стороны второго треугольника.

Первая задача решена полностью в учебнике и таким образом является как бы частью теоретического курса. Вторая же задача арифметическая и может быть решена без чертежа.

Письменная контрольная работа по алгебре или арифметике обычно состоит из задачи и двух примеров, или из задачи и примера, или, наконец, из нескольких примеров. Оценить такую работу сравнительно несложно. Иное дело — контрольная работа по геометрии. Большой объем подлежащего изучению, а значит и учету, теоретического материала заставляет учителя включать в текст контрольной работы задачу на доказательство изученных теорем, а иногда только требование привести формулировки этих теорем. Между тем оценка выполнения этого задания, как это ясно и самому учителю, говорит прежде всего о хорошей памяти школьника, а иногда об «умелом» списывании доказательства из книги или тетради.

Оценка контрольных работ по геометрии осложнена тем, что изложение решения геометрической задачи или доказательства теоремы (если это не арифметическая задача на геометрическом материале) требует от ученика известной литературной обработки. Неумелые объяснения к решению задач, с одной стороны, нельзя игнорировать, так как в них часто теряется логика рассуждений, столь важная для

геометрии, а с другой стороны, нельзя строго осуждать, так как они, по крайней мере в семилетней школе, соответствуют знаниям учащихся по русскому языку (сочинения учащиеся пишут только в старших классах).

Поскольку школьный курс геометрии действительно перегружен теоретическим материалом (очень большое число теорем) и на решение задач, особенно в младших классах, остается сравнительно мало времени, то и в контрольные работы нужно включать вопросы из теории. Но это совсем не означает, что учащиеся должны воспроизводить доказательства разученных теорем. В контрольные работы надо включать вопросы и задачи, для ответа на которые нужно прочно и глубоко знать программный материал и уметь логично рассуждать, но совсем необязательна тренировка в решении замысловатых задач и изощренная этой тренировкой изобретательность.

Вот примеры таких заданий:

1. Из одной точки проведены к окружности две секущие: ABС и ADЕ. Точки В и Е и D и С соединены попарно. Найти подобные треугольники и доказать их подобие (I четверть, VIII класс).

2. Построить треугольник, подобный данному прямоугольному треугольнику, но с гипотенузой, в 3 раза меньшей (I четверть, VIII класс ).

3. Будет ли квадратом четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны и равны? (I четверть, VII класс).

4. Подобны ли равнобедренные трапеции, имеющие один и тот же угол при большем основании? (II четверть, VIII класс).

5. Выполнить подобное преобразование сектора (II четверть, VIII класс).

6. Построить параллелограм по двум его противоположным вершинам (I четверть, VII класс).

Вполне возможны и такие задания, как «Найти проекции двух сторон тупоугольного треугольника на третью сторону» (с объяснением, VI класс), «Ответить на некоторые контрольные вопросы по доказательству доказанной в классе сложной теоремы». Много хороших вопросов имеется в «Методике геометрии» Ю. О. Гурвица и Р. В. Гангнуса. К сожалению, в изданных сборниках устных упражнений геометрия или совсем не представлена, или представлена почти исключительно устными задачами на вычисление.

Возможны, но скорее как исключение, и задания по доказательству изученных теорем, но только в старших классах, где учащиеся пишут достаточно быстро и должны показать усвоение определенного способа доказательства ряда аналогичных теорем (например, признаков подобия треугольников) и умение литературно оформить доказательство.

Как правило, теоремы надо спрашивать устно. А в младших классах исключительно устно.

Наоборот, проверять устно умение решать задачи по геометрии труднее.

Задачи всех типов: а) на вычисление, b) на доказательство, с) на построение, d) на нахождение геометрических мест, е) на развитие геометрических представлений и воображения, f) практические — могут быть включены в тексты работ. Наименьший интерес представляют арифметические задачи на геометрическом материале, которых так много в задачнике Рыбкина.

Вопросы, требующие размышления, исследования, задания по составлению схем или заполнению схем, задания опровергнуть некоторое суждение, задания по практическому определению площадей и т. д. обычно не находят себе места в контрольных работах.

Желательны и такие контрольные работы по геометрии, при выполнении которых было бы разрешено пользоваться учебником или другой справочной литературой.

Такая обстановка выполнения работы наиболее близка к нормальной обстановке работы взрослого человека. Так, например, ученикам VII класса было предложено решить две задачи, а вместо пространных объяснений сделать ссылки на параграфы учебника, которым было разрешено пользоваться. Такой метод работы приучает пользоваться учебником и быстро ориентироваться в нем.

Контрольная работа, так же как и устный опрос, должна проверить различные умения, навыки и знания ученика. Поэтому каждое задание должно быть составлено именно с расчетом проверки определенного умения.

Работая в VI классе, я именно так и составлял контрольные работы. Вот один из вариантов контрольной работы по теме «Введение».

1. Дать определение смежных углов и начертить их. Записать их свойство (проверяется знание фактического материала).

2. Разделить отрезок пополам с помощью чертежных инструментов. Построение описать (проверяется умение выполнять построение).

3. Может ли разность между двумя углами быть тупым углом? Ответ пояснить чертежом (проверяется степень развитости геометрического воображения).

4. Сказать другими словами следующую мысль: «Стороны угла продолжены за вершину» (проверяется развитие речи).

Оценка выполнения каждого задания производилась раздельно. В журнал выставлялась суммарная оценка.

Заметим, что особая оценка каждой части работы очень нравится учащимся. Учитель, ведущий учет знаний, получает более отчетливое представление об умениях каждого ученика.

Возможна и такая контрольная работа, рассчитанная на 15—20 минут, которая содержит одно или два задания одного типа.

Например, проверяется умение практически определить площадь фигуры, изображенной на карточке, или умение оформить запись решения геометрической задачи, разобранной коллективно, или способность ответить на ряд вопросов о свойствах воображаемой пространственной фигуры (см., например, работу проф. Четверухина «Опыт исследования пространственных представлений и пространственного воображения учащихся»)*.

Из бесед с учителями выясняется, что многие из них не вполне ясно представляют себе, какие контрольные работы по геометрии можно проводить в VI классе. В этом нет ничего удивительного, так как стабильный задачник не может правильно ориентировать учителя, преподающего первые темы. Было бы очень желательно, чтобы в конце каждой главы задачника по геометрии был дан текст примерной письменной контрольной работы.

Арифметическая сторона в решении геометрических задач весьма сказывается и своеобразно отражается на оценке работ по геометрии с тригонометрией на экзамене на аттестат зрелости.

В подавляющем большинстве случаев в работах десятиклассников, оцененных баллом «4» и «5» (не говоря о посредственных), именно вычислительная, а не геометрическая часть оказывается в центре внимания учителей и является основным предметом оценки.

Организация контрольных работ по геометрии

Контрольная работа заменяет 5—6 уроков сплошного опроса, позволяет обеспечить своевременность учета, занятость каждого ученика делом. Отсюда можно сделать вывод о желательности увеличения числа контрольных работ по геометрии, по крайней мере в старших классах. Не будет ли это пожелание противоречить указаниям Министерства просвещения РСФСР о регламентации контрольных работ, не получится ли перегрузки учащихся контрольными работами? Мы полагаем, что нет. Перегрузка в домашней работе школьника создается только в том случае, когда часто проводятся ответственные работы, требующие специальной подготовки, охватывающие большую часть изученного материала, и, что самое главное, им предшествует специальное предупреждение со стороны учителя. Такие контрольные работы должны действительно строго регламентироваться. Другое дело — контрольные работы, проводимые без предупреждения в обычные сроки (45 минут) или сокращенные (15—20 минут). Никто не стал бы возражать, если бы учителю удалось устно спросить каждого ученика на уроке и поставить достаточно обоснованную оценку данного конкретного умения, проявленного этим учеником. Рассчитанная на непродолжительный срок письменная работа как раз позволяет такую оценку поставить и не требует от ученика специальной подготовки.

Именно ведь так поставлен учет знаний в начальной школе.

Что же касается другого возражения: ученик слишком волнуется во время контрольной работы, возбуждается его нервная система и т. д., то достаточно указать, что причиной всего этого является именно необычность, редкость контрольных работ. Введение частых контрольных работ в систему учета знаний ликвидирует эту ненормальность. А некоторое волнение спрашиваемого неизбежно и при устном опросе.

Короткие и проводимые без предупреждения контрольные работы рекомендуются в методическом письме Министерства просвещения РСФСР за 1952 г. В школе № 21 г. Тюмени мы предлагаем такие работы за 15—20 минут до звонка:

«Построить окружность длиной 20 см и описать около нее правильный двенадцатиугольник» (IX класс).

«Доказать, что в треугольной призме наибольшую площадь имеет та боковая грань, которая лежит против наибольшего двугранного угла» (X класс).

«Начертить треугольник и измерить транспортиром все его углы. Результаты записать» (VI класс).

«Дано, что в параллелограме ABCD KB || MD (К и M — точки на диагонали АС). Доказать, что BMDK— параллелограм» (VII класс).

Заметим, что такие работы отучают учащихся пользоваться черновиком: нет времени для переписывания.

В последние 2—3 года появилась некоторая «мода» на следующий способ «накопления» оценок. За первые парты в начале урока усаживают трех-четырех учеников и вручают им билеты с заданиями. Ученики пишут те же контрольные работы, о которых говорилось выше, и подают их учителю, в лучшем случае не участвуя в меньшей части урока, а часто и в большей его части. Такой метод учета зна-

* «Известия АПН РСФСР», вып. 21.

нии, конечно, должен быть забракован. Он справедливо осужден, например, в журнале «Народное образование» (редакционная статья в № 10 за 1952 г.).

Заслуживает внимания и заимствования опыт одной из учительниц школы № 21 г. Тюмени, включавшей в контрольные работы те задачи, которые ранее предлагались для домашнего решения, причем учащиеся еще в начале четверти предупреждались, что такие работы будут практиковаться.

К организации контрольной работы относится вопрос об образцах оформления решения. Так, в VII классе школы № 21 мы вместе с преподавателем Н. П. Жоровой вывешивали в классе за несколько дней до контрольной работы выполненный на большом листе бумаги образец оформления решения задач.

Например, перед проведением контрольной работы на построение четырехугольников был вывешен лист с решением наиболее типичной задачи на построение параллелограма.

Было бы поучительно приготовить и вывесить такие листы хотя бы с образцово выполненными прошлогодними ученическими работами перед экзаменом по геометрии на аттестат зрелости для общего обозрения. Но лучше образцы оформления работ создать методическому объединению.

В шестых классах, где учащиеся пишут медленно и плохо умеют «переводить» условие задачи на язык чертежа, возможны такие задания, где чертеж дается учителем. Много таких задач на доказательство предложено в статье М. С. Бернштейна («Математика в школе», 1941, № 4).

Проверка и оценка контрольных работ по геометрии

Проверка контрольной работы по геометрии требует большего времени и внимания, чем проверка работы по алгебре (особенно в старших классах, где изучается стереометрия). Если при проверке работы по алгебре или арифметике достаточно проследить правильность преобразований и вычислений, обычно не требующих пространных объяснений, то в работе по геометрии необходимо еще проверить правильность чертежа (и притом с разных точек зрения), соответствие записей обозначениям на чертеже и, главное, логичность, точность и грамотность объяснений, С этой стороны контрольная работа по геометрии близка к сочинению.

Понятно, что речь идет о подлинно геометрических задачах, а не об арифметических задачах на геометрическом материале, которые переполняют тетради учащихся, не требуя для своего решения настоящего знания и понимания геометрии.

Часто получается, что даже при проверке работы по геометрии преподаватели обращают внимание именно на все ошибки, кроме геометрических. Проверяя каждый год экзаменационные работы по геометрии, написанные десятиклассниками, я убеждаюсь в этом постоянно. Вот некоторые примеры этого года.

Ученик В. утверждает, что четырехугольник будет прямоугольником потому, что у него две противоположные стороны параллельны.

Ученица Л. утверждает, что прямые параллельны, так как лежат в параллельных плоскостях.

Ученик Ж. считает, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к одной прямой в этой плоскости; он же полагает, что в двух разных треугольниках против большей стороны лежит больший угол.

Ученик К. в работе, оцененной баллом «5», пишет, что если в четырехугольнике один угол прямой, то и все другие то же прямые.

В ряде работ учащиеся утверждают, что сечение имеет форму прямоугольника потому, что диагонали, пересекаясь, делятся пополам, и т. д.

К сожалению, часто учителя не замечают или не хотят замечать этих ошибок; а между тем в рецензиях со всей тщательностью отмечается, например, что логарифм косинуса 52°28' найден неверно.

Дело доходит до курьезов. Перед нами титульный лист к комплекту контрольных работ по геометрии с тригонометрией, написанных учащимися школы № 5 г. Ишима. На этом листе помещен перечень допущенных ошибок и недочетов, содержащий 10 пунктов.

1. Выражение 1+tgα/2 не приведено к виду, удобному для логарифмирования — 10 ошибок.

2. Определение тригонометрических функций — 3.

3. Деление дроби на целое число — 5 и т. д.

10. Нерациональные преобразования — 2.

Ни одного пункта, отмечающего геометрические ошибки, нет. Можно подумать, что работа была по алгебре с тригонометрией или что геометрических ошибок не было. Но как раз из 19 работ удовлетворительно написана одна, а 18 — неудовлетворительно.

Выше мы перечисляли бросающиеся в глаза грубые ошибки, не замечаемые учителями. А сколько нелогичных объяснений, неверных выводов, необоснованных положений остается вне поля зрения экзаменационных комиссий. Есть школы, где задача на экзамене на аттестат зрелости вообще всеми учащимися решалась без каких бы то ни было объяснений или

с многословным и бессодержательным пересказом условия задачи.

В диссертации С. И. Руновского «Педагогические основы оценки успеваемости» совершенно справедливо указывается на недостаточную разработку норм оценок успеваемости по математике. Мы бы добавили к этому, что особенно остро нуждается в такой разработке геометрия. Действительно, почти все примеры, приведенные в «Нормах оценки», утвержденных Министерством просвещения РСФСР, относятся к арифметике и алгебре или тригонометрии.

Единственный пример грубой ошибки из геометрии описан в следующих неопределенных выражениях: «Отсутствие достаточно четких геометрических представлений, необходимых для решения задачи (в тех случаях, когда учащийся обязан располагать ими); неумение дать обоснованные объяснения решению геометрической задачи (в несложных случаях)».

Это слово «несложные» толкуется везде по-своему, а больше никаких указаний, относящихся к геометрии, в упомянутой брошюре нет.

В журнале «Математика в школе» в статье Д. М. Маергойза «К изучению математических ошибок учащихся» речь идет только об алгебре, арифметике и тригонометрии.

Ряд конкретных указаний можно найти в статье К. С Богушевского «К вопросу о выполнении экзаменационных работ на аттестат зрелости по геометрии и тригонометрии»*. Но, она, конечно, не исчерпывает вопроса.

Классификация и анализ геометрических ошибок еще нуждаются в разработке.

Контрольную работу по геометрии желательно рецензировать, отмечая логические недочеты и ошибки. Это трудоемкая, но очень важная часть работы учителя геометрии. Ограничиться вопросительным знаком или подчеркиванием — значит ничего не сказать ученику.

Хорошая ученица Б. в VIII классе школы № 21 г. Тюмени получила в контрольной работе задание — ответить на вопрос: «Могут ли быть подобными неравные прямоугольные треугольники с равными гипотенузами?».

Ученица рассматривает треугольники с равными гипотенузами, но один равнобедренный, а другой с углом в 30° и точно доказывает, что они не подобны.

В тетради появляется совершенно необходимая рецензия учителя:

«Вы доказали, что рассмотренные Вами прямоугольные треугольники с равными гипотенузами не подобны, но не ответили на вопрос: могут ли такие треугольники быть подобными?»

В заключение несколько слов о письменных контрольных работах на экзамене на аттестат 'зрелости.

Уже раздались голоса о необходимости отделения экзамена по геометрии от экзамена по тригонометрии. Действительно, это было бы весьма желательно и полезно для того и другого предмета.

Было бы весьма желательным проводить на устных экзаменах собеседование по поводу контрольной работы, характер которой, очевидно, должен быть несколько изменен, если тригонометрия отделится.

Было бы очень хорошо, если бы к тексту работы по геометрии на экзамене на аттестат зрелости, с целью унификации требований, прилагалось краткое перечисление тех положений, которые необходимо и достаточно обосновать.

Образцы выполнения работ должны быть, наконец, разработаны центральными методическими учреждениями.

О СВЯЗИ ФИЗИКИ С МАТЕМАТИКОЙ В КУРСЕ VIII КЛАССА

Г. А. ЛОСЬ (Щуровчики, Хмельницкая обл.)

Успешное изучение физики в VIII классе зависит от уровня математической подготовки учащихся. Уже в первой четверти учебного года при изучении равномерно-переменного движения учащимся приходится решать задачи, требующие знания линейных уравнений, системы линейных уравнений, квадратных уравнений.

Кроме того, ответ на задачу по физике требуется получить в общем виде, и только потом, подставив численные значения известных величин, получить значение искомой физической величины.

Для этого учащийся должен обладать необ-

* «Математика в школе», 1953, № 2.

ходимыми навыками в оперировании с буквенными обозначениями величин.

Отсюда вытекает необходимость в первую очередь повторить на уроках алгебры уравнения и системы уравнений первой степени, вывести формулу корней квадратного уравнения до изучения раздела «Степени и корни». Такой порядок изучения алгебры в VIII классе более целесообразен ввиду того, что преподаватель алгебры будет иметь возможность с первых уроков приступить к решению задач на составление уравнений по условиям задач, и в то же время это даст возможность продуктивнее изучать физику, а решение физических задач на уроках физики будет способствовать более прочному усвоению алгебры.

Следующие примеры проиллюстрируют сказанное.

Пример I (№ 11, упр. 4, из «Курса физики», ч. I, и. и. Соколова). Доказать, что

где v — конечная скорость, v0 — начальная скорость, а — ускорение, s — путь при равномерно-переменном движении.

Доказательство I. В формулу пути

подставим вместо t его значение из формулы скорости

v = v0 + at.

После алгебраических преобразований получим то, что требуется доказать.

Для решения этой задачи необходимы не только знания физических законов, но и умение делать алгебраические преобразования. При этом учащиеся повторяют квадрат разности двух чисел, действия с алгебраическими дробями.

Доказательство II. Учащимся известно, что для нахождения пути равномерно-переменного движения можно среднее значение скорости умножить на время:

Поэтому

или

В этом доказательстве алгебраические преобразования значительно проще.

Пример II (№ 34 из «Сборника задач по физике» П. А. Знаменского).

Поезд, который идет со скоростью 43,2 км/час, проходит после начала торможения до остановки 180 м. Через сколько времени поезд остановился и с каким средним ускорением он двигался?

Решение задачи приводит к уравнению:

где s=180 м, v0 = 43,2 км/час = 12 м/сек, t — искомое время. Отсюда:

Пример III (№ 9, упр. 4, из «Курса физики», ч. I, и. и. Соколова).

В одном направлении одновременно пущены два тела: одно равномерно со скоростью 98 м/сек, а другое равномерно-ускоренно с начальной скоростью 0 и ускорением 9,8 м/сек. Через сколько секунд второе догонит первое?

Решение. После уяснения характера движения учащиеся получают уравнение:

где v' = 98 м/сек, v0 = 0; а = 9,8 м/сек2, t — искомое время.

Для решения этой задачи нужно уметь решать неполные квадратные уравнения.

Пример IV (Знаменский, № 87).

Камень падает в шахту. Через 6 сек. слышен стук камня о дно шахты. Определить глубину шахты, если скорость звука равна 340 м/сек и g = 10 м/сек (g — ускорение свободного падения).

Решение. Задача приводит к полному квадратному уравнению:

или к системе уравнений:

где t — время падения камня на дно шахты; t1 — продолжительность движения звука.

Все приведенные примеры указывают на тесную связь физики с алгеброй.

Но связь физики с математикой не исчерпывается только этим. При дальнейшем изучении физики учащиеся видят, что им приходится применять также геометрию (подобие треугольников, зависимость между сторонами треугольника) как при решении задач, так и при изучении теоретического материала.

