МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

2

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1954

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 2

МАРТ—АПРЕЛЬ 1954 г.

МЕТОДИКА

К ВОПРОСУ О ВЫПОЛНЕНИИ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ НА АТТЕСТАТ ЗРЕЛОСТИ

В. А. БУРТАЕВ (Иркутск)

Впервые вопрос о содержании и требованиях к письменной работе по геометрии и тригонометрии на аттестат зрелости редакцией журнала «Математика в школе» был поставлен на широкое обсуждение еще в 1947 году статьей Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева (см. № 1 за 1947 год).

Как известно, этот вопрос нашел живой отклик со стороны учителей математики, методистов, научных работников и работников народного образования.

Прошло шесть с половиной лет, и редакция журнала вновь поставила этот вопрос на обсуждение статьей К. С. Богушевского (см. № 2 за 1953 год).

Из статьи К. С. Богушевского видно, что относительно содержания и оформления экзаменационных работ до сих пор все еще существуют разногласия и неопределенности, так как на ряд вопросов учителя-практики, методисты, работники народного образования смотрят по-разному.

К. С. Богушевский совершенно правильно пишет, что «неопределенности в школьных условиях совершенно недопустимы, и учительство нетерпеливо ожидает их устранения».

Толкование «на свой лад и вкус» условия задачи идет главным образом по линии требования построения в задачах на вычисление и исследования решения в случаях, когда этого в условии задачи не требуется.

Эти излишние требования, не предусмотренные условием задачи, ведут, естественно, к незаслуженному снижению оценок.

Поэтому мы себе позволим еще раз подробно остановиться на первом требовании.

Мы вполне согласны со следующими высказываниями К. С. Богушевского:

1) Формулировки условий задач каждого типа имеют свои особенности, эти особенности очень определенны, а потому типы задач легко различимы.

2) Всем учителям математики и тем, кто имеет отношение к экзаменационным работам, не следует перетолковывать на свой лад и вкус условия экзаменационных и вообще геометрических задач, а принимать задачу такой, какой она дана, ничего не добавляя от себя.

3) Только таким образом можно добиться наибольшего единства в оценке письменных работ учащихся, в том числе и экзаменационных.

Решив правильно основное разногласие, К. С. Богушевский неопределенно решил вопрос об обязательных требованиях, которые выдвигает ряд товарищей, относительно исследования решения задачи, если оно в условии не указывается.

К. С. Богушевский считает нецелесообразным и рискованным (см. стр. 44) предъявлять учащимся на экзамене требование выполнять исследование решения задачи под тем предлогом, что «исследование решения геометрических задач сопряжено с особыми трудностями, что рамки исследования не всегда оказываются определенными, а также ввиду того, что вопросам исследования решения геометрических задач на вычисление ни стабильный учебник, ни стабильный задачник, ни программа и объяснительная записка к программе почти не уделяют внимания».

Но здесь же К. С. Богушевский пишет: «Если же отдельные учащиеся выполнят такое исследование достаточно обстоятельно и правильно,

то это можно будет учесть при оценке работы как особое ее достоинство», что противоречит высказанному им же положению: не добавлять к условию ничего того, что в нем дано, и не перетолковывать условие задачи.

Такого же неопределенного мнения придерживается и редакция журнала «Математика в школе», которая в примечании к статье М. Г. Парафило «Об исследовании решения задач по геометрии с применением тригонометрии» (№ 2 за 1953 год) пишет:

«Пока еще преждевременно выставлять исследование геометрических задач в качестве обязательного требования при выполнении экзаменационных работ, но эти исследования полезно проводить при решении некоторых задач (каких именно?—В. Б.) в течение года».

М. Г. Парафило придерживается следующей, вполне ясной и определенной точки зрения:

«Если нет никаких указаний в условии самой задачи на исследование того или другого вопроса, то никакого специального исследования проводить не надо, следует лишь показать, что решение задачи имеет вполне определенный смысл. Если же в задаче есть указание об исследовании, то его нужно провести со всей тщательностью».

Из сказанного можно сделать следующие выводы:

1) Целесообразность решения задач с исследованием никем не оспаривается, а настойчиво рекомендуется.

2) Исходя из условия задачи, решение с исследованием следует проводить только в том случае, когда об этом есть прямые указания в ней; во всех остальных случаях исследование решения не проводить.

3) В течение всего года полезно решать такие задачи, в которых имеется требование исследования решения; если в задаче такого требования нет, то оно должно быть введено самим учителем.

4) На экзаменах на аттестат зрелости задачи с исследованием решения давать преждевременно.

Вопрос же о том, как быть при оценке работ в случаях, когда ученик проделал работу, которая вовсе не требуется по условию задачи, К. С. Богушевский решил также не вполне определенно.

Он говорит, что «нельзя отождествлять углубление, хотя и произвольное, и явную оплошность в выполнении решения задачи». А дальше говорит: «Однако было бы лучше всего, если бы учителя приучали учащихся разбираться в условии задачи и применять для решения задач на вычисление и построение методы решения, присущие каждому из этих видов задач».

Нам кажется, что этот вопрос должен быть решен вполне определенно так. Не лучше ли было бы (а учитель обязан приучать учащихся разбираться в условии задачи), определив вид задачи, требовать применения только тех методов решения, которые присущи каждому из этих видов, и выполнять только то, что требуется в условии задачи.

Если ученик проделал работу, которая по условию задачи вовсе не требуется, то следует считать, что ученик не разобрался и не понял условия задачи, и это следует считать недочетом в работе. Это будет полезно и с точки зрения дисциплины ума.

Сделаем несколько замечаний по существу схемы выполнения экзаменационной работы на вычисление.

В своей статье Ю. О. Гурвиц и С. В. Филичев («Математика в школе», № 1 за 1947 год) рекомендовали решение задачи проводить по следующей схеме:

1. Запись условия задачи.

2. Выполнение чертежа данной пространственной фигуры.

3. Условие и данные задачи.

4. Решение задачи в общем виде.

5. Вычисление искомых величин в условии задачи.

6. Ответ на вопрос задачи.

К. С. Богушевский приводит несколько иную схему решения задачи, предложенную Н. И. Михайловым.

1. Чертеж со всеми необходимыми для решения построениями.

2. Описание чертежа.

3. Обоснование чертежа и плана решения (точнее: вывод зависимости между данными и искомыми элементами фигуры, рассматриваемой в задаче).

4. План решения.

5. Решение в буквенном виде (с некоторыми попутными пояснениями и доказательствами по отдельным частным моментам решения).

6. Нахождение числового значения полученной буквенной формулы.

7. Ответ задачи с наименованиями.

Из сопоставления обеих приведенных схем решения следует, что принципиальной разницы между ними нет, но некоторые моменты в них следует уточнить и дополнить.

Пункт 2 первой схемы следует дополнить, а соответственно пункты 1, 2 и 3 второй схемы объединить в один и сформулировать его так: «Выполнение чертежа данной пространственной фигуры и объяснение к нему», где в объяснение входит и описание чертежа, и обоснование отдельных положений, требуемых по ходу решения, так как в процессе изложения между описанием и объяснением грани провести нельзя.

Пункт 4 первой схемы и соответственно 5-й пункт второй следует сформулировать так: «Определение искомой (искомых) величины в общем виде» (указать конкретно — какой), так как обычно в задачах само требование «решить задачу» начинается со слова «определить» и так как в решение задачи, собственно, входит и построение, и обоснование, и пр.

Пункт 4 второй схемы отбросить ввиду его ненадобности.

В задачах, предлагавшихся Министерством просвещения РСФСР на экзаменах на аттестат зрелости, данные задачи задаются обычно в параметрической форме и выставляется требование «определить объем призмы», «определить площадь сечения», «определить боковую поверхность конуса» и т. п. Однако приведенные схемы не предусматривают такого момента в решении задачи, как анализ данных, устанавливающий границы для значений параметров, при которых задача имеет смысл. Поэтому в схему решения следовало бы ввести следующий пункт: «Анализ данных условия задачи». Решение этого вопроса учащимся вполне посильно.

Таким образом, наиболее удовлетворяющая требованию решить задачу, исходя из ее содержания, будет следующая схема:

1. Условие задачи.

2. Выполнение чертежа данной пространственной фигуры и объяснение к нему.

3. Условие и данные задачи и их анализ.

4. Определение искомой (искомых) величины (конкретно — какой) в общем виде.

5. Исследование полученного решения (в случае если есть такое требование в условии задачи).

6. Вычисление искомой (искомых) величины, требуемой в условии задачи.

7. Ответ (с наименованием) на вопрос задачи.

Остановимся кратко по существу на каждом этапе схемы решения.

Выполнение чертежа данной пространственной фигуры и объяснение к нему

В методической литературе вопрос об изображении геометрических фигур до сих пор до конца не разрешен, что видно хотя бы из сопоставления чертежа конуса с вписанным в него шаром, приведенного в статье К. С. Богушевского (стр. 35), с чертежами, данными в статье Г. А. Назаревского («Математика в школе», №3 за 1953 год, стр. 28—29).

В первом случае на фронтальной плоскости дана проекция самого шара, вследствие чего эта проекция на чертеже не касается горизонтального диаметра основания конуса, образованного фронтальным сечением конуса.

В статье же Г. А. Назаревского во фронтальной плоскости дается не проекция шара, а проекция фронтального осевого сечения шара, вследствие чего эта проекция на чертеже касается того же диаметра основания конуса.

Подобное двойственное изображение нередко вызывает весьма большие недоразумения у учителей.

Следовательно, в этом вопросе надо прийти к единому мнению.

К этому следует добавить, что и само учительство во многих случаях в смысле графической культуры не стоит еще на надлежащем уровне и поэтому в работах учащихся часто можно встретить чертежи, не отвечающие элементарным требованиям черчения.

В связи с введением политехнического обучения уровень преподавания черчения и требования к чертежу при решении задач, естественно, должны быть значительно повышены.

Какие же требования должны быть предъявлены к чертежу?

Чертеж должен быть правильным, наглядным, легко выполнимым. Чтобы чертеж мог удовлетворять всем этим требованиям, его выполнение должно производиться способом параллельного косоугольного проектирования с предоставлением права свободного и притом рационального выбора положения оригинала, который дается или определяется рядом условий.

Чтобы научить учащихся правильно выполнять чертежи, следует руководствоваться статьей Г. А. Назаревского «О развитии пространственного представления на уроках геометрии», напечатанной в № 5 за 1951 год и в № 3 за 1953 год журнала «Математика в школе».

Обычно во время экзаменационной работы чертеж выполняется на клетчатой бумаге, и это обстоятельство не позволяет учесть навыки в выполнении чертежей. Следовательно, необходимо, чтобы учащиеся выполняли чертеж на чертежной бумаге и при помощи чертежных инструментов (циркуль, линейка, угольник). Понятно, что на этом листе чертежной бумаги должен быть штамп школы.

Объяснение к чертежу должно состоять из описания чертежа и обоснования соотношений между элементами фигуры, требуемых по ходу решения, с ссылкой на соответствующие теоремы. Требования в этой части К. С. Богушевским изложены ясно и определенно.

Условие и данные задачи и их анализ

В этой части работы записывается то, что дано в условии задачи, и то, что дополнительно установлено и обосновано при объяснении чертежа.

В задачах на вычисление, которые обычно предлагаются на письменных экзаменах, в качестве данных задаются либо линейные элементы фигуры, либо площадь, либо объем, а также углы как линейные, так и двугранные и углы наклона в параметрической форме.

Цель анализа данных заключается в том, чтобы установить те значения параметров, при которых задача имеет смысл.

Заданные в параметрической форме линейные элементы, площади, объемы являются величинами положительными, поэтому каждая из них должна быть больше нуля, т. е. каждая из них должна удовлетворять соответственно неравенствам:

а>0, 5>0, <я>0.

Углы, заданные в параметрической форме, исходя также из конкретного условия задачи, могут удовлетворять системе неравенств вида:

О < а < 90°, 45° < а < 90°, 90°<а<180° и т. п.

Так, в задаче на определение объема правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и плоским углом при вершине ß допустимые значения для аир выразятся следующими неравенствами:

1) я>0,

2) 0<ß<90°,

так как при ß = 0 и ß>-90° пирамиды не существует.

Определение искомой (искомых) величины в общем виде

Особых разногласий по этому пункту нет, но следует сделать несколько замечаний.

Что не установлено в объяснении, должно быть доказано при решении.

Определение промежуточных и искомых величин, которые подставляются в основную формулу, и тождественные преобразования должны писаться отдельной строкой, выделенной из текста объяснения. В окончательном виде равенства должны быть записаны отдельно от тождественных преобразований и для удобства решения пронумерованы.

В самом тексте многословных и пустословных изложений не должно быть, замену слов в тексте математическими знаками категорически запретить (вместо слова «треугольников»—значком ДД-ов и т. п.), не следует применять таких уродливых сокращений, как тр-к, у-ие, пир-да, пар-м, пар-д и т. п.

Касаясь формы изложения, небесполезно напомнить следующие слова П. С. Моденова из его книги «Сборник задач по математике»: «Уделяя форме изложения больше внимания, мы будем способствовать не только изжитию недостаточно четких формулировок, неясных выражений, непоследовательности и логической неполноценности рассуждений и т. д., но и повысим качество фактических знаний учащихся».

К сожалению, К. С. Богушевский не сделал ни одного замечания по поводу того, что при оценке экзаменационной работы должен быть принят во внимание способ, которым ученик решил задачу, способ, которым ученик выполнил тождественные преобразования. Следует определить, насколько эти способы рациональны или явно нерациональны, так как эта часть работы, не менее важная, чем объяснение к чертежу, в значительной степени определяет математическую подготовку учащегося.

В объяснительной записке к программе по математике говорится, что одним из моментов борьбы с формализмом в знаниях учащихся является воспитание навыков рационального выполнения работ. Следовательно, и при оценке письменной работы, как это и предусматривают нормы оценок, надо придать большое значение тому, насколько рационально выбраны способ решения задачи и приемы выполнения тождественных преобразований.

Как выполняется это требование учителями в практической работе и, в частности, при оценке экзаменационных работ? Надо прямо сказать, что этому вопросу не уделяется все еще должного внимания и не предъявляется должных требований при оценке экзаменационных работ.

Часто от учителей можно слышать примерно следующее возражение против этого требования: «Ведь задача решена правильно, а каким способом она решена — это при оценке работы учащегося значения не имеет. Не будет же ученик во время выполнения экзаменационной работы искать рациональный способ решения! Ученик наткнулся на какой-то путь и по нему ведет решение задачи».

Подобные возражения являются явно несостоятельными и неправильными. Нерациональный путь решения задачи и выполнения тождественных преобразований следует относить к недочетам.

Ниже приведен образец решения задачи в том виде, в каком он отвечает, по нашему мнению, требованиям экзаменационной работы (задача предлагалась на экзаменах весной 1953 года).

Задача. Пирамида и прямая призма расположены по одну сторону от их общего основания, которое является правильным треугольником со стороной, равной а. Две Соковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, равные боковые ребра образуют между собой угол а, высота приз-

мы в два раза меньше высоты пирамиды. Найти объем призмы. Вычислить объем призмы при а = 3,520 м, а=41°20'.

Выполнение чертежа данной пространственной фигуры и объяснение к нему

Вычерчиваем пирамиду SABC с двумя перпендикулярными гранями SAC и SAB к плоскости основания ABC и прямую призму А-^АССф^, которые расположены по одну сторону от их общего основания — правильного треугольника ABC со стороной, равной а (черт. 1),

Так как грани SAB и SAC перпендикулярны к плоскости основания, то линия их пересечения— прямая SA, проходящая через вершину Л треугольника ABC (на основании следствия теоремы о линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных к третьей плоскости), есть перпендикуляр к плоскости основания (т. е. плоскости треугольника ABC), следовательно, точка 5 есть вершина пирамиды и SA — ее высота.

