МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

4

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1954

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 4

ИЮЛЬ - АВГУСТ 1954 г.

Н. К. КРУПСКАЯ О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

(К 85-летию со дня рождения и 15-летию со дня смерти)

Г. Н. ВОЛКОВ (Казань)

Исключительно многогранной и широкой была педагогическая деятельность выдающегося советского педагога-большевика Надежды Константиновны Крупской.

Для выдающегося деятеля партии и Советского государства, педагога-коммуниста Н. К. Крупской прежде всего характерна строгая большевистская партийность в освещении методических проблем: „Методика органически связана с теми целями, которые стоят перед школой. Если цель школы — воспитать послушных рабов капитала, — и методика будет соответствующая, и наука будет использована для того, чтобы воспитать послушных исполнителей, как можно менее самостоятельно думающих, рассуждающих...“*. Н. К. Крупская со всей присущей ей большевистской страстью разоблачала буржуазную систему воспитания, которая находит свое отражение и в методике преподавания в буржуазной школе. В 1908 г. Н. К. Крупская посетила одну образцовую народную школу в Женеве. Она присутствовала на ряде уроков по всем предметам, в том числе и по математике. О методах преподавания в этой „образцовой“ школе Н. К. Крупская писала так: „Поражала, подавляла механичность преподавания. Путем умелых вопросов, бесконечных повторений учитель достигал того, что весь класс дословно мог повторить прочитанную страницу, но эта коллективная классная зубрежка была не более как самая обычная дрессировка. Что особенно бросалось в глаза, это то, что индивидуальность ученика подавлялась до такой степени, что в классе нельзя было отличить способных, развитых детей от малоспособных, тупых... Ни одного вопроса, над которым ученику надо было бы подумать, ни одной живой мысли. И дисциплина, все подавляющая дисциплина. У некоторых учителей весь урок превращался в какую-то непрерывную войну с учениками: пощечины, окрики, выталкивание из класса“*.

Методика преподавания в советской школе представляет собой качественно новую ступень методической мысли, „...если цель школы — воспитать сознательных строителей социализма, — и методика будет совсем другая (курсив наш. —Г. В.) — все достижения науки будут использованы для того, чтобы научить самостоятельно мыслить, действовать коллективно, организованно, отдавая себе отчёт в результатах своих действий, развивая максимум инициативы, самодеятельности“** В этих словах ярко выражены методические воззрения Н. К. Крупской, в основе которых лежит принципиальный, большевистский подход к проблемам науки и к преподаванию.

Н. К. Крупская, говоря о создании новой, советской системы воспитания, указывала: „Нужно создать нового учителя, новые программы, новые методы“*** (курсив наш.— Г. В.). Задача состояла в том, чтобы создать такую методику преподавания, с помощью которой можно было бы воспитать нового чело-

* Н. К. Крупская, Избранные педагогические произведения, 1948, стр. 177.

* Н. К. Крупская, Соч., т. 1, стр. 94.

** Н. К. Крупская, Избранные педагогические произведения, 1948, стр. 177.

*** Н. К. Крупская, Соч., т. III, стр. 105.

века, будущего строителя коммунистического общества: „Проблема заключается в выработке такого метода и такой программы преподавания, которые делали бы из ученика не только исполнителя, но и творца и организатора“*. Но Н. К. Крупская, призывая педагогов к созданию новой методики преподавания, никогда не отрицала то прогрессивное и передовое, что имеется в методике прошлого и что при соответствующем критическом отношении может быть использовано и в советской школе: „Надо посмотреть старые методики и из них извлечь то, что на опыте обосновано, подумать, посмотреть, что приемлемо и что не приемлемо“**. Н. К. Крупская справедливо отмечала: „Методика связана теснейшим образом с содержанием преподавания, с целями его. Буржуазная методика должна быть переработана в корне“*** (курсив наш.—Г. В.).

Н. К. Крупская придавала большое значение методике преподавания.

Успешное изучение математики, по мнению Н. К. Крупской, не определяется какими-то особыми математическими способностями человека: Ответственность за достижение хороших результатов в изучении математики Надежда Константиновна возлагает прежде всего на преподавателя, считая, что серьезным фактором успешного преподавания математики являются умелые методы преподнесения учебного материала. Н. К. Крупская требовала, чтобы учебный материал всегда излагался в доступной для учащихся форме. Она справедливо писала: „Для эффективности педагогической работы понятность — необходимое условие“****.

По мнению Н. К. Крупской, большое значение для успешного усвоения учащимися учебного материала имеет их отношение к предмету, их интерес к нему. Но отношение учащихся к предмету целиком и полностью зависит от учителя. Недаром Н. К. Крупская считала овладение „методикой того, как сделать предмет интересным“***** одной из очередных задач педагогов. Н. К. Крупская в то же время хорошо понимала, что этого нельзя добиться без знания в совершенстве самого предмета и овладения методикой его преподавания. „Объясняет учительница геометрическую теорему и не говорит, зачем эта геометрическая теорема нужна, сама путается в объяснениях этой теоремы“******, — Н. К. Крупская о таких фактах всегда писала с возмущением. Требуя от учителей повседневной и упорной работы по овладению своим предметом, она в то же время ставила задачу повышения педагогической квалификации преподавателей. Важнейшим условием повышения квалификации учителей Н. К. Крупская считала их творческий подход к изучению педагогики и методики преподавания предмета. В интересах повышения качества учебной работы Н. К. Крупская требовала коренного улучшения методической работы: „Нам нужно поднять на высшую ступень методику преподавания...“*

К подбору учебного материала Н. К. Крупская подходила с точки зрения его значения для всестороннего развития человеческой личности, для воспитания строителя коммунистического общества: „Необходимо просмотреть под углом зрения диалектического материализма и современных достижений науки и техники все дисциплины, выбросить из них ненужный хлам, ненужную схоластику и дополнить их новыми ценными материалами, всем тем, что необходимо знать для того, чтобы быть строителем коммунизма, борцом за коммунизм“**.

Н. К. Крупская особое значение придавала выяснению предмета математики, ее роли в изучении окружающей действительности. По ее словам, математика способствует все глубже и глубже познавать природу и общественную жизнь, преобразовывать их.

Н. К. Крупская не ограничивается тем, что подчеркивает необходимость раскрытия учащимся такого важного методологического вопроса, как предмет математики, она дает также и практические методические указания, каким способом можно осуществлять эту задачу. В частности, одним из этих способов Н. К. Крупская считает показ практического значения математики и отдельных ее разделов: „Если по математике дается какая-нибудь программа, так надо, чтобы ученик понимал, зачем нужно алгебру проходить, зачем нужно проходить такие-то формулы, зачем, для чего...“***

По мнению Н. К. Крупской, знание роли изучаемой дисциплины имеет важное педагогическое значение: „... обыкновенно падение интереса учащихся к тому или иному предмету объясняется тем, что учащийся совершенно не представляет себе, зачем нужно знать то, чему его учат“****. Н. К. Крупская в преподавании математики требовала обращать серьезное внимание на „умение точно фиксировать действительность (курсив наш.—Г. В.): снимание планов,

* Н. К. Крупская, Соч., т. III, стр. 166.

** Там же, т. IV, стр. 326.

*** Н. К. Крупская, Избранные педагогические произведения, 1948, стр. 158.

**** Н. К. Крупская, Соч., т. IV, стр. 317.

***** Там же, стр.316.

****** Там же, стр. 315.

* Н. К. Крупская, стр. 321.

** Там же, стр. 299.

*** Там же, стр. 307.

**** Там же.

чертежи и рисунки, статистические обследования"*.

H. К. Крупская требовала, „чтобы ребятам была ясна роль математики в изучении техники, в поднятии техники на высшую ступень, роль изучения математики в изучении сил природы (взять хотя бы астрономию), роль математики в организации общественной жизни (роль статистики, учета, планирования)“**.

В нашей стране Центральное Статистическое Управление в планировании народного хозяйства и в борьбе за выполнение планов играет немалую роль. Ясно, вся эта работа не могла бы выполняться без большого математического аппарата, без помощи высококвалифицированных математиков. Учитель может на основе сообщений Центрального Статистического Управления о выполнении народнохозяйственного плана рассказать учащимся об огромной вычислительной работе, предшествовавшей этому сообщению.

Большое значение для нас имеют мысли Н. К. Крупской о роли математики и месте ее в политехническом образовании учащихся.

Характерно, что Н. К. Крупская одной из главных предпосылок для поднятия школы на социалистический уровень политехнизации называет улучшение методов преподавания: „Повышение общеобразовательной стороны учебы, улучшение методов преподавания — все это предпосылки для того, чтобы, опираясь на все возрастающее улучшение материальной базы политехнизации, поднять всю массовую школу на социалистический уровень политехнизации“***.

Какое же значение имеет математика и каково ее место в политехническом образовании? На этот вопрос Н. К. Крупская дает такой ответ: „Математика должна помочь математически осмыслить все процессы производства, организацию труда, дать целый ряд расчетов и внести конкретность во все освещаемые в процессе изучения... вопросы“****. В целях осуществления политехнизма „необходимо, чтобы та работа, которую производит ребенок, была... связана с изучением математики, чтобы арифметические, алгебраические и геометрические знания были связаны с производством, способствовали бы лучшему их пониманию****** (курсив наш. — Г. В.).

Правильно поставленное политехническое образование, ликвидируя в школьном преподавании отрыв теории от практики, подготовляет почву для стирания грани между умственным и физическим трудом в будущем. Поэтому Н. К. Крупская всегда требовала, чтобы на каждом этапе был перекинут мост между теорией и практикой, „чтобы практика и теория тесно переплетались и оплодотворяли друг друга“*. Так как политехнизм осуществляется не одной математикой, а всеми предметами, то он (т. е. политехнизм), по мнению Н. К. Крупской, должен пропитывать собою все преподаваемые дисциплины и „нужна взаимная увязка этих дисциплин и увязка их с практической деятельностью...“** (курсив наш.—Г. В.).

Увязывание теории с практикой в преподавании математики особо важно, „чтобы ощутить увлекающую своеобразную поэзию математики, это особо будит инициативу, мысль“***. Н. К. Крупская считала, что преподаватель должен уметь самые отвлеченные математические правила иллюстрировать конкретными примерами. Она здесь не ограничивается общими указаниями. Ею предложен один из способов осуществления увязки теории с практикой: „преподаватель особенно должен обратить внимание на составление вместе с учащимися жизненных задач, на стимулирование их в этой области“****. Н. К. Крупская пишет, что нужно попробовать в шестых и седьмых классах предложить ребятам самим составить задачи: „...на основании того материала, над которым они работают, ребята учились бы учету— сколько сырья пошло, сколько времени затрачено и пр. Так же нужно подойти и к геометрии, к обобщениям, к алгебре, к статистике. Это будет облегчать обучение и будет увлекать ребят“*****. Н. К. Крупская всегда отрицательно относилась к оторванности задачников от действительности, ибо такой отрыв не только не воспитывает математическое мышление, но и понижает интерес учащихся к предмету: „...когда посмотришь на наши задачники, то видишь, что они очень отвлеченны и часто ребят совсем не заинтересовывают. Воспитывать математическое мышление — это значит заставить ребят самих составлять задачи“******. Признаться, такой недостаток в наших задачниках не до конца изжит еще и по сей день. По справедливому мнению Н. К. Крупской, надо брать примеры и давать задачи из знакомой и близкой ученикам области...“*******; так, например, весьма целесообразно в сельских школах

* Н. К. Крупская, Соч., т. III, стр. 85.

** Н. К. Крупская, Избранные педагогические произведения, 1948, стр. 175.

*** Н. К. Крупская, Соч., т. III, стр. 14.

**** Там же, т. IV, стр. 129.

***** Там же, стр. 311.

* Н. К. Крупская, Соч., т. III, стр. 153.

** Там же, т. IV, стр. 54.

*** Н. К. Крупская, Избранные педагогические произведения, 1948, стр. 209.

**** Там же.

***** Н. К. Крупская, Соч., т. IV, стр. 270.

****** Там же, стр. 269—270.

******* Там же, т. II, стр. 258.

предлагать учащимся задачи из области сельского хозяйства. Н. К. Крупская полагает, что увязку теоретических знаний по математике с практикой осуществлять в отношении сельского хозяйства нетрудно, притом „там все изученные измерения дают большие практические результаты“*. Н. К. Крупская высказывает интересные мысли о том, какую помощь колхозникам могут оказывать учащиеся сельских школ своими знаниями по геометрии и арифметике.

Как уже выше говорилось, Н. К. Крупская придавала большое значение составлению задач самими учащимися. Так, в „Анкете для сбора материалов о школе I и II ступени в промышленном районе“ в числе других имеется вопрос: „При прохождении арифметики берутся ли примеры из жизни предприятия? Составляются ли задачи такого рода?» Нам кажется, инспекторы органов народного образования, обследуя постановку преподавания математики в школах, обязаны всегда находить ответ на вопрос, поставленный перед ними выдающимся советским деятелем в области народного образования Н. К. Крупской.

Опытные преподаватели математики считают составление учащимися задач на материале, взятом из окружающей жизни, одним из серьезных видов самостоятельной работы учащихся по математике. Так, например, в казанской мужской средней школе № 2 ряд лет работает математический кружок под руководством опытной учительницы т. Гусарской. На занятиях кружка не ограничиваются только докладами по вопросам теории или истории математики, но и решают задачи и примеры, интересные по содержанию или методам решения. Учащиеся сами придумывают задачи с интересным содержанием, что способствует не только развитию творческой мысли у учащихся, но и содействует раскрытию сущности предмета математики. Учащиеся т. Гусарской отличаются глубокими математическими знаниями и прочными навыками. Об этом свидетельствует хотя бы тот факт, что с 1946 года ее ученики на математических олимпиадах, проводимых в университете, ежегодно занимают первые места.

Учительница математики V — VI татарских классов Адав-Тулумбаевской семилетней школы Буинского района ТАССР Ш. С. Сафрова считает составление учащимися задач на материале из окружающей действительности наиболее интересным видом самостоятельной работы учащихся по математике. Правильно организованная самостоятельная работа учащихся сыграла серьезную роль в достижении ею стопроцентной успеваемости по математике в V—VI классах.

Н. К. Крупская считала, что содержание задач способствует общественно-политическому воспитанию учащихся: „Материал для задач должен комбинироваться так, чтобы иллюстрировать разруху и борьбу с ней в области, близкой ученику“*. Это было сказано в тяжелые для молодой Советской республики двадцатые годы. Но мысли о задачах, содержание которых содействует общественно-политическому воспитанию учащихся, высказанные Н. К. Крупской тридцать с лишним лет тому назад, не потеряли своего значения и по сей день. Сейчас наша страна является самой могучей державой в мире, она бурными темпами идет по пути к коммунизму. Задача преподавателей математики— показать учащимся на конкретных цифровых примерах грандиозные размеры и невиданные до сих пор в истории темпы экономического и культурного строительства в нашей стране. Передовые учителя с успехом выполняют эту задачу.

Ясно, что все это является частными формами увязки теории с практикой в преподавании математики, вытекающими из важнейшего методического указания Н. К. Крупской о составлении вместе с учащимися жизненных задач и стимулировании их в этой области.

Составление задач самими учащимися надо поставить так, чтобы „в процессе составления задач, взятых из окружающей жизни, сравнения их, обобщений ребята научились бы понимать, что математика помогает изучению закономерности явлении“** (курсив наш. — Г. В.). Н. К. Крупская ставит задачу, чтобы школа развивала у учащихся умение наблюдать сквозь „математические очки“.

Н. К. Крупская учит, что нужно изучать все стороны, все связи и опосредствования математики. Разумеется, этого можно добиться только в том случае, когда учащимся ясна связь между отдельными математическими дисциплинами: „Математик должен знать основные отрасли математики, понимать, как они связаны между собою, как одна отрасль дополняет другую... Необходимо знать те проблемы, которые она разрешает“***. Следующей задачей является уяснение учащимися связи математических дисциплин с другими дисциплинами, преподаваемыми в школе, как одно из проявлений всеобщей связи предметов и явлений в природе.

По мнению Н. К. Крупской, если бы изучение математики ограничивалось только специ-

* Н. К. Крупская, Соч., т. IV, стр. 311.

* Н. К. Крупская, Соч., т. II, стр. 258.

** Н. К. Крупская, Избранные педагогические произведения, 1948, стр. 175.

*** Н. К. Крупская, Избранные педагогические произведения, 1948, стр. 208.

альными занятиями по математике, то трудно было бы рассчитывать на полный успех в овладении математикой, поэтому „как изучение языка, так и изучение математических соотношений, математических законов проводится не только на специальных уроках математики, но проходит красной нитью через все занятия. Статистические работы, работы землемерные... дадут богатейший материал для изучения математики. Самое важное — развить математическое мышление* (курсив наш.—Г. В.) и тогда математика будет изучена сравнительно легко“.

Раскрытие учащимся отношения математики к другим наукам способствует установлению связи математики с окружающей действительностью. Учащимся станет ясно, что все отрасли знаний тесно связаны друг с другом, что математик, тем более советский математик, не может ограничиваться рамками своей узкой специальности. Будучи специалистом в своей области, он в то же время должен быть всесторонне развитым человеком, для чего он должен знать не только математику и смежные с ней науки, но и науку о законах развития общества, о строительстве коммунистического общества, чтобы математику поставить целиком и полностью на службу делу борьбы за коммунизм. Вот именно поэтому и требовала Н. К. Крупская, чтобы в процессе преподавания устанавливалась связь математики с другими дисциплинами, чтобы на каждом этапе был перекинут „мост между теорией и практикой, отметить, насколько и чем важна математика для разрешения жизненных проблем“**.

Н. К. Крупская большое значение придавала вопросу историзма в преподавании математики: „Чрезвычайно важно посмотреть, как и под влиянием чего развивалась математика, отметить узловые пункты ее развития, взять математику в „самодвижении“, в ее развитии“***.

Трудно назвать тот или иной вопрос методики преподавания, в разрешение которого не внесла бы свой вклад Н. К. Крупская. Мы встречаем у Н. К. Крупской весьма ценные указания о самодеятельности детей, об их самостоятельной работе по математике. Имеются указания Н. К. Крупской и по вопросам о применении наглядности.

Отличительной особенностью методических идей Н. К. Крупской, как уже указывалось, является то, что она считает, что решающая роль в успешном преподавании и изучении математики принадлежит учителю, знающему в совершенстве методику преподавания: „Любивший парадоксы Лев Толстой утверждал, что никуда не годен тот профессор математики, который не умеет изложить основы высшей математики понятно для каждого. Значительная доля истины в этом... есть. Преподаватели математики, начав думать над вопросом о диалектическом подходе к математике (курсив наш.—-Г. £.), сумеют разрешить его, конечно, гораздо полнее и глубже“*. Притом Н. К. Крупская требовала, чтобы методика была тесно связана со школьной практикой, чтобы методические проблемы разрабатывались на основе практики, опыта преподавания и служили этой практике: „Всуе заниматься всякой методикой если мы не умеем ее приложить к живой школе...“**.

Мысли Н. К. Крупской о преподавании математики не только вооружают учителя ценными методическими знаниями, но и, отличаясь по своему содержанию исключительным оптимизмом, вселяют в него уверенность в том, что математику могут преподавать успешно все учителя без исключения; для этого достаточно хорошо знать математику и ее опосредствования, методику преподавания и повседневно заниматься глубоким изучением трудов классиков марксизма-ленинизма. „Учиться, учиться и учиться, вот что надо русскому учительству“*** — такую задачу ставит Н. К. Крупская перед нашими педагогами.

* Н. К. Крупская, Соч., т. III, стр. 86.

** Н. К. Крупская, Избранные педагогические произведения, 1948, стр. 208—209.

*** Там же, стр. 208.

* Н. К. Крупская, Избранные педагогические произведения, стр. 209.

** Н. К. Крупская, Соч., т. III, стр. 255.

*** Там же, т. I, стр. 9.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ РУССКОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ В XIX ВЕКЕ

Б. П. БЫЧКОВ (г. Бельцы)

Первый этап введения понятия функции в курс алгебры

По первому школьному уставу 1804 года учебный план гимназического курса содержал следующие физико-математические дисциплины: алгебру, геометрию, плоскую тригонометрию, аналитическую геометрию, механику и физику*. Аналитическая геометрия была исключена из учебного плана в 1845 году**.

Об объеме школьного курса математики можно примерно судить по учебнику Н. И. Фусса „Начальные основания чистой математики“ (в трех частях), который в 1813 году был утвержден в качестве основного руководства***. В разделе „Конические сечения“ Н. И. Фусс ввел понятие о системе координат, о постоянных и переменных величинах, а в разделе „Основания дифференциального и интегрального исчисления“ — определение функции. „Функцией переменной величины называется выражение, состоящее из сей переменной, соединенной с постоянными величинами“****.

Н. И. Фусс ввел понятие функции в разделе, который нельзя считать характерным для содержания школьного курса математики, но в 1837 году вышел „Гимназический курс чистой математики“ Д. М. Перевощикова, в котором понятие функции было введено в связи с обобщением формулы бинома Ньютона на дробные и отрицательные показатели. „Выражение, составленное из какого-нибудь количества, соединенного с другими так, что с переменою его величины переменяется величина и самого выражения, называется функциею сего количества“*. Учебник содержит также элементы аналитической геометрии: система координат, уравнения прямой линии, окружности, параболы, эллипса, гиперболы и общее уравнение второй степени с двумя неизвестными.

В 1838 году вышла книга И. И. Сомова „Теория определенных алгебраических уравнений“, где автор дает следующее определение содержания математики: „Математика есть наука о функциях величин. Цель ее: 1) исследовать свойства всякой функции и уметь определять неизвестные величины, в нее входящие; 2) открывать функции в природе, т. е. выражать математически зависимость, существующую между величинами, входящими в какое-либо явление природы“ (стр. 2).

Как видно будет из дальнейшего, эти материалистические взгляды И. И. Сомова оказали влияние на составление учебников алгебры для средней школы.

* В. Е. Прудников, О русских учебниках математики для средних школ в XIX в., «Математика в школе“, 1954, № 3.

** Сборник распоряжений по Министерству народного просвещения, т. 2, СПБ, 1866, стр. 877.

*** Упомянутый сборник, т. 1, стр. 224—225.

**** Н. Фусс, Начальные основания чистой математики, ч. III, СПБ, 1812, стр. 278.

* Д. Перевощиков, Гимназический курс чистой математики, ч. II. Основания алгебры, М., 1837, стр. 199.

Еще в середине XIX века академик М. В. Остроградский высказал те идеи, которые в начале XX века легли в основу международного движения за реформу преподавания математики* и среди которых не последнее место занимало требование о включении понятия функции в школьный курс математики.

Работая на протяжении 27 лет (1832—1859 гг.) в качестве профессора Главного педагогического института, М. В. Остроградский воспитал многочисленные кадры ученых и преподавателей средней школы, которые в дальнейшем проводили в жизнь научные и педагогические взгляды своего учителя. Один из его учеников, А. Н. Тихомандрицкий (1808 — 1888), частично осуществил идеи своего учителя при составлении учебника „Начальная алгебра“ для преподавания в гимназиях, вышедшего в свет в 1853 году и выдержавшего затем еще два издания (1855, 1860 гг.).

В своем учебнике А. Н. Тихомандрицкий сделал попытку отойти от формально-схоластических тенденций в преподавании алгебры, характерных для того времени, и приблизить это преподавание к науке и жизни.

Предмет математики автор определяет, как „Верное и последовательное (систематическое) изложение знаний, приобретаемых нами о взаимной зависимости величин, и тех истин, на которых основываются самые способы их измерения“**, выделяя затем начальную алгебру как часть математики, занимающуюся исследованием простейших случаев взаимной зависимости величин. Положительные и отрицательные числа вводятся как способ выражения изменений (увеличения или уменьшения) величин. В учебнике также рассматривается изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения их составляющих.

В главе об уравнениях А. Н. Тихомандрицкий вводит сначала понятие о функции. Показав на конкретных примерах, что числовое значение данного алгебраического выражения изменяется в зависимости от изменения числовых значений входящих в него букв, он дает аналитическое определение функции: „выражения, изменяющие численное свое значение вместе с изменением значения переменных, в них входящих, называются функциями этих переменных“***. Если нужно найти такие числа, от подстановки которых вместо переменных данная алгебраическая функция обращается в нуль, „то для этой цели приравнивают функцию нулю.

Так, например, равенство:

показывает, что для переменной х ищутся такие числа, которые функцию

обращают в нуль. И такое равенство называется уравнением“.

И далее: „Обыкновенно уравнением называется равенство двух алгебраических выражений, составленных из известных и неизвестных', например, равенство

есть уравнение*.

Подчеркнув, что решение различных задач, предлагаемых в жизни, приводит к решению уравнений и что основная трудность состоит в том, чтобы зависимости, данные в задаче, выразить алгебраически, т. е. составить уравнение, автор на пятнадцати конкретных задачах знакомит читателя с приемами составления уравнений.

Как видно из вышеизложенного А. Н. Тихомандрицкий выдвигает научную трактовку уравнения, связанную с понятием функции, которая в настоящее время является общепризнанной, прививая учащимся взгляд на уравнение как на равенство, выражающее определенную зависимость между тем или иным числом известных и неизвестных. Такая трактовка уравнения в школьном курсе алгебры является весьма актуальной и в настоящее время.

Этих сопоставлений достаточно для того, чтобы утверждать, что в научном и методическом изложении вопроса об уравнениях в курсе алгебры средней школы А. Н. Тихомандрицкий проводил прогрессивную точку зрения, которая не потеряла актуальность и в настоящее время.

Определение уравнения как равенства двух алгебраических выражений с выделением тождества как частного случая уравнения встречается в нашей учебной литературе еще раньше у Н. И. Лобачевского в его сочинении „Алгебра или вычисление конечных“, написанном в 1825 году и вышедшем в свет отдельной книгой в Казани в 1834 году. „Выражения сравниваются в отношении к их значениям и бывают или совершенно равными, или по величине только равными. Между ними ставится знак равенства, и оба вместе составляют уравнение. Если не только значения выражений равны, но и са-

* См. подробнее Б. В. Гнеденко, Михаил Васильевич Остроградский, М., 1952, стр. 246—263.

** А. Н. Тихомандрицкий, Начальная алгебра, изд. второе, СПБ, 1855, стр. 8,

*** Там же, стр. 139, подчеркнуто в тексте.

* А. Н. Тихомандрицкий, Начальная алгебра, СПБ, 1855, стр. 140—141, подчеркнуто в тексте.

мые выражения одинаковы, то уравнение называется тождественным“*.

Есть основания утверждать, что учебник А. Н. Тихомандрицкого оказал известное влияние на дальнейшее развитие передовых идей в области методики алгебры в России, так как он имел продолжительное время широкое распространение в средних школах. Так, в докладе П. Л. Чебышева „О гимназических учебных руководствах и пособиях по математике и физике“, представленном Ученому комитету министерства народного просвещения в 1863—1864 годах, мы находим указание на то, что из семи учебников алгебры, употреблявшихся в то время в гимназиях различных учебных округов, только одна алгебра Тихомандрицкого употреблялась во всех округах**.

В 1864 году вышел в свет учебник алгебры С. А. Маркова (1828—1878), в котором понятие функции, так же как и у А. Н. Тихомандрицкого, вводится в связи с изучением уравнений.

Понятие уравнения С. А. Марков связывает, прежде всего, с условием задачи: „Если условия задачи выразим алгебраическими знаками, то получим уравнение“; затем вводится понятие функции: „Если над какою-нибудь величиною X произведены какие-либо действия, то полученный результат называется функциею“***.

В дальнейшем понятие функции используется для пояснения понятия уравнения: „В уравнении дается вообще условие, что какая-либо функция неизвестного х равняется другой его функции, либо какой-нибудь известной величине, например О“****.

Заслуживающим внимания является также тот факт, что в этом учебнике, пожалуй впервые в нашей школьной учебной литературе, рассматриваются случаи приобретения уравнением посторонних корней, а также потери корней.

Учебник был одобрен, по представлению П. Л. Чебышева, в заседании Ученого комитета министерства народного просвещения от 25 октября 1865 года к употреблению в гимназиях как учебное пособие*****.

Таким образом мы видим, что мысль о важности и необходимости включения понятия функции в школьный курс алгебры возникает у нас в России в первой половине XIX века и осуществляется при составлении учебников.

В учебниках Перевощикова, Тихомандрицкого, Маркова еще не был решен вопрос о перестройке курса алгебры средней школы на основе идеи функциональной зависимости, так как дальнейшего развития понятие функции в них не получает, практическое значение его не раскрывается на конкретных примерах, графическое изображение функции отсутствует и, что еще важнее, отсутствует разработанная система упражнений, способствующих развитию понятия функции и привитию учащимся вычислительных и графических навыков.

Несмотря на это, в указанных учебниках уже намечается основная линия, по которой должна идти перестройка курса алгебры средней школы в духе приближения его к науке и жизни, линия пронизывания этого курса идеей функциональной зависимости.

Понятие функции не вводится в виде некоторого дополнения, не связанного органически с остальными разделами курса алгебры, а как средство более научного обоснования некоторых уже установившихся разделов этого курса, и в первую очередь учения об уравнениях. И это не случайно. Алгебра развивалась и долгое время воспринималась, в первую очередь, как наука об уравнениях. Вопросы, связанные с решением и исследованием уравнений, на протяжении многих столетий составляли основное содержание алгебры как науки.

Определение алгебры как науки об уравнениях часто встречается в учебной литературе XIX века. Академик Н. И. Фусс определяет алгебру как науку, „которая показывает, как находить неизвестные величины помощью известных“*, в учебнике С. А. Маркова читаем: „Часть математики, занимающаяся решением всяких уравнений, называется алгеброй“**.

Учебники Перевощикова, Тихомандрицкого и Маркова знаменуют собой первый этап введения понятия функции в курс алгебры средней школы.

В это время вышло еще два учебника алгебры, в которых вводилось понятие функции: 1) Н. Т. Щеглов, Начальные основания алгебры (1853), 2) Ф. Симашко, Начальные основания алгебры (1859). Но эти учебники по объему излагаемого материала превышали гим-

* Н. И. Лобачевский, Полное собрание сочинений, т. IV, 1948, стр. 32.

** П. Л. Чебышев, Полное собрание сочинений, 1951, т. V, стр. 329-330.

*** Курс алгебры, составленный по гимназической программе С. Марковым, вып. 2, СПБ, 1864, стр. 44, подчеркнуто в тексте.

**** Там же, стр. 45.

***** ЦГИА, ф. 734, Ученый комитет министерства народного просвещения, оп. 3, д. 3, стр. 1502 — 1606. 1865 г.

* Н. И. Фусс, Начальные основания алгебры, извлеченные из оснований сея науки знаменитого Эйлера, СПБ, 1810, стр. 191.

** С. Марков, Курс алгебры, выпуск 1, СПБ, 1864, стр. 3.

назическую программу; первый из них был одобрен Ученым комитетом в качестве пособия для гимназических библиотек*.

Обсуждение вопроса о введении понятия функции в курс алгебры в печати

В мощном общественном подъеме 60-х годов прошлого столетия педагогические вопросы, как известно, занимали большое место. Естественно, что в это время и вопросы преподавания математики становятся предметом широкого обсуждения на страницах как специальных, так и общих педагогических журналов. Из общих педагогических журналов, занимавшихся вопросами преподавания математики, особенно выделялся „Педагогический сборник“, издававшийся Главным управлением военно-учебных заведений в Петербурге с 1864 года по 1917 год.

В книге V этого журнала за 1865 год была опубликована статья „Некоторые соображения о методе преподавания начальной математики“** В. Н. Шкларевича, который, как и А. Н. Тихомандрицкий, был учеником М. В. Остроградского.

Стремясь построить преподавание алгебры так, чтобы усвоение этого предмета стало более сознательным, чтобы учащиеся приобрели более твердые навыки применения алгебраического аппарата к решению практических задач, чтобы приблизить преподавание алгебры к жизни, оторвав его от схоластики и формализма, автор пришел к выводу, что это возможно путем насыщения курса алгебры элементами учения о функциональной зависимости. Он не ограничился одними пожеланиями или введением понятия функции для пояснения того или иного отдела курса, как в рассмотренных учебниках, а раскрыл общеобразовательное и практическое значение понятия функции и ее графического изображения, предложил систему упражнений, способствующих привитию учащимся вычислительных и графических навыков, и сопроводил свои предложения довольно подробными методическими указаниями.

В. Н. Шкларевич предложил ввести в курс алгебры графическое построение уравнений, небольшие статьи об эмпирических уравнениях и о графическом интерполировании, а также установить более тесную связь преподавания алгебры с физикой.

Таким образом В. Н. Шкларевич продолжил и более глубоко развил ту линию проникновения в школьный курс алгебры идеи функциональной зависимости, которая наметилась в учебниках Перевощикова, Тихомандрицкого и Маркова.

Своей статьей В. Н. Шкларевич вписал замечательную страницу в историю развития отечественной методики преподавания алгебры. Большая заслуга его состоит в том, что он вынес передовые методические идеи в области преподавания алгебры на обсуждение математической общественности.

„70 — 80-е годы в России были периодом сильной политической реакции. В области народного образования эта реакция началась после выстрела Каракозова в 1866 году, когда на пост министра народного просвещения был назначен вдохновитель реакции конца царствования Александра II граф Д. А. Толстой“*.

Но несмотря на разработанный Толстым реакционный устав 1871 года, тянувший школу назад, и на отсутствие условий для широкого печатного и устного обсуждения методических вопросов, прогрессивная методическая мысль продолжала, хотя медленно, но уверенно, развиваться благодаря усилиям отдельных ученых и преподавателей средней школы.

В периодической печати вопрос о включении понятия функции в курс алгебры средней школы вновь встречается в 1878 году в статьях известного методиста С. И. Шохор-Троцкого „Математика как предмет общего образования“**.

Автор занял совершенно правильную позицию по отношению к продолжавшемуся тогда спору между сторонниками классического образования и сторонниками реального образования, высказавшись против какого бы то ни было преобладания одного предмета или ряда предметов перед другими, так как „средние учебные заведения должны давать не односторонне вышколенных, а по возможности всесторонне развитых юношей“***.

С точки зрения интересов общего образования он считает необходимым сократить курс математики, но зато уделить внимание научно-педагогическому построению ее данных и методов.

Касаясь неопределенного анализа, Шохор-Троцкий находит, что этот раздел дает прекрасный случай ознакомить учащихся с понятием

* В. Е. Прудников, О русских учебниках математики для средних школ в XIX веке. „Математика в школе“, 1954, № 3.

** См. статью автора „Из истории развития передовых педагогических идей в России“, в Математика в школе“, 1952, № 6.

* Е. Н. Медынский, История педагогики, М., 1947, стр. 440-441.

** „Педагогический музей“, издаваемый под ред. П. Рогова, СПБ, 1878, № 4, 5-6, 7, 8, 10.

*** Там же, № 4, стр. 268.

о постоянных и переменных, с понятием и обозначением функции, а в последней статье, затронув вопрос о классификации величин на зависимые и независимые, он замечает, что ребенок, который решает задачу, уже „образовывает себе понятие о существовании зависимости между вопросом и данными задачи“* и считает, что этому образованию понятий надо помочь разумными указаниями, а если учащийся усвоил понятие о зависимых и независимых величинах, то он легко усвоит понятие о функции.

На протяжении 80-х годов отрицательные стороны классической школы, подвергавшейся все более усиленной критике, выступают с особой силой. Министерство просвещения вынуждено было стать на путь реформ. В 1890 году был утвержден новый учебный план классических гимназий, по которому несколько уменьшилось число часов на древние языки.

Реформа 1890 года существенно не затронула преподавание математики, ограничившись некоторым упрощением этого курса путем исключения ряда разделов. Такая реформа, конечно, не могла удовлетворить передовую педагогическую общественность, представители которой продолжали выступать с требованием пересмотра существующей системы обучения.

Еще проект реформы не был утвержден, как журнал „Русская школа“ открыл на своих страницах обсуждение дискуссионных вопросов преподавания математики. Среди вопросов, предлагаемых для обсуждения, включен и следующий: „Не допускает ли среднеобразовательный курс математики значительных сокращений в отношении внешнего объема и не требуется ли, ввиду истинных целей образования, внесения некоторых понятий так называемой высшей математики в курс среднего учебного заведения, а если требуется, то из каких именно отделов и в каком именно объеме?“**

На протяжении 1891 года в том же журнале „Русская школа“ (№ 2, 3, 9 и 10) был опубликован ряд статей С. И. Шохор-Троцкого „Цель и средства преподавания низшей математики“, в которых содержится ряд мыслей, не потерявших актуальности и в настоящее время, как, например, о введении начального курса геометрии, о введении в арифметику более или менее закругленного курса приближенных вычислений, о введении в курс алгебры понятия функции и ее графического изображения, а также теории пределов, о наглядности в преподавании, об учете возрастных особенностей учащихся*.

Обсуждение в педагогических обществах вопроса о введении понятия функции в курс алгебры

а) Отдел математики при Педагогическом музее военно-у чебных заведений в Петербурге.

В 1885 году при Педагогическом музее военно-учебных заведений в Петербурге был организован отдел математики для обсуждения и изучения вопросов, связанных с общеобразовательным курсом математики. Этот отдел, явившийся впоследствии инициатором и организатором I Всероссийского съезда преподавателей математики (1911), становится на долгие годы центром передовой педагогической мысли в области преподавания математики.

В 1888/89 учебном году при обсуждении доклада проф. П. А. Шифф на тему „Теорема Коши о пропорциональной зависимости функций“ в отделе математики, присутствовавшие преподаватели пришли к выводу о необходимости ознакомления учеников средних учебных заведений с термином „функция“. В том же учебном году был заслушан доклад С. И. Шохор-Троцкого „Об уравнениях и определителях“, в котором докладчик наметил в общих чертах путь изучения уравнений в средних учебных заведениях, исходя из понятия о функциях**.

В 1895/96 учебном году в отделе математики Педагогического музея обсуждались изменения в курсе математики средних учебных заведений. Еще в 1892/93 году отдел занимался вопросом о сравнительной важности разных отделов учебного курса математики и сокращениях, которые можно произвести без особого ущерба для целостности всего курса. Тогда было признано возможным сократить из курса алгебры такие разделы, как извлечение кубического корня из чисел, извлечение квадратных корней из многочленов, срочные уплаты, непрерывные дроби и др.

Теперь вопрос ставился уже не только о сокращении курса, а также и о том, как использовать время, выигранное в результате освобождения курса математики от лишнего балласта. Ответ был дан в докладе К. В. Фогта „Об изменениях курса математики в сред-

* „Педагогический музей“, издаваемый под ред. П. Рогова, СПБ, 1878, № 10, стр. 709.

** .Русская школа“, 1890, № 2, стр. 104.

* См. статью автора „К истории вопроса о реформе преподавания математики“, „Математика в школе“, 1951, № 6, стр. 24.

** Краткий обзор деятельности Педагогического музея военно-учебных заведений за 1888/89 учебный год, „Педагогический сборник“, 1889, № 11, стр. 170-172.

них учебных заведениях" и сводился к тому, что выигранным временем можно воспользоваться, с одной стороны, для более основательного прохождения остальной части курса, а с другой, — для введения новых статей в элементарный курс математики. Такими статьями докладчик считает: 1) прямолинейную ортогональную систему координат; 2) приближенные вычисления*. Важно подчеркнуть, что в этом докладе вполне конкретно и убедительно ставится вопрос о тесной связи преподавания математики со смежными дисциплинами.

b) Комиссия преподавателей математики при Учебном отделе Общества распространения технических знаний (О. Р. Т. З.) в Москве

В 1890 году при Учебном отделе О. Р. Т. З. в Москве** была создана комиссия преподавателей математики с целью содействовать разработке вопросов методики преподавания математики, способствовать сближению преподавателей, интересующихся вопросами своего дела, а также решать вообще все вопросы, связанные так или иначе с успешным ходом преподавания.

Первым председателем комиссии был известный московский методист Федор Иванович Егоров (1846—1915).

В связи с предполагавшимся в 1891 году съездом русских естествоиспытателей и врачей в Москве учебный отдел О. Р. Т. З. предполагал устроить несколько заседаний, посвященных специально обсуждению вопросов, относящихся к преподаванию математики в средних учебных заведениях. С этой целью комиссией преподавателей математики был разослан преподавателям математики в России циркуляр, содержащий 45 вопросов для докладов, среди этих вопросов шестым был поставлен следующий: „Не следует ли в течение всего курса математики знакомить учеников с понятием о функции? Какие отделы и статьи курса представляют для этого наиболее пригодный материал?“*** Такой же вопрос, как мы видели, был в это же время поставлен на обсуждение журналом „Русская школа“, издававшимся в Петербурге.

В начале 1892 года преподаватель Межевого института В. Е. Сердобинский (1842—1905) ответил на этот вопрос специальным докладом, прочитанным в одном из заседаний комиссии. Докладчик указал на странное явление замалчивания идеи и имени функции при преподавании математики, тогда как в сущности это одна из наиболее ценных математических идей в интересах общего образования. Не называя функции, современная постановка курса все время говорит именно о ней и часто вынуждена тратить много лишних объяснений вследствие того, что своевременно не была установлена и постепенно развита идея функции. С этой ненормальностью, по мнению докладчика, пора покончить, „знакомство с функциональной зависимостью величин нужно начинать возможно ранее, пользуясь всяким случаем указывать ея примеры“. В арифметике для этой цели может служить, например, изменение произведения и частного или исследование числовых формул. Алгебра предоставляет наиболее широкое поле для плодотворного развития идеи функциональной зависимости.