Чтобы было возможно применять геометрию к физике, вводится понятие вектора, а дальше — понятие геометрической суммы. Ко времени прохождения темы «Сложение и разложение сил» учащиеся уже получили понятие о подобии треугольников, решали много задач по геометрии с применением подобия треугольников, но зависимость между сторонами треугольника изучается позже, что ставит в затруднение преподавателей физики при решении задач на сложение и разложение сил. Конечно, преподаватели физики находят выход из этого положения, решая много задач графически. Но этот способ не всегда удобен: он требует больше времени, ответ получается не очень точный.

Для устранения указанного несоответствия желательно было бы изучать «Тригонометрические функции острого угла» после изучения зависимостей между сторонами треугольника, а не в таком порядке, как это сделано в программе.

Это оказало бы большую помощь преподавателям физики и способствовало бы более прочному усвоению геометрии, так как учащиеся применяли бы изученный материал по геометрии при решении задач по физике.

Проиллюстрируем сказанное несколькими примерами.

Пример I (Знаменский, № 273).

На наклонной плоскости длиной 2,5 м и высотой 1,5 м лежит груз 75 кг. Определить силу, необходимую для удержания этого груза, и силу давления. Трения не учитывать (черт. 1).

Решение. Разложим вектор силы тяжести Р по двум направлениям, одно из которых параллельно наклонной плоскости, а другое — перпендикулярно к ней. Получим два вектора: F — вектор скатывающей силы, равный и противоположный вектору силы, необходимой для удержания тела на плоскости, Рп — вектор силы давления. Следовательно, решение задачи сводится к вычислению длин этих векторов.

Р = 75 кг. Определить: F и Рn.

Треугольники A1ОC1, B1ОC1 и ABC — подобны (∠A = ∠A1C1O = ∠B1ОC1; ∠B = ∠A1ОC1 = ∠OC1B1). Из подобия треугольников запишем пропорциональность сторон;

или

Отсюда:

Подставив численные значения букв, получим окончательный ответ.

Черт. 1

Как видим, решение этой задачи приводит учащихся к необходимости пользоваться геометрическими знаниями: подобием треугольников и теоремой Пифагора.

Пример II (задача из §65 «Курса физики», ч. I, И. И. Соколова).

Даны две силы: F1= 3 кг и F2 = 2 кг. Найти равнодействующую этих сил при углах между ними в 30°, 90°, 150°.

Как известно из физики, равнодействующая двух сил, направленных под углом одна к другой, изображается диагональю параллелограма, построенного на слагаемых силах, т. е. геометрической суммой двух векторов: Р1 и Р2.

Следовательно, вычисление равнодействующей сводится к нахождению диагонали параллелограма, стороны которого равны 2 и 3, а угол между ними 30°, 90°, 150°.

Для решения этой задачи необходимо знать теорему Пифагора и теоремы о квадрате стороны, лежащей против острого и против тупого углов треугольника.

На этом примере в учебнике физики объясняется зависимость величины и направления равнодействующей двух сил от угла между ними. Величина равнодействующей в учебнике не вычисляется, учащиеся должны увидеть

зависимость величины равнодействующей от угла между силами наглядно, из чертежей.

Но в упражнении 11, следующем за этим параграфом, требуется решение задач графически и вычислением. Уже это говорит о том, что было бы лучше, если бы предоставлялась преподавателю физики возможность показать учащимся, как вычислить равнодействующую, применяя необходимые для этого геометрические знания.

К сожалению, таких знаний по геометрии к этому времени у учащихся еще нет, а они необходимы.

Найдем равнодействующую в данном примере.

I. Угол между силами 30° (черт. 2).

Черт. 2 Из чертежа видим, что

Теперь имеем:

II. Угол между силами 90° (черт. 3).

Решение не вызывает затруднений, если известна учащимся теорема Пифагора:

III. Угол между силами 150° (черт. 4). Из чертежа имеем:

Черт. 3

Но

Теперь имеем:

Черт. 4

Подставив значения F1 и F2, получим: R ≈ 1,62 (кг).

Широкое применение в физике находит тригонометрия. Хотя в VIII классе даются только первоначальные сведения из тригонометрии, но все же они могут быть с успехом применены учащимися при решении физических задач.

В § 68 учебника физики дан пример на нахождение силы (F1), приводящей в движение маятник (черт. 5).

Черт. 5

После изучения тригонометрических функций острого угла учитель физики может предложить учащимся (при повторении) найти значение силы F1, в зависимости от угла а и веса маятника Р. Учащиеся, если им известны тригонометрические функции, сразу скажут, что

F1= P.sin α.

Подобные упражнения можно давать и при повторении темы о разложении сил на наклонной плоскости, кронштейне и других простых механизмах.

В курсе математики средней школы много внимания и времени уделяется изучению функций и их графиков. Уже в VII классе на уроках алгебры учащиеся изучают графики функций

у = ах, у = ах +b,

графически решают уравнения и системы уравнений.

В VIII классе учащиеся изучают графики функций

у = ах2, у = ах2 +b, у = ах2 + bх + с.

Графическое изображение величин, определяющих ход физических явлений, находит применение в курсе физики VIII класса при построении графиков пути, скорости движения, а также при решении задач с помощью графиков.

Учащиеся знают из алгебры, что графиком функции у = а является прямая, проходящая параллельно оси абсцисс на расстоянии а от нее. Следовательно, и графиком скорости равномерного движения v = а (единиц длины / единицу времени) является та же прямая, только осью абсцисс будет служить ось временu (t), а осью ординат — ось скорости (v). Такое сравнение графиков способствует более прочному, осмысленному пониманию материала не только по физике, но и по математике. Сравнивая график скорости равномерно-переменного движения

v = v0 + at

с графиком линейной функции

у = ах + b,

учащиеся сами смогут сделать вывод о характере графика

v=v0+ at.

Хотя график пути равномерно-переменного движения и не изучается в VIII классе, но после прохождения графика квадратичной функции по алгебре при повторении можно поинтересоваться, смогут ли учащиеся определить вид графика пути равномерно-переменного движения

Правильные ответы будут говорить о прочном усвоении раздела «Графики и их функции», о способности ориентироваться в любой обстановке, применять знания, полученные по одному предмету при изучении другого. Полезно, если преподаватель математики при изучении графиков в качестве упражнения даст учащимся примеры из физики.

I. Построить график функций

где s и t — переменные.

Такие и подобные им примеры есть в «Сборнике задач по алгебре», ч. II, Ларичева (№ 660, 663, 665 и др.), и их следует решать.

Как видим, на протяжении всего курса физики VIII класса сказывается неразрывная связь ее с математикой, все усиливающаяся при дальнейшем изучении физики.

Хорошо отражает эту связь «Сборник задач и упражнений по алгебре» П. А. Ларичева, в котором имеется достаточное количество задач с физическим содержанием. Но такой связи не чувствуется в «Сборнике задач по геометрии» Рыбкина и в «Геометрии» Киселева. Учителям математики следовало бы на примерах конкретных задач показывать учащимся, как применяется геометрия в физике.

Особенно теперь, в связи с политехническим обучением, необходимо уметь применять полученные знания по математике к смежным дисциплинам. Это осуществимо только при изучении физики и математики в их взаимной связи.

СЕРЬЕЗНЕЕ ОТНОСИТЬСЯ К СОСТАВЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

М. С. ПАНЧЕНКО (с. Елань Сталинградской обл.)

В конце первого полугодия 1953/54 учебного года Сталинградский облОНО разослал по школам области тексты контрольных работ. Остановимся на тексте контрольной работы по геометрии с применением тригонометрии для десятых классов.

Текст данной контрольной работы составлен неверно, так как содержит противоречивые данные:

Основанием пирамиды SABCD служит квадрат со стороной а. Боковая грань SAB перпендикулярна к плоскости основания, а противоположная ей грань составляет с плоскостью основания угол а. Ребра SA и

SB наклонены к основанию под углом 90° — α. Определить сумму площадей боковых граней SAD и SDС. Вычислить эту сумму при а = 18,7 м; α = 63°20'.

Эту задачу учащиеся решали следующими двумя способами.

Решение 1 (черт. 1).

3) Найдем площадь △ASD:

площадь △ DSC равна:

Искомая сумма площадей равна:

Подставив числовые данные, получим:

Решение 2.

Искомая сумма площадей равна:

Черт. 1

Подставив числовые данные, получим:

Итак, ответы получились разные, как буквенные, так и числовые, хотя решения оба правильные.

Рассмотрим треугольники ASM и MSN.

Из первого треугольника получим:

а из второго:

Приравняв найденные значения SM, получим тригонометрическое уравнение, которому должен удовлетворять угол а:

Решив это уравнение, получим:

Следовательно, при α = 63°20', как дано в условии, задача не имеет решения.

Очевидно, составитель не продумал текст и не отнесся серьезно к составлению контрольной работы.

ИЗ ОПЫТА

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕСА СЕНА В СКИРДАХ И СТОГАХ

Н. А. МАЦКО (Чернигов)

В качестве практических работ на применение математических знаний учащихся можно рекомендовать вычисление веса сена в скирдах и стогах.

Эта работа имеет большое практическое значение, ибо в каждом колхозе скирдуют на сенокосах сено, а на полях солому, и часто возникает необходимость (не перевешивая) определять их вес.

Во-вторых, как показал опыт учителей многих школ нашей области, эти работы всегда интересуют учащихся и выполняются ими очень охотно.

В настоящей статье я хочу поделиться опытом проведения таких работ учителями математики школ Черниговской области.

I. Вычисление объемов скирд

В основании скирды лежит прямоугольник, но сама форма скирды бывает весьма разнообразна.

Наиболее простая форма скирд — это прямоугольный параллелепипед (черт. 1), на котором одной из своих боковых граней лежит треугольная призма. Нетрудно видеть, что объем такой скирды равен произведению ее площади поперечного сечения ABCDE на длину скирды ЕE1. Площадь поперечного сечения ABCDE находим как сумму площадей двух прямоугольных трапеций АВСО и OCDE, у которых одно основание ОС — общее, а два другие: AB и ED — обычно равны (так как гребень СC1 всегда делается посередине скирды). Итак, пл. ABCDE = пл. АВСО + пл. OCDE;

Для учащихся десятых классов вывод этой формулы не представляет затруднений. Для учащихся пятых классов, которые не изучают трапеции, пятиугольник ABCDE следует разбить на прямоугольник ABDE и треугольник BCD и площадь пятиугольника ABCDE вычислить по частям.

Черт. 1

Практически ОС (высота всей скирды) и AB (высота ее прямоугольной части) легко измеряются непосредственно. Для определения АО необходимо измерить ширину скирды и взять ее половину. Сумму двух первых измерений (в метрах) следует умножить на половину ширины скирды (также в метрах), тогда получим площадь поперечного сечения (в квадратных метрах). Если эту площадь умножим на длину скирды (в метрах), то произведение будет выражать объем скирды (в кубических метрах).

Пример. Высота всей скирды 5 м, высота ее прямоугольной части 3 м, ширина скирды 6 м, длина скирды 20 м. Тогда поперечное сечение скирды составляет

а объем скирды

Иногда для того чтобы уменьшить намокание скирд от дождя, их сужают к основанию (черт. 2). В этом случае нижняя часть скирды в поперечном сечении имеет форму трапеции, а площадь всего поперечного сечения скирды ABCDE можно рассматривать как сумму площадей трапеции ABDE и треугольника BCD. Итак,

Черт. 2

Величины BD, CK, АЕ и OK легко измерить непосредственно.

Черт. 3

Полезно рассмотреть измерение объема скирд, имеющих форму призмы, срезанной плоскостью, наклонной к основанию. У такой скирды основание АКВ и LDC не параллельны. Ребро KL короче ребер AD и ВС (черт. 3).

Кроме скирд, такую форму весьма часто имеют чердаки домов и сараев, и потому вычисление объема такого тела весьма ценно с практической точки зрения.

Проведя плоскость LD1C1 через вершину L параллельно грани АКВ, имеем наклонную треугольную призму AKBLD1C1 и четырехугольную пирамиду LD1C1CD.

Сумма их объемов равна:

Принимая во внимание, что

Величины AB, ВС, KL и высоту H можно измерить непосредственно.

Мы рассмотрели измерение объема скирд в случаях, когда их поперечное сечение представляет собой многоугольник. Сложнее измерение объемов скирд, сечение которых есть криволинейная фигура. Такие скирды можно разделить на три группы:

Черт. 4

1. Высокие скирды с круглым верхом. Как показано на чертеже 4, поперечное сечение таких скирд есть комбинация трапеции или прямоугольника и кругового сегмента. Если дуга сегмента незначительная (не более 50°), то для приближенного вычисления площади сегмента пользуемся формулой:

где b — ширина сегмента, a h — его высота, в случаях большей кривизны пользуемся более сложной формулой:

Обе эти формулы учащимся известны из учебника геометрии.

2. Низкие скирды с круглым верхом. В отличие от скирд предыдущей группы, ширина их больше длины. Измерение их объема ничем не отличается от измерения объема скирд пре-

дыдущей группы. На чертеже 5 показано разбиение поперечного сечения на сегмент и трапецию.

Черт. 5

3. Низкие островершинные скирды (черт. 6).

Поперечное сечение их можно рассматривать как фигуру, ограниченную параболой и секущей. Еще Архимед доказал, что площадь

такой фигуры равна 2/3ah, где а — длина основания фигуры, a h — высота (доказательство можно дать на математическом кружке, см., например, брошюру Д. Ю. Панова «Вычисление площадей», Гостехиздат, 1946).

Черт. 6

Следует отметить, что объем первых двух групп скирд с криволинейной фигурой в сечении в ряде колхозов вычисляют упрощенно при помощи перекидного шнура. Через вершину скирды от земли с одной стороны ее и до земли с другой стороны перебрасывают шнур. Длина этого шнура-перекидки измеряется в метрах. Измерение производится по ширине скирды несколько раз, при этом шнур слегка натягивается. Средний результат измерения составляет длину перекидки. После этого измеряют ширину скирды (если скирда сужается книзу, то берется среднее значение ширины). Объем скирды вычисляется по формуле

где П — длина перекидки, Ш — ширина, а Д — длина скирды (в метрах). Эта формула эмпирическая, т. е. выведена практикой. Целесообразно познакомить учащихся с ней, так как подобные эмпирические формулы применяются в ряде случаев на практике (измерение емкости деревянных бочек; вычисление веса скота по данным их обмера; вычисление теплотворной способности топлива в теплотехнике и пр.). Эти формулы, конечно, приближенные, но точность, которую дает пользование ими (до 5%), практически вполне достаточна.

II. Вычисление объема стогов

Стога отличаются от скирд тем, что имеют своим основанием не прямоугольник, а круг. Чаще всего нижняя часть стога имеет форму цилиндра, верхняя — форму конуса (черт. 7).

Черт. 7

Измерение объема таких стогов для учащихся десятых классов не представляет трудностей. Они сами могут вывести формулу

где L — длина окружности основания, Н1 — высота цилиндрической, а H2 — высота конической части стога.

Практически трудно измерить только Н2. Обычно ее измеряют так: измерив величину перекидки, от ее половины отнимают величину H (которую легко измерить непосредственно). Таким образом получится величина образующей l. Затем по длине окружности основания вычисляют радиус основания R и по теореме Пифагора вычисляют

Пример. Длина окружности основания стога 12 м, высота его цилиндрической части 6,5 му длина перекидки 18 м. Тогда находим:

длина половины перекидки =9 м;

образующая конической части = 9 — 6,5 = 2,5 (м);

радиус основания стога

высота конической части стога

объем стога

Черт. 8

В случае если вершина стога завершена полушаром (черт. 8), объем стога можно вычислить по формуле:

Черт. 9

Практически высоту H таких стогов измерить трудно, ибо переход образующей цилиндра в окружность плавный. Поэтому измеряют длину окружности основания и перекидку; по длине окружности основания определяют радиус окружности основания (он же и радиус полушария вершины стога). Высота цилиндрической части стога равна половине перекидки, уменьшенной на четверть длины окружности основания. Обычно перекидку перебрасывают дважды, крест-накрест, через вершину стога от земли, с одной стороны, и до земли, с другой стороны. Оба измерения складывают и делят пополам, — частное представляет среднее значение перекидки.

Если стог сужен к основанию, то длина окружности измеряется дважды: около земли и в наиболее широкой части, и для вычисления берется среднее арифметическое.

При вычислении объема высоких стогов с заостренной вершиной (черт. 9) их можно рассматривать как сумму двух геометрических тел: конуса и усеченного конуса. В ряде колхозов нашей области для измерения объема таких стогов пользуются и эмпирической формулой

где L — длина окружности основания, П — длина перекидки.

Кроме того, в ряде колхозов имеются специальные таблицы, пользуясь которыми можно быстро вычислять объем кругловершинных стогов, измеряя длину их окружности основания и перекидку. Желательно показать учащимся, как пользоваться такими таблицами (способ пользования описан в предисловии к таблицам и довольно прост) для контроля вычислений, произведенных при помощи геометрических формул.

III. Вычисление веса сена

Чтобы найти вес сена в скирде или стогу, следует полученное значение объема скирды или стога (в кубических метрах) умножить на вес одного кубического метра сена.

Примерный вес одного кубического метра сена в килограммах дан в следующей таблице*.

При вычислении веса соломы можно пользоваться таким значением веса одного куб. метра соломы (в килограммах):

солома ржаная или пшеничная в скирдах, свежесложенная . . . 85—100;

солома ячная или овсяная в скирдах, свежесложенная..... 75—85;

солома стручковых растений в скирдах, свежесложенная..... 50—70;

сено, пролежавшее в стогах 6 месяцев и больше........110.

* Таблица взята из украинского календаря «Сільско-Господарський календар на 1947 рік», Державне видавництво сільсько-господарської литератури УРСР, 1947, стр. 154.

Типы сена

Свежесложенное (через 3—5 дней после кладки)

Через две недели после кладки

Через месяц после кладки

Через три месяца после кладки

1. Сено из заливных лугов, лиманов и плавней:

а) грубостебельное сено: осока, тростник, капорник

38—40

40—42

51—52

52—55

б) тимофеевка, лисий хвост, стоколос, клевер, тонконог ....................

47—48

50—52

60—62

62—65

в) разнотравное бобово-злаковое сено......

50—55

55—60

63—68

65—70

2. Сено степное:

а) крупнопырейное ...............

48—50

50—52

60—62

61—64

б) крупноразнотравное..............

44—48

48—52

55—61

57—64

3. Сено с незаливных лугов лесной зоны:

а) сено с суходольных лугов (белоус, овсяница, метлица, тонконог)..............

50—52

55—58

64—67

65—71

б) сено из низменных лугов (мелкая осока, тонконог болотный, разнотравье) ..........

44—48

48—52

55—61

57—64

в) сено из лесных сенокосов...........

50—54

55—59

63—68

65—70

4. Сено из горных лугов:

а) из лугов верхней зоны............

50—52

55—58

64—68

66—71

б) из лугов нижней зоны............

46—50

50—54

57—60

59—63

5. Сено сеяных трав:

а) тимофеевка..................

48—50

52—54

62—65

63—67

б) клевер ....................

68—70

76—80

81—86

83—88

в) смесь клевера с тимофеевкой.........

58—65

64—68

70—75

72—78

г) люцерна...................

65—70

71—75

76—80

77—82

д) житняк ...................

50—52

57—60

64—67

65—70

е) экспарцет...................

65—70

71—75

76—80

77—83

ж) стоколос ...................

46—48

50—52

56—59

58—62

IV. Методические замечания

Так как программой по математике в V классе предусмотрено только определение площади многоугольника (путем разбиения на треугольники) и вычисление объема прямой призмы и цилиндра, с учениками этих классов можно провести практические работы по определению объемов скирд и стогов простейшей геометрической формы.

После того как учащиеся познакомятся с нахождением объемов призм или цилиндров, учитель сообщает учащимся, что они будут выполнять практическую работу на вычисление веса сена в скирде или в стогу. Учитель должен заблаговременно выбрать скирды или стоги соответствующей простой формы, вычислить вес сена, если можно, результат сверить с данными колхозного учета.

Учащимся дается задание подготовить необходимые измерительные приборы, шнур с делениями и длинные деревянные трости.

После объяснения, как следует выполнять работу, одним ученикам дается задание сделать те или иные измерения, другим — проверить измерения, вычислить объем скирд, вес сена в них.