Перпендикуляр SA к плоскости Д ABC (на основании определения перпендикуляра к плоскости) перпендикулярен к прямым AB и АС, которые лежат в плоскости Д ABC. Отсюда следует, что треугольники SAC и SAB — прямоугольные и равные между собой, как имеющие по два равные катета (AS — общая высота, AB = АС как стороны правильного треугольника ABC). Следовательно, SB= SC. Данный угол а есть угол между этими равными боковыми ребрами пирамиды.

Так как призма прямая, то ее боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, поэтому за высоту призмы можно принять любое ее боковое ребро, одно из которых, ААи совпадает с высотой пирамиды (на основании того, что из одной точки А на плоскости Д ABC можно восставить только один перпендикуляр SA) и, согласно условию задачи, составляет ее половину.

Две боковые грани призмы частично совмещаются с соответствующими гранями пирамиды. Отрезок DE есть линия пересечения грани А1В1С1 призмы с гранью SBC пирамиды.

Условие и данные задачи и их анализ

Дано: S ABC — треугольная пирамида, АА1СС1ВВ1 — прямая треугольная призма, SA — высота пирамиды, ААХ — высота призмы и SA = 2AAX, Д ABC — равносторонний треугольник со стороной, равной а, где по смыслу задачи а>0, /_BSC — данный в условии задачи угол а, который по смыслу задачи должен удовлетворять следующим неравенствам:

Определение объема прямой треугольной призмы в общем виде

Объем данной призмы определяется формулой:

(1)

где 5осн — площадь Д/ШС и ААг — высота призмы.

На основании формулы Герона для равностороннего треугольника имеем:

(2)

Из равнобедренного треугольника BSC, в котором

как угол при основании, по теореме синусов определим SC:

(3)

Черт 1.

Из прямоугольного треугольника SAC (У SAC = 90° по доказанному) определим SA:

(4)

Найденные из равенств (2) и (4) значения Sqç^ и аах подставим в равенство (1):

Итак:

(5)

Вычисление объема призмы АА1В1ВСС1 при заданных значениях а и а

Так как заданные значения а и а удовлетворяют условиям: #>0 и 0°<а<60°, то вычисление объема призмы имеет смысл.

Из равенства (5) имеем:

Ответ. Объем призмы АА1ВХВСС1 в общем виде равен:

а при данных числовых значениях а и а равен 9,437 м\

ПО ПОВОДУ ТРЕБОВАНИЙ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫХ К ПИСЬМЕННЫМ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫМ РАБОТАМ

Я. М. ДЫМШИЦ (Москва)

В журнале «Математика в школе», № 1 за 1947 год опубликована статья Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева «Требования к письменным работам по математике». В связи с заслуженным авторитетом ее авторов в учительской среде статья оказала влияние на многих преподавателей. Насколько сильно влияние этих установок, можно судить по опубликованной в № 2 журнала «Математика в школе» за 1953 год статье К. С. Богушевского «К вопросу о выполнении экзаменационных работ на аттестат зрелости по геометрии и тригонометрии».

Ю. О. Гурвиц и С. В. Филичев предлагают следующую схему письменного объяснения к решению задачи по геометрии:

1. Выполнение чертежа данной пространственной фигуры.

2. Условие и данные задачи.

3. Решение задачи в общем виде.

4. Вычисления.

5. Ответ.

Киселев и другие специалисты приводят решение задач без всякой схемы. Достаточно сослаться хотя бы на следующие пособия: 1) Б. Делоне и О. Житомирский, Задачник по геометрии; 2) Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии; 3) Сборник задач по математике, предлагавшихся на вступительных экзаменах в вузы (с решениями), под редакцией М. Я. Выгодского; 4) К. У. Шахно, Сборник конкурсных задач по математике с решениями; 5) Адамар, Элементарная геометрия.

Рассматриваемая схема не принята в математической литературе. Могут сказать, что ее придумали, исходя не из научных, а из методических соображений.

Но все дело в том, что учителя, защищающие рассматриваемую схему, так же как и те, кто предлагает свои схемы, смысл которых состоит в том, что ученик прежде чем приступить к решению задачи должен написать какое-то вступление*, видят в этих схемах не облегчение в работе, а какую-то особенно глубокую логику, какие-то признаки исключительной научной строгости.

Нам кажутся эти доводы необоснованными.

Ниже я хочу рассказать, как я в 1952/53 учебном году обучал писать объяснение к решению задач в X классе школы рабочей молодежи.

Известно, что работа в школе рабочей молодежи имеет свою специфику.

Учащиеся X класса в начале учебного года слабо решали задачи по геометрии.

С самого начала и до конца учебного года учащимся систематически напоминалось о том, что при решении задачи по геометрии все выводы, которыми мы пользуемся, должны быть обоснованы ссылкой на соответствующую теорему, аксиому или определение. Это показывалось на конкретных примерах при решении задачи в классе, проверке домашнего задания и анализе контрольных работ.

Объяснение к решению задачи учащиеся писали в произвольной форме.

В начале четвертой четверти учащимся были даны следующие указания, которые подводили итог всей предшествующей работе.

Указание 1. Решение задачи должно сводиться к тому, чтобы найти ответ на вопрос задачи в точном соответствии с формулировкой ее условия.

Указание 2. Решение задачи — это цепь логических рассуждений, математических преобразований и вычислений, последним звеном в которой является ответ на вопрос задачи.

Ничего в этой цепи рассуждений не должно быть лишним, вместе с тем не должно быть необоснованных выводов.

Эти положения, как известно, приняты в математической литературе, однако очень часто они нарушаются не только учащимися, но и учителями. Я считал необходимым обратить на них внимание учащихся.

Исходя из этих указаний, учащиеся под моим руководством сделали вывод, что если в условии задачи сказано: «В правильной четырехугольной пирамиде проведена плоскость через диагональ основания параллельно боковому ребру», то ее построение не является поисками ответа на вопрос задачи в точном соответствии с формулировкой ее условия». Это построение является лишним звеном в цепи рассуждений, ведущих к ответу на вопрос задачи, и в связи с этим не должно проводиться.

Если в условии задачи сказано: «В правильной четырехугольной пирамиде провести

* См. ряд схем, предложенных разными учителями и опубликованных в упоминавшейся статье К. С. Богушевского.

плоскость через диагональ основания параллельно боковому ребру», то построение этой плоскости является обязательным.

Если в задаче дана пирамида, объем которой нужно найти, а учащийся построил эту пирамиду, то это, вообще говоря, так же плохо, как если бы он, помимо объема пирамиды, нашел плоский угол при вершине, который по условию задачи находить не нужно.

Исходя из второго указания, всякое рассуждение, в том числе и какое-либо построение, может считаться оправданным, если его исключение (без замены каким-нибудь другим) делает необоснованным ответ на вопрос задачи. При этом необходимость того или иного доказательства диктуется тем, какой путь решения задачи избрал учащийся.

Качество объяснений всецело и исключительно определяется тем, насколько выполнены два требования: 1) все обосновано; 2) нет лишних доказательств.

Мы сделаем отступление и рассмотрим одно из высказываний К. С Богушевского.

К. С. Богушевский в упоминавшейся выше статье обстоятельно и убедительно обосновал неправильность взглядов учителей, требующих от учащихся каждую задачу на вычисление начинать с построения данной геометрической фигуры. Он совершенно резонно заявляет: «Необходимо в первую очередь условиться принимать задачу такой, какой она является согласно ее условию, ничего не добавляя и не перетолковывая». Но дальше он пишет: «Между тем практика показывает, что ряд учителей требует от учащихся, чтобы они решение каждой задачи на вычисление начинали с построения данной геометрической фигуры». Естественно возникает вопрос, как подходить к оценке таких работ. Следует ли за это снижать отметку. «На этот вопрос, несмотря на всю его естественность, следует ответить отрицательно: нельзя отождествлять углубление, хотя и произвольное, и явную оплошность в выполнении решения задачи».

Нам кажется, что это неверно. Оценивая такую работу, нужно исходить из следующих позиций.

Если ученик понимает, что он вместо одной задачи решил две, причем одна из этих задач (задача на вычисление) ему была предложена, а вторую (задачу на построение) он сам придумал, то можно не снижать оценки.

Если из контрольной работы не видно, что он это осмыслил, т. е. если он думает, что решил одну задачу, а фактически решил две, то за это следует снизить оценку, так как ученик неправильно понял условие задачи. В данном случае это не «углубление», а ошибка.

Указание 3, В экзаменационную работу на аттестат зрелости следует переписать текст условия задачи. Краткую запись данных производить не нужно.

В течение первых трех четвертей учащиеся X класса при решении любой задачи по геометрии или на применение тригонометрии к геометрии на классной доске и в своих тетрадях производили (не замечая логической ошибки, которую они иногда делают) сокращенную запись данных.

В четвертой четверти при решении одной из задач было обращено внимание учащихся на то, что при сокращенной записи данных иногда делается логическая ошибка, заключающаяся в том, что за данное принимается то, что должно быть доказано (например, запись у SKO = ß: см. статью К. С. Богушевского, стр. 40).

Передо мной стояла дилемма: либо дать указание учащимся производить краткую запись данных только в отдельных случаях, как, например, при решении задачи:

Задача 3. В треугольнике ЛВС сторона АВ = а, </АВС = $, ^АСВ=у. Определить поверхность и объем тела, полученного от вращения треугольника около данной стороны,— либо сказать, что краткую запись данных никогда производить не следует. Я выбрал второе. Мне казалось, что учащемуся проще отказаться от сокращенной записи данных, чем устанавливать во время экзаменов ее полноценность.

При этом не запрещалось делать краткую запись данных в черновиках*.

Указание 4, Форма письменных объяснений произвольная. При этом в каждом объяснении после решения в общем виде и вычисления при помощи таблиц логарифмов должен быть выделен ответ на вопрос задачи.

Помимо общих указаний, я считал необходимым дать учащимся образец письменных объяснений. Мною была решена и продиктована учащимся одна задача с письменным объяснением. На дом было задано решить задачу с письменным объяснением. На следующем уроке это задание было проверено. Затем учащиеся были разбиты на три группы, каждой из этих групп была предложена своя задача.

* Если ученик привык к краткой записи данных, то он может в черновике ею пользоваться как средством, помогающим осмыслить условие задачи. Важно только, чтобы учащийся понимал, что могут быть два случая: 1) краткая запись данных полностью соответствует формулировке условия задачи; 2) краткая запись данных содержит зависимости, которые должны быть доказаны, и потому эта запись является неправильной.

Учащийся должен был дома решить задачу с подробным письменным объяснением и решение сдать мне для проверки. После анализа этого домашнего сочинения по математике была проведена контрольная работа по текстам задач, которые предлагались на экзаменах в предыдущие годы.

Для иллюстрации приведем решение двух задач, данное ученицей С.

В 1953 году на экзаменах на аттестат зрелости была предложена следующая задача:

Задача 1. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а, две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и об разуют между собой тупой угол ß; две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом ос*.

Найти боковую поверхность пирамиды. Вычислить боковую поверхность пирамиды при а = 11,08 м, а=69°16', ß=106°50'.

Решение (черт. 1). SB — линия пересечения плоскостей ABS и BCS, перпендикулярных плоскости основания; следовательно, SB перпендикулярна ABCD.

Если SB ± пл. ABCD, то SB ± AB; SB ± ВС; SB _L ВМ; SB _L ВК, по определению перпендикулярности прямой к плоскости.

Если AB A. SB и BC±BS, то ^АВС — линейный угол двугранного угла SB; но двугранный угол измеряется его линейным углом, следовательно, ^ЛЯС—ß; ВК ± DC и ВМ ± J__ AD — по построению (строю ВК J_ DC и MB _L AD, точку S соединяю с точкой К и с точкой M), SK±DC и SM ± AD — по теореме о трех перпендикулярах: ВК и ВМ — проекции SK и SM на плоскость ABCD, так как SB — перпендикуляр к плоскости ABCD и ВК—прямая, соединяющая основание перпендикуляра с основанием наклонной SK, а ВМ — прямая, соединяющая основание перпендикуляра с основанием наклонной SM.

Вследствие того, что ВК J_ CD и SK ±_ DC, угол BKS — линейный угол двугранного угла DC, и вследствие того, что ВМ _[_ AD и SM J_ _L AD, угол SMB — линейный угол двугранного угла AD; но линейные углы равны, так как равны их двугранные углы.

Двугранные углы измеряются линейными углами, значит, /SKB = /SMB = ос.

Грань ABS равна грани BSC, так как £\ABS = как прямоугольные треугольники по двум равным катетам AB и ВС и по общему катету SB.

Грань ASD равна грани DSC; £±ASD = Д£)5С — по трем сторонам, так как Л5 =SC; AD=DC как стороны ромба; SD-— общая.

После вычислений, запись которых произведена так, как это показано в статье Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева, ученица С. пишет:

* В формулировке условия задачи содержится избыточное данное: вместо фразы, начинающейся словами «две другие ее боковые грани», надо было сказать: «Одна из двух других боковых граней образует с плоскостью основания угол а» (потому что треугольники SBM и SBK (черт. 1) равны по двум катетам).

Черт. 1

Ответ. Боковая поверхность пирамиды равна

при ö = ll,08 м, а = 69°16', ß=106°50' боковая поверхность пирамиды равна 641,8 м2.

Задача 2. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида. Вычислить объем пирамиды, если ее ребро наклонено к плоскости основания под углом ос.

Решение (черт. 2). Если пирамида вписана в шар, значит, вершина ее лежит на сферической поверхности, а основание вписано в круг, центр которого совпадает с центром основания пирамиды (так как всякое сечение шара плоскостью есть круг). Центр основания пирамиды (он же и центр круга, описанного около основания пирамиды) совпадает с основанием высоты пирамиды, так как пирамида правильная и, следовательно, в основании ее лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания. Точки А, В, С, как точки, лежащие на поверхности шара, одинаково удалены от центра шара, так как сферическая поверхность является геометрическим местом точек, равноудаленных от центра шара. Тогда центр шара должен лежать на перпендикуляре, восставленном из центра основания пирамиды (или сечения шара) к плоскости треугольника ABC, так как перпендикуляр, восставленный из центра круга к его плоскости, является геометрическим местом точек, равноудаленных от окружности.

Значит, вершина пирамиды лежит на одном перпендикуляре с центром шара, так как из одной точки к плоскости нельзя восставить два различных перпендикуляра.

Угол SAO является углом прямой SA с плоскостью ABC, так как OA (прямая, соединяющая основание наклонной SA с основанием перпендикуляра SO) — проекция SA на плоскость ABC, а углом прямой с плоскостью называется острый угол, составленный этой прямой с ее проекцией на плоскость (черт. 3). Значит, У S АО = а;

Из треугольника ALS:

(как углы с взаимно перпендикулярными сторонами); ^SAL = 90° (как вписанный угол, опирающийся на диаметр).

Ответ. Объем правильной вписанной в шар пирамиды равен:

Черт. 2 Черт. 3

О ПРИЧИНАХ РАЗНОГЛАСИЙ В ОЦЕНКАХ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ ПО ГЕОМЕТРИИ

М. С. ЧЕРЕПНИН (Караганда)

В любом случае, как бы ни была задана фигура (посредством точек, углов, плоскостей и т. д.), учащиеся обязаны дать соответствующий чертеж этой фигуры.

Опыт работы подсказывает, что лучше, если учащиеся строят этот чертеж, т. е. создают его постепенно, детально, опираясь на взаимное расположение вершин, ребер и граней фигуры, на зависимость данных и искомых величин, а не просто рисуют или предполагают чертеж в готовом виде.

Необходимость постепенности в создании чертежа некоторой фигуры вытекает из самого смысла обучения.

Учащиеся (в массе своей) имеют еще неразвитое пространственное представление.

Целью же построения чертежей пространственных фигур и является преодоление этой ограниченности геометрических представлений и получение принципиально верных чертежей.

Мы должны отличать построение фигуры от построения чертежа этой фигуры.

Получилось так, что автор обзорной статьи К. С. Богушевский, обосновав вероятность невозможности построения фигуры, утверждает (иносказательно) и невозможность построения чертежа*.