При введении понятия о функции многие главы этого курса, как, например, теория уравнений и особенно вопрос об исследовании уравнений могут получить желательное научное обоснование. Для того чтобы использовать задачи на составление уравнений для уяснения идеи функции, В. Е. Сердобинский рекомендует варьировать процесс работы, обозначая через л:, у и т. д. различные величины, входящие в задачу, и пользоваться различными условиями задачи для выражения функциональной зависимости между величинами.

Для обоснования теории логарифмов необходимо выяснение идеи непрерывности показательных функций и вообще, считает докладчик, „пора придать алгебре средней школы ее истинный характер теории функций“.

Геометрия и тригонометрия, считает В. Е. Сердобинский, также нуждаются в систематическом проведении идеи функции*.

При обсуждении доклада В. Е. Сердобинского было указано, что в интересах общеобразовательного развития учащихся желательно ознакомление с графическим представлением функций. В упомянутом в сноске отчете имеется указание на то, что еще в 1891 году, т. е. на год раньше, идеи по перестройке курса алгебры, высказанные В. Е. Сердобинским, получили более широкое развитие в докладе В. П. Шереметевского на тему: „О желательных сокращениях и дополнениях обычного курса алгебры“.

Этот доклад нам не удалось обнаружить, но

* Краткий обзор деятельности Педагогического музея за 1895-1896 г., СПБ, 1897.

** А. Е. Грузинский, Тридцать лет жизни Учебного отдела Общества распространения технических знаний, М., 1902.

*** „Педагогический сборник“, 1892, № 1, стр. 94—95.

* Годичный отчет о деятельности учебного отдела О. Р. Т. З. за 1892 год, М., 1893, стр. 16-17.

об основных мыслях, высказанных в нем, можно судить по содержанию статьи* того же автора, опубликованной в 1895 году в журнале „Русская мысль“, и по примечаниям к ней.

В этой статье Шереметевский, считая, что „основное понятие математики, представляющее центр тяжести всей науки, развитие которого выполняет все ее содержание, есть понятие о зависимости изменения одной величины от изменения другой“**, рассматривает математику как учение о функциях и отсюда заключает, что „Если вся математика есть, в сущности, учение о функциях, то ясно, что и элементарный курс должен группироваться вокруг основного понятия о функциональной зависимости. Чем раньше оно будет вызвано и осторожнее выращено в сознании учащихся, тем лучше. А сделать это гораздо легче, чем утаивать его по мудрым правилам школьной традиции. Оно как бы напрашивается на внимание учащихся с первых же глав арифметики, когда приходится говорить об изменении результатов четырех действий, величины дроби в зависимости от изменения числителя и знаменателя, вообще о прямой и обратной пропорциональности и т. д.“***.

В. П. Шереметевский и В. Е. Сердобинский формулируют уже требования о перестройке всего курса школьной математики на основе понятия функциональной зависимости.

Судя по примечаниям 27 и 39 к рассматриваемой статье прения по докладу, продолжавшиеся несколько заседаний, показали „живое сочувствие“ членов математической комиссии к основной идее доклада.

В тех же примечаниях автор статьи отмечает, что мнения членов комиссии по вопросам перестройки курса математики почти полностью совпадают с главными выводами статей Шохор-Троцкого, печатавшихся в журнале „Русская школа“****, и подчеркивает, что это единодушие „было не случайное и сложилось на почве более общих, уже назревших потребностей, не раз обнаруживавшихся и раньше в спорадических указаниях нашей педагогической литературы.

с) Отделение преподавателей математики Педагогического общества при Московском университете

С 1896 года комиссия преподавателей математики при учебном отделе О. Р. Т. З. фактически прекратила свою деятельность почти на целое десятилетие. Случилось это по той причине, что царская администрация, обеспокоенная многолюдными собраниями и горячими обсуждениями судеб общеобразовательной школы, запретила проводить собрания целого ряда комиссий при учебном отделе, под предлогом, что общеобразовательный характер деятельности учебного отдела не соответствует букве устава О. Р. Т. З.

В это время разработка педагогических вопросов, связанных с постановкой преподавания в средней школе, сосредоточилась в Педагогическом обществе при Московском Университете, организованном в 1898 году при самом деятельном участии бывших членов учебного отдела О. Р. Т. З.

В этом же году общество постановило открыть отделение преподавателей математики, председателем которого был избран Б. К. Млодзеевский.

10 ноября 1900 года С. П. Виноградов прочитал в заседании отделения преподавателей математики доклад „Понятие о функции в элементарной алгебре“.

Докладчик предложил план курса для ознакомления учащихся с главнейшими общими свойствами функций. Он рекомендовал рассматривать алгебраическое выражение как функцию букв, в него входящих. Понятие об изменяемости можно выяснить, „взяв какую-либо алгебраическую функцию, и проследить ее изменение, меняя переменное. Полезно привести и примеры конкретных изменяющихся величин; геометрически удобнее всего иллюстрировать понятие о функции, рассматривая положение точки на прямой, затем построение кривой графики. Порядок изучения функций может быть предложен такой: сперва изучается функция линейная, потом трехчлен второго порядка в связи с зависящими от него вопросами, далее функция у = — и, наконец, функции тригонометрические; подобный курс позволит ознакомить учащихся с главнейшими общими свойствами функций“*.

В докладе С. П. Виноградов наметил план изучения функций в курсе алгебры средней школы, почти совсем не отличающийся от принятого в настоящее время.

После всестороннего обсуждения доклада было признано желательным введение понятия о функции в программу алгебры старших классов, но предложено было избегать преждевре-

* „Математика как наука и ее школьные суррогаты“, „Русская мысль“, кн. V, 1895, стр. 105—125.

** Указанная статья, стр. 115.

*** Там же, стр. 118.

**** Имеются в виду статьи Шохор-Троцкого „Цель и средства преподавания низшей математики“.

* Отчет о деятельности Педагогического общества, состоящего при Московском университете, за 1900— 1901 г., М., 1902, стр. 89.

менного ознакомления с понятием об изменяемости величин.

В том же 1900 году Педагогическим обществом при Московском университете был разработан и представлен комиссии по вопросу о реформе средней школы проект организации средней общеобразовательной школы, имевший много прогрессивных черт.

Относительно направления в постановке преподавания алгебры в старших классах были высказаны следующие пожелания: „при изучении алгебры следует положить в основу идею обобщения, а именно: развить понятие об алгебраическом количестве, дать понятие о функции и развить основные идеи решения уравнений, связав их со свойствами многочленов“*.

Этот проект, как, впрочем, и остальные проекты реформы средней школы, разработанные в это время, был похоронен в недрах министерства.

Второй этап введения понятия функции в курс алгебры средней школы

В программу алгебры дополнительного класса реальных училищ, организованных по уставу 1872 года, были включены „Статьи, дополнительные к курсу алгебры“. В связи с одной из этих статей — „Приложение свойств трехчлена второй степени к разысканию maximum u minimum“** и появляются вновь понятия функции в учебниках алгебры для средней школы.

В 1875 году вышло в свет 4-е издание учебника „Начальная алгебра“ известного русского академика, профессора Петербургского университета И. И. Сомова (1815—1876), одобренное Ученым комитетом министерства народного просвещения в качестве руководства для гимназий и реальных училищ. Статье „Приложение свойств трехчлена второй степени к разысканию наибольших и наименьших величин“ И. И. Сомов предпослал статью „О формулах вообще и переменных величинах“, в которой ввел понятия функции, непрерывности, предела и систему координат, показал графическое изображение функции. Автор указал, что графики служат для наглядного изображения законов изменения различных величин, рассматриваемых в физике, и дал два примера, приводящих к построению графиков прямой и обратной пропорциональной зависимости.

В этом учебнике уже вводится графическое изображение функции, но дальнейшего применения графики не получают; так в следующей статье исследование квадратного трехчлена на максимум и минимум остается без геометрической иллюстрации.

В учебнике Сомова, так же как и в ранее рассмотренных учебниках, определение функции дается по Эйлеру, т. е. связывается с аналитическим выражением. Первая из известных нам попыток отойти в курсе алгебры средней школы от точки зрения Эйлера на понятие функции и приблизить его трактовку к современной, в духе Н. И. Лобачевского, была сделана в учебнике М. Е. Медяника „Низшая алгебра“, изданном в 1879 году в Тамбове. В этом учебнике дается следующее определение функции: „Когда переменные количества X и у связаны между собой таким образом, что с изменением, например, х изменяется и у, то говорят, что у есть функция хи (стр. 151). Правда, здесь еще не выражена в явном виде идея соответствия, но понятие функции не связывается уже с аналитическим выражением. В этой же книге, пожалуй, впервые в нашей учебной литературе для средней школы, вводится понятие обратной функции в связи с логарифмической и показательной функциями.

Понятие функции было введено также в руководстве преподавателя Сызранского реального училища С. Сластникова „Статьи, дополнительные к курсу алгебры* (Казань, 1880— 1881 гг.).

Второе издание учебника А. П. Киселева „Элементарная алгебра“ (1890) содержит дополнительные статьи для VII класса реальных училищ. В первой из них — „Понятие о функции и о предмете алгебры“ автор определяет алгебру как „часть математических наук, которая занимается рассмотрением свойств алгебраических функций“. Дальше в учебнике вводится графическое изображение функции и рассматриваются способы нахождения максимума и минимума некоторых функций, в том числе и дробно-рациональной функции

сопровождаемое построением графика этой функции для случая числовых коэффициентов.

Метод изучения функций, наиболее близкий к принятому, в современных учебниках алгебры встречается в руководстве преподавателя Псковского реального училища В. Соколова „Дополнительные статьи алгебры“ (Остров, 1891). В этой книге при изложении вопроса о наибольших и наименьших значениях функций

* Труды Педагогического общества, состоящего при Московском университете, М., 1900, т. I, стр, 53.

** Сборник распоряжений по министерству народного просвещения, т. 5, СПБ, 1881, стр. 1099.

* Максимум и минимум дроби вида

был введен в программу реальных училищ в 1888 году.

вводится понятие непрерывности функции и графическое изображение изменений функции. Затем исследуются элементарными способами следующие функции:

Исследование функций сопровождается построением графиков. Обращается внимание на то, что графический способ представления изменений функции применяется и в том случае, когда изменение какой-либо величины изучается по данным опыта; в качестве примера строится график изменения температуры в течение суток 1 марта 1890 года по наблюдениям в г. Пскове.

В дальнейшем понятие функции входит прочно в курс алгебры реальных училищ, о чем свидетельствуют учебные пособия: „Курс дополнительных статей алгебры с приложением 140 задач“ (Москва, 1893), П. С. Флорова, а также „Дополнительные статьи алгебры“ (Казань, 1901), написанные преподавателем Вятского реального училища С. А. Исполатовым.

Второй этап введения понятия функции в курс алгебры средней школы характеризуется в основном переходом к графическому изображению функциональной зависимости и расширением круга изучаемых функций.

Тот факт, что большинство рассмотренных учебных руководств принадлежит перу преподавателей провинциальных школ, свидетельствует о том, что передовые идеи в области преподавания алгебры пустили в последней четверти XIX века глубокие корни в русской средней школе.

Заключение

Исследование описанной нами в статье учебно-педагогической литературы и событий, протекавших в нашей педагогической жизни, дает основание утверждать, что к началу XX века объединенными усилиями передовых ученых-математиков, методистов и учителей у нас в России уже были выработаны основные требования к перестройке преподавания математики. К таким требованиям можно отнести следующее: 1) сокращение разделов курса, не имеющих первостепенной научной и практической ценности; 2) усиление связи школьного курса математики с наукой и жизнью; 3) усиление связи теории с практикой; 4) усиление связи между различными предметами школьного курса математики, с одной стороны, и между математикой и смежными дисциплинами — с другой; 5) проведение через весь курс математики идеи функциональной зависимости; 6) учет возрастных особенностей учащихся; 7) усиление наглядности и конкретных истолкований абстрактных математических понятий.

Вопрос о введении в курс алгебры идеи функциональной зависимости был рассмотрен нами довольно подробно. Характерная особенность постановки данного вопроса состоит в том, что наши передовые методисты XIX века рассматривали введение идеи функциональной зависимости в школьный курс алгебры как средство повышения его научного содержания, способствующее в то же время приближению алгебраического аппарата к решению практических задач.

Прогрессивные идеи в области методики преподавания алгебры не только пропагандировались русскими передовыми методистами, но и частично проникали в практику школьного преподавания, преодолевая косность и рутину, насаждаемую царскими чиновниками министерства просвещения. Прочную основу для развития в школьном преподавании эти идеи получили только после Великой Октябрьской социалистической революции.

ВЫДАЮЩИЙСЯ РУССКИЙ УЧЕНЫЙ И ПЕДАГОГ

(К 150-летию со дня рождения В. Я. Буняковского)

В. Е. ПРУДНИКОВ (Москва)

Среди русских ученых и просветителей XIX в. одно из первых мест занимает Виктор Яковлевич Буняковский.

С его именем связаны разнообразные исследования по теории чисел и теории вероятностей, математическому анализу, алгебре, геометрии, теоретической механике и истории математики.

Исследования Буняковского по теории чисел и теории вероятностей обусловили появление соответствующих классических работ П. Л. Чебышева и его учеников.

Труды Буняковского по прикладным вопросам теории вероятностей много способствовали развитию у нас страхового дела и правильной организации эмеритальных (пенсионных) касс.

Буняковский был главным экспертом правительства по страхованию и статистике. Важно также отметить, что Буняковский, как и другие крупнейшие русские математики XIX в. (П. Л. Чебышев, М. В. Остроградский и И. И. Сомов), считал важным лично участвовать в популяризации математических знаний для широких кругов читателей через энциклопедические словари.

Деятельность Буняковского охватывает большой промежуток времени (1826—1889) и содержит много интересного как для характеристики его самого, так и его времени.

1.

Краткие биографические сведения

Буняковский родился 4(16) декабря 1804 г« в г. Баре Могилевского уезда Подольской губернии*. В этом городе был расположен Конно-польский полк, в котором служил его отец, боевой подполковник, известный среди русских офицеров того времени участием в многочисленных сражениях и за личную храбрость в кровопролитных сражениях при Прейсиш-Эйлау и Гейльсберге в 1806—1807 гг. награжденный золотой саблей.

Получив первоначальное образование дома под руководством родителей, Буняковский в 1820 г. уехал в Париж, где изучал математику под руководством Коши, Пуассона, Лапласа и Фурье.

В 1825 г. он защитил в Париже докторскую диссертацию, а в 1826 г. начал в Петербурге педагогическую и научную деятельность. Последняя протекала главным образом в Академии наук. В 1828 г. Буняковский был избран адъюнктом по чистой математике, в 1830 г. — экстраординарным академиком, в 1841 г. — ординарным; с 1864 г. почти до самой смерти он был вице-президентом Академии наук.

Как академик и вице-президент Буняковский работал неутомимо, постоянно делая доклады во всех заседаниях физико-математического отделения Академии наук. Лишь за несколько месяцев до смерти, почувствовав сильную слабость, он перестал бывать в Академии и, сознавая, что более не может принимать активное участие в академической жизни, немедленно просил его уволить с должности вице-президента Академии наук и предоставить эту должность лицу, обладающему силами для исполнения связанных с нею обязанностей.

При освобождении Буняковского от указанной должности Академия избрала его своим почетным вице-президентом.

Буняковский имел большую семью, которую содержал на средства, заработанные личным трудом. Родовых имений от родителей он не унаследовал, жил очень скромно в казенной академической квартире, где тепло принимал своих близких друзей — М. В. Остроградского, П. Л. Чебышева и И. И. Сомова.

Буняковский умер 30 ноября (12 декабря) 1889 г., имея 85 лет от роду.

Почти все русские газеты („Русские ведомости“, „Новое время“, „Правительственный вестник“, „Новости“ и др.) поместили некрологи, в которых подчеркивалось крупное значение научных трудов и просветительной деятельности Буняковского.

2.

О научных трудах В. Я. Буняковского

В. Я. Буняковскому принадлежит свыше 150 научных трудов, из которых половина относится к теории вероятностей с ее приложениями, к теории чисел, а остальная часть к

* По существующему административному делению: г. Бар Могилевского района Винницкой области.

вопросам анализа, алгебры, геометрии, теоретической механике и истории математики. Буняковский большое внимание уделял и вопросам изобретательства, о чем говорят сконструированные им приборы (самосчеты, планиметр и др.).

Особое место в научном творчестве Буняковского занимают труды по теории вероятностей. Его „Основания математической теории вероятностей“ (1846) содержали оригинальное изложение как самой теории вероятностей, так и ее приложений к страхованию, демографии, сберегательным кассам, к определению погрешностей наблюдений и т. п. Это сочинение Буняковского по полноте содержания и ясности изложения было одним из лучших в математической литературе по теории вероятностей.

Буняковский был первым из русских ученых, который обратил внимание на важность прикладных вопросов теории вероятностей и посвятил специальные исследования статистике населения, подсчету вероятных контингентов русской армии, организации эмеритальных (пенсионных) касс и т. д.

Все эти исследования Буняковского, тесно связанные с запросами своего времени, содействовали широкому внедрению в нашей стране теории вероятностей и как науки, и как учебного предмета. В дальнейшем мы наблюдаем в России блестящий расцвет теории вероятностей с середины XIX в. и в наши дни.

Буняковский является одним из крупных русских ученых, работавшим самостоятельно и плодотворно в области теории чисел. Эта наука была излюбленным предметом занятий Буняковского Он ею занимался тогда, когда она не входила даже в программы преподавания, и успел сделать много поучительного и важного.

Так, в „Арифметических исследованиях“ (1830) Буняковский доказал важную теорему, выражающуюся формулой

где р — простое число, а и п — любые целые числа, причем а не делится на /?, q = рп~~К Эту теорему Буняковский использовал для решения уравнений вида ах+Ьу = с. Предложенный им для этой цели метод отличался большой общностью и простотой, что давало возможность этому методу стать достоянием курса начальной алгебры.

Последующие теоретико-числовые исследования Буняковского относятся к теории сравнений, к символу Лежандра, к числовой функции [л:] и т. д. Все эти работы возродили в русской науке интерес к теории чисел, которая так успешно разрабатывалась Эйлером и Гольдбахом в Петербургской Академии наук в XVIII в.

В математическом анализе существенное значение имели работы Буняковского по теории неравенств, особенно его мемуар „О некоторых неравенствах, относящихся к определенным интегралам, или интегралам в конечных разностях“ (1859). В этом мемуаре Буняковский доказал одно из важнейших неравенств математического анализа, утверждающее, что

Это соотношение сейчас называется „неравенством Буняковского“*.

Отметим мемуар Буняковского „Об алгебраических интегралах в разностях рациональных дробей“ (1835), в котором автор распространил способ М. В. Остроградского для интегрирования рациональных дробей на аналогичный случай обратного способа конечных разностей. Названным трудом Буняковский оказал значительную услугу математической науке, восполнив в ней существенный пробел. До этого труда Буняковского было известно мало случаев, в которых разностные интегралы рациональных дробей были сами рациональными дробями.

Большой интерес для преподавателей математики средних школ имеют работы Буняковского по алгебре. Из этих работ мы остановимся только на одной—„Изложение элементарного способа для суммирования конечных рядов, рассматриваемых в начальной алгебре, с приложением его к некоторым бесконечным строкам“ (1853).

До Буняковского при суммировании этих рядов употреблялись частные приемы, применительно к виду рассматриваемого ряда. Таким образом, употреблявшимся способам нехватало единообразия, почему они, с одной стороны, с трудом запоминались учащимися, а с другой — редко служили средством для определения суммы других рядов. В названном труде Буняковский предложил весьма простой и единообразный способ для суммирования не только рядов, рассматриваемых в элементарной алгебре, но и многих других как конечных, так и бесконечных рядов.

Суммирование конечных рядов

(1)

* Прежде оно ошибочно называлось „неравенством Шварца“, по имени немецкого математика, опубликовавшего его в 1875 г. без ссылки на названный в тексте мемуар Буняковского.

Буняковский основывает на тождестве:

(2)

все члены которого считаются положительными. Если в качестве ряда (1) взять следующий:

то, согласно тождеству (2), получим:

2.1 + 2.2 + 2.3+2.4-1-----}-2л = л(/1+1),

откуда сумма п натуральных чисел определится равенством:

(3)

Если в качестве ряда (1) взять

1.2-3+ 2-3-4+ 3-4.5-|----(п — 1)/г(я+1),

то по формуле (2) найдем:

откуда легко получить сумму треугольных чисел:

(4)

Если заметим, что сумма двух смежных треугольных чисел, в силу формулы

равна квадратному числу, то легко определим и сумму квадратов натуральных чисел. В самом деле, сумма (п—1) первых треугольных чисел, в силу найденной формулы (4), равна

прибавив к этому выражению сумму п первых треугольных чисел, получим:

Пользуясь тем же тождеством, можно найти сумму кубов натуральных чисел, сумму квадратных, пятиугольных, пирамидальных чисел и т. д.

Для суммирования некоторых бесконечных рядов Буняковский выводит тождество:

Этим тождеством мы и сейчас пользуемся, когда вычисляем суммы рядов:

и других, им подобных.

В течение многих лет Буняковский занимался теорией параллельных линий. В 1844, 1850, 1853 и 1872 гг. он опубликовал мемуары, в которых или привел в систему доказательства, данные V постулату Евклида, или стремился изложить собственную теорию параллельных линий.

Из указанных сочинений наиболее интересен мемуар „Параллельные линии“ (1853), который и до настоящего времени не потерял педагогического значения. В этом мемуаре автор дал исторический обзор многочисленных доказательств V постулата Евклида, деля их на четыре группы; к первой группе он отнес доказательства при помощи построения, ко второй — те, которые основаны на учении о бесконечно малых, в третьей — те, которые используют принцип однородности, к четвертой — те, которые основываются на представлениях, заимствованных из механики.

Дав классификацию различных методов доказательств V постулата Евклида, Буняковский дальше развил собственные мысли о теории параллельных линий, стараясь по возможности избегать ложных умозаключений своих предшественников (Прокла, Нассир-Эддина, Клавдиуса, Симпсона, Бертрана, Лежандра и др.). Эту теорию он основывал на начале однородности, которое ему казалось наиболее безупречным для доказательства указанного постулата.

Начало однородности, по мнению Буняковского, предполагает то существенное различие между прямой линией и кривой, что первая есть единственная из всех линий, которая „не требует для своего начертания никакой определенной линейной единицы“.

Буняковский утверждал, что развитие этой идеи ведет не только к преодолению трудности, заключающейся в учении о параллельных линиях, но может еще служить основанием для весьма простых доказательств некоторых других геометрических предложений, например тех, которые относятся к теории пропорциональности.

Мы лишены возможности дать здесь подробную оценку изложенным взглядам Буняковского о параллельных линиях. Ограничимся только кратким замечанием, что они отличались такой же несостоятельностью, как и все прочие 2000-летние попытки доказательства V постулата Евклида.

Мы должны также отметить, что ни в одном из своих мемуаров о параллельных линиях Буняковский не упомянул о гениальных работах Н. И. Лобачевского, а в более позднем геометрическом сочинении* он даже выразил к ним свое отрицательное отношение.

Подобно старшему собрату по науке М. В. Остроградскому, Буняковский не понял величайших геометрических открытий Н. И. Лобачевского и не дал себе труда возможно глубже их изучить. Это тем более горестно констатировать, что Буняковский, в отличие от М. В. Остроградского, в своих научных интересах был близок к геометрии. Конечно, Буняковскому было трудно преодолеть то традиционное отрицательное отношение к идеям „воображаемой геометрии“, которое сложилось в Академии наук со времен П. Н. Фусса и Е. А. Коллингса и которое упрочилось авторитетом М. В. Остроградского.

Из работ Буняковского по механике отметим мемуар „О наибольшем числе положений равновесия однородной треугольной призмы, погруженной в жидкость“ (1852). В этом мемуаре автор подверг подробному рассмотрению соответствующие уравнения и показал строго аналитически, что максимум восемнадцати равновесных положений, о которых обыкновенно говорят в курсах механики, никогда не может быть достигнут.

Широкое образование Буняковского и его забота о развитии физико-математических знаний выразилась в мысли издать „Лексикон чистой и прикладной математики“.

„Еще на скамьях аудиторий, слушая лекции знаменитых европейских геометров, — писал Буняковский в предисловии к указанному сочинению, — я уже замышлял математический лексикон“. Он предполагал объяснить все слова математического анализа, аналитической и начертательной геометрии, аналитической и небесной механики, теории вероятностей, теории чисел, значительное число слов астрономии, геодезии, оптики, гномики, экспериментальной и теоретической физики и других смежных с математикой наук.

Буняковский выполнил только часть этой большой работы, объяснив слова от буквы „А“ до „D“ в первом томе „Лексикона“.

Некоторые из вошедших сюда статей — обстоятельные трактаты о тех предметах, о которых в них говорится; таковы, например, замечательные статьи о непрерывных дробях, о сходимости рядов, об исчислении конечных разностей, о дифференциальном исчислении, о колебании струны, о теплоте и т. д.

„Лексикон“ Буняковского явился ценным вкладом в русскую математическую литературу; он способствовал выработке математического языка и давал большой материал для изучения отдельных вопросов чистой и прикладной математики.

Ту же цель — распространять математические науки Буняковский преследовал и своими многочисленными (свыше 50) статьями, напечатанными в разных энциклопедических словарях*.

Той же целью обусловлено его сотрудничество в журнале „Русское слово“, возникшем в 1859 г. В этом журнале, как и в „Современнике“, полнее всего выражались главнейшие общественно-литературные течения 60-х годов.

Буняковский был не только талантливым ученым, но и замечательным изобретателем. Его планиметр принадлежал к числу лучших

* Имеется в виду мемуар Буняковского „Размышления о некоторых особенностях, какие представляются в конструкциях неевклидовой геометрии“ (1872).

* Об этих статьях см. подробнее: Прудников В. Е., О статьях П. Л. Чебышева, М. В. Остроградского, В. Я. Буняковского и О. И. Сомова в „Энциклопедическом Словаре“, составленном русскими учеными и литераторами („Историко-математические исследования“, вып. 6, 1953).

инструментов подобного рода и отличался от других своеобразием конструкции.

Интересны также по замыслу самосчеты Буняковского. Они устраняли неудобство обыкновенных русских счетов, относившиеся к перенесению единиц из низшего разряда в высший. В самосчетах Буняковского эти единицы, посредством весьма простого механизма, сами размещались в надлежащий порядок.

Усовершенствованные самосчеты Буняковского, представленные им на рассмотрение Академии наук в 1868 г., на практике были более полезны, чем прежний механизм, особенно для бухгалтеров, кассиров и других лиц, занимавшихся счетоводством.

Буняковский применил также свои самосчеты к вычислению средних месячных температур, средних месячных высот барометра, средних годовых температур и высот барометра*.

Учитывая указанное применение, В. Г. Бооль** писал в 1896 г.: „Что касается до применения самосчетов к вычислению средних температур и средних барометрических высот, то в этом отношении самосчеты Буняковского представляют единственный прибор, облегчающий утомительные метеорологические выкладки, и в этом отношении польза его несомненна“.

Имея ряд несомненных преимуществ перед простыми русскими счетами, самосчеты Буняковского в то же время обладали существенными недостатками и нуждались в помощи простых счетов или в грифельной доске. В силу этого самосчеты Буняковского не нашли себе широкого распространения в нашей стране.

3.

Педагогическая деятельность Буняковского

Мы уже указывали, что педагогическую деятельность Буняковский начал в 1826 г. Он отдал ей около 40 лет своей жизни и много способствовал распространению в нашей стране математического образования.

В 1826 г. Буняковский определился на службу в 1-й кадетский корпус в Петербурге преподавателем математики в старших классах. Отметим здесь, что в этом корпусе начинал свою преподавательскую деятельность известный педагог-математик Н. И. Фусс, издавший для нужд указанного корпуса ряд учебных руководств. Н. И. Фусс поставил преподавание математики в 1-м кадетском корпусе на большую высоту, и Буняковский явился вполне достойным продолжателем его дела в названном корпусе.

В 1827 г. Буняковский уволился из 1-го кадетского корпуса в связи с переходом на преподавательскую работу в Морской корпус, где он проработал 37 лет непрерывно. По собственному признанию, Буняковский к Морскому корпусу и к русским морякам питал особую симпатию и проявлял в деле постановки преподавания математики в этом корпусе особую заботу. Многие из его слушателей по этому корпусу сами стали учителями и знания, полученные ими от Буняковского, передавали своим ученикам.

Как преподаватель Морского корпуса Буняковский принимал деятельное участие в различных комиссиях по составлению программ и конспектов для военно-учебных заведений, по рассмотрению учебных руководств, в производстве экзаменов лиц, желавших стать преподавателями кадетских корпусов и военных училищ, и т. д.

В начале сороковых годов Главное управление военно-учебных заведений приступило к пересмотру учебных планов и программ подведомственных ему учебных заведений. Для этой цели были запрошены мнения преподавателей военно-учебных заведений (М. В. Остроградского, В. Я. Буняковского и др.).

Буняковский подал докладную записку*, в которой он изложил свои взгляды на постановку и методику преподавания математики. Эти взгляды, наряду со взглядами М. В. Остроградского, послужили основой при составлении новых программ по математике для военно-учебных заведений.

Деятельное участие принимал Буняковский и в изучении собранных „мнений“, в качестве члена „частного комитета для наук математических“. Для нужд военно-учебных заведений он составил ряд собственных руководств. („Арифметика“, „Конспект начальной геометрии“ и др.), а также перевел с французского „Начертательную геометрию“ Леруа.

Буняковский после смерти М. В. Остроградского (1862) состоял главным наблюдателем за преподаванием математических наук в военно-учебных заведениях. В 1864 г., вследствие реорганизации военно-учебных заведений, Буняковский был отчислен от этой должности.

Начальник военно-учебных заведений генерал-майор Исаков на общем собрании Академии наук в январе 1864 г. отмечал, что „деятельность Буняковского по ведомству военно-учебных заведений была в совершенной мере достой-

* См. подробнее: В. Я. Буняковский, О самосчетах и о новом их применении, СПБ, 1876.

** Владимир Георгиевич Бооль (1836—1899) — русский физик, автор монографии „Приборы и машины для механического производства арифметических действий“ (М., 1896).

* Центральный государственный военно-исторический архив, фонд № 725, опись 1, дело 2302, лист 171.

на его ученого звания и заслужила полную благодарность со стороны означенных заведений“*.

Заметим здесь, что М. В. Остроградский высоко оценивал деятельность Буняковского как члена и редактора специальной математической комиссии, занимавшейся разработкой вопросов преподавания математики в военно-учебных заведениях.

В начале 30-х годов XIX в. Буняковский был приглашен преподавать математику в Горный институт и Институт корпуса инженеров путей сообщения. О преподавании Буняковского в этих институтах сохранилось мало сведений. Известно только, что Буняковский в 1831 г. принимал участие в „Публичных чтениях об усовершенствовании в инженерных науках“, организованных Институтом корпуса инженеров путей сообщения. Известна тема одной из его публичных лекций — „Исторический очерк успехов теории чисел“**. Кроме того, он составил для нужд названного института записки по дифференциальному и интегральному исчислению, которое излагал в этом институте 10 лет (1830—1840).

В 1904 г., когда отмечалось столетие со дня рождения Буняковского, Институт путей сообщения в заседании совета 3 декабря также почтил память Виктора Яковлевича чтением его биографии, разбором его научных трудов и оценкой их значения для института и для деятельности инженера путей сообщения. На этом заседании подчеркивалось, что „Буняковский, по достоинству оценивший высокое значение теории вероятностей и со свойственной ему талантливостью обнявший все тонкости ее анализа, своим сочинением „Основания математической теории вероятностей“ сделал первый драгоценный вклад в русскую науку подробного изложения математических начал теории вероятностей и ее важнейших приложений к жизни общества, естествознанию, к наукам политическим “***.

Под влиянием трудов Буняковского теория вероятностей была введена в число предметов, преподаваемых в Институте путей сообщения.

В 1846 г. Буняковский был избран ординарным профессором Петербургского университета. В этом университете, на протяжении почти 14 лет, он читал различные разделы математического анализа, теорию вероятностей, исчисление конечных разностей, вариационное исчисление и т. д.

Кроме чтения лекции, в начале 1847/48 учебного года на Буняковского было возложено поручение посещать лекции адъюнкта университета П. Л. Чебышева и потом представить свое мнение о новом преподавателе.

Имеющиеся в нашем распоряжении материалы показывают, что Буняковский оказал большую поддержку П. Л. Чебышеву, когда последний начинал свою педагогическую и научную деятельность.

Такую же поддержку он оказал А. Н. Коркину, своему непосредственному ученику, впоследствии известному профессору Петербургского университета.

Слабость здоровья и многочисленные обязанности по должности ординарного академика заставили Буняковского оставить Петербургский университет.

8 февраля 1860 г. в этом университете состоялось торжественное собрание, на котором профессорская корпорация прощалась с Буняковским.

Выступавшие с речами профессора подчеркивали большую пользу, принесенную Буняковским Петербургскому университету, и то уважение, которым пользовался Виктор Яковлевич у профессоров и студентов*.

4.

Учебные математические руководства

Буняковскому принадлежат три учебные руководства по элементарной математике: „Арифметика“, „Программа и конспект арифметики“ и „Программа и конспект начальной геометрии“.

Первое издание „Арифметики“ Буняковского вышло в 1844 г. и было одобрено Ученым комитетом Министерства народного просвещения в качестве руководства для гимназий. Оно состояло из предисловия и следующих семи отделов: 1. Предварительные понятия об именованных и отвлеченных числах. 2. Нумерация. 3. Действия над целыми отвлеченными числами. 4. Обыкновенные дроби. 5. Десятичные и непрерывные дроби. 6. Практические приложения арифметики. 7. Прибавления.

Одной из лучших и наиболее обработанных ее глав является учение о делимости чисел. Буняковский тонко и остроумно начал эту главу учением о простых числах, понятие

* Протоколы общего собрания Академии наук за 1864 г.

** Эта лекция была опубликована в „Летописи факультетов на 1835 г.“, изданной в 1835 г. Плаксиным и Галичем.

*** Н. А. Авринский, Значение теории вероятностей для инженера путей сообщения, „Журнал Министерства путей сообщения“, 1905, кн. 5.

* См. подробнее: М. Стасюлевич, В. Я. Буняковский и прощание с ним Петербургского университета, „Петербургские ведомости“, 1860, № 37.

о которых дает из рассмотрения таблицы умножения, именно из рассмотрения тех чисел, которые не входят в ряд произведений, получаемых при перемножении первых девяти чисел. Объяснив способ разложения составных чисел на простые множители, Буняковский показывает, каким образом определить, сколько данное число может их иметь, а затем рассматривает ряд новых предложений*, которые нельзя было встретить почти ни в одном из прежних арифметических руководств и которым он дал простые и общедоступные доказательства.

Некоторым старым предложениям (например, такому: „когда число делится порознь на два или несколько взаимно простых чисел, то оно будет делиться и на произведение их“) Буняковский придумал совершенно новое доказательство.

Значительно обновил и усовершенствовал Буняковский статью о признаках делимости на простые числа, особенно на 7, 11 и 13.

Действия над обыкновенными дробями объяснены полно и просто.

Изложение в „Арифметике“ Буняковского ведется простым общедоступным языком с соблюдением достаточной строгости рассуждений и однообразия в способе объяснения.

Чтобы облегчить учителям преподавание арифметики, Буняковский в предисловии к первому изданию своего руководства дал ряд ценных методических указаний. Эти указания в дополненном и расширенном виде были помещены в „Программе и конспекте арифметики“ Буняковского, опубликование которого предшествовало второму изданию его „Арифметики“.

В первом разделе — „Общие замечания“ — названного конспекта формулируется цель изучения арифметики в школах и те требования, какие надо предъявлять учителю при ее изложении детям. Эти требования поучительны и не потеряли интереса и в наши дни.

В дальнейшем изложении конспекта Буняковский эти требования конкретизировал, показав учителю, как следует излагать учащимся тот или иной раздел арифметики. В этом отношении „Программа и конспект арифметики“ Буняковского является одной из первых на русском языке методик арифметики, оказавшей большую услугу преподавателям математики. В ней отразились методические взгляды тех учителей математики, которые группировались около Остроградского и Буняковского.

Немаловажной заслугой Буняковского надо признать его стремление упростить содержание курса арифметики, освободив этот курс от лишнего материала, что он и сделал в последующих изданиях своей „Арифметики“.

„Арифметика“ Буняковского была в свое время одним из лучших руководств и употреблялась в гимназиях большинства учебных округов.

Не имея возможности остановиться подробно на „Программе и конспекте геометрии“ Буняковского, укажем только, что это было также полезное и ценное руководство для преподавателей.

В своем „Конспекте“ Буняковский не ограничивался только изложением принципов методики геометрии, но и давал конкретные указания, как вести изложение того или иного геометрического вопроса, сообразуясь с возрастом и развитием учащегося.

Некоторые из его указаний не потеряли ценности и до настоящего времени. К их числу относятся указания делать краткие экскурсы в область истории математики, не увлекаться наглядностью при изложении геометрии, не обременять память начинающих изучать геометрию множеством определений, вспомогательных истин, не имеющих прямой связи с доказываемой теоремой, и т. д.

Особенно ценно указание Буняковского — при изучении геометрии вводить „определение только по мере надобности, наблюдая при том, чтобы возможность определяемого предмета не подлежала никакому сомнению“*.

Заметим здесь, что „Программа и конспект начальной геометрии“, составленные Буняковским, были одобрены М. В. Остроградским в качестве руководства для воспитанников военно-учебных заведений.

5.

В. Я. Буняковский как профессор

Особенность Буняковского как профессора заключалась в первую очередь в том, что он полностью владел тем научным материалом, который нес в аудиторию.

Этот талантливый ученый постоянно углублял и расширял свои научные знания.

Владея языками, он читал все, что заслуживало внимания в русской и иностранной литературе. Его большая эрудиция была известна всему ученому миру. Особенно ярко она показана в „Лексиконе чистой и прикладной математики“, читая который многие ставили вопрос: каким образом один человек,

* Между ними есть и такое: „всякое целое число допускает только одно разложение на простые множители“.

* В. Я. Буняковский, Программа и конспект начальной геометрии, СПБ, 1851, стр. 34.

и человек еще молодой во время издания „Лексикона“, мог обладать такими обширными познаниями во всех областях математики, механики, физики, оптики и других наук, имевших какую-либо связь с математикой?

Не менее ярко показана эрудиция и в других трудах Буняковского, весьма разнообразных по тематике.

Обладая большой эрудицией и владея научным материалом, Буняковский в то же время всегда тщательно готовился к чтению лекций, которые отличались отчетливостью и обдуманностью содержания, изяществом и обработанностью языка.

Это утверждают все слушатели Буняковского.

„Самые трудные и с первого взгляда сухие истины математического анализа, — говорит один из них, — облекались им (Буняковским) в такие привлекательные формы, излагались таким прекрасным языком с такой изумительной ясностью, что постоянно приковывали к себе внимание слушателей, даже не обладавших особенной сосредоточенностью“*.

„Изящное чтение Виктора Яковлевича выше чтения всех других профессоров, — говорит другой ученик Буняковского, — прежде всего — честность, всегда заканчивает свою программу, ясность — в рот кладет, долготерпение при встрече неспособностей всякого калибра, одушевление, которым привязывает к своему предмету, не очень, правду сказать, податливому для начинающих и неразвитых, каких всегда не мало во всех заведениях, зато экзамены из его предмета всегда идут без всяких фокусов, отлично“**.

Свою деятельную скромную жизнь Буняковский посвятил всецело математической науке и ее распространению в нашей стране. Это был учитель в самом высоком значении этого слова. Сообщать любознательной молодежи результаты собственных исследований и открытий знаменитых математиков было не только исполнением обязанностей по долгу службы, но и любимым занятием Буняковского. Доказательством этого служит то обстоятельство, что в продолжение почти 40 лет преподавательской деятельности он никогда не пропускал лекций и читал их с постоянно одинаковым подъемом и энергией, с постоянной готовностью объяснить всякое затруднение своим слушателям.

Как профессор и человек Буняковский был „баснословно скромен“.

Другой отличительной чертой характера Буняковского были его отзывчивость и внимательность не только в молодые годы, но даже и тогда, когда он занимал должность вице-президента Академии наук и причислялся к „гигантам науки“.

Об этой черте Буняковского очень хорошо сказал академик Я. К. Грот в речи 19 мая 1875 г., когда торжественно отмечался докторский юбилей Буняковского: „К ближним ненависть от сердца отвести“ — вот черта, глубоко характеризующая нашего почтенного юбиляра; это один из тех людей, к которым по всей справедливости применяется многознаменательное название: „человек благоволения“. Об этом только один голос, и как не повторить общего свидетельства: кто из обращавшихся к нему не встречал с его стороны теплого участия, ласки и полной готовности помочь всякому словом и делом“*.

