МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

3

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1954

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 3

МАЙ - ИЮНЬ 1954 г.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

К ВОПРОСУ ОБ ИСТОЛКОВАНИИ РОЛИ АКСИОМЫ ИНДУКЦИИ В АРИФМЕТИКЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

В. Н. МОЛОДШИЙ (Москва)

При доказательстве основных теорем арифметики натуральных чисел, как правило, используется аксиома индукции. В связи с этим естественно исследовать вопрос:

Доказательства каких теорем арифметики существенно зависят от аксиомы индукции?

Некоторым соображениям, как проще и яснее разъяснить поставленный вопрос, и посвящена эта статья.

В конце статьи прибавлено одно замечание, относящееся к вопросу об эквивалентности аксиомы индукции и принципа наименьшего числа*.

А. Натуральными числами называют элементы всякого непустого множества N, в котором для некоторых элементов я, b существует отношение »Ь следует за а“ (число, следующее за а, будем обозначать а+), удовлетворяющее следующим аксиомам:

I. 1 есть натуральное число.

II. Для каждого натурального числа а существует только одно натуральное число, следующее за а.

III. Всегда а+ф\, т. е. 1 не является следующим ни для какого натурального числа.

IV. Из а+ = ô+ следует а = b.

Иначе говоря, каждое натуральное число либо не является следующим ни для какого натурального числа, либо является следующим только для одного натурального числа.

V. (Аксиома индукции.) Пусть M — множество натуральных чисел, обладающее следующими свойствами:

1) 1 принадлежит множеству М;

2) Если а принадлежит М, то и а+ принадлежит М\

тогда M содержит все натуральные числа.

С помощью аксиомы V можно доказать принцип полной математической индукции.

Если некоторая теорема Т доказана для числа 1 и в предположении, что она верна для некоторого натурального числа я, она верна и для следующего числа а+, то эта теорема верна для любого натурального числа а.

Следует, однако, подчеркнуть, что нет существенной необходимости вводить принцип полной математической индукции. При доказательстве теорем арифметики натуральных чисел непосредственное использование аксиомы индукции не труднее использования этого принципа.

Определение сложения

Сложением натуральных чисел называется такое соответствие, которое каждой паре натуральных чисел а и b сопоставляет одно и только одно натуральное число а+Ь, обладающее следующими свойствами:

1) a+1 = а+ —для любого а;

2) а + *+ = (а + ô)+ — для любых а и b-

Числа а и b называются слагаемыми, а число а 4- b — суммой.

* При окончательном редактировании статьи, я воспользовался рядом советов акад. А. Н. Колмогорова, за что приношу ему глубокую благодарность.

Определение умножения

Умножением натуральных чисел называется таксе соответствие, которое каждой паре натуральных чисел а и b сопоставляет одно и только одно натуральное число ab, обладающее следующими свойствами:

1) а\=а —для любого с;

2) ab^ — ab+a —для любых а и b.

Число а называется множимым, b — множителем, оба числа а и b называются также сомножителями, а число ab — произведением.

При помощи I—V аксиом доказывается существование и единственность операций сложения и умножения, удовлетворяющих требованиям, введенным в их определения.

На базе I—V аксиом и определений сложения и умножения доказывается справедливость для натуральных чисел всех законов счета, устанавливаются понятия о неравенствах и выясняются свойства натуральных чисел, связанные с последними отношениями.

Систему аксиом, состоящую из I—IV аксиом, будем обозначать символом Рг. Символом Р2 обозначим систему аксиом, которую можно получить из Pv если в ней заменить IV аксиому таким утверждением: каждое натуральное число, отличное от 1, непосредственно следует за одним и только за одним натуральным числом*.

Все интерпретации I—V аксиом необходимым образом изоморфны, иначе эта система аксиом полна. Системы аксиом Рг и Р2 этим свойством не обладают.

Обозначив элементы моделей Р2 и Рг кружками, а переход от а к а+ — стрелкой, легко изобразить их модели графически. Каждая такая модель содержит компоненту единицы вида:

произвольное число циклических компонент вида:

и произвольное число компонент системы всех целых чисел:

В случае аксиоматики Р2 произвольными наборами компонент указанного вида исчерпываются все возможные модели, в которых выполняются аксиомы I—IV. В случае же аксиоматики Рх могут существовать еще дополнительные компоненты, типа обычной системы натуральных чисел, начинающиеся с элементов, отличных от единицы:

Например, из основной компоненты 1, 2, 3, . . . и дополнительной компоненты

можно построить модель Рг:

Примеры двух такого же рода моделей системы Рх читатель увидит дальше.

Если учесть строение возможных моделей систем Р2 и Рг, то роль аксиомы индукции в обеспечении полноты системы I—V становится совершенно ясной: она исключает дополнительные компоненты, сохраняет только компоненту единицы.

В. Для элементов различных моделей системы аксиом I—IV можно в принципе устанавливать различные определения сложения и умножения. В применении к сложению априори имеются три возможности:

1. В данной модели требования, введенные в определение сложения, определяют, как и для настоящих натуральных чисел, одну единственную операцию.

2. Определяют несколько операций сложения.

3. Требования, введенные в определение сложения, в данной модели оказываются противоречивыми.

В частности, для некоторых моделей системы Рг можно определить сложение и умножение так, что при этом будут выполняться требования, входящие в определение сложения и умножения для настоящих натуральных чисел.

Учитывая это, поставленный в начале заметки вопрос можно уточнить так:

Нельзя ли доказательство некоторых основных теорем арифметики натуральных чисел — например, доказательство законов

* О системе аксиом арифметики натуральных чисел см. И. В. Проскуряков, Числа и многочлены, АПН РСФСР; Э. Ландау, Основы анализа, ГИИЛ, 1947, стр. 18 и следующие; Ван-дер-Варден, Современная алгебра, ч. I (любое издание).

счета, свойств неравенств и т. п. — освободить от аксиомы индукции, доказать их только с помощью I — IV аксиом и таких определений сложения и умножения, для которых выполняются требования, входящие в определения сложения и умножения для настоящих натуральных чисел?

Есть простой способ, позволяющий достаточно ясно ответить на так сформулированный вопрос. Я имею в виду соответствующее использование моделей I—IV аксиом с определенными для их элементов операциями сложения и умножения и обладающими свойствами, входящими в определения сложения и умножения для настоящих натуральных чисел. Сопоставление свойств „натуральных“ чисел этих моделей с соответствующими свойствами обычных натуральных чисел позволит наглядно и достаточно полно выяснить, что, как правило, доказательство основных теорем арифметики натуральных чисел существенно опирается на аксиому индукции.

Вот примеры таких моделей.

Пример 1. Будем называть „натуральными“ числами числа:

расположенные в их естественном порядке. Большее число будем называть следующим, меньшее — предшествующим.

Складывать и умножать любые два „натуральные“ числа будем так, как их складывают и умножают в арифметике рациональных чисел; с одним, однако, ограничением: если в результате умножения получится слагаемое мы будем его отбрасывать.

Если „натуральное“ число п=т+\, то число п будем называть непосредственно следующим за числом m и обозначать число m назовем непосредственно предшествующим числу п.

Как легко убедиться, в области наших „натуральных“ чисел I—IV аксиомы системы аксиом Рг выполняются.

Для сложения и умножения „натуральных “ чисел справедливы требования, входящие в определения сложения и умножения обычных натуральных чисел. В отношении сложения это очевидно. Чтобы доказать это в отношении умножения, достаточно заметить следующее:

Пусть m и п— обычные натуральные числа.

Имеем

Аксиома индукции не выполняется; множество наших „натуральных“ чисел содержит подмножество 1, 2, 3, ... , изоморфное множеству натуральных чисел, но не исчерпывается им.

11. В области обычных натуральных чисел выполнены все законы счета.

12. В области наших „натуральных“ чисел выполнены не все законы счета. А именно, не выполнен сочетательный закон (для умножения) и распределительный закон. Действительно,

Можно построить подобные же модели, в которых не будут выполняться другие законы счета. Значит, в арифметике натуральных чисел законы счета не могут быть доказаны без аксиомы индукции.

Пример 2. Будем называть „натуральными“ числами пары (т, п), где тип — любые натуральные числа, причем т>п.

Будем считать, что (т, п) = (тх, пх) тогда и только тогда, когда т = тх и п = пх\ (т, п)^(тх, пх) тогда и только тогда, когда т^тХу или если m = тх, то п^пх.

Если назвать „единицей“ число (1, 1), то ряд наших „натуральных“ чисел будет:

(1, 1); (2, 1); (2, 2); . . . ... ; (А, 1); (п, 2); ... ; (п, п); . . .

Будем называть суммой и произведением „натуральных“ чисел (т, п) и (тх, пх) следующие числа:

Если (т, п)<(тх, пх\ то число (тх, щ) будем называть следующим за числом (т, п)у а число (т, п) — предшествующим числу (щ9 пх).

Если при этом (тх, пх) = (rn+1, то число (тх> пх) будем называть непосредственно следующим за числом (т, п) и будем обозначать его так: (т,

Число (т — 1, п — 1), если оно существует, будем называть непосредственно предшествующим числу (т, п).

При указанных условиях в области наших „натуральных“ чисел выполняются I—IV аксиомы системы Рх. Для сложения и умножения этих „натуральных“ чисел справедливы требования, входящие в определения сложения и умножения обычных натуральных чисел. Аксиома индукции не выполняется: множество наших „натуральных“ чисел содержит подмножество (1, 1); (2, 2); , . .; (А, /г); . . ., изоморфное ряду натуральных чисел, но не исчерпывается им.

Сопоставление строения ряда обычных чисел с рядом наших „натуральных“ чисел позволяет обнаружить глубокие между ними различия. Вот примеры, по-моему, наиболее типичные*.

\х. Каковы бы ни были натуральные числа р и /Н~, нет ни одного натурального числа, следующего за р и предшествующего /?+.

12. Каковы бы ни были „натуральные“ числа (mt п) и (т, существует по крайней мере одно „натуральное“ число, следующее за (яг, п) и предшествующее (т,

2Х. Если натуральное число р ф 1, то существует одно только натуральное число q, такое, что p = q+. Иначе, если р Ф h то р — 1 существует.

22. Если „натуральное“ число (яг, п) ф (1, 1), то не всегда существует „натуральное“ число (А я\ такое, что (т, п) = (/?, q)+. Иначе, если (т, п) ф (1, 1), то не всегда (ms п) — — (1, 1) существует. Например, (т, 1) ф (1, 1), если т — 2, 3, . • но (m, 1) — (1, 1) не существует.

Таким образом, в арифметике натуральных чисел утверждения \х и 2Х не могут быть доказаны без аксиомы индукции.

3Хш Для любых натуральных чисел р и q имеет место один и только один из случаев:

1) р = ч\

2) существует натуральное число t, такое, что

p = q+t;

3) существует натуральное число и, такое, что

я — р+^

Определение. Если для данных натуральных чисел р и q существует натуральное число t, такое, что р = q ~f- то говорят, что р больше q, a q меньше р, и пишут

р>я, я<р-

Тогда утверждение Зх можно сформулировать так:

Для любых натуральных чисел р и q имеет место одно и только одно из трех соотношений:

р = ч\ р>я\ р<я-

32. Если для „натуральных“ чисел (яг, /г), (тх, пх), (m2j п2) справедливо равенство (т, п) = (ти пх) + (/ю2, /г2), то (т, п) > (тх, пх); напротив, если (т, п)>(тх, пх), то не всегда существует такое „натуральное“ число (т2, л2), что (т, п) = {тх, «i) + (/w2, п2).

Ясно поэтому, что в арифметике натуральных чисел учение о неравенствах не может быть развито без привлечения аксиомы индукции.

Пример 3. Будем называть „натуральными“ числами положительные действительные числа, начиная с 1 и больше.

Упорядоченность наших чисел отождествим с упорядоченностью их как действительных чисел.

* Как и при рассмотрении первой модели, номер положения с индексом 1 относится к формулировке свойства обычных натуральных чисел, с индексом 2 — к формулировке соответствующего свойства наших .натуральных- чисел.

Сохраним для наших „натуральных“ чисел обычные определения а-]-Ь и ab.

Число 1 будем называть „единицей“, под ö+ будем понимать число а+\.

При этих условиях в множестве наших „натуральных“ чисел аксиомы I—IV системы Рх выполняются. Для сложения и умножения справедливы требования, входящие в определения сложения и умножения обычных натуральных чисел. Аксиома индукции не выполняется.

На этой модели легко показать, что в арифметике натуральных чисел учение о делимости, о простых числах и их свойствах не могут быть обоснованы без аксиомы индукции.

Рассмотрение такого рода моделей показывает, что:

1. Первые четыре аксиомы арифметики натуральных чисел допускают различные интерпретации, для элементов которых можно так определить сложение и умножение, что останутся справедливыми требования, входящие в определения сложения и умножения для обычных натуральных чисел.

2. Присоединение аксиомы индукции к аксиомам I—IV позволяет выделить из множества таких моделей класс попарно изоморфных моделей минимального типа (множество количественных натуральных чисел, множество порядковых натуральных чисел и другие интерпретации системы аксиом арифметики натуральных чисел). Следовательно, аксиома индукции описывает основное, специфическое свойство каждой модели этого класса, то-есть основное специфическое свойство множества обычных натуральных чисел.

3. Из множества всех таких моделей I—IV аксиом всегда можно выделить такую модель, в которой не выполняются некоторые основные свойства обычных натуральных чисел (законы счета, законы неравенств, разделение чисел на простые и сложные и т. п.). Поэтому в арифметике натуральных чисел все эти законы не могут быть доказаны без аксиомы индукции.

Примечание. Рассмотренный нами вопрос иными средствами в известном смысле до конца решен проф. П. С. Новиковым. С помощью средств математической логики он разработал эффективный критерий, позволяющий для любой проблемы, сформулированной в терминах арифметики натуральных чисел и не содержащей утверждения существования, решить вопрос: выводима она без помощи аксиомы индукции или не выводима*.

С. Принято утверждать, что аксиома индукции эквивалентна принципу наименьшего числа, согласно которому в каждом непустом множестве натуральных чисел имеется наименьшее число.

Смысл этого утверждения таков:

a) Принцип наименьшего числа есть следствие системы аксиом I—V арифметики натуральных чисел.

b) Если из системы аксиом I—V арифметики натуральных чисел исключить V аксиому, то-есть аксиому индукции, и поставить на место последней принцип наименьшего числа, то с помощью так полученной системы аксиом можно доказать аксиому индукции.

Однако не всегда отчетливо подчеркивают, относительно какой системы аксиом — Pt или Р2 — аксиома индукции эквивалентна принципу наименьшего числа. А это более чем существенно. Если опираться на систему аксиом Я2, то, как известно, аксиома индукции действительно эквивалентна принципу наименьшего числа**. Если же исходить от системы аксиом Pv то аксиома индукции не эквивалентна принципу наименьшего числа. В этом случае утверждение а) — верно, утверждение b) — ложно. Доказательство истинности а) общеизвестно. Чтобы доказать, что в этом случае b) ложно, достаточно заметить следующее. Рассмотренные нами выше первая и вторая модели для системы аксиом Рг по структуре являются обычными последовательностями; значит, принцип наименьшего числа в каждой из них выполняется. Вместе с тем в этих моделях аксиома индукции не выполняется.

При доказательстве того, что из системы аксиом I —IV и принципа наименьшего числа следует аксиома индукции, предполагают всегда, что если натуральное число Р ф 1, то Р—1 существует. В первой и второй наших моделях Р — 1 существует не для всякого Р Ф 1. Значит, указанное доказательство от этого предположения освободить нельзя. Иначе говоря, при доказательстве того, что из I — IV аксиом и принципа наименьшего числа следует аксиома индукции, необходимо опираться не на систему Рх, а на систему Р2.

* См. „Доклады Академии наук СССР“, т. XIV, 1949, № 4.

** См., напр., статью Серпинского ,О математической индукции“, журн. „Математика в школе“, 1936, № 3.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

О РУССКИХ УЧЕБНИКАХ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СРЕДНИХ ШКОЛ В XIX ВЕКЕ

В. Е. ПРУДНИКОВ (Москва)

Уже со времени Петра I одной из важнейших задач в деле народного образования было обеспечение школ хорошими учебниками. Выполнение этой задачи в XIX веке составляло одну из главных обязанностей Ученого комитета Министерства народного просвещения.

Членами этого комитета по математическим наукам в указанном веке были Н. И. Фусс, Д. С. Чижов, Ф. И. Буссе, П. Л. Чебышев, А. Д. Дмитриев и Н. Я. Сонин. Большая заслуга этих выдающихся деятелей перед математическим образованием состоит в том, что они оказали значительное влияние на методику и постановку преподавания математики в средних школах. Они требовали излагать эту науку в доказательной форме, приспособленной к возрасту учащихся, и настойчиво при этом указывали, что изложение математических наук без надлежащих объяснений и доказательств много препятствует развитию учеников и их успехам.

Н. И. Фусс, Д. С. Чижов, Ф. И. Буссе и А. Д. Дмитриев в изданных собственных учебниках по элементарной математике показали, как надо выполнять это требование в школьной практике.

Следует особенно отметить большую и плодотворную работу Н. И. Фусса, Д. С. Чижова, Ф. И. Буссе, П. Л. Чебышева, А. Д. Дмитриева и Н. Я. Сонина по рассмотрению тех математических учебников, которые должны были быть одобрены в качестве руководств для средних школ. Главной их целью при этом было решительное ограждение школ от плохих учебников по математике, стремление поднять преподавание этой науки в школах на надлежащую высоту путем одобрения для них только хороших руководств, в которых изложение математики сопровождалось бы нужными объяснениями и доказательствами, а не ограничивалось только голыми правилами и решениями на них задач.

Важно также отметить, что названные члены Ученого комитета отечественным хорошим учебникам по математике отдавали предпочтение перед зарубежными, чем немало помогали росту отечественных кадров, способных к творческой работе.

Цель этой статьи — дать краткий обзор некоторых русских учебников математики в XIX веке, одобренных в качестве руководств для средних школ.

Так как одобрение Ученым комитетом того или иного математического учебника во многом зависело от соответствия его содержания официальным программам по математике для средних школ, и так как эти программы в свою очередь обусловливались школьными уставами 1804, 1828 и 1864 годов, то указанный обзор целесообразнее всего сделать в такой хронологической последовательности: 1) 1804—1828 годы; 2) 1828—1864 годы; 3) 1864—1890 годы.

1. 1804— 1828 годы

В XIX век мы вступили с весьма смутным представлением о среднем образовании.

Служебная роль гимназий, как и в XVIII веке, продолжала двоиться: им вменялось, с одной стороны, готовить своих воспитанников для университетов, с другой — для гражданской и военной службы. В соответствии с этой двоякой целью был выработан учебный план, страдавший многопредметностью и превращавший гимназии в род камеральных факультетов с присущим последним поверхностным энциклопедизмом. Учащемуся за четыре года из множества наук (общеобразовательных и специальных, школьных и университетских) успевали сообщить только общие основы, сводившиеся нередко к сжатой терминологии. Вот, например, что должен был усвоить гимназист первого класса в начале 20-х годов: основы логики, философическую грамматику, математическую географию, введение в политическую географию и следующие сведения по алгебре: „1) определение и предварительные понятия; 2) четыре действия над простыми и сложными количествами, рациональными и радикальными; 3) алгебраические дроби; 4) непрерывные строки или деление в бесконечность“.

Такое же обилие и разнообразие предметов было и в следующих классах, да еще возрастала их трудность. Надо заметить, что краеугольным камнем учебного плана 1804 года были философские науки (числом до 8), читавшиеся в университетских городах профессорами университетов и требовавшие для своего усвоения значительного развития. Принимались же в гимназии юноши, окончившие уездные училища, т. е. юноши, только что расставшиеся если не с букварями, то с начальными учебниками, и плохо знавшие русский язык и арифметику*. Русскому языку в гимназии не обучали, но зато усердно посвящали учеников в тонкости схоластической риторики, знакомя их с хриями, периодами и т. д.

Из математических наук учебный план 1804 года содержал: алгебру, геометрию, плоскую тригонометрию, аналитическую геометрию, механику (включая гидравлику) и физику.

Что касается учебников по математике, одобренных в качестве руководств для гимназии в первой четверти XIX века, то к их числу принадлежали следующие три: 1) „Начальные основания математики“ А. Г. Кестнера, переведенные с немецкого языка на русский и изданные Комиссией училищ в 1792 — 1794 годах; 2) „Курс чистой математики“ Т. Ф. Осиповского и 3) „Начальные основания чистой математики“ Н. И. Фусса. Остановимся несколько на особенностях содержания и изложения в этих руководствах.

Учебник математики Кестнера по стилю изложения был неплохим руководством для своего времени. При его составлении автор старался все „выводить из несумнительных оснований, посредством умствований“; образцом для него служил Евклид.

Кроме того, учебник Кестнера содержал в себе все те части чистой и прикладной математики, которые изучались в гимназиях.

Однако арифметика в этом учебнике страдала некоторой неполнотой содержания. Она ограничивалась изложением действий над целыми числами и обыкновенными дробями. Статья о десятичных дробях была отнесена к алгебре, и вовсе не было статей о признаках делимости, о нахождении наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, так что дроби в учебнике математики Кестнера приводились к одному знаменателю весьма примитивно.

В значительной мере этим и надо объяснить то обстоятельство, что по этому учебнику математика в гимназиях излагалась только на протяжении одного года.

В 1805 году был одобрен к употреблению в гимназиях „Курс чистой математики“ Т. Ф. Осиповского (1755—1833). Этот „Курс“ стоял на одном уровне с лучшими иностранными руководствами по математике того времени: Безу, Лакруа и др. Благодаря своим серьезным научным достоинством, ясности изложения и полноте содержания „Курс“ Осиповского до 1812 года был основным руководством по математике для гимназий.

Но он был слишком большим по объему и превышал нужды гимназий. На это обратил внимание Ученый комитет министерства народного просвещения, который указал на необходимость составления учебника по математике, специально приспособленного к гимназическому курсу. Составление такого учебника было поручено Н. И. Фуссу.

В 1814 году Н. И. Фусс издал в трех частях свои „Начальные основания чистой математики“, куда вошли алгебра, геометрия, тригонометрия с приложением алгебры к геометрии, конические сечения, элементы дифференциального и интегрального исчислений. Этот учебник Н. И. Фусса представлял собой переработку тех его учебников по математике, которые были изданы еще до 1814 года.

* Возраст гимназистов первого класса колебался от 10 до 12 лет.

В учебнике H. И. Фусса не было арифметики, вероятно, потому, что в 1812 году была одобрена для употребления в гимназиях „Арифметика“ Лакруа (в переводе Ф. Ф. Петрушевского).

Алгебру Н. И. Фусс изложил по Эйлеру, на строго научных началах*; в геометрии же его мы не найдем в нужной мере той „неупустительной строгости“, которая всегда отличала эту науку от других математических дисциплин.

Названный учебник математики Н. И. Фусса был сделан первым стабильным (выражаясь современным языком) учебником по математике для гимназий, о чем последовало в 1814 году специальное распоряжение: „Министр народного просвещения предписал всем гимназиям, дабы отныне учители оных руководствовались сим сочинением и круг математических наук ограничивался бы в гимназиях непременно теми частями математики, кои в сем сочинении помещены“**.

Это распоряжение было важно в том отношении, что впервые определяло объем и характер гимназического курса математики и тем самым вносило некоторое единство в это дело.

Отметим в заключение этого параграфа те требования, которые предъявлялись к математическим учебникам в первой четверти XIX века. Они были довольно высокие. Прежде всего требовалось, чтобы учебник был написан „по зрело обдуманному плану“ и чтобы наука в нем излагалась „в современном состоянии и притом ясно и основательно“; затем обращалось большое внимание на методическое расположение материала в учебнике и на его объем („не слишком ли он пространен или стоит в сравнении с временем и пределами учебного курса тех заведений, для коих назначен“).

2. 1828—1864 годы

В 1828 году школы получили новый устав, главное назначение которого заключалось в „ознакомлении с правильным классическим образованием преимущественно сословия дворян“. По этому уставу значительно ослаблялись в гимназиях реальные науки, как сеявшие „заразу вольнодумства“.

Совершенно упразднялись прикладная математика и естествознание, физика сокращалась до минимума, чистая математика ограничивалась курсом до конических сечений включительно. Зато усиливалось в гимназиях классическое начало. В гимназиях университетских городов вводилось изучение греческого языка и увеличивалось время изучения латинского языка. Этим самым школьный устав 1828 года стремился придать воспитанию и образованию „охранительный“ характер.

В связи с получением школами нового устава Ученый комитет Министерства народного просвещения потребовал списки всех учебных книг и пособий, употреблявшихся в казенных и частных училищах. После рассмотрения этих книг и пособий признано было необходимым большую часть из них исправить, а другие либо заменить новыми, либо сохранить во временном употреблении.

Среди математических учебников оценке подлежали и „Начальные основания чистой математики“ Н. И. Фусса.

По мнению Д. С. Чижова, назначенного в 1827 году членом Ученого комитета Министерства народного просвещения, алгебра в учебнике Н. И. Фусса „крайне трудна для понимания учащихся“; геометрия же „недостаточно строга в доказательствах и применениях на практике“. Что же касается тригонометрии в учебнике Н. И. Фусса, то указывалось, что она „достаточна со стороны примеров и решения практических задач, но недостаточна в рассуждении описания самонужнейших геометрических орудий“*.

Взамен „Начальных оснований чистой математики“ Н. И. Фусса Д. С. Чижов предложил перевести с французского на русский язык и переработать „Курс чистой математики“, составленный по поручению генерала Беллавеня профессорами Аллезом, Пюиссаном и др.

Перевод и переработку „Курса“ Беллавеня применительно к русским гимназиям Ученый комитет, по предложению Д. С. Чижова, поручил преподавателям артиллерийского училища А. Я. Кушакевичу и А. С. Киндереву.

Этот „Курс“ должен был содержать арифметику, алгебру, геометрию, прямолинейную тригонометрию с приложением к практическим задачам и аналитическую геометрию до конических сечений включительно. Было указано окончить издание этого „Курса“ в 1836 году.

До 1836 года для употребления в гимназиях рекомендовались: 1) „Руководство к арифметике“ Ф. И. Буссе (СПБ, 1832), 2) „Собрание арифметических задач“ его же (СПБ, 1831), 3) „Арифметические листки“ П. С.Гурьева (СПБ, 1834), 4) „Курс чистой математики“ Беллавеня, в переводе П. Н. Погорельского (с дополнениями и изменениями).

* В смысле тех требований, какие предъявлялись к математической строгости в XVIII веке.

** Сборник распоряжений по министерству народного просвещения, т. I (1802—1834), стр. 225.

* Е. Шмид, История средних учебных заведений в России, СПБ, 1878, стр. 195.

Остановимся на особенностях содержания и изложения в перечисленных руководствах.

„Руководство к арифметике“ Ф. И. Буссе содержало в себе все нужное для изучения этого предмета в младших классах гимназии: нумерацию, действия над обыкновенными и именованными числами, дроби (обыкновенные, десятичные и непрерывные), отношения и пропорции, задачи на правила. В качестве дополнения рассматривалось извлечение квадратных и кубических корней из чисел.

В „Руководстве к арифметике“ Ф. И. Буссе мы найдем и такие важные для законченности курса арифметики статьи, как статья о свойствах результатов действий, о разложении чисел на множители и о бесконечных десятичных дробях. В конце этого руководства помещено заключение, в котором автор на основании всего изложенного раньше определяет содержание арифметики как учебного предмета.

Важное улучшение внес Ф. И. Буссе и в изложение курса арифметики. Он основательно объяснял все то, что было самым существенным в арифметике, и свои объяснения давал раньше правил. В некоторых местах своего „Руководства к арифметике“ Ф. И. Буссе старался вывести правила действий из примеров, поэтому последних на каждое действие приводил по нескольку.

В целом „Руководство к арифметике“ Ф.И. Буссе было ценным учебником и нашло себе сочувственное отношение со стороны лучших учителей того времени.

В 1833 году вышло его второе издание, затем оно переиздавалось через каждые 2—3 года и в 1875 году вышло 18-м изданием. В связи с этим изданием „Педагогический сборник“ писал: «Входить в подробное рассмотрение арифметики г. Буссе считаем излишним. Все занимающиеся преподаванием математики весьма хорошо с нею знакомы. По содержанию своему она вполне удовлетворяет гимназической программе и в этом отношении не уступает ни одному из руководств по арифметике, после нее появившемуся.

По сжатости объема она имеет преимущества едва ли не перед всеми полными учебниками арифметики, после нее изданными, а это обстоятельство придает, несомненно, достоинства всякому систематическому учебнику.

По простоте изложения она всех более напоминает собой капитальный труд знаменитого Лакруа „Практика элементарной арифметики»*.

Важное значение имело также „Собрание арифметических задач“ Ф. И. Буссе. Изданием этого сборника автор оказал делу преподавания арифметики в нашей стране огромную услугу, так как до 30-х годов XIX века у нас были изданы только подобные сборники Вишневского и Куртнера, не отличавшиеся методическими достоинствами. Правда, и сборник Ф. И. Буссе не был вполне хорош, особенно в том отношении, что почти во всех задачах подсказывалось ее решение; с другой стороны, и содержание задач не всегда было интересно.

Несмотря, однако, на эти недостатки, „Собрание арифметических задач“ Ф. И. Буссе не уступало многим другим подобным собраниям более позднего времени (Леве» Иваницкого и др.) и продолжало издаваться даже в 70-х годах.

Учебники Ф. И. Буссе по математике для гимназий, как и его учебники для начальных школ, стояли на уровне математической науки того времени и были хорошо продуманы в методическом отношении. В частности, Ф. И. Буссе в своих руководствах по арифметике не упускал из виду правило, что надо начинать обучение с самых простых наглядных истин и соблюдать постепенность в переходе к трудным понятиям, чтобы достигнуть двоякой цели: стимулировать развитие умственных способностей учащихся и сообщить им полезные в общежитии сведения. Держась этого правила, Ф. И. Буссе в своих учебниках по арифметике проводил доказательства просто и ясно. Зная, как трудно даются детям дроби, Ф. И. Буссе излагал учение о них особенно удачно и наглядно, используя для этого их графические представления. Вполне понятно поэтому то доверие, какое оказывал этим учебникам П. Л. Чебышев как член Ученого комитета Министерства народного просвещения.

Интересны и оригинальны по замыслу были „Арифметические листки“ П. С. Гурьева. Это задачник по арифметике, содержавший в себе 2523 задачи „с решениями оных и с кратким руководством к исчислению“.

Задачи у П. С. Гурьева расположены в строгой последовательности „от легчайших к труднейшим“. Своим задачником П. С. Гурьев преследовал цель — „сверх сбережения времени дать учителю средство возбудить и поддержать в учениках своих сколько возможно самодеятельность“.

В начале 30-х годов XIX века инспектор Московской 1-й гимназии П. Н. Погорельский, не довольствуясь прежними переводами „Кур-

* „Педагогический сборник“, 1875, июль, стр. 755— 756.

са чистой математики“ Беллавеня, издал свой перевод этого „Курса“, сделав в нем изменения и дополнения, соответствовавшие его взглядам и педагогическим требованиям. Этот перевод-переделка был так удачен и так хорошо приспособлен к гимназической программе по математике, что в сравнительно короткое время выдержал многочисленные издания и был принят в качестве руководства для гимназий.

Особенно удачно П. Н. Погорельский переработал из указанного „Курса“ алгебру, которая при небольшом объеме отличалась полнотой содержания и общедоступностью изложения.

До 50-х годов XIX века „Алгебра“ Беллавеня-Погорельского была принята в большинстве наших учебных округов как руководство для гимназий.

„Геометрия“ Беллавеня-Погорельского была менее популярна, чем названная только что „Алгебра“, но в некоторых учебных округах (например, Московском) эта геометрия употреблялась в качестве руководства долгое время.

В учебниках Беллавеня-Погорельского удачно была соединена полнота содержания с ясностью и сжатостью изложения. Когда сейчас сравниваешь эти учебники с другими, им современными (например, с учебниками А. Я. Кушакевича, А. С. Киндерева и др.), то бросаются в глаза мастерство изложения и точность языка.

П. Н. Погорельский стремился отучить своего читателя от тяжелого риторичного построения речи и приучить его писать так, как говорят. Это, бесспорно, и ценил в учебниках Беллавеня-Погорельского П. Л. Чебышев, когда, будучи членом Ученого комитета, рекомендовал их, главным образом „Алгебру“ в качестве учебных руководств для гимназий.

Заметим здесь, что „Алгебра“ Беллавеня-Погорельского в 1863 году вышла восьмым изданием и до конца 80-х годов почти всегда упоминалась в каталогах руководств по алгебре, рекомендованных для гимназий.

В 1836 году был закончен А. Я. Кушакевичем и А. С. Киндеревым перевод-переделка „Курса чистой математики“ Беллавеня, о котором мы говорили выше. Этот перевод-переделка по поручению Ученого комитета тогда же рассматривался профессорами Московского университета Д. М. Перевощиковым и Н. Д. Брашманом.

Последние нашли указанный перевод-переделку неудовлетворительным. Основываясь на этом отзыве, Ученый комитет не утвердил „Курса“ Беллавеня в переработке А. Я. Кушакевича и А. С. Киндерева в качестве руководства для гимназий. Из всего этого „Курса“ была принята руководством только геометрия, и то временно, до появления лучшего учебника по этому предмету.

В 1837 году профессор Московского университета Д. М. Перевощиков издал „Гимназический курс чистой математики“. В этот „Курс“ вошли арифметика, элементарная алгебра, начальная геометрия, прямолинейная тригонометрия и конические сечения.

„Курс“ Д. М. Перевощикова явился результатом переработки первых шести книг его „Ручной математической энциклопедии“. Материал этих книг был вновь пересмотрен автором, были внесены исправления и дополнения, изменены определения некоторых математических понятий и т. д.

Из „Курса“ Д. М. Перевощикова приняты были к употреблению, преимущественно в московских гимназиях, алгебра и тригонометрия. Последнее сочинение Д. М. Перевощикова, кроме того, было одобрено П. Л. Чебышевым в качестве руководства для гимназий и служило таковым довольно долгое время (1860—1880 гг.)

В гимназиях Казанского учебного округа в первой половине XIX века преподавание математики велось преимущественно по руководствам Н. И. Лобачевского. Здесь на первом месте надо поставить его рукописное руководство элементарной алгебры, предисловие к которому содержало ряд принципиальных указаний о том, как надо преподавать ученикам эту науку.

Поясняя цели и задачи составления элементарной алгебры, Н. И. Лобачевский, между прочим, писал:

„Два года читается алгебра в Казанской гимназии под моим руководством, и в последнее время я имел всю причину восхищаться успехами детей. Видел, что они тверды в правилах, понимая все, совершенно уверенные в своих знаниях, отвечают со рвением на вопросы, с намерением даже сысканные, разрешают их легко, не подозревая, что в них может скрываться затруднение, достойное занять взрослых“.

Отсюда видно, что учебник Н. И. Лобачевского по алгебре явился результатом преподавания и что пригодность этого учебника проверялась в школьной практике.

Заметим здесь, что в Казанской гимназии не только в 20-х годах XIX века, но и значительно позже преподавание математики велось по запискам Н. И. Лобачевского. Историограф этой гимназии В. В. Владимиров указывает, что в 1830 учебном году „в сред-

нем алгебраическом классе было пройдено по руководству проф. Н. Лобачевского: о счете одночленных количеств, о скобках, о счете сложных количеств, о дробях, об уравнении 1-й степени, о Ньютоновой строке, об уравнениях 2-й степени, общие понятия о логарифмах и об их главных свойствах“*.

В. В. Владимиров указывает также, что учитель гимназии А. Ф. Попов заслуживал „доверенность начальства“ тем, что он, „приняв за образец творения г. ректора Лобачевского, стремился в духе этого автора быть по возможности систематическим и строгим“**.

Все это говорит о том, что по учебнику Н. И. Лобачевского учили алгебре гимназистов, для которых он предназначался самим автором; при этом строго логическое и систематическое изложение алгебраического материала, повидимому, не мешало успешности его усвоения.

В 1844 году почти одновременно были изданы два очень удачные учебника для гимназий: „Руководство начальной геометрии“ Ф, И. Буссе и „Арифметика“ В. Я. Буняковского.

Как уже указывалось, из перевода-переделки „Курса чистой математики“ Беллавеня в 1836 году была одобрена к употреблению в гимназиях только геометрия, и то временно, до появления лучшего учебника по этому предмету. Желая получить такой учебник, Ученый комитет в 1844 году поручил Ф. И. Буссе составить руководство начальной геометрии. Рукопись этого руководства по поручению Физико-математического отделения Академии наук была рассмотрена В. Я. Буняковским и П. Н. Фуссом, которые представили о ней подробный отзыв.

Названные академики нашли, что „Руководство начальной геометрии“ Ф. И. Буссе „достойно одобрения и может с пользою заменить курсы геометрии, доныне (т. е. до 1844 г.) употреблявшиеся в гимназиях“***.

В „Руководстве начальной геометрии“ Ф. И. Буссе ученики впервые получили элементарную геометрию в том виде, в каком она изучается в основной своей части до настоящего времени. Отметим здесь, что в этом руководстве мы не найдем обычного в то время деления геометрии на лонгиметрию, планиметрию и стереометрию; она делится только на две части: планиметрию и стереометрию.

Только одним существенным недостатком страдало „Руководство начальной геометрии“ Ф. И. Буссе: в нем не излагались элементы теории пределов. Это надо объяснить, повидимому, тем, что в программе 1845 года по математике для гимназии отсутствовала статья о пределах.

„Арифметика“ В. Я. Буняковского, одобренная Ученым комитетом в качестве руководства для гимназий, состояла из предисловия и следующих семи глав: 1) предварительные понятия об именованных и отвлеченных числах; 2) нумерация; 3) действия над целыми отвлеченными цифрами; 4) обыкновенные дроби; 5) десятичные и непрерывные дроби; 6) практические приложения арифметики; 7) прибавления.

Как видим, В. Я. Буняковский исключил из курса арифметики статьи об извлечении квадратных и кубических корней и некоторые правила, относящиеся к уравнениям 1-й степени, которые часто помещались в прежних руководствах по арифметике; этим самым он ставил в несколько затруднительное положение учителей математики, потому что указанные статьи были необходимы для геометрии, изучение которой в то время предшествовало изучению алгебры.

Второе издание „Арифметики“ В. Я. Буняковского, вышедшее в 1849 году, было принято также как руководство в военно-учебных заведениях. Сходное в главных чертах с первым изданием, оно отличалось от первого некоторыми подробностями изложения, более простыми доказательствами отдельных предложений и отчасти порядком расположения глав.

Во второе издание не вошли пропорции и тройные правила, потому что по программам 1846 года для военно-учебных заведений они были отнесены к алгебре. Взамен этих статей была усилена практическая часть арифметики подробным разбором и решением довольно большого числа примеров.