Предложено ли что-нибудь взамен вошедших в практику построений чертежа?

Почему все-таки признаются необходимыми построения линейных углов, углов прямой с плоскостью и т. д.?

На все эти вопросы есть один ответ: опыт работы с учащимися показал, что построения — лучший метод решения стереометрических задач.

Что значит исключить пункт о построении чертежа данной фигуры?

Это значит обезглавить основную схему, предоставив учащимся блуждать среди построений элементов чертежа и при этом не видеть самую фигуру.

Для успешного, безошибочного построения элементов фигуры на чертеже возникает необходимость построения верного чертежа самой фигуры.

Наоборот, ясность в представлении фигуры, данной по условию, способствует выполнению верных построений элементов фигуры и проведению безошибочных рассуждений.

Следовательно, чтобы решить вопрос о нужности или ненужности той или другой части работы, надо исходить из рассмотрения целесообразности и взаимной обусловленности всех частей работы.

В этой связи приходится отстаивать (как необходимое и целесообразное явление) построение чертежа пространственной фигуры.

Причину разногласий в оценках экзаменационных работ К. С. Богушевский находит: 1) в стирании граней между задачами различных типов (на вычисление, построение и доказательство); 2) в том, что часть учителей, методистов и школьных инспекторов рассматривает каждую задачу как задачу комбинированную.

Рассмотрим по порядку оба эти положения.

1) Нам кажется, что сейчас не найдется такого учителя математики, у которого не было бы представления об указанных трех типах задач. Следовательно, причины разногласий в оценках экзаменационных работ не в смешении понятий о трех типах задач.

2) Если же учителя рассматривают каждую экзаменационную задачу на вычисление как задачу комбинированную, то они поступают совершенно правильно.

Условие любой экзаменационной работы по геометрии содержит определенную геометрическую фигуру. Учащиеся не имеют этой фигуры ни в натуре, ни на готовом чертеже; следовательно, для решения задачи они должны представить эту фигуру на чертеже со всеми необходимыми ее элементами. Одно лишь построение элементов фигуры выводит задачу на вычисление из разряда задач «только на вычисление» в разряд задач комбинированных. И, далее, поскольку ход решения экзаменационной задачи пронизан доказательствами (равенства, параллельности, перпендикулярности и т. п.), то в «комбинированности» экзаменационных работ не остается сомнений.

Различения же типов задач, которые рекомендует автор статьи, слишком метафизичны, ибо тем самым преподносятся и даже противопоставляются друг другу какие-то чистые, идеализированные типы.

* См. разбор задачи тт. Шуршалова и Журавлева, где К. С. Богушевский начинает так: «Пункт первый решения задачи — построение чертежа данной пространственной фигуры», а кончает так: «Все изложенное авторами ни в коем случае нельзя признать „построением“ данной пирамиды...» («Математика в школе», 1953, № 2).

«Задачи, предлагавшиеся Министерством просвещения для экзаменов на аттестат зрелости, все без исключения были одного типа, именно типа задач на вычисление» (курсив наш. — М. Ч.).

На чем основана подобная характеристика? — Непонятно. Ведь даже простейшая из задач на построение: построить угол, равный данному (а),— в той же мере является задачей на построение, как и на доказательство, следовательно, для нас это задача комбинированная.

Мы не отрицаем того, что задачи подразделяются на три типа, но отнесение задачи к какому-либо типу (происходящее по преобладающему характеру и требованию) не снимает необходимости применения при решении методов, свойственных двум другим типам. Напротив, более трудные задачи являются обычно комбинированными.

Задачи на вычисление по геометрии в чистом виде встречаются редко. Это обычно те же задачи, где требуется знать одну какую-либо формулу.

Обычно задачи на вычисление являются наиболее трудными из указанных типов в том смысле, что их решение зависит от того, как освоены задачи на доказательство и на построение. В чистом виде скорее возможны задачи на доказательство и построение, чем задачи на вычисление.

Комбинированные типы в общем случае содержат все три типа задач: на доказательство, на построение и вычисление, причем то и другое и третье тесно связаны друг с другом.

Таким образом, причина разногласий по отношению оценок экзаменационных работ находится именно здесь, и дело, конечно, не в том, что некоторые учителя и методисты каждую задачу на вычисление рассматривают как задачу комбинированную, а в том, что некоторые учителя и методисты не понимают этого.

Редактирование текстов задач с тем, чтобы были «ясно выражены требования: 1) построить такую-то фигуру («или чертеж фигуры»—дополнение наше. — М. Ч.); 2) вычислить такие-то элементы...» — нам кажется, не имеет под собой серьезных оснований, но принципиально мы не возражаем применять редактирование на первых порах (например, в IX классе).

Мы полностью согласны с К. С. Богушевским: задачу нужно брать такой, какая она есть, ничего не прибавляя и не перетолковывая. Требования же самой задачи вызовут определенный метод ее решения.

Заключение

1) Построение чертежа пространственной фигуры нужно принять как необходимую часть решения задачи, как методический прием.

2) Задачу «на вычисление» по стереометрии необходимо рассматривать как «комбинированную».

3) К тексту задачи нет надобности прибавлять какие бы то ни было требования, если они направлены к той же цели, что и главное требование самой задачи.

Вывод

Необходимо признать, что основными методами решения задач по стереометрии являются методы построений и доказательств.

Ниже приводится в качестве примера решение двух задач.

Задача 1 (№ 26(§ 7) из сборника Рыбкина).

Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 15. Высота равна 20. Найти кратчайшее расстояние от стороны основания до непересекающей ее диагонали призмы (черт. 1).

Решение. I. Построение правильной призмы.

а) В некоторой плоскости строим квадрат со стороной

û = 15 (A8CD).

б) Из вершины квадрата (например, А) восставим к плоскости ABCD перпендикуляр; отложим на нем ЛЛг = 20.

в) Аналогично строим: DDx = CCx=BBl = 20 и соответствующие грани.

II. АХС — диагональ призмы. Непересекающее ее ребро — AD.

а) Через АХС проводим плоскость, параллельную AD, такой плоскостью является AXBCDU так как АгЬг \\ AD (AXDX^пл. AXBCDX).

Черт. 1

б) Из некоторой точки, взятой на AD, опустим перпендикуляр на плоскость AXBCDX. Удобно взять или точку Л, или точку D, так как ЛС=пл. AAXBXB±_AD, поэтому перпендикуляр на плоскость AXBCD из точки А целиком лежит в плоскости ААХВХВ по перпендикулярной плоскости AXBCDX.

Для этого достаточно опустить перпендикуляр на линию их пересечения; имеем AN±_AXB.

в) Через AD и AN проводим плоскость; эта плоскость перпендикулярна плоскости AXBCDX (так как AN±AXBCDX).

Находим линию NMF пересечения этих плоскостей.

г) M — точка на АХС.

д) Отрезок МК равен и параллелен AN; МК—искомое расстояние.

III. Вычисление.

/\ААХВ — прямоугольный по построению, </АхАВ=90°;

AN — высота = , где я, b — катеты, с — гипотенуза.

Следовательно, МК= 12 (ед.).

Задача 2. В кубе ABCDDXCXBXAX с ребром а через вершину А проведена плоскость перпендикулярно диагонали АХС. Определить площадь сечения (черт. 2).

Решение. Построение плоскости сечения.

Общность задачи:

Через данную точку (Л), не принадлежащую данной прямой (АХС), провести плоскость, перпендикулярную данной прямой.

а) Точка А и прямая АХС лежат в плоскости ААХСХС.

Из точки А опускаем перпендикуляр на АХС и продолжаем до пересечения с АХСХ с= AXBXCDX в точке К.

б) Выясним положение точки К относительно точки пересечения О диагоналей грани AxB1C]DXi для этого рассмотрим прямоугольник ААХСХС. Имеем: /\ААхКхсоДЛЛХС, АхК=х.

Следовательно, искомый перпендикуляр есть АО.

в) Искомая плоскость перпендикулярна АХС; BlDl перпендикулярна АХСХ, а следовательно, и ее проекции АХС, откуда BXDXJ_AXC.

Искомая плоскость или параллельна BlDx, или проходит через нее. Но BXDX и искомая плоскость имеют общую точку О, следовательно, BXDX — линия пересечения искомой плоскости с гранью AXBXCXDX.

В сечении получим треугольник ABXDX.

Вычисление.

В сечении — правильный треугольник со стороной а )^2, следовательно,

В этой задаче показано, как иногда построение сочетается с расчетом; если бы положение точки К не было выяснено, то можно было бы получить неверный чертеж.

Черт. 2

От редакции

Впервые вопрос об оформлении письменных работ по геометрии с тригонометрией на аттестат зрелости был поставлен журналом «Математика в школе», в № 1 за 1947 год.

Поднятый вопрос вызвал дискуссию на страницах журнала, в которой приняли участие учителя и научные работники. В № 2 за 1953 год была помещена обзорная статья К. С. Богушевского по вопросу оформления работ по геометрии, которая в свою очередь вызвала многочисленные отклики.

Подводя первые итоги дискуссии по вопросу оформления письменных работ по геометрии на аттестат зрелости, редакция отмечает, что массового учителя больше всего волнует вопрос о письменном объяснении решения задачи и о выполнении чертежа.

Анализ лучших работ учащихся по геометрии показывает, что наиболее рациональный план объяснения решения задачи обычно состоит из следующих частей:

1) условие задачи;

2) пояснения к выполнению чертежа данной пространственной фигуры;

3) краткая запись условия и данных задачи;

4) решение задачи в общем виде с пояснениями;

5) вычисление искомой величины (величин), требуемой в условии задачи;

6) ответ на вопрос задачи с наименованием. Эти рубрики нумеровать не обязательно.

Объяснение может быть дано в виде связного изложения без разбивки на рубрики по стандартной схеме.

Лишь после выполнения чертежа и объяснения к нему целесообразно кратко записать, что дано в условии задачи, и то, что дополнительно установлено при объяснении чертежа согласно условию задачи. Чертеж должен быть правильным, наглядным, легко выполнимым. Желательно, чтобы чертеж выполнялся при помощи чертежных инструментов. Допустимо выполнение чертежа на отдельном листе бумаги (при помощи чертежных инструментов). При выполнении чертежей на комбинацию тел можно допустить пользование цветными карандашами.

Видимые линии выполняются сплошными, а невидимые — пунктиром.

В основу построения чертежей целесообразно положить статью Г. А. Назаревского («Математика в школе» № 5 за 1951 год и № 3 за 1953 год).

Исследование общего решения программой не предусмотрено и, следовательно, не требуется.

Целесообразно и желательно после общего решения отметить, что линейные элементы, площади, объемы являются величинами положительными, а углы удовлетворяют некоторому неравенству, как, например:

^Л<а<90°.

При решении задачи в общем виде надо добиваться, чтобы учащиеся применяли наиболее простой способ решения и рационально выполняли тождественные преобразования.

В тексте объяснения сокращенная запись слов не допускается, заменять слова математическими знаками также не разрешается.

В ответе, как в общем виде, так и в числовом, наименования лучше ставить без скобок.

Редакция отмечает, что единой формы объяснения решения не может быть, так как каждая задача обладает известной индивидуальностью, которую невозможно предусмотреть, и потому трудно уложить решение ее в стандартную схему.

Кроме того, единая схема объяснения решения задачи приводит к шаблону, задерживает творческую работу учителя и учащегося.

При выполнении работы от учащихся необходимо требовать лишь того, что сказано в условии задачи.

Анализ работ учащихся по геометрии с тригонометрией на аттестат зрелости показывает, что основными недочетами в работах являются:

а) небрежное оформление, в особенности выполнение чертежа;

б) отсутствие последовательного объяснения хода решения задачи;

в) многословие объяснения хода решения.

При оценке работ по геометрии надо пользоваться документом: «Нормы оценки успеваемости учащихся по математике в V—X классах средней школы в 1952 г.», где сказано: «Отметка «5» ставится в том случае, если задача решена правильно: все обоснования, объяснения, формулировки верны и рассуждения последовательны; все чертежи сделаны правильно, четко; все необходимые вычисления и преобразования выполнены верно; все записи хода решения задачи верны, сделаны аккуратно, расположены последовательно, наименования поставлены правильно; дан исчерпывающий ответ на вопрос задачи».

Существование различных точек зрения по вопросу об оформлении экзаменационных работ показывает, что по данному вопросу должна быть продолжена дискуссия и существующие мнения должны быть подвергнуты широкому обсуждению. В настоящем номере редакция помещает три статьи: В. А. Буртаева, Я. М. Дымшица и М. С. Черепнина. Авторы помещенных статей придерживаются различных точек зрения. Наиболее дискуссионными являются следующие вопросы: как понимать построение фигуры? Следует ли решать задачи на проекционном чертеже? Следует ли производить исследование задач с параметрическими данными?

Надо надеяться, что обсуждение различных дискуссионных вопросов поможет установить наиболее целесообразные требования.

В то же время пока дискуссионные вопросы не получили окончательного решения, надо придерживаться нижеследующих положений: решение задач на проекционном чертеже, на котором требуемые построения выполняются не условно, а в действительности и исследование задач с параметрическими данными нельзя выставлять в качестве обязательных требований.

Вместе с тем следует рекомендовать некоторые (разумеется, не все) задачи в течение года решать на проекционном чертеже и с исследованием.

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ*

Н. Н. ШОЛАСТЕР (Елец)

1. О тригонометрических функциях числового аргумента

В существующем школьном учебнике тригонометрии тригонометрические функции рассматриваются только как функции угла. Такая односторонняя точка зрения создает серьезные затруднения для применения тригонометрии к физике и другим наукам. Геометрические приложения тригонометрии являются довольно важной, но далеко не единственной целью изучения тригонометрических функций. Заметим, что для целей геометрии в рамках школьной программы было бы вполне достаточно изучение тригонометрических функций угла только в пределах от 0 до 180°. В естествознании, физике и технике огромное значение имеют различные периодические процессы (например, колебательные движения), изучение которых требует хорошего знания свойств тригонометрических функций. Это создало необходимость в изучении тригонометрических функций с надлежащей обстоятельностью.

Когда в математике изучается некоторая функция /(*), то под множеством значений аргумента х понимается обычно некоторое числовое множество. Например, областью определения функции У X является множество всех неотрицательных чисел (о <С х <С °°)- В приложениях же аргумент выступает как числовая мера той или иной конкретной величины (время, расстояние и т. д.). В разрез с этой естественной и правильной постановкой дела идет изучение тригонометрических функций в школе. Учащиеся приучаются под их аргументом по нимать только угол, т. е. конкретную геометрическую величину. Трудно впоследствии отучить учащихся от этого убеждения и приучить понимать под аргументом этих функций числовые значения других величин.

Переход к политехническому обучению в средней школе требует такой перестройки преподавания тригонометрии, которая устранила бы отмеченный недостаток и обеспечила бы подготовку учащихся для изучения приложений тригонометрии не только к геометрии, но также к физике и технике. Отсюда следует, что в школьном курсе тригонометрические функции должны изучаться не только как функции угла, но также достаточно подробно и как функции числового аргумента. При этом особое внимание должно быть обращено на функцию a sin (kx+b), которая особенно важна для изучения колебательных процессов.

Имея в виду приложения тригонометрии к физике и технике, необходимо обратить внимание в школе на основательное изучение свойств тригонометрических функций. В современной науке и технике графическое представление функциональной зависимости имеет большое значение. Все большее и большее значение приобретают графики как средство для нахождения приближенного значения этих функций (графические методы расчетов). Поэтому следует уделить достаточно внимания построению графиков тригонометрических функций и применению их не только для иллюстрации свойств этих функций, но и для выполнения простейших графических расчетов.

Перестройку преподавания тригонометрии в указанном направлении можно провести без существенной ломки сложившегося школьного курса тригонометрии. Ее можно провести следующим образом.

Имея в виду приложения тригонометрии к физике (гармонические колебания), после определения тригонометрических функций любого угла следует перейти к определению и изучению свойств синуса числового аргумента. Можно обратиться к следующей модели.

