МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

6

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1954

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

Методический журнал

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 6

НОЯБРЬ - ДЕКАБРЬ 1954 г.

МЕТОДИКА

О САМОДЕЛЬНЫХ НАГЛЯДНЫХ ПОСОБИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ

М. И. КАЧЕНОВСКИЙ (Москва)

1. Политехническое обучение и самодельные наглядные пособия.

Принцип политехнизации в преподавании математики требует усиления связи теории с практикой, т. е. умения прилагать полученные знания к решению практических задач.

Для политехнического обучения необходимы такие формы педагогической работы, при которых ученики самостоятельно под руководством учителя получают технические знания, умения, навыки. Политехническое обучение требует ознакомления учеников с обработкой различных материалов, приобретения соответствующих практических навыков и ознакомления с простейшими машинами и станками.

Одним из средств достижения этих целей является организация кружков по изготовлению самодельных наглядных пособий.

Действительно, работа по изготовлению наглядных пособий включает в себя обработку картона, дерева, металла, стекла, пайку, клейку, сверление, строжку, окраску, лакировку, полировку, расчет, разметку, чертеж, сборку, разборку и т. п. Где еще можно найти без отрыва от школьных занятий такое обилие различных работ чисто политехнического характера?

При изготовлении наглядных пособий вся работа ученика идет полностью на пополнение его знаний и приобретение умений, в результате чего получается наглядное пособие, призванное облегчить процесс обучения.

Наглядность повышает интерес к научным знаниям и способствует прочному усвоению учебного материала. Отсюда понятен интерес наших учителей математики к наглядным пособиям. Можно с уверенностью сказать, что нет у нас ни одной школы, где не применяются самодельные наглядные пособия.

Одной из основных задач обучения математике является развитие абстрактного мышления. Применение наглядных пособий по математике облегчает процесс сознательного образования математических абстракций, способствует более быстрому усвоению изучаемых вопросов.

Наглядность не является самоцелью, а дидактическим средством, помогающим развитию абстрактного мышления.

Отсутствие наглядности может привести к преобладанию в сознании и в памяти учениников только словесных выражений математических фактов, а это ведет к формализму.

Существует неверное убеждение, что наглядность необходима и приносит большую пользу, лишь ученикам младшего возраста, а для учеников старших классов, в связи с постепенным развитием у них абстрактного мышления, количество наглядных пособий нужно систематически уменьшать, иначе прекратится дальнейшее развитие абстрактного мышления.

Такое мнение ошибочно потому, что наглядность не порождает абстрактное мышление, а только облегчает процесс сознательного образования абстрактного мышления; наглядность помогает формировать новые понятия независимо от возраста.

Практика нас убеждает, что ученики IX и X классов, обладая иногда довольно сильным абстрактным мышлением, не представляют конкретных образов в стереометрии, но стоит им познакомиться с соответствующими наглядными пособиями — все становится ясным.

Наглядность как дидактическое средство нужна везде, где формируются новые понятия,

независимо от возраста, наглядные пособия нужны и в высшей школе; недаром при оборудовании нового здания Московского университета изготовлены десятки тысяч наглядных пособий.

Нельзя перешагнуть через первую ступень познания, ступень живого созерцания.

Наглядность помогает развитию пространственного мышления, здесь можно и должно рассматривать три стадии развития пространственного мышления.

На первой стадии формируются новые понятия, в этой стадии показ наглядных пособий и самостоятельное изготовление пособий необходимы, они здесь играют решающую роль.

На второй стадии нужно закрепить сформировавшиеся новые понятия, это лучше всего сделать при помощи проекционных чертежей и решения достаточного количества задач на построение.

На третьей стадии совершается переход к абстрактному мышлению путем «воображаемых построений».

2. Необходимые наглядные пособия по математике.

Главным управлением школ Министерства просвещения РСФСР разработан перечень учебно-наглядных пособий, необходимых при изучении программного материала V—X классов и для проведения самостоятельных практических работ по математике. Ниже приводится этот перечень отдельно по каждому классу.

Пятый класс

Очередность

Количество

1.

Таблица метрических мер, стенная, формат 72 X 110 см........

I

1

2.

Таблицы «Прямая и обратная пропорциональность», стенные, формат 72X110 см...........

2

3.

Сантиметровая лента.......

I

1

4.

Метр нескладной, деревянный, демонстрационный ..........

1

5.

Кубический дециметр, жестяный, полый..............

i

1

6.

Кубический сантиметр, жестяный, полый..............

1

7.

Мерная кружка в 1 л с контрольным клеймом, жестяная......

1

8.

Линейка классная, деревянная с ручкой ...............

2

9.

Угольник классный в 60°, деревянный с ручкой ...........

2

10.

Угольник классный в 45°, деревянный с ручкой ...........

I

2

11.

Циркуль классный, деревянный . .

I

2

12.

Транспортир классный, деревянный со шкалой............

1

2

13.

Транспортир процентный, деревянный со шкалой..........

!

1

Очередность

Количество

14.

Линейка с нониусом, деревянная .

1

2

15.

Рулетка .............

I

20

16.

Круг, разделенный на 22 сектора .

I

1

17.

Комплект мелких чертежных принадлежностей (масштабная линейка, циркуль, угольник, транспортир) . .

I

40

18.

Готовальня ............

I

40

19.

Набор геометрических тел из 7 предметов: куб, 2 призмы (прямая правильная четырехугольная и треугольная), цилиндр, пирамида (четырехугольная), конус, шар — для практических занятий учащихся . .

I

20

20.

Конторские ученические счеты

11

20

Шестой класс

21.

Таблицы по алгебре, формат 72 X X 110 см— геометрические иллюстрации алгебраических выражений и формулы сокращенного умножения ...............

I

3

22.

Модель для иллюстрации формулы (a -f- Ь)2 — из картона . . . . . .

I

1

23.

Модель для иллюстрации формулы (а -\- б)3 — алгебраический куб (из дерева, в картонной коробке с разметкой) ..............

I

1

24.

Метр деревянный, складной ....

11

1

25.

Набор шарнирных моделей угла, треугольника и четырехугольника .

I

1

26.

Модель углов с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами............

и

1

27.

Модель различных видов треугольника и элементов в нем (высот, биссектрис, медиан)........

II

1

28.

Модель для иллюстрации суммы углов треугольника ........

I

1

29. 30.

Модели равновеликих треугольников (по Глаголеву)........

Модели осевой симметрии.....

I

II

1 1

31.

Набор картонных моделей по планиметрии .............

I

1

32.

Эккер деревянный ........

I

4

33.

Уровень .............

I

4

34.

Компас..............

I

4

35.

Астролябия ............

II

4

36.

Эклиметр.............

I

1

37.

Планшет.............

I

2

38.

Трехгранная масштабная линейка .

I

2

39.

Мерная лента стальная (школьная)

11

1

Седьмой класс

40.

Таблицы по алгебре — решение задач при помощи составления уравнения (формат 72 X 110 см). . . .

I

1

41.

Серия стенных таблиц по геометрии — «Основные геометрические места» (6 таблиц, формат 72Х110 см). Содержание серии: перпендикуляр в середине отрезка; биссектриса угла; окружность; параллельные прямые; сегмент, вмещающий данный угол; комбинации различных геометрических мест

I

1

Очередность

Количество

42.

Серия стенных таблиц по геометрии — «Решение основных геометрических задач на построение» (6 таблиц, формат 72 X 110 см). Содержание серии: разделить отрезок пополам; разделить угол пополам; построить угол, равный данному; построить треугольник по трем его сторонам; опустить перпендикуляр, восставить перпендикуляр к прямой, к лучу или отрезку в конце его; приближенное деление отрезка на 2, 4, 8 и т. д. частей......

I

1

43.

Таблицы стенные, формат 72 X 110 см—«Взаимное положение двух окружностей» (касание, пересечение, отсутствие общих точек) .

I

44.

Подвижная модель четырехугольников, деревянная ..........

I

1

45.

Модель для иллюстрации углов в круге ..............

II

1

46.

Модель — превращение секущей в касательную..........

II

1

47.

Центроискатель (металлический) с кругом............

II

1

Восьмой класс

48.

Таблицы графиков линейных и квадратных функций (стенные, формат 72 X ПО см)........

I

1

49.

Таблицы «Графическое решение системы уравнений 1-й и 2-й степени» (стенные, формат 72 X 110 см)

I

1

50.

Таблица «Поперечный масштаб» (стенная, формат 72 X 110 см) .

I

1

51.

Модель теоремы Пифагора (для равнобедренного прямоугольного треугольника и египетского треугольника со сторонами 3, 4 и 5) .

I

1

52.

Пропорциональный циркуль классный с делениями (деревянный) . . .

I

1

53.

Пантограф (школьный)......

II

1

54.

Мензула.............

I

1

Девятый класс

55.

Таблица «Показательная и логарифмическая функции» (стенная, формат 72 X 110 см).........

I

1

56.

Таблицы «Тригонометрические функции» (графики, особые значения, знаки), стенные, размер 72 X 110 см

I

1

57.

Таблицы стандартных обозначений в математике, стенные, формат 72 X X 110 см............

I

1

58.

Логарифмические линейки (картонные) для индивидуального пользования ..............

I

1

59.

Модель «Удвоение сторон правильного вписанного многоугольника» .

II II

1 1

60.

Модель теоремы о двух перпендикулярах .............

61.

Модель двугранного угла.....

I

1

62.

Набор моделей трехгранных и многогранных углов .........

II

1

63.

Стереометрический ящик.....

II

1

Очередность

Количество

64.

Стереоскоп............

II

1

65.

Набор стереоскопических картин по стереометрии..........

II

2

66.

Анаглифы............

I

1

67.

Тригонометрический круг металлический ..............

I

1

68.

Транспортир классный с радианно-градусной разметкой, деревянный со шкалой............

II

1

69.

Лекала (трафаретки) для черчения на доске кривых.........

I

2

Десятый класс

70.

Таблицы по алгебре: классификация функций, классификация уравнений, развитие понятия числа, стенные, размером 72 X 110 см.......

I

1

71.

Таблицы по тригонометрии: обратные тригонометрические функции, стенные, формат 72 X 110 см . . .

I

1

72.

Таблица «Треугольник Паскаля», стенная, формат 72 X 110 см . . .

I

1

73.

Серия стенных таблиц (размер 72 X 110 см) — сечения тел: куб, призма, пирамида ...........

I

1

74.

Трехгранная призма, рассеченная на 3 пирамиды............

I

1

75.

Модель для иллюстрации пирамиды и элементов к ней ........

I

1

76.

Конус с сечениями........

I

1

77.

Шар с сечениями.........

I

1

78.

Тела Архимеда полые, жестяные . .

II

1

79.

Набор разверток геометрических тел (из картона) . . .......

1

I

80.

Набор из 14 геометрических тел для демонстрации (из дерева): куб, прямые правильные призмы: четырехугольная, шестиугольная, восьмиугольная, треугольная, наклонная, 5 таких же пирамид; цилиндр, конус, шар.............

I

1

81.

Набор из 14 геометрических тел (из дерева) малого размера для лабораторных занятий учащихся.....

II

1

82.

Набор трубчатых уголков (двойных и тройных) для составления каркасных изделий из деревянных спиц .

II

1

Этот перечень дает хорошую тематику для изготовления наглядных пособий. В первую очередь следует строить те модели по этому списку, которых еще нет в школьном математическом кабинете. Конечно, можно строить и другие, но это может увести от системы, и энергия будет затрачена на модели, имеющие второстепенное значение.

3, Оборудование рабочего места по изготовлению наглядных пособий.

Для изготовления самодельных наглядных пособий по математике необходимо оборудовать рабочее место. Лучше всего совместно с учителем физики и черчения оборудовать отдель-

ную комнату, в которой и проводить кружковые занятия. Детальный план оборудования такой комнаты составляется самими учителями в зависимости от наличия площади и оборудования. В помощь учителям в настоящее время имеется достаточное количество соответствующей литературы. Ниже приводим перечень инвентаря и инструментов, при помощи которых можно организовать изготовление самодельных наглядных пособий.

1.

Тиски настольные, параллельные, ширина губок 60—120 мм ....

1

шт.

2.

Тисочки ручные..........

2

3.

Молоток слесарный весом 150 г . .

1

4.

Молоток слесарный весом 200—300 г

1

5.

Молоток слесарный весом 500 г . .

1

6.

Зубило слесарное малое ......

1

7.

Зубило слесарное среднее.....

1

8.

Керн...............

1

9.

Бородок .............

1

10.

Ножовка по металлу.......

1

11.

Запас полотен к ножовке.....

10

12.

Ножницы по металлу ручные (150— 200 мм).............

1

13.

Напильники драчевые, разные, длиной до 250 мм..........

3-5

14.

Напильники личные разные ....

5-8

15.

Надфели разные .........

3-5

16.

Плоскогубцы малые........

1

17.

Плоскогубцы большие.......

1

18.

Пасатижи средние ........

1

19.

Круглогубцы малые.......

1

20.

Круглогубцы средние .......

1

21.

Кусачки малые..........

1

22.

Кусачки средние или большие . .

1

п

23.

Отвертка малая........, .

1

я

24.

Отвертка большая.........

1

25.

Дрель ручная или настольная . . .

1

и

26.

Запас различных сверл от 1 до 10 мм..............

10-15

п

27.

Паяльник малый (50—100 г) . . . .

1

п

28.

Паяльник большой (300—500 г) . .

1

п

29.

Ножовка по дереву с мелким зубом (поперечная) ...........

!

а

30.

Ножовка по дереву с мелким зубом (продольная)...........

1

31.

Лучковая пила с крупным зубом .

1

32.

Лучковая пила с мелким зубом и узким полотном ..........

1

33.

Лобзик с набором пилок по дереву

1

34.

Набор пилок к лобзику по металлу

10—20

я

35.

Шлицовка............

1

36.

Шерхебель............

1

37.

Рубанок с двойной железкой . . .

1

38.

Набор стамесок плоских и полукруглых .............

3-5

39.

Долото узкое (6—8 мм).....

1

40.

Долото среднее (10—12 мм) . . .

1

»

41.

Нож рабочий с острым концом . .

1

а

42.

Нож перочинный.........

1

п

43.

Коловорот с набором перок ....

1

44.

Клещи..............

1

45.

Шило..............

1

46.

Стеклорез или алмаз .......

1

о

47.

Точило с наждачным кругом . . .

1

о

48.

Бруски ..............

2-3

р

49.

Оселок..............

1

50.

Ножницы по картону.......

1

51,

Кисти для краски и клея.....

3-5

52.

Линейка металлическая с миллиметровыми делениями (200—300 мм)

2

п

53.

Угольник слесарный........

1

ш

54.

Угольник столярный.......

1

п

55.

Кронциркуль ...........

1

56.

Штангенциркуль.........

1

в

57.

Микрометр............

1

в

58.

Струбцинка металлическая ....

2-3

9

59. 60.

Паяльная лампа или примус .... Наиболее употребимый материал (картон, фанера, цветная бумага, гвозди, проволока, шурупы, небольшие куски дерева, железо, латунь, олово, клей, нитки, резинки, краска и др.). Весь этот материал приобретается систематически по мере надобности.

1

4. Методика изготовления самодельных наглядных пособий по математике

Выбрав наглядное пособие (или прибор), которое должны изготовить ученики, нужно вначале подробно разъяснить им устройство и назначение модели. Затем учитель на доске делает схематические чертежи и дает указание о выборе материала, после чего ученики дома выполняют рабочие чертежи и представляют их учителю для проверки и утверждения.

Учитель сам должен тщательно продумать способ и последовательность изготовления данного наглядного пособия, так как без этого он не сумеет правильно руководить работой,

Для успеха в работе важно соблюдать образцовый порядок в рабочей комнате. Все инструменты после работы необходимо укладывать на строго закрепленные за ними места. Чистота работы и легкость выполнения зависят не только от навыка в работе, но и от состояния инструментов; поэтому нужно, приступая к работе, в первую очередь научиться правильно точить инструменты. Только острым инструментом можно чисто обрабатывать материал.

Но и пользуясь хорошими инструментами, выполнить точно работу нельзя, если обрабатываемая деталь будет плохо закреплена; поэтому для работы необходимо иметь тяжелый устойчивый стол и научиться на нем прочно закреплять обрабатываемые детали.

Во время изготовления наглядного пособия к ученикам систематически предъявляется требование тщательности выполнения работы. Нужно один раз и навсегда договориться с учениками, что, пока они не научатся работать хорошо, нужно делать медленно, но во что бы то ни стало аккуратно и точно. Пусть будет меньше, да лучше. Хуже всего, если наспех выполненное наглядное пособие или прибор будут непригодны к пользованию.

Нет большей обиды, если ученик затратит много времени и труда безрезультатно, — он может потерять всякий интерес к работе.

Вместе с тем нет и большей радости, если хорошо изготовленный прибор работает безотказно или наглядное пособие хорошо выполняет свое назначение. Ученик, изготовивший такое пособие, приобретает уверенность в своих силах, у него появляется желание строить больше и лучше.

Очень часто бывает, что в результате такой небольшой творческой работы ученик перерождается: из пассивного становится активным, из шалуна становится дисциплинированным.

Учитель должен ставить основной своей задачей при изготовлении наглядных пособий воспитание и политехническое обучение, а результат работы — сами наглядные пособия, как бы они хороши ни были,— должен играть второстепенную роль.

Изготовление моделей из плотной бумаги и картона.

Среди большого количества самодельных наглядных пособий по геометрии и черчению в школах наибольшее место занимают модели, изготовленные из бумаги и картона.

Действительно, бумага, картон, клей, нитки, нож и ножницы—это и есть все материалы и инструменты, необходимые для изготовления таких моделей. Перечисленные материалы и инструменты везде имеются в достаточном количестве.

Кроме того, чтобы изготовить модели из бумаги и картона, не нужно уметь обрабатывать дерево и металл, не нужно владеть искусством пайки и резания стекла и т. д.

Чтобы научиться изготовлять наглядные пособия из бумаги и картона, достаточно двух-трех занятий, на которых нужно усвоить следующие правила и приемы работы:

1. Резать материал можно ножницами, ножом и лезвием безопасной бритвы. Ножницами режут обычно тонкую бумагу, картон ножницами резать не рекомендуется потому, что очень трудно получить прямые разрезы.

При резании картона и бумаги ножом и лезвием бритвы во избежание порчи мебели, клеенок и скатерти нужно под картон или бумагу обязательно подкладывать кусок фанеры. Ножом резать нужно обязательно по металлической линейке, так как при малейшем повороте лезвия ножа в сторону линейки нож врезается в линейку, портит ее, а линия разреза искривляется. Ножом резать легко, если он хорошо отточен; от бумаги и картона нож очень быстро тупится, поэтому нужно во время работы иметь брусок и систематически оттачивать кончик ножа. Для того чтобы линия разреза была чистой, нужно, чтобы режущее ребро лезвия ножа с будущей линией разреза составляло угол приблизительно 60° (см. черт. 1), а при большем угле линия разреза будет рваной.

Очень удобно резать бумагу и картон лезвием безопасной бритвы, но нужно быть весьма аккуратным, ибо легко порезать руки. Нужно обязательно обезопасить себя; это делается следующим образом: полоску бумаги или тонкого картона наматывают на лезвие бритвы так, чтобы конец ее в 5 —10 мм оставался открытым. Лезвие бритвы обычно точат путем отламывания плоскозубцами иступившихся уголков. Держат лезвие бритвы между большим и указательным пальцами и стараются сохранить угол резания приблизительно 60°.

Часто при резании ножом и лезвием бритвы линейка уходит с намеченной линии и рука по инерции проводит кривой разрез; причина этого заключается в том, что линейку прижали к картону одним концом, а на другой конец давит нож, тогда линейка поворачивается в противоположную сторону от ножа. Чтобы линия разреза получалась ровной, нужно пальцы, прижимающие линейку, периодически перемещать в сторону резания.

2. Клеить бумагу и картон можно любым клеем: столярным, казеиновым, декстрином, жидким стеклом, гуммиарабиком, синдетиконом, фотоклеем, мучным и крахмальным клейстером, но нужно знать свойства различного клея. По своим свойствам клей бывает: быстро схватывающий (столярный, казеиновый, декстрин и др.) и медленно схватывающий (мучной и крахмальный клейстер); боящийся сырости (столярный) и не боящийся сырости (казеиновый).

Нужно знать, что клей может вступить в химическую реакцию или с материалом, который он склеивает, или с воздухом; в таких случаях на местах склеивания иногда выступает соль (при склеивании жидким стеклом) или появляются бурые грязные пятна (при склеивании гуммиарабиком). Следовательно, для временных изделий можно употреблять любой клей, а для наглядных пособий, предназначенных на длительный срок, нужно выбирать клей

Черт. 1

иногда менее удобный в работе, но зато всегда сохраняющий в течение длительного времени чистоту и прочность работы.

Изгибать бумагу и картон нужно обязательно по надрезам. Для того чтобы убедиться в этом, возьмите кусок картона и попробуйте его согнуть хотя бы под прямым углом. Даже при самом тщательном выполнении этой работы при помощи линейки и проглаживания не получится четкая линия изгиба (см. черт. 2а). А теперь проделайте следующий опыт: на таком же куске картона по намеченной линии изгиба проведите лезвием бритвы и попробуйте затем согнуть картон; получится четкая ровная линия изгиба (см. черт. 26).

Нужно научиться сочетать остроту ножа, толщину картона или бумаги и силу нажатия так, чтобы не прорезать материал на всю глубину. Для бумаги достаточно сделать ничтожный разрез, для тонкого картона — на половину его толщины, а для толстого картона надрез делается больше чем на половину его толщины, но с таким расчетом, чтобы оставшаяся часть обеспечивала желаемую прочность модели. Практически рекомендуется каждый раз на отдельном куске материала, предназначенного для работы, сделать несколько пробных надрезов и изгибов и таким образом определить нужную глубину надреза.

При употреблении толстого картона рекомендуется сохранять одинаковую глубину на протяжении всей линии надреза.

Окантовку и оклеивание картонных изделий производят в тех случаях, когда картон, из которого изготовлено пособие, был взят грязный или испачкался во время работы. Окантовку как плоских, так и пространственных моделей производят бумагой, лидерином или материей двумя различными способами:

1) Окантовка до оклейки производится полоской окантовочного материала шириной 1,5—2 см путем наклейки этой полоски на ребро модели; при окантовке до оклейки нет нужды следить за одинаковой шириной окантовочной полоски потому, что все изъяны будут закрыты оклейкой.

2) Окантовка после оклейки или окантовка без последующей оклейки требует большого внимания и навыка. Для такой окантовки нужно нарезать окантовочные полоски точно определенной ширины, иначе модель будет выглядеть еще хуже, чем была до окантовки.

При окантовке этим способом очень важно следить за тем, чтобы окантовочная полоска располагалась симметрично ребру. И наконец, окантовку этим способом нужно производить так, чтобы не испачкать оклейку или саму модель.

Для окантовки этим способом можно рекомендовать предварительную подготовку окантовочного материала. Для этого нужно листы окантовочного материала в количестве, необходимом для изготовления моделей, промазать с одной стороны 2—3 раза ровным слоем столярного клея; затем листы просушиваются при комнатной температуре. Хорошо подготовленный таким образом материал имеет глянцевую блестящую поверхность, похожую на клеевые кромки конверта или на оборотную сторону почтовой марки.

Клей для этой цели нужно брать высшего качества. Качество клея определяется его светложелтой окраской, прозрачностью и отсутствием воздушных пузырьков. Раствор клея рекомендуется в 8—10%.

Для окантовки нарезается достаточное количество полосок определенной ширины. Окантованная модель выглядит красивее, если полоски с каждой стороны края не превышают 5 мм. До приклеивания рекомендуется все полоски перегнуть вдоль (клеевой стороной внутрь). Это облегчит точное приклеивание полоски. Перед приклеиванием клеевая сторона полосок слегка смачивается теплой водой или теплым раствором такого же клея.

Смачивание водой нужно производить весьма аккуратно, не прижимать сильно, потому что можно смыть весь клей. Для смачивания рекомендуется пользоваться ваткой; мокрой ваткой проводят 2—3 раза в одном направлении.

Процесс приклейки производится прикладыванием полоски к ребру вдоль изгиба полоски (изгиб сохранится и после смачивания), затем сухой ваткой тоже в одном направлении проводят 2—3 раза вдоль окантовочной полоски, прижимая ее края. Концы полоски нужно обрезать ножницами.

Оклеивание моделей производится до окантовки и после окантовки. До окантовки оклеивать модели проще, после окантовки — труднее. Вся трудность оклейки после окантовки заключается в том, что нужно предварительно очень

Черт. 2

точно вырезать бумагу, иначе окантовочные кантики везде будут различной ширины. Здесь буквально должна соблюдаться народная поговорка: «семь раз примерь, один раз отрежь».

Плоские модели нужно оклеивать обязательно с обеих сторон и желательно одинаковой бумагой. Если оклеить только одну сторону, то картон будет коробиться и выгибаться в сторону оклейки.

Особо нужно сказать об оклейке пространственных тел. Часто можно видеть, как старательно и точно изготовлена модель, но грани ее вдавлены во внутрь. Спрашивается: чем это вызвано? И нельзя ли предусмотреть и принять еще в начале работы соответствующие меры? Причин такой вогнутости граней бывает две. Первая и основная — давление пальцами на влажные грани во время изготовления окантовки и оклеивания модели (под пальцами влажные грани выгибаются и так высыхают). Вторая — оклейка граней только с наружной стороны.

Для того чтобы избежать такой деформации моделей после их высыхания, нужно предварительно на каждую грань с внутренней стороны приклеить немного меньшую, но подобную грань из более плотного картона или изготовлять такие модели из более чистого материала, без последующей окантовки и оклейки. Лучшим материалом для этой цели служит цветной альбертин, бристольский картон или ватман.

Основным недостатком бумажных и картонных моделей является их непрозрачность. Это больше всего ощущается при демонстрации сечений тел и тел, вписанных друг в друга.

Оказывается, что с этим недостатком не так трудно справиться. Непрозрачные бумажные и картонные модели можно сделать прозрачными, для этого нужно в каждой грани по линии, отстоящей от контура на 5 мм, вырезать всю внутреннюю область.

Начало работы кружков по изготовлению наглядных пособий

Первое занятие кружка по изготовлению наглядных пособий с учениками IX и X классов рекомендуем провести на тему «Изготовление звездчатого додекаэдра».

Выбор такой темы обусловлен следующими соображениями. Во-первых, при изготовлении этого геометрического тела потребуется применять все основные виды работы: вычислять, чертить, вырезать, делать надрезы, склеивать, производить окантовку и оклейку. Во-вторых, в работе могут активно участвовать все члены кружка, и каждому придется самому выполнять все простейшие виды работы. В-третьих, участники кружка сразу же почувствуют необходимость строго, точно и аккуратно выполнять все советы руководителя. В-четвертых, что, пожалуй, самое важное, получив хороший результат, почувствуют силу коллективного труда, поверят в свои силы и с охотой будут в дальнейшем заниматься в кружке. Это проверено много раз на опыте.

Опишем кратко первое занятие кружка. Учитель приносит с собой 39-й том Большой советской энциклопедии, Государственный институт «Советская энциклопедия», Москва, ОГИЗ РСФСР, 1938 г., и показывает ученикам чертежи к статье Б. Н. Делоне «Многогранники», страницы 563—566; как правило, почти все ученики относятся к этим чертежам с большим интересом. На вопрос, какие многогранники ученикам больше нравятся, как правило, все отвечают: звездчатые, и указывают на 6, 7, 8 и 9 тела (черт. 3 и 4). Тогда учитель предлагает на этом же занятии изготовить один из этих красивых звездчатых многогранников. Часто ученики высказывают свое недоверие к возможности изготовления ими самими такого многогранника.

Черт. 3

Черт. 4

Но стоит только учителю сказать, что ученики будут делать многогранник по частим (каждую пирамиду в отдельности), а затем собирать, как сразу создается рабочая обстановка. Учитель должен предупредить учащихся, чтобы они не торопились. Каждому поручается сделать по одной пятиугольной пирамиде. Учитель предупреждает, что он будет принимать пирамиды только отличного качества (с точностью до 1 мм). Для того чтобы модель сделать скорее и не слишком затянуть занятие кружка, рекомендуется в качестве материала ватман; такой выбор материала потребует большой чистоты в работе. Для первого занятия это тоже важно.

Все участники кружка приносят с собой готовальни, линейки, лезвия безопасной бритвы или ножницы, кусок ватмана размером 15X15 см и кусок фанеры или толстого картона для подкладки во время вырезывания. Затем предлагается всем начертить окружность радиусом в б см, разделить ее на 5 равных частей и соединить через одну каждую пару точек для получения пятиугольной звезды (черт. б).

Построенная звезда и является разверткой полной поверхности пирамиды. Очень важно сделать замечание, что хотя это и есть развертка нашей пирамиды, но делать пирамиду по такой развертке очень невыгодно, так как у нее будет много линий склеивания, все они сходятся в вершине, и пирамиду при такой развертке чисто изготовить трудно.

Затем учитель предлагает, сохраняя размеры граней, построить другую развертку и, если ученики сами не сумеют, подсказывает им вариант, изображенный на чертеже 6.

Надо также обратить внимание на то, что после вырезывания по контуру нужно будет развертку перегнуть по пунктирным линиям, и показать, зачем и как для этой цели делаются надрезы; после этого разрешается развертку вырезать и согнуть ее по линиям надреза.

Порядок склейки следующий: вначале склеивают пятый соединительный клапан с первой гранью так, чтобы клапан оказался внутри; затем дают немного просохнуть (5—10 минут), а в период сушки учитель показывает приготовленную им самим развертку додекаэдра с пятиугольниками, равными основанию изготавливаемых пирамид (черт. 7). После этого прижимают основание пирамиды, смазывают одновременно клеем все оставшиеся соединительные клапаны 1, 2, 3, 4 и слегка прижимают их к основанию пирамиды, затем пирамиду устанавливают на стол и в качестве пресса укладывают на нее в наклонном положении книгу.

Во время 5—10-минутной сушки учитель показывает процесс склейки додекаэдра, затем склеенный додекаэдр откладывается в сторону и сушится; после этого проводится проверка качества работы учеников. На первый раз принимать работу нужно очень и очень строго, нужно измерять каждое ребро, делать замечания за каждую вмятину, каждое пятно.

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

Заключительный этап работы проводится следующим образом: учитель слегка намазывает одну грань додекаэдра клеем и предлагает ближайшему ученику тоже намазать слегка клеем основание своей пирамиды; затем учитель совместно с учеником приклеивает пирамиду к додекаэдру.

Эта операция повторяется двенадцать раз. Наконец, модель готова, ее помещают на видном месте для высыхания.

Когда «шум победы» утихнет, учитель показывает на другом додекаэдре, склеенном им в классе, как нужно производить окантовку; для этого каждый ученик должен вырезать из цветной бумаги очень точно пятиугольник со стороной, на 4 мм меньшей, чем было у него основание пирамиды, намазать его клеем и помочь учителю оклеить одну из граней; через несколько минут вторая модель готова.

На этом можно и закончить первое организационное занятие кружка моделистов, подведя в конце занятия итоги работы и наметив план ближайшей работы, дату и время занятий. В дальнейшем работу нужно поручать или индивидуально каждому ученику, или небольшой группе в 2—3 человека.

Для младших классов можно провести первое занятие кружка на тему «Изготовление математических игрушек»*.

Буква Т (черт. 8)

Вырежьте из фанеры или толстого картона букву Т и разрежьте ее на 5 частей. Попробуйте потом, не глядя на рисунок, сложить из этих частей букву. Это совсем не так просто, как кажется. Предложите товарищам решить эту задачу. Они будут очень удивлены, когда убедятся, что эта простая задача окажется очень сложной.

Разбитая доска

Шахматная доска была склеена из квадратиков красного и черного дерева. Один из шахматистов задел случайно доску, она упала и раскололась на 14 кусочков, изображенных на чертеже 9. Куски эти собрали и дали столяру склеить, но он отказался от этой работы, заявив, что его дело клеить, а не решать сложные задачи. Не попробуете ли вы сложить шахматную доску из прилагаемых кусочков.

Для изготовления головоломки следует начертить на фанере или на плотном картоне обычную шахматную доску, распилить ее на 14 частей, перемешать все части и вновь из них сложить шахматную доску.

Для того чтобы головоломка хорошо сохранялась, необходимо изготовить для нее деревянную рамку. Все части головоломки должны плотно укладываться в рамку. К рамке прибить фанерное донышко и наклеить на нее листок бумаги с чертежом головоломки в собранном виде. Это облегчит укладку всех частей головоломки. Наружные размеры рамки 18X18 см. Как решается головоломка, показано на чертеже 10,

Китайские головоломки

Игра, о которой идет речь, очень древнего происхождения. Она древнее, чем шахматы, хотя и не так хорошо известна. Она возникла в Китае четыре тысячелетия назад.

Черт. 8

Черт. 9

* Описание этих игр и чертежи взяты из книги Минского Е. М. (Игротека в детских внешкольных учреждениях и школах», Учпедгиз, 1953.

Сущность игры в следующем. Из семи частей головоломки (они вырезаны из квадратной пластинки, как показано на черт. 11) можно сложить множество разнообразных силуэтных фигурок. Правила складывания таковы: в состав каждого силуэта должны входить все семь кусочков; они не должны хотя бы частично прикрывать друг друга.

Вы найдете среди приводимых силуэтов довольно характерные, несмотря на простоту контуров. Сложить эти силуэты иной раз бывает очень трудно. Настойчиво добивайтесь разгадки, не торопитесь заглядывать в ответ.

Очень хорошо организовать соревнование на составление фигурок между несколькими игроками.

Китайскую головоломку можно выпилить из фанеры или вырезать из толстого картона, оклеенного с обеих сторон бумагой одного цвета. Для хранения деталей одного или нескольких комплектов головоломки нужно изготовить коробочку с выдвижной крышкой.

Это очень полезные игры для учеников V—VII классов. На них можно знакомить учеников с понятием равносоставленности.

Для учеников младших классов научиться на первом занятии клеить и разрезать картон вполне достаточно, а занимательность темы будет способствовать повышению интереса к работе кружка.

Наглядные модели из стекла

Некоторые любители стеклянных моделей утверждают, что самодельное изготовление моделей многогранников из стекла проще, чем изготовление проволочных или деревянных моделей.

Для изготовления стеклянных моделей нужны только стекло, алмаз, столярный клей, бумага и нитки. Самое трудное —это научиться хорошо владеть алмазом.

Модель начинают строить с определения истинных размеров отдельных деталей тела и вычерчивания их на бумаге. Исходные размеры либо задаются условием задачи, либо берутся произвольно. После вычерчивания отдельных граней модели в натуральную величину приступают к изготовлению их из тонкого оконного стекла. Для более тонких работ рекомендуется стекло от фотопластинок. Склеивание полученных таким образом деталей модели производится при помощи бумажных полосок. Бумажные полоски готовятся таким же приемом, как и для окантовки бумажных моделей.

Для полосок берут более плотную бумагу, сами полоски нарезают шириной в 4 — 6 мм. Прочность модели зависит от качества столярного клея. Перед склеиванием раскладывают все грани в виде развертки. Работа получается чище, если стекло прикладывать к полоске, а не наоборот. Когда все грани будут склеены между собой и на остальных кромках граней будет приклеено необходимое количество полосок, развертку помещают под небольшой пресс на 10—15 минут для более прочного склеивания при высыхании.

Когда развертка высохнет, ее аккуратно переворачивают и начинают медленно сгибать грани так, чтобы склеивающие полоски оставались внутри модели. Немного труднее при этом способе склеивания приклеить последнюю грань, но если все детали были вырезаны точно и последняя грань совпадает по размерам с предназначенным для нее проемом, то приклейку производят следующим образом: все кромки склеивающих полосок отгибают вовнутрь, не доводя этого изгиба до уровня плоскости проема; затем смазывают теплой водой или теплым разбавленным клеем кромки полосок, слегка прижимают последнюю грань и стараются поставить все тело на эту грань, чтобы под давлением всей модели она хорошо приклеилась к пружинящим полоскам.

Второй способ склеивания стеклянных моделей заключается в том, что склеивают между собой отдельные грани стекла клеем, изготовленным на смеси свежего творога и нашатырного спирта. Для получения такого клея в творог добавляют немного нашатырного спирта и растирают его до получения маслообразной массы. Для удобства склеивания иногда делают такую же модель из плотной бумаги и к соответствующим бумажным граням прикладывают все, кроме одной, стеклянные грани, предварительно смазав их клеем, и всю модель обвязывают резинкой. Схватывание этого клея происходит в течение 20—25 минут. Затем бумажная модель извле-

Черт. 10

Черт. 11

кается и приклеивается последняя грань. Неровности можно зачистить ножом, а для красоты модель окантовывают снаружи узкими полосками бумаги.