Учащиеся десятых классов могут выполнить все описанные практические работы. Учителя школ нашей области Загребельный А. Г. (Ольшанская с. ш. Иванницкого района), Адаменко М. М. (Ядутинская с. ш. Борзнянского района), Полонец В. П. (Варвинская с. ш. Варвинского района) и другие обычно эти работы выполняют весной, когда почва подсохнет. К этому времени десятиклассники уже оканчивают изучение всех указанных в программе геометрических тел и имеют необходимые навыки в вычислении объемов.

Учитель разбивает класс на звенья по 4—5 человек и каждому звену дает задание на вычисление веса отдельных скирд или стогов. После выполнения работы учащиеся составляют отчет. Приведу образец такого отчета.

Отчет о выполнении практической работы по геометрии ученика X класса Иванницкой с. ш....

12 апреля 1953 года

Задание. Определение веса сена в стогу.

Учебные пособия. 35-метровый шнур с грузиком на одном конце для перекидки, рулетка, две длинные трости.

Чертеж к задаче (черт. 10).

Черт. 10

Данные, полученные непосредственно измерением: длина перекидки Р = 17,7 м; длина окружности основания стога l = 9,4 м. Вычисление объема по формулам:

Вычисление веса сена.

Сено пролежало в стогу около 9 месяцев; по таблице вес 1 м3 такого сена равен 110 кг, следовательно, вес всего сена равен:

53—110 ≈ 5830 кг ≈ 58 ц.

Отчеты следует тщательно проверять и оценивать.

Следует отметить наиболее распространенные ошибки и недочеты, имеющие место при выполнении учащимися данных практических работ.

1. Учащиеся не умеют правильно определить, какое геометрическое тело или комбинацию тел представляет данная скирда или данный стог, в особенности когда объем приходится определять приближенно.

Черт. 11

2. Учащиеся не имеют достаточных навыков в измерении. Например, как показано на чертеже 11 слева, высоту измеряют тростью, которую приставляют не вертикально. Удобнее измерять высоту шнуром с грузиком на конце. Этот шнур, как показано на чертеже 11 справа, перебрасывают через развилку на конце длинной трости.

3. Учащиеся не умеют пользоваться приближенными вычислениями. Так, при определении объема стога ученик может делать измерения с точностью до сантиметров, значение π брать 3,14, а вычисления производить с точностью до 0,0001 и т. п. Неумение пользоваться приближенными вычислениями приводит к тому, что учащиеся делают очень много лишней работы при вычислениях и часто допускают грубые ошибки.

ОБ ЭЛЕМЕНТАХ ПОЛИТЕХНИЗМА НА УРОКАХ ТРИГОНОМЕТРИИ

С. М. БЕРНШТЕЙН (Киев)

Основной задачей изучения тригонометрии в средней школе является: 1) изучение свойств тригонометрических функций, 2) приложение тригонометрии к решению практических задач из техники, физики, механики и др. При изучении изменения тригонометрических функций полезно обратить внимание учащихся на важность вычисления наибольших и наименьших значений тригонометрических функций.

Нахождение наибольших и наименьших значений тригонометрических функций имеет многочисленное применение при решении средствами тригонометрии практических задач, в которых требуется определить, при каких условиях получаются наивыгоднейшие размеры искомой величины.

Ввиду важности этого вопроса с точки зрения задач политехнического обучения считаем необходимым начать решение задач на вычисление наибольших и наименьших значений тригонометрических функций сразу после ознакомления учащихся с основными свойствами тригонометрических функций и их графическим изображением.

Рассмотрим примеры отыскания наибольших и наименьших значений тригонометрических функций.

Напомним вспомогательное предложение, часто применяемое при отыскании наибольших и наименьших значений выражений, содержащих тригонометрические функции:

Произведение положительных сомножителей, сумма которых постоянна, имеет наибольшее значение при равенстве этих сомножителей.

Рассмотрим некоторые практические задачи на вычисление наибольших и наименьших значений.

1. Какой наклон к горизонту должна иметь крыша, чтобы дождевая капля стекала в кратчайшее время (черт. 1)?

Решение. Разложив силу веса Р дождевой капли на две составляющие перпендикулярно и параллельно длине наклонной плоскости, получим силу Q = Psinα, двигающую каплю вниз. Вычислим, с каким ускорением стекает капля под действием силы Q. Применив второй закон Ньютона, получим:

P sin α = m-а,

где m — масса капли, а — ускорение.

Черт. 1

Откуда

Так как вес капли Р = mg (g — ускорение силы тяжести), то

Вычислим время, необходимое для стекания капли. Обозначив длину наклонной плоскости AB = s и применив формулу пути при равномерно-ускоренном движении, получим:

откуда

(1)

Ширина здания АС = b имеет постоянное значение; из прямоугольного треугольника ABD находим:

откуда

Подставив значение s в (1), получим:

Время t имеет наименьшее значение при

Длина ската

2. Требуется соорудить конический шатер данной вместимости V. При каком соотно-

шении высоты к радиусу основания потребуется наименьшее количество материи (черт. 2).

Решение. Задача сводится к отысканию условия, при котором боковая поверхность конуса имеет наименьшее значение.

Черт. 2

Пусть Тогда

где

откуда

(1)

Определим значение r:

где

т. е.

откуда

Подставив в (1), получим:

Ищем, при каком значении угла а боковая поверхность шатра имеет наименьшее значение; для этого требуется, чтобы знаменатель подкоренного выражения имел наибольшее значение. Подставим выражение cos α sin2 α так:

Так как сумма сомножителей:

постоянна, то наибольшее значение произведения получим при равенстве сомножителей, т. е. если

откуда Так как

то

3. Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега; с миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км по берегу от ближайшей к миноносцу точки (лагерь расположен на берегу). Гонец может сделать пешком 5 км/час, а на веслах по 4 км в час. К какому пункту берега должен пристать гонец, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время (черт. 3)?

Черт. 3

Решение. Пусть В — пункт, куда должен пристать гонец. Обозначим ∠ СВА = α — угол, под каким он должен плыть к берегу. Тогда из треугольника ABС имеем:

Время движения по пути AB на веслах t1 выразится формулой:

Время движения по пути BD пешком выразится формулой:

Время прохождения всего пути от миноносца до лагеря равно:

После упрощения получим:

Выразив sin а и cos а через tgα/2, получим:

откуда

Чтобы значение tg α/2 было действительным, должно иметь место неравенство

или

откуда

Следовательно,

тогда

т. е. гонец должен плыть к берегу под углом

Найдем BD:

т. е. направляясь на лодке под углом α≈36°52' к берегу, гонец пристанет в пункте, находящемся на расстоянии 3 км от лагеря. Минимальное время, необходимое для прибытия в лагерь, равно 4 часа 21 мин.

4. При конструировании трансформатора переменного тока, имеющего крестообразную форму, важно, чтобы железный сердечник наиболее заполнял внутреннее сечение цилиндрической катушки. Какие должны быть размеры x и у сердечника, если радиус катушки равен а (черт. 4)?

Решение.

Пусть

Тогда площадь S сечения сердечника выразится:

Но

поэтому имеем:

Ищем значение α, при котором выражение z = 2 sin 2α + cos 2α = A sin (2а + φ) имеет наибольшее значение:

откуда

Черт. 4

Из соотношения sin (2α + φ) = 1 находим:

откуда

Наибольшее значение площади:

Зная α, находим размеры сердечника х и у.

Примечание. Угол а можно было находить также непосредственно из уравнения

Откуда находим:

5. При построении канала, в целях уменьшения стоимости, выгодно уменьшить его поперечные размеры. В большинстве случаев форма живого сечения канала представляет равнобедренную трапецию с данным углом откоса φ.

Часть сечения, по которой вода при своем движении соприкасается с дном и стенками, называется смоченным периметром (подводным периметром).

Вычислить, при каком угле откоса φ, при заданной глубине канала h и площади живого сечения F, смоченный периметр (u) имеет наименьшее значение и какое именно (черт. 5)?

Имеем:

Далее:

откуда

(1)

Черт. 5

Из треугольника DBO находим:

Откуда следует:

(2)

Из системы уравнений (1) и (2) находим:

Тогда

(3)

Так как отношение F/h постоянно (F и h заданы), то наименьшее значение и имеет при наименьшем значении выражения

Обозначив

получим

Откуда

(4)

Чтобы значение cosφ было действительно, должно иметь место неравенство:

Откуда

Выражение - имеет наименьшее значение x = √3.

Из (4) имеем:

откуда φ = 60°.

Наименьшее значение смоченного периметра выразится из равенства (3):

Упражнения.

1. При каком остром угле а выражение cos3 α sin α имеет наибольшее значение?

2. Боковое ребро а правильной n-угольной пирамиды образует с основанием угол а. При каком а объем V пирамиды имеет наибольшее значение?

3. При каком значении а функция

имеет наибольшее значение, если ß — данный острый угол (постоянный)?

4. Требуется изготовить цилиндрический котел с данной диагональю d осевого сечения. При каком угле а наклона диагонали к плоскости основания объем котла имеет наибольшее значение?

5. Из жердей, длиной lm каждая, требуется соорудить коническую палатку. Под каким углом нужно наклонить их к плоскости основания, чтобы вместимость палатки была наибольшей?

6. Из круглого листа жести вырезается сектор, содержащий угол a, а затем сектор свертывается в конус. При каком значении угла а объем конической воронки будет наибольшим?

7. Найти наибольшее и наименьшее значение функций:

От редакции. Настоящая статья С. М. Бернштейна напечатана в сокращенном виде.

Приемы решения задач на отыскание наибольших и наименьших значений изложены в книгах С. И. Новоселова «Специальный курс тригонометрии» и «Специальный курс элементарной алгебры», а разбор примеров дан в статье У. С. Давыдова «Некоторые вопросы преподавания тригонометрии» (журн. «Математика в школе», 1954, № 2). Поэтому редакцией опущены теоретические пояснения, а также разбор решения примеров.

Материал настоящей статьи может быть использован в некоторой части для занятий в классе, а также для занятий математического кружка.

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ В КУРСЕ VI КЛАССА*

А. И. ЛЕНИЧКИН (пос. Зеленоградская Московской обл.)

1. Причины недостаточно глубокого усвоения учащимися VI классов формул сокращенного умножения

К числу таких причин относятся: 1) Формализм в знаниях учащихся: учащиеся могут заучить словесные формулировки, наизусть «сказать правило», но не всегда понимают формулы, а потому допускают ошибки и затрудняются в практическом применении формул. Так, зная, что учащиеся обычно легко решают простейшие примеры на возведение в квадрат таких двучленов, как (m+n)2, (2x — у)2 и т. д.; но не всегда могут правильно решить более сложные примеры, как, например:

и т. д., в особенности же примеры на деление:

или на разложение на множители:

и т. д.

Этот формализм имеет свои корни главным образом в том, что учащиеся воспринимают формулы, не вникая в смысл самих формулировок: что следует понимать под «первым» и «вторым» числом? как получается «произведение первого числа на второе»? что представляет собой «удвоенное» и «утроенное» произведение? как получается «квадрат» и «куб» числа, одночлена? какое различие между «основанием» степени и «степенью» числа? между «квадратом разности (или суммы)» и «разностью (или суммой) квадратов» двух чисел? между «полным» и «неполным» квадратом суммы или разности двух чисел? между «кубом суммы (или разности)» и «суммой (или разностью) кубов»?

Сознательному усвоению формул во многом будет способствовать сопровождение решения примеров подробными записями, поясняющими применение формул (по крайней мере — в начале изучения каждой формулы), например:

2) Недостаточность и несистематичность проводимых с учащимися тренировочных упражнений на применение изученных формул (особенно в порядке повторения и в форме устного решения простейших примеров).

При проверке домашнего задания и при устном опросе могут быть даны следующие устные примеры:

а) по алгебре:

и т. д.;

b) по арифметике:

и т. д.

Нередко эта недостаточность тренировочных упражнений происходит в результате неправильного подхода учителя к распределению учебного материала во времени: формулы сокращенного умножения проходятся только после умножения и деления многочленов, т. е. изучение формул отодвигается почти на конец учебного года. Целесообразнее же начинать изучение формул параллельно или попутно с прохождением умножения многочленов и закончить одновременно с делением многочленов. Так, например, формулы

можно пройти при умножении многочленов, а формулы

— при делении одночленов и многочленов.

Недостаточность и несистематичность упражнений ведут к тому, что формулы в должной

* Настоящая статья печатается в порядке методической помощи начинающему учителю.

мере не закрепляются и даже начинают забываться. Вот почему учащиеся склонны стать на путь «наименьшего применения» формул и пользоваться только теми формулами, которые они лучше запомнили, и только в тех случаях, где целесообразность применения формул очевидна. Так, учащиеся пользуются формулами преимущественно при разложении на множители, например, в следующих случаях:

а также при явно выраженном возведении в квадрат или в куб суммы и разности двух чисел: (3а — b)2, (x + 5)3.

Однако учащиеся редко применяют формулы (да и не всегда «угадывают» возможность их применения), например, в таких случаях:

не говоря уже о применении формул к устному счету при арифметических вычислениях.

В отношении неполного использования учащимися возможностей применения формул при преобразованиях вина иногда падает на самих учителей: отсутствие постоянных и настойчивых требований у ряда учителей к учащимся — обязательно применять формулы там, где это только целесообразно — приводит к недооценке учащимися роли самих формул. Вследствие этого учащиеся по шаблону, на основе общих правил, производят, например, умножение даже в таких случаях, как:

и т. д.

Наиболее часто это наблюдается при преобразованиях алгебраических дробей у тех учащихся седьмых классов, которые в VI классе не освоили применение формул сокращенного умножения.

3) Непонимание некоторыми учащимися назначения формул: давать готовые результаты, т. е. быть такого же рода таблицами, как в арифметике вычислительная таблица умножения. Отсюда отсутствие стремления к запоминанию формулировок изучаемых формул. Поэтому некоторые учащиеся путают формулировки или — еще хуже — пытаются незнание формул заменить безграмотными объяснениями полученных результатов «сокращенным» путем, например:

потому, что

Вот почему преподавателю, начиная с первой же изучаемой формулы сокращенного умножения, следует подчеркивать, что, применяя формулы, мы получаем готовые результаты, которые надо знать, как в арифметике таблицу умножения, а не находить эти результаты по общим правилам. Последнее значительно увеличивало бы время, необходимое для получения результата.

Только привив учащимся взгляд на формулы как на таблицу готовых результатов, можно добиться сознания необходимости твердого усвоения формул и ликвидировать вместе с тем такие «недоуменные вопросы» со стороны учащихся, как:

a) a2+2аЬ+b2 = (а+b)2. «А куда девался член 2аb?»

b) a2 — b2 = (a + b) (а — b). « А откуда появился сомножитель (а+b), когда дана разность, а не сумма квадратов двух чисел?»

c) (а — b)2 = a2 — 2аЪ+b2. «А откуда взялся член 2ab?»

4) Слабые навыки учащихся в обобщении понятий. Так, зная формулу

учащиеся затрудняются распознать квадрат суммы или разности в выражениях:

Причина этого кроется в том, что учащиеся узко, ограниченно представляют себе «первое» и «второе» число, а потому не умеют выделить их в заданном выражении. Они еще не уяснили себе в достаточной мере, что каждое «число», о котором идет речь в формуле, может быть не только числом, обозначенным цифрами или отдельной буквой, но и любым одночленным или многочленным выражением.

Для раскрытия и расширения понятий «первое» и «второе» число следует провести с учащимися примерно такие упражнения (имеются в виду формулы квадрата суммы и разности):

а) Назвать «первое» и «второе» число квадратов суммы и разности:

b) Назвать такие два числа, квадрат суммы или разности которых равен:

и т. д.

с) Будут ли полными квадратами суммы или разности двух чисел и каких именно чисел выражения:

и т. д.

В тех же целях следует, помимо общепринятой записи в общем виде формулы квадрата суммы и разности двух чисел, дать еще запись такого вида:

Последний вид записи может во многом облегчить учащимся понимание формул. Римские цифры учащиеся привыкли применять на уроках арифметики в качестве условных обозначений понятий «первое», «второе», «третье» и т. д. число, и в алгебре учащимся легче подразумевать под I и II любые числа и выражения. К тому же в этой записи нагляднее становится и самый состав результата, получаемого от возведения двучлена в квадрат: это трехчлен, в котором два члена квадраты каждого из двух данных чисел со знаком плюс (+) и один член — произведение (действие умножение) первого (I) числа на второе (II), взятое два раза, со знаком плюс (+) или минус (—), в зависимости от знака, стоящего между членами двучлена, возводимого в квадрат.

При таком четком представлении содержания формул квадрата суммы и разности учащиеся будут гарантированы в дальнейшем от ряда таких ошибок:

а) квадрат II числа они нередко берут со знаком минус (—), например:

b) при составлении удвоенного произведения I числа на II число возводят в квадрат входящие в состав их буквенные выражения, например:

с) разлагают на множители по этим формулам выражения:

(последнее без перемены знаков членов).

Небесполезно в тех же целях иллюстрировать изучаемую формулу пособием в виде классной стенной таблицы:

5) Нечеткое понимание учащимися характерных для каждой формулы особенностей, неясное представление о различиях между формулами. Вот почему после изучения всех формул курса VI класса учащиеся начинают смешивать, например, формулу произведения суммы двух чисел на их разность с формулой квадрата суммы или разности, допуская такие ошибки:

и т. д.

Для предупреждения учащихся от ошибок указанного вида необходимо при изучении формул оттенять характерные особенности каждой формулы, делать сопоставления вновь изученной формулы с ранее изученными, выявляя различия между ними, а именно:

Произведение суммы двух чисел на разность тех же чисел есть двучлен, представляющий собой разность квадратов двух чисел, которую надо составлять по разности данных чисел (но не по сумме!):

При применении этой формулы к делению и разложению на множители указать, что:

а) разность квадратов двух чисел делится и на сумму и на разность оснований:

b) в необходимых случаях можно сделать перестановку членов двучлена, чтобы он представлял разность квадратов:

с) сумма квадратов двух чисел, а также двучлен, оба члена которого суть квадраты чисел, но со знаком минус (—), не разлагаются по данной формуле, например:

При возведении в квадрат суммы или разности двух чисел получается трехчлен, называющийся полным квадратом суммы или разности двух чисел. Он состоит из квадратов каждого из двух чисел со знаками плюс (+) и удвоенного произведения I числа на II число со знаком плюс (+) в случае квадрата суммы и минус (—) в случае квадрата разности.

Следует обратить внимание на то, что

так как учащиеся склонны считать:

Поэтому же целесообразно примеры на эти формулы давать учащимся в разных вариантах:

Кроме того, в этих же целях необходимо:

a) сопоставить формулы квадрата суммы и разности двух чисел с формулой разности квадратов;

b) решать комбинированные примеры на эти формулы:

с) при применении формул квадрата суммы и разности к делению и разложению на множители указать, что:

во-первых, полный квадрат суммы или разности не изменится, если его члены переставить:

во-вторых, если оба квадрата I и II чисел даны со знаком минус (—), то для получения формулы надо изменить знаки у всех трех членов на противоположные:

в-третьих, если квадрат одного из двух чисел дан со знаком минус (—), а другого со знаком плюс (+), то такой трехчлен не является полным квадратом ни суммы, ни разности двух чисел, например:

в-четвертых,

вследствие переместительного закона сложения и (а — b)2 = (b — а)2— вследствие правила перемены знаков на противоположные у четного числа сомножителей.

При возведении в куб суммы и разности двух чисел получается четырехчлен, в котором два члена — кубы I и II чисел, а два другие члена— утроенные произведения: одно — квадрата I на II и другое — квадрата II на I. В формуле куба суммы двух чисел все четыре его члена имеют знак плюс (+), а в формуле куба разности знаки + и — чередуются.

Получаемое по этой формуле произведение есть двучлен, представляющий собой сумму или разность кубов двух чисел, причем знаки полученных степеней и оснований этих степеней одинаковы.

Обратить особое внимание на состав сомножителей: сомножителю «сумма двух чисел» соответствует сомножитель «неполный квадрат разности» и, наоборот, сомножителю «разность двух чисел» — «неполный квадрат суммы».