Третье издание „Арифметики“ В. Я. Буняковского (СПБ, 1852) отличалось от предыдущих следующими существенными изменениями: 1) признаки делимости не доказывались, а только формулировались, что было сделано с целью „облегчить учащимся усвоение арифметики“; 2) исключены непрерывные дроби; 3) прибавлена статья о способе приведения к единице; 4) десятичные дроби объединены с целыми числами в одном понятии „десятичных чисел“, и действия над ними рассматривались до изучения действий над обыкновенными дробями. Это изменение так мотивиро-

* В. В. Владимиров, Историческая записка о 1-й Казанской гимназии, Казань, 1867, стр. 172.

** Там же, стр. 277.

*** Протокол общего собрания Академии наук от 28 июня 1844 года.

валось в „предуведомлении“: „Имея, с одной стороны, в виду, что всякую численную задачу только тогда можно считать вполне решенной, когда искомая величина выражена десятичным числом, целым или дробным, а с другой стороны, тождество понятий о десятичных дробях и целых числах, Комиссия* положила Не отделять действий над целыми числами, а вести их вместе, чрез что изложение арифметики упростится“.

„Арифметика“ В. Я. Буняковского употреблялась в большинстве округов России и всегда упоминалась в списке руководств по арифметике для гимназий, который на каждый год обычно составлялся Ученым комитетом Министерства народного просвещения.

Не имея возможности подробно остановиться на особенностях изложения материала в „Арифметике“ В. Я. Буняковского, укажем только, что автор стремился соблюсти строгую последовательность как в изложении отдельных параграфов и глав, так и в объяснении арифметических правил, что значительно выделяло разбираемое сочинение В. Я. Буняковского среди множества других арифметических учебников и создало ему вполне заслуженную популярность. Много этому способствовало и то, что свою „Арифметику“ В. Я. Буняковский снабдил методическими указаниями.

В рукописи „Арифметику“ В. Я. Буняковского читал М. В. Остроградский и дал о ней положительное заключение, что являлось бесспорным ручательством за ее достоинства.

Мы уже указывали, что до 50-х годов XIX века „Алгебра“ П. Н. Погорельского была принята в большинстве (в 5 из 7) наших учебных округов как руководство для гимназий. Когда же в 1854 году в некоторых из этих округов (например, в Московском) была сделана попытка заменить „Алгебру“ П. Н. Погорельского новым учебником профессора Киевского университета А. Н. Тихомандрицкого, то эта замена ожидаемой пользы не принесла.

Заметим здесь, что по полноте содержания и системе изложения материала „Начальные основания алгебры“ А. Н. Тихомандрицкого привлекали внимание многих преподавателей математики того времени. Она выдержала несколько изданий и в начале 60-х годов употреблялась во всех семи учебных округах России.

Несмотря на то, что „Начальные основания алгебры“ А. Н. Тихомандрицкого обладали несомненными научными достоинствами*, практика, однако, показала, что это сочинение не вполне соответствовало своему назначению быть руководством для гимназий.

Прежде всего многие статьи „Начальных оснований алгебры“ А. Н. Тихомандрицкого оказались трудными для понимания учеников, особенно младших и средних классов, а некоторые просто для них недоступными. Например, в учебнике А. Н. Тихомандрицкого извлечение корней из числа рассматривалось как частный случай извлечения корней из многочленов; последнее же извлечение основывалось на биноме Ньютона, о котором ученики IV класса гимназии (где извлечение корней из чисел и многочленов изучалось) не имели понятия, так как бином Ньютона изучался в V классе.

Следовательно, расположение материала в „Начальных основаниях алгебры“ А. Н. Тихомандрицкого не было согласовано с официальной программой 1852 года по математике для гимназий. Кроме того, параграф, посвященный составлению логарифмических таблиц, по отзыву некоторых преподавателей математики той эпохи (например, И. М. Минина) слишком „отзывался математической ученостью, а частью и неясностью“, поэтому этот параграф по необходимости излагался иначе и проще.

Наконец, в „Начальных основаниях алгебры“ А. Н. Тихомандрицкого мало обращалось внимания на употребление логарифмов при вычислении, что было необходимо на практике.

Сравнительно близко по своим научным и методическим достоинствам к „Начальным основаниям алгебры“ А. Н. Тихомандрицкого стояли учебники по тому же предмету Н. Т Щеглова и К. Д. Краевича. „Начальные основания алгебры“ (СПБ, 1853) Н. Т. Щеглова представляли учебник повышенного типа по этой науке. Изложив теорию уравнений высших степеней, автор много внимания уделил численному решению уравнений методами Ньютона, Фогеля и др.; кроме того, в алгебре Н. Т. Щеглова излагались элементы теории вероятностей.

Большой заслугой Н. Т. Щеглова надо признать то, что он, кажется, первым из русских авторов ввел в курс алгебры изложение „синтактики“ (теории соединений).

В целом „Начальные основания алгебры“ Н. Т. Щеглова были не плохим учебником, с ясным и общедоступным изложением, но без упражнений и задач. Указанное сочинение Н. Т. Щеглова было одобрено Ученым комите-

* Имеется в виду специальная математическая комиссия при главном начальнике военно-учебных заведений, во главе которой в то время стоял М. В. Остроградский.

* Об этих достоинствах писал П. Л. Чебышев в рецензии на „Начальную алгебру“ А. Н. Тихомандрицкого (Полное собрание сочинений П. А. Чебышева, т. V, стр. 343).

том в качестве пособия для гимназических библиотек.

„Курс начальной алгебры“ К. Д. Краевича отличался полнотой содержания и заключал в себе, кроме отделов собственно начальной алгебры, вопросы, относившиеся к высшей математике, но тесно связанные с элементарной алгеброй. Так, между прочим, в „Курсе начальной алгебры“ К. Д. Краевича целая глава была посвящена изложению элементов теории вероятностей.

Увеличив значительно объем курса начальной алгебры, К. Д. Краевич недостаточно ясно и удачно изложил некоторые вопросы этого курса, в силу чего его руководство по алгебре страдало существенными недостатками и употреблялось только в одном учебном округе России, и то не во всех гимназиях. Эти же недостатки не позволили П. Л. Чебышеву рекомендовать „Курс начальной алгебры“ К. Д. Краевича не только как руководство для гимназий, но даже в качестве пособия для гимназических библиотек.

Что касается сочинения того же автора под заглавием „Собрание алгебраических задач для употребления в средних учебных заведениях“ (СПБ, 1864), то П. Л. Чебышев одобрил это сочинение в качестве руководства для гимназий и включил в каталог этих руководств, составленный в 1867 году.

В этом каталоге в качестве пособия назван также „Курс алгебры“ (СПБ, 1865) учителя математики Казанской гимназии С. Маркова.

Названный учебник С. Марков построил примерно по тому же плану, что и К. Д. Краевич. Он ввел в курс начальной алгебры такие статьи, которые обычно относятся к высшей алгебре, например уравнения высших степеней, неопределенные уравнения 2-й степени и др. Вследствие этого „Курс алгебры“ С. Маркова представлял книгу в 30 авторских листов и намного превышал по своему содержанию гимназическую программу по алгебре; поэтому как руководство он не был принят в гимназиях, но одобрен в качестве пособия для преподавания алгебры, так как содержал некоторые интересные подробности, относившиеся к гимназическому курсу алгебры.

Мы видим, таким образом, что в рассматриваемый период (1828—1864) хорошими руководствами по арифметике, алгебре и геометрии наша учебно-математическая литература была достаточно богата и представляла все нужные средства для преподавания этих наук в гимназиях. То же самое можно сказать и о руководствах по тригонометрии.

Несколько устаревший учебник тригонометрии Д. М. Перевощикова в середине 50-х годов XIX века был заменен очень хорошим учебником по этому предмету, составленным и изданным в 1854 году профессором Харьковского университета И. Д. Соколовым, под заглавием „Элементарная теория тригонометрических линий и прямолинейная тригонометрия“.

Учебник тригонометрии И. Д. Соколова П. Л. Чебышев считал „одним из лучших курсов тригонометрии“ и включил его в каталог руководств, одобренных для употребления в гимназиях. В этом же каталоге мы находим и „Начальные основания прямолинейной тригонометрии“ А. Д. Дмитриева.

Последнее руководство было хорошо приспособлено к программе средних учебных заведений и отличалось удачным соединением в себе наглядности графических приемов с аналитической общностью тригонометрических выводов.

Для развития в учащихся самодеятельности и самостоятельности мышления А. Д. Дмитриев к каждому отделу тригонометрии приложил множество примеров и задач. При составлении руководства по тригонометрии А. Д. Дмитриев использовал лучшие русские и зарубежные учебники (Д. М. Перевощикова, И. Д. Соколова, Лакруа, Лежандра, Серре, Каньоли, Виганда и др.)

Академики В. Я. Буняковский и О. И. Сомов, а также профессор Петербургского университета А. Н. Коркин рассматривали в рукописи учебник тригонометрии А. Д. Дмитриева и дали о нем одобрительный отзыв.

Он был в свое время очень популярным учебником и имел широкое распространение в нашей стране. „Начальные основания прямолинейной тригонометрии“ А. Д. Дмитриева употреблялись в пяти учебных округах России и почти во всех гимназиях этих округов.

Менее популярен был учебник тригонометрии полковника Ф. И. Симашко, вышедший первым изданием в 1852 году, второе издание которого было одобрено П. Л. Чебышевым как руководство для гимназий.

Следуя указаниям М. В. Остроградского, Ф. И. Симашко рассматривает в своем учебнике тригонометрические линии как отношения сторон прямоугольного треугольника (при гипотенузе, равной единице), затем выводит формулы для решения прямоугольных и косоугольных треугольников.

Программы всех средних учебных заведений требовали рассмотрения тригонометрических величин в круге. Поэтому Ф. И. Симашко в начале 60-х годов переработал 3-е издание своего учебника тригонометрии. Это был неплохой курс тригонометрии, где преподаватели

и ученики находили строгое и в то же время понятное изложение всего необходимого.

3. 1864—1890 годы.

17 ноября 1864 года средние школы получили новый устав. Этот устав, пройдя многократное обсуждение в различных ведомствах, подвергшись критике многочисленных отдельных лиц, слишком удалился от своего первого проекта, составленного в 1858 году. В основе этого проекта лежала ценная прогрессивная мысль — дать возможность самим ученикам гимназии уже на школьной скамье определить свою будущую специальность. Кроме того, в этом проекте видно было желание поставить учебное дело в начальных и средних школах на прочных основаниях, указанных наукой, опытом и условиями народной жизни, требовавшими установления равноправия между классическим и реальным образованием.

В дальнейших проектах школьного устава (1860, 1862, 1863) Ученый комитет проявил большую слабость и под давлением главным образом официальных кругов сдавал одну позицию за другой.

Особенно рельефно это сказалось в тех многократных и значительных изменениях, каким подвергся учебный план по математике для гимназий, составленный П. Л. Чебышевым в 1858 году, и какие отразили в себе борьбу двух господствовавших тогда направлений в образовании — „классического“ и „реального“. Победило в конце концов первое из них, почему учебный план П. Л. Чебышева по математике, составленный в 1858 году для гимназий, был сведен на уровень учебного плана 1852 года по математике, с некоторым его расширением в „реальных гимназиях“.

Хотя, таким образом, школьный устав 1864 года не повлек никаких существенных изменений в программе по математике для гимназий и существовавшие тогда отечественные руководства по арифметике, геометрии, алгебре и тригонометрии давали все нужные средства для преподавания этих предметов, тем не менее Ученый комитет не мог признать эти руководства совершенными. Он нашел желательным улучшить руководства по элементарной математике для средних школ. С этой целью в 1865 году был объявлен Ученым комитетом конкурс на составление лучших учебников по математике для гимназий и прогимназий.

Через три года поступило на конкурс около 20 математических рукописей, но ни одна не была признана удовлетворяющей условиям конкурса.

Почти одновременно с объявлением указанного конкурса вышло в свет вторым изданием сочинение академика О. И. Сомова „Начальная алгебра“, составленная автором первоначально для нужд воспитанников Морского корпуса. Второе издание было приспособлено к гимназическому курсу и сообразно с этим несколько отличалось в порядке изложения материала. Сверх того, автор включил во второе издание статьи о непрерывных дробях и определителях.

В четвертом издании (1875 г.) статья об определителях не была помещена. Всего „Начальная алгебра» О. И. Сомова выдержала семь изданий (последнее в 1901 г.).

Учебник алгебры О. И. Сомова состоял из 16 глав, содержавших обыкновенный гимназический курс алгебры, и 13 дополнительных статей (освобождение уравнений от радикалов, извлечение квадратного корня из количеств вида а+\^Ь , комплексные числа, неравенства, приложение свойств трехчлена 2-й степени к разысканию наибольших и наименьших величин, способ неопределенных коэффициентов, способ пределов, свойства бесконечных рядов и др.).

В отличие от большинства других учебников, „Алгебра“ О. И. Сомова не содержала определения таких понятий, как величина, число и др. Предмет алгебры О. И. Сомов видел в „составлении формул и разных в них упрощениях“, но формуле он давал очень узкое определение.

Большой новостью для того времени было обстоятельное изложение в курсе элементарной алгебры свойств квадратного трехчлена в связи с разысканием экстремумов функций.

Изложение в „Начальной алгебре“ О. И. Сомова отличалось простотой, сжатостью и соблюдением необходимой строгости. Оно было вполне приспособлено к возрасту учащихся и к целям воспитания.

Рецензируя четвертое издание „Начальной алгебры“ О. И. Сомова, преподаватель одной из московских гимназий В. Преображенский писал, между прочим, в 1876 году следующее: „Разбираемый учебник принадлежит к числу лучших, благодаря сжатому и систематическому изложению; если и встречаются отступления от этих качеств, то их немного, и вообще меньше, чем в большинстве наших учебников; дополнительные же статьи представляют весьма полезные прибавления для лиц, которым не придется изучать высшей математики, и хороший подготовительный курс для лиц, готовящихся к специально математическому образованию“*.

* „Учебно-воспитательная библиотека“, т. I, М, 1876, стр. 119.

„Начальная алгебра“ О. И. Сомова была одобрена по предложению П. Л. Чебышева Ученым комитетом в качестве руководства для гимназий и в свое время принадлежала к числу наиболее распространенных отечественных учебников*.

Очень близко по своим научным и методическим достоинствам к учебнику алгебры О. И. Сомова примыкала „Начальная алгебра“ А. Ю. Давидова, вышедшая первым изданием в 1866 году.

„Начальная алгебра“ А. Ю. Давидова обладает несколько большей полнотой содержания, чем „Начальная алгебра“ О. И. Сомова. Так, если О. И. Сомов сумел довольно подробно изложить приложение свойств квадратного трехчлена к разысканию наибольших и наименьших величин на четырех страницах мелкого шрифта, то А. Ю. Давидов этому вопросу уделяет уже восемь страниц компактной печати.

Долго останавливается А. Ю. Давидов на отрицательных числах и уясняет тщательно, хотя и не совсем естественно и удачно, ученикам противоположность этих чисел числам положительным; при решении уравнений со многими неизвестными дает понятие об определителях и подробно исследует уравнения с двумя и тремя неизвестными.

Каждый раздел алгебры А. Ю. Давидов снабдил достаточно большим количеством задач (от 30 до 100 и более), интересных и важных как для надлежащего усвоения пройденного, так и для возбуждения самодеятельности учащегося.

„Начальная алгебра“ А. Ю. Давидова страдала, однако, и существенными недостатками. Достаточно указать на странное и непонятное определение в ней алгебры: „Алгебра учит рассуждать о величинах. При этом она изображает их буквами и означает особыми знаками зависимость между ними“.

Начиная преподавать алгебру, учитель прежде всего видит необходимость сделать к ней переход от арифметики. Важность этого перехода ясна каждому преподавателю; но его мы не найдем в „Начальной алгебре“ А. Ю. Давидова.

Наконец, нетрудно установить в разбираемом учебнике дефекты в расположении материала, а также дефекты в ряде доказательств тех или иных правил.

Наличие в „Начальной алгебре“ А. Ю. Давидова двух шрифтов, обилие задач и простота объяснений делали этот учебник несколько удобнее других руководств по элементарной алгебре, тогда у нас употреблявшихся.

Поэтому „Начальная алгебра“ А. Ю. Давидова была по предложению П. Л. Чебышева одобрена Ученым комитетом в качестве руководства для гимназий и включена в каталог этих руководств в 1867 году.

Она выдержала многочисленные издания* чему немало способствовало имя автора, известного в то время профессора Московского университета и первого президента Московского математического общества.

Особой популярностью и очень широким распространением пользовалась „Элементарная геометрия в объеме гимназического курса“ А. Ю. Давидова, вышедшая первым изданием в 1864 году и к 1887 году выдержавшая 14 изданий. Всего она выдержала 39 изданий, причем последнее издание было в 1922 году.

В геометрии А. Ю. Давидова много разнообразных и довольно трудных задач. Но автор ни одной задачи не решает сам, только в конце учебника помещает указания на решения.

Изложение в геометрии А. Ю. Давидова ведется не в логическом, а произвольном порядке: I. О прямых линиях и углах. II. О фигурах вообще. Равенство треугольников. Свойства перпендикуляра и наклонных. III. О параллельных линиях. О параллелограмах и трапециях. IV. Подобие. V. Об окружности и площади круга. Пределы и т. д.

Геометрия А. Ю. Давидова напечатана двойным шрифтом — крупным и мелким. Напечатанное крупным шрифтом составляло обязательный курс для каждого гимназиста, мелким — необязательный и относившийся к более способным и любознательным ученикам.

Такое деление материала на обязательный и необязательный было, несомненно, полезно, в особенности когда оно сделано осмотрительно. Но в геометрии А. Ю. Давидова в этом отношении не все было безупречно, и критики в свое время указывали на ряд соответствующих недостатков**.

Мнения преподавателей математики того времени, как выраженные в печати, так и устно, относительно геометрии А. Ю. Давидова были весьма различны: одни (например, Е. Сабин, В. Водовозов и др.) хвалили этот учебник, другие (например, А. Воронов) отмечали в нем, наряду с достоинствами, крупные недочеты.

* „Начальная алгебра“ О. И. Сомова в 60-х годах XIX века употреблялась в пяти учебных округах России.

* На протяжении двух лет „Начальная алгебра“ А. Ю. Давидова выдержала три издания.

** См. рецензию на „Элементарную геометрию“ А. Ю. Давидова в журн. „Книжник“, 1865, № 4, стр. 241.

Среди последних находились и такие, которые успехи учеников некоторых гимназий по математике, особенно по геометрии, считали „далеко не так основательными, как было бы желательно“, и приписывали причину этого „бедности нашей учебной литературы по части элементарной геометрии“, в частности большим изъянам в учебнике геометрии А. Ю. Давидова, который тогда был принят в гимназиях округа.

Заметим здесь, что учебник геометрии А. Ю. Давидова был одобрен П. Л. Чебышевым в качестве руководства для гимназий, что указывает на неоспоримые достоинства названного учебника.

Высоко оценивали геометрию А. Ю. Давидова В. Я. Буняковский и А. Я. Билибин. „Ваша элементарная геометрия,—писал В. Я. Буняковский в 1864 году автору, — составляет истинное приобретение нашей учебной математической литературы. Ясность, соединенная с сжатостью изложения, стройный порядок в распределении предметов, пояснительные, так удачно подобранные примеры — все это вместе дает вашей книге большое преимущество перед другими учебниками по геометрии“*.

„Чрезвычайно популярная в русской школе, — писал А. Я. Билибин в предисловии к 39-му изданию „Элементарной геометрии“ А. Ю. Давидова, — выдержавшая уже 38 изданий, геометрия Давидова настолько глубоко продумана и богата разнообразием материала, что и теперь может служить руководством учащейся молодежи, будучи переработана в сторону более строгого изложения, каковое диктуют современные взгляды науки и педагогики“.

В учебниках А. Ю. Давидова, как и во всех других учебниках по элементарной математике прошлого века, были свои достоинства и недостатки. Но одно не подлежит сомнению: со времени появления учебников алгебры и геометрии А. Ю. Давидова в средних учебных заведениях начали обращать большее внимание на решение задач, чем это делалось раньше (до 60-х годов XIX в.). Этому в значительной степени способствовал принятый тогда способ производства выпускных экзаменов, на которых играло большую роль письменное решение математических задач.

Мы уже указывали, что в 1865 году Ученый комитет объявил конкурс на лучшие учебники арифметики, алгебры, геометрии, тригонометрии и космографии для гимназий и прогимназий.

Среди поданных на этот конкурс математических сочинений было руководство космографии, составленное преподавателями Московской 4-Й гимназии К. П. Бурениным и А. Ф. Малининым. Так как это сочинение содержало много неудачных мест, требовавших исправления, то оно не было признано Ученым комитетом удовлетворительным и не было одобрено как руководство для гимназий.

Почти в одно и то же время названные авторы подали в Ученый комитет на рассмотрение еще два сочинения: „Руководство арифметики для гимназий“ и „Собрание арифметических задач для гимназий“.

Цель издания „Руководства арифметики“ А. Ф. Малинин и К. П. Буренин видели в том, чтобы „дать учащимся книгу, которая, содействуя, с одной стороны, развитию их логического мышления и представляя науку в систематическом изложении, была бы в то же время им совершенно по силам“. Для достижения этой цели авторы, употребляя догматический метод, при выводе правил и доказательств из немногих простых определений, всякому такому определению предпосылали практический пример (в большинстве случаев — задачу), из которого „уяснялась бы и необходимость нового понятия и самое его определение“.

Важно отметить, что выводы авторы „старались делать языком, хотя и научным, но настолько простым и живым, чтобы они были понятны, при внимательном чтении, даже ученику первого класса“.

Описываемое „Руководство“ напечатано двумя шрифтами. Крупным шрифтом напечатаны те статьи, которые предназначались для младших классов гимназий, мелким — те, которые изучались при повторении арифметики в VII классе (например, нахождение всех делителей данного числа, общий признак делимости чисел, признаки делимости чисел на 7, 11, 13 и 37, статьи о непрерывных дробях и т. д.).

Со стороны изложения материала „Руководство арифметики“ К. П. Буренина и А. Ф. Малинина отличалось двумя важными особенностями: 1) при объяснении каждого действия указывалось его значение и вопросы, которые могли быть решены посредством излагаемого действия; 2) изложение каждого параграфа заканчивалось рядом вопросов, обнимавших все содержание параграфа и иногда требовавших применения выводов параграфа к частным случаям или самостоятельного, хотя и легкого, вывода из прочитанного.

Последняя особенность приучала учащегося при приготовлении урока обдумывать ответ

* Воспоминания об А. Ю. Давидове, под редакцией Я. И. Вейнберга („Известия Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии“, т. 51).

связно выражать свои мысли, осмысленно читать серьезную книгу.

Описанные особенности выгодно выделяли „Руководство арифметики“ К. П. Буренина и А. Ф. Малинина из весьма значительного числа существовавших тогда учебников по этому предмету (например, А. Ю. Давидова, П. Полякова, Д. Назарова и многих других).

Но вместе с неоспоримыми достоинствами описываемый учебник имел ряд недостатков, в силу которых он не был одобрен Ученым комитетом как руководство для гимназий й рекомендовался только в качестве пособия.

„Руководство арифметики“ К. П. Буренина и А. Ф. Малинина имело огромный успех; за 21 год (1867—1880) оно выдержало 15 изданий и разошлось в числе 437 тысяч экземпляров (каждый тираж составлял примерно около 20 тысяч экземпляров).

„Собрание арифметических задач“ тех же авторов при 18 изданиях разошлось в числе 645 тысяч экземпляров.

Несколько меньшим успехом пользовалось „Руководство алгебры и собрание алгебраических задач“ (М., 1870) А. Ф. Малинина и К. П. Буренина, одобренное Ученым комитетом по предложению П. Л. Чебышева в качестве руководства для гимназий. Оно заключало в себе не только то, что требовала официальная программа по математике для гимназий того времени, но и некоторые дополнительные сведения: способ неопределенных коэффициентов, наибольшие и наименьшие значения трехчлена 2-й степени, общие теоремы о рядах, бином Ньютона при всяком показателе, разложение показательной функции и логарифма в ряды и др.

Большое внимание в учебнике алгебры А. Малинина и К. Буренина уделено переходу от арифметики к алгебре. В связи с этим переходом дано гораздо более удачное, чем в других учебниках того времени, определение алгебры как „науки, занимающейся составлением общих решений различных задач и вообще решением вопросов относительно чисел в общем виде“.

Расположение материала в описываемом учебнике алгебры было довольно близко к официальной программе 1864 года по математике, что делало этот учебник удобным для школьной практики. Много этому способствовали также достоинства изложения, отличавшегося ясностью, живостью и простотой и сопровождавшегося большим числом удачно и специально подобранных задач.

Наряду с учебниками алгебры П. Н. Погорельского, О. И. Сомова и А. Ю. Давидова, „Руководство алгебры“ А. Малинина и К. Буренина являлось наиболее распространенным в нашей средней школе учебником. На протяжении 14 лет (1870—1884) это „Руководство“ выдержало семь изданий, причем седьмое издание разошлось в количестве 30 000 экземпляров.

В 90-х годах XIX века „Руководство алгебры“ А. Малинина и К. Буренина было заменено по распоряжению Ученого комитета „Алгеброй“ А. П. Киселева, выдержавшей тоже многочисленные издания, однако в некоторых отношениях уступавшей своей предшественнице.

Существенными особенностями отличалось и „Руководство прямолинейной тригонометрии“ А. Малинина, одобренное в 1867 году по предложению П. Л. Чебышева Ученым комитетом в качестве руководства для гимназий всех округов.

Рекомендуя „Тригонометрию“ А. Малинина как руководство, П. Л. Чебышев писал в своем отзыве: „Г. попечитель Харьковского учебного округа от 7 августа 1867 г. донес г. управляющему Министерством народного просвещения, что попечительский совет означенного округа, согласно с мнением г. профессора (Харьковского университета) Бейера о достоинстве составленного г. Малининым „Руководства прямолинейной тригонометрии“, положил испросить разрешения на введение этого курса в виде пособия при преподавании тригонометрии в учебных заведениях и что он, попечитель, разделяет мнение попечительского совета.

По рассмотрении этого сочинения я нашел, что оно отличается и полнотою содержания и ясностью изложения, а вместе с тем составляет курс тригонометрии объема весьма незначительного.

По соединении таких достоинств, сочинение г. Малинина представляет очень хорошее руководство для преподавания тригонометрии, а потому я нахожу нужным не только согласиться с мнением попечительского совета Харьковского учебного округа о введении этого курса в пособие при преподавании тригонометрии, но и предложить этот курс тригонометрии для употребления руководством в гимназиях всех округов»*.

Если учесть неумолимую строгость, с какой относился П. Л. Чебышев к учебникам элементарной математики, представлявшимся на рассмотрение в Ученый комитет, то станут понятны достоинства тригонометрии А. Ф. Малинина, которая рекомендовалась учителям как „очень хорошее руководство“.

* П. Л. Чебышев, Полное собрание сочинений, т. V, стр. 352.

„Тригонометрия“ А. Ф. Малинина, действительно, была очень хорошим руководством для учащихся, изучавших тригонометрию под руководством опытного преподавателя. Этому много способствовали задачи на различные разделы тригонометрии.

Единственным, быть может, недостатком „Тригонометрии“ А. Ф. Малинина была некоторая скупость на объяснения и чертежи. Заметим здесь, что эта „Тригонометрия“, как и все другие учебники А. Ф. Малинина, пользовалась широким распространением среди учащих и учащихся.

В 1886 году „Руководство тригонометрии“ А. Ф. Малинина вышло одиннадцатым изданием и разошлось в количестве 14 000 экземпляров.

Появление учебников А. Ф. Малинина было важным событием в преподавании элементарной математики в русских средних школах. Они были в свое время хорошо известны преподавателям математики научными и методическими достоинствами: полнотой содержания, ясностью и живостью изложения в соединении с нужной математической строгостью. Кроме этого, учебники А. Ф. Малинина были незначительными по объему — важное качество, о котором не следует забывать некоторым авторам советских математических учебников.

Преподаватели математики в учебниках А. Ф. Малинина находили много практических указаний относительно ведения самого урока, а многие страницы могли почти непосредственно переложить в уроки.

Книги А. Ф. Малинина являлись соединением учебника с специально и очень удачно подобранными задачами и упражнениями, вполне соответствовавшими содержанию и характеру учебника. Именно этой черте, в соединении с необыкновенной доступностью и простотой изложения, обязаны математические учебники А. Ф. Малинина тем, что они были в свое время наиболее любимыми руководствами для учащихся.

Очень важно отметить, что многие учебники А. Ф. Малинина существовали в течение 30 лет, а между тем их распространение не уменьшалось, а росло. Такой успех надо объяснить, кроме удачного выбора системы расположения материала и ясности изложения, еще и тем, что А. Ф. Малинин постоянно следил за развитием математической науки и вводил в свои учебники все то новое, что имело несомненную научную ценность.

Наконец, заметим, что учебники А. Ф. Малинина положили начало особому („малининскому“) направлению в преподавании элементарной математики, которое может быть кратко охарактеризовано таким положением: при изложении того или иного математического предмета в классе или учебнике не следует уклоняться от научной строгости объяснений и доказательств, а надо всемерно стремиться к тому, чтобы их сделать доступными и вполне понятными тому возрасту учеников, которому предмет преподается.

Среди русских педагогов-математиков прошлого века было много последователей этого „малининского“ направления. К их числу, между прочим, принадлежал профессор Московского технического училища Н. А. Шапошников, учебники которого по алгебре и тригонометрии явились „преемниками“ соответствующих руководств А. Ф. Малинина*.

Как и в учебниках А. Ф. Малинина, мы видим в названных руководствах Н. А. Шапошникова стремление удовлетворить тогдашним научным требованиям в смысле общности и строгости изложения некоторых вопросов; например, в курсе алгебры такими вопросами были: понятие об алгебраическом количестве, особый случай умножения двучленов, особый случай деления многочлена на двучлен, равносильность уравнений, общая теория логарифмов и др.

Однако чрезмерное насыщение Н. А. Шапошниковым курса элементарной алгебры внепрограммным материалом (уравнения высших степеней, непрерывность функции и т. д.) повело к тому, что его учебник алгебры не был одобрен Ученым комитетом в качестве руководства для гимназий. Та же участь постигла и учебник тригонометрии Н. А. Шапошникова.

Начиная с 90-х годов XIX века „малининское“ направление в преподавании элементарной математики постепенно сменяется „Киселевским“. Мы уже указывали, что „Элементарная алгебра“ А. П. Киселева, вышедшая первым изданием в 1888 году, вытеснила из средней школы „Руководство алгебры“ А. Ф. Малинина и К. П. Буренина.

То же самое можно сказать и об „Арифметике“ А. П. Киселева, изданной впервые в 1884 году. Отметим здесь, что в предисловии к этому учебнику автор без достаточных оснований жаловался на то, что в русской учебно-математической литературе якобы „нет такого руководства по арифметике“, которое можно было бы „рекомендовать как ученикам младших, так и ученикам старших классов; каждое руководство или слишком трудно и не ясно для учеников младших классов, или не

* Н. А. Шапошников был учеником А. Ф. Малинина, когда последний в 60-х годах прошлого века состоял преподавателем математики 4-й Московской гимназии.

отвечает требованиям научной точности и строгости, и потому не годится для учеников старших классов“.

Поясняя цели и задачи издания „Арифметики“, А. П. Киселев указывал, между прочим, что главная из этих целей состояла в том, чтобы „написать такой учебник арифметики, который бы одинаково годился как для младших, так и старших классов“.

Для достижения этой цели автор свою книгу напечатал двумя шрифтами: обыкновенным и мелким. Первым изложено все то, что, по мнению А. П. Киселева, доступно пониманию учеников младших классов, вторым — то, что служило дополнением к курсу младших классов и должно проходиться только в старших классах.

„Арифметика“ А. П. Киселева, как и другие его учебники (по алгебре и геометрии), выдержала многочисленные издания и до настоящего времени употребляется в наших средних школах.

Почти одновременно с первым изданием „Элементарной алгебры“ А. П. Киселева вышла в свет в двух частях „Элементарная алгебра“ Н. Н. Маракуева, в течение многих лет служившая для преподавателей математики средних школ своего рода справочником по разным вопросам алгебры.

Появление курса алгебры Н. Н. Маракуева было вызвано, с одной стороны, желанием автора дать руководство, стоявшее на уровне представлений того времени о величине и количестве, с другой стороны, желанием восполнить те пробелы, которые автор находил в общепринятых у нас тогда курсах алгебры А. Ю. Давидова, О. И. Сомова, А. Ф. Малинина и др.

Н. Н. Маракуев утверждал, что эти курсы в конце 80-х годов уже не отвечали тогдашнему состоянию преподавания алгебры. Утверждая так, он имел в виду не лучшие традиции русской методики математики того времени, а постановку преподавания алгебры во Франции, которой в то время больше всего подражали и которую считали чуть ли не образцом в указанном деле.

Н. Н. Маракуев принадлежал к числу тех русских авторов, на руководствах которых особенно сильно сказалось влияние зарубежных ученых-математиков и педагогов. Достаточно указать, что при составлении „Элементарной алгебры“ Н. Н. Маракуев использовал все выдающиеся иностранные сочинения по элементарной алгебре (французские, немецкие и английские), начиная с сочинений известного французского педагога-математика Лакруа и кончая курсами алгебры 80-х годов.

Это влияние выразилось прежде всего в необычайном для того времени расширении курса элементарной алгебры введением в него ряда новых статей, каких мы не найдем в существовавших тогда русских учебниках алгебры, в том числе и в наиболее полном из них, каким был учебник Н. А. Шапошникова. Такова, например, статья о разложении многочленов на множители способом двучленных делителей, основанном на следующей теореме: „Если полином Р, целый относительно х, делится на каждый из биномов х — я, х — b, х — с, где я, b и с не равны в отдельности, то он делится и на их произведение“, статья о соединениях с повторениями, статья о разложении тс в бесконечные ряды и т. д.

Такое расширение курса элементарной алгебры не могло быть оправдано в обстановке средней школы.

Однако в „Элементарной алгебре“ Н. Н. Маракуева были некоторые особенности, делавшие это сочинение весьма полезным пособием как для учителей математики, так и наиболее любознательных учеников. Эти особенности следующие: 1) подробно объяснены начала, на которых основано решение уравнений, и правильно изложена теорема об умножении уравнения на множитель с неизвестным; 2) с большей полнотой, чем делалось это обычно в то время, изложена статья о неравенствах и приведено много примеров на решение неравенств; 3) тщательно обработана статья об исследовании уравнений, причем на исследование уравнений 1-й степени подробно разобрано много задач; 4) в статье об экстремумах приведены всевозможные элементарные приемы определения наибольших и наименьших значений функции с графическим пояснением и с большим числом разобранных примеров.

Еще большее влияние иностранных образцов, чем в „Элементарной алгебре“ Н. Н. Маракуева, можно наблюдать в „Курсе элементарной алгебры“ Н. Билибина, вышедшем третьим изданием в 1899 году. Этот „Курс“, составленный по Бертрану, Бурле, Таннери и др., имел в виду лишь старшие классы, а не предназначался для первоначального изучения алгебры.

В заключение нашего обзора заметим, что из иностранных учебников были одобрены, и то только в качестве пособий для гимназий, следующие два сочинения: „Алгебра“ Бертрана и „Начальные основания алгебры“ Мейера и Шоке.

„Алгебра“ Бертрана состояла из двух частей, но в 1874 году была впервые переведена на русский язык во всей полноте только первая часть и первая глава второй части.

В „Алгебре“ Бертрана сначала дается учение о степенях и корнях, а затем учение об уравнениях 1-й степени, в то время как в наиболее распространенных русских алгебрах второе предшествовало первому, что соответствовало тогдашней программе по математике для гимназий.

„Алгебра“ Бертрана по своему объему превышала намного нормальный курс начальной алгебры и поэтому, естественно, не могла быть одобрена в качестве руководства для гимназий.

„Начальные основания алгебры“ Мейера и Шоке были переведены с четвертого французского издания Ф. И. Симашко в 1845 году, без отступлений от подлинника. Переводчик сделал к ним некоторые прибавления. В числе их он поместил отделение корней по способу Фурье, в котором правило подкасательной для окончательного отделения корней заменил, по совету М. В. Остроградского, непрерывными дробями.

„Начальные основания алгебры“ Мейера и Шоке, содержавшие в себе ряд статей, которые относились к высшей алгебре, также не могли быть одобрены в качестве руководства для гимназий.

Подведем итоги. В первом каталоге руководств для гимназий, составленном в 1804 году и рекомендованном Ученым комитетом, мы находим только одно сочинение: „Начальные основания математики“ А. Г. Кестнера. Таким образом, учителю математики в начале XIX века не приходилось выбирать из множества руководств по своей науке такие, которые бы удовлетворяли его взглядам. В его распоряжение предоставлялось только одно руководство, которого он и должен был придерживаться.

Обстановка в этом отношении значительно меняется к лучшему в 40-х годах XIX века, когда наша учебно-математическая литература обогащается хорошими учебниками Ф. И. Буссе, П. Н. Погорельского, П. С.Гурьева, В.Я. Буняковского, Д. М. Перевощикова, Н. И. Лобачевского, Ф. И. Симашко, А. Д. Дмитриева, И. Д. Соколова, А. Н. Тихомандрицкого и др., не уступавшими по своим научным и методическим достоинствам лучшим зарубежным математическим учебникам того времени.

К середине 60-х годов XIX века эта литература еще более обогащается многочисленными хорошими руководствами по арифметике, алгебре, геометрии, тригонометрии и космографии.

Достаточно указать на учебники арифметики Воленса, Леве, Малинина и Буренина и т. д.; на курсы алгебры Сомова, Давидова, Краевича, Маркова и т. д.; на курсы прямолинейной тригонометрии Малинина, Миквица и т. д.

Анализируя состояние русской учебно-математической литературы, П. Л. Чебышев докладывал в 1864 году Ученому комитету: „В настоящее время наша педагогическая литература достаточно богата по части низшей математики, физической и математической географии, и по этой части она представляет все нужные средства для преподавания этих наук в гимназиях“*.

В конце XIX века русская учебно-математическая литература стала настолько богатой, что преподаватель математики нашей средней школы получил полную возможность выбрать из многих хороших руководств по арифметике, геометрии, алгебре и тригонометрии такие учебники, которые соответствовали бы его педагогическим требованиям.

* П. Л. Чебышев, Полное собрание сочинений, т. V, стр. 330.

