МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

5

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1954

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ

№ 5

СЕНТЯБРЬ-ОКТЯБРЬ

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

О ХАРАКТЕРНЫХ ЧЕРТАХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ РУКОПИСЕЙ XVII СТОЛЕТИЯ

К. И. ШВЕЦОВ (г. Николаев)

В IX — XVIII вв. на Руси существовала обширная рукописная литература, произведения которой до нас дошли в огромном количестве списков. Эта литература весьма богата и разнообразна по своему составу и происхождению. Вначале эта литература была почти исключительно церковной, духовного содержания. В рукописной литературе XVI—XVIII вв., кроме религиозно-нравственных сочинений, содержатся произведения исторические, -математические, астрономические, географические, медицинские и другие. Эта литература до сего времени недостаточно изучена, в частности, входящие в ее состав рукописи математического содержания.

Как на одну из немногих попыток изучения древнерусских математических рукописей следует указать на работу В. В. Бобынина «Очерки истории развития физико-математических знаний в России», вып. 1, 2, Москва, 1886 и 1893 гг. В. В. Бобынин подразделял указанные рукописи на три категории. Первая — рукописи специальные, посвященные какой-нибудь одной из отраслей математики. Вторая — энциклопедии математических знаний или математические сборники, которые в свою очередь распадаются на две группы: на сборники чисто математические и на сборники смешанного характера, содержащие наряду с математическими статьями также и статьи по другим естественным наукам. Третья — общенаучные энциклопедии и азбуковники, или энциклопедии школьного учения*.

Нам кажется, что подразделение рукописей на группы, данные В. В. Бобыниным, устарело, так как третья группа рукописей предмета математики не содержит, ибо главы, посвященные «семи свободным мудростям», по словам Д. Мордовцева, «не что иное, как предисловие к каждой мудрости, но предисловия такие, в которых кратко излагается сущность и значение самого предмета»*.

Кроме того, сборники смешанного характера содержат наряду с математическими статьями также и статьи, не имеющие отношения к естественным наукам, и, наконец, при подразделении рукописей на группы В. В. Бобынин опирался на известные ему рукописи, количество которых было крайне незначительно.

В настоящее время известно около 300 русских математических рукописей IX—XVIII вв., не считая азбуковников и пасхалий. Часть из них известна по литературным источникам, остальные рукописи находятся в библиотек им. Ленина в г. Москве, в Историческом музее в г. Москве им. Салтыкова-Щедрина и библиотеке АН СССР в Ленинграде**.

Эти рукописи мы делим на три группы: первая — рукописи математического содержания; вторая — сборники, содержащие различные разделы математики; третья — собственно отрывки, включенные в состав нематематических рукописей.

* В. В. Бобынин, Очерки истории развития физико-математических знаний в России XVII ст., вып. 1, М., 1886, стр. 5.

* Д. Мордовцев, О русских школьных книгах XVII в. Чтения в импер. общ. истории и древностей Российских при Московском университете 1861 г., книга IV.

** Аннотированная библиография рукописей автором подготовлена к печати.

Среди русских математических рукописей XVII в., известных автору, в настоящее Бремя 15 посвящены арифметике и 22 содержат арифметику с приложением геометрии и статей, не относящихся к математике. Из 37 рукописей 9 известны по литературным источникам, а остальные находятся в указанных выше библиотеках.

Арифметические рукописи XVII столетия делятся на две группы. Первую группу составляют рукописи первой половины XVII столетия, относительно которых следует предполагать, что общий арифметический оригинал для них относится к XVI столетию*.

Вторая группа — рукописи второй половины XVII столетия отлична от рукописей первой группы, но имеет с ними значительное сходство.

Сначала изложим характерные черты и особенности содержания первой группы рукописей.

Обычно изложению арифметики предшествуют два предисловия, посвященные восхвалению арифметики в высокопарных словах о ее «пользе человеку». После предисловий следует заглавие, которое, за редким исключением, одинаково для всех рукописей: «Книга глаголемая по-гречески арифметика, а по русски циферная счетная мудрость». После заглавия снова следует краткое предисловие о пользе арифметики для человека.

Изложение арифметики начинается статьей, посвященной нумерации, или счислению. Словесное счисление рукописей первой группы замечательно по выработанности и своеобразию системы названий, употребляемых в них для обозначения единиц различных разрядов. Таких систем было две. Первая из них, называемая иногда малым числом, повидимому, не шла далее тысячи миллионов. Единицы разрядов обозначались в ней так: менее десяти тысяч — обыкновенными названиями: единица, десяток, сотня, тысяча. Для разрядов более десяти тысяч существовали названия: тма, или тьма, — для обозначения десяти тысяч, легион — для обозначения ста тысяч, или, что то же самое, десяти тем, и леодр — для обозначения миллиона, или десяти легионов. Далее следовали десятки, сотни и тысячи леодров.

Вторая система, употребляемая «коли прилучаются великий счет и перечень», называлась обыкновенно великим счетом; иногда также числом великим славянским. Она шла до единиц 43-го и даже иногда 50-го разряда, т. е. до словесного выражения числа, состоящего из 48 или 50 знаков. «И более сего», обыкновенно говорится в рукописи, «несть человеческому уму разумевати». Относительно этого последнего выражения в некоторых рукописях наблюдается странное противоречие. В тексте это относится к единице 13-го разряда, тогда как в следующей таблице последовательных разрядов последним из них оказывается 48-й разряд. Так как это противоречие встречается не во всех рукописях, то мы, вероятно, имеем дело с пропуском, допущенным одним или многими переписчиками. Основные названия, употребляемые во второй системе, были теми же, что и в первой, но с другим значением для высших из них, начиная с тьмы*.

Сложение целых чисел начиналось с таблицы сложения однозначных чисел и затем излагались приемы сложения многозначных чисел.

Приемы сложения тождественны с современными и отличаются тем, что компоненты называются перечнями и отсутствует знак сложения. Сложение проверяется при помощи правила девятки.

Правильность сложения

проверяется при помощи «указа» (см. рукопись библиотеки им. Ленина, М., 2606, л. л. 8 об. -10).

«Хощеши ведати гораздо ли счел или негораздо ты верхние три перечни вычти по 9 да постав крест и что за 9 останется постави наверху креста и снова вычти исподний большой перечень так же по 9 и что останется то под крест напиши и если числа будут равны то гораздо сочтено, если числа неравны то не гораздо сочтено считать снова, а не останется за 9-ю ты напиши 0. Начинай считать с верхнего перечня 5 да 4 будет 9 и вычитай 9 и говори 7 да 9 будет 16 и ты вычитай 9 останется 7 и ты 7 в уме держи и снова говори в уме 7 да б будет 13 и вычитай 9 и в уме осталось 4 и говори в уме 4 да 8 будет 12 вычитай 9 в уме останется 3 и говори в уме 3 да 7 будет 10 вычитая 9 в уме получим 1 снова говори в уме 1 да 5 будет б да 9 станет 15 и вычитай 9 и в уме держи б и говори в уме 6 да 8 станет 14 и

* В. В. Бобынин. Указ. сочинения, вып. 1, стр. 17; Райнов, Наука в России XI—XVI вв., М. - Л., 1940, стр. 218.

* К. И. Швецов, Славянская нумерация, «Математика в школе», 1952, № 2, стр. 12.

вычитай 9 в уме осталось 5 и говори в уме 5 да 4 стало 9 за 9-ю не осталось ничего и ты пиши наверху креста 0. Теперь считай исподний большой перечень говори 2 да 1 будет 3 да 1 станет 4 да 5 будет 9 и здесь за 9-ю не осталось ничего и ты напиши под крестом. Здесь гораздо сочтено».

Умножение целых чисел начинается с таблицы умножения однозначных чисел, записанной в разных видах, а затем излагается способ умножения однозначных чисел более 5.

В рукописи М., 2606, л. 18 об. — 19 об. мы находим следующие приемы умножения однозначных чисел, больших 5.

Чтобы умножить 7 на 8, «ты постави эти числа на крест определив их дополнения до 10; для 7 будет 3 и для 8 будет 2. Ты постави 7 да 8 на крест сице:

Дополнения капиши справой руки сице:

Умножай дополнение с дополнением стоящие справа, а молви 2 ж, 3 станет 6 и 6 запиши по ниже креста под 2 да вычти 2 из 7 или 3 из 8 останется 5 и ты ту 5 под чертою напиши ино станет 56 оставь сице:

Умножение 6 на 7 выполняется так: «Ты також постави на крест да молви 3 ж 4 станет 12 и ты ту 2 под 3 напиши, а десять за один в уме держи да ту умную одну приложи к верхним ко 6 станет 7 да молви 3 из 7 останется 4 и ты ту 4 напиши под 7-ю станет всего 42 оставь сице как зде стоит:

Приемы умножения многозначных чисел те же, что и в наше время, но, кроме того, существовал особый прием умножения двухзначного числа на двухзначное и умножения многозначного числа на многозначное число.

Особый прием умножения двухзначного числа на двухзначное мы находим в рукописи М., 2606, лл. 24—24 об.

«Хощеши умножити 25 с 34 и ты також постави 25 наверх, а 34 под испод да очерти черту да молви 4 ж 5 ино 20 и ты против 4-х под чертою напиши 0 а 2 во уме держи да молви 4 ж 2 станет 8 приложи к тому умные 2 ино станет 10 и ты однако во уме держи да молви 3 ж 5 ино 15 приложишь к тому 10 что во уме ино станет 25 и ты 5 против 3-х под чертою поставь, а 2 во уме держи да опять молви 3 ж 2 станет 6 приложи к тому 2, что во уме ино станет 8 и ты за 5 напиши ино всего станет 850 то и сочтено оставь сице:

Умножение многозначного числа на многозначное (см. М., 2606, л. л. 23 — об. — 24).

«Хощеми умножити 3576 с 6358 и ты постави також одну строку наверх а 2-ю вниз да очерти да умножи елевые руки молви 6-ю 6 станет 36 и ты 6 против 6 под чертою напиши, а против тех достальных слов постави 000, а иные числа по тому же считай и умножай сице:

Компоненты назывались перечнями, и знак умножения отсутствовал.

Умножение проверялось с помощью следующего приема:

«Пытание умножению*.

Хощеши пытати гораздо ли еси умножал или негораздо и ты всегда пытай сице верхнюю строку которую умножаеть вычти по 9 и что останется от 9 и ты наверх креста напиши да опять и 2-ю строку вычти також по 9, а что останется и ты ино крестом напиши, а под крестным числом верхнее накрестное число умножи и сколько останется от 9 и ты по сторон креста напиши да опять большой перечень вниз вычти також по 9 и что останется от 9 и ты то число по другую сторону креста напиши и только сойдутся сторонние числа у креста то гораздо сочтено, а не сойдутся то не гораздо сочтено опять умножай зри как из умножал 3576 с 6358 и ты молви 3 да 5 станет 8 приложи к тому 7 станет 15 и ты 9 прочь откинь осталось 6 да 6 ино станет 12 и ты 9 прочь откинь осталось 3 и ты

* М, 2606, лл. 25-26 об.

3 верх креста напиши да вычти 2-ю строку 6358 молви 6 да 3 станет 9 и ты 9 прочь откинь да молви 5 да 8 ино 13 и ты 9 прочь откинь, осталось 4 и ты ту 4 под крестом напиши да умножь 4 с 3 останется 12 и ты 9 прочь откинь, а 3 посторон креста напиши да вычти большой перечень 22736208 молви 2 да 2 станет 4 да 7 ино станет 11 и ты 9 прочь откинь осталось 2 и ты молви 2, что осталось от 9 да 3 станет 5 да 6 ино станет 11 и ты 9 прочь откинь осталось 2 и ты молви 2 что осталось от 9 да 2 ж станет 4 да 8 станет 12 и ты 9 прочь откинь осталось 3 и ты ту 3 по 2-ю сторону креста напиши ино те числа сошлись гораздо счел зри как зде стоит.

Вычитание целых чисел выполнялось так же, как и в наше время, но компоненты именовались заем (уменьшаемое), платеж (вычитаемое) и остаток (разность), причем знак вычитания отсутствовал. Вычитание проверяется при помощи сложения.

Что касается приемов деления целых чисел, то их имеется два. Первый из них характерен следующим. Способ деления многозначного числа на однозначное и двухзначное отличается от современного взаимным расположением элементов действия. Делитель подписывается под той частью делимого, начиная с левой руки, которая на него делится. Последовательно получаемые остатки пишутся над делимым и именно над теми разрядами его, от вычитания из которых они получались. Частное помещается справа от делимого в одной строке с ним и отделяется от него чертой. Вычитание произведений делителя на получаемые цифры частного из соответствующих частей делимого выполняется устно. Остатки, части делимого вместе с подписанными под ним делителями, бывшие уже в действии, зачеркиваются.

Способ деления многозначного числа на многозначное число отличается от деления многозначного числа на однозначное или двухзначное число положением частного, помещаемого в промежутке между двумя чертами, отделяющими делимое от подписанного над ним делителя.

Второй способ по существу ничем не отличается от современного. Проверка деления выполняется так:

«Пытание деловое» мы находим в рукописи М., 2606, лл. 33—34.

«Хощеши ведати гораздоль ты разделил или негораздо и ты ведай так преж болшой перечень, который делили вычти по 9 и что останется и то напиши до опять вычти деловой жеребей, что досталося також по 9 и что останется також напиши да умножь жеребеным остатком деловой остаток и что останется и ты то сложи и сочти вместо с остатком, которые доли осталися и колко придет их вместе и то вычти по 9 и что останется також напиши и сложи остатком болшого перечня будет остатки однаки числом, то гораздо разделил, а не однаки то негораздо разделил дели опять, зри что аз делил сий перечень 5692597 на 3625 и вышло на жеребей 1570 да в долях осталось 1347 и ты вычти болшой перечень по 9 останется 7 да вычти деловой перечень останется 7 вычти же жеребеной перечень по 9 осталось 4 и ты умножь 4 с 7-ю придет 28 причтиж к долям станет 1375 вычти ж то по 9 ино столко ж останется 7 что от болшаго перечня то гораздо сочтено, остави на крест сице:

Другое пытание вделу умножить жеребей деловым перечнем да приложи тут же остаточные доли и будет сойдется з большим перечнем то гораздо сочтено, а будет не сойдется то негораздо опять дели».

В отличие от современных учебников в отношении изложения, следует указать на обращение с остатками, получаемыми при делении. Приведение остатка к виду дробной части частного в наших учебниках откладывается до дробей, в рукописях первой группы XVII в. оно производилось в самой статье о делении целых чисел. Больше того, в них в заключении под названием «уменьшение долям» излагалось правило сокращения дробей. Общий наибольший делитель определялся по способу последовательного деления, т. е. при помощи алгорифма, называемого в на не время алгорифмом Евклида.

В рукописи М., 2606, л. 35 сокращение дробей выполнялось так:

«Как придут которые доли а нельзя их разчести ни на которой дел ни на 7 ни на 11 и ты постави тако верхним перечнем исподней доли и что останется и ты остатками дели верхней да что останется и ты теми остатками дели первые остатки до та мест дели меншим перечнем болшой как же остатков у деловой не будет и ты остаточными остатки раздели первые перечни в долях и что выдет от верхнева в делу постави наверху да нижней дели верхней перечень тем же делом и что выдет в делу то внизу постави смотри -jggg- ино тех долей немочио делити ни на 2 ни на 3 ни на 5 ни на которое число и ты дели исподней перечень верхним ино останется 143 и ты теми остатками дели первые остатки 286 ино не останется ничего придет ни дело и ты тем 143 дели прежней болшой перечень ино в делу выдет 11 и ты ту 11 постави наверх в доли да теми ж остатками дели прежней болшой исподней перечень ино в делу выдет 13 и то постави под 11 ино станет указ счету как зде стоит зри.

286 1859

14

1573

286

14

1573

48 1859

1

5

2

11

13

1573

286

143

1433 14

1433 14

придет только всего

По существу сокращение дробей выполнялось так же, как и в наше время.

За статьями о действиях над целыми числами следуют весьма интересные статьи об инструментальном счете, а именно о «счете костьми или пеняги» и о «дощаном счете».

В статьях, посвященных счету «костьми или пеняги», содержится описание орудия счета — счетной доски — и выполнения арифметических операций с целыми числами при помощи «счета костьми или пеняги»*.

Следует сказать, что эти статьи являются списком одного и того же источника. Важней-

шими из практических приложение «счета костьми или пеняги» считалось употребление его с целью «класти сошную кладь». Обычно в арифметических рукописях сошной клади посвящалась одна статья. В то же время в некоторых арифметических рукописях этому вопросу уделялось особое внимание. Примером этому может служить рукопись Ленинградской публичной библиотеки № Q IX. 3. Статья, или «Указ о дащаном счете», содержит в себе только описание самого орудия счета (имеются совершенно различные два списка)*. Что же касается его употребления, то о них не говорится ни одного слова.

В метрологическом отделе мы находим метрологию Московского государства и земель Западной Европы. Особый интерес представляет система русских мер и весов, или «Статья о весах и о мерах Московского государства русской земли».

В метрологическом отделе встречается довольно много совершенно ненужных повторений. В то же время во всех рукописях метрологический отдел представляет собой список одного источника. В этом же отделе излагается сложение и вычитание именованных чисел. Статьи, посвященные сложению и вычитанию именованных чисел, построены по одному и тому же плану: за изложением правила действия следует непосредственное применение его к различным родам мер. Правило сложения представляет собственно правило расположения отдельных наименований в составном именованном числе. Это расположение не отличается от употребляемого в настоящее время. Что касается правила вычитания, то в нем за указанием приема помещения вычитаемого под уменьшаемым следует изложение обычного способа вычитания в том случае, когда некоторые числа уменьшаемого больше соответствующих чисел вычитаемого. Этот способ ничем не отличается от современного. Затем рассматриваются эти действия в применении к многочисленным частным случаям.

Изложение дробей начинается со статьи «Статия численая о всяких долях указ», где речь идет о письменном изображении дроби и с выяснений понятий числителя и знаменателя. Затем приведено наименование простейших дробей. Изложение этих понятий и наименование дробей приведем по рукописи М., 2606, лл. 36—36 об.

«Буди ведомо как пишутся доли в цыфирном счете по немецким землям в латыне и во французах указуют 2 числа едино число на-

* И. Г. Спасский, Происхождение и история русских счетов. Историко-математические исследования, вып. V, М., 1952, стр. 283—289.

* И. Г. Спасский, Указ. соч., стр. 305—318.

верху, а другое внизу, а промеж ими черта верхнее число сказует сколько долей взяти, а исподнее число на колко долей раздробитца золотник или денга или что ни есть велико или мало сице то есть исподнее число раздробилось на 4 доли, а взяти из них 3 доли ино о четь —г».

После этого дано наименование дробей:

Сложение дробей сначала излагается в статье «Сложение долям вместо или считание». В ней рассматривается сложение правильных дробей с одинаковыми и разными знаменателями, а также сложение смешанного числа с правильной дробью. Более полное изложение сложения дробей мы находим ниже в статье «Статия считания или сложения в долях».

Статьям о четырех арифметических действиях с дробями предпослана статья, озаглавленная в некоторых рукописях «Вынимание дробовое». Под таким названием подразумевалось нахождение части от данной дроби или целого числа, что выполняется так же, как и в наше время.

Следующая статья — «Статия считание или сложение в долях» — состоит из десяти строк: первая — сложение правильных дробей с одинаковыми знаменателями; вторая — сложение элементарных правильных дробей с различными знаменателями; третья — сложение более сложных правильных дробей с различными знаменателями; четвертая — сложение смешанного числа с правильной дробью; пятая — сложение смешанного числа со смешанным; шестая — сложение части дроби с дробью; седьмая — сложение части дроби с частью другой дроби; восьмая — сложение выраженной смешанным числом части дроби с другой дробью; девятая — сложение выраженной смешанным числом части смешанного числа с дробью; десятая — сложение выраженной смешанным числом части смешанного числа с частью дроби. Каждая строка представляет собой изложение правила на соответствующем примере.

С целью разъяснения смысла сложения дробей после второй строки дается следующий комментарий, озаглавленный «О разумении, что есть сложение долям»: «Буди ж ты ведомо сицо, возьми число 6, что ж половина из б есть 3. Это ж треть из 6 есть 2. Сложи половину с третью станет пять шестых».

Для иллюстрации сложения приведем правило сложения дробей с различными знаменателями по рукописи М., 2606, л. 37.

«Будити ведомо когда прилучатся вдву местех доли и похошь их свести в одни доли и ты постави доли подле долей да возми первых долей верхнее число и умножай другим испэдним числом и будет что то постави наверху первых долей да умножай исподние числа с исподним и что будет, то постави внизу под числом да умножай опять других долей верхние числа первым исподним числом и что будет то постави наверху других долей и сложи сверхними числы вместо и что будет то постави над чертою наверху, а исподние теже умножальные числа под них поставь зри как яз сведу вместо 4 пятины да 5 шестин станет вместе един целой да 19 30 X жеребеев и ты поставь сице 4/5 да 5/6 и ты молви 4X6 придет 24 то станет верхнее число первых долей да умножай исподнее число с исподним, молви 5-6 придет 30 то станет исподнее число да умножай 5 с 5-ю придет 25 то станет других долей верхнее число да сложи верхние числа вместо 24 да 25 станет 49 делиж сие скрозь 30 придет ^ “зо“ > а иные доли потому же складывай». Действие сложение записывалось так:

Вычитание дробей изложено в статье 'Статия вынимание или вычитание в долях», в которой содержится вычитание дробей с одинаковыми и различными знаменателями и вычитание смешанных чисел. Сложение и вычитание дробей выполнялось по существу так же, как и в наше время, и отличается видом записи при вычислениях и тем, что общий зна-

менатель принимался равным произведению знаменателей данных дробей.

Почти по тому же плану построено изложение об умножении и делении дробей в статьях: «Статия умножальная в долях во всяких», «Статья деловая в долях». Каждая из них состоит из двух или трех строк и заключительной, называемой «строка генераль». В обеих статьях сначала излагается общее правило умножения или деления дробей и смешанных чисел и оканчивается примером на умножение или деление правильной дроби на целое число. Дальнейшее изложение умножения или деления дробей содержит значительное число примеров. На примере устанавливается неизменяемость произведения от перестановки множителей. Приводим это место полностью: «Ведай доли из доли умножения как 1/3 из 1/4 умножал придет 1/12 також 1/4 из 1/3 тож 1/12». «Строка генераль» содержит общее изложение правила умножения или соответственно деления в тех случаях, когда для выполнения действия надо вычислить часть дроби или смешанного числа.

Для иллюстрации приведем деление -j- на 9 и умножение

Числитель называется верхним числом, а знаменатель исподним. Действие приведения дробей к общему знаменателю и деление производилось при помощи креста, располагаемого между двумя подлежащими действию дробями, так чтобы одна его черта соединяла числитель первой дроби со знаменателем второй дроби. При сложении и вычитании знака действия нет, так как встречающийся крест относился собственно к действию приведения дробей к общему знаменателю. При умножении в некоторых рукописях употреблялся знак, состоящий из двух горизонтальных черт, из которых верхняя соединяла числители перемножаемых дробей, а нижняя — знаменатели. Что касается приемов письменного изображения действий с дробями, то в рукописях наблюдаются различные вариации и отклонения.

Особое значение в древнерусских арифметических рукописях имеют статьи, посвященные простому тройному правилу,— «Статья тройная в целых и в долях всяких» и «Статья тройная в долях». «Статья тройная в целых и в долях всяких» начинается с похвалы простому тройному правилу в целых, которое, по мнению составителей арифметических рукописей, оказывается «тою строкою похвальною и лучшей строкою изо всех иных строк», которую «философы зовут золотою строкою». В «Статье тройная в долях» сообщается, что простое тройное правило в целых числах еще не так достойно удивления как то же правило в долях: «Что несть дивно, что тройная статья в целых, но есть похвально, что в долях». Это изречение говорит об особом значении тройного правила для арифметиков XVII столетия, связанном с решением задач на простое тройное правило в целых и в особенности на простое тройное правило в дробях. Вначале дается общее определение простого тройного правила, заканчивающееся чисто внешним описанием действий, совершаемых при решении задач рассматриваемой группы. Для пояснения приведенного определения дается пример. Изложение тройного правила в рукописях XVII столетия говорит о том, что у наших древнерусских арифметиков отсутствовало ясное представление о сущности предмета и о том общем, что скрывается под видимым разнообразием частных случаев. Сознательное употребление простого тройного правила было для них недоступно. Рецепт состоял в указании, какое из данных решаемого вопроса следует принять за первый перечень, какое — за второй или третий.

Указания эти не могли быть общими и варьировались с видоизменением самих задач по их различным типам. Действительно, за статьями «Тройной в целых» и «Тройной в долях» следует «Иная практика или статия в долях тройная», «Иная статья в долях тройная же», «Иная статия в долях». Неясность предмета объясняется причислением к этому типу задач, собственно к нему не принадлежащих.

Во всех задачах наблюдается один и тот же способ расположения данных. Все данные всегда записывались рядом — «поставлялись на строку»,—в порядке их последовательного предложения и разделялись друг от друга горизонтальными чертами.

Для проверки найденного решения задачи по тройнохму правилу предлагается решить ее вновь, принимая в ней определяемое число за данное, а данное одного с ним рода — за определяемое, и если «придет ти в первое число, то добро».

* М., 2606, л. 48 об.

** М., 2606, л. 59 об.

За простым тройным правилом следует под названием «Статьи деловой» пропорциональное деление. Указанная статья состоит в изложении решений предложенных задач. По содержанию эти задачи распадаются на две группы: в одной числа, пропорционально которым должно быть разделено данное число, даны непосредственно. В другой же они определяются при помощи данных условий.

Далее следуют статьи с сугубо утилитарными наименованиями: статья торговая, статья о прикупах и о накладных, счет, статья спра» шивальная в тройной строке, статья ростовая и добыточная, статья о нечести во всяких овощах и в товарах*.

Особое место в арифметических рукописях XVII века занимает «Фальшивая или збойливая статья», представляющая не что иное, как известное правило двух ложных положений, которое легко обосновывается при помощи элементарных сведений по алгебре**.

В статье сначала излагается правило, а затем для пояснения приводятся соответствующие примеры. Изложение этой статьи убеждает нас в том, что у древнерусских арифметиков XVII столетия отсутствовало ясное представление о предмете и о том общем, что скрывается под видимым разнообразием частных случаев. Подтверждением этому служит то, что за статьей «Фальшивая или збойная статья» следуют статьи «Строка фальшивая тройная», «Иная строка тое-ж фальшивые статьи», «Иная строка в той же фальшивой статьи», «Статья фальшивая в три перечни», «Статья фальшивая в четыре поставки», «Статья (в некоторых рукописях «строга») фальшивая четвертная», «Статья фальшивая в торговом прибытке в долгу», «Статья фальшивая торговая складная», «Статья фальшивая торговая с прикащики и с их людьми». Чем руководствовались составители рукописей при распределении задач по группам, сказать трудно, так как некоторые задачи одной группы сходны с задачами другой группы. Вследствие этого состав данных статей в рукописях различен.

Больше того, среди статей, посвященных правилу ложного положения, мы находим статьи, не имеющие к нему отношения: «Статья меновая в торгу» и «Статья торговая складная»***.

Некоторые задачи «Фальшивых статей» приводятся к линейному уравнению с одним неизвестным, к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными, к системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными и к системе четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. В то же время некоторые задачи этих статей решаются при помощи простого тройного правила.

Заключительный отдел арифметических рукописей, или их арифметической части, составляют задачи, называемые «математическими забавами». Некоторые встречаются в дореволюционных сборниках задач по элементарной алгебре или — в более упрощенной форме — в арифметических задачниках. Этот отдел содержит задачи «О деньгах в куче ведати», «О плотниках», «О яйцах», «О хождении юношей», и «О трех зернищиках»*.

Изложение содержания арифметической науки разделено на статьи. Статьи, в свою очередь, распадаются на нумерованные отделения (что не всегда выдержано), называемые строками, и соответствуют нашим параграфам.

Способ изложения арифметических истин строго догматический. Правила предлагаются в форме предписания или рецепта, не содержащего даже намека на указание мотивов и оснований, и всегда сопровождаются большим или меньшим количеством примеров. Взаимное расположение в изложении правил и связанных с ними примеров в различных статьях различно.

В одних примеры следуют за изложением правила, в других, наоборот, — примеры предшествуют правилу. Распределение задач по типам не выдержано, так как в одной и той же статье встречаются задачи различного содержания и требующие различных методов решения. Основными приемами решения арифметических задач были простое тройное правило и правило ложных положений.

В рукописях первой половины XVII века встречаем славянскую и арабскую нумерацию. В условиях задач, как правило, употребляется славянская нумерация и за редким исключением пользуются арабской нумерацией. В то же время решение задач выполнено при помощи арабской нумерации или приведено словесное решение в славянской нумерации.

Теперь перейдем к характеристике (рукописей второй группы) рукописей второй половины XVII столетия. Вторая группа рукописей XVII столетия отличается от первой тем, что они не содержат следующих статей:

1. Статья счетная нумерацие есть указ как костьми считати.

* Б. В. Гнеденко, Очерки по истории математики в России, 1946, стр. 38—45.

** И, Депман, Из истории математики, 1950, стр. 50—51.

*** Б. В. Гнеденко, Указ. соч., стр. 41—42.

* Б. В. Гнеденко, Указ. соч., стр. 42—45.

2. Статья адитсие или счетная костьми или пеняги.

3. Статья костьми мультипликасие или умножальная.

4. Статья субстраксие костьми или вынимание.

5. Статья деловая костьми, дивизие или расчитание.

6. Указ о дощаном счете.

7. Статья о весах и мерах Московского государства.

8. Статья о весах и мерах немецкие земли брабанские.

9. Иная статья о тех же весах денежных и золотых.

10. Статья адитсие или считание всех земель и в весах и в мерах и в деньгах.

11. Статья субстраксие или вынимание или вычитание в немецких весах брабанские земли.

12. Вынимание или вычитание весу по русски.

Статья, посвященная нумерации, или отсутствует, или является кратким извлечением из статьи, посвященной нумерации рукописей первой половины XVII столетия.

Что касается остальной арифметической части рукописей второй группы, то она почти тождественна рукописям первой группы и 8 некоторой части отлична формой изложения. Кроме того, рукописи второй группы содержат задачи, не содержащиеся в рукописях первой группы. Следует указать, что только рукопись Общества любителей древней письменности № 28 содержит статью, не содержащуюся в других рукописях, — «Еще хочешь слагать перечни умножением с разных чисел». В этой статье излагается вычисление суммы членов геометрической прогрессии с первым членом, равным единице, и знаменателем, равным целому числу. В рукописях второй группы мы находим следы славянской нумерации в виде пояснения значения арабских цифр, соответствующих славянским.

Из рукописей второй группы представляет особый интерес рукопись собрания Погодина № 1664 (хранится в Ленинградской государственной публичной библиотеке им. Салтыкова-Щедрина), не имеющая сходных списков.

Рассматривая вопрос о характере древнерусских арифметических рукописей XVII столетия, весьма интересно выяснить вопрос о влиянии западноевропейской математики на содержание наших рукописей.

В нашей литературе до сего времени по этому вопросу существуют две совершенно противоположные точки зрения.

В. В. Бобынин, рассматривая содержание древнерусских арифметических рукописей XVII столетия, пытается доказать заимствования наших арифметиков XVII столетия из арифметических учебников Западной Европы*.

Д. Д. Галанин**, исследуя содержание «Арифметики» Л. Магницкого, придерживается противоположной точки зрения и пытается доказать, что точка зрения В. В. Бобынина несостоятельна.

Хотя и нельзя отрицать влияния западноевропейской математической литературы на древнерусские арифметические рукописи не только XVII столетия, но и более раннего периода, однако арифметика XVII столетия по своему составу у нас на Руси была отлична от арифметики Западной Европы. В заключении арифметической части рукописи XVII столетия или начала XVIII столетия Румянцевского музея № 242 (рукопись библиотеки им. Ленина в г. Москве), писанной в Венеции с какого-нибудь итальянского руководства, в которой изложение арифметики оканчивается тройным правилом, сказано следующее: «Есть и иные многие регулы (части) в сей науке которых употребляют больши на Москве чая себя к повышению великой своей науке, но мы все оставляем, для того, что по трех регулах (частях) никакие помощи ни в чем не сыщет нихто, и все те бездельные регулы фальшивые но их зовутся, родятся из Сих же настоящих фундаментов и хто хорошо вызнает всех регул фундаменты может сам безделец делать сколько по хочет только мы в том своем учении не позволяем голову ломать о деле неже о безделье».

Латинские наименование арифметических действий: нумерацио, адицио, субстракцио, мультипликацио и дивизио — встречаются почти во всех рукописях XVII столетия наряду с существующими русскими наименованиями. Из всех способов умножения целых чисел, содержащихся в учебниках по арифметике Западной Европы, в наших рукописях XVII столетия содержится только два, причем предпочтение отдается способу умножения целых чисел, сохранившемуся до нашего времени.

Из 16 способов деления целых чисел, употребляемых в Западной Европе, в наших рукописях мы встречаем три, причем наиболее употребительным является тот, который изложен в «Арифметике» Л. Магницкого и весьма сходен с современным способом деления целых чисел.

Тройному правилу в Западной Европе придавалось особое значение. «В английских, равно как во французских и немецких арифметиках, — говорит Кеджери, — появившихся в течение

* В. В. Бобынин, Указ. соч., вып. I, II.

** Д. Д. Галанин, Леонтий Филиппович Магницкий и его «Арифметика», вып. II, III, 1910.

XVI, XVII, XVIII веков, тройное правило занимает центральное положение; оно является главным, наиболее полезным и наиболее превосходным правилом во всей арифметике... все другие правила нуждаются в нем, оно же обходится без всех других; по этой причине, как говорится, и называли его философы золотым правилом»*.

Русские рукописи XVII века отводят этому правилу такое же центральное место и называют его «тою строкою тройного похвальною и лучшею строкою из всех иных строк», которую «философы зовут золотою строкою».

В западноевропейских учебниках обычно излагалось два правила ложных положений: правило двух ложных положений и правило одного положения. В то же время в древнерусских арифметических рукописях XVII столетия излагается только правило двух положений, очевидно, потому, что правило двух положений содержит как частный случай правило одного положения. Поэтому, чтобы не осложнять методов решения, в рукописях исключено правило одного положения.

Из всех задач, содержащихся в арифметических рукописях XVII столетия, мы встречаем весьма немного задач иностранного происхождения. Больше того, анализ арифметических рукописей приводит к заключению, что эти задачи не имели существенного значения для содержания части рукописи, посвященной решению задач.

Сравнение западноевропейских учебников XVII столетия с древнерусскими арифметическими рукописями XVII столетия приводит к заключению, что уровень знаний по арифметике на Руси в научном и методическом отношении был не ниже, чем в Западной Европе.

* Ф. Кеджори, История элементарной математики, стр. 205.

МЕТОДИКА

О СХЕМЕ ДЕЛЕНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ*

М. В. ЯКОВКИН (Москва)

В настоящей статье дается анализ недостатков существующего обычного способа (правила) непосредственного выполнения операции деления многочленов и излагаются некоторые иные схемы и правила, свободные от этих недостатков.

Предлагая новые схемы для усовершенствования методической стороны и рационализации вычислительной стороны непосредственного выполнения операции деления многочленов, автор преследовал главным образом следующие цели:

во-первых, схемы для выполнения операции деления должны глубже и полнее раскрывать логическую взаимосвязь научного содержания этой операции с содержанием других операций над многочленами, а отсюда, как следствие, иметь более доступные методические переходы при первоначальном знакомстве с ними, при их изложении в школе;

во-вторых, схему для выполнения операции деления многочленов необходимо более унифицировать со схемой для выполнения взаимно обратной операции — операции умножения многочленов;

в-третьих, схему для выполнения операции деления многочленов необходимо освободить от всяких лишних и ненужных вычислений и тем самым максимально рационализировать, облегчить непосредственное выполнение этой операции.

§ 1. Недостатки обычного правила деления многочленов

Существующая схема деления многочленов обладает недостатками не только в смысле отсутствия формальной унификации со схемами для выполнения других математических операций, но и глубокими недостатками в смысле самого содержания, самого существа этой схемы.

Для рационализации существующей схемы непосредственного выполнения операции деления многочленов необходимо коренное усовершенствование ее и замена совершенно новой схемой, свободной от всех тех недостатков, которые имеются в ныне существующей схеме для деления.

Определяя деление многочленов как операцию, обратную умножению, казалось бы куда естественнее и для непосредственного выполнения операции деления давать схему совершенно такую же (только обратную), как и для выполнения умножения. Однако между существующими правилами умножения и деления многочленов трудно найти какое-либо общее сходство.

Если при умножении заданные множимое и множитель записываются одно под другим, то при делении заданные делимое и делитель записываются рядом.

При делении многочленов вычисляется и записывается множество подсобных данных, играющих роль некоторых «параметров»,— это так называемые промежуточные остатки. Нахождение этих промежуточных остатков требует производства также «параметрических», подсобных вычислений и записей, совершенно отсутствующих в весьма компактной схеме для умножения многочленов.

При умножении одного многочлена на другой проводится результирующая черта и производится итоговое суммирование, после того как множимое будет умножено на в с е члены множителя, и не вычисляются по отдельности

* Статья печатается в порядке обсуждения. — Ред.

никакие промежуточные суммы после каждого умножения множимого на отдельные члены множителя.

Вместе с этим, как ни странно, при производстве деления многочленов вычитание делается по отдельности после умножения делителя на каждый находимый член частного и после каждого такого умножения действием вычитания находится некоторый новый многочлен, совершенно лишний в схеме, так называемый промежуточный остаток.

Все сказанное весьма наглядно можно проследить на любом конкретном примере. Сравним, например, обычные схемы умножения и деления многочленов, сначала перемножив друг на друга многочлены

а затем полученное произведение

разделив на многочлен

Выпишем сначала схему умножения многочленов:

Выпишем теперь обычную схему деления многочленов:

Сопоставляя обе рассмотренные схемы, мы видим, что именно промежуточные остатки являются лишними в схеме для деления многочленов по сравнению со схемой для умножения многочленов, именно они осложняют схему для деления многочленов и нарушают ее обратный характер по отношению к схеме для умножения многочленов.

Часто возникает недоумение даже у учащихся, впервые знакомящихся с правилами умножения и деления многочленов: умножал один многочлен на другой, они в нескольких строках размещают всю запись действий и все вычисления, в то время как при обратном решении этой же самой задачи (при делении многочленов) по существующему правилу часто даже нехватает строк ученической тетради.