По единодушному мнению всех учеников и сослуживцев Буняковского, Виктор Яковлевич в течение своей долгой жизни имел много друзей и приятелей и никогда не имел врагов и противников, многим делал добро и никому не сделал сознательно зла.

Буняковский всегда с участием следил за успехами своих учеников и охотно помогал им в их занятиях. Многие из них впоследствии стали видными деятелями на различных поприщах. Многие приобрели известность в науке своими трудами (например, А. Н. Коркин, Н. А. Божерянов и др.).

Характеризуя Буняковского как наставника и профессора, Н. Н. Божерянов говорил: „Виктор Яковлевич в классах и на экзаменах никогда и ни на кого, как говорится, не нападал, а между тем не отвечать из его предмета было всякому и стыдно и страшно. Виктор Яковлевич никогда и нигде в конференциях и советах не порывался говорить и спорить громче других, а между тем везде и всегда его внимательно слушали и жаждали слушать, и слова его едва ли не были законом.

Виктор Яковлевич никогда не высказывал честолюбия и претензий на награды, а между тем и честь и слава и награда — сами стучались к нему и в дверь и в окна“**.

Отметим еще одну отличительную черту характера Буняковского — необыкновенное постоянство привычек. По словам академика К. С. Веселовского, Буняковский „столь же крепко держался раз принятого порядка своего домашнего быта, как другие любят перемены в жизни.

* Е. П. Коргуев, Описание празднества, данного в честь академика В. Я. Буняковского 30 декабря 1864 г., Кронштадт, 1865, стр. 8.

** Описание празднования докторского юбилея вице-президента Академии наук академика В. Я. Буняковского 19 мая 1875 г., СПБ, 1876, стр. 33.

* Описание празднования докторского юбилея вице-президента Академии наук, академика В. Я. Буняковского 19 мая 1875 г. СПБ, 1876, стр. 30.

** Е. П. Коргуев, цит. соч., стр. 38.

Одною из таких привычек была для него умственная работа; он жил, когда работал, и жил только, чтобы работать, и его биография почти вся укладывается в рамки его библиографии“*.

Напряженная умственная работа заставляла Буняковского вести уединенный образ жизни. Круг знакомых его был очень широкий, но тесные дружеские отношения он поддерживал только с М. В. Остроградским, П. Л. Чебышевым и Е. X. Ленцем. С Остроградским Буняковский познакомился впервые еще в 1826 г. в Париже. Более близкое их знакомство произошло в конце 20-х годов прошлого века в стенах Морского корпуса, в котором они преподавали математические науки.

Об М. В. Остроградском Буняковский всегда отзывался с уважением и особенно ценил заслуги, оказанные Михаилом Васильевичем науке.

Талантливый ученый, замечательный лектор, отзывчивый, внимательный и чуткий наставник — таково было мнение о Буняковском почти всех его учеников. Добавим к этому, что усиленные занятия наукой не мешали Буняковскому не только любить поэзию, но самому быть поэтом.

Когда Буняковскому было 26 лет от роду, он перевел стихотворение Байрона „К морю“ и опубликовал его.

6.

Заключение

Буняковский в свое время пользовался большой известностью не только в ученом мире, но и среди широкой русской публики. Эту известность Буняковскому создали прежде всего его крупные заслуги перед наукой и просвещением.

В своих трудах Буняковский касался многих отделов математики, и почти в каждый из них он внес существенно новое и ценное. Достаточно указать, что мы до сих пор пользуемся интегральным неравенством Буняковского и его способом суммирования некоторых рядов.

Самосчеты Буняковского были одним из первых отечественных изобретений в области вычислительной техники. Сейчас, когда в Советском государстве развитию вычислительной техники придается большое значение и когда в этой области у нас работает много людей, очень уместно отметить заслуги русского ученого, долгие годы занимавшегося усовершенствованием прибора, облегчавшего вычислительную работу.

Правда, широкого практического применения „самосчеты“ Буняковского не нашли. Они имели главным образом теоретическое значение. Кроме того, самосчеты Буняковского стимулировали П. Л. Чебышева к изобретательству в области специального рода машин.

Есть основания утверждать, что первая мысль об устройстве арифмометра возникла у П. Л. Чебышева во время сообщения Буняковского в 1876 г. об его усовершенствованных самосчетах.

Деятельность Буняковского в должности вице-президента Академии наук была весьма продолжительна и оставила крупный след в жизни этого ученого учреждения. Как хорошо известно, царское правительство мало интересовалось наукой и на ее развитие в нашей стране отпускало скудные средства. Буняковскому приходилось затрачивать не мало сил и энергии на то, чтобы во-время получать эти средства и использовать их наиболее целесообразно.

Деятельность Буняковского в Петербургском университете была менее продолжительна, чем в Академии наук. И все же ему удалось сделать в этом университете очень много полезного. Буняковский первый открыл в преподавателях Петербургского университета П. Л. Чебышеве и А. Н. Коркине крупные научные силы и помог им быстро выдвинуться в первые ряды русских ученых того времени.

Буняковский подготовил несколько поколений научных работников и преподавателей математики, для которых его профессорская деятельность служила постоянным образцом.

Продолжительная и плодотворная деятельность Буняковского в Морском корпусе дает достаточно оснований утверждать, что тот запас сведений, каким обладал русский флот в середине XIX в., прямо или косвенно был связан с именем Виктора Яковлевича, как профессора этого корпуса.

Буняковский, наряду с Остроградским, являлся основоположником и вдохновителем целой методической школы, оказавшей большое влияние на постановку и методику преподавания математики в военно-учебных заведениях.

Как лектор Буняковский пользовался у студентов Петербургского университета большой симпатией. „Мне несколько раз удалось послушать в университете Буняковского и Чебышева — какое это наслаждение“. Так кратко, но очень рельефно выразил свое мнение о Буняковском, как лекторе, один из его слушателей*. Сохранилось ценное свидетельство дру-

* К. С. Веселовский, Отчет Академии наук за 1889 г. „Записки Академии наук“, т. 63, кн. 1, стр. 8, СПБ, 1890.

* Л. Ф. Пантелеев, Из воспоминаний прошлого, М., 1934, стр. 112.

гого ученика Буняковского, А. Н. Коркина, о том, что Виктор Яковлевич знакомил своих учеников „с методами преподавания и с изящными научными приемами так, как не могли бы их ознакомить никакие руководства педагогики“.

Будучи весьма эрудированным профессором, Буняковский тщательно готовился к своим лекциям, отшлифовывал их содержание. Также тщательно отшлифовывал он и содержание своих учебных руководств.

Заметим здесь, что, кажется, ни об одном из видных русских математиков XIX в. не сохранилось до наших дней так много высказываний, как о Буняковском; причем ни одно из них не содержит отрицательного мнения о личности Виктора Яковлевича.

На юбилеях в 1864, 1875, 1878 и 1888 годах* Буняковскому были устроены восторженные овации, показавшие, каким уважением пользовался Виктор Яковлевич среди русских и зарубежных ученых. Эти юбилеи и оказанные на них почести Буняковскому свидетельствовали о том, что место, которое занимал Виктор Яковлевич в русской математической науке, было исключительным.

Будучи крупным ученым и замечательным профессором, Буняковский обладал двумя важными личными качествами: отзывчивым умом и отзывчивой душой. Он был одним из самых доступных для учащейся молодежи академиков и профессоров Петербургского университета. Больше того, он был подлинным другом учащихся.

В отношении Буняковского к людям, с которыми сталкивала его жизнь, мы наблюдаем две черты: истинно глубокую, в самой основе его существа заложенную благожелательность и удивительную способность не давать собеседнику чувствовать высокую авторитетность высказываемых собственных суждений.

Указанные нравственные качества Буняковского, в связи с исключительной его преданностью науке, создали ему особенно глубокое уважение. Это уважение выражалось рельефно в многочисленных высказываниях сослуживцев и учеников Буняковского, желавших, чтобы их задушевные слова о своем друге и учителе перешли „со временем на страницы летописей нашей Академии и с ними и на страницы летописей русского просвещения“.

Они единодушно подчеркивали „благородное, честное, вселюбящее сердце“ Буняковского, его „готовность воздать подобающую честь всякому благому делу и начинанию“, а также „постоянную верность долгу, чуждую эгоистических поползновений“. Это и дало основание профессору Харьковского университета К. А. Андрееву справедливо утверждать, что долгая жизнь Буняковского, „полная заслуг перед наукой и просвещением, представляет такой высокий пример нравственной чистоты и любви к людям, что подробное жизнеописание и обзор трудов его было бы чрезвычайно назидательным, ободряющим душу и привлекательным чтением далеко не для одних специалистов*.

Заметим также, что душевная отзывчивость привела Буняковского к невозможности замкнуться в область чистой науки и сделала из него не только ученого, но и видного общественного деятеля.

Советские люди, являющиеся подлинными наследниками всего лучшего, что создал за свою историю русский народ, с гордостью произносят имя Буняковского, замечательного ученого и выдающегося педагога, отдавшего все свои силы возвышению русского народа.

* На этих юбилеях отмечалось 50-летие профессорской и академической деятельности Буняковского и некоторые другие знаменательные даты в его жизни.

* К. Андреев, В. Я. Буняковский, Харьков, 1890.

МЕТОДИКА

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ

Ф. В. ТОМАШЕВИЧ (Новочеркасск)

В учебнике А. П. Киселева „Алгебра“, ч. 2, а также в программе по математике для средней школы понятие функции отражено недостаточно и явно не в соответствии с современным состоянием науки. Настоящей статьей предлагается для обсуждения следующее примерное изложение программных вопросов, относящихся к понятию функции.

VIII класс

1°. Понятие элемента, множества элементов, величины.

2°. Понятие соответствия.

3°. Определение функции как соответствия между элементами двух множеств.

4°. Примеры функций.

5°, Способы задания.

6°. Отыскание области существования функции, заданной аналитическим выражением (формулой).

7°. Метод координат.

8°. Прямая и обратная пропорциональность (с включением графиков прямой и обратной пропорциональности).

9°. Линейная функция (с включением графика).

10°. Квадратичная функция.

11°. Графики квадратичных функций;

12°. Графический способ решения уравнений и систем уравнений.

IX класс

1°. Показательная функция (с включением графика).

2°. Логарифмическая функция (с включением графика).

3°. Тригонометрические функции (с включением графиков).

X класс

1°. Повторение определения функции.

2°. Обратная функция и ее график.

3°. Обзор элементарных функций и их графиков:

4°. Отыскание областей существования функций.

5°. Простейшие преобразования графиков:

1) Симметрия относительно оси абсцисс.

2) Симметрия относительно оси ординат.

3) Перенос графика параллельно оси ординат,

4) Растяжение или сжатие ординат графика.

5) Перенос графика параллельно оси абсцисс.

6) Растяжение или сжатие абсцисс графика.

6°. Построение графиков функций:

7°. Графический способ решения уравнений.

8°. Неравенства 2-й степени.

9°. Задачи на максимум и минимум квадратичной функции.

Изучение тем, перечисленных в пп. 6°—12° для VIII класса и в пп. 1°, 2° для IX класса, в основном может быть построено на материале учебника А. П. Киселева (изд. 1950 г).

Большое значение имеет пропедевтика понятия функционального соответствия в младших классах школы.

Рассмотрим некоторые замечания по перечисленным выше вопросам.

VIII класс, пп. 1°—3°. В статье В. И. Севбо „Введение математического понятия функции в средней школе“ („Математика в школе“, 1953, № 5), обстоятельно и весьма удачно изложена современная трактовка понятия функции. Только за рассмотрением трудности усвоения учащимися современного понятия функции в статье не получило отражения то исключительно важное обстоятельство, что само понятие функционального соответствия является не только более общим (более абстрактным) в сравнении с другими понятиями функции, но и более простым. Понятие соответствия, подсказываемое самой жизнью, без труда наблюдаемое повседневно и не требующее для своего обоснования никаких других предварительных понятий (кроме элементарного понятия множества), является наиболее простым среди понятий, используемых при других определениях функции и требующих предварительного обоснования, как, например, понятия зависимости или переменной величины. Введение простейших элементарных понятий множества и соответствия в качестве основных первоначальных понятий представляет огромный прогресс в развитии математического анализа.

Остановимся на рассмотрении самой формулировки определения функции. В изложении этой формулировки (у большинства авторов) заключена некоторая трудность для учащихся, воспитанных на конкретных определениях. Именно, определение функции излагается примерно так: „если задано соответствие (обращаем внимание на заключительную часть), то говорят, что у есть функция от х или „говорят, что задана функция от л:“.

После такого определения любознательный и пытливый ум школьника обязательно становится перед вопросом: что же такое функция? Говорят, что задана функция, а что же такое сама функция, что именно задано? Учащийся обязательно ищет прямого ответа: „функция есть...“. Отсутствие прямого ответа создает у учащихся впечатление нечеткости, туманности определения, функция предстает перед учащимися лишь в качестве объясненной, но не определенной.

При всей научной корректности рассматриваемого определения нам представляется весьма целесообразным введение понятия функционального соответствия сначала для величин и уже затем для множества любой природы примерно следующим образом.

Будем рассматривать в качестве основных первоначальных понятий такие: элемент, множество элементов, величина. Эти основные понятия, как первичные, первоначальные, не определяются. Что касается понятия величины, то под этим понятием подразумевается любой объект (предмет или процесс, материальное тело или понятие), который может быть охарактеризован множеством чисел; каждое из этих чисел, характеризующих величину, называется значением этой величины. В качестве основного отношения между элементами будем рассматривать понятие соответствия элементов друг другу. Понятие соответствия также является простейшим, неопределяемым. Все другие понятия, которые будем рассматривать, будут определены посредством принятых без определения первоначальных понятий. Конечно, при изложении перед учащимися данного вопроса необходимы понятия элемента, множества и величины, а также понятие соответствия иллюстрировать достаточным количеством тщательно подобранных примеров, причем эти примеры должны отражать диалектические черты законов природы.

Пусть каждому значению х одной величины А поставлено в соответствие по какому-либо закону одно определенное значение у другой величины В; это соответствие называется функциональным; величина В называется функцией величины А; величина А называется аргументом этой функции.

Каждое значение х называется значением аргумента; каждое значение у называется значением функции.

Таким образом, функция есть величина, значения которой поставлены в соответствие значениям другой величины (аргумента). Аргумент есть величина, значениям которой поставлены в соответствие значения другой величины (функции).

Функциональное соответствие условно обозначается посредством равенства у = f(x), где символ / означает установленный закон соответствия. Исходя из этого равенства, значения функции записывают в виде символа f (х).

Понятие функционального соответствия распространяется на множества элементов любой природы (а не только относится к множествам численных значений величин).

Пусть каждому элементу х одного множества X поставлен каким-либо образом в соответствие определенный элемент у другого множества Y; это соответствие также называется функциональным соответствием и записывается посредством равенства

y = f(x)\

при этом каждый элемент х называется значением аргумента, а соответствующий элемент у — значением функции.

Символ /, как и прежде, обозначает установленный закон соответствия. Символом же / (л:) выражаются значения функции.

Отметим, что произвольное соответствие само по себе не является функциональным. Соответствие называется функциональным, если указано, что именно (какие элементы) принято в качестве значений аргумента и что — в качестве значений функции, т. е. если указано направление соответствия (от значений аргумента к значениям функции).

Если каждому элементу (значению) х ставится в соответствие несколько элементов (значений) у, то такое соответствие называется многозначным функциональным соответствием; определяемая этим соответствием функция называется многозначной.

Пример. Пусть ежечасная температура воздуха в комнате выражается следующими данными:

Время дня ....

8 ч.

9 ч.

10 ч.

11 ч.

12 ч.

13 ч.

14 ч.

15 ч.

16 ч.

17 ч.

18 ч.

19 ч.

20 ч.

Температура . . .

16°

18°

19°

21°

22°

23°

22°

22°

21°

19°

19°

18°

17°

Данная таблица сама по себе еще не представляет функции. Однако, если температуру принять за аргумент, то в качестве функции представится время. Причем эта функция будет многозначной (температуре 22° соответствуют три значения функции, температуре 21° — два и т. д.).

Как понятие функционального соответствия, так и понятие многозначного функционального соответствия с одинаковой непосредственностью взяты из самой жизни. Поэтому невозможно согласиться с тенденцией, отрицающей или игнорирующей понятие многозначной функции. Избегать понятия многозначной функции — это значит искусственно сужать основные математические представления, непосредственно отражающие законы реальной действительности. Что касается изучения функций действительного аргумента в высшей школе, то вполне естественно (в случаях, когда это возможно) изучение я-значной функции заменять изучением л-однозначных функций, т. е. рассматривать общую теорию лишь однозначных функций.

Определение функции как соответствия является более простым и более общим, чем распространенные определения функции как переменной (зависимой переменной) или как зависимости, и поэтому эти определения следует считать уже пройденным этапом в развитии математики*. Тем не менее отнюдь не следует вовсе избегать (это и невозможно) самих понятий переменной величины и зависимости величин. Эти понятия не принимаются за основу определения, но они являются частными случаями или конкретными интерпретациями понятий функции и функционального соответствия.

Именно, если в качестве аргумента выступает время (т. е. в качестве множества значений аргумента принято множество моментов времени, упорядоченное по величине этих моментов), то функция называется переменной величиной. В природе все ее объекты находятся в состоянии непрерывного развития, изменения, движения. Этот закон движения особенно удачно отражается в нашем сознании посредством понятия переменной величины.

Переменная величина, как одна из конкретных интерпретаций понятия функции, играет и будет играть важнейшую роль в изучении и описании подавляющего большинства физиче-

* В большинстве современных руководств по математическому анализу хотя и сохранились термины „переменная“, или „функциональная зависимость“, однако под термином „переменная“ вовсе не подразумевается какой-либо переменной, т. е. изменяющейся со временем величины, „это просто символ, которому приписываются числовые значения“ (Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчислений“, т. I, изд. 1949 г., стр. 50); термином же „функциональная зависимость“ обозначается понятие функционального соответствия.

ских процессов или явлений. Понятие переменной величины удобно и для иллюстрации многих математических понятий. Однако определение функции как зависимой переменной величины с современной точки зрения представляло бы подмену фундаментального общего понятия функции лишь отдельным частным понятием, притом более сложным (хотя бы потому, что введение понятия времени — через понятие переменной величины — в обоснование первоначальных математических понятий является излишним и усложняющим).

Отметим попутно, что имеющий более чем вековую традицию термин „независимая переменная“ по существу неясен (противоречив); если речь идет о переменной величине, то она зависит от времени и, значит, не может быть независимой; если она ни от чего не зависит, кроме произвола нашего выбора, то незачем ее связывать со временем (посредством термина „переменная“). Вместо термина „независимая переменная“ удобнее употреблять термин „аргумент“. Терминология „функция от аргумента“ (вместо „функция от независимой переменной“), выдержанная в книге М. К. Гребенча и С. И. Новоселова „Курс математического анализа“, представляется более удачной.

Если переменная величина есть частный случай понятия функции (функция от времени), то понятие функциональной зависимости есть частный случай (конкретная интерпретация) понятия функционального соответствия. Именно, если в качестве аргумента выступает переменная величина, тогда функцией является другая переменная величина; функциональное соответствие в этом случае представляет функциональную зависимость (аргумент — переменная величина, т. е. аргумент изменяется, изменение аргумента влечет за собой изменение функции, в чем и заключается содержание понятия функциональной зависимости)*.

Однако функциональное соответствие не всегда представляет фактическую зависимость. Так, для функции/(х) = 1 имеем соответствие любому X числа 1, но не зависимость числа 1 от X. Заметим, что учащимся легко понять соответствие для этой функции, но „зависимость“ постоянного числа от переменного является по существу противоречием, и потому восприятие такого частного случая „зависимости“ затруднительно. И в рассмотренном выше примере о ежечасной температуре нелепо было бы усматривать фактическую зависимость времени дня от температуры воздуха, однако указанной таблицей определяется функциональное соответствие, т. е. время выступает как функция от температуры, причем — в данном случае — многозначной (конечно, с точки зрения зависимости понятие многозначной функции весьма искусственно, подчас нелепо, но с точки зрения соответствия многозначная функция так же естественна, как и однозначная).

Таким образом, понятие функционального соответствия является более общим, чем понятие функциональной зависимости. Вместе с тем первое более точно отражает диалектический закон взаимосвязи в природе, что видно хотя бы из рассмотренного примера.

Отметим еще, что понятие функционального соответствия со всей непосредственностью отражает не только диалектические законы взаимосвязи и непрерывного движения в природе, но и закон перехода количества в качество посредством понятия разрывного функционального соответствия (качественный „скачок“ отражается в понятии разрыва функции). Важно отметить, что математическое понятие функционального соответствия с исключительной полнотой отражает наиболее общие закономерности природы. Это представляется весьма важным с точки зрения задач политехнического обучения.

В школах очень часто понятие функции отождествляют с формулой. Это невозможно считать допустимым, ибо такое отождествление представляет искусственное сужение понятия функции. Функция определяется законом соответствия, причем безразлично в какой форме, аналитической (т. е. посредством формулы) или иной, задан закон соответствия. Мы изучаем функции, заданные формулой, чаще, чем функции, заданные иначе. Однако нельзя смешивать общее понятие функции с одним из способов ее задания — с формулой; это смешение приводит к непониманию идеи функционального соответствия и к переучиванию учащихся в высшей школе.

*. К примерам функций, указанным в статье В. И, Севбо, желательно присовокупить следующие:

* Во многих руководствах функциональная зависимость определяется не как изменение одной величины с изменением другой, а как соответствие; в таком случае логичнее употребить и термин „функциональное соответствие“, а не называть соответствие зависимостью.

* Здесь и ниже см. перечень пунктов, данный по классам в начале статьи.

6) Интересен канторовская пример такого двузначного функционального соответствия: числу 0, сг с2 съ с4 с0сь... ставятся в соответствие два числа:

Геометрически это соответствие можно представить как соответствие между точками отрезка единичной длины и точками единичного квадрата.

5°. Способы задания функции. Кроме табличного, аналитического и графического, существуют и другие способы задания функционального соответствия. Таков способ задания в примере 6) п. 4°.

6°. Отыскание области существования функции, заданной аналитически (одной формулой). Здесь отметим, что естественно и весьма удобно различать понятия области определения функции и области существования функции. При любом способе задания функции множество значений аргумента иначе называется областью определения функции. Остановим внимание на аналитическом способе задания функции, являющемся наиболее важным для математического анализа.

Пусть задан некоторый закон соответствия одной формулой, выражающей собою определенные действия над аргументом х, причем безразлично, задано ли или не задано множество значений аргумента (именно в такой форме часто предстает понятие функционального соответствия). Естественно возникает вопрос, при каких значениях х данная формула имеет смысл. Множество всех значений х, при которых данная формула имеет смысл, называется областью существования функции, определяемой этой формулой. Таким образом, понятие области существования функции (в отличие от понятия области определения) относится только к одному способу задания функции. Для функции же, заданной аналитически (одной формулой), область существования может быть шире области определения, ибо последнюю мы можем как угодно сужать по нашему произволу. Так, например, областью существования функции х2 является множество всех действительных чисел; однако можно рассматривать функцию х2, например, на множестве тех значений х, для которых — 1 <х < 1; это множество — область определения,—более узко, чем область существования.

Для отыскания области существования удобно применять некоторые общие правила*.

1) Знаменатель дробного выражения должен быть отличным от нуля.

2) Если задана формула

то должно быть: / (х) >- 0.

3) Если задана формула lgaf(x), то должно быть: /(л:)>0.

4) Если задана формула arc sin f(x) или arccos/(A:), то должно быть: —1^/(л:)^1.

5) В выражении вида [/(#)]? M основание и показатель степени не должны оба обращаться в нуль при одних и тех же значениях д: (ибо 0° не имеет смысла).

Примеры на отыскание областей существования (по программе VIII и IX классов) даны в статье К. С. Барыбина „Функции и их графики“ („Математика в школе“, 1952, № 6).

11°. Графики функций:

ах2 ~\~ру а(х — q)2, ах2 + bх + с

представляют один и тот же график функции ах2, перенесенный параллельно или осп ординат, или оси абсцисс, или полученный путем последовательного выполнения этих переносов.

Для построения графика трехчлена ах2 +•\-bx+c нет необходимости преобразовывать его к виду а (х — q)2 + р (как это рекомендуется большинством руководств). Зная, что графиком функции у = ах2 +Ьх+с является парабола с осью, параллельной оси ординат, и что парабола симметрична относительно своей оси, легко осуществить такое построение.

1) Найдем точку пересечения графика с осью ординат: положим х = 0, получим у = с.

2) Найдем вторую точку графика, ордината которой равна с: положим у = с, получим:

3) Найдем абсциссу вершины графика как среднее арифметическое абсцисс точек с одинаковыми ординатами с (ибо парабола симметрична относительно ее оси):

* С. И. Новоселов, Алгебра и элементарные функции.

(Заметим, что все эти вычисления производятся в уме.)

4) Вычислим ординату вершины графика.

5) Проводим параболу через три найденные точки: вершину и (0, с) и

IX класс. 2°. При изучении логарифмов и логарифмической функции необходимо рассмотрение равенства

с указанием интервала 0<х <оо, в котором это равенство выполняется. Этой формуле обычно не уделяется достаточного внимания, несмотря на указание в объяснительной записке к программе.

X класс. 2°. Обратная функция. Функциональное соответствие у = f (х) (будем полагать это соответствие однозначным) является направленным соответствием. Именно, элементу X множества X ставится в соответствие элемент у некоторого множества У. То же самое соответствие, но „обратного направления“, т. е. при котором элементу у ставится в соответствие элемент х, называется обратным по отношению к первому функциональным соответствием. При этом элемент у называется значением аргумента обратной функции; соответствующий элемент х — значением обратной функции.

Обозначим обратное функциональное соответствие посредством равенства

x = g(y).

Тогда значения обратной функции выразятся символом g (у)- Функциональное соответствие

x = g(y)>

обратное для однозначного функционального соответствия

у=/(*).

может быть многозначным.

Рассмотрим прямое и обратное функциональные соответствия, заданные посредством уравнения

F(x, У) = 0.

Если условиться считать аргументом величину X, тогда этим уравнением определяется величина у как функция от х, y = f(x). Если же условиться считать аргументом у, то этим же уравнением определяется х как функция от уу x = g(y)- Функции / (х) и g (у) являются взаимно обратными (причем, если f (х) — однозначная функция, то функция g (у), вообще говоря, многозначна).

Что касается геометрического изображения обратных функций, то графиком обеих функций: y = f(x) и x — g(y) является одна и та же линия. Однако, если аргумент у обратной функции g (у) заменить на х, то графиком обратной функции у = g (х) будет линия, симметричная графику функции y=f(x) относительно биссектрисы 1 и 3-го координатных углов (ибо замена х влечет преобразование точки M (a, ß) в точку М' (ß, а)).

Разумеется, строгое изложение вопросов существования обратной и неявной функций выходит за пределы курса средней школы.

3°. Обзор элементарных функций. При завершении среднего математического образования необходим общий обзор известных функций, изученных ранее в отдельности, с тем, чтобы учащимися отчетливо была усвоена общая идея функционального соответствия, чтобы эта общая идея определенно доминировала над частными понятиями о свойствах отдельных конкретных функций. При этом представляется важным не только указание в программе на необходимость такого обзора, но и перечисление в программе же минимума функций, обязательного для изучения.

4°. При отыскании областей существования функций в X классе следует рассматривать примеры, относящиеся ко всем изученным функциям (в том числе и примеры, рекомендованные для VIII и IX классов).

5°. Простейшие преобразования графиков. В целях усвоения общей идеи понятия функции и ее графического изображения не следует ограничиваться лишь графиками нескольких определенных рассмотренных ранее функций, а надо значительно расширить круг вычерчиваемых графиков посредством изучения некоторых простейших преобразований графиков.

Если известен график функции /(#), нетрудно посредством преобразования этого графика построить график любой из следующих функций: -/.(*), /(-де), /(*)+/>, af(x), f(x-q),

1) и 2) Графики функций —-f (х) и /(—х) представляют собой линии, симметричные графику функции f(x) относительно оси абсцисс и — соответственно —оси ординат.

3) График функции f(x)+p образуется посредством переноса всех точек графика функции f(x) параллельно оси ординат (на р единиц вверх при р>0 и на \р\ единиц вниз при р<С®)-

4) График функции af (х), я>1, образуется посредством растяжения всех ординат графика функции f (х) в а раз (или сжатия при 0<а<1).

5) График функции f (х — д) образуется по-

средством переноса всех точек графика функции f (х) параллельно оси абсцисс (на q единиц вправо при q > 0 и на \q\ единиц влево, если q<0)> ибо для графиков функций

y = f{x) и y = f(x-q)

ординаты, соответствующие абсциссам х и x-\~q, одинаковы.

6) График функции /(~f~)> где 1, образуется посредством растяжения всех абсцисс графика функции f (х) в k раз (или сжатия при 0<&<1), ибо для графиков функций

y = f(x) и y=f(^Ç)

ординаты, соответствующие абсциссам х и kx, одинаковы*. Растяжения, соответствующие случаям а<0 и k<0, представляют собой комбинацию рассмотренных растяжений и преобразований симметрии относительно осей координат.

6°. В курсе средней школы круг изучаемых графиков не следует делать неопределенно широким. Рационально ограничиться некоторым определенным минимумом, например указанным в примерах 1) —10).

Графики функций в примерах 1), 3), 5), 7), 9) получаются из графиков функций хп, —, сх, lg,*, sin* посредством растяжения ординат в а раз, с последующим переносом параллельно оси ординат на \Ь\ единиц. Графики же функций в примерах 2), 4), 6), 8),

10) получаются из тех же графиков посредством переноса параллельно оси абсцисс на i b i единиц, с последующим сжатием абсцисс в а раз.

7°. Графический способ решения уравнений. Очень многие встречающиеся в математике и в практике задачи сводятся к составлению и решению уравнений. Однако весьма ограничено число тех типов уравнений, которые возможно решить точно тем или иным определенным способом. Следует подчеркивать перед учащимися, что графический способ позволяет решить, хотя и приближенно, любое уравнение (в пределах возможности построения графиков), в чем и заключается его значение.

Дадим примеры уравнений (составляемых без особого труда) для их графического решения:

8°. Неравенства 2-й степени. В отличие от изложения, данного А. Н. Барсуковым в „Дополнениях“ к учебнику А. П. Киселева, нам представляется более рациональным рекомендовать графический способ решения неравенств 2-й степени ввиду его краткости и полной очевидности (кроме акта отыскания корней квадратного трехчлена, решение квадратного неравенства производится в уме). Кроме того, графический способ сам по себе усиливает общие представления учащихся о графическом изображении функций.

Исследование квадратного трехчлена ах2++bx+-.c удобно производить следующим образом.

Определяется знак дискриминанта D -Ь2—4ас. Если D < 0, то действительных корней трехчлен не имеет, следовательно, его график не пересекается с осью абсцисс и значит, все ординаты графика, т. е. все значения трехчлена, имеют один и тот же знак, одинаковый со знаком коэффициента а (имеется в виду, что учащиеся знакомы из курса VIII класса с расположением ветвей параболы в зависимости от знака а).

Если D = 0, то все ординаты, кроме одной, равной нулю и все значения трехчлена, кроме одного, имеют тот же знак, что и коэффициент а.

Если D> 0, то вычисляются корни хх и х2 трехчлена; пусть хх<х2. Далее составляется ориентировочный график трехчлена (нет необходимости этот график вычерчивать точно), проходящий через точки хх, х2 оси абсцисс. Из графика очевидно, что при х хх и х > х2 знак трехчлена совпадает со знаком коэффициента а\ при хх <х<С,х2 знак трехчлена противоположен знаку коэффициента а.

9°. Задачи на максимум и минимум. В нашей повседневной жизни исключительно важную роль играют вопросы, связанные с расчетом экономии, с расчетом наибольшего полезного эффекта или наименьшего отрицательного эффекта. Такие вопросы отражаются в математике посредством задач на максимум и минимум функций. В курсе средней школы эти задачи могут быть весьма интересными и разнообразными, охватывающими чрезвычайно широкий круг жизненных явлений; однако, математическим содержанием этих задач может являться

* См. С. И. Новоселов, Алгебра и элементарные функции, 1950.

(в пределах курса средней школы) нахождение максимума и минимума лишь квадратного трехчлена.

Обратившись снова к графику квадратного трехчлена ах2 bх + с, мы увидим, что при #<0 трехчлен не имеет минимума, но имеет максимум, причем при х = (абсцисса вершины графика, которая определяется при построении графика квадратного трехчлена); при а>0 трехчлен не имеет максимума, но имеет минимум, тоже при х = —

Графический метод, примененный здесь, более прост, чем алгебраический (имеем в виду выделение полного квадрата), и важен для общего представления о графических построениях.

Что касается срока изучения функций в X классе, то наиболее удобным является начало третьей четверти.

В заключение отметим, что многие самостоятельно поставленные вопросы политехнизации в курсе математики (повышение общей вычислительной культуры, задачи из практической жизни, наглядность обучения, борьба с формализмом и т. д.) имеют тесную связь с понятием функции.

Так, вычисления значений функций при построении графиков, при решении уравнений графическим способом, способствуют повышению общей вычислительной культуры учащегося, в частности укрепляют навыки в обращении с приближенными числами.

Задачи из практической жизни особенно ярко представляются примерами на зависимость одних величин от других (пути —- от времени, периметра или площади фигуры — от ее линейных параметров, объема —от линейных размеров и т. д.), задачами на максимум и минимум функций и др. Чрезвычайно полезным в настоящее время явилось бы составление специального набора задач из практической жизни с функциональным содержанием.

Элементы наглядности обучения тоже ярким образом проявляются при изучении функций. Сама идея графического изображения функции есть идея наглядного изображения функционального соответствия. Даже необходимо особо подчеркивать перед учащимися, что график есть наглядная иллюстрация функционального соответствия или функциональной зависимости, а не является некоторой самоцелью. Иногда в школах графики преподносятся как самоцель, в отрыве от общего понятия функционального соответствия; в таком случае графики выступают лишь как формальные понятия, лишенные основного своего смысла — геометрического изображения функционального соответствия. Интересен факт применения наглядности при графическом методе решения уравнений. Учителем одной из средних школ г. Новочеркасска С. Ф. Чесноковым применяется специально изготовленный самими учащимися набор лекал различных кривых, пересечением которых определяются корни того или иного уравнения.

Понятие функционального соответствия имеет исключительную важность для борьбы с формализмом в знаниях учащихся. Можно выучить ту или иную формулу, ту или иную теорему и т. д., но нельзя „выучить“ понятие функции. Понятие функционального соответствия и его графического изображения вырабатывается не формальным выучиванием, а основывается на понимании идеи соответствия, на понимании идеи зависимости одних величин от других.

ВЫЯСНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Ф. Ф. НАГИБИН (Киров)

Вопрос о выяснении понятия функции в средней школе можно отнести к числу основных вопросов методики математики. Особая важность этого вопроса объясняется прежде всего тем, что понятие функции является одним из немногих основных понятий курса математики средней школы, вокруг которых естественно группируются и органически связываются с ними многие другие понятия школьного курса. Это приводит к тому, что всякое улучшение в постановке изучения функций в средней школе не может не сказаться положительно на изучении многих других вопросов математики.

В наше время вопрос о выяснении понятия функции в средней школе приобретает особую важность в связи с осуществлением политехнического обучения. Никакое другое понятие математики не отражает столь совершенно взаимные связи и обусловленность величин окружающего нас мира, как это свойственно понятию функции. Значит, одним из важных моментов осуществления политехнического обучения в преподавании математики должно стать действенное овладение учащимися понятием функции и приемами элементарного исследования простейших функций.

Все это оправдывает значительный интерес, проявляемый многими учителями математики и методистами к вопросу выяснения понятия функции в средней школе.

В статье В. И. Севбо „Введение математического понятия функции в средней школе“, напечатанной в порядке обсуждения в журнале „Математика в школе“, 1953, № 5, основное внимание уделено определению понятия функции в школьном курсе математики. Это не может вызвать возражений, так как от решения вопроса об определении понятия функции в значительной степени зависит вся постановка изучения функций. Но правильно ли решает этот вопрос В. И. Севбо?

Основное положение, выдвигаемое В. И. Севбо, можно сформулировать так: в VIII классе должен быть выяснен точный смысл современного понятия функции как соответствия между элементами двух множеств. Поэтому для VIII класса предлагается следующее определение функции: Если каждому элементу (значению) X одного множества X поставлен каким-либо образом в соответствие определенный элемент (значение) у другого множества К, то говорят, что у есть функция от X, и записывают это символически в виде равенства: y — f(x).

Главный довод автора в пользу этого определения состоит в том, что такое определение является новой, наиболее широкой, современной концепцией понятия функции, значительно расширяющей область применений математической теории. Звучит все это довольно привлекательно, но неубедительно. Мы считаем определение функции, которое предлагает В. И. Севбо, неприемлемым для VIII класса средней школы и вот почему. Верно, что в некоторых современных руководствах по анализу и теории функций действительного переменного функция определяется именно так, как это предлагает делать В. И. Севбо в VIII классе средней школы. Такое определение можно найти, например, у Н. Н. Лузина*, у Хаусдорфа**. Однако далеко не все авторы руководств по теории функций дают столь общее определение функции. Кстати, и те авторы учебных руководств по теории функций, которые дают общее определение функции, фактически им совсем не пользуются, либо пользуются крайне редко. Наш выдающийся специалист в области теории функций акад. Н. Н. Лузин в своей знаменитой диссертации „Интеграл и тригонометрический ряд“*** писал: „Почти не существует теорем, относящихся к этому общему определению функции. Поэтому для того, чтобы можно было идти вперед и строить различные теории, образующие математические дисциплины, теория функций действительного переменного вынуждена ограничить поле своих исследований и обратиться к рассмотрению более или менее широких классов функций“. Законно поэтому сделать вывод, что даже в теории функций общее, абстрактное определение функции не находит или почти не находит применений.

Хорошо известно, что понятие функции является главным объектом не только теории функций, но и математического анализа. Следовательно, для правильного решения вопроса о том, какое определение функции должно быть дано в средней школе, необходимо учесть также трактовку понятия функции в анализе.

* Н. Н. Лузин, Теория функций действительного переменного, Учпедгиз, 1948.

** Ф. Хаусдорф, Теория множеств, ОНТИ, 1937.

*** Н. Н. Лузин, Интеграл и тригонометрический ряд, Гос. изд. техн.-теор. лит., 1951, стр. 49.

Больше того, эта сторона дела для нас особенно важна, так как методы анализа лежат в основе почти всех математических дисциплин и многих их практических приложений.

Если теория функций действительного переменного преимущественно выводит различные свойства функций из свойств, характеризующих эти функции, то классический анализ, как правило, извлекает свойства функций из тех аналитических выражений, которыми эти функции задаются. Значит, анализу свойственен более узкий, менее общий подход к функциям.

В учебных руководствах по математическому анализу понятие функции обычно определяется так: переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует (одно) определенное значение величины у (В. И. Смирнов, Г. М. Фихтенгольц, В. В. Немыцкий и др., И. М. Уваренков и др., А. Я. Хинчин). Некоторые авторы в определении функции особо оговаривают, что каждому значению переменной величины X приводится в соответствие одно или несколько определенных значений величины у (А. Ф. Бермант и др.). Почти для всех наших руководств по анализу типично использование в определении функции понятия переменной величины. Пожалуй, только в курсе математического анализа М. К. Гребенча и С. И. Новоселова определение функции формулируется без использования понятия переменной величины. Все сказанное заставляет считать, что ни теория функций, ни математический анализ не дают оснований рекомендовать для средней школы наиболее общее определение функции.

Мы полагаем, что для VIII класса средней школы нужно принять следующее определение функции: переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому (допустимому) значению величины х соответствует единственное определенное значение величины у.

Какие достоинства имеет это определение?

1) Опыт многих наших учителей показал доступность его для учащихся VIII и тем более старших классов.

2) Это определение не искажает научную трактовку понятия функции. Больше того, оно вплотную подводит к пониманию наиболее широкой концепции функции, идет в направлении дальнейшего развития понятия функции в математике. Это следует из того, что в нем подчеркивается главное в понятии функции — соответствие между множествами значений двух переменных величин. Выяснение же наиболее широкой концепции понятия функции должно быть предоставлено специальной высшей школе (физико-математическим факультетам).

3) Сформулированное определение не лишено динамичности. Использование в нем понятия переменной величины делает его жизненным, конкретным. Оно приучает мыслить величины в их живой изменчивости, в их взаимной связи и обусловленности, а не в застывшей форме, не в искусственной статичности. Для реальных процессов, характеризуемых разнообразными функциями, существенно не только соответствие между значениями переменных величин, но и их взаимная изменяемость, особенности поведения одной из этих величин при определенном поведении другой. Короче говоря, такое определение функции помогает лучшему овладению практическими применениями математики, т. е. является ценным с точки зрения политехнического обучения.

4) Это определение ценно и в воспитательном отношении, так как оно помогает формированию у учащихся основ диалектико-материалистического мышления. Нельзя забывать, что „Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина“ и что „Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика ...“*

5) Если принять такое определение функции, то воспитанникам средней школы при обучении в высшей не придется „переучиваться“. В курсе „высшей“ математики будет естественно развиваться, углубляться и конкретизироваться то представление о функции, которое они вынесут из средней школы.