МЕТОДИКА

О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ В КУРСЕ СТЕРЕОМЕТРИИ

М. П. ЛЯПИН (Казань)

Изучение геометрии совершается путем дедукции, при помощи которой из сравнительно небольшого числа наиболее общих свойств и взаимоотношений между пространственными образами путем логических умозаключений выводятся новые, более частные свойства этих образов. Изучаемый материал и возраст учащихся в IX классе позволяют выдержать дедуктивный метод в преподавании стереометрии.

В школьном курсе стереометрии вводятся три аксиомы, выражающие свойства плоскости (см. учебник геометрии Киселева, ч. II, стр. 3):

1. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и каждая точка этой прямой принадлежит плоскости.

2. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

3. Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну.

Весь курс стереометрии в IX классе должен строиться на основании принятых аксиом и изученной ранее планиметрии. Так, из принятых аксиом непосредственно вытекают следующие предложения, на доказательстве которых мы останавливаемся, считая доказательства, помещенные в учебниках, неполными.

Теорема. Через прямую и точку вне ее молено провести плоскость и притом только одну (черт. 1).

Действительно, взяв на прямой а две произвольные точки Ö и С, мы будем иметь три точки (А, В и С), не лежащие на одной прямой, и, следовательно, через них можно провести единственную плоскость а (аксиома). В этой плоскости à лежат все точки прямой а, так как две ее точки (В и С) принадлежат этой плоскости (аксиома 1). Иными словами, плоскость a проходит через прямую а и точку А. Допустим, что через прямую а и точку А проведена еще одна плоскость ß, тогда в этой плоскости лежат и точки А, В и С, т. е. через эти три точки проведены две различные плоскости a и (В, что противоречит аксиоме 3.

Теорема. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну (черт. 2).

Действительно, взяв точку пересечения и еще по одной точке на каждой прямой, мы получим три точки, не лежащие на одной прямой (А, В и С), через которые можно провести единственную плоскость a (аксиома 3).

Прямые а и b лежат в этой плоскости, так как по две точки каждой прямой принадлежат плоскости a (аксиома 1). Иными словами,

Черт. 1

плоскость а проходит через пересекающиеся прямые а и b.

Допустим, что через прямые а и b проходит еще одна плоскость ß, тогда в этой плоскости ß лежат точки А, В и С и, следовательно, через эти точки проведены две различные плоскости аир, что противоречит аксиоме 3.

Теорема. Через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость.

Параллельные прямые а и b, по определению, лежат в одной плоскости а, следовательно, прямая а и какая-нибудь точка В прямой b лежат в этой плоскости а. Допустим, что через прямые а и b можно провести еще одну плоскость ß, тогда эта плоскость будет проходить через прямую а и точку В, следовательно, через прямую а и точку В проведены две различные плоскости а и ß, что противоречит доказанной выше теореме.

При доказательстве этих простейших предложений возникает необходимость решения вопроса о единственности образа, обладающего теми или иными свойствами. Бесспорно, чем строже, чем логичнее доказываются эти теоремы, тем выше научный уровень преподавания предмета. Этими теоремами задается общий тон преподавания стереометрии, учащиеся с первого урока приучаются к строгости суждений. К сожалению, доказательства этих теорем в учебнике Киселева нельзя считать удовлетворительными. В § 4 учебника утверждается, что эти теоремы являются следствиями из аксиомы 3, что, очевидно, неправильно. В учебнике Н. А. Глаголева этой ошибки уже нет, но доказательства единственности плоскостей по существу нет в обоих учебниках.

Упрощения, сделанные в доказательствах, нельзя оправдать методическими соображениями. Практика преподавания показала, что учащимся IX класса вполне доступны приведенные выше доказательства.

В курсе стереометрии дается ряд определений, при помощи которых вводятся те или иные понятия, например: определение прямой, параллельной плоскости, параллельных плоскостей, перпендикуляра к плоскости и т. д. За этими определениями должны следовать теоремы о существовании соответствующих объектов.

В учебнике Киселева вопросы существования решаются путем построений. В § 6 даются аксиомы построений (основные задачи) и определение, что значит выполнить построение в пространстве. Вполне уместным было бы закончить этот параграф указанием на то, что построение того или иного образа является доказательством его существования.

В предисловии к учебнику Киселева сделано указание на то, что задачи на построение нужно рассматривать как теоремы о существовании, но это не исключает необходимости вести речь об этом и в самом учебнике.

Решения задач на построение, изложенные в учебнике, также нельзя считать удовлетворительными. Если решение задач на построение на плоскости хорошо и полно освещено как в научной, так и в методической литературе, то о задачах на построение в пространстве литературы (особенно методической) почти нет. Поэтому к изложению этих решений в учебнике нужно было предъявить максимальные требования, чтобы эти решения можно было брать за образец.

В силу сложившихся обстоятельств, у учащихся, да и у некоторых учителей складывается неверное представление о решении задач на построение в пространстве. Считается, что между построениями на плоскости и в пространстве мало общего, это выражается до некоторой степени в названии „воображаемые построения“, часто употребляемом, когда речь идет о построениях в пространстве, в противоположность „эффективным построениям“ на плоскости. Нам кажется, что это различие не является столь существенным и связано с вопросами изображения построений. Значительно важнее общность, существующая в построениях на плоскости и в пространстве. Эта общность обнаруживается при сравнении этих построений.

В планиметрии принимаются следующие аксиомы построений:

1. Если даны две точки, то можно провести через них единственную прямую.

2. Если дан центр и радиус, то можно построить единственную окружность.

3. Если даны две пересекающиеся линии (прямые или окружности), то можно построить точку их пересечения.

В стереометрии принимаются следующие аксиомы построений.

1. Плоскость считается построенной, если даны элементы, определяющие ее положение в пространстве (три точки, не лежащие на одной прямой; прямая и точка вне прямой;

Черт. 2

две пересекающиеся прямые; две параллельные прямые).

2. Если даны две пересекающиеся плоскости, то считается, что можно построить линию их пересечения (единственную).

3. В любой плоскости пространства можно выполнять все построения, известные из планиметрии.

Затем в обоих случаях определяется, что построение считается выполненным как на плоскости, так и в пространстве в том случае, если его можно свести к конечному числу указанных элементарных построений.

Методы, применяемые для решения задач на построение на плоскости, как, например: метод геометрических мест, метод подобия, симметрии и т. д., с успехом могут быть применены и к решению задач на построение в пространстве. Общей является и форма решения задач на построение в пространстве и на плоскости.

При решении задач на построение в пространстве следует выдерживать все этапы решения: анализ, построение, доказательство и исследование, если мы ставим себе целью научить учащихся решению таких задач.

В решениях, помещенных в учебнике Киселева, эти этапы не выдержаны. Отсутствие анализа и ошибки в исследованиях значительно снижают ценность этих решений.

Возьмем для примера задачу § 20 (Киселев, Геометрия, ч. II). Доказательство единственности решения в этой задаче нельзя считать правильным. Действительно, автор забывает, что плоскости M и N проведены произвольно, и неясно, что произойдет, если взять другие плоскости М' и N'. Будет ли плоскость Q', построенная в этом случае, совпадать с плоскостью Q, построенной ранее, или будет отличной от нее? А в этом, собственно, и должно заключаться доказательство единственности.

Ошибка, допущенная в доказательстве единственности, носит принципиальный характер. В том случае, когда среди построений имеются произвольно выполненные или для построения берутся произвольные элементы, доказать единственность решения можно только методом от противного.

Отсутствие анализа в решении задач делает невозможным обоснование тех или иных построений. Так, например, в задаче § 36 возникает вполне законный вопрос: почему в плоскости Р через точку О проводятся две произвольные, но взаимно перпендикулярные прямые OA и OB? Почему нельзя взять просто пересекающиеся прямые?

Эти вопросы у учащихся возникают, но ни учебник, а зачастую и учитель на такие вопросы правильных ответов не дают.

Упрощения, а тем более ошибки, допущенные в решениях задач, помещенных в учебнике Киселева, нельзя оправдать никакими методическими соображениями. Нельзя сослаться и на простоту решаемых задач, так как на простых задачах нужно учить решать и более сложные задачи. Общеизвестно значение отдельных этапов решения задачи на построение. В анализе, считая задачу решенной, учащиеся приучаются устанавливать связи между элементами искомыми и данными, исходя из свойств этих элементов и их взаимного положения в пространстве, в результате чего составляется план построения.

В построении учащийся должен указать, какие и в каком порядке нужно выполнить элементарные построения, чтобы получить искомый элемент. В доказательстве учащийся должен убедиться, что построенный образ удовлетворяет всем требованиям задачи. В простых задачах это часто бывает очевидным, но и в таких случаях полезно проводить доказательство.

В последнем этапе исследования устанавливается возможность построения, решается вопрос о числе решений в зависимости от взаимного расположения данных элементов. В задачах на построение в пространстве этот этап решения особенно важен, так как здесь решаются принципиальные вопросы о существовании и единственности геометрических образов, обладающих теми или иными свойствами.

От того, насколько правильно излагаются эти вопросы учащимся, зависит качество преподавания, его строгость и научность.

Ниже приводятся решения задач на построение в пространстве. В таком виде они излагались учащимся IX класса и оказались вполне доступными. Решение задач способствовало более сознательному усвоению программного материала, и после достаточного числа упражнений у учащихся вырабатывались навыки, вполне достаточные для самостоятельного решения довольно сложных задач на построение.

Задачи на построение вызывают обычно большие затруднения, чем задачи на вычисление, тем не менее при изучении планиметрии им уделяется достаточное внимание. Нельзя этого сказать о задачах на построение в пространстве. Как правило, здесь ограничиваются задачами, решенными в тексте учебника. Если учесть все сказанное об этих решениях, то по существу учащиеся IX класса не получают представления о решении задач на по-

строение в пространстве, а преподаватель лишен возможности использовать прекрасные упражнения, способствующие более сознательному и глубокому усвоению предмета, развитию логического мышления и пространственных представлений.

Задачи на построение

1*. Найти точку пересечения данной прямой а с данной плоскостью а (черт. 3).

Анализ. Пусть задача решена и точка А — искомая. Если через прямую а проведем произвольную плоскость ß, то плоскости аир пересекутся по прямой b, проходящей через точку А (аксиома стереометрии).

Построение 1. Через прямую а и произвольную точку В на плоскости а проведем плоскость ß (аксиома построения 1).

2. Построим прямую b—линию пересечения плоскостей аир (аксиома 2). Точка А лежит на пересечении прямых а и b.

Доказательство. Очевидно.

Исследование. Задача всегда имеет решение, если прямая а не параллельна плоскости а и не лежит в плоскости а. При этих условиях решение единственно. Действительно, если допустить, что задача имеет два решения, то окажется, что прямая а принадлежит плоскости а (аксиома стереометрии).

2. Через точку А, расположенную вне данной прямой а, в пространстве провести прямую, параллельную данной прямой а (черт. 4).

Анализ. Допустим, что задача решена, т. е. прямая проходит через точку А и b II а. Прямые а и b определяют в пространстве единственную плоскость а, в которой лежит и точка А. Прямая а и точка А определяют также единственную плоскость а.

Построение 1. Через прямую а и точку А проведем плоскость а (аксиома 1).

2. В плоскости а через точку А проведем прямую b, параллельную прямой а (аксиома 3).

Доказательство. Очевидно.

Исследование. Задача всегда имеет решение и притом единственное, так как все построения выполнимы и единственным образом.

3*. Через данную точку А провести плоскость, параллельную данной плоскости (черт. 5).

Возможны два случая взаимного расположения точки и плоскости: Лса (т. е. А принадлежит а) и Лс=а (т. е. А не принадлежит а); рассмотрим последний случай.

Анализ. Допустим, что задача решена, т. е. плоскость ß проходит через точку А и р H а.

Если через точку А проведем две произвольные плоскости, пересекающие плоскости а и ß, то линии пересечения этих плоскостей с а и р будут соответственно параллельными (если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны).

Построение. 1. На плоскости а проведем две произвольные пересекающие прямые а и b.

2. Через прямую а и точку А проведем плоскость у.

Черт. 8

Черт. 4

Черт. 5

* Знаком * отмечены задачи, которые необходимо отнести к основным.

3. Через прямую b и точку А проведем плоскость 8.

4. В плоскости у проведем прямую а', параллельную прямой а.

5. В плоскости 8 проведем прямую br, параллельную прямой b.

6. Через пересекающиеся прямые а' и b' проведем плоскость ß.

Доказательство. Плоскость ß — искомая. Она проходит через точку А и ß || ос, так как а' II а и || b (признак параллельности плоскостей).

Исследование. Для рассматриваемого случая задача имеет решение, так как все построения выполнимы. Решение единственно. Допустим, что через точку А проходит еще какая-либо плоскость ß', параллельная плоскости а, тогда она по крайней мере одну из плоскостей y или 8 пересечет по линии, отличной от а или b'. Пусть ß' пересекает плоскость y по прямой а“, причем а“ || а' (ß' || а). Тогда в плоскости y через точку А проведены две прямые а“ и о!, параллельные прямой а, что противоречит пятому постулату Евклида.

Если точка Лета, то задача решения не имеет, так как любая плоскость, проведенная через точку А, имеет с плоскостью а по крайней мере одну общую точку А.

Вывод. Через точку вне плоскости можно провести плоскость, параллельную данной плоскости, и притом единственную.

4*. Через данную прямую а провести плоскость, параллельную другой данной прямой b (черт. 6).

Возможны три случая взаимного расположения прямых в пространстве: ау^Ь (а пересекает b), a (I b и а и b скрещиваются; рассмотрим последний.

Анализ. Допустим, что задача решена, т. е. через прямую а проведена плоскость а, параллельная прямой b.

Если через прямую b и произвольную точку А прямой а проведем плоскость ß, то она пересечет плоскость а по прямой bf || b (теорема, обратная признаку параллельности прямой и плоскости).

Построение. 1. Через прямую b и произвольную точку А прямой а проведем плоскость ß.

2. В плоскости ß через точку А проведем прямую b\ параллельную прямой b.

3. Через прямые а и b' проведем плоскость а.

Доказательство. Плоскость а проходит через прямую а и а || b, так как br || b (признак параллельности прямой и плоскости).

Исследование. В рассматриваемом случае задача имеет решение, так как все построения выполнимы, решение единственное. Допустим, что через прямую а проходит еще одна плоскость о! \\ b. Тогда ос' пересекает плоскость ß по прямой bn\ проходящей через точку А и b“ И b (так как а' \\ b), но это противоречит пятому постулату Евклида.

Если а У b, то задача имеет бесконечное множество решений, так как любая плоскость, проходящая через прямую а, параллельна прямой b по признаку параллельности прямой и плоскости.

Если аХ^» то задача не имеет решения, так как любая плоскость, проходящая через прямую а, имеет общую точку с прямой b.

Вывод. Если прямые а и b не лежат водной плоскости, то через одну из них всегда можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и притом единственную.

Если а К b, то таких плоскостей можно провести бесконечное множество.

5*. Через точку А, расположенную вне данной прямой а, в пространстве провести прямую, перпендикулярную данной прямой (черт. 7).

Анализ. Допустим, что задача решена, т. е. прямая b _]_ а и проходит через точку Л.

Прямые а и b лежат в одной плоскости а, в которой лежит и точка Л.

Построение. 1. Через точку А и прямую а проведем плоскость а.

2. В плоскости а через точку А проведем прямую b% перпендикулярную прямой а.

Черт. 6

Черт. 7

Доказательство. Очевидно.

Исследование. Задача всегда имеет решение и притом единственное, так как все указанные построения выполнимы и единственным образом.

6*. Через данную точку А в пространстве провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой а (черт. 8).

Рассмотрим случай, когда точка А лежит на прямой а.

Анализ. Допустим, что задача решена, т. е. через точку А проведена плоскость ос, перпендикулярная к прямой а. Если через прямую а проведем две произвольные плоскости ß и Y, то они пересекут плоскость а по прямым b и с, перпендикулярным к прямой а (определение перпендикуляра к плоскости).

Построение. 1. Через прямую а проведем произвольные плоскости ß и у-

2. В плоскости ß через точку А проведем прямую b J_ а.

3. В плоскости у через точку А проведем прямую с _[_ а.

4. Через прямые b и с проведем плоскость а. Доказательство. Плоскость а проходит через точку А и а J_ а, так как a J_ b и а ±_ с (теорема о двух перпендикулярах и определение перпендикуляра к плоскости).

Исследование. Для рассматриваемого случая задача всегда имеет решение и притом единственное. Допустим, что через точку А проходит еще одна плоскость а', перпендикулярная к прямой а, тогда плоскость а' пересечет плоскость ß по прямой b' J_a, a плоскость у по прямой с'.

Прямые b' и с' проходят через точку А, при этом хотя бы одна из этих прямых отлична от b и с (соответственно). Пусть, например, прямая b' отлична от b, тогда в плоскости ß из точки А к прямой а восставлены два перпендикуляра, что невозможно.

Если точка А не лежит на прямой а, то, вместо одной из произвольных плоскостей ß и y, плоскость нужно провести через точку А и прямую а и в этой плоскости из точки А опустить перпендикуляр к прямой а, в произвольной же плоскости из полученной точки на прямой а восставить к ней перпендикуляр. Задача и в этом случае имеет единственное решение.

Вывод. Через данную точку всегда можно провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой и притом единственную.

Доказать, что плоскость ос, перпендикулярная к прямой а и проходящая через точку А, является геометрическим местом прямых, перпендикулярных к прямой а и проходящих через точку А.

Рассмотрим случай, когда точка А лежит на прямой а (черт. 9).

1. Действительно, все прямые, проведенные на плоскости ос через точку А, перпендикулярны к прямой а, по определению перпендикуляра к плоскости.

2. Допустим, что через точку А проведена прямая с, перпендикулярная к прямой а и не лежащая в плоскости ос. Через прямые а и с проведем плоскость ß, которая пересечет плоскость ос по прямой с* _L а. Таким образом, в плоскости ß из точки А к прямой а восставлены два перпендикуляра с и с', что невозможно.

После того как будет дано общее определение перпендикуляра к плоскости (после изучения угла между скрещивающимися прямыми), можно рассмотреть и случай, когда точка А не лежит на прямой. Это полезно сделать для решения многих задач на построение, в частности для решения следующей задачи.

7*. Через данную точку А пространства провести прямую, перпендикулярную к данной плоскости.

Возможны два случая взаимного расположения плоскости и точки: точка А лежит на плоскости ос, и точка А не лежит на плоскости ос (на чертеже 10 изображен первый случай).

Черт. 8

Черт. 9

Анализ. Допустим, что задача решена и прямая а — перпендикуляр к плоскости а в точке Л. Проведем на плоскости а произвольную прямую b, которая будет перпендикулярна к прямой а (по определению перпендикуляра к плоскости). Искомая прямая а проходит через точку А и перпендикулярна к прямой b, следовательно, она лежит в плоскости ß, проходящей через точку А и перпендикулярной к прямой b (геометрическое место прямых, проходящих через точку А и перпендикулярных к прямой b, есть плоскость ß, проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой b), причем безразлично, где лежит точка А: на прямой b или вне ее, на плоскости а или вне ее.

Плоскость ß пересекает плоскость а по прямой с, перпендикулярной к прямой а. Следовательно, искомая прямая а лежит в плоскости ß, проходящей через точку А и перпендикулярной к произвольной прямой b плоскости а, и перпендикулярна к линии с пересечения этих плоскостей.

Построение. 1. На плоскости а проведем произвольную прямую b.

2. Через точку А проведем плоскость ß, перпендикулярную к прямой b (задача 6).

3. Построим прямую с — линию пересечения плоскостей аир.

4. Через точку А в плоскости ß проведем прямую а, перпендикулярную к прямой с.

Доказательство. Прямая а — искомая. Она проходит через точку А и a J_ а, так как a J_ с (по построению) и a J_ b, так как а лежит в плоскости ß J_ b.

Исследование. Задача всегда имеет решение и притом единственное. Действительно, пусть из точки А к плоскости а проведен еще один перпендикуляр а!. Через две пересекающиеся прямые а и а! проведем плоскость у, которая пересечет плоскость ос по прямой х, причем a J_ х и a' J_ х, т. е. в одной плоскости у из одной точки А к прямой X проведены два перпендикуляра а и а', что невозможно.

Вывод. Через точку всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную к данной плоскости.

8. Через данную точку А провести плоскость, параллельную двум данным прямым а и b (черт. 11).

Рассмотрим случай, когда а и b — скрещивающиеся прямые и точка А не лежит на этих прямых.

Анализ. Допустим, что задача решена, т. е. через точку А проведена плоскость а, причем а К а и а || b. Плоскости, проведенные через прямые а и b и точку А, пересекут плоскость а соответственно по прямым а' || а и b' Il b (теорема, обратная признаку параллельности прямой и плоскости).

Построение. 1. Через прямую а и точку А проведем плоскость ß.

2. Через прямую b и точку А проведем плоскость у.

3. В плоскости ß через точку А проведем прямую а! II а.

4. В плоскости у через точку А проведем прямую b' II b.

5. Через прямые а' и br проведем плоскость а.

Доказательство. Плоскость а — искомая, она проходит через точку А и параллельна прямым а и b, так как а || а' и b || br (признак параллельности прямой и плоскости).

Исследование. Для рассматриваемого случая задача имеет единственное решение, так как все построения выполнимы и притом единственным образом. Прямые а! и b' имеют общую точку А и а' X b\ так как, допустив, что аг и V совпадают, мы придем к выводу, что а II b, что противоречит условию. Если аУ^Ь и Acz a, Aczib, задача имеет единственное решение. Если а || b и Acza, А cczb, задача имеет бесконечное множество решений. В этом случае а! и br совпадут, а через одну прямую можно провести бесконечное множество плоскостей. Если А си а и A cz b, задача не имеет решения.

Черт. 10

Черт. 11

9. Через данную точку А провести прямую, параллельную данной плоскости а и пересекающую данную прямую b (черт. 12).

Рассмотрим случай, когда bXа» А с= ô и Лса.

Анализ. Допустим, что задача решена, т. е. а У а, а X b и А с= а. Проведем через прямые а и b плоскость ß, которая пересечет плоскость а по прямой а' || а, так как b Xа и а II а. Точка А с= ß.

Построение. 1. Через точку А и прямую # проведем плоскость ß.

2. Построим аг — линию пересечения плоскостей а и ß.

3. В плоскости ß через точку А проведем прямую а, параллельную прямой а'.

Доказательство. Прямая а, проходящая через точку А, параллельна плоскости а, так как а А а! и пересекает прямую b, так как £ X и а И а\

Исследование. Для рассматриваемого случая задача имеет единственное решение, так как все построения выполнимы и притом единственным образом (исследование прочих возможных случаев предоставляем читателю).

10. Даны две скрещивающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая ни на одной из данных прямых. Провести через точку А прямую, пересекающую обе данные прямые (черт. 13).

Анализ. Допустим, что задача решена, т. е. прямая с проходит через точку А и пересекает прямые а и b. Через прямые а и с можно провести единственную плоскость, через прямые b и с можно провести единственную плоскость, плоскости а и ß имеют общую точку А и, следовательно, определяются однозначно: прямой а и точкой А — плоскость а и прямой b и точкой А — плоскость ß. Искомая прямая является линией пересечения плоскостей анри проходит через точку Л.

Построение. 1. Через точку А и прямую а проведем плоскость а.

2. Через точку А и прямую b проведем плоскость ß.

3. Построим линию пересечения с плоскостей аир.

Доказательство. Плоскости аир имеют общую точку А, следовательно, они пересекаются по некоторой прямой, проходящей через эту точку. Прямые а и с лежат в одной плоскости а, следовательно, или а || с (при а || Р), или а\с; аналогично, b и с лежат в одной плоскости р, следовательно, или b \\ с (при b H а), или bУ(с. Если а X о и b X с, то задача решена.

Исследование. Возможны следующие случаи:

1) #ХС и bУ^с — одно решение;

2) аУ^с и b \\ с —нет решений;

3) а II с и&Хс — нет решений;

4) а у с и b К с — невозможен, так как в противном случае а || b, а это противоречит условию.

11*. Через данную прямую а провести плоскость, перпендикулярную к данной плоскости а (черт. 14).

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости: а X а, а II а и в с= а. Рассмотрим первый случай (а не перпендикулярна к плоскости а).

Черт. 12

Черт. 13

Черт. 14

Анализ. Допустим, что задача решена, т. е. Р _j_ а и öczzß. Если из точки пересечения прямой а с плоскостью а (или из любой другой точки прямой а) восставить перпендикуляр к плоскости а, то он будет лежать в плоскости ß (по теореме, обратной признаку перпендикулярности плоскостей).

Построение. 1. Из точки пересечения прямой а с плоскостью а восставим к ней перпендикуляр b (задача 7).

2. Через прямые а и b проведем плоскость ß.

Доказательство. Плоскость проходит через прямую а и ß J_ а (по признаку перпендикулярности плоскостей, так как b _]_ а).

Исследование. В рассматриваемом случае задача всегда имеет решение и притом единственное, так как все построения выполнимы.

Если а _]_ а, то прямая b совпадает с прямой а и плоскостей, перпендикулярных к плоскости а, можно провести бесконечное множество.

В случаях а || ос и а ста задача также имеет единственное решение. В этих случаях прямая b _1_ ос проводится из произвольной точки прямой а. Единственность решения доказывается методом от противного.

Плоскость ß являетя геометрическим местом прямых, перпендикулярных к плоскости ос и пересекающих прямую а (теорема, обратная признаку перпендикулярности плоскостей).

12. Через скрещивающиеся прямые а и b провести две плоскости cl и ß, параллельные между собой (черт. 15).

Анализ. Допустим, что задача решена, т. е. пл. cizzDb и а, ßzz=>a|| ß. Если через прямую а проведем плоскость у, то она пересечет плоскость ß по прямой а! II а; если через прямую b проведем плоскость 8, то она пересечет плоскость а по прямой b' у b.

Построение. 1. Через прямую а и произвольную точку В прямой b проведем плоскость у.

2. В плоскости у через точку В проведем прямую а! У а.

3. Через прямые b и а' проведем плоскость ß.

4. Через прямую b и произвольную точку А прямой а проведем плоскость 8.

5. В плоскости 8 через точку А проведем прямую b' II b.

6. Через прямые а и b' проведем плоскость а.

Доказательство. Плоскости а и ß параллельны, так как а' || а и b || b\ причем аг и b принадлежат плоскости ß, а а и b' — плоскости ос(признак параллельности плоскостей).

Исследование. Решение задачи всегда возможно, так как все построения выполнимы. Решение единственное. Действительно, плоскость ос проходит через прямую а и параллельна прямой b (bf II b), a такую плоскость можно провести одну (задача 4). Аналогично, плоскость ß проходит через прямую b и параллельна прямой а(а'\\а), а такую плоскость можно провести только одну (задача 4).

Вывод. Скрещивающиеся прямые лежат в двух параллельных плоскостях.

13. Даны две скрещивающиеся прямые а и b. Построить прямую, пересекающую обе данные прямые и перпендикулярную к ним обеим. (черт. 16),

Анализ. Допустим, что задача решена, т. е. прямая c>(fl и су^Ь, причем cj_a и с±Ь.

Через прямую а проведем плоскость а, параллельную прямой b, а через прямые b и с плоскость ß, тогда плоскость ß пересечет плоскость а по br И b (теорема, обратная признаку параллельности прямой плоскости). Прямая с _1_ b, значит, с _L b'. Но с J_ а, следовательно, с J__ ос и плоскость ß X а (признак перпендикулярности плоскостей).

Построение. 1. Через прямую а проведем плоскость а, параллельную прямой b (задача 4).

2. Через прямую b проведем плоскость ß, перпендикулярную к плоскости ос (задача 11).

3. Построим b' — линию пересечения плоскостей аир,

Черт. 15

Черт. 16

4. Из точки пересечения прямых а и b' проведем в плоскости ß прямую с, перпендикулярную к прямой b'.

Доказательство. Прямые bг и а пересекаются, так как из bf || а следует а || b (b' И что противоречит условию. Прямая с ±_а, так как с J_ а; прямая с принадлежит плоскости ß _]_ а и с J_ ô' (теорема, обратная признаку перпендикулярности плоскостей), следовательно, с^Ь и с^Ь, так как с\_br и *' у b.

Исследование. Задача всегда имеет единственное решение, так как все построения выполнимы единственным образом.

Для закрепления понятия об угле между скрещивающимися прямыми и обобщенного определения перпендикуляра к плоскости полезно решить следующую задачу.

14. Через данную точку А провести прямую, перпендикулярную к двум данным скрещивающимся прямым а и b (черт. 17).

Анализ. Допустим, что задача решена, т. е. прямая проходит через точку А и с J_a, с ±Ь.

Прямая с лежит в плоскости а, проходящей через точку А и перпендикулярной к прямой а, так как плоскость а есть геометрическое место прямых, проходящих через точку А и перпендикулярных к прямой а. Прямая с лежит в плоскости ß, проходящей через точку А и перпендикулярной к прямой b, на том же основании. Прямая с, принадлежащая плоскостям аир, есть линия пересечения этих плоскостей.

Построение. 1. Через точку А проведем плоскость а, перпендикулярную к прямой а (задача 6).

2. Через точку А проведем плоскость ß, перпендикулярную к прямой b (задача 6).

3. Проведем прямую с — линию пересечения плоскостей а и ß.

Доказательство, с ±_а, так как с лежит в плоскости a J_ö, с J_ b, так как с лежит в плоскости ß J_ b (определение перпендикуляра к плоскости).

Исследование. Задача имеет единственное решение. Плоскости а и ß имеют общую точку А, и, следовательно, они или пересекаются по единственной прямой, или совпадают, но последнее невозможно, так как тогда прямые а и b были бы параллельны между собой (два перпендикуляра к одной плоскости — параллельны).

15. Через данную точку А на плоскости а провести в этой плоскости прямую, перпендикулярную данной прямой а, не лежащей на плоскости а (черт. 18).

Рассмотрим случай, когда прямая а пересекает плоскость а.

Анализ. Допустим, что задача решена, т. е. b = а и а _[_ b. Геометрическое место прямых, проходящих через точку А и перпендикулярных к прямой а, есть плоскость ß, проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой а.

Прямая b лежит в плоскости а, следовательно, прямая b есть линия пересечения плоскостей а и ß.

Построение. 1. Через точку А проведем плоскость 3, перпендикулярную прямой а (задача 8).

2. Построим прямую b — линию пересечения плоскостей а и ß.

Доказательство. Прямая b — искомая, так как она лежит в плоскости ß J_ а, и поэтому b J_ а, прямая b лежит в плоскости ос и проходит через точку А.

Исследование. Если прямая а не перпендикулярна к плоскости а, то задача всегда имеет решение и притом единственное, так как через точку А можно провести единственную плоскость, перпендикулярную к прямой а, плоскости а и ß пересекаются по единственной прямой.

Черт. 17

Черт. 18

Если а _!_ а, то плоскости а и р совпадут и любая прямая, проведенная через точку А в плоскости а, будет решением задачи. Если а II а или a zu а, то задача также имеет единственное решение.

16. Через данную прямую а провести плоскость, находящуюся на данном расстоянии от данной точки А, не лежащей на прямой а (черт. 19).

Анализ. Допустим, что задача решена и через прямую а проведена плоскость а, находящаяся на данном расстоянии от точки Л. Ло_1_а и Л£ = /, следовательно, АВ_]_а.

Геометрическое место прямых, проходящих через точку А и перпендикулярных к прямой а, есть плоскость ß, проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой а.

Плоскость ß пересекает прямую а в точке А', при этом А'В J_ AB, так как AB _[_ а, следовательно, треугольник ABA' — прямоугольный, в котором катет AB есть данный отрезок /, а гипотенуза АА' есть расстояние точки А от прямой а.

Построение. 1. Через точку А проводим плоскость ß, перпендикулярную прямой а (задача 6).

2. По гипотенузе АА' и катету AB строим прямоугольный треугольник ABA' в плоскости ß.

3. Через прямые а и AB проведем плоскость а.

Доказательство. Плоскость а — искомая, она проходит через прямую а, AB _]_ а (так как AB _L а и AB _[_ А'В (теорема о двух перпендикулярах и определение перпендикуляра к плоскости) и АВ = 1.

Исследование. Плоскость ß J_ а всегда можно построить и притом единственную. Если AB < ЛЛ', то задача имеет два решения:

а и а', так как можно построить два прямоугольные треугольника в плоскости ß: по гипотенузе АА' и катету АВ = 1. Если АВ = АА' или AB = 0, то задача имеет одно решение: в первом случае a J_ АА' в точке А', во втором случае плоскость а проходит через прямую а и точку Л.

Если АВ>АА', то задача не имеет решения.

17. //а данной прямой а, пересекающей плоскость а, найти точку, находящуюся на данном расстоянии I от плоскости а (черт. 20).

Анализ. Допустим, что задача решена, т. е. точка В на прямой а удалена от плоскости а на расстояние /. Точка В лежит в плоскости ß, параллельной плоскости а и находящейся на расстоянии / от нее, так как геометрическое место точек, удаленных от плоскости а на данное расстояние /, есть пара плоскостей, параллельных плоскости а и находящихся на расстоянии / от нее.

Построение. 1. Через точку А пересечения плоскости а и прямой а проведем прямую b, перпендикулярную к плоскости а.

2. На прямой b от точки А в обе стороны отложим АС = АС = /.

3. Через точки С и С проведем плоскости ß и ß', параллельные плоскости а.

4. Построим точки В и В' пересечения прямой а с плоскостями ß и ß' (для этого достаточно построить плоскость, проходящую через прямые а и b).

Доказательство. Очевидно. Исследование. В рассматриваемом случае задача имеет два решения.

Если а И а, то в случае, когда a с= ß

Черт. 19

Черт. 20

(или ß'), задача имеет бесконечное множество решений; если ac=ß и асрг, задача решений не имеет.

18. Через данную точку А вне плоскости а провести к этой плоскости наклонную, имеющую данную длину I и параллельную данной плоскости ß (черт. 21).

Рассмотрим случай, когда aXß и ^czzß.

Анализ. Допустим, что задача решена, т. е. АВ\\ ß и АВ = 1. Прямая AB лежит в плоскости у, проходящей через точку А и параллельной плоскости ß, так как геометрическое место прямых, проходящих через точку А и параллельных плоскости ß, есть плоскость у» проходящая через точку А и параллельная плоскости ß. Окружность, проведенная в плоскости у с центром в точке А и радиусом /, пересечет плоскость a в точках, удаленных от точки А на расстояние, равное отрезку /.

Построение. 1. Через точку А проведем плоскость у, параллельную плоскости ß.

2. Проведем прямую с — линию пересечения плоскостей a и у.

3. ß плоскости у проведем окружность с центром в точке А и радиусом, равным /.

4. Точки пересечения окружности с прямой с соединим отрезками прямых AB и AB'\

Доказательство. Очевидно:

Исследование. Плоскость у, проходящую через точку А и параллельную плоскости ß, всегда можно построить и притом единственную. Эта плоскость у пересечет плоскость a по единственной прямой с. Число решений зависит от взаимного расположения окружности и прямой с. Задача может не иметь решений, иметь одно или два решения.

При ином расположении плоскостей a и ß задача не имеет решений.

19. Построить биссекторную плоскость данного двугранного угла.

20. Через данную точку провести плоскость, параллельную ребру двугранного угла и одинаково наклоненную к его граням.

21. Через данную прямую провести плоскость, одинаково наклоненную к граням данного двугранного угла.

При решении задач на построение желательно анализ задачи производить на модели, составленной из деталей стереометрического ящика, а построение выполнять на проекционном чертеже, который должен быть свободно выполненной параллельной проекцией оригинала на плоскость изображения (см. Н. Ф. Четверухин, Чертежи пространственных фигур, глава I, § 1).

Решение задач на построение на проекционном чертеже (см. А. М. Лоповок, Сборник стереометрических задач на построение) имеет смысл начинать лишь в X классе, когда проходятся многогранники и решаются задачи на сечение многогранников. Большую помощь должны получать в этом учителя математики от учителей черчения.

Черт. 21

О РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

Г. М. ЩИПАКИН (Чкалов)

Как известно, существуют задачи, имеющие различные решения для различных допустимых значений параметров, а также задачи, не имеющие решения. Так, например, задачу на построение треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них, нельзя решать формально, как это указано в учебнике геометрии для учительских институтов А. Н. Перепелкиной. Утверждение, что при CD<а задача имеет два решения, — неправильно.

Эту задачу следует решать так: Дано: отрезки а и b и угол А. Допустимые значения:

1-й случай (черт. 1).

После соответствующих анализа, построения и доказательств проводим исследование.

a) Если CD <a<db, то задача имеет два решения.

b) Если a<CD, то задача не имеет решения.

c) Если a<b = CD, то задача имеет одно решение.

d) Если я]>£, то задача имеет одно решение.

2-й случай (черт. 2 и 3).

90°<Л<180°, в>0, й>0.

a) При а> b задача имеет одно решение.

b) При а^.Ь задача не имеет решения.

На этой задаче видно, что в различных частях множества допустимых значений параметра А мы получаем различные решения, если же этого не учитывать, то можно совершить грубую ошибку.

Аналогичные примеры можно указать и при решении задач на вычисление (с параметрами). Рассмотрим несколько задач из сборника задач по геометрии, ч. 1, Рыбкина.

§ 3, № 46. Сколько сторон имеет многоугольник, если число всех диагоналей его в m раз больше числа сторон*.

Ответ, п = 2т + 3.

Если мы даем учащимся такую формулу без всяких оговорок, то мы насаждаем формальные знания. В самом деле, не при любом значении m задача имеет решение. Чтобы эту задачу решить полностью, надо установить, что я>>4 и в зависимости от этого исследовать полученный ответ так:

При этом, если m — дробь (простая дробь), то знаменатель ее равен 2.

§ 4, № 58. Определить число сторон многоугольника, если сумма его внутренних углов в m раз больше суммы внешних углов*.

Ответ. /i = 2+2т. Если учащиеся возьмут число т = 0, то п~2 не дает геометрического образа.

Исследование показывает, что т> 4- (при этом, если m — дробь, то ее знаменатель равен 2).

§ 9, № 60. В параллелограме ABCD сторона AB = b и ВС = а. Прямая EF || СВ отсекает параллелограм ADEF, подобный ABCD. Определить отрезок DE.

Ответ. DE = -г.

Но если DE>a, то задача не имеет решения. Поэтому формула g- еще не говорит, что мы решили задачу; здесь без дополнительного исследования нельзя обойтись.

Исследование. Если у<а, то а <Ь.

Ответы. 1) Если а<Ь, то задача имеет единственное решение. DE —

2) Если а^Ь, то задача не имеет решения.

В своей работе я даю учащимся схему решения задачи и следующие определения.

Определение 1. Решением задачи на вычисление называется значение неизвестной величины, удовлетворяющее условию задачи.

Определение 2. Решить задачу на вычисление с параметрами — значит найти множество всех ее решений для каждого из допустимых значений параметров.