Если теперь учесть, что каждая строка в обычной схеме для деления многочленов не просто записывается, а добывается вычислениями, то будет понятно, насколько удобнее и эффективнее схема для умножения многочленов по сравнению с существующей (обычной) схемой для деления многочленов.

Несовершенство существующей схемы деления многочленов можно подтвердить еще и следующим обстоятельством.

Весьма хорошо известно, что каждый член искомого частного вполне определяется только одним первым членом соответствующего промежуточного остатка и первым членом делителя. Однако по существующему правилу деления многочленов при определении коэффициентов частного приходится вычислять все остальные члены всех промежуточных остатков.

Этот недостаток существующей схемы деления многочленов становится весьма ощутимым с увеличением степени делимого и делителя.

Итак, существующая схема для непосредственного выполнения операции деления многочленов, с одной стороны, содержит в себе слишком много лишних вычислений, а с другой стороны, ни по своей форме, ни по своему содержанию не является обратной схеме для выполнения операции умножения многочленов. Естественно встает вопрос, нельзя ли дать для выполнения операции деления многочленов схему, свободную от указанных лишних «параметрических» действий и записей, схему, являющуюся действительно обратной схеме для умножения многочленов.

§ 2. Новое правило деления многочленов

Чтобы заменить существующую (обычную) схему деления многочленов схемой, более совершенной, необходимо прежде всего освободиться от вычисления множества лишних в схеме промежуточных остатков.

Такое существенное усовершенствование в обычную схему деления многочленов можно

ввести на основе следующего свойства этой операции: каждый отдельный член частного вполне определяется одним только первым (старшим) членом соответствующего промежуточного остатка и старшим (первым) членом делителя.

Исходя из этого свойства операции деления многочленов, для нахождения частного и остатка в новой схеме деления многочленов мы будем ограничиваться вычислением только старшего (первого) члена каждого промежуточного остатка и совершенно не будем вычислять все остальные члены всех промежуточных остатков.

При этом вычисленный старший член каждого промежуточного остатка в новой схеме будет отличаться от старшего члена соответствующего промежуточного произведения только знаком. Поэтому можно считать, что в новой схеме деления многочленов вместо старшего члена каждого промежуточного остатка вычисляется непосредственно старший член соответствующего промежуточного произведения, т. е. можно считать, что в новой схеме деления многочленов вовсе не вычисляются никакие члены промежуточных остатков и самый термин «промежуточные остатки» употреблять в новой схеме деления нет никакой надобности.

Далее, при непосредственном выполнении операции деления многочленов в обычной схеме по существу все операции вычитания заменяются операциями сложения.. Практически это достигается переменой знаков на обратные у всех членов всех промежуточных произведений.

Но так как каждый из промежуточных вычитаемых многочленов, встречающихся при непосредственном выполнении операции деления многочленов, равняется произведению соответствующего члена частного на все члены одного и того же многочлена —заданного делителя, то, естественно, вместо того, чтобы менять знаки у всех членов каждого вычитаемого многочлена, встречающихся в процессе деления, достаточно переменить знаки только у одного многочлена — заданного делителя, и только один раз во всем процессе деления.

В новой схеме деления многочленов освобождение от указанного недостатка обычной схемы основано на следующей простой идее: прежде чем начать процесс деления многочленов, необходимо переценить знаки у всех членов заданного делителя на противоположные.

Поясним теперь со всеми подробностями сущность нового способа деления многочленов на том же конкретном примере, который был приведен выше применительно к обычному способу деления многочленов.

Пример. Разделить по новой схеме многочлен

на многочлен

Прежде всего по обычной форме записываем делимое, а справа от него делитель и сразу же у всех членов делителя меняем знаки на противоположные. В данном конкретном примере эта запись выглядит следующим образом:

Разделив (в уме) старший член -J-24 л:6 делимого на старший член -|— Зд:3 делителя, получим первый член -|~8*3 искомого частного, который записываем под делителем.

Найденный первый член ~{-8л:3 частного умножаем на все члены делителя, взятые с противоположными (верхними) знаками и полученное промежуточное произведение

записываем под делимым, начиная от первого столбца.

Затем суммируем члены — 5л:5 и — 16л:3 второго столбца и результат — 21л:“ записываем в тот же (второй) столбец в следующую (третью) строку. Тогда схема деления запишется в следующем виде:

Разделив (в уме) найденную алгебраическую сумму —21jc:î членов второго столбца на старший член -[“Зл;3 делителя, получим второй член —7х2 искомого частного, который записываем под делителем справа от первого члена 4~8л:3 частного.

Найденный второй член — 7л:2 частного умножаем на все члены делителя, взятые с противоположными (верхними) знаками, и полученное промежуточное произведение

записываем под делимым в следующую (третью) строку, начиная от второго столбца. При этом для записи старшего члена -{-21*3 данного

промежуточного произведения достаточно переменить знак у записанной уже алгебраической суммы —21xö членов второго столбца.

После этого находим алгебраическую сумму членов —57X4 -\- 40л;4 и 14л:4 третьего столбца и эту сумму —Зл:4 записываем в тот же (третий) столбец в следующую (четвертую) строку. Тогда схема деления примет следующий вид:

Разделив (в уме) найденную алгебраическую сумму —Зл:4 всех членов третьего столбца на старший член -}-Зл:3 делителя, получим следующий (третий) член —х искомого частного, который записываем под делителем справа от второго члена —7л:2 частного.

Найденный третий член —х частного умножаем на все члены делителя, взятые с противоположными (верхними) знаками, и полученное промежуточное произведение

записываем под делимым в следующую (четвертую) строку, начиная от третьего столбца. При этом для записи старшего члена —|— 3jc4 этого промежуточного произведения достаточно переменить знак у записанной уже алгебраической суммы —Зл:4 членов третьего столбца.

После этого находим алгебраическую сумму членов

четвертого столбца и эту сумму 18л:3 записываем в тот же (четвертый) столбец в следующую (пятую) строку. Тогда схема деления будет иметь следующий вид:

Разделив (в уме) найденную алгебраическую сумму 18л:3 всех членов четвертого столбца на старший член -{-Зл;3 делителя, получим последний (четвертый) член -{-6 искомого частного, который записываем под делителем справа от третьего члена —х частного.

Найденный последний член частного

умножаем на все члены делителя, взятые с противоположными (верхними) знаками, и полученное промежуточное произведение

записываем под делимым в следующую (пятую) строку, начиная от четвертого столбца. При этом для записи старшего члена —18л:3 этого промежуточного произведения достаточно переменить знак у записанной уже алгебраической суммы 18л:3 членов четвертого столбца.

После этого находим алгебраические суммы членов, по отдельности для каждого из оставшихся столбцов, в результате получим все члены искомого (результирующего) остатка.

В рассматриваемом примере алгебраическая сумма всех членов пятого столбца

равна нулю, всех членов шестого столбца

равна нулю и всех членов последнего (седьмого) столбца —18 и —J—18 равна нулю. Следовательно, все члены искомого остатка равны нулю.

Общий (полный) вид схемы деления в рассматриваемом примере будет следующий:

Новый способ деления многочленов свободен от всех недостатков, присущих самой сущности, самого содержания обычного способа деления многочленов. Однако в новой схеме деления многочленов еще остались некоторые, уже менее значительные, недочеты, относящиеся только к форме этой схемы. Поэтому для усовершенствования схемы деления многочленов не только в смысле содержания, но и в смысле ее формы необходимо внести некоторые изменения в расположение входящих в эту схему многочленов.

§ 3. Унификация схем умножения и деления многочленов в смысле их формы

В существующих схемах для непосредственного выполнения почти всех вычислительных операций над многочленами наблюдается табличная форма записи действий. При выполнении той или иной математической операции над многочленами обычно члены одного и того же многочлена записываются в одну строку, а подобные члены различных слагаемых-многочленов — в один столбец.

Такая табличная форма записи действий весьма наглядно раскрывает главные стороны самой сущности той или иной математической операции и доставляет большие достоинства не только в смысле методики изложения и компактности записи, но и в смысле усвоения самих правил непосредственного выполнения этих операций.

Далее, табличная форма записи промежуточных действий, встречающихся при выполнении математических операций, тесно связывает эти действия с содержанием вычислительных таблиц вообще и школьных в частности, с их построением и правилами пользования.

Достаточно хотя бы упомянуть, что даже таблица, с которой знакомятся учащиеся в школе еще в первые годы обучения — таблица умножения Пифагора, имеет весьма близкую и глубокую аналогию с табличными схемами математических операций: в этой таблице одни сомножители расположены в самой верхней строке, а другие — в самом левом столбце, искомые же произведения — на пересечении соответствующего столбца и строки.

Табличная форма записи действий важна еще в смысле унификации, стабильности схем для различных математических операций.

Кроме того, для многочленов при удачно расположенной табличной форме записи действий местом расположения (номером столбца в схеме) каждого члена многочлена вполне определяется степень аргумента при этом члене.

Поэтому при строгой табличной форме записи действий на дальнейших стадиях обучения аргумент многочленов в схеме можно вовсе не записывать. И тогда схемы для выполнения всех математических операций над многочленами будут значительно компактнее и действительно будут иметь большое сходство с числовыми таблицами, поскольку в этих схемах будут фигурировать только одни коэффициенты многочленов без их аргументов.

Исходя из сказанного, в схемах для непосредственного выполнения операций умножения и деления многочленов имеет смысл более отчетливо выделить наблюдающуюся в них табличную форму записи действий.

Основной недостаток схемы деления многочленов в смысле ее формы заключается в том, что в схеме несколько в стороне от общего количества записей располагаются делитель и частные и к тому же не с левой, а с правой стороны схемы.

Такое не очень удачное расположение делителя и частного в схеме деления многочленов создает некоторые неудобства при записях промежуточных действий. Так, например, чрезмерная растянутость схемы вызывает лишние движения, лишнюю работу для глаз и большую утомляемость зрения. Или, например, при записях промежуточных действий правая рука часто прикрывает заданный делитель и находимое частное, записанные в схеме не с левой, а с правой стороны, и т. д. Между тем почти все промежуточные действия (вычисления) в схеме деления многочленов выполняются с участием членов именно делителя и частного.

Кроме того, такое не очень удачное расположение делителя и частного в схеме деления многочленов нарушает единообразие, стабильность этой схемы по сравнению со схемами для других вычислительных операций над многочленами (сложение, вычитание и умножение).

В целях более удобного выполнения записей и промежуточных действий, а также в целях большей компактности, унификации и выделения табличных особенностей схемы умножения и деления многочленов целесообразно все члены соответственно множителя и делителя записывать не горизонтально (не по строке), а вертикально, в самом левом столбце схемы, а получающиеся члены частного и остатка — в самой нижней строке схемы, под результирующей чертой.

Тогда схема деления многочленов будет иметь действительно табличную форму, совершенно аналогичную табличной схеме умножения многочленов.

Улучшения, внесенные в обычную схему деления многочленов в смысле ее формы, ни-

сколько не ущемляют улучшений, внесенных в эту схему в смысле ее содержания (§ 2), но зато делают эту схему значительно компактней и более похожей на схемы для выполнения других операций над многочленами.

Табличные схемы умножения и деления многочленов удобнее будет проиллюстрировать на том же конкретном примере, который был приведен выше (§ 1) применительно к обычным схемам умножения и деления многочленов.

Табличная схема умножения многочленов

имеет следующий вид:

В такой схеме умножения многочленов каждому члену горизонтально записанного сомножителя соответствует некоторая одна диагональ, а каждому члену вертикально записанного второго сомножителя соответствует строка.

Все частичные произведения каждой пары членов записываются на пересечении диагонали, определяемой первым из этих членов-сомножителей, и строки, определяемой вторым из этих членов-сомножителей.

Результирующее (окончательное) произведение получается суммированием частичных произведений по столбцам.

Как отмечалось уже выше, в табличных схемах для вычислительных операций над многочленами можно записывать только коэффициенты.

В рассмотренном примере схему умножения многочленов можно записать в виде следующей числовой таблицы:

Табличная схема деления многочленов

имеет следующий вид:

Три нуля в последних столбцах под результирующей чертой схемы показывают, что все три члена искомого остатка равны нулю.

В такой схеме — в схеме со строго табличной формой, можно ограничиваться записью одних лишь коэффициентов, вовсе не записывая различные степени аргумента X, и тогда схема для деления многочленов будет выглядеть действительно как числовая таблица:

В изложенных выше табличных схемах для непосредственного выполнения операций умножения и деления многочленов совершенно нет никакого разнобоя: в обеих схемах заданные многочлены записываются сверху и слева схемы, а искомый результат — в самой нижней строке, в обеих схемах нет никаких лишних вычислений, записей, знаков и линеек.

В заключение следует отметить, что автором разработана такая же компактная табличная схема, свободная от лишних записей и вычислений, также и для непосредственного выполнения операции извлечения квадратного корня из многочленов. Но изложение этого вопроса уже выходит за рамки настоящей статьи.

О РАЗВИТИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ АРИФМЕТИКИ

В. А. УМЕТСКИЙ (с. Горелое Тамбовской обл.)

Указания XIX съезда Коммунистической партии Советского Союза ставят перед школой чрезвычайно большие задачи. Осуществить политехнизм в обучении — это прежде всего дать учащимся прочные, глубокие знания, без чего при современном уровне техники невозможно успешное овладение той или иной специальностью. В свою очередь теоретические знания могут быть прочными и глубокими лишь при условии, если они непосредственно связаны с действительностью и опираются на практическое изучение основ производства. Между тем преподавание математики, в частности арифметики в V классе, имеет в этом отношении ряд недостатков, которые заметить, а тем более устранить не всегда удается даже опытному учителю. Поэтому нередко даже самая добросовестная, напряженная работа учителя не дает желаемых результатов.

В процессе своей многолетней педагогической работы мне часто приходилось задумываться над вопросом: что же мешает детям осознать некоторые, кажется, не столь уж сложные понятия.

В результате длительного опыта и наблюдений мне удалось, наконец, выяснить многое из того, что казалось раньше загадочным. Своими выводами, вытекающими из практики работы в школе и подтверждаемыми последующим опытом, мне и хочется поделиться с читателями.

Цель настоящей статьи, во-первых, рассмотреть наиболее распространенные ошибки и упущения, которые имеют место в работе неопытных учителей; во-вторых, выяснить источники тех основных трудностей, которые встречаются в преподавании арифметики, и наметить пути их устранения.

Имея в виду, что подробная разработка затрагиваемых вопросов привела бы к повторению общеизвестных методических истин, я по возможности ограничиваюсь изложением тех выводов, которые основаны на личной практике. Своим выводам я стараюсь дать психологическое обоснование, чтобы тем самым расширить путь творческих исканий в преподавании арифметики.

1. Некоторые недостатки в методике решения задач

Знания учащихся могут быть прочными и глубокими лишь при условии, если ученик воспринял их не в готовом виде со слов учителя, а приобрел путем активного изучения и сопоставления конкретных предметов и явлений, а затем под руководством преподавателя сделал соответствующие выводы и обобщения.

К сожалению, до сих пор мы не освободились еще от некоторых порочных традиций старой школы. Преподавание школьных дисциплин, в частности арифметики, проводится сплошь и рядом оторванно от жизни. Часто мы упускаем возможность направить внимание детей на изучение окружающих предметов и явлений, подменяя интересные наблюдения сообщением готовых, ничего не говорящих детскому сознанию положений. В результате этого у школьников складывается убеждение, что задачи, решаемые в школе, — это нечто надуманное, не имеющее практического смысла. Поэтому и само решение задач сводится часто к бесцельным действиям над голыми числами, лишенными реального содержания. Не приходится удивляться, когда оказываешься свидетелем таких, например, курьезов. Ученик, решая задачу, в которой требовалось определить скорость пешехода, допустил ошибку в вычислении и получил ответ: скорость пешехода равна . ..40 км в час Ученик не замечает нелепости полученного ответа и на вопрос учителя, может ли человек идти с такой скоростью, отвечает: «Я не знаю».

Вполне, очевидно, что подобные факты не могут быть объяснены неспособностью ученика, они являются лишь результатом неправильной постановки преподавания предмета, его оторванности от жизни.

Учитель не должен забывать о том, что мышление детей отличается конкретностью, и если ребенок не понимает наших объяснений, — это значит в его сознании отсутствуют те конкретные образы и представления, на базе которых может возникнуть новое понятие.

В силу этого развитие математического мышления детей возможно только параллельно с активным изучением действительности. Таким образом, обучение решению задач того или иного типа должно начинаться, как правило, всякий раз, на каждом новом этапе, не с отвлеченной задачи, не имеющей практического смысла, а с сопоставления конкретных величин, добытых самими учащимися, с выяснения элементарных математических понятий, вытекающих из этих сопоставлений, либо с за-

дачи, практическое значение которой понятно для учащихся.

Только после того, как учащиеся уяснят практический смысл основных задач, учитель может перейти к решению задач с отвлеченным содержанием. Исходя из сказанного, было бы целесообразно отвести больше времени для решения практических задач за счет сокращения времени, выделяемого на типовые задачи, ибо, не имея конкретных представлений, не научившись мыслить конкретно, дети не могут перейти к абстрактным рассуждениям, которые требуются при решении типовых задач. Решая типовые задачи, учащиеся склонны пользоваться лишь памятью, догадкой, без глубокого осмысливания производимых действий. Если же учащиеся научатся рассуждать, основываясь на конкретных представлениях, это, несомненно, облегчит им понимание типовых задач, а следовательно, сократит время для их осмысливания.

Между тем начинающий учитель (а иногда и учитель с большим опытом), не видя истинную причину слабых знаний учащихся, старается восполнить пробелы путем максимального числа упражнений в решении задач. Разумеется, что все усилия в этом направлении не могут дать существенного результата, поскольку эти упражнения оказываются беспочвенными.

Указанные недостатки в преподавании арифметики имеют место еще в начальной школе и нередко углубляются в V классе. Не учитывая тех пробелов в знаниях, с которыми многие ученики приходят из начальной школы, учитель V класса приступает к изложению нового материала, базируясь на предположении, что дети в достаточной мере владеют программным материалом начальной школы. Но впоследствии выясняется, что многие ученики с большим трудом решают даже несложные задачи. Причина обычно кроется в том, что учащиеся недостаточно еще осмыслили такие элементарные понятия, как «длина», «время», «вес». Поэтому, когда в задаче встречаются числа, выражающие ту или иную величину, например 5 см, 30 минут и т. д., то у некоторых учеников они совершенно не вызывают конкретных представлений, так как многие из учащихся никогда не занимались измерениями, не наблюдали за временем.

В программе V класса важное место занимает геометрический материал, который проходится еще в начальной школе. Однако и после более углубленного изучения его в V классе учащиеся не всегда твердо усваивают такие понятия, как «периметр», «площадь прямоугольника», «объем параллелепипеда», путая периметр с площадью, поверхность с объемом. При этом причину слабых знаний учитель обычно склонен видеть в отсутствии математических способностей у учащихся. Действительно, учителя, как правило, объясняют эти понятия методически правильно, используя наглядные пособия, подводя детей к выводу правила вычисления указанных величин так, что ученики сами формулируют правило. Последнее закрепляется рядом упражнений. При этом дети сами производят соответствующие измерения, а затем делают нужные вычисления. И тем не менее ученики часто не получают ясного представления о площади, периметре и пр., хотя свободно вычисляют их по данным размерам.

Причина, очевидно, в том, что, рассматривая чертеж или другое наглядное пособие под руководством учителя, участвуя в выводе правила и т. п., ученики хотя и усваивают объясняемый материал, но недостаточно прочно. Чтобы основательно закрепить его, необходим еще ряд самостоятельных упражнений не только в вычислении площадей по готовым данным, но и других практических работ, способствующих уяснению самих понятий (о чем подробно будет сказано ниже). Не выполнив всех необходимых упражнений, учащиеся обычно закрепляют только выведенное правило, само же понятие «площадь» становится как бы ненужным, оно заслоняется готовым правилом. При этом неопытного учителя часто подкупает кажущееся умение детей решать задачи того или иного типа. У учителя создается мнение, что учащиеся хорошо поняли материал. И только после того, как они встретятся с необходимостью самим определить, идет ли речь в задаче о площади или периметре, поверхности или объеме, обнаруживается, что эти понятия остаются для них весьма туманными.

Помимо знаний, полученных учащимися в школе, на которых учитель базируется при объяснении нового материала, очень важно опираться на имеющийся у детей некоторый запас образов, представлений, выражений, принесенных из семьи, из окружающего их быта. Однако эту возможность учитель сплошь и рядом упускает из виду. Об этом красноречиво говорят такие, например, факты.

Если спросить у ученика V класса, какого размера огород имеет семья, ученик ответит, столько-то соток. Однако на вопрос, сколько аров занимает этот огород, ученик, как правило, ответит «не знаю», несмотря на то что этот ученик еще в IV классе решал десятки задач на вычисление площадей, свободно превращая квадратные метры в ары,

ары — в гектары и т. д. В быту постоянно приходится пользоваться мерой объема «литр» — при измерении количества молока, керосина и пр. И едва ли найдется в V классе ученик, который не представлял бы себе эту величину. Большинство учеников знает также, что ведро вмещает около 12 л. Но когда в V классе сопоставляются величины «один литр» и «один кубический дециметр», то учащимся кажется, что эти две величины совершенно разнородные, тогда как практически они тождественны.

Таким образом, школьные знания учащихся оказываются пустой абстракцией, оторванной от своего источника — жизненного опыта.

Одним из существенных пробелов в знаниях учащихся, поступающих в V класс, является также неумение правильно формулировать вопросы при составлении плана решения задач. Это объясняется не только слабым развитием речи, а главным образом привычкой считать план чем-то второстепенным, маловажным. Учитель, не приучающий учащихся к мысли, что главное в решении задачи — это правильное составление плана, т. е. обоснование производимого действия, допускает большую ошибку. Только четко словесно оформленная мысль может рождать новые логические понятия, новые логические связи. Понятно, что ученик, который ставит вопросы, не соответствующие производимым действиям, не может осмыслить решения задач, и его математическое мышление не может развиваться.

Очень часто математический смысл задачи оказывается непонятным учащимся потому, что они не поняли самой фабулы в силу трудности самой формулировки или незнакомого выражения, встретившегося в условии. Это чрезвычайно важное обстоятельство нередко ускользает от учителя, так как иногда обычное, на взгляд учителя, выражение может оказаться непонятым некоторыми учащимися. Поэтому при переходе к новому типу задач формулировку задачи, употребление терминов, а также и числовые данные следует выбирать как можно проще. Неверно думать, будто указанные трудности учитель устраняет путем объяснения. Дело в том, что на разъяснение затрачивается значительное время. Притом новое понятие весьма трудно бывает удержать в сознании при той напряженной работе мысли, которая направлена на уяснение математического смысла задачи. Поэтому вводить всякие усложнения в условие задачи (более трудная формулировка, числа, требующие громоздких вычислений, и т. п.) можно только после приобретения учащимися достаточного навыка в решении задач данного типа.

2. Решение задач с геометрическим содержанием

Решение задач с геометрическим содержанием начинается, как известно, с вычисления периметра и площади прямоугольника. Очень важно резко разграничить эти понятия в сознании учащихся.

Приступая к изучению прямоугольника, учащиеся воспринимают изображение этой фигуры как цельный конкретный образ. Какими бы простыми ни казались нам понятия «периметр» и «площадь», в сознании ребенка вначале они сливаются в одном образе, который он видит на чертеже.

Только после ряда разнообразных упражнений, требующих активной работы мысли, в сознании вырабатываются эти абстрактные понятия. Поэтому в своей практике я стараюсь построить работу так, чтобы каждый ученик сам проделал необходимые упражнения. Так, например, учащимся дается задание из проволоки сделать прямоугольник, измерить его стороны и вычислить периметр; затем результат вычисления проверяется непосредственным измерением длины проволоки, из которой сделан прямоугольник (выпрямив ее).

Подобным же образом ведется закрепление понятия «площадь». После соответствующего объяснения на чертеже я даю задание вырезать из бумаги квадрат со стороной в 1 дм и, разделив его на квадратные сантиметры, сосчитать число квадратиков (каким путем — неважно). Точно так же учащиеся практически подходят к выводу правила вычисления площади прямоугольника, после чего переходим к решению соответствующих задач. Параллельно с вычислением площадей по готовым данным дети продолжают практические упражнения по закреплению самого понятия «площадь», которые теперь усложняются. Так, например, ученики (устно) подбирают длину и ширину для прямоугольника заданной площади. После таких упражнений в классе на дом дается задание — каждому ученику вырезать из бумаги прямоугольник одной и той же площади, предварительно самому подобрав размеры. При этом число, выражающее площадь, дается с тем расчетом, чтобы полученные прямоугольники имели наиболее разнообразные формы (такое число легко подобрать путем перемножения простых чисел).

Вырезав прямоугольники, учащиеся делят их на квадратные сантиметры, затем на чистой стороне прямоугольника записывают его размеры и вычисляют периметр.

Проверяя в классе выполненные работы, учитель обращает внимание учащихся на то, что прямоугольники при равной площади могут иметь различные размеры. Сопоставляя ряд прямоугольников, имеющих различные формы, учащиеся видят у них общее лишь одно: число квадратиков (т. е. величину площадей). Таким образом, путем сопоставления, сравнения в сознании учащихся постепенно формируется абстрактное понятие «площадь прямоугольника». На дом дается новое задание: каждому ученику измерить свой огород (двор или другой участок) и вычислить его площадь.

При измерении площадей я стараюсь разнообразить объекты, предлагаю выделять прямоугольники из сочетания их с другими фигурами — не только с плоскими, но и с пространственными. Так, учащиеся показывают прямоугольники в классе (стены, пол, потолок, дверь, окна и т. п.), а также находят прямоугольники на улице (участки земли, скаты крыши и т. п.). Попутно с этим производятся соответствующие измерения и решаются практические задачи (как устно, так и письменно). На местности предлагается отмерить участок земли заданной площади: сначала один квадратный метр, затем задачи постепенно усложняются.

Многие учащиеся испытывают затруднения при решении задач на вычисление поверхности параллелепипеда, путая это понятие с объемом. Происходит это, повидимому, вследствие того, что перед учащимися сразу ставится задача по трем данным размерам параллелепипеда вычислить его поверхность. Правда, в результате анализа учащиеся убеждаются, что грани параллелепипеда попарно равны, поэтому для вычисления поверхности тела нет надобности измерять каждую грань, можно ограничиться измерением лишь трех размеров параллелепипеда. Однако, сделав этот вывод, учащиеся скоро забывают об его источнике, так как их внимание переключается теперь на решение задачи с помощью готового правила (размеры трех неравных ребер перемножаются попарно и сумма полученных произведений удваивается). Чтобы добиться осмысленного решения задач, не следует спешить с выводом правила. Пусть учащиеся сначала производят измерения и вычисляют площадь каждой грани в отдельности, находя поверхность как сумму площадей шести граней. Наиболее сообразительные учащиеся скоро сами найдут рациональный способ вычисления, остальные же сделают нужный вывод под руководством учителя и, таким образом, будут пользоваться правилом уже вполне осознанно.

Задания по измерению площадей граней параллелепипеда можно широко практиковать, поскольку предметы в форме параллелепипеда встречаются повсюду. Удобным объектом для этого является, например, спичечная коробка. До знакомства с дробными числами размеры коробки можно определять в миллиметрах, после знакомства с дробями — в сантиметрах. Ученики, определив размеры коробки, записывают их в тетради и результаты (площадь каждой грани) записывают на соответствующих гранях, сделав наклейки из белой бумаги.

Объекты, используемые для вычисления поверхности и объема параллелепипеда, надо разнообразить, сопоставляя их форму, обращая внимание учащихся на их сходство и различие. Вместе с тем следует подбирать такие задачи, в которых был бы виден практический смысл вычислений. Например, ученикам предлагается составить задачу, поставив перед ними вопрос: какие измерения и расчеты надо произвести в связи со штукатуркой комнаты? Устанавливается, что необходимо знать, сколько потребуется глины, песка, а для этого надо знать, какова толщина слоя штукатурки, а также в какой пропорции составляется смесь указанных материалов. Попутно с этим возникает вопрос о расчетах, связанных с доставкой материалов: сколько потребуется подвод или машин для их перевозки? Ученики предположительно определяют грузоподъемность машины (или подводы).

При таком подходе к решению задач учащиеся мобилизуют свои знания, полученные вне школы, опираясь на имеющийся запас (пусть и незначительный) жизненного опыта. А это очень важно, так как, во-первых, заставляет критически относиться к числовым данным и результатам, получаемым при решении задач, во-вторых, побуждает детей быть наблюдательными по отношению к окружающим их явлениям.

Изучение темы «Окружность и круг» я строю следующим образом. После ознакомления учащихся с понятиями «центр круга» «радиус», «диаметр» я выясняю зависимость между длиной последних на чертеже: диаметр вдвое больше радиуса (что непосредственно видно из чертежа). Здесь же предлагается (устно) вычислить величину диаметра по данной величине радиуса и обратно. После этого переходим к выяснению зависимости между длинами окружности и диаметра. С этой целью предлагается измерить окружности и диаметры двух-трех предметов с помощью шнура. При этом отрезки соответствующей длины каждый раз откладываются на доске. Затем ученики сначала на глаз, а потом с помощью шнура

определяют, во сколько раз приблизительно длина окружности больше длины диаметра.

Затем окружность и диаметр измеряются в миллиметрах с возможно большей точностью и вычисляется отношение полученных величин. Сравнивая найденные отношения для различных предметов, ученики делают нужный вывод: найденное отношение постоянно.

Чтобы измерения проделал каждый ученик сам, я даю на дом задание: приготовить из бумаги ленту длиной 20—25 см, разделив ее на сантиметры и миллиметры. Таким образом, на следующем уроке каждый ученик может выполнить практические упражнения самостоятельно. Объектом для измерения может служить чернильница. На дом также дается задание измерить окружность и диаметр ведра либо кадки, результат измерения записать в тетрадь и вычислить отношение окружности к диаметру. Затем решается ряд задач по закреплению данной темы, причем никаких правил давать пока не следует. Решая задачи, ученики должны восстанавливать в памяти те чертежи, практические упражнения и рассуждения, в результате которых они пришли к определенным соотношениям.

После некоторой тренировки задачи, связанные с вычислением длины окружности, диаметра, радиуса, обычно не затрудняют учащихся.

Значительно труднее даются задачи на вычисление площади круга, так как в этом случае необходимо запомнить правило, вывод которого довольно сложен, и поэтому каждый раз при вычислении площади круга нельзя требовать повторения этого вывода. Между тем в задачнике Березанской рекомендуется вычислять площадь круга с помощью указанного правила, т. е. путем умножения полуокружности на радиус. Как известно, оно выводится с помощью наглядного пособия, представляющего круг, разделенный на секторы и преобразуемый в параллелограм, основанием которого служит полуокружность, а высотой радиус. Однако применение этого правила значительно усложняет решение задач. Кроме того, вывод данного правила имеет большие методические погрешности, так как за параллелограм приходится принимать фигуру, не являющуюся даже четырехугольником. Более пытливые ученики не могут этого не заметить, и, следовательно, такое «доказательство» может только ввести в заблуждение учащихся.

Мне лично представляется более целесообразным и в V классе дать наглядный, эмпирический вывод этого правила, поступившись строгостью математического обоснования, а именно: вырезав из квадратного листа бумаги круг диаметра, равного стороне квадрата, обратить внимание учеников, что площадь этого круга несколько меньше площади данного квадрата, т. е. круг составляет какую-то часть квадрата. Пусть ученики определят на глаз, сколько это будет составлять процентов. Далее учитель предлагает вычислить площадь квадрата, обратив внимание учащихся, что диаметр круга равен стороне квадрата. Таким образом, если число, выражающее длину диаметра, умножить само на себя, то полученное произведение будет равно площади квадрата, т. е. несколько больше площади круга. Чтобы определить теперь площадь круга, надо площадь квадрата (или квадрат диаметра) умножить на 0,78, так как площадь круга от площади квадрата составляет приблизительно 78 процентов:

При этом достаточно указать, что соответствующее доказательство они узнают в старших классах, а теперь могут проверить данное соотношение с помощью чертежа на миллиметровой бумаге. Такой способ вычисления площади круга более удобен. И в практике он является более рациональным, так как для практических расчетов измеряется обычно не радиус, а диаметр круга.

При изучении темы «Площадь круга» понятия «окружность» и «круг» следует резко разграничить. С этой целью я заставляю учащихся проделать ряд практических упражнений, а также использую готовый запас наблюдений. Так, я обращаю внимание учащихся, что окружность имеет только длину (окружность можно выпрямить), в то время как круг можно разделить на квадратные дециметры, сантиметры и т. д. Заставляю учащихся убедиться в этом практически: с помощью шнура они измеряют окружности различных предметов, чертят круги в тетрадях, приблизительно подсчитывают число клеточек, занимаемых площадью данного круга. Затем учащиеся называют ряд предметов, которые могут служить примером окружности (обруч, шина, кольцо) и круга (дно кадки, ведра). При этом ставятся такие вопросы: какие измерения надо произвести, чтобы определить, хватит ли данной железной полосы для поделки обручей к бочке? (Надо определить длину железной полосы и длину окружности бочки.) Что нужно знать, чтобы определить (приблизительно), сколько доньев для ведер можно сделать из данного листа железа? (Надо знать площадь листа железа, площадь дна и, кроме того, какая часть листа идет на обрезки.)

При решении задач на вычисление поверх-

ности и объема цилиндра измеряются цилиндрические предметы домашнего обихода: стакан, кружка, ведро, кастрюля и т. д.

Важно заметить, что смысл вычислений становится понятным учащимся лишь в том случае, когда теоретические вычисления проверяются практически. С этой целью перед учеником ставится, например, такая задача: вычислить объем кружки и ведра, сделав соответствующие измерения, и подсчитать, сколько кружек вместит ведро, затем эти расчеты проверить практически, определив непосредственным измерением (переливая воду) вместимость ведра в литрах. Полученные результаты сравниваются, выясняются причины их расхождения, а также оценивается относительная величина ошибки.

После такого рода упражнений абстрактные до сих пор понятия «кубический дециметр», «кубический сантиметр», «литр» связываются с привычными конкретными образами-предметами, постоянно встречающимися в быту: 1 л вмещает около двух кружек, или 6 стаканов, стакан — около 200 куб. см, или 200 г воды, ведро — приблизительно 10—12 л воды.

Приобретенные таким путем знания, опирающиеся на знакомые образы, помогают осознанному усвоению метрической системы мер, значительно разгружая память.

Попутно следует заметить, что нет никакого смысла требовать запоминания таблицы квадратных и кубических мер. Учащиеся должны твердо знать лишь таблицу линейных мер. Когда же приходится пользоваться квадратными или кубическими мерами, ученики должны исходить из рассуждений: 1 кв. м = 10 дм \ 10 дм; 1 куб. м =10 дм X 10 дм X 10 дм, и т. д. Первое время, отвечая на вопросы учителя, учащиеся рассуждают вслух. После того как ученики привыкли это делать, надобность в этом отпадает, — они быстро проделывают такие рассуждения мысленно, затрачивая всего лишь несколько секунд.

Такой способ изучения таблицы квадратных и кубических мер, во-первых, не обременяет память, во-вторых, поддерживает связь между линейными, квадратными и кубическими мерами, учит рассуждать, наконец, способствует развитию устного счета.

3. Задачи, связанные с понятием дроби и процента

Едва ли не самыми трудными для учащихся являются задачи, связанные с понятием дроби, а также процентные расчеты. Как показывают наблюдения, причиной этих затруднений является недостаточное уяснение самого понятия «дробь», хотя на первый взгляд это кажется и не совсем так. В самом деле, при выяснении понятия «дробь» учитель пользуется графической иллюстрацией; выведенное понятие закрепляется путем вопросов, на которые учащиеся дают правильные ответы, свидетельствующие как будто о полном понимании того, что означают члены дроби и пр. После этого выполняется ряд устных и письменных упражнений, способствующих уяснению понятия «дробь». И тем не менее данное понятие остается недостаточно ясным для того, чтобы учащиеся могли свободно оперировать им при решении задач. Зависеть это в большой степени может от того, что из системы проделанных упражнений, как правило, выпадает очень важное звено: графическое изображение дроби. Хотя учащиеся видели соответствующую иллюстрацию, которой пользовался учитель при объяснении; мало того, ученики сами изображали дробь в виде графика; однако делалось это при помощи наводящих вопросов учителя. Для сознательного усвоения необходимо добиться того, чтобы каждый ученик вполне самостоятельно выполнил данное упражнение (в тетради). При этом упражнения надо разнообразить: дробь изображается либо с помощью отрезков прямой, либо с помощью прямоугольников, либо с помощью круга, разделенного на секторы. Часть фигуры, изображающая дробь, выделяется штриховкой или закрашиванием. Таким образом, в закреплении понятия «дробь» участвует и зрительная, и моторная память в сочетании с активным мышлением.

При прохождении темы «Сравнение дробей по величине» наряду с графической иллюстрацией надо добиваться того, чтобы учащиеся практически объясняли, почему из двух дробей с равными числителями (или знаменателями) больше та, а не другая. Например, предлагается сказать, какая из данных дробей больше: -g- или -g-. Ученики говорят: вторая дробь больше, так как величина долей в обоих случаях одинакова, а число долей во втором случае взято больше. Или: если в одном случае 3 булки разделить на 8 человек, а в другом случае 5 булок разделить на такое же число людей, то во втором случае на долю каждого придется больше. Попутно с этим ставится вопрос: а каким образом разделить 3 булки на 8 человек? Аналогично этому делается сравнение дробей, имеющих равные числители.

Упражнения в графическом изображении дробей подготавливают учащихся к восприятию нового понятия: «нахождение дроби числа», ибо операция, которую учащиеся производили над отрезком, прямоугольником, кругом, по

существу ничем не отличается от той, которую приходится выполнять при нахождении дроби числа. Разница лишь в том, что во втором случае аналогичное действие выполняется мысленно и это мысленное действие после упражнений с графиками будет иметь уже реальную основу.

Учителю необходимо всегда помнить, что мышление детей склонно к формализму, поскольку абстрактные понятия у них находятся в стадии формирования. Поэтому за внешней формой, за случайными признаками учащиеся зачастую не видят сущности явления, с большим трудом улавливая связь между явлениями. Чтобы раскрыть учащимся сущность явления, надо показать его со всех сторон, установить связь между его отдельными сторонами. Мало того, установленную связь необходимо прочно закрепить в сознании, так как в противном случае при объяснении нового материала она может оказаться быстро утраченной. Так, например, ознакомившись с понятием дроби, ученики узнали, что означают члены дроби и какая между ними связь, и на вопрос учителя, что показывает числитель или знаменатель дроби, дают правильные ответы. Кажется, что учащиеся хорошо поняли материал. Однако при сравнении по величине дробей с равными числителями, но с разными знаменателями учащиеся часто допускают ошибки, считая ту из дробей больше, у которой знаменатель больше. Объясняется это, очевидно, тем, что дробь, как сложное понятие, для правильного восприятия требует относительно сложной работы мысли, рассуждений: чтобы определить величину дроби, надо вспомнить, что означает каждый из членов дроби, и затем связать эти два понятия в одно понятие «дробь». Поэтому, обходя эти рассуждения, учащиеся дают ответ, который напрашивается при непосредственном — неправильном — отражении в сознании понятия, выраженного новой, непривычной формой записи.