Сделать сопоставление с предыдущими формулами. Решать комбинированные примеры:

Существенную помощь учащимся может оказать знание количества членов, получаемых в произведении в каждой формуле. Например, если надо разложить на множители двучлен, то учащийся будет ориентирован только на две формулы:

при трехчленном выражении — только на формулу:

при четырехчленном — на формулу:

Но одного знания смыслового содержания каждой формулы, особенностей и различий между ними недостаточно, необходим еще со стороны учащихся самоконтроль, проверка правильности применения формулы к данному случаю. Так, если учащийся принял выражение a2 +2a+4 за полный квадрат суммы, то он должен проверить свою «догадку». Так как

то выражение a2 + 2а + 4 не может быть квадратом суммы.

II. Разработка темы «Формулы сокращенного умножения

А. Подготовительная работа

Выводу формул надо предпослать подготовительные упражнения. Подготовку к выводу формул следует организовать не на основном уроке, а на предшествующих ему двух-трех уроках путем включения подготовительного материала в текущий материал очередного урока. Для этой цели следует выделить по 10—15 минут.

1) Повторение материала, связанного с вновь изучаемым.

Сюда следует отнести упражнения по закреплению и уточнению ранее известных учащимся понятий: «куб суммы (или разности)» и «сумма (или разность) кубов» двух чисел, а также повторение теоретического и практического материала, относящегося к возведению в куб чисел, одночленов, двучленов. Например:

а) Написать «куб суммы (разности)» и «сумму (разность) кубов» чисел».

b) Прочитать выражения:

с) Вычислить:

d) Записать данные выражения в форме куба соответствующего основания:

е) Написать (или назвать) сумму и разность кубов чисел:

f) По данным суммы и разности кубов составить сумму и разность их оснований:

2) Введение нового термина— «неполный квадрат суммы и разности».

Объяснению термина «неполный квадрат суммы и разности» двух чисел должно предшествовать повторение понятия «полный квадрат суммы и разности». Для этого рекомендуется решить на доске два примера на возведение в квадрат суммы и разности, например:

Следует вновь обратить внимание учащихся на состав полученного трехчлена.

Затем надо написать три столбца трехчленов, среди которых были бы и полные и неполные квадраты суммы и разности двух чисел, а также и трехчлены, не принадлежащие ни к одной из этих категорий, например:

Рассмотреть сначала трехчлены первого столбца и вывести заключение, что все они полные, уже известные учащимся, квадраты суммы или разности.

Затем сравнить трехчлены второго столбца с первым и установить имеющиеся между ними сходства и различия, а именно: квадраты I и II чисел, знаки их (+) и знаки перед произведениями I числа на II у соответствующих при-

меров этих столбцов одинаковы, но произведения I числа на II в первом столбце взяты два раза (удвоенные), а во втором — один раз (не удвоенные).

Сообщить учащимся, что такие квадратные трехчлены, как во втором столбце, впредь условно будем называть неполными квадратами суммы и разности двух чисел, в отличие от полных квадратов. Дать правило составления неполных квадратов суммы и разности двух чисел: квадрат I числа, плюс (минус) произведение I числа на II и плюс квадрат II числа.

При сравнении трехчленов третьего столбца с трехчленами первого и второго столбцов устанавливается, что трехчлены третьего столбца не могут быть отнесены ни к полным, ни к неполным квадратам суммы или разности.

Проводится сопоставление записей в общем виде полного и неполного квадрата суммы и разности:

Полный квадрат суммы или разности

Неполный квадрат суммы или разности

Для закрепления понятия «неполный квадрат суммы и разности» проводятся упражнения:

а) выписать из данных квадратных трехчленов полные и неполные квадраты суммы и разности:

b) по данным сумме и разности составить полные и неполные квадраты суммы и разности тех же чисел.

После проведения вышеописанных подготовительных упражнений вывод новых формул будет во многом облегчен и создадутся условия для сосредоточения внимания учащихся только лишь на одном новом материале.

Кроме того, проведение подготовительных упражнений даст возможность вывести обе формулы на одном уроке, что имеет свое несомненное преимущество в методическом отношении, так как можно произвести сопоставление обеих формул.

Для более полного использования урока при выводе новых формул домашнее задание на день изучения этих формул следует дать небольшим по объему, а по содержанию — подготовляющим учащихся к усвоению нового материала. Например:

a) по теории — повторить (по учебнику Киселева) формулировки всех ранее изученных формул сокращенного умножения;

b) дать два примера на куб суммы и разности: (m+2)3 и (n2—1)3; 6—8 примеров на составление неполных квадратов суммы и разности по данным суммы и разности:

1-й урок

После проверки домашнего задания и проведения краткого устного опроса: какие формулы сокращенного умножения учащиеся уже изучили? как формулируется каждая из них? — учащимся сообщается, что на данном уроке будет приступлено к изучению последних двух формул сокращенного умножения.

1) Произведение суммы чисел на неполный квадрат разности.

Решаются на доске два примера на умножение суммы двух чисел на неполный квадрат их разности:

После получения результатов умножения делается вывод, что в обоих случаях от умножения суммы двух чисел на неполный квадрат разности получается сумма кубов тех же чисел. Поэтому в дальнейшем при наличии такого же вида сомножителей ответы будут получаться без выполнения самого умножения, а по готовой формуле.

Далее следует формулировка и запись выведенной формулы в общем виде:

Решаются примеры на применение выведенной формулы:

а) устно:

b) письменно:

Попутно с решением этих примеров учащиеся дают объяснения: что представляет собой первый сомножитель, второй сомножитель, их произведение.

Дается умножение суммы двух чисел на неполный квадрат их суммы:

и устанавливается, что полученное произведение не является уже суммой кубов, т. е. выведенная формула к такому сочетанию сомножителей неприменима.

2) Произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

Находятся непосредственным умножением произведения сомножителей:

и делается вывод, что при умножении разности двух чисел на неполный квадрат разности получается разность кубов тех же чисел.

Далее следует формулировка и запись этой формулы в общем виде:

Решение примеров: а) устно:

b) письменно:

Дается объединенная запись обеих формул:

На основе сравнения этих формул делается заключение, что сомножителю сумма должен соответствовать только сомножитель неполный квадрат разности этих чисел, а сомножителю разность — неполный квадрат суммы.

Даются примеры на закрепление выведенных формул (самостоятельная работа с последующей проверкой в классе):

Задание на дом: Ларичев, №641 (1—8), 642 (1).

2-й урок

На втором уроке проводится закрепление и углубление изученных формул, в том числе применение их для сокращенного деления.

После проверки домашнего задания решаются следующие примеры:

а) устно:

b) письменно:

а также примеры с перестановкой сомножителей:

и членов одного из сомножителей:

Затем формулы применяются к сокращенному делению:

а также

При решении примеров на деление следует вывести правило возможности применения этих формул к данному действию: делиться без остатка могут только или сумма кубов на сумму оснований, а также на неполный квадрат разности, или разность кубов на разность оснований, а также на неполный квадрат суммы.

Объясняется применение формул для устного счета при арифметических вычислениях:

Дается 10—15-минутная самостоятельная работа в двух вариантах, с последующей проверкой учителем этих работ дома.

Вычислить по формулам:

I вариант

II вариант

Задание на дом: Ларичев.№651 (5—10), 652 (1—4), 653 (1—4).

3-й урок

Продолжение закрепления и углубления формул с применением их к разложению на множители.

После проверки домашнего задания решаются примеры на нахождение одного из компонентов действия по формулам:

Затем следует применение формул к разложению на множители. Примеры даются в следующей формулировке: представить сумму или разность кубов двух чисел в виде произведения двух сомножителей (если учащиеся разложения многочленов на множители еще не знают).

На основе чтения формулы сокращенного умножения в обратном направлении (справа налево) получаем формулы для выражения суммы и разности кубов двух чисел в виде произведения двух сомножителей:

Примеры:

Так как некоторые учащиеся допускают ошибки вида:

то следует произвести сопоставление вновь изученных формул с ранее изученными формулами куба суммы и разности.

Далее следуют упражнения в устном счете на применение формул к арифметике:

Самостоятельная работа в двух вариантах.

А. Произвести действия по формулам.

I вариант

II вариант

I вариант

II вариант

Задание на дом: Ларичев, №740(1—4), 741 (1—4), 742 (1—4), 657 (5), 642 (2).

4-й урок

Этот урок посвящается повторению всех формул сокращенного умножения на основе сопоставления вновь изученных формул с ранее изученными. Вместе с тем он является подготовкой к контрольной работе, которая должна включать в себя материал на применение всех формул.

1) Произвести действия (по формулам сокращенного умножения):

2) Найти один из компонентов (по формулам):

3) Представить в виде произведения сомножителей (по формулам):

4) Решить комбинированные примеры:

Задание на дом: Ларичев, № 637 (1, 2), 654 (1—7), 657 (1, 2), 739 (1, 2), 743 (1, 2).

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

КОНСТАНТИН АЛЕКСАНДРОВИЧ ТОРОПОВ

Н. А. СТОЛЯРОВ (Чкалов)

26 июня 1953 г. исполнилось 20 лет со дня смерти известного русского математика-педагога профессора Константина Александровича Торопова, автора ряда работ по вопросам преподавания математики, оригинальных учебников и исследований по математическому анализу.

Константин Александрович Торопов родился в семье священника 12 мая 1860 г. в селе Калиновском Камышенского уезда, Пермской губернии (по прежнему административному делению). Среднее образование он получил в г. Перми (ныне Молотов). В 1878 г. К. А. поступил в Петербургский университет на физико-математический факультет. Глубокое влияние на формирование К. А. Торопова как математика-педагога оказала знаменитая Чебышевская школа математиков, называемая обыкновенно Петербургской.

В то время в Петербургском университете работали знаменитые математики П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. Н. Коркин и другие.

К. А. Торопов уже с третьего курса университета включился в научную работу, его интерес сосредоточился в основном на интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений. В 1883 г. К. А. окончил университет со степенью кандидата математических наук, подав физико-математическому факультету диссертацию «Интегрирование алгебраических иррациональных дифференциалов в конечном виде (частный случай)». Известный профессор математики К. А. Поссе 11 февраля 1883 г. писал: «Диссертацию г. Торопова признаю вполне удовлетворительной и заслуживающею большого одобрения».

Ввиду выдающихся успехов по математике К. А. был оставлен при университете для подготовки к профессорскому званию. Два года он работал при университете, сдал магистерские экзамены, написал диссертацию и опубликовал ряд работ. Приведем некоторые из них (опубликованные математическим обществом при Харьковском университете): «Интегрирование некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений» (1884 г.), «Об интегрировании в конечном виде одного класса дифференциалов» (1885 г.).

В эти годы К. А. много читал политической литературы, его волновали вопросы общественной жизни. Назначенный в марте 1882 г. министром народного просвещения Делянов был одним из гнуснейших представителей зверской реакции. Делянов ставил перед собой задачу — вести беспощадную борьбу с революционным влиянием, с проявлением прогрессивной мысли в школьном деле. И вот, несмотря на то, что магистерская диссертация К. А. была высоко оценена оппонентами, он не был допущен к защите и был отчислен из университета ввиду

полученного отзыва о политической неблагонадежности молодого ученого.

К. А. Торопов после этого не мог получить место работы в средней школе и был вынужден поступить на службу в качестве счетовода конторы Пермской железной дороги в г. Перми. Только 18 декабря 1886 г. К. А. наконец получил место преподавателя математики в Пермской мужской гимназии. С этого времени он непрерывно преподавал математику в разных учебных заведениях, вначале в г. Перми (1886—1890), потом в Красноуфимском промышленном училище (1890—1892), в Пермском реальном училище (1892—1900), затем в Таганрогском техническом училище (1900—1908), в Белебеевском реальном училище (1908—1910) и с 1910 г. до июня 1933 г. — в г. Оренбурге (ныне Чкалов).

Константин Александрович принимал активное участие в общественной жизни. Как человек большой эрудиции, он был хорошо знаком с новыми методическими идеями. Живо откликаясь на них, он стремился будить мысль преподавателей математики. К. А., являясь прогрессивным педагогом, не мирился с косностью и рутиной в преподавании и всегда искал и находил новые пути в преподавании математики.

Где бы К. А. ни преподавал, везде он выступал с собственными учебниками и пособиями. Так, в 1894 г. им был опубликован «Краткий курс тригонометрии» (г. Пермь), в котором была предложена интересная теория решения треугольников. Отзывы об этом учебнике были напечатаны в журналах «Педагогический сборник», «Журнал Министерства народного просвещения», а также в газете «Русские ведомости» (1904). В 1908 г. К. А. развил дальше общую теорию решения треугольников и результаты исследования опубликовал в своей книге «Магический ряд и применение его к решению задач» (г. Таганрог). Второе издание этой книги К. А. опубликовал в 1911 г. в г. Оренбурге. Теперь этот общий принцип решения треугольников вошел в полный курс тригонометрии С. И. Новоселова под заглавием «Общий принцип Торопова решения треугольников».

Педагогическая деятельность К. А. была особенно интенсивной во время его жизни в г. Оренбурге (1910—1933). Здесь К. А. стал руководителем Оренбургского педагогического общества, читал публичные лекции по педагогике и методике преподавания математики. В 1910 г. К. А. был избран председателем математического кружка при Оренбургском реальном училище. Это был единственный математический кружок в дореволюционной средней школе, в котором преподаватели г. Оренбурга совместно с учащимися проводили творческую работу.

На заседаниях кружка читали рефераты как преподаватели, так и учащиеся. Лучшие из рефератов печатались в издаваемом кружком журнале «Записки математического кружка при Оренбургском реальном училище». В этом журнале К. А. опубликовал ряд методических работ: изучение квадратной функции, о вычислении корней кубического уравнения и другие.

После Великой Октябрьской социалистической революции К. А. включился со свойственным ему увлечением в работу по строительству новой советской школы. К. А. вел большую общественную работу, выступал докладчиком на различных совещаниях учителей, в методическом объединении учителей.

Одним из существенных вопросов этого времени являлся вопрос о программах. К. А. возглавил комиссию по составлению новой программы по математике.

В 1918—1922 гг. К. А. Торопов был ректором политехнического института.

В 1919 г. Народный комиссариат просвещения Киргизской ССР присвоил К. А. звание профессора математики. Позднее К. А. Торопов работал заведующим кафедрой математики в Институте народного образования и потом в Оренбургском государственном педагогическом институте.

В последнее десятилетие своей жизни К. А. опубликовал ряд интересных работ по методике математики в «Вестнике просвещения Оренбургского губернского отдела народного образования».

Константин Александрович умер 26 июня 1933 г.

Более 45 лет К. А. Торопов преподавал математику. Тысячи учителей получили математическую и методическую подготовку под его руководством.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О КНИГЕ У. С. ДАВЫДОВА «ЗАДАЧИ НА ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ»

(Учпедгиз БССР, Минск, 1953)

А. СТОЛЯР (Минск)

В предисловии автор рецензируемой книги указывает, что данный сборник задач и упражнений на исследование всех видов уравнений, изучаемых в средней школе, может служить методическим пособием для учителей, так как примеры и задачи в нем систематизированы по типам и снабжены соответствующими методическими указаниями.

Если бы эта книга была только сборником задач и не содержала никаких методических указаний, мы бы упрекнули автора лишь в том, что тематика задач, содержащихся в этом сборнике, очень мало отличается от тематики задач различных уже давно известных сборников, не удовлетворяющих требованиям политехнического обучения.

Однако рецензируемая книга не просто сборник задач, а методическое пособие. Поэтому мы в основном адресуем наши замечания содержащимся в ней методическим указаниям.

Первая глава книги посвящена исследованию уравнений первой степени с одним неизвестным. Против точки зрения автора на исследование этого типа уравнений у нас и имеются наиболее серьезные возражения.

В первом же абзаце рецензируемой книги обнаруживается устаревшая точка зрения, почти совпадающая с трактовкой вопроса в учебнике алгебры Киселева. Автор утверждает, что «при исследовании уравнений первой степени с одним неизвестным могут представиться пять случаев, а именно: корень может быть положительным, отрицательным, нулевым, неопределенным и «бесконечным» (отсутствие решения)», иллюстрируя тут же это положение на примере решения уравнения ах + 5 = 3x + а.

Рассмотрим более подробно это утверждение и иллюстрирующий его пример. Очевидно, что указанные пять случаев не могут стоять рядом, ибо в действительности они не принадлежат одной и той же ступени классификации.

При решении уравнения первой степени с одним неизвестным могут представиться три взаимно исключающие друг друга случая, а именно:

1) уравнение может иметь единственное решение,

2) уравнение может не иметь решения и

3) уравнение может иметь бесконечное множество решений.

Заметим, что терминов «неопределенный» и «бесконечный корень» следует избегать в школьном преподавании, как могущих лишь ввести в заблуждение учащихся.

Указанные три случая исчерпывают все виды решения уравнения первой степени с одним неизвестным.

Разумеется, что случай, когда уравнение имеет единственное решение, допускает дальнейшее исследование, ибо это решение может быть числом положительным, отрицательным или нулем.

Нахождение условий, при которых единственное решение уравнения является положительным числом, отрицательным или нулем, и составляет содержание процесса исследования линейного уравнения с одним неизвестным в узком смысле*.

Нахождение же условий, при которых это уравнение имеет единственное решение, не имеет решений или имеет бесконечное множество решений, следует отнести к процессу решения уравнения.

Устанавливая условия получения того или иного вида решения (единственное решение или бесконечное множество решений), мы выполняем исследование, но это исследование является средством для достижения цели, а именно — для исчерпывающего решения уравнения.

Установление же условий, при которых найденное решение уравнения является положительным, отрицательным или нулевым, не относится к процессу решения уравнения и составляет содержание дополнительного исследования решения, как функции параметров, содержащихся в уравнении.

Разумеется, что естественно привести сначала исчерпывающее решение уравнения, а затем дополнительное исследование решения.

Наши возражения относятся не только к порядку рассмотрения отдельных видов решения, а в основном к принципиальной постановке вопроса. Приведенный в книге образец решения и исследования уравнения ах + 5 = 3х + а способен лишь порождать формальное усвоение учащимися определенного рецепта, а не глубокое понимание сущности процесса решения и исследования этого уравнения.

Автор говорит:

«Решая уравнение:

* Если придерживаться трактовки этого вопроса, данной в учебнике Киселева. (Ред.)

найдем

и дальше перечисляет пять случаев:

Как видно, автор исходит не из допускаемых данным уравнением случаев, а из заранее созданной схемы, которую он пытается применить к каждому уравнению, к каждой задаче. Очевидно, что рассмотрение четвертого случая в приведенном выше примере является совершенно излишним, а пятый случай относится к процессу решения уравнения и должен предшествовать первым трем.

Действительно, решение найдено

только при а ≠ 3, а при а = 3 уравнение не решено.

Нам кажется более естественным нижеследующий образец решения и исследования этого уравнения:

(1)

1. Решение.

(2)

II. Исследование решения уравнения.

Как видно, при таком подходе мы не приходим к четвертому случаю, который здесь не имеет места.

Составленная таблица изменений знака корня в зависимости от значений параметра а:

содержит лишь готовые результаты исследования и поэтому не содействует пониманию сущности исследования функциональной зависимости x = —. Неудобства этой таблицы и ее методическая неполноценность еще более ярко обнаружатся, если сопоставить ее со следующей таблицей, содержащей все исследования указанной выше функции, а не только его результаты.

Формальное применение схемы повторяется в каждом «образце» решения задачи на исследование уравнения, причем автор настолько увлекается исследованием по этой формально заданной схеме, что в конце концов некоторые рассматриваемые им случаи не оставляют от условия задачи «ни рожек ни ножек».

Автор объясняет это необходимостью полноты исследования, как будто мы исследуем для того, чтобы исследовать, а не для того, чтобы найти всевозможные решения задачи, не противоречащие условиям задачи и не искажающие их смысл.

Как можно понять такое положение, при котором в условии задачи (№ 29) говорится о перпендикулярах, проведенных в точках А и В к данной прямой, а в некоторых «исследованных» случаях уже нет ни перпендикуляров, ни точек А и В. Ссылка автора на то, что в высшей школе учащиеся встретятся с подобным «вырождением» одних геометрических образов в другие, не может служить обоснованием необходимости рассмотрения таких «вырождений» уже в средней школе.

Механически перенося эту полноту исследования на задачи негеометрического содержания, некоторые учителя рассматривают и в задачах практического содержания так называемые «вырождения», вроде того, что длина колеса экипажа может быть не только положительным числом, но и нулем. Этот последний случай истолковывается как авария экипажа, обусловливающая определенный вид решения задачи.