По окружности радиуса а движется точка М\ пусть Ма — ее начальное положение. При этом

Черт. 1

* Статья печатается в порядке обсуждения.—Ред.

образуется центральный угол М0ОМ, который обозначим через а (черт. 1). Проведем диаметр АВУ перпендикулярный прямой (Ж0, и спроектируем на него точку М. Расстояние полученной точки N от точки О, относительно знака которого введены обычные условия, будет, очевидно, равно a sin а.

Пусть 5 — расстояние, пройденное точкой M по окружности, т. е. длина дуги М0М; это расстояние мы берем также с соответствующим знаком в зависимости от направления движения точки М.

Положение точки N на диаметре AB определяется положением точки M на окружности. Отсюда следует, что расстояние точки N от точки О есть функция длины дуги М0М. Рассмотрим отношения:

Из сказанного следует, что число * определяет число у, т. е. у есть функция х. Эту функцию мы назовем синусом числа х и обозначим так:

С другой стороны,

Следовательно,

Далее устанавливаем, что радианная мера угла ос равна х: а = х радианов. Значит, синус числа X равен синусу угла а, содержащего х радианов. Пользуясь данной моделью, мы синус числового аргумента определяем независимо от синуса угла.

Остальные тригонометрические функции числового аргумента определяем следующим образом: тригонометрические функции числа х равны (по определению) соответствующим тригонометрическим функциям угла, содержащего х радианов.

Переходим к рассмотрению свойств функции sin*, что целесообразно провести сначала для изменения аргумента х от 0 до (это соответствует перемещению точки M из MQ в А). Отметим следующие очевидные свойства:

2) При изменении х от 0 до функция sin X возрастает от 0 до 1.

3) Функция sin х при этом принимает все значения, заключенные между 0 и 1. Это следует из того, что любая точка N отрезка OA является проекцией некоторой точки M дуги М0А.

4) |sin*|<|*| (хфО). Это следует из того, что длина отрезка ON меньше длины хорды ММ0, а последняя меньше длины дуги ММ0 (черт. 1).

Для построения графика функции sin х по оси ох будем откладывать длину дуги М0М единичной окружности (т. е. окружности, радиус которой равен единице длины), а по оси оу длину отрезка ON. Построение графика целесообразно провести сначала для отрезка от Одо ~-у как указано на чертеже 2.

При построении графика надо опираться на перечисленные свойства sin*. Из этих свойств следует, что график sin* на рассматриваемом отрезке представляет непрерывную кривую, выходящую из начала координат и монотонно поднимающуюся вправо до точки Р с координатами X = и у = \. Свойство 4 показывает, что все точки графика sin* расположатся ниже точек прямой у = х.

В порядке выполнения домашней работы следует дать учащимся задание вычертить указанный график в более крупном масштабе, приняв 1 дм за единицу длины (черт. 3). Этот график должен быть выполнен довольно тщательно, чтобы им можно было пользоваться для графического определения значений sin* с точностью до 0,01. Для построения его удобно воспользоваться миллиметровой бумагой.

В силу определения тригонометрических функций числового аргумента данным графиком можно пользоваться и для определения синуса числа *, и для определения синуса угла, выраженного в радианной мере. Чтобы определить значения синуса угла, выраженного в градусах, надо на прямой, выходящей из начала координат, нанести шкалу градусов с расчетом, чтобы деление 0° совпало с началом координат, а деление 90° и точка на оси ох лежали на одном перпендикуляре к этой оси. Удобно для этого шкалу градусов нанести в масштабе 1 см = Ь°. Легко видеть,

Черт. 2

Черт. 3

что деление п° и точка на оси ох с координатой -Sr также будут лежать на одном перпендикуляре к этой оси. Таким путем мы осуществляем графический переход от градусного измерения к радианному и обратно.

Так, например, делению 47° соответствует точка оси ох с абсциссой 0,82. Следовательно, 47° = 0,82 радиана с точностью до 0,01, что легко проверить вычислением. Находим точку графика, лежащую на одном перпендикуляре к оси ох с делением 47°. Ее ордината равна 0,73. Следовательно, sin 47° — 0,73 (с точностью до 0,01).

С помощью этого графика следует решить и обратную задачу: по данному значению синуса острого угла ^или числа, взятого в промежутке от 0 до найти этот угол (или это число).

Пример, sin а = 0,68. Находим точку графика с ординатой 0,68. Ей соответствует деление 43° на дополнительной шкале и деление 0,75 на оси ох. Значит,

Построение графика функции slnx за пределами отрезка £о, -|-J следует провести на основе изучения свойств этой функции, вытекающих из формул приведения. Опираясь на формулу

устанавливаем симметрию графика относительно прямой, проходящей через точку -5- оси ох и параллельной оси оу9 на основании формулы

делаем вывод, что график функции sin je на отрезке [тс, 2 тс] получается из ее графика на отрезке [0, тс] путем переноса в направлении оси ох на расстояние тс и последующего отражения от этой оси. Дальнейшие выводы о графике делаем на основании свойств периодичности функции sin х.

В то же время построение графика должно быть связано с изучением перемещения точки N по диаметру AB при перемещении точки M по окружности, так как с помощью этой модели можно дать первое понятие о простейшем колебательном движении (гармоническое колебание).

Построение графика для отрезка [0,2тг] дано на чертеже 4.

Построенную ранее часть графика sinx на отрезке от 0 до -д- отражаем относительно прямой KP и получаем график этой функции на отрезке от до тс. Затем переносим кривую ОРО' вправо по оси ОХ на расстояние РР' = ООг и полученную кривую О'Р'О“ отражаем от оси ОХ. Точки Af/, и т. д. на оси O^Y соответствуют точкам Мъ М2 и т. д. окружности, а точки ЛГр N'2 и т. д. — точкам Nu N2 и т. д. диаметра Aß (см. черт. 4). При таком способе изучения функции sin х будет нетрудно дать в дальнейшем понятие о гармоническом колебании. Это можно сделать следующим образом.

Пусть точка M равномерно движется в положительном направлении по окружности радиуса я, и М0 ее начальное положение. Возьмем два взаимно перпендикулярные диаметра AB и PQ (черт. 5) и будем следить за движением проекции N точки M на диаметре PQ.

Пусть 5 — длина дуги AM (в положительном направлении), а и — расстояние ON, взятое с соответствующим знаком. Возьмем их отношения к радиусу:

Из определения функции sinx следует, что

Отсюда

Известно, что скорость движения точки M по окружности равна шя, где ш — угловая скорость вращения радиуса ОМ, а пройденное расстояние по окружности равно &at. Следовательно, s = шЬ + sQj где s0 — длина дуги AMQ.

Отсюда

Отношение равно радианной мере угла АОМ0, которую мы обозначим через ср0. Очевидно, что cotf-j-<p0 представляет радианную меру угла АОМ. Уравнение

дает закон движения точки N по диаметру PQ и носит название уравнения гармонического колебания. Напомним физический смысл входящих в него величин.

Величина a показывает наибольшее отклонение точки N от середины PQ (точки О) и называется амплитудой колебания.

Величина ср = at -J- ср0 называется переменной фазой колебания, а значение 9 в начальный момент (t = 0), т. е. <р0, называется начальной фазой.

Периодом колебания Т называется время, в течение которого фаза изменяется на 2тс. Легко подсчитать, что

При увеличении t (времени) на Т значение и не изменяется, так как

Черт. 4

Черт. 5

Период колебания Т есть тот наименьший промежуток времени, который требуется, чтобы подвижная точка M совершила полный оборот по окружности. Подвижная точка N при этом вернется в исходное положение и будет иметь исходное направление движения.

Если на отрезке ОМ как на диаметре построить окружность, то она пересечется с отрезком PQ в точке N (черт. 6). Следовательно, при равномерном вращении окружности, построенной на отрезке ОМ как на диаметре вокруг точки О, точка пересечения ее с отрезком PQ совершает гармоническое колебание. Данная модель может помочь уяснить характерные особенности гармонического колебания.

Включение приведенного материала о гармоническом колебании, который должен быть тесно связан с изучением функции sinx и построением ее графика, в курс тригонометрии с точки зрения его политехнической направленности очень желательно и в то же время не является обременительным. Это можно сделать непосредственно после изучения остальных тригонометрических функций и построения их графиков.

При построении графика функции cos х можно пользоваться формулой

которая показывает, что точка графика косинуса и точка графика синуса, отстоящая от первой на расстоянии -у вправо в направлении оси ОХ (черт. 7), имеют одинаковые ординаты. Чтобы получить первую из них, надо вторую перенести влево по оси ОХ на то же расстояние. Весь график косинуса получается из графика синуса путем переноса вдоль оси ОХ влево на расстояние -тр.

На чертеже 3 дан график функции cos х на отрезке £о, -~J, которым можно пользоваться для простейших графических расчетов.

При построении графиков функций tg х и ctg х расстояния по оси ОХ следует брать также равными длинам соответствующих дуг единичной окружности.

Для графических расчетов целесообразно построить графики этих функций на отрезке |о, -g-J в масштабе чертежа 3 и также с дополнительной шкалой (шкалой градусов).

2. О приближенных вычислениях в курсе тригонометрии

Школьный курс тригонометрии имеет большие возможности для углубления и расширения знаний и навыков учащихся в приближенных вычислениях. Перестройка преподавания школьного курса математики в направлении политехнизма должна учесть важность приближенных вычислений.

В связи с этим следующие вопросы школьного курса тригонометрии приобретают существенное значение:

1. Изучение простейших неравенств и связанных с ними приближенных равенств.

Черт. 6

Черт. 7

2. Вычисление значений тригонометрических функций для отдельных частных значений аргумента и для произвольного заданного значения аргумента.

3. Знакомство с устройством различных таблиц, связанных с тригонометрическими функциями.

4. Решение конкретных задач с применением приближенных вычислений (приближенные равенства, действия с приближенными числами, применение разнообразных таблиц, графические методы).

Рассмотрим некоторые простейшие тригонометрические неравенства, изучение которых очень полезно и не требует особой затраты времени. Отметим прежде всего следующее неравенство:

(1)

С этим неравенством мы познакомились выше, связав его с построением графика синуса.

Из геометрических соображений легко получить неравенство:

sin х2 — sin хг<х2 — хх (х2 > л^), (2)

где значения хх и х2 заключены между 0 и у.

В самом деле, пусть числам хх и х2 соответствуют точки Мх и М2 на единичной окружности (черт. 8) и пусть Nx и N2 — проекции этих точек на диаметр AB. Очевидно, что х2 — хг есть длина дуги МХМ2, а — длина отрезка NXN2. Так как NXN2 меньше хорды МХМ2, то и подавно длина отрезка NXN2 меньше длины дуги МХМ2, т. е.

Из неравенства (2) следует, что функция X — sin а: при изменении х от U до -j- возрастает от 0 до --1. Если для некоторого х ^где 0<x<-^ мы примем приближенно, что

sin x x x (с избытком), (3)

и допустим при этом ошибку а, то, следовательно, при меньшем значении х приближенное равенство (3) даст ошибку, меньшую а.

Примеры. 1) sin = 0,500; -^- — 0,500 = 0,024 (с точностью до 0,001). Следовательно, x — sin0,025 при 0<х<^-; 2) sin-^- = 0,259; -JJ — 0,259 = 0,003 (с точностью до 0,001). Следовательно, х — sin х <0,003 при

Воспользуемся теперь формулой

(*)

Пусть ß — ошибка, допущенная в приближенном равенстве

Подставим полученное значение sin в равенство (*):

Так как

то и подавно

Значит,

(4)

Слагаемое 2$(х — ß), которое мы обозначим через 5, представляет ошибку, допущенную в приближенном равенстве:

(5)

Очевидно, что

a<2ßx.

При убывании X убывает (как мьт выяснили) и ß. Отсюда следует, что если при некотором значении х0 (где хс <С~“Т / ошибка равна 80, то

Черт. 8

при применении приближенного равенства (5) для меньшего значения аргумента ошибка будет и подавно меньше о0. Примеры.

(с точностью до 0,0001).

Приближенное равенство (5) дает:

Ошибка оказалась равной 0,003. При ошибка 8 меньше, чем 0,003.

(с точностью до 0,0001). Приближенное равенство (5) дает:

Ошибка равна 0,0002. При 0 <х <-^ ошибка 8 меньше, чем 0,0002.

Покажем, как полученные результаты можно применить для вычисления значений sinx и cosa: для произвольного значения х на отрезке от 0

Пусть значение х заключено между числами а и 6, где 0<я<л:<о<причем известны значения синуса и косинуса от этих чисел.

Число X можно представить в следующих двух видах:

X = а+и

и

X = Ь — V,

где и и v— положительны и меньше, чем b — а. Тогда

(6)

С другой стороны,

sin X = sin (b — v) = sin b • cos v — cos b sin V. Так как

Пример. х = 0,6, Имеем:

Следовательно,

Отсюда

Аналогично найдем для cosx:

(8) (9)

Заметим, что правые части неравенств (6) и (9) дают, вообще говоря, более грубое приближенное значение для sin х и cos х, чем формулы (7) и (8), так как они получены путем замены:

Будем считать, что х не превышает Тогда, как мы выяснили выше, приближенное равенство (5) гарантирует точность до 0,0002. Это значит, что при 0 <С^х <С г> имеем:

Поэтому для значений и и v, не превышающих ~9 неравенства (6) и (9) можно заменить следующими:

(10)

(11)

Если или ~2~ больше 0,0002, то правые части неравенств (10) и (11) дают более точное значение для sin х и cos jc, чем правые части неравенств (6) и (9).

Пользуясь значениями sin х и cos х при д: = 0, 75“9 ~6~ и ~4~ ' вычисленными с точностью до 0,0001, можно найти с помощью приведенных

неравенств границы значений этих функций для любого значения х.

Пример. X = -g- = 0,3927. Берем:

Неравенства (7), (8), (10) и (11) дают:

Так как

то после вычислений получим:

Беря среднее арифметическое граничных значений, получим:

Проверка результата по четырехзначным таблицам показывает, что на самом деле мы получили точность до 0,0001.

При вычислении данным способом значений sin х и cos х учащиеся пользуются неравенствами и приближенными равенствами, тренируются в действиях над приближенными числами, находят верхнюю и нижнюю границы искомых величин, пользуются разнообразными математическими таблицами и получают представление об их составлении. Все это делает подобного рода упражнения весьма ценными.

Вычисление значений тригонометрических функций служит хорошим поводом для применения различных тригонометрических формул. Приведем пример, который знакомит учащихся также с методом последовательных приближений при вычислениях.

Пример. Пользуясь формулой

вычислить sin— с точностью до 0,001. Из этой формулы имеем:

В нашем случае

Так как

Применяя тот же прием, получим:

С каждым шагом мы получаем все более и более точные верхние границы для sin . Ограничиваясь в вычислениях тремя знаками после запятой, можем принять, что sin -g- = 0,342.

Проверка. 0,2887 + -i• 0,3423 = 0,3420.

3. О решении треугольников

В школьном курсе тригонометрии в силу сложившейся традиции решение треугольников проводится специальными способами, при которых вычисления производятся только с помощью таблиц логарифмов и игнорируются другие не менее важные таблицы, как, например, таблицы квадратов и квадратных корней. Следует иметь в виду также рост счетной техники, при котором вычисления с помощью таблиц логарифмов в значительной мере утрачивают свое первоначальное значение. По этим причинам во всех четырех случаях решения треугольников можно было бы ограничиться применением только теоремы синусов и теоремы косинусов, что не усложняет вычислительную работу, но дает повод для пользования разнообразными таблицами. Приведем примеры решения косоугольных треугольников с помощью теоремы косинусов.

Задача 1. Даны а = 2,730; Ъ = 3,696; С = 97°32'.

Определяем с по теореме косинусов:

Вычислим сначала выражение

Пользуясь таблицами квадратов и квадратных корней, находим:

Определяем угол А по теореме синусов:

Производим вычисления:

Л = 33°44' (угол А—острый, потому что угол С тупой).