Исходя из сказанного, надо требовать, чтобы при сравнении дробей по величине учащиеся всегда повторяли вслух указанные выше рассуждения. Только путем достаточного числа таких упражнений можно добиться навыка правильно воспринимать дробь.

Теперь легко видеть, в чем причины трудностей, возникающих перед учащимися при решении задач на действия с дробными числами. Это, во-первых, сложность самого понятия «дробь»; во-вторых, его абстрактность; наконец, новая (сложная) форма записи числа-дроби (числитель, знаменатель, знак деления). Все это в значительной степени усложняет задачи на действия с дробями, вследствие чего задачи на нахождение дроби числа и числа по его дроби учащиеся часто путают, решая их механически.

Чтобы добиться осмысленного решения таких задач, я стараюсь устранить указанные выше трудности, показывая учащимся аналогию этих задач с задачами, содержащими конкретные величины.

Например, прежде чем приступить к решению задач на нахождение дроби числа, решаем задачу:

«В пяти ящиках 80 кг гвоздей. Сколько килограммов гвоздей в трех таких же ящиках?»

Запись решения ведется так:

в 5 ящиках 80 кг гвоздей

в 1 ящике 80:5=16 (кг)

в 3 ящиках 16-3=48 (кг)

Подобно этому производится запись решения задачи на нахождение дроби числа; например, решаем задачу:

«В тетради 24 листа, -j- тетради исписано.

Сколько листов исписано?» Ученики записывают:

4 четверти тетради составляют 24 листа 1 четверть тетради составляет 24:4 = 6(листов)

3 четверти тетради составляют 6-3= 18 (листов)

Точно так же, устанавливая аналогию с хорошо известными учащимся задачами, я подвожу их к решению задач на нахождение числа по его дроби. И таким образом, расчленяя сложное понятие дроби на его составные элементы, учащиеся усваивают его постепенно и потому сознательно. Этому помогает графическая иллюстрация, которой сопровождается решение задач на дроби.

Решая задачи на нахождение числа по данной его дроби, учащиеся должны ясно представлять себе их связь с задачами на нахождение дроби числа. Чтобы показать эту взаимосвязь, я предлагаю учащимся проверять задачи на нахождение числа по его дроби путем составления и решения обратных задач, в которых искомая величина берется за известную, и наоборот. Таким образом пройденная тема повторяется в органической связи с новой.

Непосредственно связаны с задачами указанных типов задачи на нахождение отношения двух чисел, в частности, когда ставится вопрос, какую часть составляет одно число от другого.

К решению таких задач можно подвести учащихся следующим образом. Возьмем задачу: За день вспахано 60 га, что составило участка, намеченного под овес. Какую площадь намечено засеять овсом?

Делаем анализ. -J- берется от неизвестной площади. Значит можно записать:

Изменяем задачу:

Под овес намечена площадь в 80 га, за день вспахано 60 га. Какая часть площади, намеченной под овес, вспахана?

Обращаемся к записи:

Выясняем, что изменено в последней задаче площадь 80 га, обозначенная через х и представляющая в данной записи множитель, теперь дана. Неизвестной величиной теперь является множимое. Производится соответствующая запись: х • 80 = 60. Пользуясь этой записью, учащиеся делают нужный вывод: искомая дробь

Однако этот вывод может быть дан лишь в более подготовленных классах. Если же он может затруднить учащихся, то его лучше опустить и объяснение строить другим путем.

Так, учитель повторяет с классом, какие существуют способы сравнения чисел. Ученики вспоминают, что два числа можно сравнить по величине путем вычитания и путем деления большего числа на меньшее. В качестве примера можно взять приведенную выше задачу. Изменяя величину вспаханной площади, выясняем, как изменяется отношение всей площади к вспаханной. Устанавливаем, что с увеличением вспаханной площади отношение уменьшается. Ставим перед учащимися вопрос: нельзя ли сравнить данные числа путем деления меньшего числа на большее? Выполняем деление и следим за изменением отношения с изменением его членов. При этом учащиеся наблюдают, как с увеличением вспаханной площади увеличивается и получаемая в результате деления дробь; причем, когда площадь, намеченная под овес, вспахана полностью, эта дробь оказывается равной единице. Учащиеся убеждаются, что последний из рассмотренных способов в данном случае является более удобным, так как изменение величины отношения происходит в одном направлении с изменением величины вспаханной площади.

Рассматриваем другие случаи, где отношение двух чисел находит практическое применение. Например, выясняем, что степень освещенности помещения зависит не только от световой площади окон, но и от площади, занимаемой самим помещением. Поэтому если известно, какую часть составляет световая площадь окон от площади пола, то по величине данного отношения можно судить о степени освещенности помещения. Производим соответствующее измерение и вычисляем это отношение для класса.

Далее предлагается решить вопрос, как можно сравнить успеваемость двух классов с разным числом учащихся; например, в V А 36 учеников, из них с хорошими и отличными оценками 27 человек. В V Б из 28 учеников с хорошими и отличными оценками 24 человека (неуспевающих нет). В каком классе успеваемость выше? Выясняем, что по абсолютному числу хороших и отличных оценок нельзя сравнить успеваемость классов, так как общее число учащихся неодинаково. Путем наводящих вопросов учащиеся приходят к выводу, что для сравнения надо знать отношение числа учащихся с хорошими и отличными оценками к общему числу учащихся. Вычислив, получаем соответственно: и -у-. При этом возникает надобность вспомнить, как сравнить дроби по величине. Попутно повторяем сравнение дробей, необходимость которого возникает из потребности решения практических вопросов.

Решение данного типа задач непосредственно подводит к процентным вычислениям. Изучение этого раздела начинается обычно с задач на нахождение процента от числа, причем с указанным типом задач учащиеся знакомятся еще в IV классе. Однако это знакомство является лишь поверхностным, формальным, поэтому опираться на эти знания при прохождении процентов в V классе нельзя; понятие процента должно строиться на основе четкого понимания дроби; учащиеся должны хорошо уяснить, что процент — это лить частный случай дроби, лишь особая форма ее записи. Но это вовсе не значит, что стоит только обратить внимание учащихся на указанное обстоятельство, и задачи на проценты не составят никакой трудности. Опыт показывает, что само понятие процента хотя по существу и не отличается от понятия дроби, тем не менее введение его вносит для учащихся новые трудности, так как знакомое понятие оказывается скрытым за новой формой его выражения.

Я полагаю, что тему «Процентное отношение двух чисел» следовало бы проходить не в конце раздела «Проценты», а сразу же после темы «Выражение дробей в процентах», с которой она органически связана. Это, во-первых, ликвидировало бы разрыв между

темами, которые непосредственно вытекают одна из другой, во-вторых, смысл процентных вычислений становится более понятным после решения задач на процентное отношение. Единственным возражением против такого расположения программного материала может служить якобы большая трудность задач данного типа по сравнению с другими задачами на проценты. Однако затруднения, которые встречают учащиеся при решении задач на процентное отношение, являются следствием существующего порядка изучения процентов; кроме того, прохождение этой темы в конце учебного года совпадает с моментом наибольшего умственного утомления учащихся, что также отрицательно сказывается на усвоении материала.

Исходя из сказанного, раздел «Проценты» методически правильным представляется излагать в следующей последовательности:

1) выражение процентов в виде дробей;

2) выражение дробей в процентах;

3) процентное отношение;

4) нахождение процента от числа;

5) нахождение числа по проценту.

При таком порядке изложения осуществляется естественный переход от темы „Отношение двух чисел“ к теме „Процентное отношение“, органически связанных между собой промежуточной темой „Выражение дробей в процентах“.

Так, когда учащиеся узнали, что дробь можно выразить в сотых долях единицы, ставится вопрос о сравнении данного ряда дробей по величине; например, -у, -j-, -тр.

Учащиеся уже знают, что для сравнения дробей по величине их надо привести к общему знаменателю. Учитель указывает, что для удобства сравнения можно взять знаменатель 100, т. е. выразить дроби в сотых долях единицы. Выполнив это преобразование, ученики называют полученные дроби: «пятьдесят сотых», „семьдесят пять сотых“ и т. д. Учитель, обращаясь к классу, спрашивает: как иначе можно назвать данные числа, каким словом можно заменить слово «сотых»? Ученики говорят: «Пятьдесят процентов», «семьдесят пять процентов», и затем названные числа записываются в виде процентов. После этого дается задача, показывающая практическое значение процентных вычислений; например: От одной коровы из 75 кг молока получили 3 кг масла, от другой из 40 кг молока — 2 кг масла, В каком случае жирность молока выше?

Решение этой задачи не затруднит учащихся, если они достаточно усвоили только что пройденные темы.

Познакомив учащихся с задачами на нахождение процента от числа, учитель обычно выводит соответствующее правило. При нахождении числа по данному его проценту учащиеся также пользуются готовым правилом. Это приводит к тому, что ученики, привыкнув пользоваться правилами механически, постоянно путают их и, приступая к решению той или иной задачи на проценты, не могут правильно выбрать нужное правило. Поэтому никаких правил для процентных вычислений я не даю, и ученики решают задачи по смыслу, приведением к единице: сначала находят величину одного процента, а затем искомого числа процентов.

Решению задач на процентные вычисления я предпосылаю устное решение аналогичных задач с конкретными величинами, как это было указано при рассмотрении методики решения задач на дроби. Этот прием следует практиковать не только в начале изучения данной темы, но его необходимо повторять и при решении каждого нового типа задач на проценты, подбирая аналогичные им задачи. Например, прежде чем решить задачу: Когда я израсходовал 25% бывших у меня денег, у меня осталось 40 рублей. Сколько было у меня денег?— можно разобрать решение аналогичной задачи следующего содержания: Магазин получил некоторое количество муки. Когда 20 мешков муки продали, то осталось 4000 кг. Сколько килограммов муки получил магазин, если до продажи муки было 100 мешков?

Решив эту задачу, переходим к анализу задачи на проценты. При этом анализ начинается с отыскания числа, которое принимается за 10096. Рассуждаем так: 25% взято от суммы бывших у меня денег. Следовательно, первоначальная сумма денег составляет 100%. В условии задачи сказано, что осталось денег 40 рублей. Чтобы узнать, сколько процентов всех денег приходится на 40 рублей, надо знать, сколько процентов всех денег осталось, и т. д.

Следует особо подчеркнуть, что при решении задач на проценты основная трудность для учащихся заключается в том, что учащиеся не могут определить, какое из данных (или искомых чисел) принимается за 100% и почему; на этом и нужно сосредоточить внимание. Учитель постоянно, настойчиво должен требовать, чтобы, приступая к решению задач на проценты, учащиеся прежде всего обращали внимание, от какого

числа берется указанное число процентов. Если оно взято от неизвестного числа, значит, требуется найти число, составляющее 100%.

Когда ученики привыкнут начинать анализ задачи с отыскания числа, принятого за 100%, задачи на проценты уже не вызывают затруднений.

Поэтому не только при решении задач в классе, но и при проверке задач, решаемых учениками дома, я требую, чтобы вызванный при опросе ученик мог повторить ход рассуждений, которые он применял при решении домашней задачи.

Осмыслить задачи на проценты хорошо помогают графические иллюстрации, которые учащиеся должны научиться делать сами.

Параллельно с решением задач на проценты приведением к единице я на каждом уроке выделяю несколько минут для устного счета, предлагая решать задачи на проценты простейшим способом, т. е. там, где это целесообразно, проценты выражать в виде дробей. Например, 20% от 40, 30% от 200, 25% от 12 находятся так:

Таким путем закрепляется связь, установленная между процентами и дробями. Когда ученики получат достаточный навык в решении задач на проценты, переходим к более рациональному способу письменных вычислений (два действия соединяются в одно).

4. Проверка домашних заданий

В процессе обучения важное место занимает работа учащихся над домашними заданиями. При выполнении домашней работы ученик работает самостоятельно, напрягая мысль, что способствует глубокому и прочному усвоению изучаемого материала. Поэтому данный вид работы необходимо правильно использовать.

Урок арифметики, как правило, начинается с проверки домашней письменной работы. Очень важно, чтобы этот начальный этап урока был построен наиболее рационально: от этого будет зависеть внимание и работоспособность класса на протяжении всего урока.

Неудачно построенная, хотя и тщательная, проверка отнимает непроизводительно много времени в ущерб изложению нового материала и его закреплению. В случае же поверхностной проверки, когда часть работы остается непроверенной, у учащихся пропадает интерес к работе, они начинают выполнять задания наспех, кое-как, и тогда роль домашних работ — этого важного звена в обучении — сводится на нет.

Рационализация проверки домашних работ тесно связана с дачей задания. Подбирая домашнее задание, надо прежде всего считаться с уровнем развития класса, работа должна быть посильной для всех учащихся как по степени трудности, так и по объему. Только при этом условии работы всех учащихся учитель сможет тщательно проверить и указать на допущенные в них ошибки.

Прежде чем дать задание, учитель выполняет его сам (как бы оно ни казалось просто), тщательно продумывает каждое действие, каждый вопрос с тем, чтобы предусмотреть те или иные затруднения, которые могут возникнуть у учащихся. Так, например, в задаче может встретиться незнакомый учащимся термин, который делает непонятным все условие задачи. Иногда при составлении плана решения может встретиться трудно формулируемый вопрос. Бывает, что сложная задача становится непосильной для детей потому, что в ее состав входит какой-нибудь один из типов простых задач, основательно забытый учащимися. Во всех этих случаях нет надобности разбирать в классе все задание от начала до конца, — стоит лишь разобрать отдельные места, могущие затруднить учащихся, и задание окажется посильным для всего класса. Иногда при решении примеров с дробными числами получаются дроби, кажущиеся на первый взгляд несократимыми, например: щ, щ и т. п. Не производя возможных упрощений, ученик в последующих действиях получает большие числа, что сильно усложняет работу и приводит к ошибкам в вычислениях. В результате учащиеся (а таких оказывается не мало), потеряв попусту время, вынуждены бросить работу незаконченной. Чтобы этого не получилось, после дачи задания надо решить с классом 2—3 примера, аналогичных указанным.

Если заданный пример имеет сложный порядок действий, необходимо разобрать его. Однако полезнее, если позволит время, решить в классе другой пример — устно — с таким же порядком действий, но с числами, допускающими устные вычисления.

Если на дом дается пример с большим числом действий, я сообщаю учащимся промежуточные ответы, что значительно облегчает работу, позволяя выполнять задание даже тем учащимся, для которых оно оказалось бы совершенно непосильным.

В классе бывают отстающие ученики, которые не могут справляться с заданиями средней трудности, посильными для большинства учащихся. В этом случае, конечно, нецелесообразно упрощать задания всему классу. Между тем отстающие ученики либо вовсе не выполняют заданий, либо их списывают у товарищей. Для предупреждения дальнейшего отставания слабых учеников им следует давать индивидуальные задания посильной трудности. По своему тематическому содержанию они должны приближаться к общеклассным с тем, чтобы во время проверки домашнего задания все ученики могли принимать участие в работе класса. Так, например, всему классу дана задача на действия с дробями, при решении которой приходится производить громоздкие вычисления, могущие запутать слабых учеников. Последним можно дать такого же содержания задачу, упростив в ней лишь числовые данные. Для слабых учеников условие задачи записывается на отдельных карточках (при составлении плана урока), которые и раздаются отстающим ученикам.

При проверке задания учителю следует руководствоваться следующим:

1. Любое задание должно быть так или иначе проверено, т. е. ученик постоянно должен чувствовать контроль со стороны учителя.

2. Ученик должен знать, что качество выполнения им работы учитывается учителем либо путем выставления оценки за отдельную работу, либо посредством выставления общей оценки за несколько работ, либо при выставлении оценки за устный ответ.

3. Проверку домашних работ надо строить так, чтобы она не только служила средством контроля, но и носила бы обучающий характер; в результате проверки выполненной работы ученик должен понять причины допущенных им ошибок.

Способы проверки письменных заданий можно разделить на два основные вида:

1) проверка тетрадей учителем вне урока и

2) фронтальная проверка выполненных работ в классе.

Каждый из этих способов имеет свои достоинства и недостатки.

Так, в первом случае учитель имеет возможность выправить все допущенные учащимися ошибки, указать на недостатки ведения тетради и выставить за каждую работу оценку. Но большим недостатком этого способа является то, что далеко не каждый ученик постарается разобрать допущенные им ошибки, так как проверенные тетради ученики получают в лучшем случае на другой день, когда содержание выполненных работ ими уже забыто. Чаще всего учащиеся ограничиваются лишь поверхностным просмотром исправленных ошибок, их внимание привлекает главным образом полученная оценка.

Распространенным способом фронтальной проверки заданий является следующий. Один из учащихся читает выполненную работу по тетради, остальные следят, стараясь наскоро исправить в своих тетрадях все то, что несоответствует записям вызванного товарища. Этот способ имеет существенные недостатки. Ибо вполне очевидно, что механическое исправление ошибок не имеет никакого смысла. Ведь целью проверки является не исправление ошибок в работах, которые после проверки вряд ли окажутся предметом внимания учащихся; задача заключается в том, чтобы те ученики, которые сделали ошибки, поняли их и не допускали в дальнейшем. Между тем при указанном способе проверки смысл выполненных действий совершенно не интересует учащихся, так как все их внимание поглощено исправлением готовых записей.

Иногда учитель, вызвав 1—2 учеников к доске для выполнения сделанной дома работы, одновременно занимается с классом устным счетом или производит опрос учащихся. Этот прием также не вполне оправдывает себя, так как внимание класса при этом рассеивается; кроме того, вызванные ученики совсем выключаются из общей работы класса.

Проверка домашнего задания, как и каждый этап урока, должна быть организована так, чтобы все ученики принимали активное участие в общей работе, т. е. чтобы она носила активный обучающий характер и служила бы подготовительным этапом к изложению нового материала. Очень важно, чтобы именно домашнее задание послужило связующим звеном между пройденным и тем материалом, который предстоит объяснить на уроке, так как беглое повторение пройденного перед объяснением нового материала не всегда дает нужный результат, тогда как самостоятельная работа дома, требующая напряжения мысли, служит прочной основой для восприятия объясняемого материала.

Приведу конкретный пример, как на основе проверки домашней работы можно вплотную подвести учащихся к выяснению нового материала.

При прохождении дробей в V классе учащиеся знакомятся с задачами следующего типа:

Два поезда вышли друг другу навстречу одновременно с двух станций. Первый может пройти все расстояние между станциями

за два часа, второй за три часа. Через, сколько часов они встретятся?

Рассмотрению задачи этого типа предпосылается решение сходных задач, в условии которых дается расстояние в километрах. Одна из таких задач включается в домашнее задание. На следующем уроке, при проверке домашних работ, учитель вызывает одного из учащихся к доске и предлагает показать графически движение поездов и рассказать ход решения задачи. Сделав чертеж, ученик откладывает отрезки, соответствующие пройденным расстояниям. В это время остальные ученики следят за ответом товарища и по вопросам учителя вносят необходимые поправки и добавления. Когда объяснение задачи окончено и получен числовой ответ на вопрос задачи, учитель предлагает всему классу вопрос: изменится ли ответ, если расстояние между поездами взять вдвое большее, а остальные числовые данные оставить прежние? После проверки учащиеся убеждаются, что от расстояния время движения поездов до встречи в данном случае не зависит, и приходят к выводу, что одно из числовых данных (расстояние) может быть совсем исключено из условия задачи.

Существует много задач, решаемых двумя и более способами. Рассмотрев во время дачи домашнего задания один из способов, на другом уроке можно рассмотреть другой способ решения. При этом различные способы сопоставляются, устанавливается, какой из данных способов является наиболее рациональным. Это дает возможность лучше понять зависимость между величинами, глубже осмыслить задачу.

При проверке решения задач, требующего графической иллюстрации, надо обязательно предлагать учащимся пояснять ход решения задачи чертежом (задачи на движение, на нахождение части от числа, числа по его части и т. п.). Очень важно также рассмотреть различные допустимые формулировки вопросов в плане решения задач, установить преимущество той или иной формулировки перед другими.

При такой активной проверке внимание учащихся сосредоточивается на смысловой стороне задания.

Конечно, ответы учащихся по ходу проверки письменных работ должны оцениваться соответствующими баллами.

Разумеется, не всегда можно подобрать такое задание, из которого непосредственно вытекают новые понятия, сообщаемые на следующем уроке. В таких случаях повторение и расширение знаний попутно с проверкой домашней работы необходимо ограничивать, имея в виду, что основное внимание на уроке должно быть уделено объяснению нового материала и его закреплению. Так, если учащимся даются на дом тренировочные упражнения (цель которых — привить определенный навык), нет надобности затрачивать время на их проверку в классе. В этом случае можно ограничиться проверкой тетрадей на дому. Причем, если встречаются в работах лишь единичные ошибки, учитель пишет в тетради аналогичный пример, предлагая ученику решить его, и указывает, какое правило надо предварительно повторить. Если же ошибки являются распространенными, учитель включает в план урока повторение соответствующих тем.

Надо заметить, что учитель не всегда может предусмотреть все трудности, которые встретятся при самостоятельной работе учащихся. Во время фронтальной проверки их также подчас не удается обнаружить. Между тем на все трудные места, породившие ошибки, необходимо обратить внимание учащихся тут же, пока свежо в памяти содержание выполненной работы. С этой целью перед уроком (если позволяет время) можно просмотреть хотя бы десяток тетрадей у слабых и средних учеников. При этом характерные ошибки легко обнаруживаются. Их можно быстро записать с указанием фамилий учеников, допустивших эти ошибки. На уроке, с целью экономии времени, проверку домашних работ можно ограничить разбором характерных ошибок с последующей проверкой тетрадей остальных учеников дома и решить несколько примеров, аналогичных тем, в которых допущены ошибки. Так, например, если ошибка допущена в порядке действий, можно дать пример с таким же порядком действий, вызвав учеников, которые допустили ошибки. Если, например, при исключении целого числа из неправильной дроби встретилась ошибка: ^=2 -g-, в этом случае можно дать аналогичный пример:

Разобрав таким образом ошибки, можно дать 1—2 минуты на соответствующие исправления в тетрадях.

Перед уроком целесообразно проверять тетради учеников, намеченных к опросу. При этом достаточно ученику задать 1—2 вопроса, чтобы проверить его знания, о которых уже имеется представление по выполненной работе.

При проверке тетрадей можно только под-

черкивать ошибки, предоставляя их исправлять самим учащимся. Но если учитель чувствует, что ученик не сможет разобраться в допущенных ошибках, их надо исправить и, если это нужно, дать необходимые пояснения. Что же касается ошибок в формулировках вопросов, то их необходимо исправлять. Ограничиваться подчеркиванием можно лишь в том случае, если учитель предполагает разобрать эти ошибки в классе.

Из сказанного следует, что приемы и характер проверки домашних работ разнообразны. Задача учителя — выбрать наиболее эффективный способ в каждом конкретном случае, в зависимости от вида домашней работы и ее места в учебном процессе.

НОМОГРАММЫ ВО ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЕ

А. А. КРАМСКАЯ (Москва)

Номография — одна из молодых отраслей прикладной математики. «Номография — область математики, дающая теорию построения особых чертежей — номограмм, с помощью которых можно решить различного рода уравнения» (БСЭ).

Представим себе, что надо решить задачу, которую не раз приходилось решать, занимаясь геометрией, а именно: пусть требуется вычислить с точностью до одной десятой гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катетам: а =4,3 см, Ъ = 3,7 см. Эту задачу обычно решают так: зная, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, возводят в квадрат 4,3, получают 18,49, затем возводят в квадрат 3,7, получают 13,69, далее складывают два полученные числа и из их суммы, равной 32,18, извлекают с точностью до 0,1 квадратный корень и получают 5,7.

На это вычисление в среднем затрачивается от 4 до 6 минут. Если бы было нужно решить 10 аналогичных по условию задач, но с другими числовыми значениями катетов, то мы потратили бы на эту работу от 40 минут до 1 часа. Эту задачу, которая только что решена вычислением, можно решить и графически, а именно: построить прямоугольный треугольник с катетами, равными 4,3 и 3,7, и измерить длину получившейся на чертеже гипотенузы; длина, получившаяся после измерения, совпадала бы с длиной, полученной раньше вычислением.

Такой второй способ решения задачи называется графическим.

Оба эти способа были известны с очень давних времен, но в них есть общий недостаток, который состоит в том, что для каждой новой задачи того же содержания, но с другими числовыми данными, нужно производить новые вычисления и строить новый чертеж.

В последнее время применяется новый, третий способ для решения как задач подобного рода, так и более сложных.

Этот способ не требует ни вычисления, ни построения, а сразу дает ответ, который находится по определенному правилу на готовом чертеже.

Такой чертеж называется «номограммой». Так, для решения данной задачи нужна номограмма, изображенная на чертеже 1.

На этом чертеже изображен прямой угол, на сторонах которого нанесены равномерные миллиметровые деления. Следует раскрыть цир-

Черт. 1

нуль, одну из его ножек поместить в точке Ау находящейся на одной из сторон угла на расстоянии 4,3 см от его вершины, другую ножку циркуля надо поместить в точке В, находящейся на второй стороне угла на расстоянии 3,7 см от его вершины, полученное расстояние AB следует отложить на любой из сторон угла, начиная от вершины угла. Получившаяся на стороне угла точка С покажет, что длина гипотенузы AB = ОС = 5,7. Чертеж 1 мог быть заменен угольником с делениями на его сторонах.

Чтобы найти ответ на нашу задачу по этой номограмме, требуется лишь несколько секунд. Ясно, что по этому чертежу-номограмме решаются все задачи того же содержания, но с другими числовыми данными.

Чтобы иллюстрировать тот эффект, который дает номограмма при более сложных вычислениях, рассмотрим ход вычислений для определения упругости пара нормальных парафиновых углеводородов при температуре t по формуле:

где р — упругость пара, t0 — точка кипения при атмосферном давлении, t — температура пара.

Пусть точка кипения углеводорода при атмосферном давлении равна 145°, т. е. £0=145°, и требуется определить упругость пара при 200°.

Подставив в формулу данные значения t0 и t, получим:

откуда

и далее

Последовательность вычислений показывает, что для определения р надо произвести 12 арифметических действий, частью при помощи логарифмической линейки, частью в уме, частью на бумаге, найти lg7B0 и, наконец, от логарифма р перейти к числу р.

Все эти вычисления заменяются при помощи номограммы одним только прикладыванием края линейки к точкам, помеченным на шкалах t и t0, соответственно числами 200 и 145, и прочитыванием искомого результата на шкале р (см. черт. 2).

Совершенно очевидно, что на это уходит лишь несколько секунд, и притом без всякой затраты энергии на вычисления.

Каждая номограмма строится для определенной формулы, если по этой формуле приходится многократно производить вычисления, причем изменения переменных берутся в границах, практически необходимых.

Следует сказать, что номография до сих пор еще является искусством. Для одной и той же формулы можно составить различные номограммы, и ни одно даже самое полное руководство по номографии не может дать заранее правило выбора наиболее удобного типа номограммы для всех видов формул, которые могут встретиться на практике.

Номография преследует цели производственного характера; она ставит себе задачей облегчение и сокращение труда инженеров и техников в вычислениях по тем или иным формулам при помощи особых графиков, называемых номограммами, с которых можно полу-

Черт. 2

чать готовые результаты вычислений, не прибегая к самому процессу вычисления.

Вследствие этого номограммы имеют особое значение при вычислениях массового характера по одной и той же формуле, — это обстоятельство, с которым постоянно приходится встречаться при составлении различного рода проектов.

Номограммы имеют большой успех ввиду их свойства давать готовые значения формул для какой угодно комбинации частных значений независимых переменных, входящих в формулу в заданных пределах и с заданной точностью. В этом отношении номограммы заменяют собою таблицы, составленные по той или иной формуле, благодаря чему их часто называют графическими таблицами. Однако следует отметить, что между таблицами и номограммами имеется существенное различие, на котором следует несколько остановиться.

При составлении таблицы для уравнения с тремя переменными, из которых две независимые, значения одной переменной выписываются на верху листа в горизонтальный ряд; значения другой независимой переменной выписываются в левой стороне листа в вертикальный ряд; значения третьей переменной заполняют все поле листа и располагаются в соответственные колонны и строки.

Ниже приводится для примера таблица, дающая расход воды в трубе в зависимости от диаметра трубы d и скорости движения воды V.

Таблица расхода воды в литрах в секунду

Здесь пять значений v и пять значений d выписаны в строки. Значения располагаются в колонны и строки, заполняя собой все остальное поле таблицы. Обращаем внимание на то, что пользование таблицей основано на чисто геометрической ориентации. Так, например, чтобы найти Q по заданным v = 0,1 и*/= 200, надо провести от цифры iy = 0,l перпендикуляр к направлению ряда v и от цифры d = = 200 — перпендикуляр к ряду d; в точке пересечения перпендикуляров прочтем искомое значение Q = 3,14.

Однако табличный способ имеет существенные неудобства. Первое неудобство — это трудность интерполяции, которая станет ясной для читателя, если попытаться по вышеприведенной таблице определить Q, например, для ci =175 мм и г; = 0,17 — .

Второе и самое главное заключается в том, что значения Q должны заполнить собою все поле таблицы, что требует в указанном примере выполнения 5 -5 = 25 вычислений и столько же надписей. В случае уравнений со многими переменными табличный способ требует составления массы таблиц, соединяемых в целые тома, тогда как вычерчивание номограммы не представит никаких затруднений. Переходя к описанию номограмм, мы рассмотрим номограммы с равномерными шкалами и с одинаковым масштабом.

Номограмма с равномерными шкалами и одним и тем же масштабом

Номограмма для нахождения среднего арифметического двух чисел

Для нахождения среднего арифметического двух чисел применяется формула:

Рассмотрим чертеж 3.

Мы имеем три параллельные прямые, причем средняя из них находится на одинаковом расстоянии от первой и третьей, на каждой из этих прямых нанесены миллиметровые деления. Левая прямая — шкала а, средняя прямая — шкала X и правая прямая — шкала Ь.

Найдем по этой номограмме среднее арифметическое чисел: а = 1,7 и £ = 2,7.

На левой прямой найдем точку Л, находящуюся на расстоянии 1,7 от начала этой прямой, на правой прямой находим точку В, находящуюся на расстоянии 2,3 от начала этой прямой, приложим к этим двум точкам линейку, т. е. соединим их прямой линией; эта прямая пересечет среднюю прямую в точке С, находящейся на расстоянии 2 от начала этой прямой.

Число 2 и будет ответом нашей задачи. Докажем, что это так.

Фигура АВЪа — трапеция потому, что Ла и ВЬ параллельны (по построению), аСх — сред-

няя линия, равная полусумме оснований, следовательно:

Такие номограммы, как приведенная на чертеже 3, называются номограммами из выровненных точек. Название это объясняется тем, что точки, соответствующие данным числам и искомому числу, лежат в номограмме на одной прямой.

Номограмма для нахождения четвертого члена геометрической пропорции

Для определения четвертого члена геометрической пропорции

мы приведем три вида номограмм:

а) На чертеже 4 имеем два смежные прямые угла: ВОС и СОА; на двух сторонах этих углов, составляющих одну прямую, нанесены миллиметровые деления и проставлены числа. Найдем на этой номограмме х для а = 2,3; ô = 7,8 и с=3,7.

Для этого возьмем в руки угольник или прозрачный лист бумаги с начерченными на ней двумя взаимно пересекающимися перпендикулярными прямыми в точке Q (черт. 5).

Помещая вершину угольника на прямой ОС, будем так его двигать, чтобы один его катет прошел через точку К с числовой пометкой 2,3, а второй его катет через точку L с пометкой 7,8.

Пусть в результате этого перемещения угольника вершина его прямого угла остановилась в точке Q.

Затем будем вращать угольник вокруг этой точки Q так, чтобы одна его сторона прошла через точку D с пометкой 3,7, тогда вторая его сторона пройдет через точку Е, пометка которой 4,7 и даст искомое значение х (с точностью до 0,1).

Докажем правильность полученного результата.

По теореме о том, что перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы, имеем, с одной стороны:

а с другой стороны:

Черт. 3

Черт. 4 Черт. 5

то

При пользовании этой номограммой можно угольник заменить парой перпендикулярных прямых, нарисованных на восковке. Вершина этого угла будет помещаться на прямой ОС, а стороны его будут пересекать прямые OA и OB там, где это нужно.

b) Построим номограмму другого вида для определения четвертого члена геометрической пропорции по формуле:

Эта номограмма состоит из прямой AB и перпендикулярной к ней прямой CD.

На лучах CA, СВ, CD нанесены равномерные шкалы с началом в точке С; за масштаб принят отрезок длиной в 1 см (черт. 6).

Чтобы пользоваться этой номограммой, необходим обыкновенный угольник или, еще лучше, так называемый «крестообразный транспарант», изображенный на чертеже 7 и состоящий из двух пересекающихся взаимно перпендикулярных прямых XX и уу, начерченных на прозрачной бумаге (кальке).

Итак, пусть по этой номограмме требуется определить значение t, если х, у и z соответственно равны числам 3, 2, 4.

Для этой цели накладываем крестообразный транспарант на чертеже 6 так, чтобы прямая XX пошла через точки M и N прямых CA и CD с пометками 3 и 4, а прямая уу — через точку Р прямой СВ с пометкой 2, тогда прямая уу пересечет прямую CD в точке 0 с пометкой 1,5, Пометка этой точки и будет искомым значением.

В самом деле, из чертежа ясно, что треугольник MNC подобен треугольнику PQC, следовательно,

Длина МС=3 см, длина NC =4 см, длина CP = 2 см, следовательно,

с) Рассмотрим третью номограмму той же формулы.

Представим себе угол ABC, на сторонах которого от вершины В, как от начала, нанесены две равномерные шкалы одинакового масштаба, а вместо крестообразного транспаранта представим себе транспарант, нанесенный на кальку и состоящий из ряда параллельных между собой прямых.

На чертеже 8 мы видим, как транспарант наложен на угол для того, чтобы по данным числам 4, 3 и 6 найти четвертое пропорциональное.

Одна из прямых транспаранта проходит через точки К и L, лежащие на сторонах угла ABC, с пометками 3 и 4.

Прямая, параллельная этой прямой, проходящая через точку Q стороны ВС с пометкой 6, пересечет сторону ВА в точке М, пометка которой 4 -i- дает искомое значение четвертой пропорциональной.

Черт. 6

Черт. 7

Номограмма построена на основании теоремы элементарной геометрии о том, что параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Номограмма уравнения:

ах Ъх = ab. (1)

В этом уравнении по данным а и Ъ требуется найти значение х. К уравнению такого вида часто приходится прибегать при решении задач из физики, электротехники и самой номографии.

Чтобы найти способ построения номограммы этого уравнения, поступим так.

Построим угол АОС в 120° и разделим его пополам (черт. 9), пересечем полученные три луча, исходящие из точки О произвольной прямой, и обозначим точки пересечения этой прямой с данными лучами буквами Л, В, С. Пусть длина OA равна а, длина отрезка ОС = Ь, а длину отрезка OB обозначим через х. Теперь нетрудно доказать, чго между длинами этих отрезков существует соотношение:

ax-\-bx = ab.

В самом деле, продолжим сторону АО за вершину угла О и отложим на ней отрезок OD=b. Точку D соединим с точкой С. Тогда треугольник DOC будет равносторонним, так как у него две стороны равны, а угол при точке О, заключенный между этими сторонами, содержит 60°.

Линия OB параллельна CD вследствие равенства накрест лежащих углов при точках О и С (каждый из них равен 60°).

Треугольники АОВ и ADC подобны между собой.

Из подобия этих треугольников следует:

Приравняв в вышенаписанной пропорции произведение крайних произведению средних, получим уравнение:

ах -j— bx = ab.

Отсюда мы видим, что для графического определения числа по заданным числам а и b достаточно на сторонах угла в 120° отложить отрезки, соответственно равные а и соединить их концы прямой линией, отрезок биссектрисы угла АОС, т. е. отрезок OB, будет по длине равен числу х.

Чтобы механизировать этот графический метод отыскания неизвестного из уравнения (1), на сторонах угла и биссектрисе его заранее наносятся равномерные миллиметровые деления, и таким образом получается номограмма, приведенная на чертеже 10.

Если уравнение

Черт. 8 Черт. 9

почленно разделить на произведение abx, то получим новое уравнение вида

которое, очевидно, можно решить тем же способом и по той же самой номограмме.

Это уравнение представим в другой форме:

где / — расстояние центра линзы от предмета, F — расстояние центра линзы от изображения, р — фокусное расстояние линзы. Формула (1) служит для определения фокусного расстояния линзы.

Номограмма для определения среднего геометрического двух чисел

Построим номограмму для определения среднего геометрического по формуле:

Пусть требуется построить отрезок, длина которого должна быть средним геометрическим между длинами отрезков в 3 и 5 см.

Как известно, все построение сводится к тому, чтобы построить прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 8 см, и проекциями катетов на гипотенузу, равными соответственно 3 и 5 см. Высота этого треугольника и даст искомое среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу, т. е. будет равна 1^15.

На чертеже 11 изображены прямая AB и перпендикулярная к ней прямая CD.

На лучах CA, СВ, CD нанесены равномерные шкалы с началом в точке С; за масштаб принят отрезок длиной в 1 см.

Далее необходимо иметь обыкновенный угольник или «крестообразный транспарант» (см. черт. 7).

На чертеже 11 показано, как по этой номограмме найти отрезок, равный -5.

Если сравнить наш способ построения отрезка ОС с обычным геометрическим способом построения среднего геометрического, то мы увидим, что как в том, так и в другом случае мы строим один и тот же прямоугольный треугольник MON, но самый метод построения в обоих способах не одинаковый. Дело в том, что обычно в элементарной геометрии при решении задачи на построение мы можем пользоваться только циркулем и линейкой и не имеем права прибегать к заранее нанесенным шкалам, заранее начерченным на кальке взаимно перпендикулярным прямым, наложению одного чертежа на другой и т. п.; в номографии мы можем использовать все эти приемы для построения искомой величины.