Третий способ склеивания состоит в том, что по плотно приложенным краям граней быстро проводят кистью, смоченной в нитролаке или нитроэмалевой краске. Можно предварительно все края и торцы каждой грани окрасить нитролаком или нитроэмалью. Этим обеспечивается более прочная склейка. Такой метод склеивания хорош тем, что не требует дополнительного времени для высыхания, но неудобен тем, что требует большой быстроты и ловкости в работе.

Очень красивыми получаются стеклянные модели, изготовленные из цветного стекла, но, к сожалению, такое стекло достать очень трудно. Для того чтобы своими средствами получить цветное стекло, нужно чистую незасвеченную фотопластинку подходящих размеров закрепить в гипосульфите и на несколько минут погрузить ее в раствор любой анилиновой краски. Когда краска в достаточном количестве проникнет в эмульсионный слой пластинки, что легко определяется на просвет, фотопластинку высушивают и вырезают из нее цветную грань. Работу по окрашиванию фотопластинки нужно производить очень аккуратно, чтобы не повредить эмульсионного слоя. Лучше всего такую работу поручить фотографу или фотолюбителю. Резать фотопластинку нужно со стороны, на которой нет эмульсии.

Построение высот, диагоналей и других линий в стеклянных моделях производится при помощи цветных шелковых нитей. Линии на гранях приклеиваются непосредственно к стеклу, для чего нити смазываются 25% раствором теплого столярного клея и в натянутом виде прикладываются к стеклу; концы нитей нужно закрепить гвоздиками, булавками, кнопками или просто положить на них тяжелые предметы. После высыхания через 15—20 минут концы нитей отрезаются. На цветных гранях, изготовленных из фотопластинок, линии можно чертить тушью на эмульсионной стороне пластинки. Чертить можно только на сухих пластинках и проводить рейсфедером по пластинке только один раз; в случае неудачи можно вторично проводить рейсфедером по тому же месту не менее чем через 15 минут. Этим же способом очень удобно чертить на гранях и сечениях окружности.

Диагонали параллелепипедов одним своим концом приклеиваются вдоль ребер, а другие концы выводятся наружу, затем приклеивается последняя верхняя грань. После высыхания верхней грани диагонали натягиваются и вторые концы их приклеиваются вдоль ребер.

Труднее укрепить высоты пирамид. Простейший способ — это капнуть клеем на конец нити, после высыхания клея другой конец выводят за вершину пирамиды, слегка натягивают и приклеивают вдоль бокового ребра.

Более надежный способ заключается в том, что высоту пирамиды предварительно связывают с какой-нибудь вспомогательной линией на основании, например с диагональю. Нить-диагональ смазывают клеем, прикладывают к основанию так, чтобы узелок соединения вершины и диагонали был в центре основания, и закрепляют ее кнопками в натянутом виде.

Высоты пирамид и оси призм можно делать из деревянных спиц или из проволоки. Для крепления их в центре основания предварительно приклеивают картонные шайбы диаметром 5—6 мм с отверстием, равным толщине проволоки или деревянной спицы. Такие оси менее красивы, но крепить их легко, и они очень удобны для внутренних построений (например, опустить перпендикуляр из середины ребра на высоту).

Из всех перечисленных способов изготовления стеклянных моделей в литературе подробно описан первый; см. статью учителя Таганрогской средней школы № 32 И. Ф. Гризодуба в сборнике Академии педагогических наук «Изготовление наглядных пособий по геометрии», АПН РСФСР, Москва, 1953.

Изготовление проволочных моделей

Для большей прочности и для удобства построения различных сечений на уроках, во время решения задач, рекомендуется изготовить набор различных призм и пирамид из проволоки.

Такие модели можно делать из различной проволоки (железной, стальной, медной и алюминиевой). Легче всего изготовить модели из медной проволоки, ее очень легко обрабатывать и паять, но модели из медной проволоки непрочны (быстро деформируются и теряют свою форму).

Алюминиевая проволока тоже очень легко обрабатывается, но паять ее нужно особым припоем. Модели из алюминиевой проволоки тоже быстро деформируются и теряют свою форму. Наиболее красивые модели получаются из стальной и железной проволоки.

Предварительно проволоку спрямляют путем очень сильного натяжения с плавным и равномерным перегибом. Рекомендуется это делать следующим образом: на концах проволоки делают петли, а в петли вставляют палки, затем двое, взявшись за палки и зацепив про-

волокой за какой-либо столб (желательно деревянный), начинают играть в перетяжки. Поочередно один уступает другому, а проволока скользит по столбу и перегибается по нему.

Этим способом можно очень легко и быстро выпрямить необходимое количество проволоки; если проволока новая, то эта операция отпадает. Затем наждачной бумагой проволока очищается от грязи и ржавчины. Из железной и стальной проволоки модели обычно делают тремя различными способами. Покажем это на конкретных примерах.

Способ первый. Для того чтобы изготовить модель проволочного куба с ребром 20—25 см, потребуется 2,5—3 м проволоки диаметром в 3—4 мм. Проволоку изгибают так, как показано на чертеже 12, и приготовляют три кусочка проволоки размером в боковое ребро куба. Затем полукруглым или круглым напильником на местах изгиба, со стороны выпуклости, выпиливают канавки, как это показано на чертеже 13. Оба конца всех проволок обрабатывают, как это показано на чертеже 14. После этого все концы и канавки лудят и, наконец, производят пайку.

Способ второй. Чтобы построить этим способом проволочную модель прямоугольного параллелепипеда, нужно нарезать 12 кусков проволоки диаметром в 3—4 мм; четыре куска проволоки длиной в а см, четыре куска длиной в Ь см и четыре — в с см. Затем вытачивают из железа, меди или бронзы 8 шариков или цилиндриков, высота которых равна диаметру, а диаметр шарика или цилиндрика в два-три раза более диаметра проволоки. В шариках или цилиндриках сверлят по три отверстия диаметром, равным диаметру проволоки (направления отверстий взаимно перпендикулярны).

Концы всех двенадцати кусков проволоки затачивают напильником на конус и лудят; затем весь прибор собирается путем забивания кусков проволоки в соответствующие отверстия шариков, и после проверки и выравнивания все места соединения шариков с проволокой пропаиваются, зачищаются напильником и весь прибор окрашивается. Модель, изготовленная таким способом, обладает большой прочностью. Такие модели рекомендуется делать из жесткой каленой проволоки. Внешний вид такой модели представлен на чертеже 15.

Способ третий. Для того чтобы построить этим способом правильную четырехугольную пирамиду, нужно вначале согнуть и спаять соответствующих размеров квадрат; спайка концов квадрата производится при помощи трубочки из белой жести или латуни, надетой на концы проволоки; длина трубочки 10—12 мм. Затем на углы квадрата надеваются «соединители», изготовленные из жести или латуни (черт. 16), два конца которых плоскогубцами обжимаются на каждых двух смежных концах сторон квадрата, а третий конец обжимается по кругу на кусочек проволоки того же диаметра.

Для спайки вершины будущей пирамиды поступают следующим образом: из жести или латуни изгибают пирамиду высотой в 2 см, но приблизительно подобную той, которую желают построить; затачивают на конус четыре куска проволоки, лудят концы и, вставив их все вместе в жестяную пирамиду, запаивают После проверки размеров и правильности

Черт. 12

Черт. 13

Черт. 14

Черт. 15

формы свободные концы боковых ребер вставляют в «соединители», запаивают, зачищают все шероховатости и всю модель окрашивают.

Углы таких моделей изящны, но недостаточно прочны. К такому виду соединений следует прибегать в моделях, не требующих большой прочности. Более прочные углы получаются, если вместо «соединителей» стыки ребер запаивать в многогранные наугольники типа чемоданных углов (черт. 17),

Чтобы любую модель, изготовленную одним из описанных трех способов, использовать для проведения на ней дополнительных построений или сечений, рекомендуются следующие приспособления:

1) В ребрах построенного многогранника просверлить по нескольку дырочек в местах, характеризующих основания высот, биссектрис, медиан и пр.

2) На ребрах в тех же точках припаять маленькие крючки или петли.

3) На ребрах в тех же точках напаять по два колечка. Такие колечки изготовляются следующим образом: на кусок проволоки, из которой сделана модель, наматывается очищенная звонковая медная проволока диаметром до 1 мм, все ее витки разрезаются шлицовкой вдоль оси намотки. Полученные колечки попарно, на расстоянии 2 мм друг от друга припаиваются.

4) На моделях с многогранными наугольниками в щеках наугольников пробиваются отверстия.

5) Очень эффектно получаются любые сечения (проходящие через любые точки), если на каждое ребро до спайки проволочного многогранника надеть по 3—4 резиновых колечка. Такие колечки можно изготовить, если резиновый шланг соответствующего диаметра разрезать ножницами на колечки по 2, 3, 4 мм шириной. При помощи таких колечек можно демонстрировать видоизменяемость сечений в зависимости от расположения точек на ребрах многогранника.

Построение различных вспомогательных линий и сечений на таких многогранниках производят при помощи цветных шелковых нитей или резиновым шнуром.

Для большей наглядности и получения возможности проводить линии в плоскостях сечений сечения можно строить из цветного картона типа альбертин или пресс-шпан. Закреплять такие сечения можно простым пришиванием их к ребрам многогранника.

Черт. 16

Черт. 17

ПРИМЕНЕНИЕ САМОДЕЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ

Заслуженный учитель школ РСФСР М. ЮШКО и Т. ОЛЬШЕВСКАЯ (Бежица)

Из-за отсутствия достаточного пространственного представления учащиеся испытывают большие затруднения в построении пространственных чертежей.

В целях более быстрого развития пространственного воображения учащихся в нашей школе планы уроков по черчению строятся так, чтобы многогранники, круглые тела, развертки и сечения тел чертились параллельно прохождению этих тем в геометрии. На уроках черчения учащиеся чертят сечения параллелепипеда и куба плоскостями, на уроках математики дается геометрическое обоснование построения сечений и вычисляется площадь сечения. Тесная связь между математикой и черчением значительно облегчает хорошее выполнение и понимание чертежа и одновременно повышает интерес учащихся и к черчению, и к математике.

Кроме этого, в нашей школе широко практикуется изготовление моделей силами учащихся.

Неизбежная большая потеря времени, связанная с применением моделей при решении задач, в дальнейшем компенсируется более быстрым развитием пространственных представлений учащихся.

Вначале модели делаются почти по всем задачам. По мере развития пространственных представлений учащихся необходимость в применении модели отпадает. В IX классах модели делаются только к отдельным, более трудным по построению задачам, причем модель делают одна-две ученицы, а остальные вычерчивают и вырезают только развертку многогранника и наносят на развертке необходимые для решения задачи линии.

На первых порах выполнению чертежа по условию задачи предшествует анализ условия, проводимый на модели. В дальнейшем анализ условия задачи, определяющий построение чертежа и ход решения задачи, проводится без модели, и только в случае затруднений обращаются к модели.

Модели к задачам в нашей школе ученики изготовляют из плотной чертежной бумаги и картона. Все вспомогательные линии — из цветных нитей. Чтобы показать высоты, углы и различные сечения, грани многогранников делают «прозрачными» (всю внутреннюю область грани вырезают, оставляя только по контуру грани полоску шириной в 5—6 мм).

Чтобы иметь представления о наших моделях, приводим несколько моделей на задачи. Устройство моделей ясно из чертежа.

Задача 1 (черт. 1, 2, 3). Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 7 см. Определить площадь сечения, проведенного через концы трех ребер, выходящих из одной вершины.

1. Построение сечения. Плоскость пройдет через вершины параллелепипеда ADXC.

В сечении получаем Д ADXC.

2. Определяем вид треугольника ADfi:

Треугольник AD{C — остроугольный.

3. Находим площадь треугольника АОхС.

Из треугольника D^EC имеем:

ЕС найдем, применяя формулу:

тогда

Задача 2 (черт. 4 и 5).

Провести плоскость, проходящую через концы трех ребер куба, выходящих из одной вершины. Ребро куба равно а. Вычислить площадь сечения.

Черт. 1 Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4 Черт 5

Задача 3 (черт. 6 и 7).

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1BlClD1 боковое ребро ААХ = 56 см, а стороны основания: AB = 33 см и AD = = 40 см. Определить площадь сечения, проведенного через ребра AXDX и ВС.

Модели к задачам с цилиндрами и конусами, а также на вписанные тела делаем из нитей. Устройство их понятно из следующих примеров.

Черт. 6 Черт. 7

Задача 4 (черт. 8).

В равнобедренном треугольнике основание равно 6 см, а каждая боковая сторона 5 см. К плоскости треугольника в центре О вписанного в него круга проведен перпендикуляр OK= 2 см. Найти расстояние точки К от сторон треугольника.

Черт. 8

Задача 5 (черт. 9).

В вершине А прямоугольника ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр АК, конец К которого отстоит от других вершин на расстоянии б см, 7 см и 9 см. Найти длину перпендикуляра АК.

Черт. 9

Задача б (черт. 10).

Основанием пирамиды служит параллелограм, у которого стороны равны 5 м и 4 м, а одна из диагоналей 3 м, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Определить боковую поверхность этой пирамиды.

Черт. 10

Задача 7 (черт. 11).

Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найти площадь сечения, проведенного через вершину, если его расстояние от центра основания конуса равно 12.

Черт. 11

НАГЛЯДНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ДЕМОНСТРАЦИИ СИММЕТРИИ НЕКОТОРЫХ ФИГУР

В. Е. ЧЕСНОКОВ (Пушкино Кировской области)

Прибор состоит из тонкого листа фанеры размером 50 X 80 см, на котором начерчены вписанные в окружности треугольники, четырехугольники и некоторые многоугольники, изучаемые в средней школе.

На листе, как изображено на чертеже 1, подписаны величины углов поворота.

К этим фигурам гвоздем, служащим осью вращения, прикрепляются разные фигуры, изготовленные из картона или фанеры.

На подвижных и неподвижных фигурах проведены оси симметрии.

При повороте изучаемой фигуры определяется угол поворота, при котором данная фигура совмещается сама с собой.

При вращении фигур, не имеющих центра симметрии, убеждаются, что они не совмещаются сами с собой ни при каком угле поворота.

При достаточном техническом усовершенствовании этого пособия его целесообразно применять на уроках, так как оно облегчает усвоение осевой и центральной симметрии.

Это пособие дает возможность легко решить задание из задачника Рыбкина № 91 (1—4), стр. 28 и № 92 и т. п.

Фигуры на пособии можно раскрасить в разные цвета, особенно параллелограм. Некоторые можно изготовить из прозрачного материала: стекла или целлулоида, кальки.

УЧЕБНЫЕ МОДЕЛИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ

А. Б. ШТЫКАН (Иркутск)

В Иркутском государственном университете им, А. А. Жданова сконструированы учебные модели по стереометрии, отличающиеся от обычных тем, что при помощи каждой из них можно демонстрировать любые плоские сечения данного тела.

Модели изготовлены в виде прозрачных полых тел, заполняемых на желаемый объем жидкостью, поверхность которой и образует требуемое сечение. Для получения различных сечений достаточно менять наклон модели и объем жидкого наполнителя.

Это обстоятельство позволяет весьма эффективно использовать подобные модели не только при прохождении школьного курса стереометрии, но и при изучении таких дисциплин, как аналитическая, начертательная и проективная геометрия.

Изготовлять модели можно из любого достаточно прочного, нейтрального по отношению к жидкому заполнителю прозрачного материала: стекла, органического стекла (плексигласа), целлулоида и т. п.

В экспериментальной мастерской Иркутского

университета по указаниям автора были изготовлены два опытных образца модели правильной четырехгранной пирамиды. Одна модель была сделана из органического, а вторая из обыкновенного оконного стекла. Оба материала оказались вполне пригодными. На снимке показана одна из этих моделей, укрепленная в штативе и наклоненная так, что поверхность жидкости располагается по сечению, имеющему вид пятиугольника.

В качестве заполнителя была взята дистиллированная вода, подкрашенная метилоранжем. Видимый на фотографии вогнутый мениск несколько искажает форму сечения в вершинах, но, несмотря на это, картина сечения в натуре получается очень наглядной.

Модели не слишком сложных тел могут быть изготовлены в каждой школе своими силами, однако, на наш взгляд, было бы желательно промышленное их изготовление и серийный выпуск комплектами различных наборов.

На чертежах 1 и 2 показаны схемы конструктивного оформления, которое можно считать целесообразным, основываясь на опыте, приобретенном при изготовлении и испытании экспериментальных образцов.

Полая модель данного тела, склеенная, а еще лучше — отштампованная, отлитая или выдутая (в зависимости от материала и условий производства) из соответствующего прозрачного материала, приклеивается к донышку / из достаточно прочной непрозрачной пластмассы или металла, с предварительно прикрепленной к нему полой державкой 2. Последняя служит для крепления модели в штативе. Через нее же наливается заполняющая жидкость, для чего сначала должна быть отвинчена фасонная накидная гайка 4 и вынута пробка 3 (черт. 1). Для уплотнения на пробке 3 предусмотрено резиновое колечко 5 и резиновая шайба 6, приклеиваемая к фланчику, как показано на чертеже 1 справа. Такой вид закрывания и уплотнения модели вполне надежен и более удобен, чем краник (хорошо видимый на снимке), по той причине, что проходное отверстие в кранике из конструктивных соображений трудно сделать достаточно большим, вследствие чего оказывается затруднительным удаление жидкости и промывка модели.

Если желательно менять объем заполнителя в процессе демонстрации, то пробка 3 должна

Черт. 1 Черт. 2

быть удалена. Гайка 4 навинчивается непосредственно на державку 2, как показано на чертеже 2. Уплотнение при этом достигается применением резиновой шайбы 7, вклеенной в донце гайки 4. На патрубок, которым заканчивается гайка, одевается резиновая трубка, соединяющая модель с сосудом, содержащим жидкий наполнитель. При помощи обыкновенного пружинного или винтового зажима, применяемого в химических лабораториях, резиновая трубка легко может быть перекрыта сжатием, как только достигнуто требуемое наполнение модели. Таким образом достигается хорошая маневренность при достаточной простоте и вполне надежном уплотнении. На чертеже 2 зажим условно обозначен стрелками.

Размеры, проставленные на чертеже, даны ориентировочно, для общего представления об их величине.

В случае изготовления единичных образцов собственными силами школы можно применять клей БФ-2, которым хорошо склеивается не только пластмасса и стекло, но и металл с металлом, стеклом и пластмассой. Для изготовления модели усеченного конуса можно воспользоваться, например, конической стеклянной колбой, у которой надо предварительно аккуратно отрезать дно и горлышко.

Описанные модели постановлением Бюро по делам изобретений Министерства просвещения РСФСР за № 400 от 24 декабря 1952 г. признаны полезным изобретением.

УНИВЕРСАЛЬНАЯ ДОСКА

Б. И. ВОРОНОВ (Кунья)

Доска применяется в целях развития пространственных представлений учащихся и выработки навыков в построении объемных моделей по условию задач.

Доска изготовляется из сухих, плотно пригнанных друг к другу досок. Размеры доски: 600 X 400 мм, толщина 25—30 мм.

а) Планировка доски.

Отступив от каждой кромки доски на 20 мм, строим прямоугольник. Проведением диагоналей находим центр доски. Проводим средние линии по длине и ширине. Горизонтальную среднюю линию делим на четыре равные отрезка. В доске сверлим сквозные отверстия диаметром 3 мм (черт. 1). Таких отверстий одиннадцать. Эти отверстия являются гнездами для штативов.

Принимая отверстия 9, 10 и 11 за центры, проводим окружности радиусом, равным четверти средней линии по длине. В эти окружности вписываем правильные треугольник, четырехугольник и шестиугольник, причем их вершины совпадают соответственно с отверстиями 8, 9, 4, 10 и 11.

Пользуясь диагоналями доски, строим равнобочную трапецию, прямоугольник, ромб и параллелограм так, чтобы точки пересечения их диагоналей совпадали с десятым отверстием.

Далее построим: произвольной величины равнобедренный треугольник, приняв первое отверстие за вершину угла; прямоугольный треугольник, приняв третье отверстие за вершину прямого угла; прямоугольник, приняв пятое отверстие за вершину прямоугольника или острый угол прямоугольного треугольника.

В каждую вершину плоской фигуры вбиваем гвоздик со шляпкой, оставляя между поверхностью доски и шляпкой гвоздя зазор в 1 — 1,5 мм.

Для лучшей ориентировки разноцветной краской или тушью проводим очертания плоских фигур. На чертеже 2 изображена поверхность готовой доски.

Черт. 1

Черт. 2

b) Принадлежности и материалы к доске.

1. Металлические штативы из проволоки диаметром 3 мм. Штативы служат опорой объемной модели, являются их высотами и вставляются в одно из одиннадцати гнезд доски в зависимости от того, какую модель следует изготовить. Штативы изготовляются из стальной проволоки, на одном конце которой выпиливается «шейка». «Шейка» служит для того, чтобы при построении модели нить не сползала со штатива. Для демонстрации необходимо иметь следующее количество штативов: 5 штативов длиной в 250 мм, один из которых имеет шейку не только на конце, но и посередине; два штатива длиной 125 мм. Вид штативов изображен на чертеже 3.

2. Нитки желательно иметь крученые и различной окраски.

3. Набор плоских фигур, вырезанных из тонкого плотного картона. Размеры этих плоских фигур соответствуют размерам модели, построенной на доске.

с) Применение универсальной доски.

Вставляя штативы в гнезда доски и натягивая нити, как показано на чертеже 4, мы демонстрируем: расположение прямой в пространстве относительно плоскости; проекцию прямой на плоскость; перпендикуляр, наклонную и ее проекцию.

Переставляя штативы, можно изобразить любую объемную модель на зависимость между перпендикуляром, наклонными к плоскости и их проекциями, объяснить и практически решить задачи из задачника Рыбкина (например, § 1, № 13-19; § 2, № 5-11, 13, 14; § 3, № 1-10).

Широкое применение доски, которое далеко не исчерпывается приведенными примерами, на уроках стереометрии ускоряет развитие пространственных представлений, дает навыки в построении объемной модели. Учитель, пользуясь этой доской, может наглядно продемонстрировать модели, объяснить по ним ряд теоретических вопросов и научить сознательно применять теорию на практике.

Общий вид доски представлен на чертеже 5,

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СКЛАДНАЯ ЛИНЕЙКА

С. А. РЫБНИКОВ (Москва)

Линейка, изображенная на чертеже 1, состоит из 12 подвижных реек, скрепленных шарнирно наподобие обычного складного метра. Полезная длина каждой рейки равна 10 см. Посередине каждой рейки с обеих сторон проведена черная линия, на которой дается деление на сантиметры и миллиметры. Эта срединная черта является линией, на которой пересекаются стороны сконструированных фигур.

Такая конструкция линейки дает возмож-

ность демонстрировать не только различные виды углов, треугольников и четырехугольников, но показывать также их изменение и переход в другие виды фигур.

При помощи линейки можно демонстрировать простейшие тригонометрические функции и их изменение. В то же время линейка может служить и для обычного измерения.

Кроме того, наличие 12 реек и делений дает возможность:

a) построить классический прямоугольный треугольник с сторонами в 5, 4 и 3 рейки;

b) строить как равносторонние, так и неравносторонние треугольники, четырехугольники и другие многоугольники;

c) точно и наглядно измерить длину каждой стороны построенной фигуры;

d) демонстрировать доказательства многих теорем геометрии.

На чертежах показаны некоторые из многочисленных построений. Цифрами обозначены порядковые номера реек. Содержание ясно из самих чертежей (черт. 2—9).

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4 Черт. 4а

Черт. 4б

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7 Черт. 8

Черт. 9

УНИВЕРСАЛЬНОЕ НАГЛЯДНОЕ ПОСОБИЕ ПО ГЕОМЕТРИИ

М. В. КЛОЧКОВ (Кисловодск)

Пособие, о котором будет идти речь, представляет собой набор элементов, из которых в течение нескольких минут можно сконструировать любую модель к теме урока по планиметрии, стереометрии как при изучении теорем, так и при решении задач. После демонстрации модель быстро разбирается на составные элементы, которые легко помещаются в портфеле учителя.

В комплект универсального наглядного пособия входят (примерно):

1) Проволочные спицы разного размера, длиной 25—40 см, толщиной 1,5—2 мм......... 20—30 шт.

2) Проволочные кольца, скрепленные нитками или двумя резиновыми колечками двух размеров:

диаметром 25—30 см...... 3 шт.

„ 10—15 см...... 2 шт.

3) Открытый проволочный четырехугольный контур 20X30 см . . 2 шт.

4) Резиновые колечки, внутренний диаметр 4—5 мм, ширина 2 мм 50—60 шт.

Резиновые кольца получаются путем разрезания ножницами поперек резиновой трубки на мелкие доли шириной 1,5—2 мм.

Проволочные спицы и проволочные кольца при конструировании модели соединяются резиновыми колечками, которые легко перемещаются.

Такое скользящее соединение сообщает фигуре способность видоизменять свою форму в движении. Это позволяет выявлять такие свойства изучаемой фигуры, которые в статичной модели показать нельзя.

Для моделей по планиметрии применяются в основном спицы и резиновые кольца.

Для моделей по стереометрии применяются, кроме того, проволочные кольца и контурные рамки, играющие роль плоскостей.

Проволочные кольца снабжены набором резиновых колец, 6—8 шт. на каждом.

Контурные четырехугольники разомкнуты и снабжаются резиновыми кольцами по мере надобности.

Мой небольшой опыт работы с этим пособием в школе показал мне, что оно открывает новые методические возможности в деле преподавания геометрии.

Ниже приводится несколько примеров:

1. Тема: «Виды треугольников и главнейшие линии в них».

Из трех спиц составляем разносторонний треугольник.

К вершине В подвешиваем вертикально высоту BD изогнутым концом (черт. 1).

Черт. 1

Перемещаем вправо вершину А. Угол А увеличивается, основание D приближается к вершине А и, наконец, сливается с ней. Угол А становится прямым, высота совпадает с катетом AB (черт. 2).

Черт. 2

Продолжая двигать вершину А дальше вправо, превращаем треугольник в тупоугольный, а высота выходит за пределы треугольника (черт. 3).

Черт. 3

Аналогичное упражнение проводится с высотой, биссектрисой и медианой, которые при соответствующих изменениях сторон и углов то разъединяются, то сливаются в одну прямую.

2. Тема: «Четырехугольник, виды его, площадь».

Из четырех спиц составляем четырехугольник неопределенного вида.

Изменением углов и сторон придаем ему последовательно все возможные формы: параллелограма, ромба, прямоугольника, квадрата, трапеции, причем подвешенная высота ярко иллюстрирует свое положение по отношению сторон и диагоналей фигур (черт. 4).

Черт. 4

Не изменяя величины сторон, меняем только углы и следим за изменением величины площади параллелограма.

Когда угол А становится прямым, параллелограм обращается в прямоугольник, а площадь его становится наибольшей (максимум); при уменьшении угла А до нуля высота тоже становится равной нулю, параллелограм перестает существовать.

3. Тема: «Площадь проекции фигуры на плоскость».

Собираю треугольную пирамиду (черт. 5). Медленно перемещаю вершину 5 по высоте h к основанию. Объем и боковая поверхность пирамиды уменьшаются.

Черт. 5

Наконец вершина S совпадает с точкой О, пирамида перестает существовать. Высота /г = 0, объем V=0, боковая поверхность достигла своего минимума, спроектировалась в площадь треугольника основания, боковые ребра — в отрезки АО, ВО, СО (черт. 6).

Черт. 6

Из этого небольшого количества упражнений видно, что пособие ставит перед учителем вопрос о новом виде динамических упражнений, не предусмотренных стабильным учебником.

Черт. 7

Следует отметить, что при помощи набора таких пособий можно в классе проводить фронтальную работу по конструированию моделей.

Рисунок одного из пособий представлен на чертеже 7.

О ПРИБОРЕ ДЛЯ ДЕМОНСТРИРОВАНИЯ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

К. И. ОБРАЗ (Великие Луки)

Для получения геометрического изображения обратной функции (при обычном расположении осей координат) из графика прямой функции можно повернуть плоскость XOY вокруг биссектрисы первого и третьего координатных углов на 180° (черт. 1 и 2).

Изготовление рекомендуемой мной модели может быть осуществлено при помощи весьма простых средств силами учащихся под руководством учителя.

Модель состоит из стойки (черт. 3), в которую при помощи выдвижной чеки А и неподвижной полуоси В вставляется вращающаяся на оси AB квадратная рама (черт. 4).

Существенной частью модели является рама, в которую монтируются оси координат и график функции. В противоположных углах рамы А и В просверливаются сквозные отверстия для выдвижной чеки А и неподвижной полуоси В.

Стойку и раму лучше всего изготовить из дерева. Оси координат и графики функций монтируются из проволоки небольшого сечения. Пользование моделью очевидно. При помощи чеки А и полуоси В рама вставляется в стойку и приобретает подвижность вокруг оси AB (черт. 5—7).

В качестве деталей конструкции укажем на необходимость надписей на полях рамки (черт. 4)

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5 Черт. 6 Черт. 7

Черт. 8

названий осей координат — с одной стороны X и у, а с обратной стороны (для обратной функции) соответственно у и х.

Полезна также откидная защелка С (черт. 8), которая закрепляет раму в нужном положении.

Преимущества разборной модели заключаются в возможности иметь сколько угодно вставных рам с графиками различных функций. Для демонстраций по школьному курсу математики в первую очередь нужно иметь рамки с графиками тригонометрических (обратных тригонометрических) функций и показательных (логарифмических) функций при различных основаниях.

ПРИБОР «СЕЧЕНИЯ КУБА»

Г. А. МИХАЙЛОВ (Выкса, Арзамасская область)

Прибор предназначается для демонстрации различных сечений куба*. Боковые грани куба составляются из пластин оконного стекла, причем две смежные грани делаются из прозрачного стекла, а остальные две — из матового стекла. Верхнее основание образуется стеклянной пластиной, свободно накладывающейся на боковые грани. Демонстрация сечений должна производиться в затемненной комнате (черт. 1).

Черт. 1

Подвижная секущая плоскость показывается световым лучом; последний получается при пропускании света от проекционного фонаря через специальный поворотный светофильтр, приложенный к прибору (черт. 2).

Черт. 2

В средней, вращающейся части светофильтра помещены две окрашенные целлофановые пленки: одна синего цвета и вторая красного цвета. Между этими пленками имеется узкая прямолинейная щель шириной около 0,5—1 мм.

Светофильтр, помещенный в проекционном фонаре на месте диапозитива, окрашивает пучок лучей, идущих от фонаря, половину — в синий цвет и вторую половину — в красный цвет, а между ними от щели образуется плоский луч белого цвета.

Эти световые лучи, направленные на стеклянный куб, окрашивают часть его в синий цвет, а часть в красный цвет, и между окрашенными частями образуется секущая плоскость белого цвета. Куб при этом располагается по отношению к лучам света так, чтобы свет входил в него через прозрачные грани и задерживался при выходе на матовых гранях.

На матовых гранях получаются яркие следы от секущего белого луча; чтобы получить яркие следы сечения на прозрачных гранях, последние надо покрыть с внутренней стороны очень легким налетом какой-нибудь пыли, например меловой пыли или пыли от пудры, таким образом на всех пересеченных гранях показываются контуры сечения.

Для демонстрации всей плоской фигуры сечения следует заполнить куб легким дымом, при этом части объема куба будут видны окрашенными в красный и синий цвета и между окрашенными частями видна белая секущая плоскость.

Дымовые шашки приготовляют из отрезков сигарет (сигарета делится на 4—5 частей), пропитанных насыщенным раствором селитры, ускоряющей сгорание табака. Для предотвращения высыпания табака из них эти отрезки, после пропитывания, заделаны в оболочку из пропускной бумаги, также пропитанной раствором селитры.

Закрепив один такой патрон на конце мягкой проволоки, его следует зажечь и внести в куб, прикрыв последний крышкой. Если дым,

* Помещая настоящую статью Г. А. Михайлова в порядке обсуждения изложенного в ней опыта изготовления оригинальной модели, редакция вместе с тем полагает, что существенным недостатком этой модели является сложность ее изготовления и применения (Ред.),

заполнивший куб после сгорания патрона, окажется настолько густым, что лучи света плохо пробивают его, то, сдвинув крышку, можно выпустить часть дыма наружу.

Конструкция прибора. Боковые грани куба могут закрепляться неподвижно в его основной панели, но для придания большей портативности прибору при хранении целесообразно делать его разборным. В этом случае панель составляется из двух квадратных рамок, изготовленных из дерева (черт. 3).

Черт. 3

Ширина планок, образующих рамки, около 50 мм, толщина — около 15 мм.

Длина сторон этих рамок определяется по размерам стеклянных пластин, образующих грани куба. Если ширина стеклянной пластины а мм и толщина d мм, то большая рамка должна иметь сторону внутреннего просвета (a -\-d) мм, малая рамка — внешнюю сторону (а — d) мм.

Вложив малую рамку в большую, получим между ними зазор шириной d мм и длиной (a-\-d) мм с каждой стороны рамок; в эти зазоры и вставляются стеклянные пластины, образующие боковые грани куба. Высота пластин в этом случае должна быть (а -{-50) мм.

При установке пластин края последних располагаются так, как показано на чертеже 4.

Обе рамки с вставленными в них стеклами можно наклеить на пластину из фанеры, тогда внутренняя рамка образует ящичек, в котором может храниться светофильтр, запас дымовых патронов и проволочка для их сжигания; сверху этот ящичек закрывается крышкой, образующей основание куба.

При устройстве разборной конструкции прибора к нему необходимо сделать папку или плоский футляр из фанеры для хранения стекол.

Матовые стекла можно изготовить из пластин простого оконного стекла натиранием двух пластин друг о друга с проложенным между ними порошком наждака, смоченным водой.

В случае затруднений с изготовлением матовых стекол последние можно заменить простыми стеклами, покрашенными тонким, полупрозрачным слоем светлосерой масляной краски, или, наконец, также простыми стеклами с наклеенными на них листами полупрозрачной бумаги.

Черт. 4

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО ШКОЛЬНОМУ КУРСУ ГЕОМЕТРИИ

Н. И. БЛАГОВЕЩЕНСКИЙ (Владивосток)

Самодельное изготовление наглядных пособий по специальным заданиям не только способствует развитию пространственного воображения и конструктивных навыков, но главным образом является средством показа единства теории и практики. Для выполнения таких заданий требуются предварительные расчеты, основанные на знании теоретического материала по геометрии. Как примерные темы для таких специальных заданий можно рекомендовать следующие:

Задание 1. Изготовить развертку полной поверхности четырехугольной пирамиды с высотой, равной 60 мм. Основание пирамиды не прямоугольный четырехугольник. Развертка должна иметь наименьшую длину линии склеивания.

Задание 2. Изготовить модели двух равновеликих пирамид, правильной и неправильной. Объем пирамид должен быть примерно 144 куб. см, а высота 60 мм.

Задание 3. Изготовить модели равнове-

ликих усеченных конуса и пирамиды, с высотой 50 мм.

Задание 4. Изготовить модели равновеликих конуса, пирамиды, призмы, куба и цилиндра. Объем должен быть примерно 162 куб. см.

Задание 5. Изготовить модель-иллюстрацию к теореме: Объем усеченного конуса равен сумме объемов трех конусов, имеющих одинаковую высоту с усеченным конусом... и т. д. (см. Киселев, Геометрия, ч. II, § 122). Высоту конуса взять равной 5 см.

Задание 6. Аналогичное заданию 5, но для усеченной пирамиды (см. Киселев, Геометрия, ч. II, § 92).

Задание 7. Изготовить модель сечения куба плоскостью, пересекающей все шесть граней (не по ребрам).

Задание 8. Изготовить модель-иллюстрацию к теореме: Объем пирамиды равен произведению площади основания на ее высоты. Изготовить сечения треугольной призмы на три равновеликие пирамиды (Киселев, Геометрия, ч. II, § 91, черт. 122).

Задание 9. Изготовить модель тела вращения, полученного от вращения квадрата со стороной в 3 см. Квадрат лежит в одной плоскости с осью вращения, и последняя проходит через вершину квадрата перпендикулярно его диагонали.

Практика проведения такого моделирования дает широкие возможности и для воспитательной работы (экономия материала, экономия работы и знакомство с передовиками наших предприятий).

При выполнении задания 1 очень часто учащиеся были удивлены открытием факта, что одна и та же поверхность может иметь различные развертки и что это имеет большое практическое значение.

На выполненных моделях ученики пишут свою фамилию, а на отдельном листке заносят результаты своих расчетов. Затем производится коллективная проверка работы. Когда ученик, преодолев все «трудности», получает изящную и точно выполненную модель, он получает уверенность в своих знаниях и видно, как он испытывает нескрываемое удовольствие и долго любуется своей работой и работой своих товарищей.

Во время выполнения таких заданий ученикам можно разрешать пользоваться учебниками: это будет приучать их к самостоятельной работе над книгой.

Можно рекомендовать такую работу как своеобразный вариант контрольной работы. В этом случае учеников предупреждают заранее о содержании и теме работы, а учебниками пользоваться не разрешается.