Эта погоня за полнотой исследования в школьном преподавании не только нецелесообразна, но и вредна, ибо она приводит к выхолащиванию конкретного смысла условий задачи и не содействует привитию учащимся навыков правильного понимания условий задачи.

Как известно, одной из целей, которых мы добиваемся при решении задач на исследование уравнений, является, именно, научить учащихся правильно понимать условие задачи и правильно устанавливать соответствие между словесным и математическим его выражением, между математическим результатом и его конкретной интерпретацией по смыслу условий. Исходя из этих соображений, мы считаем, что подход автора рецензируемой книги к решению задач с конкретным содержанием с методической и методологической точек зрения принципиально порочен. Он исходит не из правильного понимания конкретного смысла условий задачи, определяющего множество допустимых значений данных и искомых величин, а из формально наперед заданной схемы, которую он, закрывая глаза, навязывает всем задачам.

Чтобы наши возражения не казались голословными, мы их конкретизируем на примерах решения задач, приведенных в рассматриваемой книге.

Уже при решении первой задачи у автора смешиваются две точки зрения на решение уравнений: новая, функциональная точка зрения, и старая, традиционная, получившая распространение посредством стабильного учебника алгебры Киселева.

Получив уравнение h1 + v1x = h2 + v2x1, автор пишет: «отсюда x = —, если v1 ≠ v2», и переходит к исследованию.

Очевидно, что указанное уравнение осталось нерешенным для случая, если v1 = v2.

Кроме того, применяя формально свою схему, автор четвертым по порядку рассматривает случай:

Однако совершенно непонятно, как может получиться «неопределенность» 0/0 из дроби —, когда сам автор указывает условия, при которых получается эта дробь (v1 ≠ v2). Эти условия (v1 ≠ v2) противоречат условиям, при которых могла бы получиться «неопределенность» 0/0*.

Очевидно, что при v1 = v2 мы должны исходить из самого уравнения (v1 — v2)x = h2 — h1 и решить его в этом случае.

При v1 = v2 мы получаем: 0-х = h2 — h1, следовательно, при h1 = h2 уравнение имеет бесконечное множество решений, а при hx1 ≠ h2 не имеет решений. Каждый из этих случаев решения, разумеется, конкретно интерпретируется, исходя из смысла условий задачи.

Случаи x > 0, x<0 и x = 0 относятся к исследованию единственного решения х = — уравнения, при v1 ≠ v2.

Перед задачей № 24 (гл. I) автор отмечает, что «при исследовании задач на смеси, сплавы и пр. следует иметь в виду, что, например, цена смеси должна заключаться между ценами составных элементов смеси. Это имеет место и для удельного веса сплава, пробы и пр.».

Однако при решении задачи № 24 автор практически не выполняет сделанное им же вполне справедливое указание. Приведем эту задачу.

Задача № 24. Сколько килограммов товара одного сорта ценою а руб. за килограмм надо смешать с m килограммами другого сорта ценою b руб. за килограмм для получения смеси ценою р руб. за килограмм?

При решении полученного уравнения автор получает, что

и переходит к исследованию решения.

В самом начале исследования автор утверждает, что по смыслу задачи а < p < b или b < р < а, и отсюда делает вывод, что х > 0. Это совершенно правильно, и очевидно, что этим случаем исчерпывается исследование, ибо другие случаи не допускаются неравенствами а < р < b> или b < р < а, вытекающими из условий задачи вместе с составленным из этих условий уравнением

Однако автор, в погоне за полнотой исследования, находит необходимым рассмотрение и других случаев, числящихся в его схеме.

Так, мы читаем:

в этом случае первый сорт не вошел в смесь, и поэтому цена смеси равна цене второго сорта».

Сплошная нелепость и схоластика! Кто же когда-нибудь в жизни называл смесью товар одного сорта? Ведь если товар первого сорта не вошел в смесь, то и самой смеси нет, что вполне согласуется с противоречием между условием (р = b) нулевого решения и неравенством a<p<b (или b<p<а), вытекающим из условий задачи.

Такой же странный сплав из одного металла получается у автора в одном из случаев формальной схемы исследования, примененной к задаче № 5 (гл. II).

Автор, очевидно, склонен называть товар какого-либо одного сорта «вырожденной смесью», а какой-либо один металл «вырожденным сплавом».

Не думает ли автор, что применение такого принципа «вырождения» может содействовать привитию учащимся навыков «вырожденного» понимания окружающего мира?

Порочность применяемого автором метода исследования к решению задач практического содержания обусловливается неправильностью его исходных положений и предпосылок.

Вместо того, чтобы исходить из множества допустимых значений параметров и искомых соотношений между ними и путем их всестороннего исследования получить различные виды решения, автор исходит из определенного формально заданного перечня видов решения, находит для каждого из этих видов решения необходимые для его получения условия и старается раскрыть конкретный смысл каждого вида решения, даже если условия его получения противоречат условиям задачи.

Таким образом, автор, пренебрегая конкретным смыслом условий задачи, навязывает задаче решения, противоречащие этим условиям. Исследование уравнений, полученных из условий задач с конкретным содержанием, у автора не отличается от исследования абстрактных уравнений.

Число примеров, иллюстрирующих подход автора рецензируемой книги к решению задач на исследование линейных уравнений, можно было бы увеличить.

Во второй главе книги, где автор рассматривает исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, мы находим очень краткие предварительные замечания теоретического порядка, формулировка которых не отражает функциональную точку зрения на решение системы. Иногда страдает и стиль этих замечаний.

Так, например, § 1 второй главы начинается со следующего замечания:

«Рассмотрим систему уравнений

Известно, что такая система имеет единственное решение, если детерминант системы ab1 — a1b ≠ 0; этими решениями являются:

Решения могут быть положительными, отрицательными и равными нулю».

* Саму запись х = 0/0 следует признать недопустимой как с научной, так и с педагогической точки зрения. (Ред.)

Возникает ряд вопросов.

1) Во-первых, почему «этими решениями являются», а не «этим решением является» пара чисел х и у?

Эта кажущаяся мелочь содействует образованию путаницы в истолковании понятия «решение системы».

2) Во-вторых, указание на то, что «решения (вместо «решение») могут быть положительными, отрицательными и равными нулю», не исчерпывает всех возможных случаев. (Решение может состоять из одного положительного и одного отрицательного числа, или же одно число может равняться нулю, а другое может быть отличным от нуля.)

Кроме того, само выражение «положительное решение системы» требует разъяснения («решение, состоящее из двух положительных чисел»).

3) Вместо того чтобы ссылаться на детерминант, который в школьном курсе не рассматривается, было бы целесообразнее показать, как мы элементарным путем приходим к условию (ab1 — a1b ≠ 0) определенности системы.

В § 3 той же главы читаем:

«1) Если одно из неизвестных, входящих в систему, не имеет конечного значения, то и другое неизвестное также не имеет конечного значения».

Это замечание явно не поможет учителю в выяснении случая несовместности системы. Стиль этой формулировки может лишь ввести в заблуждение учителя и учащихся, ибо это замечание, видимо, оставляет возможность рассмотрения «бесконечных» корней.

К решению задач на исследование системы двух линейных уравнений автор применяет ту же формально созданную схему, которую он применяет и к решению задач на исследование одного линейного уравнения.

Третья глава рецензируемой книги посвящена исследованию квадратных уравнений.

В этой главе, как и в последующих, посвященных исследованию тригонометрических, логарифмических и иррациональных уравнений, учитель математики найдет хороший материал и правильный подход к исследованию указанных типов уравнений.

При исследовании квадратных уравнений автор умело использует положения, обратные теоремам о знаке квадратного трехчлена.

Отметим громоздкость таблиц, которые автор составляет в результате исследования. Эти таблицы можно намного упростить и составить таким образом, чтобы их использовать для исследования, а не составлять их после исследования.

Особенно ценны для учителя примеры исследования иррациональных уравнений, ибо методика этого исследования совершенно недостаточно разработана.

Принципиальных возражений против подхода автора к исследованию этих типов уравнений у нас нет.

Мы указали здесь на основные, по нашему мнению, недочеты книги и не останавливались на недочетах более мелкого характера, которые имеются в книге. Приведем хотя бы несколько примеров.

1) На стр. 32 сказано: «Известно, что если одно из неизвестных, входящих в систему, имеет бесчисленное множество значений, то и другое неизвестное имеет бесчисленное множество значений, зависимых от первых». Во-первых, редакция этой фразы неудачна, ибо речь идет не о «значениях неизвестного», а о решениях системы. Во-вторых, утверждение автора не всегда справедливо. Рассмотрим, например, систему:

Здесь X «имеет бесчисленное множество значений», а у — одно.

2) Стр. 39: «Пусть а > 0, чего всегда можно достигнуть. Тогда знаки вещественных корней можно определить по теореме Виета». Почему «тогда»? А разве при а < 0 знаки корней нельзя определить при помощи той же теоремы Виета?

3) Стр. 41: «по теореме Виета:

Во-первых, из теоремы Виета только вытекает, что x1х2 = m + 3, а что m + 3 > 0, то это вытекает из условия x1 > 0, x2 > 0. Во-вторых, что —6 < 0 вытекает совсем не из теоремы Виета, а из определения неравенства рациональных чисел.

4) Стр. 44: в упражнении 2 правильно предварительно выведено условие действительности корней, так как только в этом случае можно значения корней сравнивать с 4. Но почему это предварительное условие не выведено в упражнении 1, где корни то же сравниваются с числом 3?

5) Стр. 45: «при m < 0 задача невозможна». Дело в том, что задача не имеет решения. Почему автор во всех других случаях говорил правильно: задача не имеет решения, а здесь вдруг употребил архаическое выражение.

В заключение отметим, что если переработать первые две главы книги и изменить подход к исследованию линейных уравнений и решению задач на исследование этих уравнений, а также тщательно отредактировать текст, то рецензируемая книга во многом бы выиграла и стала бы действительно ценным пособием для учителей.

ОБОБЩЕНИЕ ПЕРЕДОВОГО ОПЫТА

Я. А. ШОР (Москва)

Перед нами новый сборник*, освещающий опыт преподавания математики в V—VII классах средней школы. В связи с рассмотрением этого сборника мы хотели бы высказать некоторые принципиальные соображения по вопросу направления и содержания подобных сборников. Редакция математики Учпедгиза становится на правильный путь, приступив к изданию серии сборников, составленных из статей передовых учителей, описывающих применяемые ими методы работы. Помимо методической помощи учительству, такие сборники показывают каждому учителю путь к обобщению своего опыта. Учитель видит, что ему вполне доступно, вдумчиво анализируя свою работу, проверив ее на практике, изложить ее в печати. Сборники из опыта работы могут носить тематический характер и могут излагать опыт по различным, не связанным тесно друг с другом разделам программы. Таков, например, рассматриваемый сборник.

* «Из опыта преподавания математики в V—VII классах средней школы». Сборник статей под редакцией П. В. Стратилатова, Учпедгиз, 1954.

Издавая подобные сборники, редакция обязана: 1) выделять наиболее актуальные вопросы; 2) освещать такой опыт, который может быть применен в массовой школе, в обычных условиях, с обычным составом учащихся. Учитель, читая материал, должен верить тому, что в нем описывается конкретный опыт, что он может применить этот опыт в своей работе. Для этого изложение должно быть и конкретным, и обстоятельным.

С этих точек зрения рассматриваемый сборник имеет ряд достоинств. Основное направление сборника — вопросы политехнизации в процессе преподавания математики — весьма актуально. Правильно и то, что сборник начинается с вводной статьи, ставящей основные задачи политехнизации в преподавании математики. Вслед за этой статьей должны идти статьи, конкретно раскрывающие поставленные вопросы. В известной мере статьи сборника пытаются освещать эти вопросы.

Можно вполне согласиться с тем, что основное внимание уделено пятым классам, и в частности преподаванию арифметики. Работа по математике в пятых классах встречает значительные трудности, и методическая помощь учителям этих классов должна привлекать внимание Учпедгиза. В рассматриваемом сборнике имеются две статьи по организации измерительных работ на местности в V—VII классах. За последние годы этому вопросу уделяется большое внимание. Статья Т. Денисовой подробно излагает содержание измерительных работ в VII классе, организацию их проведения, необходимый инструментарий. Статья окажет помощь учителю. Автор исходит из предположения, что в V и VI классах уже были проведены основные измерительные работы на местности. К сожалению, эта предпосылка автора не подтверждается, так как измерения на местности далеко еще не везде проводятся. Поэтому правильно предложение автора провести предварительные упражнения, если они своевременно не были проведены. Однако время, отводимое автором для этой цели, недостаточно. За четыре часа, из которых два проходят в классе, нельзя провести эти работы.

Другая статья по вопросам измерительных работ на местности отчасти повторяет материал первой. Здесь мы должны сделать первый упрек редактору и издательству. Необходимо ценить каждую строчку, необходимо ценить и время читателя. Так, в статье М. И. Иванова имеется ряд моментов, повторяющих то, что уже было изложено в статье С. А. Пономарева, также и статьи по арифметике при более тщательном редактировании выглядели бы более компактно.

Полезные указания об использовании материалов пятилетнего плана при решении арифметических задач учитель найдет в статье Л. Г. Круповецкого. Автор статьи не только дает готовый набор задач (более 50) на различные разделы арифметики, но и сопровождает их ценными методическими указаниями о том, как учителю самому составлять задачи на основе текущих материалов, отражающих народнохозяйственную жизнь СССР, а также и местную жизнь. Л. Г. Круповецкий дает указания учителю, как использовать эти цифровые данные с тем, чтобы они создавали яркие образы могущества нашей Родины, содействовали делу коммунистического воспитания учащихся.

Статья Л. Г. Круповецкого не лишена и существенных недочетов. Во-первых, автор допускает заведомо нежизненные ситуации. Выработка электроэнергии в СССР в 1952 г. в 61 11/19 раза больше, чем в 1913 г. Сравнение добычи угля выражается числом 10 10/29; рост сбора зерна —через 77 7/9% и т. д. Во-вторых, и это самое главное, арифметическое содержание задач крайне бедно и однообразно. Из 46 предлагаемых задач больше 36 сводится к кратному или разностному сравнению (в частности, и в процентах).

Нередко весьма пространный текст задачи, усвоение которого потребует немало времени, приводит к выполнению 1—2 действий и притом одинакового характера в большинстве задач.

В сборнике имеется пять статей по вопросам преподавания арифметики в V и VI классах. В этих статьях учителя найдут много полезных советов. Так, например, в статье А. М. Нечай и Н. И. Сырнева правильно ставится вопрос о методике проведения уроков по арифметике с учетом понижения возраста учащихся на один год, делается упор на усиление наглядности, на преемственность в работе начальной и средней школы.

В статье Л. Б. Бограчевой ставится вопрос о расширении понятия о числе уже в V классе. Очень ценные указания о подготовительной работе к решению составных задач мы находим в статье Е. Н. Саговской. Там же мы находим и методические указания о работе над условием задачи, над составлением плана и различными формами письменного объяснения решения задачи. В статьях Е. Н. Саговской и других ставятся вопросы о разборе задач синтезом и анализом, о решении задач различными способами, о типовых задачах, о проверке решения, о составлении задач учащимися, о числовой формуле.

Конкретные и ценные указания о проведении контрольных работ по арифметике в V классе содержатся в статье К. П. Сикорского.

Вместе с тем этот важнейший раздел сборника не лишен существенных недостатков. Как уже нами отмечалось в отношении предыдущих статей, и здесь имеет место повторение одних и тех же вопросов, примерно в одинаковом освещении. При более тщательном редактировании можно было бы дать материал более компактно, что способствовало бы качественному улучшению материала.

Наиболее серьезным недостатком арифметических статей, как, впрочем, и других, — это стремление авторов в кратких статьях осветить ряд капитальных вопросов. Так, например, в статье Е. Н. Саговской, занимающей полтора печатных листа, освещается восемь основных вопросов методики обучения решения задач. Среди этих вопросов имеются и такие, как решение задач синтезом и анализом, различная форма письменного объяснения решения задач, составление задач учащимися и т. д. В статье Л. Б. Бограчевой, объемом около полупечатного листа, освещается шесть серьезных вопросов, в том числе такие, как расширение понятия о числе, работа над задачей, вычислительная культура и т. д.

Количество подобных примеров можно было бы значительно расширить, но и этих достаточно для того, чтобы сделать вывод о нецелесообразности такого характера освещения опыта. Авторам приходилось ограничиться краткими замечаниями, отдельными примерами. Читатель не увидит системы работы, целеустремленной суммы приемов, методики работы. Куда лучше было бы взять один вопрос, но раскрыть его полно и обстоятельно.

Следует обратить внимание на то, что авторы статей в отдельных случаях выходят за пределы программы, что противоречит категорическим указаниям Министерства просвещения РСФСР и ведет

к перегрузке учащихся. Так, например, М. И. Иванов в обзорной статье с похвалой отзывается об уроке, на котором учительница спрашивала ученика о различных системах счисления (стр. 96). Это же мы находим в статье А. М. Нечай и Н. И. Сырнева. Авторы прямо пишут, что «ознакомление с этим, выходящим за рамки программы, материалом мы считаем очень полезным» (стр. 130), и при этом утверждают, что 20—25 минут вполне достаточно для ознакомления детей с другими системами счисления, и указывают даже на три системы. Нереальность таких утверждений очевидна.

Л. Б. Бограчева пишет, что она требовала от учеников запоминания названия таких классов чисел, как квадриллионы, квинтиллионы, секстиллионы, септиллионы, октиллионы, нонильоны, децильоны. Такое расширение программы, такое загромождение памяти детей ненужным, нигде неприменяемым материалом совершенно недопустимо. Запись больших или малых чисел производится путем умножения на степень числа 10.

В краткой рецензии нет возможности подробно остановиться на таком важном вопросе, как методика обучения решению задач, наиболее волнующем широкие массы учительства. Несмотря на оговорки, авторы статей стоят в важнейшем вопросе — о синтезе и анализе — на позициях, не отражающих состояние вопроса в данный момент. Аналитический метод рекомендуется как предпочтительный (стр. 132), а Е. Н. Саговская прямо ставит вопрос о том, какой метод гарантирует более глубокое понимание задач, и заключает: «Ответ определенный: аналитический метод» (стр. 159). Правда, чуть ниже она говорит об аналитико-синтетическом методе, но это не спасает положения, так как такая позиция искусственно расчленяет синтез и анализ, не рассматривая их в единстве, в неразрывной взаимосвязи и взаимозависимости.

Авторы стоят на точке зрения так называемого классического анализа, что совершенно ясно видно из описания объяснения решения задачи, даваемого учеником (статья А. М. Нечай и Н. И. Сырнева, стр. 133, задачи 1 и 2); статья Е. И. Саговской (стр. 160). Ребенка 11 — 12 лет пытаются заставить уложить свои рассуждения в громоздкую, тяжеловесную схему. Авторы прошли мимо ряда интересных работ Института психологии АПН, в которых эта форма анализа подвергнута основательной критике. Мы отнюдь не ставим своей целью опровергать роль анализа и синтеза при решении задач, однако постановка этого вопроса не должна быть такой, какая дается в сборнике. Заметим, между прочим, что нельзя согласиться с утверждением: «Аналитический метод решения задачи исключает всякий элемент случайности в сопоставлении данных и искомых величин задачи». По этому поводу правильное указание мы находим у В. Г. Чичигина «Подбор данных к поставленному вопросу может быть ошибочным и неудачным» («Методика арифметики», 1944, стр. 293).