Например, в рассматриваемом случае мы получили треугольник MON, накладывая крестообразный транспарант на чертеж 11 и пользуясь равномерными шкалами, нанесенными на прямые этого чертежа.

Пользование равномерной шкалой, транспарантом и т. п. составляет в совокупности то, что мы называем «механизацией геометрических построений».

Номограмма для формулы:

Представим себе нарисованным на прозрачной бумаге прямой угол АОВ, на сторонах которого OA и OB нанесены равномерные миллиметровые деления, и два смежные прямые угла LKC и LKD, на общей стороне которых также нанесены равномерные миллиметровые деления.

Пусть по данным значениям £ = 3,4 и ö= 4,5 требуется найти с точностью до 0,1 зна-

Черт. 10

Черт. 11

чение с. Тогда угол АОВ накладывается на смежные углы так (черт. 12), чтобы точка В имела пометку 3,4, а точка Л — пометку 4,5; вершина же Ö лежала на перпендикуляре АХ; тогда пометка точки О, равная 2,7, даст искомое приближенное значение с.

Докажем, что

(1)

В самом деле, заменив в равенстве (1) OA ? ОВ\ квадратом гипотенузы Ах Ви получим:

OKA1Bi=OAvOB1.

Последнее равенство справедливо, так как и левая и правая части его дают удвоенную площадь одного и того же прямоугольного треугольника АхОВх.

Номограмма формулы:

По данным значениям Xt и Х2 требуется определить величину угла ср из уравнения

Эта формула встречается в радиотехнике. Значения переменных \г и Х2 изменяются обычно в пределах от 0 до 100.

Геометрически эту задачу можно решить построением прямоугольного треугольника по данной гипотенузе Х2 и данному катету Хх (черт. 13). Величина угла <р определяется в построенном треугольнике измерением его транспортиром.

На чертеже 14 дана номограмма той же формулы. Мы имеем на нем прямой угол ABC, на сторонах которого ВА и ВС от точки В (как от начала) нанесены две одинаковые равномерные шкалы в пределах от 0 до 100. Из точки В, как из центра, проведен ряд концентрических окружностей.

На чертеже даны лишь четверти каждой окружности. Дуга большой окружности разделена на градусы.

Чтобы найти по этой номограмме значение угла для данных значений \г и Х2, отыскиваем на прямой ВС точку M с пометкой Хъ и в этой точке проводим перпендикуляр МК до пересечения с той окружностью, которая проходит через точку N прямой ВА, имеющей пометку 12.

Черт. 12

Черт. 13

Черт. 14

Точку К пересечения перпендикуляра МК с окружностью соединяем с вершиной прямого угла В и продолжаем до пересечения с дугой АС в точке Р.

Число градусов, служащее пометкой точки Я, и является искомым значением угла.

Так, например, по чертежу мы видим, что при Х1==40 и Х2=60, <р=48°.

Сетчатые номограммы

При разборе равномерных шкал мы изображали значения переменных точками, т. е. для каждого значения переменного мы ставили на некоторой оси определенную точку (штрих). Однако значения переменных можно изображать не только точками, но и линиями; линию, которой приписано определенное значение переменного, называют помеченной линией, а соответствующее ей значение этого переменного — пометкой.

Линии, соответствующие значениям одного и того же переменного, образуют семейство линий с одним параметром. Номограммы из помеченных линий называются сетчатыми номограммами.

Сетчатые номограммы представляют собой наиболее старый вид номограммы.

Сетчатые номограммы можно строить для уравнений с тремя переменными.

Такие номограммы для зависимости между тремя переменными состоят из трех семейств прямых или кривых линий.

Пусть дана функция трех аргументов

/(*» У у *) = 0.

Простейший способ построения номограммы (в декартовых прямоугольных координатах) для уравнения (1) будет следующий.

Если требуется определить значение z по заданным х и у, то, принимая х и у за декартовы координаты точки на плоскости, строят координатную сетку с достаточно мелкими делениями по осям координат (обычно на миллиметровой бумаге).

Далее в уравнении (1) рассматривают z как параметр и, давая ему ряд значений zi9 z2J z3,.., вычерчивают линии:

Значения zu z2% £з>« • • даются в пределах, соответствующих условиям задачи, с достаточно малыми промежутками, определяемыми степенью точности, с которой требуется находить значения z.

На каждой линии ставят в виде отметки значение параметра z, соответствующее этой линии.

Для нахождения z по заданным х и у отыскивают на сетке точку с координатами ху у и замечают, на какой из построенных линий она лежит.

Отметка этой линии дает искомое значение z.

Если найденная точка не попадет ни на одну из построенных линий, то отметки ближайших кривых дают приближенное значение z.

Первая такая номограмма была построена Пушэ для ху = z.

Она состояла из семейства равносторонних гипербол, асимптоты которых приняты за оси координат X и у.

Номограмма для процентных расчетов Известно, что простые процентные расчеты производятся по следующей формуле:

где А — основная сумма, а — процентная сумма. Эту формулу можно написать так:

Здесь мы имеем функцию трех переменных величин.

Дадим р ряд числовых значений:

/?= 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.

Получим:

Каждая из этих функций выражает прямую пропорциональную зависимость.

Построив графики этих функций, мы будем иметь сетчатую номограмму.

Пользуясь этой номограммой, легко решить задачи на процентные расчеты (черт. 15).

Номограмма для определения сопротивления проводника

Зависимость между сопротивлением проводника и его размерами выражается следующей формулой:

где г — сопротивление проводника, р — удельное сопротивление, L — длина, S — площадь поперечного сечения.

Удельное сопротивление меди р= 0,0179.

Следовательно, медная проволока длины L м с поперечным сечением S мм2 имеет сопротивление, измеряемое в омах, равное

Дадим S ряд значений: 0,05; 0,1; 0,15; 0,2;... получим функции с двумя переменными:

Каждая из этих функций выражает прямую пропорциональную зависимость.

График таких функций строить мы умеем.

После построения получаем сетчатую номограмму (черт. 16).

Пользуясь этой номограммой, легко решать задачи на нахождение сопротивления проводника при заданных его длине и поперечном сечении и на нахождение поперечного сечения проводника по заданному его сопротивлению и длине.

Многие номограммы по своей природе близки к разделам элементарной математики, где рассматриваются геометрические методы построения алгебраических формул.

Вследствие этого учащиеся средней школы могут сознательно применять номограммы при решении задач не только по математике, но и по дисциплинам, смежным с математикой, т. е. по физике, химии, астрономии, радиотехнике и другим.

Таким образом, номограмма представляет собой один из видов инструментального счета, рационализирующего вычислительные операции.

Настоящая статья имеет целью дать материал для изучения номографии в средней школе во внеклассной работе.

По излагаемому материалу выборочно был проведен эксперимент в 27-й школе во время педагогической практики.

Студенты IV курса физико-математического факультета Московского педагогического института им. В. И. Ленина организовали математический кружок для учащихся восьмых классов по изучению номографии. Было проведено четыре занятия по следующему плану:

1-е занятие. Что такое номография. Краткая историческая справка. Номограмма для вычисления среднего арифметического двух чисел. Номограмма для вычисления четвертого пропорционального. Номограмма для процентных расчетов.

2-е занятие. Различные виды номограмм для формулы х = ~ (доклады учащихся).

3-е занятие. Номограмма для решения уравнения: ax-\-bx-= ab (или для определения фокусного расстояния линзы).

4-е занятие. Номограмма для определения сопротивления проводника.

Черт. 15

Черт. 16

К ИЗУЧЕНИЮ НЕРАВЕНСТВ В X КЛАССЕ

В. И. СЕВБО (Ужгород)

Как показывают наблюдения, одной из причин, вызывающих трудности при изучении математики в вузах, является отсутствие умений и навыков в решении неравенств, содержащих знаки абсолютных величин. Средняя школа до сих пор не уделяет внимания таким неравенствам. Достаточно сказать, что в задачнике П. А. Ларичева, ч. II, приведены (под № 1396) только два примера подобных неравенств, а именно:

Но решение этих двух неравенств никак не может обеспечить надлежащую подготовку учащихся к будущему преодолению первых трудностей «высшей» математики.

Поэтому мы предлагаем некоторые дополнения, относящиеся к изучению неравенств в X классе.

Раньше всего, кроме общих свойств неравенств, надо дополнительно изучить некоторые свойства неравенств, обе части которых суть положительные числа.

Так, если дано, что

0<а<Ь,

то:

Далее, необходимо рассмотреть основные свойства абсолютных величин результатов арифметических действий, а именно:

1) суммы:

2) разности:

3) произведения:

4) частного:

Затем следует четко выяснить смысл неравенства:

заменяющего собою систему неравенств:

а также смысл неравенства:

из которого следует:

Наконец, одновременно с упражнениями, взятыми из задачника Ларичева, ч. II, нужен ряд дополнительных упражнений на неравенства, записанные при помощи знака абсолютной величины, а также на некоторые весьма полезные неравенства, обе части которых суть положительные числа.

Приводим несколько образцов примеров таких упражнений.

Пример 1. При каких значениях натурального числа п будет соблюдаться неравенство:

Решение состоит из ряда следующих преобразований:

Пример 2. Решить неравенство:

Решение.

Пример 3. При каких значениях х будет выполняться неравенство:

Решение.

* Неравенство вытекает из предыдущего, а именно:

откуда:

Пример 4. Какой достаточно взять абсолютную величину лг, чтобы соблюдалось неравенство:

Для решения переписываем заданное неравенство в виде:

(1)

Так как абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, то

(2)

В таком случае, чтобы удовлетворить неравенству (1), достаточно положить:

(3)

ибо тогда, на основании (2), и подавно будет соблюдаться неравенство (1).

Но из последнего неравенства (3) имеем:

Итак, для соблюдения заданного неравенства достаточно взять:

Примечание. Следует исключить значение х = 0, при котором заданное выражение теряет смысл.

Пример 5. При каких значениях х наверное удовлетворяется неравенство:

Чтобы решить вопрос, преобразуем данное неравенство:

(4)

Далее, на основании свойства абсолютной величины разности двух чисел:

Поэтому, чтобы удовлетворить неравенству (4), достаточно иметь:

откуда:

или окончательно:

Пример 6. При каких значениях х будет справедливо неравенство:

Решение.

Пример 7. Какой должна быть абсолютная величина лг, чтобы соблюдалось неравенство:

Решение.

Пример 8. Какими должны быть значения X, чтобы удовлетворялось неравенство:

Решение.

Примечание. Из найденных значений х исключается значение х=Зч при котором заданное выражение -(—не имеет смысла. \х — о)

Пример 9. Какие значения п достаточно придавать натуральному числу я, чтобы удовлетворялось неравенство:

Решение начинаем с преобразования заданного неравенства:

или:

(5)

Чтобы удовлетворить неравенству (5), достаточно взять:

(6)

ибо в этом случае и подавно будет:

Но тогда из неравенства (6) будем иметь:

Следовательно, достаточно положить /г^>11, чтобы удовлетворить заданному неравенству.

Примечание. Проверка показывает, что значение п = 11 также удовлетворяет нашему неравенству. В самом деле:

Пример 10. Какие значения достаточно придавать натуральному числу п, чтобы соблюдалось неравенство:

Для решения вопроса переписываем заданное неравенство в виде:

Отсюда, после умножения обеих частей неравенства на (—1) и перенесения членов получим:

или:

(7)

Чтобы удовлетворить этому неравенству (7), достаточно иметь:

откуда: или:

Таким образом, числу п достаточно придавать любое целое значение, превышающее 4.

Примечание. Значение п = 4 также удовлетворяет данному неравенству, как показывает проверка:

Пример 11. При каких значениях целого показателя п будет справедливым неравенство:

Решение начинаем с логарифмирования обеих частей заданного неравенства по основанию 10:

Так как логарифмы правильных дробей отрицательны, то, разделив обе части последней: неравенства на отрицательное значение lg 0,2, получим:

Таким образом, заданное неравенство будет справедливым при

Пример 12. Каким условиям должны удовлетворять значения ху чтобы оставалось справедливым неравенство:

Решение.

Логарифмируя по основанию 10, имеем:

Итак, искомыми условиями будут неравенства:

Примечание. Из допустимых значений х надо исключить значение х = lg 1 = 0, при котором заданное выражение | цргц i | теряет смысл.

Приведенный нами дополнительный материал можно проработать за счет некоторого сокращения числа общих упражнений на неравенства и исследование уравнений в X классе. Это тем более нетрудно сделать потому, что на тему о неравенствах (вместе с исследованием уравнений) отводится в X классе достаточно времени (22 часа).

Зато проработка указанного выше материала значительно облегчит последующее изучение начальных разделов математического анализа в вузах, способствуя тем самым более плавному переходу от элементарной математики к высшей.

От редакции. Работники высшей школы неоднократно указывали, что слабые навыки в обращении с неравенствами являются источником ряда затруднений при изучении математики в вузах. Следует отметить также, что упражнения на неравенства недостаточно представлены в существующих задачниках.

Таким образом возникает вопрос о необходимости разработки упражнений на неравенства, разумеется, без расширения общего объема учебного материала, а за счет сокращения некоторых традиционных, искусственных и шаблонных, и т. п. упражнений.

Соответствующее предложение ставится на обсуждение в статье В. И. Севбо. По поводу данного предложения надо заметить следующее:

1. Ряд упражнений типа примеров 1—4 доступен учащимся более младших классов (VIIÏ и IX кл.).

2. Неравенства 11 и 12 возможно давать в IX классе при изучении логарифмов.

3. Неравенство 5 превышает степень трудности обычных школьных упражнений и может быть рекомендовано для занятий кружков.

4. Решение неравенств 9 и 10, предложенное автором, также превышает степень трудности школьных упражнений, однако эти примеры могут быть весьма просто решены непосредственно.

ПИСЬМО В РЕДАКЦИЮ

В учебнике алгебры А. П. Киселева, 30-е изд., на стр. 37 содержится определение гиперболы, которое может совершенно дезориентировать учащихся, а именно:

«График функции у = — называется гиперболой. При положительном k и х гипербола лежит в первом квадранте, а при отрицательном k и положительном X она лежит в четвертом квадранте. При отрицательных значениях аргумента х получается другая ветвь гиперболы. При £>0 она лежит в третьем квадранте, а при k < 0 она лежит во втором квадранте».

Смешение в одной фразе значений параметра и независимого переменного недопустимо ни в научном, ни в методическом отношении и может лишь сбить с толку учащихся.

Соответствующее место в учебнике должно быть изложено, например, так:

«График функции у = — называется гиперболой. Предположим сначала, что k положительно. Тогда положительным значениям х соответствуют положительные значения у, и мы получим точки гиперболы, лежащие в первом квадранте. При отрицательных значениях х получим точки гиперболы, лежащие в третьем квадранте, Так как значению х — 0 никакого значения у не соответствует, то на оси ординат точек гиперболы нет; поэтому вся кривая распадается на две ветви, из которых одна лежит в первом, а другая — в третьем квадранте.

Пусть теперь k — отрицательно. Тогда одна ветвь гиперболы будет лежать во втором квадранте (та, которая состоит из точек с отрицательными абсциссами), а вторая — в четвертом квадранте.

Итак, гипербола у — — есть кривая, состоящая из двух ветвей; при положительном k эти ветви лежат в первом и третьем квадрантах, а при отрицательном k — во втором и в четеертом».

Прошу это письмо напечатать в журнале «Математика в школе», чтобы сделать его содержание известным возможно большему числу учителей, не дожидаясь, когда выйдет следующее издание учебника Киселева, в котором этот дефект, надеюсь будет исправлен.

Академик П. С. Александров

ИЗ ОПЫТА

ЭКСКУРСИИ ПО АРИФМЕТИКЕ

Р. Н. АБАЛЯЕВ (Иваново)

Экскурсии по арифметике ценны не только в том отношении, что на них учащиеся знакомятся с основными процессами некоторого производства, они ценны еще потому, что дают учителю и учащимся богатый материал для составления арифметических задач на местном материале.

Экскурсии по арифметике проводятся так же легко, как по любому предмету, если к ним учитель тщательно подготовится сам и подготовит учащихся.

Методика подготовки и проведения экскурсий по арифметике в основном сводится к следующему.

Экскурсия должна преследовать определенную цель, которая должна быть отчетливо ясна всем участникам. Предстоящая экскурсия должна вызвать у учащихся интерес и желание решить тот или иной возникший у них вопрос. У всех учащихся перед началом экскурсии должны быть такие вопросы.

Здесь важно поставить перед учащимися ряд вопросов, точных ответов на которые они не знают. Чтобы подобные вопросы возникли, учителю необходимо провести с учащимися соответствующую беседу.

Очень важно после экскурсии провести с учащимися заключительную беседу, подводящую итоги проделанной работы.

Таким образом, в план любой экскурсии по арифметике должны входить следующие три основные пункта: 1) предварительная беседа, раскрывающая цель и содержание предстоящей экскурсии; 2) ход экскурсии; 3) заключительная беседа.

Наконец, по материалу, добытому на экскурсии, составляются и решаются различные арифметические задачи.

Ниже даем описание двух проведенных экскурсий.

Экскурсия в железнодорожное депо

1. Вводная беседа

Во вводной беседе учительница сообщила учащимся, что сегодня они пойдут на экскурсию в железнодорожное депо, где познакомятся с работой железнодорожного транспорта, с устройством паровоза, а также получат материал для составления задач.

Учительница кратко рассказала о значении железных дорог для нашей родины, о том, что железные дороги обеспечивают полное и бесперебойное выполнение грандиозного объема перевозок, что железнодорожный транспорт является одним из ведущих звеньев нашего народного хозяйства.

Только исправность, правильное использование и безупречная работа паровозов могут обеспечить железным дорогам выполнение сложных задач по обслуживанию различных нужд нашей страны.

В ходе беседы выяснилось, что большинство учащихся видели паровоз и ездили по железной дороге, но не знают, как производится отопление паровоза и уход за ним, сколько топлива сжигается в топке, сколько его расходуется в пути, какой вес паровоза, железнодорожного состава, сколько вмещает груза товарный вагон, сколько вмещает пассажиров пассажирский вагон. На эти и ряд других вопросов учащиеся и должны будут получить ответы в ходе экскурсии.

Все намеченные вопросы были распределены между учащимися. Вот это распределение.

Ученик П. 1. Как производится отопление и уход за паровозом?

2. Какие нормы расхода топлива? Ученик Б. 3. Сколько весит паровоз? 4. Каков вес железнодорожного состава?

Ученик M. 5. Сколько груза вмещает товарный вагон?

6. Сколько пассажиров вмещает пассажирский вагон?

Ученик Д. 7. Сколько километров в час проходит товарный поезд?

8. Сколько километров в час проходит пассажирский поезд?

Ученик С. 9. Сколько вагонов входит в товарный состав?

10. Сколько вагонов входит в пассажирский состав?

Ученик Н. 11. Сколько весит платформа?

12. Сколько весит товарный вагон?

13. Сколько весит пассажирский вагон?

Ученик Ц. 14. Какую месячную зарплату получает машинист?

15. Как машинист экономит топливо и какое дополнительное вознаграждение он за это получает?

После этой подготовительной работы учащиеся организованно отправились в железнодорожное депо, где их ожидал знатный машинист Ивановского железнодорожного депо, проработавший на железнодорожном транспорте более двадцати лет.

2. Ход экскурсии

На экскурсии учащиеся прежде всего познакомились с паровозом. Здесь им показали топку паровоза, паровой котел, тендер. Учащиеся сами входили на подмостки паровоза и все осматривали. Машинист им показал, как паровоз дает гудки, и разрешил самим это сделать. Учащиеся всем этим были очень довольны. Далее машинист рассказал о топливе, применяемом для отопления паровозов. Он сообщил, что для отопления паровозов применяются следующие виды топлива: каменный и бурый уголь, дрова и специальный топочный мазут. Могут быть использованы также торф, горючие сланцы и древесные отходы. Уголь забрасывается в топку, возможно чаще небольшими порциями, по 4—6 и самое большее 9—10 лопат, при этом за один прием на лопату забирается не более 3—5 кг. Наконец, машинист обратил внимание учащихся на поддувало, служащее для притока воздуха, который необходим для поддержания горения в топке.

В этой части беседы учащиеся также узнали, что машинист является ответственным лицом за общее содержание паровоза и тендера в чистоте и опрятности, что чистота и порядок на паровозе не только обеспечивают необходимую культуру в работе, но они являются также важнейшим и обязательным условием бесперебойной эксплуатации паровоза и длительности пробегов его без капитального ремонта.

После общего ознакомления с паровозом учащиеся задали машинисту ряд своих вопросов. Ответы на вопросы были записаны как материал для составления арифметических задач.

Вот какие данные были записаны:

1. Количество расхода топлива подсчитывается на тонно-километры, т. е. чем больше вес поезда и чем большее расстояние пройдет поезд, тем больше потребуется топлива. Если поезд весом 2000 т пройдет 10 км, то он выполнит 20 000 тонно-километров (здесь учащиеся сами сообразили, что для нахождения тонно-километров нужно вес поезда умножить на число километров, которые прошел поезд).

На один тонно-километр расходуется угля примерно 20 г.

2. Вес паровоза с тендером 90 т.

3. Вес железнодорожного состава (поезда) 2000—2200 т.

4. Товарный вагон вмещает груза в среднем 35 т.

5. Пассажирский вагон вмещает в среднем 70 человек.

6. Товарный поезд проходит в среднем 30 км в один час.

7. Пассажирский поезд проходит в среднем 35 км в один час.

8. В товарный состав входит в среднем 20 вагонов.

9. В пассажирский состав входит в среднем 10 вагонов.

10. Платформа весит в среднем 4 т 500 кг.

11. Товарный вагон весит в среднем 5 т 500 кг.

12. Пассажирский вагон весит в среднем 6 т 500 кг.

13. Машинисту платят за 1 км пути в среднем 45 коп. В месяц машинист зарабатывает до 2000 руб.

14. Экономия топлива получается за счет правильного ухода за паровозом. При экономии 5% топлива за месяц машинисту выдается премия, равная 5% заработной платы, при экономии от 5% до 10% выдается премия 8%, при экономии топлива свыше 10% премия увеличивается до 15%,

На этом экскурсия закончилась.

Кроме приведенных данных, учащиеся принесли потом в школу другие данные, полученные ими от родителей, которые работают на транспорте. Вот они.

1. Машинисту пассажирского поезда за один пройденный километр пути платят 44 коп.

2. Машинисту товарного поезда за один пройденный километр пути платят от станции Иваново до:

Юрьев-Польского — транзитный — 35 коп.; Юрьев-Польского — сборный — 50 коп.; Нерехты — транзитный — 47 коп.; Нерехты — сборный — 49 коп.; Кинешмы — транзитный — 40 коп.; Кинешмы — сборный — 46 коп.; Новок (тот и другой) — 42 коп.

3. Разрешается средняя скорость по путям Ярославской железной дороги от станции Иваново до:

Юрьев-Польского — 25 км в час;

Нерехты — 26 о в час;

Кинешмы — 27 км в час;

Новок -—31 км в час.

3. Заключительная беседа о проведенной экскурсии и работа по составлению и решению арифметических задач по материалам экскурсии.

В заключительной беседе учительница коротко подвела итоги проведенной экскурсии. Отметила, что учащиеся на экскурсии были организованны, внимательны и дисциплинированны, затем сказала, что те данные, которые получены на экскурсии, будут использованы для составления и решения арифметических задач.

Вот некоторые из составленных задач.

Задача № 1. Поезд весом 2200 т прошел 110 км. Сколько он израсходовал угля, если на один тонно-километр требуется 20 г?

Задача № 2. Вычислить средний расход угля пассажирского поезда, следовавшего от станции Иваново до станции Гаврилово-Посад по следующим данным:

1) поезд состоит из 10 вагонов;

2) в каждом вагоне по 70 человек, которые имеют с собой в среднем по 10 кг багажа;

3) вес пассажирского вагона 6 т 500 кг;

4) вес паровоза с тендером 90 т;

5) расстояние от Иванова до Гаврилово-Посада 80 км.

Задача № 3. На сколько километров хватит паровозу сделанного запаса угля, если он ведет товарный поезд, состоящий из 20 груженых вагонов? (Необходимые фактические данные подбираются самими учащимися из числового материала, добытого на экскурсии.)

Задача № 4. Сколько денег получит машинист паровоза за поездку от Иванова до Москвы туда и обратно, если за 1 км пути машинисту платят 45 коп.?

(Расстояние от Иванова до Москвы определить по карте, пользуясь масштабом.)

Задача № 5. Сколько денег получит машинист паровоза за экономию 10% топлива, если за это выдается 8% месячной заработной платы и если он в месяц получает 2000 рублей?

Экскурсия на молокозавод

1. Вводная беседа

В результате проведенной вводной беседы были поставлены следующие вопросы:

1) сколько требуется молока для изготовления 1 кг масла?

2) сколько содержится в молоке воды?

3) сколько содержится в молоке жира?

4) сколько и какие отходы получаются из молока при изготовлении из него масла?

2. Ход экскурсии

Прежде всего учащимся рассказали о том, что для получения высококачественных молочных продуктов решающее значение имеет немедленная первичная обработка молока. К первичной обработке относится фильтрование и охлаждение молока. Затем им показали, как из молока путем специальной машины — сепаратора получаются сливки и обезжиренное молоко (обрат).

После этого учащиеся познакомились, как при помощи специальных машин происходит сбивание сливок в масло. Наконец, они познакомились с приготовлением кефира, с закваской молока, предназначенного для его приготовления.

В ходе экскурсии учащиеся получили также ответы на свои вопросы и записали эти ответы на бумаге:

1) для изготовления 1 кг масла требуется в среднем 22 л молока;

2) воды в молоке содержится примерно 87%;

3) жира в молоке содержится примерно 4%;

4) для получения 1 л сливок требуется в среднем 8 л молока.

При изготовлении из молока сливок получается обрат, который идет на приготовление творога и корма для скота.

На этом экскурсия закончилась.

3. Краткая заключительная беседа о проведенной экскурсий и работы по составлению задач по материалам экскурсии.

В заключительной беседе учительница коротко подвела итоги проведенной экскурсии, а также остановилась на планах, намеченных XIX съездом партии в области пищевой промышленности. Она говорит, что к концу 1955 года увеличится производство мощности заводов по выработке масла животного на 35%, сыроваренных — в 2 раза, молочно-консервных заводов почти в 3 раза. Производство масла животного в 1955 году возрастет по сравнению с 1950 годом примерно на 12%. Вместе с этим должно быть обеспечено дальнейшее улучшение качества продукции во всех отраслях промышленности, в том числе и молочной.

Затем учительница говорит учащимся, что по данным, полученным на экскурсии, они будут составлять арифметические задачи. Вот некоторые из этих задач.

Задача № 6. На Ивановский молокозавод молоко привозят на грузовиках и подводах. Определить, сколько завод получит масла из молока, привезенного на 5 грузовиках и 4 подводах по следующим данным:

1) один грузовик привозит по 24 бака, в каждом баке по 32 л молока;

2) одна подвода привозит 8 бидонов, в каждом бидоне по 25 л молока;

3) из 20 л молока получается 900 г масла.

Задача № 7. Определить количество ведер воды в молоке, израсходованном для получения 27 и, масла, по следующим данным:

1) для приготовления 1 кг масла требуется 22 л молока;

2) в молоке содержится 87% воды;

3) в ведре содержится 9 л воды.

Задача № 8. При сепарировании молока получаются сливки и обрат (обезжиренное молоко). Сколько надо переработать молока на сливки, чтобы, получить обрат, необходимый для 51 свиньи и 49 телят на 2 дня, если известно, что одной свинье дают в день б л обрата, а одному теленку — 4 л и что из 6 л молока получается 5 л обрата?

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

Заслуженный учитель школ РСФСР М. Н. ПОКРОВСКАЯ (Москва)

Учебное значение домашних заданий

Учебное значение домашних заданий заключается в закреплении и углублении знаний, полученных учениками в школе. В известной мере это закрепление имеет характер тренировки. Но нельзя сводить все только к тренировке, к простой апелляции к памяти. Закрепление материала целесообразно проводить так, чтобы оно было связано с определенным его уточнением и углублением, чтобы при этом открывались какие-то новые стороны изучаемого вопроса.

Кроме того, особенностью нашего предмета является то, что теория его не может просто заучиваться, она только тогда твердо усваивается и осмысливается учеником, когда закрепляется на ряде задач и упражнений. Теорему нужно не только выучить и повторить, ее нужно уметь применить к решению задач. На уроке всего сделать нельзя, здесь помогают преподавателю правильно поставленные домашние задания.

Воспитательное значение домашних заданий

Воспитательное значение домашних заданий заключается в том, что они способствуют решению одной из наиболее важных задач — научить учащихся самостоятельно мыслить. Преподаватель должен привить школьникам навыки самостоятельной работы, воспитать из них людей, способных к творческой деятельности. Он должен приучить своих учеников систематически, упорно и честно трудиться и доводить дело до конца.

В этом воспитательная цель работы учителя математики в школе. Но в классе ученик не является до конца самостоятельным, в классе присутствует учитель и ведет весь урок. Дома ученик остается сам с собой. Он может свое задание списать у товарища, может сделать его кое-как, а может сделать хорошо. Для этого он должен уметь самостоятельно мыслить и работать, пользоваться книгой, просматривать ее, сопоставлять заданный параграф с какими-то другими, заглянуть в ответ и т. д. Все это при умелом подборе заданий с постепенным нарастанием трудностей вырабатывает у учащегося волю, настойчивость и исполнительность.

Но значение домашних заданий, как очень важной стороны педагогического процесса, в полной мере выявляется лишь тогда, когда они правильно поставлены и организованы. В противном случае педагогический эффект их в значительной мере снижается или даже превращается в свою противоположность.

Поэтому, прежде чем говорить непосредственно о методике работы, я считаю нужным указать на некоторые основные ошибки в организации домашних заданий, которые приводят к снижению их эффективности.

Ошибки в методике задавания

1. Сам учитель не подготовился, не подобрал материал для задания на дом, не продумал его, не связал с теми вопросами, которые он ставит перед классом. Отсюда—случайность задания и, следовательно, снижение его педагогической ценности.

2. Ученики не подготовлены к тому заданию, которое они получили от учителя: не всё знают, не всё понимают, а учитель не дал им необходимых разъяснений.

3. Велик объем задания.

4. Домашние задания даются несвоевременно, после звонка, когда начинается перемена.

Во всех случаях ошибка учителя ведет к тому, что ученики, не справляясь с работой, или теряют веру в свои силы, или прибегают к простому списыванию.

Ошибки в методике проверки

1. Учитель не проверяет выполнение домашних заданий. Я думаю, что эти случаи теперь редки, но мне недавно в одной московской школе пришлось наблюдать такой факт: учитель математики в десятых классах методически совершенно правильно дает домашние задания, делает необходимые указания и разъяснения, но ни в одном классе, ни на одном уроке, ни в какой форме не проверяет домашних работ и совершенно не заглядывает в тетради своих учеников. А в этих тетрадях все записывается подряд, без подразделения работы по математическим предметам, есть записи уроков физики, химии и даже английского языка. Записи ведутся чернилами разного цвета и даже карандашом. Такое недопустимое антипедагогическое невнимание учителя к домашним работам ведет к небрежности, к безответственности. Это явилось далеко не последней причиной того, что в данном классе у этого учителя из 23 учеников по математике не успевает 8 человек.

2. Учитель поручает проверку ученикам. Я не хочу полностью осуждать этот прием и сама пользуюсь им, но систематическое его применение является ошибкой. Нельзя надеяться на то, что ученик заменит учителя.

3. Констатируется только факт исполнения работы, поверхностно: выполнено — не выполнено.

4. Проверка совершается формально по записи, по ответу, без выяснения степени самостоятельности работы. Это, как и в предыдущем случае, порождает списывание и прочие злоупотребления.

Мне пришлось встретить молодую, начинающую учительницу, которая сначала проверяла домашние работы, и даже ставила оценку «2» за плохое их выполнение, но скоро увидела, что ученики, боясь получить лишнюю «двойку» за домашнюю работу, поголовно стали ее списывать. После этого, боясь, что такое положение может окончательно развратить класс, она совсем отказалась от проверки домашних заданий. Причина неудачи была в формальном характере проверки работы. Проверку нужно было организовать так, чтобы можно было тут же в классе легко и быстро определить, кто из учеников выполнил работу сам, а кто списал у товарища.

На малом научить большому

Каждому учителю, конечно, хочется, чтобы ученики усвоили его предмет лучше, а для этого больше поработали над ним как в классе, так особенно дома, где можно сделать и лишнее упражнение. Этот соблазн мы обязаны отстранить и соразмерить домашние задания с силами учеников и степенью их общей загрузки. Так, по программе на домашнюю работу учащихся отводится только 50% времени, полагающегося на тему в целом. Кроме того, нельзя не учесть общее снижение возраста учащихся. Нельзя не считаться и с заданиями по другим предметам, что часто создает у учеников крайне напряженный бюджет времени.

Отсюда вытекает необходимость для учителя значительно повысить требовательность к себе; работу строго планировать, заранее выделять в упражнениях и заданиях по теме главное и существенное, добиваться большей методической стройности в планировании домашней работы учеников; учитель должен поставить дело так, чтобы на малом научить большому, на немногом — многому.

Научить учиться

Как всю свою работу, так и те задания, которые учитель дает на дом, он должен сообразовать не только с силами учеников, но и с их навыками, с их культурой труда, с умением учиться. Без этого он потерпит неудачу.

Поэтому, как правило, учитель прежде всего должен знать своих учеников, их навыки и умение работать. Если учитель ведет данный класс давно, то он знает своих учеников. Если же класс новый, то можно прибегнуть и к специальным упражнениям. Мне лично в проверке умения пользоваться учебником помогает такой вид самостоятельной работы в классе: учащимся предлагается в течение определенного времени, в зависимости от сложности материала, самостоятельно выучить по учебнику новую теорему или вывести правило. И если внимательно понаблюдать за школьниками, то обнаруживаются ошибки и особенности каждого. Один при изучении теоремы по геометрии заучивает текст, не обращая внимания на чертеж. Другой — тратит силы на то, чтобы

запомнить в точности все обозначения на чертеже. Третий — при разборе вывода старается непременно запомнить все, имеющиеся в тексте примеры. Четвертый — вообще не умеет отличать главное от второстепенного.

Из бесед с учениками выявляются особенности их работы дома: одни сначала решают задачи или примеры, а потом берутся за теоретический материал, допуская явную ошибку, другие вообще не знают, на что обратить внимание, что запомнить, а что просто прочитать.

К существенным недостаткам в работе учащихся дома можно отнести и неумелое пользование помощью родителей и товарищей. Я лично не считаю нужным категорически запрещать пользоваться этой помощью в случае серьезных затруднений. Но когда помощь сводится к преподнесению ученикам готовых решений и, тем более, когда такая «помощь» принимает систематический характер, то это ведет к снижению успеваемости.

Пользуясь подобными наблюдениями, учитель может попутно делать свои замечания, поправки и указания.

Планирование домашних заданий

Опыт показывает, что учитель при переходе к новой теме предварительно должен изучить характер и количество упражнений или задач, имеющихся в стабильном задачнике, на эту тему. Заблаговременно же он должен наметить, какие упражнения и задачи будут решены в классе у доски, какие — в классе самостоятельно учащимися, какие явятся содержанием домашних заданий, какие будут решены устно. Одновременно учитель отмечает номера, которые будут решены позднее при повторении или не будут решены совсем ввиду их малой методической значимости.

Если этого преподаватель не сделает, то может оказаться, что случайные упражнения, не дающие возможности овладеть методом решения задач или не раскрывающие тему, будут решены, а очень важные «узловые» задачи учащиеся решить не успеют.

Например, на тему IX класса «Угол прямой линии с плоскостью» учитель имеет 1 — 2 часа, а в задачнике по геометрии Рыбкина, ч. 2, в § 2 на эту тему дано 14 задач. Заранее преподаватель планирует материал, например, так: для закрепления устно решить в классе № 5 (1,3) и № б (1,2) и 11; самостоятельно в классе — № 2; на дом — № 1,3 и 10; на следующем уроке в классе самостоятельно — № 4; устно —№8; на дом — №№ 9, 14; №№ 7, 12 и 13 будут заданы при повторении.

Для развития мышления учащихся, а также для закрепления навыков при подборе задач и упражнений необходима система перехода от простого к сложному. Ученик должен встречать небольшую новую трудность при переходе от предыдущей задачи (или примера) к последующей, так как только преодоление некоторых затруднений заставляет учащихся мыслить и вызывает интерес к работе.

При предварительном планировании домашних заданий учитель имеет как раз возможность расположить задачи по степени трудности, ибо в задачнике это важное методическое требование соблюдается далеко не всегда.

Возьмем для примера § 2 из 2-й части задачника по геометрии Рыбкина. В нем самые простые задачи помещены под номерами 8, 5, 6, 11, а более сложные, которые следовало бы отодвинуть дальше, идут под номерами 1, 2, 3.

То же, например, наблюдается в задачнике по геометрии Рыбкина, ч. 1, § 4. Под заголовком «Применение теоремы о сумме углов треугольника к решению задач» помещено 17 задач. Расположены они не по степени трудности, и решать их следует выборочно: № 40 и № 41 значительно легче, чем № 38 и № 39. Под номером 48 дана задача более простая, чем все предыдущие.

Целесообразно наметить указания и разъяснения, которые учитель сделает учащимся по вопросу выполнения домашнего задания в том случае, когда он знает, что более слабым ученикам задача будет трудна.

Примеры. Если преподаватель в VII классе на уроке геометрии с учениками решил № 86 (1) (задачник Рыбкина, ч. 1, § 5) — «построение трапеции по четырем сторонам», а на дом задает № 86 (2)—«построить трапецию по двум основаниям и по двум диагоналям», то слабым ученикам надо дать указание, по каким элементам следует построить исходный треугольник.

Если учитель задает по алгебре в IX классе № 1048 из задачника Ларичева, ч. 2, на дом, то необходимо сделать указание учащимся о целесообразности использовать график показательной функции, чтобы ответить на предложенные вопросы: что больше: 1 или т или /2, если каково т, если

Если дается задача на вычисление поверхности или объема треугольной пирамиды, вписанной в конус, то полезно напомнить, куда проектируется вершина конуса в зависимости от того, какой треугольник (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) лежит в основании пирамиды.

Добиваясь всемерного развития самостоятельности мышления учащихся, преподаватель должен делать указания по выполнению домашней работы только в более трудных случаях, когда задание, положим, непосильно для слабых учеников. Слабым ученикам в этих случаях указания необходимы, так как иначе они теряют лишнее время, а потом теряют веру в свои силы.

При планировании домашних заданий по теме следует подобрать задачи и упражнения так, чтобы при наименьшем количестве были решены примеры и задачи, включающие все возможные разнообразные затруднения и особые моменты, глубже раскрывающие тему.