От редакции

В течение последнего времени в редакцию журнала «Математика в школе» поступило много статей и заметок, в которых учителя делятся своим опытом по изготовлению наглядных пособий, но так как многие авторы в своих работах старались в первую очередь поделиться результатами работы, то чаще всего техника изготовления этих пособий освещалась слабо или совсем о ней ничего не говорилось.

Для того чтобы наши читатели могли на местах успешно воспользоваться опытом своих коллег, редакция журнала сочла необходимым предпослать материалу по обмену опытом статью М. И. Каченовского, дающую ряд конкретных, практических и полезных указаний по технике изготовления наглядных пособий. Эта статья специально ограничена указаниями по изготовлению наглядных пособий из наиболее распространенных материалов (бумага, картон, проволока, стекло и нитки). Что же касается описания техники изготовления наглядных пособий из других материалов и обобщения опыта по моделированию всего нашего творческого учительского коллектива, то эта задача уже назрела давно, но решить ее можно только путем издания специальной книги по технике изготовления самодельных наглядных пособий по математике.

В редакцию журнала прислали свои работы следующие товарищи:

1. Ковалев В. И. (учитель ср. школы №.510 г. Москвы) — «Методика моделирования пространственных геометрических фигур».

2. Воронов Б. И. (поселок Кунья, Великолукской обл.) — «Универсальная доска».

3. Демиховский Л. М. (г. Арзамас) — «Подвижная модель геометрических тел».

4. Михайлов Г. Л. (ср. школа № 8 г. Выкса, Арзамасской области) — «Прибор сечения куба».

5. Бычков Н. В. (учитель Аненковской ср. школы, Пензенская область) — «Уроки геометрии с подвижными моделями».

6. Носов М. В. (школа раб. молодежи № 7 г. Свердловска) — «Как изготовить наглядное пособие, позволяющее иллюстрировать взаимосвязь и взаимопереход одних геометрических форм в другие».

7. Образ К. И. (г. Ставрополь) — «Об одном приборе для демонстрирования прямой и обратной функциональной зависимости».

8. Рыбников С. А. (г. Москва) — «Геометрическая складная линейка».

9. Лапин И. Н. (г. Кропоткин, Краснодарского края) — «В помощь преподавателю школьного курса стереометрии».

10. Хвисюк Л. М. (г. Молотов)— «О подвижных моделях по стереометрии в связи с политехнизацией школы».

11. Черевиц Ф. Г. (г. Кишинев) — «Изготовление моделей силами учащихся — элемент политехнизации во внеклассной работе по стереометрии».

12. Григорьев А. И. (преподаватель черчения и математики Снегиревской средней школы Истринского района Московской обл.) — «Изготовление наглядных пособий по черчению из простейших материалов (силами учащихся)».

13. Юшко М. К. и Ольшевская Т. (г. Бежица, Брянской области) — «Применение самодельных моделей при решении задач по стереометрии».

14. Клочков М. (г. Кисловодск) — «Универсальное динамическое наглядное пособие по геометрии (планиметрии и стереометрии) в шестых — десятых классах средней школы»,

15. Климов А. И. (г. Саратов) — «Прибор для решения треугольников».

16. Дробышев Б. — «Наглядное пособие к теме «Окружность».

17. Шпаненко К. Н. (г. Кишинев) — «Кипригель к школьной мензуле».

18. Волков В. — «О так называемом тригонометрическом треугольнике».

19. Чесноков В. Е. — «Наглядное пособие для демонстрации осевой и центральной симметрии».

20. Благовещенский Н. И. (г. Владивосток) — «Моделирование по школьному курсу стереометрии».

Некоторые из перечисленных статей помещаются в настоящем номере, некоторые будут помещены в одном из ближайших последующих номеров; по материалу остальных будет дана обзорная статья. Перечень статей, полученных за время подготовки материала настоящего номера, будет опубликован дополнительно.

Редакционная обработка помещенных в журнале статей о наглядных пособиях выполнена М. И. Каченовским.

О ПРЕПОДАВАНИИ ЧЕРЧЕНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

А. Т. ЧАЛЫЙ (Киев)

Успех политехнического образования в средней школе в значительной мере зависит от правильной постановки преподавания в ней черчения, являющегося средством общения людей, изучающих технику или занятых в ней.

«Чертеж перестал быть достоянием узкого круга специалистов. Знание его сделалось необходимым для всех людей, наравне с общей грамотностью» («Учительская газета» от 19 февраля 1953 г.).

Средняя школа, наряду с техникумами и втузами, дающими глубокую специальную подготовку по черчению, должна в свою очередь играть немаловажную роль в деле широкого распространения основ графической грамотности.

Ученик средней школы часто встречается с необходимостью понимать чертеж и уметь им пользоваться на уроках геометрии при изображении геометрических фигур, на уроках физики при изучении механики, оптики и других ее разделов, при изучении основ современной техники и т. д. Еще больше понадобится ему знание основ черчения по окончании школы, когда он поступит на работу на производство или для продолжения образования в институт. Знание основ черчения на производстве поможет ему быстро овладеть профессиями модельщика, разметчика, чертежника, технического контролера и т. д., а в техническом вузе — успешно изучать курсы начертательной геометрии, технического черчения, технического рисования и других дисциплин.

Таким образом, преподавание черчения в средней школе должно:

1) содействовать прохождению учащимися этих школ основ техники, геометрии, физики, географии и других предметов;

2) подготовить оканчивающих школу к успешному и быстрому овладению производственными специальностями;

3) подготовить поступающих в высшую школу к успешному изучению начертательной геометрии, технического черчения и рисования; от поступивших в вуз потребуется хорошо развитая техника черчения, твердые навыки в практике надписания чертежей стандартным шрифтом и глубокие знания по геометрическому и проекционному черчению; наконец, последнее (по месту, но не по значению):

4) развить у учащихся способность пространственного представления формы предмета по его проекционному чертежу, необходимую каждому человеку в современных условиях развития техники и науки.

Этими задачами определяется содержание программы, характер и организация занятий по черчению в средней школе.

Действующая в настоящее время в средних школах программа по черчению в основном удовлетворяет указанным задачам политехнического образования.

Вопросы теории и практики геометрических построений, являющиеся элементами всякого производственного чертежа, развитие техники черчения и ознакомление с основными прави-

лами государственных общесоюзных стандартов об оформлении чертежей надписями, о нанесении размеров и т. д. — все эти вопросы программой охвачены в достаточной мере. Необходимо лишь отметить два момента:

1) на уроках по геометрическому черчению надо внедрять такие способы построений элементов чертежа, какие применяются обычно при исполнении производственных чертежей;

2) в качестве объектов для практики вычерчивания сопряжений, уклонов, овальных или лекальных кривых и т. д. надо применять технические формы, заимствованные иа различных областей нашей передовой техники, что послужит хорошим способом ознакомления учащихся уже на первых уроках черчения с техническими формами и понятиями.

Элементы начертательной геометрии (иначе: проекционное черчение) включены в программу тоже в достаточном объеме. Если учащиеся средней школы изучат весь материал программы этого раздела сознательно и без пропусков, то они будут вполне подготовлены для того, чтобы читать и самим выполнять проекционные чертежи основных геометрических форм и их несложных сочетаний. В практике преподавания черчения, к сожалению, нередко встречаются случаи, когда сами учителя черчения, в силу тех или иных причин (отсутствие учебника, недостаток наглядных учебных пособий, нехватка времени, недочеты методической проработки вопросов преподавания проекционного черчения и т. д.), обходят некоторые из более сложных вопросов программы, сокращая ее в этой части и ограничиваясь предельным минимумом. Такая практика не может быть признана допустимой.

В программу из области технического черчения включено лишь построение винтовой цилиндрической линии, ознакомление с условностями в разрезах и исполнение эскиза и чертежа технической детали. Такие вопросы, как изображение и обозначение стандартных резьб, изображение болтов, гаек, шпилек, зубчатых колес и пружин, т. е. деталей, встречающихся почти в каждом производственном чертеже, в программу совсем не включены.

Не включены также в программу понятия о выполнении электротехнических, радиотехнических и других схематических чертежей, о чтении сборочных чертежей, о составлении чертежей простых сборочных единиц (на 3—4 детали), а также сведения о некоторых условных изображениях, принятых в строительном и топографическом черчении. Однако с понятиями и изображениями из указанной области учащиеся средних школ встретятся при изучении основ техники, на уроках физики, на занятиях по географии и т. д., не говоря уже о том, что по окончании школы от них потребуются эти знания в будущей профессиональной деятельности.

Преподавание черчения в средней школе, его методика и организация, подготовка учителей черчения, оснащение преподавания учебной литературой и учебными пособиями и т. д. — все это далеко еще от тех требований, которые предъявляются задачами политехнического обучения.

Основным, наиболее существенным пробелом в организации занятий по черчению в средней школе служит большая нехватка в опытных учителях, имеющих специальную подготовку для преподавания черчения в средних школах.

Преподавание черчения часто поручается преподавателям математики и физики. Но та подготовка по технической графике, которую они получают в педагогических институтах, никак не может считаться достаточной для ведения черчения в средней школе.

Следует заметить, что существующая в педагогических и учительских институтах постановка преподавания черчения не обеспечивает даже использования проекционного чертежа учителем математики и физики в его педагогической работе по специальности, в частности на уроках геометрии.

Всем известно, как часто учителя геометрии допускают неправильности при построении на классной доске чертежей, изображающих сечения плоскостью геометрических тел. Даже в распространенных учебниках по геометрии случаи неверных построений в аксонометрических проекциях плоских сечений геометрических тел встречаются довольно часто (см., например, рис. 134, 136, 141 и др. в «Геометрии» Киселева, изд. 1938 г.). А об ученических чертежах и говорить не приходится.

Проф. Н. Ф. Четверухин в своей книге «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии» (Учпедгиз, 1946) говорит о том, что преподаватель геометрии, не будучи подготовлен в достаточной мере теоретически в области построения проекционного чертежа, «на практике... находит выход в произвольном выполнении изображений, заботясь лишь о том, чтобы они хоть сколько-нибудь помогали учащимся в понимании излагаемого. Естественно, что такая практика, не опирающаяся на теорию, приводит к многочисленным ошибкам. Иногда (даже большей частью) преподаватель сам не замечает и не подозревает, что его чертежи неверны... Пользование неверными чертежами приводит к тому, что еще слабая интуиция учащихся не укрепляется,

а, наоборот, направляется в неправильную сторону при частом употреблении таких изображений».

Но надо сказать, что многие учителя черчения даже и такой подготовки не имеют. В результате приходится наблюдать в преподавании черчения в средних школах чрезвычайную пестроту в постановке, организации и в методических приемах ведения учебных занятий, которые в большинстве случаев не обеспечивают систематических и глубоких знаний по черчению у оканчивающих среднюю школу. Часто программа полностью не выполняется, особенно по разделу проекционного черчения, из которого, как было указано выше, часто исключаются наиболее трудные построения; качество чертежей, выполняемых учениками, находится на очень низком уровне; подбор упражнений для занятий случайный, методически не продуманный; часто упускается необходимость развивать у учащихся пространственные представления путем специальных приемов и упражнений; элементы начертательной геометрии преподаются без строгой увязки с геометрией; в подавляющем большинстве случаев школы не имеют модельного кабинета или даже набора деталей по проекционному черчению и другим разделам курса; слабо также обстоит дело и с наличием плакатов образцовых чертежей, наблюдается чрезвычайная пестрота в методах оценки знаний и т. д.

Продолжающиеся уже много лет наблюдения над состоянием знаний по черчению у студентов втузов показывают чрезвычайную пестроту и неполноту этих знаний. Многие студенты затрудняются в выполнении даже простого сопряжения двух прямых линий, пересекающихся под прямым или косым углом, а сопряжение двух данных дуг дугою заданного радиуса, как правило, редко кто может сделать. Почти не встречаются случаи аккуратного и правильного исполнения надписей на чертежах стандартным шрифтом. Слаба техника черчения. Построения разреза и сечения на несложном чертеже, представляющем простое сочетание двух геометрических форм, тоже составляют почти непреодолимые трудности, так же как и самостоятельное исполнение даже несложных технических чертежей и т. д.

Перечисленным не исчерпываются все недостатки, наблюдаемые в преподавании черчения в средней школе. Однако и сказанного достаточно, чтобы считать, что постановка преподавания черчения нуждается в улучшении.

Недостатки преподавания черчения в средней школе во многом зависят от тех неправильных методических приемов и средств, которые применяются учителями черчения на своих занятиях. До сих пор еще не разработаны научные основы методики преподавания черчения в средней школе, и каждый учитель по-своему применяет в своей педагогической практике такие методические средства и приемы, какие ему кажутся наиболее подходящими и соответствующими целям изучения того или другого раздела или всего курса в целом.

Если по многим другим предметам учебного плана средней школы изданы и разрабатываются новые методики и печатаются в педагогических журналах методические статьи, то по черчению ничего этого почти не делается. Методика преподавания черчения в средней школе еще не создана.

Немногочисленные выступления в периодической печати и в педагогических журналах по вопросу о преподавании черчения в средней школе ограничиваются в большинстве случаев лишь постановкой отдельных вопросов, но не решением их по существу.

Наиболее серьезная работа по разработке научных основ в области организации и методики преподавания черчения в средней школе проводится под руководством профессора Н. Ф. Четверухина, перу которого принадлежат такие работы, как «Стереометрические задачи в проекционном черчении», «Позиционные задачи на проекционном чертеже», «Полные и неполные изображения» и т. п.

Большая работа в этом направлении проводится также и Украинским научно-исследовательским институтом педагогики под руководством профессора А. М. Астряба.

Однако систематического научно-обоснованного курса методики преподавания черчения в средней школе, который направил бы дело организации и ведения педагогического процесса в области черчения по правильному пути и служил бы настольной книгой для всех учителей, преподающих черчение, пока еще не создано.

У каждого учителя в его повседневной работе возникает целый ряд вопросов, требующих неотложного правильного решения. Это вопросы о месте черчения в учебном плане и связи его с геометрией; о политехническом значении преподавания черчения; об использовании производственного материала на уроках черчения; о приемах и средствах развития пространственного воображения у учащихся, связанного с представлением ими формы предмета по его комплексному чертежу*; о рацио-

* Термин проф. Н. Ф. Четверухина, обозначающий обычный ортогональный чертеж, состоящий из двух, трех и т. д. проекций.

нализации приемов построения геометрических элементов чертежа; о правильных приемах изучения стандартного шрифта; о приемах черчения в крупных масштабах на классной доске; о том, как вести обучение проекционному черчению, в частности изучение проекций точки, прямой и плоскости; о том, какие построения следует применять при прохождении раздела о пересечении тел между собой и с плоскостью; о координатном и графическом способе построения третьей проекции оригинала по двум известным его проекциям; о содержании и методике раздела об элементах технического черчения; о методе проверки ученических работ, об учете и оценке успеваемости учащихся; о школьных выставках ученических работ; об оборудовании чертежного класса наглядными учебными пособиями, таблицами, моделями по начертательной геометрии, набором геометрических тел, деталями по техническому черчению и т. д.; о том, как должны строиться уроки по различным разделам курса; о рабочих планах по черчению и т. д. Все эти и им подобные вопросы волнуют учителей, ведущих преподавание черчения в средней школе, и каждый учитель, не имея общих, проверенных установок, решает их по-своему и зачастую неправильно, а в результате мы имеем очень невысокое качество знаний по черчению у оканчивающих среднюю школу.

Рассмотрим примеры неправильных решений отдельных методических вопросов.

Раздел геометрического черчения

Одной из основных задач, которые ставятся изучением раздела геометрического черчения, является обучение учащихся наиболее рациональным, выработанным практикой приемам построения геометрических элементов производственного чертежа. Эти приемы, основанные на законах планиметрии, должны обеспечивать, с одной стороны, достаточную точность построения, а с другой — необходимую экономию времени. Всем известно, что исполнение чертежей является трудоемкой работой, и поэтому любая рационализация, приводящая хотя бы к небольшой экономии времени при исполнении той или другой чертежной операции, в сумме может дать большую экономию времени, что имеет существенное значение в деле сокращения общего числа часов, затрачиваемого на весь чертеж.

Проектировочная чертежная практика выработала немало рациональных приемов, рассчитанных на применение чертежных приборов и принадлежностей. Одним из таких приемов является построение перпендикуляра к прямой, исполняемое при помощи линейки и треугольника. Эта операция состоит из двух элементов (черт. 1):

1) установление рейсшины (или линейки) в положение, параллельное данной прямой, и 2) установление треугольника и проведение перпендикуляра.

Эта операция одинакова для всех возможных случаев проведения перпендикуляров: через середину отрезка прямой, через любую точку на ней, в том числе через точку, лежащую в конце отрезка прямой, а также через точку, расположенную вне прямой.

Однако, несмотря на очевидное преимущество приема построения при помощи линейки и треугольника сравнительно с приемами построения перпендикуляров, осуществляемыми при помощи линейки и циркуля (способ засечек) (черт. 2), в практике преподавания черчения в средней школе широко распространены именно эти последние построения, требующие большего количества времени и числа операций.

Разумеется, нельзя отказаться и от построений перпендикуляров способом засечек вследствие того, что эти построения применяются

Черт. 1

Черт. 2

иногда в производственной разметке, при точных расчетных графических построениях и т. д. Прием построений способом засечек должен быть показан как возможный дополнительный вариант построения, имеющий специальное назначение.

Сказанное по поводу перпендикуляров относится и к другим построениям: построение параллельных прямых, построение по данному основанию и высоте равнобедренного треугольника (черт. 3), по данной стороне квадрата и правильного шестиугольника (черт. 4), построение углов в 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 120° и др., построение касательных к двум окружностям и т. д.

Отмеченная неправильная методика изучения способов построения геометрических элементов проекционного чертежа широко распространена не только в учебной практике учителей черчения, но является традиционной для многих учебников по черчению, авторы которых не учитывают, что задачей геометрического черчения является обучение главным образом тем рациональным приемам черчения, которые установлены проектировочной практикой.

Другим крупным недостатком построения методики занятий по геометрическому черчению в средней школе является недооценка значения развития у учащихся хорошей техники черчения. У большинства оканчивающих среднюю школу техника исполнения чертежей находится на очень низком уровне. Студенты первого курса института не умеют делать чистых плавных сопряжений. Построение таких изображений, которые заключают в себе сочетание различных сопряжений дуг с дугами и дуг с прямыми линиями, как, например, ручка (черт. 5), электрическая лампочка (черт. 6), маховичок (черт. 7) и т. д., представляют большие трудности для студентов первого курса, окончивших среднюю школу. Такие же затруднения встречают они и при

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

обводке лекальных кривых тушью (равно как и при их построении).

Применяемая методика изучения стандартного шрифта, когда каждая буква «строится» по строгому расчету, осуществляемому при помощи масштабной линейки и циркуля, а обводка букв и цифр крупных размеров (20, 14, 10) производится по предварительно начерченным двойным линиям («дутый шрифт») при помощи линейки и треугольника, приводит к тому, что большинство поступающих в высшую школу не знают конструкции стандартного шрифта и писать им не умеют. Приходится изучение шрифта ГОСТ 3454-52 во втузе начинать сначала и затрачивать на это немало времени.

Целью изучения стандартного шрифта в средней школе должно быть не достижение предельной точности в его исполнении (при помощи линейки, треугольника и циркуля), а приобретение учащимися навыков в сравнительно быстром выполнении от руки и на глаз (после небольшой подготовки) надписей шрифтом, очертания букв и цифр которого были бы достаточно правильными и резко не отличались от образцов, данных в ГОСТах «О шрифтах» 3454-52. Разумеется, надписи должны быть аккуратными и отвечать требованиям этого стандарта в отношении конфигурации шрифта, ширины букв и цифр, сочетания их отдельных элементов, наклона в 75° к строке и т. д. Нельзя, например, считать удовлетворительной надпись на чертеже 8, а. Однако надпись, сделанная на чертеже 8, Ь, не вызовет неприятного впечатления, хотя при ее выполнении и допущены некоторые незначительные отступления от точной конфигурации стандартного шрифта.

Исходя из сказанного, можно рекомендовать при изучении стандартного шрифта следующие методические указания.

1. При изучении шрифта русского, латинского и греческого алфавитов целесообразно разбить большие и малые буквы каждого алфавита на группы по степени их сложности (черт. 9).

2. Буквы надо выполнять на сетке, построенной тонко очинённым карандашом и состоящей из горизонтальных и наклонных прямых линий. Горизонтальные линии должны быть проведены так, чтобы они определяли собой высоту букв, их отдельных элементов и расстояния между строками. Наклонные линии должны быть проведены на произвольном расстоянии друг от друга в 5—10 мм и под наклоном в 75° к горизонтальным.

3. Каждая буква должна сначала выполняться от руки и на глаз тонко зачиненным карандашом в рамке, которая делается также от руки и на глаз. Рамка для очередной буквы выполняется тогда, когда написана предшествующая буква. Двойных линий («дутый шрифт») для предварительного начертания букв, в том числе и больших размеров (20. 14, 10), не применять.

Необходимо добиться того, чтобы эта подготовительная операция производилась возможно быстрее.

Утолщать линии внешних элементов шрифта надо «вовнутрь», иначе говоря, за счет намеченных габаритных размеров каждой буквы, т. е. не увеличивая ширины и высоты букв. Линии же средних элементов надо доводить до необходимой толщины путем равномерного уширения их в ту и другую сторону, т. е. симметрично относительно самих линий.

Раздел проекционного черчения

Изучение проекционных свойств точки, прямой и плоскости, изображаемых на комплексном чертеже, надо проводить не изолированно, как это делается часто теперь, а увязывать

Черт. 8

Черт. 9

эти геометрические элементы с проекциями геометрических тел: параллелепипеда, косо срезанной призмы и т. п. Если применить при построении проекций геометрических элементов трактовку точки как вершины тела, прямой — как ребра двух пересекающихся граней, а плоскости — как грани тела, то учащиеся усвоят проекционные признаки этих элементов значительно легче и быстрее.

На чертеже 10 демонстрируется этот прием для точки А.

Все первые комплексные чертежи проекционного черчения, а также значительную часть всех остальных чертежей при их объяснении у классной доски учитель должен сопровождать аксонометрическими изображениями. Основные сведения о построении аксонометрических проекций поэтому должны быть сообщены учащимся на первых же занятиях по проекционному черчению наряду со сведениями о приемах построения комплексного (ортогонального) чертежа.

Одними аксонометрическими проекциями, как средством для развития пространственных представлений у учащихся и понимания ими комплексного чертежа, ограничиваться нельзя. Необходимо с этой целью привлекать и такие приемы и средства, как построение третьей проекции предмета по двум его данным проекциям или недостающих элементов на заданных проекциях, как моделирование из проволоки и картона, моделирование из пластилина и корнеплодов, демонстрирование и самостоятельное изготовление учащимися моделей по начертательной геометрии, а также набор геометрических фигур и набор производственных технических деталей.

Из перечисленных средств, имеющих целью развитие пространственного представления у учащихся, широкое применение в практике преподавания черчения во всех школах, в том числе и средних, получили упражнения на построение третьей проекции предмета и его элементов по двум данным проекциям.

Обычно для построения, например, профильной проекции а точки А (черт. 11) по двум ее данным основным проекциям: горизонтальной а и вертикальной а' — проводят через проекции а и а' две прямые линии, параллельные оси ОХ; затем точку ау пересечения с осью OY одной из этих прямых переносят при помощи дуги с центром в точке О в новое положение аУ1 на оси OYx\ наконец, через точку аУх проводят прямую, перпендикулярную к оси О Y у до пересечения с ранее проведенной через точку а! прямой, параллельной оси ОХ. Точка пересечения а“ — искомая профильная проекция точки А.

Таким образом, этот «графический» способ заключает в себе четыре операции: проведение трех прямых линий и одной дуги с центром в точке О. Он обладает наглядностью, но при большом количестве точек, подлежащих построению, он оказывается громоздким и совершенно неприемлемым (черт. 12).

Черт. 10

Черт. 11

Черт 12

Однако этот недостаток не является наиболее существенным.

Дело в том, что учащиеся, привыкнув к построению третьих проекций оригинала способом проекционной связи, стремятся применять его во всех случаях чертежной практики, даже и тогда, когда исполняются технические чертежи, т. е. когда все построение ориентируется не на оси плоскостей проекций ОХ, OY и OZ, которых на нем нет, а на оси симметрии отдельных видов (проекций) или на отдельные грани изображаемых предметов. Очень часто учащиеся в этих случаях попадают в затруднительное положение из-за необходимости найти положение точки О, центра вспомогательных дуг, при помощи которых точки с оси OY переносятся на ось OYx.

Другой способ построения недостающей проекции показан на чертеже 13. Он состоит в том, что для построения профильной проекции а“ точки А надо: 1) провести через точку а' горизонтальную прямую линию (линия высоты) и 2) отложить на ней от оси OZ координату уи равную координате у. Этот порядок построения назовем «координатным способом». Вместо четырех графических операций способа проекционной связи мы имеем в координатном способе всего одну графическую операцию (проведение линии высоты) и одно измерение. Это дает значительную экономию времени, особенно при построении большого количества точек, и, кроме того, освобождает чертеж от лишних вспомогательных линий, делая его более ясным и четким. Вот как выглядел бы чертеж 12, если бы при его исполнении был применен координатный способ (черт. 14).

Координатный способ может быть использован непосредственно на техническом чертеже (черт. 15). Здесь координатной плоскостью, от которой надо производить отмер координаты у, надо считать фронтальную плоскость (F), горизонтальный след Fh которой сливается с горизонтальной осью симметрии вида сверху, а профильный (Fw) сливается с вертикальной осью симметрии вида сбоку.

Как мы видим, координатный способ выгодно отличается от «графического». Координатный способ проще: он требует меньшего количества графических построений, создавая экономию во времени и обеспечивая меньшую загруженность чертежа вспомогательными линиями; затем он требует сознательной увязки отдельных проекций, что способствует развитию пространственных представлений у учащегося; и наконец, что очень важно, этот способ вполне отвечает принятому порядку построения технического чертежа и его чтения в обычной производственной обстановке.

Надо с такой же решительностью высказаться и против применения совершенно

Черт. 13

Черт. 14

Черт. 15

неправильного, более того, вредного методического приема, часто допускаемого некоторыми учителями черчения средней школы в своей педагогической практике при прохождении раздела проекционного черчения. Этот прием состоит в том, что учитель вычерчивает на доске проекционный чертеж в полном и окончательном виде, а учащимся остается только перенести его на свои листы, не проявляя при этом никакого творчества.

Учащиеся, пройдя такую «школу» развития пространственных представлений, совершенно не умеют читать чертежи, за исключением, быть может, чертежей конуса, цилиндра и нескольких простейших геометрических тел.

Надо, чтобы учащиеся работали творчески, возможно чаще составляли под руководством учителя, но самостоятельно комплексные чертежи с натуры, по модели, а также по аксонометрическим изображениям.

Раздел технического черчения

Основным недостатком в преподавании раздела технического черчения в средней школе является почти полнее отсутствие или очень слабое развитие упражнений на снятие эскизов с натуры и выполнение по ним рабочих чертежей технических деталей. Такое положение объясняется, с одной стороны, тем, что официальная программа отводит очень мало времени на эти упражнения, а с другой — тем, что многие школы не имеют в своем распоряжении соответствующего набора технических деталей. А между тем исполнение эскизов по натуре и рабочих чертежей по эскизам служит прекрасным средством развития у учащихся пространственных представлений, чувства пропорции, глазомера и техники черчения. Путем ряда повторных упражнений к применения правильной методики надо добиться того, чтобы учащиеся могли свободно выполнять от руки аккуратные эскизы с несложных технических деталей.

Эти упражнения, помимо развития знаний и навыков у учащихся, будут служить также одним из средств ознакомления с объектами советской передовой техники, если подобрать на производстве, заводах, машинно-тракторных станциях детали современных машин, аппаратов из их оборудования и каждый раз делать краткое пояснение о производственном применении изображаемых деталей.

При подборе деталей для съемки эскизов следует пользоваться также и оборудованием школьных кабинетов физики, естествознания и др.

В заключение остановимся на вопросе об оборудовании чертежного класса. Этому вопросу учитель черчения и директор школы должны уделить самое серьезное внимание. Но было бы совершенно неправильно думать, что все оборудование чертежного класса должно быть осуществлено централизованным путем. Разумеется, органы Министерства просвещения должны организовать централизованное изготовление и снабжение школ наглядными пособиями по черчению, но это не означает, что учитель черчения может устраниться от дела организации чертежного класса и изготовления некоторых наглядных пособий по черчению своими средствами, с использованием инициативы самих учащихся.

Самостоятельное исполнение наглядных пособий самими учащимися будет служить хорошим способом развития у них пространственных представлений и содействовать лучшему запоминанию правил построения чертежей, так как при изготовлении наглядного пособия ученик в течение продолжительного времени сосредоточивает свое внимание на определенном геометрическом образе, стараясь представить в пространстве все его детали и определить в натуре взаимоотношение всех его частей, а изготовив модель, проверить свои представления по этой модели.

С указанной точки зрения надо признать, что наглядные учебные пособия, изготовленные самими учащимися, являются более желательными и более полезными в учебном процессе, чем готовые наглядные пособия, демонстрируемые учителем в классе во время объяснений и пассивно воспринимаемые учащимися.

Не следует чрезмерно увлекаться также готовыми моделями и по начертательной геометрии при прохождении раздела «Проекционное черчение». Демонстрирование готовых моделей избавляет учеников от необходимости самостоятельно представлять по комплексному чертежу геометрические элементы и пространственные формы изображаемых предметов и их взаимное расположение друг к другу, так как все показано на модели.

Есть все основания утверждать, что частое обращение на уроках по проекционному черчению к демонстрированию готовых моделей будет скорее задерживать развитие пространственных представлений у учащихся, чем содействовать ему.

Сказанное, однако, не означает, что учитель не должен совсем пользоваться готовыми моделями на уроках по проекционному черчению. Самостоятельное изготовление моделей, во-первых, вызывает большой расход учебного времени, а во-вторых, не всегда возможно по

разным причинам: сложность модели, отсутствие соответствующих материалов и Инструментов и т. д. Эти обстоятельства заставляют обращаться к заранее приготовленным моделям.

Чертежные классы должны иметь примерно следующее оборудование:

1) набор геометрических тел из дерева;

2) набор геометрических тел с различными вырезами, плоскими срезами, со сквозными отверстиями и внутренними пустотами;

3) набор простейших сочетаний геометрических тел, в том числе: модель двух цилиндров, оси которых пересекаются под прямым углом; модель пересечения конуса и трехгранной призмы, одно ребро которой пересекается с осью конуса; модели пересечения соосных тел вращения и т. д.:

4) набор технических деталей несложных форм — из машиностроения и строительной практики. Такие детали школа должна получить из числа вышедшего из строя оборудования от своих шефских организаций, заводов, машинно-тракторных станций, различных производств;

5) простейшие сборочные единицы, как, например, фланцевое соединение, сальниковое уплотнение, болтовой и шпилечный комплекты й т. д.;

6) модели по начертательной геометрии;

7) настенные таблицы большого формата 814X576 мм, в которых должны быть отражены различные отделы курса: приемы пользования чертежными и измерительными инструментами и принадлежностями; построение перпендикуляров, параллельных прямых и сопряжений дуг окружностей и прямых линий между собой; конструкция стандартного шрифта и методика его обучения; правила нанесения размеров; построение комплексных чертежей геометрических тел и их элементов; построение разрезов и сечений; изображение стандартизованных деталей: болта, шпильки, гайки, пружины, зубчатого колеса и т. д.; способы построения аксонометрических проекций и т. д.;

8) набор чертежных инструментов, готовален, чертежных досок размером в 1/4 полного чертежного листа, рейсшин, угольников —- все это в количестве, обеспечивающем нормальные занятия одного класса;

9) плакаты с кратким очерком развития методов изображения в СССР и фотографиями отечественных ученых-графиков;

10) образцовые ученические работы.

Затронутые в настоящей статье моменты являются лишь частью тех мероприятий и вопросов, от правильного разрешения которых зависит улучшение преподавания черчения в средней школе. Необходимость коренного улучшения постановки этого преподавания бесспорна» Надо добиться того, чтобы учителя черчения средних школ хорошей организацией и применением правильной методики преподавания черчения внесли свой вклад в создание основ политехнического образования нашего юношества.

ОПЕЧАТКИ

В № 5 журнала «Математика в школе», 1954, вкрались следующие опечатки.

Страница

Столбец

Строка

Напечатано

Следует

ИЗ ОПЫТА

ОБ ЭЛЕМЕНТАХ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

(по поводу статьи Н. Н. Лобанова «Элементы политехнизма в преподавании математики»)

Л. И. КРЕМЕНШТЕЙН (Киев)

Вопросы методики, связанные с внесением элементов политехнизма в преподавание математики, относительно слабо разработаны. Это обстоятельство является, повидимому, причиной того, что в высказываниях по этому поводу мы встречаемся иногда с противоречивыми и даже ошибочными положениями. Иллюстрацией к сказанному могут послужить две статьи, опубликованные в № 6 за 1953 г. журнала «Математика в школе».

В статье В. Д. Чистякова говорится (стр. 44): «В преподавании математики необходимо, чтобы на каждом этапе обучения учащийся представлял себе те практические, реальные соотношения между вещами из окружающей обстановки, абстрактным отражением которых являются соответствующие математические положения». На наш взгляд, это правильно и с этим следует согласиться.

Нечто иное высказывает автор другой статьи — Н. Н. Лобанов (стр. 40): «В процессе преподавания надо сопровождать теоретическое обучение изучением вопросов техники...» (разрядка наша.—Л. К.).

Разве не ясно, что здесь высказывается совершенно иной принцип политехнического обучения, явно противоречащий высказанному выше?

Утверждение Н. Н. Лобанова неверно, хотя бы уже потому, что он ставит перед учителями математики сразу две задачи: обучение математике и технике. Вторая задача не имеет прямого отношения к учителю математики, да к тому же он, естественно, не подготовлен для ее разрешения*.

Из сопоставления указанных мнений видно, что авторы усматривают в политехническом обучении различные целевые установки. В самом деле, разве «изучение вопросов техники» — то же самое, что ознакомление учащихся с процессами производства и притом лишь в такой мере, чтобы привлечь к ним интерес и создать такое представление о них, которое могло бы служить в дальнейшем некоторым основанием для выбора профессии?

Статья Н. Н. Лобанова нам представляется неудовлетворительной с методической стороны; содержание же технических вопросов излагается в статье весьма путанно и в большинстве своем неверно. Перечислим некоторые ошибки, встречающиеся в этой работе.

а) Определение передаточного числа неверно. Автор пишет (стр. 42): «Передаточным числом называется отношение скоростей вращения зацепляющихся колес, что важно (?) при замене зубчатых колес с другим количеством зубьев:

Здесь все неудовлетворительно, в том числе и литературное оформление мысли автора, начиная от слов: «..., что важно...».

Во-первых, следовало обязательно сказать

* В этом же духе высказывается А. П. Азия (журнал «Математика в школе», 1954, № 1).

«угловых скоростей», так как трудно предполагать, что «скорость вращения», будет понято учащимися VII класса в смысле «угловой», а не «окружной» скорости. К тому же вряд ли учащиеся VII класса понимают, что такое «угловая скорость». Следовательно, этой задаче должна была бы предшествовать соответствующая подготовительная беседа, о которой автор ничего не говорит.

Во-вторых, то, что автор статьи называет «передаточным числом», в технике называется «передаточным отношением». Для того чтобы иметь право писать: «передаточное число», нужно указать, что речь идет об отношении угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведомого.

В-третьих, исходя из определения, данного автором статьи, следовало бы написать:

Последнее равенство совсем не вытекает из определения, данного автором, и к тому же не является определением этого понятия. Оно служит лишь для отыскания абсолютного числового значения передаточного отношения.

В-четвертых, «что важно...» не имеет никакого отношения к определению.

А вот что действительно важно и уместно — это, разбирая вопрос о передаточном отношении, обратить внимание на то, что ему всегда приписывается определенный знак (плюс или минус) в зависимости от направления вращения обоих колес. Этим устанавливались бы, между прочим, и «соотношения между вещами из окружающей обстановки, абстрактным отражением которых являются соответствующие математические положения».