Схема решения задачи

1. Геометрический анализ условия задачи.

2. Выражение искомой (искомых) величины как функции параметров.

3. Аналитическое исследование полученного решения задачи в общем виде. Проверить, принадлежат ли все значения найденного выражения искомой величины множеству допустимых значений.

4. Вычисление значения искомой величины при заданных значениях параметров (предва-

Черт. 1

Черт. 2 Черт. 3

* Условие задачи лучше сформулировать так: „...если отношение числа диагоналей к числу сторон равно т“. — Ред.

* См. примечание к предыдущей задаче. — Ред.

рительно проверив, что данные принадлежат множеству допустимых значений).

5. Ответы на вопрос задачи.

Из вышеуказанных этапов существенное значение имеют анализ задачи и исследование полученного ответа.

Анализ задачи необходим, так как он помогает учащимся лучше уяснить условие задачи, установить возможность существования и выяснить реальный смысл фигуры служит средством развития логического мышления и пространственного воображения учащихся. Исследование полученного решения убеждает учащихся в правильности или неправильности и в полноте ответа.

Что же должно входить в анализ условия задачи?

Анализ условия задачи предусматривает следующие моменты:

a) подробное рассмотрение условия задачи и свойств тех фигур, о которых идет речь в условии;

b) выяснение вопроса о существовании данной в условии задачи фигуры;

c) установление множества допустимых значений для параметров (если данные величины выражены буквами) и неизвестных величин.

Игнорирование этого важного этапа при решении геометрических задач не дает возможности учащимся осмысленно подходить к решению задачи, порождает грубые ошибки и все решение задачи сводит к нецеленаправленным действиям.

Доказательство существования фигуры, о которой идет речь в условии задачи, важно, так как не всякая задача имеет решение.

Доказательство существования фигуры проводится или путем ее построения, или доказательством возможности ее построения.

Конечно, не всякая задача на построение может быть решена при помощи циркуля и линейки на плоскости. Также не всякая задача разрешима и в пространстве, да и разрешимые задачи бывают весьма сложными для учащихся. Поэтому я не хочу сказать, чтобы учитель обязательно требовал от учащихся построений в каждой из рассматриваемых задач. Но там, где это можно и доступно для учащихся, решение задачи на построение надо выполнять. Это вызывает интерес учащихся и способствует развитию логического мышления. Это благодатная почва для занятий математических кружков.

Для того чтобы убедить учащихся в необходимости проведения подробного анализа задачи, нужно периодически предлагать задачи, не имеющие решения. Например:

Задача 1 (устно). Стороны данного треугольника равны 13 см, 8 см и 21 см. Найти стороны подобного ему треугольника, если коэффициент подобия равен 2.

Учащиеся нередко не видят, что задача не имеет решения.

Задача 2. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника лежит на данной плоскости Р, а его вершина отстоит от плоскости Р на расстоянии а. Проекции катетов данного треугольника на плоскость равны половинам соответствующих катетов. Найти площадь треугольника ABC и вычислить ее при а = 3 см (черт. 4).

Черт. 4

Дано:

Найти

Учащиеся даже могут „исследовать“ полученное решение и говорить, что площадь треугольника ABC возрастает при увеличении а. Необходимо показать учащимся, что полученный ответ, выраженный положительным числом, не говорит еще, что задача имеет решение. В самом деле:

(согласно теореме об угле между прямой и плоскостью). Но это неверно, так как ^ßAC = 45°.

При этом надо указать учащимся, что этого абсурда не получилось бы, если бы мы, прежде чем решать задачу, провели ее анализ.

Задача 3. Найти периметр трапеции, у которой углы при большем основании а и ß, высота h и средняя линия т. Вычислить пе-

риметр при а = 30°, ß = 45°, А =10 см, т=\2 см (черт. 5).

Черт. 5

Но этот ответ неверен, так как при данных числовых значениях параметров задача не имеет решения. В самом деле, если задача

имеет решение, то ЛИС < AIN, т- е- 2 АЕ<С т,

или

но в данном случае:

Задача 4. Ребро правильной п-угольной пирамиды равно а; плоский угол при вершине равен а. Найти боковую поверхность этой пирамиды и вычислить ее при а = 10 см, а = Ж, л =16.

Ответ учащихся.

Следует обратить внимание учащихся на условия возможности решения задачи:

При п =16 должно быть а<22с30'.

Задача 5. Определить площадь осевого сечения в усеченном конусе, если высота конуса h, образующая I и боковая поверхность S выражаются соответственно числами 6, 10, 50 тг (черт. 6).

В этой задаче

откуда получается нелепый результат: г<0.

Задачи, подобные указанным, учитель может составить сам, взяв цифровые данные не из множества допустимых значений параметров.

Когда учащиеся понимают необходимость полного анализа задачи и умеют его проводить, то они обычно не совершают подобных ошибок и дают осмысленное и полное решение.

Если анализ задачи проведен полностью, то исследование ответа обычно сводится к простому констатированию, что искомая величина принадлежит множеству ее допустимых значений. Правда, в некоторых задачах полезно рассматривать изменение искомой величины в зависимости от изменения параметров, а также рассматривать „предельные“ значения.

Некоторые авторы статей предлагают рассматривать искомую величину как функцию некоторого параметра и исследовать ее „поведение“ без установления области ее определения. Такая постановка вопроса неправильна, так как прежде чем исследовать функцию, надо установить область ее определения. Приведенные выше примеры показывают необходимость этого.

В своей работе с учащимися я не требую от них решения всех задач с полным анализом и проведением или описанием построений; этого не позволяет сделать бюджет времени. Кроме того, существуют задачи, в которых учащиеся (и не только учащиеся) затрудняются проводить полный анализ. О таких случаях преподаватель должен заранее предупредить учащихся. При решении таких задач исследование решения играет большую роль. Нередко учащиеся (а также т. Кривлева в своем докладе на „Педагогических чтениях“) устанавливают множество допустимых значений величины и возможность существования фигуры из исследования решения. Но можно

Черт. 6

ли ограничиться только одним исследованием формулы решения, опустив анализ задачи? — Безусловно, нет. Дело в том, что исследование формулы решения не всегда устанавливает действительное множество допустимых значений для параметров, а приводит к более широкому множеству. Кроме того, может случиться, что условие задачи позволяет дать не одно решение, а два или несколько; исследовать же формулы, которые почему-либо нами не найдены, мы не можем.

В подтверждение высказанного утверждения, что аналитическое исследование решения не всегда устанавливает множество значений параметров, приведу следующую задачу.

В треугольной пирамиде все боковые ребра и две стороны основания равны между собой; боковое ребро равно b, а угол между разными сторонами основания равен а. Определить полную поверхность этой пирамиды и вычислить ее при £=6 см, а=150°.

Формула решения:

дает возможность установить, что 0<а< <240° при £ = 6 см, а = 150° S„ = 49, 18 смК

Геометрический же анализ устанавливает, что пирамида существует при 0°<а<М20°, a поэтому вычислять ее поверхность при а>>120° нельзя, a также нельзя и исследовать решение, не установив предварительно множества допустимых значений параметров.

В подтверждение другой мысли, что существуют задачи, позволяющие дать не одну формулу для решения, приведу следующую задачу (№ 671) из сборника задач по математике Антонова, Выгодского, Никитина, Санкина.

Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб со стороной а и острым углом а. Боковое ребро равно b и об разует со сторонами ромба угол ср. Определить объем параллелепипеда.

Ответ (задачника).

не всегда возможен и не единственный. Задача позволяет дать две формулы решений:

Нижеследующие четыре задачи приведены с целью показа решения и записи решения задачи.

Задача 1 (Рыбкин, Сб. задач по геометрии ч. 1, § 9, № 36).

В треугольник с основанием а, высотой h и углом при основании, равном а, вписан квадрат так, что две его вершины находятся на основании, а две другие на боковых сторонах. Найти сторону квадрата.

Анализ. Допустим, что задача решена (черт, 7). Треугольник с основанием АС —а, высотой BD = h и ^/Л = а построить легко. Отбросив условие, что две вершины квадрата лежат на сторонах AB и ВС, мы можем построить один, из множества возможных, квадрат ACCXAV а затем его подобно преобразовать, взяв за центр подобия точку В. Имеем:

û>0; /г>0; MK<h; МК<а; 0<сс<180°.

Построение.

1) На прямой ХУ отложим отрезок АС = а и в точке А проводим луч AB под углом а к АС.

2) Проведем прямую EF \\ АС на расстоянии h от АС. Точку пересечения (В) этой прямой и стороны AB угла а соединим с С. Получим треугольник ABC, удовлетворяющий условиям задачи.

3) На АС строим квадрат АССгАг. Соединим В с Ах и Сх. В точках пересечения (К, L) лучей Aß и СХВ с АС проводим КМ±АС

Черт. 7

и NL _1_ АС. Точки Мп N соединим. KMNL искомый квадрат.

Доказательство.

Сравнивая эти пропорции, устанавливаем, что

Исследование.

1) При а ^90° задача имеет единственное решение. При этом МК<а и MK<h.

2) При 90° < а < 180° задача не имеет решения, так как при этом одна из вершин квадрата будет лежать не на основании треугольника, а на его продолжении.

Решение задачи.

Проверим, входит ли решение в множество допустимых для него значений. В самом деле, при а>0, /г>0 имеем:

Ответы. 1) При 90°>-а>0 задача имеет единственное решение:

2) При а>90° задача не имеет решения.

Задача 2 (Ефремов, Задачник для педучилищ, № 129).

В трапеции боковые стороны равны 3 см и 2,6 см, основание 5 см, высота 2,4 см. Найти второе основание трапеции.

Построение (черт. 8).

1. Отложим AD = 5 см.

2. Проведем прямую, параллельную AD, на расстоянии 2,4 см.

3. Из А, как из центра, радиусом 3 см, а из D, как из центра, радиусом 2,6 см проведем окружности.

4. Точки пересечения этих окружностей с прямой MN соединим с А и D.

Решение.

1-й ответ. £^=5 — 1,8—1 =2,2 (см). 2-й ответ. 5(^ = 5+1,8+1 =7,8 (см). 3-й ответ. ВгСг= 5 — 1,8+1 = 4,2 (см). 4-й ответ. £С = 5 + 1,8 — 1 = 5,8 (см).

Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а угол при вершине в диагональном сечении равен а. Определить площадь сечения, проведенного через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру.

Вычислить площадь сечения при:

a) а=\0 см, а = 68°;

b) «=15 см, а = 115°.

Построения. 1. В фронтальной плоскости чертим квадрат со стороной а (черт. 9) и на его диагонали АС, как на стороне, строим равнобедренный треугольник ASC с углом при основании АС, равным 90°--^- ; проводим CK A. AS.

2. В горизонтальной плоскости строим квадрат ABCD, пользуясь правилом произвольного положения оригинала.

3. В центре квадрата (точка О) восстанавливаем перпендикуляр к плоскости ABCD (черт. 10)

4. На этом перпендикуляре откладываем отрезок, равный SO (от точки О), и соединим его конец 5 с вершинами квадрата.

5. Для построения сечения проведем KC_[_AS. Найдем точку Z, через которую проведем MN\\ BD.

Черт. 8

Черт. 9 Черт. 10

6. Соединим точки Ж, К, N, С.

Доказательство. Сечение перпендикулярно ребру AS. В самом деле, SA J_ КС по построению; MN \\ BD; SA ± BD; CA J_ MM.

Поэтому прямая AS перпендикулярна плоскости сечения. Сечение представляет собой дельтоид.

Исследование. Пирамида возможна при 0°<а<М80°, я>0, но сечение возможно при 0°<а<90о. Следовательно, задача имеет решение (одно) лишь при 0°<а<90°; а>0:

Если а — данное число, то при увеличении а от 0° до 90° площадь сечения убывает от а2 до 0. При этом S>0, так как

cos а > 0 и cos -g- ]> 0.

Ответы. 1. При 0о<а<90° задача имеет единственное решение:

2. При 90°<а<180° задача не имеет решения.

3. При а = 10 см, а = 68° 5сеч=45 см2.

4. При а=15сл/, а =115° задача не имеет решения, так как значение а не входит в множество допустимых для него значений.

Задача 4 (предлагалась на выпускных экзаменах в 1951 году). Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а, две боковые грани перпендикулярны к основанию, а большее боковое ребро ее наклонено к основанию под углом ß. В пирамиду вписан прямоугольный параллелепипед так, что четыре вершины его находятся на боковых ребрах пирамиды, а четыре другие вершины — на основании пирамиды. Определить объем параллелепипеда, зная, что диагональ его об разует с плоскостью основания угол а. Вычислить объем параллелепипеда при а = 45,5 дм, а=40°26' ß = 42°50/.

(Привожу текст решения ученицы X класса К.)

«Анализ задачи

Допустим, что задача на построение пирамиды и параллелепипеда решена и мы имеем черт. 11, в котором: ABCD — квадрат со стороной а, плоскость Д SAB J_ пл. ABCD, плоскость Д ASD ± пл. ABCD, КАО = ос, ^КСО=Н.

Так как две грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то ребро SA _[_ пл. ABCD и является высотой пирамиды. (Если две плоскости перпендикулярны третьей, то их линия пересечения перпендикулярна третьей плоскости.) Большим ребром пирамиды будет ребро SC, как наклонная, имеющая большую проекцию (АС> AB или AD).

АС является проекцией ребра SC на плоскость ABCD, так как AS J_ АС. Следовательно, SCA = $. У прямоугольного параллелепипеда боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Боковые грани и основания— прямоугольники или квадраты. Согласно условию задачи, вершины параллелепипеда лежат на ребрах пирамиды, а четыре другие — на основании пирамиды, т. е. три на сторонах квадрата и одна на его диагонали. Действительно, если из вершин M, F, M верхнего основания параллелепипеда мы будем опускать перпендикуляры на плоскость основания, то эти перпендикуляры не выйдут из плоскостей боковых граней пирамиды, перпендикулярных основанию, а лежа в них, пересекут стороны квадрата. Перпендикуляр КО, не выходя из плоскости диагонального сечения, перпендикулярного основанию, пересечет диагональ АС в точке О. Две боковые грани параллелепипеда сольются с гранями пирамиды, перпендикулярными основанию, так как из точки вне данной плоскости нельзя построить двух плоскостей, перпендикулярных одной (? — Ред.)

Основание MNKF параллелепипеда — квадрат, так как оно представляет собой сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию пирамиды. (Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то в сечении получится многоугольник, подобный основанию.)

Угол между диагональю (АК) параллелепипеда и плоскостью его основания измеряется углом между диагональю (АК) и ее проекцией на основание (АО). Следовательно, </КАО = а.

Черт. 11

При этом геометрически видно, что

Построение.

1. На фронтальной плоскости строим квадрат ABCD со стороной, равной а (черт. 12).

2. На диагонали квадрата (АС) строим прямоугольный треугольник ASC с острым углом ß. Для этого проводим AS под углом ß к АС и SC J_ АС до их взаимного пересечения.

3. Проводим CK под углом а к АС.

4. Пользуясь правом свободного положения оригинала, строим квадрат ABCD в горизонтальной плоскости (черт. 13).

К плоскости ABCD в точке А восстановим перпендикуляр и на нем от А отложим отрезок, равный SC. Точку 5 соединим с вершинами квадрата ABCD.

5. На AS отложим отрезок AM, взяв его размер на черт. 12, и на SC — отрезок КС. Соединим К и М. Проведем КО \\ AS, OP || ВС, NK ii ВС, MF II AD, FK || DC, ЕО || AB.

Решение задачи (опускаю).

Исследование. Так как

Ответы. 1) При а>0, 0°<а<90°, О <'ß <90° задача имеет единственное решение:

2) При а = 45,3 дм, а = 40°26', ß = 42°50' 1/^15,9 л*3».

Ввиду того, что полное решение задачи требует много времени, нельзя рекомендовать, чтобы все учащиеся решали все задачи полностью (тем более письменно).

Учитывая слабые стороны своих учащихся, я направляю их внимание на отдельные этапы решения, опуская те моменты, которые уже усвоены. Но установление множества допустимых значений для параметров и неизвестных должно быть при решении любой задачи (как по геометрии, так и по алгебре). Этого опускать нельзя. При этом ученик должен понимать, чего ему нехватает для полноты решения. Полезно при этом давать домашние самостоятельные (контрольные) работы с требованием полного решения.

Необходимо показать учащимся, что не всякая задача может быть решена с построением. Можно даже показать условия возможности или невозможности решения задачи на построение с помощью простейших инструментов (на кружке).

Приведу еще три задачи, интересные тем, что они имеют различные решения в различных частях множества допустимых значений параметров.

Задача 1. Определить объем параллелепипеда, у которого каждая грань представляет собой ромб с стороной а и острым углом а (черт. 14).

а>0, 0°<а<90°, V> 0. 1-й случай. Трехгранный угол параллелепипеда состоит или из всех острых (тупых) плоских углов, или из двух тупых и одного острого угла.

Исследование. Если а — данное число, то при увеличении а от 0° до 90° величина V возрастет от 0 до а3.

2-й случай. Трехгранный угол параллелепипеда составлен из одного тупого угла и двух острых.

Установление множества допустимых значений.

Черт. 12

Черт. 13

Так как любой плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других, то

2а > 180° — а, и, следовательно,

60° < а < 90°.

Имеем:

Исследование. V“>0, так как при

При увеличении а от 60° до 90° объем параллелепипеда возрастает от 0 до а3.

Задача 2. Стальная болванка имеет форму усеченного конуса, диаметр нижнего основания которого 36 см, верхнего 12 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом а. По оси в этой болванке высверливают цилиндрическое отверстие, диаметр которого равен высоте болванки. Найти вес обработанной таким образом детали, если удельный вес стали 7,8.

По смыслу задачи а<90°; H — высота конуса; H = 12 ig а.

1-й случай (черт. 15). H ^ 12, или 12tga <12, откуда а<45°;

2-й случай (черт. 16).

V = 144z ig а (3 + 2 ig а) (3 — ig а).

Ответы. При а<45° вес готовой болванки равен

2. При 45°<а<71°34' вес готовой болванки равен

7,8.1447:tga(3 + 2tga)(3 — tgа) г.

3. При а>71°34' точить болванку нельзя (при обработке вся болванка источится).

Задача 3. В основании призмы ABC AlBiCl лежит равнобедренный треугольник ABC (АВ=АС и ^ВАС = 2а). Вершина Аг верхнего основания проектируется в центр окружности радиуса R, описанной около нижнего основания. Боковое ребро ААХ образует со стороной основания AB угол, равный 2а. Определить объем и боковую поверхность призмы (черт. 17),

При решении этой задачи учащиеся должны доказать, что:

1) ребро ААг±ВС;

2) ВВХСХС—прямоугольник;

3) ^А1АС = ^А1АВ;

4) грань AAlClC=AAlBlB\

5) а<45°.

Что а < 45° — учащиеся не всегда видят.

Черт. 14

Черт. 15

Черт. 16

Черт. 17

Они легко устанавливают, что 3• 2а < 360° и а<]60о. При этом условии призма возможна, но она не будет подчиняться второму условию задачи (вершина верхнего основания проектируется в центр окружности, описанной около нижнего основания). Это условие налагает следующее требование: 2а<90°, т. е. а<М5°.

Ответы. При 0<а<45о, /?>0 задача имеет единственное решение:

2) При 45°<]а<90о задача не имеет решения.

Начиная с VII класса, я иногда требую, чтобы при решении задачи на вычисление учащиеся выполняли и необходимые построения при помощи циркуля, линейки и устанавливали множество допустимых значений для параметров и неизвестного. Затем в VIII—IX классах это требование предъявляю чаще. Учащиеся X классов это требование выполняют при решении любой задачи. Результаты такой методики сказываются в X классах, где большинство учащихся осмысленно решают задачи по геометрии.

От редакции. Вопрос о решении и исследовании задач по геометрии с параметрическими данными лишь недавно начал разрабатываться в методической литературе. Поэтому и настоящую статью Г. М. Щипакина следует считать опубликованной в порядке постановки вопроса.

О РЕШЕНИИ ЗАДАЧ АРИФМЕТИЧЕСКИМ И АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СПОСОБАМИ*

Б. И. АРЯСОВ (г. Маркс Саратовской обл.)

Статья Н. А. Принцева „Об арифметическом способе решения задач на вычисление“ ставит своей целью обсудить вопрос о применении алгебраического способа решения задач на уроках арифметики. Автор считает применение этого способа не только возможным, но и желательным.

Мотивировка автора состоит в том, что решение в курсе арифметики так называемых типовых задач производится искусственными приемами, сознательное понимание которых все равно недоступно учащимся. Эти искусственные приемы сложны, а алгебраические способы, напротив, позволяют решать типовое задачи кратко и быстро. Через всю статью красной нитью проходит мысль: там, где арифметические способы сложны, следует вводить более простой и удобный алгебраический способ.

Мы не можем согласиться с такой постановкой вопроса. Если мы действительно не можем преодолеть трудностей сознательного решения типовых задач, то скорее уж прав Н. А. Принцев в той части статьи, где он говорит об исключении этих задач из курса арифметики. Замена же искусственного арифметического приема еще более искусственным (для учащихся IV—VI классов) приемом решения соответствующего уравнения способна насадить формализм там, где все усилия учителя должны быть направлены на его преодоление.

Трудность типовых задач заключается в необходимости удовлетворительного объяснения приемов их решения. Алгебраический же способ не разрешает этой трудности. Он просто устраняет и надобность понимать, почему именно такие действия проделаны при решении задачи, поскольку подобные вопросы вообще не ставятся при преобразованиях, нужных для решения уравнения.

Значит, алгебраический способ был бы здесь шагом назад в методическом отношении. Заметим, кстати, что „искусственные“ приемы решения типовых задач выработаны до алгебраического способа и представляют собой результат рассмотрения зависимостей между данными задачи. Эти зависимости здесь сложнее (чем обычно в прошлых задачах), но они не лишены в ряде случаев интереса и определенного образовательного значения.

В частности, с этой точки зрения так называемые „задачи на предположение“ достойны внимания на уроках арифметики. Рассмотрим задачу из статьи Н. А. Принцева:

На 240 тетрадей израсходовано 740 листов

бумаги; тетради сделаны в 2 ~- и 3 ^ листа.

Сколько сделано тех и других тетрадей?

Разбирая эту задачу, Н. А. Принцев пишет: „Арифметический прием решения ее заключается, как известно, в том, что надо предположить (то, чего на самом деле нет), что все 240 тет-

* Статья печатается в порядке обсуждения вопросов, поставленных в статье Н. А. Принцева „Об арифметическом способе решения задач на вычисление“, журн. „Математика в школе“, 1953, № 2.

радей сделаны, например, по 2 листа каждая“.

Дело обстоит не совсем так. Начальный момент здесь сводится к выяснению вопроса: „Сколько было бы израсходовано бумаги на 240 тетрадей по 2 листа?“

Это вовсе не значит, что наши 240 тетрадей все по 2-^- листа каждая. Это означает, что можно сделать 240 тетрадей по 2 ^ листа, и мы способны сосчитать, сколько при этом затратилось бы бумаги. Никакого недоумения это у учеников не вызывает, тем более, что они сейчас же узнают, зачем такое вычисление нам понадобилось. Иногда учителя не могут должным образом провести последующих рассуждений, но это уже наш недостаток.

Во-вторых, решение этой задачи вовсе не обязательно начинать с „предположения“ („того, чего на самом деле нет“). Можно начать решение с такого, например, исследования: В каждой большой тетради тоже есть 2 листа, как и в маленькой, но сверх того еще 1 лист. Значит, в каждой из 240 тетрадей есть по 2 листа, а в больших тетрадях еще и больше на 1 лист.

Из чего же складываются 740 листов бумаги наших тетрадей?

Весьма возможно, что ученики сразу не ответят на этот вопрос, не поймут, что от них требует учитель. Наводящим объяснением, может быть, конкретным рассказом, как делалась каждая тетрадь ^2, можно навести учеников на мысль, что 740 листов наших тетрадей складываются из 2 листов, взятых 240 раз, и из одного листа, взятого столько раз, сколько было сделано больших тетрадей. А отсюда, конечно, недалеко до вполне доступного ученикам умозаключения о том, как найти количество больших тетрадей: надо из 740 вычесть 2 -i , умноженное на 240, и узнать, сколько раз 1 содержится в остатке.

Ценность такого анализа состоит в том, что ученик почти наглядно представляет зависимость между рассматриваемыми величинами (хотя задача и не является простой):

В-третьих, предполагать „то, чего на самом деле нет“, не только не вредно, но и очень полезно. Вопрос о том, сколько было бы израсходовано бумаги на 240 тетрадей по 2 ~ листа, заставляет ученика варьировать условия задачи и сознательно вникать в ее содержание. Тот факт, что решение этого вопроса позволяет затем решить всю задачу, расширяет кругозор ученика, так как показывает, что для решения того или иного математического вопроса иногда бывает недостаточно рассмотреть данные отношения между данными величинами, но нужно взять и какие-то другие предполагаемые (в нашем случае вполне реальные) отношения. Ученик, конечно, не сформулирует только что сказанного, но опыт его, несомненно, обогатится.

Ученик еще будет продолжать изучать курс арифметики, когда в VI классе ему придется доказывать математические предложения способом „от противного“. Тогда придется предполагать не только то, „чего на самом деле нет“, но и то, чего вообще в данной аксиоматической системе (а по представлениям ученика и вообще никогда) быть не может.

По нашему мнению, задачи на предположение не надо исключать из курса арифметики. Однако надо оставить в курсе арифметики только те типовые задачи, решения которых доступно учащимся. Методику преподнесения типовых задач надо разработать самым тщательным образом, чтобы не только лучшие, но и все учителя пользовались ими действительно как задачами повышенного типа для развития мышления учеников, а не для воспитания формализма.

Значит, быть может, вводить алгебраический способ решения задач в арифметике вообще не надо? Нет, это неверно. Н. А. Принцев прав, утверждая, что алгебраический способ вводить на уроках арифметики надо. Только, по нашему мнению, его надо вводить не там, где встречаются трудности, а там и только там, где арифметический способ решения задачи совершенно ясен и где алгебраический метод будет выступать как естественное обобщение арифметического способа. Если, скажем, нашей задаче о тетрадях предшествовал ряд задач на предположение, то после исследования, проведенного выше, и арифметического решения задачи можно легко привести учеников к уравнению:

откуда

Находя х, ученик увидит, что он проделывает все те операции, которые он проделывал при решении задачи арифметическим способом.

Затем полезно показать, что наши рассуждения станут много проще, если зависимость между данными искать в таком виде:

А между тем для нахождения неизвестного нам придется проделать все те же действия:

Только здесь решение уравнения относительно неизвестного стало более трудным. Упростилось отыскание зависимости между данными, зато усложнилось решение уравнения относительно неизвестного.

Даже на этом небольшом примере выясняется и глубокая связь обоих методов, и преимущества второго, и (что особенно важно) причина этих преимуществ.

По нашему мнению, Н. А. Принцев не прав (принципиально и методически), выставляя на первый план противоположность арифметического и алгебраического способов решения задач. В одном месте он пишет: „...мы... обязываем учащихся решать задачи другим способом, может быть, даже (в интересах (!) обучения новому методу) заставляем учащихся забыть (хотя бы на время) известный им из уроков арифметики арифметический метод решения“ (и далее в том же духе).

Очень жаль, что мы так делаем, очень плохо, что мы „заставляем забыть“. Напротив, новый метод надо было вводить так, чтобы он, во-первых, совершенно естественно вытекал из прежнего и, во-вторых, сразу же предстал как дальнейшее обобщение прежнего метода.

К сожалению, Н. А. Принцев не одинок в примитивном сравнении двух методов и в их противопоставлении. Школьная практика, кажется, пестрит такими сравнениями. Это печальное обстоятельство, вероятно, связано с непониманием принципиального сходства двух методов и (как следствие этого) с отсутствием в методике требования показывать это сходство. А между тем именно уяснение сходства между арифметическим и алгебраическим способами решения задач было бы большим шагом на пути к сознательному пониманию учениками сущности уравнений и вообще на пути преодоления формализма в знаниях учащихся.

Не касаясь арифметической и алгебраической символики записи, сущность двух способов можно выразить следующим образом.

Арифметический способ. Решить задачу арифметическим путем — значит найти общую зависимость между указанными в задаче величинами таким образом, чтобы одна из них („неизвестная“) была явно выражена через остальные.

Алгебраический способ, а) Составить уравнение по условию задачи — значит найти общую зависимость между указанными в задаче величинами.

Ь) Решить уравнение — значит решить соответствующую неявно выраженную зависимость относительно указанной („неизвестной“) величины.

Отсюда видно, во-первых, как велико и принципиально сходство обоих методов.

Во-вторых, само различие методов выступает в неразрывной связи со сходством. Оба метода отыскивают общую зависимость между величинами так, чтобы одна из них была явно выражена через остальные. Только арифметический способ делает это сразу, а алгебраический — отделил нахождение общей зависимости от решения ее относительно неизвестного.

Этим достигнуто очень многое:

1. Мы можем искать общую зависимость в неявном виде, а это почти всегда легче, чем в явном (например, в задаче рассмотренной выше).

2. Решение неявной зависимости представлено в общем виде, что освобождает нас от надобности проводить исследования для каждых конкретных условий и позволяет в ряде случаев сразу найти неизвестное по установленным правилам.

Последнее преимущество теснейшим образом связано с буквенной символикой.

Все эти преимущества нового способа учитель должен подчеркнуть и тем в известной мере противопоставить один способ другому.

Но если учитель хочет добиться сознательного понимания нового способа, он обязан показать сходство обоих методов, он обязан показать ученикам, как естественно из прежнего способа родился новый способ.

Подведем итог.

1. Решать задачи алгебраическим способом на уроках арифметики можно и нужно. Делать это следует только в тех случаях, когда арифметический способ решения совершенно ясен, а алгебраический способ легко вытекает из него, имея вместе с тем характерные преимущества.

2. Следует избегать применения алгебраического способа на уроках арифметики в тех случаях, когда это уменьшает или совсем исключает сознательное понимание смысла и причин производимых действий и тем самым способствует насаждению формализма.

К ВОПРОСУ ОБ ИЗОБРАЖЕНИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР В КУРСЕ СТЕРЕОМЕТРИИ*

А. А. ПАНКРАТОВ (Калинин)

За послевоенные годы в журнале „Математика в школе“ появился ряд статей, посвященных проблеме развития пространственных представлений в курсе геометрии, что единодушно приветствуется всеми читателями.

Существенной стороной этой чрезвычайно важной проблемы является вопрос об изображении пространственных фигур на плоскости.

В учебно-методической литературе и на страницах журнала по указанному вопросу более или менее четко обозначились две различные точки зрения. Первая из них соответствует идеям, высказанным проф. Н. Ф. Четверухиным в его известных работах — «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии“ и „Стереометрические задачи на проекционном чертеже“ и нашедшим упрощенное изложение в недавно вышедшей книге Г. А. Владимирского и С. Ю. Калецкого „Черчение“ (М., 1952). Вторая рассмотрена в обширной статье Г. А. Назаревского „О развитии пространственных представлений на уроках геометрии“ („Математика в школе“, № 5 за 1951 г. и № 3 за 1953 г.).

Различие обеих точек зрения настолько велико, что многим читателям кажется, что вопрос о стереометрических чертежах принял дискуссионный характер. Так, большая группа учителей математики старших классов (около 100 человек), с которой мне пришлось иметь дело в июле с. г. по линии Московского областного института усовершенствования учителей, обнаружила определенную растерянность в связи с напечатанием в журнале статьи Г. А. Назаревского. Авторитет журнала заставляет учителей принимать содержащиеся в ней указания как имеющие обязательную силу. Но они (указания) противоречат во многом концепции Н. Ф. Четверухина, которая пропагандировалась в литературе и частично — на страницах „Математики в школе“ до этого времени.

Это обстоятельство заставило автора настоящей заметки сделать попытку внести некоторую ясность в создавшееся положение.

Точка зрения проф. Н. Ф. Четверухина исходит из всестороннего учета особенностей педагогического процесса, насущных потребностей школы и учителя, из анализа существующих воззрений на вопрос. Она обстоятельно мотивирована и с исчерпывающей полнотой представлена в названных выше работах. Здесь нет возможности (да и надобности) останавливаться на ней подробно.

Чтобы оценить вторую точку зрения, рассмотрим, насколько позволят рамки журнальной заметки, упомянутую выше статью т. Назаревского. С первых же строк статьи обращает на себя внимание произвольность и неясность отдельных ее положений. Так, автор совершенно бездоказательно заявляет, что известные три требования к чертежу (верность, наглядность, легкая выполнимость) сочетать невозможно. Не разделяя этого мнения, допустим, однако, что оно справедливо. Тогда неизбежно возникают вопросы: какие же из этих требований можно сочетать? Какие вообще требования, взамен названных трех, следует предъявить к чертежам в стереометрии? Ответа автор не дает. И совершенно напрасно: из-за этого дальнейшие его рассуждения и рекомендации выглядят недостаточно убедительно.

Постараемся разобраться в основных положениях статьи.

1. Сперва должна быть показана ученикам одна наиболее доступная система изображения геометрических тел.

2. В качестве какой системы предлагается обычная фронтальная (кабинетная) проекция.

Эта последняя служит автору все время, пока изучаются многогранники и круглые тела, т. е. на протяжении всего X класса. Как быть с чертежами в IX классе — ничего не сказано.

Выбор именно фронтальной проекции мотивирован нечетко. Если собрать разрозненные замечания автора в пользу этой проекции, то получится следующее.

Во-первых, она доступна учащимся. Это бесспорно, и не может вызвать возражений.

Во-вторых, чертежи, сделанные в этой проекции, обладают измеримостью (по чертежу можно найти истинные размеры отдельных элементов изображенного объекта). Это верно, но так ли важно иметь во всех случаях измеримый чертеж? Ведь известно, что существует огромный класс задач (так называемые позиционные задачи на построение), где измеримость чертежа не играет никакой роли и где фронтальная проекция (как и всякая иная аксонометрическая) не нужна.

Не учитывая этого обстоятельства, автор в ряде рассматриваемых им задач (№ 11 — 16,

* Статья печатается в порядке обсуждения.

18—23) делает чертежи во фронтальной проекции (чертежи № 37—40, 44, 45, 49—54), хотя перечисленные задачи являются позиционными и чертежи к ним гораздо уместнее и проще было бы сделать в произвольных параллельных проекциях.

Не оправдано применение фронтальной проекции и в чертежах ко многим задачам на вычисление (задачи № 24—27, чертежи 55—62). Получающаяся измеримость чертежа нигде в процессе решения этих задач автором не используется, да и не могла бы быть использована, если говорить только о вычислительном решении.

В-третьих, фронтальная проекция при свободном выборе положения оригинала относительно осей координат „позволяет изображать пространственные тела правильно, достаточно наглядно и легко выполнимо“.

Первоначально можно подумать, что автор оговорился: ведь в статье не раз подчеркивается, что три требования к чертежу (верность, наглядность, легкая выполнимость) сочетать невозможно. Очевидная противоречивость суждений автора не может быть поставлена ему в заслугу. Но не в этом главное. Как ни странно, но в последнем утверждении автора всего более содержится правды. Дело в том, что фронтальная проекция обеспечивает действительно легко выполнимые построения (вместе с наглядностью и верностью) для большого числа задач метрического характера, если плоскость, в которой проводятся построения, можно совместить с фронтальной плоскостью или расположить ей параллельно. Эта мысль не нашла четкой формулировки в статье, но весьма удачно проиллюстрирована автором некоторыми примерами (задачи № 10, 30), которых следовало бы привести побольше.

Это и составляет главное преимущество фронтальной проекции перед произвольными параллельными проекциями. Но вместе с тем отмеченное преимущество существенно ограничивает область целесообразного применения фронтальной проекции.

Что касается других достоинств фронтальной проекции, то о них Г. А. Назаревский говорит в очень общих выражениях („удобства применения косоугольной проекции настолько велики...“, „метод косоугольной параллельной проекции наиболее целесообразен“ и т. д. в этом роде), не подкрепляя их основательными доводами. Раз автор решил доказать безусловное и полное превосходство фронтальной проекции перед иными методами изображения геометрических тел, которые предлагались в литературе последнего времени, то он по крайней мере обязан был провести тщательное их сравнение с проекцией фронтальной, а не ограничиваться демонстрированием одной последней. Но если бы Г. А. Назаревский предпринял такое сравнение, то оно неизбежно обернулось бы против него и защищаемой им фронтальной проекции.

В самом деле, ранее уже называлась большая группа чертежей из разбираемой статьи, для которых фронтальная проекция не является ни самой удобной, ни самой целесообразной. Нетрудно указать и другие примеры, взяв их из той же статьи. Так, любой из чертежей с 77-го по 83-й, 102-й („М. в Ш.“, № 3 за 1953 г.) легче (или, во всяком случае, не труднее) выполнить в произвольной параллельной проекции, чем во фронтальной. Изобразить шар во фронтальной проекции ничуть не проще, чем в ортогональной, косоугольная проекция дает заметный проигрыш в наглядности. Тем не менее автор предпочитает косоугольную проекцию. Почему? Скажут: единство метода. Но что оно стоит, если не дает практически ощутимой выгоды и превращается автором в какую-то самоцель. Кроме того, почему считают, что если применять проекции ортогональные и косоугольные, то нарушается единство метода? Ортогональное и косоугольное проектирование относятся к единому методу — методу параллельного проектирования. Прямоугольные проекции нужно оценить по существу, а не пытаться отрицать их заранее, ссылаясь лишь на мнимое нарушение единства метода.

Как указывает Г. А. Назаревский, учащиеся должны понимать, что для фронтальной проекции выбор значений ср (угол, под которым изображается на чертеже ось координат, перпендикулярная к фронтальной плоскости, относительно любой из двух других осей) и k (коэффициент искажения по этой оси) диктуется исключительно соображениями удобства. Разумеется, очень важно добиться такого понимания. Нужно только иметь в виду, что оно возможно лишь на основе обстоятельного знакомства учащихся с происхождением фронтальной проекции. Кроме того, рекомендуется ознакомить учащихся со всеми основными свойствами параллельных проекций, что безусловно необходимо. Но что следует из всего этого? Не ясно ли, что учащиеся, обладающие такими знаниями, нисколько не затруднятся понять, что фронтальная проекция — не универсальный инструмент для выполнения чертежей в стереометрии, что наряду с нею с полным успехом и с большей пользой могут употребляться иные методы изображения пространственных фигур?

Разбирая статью т. Назаревского, трудно пройти мимо многочисленных частных промахов автора, которые делают его рассуждения нечеткими, иногда — явно ошибочными, снижающими теоретический уровень изложения всего вопроса. Вот примеры.

Первое свойство параллельной косоугольной проекции дается в следующей формулировке: „проекция прямой — тоже прямая (кроме случая, когда прямая перпендикулярна плоскости проекций)“ („М. в Ш.“, № 5 за 1951 г., стр. 37). Допущенная автором ошибка очевидна.