Какие методические выводы должны быть сделаны, если принять для средней школы определение функции как соответствия между множествами значений двух переменных величин?

1) Прежде всего, оно определяет характер подготовительной работы к изучению функций. Необходимость такой работы общепризнана и она в той или иной мере проводится в V—VIII классах, но проводится без необходимой целеустремленности. Чтобы подготовительная работа к изучению функций была эффективной, нужно вести ее в следующих направлениях:

a) изучение числовых множеств и числовой прямой,

b) усвоение понятий переменной величины и допустимых ее значений,

c) уяснение понятия соответствия,

d) подготовка к изучению способов задания функций,

e) подготовка к простейшему исследованию функций,

* Фридрих Энгельс, Диалектика природы, Госполитиздат, 1946, стр. 208.

f) ознакомление с конкретными примерами функциональных зависимостей (накопление фактического материала).

2) При изучении раздела „Функции и их графики“ в VIII классе существенно показать учащимся, что главное в понятии функции — это само соответствие между числовыми значениями переменных величин, а не способ, которым это соответствие задается. В связи с этим представляются необходимыми еще в VIII и тем более в старших классах примеры функций, заданных описательно, а также разными формулами для различных промежутков изменения аргумента. Конечно, в школьном курсе математики особо важное значение имеют такие функции, для которых закон соответствия задается формулой. Однако ограничиваться только такими функциями, если мы желаем дать нашим ученикам правильное представление о функциях, нельзя. Поэтому прав В. И. Севбо, давший в своей статье ряд примеров „особых“ функций (правда, не все эти примеры, на наш взгляд, удачны). Можно лишь в порядке дополнения порекомендовать рассмотреть в средней школе некоторые теоретико-числовые функции, такие, например, как число простых чисел, не превосходящих данное натуральное число.

3) В определении функции, которое мы признали наиболее удачным для средней школы, решительно подчеркивается „однозначность“. Это заставляет перестроить изложение таких вопросов, как, например, понятие обратной функции, обратные тригонометрические функции. Следует заметить, что практика работы многих учителей математики и, в частности, той работы, которую мы лично вели на протяжении последних трех лет в VIII, IX и X классах базовой школы при Кировском пединституте, подтверждает большую отчетливость, простоту и доходчивость такого изложения вопросов о функциях, которое отвергает их „многозначность“.

4) При изучении различных функций в средней школе очень важно рассматривать конкретные прикладные вопросы, приводящие к этим функциям. При этом должны применяться известные учащимся элементарные приемы исследования функций.

Основная мысль, которой нужно руководствоваться учителю при ознакомлении учащихся с отдельными видами функций, может быть сформулирована так: изучение функций не должно быть абстрактным; постоянно, в меру представляющихся возможностей, следует показывать практические применения того, что узнают учащиеся о функциях. Нужны конкретные примеры функциональных зависимостей из области геометрии, физики, техники (обработка металлов, тепловые двигатели, электротехника, транспорт, строительная техника и т. д.). Необходимо выполнение упражнений на выражение зависимостей формулами, на вычисление значений функции (аргумента) по заданным значениям аргумента (функции). Нельзя обойтись без упражнений на нахождение корней функций, выражающих конкретные зависимости, и промежутков знакопостоянства. Очень полезны упражнения на чтение конкретных графиков, на выяснение особенностей изменения функции при определенном изменении аргумента, на нахождение наибольших и наименьших значений функций и т. д. Все это имеет большую ценность в отношении политехнического обучения в преподавании математики и было бы непростительным не использовать открывающиеся здесь богатые возможности.

К ВОПРОСУ О ВВЕДЕНИИ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

В. Т. КУЗНЕЦОВ (Саратов)

В программе по алгебре в средней школе общее понятие функции вводится в VIII классе в теме „Функции и их графики“. Однако объяснительная записка к программе настоятельно ориентирует учителя на внедрение „функционального начала“ в изучение основных разделов элементарной математики, начиная с младших классов средней школы. „Понятие о функции и ее графическом представлении в явной форме, появляющееся впервые в восьмом классе,

должно быть подготовлено изучением математики в пятых — седьмых классах. Уже в пятых — шестых классах при изучении арифметики, а в дальнейшем алгебры и геометрии необходимо обращать внимание учащихся на зависимость одних величин от других, знакомить с вычерчиванием простейших диаграмм, графиков“. (Программа средней школы 1953 г., стр. 5.)

Таким образом учение о функциональной за-

висимости не должно быть локализовано в программе какого-нибудь одного класса; оно должно проводиться по крайней мере, начиная с VI класса, когда идея переменной величины, функции естественно связывается с введением буквенных обозначений. Определение числовых значений алгебраических выражений, а также геометрия дают значительный материал в этом отношении.

Учение о функции естественно разделить на два этапа: в младших (V — VII) классах — функциональная пропедевтика, в старших же классах — систематическое изучение функций. Вопрос об изучении функций в школе получил довольно широкое освещение в методической литературе, в частности в журнале „Математика в школе“. Основным был и остается вопрос, на каких основаниях должно быть введено математическое определение понятия функции.

В нашей учебной литературе по общему курсу математического анализа и в методической литературе определились на этот счет две точки зрения. Одни из авторов остаются на позициях классического анализа, полагая в основу учения о функции идею переменной величины, как наиболее ярко отражающей процессы изменений в явлениях реального мира.

1. „Переменная величина у называется функцией переменной величины х,, если каждому значению х соответствует одно определенное значение у (В. Немыцкий, М. Слудская, А. Черкасов, Курс математического анализа, т. 1, 1944, стр. 71).

2. „Если две переменные величины х и у связаны между собой по определенному закону так, что каждому значению х соответствует определенное значение у, то х называется независимой переменной, а у — функцией от хи (В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. 1, 1937, стр. 9).

3. „Переменная величина у называется функцией от переменной величины х в области ее изменения (X), если по некоторому правилу или закону каждому значению х из (X) ставится в соответствие определенное значение у из (Y) (Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, 1947, стр. 114).

Список авторов, придерживающихся приведенной формы определения понятия функции, можно было бы продолжить. Заметим, что указанные здесь учебные пособия написаны, как известно, для вузов и, в частности, для университетов (В. Немыцкий и др., Г. М. Фихтенгольц).

Другие авторы даже для средней школы считают не только возможным, но и необходимым в основу учения о функции положить понятие множества, соответствия между элементами множеств, отображения.

1. „Если каждому элементу х множества M поставлен в соответствие некоторый элемент у множества N, то говорят, что на множестве M задана функция и пишут y = f (х). При этом отдельные элементы л* называют значениями аргумента, а элементы у — значениями функции. Или в иных терминах, что множество M отображено в множестве N, тогда элементы х называются прообразами, а элементы у — образами (проф. А. И. Маркушевич, см. журн. „Математика в школе“, 1947, № 4, стр. 2).

2. „Если каждому значению из заданного множества поставлено в соответствие некоторое определенное значение из другого множества, то говорят, что задана функция“ (Г. М. Карпенко, см. журн. „ Математика в школе“, 1949, № 4, стр. 15).

3. „Если каждому элементу (значению) х одного множества X поставлен каким-либо образом в соответствие определенный элемент (значение) у другого множества К, то говорят, что у есть функция от х, и записывают это символически в виде равенства y = f(x) (В. И. Севбо, см. журн. „Математика в школе“, 1953, № 5, стр. 18).

Вторая точка зрения обосновывается, например, следующим образом: „Развитие математической мысли последних десятилетий показывает, что теория множеств проникает почти во все области математических наук и успешно оказывает влияние на их дальнейшее развитие. Средняя школа, дающая абитуриентов высшим учебным заведениям, не может остаться в стороне от свойственного современной науке пути изучения теории функций. Необходимо перебросить прочный мост от изучения математики в средней школе к ее изучению в высшей школе. Изучение же функций в средней школе на основе множества и соответствия возможно, так как эти понятия доступны учащимся“ (Г. М. Карпенко).

Эту же мысль развивает и В. И. Севбо. Указывая, что „Последним этапом развития понятия о функции явилось дальнейшее его обобщение, основанное на теории множеств“, что „в новой наиболее широкой, современной концепции идея функционального соответствия распространяется на нечисловые объекты“ и что „такая высокая абстракция значительно расширяет область применения математической теории“, В. И. Севбо считает, что „постепенно, на конкретных примерах можно выяснить учащимся VIII класса точный смысл современного

понятия функции как соответствия между элементами двух множеств“ (стр. 16, 18).

Признавая всю важность теоретико-множественной базы в изложении основ современного математического анализа, мы тем не менее не можем согласиться, чтобы та же отправная база была и в учении о функциях в средней школе, по следующим соображениям:

во-первых, для построения основных сведений из анализа на базе множеств учащиеся должны быть в известной мере ориентированы в элементах теории множеств с тем, чтобы потом можно было последовательно проводить эту основу в изложении учебного материала. По условиям очень ограниченного круга вопросов математического анализа, которые затрагиваются в курсе элементарной математики, такая попытка будет нереальной и преподаватель может оказаться в затруднительном положении. Обращаться же к „множествам“, „отображениям“ и т. д. для определения лишь одного понятия функции совсем не имеет смысла;

во-вторых, в понятии о переменных величинах, которые мы постоянно наблюдаем в любом явлении природы, общественной жизни, в любом процессе действительного мира как нельзя лучше обнаруживаются движение, текучесть, процессы изменения — диалектические процессы. Вводя понятие переменной величины, мы решаем большой методологический вопрос в проблеме коммунистического воспитания наших учащихся. „Точка же зрения теории множеств, — писал академик Н. Н. Лузин, — удаляет из анализа все переменные величины, всякое движение и все сводит к одним только стационарным состояниям, т. е. к постоянным величинам“ (Б. С. Э., 1935, т. 22, стр. 635). Таким образом, теоретико-множественная точка зрения по своему стационарному характеру как бы омертвляет окружающий нас реальный мир;

в-третьих, общее понятие функции и первоначальные сведения о функциях вводятся в VIII классе, учащиеся которого подростки 14—15 лет. Несмотря на приведенную выше подкупающую аргументацию в пользу „множеств“, „соответствий элементов“, „отображений“ в определении понятия функции, они будут усваиваться не только трудно, но окажутся просто непосильными. Авторы, в том числе и В. И. Севбо, предлагающие вводить понятие функции на базе множеств, не учитывают, нам кажется, возрастных особенностей учащихся и, таким образом, допускают педагогическую ошибку.

Что „такая высокая абстракция значительно расширяет область применения математической теории“ — в этом спора нет. Но ведь известно, что определение понятия функции, предлагаемое В. И. Севбо и др., является достоянием специального курса математического анализа — „Теории функций действительного переменного“, и вряд ли его можно переносить в курс алгебры VIII класса средней школы. Сам же В. И. Севбо признает, что „Ведь современная научная идея функции, как соответствия между элементами множеств, является высоко абстрактной“, и далее: „Надо признать, что понятие функции в его современном смысле содержит немалые трудности для усвоения учащимися“. Тем не менее он находит, что такая ступень абстракции возможна на базе функциональной пропедевтики в пятых — седьмых классах и что „эти трудности, в конечном счете, сводятся к необходимости обобщения, абстрагирования всех прежних представлений, приобретенных учащимися в результате предыдущей функциональной пропедевтики в семилетней школе“.

За функциональной пропедевтикой в семилетней школе в старших классах средней школы естественной и вполне доступной ступенью абстракции должно стать общее определение функции, в основе которого должна быть идея переменной величины. Та же абстракция, которую „по необходимости“ предлагает В. И. Севбо, более уместна на физико-математических факультетах вузов.

Исходя из приведенных соображений, мы и считаем, что в основу учения о функциях в средней школе следует положить не теоретико-множественную базу, а идею переменной величины, которая ярче отображает явления реального мира и воспринимается учащимися без особых трудностей. Если в указанных выше курсах по математическому анализу для вузов именно эта идея положена в основу определения понятия функции, то тем более это будет верно для средней школы.

Что касается самого понятия „множество“, то его нужно вводить в математический обиход в средней школе; в рассматриваемом вопросе следует обращать внимание учащихся на то, что переменная величина может принимать „множество“ числовых значений. В соответствии с такой точкой зрения общее понятие функции в средней школе можно ввести по такому плану.

Перед тем как вводить определение понятия функции, нужно ввести понятие переменной величины, а вместе с тем и постоянной величины. Что касается понятия „величина“, то следует считать его первоначальным и нет необходимости (на этой ступени обучения) пытаться давать его определение. Здесь следует, однако, привести конкретные примеры величин, которые изучаются в различных отраслях наук. В физике изучаются температура, теплоемкость,

удельный вес тела, сила электрического тока и пр.; в механике величинами являются скорость, сила, масса. ..; в химии — атомный вес, валентность, коэффициент растворимости; в геометрии — длина линий, углы, площади, объемы и пр. Таким образом, реальные величины бывают самые разнообразные. Тем не менее они обладают тем общим свойством, что могут быть измерены величиной того же рода, принятой за единицу: длины измеряются метром, вес — киллограммом, напряжение электрического тока — вольтом и т. д. В результате измерений получается отвлеченное число, которое можно обозначить, например, буквой х. Тот или иной закон природы есть выражение соотношения между величинами, а в конце концов между числами, характеризующими эти величины. В математике и принимают X за некоторую величину, которая может принимать те или иные числовые значения. Благодаря этому математика может быть применена к исследованию самых разнообразных конкретных величин.

Учащимся нужно разъяснить, что наблюдаемые нами реальные величины находятся в непрестанном изменении. „В противоположность метафизике диалектика рассматривает природу не как состояние покоя и неподвижности, застоя и неизменяемости, а как состояние непрерывного движения и изменения,непрерывного обновления и развития, где всегда что-то возникает и развивается, что-то разрушается и отживает свой век“ („Краткий курс истории ВКП (б)“, 1933, стр. 101).

Примеры некоторых переменных величин: температура воздуха, атмосферное давление, скорость движения поезда, площадь прямоугольника с изменением длин его сторон, время, отсчитываемое от определенного начального момента, расстояние, которое проходит движущееся тело, давление газа на стенки сосуда при повышении температуры и т. д. После такого рода разъяснений естественно ввести определение понятия переменной величины в общепринятой форме: Величина х называется переменной, если она в условиях некоторой задачи, вопроса или исследования может принимать различные числовые значения. Величина называется постоянной, если она не изменяет своего значения, либо при всяких условиях (например, отношение длины окружности к диаметру тс = 3,14..., сумма углов треугольника, количество материи и связанное с ней количество энергии, скорость света в пустоте и др.), либо лишь в условиях одной какой-нибудь задачи или одного вопроса (например, в квадратном трехчлене ах2 + bх+с буквами а, b, с обозначены числовые коэффициенты).

С учащимися полезно рассмотреть примеры, подобные следующему.

Вершина В треугольника ABC перемещается по прямой, параллельной основанию. Являются ли переменными: площадь треугольника, углы при основании, сумма углов при основании, сумма углов треугольника, высота, опущенная из вершины угла при основании?

После рассмотрения подобного рода примеров можно перейти к выяснению функциональной зависимости между переменными. В этих целях нужно рассмотреть конкретные функциональные связи некоторых переменных, взятых из геометрии, физики, механики. Площадь круга К=ъг2, длина окружности С=2ъг изменяются с изменением длины радиуса; формула V=-y- выражает зависимость объема газа V от давления р, под которым находится этот газ, при неизменной температуре (закон Бойля-Мариотта); заданному объему V тела и удельному весу вещества d будет соответствовать определенный вес тела Q= Vd; закон свободного падения тела в пустоте выражается формулой 5 = , пройденный путь s изменяется с течением времени t, причем прямо пропорционален квадрату времени t2; сопротивление проводника электрического тока выражается так: R = k~, где / — длина проводника, 5 — поперечное сечение, k — удельное сопротивление вещества, из которого сделан проводник; с изменением / и S при постоянном k величина сопротивления R изменяется прямо пропорционально длине проводника и обратно пропорционально площади поперечного сечения.

На подобного рода примерах функциональных связей следует выяснить, какая из переменных принимается за независимую переменную и какая переменная в связи с этим будет зависимой переменной величиной. Первая из них называется аргументом, а вторая — функцией. Зависимость одной переменной величины от другой называется функциональной зависимостью.

На таких примерах и подобным им нужно подчеркнуть учащимся, что в любых процессах реального мира мы замечаем взаимную связь, взаимную обусловленность участвующих в них величин; при изменении какой-нибудь одной из них, изменяется и другая, связанная с ней величина. Все эти зависимости между переменными выражаются по определенным законам.

Далее следует указать учащимся, что в предыдущем были приведены примеры функциональных зависимостей между конкретными реальными величинами, которые обозначались разными буквами. Математика не может ограничиваться

методами для изучения лишь узкого круга явлений, рассматриваемых, например, только в области физики или только в области механики и т. д. В этой связи различные реальные переменные в математике абстрагируются и обозначаются обычно буквами х и у и другими и изучаются различные функциональные зависимости между ними. Благодаря этому выводы математики могут применяться к исследованию самых разнообразных конкретных величин.

Лишь после этих разъяснений общее определение понятия функции может быть сформулировано в следующей форме: Переменная величина у называется функцией переменной х, если каждому значению х соответствует определенное значение у. В этом случае х называется независимой переменной, или аргументом, а переменная у называется зависимой переменной, или функцией.

Мы не считаем целесообразным в первой формулировке понятия функции вводить всякого рода уточнения, как-то: „если каждому допустимому значению х“ или „от переменной х в области ее изменения“ и т. д. Включая эту терминологию в определение понятия функции, нужно было бы сразу же разъяснить смысл этих выражений; однако это лучше всего раскрывается при рассмотрении и изучении примеров конкретных функций, после чего возможно и уточнить приведенную выше формулировку понятия функции.

Фраза „у есть функция переменной х“ записывается так: y = f(x). На этой записи следует остановить внимание учащихся и привести их к правильному ее пониманию. В обозначении у ~ f (х) знак / выражает правило, закон, по которому рассматриваемому значению аргумента X соответствует определенное значение у. Однако запись в указанной форме не раскрывает конкретного правила, закона функциональной зависимости между переменными.

В математике функциональная зависимость часто задается формулой. Например, все такие выражения, как

суть функции аргумента х. Каждую из этих функций можно было бы обозначить буквой у или знаком f (х). В этом случае функциональный знак / выражает совокупность тех действий, которые нужно произвести над значением аргумента х, чтобы получить значение функции у.

Пусть

Здесь производятся следующие действия: аргумент X возводится в квадрат х2, полученный результат вычитается из единицы 1 — х2, и, наконец, из этой разности извлекается корень квадратный |^ 1 —х2 (эти действия как и в других приведенных примерах, нужно именно назвать, чтобы учащиеся лучше уяснили смысл знака /). Если, например, х =

Итак, значение функции у.

В связи с этим учащиеся знакомятся с символом f (а) как со значением функции при х — а, а также с различными обозначениями функций; так, приведенные выше функции можно обозначить

в отличие от f (х).

Далее важно заметить учащимся, что функциональная зависимость не обязательно задается формулой, но и другими способами: таблицей, которая составляется в процессе экспериментальных исследований явления; графиком, который механически вычерчивается приборами; словесно, например так называемая функция Дирихле: функция равна единице при рациональных значениях аргумента х и равна нулю при иррациональных значениях х.

При введении общего определения понятия функции y = f(x) должно быть отмечено, что функция считается заданной, если указано, какие значения может принимать аргумент (например, в каком промежутке), а также правило, закон, по которому функция у выражается через аргумент х.

Пример 1. у = х2; аргумент х может принимать любые (действительные) числовые значения.

Пример 2. f(x) = х]__2* здесь аргумент х не может принимать значение, равное 2, так как тогда знаменатель обращается в нуль.

Пример 3. y = Y^\ — X2; аргумент х может принимать значения, которые по абсолютной величине не больше единицы |аг|^1,т. е. — I^jc^I, так как при |лг|>1 разность 1 —- X2 отрицательна.

Пример 4. Периметр правильного многоугольника, вписанного в окружность заданного радиуса, выражается формулой

и является функцией числа его сторон. Так как число сторон у многоугольника не может быть меньше трех, то л>-3, т. е. аргумент п может быть только натуральным числом, начиная с 3.

В последнем примере возможное или допустимое значение аргумента установлено по смыслу геометрического вопроса.

После рассмотрения подобного рода примеров возможно уже уточнить определение понятия функции, данное ранее.

Величина у называется функцией переменной величины л:, если каждому допустимому значению х соответствует по определенному закону действительное значение у. Такая формулировка понятия фукции будет включать самые разнообразные функциональные зависимости, вполне доступна для учащихся VIII класса и ею следует, на наш взгляд, ограничиться в старших классах средней школы вообще.

При рассмотрении предыдущих примеров функций учащиеся уже фактически приведены к понятию области определения функции. В нашей учебной литературе по математическому анализу мы встречаем то „область определения“, то „область существования“ функции. Областью определения функции называется множество (совокупность) тех значений аргумента, на котором задана функция. Например, у = л;3, если х >> 0; область определения указана: множество всех неотрицательных чисел.

Для некоторых функций область определения может быть явно и не указана, однако она легко выявляется из смысла самой функции (пример о периметре правильного многоугольника, вписанного в окружность). В том случае, когда функция задана аналитически (формулой) и не указано числовое множество, на котором рассматривается функция, то за область ее определения принимают те значения аргумента, при которых формула, выражающая функцию, не утрачивает числового смысла и функция принимает лишь действительные значения. В этом смысле „область определения функции“ и называют „областью существования функции“.

Опыт работы показывает, что такие формулировки трудно воспринимаются учащимися. При первом знакомстве с общим определением понятия функции целесообразнее ввести в обиход термин „допустимые“ значения аргумента.

Пример 1.

допустимые значения аргумента (область определения) — все действительные числа, кроме х = 1 и х = 2, так как при этих значениях аргумента знаменатель обращается в нуль.

Пример 2.

допустимые значения х (область определения) — -2<*<2.

Пример 3.

аргумент х может принимать любые числовые значения (вся ось ОХ).

В. И. Севбо в своей статье указывает, что „Приступая к систематическому учению об элементарных функциях в VIII классе, мы никак уже не можем удовлетвориться предыдущим понятием зависимости“ (разрядка наша.— В. К.), и приводит примеры функций:

которые сохраняют постоянное значение, равное единице, какие бы действительные значения ни принимал аргумент х. Но ведь не трудно усмотреть, что приведенное нами определение функции включает и этот случай, так как оно не требует, чтобы с изменением аргумента непременно и функция меняла свое численное значение; важно то, что каждому значению соответствует определенное значение у, которое может в частном случае оставаться и постоянным, как в указанных примерах.

Что касается второго примера, приведенного В. И. Севбо, о зависимости веса и роста человека, то такого рода сопоставления просто не имеют смысла.

О МЕСТЕ ИЗУЧЕНИЯ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ

А. С. СУХОРОСЛОВ (Коломинская Грива Томской обл.)

В объяснительной записке к программе по математике говорится: „понятие о функции и ее графическом представлении, в явной форме появляющееся впервые в VIII классе, должно быть подготовлено изучением математики в V— VII классах. Уже в V—VII классах при изучении арифметики, а в дальнейшем алгебры и геометрии, необходимо обращать внимание учащихся на независимость одних величин от других, знакомить с вычерчиванием простейших диаграмм, графиков“.

Понятие о функциональной зависимости может прочно войти в сознание учащихся только при том условии, если к этому они будут систематически приучаться на протяжении всего курса математики, начиная от элементарной арифметики. Это не значит, что общее определение функции следует давать в младших классах или что сам термин „функция“ должен употребляться и навязываться при каждом удобном случае. Дело совсем не в этом. Пусть учащиеся узнают этот термин лишь в старших классах. Нужно непринужденно, не обременяя учащихся непосильными им абстракциями, планомерно и повседневно формировать функциональное мышление. Об этом учитель должен помнить на каждом уроке; в любой теме арифметики, алгебры, геометрии найдется материал, направляющий внимание учащихся на ту сторону изучаемого вопроса, которую они впоследствии осознают как функциональную связь между величинами.

В журнале „Математика в школе“ можно встретить статьи, в которых говорится о месте изучения функций, о правильном подходе к определению функции. Авторы некоторых журнальных статей относят этот вопрос, в соответствии с программой, к VIII классу. В статье Г. М. Карпенко („Математика в школе“, 1949, № 6) рекомендуется давать понятие об аргументе и функции в VI классе.

То и другое решение нельзя признать приемлемым. Вводить функциональную терминологию в VI классе преждевременно, а откладывать ее до VIII класса нельзя, так как в настоящее время в программу VII класса включено черчение графиков прямой пропорциональности и графиков линейных функций

y = axJrb\ Ах + Ву+С = 0.

Министерство просвещения РСФСР внесло в программу VII класса черчение различных графиков, но не дало соответствующих методических указаний. Мы полагаем, что сознательное вычерчивание указанных графиков затруднительно без применения функциональной терминологии.

Еще в четвертых классах должны обязательно проводиться упражнения на установление зависимости площади прямоугольника, параллелограма, треугольника от основания, высоты этих фигур; поверхности и объема куба — от их изменений; длины окружности и площади круга — от радиуса; поверхности и объема цилиндра — от радиуса основания и высоты.

В VI классе одной из тем курса, где наиболее ярко проявляется функциональная зависимость, является тема „Решение задач на пропорциональную зависимость“.

На основании сказанного мы приходим к выводу, что введение определения функции в VIII классе слишком поздно, так как ученикам, окончившим седьмые классы, будет чужда имеющая огромное практическое значение идея функциональной зависимости между величинами. Следовательно, нужно вводить функциональную терминологию в VII классе. В VIII классе понятие о функции нужно расширить и ввести в рассмотрение более сложные функции и их графики.

Но в каком же месте курса VII класса следует ввести понятие о функции? Мы полагаем, что это лучше всего сделать в разделе „Пропорции и пропорциональная зависимость“. Программой Министерства просвещения РСФСР на этот материал отводится 6 часов. Такого количества времени не хватит для того, чтобы ввести определение функции и изложить программный материал. Поэтому мы предлагаем взять один учебный час из раздела „Построение графиков“. Таким образом, на определение функции отводится два урока перед разделами: „Коэффициент пропорциональности“, „Оси координат“.

На первом уроке учитель должен дать понятия множества, элемента множества, соответствия.

Множество — это неопределяемое понятие, которое надо разъяснять на ряде простых примеров. Учитель приводит примеры множеств; например, множество парт в классе, множество деревьев в школьном саду, множество звезд на небе, множество сторонников мира, множество целых чисел, четных, нечетных чисел и т. д.

Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами. Ученик — элемент

множества учеников в классе, школе; человек — элемент множества людей в селе, городе; дерево — элемент множества деревьев в школьном саду; число 5 — элемент множества натуральных чисел, нечетных чисел и т. д. После таких рассуждений ученики сами смогут привести примеры множеств и их элементов.

Особенно тщательно нужно дать учащимся понятие о соответствии. Следует рассмотреть ряд примеров. Так, каждому ученику в классе можно поставить определенное число, — номер, под которым фамилия ученика значится в классном журнале, и т. п.

Следует обратить внимание учащихся, что множество может быть конечным или бесконечным. Затем ученики приводят примеры конечных и бесконечных множеств.

На следующем уроке учитель повторяет выводы, сделанные на первом уроке, и дает определение функции.

Можно рассуждать так: пусть дано одно множество

(х) 1, 2, 3, 4, 5

и второе множество

(у) 2, 4, 6, 8, 10.

Ставится вопрос: „Что нужно сделать с каждым элементом множества (х), чтобы получить соответствующий элемент множества (у)?а Ученики скажут, что нужно элемент множества (х) удвоить; записываем у=2х. Далее приводится еще несколько примеров:

Полезно в конце дать такой пример функции:

(X)

(У)

После всего этого дается формулировка: Если каждому значению х из заданного множества (х) поставлено в соответствие некоторое определенное значение у из другого множества (у), то говорят, что задана функция.

Или: Если каждому числу (элементу) множества (х) поставлено в соответствие некоторое вполне определенное число (элемент) множества (у), то мы скажем, что задана функция.

X называется аргументом (независимая переменная величина), у называется функцией (зависимая переменная величина). Следует рассказать о более сложной зависимости, например о зависимости жизни растения от влаги, солнца, плодородия земли. В целях сознательного усвоения учащимися новых понятий необходимо иллюстрировать их большим количеством разнообразных примеров, которые указываются как учащимися, так и преподавателем. Полезно пользоваться таблицами с таким содержанием.

Аргумент

Функция

Время

Скорость*

Количество товара

Цена товара

Основания прямоугольника

Высота прямоугольника

Температура

Числитель дроби

Знаменатель дроби

Радиус

Радиус

Радиус основания цилиндра

Высота цилиндра

Сторона квадрата

Сторона прямоугольника

Расстояние

Расстояние

Стоимость

Стоимость

Площадь

Площадь

Длина металлического прута

Величина дроби

Величина дроби

Длина окружности

Площадь круга

Боковая поверхность

Боковая поверхность

Площадь

Противолежащий угол

После определения функции нужно рассказать о коэффициенте пропорциональности.

Третий урок должен быть посвящен объяснению программного раздела „Оси координат“.

Далее следует перейти к вычерчиванию графиков вида:

Здесь следует обратить внимание учащихся на то, что в первом случае коэффициент пропорциональности равен 1, ордината равна абсциссе; во втором случае коэффициент пропорциональности равен 2, ордината в два раза больше абсциссы. Ученики должны сделать вывод, что график представляет во всех случаях прямую линию и что прямая проходит через начало координат. Преподаватель вместе с учащимися проверяет при помощи измерений правильность первого утверждения.

На этом временно изучение функции в VII классе прекращается, но отсюда не следует, что в течение довольно значительного промежутка времени слова „аргумент“ и „функция“ не

* Время движения следует считать данным, чтобы получилась функция от одного аргумента. Аналогичное замечание относится к ряду других примеров.

(Ред.)

должны произноситься в классе. При каждом удобном случае нужно подчеркивать функциональную зависимость на конкретных примерах, как, например, зависимость длины средней линии трапеции от оснований трапеции, зависимость между хордами и их расстояниями от центра.

Уравнение должно рассматриваться как равенство значений двух функций, а решение уравнений — как нахождение таких значений аргумента, при которых значения функций делаются равными.

После решения задач на составление систем уравнений в программе значится вычерчивание графиков:

у = ах+Ь\ А* + Ду + С=0.

При черчении этих графиков следует обратить внимание на то обстоятельство, что график в этом случае представляет также прямую линию, но, в отличие от графика прямой пропорциональности, график не проходит через начало координат, а отсекает от ординаты отрезок, равный b. Нужно проверить на нескольких графиках это свойства функции.

Переходя к геометрическому истолкованию решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными, нужно заинтересовать учащихся этим вопросом и сообщить, что они научатся решать систему уравнений с двумя неизвестными при помощи чертежа. Затем преподаватель обращает внимание на точку пересечения прямых и объясняет, что координаты этой точки удовлетворяют и первому и второму уравнениям, т. е. являются решением системы. Ученики обязательно должны решить систему алгебраически и убедиться в правильности графического решения.

Мы полагаем, что, дав определение функции в VII классе, мы облегчим для учеников VIII класса изучение следующих разделов: „Графики скорости пути в равномерном и равномерно-переменном движении“ (по физике), „Тригонометрические функции острого угла“ (по геометрии), которые идут по программе раньше, чем раздел „Функции и графики“ (по алгебре), „Вычерчивание графиков“ (по черчению).

О ДИСКУССИОННЫХ ВОПРОСАХ, СВЯЗАННЫХ С УЧЕНИЕМ О ФУНКЦИЯХ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

Вопрос о понятии функции в курсе средней школы продолжает живо интересовать широкие круги учителей математики. Подавляющее большинство учителей и методистов признает огромную важность учения о функциях в школьном курсе, но вместе с этим по ряду принципиальных вопросов имеются существенные расхождения в мнениях. Наличие этих расхождений указывает на необходимость критического обсуждения существующих точек зрения.

Напечатанные в настоящем номере статьи Ф. Ф. Нагибина, Ф. В. Томашевича, В. Т. Кузнецова и А. С. Сухорослова отражают различные точки зрения; приведенные авторами аргументы должны послужить предметом дальнейшего обсуждения.

Ниже мы попытаемся указать основные вопросы, по которым имеются расхождения в мнениях, и внести надлежащую ясность в постановку этих вопросов.

Исключительная важность понятия о функции в методологическом, теоретическом, педагогическом и политехническом отношениях признается всеми. Соответствующие аргументы общеизвестны и их повторять нет надобности.

Подавляющее большинство советских педагогов считает, что понятие функции, тесно связанное с прочими разделами школьного курса, находит в них действенное и плодотворное применение. Но, разумеется, отсюда вовсе не следует, что учение о функциях должно стать „основным стержнем“, подчинить себе „всецело и безраздельно“ все без исключения идеи школьного курса и тем самым ограничить возможность их самостоятельного развития. Такая узкая точка зрения является крайностью, нехарактерной для советской методики, ищущей гармонического развития ведущих идей школьного курса математики.

Различные точки зрения имеют место на вопрос о функциональной пропедевтике и о введении функциональной терминологии в V— VII классах.

Точка зрения, согласно которой понятие функции (на основе понятий множества и соответствия) и функциональная терминология должны вводиться в VI классе, изложена в статье Г. М. Карпенко („Математика в школе“ № 6, 1949 г.). Однако это предложение многими педагогами не разделяется

на том основании, что определение функции и введение надлежащей терминологии считаются преждевременными и не соответствующими возрастным возможностям учащихся VI класса.

Предложение о введении определения понятия функции и функциональной терминологии в VII классе с соответствующей мотивировкой изложено в статье А. С. Сухорослова.

Весьма распространена среди учителей и методистов точка зрения, согласно которой введение (в явном виде) определения понятия функции и соответствующей терминологии в V—VII классах считается преждевременным, однако это не может служить препятствием к развитию функционального мышления учащихся младших классов. Средства развития функционального мышления многообразны: рассмотрение изменения результатов арифметических действий при изменении компонентов, решение задач одинаковых по содержанию, но с различными данными, прямая и обратная пропорциональность, вычисление значений выражений при различных звачениях содержащихся в них букв, построение диаграмм и графиков, устные упражнения на исследование несложных алгебраических выражений и т. д. При этом предполагается, что учитель, не выставляя понятие функции в качестве объекта специального изучения и не пользуясь функциональной терминологией, фиксирует внимание учащихся на изменении одних величин в зависимости от других.

В. М. Брадис совершенно справедливо отметил, что „...во всем вопросе о функциональной пропедевтике много спорного, начиная с основного: нужна ли такая пропедевтика в VI и VII классах“ (см. Методика преподавания математики в средней школе“, гл. V, § 25).

Сторонники функциональной пропедевтики считают ее плодотворной, поскольку она создает базу для твердого усвоения понятия функции в дальнейшем, является средством борьбы с формализмом, приучает учащихся к функциональной трактовке различных вопросов школьного курса (например, учение об уравнениях, о тождественных преобразованиях). Однако, нельзя не отметить, что неумеренное увлечение практически непроверенными точками зрения заключает в себе большую опасность. Так, в частности и функциональная пропедевтика при неумелом ее применении может из прогрессивного и плодотворного мероприятия превратиться в уродливую крайность.

В настоящее время в педагогической литературе (в книгах и журнальных статьях) разрабатываются конкретные методические мероприятия в виде системы упражнений, имеющих функциональное содержание. Дальнейшая разработка этих упражнений, проверка их на практике с последующим обсуждением результатов, должна явиться одной из важных методических проблем на ближайшее будущее.

Вместе с этим существует точка зрения, согласно которой функциональная пропедевтика в младших классах должна быть существенно ограничена или даже избегаема.

В пользу ограничения функциональной пропедевтики высказываются следующие соображения. Курс математики V—VII классов насыщен важными понятиями, новыми для учащихся: буквенные выражения, положительные и отрицательные числа, понятие уравнения, решение и составление уравнений и т. д.; мы не говорим уже о курсе геометрии, который для своего усвоения требует напряженного труда. Кроме того, в младших классах закладываются основы математических навыков (тождественные преобразования, решение линейных уравнений и т. п.), без которых невозможно успешное изучение математики в последующих классах. Противники функциональной пропедевтики считают, что не следует перегружать курс младших классов, и без того трудный, благодаря обилию новых для учащихся идей. Следует в порядке постепенного преодоления трудностей в младших классах твердо усвоить „математику постоянных величин“, поэтому буквы в алгебраических выражениях (на данном этапе изучения математики) следует рассматривать как „постоянные“ числа, но не как „переменные“ буквы-аргументы, или параметры. Далее указывается, что математические навыки в вычислениях и в тождественных преобразованиях не могут быть принесены в жертву функциональной пропедевтике.

Итак, точка зрения противников функциональной пропедевтики может быть сформулирована так: в младших классах учащиеся должны усвоить „математику постоянных величин“ и получить твердые математические навыки, что создает надежную базу для дальнейшего изучения математики (и в частности учения о функциях) в старших классах, функциональная же пропедевтика является излишним концентром, мешающим овладению основным программным материалом V—VII классов.

Из числа конкретных мероприятий, относящихся к функциональной пропедевтике, наиболее дискуссионным является вопрос о построении графика линейной функции y=kx+b и о графической интерпретации решения системы линейных уравнений. Сторонники данного мероприятия считают необходимым и плодотворным знакомство с графиком простейшей

функции у = kx + b, играющей весьма важную роль как в самой математике, так и в различных ее приложениях. Графическая интерпретация делает наглядным решение и исследование линейной системы уравнений и воспитывает навыки в применении геометрических и графических интерпретаций. Все это имеет весьма важное политехническое значение.

Вместе с тем существует и другая точка зрения, сторонники которой выставляют следующие доводы. Овладение построением графиков даже линейных функций требует (для данного возраста) большой затраты труда. Эта затрата не оправдывается результатами, так как обосновать прямолинейность графика функции у = kx + b в младших классах не представляется возможным. В старших же классах создается дополнительная трудность, связанная с необходимостью переубеждать учащихся в том, в чем они убедились прежде. Так, в данном случае придется объяснять учащимся, что убеждение в прямолинейности графика, полученное эмпирически в VII классе, не является еще настоящим доказательством. Необходимость создания такого концентра (в особенности теперь при переходе ко всеобщему десятилетнему обучению) встречает возражения. Сторонники последней точки зрения считают, что самое большее, чем следует ограничиться в VI—VII классах, это научиться строить эмпирические графики и диаграммы (например диаграммы роста выработки продукции, график температур и т. п.)

В течение ряда последних лет программой VII класса предусмотрено построение графиков линейных функций (с числовыми коэффициентами) и графическая интерпретация решения линейных систем уравнений. В настоящее время имеется полная возможность поставить на всестороннее критическое обсуждение опыт работы школы за последние годы, которое и покажет в какой мере оправдало себя на практике данное мероприятие.

Надо надеяться, что разработка конкретных методических мероприятий, относящихся к функциональной пропедевтике, проверка их на практике с последующим обсуждением результатов позволит сделать определенные методические выводы и избежать крайностей, одна из которых заключается в чрезмерном увлечении функциональной пропедевтикой, а другая в полном ее отрицании.

Одним из наиболее дискуссионных является следующий вопрос: на какой основе следует дать определение понятия функции (что предусмотрено ныне действующей программой в VIII классе)? Здесь намечаются следующие две точки зрения: согласно первой за основу следует принять понятия множества и соответствия, согласно второй за основу следует принять понятие переменной величины. Обстоятельная аргументация в пользу первой точки зрения приведена в статье Ф. В. Томашевича, а в пользу второй точки зрения в статьях Ф. Ф. Нагибина и В. Т. Кузнецова; отсылая читателя к этим статьям, мы ограничимся лишь некоторыми разъяснениями.

Многими педагогами высказывается следующее возражение против первой точки зрения: изложение учения о функциях на базе понятий множества и соответствия требует введения в школьный курс элементов теории множеств, что программой не предусмотрено и что вызовет у учащихся трудности.

Существует также мнение, согласно которому основные понятия теории множеств как важнейшей современной математической дисциплины, должны стать объектом специального изучения в школьном курсе.

Вопрос о введении элементов теории множеств в школьный курс имеет самостоятельное значение, он должен явиться предметом специального обсуждения и его не следует непосредственно связывать с учением о функциях. Было бы глубокой ошибкой думать, что современному школьному курсу чужды теоретико-множественные понятия. Так, например, уже в VI классе говорят о геометрическом месте точек как о „совокупности точек...“ Но ведь термины „совокупность“ и „множество“—суть синонимы. С тем же успехом определение можно было бы начать словами „Геометрическим местом точек называется множество точек,...“ Здесь слова „совокупность“ или „множество“ обозначают первоначальное понятие, смысл которого ясен для учащихся и с которым мы оперируем, не делая его объектом специального изучения. Отсюда представляется естественным следующий вывод: привлекать простейшие теоретико-множественные понятия еще вовсе не значит вводить в школьный курс элементы теории множеств в качестве специальной темы. То же самое следует сказать о понятии соответствия. Этим понятием мы пользуемся весьма часто в традиционном школьном курсе (например, каждому многоугольнику соответствует число — его площадь).