Что несомненно верно — это то, что тема «Вращение твердых тел» может разбираться в VII классе. Однако в качестве предварительной подготовки к ее разработке следовало бы рассмотреть сначала (или напомнить, если это уже было раньше сделано) вращение плоскости вокруг неподвижной оси, лежащей в этой плоскости (пример: дверь, окно), затем вращение прямолинейного тонкого стержня вокруг неподвижного центра и установить на этих примерах ряд геометрических фактов (форму траекторий точек, отстоящих на различных расстояниях от оси вращения, пропорциональность центральных углов, т. е. углов поворота, длинам соответствующих дуг и т. д.). После этого можно ввести понятие об угловой скорости вращения либо как о числе полных оборотов тела в минуту Çn ^, либо как об угле поворота тела за одну секунду

Затем следует обратить внимание на то, что во время работы пары зубчаток зубцы колес входят в зацепление последовательно, т. е. один зубец первого колеса сопрягается с зубцом второго, следующий за первым зубец первого колеса со следующим зубцом второго и т. д. После этого нетрудно установить уже (предварительно на числовых примерах) равенство:

Затем, исходя из определения

можно установить, что

Отметим, между прочим, что содержание рассматриваемой темы дает основание и возможность и здесь указать на большой вклад в математику, сделанный Эйлером и Чебышевым, послуживший затем для построения теории зацепления. Что же касается равенства:

то о нем, конечно, на данном этапе не может быть и речи. Последнее равенство лучше показать на примере фрикционных катков или ременной передачи. При этом следует указать на то, что, благодаря имеющему здесь место скольжению, на ведомом звене теряется около 2% скорости. Это указание позволило бы несколько варьировать содержание задач.

Ь) Неверно излагается и вопрос о модуле зацепления (стр. 42): «... чтобы получить для диаметра начальной окружности целое число, принимают равным целому числу, например 2, 3, 4 и т. д.». Во-первых, не обязательно должно быть целым, что видно уже из того, что автор сам тут же решает задачу, где модуль равен 2,5 мм. Во-вторых, как понимать, что диаметр начальной окружности должен быть целым числом? Один и тот же диаметр в различных единицах длины будет то целым, то дробным (например, 0,5 м = 500 мм). В-третьих, автор не указывает, что модуль зацепления не абстрактное число, а имеет определенную размерность (в миллиметрах) и в технических расчетах (в соответствии с ОСТ 1597) может иметь лишь вполне определенные значения, начиная от долей единицы. В-четвертых, автор уверяет, что модуль за-

цепления обозначается буквой Е (явно путая модуль зацепления с модулем упругости первого рода), тогда как он всегда обозначался и обозначается поныне буквой т. Мы полагаем, что понятие «модуль зацепления» настолько сложно, что говорить о нем в VII классе преждевременно.

с) Особенно неприятное впечатление производит разъясняемое автором понятие «начальная окружность». Приводим это разъяснение полностью (стр. 42): «Под начальными окружностями понимают воображаемые окружности с центрами, совпадающими с центрами зубчаток и проходящими через зубцы зацепляющихся зубчатых колес, так что они (окружности) касаются друг друга. Диаметры начальных окружностей должны быть такими, чтобы при вращении колес начальные окружности катились одна по другой без скольжения». Естественно, возникает вопрос: понимают ли ученики VII класса, что означает «качение без скольжения»? Интересно отметить, что редакция в этом же номере журнала помещает простейшую задачу о чистом качении (о кардановых кругах, стр. 89, зад. № 9) в раздел, предназначенный для учителей, а не для учащихся. Каким же образом можно ставить подобные задачи в VII классе?

Но возвратимся к определению понятия «начальная окружность».

Во-первых, непонятно, почему она «воображаемая». Она существует в действительности и, как утверждает автор, «проходит через зубцы . . .».

Во-вторых, разве недостаточно сказать, что эти окружности катятся друг по другу без скольжения? Отсюда уже само собой вытекает, что они должны касаться друг друга.

о) Далее автор уверяет (стр. 42), что «шагом зацепления называется расстояние между осями двух смежных зубцов, измеренное по начальной окружности». Автор говорит, повидимому, о «начальном» шаге. А ведь существуют и другие «шаги»: по основной, делительной и т. д. окружностям. Следовало бы сказать: «начальным шагом зацепления называется...» и т. д. Такая же небрежность в определении заключается в словах: «между осями двух смежных зубцов». Ведь то, что нарисовано на чертеже 3, не является осью зубца!

е) Укажем еще на неудачное выражение, могущее служить источником недоразумений (стр. 41): «шкивы могут быть соединены так, что вращение их будет происходить, как и зубчаток, в противоположном направлении...». Создается таким образом впечатление, что зубчатки могут вращаться только в «противоположном направлении».

Мы могли бы значительно увеличить число замечаний. Но уже из перечисленных выше должно быть ясно, что статья Н. Н. Лобанова не мобилизует учителей для серьезного и углубленного изучения материалов, без знания которых правильное проведение принципа политехнизации становится невозможным.

Наши предложения: 1. Редакция журнала «Математика в школе» всегда тщательно следит за тем, чтобы научная и методическая сторона публикуемых по математике работ освещалась правильно. Было бы желательно, чтобы на такой же высоте освещались излагаемые на уроках математики вопросы, связанные непосредственно с ее практическими приложениями.

2. Без борьбы мнений невозможно развитие науки. Поэтому журнал поступает правильно, публикуя различные точки зрения по отдельным вопросам. Однако в тех случаях, когда нет указаний на то, что статья публикуется в порядке обсуждения, массовый читатель все же должен знать точку зрения редакции для того, чтобы не быть дезориентированным в обсуждаемых вопросах*.

* Все статьи об элементах политехнического обучения, напечатанные в разделе «Из опыта», имеют целью поставить на критическое обсуждение различные конкретные методические мероприятия, проводимые учителями в их практической работе. — Ред.

ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ НА ЧЕРТЕЖАХ

М. П. РЫБАКОВ (Иваново)

При изучении стереометрии основные затруднения учащихся возникают вследствие непонимания стереометрического чертежа. Поэтому в курсе стереометрии преподаватель должен требовать от учащихся умения правильно построить и «прочесть» стереометрический чертеж. Для лучшего выполнения этой задачи преподавателю математики следует иметь по-

стоянный контакт с преподавателем черчения, так как во многом цели этих предметов совпадают.

Курс стереометрии следует начать с изложения правил косоугольной проекции. OXYZ — прямоугольная система координат, ^XOY = 135°.

Масштабы построения: по оси ОХ — -у- , по оси OK— -y-, по оси OZ— -j-; плоскости XOZ фигуры изображаются без искажения (черт. 1).

В соответствии с этими указаниями строится косоугольная проекция куба. Затем предлагается учащимся построить косоугольную проекцию следующих фигур, расположенных в плоскости XOY'. 1) прямоугольника, стороны которого равны 4 см и 5 см; 2) ромба с диагоналями, равными 4 см и 6 см; 3) равнобедренного треугольника ABC, основание которого АС = 4 см и высота BD = 3 см; 4) равностороннего треугольника, сторона которого равна 5 см (черт. 2); 5) правильного шестиугольника, сторона которого равна 3 см (черт. 3).

В своих тетрадях ученики выполнят построения, соблюдая указанные размеры, а на классной доске построения выполняют с увеличением в 10 раз.

После этой работы разбирается построение косоугольной проекции прямой призмы и пирамиды. В порядке домашней работы учащиеся получают индивидуальные задания на построение косоугольной проекции призм и пирамид. Одним учащимся даются задания на построение косоугольной проекции какого-либо из геометрических тел математического кабинета, другим даются задания с описанием геометрического тела, например:

1) Построить косоугольную проекцию пирамиды SABCD. Основанием пирамиды служит ромб, диагонали ромба равны 12 см и 10 см. Высота пирамиды 50 = 9 см, О — точка пересечения диагоналей основания.

2) Построить косоугольную проекцию пирамиды SABC. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник ABC, катеты которого АС =8 см и ВС = 6 см. Высота пирамиды .SC = 12 см и т. п.

Каждый учащийся выполняет один чертеж на листке чертежной бумаги размером 20 см X X 15 см (половина листа тетради для чертежей). Некоторым учащимся предлагается выполнить чертежи большего размера (размер листа тетради для чертежей), на этих чертежах, предназначаемых для демонстраций, линии должны иметь толщину до 2,5—3 мм.

Проведя эту работу в двух группах IX класса, преподаватель получит 15—20 чертежей для «демонстрационного» альбома и 50—60 чертежей меньшего размера для альбома «задач

Черт. 1

Черт. 2 Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

Черт. 8

Черт. 9 Черт. 10

по стереометрии на чертежах». Оба альбома используются при прохождении тем «Прямые и плоскости» и «Многогранники».

Чертежи большого формата демонстрируются в отдельности или в виде специальных витрин: «Правильные призмы», «Правильные пирамиды». На чертеже 4 приведена витрина «Правильные пирамиды».

К каждому листку альбома задач приклеивается слева лист бумаги, и на этом листе записываются задачи, относящиеся к данному чертежу. На чертежах 5—8 приведены образцы листов из альбома «Задач на чертежах». Листки нумеруются, и у преподавателя имеется запись ответов всех задач. Задачи из этого альбома даются (наряду с задачами из сборника задач по геометрии) при прохождении тем «Прямые и плоскости» и «Многогранники», причем один и тот же листок используется несколько раз, в зависимости от изучаемого материала. При работе с чертежами альбома каждый учащийся получает отдельное задание. Работа с «задачами на чертежах» развивает у учащихся умение «читать чертеж», развивает их пространственное воображение.

В соответствии с изложенными выше положениями преподаватель при доказательстве теорем стереометрии изображает горизонтальную плоскость в виде параллелограма с острым углом 45°; при таком построении две пересекающиеся прямые этой плоскости, параллельные двум сторонам параллелограма, считаются взаимно перпендикулярными. Привыкнув к подобным построениям, учащиеся без труда видят, что на чертеже 9, приводимом при доказательстве теоремы о трех перпендикулярах, треугольник COD — равнобедренный, OB_]_CDt а отчетливое понимание чертежа является необходимым условием для отчетливого понимания самого доказательства теоремы.

При преподавании курса стереометрии следует давать теоретические обоснования основных правил параллельной проекции, которые уже применяются учащимися при выполнении работ по черчению. Это следует делать посте-

пенно, по мере прохождения соответствующих вопросов курса стереометрии. Так, после разбора теоремы о параллельности линий пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью следует доказать теорему: «Проекции на плоскость двух параллельных прямых параллельны» (черт. 10).

После разбора теоремы об угле прямой с плоскостью следует разобрать следующие предложения:

1) параллельные прямые, пересекающие данную плоскость, образуют с ней равные углы;

2) проекции равных параллельных отрезков равны;

3) отношение проекций двух параллельных отрезков равно отношению этих отрезков;

4) если отрезок Л1С1В1 является проекцией отрезка, то А1С1 \СХВХ — ЛС:СВ.

При решении многих задач значительную пользу приносят модели-чертежи. На листах линолеума или на зачерненных листах фанеры (размером 60 см X 60 см, или 70 см X 70 см) красной или желтой краской* выполнены косоугольные проекции куба, прямого параллелепипеда, правильной треугольной пирамиды, правильной четырехугольной пирамиды. На чертежах 11 и 12 изображены две такие модели.

Эти модели широко используются при разборе плоских сечений многогранников. После разбора теоремы о линиях пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью учащимся предлагаются задачи на различные случаи сечения куба плоскостью. Имея в своем распоряжении модель-чертеж куба, учащийся должен провести такую плоскость, чтобы получить в сечении:

I: 1) равнобедренный треугольник, 2) равносторонний треугольник;

II: 1) параллелограм, 2) квадрат, 3) прямоугольник, 4) ромб;

III: 1) равнобочную трапецию, 2) разнобочную трапецию;

IV: пятиугольник;

V: 1) шестиугольник (неправильный); 2) правильный шестиугольник.

В развитие этих задач даются задачи с указанием отношения сторон сечения, например:

1. Рассечь куб плоскостью так, чтобы в сечении получить равнобедренный треугольник, боковая сторона которого относится к основанию, как т:п (как 3:2; 6:5; 3:4 и т. д.). Показать, что задача имеет решение только при т ^ у?

2. Рассечь куб плоскостью так, чтобы в сечении получить ромб с заданной стороной. Показать, что задача имеет решение только при а ^ X ^ а 1^-, где а — ребро куба и X — сторона ромба.

3. Рассечь куб плоскостью так, чтобы в сечении получить равнобочную трапецию, основания которой относились бы, как т\п (как 2:1, 3:2 и т. д.),

4. Рассечь куб плоскостью так, чтобы получить в сечении треугольник, стороны которого относились бы, как т\п\р (например, как 4:5:5). Это более сложная задача. При решении этих задач учащийся сперва выполняет все необходимые вычисления и затем строит мелом на модели-чертеже искомое сечение.

После разбора теорем о двугранном угле преподаватель использует модели-чертежи для упражнений по определению двугранных углов. Так, пользуясь готовым чертежом куба, преподаватель строит четырехугольные (или треугольные) пирамиды и предлагает учащимся определить углы, образуемые боковыми гранями построенных пирамид с плоскостью основания ABCD.

На чертежах 13—17 показано построение пяти четырехугольных пирамид.

Эти задачи даются при чрезвычайно малой затрате времени (преподаватель проводит мелом* 3—4 линии, и задача готова), немного времени занимает и решение задачи.

Точно такие же построения выполняются при упражнениях на определение угла прямой с плоскостью и на вычисление плоских углов многогранного угла.

Приведенные простые упражнения служат для закрепления нового материала: двугранный угол и его измерение, угол прямой с плоскостью, — но модели-чертежи могут быть использованы и для постановки более слож-

Черт. 11 Черт. 12

* Цветные линии обозначены контурными жирными линиями. — Ред.

* См. на чертежах тонкие сплошные и точечные линии. — Ред.

Черт. 13

Черт. 14

Черт. 15

Черт. 16

Черт. 17

Черт. 18

ных задач. На чертеже 18 приведена задача на вычисление угла, образуемого плоскостью EFCD с плоскостью ABCD (EF — средняя линия треугольника ASB).

Модели-чертежи позволяют преподавателю, при малой затрате времени, давать разнообразные упражнения на практические применения теорем стереометрии. Так, познакомив учащихся с применением теоремы о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда к определению расстояния между двумя точками, преподаватель на моделях-чертежах куба и правильной четырехугольной пирамиды строит ряд задач на определение расстояния между двумя данными точками. Учащиеся строят систему трех взаимно перпендикулярных отрезков, соединяющих данные две точки, измеряют эти отрезки и, применив формулу квадрата диагонали прямоугольного параллелепипеда, вычисляют длину отрезки.

На чертежах 19 и 20 приведены две такие задачи:

1) Определить расстояние от точки А до середины M апофемы SE.

Ответ. AM = VAG2 -f GF2 + FM2 , или AM = У\Ъа2 4- 4/гг , где а — сторона основания и h — высота пирамиды.

Черт. 19

Черт. 20

Черт. 21

Черт. 22

2) Найти расстояние от середины M стороны основания AD до середины N бокового ребра SC.

Ответ.

Учащиеся уверенно строят плоские сечения параллелепипеда, но испытывают затруднения при построении плоских сечений произвольной четырехугольной призмы или четырехугольной пирамиды. Модель-чертеж правильной четырехугольной пирамиды успешно применяется для упражнений по построению сечений пирамиды плоскостью. После объяснения способа построения плоского сечения пирамиды (и призмы) преподаватель дает учащимся ряд задач на построение плоского сечения пирамиды. Преподаватель берет на ребрах SA, SB, SC произвольные точки К, L и M и предлагает учащемуся построить плоские сечения пирамиды (черт. 21).

Благодаря своей наглядности задачи на моделях-чертежах дают хорошую подготовку и

для решения задач из сборника задач по геометрии.

Ценным пособием при преподавании стереометрии может служить «Сборник задач по черчению», составленный С. Н. Бобровым. Автор включил в свой сборник большое число «рисунков» (фронтальных проекций) сложных геометрических тел для составления по ним проекций в трех видах. Эти рисунки могут быть использованы как задачи для определения объемов тел. В этих чертежах квадрат, лежащий в горизонтальной плоскости, изображается в виде параллелограма ABCD (черт. 22), на что необходимо указать учащимся.

Приводим некоторые из таких рисунков, которые могут быть использованы как задачи для определения объемов геометрических тел (черт. 23—28).

Эти упражнения полезны для подготовки учащихся к решению задач на вычисление объема технических деталей. Следует затем использовать для задач на определение объемов сложных тел чертежи, выполненные самими учащимися. Учащиеся вновь возвращаются к ранее выполненному ими чертежу, но уже с другой целью, они выбирают все размеры, необходимые для определения объема тела, и выполняют необходимые вычисления.

При решении задач учащиеся обычно занимаются вычислением искомых элементов, оставляя в стороне вопросы взаимного расположения точек, линий и плоскостей. Задачи на чертежах восполняют этот пробел.

Задачи на определение кратчайшего расстояния между двумя скрещивающимися прямыми относятся к числу довольно трудных задач: учащиеся обычно испытывают затруднения в представлении, как должен расположиться отрезок, перпендикулярный к двум скрещивающимся прямым. На чертежах 29 и 30 приведены следующие задачи (с использованием моделей-чертежей куба и правильной четырехугольной пирамиды).

1) Найти кратчайшее расстояние между диагональю куба BXD и диагональю его грани АХСХ (черт. 29). Искомым отрезком служит высота 017V = —g-— треугольника BXDXD, (а — ребро куба). Точка N делит диагональ BXD в отношении BXN:ND = \:2.

2) Найти расстояние между диагоналями АС и CXD (черт. 30).

Учащийся устанавливает, что OK А_ АВхСи где К — середина ребра DDX\ ВхО J_ АКС.

Черт. 23 Черт. 24

Черт. 27 Черт. 28

Черт. 29 Черт. 30

Черт. 25 Черт. 20

Искомым отрезком служит отрезок MN; MN\\OK; MN = OM:MC = KN:NC=\:2.

3) Найти кратчайшее расстояние между высотой SO правильной четырехугольной пирамиды и медианой DE боковой стороны боковой грани (черт. 31).

Искомым отрезком служит отрезок KN. KN — ° , где а — сторона основания пирамиды; OK:KS = 2:3; EN:ND = l:4.

При решении этих задач учащиеся строят отрезок, перпендикулярный к двум скрещивающимся прямым, на основании найденных отношений, определяющих положение конечных точек искомого отрезка.

Приведем еще несколько задач на чертеже куба, в которых, кроме вычисления элементов геометрической фигуры, требуется определить и положение данной фигуры относительно куба.

1) Найти высоту пирамиды DAEFC (черт. 32). Ребро куба = а\ EF = -i- АС.

Ответ. Высота DN = — ; положение точки N определяется из равенства: ON“. NM = = 2:7.

Варианты этой задачи: а) Найти высоту пирамиды DXAEFC\

b) найти высоту пирамиды BAEFC;

c) найти высоту пирамиды BXAEFC.

2) Найти объем конуса, описанного около трапеции AEFC; высота конуса лежит на ребре DDX; EF = ~ АС. Ребро куба = а (черт, 33).

Ответ.

; высота конуса SOx =

Положение высоты SOx определяется равенствами OOi:OlM =1:2; DS:SDX = 5:3.

Вариант этой задачи: вершина конуса лежит на ребре ВВХ.

3) Основанием конуса служит круг, вписанный в ромб DMBXN (черт. 34), Вершина конуса лежит на грани AXBXCXDX. Ребро куба = = а. Найти поверхность и объем конуса.

Ответ. Поверхность конуса 5 = 7щ2.

Объём конуса V =

Учащийся находит следующие указания для построений: вершина конуса лежит на диагонали BXDX\ DXS:SBX=\:3\ основание конуса касается сторон ромба в точках Е, F, G и И; ME : ED = MF:FBi = 2:3.

Черт. 31 Черт. 32

Черт. 33 Черт. 34

ПРИЕМЫ БЫСТРОГО СЧЕТА

В. А. УТЕМОВ (Красноуфимск)

Работу по изучению различных способов вычислений и приемов устного счета необходимо вести в каждом классе и продолжать ее вплоть до окончания учащимися средней школы.

Если приходится вести учащихся с VIII класса и они слабо знают приемы устного счета (некоторые совсем не знают), то работу по изучению этих приемов я провожу с первых дней учебного года (в основном на кружковых занятиях) с последующим закреплением изученных приемов на уроках.

Так как не все учителя математики хорошо владеют навыками и знаниями способов вычислений, то в нашей школе по этим вопросам

обычно проводятся семинары с участием и учителей начальных классов.

В IV и V классах изучаются приемы устного счета, не требующие знания алгебраических формул, а в VI и VII классах и в старших изучаются те приемы, которые основаны на применении формул.

Некоторые приемы, для которых выведены формулы, могут быть рассмотрены и в V классе без применения формул.

Изучение приемов устного счета ведется на уроках и на кружковых занятиях. Для этой цели на уроках отводится по 5—10 минут, в течение которых учащиеся знакомятся с каким-либо приемом и закрепляют его путем решения примеров.

Для более широкого пропагандирования приемов быстрого счета среди учащихся на математических вечерах и пионерских сборах вводится отделение «Быстрый счет», в котором учащиеся, хорошо владеющие приемами устного счета, с успехом выступают перед учащимися. Эти же вопросы освещаются в школьной и классных стенных газетах.

Ниже излагаются различные приемы быстрого счета, данные в определенной системе, которая, как показывает опыт работы, дает вполне удовлетворительные результаты. Здесь рассмотрены, конечно, не все случаи, которые могут встретиться в вычислительной практике, но и знание изложенных в этой статье приемов или хотя бы некоторой их части дают учащимся достаточные навыки в устном счете.

Из приближенных вычислений рассмотрены только случаи, где вычисления могут быть произведены устно.

Из рассмотренных ниже приемов быстрого счета только незначительная часть требует письменных вычислений.

Для закрепления каждого приема устного счета необходимо прорешать по нескольку примеров, подобных тем, которые приведены в тексте, и в дальнейшей работе напоминать о их применении. Вопросы, связанные с приемами устного счета и быстрых вычислений, можно найти в следующей литературе:

1. И. Г. Попов, Устный счет.

2. Г. Н. Берман, Приемы счета.

3. В. А. Игнатьев и др., Сборник задач и упражнений для устных занятий по математике.

4. В. М. Брадис, Средства и способы элементарных вычислений.

5. В. Л. Эменов и Я. Ф. Чекмарев, Сборник задач для устного счета.

6. Статьи из журналов «Математика в школе»: № 2 за 1941 г., № 1 и 2 за 1950 г.

Сложение

1. Сложение столбцами.

Если нужно сложить несколько многозначных чисел, то можно складывать их столбцами. Сначала складываем единицы, затем десятки, потом сотни и т. д. После этого складываем полученные суммы. При сложении цифр, находящихся в одном столбце, в уме нужно отмечать лишь результаты промежуточных действий. Например в столбце единиц:

Рекомендуется писать сумму цифр каждого столбца отдельно, не перенося десятки в следующий столбец.

2. Сложение в уме двузначных и многозначных чисел.

Сложение следует начинать с первого числа (33) и попеременно прибавлять в уме сначала единицы (4) следующего числа, а затем десятки (7). Это удобнее, чем прибавлять сразу единицы и десятки. Таким образом, имеем:

В уме отмечаем только результаты действий:

Сложение многозначных чисел производится так же, как и двузначных. После прибавления десятков прибавляем сотни, тысячи и т. д. В данном примере имеем:

3. Сложение способом округления слагаемых.

Округляем каждое слагаемое, затем складываем сотни и после этого избытки и недостатки, а затем получаем и общую сумму. Вычислить:

Взятые слагаемые близки к 80, следовательно, их можно округлить до 80. Округляем и умножаем число 80 на число слагаемых и затем прибавляем сумму избытков и недостатков (12):

В данном случае округляем одно из слагаемых.

Вычитание

1. Вычитание при помощи дополнений.

прибавляем по 3 единицы к уменьшаемому и вычитаемому и из 85 вычитаем 30. Аналогично:

2. Последовательное вычитание.

Чтобы найти разность двух чисел, вычитаем последовательно сначала единицы, затем десятки, сотни и т. д.

Пример:

В уме запоминаем только результаты, т. е.

Умножение

1. Умножение на 4 и 8 производится двукратным или трехкратным умножением на 2. Пример:

2. Умножение на :

а) Чтобы умножить число на достаточно к нему прибавить его половину:

Ь) Чтобы умножить число на достаточно из него вычесть его четверть:

с) Чтобы умножить число на достаточно из него вычесть его треть:

d) Чтобы умножить число на достаточно к нему прибавить его четверть:

е) Чтобы умножить число на 2 -у , достаточно его удвоить и прибавить половину данного числа:

Аналогично поступаем при умножении на

3. Умножение на 5, 15, 25, 75, 125, 175, 225.

а) Чтобы умножить число на 5 ==-i-• 10, достаточно его разделить на 2 и к целому частному приписать 0, если множимое четное число, и 5, если множимое нечетное число.

Примеры:

Ь) Чтобы умножить число на 15 = ^1;-|--~-^'10, Достаточно к нему прибавить его половину (или целую часть половины, если множимое — нечетное число) и к сумме приписать нуль (приписать 5).

Примеры:

с) Так как 4^-25 = ^-100, то при М= 4k-\-n (п = 0; 1; 2; 3) получаем:

Следовательно, чтобы умножить число на 25, достаточно его разделить на 4 и к частному

приписать произведение остатка на 25 или два нуля (если деление произведено без остатка).

Примеры:

68-25=1700; к 17 приписываем два нуля.

74-25=1850; делим 74 на 4 и к 18 приписываем 50 = 2-25.

151 »25 = 3775; делим 151 на 4 и к 37 приписываем 75 = 3-25.

d) Чтобы умножить число на 75 = ses ^1--j-^.100, достаточно из него вычесть его четвертую часть и полученную разность умножить на 100.

Примеры:

е) Чтобы умножить число на 125 = = + -^~)• ЮО, достаточно к нему прибавить его четвертую часть (или целую часть его четверти) и к сумме приписать два нуля (произведение остатка от деления на число 25). Примеры:

Аналогично рассматриваем случаи умножения на и другие числа, кратные 25.

4. Умножение на 18, 22, 45, 55. Эти числа представляем в таком виде:

Таким образом: а) чтобы умножить число на 18 (на 22), достаточно его умножить на 20 и из полученного произведения вычесть (к полученному произведению прибавить) его десятую часть.

Пример:

Ь) Чтобы умножить число на 45 (на 55), достаточно его половину умножить на 100 и из полученного числа вычесть (к полученному числу прибавить) его десятую часть.

Пример:

34.45= 1700 — 170= 1530; 124-55 = = 6200 + 620 = 6820.

5. Умножение на 9, 11, 109, 111, 91, 89.

Так как 9=10 — 1, а 11 = 10 —|— 1, то чтобы умножить число на 9 (на 11), достаточно его умножить на 10 и из полученного числа вычесть (к полученному числу прибавить) данное число.

Примеры:

123-9= 1230 — 123= 1107, 248 -11 = 2480 + 248 = 2728. При умножении на 11 можно пользоваться последовательным сложением цифр множимого справа налево.

Пример:

89 432 -11 = 983 752; пишем 2, затем 5 = 2 + + 3, 7 = 3+4 и т. д.

При умножении на 9 можно пользоваться последовательным вычитанием цифр множимого.

Пример:

148 973-9= 1340 757; вычитаем 3 из 10 (1 занимаем из 31), затем 7 из 12 (1 занимаем из 7) и т. д.

Числа 109, 111, 91 и 89 можно представить соответственно так:

109 = 110—1; 111 = 110 + 1; 91 = 90 + + 1; 89 = 90 — 1.

При умножении на 111 можно пользоваться методом последовательного сложения цифр множимого:

254-111 =28 194; пишем 4, затем 9 = 4 + 5, 1 от 4 + 5+2=11, далее 8 = 1 + 6 + 2 и, наконец, 2.

6. Умножение способом округления сомножителей.

a) 82-51 =82.(50+ 1) = 4182. 123-29= 123 (30 — 1) = 3567.

63 - 202 = 63 ■ (200 + 2) = 12 600+126=12 726; 227 -198 = 227 (200—2) = 44 946.

b) Если один из сомножителей есть число, оканчивающееся цифрой 5, то его удваиваем, а второй сомножитель уменьшаем вдвое и множим уже на число, оканчивающееся нулем.

Пример:

42-35 = 21-70 = 1470; 128-75 = 64-150 = = 9600.

7. Умножение смешанного числа на целое и на дробь:

В этих случаях лучше не обращать смешанное число в неправильную дробь, а умножать как сумму двух чисел на данное число.

8. Способ Феррара при умножении.

Перемножаем десятки данных чисел и получаем числа 72 = 8-9; затем перемножаем единицы чисел и получаем число 24; число 24 приписываем правее 72, затем перемножаем единицы одного числа на десятки другого и получаем произведения 48 и 36 десятков, и наконец, складываем.

Этим же способом можно перемножать и многозначные числа. В данном примере умножаем сначала 23 на 12 и сразу же за этим произведением (276) пишем число 24 = 8-3. После этого множим 23 на 3 и 12 на 8.

Этот способ применяется при письменных вычислениях, несколько сокращает время на вычисления, и, как показывает практика, учащиеся, пользуясь им, допускают меньше ошибок.

Рассмотренные выше случаи сложения, вычитания, умножения и случаи деления, которые будут рассмотрены дальше, могут быть изучены в V классе.

9. Умножение чисел второго десятка (от 11 до 19).

Числа второго десятка можно написать в виде:

10 + а и 10-4-*,

где а и b — цифры единиц (избытки над 10) данных чисел.

Найдем произведение этих чисел:

Следовательно, чтобы найти произведение чисел из второго десятка, достаточно к одному из сомножителей прибавить цифру единиц второго числа и к полученному числу десятков прибавить произведение единиц чисел. Так:

10. Умножение чисел, близких к 20.

1-й случай. Оба сомножителя больше 20:

В данном случае достаточно к одному из сомножителей прибавить избыток другого числа, сумму удвоить и к полученному числу десятков прибавить произведение избытков.

Пример:

В данном случае достаточно из большего числа вычесть недостаток меньшего числа, полученное число десятков удвоить и вычесть произведение избытка на недостаток.

Пример:

Аналогично можем находить произведение чисел с равными десятками, т. е.

11. Умножение чисел, близких к 100. 1-й случай. Оба числа больше или меньше 100:

Из формулы видно: чтобы найти произведение чисел, больших 100 (меньших 100), достаточно к одному из них прибавить избыток (из одного из них вычесть недостаток) другого числа и к полученному числу сотен прибавить произведение избытков (недостатков) данных чисел.

Пример:

2-й случай. Одно число меньше, другое больше 100:

Аналогично рассматриваем случаи умножения чисел с равным числом сотен:

Примеры:

Вычисления производим устно и записываем только окончательный результат.

12. Умножение чисел, оканчивающихся цифрой 5.

Число, оканчивающееся цифрой 5, можно записать в виде 10û-f-5, где а — число десятков данного числа.

1-й случай. Сумма десятков обоих сомножителей есть четное число, т. е. а-\- b = 2 п,

Для нахождения произведения в данном случае достаточно к произведению десятков прибавить их полусумму и к полученному числу сотен прибавить число 25.

Примеры:

2-й случай. Сумма десятков — нечетное число (а-\-b = 2/z-f-1):

и к полученному числу (168) справа приписали 75.

Подобно рассмотренному, можно находить произведение смешанных чисел с дробной частью, равной ~y .

Примеры:

13. Умножение чисел, близких к 50.

1-й случай. Оба сомножителя больше или меньше 50:

если

û + £=2az;

если

Примеры:

2-й случай. Одно число больше, другое меньше 50:

если

a-b=2n+l.

Подобно рассмотренному, получаем формулы для произведения чисел, близких к 500.

если

Примеры:

14. Умножение чисел с равными десятками, сумма цифр единиц которых равна 10.

В этом случае достаточно число десятков умножить на число, большее на единицу, и к полученному числу сотен прибавить произведение единиц.

38-32 = 1216; умножили 3 на 4 и к 12 приписали 16=8-2.

127-123 = 1562; умножили 12 на 13 и к 156 приписали 21=7-3.

Подобно рассмотренному, находим произведение смешанных чисел с одинаковой целой частью, сумма дробных частей которых равна 1.

{а + Ь)[а + (\-Ъ)) = а(а+\) + Ь(\-Ь). Примеры:

15. Умножение чисел с равными единицами, сумма десятков которых равна 10.

Чтобы найти произведение в данном случае, достаточно к произведению цифр десятков прибавить цифру единиц и к полученному числу сотен прибавить квадрат числа единиц:

16. Применение формулы разности квадратов двух чисел при вычислениях.

Примеры:

Пример:

17. Умножение числа на число, большее данного на 1, 3, 5 единиц.

Пример:

Пример:

Пример:

Случаи умножения с 9 по 17 и способы возвышения в квадрат, рассмотренные дальше, рассматриваются в VI и VII классах при закреплении материала на умножение многочленов, формулы сокращенного умножения и разложении на множители.

Деление

1. Деление на 4 и 8 производится двукратным или трехкратным делением данного числа на 2.

Примеры:

2. Последовательное деление.

Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число сомножителей и делим последовательно на каждый из них.

Примеры:

3. Деление на число, оканчивающееся цифрой 5.

Если делитель оканчивается цифрой 5, то достаточно делимое и делитель удвоить (делитель будет числом, оканчивающемся нулем, и на него удобнее разделить).

Примеры:

т. е. чтобы разделить число на 25, достаточно его умножить на 4 и полученное разделить на 100.

Пример:

в этом случае нужно отнять от данного числа его треть и разность разделить на 10.

Пример:

Пример:

Чтобы разделить число на 75, достаточно к нему прибавить его треть и сумму разделить на 100.

Следовательно, чтобы разделить число на 125, достаточно от него отнять его пятую часть и разность разделить на 100.

Пример:

5. Деление смешанного числа на целое число и на дробь.

При делении смешанного числа на целое или на дробь нет необходимости во всех случаях обращать смешанное число в неправильную дробь, а можно делить, применяя правило деления суммы двух чисел на данное число.

Примеры:

Возведение чисел в квадрат.

Пользуясь приемами устного счета, можно легко находить квадраты чисел. Чтобы легче применять далее рассмотренные приемы, необходимо знать квадраты чисел от 1 до 25: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625.

1. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся 5.

т. е. в данном случае достаточно число десятков данного числа умножить на число, большее его на 1, и к полученному произведению справа приписать 25.

Примеры:

Аналогично возводятся в квадрат смешанные числа с дробной частью, равной .

Примеры:

2. Возведение в квадрат чисел второго и третьего десятка.

Не зная на память квадратов числа от 1 до 25, можно возводить в квадрат числа второго и третьего десятка так:

т. е. чтобы возвести в квадрат число второго десятка, достаточно прибавить к нему его единицы и к полученному числу десятков прибавить квадрат единиц.

Пример:

В этом случае достаточно к данному числу прибавить его единицы, сумму удвоить и к полученному числу десятков прибавить квадрат единиц.

Пример:

Аналогично получим для любого двузначного числа:

(10а + Ь)2 = 10а [(10а + Ь) + Ь\ + Ь\

Пример:

3. Возведение в квадрат чисел, близких к 50 (от 26 до 75).

Чтобы возвести в квадрат число, близкое к 50, достаточно из него вычесть 25 и к полученному числу сотен прибавить квадрат избытка (или недостатка) данного числа до 50.

Примеры:

4. Возведение в квадрат чисел, близких к 100 (от 76 до 125).

Следовательно, чтобы возвести в квадрат число, близкое к 100, достаточно к данному числу прибавить его избыток (если число больше 100) или из него вычесть его недостаток (если данное число меньше 100) и к полученному числу сотен прибавить квадрат избытка или недостатка.

Примеры:

5. Возведение в квадрат чисел, близких к 150.

В данном случае из квадрата десятков (65) числа вычитаем утроенный недостаток или прибавляем утроенный избыток и к полученному числу сотен прибавляем квадрат недостатка или избытка.

Примеры:

6. Аналогично получаем формулу для возведения в квадрат числа с любым числом сотен.

Примеры:

Для случая, когда число сотен равно 5, вычисления можно упростить, так как:

Примеры:

7. Применение формул при возведении в квадрат чисел

Пример:

Пример:

Примеры:

При изучении приемов устного возведения в квадрат чисел учащимся рекомендуется составить таблицу квадратов двузначных и трех-

значных чисел, которой в дальнейшем они могут пользоваться и для нахождения квадратных корней из чисел.

Составление таблицы квадратов чисел будет служить и тренировочным упражнением в усвоении приемов устного возвышения в квадрат двузначных и трехзначных чисел.

В таблице можно сначала заполнить столбец квадратов чисел, оканчивающихся 5-ю, затем клетку квадратов чисел от 11 до 29, затем от 31 до 75, от 76 до 125 и т. д.

Квадраты чисел от 1 до 10 и чисел, оканчивающихся нулем, в таблице можно опустить, от этого таблица будет меньше на одну строку и на один столбец.

Такая таблица для всех двузначных и трехзначных чисел занимает три страницы, время, затраченное на ее составление, окупается тем, что учащиеся лучше усвоят эти приемы и будут иметь таблицу для извлечения квадратного корня из чисел.

Ниже приводится часть этой таблицы.

Извлечение квадратного корня из чисел, являющихся точными квадратами,

1. Общий прием извлечения квадратного корня.