Вспомогательные вычисления:

Определяем В:

Проверка. Определяем В по теореме синусов:

Отсюда:

Производим вычисления:

Совпадение с точностью до 1'.

Задача 2. Дано: а= 13,67; £ = 15,83; с = 22,17.

Решение. По теореме косинусов имеем:

По таблице квадратов находим:

Следовательно, углы А и В острые, а угол С тупой. Для угла 180° — С имеем:

По таблицам находим:

Вычисление А:

Вычисление В:

Вычисление С:

Проверка.

Л-|-£4-С= 37044'-}- 45o6'+97oll' = 180°l'.

Расхождение в Y вполне допустимо, вычисления сделаны верно.

4. О геометрических приложениях тригонометрии

Геометрические приложения тригонометрии не должны сводиться только к решению треугольников. Приложения тригонометрии к геометрии, помимо обычных задач на вычисление, должны заключаться также в доказательстве геометрических теорем. К сожалению, последнего рода геометрические приложения тригонометрии почти не практикуются. В то же время они интересны и поучительны. Приведем пример.

Задача. Доказать, что во всяком вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птоломея).

Черт. 9

Решение. Обозначим длины сторон и диагоналей вписанного четырехугольника ABCD буквами а, Ь, с, d, m и п в порядке, указанном на чертеже 9, а соответствующие вписанные углы буквами а, ß, f и ^° известной теореме имеем:

Надо доказать, что

ас + bd = тп. (*)

Подставив найденные выражения для сторон и диагоналей и сократив на D2, получим: sin a sin у + sin ß sin Ь =sin (а -f - S) sin (a + ß). (**) Задача свелась к доказательству тождества (**) при условии, что «+ß+Y + 8 = *-Умножив обе части равенства (**) на 2 и применив формулу

получим:

Так как то

После этого тождество становится очевидным. Тождество (**) доказано. Отсюда следует равенство (*).

5. О формулах приведения и о теоремах сложения

Формулы приведения для функций sinx и cos X являются частными случаями формул для sin(azizß) и cos(a±=ß), что следует подчеркнуть в школьном курсе. Доказательство теоремы сложения во всей ее общности является делом чрезвычайно ответственным для всего курса тригонометрии. В то же время это доказательство представляет трудный в методическом отношении материал.

Вывод теорем сложения, данный в учебнике Н. Рыбкина, довольно сложен. Обычно в школе эти теоремы доказываются только для случая, когда а и ß — острые углы, составляющие в сумме менее 90°, а доказательство общности опускается ввиду его сложности. Такое положение следует признать ненормальным, так как при этом не устанавливается общность большинства формул тригонометрии.

Отметим также чрезмерное обилие различных формул приведения в школьном курсе, что вовсе не является необходимым. Например, формулы приведения для углов вида 270° zîz а, 360° — а совершенно не нужны для приведения тригонометрических функций любого угла к острому углу и их можно было бы опустить, что упростило бы изложение этого раздела.

Предложим (применительно к учебнику Н. Рыбкина) следующий способ вывода правил приведения и теорем сложения, при котором изложение этих разделов упростится и в то же время будет достигнута общность всех выводов.

Для определенности будем считать, что изложение курса до этих глав шло по учебнику Н. Рыбкина.

А. Формулы приведения

1°. Дается вывод формул для дополнительных углов:

sin а = cos (90° — а) и т. д. Угол а удовлетворяет условию: 0-<а<;90о.

2°. Дается вывод формул для пополнительных углов:

sin а = sin (180° — а) и т. д. При выводе предполагаем сначала, что а — острый угол. Если в полученных формулах положить 180° — а = ß, то получим:

sin(180° — ß) = sinß и т. д., т. е. те же формулы. Следовательно, формулы для пополнительных углов справедливы для любого угла а, удовлетворяющего условию 0<а< 180°.

3°. Дается вывод формул перехода от отрицательного угла к положительному с обобщением на любые углы (§ 34 и 39 учебника).

4°. Выводятся следующие формулы для любого угла а:

Доказательство. Пусть для угла а подвижный радиус занял положение OB. Тогда для угла а ±180° подвижный радиус займет положение ОВ\ где В' — точка, диаметрально противоположная точке В (черт. 10).

Из равенства прямоугольных треугольников ОВЕ и ОВ'Е' делаем вывод о равенстве соответствующих тригонометрических линий. Легко видеть далее, что для любого положения радиуса OB знаки синусов (косинусов) углов а и adz 180° противоположны. Отсюда следуют две первые формулы. Остальные формулы выводятся аналитически. Делаем следующий вывод:

При изменении аргумента на развернутый угол функции sin a и cos a меняют значения на соответственно противоположные, а функции tga и ctg a сохраняют прежние значения.

5°. Прибавляя или отнимая последовательно к аргументу по 180°, мы не меняем абсолютной величины функций sin a и cos a, но меняем каждый раз их знаки. Следовательно,

Вообще для целого числа п:

Это короче можно записать так:

Точно так же получим:

Кроме того,

Б. Приведение тригонометрических функций произвольного угла к острому углу

Произвольный угол a можно представить в виде:

a = a0 + /i-180o, (1)

где 0^а0<М80° и п — целое число*.

Выведенные формулы дают возможность привести тригонометрические функции произвольного угла a к одноименным тригонометрическим функциям угла а0.

Если при этом окажется, что а0 — тупой угол, то применяем формулы для дополнительных углов:

Угол 180° — а0 будет острым и поставленная задача выполнена.

Черт. 10

* Если a — отрицательный угол, то п отрицательно. Например, — 4000° = — 40° — 22-180° = 140° --23.180°

Пример 1. а=1660°. Делим 1660 на 180:

Следовательно,

1660° = 40°+ 9-180°;

Пример 2. а = 4100°.

В. Теоремы сложения

1°. Доказывается лемма о стороне треугольника и диаметре описанного круга (§ 98 учебника Рыбкина).

2°. Вывод формулы:

sin (а + ß) = sin а cos ß + cos a sin ß (1) для случая, когда ос и ß острые углы.

Построим треугольник ABC с острыми углами а и ß и опишем около него окружность (черт. 11). Если угол А = а и угол Z? = ß, то вписанный угол ВС А, опирающийся на дугу АСВ, равен их сумме:

^/#CM = a + ß.

По лемме имеем: AC = D sinß; BC = D sin а и AB = D sin(a + ß).

Проведем высоту треугольника СЕ. Из прямоугольных треугольников ВСЕ и АСЕ получаем:

Далее получаем: ,4£ = Dsin(a-f ß) = ££ + АЕ = D sin a cos ß + ZD sin ß cos а.

Сокращая на D, получим формулу (1). 3°.а— тупой угол*, но a-fß<180°.

Данный случай отличается от предыдущего тем, что теперь основание высоты СЕ будет лежать на продолжении стороны AB. Теперь имеем (черт. 12):

получаем опять формулу (1).

4°. Пусть теперь а и ß — любые острые или тупые углы, причем а-J-ß > 180°.

Рассмотрим углы

Найдем их сумму:

Углы а' и ß' удовлетворяют условию пунктов 2° и 3°. Следовательно,

Применив формулы приведения, получим:

Черт. 11

Черт. 12

* Случай, когда а —прямой угол, предоставляем рассмотреть читателю.

Из равенства левых частей следует равенство правых, т. е.

Изменив знак в обеих частях равенства, получим формулу (1). Итак, формула (1) справедли“ ва для любых острых или тупых углов anß«

5°. а и ß — любые углы.

Представим углы а и ß в виде:

Тогда

так как для углов а0 и ß0 формула (1) доказана. Отсюда

Итак, формула (1) справедлива для любых углов аир.

6°. Заменив в формуле (1) угол ß на угол — ß, получим:

Из общности формулы (1) следует общность формулы (2).

7°. Положив в формуле (2) а = 90°, получим: sin (90° — ß) = sin 90°. cos ß — sin ß cos 90° = cos ß.

Формула

справедлива, следовательно, для любого угла ß. Заменив в ней ß на 90° — ß, получим:

8°. Вывод формулы для cos(a+ß).

Итак, для любых углов а и ß

(3)

9°. Заменяя в формуле (3) ß на —ß, получим:

(4)

10°. Из формул (1) — (4) можно получить как частный случай любую формулу приведения, рассматриваемую в школьном курсе. Это доказывает справедливость последней для любого угла.

Примеры:

К ВОПРОСУ О ВОЗВЫШЕНИИ В КВАДРАТ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И ИЗВЛЕЧЕНИИ ИЗ НИХ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ

С. М. ВАСИЛЬЕВ (Львов)

Мы полагаем, что данный вопрос излагается в учебниках недостаточно удовлетворительно как с теоретической, так и с методической стороны. Возвышение в квадрат чисел делается путем непосредственного их перемножения, что является весьма длительным процессом, особенно когда числа многозначные. Далее, теория извлечения корня из чисел не находится в связи с методом возвышения чисел в квадрат путем перемножения, тогда как эти операции должны находиться в непосредственной и органической связи как два взаимно обратные действия.

В настоящей работе мы пытаемся устранить указанные выше недостатки и, опираясь на способ возвышения в квадрат чисел, обосновать обратную операцию — извлечение квадратных корней.

Возвышение целых чисел в квадрат

Докажем предварительно положение, на котором основывается предлагаемый нами способ возведения чисел в квадрат.

Возьмем квадрат какого-либо числа, например 252 = 625.

Припишем справа к основанию квадрата (т. е. к 25) какую-либо цифру, например 6, и найдем квадрат полученного числа 256.

Можем написать:

2562 = (25.10+6)2. Пользуясь формулой квадрата суммы, имеем: 2562 =(25.10+6)2=625.100+2.25-6.10-|-62= 625 сотен+300 десятков+36 единиц.

Сравнив квадрат вновь полученного числа 256 с квадратом данного числа 25, мы видим, что квадрат прежнего основания (т. е. 625) обратился в сотни и к ним прибавилось столько десятков, как велико удвоенное произведение прежнего основания (т. е. 25) на вновь приписанную цифру*, и столько единиц, как велик квадрат вновь приписанной цифры. Итак, приходим к следующему положению:

Если приписать справа к основанию квадрата натурального числа какую-либо новую цифру, то квадрат прежнего основания обращается в сотни, к которым прибавляется столько десятков, как велико удвоенное произведение прежнего основания на вновь приписанную цифру, и столько единиц, как велик квадрат новой цифры.

Докажем эту лемму в общем виде.

Пусть N2 есть квадрат произвольного натурального числа N. Если к основанию N припишем справа цифру а, изображающую какое-либо однозначное число, то основание нового квадрата запишется в форме:

ЛМО + а, a квадрат этого основания равен:

приведенная выше лемма справедлива для всякого натурального числа.

Пользуясь этой леммой, возвысим в квадрат многозначное число 4386.

Если бы число было изображено одной цифрой 4, то квадрат его равнялся бы 42 = 16. Припишем справа к основанию квадрата (т. е. к 4) вторую цифру 3, тогда, согласно лемме, квадрат полученного числа 43 выразится:

Подсчитав слагаемые и подписывая их одно под другим на соответствующих местах, получаем:

Приписав справа к основанию квадрата 43 третью цифру 8, имеем, согласно лемме: (438)2 = 432 сотен+2 • 43 • 8 десятков+82 единиц.

Подсчитывая слагаемые, подписываем их одно под другим на соответствующих местах. Квадрат же числа 43 заменяем суммой его слагаемых. После чего получаем:

Припишем к основанию квадрата (т. е. к 438) новую цифру 6, тогда, опираясь на лемму, имеем:

4386? = 4382 сотен+2.438-6 десятков +62 единиц.

Подсчитывая слагаемые и помещая их на соответствующих местах для сложения, имеем:

Рассматривая полученный ряд слагаемых, мы замечаем:

1) каждое последующее из них выражает собой единицы следующего низшего разряда, а потому при записи оно выступает на одну цифру вправо по сравнению с предыдущим слагаемым;

2) первое число представляет собой квадрат числа, изображенного первой слева цифрой основания;

второе — удвоенное произведение первой цифры на вторую;

третье — квадрат второй цифры;

четвертое — удвоенное произведение числа, изображенного первыми двумя цифрами, на третью;

далее — квадрат третьей цифры;

затем—удвоенное произведение числа, изображенного первыми тремя цифрами, на четвертую;

и последнее — квадрат четвертой цифры.

* Для краткости под словом «цифра» разумеем здесь и во всем последующем изложении однозначное число, изображаемое цифрой.

Отсюда вытекает следующее правило возвышения в квадрат многозначного числа:

Чтобы повысить в квадрат многозначное число, достаточно взять квадрат первой слева цифры, затем удвоенное произведение первой цифры на вторую, далее квадрат второй цифры, затем удвоенное произведение числа, изображенного первыми двумя цифрами, на третью, далее квадрат третьей цифры, затем удвоенное произведение числа, изображенного первыми тремя цифрами, на четвертую, далее— квадрат четвертой цифры и т. д. Каждое из полученных чисел подписать одно под другим так, чтобы последующее число выступало на одну цифру вправо по сравнению с предыдущим, а затем все эти числа сложить.

При этом запись ведется так, как показано на примерах:

Примечание 1. Если удвоенное произведение числа на новую цифру или квадрат новой цифры окажутся числами однозначными, то их можно приписать справа к предыдущему результату (в примере 2 строки вторая и третья).

Примечание 2. Если одной из цифр числа является 0 (пример 3), то удвоенное произведение на эту цифру и квадрат этой цифры обращаются в нули, которые и приписываются справа к предыдущему результату (пример 3, строка вторая).

Извлечение квадратного корня из чисел с точностью до единицы

Из теории возвышения в квадрат чисел известно, что с приписыванием справа к основанию новой цифры к квадрату его прибавляются единицы двух разрядов: десятки и единицы; причем десятков столько, как велико удвоенное произведение прежнего основания на вновь приписанную цифру, и единиц столько, как велик квадрат новой цифры. Следовательно, каждой паре низших разрядов подкоренного числа (т. е. данного квадрата) соответствует новая цифра в корне (т. е. в искомом основании степени); а потому, чтобы узнать число цифр корня, нужно подкоренное число разделить на грани справа налево по две цифры в каждой грани; число граней и даст число цифр искомого корня.

Заметим, что первая слева грань может состоять и из одной цифры. Пусть, например, требуется вычислить ]/б 031 936.

Разделив подкоренное число на грани, заключаем, что искомый корень из числа 6 031936 содержит 4 цифры, т. е. является четырехзначным числом. Обозначим эти цифры но порядку буквами а, ß, у, 8 и напишем:

Так как квадрат первой цифры корня а должен содержаться в первой слева грани, то

Откуда а = 2. Меньше 2 оно быть не может, так как если бы а было меньше 2, то весь корень был бы меньше 2000; но так как квадрат искомого корня, т. е. 6 031936>(2000)2, то искомый корень должен быть больше 2000.

Из предыдущего видно, что для отыскания первой цифры корня нужно извлечь квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой слева грани.

Вычтя из первой грани а2 = 4 и снеся к остатку следующую грань, мы получаем число 203, в десятках которого должно содержаться удвоенное произведение а на ß, а во всем числе сумма 2aß десятков+ß2 единиц. Но так как в состав 20 десятков этого числа могут входить также и десятки от квадрата ß, то отсюда следует, что

Итак, если к остатку от вычитания квадрата первой цифры корня из первой грани снести следующую грань и десятки полученного числа разделить на удвоенную прежде найденную часть корня, то целая часть частного будет высшей границей для второй цифры корня.

Чтобы убедиться в правильности найденного значения для ß = 5, нужно узнать, содержится ли во всем числе 203 столько десятков, чему равно удвоенное произведение первой цифры корня а = 2 на новую цифру ß = 5, и столько единиц, чему равен квадрат новой цифры ß2 = 52; другими словами, надо из числа 203 вычесть следующую сумму:

2-2-5 десятков-|-52 единиц. Но сумма эта может быть представлена в форме:

2.2-5-10+52, или, вынося за скобки 5, имеем:

Отсюда видим, что число, подлежащее вычитанию, составилось так: к удвоенной прежде найденной части корня приписана справа новая цифра, и полученное таким об разом число умножено на новую цифру. Что в общем виде выглядит так:

Выполнив умножение, получаем число 225, которое превышает число 203, а потому ß<5.