Примеры.

При обучении сложению и вычитанию алгебраических дробей в VII классе нельзя упустить случаев:

1) когда при выполнении действий приходится использовать формулы сокращенного умножения;

2) перемену знака у знаменателя дроби;

3) когда в числителе получается 0;

4) когда числитель делится на знаменатель и др.

При обучении умножению и делению алгебраических дробей в VII классе следует включить в круг необходимых для решения такие упражнения, в которых:

a) в результате умножения или деления получается единица;

b) единицу приходится умножать или делить на алгебраическую дробь;

c) алгебраическую дробь приходится умножать или делить на единицу.

При решении комбинированных примеров на все действия над алгебраическими дробями учесть случаи, когда

a) приходится нуль делить на какое-либо алгебраическое выражение, не равное нулю;

b) случаи, когда деление невыполнимо, т. е. когда алгебраическое выражение, не равное нулю, приходится делить на нуль или когда нуль делится на нуль;

c) когда алгебраическое выражение умножается на нуль и др.

Объем домашних заданий

По объему задания должны быть небольшие, иначе ученики или списывают решение у одного из своих товарищей, или «кооперируются»: одни решают одну часть упражнений, другие — другую часть, а третьи — третью часть а затем механически списывают.

Можно, например, в IX классе по геометрии дать одну теорему вновь, одну для повторения и две-три задачи средней трудности, но без подробных записей или одну задачу с объяснением.

В какое время урока задавать на дом

Очень важно задавать домашние задания учащимся своевременно — после объяснения и закрепления нового. Учащиеся должны записывать их обязательно в дневник или в особую тетрадь, но не на клочках и не в блокнотах. Лучше, если или дежурный ученик, или сам учитель запишет задание на доске, а учащиеся перепишут его в дневники.

Совершенно недопустимо задавание уроков после звонка, как уже сказано выше.

Виды домашних заданий

Домашние задания можно разделить на две основные группы: устные и письменные.

В целях повышения интереса к выполнению работы и к самому предмету математики опытные преподаватели разнообразят виды домашних работ и их содержание, так как иначе учащихся утомляет однообразие.

Требование разнообразить виды домашних работ относится как к устным, так и к письменным работам.

Устные задания.

1. Вместо обычного требования выучить такую-то теорему можно предложить выписать в последовательном порядке этапы доказательства теоремы.

Пример 1.

Теорема об измерении вписанного угла. Первый случай — центр на стороне угла. Этапы доказательства следующие:

a) проведение вспомогательного радиуса;

b) полученный треугольник—равнобедренный;

c) образовавшийся центральный угол равен удвоенному вписанному;

d) вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается центральный или данный вписанный.

Пример 2.

Теорема о двух плоскостях (Р и Q), перпендикулярных к одной и той же прямой {AB). Этапы доказательства:

a) предположение противного: P\Q;

b) проведение через точку С, взятую на линии пересечения плоскостей, и прямую AB плоскости R;

c) линии пересечения плоскости R с плоскостями Р и Q перпендикулярны Aß;

d) двух перпендикуляров из точки С к AB в плоскости R провести нельзя;

e) предположение было неверное;

f) заключение: Р || Q.

2. Предложить:

при изучении дома новой теоремы выписать последовательно все теоремы, на которые опирался ученик при доказательстве данной, или предложить в старших классах составление так называемого генеалогического дерева.

3. Задавая повторить раздел по геометрии, предложить: одним подобрать теоремы, имеющие одно условие и несколько заключений, а другим — теоремы, имеющие несколько условий и одно заключение.

Например, по теме «Параллелограм и трапеция» (учебник Киселева, ч. I).

Теоремы, имеющие одно условие и несколько заключений:

a) Свойство сторон и углов параллелограма.

b) Свойство диагоналей ромба.

c) Свойство средней линии треугольника.

d) Свойство средней линии трапеции.

Теоремы, имеющие несколько условий и одно заключение:

a) Признаки параллелограмов.

b) Свойство параллельных прямых, проведенных через концы равных отрезков, отложенных на одной из сторон угла.

4. Ученикам, особенно слабым, полезно предложить изготовить модель применительно к теореме, заданной на дом.

5. Сильным учащимся предложить продумать иной способ доказательства теоремы. И т. д.

Письменные работы

1. Задачу можно предложить дома решить с объяснением, а в другой раз потребовать вместо объяснения дать последовательный перечень положений, формул или теорем, которые были использованы при решении задачи или упражнения.

Например, № 86 из § 7 задачника по геометрии Рыбкина, ч. 1. Вместо объяснения учащийся пишет, что при решении задачи использовал следующие теоремы:

a) свойство биссектрисы угла, как геометрического места точек, равноудаленных от сторон угла;

b) свойство касательной, проведенной к окружности;

c) свойство катета, лежащего против угла в 30°.

При решении арифметического примера по задачнику П. А. Ларичева, ч. 2, № 1550 (4) учащийся отвечает примерно так: при решении упражнения использованы следующие зависимости между компонентами арифметических действий в такой последовательности:

a) делимое равно делителю, умноженному на частное;

b) слагаемое равно сумме без другого слагаемого;

c) множитель равен произведению, деленному на другой сомножитель;

d) слагаемое равно сумме без другого слагаемого;

e) делитель равен делимому, деленному на частное.

2. Большое разнообразие вносят в работу и приносят немалую пользу в направлении развития пространственного представления задания по изготовлению моделей применительно к задачам.

Например, учащимся легче дается задача № 31 из § 3 задачника по геометрии Рыбкина, ч. 2, если они получат задание изготовить соответствующую каркасную модель и по ней разобраться в задаче. То же относится к № 11 и № 12 из § 5 того же задачника.

3. С большим вниманием и пользой для себя учащиеся выполняют домашние графические работы. Например, № 691-—702 по задачнику П. А. Ларичева, ч. 2.

4. В целях оживления работы и разнообразия ее видов желательно включать в домашние задания вопросы, упражнения или задачи и на повторение, желательна связь повторяемого с новым.

Примеры. Перед переходом к изучению логарифмической функции необходимо задать повторить свойства показательной функции и рассмотреть примеры типа № 1048 из задачника Ларичева, ч. 2.

При переходе к изучению сложения и вычитания алгебраических дробей надо задать на дом решение примера на сложение и вычитание арифметических дробей и повторение правил выполнения этих действий.

5. Каждому ясна ценность задач практического характера. Например, при изучении объема прямоугольного параллелепипеда можно предложить учащимся рассчитать кубатуру воздуха в своей квартире на каждого члена семьи, или при изучении поверхностей тел предложить составить смету на покраску или оклейку стен обоями в классе или дома. И т. д.

6. Ряд задач на дом можно предложить решить устно.

Индивидуальные задания

Как правило, в классе всегда имеется несколько учащихся, имеющих недоработки по материалу прошлых лет; наличие этих пробелов мешает ученикам идти в уровень со всем классом.

Успеваемость по математике как раз в значительной мере зависит от количества и качества пробелов по материалу прошлых лет. Учитель, принимающий новый класс, прежде всего должен изучить индивидуальные недочеты в знаниях учащихся своего класса. Недочеты эти многие преподаватели фиксируют или в так называемых «личных карточках», или в листочках — вкладышах в табель «чего я не знаю по математике». Листок этот заполняется по результатам контрольных, по результатам устных опросов, по результатам проверки домашних заданий. На основе ошибок учащихся, записанных в карточки, учитель дает учащимся индивидуальные задания, и только после проверки их и после того как учитель убедится, опросив устно или письменно, что учащийся восполнил пробел в знаниях, он в карточке ученика зачеркивает недочет и делает свою пометку.

Необходимость проверки домашних заданий

Домашние задания важны не только как один из способов закрепления знаний и привития навыков самостоятельной работы учащихся, но и как средство приучения молодежи к систематической работе над собой, к систематическому труду. Правильно организованные домашние задания, как сказано выше, воспитывают у молодежи исполнительность в отношении к требованиям учителя.

Однако вся образовательная и воспитательная ценность заданий пропадает в том случае, когда, хотя и умело организованные, задания не проверяются учителем. Нельзя сделать ошибки, если сказать, что домашние задания без последующей проверки вредны. Представляется невозможным называть проверкой задания, проверку только факта выполнения, хотя и такая проверка нужна. В самом деле, если учитель задает уроки, а не проверяет, учащиеся привыкают быть неисполнительными к требованиям учителя, а если они заметят, что учителю важно только видеть в тетради учащихся запись решений, то они этим подходом преподавателя будут спровоцированы на механическое списывание, которое в дальнейшем иногда принимает антиморальный характер.

Взаимоотношения учителя с учащимися

Нельзя здесь не упомянуть о роли взаимоотношений между учителем и учениками.

Учитель требовательный, но сумевший наладить хорошие, теплые человеческие отношения с учащимися обычно задает вопрос: кто не справился с работой? и получит искренний правдивый ответ от учащихся. Если же ученики только боятся своего учителя или вовсе его не уважают, то и ответа правильного в этом случае не получится.

Совершенно необходимо, чтобы учащиеся не боялись сами сознаваться, кому работа оказалась не по силам, а это возможно тогда, когда ученик знает, что учитель ему поверит и поможет.

Товарищеская взаимопомощь

В связи с вопросом об искренности отношений учителя и учащихся невольно возникает вопрос, преследуется ли учителем помощь ученику, оказанная товарищем в приготовлении домашних заданий. Здесь представляется целесообразным договориться с классом вначале и внести ясность; механическое списывание будет преследоваться, а товарищеская взаимопомощь в трудных случаях вполне допустима. Я могу привести из своей практики пример, когда при правильно организованной мной товарищеской взаимопомощи извлекли из этого пользу те, кому помогали, а особенно те, кто помогал; так, например, двое из них полюбили процесс объяснения материала еще в школе. По окончании вуза они работают уже несколько лет преподавателями математики в нашем же Киевском районе г. Москвы.

Под особый контроль недобросовестно относящихся к выполнению домашней работы

В классе встречаются труженики, много работающие, но с большим трудом усваивающие материал; у таких далеко не всегда выходят дома задачи и упражнения. Подобные ученики должны стоять в центре внимания учителя, который им оказывает помощь в первую очередь, чтобы подбодрить их, вселить им веру в свои силы. Не менее важно внимание учителя к способным, но недобросовестно относящимся к работе ученикам,—их учитель беспокоит каждый урок, ставя под особый контроль и проявляя беспощадность в требованиях. У таких учеников полезно почаще брать для проверки тетради с домашними заданиями, задавать им в первую очередь вопросы при проверке степени самостоятельности решения.

Обучающий опрос

В самое неприятное положение попадает преподаватель математики, когда ученики его имеют «календарь», по которому они узнают, кого и когда учитель проверит, кого будет опрашивать. Такое положение дает возможность ученикам по-своему «планировать» приготовление

уроков, а в остальные дни ничего не делать. Обычно такое положение имеет место в том случае, когда учитель редко спрашивает в классе теоретический материал и практикует опрос лишь контролирующий, не применяя опрос обучающий. При контролирующем опросе учитель работает только с теми 2—3 учениками, которых он вызывает. При обучающем опросе участвует весь класс, так как ученики обязаны следить за ответом товарища и каждый должен быть готов ответить на вопрос в случае затруднения отвечающего, а это позволяет учителю выявить многих из тех, кто не приготовился.

Но обучающий опрос не только форма учета знаний, но и способ углубления их, способ развития мышления учащихся, культуры их речи, способ воспитания внимания. При этой форме опроса каждый ученик следит за ответом товарища у доски, замечает его достоинства и недостатки, слушает поправки, сам вносит поправки. Это создает большую активность класса. Такой активности класса и мобилизации внимания учащихся способствует и то обстоятельство, что дополнительные вопросы учитель ставит здесь не отдельным двум-трем ученикам, как при контролирующем опросе, а всему классу.

В каждом классе есть слабые ученики, которые очень медленно и вяло отвечают и, будучи вызванными к доске при обучающем опросе, они замедлят темп урока и помешают работе с классом. В этих случаях я прибегаю к контролирующему опросу: таких учеников вызываю к доске, а всему классу даю небольшую самостоятельную работу.

Контролирующий письменный опрос

Устный обучающий опрос не исключает и контролирующего письменного: классу дается самостоятельная работа, проводимая под руководством учителя, а тем временем несколько учеников, посаженных на первые парты, дают в письменном виде ответы на вопросы, предложенные им на специальных карточках. Такой опрос позволяет проверить в течение урока большее число учеников.

Однако письменный опрос имеет и свои недостатки. Если при устном опросе учитель следит за точностью, краткостью речи и правильным ее синтаксическим построением, то при письменном опросе он лишается этой возможности.

Проверять развитие учащихся

При любой форме опроса нельзя ограничиваться шаблонными вопросами, проверяющими только формальные знания учащихся, например: «как читается такая-то теорема», «сформулируйте такое-то правило», «дайте определение. .. » и т. д. Такие вопросы не проверяют развитие учащихся и степень осмысленности в усвоении материала, хотя в известной мере и нужны. Их необходимо дополнять вопросами, проверяющими развитие учащихся; например, предложить одному и тому же ученику сформулировать определение и признак геометрического образа (параллелограма, параллельных прямых, параллельных плоскостей и т. д.). С этой же целью полезно с первого же года обучения геометрии при вызове учащихся к доске требовать иного чертежа, чем в книге, с другими обозначениями, потом вместо доказательства теоремы спросить только план его или перечисление логических этапов доказательства. Целесообразно предложить иногда доказать теорему устно, без чертежа и записи и т. д.

Подготовка к опросу

К опросу учитель должен готовиться, помня что опрос есть один из этапов сложного и длительного процесса усвоения знаний.

Учитель, идя на урок, должен знать, кого он вызовет для опроса, о чем спросит и кому какие дополнительные вопросы поставит. Конечно, придется все это записать в плане, чтобы не вспоминать во время урока, кого и о чем спрашивать, и не вызывать тем самым недопустимых заминок в темпе урока, снижающих дисциплину на уроке и внимание учащихся.

Подготовка к проверке письменных домашних работ

Способы проверки письменных работ очень разнообразны. Одно бесспорно: учитель должен, готовясь к объяснению нового материала, не менее тщательно готовиться и к проверке письменных домашних работ учеников. В чем состоит эта подготовка? Прежде всего учитель должен сам прорешать упражнения и задачи, данные ученикам, и отметить те места, где ученики могут встретить затруднения и сделать ошибки, чтобы при проверке в классе обратить на них внимание. Здесь же учитель намечает способ проверки и, в частности, какие вопросы он задаст ученикам для проверки степени самостоятельности решения и его осмысленности.

Фронтальная проверка

Фронтальная проверка факта выполнения работы проводится обычно путем беглого просмотра работ учащихся по рядам или путем проверки ответа.

Часто учитель начинает с вопроса: кто не справился с домашней работой? или: какие затруднения встретились в работе?

Если окажутся учащиеся, сознавшиеся в том, что они не справились с работой, то учитель назначает время, когда даст им после уроков необходимые дополнительные разъяснения.

Фронтальная проверка в той или иной форме необходима, но недостаточна.

Проверка степени самостоятельности выполнения

Дальше учитель путем постановки хорошо продуманных вопросов проверяет в первую очередь менее надежных учеников, насколько самостоятельно они выполнили домашнюю работу или насколько осмысленно и обоснованно сделано решение.

Успех проведения работы по домашним заданиям учащихся во многом зависит от того, насколько дополнительными вопросами по ходу решения задачи или упражнения учитель сумеет обнаружить тех, кто механически списал работу, а кто сделал ее осмысленно. При этом я не осуждаю и тех учеников, которые, не справившись сами с работой, вполне разобрались в ней с помощью товарищей.

В практике, к сожалению, бывает, что ученик, вызванный к доске для проверки домашнего задания, просто читает по тетради запись сделанного дома упражнения или задачи. Ясно, что такая проверка ничего не дает, так как по тетради с таким же успехом может прочитать и ученик, механически списавший работу у товарища.

Вместо этого учитель к каждому заданному на дом упражнению или задаче заранее продумывает ряд вопросов, выясняющих осмысленность или степень самостоятельности решения. Осуществляется эта проверка следующим образом. Ученикам предлагается сосредоточить внимание на своей домашней работе и быть готовыми отвечать на вопросы, которые будет ставить учитель. Предлагается отвечать подряд, по порядку мест, начиная с того ученика, которого вначале назовет учитель, а затем следующий, следующий, следующий.

Конечно, при этом преподаватель должен организовать внимание класса и владеть им. Чтобы не создавать задержки и излишнего шума, можно разрешать давать ответы сидя. Если по ходу такого в быстром темпе проводимого опроса, кто-то из учеников не ответил, создал задержку, то учитель тут же берет его себе на заметку и переходит к следующему. С тем, кто не ответил, он после выясняет причины заминки. И, конечно, при такой проверке, сразу же выявляются те, кто списал работу.

Следует еще раз заметить: чтобы такая проверка прошла в быстром темпе, заняла мало времени (10—12 минут) и была эффективна, учитель должен готовиться к ней дома, иметь заранее приготовленные вопросы, а не подыскивать их во время урока.

Примеры.

Проверяется в IX классе задание по тригонометрии.

§ 11, № 20 (а). Привести к виду, удобному для логарифмирования:

Учащиеся предупреждены, что все должны следить за ходом проверки работы и быть готовыми к ответу.

1) Вопрос. Какую формулу использовали вначале?

Ответ.

2) Вопрос. Какую использовали потом? Ответ. Синуса двойного угла.

3) Вопрос. Что получили?

Ответ.

4) Вопрос. Что сделали дальше? Ответ. Вынесли за скобку множитель

5) Вопрос. Что осталось в скобках?

Ответ.

6) Вопрос. Какую замену произвели в скобках до приведения выражения к виду, удобному для логарифмирования?

Ответ. Заменили cos через синус дополнительного угла.

7) Вопрос. Что получили в скобках?

Ответ.

8) Вопрос. Какую формулу использовали дальше?

Ответ. Сумма синусов двух углов.

9) Вопрос. Как читается эта формула?

10) Вопрос. Какое выражение получили после этого в скобках?

Ответ.

11) Вопрос. Чем заменили sin 45°?

Ответ.

12) Вопрос. Чем можно заменить

Ответ.

13) Вопрос. Какой окончательный результат?

Ответ.

14) Вопрос. Откуда получили

Ответ.

При проверке этого легкого примера можно проверить знание формул и степень самостоятельного решения минимум у тринадцати человек, но ведь на дом можно задать не один пример.

При проверке в VIII классе на уроке алгебры задачи на составление квадратного уравнения № 556 по задачнику Ларичева, ч. 2, ставятся следующие вопросы:

1) Вопрос. С какими величинами имели дело в задаче?

Ответ. s, V, t.

2) Вопрос. Какою зависимостью эти величины связаны?

Ответ, s = vt.

3) Вопрос. Каков вопрос задачи? Ответ. Какова скорость поезда по расписанию.

4) Вопрос. Что приняли за главное неизвестное?

Ответ. Скорость поезда по расписанию.

5) Вопрос. Как через данные в задаче числа и через введенное неизвестное выразили фактическую скорость поезда на перегоне в 20 км?

Ответ, (jc-f-10) км\час.

6) Вопрос. Как выразили время прохождения поездом перегона в 20 км при скорости по расписанию?

Ответ.

7) Вопрос. Как выразили фактическое время прохождения поездом перегона в 20 км при увеличенной скорости?

Ответ,

8) Вопрос. Как при помощи данных чисел и введенного неизвестного выразили время, которое наверстал поезд на перегоне в 20 км?

Ответ.

9) Вопрос. Чему равно наверстанное время согласно условию задачи?

Ответ. 6 (мин.).

10) Вопрос. На основании чего вы составили уравнение?

Ответ. Мы наверстанное время, согласно обозначениям, выразили как согласно условию задачи, это время есть 6 минут, следовательно, мы можем эти выражения приравнять.

11) Вопрос. Почему вы не могли написать

Ответ. Левая часть выражает время в часах, а правая — в минутах.

12) Вопрос. Как же следует писать?

Ответ.

13) Вопрос. Каков нормальный вид получившегося квадратного уравнения?

Ответ. X2 -|- 10* — 2000 = 0.

14) Вопрос. Каковы корни этого уравнения?

Ответ. at1==40, х2 = — 45.

15) Вопрос. Почему вы отбрасываете второе решение?

Ответ. Величина скорости не может выражаться числом отрицательным.

16) Вопрос. Какую величину при проверке задачи вы приняли за искомую?

Ответ. Время задержки поезда в пути.

17) Вопрос. Какую задачу вы составили для проверки решения, используя данные и найденное значение неизвестной величины?

Ответ. Поезд был задержан в пути; чтобы прийти во-время на место назначения, он прежнюю скорость 40 кмIнас увеличил на 10 км на перегоне в 20 км. На какое время поезд был задержан в пути?

Пример по геометрии.

При проверке решения задачи № 12 из § 1 задачника по стереометрии Рыбкина (черт. 1) ставятся следующие вопросы:

1) Вопрос. Как искали следы секущей плоскости?

Ответ. По двум точкам, расположенным в одной грани и принадлежащим секущей плоскости.

2) Вопрос. Какой след секущей плоскости в грани ААХВХВ?

Ответ. Отрезок прямой ABt.

Черт. 1

3) Вопрос. Почему следом секущей плоскости в грани ААХВХВ будет АВХ?

Ответ. Так как точки Вх и А принадлежат обе секущей плоскости и грани ААХВХВ9 следовательно, этим двум плоскостям принадлежит и весь отрезок АВХ.

4) Вопрос. Каков след секущей плоскости в грани DDXCXC?

Ответ. Отрезок прямой CXD.

5) Вопрос. Почему CXD — след секущей плоскости на грани CCXDXD?

6) Вопрос. Почему AD±CXD?

Ответ.

Следовательно, AD _]_ плоскости DD^C и AD ± CXD.

7) Вопрос. Почему AD ± АВХ?

8) Вопрос. Какова форма сечения? Ответ. Прямоугольник.

9) Вопрос. Чему равна площадь прямоугольника?

Ответ. S = AD-CD.

10) Вопрос. Как узнали CXD? Ответ. Из треугольника CDCX.

11) Вопрос. Почему треугольник CDCX — прямоугольный?

Ответ. Грань DDXCXC — прямоугольник, по условию.

Для проверки по существу домашней задачи иногда полезно со всем классом разобрать не самое решение, а предложить в порядке логической последовательности перечислить теоремы, на которые опирался ученик при решении данной задачи.

Например, в VIII классе при проверке решения задачи № 78, § 10 из задачника Рыбкина, «Планиметрия» (черт. 2), составляется следующий перечень теорем:

1) Свойство суммы острых углов прямоугольного треугольника.

2) Признак подобия прямоугольных треугольников.

3) Теорема Пифагора.

К решению задачи № 39, § 11 из задачника Рыбкина, «Планиметрия» (черт. 3), составляется следующий перечень:

1) Свойство касательной к окружности.

2) Свойство суммы внутренних односторонних углов при параллельных и секущей.

3) Биссектриса угла, как геометрическое место точек, одинаково удаленных от сторон угла.

4) Теорема о сумме внутренних углов треугольника.

5. Свойство высоты, проведенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

Проверяется в V классе пример по арифметике № 1643 из задачника Березанской:

Ставятся следующие вопросы:

1) Вопрос. Сколькими действиями вы решили пример?

(Возможны три ответа: 11, 12 и 13, и все ответы верны.) Учитель дома должен прорешать пример и увидеть это.

2) Вопрос. Почему получилось у кого 11, у кого 12, а у кого 13 действий?

(Одни делали ^1,2-0,5: -^-^ —- в одно действие, другие — в два; одни последнее действие Ç} “з—{“ 0,25 —j—делали в одно действие, другие — в два.

3) Вопрос. Как лучше решить?

(В 11 действий, так как здесь действия одной ступени и в первом и втором случаях.)

Дальше можно проверять по действиям, а более целесообразно спросить по поводу первого действия

4. Вопрос. Какое число получится при

Черт. 2

Черт. 3

умножении дробей, когда множители числителя и знаменателя сокращаются полностью?

(Первым ответит тот, кто сам решил пример.)

Вместо ответа на второе действие (0,8:1 = = 0,8) целесообразно спросить:

5) Вопрос. Что делается с числом при делении его на 1?

Вместо формального вопроса по поводу ответа к шестому действию ^1:-у-=-^-^ можно спросить:

6. Вопрос. Какими числами являются делитель и частное при делении единицы на какое-либо число?

Если учащиеся затрудняются ответить на вопрос 6, то можно спросить, как выполняли действие шестое ^1:—-=-^^, и задать наводящий вопрос:

7) Вопрос. Чему равно делимое в зависимости от делителя и частного?

8) Вопрос. Как называются два числа, произведение которых равно единице?

5 ] 20_9

По поводу действия 6 — 3 ^- = 3 —gg— = 3 -г^г целесообразно спросить:

9. Вопрос. В каких дробях целесообразнее выполнить действия? (В обыкновенных.) 10) Вопрос. Почему?

(Так как дробь 6 ~, знаменатель которой содержит множитель 3, не может быть выражена конечной десятичной дробью.)

Такой же вопрос относится и к одиннадцатому действию:

При проверке в VII классе задачи № 105 из задачника Ларичева, ч. 1, гл. VII, изд. 1948 г., учащиеся отвечают на следующие вопросы учителя:

1) Вопрос. О каких величинах говорится в задаче?

Ответ, s, V и t.

2) Вопрос. Какой формулой эти величины связаны между собой?

Ответ. s = vt.

3) Вопрос. Какая из величин неизвестна в задаче?

Ответ, s.

4) Вопрос. Что вы принимаете за главное неизвестное?

Ответ. Значение s.

5) Вопрос. Как вы обозначаете половину расстояния от деревни до города?

Ответ.

6) Вопрос. Как при помощи данных чисел и введенного неизвестного выразили время, за которое пешеход прошел бы пешком половину пути?

Ответ.

7) Вопрос. Как выразили время, за которое пешеход проехал половину пути на попутной автомашине?

Ответ.

8. Вопрос. Как при помощи данных чисел и неизвестного обозначить, на сколько часов раньше срока прибыл пешеход в город?

9. Вопрос. На сколько часов раньше срока прибыл пешеход в город, согласно условию задачи?

Ответ. На два часа.

10) Вопрос. Как и почему вы составили уравнение?

Ответ. Согласно введенным обозначениям, пешеход прибыл в город на Q^-~2~5ö) ча“ сов раньше срока, но по условию задачи он прибыл на два часа раньше срока, следовательно, мы можем эти выражения приравнять.

11) Вопрос. Какой нормальный вид полученного уравнения?

Ответ. Ах = 80.

12) Вопрос. Каков ответ? Ответ; 20 км.

13) Вопрос. Какую величину вы приняли за неизвестную при проверке решения?

Ответ. Скорость автомашины.

14) Вопрос. Какую новую задачу вы составили для проверки решения?

Ответ. Пешеход должен был пройти из деревни в город 20 км со скоростью 4 км\час, но, пройдя половину пути, он вторую половину проехал с попутной автомашиной и потому прибыл в город на два часа раньше. Найти скорость автомашины.

15) Вопрос. Какие вопросы ставили при решении последней новой задачи?

Какова часть пути?

20:2 = 10 (км) За сколько времени ее прошел пешеход?

[\0'А=2~-(часа).]

За сколько времени остальную половину проехала автомашина?

Какова скорость автомашины?

Поощрение оригинальных способов решения

Нередки случаи, когда одна и та же задача решается дома учениками различными способами. Это целесообразно выявить и, если позволит время, сравнить способы решения, указать достоинства и недостатки их и отметить наиболее рациональные и изящные.

В целях всемерного поощрения стремления учеников к самостоятельным, оригинальным способам решения учитель может ставить за такие решения высокие оценки.

Еще один из приемов проверки

Мне приходилось встречать у своих товарищей, и я сама изредка практикую такой прием проверки домашней работы.

Вместо предварительной проверки задания в начале урока, я оставляю под его конец 10—12 минут и предлагаю на отдельных листочках (убрав всё со стола) выполнить самостоятельную работу. Содержание этой работы составляет домашнее задание, занесенное мною на индивидуальные карточки. В карточки домашнее задание переносится с изменениями чисто формального характера: или введены другие обозначения, или изменен порядок примеров.

Проверка тетрадей

Учитель должен всегда интересоваться тетрадями своих учеников. Достаточно учащемуся заметить, что учитель невнимателен к его тетрадям, как почерк его становится неузнаваемым, в тетради нет ни полей, ни даты, ни номера урока, ни номера упражнения, ответы не выделены, не весь материал занесен в тетрадь. В таких тетрадях можно встретить немало орфографических ошибок даже в написании математических терминов, например: несло, велечена, еденица, деогональ и т. д.

В классе у таких преподавателей можно встретить вместо тетрадей пачку отдельных листков, вложенных в тетрадочную обложку, а можно встретить учеников и совсем без тетрадей.

Тетради проверять необходимо; основная цель — добиться образцового ведения тетрадей. Это может быть достигнуто разнообразием приемов проверки.

1. Некоторые учителя проверяют тетради своих учеников систематически, а потому учащиеся имеют по две тетради на каждый раздел математики; в то время, когда одна тетрадь проверяется преподавателем, ученики пишут на другой, затем он берет на проверку вторые тетради, а ученики пишут на первых.

2. Есть преподаватели, которые тоже добиваются образцового ведения тетрадей, но проверку организуют иначе: то возьмут для проверки 5—6 тетрадей на дом, то неожиданно, еще до урока проверят тетради у нескольких учащихся, то соберут для проверки тетради у всего класса, проверяют тетради у учащихся, вызываемых к доске, — одним словом, создают такие условия, когда ученики ежедневно ожидают проверки со стороны учителя. Это заставляет учащихся вести свои тетради аккуратно.

3. Некоторые преподаватели берут ежедневно для проверки от класса по 5—6 тетрадей, конечно, не по алфавиту и не лишая себя возможности через урок снова взять тетради у тех же учащихся, чтоб лишить возможности «почивать на лаврах» после очередной проверки.

4. Есть преподаватели, которые в журнале отводят особую графу «ведение тетрадей», куда проставляют оценки по 1—2 в четверти.

Так или иначе, но учитель должен добиться такого положения, чтобы ученик, идя на урок, ежедневно ждал контроля над его тетрадью.

Научить пользоваться математической книгой

В заключение хочу отметить необходимость учить школьников читать математическую книгу. Первой ступенью этого является умение пользоваться учебником. Между тем некоторые преподаватели диктуют ученикам для записей в тетрадях формулировки правил, теорем и доказательств и т. д., даже в тех случаях, когда в учебнике этот материал изложен вполне удовлетворительно. Мне лично приходилось встречать в восьмых и даже в девятых классах новых учеников, которые просили все записывать в тетради и откровенно заявляли, что по учебнику они учить не умеют. В тетрадях нужно записывать или то, чего совсем нет в учебнике, например теорему о корне из двух, или заменять устаревшую формулировку более правильной; например, теоремы о двух или о трех перпендикулярах в обобщенном виде. Но навык пользоваться книгой прививается учениками не только во время классных занятий, но и в порядке выполнения домашних заданий.

О МЕТОДЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО УЧЕТА

А. К. ИСАКОВ (Москва)

Основная цель, для достижения которой каждый учитель должен приложить все свои силы и способности — это иметь полную успеваемость по предмету, который он преподает.

Но что понимать под полной успеваемостью?

Если учащиеся VIII класса усвоили курс математики этого года, но многое перезабыли из пройденного за прежние годы, то вряд ли такую успеваемость можно признать за полную.

Я лично, как учитель математики, подразумеваю под полной успеваемостью такой уровень знаний, когда каждый учащийся в состоянии осмысленно ответить на любой основной теоретический вопрос программы и решить задачу средней трудности из любого раздела курса, не встречая при этом помех из-за недоработок прежних лет.

Но чтобы добиться такого уровня знаний, чтобы ликвидировать все недоработки, надо прежде всего выявить эти недоработки у каждого отдельного ученика или ученицы (особенно, если класс для учителя новый), т. е. проявить сугубо индивидуальный подход к каждому учащемуся.

Как это сделать?

Я полагаю, что для этого необходимо с самого начала учебного года охватить вопросами возможно большее число учеников класса и тщательно отмечать все промахи отвечающих в особой тетради.

Самые вопросы полезно ставить возможно разнообразного характера и почаще давать для решения на дому повторительные задачи и примеры из курсов прежних лет. Не надо забывать, что при многопредметности школьного обучения прочно запоминается только то, что часто повторяется.

При этом, если недочет в ответе учащегося относится не к программе текущего года, то оценку за ответ я почти не снижаю, но отмеченный недочет заношу в тетрадь как задолженность и одновременно указываю ученику, что именно следует повторить.

Самое существенное в методе индивидуального подхода заключается в ликвидации недоработок каждого учащегося, без нарушения планового темпа прохождения программы.

Я имею две тетради: в одну я заношу все промахи и недоработки каждого учащегося, делаю заметки о его поведении на уроке, об отношении к делу, а также заношу все его отметки.

Другая тетрадь служит для подготовки к урокам. Готовясь к уроку, я тщательным образом просматриваю первую тетрадь и отмечаю фамилии учащихся для опроса на следующем уроке. Записываю, какие вопросы буду задавать каждому. Обычно я ставлю два вопроса: один из изучаемой темы, а другой из раздела, по которому имеется недоработка. Если из ответа на второй вопрос я убеждаюсь, что этот раздел все еще не усвоен, ставлю «двойку», и если эта «двойка» уже не первая, то уведомляю родителей учащегося.

Если за учащимся недоимок не числится, то после ответа по изучаемой теме я задаю вопрос, рассчитанный на углубленное понимание этой темы. Например, в VIII классе при изучении теорем о биссектрисе внутреннего угла треугольника я задаю такие вопросы: а) на какой теореме основано доказательство этой теоремы; b) в учебнике дано доказательство теоремы для угла В, доказать ее для угла А или С; c) сформулировать теорему, обратную данной.

Сильному учащемуся я могу предложить не только сформулировать, но и доказать обратную теорему. С некоторой моей помощью учащийся даст доказательство, и это будет полезно и для него и для всего класса.

Выбор учащихся для опроса на следующем уроке при этом методе зависит от количества недоимок, имеющихся на счету у того или другого учащегося. Поэтому у некоторых учеников бывает по 3—4 отметки в то время, как у других только по одной. В этом нет ничего удивительного, так как нередко, ликвидируя одну задолженность, учащийся обнаруживает новый пробел в знаниях.

Следует отметить, что при индивидуальном подходе к обучению нет никакой очередности в вызовах учащихся, а потому никто из них не может готовиться только к определенному уроку.

Чтобы при опросе учащихся, имеющих недоработки, возможно реже появлялись повторные «двойки», необходимо внушить классу абсолютную уверенность, что любой промах, допущенный отвечающим, все равно — большой он или малый, — будет спрошен и ответ будет оценен отметкой. Для внушения такой уверенности слово учителя не должно расходиться с делом.

Количество «должников» в классе прежде всего зависит от степени его подготовленности, но и в лучшем классе оно значительно. Поэтому,

без ущерба для темпа прохождения программы, необходимо постоянно подготовлять для «должников» специальные опросные карточки.

Этот метод безусловно имеет хорошее воспитательное значение. Больше того, из практики этого года я заметил, что на некоторых «трудных» учащихся он способен действовать как своего рода «психическая атака».

Вот пример: ученица VIII кл., интересы которой далеки от школьной жизни, считая, очевидно, что начало курса ей, как второгоднице, — пустяки, не смогла ответить на вопросы из курса VI и VII классов, которые я диктовал. Я предупредил, что спрошу ее вновь, но она все-таки не подготовилась и получила «двойку». Я вновь предупредил, что еще раз ее спрошу, она вновь не ответила, получила третью «двойку», но больше уже не выдержала, попросила у меня все записи и ответила вполне удовлетворительно.

Укажу еще один момент, когда индивидуальный подход неизбежен. Я имею в виду проведение контрольной работы. Надо приучить слабых учащихся полагаться только на собственные силы и не надеяться на помощь товарищей, сделав последнюю невозможной.

Вот как я достигаю этого.

Я готовлю восемь вариантов контрольной работы, из них два пишу на доске, а остальные распределяю, как указано ниже.

При этом на парте у ученика ничего не должно быть, кроме тетради. Никаких передач или разговоров с соседом не допускается. В случае нарушения этих правил работа отбирается.

Многие учителя составляют тексты контрольной работы для каждого учащегося (30-— 35 вариантов). Это большая и тяжелая нагрузка для учителя. Я уже не говорю, что далеко не всегда можно составить такое количество равноценных вариантов. Одно переписывание их на отдельные листки, а затем исправление 30-— 35 разнообразных работ занимает очень много времени.

Так поступал прежде и я, но теперь я этого больше не делаю.

Восемь вариантов, когда два из них, написанные на доске, решают по девять человек, а каждый из остальных шести — по три человека, вполне достаточны, чтобы исключить возможность списывания. На следующем уроке я могу разбирать ошибки, допущенные несколькими учащимися, тогда как при тридцати вариантах общих ошибок нет, а «чужая» ошибка мало кого интересует. К тому же разбор контрольной работы полезно делать на следующем уроке, пока у класса еще свежа память о ней, а при очень большом количестве вариантов это трудно выполнимо.

Итак, индивидуальный подход к учащимся в моей практике заключается в следующем:

1) Я выявляю и ликвидирую пробелы в знаниях каждого учащегося.

2) При подготовке к уроку я, не снижая программных требований, заготовляю для сильных учащихся вопросы более углубленные, чем для слабых.

3) При индивидуальном подходе вызов ученика для ответа перестает носить случайный характер; он зависит от количества недочетов в знаниях, имеющихся «на счету» у учащегося.

4) Контрольную работу каждый учащийся пишет самостоятельно, полагаясь только на свои знания.

5) Если учащийся не выполнил домашнего задания по бытовым условиям, я ограничиваюсь занесением этого задания «на его счет» в виде задолженности.

6) Отказ (обоснованный) от ответа принимаю, но заданный урок записываю в тетрадь против фамилии отказавшегося.

Индивидуальный подход к учащимся резко меняет взгляд на целый ряд методических проблем:

1) Меняется взгляд на оценку урока. Урок, на котором учитель, хорошо владеющий классом, четко и ясно объясняет новый материал, задает интересные вопросы, а учащиеся дают хорошие ответы, все же может и не быть образцовым.

При индивидуальном подходе надо знать, почему к ответу были вызваны именно те, кто отвечал, и почему эти интересные вопросы были заданы именно им. Быть может, с вызванными учениками было бы уместнее беседовать на другую тему.