Для устного извлечения квадратного корня нужно твердо знать квадраты чисел от 1 до 25. Устное извлечение квадратного корня основывается на сравнении подкоренного числа с квадратом числа, оканчивающегося цифрой 0 или 5, и на приемах возведения чисел в квадрат.

Пусть требуется найти ]/5929.

Видим, что 56 <^ 59 <^ 64, следовательно, 75 <^|/5929 <^80. Число, квадрат которого оканчивается цифрой 9, может оканчиваться только цифрами 3 или 7.

Так как |/5929^>75, то заключаем, что У 5929 = 77.

2. Извлечение квадратного корня из чисел до 15 625.

a) Если число N меньше 5625 (|/ЛГ<75), то достаточно из данного числа выделить квадрат числа, определяемый по двум последним цифрам подкоренного числа, и к оставшемуся числу сотен прибавить 25.

Примеры:

У1444 = 13 + 25 = 38; выделили 144 и к 13 прибавили 25.

1/4356 = 41+25 = 66; выделили 256 = 1 б2 и к 41 прибавили 25.

b) Если подкоренное число больше 5625 и меньше 15 625, то из данного числа выделяем квадрат некоторого числа, меньшего 25, и к оставшемуся числу сотен прибавляем квадратный корень из выделенного числа, если подкоренное число меньше 1002, или из оставшегося числа сотен вычитаем квадратный ко-

Таблица квадратов чисел

рень из выделенного числа, если подкоренное число больше 1002.

Примеры:

Справедливость этих приемов извлечения квадратного корня становится ясной из рассмотрения способов возведения в квадрат чисел, близких к 50 и 100.

Приближенные вычисления

1. Умножение двух или нескольких чисел, отличающихся от 1 на тысячные или меньшие доли.

Пусть даны числа (\±zx) и (1±:_у), где х и у достаточно малые доли единицы (порядка тысячных и меньше):

произведением ху можно пренебречь, потому что оно является числом порядка миллионных или меньших долей единицы.

Примеры:

Если возьмем несколько сомножителей, то получим:

так как произведениями ху, xz, yz и xyz можем пренебречь.

Примеры:

Это же можно распространить и на другие случаи умножения.

Пример:

2. Возведение в степень числа, близкого к 1.

Примеры:

Так же можно найти приближенное значение любой степени какого-либо числа а±Ь, если число b достаточно мало по сравнению с числом а.

Пример:

3. Приближенное вычисление частного.

а) Частное от деления 1 или числа, близкого к 1, на число, близкое к 1, можно вычислять, принимая во внимание приближенные равенства.

так как х2 — малое число, то дробью пренебрегаем.

Примеры:

b) Частное от деления какого-либо числа на число, близкое к 1, или другое число.

Примеры:

Примеры:

4. Приближенное вычисление корней любой степени.

Применяя рассмотренные приемы к степеням с дробными показателями, получим приближенные формулы извлечения корней любой степени из чисел (обоснования этого мы здесь не касаемся).

Так,

Примеры:

Примеры:

Можно находить корни любой степени из чисел, мало отличающихся от той же степени какого-либо числа.

Примеры:

Рассмотренные приближенные формулы дают точность вычислений не меньшую той, которую мы можем получить, пользуясь четырехзначными таблицами.

От редакции:

Значение приемов быстрого счета и устных вычислений общеизвестно, поэтому не приходится доказывать необходимость введения в школьную практику соответствующих упражнений. В статье В. А. Утемова дан в определенной системе весьма обстоятельный перечень различных, подчас остроумных и оригинальных приемов устного счета и сокращенных вычислений.

Здесь, однако, нельзя забывать и об отрицательной стороне дела, а именно слишком широкое применение приемов быстрого счета требует запоминания большого числа различных правил. Обилие этих правил, в особенности для различных, редко встречающихся случаев, может значительно понизить интерес учащихся к устному счету.

Широко применяя устный счет, учитель вместе с тем должен соблюдать разумную меру и избегать крайностей.

ПРИМЕНЕНИЕ ТАБЛИЦ ДЛЯ УСТНЫХ УПРАЖНЕНИЙ НА УРОКАХ АЛГЕБРЫ

М. И. КОНОХОВ (с. Раздольное, Крым)

Одним из испытанных средств в борьбе за прочность и глубину знаний учащихся по математике является широкое использование устных упражнений.

Однако устные упражнения на уроках алгебры имеют ту особенность, что упражнение подчас легче выполнить, чем удержать в памяти его условие, поэтому учитель вынужден условие записывать на доске. При этом, помимо бесполезной траты времени на запись, учитель отвлекает свое внимание от учащихся, а внимание класса не всегда концентрируется на упражнении.

Для более полного использования времени урока я пользуюсь заранее приготовленными таблицами упражнений, которые составляю таким образом, чтобы, помимо алгебраических действий, учащиеся упражнялись и в арифметических вычислениях (там, где это возможно).

Примеры в каждом упражнении подобраны по степени возрастающей трудности. Таблицы оформлены отчетливым крупным шрифтом, рассчитанным на хорошую видимость.

Упражнение разбито на несколько абзацев, выполненных различными цветами: красным, зеленым, синим, черным; при такой композиции ученик легко выделяет нужный пример из всего упражнения.

Выполнены таблицы в форме свитков длиной 1 — 1,5 м и шириной 30—50 см; на концах свитков приклеены картонные полоски и шнуровые петли для быстрой подвески.

Уже сам процесс изготовления таблиц силами учащихся имеет большую педагогическую ценность.

Создавая своими силами материальные ценности, учащиеся затем ревниво следят за их сохранностью, это уже есть вклад в дело воспитания сознательного отношения к социалистической собственности.

Методика применения таблиц на уроках алгебры весьма многообразна; так, например, они могут быть использованы для весьма продуктивного обобщающего закрепления материала перед изучением новой темы.

Прежде чем перейти к изложению темы «Деление многочлена на одночлен», вспоминаем с учащимися, в порядке обычного опроса, правило деления суммы и разности на число, правила деления одночленов, затем я предлагаю устное упражнение, содержащее наиболее трудные случаи деления одночленов;

Такое закрепление позволяет даже ученикам, пропустившим предыдущие уроки, хорошо подготовиться к восприятию нового материала; кроме того, урок проходит при весьма высокой активности класса, что также важно в методическом отношении.

Упражнения на таблицах могут быть с успехом использованы для закрепления материала (непосредственно после объяснения нового материала) с целью более прочного усвоения и выработки навыка в вычислениях.

Так, после ознакомления с формулами сокращенного умножения учащимся было предложено дополнить следующие выражения до полного квадрата:

На данном упражнении учащиеся в занимательной форме глубоко ознакомились со структурой квадрата суммы и разности, а времени на это закрепление было потрачено совсем немного.

После знакомства с разложением на множители по формулам учащиеся выполнили такие упражнения.

Разложить на множители:

Сократить дроби:

Устное упражнение требует от ученика максимального внимания и быстро достигает цели.

Следует заметить, что применение таблиц не только не исключает проведения письменных упражнений, но является гармоничным дополнением к ним.

Так, после знакомства с решением систем уравнений способом подстановки, учащиеся решили несколько примеров письменно с подробными записями, затем была предложена таблица для устного решения:

Упражнение было выполнено в течение 10 минут, и в оставшееся время учащиеся успели выполнить небольшую самостоятельную работу. В результате способ подстановки был хорошо усвоен.

Такой же метод был применен при решении систем уравнений с буквенными коэффициентами.

Хорошие результаты показало применение таблицы для обобщающего закрепления формул решения квадратного уравнения в VIII классе.

В результате выполнения данных упражнений учащиеся получили отчетливое представление о рациональности применения той или иной формулы. Применение таблиц позволяет намного повысить эффективность устного опроса. Для опроса намечаем 5—6 учащихся, все закрывают тетради и кладут ручки. Вывешиваем таблицу и обращаем внимание учащихся на условие упражнения, например: Разложить на множители:

Решить системы способом сложения:

Учащиеся поднятием руки сообщают о решенном примере. Фиксируем двух-трех учащихся, поднявших руки первыми, но ждем, когда большая часть класса справится с работой. Опрос следует вести таким образом, чтобы выявить знания учеников, намеченных к опросу, но в то же время заставлять работать весь класс, особенно отстающих. Учащихся, выполнивших работу в числе первых, следует поощрять. Ответ спрашиваем у нескольких учеников с обязательным кратким пояснением решения, выясняем, нет ли более рациональных способов решения, и разбираем их.

Оценку выставляем за несколько ответов, особенно поощряя рациональные приемы вычислений.

При другой форме опроса вызываем учеников по заранее намеченному плану и, показывая пример из упражнения, предлагаем сразу же решать его и давать необходимые пояснения. Класс при этом следит за правильностью и рациональностью решения. Такой метод можно применять тогда, когда пример легче решить, чем запомнить ответ, например:

Разделить:

Таблицы с успехом применяются для проведения устных и полуписьменных самостоятельных работ. Для самостоятельной работы даем два варианта упражнений, например:

Решить уравнения: Вариант I Вариант II

Выполнить действия: Вариант I Вариант II

При выполнении самостоятельной или контрольной работы учащимся разрешается иметь на парте только ручку и узкую полоску бумаги для записи ответов. По мере выполнения работы учащиеся сдают листки и получают дополнительные задания. Когда с работой справятся все ученики, проводим обсуждение работы. Тем, кто выполнил работу в числе первых и в процессе обсуждения показал достаточно прочные знания, выставляем оценки.

Самостоятельная работа такого типа занимает 10—15 минут и может быть проведена едва ли не на каждом уроке, что позволяет значительно повысить элементы самостоятельности в процессе преподавания математики.

При необходимости увеличить степень самостоятельности, а также при проведении контрольных работ по устным упражнениям число вариантов надо увеличить до 6—8. Задания в этом случае заносятся на специальные карточки. Такие контрольные работы по своей кратковременности могут быть проведены как внезапные «летучки», что заставляет учащихся внимательнее относиться к проходимому материалу. Приведу пример одного из вариантов летучей контрольной работы по теме: «Алгебраические дроби».

1. При каком значении х дробь не имеет смысла?

2, Сократить:

3. Выполнить действия:

Ученикам выдается только карточка и узкая полоска бумаги для ответов, никаких письменных вычислений делать не разрешается. При оценке учитывается не только правильность, но и время выполнения работы.

Устные упражнения в VI классе целесообразно иногда проводить в форме соревнования. Класс разбивается на две команды и команду судей. Из соревнующихся команд по очереди вызываем учеников, предлагая решить пример, судьи вносят поправки и предлагают более рациональные приемы решения. За полный верный ответ соревнующейся команде засчитываем два очка, за неполный — одно, 8а неверный — штрафуем двумя очками, а также даем право вне очереди отвечать второй команде.

Соревнующейся команде списываем одно очко и в том случае, если судьи предложат более рациональный прием решения. Наиболее активным «судьям» выставляем оценки. При таком соревновании ответы учащихся подвергаются самой жестокой критике, а неудачные «игроки» будут подвергнуты строгому суду товарищей.

Очень хорошие результаты приносит применение таблиц для повторения материала, так как открывается возможность за короткое время и с большой пользой выполнить большое число упражнений.

Применение таблиц дает большой выигрыш во времени, позволяет разнообразить формы урока, повышает активность учащихся. Таким образом, труд, затраченный на составление таблиц, многократно себя оправдывает.

Планомерное постепенное накопление таблиц дает в руки учителя своеобразный задачник.

Основными руководствами для составления таблиц могут служить получившие широкое распространение сборники устных упражнений по математике, а также задачник для повторения и стабильные задачники.

УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ В СТАРШИХ КЛАССАХ

Н. Н. АРХАНГЕЛЬСКИЙ (Пенза)

Несмотря на целый ряд положительных сторон устных упражнений, отмечаемых в педагогической печати, мы, преподаватели, все же недостаточно уделяем им внимания на уроках и вне урока, а особенно в старших классах. Одним из спорных вопросов является вопрос о времени и месте проведения устных упражнений. Нет сомнения, что их надо применять на уроках попутно, при прохождении той или иной темы, но это было бы далеко недостаточным. Совершенно неверно мнение некоторых преподавателей, которые считают необходимым уделять устным упражнениям на каждом уроке 5—10 минут.

Это требование нереально и вредно отразится на прохождении программного материала.

Я считаю, что значительную часть работы можно перенести на кружковые занятия, На этих занятиях следует изготовить ряд таблиц с примерами и задачами. Затем таблицы вывешиваются в классе, на предмет самостоятельного решения этих задач во время и вне урока.

Эти таблицы очень интересуют значительную часть учащихся, а при надлежащей постановке дела можно ими заинтересовать и всех учащихся. Так, например, при опросе ученика по текущему материалу можно дать дополнительный вопрос устно по таблице. Положительный ответ на дополнительный вопрос должен поощряться повышением оценки или отмечаться так или иначе учителем. Часто вопросы, помещенные в таблицах, вызывают среди учащихся горячие споры, которые затем разрешаются совместно с преподавателем.

При опросе по устному решению примеров и задач необходимо требовать от учащихся полного объяснения решения, а в редких случаях (при трудности задачи) допускать краткие вспомогательные записи.

По любому разделу математики можно найти богатый материал для устных упражнений (помимо указанного в задачниках) и часть его поместить в таблице. Эти таблицы я особенно широко применяю в X классе.

Таблицы, составленные по материалам прошлых годов обучения, являются хорошим средством для повторения материала. В каждой таблице следует поместить примеры и задачи легкой, средней и повышенной трудности.

По моему мнению, наиболее ценный материал для устных упражнений дает курс тригонометрии.

Этот материал особенно ценен и тем, что он способствует лучшему усвоению гониометрии.

Устные упражнения по тригонометрии

Таблица I имеет целью закрепить знание зависимостей между тригонометрическими величинами, с одной стороны, и повторение действий над дробными числами — с другой.

Таблица I.

Таблица II требует умения заменять одну функцию другой, и, кроме того, примеры этой таблицы являются хорошим материалом для закрепления связи между тригонометрическими функциями.

Таблица II. Упростить выражения:

Таблица III требует знания значений тригонометрических функций углов 90°, 180°, 270°, 360° и умения преобразовывать тригонометрические функции от углов, больших 360°.

Таблица III. Определить значения выражений:

Таблица IV предназначена для закрепления знания тригонометрических функций от часто встречающихся углов (30°, 45°, 60°, 120°, 150° и других).

Таблица IV.

Определить числовую величину следующих тригонометрических выражений:

Таблица V содержит упражнения на формулы тригонометрических функций от двойного и половинного аргумента.

Таблица V.

Вычислить наиболее простым путем:

Таблица VI рассчитана на развитие сообразительности при применении формул к упрощению тригонометрических выражений.

Таблица VI.

Определить числовую величину тригонометрических выражений:

Таблица VII дает возможность быстро и верно решать устно некоторые тригонометрические уравнения. Для успешного применения этого материала надо предварительно с учащимися четко проработать простейшие уравнения:

Таблица VII. Решить тригонометрические уравнения:

Таблица VIII содержит упражнения на обратные тригонометрические функции.

Примеры из задачника Рыбкина (по тригонометрии) § 15 с № 1 по № 9 решаются устно. Кроме того, можно привести дополнительно целый ряд примеров.

Таблица VIII. Определить х из следующих уравнений:

Вычислить выражение:

Упражнения по алгебре

Обилие примеров устных упражнений для VIII — X классов, помещенных в задачнике П. А. Ларичева, облегчает труд преподавателя по подбору этих примеров. Все же я считаю полезным внесение в таблицы устных упражнений целого ряда примеров как из задачника П. А. Ларичева, так и из других источников. Это особенно необходимо для IX и X классов.

Упражнения по материалу VIII класса.

Таблица I. Вычислить устно:

Вычислить с точностью до 0,1:

6. Разложить на множители:

7. Что больше:

Составить квадратное уравнение по данным его корням:

9. Один из корней квадратного уравнения с рациональными коэффициентами равен 3 — “[/“7. Найти второй корень и составить уравнение.

10. Вычислить с точностью до 0,1:

Упражнения по материалу IX класса. Таблица II.

Числовые последовательности. 1. Общий член числовой последовательности выражается формулой

Найти первые пять членов*.

2. Даны четыре члена последовательности: 2. 5, 8, 11... Укажите наиболее простую формулу для общего члена этой последовательности.

3. Ответьте на предыдущий вопрос, если

4. Определить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

5. Общий член числовой последовательности

выражается

Назовите первые пять членов этой последовательности.

6. Найти сумму ряда:

Таблица III. Обобщение понятия о показателях.

Таблица IV.

Показательные и логарифмические уравнения.

Решить уравнения:

* Возможно ограничиться записью в таблице лишь формул и числовых данных, а текст условия формулировать словесно. (Ред.)

Упражнения по материалу X класса.

Таблица V.

Соединения и бином Ньютона*.

1. Сколько можно провести всех диагоналей в выпуклом семиугольнике?

2. Из 25 учащихся класса надо избрать старосту и секретаря. Сколько различных комбинаций возможны.

3. Сколько можно составить из цифр 0, 1, 2, 3 четырехзначных чисел?

4. Решить уравнение:

6. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 16 так, чтобы в каждую дробь входило два числа?

7. Найти сокращенным путем произведение:

8. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах бинома {Уa— l)m, равна 128. Найти средний член разложения бинома.

9. Определить х из условия, что 5-й член разложения бинома равен

Таблица VI. Комплексные числа.

1. Каков модуль числа /?

4. Выразить в тригонометрической форме число

5. Выразить в тригонометрической форме число

6. Представить в алгебраической форме число

7. Выполнить действия:

11. Разложить на множители:

12. Составить квадратное уравнение по его корням:

Таблица VII.

Примеры и задачи на другие разделы алгебры по X классу. Решение неравенств.

3. Доказать, что во всяком треугольнике полупериметр больше каждой из сторон.

Делимость многочленов.

4. При каком значении k многочлен 4л:3 — 6x-\-k делится на (х-\-3)?

5. Решить уравнение: хА — 81 = 0.

6. я „ 81л:4 —25 = 0.

Устные упражнения по геометрии

Изготовление таблиц для устных упражнений по геометрии я считаю нецелесообразным ввиду громоздкости формулировок задач. Для проведения устных упражнений можно воспользоваться задачами, помещенными в задачнике Рыбкина, с надписью «устно».

Но, кроме этих задач, преподаватель должен еще выделить целый ряд задач, которые могут быть решены устно.

При подборе таких задач особенно ценны те, при решении которых возможно применять сокращенные вычисления и искусственные приемы решения.

Для устного решения задач по геометрии особенно важно знание, например, следующего материала:

1. Величину катета, лежащего против углов в 30°, 45° и 60°, а также зависимость сторон в треугольнике с углами 120°, 135°, 150°.

2. Площадь равностороннего треугольника в зависимости от его стороны:

3. Отношение периметров и площадей подобных фигур.

4. Зависимость между площадью проекции и проектируемой площадью.

5. Зависимость между радиусом описанной окружности и сторонами треугольника

6. Принцип параллельного перенесения прямых дает возможность легко и просто решать некоторые трудные задачи устно.

7. Знание вспомогательных формул, как 1) 5Д == рг (где 5Д — площадь треугольника,

р — полупериметр и г — радиус вписанной окружности).

* См. примечание к таблице II по алгебре. (Ред.)

(где ß3 — сторона правильного треугольника, R — радиус описанной окружности и г — радиус вписанной окружности в треугольнике).

8. V= -|- Sr (где V— объем многогранника, S — поверхность его, г—радиус вписанного в него шара)*.

Для устного решения задач по геометрии рекомендую следующие задачи из задачника Рыбкина, ч. I: § 9, №№ 2, 9, 43; § 10, №№ 2 (1), (4), (9), б, 9, 10, 26; § 11, №№1, 20; § 12, №№ 5, 11, 42; § 13, №№ 11, 16, 33, 59 (2); § 15, №№ 4, 12, 32 (2).

Задачи для устного решения по материалу стереометрии из задачника Рыбкина, ч. II: § 1, №№ 7, 14, 19, 20; § 2, №№ 5, 9; § 3, №№ 2, 25; § 4, №№ 1 (2), 10; § 5, № 2; § 6, №2; § 7, №№ 7, 8; § 8, №№ 4, 22, 28; § 9, №№ 6, 7; § 10, №№ 2, 5; § 11, №№ 2, 18; § 12, №№ 2, 3; § 13, № 8; § 14, № 9; § 15, № 3; § 16, №№ 51, 53 (2), 68; § 17, №№ 21 (1), (2), 53; § 18, №№ 3, 24; § 20, Ш 7, 12; (2); § 21, №№ 8, 15, 23; §22, №№ 4, 18; §23, №№ 8, 15; § 24, № 15.

О ходе самостоятельного решения этих примеров и задач учащиеся должны сообщать преподавателю. С этой целью необходимо строго вести учет решения задач учащимися, ибо это способствует проявлению интереса к таблицам.

О всех недоразумениях и трудностях по решению рекомендую учащимся обращаться к преподавателю.

ОБ УСТНОМ СЧЕТЕ

В. М. РОЗЕНТУЛЛЕР (Ленинград)

Урок арифметики в V классе Гореловской средней школы (Ленинградская область) начался вызовом к доске двух учащихся, которым были вручены карточки; на каждой карточке было написано задание: задача, пример и вывод правила.

В одной из таких карточек значилась задача:

«В класс принесли 500 тетрадей, -g- всех тетрадей были в клеточку, -g- оставшихся в линейку. Сколько было тетрадей в клетку и в линейку вместе?»

Эту задачу решала ученица V класса К. следующим образом:

1. Сколько тетрадей было в клетку?

2. Сколько тетрадей осталось?

3. Сколько тетрадей было в линейку?

4. Сколько тетрадей было в линейку и в клетку вместе?

Ответ:

Ученица бойко отвечает решение задачи, и ни она, ни один из учащихся класса не были удивлены полученными ответами. Ученица хорошо отвечала на вопросы билета и на дополнительные вопросы, за что получила балл «4», так как, по выражению учительницы, ход решения задачи был правильный, а то, что получились «странные» тетради, — это неважно (!?),

С таким же успехом она могла получить и дробное число людей на фабрике, заводе, в колхозе, количество автомашин и т. д.

Чем же объяснить такое явление?

С точки зрения методики здесь имеется несколько причин. Во-первых, учащиеся не приучены делать «прикидку» (неужели -~ от 500 = 3?); во-вторых, учащиеся не приучены к самоконтролю (если бы на карточке был ответ, то ученица всеми мерами добилась бы получения ответа, а так как ответа не было, то она, не проверяя правильности решения, считает свой ответ правильным); в-третьих, это можно объяснить небрежным отношением к устному счету.

Когда учащиеся готовились у доски, учительница объявила: «Теперь мы будем заниматься устным счетом, закройте свои тетради!»

* Знание вспомогательных формул было бы неправильно выставлять в качестве обязательного требования. (Ред.)

На доске появляются записи. Найти:

На вопрос, как учащиеся выполняют решение, последовали такие ответы:

Надо 48 умножить на 9, и это поставить в числитель, а 16 поставить в знаменатель; теперь мы сократим 48 и 16 на 16 и получим в числителе 9 и 3, а в знаменателе 1, т. е.

Разве это устный счет? Это устное вычисление на «воображаемой бумаге», требующее много времени и энергии.

Ответ ученика должен был носить следующую форму:

Как известно, одним из проверенных средств, способствующих лучшему усвоению математики, являются устные вычисления и упражнения на уроках математики и дома.

Устные вычисления имеют большое значение для политехнического обучения математике.

Почему все же наши учащиеся считают устно только на пятиминутках, посвященных устному счету? Это объясняется тем, что приемы устного счета изучаются в школах формально, без практического применения их во всей дальнейшей работе, а в старших классах им не дается теоретического обоснования (алгебраического вывода), хотя возможности к этому уже имеются. Кроме того, учителя не «накладывают взысканий» на учащихся за неприменение ими устного счета.

Надо на ярких примерах показать учащимся огромное практическое значение устного счета.

Например, при прохождении деления смешанного числа на целое число надо дать пример

Решение этого примера по основному правилу займет 3—4 минуты, в то же время устное решение примера займет 3—4 секунды:

Сумма двух квадратов на множители не разлагается. Однако при хорошем знании структуры чисел можно и в этом случае часто применять устный счет. Пусть, например, требуется определить гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого равны 144 см и 108 см. По теореме Пифагора имеем:

Таким образом, решение задачи занимает не более одной минуты, а если следовать по шаблону: возвести в квадрат числа 144 и 108, найти их сумму и из суммы извлечь квадратный корень, уйдет минимум 8—10 минут.

Поощрение применения устного счета заинтересовывает учащихся, и они сами начинают «создавать» приемы устного счета. Так, например, один ученик V класса «создал» свой прием устного счета при умножении и делении дробей и смешанных чисел, основанный на правиле замены отношения дробных чисел отношением целых чисел, например:

Ученик записей не производил, он сразу писал ответ.

В старших классах надо давать алгебраические обоснования приемам устного счета и «открывать» новые приемы.

Например, требуется найти произведение двух равных чисел, оканчивающихся пятерками. В V классе можно выписать столбик с такими произведениями:

а затем сформулировать прием умножения, а в VI и VII классах надо давать и вывод:

и тогда в старших классах учащиеся будут сами применять устный счет на основе выводов в общем виде.

Надо учащихся старших классов приучать производить вычисления, делая предварительные преобразования, например:

Известно, что законы арифметических действий играют большую роль в выработке приемов устного счета, но почему-то учащиеся пользуются известными им формулами только в той форме, в какой они записаны (справа налево).

Например, учащиеся VI класса свободно пользуются распределительным законом при выводе правил умножения многочлена на одночлен:

(а-\-Ь) с =ас-\-Ьс.

Однако эти же учащиеся не сумели устно решить пример:

328-72 + 672.72.

Для того чтобы устный счет привился, необходимо систематически устраивать устные контрольные работы. Многие учителя школ нашего района переняли опыт старейшей учительницы А. П. Пылининой и проводят устные контрольные работы.

В конце октября проводится контрольная работа на 15 минут:

1. Периметр сада прямоугольной формы 100 м, ширина сада в 4 раза меньше длины. Определить площадь сада.

2. Найти НОК и НОД чисел 180 и 150.

3. Вычислить 51 000:4:17:3 + 750.

В середине декабря проводится следующая контрольная работа на 20 минут:

1. Сколько надо купить тесьмы, чтобы обшить ею скатерть длиной в 2у метра, если площадь скатерти 10 кв. м?

2. Вычислить:

3. Разделить:

В течение года проводится около 20 контрольных работ.

Мы часто говорим, что более рациональные способы решения задач и примеров должны быть поощряемы учителями, решение примеров и задач нерациональными способами должно повлечь снижение оценки. А часто мы это проводим в жизнь? Очень часто мы удовлетворяемся лишь получением правильного ответа и ставим за это высокую оценку. Следовательно, мы сами воспитываем у учащихся безответственное отношение к устным упражнениям.

В IX классе Гореловской школы был разбор контрольной работы. Ученице Л. поставлена отметка «4» за следующее решение примера:

Спрашивается, зачем изучена тема «Обобщение понятия о показателе степени»?

Однако при разборе контрольной работы об этом даже не упоминалось.

* * *

В школах существует единый орфографический режим, пора создать в школах единый режим вычислительной культуры.

В основу режима вычислительной культуры должны быть положены устные вычисления и рациональные методы решения задач и примеров.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ОБ ОДНОМ НЕДОБРОКАЧЕСТВЕННОМ ПОСОБИИ

Ф. Т. ДЗЮБА (Краснодар)

Институтом методов обучения Академии педагогических наук в серии педагогической библиотеки учителя выпущена в свет книга Н. Я. Зайцевой, А. И. Зыкус и А. Н. Эрастовой под названием «Методические указания к преподаванию арифметики в V классе», Москва, 1953 г., 192 стр.

Как видно из предисловия, эта книга является обобщением опыта преподавательской работы авторского коллектива и издана под общей редакцией сотрудницы сектора математики ИМО АПН РСФСР А. Н. Эрастовой. В предисловии авторы сообщают, что «их желания направлены к тому, чтобы помочь начинающим учителям целесообразно использовать существующую методическую литературу и стабильные учебники и правильно спланировать во времени материал» (стр. 3), который они изложили поурочно по такой схеме: 1) устно решить №..., 2) решить на доске№..., 3) решить самостоятельное..., 4) задание на дом: №... §... Номера примеров и задач, как правило, даны по задачнику Е. С. Березанской, но в книге помещен ряд задач и много примеров, повидимому, оригинальных, так как указание о позаимствовании есть только в одном месте. Содержанием книги, в основном, является показ и перечень того, что, по мнению авторов, должно излагаться на уроках и задаваться на дом, и сравнительно немного отведено места для указаний о том, как излагать рекомендуемый материал.

Как отмечают авторы, они стремились сократить объем книги, что, однако, не помешало им начать ее с перепечатки статьи проф. И. К. Андронова из газеты «Пионерская правда» от 29.IX—1950 г. о содержании и значении арифметики и закончить книгу перепечаткой с обложки ученической тетради таблицы метрических мер. Из специального пояснения читатели узнают, что, оказывается, «таблицы метрических мер могут быть с успехом использованы при решении задач с геометрическим содержанием, а также задач по физике и химии в V—VII классах» (стр. 189). Это пояснение объективно ориентирует учителя на необязательность усвоения метрической системы мер не только в V классе, но даже и в VII.

Приложена к книге и таблица метрических мер, составленная авторами специально для V—VI классов, в которую, быть может по особым соображениям, не включены соотношения: 1 т = 1000 кг, 1 га = 10 000 я», 1 л — 1 дж3, 1 г = 1000 мг. Это тоже может быть истолковано в том смысле, что указанные соотношения могут и не изучаться в V—VI классах.

Но, может быть, в книге собраны ценные методические советы учителю, которые с полным правом станут руководящими указаниями в его работе? Может быть, книга окажет действенную помощь учителю в использований методической литературы, как об этом декларировали авторы в предисловии? Но тщетно будет искать учитель в книге перечень литературы по излагаемым вопросам. Не только дополнительной, но и основной методической литературы по темам он в книге не найдет, как не найдет в ней и изложения опыта учительской работы, не говоря уже об анализе его.

Авторы собрали и изложили 221 рецепт «изготовления» уроков по арифметике. Многие из этих рецептов являются плодом измышления, надуманности, а порой и попросту плодом незрелой методической мысли, «в результате чего е «указаниях» допущены ошибки, которых нельзя простить даже ученикам V класса.

На странице 138 авторы рекомендуют:

«На доске и в тетрадях решить задачу № 1546 (по Березанской)», а дальше дают совет: «В V классе следует переходить и к буквенной символике, обозначая искомое число через х», и приводят решение этой задачи: «Получим: 3х = 8656,2 — (247,3 + + 50,8). Решив полученное выражение, найдем значение X, т. е. ответ на вопрос задачи». О трудности составления уравнений по условиям задач в V классе авторы могут судить уже хотя бы по тому, что они сами неверно составили приведенное выше уравнение, несмотря на чертеж, иллюстрирующий условие задачи. И все же учителям даются указания заниматься в V классе составлением уравнений, пренебрегая арифметическими приемами решений задач!

Можно было бы предположить, что в приведенном выше решении задачи допущена опечатка, если бы, к сожалению, книга не изобиловала рядом подобных нелепостей, которые не могут быть объяснены опечатками. Вот полный текст одного из уроков: «Урок 30. Решение задач. После проверки домашнего задания решить задачи №№ 1495 и 1498 (а) — устно. Решить задачу:

На трех полках разложены книги. На I полку положили 0,9 всех книг и еще 25 штук, на III полку положили на 10 книг меньше, чем на I полку. Сколько было всего книг, если на II и III полки положили книг поровну?

Условие задачи написать самому учителю в виде схемы (черт. 1). II и III величины равны между собой. При такой записи учащиеся увидят, что 15 книг составляют 0,1 часть книг II полки, и им станет ясен ход решения задачи» (стр. 140 и 141).

Трудно поверить, что эта бессмысленная задача с ее нелепым решением является результатом педагогического опыта квалифицированных учителей и что она решалась когда-либо в классе.

Еще два примера.

Даются «указания» к решению задачи № 449 из задачника Е. С. Березанской (стр. 36). «Узнать два числа по следующим условиям: если прибавить к первому числу 320, то полученная сумма будет равна второму числу, а если прибавить ко второму числу 460, то полученная сумма будет в 3 раза больше первого числа».

«Указания» к этой задаче таковы (приводим полный текст их):

«При разборе условия задачи применить чертеж. Сначала разобрать с учащимися, что слова «если к первому числу прибавить 320, то оба числа будут равными» означают, что первое число меньше второго на 320 единиц. Сделать чертеж (черт. 2).

Затем выяснить, что слова: «если ко второму прибавить 480 (?), то оно станет в 3 раза больше первого» означают, что на первое число из суммы двух чисел приходится одна часть, а на второе три таких же части.

Сделать чертеж (черт. 3).

Наиболее трудным для учащихся является здесь последнее условие: «Одно число больше другого и на 480 и в 3 раза» (где авторы нашли в задаче такое условие? —Ф. Д.). Установить по чертежу, что 480 составляет 2 части из суммы двух чисел (каких? — Ф. Д.). После такого разбора условия задачи учащимся будет ясен план ее решения». Неважно, что данное в задаче число 460 в решении превратилось в 480. Важно то, что после такого «разбора условия задачи» никто не в состоянии будет ее решить.

Совершенно непонятно, почему эта галиматья печатается в форме указаний под маркой Академии педагогических наук РСФСР!

Вот рекомендуемый авторами способ объяснения решения задач. На странице 8 помещена задача: «860 книг расставлены на трех полках; на второй полке на 80 книг больше, чем на первой, а на третьей полке на 60 книг больше, чем на первой. Определить, сколько книг на каждой полке». Дается такой образец формулировки первого вопроса данной задачи: «Чтобы определить, сколько книг на каждой полке, необходимо знать, на сколько книг на второй и третьей полке больше, чем на первой. 1) 80 + 60 = 140 (книг)». Во-первых, вопрос так сформулирован, что ответ, на него неверен, так как на второй и третьей полках книг больше, чем на первой, не на 140, а на 380. Во-вторых, так как все задачи содержат главный вопрос, то приведенный прием рассуждения можно было бы применять в каждом вопросе при решении любой задачи, если бы, к сожалению, этот прием не был бессодержателен, так как объяснять действия в каждом вопросе необходимостью ответить на главный вопрос (вопрос задачи), все равно что ничего не объяснять, приучать же учащихся к употреблению пустых фраз вредно.

Не признают авторы различий между примерами и задачами. Названия эти они часто путают. «Урок 21. Решение задач» — так называют авторы урок (стр. 172), на котором решают 12 примеров и одну задачу. «Решить на доске примеры №№ 1864, 1868» (стр. 106). «Решить самостоятельно задачи №№ 2008 (а, б) (стр. 144), то же № 1223» (стр. 122). В задачнике же Березанской оказываются в первом случае задачи, а во втором — примеры. Такое смешение понятий привело к тому, что в книге спланировано для работы на уроках, главным образом, решение примеров, удельный же вес задач, решаемых на уроках, явно недостаточен. Они по трудности в большинстве не отличаются от задач для IV класса и отнесены, как правило, к домашним заданиям.

На уроках решаются сочиненные авторами задачи, образцы которых уже приведены выше. Они не блещут ни смыслом, ни точностью выражений. На странице 163 дается для устного решения задача о картофеле, в которой нужно определить, сколько потребуется его для получения 12 кг крахмала, если в сухом виде картофель содержит 75% крахмала. Попробуйте-ка определить, сколько свежего картофеля надо приобрести для получения 12 кг крахмала, при таком условии! На странице 161 (помещена задача: «Контрольную работу писали 40 учениц; отличную оценку получили 8 учениц. Найти процентное отношение данных чисел». Какое же из двух возможных отношений авторы хотят получить при решении этой задачи?

На странице 71 дана задача: «Длина огорода 30 м, ширина 12 м; 65% площади занято картофелем, остальная—свеклой и морковью, причем свеклой занято на 48 кв. м больше, чем морковью. Сколько земли занято картофелем?»

Попробуйте установить, зачем здесь приплетены данные о свекле и моркови?

На странице 174 дана задача: «Путь, пройденный концом минутной стрелки часов на новом здании университета, на 11,304 м длиннее пути минутной стрелки кремлевских часов за то же время. Опреде-

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

лить длину минутной стрелки часов на новом здании университета, если длина минутной стрелки кремлевских часов 2,2 м».

Попробуйте решить эту задачу, не зная, за какое именно «то же время» прошла стрелка университетских часов указанный путь. Попробуйте еще решить задачу на странице 110: «В доме живет 400 человек: мужчин — 150, женщин — 200, детей — 120. Сколько процентов от всего числа жителей составляют мужчины, сколько женщины и сколько дети?» Если в предыдущей задаче не хватало данных, то здесь имеется уже лишнее данное — общее количество жителей. Но хуже всего тс, что это лишнее данное находится в противоречии с остальными данными и делает задачу неразрешимой. В самом деле, имеем: 400 = 150 + 200+ 120 = 470.