Положив ß = 4, вновь составим по указанному выше способу число, подлежащее вычитанию:

44-4= 176.

Это число меньше 203, значит, вторая цифра корня ß = 4. Меньше 4 вторая цифра быть не может, потому что корень был бы тогда меньше 2400; а так как 6031936>(2400)2, то, значит, корень должен быть больше 2400.

Действия располагаются в таком порядке:

Снеся к остатку 27 следующую грань 19, мы получаем 2719, в десятках которого должно заключаться удвоенное произведение найденной ранее части корня, т. е. 24, на новую цифру у» а во всем числе — сумма 2-24у десятков+ y2 еди“ ниц. Но так как в состав 271 десятка могут входить десятки от квадрата у» то отсюда следует, что

Взяв целую часть частного от деления 271 на 2-24, получаем высшую границу для третьей цифры корня: y<5. Чтобы убедиться, не будет ли у = 5, надо узнать, содержится ли во всем числе сумма:

2-24-5 десятков-j-52 единиц, или 2-24-5-10+52. Вынося за скобки 5, получаем:

(2-24-10+ 5).5, или 485-5.

Отсюда видим, что число, подлежащее вычитанию, составляется и здесь по тому же самому закону, как и в предыдущем случае, а именно: к удвоенной, прежде найденной, части корня приписываем справа новую цифру корня и полученное число умножаем на эту новую цифру.

Выполнив умножение, получаем число 2425, которое содержится в 2719 (т. е. меньше последнего), откуда заключаем, что y = 5.

Произведя вычитание, получаем остаток 294.

Снеся к остатку следующую грань, получаем число 29 436, в десятках которого должно содержаться удвоенное произведение найденной части корня на новую цифру 8. Но так как в состав 2943 десятков могут входить еще и десятки от квадрата 8, то отсюда имеем:

Взяв целую часть частного, получим число 6. Чтобы убедиться в правильности значения 8 = 6, надо испытать, содержится ли в числе 29 436 сумма: 2-245-6 десятков + 62 единиц, или 2.245-6-10+б2 = (2-245-10+6).6, или 4906-6.

Число, подлежащее вычитанию, составляется по тому же правилу, что и раньше. Выполнив умножение, находим число 29 436, т. е. значение 8 = 6 найдено правильно, и все подкоренное число 6 031 936 представляет собой точный квадрат числа 2456.

Весь процесс извлечения корня может быть записан в форме:

Из всего изложенного вытекает правило извлечения квадратного корня из многозначного целого числа с точностью до единицы, которое известно из школьного учебника.

ИТОГИ ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЙ

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ ОКАНЧИВАЮЩИХ СРЕДНЮЮ ШКОЛУ

М. Л. ЛЕЙВИКОВ (Арзамас)

Подавляющее большинство поступавших на физико-математический факультет Арзамасского педагогического института имели в аттестатах зрелости оценки по математике «четыре»; немногие из поступавших имели оценки «три» и только несколько человек имели оценки «пять».

На экзаменах абитуриенты обнаружили вполне удовлетворительные знания по математике в пределах требований программы: подавляющее большинство справилось с предложенными задачами на письменном экзамене и давало вполне удовлетворительные ответы по теории на устном экзамене.

Однако во время экзаменов выявлен и ряд существенных недостатков в подготовке абитуриентов.

Основной недостаток в подготовке по математике — это отрыв теории от практики, формализм в знаниях.

Так, абитуриент Е., окончившая Вадскую среднюю школу, хорошо изложила в общем виде вопрос об исследовании системы двух уравнений первой степени, но не могла привести конкретные примеры для пояснения сделанных ею выводов, не могла привести пример несовместной системы или системы, имеющей бесконечное множество решений.

Абитуриент С, окончившая ту же школу, хорошо изложила вопрос о свойствах параллельных сечений в пирамиде, но не могла ответить, какая часть пирамиды отсекается плоскостью, проведенной параллельно основанию на расстоянии 1/10 ее высоты, и даже не ответила на вопрос, во сколько раз площадь полученного сечения меньше площади основания.

Абитуриент К., окончившая Личадеевскую школу, правильно доказала теорему об отношении площадей подобных фигур, но не могла ответить на вопрос, чему равна площадь земельного участка, если план его, изображенный в масштабе 1 :2000, занимает 4 см2. Вообще поступавшие плохо справляются с решением задач, связанных с применением понятия масштаба. Абитуриент К., окончившая Ардатовскую школу, правильно изложила вопрос о вычислении площади круга, но не в состоянии была определить площадь дна стоявшего на столе цветочного горшка.

Абитуриент X., окончившая Арзамасскую школу имени Чкалова, правильно доказала теорему о вычислении поверхности шара, но не могла ответить, как практически определить поверхность деревянного шара.

Почти никто из поступавших не знает, как измерить угол на местности, как практически определить высоту предмета, многие затруднялись ответить, как измерить угол между плоскостью стола и карандашом, наклоненным к столу, хотя знают определение угла между прямой и плоскостью. Многие затруднялись, как проверить перпендикулярность карандаша к плоскости стола, хотя знали теорему о двух перпендикулярах и умели ее доказывать.

Подавляющее большинство поступавших не умело пользоваться таблицами квадратов и кубов чисел, слабо знало, как пользоваться таблицами натуральных тригонометрических функций и даже таблицами логарифмов.

Так, абитуриенты 3. из Арзамасской школы имени Ворошилова, К. из Арзамасской школы рабочей молодежи, К. из Ардатовской школы и др. не могли определить значение угла по заданному значению его тригонометрической функции. Например, определить х, если ctg х = 0,31. Некоторые не знали, как приступить к решению этого вопроса. Другие принимали 0,31 за lg ctg ле и отыскивали х по таблицам логарифмов тригонометрических функций. Интересно отметить, что поступавшие сравнительно легко находили число по его логарифму, если значение логарифма дано с четырьмя десятичными знаками, но затруднялись решить ту же задачу, если значение логарифма дано с меньшим числом десятичных знаков.

Изложив свойства логарифмов чисел, некото-

рые из абитуриентов затруднялись ответить на вопрос, чему равен lg(10:i) или lg(—12).

Некоторые из абитуриентов не умели извлекать квадратный корень из чисел, имеющих нечетное число десятичных знаков. Особые трудности вызывал вопрос, чему равен корень квадратный из 0,1 или 0,001.

Большие трудности вызывало вычисление выражений, содержащих отрицательные компоненты, при помощи таблиц логарифмов.

Так, абитуриент С. из Чернухинской школы не могла вычислить при помощи логарифмов произведение 428-(—231), а К. из Молдавской ССР не могла вычислить

Почти все поступавшие умели строить графики простейших функций, но редко кто знал, как надо практически пользоваться ими для производства приближенных вычислений. Некоторые из абитуриентов не могли указать на графике, чему равен у при данном значении х на ими же построенных графиках:

или даже

у = ах Ь.

Далеко не все из поступавших проверяли производимые ими вычисления и корни решенных уравнений. Некоторые решений уравнений вовсе не проверяли, другие проверяли только один из нескольких найденных корней или проверяли решения лишь по одному уравнению из заданной системы уравнений.

Слабы у абитуриентов навыки в устном счете. Были случаи, когда они затруднялись устно вычислить, например, 428-5.

Арифметические действия часто производились нерационально. Вот несколько примеров:

Были случаи, когда абитуриенты не могли ответить, сколько квадратных метров в 1 га, сколько га ъ \ кв. км.

По тригонометрии часто допускались ошибки такого рода:

хотя поступавшие знали формулы тригонометрических функций двойных и половинных углов и умели выводить эти формулы (Л. из школы № 18, Арзамас II, Н. из Арзамасской школы имени Пушкина, Р. из Ардатовской школы и др.). Зная правила знаков тригонометрических функций для углов различных четвертей, некоторые затруднялись пояснить эти правила на чертеже. У многих чисто формальны знания обратных тригонометрических функций; графиков этих функций почти никто не знает, нетвердо знают главные значения; не все могут преобразовать tg(arctg^).

Массовой оказалась следующая ошибка. Определяя площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и проходящей через центр вписанного шара, радиус сечения принимали равным радиусу вписанного шара. Это указывает на недостаточное развитие пространственных представлений.

Перечисленные недостатки в знаниях абитуриентов средней школы, имеющих в основном в аттестатах зрелости отметку «4» по математике, указывают, что в ряде школ до сих пор еще мало уделяется внимания вопросам приложения теории к практике, ряд вопросов изучается чисто формально и почти не уделяется внимания привитию практических навыков. Устранение этих недостатков совершенно необходимо, особенно в свете задач политехнического обучения.

ВЫШЕ УРОВЕНЬ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ ОКАНЧИВАЮЩИХ ШКОЛУ

В. И. РУБЦОВ и Л. С. ФРЕЙМАН (Воронеж)

Преподаватели высшей математики, теоретической механики, физики и других дисциплин в высших учебных заведениях нередко встречаются с недостаточной подготовкой учащихся по некоторым вопросам элементарной математики. Пробелы в знаниях, вынесенных из средней школы, отчасти объясняются неудачным распределением времени по разделам математики, отчасти же тем, что преподаватели математики в средней школе не всегда знают,

что потребуют от их питомцев в высшей школе, или не всегда считаются с этими требованиями.

Несоответствие подготовки нуждам вузов особенно ярко проявляется на приемных экзаменах. Некоторые выводы, напрашивающиеся при анализе результатов приемных экзаменов, излагаются в настоящей статье.

Материалом послужили приемные экзамены в Воронежский лесохозяйственный институт в августе 1953 г., в которых участвовало около 900 человек, окончивших в 1953 г. средние школы различных областей.

Экзамены проводились по билетной системе. В каждом билете имелось три вопроса: по одному из алгебры, геометрии и тригонометрии. Вопросы не выходили за пределы программы экзаменов, утвержденной Министерством высшего образования СССР. На подготовку экзаменующемуся предоставлялось время от 25 до 40 минут. После ответа на вопросы, помещенные в билете, экзаменующемуся, если это признавалось необходимым, задавались дополнительные, беглые вопросы, главным образом касавшиеся разделов предмета, особенно важных для усвоения курса высшей математики.

Из 756 экзаменовавшихся по математике получили неудовлетворительные оценки 35 человек, что составляет 4,6%. Таким образом, средний уровень подготовки можно признать вполне удовлетворительным. Однако эти общие цифры не могут скрыть весьма многочисленные пробелы, тем более досадные, что они наблюдаются нередко у людей, в общем довольно основательно подготовленных.

Одним из наиболее существенных недостатков является формальный характер знаний. Можно привести такой пример. Экзаменующийся бойко и правильно дает определение более или менее сложного понятия, например логарифма числа при данном основании. Однако стоит лишь задать пример, для решения которого требуется применить определение логарифма, как отвечающий становится втупик. Это показывает, что определение выучено, но не воспринято с пониманием его смысла. Конечно, далеко не все поступающие страдают этим недостатком, однако он, к сожалению, встречается значительно чаще, чем это допустимо.

Даже у лиц, относительно лучше подготовленных, наблюдается нетвердое знание как раз тех разделов, которые чаще всего используются при прохождении высшей математики.

Так, из алгебры экзаменующиеся нередко обнаруживают слабое знание геометрической прогрессии и, особенно, ее свойств. А между тем основы элементарной теории рядов в значительной своей части базируются на свойствах бесконечной геометрической прогрессии.

При доказательстве существования замечательного предела в курсе анализа

e=Vm A + J-Y

обычно обнаруживается недостаточно умелое обращение с биномом Ньютона. Действительно, предлагавшиеся на приемных экзаменах с нарочитой целью беглые вопросы из теории бинома Ньютона позволяли в большинстве случаев установить лишь механическое удержание в памяти результативных формул. Отсутствовало вдумчивое отношение к процессу вывода формул и к их содержанию. Таково же положение с общей теорией логарифмов и с некоторыми другими разделами алгебры.

Из геометрии учащийся должен вынести первоначальное знакомство с процессом перехода к пределу. Нет надобности доказывать чрезвычайную важность этого знакомства для успешного усвоения всего курса анализа. К сожалению, именно этот раздел геометрии, один из наиболее тонких и в то же время ближе других подводящий учащегося к кругу идей высшей математики, — усваивается, как правило, менее основательно, чем другие. Среди многих десятков ответов, касавшихся предельного перехода, только один ответ можно было признать безукоризненным не только с точки зрения изложения обязательного материала, но и с точки зрения глубокого понимания существа вопроса.

Из тригонометрии учащимися, если судить по приемным испытаниям, слабее всего усваиваются методы решения тригонометрических уравнений и в особенности обратные тригонометрические функции.

Все эти пробелы и недостатки, к сожалению, встречаются, как сказано, не только у слабо подготовленных экзаменующихся, но и у лиц, подготовленных в основном неплохо.

Не лишены общего интереса наблюдения, вынесенные из проверки знаний плохо подготовленных претендентов на звание студента. Здесь встречаются такие «знания» элементарной математики, которые заставляют только развести руками. Вот несколько примеров.

Алгебра

1. -g- = 0, и вообще всякое число, разделенное на нуль, дает нуль.

2. а° = 0 (Новопокровская ср. шк., Тамбовская обл.).

G3 _\2 9 _ /Ь ) =“^5, т. е. при возведении корня в степень возводится показатель корня.

4. 22+33 = 5*, т. е. при сложении степеней основания складываются между собой, показатели — между собой (Усманская ср. шк. № 1, Воронежская обл.).

5. У“—31 =/“^6. Объяснения получить не удалось (шк. рабочей молодежи № 1, г. Воронеж).

6. Дано уравнение:

У а2х — а -|- Va2x + а = а2; для того чтобы освободиться от радикалов, обе части уравнения возводятся во вторую степень следующим образом:

(Старо-Оскольская ср. шк., Курская обл.).

7. Разложение многочленов:

Эта таблица написана экзаменующимся постепенно, по мере попыток спрашивающего помочь наводящими примерами и убедить в неправильности каждого из разложений. Попытки не привели ни к чему, так как раскрытие скобок оказалось непреодолимым препятствием (Краматорская ср. шк., Сталинская обл.).

8. Дано уравнение:

Процесс решения:

Зх — Зх — 8 — 10.

На этом этапе задача была признана неразрешимой (шк. рабочей молодежи № 2, г. Воронеж).

Геометрия

1. Скрещивающиеся прямые; определение: «когда одна прямая пересекает другую под углом» (шк. рабочей молодежи № 1, г. Воронеж).

2, Площадь круга: 5 = тг/? (многочисленные ответы).

Тригонометрия

1. Вопрос: каковы значения синуса углов

^ = 30°; <р = 90°; <? = 180°? Ответ:

(ОЗШ, г. Воронеж).

2. Формулы приведения:

(Краматорская ср. шк., Сталинская обл.).

3. Дано уравнение:

После ряда не поддающихся объяснению преобразований из этого уравнения получено:

В полученном ответе экзаменующийся не обнаружил ничего такого, что вызвало бы сомнение в правильности решения.

4. Вопрос: sin250° привести к функции острого угла.

Ответ:

250° = (250° — 70°) = 70°

(ср. шк. № 41, г. Воронеж).

В заключение приведем редкий случай полного отсутствия математического воспитания ума.

Теорема: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство. В прямоугольном треугольнике CAB из вершины прямого угла А опускаем перпендикуляр AD на гипотенузу СВ. Тогда, как известно,

AC2=CD2^ÄD2 и AB2 = BD2-f AD2

и т. д. (Коротоякская ср. шк., Воронежская обл.).

Таким образом, после прохождения всего курса математики абитуриент не видит различия между известным и доказуемым и вообще не понимает идеи построения математического доказательства.

Приведенные примеры свидетельствуют уже о наличии в ряде школ недостаточной требовательности при проведении выпускных экзаменов.