2) Меняется взгляд на балл «2». Прежде, если ученик хорошо отвечал заданный урок, но обнаруживал непонимание какого-нибудь важного раздела из ранее пройденного, я ставил «двойку», и тем дело кончалось.

Теперь я поступаю по-другому. Я и теперь ставлю «двойки», но по иному поводу. Ответ упомянутого ученика теперь я оценил бы «четверкой», но указал бы, что именно следует доработать дома.

Если при следующем опросе окажется, что мое задание не выполнено, то я ставлю «двойку».

3) Вывод оценки за четверть становится сугубо индивидуальным и более правильным.

Пример: у ученицы такие отметки: 4, 2, 2, 4, 4. Раньше я, конечно, вывел бы общую оценку «3», а теперь «4» по следующей причине. Две «двойки» ученица получила, так как сразу не могла проработать, как следует, какой-нибудь вопрос из пройденного, но «четверка», следующая за этими двойками, ясно показывает, что недоработанный вопрос ею усвоен вполне. Значит, у нее за четверть нет пробелов, и балл «4» вполне заслужен.

4) При индивидуальном подходе иногда достаточно бегло просмотреть тетрадь № 1 и по характеру имеющихся недоработок в классе решить вопрос, что надо задать классу для повторения. Повторить надо тот раздел, по которому у учащихся есть недочеты.

Полагаю, что индивидуальный подход к учащимся имеет следующие положительные качества:

1) Близкое и скорое ознакомление с познаниями каждого учащегося.

После первой четверти я уже разобрался в подготовленности почти каждого учащегося, а прежде мне не хватало для этого и полугода.

2) Повышение успеваемости количественное и качественное.

3) Индивидуальный подход содействует поднятию дисциплины, приучает учащихся готовить уроки на каждый день, доводить дело до конца, полагаться только на свои знания.

Следует, однако, заметить, что индивидуальный подход требует больше времени для подготовки к уроку и большего напряжения во время проведения урока.

УСТНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

П. В. СТРАТИЛАТОВ (Москва)

В деле развития внимания, памяти и сообразительности учащихся большое значение имеет фронтальный устный опрос класса по пройденному материалу. Обычно учитель уделяет некоторое время такому фронтальному опросу на каждом уроке, повторяя основной программный материал. Некоторые учителя практикуют так называемую устную контрольную работу. Опыт проведения такой работы описан в книге А. И. Зыкус «Пути повышения успеваемости по математике в V—VII классах» (Учпедгиз, 1952, стр. 12—15).

Такая устная контрольная работа проводится не чаще одного раза в четверть, после прохождения всей темы программы данного года обучения, охватывает подавляющее большинство учащихся класса и рассчитывается на 1—2 урока, по 45 минут каждый.

Мы проводили такую работу в IX классе по тригонометрии в конце III четверти и по тригонометрии в X классе в начале IV четверти. Но ее, конечно, можно проводить по любому разделу математики во всех классах.

В настоящей статье, обобщая опыт проведенных нами работ, мы наметим методику организации и проведения устной контрольной работы по математике.

Перед проведением работы учитель предупреждает учащихся о ней и указывает, какие разделы пройденного материала будут включены в работу. Учитель должен составить заранее вопросы в таком числе, чтобы каждому учащемуся, спрашиваемому на отметку, было задано 3—4 вопроса.

Весьма важна в каждом случае классификация этих вопросов. В указанной выше книге А. И. Зыкус приводится 30 вопросов для устной контрольной работы по курсу геометрии VI класса. Эти вопросы различны.

1. Одна группа — это вопросы, связанные с определениями: а) какая фигура называется треугольником; Ь) какие прямые называются параллельными и т. д. При ответе на эти вопросы ученик должен вспомнить ранее выученное.

2. Вторая группа вопросов — это устные задачи: а) внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 102°, определить внутренние углы треугольника; Ь) отношение острых углов прямоугольного треугольника равно 3, определить эти углы и др. При ответе на эти вопросы ученики должны показать умение применять изученную теорию.

Однако классификации вопросов в своей книге А. И. Зыкус не приводит и не указывает, какие вопросы задаются тому или иному ученику. Между тем весьма важно, чтобы учитель ставил оценку ученику за ответ на 3—4 вопроса, которые бы не были однотипны: одно дело — формулировать три-четыре определения или теоремы, другое дело — решить (хотя бы и устно) задачу. Вот почему при проведении устных контрольных работ следует

большое внимание уделить классификации предлагаемых вопросов.

Мы считаем целесообразным разделять предлагаемые учащимся вопросы на три группы:

I) определения, формулировки правил, теорем, знание формул и т. д.;

II) умение решить устную задачу (пример, упражнение);

III) вопросы на сообразительность, при ответах на которые учащийся должен показать более глубокое знание изученного теоретического материала.

Учитель, готовясь к проведению устной контрольной работы, составляет для класса на 45-минутный урок примерно 60—75 вопросов, по 20—25 вопросов на каждый из указанных разделов, и перенумеровывает их общей нумерацией (разумеется, можно нумеровать по разделам). Далее учитель составляет список тех учеников, которым он собирается выставить оценку. Более целесообразно заготовить список всего класса, подчеркнув фамилии учащихся, которым учитель намечает на уроке выставить отметку. Наряду со списком фамилий учитель делает пять граф: три графы соответствуют трем видам вопросов, четвертая графа для оценки за уточнения ответов других учащихся, а пятая — для оценки, выставляемой ученику за ответы; пятую графу можно не делать, а итоговую оценку ставить прямо в журнал.

Список этот имеет следующий вид:

Фамилия

I

II

III

IV. Оценка за уточнения ответов других учащихся

V. Общая оценка

1. Андреев .

1

30

60

2. Борисов . .

7

38

51

Целесообразно выписать против фамилии в каждом из трех столбцов вопрос, который будет задан ученику. Но можно вопросы выписать на другом листе бумаги, а в список учеников проставить только номера тех вопросов, которые будут заданы данному ученику.

В приведенном списке против фамилии «Андреев» приведены номера вопросов.

Конечно, на уроке придется спросить некоторых учащихся и не на отметку. Для этого можно заготовить 8—10 дополнительных вопросов и, кроме того, привлечь учащихся к уточнению ответов, спрашиваемых на отметку. Иногда за уточнение нескольких ответов учащемуся следует поставить в конце урока отметку.

Приведем примеры вопросов по двум темам: «Десятичные дроби» (V класс) и по тригонометрии (весь курс IX класса, исключая таблицы логарифмов тригонометрических функций и решения прямоугольных треугольников с таблицами логарифмов).

V класс

I

1) Какая дробь называется десятичной?

2) Как увеличить десятичную дробь в 10, в 100, в 1000 раз?

3) Как уменьшить десятичную дробь в 10, в 100, в 1000 раз? Привести примеры.

4) Которая из дробей больше: 0,23493, 0,238?

5) Прочитать число 238,047853.

6) Записать число двадцать тысяч шестьсот три миллионных.

7) Как складываются десятичные дроби? Привести правило и пример.

8) Как вычитаются десятичные дроби? Привести правило и пример.

9) Как умножить десятичную дробь на целое число? Привести правило и пример.

10) Как умножить десятичную дробь на десятичную дробь? Привести правило и пример.

11) Как умножить целое число на десятичную дробь? Привести правило и пример.

12) Какие законы сложения вы знаете?

13) Какие законы умножения вы знаете?

14) Как разделить десятичную дробь на целое число? Привести пример.

15) Как разделить целое число на десятичную дробь? Привести пример.

16) Как разделить десятичную дробь на десятичную дробь? Привести пример.

17) Как найти дробь числа?

18) Как найти число по данной его дроби?

19) Как найти отношение двух чисел?

20) Что называется процентом?

21) Как найти процент числа?

22) Как найти число по данному его проценту?

II

Вычислить:

18) найти 0,75 числа 20,4;

19) найти число, если 0,4 его составляют 8,4;

20) найти 20% числа 15,5.

Дополнительные вопросы

Округлить с точностью до целых единиц: 251,967; 365,539; 0,324; 12,5; 383,5; 739,211. Обратить в десятичные дроби:

III

Вопросы по геометрическому материалу.

1) Чему равна длина окружности, если ее радиус 10 см?

2) Чему равна длина окружности, если ее диаметр 12 см?

3) Чему равна площадь круга, если радиус равен 5 см?

4) Чему равна площадь круга, если диаметр равен 20 см?

5) Диаметр круга 1 м. Чему равен радиус?

6) Радиус круга 0,3 см. Чему равен диаметр круга?

7) Длина окружности равна 6,28 см. Найти площадь круга.

8) Длина окружности 3,14 см. Найти радиус круга.

9) Вычислить площадь прямоугольника, если длина его 12 см и ширина 7 см.

10) Чему равен периметр прямоугольника со сторонами 0,3 м и 0,2 м?

11) Чему равна площадь поверхности куба, ребро которого 15 см?

12) Чему равен объем куба, ребро которого 10 см?

13) Чему равна площадь поверхности цилиндра, если радиус основания его 3 см и высота 12 см?

14) Чему равен объем цилиндра, если высота его 10 см и радиус круга в основании 5 см?

15) Что такое один ар? Скольким квадратным метрам он равен?

16) Что такое гектар? Скольким квадратным метрам он равен?

17) Сколько ар в гектаре?

18) Сколько квадратных сантиметров в квадратном метре?

19) Сколько кубических сантиметров в литре?

20) Какую часть кубического метра занимает один литр?

Вопросы по тригонометрии в IX классе

I

1) Как изменяется синус при увеличении угла от 0° до 360°?

2) То же относительно косинуса.

3) То же относительно тангенса.

4) То же относительно котангенса.

5) Каковы периоды синуса и косинуса? Какая функция называется периодической функцией?

6) Каковы периоды тангенса и котангенса?

7) Каковы основные формулы, выражающие зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же угла?

8) Каковы дополнительные формулы, выражающие зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же угла?

9) Каковы знаки синуса в различных четвертях? (Обосновать ответ.)

10) Каковы знаки косинуса в различных четвертях?

11) Каковы знаки тангенса в различных четвертях?

12) Каковы знаки котангенса в различных четвертях?

13) Указать максимальное значение, которое принимает синус и при каком значении аргумента; привести общую формулу углов для этого случая.

14) То же для косинуса.

15) Каково минимальное значение, которое может принимать синус, и при каком значении аргумента? Привести общую формулу углов для этого случая.

16) Каковы значения тригонометрических функций угла в 30°?

17) То же для угла в 45°.

18) То же для угла в 60°.

19) Как изменяются значения тригонометрических функций при изменении знака аргумента?

20) Сформулировать правило применения формул приведения. Привести примеры.

21) Привести формулы:

22) Привести формулы:

23) Привести формулы:

24) Привести формулы:

25) Привести формулы:

26) Привести формулы:

27) Что называется углом в один радиан? Сколько градусов содержит радиан (точно, приближенно)? Какую часть радиана составляет угол в 1°?

28) Преобразовать в сумму

31) Построить угол а, если

32) Построить угол а, если

33) Построить угол а, если

Учащихся вызвать для ответа к доске.

34) Преобразовать

47) Преобразовать

63) Что больше

69) Каков знак дроби

70) При каких значениях а дробь

71) Построить угол а если

73) Решить уравнение:

74) Построить график: 75) 76) 77) 78)

79)

80) 81) 82)

83)

84)

85) Решить уравнение

86) Найти

87) Вычислить

88) Вычислить

Мы привели два набора вопросов. Разумеется, они примерные, учитель может их разнообразить и составить другие.

Остановимся на методике проведения устной контрольной работы. Напомнив учащимся об устной работе, учитель предлагает убрать все книги, тетради, бумаги, карандаши в парты (чтобы на партах ничего не было), говорит учащимся, что каждому ученику будут заданы 3—4 вопроса, за ответы на которые он получит в конце урока ту или иную отметку. Я при проведении работы разрешал поднимать руки учащимся, желающим дать ответ на поставленный вопрос. Но можно предложить рук не поднимать. Некоторые учителя вопросы задают в порядке следования материала при прохождении темы. Мне думается, что это не обязательно. Я задавал вопросы в произвольном порядке. Каждый вопрос задается классу. Задачи или примеры иногда следует записывать на доске полностью, иногда — только числовые значения. Иногда решение задачи ученик дает на доске. После того как вопрос предложен, дается некоторое время на обдумывание ответа. Это время зависит от трудности вопроса, но не следует его особенно удлинять. Целесообразно возможно быстрее называть фамилию ученика, который должен дать ответ. После того как ответ получен, учитель в списке против фамилии этого ученика, в соответствующей графе (около номера вопроса), ставит оценку за ответ по пятибалльной системе: исчерпывающий ответ — оценкой «5»; содержащий недочет—«4—3»;ошибочный—«2». Если ответ неточен, то следует спросить кого-либо из учащихся класса, поставив ему оценку (в IV графу). Если ответ неправильный, нужно спросить другого ученика, поставив ему оценку в графу того раздела, из которого задан вопрос. Разумеется, не следует задавать вопросы одному и тому же учащемуся подряд; лучше спрашивать разных учеников; это вносит большее оживление и повышает внимание учащихся. Лучше всего, если ученик будет спрошен на первый вопрос в начале урока, на второй вопрос в середине урока и на последний, третий вопрос — во второй половине урока.

Нужно иметь в виду, что проведение такой работы требует от учителя достаточно большого напряжения. Мы, например, в один учебный день проводили работы в двух десятых классах по тригонометрии; в первом классе было спрошено 25 человек, а во втором — 18. Уменьшение числа спрошенных учеников вызвано замедлением темпа проведения работы, так как нехватило должного напряжения у самого учителя. В конце урока нужно отвести 5—7 минут, чтобы подвести некоторые итоги: указать, какие разделы изучены более хорошо, какие разделы нуждаются в доработке, объявить оценки и выставить их в журнал, мотивировать оценки и дать задание на дом.

В заключение следует отметить, что учитель должен подготовить учащихся к проведению устной контрольной работы. Такой подготовкой и является фронтальный устный опрос учащихся, который следует проводить на каждом уроке и охватывать им возможно большее число учащихся класса, разнообразя предлагаемые вопросы и, в первую очередь, предлагаемые упражнения.

ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЬНИЦЫ А. В. КОЛЕСОВОЙ

Н. Я. ЦЫГАНОВА и Н. П. ГОЛЬДИНА (Вязники, Владимирская обл.)

Летом 1903 года в деревню Никиткино Вязниковском уезда Владимирской губернии приехала девушка с большой связкой книг и тетрадей. Весть о приезде учительницы быстро облетела всю деревню. Школы в деревне не было, разместились в тесной избе, в чуланчике была комната самой учительницы.

После года упорной работы Анне Васильевне удалось добиться с помощью крестьян постройки новой школы, но она тоже состояла из одной комнаты, в которой занимались одновременно Анна Васильевна и еще одна учительница с двумя классами учеников.

Так начинала свою педагогическую деятельность лучшая учительница г. Вязники, депутат Верховного Совета РСФСР Анна Васильевна Колесова, пятидесятилетний юбилей учительской деятельности которой общественность города торжественно отметила в декабре 1953 года.

А. В. Колесова родилась в 1887 году в г. Вязники в семье ремесленника-часовщика. В 1903 году она окончила женскую прогимназию, а затем педагогические курсы и получила звание учителя. Только исключительная энергия А. В., страстное желание передать свои

знания ученикам, огромная любовь к детям помогли ей справиться со всеми трудностями, которые она встретила в начале своей педагогической деятельности в дореволюционное время.

Лишь после Октябрьской революции А. В. сумела применить свои творческие способности в многосторонней и плодотворной педагогической деятельности. До 1922 года она работала в начальных школах Вязниковского района, а в 1923 году ее перевели в г. Вязники. В 1930 году А. В. получила звание учителя средней школы и с тех пор работает преподавателем математики в школе № 1 им. М. Горького в г. Вязники.

Умелый педагог, отзывчивый и чуткий товарищ, А. В. пользуется заслуженным авторитетом и уважением среди коллектива учителей и населения. Весь свой опыт и знания она отдает делу воспитания подрастающего поколения.

«Передо мной, — говорит Анна Васильевна, — как и перед моими товарищами, учителями, стоит задача растить нового человека, человека, способного строить коммунистическое общество, привить этому человеку лучшие человеческие черты».

Педагогическая деятельность А. В. отмечена высокими правительственными наградами. За долголетнюю и безупречную работу она награждена правительством орденом Ленина. Министерство просвещения наградило ее значком «Отличник народного просвещения».

Трудящиеся Вязниковского избирательного округа № 218 единодушно избрали А. В. Колесову депутатом Верховного Совета РСФСР.

На уроки Анны Васильевны идут и начинающие, и опытные учителя. Дверь ее класса гостеприимно открыта для всех учителей города и района. А. В. стремится к предельной точности, ясности изложения, к тому, чтобы приобретенные знания учащиеся могли применять на практике.

Анне Васильевне принадлежит много тонких методических разработок уроков по алгебре, арифметике и геометрии, которые используют учителя Владимирской области при изучении той или иной темы в школе, а также эти разработки сообщаются студентам Вязниковского государственного учительского института на лекциях по методике математики.

Пропагандируя и продолжая труды А. С. Макаренко по воспитанию нового человека, А. В. неоднократно выступала с докладами перед учителями и жителями города Вязники на темы: «Роль семьи в воспитании детей», «Развитие мышления и воображения учащихся в процессе обучения», «Пути и методы достижения высокой успеваемости» и др. Выступления А. В. отличаются большой теплотой, искренностью и убедительностью.

А. В. говорит: «Мой метод заключается в том, чтобы увлечь учеников и заставить всех работать».

Преподавание математики нужно строить в соответствии с тем, что познавательный процесс складывается из следующих основных моментов:

1) чувственное восприятие предметов или явлений,

2) представление об изучаемом предмете или явлении,

3) образование понятия изучаемого предмета или явления,

4) применение понятия к решению практических задач.

Пример 1. Основное в арифметике V класса — понятие дробного числа и действия над дробными числами. От знакомых, «близких», целых чисел нужно перейти к множеству дробных чисел. Чтобы составить себе правильное понятие дробного числа, ученик должен почувствовать нарушение целостности отдельных, удобных для этого предметов, для чего он должен быть в непосредственной близости к нарушению целостности, к расчленению предмета.

Одна из равных частей, полученных от деления, дает первое представление о дробном числе. Нарушая целостность различных предметов и отвлекаясь от их физических свойств, получаем понятие дробного числа.

В результате чувственных восприятий и обобщения, полученных представлений ученики получают представление о действиях над дробными числами, выражающихся в правилах действий над дробными числами, которыми ученики пользуются при решении задач.

Пример 2. В V классе решаются задачи с геометрическим содержанием: определение длины окружности, площади круга и т. д.

Для решения этих задач прежде всего необходимо обеспечить наглядное восприятие отношения длины окружности к диаметру.

Предметы цилиндрической формы, с которыми дети на каждом шагу встречаются в быту: консервная банка, ведро, кастрюля и т. п., — дают возможность практически познакомить учеников с окружностью, кругом.

Путем натягивания шнура или нитки на цилиндрическую поверхность мы даем первое представление о длине окружности. Выпрямляя шнур в прямую линию и измеряя ее поперечником-диаметром, получаем представление об отношении длины окружности к диаметру или радиусу.

Этот опыт, много раз повторенный в классе и в домашней обстановке, дает возможность сделать обобщение, т. е. составить понятие отношения длины окружности к диаметру.

Обобщение ученики делают самостоятельно под руководством учителя.

«Хорошо, точно сделанное учеником обобщение — награда учителю», — говорит А. В.

Процесс познания требует постоянного освежения представлений, а поэтому перед учителем со всей серьезностью стоит вопрос повторения — повторения не только правил, которые создавались при первоначальном изучении вопроса.

Повторять следует не отдельные вопросы, а несколько вопросов в их связи.

Так, повторение определения длины окружности и площади круга лучше всего выполнить на комбинированной задаче, решение которой требовало бы также повторения нахождения числа по его дроби и округления результатов.

При повторении надо заставлять учеников преодолевать трудности, так как это вызывает удовлетворение выполненной работой.

О развитии творческого мышления

Задача обучения не только в том, чтобы сообщить учащимся вполне определенную сумму знаний, но и в том, чтобы полученные знания сделать средством получения дальнейших знаний, знаний более глубоких и более широких. Следовательно, перед учителем стоит задача дать такие знания и так их дать, чтобы ученик применял их творчески и вносил в свою, пока еще ограниченную, практику. Поэтому учитель должен развить творческое мышление учащихся. Успехи в развитии мышления ученика зависят от того, в какой мере сознательно и последовательно учитель преследует эту цель. Если учитель обращает внимание на одну сторону обучения, т. е. насколько хорошо ученик усвоил материал, о развитии же мышления забывает, то он не добьется хороших результатов и в усвоении материала, так как глубокие знания тесно связаны с воображением и мышлением учащихся. В соответствии с этой задачей учитель должен продумать организацию урока.

Пример. Урок на тему «Сумма внутренних углов треугольника».

Урок можно провести так.

«Сегодня мы изучаем теорему о сумме углов треугольника», — говорит учитель и записывает тему на доске. «Послушайте, как читается теорема». Читает: «Сумма внутренних углов треугольника равна 2d, или 180°». Учитель выполняет чертеж на доске, а ученики, вслед за ним — в тетрадях.

Затем по предложению учителя ученики выделяют условие и заключение теоремы. Теорема сокращенно записывается на доске. Предлагается повторить теорему в целом и по частям. После того как учащиеся усвоили формулировку теоремы, учитель приступает к доказательству. Подробно, не торопясь, он рассказывает, что нужно добавить к выполненному чертежу, зачем надо добавить: продлить сторону треугольника, провести параллельную его стороне, а затем последовательно и стройно излагает все доказательство, приводя учащихся к цели. После этого учащиеся повторяют доказательство, только что приведенное учителем. Учащиеся все поняли и теорему будут знать.

Таков общераспространенный метод изучения этой теоремы.

Вот иная организация урока, иной метод, который использует А. В. Колесова.

«Сегодня мы изучаем теорему о сумме внутренних углов треугольника». Учитель пишет на доске тему урока и берет в руки треугольник.

«Посмотрите внимательно на каждый угол треугольника, прикиньте на глаз размер каждого и подсчитайте их сумму». Учащиеся дают ответы, очень близкие к истине, так как они часто упражняются в определении размеров

фигур на глаз, но все же ответы несколько отличаются один от другого.

«Как точнее определить каждый угол и их сумму?» — Ответ: «Надо измерить каждый угол транспортиром» (проверка транспортиром знакома учащимся). После измерения получают для суммы углов 180°.

Каждый учащийся на своем подвижном треугольнике еще раз проверяет сумму углов треугольника. Каждый получает 180°. В результате проведенной работы сами учащиеся формулируют теорему и записывают ее сокращенно (пишут, что дано, что требуется доказать). Учитель предлагает определить сумму углов треугольника без транспортира. Ученики производят непосредственное сложение углов треугольника. Убеждаются, что сумма трех углов треугольника равна развернутому углу.

Затем переходят от подвижной фигуры треугольника к чертежу, где уже нельзя выполнить непосредственного приложения одного угла к другому.

Предлагается найти способ логического доказательства. Вполне понятным становится, зачем надо продлить сторону треугольника: образовался внешний угол, равный сумме двух внутренних, с ним не смежных.

Понятным, естественно вытекающим из всей проделанной работы является и проведение прямой, параллельной стороне треугольника.

Таким образом, получим сумму трех углов при вершине С, равную сумме углов треугольника.

Так учащиеся изучили теорему о сумме углов треугольника, начиная с глазомерного определения и кончая точным логическим доказательством.

Каковы отличительные черты в организации урока и в применении того и другого способа изложения учебного материала?

В первом случае учитель поставил цель — передать свои знания учащимся, и он их действительно передал, однако от учеников не требовалось большого напряжения и сосредоточенности, самостоятельности, все было понятно, объяснено, выведено. Ученик пассивен.

Во втором случае учитель поставил себе цель — руководить получением знаний учащихся, ученики должны были в значительной мере сами добывать эти знания путем последовательного применения знаний, ранее полученных и освоенных. Знания ученика были действенны, они помогали ему в практической работе и привели к новому выводу, к новым знаниям.

Проводя сравнение этих двух способов организации урока на одну и ту же тему, А. В. приходит к выводу: «Не тот метод хорош, которым хорошо владеет учитель, а тот, который ставит ученика в положение целеустремленного человека, умеющего найти ответ на поставленный вопрос, который упражняет и развивает внимание, сосредоточенность, настойчивость в труде, развивает творческое мышление, приносящее ученику радость познания».

Только всестороннее рассмотрение вопроса в наиболее полной его связи с другими вопросами будет действительным средством к дальнейшему развитию мышления.

Нельзя развивать мышление на материале, который на данной стадии вообще недоступен пониманию ученика. С другой стороны, нельзя развивать мышления ученика, если учитель в объяснении не идет дальше того, что известно ученику, если он не раскрывает новых связей, новых сторон в изучаемом или уже известном вопросе. Учитель в своем объяснении должен идти навстречу детской любознательности и вместе с тем вызывать умственные потребности в получении новых знаний.

Большое значение для развития мышления имеют вопросы учителя. Характер вопросов может быть различен, могут быть вопросы, которые требуют знания и изложения прочитанного, выученного. Такие вопросы не требуют самостоятельного размышления, собственных примеров, выводов, не стимулируют сообразительность, не будят мысль ученика, а ограничиваются установкой на простое воспроизведение.

Пример. Ученик доказывает теорему о диаметре, перпендикулярном к хорде, и говорит: «Перегнем чертеж по диаметру Aß так, чтобы его левая часть упала на правую. Тогда левая полуокружность совместится с правой и отрезок КС пойдет по отрезку KD. Из этого следует, что точка С... и т. д.».

Ученик точно воспроизвел учебник, но не выяснил, почему же КС (часть хорды) пойдет по KD (другой части). Он не обратил внимания на величину углов.

Здесь уместно спросить: «Какое положение займет часть хорды при перегибании по диаметру, не перпендикулярному к хорде?»

Надо добиться от ученика ответа на этот вопрос, в котором отражались бы полная ясность, убежденность, умение рассуждать.

Большое значение в развитии логического мышления имеет повторение, если оно не носит механического характера. Допустим, что ученик с большим трудом решил задачу, но, решив, все же недостаточно ясно представляет ход решения. Когда же он мысленно воспроизведет вновь весь ход решения, его последовательное развертывание, он осознает все необходимые связи данных и искомых величин,

а не рассматривает величины изолированно и неподвижно. Надо помнить, что задача является средством развития творческого мышления. Задача делает мышление ученика гибким, учит его разбираться в конкретных условиях, учитывать возможности, а не блуждать в поисках решения. Основным моментом в решении задачи, приводящим к правильному решению, является анализ задачи.

Пример. В четырех классах средней школы учится 118 учеников. В первом и во втором классе 70 человек, в первом и третьем 65 человек, во втором и третьем 59. Сколько учеников в четвертом классе?

Анализ задачи.

Чтобы узнать, сколько учеников в четвертом классе, обратим внимание на то число, в которое искомое число входит как часть. Таким числом является число 118. Это число есть сумма четырех слагаемых: количество учеников первого, второго, третьего и четвертого классов.

Чтобы определить количество учеников четвертого класса, надо из суммы вычесть три числа: количество учащихся первого, второго и третьего классов.

Значит, мы должны прежде всего решить вопрос о количествах учащихся первых трех классов.

Число 70 — сумма числа учащихся первого и второго классов, число 59 — сумма чисел учащихся второго и третьего классов.

Одно слагаемое, а именно число учеников второго класса, входит в ту и другую сумму: в число 70 и в число 59.

Значит, разность между числом 70 и 59 есть разность между количествами учеников первого и третьего классов. А зная сумму двух чисел (число 65 есть сумма двух слагаемых: числа учеников первого и третьего классов) и разность их, мы можем определить каждое слагаемое в отдельности. Тогда мы будем знать число учеников первого класса и число учеников третьего класса, а затем число учеников второго класса по сумме 70 или 59 и одному известному слагаемому — числу учеников первого или третьего класса.

Зная три слагаемые, можно выделить четвертое из общей суммы 118.

Такое решение с предварительным анализом дает ученикам навык выделять не случайные и привычные связи данных, а связи, которые важны для решения этой задачи, что заставляет мыслить, искать.

Замечание. Эту же задачу можно решить многими другими способами. Самый простой из них следующий: сложив числа 70, 59 и 65, найдем удвоенное количество учеников первого, второго и третьего классов, взяв половину этого количества, найдем сумму количеств учеников первого, второго и третьего классов, вычтя эту сумму из общей суммы учеников, получим количество учеников в четвертом классе.

Предложенное ранее решение А. В. считает наиболее доступным для понимания учеников V класса, обобщающая способность у которых еще недостаточно развита.

Развитие мышления ведет к повышению интереса, внимания, вызывает упорство в работе, активизирует учащихся, улучшает общую целенаправленную работу коллектива.

«Ученик чувствует свой рост, радость познания. Учитель — удовлетворение работой, сознание выполненного долга».

Приведем одну из методических разработок урока, составленных Анной Васильевной, в которых она разрешает задачу обучения и развития творческого мышления.

Разработка урока на тему

«Зависимость между дугами, хордами и расстояниями хорд от центра» (2-я теорема).

Урок начинается с проверки домашнего задания. Проверяется знание теоремы о зависимости между дугами, хордами и расстояниями хорд от центра (1-я теорема).

Пока ученик, вызванный к доске, готовит чертеж для ответа, проверяю решение задачи № 10 из задачника Рыбкина следующего содержания:

В круге даны две взаимно перпендикулярные хорды, каждая из них делится дугой на два отрезка в 3 см и 7 см. Найти расстояние каждой хорды от центра.

Прошу учеников повторить содержание задачи. Опрашиваю, как выполнен чертеж к задаче, проводим сравнение выполненного учениками чертежа в тетрадях с готовым подвижным чертежом к задаче.

Задаю вопросы: какой фигурой вы пользовались при решении задачи? Какая фигура называется квадратом? какое дополнительное построение пришлось сделать? Предлагаю прочитать теорему о диаметре, перпендикулярном хорде. Задаю вопросы: какова длина хорды AB и хорды CD (черт, 1)? Чему равна сторона квадрата? Каково расстояние каждой хорды от центра? Повторяем решение задачи в форме связного рассказа.

Перехожу к опросу ученика у доски по заданной ему теореме. Ученик по выполненному им чертежу читает теорему, расчленяет ее на условие и заключение и затем доказывает.

В заключение ученику и классу предлагаю вопросы по повторенному к уроку материалу:

1) О прямоугольном треугольнике: а) какой треугольник называется прямоугольным? Ь) Какая из сторон прямоугольного треугольника наибольшая? Предлагаю прочитать теорему, на основании которой делаю заключение, что гипотенуза есть наибольшая сторона.

2) О треугольниках, имеющих по две равные стороны: а) рассматриваем на чертеже такие треугольники, Ь) читаем о них теорему. Затем повторяем материал, не связанный с темой урока, — «Геометрические места точек». Учащиеся должны привести несколько примеров геометрических мест точек.

После этого перехожу к изучению нового вопроса — теоремы о зависимости между дугами, хордами и расстояниями хорд от центра (2-я теорема).

1) Изучение формулировки теоремы по чертежу. Чертеж выполняется учителем на доске и одновременно учащимися в тетрадях. Выполнение чертежа сопровождается вопросами:

a) что дано в теореме? Ь) Каковы дуги по величине? с) Если каждую дугу сравнить с полуокружностью, то что можно сказать о каждой?

2) Переходим ко второй части теоремы — заключению: а) чем стягивается каждая дуга?

b) Что можно предполагать о хордах? какая из хорд должна быть больше? с) Какое же можно высказать «предположение-теорему» о дугах и хордах?

3) Перехожу к дальнейшему развитию доказательства теоремы: а) чем измеряется расстояние точки от прямой? центра до хорды? (Чертеж дополняем, проводим перпендикуляры из центра на хорды.) Ь) Какая из хорд ближе к центру?

Составляем теорему в окончательной редакции.

Повторяем полную формулировку теоремы.

На доске и в тетрадях записываем теорему. Дано:

Доказать:

1. Хорда ЛС ^> хорды BD

2. OM<ON (черт. 2)

Построим треугольник, сторонами которого будут хорда АС и два радиуса. Получим треугольник АОС.

Построим такой же треугольник со стороной BD, но треугольник будет расположен «далеко» от треугольника АОС, что неудобно для доказательства. Перенесем дугу BD так, чтобы точка В совпала с точкой А, обозначим ее ADi.

Начертим треугольник AODit Теперь будем рассматривать полученные треугольники.

Вопросы:

1. Какие равные элементы имеют эти треугольники?

2. Найдите </АОС треугольника АОС и измерьте его соответствующей дугой.

3. Найдите ^AODx и измерьте его дугой.

4. Который из углов больше и почему?

5. Прочтите теорему о треугольниках, имеющих по две равные стороны.

Ученик читает теорему.

6. Какой теперь можем сделать вывод?

Ответ. Сторона АС больше стороны AD, следовательно, хорда АС^> хорды AD, что и требовалось доказать.

Перехожу ко второй части доказательства. Нам осталось доказать, что большая хорда, т. е. АС, ближе к центру, или перпендикуляр ОМ меньше перпендикуляра ON. Перпендикуляр ОМ расположен «далеко», опустим перпендикуляр на хорду ADL. Читаем теорему о равных хордах. Равные хорды одинаково удалены от центра. Следовательно,

Черт. 1

Черт. 2

Обращаю внимание учащихся на полученный треугольник ЕМО. Вопросы:

1) Какой это треугольник? Укажите прямой угол. Прочитайте теорему о зависимости между углами и сторонами треугольника.

2) Какая же сторона треугольника наибольшая?

Сравните теперь два перпендикуляра: ОЛ^ и ОМ.

Ответ. ONx^> ОМ. Следовательно, ON> ОМ.

Вывод. Большая хорда ближе расположена к центру, что и требовалось доказать.

Вопросы, повторяющие и обобщающие доказательство:

1) Что требовалось сделать на чертеже для удобства доказательства?

2) Какими геометрическими фигурами мы пользовались в доказательстве?

3) Какие теоремы применяли?

Перехожу к работе с учебником. Предлагаю прочитать формулировку теоремы о зависимости между дугами, хордами и расстояниями хорд от центра (2-я теорема), § 109, и сравнить с формулировкой, предложенной учащимися.

Читаем доказательство по учебнику и чертежу учебника. На этом заканчивается изучение теоремы в классе; перехожу к заданию на дом.

Записываем на доске: Киселев, § 109.

Рыбкин, Задачник, стр. 27, № 14.

Даю задание одному ученику — изготовить наглядное пособие: выполнить чертеж к теореме полностью и по частям, соответствующим отдельным этапам доказательства.

* *

*

Мы — на январском (1954 г.) совещании учителей города. На трибуне Анна Васильевна Колесова.

Взоры всех присутствующих обращены к трибуне, им много раз приходилось слушать Анну Васильевну. Каждое ее выступление было новым и обогащающим мысль педагога, возбуждающим желание искать творческие пути решения огромных задач, стоящих перед советской школой.

«Мне не раз приходилось бывать на предприятиях города, и я видела, как беспокоятся рабочие приготовительных цехов, чтобы в следующий цех поступали качественные полуфабрикаты, чтобы все предприятие выпускало продукцию для народного потребления самого высокого качества. Это проявление государственной ответственности за порученное дело.

Такое отношение должно быть нормой поведения для каждого советского человека, а тем более для учителя. Формальное отношение к своим обязанностям — преступление перед обществом, перед педагогической совестью.

Наша радость — это творческий труд».

СОВЕТСКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

ИВАН КОЗЬМИЧ АНДРОНОВ

И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

2 июня 1954 года исполнилось 60 лет со дня рождения профессора Ивана Козьмича Андронова.

Иван Козьмич Андронов пользуется самой широкой известностью среди учителей и методистов математики всего Советского Союза. Автор либо один из соавторов программ по математике и по ее методике для педагогических и учительских институтов, непременный участник всех совещаний и комиссий по вопросам преподавания математики в школе и подготовки учителей математики, профессор педагогических институтов в течение 30 лет в Москве и Калинине, руководитель кафедры математики в Московском городском институте усовершенствования учителей — это перечень лишь части должностей, которые занимал и занимает Иван Козьмич. Помимо этого, И. К. является членом экспертных комиссий Министерства высшего образования по педагогическим и по математическим наукам, член ученой комиссии при Управлении подготовки учителей Министерства просвещения РСФСР, постоянный рецензент работ по методике математики, сотрудник бывших и существующих журналов для учителей математики и т. д. Можно сказать, что ни одно мероприятие государственного масштаба по вопросам преподавания математики в школе и по подготовке учителей математики не проходит без участия И. К. Андронова.

И. К. Андронов родился в городе Новосиле Тульской губернии (по прежнему административному делению) в многодетной трудовой семье. Долгая, тяжелая болезнь отца, единственного работника в семье, заставила И. К. «совмещать» ученье с частными уроками, а во время летних каникул работать на заводе. По той же причине ему пришлось по получении среднего образования начать работу в качестве учителя начальной школы. Жажда знаний заставила молодого учителя поступить стипендиатом в дореволюционный учительский институт, а по окончании его сделаться преподавате-

лем старейшей Порецкой учительской семинарии, в которой существовали хорошие педагогические традиции со времен Ильи Николаевича Ульянова, имя которого ныне присвоено педагогическому училищу, возникшему на базе Порецкой семинарии.

Стремление к усовершенствованию вскоре привело И. К. в единственную дореволюционную высшую педагогическую школу — в институт имени П. Г. Шелапутина. По окончании института И. К. стал преподавателем широко известной учительской школы Петербургского губернского земства.

В первые годы становления советской власти в Москве 18 августа 1918 года был собран съезд по подготовке учителей, где в математической подсекции И. К. сделал большой доклад «Проект новой программы по методике математики для учительских семинарий», который был напечатан в сборнике «Математика в школе», 1918, № 2.

После преобразования педагогического института имени П. Г. Шелапутина в Педагогическую академию И. К. был приглашен на работу в ней. В ее преемнике — Академии коммунистического воспитания — И. К. работал сначала преподавателем, затем доцентом, а с 1925 года профессором. В это время вышла в журнале «Математическая наука пролетарским кадрам», 1931, № 1, работа И. К. о достаточных и необходимых условиях и единственности решения задачи о нахождении радиуса круга по сторонам вписанного в него неправильного многоугольника. Одновременно И. К. работал в Тверском (ныне Калининском) педагогическом институте. В 1934 году И. К. без защиты диссертации получил степень кандидата педагогических наук.