К сожалению, авторы не приводят решений всех этих задач, а любопытно было бы с ними ознакомиться.

Не дают авторы и решений приведенных ниже выдуманных ими задач, да, вероятно, они и не решали эти задачи, так как в противном случае их самих крайне удивили бы получаемые ответы.

На странице 16 заработок рабочего оказывается равен 975 руб. 62 -о“ коп. (Об округлении говорится лишь на следующем уроке в связи с измерениями.)

На странице 18 спрашиваемые задачей цены за костюм и сапоги выражаются числами 286 -g- руб. и 143 -g- руб. (Здесь и округление неприменимо, так как цены в магазинах выражаются вполне определенными числами.)

В задаче на странице 47 спрашивается: «Сколько взято килограммов яблок и сколько килограммов груш» для получения смеси стоимостью в 500 руб.

Решение задачи дает ответ: яблок 34 уд^ кг, груш 143 кг, причем яблоки стоят 279 jrg руб., а груши — 220 руб.

В задаче на странице 184 спрашивается, сколько всего деревьев посадили три пионерские отряда. Ответ получается: 270 деревьев. Все как будто благополучно. Но оказывается, что по условию первый отряд посадил 94 -у дерева (35%), а третий — 121 ~y (45%).

В результате решения задачи на странице 109 оказывается, что завод отпустил на культурные нужды -gg- руб. Из них на детский лагерь израсходовано 42 207 j£ руб., на кружковую работу -gg- руб. и на оборудование площадки 7106-g- руб.

Из решения задачи на странице 164 получается, что автомобили встретятся через З^о^у часа, причем первый автомобиль пройдет 127ggg км, а второй — 25g км.

В задаче на странице 170 засадили деревьями Жм2 и посадили на этой площади 25 деревьев.

Решение задачи на странице 173 дает для веса 15 м3 еловых и 17,5 м3 березовых дров соответственно числа: 7 г 239 23“ кг и 11 т 260 ^ кг.

Мы привели здесь лишь задачи, содержащие (в условии или в решении) бросающиеся в глаза нелепости. Если же учитывать и более мелкие недочеты, то число примеров пришлось бы увеличить.

Так, например, в задаче на странице 72 авторы заставляют маляра побелить в комнате, кроме стен, также окна и двери (при оклейке комнаты на стр. 177 окна, двери и печи были от нее избавлены).

В задаче на странице 100 ученики измеряют свой рост с точностью до 1 мм.

В задаче на странице 161 авторы заставляют туриста проехать на второй день ровно 30 -g- км, а на третий — 91 -g“ км и т. д.

Одним словом, нет почти ни одной задачи, составленной самими авторами, которая не страдала бы каким-либо пороком.

В процентах авторы тоже напутали изрядно. Чего стоит, например, запись:

Образцы записей даны и на странице 69: «3% = числа», «17% = Tqq числа» и т. д. Эти записи так же бессмысленны, как и записи: «0,5 = 2“ числа, 200% = Jqq числа». Известно, что проценты являются одним из способов выражения дробей и между выражениями 1% и 0,01 можно поставить знак равенства.

Отсюда вытекает и определение процента: процентом называется дробь одна сотая. Из этого определения вытекает и формулировка, данная в стабильном учебнике: «сотая часть какого-нибудь числа называется процентом этого числа», и авторы «методических указаний» не вправе ее считать равнозначной их нелепому определению: «1% это сотая часть любого числа» (стр. 14), бессмысленность которого становится очевидной уже для 200%, 300% и т. п. («200% — это два любые числа (?), 300% — это три любые числа» (?)).

Грубые ошибки допущены в книге и в вопросе о приближенных вычислениях. Вот как понимают авторы «правило четной цифры»: «...следует рассказать о правиле «четной цифры» — т. е. в приближенном частном целесообразнее всегда оставшуюся цифру дополнять до четной, так как для практических вычислений это удобнее», и в качестве образца они приводят пример:

12,1753 = 12,176 (стр. 135). При делении приближенных чисел (стр. 169) в примерах: 32: 1,9, 2,25:0,07 авторы почему-то требуют находить частное с точностью до 0,01, а в примере 78,66:0,013 — с точностью до единицы. Такие «указания» даются учителям!

На странице 140 решается задача на «деление десятичных дробей при приближенном частном». Приводим ее текст.

«Бригада слесарей-монтажников из 18 человек должна изготовить за месяц 155 т металлокон-

струкций. Сколько тонн должен изготовить каждый слесарь?»

А вот решение и «пояснения» к нему: 155: 18 = 8,6111 (тонн).

«Показать учащимся целесообразность округления полученного ответа до 0,001 т, так как одиннадцать тысячных тонны, т. е. 110 граммов (!? — Ф. Д.) не имеют значения при определении веса металлоконструкций в тоннах и их следует отбросить. Получится приближенный ответ: 8,611 г». Мало того, что авторы не пожелали ознакомиться с правилами деления приближенных чисел, они запутались и в собственных рассуждениях. Сначала они решили округлить число до тысячных, затем установили, что 11 тысячных следует отбросить. А в итоге эти 11 тысячных все же остались. Если, исходя из приведенного числа 110 граммов, внести поправку и заменить тысячные стотысячными, то опять ничего не получается, так как в ответе 8,6111 стотысячных нет.

Приведенные примеры достаточно характеризуют научный уровень содержания книги.

Возможно, что на формулировках указаний сказалось неумение владеть речью. В конце книги помещены таблицы устного счега Н. Н. Никитина. Авторы в такой форме рекомендуют пользоваться ими:

«Найти 3% чисел ряда Б»; «Найти -g- чисел ряда Б»; «Найти НОК чисел ряда А и Б»; «Найти сумму чисел ряда В и Г»; «Найти дробь в столбце А от числа 60» и т. п. (стр. 15, 39, 71, 130, 172).

Вот еще несколько образцов стиля изложения.

Страница 45. «На доске написать ряд дробей и дать им названия»

(Оказывается, надо не назвать дроби: «девять третьих» и т. д., а указать, какие из них правильные и какие неправильные.)

Страница 46. «Вспомнить (?), что дробь -у содержит девятнадцать третьих долей единицы».

Страница 47. «На примерах —, -g-, 2 -g вспомнить название каждой дроби».

(То же, что и на стр. 45. Кроме того, смешанное число 2 -g- стало простой дробью.)

Страница 51. Авторы предлагают: «Сделать вывод (подчеркнуто нами.— Ф. Д.), что такое преобразование дробей называется сокращением дробей».

Страница 63. «При умножении смешанного числа на целое число нет необходимости рассказывать учащимся о втором способе, т е. путем обращения смешанного числа в неправильную дробь» (?!)

Страница 64. «На нескольких примерах еще раз закрепить понимание (?1) этого нового действия».

Страница 65. «...выяснить, насколько учащиеся поняли действие нахождения дроби числа».

Страница 67. «...повторить правила умножения дроби на дробь и объяснить его на примерах» (допускаем здесь опечатку).

Страница 68. «Сделать вывод, что и при умножении нескольких дробей можно выполнить последовательное умножение» (а еше когда?)

Страница 68. «Пример 5-й сделать вначале последовательным умножением, а затем показать запись в одно действие и сокращение».

Страница 69. «Сделать вывод, что найти какое-либо число процентов любой величины — это значит, выразить данное число процентов в виде дроби числа со знаменателем 100 и числителем, равным количеству процентов, и найти дробь числа». Какой ученик сможет наизусть повторить эту несуразную, совершенно неудобоваримую фразу?

Страница 101. Опрос учащихся: 3) «Как найти делимое и делитель?»

Страница 121. «Написать следующие дроби без знаменателей по десятичной системе».

Страница 124. «Еще раз вспомнить и закрепить разряды целых чисел».

Подобных примеров можно найти в книге немало.

Эти формулировки показывают небрежное отношение к языку, подобно тому, как было проявлено небрежное отношение к записям. На странице 69 читаем: «Дробь числа ищется умножением числа на эту дробь». Значит, задачу «Найти 13% числа 800».

13-800 члл „ „ можно решить так: = 104. Такой образец записи дается начинающим учителям, когда «дробь числа ищется»! Что можно понять в задаче на странице 166. «Завод перевыполнил плановое задание, выпустив продукции на 200%, на 350%, на 120% больше плана. Во сколько раз больше выпустил завод продукции, чем предполагалось планом?» Что означает эта абракадабра?

Аналогичная «задача» на странице 162. «Определить величину вклада в сберкассу, если за год вкладчик получил процентные деньги в сумме: 1 руб. 50 коп., 1 руб. 83 коп., 20 руб. 22 коп., 54 руб. 18 коп. Сберкасса платит 3% годовых».

А как понимать указание: «Разъяснить учащимся, что находить отношение можно или для двух величин с одинаковыми наименованиями, или для двух отвлеченных чисел» (стр. 104). Может быть поэтому авторы не поместили в своей таблице отношения тонны К килограмму? А знают ли авторы, что уже в VIII классе их ученик» будут находить отношение катета к гипотенузе, удивляясь, почему их переучивают?

В книге скромно умалчивается, какие результаты были получены от выполнения всех «методических указаний», но на странице 136 проскользнуло признание, что учащиеся «часто ошибаются» в умении указать делимое и делитель даже после 155 уроков, проведенных в V классе. Поэтому на 156 уроке авторы рекомендуют при решении примеров на доске и в тетрадях писать словами над компонентами их названия. Предоставляем читателю судить, допустима ли установка на такое обучение.

Впрочем, ожидать иных результатов от таких методических указаний нельзя. Ведь уже на второй день появления детей в V классе (согласно этим указаниям) они должны быть огорошены набором слов: «компонент», «разрядные единицы», «разрядные слагаемые» (стр. 7). К этому набору слов дети найдут еще в § 11 учебника: «разряды единиц», «единицы низшего разряда», «единицы высшего разряда», «простые единицы», «составные единицы». Таким образом, уже со второго урока арифметика превращается в тарабарскую грамоту для детей.

Приведем еще несколько образцов «методических указаний», данных в книге

На странице 10 предлагается учащимся: «с помощью скобок записать содержание задач по следующему образцу». Для «образца» взята задача № 87 из задачника Березанской: «Что сделается с суммой чисел 4229, 3695 и 10 356, если к первому прибавить 1265, ко второму 835, а от третьего отнять 1525?»

Образец записи содержания приводится такой:

1) 4229 + 3695 + 10 356 =

2) (4229 + 1265) + (3695 + 835) + ( 10 356 — 1525) =

3) 1265 + 835 — 1525 =

Совершенно непонятно, зачем нужно все это. Ведь учащиеся (да и учителя) из такой записи могут сделать вывод, что в такой последовательности надо и решать задачу, в то время как она решается одним третьим пунктом. А если уже решать первые два вопроса (что, конечно, совершенно нерационально), то ответ получается просто вычитанием первого результата из второго.

На странице 21 предлагается задача № 389 из задачника Березанской: «Из двух мест, расстояние между которыми 243 км, выехали одновременно навстречу друг другу 2 велосипедиста, из которых один проезжал по 13 км в час. По скольку километров в 1 час делал другой, если известно, что они встретились через 9 часов после выезда?»

Авторы предлагают решать задачу в три действия и записали решение формулой:

Между тем задача легко решается в два действия, указываемые формулой: 243:9— 13 = 14.

Авторы неоднократно напоминают о том, что надо выбирать более рациональные решения, но сами этому своему совету не следуют.

На странице 48 авторы задают вопрос: «Можно ли указать, какая из дробей ряда II ^приводится ряд: самая большая?» и рекомендуют «сравнить их на чертеже (рис. 5 и 6). Но рисунок 5 никакого отношения к вопросу не имеет, так как дроби -g- во II ряде нет.

На странице 71 дан для решения пример:

Непонятно, зачем нужно было усложнять пример умножением на сократимую дробь Tjg*. На странице 82 (27-й урок) в решении примера деление на дробь заменяется умножением на дробь, обратную делителю, а о такой замене впервые говорится только на странице 91 (38-й урок).

На странице 85 дается решение примера (приводим лишь вторую строку):

Полагаем, что и ученик, и учитель не последуют этому «образцу» и, в согласии с логикой, запишут во втором выражении: “yyj— •

На странице 107 дано задание: «Решить устно задачи:

1. «Сыну 22 года, его лета относятся к летам отца, как 1 :2. Сколько лет отцу? (Отец старше сына в 2 раза.)

2. Мастер сплавил золото и серебро в отношении 5:8. Золота он взял 20 г. Сколько весил сплав? (Задачи решить «по разности и отношению».)

Последнее указание выполнить трудно, так как в обеих задачах никакой разности нет.

На странице 123 дается просто невероятное правило сложения десятичных дробей:

«Чтобы сложить десятичные дроби, надо привести их к общему знаменателю, сложить целые числа с целыми, десятые доли сложить с десятыми, сотые с сотыми и т. д.»

По этому правилу ученик должен складывать десятичные дроби, начиная с целых чисел.

Как можно давать такое нелепое правило?

На странице 124 предлагается выполнить на счетах сложение

и дается указание «сложить, как целые числа, и отделить запятой три разряда». Но ведь при таком указании получим:

На странице 131 предлагается устно решить пример:

Едва ли кто из учащихся достигнет такого совершенства в устном счете, чтобы выполнить это задание. На странице 141 рекомендуется «при проверке домашнего задания обратить внимание на правильную постановку вопросов, так как учащиеся часто говорят «сколько?» там, где надо сказать: «какая часть?»

Это «методическое указание» может вызвать только недоумение, так как в домашнем задании (задачи № 1521 и 1517 из задачника Березанской) нигде не приходится ставить вопрос «какая часть?»

По этим примерам, которые легко увеличить, можно судить о качестве «методических указаний», даваемых в книге.

О ценности «методических указаний» можно судить и по методике проведения уроков, излагаемых в книге. Многократно и настойчиво авторы рекомендуют один и тот же прием проверки выполнения домашнего задания. Он сводится к тому, что два ученика должны писать на доске, третий — отвечать устно, а остальные ученики должны получить отдель-

Черт. 5

Черт. 6

ную работу для самостоятельного выполнения ее, учитель же в это время должен быть и «швец, и жнец, и в дуду игрец»: он задает вопросы отвечающему у стола, слушает его ответы, следит за отвечающими у доски, выслушивает вопросы по поводу самостоятельной работы и дает ответы на них, обходит класс, чтобы помочь отдельным учащимся выполнять самостоятельную работу. В каком порядке производится указанный опрос, авторы умалчивают, но при изложении материала и при упражнении они требуют вызывать учащихся только по очереди. «Предложить учащимся, вызывая их по очереди, прочитать дроби» (стр. 115). «По очереди вызывая учащихся, прочитать по таблице меры площадей» (стр. 121). «Вызывая по очереди читать примеры» (стр. 129). Учителю предоставляется самому, повидимому, решить, что целесообразнее: устанавливать ли очередь по алфавиту или в порядке размещения учащихся за партами. К сожалению, требование очередности не мотивировано в книге и оно не может не вызвать удивления.

После каждой контрольной работы требуется проводить разбор ошибок и анализ их. На странице 13 даны указания, как проводить анализ ошибок. Он сводится к тому, что «необходимо выписать все примеры, в которых были допущены ошибки, и фамилии учащихся, допустивших ошибки». Анализ ошибок, таким образом, подменяется регистрацией их. Здесь авторы путают регистрацию фактов с анализом фактов, так же как путают они на следующем уроке (стр. 14) следствие с причиной, итоги производственного процесса, выражаемые процентами, путают с производственным процессом, требуя, однако, «довести до полного понимания учащихся» их указание.

Такая путаница в понятиях, несомненно, приведет к тому, что учитель, руководствуясь указаниями авторов, серьезной работы над ошибками вести не будет, анализировать их не станет, выполняя все формальные требования, изложенные в книге, которые мало принесут пользы.

Мы не приводили здесь нелепости и недочеты, которые с большой степенью вероятности можно отнести к опечаткам. Но уже беглый просмотр заставляет сделать вывод, что таких «опечаток», мягко выражаясь, немало. Возможно, конечно, что какая-то часть и приведенных выше нелепостей падает на опечатки. На странице 41 дано:

3. Найти НОК чисел: 25, 75 и 150; 14 и 23, 72; 80 и 96. Куда отнести 72? (вероятно, точку с запятой и запятую надо поменять местами). На странице 43 для задачи в которой 200 тетрадей розданы трем классам, причем первый класс получил -g, второй -g всех тетрадей, а третий остальные, приводится такое решение:

1) 200:5 = 40 (тетрадей получит первый класс);

2) 200:5-2 = 80 (тетрадей получит второй класс);

3) 200 — (40 + 80) = 80 (тетрадей получит третий класс).

Как увязать решение с условием?

На странице 56 в примере 7а дано невыполнимое нацело деление, а сложение смешанных чисел объясняется только на следующем уроке.

На странице 78 говорится: «Показать два способа деления смешанного числа на дробь», а приводятся два способа деления смешанного числа на целое.

На странице 148 показывается, как вычислить объем параллелепипеда и в результате вдруг: ...«получим объем куба».

Как видно, и в этом отношении дело обстоит далеко неблагополучно. Налицо явно небрежное чтение корректуры авторами и редактором.

В этом обзоре не затронут вопрос о том, че.-о в книге нет. По этому вопросу можно было бы сказать очень много. Но было бы несправедливо упрекать авторов за то, чего они не делали, и обвинять их в том, чего они не писали. Тем более серьезно нужно потребовать, чтобы за написанное авторы чувствовали ответственность, так как неряшливость приносит только вред, особенно начинающим учителям, для которых написана книга. Но не только начинающим учителям книга принесет вред. Опытные учителя, привыкшие выполнять указания, исходящие из авторитетных учреждений, будут дезориентированы этой книгой, носящей претенциозное название («Методические указания») и украшенной почетным штампом высокоавторитетного научного учреждения — «Академия педагогических наук».

О «ПРАКТИЧЕСКИХ» ЗАДАЧАХ, ПОМЕЩЕННЫХ В ЗАДАЧНИКАХ Н. РЫБКИНА

С. В. АНИСИМОВ (Борисоглебск)

Одним из направлений, по которым может быть разрешена задача политехнического обучения учащихся в средней школе, является введение в математические задачники некоторого количества задач технического содержания.

Решая эти задачи, учащиеся исподволь приобретают некоторые технические знания, осознают, что математика является мощным средством для решения важных практических задач.

Поэтому приходится с досадой отметить, что в используемых в школе задачниках Рыбкина Н. имеется значительное количество таких задач, по которым ничему практическому научиться нельзя и которые создают в умах учащихся совершенно неверные представления о вопросах, связанных с различными областями техники. Привожу примеры:

1. Рыбкин Н., Сборник задач по геометрии, ч. 1, планиметрия.

§ 11, № 1. Ферма моста ограничена дугой окружности (черт. 38), высота фермы МЛ' = H = 3 м\ радиус дуги AMВ пролета К = 8,5 м. Вычислить длину AB пролета моста.

§ 11, № 14. Мостовая ферма ограничена дугой окружности (черт. 38); длина моста AB = 6 ж, высота H — 1,2 м. Определить радиус дуги (ОМ - R).

По задаче № 1 пролет фермы — 13 м, а по задаче № 14 — 6 ле, высота фермы — 3 м и даже 1,2 ле.

Автор задачи не знает, что мостовые фермы таких пролетов не делаются. Чертеж 38 выполнен без знания дела. В этой задаче учащийся ничего практического не узнает.

§ 13, № 51. Ширина полотна дороги а = 6,74 м (черт. 51), стрела (Л) подъема полотна над насыпью должна составлять 2% ширины полотна и т. д.

Земляное полотно автомобильных дорог строится

шириной 10, 11 и более метров, и потому условия задачи оторваны от практики.

2. Рыбкин Н., Сборник задач по геометрии, ч. 2, стереометрия.

§ 13, № 13. Цилиндрическая дымовая труба с диаметром в 65 см имеет высоту в 18 ж. Сколько квадратных метров жести нужно для ее изготовления, если на заклепку уходит 10% всего требуемого количества жести?

В этой задаче автор проявил отсутствие элементарного здравого смысла, полагая, что дымовую трубу высотой в 18 м можно сделать из жести, т.е. из того материала, из которого делают консервные банки.

§ 16, № 35. Вычислить максимальную пропускную способность в кубических метрах за 1 час водосточной трубы, сечение которой изображено на чертеже 27, скорость течения воды 2 м/сек.

Трубы треугольного сечения бывают только деревянные. Чертеж 27 изображает трубу бессмысленной конструкции для таких материалов, как камень или бетон.

§ 17, № 34. Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой равен 2 м, а образующая 3,5 м. Сколько надо возов, чтобы перевезти щебень, уложенный в десяти таких кучах? 1 куб. м щебня весит 3 т. На один воз грузят 0,5 т.

В задаче указаны такие размеры конуса, при которых угол между образующей и основанием равен 55°, в то время как этот угол (угол естественного откоса) для щебня равен 35°. Кроме того, в задаче указан вес 1 куб. м щебня 3 г; такого щебня не бывает.

3. Рыбкин Н. Сборник задач по тригонометрии.

§ 6, № 31. Железнодорожная насыпь высотой в 120 ж имеет 360 м ширины при основании и 60 м ширины поверху. Вычислить угол наклона откоса к горизонту.

§ 6, № 32. Железнодорожная насыпь имеет сверху ширину в 60 м, а внизу 240 м. Боковые стороны насыпи наклонены к горизонту под углом 35°. Определить высоту насыпи.

Обе задачи содержат одинаковые ошибки:

а) Невероятные высоты насыпей—120 и 63 м. Насыпи такой высоты вообще не существуют в практике. В одном погонном метре такой насыпи 25 000 куб. м земляных работ, один погонный метр такой насыпи будет стоить 200—300 тысяч руб., и окажется более выгодным построить, например, металлическую эстакаду. Давление на грунт, подстилающий насыпь, при высоте ее в 120 ж составит примерно 35 кг/кв. см, что совершенно недопустимо для обычных грунтов самой высокой прочности. Основание под эту насыпь пришлось бы сделать из бетона марки 50.

в) Для чего железнодорожной насыпи иметь ширину по верху 60 м? На такой ширине можно поместить не менее двенадцати путей.

с) Откосы высоких насыпей не имеют постоянной крутизны, как это имеется в виду в задаче. Крутизна боковых откосов, определяемая углом в 35°, приемлема только при высоте насыпи до 8 м.

Из приведенных выше примеров (а они могли бы быть пополнены) видно, что содержание многих задач, помещенных в задачниках Рыбкина Н., находится на очень низком уровне и ни в коем случае не отвечает задачам политехнического обучения в средней школе.

Произошло это потому, что перед утверждением в высших инстанциях задачники не прошли рецензирование со стороны специалистов по различным областям техники.

Необходимо выполнить такое рецензирование и пополнить задачник новыми задачами. В задачниках должно быть больше задач практического характера.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ВОПРОСАМ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ, ВЫШЕДШЕЙ В 1952 И 1953 ГОДАХ

Ф. М. ШУСТЕФ (Минск)

Настоящая статья примыкает к статье покойного проф. А. В. Ланкова «Пропаганда (передового опыта учителей математики», помещенной в журнале «Математика в школе», № 5 за 1952 год, в которой была рассмотрена литература по методике математики за 1947—1951 годы, изданная институтами усовершенствования учителей. В данном обзоре мы значительно расширили круг рассматриваемых изданий, стремясь, по возможности, к более полному их охвату. Однако, на московских изданиях, как более распространенных, мы подробно не останавливаемся, ограничиваясь ссылками на соответствующие статьи. Из сборников по методике преподавания в школах рабочей молодежи выбраны только те статьи, которые представляют интерес и для общеобразовательной школы. Не рассматриваются учебники и учебные пособия, а также методические работы, вышедшие повторным изданием.

I. Общая методика математики

1. Руководствуясь решениями XIX съезда КПСС, передовые учителя и методисты прилагают свои усилия в поисках практических путей осуществления политехнического обучения в преподавании математики. Обобщению опыта этой работы, описанию первых мероприятий в деле осуществления политехнического обучения посвящен ряд статей и брошюр (мы не останавливаемся на книгах, изданных АПН РСФСР)*.

Вопросам политехнического обучения посвящены сборники статей, изданные в Сталинграде, Баку, Кишиневе, Сталино, Куйбышеве, Челябинске:

1) «О политехническом обучении в средней школе». Сборник статей, Сталинград, 1953.

* А. И. Фетисов, И. Н. Шевченко, В. Л. Гончаров, И. А. Гибш, Преподавание математики в школе в свете задач политехнического обучения, сб. статей, М., изд. АПН РСФСР, 1953. (АПН РСФСР, Ин-т методов обучения. Материалы в помощь учителю.)

«Вопросы политехнического обучения в школе», сб. статей под ред. А. Г. Калашникова, М., изд. АПН РСФСР, 1953 (АПН РСФСР).

2) «Методические материалы к проведению секционных работ на августовских районных совещаниях учителей начальных, семилетних и средних школ в 1953 году», Баку, 1953 (Азербайджанский ИУУ).

3) «О политехническом обучении в преподавании физики и математики (Материалы к январским учительским совещаниям в 1953 г.)», Кишинев, Школа Советика, 1952 (Министерство просвещения Молдавской ССР и республиканский ИУУ).

4) Курочко-Щербаков, О политехническом обучении в процессе изучения геометрии, Сталино, 1953 (Сталинский облИУУ).

5) Бараш Б. и Скаткин М., Несколько замечаний о практике политехнического обучения, Куйбышев, 1953 (Куйбышевский ИУУ).

6) «Мероприятия по осуществлению политехнического обучения в школах города Челябинска», Челябинск, 1953 (Челябинский горОНО).

В сталинградском сборнике в статье Б. Ф. Райского «Первые шаги политехнического обучения в школе» описывается интересный опыт работы Михайловской средней школы.

В бакинском сборнике приводится список практических работ по геометрии в V—VIII классах для каждого класса. В Кишиневском сборнике приводится список измерительных работ на местности для V, VI и VII классов, а также вообще список практических работ при изучении математики в каждом из этих классов. Кроме того, в этом сборнике рассматривается целый ряд других мероприятий: привитие навыков самостоятельной работы с учебником и пользования дополнительной литературой, экскурсии, организация кружковой работы и пр. Все это очень важно, но слишком расширяет понятие политехнизма.

Две статьи посвящены специально политехническому обучению в преподавании геометрии. Так, в сталинградском сборнике напечатана статья Конопатова П. И. «Практические работы на местности в курсе планиметрии». В статье приведен перечень работ в V—VIII классах с небольшими методическими указаниями. На конкретных примерах показано осуществление связи теории с практикой путем выяснения теоретической основы измерительных приборов.

Вторая работа, посвященная политехническому обучению в курсе геометрии, издана в Сталино*.

В небольшой брошюре (25 стр.) содержится много полезного для учителя материала, высказываются интересные взгляды на пути осуществления политехнического обучения в преподавании геометрии. Эта работа явилась плодом 10-летнего опыта работы автора. Указаны примеры кажущегося «расхождения» теории с практикой, с которыми могут встретиться учащиеся, проводя измерительные работы на местности, приведен набор 24 задач хозяйственного и 15 — технического содержания из области промышленности и сельского хозяйства. Правда, не все задачи удачны, так, например задача: Рабочий захват конных грабель 2,13 ж. С какой скоростью должна двигаться лошадь, чтобы за час подгрести 0,85 га — только по видимости имеет практический характер. Какое практическое значение может иметь вычисление скорости лошади? В брошюре приведен ряд упражнений практического характера. Дан подробный конспект урока, проводимого на местности в VI классе на тему «Различные способы вешения прямой». Подробно указана вся подготовительная работа к уроку. Разработка такого рода уроков, повидимому, встречается в нашей литературе впервые.

Много работ посвящено одной общей, весьма важной проблеме — повышению успеваемости и качества знаний учащихся по математике. Этому вопросу посвящены три статьи в сборнике «Из опыта работы учителей математики, не имеющих второгодников»*: отдельные брошюры А. И. Зыкус, П. А. Компанийца, Г. П. Сенникова**; 2 статьи в Иркутском сборнике***, статья Т. А. Михалевой в Горно-Алтайском сборнике****.

Многие общие черты присущи работе учителей — мастеров педагогического дела: весьма тщательная всесторонняя подготовка к каждому уроку; кропотливая индивидуальная работа с каждым учащимся, детальное изучение его особенностей, его знаний, позволяющее во-время устранить недочеты и пробелы; систематическое и разнообразное повторение материала; различные методы и приемы, содействующие активному усвоению материала учащимися; различные виды самостоятельной работы и проверки знаний учащихся. Вместе с тем в каждой статье можно найти оригинальные методы и приемы, применяемые автором для достижения этих результатов. Так, например, в брошюре А. И. Зыкус приведены примеры аналитического доказательства теорем учащимися, приемы итогового повторения темы по плану, приемы развития пространственного воображения учащихся путем рассмотрения различных чертежей одной и той же фигуры, методика объяснения решения арифметической задачи и др. В брошюре П. А. Компанийца обращает на себя внимание критика отдельных неудачных формулировок в школьном учебнике геометрии, их исправление. Однако, стремясь сделать формулировки вполне точными, автор иногда делает их излишне громоздкими. В статье Т. А. Михалевой имеется ряд полезных указаний, однако следует указать на возможность логической ошибки, когда деление дроби на дробь объясняется следующим образом:

* Курочко-Щербаков, О политехническом обучении в процессе изучения геометрии, Сталино, 1953 (Сталинский облИУУ).

* «Из опыта работы учителей математики, не имеющих второгодников», М., Учпедгиз, 1952, Статьи: 1) Н. А. Кирсанова, Правильная организация урока — основа предупреждения неуспеваемости; 2) А. А. Марычева, Пути достижения полной успеваемости по математике; 3) Н. Н. Ляпин, Как я добился полной успеваемости.

** 1) А. И. Зыкус, Пути повышения успеваемости по математике в V—VII классах, М., Учпедгиз, 1952 г. (Опыт передового учителя); 2) П. А. Компанийц, О сознательности знаний учащихся по математике, М., Учпедгиз, 1953 (Опыт передового учителя); 3) Г. П. Сенников, Состояние математических знаний выпускников школ Горьковской области (Методическое письмо) на основе анализа приемных испытаний в Горьковском пединституте в 1952 г., Горький, 1953 (Горьковский облИУУ. Руководителям школ Горьковской области).

*** «В помощь учителю», вып. 8, Иркутск, 1952 (Иркутский облИУУ). Статьи: 1) Б. Н. Кузнецов, Пути улучшения преподавания математики в школе; 2) А. И. Дулов, Е. В. Дубровская — заслуженный учитель РСФСР.

**** «В помощь учителю». Сб. статей по методике преподавания и внеклассной работе, Горно-Алтайск, Облнациздат, 1952, статья Т. А. Михалева, Как я добиваюсь ежегодной 100-процентной успеваемости учащихся по математике.

“у- : -jr = “-j1- : 3, так как делимое и делитель увеличили в одно и то же число раз (в 5 раз).

-у- : 3 = (2-5) : (3 • 7) — еще увеличили делимое и делитель в одно и то же число раз (в 7 раз). При таком рассуждении основное свойство частного целых чисел распространяется на частное дробных чисел, тогда как правило деления дробных чисел еще не установлено. Приведенные выкладки могут лишь служить пояснением целесообразности правила, вытекающего из определения деления как действия, обратного умножению, и правила умножения дробей. Большой интерес представляют все три доклада, посвященные предупреждению неуспеваемости, в московском сборнике. Авторы — учителя, в продолжение долголетней практики не имеющие второгодников (Н. А. Кирсанова — в продолжение 33 лет, А. А. Марычева — 37 лет, Н. Н. Ляпин —15 лет).

В статье Н. А. Кирсановой приводится целая система мероприятий по организации работы класса, позволяющая учительнице иметь полную успеваемость без дополнительных занятий с неуспевающими и опроса после уроков. Наряду со многими другими ценными указаниями интересна система в обучении решению задач по геометрии. В статье А. А. Марычевой особенно интересна система самостоятельных работ учащихся. Н. Н. Ляпин имеет четкую систему требований к учащимся, систему вычислительного режима. Большую роль в системе работы Н. Н. Ляпина играет «лист пробелов» в знаниях учащихся по математике, который имеется у каждого учащегося и переходит с ним из класса в класс. В этот лист учитель (а впоследствии и сам учащийся) заносит обнаружившийся пробел в знаниях учащегося, задание для его исправления, а затем отметку об устранении пробела. Много труда и умения Н. Н. Ляпин вкладывает в то, чтобы научить учащихся учиться.

Заслуживает внимания статья А. И. Дулова, посвященная опыту работы заслуженной учительницы Е. В. Дубровской. У нас, к сожалению, еще очень мало сделано в направлении изучения системы работы отдельных выдающихся мастеров педагогического дела. Наша школа может гордиться многими талантливыми педагогами, но очень часто методическая система, выработанная учителем в результате многолетнего опыта, многих исканий и размышлений, не передается следующим поколениям педагогов, не становится достижением методической науки.

Начинающие учителя зачастую каждый в одиночку начинают повторять ошибки своих предшественников, пока сами не станут мастерами своего дела. Процесс становления педагога можно было бы значительно облегчить и ускорить, если бы более бережно относились к богатейшему опыту наших лучших учителей. Статья А. И. Дулова написана после смерти Е. В. Дубровской по сохранившимся планам ее уроков и некоторым личным воспоминаниям автора. Насколько большую пользу могла бы принести статья, если бы она писалась при жизни учительницы!

2. Вопросам идейно-политического воспитания посвящены две статьи*.

В статье М. И. Савина приводятся приемы, которые он использует для воспитания у учащихся диалектико-материалистического мышления. Во-первых, он старается показать происхождение основных положений математики из действительного мира, для этого к новому понятию он переходит, рассматривая соответствующую конкретную задачу. Далее на протяжении всего курса подчеркивает идею развития, движения, для чего уделяет большое внимание, начиная с V класса, понятию функции в курсе арифметики, алгебры, геометрии. Много работает над понятием геометрического преобразования, перехода одной фигуры в другую. Автор придает большое значение аналитическому доказательству теорем и методу полной математической индукции, который применяет уже в IX классе при изучении прогрессий. На протяжении всего курса подчеркиваются все моменты обобщающего мышления (приведено много примеров).

На те же моменты обращает внимание в своей статье Г. А. Михайлов, но, кроме того, он затрагивает и другие вопросы. Так, большое внимание Г. А. Михайлов уделяет вопросам истории математики и задачам, отражающим социалистическое строительство.

Воспитание коммунистического отношения к труду и эстетическое воспитание в системе Г. А. Михайлова также являются необходимыми элементами коммунистического воспитания.

3. Вопросам истории математики посвящены две статьи*.

Статья Б. В. Болгарского дает краткое изложение истории логарифмов, но она содержит материал, который можно найти во многих других изданиях.

Статья А. М. Френкеля очень интересна. В ней автор предлагает программу сведений из истории математики, рассчитанную на 34—41 урок и органически включающуюся в курс математики V—X классов. Кроме того, автор правильно указывает, что можно вводить исторические сведения в преподавание математики и до всякого изменения программы. В заключение автор приводит материал своей работы в V классе по введению элементарных сведений из истории математики в учебное время.

Небольшая брошюра В. Н. Молодшего** посвяшена изучению состояния вопроса о введении элементов истории математики в практике московских школ. В брошюре можно найти некоторые исторические сведения и методические указания.

4. Все большее внимание начинает уделяться вопросам внеклассной работы по математике. Прежде всего здесь следует отметить специальный сборник, изданный Воронежским государственным педагогическим институтом***. Сборник содержит 3 статьи: 1) П. Я. Севастьянова «Внеклассная работа в средней школе», 2) Б. М. Бахтина «Изложение биогра-

* 1) Г. А. Михайлов. Коммунистическое воспитание на уроках математики, сб. «Из опыта работы учителей математики, не имеющих второгодников», М., Учпедгиз, 1952; 2) М. И. Савин. Воспитание диалектико-материалистического мышления на уроках математики, Сб. «На уроках математики и физики», под ред. И. Г. Яшанина, Горький, 1952.

* 1) Б. В. Болгарский, К истории развития логарифмов, сб. «Вопросы методики преподавания математики», Казань, 1953; 2) А. М. Френкель, Из опыта введения элементов истории математики в ее преподавание, сб. «На уроках математики и физики», под. ред. И. Г. Яшанина, Горький, 1952.

** В. Н. Молодший, Элементы истории математики в школе (Опыт передового учителя), М., Учпедгиз, 1953.

*** «Внеклассная работа по математике в средней школе», сб. материалов в помощь учителю, Воронежское областное книгоиздательство, 1952 (Воронежский госуд. педагогический институт).