Трудно понять смысл таких слов: „...в параллельной косоугольной проекции плоскостью изображений служит фронтальная плоскость (передний вид)...“ (там же, стр. 40). Во-первых, косоугольное проектирование может производиться на любую плоскость, в том числе на такую, которая не связана ни с какой системой осей координат, а не обязательно на фронтальную; во-вторых, отождествлять передний вид и фронтальную плоскость не следует.

Нелегко разобраться в утверждении, что в параллельной косоугольной проекции „шар изображается эллипсоидом, а его абрис — эллипсом“ („М. в Ш.“, № 3 за 1953 г., стр. 24). Всюду речь идет о плоском изображении шара. Непонятно, как вдруг оно стало эллипсоидом — фигурой пространственной.

На стр. 25 того же номера читаем: „...окружность на горизонтальной плоскости изображается в виде эллипса, у которого большая и малая оси смещены...“ — относительно чего, куда и как — неизвестно.

В статье автор везде пользуется так называемой фронтальной (кабинетной) проекцией, но именует ее почему-то просто параллельной косоугольной проекцией. Но разве не ясно, что не всякая такая проекция обязана быть фронтальной, что смешение указанных понятий вносит лишь путаницу в существо дела?

Рассматривается задача: изобразить квадрат на горизонтальной плоскости. Решение: квадрат изобразится параллелограмом, одна сторона которого равна стороне данного квадрата, вторая — половине ее, угол между ними 45°. Почему выбрано именно такое решение? Что это: одно из возможных или единственно возможное решение? Почему ничего не сказано о положении данного квадрата относительно осей координат, когда ясно, что без этого вообще нельзя строить его фронтальную проекцию? Автор и в ряде других мест забывает четко и точно ориентировать изображаемые им фигуры относительно осей координат, что делает расплывчатыми его рассуждения о свободе выбора положения оригинала и затрудняет реализацию этой свободы.

Автор требует неукоснительно следовать правилам построения фронтальной проекции, так как „иначе получится произвольный рисунок, который даст неверное изображение („М. в Ш.“, № 5 за 1951 г., стр. 40). Что такое произвольный рисунок — не объясняется. Может быть, это действительно какая-нибудь неприемлемая вещь. Но считать, что отступление от правил фронтального проектирования неизбежно приведет к неверному изображению, — значит просто заблуждаться.

На стр. 42 (№ 5 за 1951 г.) говорится: „Задачи на сечения следует начинать с куба, располагая их в степени нарастающей трудности и избегая, в первый период обучения, построения параллельных прямых“. Совет странный и совершенно невразумительный.

Задача 15 (стр. 44, № 5) (построение сечения куба плоскостью, проходящей через три точки, данные на ребрах) решена приемом, который сам автор признает неудачным. Приблизительно то же можно сказать о задаче 16, для которой дано не самое лучшее решение. Чем мотивирует автор выбор таких решений, и стоило ли тратить на них целую страницу журнала?

Ограничимся, в интересах краткости, приведенными примерами, хотя число их можно было бы значительно увеличить, и подведем итоги тому, что было сказано о статье т. Назаревского.

1. Вопрос о методах изображения пространственных фигур в школьном курсе геометрии нельзя решать абстрактно, не учитывая конкретных целей, которым должны служить изображения, не формулируя четких требований, которым они должны удовлетворять.

2. Исходя из невозможности сочетать известные три требования к чертежам и не дав взамен их никаких иных, автор допустил существенную ошибку, так как лишил себя критериев, которые позволяли бы судить о преимуществах защищаемого им метода изображения.

3. Автор не доказал решительного превосходства фронтальной проекции перед теми методами, которые выдвигались в литературе последнего времени, так как она и не обладает таким превосходством.

4. Фронтальная проекция, хотя ей и свойственны многие положительные качества, не может быть принята в качестве основного, главного, применяемого во всех случаях инструмента для изображения пространственных фигур в стереометрии.

Так обстоит дело с точкой зрения, которую проводит т. Назаревский.

Уместно заметить, что попытки решить вопрос о чертежах в стереометрии за счет фронтальной проекции делались в советское время и ранее (см., например, И. А. Сигов, Проекционное черчение в курсе геометрии, 1923; неудачно выступили с фронтальной проекцией Гурвиц и Гангнус в своем методическом пособии по стереометрии), но успеха они не имели. Не собираясь разбираться в причинах такого неуспеха в прошлом, можно думать, что в современных условиях, когда проф. Н. Ф. Четверухиным разработаны новые методы построения стереометрических чертежей, фронтальная проекция не сможет завоевать себе того положения, которое ей отводится в разобранной статье.

Как же поступить учителю, вниманию которого предложены две различные точки зрения, указанные в начале данной заметки?

Говоря теоретически, любая из этих точек зрения имеет право на существование и учитель по своему выбору может следовать любой из них.

Однако такое решение было бы формальным.

Если исходить из существа дела, требований педагогического процесса и искать наиболее целесообразное для целей повседневной практики учителя математики решение вопроса, то оно может быть дано в настоящее время лишь на основе положений, разработанных проф. Н. Ф. Четверухиным.

Коротко и в общих словах все можно свести к следующему.

1. Стереометрические чертежи должны быть верными, наглядными, свободно выполненными. От этих требований трудно отказаться, так как они очень удачно учитывают всю специфику работы учителя математики. Те, кто не считают их приемлемыми, не могут просто отмахнуться от них, а обязаны дать взамен нечто более полноценное. По крайней мере пока это не сделано.

2. Основным методом изображения в стереометрии является метод параллельного проектирования. При этом мы, вообще говоря, не интересуемся направлением проектирования („произвольные проекции“), если речь идет о чертежах любых тел, кроме шара. Для шара предпочтительнее употреблять ортогональные проекции.

3. Применение аксонометрических проекций (в том числе и фронтальной) никоим образом не исключается, а разумно ограничивается. Их применение будет вполне оправдано лишь в случаях, когда условия рассматриваемого вопроса требуют наглядного и вместе с тем измеримого чертежа, а также при решении многих построительных задач метрического характера.

4. Нельзя избегать употребления обычных эпюров, известных учащимся из курса черчения. Они нередко могут явиться хорошим вспомогательным средством для получения верных наглядных чертежей. Эпюры могут также с успехом заменить наглядный чертеж, когда выполнение последнего бывает затруднительно (см., например, статью Н. С. Воробьева „Решение задач по стереометрии методом прямоугольных проекций“, „Математика в школе“, 1953, № 3).

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ДАННЫМИ

М. Г. ВАСИЛЬЕВ (Петровск)

При логарифмических вычислениях учащиеся обычно не задумываются над тем, с какими величинами, точными или приближенными, они имеют дело. В связи с этим могут получиться нерациональные вычисления и ответы, не соответствующие точности приближенных данных.

Необходимо сообщить учащимся, что в их практике вычислений с помощью таблиц логарифмов они должны тщательно следить за тем, с какими данными (точными или приближенными) они производят вычисления и в зависимости от этого выбирать и соответствующие таблицы логарифмов.

Если в условии примера или задачи содержатся точные данные, то при вычислениях, вследствие иррациональности десятичных логарифмов, приходится иметь дело с приближенными величинами, причем округление ненадежных „хвостов“ производится уже не с помощью правил подсчета цифр, а „механически“, самими таблицами. Необходимо только подобрать таблицы логарифмов надлежащей точности.

Если результат надо получить с &-значащими цифрами, то обычно пользуются ß-значными таблицами (где k — число цифр мантиссы логарифма) и только в редких случаях,

при вычислениях, требующих большой точности, — 1)-значными.

Исключение из этого общего правила составляют возведение в степень с большим показателем и вычисления, в которых участвует разность двух чисел, весьма близких друг к другу (подробнее об этом см. в методике В. М. Брадиса, изд. 1951 г., стр. 297).

Иначе обстоит дело, если в примере или задаче имеются приближенные данные. Когда мы берем логарифм от некоторого числа, полученного в результате измерения или приближенного вычисления, то неточность логарифма будет обусловлена и неточностью, допущенной при измерении или вычислении, и неточностью таблиц, погрешности которых могут достигать 0,5 единицы последнего знака.

Поэтому может произойти увеличение погрешности, когда и приближенное число, и значение его логарифма в таблицах взяты с недостатком или с избытком.

Чтобы неточность таблиц менее отражалась на логарифме приближенного числа, можно брать значность таблиц на единицу больше значности приближенного данного, но нет никакого смысла повышать значность таблиц более чем на единицу.

Поясним это на примере. Пусть имеем приближенное число 2,4. Тогда 2,35 < 2,4 < 2,45.

Пользуясь таблицами двузначных, трехзначных и четырехзначных таблиц логарифмов, можно написать неравенства:

Наше число 2,4 имеет две значащие цифры, и логарифмы этого числа также имеют только две значащие цифры, так как третьи и четвертые цифры справа, полученные по более точным таблицам, как видно из написанных неравенств, ненадежны.

Если мы будем брать трехзначные, четырехзначные, пятизначные числа, то, написав с помощью соответствующе подобранных таблиц аналогичные неравенства, мы убедимся, что /г-значное приближенное число имеет k надежных цифр в мантиссе логарифма (последняя не вполне надежна).

На основании изложенного, при вычислениях с помощью логарифмов сохраняются в силе правила подсчета цифр, с которыми учащиеся уже ознакомились в V и VII классах, с той разницей, что округление результатов при надлежащим образом подобранных таблицах производится самими таблицами. Применение правил приближенных вычислений при логарифмических вычислениях значительно облегчит работу и даст возможность выписывать окончательные ответы только с надежными цифрами.

Подтвердить правильность изложенных соображений можно, пользуясь ниже помещенной таблицей, которая заранее изготовляется и вывешивается в классе во время объяснения.

Рассматривая эту таблицу, учащиеся замечают, что при значности приближенных чисел в две цифры мы в результате вычисления имеем только две надежные цифры, которые мы и получаем при пользовании даже двузначными таблицами логарифмов. Если бы мы составили аналогичным способом таблицы для чисел трехзначных, четырехзначных и т. д.,

Числа и действия над ними

Результаты вычислений по таблицам

Двузначные

Трехзначные

Четырехзначные

Пятизначные

По таблице квадратных корней

то заметили бы, что при значности чисел в k цифр уже ß-значные таблицы дают требуемой точности результат. Отсюда делаем вывод: при логарифмических вычислениях с приближенными данными в k значащих цифр следует пользоваться k значными таблицами и лишь иногда, при более точных вычислениях, — (k+ \)-значными. Брать таблицы выше (k+1)-значности не имеет смысла.

Учитывая изложенное, было бы полезно ознакомить учащихся не только с четырехзначными таблицами, но также с двузначными, трехзначными, пятизначными и семизначными, а также научить учащихся пользоваться логарифмической линейкой. С пятизначными и семизначными таблицами иногда трудно ознакомить учащихся за неимением этих таблиц в достаточном количестве в школе, но с двузначными и трехзначными познакомить легко.

Таблицу двузначных логарифмов учащиеся изготовляют сами (см. таблицу 1 в конце статьи), а в качестве трехзначной применяют четырехзначную таблицу Брадиса, округляя мантиссы до трех значащих цифр.

Учитывая особую важность четырехзначных логарифмических таблиц, принятых в настоящее время в школе, первые примеры на логарифмические вычисления из задачника по алгебре П. А. Ларичева учащиеся выполняют с помощью четырехзначных логарифмических таблиц, считая данные примеров точными. Но когда учащиеся хорошо освоятся с этими таблицами, примерно с № 1118 полезно предложить данные примеров считать полученными в результате измерения и упрощать решения, используя правила приближенных вычислений.

Упрощение решения будет заключаться в следующем:

1) применяя правило VI подсчета цифр (Брадис, Четырехзначные таблицы, стр. 57), данные примеры округляются;

2) выбираются соответствующие полученным данным таблицы;

3) ответ выписывается с тем количеством значащих цифр, какое имеет приближенное данное с наименьшим количеством значащих цифр.

Поясним это на примере № 1119 из задачника П. А. Ларичева (II часть) (в дальнейшем в примерах, взятых из этого задачника, будут указываться только номера).

Вспомогательные вычисления:

Вычисления производятся с помощью трехзначных таблиц логарифмов или по четырехзначным с последующим округлением.

Желательно решение каждого примера проверять грубым подсчетом, округляя данные. Ввиду наличия корней 3-й и 5-й степеней, проверку путем грубой прикидки сделать трудно. Поэтому для проверки решения можно воспользоваться двузначной логарифмической таблицей (см. таблицу 1 в конце статьи), с помощью которой быстро, выполняя устно почти все действия, можно получить ответ с двумя надежными цифрами, что вполне достаточно для грубой проверки.

В более простых примерах проверку можно делать с помощью логарифмической линейки. Проверка по двузначным логарифмическим таблицам имеет то преимущество, что при расхождении ответов легко проверить вычисления, сличая действия, выполненные по тем или другим таблицам.

Ниже приводится проверка решенного примера по двузначным таблицам:

Решение.

Следует указать учащимся, что при вычислениях, не требующих большой точности, при желании получить ответ с меньшей затратой времени и труда можно производить округление без оставления запасной цифры.

В большинстве случаев ответ совпадает с тем, который бы мы получили, взяв запас-

ные цифры у приближенных данных и округлив окончательный результат.

В подтверждение этого решаются примеры:

№ 1118 (1):

Без округления данных, пользуясь четырехзначными таблицами логарифмов, получим ответ 0,2044. Надежные цифры в том и другом ответе совпадают.

№ 1119 (3):

Применим для решения двузначные логарифмические таблицы:

Ответ при решении примера без округления данных равен 1,301, но последние две цифры справа ненадежны, так как в условии имеется число с двумя значащими цифрами.

№ 1120 (3):

Вспомогательные вычисления*:

По четырехзначным таблицам без округления данных получим 0,1297. После округления оба ответа совпадают.

№ 1124 (4):

Вспомогательные вычисления:

Ответ. 9,5<л:<9,6.

По четырехзначным таблицам при данных без округления получим 9,550.

Округлив ответ до двух значащих цифр, получим результат, найденный по двузначным таблицам.

Применяя метод приближенных вычислений при решении части примеров с помощью таблиц логарифмов, учащиеся научатся ответственно подходить к вычислениям.

Нет основания избегать пользования двузначными логарифмическими таблицами по следующим причинам:

1. Применяя таблицы двузначных логарифмов, мы вовсе не отменяем четырехзначные таблицы.

2. Решая некоторые примеры по двузначным таблицам, учащиеся будут проделывать все специфические операции над логарифмами.

3. При решении части примеров по двузначным таблицам учащиеся освобождаются от необходимости постоянно находить поправки.

4. Решая часть примеров по двузначным таблицам, учащийся экономит время в домашней и классной работе.

5. Двузначные таблицы могут быть использованы также для грубой проверки примеров, решенных по четырехзначным таблицам или с помощью логарифмической линейки.

Желательно некоторые примеры при 2—3-значных данных решать двумя способами: по таблицам и с помощью линейки. Решению примеров повышенной трудности (отрицательные и дробные показатели, отрицательные числа под корнем, суммы и разности и пр.) отнимают обычно много времени, так как приходится производить действия над многозначными числами, вследствие чего специфика решения указанных примеров несколько затушевывается.

* См. журн. «Математика в школе“, 1953, № 4.

Применяя для решения хотя бы некоторой части этих примеров двузначные логарифмические таблицы, мы сэкономим время, сохранив все специфические особенности решения этих примеров.

Ниже приводится решение двух таких примеров с помощью двузначных логарифмических таблиц.

№ 1121 (4):

№ 1124 (3):

Вспомогательные вычисления:

После того как учащиеся усвоят вычисление сложных выражений с помощью логарифмов, полезно ознакомить их с комбинированным способом вычислений, используя при решении таблицы, метод сокращенного умножения и деления и логарифмирование. Данные в этих примерах лучше считать полученными в результате измерения.

Пример.

Вспомогательные вычисления;

Грубая проверка решения:

При решении использованы четырехзначные таблицы Брадиса Г, II и XI и метод сокращенного умножения и деления; если учащиеся не ознакомлены с сокращенным умножением и делением, то деление можно заменить умножением на обратное число (таблицы Брадиса; таблица XVII), а затем произведение трех множителей 2,625-0,7962.0,6681 найти по таблицам логарифмов, получим:

Разница в ответах на 0,006 объясняется разницей в значениях логарифма х при различных способах подсчета и, ввиду приближенности данных примера, вполне допустима.

При решении задач практического характера данные правильнее считать полученными в результате измерения и при вычислениях, а также при записи ответа учитывать значности данных.

В задачнике П. А. Ларичева, ч. II, задачи № 1126—1128 носят практический характер, данные в задачах имеют различную значность, но ответы к задачам состоят все из четырех значащих цифр, что указывает на то, что решающий не принимал во внимание приближенный характер данных.

Приводим пример.

№ 1128 (3). Моток стальной проволоки диаметром 2,5 мм весит 15,8 кг. Найти длину этой проволоки, если удельный вес стали равен 7,96 .

Решение. Обозначив длину проволоки буквой Н, диаметр — Д вес — g и удельный вес — d, имеем:

Ответ. Длина проволоки ^ 40о м. Ответ в задачнике: 404,6 м.

Последние две цифры не заслуживают доверия, так как одно из приближенных данных имеет две значащие цифры.

Чтобы проверить правильность этого заключения, найдем верхнюю и нижнюю границы Н:

Сделанные вычисления позволяют утверждать, что истинная длина проволоки заключается между 380 м и 430 м.

Поэтому при решении задачи вычисление можно проводить с помощью логарифмической линейки, взяв в окончательном ответе две значащие цифры (40о ) или с помощью двузначных таблиц логарифмов:

Также следует изменить и остальные ответы в указанных задачах, если принять в расчет приближенный характер их данных. Например, в задаче № 1128 (2) ответ правильнее считать равным ^27 кг. Вычисление лучше производить или с помощью логарифмической линейки, или по двузначным логарифмическим таблицам: обозначив через g вес проволоки, а через d — ее удельный вес, имеем:

Ответ. Вес проволоки ^27 кг. На основании изложенного, двузначные логарифмические таблицы применяются в следующих случаях:

1. Для грубой проверки результата логарифмических вычислений, когда обычный способ „прикидки" затруднен наличием радикалов, дробных показателей и пр.

2. При вычислениях с приближенными данными в две значащие цифры, когда вычислитель по тем или иным причинам не может воспользоваться логарифмической линейкой.

3. С целью экономии времени при тренировочных упражнениях со сложными логарифмическими вычислениями. По двузначным таблицам решается только часть этих примеров по выбору преподавателя, решение остальных производим по четырехзначным таблицам.

С целью экономии времени можно рекомендовать двузначные логарифмические таблицы при решении некоторых показательных и логарифмических уравнений и при решении некоторых задач на приложение тригонометрии к геометрии, составив дополнительно двузначные таблицы логарифмов тригонометрических функций (см. таблицу 2 в конце статьи).

Например, в упражнении № 1146 первый пример можно решить с применением двузначных таблиц, а второй — с применением четырехзначных:

Задача (№ 23 § 21 из задачника по тригонометрии Рыбкина). Яма для пруда имеет форму правильной усеченной четырехугольной пирамиды. Стороны оснований а = 14 м и b =з 10 м. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом а = 38°. Сколько воды может вместить эта яма?

Решение. Обозначив искомый объем через Vu имеем:

Ответ в задачнике: 227 м3. Если считать данные задачи полученными в результате измерения, то последняя цифра ответа 7 ненадежна; после округления получим найденный нами ответ.

Задача (№ 29 § 21 из задачника по тригонометрии Рыбкина). Горизонтально установленный цилиндрический бак наполнили жидкостью. Дуга AB содержит угол а = 135°. Диаметр (внутренний) бака равен D = 1,7 м. Длина (внутренняя) бака равна I = 3,5 м. Определить количество жидкости (черт. 1). Решение.

Вычисление числового ответа:

Найденный ответ совпадает с ответом задачника.

Итак, мы можем утверждать, что, применяя некоторые правила действий над приближенными числами при логарифмических вычислениях, мы упрощаем решение, но ответ получаем по точности вполне удовлетворительный. Ознакомление с этим учащихся, а также использование ими в работе двузначных таблиц и логарифмической линейки позволят сэкономить время без ущерба для проходимого материала. Сэкономленное время можно употребить на лучшее усвоение теории логарифмов.

Таблица 1 Двузначные логарифмические таблицы

Мантиссы логарифмов

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

00

04

08

11

15

18

20

23

26

28

20

30

32

34

36

38

40

42

43

45

46

30

48

49

51

52

53

54

56

57

58

59

40

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

50

70

71

72

72

73

74

75

76

76

77

60

78

79

79

80

81

81

82

83

83

84

70

85

85

86

86

87

88

88

89

89

90

80

90

91

91

92

92

93

93

94

94

95

90

95

96

96

97

97

98

98

99

99

99

Примечание. По этой же таблице находятся числа по данным их логарифмам.

Таблица 2

Двузначные логарифмические таблицы тригонометрических функций

Логарифмы синусов

Логарифмы косинусов

Логарифмы тангенсов

Логарифмы котангенсов

От редакции

В ближайших последующих номерах журнала „Математика в школе“ редакция наметила поместить статьи на следующие темы:

1. Вопросы политехнизма в преподавании отдельных математических предметов.

2. Связь математики с физикой.

3. Связь математики с черчением в школьном преподавании.

4. Элементы историзма в курсе математики.

5. Устные упражнения в старших классах.

6. Прямая и обратная пропорциональность в курсе арифметики.

7. Место „типовых“ задач в курсе арифметики.

8. Понятие о функции в школьном курсе математики.

9. Измерение величин в курсе геометрии VIII класса.

10. Геометрические преобразования в школьном преподавании.

11. Различные методы изучения объемов.

12. Из опыта работы по повышению успеваемости учащихся по математике.

13. Организация и методика повторения математики (по классам). Лучшие из статей (на указанные темы), которые поступят в редакцию, будут напечатаны.

ИЗ ОПЫТА

ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛИТЕХНИЗМА В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

Г. С. ЯХНО (Арзамас)

Политехническое обучение имеет две стороны: теоретическую (ознакомление с научными основами производства) и практическую (привитие навыков обращения с орудиями труда).

Мы полагаем, что если теоретическая сторона школьного курса геометрии и может быть признана удовлетворительной, то относительно практической стороны этого сказать нельзя. Совершенно недостаточно подчеркивается практическая ценность полученных выводов, не указываются пути и возможности применения их в повседневной жизни, в практике социалистического строительства. В результате этого слабо прививаются практические навыки и умения. Часто учащиеся воспринимают тот или иной геометрический образ в его идеальной форме и, чрезмерно абстрагируя геометрические понятия, отрываются от объектов реального мира, отражением которых являются изучаемые тела, поверхности, линии.

Нет нужды здесь приводить примеры, доказывающие слабую ориентировку учащихся в решении практических задач, а иногда и прямые курьезы, к которым они приходят. Ясно одно, что это — следствие формального усвоения теоремы и математических формул, их выражающих, неумение самому найти необходимые измерения для вычисления расстояний, поверхностей, объемов.

Основными средствами, способствующими устранению указанных недостатков, на наш взгляд, являются следующие мероприятия:

1. Наглядность при доказательстве теорем, при решении задач на построение и трудных задач на вычисление.

Целесообразное использование наглядных пособий убеждает учащихся в жизненности и практической ценности приобретенных ими знаний. Разумеется, что роль логических построений и обобщений этим нисколько не умаляется.

2. Изготовление учащимися пространственных моделей к задачам и некоторым теоремам стереометрии. Методическая ценность таких работ очевидна. Учащиеся глубже и полнее воспринимают зависимости между геометрическими понятиями, развивают пространственное воображение, крайне необходимое для практики.

3. Решение практических задач, в которых учащиеся должны сами определить, какие измерения следует произвести. Для этого используются различные модели, а задача облекается в жизненно практическую фабулу. Например, ставится на стол модель конуса и ученику предлагается определить объем „кучи песка“. Для вычисления диаметра основания он не может поднимать конус, а должен найти диаметр, измерив длину окружности. Также необходимость определения высоты заставляет прибегать к косвенным вычислениям. Все это развивает сообразительность, прививает навыки в рационализации измерений и вычислений.

4. Выполнение практических работ по построению линий, углов, многоугольников, по определению расстояний, высот площадей, объемов и т. п.

5. Решение задач, имеющих практическую ценность (задачи имеются в различных сборниках задач). При этом следует давать необходимые комментарии к тексту, подчеркивать жизненность решаемых задач и практическую приложимость методов решения.

Все эти положения известны каждому преподавателю, и в связи с этим надо подчеркнуть то обстоятельство, что решение практических задач и выполнение работ, связанных

с практическими измерениями и построениями (пока нет их точного перечня в программе, как это сделано, например, по физике), остаются лишь добрыми пожеланиями. Поэтому учитель вынужден по своему усмотрению определять как объем, так и характер практических работ. Сейчас нет никаких оснований для выжидания, каждый преподаватель найдет необходимые конкретные формы для введения элементов политехнизма.

В течение ряда лет нами проводились следующие практические работы:

1. Определение расстояний и высот на основании подобия треугольников (определение ширины реки, оврага, расстояния до недоступного предмета, высота здания, дерева и т. п.). Для этого использовались эккер, школьная астролябия, вехи, мерная лента, высотомер лесоводов (описание которого имеется у Я. И. Перельмана в книге „Занимательная геометрия“), зеркальный высотомер. При этом учащимся давались два приближенные способа определения расстояний. Первый способ состоит в том, что вблизи предмета D (черт. 1), до которого определяют расстояние (например, дерево на противоположном берегу реки), выбирают два ориентира (точки А и В) и с помощью полоски бумаги или травинки ab, которую держат перед глазами параллельно AB, добиваются того, чтобы она покрывала расстояние AB. При этом будем иметь угол зрения АСВ. Отойдя затем от берега, находят такую точку Е, чтобы при том же расстоянии полоски от глаза расстояние AB покрывалось половиной полоски. Тогда СЕ будет равно искомому расстоянию CD. В самом деле, из подобия треугольников имеем:

Отсюда:

ED = 2CD;

значит,

EC=CD.

Второй способ основан на теореме об отношении высот в подобных треугольниках. По точности он значительно уступает другим, но ввиду своей простоты легко усваивается учащимися и находит некоторое применение в их повседневной практике. Пусть требуется определить расстояние до прямой AB (черт. 2) (полагая ее перпендикулярной к лучу зрения). Зная расстояние между глазами ab, расстояние от глаз до точки D (например, кончик карандаша в вытянутой руке) и параллактическое смещение карандаша AB, получающееся вследствие поочередного визирования то левым, то правым глазом, мы можем найти расстояние DC из соотношения:

Так как отношение —~ для данного лица постоянно, то для определения расстояния остается оценить в метрах параллактическое смещение AB и умножить его на величину этого отношения.

Оба эти способа удобны, так как почти не требуют никакого оборудования.

То же следует сказать о работе с высотомерами. Простота их изготовления и применение свойств подобных треугольников вызывают у учащихся значительный интерес к определению высот. Устройство зеркального высотомера показано на чертеже 3.

На школьном штативе укрепляется линейка ОН с зеркалом С. С помощью винта F на стойке штатива укрепляется визирная рейка DF, вращающаяся в вертикальной плоскости. На ее конце D укрепляется визир, служащий для совмещения рейки с отраженным лучом, и отвес DE, позволяющий определить катеты DE и FE. Используя законы отражения света (угол отражения равен углу падения), из подобия треугольников находим искомую высоту AB.

Черт. 1

Черт. 2

2. Работа с делительным циркулем и поперечным масштабом. Эта работа в основном выполняется в классе у доски и самостоятельно в тетрадях (используется поперечный масштаб, имеющийся на транспортирах).

3. Мензульная съемка земельных участков (построение многоугольника, подобного данному).

4. Построение прямого угла на местности (а также и в классе) с помощью египетского треугольника; определение расстояний, пользуясь теоремой Пифагора (например, диагоналей классной комнаты). Следует указать учащимся также на возможность вычисления с помощью прямоугольного треугольника расстояний на местности.

5. Определение расстояний и высот с помощью тригонометрических функций острого угла (решение прямоугольных треугольников).

Учащиеся убеждаются в преимуществах этого способа перед ранее рассмотренными, в универсальности и достаточно высокой его точности.

С помощью самодельной астролябии*, позволяющей отсчитывать углы с точностью до полградуса, нами определялись расстояния до 500 м с ошибкой в 2—3%.

Значительное оживление при выполнении таких работ вносит применение своеобразного тангенс-дальномера. Применение его основано на том, что базис (прилежащий к измеряемому углу катет) выбирается определенной длины. Тогда искомое расстояние (противолежащий катет) будет функцией только одного угла. Выписав таблицу значений угла в наиболее употребительном интервале (например, от 60 до 85°), заносят против каждого значения угла (через градус) соответствующее ему расстояние, т. е. произведение базиса на тангенс прилежащего к нему острого угла. Чтобы охватить большой диапазон измеряемых расстояний, в таблицу заносятся две-три шкалы для разных значений базиса (например, 40 м, 50 м и 60 м). Такая таблица, наклеенная на лимб астролябии, дает возможность сразу после измерения угла определить искомое расстояние для выбранного базиса.

6. Вычисление площадей земельных участков различной формы, в том числе и участков, имеющих форму треугольника или неправильного многоугольника (с применением формулы Герона). Практическое значение формулы Герона довольно ярко выступает, как только учащиеся встретятся на местности с трудностями определения высот треугольников, необходимых для вычисления площадей.

Полезным видом упражнений в классе является определение площадей моделей треугольников и многоугольников, которые учитель готовит из картона или бумаги и раздает ученикам.

7. Построение правильных многоугольников (построение пятиконечной звезды, разбивка цветочной клумбы, построение правильного шестиугольника и других многоугольников), нанесение на круг градусных делений.

8. Практические задачи, связанные с вычислением диаметра, длины окружности и площади круга.

a) Определение диаметра ствола дерева (на корню), вала или трубы, когда концы закрыты. Так как штанген-циркуль не всегда имеется под руками, то такую задачу полезно решить путем измерения длины окружности.

Если не требуется большая точность (например, при определении ствола дерева), то можно указать учащимся следующий быстрый способ определения диаметра.

Ниткой измеряется длина окружности, а затем нитка складывается втрое. Найденная треть длины окружности дает приближенную величину диаметра с ошибкой около 4%.

b) Определение скорости резания металла на токарном станке (связь с физикой). Данные для такой задачи (диаметр обтачиваемой детали и соответствующая скорость вращения) можно получить в механической мастерской, на заводе, в МТС.

При этом необходимо подчеркнуть выдающиеся достижения в этой области наших новаторов-скоростников П. Быкова, Г. Борткевича, Дикова и др.

c) Определение площади поперечного сечения проводника для расчета сопротивления (связь с физикой).

Определение площади основания силосной башни, цилиндрического сосуда, среза бревна и т. п.

d) Построение секторных диаграмм.

9. Задачи на определение поверхностей и объемов многогранников.

а) Вычисление площади стен, панелей, потолков классной комнаты (составление практи-

Черт. 3

* См. статью А. Григорьева в журн. „Математика в школе“, 1951, № 1.

ческой задачи на определение стоимости побелки и покраски).

b) Вычисление объема комнаты, расчет количества воздуха на одного человека. Вычисление объема стен простейшего здания и определение расхода кирпича на его постройку.

c) Определение расхода воды канала, реки, трубы в секунду, в час, в сутки. Вычисление кинетической энергии этой воды (связь с физикой).

10. Задачи на определение поверхностей и объемов круглых тел.

a) Определение расхода материала, пошедшего на изготовление ведра, бидона, бака, воронки, трубы (с прикидкой на швы).

b) Определение объема ведра, бочки, силосной башни, железнодорожной цистерны, кучи песка (конической) и др.

c) Определение объема тел неправильной формы с помощью цилиндрического сосуда и масштабной линейки (в том случае, когда нет мензурки или тело не помещается в мензурку).

d) Определение объемов тел сложной формы, представляющих собой комбинацию двух или нескольких геометрических тел (стог сена, бидон с коническим верхом и др.).

Приведенный перечень практических работ для VIII—X классов является только примерным, и в зависимости от наличия оборудования и местных условий он может быть значительно расширен и улучшен.

Несколько слов о выполнимости указанного перечня работ. Главным затруднением в проведении практических работ является, пожалуй, ограниченность учебного времени. Однако при тщательном планировании это затруднение может быть преодолено.

Во-первых, в учебном плане на полугодие следует точно определить, какие практические задачи и работы должны быть выполнены по той или иной теме и каковы формы их выполнения. Это избавит преподавателя от случайного подбора задач и даст возможность заранее подготовиться к каждой из них.

Во-вторых, выполнение практических работ и задач можно осуществлять по следующим четырем линиям:

a) в классе, когда данные для практической задачи получены заранее или необходимые измерения проводятся здесь же самими учащимися;

b) на местности как в учебное, так и во внеурочное время, а также во время проведения экскурсий;

c) в качестве домашнего задания по практическому измерению или построению;

d) на внеклассных и кружковых занятиях.

В-третьих, необходимое количество часов для практических работ может быть найдено частью за счет времени, отведенного для решения тренировочных задач, частью за счет нетрудного для учащихся теоретического материала, который можно дать для самостоятельного изучения на дом (некоторые обратные теоремы, задачи на построение и др.).

В заключение остановимся на тех конкретных формах выполнения практических работ, которыми нам приходилось пользоваться.

Поскольку учащиеся по другим предметам (физика, химия) приобретают практические навыки главным образом путем проведения лабораторных работ, то и по геометрии был применен примерно тот же метод.

Так, задача по практическому определению расхода жести на изготовление бидона, ведра, воронки проводилась следующим образом. Класс был разбит на группы по четыре человека, и каждой группе дано свое задание. Получив тот или иной предмет, учащиеся в каждой группе проводили необходимые измерения. После этого работа оформляется в тетрадях для практических работ (где решаются и все другие задачи). Указывается при этом название практической работы или задачи, необходимое оборудование для ее выполнения, какие теоремы или выводы применялись, таблица измерений, найденный ответ (среднее значение). Работа сдается на проверку, и оценки выставляются в журнал.

Практические работы на местности (например, определение расстояний) выполняются примерно так же, только в зависимости от наличия оборудования группы могут быть разными.

Весьма полезной была практическая работа по определению поперечного сечения проводника. Одному из учащихся, члену радиотехнического кружка, необходимо было изготовить электрический паяльник заданной мощности. Опираясь на известные физические законы, было определено сопротивление, которое должен был иметь паяльник. Имея готовую никелиновую проволоку (из старого реостата), надо было определить, какой длины следует взять эту проволоку. Но для этого в формулу, выражающую сопротивление проводника: R = — надо подставить площадь S поперечного сечения проволоки. Ученикам было выдано по кусочку такой проволоки (наличие ее в избытке позволяло обеспечить всех). Способом, известным учащимся еще из VI класса, была определена величина диаметра, а затем и площадь сечения. Имея все данные, учащиеся нашли искомую длину проволоки /.

Следует заметить, что выполнение этой работы оказало весьма благотворное влияние на понимание учащимися практической ценности получаемых знаний. Надо было видеть, какое удовлетворение испытали учащиеся, произведя практически нужный расчет.

Отметим еще одну полезную сторону практических задач. Учащиеся, решая задачи из задачников, в большинстве случаев имеют дело с точными ответами, где автор задачника позаботился о соответствующем подборе числовых данных. На практике же, как правило, точных ответов не получается, и это обстоятельство приводит к необходимости критической оценки получаемого результата, к необходимости округления его с требуемой степенью точности, к рационализации измерений и вычислений.

Для того чтобы закрепить практические навыки по геометрии и проверить, как они усвоены, давались несложные задачи при опросе. Например: определение высоты классной комнаты, пользуясь или высотомером, или школьной астролябией с вертикально установленным лимбом, определение площадей моделей треугольников и многоугольников, определение объемов различных геометрических тел.

Практические задачи давались на экзаменах (практическая часть к билету), эти задачи учащимися обычно выполнялись успешно.

ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА КАК СРЕДСТВО РАСШИРЕНИЯ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО КРУГОЗОРА УЧАЩИХСЯ

А. И. МОЖАЕВ (Ворошиловград)

(Из опыта работы учителей математики 25-й и 12-й средних школ г. Ворошиловграда)

Осуществление принципов политехнического обучения требует перестройки и внеклассной работы. Математические кружки и вечера, математические газеты и викторины, математические беседы и олимпиады, а равной другие формы внеклассной работы должны способствовать расширению политехнического кругозора учащихся средних школ. С этой точки зрения мы стали подходить к организации внеклассной работы после XIX съезда Коммунистической партии Советского Союза. Чему учит наш опыт годовой работы? Что нового вложили мы во внеклассную работу по математике?

1. Учебно-математические экскурсии

В своей практике мы применяли математические экскурсии двух видов:

a) учебные математические экскурсии на промышленные предприятия: фабрики, заводы, машинно-тракторные станции;

b) учебные математические экскурсии в природу.

Экскурсии на промышленные предприятия мы проводили для учащихся, начиная с VII класса. Эти экскурсии имели следующую тематику:

VII класс — треугольники, квадраты, ромбы, трапеции, окружности, круги в промышленной практике;

VIII класс — площади треугольников, квадратов, ромбов, трапеций, параллелограмов в заводской практике;

IX класс — положительные и отрицательные углы и дуги, положительное и отрицательное вращение, углы, большие 360°, радианное измерение дуг и углов в заводской практике;

X класс — роль математики в развитии современной техники.

Для примера рассмотрим экскурсию, проведенную нами с учащимися IX класса на завод паровозостроения имени Октябрьской революции. Перед посещением завода нами была проведена предварительная работа совместно с инженером-экскурсоводом т. Сотниченко. Мы заранее условились с ним, на что следует обратить внимание учащихся, что надо подчеркнуть и предложить зарисовать. Инженер т. Сотниченко к приходу учащихся на завод обстоятельно продумал свою беседу, подобрал большое количество примеров, на которых можно наиболее убедительно показать желаемые стороны производства. Мы предварительно подготовили к экскурсии и учащихся. Эта подготовка состояла в том, что каждому мы дали план экскурсии. Накануне экскурсии учащиеся четко знали цель посещения завода и формы изучения поставленной задачи.

План, который мы дали экскурсоводу инженеру т. Сотниченко и учащимся, был следующим:

1. Длительность экскурсии: 2 часа (с 10 час. до 12 час).

2. Цель экскурсии: изучить на различных заводских станках образование положительных и отрицательных дуг и углов, углов, больших 360°, а также посмотреть на примерах, как используют инженерно-технические работники

завода в своей практике радианное измерение дуг и углов.