Обвинение в адрес сторонников первой точки зрения, что якобы, встав на теоретико-множественную основу, они изгоняют понятие переменной величины — ошибочно. В самом деле, общее понятие функции не исключает, а включает в себя, как частный случай, понятие переменной величины. При изучении математическими средствами различных зависи-

мостей между конкретными величинами именно и рассматривают соответствие их численных значений, отвлекаясь от их физических качеств. Поэтому сторонники первой точки зрения не видят основания для введения в математику „универсального аргумента“ переменных величин — „времени“.

Ф. В. Томашевич в пользу первой точки зрения приводит следующий аргумент: понятие соответствия между элементами двух множеств, т. е. общее понятие функции, является не только наиболее общим, но и наиболее простым. Легко привести примеры, показывающие, что в школьном курсе математики общее понятие функции находит многочисленные конкретные реализации. Конкретными интерпретациями общего понятия функции могут служить многоугольник (аргумент) и его площадь (функция), точка (аргумент) и ее проекция (функция), пара чисел (аргумент) и соответствующая точка плоскости (функция), угол (аргумент) и его тригонометрические функции и т. п. Таким образом, вывод, к которому приходит Ф. Ф. Нагибин: „Законно поэтому сделать вывод, что даже в теории функций общее, абстрактное определение функции не находит или почти не находит применений“, нельзя признать точно отражающим истинное положение вещей. Сущность дела заключается в том, что в различных математических дисциплинах изучаются те или иные частные классы функций, тогда как общее понятие функции оказывается настолько обедненным общими свойствами, что „почти не существует теорем, относящихся к этому общему определению функции“ (акад. Н. Н. Лузин).

Сторонники второй точки зрения считают, что в основу определения функции следует положить понятие переменной величины. Это предложение мотивируется тем, что понятие переменной величины конкретно, „динамично“, легко воспринимается учащимися (подробную аргументацию см. в статьях Ф. Ф. Нагибина и В. Т. Кузнецова).

Надо заметить, что существует и „промежуточная“ точка зрения, сторонники которой считают целесообразным дать определение понятия функции, как соответствия между элементами двух числовых (а не произвольных) множеств. К сказанному надо добавить, что и авторы различных курсов математического анализа придерживаются различных точек зрения.

Надо полагать, что решение изложенных дискуссионных вопросов возможно на базе серьезной экспериментальной работы с последующим обсуждением ее результатов.

Наконец, следует внести ясность в постановку вопроса о многозначной функции. Сложилось даже такое мнение, что, якобы, некоторые математики признают, а другие не признают существования (?) многозначных функций. Ф. Ф. Нагибин в своей статье рекомендует такое изложение учения о функциях, которое „отвергает (курсив наш. — С. Н.) их многозначность“. Такое мнение основано на явном недоразумении. Понятие многозначной функции является научным и весьма важным в ряде математических дисциплин (например, в теории аналитических функций). Таким образом, никто не покушается „отвергать“ многозначные функции. Дискуссионным является вопрос о том, следует ли вводить понятие многозначной функции в курс средней школы.

Здесь существуют две точки зрения. Сторонники первой точки зрения считают, что поскольку понятие многозначной функции имеет применение в науке, оно должно найти место и в школьном курсе (подробную аргументацию см. в статье Ф. В. Томашевича). Сторонники другой точки зрения считают, что поскольку понятие многозначной функции не находит действенного применения не только в элементарной математике, но и в общем курсе анализа, его не целесообразно вводить в школьный курс. Следует разгружать школьную программу от вопросов, не получающих видимых учащимися перспектив плодотворного развития. Сравнительно небольшое число лиц из оканчивающих среднюю школу, которым придется изучать, например, теорию аналитических функций, без труда (когда это станет нужным) усвоят понятие многозначной функции на базе прочных знаний основ науки, полученных в школе.

В заключение остановимся на сравнительно мелком терминологическом вопросе. Следует ли вводить два термина „область определения“ и „область существования“ функции (подробности см. в статье Ф. В. Томашевича)? Вряд ли можно признать целесообразным введение этих двух терминов, так как можно условиться в случае, когда функция задана формулой без указания области ее определения, считать, что областью определения является множество всех значений аргумента (или систем значений аргументов), при которых данная формула имеет смысл.

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К НОВОМУ СБОРНИКУ ЗАДАЧ ПО АРИФМЕТИКЕ ДЛЯ V—VI КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

С. А. ПОНОМАРЕВ и Н. И. СЫРНЕВ (Москва)

Сборник задач по арифметике должен удовлетворять следующим основным требованиям:

1. Соответствие содержания сборника утвержденной программе по арифметике.

2. Обеспечение надлежащего идейно-теоретического и научного уровня содержания книги, выражающегося в последовательном развитии основных математических понятий и идейной направленности тематики задач.

3. Отражение в сборнике вопросов политехнического обучения (практические работы, повышение вычислительной техники, использование таблиц, диаграмм, русских счетов, промышленная и сельскохозяйственная тематика многих задач и др.).

4. Соответствие числа упражнений и задач отводимому по программе времени.

5. Преемственность содержания нового задачника по отношению к знаниям учащихся, полученным ими в начальной школе.

6. Наличие повторительных отделов для V и VI классов.

7. Наличие дублирующих задач по новым и сложным вопросам программы.

8. Наличие необходимого иллюстративного материала.

9. Соответствие языка сборника и тематики задач возрастным особенностям учащихся.

Скажем кратко о реализации в новом сборнике задач по арифметике некоторых из указанных требований.

В V классе курс арифметики начинается с повторения натуральных чисел, пройденных в начальной школе.

Материал в задачнике по первой теме (повторение пройденного в начальной школе) подобран и расположен так, чтобы при его повторении и систематизации учащиеся отчетливо и сознательно овладели соответствующей терминологией и умели бы обосновывать свои выводы.

При действиях над натуральными числами авторы стремились дать материал для возможно широкого применения русских счетов.

В целях лучшего усвоения процентов программа требует ознакомления с процентами уже при прохождении обыкновенных дробей. В задачнике понятие о нахождении процента от данного числа дается при изучении умножения дробей, о нахождении числа по данному его проценту — при делении дробей и о нахождении процентного отношения — при ознакомлении с отношением двух чисел, причем процентное отношение рассматривается только для простейших случаев

Понятие о числовом масштабе рекомендуется дать учащимся при прохождении обыкновенных дробей. В сборнике это понятие раскрывается на ряде конкретных задач.

Программа уделяет особое внимание решению задач с геометрическим содержанием, поэтому в задачнике значительное место отводится этим задачам. Так как обоснование формул для нахождения длин, площадей и объемов геометрических фигур отсутствует в учебнике арифметики Киселева, то авторы были вынуждены эти обоснования поместить в сборнике, конечно, с доступной для понимания учащимися V класса степенью строгости изложения.

Решение задач с геометрическим содержанием имеет целью: а) расширить круг вопросов и задач, содержание которых заимствуется из повседневной жизни и b) сообщить учащимся достаточный запас геометрических образов и понятий.

Согласно требованиям программы в задачнике особое внимание уделено рассмотрению зависимости между величинами, чем подготовляется основа для лучшего осознания идеи функциональной зависимости при изучении последующего курса математики.

В целях соблюдения преемственности между содержанием сборника и знаниями учащихся, полученными ими в начальной школе, вводятся упражнения, опирающиеся на эту систему знаний. В первую очередь эти упражнения закрепляют полученные знания, затем расширяют их.

Авторы стремились провести принцип разнообразия упражнений, так как „торможение восприятия от однообразия“, о котором говорил И. П. Павлов, наступает в том случае, если раздражители в течение длительного периода носят монотонный характер.

В целях повышения культуры вычислений приводится значительное число упражнений, в которых ставится требование не просто выполнить вычисление, а выполнить его наиболее рациональным способом. Этим самым

осознаются и закрепляются законы арифметических действий.

В целях борьбы с формализмом знаний, при прохождении нового материала в сборнике широко используются наглядность и практическая иллюстрация понятий или операций. Иллюстрация используется не только при решении задач, но и при раскрытии происхождения дроби и при операциях с дробями. Большое внимание в задачнике уделяется устным вычислениям. Упражнения на устные вычисления в задачнике имеются во всех разделах.

В задачнике использован принцип дублирования задач по новым и сложным вопросам программы. В большинстве своем задачи-дубликаты, являясь одинаковыми по математическому содержанию, резко отличаются друг от друга по сюжету. Задачи-дубликаты способствуют развитию у учащихся умения распознавать одинаковую математическую структуру за различной внешней оболочкой.

Наличие повторительных отделов в конце материала для каждого года должно содействовать укреплению и углублению проходимого материала.

Остановимся подробнее на содержании некоторых разделов сборника.

Повторение пройденного в начальной школе. В первой главе задачника, посвященной повторению пройденного в начальной школе, помещены упражнения, обеспечивающие повторение и обобщение основных понятий программы начальной школы.

Повторение начинается с устной и письменной нумерации, причем здесь же используются русские счеты. В связи с нумерацией даны упражнения на сравнение чисел по величине, дано правило округления целых чисел, которого нет в учебнике, и приведены соответствующие упражнения.

Небольшое место уделено римской нумерации, с которой учащимся придется иногда встречаться в жизни.

Следующая группа упражнений посвящена повторению метрической системы мер, которую учащиеся начальной школы, как показывает опыт работы многих учителей, усваивают недостаточно прочно. В последующих параграфах дан ряд соответствующих примеров и задач.

В разделе сложения целых чисел уделено внимание устным вычислениям, вычислениям на счетах, действиям с нулем. Здесь же даны упражнения на применение переместительного и сочетательного законов и упражнения на изменение суммы при изменении слагаемых.

Приведены задачи, решаемые действием сложения, даны задачи на составление простейших смет. Подобным же образом подобран материал на вычитание целых чисел.

В разделе умножения целых чисел приведена таблица умножения на двузначное число и дано упражнение на составление такой же таблицы самими учащимися. Такого рода таблицы широко используются в современной вычислительной практике. Упражнения на деление целых чисел подобраны по тем же принципам, что и на первые три действия.

Глава заканчивается примерами и задачами на все действия. В примерах достаточно много упражнений и на порядок действий, и на применение скобок, и на действия с нулем и единицей.

Задачи расположены в определенной системе, причем каждая задача дублирована задачей, такой же по математической структуре, но отличной по содержанию. К некоторым задачам даны рисунки и графическое изображение условий задачи. Опыт показывает, что графическое изображение условия задачи облегчает понимание задачи и дает возможность наглядно представить способ ее решения. Этот прием следует широко применять при решении многих задач.

В сборнике имеются задачи практического характера (составление более сложных смет, построение диаграмм и т. д.). В конце приведена лабораторная работа на провешивание прямой линии на местности.

Вторая глава посвящена делимости чисел. Упражнения здесь расположены так, что учащиеся могут самостоятельно сделать многие выводы теоретического характера (признак делимости суммы и разности и т. д.) и закрепить их. Может показаться, что общее число упражнений в этой главе не вполне соответствует числу отводимых по программе часов и у учителя останется свободное время. Однако опыт работы некоторых учителей показывает, что при прохождении темы „Делимость чисел“ необходимо продолжать решение задач на все действия с целыми числами на каждом почти уроке и делать это до тех пор, пока не появится возможность решения простейших задач с дробными числами. Такие задачи учитель всегда может взять из первой главы, где каждая задача дублирована, и все учебное время будет вполне обеспечено упражнениями, помещенными в задачнике.

Обыкновенные дроби. Учение о дробях является главным в содержании курса арифметики V класса.

Идейное содержание учения об обыкновенных дробях (небольшое по объему) восприни-

мается учащимися с большим трудом, а потому остановимся несколько более подробно, в отличие от описания других глав, на изложении этого вопроса в задачнике.

На прохождение дробей программа по арифметике отводит достаточно времени: 90 часов на обыкновенные дроби, 50 часов на десятичные дроби, 12 часов на повторение и б часов на практические работы, т. е. всего 158 часов. Этого времени достаточно для обеспечения сознательного и прочного усвоения теории и приобретения практических навыков.

Ученики приходят в V класс, уже имея первые сведения о простейших дробях (4~> Т' 1Г' 4~* Представление о дроби у них создано в процессе решения задач с конкретным содержанием, когда, например, учащиеся на уроке разрезают бумажные ленты, кружочки и т. д. на 2, 3, 4 и 5 равных долей и составляют из этих долей разные совокупности. Такой подход — от конкретного к абстрактному понятию — должен быть соблюден и при переходе к систематическому изучению дробей.

Прежде всего учащиеся должны отчетливо уяснить, что является источником получения дробей. Первые упражнения (201 — 211) в § 9 „Основные понятия“ имеют целью выработать у учащихся понятие об обыкновенной дроби и уяснить, что источником получения дробей является или измерение величин, или деление одного целого числа на другое.

Приведем некоторые из этих упражнений.

201. 1) Толщина 5 витков проволоки равна 1 мм. Найти толщину проволоки (рис. 13).

Примечание. На рисунке 13 показано, как с помощью лупы находят толщину пяти витков проволоки.

2) 280 страниц книги имеют толщину 15 мм. Найти толщину одного листа книги.

202. 1) Какую долю прямоугольника составляет заштрихованная часть (рис. 14).

Примечание. На рисунке 14 изображены 4 прямоугольника, каждый из которых разделен на несколько равных частей и некоторые из этих частей заштрихованы.

203. 1) С помощью линейки измерьте длину и ширину тетради. Результаты измерений запишите в сантиметрах.

2) Измерьте длину и ширину переплета данной книги. Результаты запишите в сантиметрах.

205. 1) Отрезок прямой АЕ (рис. 15) разделен на пять равных частей: АБ, БВ, ВГ, ГД и ДЕ. Какую часть всей длины отрезка АЕ составляет каждый из отрезков АБ, AB, АГ, АД и АЕ?

2) Начертите отрезок прямой длиной в 1 см. Разделите его на четыре равные части и укажите отрезок, равный половине длины отрезка, трем четвертям всей длины отрезка.

На наш взгляд, полезной и доступной для понимания учащихся будет следующая задача, дающая понятие о числовом луче, хотя программой средней школы это и не предусматривается.

218. На рисунке 16 изображен числовой луч. Начало луча отмечено цифрой 0. Вправо от точки 0 отложены равные отрезки. Точки, обозначенные цифрами 1, 2, 3, 4, 5,... соответствуют числам один, два, три, четыре и т. д.

1) Нарисуйте в тетрадях числовой луч и отметьте на нем точки, которые соответствуют числам: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10.

2) Отметьте на этом числовом луче точки, соответствующие числам:

Крайне важно, чтобы учащиеся понимали нахождение части целого в различной постановке вопроса. Приведем пример.

219. 1) После осушения болота пахотная земля колхоза увеличилась на -~ своей величины. Какую часть пахотных земель колхоза составляет теперь осушенный участок (рис. 17).

Примечание. На рисунке 17 с помощью штриховки изображена пахотная земля до присоединения к ней осушенного участка и после присоединения. С помощью рисунка учащиеся легко приходят к ответу, что осушенный участок составляет Д- всей пахотной земли.

Переходя к классификации дробей, учитель должен установить и сформулировать отличительные признаки правильных и неправильных дробей и научить учащихся преобразованию дробей (неправильные в смешанные, и обратно). Все указанные понятия, классификация дробей и их преобразования в задачнике иллюстрируются с помощью рисунков.

Далее, переходя к сравнению дробей по величине, следует отметить, что учащиеся уже из начальной школы имеют прочные навыки сравнения двух чисел. При сравнении дробей по величине учащиеся не могут понять основной критерий сравнения дробей: дроби и равные, если ad = bc и -у-, если ad > be, а поэтому сравнение дробей изучают постепенно в следующей последовательности: 1) сравнение двух и нескольких дробей с равными знаменателями

2) Сравнение двух и нескольких дробей с равными числителями

3) Изменение величины дроби при изменении ее числителя.

4) Изменение величины дроби при изменении ее знаменателя.

5) Одновременное изменение числителя и знаменателя дроби.

6) Основное свойство дроби и сокращение дробей.

7) Сравнение дробей с разными знаменателями.

В такой последовательности расположены и упражнения в задачнике.

Большую помощь в прочном и сознательном усвоении этих понятий оказывает графическая иллюстрация, и поэтому в задачнике каждый из указанных этапов иллюстрируется с помощью отрезков. Графические иллюстрации помогают создавать у учащихся отчетливые представления о сравнительной величине дробей.

Вопросы к рисункам поставлены так, что они не просто иллюстрируют то или другое положение, а заставляют искать пути решения задачи, заставляют самого ученика делать необходимый вывод. Приведем некоторые из этих вопросов.

235. На рисунке 20 изображены дроби с одинаковыми знаменателями. Какая из дробей больше? Сформулируйте правило сравнения по величине дробей с одинаковыми знаменателями.

248. 1) Три равные отрезка разделены: один на 2, другой на 6, третий на 12 равных частей.

Во сколько раз ~- больше -i-? больше (рис. 23).

251. 1) На рисунке 25 изображены две дроби: -g- и Какая дробь больше и во сколько раз? Как получена дробь +из дроби -g-?

274. На рисунке 26 изображены дроби -g- и -у . Почему эти дроби равны?

Сокращение дробей не встречает затруднения у учащихся, но они весьма редко при сокращении дроби применяют деление членов дроби на их НОД. Конечно, способ последовательного сокращения понятен каждому ученику, но показать применение НОД при сокращении необходимо. Это нетрудно сделать, обязав учеников решить этим способом № 276 (3 и 4).

Сложение и вычитание дробей. Теория действий сложения и вычитания обыкновенных дробей не содержит никаких новых идей, так как сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями тождественно сложению и вычитанию именованных чисел: равенство

читается: 2 седьмых и 3 седьмых равно 5 седьмых.

В целях лучшего уяснения правила сложения дробей с разными знаменателями в задачнике приводится задача № 297 с графической иллюстрацией. Наряду с обычными упражнениями на сложение и вычитание дробей, в задачнике имеется достаточное число упражнений на использование законов и свойств суммы и разности. Приведем вопросы некоторых упражнений на использование свойств суммы и разности.

304. Сложить следующие числа, применяя наиболее удобные приемы вычислений. (Далее приводятся 5 примеров.)

306—307. Выполнить сложение и сделать проверку, сложив те же слагаемые в другом порядке (приводятся примеры).

308. Проверить справедливость следующих равенств и сформулировать выраженные этими равенствами законы сложения (приводятся примеры).

337. Вычислить двумя способами (в упражнении приводятся несколько примеров на вычитание из суммы дробей, вычитание суммы дробей и вычитание разности дробей). Приводятся примеры (№ 335, 336) на вычитание смешанных чисел, когда один из компонентов — вычитаемое — дополняется до целого числа, например:

После примеров на нахождение х из записанных равенств (№ 354) даются упражнения на нахождение неизвестного из словесного текста.

Далее приводятся упражнения, в которых требуется определить характер изменения суммы или разности дробей в зависимости от изменения того или иного компонента.

Задача „Катер по течению проходит а км в час, а против течения b км. Какова скорость течения реки?“ обычно встречает затруднения у учащихся, а потому прежде чем решить ее следует дать подготовительную задачу с графической иллюстрацией (№ 363).

Умножение дробей. В задачнике эта тема начинается с умножения дроби на целое число, так как по существу учащиеся знакомы с изменением величины дроби при кратном изменении ее членов.

Вопрос об изложении умножения числа на дробь является труднейшим в курсе арифме-

тики, и, как известно, существуют различные взгляды на изложение его в школе. В задачнике дается ряд подобранных задач с конкретным содержанием, требующих умножения числа (целого или дробного) на правильную дробь, и в процессе решения этих задач выясняется смысл умножения на правильную дробь и техника выполнения этого действия.

В целях рационализации вычислений приводятся упражнения на применение законов умножения: переместительного, сочетательного и распределительного.

Умножая смешанное число на целое, обычно учащиеся обращают смешанное число в неправильную дробь. Это весьма осложняет вычисления в сравнении с умножением следующим приемом:

Поэтому в задачнике приводятся упражнения, в которых требуется выполнить умножение смешанного числа на целое или двумя способами, или одним наиболее выгодным.

Приведем формулировку вопросов в упражнениях на законы умножения.

383. Увеличить 3-^- в 6 раз, выполнив умножение двумя способами: 1) обратив 3-^- в неправильную дробь; 2) использовав распределительный закон умножения.

384. Выполнить умножение двумя способами (приводятся примеры).

392. Выполнить умножение, взяв сомножители в том порядке, как они записаны; затем, соединив сомножители в группы наиболее удобным для умножения способом, снова выполнить умножение. Какие законы умножения вы применяли? (Приводятся несколько примеров.)

Упражнения № 388, 389 способствуют сознательному усвоению учащимися трудного для них вопроса, в каких случаях и почему при умножении числа на дробь получится число: 1) меньшее множимого, 2) равное множимому и 3) большее множимого.

В разделе дробей помещены также примеры на особые случаи умножения

Упражнения на нахождение процентов числа, как это требует программа, помещены в конце темы умножения дробей (№ 398—405).

Деление дробей. В множестве натуральных чисел действие деления, изучаемое в начальной школе, дается значительно труднее, чем умножения, а в множестве дробных чисел оно требует значительно меньше усилий и времени для изучения. Упражнения в задачнике расположены в обычной последовательности:

1. Деление дроби на целое число.

2. Нахождение числа по данной его дроби.

3. Деление числа на дробь.

В заключение темы даны упражнения на нахождение числа по данным его процентам.

Понятие числа, обратного данному, является важным понятием в математике, а поэтому в задачнике приводятся упражнения на нахождение чисел, обратных данным, и на выполнение деления путем замены его умножением на обратное делителю число (№ 462, 463). На зависимость между компонентами действий умножения и деления приводится ряд упражнений, которые заканчиваются следующим:

468. 1) К какому числу надо прибавить 1у, чтобы получить удвоенное взятое число?

Отношение двух чисел. Масштаб. Понятие „отношение“ играет большую роль в математике. Учащиеся еще в начальной школе решают задачи, в которых ставится вопрос о сравнении однородных величин или о сравнении чисел. Поэтому и естественно, что деление дробей должно завершаться изучением понятия отношения.

В задачнике приводятся упражнения на нахождение отношения чисел, нахождение неизвестных членов отношения, процентное отношение и даются упражнения на практические приложения этих понятий. Приведем некоторые из них.

477. 1) Из шестеренок, имеющих 8; 10; 12; 20; 24; 40 зубцов, подобрать такие пары, чтобы отношение чисел их зубцов было равно:

487. 1) Каким отрезком на топографической карте изобразится Волго-Донской канал, имеющий длину 101 км, если масштаб карты щщ^?

Последней темой главы „Обыкновенные дроби“ является решение задач и примеров на все действия с обыкновенными дробями. Если в предыдущих темах этой главы задачи в подавляющем большинстве были простые, т. е. решаемые одним действием, то в последней теме собраны задачи исключительно составные. Задачи в этой теме расположены в задачнике по методу их решения. Из так называемых „типовых“ задач задачник дает группы задач, требуемых программой, а именно:

1) задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности;

2) задачи на нахождение двух чисел по их сумме и отношению;

3) задачи на нахождение двух чисел по их разности и отношению и, наконец,

4) задачи, решаемые исключением одного из неизвестных способом его замены.

Последний „тип“ (4) задачи в свою очередь можно подразделить на 3 вида.

537. 2) Турист проехал 435 км за 14-g- часа. б-i часов он ехал автобусом, а остальное время пароходом. Определить скорость движения автобуса и парохода, если пароход проходил в час на 19 км меньше автобуса.

539. 1) Два трактора различной мощности вспахали вместе 246 га целины. Более мощный трактор работал 15 дней, а другой 12 дней, причем первый трактор вспахивал в день в 1+ раза больше, чем второй. Сколько гектаров земли вспахивал каждый трактор за один день?

543. 3) На выкачке воды из котлована работают два насоса. Первый насос выкачивает 60-^- куб. м воды в час, а второй 90-^- куб. м.

Сколько часов работал каждый насос, если, действуя один после другого, они выкачивали за 8 часов 544 куб. м воды?

Среди задач средней трудности помещено несколько задач повышенной трудности (отмечены звездочками). Они предназначаются для использования в кружковой работе.

В конце главы об обыкновенных дробях помещена группа задач с геометрическим содержанием на нахождение площадей прямоугольника, поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда.

Десятичные дроби. Действия с десятичными дробями по существу не представляют ничего нового по сравнению с действиями над обыкновенными дробями и только требуют от учащихся знания нескольких правил, имеющих чисто технический характер.

В задачнике приводятся упражнения на изменение дробей на все действия с десятичными дробями, причем в примерах на сложение и вычитание десятичных дробей требуется проверка с помощью русских счетов.

Учитывая необходимость ознакомления учащихся с некоторыми старыми русскими мерами, в задачнике помещены упражнения на перевод старых русских мер в метрические с использованием таблицы IV, помещенной в задачнике. Задачи на все действия с десятичными дробями в зависимости от их математического содержания приводятся группами.

В задачах на нахождение длины окружности, площади круга требуется полученные ответы проверить по таблицам II и III, помещенным в задачнике.

В этой главе приведено несколько лабораторных работ по темам: „Измерение расстояния между двумя точками“, „Вычисление отношения длины окружности к своему диаметру“ и „Нахождение площади круга“.

В отделе „Примеры и задачи на все действия с обыкновенными и десятичными дробями“, а также и в главе V „Повторительный отдел“ примеры и задачи сознательно не систематизированы.

Проценты. Глава о процентах содержит упражнения на три основные типа задач: 1) нахождение процентов данного числа, 2) нахождение числа по его процентам и 3) нахождение процентного отношения двух чисел. Затем приведены смешанные задачи и задачи более трудные.

Следует обратить внимание на процентный транспортир, изготовить его и использовать при построении секторных диаграмм.

При решении некоторых задач следует использовать таблицу для нахождения нескольких процентов числа. Другие виды таблиц для процентных вычислений поместить в конце задачника было невозможно из-за значительного их объема, но учитель при желании может показать принцип составления таких таблиц.

В задачах на процентное отношение учащиеся получают представление об абсолютной и относительной погрешности, причем дано это в доступной форме.

Приводим задачу 1005. 2) Отметьте на листе бумаги две точки так, чтобы расстояние между ними на глаз равнялось 10 см. Измерьте это расстояние линейкой. Какую погрешность вы допустили при измерении на глаз? Какую часть составляет погрешность от 10 см (так называемая относительная погрешность)? Выразите ее в процентах.

Таким образом учащиеся сравнивают свой глазомер с глазомером товарищей. Это упражнение всегда вызывает большой интерес. Здесь же помещены и другие подобные упражнения. Ряд задач носит практический характер и показывает применение процентных расчетов в жизни.

Пропорции и пропорциональность величин.

Глава о пропорциях, прямой и обратной пропорциональности величин начинается с повторения отношений. В приведенных задачах показано использование отношений на практике (всхожесть семян, концентрация раствора, крутизна лестницы или склона). Особенное внимание обращено на численный масштаб. Среди ряда задач приведены задачи и на линейный

масштаб, так как на практике оба масштаба встречаются одновременно.

При рассмотрении прямой пропорциональности приведен ряд задач, решение которых должно подготовить учащихся к более глубокому пониманию функциональной зависимости вообще. В этих задачах выявляется идея соответствия между двумя множествами чисел. В последующих задачах выясняется различие между прямой пропорциональностью и возрастающей функцией, между обратной пропорциональностью и убывающей функцией (что очень часто смешивают учащиеся).

Первые задачи на прямую и обратную пропорциональность отделены друг от друга, но в дальнейшем эти задачи смешаны, что потребует от учащихся умения определять вид зависимости. Выделена небольшая группа задач на изменение величин в данном отношении. Задачи на сложное тройное правило носят практический характер.

Глава заканчивается примерами н упражнениями на пропорциональное деление и основными задачами на смешение.

Примеры и задачи, помещенные в общем отделе, позволяют повторить основные вопросы по всему курсу арифметики. Задачи в общем отделе не систематизированы, что методически более правильно, так как задачник предназначен для учащихся.

От редакции. В настоящем 1954 году Министерством просвещения РСФСР утвержден новый сборник задач по арифметике для V и VI классов авторов С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева.

Редакция журнала «Математика в школе» обратилась к авторам с просьбой познакомить читателей журнала со структурой и характерными особенностями нового сборника. В ответ на обращение редакции авторами сборника и была написана настоящая статья.

Все замечания и пожелания по данному сборнику задач просьба направлять по адресу: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, Редакция (книжная) математики.

О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В V КЛАССАХ В 1954/55 УЧЕБНОМ ГОДУ

(К августовским совещаниям)

В свете решений, принятых XIX съездом КПСС, о переходе от семилетнего образования на всеобщее среднее образование (десятилетка) и об осуществлении политехнического обучения Министерство просвещения РСФСР внесло ряд изменений в учебные планы и программы средней школы.

В частности, изменения были внесены в программы по математике.

В осуществлении задач политехнического обучения повышение уровня математической подготовки учащихся приобретает громадное значение. Действительно, для дальнейшего роста нашей страны с ее высокоразвитой промышленностью и крупнейшим в мире сельским хозяйством, оснащенными передовой техникой, сознательное и прочное усвоение математики, являющейся базой техники, играет особо важную роль.

В связи с этим по новому учебному плану на изучение математики отводится во всех классах, кроме VI, по шести недельных часов, а в VI классе — семь недельных часов, что составляет около 20% всего учебного времени.

В 1954/55 учебном году преподавание математики в V классе переводится на новую программу. Все остальные классы (VI—X) продолжают работать по прежней программе.

Опыт работы школ в истекшем году показал, что и по старой программе и старым учебникам учителя математики VI—X классов имеют реальную возможность приступить к осуществлению политехнического обучения в процессе преподавания математики.

Настоящая статья имеет целью осветить вопрос о преподавании математики в наступающем 1954/55 учебном году.

В изучении математики в свете задач политехнического обучения, особенно важное значение приобретает сознательное овладение учащимися основными понятиями, идеями и методами математики и в особенности идеей функции и ее графическим изображением, свободное выполнение формальных операций, приобретение счетных и конструктивных навыков, умение пользоваться различными таблицами, измерительными и чертежными инструментами.

Сознательное и прочное усвоение основ математики может быть достигнуто при непременном осуществлении в процессе преподавания математики связи теории с практикой. В свете задач политехнического обучения эта связь теории с практикой должна осуществляться, во-первых, путем выполнения упражнений, имеющих целью выработать умения и навыки, необходимые для решения практических вопросов, и, во-вторых, путем выполнения самих практических работ, требующих применения математических знаний. Эти работы и упражнения органически связываются с программным материалом и не должны нарушать систематическое изложение курса математики. Так, например, в V классе выполняются упражнения в устном счете, вычисления на счетах, решение задач на определение площадей земельных участков, поверхностей и объемов различных хозяйственных сооружений и т. п.

В VI—X классе изучение математики связывается с упражнениями в построении диаграмм и графиков, с работами по измерениям (определение недоступных расстояний, высот, съемки планов и др.).

Большое практическое значение имеют работы по изготовлению учащимися простейших учебных пособий (таблиц, моделей, иллюстрирующих доказательство теорем и решение задач).

Осуществление задач политехнического обучения должно пойти по линии развития творческих способностей учащихся, развития логического мышления и

пространственного воображения, сообразительности, выработки навыков рационального и самостоятельного выполнения работ, воспитания настойчивости в достижении поставленной цели. Необходимо обращать внимание учащихся на большую культурно-историческую ценность математики, на ее роль в системе наук, на ее применение в технике и практике социалистического строительства.

Важно уделять достаточное внимание сообщению сведений по истории математики, и разъяснять особенности, значение и роль выдающихся математиков нашей родины и представителей советской математической школы.

Успешное осуществление поставленных задач потребует тщательной подготовки учителя к урокам. При планировании работы во всех случаях следует стремиться выдвигать на первое место основные понятия, идеи и избегать перегрузки памяти учащихся большим количеством формул и правил второстепенного значения. Следует избегать громоздких и сложных преобразований и задач, а также задач, требующих особо искусственных приемов. Не имея образовательного значения, такие упражнения могут подорвать веру учащихся в свои силы, создать перегрузку учащихся.

Как уже было сказано выше, в 1954/55 учебном году арифметика в V классе будет преподаваться по новой программе. По новому учебному плану на изучение арифметики в V классе отводится шесть недельных часов, вместо семи по прежнему плану. В связи с этим тема «Проценты» переносится в VI класс.

Программа предусматривает прохождение арифметики в V классе в следующем порядке:

1-я тема «Повторение и систематизация пройденного в первых четырех классах школы» (21 часа);

2-я тема «Делимость чисел» (20 часов);

3-я тема «Обыкновенные дроби» (90 часов);

4-я тема «Десятичные дроби» (50 часов);

5-я тема «Практические работы» (6 часов) и

6-я тема «Повторение» (14 часов).

В основном содержание и объем материала указанных тем не подвергались коренной переработке. Однако следует отметить, что новая программа содержит и ряд изменений. Так, например, в первой теме программа предусматривает выполнение на русских счетах сложения, вычитания и простейших случаев умножения.

В той же теме программа содержит вопросы: 1) запись решения некоторых задач в виде числовой формулы; 2) составление несложной сметы; 3) построение простейших диаграмм.

В объяснительной записке указывается, что при повторении и систематизации учебного материала, пройденного в первых четырех классах школы, следует широко применять законы арифметических действий и следствия из них для рационализации и упрощения вычислений.

Однако при изучении первой темы программы V класса было бы преждевремено требовать от учащихся точной формулировки и заучивания законов и свойств арифметических действий. Это целесообразнее сделать при изучении обыкновенных дробей, где сложение, вычитание, умножение и деление будет изучаться в продолжении длительного периода. При изучении каждого действия над дробными числами будет полная возможность четко сформулировать законы и свойства, относящиеся к каждому арифметическому действию, и распространить их на действия над дробными числами.

В целях лучшего усвоения процентов и более раннего применения их при решении задач ознакомление с процентами вводится в программу сравнительно рано: сначала при изучении обыкновенных дробей, затем при изучении десятичных дробей. Завершается изучение процентов в VI классе в виде специальной темы.

В V классе большое внимание уделяется решению задач с целыми и дробными числами. При подборе и составлении задач рекомендуется шире использовать материал из техники и сельского хозяйства и связывать тематику задач с вопросами социалистического строительства. Заимствуя содержание задач из разных областей жизни, техники и социалистического строительства, следует заботиться о том, чтобы эти вопросы были доступны ученикам V класса.

Объяснительная записка указывает на необходимость также решать задачи с геометрическим содержанием: на вычисление периметров и площадей квадрата, прямоугольника и треугольника, поверхностей и объемов куба и параллелепипеда, длины окружности и площади круга, поверхности и объема цилиндра.

Необходимо прививать учащимся навыки в измерении длин, в вычислении площадей фигур, поверхностей и объемов тел путем применения простейших измерительных инструментов. Такие работы рекомендуется проводить, пользуясь геометрическими моделями, а также определяя на местности площади земельных участков.

В программе имеется специальная тема «Практические работы» и отводится особое время для выполнения измерительных работ на местности. В этой теме перечисляются следующие работы: «Измерение расстояний на местности (мерным шнуром, рулеткой, полевым циркулем, шагами). Глазомерная оценка расстояний. Применение эккера. Построение прямоугольного участка и вычисление его площади. Вычисление площади земельного участка, имеющего формулу четырехугольника».

Объяснительная записка рекомендует не затруднять учащихся решением сложных типовых задач, требующих знания особых приемов; из типовых задач достаточно ограничиться задачами на нахождение двух чисел: 1) по их сумме и разности; 2) по их отношению и сумме (или разности).

Опыт работы в истекшем 1953/54 году показал, что в связи с осуществлением политехнического обучения многие учителя математики обеспечили высокий идейно-теоретический уровень преподавания математики и добились высокой успеваемости учащихся без снижения программных требований.

Лучшие учителя математики достигли значительных успехов в разрешении задачи связи теории с практикой в преподавании математики. Во многих школах учащимися были выполнены практические работы по измерениям на местности, по моделированию, по построению графиков, диаграмм, изготовлению учебно-наглядных пособий, по изучению логарифмической линейки и т. д.

П. А. Ларичев консультант — методист по математике Главного Управления школ Министерства просвещения РСФСР.

ИЗ ОПЫТА

ИЗ ОПЫТА ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

И. М. КИПНИС (Кировоград)

В VI и VII классах учащиеся еще недостаточно знакомы с приемами и методами геометрических доказательств, причем их обычно более всего затрудняют те доказательства, в ходе которых требуется проведение тех или иных вспомогательных линий.

Поэтому я в VI — VII классах обычно предпосылаю каждой теореме, в доказательстве которой применяются вспомогательные линии, специально подобранную для этой теоремы подготовительную задачу.

В старших классах я к этому мероприятию прибегаю значительно реже — только в случаях особо трудных теорем.

Содержание задачи, предназначенной для подготовки учащегося к проведению доказательства определенной теоремы, подбирается так, чтобы решение этой задачи требовало использования именно того фрагмента доказательства этой теоремы, который более всего затрудняет учащихся, причем вспомогательные линии, требуемые доказательством теоремы, вводятся в подготовительную задачу, как данные величины.

Подготовительной задачей обычно служит задача на доказательство, однако тем теоремам, которые представляют собой вывод какой-либо формулы, целесообразнее предпослать подготовительную задачу вычислительного характера.

Приведу в качестве конкретной иллюстрации всего вышесказанного об этом методическом мероприятии последовательный перечень тех теорем курса геометрии VI и VII классов, которым я предпосылаю подготовительные задачи, и для каждой из этих теорем укажу текст соответствующей ей подготовительной задачи.

VI класс

1. Теорема о внешнем угле треугольника.

Задача. В треугольнике ЛВС медиану АК продолжили на расстояние КЕ, равное АК, и точку Е соединили с С. Доказать, что угол ECB равен углу ABC.

2. Теорема о зависимости между углами и сторонами треугольника.

Задача. В треугольнике ABC на большей стороне AB отложен отрезок BD, равный меньшей стороне ВС, и точка С соединена с точкой D. Доказать, что угол ВАС больше угла BCD.

3. Теорема о зависимости между сторонами треугольника.

Задача. В треугольнике ABC сторона AB продолжена за вершину В на расстояние BD, равное ВС, и точка D соединена с точкой С. Доказать, что AD больше АС.

4. Теорема о двух треугольниках, у которых две стороны одного соответственно равны двум сторонам второго, а углы между этими сторонами не равны.

Задача. Внутри угла ВАС треугольника ЛВС проведен отрезок АК, равный AB, и в полученном таким образом угле ВАК. проведена биссектриса AD до пересечения с ВС в точке D. Точка К соединена с точками D и С. Доказать, что

ВС= KD -f DC.

5. Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами.

Задача. Через вершину угла ЛВС проведены две прямые: прямая DDV перпендикулярная к AB, и прямая /<7СР перпендикулярная к ВС. Доказать, что углы ABC и DBK или равны, или в сумме дают 2d.

6. Теорема о сумме внутренних углов треугольника.

Задача. Через вершину внешнего угла BCD треугольника ABC проведена прямая СЕ, параллельная AB. Угол ABC = 70°, а угол ВАС = 42°. Вычислить величину углов ECD, ВСЕ и АСВ.

7. Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника.

Задача. Точка, взятая внутри выпуклого шестиугольника, соединена со всеми его вершинами. Найти сумму тех углов образовавшихся при этом треугольников, которые прилегают к сторонам шестиугольника.

VII класс

1. Теорема о равенстве Противоположных сторон и о равенстве противоположных углов параллелограма.

Задача. Доказать, что диагональ делит параллелограм на два равные треугольника.

2. Теорема о средней линии треугольника.

Задача. В треугольнике ABC середина D стороны AB соединена с серединой Е стороны ВС и из точки Е проведена прямая, параллельная AB, до пересечения с АС в точке К. Сторона DE равна 10 см. Найти сторону АС.

3. Теорема о средней линии трапеции.

Задача. В трапеции ABCD соединены середина Е боковой стороны AB с серединой К боковой стороны CD. Через точки В и К проведена прямая до пересечения с продолжением AD в точке М.

AD — 20 см и ВС= 10 см.

Найти длину отрезков DM и ЕК.

4. Теорема об измерении вписанного угла.

Задача. ВС — диаметр данной окружности, а AB — ее хорда. Угол АОС (точка О — центр этой окружности) равен 70°. Найти угол ABC.

5. Теорема об измерении угла, вершина которого находится внутри круга.

Задача. АЕ и DC—хорды данного круга, пересекающиеся в точке В, находящейся внутри этого круга. Точка А соединена с D. Дуга DmE = 20°, а дуга ЛлС = 280°. Найти величину угла ABC.

6. Теорема о пересечении высот треугольника.

Задача. Через вершины данного треугольника ABC проведены до взаимного пересечения прямые, соответственно параллельные его сторонам. Доказать, что вершины данного треугольника являются серединами сторон треугольника, образованного этими прямыми.

7. Теорема о пересечении медиан треугольника.