фии Лобачевского и элементов гиперболической геометрии в средней школе» и 3) М. П. Дегтяревой «Достижения отечественной математики в области теории чисел». Весь сборник дает для учителя ценный материал, который можно использовать в работе школьного математического кружка. Характер последних двух статей ясен из названия. В статье Севастьянова рассматривается целый ряд вопросов внеклассной работы по математике: математические кружки, математическая газета, массовые внеклассные мероприятия по математике; по каждому вопросу приводятся примеры и материалы из опыта работы лучших воронежских учителей. Особенно интересен раздел, посвященный математической газете, в котором приведены примеры газет для каждого класса от V до X.

Содержательная статья И. И. Неганова «Опыт внеклассной работы по математике в средней школе» помещена в сборнике Кировского областного института усовершенствования учителей*. В школе, где автор работает директором, проводится целая система внеклассных мероприятий по математике. Этот опыт заслуживает внимания и распространения. В статье приведен и ряд материалов, который может быть непосредственно использован другими школами и учителями.

Полезный материал, освещающий опыт работы курских учителей, содержится в брошюре Г. И. Линькова**. Здесь приведены примерные планы работы кружков V и VI, VII и VIII, IX и X классов, также рассматриваются вопросы о математической газете, математических экскурсиях (дано описание девяти измерительных работ на местности), математических вечерах, витринах, математических олимпиадах. По всем вопросам приведен полезный материал. Наконец, вопросам внеклассной работы посвящены статьи З. К. Красновой и Е. Ю. Филипповой в московском сборнике***.

Богатый материал по внеклассной работе содержит книга Е. К. Серебровской, вышедшая вторым изданием****.

Интересный материал для внеклассной работы по математике можно найти в сборнике, изданном в Благовещенске, в особенности в статье Е. И. Милоховой*****.

5. Две статьи****** посвящены математическим предложениям и методам их доказательств. Статья

Ф. Ф. Притуло ценна тем, что освещает опыт автора, а с другой стороны, содержит хорошее изложение весьма важных для учителя вопросов логики. Подробно рассмотрен вопрос применения аналитического метода к доказательству теорем и решению геометрических задач. В сокращенном виде статья напечатана в журнале «Математика в школе», № 1 за 1953 г. («Элементы логики в школьном курсе математики»).

Статья А. Н. Левина, разъясняющая различные методы доказательств, почти не выходит за рамки распространенных руководств по методике математики.

6. Очень содержательна и полезна брошюра В. Сиротинина, посвященная домашним заданиям по математике*. В книге автор рассказывает о методах, применяемых им в течение долголетней педагогической практики. Ценным является разнообразие как методов проверки, применяемых автором, так и видов заданий, приучающих учащихся к ответственному отношению к заданию, постепенно воспитывающих в них самостоятельность и инициативу, практические навыки, логическое мышление. Можно полностью присоединиться к тезису автора: «Трудно перечислить все виды домашних заданий, но безошибочно утверждать можно одно: чем разнообразнее задания, тем больший интерес вызывают они у учащихся, тем больше способствуют развитию у них логического мышления».

В. Сиротинин применяет как задания к следующему уроку (выполняемые обязательно в день получения задания), так и задания на более длительные сроки, задания, строго ограниченные по объему, и задания, расчитанные на инициативу учащихся. («Из номеров таких-то выберите примеры на такую-то формулу; попытайтесь решить уравнения с такого-то номера из такой-то главы. Число примеров определяется вашим интересом и возможностью выполнить без помехи заданиям по другим предметам». И т. п.) Так же разнообразны применяемые им способы проверки домашнего задания.

7. Общие вопросы методики опроса рассматриваются в брошюре А. Берзонаса, изданной в Сталинабаде**. Здесь сформулированы общие требования к опросу, рассмотрены типы и методика опрашивания. Высказан ряд ценных мыслей: например, указано, что не следует домашнее задание проверять целиком, а лишь: 1) отдельные узловые моменты з выполнении домашнего задания; 2) степень понимания ближайшего круга вопросов, связанных с домашним заданием. Мысль эта иллюстрирована рядом примеров. Автор замечает, что «Мы очень часто спрашиваем слишком долго и растянуто и почти никогда не спрашиваем чрезмерно коротко и сжато (это не значит отрывочно и формально)», стр. 11.

Причину этого явления он объясняет следующим образом: «Во-первых, более интенсивное спрашивание требует гораздо большей подготовленности учи-

* «Из опыта работы учителей средних школ», сб. статей, Киров, Кировский облгосиздат, 1952 (Кировский облИУУ).

** Линьков Г. И., Внеклассная работа по математике, Курск, Курское кн. изд., 1953 (Курский облОНО, Курский ИУУ).

*** З. К. Краснова, Школьный математический кружок как средство углубления знаний учащихся по математике, сб. «Из опыта работы учителей математики, не имеющих второгодников», М., Учпедгиз, 1952; 2) Е. Ю. Филиппова, Повышение качества знаний и успеваемости путем сочетания классной и внеклассной работы.

**** Серебровская Е. К., Опыт внеклассной работы по математике, изд. 2, перераб. и дополн. Госиздат, Иркутск, 1952, 119 стр.

***** Е. И. Милохова, Работа классного руководителя по организации детского коллектива, Сб. «Из опыта работы лучших учителей области. (Материалы первой обл. научно-практич. конф., август 1952 г.)», Благовещенско-Амурское издат., 1953 (Амурский облОНО, обл. ИУУ).

****** Ф. Ф. Притуло, Математические предложения и методы доказательств в средней школе, Дзауджикау, Госиздат Северо-Осетинской АССР, 1952; А. Н. Левин, О развитии логического мышления учащихся на уроках математики в средней школе, Ученые записки Алма-Атинский гос. пед. и учит, институт им. Абая, т. 3, вып. 2, 1953.

* В. Сиротинин, Домашние задания по математике, Красноярск, 1952 (Красноярский краевой ОНО, Красноярский краевой ИУУ).

** «В помощь преподавателю математики». Методическое письмо, Сталинабад, 1953 (Министерство просвещения Таджикской ССР, Управление школ). Содержание: А. Берзонас, Методика опроса (Из опыта работы).

теля к уроку (курсив автора), чем такое опрашивание, когда вопросы придумываются учителем тут же на месте. Во-вторых, в этом сказывается вредное влияние требования некоторыми руководителями максимальной успеваемости не столько от учащихся, сколько от учителя. Это извращение правильной борьбы за успеваемость школьников приводит к такому положению, что учитель всячески избегает ставить плохую отметку и предпочитает, затягивая бесполезное спрашивание, правдами и неправдами добиться шаткой, но посредственной оценки» (стр.11). Оба этих объяснения стоят того, чтобы над ними серьезно подумать. К мысли об оживлении опроса автор возвращается в заключении: «...в меру оживленный темп опрашивания обостряет внимание, освежает работу класса, непомерно замедленный темп рассеивает внимание, гасит активность учащихся. Бороться за поголовную успеваемость учащихся — это не значит равняться на отстающих и вести работу отсталыми темпами» (стр. 23).

Автор приводит примеры опроса, подготовляющего изложение нового материала, когда ранее изученное освещается с новой стороны, отмечает необходимость не только опроса, заставляющего повторить пройденное, но и предусматривающего то, что будет изучаться в следующих классах.

Поднимается автором важный вопрос о работе с учебниками. Отмечается, что многие учащиеся пользуются ими только при подготовке к экзаменам. Однако автор решает вопрос о приучении к работе с учебником поверхностно. Именно, »указаны два приема привлечения внимания учащихся к учебнику. Первый прием: учитель в классе дает отличное от учебника доказательство или вывод, задает на дом изучить по учебнику, а затем при опросе оба вывода сравниваются. Но такая работа может быть только эпизодической. Второй способ следующий: учащиеся, не предупрежденные учителем о наличии неточностей в учебнике, должны после изучения соответствующего параграфа дать ответы на вопросы учителя, из которых должно следовать, что они обнаружили эти неточности, критически отнеслись к учебнику. Автор говорит даже: «Надо находить и дорожить такими случаями проверять знания ученика и воспитывать заодно здоровое критическое отношение к словам, хотя бы печатным» — и добавляет: «Примеров можно найти много» (стр. 12). Вряд ли можно убедить учащихся в необходимости учебника, чего хочет добиться автор указанием на наличие в нем многих ошибок и неточностей. Если согласиться с этим, то среди требований к новому учебнику придется поставить наличие в нем ошибок для развития внимательности учащихся. Одной из причин, по какой учащиеся мало пользуются учебниками, являются их общепризнанные недостатки. Но, применяя и существующие учебники, многое можно сделать в привитии учащимся навыков самостоятельной работы по учебнику. Придется здесь сослаться хотя бы на очень ценную статью Смирновой*, приводившуюся в обзоре проф. А. В. Ланкова.

Следует сделать еще одно критическое замечание. Почему-то среди вопросов, которые беспрестанно рекомендуется задавать учащимся, мы встречаем такие: «Что называется величиной?», «Что называется числом?», «Что называется действием?», Какие ответы ждет автор на эти вопросы? Не ясно ли, что такие вопросы не следует задавать вовсе?

8. Большое число работ посвящено вопросу оформления и проведения различных письменных работ учащихся, в особенности экзаменационных работ на аттестат зрелости. Здесь можно указать десять статей*: 1) первые две из них не требуют разъяснения. Укажем только, что кировская брошюра содержит материал для 2-го учебного полугодия. Во второй из двух кировских брошюр (3-я в нашем списке) указаны типичные ошибки учащихся и приведены примеры оформления работ для каждого класса из опыта школ Кировской области. Статья Е. К. Серебровской содержит некоторые общие указания к проведению и проверке письменных работ, тексты контрольных работ по всем классам и темам семилетней школы и, наконец, дополнительные задачи по арифметике для V—VII классов.

Очень обстоятельной является работа Н. К. Енгурина и К. М. Никонова, содержащая около 80 страниц. В ней разработана целая система контрольных работ и вопросов для V—VII классов, рассмотрены типичные ошибки учащихся. Из рассматриваемых работ несколько выходят за рамки требований к письменным работам статья И. Г. Яшанина и брошюра Спатару. Авторы имеют в виду также показать начинающему учителю, как и что следует объяснять при решении геометрических задач с применением тригонометрии в X классе. В работе И. Г. Яшанина приведено образцовое решение трех задач. В работе И. Г. Спатару даны образцы решения и исследования в зависимости от изменения

* Е. П. Смирнова, Как я учу учащихся работать с учебником, сб. «В помощь учителю математики», Рязань, 1950.

* 1) Образцы письменных работ по математике учащихся V—X классов школ области (В помощь учителю), Ворошиловград, 1952 (Ворошиловградский облОНО, ИУУ).

2) Примерные тексты контрольных работ и нормы оценок успеваемости учащихся по математике. В помощь руководителям школ и учителям математики, Киров, 1952 (Кировский облОНО, ИУУ).

3) К вопросу о выполнении учащимися V—X классов письменных контрольных работ по математике, Киров, 1952 (Кировокий облОНО, ИУУ. В помощь руководителям школ и учителям математики).

4)Е. К. Серебровская, Письменные контрольные работы по математике, сб. «В помощь учителю», вып. 8, Иркутск, 1952.

5) Н. К. Енгурин и К. М. Никонов, Письменные работы по математике в V—VII классах, сб. «Вопросы методики преподавания математики», под ред. И. А. Алексеева, Казань, 1953.

6) И. Г. Яшанин, Требования к письменным работам по геометрии с тригонометрией в 10-х классах средней школы. Методическое письмо в помощь молодым и начинающим педагогическую работу учителям, Горький, 1953 (Горьковский облИУУ).

7) К. Г. Спатару, Решение задач по геометрии с применением тригонометрии в X классе, под ред. Л. М. Вноровской, Кишинев, Школа Советикэ, 1952 (М-во проовещ. Молдавской ССР, респ. ИУУ, «Пед. чтения»).

8) Н. К. Здравомыслова, Письменные контрольные работы по алгебре в VII классе, сб. «Из опыта преподавания математики в школах рабочей молодежи», М., 1952.

9) В. А. Сиротинин, Арифметические записи и вычисления в V—X классах, Красноярский краевой ИУУ, Красноярск, 1952, 52 стр.

10) Ф. А. Бартенев, О некоторых вопросах предварительной подготовки учащихся восьмых и девятых классов к выполнению письменных работ по геометрии в X классе, Симферополь, Крымиздат, 1953, 39 стр. (Крымский облОНО, ИУУ).

функции угла четырнадцати задач. Безусловно, подобного рода работы могут принести пользу начинающему учителю в составлении контрольных работ, в выработке определенных требований к оформлению работ учащихся, в организации проверки знаний учащихся и т. д. Однако есть и некоторая опасность в увлечении ими, заключающаяся в канонизации какой-либо определенной формы, © формализации требований, предъявляемых учителем к учащемуся.

9. В помощь начинающему учителю математики в Куйбышеве издаются примерные календарные планы работы учителя математики*.

В Москве издается серия брошюр с планами уроков по отдельным предметам и классам семилетней школы**, обобщающими опыт работы авторов. Книжки эти очень полезны начинающему учителю.

II. Методика арифметики

По методике арифметики помещены ценные статьи о решении арифметических задач в московском сборнике*** и издана брошюра Я. Ф. Чекмарева**** Решению задач посвяшена также оригинальная работа С. В. Воронина*****. Во введении указаны недостатки в умении учащихся решать задачи, затем в главе «Развитие математического мышления решением задач» приводится ряд советов, которые учитель должен дать учащимся с целью научить их решать задачи. Большинство советов направлено к тому, чтобы внушить учащимся уверенность в своих силах, приучить их настойчиво искать решение, не бросать на полпути рассуждать и т. п. Проводится мысль, что на одной догадке далеко уйти нельзя, нужно планомерно искать решение, подготовлять догадку.

Нельзя согласиться с отстаиваемой автором (стр. 5) отличной оценкой за решение хотя и оригинальное, но содержащее вычислительную ошибку.

Наиболее ценной является II глава «Каким образом следует учить поискам решения трудных задач» и III глава, ее иллюстрирующая — «Примеры решения трудных арифметических задач, требующих применения особых приемов».

Здесь указывается ряд приемов, помогающих отыскать решение задачи, установить зависимость между данными и искомым.

Так, рекомендуется в случае затруднений составлять задачи, аналогичные данной. Рекомендуется также составлять несколько аналогичных задач, меняя данные и ответ, чтобы подметить функциональную зависимость. Общие формулировки этих приемов (в том числе у самого автора) не разъясняют сути дела, но затем следует рассмотрение ряда примеров, иногда эти рассуждения оказываются излишне громоздкими, но сама идея полезна.

Далее рассматривается вопрос о решении задач, взятых из практики, методические требования к задачнику, роль учителя при решении задач. Очень интересна критика таких показательных уроков, на которых благодаря вопросо-ответной форме создается видимость активной работы всего класса, но по существу работа учащихся отсутствует, а налицо лишь подсказ учителя.

Автор совершенно справедливо говорит: «Учитель должен стремиться не к внешней стороне дела, а к тому, чтобы весь класс работал по возможности продуктивнее. Ценна общая сумма выполненной работы и притом с наибольшей долей самостоятельности».

Для начинающего учителя предназначена книга Н. Я. Зайцева, А. И. Зыкус и А. Н. Эрастовой*. Связи с практикой посвящена статья Г. Петруневой**. В статье приводится несколько интересно составленных задач о сборе желудей и семян детьми, о прибыли, полученной семьей в результате пятикратного снижения цен. Общим вопросам преподавания арифметики посвящена и статья Т. И. Павука***.

Полезна для учителя статья М. Ф. Курмаровой**** в казанском сборнике, в которой приводятся приемы борьбы с типичными ошибками учащихся.

* «В помощь учителю математики V—VII классов», под ред. И. Б. Аронина, и В. К. Тихонова, Куйбышев, 1952. Примерные календарные планы работы учителя математики в V—VII классах на 1-е полугодие 1952/53 уч. года.

«В помощь учителю математики VIII—X классов», под ред. И. Б. Аронина и В. К. Тихонова, Куйбышев, 1952. Календарные планы работы учителя математики в VIII—X классах на 1-е полугодие 1952/53 уч. года (ориентировочные).

С. Н. Воскресенский и А. И. Сандлер, Календарные планы по математике на 1-е полугодие 1953/1954 уч. года (примерные), под ред. И. Б. Аронина, Куйбышев, 1953.

То же на 2-е полугодие 1953/54 уч. года (Куйбышевский облИУУ. В помощь начинающему учителю).

** Н. Я. Зайцева, Планы уроков по арифметике в V классе (Из опыта работы), Учпедгиз, М., 1952, 94 стр.

Н. И. Сырнев, Планы уроков по арифметике в VI классе (Из опыта работы), Учпедгиз, М., 1953, 64 стр.

Н. С. Истомина, Планы уроков по геометрии в VI классе (Из опыта работы), под ред. В. М. Брадиса, Учпедгиз, М., 1952, 116 стр.

М. Н. Денисова, Планы уроков по геометрии в VII классе (Из опыта работы), Учпедгиз, М., 1953, 134 стр.

*** «Решение задач в средней школе. Арифметика, алгебра, геометрия. Из опыта учителей математики V—X классов», под ред. Н. Н. Никитина, изд. АПН РСФСР, 1952. Статьи: 1) Н. В. Каверин, Как обучать решению арифметических задач, и отд. брошюра: Н. В. Каверин, Методы решения арифметических задач в средней школе (V—VI классы), Учпедгиз, М., 1952; 2) А. Ф. Линник, Живая методика; 3) Л. Н. Березина и Е. И. Беляева, Решение арифметических задач в V классе; 4) Н. К. Барбалат, Решение задач с помощью составления формул; 5) П. Ф. Безматерных, Арифметическое и алгебраическое решение задач с наглядными иллюстрациями.

**** Я. ф. Чекмарев, Решение задач и устные вычисления по арифметике в педагогическом училище, Учпедгиз, М., 1952, 64 стр.

***** С. В. Воронин, Решение сложных арифметических задач, Калуга, изд. газ. «Знамя», 1952 (Калужский гос. пед. институт).

* Методические указания к преподаванию арифметики в V классе (Из опыта работы, под ред. А. Н. Эрастовой, «Пед. б-ка учителя»), М., изд. АПН РСФСР, 1953 (Институт методов обучения).

** Г. Петрунева, На уроках арифметики шире привлекать материалы из окружающей жизни. В помощь учителю. Сборник методических статей, вып. VII, Комигосиздат, Сыктывкар, 1952.

*** т. и. Павук, Опыт преподавания арифметики в V классе, сб. «Из опыта преподавания в школах рабочей молодежи», М., 1952.

**** М. Ф. Курмарова, Типичные ошибки при обучении арифметике, меры предупреждения и исправления, сб. «Вопросы методики преподавания математики», Казань, 1953.

В статье И. П. Балахнина* поднимается важный вопрос об устных упражнениях на уроках арифметики. Автор приводит свою систему устных упражнений в VI классе, тесно связанную с материалом, изучаемым в алгебре, обращает внимание на устные упражнения — вопросы, заставляющие учащегося самостоятельно применять свои теоретические знания**. Можно присоединиться к агитации автора за применение подобных упражнений во всем школьном курсе математики.

К вопросам методики арифметики следует отнести и брошюру И. П. Трунова***, посвященную изучению геометрического материала в V классе. Работа представляет детальную поурочную разработку с указанием наглядных пособий, выходов на местность. Интересно предложение в качестве раздаточного материала завести конверты с наборами занумерованных моделей различных фигур. У учителя в таблице занесены размеры этих фигур. Каждый учащийся измеряет и вычисляет площадь полученной модели. По таблице учитель легко проверит и найдет ошибку, если она окажется.

Полезна брошюра М. И. Иванова о русских счетах в школе**** в связи с необходимостью привить учащимся твердые навыки в обращении со счетами.

III. Методика алгебры

По методике алгебры изданы небольшие разработки отдельных тем и две монографии.

Первой теме курса алгебры посвящена статья П. П. Никитина*****, представляющая обычную методическую разработку******. Оригинальным является введение функционального символа при решении громоздких дробных уравнений.

Хорошая разработка темы «Неравенства первой степени» в семилетней школе дана К. И. Чернышевым*******. По сравнению со статьями, имеющимися по этому вопросу в журнале «Математика в школе», оригинальна табличная запись свойств неразенств с указанием буквенной записи и словесных формулировок. Ценна статья о методике изучения неравенств в X классе С. А. Борисова.********.

Решению и исследованию уравнений посвящены три статьи в московском сборнике*, брошюра А. И. Мхитарова** и две монографии***.

В работе Мхитарова показано применение различных подстановок при решении иррациональных уравнений из задачника Шапошникова и Вальцоза, уравнения разбиты на группы, показано упрощение решения при пользовании подстановками, сравнены различные способы решений. Безусловно, работа полезна для учителя.

Книга У. С. Давыдова интересна как результат практического опыта. Содержит много задач на исследование уравнений с решениями. В некоторых случаях исследование не отступает от схемы учебника Киселева. Способам проверки при решении алгебраических примеров посвящена брошюра М. П. Устименко****. Вопрос самоконтроля является весьма важным при обучении математике, и поэтому брошюра заслуживает внимания. Автор предлагает два метода проверки: 1) тождества и параметрические уравнения проверять частной числовой подстановкой; 2) задачи на составление уравнений рекомендует проверять путем исключения одного из данных чисел и заменой его найденным числом. Получается новая задача на нахождение исключенного данного. Нужно исключать такое данное, чтобы задача решалась арифметически. В ряде случаев оба приема полезны. Однако в обоих случаях нигде не оговаривается, что используется лишь необходимое, но не достаточное условие. Автор проделывает единственную числовую подстановку верности решения и с удовлетворением констатирует, что задача решена правильно!

Всего две статьи посвящены такому важному вопросу, как изучение функциональной зависимости в школе*****.

Брошюра А. В. Копцева представляет разработку, ориентированную на задачник по алгебре П. А. Ларичева. Статья Л. С. Карнацевич и В. С. Карнацевич чрезвычайно полезна, обращает внимание на недостатки в изучении темы «Показательная функ-

* И. П. Балахнин, Устные арифметические упражнения в VI классе, сб. «Педагогический опыт», Сталинград, 1952.

** Устным занятиям сто математике уделяется нашими учителями все больше внимания. Кроме статьи Любоусского, упоминаемой ниже, укажем еще: Н. В. Трусов, Устные занятия по математике в V—X классах; сб. «Из опыта преподавания математики в школах рабочей молодежи», М., 1952.

*** И. П. Трунов, Изучение геометрического материала в курсе арифметики в V классе (Метод, письмо), Воронеж, 1952 (Воронежский облОНО, ОблИУУ).

**** М. И. Иванов, Русские счеты и их использование в школе. Пособие для учителей, Учпедгиз, М., 1953, 64 стр.

***** П. П. Никитин, Первые уроки алгебры в VI классе, сб. № 2 «Передовые учителя Омской области о своем опыте», под ред. И. Н. Шехурдина, Омск, 1952 (Омский облИУУ).

****** Этот вопрос всесторонне освещен в брошюре А. Н. Барсукова «Первые уроки алгебры в VI классе», М., Учпедгиз, 1951.

******* К. и. Чернышев, Неравенства первой степени (Из опыта работ в семилетней школе), Курск, 1953 (Курский облОНО, Курский ИУУ).

******** С. А. Борисов, К изучению неразенств в X классе школы рабочей молодежи, сб. «Из опыта преподавания математики в школах рабочей молодежи», М., 1952.

* «Решение задач в средней школе», М., 1952. Статьи: 1) И. Г. Польский, Составление уравнений по условиям задач; 2) М. Ф. Добрынина, Мыслительные процессы при составлении уравнений; 3) И. И. Смирнов, Исследование решений задач с буквенными данными.

** И. А. Мхитаров, Решение иррациональных уравнений способом подстановки, Дзауджикау, Госиздат Сев.-Осетинской АССР, 1952 (Министерствр просвещения Сев.-Осет. АССР, ИУУ).

*** И. А. Гибш, Исследование решений задач с параметрическими данными, Изд. АПН РСФСР, М., 1952 (АПН РСФСР, Институт методов обучения); У. С. Давыдов, Задачи на исследование уравнений с решениями и методическими указаниями. Пособие для (учителей, Минск, Учпедгиз БССР, 1953.

**** М. П. Устименко, Рациональные способы проверки при решении алгебраических задач и примеров, Алма-Ата, Учпедгиз, 1952 (Институт педагогических наук, Министерство просвещения Казахской ССР).

***** 1) д. В. Копцев, Графики в семилетней школе (Из опыта работы), Курск, обл. кн-во, 1952 (Курский облОНО, Курский ИУУ); 2) Л. С. Карнацевич и В. С. Карнацевич, К методике изучения показательной функции в средней школе. Материалы «Педагогических чтений» 1952, сб. «В (помощь учителю», Тюмень, 1953 (Тюменский облОНО, ИУУ).

ция» в IX классе и меры по улучшению ее. В сокращенном виде статья напечатана в журнале «Математика в школе» № 6 за 1953 г.

Актуальной теме о понятии предела последовательности посвящена статья В. С. Потапова и П. И. Конопатова в сталинградском сборнике*, в которой дается подробная разработка семи уроков этой темы. Интерес представляет то, что разработка была проверена на практике рядом учителей школ Сталинграда.

Методике изучения комплексных чисел посвящена статья Г. А. Михайлова**, отражающая многолетний опыт автора. Большое внимание уделяется геометрической иллюстрации действий над комплексными числами, это очень ценно.

Нам представляется более целесообразным в интересах конкретизации изложения связать введение комплексных чисел не с решением квадратного уравнения, а с необходимостью введения чисел для характеристики положения точки (или вектора) на плоскости. Основные принципы такого изложения, выясняющего реальное происхождение комплексных чисел, можно найти в статье А. М. Комиссарука***. Статья имеет в виду преподавание в пединституте. Тем больше оснований в средней школе подчеркивать возникновение математических понятий из потребностей изучения реальных физических величин. Во вводной лекции неверно указание, что первым дал истолкование отрицательным числам Леонардо Пизанский. Имеются неосторожные выражения. Так, в первом уроке говорится о том, что трансцендентных чисел бесконечно много по сравнению с алгебраическими числами (выражение весьма неудачное). Далее автор добавляет: «В этом легко убедиться, хотя бы на таком примере: для каждого алгебраического числа п можно получить бесконечно много трансцендентных чисел только вида logan, беря различные основания а»****. Аналогичный пример для сравнения множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел. На чем основано убеждение, что множества чисел вида logan при разных п не совпадают друг с другом?

Подробная разработка темы «Теория соединений и бином Ньютона» дана «в статье И. Е. Гоппа в казанском сборнике*****. В эту статью включена лекция о методе математической индукции, некоторые более трудные задачи на бином Ньютона и контрольная работа.

IV. Методика геометрии

По методике геометрии три темы привлекли наибольшее число авторов: «Первые уроки геометрии», «Связь теории и практики при изучении геометрии», «Методика решения геометрических задач».

Первой теме посвящены шесть работ*. Такое внимание к этой теме отнюдь не случайно. Общеизвестны трудности, которые встречаются в преподавании геометрии в VI классе по учебнику А. П. Киселева. Первая из перечисленных работ — работа Н. Н. Никитина— (представляет собой радикальную попытку разрешения этих трудностей.

Брошюра Н. Н. Шоластера представляет удачную поурочную разработку первой темы с привлечением необходимых наглядных пособий, упражнений и практических работ. В частности, интересны упражнения с чертежами, направленные на развитие пространственного воображения учащихся.

В работе Г. И. Линькова описывается опыт изложения первых теорем геометрии некоторыми учителями школ г. Курска и Курской области. Обращается внимание на применение наглядности и решение задач на доказательство с первых уроков геометрии.

Учительница В. В. Забурдаева в своей брошюре описывает первые три урока по геометрии. Хорошо выясняется значение геометрии в производстве и в изучении других дисциплин.

Очень ценна статья Н. К. Енгурина, в которой дается система первоначальных упражнений, направленных на развитие пространственного воображения учащихся, на сознательное и активное усвоение геометрии с самых первых шагов ее изучения. Приводятся следующие упражнения: 1) упражнения в анализе чертежа, 2) элементарные построения, 3) элементарные доказательства.

В статье А. М. Антиповой, посвященной наглядности в обучении геометрии, интересно описание самодельного стереометрического ящика.

Наглядности в преподавании геометрии посвящен специальный сборник, изданный АПН РСФСР и содержащий доклады, прочитанные на «Педагогичских чтениях» при АПН**.

* В. С. Потапов, П. И. Конопатов, Изложение в средней школе теории пределов на основе числовых последовательностей, сб. «Педагогический опыт», Сталинград, 1952.

** Г. А. Михайлов, Комплексные числа в средней школе. В сб. «На уроках математики и физики», под ред. И. Г. Яшанина, Горький, 1952 и в отд. изд. Михайлов Г. А., Комплексные числа в курсе X класса, Горький, 1951 (Горьковский облИУУ), 47 стр.

*** А. М. Камісарук, Методыка выкладання камплексных лікау на фізіка-матзматьічным факультэце, зборнік навуковых работ, Выдаветцва АН БССР, Мінскі, 1952 (Мінскі педагогічньї інстьітут імя M. Горкага).

А. А. Михайлов, Комплексные числа в средней школе, сб. «На уроке математики и физики», под ред. И. Р. Яшанина, Горький, 1952, стр. 50.

И. Е. Гопп, К методике преподавания темы «Теория соединений и бином Ньютона», сб. «Вопросы методики преподавания математики», Казань, 1953.

* 1) Н. Н. Никитин, Опыт преподавания геометрии в V классе семилетней и средней школы, сб. «Вопросы методики исследования процесса обучения в школе», Труды Института методов обучения АПН РСФСР, отв. ред. Э. И. Моносзон, изд. АПН РСФСР, М., 1952 («Изв. АПН РСФСР», вып. 43).

2) Н. Н. Шоластер, Первые уроки геометрии в VI классе. Методическое пособие для учителей, Учпедгиз, М., 1952, стр. 40.

3) Г. И. Линьков. Первые теоремы по геометрии (Из опыта работы), Курск, 1953 (Курский ИУУ).

4) В. В. Забурдаева, Первые уроки по геометрии, Курск, 1952 (Курский облОНО, Курский ИУУ).

5) Н. К. Енгурин, Элементарные упражнения в начале систематического курса геометрии, сб. «Вопросы преподавания математики», Казань, 1953.

6) Антипов А. М., О наглядности при обучении геометрии в средней школе, сб. «Педагогический опыт», Сталинград, 1952.

** «Изготовление наглядных пособий по геометрии и их применение на уроках» (Из опыта учителей математики V—X классов), сб. статей под ред. А. Д. Семушина, изд. АПН РСФСР, 1953 (АПН РСФСР «Педагогические чтения», Ин-т методов обучения). Содержание: 1) А. П. Никольский, Модель в курсе планиметрии; 2) И. Ф. Гризодуб, Опыт изготовления моделей из стекла; 3) Г. А. Михайлов, Набор «Конструктор» и стенные анаглифы; 4) И. И. Ветчинкин, Стереометрический столик.

Связи теории с практикой в геометрии посвящены три работы*, не считая рассмотренных выше в связи с темой «Элементы политехнизации в обучении математике». Наиболее ценное в этих работах то, что они рассматривают практику и теорию при обучении геометрии как единое целое.

М. И. Ротенко, например, разрабатывает данный вопрос на материале геометрии VI класса, весьма искусно увязывая практические вопросы с изучением теории.

Н. М. Калиткин показывает это на рассмотрении различных теоретических и практических способов решения одной и той же задачи, в зависимости от того материала, которым владеют учащиеся. В заключение Н. М. Калиткин описывает весьма простой самодельный угломерный прибор, изготовленный из обычного классного транспортира и заменяющий как астролябию, так и эклиметр. В приложении дан примерный перечень измерительных работ по курсу геометрии и тригонометрии средней школы (V—X классов).

Две большие работы посвящены специально измерительным работам на местности**.

Решению задач по геометрии посвящено шесть работ, из них две монографии***. Книга Б. Ф. Китаенко и Н. Н. Поспелова содержит семь глав: стереометрическая задача, чертеж к стереометрической задаче, сечение многогранников и других фигур, методы решения стереометрических задач, решение задач как тема для математических сочинений; образцы решения задач по геометрии с применением тригонометрии. В приложении даны задачи для упражнений, контрольные работы по стереометрии для IX и X классов, классификация задач по геометрии из сборника Н. Рыбкина (часть II).

Вопрос, поставленный авторами в заглавии: «...Как решать задачи по стереометрии?»,— слишком многогранен и сложен, чтобы дать на него исчерпывающий ответ. Однако, несомненно, нужно приветствовать появление такой книги, посвященной важному методическому вопросу, по которому практически накоплен большой опыт, однако мало обобщенный. Некоторые советы, даваемые авторами, довольно расплывчаты и странны, как, например: «Не считайте лишней тратой времени сделать паузу после окончания решения. Иногда в это время вы осмыслите нечто весьма полезное для сзоего математического развития» (стр. 170). Однако в книге содержится много полезного материала, в особенности для начинающего учителя.

В статье М. П. Ляпина приведено решение пятидесяти трех задач на построение методами, не имеющими большого распространения в школьной практике: метод подобия, метод спрямления, метод построения фигур по частям, метод параллельного перенесения и др. Знакомство учителя с этой статьей поможет большему внедрению этих разнообразных методов в школьную практику.

Для начинающего учителя полезна и книга М. И. Орленко, содержащая методические указания к решению задач на построение и решению всех задач на построение из учебника А. П. Киселева. Необходимо однако указать на наличие ряда небрежностей в редакции книги, снижающих ее ценность.

Весьма ценна статья Н. А. Любочского в горьковском сборнике. Автор приводит ряд устных упражнений по стереометрии, содействующих развитию пространственного воображения и сообразительности. Автор, ныне покойный, накопил в рукописном сборнике более 500 таких задач.

Статья Н. П. Ирошникова в московском сборнике описывает опыт работы автора по внедрению в школьную практику геометрических задач на построение на проекционном чертеже. Статья как бы продолжает работу автора, опубликованную в сборнике 1950 года*. В совокупности обе статьи помогут учителям освоить этот новый весьма важный вид упражнений.

Работа Л. В. Кривлевой посвящена очень интересному опыту автора по исследованию задач по геометрии с применением тригонометрии. Работа, проводимая автором, начиная с VIII класса, приносит плодотворные результаты.

Особо стоит небольшая статья Ф. Семяшкина**, мало отвечающая своему заглавию. В статье описан урок по геометрии в VII классе на тему «Проведение окружности через 1, 2, 3 точки» и высказываются некоторые общие соображения о преподавании арифметики и алгебры, в частности о необходимости преемственности с курсом арифметики V класса, и т. п.

* 1) М. И. Ротенко, Практические работы по геометрии в VI классе, сб. «Педагогический опыт», Сталинград, 1952.

2) Н. М. Калиткин, Теория и практика при решении геометрических задач, «Опыт передового учителя», М.— Л., Учпедгиз, 1953.

3) Н. Георгобиани, К вопросу об единстве теории и практики в школьном курсе геометрии. Труды Тбилисского пед. института, т. IX, 1952.

** 1) Д. М. Смычников, Измерительные работы на местности в курсе математики средней школы. Пособие для учителей V—X классов средней школы, Учпедгиз (АПН РСФСР, ИМО); 2) П. Я. Дорф и А. О. Румер, Измерения на местности, изд. АПН РСФСР, 1953 (АПН РСФСР, ИМО).

*** 1) Б. Ф. Китаенко и Н. Н. Поспелов, Как решать задачи по стереометрии (задачи на вычисление). Методическое пособие, Латгосиздат, Рига, 1952, 227 стр.

2) М. И. Орленко, Решение геометрических задач на построение в курсе математики средней школы. Пособие для учителей, Учпедгиз БССР, Минск, 1953, стр. 264.

3) М. П. Ляпин, Задачи на построение, сб. «Вопросы методики преподавания математики», Казань, 1953.

4) Н. А. Любочский, Развитие пространственного воображения учащихся IX—X классов на решении стереометрических задач, сб. «На уроках математики и физики», под ред. Яшанина И. Г., Горький, 1952.

5) Н. П. Ирошников, Построение изображений в курсе стереометрии, сб. «Решение задач в средней школе», М., изд. АПН РСФСР, 1952.

6) Л. В. Кривлева, Применение тригонометрии к решению и исследованию геометрических задач, там же, а также в отдельном издании, изд. АПН РСФСР, М., 1951, 40 стр.

* Н. П. Ирошников, Из опыта обучения решению задач на построение, сб. «Из опыта работы передовых учителей математики», под ред. Н. Н. Никитина, изд. АПН РСФСР, 1950.

** Ф. Семяшкин, Из опыта работы по геометрии, сб. «В помощь учителю», вып. VII, Комигосиздат, Сыктывкар, 1952.

V. Методика тригонометрии

По методике тригонометрии имеются всего 4 статьи*. Статья П. И. Китайгородского дает удачную методическую разработку темы «Обратные тригонометрические функции». В статье М. Е. Цыпкина имеется дополнительный теоретический материал для учителя относительно методов решения тригонометрических уравнений.