В сборнике мы находим указание о том, что, учитывая возраст учеников V класса, устный счет следует проводить не в начале или в конце урока, как это имело место раньше, а «лучше всего проводить устный счет в середине урока, в промежутке между более трудными вопросами...» (стр. 124). Такая постановка вопроса нам кажется неверной. Во-первых, это приводит к некоторому шаблону — устный счет в такой-то момент урока, и, во-вторых, и это самое главное, устный счет трактуется в отрыве от урока, в то время как в большинстве случаев его следует связать с темой урока. В зависимости от этого и надо выбрать как содержание устного счета, так и время для его проведения. На странице 127 мы читаем: «Первые уроки по арифметике в V классе имеют решающее значение. Именно на этих уроках решится вопрос о том, будет ли математика любимым предметом или нет». Конечно, первые уроки имеют значение, но такая переоценка их не нужна. К тому же автор сводит на нет роль учителя начальной школы, который безусловно может привить любовь к арифметике. Ратуя за педагогический такт, за умелый подход к детям, переходящим из начальной школы в V класс, авторы сами порой нарушают эти принципы. На первом же уроке арифметики (авторы, как мы видели, придают исключительное значение этим урокам) дается на дом задание: «Сложить все числа от 1 до 100» (стр. 128). Читаем дальше: «Домашнее задание потребует от ученика довольно большой (мы бы сказали недопустимо большой. — Я. Ш.) работы, так как подавляющее большинство учащихся будет искать сумму всех чисел от 1 до 100 непосредственным вложением.

На следующем уроке ученики убедятся в том, что можно применить другой прием».

Запугать весь класс с первого же урока таким непосильным заданием — это лучший способ возбудить страх перед предстоящей учебой по арифметике в средней школе, чувство неподготовленности к дальнейшей работе, а в худшем случае — неприязнь к учителю и предмету.

В некоторых случаях учащимся предъявляются требования, которые выполнить в школьных условиях нельзя. Так, например, в одной из контрольных работ (стр. 185) предлагается начертить какой-либо прямоугольный треугольник и вычислить его площадь с точностью до 1 кв. мм. Для получения такой степени точности нужно, измерить стороны треугольника с точностью до 0,1 мм, чего, конечно, ученики не могут сделать.

Излагая опыт работы математического кружка в V—VI классах, Р. Ю. Новицкая сообщает, что в V классе занятия кружка проводились еженедельно 11/2—2 часа. Кроме того, на дом давались задания по решению задач и примеров. Мы считаем такую нагрузку для учащихся V класса чрезмерной. Далее автор рассказывает о том, что учащихся VI класса ознакомили с проблемой Гольдбаха, им было «рассказано о великом русском математике П. Л. Чебышеве, который установил формулу для приближенных вычислений числа простых чисел, не превышающих данного числа (N); было рассказано также о работах советских математиков: Л. Г. Шнирельмана и лауреата Сталинской премии академика И. М. Виноградова, в связи с проблемой Гольдбаха (стр. 191)». Даже сама постановка перечисленных вопросов нам кажется малодоступной для учащихся VI класса, поэтому остается сожалеть, что автор не дал подробного описания этих занятий.

В небольшой статье А. И. Штукатуровой «Математические пионерские сборы в V—VII классах» нельзя, при всем желании, обнаружить различие между пионерским сбором и математическим кружком. Между тем в книге вожатого совершенно правильно указывается на существенное различие между предметным кружком и пионерским сбором. Задача пионерской организации — помочь в организации кружковой работы, заслушать на сборах отчет о работе кружков, организовать смотр, выставку и т. д., отнюдь не превращая пионерский сбор в предметный кружок.

Очень ценный материал учитель найдет в статье П. В. Стратилатова «Упражнения по алгебре на

материале теоретической арифметики». Этот материал послужит для повышения квалификации учителя. Правильно поступил автор, сопроводив статью решениями большинства упражнений. Нельзя, однако, думать, что эти упражнения можно в значительной мере использовать в VI—VII классах, даже во внеклассной работе. Для этой цели можно выделить лишь часть упражнений, да и то с тщательным отбором.

Мы провели решение ряда упражнений средней трудности с учащимися в конце второго курса педагогического училища, которые в течение двух лет изучают арифметику на более повышенном уровне. Пришлось убедиться, что решение этих примеров дается нелегко даже в конце второго курса педагогического училища, тем более они трудны для учеников V—VII классов. Однако статья очень полезна для самого учителя.

С особенной теплотой хочется отозваться о статье М. М. Шидловской «Первая тема систематического курса геометрии в VI классе». Трудность этой темы для преподавания общеизвестна. Выбрав такой трудный вопрос, автор обстоятельно и убедительно раскрыл методику изучения этой темы. Не пропуская ни одной детали, даже самой мелкой, автор шаг за шагом ведет изложение вопроса. Не подлежит сомнению, что этот опыт может и должен получить широкое распространение. Ценный материал в виде хорошо подобранных задач на доказательство на уроках геометрии в VI и VII классах дан в статьях Е. И. Отто и Б. К. Добронравовой.

Необходимо указать на весьма существенное упущение, касающееся всего сборника. Все вопросы, изложенные в данном сборнике, относятся к наиболее актуальным, и поэтому они получили широкое освещение в печати. Так, например, в журнале «Математика в школе» проведена дискуссия по вопросу о различных формах объяснения решения задач. На страницах журнала, в отдельных методических брошюрах, в опубликованных сборниках с материалами «Педагогических чтений» мы имеем обильный материал об измерительных работах на местности, о типовых задачах (дискуссионный материал), об устном счете, о внеклассной работе, о задачах политехнического характера, о работе по геометрии в V—VII классах и т. д. В этом материале значительно шире и полнее освещаются те же вопросы, которые помещены в рецензируемом сборнике. Поэтому совершенно недостаточно сделанное в предисловии указание, что «многое из того, что имеется в сборнике, читатель в том или ином виде встречал в журнальных статьях, в докладах на учительских конференциях и т. д.».

Следовало в каждом отдельном вопросе дать указание на соответствующую литературу и, быть может, даже краткую характеристику того, что учитель может почерпнуть из того или другого источника.

Сделаем краткие выводы.

1. Рецензируемый сборник, несмотря на ряд недочетов, безусловно окажет помощь учителю в его работе. Учпедгизу следует продолжать практику издания подобного рода сборников.

2. Материал для сборников надо отбирать более тщательно, избегая дублирования, выделяя наиболее ценный опыт и притом такой, который может получить массовое распространение.

3. Авторы должны строго придерживаться в своих статьях программы, установленной Министерством просвещения РСФСР.

4. Следует отбирать статьи, в которых вопросы освещаются обстоятельно, избегая схематического изложения в небольшой статье ряда важных вопросов.

5. Авторы статей должны соблюдать связь и преемственность в освещении вопросов с тем, что имеется по данному вопросу в методической литературе.

От редакции. Вполне соглашаясь с положительной оценкой т. Я. А. Шор статьи П. В. Стратилатова, редакция все же считает нужным отметить, что некоторые решения, данные в этой статье, неудачны и даже неверны. Приведем примеры.

1. «Найти НОД и НОК чисел 1122 и 1326 при произвольном основании системы счисления» (IV раздел, № 19).

Решение. Обозначив основание системы через xt будем иметь:

Отсюда:

Это решение вызывает следующие возражения.

Во-первых, уже из самой записи заданных чисел видно, что основание системы не может быть вполне произвольным — оно должно быть больше шести.

Во-вторых, ответ, приведенный автором, предполагает, что x+1 и x + 3 — взаимно простые числа. Это верно лишь для х четного. При нечетном х выражения х + 1 и х + 3 имеют общим множителем 2, и ответ тогда будет:

2. «Три числа имеют НОД = 17 и НОК = 1785. Сумма этих чисел равна 255. Найти числа».

Решение. Искомые числа можно представить так:

Тогда НОК будет

Продолжая далее решение, автор приходит к верному ответу. Но верный ответ получился только случайно. Автор получил для НОК выражение 17 abc, считая почему-то, что a, b и с — числа попарно взаимно простые. В данном случае это так и есть, потому и ответ получен правильный. Но поскольку в условии задачи это не оговорено, такое предположение автор был не вправе делать. Например, могло быть:

3. Задачи 10 и 11 из 8-го раздела допускают более рациональные решения,

О КНИГЕ П. А. ГОРБАТОГО «ОПЫТ ПРЕПОДАВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ В ШКОЛЕ»

(Киев, 1953, на украинском языке)

Е. М. БОЛЬСЕН (ст. Малая Виска Кировоградской обл.)

Рецензируемая книга состоит из таких разделов:

1. Планирование курса тригонометрии.

2. Пропедевтический курс тригонометрии в VIII классе.

3. Опыт преподавания систематического курса тригонометрии.

4. Формулы зависимости между тригонометрическими функциями.

5. Тригонометрические функции суммы и разности двойных и половинных аргументов.

6. Логарифмы тригонометрических функций.

7. Тригонометрические таблицы и решение треугольников.

8. Обратные тригонометрические функции.

9. Тригонометрические уравнения.

10. Приложение тригонометрии к решению геометрических задач.

В конце книги дан краткий перечень литературы, которую можно рекомендовать учителю.

В главе II автор делится опытом преподавания тригонометрии в VIII классе. Он начинает курс тригонометрии не с определения тригонометрических функций, а с решения задач практическою характера. Вот одна из них:

«Заводская труба поддерживается стальными канатами, наклоненными к земле под углом 40°. Определить длину этих канатов, если они прикреплены к трубе на высоте 12 м от основания».

Решить эту задачу методами геометрии ученики не могут, так как необходимо знать тригонометрические функции угла, к определению которых учитель и переходит. Автор сначала знакомит учащихся с определениями функций sin α и tg α, a на последующих уроках с определениями функций cos α и ctg α. Достаточное внимание автор уделяет решению практических задач.

Как указывает автор, учащиеся с большим интересом составляют таблицы тригонометрических функций:

sin5°; sin 10°; sin 15°; sin20°;...

Вычисление проводится измерением на рисунке.

В главе III книги автор рассказывает, как он проводит изложение темы «Тригонометрические функции» в IX классе. Прежде всего в начале изучения тригонометрии автор знакомит учащихся с градусным и радианным измерениями углов, а также с измерением углов в «тысячных», которое принято в артиллерии. Все эти новые понятия закрепляются решением разнообразных задач. Вот некоторые из этих задач:

1. В равнобедренной трапеции угол при нижнем основании в 2 раза (больше) меньше угла при верхнем основании. Определить углы трапеции в градусной, радианной и «тысячной» системе измерения.

2. Определить расстояние до телеграфного столба высотой 4,5 м, если его видно в биноколь под углом 0°10".

Большое внимание уделяет автор преподаванию темы «Тригонометрические функции и их свойства», считая, что глубокое изучение и усвоение этой темы учащимися имеет большое значение для всего дальнейшего изучения тригонометрии. Автор отошел от традиционного изложения и рекомендует следующий план изучения этой темы:

Направленные отрезки. Проекции — 2 часа.

Функция, ее график и свойства. Пропедевтика функции у = arcsin x — 3 часа.

Дальше изучаются в таком же плане функции

Заканчивается тема изучением формул зависимости между тригонометрическими функциями. Всего отводится на эту тему 10 часов.

Автор на протяжении семи лет в девятых классах знакомил учащихся с элементами теории обратных тригонометрических функций и достигал положительных результатов в десятых классах*. Упражнения по этой теме подобраны так, что они способствуют развитию функционального мышления учащихся и более глубокому пониманию графиков тригонометрических функций. Вот некоторые из этих упражнений:

1. Построить графики функций

и сравнить их периоды с периодом функции у = sinx.

2. Построить графики функций

3. При каких значениях аргумента х функция у будет иметь наибольшее и наименьшее значение:

Автор уже в IX классе решает простейшие тригонометрические уравнения, притом большое внимание уделяет и графическому способу:

В главе IV автор рассматривает следующие вопросы:

a) Формулы зависимости между тригонометрическими функциями.

b) Формулы приведения.

Изложение не отличается от традиционного. Заслуживает внимания прибор, при помощи которого автор наглядно показывает формулы приведения. Прибор представляет тригонометрический круг радиусом 1 дм, на котором нанесены координатные оси и острый угол о. Отдельно из разноцветной бумаги вырезаются координатные оси с острым углом а. Вся система скрепляется ниткой в центре тригонометрического круга.

Представляют интерес образцы контрольных работ, приведенных автором. Вот некоторые из них:

1. Вычислить: — cos ( —770°); tg 5.

2. Вычислить:

* См. статью П. А. Горбатого в журн. «Математика в школе», 1953, № 2.

3. Упростить:

По теме «Формулы зависимости между тригонометрическими функциями».

I вариант:

1. Найти все тригонометрические функции угла α, если:

2. Упростить:

3. Доказать тождество:

В главе V автор излагает опыт преподавания темы «Тригонометрические функции суммы и разности двойных и половинных аргументов».

Автор считает, что векторный способ изложения хотя и является более общим, однако с трудом усваивается учащимися, но и способ вывода формулы sin(α+ß), как это дано в учебнике Рыбкина, тоже устарел. Поэтому автор использует способ, изложенный в учебнике Пржевальского, выведенные формулы обобщаются аналитически для любых углов*.

Большое внимание уделяет автор устным упражнениям типа:

Автор, как и в других разделах, приводит образцы контрольных работ:

I вариант (по теме «Тригонометрические функции суммы и разнести двух аргументов»).

1. Вычислить cos (α — 45°), если sin α = — 5/6, причем α — угол в четвертой четверти.

3. Упростить:

II вариант (по теме «Тригонометрические функции суммы, разности двойного и половинного аргумента»).

1. Доказать тождество:

2. Упростить выражение:

3. Доказать тождество:

Глава VIII «Обратные тригонометрические функции» уже известна читателям по статье П. А. Горбатого, помещенной в № 2 журнала «Математика в школе» за 1953 г., поэтому мы на ней не останавливаемся.

В главе IX для читателя, особенно для начинающего преподавателя, представляет интерес планирование материала по теме «Тригонометрические уравнения», которое вполне приемлемо для школы. Большое внимание уделяет автор графическому решению упражнений. На уроке широко используются таблицы графиков:

На уроках при решении простых тригонометрических уравнений, кроме примеров из сборника Рыбкина, решается ряд упражнений, взятых из задачника А. И. Погорелова, например:

При решении указанных примеров учащиеся чаще всего делают ошибки.

Удачный подбор упражнений приведен на применение формул:

Правильно делает автор, что специально отводит время на решение уравнений, заданных в виде дробей, например:

знакомит учащихся с элементами теории равносильности уравнений и приучает к проверке корней*.

Автор не ограничивается при изучении данной темы только решением примеров, а рассматривает ряд задач, которые требуют умения решать тригонометрические уравнения,

Книга заканчивается главой X, в которой рассматривается приложение тригонометрии к решению геометрических задач.

Автор проводит эту работу, начиная с VIII класса, и, как мы полагаем, в этом он прав. Если решать геометрические задачи с приложением тригонометрии только в X классе, то учащиеся не получат необходимых навыков, а, кроме того, будут сильно перегружены домашними заданиями.

В IX классе автор уделяет большое внимание решению задач, в которых необходимо определить угол, причем в условии не дано ни одного линейного элемента (Сборник Рыбкина, № 823, 822, 828—831).

В X классе автор непосредственно приступает к решению задач на многогранники. Специальный § 57 автор отводит рассмотрению вопроса «О требованиях к письменным работам по геометрии с применением

* «Аналитическое обобщение», о котором идет речь, содержит распространенные ошибки. Так, например, получив формулу для синуса суммы из чертежа для случая α>0, β>0 и a + ß< π/2, автор формально без всякого обоснования заменяет ß на — ß, основываясь лишь на наивной уверенности в том, что формула остается справедливой. (Ред.)

* К сожалению, автор не устранил ряд архаизмов и говорит о «неопределенностях», об «обращении в бесконечность» и т. п. (Ред.)

тригонометрии в таком именно аспекте, как этот вопрос неоднократно рассматривался на страницах журнала «Математика в школе». Автор предостерегает от излишнего увлечения исследованием задачи, так как в некоторых школах подобные требования оказались непосильными для учащихся.

В § 58 автор приводит ряд образцов решений задач на сечения, комбинацию многогранников; эти образцы учитель может непосредственно использовать в практической работе в III и IV четвертях.

В последнем § 59 автор приводит 37 задач, которые предлагались на экзаменах в течение 1937—1952 гг. Безусловно, это ценное приложение, так как оно знакомит учителя с требованиями, предъявляемыми Министерством просвещения РСФСР.

Итак, подведем итоги: книга будет безусловно полезной начинающему учителю, независимо от того, будет ли он изучать в IX классе элементы обратных тригонометрических функций или нет, обилие упражнений дает возможность выбрать необходимые образцы контрольных работ, поможет учителю предъявлять правильные требования к оценке знаний учащихся.

Рецензируемая книга имеет и ряд недостатков. Непонятно, почему автор не освещает такой важный вопрос, как идейно-политическое воспитание учащихся в процессе преподавания тригонометрии. Ничего не сказано о формах ознакомления учащихся с историей тригонометрии. Мало приведено образцов решения практических задач в IX и X классах, в то время как это имеет важное значение при политехническом обучении. Автор переоценивает значение задач на определение углов; конечно, в X классе их нужно решать, но одновременно с другими геометрическими задачами. Трудно согласиться с П. А. Горбатым в вопросе о количестве контрольных работ. По нашему мнению, он проводит их редко; так, по теме «Тригонометрические уравнения» в X классе следует провести не одну, а две контрольные работы.

Совет решать задачи на многогранники с применением тригонометрии в начале учебного года (X класс) рискованный, так как за время летних каникул учащиеся частично забывают ранее пройденное, необходимо повторение материала. Для того и существует хорошая традиция: с 1 сентября организовать повторение основных разделов программы, изучавшихся в предыдущем классе. Это касается также и X класса, где следует повторить применение тригонометрии к решению планиметрических задач, а потом уже перейти к стереометрическим задачам. Жаль, что в книге не освещены некоторые важные вопросы борьбы с формализмом в знаниях учащихся, форма и методы работы учителя, которые обеспечивают высокую успеваемость учащихся (решение практических задач, измерительные работы на местности, изучение пробелов в знаниях учащихся и помощь отстающим).

Это можно было бы сделать за счет сокращения материала, посвященного методике изложения некоторых разделов программы.

Так, например, уравнение

4 sin2 X + sin2 2х = 3 (Рыбкин, № 714)

автор решает так:

невозможно, так как

Но этот способ не только громоздкий, но и требует дополнительной работы по преобразованию ответа

(как это дано в задачнике). В то время как (см. С. И. Новоселов, Специальный курс тригонометрии) использование формулы

значительно упрощает решение:

В книге имеются и недосмотры. Так, в библиографии на странице 186 искажена фамилия автора книги «Метод решения задач прямолинейной тригонометрии» (Шатунский вместо Шатуновский). Неудачно дан чертеж 76 на странице 168, на котором нет окружности, описанной вокруг основания пирамиды, вписанной в шар. На странице 178 написано 4πR2 вместо 4πr2, на чертеже 60 неправильно указан угол а.

Несмотря на указанные недостатки, которые можно легко устранить, книга заслуженного учителя П. А. Горбатого, обобщающего свой многолетний опыт, принесет пользу преподавателям математики, поможет повысить общий уровень преподавания тригонометрии в средней школе.

НОВАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

I. История и методология математики, советские математики, классики

Смирнов В. И. и Кулябко Е. С, Михаил Софронов — русский математик середины XVIII века, изд. Академий наук СССР, М., 1954, 55 стр. Цена 2 р. 10 к.

Чаплыгин С. А., Избранные труды по математике, Гостехиздат, М., 1954, 568 стр. Цена 14 р. 60 к.

Приложена биография С. А. Чаплыгина.

II. Учебники и учебные пособия

Андронов И. К., Арифметика натуральных чисел. Пособие для средних школ, Учпедгиз, М., 1954, 192 стр. Цена 4 р. 40 к.

Игнатьев В. А., Игнатьев Н. И. и Шор Я. А., Сборник задач по арифметике. Пособие для педагогических училищ, изд. 2, Учпедгиз, М., 1954, 376 стр. Цена 4 р. 25 к.

Новоселов С. И., Специальный курс элементарной алгебры. Для педагогических институтов, изд. 3, «Советская наука», М., 1954, 560 стр. Цена 11 р. 35 к.

Новоселов С. И., Специальный курс тригонометрии. Учебное пособие для педагогических институтов, изд. 2, «Советская наука», М., 1954, 492 стр. Цена 10 р. 15 к.

Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного. Учебник для вузов изд. 9, Гостехиздат, М., 1954, 444 стр. Цена 10 р. 40 к.

Смирнов В. И., Курс высшей математики. Для физико-математических факультетов гос. университетов и втузов с расширенной программой, т. 2, изд. 13, стереотипное, Гостехиздат, М., 1954, 628 стр. Цена 17 р. 70 к.

Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 3, ч. 1, изд. 6, Гостехиздат, М., 1954, 340 стр. Цена 9 р. 45 к.

Шилов Г. Е., Лекции по векторному анализу. Учебное пособие для физико-математических факультетов гос. университетов, Гостехиздат, М., 1954, 140 стр. Цена 2 р. 65 к.

III. Методика преподавания математики, пособия для учителей

Бадальян Р. Р., Некоторые измерения на местности в курсе математики средней школы, Крымиздат, Симферополь, 1954, 56 стр.

Власенко А. И., О работах по математике на аттестат зрелости выпускников школ Сумской области, Сумы, Сумский обл. институт усовершенствования учителей, 1954, 20 стр.

Гастева С. А., О системе задач на вписанные и описанные шары в многогранники и круглые тела. Решение задач в средней школе, «Ученые записки Ленинградского педагогического института им. Герцена», т. 95, 1953, стр. 325—335.

Германович П. Ю., Комплексные числа в школе, «Ученые записки Ленинградского педагогического института им. Герцена», т. 95, 1953, стр. 239—255.

Гибш И. А., Иррациональные уравнения в курсе средней школы, изд. Академии педагогических наук РСФСР, М., 1954, 60 стр. Цена 50 коп.

Гоноболин Ф. Н., К вопросу о понимании геометрических доказательств учащимися, «Известия Академии педагогических наук РСФСР», вып. 54, 1954, стр. 175—192.

Жлобин Г. Г., О повторении на уроках математики в школе, «Ученые записки Благовещенского педагогического института», т. 4, 1954, стр. 83—93.

Линьков Г. И., Преподавание математики в овете задач политехнического обучения. Из опыта работы в семилетней школе, Курск, книжное издательство, 1954, 119 стр.

Ляпин С. Е., Ряды в средней школе, «Ученые записки Ленинградского педагогического института им. Герцена», т. 95, 1953, стр. 37—213.

Ляпин С. Е. и Ляпин Л. И., Геометрические доказательства формул тригонометрии, «Ученые записки Ленинградского педагогического института им. Герцена», т. 95, 1953, стр. 359—398.

Подольский П. К., Длина окружности (изучение темы в средней школе), «Ученые записки Ленинградского педагогического института им. Герцена», т. 95, 1953, стр. 337—357.

Семендяев К. А., Счетная линейка. Краткое руководство, изд. 6, Гостехиздат, М., 1954, 48 стр. Цена 85 коп.

Соминский И., Задачи для пропедевтического курса уравнений, Новгород, Областной институт усовершенствования учителей, 1954, 16 стр.

Соминский И., Составление уравнений в курсе шестого класса, Новгород, Обл. институт усовершенствования учителей, 1954, 8 стр.

Стражевский А. А., Задачи на геометрические места точек в курсе геометрии средней школы, Учпедгиз, М., 1954, 159 стр. Цена 3 р. 40 к.

Худобин А. И. и Худобин Н. И., Сборник задач по тригонометрии. Пособие для учителей, Учпедгиз, М., 1954, 191 стр. Цена 4 р. 30 к.

Шидловская М. М., Неравенства в курсе семилетней школы, «Ученые записки Ленинградского педагогического института им. Герцена», т. 95,1953, стр. 3—35.

Шахно К. У., Сборник задач по математике. Пособие для учителей VIII—X классов, Учпедгиз, Л., 1954, 212 стр. Цена 4 р. 5 к.

Шидловская М. М., Устные упражнения по арифметике и алгебре в V—VII классах средней школы, «Ученые записки Ленинградского педагогического института им. Герцена», т. 95, 1953, стр. 215—237.

Щукина М. А., Задачи в курсе геометрии VI класса, «Ученые записки Ленинградского института им. Герцена», т. 95, 1953, стр. 297—323.

«В помощь учителю математики». Сборник статей, Вологодский институт усовершенствования учителей, Вологда, 1954, 64 стр. Цена 1 р. 20 к.

Первые шаги в осуществлении политехнического обучения в преподавании математики. Работа с молодыми преподавателями. План работы методического объединения учителей математики средней школы № 1 гор. Череповца. Решение задач на построение методом геометрических мест. О работе над темой «Треугольники» в VI классе. Решение задач на построение.

«В помощь учителю мордовской школы». Методический сборник № 5 (Решение задач на построе-

ние в VII классе), Мордовское издательство, Саранск, 1954, 28 стр.

«Из опыта работы учителей математики. Алгебра. Тригонометрия», под ред. И. А. Гибша, изд. Академии педагогических наук РСФСР, Мм 1954. 220 стр. с черт. Тираж 15 000 экз. Цена 3 р. 70 к.

Разложение на множители. Решение задач на составление уравнений первой и второй степени с помощью табличной записи. Тождественные преобразования иррациональных выражений в курсе VIII класса. Числовые последовательности. Система изложения школьного курса тригонометрии на основе свойств тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции.

«Решения задач по геометрии с тригонометрией учащимися выпускниками средних школ Мурманской области», Мурманск, 1954, 15 стр.

«Об оформлении письменных работ на аттестат зрелости по геометрии с применением тригонометрии», Куйбышевский обл. институт усовершенствования учителей, Куйбышев, 1954, 88 стр. Цена 1 р. 35 к.

IV. Научно-популярная литература, пособия для школьных кружков

Берман Г. Н., Число и наука о нем. Общедоступные очерки по арифметике натуральных чисел, изд. 2, Гостехиздат, М., 1954, 164 стр. Цена 2 р. 35 к.

Колмогоров А. Н., О профессии математика. В помощь поступающим в вузы, изд. 2, дополн., «Советская наука», М., 1954, 32 стр. Цена 50 коп.

Манзон Б. А., Сборник занимательных математических задач, игр и головоломок, Крымиздат, Симферополь, 1954, 56 стр.

Маркушевич А. И., Комплексные числа и конформные отображения. Популярные лекции по математике, вып. 13, Гостехиздат, М., 1954, 52 стр. Цена 80 коп.

Шахно К. У., Сборник конкурсных задач по математике с решениями, изд. 3, изд. Ленинградского университета, Л., 1954, 236 стр. Цена 6 р. 25 к.

Московский физико-технический институт. Задачи по математике и физике, дававшиеся на приемных испытаниях в 1947—1953 годах, М., 1954, 76 стр.

Всесибирская заочная математическая олимпиада, 3-я. Решение задач. Для VIII класса, Томск, 1954, 20 стр.

Первая Украинская республиканская олимпиада юных математиков (Киев, 1954), Положение и задачи первого и второго туров, Сумский обл. отдел народного образования, Сумы, 1954, 8 стр., на украинском языке.

V. Монографии по отдельным вопросам математики

Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, Гостехиздат, М., 1954, 492 стр. Цена 20 р. 90 к.

Рисс Ф. и Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, перев. с франц. Д. А. Василькова, под ред. С. В. Фомина, изд-во иностранной литературы, М., 1954. 500 стр. Цена 23 р. 80 к.

Сонин Н. Я., Исследования о цилиндрических функциях и специальных полиномах, ред. и комментарии Н. И. Ахиезера, Гостехиздат, М., 1954, 244 стр. Цена 6 руб.

VI. Пособия для заочников

Моденов П. С, Контрольные работы по аналитической геометрии. Для студентов-заочников I курса физико-математического факультета педагогических институтов, Учпедгиз, М., 1954, 30 стр. Цена 30 коп.

Моденов П. С, Методические указания к курсу «Дифференциальная геометрия». Для студентов-заочников физико-математического факультета педагогических институтов, Учпедгиз, М., 1954, 52 стр. Цена 65 коп.

Окунев А. К., Контрольные работы по элементарной математике. Геометрия и тригонометрия. Для студентов-заочников физико-математического отделения учительских институтов, Учпедгиз, М., 1954, 31 стр. Цена 35 коп.

Окунев А. К. и Каченовский М. И., Контрольные работы по специальному курсу элементарной математики. Геометрические построения на плоскости. Избранные вопросы стереометрии. Для студентов-заочников II курса физико-математического факультета педагогических институтов, Учпедгиз, М., 1954, 24 стр. Цена 35 коп.

VII. Справочные издания

«Таблицы интегрального синуса и косинуса», ответ. ред. В. А. Диткин, изд. Академии наук СССР, М., 1954, 474 стр. Цена 43 р. 75 к.

ХРОНИКА

«ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ЧТЕНИЯ» В АЛТАЙСКОМ КРАЕ

П. М. ЭРДНИЕВ (ст. Шипуново, Алтайский край)

11—15 августа 1954 года в Барнауле проходил Первый съезд передовых учителей Алтайского края. «Педагогические чтения» были приурочены к этому важному событию в жизни учительства края.

На «Педагогические чтения» по секции методики математики были представлены следующие доклады:

«Из опыта преподавания материала в V—VII классах» — учителя Сорокина,

«Развитие логического мышления при сообщении новых понятий на уроках математики» — учителя Корнева.

«Проверка решения, как необходимый элемент обучения математике» — учителя Эрдниева,

«О месте письменных домашних заданий учащимся в семилетней школе» — учителя Копцева,

«Практические работы по геометрии на местности в семилетней школе» — учителя Намсинова.

Автор первого доклада на основе своей многолетней практики изложил некоторые соображения по вопросу об улучшении преподавания математики, об углублении и упрочении знаний учащихся.

Докладчик находит целесообразным предложение В. Г. Чичигина об отличном от традиционного порядке изучения делимости чисел (см. книгу В. Г. Чичигина «Методика преподавания арифметики»).

Докладчик приходит к выводу, что применение числовых формул при решении арифметических задач содействует логическому развитию учащихся и вполне посильно для учащихся V и VI классов.

Устный счет проводится докладчиком в виде решения не примеров, а уравнений простейшего вида:

Докладчик отметил, что грубые ошибки при делении чисел могут быть предупреждаемы, если систематически приучать учащихся называть разряды делимого и частного. Например:

12992:32 =

В ответе учащиеся часто получают 46, вместо 406.

Если бы при делении ученик говорил так: «129 сотен делим на 32, в частном получится 4 сотни...», то не могло быть подобной ошибки.

До-кладчик в своей работе обращает внимание на воспитание критического подхода учащихся к результатам вычислений. Практикуются различные способы решения задач и отмечаются наиболее рациональные из них; наилучший способ решения задачи отмечается повышенным баллом.

Докладчик рекомендует для развития навыков самостоятельной работы применять серии карточек с индивидуальными задачами (две серии — в V классе, одна серия — в VI классе). Первая серия работ выполняется к 15 декабря, вторая серия работ — к 15 марта. В каждой карточке содержится одна задача и один пример. Карточки охватывают все типы задач, изучаемых в данном классе.

В целях более точного и конкретного учета знаний учащихся докладчик рекомендует вести учет знаний по разделам темы. Например, по теме «Обыкновенные дроби» им ведется учет знаний по графам (разделам):

1. Умение разобраться в условии задачи и правильно поставить вопросы.

2. Знание порядка действий в примерах.

3. Решение простейших уравнений на основе зависимости компонентов действий.

4. Применение свойств арифметических действий.

5. Знание признаков делимости чисел.

6. Умение разложить составные числа на простые множители.

7. Умение найти НОК.

8. Умение найти НОД.

9. Умение найти наименьший общий знаменатель.

10. Главное свойство дроби.

11—14. Сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей.

15. Нахождение дроби числа.

16. Нахождение числа по величине его дроби.

17. Внимательность и аккуратность в выполнении заданий.

Автор второго доклада обратил внимание на необходимость серьезного отношения учителей к тонким, но принципиальным вопросам; не следует обходить их под предлогом недоступности их учащимся. Докладчик разобрал некоторые понятия логики, сопроводив их многими примерами, основанными на материале из школьного курса математики.

Докладчик считает вполне возможными и доступными для учащихся упражнения по определению отношения между понятиями и изображению этого отношения кругами Эйлера, например:

1. Число, целое число, обыкновенная дробь.

2. Линия, прямая линия, ломаная линия и луч и т. п.

Докладчик привел примеры распространенных логических ошибок как в суждениях учащихся, так и (!) учителей. Например, часто учитель дает неверную классификацию треугольников.

Интересные приемы для уяснения основания классификации предложены докладчиком к классификации понятий: «Взаимное положение двух окружностей», «Многоугольники», «Углы в окружности» и др.

Характерен следующий эксперимент, проведенный автором.

Дан ряд чисел: 15, 22, 24, 33, 36, 41, 56, 106, 108, 125, 135.

Выписать отдельно числа, делящиеся на 2; выписать числа, делящиеся на 3; найти числа, делящиеся на 6.

Многие из учащихся начинают искать числа, кратные 6, фактическим делением.

Убедившись, что найденные числа одновременно делятся на 2 и на 3, потом лишь приходят к выводу: на 6 делятся те числа, которые одновременно делятся и на 2, и на 3.

Автор третьего доклада отметил, что проверка решения математических упражнений должна практиковаться на всех этапах изучения математики. На ряде примеров автор показал, что проверка, контроль в той или иной форме оказывается полезным для активного повторения пройденного материала, для глубокого и разностороннего изучения вопроса.

На примерах проверки теорем построением, измерением и вычислением, а также проверки алгебраических и тригонометрических тождеств было показано, что осуществление этого приема связано с важными сторонами общей проблемы политехнического обучения. Здесь получают применение приближенные вычисления, увеличивается удельный вес фактических построений, измерений и вычислений в курсе геометрии (особенно — стереометрии).

Надо надеяться, что на последующих «Педагогических чтениях» в Алтайском крае тематика докладов будет расширена и «Чтения» привлекут большее число участников.

В СЕКЦИИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА

П. Я. ДОРФ (Москва)

Работа секции в этом году шла по тому же направлению, как и в предыдущие годы: вопросы элементарной математики и методика преподавания математики были предметом внимания учителей, методистов и научных работников.

Собрания секции происходили, как и раньше, в третий четверг каждого месяца, местом собраний было новое здание Московского государственного университета.

Первое собрание (январское) было посвящено докладу А. И. Маркушевича: «Построение темы радикалов и дробных показателей в курсе алгебры VIII класса».

Постановка этого вопроса вызвана тенденцией сократить громоздкие преобразования с радикалами и дать раньше (вместо IX класса в VIII) понятие дробных показателей и действий над ними.

Февральское собрание было посвящено вопросу об арифметических задачах. Многими учителями высказывалось пожелание обсудить значение типовых задач по арифметике: нужны ли в курсе арифметики все типы задач, решение которых детям часто приходится заучивать. Позднее, в курсе алгебры, такие задачи, как «на уравнивание» и прочие, решаются просто при помощи уравнений.

По этим вопросам выступали доктор педагогических наук Н. А. Менчинская и автор нового задачника по арифметике С. А. Пономарев.

Н. А. Менчинская начала с краткого обзора печатных работ по вопросу о задачах.

Докладчица высказала следующие положения.

К типовым задачам относятся те задачи, которые требуют особого процесса решения, в решении которых создается некоторая последовательность ассоциаций. Для выработки таких умений приходится повторно решать задачи одного и того же типа. В то же время следует вести борьбу со Стремлением учащихся к шаблону решений: не задачу решают, а ищут «по какому типу»; берут за основу чисто внешние связи: из большего числа сразу вычитают меньшее, хотя в этом нет никакого смысла. В задаче «Куплено 10 книжек и 20 тетрадей...» сразу узнают, сколько всего куплено книг и тетрадей вместе, хотя в этом нет нужды, и т. п.

Вместо решения задач школьники часто пытаются вспомнить предыдущие задачи: «...это как на лампы с абажурами...» и т. п.

Н. А. Менчинская указала, ссылаясь на И. П. Павлова, что необходимо прежде всего вызвать у учащегося интерес к решению задачи; а если один и тот же тип решения задачи повторяется много раз, то как раз исчезнет интерес к отысканию решения.

С. А. Пономарев в своем сообщении отметил познавательное значение арифметических задач. Он утверждал, что решение задач развивает логическое мышление, закрепляет знания по арифметике, укрепляет волю (стремление добиться правильного решения). Наряду с задачами отвлеченного характера обязательно нужны задачи с конкретным содержанием.

С. А. Пономарев полагает, что не существует общего признака типовых задач, поэтому нет и единой системы их классификации. Типовые задачи представляют значительные трудности при решении, а потому требуют особых приемов.

Задачи с явно выраженным алгебраическим характером решения должны быть отнесены в курс алгебры.

Интересным было выступление учителя 59-й школы И. В. Морозкина. Он решительно требовал вести борьбу с натаскиванием, выучкой в таком процессе, как решение задач; он предлагал даже исключить термин «типовые задачи». Главной целью он ставил развитие навыков решения основных задач, которые ученики должны расчленять на простые задачи.

Мартовское собрание было посвящено докладу А. Г. Школьника на тему «Натуральные тригонометрические функции».

Ниже приведены основные тезисы доклада А. Г. Школьника (в изложении докладчика).

Общеизвестно, что с усвоением курса тригонометрии в средней школе дело обстоит неблагополучно. Одним из «камней преткновения» являются графики тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Причина возникновения у учащихся трудностей состоит в том, что введение графиков тригонометрических функций в средней школе является уже некоторой гипертрофией геометрического изображения функциональной зависимости.

Тригонометрические функции и без того вводятся при помощи геометрических средств, и введение, сверх того, нового геометрического их изображения мало что прибавляет к уже имеющимся у учащихся представлениям о характере изменения этих функций. Чтобы этого избежать, следует отказаться от прямоугольной системы координат а выбрать для этих функций наиболее подходящую, естественную систему координат, которая упростит графики этих функций. Поскольку тригонометрические функции вводятся как функции угла, наиболее естественными будут системы координат, в которых одной из координат служит угол. Оказывается, целесообразнее наряду с полярной системой координат применять еще две системы полуполярных координат: (у, φ) u (x, φ). Выбирая надлежащим образом одну из этих трех систем координат, мы настолько упростим графики тригонометрических функций, что ими во всяком случае окажется либо окружность, либо горизонтальные или вертикальные прямые. При этом графики будут соответствовать привычным геометрическим представлениям о тригонометрических функциях. Так, графикам функций:

у = sin φ и у = tg φ

будет служить окружность радиуса единица и прямая, параллельная оси игреков, отстоящая от нее на расстоянии, равном единице.

При построении этих графиков значения синуса откладываются на перпендикуляре к горизонтальному диаметру, а значения тангенса — на вертикальной касательной к кругу. Вместе с тем эти графики дают полное представление о характере функциональной зависимости. Графики функций:

x = cos φ и x = ctgφ

суть окружность радиуса единица и горизонтальная прямая, касательная к окружности. Графики функций:

r = sec φ и r = cosec φ

оказываются вертикальная и горизонтальная прямые.

Эти же графики изображают и обратные тригонометрические функции.

Графики же тригонометрических функций в прямоугольных координатах надлежит изучать в курсе высшей математики. В средней школе достаточно ограничиться одной синусоидой.

На апрельском совещании Н. Ф. Четверухин сделал сообщение на тему «Идеологические вопросы в курсе геометрии».

В живой конкретной форме, с большим количеством примеров, докладчик показал, что в преподавании геометрии надо больше уделять внимания идеологическим вопросам. Речь идет не о философских категориях, которые, разумеется, не всегда следует называть школьникам, а о направленности, идейности преподавания.

Н. Ф. Четверухин в основу кладет формулу В. И. Ленина о познании. В живом созерцании необходимо из непосредственных наблюдений, из опыта выявлять первоначальные понятия, устанавливать связи, закономерности. Дальнейшее развитие геометрических сведений должно идти на основе законов мышления и, наконец, в заключение устанавливается роль геометрии в практической деятельности. Эта последняя часть менее всего захвачена школой, тогда как политехническое обучение требует максимального внимания именно этой стороне процесса обучения.

Затем докладчик рассмотрел ряд примеров приложения геометрии: прямые и плоскости на производстве; цилиндрические формы изделий; порядок расположения листьев и др.; задача о кратчайшем расстоянии (задача Штейнера); задачи о плоских поверхностях (мыльные пленки на каркасах). Докладчик предложил на уроках геометрии пользоваться складыванием бумаги, которое дает большое количество геометрических иллюстраций. В заключение была изящно доказана теорема о том, что плоскости складываются только по прямой.

На последнем, майском собрании был заслушан доклад Н. М. Бескина на тему «Теорема Чевы и Менелая в пространстве».