После перевода Академии коммунистического воспитания в Ленинград И, К. с 1931 года работал в Московском государственном педагогическом институте. В «Ученых записках физико-математического факультета Московского государственного педагогического института» помещен его доклад на научной конференции профессорско-преподавательского коллектива «О постановке и методах преподавания аналитической геометрии в педагогических вузах». Выступив резко против порочной тенденции ликвидации методик как самостоятельных дисциплин, проводившейся директором института Никичем (оказавшимся врагом народа), И. К. был вынужден перейти на работу в Московский областной педагогический институт, в котором в течение четверти века он заведует кафедрой высшей алгебры и элементарной математики. Кроме предметов своей кафедры, И, К, ежегодно читает общие и специальные курсы по истории математики и ее преподавания, а также читал в разное время целый ряд специальных курсов по методике математики.

По совместительству И. К. заведует кафедрами математики в Инженерно-экономическом институте и в последние годы (до апреля 1954 г.) в Московском городском институте усовершенствования учителей. Кроме того, И. К. выступал на курсах, семинарах и конференциях учителей математики в большом числе городов вне Москвы, от Архангельска до Астрахани и Сочи, и участвовал в аналогичных методических мероприятиях самых разнообразных ведомств.

Стремясь к созданию последовательного мировоззрения на основе диалектического и исторического материализма, И. К. после самостоятельного изучения классиков марксизма поступил в марксистско-ленинский университет, который окончил с отличием в 1940 году. Его доклады о работах классиков марксизма по методологии диалектического материализма в применении к физико-математическим наукам и критика идеалистических взглядов Маха, Пуанкарэ, Расселя, Кутюра и других буржуазных авторов пользуются широкою популярностью в среде студентов, учителей и научных работников. Глубокое знание и понимание основ диалектического материализма отразилось в многочисленных журнальных и газетных статьях, предисловиях и примечаниях к различным книгам по методике, которые И. К. в большом числе помещал в печати в течение десятков лет.

Научно-исследовательская работа И. К. Андронова в области математики относится в основном к вопросу равносоставленности и равновеликости многогранников и других фигур (12 статей в «Ученых записках Московского областного пединститута», 1949—1964). Однако главное место в творчестве И. К. занимают исследования по методике и истории математики и ее преподавания, главным образом в России и у народов Советского Союза. Из этих работ в печати появилась очень небольшая часть (в журналах «Математическое образование» и «Математика в школе» и др.). В рукописи у И. К. имеется ряд прочитанных им в разных местах докладов, посвященных истории математики и ее преподавания, докладов, основанных на неиспользованных до него архивных материалах. Двадцать докладов, посвященных методическим взглядам русских математиков и деятелей математического образования, охватывают период от Л. Магницкого до Н. А. Извольского и А. П. Киселева. Опубликование этой серии очерков дало бы советскому учителю настоящую историю развития

методической мысли в России, историю, в которой все положения документально подтверждены и все идеи методистов прошлого оценены с современной точки зрения.

Вторая серия очерков, также около двадцати, посвящена актуальным вопросам современной методики математики и проблемам реформы ее преподавания. Этой же цели служит вышедшая в июне 1954 года «Арифметика» — пособие для учителя, излагающая школьный курс на основе теории конечных множеств.

Все работы И. К. Андронова отличаются строгой обоснованностью. Эта их черта во многом обусловлена совершенно исключительной библиотекой И. К., собирание которой представляет в буквальном смысле слова подвиг. Математико-методическое собрание книг, журналов и рукописей в 27 000 номеров, охватывающее почти всю математическую литературу на русском языке, представляет ценность, которой не владеет ни одна из существующих библиотек. В составление этой библиотеки вложено ее владельцем огромное количество труда и беспредельная любовь к предмету и родной школе, для этого было использовано столько неповторяющихся счастливых случаев, что ценность ее не может быть измерена никакими числовыми показателями. Составлением такой библиотеки И. К. оказал совершенно исключительную услугу исследователям в области методики математики. Ценность ее знают не только многочисленные аспиранты И. К., но и многие авторы диссертаций и работ по методике, которым И. К. всегда охотно и с любовью оказывает помощь и поддержку.

Иван Козьмич встречает свое шестидесятилетие в полном расцвете творческих сил, проявляя исключительную энергию и оказывая беспредельную доброжелательную помощь каждому исследователю, который к нему обращается.

Пожелаем нашему юбиляру упорно сохранять привычную ему бодрость и жизнерадостность и продолжать многие годы свою исключительно полезную деятельность на благо школы нашей социалистической Родимы.

Юбиляр получал неоднократно правительственные награды. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 16 октября 1951 года он был награжден орденом Ленина. В настоящем году Министерство просвещения РСФСР наградило И. К. медалью Ушинского. Шестидесятилетие Ивана Козьмича дает повод выразить ему горячую любовь и благодарность всех тех многочисленных лиц, которым приходилось и приходится совместно с ним трудиться на ниве народного просвещения, а также тем, которые пользовались и пользуются его помощью и поддержкой.

АЛЕКСАНДР МАТВЕЕВИЧ АСТРЯБ

(К 75-летию со дня рождения и 50-летию научно-педагогической деятельности)

Б. Н. БЕЛЫЙ (Дрогобыч)

В сентябре этого года исполняется 75 лет со дня рождения профессора Александра Матвеевича Астряба — известного методиста-математика Советской Украины.

А. М. Астряб родился 4 сентября 1879 года в г. Лубны Полтавской области в семье учителя Матвея Григорьевича Астряба, выходца из украинцев Закарпатья. В 1899 году А. М. Астряб окончил Лубенскую гимназию и поступил на физико-математический факультет Киевского университета, который окончил в 1904 году с дипломом 1-й степени.

Первую должность учителя А. М. получил в Глуховской гимназии (Черниговская область), где в 1904/05 учебном году преподавал математику и физику. Осенью 1905 года А. М. перешел на работу преподавателя математики и физики в коммерческое училище Л. Н. Володкевича. С этого времени А. М. почти без перерыва работал в г. Киеве. Он явился одним из организаторов коммерческого училища нового типа («Первое общество преподавателей») преподавал математику, физику и методику этих дисциплин на высших женских курсах, в народном университете, на лубенских и киевских высших педагогических курсах, которые позже были объединены с педагогическим институтом.

После Великой Октябрьской социалистической революции А. М. продолжал свою педагогическую деятельность в высших учебных заведениях г. Киева. С 1922 по 1925 год он читал лекции по математике на рабочих факультетах Киевского политехнического и Киевского сельскохозяйственного институтов. С 1925 по 1930 год он работал в качестве доцента, а затем профессора Киевского института народного просвещения (на базе его был создан пединститут) и заведующего кафедрой математики Киевского физико-химико-математического ин-

ститута (преобразованного позднее в университет). В период 1931 — 1934 годов А. М. заведовал кафедрой математики и физики Украинской Академии снабжения им. И. В. Сталина.

С 1930 года и до настоящего времени А. М. является профессором и заведующим кафедрой методики математики Киевского педагогического института им. Горького.

Проф. А. М. Астряб принимал активное участие в организации Украинского научно-исследовательского института педагогики, где заведует отделом методики математики со дня его основания (1922) до настоящего времени.

В период временной оккупации Украины фашистскими захватчиками А. М. работал вначале (1941/42 учебный год) в качестве профессора Астраханского педагогического института, а затем — профессора Украинского объединенного университета (созданного во время войны на базе Киевского и Харьковского университетов), находившегося в г. Кзыл-Орда Казахской ССР. Одновременно он преподавал математику в Кзыл-Ординском педагогическом институте.

После освобождения г. Киева от вражеских оккупантов А. М. продолжил свою работу в Украинском научно-исследовательском институте педагогики и в Киевском педагогическом институте им. Горького.

Одновременно А. М. руководит секцией математики и физики научно-методического совета Министерства просвещения УССР.

С первых же лет своей педагогической деятельности А. М. начал вести научную работу в области методики математики. В 1907 году он был избран действительным членом Киевского физико-математического общества, в 1909 году в издательстве «Сотрудник» (Киев) вышла в свет «Наглядная геометрия» — первая и вместе с тем значительная работа А. М. Астряба*. Эта книга выдержала двенадцать изданий на русском, украинском, болгарском и других языках. Применительно к ней автор создал и «Задачник по наглядной геометрии, (первое издание вышло в 1916 г.).

Особенно плодотворно работает А. М. после Великой Октябрьской социалистической революции, являясь одним из активнейших строителей советской школы на Украине. В двадцатых годах А. М. самостоятельно и в соавторстве с некоторыми учителями создал математические задачники и учебники для трудовой школы**.

А. М. является автором ряда методических пособий для учителей («Как преподавать геометрию в средней школе», ч. I и ч. II, Киев 1934; «Наглядная геометрия в IV—V классах», Киев, 1951, и др.). При его участии и под его общей редакцией на Украине вышло более десяти оригинальных методических пособий, которые широко применяются преподавателями математики в их повседневной работе. Назовем хотя бы следующие книги: «Теория и методика решения задач на построение» (1940), «Методика стереометрии» (1-е изд. — 1939 г., 2-е изд. — 1949 г., сейчас подготовлено 3-е, значительно переработанное издание), «Решение стереометрических задач» (1936), «Теория и методика решения арифметических задач» (1940), «Преподавание арифметики в семилетней школе» (1951), «Очерки по методике преподавания систематического курса арифметики» (1-е изд.— 1950 г., 2-е изд. — 1953 г.; Министерством просвещения УССР книга удостоена премии Ушинского), «Преподавание геометрии в средней школе» (1953) и др.

В настоящее время под руководством А. М. и при его участии подготовлена к печати книга «Преподавание математики в школе в свете задач политехнического обучения». Названные методические пособия написаны с учетом передового опыта учителей республики.

А. М. Астряб является автором нескольких десятков статей, посвященных самым разнообразным, но всегда актуальным и сложным методическим вопросам, Десять его статей посвящено

* Литографированное издание этой книги относится к 1906 году.

** Почти все вышедшие в Киеве книги и статьи — на украинском языке.

общепедагогическим вопросам преподавания, три статьи посвящены учету математических знаний учащихся, в семи статьях дан анализ ошибок по математике и указаны пути борьбы с ними, в одиннадцати журнальных статьях рассмотрена связь теории с практикой в процессе преподавания математики в средней школе. Многие статьи А. М. посвящены конкретным темам школьной программы по математике: «Первые уроки систематического курса геометрии» (методический сборник «Математика в школе», вып. 1, Киев, 1945), «Изучение шара в средней школе» (журн. «Комунистична освита», 1938, № 2), «О преподавании отрицательных и положительных чисел» (метод, сборник «Алгебра», Киев, 1952), «Почему трудно решать геометрические задачи на вычисление» (статья в сборнике «Материалы совещания преподавателей математики средней школы», Учпедгиз, Москва, 1935), «Конгруентные фигуры и признаки равенства треугольников» (метод, сборник «Математика в школе», вып. VII, Киев, 1952) и ряд других.

Во многих статьях (около 20) рассматривается методика решения арифметических задач и другие важные вопросы постановки преподавания арифметики в семилетней и средней школе.

Решению серьезных методических проблем посвящены такие научно-методические исследования А. М., как «Теоретическое обоснование типизации арифметических задач в систематическом курсе арифметики» («Ученые записки Киевского педагогического института им. Горького», том X, 1950), «Три основные проблемы в построении курса тригонометрии в средней школе» (Ученые записки Украинского научно-исследовательского института педагогики», т. III, 1949) и др.

Характерным для многих работ А. М. является исторический подход к теме, критический анализ соответствующей литературы, учет психологических особенностей учащихся данного возраста, убедительность, обоснованность и конкретность даваемых учителю методических советов.

Перу А. М. принадлежит семь работ из области истории математики и ее преподавания в России и на Украине. Особенный интерес для учителя математики представляют следующие статьи: «Л. Н. Толстой как методист-математик» («Ученые записки Киевского института народного образования», 1928), «Основные указания Ушинского о преподавании математики» (сборник «К. Д. Ушинский», 1946), «М. В. Остроградский — выдающийся отечественный ученый и педагог» (журн. «Радянська школа», 1952, № 1), «Из истории преподавания математики в советской школе» (журн. «Радянська школа», 1947, № 5).

В настоящее время А. М. пишет работу о преподавании математики в школах Украины и России в период до и после их воссоединения.

За пятьдесят лет своей научно-педагогической деятельности А. М. опубликовал свыше ста работ, общий объем которых достигает 250 печатных листов.

А. М. ведет активную общественно-педагогическую и общественно-политическую работу. Он руководит аспирантурой по специальности «Методика математики» при Украинском научно-исследовательском институте педагогики и Киевском педагогическом институте. Около двадцати аспирантов, учителей, работников педвузов защитили написанные под его руководством кандидатские диссертации. Сотни учителей Советской Украины являются его учениками. А. М. часто выступает с докладами перед учительскими коллективами Киева и других городов, ведет обширную переписку со многими учителями республики, он никогда не отказывает в совете и помощи и снискал себе заслуженный авторитет, симпатию и любовь со стороны учителей и научных работников Украины.

Проф. А. М. Астряб—член КПСС, депутат Киевского городского Совета депутатов трудящихся, заслуженный деятель науки Украинской ССР, награжден медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне», значком «Отличник народного просвещения УССР».

Советское правительство высоко оценило многолетнюю научно-педагогическую деятельность выдающегося методиста Советской Украины: Указом Президиума Верховного Совета СССР проф. А. М. Астряб в октябре 1953 года награжден орденом Ленина.

Пожелаем Александру Матвеевичу доброго здоровья и многих лет плодотворной работы на благо нашей социалистической Родины.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О КНИГЕ «МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ АРИФМЕТИКИ» В. Г. ЧИЧИГИНА

(Пособие для учительских институтов, Учпедгиз, 1952)

П. М. ЭРДНИЕВ (с. Нечунаево Алтайского края)

Из предисловия автора видно, что центральным разделом рецензируемой книги является методика преподавания дробей. Однако это ни в коей мере не оправдывает односторонности данной книги, предназначенной для студентов учительских институтов: многие разделы курса арифметики средней школы освещены не достаточно полно, либо вовсе не затронуты.

Например, в рецензируемой книге не рассмотрен такой важный вопрос, как борьба с формализмом в знаниях учащихся. Ничего не сказано о геометрическом материале, изучаемом в V классе, тогда как ему отводится программой значительное время.

Вскользь, а иногда лишь в одной-двух фразах автор упоминает о таких немаловажных вопросах обучения арифметике, как устный счет, использование русских счетов на уроках, практические работы по арифметике (что приобретает особую важность в свете проблемы политехнического обучения); также мало, почти ничего не сказано о роли и методах проверки решения задач.

Чрезмерно кратко, конспективно разобраны общие вопросы, как, например, проверка тетрадей, методика опроса и проведения контрольных работ, методика построения урока, внеклассная работа и др.

Нет в книге ни одного полного конспекта урока, ни одного текста примерной контрольной работы.

Нам кажется, что если автор в последующих изданиях расширит объем книги, разобрав указанные выше и некоторые другие вопросы, то она лишь выиграет и будет лучше соответствовать своему назначению.

Достоинством книги является наличие в ней достаточного числа тщательно продуманных методических разработок узловых тем и вопросов. В этом смысле учитель-практик найдет в ней много полезного и ценного.

Рассмотрим содержание книги по разделам. Глава I «Повторительный курс арифметики целых чисел» написана четко, лаконично. Существенным недостатком надо признать отсутствие указания о том, что для отчетливого понимания десятичной системы счисления, а также поразрядного сложения и вычитания следует рекомендовать всемерное использование русских счетов, особенно там, где говорится о возможности производства сложения и вычитания, начиная с любого разряда (стр. 34).

При большом внимании к выражению арифметических правил и законов при помощи буквенных формул автор не отметил необходимости такого выражения для правил вычитания суммы и разности из числа:

Правильно оценив большое развивающее значение изучения зависимости результатов действий от изменения компонентов, автор переоценивает возможности пятиклассников. Например, учителям он рекомендует для развития функционального мышления решать с учащимися задачи: «как изменится разность, когда один или оба компонента увеличивается в несколько раз?» (стр. 40); «как изменится сумма, если одно из слагаемых увеличить вдвое, втрое, вчетверо?» (стр.35); изменение суммы при делении слагаемого (?!) на 2, на 3 рекомендуется изучать позже, при прохождении дробей (стр. 35).

Очевидно, такие сложные упражнения непосильны для среднего ученика. Их можно вынести на занятия кружка, но тогда автору следовало бы сделать соответствующее указание.

При изучении темы «Изменение частного в зависимости от изменения делимого и делителя» автор рекомендует применять следующие длинные записи:

и т. д. всего 6 строк (стр. 61).

Мы полагаем, что проще воспользоваться краткими таблицами:

Еще проще объяснение такого материала на задачах со знакомыми детям величинами (в книге В. Г. Чичигина все подобные вопросы разобраны только на отвлеченных числах).

Автор слишком вольно обращается с математическими терминами. Он пишет: «... при вычитании суммы и разности двух чисел, а также при сложе-

нии числа и разности двух чисел переместительный закон имеет место и при действии вычитания (? !), но только по отношению к вычитаемым» (стр. 38).

Здесь надо сказать следующее: закон бывает для действия, а не для компонентов, к тому же для вычитания переместительного закона не существует. Далее: «... поэтому приведенная запись с применением переместительного и сочетательного законов деления поможет учащимся в этих случаях делать необходимые выводы» (стр. 62).

Но ведь этих законов для деления тоже не существует!

На странице 44 сочетательному закону (общепринятый термин!) дается второе, неупотребительное название — собирательный закон.

На странице 153 автор заменяет понятие «закон» понятием «свойство» и пишет о распределительном свойстве произведения, его сочетательном свойстве, переместительном свойстве.

Итак, вместо «распределительного закона умножения» появилось «распределительное свойство произведения» (курсив мой. — П. Э.)

На странице 152 дан заголовок: «Основные свойства умножения и произведения дробей».

Непонятно, какие свойства относить к умножению (действию), какие — к произведению (результату действия).

Далее для перестановки членов пропорции он вводит новый термин «переместительное свойство членов пропорции» (стр. 265). Этот термин опять лишний, ибо нельзя менять местами любые члены пропорции.

Мы же считаем, что правильно будет — не говорить ни «о переместительном законе для вычитания по отношению к вычитаемым» (как в методике Б. Г. Чичигина), ни о том, что «вычитание обладает свойством сочетательности» (как в методике Е. С. Березанской), а учить учащихся лишь тому, что соответствующие законы верны для сложения и умножения, а для вычитания и деления характерны иные свойства.

Главы II, III, IV, посвященные обыкновенным дробям, написаны содержательно. Даже при наличии указанных ниже недочетов учитель в них найдет много практически полезного материала.

Хорошо разработан вопрос о развитии понятия числа: методические указания, данные в соответствующих местах для расширения этого понятия, конкретны; схема классификации дробных чисел, предлагаемая автором, доступна для понимания учащимися; использование числовой оси для объяснения бесконечности дробных чисел на любом ее отрезке вполне посильно пониманию пятиклассников; уместны указания о необходимости объяснить учащимся, что действие вычитания в множестве дробных чисел выполнимо не всегда, тогда как действие деления всегда выполнимо (кроме деления на нуль).

Наличие этих указаний мы считаем тем более важным, что учителя все еще мало обращают внимание на развитие мышления учащихся и на диалектические черты изучаемой науки.

Автор разработал отличный от традиционного порядок изучения дробей: делимость чисел не изучается отдельной главой до дробей, а в связи с изучением дробей, после прохождения в пропедевтическом плане простейших преобразований дробей, сравнения дробей, сокращения дробей, основного свойства дробей.

По нашему мнению, это предложение должно быть принято, так как при этом: 1) обеспечивается принцип сознательности в обучении: сведения по делимости чисел используются сразу же на понятных учащимся преобразованиях с дробями; 2) удается увеличить число часов, отводимых на изучение дробей за счет сокращения часов по таким вопросам делимости, чисел, материал которых носит отвлеченный характер.

Возражение о том, что при таком порядке изучения создается разрыв при изучении дробей в 20 часов, отводится тем, что наряду с изучением сведений по делимости чисел постоянно будут решаться упражнения в преобразованиях с дробями, так что разрыва-то, собственно, и не будет.

Следует также отметить, что подобная реформа легко осуществима и на основе действующих учебника и задачника*.

Методика умножения и деления дробей изложена на основе общеизвестного «метода целесообразных задач». Если этот метод практически оправдан для многих операций (без множества частных случаев), то изложение труднейшего вопроса умножения и деления дробей на основе этого метода становится недопустимо сложным.

В самом деле, автор рецензируемой книги для каждого случая умножения (на целое число, на правильную дробь и т. д.) создает особый метод объяснения с длинными рассуждениями и еще более длинными выкладками. К тому же автором не даны указания о единстве разбираемых случаев и общие правила умножения и деления дробей.

Вывод правил умножения и деления дробей на основе функциональной зависимости проще и логически прозрачнее предлагаемого автором громоздкого аппарата (смотри об этом хотя бы статью С. С. Анцыферова «О необходимой предпосылке политехнического обучения», «Математика в школе», 1953, № 4, стр. 28-29).

Недостатком книги является и то, что не рассмотрен вопрос о связи между умножением на дробь и нахождением дроби числа; делением на дробь и нахождением числа по его дроби, тогда как программа требует специального изучения последних вопросов, не говоря уже о значительном удельном весе их в задачном материале.

Правильно поступает автор, подчеркивая необходимость применения при обучении арифметике буквенных выражений для записи общих правил, законов и свойств.

Среди учителей широко распространена ничем не обоснованная боязнь применения буквенных выражений. Дело дошло до того, что в стабильном учебнике физики для VI класса по многим темам нет формул, связывающих физические величины. А между тем в VI классе изучается алгебра.

Следует, однако, отметить, что автор увлекается буквенными выражениями не в меру: для упражнения учащихся в многочисленных правилах умножения и деления дробей рекомендуются ни больше и ни меньше, как 17 формул (!!). Последние из формул такие:

(стр. 162).

* Следует отметить дискуссионность затронутого вопроса и то, что приведенные высказывания отражают личную точку зрения автора рецензии. — Ред.

Это уже чрезмерно. Буквенные выражения должны использоваться только в узловых вопросах, для выражения основных правил и законов арифметики.

Автором дана полная разработка рациональных записей вычислений в арифметике. Установка его по этому вопросу такова: вначале — самая подробная запись, с фиксированием всех промежуточных преобразовании и результатов; в процессе усвоения правил и выработки навыков — постепенно сокращать запись до наикратчайшей.

Например, сложение дробей записывается вначале так:

Учителя же часто совсем не практикуют запись промежуточных операций, сразу предлагая кратчайшую запись, в результате чего учащиеся не всегда понимают сущности произведенных преобразований.

С таких моментов обычно и начинается формализм в знаниях учащихся.

В рецензируемой книге также рекомендуется единообразная запись всех четырех арифметических действий, сводящаяся к обязательной записи условия примера в строчку.

Приведем несколько примеров:

(стр. 35). (стр. 189).

(стр. 195). (стр. 199).

Опыт 0 применения таких записей в нашей школе говорит о том, что они вполне целесообразны, так как упорядочивают оформление письменных работ, содействуют культивированию устного счета (условие, записанное в строчку, уже своей формой наталкивает на возможность устного вычисления результата), обеспечивают экономию времени (например, при умножении).

Пора ставить вопрос о переходе к таким записям в III — IV классах, тогда отпадает необходимость переучивания в V классе.

Достойны одобрения полуписьменные вычисления на основе распределительных законов умножения и деления, широко применяемые в книге,-например:

(стр. 151).

(стр. 141).

При изложении методики преподавания десятичных дробей ни слова не сказано о целесообразности использования счетов (в темах «Нумерация-), «Сложение», «Вычитание»).

Рекомендуемый автором вывод правил умножения и деления десятичных дробей путем обращения их в обыкновенные намного сложнее способа, основанного на функциональной зависимости.

На странице 203 читаем: «...если требуется найти приближенное значение с точностью до 1, то надо найти и знать десятые доли, если с точностью до 0,1, то надо знать сотые доли и т. д.» (речь идет о приближенном значении частного; подчеркнуто мною.— Э. П.)

Не лишне добавить к этому, что для получения приближенного частного вовсе не обязательно вычислять лишний десятичный знак. Например, в книге требуется найти частное 3823:37 с точностью до 0,1:

Цифру 2 в частном можно и не находить: достаточно сравнить последний остаток (120— 111 =9) с половиной делителя ( -тр = 18,5 ). Если остаток меньше половины делителя, то частное берется с недостатком, если он больше половины делителя, то частное берется с избытком. Подобная «прикидка в уме» заметно сокращает вычисления, особенно в случае многозначных чисел.

Раздел «Отношения» изложен автором с сугубо формальных позиций: понятия «дробь», «частное» и «отношения»* отождествляются. Автор не указывает, что «отношение» используется в математике для сравнения величин и что понятие «отношение» качественно отлично от понятий «дробь» и «частное». Поэтому и получается, что нет разницы между «задачами на отношение» и «задачами на деление».

Автор предлагает заменить термины «делимое», «делитель», «частное» (в правилах для определения каждого из них по двум другим известным) соответственно новыми терминами «предыдущий член отношения», «последующий член отношения», «отношение» и ...этим исчерпывается весь вопрос. (Смотри еще об этом статью Анцыферова, «Математика в школе», 1953, № 4, стр. 32—34.)

Порочная, по нашему мнению, трактовка темы «Отношение» привела автора к ошибочной методике темы «Пропорции и пропорциональные величины».

Советуя изучать пропорции после темы о пропорциональных величинах, автор отрывает эти тесно связанные разделы, отрывает аппарат от теории, форму от содержания.

Утверждение автора, что «...применение числовых пропорций, как особого способа решения задач, содержащих пропорциональные величины, не имеет большого практического значения...» (стр. 234),— неверно, ибо общеизвестно, как часто применяются пропорции не только в арифметике, но и в физике

* Высказанные ниже суждения по поводу понятия отношения являются дискуссионными и отражают личную точку зрения автора. — Ред,

(задачи на простые механизмы), в химии (задачи на химические уравнения).

Если, следуя автору, изучать пропорции после пропорциональных величин, то как раз и получаем изучение пропорций ради пропорций только лишь как двух равных кратных отношений отвлеченных чисел. Совсем затушевывается тот факт, что пропорция в задачах изображает равенство отношения двух значений одной реальной величины (например, пройденного пути) и другого отношения двух соответствующих значений второй реальной величины (например, времени) и что пропорция — качественно новое понятие по сравнению с отношением.

Автор подробно описывает чисто формальные, никогда при решении задач с пропорциями не применяемые преобразования числовых пропорций: сокращение пропорций пятью (!) способами, замену дробных членов целыми числами. Относительно первого преобразования надо отметить, что пропорция — не дробь, и потому при сокращении смысл пропорции изменяется (неизменным остается лишь знак равенства).

Относительно второго преобразования следует напомнить, что пропорция — не отношение, и если подобное преобразование отношения действительно облегчает решение задачи на отношение, то для пропорции — это всего лишь одна формальность.

Упрощение вычислений с членами пропорции достигается естественнее всего в записи для нахождения неизвестного члена пропорции:

Методика решения задач разработана довольно подробно. Хорошо разобраны аналитический и синтетический способы решения задач.

Автор проводит классификацию задач по методам решения: способ приведения к единице, способ произвольного допущения, способ подобия, способ сравнения, нахождение дроби числа и числа по известной его дроби.

Классификацию нельзя признать удачной хотя бы потому, что она неполна: вне ее остаются такие широко распространенные в школьной практике задачи, как задачи на движение, на среднее арифметическое, на изменение компонентов.

Отнесение основной массы задач курса арифметики I — VI классов, именуемых в методике «типовыми», в одну группу без дальнейшего их детального рассмотрения по подгруппам может дезориентировать будущего учителя относительно рационального количественного соотношения этих задач с задачами последующих трех групп, занимающих незначительный удельный вес в задачном материале арифметики.

На странице 277 автор справедливо утверждает, что проверка решения по условию задачи есть «четвертый завершающий основной этап решения задачи».

Но это утверждение осталось, к сожалению, всего лишь декларацией: методика проверки решения задач совершенно не затронута в книге.

Создается ложное впечатление, что «завершающий этап» решения задачи настолько прост, что о подробностях говорить нет надобности. Однако этот вопрос — далеко не простой. Так, например, на странице 300 автор заявляет: «Решение всякой (разрядка наша. — Э. П.) задачи завершается проверкой решения». Это положение неточно: проверка по условию необходима и целесообразна для алгебраических задач; задачи «собственно арифметические» для контроля лучше решать повторно, чем проверять по условию.

Непоследовательно поступает автор, когда, отмечая необходимость проверки четырех арифметических действий с целыми числами, не указывает на полезность этого мероприятия и при действиях с дробями. В вопросе о записи наименований автор придерживается следующей рекомендации: результаты пишутся дважды: сначала — без наименования, а потом то же число выписывается с наименованием. Мы полагаем, что обычно применяемая запись: 20• 400 = 8000 (ц) — лучше (ибо короче), чем рекомендуемая автором:

(стр. 309).

Заключение

«Методика преподавания арифметики» В. Г. Чичигина, наряду с несомненными достоинствами (новый порядок изучения дробей и делимости чисел; тема о расширении понятия числа; рациональная система записей вычислений и др.), обладает серьезными недостатками, как-то: формалистический подход к теме «Отношение и пропорция», громоздкий аппарат для изучения умножения и деления дробей, произвольное обращение с математическими терминами и др.

Пожелаем автору при последующем издании сделать свое руководство более полным и устранить отмеченные выше недостатки.

ОБ УЧЕБНИКЕ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ*

Т. А. ПЕСКОВ (Уфа)

В настоящей статье будут рассмотрены некоторые вопросы, относящиеся главным образом к расположению учебного материала в учебнике геометрии.

На основании личных наблюдений и бесед с учителями математики автор пришел к убеждению, что внесенное проф. Н. А. Глаголевым во вторую часть учебника Киселева изменение следует признать неправильным с методической точки зрения.

Это изменение касается раздела «Прямые и плоскости в пространстве». В старых изданиях учебника Киселева, а также в учебниках Давидова, Гебеля, Рашевского, Гурвиц и Гангнус темы, входящие в названный раздел, разбиты на четыре главы:

1) Определение положения плоскости.

2) Перпендикуляр и наклонные к плоскости.

3) Параллельные прямые и плоскости.

4) Двугранные и многогранные углы.

Такое расположение тем вполне соответствует принципу перехода от легкого к трудному, так как теоремы о перпендикуляре и наклонных к плоскости представляют меньше трудностей для усвоения, чем теоремы о параллельных прямых и плоскостях, доказываемые во многих случаях способом от противного

* Статья печатается в порядке обсуждения.— Ред.

Этот способ, как известно, с большим трудом понимается учащимися, чем прямое доказательство.

Всякий учитель, преподававший геометрию в старших классах до 1938 года, знает, что учащиеся хорошо усваивали раздел «Прямые и плоскости в пространстве» и при повторении этого раздела без большого труда припоминали, какие теоремы относятся к каждой главе.

Изучение названного выше раздела крайне осложнилось в результате перестановки тем Н. А. Глаголевым в 1938 году.

В современном учебнике излагаются сначала параллельные прямые и плоскости, а затем уже перпендикуляр и наклонные к плоскости, что противоречит принципу перехода от легкого к трудному. С другой стороны, в результате указанной перестановки появилась новая тема — «Зависимость между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей», что еще больше затрудняет изучение раздела «Прямые и плоскости в пространстве»,

Необходимо подчеркнуть и то обстоятельство, что перестановка тем лишила учителей возможности упражнять учащихся в решении задач на вычисление при изучении параллельных линий и плоскостей, что тоже затрудняет усвоение этой темы. Решение задач возможно практиковать только после изучения теорем о перпендикулярах и наклонных к плоскости (см. сборник задач Рыбкина*),

К сказанному нужно добавить, что по учебникам старых изданий учащиеся хорошо усваивали два признака параллельности плоскостей, излагавшихся один за другим. Теперь же ученики изучают первый признак по теме «Параллельные плоскости», а второй составляет содержание обратной теоремы в теме «Зависимость между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей». Нарушение систематичности в изложении материала в данном случае, как и всегда, отражается неблагоприятно на знаниях учащихся.

Изложенные выше соображения приводят нас к выводу о необходимости возврата к той последовательности в расположении материала по теме «Прямые и плоскости в пространстве», которая была в учебниках Киселева, изданных до 1938 года, а также в большинстве русских учебников геометрии,

К такому же выводу пришел учитель А. Могильницкий, который, желая проверить на опыте, целесообразно ли новое расположение материала, различно построил преподавание в двух девятых классах и установил, что перестановка тем с методической точки зрения не может быть обоснована («Математика в школе», № 2 за 1939 г.).

Высказанное в предисловии к учебнику Киселева утверждение, что при изменении расположения материала представилось возможным значительно упростить доказательства отдельных теорем, не соответствует действительности.

Наоборот, в переработанном учебнике Киселева даны более сложные доказательства некоторых теорем в сравнении с другими учебниками. Так, например, теорема: Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой —в старых изданиях учебника Киселева, а также в учебниках Давидова, Гебеля доказывается проще, чем в современном школьном учебнике.

Аналогично обстоит дело с теоремой: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Представляется необходимым обратить серьезное внимание на отбор теорем по первому разделу стереометрии, используя для этого не только современные, но и старые учебники геометрии.

Остановимся кратко еще на одной вредной для дела перестановке учебного материала, склонность к которой обнаруживается в работах некоторых методистов.

Речь идет о двух темах планиметрии: 1) «Треугольники», 2) «Параллельные прямые». В большинстве учебников геометрии сначала излагается учение о треугольниках, а потом о параллельных прямых, а в учебнике Н. А. Глаголева эти темы следуют одна за другой в обратном порядке.

Тенденция к более раннему изучению параллельных проявлена и в книге «Методика преподавания математики» (пособие для учительских институтов под общей редакцией Е. С. Ляпина, 1952).

Точка зрения автора настоящей статьи по указанному вопросу изложена в его статьях, опубликованных в журнале «Математика в школе», 1951, № 2 и 1953, № 5. Заслуживает также внимания статья К. П. Сикорского (№ 2 за 1951 г.).

Рассмотрим еще один пример неправильного расположения материала в учебнике Киселева. На 15-й странице первой части учебника доказывается теорема: Из всякой точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр и только один.

Доказательство этой теоремы недоступно для учащихся, только что начавших изучать геометрию, и принуждать их заучивать это доказательство без понимания его сущности — это значит культивировать формализм. Указанную теорему или нужно сообщить учащимся позднее, когда возможно будет дать более понятное доказательство, или сообщать ее без логического доказательства, ограничиваясь интуитивным восприятием ее содержания, как это сделано на этой же странице учебника по отношению к теореме: Из всякой тонки данной прямой можно к этой прямой восставить перпендикуляр и притом только один.

Нельзя не остановиться на неправильных формулировках теорем о пропорциональных отрезках. На 118-й странице учебника читаем: Стороны угла (ABC), пересекаемые рядом параллельных прямых, рассекаются ими на пропорциональные части.

Стороны угла суть лучи, а поэтому их нельзя рассечь на пропорциональные части.

В учебнике Рашевского названная теорема формулируется вполне правильно:

Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отношение двух каких угодно отрезков одной стороны равняется отношению соответственных отрезков другой стороны.

Изложенное выше замечание относится и к теореме о пересечении двух параллельных прямых рядом прямых, исходящих из одной и той же точки.

Весьма желательны отклики на настоящую статью со стороны учителей средней школы.

* Последнее обстоятельство следует отнести за счет несогласованности учебника и задачника, но не за счет системы расположения материала в учебнике.— Ред.

НОВАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

I. История и методология математики, советские математики, классики

«Историко-математические исследования», вып. 6, под. ред. Г. Ф. Рыбкина и А. П. Юшкевича, М., Гостехиздат, 1953, 672 стр. с илл. Тираж 4000 экз. Цена 18 р. 95 к.

Выпуск содержит три математические трактата Омара Хайяма, первую известную нам русскую работу по математике новгородского монаха Кирика (1136 г.), некоторые материалы о П. Л. Чебышеве, семь небольших статей из истории русской математики (о Н. И. Лобачевском, А. А. Маркове, В. А. Стеклове и др.) и три статьи из истории мировой математики.

Куликовский Г., Рожденный быть математиком (из биографии комсомольца, члена-корреспондента Академии наук СССР С. Н. Мергеляна), «Огонек», 1954, № 12, стр. 26.

II. Учебники и учебные пособия

Берман Г. Н., Сборник задач по курсу математического анализа, под ред. А. Ф. Берманта, изд. 5, стереотипн., М., Гостехиздат, 1954, 528 стр. с черт. Тираж 50 000 экз. Цена 8 р. 60 к.

Зеленин Е. В., Начертательная геометрия и черчение, изд. 2, перераб., М., Гостехиздат, 1953, 524 стр. с илл. Тираж 50000 экз. Цена 16 р. 35 к.

«Математический практикум на счетно-вычислительных приборах и инструментах», под общей ред. Н. А, Леднева, М., «Советская наука«, 1954, 366 стр., с илл. Тираж 10 000 экз. Цена 7 р. 20 к.

Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными. Учебник для государственных университетов, изд. 2, перераб., М., Гостехиздат, 1953, 360 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 7 р. 20 к.

Тулинов Б. А. и Чекмарев Я. Ф., Арифметика для педагогических училищ, изд. 4, М., Учпедгиз, 1953,287 стр. Тираж 65 000 экз. Цена 4 р. 35 к.

Фаддеев Д. К. и Соминский И. С, Сборник задач по высшей алгебре. Для гос. университетов и пед. институтов, изд. 5, стереотипн., М., Гостехиздат, 1954, 308 стр. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 7 р. 20 к.

Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа. Учебник для механико-математического и физико-математического факультетов гос. университетов и педагогических институтов, М., Гостехиздат, 1953, 624 стр. с черт. Тираж 25000 экз. Цена в перепл. 13 р. 10 к.

Цубербиллер О. Н., Задачи и упражнения по аналитической геометрии, изд. 18, стереотипн., М., Гостехиздат, 1954, 356 стр. с черт. Тираж 75 000 экз. Цена в перепл. 8 р. 05 к.

Яковлев К. П., Математическая обработка результатов измерений, изд. 2, испр. М., Гостехиздат, 1953, 364 стр. с черт. Тираж 15 000 экз. Цена в перепл. 7 руб.

III. Методика преподавания математики, пособия для учителей

Александров И. И., Сборник геометрических задач на построение с решениями. Пособие для учителей, под ред. Н. В. Наумович, изд. 19, М., Учпедгиз, 1954, 176 стр. с илл. Тираж 75 000 экз, Цена в перепл. 3 р. 70 к.