Задача. АЕ и BD—-медианы треугольника ABC и К — точка их пересечения, a M и Р — середины отрезков АК и ВК. Доказать, что четырехугольник MPED — параллелограм.

Задачу, предназначаемую для подготовки учащихся к прохождению доказательства определенной теоремы, я либо задаю на дом на тот урок, на котором предполагаю объяснить доказательство этой теоремы, либо, если задача не требует значительной затраты времени, решаю ее с учащимися на уроке непосредственно перед изложением доказательства.

Предварительное усвоение решения подготовительной задачи стимулирует учащихся к активному восприятию объясняемого доказательства. Это дает мне возможность успешно применять аналитический метод изложения доказательств теорем.

Приведу конкретный пример. Пусть в порядке подготовки к прохождению теоремы о внешнем угле треугольника учащимися решена следующая задача:

„Медиану АК треугольника ABC продолжили за сторону ВС на расстояние ЕК, равное АК, и точку Е соединили с точкой С. Доказать, что угол ECB равен углу ABC“.

Начертив на доске треугольник ABC и продолжив его сторону АС для получения внешнего угла BCD, я формулирую теорему о внешнем угле треугольника и, пользуясь буквенными обозначениями полученного рисунка, сокращенно записываю на доске условие и заключение этой теоремы*. Затем, указывая на этот рисунок, спрашиваю учащихся, какой вывод о внешнем угле треугольника мы могли бы сделать, если бы нам удалось доказать, что некоторый угол, составляющий часть угла BCD, равен углу ABC.

Учащиеся отвечают, что если бы какая-либо часть угла BCD оказалась равной углу ABC, то угол BCD, будучи больше своей части, был бы также больше угла ABC.

Вернувшись к чертежу подготовительной задачи, предлагаю учащимся дополнить этот рисунок построением внешнего угла, смежного с внутренним углом АСВ, и затем

* Рекомендуется, чтобы внешний угол BCD был острым, так как в случае тупого или прямого внешнего угла теорема слишком наглядно подтверждается рисунком.

на основании уже известного им решения этой задачи доказать, что угол BCD больше угла ЛВС.

Как показывает опыт, подавляющее большинство учащихся легко справляются с этим заданием. Добившись таким образом активного усвоения учащимися сути доказательства теоремы о внешнем угле треугольника, я перехожу к синтетическому изложению доказательства.

ОБ ОРГАНИЗАЦИИ ПИСЬМЕННОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО АРИФМЕТИКЕ*

А. С. ДАВИДЯН (пос. им. Шаумяна Арм. ССР)

Каждая письменная контрольная работа по математике должна иметь целью не только проверку знаний учащихся, но должна явиться средством повышения их успеваемости, помочь отстающим в учебе.

Чтобы письменная контрольная работа достигла этой цели, учителю необходимо выполнять основные требования, предъявляемые к ее организации.

Остановимся на некоторых из них.

Первое важное требование — это подготовка учащихся к контрольной письменной работе.

Бесспорно, что главным способом, этой подготовки является ежедневный хорошо организованный урок, в процессе которого учитель должен в основном закрепить знания проходимого материала. Но наряду с этим необходимо провести и некоторые вспомогательные мероприятия. Так, например, чтобы характерные ошибки не повторялись на контрольной работе, а были своевременно обнаружены и исправлены, я в период прохождения материала темы иногда предлагаю учащимся небольшие 10—-15-минутные самостоятельные письменные работы, содержащие те вопросы темы, которые уже были пройдены. Подобные работы я обычно организую в конце урока, чтобы иметь возможность сразу же собрать классные тетради.

Эти работы мною проверяются и оцениваются, но оценки я учитываю у себя, не занося в классный журнал. На следующих уроках я останавливаюсь на допущенных ошибках и только после этого приступаю к прохождению дальнейшего материала.

Подобные самостоятельные (предшествующие контрольной) письменные работы я провожу от двух до четырех, в зависимости от объема проходимой темы. В некоторых случаях таким работам я отвожу целый урок.

Следующим вспомогательным мероприятием по подготовке учащихся к письменной контрольной работе я считаю повторение пройденного. Перед письменной работой я организую дополнительное повторение узловых вопросов той темы, на которую должна быть дана контрольная работа. Я стараюсь не только в процессе урока подготовить учащихся к письменной работе, но организую повторение так, чтобы они подготовились к ней самостоятельно.

С этой целью за 2—3 дня до контрольной работы я сообщаю учащимся день проведения работы и ее тему (но не текст). Чтобы учащиеся не перегружали себя второстепенными вопросами при самостоятельном повторении материала, я одновременно даю им указания о том, как следует именно повторять данную тему.

Я выбираю тексты средней трудности, не требующие особых сложных действий, с тем расчетом, чтобы ученики успели за отведенное время, работая со средней интенсивностью, выполнить работу и произвести проверку.

Тексты я подбираю такие, чтобы ими охватывались основные вопросы темы и чтобы они соответствовали установленным нормам по своему объему. Чтобы точно установить все это, я предварительно сам решаю задачи и примеры, которые должны быть предложены на контрольной работе, и произвожу их анализ.

Например, для V класса я составил текст контрольной письменной работы по арифметике из следующих примеров на четыре действия с обыкновенными дробями с расчетом на один час:

Вариант 1

Я решил эти примеры, проанализировал и сгруппировал входящие в них вопросы так:

1) Порядок действий.

2) Приведение дробей к общему знаменателю.

* Статья печатается в порядке помощи начинающему учителю. — Ред.

3) Сокращение дробей.

4) Обращение смешанной дроби в неправильную.

5) Сложение дробей.

6) Вычитание дробей.

7) Вычитание дробей в случае, когда числитель вычитаемой дроби больше числителя уменьшаемой дроби,

8) Умножение дробей.

9) Деление дробей.

Таким образом я и сам подготавливаюсь к контрольной работе.

Важнейшим условием я считаю точное соблюдение установленного режима проведения работы, согласно которому учащиеся должны выполнить контрольную работу абсолютно самостоятельно.

Такой режим не только помогает мне более реально выявить знания каждого ученика и правильно спланировать мою дальнейшую работу, но и имеет большое учебно-воспитательное значение: вынуждает школьников более глубоко вникать в сущность вопросов, собственными усилиями преодолевать трудности задания, что также способствует лучшему усвоению материала. Наконец, такой режим повышает ответственность учащихся.

Я считаю, что несоблюдение этого режима сводит на нет значение письменной контрольной работы, ослабляет ответственность учащихся и дает нереальные результаты.

Однако важно не только хорошо подготовить и провести письменную контрольную работу, но и соответствующим образом результаты проработать с учащимися.

Следует считать неправильным, когда проверка контрольной работы и сообщение ее результатов учащимся затягивается на несколько дней или же до следующей контрольной работы. Это тоже снижает значение работы, так как за прошедшее время класс перейдет уже к другим вопросам, на которых и будет сосредоточено внимание учащихся.

Поэтому каждую контрольную работу я проверяю и подвожу итоги к следующему уроку.

Опыт показывает, что в таком случае ученики более внимательно слушают мои замечания по контрольной работе, быстро понимают и исправляют свои ошибки.

Вместе с проверкой контрольных работ в специальной тетради я произвожу анализ итогов, для чего использую ту же группировку вопросов, которую составляю при анализе текста.

Приведу примеры такого анализа.

Анализ №... .... 'месяца . . . года проведенной письменной контрольной работы по арифметике в V классе на тему .Четыре действия с обыкновенными дробями“. Присутствовали 25 учеников, не было 1 ученика.

Заключение. Тема учениками усвоена в основном посредственно, и разные ошибки допустили 22 ученика. Отвести еще 2 часа на исправление ошибок. С отстающими учениками заниматься дополнительно.

Можно анализ провести в такой форме.

Анализ №

... месяца . . . года

проведенной письменной контрольной работы по арифметике в V классе на тему „Четыре действия с обыкновенными дробями\ Присутствовали 25 учеников, не было 1 ученика

Заключение. Тема учениками усвоена в основном посредственно, и разные ошибки допустили 22 ученика. Отвести еще 2 часа на исправление ошибок. С отстающими учениками заниматься дополнительно.

Первая форма анализа имеет то преимущество, что она дает картину успеваемости не только класса, но и каждого ученика в отдельности, что очень важно для учителя.

Разумеется, что в различных текстах будут разные вопросы и группировку их я приспосабливаю к основной цели контрольной работы.

Например, текст контрольной работы был такой.

Задача 1-го варианта.

На двух складах было 140^- m сахара.

Когда из этих складов увезли по равному количеству сахара, то на одном складе осталось 34+ m сахара, а на другом в \~ раза больше. Сколько сахара было на каждом складе в начале?

(Решить и произвести проверку.)

Здесь уже главная моя цель заключалась в проверке умения учащихся решать задачи.

Поэтому и при группировке вопросов на первое место я ставил те основные типы ошибок, которые считаются более грубыми при решении задач и свидетельствуют о том, что учащиеся, допускающие подобные ошибки, не поняли задачу. На второе место я ставил ошибки, относящиеся к решению задач, но менее грубые, а на третье — ошибки в четырех действиях с обыкновенными дробями (без подробностей).

Таким образом, у меня получилась следующая схема анализа (см. стр. 60).

Что касается заполнения таблицы, то это очень несложно и не требует большой затраты времени: при исправлении каждой работы я одновременно отмечаю в соответствующих графах, так что вместе с окончанием проверки работ анализ бывает закончен.

Как уже было сказано выше, после каждой письменной работы я на уроке разбираю результаты. Однако к этому разбору я подхожу по-разному.

Если итоги письменной работы показывают, что учащиеся в достаточной степени усвоили данную тему и общее количество допущенных ошибок невелико, то долго останавливаться на результатах работы на следующем уроке смысла не имеет.

Если же общее число ошибок в работах учащихся значительное, то приходится на их разбор и исправление в классе отводить больше времени — час-два, в зависимости от количества и характера ошибок, а также количества часов по учебному плану.

Бывают случаи, когда результаты письменных контрольных работ оказываются неудовлетворительными, несмотря на то, что мною предварительно была проведена подготовка учащихся к этой работе.

Я считаю, что в таком случае учитель не должен строго придерживаться сроков четвертного плана, он не вправе игнорировать факты и переходить к следующему разделу.

В таких случаях я немного отклоняюсь от сроков четвертного плана, вновь останавливаюсь на основных вопросах данной темы,

полностью объясняю ошибки, допущенные учащимися, вторично провожу контрольную работу, ликвидирую отставание учащихся и лишь тогда перехожу к изучению новой темы.

Возникает вопрос: откуда же взять столько времени, чтобы вышеуказанным образом останавливаться на результатах письменных работ?

Это время нужно предусмотреть, запланировав после каждой контрольной письменной работы по часу времени для ее разбора в классе.

При хорошей организации учебного процесса и достаточной подготовке к письменной контрольной работе и результаты ее будут положительными.

Следовательно, учитель в большинстве случаев не будет нуждаться в том, чтобы задерживаться подолгу на итогах контрольных работ, и те часы из запланированных для этих целей, которые останутся неиспользованными, составят некоторый резерв, дающий возможность при надобности прибавить время на закрепление той или иной темы.

Кроме того, если приходится задержаться при прохождении той .или иной темы, чтобы добиться лучшей усвояемости, то этим самым в значительной степени облегчается и ускоряется прохождение последующих тем, и в общем итоге количество времени урегулируется.

ИЗ ОПЫТА ПРОВЕДЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЕЧЕРОВ В ДЕВЯТЫХ И ДЕСЯТЫХ КЛАССАХ

В. Д. ЧИСТЯКОВ (Витебск)

Объяснительная записка к программе по математике средней школы требует, чтобы учащийся, выходя из школы, был знаком с корифеями русской математической науки и замечательными математиками нашей Советской страны. Эту работу по ознакомлению учащихся с русскими и советскими математиками больше всего приходится проводить на внеклассных занятиях. В этом отношении оправдали себя математические вечера, которые приходилось проводить автору статьи в течение ряда лет в школах г. Витебска (1-я, 3-я, 6-я, 13-я и другие средние школы).

Эти вечера, как правило, проходят с большим успехом, если они подготовлены не спеша и проводятся силами самих учащихся. Примером может служить вечер, посвященный великому русскому геометру Николаю Ивановичу Лобачевскому, проведенный для учащихся девятых и десятых классов в 13-й средней школе г. Витебска (этот вечер был повторен и в других школах).

Материалом для подготовки к вечеру послужили: книга В. Ф. Кагана „Н. И. Лобачевский“, изд. 2, 1948; работа Л. Б. Модзалевского „Материалы для биографии Н. И. Лобачевского“, 1948, а также ряд других книг.

На основе этих материалов была написана соответствующая методическая разработка и составлена программа вечера.

Программа вечера содержала следующие вопросы:

1. Краткая биография Н. И. Лобачевского.

2. Стихи, посвященные Н. И. Лобачевскому.

3. Из воспоминаний современников о Н. И. Лобачевском.

4. Замечательные высказывания Н. И. Лобачевского.

5. Отзывы русских и советских ученых о Лобачевском и его геометрии.

6. Беседа о геометрии Лобачевского.

К вечеру была проведена тщательная подготовка. Зал, в котором проходил вечер, был украшен большим портретом Лобачевского, плакатами с его высказываниями, математическим бюллетенем и красочным стендом, посвященным жизни и творчеству великого геометра. Тексты выступлений учащихся были отпечатаны на машинке. Затем индивидуально с каждым участником вечера проводилась репетиция по разучиванию и художественному исполнению выступления.

Надо отметить, что всю подготовительную работу ученики проводили весьма охотно и с большим интересом. Для беседы о геометрии Лобачевского были изготовлены таблицы, чертежи и модели.

По всем вопросам вечера, кроме последнего, выступали сами ученики. С беседой о геометрии Лобачевского выступил учитель.

В назначенный день ученик X класса объявил вечер, посвященный замечательному русскому геометру Н. И. Лобачевскому, открытым. В своем кратком слове он напомнил слушателям, что Советское правительство и Центральный Комитет нашей партии высоко оценили заслуги Лобачевского перед Родиной, его имя занимает почетное место среди славных имен великих ученых, прославивших русскую науку и составляющих гордость советского народа. В подтверждение этому зачитывается обращение Советского правительства и Центрального Комитета Коммунистической партии к Академии наук СССР, в котором говорится:

„Наша наука дала миру великих ученых. Советский народ по праву гордится основоположником русской науки Ломоносовым, гениальным химиком Менделеевым, великими математиками Лобачевским, Чебышевым и Ляпуновым, крупнейшим геологом Карпинским, всемирно известным географом Пржевальским, основателем военно-полевой хирургии Пироговым, великими новаторами-биологами Мечниковым, Сеченовым, Тимирязевым и Павловым, замечательным преобразователем природы Мичуриным, искусным экспериментатором-физиком Лебедевым, создателем радиосвязи Поповым, основоположниками теории современной авиации Жуковским и Чаплыгиным, выдающимися двигателями русской революционной мысли — Белинским, Добролюбовым, Чернышевским, великим пионером марксизма в нашей стране — Плехановым“. (Вестник Академии наук СССР, 1945, № 5—6).

Далее предоставляется слово ученику IX класса, который ознакомил слушателей с биографией Лобачевского. Н. И. Лобачевский (1792— 1856) — великий русский математик, профессор и ректор Казанского университета, в котором позднее учился В. И. Ленин.

Лобачевский воспитывался и учился в Казанской гимназии, а затем в Казанском университете. Своими замечательными успехами рано обратил на себя внимание профессоров. По характеристике университетской инспекции, Лобачевский был юноша упрямый, нераскаянный, много мечтающий о себе, проявляющий даже „признаки безбожия“.

Только поддержка профессоров помешала исключению Лобачевского из университета. Блестящий отзыв со стороны профессоров о математических дарованиях Лобачевского и их настойчивое ходатайство перед начальством были причиной оставления Лобачевского для научной и педагогической деятельности в университете.

В восемнадцать лет Лобачевский получил степень магистра физико-математических наук, а двадцати трех лет был экстраординарным, а затем и ординарным профессором математики Казанского университета. В 1827 году был избран ректором Казанского университета и в этой должности находился непрерывно в течение девятнадцати лет (переизбирался шесть раз подряд). Деятельность Лобачевского вызывает изумление. Занимаясь наукой, он выполнял большую административную и педагогическую работу.

Н. И. Лобачевский прославил себя и русскую науку открытой им новой геометрией, носящей его имя. Геометрия Лобачевского создала подлинную революцию в науке. Она оказала благотворное влияние на дальнейшее развитие математики как науки и некоторых разделов современной физики.

Первое сообщение о своем гениальном открытии Лобачевский сделал 11 февраля 1826 года на заседании отделения физико-математических наук. Эта дата является днем рождения геометрии Лобачевского.

Свои идеи Н. И. Лобачевский изложил на страницах организованного им журнала в сочинениях: „О началах геометрии“ (1829—1830), „Воображаемая геометрия“ (1835), „Новые начала геометрии с полной теорией параллель-

ных линий“ (1835—1838) и „Пангеометрия“ (1855).

Без кипучей и страстной деятельности на пользу народа Лобачевский не мыслил своего существования. Несмотря на душную атмосферу николаевской реакции, не имея ни моральной, ни материальной поддержки со стороны официальных кругов, Лобачевский стойко выдержал борьбу за признание своих идей, которые по-настоящему были оценены только после его смерти.

Затем ученик IX класса выразительно, с большим чувством прочитал стихотворение В. Фирсова, посвященное Лобачевскому. Выступают ученики IX и X классов и зачитывают высказывания о Лобачевском его современников.

1) О строгости Лобачевского (Из воспоминаний сына Н. Н. Лобачевского)

«Говоря о справедливости и доброте отца, я должен прибавить, что он был очень строг, а к своим сыновьям относился еще строже. Когда я переходил на второй курс, я срезался из дифференциального исчисления, отказавшись от первого билета; я только успел взять второй, когда в залу вошел отец, тогда уже сильно недомогавший. Сделав общий поклон, он, увидав меня у доски, сказал: „Как раз во время, сын к доске, отец в двери“... Я был сильно сконфужен и с трудом, с запинками отвечал на билет, путаясь на каждом шагу, и, вместо L' поставив L, я совершенно сбился с толку, хотя отец меня ободрял и старался заставить увидать свою ошибку. Отец догадался, что я плохо знаю билет, и сделал мне несколько вопросов, на которые я отвечал наобум. „Удачно сказано!“ —заметил отец и влепил мне единицу. Тогда переэкзаменовки были запрещены, и не выдержавший экзамен исключался из университета». (Л. Б. Модзалевский, Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, изд. АН СССР, М. — Л., 1948, стр. 601—602.)

2) О доброте Н. И. Лобачевского

(Из воспоминаний дочери В. Н. Ахлопковой)

«Заходя несколько раз в итальянский магазин, торгующий нотами и картинками в Казани, Н. И. Лобачевский видел там приказчика — мальчугана; он обыкновенно ходил по городу с коробом товара на плечах, а за прилавком Н. И. заставал его сидящим постоянно за какими-то вычислениями. Заметив в мальчике такое прилежание и способность к математике, Николай Иванович спросил этого мальчика, не желает ли он учиться. Мальчик с радостью согласился, но заявил, что он бедный сирота, что хозяин привез его в Россию из Италии. Поговоривши с хозяином, Николай Иванович взял от него этого мальчика и поместил его в гимназию; гимназист учился хорошо, кончил университет и сделался профессором физики в Казани... Это был профессор И. А. Больцани». (Л. Б. Модзалевский, Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, изд. АН СССР, М.—Л., 1948, стр. 595.)

3) Лобачевский как лектор

(Из воспоминаний Н. Н. Булича)

«Лобачевский читал просто, без желания придать внешнюю красоту своей речи, без риторической эмфазы (напряженности) и крика, но в словах его слышался ум и широкое образование. Спокойным, ровным голосом он делал свои широкие обобщения, вызывал увлекательные образы и возбуждал мысль. (Л. Б. Модзалевский, Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, изд. АН СССР, М.—Л., 1948, стр. 623.)

4) Лобачевский как экзаминатор (Из воспоминаний И. И. Михайлова)

«Кто обнаруживал особую склонность к математике, тот по преимуществу пользовался его сочувствием. У Лобачевского была манера задавать множество вопросов, прежде чем подпустить студента к доске, к решению задачи, пытая экзаменующегося с разных сторон в отношении его знания и изобретательности. Например, если экзаменующийся решал задачу обыкновенным способом — положим, в арифметике, — служащим сокращением другого способа, более сложного; в таком случае Лобачевский предлагал вопрос: „А не знаете ли вы другого способа?“ Если экзаменующийся почему-либо не отвечал, то Лобачевский обыкновенно спрашивал: „Ну, не можете ли вы придумать сами такого способа?“ —и, судя по ответу, заключал о находчивости экзаменующегося». (Л. Б. Модзалевский, Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, изд. АН СССР, М.-Л., 1948, стр. 620.)

5) Об авторитете Лобачевского как ректора

(Из воспоминаний П. И. Мельникова).

«Кому ректор сделает замечание, лица, бывало, на том нет; ночи две, бывало, не спит студент после ректорского спокойного, холод-

ного, бесстрастного выговора. Над другими, бывало, и остришь, других и на смех поднимаешь в приятельском кружке, но, сохрани бог, сказать неуважительное слово о ректоре, — весь университет встанет на дерзкого. Да и примеров тому в наше время не было. Слышали мы по преданию, что был когда-то такой случай и что тогда студенты всех факультетов потребовали, чтобы студент, сказавший дерзко о ректоре, вышел из университета, а не то плохо ему будет! Он должен был оставить университет, а начальство и не знало о причине его выхода». (Л. Б. Модзалевский, Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, изд. АН СССР, М.—Л., 1948, стр. 612.)

Затем участники вечера зачитали высказывания Лобачевского, которые созвучны нашей эпохе.

1) Н. И. Лобачевский о своей родине

Н. И. Лобачевский неподдельно и страстно любил свою родину, свой русский народ. Обращаясь к студенчеству, Лобачевский говорил: „Вы счастливее меня, родившись позже. Из истории народов видели вы, что всякое государство переходит возрасты младенчества, возмужалости и старости. То же будет и с нашим любезным отечеством. Хранимое судьбою медленно возвышается оно в своем величии и достигает высоты, на которую еще не выходило ни одно племя человеческое на земли.

Век Петра, Екатерины, Александра были знамениты; но счастливейшие дни России еще впереди“.

(Из речи Н. И. Лобачевского „О важнейших предметах воспитания“, произнесенной им в торжественном собрании Казанского университета 5 июля 1828 года.)

2) Лобачевский о значении воспитания в формировании человеческой личности

(Из речи „О важнейших предметах воспитания“)

„В каком состоянии, воображаю, должен находиться человек, отчужденный от общества людей, отданный на волю одной дикой природе. Обращаю потом мысли к человеку, который среди устроенного, образованного гражданства последних веков просвещения, высокими познаниями своими составляет честь и славу своего отечества. Какая разность; какое безмерное расстояние разделяет того и другого. Эту разность произвело воспитание. Оно начинается от колыбели, приобретается сперва одним подражанием, постепенно развертывается ум, память, воображение, вкус к изящному, пробуждается любовь к себе, к ближнему, любовь славы, чувство чести, желание наслаждаться жизнью. Все способности ума, все дарования, все страсти, все это обделывает воспитание, соглашает в одно стройное целое, и человек, как бы снова родившись, являет творение в совершенстве“. (Л. Б. Модзалевский, Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, изд. АН СССР, 1948, стр. 322.)

3) Лобачевский о невежестве и невеждах

(Из речи ,О важнейших предметах воспитания“)

Лобачевский открыто выступал против невежества и его носителей, существование которых есть „тяжелый налог другим“.

Лобачевский говорил: „Ничто так не стесняет сего потока [жизни], как невежество: мертвою, прямою дорогою провожает оно жизнь от колыбели к могиле. Еще в низкой доле изнурительные труды необходимости, мешаясь с отдохновением, услаждают жизнь земледельца и ремесленника; но вы, которых существование несправедливый случай обратил в тяжелый налог другим; вы, которых ум отупел и чувство заглохло; вы не наслаждаетесь жизнию. Для вас мертва природа, чужды красоты поэзии, лишена прелести и великолепия архитектура, незанимательна история веков. Я утешаюсь мыслию, что из нашего Университета не выйдут подобные произведения растительной природы; даже не войдут сюда, если к несчастию уже родились с таким назначением.

Не выйдут, повторяю, потому что здесь продолжается любовь славы, чувство чести и внутреннего достоинства“. (Л. Б. Модзалевский, Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, изд. АН СССР, 1948, стр. 324.)

4) Лобачевский а чувстве нового (Из речи .0 важнейших предметах воспитания“)

„Жить, значит чувствовать, наслаждаться жизнию, чувствовать непрестанно новое, которое бы напоминало, что мы живем“. (Л. Б. Модзалевский, Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, изд. АН СССР, 1948, стр. 324.)

5) Лобачевский о патриотических чувствах, как нравственной основе общественной жизни человека

(Из речи „О важнейших предметах воспитания“)

„Будем же дорожить жизнию, покуда она не теряет своего достоинства. Пусть примеры в Истории, истинное понятие о чести, любовь к отечеству, пробужденная в юных летах, дадут заранее благородное направление страстям и ту силу, которая дозволяет нам торжествовать над ужасом смерти“. (Л. Б. Модзалевский, Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, изд. АН СССР, 1948, стр. 326.)

Далее участники вечера зачитывают отзывы русских и советских ученых о Лобачевском и его геометрии.

1) Телеграмма великого русского химика Д. И. Менделеева по случаю столетнего юбилея со дня рождения Н. И. Лобачевского (1893):

„Геометрические знания составляют основу всей точной науки, а самобытность геометрии Лобачевского — зарю самостоятельного развития науки в России. Посев научный взойдет для жатвы народной.

Почетный член Казанского университета Дмитрий Менделеев“.

2) Академик В. Л. Комаров:

„В творчестве Лобачевского выразились общественный подъем и развитие русской культуры, пробужденные Отечественной войной против Наполеона. Казалось, напряжение всех сил народа против захватчиков вызвало к жизни громадные достижения русского гения во всех областях искусства, литературы и науки“. (Из предисловия к книге проф. Кузнецова: „Ломоносов, Лобачевский, Менделеев“, изд. АН СССР, 1945, стр. 9—10.)

3) Из речи В. Ф. Кагана по поводу столетия открытия геометрии Лобачевского:

«Говорили не раз, повторяя Сильвестра, что Лобачевский —- это Коперник геометрии.

Граждане и товарищи! Я беру на себя смелость сказать, что это сравнение для Лобачевского недостаточно ярко. Разве идеи Коперника, по существу, были так неожиданны? Разве за две тысячи лет до Коперника им не учил Аристарх Самосский? И так ли далеки были от них идеи Гиппарха Родосского?.. А идеи неевклидовой геометрии в течение этих тысячелетий и не возникали...

На центральной площади небольшого польского города Торна стоит памятник Копернику. На нем выгравирована надпись: „Остановивший солнце — двинувший землю“.

Граждане и товарищи!

Я беру на себя смелость утверждать, что было легче остановить солнце, что легче было двинуть землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой—на расхождение!» („Празднование Казанским университетом столетия неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевского“, Казань, 1927, стр. 60—61.)

Предоставляется слово учителю математики для проведения беседы о геометрии Лобачевского. На стенах вывешены таблицы (система аксиом евклидовой геометрии, сравнение результатов евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского), стенды, посвященные жизни и деятельности Н. И. Лобачевского, стенная газета, посвященная вечеру, большой портрет Н. И. Лобачевского. На столе — модели поверхностей, окрашенные в черный цвет (сфера метрового диаметра, цилиндр метровой высоты, псевдосфера метровой длины вдоль оси). Поверхности были изготовлены из папье-маше силами учащихся под руководством автора этой статьи. На каждой поверхности были изображены геодезические треугольники.

Ниже приводим краткий конспект беседы учителя.

Геометрия, как и арифметика, является самой старой математической наукой. Корни ее зарождения уходят далеко вглубь веков. Геометрия оформилась в стройную математическую науку, имеющую прикладное значение, в III веке до нашей эры в работах древнегреческого геометра Евклида. Евклид написал тринадцать книг по геометрии под общим названием „Начала“. „Начала“ Евклида были единственной книгой, по которой в течение ряда веков обучались геометрии. Даже в настоящее время, например, в Англии изучение геометрии в школах ведется по „Началам“ Евклида.

В Советском Союзе изучение геометрии в школах проводится по стабильному учебнику А. П. Киселева, причем содержание материала в большей своей части взято из „Начал“ Евклида. Влияние „Начал“ Евклида и на другие современные учебники несомненно. Вот почему элементарная геометрия, изучаемая в школе, называется иногда евклидовой геометрией.

В течение более двух тысяч лет ученые всех стран считали, что иной геометрии, кроме евклидовой, быть не может. С этой целью они старались (на основе прочих аксиом) доказать пятый постулат Евклида (аксиома параллельных прямых: „Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных пря-

мых, параллельных одной и той же прямой“), который они доказать не могли.

Великий русский ученый-геометр Николай Иванович Лобачевский в феврале месяце 1826 года установил недоказуемость аксиомы параллельных линий тем, что построил неевклидову геометрию, геометрию Лобачевского, в основе которой лежат все аксиомы евклидовой геометрии, за исключением пятого постулата, который он заменил своим: „Через точку, взятую вне прямой на плоскости, можно провести бесконечное множество прямых, не пересекающих данную“.

Исходя из указанных выше аксиом, принятых геометрией Лобачевского, в качестве теорем доказывается, что:

1) перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой, расположенные в одной плоскости, могут не пересекаться;

2) сумма всех внутренних углов треугольника меняется от треугольника к треугольнику, но всегда меньше 2d;

3) сумма всех внутренних углов всякого выпуклого четырехугольника меньше 4d.

Отсюда, как следствие, вытекает: не существует прямоугольников;

4) подобных фигур с коэффициентом подобия, отличным от единицы, не существует; в частности, для данного треугольника нельзя построить подобный, но не равный ему треугольник;

5) вокруг не всякого треугольника можно описать окружность;

6) геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой и расположенных по одну сторону от нее на плоскости, не может быть прямой (есть всегда кривая линия).

Реальна ли геометрия Лобачевского?

Чтобы ответить на это, надо прежде всего ответить на вопрос, что нужно понимать под точкой, прямой и плоскостью.

Под точкой, прямой и плоскостью нужно понимать объекты трех категорий, свойства которых перечисляются в системе аксиом геометрии. (Далее показывается и зачитывается таблица с системой аксиом евклидовой геометрии, составленная по книге Д. И. Перепелкина „Курс элементарной геометрии“, 1948).

Что же такое аксиома, вернее, система аксиом?

Это геометрические предложения, принимаемые нами без доказательства, как исходные, позволяющие вскрыть содержание понятий о точке, прямой и плоскости. (Далее учитель знакомит учащихся с примером „необыкновенного“ истолкования евклидовой геометрии, когда за „точку“ принимается шар радиуса г, за „прямую“ — бесконечный круговой цилиндр радиуса г, за „плоскость“ — плоско-параллельная пластинка толщиной 2г (см. подробнее: H. М. Бескин, „Методика геометрии“, Учпедгиз, 1947, стр. 18).

В школьном курсе геометрии представление о прямой дает туго натянутая нить, представление о плоскости — поверхность хорошо отполированного гладкого зеркала (это одно из возможных, более простых и привычных истолкований). Нарисуем на листе бумаги треугольник. Сторонами его являются прямые в обычном их истолковании. Если свернем этот лист в форму цилиндра, то стороны треугольника на поверхности цилиндра будут, вообще говоря, кривыми. Эти кривые при развертывании цилиндра на плоскость, конечно, опять переходят в прямые. Линии на поверхности цилиндра, которые при развертывании цилиндра на плоскость переходят в прямые, называются геодезическими линиями цилиндра. Геодезическими линиями какой-нибудь поверхности обычно называют линии кратчайшего расстояния между двумя точками поверхности.

Если за „точки“ принять точки цилиндра, а за „прямые“—геодезические линии цилиндра, тогда на цилиндре будет выполняться евклидова планиметрия. Действительно, сумма углов геодезического треугольника, как легко догадаться, равняется двум прямым. А это утверждение эквивалентно пятому постулату (ученикам поясняется понятие эквивалентности).

Посмотрим, какая геометрия выполняется на сфере, если за „точки“ принять точки этой сферы, а за „прямые“—ее геодезические линии (нужно заметить, что сфера без растяжения путем изгибания на плоскость не развертывается, и геодезические линии ее не могут, как у цилиндра, переходить в прямые). Геодезическими линиями на сфере, оказывается, являются дуги больших кругов. Дуги больших кругов, как имеющие общий центр в центре сферы, попарно пересекаются. Поэтому на сфере нет параллельных „прямых“. Следовательно, через „точку“, взятую вне „прямой“, нельзя на сфере провести ни одной „прямой“, параллельной данной. Характерной особенностью этой геометрии сферы является то, что сумма внутренних углов „прямолинейного“ (геодезического) треугольника больше двух прямых. Этот факт легко усматривается на чертеже и модели (черт. 1).

Геометрия сферы есть простейшая модель так называемой неевклидовой геометрии Римана.

Реальна ли геометрия Лобачевского?

Да, реальна, поскольку она выполняется на реальных поверхностях.

Оказывается, геометрия Лобачевского (планиметрия) выполняется на поверхности псевдосферы (учитель показывает модель этой поверхности и в кратких словах, при помощи специально изготовленных чертежей, объясняет ее получение, как поверхности вращения трактриссы вокруг ее оси).

Если на этой поверхности начертить геодезический треугольник (геодезические линии на модели получаются при помощи туго натянутой нити, натертой мелом и зажатой в двух вершинах треугольника), то сумма углов такого треугольника будет уже меньше двух прямых, т. е. будет как раз выполняться то, что утверждает Лобачевский в своей геометрии. Этот факт легко усматривается на модели и на специально изготовленном чертеже (черт. 2).

Таким образом, геометрия Лобачевского (планиметрия) нашла свое реальное истолкование на поверхности псевдосферы.

Мы гордимся тем, что неевклидова геометрия открыта в России и что ее открыл русский ученый Н. И. Лобачевский.

Открытие Лобачевского по геометрии составляет целую эпоху в науке. Идеи Лобачевского находят широкое применение в современной физике.

Учащиеся с большим интересом слушали беседу о геометрии Лобачевского. В благодарность учителю за его интересную беседу были дружные аплодисменты слушателей.

Черт. 1

Черт. 2

САМОДЕЛЬНАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА

К. И. ОБРАЗ (Великие Луки)

Учитель, поставивший перед собой цель — познакомить учащихся с логарифмической линейкой, первое время может обойтись и без фабричной линейки, изготовив с учащимися самодельные логарифмические линейки. В педагогическом отношении это полезно сделать и при наличии готовых логарифмических линеек. Основной элемент логарифмической линейки — логарифмическую шкалу — ученик должен построить собственными руками. Тогда ему будет ясна „конструкция“ счетного прибора, и учитель с меньшими затруднениями добьется сознательного усвоения выполнения соответствующих операций на логарифмической линейке.

В качестве первого концентра при изучении линейки в IX классе можно ограничиться операциями логарифмирования и потенцирования, а также умножения и деления на основной логарифмической шкале линейки, оставив разбор шкалы квадратов, шкалы кубов и шкал обратной стороны движка до более позднего времени. Этот второй концентр изучения логарифмической линейки потребует наличия фабричных линеек. Первый же концентр вполне можно провести на самодельном приборе.

В IX классе при прохождении темы „Логарифмы“ после изучения таблиц логарифмов и их применений желательно выделить 1 — 2 урока и в классе „начерно“ построить логарифмическую шкалу, приняв за единицу масштаба 25 см. Если на уроках для этого времени нет, то данную работу можно выполнить на занятиях кружка.

Для этого ученики должны приготовить развернутый лист клетчатой тетрадной бумаги и отложить на нем отрезок, равный пятидесяти клеточкам, принимаемый за единицу, что соответствует приблизительно масштабу основной шкалы нормальной 25-сантиметровой логарифмической линейки. Хорошо отточенным карандашом этот отрезок нужно разбить на десять равных частей по пять клеточек в каждой штрихами вниз от проведенной черты и снабдить их пометками: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Затем каждую клеточку более мелкими штрихами разбить пополам. В результате получится равномерная шкала, по длине равная единице, разбитая на сто частей, и, следовательно, с „ценой“ деления, равной одной сотой. Нужно предупредить учащихся, что эти штрихи позже будут стерты и перенесены на другую шкалу, параллельную первой.

После этого при помощи таблиц логарифмов, округлив их до трех знаков, учащиеся откладывают на полученной шкале десятичные логаримфы чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. При этом на третий десятичный знак мантиссы логарифма соответствующий отрезок придется откладывать на глаз, деля сотую в уме на десять равных частей и откладывая нужное число тысячных. Теперь штрихи нужно будет нанести вверх и снабдить числовыми пометками: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, поставленными в конце отрезка, изображающего логарифм соответствующего числа. Затем точно так же под руководством учителя (или дома) учащиеся откладывают логарифмы чисел: 1,1; 1,2; 1,3 и т. д. до 10, беря все числа от единицы до десяти через одну десятую. Здесь штрихи следует взять более короткими, чем в первом случае, и оставить их немыми. В результате будет построена двойная шкала, снизу равномерная, с „ценой“ деления одна сотая, и сверху логарифмическая, с „ценой“ деления одна десятая (черт. 1).

Уже на этом этапе работы учитель должен обратить внимание учащихся на то, что, так как мантиссы логарифмов не зависят от места запятой, построенная шкала заменяет двух-трехзначные таблицы логарифмов. Не ожидая дальнейшего изготовления линейки, следует поупражняться в логарифмировании и потенцировании, пользуясь полученной двойной шкалой. Одновременно с логарифмированием и потенцированием учащиеся научатся „ставить“ число на линейку и читать число, поставленное на линейку (пока что на шкалу).

Затем нужно показать учащимся, что для выполнения действий умножения и деления желательно иметь две одинаковые логарифмические шкалы, которые можно было бы смещать

Черт. 1

относительно друг друга, чтобы таким образом иметь возможность геометрически складывать и вычитать мантиссы логарифмов.

Дальнейшая работа по изготовлению логарифмической линейки может быть перенесена на дом. Равномерную шкалу нужно перенести вниз на три клеточки на параллельную прямую, вытереть нижние штрихи, а верхние штрихи продолжить вниз и снабдить такими же отметками. Эти шкалы выполнить аккуратно тушью или чернилами (черт. 2).

Черт. 2

Затем разрезать получившуюся сдвоенную логарифмическую шкалу по линии Aß и вырезать две полоски бумаги длиной в 54 клеточки и шириной — нижняя — в 4 клеточки и верхняя в 3 клеточки. Нижняя — для корпуса линейки, верхняя — для движка. Наконец, нужно показать учащимся, как сделать корпус линейки и движок из картона, фанеры или дерева, и предложить сделать это дома или в школьной мастерской. Длину корпуса и движка нужно взять в 54 клеточки, ширину корпуса в 9 клеточек, а ширину движка в 3 клеточки. После изготовления корпуса и движка следует наклеить на них шкалы. Остается изготовить бегунок из прозрачного целлулоида или из мягкой жести, из которой вырезать рамку с изогнутыми краями, с натянутой тонкой нитью или проволокой (черт. 3).

В дальнейшем полученную самодельную линейку можно усовершенствовать, нанеся на корпус и движок шкалу квадратов, что позволит выполнять на линейке операцию возведения в квадрат и извлечения квадратного корня и решать соответствующие задачи.

Шкалы линейки можно построить и на белой бумаге, взяв за единицу отрезок, равный 25

Черт. 3

сантиметрам, но это несколько усложнит построение. Логарифмическую шкалу хорошо построить на миллиметровой бумаге, а затем перенести ее по получившемуся шаблону на белую бумагу. В условиях массовой школы не всегда имеется в наличии миллиметровая бумага, поэтому в настоящей заметке и даются советы применительно к обыкновенной тетрадной бумаге. При наличии соответствующих условий в школе, например, наличии в школе мастерской, имеет смысл использовать предыдущие рекомендации для изготовления самодельной демонстрационной линейки длиною в один метр. Здесь особенно удобно воспользоваться миллиметровой бумагой для получения соответствующих шаблонов.

От редакции

В последующих номерах журнала «Математика в школе» редакция наметила поместить статьи на следующие темы:

1) Домашние задания по математике и их проверка.

2) Проверка ученических тетрадей.

3) Воспитательная работа на уроках математики.

4) О состоянии знаний учащихся (на основе материалов школьных экзаменов).

Редакция журнала просит читателей присылать статьи на указанные темы. Лучшие из статей будут напечатаны.

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

АВГУСТ ЮЛЬЕВИЧ ДАВИДОВ*

Р. А. СИМОНОВ (Москва)

Выдающийся ученый, пропагандист и популяризатор математических и технических знаний, создатель известных математических учебников для средней школы Август Юльевич Давидов принадлежит к числу замечательных педагогов-математиков России XIX века. А. Ю. Давидов родился 28 декабря 1823 г. Детство его протекало в прибалтийском городе Либаве. До 16 лет он обучался дома под руководством отца. В 1839 г. Давидовы переехали в Москву, где отец занял место врача Воспитательного дома. В 1841 г. А. Ю. Давидов сдал вступительные экзамены на медицинский факультет. Математику он отвечал профессору Н. Д. Брашману. По настоянию последнего, заметившего блестящие математические способности юноши, и по просьбе отца А. Ю. Давидов был зачислен студентом 2-го отделения философского факультета (так тогда назывался физико-математический факультет).