В процессе проведения приемных экзаменов в течение ряда лет обращает на себя внимание низкий уровень ответов абитуриентов, окончивших Хохольскую среднюю школу. Нетвердое знание самых необходимых формул, в особенности тригонометрических, неуклюжие или бессмысленные формулировки, отсутствие технических навыков при проведении формальных преобразований — все эти «минусы» неизменно присутствовали в ответах «хохольцев». При наведении справок у экзаминаторов прошлых лет оказалось, что Хохольская средняя школа давно известна слабой математической подготов-

кой учащихся. Было признано целесообразным познакомиться с итогами сдачи экзаменов выпускниками этой школы более подробно. Результаты этого знакомства приводятся ниже.

Из окончивших Хохольскую среднюю школу держало экзамены всего 7 человек. Ни один из них не прошел в институт по конкурсу. Также ни один из них не получил оценок выше «посредственно» ни по математике, ни по физике. Всего 7 человек получили 31 отметку, из которых только 5 хороших и ни одной отличной. Два человека не сдали экзамены по математике. Подробный анализ оценок показал, что в этой школе оставляет желать лучшего уровень подготовки по всем вынесенным на экзамены дисциплинам.

Этот пример показывает, что существуют отдельные школы, не обеспечивающие должного качества знаний выпускников, оканчивающих эти школы.

О подготовке по математике выпускников ШРМ

Школы рабочей молодежи выполняют большую работу. Они позволяют закончить среднее образование тем, у кого по той или иной причине был перерыв в ученье. Получая в свое распоряжение разнородный по уровню подготовки контингент, старшие классы ШРМ не успевают, к сожалению, выровнять к моменту окончания знания учащихся. Из-за этого выпускники ШРМ поражают различием в качестве подготовки. На приемных экзаменах приходилось слушать в полном смысле слова отличные ответы от выпускников ШРМ. Прекрасные знания показали многие из абитуриентов, окончивших ШРМ. Но наряду с такими отрадными результатами имеются примеры непозволительно либерального отношения отдельных школ рабочей молодежи к оценке знаний учащихся.

Среди приведенных выше примеров слабых знаний некоторые взяты из ответов выпускников ШРМ. Эти ответы в целом производили очень тяжелое впечатление. Низкая культура речи, ответы, свидетельствующие лишь о неудачной попытке «вызубрить», но никак не понять материал, беспомощность при выполнении формальных преобразований, полное неумение обращаться с таблицами — все это невольно ставит экзаминатора перед вопросом: как же при таких знаниях был выдан аттестат зрелости?

Нам кажется, что необходимо в скорейшее время значительно улучшить постановку преподавания математики и уровень требований в школах рабочей молодежи.

Выводы. Основной вывод, не являющийся, разумеется, новостью для работников средних школ, заключается в том, что знания учащихся нередко имеют формальный характер. С точки зрения высшей школы, обязанной воспитать специалиста - новатора, исследователя, энтузиаста своей специальности, формализм в знаниях абсолютно нетерпим.

Необходимо, далее, изменить отношение к тем вопросам, которые являются важнейшими для усвоения высшей математики. Выше было приведено несколько примеров. Увеличивать здесь их число нет необходимости, суть дела понятна: надо углубить проработку тех разделов, которые ближе всего подводят к кругу идей математического анализа.

Весьма неудовлетворительно положение с тригонометрией. Снижение требований по этому предмету в средней школе привело к тому, что на первом курсе института на практических занятиях по высшей математике, по теоретической механике огромное количество времени расходуется на пополнение знаний из тригонометрии. Иначе говоря, работники средней школы перекладывают часть своей работы на ассистентов вузов.

Особенно плохо обстоит дело с обратными тригонометрическими функциями. Прежде всего нельзя согласиться с тем, что программа приемных экзаменов (утвержденная на 1953 г.) требует лишь понятия об обратных тригонометрических функциях. Этого совершенно недостаточно. Уже для работы на первом курсе учащемуся необходимо основательное знание обратных тригонометрических функций, их свойств и графиков. Отражением низких требований, предъявляемых к этому важному для высшей математики разделу, служит и тот факт, что в учебнике (Н. Рыбкина) для IX и X классов обратным функциям отведено три страницы, что составляет меньше 3% всего объема учебника. Нередко приходится слышать от студентов (окончивших большею частью районные и сельские школы), что у них в школе об «аркусах» вообще не было речи.

Наконец, приходится отметить недостаточную связь кафедр институтов с преподавателями математики средней школы. Результатом отсутствия контакта является взаимная неосведомленность обеих сторон, наносящая ущерб делу. В качестве примера можно привести такой случай. Весьма опытный педагог, приглашенный из средней школы для участия в проведении приемных экзаменов, послушав вопросы, которые задавал экзаменующимся представитель кафедры математики института, сказал: «Теперь я понимаю, что вам в вузе требуется». Не вызывает сомнения, что если преподаватели средней школы будут лучше осведомлены о нуждах институтов, они перенесут акценты

на соответственные разделы своей программы, отчего подготовка специалистов в высшей технической школе сильно выиграет.

Нам кажется, что следует поднять и один общий для средней школы вопрос — о перегруженности программы средней школы чрезвычайно большим количеством проходимых предметов, мешающей сосредоточить внимание на усвоении и закреплении знаний и навыков, получаемых учащимися по основным дисциплинам.

О ПОДГОТОВКЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ОКАНЧИВАЮЩИХ СРЕДНЮЮ ШКОЛУ

С. Г. СУББОТИН (Ленинград)

Часто приходится слышать от преподавателей средней школы, что из-за недостаточной связи в работе между преподавателями средней и высшей школы, из-за недостаточного обмена мнениями между ними учителя средней школы не всегда хорошо представляют себе, какие требования предъявляются к их ученикам на приемных испытаниях в высших учебных заведениях и какие недостатки в математической подготовке оканчивающих средние школы мешают им успешно заниматься высшей математикой в вузах.

Основное требование, которое предъявляют к поступающим в высшие технические учебные заведения, куда идут многие из выпускников средних школ, — это наличие математической грамотности и умение мыслить. К сожалению, все еще встречаются случаи, когда абитуриенты, имеющие в аттестатах высокие оценки по математике, обнаруживают неосведомленность в ее основах, дают ответы, явно противоречащие здравому смыслу.

Ниже приводится ряд ответов лиц. державших в 1953 году приемные экзамены в Ленинградский институт инженеров водного транспорта.

1) а) Медианы треугольника в точке их пересечения делятся пополам,

(Школа № 1, с. Вязовка Сталинградской обл.)

(Школа № 3 в Новороссийске.)

(Школа № 4 в Аткарске.)

4) а) В чистую периодическую дробь обращается такая обыкновенная дробь, знаменатель которой — нечетное число;

то хх и л?2 — вещественные, если

то хх и х<2 — мнимые;

(г. Даугавпилс)

5) а) Иррациональным числом называется неизвестное, стоящее под знаком радикала;

(Школа № 21, ст. Медведево Калининской ж. д.)

6) а) Разложить на множители б — х — х29

(пос. Пола, Новгородской обл.)

7) а) Размещения из элементов д, с,..., т\

Ь) Преобразовать

с) упростить

(Школа №23, г. Снежное Сталинской обл.)

8) а) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, а стороны, заключенные между ними, пропорциональны, то треугольники подобны, т. е. ^Л = ^Л1 и <£В~ <£BX и AB : АХВХ\

(ст. Неболчи Новгородской обл.)

(г. Починок Смоленской обл.)

10) Упростить:

(Школа № 1 в г. Порхове.)

11) а) Если две плоскости параллельны одной прямой, то они параллельны между собой (и «доказывает» это положение);

После указания экзаминатора делает иначе:

так как косинус во II четверти положителен, то минус перед косинусом опускается. (Школа № 1, г. Осташков.)

(черт. 2)

(Школа № 2, г. Сталинград.)

13) Упростить:

(пос. Великое Ярославской обл.)

(Школа № 1, г. Порхов.)

15) а) Точка пересечения медиан — центр круга, описанного около треугольника. Докажем это: медианы делят стороны пополам, значит, и углы делят пополам. Против равных сторон лежат равные углы, следовательно, ^/1 = ^2, так как они лежат против общей стороны OB (черт. 3). А если сторона и угол одного треугольника соответственно равны стороне и углу другого треугольника, то треугольники равны между собой, следовательно, /\АОВ = ДСОВ, отсюда ЛО = ОС, значит, точка О — центр описанного круга.

Черт. 1 Черт. 2 Черт. 3

b) На просьбу показать линию тангенса угла ЛОВ (черт. 4) абитуриент чертит (черт. 5) и показывает: DC — линия тангенса /^АОВ.

Черт. 4 Черт. 5

с) При переносе запятой на 2 знака вправо число увеличивается в 100 раз, так как вправо по числовой прямой откладываются положительные числа.

(Школа № 1, г. Ливны Орловской обл.)

или иначе:

следовательно, lg 5 =

(Глинковская средняя школа Смоленской обл.)

Все приведенные здесь примеры ответов даны лицами, имеющими в аттестатах оценки «4» и «5» по математике. Это говорит о недостаточной требовательности к ученикам в некоторых школах, о недостаточном внимании к теории математики и ее применению при решении примеров и задач; о том, что во многих школах довольствуются более или менее формально правильными ответами учащихся; о недостаточном внимании к строгости математической речи и о либерализме при выставлении отметок.

Кроме указанных недостатков, нельзя еще не отметить следующие:

1. Все без исключения окончившие среднюю школу считают вычислительную работу второстепенной и относятся к ней с недопустимым пренебрежением.

2. Почти отсутствует стремление найти наиболее рациональный путь решения поставленной задачи.

3. Неудовлетворительны техника записи преобразований и вычислений и выполнение чертежей. Записи в большинстве случаев неряшливы, непоследовательны и неполны; большинство экзаменующихся затрудняется выполнить чертеж от руки.

Что касается недостатков в математической подготовке окончивших среднюю школу по отдельным предметам, то обращает на себя внимание, что подготовка по арифметике и тригонометрии за последние годы стала ниже, чем была раньше.

По арифметике слабее всего усвоены следующие вопросы:

1. Сложение и вычитание смешанных чисел.

Например:

2. Периодические дроби.

3. Пропорциональные величины. Например:

X и у — прямо пропорциональные величины, если у = X + у = log лг, у = sin х; X и у — обратно пропорциональные величины, если у = cos х; или: сторона AB пропорциональна стороне АХВ{.

4. Деление нуля и деление на нуль.

5. Устный счет.

По алгебре наиболее слабо усвоены следующие отделы:

1. Логарифмы.

Учащиеся слабо решают логарифмические уравнения.

2. Теорема Виета. Например:

В уравнении

3. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Например:

4. Действия с иррациональными выражениями. Например:

5. 50% экзаменовавшихся путали тождественные преобразования с преобразованиями уравнений.

6. 75% опрашиваемых считают, что у — а — число мнимое.

По геометрии слабее всего усвоены следующие вопросы:

1) доказательство методом от противного;

2) подобие прямолинейных фигур;

3) положение центров кругов — вписанного в треугольник и описанного около треугольника;

4) все вопросы, связанные с понятием предела переменной величины.

По тригонометрии:

1. Учащиеся не умеют пользоваться формулами приведения.

Например:

2. Слабо знают радианное измерение углов. Как правило, все переводят радианную меру угла в градусную, и часто неверно; утверждают, что тс — это 180°.

3. Многие имеют совершенно неверные представления об обратных тригонометрических функциях.

Например: arc sin х — это угол, ах — это дуга; или: arc sin х — это дуга, а х — это угол; или: arcsm* —это угол, а х — это значение угла.

4. Нетвердо усвоены основные понятия о тригонометрических функциях и их знаках.

5. Многие не могли определить приближенное значение какой-либо тригонометрической функции угла, заданного чертежом.

Основные причины такого положения с математической подготовкой оканчивающих средние школы, повидимому, следующие:

1. Нет достаточного контакта в работе преподавателей средней и высшей школы, и в периодической печати вопрос о недостатках подготовки кончающих средние школы освещается недостаточно.

2. Отчеты о приемных экзаменах, представляемые высшими учебными заведениями в министерства, недостаточно изучаются.

3. Экзамены по математике на аттестат зрелости и вступительные экзамены в вузы производятся по разным программам.

4. Курс элементарной математики, пройденный в младших классах школы, не повторяется в X классе и в значительной мере забывается.

5. Школьная программа по математике перегружена материалом и по своему объему не соответствует отведенному для ее прохождения времени, что не дает возможности учителю проработать ее должным образом.

6. В значительной мере мешает работе существующая практика судить о качестве работы школы и учителя по отметкам, выставляемым самим же учителем, что в ряде случаев вызывает нездоровую погоню за внешними показателями, либерализм в оценках и сильное снижение качества работы учителя.

Опыт работы учителей, которые следят за требованиями, предъявляемыми к поступающим в вузы, и заставляют своих учеников повторить и привести в систему весь материал или хотя бы важнейшие его моменты к окончанию школы, говорит о том, что и при существующих условиях работы в средней школе преподаватель математики многое может сделать для того, чтобы подготовить своих учеников к поступлению в высшее учебное заведение.

НЕКОТОРЫЕ ИТОГИ КОНКУРСНЫХ ЭКЗАМЕНОВ ПО МАТЕМАТИКЕ В БЕЛОРУССКИЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИКУМ СВЯЗИ В 1953 г.

Я. С. ЮДКОВИЧ (Пинск)

На конкурсные экзамены в Белорусский электротехникум связи в г. Пинске в 1953 г., как и в предыдущие годы, съехались выпускники седьмых классов семилетних и средних школ почти всех областей БССР и некоторых областей РСФСР.

Приемные испытания по математике показали, что общая культура, прочность и глубина знаний в этом году выше, чем в предыдущие годы. Многие учащиеся сельских школ проявили глубокие и прочные знания. Однако, к сожалению, пока еще следует констатировать, что ответы выпускников городских школ производят лучшее общее впечатление.

Грамотность учащихся серьезно повысилась. Однако можно еще встречать ошибки, за которые отвечают в первую очередь преподаватели математики (единица, математика, математика, вариант, варианд, диагналь, слаживать части вместо складывать). Встречаются и орфографические ошибки, в том числе и в надписях на работах, как, например:

«Контрольная работа... Картынник Джеммы Петровной» (г. Петриков, средняя школа № 1).

Экзамены по математике проводились в объеме программы семилетней школы и почти ничем не отличались от экзаменов за семилетнюю школу.

Письменная работа по алгебре с арифметикой для каждой группы была дана в двух вариантах. В устный экзамен включались два вопроса по геометрии, один по арифметике и задача по геометрии.

В письменную работу были включены:

1. Текстовая задача на составление уравнения с одним неизвестным или системы двух уравнений с двумя неизвестными.

2. Пример на все действия с алгебраическими дробями.

3. Пример на все действия с арифметическими дробями.

Варианты работ были подобраны различных типов. По степени трудности они были почти одинаковы и не труднее тех, которые предлагаются на экзаменах за седьмой класс.

Необходимо отметить, что находились такие абитуриенты, которые справились только с арифметическим примером, а к решению задачи и алгебраического примера не приступили. Находились и такие, которые не в силах были даже начать арифметический пример.

Кратко остановлюсь на качестве знаний и недостатках по предметам.

Арифметика

Большая часть поступающих слабо усвоила действия над десятичными и простыми дробями. Часто для нахождения наименьшего общего знаменателя знаменатели дробей перемножаются:

Результат не сокращают, и это в дальнейшем усложняет решение примера.

Встречаются и такие случаи, когда при умножении компоненты в частном произведении не сокращаются:

Это есть, между прочим, результат того, что некоторые преподаватели не приучают учащихся сокращать дроби в процессе умножения.

При делении десятичных дробей абитуриенты обязательно обращают в целые числа и делимое и делитель.

Например, при делении 6,25 на 2,5 пишут: 625:250.

Обращение простых дробей в десятичные абитуриенты производят делением числителя на знаменатель дроби и почти не пользуются вторым способом — умножением знаменателя и числителя на множитель, обращающий знаменатель в единицу с нулями.