3. Порядок изучения вопросов:

a) токарные станки: положительное и отрицательное вращение; получение углов, больших 360°;

b) сверлильные станки: положительное и отрицательное вращение; получение углов, больших 360°;

c) прокатные станки: положительное и отрицательное вращение; получение углов, больших 360°.

4. В отделе главного механика завода заслушать беседу: „Радианное измерение дуг и углов в практике инженерно-технических работников“.

Примечания.

1. Учащиеся должны сделать зарисовки станков, которые рассматриваются экскурсоводом.

2. Вести запись объяснения экскурсовода.

3. Отчет об экскурсии сдается каждым учащимся через три дня.

Учебные математические экскурсии в природу

Опыт показывает, что математические экскурсии в природу: в лес, в степь, на реку с оврагами и пр.— наиболее целесообразно проводить с учащимися V—VI классов. Во время этих экскурсий учитель получает наиболее благоприятные условия для выяснения с учащимися таких важных понятий, как угол, прямая, ломаная, кривая линия, геометрическая фигура. Учитель на многих примерах, взятых из самой природы, убедительно может показать, что эти понятия не выдуманы человеком, а взяты из действительности, из конкретного опыта.

Сколько прямых и ломаных, углов и треугольников, трапеций и параллелограмов, конусов и цилиндров, параллелепипедов и пирамид учащиеся увидят в самой природе! Это обстоятельство создает хорошую обстановку для бесед с учащимися о предмете математики и для уяснения той мысли, что „...понятия числа и фигур взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира... Как понятия числа, так и понятия фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления“*.

В результате неоднократного коллективного обсуждения на заседаниях методического объединения нами выработан примерный план проведения экскурсий в природу с учащимися VI класса.

1. Время экскурсии: 1,5 часа.

2. Цель экскурсии: показать учащимся непосредственно в природе прямые, ломаные, кривые, параллельные линии и более сложные геометрические фигуры.

3. Порядок изучения вопросов:

a) прямые в природе;

b) ломаные и кривые в природе;

c) параллельные прямые в природе;

d) геометрические плоские фигуры в природе;

e) геометрические тела в природе.

4. Заключительная беседа учителя с учащимися.

Примечания.

1. Учащиеся делают зарисовки всех объектов, на которые их внимание останавливает учитель.

2. Отчет об экскурсии подается каждым учащимся в виде хорошо оформленных рисунков с краткой подписью.

Экскурсия в природу, как показал наш первый опыт, требует большой подготовки учителя, которая должна состоять в следующем:

1) предварительно надо посетить место, куда будет организована экскурсия. Надо не только рассмотреть, но и сделать основные зарисовки, раскрывающие цель экскурсии;

2) особенно тщательно надо продумать заключительную беседу. Лучше, если она будет написана. Очень хорошо работу завершить составлением общеклассного альбома „Математика в природе“.

Чтобы математическая экскурсия принесла максимальную пользу учащимся и способствовала более глубокому и всестороннему усвоению ими учебного материала, она должна быть тщательно подготовлена как с организационной стороны, так и методической. Опираясь на собственный опыт и опыт коллег по 25-й и 12-й школ, мы методические требования к математическим экскурсиям формулируем так:

1. Тема экскурсии и ее планы должны опираться на материал темы, изучаемой в классе. Тема, план экскурсии и некоторые указания к выполнению самих работ должны быть написаны преподавателем заранее и изучены учащимися.

2. Учитель должен предварительно изучить то место (завод, фабрику, МТС, поле, лес, пруд), куда предполагает вести учащихся. Определить конкретные объекты, на которые будет обращено внимание учащихся, и заранее продумать содержание беседы по каждому объекту.

3. Во время экскурсии не позволять учащимся отвлекаться от темы и плана, обращать

* Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, Огиз, 1948, стр. 35.

их внимание на наиболее важные факты, на которых преподаватель думает раскрывать тему экскурсии. Не оставлять учащихся без своего организующего влияния, привлекать их к работе и с каждого требовать выполнения плана экскурсии.

4. Во время экскурсии учитель должен рассказывать только то, что можно иллюстрировать примерами, взятыми на данном заводе, МТС и пр. Не допускать отступления от темы и плана при объяснении. Говорить кратко, не злоупотреблять вниманием учащихся.

5. Нельзя учащихся на экскурсии оставлять только слушателями. Надо заставить их самих работать (делать записи, измерения, вычисления, провешивания, чертежи и пр.). В плане экскурсии должна быть предусмотрена вся практическая работа учащихся с последующей сдачей ее преподавателю и оценкой определенным баллом.

6. Не допускать перегрузки учащихся на экскурсии. Переутомление ведет к пассивности и превращает важную учебную работу в развлечение.

7. Не давать учащимся много терминов и понятий. Они их забудут. Следует выделить самое главное, подчеркнуть его и записать, а в отдельных случаях зарисовать.

8. Результат экскурсии надо закрепить на уроке. Добытый учебный материал следует использовать в последующей учебной работе не только самому преподавателю, но требовать этого и от учащихся.

Требования к организационной подготовке математической экскурсии состоят в следующем:

1) правильно организовать рабочие звенья из учащихся, назначить звеньевых, которых отдельно проинструктировать об их обязанностях;

2) подготовить необходимый инструмент для каждого звена в таком количестве, чтобы можно было занять работой всех учащихся;

3) самому преподавателю проверить исправность всех инструментов, имея в виду, что их недостача или неисправность поведет к срыву намеченного плана;

4) перед выходом в поле или на завод проверить наличие бумаги и карандашей у учащихся, а равно записанного плана экскурсии.

2. Математические вечера

Математические вечера в нашей работе с учащимися занимают видное место. Они являются важной организационной формой, с помощью которой мы усиливаем классную работу по осуществлению задач политехнической школы.

Программы математических вечеров должны быть тесно связаны с изучением самого предмета, но не дублировать классных занятий, а интересным дополнительным материалом способствовать расширению математического кругозора учащихся. На основе нашего опыта мы хотим решительно выступить против тех товарищей, которые считают, что главным условием выполнения требований политехнической школы является не урок, а систематическая внеклассная работа, известным образом построенная. Говоря о математических вечерах, мы и мысли не допускаем, что они в какой-нибудь степени могут понизить значение урока в деле политехнического образования молодежи. Вся внеклассная работа с учащимися, в частности и математические вечера, является лишь формой дополнительной работы. При этом трудно переоценить значение математических вечеров для расширения политехнического кругозора учащихся. То, чего нельзя сделать на уроке математики, то легко можно сделать на математических вечерах. Эта форма работы дает возможность широкого общения учащихся с инженерно-техническими работниками, с передовиками предприятий и другими специалистами, могущими помочь учащимся более глубоко понять современную технику.

Чему учит опыт истекшего учебного года? Как мы проводили математические вечера в школе?

Эту работу мы проводили так.

Во-первых, в начале учебного года на методическом предметном объединении утвердили календарные сроки проведения математических вечеров по классам.

V и VI классы — 10 — 15 марта

VII и VIII классы — 20 — 30 марта

IX и X классы — 10 — 15 апреля

Во-вторых, выработали общешкольную тематику математических вечеров, обязательную для всех преподавателей математики.

V и VI классы — математика в природе

VII и VIII классы — геометрия в практике человека

IX и X классы — значение математики в развитии современной техники

Предлагая эту тематику математических вечеров, мы учитывали проведенные по классам практические геодезические работы и содержание того фактического материала, который дается в классах.

Для примера рассмотрим математический вечер, проведенный нами для учащихся IX и X классов на тему „Значение математики в развитии современной техники“.

Подготовка к вечеру

1. Посетили завод паровозостроения имени Октябрьской революции, где с помощью инже-

неров тт. Лобанова и Сотниченко ознакомились с современной техникой.

2. Посетили некоторые предприятия, на которых учащиеся увидели в работе интересные счетные советские машины.

3. Подготовили выставку „Техника пятой пятилетки“. Учащиеся с большим желанием собрали значительное количество журнальных и газетных фотографий, показывающих достижения в области отечественной техники.

4. С помощью инженеров завода имени Октябрьской революции подготовили выставку „Технический чертеж“.

Программа вечера

1. Роль математики в развитии современной техники (доклад инженера-конструктора т. Лобанова).

2. Чтение учащимися математических сочинений „Математика в быту и заводской практике человека“.

3. Математические развлечения, шарады, занимательные задачи, викторина.

4. Премирование учащихся, написавших лучшие сочинения.

План доклада и его основное направление мы выработали вместе с инженером т. Лобановым. На многочисленных ярких и убедительных примерах он показал учащимся значение математики в практике токаря, слесаря, модельщика, машиниста, мастера, техника и инженера. На конкретных, заранее продуманных примерах он весьма удачно и наглядно показал, как математический аппарат служит развитию современной техники. Доклад был закончен известными словами М. И. Калинина: „ ... если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой ... Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе“*.

Ученица IX класса Никитина в математическом сочинении так оценила вечер:

„Доклад инженера-конструктора В. П. Лобанова на меня произвел настолько сильное впечатление, что я и теперь не могу освободиться от мыслей, им высказанных. Я твердо и окончательно решила стать математиком“.

3. Математические кружки

Математические кружки — одна из наиболее распространенных форм внеклассной работы с учащимися. Мы не ставим себе целью говорить о работе кружков вообще, а намерены сказать лишь о том, как работу математических кружков мы используем для решения задач политехнического обучения. Не умаляя общих задач кружков, мы выдвинули на первый план дополнительную задачу: развивать у учащихся конструктивные навыки. Именно в кружке учащийся должен стать активным участником создания новых конструкций математических приборов. Опыт показывает, что их целенаправленная мысль оказывает и преподавателю значительную помощь в решении такой задачи, как создание кабинетов математики. В нашей школе за истекший учебный год учащимися был создан целый ряд весьма интересных новых приборов:

1) прибор, иллюстрирующий свойство сторон треугольников, лежащих против острого, тупого и прямого углов;

2) прибор для иллюстрации параллельного проектирования;

3) прибор, иллюстрирующий радианное измерение дуг и углов;

4) прибор, иллюстрирующий все случаи взаимного расположения двух окружностей;

5) прибор, иллюстрирующий свойства касательной к окружности;

6) прибор, иллюстрирующий измерение углов, образованных касательной и хордой, и др.

Особенность всех этих приборов состоит в том, что все они основаны на принципе движения и иллюстрируют доказываемые теоремы в динамике.

Привлечение учащихся к такого рода работам создает у них навыки в обращении с чертежом, развивает глазомер, вырабатывает умение критически оценивать свою работу и пользоваться приближенными вычислениями для практических целей. Мы уже не говорим о том, что в процессе работы учащиеся приобретают некоторые практические навыки в пайке, обработке дерева, металла и в других производственных процессах.

Для привлечения к активной работе всех членов математического кружка при его совете были образованы постоянные секции: секция сбора материалов, иллюстрирующих применение математики в практике инженерно-технических работников; секции сбора материалов, иллюстрирующих применение математики в быту человека; секция по сбору народных задач и приемов устных вычислений; секция по конструированию и изготовлению учебно-наглядных пособий по математике; секция по подготовке докладов и рефератов.

Опыт нас убедил, что организация таких секций не только активизирует работу в кружке и делает ее более массовой, интересной, отвечающей запросам и требованиям самих

* М. И. Калинин, Из речи 17 апреля 1941 г. на собрании учащихся VIII — X классов Ленинского района г. Москвы.

учащихся, но и вырабатывает у них такие навыки, как самостоятельность, умение отобрать наиболее важное среди многочисленного второстепенного, развивает критический подход к своей работе и работе товарищей. Материалы секций служат серьезным источником для заполнения соответствующих разделов математической газеты „Математика и жизнь“. Вся многообразная работа кружка объединяется в совете кружка, который избирается на организационном общем собрании членов кружка. Особенно большой интерес вызывает у членов кружка присутствие на занятиях кого-либо из инженерно-технических работников или специалистов других профессий. За год работы на занятиях кружка у нас были два инженера, один агроном и бухгалтер. Их сообщения и особенно практические работы (работа на арифмометре, применение логарифмической линейки, показ работы современных счетных машин) вызвали у учащихся нескрываемый восторг, да и мы сами получили немалую пользу от этих сообщений. Привлечение к работе математических кружков инженерно-технических работников — одно из верных дополнительных средств решения задач политехнической школы.

Мы сказали лишь о некоторых формах и приемах работы, которые практиковались коллективом учителей математики 25-й и 12-й средних школ г. Ворошиловграда в борьбе за осуществление великих задач, поставленных перед школой XIX съездом КПСС.

Разумеется, что сказанным не исчерпывается вся многообразная работа, проводимая учителями как на уроке, так и во внеклассной работе. Мы отметили лишь наиболее важные направления в работе. Урок же был и остается главным звеном в системе педагогической работы, и мы намерены путем его улучшения идти по пути решения задач политехнического образования советской молодежи.

План работы математического кружка для учащихся IX кл. 25-й средней школы г. Ворошиловграда

Содержание работы

I

Организационная работа

1. Провести запись желающих работать в математическом кружке — 5 сентября.

2. Составить план работы математического кружка на учебный год — 5 — 7 сентября.

3. Общее собрание членов математического кружка. Повестка:

1) Цели, задачи и план работы кружка.

2) Выборы совета кружка.

3) Выборы редколлегии газеты „Математика и жизнь“ — 10 сентября.

4. Общее собрание членов кружка. Повестка:

1) Отчет о работе редколлегии газеты „Математика и жизнь“.

2) О проведении математического вечера для учащихся IX и X классов — 15 декабря.

II

Учебная работа

1. История математических символов. Решение усложненных задач — 20 сентября.

2. Русская математическая школа. Решения усложненных задач — 28 сентября.

3. Советская математическая школа. Решение задач повышенной трудности — 10 октября.

4. Номограммы и их использование в практике — 24 октября.

5. Признак делимости на любое число — 10 ноября.

6. Способы быстрого счета. Решение задач повышенной трудности — 24 ноября.

7. Графическая алгебра — 10 декабря.

8. История логарифмов. Решение задач повышенной трудности — 24 декабря.

9. Н. И. Лобачевский и его геометрия — 5 января.

10. Решение задач повышенной трудности — 10 января.

11. История и вычисление числа ic. Решение исторических задач — 25 января.

12. Сферическая тригонометрия. Решение занимательных задач — 10 февраля.

13. Пантограф и пользование им — 25 февраля.

14. Арифмометр и пользование им — 10 марта.

15. Математические таблицы и их использование в заводской практике — 25 марта.

16. Счетные линейки и использование их в практике инженерно-технической работы — 10 апреля.

17. Современные счетные машины — 25 апреля.

III

Практическая работа членов кружка

1. Приготовить стенд „Выдающиеся отечественные математики“ (Чебышев, Остроградский, Марков, Ковалевская, Лобачевский, Ляпунов, Виноградов, Лузин, Понтрягин, Колмогоров, Александров, Крылов, Смирнов).

К портретам ученых написать биографические справки — 1 декабря.

2. В течение учебного года провести две экскурсии на темы: „Углы, большие 360°“. „Радианное измерение дуг и углов“. „Положительные и отрицательные углы и дуги“ — 12 декабря. Счетные машины — 12 апреля.

3. Подготовить и провести математический вечер на тему „Роль математики в современной технике“ — 18 апреля.

4. Выпускать стенную газету „Математика и жизнь“, имея в ней следующие разделы:

a) передовая;

b) учебно-научный отдел;

c) исторический отдел;

d) математика и жизнь;

e) русские и советские ученые;

f) занимательные задачи, составленные учащимися.

5. Провести два выхода в поле для проведения геодезических работ:

a) съемка участка астролябией с вычислением координат вершин — 28 ноября;

b) решение прямоугольных треугольников, построенных на местности, с применением натуральных и логарифмических таблиц — 24 апреля.

6. Провести практическую работу по определению веса кучи щебня, угля, песку, земли — 5 октября.

7. Научить учащихся определять живой вес животного — 15 ноября.

8. Принять участие в общегородской математической олимпиаде.

9. Организовать работу по конструированию и изготовлению новых учебных пособий.

ОРГАНИЗАЦИЯ НАЧАЛА УРОКА АРИФМЕТИКИ

Е. Е. СТЕПАНОВА (Ленинград)

Правильная организация начала урока затрудняет очень многих учителей, и не только начинающих.

Начало урока слагается из следующих моментов:

1. Проверка домашней работы.

2. Устная вычислительная работа, которая может преследовать различные цели.

3. Повторение вопросов, подготовляющих к прохождению нового материала или закрепляющих пройденное.

4. Короткая письменная работа с целью контроля самостоятельности выполнения домашнего задания.

При проведении начала урока надо учитывать следующие моменты:

1. Работа должна проводиться быстрыми темпами при активном участии всего класса.

2. Должно быть опрошено достаточное число учеников с постановкой им обоснованных оценок.

Попытаемся осветить на конкретном материале некоторые моменты проведения начала урока, с учетом коллективного опыта группы учителей.

Ряд указанных нами приемов применяется достаточно широким кругом учителей, но мы стремимся эти приемы привести в известную систему и дать возможность учителю-практику выбрать из них те, которые он найдет пригодными.

Изложение поведем в следующем плане:

I. Проверка домашнего задания у доски: а) проверка задачи; в) проверка примера.

II. Использование устных вычислений для проверки усвоения материала.

III. Проверка знаний учащихся путем самостоятельной работы на 10—15 минут.

I. Проверка домашнего задания у доски

Проверка задачи

Тема урока. Умножение и деление дробей.

1°. Общеизвестна следующая форма проверки.

На дом была задана, например, задача № 994 и пример № 968 (10) из сборника Е. С. Березанской.

К доске вызывается ученик, который подает свою тетрадь учителю, а заданную задачу решает на доске по задачнику, без записи вопросов. Класс в это время занят с учителем проверкой менее сложной части домашней работы, примера № 968 (10). Учащиеся по вызову учителя отвечают с места на различные вопросы по поводу выполнения этой части домашней работы, например: „Как разделить дробь на дробь?“ „Как разделить дробь на смешанное число?“ „Как разделить дроби с одинаковыми числителями?“

Заметив, что вызванный к доске ученик довел работу до конца, учитель переключает внимание всего класса на работу на доске. Ранее вызванный ученик рассказывает весь ход решения задачи и в нужных местах обосновывает выбор действий (например, умножение и деление на дробь). Во время рассказа ученика учитель просматривает его работу в тетради. Класс следит за формулировкой вопросов и за правильностью выполнения действий по раскрытым тетрадям и организованно вносит свои поправки. После ответа вызванного учащегося выясняется, нет ли других вариантов решения задачи.

Из различных вариантов решения устанавливается лучший. Ответ вызванного учащегося оценивается. Ответ учащегося, предложившего лучший вариант решения задачи, тоже оценивается. На проверку домашнего задания отводится 15 минут.

2°. Другой способ проверки домашней задачи при той же теме.

На дом задана задача № 1002 но задачнику Е. С. Березанской.

Для проверки домашней задачи можно вызвать двух учащихся: один пишет молча на доске решение задачи без вопросов, а другой в это время ставит вопросы к этим записям. Тетради вызванных учащихся находятся на столе учителя. Все учащиеся класса следят за верностью записи и за правильностью формулировок вопросов. Ответы вызванных учащихся оцениваются.

3°. Очень полезно при проверке решения домашней задачи использовать графический чертеж, который на дом задан не был, но правильность составления которого говорит о полном понимании задачи и самостоятельности работы над ней.

На дом задана задача № 1135 по задачнику Березанской.

К доске вызваны два ученика. Один записывает вычисления при решении задачи, другому же предлагается дать иллюстрацию к условию, облегчающую понимание задачи.

Задача № 1135

Каково будет расстояние между поездами через 3 часа?

Из класса вызываются ученики, которые последовательно ставят вопросы к записи вычислений на доске.

Таким способом исправляется работа на доске первого ученика.

Графическая иллюстрация самостоятельно рассматривается и обсуждается классом, предложения вносят сами ученики без вызова учителя. Может быть предложена и другая иллюстрация.

4°. Ученики уже работали над составлением числовой формулы к задаче. Умение составить формулу надо использовать при проверке задачи.

Дома учениками решалась задача № 456 по задачнику Березанской.

Присланы в магазин детские пальто и костюмы, всего 139 штук на 8554 руб. Каждое пальто стоит 56 руб., каждый костюм 70 руб. Сколько было прислано пальто и сколько костюмов?

Дома было предложено решить задачу двумя способами, делая различные первоначальные предположения. Составление формулы на дом не задается. При проверке к доске вызваны два ученика и им предложено записать числовые формулы при различных способах решения задачи.

На доске записываются формулы.

1) Количество костюмов

2) Количество пальто

Правильное составление числовой формулы гарантирует понимание задачи и самостоятельность ее решения, а привлечение всего класса к обсуждению составленных формул, к постановке вопросов по каждому действию, содержащемуся в формуле, способствует развитию учащихся.

5°. Домашнюю работу над задачей можно проверить на задачах, аналогичных заданным на дом.

На дом задана задача № 1499 из задачника Березанской по теме „Умножение и деление на дробь“.

Вызванный к доске ученик сообщает ответ задачи № 1499, а на доске решает задачу № 1500, которая аналогична заданной задаче № 14Э9.

Задача № 1499

Кладовщик по первому ордеру выдал 0,4 всей имевшейся проволоки, а по второму 0,75 остатка, и у него осталось еще 28,5 кг. Сколько проволоки было до первой выдачи?

Задача № 1500

В первый день на мельнице смололи 0,3 привезенного зерна, во второй день 0,3 остатка, в третий — остальное зерно, а именно 10,78 ц.

Сколько зерна смололи на мельнице за все три дня?

Проверка примера

1°. Проверка примеров может быть „сплошной“, т. е. проверяются все действия, или может быть выборочной.

При проверке сложных примеров, включающих выражение с дробной чертой, можно дать одному ученику выполнить все действия в числителе, а другому — все действия в знаменателе, обратив внимание на рациональные приемы вычислений.

При выборочной проверке примера последовательные строчки поправляются с мест, а ученику у доски предлагается сделать только отдельные звенья примера, которые затрудняют учащихся и в которых чаще всего наблюдаются ошибки (например, деление десятичных дробей).

Выборочная проверка примера № 1632 из задачника Е. С. Березанской:

Проверяется:

1) порядок действий;

2) в каких дробях выполняются действия;

3) объяснение, почему выполняются действия в обыкновенных и почему в десятичных дробях (1-я дробь — все действия выполняются в обыкновенных дробях; 2-я дробь — все действия выполняются в десятичных дробях).

2°. При проверке примера иногда полезно, как и при проверке задачи, дать для решения пример, аналогичный заданному на дом.

Например, на дом задан № 1459 (1); в классе дается пример № 1459 (2).

На проверку отводится 10—15 минут.

Тетради остальных учащихся отбираются для проверки дома.

Во время выполнения учащимися работы на доске в классе можно провести беглый устный счет.

Несколько учащихся, спрошенных во время устного счета и в течение дальнейшей работы на уроке получают оценку в конце урока.

3°. Часто исправление решенного дома примера можно использовать для повторения ряда важных теоретических вопросов и настойчивого указания на необходимость искать пути рационализации вычисления. На дом задан пример:

Вот как будет этот пример решен учеником, привыкшим к шаблону, учеником, который не вглядывается в задание в целом, а идет раз выработанным путем.

Перед проверкой примера целесообразно повторить следующие моменты:

1. Распределительное свойство умножения:

3.6 + 7.6 = 10.6 = 60.

2. Переместительное свойство последовательного деления:

24:3:4 = 24:4:3.

3. Деление произведения на число:

(25-8):5 = (25:5).8.

Если все эти моменты будут своевременно применены к вышеуказанному примеру, то решение его принимает такой вид:

Сличая подобное решение со своей домашней работой, ученики научаются многому. При этом проверяется, внесли ли ученики хотя бы частичную рационализацию в вычисления, и если подобный рационализатор найдется, работу его надо поощрить хорошей оценкой.

II. Устная вычислительная работа

Урок может начаться с устных вычислений. Устные вычисления имеют разнообразный характер.

1°. Устный беглый счет.

Проведение его общеизвестно. Задание дается устно, с последующими паузами, или задание записывается молча на доске.

При первом приеме ученики в своих вычислениях без всякого выбора идут за учителем, во втором случае они могут вносить рационализацию в вычисления; например, сообразительный ученик поступит так:

При механическом выполнении работа пойдет так:

2°. Можно рекомендовать проведение беглого счета по готовым таблицам, как это предлагает Н. Я. Зайцева в своей книге „Планы уроков по арифметике в V классе“.

Вот образец таблицы из отдела „Дроби“.

Характер вычислений по этой таблице таков:

a) сложить попарно числа столбцов А и Б;

b) привести к общему знаменателю попарно дроби столбцов Б и В;

c) каждую из дробей столбца Е разделить на соответствующую дробь столбца Г и т. д.

В течение года учительница Зайцева использует четыре такие таблицы из разных отделов курса.

3°. Очень ценным пособием для устной вычислительной работы является маленькая книжка ленинградской учительницы М. Н. Власовой „Устные вычисления по арифметике в V классе“.

Здесь дан численно небольшой, но очень продуманный набор примеров для устных вычислений.

Пример пишется на доске. Учеников приучают не начинать вычислений, пока они не просмотрят весь пример и не найдут наиболее рационального пути вычисления.

Вот два примера из этой книги.

Первый пример:

Произведение надо разделить на число.

Для этого достаточно разделить один сомножитель. Какой? Конечно, тот сомножитель, который имеет общий знаменатель с делителем, т. е.

Второй пример:

При вычислении числителя применяется распределительное свойство деления. При вычислении знаменателя сумма вычитается в таком порядке:

и окончательно:

4°. Перед проверкой примеров, заданных на дом, можно дать несколько примеров, аналогичных домашним.

Тема: „Умножение и деление дробей".

Тетради у всех учащихся закрыты. Для работы в классе подобраны устные примеры типа:

1) 0,2:0,3; 2) 7,52-0,1; 3) 2,42:0,1 и т. д.

Опрашивается правило умножения и деления на десятичную дробь.

После устного счета открываются тетради, и домашняя работа исправляется фронтально.

Двух-трех заранее намеченных учащихся следует спросить и при устном счете, и по тетради и поставить им оценки.

5°. Можно проводить устный счет в порядке небольшой устной контрольной работы.

Тема: „Три типа задач на проценты“. На устный счет с последующей проверкой отводится минут 18—20.

Примеры заранее записаны на доске и закрыты бумагой. Учащиеся на отдельных листках нумеруют пять пунктов;

N° 1, № 2, № 3, № 4, N° 5,

против которых будут писать ответы на примеры устного счета.

Примеры:

1) Найти 20% от 10 рублей.

2) Найти вес детали, если 5% этого веса составляют 500 г.

3) Найти процентное отношение чисел.

4) Выразить в процентах:

5) Выразить дробью:

а) 12,5%; b) 125%.

Учитель последовательно открывает по одному примеру, учащиеся считают и по команде записывают ответ против соответствующих пунктов. Если учащийся не успел вычислить предлагаемый пример в отведенное время, он ставит черточку, например: № 3 —

После решения всех примеров листки быстро и организованно собирают выделенные учащиеся и сдают их учителю. Дальше следует проверка результатов устных вычислений. Вызываются по очереди с мест пять учеников, среди которых четверо намечены заранее для опроса. Вызванный учащийся называет ответ примера, написанного на доске. Верный ответ утверждается учителем, а неверный исправляется с полным объяснением решения. Проверяются все пять пунктов. Учитель проверяет листки дома, все учащиеся получают оценки за устный ответ.

III. Самостоятельные письменные работы

Усвоение материала классом можно проверить, проводя самостоятельные письменные работы на 15—20 минут. Такие небольшие самостоятельные работы полезно проводить как можно чаще, чтобы учащиеся могли быть предоставлены самим себе. Например: проводится тренировочный урок на закрепление умножения и деления обыкновенных дробей. В начале урока дается самостоятельная работа на 15 минут по двум вариантам; работу учащиеся выполняют в домашней тетради. Тетради отбираются через 15—20 минут и проверяются учителем дома.

Все учащиеся получают оценки.

Во второй половине урока решаются задачи на умножение и деление дробей.

Иногда короткая работа в начале урока может быть использована в качестве очень действенного контроля самостоятельности выполнения домашней работы.

На дом заданы две задачи по задачнику Е. С. Березанской: №. 2083 и 2090. В начале урока домашние тетради отбираются. Классу задается на 15 минут в контрольных тетрадях самостоятельная работа в двух вариантах: одна половина класса решает задачу № 2083, а другая — № 2090.

Тетради отбираются.

Сравнение выполнения работы дома и в классе дает полное представление, насколько самостоятельно ученик выполнял работу дома.

Мы перечислили некоторые виды организации начала урока. Начало урока— это некоторая „зарядка“ урока в целом; чем активнее урок начинается, тем больше учеников вовлекается в работу, учитель имеет возможность обоснованно поставить больше оценок, проверить больший по объему материал.

ИЗ ПИСЕМ И ЗАМЕТОК ЧИТАТЕЛЕЙ

К. С. БОГУШЕВСКИЙ (Москва)

(Продолжение, см. № 1 журнала за 1954 г.)

Методические заметки по геометрии и тригонометрии

12. А. А. Зотов (г. Курск) в заметке „Из опыта работы по геометрическому моделированию в X классе“ описывает работу учащихся X класса по изготовлению геометрических моделей, которую он организовал в одной из школ г. Курска.

„Моделирование многогранников, — пишет автор, — явилось завершением темы „Многогранники“ и проводилось в третьей четверти учебного года в виде индивидуальных самостоятельных работ... Учащимся были розданы билеты со следующими текстами индивидуальных работ различной степени трудности, учитывая личные способности каждого учащегося:

1. Правильная треугольная призма.

2. Прямая призма, основанием которой служит прямоугольный треугольник.

3. Прямая призма, основанием которой служит ромб.

4. Наклонная четырехугольная призма.

5. Правильная шестиугольная призма.

6. Правильная треугольная пирамида.

7. Пирамида, все грани которой — равносторонние треугольники (правильный тетраэдр).

8. Треугольная пирамида, у которой все плоские углы при вершине — прямые, а боковые ребра равны.

9. Треугольная пирамида, основанием которой служит равносторонний треугольник, а одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания.

10. Пирамида, основанием которой служит равнобедренный треугольник, а высота проходит через вершину (точку пересечения равных сторон) этого треугольника.

11. Пирамида, основанием которой служит равнобедренный треугольник, а высота проходит через середину основания этого треугольника.

12. Правильная четырехугольная пирамида.

13. Пирамида, основанием которой служит прямоугольник, а высота проходит через точку пересечения его диагоналей.

14. Пирамида, основанием которой служит квадрат, а одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания.

15. Пирамида, основанием которой служит прямоугольник, а высота проходит через середину одной из сторон этого прямоугольника.

16. Правильный октаэдр.

17. Правильная шестиугольная пирамида.

18. Правильная треугольная усеченная пирамида.

19. Правильная четырехугольная усеченная пирамида.

20. Правильная шестиугольная усеченная пирамида.

В каждое задание входило:

1. Рассчитать и вычертить развертку данного тела.

2. Склеить по развертке модель из картона или плотной бумаги.

3. Произвести измерения доступных элементов модели, требующихся для вычисления ее полной поверхности и объема.

4. Выполнить чертеж данного тела и вычислить его полную поверхность и объем, сопровождая эти вычисления необходимыми письменными пояснениями. При сдаче (после месячного срока) заданной работы проверялась самостоятельность выполнения учащимися различных этапов работы“.

Следует признать работу, описанную В. А. Зотовым, интересной и полезной для развития пространственного воображения учащихся и их конструктивных способностей.

Работа по моделированию ведется в ряде школ; в частности, она широко практикуется в школе № 50 г. Москвы, где модели изготовляются учащимися не только из картона, но также и из проволоки, стекла, пластмассы и т. п., причем изготовляются не только модели тел, но и их сечения и комбинации. Однако работа, проводимая В. А. Зотовым, ценна тем, что она тесно связана с проработкой программного материала по геометрии и по существу подчинена ей. В системе, принятой В. А. Зотовым, непонятно одно: почему моделирование ставится только как заключительный этап изучения темы „Поверхности и объем многогранников“? Некоторые преподаватели начинают проводить ее в X классе с первых же уроков: это содействует сознательному и творческому усвоению теоретического курса. При таком планировании работы по моделированию учащиеся получают в течение первого полугодия примерно по четыре задания.

Первое задание содержит только построение разверток и моделей призм; второе — пирамид; в третье задание включается не только построение моделей, но и измерение доступных элементов и вычисление поверхностей моделей; наконец, в четвертое задание, завершающее

изучение поверхностей и объемов многогранников, целесообразно включить весь материал, предлагаемый В. А. Зотовым, заменив только слишком простые модели более сложными (в частности, необходимо пополнить раздел моделей призм, слишком бедный и малоинтересный в списке В. А. Зотова).

13. И. Г. Альтшулер (Ленинград) в заметке „К теореме о трех перпендикулярах“ пишет о двух следствиях из этой теоремы, которыми целесообразно пользоваться при решении значительного числа задач.

1-е следствие. Прямая, перпендикулярная к наклонней и ее проекции, перпендикулярна и к проектирующей плоскости.

Если CD ± OB и CD JL AB, то CD J_ АО В. Это следствие (черт. 2) естественно вывести одновременно с изучением теоремы о трех перпендикулярах.

2-е следствие. Проектирующая плоскость и плоскость, проходящая через наклонную и перпендикуляр к ней, находящийся на плоскости проекции, взаимно перпендикулярны'.

пл. АОВ J_ пл. ACD.

Это следствие естественно изложить во время изучения темы о перпендикулярных плоскостях, связав его с повторением теоремы о трех перпендикулярах.

Второе следствие играет важную роль, в частности, при решении задач на шар, вписанный в пирамиду, или задач, связанных с углом между высотой пирамиды и ее боковой гранью, а также некоторых других.

Действительно, пусть SABCD —- правильная пирамида и SK—ее апофема (черт. 3). На основании 2-го следствия легко устанавливается, что пл. ASB _L пл. SOK, а отсюда вытекает, что точка касания шара, вписанного в пирамиду, находится на SK.

Так же легко с помощью 2-го следствия устанавливается, что проекция SO на пл. SAB находится на SK и, следовательно, углом между высотой пирамиды SO и ее боковой гранью SAB является угол OSK.

14. В заметке „Об одном важном дополнении к курсу стереометрии в десятых классах“ Л. Н. Андрианов (г. Уфа) вновь ставит неоднократно обсуждавшийся учительской общественностью вопрос о желательности тем или иным способом ознакомить учащихся с теоремой о площади проекции многоугольника на плоскость.

Действительно, незнание этой теоремы затрудняет учащихся при решении некоторых задач, например задач на наклонные призмы, на сечения призм и пирамид и т. п. При решении этих задач учащимся приходится фактически доказывать указанную теорему для отдельных частных случаев. Поэтому следует поддержать предложение Л. Н. Андрианова.

Как известно,

Sq = S -cos <р,

где 5 — площадь данного плоского многоугольника, 50 — площадь его проекции на плоскость, <р — угол между плоскостью данного многоугольника и плоскостью проекции.

Однако нельзя одобрить совета Л. Н. Андрианова — дать теорему без доказательства и затем использовать ее для вывода теорем об объеме наклонных призм. Почему бы не провести доказательство теоремы в форме решения примерно трех таких задач „на доказательство“, с последующим обобщением в виде теоремы:

Задача 1. Доказать, что если треугольник расположен так, что сторона АС лежит на плоскости Р, образующей с плоскостью треугольника угол <р, то площадь проекции треугольника ABC на плоскость Р равна произведению площади треугольника ABC на cosy (черт. 4).

Решение. 1) Проводим

тогда

Черт. 2

Черт. 3

и далее:

откуда

Задача 2. Доказать, что если треугольник ABC расположен так, что только одна его вершина А лежит на плоскости Р, образующей с его плоскостью угол у, то площадь проекции треугольника ABC на плоскость Р равна произведению площади данного треугольника ABC на cos'.р.

Решим сперва задачу, принимая, что ВС не параллельна плоскости Р (черт. 5).

Решение. 1) Проводим ВВ{ _[_ пл. Р; ССХ _]_ J_ пл. Р, а также АВг и АСХ. Продолжаем ВС до пересечения с плоскостью Р в точке D (точка D должна находиться на продолжении ВА).

2) Используя решение задачи 1, получаем:

откуда после сложения или вычитания (рассмотреть два возможные случая) получим:

Если ВС параллельна плоскости Р, то, спроектировав /\АВС на плоскость Р (черт. Q), будем иметь:

Пусть AD и ADX — высоты треугольников ABC и АВхСи тогда

Задача 3. Доказать, что если плоский выпуклый четырехугольник ABCD расположен так, что одна из вершин, например А, лежит на плоскости Р, образующей с его плоскостью угол <рх, то площадь проекции четырехугольника ABCD ни плоскость Р равна произведению площади ABCD на costp (черт. 7).

Для решения задачи надо данный четырехугольник ABCD и его проекцию АВХ CXDL разбить диагоналями на треугольники ABC и ACD

и АВХСХ и ACXDX, применить решение предыдущей задачи к треугольникам АВХСХ и ACXDX и полученные формулы суммировать.

В качестве домашнего задания будут полезны задачи, в которых данный многоугольник не имеет вершин, лежащих на плоскости проекции.

После решения всех этих задач обобщение их результатов в виде известной теоремы о площади проекции будет с удовлетворением принято учащимися и прочно сохранится в их памяти.

15. Г. Т. Зимнев (г. Свердловск) напоминает об очень простом приеме приближенного спрямления окружности.

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

1. Из точки А данной окружности (черт. 8) проводится касательная к ней. На этой касательной откладывается отрезок АК, равный утроенному диаметру (черт. 8) данной окружности.

2. Из точки С, т. е. из конца диаметра DC, перпендикулярного диаметру AB, описывается дуга радиусом, равным радиусу данной окружности, и из точки пересечения Е этой дуги с данной окружностью проводится отрезок ЕМ, параллельный DC,

3. Отрезок, соединяющий точки M и К, т. е. отрезок МК, и можно принять за результат спрямления окружности.

Степень точности построения Г. Т. Зимнев устанавливает с помощью таких вычислений:

т. е. половине стороны правильного вписанного треугольника. Таким образом:

Далее Г. Т. Зимнев отступает от общепринятых правил приближенных вычислений, а именно: взяв для у^З приближенное значение с тремя десятичными знаками, он значение МК вычислил с пятью десятичными знаками; поэтому дальнейшие вычисления пришлось выполнять заново.

Приняв у/3 ^ 1,7320508, получим:

т. е. можно утверждать, что отрезок МК должен представлять длину окружности, во всяком случае, с той точностью, с которой обычно она вычисляется.

Г. Т. Зимнев указывает на возможность для приближенного спрямления окружности пользоваться еще другим тоже очень простым приемом, основанным на приближенном равенстве

C^QR+MK,

где С — длина окружности, R —- ее радиус, а МК — „стрела“ сегмента, имеющего дугу в 90° (черт. 9).