С первых дней учебы Н. Д. Брашман стал проявлять неослабное внимание к успехам А. Ю. Давидова, и после окончания университета А. Ю. продолжал совершенствоваться в математике и механике под его руководством.

Член-корреспондент Петербургской Академии наук Николай Дмитриевич Брашман был крупным русским ученым. Он находился в дружеских отношениях с академиком М. В. Остроградским, обсуждал с последним в научной переписке различные вопросы механики. Бывая за границей, Н. Д. Брашман успешно отстаивал честь русской науки. В Англии, где он сделал доклад о молекулярных силах, известный английский ученый Гершель вынужден был сказать в адрес Н. Д. Брашмана: „Между нами есть ученый муж из России, который написал мемуар величайшей важности. Незадолго еще мы считали бы математический мемуар на русском языке явлением необыкновенным, но наука продвигается вперед и успехи России изумительны"*.

Научная деятельность А. Ю. началась в студенческие годы. За первое исследование „О бесконечно малых движениях“ ему была присуждена факультетом золотая медаль. В 1848 г. А. Ю. защитил магистерскую диссертацию на тему „Теория равновесия тел, погруженных в жидкость“. Это исследование было удостоено Демидовской премии второй степени. Через три года А. Ю. написал мемуар под названием „Теория капиллярных явлений“, за одну только главу которого он получил степень доктора математики и астрономии. И это сочинение было награждено Демидовской премией второй степени с дополнительным денежным добавлением (на издание работы) в 500 руб.

В 1850 г. А. Ю. Давидов стал адъюнктом (доцентом по нашей терминологии) Московского университета, в 1853 г. экстраординарным, а в 1859 г. — ординарным профессором кафедры прикладной математики. В 1862 г. он перешел на кафедру чистой математики, которую возглавлял до конца службы. Долгое время А. Ю. был деканом факультета. Яркий лекторский талант выдвинул А. Ю. Давидова в число лучших преподавателей университета. Многие предметы (теория вероятностей, небес-

* Статья написана по случаю 130-летия со дня рождения А. Ю. Давидова.

* Цитируется по „Математическому сборнику“, т. 1, Москва, 1866, стр. XVI.

ная механика и другие) впервые начал читать в университете А. Ю. Давидов.

Как замечает великий ученик Августа Юльевича — Н. Е. Жуковский, магистерская диссертация А. Ю. Давидова, даже спустя более сорока лет после ее написания, представляла наиболее полное исследование по теории равновесия тел, погруженных в жидкость. Последующие работы А. Ю. по механике посвящены проблеме равновесия плавающей прямой трехгранной призмы. Многих ученых в России и за границей в то время интересовало решение вопроса о числе положений равновесия такой призмы. Эта проблема была решена в России. Академик В. Я. Буняковский доказал, что это число должно быть не более пятнадцати. А. Ю. Давидовым был окончательно решен этот вопрос; он показал, что число положений равновесия прямой трехгранной призмы, плавающей горизонтально, должно быть не более двенадцати.

Крупным вкладом в науку является докторская диссертация А. Ю. Давидова, посвященная теории капиллярности. Этим вопросом давно интересовались многие математики. В частности, Гаусс пытался дать общую теорию капиллярности. Но он пренебрег быстротой изменения плотности близ поверхности жидкости, поэтому ему не удалось полностью осуществить свой замысел. А. Ю. Давидов, руководствуясь общими правилами механики, учел все существенные физические обстоятельства*.

Известно, что Якоби и Коши дали общий метод решения дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка. Этот метод заключается в сведении решения таких уравнений к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. А. Ю. Давидов в работе „Уравнения с частными производными какого-нибудь порядка“ пошел дальше. Он доказал, что тем же методом можно решать уравнения с частными производными любого порядка. По поводу работы „Об одной общей формуле в теории определенных интегралов“ В. Я. Буняковский написал А. Ю. Давидову: „Я с большим интересом прочитал Ваш мемуар, в котором Вы с таким искусством выводите из Вашей примечательной общей формулы известные теоремы Коши, Фурье, Пуассона и формулу Куммера. Аналитические приемы, употребленные Вами для такого объединения результатов, кажущихся чуждыми одни другим, нельзя не признать весьма остроумными и заслуживающими особого внимания математиков“*.

Характеристику научного творчества А. Ю. Давидова можно было бы продолжить, но уже сказанного достаточно для выяснения его места в русской науке.

А. Ю. Давидов не был кабинетным ученым, он активно участвовал в деятельности различных общественных организаций.

По мысли Давидова**, разделенной Н. Д. Брашманом, в 1864 г. был организован кружок любителей математики, который собирался раз в месяц для обсуждения научных математических вопросов. Первое заседание состоялось на квартире А. Ю. Давидова. Наиболее почтенным и уважаемым членом кружка был Н. Д. Брашман, который считался президентом, но фактическим руководителем кружка был А. Ю. Давидов. Деятельность кружка быстро развивалась. Начал выходить под редакцией А. Ю. Давидова „Математический сборник“ — первый периодический математический журнал

* Подробнее о работах А. Ю. Давидова по механике см. у Н. Е. Жуковского в Собр. соч., т. VII, 1950.

* „Математический сборник“, т. 15, 1890, стр. 5,

** „Математический сборник“, т. 15, ч. 1, 1890, стр. 12. В. Я. Цингер, Речь и отчет, читанные 12 янв. 1886 г., стр. 170. .Известия Общества любителей естествознания“, т. LI Приложение, Москва, 1887, стр. 24 (приветственная речь проф. А. В. Летникова).

на русском языке. 28 января 1867 г. кружок был преобразован в Московское математическое общество. Его президентом был избран А. Ю. Давидов. Московское математическое общество — первое в мире, так как до этого существовали только математические отделения при Академиях. По его примеру стали возникать аналогичные общества в других странах.

А. Ю. Давидов подвизался на поприще пропагандиста и популяризатора достижений науки. Яркий лекторский талант и умение доступно и интересно излагать серьезные научные вопросы позволяли ему выступать с блестящими публичными лекциями и научно-популярными статьями. В основном эта сторона общественной деятельности А. Ю. Давидова касалась математики, но не только. Например, в университете им был прочитан цикл публичных лекций о паровых машинах, на съезде русских естествоиспытателей — доклад о единстве мер и весов.

Наиболее важное русло, по которому направлялась общественная деятельность А, Ю. Давидова, — это его работа в области народного просвещения. Особое место в педагогической деятельности А. Ю. Давидова занимает создание математических учебников для средней школы.

Для характеристики А. Ю. Давидова как общественного деятеля нужно еще учесть, что он был основателем, а затем пожизненным президентом Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии и, кроме того, некоторое время — президентом Общества акклиматизации животных и растений.

В день чествования 35-летней научной и общественной деятельности Августа Юльевича его приветствовали представители русской и мировой научной общественности. Из Петербурга, Казани, Варшавы, Киева, Парижа, Берлина, Женевы, Вены, Стокгольма и других городов присылали поздравления юбиляру общественные организации и видные ученые.

А. Ю. Давидов не намного пережил свой юбилей: 4 января 1886 г. он скончался от припадка грудной жабы.

Так как педагогическая деятельность А. Ю. Давидова представляет особенный интерес, остановимся на ней подробнее.

Будучи преподавателем университета, А. Ю. Давидов хорошо понимал, чем объясняется слабость математической подготовки поступающих. Схоластика в преподавании — вот основное зло, которому А. Ю. объявил войну, обратившись к вопросам преподавания математики в школе. Особенно значительно повлиял А. Ю. Давидов на преподавание математических наук в средних учебных заведениях своими математическими учебниками по предметам гимназического курса. Их основным достоинством, в отличие от предыдущих учебников, было стремление автора связать изложение теоретического материала с практикой. Эти учебники являются образцом доброкачественной учебной литературы, существенные признаки которой даны в следующих словах В. И. Ленина: „И популярная литература только та и хороша, только та и годится, которая служит десятилетия. Ибо популярная литература есть ряд учебников для народа, а учебники излагают азы, не меняющиеся по полустолетиям“*.

Все учебники А. Ю. Давидова выдержали большое число изданий: „Элементарная геометрия“ вышла в Г905 г. 24-м изданием, т. е. продержалась более 40 лет: „Начальная алгебра“ издавалась еще в советское время, в 20-х годах, и таким образом служила почти 60 лет; учебник тригонометрии переведен на болгарский язык.

Стремление связать теорию с практикой привело А. Ю. Давидова к мысли о широком использовании метода математических упражнений для самостоятельной работы учащихся. Все свои учебники он снабдил значительным числом задач и упражнений. Обилие задач для самостоятельного решения учащихся было новостью для учебной литературы того времени. „Книжный вестник“, помещавший аннотации книг, выпущенных вновь, отметил эту особенность учебника геометрии А. Ю. Давидова: „В курсе этом много задач, но автор ни одной не решает сам, только в конце книги находятся указания на решения“**.

Педагогические идеи, которые положены в основу учебников А. Ю. Давидова, являются развитием и талантливым завершением удачных методических замыслов его русских предшественников. В то время, когда за рубежом процветала схоластика в преподавании, а царское правительство усиленно добивалось перенятия западных педагогических образцов, в русской учебно-методической литературе шел процесс кристаллизации новых, антисхоластических методов преподавания математики. Учебники А. Ю. Давидова — не случайное явление, а необходимый результат хода развития русской педагогической мысли.

Научность — вот основа, которой подчиняется теоретическая сторона изложения его учебников. А. Ю. Давидов безбоязненно вводит в элементарные курсы новые вопросы, связанные с последними достижениями математики.

* В. И. Ленин, Соч., т. 6, стр. 280.

** .Книжный вестник“, 1864, СПБ, стр. 452.

Остановимся на учебнике геометрии А. Ю. Давидова, чтобы познакомиться с характером его педагогического творчества.

Учебник „Элементарная геометрия в объеме гимназического курса“ был издан в 1864 г. С первых строк книги чувствуется стремление А. Ю. Давидова связать преподавание теоретических вопросов элементарной геометрии с практикой. Первая глава книги начинается с аксиомы о прямой линии. В замечании к этой аксиоме автор указывает: „Если расстояние между двух точек слишком значительно, чтобы провести через них прямую линию с помощью линейки, в таком случае натягивают между этими точками веревку, предварительно покрытую слоем какого-нибудь окрашивающего вещества; приводя натянутую веревку в сотрясение, получим на поверхности окрашенный след ее, который изображает прямую линию“*.

Постоянно, на протяжении всей книги А. Ю. Давидов обращается к практике, старается связать изучение геометрических законов с показом того, как эти законы используются человеком в труде, в устройстве различных приборов и механизмов. Например, для уяснения сущности подобия он показывает, как это свойство фигур используется в практической деятельности людей. С этой целью А. Ю. рассказывает об устройстве масштаба и различных циркулей, описывает устройство математического прибора — пантографа — для рисования подобных многоугольников. В наше время этот интересный прибор в школьной практике незаслуженно забыт. Теоретическое содержание учения об окружностях и градусной мере подкрепляется указанием на практическую применимость и геометрические принципы устройства транспортира и астролябии. Отдельный параграф отведен теории съемки плана местности, в котором выясняется, какие законы геометрии при этом используются, даются указания практического характера^ дается понятие о методе триангуляции.

В этом учебнике А. Ю. Давидова дано 256 задач. В конце учебника приведены ко всем задачам ответы, а к большинству и решения.

Характерной особенностью учебника А. Ю. Давидова, отличающей его от ранее существовавших, является методическая высота и большая научность теоретической части. Современникам сразу бросились в глаза методические преимущества нового учебника. Академик В. Я. Буняковский писал А. Ю. Давидову: «Приношу Вам живейшую мою благодарность за прекрасный подарок. Ваша „Элементарная геометрия“ составляет истинное приобретение для нашей учебной математической литературы. Ясность, соединенная с сжатостью изложения, стройный порядок в распределении предметов, пояснительные, так удачно выбранные примеры, — все это вместе дает вашей книге большое преимущество перед другими учебниками геометрии"*.

Большое число хорошо исполненных чертежей, приведенных в тексте; четкость выделенных из контекста формулировок; общая система изложения материала; применение дедуктивного логического доказательства; стремление к исчерпанию всех возможностей изучаемого вопроса выгодно отличают учебник геометрии А. Ю. Давидова от его предшественников.

Чтобы яснее оттенить методическую сторону изложения у А. Ю. Давидова, посмотрим, как в учебниках геометрии Погорельского, Буссе и Давидова доказывается теорема о равенстве вертикальных углов.

В книге Погорельского:

„13. Когда две прямые линии (черт. 5) AB и CD пересекаются, то противуположные (вертикальные) углы АБС, ВЕС равны между собою. В самом деле, поскольку сумма смежных углов AEC+AED = 2 пр. угл., и BED~\- AED = 2 пр. угл., то AEC+AED = BED~\-AED\ или, отняв общий угол AED, будет ЛЕС — BED. Так же найдем, что AED = ВЕС. Отсюда: продолжение СИ прямой CD, перпендикулярной к AB, составляя с сею последнею углы ВСН и ACH равные, будет к ней также перпендикулярна“.

В учебнике Буссе:

„30. Если (черт. 20) прямую ВС, встречающую прямую AD в точке С, продолжим по другую сторону, то под линиею образуются еще два угла d и с. Стороны угла d суть продолжения сторон угла b, а стороны угла с суть продолжения сторон угла а. Таковые углы d и b, с и а называются противолежащими вершинами. Так как стороны угла d суть только продолжения сторон угла b, то из этого можно заключить, что наклонение боков обоих углов одно и то же, и что посему углы равны. Впрочем, в этом можно совершенно увериться следующим образом:

Z<* + Za-2tf (§ 26) Z» + Z*=2d (§ 26) Так как к £d и £b прибавляется одна

* А. Ю. Давидов, Элементарная геометрия в объеме гимназического курса, Москва, 1864, стр. 6.

* „Известия Общества любителей естествознания“, т. LI, Приложение, Москва, 1887, стр. 7.

и та же величина, и получается одна и та же сумма, то необходимо £ d = ^/ b, то есть углы противолежащие равны между собою“.

В геометрии Давидова:

„Теорема. Вертикальные углы равны между собою.

Пусть будут АОВ и COD (черт. 16) вертикальные углы, требуется доказать, что /_ AOB = __DOC.

Доказ. Заметив, что углы АОВ и AOD составляют пару смежных углов, также углы AOD и DOC и что по § б след. I, одна пара смежных углов равна другой паре, находим:

АОВ+ AOD = AOD + DOC.

Отняв по равному углу А OD, находим АОВ = DOC. Подобным же образом доказывается, что BOC = AOD.

Обратная теорема. Если два равных угла АОВ и COD (черт. 17) имеют общую вершину О и две стороны OB и ОС на одной прямой линии, то и две другие стороны OA и OD составляют одну прямую линию и образуют поэтому углы противоположные.

Доказ. Положим, что AOD есть не прямая, но ломаная линия и пусть будет ОЕ продолжение стороны АО, тогда углы АОВ и СОЕ будут углы противуположные и, по доказанному, равные между собою. Но, по положению, угол DOC равен углу АОВ; следовательно, угол ЕОС должен равняться углу COD, что очевидно не возможно, потому, что СОЕ есть только часть угла COD. Итак, предположение, что AOD не есть прямая линия, приводит к нелепому заключению, что часть равна своему целому“*.

Из приведенных примеров видно, что основа доказательства теоремы — равенство двум d смежных углов — в рассматриваемых учебниках одна и та же. Ясность, доступность, отточенность изложения доказательства теоремы у А. Ю. Давидова сразу бросаются в глаза. Методические средства, к которым прибегает автор, явились новостью для прежней учебной математической литературы.

У А. Ю. Давидова изложение нового вопроса начинается выделенной из контекста четкой формулировкой теоремы в общем виде. Затем указывается, что дано и что доказывается. Далее идет само доказательство. Такое изложение способствует лучшему уяснению сути геометрического предложения. Об этом говорит школьная практика. Учителя стремятся приучить учащихся записывать условия теорем подобно тому, как это делал А. Ю. Давидов.

Изложение научно-теоретического материала в учебнике А. Ю. Давидова строится на основе дедуктивного логического доказательства. Строго устанавливается связь каждого нового геометрического предложения с ранее рассмотренными; никаких ссылок на очевидность.

Наряду с основным материалом А. Ю. Давидов приводит дополнительный, выделенный мелким шрифтом. Сюда отнесены некоторые вопросы, которые сейчас проходят в школах (например, теорема о несоизмеримости диагонали и стороны квадрата), а также элементы „высшей“ математики, изучаемые в вузах. Например, сведения о гармонических и ангармонических отношениях, о полном четырехстороннике, о паскалевом шестиугольнике, об элементарном интегрировании, о сферическом треугольнике, о конических сечениях и пр.

Местами учебник кажется учащимся трудным. Так, главу об окружности А. Ю. Давидов начинает с понятия дуги и хорды, а кончает сведениями о полюсах и полярах. Такая широта оказывается учащимся не под силу, особенно при первом знакомстве с геометрией.

Учебник геометрии А. Ю. Давидова и сейчас еще не потерял интереса для учителей. И не только с точки зрения эволюции совершенствования методов математического преподавания и самих методов, но и в отношении теоретического содержания.

Остановимся на других учебниках А. Ю. Давидова.

Им присуща та же особенность — стремление автора связать теоретическое содержание с практикой. Этим же обусловлено обилие задач и упражнений в учебниках. Так, в „Начальной алгебре“, выпущенной в 1865 г. и получившей большое распространение благодаря своей полноте, ясности и точности, содержится 1281 задача. Об этом учебнике можно сказать, что он, как и учебник геометрии, отличается высокой научностью, привлечением результатов последних научных работ. То же можно сказать об учебниках тригонометрии и арифметики. Последний получил в свое время слабое распространение, так как был составлен без учета программы, принятой в школе, и поэтому оказался менее употребительным, чем другие учебники.

Коснемся теперь одной замечательной черты преподавательской деятельности А. Ю. Давидова — умения интересно, увлекательно излагать материал.

Вот несколько выдержек из воспоминаний друзей и учеников А. Ю. Давидова, которые на себе испытали обаяние слова знаменитого ученого.

* А. Ю. Давидов, Элементарная геометрия в объеме гимназического курса, Москва, 1864, стр. 12.

А. Гатлих вспоминает: „Лекции читал он не громким, но ясным голосом... По содержанию они были очень просты, кратки и ясны; несомненно, они были вполне обдуманно приспособлены к тому, чтобы начинающих математиков не напугать деталями и хитрыми доказательствами и вместе с тем оставить широкий простор для собственных размышлений. Но что особенно было важно: при слушании простых речей А. Ю. Давидова всегда думалось, что за этими немногими словами скрывается что-то большое, чудилась даль, до которой хотелось как можно скорее добраться“*.

Проф. В. Я. Цингер писал: „Он умел поддерживать слушателей в том неослабном напряжении мысли, при котором научная истина становится ясною и глубоко запечатлевается в уме.. . он умел с необыкновенной ясностью и последовательностью развить каждую идею с замечательным искусством устранять затруднения и сомнения слушателей; он очень хорошо владел словом и изложение его всегда ясное, точное носило на себе вместе с тем печать изящества“**.

Каким образом, благодаря чему добивался А. Ю. Давидов простоты, доступности, четкости, изящества, привлекательности изложения? Анализ его творчества и свидетельства современников показывают, что всего этого он достигал не посредством какого-то особого „врожденного“ таланта. Искусство излагать материал он постиг путем исканий и творческого труда. Глубокое знание предмета, стремление связать теоретический материал с жизнью, практической деятельностью человека, умелое использование новейших достижений науки, выбор наиболее доступных и в то же время изящных методов доказательства, высота общей культуры, работа над словом, речью, голосом — вот что создало А. Ю. Давидову репутацию талантливейшего лектора.

Даже в „Математическом сборнике“, сугубо научно-математическом журнале, А. Ю. организовал специальный отдел, где помещались статьи элементарно-математического и методического характера. Сам редактор принимал активное участие в этом отделе, помещая свои статьи.

Как известно, огромное место в жизни А. Ю. Давидова занимала работа в Попечительском совете Московского учебного округа. Он внимательно знакомился с письменными работами по математике выпускников средних учебных заведений округа; давал отзывы на математические учебники, представленные на рассмотрение Попечительского совета; руководил методико-педагогическим совершенствованием окончивших университет математиков, поступавших на так называемые педагогические курсы; рекомендовал Совету свои соображения по вопросам преподавания математики в гимназиях Московского учебного округа и подготовки учительских кадров; вел обширную частную переписку с учителями-математиками по методическим вопросам.

Особенно много внимания А. Ю. Давидов уделял вопросам математического преподавания в гимназиях, что стоит в непосредственной связи с созданием им математических учебников.

Замечания А. Ю. Давидова, сделанные по этому поводу на заседаниях Попечительского совета, не потеряли интереса и теперь.

Например, на одном из таких заседаний (3 декабря 1880 г.) обсуждался вопрос о распределении учебного материала и учебных часов по различным предметам гимназического курса.

Относительно математики было предложено сократить учебный материал по стереометрии и увеличить число уроков по другим математическим предметам.

Точка зрения А. Ю. Давидова, которая и была принята Попечительским советом, заключалась в следующем. Он указал, что многие разделы алгебры являются бесполезным обременением гимназического курса и нецелесообразны в педагогическом отношении. Такими разделами он считал: непрерывные дроби, бином Ньютона, неопределенный анализ в курсе V класса, а также разделы об общем наибольшем делителе и извлечении кубического корня. Поэтому он считал, что исключение из гимназического курса алгебры этих разделов ликвидирует необходимость увеличения учебных часов по математике*.

* „Математическое образование“, № 1, 1912, стр. 30—31.

** В. Я. Цингер, Речь и отчет, читанные 12 янв. 1886 г., стр. 167.

* МГОИА, р. 459, оп. 2, д. 3915, л. 34—35.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О ПОСОБИИ П. Я. ДОРФА и А. О. РУМЕРА „ИЗМЕРЕНИЯ НА МЕСТНОСТИ“ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ V—VII КЛАССОВ

В. Г. КАЙРИС (Калинин)

Рецензируемое пособие состоит из двух частей, содержащих 22 брошюры-выпуска и приложений и является обобщением некоторого опыта проведения измерительных работ на местности в связи с изучением геометрии в двух средних школах г. Москвы и в одной средней школе Московской области.

Часть I „Измерительные работы на Местности в V—VII классах“состоит из 14 брошюр-выпусков (включая введение), в каждой из которых приводится описание какого-либо вила работы и некоторые общие указания по ее организации.

Восемь брошюр-выпусков II части „Самодельные приборы для измерительных работ на местности в V—VII классах“ дают указания по изготовлению основных приборов и принадлежностей, необходимых для выполнения перечисленных в I части работ.

Приложения включают в себя учебный план местности, таблицу условных знаков, шкалу для лимба угломера, шкалу для нивелира-эклиметра, масштабные линейки (их изображения на бумаге) и палетку.

Во введении авторы излагают методические указания относительно организации и проведения работ на местности в школе, приводят примерный перечень работ и их примерное распределение по классам. В брошюрах 2—14 имеется описание разнообразных геодезических работ, начиная от провешивания прямых на местности и кончая отдельными видами и способами съемки плана местности. Весьма подробно изложено провешивание прямых, причем рассматриваются различные случаи (выпуск 2); полезны приведенные в выпуске 3 график зависимости пути от времени для пешеходов и велосипедиста и образец журнала при определении скорости движения по времени. Кратко и в доступной форме для незнакомого с геодезией педагога изложен вопрос о горизонталях, вообще о рельефе местности (вып. 12). Детально для учащихся V—VII классов сказано об измерении площадей (вып. 13), разметке клумб (вып. 14).

Для выполнения всех этих работ учащиеся должны иметь соответствующие инструменты, которые, к сожалению, нашем промышленностью выпускаются в настоящее время в весьма ограниченном количестве, притом невысокого качества.

Во второй части пособия учитель найдет инструктивные указания относительно изготовления необходимых самодельных приборов.

Полезны приложения, в частности, шкал (для лимба угломера и нивелира-эклиметра) и учебного плана местности, так как аккуратное изготовление шкал представляет определенную немалую трудность для учащихся V—VII классов, а учебные планы местности, необходимые для приобретения навыка в чтении топографического плана, в настоящее время не так распространены, чтобы их могли приобрести учащиеся.

Остается выразить сожаление по поводу того, Что эти нужные детали приложены в одном экземпляре. Желательно, чтобы их было по крайней мере по пяти экземпляров, и тогда бы учитель, имеющий на руках одно пособие (чего вполне достаточно), смог обеспечить этими деталями каждую группу учащихся, состоящую из шести-семи человек. Естественно предположить, например, что учебный план местности приложен для того, чтобы дать его учащемуся в руки и учить последнего его читать. Тогда Позволительно спросить, научатся ли чему-нибудь учащиеся, работая по 30 человек с одним планом?

Переидем к критическим замечаниям.

Прежде всего, авторы не сформулировали четко задачи, стоявшей перед ними при написании Данного пособия, и это отрицательно отразилось на содержании и форме изложения, по крайней мере первой его части. Во введении сказано, что пособие предлагается для учителей математики V—VII классов и обобщает опыт работы учителей (стр. 1). Далее говорится об осуществлении политехнического обучения на уроках математики. Авторы коротко знакомят читателя с содержанием пособия, отмечая, что учитель найдет в нем инструкции о проведении работ на местности, дают несколько методических указаний относительно организации дела, а в конце концов заключают: „На вполне естественный вопрос о том. какими способами издаваемое пособие может быть использовано школой, исчерпывающий ответ дать еще трудно. Вероятнее всего, что сначала оно будет применено в порядке внеклассной кружковой работы и т. д.“ (стр. 8).

Очевидно, в соответствии с этим, в методических указаниях об организации дела рекомендуется проводить работы „в поле“ во внеурочное время (п. 3, стр. б).

Пособие призвано помочь учителю осуществить элементы политехнического обучения на уроках математики (чего авторы и не отрицают), т. е. организовать, в частности, проведение работ на местности в учебное время. Так почему же пособие ориентирует на внеклассную работу? Ведь учитель не имеет права обязать всех учащихся работать во внеурочное время, а политехнические навыки необходимы каждому.

Авторам не стоило бы затруднять себя указанием, как будет использовано пособие, ибо уже опыт достаточно накоплен для того, чтобы перейти к регулярному проведению работ в учебное время. Читателю же, познакомившемуся с содержанием пособия, трудно ответить на вопрос: кем лучше может быть оно использовано: учителем или учащимся, допустим, бригадиром?

Предположим, что учитель, будучи незнаком с элементами топографии (а таких в настоящее время подавляющее большинство), приступает к проведению с учащимися измерительных работ на местности, руководствуясь лишь „Измерениями на местности“.

Посмотрим, что даст ему это руководство. Во введении он, прежде всего, найдет таблицу примерного распределения работ по классам, которая (по мнению авторов) показывает, что большинство видов работ повторяются, иногда постепенно усложняясь в зависимости от характера работы, во всех трех классах — от V до VIII (стр. 7). Хотелось бы дальше найти примеры усложнения повторяющихся видов работ, но их, к сожалению, нет. А увидев в таблице, что съемка по ходовой линии, например, предлагается для проведения в каждом классе, не всякий учитель догадается, как ее можно усложнить, переходя от V к VII классу. В соответствующей брошюре (вып. 8) указаний на этот счет тоже нет.

Имея в виду то обстоятельство, что на проведение измерительных работ учитель пока что может тратить весьма ограниченное количество времени, не лишним было бы деление работ на обязательные, проведение которых необходимо как подготовка к выполнению более сложных работ в последующих классах, и дополнительные, знакомство с которыми желательно при наличии определенных условий (свободного времени, инструментов и т. д.). Правда, это сковывало бы инициативу знакомых с геодезическими работами учителей, но давало бы четкое общее направление всем остальным, которых пока еще большинство.

Непонятно, на какого учителя ориентировались авторы, работая над содержанием I части: с одной стороны — излишне подробное (для учителя) описание провешивания прямых (вып. 2), с другой — предельно короткое (для того же учителя) указание на составление инструкции к проведению работы по разбивке футбольного поля самостоятельно учащимися (вып. 4). Если предполагается, что учителю надо разъяснить мельчайшие подробности провешивания, то где гарантия того, что тот же учитель правильно оценит качество составленной учащимся инструкции?

В выпуске 7 явно нехватает определения плана местности, которое учителю не мешает знать (да и учащимся тоже). Подробнее, чем это сделано авторами, надо бы познакомить читателя и с абрисом (вып. 8, стр. 1), и с понятием невязки, причинами ее возникновения (вып. 8, стр. 3), ее видами (вып. 8, стр. 3; вып. 9, стр. 3), способами устранения (вып. 9, стр. 4) и т. д.

Одним из недостатков содержания I части пособия является некоторая его бессистемность. Заключается она в том, что виды и способы отдельных съемок перемешаны, и не всегда ясно, что положено в основу классификации работ, принятой авторами.

Так, например, в брошюре „Работы с компасом“ (вып. 6) почему-то считается уместным изложить способы прямой и обратной засечек мензульной съемки плана местности. Почему же тогда не отнести сюда какой-либо иной способ съемки или вид ее, ведь в любом случае нужна ориентировка по компасу или буссоли? Выпуск 9 называется „Съемка обходом“, и в нем рассматривается угломерная съемка способом обхода по границам участка. В выпуске 10 «Мензульная съемка» рассматриваются лишь способы полярный и засечек. Но ведь известно, что и угломерная, и мензульная съемки могут производиться и полярным способом, и способом засечек, и способом обхода. Почему же пропал способ обхода мензульной съемки, которая проще угломерной, а полярный способ угломерной съемки не назван своим именем в соответствующем месте (вып. 6, стр. 7)? В выпуск 9 надо бы включить и съемку при помощи измерения одних длин способом обхода; она наиболее доступна учащимся V—VII классов.

В выпуске 11, посвященном нивелированию, полезно было бы четко выделить геометрическое и тригонометрическое нивелирование. Иначе неопытный учитель (а для него собственно и написано пособие) может понять, что три способа, описанные в выпуске, относятся к одному виду нивелирования. Понятно, что о тригонометрическом нивелировании рано говорить в V—VII классах. На этот счет можно сделать соответствующее указание, но учитель должен четко различать виды и способы нивелирования.

В пособии о геодезических работах весьма желательно познакомить учителя и с общепринятой в геодезии терминологией и дать учителю более точные определения некоторых понятий. Учащимся же можно дать определения тех же понятий проще. Казалось бы, авторы и должны были бы проинструктировать учителя о том, как то или иное новое для учащихся понятие сделать для последних доступным, когда и какой новый термин ввести. Однако в пособии этого нет. Например, знакомя учителя с угломером (вып. 5, стр. 1), авторы вводят термины „лимб“, „алидада“, но про алидаду говорят, что это „...планка с двумя булавками на концах“. Почему же не сказать, что на концах имеются, вообще говоря, диоптры (пояснить это понятие, которое без пояснения появляется в вып. 11), а в простейшем виде это — булавки? Почему дальше не рассказать, что значит „центрировать“ прибор, „визировать“ на точку и т. д. вместо многословного объяснения по существу того же самого (см. стр. 1, вып. 5)? Определив же эти понятия, авторы, а вместе с ними и учитель в дальнейшем нашли бы достаточно широкие возможности для их использования даже в этом же выпуске (стр. 2—3). Давая определения азимута и румба, не мешало бы отметить, что это — горизонтальные проекции углов, а учащимся V—VII классов можно о проекциях не говорить. Азимуты отсчитываются не по „стрелке часов“ (вып. 6, стр. 5), а по ходу ее; надо также сказать, что румбы отсчитывания в обе стороны. Об этом можно догадаться по тексту, но четко этого не сказано.

Полезно рекомендовать учителю намечать на плане (на мензуле) точку, соответствующую точке мест-

ности, при помощи мензульной вилки, которую можно изготовить и силами учащихся, указав, что при проведении работ в V—VII классах это может быть сделано на глаз, отчего точность съемки практически не уменьшится. Авторы же рекомендуют лишь последнее (вып. 10, стр. 1).

Следует отметить недочеты и в содержании отдельных работ. Работы по вешению прямых (вып. 2) нуждаются, например, в таких добавлениях: отметить, что при вешении на асфальте или полу используются вехи с подставками (стр. 1); работу №2 (стр. 3) можно специально и не описывать; вариант II работы № 4 (стр. 5) по существу не отличается от варианта I, поэтому его не стоило помещать. Зато полезно рассмотреть еще случаи, когда точка пересечения находится на продолжениях отрезков, на одном отрезке и продолжении другого. Этим будет обеспечена полнота работы № 4.

Развивать глазомер желательно рекомендовать не только на измерении длин, но и на измерении углов и площадей (сделать указания в соответствующих выпусках). При описании работы № 6 (вып. 3, стр. 8) мало указания на то, что из точки должны быть видны точки В и С; надо, чтобы эти точки были доступны для провешивания через них прямых и непосредственного измерения отрезков OB и ОС. Такое условие для решения задачи совершенно необходимо, это подтверждается рассмотрением следующей задачи (точнее, другого случая этой же задачи).

В работе № 1 (вып. 4, стр. 2) полезно рассмотреть два случая: восставить перпендикуляр к прямой из точки на прямой и опустить перпендикуляр на прямую из точки вне прямой.

О шестидесяти делениях лимба компаса (вып. 6, стр. 1) надо сказать больше, нельзя забывать, что знакомство с делениями угломера предполагается объяснительной запиской к ныне действующей программе по математике для средней школы.

О масштабе и плане, может быть, уместнее было бы сказать раньше, чем в выпуске 7, ибо понятие масштаба, по крайней мере, может быть использовано при выполнении работ, описанных в выпусках 2—6.

Говоря о мензульной съемке способом засечек (вып. 10, стр. 3—4), нельзя утверждать, что основу для выбора масштаба дает лишь измерение базиса. Можно привести сколько угодно примеров, когда выбранный на основе измерения базиса масштаб не позволяет нанести на план даже не наиболее отдаленные от базиса вершины участка.

Непонятно, с какой целью в выпуске 7 приведена следующая фраза: „линейный масштаб представляет собой простейший вид номограммы (функциональной шкалы)“ (стр. 2). Во-первых, номограмма и функциональная шкала — не одно и то же; во-вторых, трудно предположить, что учителя в своей массе знакомы с номограммами, поэтому присутствие этой фразы едва ли более уместно, чем ее отсутствие.

Что касается деления пособия на брошюры, то оно совершенно не оправдано. Если бы пособие давалось в руки учителю, который под чьим-то руководством выходит работать в поле или в мастерскую, то ему в самом деле было бы удобно взять одну брошюру вместо всех. Но поскольку учитель сам руководит работой, то он и без книги должен чрезвычайно четко в деталях представлять существо этой работы.

Учащимся же едва ли целесообразно давать эти брошюры, ибо то, что является руководством для учителя, не может служить тем же и для учащегося.

По первой части можно сделать замечание и о рекомендуемом количественном составе бригад (вып. 1, стр. 4). Последний зависит от вида работы, и не следует рекомендовать бригады от 3 до 5 человек. Для выполнения некоторых работ не имеет смысла объединение учащихся в бригады. Такие работы, как, например, измерение углов эклиметром, хождение с компасом по азимуту, удобнее выполнять одному учащемуся.

Для конкретных видов работ (желательно для всех) надо бы указать минимально необходимое количество членов бригады, а также и допустимые отклонения при отсутствии нужного количества инструментов или каких-либо других условий; не следует рекомендовать для выполнения той или иной работы произвольное число членов бригады, как это сделано, например, в выпуске 6 на стр. 10, 12. Указание конкретного количества членов бригад внесет четкость в инструкции.

В отношении второй части пособия можно высказать такие замечания.

1. Наряду со шпильками следует рассказать об изготовлении колышков с отверстием на одном конце (вып. 3, стр. 2).

2. В выпуске 4 следует сделать оговорку относительно материала, из которого изготовляются болты и гайки, чтобы они не влияли на положение магнитной стрелки.

3. Следует указать и иные варианты самодельного лимба (вып. 6), более определенно выразить мнение об угломере системы Д. М. Смычникова и, в частности, о штативе (там же). Ведь многие школы приобрели этот прибор.

4. Рекомендовать также изготовление ватерпаса, уровня и сообщающихся сосудов для геометрического нивелирования (вып. 8).

Резюмируя все сказанное, можно отметить, что пособие в целом излагает об измерительных работах на местности то, что нужно знать ученику, и не больше. В меру этого оно и может быть использовано учителем в его работе на первых порах.

Но естественно поставить вопрос: достаточно ли будет такого руководства для учителя, если государственная программа потребует от него регулярного и обязательного проведения с учащимися измерительных работ на местности? Отрицательный ответ последует сейчас же. Учитель должен знать больше того, что он расскажет ученику, поэтому он предварительно должен познакомиться с курсом геодезии или иметь соответствующее руководство, предназначенное для учителя математики. В связи с этим хочется выразить пожелание о выпуске для учителя такого пособия о геодезических работах в школе, которое излагало бы в доступней (для негеодезиста) форме существо основных геодезических работ и приводило бы указания относительно того, как их использовать при изучении математики в средней школе.

Пример такого пособия в истории советской школы был, им является книга М. А. Знаменского „Беседы по геодезии с учителями“, М.—Л., 1931, и нет оснований полагать, что в настоящее время такое пособие не найдет применения.

О КНИГЕ М. В. ПЕНТКОВСКОГО „СЧИТАЮЩИЕ ЧЕРТЕЖИ“

Министерство культуры СССР — Главиздат, ГИТТЛ, Москва, 1953, 151 стр., 3 приложения, цена 2 р. 20 к.

Б. И. ГЕХТ (Новочеркасск)

Рецензируемая книга состоит из двух глав, почти равных по объему. В первой книге дана общая теория номограммы из выравненных точек. Основным в номографии является понятие шкалы. Так называют линию (прямую или кривую), если между ее точками и действительными числами установлено некоторое соответствие (как правило, взаимно однозначное).

Точки шкалы называются помеченными точками, а соответствующие им числа — их пометками. Соответствие между точками шкалы и числами задается на чертеже очень просто: некоторые точки шкалы отмечаются штрихами и около них пишутся их пометки. Если обозначить через и—пометку, а через X — дуговую абсциссу точки на данной линии, отсчитанную от точки, взятой произвольно на этой линии, то X = X (и) есть уравнение шкалы. Между двумя точками шкалы, отмеченными штрихами и пометками, могут быть (через равные интервалы изменения переменной и) точки, отмеченные штрихами, но без пометок — немые штрихи.

После того как читатель ознакомился с понятием шкалы, приведены примеры на построение шкалы по заданному уравнению х—=х(и)\ в частности, построены прямолинейная равномерная шкала

X = mu -\~ а

и прямолинейная логарифмическая шкала

X = m log и + а.

Читатель знакомится далее с уравнениями шкалы в прямоугольной системе координат. Сперва рассматривается шкала, расположенная на прямой, параллельной оси ординат.

Если X = а — уравнение этой прямой и у = у (и)— зависимость ординаты точки шкалы от ее пометки, то в прямоугольной системе координат шкала определяется уравнениями:

X = Я,

у = у (и).

Если же шкала расположена на произвольной линии L и если и — переменная, значения которой являются пометками точек шкалы, то уравнения шкалы в прямоугольной системе координат будут:

(1)

В книге выводится соотношение

(2)

связывающее координаты трех точек: М(х\\ vj), АЧ*2» Уъ) и ^(-^з» Уз)» лежащих на одной прямой. Соотношение (2) используется далее при изучении номограммы из трех выравненных точек.

Рассматриваются три прямолинейные шкалы: и, v и w, расположенные на трех параллельных прямых. Шкала и лежит на оси ординат; ее уравнения:

(3)

Шкала v лежит на прямой

х = Н,

где H — заданное число, и определяется уравне ниями:

(4)

Носитель шкалы w делит расстояние между носителями шкал и и v в отношении m: п; поэтому уравнения шкалы имеют вид:

(5)

Если три точки шкал и, v и w лежат на одной прямой, то, согласно (1), справедливо равенство:

или после элементарных преобразований:

(6)

Далее вводятся обозначения:

после чего соотношение (6) примет вид:

(7)

Отсюда делается важный вывод, что всякая номограмма с тремя параллельными шкалами является изображением зависимости типа (7) между тремя переменными. Затем решается и обратная задача: предполагается, что задано уравнение (7), связывающее .переменные и, v, w, и выводятся уравнения шкал.

Уравнения шкал содержат множители //, m и л, оставшиеся пока неопределенными. В дальнейшем, при построении номограмм с параллельными шкалами, показано, как воспользоваться произвольностью Н, тип для того, чтобы номограмма оказалась удобно расположенной на чертеже при заданных его размерах. В книге построены следующие номограммы с тремя параллельными шкалами: номограмма сложения, номограмма умножения и номограмма для вычисления сопротивления провода по формуле:

Каждый из этих примеров разобран подробно, со всеми необходимыми пояснениями и указаниями не только теоретического, но и технического характера.