Андреев Ф. А., Развитие логического мышления у учащихся и решение задач на доказательство в V — VII классах, Уфа. Башкирское книгоиздательство, 1953, 36 стр. с черт. Тираж 4000 экз. Цена 50 коп.

Берзонас А. Д., Некоторые приемы, помогающие сознательному усвоению курса математики в VI классе, «В помощь учителю математики», Управление школ Министерства просвещения Таджик. ССР, Сталинабад, 1954, 20 стр. с черт. Тираж 500 экз.

Голубев В. С, В помощь учителю математики, Челябинский институт усовершенствования учителей, 1953, 48 стр. с черт. Тираж 500 экз.

Давыдов У, С, Задачи на исследование уравнений с решениями и методическими указаниями. Пособие для учителей, Учпедгиз БССР, Минск, 1954, 150 стр. с черт. Тираж 15 000 экз. Цена 3 р. 65 к.

Зайцев Н. Я., Зыкус А. И. и Эрастова А. Н., Методические указания к преподаванию арифметики в V классе (из опыта работы), под ред. А. Н. Эрастовой, М., изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1953, 192 стр. с илл. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 3 р. 25 к.

Иванов М. И., Русские счеты и их использование в школе. Пособие для учителей, М., Учпедгиз, 1953, 64 стр. с илл. Тираж 100 000 экз. Цена 85 коп.

Истомина Н. С, Планы уроков по алгебре в VI классе (из опыта работы), М., Учпедгиз, 1954, 120 стр. Тираж 30 000 экз. Цена 1 р. 85 к.

Компанийц П. И., О сознательности знаний учащихся по математике, М., Учпедгиз, 1953, 44 стр. с черт. Тираж 25000 экз. Цена 50 коп.

Круликовский Н. Н., Освещение в курсе алгебры средней школы некоторых вопросов истории отечественной математики, «Ученые записки Томского педагогического института», т. 10, 1953, стр. 335—348.

Курочко-Щербаков, О политехническом обучении в процессе изучения геометрии, Обл. институт усовершенствования учителей, Сталино, 1953, 26 стр. с черт. Тираж 1500 экз.

Моденов П. С, Сборник задач по математике с анализом ошибок, допущенных поступавшими в высшие учебные заведения, изд. 5, М., «Советская наука», 1954, 384 стр. с черт. Тираж 100 000 экз. Цена 5 руб.

Молодший В. Н., Элементы истории математики в школе, М., Учпедгиз, 1953, 36 стр. Тираж 25000 экз. Цена 35 коп.

Перепелкина А. Н., О кинофикации курса геометрии в средней школе, «Ученые записки Московского городского педагогического института», т. 30, кафедра методики учебного кино, вып. 1, 1953, стр. 63 — 75.

Репьев В. В., Практические работы по математике на местности. Пособие для учителей математики средней школы, Горький, Книжное издательство, 1953, 84 стр. с илл. Тираж 3000 экз. Цена 1 р. 35 к.

Смычников Д. М., Измерительные работы на местности в курсе математики средней школы. Пособие для учителей V — X классов средней школы, М., Учпедгиз, 1953, 124 стр. с илл. Тираж 40000 экз. Цена в перепл. 2 р. 50 к.

Сырнев Н. И., Планы уроков по математике в VI классе, М., Учпедгиз, 1953, 64 стр. Тираж 30 000 экз. Цена 85 коп.

Из опыта работы учителя 348-й мужской средней школы г. Москвы.

Чернышев К. И., Неравенство первой степени (из опыта работы в семилетней школе), Курское обл. изд., 1953, 15 стр. Тираж 3000 экз.

Шманенко К. Н., Измерительные работы на местности. Материалы по политехническому обучению в школе, под. ред. И. К. Парно, из-во «Шкоала советикэ», Кишинев, 1953, 132 стр. с черт. Тираж 6000 экз. Цена 1 р. 55 к.

«Из опыта преподавания математики в V — VII классах средней школы». Сборник статей, под ред. П. В. Стратилатова, М., Учпедгиз, 1954, 292 стр. с черт. Тираж 75000 экз. Цена с перепл. 4 р. 80 к.

В книге помещено 16 статей передовых преподавателей математики.

«Преподавание геометрии в средней школе. Планиметрия». По материалам расширенного пленума отдела методики математики Украинского научно-исследовательского института педагогики, состоявшегося в октябре 1951 г. в г. Виннице, под. ред. А. М. Астряба и М. Б. Гельфанда, Киев, изд-во «Радянська школа», 1953, 220 стр. с черт. Тираж 15000 экз. на украинском языке. Цена в перепл. 4 р. 95 к.

«Русский язык и математика в семилетней и средней школе». По материалам VIII научно-практической конференции учителей г. Сталинграда и Сталинградской области, Обл. институт усовершенствования учителей, Сталинград, 1953, 49 стр. Тираж 1 500 экз.

Три последние статьи сборника посвящены вопросам преподавания математики: Из опыта работы в пятых классах по арифметике. Практические работы по арифметике. Заключение по письменным экзаменационным работам по математике учащихся V—VII классов.

IV. Научно-популярная литература, пособия для школьных кружков

Кордемский Б. А., Математическая смекалка, М., Гостехиздат, 1954, 568 стр. с илл. Тираж 50 000 экз. Цена в перепл. 9 р. 10 к.

Натансон И. П., Суммирование бесконечно малых величин. Популярные лекции по математике, вып. 12, М., Гостехиздат, 1953, 56 стр. с черт. Тираж 25000 экз. Цена 80 коп.

Норден А. П., Элементарное введение в геометрию Лобачевского, М., Гостехиздат, 1953, 248 стр. с черт. Тираж 800 экз. Цена 5 р. 50 к.

V. Монографии по отдельным вопросам математики

Коллати Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, перев. с нем. Р. С. Рябенького и Л. А. Чудова, М., изд-во иностранной литературы, 1953, 460 стр. с черт. Цена в перепл. 29 р. 70 к.

Сансоне Д ж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 1, перев. с итал. Н. Я. Виленкина, с предисл. В. В. Немыцкого, М., изд-во иностранной литературы, 1953, 347 стр. с черт. Цена в перепл. 18 р. 40 к.

VI. Пособия для заочников

Брадис В. М., Курсовые работы по математике и методике ее преподавания. Для студентов-заочников физико-математического факультета педагогических институтов, М., Учпедгиз, 1953, 136 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 2 р. 5 к.

Каченовский М. И., Контрольные работы по основам высшей математики. Аналитическая геометрия в пространстве. Для студентов-заочников I курса физико-математических отделений учительских институтов, М., Учпедгиз, 1953, 30 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена 30 коп.

Каченовский М. И., Контрольные работы по основам высшей математики. Аналитическая геометрия на плоскости. Для студентов-заочников I курса физико-математических отделений учительских институтов, М., Учпедгиз, 1953, 30 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 35 к.

VII. Справочные издания

О'Рурк, Таблицы умножения, стереотипн. издание, М., Госстатиздат, 1953, 336 стр. Тираж 15 000 экз. Цена 6 р. 90 к.

«Таблицы вычисления процентов», М., Госстатиздат, 1953, 384 стр. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 8 р. 55 к.

ХРОНИКА

НА «ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ЧТЕНИЯХ» 1954 ГОДА ПО ВИТЕБСКОЙ ОБЛАСТИ

В. Д. ЧИСТЯКОВ (Витебск)

Во время школьных каникул 27 и 28 марта 1954 года в здании Витебского педагогического института имени С. М. Кирова состоялись традиционные областные «Педагогические чтения». Первый день «Педагогических чтений» был посвящен пленарному заседанию. Второй день (28 марта) работали секции по предметам, в том числе и секция математиков.

На рассмотрение секции математиков было представлено пять докладов на различные методические темы.

Заслушано было четыре доклада:

Первый доклад «О применении наглядности на уроках математики в V—VII классах» сделал учитель средней школы № 2 г. Орши т. Лосев

Докладчик поделился своим многолетним содержательным опытом по вопросам наглядности преподавания арифметики в V и VI классах, а также применения наглядных пособий, изготовленных силами учащихся, на уроках геометрии в VI и VII классах. Для решения арифметических задач т. Лосев широко использует графические средства, различного рода таблицы, плакаты, заранее изготовленные чертежи. Удачный график, по словам докладчика, облегчает усвоение сложных вопросов арифметики. Графическая иллюстрация помогает быстро и уверенно находить правильный путь решения арифметической задачи. Графические иллюстрации к задаче, как правило, дает сам ученик и по ним находит правильный путь решения. Но иногда учитель предлагает ученикам готовый график, по которому они обязаны составить текст задачи и дать ее решение. Ученики, составившие лучшие тексты задачи, поощряются.

Для изучения геометрического материала в V классе силами учащихся изготовлен ряд наглядных пособий, в том числе:

1) куб и его развертка;

2) параллелепипед и его развертка;

3) модель для вычисления площади круга;

4) модель для вычисления поверхности цилиндра;

5) модель для вычисления объема цилиндра;

6) классный полигон с набором вешек и эккером.

На протяжении учебного года учащиеся V класса выполнили следующие практические работы на местности:

1) измерение длины рулеткой;

2) провешивание прямых линий;

3) построение прямых углов при помощи эккера;

4) построение квадрата, прямоугольника, треугольника, круга и вычисление их площади.

Для объяснения нового геометрического материала в VI и VII классах учитель широко использует наглядные пособия, изготовленные силами учащихся. Вот неполный перечень этих наглядных пособий:

1) модели отрезков;

2) модели углов;

3) школьный транспортир и циркуль;

4) подвижная модель смежных углов;

5) модель для демонстрации соотношения между равными центральными углами и равными дугами;

6) модель вертикальных углов;

7) модель для классификации треугольников;

8) модель для демонстрации свойств равнобедренного треугольника;

9) модель для установления признаков равенства треугольников;

10) модель к теореме о внешнем угле треугольника;

11) модель к теореме о сумме внутренних углов треугольника;

12) прибор для демонстрации взаимного расположения двух окружностей;

13) прибор для демонстрации сравнительных длин хорд и их расстояний от центра;

14) школьные измерительные приборы: эккеры, астролябии, эклиметры, нивелиры, набор вешек, приспособления для измерений на местности («ковылек» или «коза») и т. д.

К изготовлению наглядных пособий привлекаются все учащиеся школы. Лучшие самодельные наглядные пособия отбираются и сохраняются в школе для использования их в процессе преподавания.

Доклад т. Лосева вызвал большой интерес у слушателей и живой обмен мнений.

Второй доклад «Внедрение элементов политехнизма в преподавание математики в средней школе» сделал учитель Мазоловской средней школы Витебского района П. П. Дроздов.

Докладчик поделился опытом работы учителей математики Мазоловской средней школы Витебского района.

Наиболее интересным моментом в докладе является то, что учителя этой школы во время осенней уборочной кампании ставили задачи с практическим содержанием, связанным с уборкой картофеля и измерениями на местности. Учащиеся были обязаны делать обмер убранной площади сначала глазоме-

ром, а потом для проверки «козой» (ковыльком). В конце дня подсчитывался объем куч и вес убранного картофеля. Далее, зная площадь земли, отведенную под картофель, и средний урожай картофеля с гектара, ученики без особого труда определили вес урожая картофеля в колхозе. Попутно учащиеся путем сравнения с урожайностью картофельных полей передовых колхозов делали вывод о преимуществах квадратно-гнездового и гнездового способа посадки картофеля.

Ученики занимались также определением недоступных расстояний и другими практическими измерительными работами на местности.

Учителя математики Мазоловской средней школы уделяют большое внимание задачам практического содержания. Например, ученики V класса решали такие задачи-расчеты:

1) Сколько нужно в литрах известкового раствора для побелки всех классов школы?

2) Сколько потребуется олифы для покраски полов и панелей?

3) Сколько потребуется семян для посева данного колхозного поля по известным нормативам высева? и т. д.

В практике преподавания учителя используют рациональные способы вычисления (устный счет и приближенные вычисления).

Третий доклад — «Решение геометрических задач на доказательство в VIII—X классах» сделал учитель Ушачской средней школы П. В. Краснов.

Докладчик поделился опытом своей работы по решению задач на доказательство в старших классах средней школы.

Слушателям было продемонстрировано много интересных задач на доказательство, которые ежегодно решаются учащимися в классе и на кружковых занятиях.

В течение ряда лет П. В. Краснов собрал много интересных задач по своей теме и составил методическую разработку.

Четвертый доклад—«Как я повышаю активность учащихся в процессе преподавания математики» сделал учитель Шумилинской средней школы Сиротинского района И. Т. Зазыбов.

В процессе преподавания И. Т. Зазыбов заботится о связи теории с практикой. Только тогда ученики относятся к математике с большим интересом, если они видят ее применение на практике. Поэтому надо обращать особое внимание на решение задач с техническим содержанием. Такие задачи учитель должен уметь составлять сам и привлекать к этому делу учащихся.

Докладчик требует от учащихся аналитических рассуждений. На уроках математики учащимся ставятся такие вопросы, которые требуют глубокого а не формального понимания математики.

Докладчик поделился опытом кружковой работы по математике, организации математических вечеров и выпуска стенной математической газеты.

Постановлением жюри первые два доклада были отмечены особо, в особенности первый, и всем докладчикам вынесена благодарность.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛЕКТОРИЙ И ОЛИМПИАДА УЧАЩИХСЯ IX И X КЛАССОВ В ИРБИТЕ

Н. И. ПОЛЬСКИЙ (Ирбит)

В сентябре 1953 года при Ирбитском государственном учительском институте был организован математический лекторий для школьников девятых и десятых классов. Цель лектория состояла в том, чтобы повысить уровень математической культуры учащихся, познакомить их с приложениями математики, помочь выпускникам школ в выборе профессии.

Лекторий работал еженедельно по четвергам. Лекции чередовались с практическими занятиями, на которых решались и разбирались различные задачи повышенной трудности. Во время этих занятий школьники получали также консультации по интересующим их вопросам.

За время работы лектория было проведено 11 практических занятий и прочитаны лекции на следующие темы:

1. Что такое геометрия Лобачевского.

2. Некоторые вопросы теории чисел.

3. Метод математической индукции.

4. Суммирование степеней чисел натурального ряда.

5. Неравенства.

6. О бесконечных множествах.

7. Система счисления.

8. Что такое топология.

9. Что такое теория вероятностей.

10. Что такое проективная геометрия.

Работа лектория была завершена первой математической олимпиадой учеников девятых и десятых классов города, которая состоялась в дни весенних каникул 28 марта 1954 года.

Для проведения олимпиады был образован организационный комитет из работников горОНО и преподавателей института.

В олимпиаде приняло участие 60 школьников из трех средних школ города, в которых есть девятые и десятые классы.

Ввиду того, что в олимпиаде участвовало только 60 человек, было решено провести олимпиаду в один тур. Поэтому предложенные учащимся задачи были подобраны весьма различными по трудности. Среди подобранных задач, например, задача 1 вполне доступна среднему школьнику, в то время как задачи 4 и 5 требуют уже известного умения и сообразительности.

Приводим текст задач.

1. Деревянный куб с ребром п см окрашен краской и распилен на кубики с ребром 1 см. Определить сколько кубиков будут иметь: 1) три окрашенные грани, 2) две окрашенные грани, 3) одну окрашенную грань и 4) не будут иметь ни одной окрашенной грани.

2. Заседание началось между 6 и 7 часами, а закончилось между 9 и 10 часами. Сколько продолжалось заседание, если за время заседания часовая и минутная стрелки поменялись местами?

3. Расположить на плоскости четыре точки так, чтобы все попарные расстояния между ними прини-

мали только два различные значения. Найти все такие расположения.

4. Вся плоскость покрыта квадратной сеткой. Молено ли построить равносторонний треугольник с вершинами в вершинах сетки?

5. Первые п2 натуральных чисел расположены в квадратной таблице, состоящей из п строк и п столбцов, следующим образом:

Из этой таблицы выписывается любое число и вычеркиваются строка и столбец, на пересечении которых стоит это число. Из оставшейся таблицы, содержащей п — 1 строку и п — 1 столбец, снова выписывается любое число и вычеркивается строка и столбец, на пересечении которых оно стоит. И так далее до тех пор. пока в таблице не останется только одно число, которое также выписывается. Найти сумму выписанных чисел и показать, что она не зависит от порядка выбора чисел в таблице.

Анализ решений показал, что первая задача не вызвала затруднений у большинства школьников, тогда как наиболее трудной для учащихся оказалась задача 4, которую никто не решил. Полное решение пятой задачи дал только один школьник, некоторые же нашли ответ задачи, не обосновав полностью независимость суммы от выбора чисел.

В задаче 3 все решения нашли 5 учеников, во многих работах была найдена только часть решений. Точное решение второй задачи было дано в пяти работах, в шести работах были найдены приближенные решения с точностью до одной минуты.

4 апреля состоялось городское собрание учащихся, на котором были подведены итоги олимпиады и вручены премии победителям.

От редакции.

Редакция журнала снова доводит до сведения читателей, участвующих в решении задач, помещенных в нашем журнале, что:

1. а) Решения необходимо присылать отдельно от другой корреспонденции и только по одному номеру журнала;

Ь) не позже одного месяца после выхода журнала в свет.

2. Решения задач доводить до конца и оформлять аккуратно разборчивым почерком. Решения, написанные неразборчиво или небрежно, редакцией рассматриваться не будут.

3. В сводке решений помещаются фамилии лиц, решивших не менее 50% задач, помещаемых в одном номере журнала.

4. Решения задач, помещаемых для учащихся, присылать в редакцию не следует, так как они не помещаются в журнале.

5. Новые задачи необходимо присылать с полными решениями.

6. Тексты задач, не принятых к помещению, уничтожаются и по ним редакция не вступает ни в какую переписку.

7. Решения и новые задачи следует направлять в отдел задач.

*

Редакция просит тов. А. Давидян (поселок Шаумяна) сообщить в редакцию точный адрес.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 2 ЗА 1954 Г.

№ 15

Разделить прямоугольный треугольник прямой, выходящей из вершины прямого угла, на два треугольника так, чтобы вписанные в полученные треугольники круги были равны (черт. 1).

Черт. 1

Решение 1. Пусть ABC — данный прямоугольный треугольник, в котором CD — искомая прямая, центры кругов Ох и 02 лежат на биссектрисах углов CAB и СВА, точка О пересечения этих биссектрис является центром круга, вписанного в треугольник ABC.

Проведем О^Е J_ AB, OK II Oj£, 02F \\ OK и введем обозначения:

ВС = a, AC = b, АВ = с, CD==x, AD = у.

Имеем:

Из подобия треугольников: АЕО± и АКО, BF02 и ВКО имеем:

согласно условию

поэтому

Из последнего соотношения после элементарных преобразований получим:

(1)

Треугольники ACD и С BD имеют общую высоту, поэтому отношение площадей равно отношению их оснований, т. е.

(2)

но

Имеем: Отсюда

(3)

Решив совместно уравнения (1) и (3), получим:

Итак, решение задачи сводится к построению отрезка CD как среднего геометрического а и Ь, или а

№ 16

Доказать, что сечение параллелепипеда плоскостью не может оказаться правильным пятиугольником.

Решение. Если в сечении параллелепипеда плоскостью получится пятиугольник, то, следовательно,

секущая плоскость пересекла пять граней из шести, среди пяти граней будут параллельные между собой, следовательно, две стороны пятиугольника будут параллельны, чего нет в правильном пятиугольнике.

№ 17

Окружность, вписанная в треугольник, касается его средней линии. Определить углы треугольника, если известно, что центр описанной окружности лежит на списанной окружности.

Решение. Пусть в треугольнике ABC (черт. 2) точки D и Е — середины сторон AB и АС; точки О и Q — центры описанной и вписанной окружностей, Qk ~ г. Так как по условию точка О лежит на вписанной окружности, то OQ -= г.

Черт. 2

По формуле Эйлера получим:

Отсюда определяем отношение

(1)

Так как трапеция BDEC описана около окружности Q, то имеем:

(2) (3)

В треугольнике QKA имеем:

Из соотношений

находим:

или

Откуда

Так как cos А > 0, то Z. А — острый. Имеем:

Для определения углов В и С воспользуемся теоремой синусов:

учтя соотношение (3), получим:

Отсюда

(5)

Воспользовавшись формулой

получим:

Откуда

(6)

Итак, имеем:

Откуда

Углы В и С также острые, что легко проверить, доказав тождество:

Имеем:

№ 18

Решить уравнение:

Решение. Преобразуем дробь

(1)

Аналогично получим:

(2) (3)

Введем обозначения:

(4)

тогда данное уравнение примет вид:

(5)

Преобразуем соотношение (5) следующим образом:

(б)

Подставив значения и, v, t из соотношения (4) в уравнение (6), получим:

(7)

или

Имеем:

Отсюда

II.

или

Откуда

III.

или

Откуда

№ 19

Решить систему уравнений:

Решение. Имеем:

(1) (2)

Вычитая уравнение (2) из уравнения (1), получим:

(3)

Преобразуем левую часть уравнения (3):

(4)

Итак, данную систему можно заменить эквивалентной системой:

(5)

Система уравнений (5) распадается на четыре эквивалентные системы:

Откуда

Имеем:

Имеем:

Возведя уравнение х^у^=Ь в пятую степень, получим:

или или

Откуда

Решив системы:

получим:

№ 20

Решить систему уравнений:

Решение. Если на параметры а, Ь, с не наложены ограничения, то данная система не имеет нулевых решений. В самом деле, пусть х = 0, тогда получим систему:

которая будет совместима только при условии

(1)

аналогично при у — 0 и z — 0 должны выполняться соотношения:

(2) (3)

Если параметры не удовлетворяют условиям (1). (2), (3), то нулевые значения х, у, z исключаются.

Итак, допустим, что на параметры данного уравнения не наложены никакие ограничения и х ф О, уфО, zjbQ.

Положив у = tx, z = kx и подставив их в данную систему, получим:

(4) (5) (6)

Умножив уравнение (4) на t, а уравнение (5) на k и сложив, получим:

(7)

Умножив уравнение (4) на k2 и (6) на t2 и сложив получим:

(8)

Итак, данная система эквивалентна следующей:

(9)

Из (9) имеем:

или

Откуда

Из соотношения (4) имеем:

Таким образом, для х получим шесть значений:

где

Соответствующие значения для у, z определим из формул:

у = tx, z = kx.

№ 21

В пространстве даны четыре точки: А, В, С, D.EF —общий перпендикуляр к отрезкам AB и CD и AB ± CD. Зная; что АЕ = ЕВ = т, С F = = FD = п, EF — k, найти в пространстве точку О, такую, чтобы сумма расстояний от нее до точек А, В, С и D достигала минимума.

Решение. По условию имеем: EF ±_ AB, EF_L ± CD, CD ± AB (черт. 3).

Черт. 3

Произвольную точку пространства M спроектируем на плоскость CED в точку Mv

Искомая сумма для точки будет меньше, чем для М\ в самом деле: ММ1 _|_ CMit так как MMl _|_ ±ш. ECD.

Следовательно,

М1С<МС1 (1)

(наклонная больше проекции). И аналогично:

MXD < MD, (2)

ММ1 II AB (так как ММХ J_ CD и AB J_ CZ)).

Треугольник ABMX — равнобедренный (пл. C£Z) перпендикулярна отрезку AB и проходит через его середину и поэтому является геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от точек А и В, а точка Мг лежит в этой плоскости). Итак,

АМг = ВМХ.

Следовательно,

AMx + BMx<iAM + MBt

так как из всех треугольников, имеющих одну и ту же высоту, наименьший периметр имеет равнобедренный, что легко доказать. В самом деле, отразим зеркально точку В в прямой МХМ (черт. 4) (ВК JL ММХ и КВХ = KB), тогда сумму АМХ -f- МХВ можно заменить АМХ -f-+ М1В1 = ABV но

ABi<AM+MBv

Итак, имеем:

Из неравенств (1), (2), (3) вытекает, что

(4)

Но из всех точек М/, лежащих в плоскости CED, искомым свойством будет обладать точка, лежащая на прямой EF, т. е.

(5)

(Доказательство соотношения (5) аналогично доказательству соотношения (4).)

Итак, искомая точка О находится на прямой EF. Для отыскания точки О повернем CD до совпадения с плоскостью ABF; получим трапецию CABD (черт. 5)

и докажем, что искомая точка О является точкой пересечения диагоналей СВ и AD. В самом деле, возьмем произвольную точку N на EF. Имеем:

(6) (7)

Отсюда

(8)

Из решения вытекает способ построения точки О.

Искомый минимум равен:

№ 22

Если прямые, соединяющие вершины треугольника ABC с точкой, находящейся внутри его, пересекают стороны треугольника AB, ВС и АС соответственно в точках Сл, Аи Bt и из веригин С, А и В проведены прямые, соответственно параллельные прямым ААЪ ССг и ВВЪ до пересечения с продолжением сторон треугольника в точках А2, С2, #2, то площадь треугольника ABC есть среднее геометрическое площадей треугольников А2АС, В>ВА, С2СВ. Найти внутри треугольника ABC такую точку О, для которой сумма площадей треугольников А2АС, В2ВА и С2СВ будет наименьшей.

Решение. Пусть прямые AAV BBV ССХ проходят через точку К, находящуюся внутри треугольника ABC (черт. 6). Имеем:

(теорема Чевы). (1)

По построению:

(2)

Из соотношений (1) и (2) следует, что

Так как площади треугольников, имеющих общую вершину и общую высоту, относятся, как их основания, то имеем соотношения:

(3)

Из соотношений (2) и (3) следует:

(4)

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

(3)

Откуда

(5)

Так как произведение площадей треугольников АСАЪ ВАВг, СВС2 постоянно, то сумма их будет наименьшей при равенстве этих площадей. В этом случае площадь каждого треугольника будет равна площади треугольника ABC, т. е.

(6)

Из соотношений (3) и (6) следует, что:

АА2 = AB, ВВ2 = ВС, СС2 = АС. (7)

Из соотношений (7) и параллельности прямых АА1 и СЛ2, ВВ1 и АВ2, ССХ и ВС2 следует, что ВАг = АхСу СВ1 — ВХАУ АСг — С^В. Следовательно, точка /С есть точка пересечения медиан треугольника ABC.

№ 23

Вычислить углы треугольника из соотношения-.

Решение. Известно, что если А + В -f- С = 180°,

то

(1)

(2) (3)

Из данного соотношения имеем:

Воспользовавшись тождествами (1), (2), (3), получим:

(4)

(5) (6)

Из соотношения (4) имеем:

(7)

Подставив (7) в (5), получим:

(8)

Имеем:

Умножив последнее соотношение на

и приняв во внимание (6) и (7), получим:

(9)

Обозначив

получим:

Отсюда

Обозначим: х2 = у. Имеем:

(10)

Умножив обе части уравнения (10) на 10 и обозначив: 10у = z, получим:

(11)

Уравнение (11) можно представить в форме:

Откуда имеем:

Итак,

Откуда имеем:

отсюда соответственно:

Подставив из равенства (7) вместо число 0,6 в равенство (1), получим:

(12)

Подстановка каждого из значений sin С в последнее равенство дает три системы уравнений относительно sin Л и s'mB.

Отсюда имеем:

Итак, условию задачи удовлетворяют углы 90°, arc sin -г* и arc sin — египетского треугольника, для которых возможны 6 различных комбинаций.

№ 24

Решить систему уравнений:

I

II III

Решение. Данная система имеет решение только при

*ФУ> УФ*, хфг, (1)

а также не могут равняться нулю одновременно х, у, z.

Итак, пусть X ф 0, у ф 0, z ф 0, тогда, сложив все три уравнения, получим:

(2)

Умножив соответственно I уравнение на х2, II — на у2 и сложив, получим:

(3)

Учтя неравенства (1), приведем к общему знаменателю каждое из уравнений данной системы. Имеем:

Сложив почленно эти уравнения, получим:

Разделив правую и левую часть последнего уравнения на (у — z)(y — x), получим:

или

Введем обозначение

(4)

Тогда последнее уравнение примет вид:

или или

Итак, а имеет двукратный корень:

Подставив это значение а в соотношение (4), получим:

откуда имеем:

(5)

Решим систему уравнений (2), (3), (5). Представим уравнение (5) в следующем виде:

и возведем в квадрат. Имеем:

(6)

Уравнение (3) представим в виде:

(7)

Из равенств (6) и (7) имеем:

Вычтя из равенства (7) равенство (8), получим:

(9)

Итак, данная система уравнений третьей степени свелась к равносильным системам трех линейных уравнений с тремя неизвестными (уравнения (2), (5) и (9)).

Имеем:

(10)

(11)

Решая систему уравнений (10), получим:

Из системы уравнений (11) получим:

Итак, если а2 -j- ab -f- b2 ф О, то система имеет два решения.

Если а2 -f- ab -f- b2 — О, но афО, b фО, с ф 0 одновременно, то системы (10) и (11) имеют одно решение: X = 0, у = 0, 2 = 0, которое является посторонним для данной системы.

Если ö = 0 и b = 0, то данная система имеет бесчисленное множество решений.

ЗАДАЧИ

№ 41

Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

при условии

Барколейко С. (Трубчевск)

№ 42

Найти максимум функции: и — X — у,

если

Барколейко С. (Трубчевск)

№ 43

В равнобедренном треугольнике ABC, АВ = ВС = Ь, АС = a, z. ABC = 20°. Доказать, что

№ 44

Решить в поле действительных чисел уравнение:

Хамзин X. (Стерлитамак)

№ 45

Вычислить площадь четырехугольника, длины сторон которого являются корнями уравнения:

а сумма противоположных углов равна 2d.

Луковецкий В. (Сумская обл.)

№ 46

Дано изображение некоторого треугольника в параллельной проекции и изображение центра вписанной окружности.

Построить изображения точек, в которых вписанная окружность касается сторон треугольника.

Хамзин X. (Стерлитамак)

№ 47

Построить трапецию, зная углы при основании и диагонали.

Хамзин X. (Стерлитамак)

№ 48

Если

то

т-п = pq.

Доказать.

Хамзин X. (Стерлитамак)

№ 49

Решить уравнение:

Лейбман М. (Свердловская обл.)

№ 50

Решить систему уравнений:

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

№ 1. Все ребра четырехугольной пирамиды равны а. Найти радиус сферы, проходящей через центры боковых граней и касающейся сторон основания.

Лоповок Л. (Проскуров)

№ 2. Доказать, что биссектрисы внешних углов выпуклого четырехугольника образуют четырехугольник, который может быть вписан в окружность.

Магеро А. (Серпухов,)

№ 3. Определить острые углы прямоугольного треугольника, для которого отношение (где г — радиус вписанной, a R — радиус описанной окружности) является наибольшим.

Первицкий П. (Липецкая обл).

№ 4. В треугольной пирамиде SABC плоские углы при вершине —прямые. Доказать, что в этом слу-

чае будут иметь место следующие равенства:

Никитин В. (Тамбов)

№ 5. Вставить пропущенные цифры:

Никитин В. (Тамбов)

№ 6. Найти длину биссектрисы угла а при вершине равнобедренного треугольника, периметр которого 2р.

Терехов И. (Липецкая обл.)

№ 7. Найти отношение радиуса окружности, вписанной в трапецию, с углом в 45° к радиусу окружности, описанной около этой трапеции.

Терехов И. (Липецкая обл.)

№ 8. Около сферы описан пространственный четырехугольник. Доказать, что четыре точки касания лежат в одной плоскости.

(13-я московская математическая олимпиада.)

№ 9 Дан многоугольник. Построить другой с тем же периметром, но большей площади.

(13-я московская математическая олимпиада.)

№ 10. Доказать, что

делится без остатка на 26460.

(14-я московская математическая олимпиада.)

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 1 ЗА 1954 г.

Азиев А. (г. Орджоникидзе) 1—3, 6, 7, 8, 9, 10 12; Байгузин Ф. (Красноярский край) 2, 3, 6, 7, 9, 12, 14; Бауэр А. (Кемеровская обл.) 1—3, 5—9, 11, 12; Боков Е. (Краснодарский край) 1—14; Беккер М. (Таллин) 3, 4, 6, 9, 11, 12, 13; Вановская Е. (Тамбов) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 12; Ветров К. (Восточно-Казахстанская обл.) 1—14; Вейнман Б. (Киев) 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11—14; Владимиров А. (Асбест) 1 — 14; Готлер М. (Вильнюс) 1—8, 10—13; Гогичадзе М. (Грузинская ССР) 1—7, 9—12, 14; Гудинас М. (Литовская ССР) 1—12, 14; Гнетуллос С. (Красноярский край) 1—6, 8—14; Герасимов Ю. (Абакан) 1 — 14; Глыбин Н. (Гомельская обл.) 1—3, 6, 7, 9, 11, 12, 14; Гаас А. (Караганда) 2—9, 11, 12, 14; Дарбинян А. (Армянская ССР) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14; Демчинский В. (Ровно) 1, 3—14; Джабаров С. (Куйбышевская обл.) 1—9, 11—14; Данислян М. (Армянская ССР) 2, 3, 6, 12, 14; Давыдов Е. (Гомель) 1—14; Дейнега А. (Винницкая обл.) 1—14; Зайденман M (Молдавская обл.) 1, 2, 3, 5,8, 9, 11, 12; Исмагилов Р. (Башкирская АССР) 1—5, 11, 12—14; Кошелев А. (Ульяновская обл.) 1—8, 11 — 13; Краснов П. (Витебская обл.) 2—5, 9, 11—13; Ковалев П. (Урюпинск) 1—3, 6, 7, 9, 12, 13, 14; Кравчишин М. (Дрогобыч) 1—7, 9—14; Колесник С. (Харьков) 1—14; Кунахович В. (Красноярский край) 1, 2, 3, 5—12, 14; Лось /'.(Каменец-Подольская обл.) 1—9, 11—14; Лейбман М. (Свердловская обл.) 1—8, 11—13; Латти Б. (Кемеровская обл.) 1—7, 9, 11, 12, 14; Мышакова Т. (Одесса) 1—14; Математический кружок 17-й ср. школы (Киев) 1—9, И, 12, 14; Магеро А. (Серпухов) 1, 3—6, 8, 9, 11, 12, 14; Молибога И. (г. Верхний) 1—7, 9,12, 14; Манукьян М. (Казахская ССР} 1, 3, 5, 9, 11, 12, 14; Нелюбин К. (Кировская обл.) 1—14; Параско И. (Киев) 1, 3—9 И, 12, 13; Печерский Л. (г. Фрунзе) 1—14; Рубинштейн Н. (Москва) 1, 3, 5, 7—9, 11—13; Рознатовский В. (Киев) 1—14; Рудштейн 3. (Киев) 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12; Ренерm Р. (Польша) 1—8, 10-12; Строгальщиков П. (Вологодская обл.) 1—3, 7, 9, 12; Сергиенко Ф. (Запорожье) 1—7, 11, 12, 14; Смышляев В. (Марийская АССР) 1—14; Сашина Н. (Ленинград) 1, 3, 5, 7, 8, 9. 12, 14; Сейфиев Н. (Чкаловская обл.) 1, 3, 4, 6—9, 11, 12; Садихов С. (Баку) 1—4, 6, 9, 11, 12, 14; Степанян А. (Нагорно-Карабахская автон. обл.) 1, 2, 5, 6, 8, 9, 12—14; Торбик М. (Брянская обл.) 1—6, 8—14; Теплюк А (станица Кальниболотовская 1, 2, 3, 6, 7, 9, И, 14; Тишков Е. (Полоцк) 1—14; Тралмак А. (Ленинград) 1—14; Утемов В. (Свердловская обл.) 1—14; Хачатрян Г. (Армянская ССР) 1—12, 14; Цхай Т. (г. Андижан) 1—14; Цимерман Д. (Винница) 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14; Чудутов А. (Омская обл.) 1—8, 10, 11, 13; Черепнин М. (Караганда) 1—14; Шахназарян А. (Нагорно-Карабахская автон. область) 1, 2, 5, 8, 9, 12, 14; Шебаршин М. (Кемеровская обл.) 1—14; Шалтаев А. (Корсун) 1—3, 5—12, 14; Шишков Н. (Курская обл.) 1, 3, 5—9, 11, 12, 14; Щукин И. (Хмельницкая обл.) 1—9, 10, 11 — 14; Яремчук Ф. (Дорогобыч) 1—7, 9—14; Ясиновый Э. (Куйбышев) 1—14.

СОДЕРЖАНИЕ

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

К. И. Швецов — О характерных чертах арифметических рукописей XVII столетня ................................... 1

МЕТОДИКА

М. В. Яковкин —О схеме деления многочленов................ 11

В. А. Уметский — О развитии математического мышления учащихся на уроках арифметики................................ 17

A. А. Крамская — Номограммы во внеклассной работе............. 29

B. И. Севбо — К изучению неравенств в X классе............... 39

ИЗ ОПЫТА

Р. Н. Абаляев — Экскурсии по арифметике.................. 43

М. Н. Покровская — Домашние задания по математике............. 46

A. К. Исаков — О методе индивидуального учета................ 58

П. В. Стратилатов — Устная контрольная работа по математике....... 60

Н. Я- Цыганова и Н. П. Гольдина — Из опыта работы учительницы А. В. Колесовой .................................. 64

СОВЕТСКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

И. Я- Депман — Иван Козьмич Андронов................... 71

Б. И. Белый — Александр Матвеевич Астряб ................. 73

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

П. М. Эрдниев — О книге «Методика преподавания арифметики» В. Г. Чичигина .................................. 76

Т. А. Песков — Об учебнике геометрии для средней школы........... 79

B. А. Невский — Новая литература по математике............... 81

ХРОНИКА

В. Д. Чистяков — На «Педагогических чтениях» 1954 года по Витебской области.................................. 83

Н. И. Польский — Математический лекторий и олимпиада учащихся IX и X классов в Ирбите............................... 84

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 2 за 1954 г.................. 86

Задачи.................................... 94

Задачи для учащихся............................. —

Сводка решений по № 1 за 1954 г........................ 95

Редакционная коллегия:

Редактор Л. Н. Барсуков, зам. редактора С.И. Новоселов, члены редакционной коллегии: Л'. С Богушевский, П. А. Ларичев, В. В. Немыцкий, И. Н. Никитин, С. В. Филичев, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Р. С. Терюкалова

Технический редактор С. Н. Шахов Корректор А. А. Журавлев

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

Сдано в производство 6/VII 1954 г. Подписано к печати 21/VIII 1954 г. Учетно-нзд. л. 11,44

А06505. Заказ 982. Тираж 90 450 экз.

Цена 4 р. 50 к. Бумага 84 X lOSVie ö п. л. (9,84)

Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической промышленности. 13-я типография. Москва, Гарднеровский пер., 1а.