Этот материал может быть использован для занятий школьных кружков.

16. H. Н. Архангельский (г. Пенза) прислал в редакцию разбор решения одной действительно интересной задачи (№ 46 из § 16 „Сборника задач по геометрии“ Рыбкина).

Задача эта в сборнике Рыбкина сформулирована так:

Г рани параллелепипеда — равные ромбы со стороной а и острым углом в 60°. Определить объем параллелепипеда.

Основной трудностью при решении этой задачи является конструирование параллелепипеда. Учащиеся, как правильно указывает H. Н. Архангельский, идут в этом вопросе по двум путям.

Одни строят параллелепипед, начиная с трехгранного угла, в котором все плоские углы по 60°, другие начинают с трехгранного угла, в котором один угол тупой, а другие — острые по 60°.

Первые учащиеся получают ответ, указанный в задачнике:

Другие же учащиеся в процессе решения получают из треугольника ААХМ (черт. 10), где

Черт. 8

Черт. 9

Черт. 10

а из треугольника АОМ, где АО — проекция ААг на плоскость ABCD:AO = a, т. е. явно абсурдный результат, показывающий, что параллелепипеда данного вида не существует.

Естественно, у учащихся возникает вопрос: почему вторая из рассмотренных конструкций параллелепипеда невозможна? Ответ прост: потому что при такой конструкции у трехгранного угла один плоский угол (тупой в 120°) оказался бы равным сумме двух других плоских углов (острые по 60°), что противоречит теореме о свойстве плоских углов трехгранного угла. Однако у многих учащихся возникают по поводу задачи еще и другие вопросы, ответить на которые весьма желательно:

1. Всегда ли, т. е. при всяких ли замечаниях острого угла ромба, вторая конструкция параллелепипеда невозможна?

2. При всяких ли значениях острого угла ромба возможна первая конструкция?

3. Не существуют ли еще какие-либо иные конструкции параллелепипеда, соответствующие условию данной задачи?

Чтобы ответить на поставленные вопросы, Н. Н. Архангельский исследует решение задачи в общем виде, т. е. для различных значений острого угла ромба. Обозначив острый угол ромба через a, a сторону через а (черт. 11), получаем для выражения объема параллелепипеда 1-го типа формулу:

(1)

а для выражения объема параллелепипеда 2-го типа (черт. 10) формулу:

(2)

Возможность существования параллелепипеда при тех или иных значениях угла а обусловлена: 1. Для параллелепипеда 1-го типа условием:

Это условие удовлетворяется при 0° < а < 90°,

2. Для параллелепипеда 2-го типа условием:

Это неравенство т. Архангельский решает таким образом: „так как

то получаем:

Корни полученного трехчлена:

Следовательно, трехчлен будет положителен при

Второе неравенство не имеет решений, и поэтому остается

Вывод. Параллелепипед 1-го типа возможен при любых значениях острого угла ромба, параллелепипед же 2-го типа возможен только тогда, если острый угол ромба больше 60°.

На третий поставленный вопрос — о числе возможных типов параллелепипедов, построенных из равных ромбов,— Н. Н. Архангельский отвечает мельком, что таких типов может быть только два, не обосновывая своего утверждения. Это утверждение следует обосновать тем более, что обоснование содержит полезный материал для упражнений, связанных с вопросами конструирования пространственных фигур.

Черт. 11.

Построение первого трехгранного угла уже определяет, как легко видеть, конструкцию параллелепипеда. Для построения этого трехгранного угла из данных плоских углов можно использовать четыре и только четыре схемы; если обозначить острый угол ромба через а, a тупой через ß, то эти схемы можно представить в таком виде:

1-я схема — плоские углы а; а; а;

2-я „ а; а; ß;

3-я „ а; ß; ß;

4-я „ , ß; ß; ß.

Ниже приводятся чертежи (черт. 12 —15) параллелепипедов, в которых первые трехгранные углы (А) построены по приведенным схемам. (Для более удобного использования чертежей на них нанесены значения некоторых углов.)

Сравнение чертежей показывает, что параллелепипеды I и III, с одной стороны, и II и IV, с другой стороны, представляют собой одни и те же параллелепипеды, только повернутые на 180°. Это доказывает, что из данных равных ромбов можно составить не более двух видов различных параллелепипедов. В заключение следует сказать, что подобный „подробный“ разбор некоторого числа задач не только полезен, но и необходим для математического развития учащихся и является действенным орудием борьбы с формализмом в усвоении геометрии.

Можно также согласиться с Н. Н. Архангельским, что примененный им прием исследования решения данной задачи представляет собой полезное применение неравенств 2-й степени, но все же нельзя умолчать, что исследование некоторых моментов решения задачи можно было провести проще, основываясь на свойствах многогранных углов.

В самом деле, условие возможности построения трехгранного угла по схеме а; а; а, т. е. условия возможности построения параллелепипеда 1-го вида выражается системой неравенств:

Эти оба неравенства удовлетворяются при любом остром угле а.

Условие возможности построения трехгранного угла по схеме ß; ß; ß, т. е. условие возможности построения параллелепипеда 2-го вида, выражается системой неравенств:

Второе неравенство удовлетворяется при любых значениях угла ß, первое же неравенство дает такое решение:

Пожалуй, было бы целесообразно перед учащимися сопоставить оба приема исследования, это и интересно, и поучительно.

17. И. И. Фабрикант (г. Калинин) в заметке „К вопросу о преобразовании общего вида углов“ предлагает заменить общепринятый „алгебраический“ метод преобразования (по существу — объединения) общих формул решения тригонометрических уравнений „геометрическим“. Этот метод состоит в следующем.

1. На тригонометрическом круге наносятся радиусы, которые определяют углы, являющиеся частными, в пределах одного круга, значениями общих формул.

2. Устанавливается, на какой угол надо повернуть построенную систему радиусов, чтобы она снова заняла такое же положение.

Если такой угол существует, то это будет означать, что рассмотренные формулы можно объединить; составить соответствующую формулу после этого будет нетрудно.

Пример 1. Задача № 64 из § 11 задачника Рыбкина приводит к решениям:

Черт. 12 Черт. 13

Черт. 14 Черт. 15

Чертеж 16 показывает, что радиусы для углов хх и х2 размещаются равномерно через 72°. Поэтому при повороте на 72° система радиусов займет прежнее положение.

Объединенная формула будет иметь вид:

Формулы 3 и 4, как показывает чертеж 17, можно объединить в формулу:

*з,4 = 60о + 120°л,

так как при повороте на 120° системы радиусов займет прежнее положение.

Объединить же формулы для x\t 2 и лг3,4 нельзя, так как нет единого угла поворота для систем радиусов, соответствующих этим формулам.

Предлагаемый И. И. Фабрикантом прием нагляден и прост в применении, но принять его в качестве основного нельзя, так как он не выясняет, почему в одном случае существует единый угол поворота, приводящий систему или системы радиусов в прежнее положение, а в другом случае такого угла не существует. Следует также отметить, что описание приема, данное И. И. Фабрикантом, страдает неточностью и может иногда приводить к ошибочным заключениям. В самом деле, разберем такой пример.

Пример 2. Пусть в результате решения уравнения получились ответы:

^=60°^ и лг2 = 60°+ 400°.л.

Построив систему радиусов для углов, полученных из данных формул, в пределах круга (как указывает автор) (черт. 18), можно сделать вывод, что данная система при повороте на 60° возвращается к первоначальному положению. На этом основании мы сможем составить неверную „объединенную“ формулу:

Чтобы устранить возможность подобного рода ошибок, надо в описание приема, данное И. И. Фабрикантом, внести уточнение, а именно: радиусы, соответствующие частным значениям углов, получаемых из общих формул, надо строить до тех пор, пока вновь построенные радиусы не станут совпадать с ранее построенными для той же формулы, т. е. не ограничиваться пределами первого круга.

Таким образом, в примере 2 придется для формулы х2 построить не только угол в 60°, но и углы в 460°, 860° и т. д. Прием, излагаемый И. И. Фабрикантом, применим в тех случаях, когда обе части уравнения имеют 360° своим общим периодом.

18. Заметки Э. В. Стрелецкого (г.Гродно) и У. С. Давыдова (г. Гомель) являются откликами на статью С. А. Вокач „О решении геометрических задач введением вспомогательного угла“, помещенную в № 3 журнала „Математика в школе“ за 1952 г.

Э. В. Стрелецкий и У. С Давыдов, соглашаясь вообще с целесообразностью применения приема, описанного С А. Вокач, указывают на нерациональный путь решения второй из разобранных ею задач.

В этой задаче даны правильная четырехугольная пирамида с двугранным углом а между ее соседними боковыми гранями и шар радиуса /?, вписанный в эту пирамиду. Требуется найти объем пирамиды, вершиной которой является центр шара, а вершинами основания — точки касания шара с боковыми гранями данной пирамиды.

С. А. Вокач дает, действительно, очень громоздкое решение задачи, так как, по правильному замечанию Э. В. Стрелецкого и У. С Давыдова, не использует соотношения между линейным углом данного двугранного угла а и плоским углом MON при вершине пирамиды OMNFL, объем которой требуется найти (см. чертеж 2 в статье С. А. Вокач), т. е. соотношение ^/LOF =180° — а.

Используя это соотношение, Э. В. Стрелецкий решает задачу значительно проще.

Черт. 16 Черт. 17

Черт. 18 Черт. 19

Обозначая ^02OL = <f (черт. 19), получаем:

Из треугольника 002L выводим:

так как

Но из треугольника LOF получаем

Поэтому

Отсюда

или, если подставить значение

получим:

Решение задач, в которых данный линейный элемент не входит ни в один из треугольников, содержащих данный угол, действительно представляет особые трудности для учащихся, и поэтому разъяснить сущность предлагаемого приема решения задач и даже дать этому приему специальное название представляется небесполезным. Однако нужно не упускать из виду, что для решения задач подобного же типа применяется и другой, правда, аналогичный прием — прием „введения вспомогательного отрезка“. При решении одних задач более целесообразен один прием, при решении других задач — другой, поэтому желательно оба приема сопоставить и сравнить.

В качестве примера задачи, решаемой с помощью введения вспомогательного отрезка, можно привести хотя бы следующую задачу:

Найти объем прямоугольного параллелепипеда, в котором даны меньшая сторона основания b, угол а между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания и угол ß между той же диагональю и меньшей боковой гранью параллелепипеда (черт. 20).

Легко видеть, что в этой задаче данный линейный элемент не входит ни в один треугольник с данными углами. Однако для решения целесообразнее ввести вспомогательный отрезок — диагональ B^D, а не вспомогательный угол.

Обозначив B{D = d, легко выразить искомый объем V через d и функции углов аир:

После этого остается исключить вспомогательный отрезок d:

и следовательно:

Эту же задачу можно было бы решить и приемом введения вспомогательного угла, но решение оказалось бы более громоздким.

Черт. 20

* При решении некоторых задач, как указывают Э. В. Стрелецкий и У. С. Давыдов, предпочтительнее производить вычисления по формуле, содержащей обратные тригонометрические функции.

СОВЕТСКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

КОНСТАНТИН НИКОЛАЕВИЧ РАШЕВСКИЙ

(К восьмидесятилетию со дня рождения и пятидесятипятилетию педагогической деятельности)

К. РУПАСОВ (Чаплыгин)

В июне 1954 года исполняется 80 лет со дня рождения известного советского педагога-математика Константина Николаевича Рашевского, автора ряда оригинальных учебников по математике, старейшего члена Московского математического кружка, участника I и II Всероссийских съездов преподавателей математики.

Константин Николаевич Рашевский родился 18 июня 1874 года в г. Каркаралинске Семипалатинской области, в семье врача. В 1892 году он окончил с серебряной медалью Томскую гимназию. В том же году поступил на физико-математический факультет Московского университета.

На формирование методических взглядов К. Н. Рашевского оказали известное влияние видные профессора-математики того времени: Б. К. Млодзеевский, В. Я. Цингер, Н. В. Бугаев, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин и др.

В 1899 году Константин Николаевич окончил Московский университет с дипломом 1-й степени и с 1 сентября 1899 года приступил к педагогической деятельности в качестве преподавателя математики московских реальных училищ. В реальных училищах г. Москвы Константин Николаевич работал в течение двадцати лет.

Являясь прогрессивным педагогом, не мирившимся с косностью и рутиной в преподавании, Константин Николаевич всегда прокладывал новые пути в методике преподавания математики. Чувство неудовлетворенности учебниками математики, господствовавшими в то время в средних школах, привело Константина Николаевича к созданию своих учебников. В период работы в Москве Константин Николаевич написал шесть учебников по ряду разделов школьной математики.

Им были написаны следующие учебники:

1) Основания аналитической геометрии.

Учебник для VII класса реальных училищ (1907).

2) Основания анализа бесконечно малых. Учебник для VII класса реальных училищ (1913).

3) Краткий курс геометрии для городских училищ (1911).

4) Краткий курс арифметики. Учебник для средней школы (1908).

5) Элементарная алгебра. Учебник для средней школы (1912).

6) Элементарная геометрия. Учебник для средней школы (1910).

Как преподаватель математики, К. Н. Рашевский часто встречался с результатами неумелого преподавания математики в школе. Будучи талантливым педагогом и методистом, Константин Николаевич не мог мириться с неудовлетворительной постановкой преподавания математики. Естественно, что, создавая свои учебники, он стремился дать научное и и в то же время доступное для учащихся изложение материала, направленное на устранение существенных недостатков, имевших место в преподавании математики.

В учебниках К. Н. Рашевского все теоретические положения получали достаточное обоснование, индукция и дедукция, логика и интуиция гармонически сочетались между собой.

Учебники Константина Николаевича с необходимой постепенностью и обстоятельностью и в то же время с достаточной глубиной раскрывают перед учащимися все существенные стороны математических понятий.

Период работы К. Н. Рашевского в Москве был исключительно плодотворным, и Константин Николаевич стал известен математической общественности России как талантливый составитель учебников для средней школы.

Учебники К. Н. Рашевского получили в свое время высокую оценку. Так, например, В. И. Шифф, делал на I Всероссийском съезде

преподавателей математики доклад на тему „Обзор учебников но аналитической геометрии, составленных для реальных училищ“, заявила, что „...есть много хорошего...в особенности в учебнике г-на Рашевского, изданном в 1911 году“*.

После поражения революции 1905 года царское правительство усилило нажим на разного рода объединения ученых и учителей. Так, например, царское правительство прекратило деятельность Московского педагогического общества при Московском университете „за участие в революции 1905 года“. Но педагогическая общественность Москвы, стремясь в объединениях решать проблемы, волновавшие русское общество, стала искать общения вне связи с университетом — в кружках и обществах узкой профессиональной направленности.

В этот период времени и возник Московский математический кружок, сыгравший большую роль не только в деле объединения ученых и учителей математики, но также и в деле распространения математических и методических знаний. Константин Николаевич одним из первых вошел в это объединение прогрессивных преподавателей математики.

В 1911 — 1914 годах состоялись I и II Всероссийские съезды преподавателей математики. Съезды способствовали делу распространения в России прогрессивных методических идей в области математики.

Константин Николаевич был делегатом обоих съездов. Изданные к тому времени некоторые его учебники были помешены на выставке I съезда преподавателей математики.

В 1919 году Константин Николаевич переехал из Москвы в г. Раненбург (ныне Чаплыгин), где работал в педагогическом институте, реорганизованном несколько позднее в институт народного образования (ИНО). С преобразованием ИНО в 1921 году в педагогический техникум Константин Николаевич преподавал в нем математику и методику математики до 1949 года, когда педагогическое училище было реорганизовано в учительский институт. Преподавателем Чаплыгинского учительского института Константин Николаевич состоит до настоящего времени.

Работая в Раненбурге, Константин Николаевич не перестает совершенствовать свои учебники математики. „Краткий курс арифметики“, „Элементарная геометрия“, „Элементарная алгебра“ после революции несколько раз переиздавались Государственным издательством. Кроме того, в Раненбурге Константин Николаевич написал свой седьмой учебник — „Тригонометрия“, вышедший первым изданием в 1929 году.

Учебники К. Н. Рашевского хорошо известны математической общественности Советского Союза. И не случайно А. Н. Барсуков в книге „Уравнения первой степени в средней школе“ характеризует учебник алгебры К. Н. Рашевского как „...один из солидных учебников, написанный опытным педагогом и пользовавшийся определенным авторитетом среди учительства“*.

Учебники К. Н. Рашевского особенно большой популярностью среди учителей математики пользовались в 20-х и 30-х годах. Учебники Константина Николаевича в те годы совершенно вытеснили ряд учебников других авторов и успешно конкурировали с учебниками А. П. Киселева, и вполне справедливо написал А. Н. Шапошников, что „...в последовавшем состязании по учебной книге взяли решительный перевес такие испытанные ее мастера, как Киселев и Рашевский"**.

Перу Константина Николаевича принадлежит и ряд статей по вопросам преподавания математики.

Так, например, в журнале „Народный учитель" (1925) им была опубликована статья „Комплексная система и математика“, в которой автор подвергает критике комплексную систему, отмененную затем в 1931 году.

В журнале „Начальная школа“ (1945)

* Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики, т. III, 1913, стр. 66.

* А. Н. Барсуков, Уравнения первой степени в средней школе, изд. 3, 1952, стр. 141

** А. Н. Шапошников, Основы математической методики, 1930, стр. 174.

Константин Николаевич опубликовал статью „Записи при решении задач“, написанную им для „Педагогических чтений“.

Константин Николаевич вел и ведет в Чаплыгине большую общественную работу; он преподавал на различных курсах и в райсовпартшколе, выступает докладчиком на районных совещаниях учителей, в методическом объединении учителей математики, дает консультации учителям. Доклады К. Н. Рашевского свидетельствуют о большой эрудиции их составителя и о богатом личном педагогическом опыте.

Лекции Константином Николаевичем читаются образцово, время на лекции уплотнено, ни одна минута не пропадает даром. Студенты получают прочные знания, им прививаются точность, аккуратность в выполнении работы и любовь к математике. Требования Константина Николаевича к студентам характеризуются настойчивостью, ясностью и четкостью. В обращении со студентами Константин Николаевич проявляет большой педагогический такт.

55 лет К. Н. Рашевский безупречно проработал в различных учебных заведениях, заслужив широкую известность. Не случайно его имя часто можно встретить на страницах журнала „Математика в школе“, в учебниках по методике преподавания математики, в различного рода монографиях.

35 лет (с 1919 г.) работает Константин Николаевич в различных педагогических учебных заведениях г. Чаплыгина. Тысячи учителей получили математическую и методическую подготовку под руководством К. Н. Рашевского. Многие учителя математики Советского Союза являются учениками Константина Николаевича.

Советское правительство высоко оценило выдающиеся заслуги Константина Николаевича в деле подготовки учителей для нашей страны: в 1945 году он был награжден медалью „За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941 — 1945 гг.“, а в 1947 году правительство присвоило Константину Николаевичу звание заслуженного учителя школы РСФСР. Министерство просвещения РСФСР в 1946 году наградило Константина Николаевича значком „Отличник народного просвещения“.

Пожелаем Константину Николаевичу многих лет жизни и дальнейших упехов на поприще народного образования.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ПЕРВАЯ МЕТОДИКА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ШКОЛ РАБОЧЕЙ МОЛОДЕЖИ

В. А. ЛЕКТОРСКИЙ (Москва)

До настоящего времени среди обширной методической литературы по математике совершенно отсутствовали специальные методики преподавания в школах молодежи, а между тем вопрос об издании этих методик все чаще поднимается учителями на конференциях и совещаниях.

Первым настоящим методическим пособием по вопросам преподавания арифметики явилась книга, изданная в 1953 году Институтом методов обучения Академии педагогических наук, — „ Методика обучения арифметике в школах рабочей молодежи“, автором которой является заслуженный учитель школ РСФСР Я. Ф. Чекмарев.

Академия педагогических наук оказала большую услугу учителям V и VI классов школ рабочей молодежи, выпустив в свет первую методику по математике для этих школ.

„Методика обучения арифметике в школах рабочей молодежи“ вполне удовлетворяет тем требованиям, которые изложены в критической статье, помещенной в журнале „Математика в школе“, 1953, № 6 (авторы — заслуженный учитель школ РСФСР Е. Волынцев, К. Голубев и А. Киселева).

„Методика обучения арифметике в школах рабочей молодежи“ Я. Ф. Чекмарева широко охватывает вопросы преподавания арифметики в V и VI классах; эти вопросы изложены в книге в двух частях: I часть — общая методика и II часть — частная методика.

Общая часть раскрывает общие методы обучения арифметике. Эта часть книги является базой для изучения второй части — частной методики. В последней даются конкретные указания, как применять общие установки в практике преподавания, в какой форме, с помощью каких методов и приемов вопросы арифметики преподносить учащимся.

Так, например, в разделе общей методики о подготовке к уроку и проведении его указывается, как учитель должен готовиться к уроку (подбор материала, составление плана урока), даются указания, как проводить урок и, наконец, как заканчивать урок по арифметике.

В частной методике арифметики излагаются указания, как проводить урок в каждом отдельном вопросе при изучении тем: делимость чисел, обыкновенные или десятичные дроби и т. п., при этом изложение насыщено живым, конкретным материалом.

Методика широко освещает следующие вопросы в общей ее части: повторение и консультации по арифметике, самостоятельные работы, планирование программного материала, методы обучения, урок, учет успеваемости, арифметические примеры и задачи, методика устных вычислений на уроках арифметики в школах рабочей молодежи.

Для школ рабочей молодежи эта часть имеет исключительно важное значение, так как здесь автором даются указания по вопросам организации и построения всего преподавания арифметики в школах рабочей молодежи, с учетом специфических условий работы этих школ.

Автор делает особый упор на подбор задач, непосредственно связанных с жизненным производственным опытом учащихся, с современными политическими и хозяйственными проблемами нашей страны, так как в школе рабочей молодежи решение таких задач дает стимул инициативе учащихся и делает для них изучение арифметики практически полезным и интересным, а кроме того, служит прекрасным орудием политического воспитания учащихся.

В первой части—„Общая методика“ — в главе „Повторение и консультация“ автор раскрывает особенности повторения материала программы и важность консультаций в школах рабочей молодежи с целью борьбы с отсевом учащихся и указывает, как целесообразнее организовать повторение до момента зачисления в школу и как организовать индивидуальные и групповые консультации. Однако автору следовало бы разработать важный для учителя вопрос об объеме повторений материала при изучении каждой новой темы.

В разделе „Самостоятельная работа“ излагаются приемы организации этой работы как с целью ликвидации пробелов в знаниях учащихся, так и с целью изучения текущего материала и особенно по решению задач.

Существенное значение для учителя имеет раздел „Планирование программного материала по арифметике в V и VI классах“. В этом разделе даются указания, как составлять годовые планы по арифметике для каждого класса отдельно. Здесь подчеркивается, что нельзя механически пропорционально уменьшать срок обучения каждой темы по сравнению со сроками в массовой школе.

Определение сроков изучения каждой темы ста-

вится в зависимости от уровня знаний учащихся, установленных в процессе подготовительных занятий и консультаций, вследствие чего возможно, что в параллельных классах разбивка тем по часам может быть различна. В годовом плане автором учитываются и вопросы повторения старого материала на основе решения типовых задач.

Глава „Методы обучения арифметике“ автором изложена с учетом специфичности школ рабочей молодежи, а поэтому фиксируется внимание на методах устного изложения, на методах работы с учебником и задачником, на методах письменных и графических работ. Автор считает, что в школах рабочей молодежи первостепенное значение имеют методы обучения работе с учебником и задачником и устные вычисления.

В главе „Урок“ раскрывается своеобразное построение урока в зависимости от состава учащихся и их подготовки, от организации повторения, консультаций, самостоятельных работ и т. д.

Автором проведен анализ уроков лучших учителей ШРМ — даны примерные разработки уроков на наиболее трудные темы.

В следующей главе—„Учет успеваемости в ШРМ“ — автор подчеркивает значительную его особенность, в отличие от учета в массовых школах, по следующим обстоятельствам:

a) учащиеся по уважительным причинам вынуждены пропускать занятия, что мешает систематической проверке знаний;

b) на изучение каждой темы отводится меньше времени, чем в массовой школе, следовательно, меньше времени остается и для учета;

c) вследствие занятости на производстве учащиеся не всегда могут готовиться к каждому отдельному уроку.

Исходя из этого, автор рекомендует три вида учета: предварительный, текущий и итоговый.

Каждый вид учета имеет свои особенности в условиях школ рабочей молодежи. Но автор недооценил метод уплотненного опроса, который в школе рабочей молодежи имеет существенное значение и которым пользуются многие учителя.

Автор правильно отнес к общей методике главы „Методика решения задач“ и „Методика устных вычислений“, так как методы и приемы решения задач и устных вычислений одинаковы для обыкновенных и десятичных дробей, для процентов и пропорций, но, вследствие особенности работы в школах рабочей молодежи, автор в соответствующих главах частной методики дает специфические указания по этому вопросу.

Вообще раздел частной методики несколько отличается от существующих методик по арифметике для V и VI классов массовой школы.

В главах о делимости чисел, об обыкновенных и десятичных дробях автором сначала даются общие методические указания о том, как и в каком объеме надо проработать ту или иную тему в условиях сокращенного времени, отводимого на тему в ШРМ; затем дается разработка темы, доведенная во многих случаях до конспекта урока; указывается, какую часть материала можно предложить учащимся изучить самостоятельно, пользуясь учебником, какая часть может быть изучена с небольшой помощью учителя; остальная часть подробно разработана для использования учителем на классных занятиях с указанием приемов изложения, которыми может быть преподнесен учащимся материал темы с наибольшей эффективностью.

Большое внимание уделено вопросу упорядочения записей при вычислениях с дробями.

В главе „Десятичные и обыкновенные дроби“ даются методические указания относительно преподавания чрезвычайно важного с теоретической и практической точек зрения вопроса о том, когда и в каких случаях следует пользоваться в вычислительной практике только десятичными дробями, применяя их ценные свойства, и когда целесообразно пользоваться обыкновенными дробями.

В главе „Прямо и обратно пропорциональные величины“ говорится не только о том, как проводить изучение отдельных вопросов этой темы, но указывается конкретный производственный материал, на основе которого составляются и решаются задачи на прямо и обратно пропорциональные величины; разбираются конкретные примеры изучения прямой и обратной пропорциоиальностей при помощи графиков.

Специфические условия обучения арифметике в школах рабочей молодежи не позволяют уделять много времени ни в классе, ни дома решению составных задач.

В последней главе — „Группы арифметических задач“ автор объединил в восемь групп все составные задачи, предусмотренные программой по арифметике в V и VI классах школы, и рекомендует совместное изучение теории арифметики с практикой решения составных задач. Это дает возможность научить учащихся школы рабочей молодежи решению всех составных задач в сокращенное время, что очень важно для ШРМ, имеющих ограниченное время для прохождения программ.

Однако эту особенность школ рабочей молодежи автор недостаточно учел, поэтому в разделе частной методики указания к проработке некоторых тем даются слишком подробные, а местами даже пересказывающие учебник арифметики.

Было бы более целесообразным уменьшить объем книги за счет изъятия из частной методики текста в виде пересказа учебника арифметики, как-то: признаки делимости па 3 и 9, нахождение НОД и НОК последовательным делением, отношение и пропорции и др.; за счет уменьшения количества примеров и задач, которые фактически повторяют друг друга, например: примеры на нахождение неизвестного числа (стр. 282), на повторение свойств сложения и вычитания (стр. 316) и многие другие случаи; ограничиться только одним образцом вступительной контрольной работы учащегося, личной карточки этого же учащегося и его же письменной работы на переводных экзаменах (стр. 31). Вообще автору следует изъять из книги лишний, загромождающий, несущественный материал, а вместо этого ввести специальную главу о содержании обучения.

Автор в ряде глав отражает специфические особенности преподавания арифметики в школах рабочей молодежи, но не во всех главах это сделано. Так, например, в главе о задачах превалируют задачи, типичные для массовой школы, мало сказано о задачах, взятых из производственной жизни, т. е. о тех задачах, которые практически решаются на производстве учащимися ШРМ. Правда, среди задач, приводимых автором, имеются задачи жизненного, производственного характера, но их все же недостаточно, а главное, следует подчеркнуть ту мысль, что на уроках надо применять те задачи, которые решаются практически слушателями на производстве и в жизни.

Существенным же недочетом книги является то, что в ней отсутствует специальная глава об элементах политехнизма в преподавании арифметики.

Вообще желательно было бы, чтобы автор к следующему изданию выправил книгу не только с точ-

ки зрения уменьшения ее объема за счет лишнего материала, но и с точки зрения приспособления ее исключительно к школам рабочей и сельской молодежи. Последние школы, т. е. школы сельской молодежи, выпали из поля зрения автора, тогда как они больше нуждаются в методической помощи, чем школы рабочей молодежи, а поэтому методика обучения арифметике должна отвечать требованиям и школ сельской молодежи.

Книга нуждается в большой доработке и с точки зрения редактирования: в ней много мест, которые тяжелы по стилю и тяжело читаются, с неправильно построенными предложениями, много крупных и особенно мелких недочетов, которые редактором и автором не устранены.

Создается впечатление, что автор не читал своего произведения после его написания.

При решении задач в нескольких местах допущены нерациональные приемы. Например, на страницах 33—34 показывается образец решения учеником экзаменационной работы, оцененной комиссией баллом „пять“, тогда как такая работа, не принимая во внимание даже нормы оценок, может быть оценена только баллом „четыре“: эта работа плохо оформлена с точки зрения записи самого условия, ученик начал выполнять работу не с задачи, а с примеров; при решении задачи, заменяя отношение дробных чисел отношением целых чисел, ставит вопрос так: „3) Заменить отношение дробных чисел целыми“, ясно, что формулировка вопроса неправильная; кроме того, выполнив это действие, ученик получил сократимое отношение 28:21, чем усложнил себе работу.

На странице 151 показывается пример решения задачи аналитическим и синтетическим приемами, при этом допускается нерациональный прием решения: задача решается автором в четыре вопроса, тогда как лучше было бы ее решить в три вопроса.

В методике встречаются противоречивые предложения и заключения. Так, на странице 25 в главе „Консультации“ автор рекомендует четыре способа помощи отстающим, а при дальнейшем разборе каждого способа устанавливает, что ликвидация отставания этими способами или „трудна“, или „невозможна“, или „отнимает много времени“, что недопустимо в ШРМ, т. е. ни один из этих способов не годится.

Спрашивается: зачем же автор их рекомендует читателям? Мало того, автор противоречит иногда и приказам Министерства просвещения РСФСР, заявляя на странице 30, что „Учителя школ молодежи принимают в школу учащихся, имеющих на вступительных испытаниях по арифметике оценки — единицу или два“.

В главе „Планирование программного материала“ автор рекомендует учителям составлять тематический план и на 68-й странице книги приводит образец такого плана. Надо сказать, что план этот надуман автором для загромождения учителя и без того большим планированием, в практике учителей он не применяется, его вполне заменяет поурочный план. Был бы целесообразным такой план, подготовленный учителем во время каникул, если бы в нем показывался практический материал в виде номеров примеров или задач из задачника.

Автор в частной методике охватил все темы программы, исключая темы „Проценты“. В дореволюционных методиках и учебниках тема „Проценты“ не выделялась особо, а разбиралась как один из типов задач, решаемых с помощью процентов. Так поступил и автор, втиснув тему „Проценты“ в одну из групп решения арифметических задач. В советской школе этой теме уделяется огромное внимание, и обходить ее в методике арифметики нельзя.

Заключение. Все указанные недочеты можно легко устранить; эти недочеты не умаляют ценности книги как пособия, которое будет способствовать улучшению преподавания арифметики в школах рабочей молодежи.

Книга Я. Ф. Чекмарева сыграет существенную роль в поднятии успеваемости учащихся. Желательно следующее издание этой полезной книги выпустить большим тиражом.

ЕЩЕ О „КУРЬЕЗНОЙ“ ЗАДАЧЕ

В. С. МИХЕЛЬСОН (Москва)

В своей рецензии на книгу Г. Н. Бермана „Число и наука о нем“ Г. Л. Хвыль* совершенно правильно отмечает некоторые существенные недостатки, которые имеются в этой книге. К их числу автор рецензии относит „курьезный пример“ Курта Лассвица. Задача Курта Лассвица заключается в том, чтобы подсчитать „...сколько томов должна насчитывать библиотека, которая содержала бы не только все, что когда-либо было написано, но и все, что когда-либо будет написано или хотя бы подумано...“ (стр. 17 книги). В книге рассматривается решение, которое, как утверждает автор, дает ответ на приведенную выше задачу. Автор считает, что если в каждой книге объемом в 1000 страниц будет набрано по 5 000 000 знаков, пользуясь при этом только 1000 различными типографскими знаками, то для решения задачи достаточно взять 10005^0000^ книг. К сожалению, ни автор книги, ни автор рецензии не вскрыли ошибочность математических рассуждений Курта Лассвица, не показали, какая по существу решается задача и что выражает собой число 1000г,(хюсо°.

Рассмотрению этих вопросов и посвящена данная заметка. При внимательном разборе вышеприведенного решения видно, что фактически решается совершенно другая задача. Оказывается, что библиотека, имеющая 10005000000 различных книг указанного формата, будет содержать лишь только то, что может быть написано в книгах, состоящих из 1000 страниц, если, пользуясь 1000 различными знаками, в каждой книге печатать по 5 000 000 этих знаков, а не вообще все, что может быть напечатано. Это означает, что число 10005С0С0С0 имеет вполне конкретный смысл и является вполне реальным. Оно показывает, сколько надо иметь книг, чтобы обозреть все, что было или будет написано в книгах данного объема при выполнении остальных условий зздачи.

* Г. Л. Хвыль, Недостатки, ведущие к идеализму и метафизике, журн. „Математика в школе“, 1953, № 5, стр. 76-78.

Таким образом, мы видим, что по существу решается другая задача. Этого не вскрыли ни автор книги, ни автор рецензии, хотя последний и указывает на идеалистическую основу этой задачи. Покажем, что вообще никакая библиотека не может содержать все, что когда-либо было и будет написано человечеством. Действительно, какую бы мы ни имели библиотеку, содержащую конечное число книг, всегда можно составить другую библиотеку, которая будет содержать все, что имелось в первой библиотеке, и много нового. Для этого в нашем случае достаточно взять всевозможные книги объемом в 1001 страницу. Даже если мы не будем увеличивать количество печатных знаков на каждой странице и будем пользоваться теми же 1000 типографскими знаками, то для того чтобы охватить все, что может быть написано в книгах такого объема, необходимо взять 10006005000 книг, так как теперь каждая книга будет содержать уже по 5005 000 печатных знаков. Эги книги будут состоять из 1001 • 10005по5000 страниц, т. е. будут содержать в 1001 • 10005ooöooo : Ю00- lOOCFXwoo = Ю01 X X 10004997 раза больше страниц, чем раньше. Значит, в новой библиотеке будет намного больше материала, чем в старой, причем ясно, что так как в ней будут книги, у которых 1001-я страница чистая, то вся старая библиотека, как ничтожная часть, войдет в состав этой библиотеки. А если мы будем брать книги еще большего формата и будем составлять подобные библиотеки, то мы всегда будем получать все новые и новые произведения.

Тем самым ясно, что не только практически (об этом даже не ставится вопрос), но и принципиально нельзя составить библиотеку, содержащую все, что было и будет когда-либо написано человеком.

В заключение считаем необходимым отметить, что редакция математики Гостехиздата должна дать определенные разъяснения по поводу этой задачи, так как у читателя может остаться совершенно неправильное метафизическое представление о вопросах, в ней разбираемых. Это важно и потому, что подобными «математическими- рассуждениями часто пользуются буржуазные лжеученые для подтверждения своих идеалистических и метафизических „теорий“ о вечности и неизменности вещей и явлений, об ограниченности человеческого познания и т. п.

НОВАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

(2-е полугодие 1953 г.)

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

I. История математики Советские математики

Григорьян А. Т., Михаил Васильевич Остроградский — выдающийся ученый. Пособие для учителей, Учпедгиз, М., 1953, 40 стр., с портр. Тираж 25 000 экз. Цена 55 коп.

Лукомский А. М., Александр Михайлович Ляпунов. Библиография. Под ред. |и с вводными статьями) В. И. Смирнова, изд. Академии наук СССР, М. — Л., 1953, 268 стр. и 4 л. портр. Тираж 2000 экз., Цена в перепл. 8 р. 20 к.

Молодший В. Н., Основы учения о числе в XVIII веке. Пособие для учителей, Учпедгиз, М., 1953, 180 стр., с черт. Тираж 15 000 экз. Цена в перепл. 4 р. 50 к.

К 50-летию Андрея Николаевича Колмогорова, .Известия Академии наук СССР. Серия математическая“, т. 17, 1953, № 3, стр. 181—188.

Александров П. С и Хинчин А. Я., Андрей Николаевич Колмогоров. К 50-летию со дня рождения, .Успехи математических наук", т. 8, вып. 3, 1953, стр. 176—200.

II. Учебники и учебные пособия

Глаголев Н. А., Начертательная геометрия. Учебник для государственных университетов и педагогических институтов, изд. 3, переработ, и дополн. В. В. Лыжковым, Гостехиздат, М., 1953, 220 стр., с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл, б р. 20 к.

Гребенча М. К. и Новоселов С.И., Курс математического анализа. Учебное пособие для физико-математического факультета педагогических институтов, т. I, изд. 4, Учпедгиз, М., 1953, 544 стр., с черт. Тираж 15000 экз. Цена 11р. 5 к.; т. II, изд. 2, 560 стр., с черт. Цена 12 р. 55 к.

Ефимов Н. В., Высшая геометрия. Учебное пособие для государственных университетов и педагогических институтов, изд. 3, переработ., Гостехиздат, М., 1953, 528 стр., с черт. Тираж 20000 зкз. Цена в перепл. 12 р. 10 к.

Калнин Р. А., Курс алгебры [для техникумов]. Под ред. С И. Новоселова, Гостехиздат, М., 1953, 328 стр., с черт. Тираж 100 000 экз. Цена в перепл. 5 р. 90 к.

Лоповок Л. М., Сборник стереометрических задач на построение. Пособие для учителей средней ижолы. Под ред. А. Д. Посвянского, изд. 2, Учпедгиз, М., 1953. 76 стр., с черт. Тираж 25 000 экз. Цена 1 р. 20 к.

Лузин Н. Н., Интегральное исчисление. Учебник для вузов, изд. 4, .Советская наука-, М., 1953, 416 стр., с черт. Тираж 50000 экз. Цена в перепл. 10 руб.

Перепелкин Д. И., Геометрические построения в средней школе. Пособие для учителей, изд. 2, Учпедгиз, М„ 1953, 76 стр., с черт. Тираж 40 000 экз. Цена 1 р. 30 к.