Ниже приведены тезисы доклада Н. М. Бескина (в изложении докладчика).

Рассмотрим в проективном пространстве симплекс (тетраэдр), образованный четырьмя точками общего положения: A0, A1, A2, A3.

На каждом ребре этого симплекса (ребром считается не отрезок, а вся прямая) AiAj возьмем дополнительную точку Aij (не совпадающую ни с одной из вершин Аj и Aj), Совокупность вершин и дополнительных точек назовем дополненным симплексом.

В каждом треугольнике AiAjAk соединим каждую вершину Ai с дополнительной точкой Aik на противоположной стороне. Если три соединительные прямые пройдут через одну точку, то мы скажем, что в этом треугольнике произошло явление Чевы. Упомянутую точку назовем точкой Чевы треугольника AiAjAk и обозначим ее Aijk.

Если явление Чевы произойдет во всех четырех гранях тетраэдра, то пойдем дальше. Соединим:

1) каждую вершину симплекса Ai с точкой Чевы противоположной грани Ajkl; получим четыре соединительные прямые;

2) каждую дополнительную точку с дополнительной точкой на противоположном ребре (например, точку A01 с точкой A23); получим еще три соединительные прямые.

Если все семь соединительных прямых пройдут через одну точку, то мы назовем ее точкой Че-

вы данного дополненного симплекса и обозначим A0123.

Теорема Чевы. Если во всех треугольниках произойдет явление Чевы, то оно обязательно произойдет и в тетраэдре, т. е. если в треугольниках пересечения состоятся, то все семь прямых в тетраэдре обязательно пройдут через одну точку.

Достаточно даже, чтобы явления Чевы состоялись в трех гранях. Как следствие, оно обязательно состоится и в четвертой.

Имеет место обратная теорема. Если дана точка A012з, не принадлежащая границе тетраэдра, то она однозначно определяет на ребрах тетраэдра дополнительные точки, такие, что процесс Чевы приведет к данной точке A0123.

Теорема Менелая гласит: если дополнительные точки на ребрах взяты так, что три точки в каждой грани располагаются на одной прямой, то все шесть дополнительных точек располагаются в одной плоскости. Имеет место и обратная теорема.

Эти результаты представляют извлечение из работы автора о теоремах Чевы и Менелая в n-мерном пространстве. Там они формулируются совершенно аналогично.

После доклада председательствующий А. И. Маркушевич поделился своими впечатлениями от поездки в Данию.

На осеннее полугодие 1954 года намечены следующие сообщения:

1. 16 сентября. А. Г. Курош — «О равносильности уравнений».

2. 21 октября. А. И. Фетисов — «Различные методы изображения пространственных фигур».

3. 18 ноября. П. С. Александров — «Многомерное пространство».

4. 16 декабря. О журнале «Математика в школе». А. Н. Барсуков; Н. М. Бескин; И. Я. Танатар; И. В. Морозкин; П. А. Фаворский и др.

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 2 ЗА 1954 Г.

Боков Е. (Краснодарский край) 15—17, 19—24; Вейнман Б. (Киев) 15—20, 23; Владимиров А. (Асбест) 15—23; Гаас А. (Караганда) 15, 18, 19, 21, 23, 24; Готлер М. (Вильнюс) 16—18, 20, 21; Головачев Б. (Белгородская обл.) 15, 17—20, 22—24; Дейнега А. (Винницкая обл.) 15—24; Джабаров С. (Куйбышевская обл.) 15, 17—24; Давыдов У. (Гомель) 15—24; Демчинский В. (Ровно) 15—21, 23; Исмагилов Р. (Башкирская АССР) 15, 17—24; Кравчишин М. (Хмельницкая обл.) 15—17, 19, 21—23; Мышакова Т. (Одесса) 15—24; Математический кружок школы № 17 (Киев) 16, 17, 19, 20—23; Параско И. (Киев) 15, 16, 19, 21, 22, 23; Рознатовский Н. (Киев) 15—23; Ренерт Р. (Польша) 15—23; Рубинштейн Н. (Москва) 16—19, 21, 23; Сергиенко (Ф. Запорожье) 15—17, 19, 21—23; Смышляев В. (Марийская АССР) 15—23; Тралмак А. (Ленинград) 15—24; Тишков Е. (Полоцк) 15—17, 19, 21, 22, 23; Утемов В. (Красноуфимск) 15—23; Ясиновый Э. (Куйбышев) 15—24; Яремчук Ф. (УССР, Дрогобыч) 15—24.

ЗАДАЧИ

О НЕКОТОРЫХ ПРИЛОЖЕНИЯХ НЕРАВЕНСТВ

В. М. РОЗЕНТУЛЛЕР (Ленинград)

Изучение неравенств в седьмых классах (в особенности) и в десятых классах проводится формально.

Речь идет не о вопросах исследования уравнений.

Показать учащимся некоторые практические приложения неравенств является одной из основных задач учителя математики.

1. Рассмотрим задачу:

Сумма чисел, об ратных четырем последовательным числам натурального ряда, равна 19/20. Найти числа.

Эта задача могла быть сформулирована в физике следующим образом:

Электрическая цепь состоит из четырех проводников, соединенных параллельно, сопротивление каждого из которых на 1 ом больше предыдущего и выражается натуральными числами. Сопротивление всей цепи равно 20/19 ома. Определить сопротивление каждого проводника»

Задача сводится к решению уравнения вида:

Перехожу к нашей задаче.

Решение. Пусть меньшее из искомых чисел х, тогда остальные будут соответственно равны:

На основании условия задачи составляем уравнение:

(1)

После приведения уравнения к нормальному виду получим уравнение:

которое не решается в X классе, тем более в VII классе. Однако уравнение (1) можно решить при помощи неравенств. А именно: левая часть представляет собой сумму четырех правильных дробей, из которых наибольшая 1/x, наименьшая 1/x+3. Следовательно, наибольшая дробь должна быть больше четвертой части суммы, а наименьшая дробь — меньше четвертой части суммы. На основании этого составляем систему двух неравенств с одним неизвестным:

Решив в отдельности неравенства, получим:

Таким образом, х удовлетворяет неравенствам:

А так как х является натуральным числом, то х может быть равным или 2, или 3.

Теперь легко установить, что х = 3.

Следовательно, числа таковы: 3; 4; 5 и 6.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 4 ЗА 1954 Г.

№ 33

Решить уравнение:

Решение. Воспользовавшись модулем перехода

приведем логарифмы к одному

основанию. Имеем:

или

откуда

Итак, данное уравнение в поле действительных чисел имеет два решения.

№ 34

Решить систему уравнений:

(1)

(2) (3) (4)

Решение. Преобразовав уравнение (2), получим:

Заменив из уравнений (3) и (4)

и подставив эти выражения для z + t и zt в уравнения (1) и (5), получим:

или

(б)

и из уравнения (5)

откуда

(7)

Подставляя х+у из выражения (7) в (6), получим:

(8)

При ху = 6 из равенства (7) находим, что

Из системы уравнений:

имеем:

Из уравнений (3) и (4) имеем:

Откуда

Итак, при ху — 6 имеем четыре решения:

При

получаем:

из системы

имеем:

При

имеем: откуда

Итак, имеем еще четыре решения:

№ 35

Определить период функций:

Решение. Обозначим период функции f1 (х) буквой p, тогда на основании определения периодической функции имеем:

(1)

Так как равенство (1) справедливо при любом значении х, то, положив x = 0, получим равенство:

которое справедливо при р = 12π.

Следовательно, периодом функции f1(x) является число 12π.

Аналогично для функции f2(x) имеем:

(2)

при x = 0 получим:

которое справедливо при наименьшем значении р = π.

Итак, периодом f2 (х) служит π.

№ 36

К каналу шириной а м под прямым углом к нему подходит канал шириной b м. Найти наибольшую длину плота шириной с м, который при сплаве не застрянет в повороте.

Решение.

Обозначим ширину плота AB = DC = с м, ширину I канала а м, II канала b м (черт. 1). Задача имеет смысл, если а > с и b > с.

Для определения длины плота определим наибольшую длину прямой MN, которую можно провести из канала I во II. Обозначим ∠ NMO через х. Из треугольников NPO1 и O1QM имеем:

Черт. 1

Определим минимальное значение MN.

Исследование функции

на экстремум приводит к уравнению:

Из последнего соотношения имеем:

(1)

Определим sin х и cos х; имеем:

(2)

(3)

Искомая величина

(4)

Учтя равенства (1), (2) и (3), получим:

Если а — b, тогда tgx= 1 [равенство (1)], х = 45° и, следовательно,

Примечание. Большинство участников конкурса решили задачу № 36 неверно. Тов. Давыдов (Гомель) утверждает, что эта задача в общем случае при b ≠ а неразрешима, так как полученная им функция - не поддается исследованию на экстремум даже методом дифференциального исчисления.

Тов. Яремчук Ф. (Дрогобыч) и Кравчишин М.

(Дрогобыч) при исследовании функции

преобразовавшие ее к виду:

утверждают, что эта функция будет иметь минимум!! (непонятно, почему минимум, когда ищется максимум!)

при sin 2х = 1 и X = 45°.

Совершенно неверное утверждение.

Тов. Утемов В. А. (Красноуфимск) и Сергиенко Ф. (Запорожье) предположили, что максимальная длина плота будет тогда (даже в общем случае при а ≠ b), когда он расположен под углом 45° к берегам, что для общего случая неверно.

Тов. Боков Е. (Красноуфимск), Гаас, Лейбман и другие, заведомо неподобные треугольники считали подобными и получили парадоксальный ответ.

У них длина плота равна ab/c!!

Тов. Дейнега и Нахамчик привели ничем не обоснованное решение и получили длину плота, равную √ a2 — c2+ √b2 — c2!

Такое большое количество ошибок, и притом весьма разнообразных, говорит за то, что вопрос, связанный с исследованием функций на максимум и минимум, среди учительства не поставлен на должную высоту, несмотря на то, что журнал в течение всего 1954 года (помещал) предлагал подобного типа задачи и приводил образцы решений.

№ 37

Треугольная пирамида пересечена двумя плоскостями, делящими пополам два противоположных двугранных угла пирамиды. Определить объем каждой части, на которые рассекают пирамиду эти плоскости, зная площади граней и объем пирамиды.

Решение. Биссектральные плоскости ADB и SEC делят пирамиду ABCS (черт. 2) на пирамиды DCBE, AECD, BDES и AEDS.

Черт. 2

Так как точка D лежит на биссектральной плоскости двугранного угла AB, то DK = DМ. Пусть объем данной пирамиды будет V, тогда имеем:

откуда

Аналогично находим:

отсюда

Аналогично находим:

Имеем:

№ 38

На правильном треугольнике как на основании построены тетраэдры одинакового объема. Найти среди них тот, у которого наименьшая сумма ребер.

Решение 1. Пусть ABС (черт. 3) — равносторонний треугольник, и следовательно, AB + ВС + АС есть величина постоянная, следовательно, нужно найти тот тетраэдр, у которого сумма боковых ребер (SA+SB+SC) будет наименьшей (при данном объеме).

Имеем:

(1)

Черт. 3 Черт. 4

В равенстве (1) величина 3.SO2 постоянна (по условию h = 3V/SABC) и эта сумма будет наименьшей, когда АО2 + ВО2 + СО2 будет иметь наименьшее значение. Но известно, что АО2 + ВО2 + СО2 имеет наименьшее значение, когда О — центр тяжести треугольника ABС. Прибавим к правой и левой частям равенства (1):

имеем:

Последнее выражение также имеет минимум, когда О — центр тяжести треугольника. Отсюда следует, что SA+SB+SC имеет наименьшее значение, когда SA = SB = SC, т. е. тетраэдр будет правильным.

Решение 2. Известно, что наименьшая сумма расстояний от точки, лежащей в плоскости треугольника, до его вершин будет в том случае, если все стороны треугольника видны из этой точки под углом в 120°.

В правильном треугольнике ABC (черт. 4) это будет центр описанного круга из точки О. Следовательно,

Так как сумма ребер основания постоянна, то сумма всех ребер будет наименьшей тогда, когда сумма боковых ребер будет наименьшей. Докажем, что это будет в том случае, когда пирамида будет правильной. Отложим отрезок, равный 3h; через точки деления (h, 2h, 3h) проведем отрезки S1K1 ⊥ OS2; SК ⊥OS2; OK0 ⊥ OS 2 и отложим (черт. 5) S1K1 =

Имеем:

Следовательно,

Если же пирамида будет неправильной, то сумма расстояний от основания высоты до вершин треугольника ABC будет больше, чем ОK0 (и эти расстояния не равны друг другу).

Черт. 5

Следовательно, сумма боковых ребер будет представлять собой ломаную, проведенную между точками S2 и Кn, и поэтому будет больше, чем S2K0. Следовательно, сумма ребер будет наибольшей, если пирамида будет правильной.

Решение. 3. Пусть ABC — правильный треугольник, сторона которого равна а. Пусть О — произвольная точка, лежащая внутри треугольника.

Обозначим:

Из треугольника АОВ имеем:

(теорема косинусов). (1)

Из треугольника АОС находим:

(2)

Из соотношения (2) имеем:

(3)

Учтя равенство 1, получим:

откуда

(4)

Воспользовавшись тождеством получим соотношение:

(5)

(6)

Пусть SABC — искомый тетраэдр (черт. 3). Обозначим:

Из прямоугольных треугольников AOS, BOS, COS имеем:

(7)

Подставляя в отношение (6) значения для m2, n2, p2 из соотношения (7), получим:

Отсюда видно, что выражение x2+y2+z2 достигает своего наименьшего значения при х — у = z, т. е. когда искомый тетраэдр имеет равные боковые ребра.

№ 39

Дан тетраэдр, у которого два скрещивающиеся ребра равны m и n, а остальные четыре ребра равны а. Найти минимум суммы расстояний от точки пространства до четырех вершин тетраэдра.

Черт. 6

Решение. Пусть AS = m, ВС = n, AB = АС = SB = SC = а (черт. 6). Так как треугольники ВАС и BSC — равнобедренные, то их высоты SК и АК попадут в точку К, середину отрезка ВС. По условию, треугольник BSC равен треугольнику ВАС, следовательно, SK = АК, и поэтому высота его NK пройдет через середину отрезка AS, и следовательно, AS ⊥ ВС, Искомая точка О, сумма расстояний

от которой до четырех вершин тетраэдра будет наименьшей, должна лежать на общем перпендикуляре KN к скрещивающимся прямым AS и СВ и делит его в отношении m : n, что вытекает из решения задачи № 21, помещенной в нашем журнале № 2 за 1954 г.

Для определения положения точки О повернем отрезок AS в плоскости, перпендикулярной к отрезку KN, на 90° так, чтобы AS стал || ВС. Точка О находится на пересечении прямых АС и BS (черт. 7).

Черт. 7 Черт. 8

Определим сумму расстояний от точки О до вершин A, S, С, В. Имеем:

Определим отрезки OK и ON. Из треугольника NSK имеем:

из треугольника SKC имеем:

Треугольник AOS подобен треугольнику BOC, отсюда:

Искомая сумма

№ 40

Шар касается всех ребер тетраэдра. Доказать, что это возможно только тогда, когда суммы противоположных ребер равны.

Решение. Обозначим точки касания шара с ребрами Р, F, D, M, N, K.

Так как длины отрезков касательных, проведенных к шару из одной и той же точки, равны между собой, то имеем:

Отсюда

ЗАДАЧИ

№ 1

Найти простые трехзначные числа, остающиеся простыми при любой перестановке их.

Ушаков В. (Старый Оскол)

№ 2

Найти число точек с целочисленными координатами, заключенных между параболой у — x2 и прямой у = n2 (n — целое число).

Ушаков В. (Старый Оскол)

№ 3

Доказать неравенство:

Гемуев А. (Фрунзенская обл.)

№ 4

Решить уравнение:

Гемуев А. (Фрунзенская обл.)

№ 5

Дать

геометрическое доказательство.

Ушаков В. (Старый Оскол)

№ 6

Решить систему уравнений:

Исмагилов Р. (Башкирская АССР)

№ 7

Определить размеры прямоугольного параллелепипеда, если перпендикуляры, опущенные из одной вершины параллелепипеда на диагонали, не проходящие через эту вершину, имеют длины m, n, p.

Хамзин X. (Стерлитамак)

№ 8

Доказать, что если x1 + x2 + x3 + ... + xn = s, причем ни одно из чисел x1, x2, ..., xk не равно нулю и не отрицательно, то

Ясиновый Э. (Куйбышев)

№ 9

В правильную четырехугольную пирамиду со стороной а и высотой H вписать правильную четырехугольную призму наибольшей поверхности.

Ветров К. (Восточно-Казахстанск. обл.)

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

№ 1. Решить систему уравнений:

Левин А. (Таллин)

№ 2. Уничтожить иррациональность в знаменателе дроби:

Левин А. (Таллин)

№ 3. Доказать, что число:

целое и положительное при целом и положительном x.

Левин А. (Таллин)

№ 4. Доказать, что выражение [a7 + 6!a] делится на 7 при любом целом положительном а.

Мовсесян Л. (Ереван)

№ 5. Решить уравнение:

Мовсесян Л. (Ереван)

№ 6. Решить уравнение:

Борлаков А. (Алма-Ата)

№ 7. Решить уравнение:

Борлаков А. (Алма-Ата)

№ 8. Доказать, что

Кенжебаев Ш. (Киргизская ССР)

№ 9. Решить неравенство: logx+a 4>logx2.

Смышляев В. (Марийская АССР)

№ 10. Решить уравнение:

Садыхов С. (Баку)

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Стр.

Ц. А. Цветков — О наименьшем общем кратном нескольких чисел........ 1

МЕТОДИКА

С. В. Синакевич и Б. А. Лурье — Опыт работы по теме «Тригонометрические уравнения» ................................ 4

А. И. Волхонский — О тригонометрических уравнениях, решаемых вслед за простейшими ................................. 20

И. А. Гибш — По поводу статьи И. И. Смирнова «Тригонометрические уравнения в школьном курсе» ............................ 26

Д. Ф. Изаак — По поводу статьи И. И. Смирнова «Тригонометрические уравнения в школьном курсе».......................... 31

С. И. Новоселов — О тригонометрических уравнениях.............. 34

В. С. Карнацевич — Письменные контрольные работы по геометрии....... 39

Г. А. Лось — О связи физики с математикой в курсе VIII класса........ 45

М. С. Панченко — Серьезнее относиться к составлению контрольных работ ... 49

ИЗ ОПЫТА

И. А. Мацко — Вычисление веса сена в скирдах и стогах ..... 51

С. М. Бернштейн — Об элементах политехнизма на уроках тригонометрии .... 57

А. И. Леничкин — Формулы сокращенного умножения в курсе VI класса .... 61

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

Н. А. Столяров — Константин Александрович Торопов............. 70

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

А. Столяр — О книге У. С. Давыдова «Задачи на исследование уравнений» . — . 72

Я. А. Шор — Обобщение передового опыта................... 75

Е. М. Больсен — О книге П. А. Горбатого «Опыт преподавания тригонометрии в школе»............................... 79

В. А. Невский — Новая литература по математике................ 82

ХРОНИКА

П. М. Эрдниев — «Педагогические чтения» в Алтайском крае.......... 84

П. Я. Дорф — В секции средней школы Московского математического общества . . 85

ЗАДАЧИ

В. М. Розентуллер — О некоторых приложениях неравенств.......... 88

Решения задач, помещенных в № 4 за 1954 г................... 89

Задачи.................................... 94

Задачи для учащихся.............................. 95

Сводка решений по № 2 за 1954 г........................ 87

Редакционная коллегия:

Редактор А. И. Барсуков, зам. редактора С. И. Новоселов, члены редакционной коллегии. К. С. Богушевский, П. А Ларичев, В. В. Немыцкий, Н. Н. Никитин, С. В. Филичев, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Р. С. Терюкалова Корректор А. А. Журавлев

Технический редактор С. Н. Шахов

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР.

Сдано в производство 5/XI 1954 г. Подписано к печати 21/XII 1954 г. Учетно-изд. л. 10,69

A07586 Зак. 1190. Тираж 90825 экз.

Цена 4 р. 50 к. Бумага 84 × 1081/16 6 п. л. (9,84).

13-я типография Главполиграфпрома Министерство культуры СССР. Москва, Гарднеровский пер., д. 1а.