Следующий тип номограмм, рассмотренных в книге, — номограмма с одной криволинейной шкалой. В качестве примера строится номограмма для решения квадратного уравнения

*2 -f. pz + q = о

по заданным коэффициентам р и q и номограмма для вычисления площади полной поверхности цилиндра по его высоте и по радиусу основания.

Небольшой заключительный параграф первой главы посвящен номограммам стремя криволинейными шкалами.

Вторая глава названа автором „элементарная геометрия и номограммы“. В этой главе доказываются простые свойства геометрических фигур методами элементарной (синтетической) геометрии и показывается, как применить эти свойства при построении номограмм. Подобным образом рассмотрены номограмма с двумя параллельными прямолинейными шкалами, пересеченными третьей прямолинейной шкалой, номограмма с тремя прямолинейными шкалами, пересекающимися в одной точке, и некоторые номограммы с криволинейными шкалами. В последних параграфах книги рассматриваются номограммы с подвижными шкалами (среди которых представляют особый интерес счетные линейки) и составные номограммы.

Рецензируемая книга очень богата по содержанию. Кроме теоретического материала, приводится большое количество примеров (некоторые из них имеют физическое содержание). Книга написана хорошим языком, хорошо оформлена, доступна пониманию учащихся старших классов средней школы.

Позволим себе отметить некоторые ее недостатки. В книге нет никаких сведений из истории номографии. Поскольку основной читатель книги — учащийся средней школы, во введении следовало бы дать краткие, но ясные указания о том, в какой последовательности можно изучить предлагаемую книгу. Желательно также найти в книге методические указания для учителя, знакомящего своих учеников с номографией в порядке кружковой работы.

В начале первой главы автор знакомит читателя с номограммой сложения с двумя криволинейными шкалами и одной прямолинейной, с номограммой умножения с тремя прямолинейными шкалами, пересекающимися в одной точке. Вряд ли это целесообразно: читателю непонятно, зачем пользоваться номограммой сложения с криволинейными шкалами, когда на обложке приведена более простая для построения номограмма (см. чертеж в книге).

Вообще в тех случаях, когда автор приводит несколько номограмм для одной и той же зависимости между переменными, необходимо коротко указать на их сравнительные преимущества и недостатки.

У неопытного читателя может создаться впечатление, что номограммы нарочно усложнены (на самом деле, как мы понимаем, автор строит более сложные по виду номограммы для простых функциональных зависимостей с целью ознакомить читателя именно с этими типами номограмм).

Автор почему-то не пользуется некоторыми обозначениями, общепринятыми в высшей математике: например, значение функции у (и), соответствующее значению аргументам = и0,вместо у (и0) обозначается так: у (и = м0), или: в левых частях уравнений (3), (4), (5), и им подобных, пишутся значки, хотя это не принято в высшей математике.

Приводя уравнения (1) шкалы, необходимо указать, что это параметрическое уравнение носителя шкалы.

В книге доказано, что номограмма с тремя параллельными прямолинейными шкалами, одна из которых лежит на оси ординат, соответствует зависимости типа (8) между переменными и, v и w. Необходимо указать, что номограмма с тремя прямолинейными параллельными шкалами отражает только зависимости указанного типа, как бы ни расположить прямолинейную систему координат по отношению к шкалам.

Книга оказалась бы доступней юному читателю, если бы ее содержание расположить двумя концентрами: сперва то, что относится к номограммам с прямолинейными шкалами, потом все остальное.

Разбор этой книги в математическом кружке целесообразно начать с уравнения шкалы и изучения номограмм с тремя прямолинейными параллельными шкалами.

Рецензируемая книга, безусловно, одна из лучших научно-популярных книг по математике, она заполняет существенный пробел в нашей литературе и будет пользоваться большим успехом не только у учащихся и учителей средней школы, но и у студентов вузов, у техников и инженеров.

Тираж книги (35 000 экземпляров) окажется, повидимому, слишком малым.

ХРОНИКА

ПРОБЛЕМЫ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ НА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ЧТЕНИЯХ АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

И. Б. ВЕЙЦМАН (Москва)

На последних «Педагогических чтениях» центральное место заняла проблема политехнического обучения.

Представленные учителями математики доклады о политехническом обучении рассматривают этот вопрос всесторонне и охватывают разнообразные области приложения математики к практике. Не имея возможности разобрать все доклады, мы остановимся только на некоторых из них.

А. И. Можаев поделился опытом работы коллектива учителей 25-й средней школы г. Ворошиловограда. Методическая комиссия ведет журнал «Математика и жизнь», в котором систематически собирается цифровой материал об успехах социалистической техники и строительства, этот материал используется для составления задач во всех классах.

Особый интерес представляет сотрудничество школы с инженерно-техническими работниками окружающих заводов. Вместе с инженерами учителя математики проводили экскурсии на завод, при этом ставилась задача не только ознакомить учащихся с производством, но и показать, как применяется математика в заводской практике.

В практику школы прочно вошли работы на местности и изготовление учащимися наглядных пособий*.

Особый интерес вызвало сообщение учительницы школы № 29 г. Куйбышева И. Н. Дятловой.

Одной из главных трудностей, стоящих на пути осуществления политехнизации, является отсутствие систематически подобранного задачного материала. В качестве задачного материала И. Н. Дятлова применяет рисунки, заводские чертежи, при этом в ряде случаев ученику предлагается самому сделать необходимые измерения. Часто ученик решает задачу шаблонно, вместо того чтобы проявить сообразительность. Например, в такой простой задаче, как вычислить объем сарая с односкатной крышей, очень немногие сообразили, что проще найти кубатуру, рассматривая сарай как прямую призму, основаниями которой служат боковые стенки.

Учительница предлагает на уроке и на контрольных работах задачи, для решения которых ученик должен проделать самостоятельно все необходимые измерения. Рассмотрим, скажем, такую задачу: даны деревянный цилиндр, мерительная линейка и штангенциркуль, нужно найти вес вписанного деревянного конуса или пирамиды с данным основанием,— решение должно сопровождаться чертежом, задача решается сначала в общем виде, а затем вычисления должны производиться с точностью, определяемой точностью мерительных инструментов.

И. Н. Дятлова знакомит учащихся с многочисленными приемами вычислений и измерений, заимствованными из практической жизни. Так, для быстрых устных вычислений длины окружности и площади круга, весьма удобно принять ~ равным 3 и полученный при этом результат увеличить на 5%. Ученики сознательно относятся к подобного рода вычислениям, понимая, что в данном примере я взято равным 3,16. Ученики знакомятся с приемом, употреблявшимся землемерами допетровской Руси, считавшими площадь круга равной площади квадрата с периметром, равным длине окружности.

И. Н. Дятлова широко использует графики и номограммы; так, при изучении графика прямопропорциональной зависимости ученики решают на этом графике задачи на проценты трех основных типов, переводят одни меры в другие, переводят обыкно-

* Статью А. И. Можаева см. в № 2 журнала «Математика в школе» за 1954 г.

венные дроби в десятичные и др. Используется для различных целей номограмма z = х + у, основанная на свойстве средней линии трапеции, а в старших классах ученики знакомятся с_ функциональными шкалами типа у — ах2, у = аугх, у — klgx, что позволяет пользоваться простейшими номограммами для нахождения объемов и поверхностей цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара, шарового сегмента и т. д.

С большим интересом ученики относятся к всевозможным счетным приборам, начиная от счетов, арифмометра, логарифмической линейки и кончая некоторыми любопытными самодельными приборами.

Во многих докладах — В. Г. Малков (с. ш. № 2 ст. Челябинск Ю.-У. ж. д.), Г. А. Михайлов (г. Выкса), В. М. Анисимов (ст. Борисоглебск), И. В. Осипов (шк. № 52 Амурской ж. д.) — был изложен опыт проведения измерений на местности. Здесь следует особо подчеркнуть, что в большинстве докладов задача измерения на местности ставится не как самоцель, а как показ практического применения полученных учащимися геометрических сведений. Несомненный интерес представляют многочисленные самодельные приборы, предлагаемые учителями и учениками (пантограф, высотомер, дальномер и пр.).

Ряд докладов был посвящен использованию и изготовлению наглядных пособий: П. Ф. Безматерных (пос. Джамбул Амурской области)—„Модель тригонометра“ (прибор оригинальной конструкции, позволяющий демонстрировать не только изменения тригонометрических функций, но также и формулы приведения, решение некоторых тригонометрических уравнений и ряд других вопросов тригонометрии); И. И. Ветчинкин (г. Саранск)—„Стереометрический столик“; Б. И. Воронов (пос. Кунья)—„Универсальная доска“ (модификация известного „стереометрического ящика“, но отличающаяся простотой изготовления); И. Ф. Гризодуб (г. Таганрог)—„подвижная каркасная модель куба“, А. А. Постнов (гор. Латинск) — „Опыт изготовления учащимися стереометрических приборов“.

С интересом участники прослушали доклад А. А. Панкратова (г. Калинин) „О связи преподавания геометрии и черчения“. На ярких примерах автор выяснил причину недостатков, которые имеют место в школе в деле увязки преподавания геометрии и черчения. В положительной части своей работы докладчик показал, что то направление в решении задач на проекционном чертеже, которое возглавляет проф. Н. Ф. Четверухин, прокладывает мост между школьной и вузовской геометрией. Кроме того, А. А. Панкратов продемонстрировал, как использовать обычный, применяемый в технике способ ортогонального проектирования для решения школьных стереометрических задач.

А. Я. Шор (Москва) в своем докладе показал, какое значение имеет прикидка ответа на глаз и рациональные приемы проверки арифметических задач в деле воспитания реального понимания явлений жизни и техники. Интерес к проблемам политехнизации свидетельствует о том, что наше учительство с большой энергией взялось за осуществление решений XIX съезда КПСС о политехническом обучении.

Из остальных докладов, посвященных отдельным проблемам частной методики, заслуживают особого внимания работы: Н. А. Байбурт (Ростов) „Решение иррациональных уравнений и проверка их корней“, М. Е. Цыпкин (Казань) „Методика проверки и исследования корней тригонометрических уравнений“, Т. Д. Вольпе (Новгород) „Алгебраические функции и их графика“, Ф. А. Андреев (Уфа) „Развитие логического мышления и решение задач на доказательство“. В докладах В. А. Раевского, И. А. Тимофеевой, Я. С. Герценштейна нашла подробное освещение проблема устной и письменной речи на уроках математики. Как в самих докладах, так и в прениях по докладам был поднят ряд вопросов общеметодического порядка.

ПОДГОТОВКА НАУЧНЫХ КАДРОВ ПО МЕТОДИКЕ МАТЕМАТИКИ В ИНСТИТУТЕ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ АПН

Н. Н. НИКИТИН (Москва)

Расширение сети педагогических институтов, укрепление кадров институтов усовершенствования учителей, быстрый рост числа школ в связи с осуществлением всеобщего десятилетнего обучения требуют значительного увеличения количества преподавателей математики. Необходимость разработки научно-методических проблем, способствующих улучшению качества преподавания математики в свете решений XIX съезда КПСС естественно ставит с особой остротой вопрос о подготовке научных кадров в области методики математики.

Подготовка научных кадров по методике математики ведется в настоящее время в ряде педагогических институтов РСФСР: в Московском педагогическом институте им. В. И. Ленина, в Московском городском педагогическом институте им. В. П. Потемкина, в Московском областном педагогическом институте, в Ленинградском педагогическом институте им. Герцена, в Молотовском педагогическом институте, в Ярославском педагогическом институте и в Кировском педагогическом институте, где имеется постоянная штатная аспирантура.

Работа в этом направлении ведется также и в Институте методов обучения Академии педагогических наук.

Подготовка научных кадров по методике математики ведется различными путями:

1) при секторе методики математики ИМО АПН имеется штатная аспирантура;

2) Министерство просвещения РСФСР по ходатайству педагогических и учительских институтов направляет для прикомандирования к сектору методики математики ИМО преподавателей институтов для завершения и защиты диссертаций;

3) при секторе методики математики имеется экстернат по сдаче кандидатского минимума и подготовке кандидатских диссертаций;

4) сектор оказывает помощь путем консультаций, рассмотрения проспектов диссертаций и организации их защиты лицам, готовящим диссертации самостоятельно.

Штатная аспирантура

В штатную аспирантуру принимаются лица, имеющие законченное высшее математическое образование. Как правило, это лица, окончившие университет или педагогический институт по физико-математическому факультету, имеющие достаточный стаж педагогической работы (не менее трех лет).

Прием в аспирантуру производится один раз в год — в сентябре месяце по конкурсному экзамену. В штатную аспирантуру ежегодно принимаются 2—3 аспиранта.

Приемные экзамены по математике и методике математики сдаются за курс физико-математического факультета педагогического института по анализу, алгебре и геометрии. Кроме того, сдаются экзамены по философии и одному иностранному языку.

Срок пребывания в аспирантуре — 3 года.

Штатная аспирантура существует при институте с 1948 г.

За это время закончили аспирантуру восемь человек.

В настоящее время на трех курсах при секторе имеется шесть аспирантов.

Прикрепление для завершения диссертаций

С 1951 г. для завершения диссертаций к сектору прикомандировываются Министерством просвещения преподаватели педагогических и учительских институтов в том случае, если они имеют ученое звание доцента или успешно сдали все кандидатские экзамены и, кроме того, выполнили не менее половины работы, связанной с подготовкой диссертации. Прикомандирование производится на один год. Для каждого из прикомандированных, как и для штатных аспирантов, выделяется научный руководитель.

Ходатайство о прикреплении к Институту методов обучения для завершения диссертации возбуждается дирекцией педагогических институтов по решению Ученого совета через Министерство просвещения РСФСР.

В настоящее время при секторе имеется шесть прикомандированных, кроме того, семь человек защитили диссертации в 1952 и 1954 гг.

Экстернат

Кроме штатных аспирантов и лиц, прикрепленных для подготовки диссертаций к защите при Институте методов обучения, имеется экстернат. Всего при ИМО в настоящее время имеется 545 экстернов. Из них 152 экстерна состоят при секторе методики математики.

Экстернат установлен с 1950 г. За это время сдали все экзамены и защитили диссертации 16 человек, 82 человека сдали все кандидатские экзамены и работают над диссертациями, остальные 54 сдали часть экзаменов.

В большинстве случаев в экстернат зачисляются преподаватели педагогических и учительских институтов, научные сотрудники институтов усовершенствования учителей, участники «Педагогических чтений» и учителя математики средних школ, педагогических училищ и техникумов.

Экзаменационные сессии для экстернов устанавливаются ежегодно в особые сроки 5—6 раз в год.

Лица, зачисленные в экстернат, пользуются консультациями научных сотрудников сектора методики математики как по подготовке к сдаче кандидатских экзаменов, так и по подготовке диссертаций. Однако выделить для каждого экстерна научного руководителя сектор не имеет возможности. В большинстве случаев подготовка к сдаче кандидатских экзаменов и выполнению диссертационной работы экстернами производится самостоятельно. Нередко большую помощь в этом случае оказывают математические кафедры педагогических и учительских институтов на местах.

Участок работы с экстернами является наиболее трудным, во-первых, ввиду большого числа их, во-вторых, в силу того, что консультация в силу необходимости в большинстве случаев производится письменно, что требует весьма значительной затраты времени, в особенности если учесть сравнительно незначительный состав научных сотрудников сектора.

В силу этого, в минувшем 1953 г. по указанию Президиума АПН сектор вынужден был отказать в приеме в экстернат, хотя имелось около 50 заявлений.

Здесь естественно возникнет вопрос о необходимости упорядочить вопрос о зачислении в экстернат. Целесообразнее всего было бы распределение экстернов сосредоточить в Министерстве просвещения РСФСР и равномерно направлять абитуриентов в учреждения, которым дано право принимать на за-

щиту диссертации педагогического характера, в том числе и в Институт методов обучения.

В противном случае многие лица, желающие получить ученую степень кандидата педагогических наук в порядке экстерната, будут лишены этой возможности.

Следует сказать, что в экстернат стремятся зачислиться лица из многих наших союзных республик, почти не располагающих научными кадрами по методике математики. Помощь им особенно необходима.

Защита диссертаций другими лицами

Наконец, Институту методов обучения приходится ставить на защиту в Ученом совете и такие диссертации, которые подготовлены разными лицами совершенно самостоятельно, или защиту таких диссертаций, которые подготовлены в институтах, имеющих аспирантуру по методике математики, но не имеющих права на присуждение соответствующих ученых степеней.

Кандидатский экзамен и диссертация

Кандидатский экзамен по специальности сдается по математике (анализ с теорией функций, или алгебра с теорией чисел, или геометрия) и по методике математики (общая методика математики, методика арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии).

Большое число запросов поступает с мест по вопросу о диссертационных темах. Нередко со стороны отдельных лиц поступают просьбы дать им тему диссертации.

Сектор методики математики полагает, что диссертация на методическую тему должна быть, как правило, результатом серьезной и продуманной работы соискателя ученой степени над разрешением какой-либо методической проблемы, обобщением личного опыта работы, результатом хорошо проведенного эксперимента, изучением актуального исторического материала.

Кандидатские диссертации по методике математики могут быть посвящены как проблемам общей методики математики, так и проблемам, связанным с повышением качества преподавания отдельных математических предметов, а именно: арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии.

Проблемы эти должны вытекать из задач, поставленных решениями КПСС и Советского Правительства о школе.

Диссертации должны быть разработаны таким образом, чтобы по ним можно было судить о научной подготовке диссертанта, об основательном знакомстве с литературой, относящейся к разрабатываемой проблеме, об умении диссертанта поставить методическую проблему, правильно организовать педагогический эксперимент и сделать на основе проведенного исследования объективные, убедительные и вполне конкретные выводы, имеющие практическое значение для улучшения обучения учащихся математике и способные обогатить методическую науку новыми идеями и теоретическими обобщениями.

Диссертация должна быть написана литературным языком, снабжена необходимыми чертежами, документацией (ученические работы, стенограммы уроков, анализ ученических работ и т. д.) и исчерпывающим списком использованной литературы.

Само собой разумеется, что указанная выше работа не может быть выполнена только силами сектора методики математики.

В работе по подготовке научных кадров принимают участие действительные члены и члены-корреспонденты АПН и научные силы, привлекаемые институтом из других высших учебных заведений и научно-исследовательских учреждений нашей страны.

За время с 1946 г. через сектор прошло свыше 100 диссертаций, из них 5 докторских.

Одобрены сектором и получили большинство голосов в Ученом Совете — 57 диссертаций. 4 диссертации не были единодушно одобрены сектором и не получили большинства в Ученом Совете. 32 диссертации отклонены и не допущены до защиты. 9 диссертаций находятся в стадии рассмотрения.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 1 ЗА 1954 г.

№ 1

Решить уравнение:

Решение. Введем обозначения:

(1)

тогда, на основании определения главного значения арксинуса, имеем:

Так как углы а, ß, 7 заключены в сегменте а косинус, как известно, любого угла из этого сегмента положителен, то

(2)

Имеем:

Взяв синус от обеих частей равенства (3), получим:

(4)

Очевидно, X ф 0 (ибо в противном случае левая часть данного уравнения обратилась бы в нуль, что невозможно).

Сократим уравнение (4) на х и после элементарных преобразований получим:

откуда

Согласно условию, ß>£>c, поэтому возможны следующие случаи:

I, При а = b = с = 0 уравнение не имеет решений.

II. При д>0, 6>0, с = 0 имеем:

что возможно при

откуда

В этом случае формула (5) теряет смысл, а заданное уравнение имеет единственное решение:

III. При а>0, #>0, с>0 уравнению удовлетворяет только положительное значение х по формуле (5).

Итак, решениями данного уравнения являются:

№ 2

Решить уравнение:

Решение. 1) При а = 0 и с = 0 получаем:

откуда

2) При а = 0, с ф О имеем:

откуда

3) Решим уравнение для случая а ф О и с ф О-В этом случае, очевидно, уравнение не имеет нулевых решений, т. е. имеем одновременно: афО и X ф 0; приняв во внимание это предположение, выполним следующие преобразования:

разделив на а*х* ф 0, получим:

Ведя подстановку

получим:

(ß)

Представим уравнение (ß) в следующем виде:

При раскрытии скобок члены, содержащие (у+А) в нечетной степени, взаимно уничтожатся. Имеем:

Откуда

(Y)

Из формулы (т) видно, что два из значений у— мнимые числа. Остальные два значения действительные, в случае если

откуда

В случае же если

все четыре значения у — мнимые.

Обозначив через yt, у2> Уз* Уа найденные по формуле (у) значения у и подставив их в уравнение (ах), получим квадратные уравнения:

из которых находим:

Подставив в равенство (8)_у/, из равенства (y), найдем 8 корней данного уравнения:

№ 3

Доказать, что в треугольнике ABC, где BL — медиана, ВМ — биссектриса, имеет место соотношение:

Решение. Обозначим: СВ = а, AB = с, АС — b.

Исходя из свойства биссектрисы внутреннего угла треугольника, имеем:

отсюда

(1)

Так как треугольники ABC и MBL имеют общую высоту, то их площади относятся, как основания АС и ML этих треугольников. Отсюда имеем:

Черт. 1

Примечание. Последнее соотношение имеет смысл только при а ф с, так как при а = с медиана и биссектриса совпадают.

№ 4

Из всех четырехугольников с одними и теми же сторонами четырехугольник, около которого можно описать окружность, имеет наибольшую площадь (черт. 2).

Решение. Обозначим: ЛВ = я, ВС = b, CD = с, DA = d, ABC = a, ^ CZM = ß.

Имеем:

(1)

Возведя равенство (1) в квадрат, получим:

(2)

По теореме косинусов имеем:

отсюда

(3)

Возведя равенство (3) в квадрат, получим:

отсюда

(4)

Подставив последнее выражение в равенство (2), получим:

(5)

Максимум AS2 совпадает с максимумом 5, но выражение (j) имеет максимум при cos (a + ß) = — 1 ; a + ß = 180° в том случае, когда четырехугольник будет вписан в окружность.

№ 5

Определить максимум функции:

Решение. Преобразуем данное выражение:

Так как

то мак-

симум функции и будет при равенстве сомножителей,

Отсюда

№ 6

Доказать тождество:

Решение. Из известного тождества:

(1)

вытекает, что если

x + y + z = 0t (2)

то

(3)

Если обозначить:

то легко проверить, что

в самом деле:

Следовательно, заданное тождество справедливо.

Примечание. Большинство участников конкурса доказывали это тождество громоздко, выражая синусы разности по формуле и возводя в куб.

№ 7

Дан ряд концентрических окружностей с радиусами г\, г2, г3,..., г причем площадь любого кругового кольца, заключенного между двумя соседними окружностями радиусов и гkJf_ драена площади внутреннего круга, радиус которого Г\.

1. Доказать, что наибольшая хорда, целиком лежащая внутри любого такого кругового кольца, равна диаметру внутреннего круга 2г\,

2. Определить, для каких значений k эта хорда превращается в сторону вписанного правильного многоугольника и какого именно?

Решение. 1. Написав систему вытекающих из условия задачи равенств:

и сложив их, получим:

Откуда

(1)

Пусть AkJr xBk _j_ ] — наибольшая хорда (черт. 3), касающаяся внутренней окружности радиуса в точке Ok-

Имеем:

учтя равенство, (1)

получим:

Отсюда способ построения ряда таких окружностей (см. чертеж 4).

2. Исходя из чертежа 3, имеем:

откуда:

Если же Ak j^\Bkj является стороной правильного /г-угольника, то

Это уравнение имеет только следующие два решения в целых числах:

т. е. наибольшие хорды, целиком укладывающиеся только в первом и третьем круговых кольцах, являются сторонами вписанного квадрата (в первом кольце) и вписанного правильного шестиугольника (в третьем кольце).

Черт. 3

Черт. 4

№ 8

Доказать, что объем тетраэдра равен произведению площади параллелограма со сторонами, соответственно равными двум противоположным ребрам на одну шестую кратчайшего расстояния между этими ребрами.

Решение. На основании ABC данной пирамиды (SABC) (черт. 5) построим призму, имеющую ту же высоту, что и данная пирамида.

Проведя в боковых гранях диагонали SC и СЕ, получим пирамиду SDEC, равновеликую пирамиде SABC. Высота пирамиды SDEC, опущенная из вершины S на плоскость основания CDE, равна кратчайшему расстоянию между ребрами SA и ВС, так как ребро SA параллельно плоскости параллелограма BCDE (по построению). Имеем:

Черт. 5

№ 9

Решить уравнение:

Решение 1-е. Преобразуем левую часть уравнения следующим образом:

Имеем: отсюда

Имеем

№ 10

Решить уравнение:

где R — радиус круга, описанного около треугольника, г — радиус круга, вписанного в треугольник; (т. е. полупериметр треугольника).

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители:

Итак, один из корней данного уравнения равен г, х1 = г.

Для решения уравнения:

положим Имеем:

Откуда

(Смотри задачу № П в журнале „Математика в школе" № 6 за 1953 год). Итак:

№ 11

Доказать, что

(11)

где а, y — углы треугольника.

Решение. Так как а, В и f — углы треугольника, то, на основании теоремы синусов, имеем:

(1)

где a, b и с — стороны треугольника, a R — радиус описанной окружности.

Итак, подставив равенство (1) в данное неравенство, получим:

(2)

или

(3)

или

(4)

Известно, что

где г — радиус вписанной в треугольник окружности. Поэтому последнее неравенство примет вид:

(5)

(6)

или

(7)

В левой части последнего неравенства — периметр треугольника, а в правой —длина окружности, вписанной в него. Так как неравенство (7) эквивалентно неравенству (lj), то, следовательно, неравенство (1]) доказано.

№ 12

Решить систему уравнений:

где а, b, с — действительные числа, причем а 4“ b > с, b+с> а, с+ а> b, ал — целое положительное число, больше 1.

Решение. Складывая второе уравнение с третьим и вычитая из полученного при этом уравнения первое, будем иметь:

(1)

Аналогично находим:

(2) (3)

Система уравнений (1), (2), (3) эквивалентна данной. Перемножая почленно уравнения (1), (2), (3), получим

откуда

и, следовательно

(4)

действительное положительное число, а Е — есть любое из значений корня (л —j— 3)-й степени из единицы.

Система уравнений, состоящая из уравнений (1), (2), (3), будет эквивалентна совокупности систем, состоящих из уравнений (1), (2), (3) и (4). Совокупность же систем уравнений (1), (2), (3) и (4) эквивалентна следующей:

Отсюда имеем:

(5)

где £j, Е2, £3 — корни степени п(п+2>) из единицы

(6)

где р, q и / принимают значения 0, 1, 2,..., п(п+3)— 1. Так как должно еще выполняться соотношение

то или

Так как Е любое значение

Из последнего соотношения находим:

или

Следовательно, p+q-\~l равно 0 или п, или 2л, или 3/7 и т. д. Таким образом, все решения данной системы даются формулами (5), где Еь £2, Е3 определяются формулами (б), причем р, q и / целые неотрицательные числа, принимающие значения 0, 1, 2,3,... я (/I + 3)— 1, и такие, что р + q + / равно одному из чисел 0, п, 2п, Зп...

№ 13

При каком условии выражение х2 -f у2 + z2 +12 имеет минимум, если переменные х, у, z, t удовлетворяют равенству тх + пу + pz + qt = А, где m, л, р, g и А — постоянные.

Решение. По формуле Лагранжа имеем:

Так как т2-\~ п2+р2+q2 и тх+пу+pz ~\-qt — постоянные, то сумма х2 + у2 + z2 +*2 принимает наименьшее значение при наименьшем значении выражения:

Но эта сумма достигает минимума при

№ 14

Решить уравнения:

Решение. Так как х ф 0, то, разделив уравнение

на xi, получим:

(1)

Положим

(2)

тогда

Выполнив соответствующую замену в уравнении (1), получим:

(3) (4)

Левую часть уравнения (4) можно разложить на множители следующим образом:

(5)

Откуда имеем:

Итак, данное уравнение (а) эквивалентно совокупности четырех квадратных уравнений:

Откуда имеем:

Решение задачи № 4, помещенной в № 6 за 1953 год.

Из квадратного листа жести, сторона которого равна а, вырезать развертку правильной четырехугольной пирамиды наибольшего объема и найти двугранный угол при основании пирамиды.

Решение 1. Если под разверткой понимать плоскую фигуру, состоящую из цельного куска жести, то, очевидно, для данного случая она должна иметь вид, данный на чертеже 6. (Если расположить ее так, чтобы точки А, В, С к D лежали на сторонах квадрата, а не в вершинах, то получится объем пирамиды значительно меньший.) Большинство участников конкурса и автор задачи решили ее, сделав приведенное предложение.

Обозначив KL — 2x, AC~2d, получим высоту пирамиды

Объем пирамиды

Объем V будет иметь максимум при равенстве сомножителей

Имеем:

откуда

Решение 2. Если под разверткой пирамиды будем понимать плоскую фигуру, состоящую из отдельных частей, то задача будет иметь другое решение, значительно отличающееся от предыдущего; в этом случае лист можно использовать на 100% и получить объем, почти в два раза больший, чем в первом случае.

Пусть ABCDS — искомая пирамида (черт. 7).

Обозначим: AB = ВС = CD = AD дг, SN * /.

Имеем:

Из треугольника SON находим:

отсюда

Исследуем функцию / (л:) = ах2 — 2х* на maximum. Имеем:

Так как первое слагаемое отрицательное, а второе постоянное положительное, то maximum f (х) будет при

Черт. 6

Черт. 7

Итак,

Откуда а ^ 70°32'.

Развертку пирамиды можно получить, если разрезать квадрат так, как показано на чертежах 8 или 9.

Можно решить эту задачу при помощи тригонометрии. Обозначим SN = х, тогда

(1)

откуда

или

Объем пирамиды

(2)

(3)

Последнее имеет maximum при

т. е. при

Черт. 8

Черт. 9

ЗАДАЧИ

№ 33

Решить уравнение..

Савчук Я. (Сталиногорск).

№ 34

Решить систему уравнений:

№ 35

Определить период функций:

Гибш И. (Москва).

№ 36

К каналу шириной а м под прямым углом к нему подходит канал шириной b м. Найти наибольшую длину плота шириной с м, который при сплаве не застрянет в повороте.

Смышляев В. (Марийская АССР).

№ 37

Треугольная пирамида пересечена двумя плоскостями, делящими пополам два противоположных двугранных угла пирамиды. Определить объем каждой части, на которые рассекают пирамиду эти плоскости, зная площади граней и объем данной пирамиды.

Хамзин X. (г. Стерлитамак).

№ 38

На правильном треугольнике, как на основании, построены тетраэдры одинакового объема. Найти среди них тот, у которого наименьшая сумма ребер.

Хамзин X. (г. Стерлитамак).

№ 39

Дан тетраэдр, у которого два скрещивающиеся ребра равны m и п, остальные четыре ребра равны а. Найти минимум суммы расстояний от точки пространства до четырех вершин тетраэдра.

Эрдниев П. (Алтайский край).

№ 40

Шар касается всех ребер тетраэдра. Доказать, что это возможно только тогда, когда суммы противоположных ребер тетраэдра равны.

Эрдниев П. (Алтайский край).

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

№ 1

В двух вертикальных прямых углах вписаны две окружности с радиусами R и г; затем проведена общая внешняя касательная, пересекающая данные прямые в точках А и В. Определить площадь прямоугольного треугольника ABC, где С есть точка пересечения заданных прямых.

Шагинян Л. (Армянская ССР).

№ 2

Решить уравнение:

Зиатдинов Ф. (Башк. АССР).

№ 3

Найти объем и поверхность тела, образованного при пересечении четырех одинаковых шаров радиуса R, центры которых находятся в вершинах квадрата со стороной а = R.

Садовников Е. (Витебская обл.).

№ 4

Решить уравнение:

Гончаров С. (Эстонская ССР).

№ 5

Конус установлен вертикально вершиной вниз; в него вкладывается наполненный водой шар. Если открыть отверстие в шаре, которое находится в самой нижней его части, то при каком условии вода из шара полностью вытечет в конус?

Петров С. (Винницкая обл.).

№ 6

Решить уравнение: (7х + ЗУ + (2х - 6)4 = (Зх + 7)4 + (6* - 2)4.

Алеев Б. (Мордовская АССР).

№ 7

Часовщик при сборке часов по ошибке насадил на ось минутной стрелки часовую, а на ось часовой — минутную. Очевидно, при ходе часов положения стрелок будут, вообще говоря, такими, которые не соответствуют никакому моменту времени, но в отдельных случаях расположение стрелок будет соответствовать действительному времени. Сколько раз за 12 часов и в какие моменты это будет иметь место и что будут при этом показывать часы?

Мельников К. (Ленинград).

№ 8

Пользуясь только линейкой, вписать в данный круг, центр которого известен, шесть равных квадратов, у которых по две вершины лежат на окружности круга, а остальные внутри круга попарно совпадают.

Утемов В. (Красноуфимск).

Примечание.

Редакция считает необходимым обратить внимание читателей на то, что задача № 10, помещенная в журнале № 5 за 1953 год, сформулирована не достаточно четко. Используемое в задаче понятие отрезка допускает двоякое толкование, в зависимости от того, причислять ли к нему его концы или нет. Решение этой задачи, помещенное в журнале № 2 за 1954 год, является необоснованным. Правильная формулировка этой задачи такова: интервал (АгВ) (интервалом называется множество точек, удовлетворяющих неравенствам Л<лг<2?) делится на три равные части АС = CD = DB, и отрезок (CD) (отрезком [CD] называется множество точек, удовлетворяющих неравенствам С <[д:</)) удаляется из интервала (А, В). Каждый из оставшихся интервалов (А, С) и (D, В) снова делится на три равные части: АР = PQ — QC и DR = RS = SB, и отрезки [Р, Q] и [R, S] снова удаляются. Затем указанная операция повторяется над оставшимися четырьмя интервалами. Продолжая этот процесс неограниченно, доказать, что на интервале (А, В) найдутся точки, и притом не одна, которые не будут удалены.

Решение можно изложить кратко в следующем виде: На прямой ххх2 дан интервал (А, В), точка А выбирается за начало координат. Отрезок AB — за единичный, все точки на (0,1) представляем в троичных дробях

При первом удалении [С, D] будут удалены все точки в троичном разложении, которых после нуля будут 1 и одна точка 0,2000...

При втором — будут удалены точки, в троичном разложении которых на втором месте будут стоять 1.

При п-ы—удалены все те точки, у которых на я-м месте будут единицы.

Итак, мы выбросили все те точки, у которых на каком-либо месте в троичном разложении имеются единицы, и такие точки, у которых в троичном разложении будут двойки и после них сплошь нули. Останутся невыброшенными те точки, у которых в троичном разложении бесконечно много нулей и двоек, например: 0,2002002...

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 6 ЗА 1953 ГОД

Андрусенко Б. (Южный Сахалин) 1, 2, 3, 4, 6, 10, 11, 12; Агринский К. (Москва) 2, 3, 5, б, 7, 11, 12; Безирганян Е. (Армянская ССР) 1, 2, 3, 6, 7, 8, 11, 12; Быков Е. (Краснодарский край) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11; Бернштейн С. (Киев) 1—9, 12; Бартош П. (Чехословакия) 1—3, 5—12; Багарян А. (Абхазская АССР) 1, 2 4, 6, 7, 9; Ванновская Е. (Тамбов) 2, 3, 4, 5, 7, 8; Вейнман В. (Киев) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12; Владимиров А. (г. Асбест) 1, 2, 3, 5—9, 11, 12; Горохов А. (Белорецк) 1, 2, 3, 5, 7, 8, 11, 12; Гошлер М. (г. Вильнюс) 1—3, 5—12; Гаас Л. (Караганда) 1, 2 3. 6, 7, И, 12; Гогигадзе М. (Грузинская ССР) 1—9, 11, 12; Губанов И. (Воронежская обл.) 1, 2, 3, б, 7, 8; Давыдов У. (г. Гомель) 1—12; Джабаров С. (Куйбышевская область) 1—3, 5—8, 11, 12; Демчинский В. (г. Ровно) 2, 3, 5, 6, 7, 8, 11; Епимашко П (г. Гродно) 1—3, 5, 7, 8, 9, И, 12; Капжанов В (г. Ташкент) 1—3, 6—8; Козмодемьянский В. (г. Сызрань) 1, 3, 5, 6, 7, И, 12; Китайгородский П. (Москва) 1—9, 11, 12; Кошелев Л. (Ульяновский район) 1—3, 5—8, 11, 12; Лейбман М. (Свердловская область) 1, 2, 3, 5, 7, 8, 11; Мышакова Т. (Одесса) 1—12; Мирау Б, (Алма-Атинская область) 1—8; 11. И, 12; Магеро Л. (г. Серпухов) 2, 3, 4, 5, 8, 9, 12; Математический кружок 17-й школы (г. Киев) 1, 2, 3, 5, 6, 11; Нечаев Е. (г. Калинин) 1, 2, 4, 5, 6, 11, 12; Нахамчик С. (г. Рогачев) 1—8, 10, 11, 12; Печерский Л. (г. Фрунзе) 1, 2, 3, 7, 10, 11, 12; Петров С. (г. Чайсин) 1, 2, 3, 5, 8, 11, 12; Пигарев Ю. (Корсунь-Шевченковский) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12; Рознатовский Н. (Киев) 1—12; Рубенчик Б. (Минск) 1, 2, 3, 5, 7, 11; Смышляев В. (Марийская АССР) 1—9, 11, 12; Садыхов С. (Баку) I, 2, 3, 6, 7, 8, 12; Строгальщиков П. (Вологодская обл.) 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12; Тишков Е. (г. Полоцк) 1—5, 8, 11, 12; Утемов В. (г. Красноуфимск) 1—3, 5, 7, 8, 9, 10, И; Цхай Т. (г. Андижан) 1, 2, 3, 5—9; Циммерман А. (Абхазская АССР) 1, 2, 4, б, 7, 9; Черепнин М. (Караганда) 1, 2, 3, 5—8, 10, 11, 12; Чепкасов Г. (Краснодарский край) 1—8, 10, И, 12; Чудутов А. (Омская обл.) 1, 2, 3, 7, 10, 11; Шебаршин М. (Кемеровская обл.) 1 —12; Шалтаев А. (Ульяновская обл.) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 11, 12; Яремчук Ф. (г. Дорогобыч) 1 — 12; Ясиновый Э. (г. Куйбышев) 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 11, 12.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Г. И. Волков —И. К. Крупская о преподавании математики....... 1

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Б. П. Бычков — Понятие функции в курсе алгебры русской средней школы в XIX веке............................. 6

В. Е. Прудников — Выдающийся русский ученый и педагог........ 15

МЕТОДИКА

Ф. В. Томашевич — Понятие функции в школьном курсе......... 25

Ф. Ф. Нагибин — Выяснение понятия функции в средней школе..... 33

B. Т. Кузнецов — К вопросу о введении понятия функции в средней школе................................ 35

А. С. Сухорослов — О месте изучения понятия функции......... 41

C. И. Новоселов — О дискуссионных вопросах, связанных с учением о функциях в школьном курсе.................... 43

С.А.Пономарев и Н. И. Сырнев — Некоторые методические указания к новому сборнику задач по арифметике для V—VI классов средней школы............................... 47

О преподавании математики в V классах в 1954/55 учебном году (к августовским совещаниям)........................ 53

ИЗ ОПЫТА

И. М. Кипнис — Из опыта преподавания геометрии........... 55

A. С. Давидян — Об организации письменной контрольной работы по арифметике ............................... 57

B. Д. Чистяков — Из опыта проведения математических вечеров в девятых и десятых классах........................ 60

К. И. Образ—Самодельная логарифмическая линейка.......... 67

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

Р. А. Симонов — Август Юльевич Давидов............... 70

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

В. Г. Кайрис —О пособии П. Я. Дорфа и А. О. Румера „Измерения на местности“, для учителей математики V—VII классов......... 76

Б. И. Гехт — О книге М. В. Пентковского „Считающие чертежи“ .... 79

ХРОНИКА

И. Б. Вейцман — Проблемы политехнического обучения на „Педагогических чтениях“ Академии педагогических наук........... 81

И. Н. Никитин — Подготовка научных кадров по методике математики в Институте методов обучения АПН................. 82

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 1 за 1954 г.............. 85

Задачи................................. 94

Задачи для учащихся .......................... —

Сводка решений по № 6 за 1953 год.................. 95

Редакционная коллегия:

Редактор А. Н. Барсуков, зам. редактора С.И. Новоселов, члены редакционной коллегии: К. С. Богушевский, П. А. Ларичев, В. В. Немыцкий, Н. Н. Никитин, С. В. Филичев, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Р. С. Терюкалова

Технический редактор В. С. Якунина Корректоры А. А. Журавлев и М. М. Шулименко

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

Сдано в производство 4/V 1954 г. Подписано к печати 21/VI 1954 г. Учетно-изд. л. 11,46.

А05409. Цена 4 р. 50 к. Бумага 84 X W8l/i6 6 п. л. (9,84) Заказ 876. Тираж 90 450 экз.

13-я журнальная типография Союзполиграфпрома Главиздата Министерства культуры СССР, Москва, Гарднеровский пер., 1а.