Новоселов С И., Специальный курс тригонометрии [для педагогических институтов], .Советская наука“, М., 1953, 464 стр., с черт. Тираж 40 000 экз. Цена в перепл. 9 р. 60 к.

Смирнов В. И., Курс высшей математики [для физико-математических факультетов государственных университетов и втузов с расширенной программой], т. I, изд. 14, Гостехиздат, М., 1953, 472 стр., с черт. Тираж 25000 экз. Цена в перепл. 13 р. 20 к.

Смирнов В. И., Курс высшей математики. Учебное пособие для физико-математических факультетов государственных университетов, т. III, ч. 2, изд. 5, Гостехиздат, М., 1953, 676 стр., с черт. Тираж 15 000 экз. Цена в перепл. 17 р. 50 к.

Смирнов В. И., Курс высшей математики [для физико-математических факультетов государственных университетов), т. IV, изд. 3, Гостехиздат, М., 1953, 804 стр. с черт. Тираж 15 000 экз. Цена в перепл. 19 р. 90 к.

Суворов И. Ф., Курс высшей математики [для техникумов], „Советская наука“, М., 1953, 296 стр., с черт. Тираж 25 000 экз. Цена б р. 85 к.

Траутман Н. Ф., Сборник задач по начертательной геометрии в применении к различным областям науки и техники. Пособие для вузов, Машгиз, М., 1935, 280 стр., с черт, и 1 л. черт. Тираж 20 000 экз. Цена в перепл. 8 р. 40 к.

Фролов Н. А., Теория функций действительного переменного. Учебное пособие для педагогических институтов, Учпедгиз, М., 1953, 164 стр., с черт. Тираж 15 000 экз. Цена в перепл. 3 р. 60 к.

Фролов Н. А., Основы математического анализа. Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов, изд. Горьковского государственного педагогического института имени А. М. Горького, Горький, 1953, 108 стр., с черт. Тираж 1000 экз.

Четверухин Н. Ф., Проективная геометрия. Учебник для педагогических институтов , изд. 6, переработ., Учпедгиз, М., 1953, 351 стр., с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 8 р. 5 к.

III. Методика преподавания математики

Барсуков А. Н., Первые уроки алгебры в VI классе. Методическое пособие для учителей, изд. 2, Учпедгиз, М., 1953, 32 стр., Тираж 30 000 экз. Цена 45 коп.

Бартенов Ф. А., О некоторых вопросах предварительной подготовки учащихся VIII и IX классов к выполнению письменных работ по геометрии с тригонометрией в X классе, Крымиздат, Симферополь, 1953, 39 стр., с черт. Тираж 1000 экз. Цена 50 коп.

Власенко О. И., Требования к экзаменационным работам по математике на аттестат зрелости и анализ работ выпускников средних школ Сумской области, Сумы, областное издательство, 1953, 24 стр., с черт. Тираж 500 экз.

Вопросы методики преподавания математики. Сборник статей (Татарский институт усовершенствования учителей). Под ред. И. А. Алексеева, Татгосиздат, Казань, 1953, 244 стр., с черт. Тираж 2000 экз. Цена в перепл. 4 руб.

Письменные работы по математике в V—VII классах. Типичные ошибки при обучении арифметике, меры их предупреждения и исправления. Элементарные упражнения в начале систематического курса геометрии. Задачи на построение. К методике преподавания темы „Теория соединений и бином Ньютона“. Методика проверки и исследования корней тригонометрических уравнений. К истории развития логарифмов.

Денисова Т. Н., Планы уроков по геометрии в VII классе. Из опыта работы, Учпедгиз, М., 1953, 1935 стр., с илл. Тираж 50 000 экз. Цена 2 руб.

Дорф П. Я- и Румер А. О., Измерения на местности. Пособие для учителей математики V—VII классов, изд. Академии педагогических наук, М., 1953. Тираж 25 000 экз. Цена 3 р. 75 к. Издано отдельно сброшированными выпусками, вложенными в папку. Часть I. „Измерительные работы на местности“, 106 стр., в 14 отдельных выпусках. Часть II. „Самодельные приборы для измерительных работ на местности“ 29 стр., в 8 отдельных выпусках. Приложение, таблицы, 5 отд. листов.

Изготовление наглядных пособий по геометрии и их применение на уроках

Из опыта учителей математики V—X классов. Сборник статей, под ред. А. Д. Семушкина, изд. Академии педагогических наук РСФСР, М., 1953, 80 стр., с илл. Тираж 15 000 экз. Цена 1 руб.

Калиткин Н. М., Теория и практика при решении геометрических задач. Опыт передового учителя, Учпедгиз, М. — Л., 1953, 49 стр., с илл. Тираж 25 000 экз. Цена 70 коп.

Линьков Г. И., Внеклассная работа по математике, Курское книжное издательство, Курск, 1953, 47 стр., с черт. Тираж 4000 экз. Цена не указ.

Орленко М. И., Решение геометрических задач на построение в курсе математики средней школы. Пособие для учителей, Учпедгиз БССР, Минск, 1953, 264 стр., с черт. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 5 р. 60 к.

Преподавание математики в школе в свете задач политехнического обучения. Сборник статей, изд. Академии педагогических наук РСФСР, М., 1953,140 стр., с черт. Тираж 50 000 экз. Цена 1 р. 80 к.

(Арифметика — И. Н. Шевченко. Алгебра — В. Л. Гончаров и И. А. Гибш. Геометрия — А. И. Фетисов. Тригонометрия — И. А. Гибш.)

Сиротинин В. А., Арифметические записи и вычисления (в V—X классах), Красноярский краевой институт усовершенствования учителей, Красноярск, 1953, 52 стр., с черт. Тираж 1200 экз. Цена не указ.

Шор Я. А., О решении арифметических задач. Пособие для учителей педагогических училищ, изд. 2, переработанное, Учпедгиз, М., 1953, 103 стр., с черт. Тираж 25 000 экз. Цена 1 р. 25 к.

Ларичев П. А., За дальнейшее повышение уровня преподавания и качества подготовки учащихся по математике, „Народное образование“, 1953, № 7, стр. 31—35.

IV. Работы по различным вопросам высшей математики

Гордиевский Д. З., Интерпретация проективной геометрии с помощью окружностей, изд. Харьковского университета, Харьков, 1953, 36 стр., с черт. Тираж 5000 экз. Цена 60 коп.

Ладыженская О. А., Смешанная задача для гиперболического уравнения, с предисловием В. И. Смирнова, Гостехиздат, М., 1953, 280 стр. Тираж 4000 экз. Цена в перепл. 8 р. 65 к.

Лузин Н. Н., Лекции об аналитических множествах и их приложениях, редакция, предисловие и примечания Л. В. Келдыш и П. С. Новикова, Гостехиздат, М., 1953, 360 стр., с черт. Тираж 6000 экз. Цена в перепл. 11 р. 45 к.

Лузин Н. Н., Собрание сочинений, т. I. „Метрическая теория функций и теория функций комплексного переменного“, изд. Академии наук СССР, М., 1953, 400 стр., с черт, и 2 л. портр. Тираж 3000 экз. Цена в перепл. 22 руб.

Mак-Лахлан Н. А., Теория и приложения функций Матье, перевод с английского В. А. Братановского, под ред. И. Н. Денисова, изд-во иностранной литературы, М., 1953, 476 стр., с черт. Цена в перепл. 23 р. 15 к.

Микеладзе Ш. Е., Численные методы математического анализа, Гостехиздат, М., 1953, 528 стр., с черт. Тираж 4000 экз. Цена в перепл. 21 руб.

Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, Гостехиздат, М., 1953, 636 стр., с черт. Тираж 5000 экз. Цена в перепл. 21 р. 70 к.

Унковский В. А., Теория вероятностей, Военмориздат, М., 1953, 320 стр., с черт. Цена в перепл. 10 р. 90 к.

V. Научно-популярная литература, пособия для кружков

Дубнов Я. С, Ошибки в геометрических доказательствах, Гостехиздат, М., 1953, 68 стр., с черт. Ти-

раж 50 000 экз. Цена 95 коп. (Популярные лекции по математике, вып. 11.)

Пентковский М. В., Считающие чертежи (номограммы), Гостехиздат, М., 1953, 152 стр., с черт. Тираж 35 000 экз. Цена 2 р. 20 к.

Грацианская Л. Н., Математическая олимпиада учащихся VII—X классов в г. Киеве, „Успехи математических наук“, т. VIII, вып. 5, 1953, стр. 199—201.

Кауфман А. М., Математическая олимпиада учащихся VII—X классов в г. Рязани, „Успехи математических наук“, т. VIII, вып. 5, 1953, стр. 203—204.

Кованько А. С, Математическая олимпиада школьников г. Львова в 1953 г., „Успехи математических наук“, т. VIII, вып. 4, 1953, стр. 199—200.

Кубилюс И., Первая республиканская математическая олимпиада школьников Литовской СССР, „Успехи математических наук“, т. VIII, вып. 3, 1953, стр. 203—205.

Рашевский П. К., Введенская Н. Д. и Королев Б. М., XV Московская школьная математическая олимпиада, „Успехи математических наук“, т. VIII, вып. 4, 1953, стр. 193-197.

VI. Справочники

„Пятизначные таблицы логарифмов“, изд. б, Воениздат, М., 1953, 194 стр. Цена в перепл. 8 р. 90 к.

VII. Пособие для заочников

Брадис В. М. и Данилова М. В., Контрольные работы по специальному курсу элементарной математики „Элементарные трансцендентные функции и уравнения“, для студентов-заочников IV курса физико-математического факультета педагогических институтов, Учпедгиз, М., 1953, 23 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 25 коп.

Гончаров В. Л., Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, для студентов-заочников III курса физико-математического факультета педагогических институтов, Учпедгиз, М., 1953, 16 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 20 коп.

Опечатки

В № 1 журнала за 1954 г. на странице 27 (2) (16-я строка снизу) напечатано:

следует читать:

В № 2 журнала за 1954 г. на стр. 12 (строки 11—13 снизу, правый столбец) напечатано: строим квадрат со стороной

а — \5 (ABCD);

следует:

строим квадрат ABCD со стороной

AB = 15;

на стр. 13 (строка 5 сверху, правый столбец) напечатано: плоскость AXBCD\ следует:

плоскость A\BCD\.

В № 2 журнала за 1954 г. решение задачи № 10 изложено неудачно, соответствующее разъяснение будет дано в № 4 журнала.

ЗАДАЧИ

ЗАДАЧИ НА СОВРЕМЕННЫЕ ТЕМЫ

Задачи, предложенные М. М. Лиманом (Краснодар)

1. В государственном бюджете СССР на 1953 г. ассигновано на просвещение 62 089 527 тыс. руб., на здравоохранение и физкультуру — 24 828 360 тыс. руб., на социальное обеспечение и социальное страхование, а также на выплату пособий многодетным и одиноким матерям — 42 844 494 тыс. руб. Определить общую сумму ассигнований на социально-культурные мероприятия.

2. Государственный бюджет СССР на 1953 г. утвержден по доходам в сумме 544 264 720 тыс. руб., с превышением доходов над расходами в сумме 13 732672 тыс. руб. Определить расходную часть бюджета.

3. В колхозе „Вперед к коммунизму“, Раменского района Московской области, в 1952 г. урожайность картофеля при квадратно-гнездовом способе посадки составила 167 ц с 1 га при затрате 7,31 человеко-дня на 1 га, а при рядовом способе — 80 ц при затрате 52 человеко-дней на 1 га. Во сколько раз возросла производительность труда при квадратно-гнездовом способе посадки картофеля по сравнению с рядовым способом?

4. (Устно.) За пятилетие посевы кормовых культур возрастают, примерно, на 70%, а урожайность — не менее чем в 2 раза. Во сколько раз возрастет за пятилетие производство кормов?

5. Национальный доход в СССР в 1950 г. увеличился по сравнению с 1940 г. на 64% и за пятилетие возрастет еще не менее чем на 60%. Во сколько раз увеличится национальный доход в 1955 г. по сравнению с 1940 г.?

6. В 1955 г. будет выпущено тракторов на 19% больше, чем в 1950 г. На сколько процентов меньше было выпущено тракторов в 1950 г. по сравнению с 1955 г.?

7. Общий объем продукции промышленности, производящей предметы потребления, в 1951 г. был больше, чем в 1940 г., на 43%, а в 1952 г. был больше, чем 1951 г., на 12%. На сколько процентов в 1952 г. по сравнению с 1940 г. повысился объем продукции промышленности, производящей предметы потребления?

8. В 1913 г. добыча угля в России составляла одну десятую добычи угля в Англии, а в 1951 г. добыча угля в СССР на 25% была больше, чем в Англии.

За этот период добыча угля в Англии сократилась на 23%. Во сколько раз в СССР в 1951 г. возросла добыча угля по сравнению с 1913 г.?

9. Общая сумма сельскохозяйственного налога для 1953 г. уменьшается на 4137 млн. руб., или на 43% а для будущего 1954 г. налог уменьшается более чем в 2,5 раза по сравнению с 1952 г. На сколько миллионов рублей уменьшается сумма налога в 1954 г по сравнению с 1952 г.?

10. Объем тракторных работ МТС к концу пятой пятилетки вырастет на 125% против 1950 г., причем количество тракторов и дневная выработка на каждый трактор увеличится на одинаковое число процентов. На сколько процентов будет увеличено число тракторов в пятой пятилетке и на сколько процентов увеличится дневная выработка на каждый трактор?

11. В 1952 г. выработка электроэнергии в СССР возросла на 29% по сравнению с 1950 г. Определить среднегодовой прирост выработки электроэнергии за 1951 и 1952 гг.

Задачи, предложенные И. С. Нарышкиным

(Чувашская АССР, с. Калинино)

1. В 1950 г. производство стали в СССР было на 49% больше, чем в 1940 г., а в 1955 г. будет произведено стали в 1,62 раза больше, чем в 1950 г.

Сколько тонн стали будет произведено в 1955 г. и на сколько процентов больше, чем в 1940 г., если производство стали тогда составило 18,3 млн. тонн?

2. Добыча нефти в СССР в 1940 г. составила 31 млн. тонн. В 1950 г. было добыто на gQ больше, чем в 1940 г., а в 1955 г. предусмотрено производить на 2Q больше по сравнению с 1950 г. Сколько тонн нефти будет произведено в 1955 г.

Задачи, предложенные Л. Г. Круповецким (Харьков)

1. Общая добыча угля и нефти в 1953 году выражается числом 372 млн. т. Определить добычу угля и нефти в 1953 г. в отдельности, если угля было добыто на 268 млн. m больше, чем нефти.

2. Расходы на финансирование народного хозяйства по государственному бюджету СССР на 1953 г. преду-

смотрены в сумме 192,5 млрд. руб. Помимо этих бюджетных ассигнований, в народное хозяйство будет направлено собственных средств предприятий и хозяйственных организаций в сумме, равной -gg- бюджетных ассигнований. На сколько процентов общая сумма всех этих расходов превышает такие же ассигнования в 1952 г., выразившиеся суммой в 265 млрд. руб.?

3. Производство стали в 1953 г., превысив уровень 1952 г. на 8,6%, составляет 38 млн. т. Сколько стали было выплавлено в 1952 г.? (Вычислить в целых миллионах тонн.)

4. Доходы по государственному бюджету СССР на 1953 г. предусмотрены в сумме 544,3 млрд. руб., а расходы — в сумме 530,5 млрд. руб. На сколько процентов доходы превышают расходы в 1953 г.?

5. Число учащихся в высших учебных заведениях и техникумах в 1952 г. было 2857 тыс. человек, а в 1953 г. оно возросло до 3075 тыс. человек. Определить: а) На сколько процентов число учащихся в 1953 г. выше, чем в 1952 г.; b) На сколько процентов число учащихся в 1952 г. ниже, чем в 1953 г.?

6. Расходы Советского государства на народное хозяйство и на культурно-бытовые потребности населения составили в 1952 г. 301,6 млрд. руб., что на 204,65% выше таких расходов в 1940 г. и на 6,42% ниже таких расходов в 1953 г. Определить уровень этих расходов в 1940 и 1953 гг. и вычислить, на сколько процентов эти расходы в 1953 г. превышают уровень 1940 г.

7. В настоящее время в СССР производится больше, чем в 1924/25 хозяйственном году: стали в 21 раз, угля в 19 раз, электроэнергии в 45 раз. На сколько процентов производство стали, угля и электроэнергии в настоящее время превышает уровень их производства в 1924/25 г.?

8. Из общей суммы ассигнований на социально-культурные мероприятия по государственному бюджету на 1953 г. ассигновано на просвещение и культуру 47 25“% всех расходов, предусмотренных на социально-культурные цели, а на здравоохранение 36,63% от остальной суммы; остальные 42,9 млрд. руб. предназначены на социальное страхование и обеспечение и на прочие расходы. Определить общую сумму бюджетных расходов на социально-культурные мероприятия в 1953 г. и составить круговую диаграмму, показывающую удельный вес каждого из этих видов расходов в общей сумме расходов на социально-культурные потребности населения. (Вычислять расходы с точностью до 0,1 млрд. руб., а проценты до 0,01%.)

9. Рост производства тканей в 1953 г. по сравнению с 1952 г. характеризуется следующими данными:

Виды тканей

1952 г.

1953 г.

Производство 1953 г. в % к 1952 г.

в млн.

метров

Хлопчатобумажные ткани ......

5000

5300

г

Шерстяные ткани .

190

200

?

Шелковые ткани . .

218

400

?

10. За годы пятилеток, т. е. с 1929 по 1952 г., на капитальное строительство и приобретение оборудования вложено государственных средств в пересчете на современные цены: в тяжелую промышленность 638 млрд. руб., в транспорт 193 млрд. руб., в легкую промышленность 72 млрд. руб. и в сельское хозяйство 94 млрд. руб. Определить сумму каждого из этих видов расходов в процентах к общей сумме израсходованных средств на эти цели за годы пятилеток и составить но ним секторную диаграмму.

11. Числа, выражающие количество городского населения в нашей стране в 1926 ,1940 гг. и в настоящее время, пропорциональны числам 0,65; 1 -щ и 2.

Сколько городского населения насчитывалось в нашей стране в каждый из этих периодов, если известно, что по сравнению с 1926 годом количество городского населения в настоящее время увеличилось на 54 млн. человек?

12. Построить график (прямоугольную диаграмму) роста производства электроэнергии в СССР за первые три года пятой пятилетки сравнительно с 1940 и 1950 гг. по следующим данным (в млрд.киловатт-часов).

1940 г.

1950 г.

1951 г.

1952 г.

1953 г.

48,3

90,0

104,0

117,0

133,0

13. В результате успешного выполнения заданий пятого пятилетнего плана всеми отраслями народного хозяйства государственный бюджет СССР за последние годы значительно возрос, что видно из следующих данных (в млрд. рублей):

1950 г.

1951 г.

1952 г.

1953 г. (план)

фактическое выполнение

Доходы . .

422,8

470,3

497,7

544,2

Расходы . .

412,7

443,0

460,2

530,5

Вычислить рост доходов и расходов в процентах к уровню 1950 г. (уровень 1950 г. = 100%) и составить по ним прямоугольную диаграмму.

Задачи, предложенные Г. Д. Городиловым

(Киргизская ССР, с. Талды-Су)

1. Выработка сахара в СССР в 1940 г. достигла 2176 тыс. т. Сколько сахара было выработано в 1953 г., если согласно пятому пятилетнему плану его было произведено на 70% больше, чем было в 1940 г.? Сколько потребуется вагонов грузоподъемностью 60 m для перевозки этого сахара?

2. За четвертую (первую послевоенную) пятилетку наша тракторная промышленность выпустила 536 тыс. тракторов в переводе на 15-сильные. По пятому пятилетнему плану производство тракторов за пятилетие (с 1951 по 1955 г.) увеличится на 0,19 этого числа. Сколько тракторов (в переводе на 15-сильные) будет выпущено за пятую пятилетку?

3. Электростанции СССР уже в 1952 г. ежемесячно вырабатывали электроэнергии столько, сколько ее вырабатывалось в дореволюционной России в течение пяти лет. Во сколько раз больше вырабатывалось в СССР электроэнергии в 1952 г., чем в дореволюционной России (за один год)?

4. Наша крупная промышленность в 1952 г. в каждые девять дней производила столько же продукции, сколько производилось ее в России накануне Великой Октябрьской социалистической революции в течение целого года. Во сколько раз увеличился выпуск продукции крупной промышленности в СССР по сравнению с выпуском ее в дореволюционной России?

Рост добычи угля и нефти в СССР характеризуется следующими данными в миллионнах тонн:

1929 г. (начало 1-й пятилетки)

1933 г. (конец 1-й пятилетки)

1938 г. (конец 2-й пятилетки)

1940 г. (в довоенный год)

1950 г. (на конец 4-й пятилетки)

1955 г. (по пятому пятилетнему плану)

Уголь ..........

40,1

76,3

132,9

166,00

260,62

372,6866

Нефть..........

13,8

22,4

28,5

31,00

37,82

69,967

Рост производства чугуна, стали и проката в СССР характеризуется следующими данными в миллионах тонн:

1928 г.

1932 г.

1937 г.

1940 г.

1950 г.

1955 г.

Чугун ..........

Сталь ..........

Прокат..........

3,3 4,3 3,4

6,2 5,9 4,4

14,5 17,7 13,00

15,00

18,3

13,1

19,35

27,267

20,829

34,056

44,17254

34,15956

По этим данным построить диаграммы (округлив многозначные данные).

ЗАДАЧА ТРЕХ ПАСТУХОВ*

И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

Три пастуха пасли стадо на квадратном участке, сторона которого а. Они разделили квадрат на три равновеликие прямоугольника прямыми, параллельными одной из сторон квадрата, и каждый из пастухов построил себе шалаш в центре своего участка. Считая, что „удобство“ работы пастуха определяется расстоянием от шалаша до наиболее удаленной точки его участка, нельзя ли разбить квадрат и разместить шалаши более „удобно“ (т. е. так, чтобы расстояние наиболее удаленной точки участка каждого из пастухов от его шалаша было меньше, чем при прямоугольных участках)?

Задача эта помещена, без решения, в английском издании интересной книги польского математика Г. Штейнгауза „Mathematical Snapshots“, 1950, стр. 34 — 35.

Решение

Положение первого шалаша 0\. Его расстояние от наиболее удаленной точки своего участка

Через середины половин отрезка В^В проводим прямые CD и CD\ под углом в 30° к прямой В\В.

Трапеции GEDC и EXGCD\ между собой равны и равновелики с пятиугольником CDAA\DU так как каждая из этих фигур получается из трети квадрата

* Основным материалом для кружковой работы являются задачи, представляющие в том или ином отношении интерес. Предлагаемая задача нам кажется пригодной для этой цели, как имеющая интересную фабулу, содержащая элементы для догадки и вполне доступные для ученика выкладки, направленные к определенной цели.

отнятием и прибавлением равных треугольников. Проведем прямую D\D и поместим шалаш первого пастуха в центре прямоугольника DAA^D^ в точке Ох, Расстояние от о\ до точек А, Аъ D1# D — одинаковое, равное ОхА и меньшее OiA.

Расстояние

из /\BDF, в котором DF = 2BD и F В =

Итак, и расстояние до пятой вершины пятиугольника 0\С от шалаша Q\ меньше, чем расстояние ОИ; новое деление участка для первого пастуха „удобнее“.

Шалаши второго и третьего пастухов поместим в точках 02 и О3, симметричных точке 0{ относительно прямых CD и CDi\ /\Р\020'3 — равносторонний ( СО\02 — Z. DFB = 30° в силу перпендикулярности сторон).

согласно доказанному.

следовательно,

Достаточно доказать, что

Достаточно доказать, что

следовательно,

В силу симметрии, все доказанное для точки 02 имеет место и для точки 03. Второй способ деления площади квадрата для пастухов „удобнее“.

Задача, повидимому, имеет и другие решения. Представляло бы интерес решение, которое дает минимум наибольшего расстояния самой удаленной точки от шалаша.

Черт. 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В ЖУРНАЛЕ № 6 ЗА 1953 г.

Решения задач, помещенных в журнале № 6 за 1953 г.

№ 1

Решить уравнение:

5*4 + 20;сЗ — 40дг + 17 = 0.

Решение 1. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

Обозначим

Имеем:

(3)

Подставив данное значение у в равенство (а), получим:

(4)

Решение 2. Представим уравнение в следующем виде:

Имеем:

Решение 3. Имеем:

откуда

т. е. получим те же корни.

№ 2

Решить систему уравнений:

(1) (2) (3)

Решение. Воспользуемся известными тождествами:

Подстановка из (1) и (2) уравнений в (а) и (2) и (3) в (ß) дает соответственно:

откуда

(4) (5)

Возведя равенство (4) в квадрат и учтя равенство (5), получим:

но так как то

и поэтому х, у и z являются корнями уравнения

откуда

Ввиду симметричности системы относительно л:, у и 2, получим всего шесть решений.

№ 3

В треугольнике ABC со сторонами a, b и с проведены высоты AL, ВМ, CN и точки M, L, N соединены между собой. Определить площадь треугольника MLN (черт. 1).

Черт. 1

Решение. Пусть треугольник ABC остроугольный, где AB = с, АС = b, ВС = а. Имеем:

Площадь искомого треугольника MNL можно представить как разность:

Имеем:

(г)

Так как

то, подставив эти значения в равенство (ср), получим:

Если треугольник ABC тупоугольный (черт. 2), то имеем:

Черт. 2

Примечание 1. Площадь четырехугольника LABM мы выразили через половину произведения диагоналей на синус угла между ними, что весьма просто доказывается. Если же треугольник ABC прямоугольный, то

Примечание 2. Решение задачи № 4 будет помещено в следующем номере журнала. (Ред.)

№ 5

Найти объем правильной треугольной усеченной пирамиды, если известна длина средней линии боковой грани I = 20 см и расстояние между центрами вписанного и описанного шаров с= 10 V3 см \,черт. 3).

Черт. 3

Решение. Обозначения: Так как

и то

и так как точки Оь F и О являются точками касания вписанного шара, то

NXF = N&i и NF = NO.

Имеем:

Из соотношения

находим, Откуда

№ 6

Решить уравнение:

Решение. Обозначив 16 330 -f - 6л: через у7 и 182 — 6х через г7, получим систему:

(1)

(2)

Возведя равенство (1) в 7-ю степень и вычтя из него равенство (2), получим:

откуда

(3)

Из уравнения (3) имеем:

Итак, данное уравнение сведено к системам:

Итак, если

Итак, данное уравнение в области действительных чисел имеет два решения, в области комплексных — шесть.

№ 7

Решить систему уравнений:

(1) (2) (3)

Решение. Из уравнения (1) имеем:

Из уравнения (2) имеем:

(5)

Из уравнений (4) и (5) имеем:

(6)

Из уравнения (1) имеем:

(7)

Но из уравнения (3) имеем: Отсюда из уравнения (7) имеем:

учтя соотношения (4) и (6), получим

откуда

(8)

Раскрыв скобки в (1) и учтя (8), имеем:

откуда и

Из системы имеем:

Итак, имеем решения:

№ 8

Решить систему уравнений:

(4)

Решение. Так как ни одно из уравнений не имеет свободного члена, то имеем решение системы

X = у = z = 0.

Исключим нулевые решения и представим систему в виде

(1)

К системе (1) присоединим четвертое уравнение — произведение трех данных:

и так как по предположению

то или

(2)

откуда

(3)

Из (1) имеем:

(4)

Так как m имеет два значения, то из соотношения (4) получим шесть значений для х:

аналогично находим шесть значений для у и 2, где

№ 9

Круг радиуса R катится внутри круга радиуса 2R. Какие линии описывают точки катящегося круга (черт. 4).

Черт. 4

Решение. Легко доказать, что при данном соотношении радиусов точки окружности Ог будут перемещаться по прямым, проходящим через центр круга О; в самом деле, проведем ОВх и докажем, что дуга AB равна дуге АВг.

Имеем:

Итак, при качении круга О] точка В совпадает с точкой В\ (вследствие равенства дуг) и будет передвигаться по прямой В\0, а точка О совпадает с точкой D вследствие равенства треугольников АВО и OBxD

(OA = OBlt ^ABO = ^ODB1 и ^ АОВ = z. OBxD = а).

Итак, мы доказали, что любая точка меньшего круга при его качении внутри большого будет описывать прямые линии.

№ 10

Найти наибольшее значение функции f (ху) — sin X —f- sin у + sin (x + у) при 0<л:<[тс и 0<уО.

Решение. Преобразуем данное выражение к следующему виду:

(1)

Отсюда имеем:

(2)

(Знак равенства возможен при х = у.)

Неравенство (2) можно представить следующим образом:

(3)

так как

поэтому при возведении в квадрат неравенство (3) не нарушится. Имеем:

Но так как сумма сомножителей правой части неравенства постоянна:

то правая часть выражения имеет maximum при равенстве сомножителей, т. е.

Отсюда

Итак, наибольшее значение f(x, у) будет при X = у = 60°:

Примечание. Некоторые участники конкурса, например Бернштейн С. (Киев), Лейбман (Свердл. обл.), решали этот пример методом высшей математики, т. е. находили частные производные и т. д. Конечно, такие решения не будут зачтены.

№ 11

Доказать, что tg -g- , tg ~2~ » tg -тг являются корнями уравнения:

где р — полупериметр треугольника, г и R— радиусы вписанного и описанного кругов.

Решение. Доказать, что

являются корнями заданного уравнения, — это значит доказать следующие равенства:

I

II

III

где га, Гь> г с — радиусы вневписанных кругов в треугольник. Имеем:

но известно, что ra + rb + rc — г = 4R (см. „Курс элементарной геометрии“ Д. И. Перепелкина, ч. I). Итак:

Итак, все три равенства справедливы.

№ 12

Решить систему уравнений'.

(1)

(2)

Решение.

Воспользуемся тождеством:

Учтя уравнение (1), имеем:

(3)

Вычтя уравнение (3) из уравнения (1), получим:

(4)

Из уравнения (4) имеем:

(5)

Подставив данное значение х — у = 1 в уравнение (1), получим:

х = 2у — 1. (6)

Решая совместно (5) и (6), получим: лг = 3, у = 2.

Примечание. Все без исключения участники конкурса решали данную систему кустарным способом, т. е. возводили в квадрат уравнение и получили лишние корни, которые не являются корнями уравнения.

Например, т. Утемов (Свердловская обл.), кроме корней

х = 3, у = 2,

нашел корни х = 1, у = 0.

Тов. Смышляев утверждает, что числа х — 1 и у = 1 являются корнями данной системы, что неверно-

ЗАДАЧИ

№ 25. Показать что если — является приближением V2 , то т2 _х_тп_]г п2 является лучшим приближением. Показать также, что ошибки этих двух приближений будут разных знаков.

Никитин В. (г. Тамбов)

№ 26. Определить сумму:

Хамзин X. (г. Стерлитамак)

№ 27. На плоскости даны равнобочная гипербола ху = а2 и окружность х2 + у2 = R2. Обозначим через .S площадь фигуры, содержащей начало координат и ограниченной дугами данных кривых. Найти hm j^r.

Хамзин X. (г. Стерлитамак)

№ 28. Дан произвольный выпуклый четырехугольник; вписать в него квадрат и описать около него квадрат.

И. Яворский (Москва)

№ 29. Если из произвольной точки, взятой внутри треугольника ABC, опустить перпендикуляры на его стороны ОР ± AC, ON ± ВС и ОМ ± AB, то отрезки, на которые основания перпендикуляров делят стороны (АР = и, PC = v, CN = t, NB = z, ВМ = у) AM = X, находятся в следующей зависимости:

b(u — v) + a(t — t) + c(y — x) = Q.

Доказать.

Алешин П. (Одесская обл.)

№ 30. Доказать, что отношение синусов плоских углов любого трехгранного угла равно отношению синусов соответственных линейных углов двугранных углов.

Кусаков Л. (Москва)

№ 31. Определить зависимость между углами оснований боковых граней треугольной пирамиды и доказать, что эта зависимость справедлива и для л-угольной пирамиды.

Кусаков А. (Москва)

№ 32. По известным углам боковых граней треугольной пирамиды определить углы основания пирамиды.

Кусаков А. (Москва)

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 5 ЗА 1953 ГОД

Бартош П. (Чехославакия) 1 —10; Бернштейн С. (Киев) 1, 3—10; Вейндгейм С. (Бирибиджанский р.) 1,2,5,6, 8—10; Вейцман Б. (Киев) 1,3,4,5,6,8,9,10; Гаас А. (Караганда) 1,2,4,6—10; Гошлер М. (Вильнюс) 1,2,4, 5,6,7, 8,9,10; Головачев Е. (Курская обл.) 1—5; Давыдов У. (Гомель) 1—9; Джабаров С. (Куйбышевская обл.) 1 —10; Демчинский В. (Ровно) 1 —10; Епимашко П. (Гродно) 1—10; Колесник С. (Харьков) 1—10; Китайгородский П. (Москва) 1—3, 6, 7, 9, 10; Кравчишин М. (Дорогобыч) 1,3—6,8—10; Козьмин Е. (Чебоксары) 1—10; Кунахович В. (Красноярский край) 1, 2, 5, 7,8,9,10; Лейбман М. (Свердловская обл.) 1, 2, 4—10; Мирау Б. (Алма-Атинская обл.) 1—6; 8—10; Магарам Э. (Южный Сахалинск) 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10; Математический кружок 17-й ср. школы (Киев) 1—8, 10; Нестеренко //. (Конотоп) 4, 5, 7, 9, 10; Нахамчик С. (БССР, Рогачев) 1—6, 8—10; Петров С. (Винницкая обл.) 1, 2, 5,6,8,9, 10; Печерский Л. (Фрунзе) 1, 2, 4—10; Пигарев Ю. (Корсунь-Шевченковский) 1, 2, 5, 6—10; Рознатовский П. (Киев) 1, 3—10; Рубенчик Б. (Минск) 2, 4, 5, 6, 8, 9; Сирота М, (Полтавская обл.) 1, 2, 4—10; Сергиенко Ф. (Запорожье) 1—10; Смышляев В. (Марийская АССР) 1, 4, 5, 7—10; Титов Н. (Казань) 1—8; Тишков Е. (БССР, Полоцк) 1, 2, 5, 6, 8—10; Утемов В. (Красноуфимск) 1—10; Цхай Т. (Андижан) 1,4—6,8—10; Чепкасов Г. (Краснодарский край) 1 — 10; Шебаршин М. (Кемеровская обл.) 1—10; Яремчук Ф. (г. Дорогобыч) 1, 3—6, 8—10; Ясиновый Э. (Куйбышев) 1—9.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫМ ОТДЕЛ

В. Н. Молодший — К вопросу об истолковании роли аксиомы индукции в арифметике натуральных чисел................................ 1

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

В. Е. Прудников — О русских учебниках математики для средних школ в XIX веке . . 6

МЕТОДИКА

М. П. Ляпин — О доказательствах существования и единственности в курсе стереометрии ..................................... 21

Г. М. Щипакин — О решении задач по геометрии.................. 32

Б. И. Арясов —О решении задач арифметическим и алгебраическим способами .... 41

А. А. Панкратов — К вопросу об изображении пространственных фигур в курсе стереометрии .................................... 44

М. Г. Васильев — Логарифмические вычисления с приближенными данными...... 47

ИЗ ОПЫТА

Г. С. Яхно — Элементы политехнизма в курсе геометрии............... 55

A. И. Можаев — Внеклассная работа как средство расширения политехнического кругозора учащихся.................................. 59

Е. Е. Степанова — Организация начала урока арифметики.............. 64

К. С. Богушевский — Из писем и заметок читателей................. 69

СОВЕТСКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

К. Рупасов — Константин Николаевич Рашевский................... 77

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

B. А. Лекторский — Первая методика по математике для школ рабочей молодежи . . 80

В. С. Михельсон — Еще о .курьезной задаче“.................... 82

В. А. Невский — Новая литература по математике.................. 83

ЗАДАЧИ

М. М. Лиман, И. С. Нарышкин, Л. Г. Круповецкий, Г. Д. Городилов — Задачи на современные темы................................ 86

И. Я- Депман — Задача трех пастухов....................... 88

Решения задач, помещенных в журнале № 6 за 1953 г................. 89

Задачи....................................... 95

Сводка решений по № 5 за 1953 г.......................... 95

Редакционная коллегия:

Редактор А. Н. Барсуков, зам. редактора С. И. Новоселов, члены редакционной коллегии: К. С. Богушевский, П. А. Ларичев, В. В. Немыцкий, Н. Н. Никитин, С. В. Филичев, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Р. С. Терюкалова

Технический редактор В. С. Якунина Корректор А. А. Журавлев

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

Сдано в производство 4/III 1954 г. Подписано к печати 16/IV 1954 г. Учетно-изд. л. 11,10

А03140 Заказ 767 Тираж 90450 экз .

Цена 4 р. 50 к. Бумага 84 X 108Vie = 3 бум. л. — 9,84 п. л.

13-я журнальная типография Союзполиграфпрома Главиздата Министерства культуры СССР, Москва, Гарднеровский пер., 1а.

ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ

ГРЕБЕНЧА М. К. и ЛЯПИН С. Е. Арифметика. Пособие для студентов учительских институтов. 2-е перераб. издание. Учпедгиз. 1952. Цена 6 р. 55 к.

СКВОРЦОВ Е. Ф. Астрономия. Учебное пособие для географических факультетов педагогических институтов. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебного пособия для географических факультетов педагогических институтов. Учпедгиз. 1952. Цена 8 р. 20 к.

ФРОЛОВ Н. А. Теория функций действительного переменного.

Учебное пособие для педагогических институтов. Утверждено Министерством просвещения РСФСР. Учпедгиз. 1953. Цена 3 р. 60 к.

ДЕНИСОВ А. И . КИРИЧЕНКО М. Г. Основы советского государства и права. Допущено Главным Управлением высшего образования Министерства культуры СССР в качестве учебного пособия для педагогических и учительских институтов. Изд. 2-е, дополненное и переработанное. Учпедгиз. 1953. Цена 4 р. 85 к.

ПЧЕЛКО А. С. Методика преподавания арифметики в начальной школе. Учпедгиз. 1953. Цена 8 р. 35 к.

ПРОДАЖА В МАГАЗИНАХ КНИГОТОРГОВ

Книги также высылаются почтой наложенным платежом. Заказы направлять отделу «Книга-почтой» областного книготорга.

В случае отсутствия книг на местах заказы следует направлять по одному из следующих адресов:

1. Москва, 2-й Щукинский проезд, дом 3/8, магазину № 55 Москниготорга.

2. Москва, Б. Октябрьское поле, 9 улица, корпус 1, магазину № 67 Москниготорга.

3. Москва, Пушкинская ул., 5/7, магазину № 46 Москниготорга.

Союзкниготорг.