Подводя итог, можно отметить большую творческую работу, ведущуюся передовыми преподавателями математики нашей страны. Институты усовершенствования учителей, АПН РСФСР, министерства просвещения союзных республик, научно-исследовательские институты школ (или педагогики) многое делают по накоплению, обобщению и освещению передовою опыта в печати. Однако в этом направлении желательно сделать гораздо больше. В частности, на наш взгляд, назрела проблема планирования и координации работы, (проводимой в различных областях и республиках Союза. Такую работу должны были бы возглавить научно-исследовательские институты республик в тесном контакте с институтами усовершенствования учителей и педагогическими учебными заведениями.

* 1) П. И. Китайгородский, Обратные тригонометрические функции, сб. «Из опыта преподавания математики в школах рабочей молодежи», М., 1952.

2) М. е. Цыпкин, Методика проверки и исследования корней тригонометрических уравнений, сб. «Вопросы методики преподавания математики», Казань, 1953.

3) В. В. Кошек, Тригонометрия, как школьный предмет (проект программы). Уч. зап. (Черновиц. ун-т), т. 4, серия физико-матем. наук, вып. 2, 1952.

4) Он же, Радиальное измерение углов и дуг в курсе тригонометрии для средней школы, там же.

УСТРАНИТЬ НЕДОСТАТКИ В ПОЛЕЗНОМ ПОСОБИИ

Г. Л. ЭЙДИНОВ (Кустанай)

«Сборник геометрических задач на доказательство», составленный К. С. Барыбиным, имеет целью дать учителю математики материал для развития логического мышления учащихся. Надо отметить, что автор подобрал большое количество в основном удачных задач-теорем. Учителю предоставляется возможность выбрать те задачи, которые он сочтет наиболее подходящими для данного состава учащихся. Положительной стороной сборника является и то, что он (в отличие от многих других задачников) снабжен достаточно полными ответами на все задачи. Хорошо, что некоторые ответы даются без чертежа, это заставляет решающего самого продумывать чертеж.

Ниже мы остановимся главным образом не на достоинствах сборника (они очевидны), а на его некоторых недостатках. Эти недостатки -— следствие небрежности — вполне устранимы, в следующих изданиях.

Условия ряда задач сформулированы неточно, некоторые из них не строги, в других допущены непродуманные формулировки, что иногда не позволяет найти необходимое решение без заглядывания в ответы.

Возьмем, например, задачу № 70. В ее условии сказано:

«В прямоугольном треугольнике ABC катеты ВС и АС продолжены за точку С так, что САХ = CA и СВХ = СВ. Точки Аг и Вх соединены прямой. Пусть СМ — медиана, С H — высота треугольника ABC. Доказать, что: 1) продолжение СН1 медианы MC до пересечения с A<ßx — высота треугольника АгВгС] 2) продолжение СМЬ высота НС до пересечения с А1В1 — медиана треугольника >412?1и1».

При такой формулировке теорема может оказаться неверной.

Как видим из чертежа 1, продолжение медианы является медианой нового треугольника, а продолжение высоты — высотой.

В то же время, если было бы указано, что СВХ является продолжением С Л, а СА2 — продолжением СВ, то такого недоразумения не могло бы быть.

В решении задачи № 74 точки Е и F взяты на диагонали BD четырехугольника ABCDt тогда как в условии об этих точках сказано только следующее: AE±BD, С F J_ BD и АЕ _[_ CF. Почему бы не сказать, что эти точки должны лежать на диагонали?

Черт. 1

Задача № 131 формулируется следующим образом: «Две окружности пересекаются в точках А и В; CAD — секущая. Доказать, что величина угла CBD не зависит от положения секущей».

При такой формулировке теорема неверна, ибо даже при одном и том же положении секущей можно составить бесконечное множество углов СBD (на чертеже 2 показано несколько таких углов). Следовало бы указать, что точки С и D лежат на окружностях.

Задача № 172 требует доказать, что около четырехугольника ACBD можно описать окружность, в то время как в решении доказывается, что в этот четырехугольник можно окружность вписать.

Эти «мелкие» ошибки очень мешают работе со сборником, а их много. В задачах № 142 и № 187

не указано, где находится точка Сь в задаче № 179 вместо ААХ _1_ ВО напечатано AAL = ВО, в задаче № 197 неточно определено положение точек Л2, В2, А3, Bz, в задаче № 125 неточно сформулировано условие и т. д. и т. п.

Черт. 2

Вторым недостатком сборника является неполнота отдельных доказательств.

Задача № 138 формулируется так: «В окружности проведены хорды AB \\ ED и АС \\ FD. Доказать, что хорды F В и ЕС параллельны». К этой задаче дается следующее решение: «Хорды АС и FD параллельны, а поэтому заключенные между ними дуги AF и CD равны. Поэтому вписанные углы ABF и CED равны, причем их стороны AB и ED по условию параллельны, следовательно, параллельны и другие стороны BF и СЕ (курсив мой. — Г. Э.)

Достаточно взглянуть на чертеж 3, чтобы убедиться, что первое подчеркнутое выражение относится лишь к частному случаю расположения хорд, ибо углы ABF и CED могут быть или равны, или в сумме составлять 180° (как это и имеет место на чертеже 3). Второе же подчеркнутое выражение часто приводится в элементарном курсе геометрии как пример обратной, не всегда верной теоремы (черт. 4, где LB = LE, AB || ED, но BF не параллельна ЕС).

Аналогичное утверждение относительно вписанных углов ABC и AFC содержится в задаче № 186, так что данное в задачнике доказательство относится лишь к частному случаю (прямая AD может пройти вне треугольника ABC).

Доказательство, данное к задаче № 175, приведено также только для частного случая, когда параллельные прямые AF и BE (проведенные через две вершины треугольника) проходят вне треугольника, в то время как одна из них может пройти внутри треугольника.

Черт. 3

Ряд доказательств, приводимых автором, излишне усложнен. Для доказательства к задаче № 129 автор сложным путем доказывает, что общая хорда двух окружностей перпендикулярна к линии центров (CD _1_ ООх и AB _]_ ООг), а это хорошо известно учащимся VII класса как легко доказываемое следствие из теоремы об общей хорде двух окружностей. Все доказательство предложения можно провести следующим рассуждением: «OOi — линия центров. AB и CD — общие хорды секущей окружности и одной из концентрических окружностей, следовательно, AB и CD перпендикулярны к линии центров, а значит, параллельны между собой».

Черт. 4

Задачу № 127 целесообразнее было поместить несколько позже, в параграфе «Углы в окружности», что привело бы к значительному упрощению доказательства. Можно было бы сослаться на равенство касательных, проведенных к окружности из одной точки.

Дано: окр. ЮА) и окр. (02); AM, ВМ,СРн DP— касательные; AM \\ CP; ABCD — общая секущая. Доказать: ВМ \\ PD (черт. 5).

Черт. 5

AM=МВ; CP = PD, следовательно, LMAB = LMB А и LPCD = LPDC, но LMAB = LPCD (соответственные при параллельных и секущей); следовательно, LMBA = LPDC, что и доказывает теорему.

Условие задачи № 132 можно кратко записать так:

Дано: СО \_ AB, CD = OD, EF \\ AB. Доказать: LABE = — LOBE (черт. 6).

Автором доказательство ведется при помощи двух дополнительных построений: проводятся ОЕ и CF, рассматриваются треугольники, углы, дуги. Мне кажется, что проще доказать теорему следующим образом

Черт. 6

Проводим ОЕ. В прямоугольном треугольнике OED OD = -у ОЕ, следовательно, LOED = 30°, но LAOE = LOED, значит, и LAOE = 30°. Дуга АЕ = 30°, так как АОЕ — центральный, значит, вписанный угол LABE = 15°. Если kjAE = 30°, то

wC£ = 60°, a LCBE = 30°, т. е. LABE = -^LCBE.

Кстати надо сказать, что и в условии этой задачи автор не указал, с какой стороны находится точка £, а с какой точка F. Если эти точки поменять местами, то теорема становится неверной.

В доказательстве к задаче № 176 нет необходимости находить сумму углов треугольника и углов около точки D. Здесь требуется доказать, что окружности С'АВ', В'СА' и А'ВС пересекаются в одной точке, если А', В' и С — произвольные точки на сторонах треугольника (черт. 7).

Проведя две окружности В'АС и А'ВСГ, обозначаем буквой D точку их пересечения. Тогда: LA'DC = 180° — LB (четырехугольник A1 BOD — вписанный), LB'DO = 180° — LA.

Значит,

следовательно,

т. е. четырехугольник CB'DAr вписуем, и окружность В'САГ пройдет через точку D.

Черт. 7

В решении задачи Х° 125 приведен неудачный чертеж, когда проводимые секущие параллельны линии центров, что вовсе не обязательно.

Наконец, задачник содержит много типографских опечаток. В решении № 156 хорда ВС названа дугой ВС; в решении задачи № 183 вместо LBAC напечатано LBACb в решении задачи № 184 треугольник ВСЕ назван BCD, в решении задачи, № 137 дважды утверждается, что LDEA = LABC и т. п.

Подобные ошибки рассеяны по всему задачнику.

Необходимо тщательно просмотреть весь сборник, устранить все недочеты и в скором времени желательно выпустить эту книгу вторым, исправленным изданием.

ХРОНИКА

НА ВЫСТАВКЕ В ЧЕСТЬ 300-ЛЕТИЯ ВОССОЕДИНЕНИЯ УКРАИНЫ С РОССИЕЙ

И. М. ЗИЛЬБЕРШТЕЙН (Киев)

В Киеве открылась выставка работ юных техников— учащихся школ Украинской ССР, посвященная 300-летию воссоединения Украины с Россией.

Наряду с разделами физики, химии, техники и другими на выставке имеется и раздел математики. Раздел математики на выставке по количеству и особенно по качеству представленных экспонатов значительно богаче, чем на республиканской выставке детского технического творчества 1953 года.

На выставке экспонируется целый ряд наглядных пособий и приборов, облегчающих учащимся осмысленное и глубокое изучение планиметрии, стереометрии, тригонометрии.

Из раздела планиметрии следует отметить так называемый «универсальный круг», построенный кружком Голобской средней школы Волынской области. При помощи этого прибора можно легко и просто проводить построение хорды, диаметра, радиуса, изображать центральные и вписанные углы, вписывать в круг треугольники, четырехугольники и другие фигуры. Большой интерес учителей и учащихся вызывает комплект макетов для иллюстрации и наглядного доказательства целого ряда теорем по курсу планиметрии. Комплект изготовлен математическим кружком средней школы № 9 г. Каменец-Подольска.

Наиболее широко представлен на выставке раздел стереометрии. Здесь в первую очередь обращает на себя внимание оригинальный прибор под названием «Стереометрический столик». При помощи этого «столика» можно, пользуясь нитками с прикрепленными к ним грузиками, демонстрировать на уроках различные стереометрические фигуры. Прибор изготовлен юными математиками Дворца пионеров г. Одессы.

Учащиеся 7-й средней школы г. Стрыя (Дрогобычской области) представили на выставку комплект геометрических фигур, изготовленных из дерева.

На выставке экспонируется много макетов, значительно облегчающих доказательство некоторых теорем и решение большого количества задач по стереометрии. Здесь мастерство юных математиков проявилось во всем своем блеске. Мы видим здесь и четыре шара, вписанные в трехгранную пирамиду, и шар, вписанный в призму, и куб, вписанный в шар, и т. д. Все макеты очень наглядны, тщательно отделаны, хотя и построены из различных материалов: проволоки и ниток (средняя школа № 1 г. Борисполя Киевской обл., средняя школа № 20 г. Херсона, 3-я средняя школа г. Хмельницка и др.), стекла и пластилина (2-я средняя школа г. Симферополя, 134-я и 78-я средние школы г. Киева, 9-я средняя школа г. Каменец-Подольска), бумаги и картона (5-я средняя школа г. Каменец-Подольска).

Из раздела тригонометрии заслуживает внимания тригонометр, изготовленный учащимися X класса Соболевской средней школы Теплицкого района Винницкой обл., и прибор для демонстрации изменения тригонометрических функций, сконструированный кружковцами Голобской средней школы Волынской обл.

Внеклассная работа по математике помогает школьникам и пионерам хорошо учиться, лучше и тверже усваивать знания, полученные на уроках, закреплять эти знания. Она способствует и выработке у учащихся полезных знаний и трудовых навыков по работе с деревом, металлом, стеклом, картоном и другими материалами. Однако не все преподаватели математики, очевидно, осознали это полностью: сеть математических кружков на Украине еще невелика. И поэтому на выставке раздел математики, сравнительно хотя бы с разделом физики, занимает небольшое место.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В ЖУРНАЛЕ № 3 ЗА 1954 Г.

№ 25

Показать, что если — является приближением 1/2 , то ~ , w„ , « является лучшим приближением. Показать также, что ошибки тих двух приближений будут разных знаков.

Решение: Пусть -~ < ^2 ; докажем, что

Действительно,

так как

Но

имеем:

если

Аналогично доказывается, что

если

Итак, из неравенств (1) и (2) следует, что ошибки приближений

имеют разные знаки. Докажем, что приближение

лучше, чем приближение

Рассмотрим случай (1):

Пусть

и докажем, что Имеем:

В самом деле, имеем:

Итак,

№ 26

Определить сумму:

Решение. Воспользовавшись тождеством

запишем ряд равенств:

Сложив почленно эти равенства, получим:

Отсюда

Примечание. Большинство участников конкурса при решении этого примера применяли формулу Муавра, приводили громоздкие и очень длинные выкладки и в результате получили выражение более сложное, чем первоначально заданное.

Так, товарищи Параско И. (Киев), Утемов В. (Красноуфимск), Гаас (Караганда), Черепнин М. (Караганда) получили следующий ответ:

Конечно, такие решения не будут зачтены. Самое краткое и изящное решение дал товарищ Лось (Хмельницкая обл.), которое и приведено в журнале.

Товарищ Рознатовский Н. (Киев) воспользовался тождеством:

и после несложных и сравнительно коротких выкладок получил правильный ответ.

№ 27

На плоскости дани равнобочная гипербола ху = а2 и окружности х2 -f- у2 = R2. Обозначим через S площадь фигуры, содержащей начало координат и ограниченной дугами данных кривых.

Найти lim-prR -> оо.

Черт. 1

Решение. Возьмем на гиперболе две точки Е и F (лежащие на биссектрисе (черт. 1) первого и третьего координатных углов) и построим ломаные CGEHB и ASFKD, где CG, ВН, DK, AS — касательные к окружности, a GE || СО, ЕН || OBt F К II OD, FS II АО.

Имеем:

Откуда

При решении этой задачи большинством участников конкурса были допущены ошибки как в рассуждениях, так и в выкладках.

Товарищ Черепнин (Караганда) утверждает, что искомая площадь

откуда

Тов. Утемов В. (Красноуфимск) считал, что точки M и N (черт. 1) слились с С и В, и поэтому вычислял площадь треугольника, а не трапеции.

Тов. Сергиенко Ф. (Запорожье) и Лось (Хмельницкая обл.) оперировали с расходящимся рядом 1 -f--J- + + “J“ + • • * и делали предельные переходы в такой форме:

Тов. Ясиновый (г. Куйбышев) хотя решил задачу правильно и вполне грамотно, но применял определенный интеграл и правило Лопиталя. В журнале приведено решение автора.

№ 28

Дан произвольный выпуклый четырехугольник. Вписать в него квадрат и описать около него квадрат.

Черт. 2

Решение. Построение квадрата, описанного около произвольного выпуклого четырехугольника, осуществляется следующим образом: допустим, что MNPQ (черт. 2) — искомый квадрат (теорема существования не входит в условие задачи). Диагональ MP будет биссектрисой углов АМВ и CPD и поэтому пересечет окружности, описанные на диаметрах AB и CD в точках F и К, которые являются серединами дуг AFB и С/С А так как z. ВМК = Z. CPD = 45°.

Отсюда вытекает способ построения: на двух не смежных сторонах AB и CD данного четырехугольника как на диаметрах описываем окружности, середины дуг К и F соединяем прямой и находим точки M и Р, затем по диагонали MP строим квадрат MNPQ. Если точки К и F совпадут, то задача имеет бесчисленное множество решений. Если прямая KF не пересечет полуокружности АМВ и CPD или пересекает их в точках, лежащих внутри данного четырехугольника, то задача не имеет решений.

Черт. 3

Для построения квадрата, вписанного в данный выпуклый четырехугольник, поступим следующим образом:

Пусть дан четырехугольник ABCD (черт. 3), около произвольного квадрата P'Q'R'S' (черт. 4) опишем четырехугольник A'B'C'D', подобный четырехугольнику ABCD (достаточно, чтобы оба четырехугольника были составлены из двух подобных и подобно расположенных треугольников). На P'S' построим сегмент, вмещающий угол BAD, а на Q'R' — сегмент, вмещающий угол BCD, затем строим дуги Р'М и Q'N, вмещающие данные углы Р'А'Се и Q'C'N; так как точки Q' и Р1 известны, то, следовательно, можно считать известными M и N. Далее, соединив M и N, получим Аг и С и, соединив их с точками Q'R'S' и Рг, получим четырехугольник A'B'C'D'.

Затем строим фигуру, гомотетичную A'B'C'D', приняв за центр гомотетики центр квадрата.

Примечание. Решая задачу на построение вписанного квадрата, некоторые участники конкурса (Черепнин, Исмагилов, Сергиенко и другие) считали

Черт. 4

известными углы данного четырехугольника и вычисляли длины отрезков А'Р' и A'S^'-

где

или окончательно:

где а, ß, «у — углы данного четырехугольника, а а = = А'В', с = A'D1, и считали, что ими задача решена. Конечно, такие громоздкие решения нельзя принять за образец, но в них имеется и положительный момент. Для исследования этой задачи второе решение было бы более пригодно.

№ 29

Если из произвольной точки, взятой внутри треугольника ABC, опустить перпендикуляры на его стороны ОР ±АС, ON ±ВС и ОМ±АВ, то отрезки, на которые основания перпендикуляров делят стороны (АР = и, PC = v, CN = t, NB = z, BM = у, AM = х), находятся в следующей зависимости: b(u — v)-\-a(t — z)-Jrc(y — x) = Q.

Черт. 5

Доказать.

Решение. Из треугольников АОС, СОВ, BOA (черт. 5) имеем:

Сложив почленно равенства I, II, III, получим:

№ 30

Доказать, что отношение синусов плоских углов любого трехгранного угла равно отношению синусов соответствующих линейных углов двугранных углов.

Решение 1. Пересечем трехгранный угол SABC (черт. 6) плоскостью АСВ, перпендикулярной к ребру SC, и плоскостью АСЕ, перпендикулярной ребру SB.

Вычислим объем пирамиды ASCB двояким способом:

Черт. 6

Отсюда имеем:

Черт. 7

Решение 2. Из точки S, лежащей на ребре CS трехгранного угла CSD А (черт. 7), опустим перпендикуляры

Примечание. Точка О основания перпендикуляра SO на плоскость ACD может попасть вне угла ß, например в точку Е, от этого результат не изменится, так как

Обозначим:

Имеем:

Из равенств (1) и (2) имеем:

(3)

Далее из треугольников SDC и SEC получим:

откуда

(4)

Из равенств (3) и (4) вытекает:

№ 31

Определить зависимость между углами оснований боковых граней треугольной пирамиды и доказать, что эта зависимость справедлива и для п-угольной пирамиды.

Черт. 8

Решение. Обозначим ребра пирамиды (черт. 8)

а углы

На основании теоремы синусов имеем:

Перемножив эти равенства, получим:

Аналогично доказывается это соотношение для л-угольной пирамиды.

№ 32

По известным углам боковых граней треугольной пирамиды определить углы основания пирамиды.

Решение 1. Обозначим:

Пусть SA = 1.

На основании теоремы синусов имеем:

Черт. 9

По теореме косинусов имеем:

Аналогично получим:

Решение 2. Пусть LA, LB, LC — искомые углы треугольника ABC, линейные углы двугранных углов SA, SB, SC. Имеем:

(эта формула получена из теоремы косинусов) или:

Следовательно,

Отсюда

Аналогично находим:

№ 51

В какой степени входит 10 в л!?

Калаев А. (Махачкала)

№ 52

Плоскость делит объем шара в отношении 7:20. В каком отношении она делит поверхность шара?

Лоповок Л. (Хмельницкий)

№ 53

На шахматной доске можно расставить 8 ладей так, чтобы ни одна не била другую и все находились на черных полях. Сколько возможно таких различных расстановок?

Лоповок Л. (Хмельницкий)

№ 54

В остроугольном треугольнике ABC высота ha разделена в отношении 1 :5, высота Пъ — в отношении 1 :7, высота ha — в отношении 1 :3, считая от основания высот, и через каждую точку деления проведена прямая, параллельная соответствующей стороне треугольника. Найти коэффициент подобия построенного треугольника и первоначального.

Магеро А. (Серпухов)

№ 55

Дан равносторонний треугольник ABC; AB = а. На стороне AB дана точка М; AM = т. Построить треугольник MNK минимального периметра так, чтобы вершина N лежала на стороне АС и вершина К — на стороне ВС.

Рыбаков П. (Иваново)

№ 56

Доказать теорему, обратную теореме Птоломея: если произведение диагоналей четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон, то около него можно описать окружность.

Эрдниев П. (Алтайский край, Нечунаево)

№ 57

Найти положительные значения х, у и z из соотношения:

Лойко Н. (Краснодарский край)

№ 58

Около конуса, радиус основания которого Р, а угол между образующей и основанием х, описано п шаров, каждый из которых касается двух других, боковой поверхности конуса и плоскости его основания. Найти радиус этих шаров.

Андреев Н. (Ленинград)

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

№ 1. Решить уравнение:

г* + 2л:3 + 2х- + X — 20 = 0.

Луковский В. (Сумская обл.)

№ 2. Вычислить без таблиц логарифмов: log 5-log 20 +(log 2)2.

Шоцкий А (Барановичская обл.)

№ 3. Решить уравнение:

х\ _ бх3 — Ь\х + 81=0.

Голайдо М. (Брянская обл.)

№ 4. Определить угол в треугольнике АВС, если известно, что

Смышляев В. (Марийская АССР)

№ 5. Решить систему уравнений:

Смышляев В. (Марийская АССР)

№ 6. Решить уравнение:

Кравченко Ф. (Можайск)

№ 7. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R. Даны AB — а, ВС = Ь. Определить ЛС#

Кравченко Ф. (Можайск)

№ 8. Решить уравнение:

Исмагилов Р. (Башкирская АССР)

ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ СТАТЕЙ, ПОМЕЩЕННЫХ В ЖУРНАЛЕ «МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ. ЗА 1954 ГОД

Научно-популярный отдел

И. К. Андронов — К вопросу о длине окружности и площади поверхности элементарных круглых тел, № 1, стр. 4—10.

В. Н. Молодший — К вопросу об истолковании роли аксиомы индукции в арифметике натуральных чисел, № 3, стр. 1—5.

Из истории математики

Б. В. Болгарский — Деятельность И. Н. Ульянова в области методики математики, № 1, стр. 11—14.

Б. П. Бычков — Понятие функции в курсе алгебры русской средней школы в XIX веке, № 4, стр. 6—14.

В. Е. Прудников — Выдающийся русский ученый и педагог, № 4, стр. 15—24.

В. Е. Прудников — О русских учебниках математики для средних школ в XIX веке, № 3, стр. 6—20.

К. И. Швецов — О характерных чертах арифметических рукописей XVII столетия, № 5, стр. 1—10.

Методика

Общая методика

Н. И. Благовещенский — Моделирование по школьному курсу геометрии, № 6, стр. 26, 27.

B. А. Буртаев —К вопросу о выполнении экзаменационных работ на аттестат зрелости, № 2, стр. 1—6.

Б. И. Воронов — Универсальная доска, № 6, стр. 19, 20.

Я. М. Дымшиц — По поводу требований, предъявляемых к письменным экзаменационным работам, № 2, стр. 7—10.

М. И. Каченовский — О самодельных наглядных пособиях по математике, № 6, стр. 1—14.

М. В. Клочков — Универсальное наглядное пособие по геометрии, № 6, стр. 21, 22.

П. А. Ларичев — О преподавании математики в V классах в 1954/55 учебном году (к августовским совещаниям), № 4, стр. 53, 54.

Г. А. Михайлов — Прибор «сечения куба», № 6, стр. 25, 26.

К. И. Образ — О приборе для демонстрирования прямой и обратной функции, № 6, стр. 24, 25.

C. А. Рыбников — Геометрическая складная линейка, № 6, стр. 20, 21.

B. Е. Чесноков — Наглядное пособие для демонстрации симметрии некоторых фигур, № 6, стр. 17.

М. С. Черепнин — О причинах разногласий в оценках экзаменационных работ по геометрии, № 2, стр. 11—14.

A. Б. Штыкан — Учебные модели по стереометрии, № 6, стр. 17—19.

М. Юшко и Т. Ольшевская — Применение самодельных моделей при решении задач по стереометрии, № 6, стр. 14—16.

Методика арифметики

Б. И. Арясов — О решении задач арифметическим и алгебраическим способами, № 3, стр. 41—43.

C. А. Пономарев и Н. И. Сырнев — Некоторые методические указания к новому сборнику задач по арифметике для V — VI классов средней школы, № 4, стр. 47--52.

B. А. Уметский — О развитии математического мышления учащихся на уроках арифметики, № 5, стр. 17-27.

Методика алгебры

М. Г. Васильев — Логарифмические вычисления с приближенными данными, № 3, стр. 47—54.

С. М. Васильев — К вопросу о возвышении в квадрат целых чисел и извлечении из них квадратных корней, № 2, стр. 27—30.

И. И. Дырченко — Составление уравнений по условиям задач, № 1, стр. 44—50.

B. Т. Кузнецов — К вопросу о введении понятия функции в средней школе, № 4, стр. 35—40.

Ф. Ф. Нагибин — Выяснение понятия функции в средней школе, № 4, стр. 33, 34.

C. И. Новоселов — О дискуссионных вопросах, связанных с учением о функциях в школьном курсе, № 4, стр. 43—46.

С. И. Новоселов — О понятиях уравнения и тождества, № 1, стр. 15—21.

К. П. Сикорский — О составлении уравнений по условиям задач, № 1, стр. 38—43.

И. И. Смирнов — О решении и исследовании уравнений в курсе школы, № 1, стр. 22—37.

A. С. Сухорослов — О месте изучения понятия функции, № 4, стр. 41, 42.

Ф. В. Томашевич — Понятие функции в школьном курсе, № 4, стр. 25—32.

B. И. Севбо — К изучению неравенств в X классе, № 5, стр. 39—42.

М. С. Черепнин — О решении и исследовании задач, приводящихся к квадратным уравнениям, № 1, стр. 51—53.

М. В. Яковкин — О схеме деления многочленов, № 5, стр. 11-16.

Методика геометрии

А. А. Крамская — Номограммы во внеклассной работе, № 5, стр. 29—38.

М. П. Ляпин — О доказательствах существования и единственности в курсе стереометрии, № 3, стр. 21—31.

А. А. Панкратов — К вопросу об изображении пространственных фигур в курсе стереометрии, № 3, стр. 44—46.

Г. М. Щипакин — О решении задач по геометрии, № 3, стр. 32—40.

Методика тригонометрии

Н. Н. Шоластер — Некоторые вопросы преподавания тригонометрии в средней школе, Jyfe 2, стр. 15—26.

Методика черчения

A. Т. Чалый — О преподавании черчения в средней школе, № 6, стр. 28—37.

Итоги приемных испытаний

М. Л. Лейвиков — О математической подготовке оканчивающих среднюю школу, № 2, стр. 31, 32.

B. И. Рубцов и Л. С. Фрейман — Выше уровень математической подготовки оканчивающих школу, № 2, стр. 32—35.

C. Г. Субботин — О подготовке по математике оканчивающих среднюю школу, № 2, стр. 36—39.

Я. С. Юдкович — Некоторые итоги конкурсных экзаменов по математике в Белорусский электротехникум связи в 1953 г., № 2, стр. 40—44.

Из опыта

Р. Н. Абаляев — О составлении задач на местном материале, № 1, стр. 57, 58.

Р. Н. Абаляев — Экскурсии по арифметике, № 5, стр. 43—45.

А. П. Азия — К вопросу об элементах политехнизма на уроках математики, № 1, стр. 54—56.

Н. Н. Архангельский — Устные упражнения в старших классах, № б, стр. 61—66.

К. С. Богушевский — Из писем и заметок читателей, № 1, стр. 67—74; № 3, стр. 69—76.

Г. Р. Голянд — К вопросу о рационализации вычислений, № 2, стр. 72—74.

У. С. Давыдов — К вопросу о биноме Ньютона, № 1, стр. 76—78.

У. С. Давыдов — Некоторые вопросы преподавания тригонометрии, № 2, стр. 61—69.

А. С. Давидян — Об организации письменной контрольной работы по арифметике, N° 4, стр. 57—59.

А. К. Исаков — О методе индивидуального учета, № 5, стр. 58, 59.

К. И. Кабанова — К изучению логарифмической линейки в школе, № 2, стр. 48—50.

И. М. Кипнис — Из опыта преподавания геометрии, № 4, стр. 55—56.

М. И. Конохов — Применение таблиц для устных упражнений на уроках алгебры, № 6, стр. 58—61.

Л. И. Кременштейн — Об элементах политехнического обучения в преподавании математики, № 6, стр. 38—40.

С. В. Майоров — О системе письменных контрольных работ по теме «Алгебраические дроби», № 2, стр. 70, 71.

A. И. Можаев — Внеклассная работа как средство расширения политехнического кругозора учащихся, № 3, стр. 59—63.

К. И. Образ — Самодельная логарифмическая линейка, № 4, стр. 67—69.

Д. И. Павлов — Один из уроков, прививающих навыки рациональных вычислений, № 1, стр. 75, 76.

M. Н. Покровская — Домашние задания по математике, № 5, стр. 46—57.

Г. А. Птахин — Изучение симметрии в VI и VII классах, № 1, стр. 59—66.

B. М. Розентуллер — Об устном счете, № 6, стр. 66—68.

П. М. Рыбаков — Задачи по стереометрии на чертежах, № 6, стр. 40—46.

Е. Е. Степанова — Организация начала урока арифметики, № 3, стр. 64—68.

П. В. Стратилатов — Устная контрольная работа по математике, № 5, стр. 60—63.

Д. К. Ульянов — Делимость чисел, № 2, стр. 51—60.

В. А. Утемов — Приемы быстрого счета, № 6, стр. 46—57.

Н. Я. Цыганова и Н. П. Гольдина — Из опыта работы учительницы А. В. Колесовой, № 5, стр. 64—70.

В. Д. Чистяков — Из опыта проведения математических вечеров в девятых и десятых классах, № 4, стр. 60—66.

Л. М. Эйдельс — Простые модели в курсе черчения, № 2, стр. 75, 76.

А. Ф. Юников —Об элементах политехнизма в преподавании математики, № 2, стр. 45—47.

Г. С. Яхно — Элементы политехнизма в курсе геометрии, № 3, стр. 55—58.

Русские педагоги-математики

К. А. Рупасов — Константин Феофанович Лебединцев, № 1, стр. 79—83.

Р. А. Симонов — Август Юльевич Давидов, № 4, стр. 70—75.

Советские педагоги-математики

Б. Н. Белый — Александр Матвеевич Астряб, № 5, стр. 73—75.

И. Я. Депман — Иван Козьмич Андронов, № 5, стр. 71, 72.

К. А. Рупасов — Константин Николаевич Рашевский, № 3, стр. 77—79.

Критика и библиография

С. Анисимов — О практических задачах, помещенных в задачниках Рыбкина Н., № 6, стр. 74, 75.

A. Власенко — О культуре математической речи, № 2, стр. 80, 81.

Б. И. Гехт — О книге М. В. Пентковского «Считающие чертежи», № 4, стр. 79, 80.

Ф. Т. Дзюба — Об одном недоброкачественном пособии, № 6, стр. 69—74.

B. Г. Кайрис — О пособии П. Я. Дорфа и А. О. Румера «Измерения на местности», для учителей математики V—VII классов, № 4, стр. 76—78.

В. А. Лекторский — Первая методика по математике для школ рабочей молодежи, № 3, стр. 80, 81.

Л. М. Лоповок — Новое пособие по тригонометрии, № 2, стр. 77—79.

В. С. Михельсон — Еще о курьезной задаче, № 3, стр. 82.

В. А. Невский — Новая литература по математике, № 3, стр. 83—85; № 5, стр. 81, 82.

Т. А. Песков — Об учебнике геометрии для средней школы, № 5, стр. 79, 80.

Ф. М. Шустеф — Обзор литературы по вопросам преподавания математики, вышедшей в 1952—1953 гг. № 6, стр. 75—84.

П. М. Эрдниев —О книге «Методика преподавания арифметики» В. Г. Чичигина, № 5, стр. 76—78.

Г. Л. Эйдинов — Устранить -недостатки в полезном пособии, № 6, стр. 84—86.

Хроника

И. Б. Вейцман — Проблемы политехнического обучения на «Педагогических чтениях» Академии педагогических наук, № 4, стр. 81.

A. Гилко — О работе семинара по повышению квалификации учителей, № 1, стр. 84.

B. У. Грибанов — Александр Васильевич Ланков, № 2, стр. 82, 83.

П. Я. Дорф — В секции средней школы Московского математического общества, № 1, стр. 85, 86.

И. М. Зильберштейн — На выставке в честь 300-летия воссоединения Украины с Россией, № 6, стр. 87.

Н. И. Никитин — Подготовка научных кадров по методике математики в Институте методов обучения АПН, № 4, стр. 82—84.

Н. И. Польский — Математический лекторий и олимпиада учащихся IX и X классов в Ирбите, № 5, стр. 84, 85.

C. В. Филичев — О работе Московского городского института усовершенствования учителей, № 2, стр. 84.

В. Д. Чистяков — О работе школьного математического кружка при Витебском пединституте, № 2, стр. 85.

В. Д. Чистяков — На «Педагогических чтениях» 1954 года по Витебской области, № 5, стр. 83.

СОДЕРЖАНИЕ

МЕТОДИКА

Стр.

М. И. Каченовский — О самодельных наглядных пособиях по математике.......... 1

М. Юшко и Т. Ольшевская — Применение самодельных моделей при решении задач по стереометрии ....................................... 14

B. Е. Чесноков — Наглядное пособие для демонстрации симметрии некоторых фигур..... 17

А. В. Штыкан — Учебные модели по стереометрии..................... —

Б. И. Воронов — Универсальная доска........................... 19

C. А. Рыбников — Геометрическая складная линейка.................... 20

М. В. Клочков — Универсальное наглядное пособие по геометрии.............. 22

К. И. Образ —О приборе для демонстрирования прямой и обратной функций........ 24

Г. А. Михайлов — Прибор «сечения куба»......................... 25

Н. И. Благовещенский — Моделирование по школьному курсу геометрии.......... 26

От редакции............ ......................... 27

A. Т. Чалый — О преподавании черчения в средней школе................. 28

ИЗ ОПЫТА

Л. И. Кременштейн — Об элементах политехнического обучения в преподавании математики 38

П. М. Рыбаков — Задачи по стереометрии на чертежах................... 40

B. А. Утемов — Приемы быстрого счета.......................... 46

М. И. Конохов — Применение таблиц для устных упражнений на уроках алгебры...... 58

Н. Н. Архангельский — Устные упражнения в старших классах.............. 61

B. М. Розентуллер — Об устном счете.......................... 66

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Ф. Т. Дзюба — Об одном недоброкачественном пособии.................. 69

C. В. Анисимов —О «практических» задачах, помещенных в задачниках Рыбкина H...... 74

Ф. М. Шустеф — Обзор литературы по вопросам преподавания математики, вышедшей в 1952 и 1953 годах..................................... 75

Г. Л. Эйдинов — Устранить недостатки в полезном пособии............... 84

ХРОНИКА

И. М. Зильберштейн — На выставке в честь 300-летия воссоединения Украины с Россией . . 87

ЗАДАЧИ

Решение задач, помещенных в журнале № 3 за 1954 г.................... 88

Задачи.......................................... 93

Задачи для учащихся................................... —

ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ СТАТЕЙ, ПОМЕЩЕННЫХ В ЖУРНАЛЕ «МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ» за 1954 год......................... 94

Редакционная коллегия:

Редактор Л. Н. Барсуков, зам. редактора СИ. Новоселов, члены редакционной коллегии: К. С Богушевский, П. А. Ларичев, В. В. Немыцкий, Н. Н. Никитин, С В. Филичев, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Р. С. Терюкалова.

Технический редактор С Н. Шахов. Корректор Г. А. Покровский

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

Сдано в производство 6/IX 1954 г. Подписано к печати 19/Х 1954 г. Учетно-изд. 11,03

А07504. Заказ 1079 Тираж 90 300 экз.

Цена 4 р. 50 к. Бумага 84 X 108i/ie = 3 бум. л.—9,84 п. л.

Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической промышленности. 13-я типография. Москва, Гарднеровский пер., 1а.