Часто допускаются ошибки и на порядок действий.

Нередко абитуриенты плохо различают нахождение дроби числа и числа по его дроби.

Слабым местом остаются процентные расчеты. Часто встречаются такие записи:

Найти 12,5% от 960 рублей:

Слабым местом в процентных расчетах попрежнему остается нахождение процентного отношения двух чисел и денежные расчеты.

Сколько процентов составляет

Многие абитуриенты совершенно не задумываются над тем, может ли искомый ответ выражаться найденным числом, например:

1. Найти число, -g- которого составляют 120:

проверка:

2. Найти 12,5% от 360 рублей:

3. Абитуриент решил задачу и получил ответ, что сыну 9 лет, а отцу 4 года. Этот ответ абитуриента совершенно не смущал до тех пор, пока остальные на это не реагировали.

Слабым местом является устный счет. Абсолютное большинство абитуриентов простейшие вычисления производит письменно, не знает простейших приемов четырех действий над двузначными числами, не знает приемов умножения на 5, 50; 25, 2,5; 12,5, 125; 15, 11.

Многие абитуриенты читают хорошо наизусть законы арифметических действий, но при решении примеров их не применяют:

в то время когда здесь действия производятся устно.

Алгебра

На письменной работе предлагалась задача, которую вполне можно было решить с одним неизвестным. Однако абсолютное большинство решило ее при помощи системы уравнений. Некоторые задачи можно было решить арифметически, но из всех державших конкурсный экзамен только один дал арифметическое решение.

В основном с решением текстовых задач на составление уравнений дело обстоит более благополучно, чем в прошлые годы. Количество учеников, которые грамотно решают задачи, намного увеличилось. Многие дают глубокий анализ задачи, ясное обоснование ее решения, объяснения к выбору неизвестных, к введению обозначений и составлению уравнений, последовательно и культурно располагают записи, умело делают проверку решения задачи. Однако наряду с этим следует отметить ряд существенных недостатков.

Среди большого количества задач, подобранных для конкурса, были задачи различных типов. Проверка работ показала, что слабым местом надо пока считать решение задач на движение и совместную работу, хотя решение задач других типов также оставляет желать лучшего.

Вот пример простой задачи.

Магазином продано 55 мужских и детских пальто на сумму, 4% которой составляют 1380 рублей. Мужское пальто стоит 750 рублей, а детское 40% стоимости мужского пальто. Сколько было продано отдельно мужских и детских пальто?

Приведу дословно «объяснение» и «решение» этой задачи абитуриентом А. (г. Минск, школа № 14).

«За X примем мужское пальто. Если стоимость одного мужского пальто 750 рублей, то всех 750 х.

Если все пальто равны у, то стоимость всех пальто

Это стоят все пальто, мужские и детские.

40 — количество мужских пальто

15 — количество детских пальто».

Следует отметить, что единицы измерения (наименование) — «штук» — вообще никем не указывались.

Выпускники седьмых классов недостаточно ориентируются во взаимосвязи между скоростью, временем и пройденным путем.

Группе поступающих была предложена задача:

Из двух мест, расстояние между которыми 650 км, отправляют по железной дороге два поезда один навстречу другому. Если оба поезда выйдут с мест одновременно, то они встретятся через 10 часов, если же второй поезд отправится на 4 часа 20 минут раньше первого, то встреча состоится через 8 часов после отправления первого поезда. Сколько км проходит каждый поезд в час?

Абитуриент Т. (г. Богушевск Витебской обл.) решал задачу так:

«je — километры, пройденные поездом в час.

8л: — скорость первого поезда, когда второй отправился на 4 часа 20 минут.

IOjc — скорость второго поезда.

Были и такие «решения», «ле км в час —скорость 1-го поезда у км в час — п 2-го „ х+у = 650» и т. д.

Нижеприведенная задача была предложена другой группе поступающих:

Один наборщик проработал над выполнением заказа 9 часов, после чего закончить работу было поручено другому наборщику, который окончил работу за 4 часа 48 минут. Если бы оба наборщика работали вместе, то они окончили бы набор за 6 часов 40 минут. За сколько времени смог бы окончить каждый наборщик отдельно?

Многие поступающие не умеют выражать минуты в долях часа. Так, некоторые пишут: 4 часа 48 минут = 4,48 часа; 6 час. 40 минут= 6,4 часа.

Большинство не знало, как приступить к решению этой задачи, в том числе и двое окончивших восьмой класс. Только один дал правильное решение.

Два человека правильно составили систему, но не смогли ее решить, так как незнакомы с приемом введения вспомогательных неизвестных.

Интересно привести решение этой задачи абитуриентом X. (г. Ельск Полесской обл., школа № 2).

«Всю работу примем за единицу, а количество работы, совершенной в час первым рабочим, примем за х, а работу второго за у, тогда первый рабочий в 9 часов выполнит 9* работы, а второй А-^-у. Теперь можно составить уравнение:

Во втором случае оба рабочие работали по 6-^-часа. Теперь уравнение выразится

Составим систему уравнений:

У нас получилось, что за час первый рабочий выполняет работы, а второй ~ работы. Теперь можно узнать, сколько потребуется времени для выполнения всей работы каждому рабочему:

Но этот абитуриент пришел, хотя и неправильным путем, к правильному ответу. Вот еще одно из «решений» этой задачи. «Пусть первый наборщик смог бы окончить набор за X времени, а второй—у времени. А поскольку известно, что они закончили бы работу за 6 часов 40 минут, то складываем первое уравнение x+y = èOO.

Когда первый наборщик проработал над выполнением заказа 9 часов, то ему осталось: X — 9 час, а второй проработал 4,48 часа, то ему осталось у — 4,48 часа. А сейчас складываем второе уравнение х — 540 = у — 288. Получилась система уравнений:

Вероятно, эта одна из сильных учениц класса, ибо алгебраический и арифметический примеры она решила очень быстро.

Большинство абитуриентов не могли дать полное объяснение решения задачи. От дробей в коэффициентах все освобождаются, но очень немногие сокращают коэффициенты на общий делитель. Все учащиеся решают систему способом алгебраического сложения, но мало кто решает подстановкой и совсем никто — способом сравнения.

Было несколько задач, которые приводили, например, к таким системам:

Все решали эту систему способом алгебраического сложения, несмотря на то, что ее проще решить способом сравнения.

Вероятно, учащиеся седьмых классов в школе привыкают к шаблонному решению системы уравнений, о чем говорит следующий пример:

Часто при решении системы применяются самые разнообразные записи.

Одни выпускники ставят символ { слева, другие — справа; одни ставят этот символ только перед основной системой, а в дальнейшем каждую систему подчеркивают, другие — перед (или после) каждой системой и подчеркивают или же не подчеркивают систему; одни располагают решение вертикальным столбцом; другие не придерживаются горизонтальной записи.

С примерами на действия с алгебраическими дробями дело обстоит лучше. Однако слабым местом пока еще остаются тождественные преобразования алгебраических уравнений. Поступающие допускают ошибки в правильной постановке знаков:

в применении формул сокращенного умножения:

Многие окончившие семь классов алгебраический пример решают по действиям, т. е. расчленяют его решение на ряд отдельных этапов.

Обычно учащиеся приучаются к трафарету, шаблону и в решении алгебраических примеров. Нижеследующий пример был решен так:

Многие дали ответ:

Одна абитуриентка отошла от общего шаблона и дала такое решение, показав умение применять своевременно формулы сокращенного умножения:

Некоторые абитуриенты показали плохую подготовку в решении алгебраических примеров.

Геометрия

Экзамены по геометрии показали, что некоторые выпускники седьмых классов заучивали доказательства теорем наизусть без должного понимания их смысла, взаимной связи. Часто встречаются нечеткости в формулировках теорем, определениях геометрических понятий. Некоторые абитуриенты не понимают, что при доказательстве теорем необходимо использовать все данные, которые заключены в условии. Бывают и такие случаи, когда абитуриент при доказательстве ссылается на то, что требуется доказать. Иногда не отличают заключения от условия теоремы. Некоторые не придерживаются логической последовательности при доказательстве теорем. Иногда сразу же бросается в глаза отсталость логического развития поступающих

Одному абитуриенту предлагалось доказать теорему о сравнительной длине перпендикуляра и наклонных (г. Поставы Молодечненской обл.).

«BD = AB как прямые, лежащие против равных (прямых) углов» (черт. 1).

Черт. 1

* Однако простое сопоставление решений показывает, что в данном случае отход от «шаблона» не дал действительного упрощения. — Ред.

Но (я говорю) в таком случае и FB = AB: они также лежат против равных углов.

На данный вопрос поступающий не мог ответить и не мог понять, к чему этот вопрос. На мое замечание, что против равных углов лежат равные стороны только в одном и том же треугольнике или в равных треугольниках, абитуриент ответил, что он впервые это слышит.

Каждому абитуриенту предлагалась одна задача на вычисление или построение и редко на доказательство. Благополучнее всего обстоит дело с задачами на вычисление, хотя и здесь следовало бы ожидать много лучшего. Мало кто из выпускников седьмых классов может справиться с задачей на доказательство. Окончившему семь классов вечерней школы районного центра Поставы (БССР, Молодечненская обл.) с отметкой «4» была дана задача: доказать, что биссектрисы прямоугольника своим пересечением образуют квадрат.

Абитуриент начертил квадрат, провел его диагонали и доказывал, что данный квадрат есть квадрат.

С задачами на построение абитуриенты справляются, но никто из них не начинает задачу с анализа, почти никого не интересует исследование и доказательство, они начинают и кончают задачу построением.

Необходимо отметить, что выпускники школ мало внимания уделяют чертежу, эскизу. Иногда этот чертеж, а чаще эскиз совершенно не соответствует условию задачи, что затрудняет решение. Бывает и так, что абитуриент не умеет пользоваться циркулем, транспортиром и другими инструментами.

Учащиеся затрудняются в применении своих знаний к решению практических вопросов. Многие ученики легко выводят формулу суммы внутренних углов многоугольника 2d(п — 2), но ни один из них не смог подсчитать сумму углов, например, пятиугольника или шестиугольника.

Все решают задачу: через точку вне прямой провести прямую, параллельную данной прямой, но толком не могут рассказать, как провести параллельные прямые при делении отрезка на равные части. Легко решают задачу: из конца А данного луча AB, не продолжая его, восставить к нему перпендикуляр, но испытывают большие затруднения, когда этот перпендикуляр необходимо восставить при решении другой задачи (например, на данном отрезке AB построить сегмент, вмещающий данный угол).

Многие учащиеся затрудняются при помощи циркуля и линейки провести главные линии в треугольнике, высоты параллелограма и т. д.

Большинство выпускников школ не умеют пользоваться черновиками. Как правило, в черновиках ничего нельзя найти; они исписаны и вкривь, и вкось и похожи на настоящие «грязновике.

В техникум поступили без экзаменов отличники, однако лишь небольшой процент из них хорошо успевает, многие же из них успевают посредственно, а иногда являются неуспевающими.

От редакции

Итоги приемных испытаний в вузы и техникумы дают богатый материал, позволяющий судить о подготовке учащихся, оканчивающих семилетнюю и среднюю школу. Изучение этих итогов покажет как достижения, так и недостатки в работе школы. Чрезвычайно важным являются суждения экзаминаторов о том, по каким разделам математики учащиеся допускают массовые ошибки и нетвердо знают материал и какие вопросы из школьного курса важны для успешного изучения математики в вузах.

Вместе с тем итоги приемных испытаний показывают также, что в ряде случаев экзаминаторы несправедливо судят о подготовке окончивших школу. Так, например, в статье Я. С. Юдковича наряду с правильными указаниями на типичные ошибки учащихся имеются и неправильные обвинения в адрес абитуриентов. Нельзя согласиться с тем, что решение задачи посредством составления системы уравнений в случае, когда эту задачу можно решить при помощи уравнения с одним неизвестным, является недостатком. Приведенное автором решение задачи на совместную работу абитуриента X. является рациональным (мы не касаемся незначительных редакционных недочетов), ибо выбором неизвестных абитуриент избежал необходимости вводить вспомогательные неизвестные. В данном случае отход от шаблона должен, казалось бы, получить похвалу, а не порицание со стороны экзаминатора.

ИЗ ОПЫТА

ОБ ЭЛЕМЕНТАХ ПОЛИТЕХНИЗМА В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

А. Ф. ЮНИКОВ (Егорлыкский район Ставропольского края)

Учителя математики нашей школы (школы № 6 Егорлыкского района) поставили перед собой задачу — ознакомиться с математическими вычислениями, которые применяются в сельскохозяйственном производстве, и научить учащихся производить эти вычисления. Из бесед с механиками МТС, бригадирами тракторных бригад, учетчиками, трактористами мы установили, что каждый из работников должен знать и уметь:

1) измерить площадь, на которой была произведена работа, двумя способами: а) путем обмера, Ь) по количеству кругов;

2) перевести (пользуясь таблицей) любую выполненную работу в условную пахоту;

3) рассчитать сопротивление прицепного орудия или машины;

4) знать нормы выработки и расхода горючего;

5) измерить остаток горючего в баке трактора.

Как показал опыт, все эти сведения можно дать учащимся без ущерба для качества их знаний, требуемых существующей программой.

Учащиеся пятых классов были ознакомлены с измерением площадей по количеству «кругов», сделанных трактором, с помощью таблицы, которую им предложила заполнить учительница В. Д. Борисова при закреплении умножения десятичных дробей.

Объяснив, что такое «круг», и заполнив вместе с учащимися одну строчку таблицы, учительница предложила остальную часть таблицы заполнить самостоятельно. Учащиеся с большим интересом отнеслись к работе. После заполнения таблицы учительница спросила: «Сколько вспахал тракторист на тракторе ДТ-54, если за смену он сделал 50 кругов на клетке длиной в 1 км?>\ На дом учительница задала заполнить такую же таблицу, где плуги заменены сеялками, ширина захвата одной сеялки 4,2 му а количество сеялок в агрегате для СТЗ-1, для ДТ-54 и СТЗ-НАТИ — 3 и для С-80 — 5.

Таблица 1

Обрабатываемая площадь (в гектарах) при пахоте трактором за один круг

Учащиеся, упражняясь в умножении десятичных дробей и в превращении квадратных метров в га, научились подсчету выработки по количеству кругов.

При устном счете для знакомства с нормами выработки и нормами расхода горючего применяются таблицы (см. таблицу 2, стр. 46).

Такая же таблица изготовлена для знакомства с нормами расхода горючего. Таблицы постоянно висят в классе на стене.

Для упражнения в умножении на 25 предла-

гается следующий вопрос: «Сколько гектаров пара заборонует тракторист на тракторе СТЗ за 25 смен, выполняя норму?» При умножении десятичных дробей на целое число предлагается вопрос: «Сколько гектаров вспашет тракторист на тракторе СТЗ за 5 смен, выполняя норму?»

Таблица 2

Нормы выработки в га за 1 смену

Наименование работ

Выработка в га за 1 смену на трактор

СТЗ

ДТ-54

стз-НАТИ

С-80

Весенняя вспашка . . .

4,2

8

8

16

Боронование пара . . .

52

66

66

175

Вспашка многолетних трав........

_

6,5

6,5

12,6

Посев яровых.....

20

48

48

88

Культивирование пара

19

44

44

70

Лущение пара ....

11

22

22

31

В шестых классах учащиеся научились переводить различные тракторные работы в условную пахоту. Для этого была предложена следующая задача:

Тракторист Дулин на тракторе ДТ-54 вспахал весной 389 га, засеял (узкорядный сев) 265 га, убрал комбайном 300 га и вспахал под зябь 284 га. Норма выработки на трактор за сезон — 720 га условной пахоты. Определить процент выполнения плана (с точностью до 1%). Перед этим учительница Т. В. Ларионова вывесила в классе таблицу 3 перевода тракторных работ в условную пахоту и объяснила, как ею пользоваться. Учащимся было указано, что данные для задачи взяты из действительности (работы нашей МТС).

За 1 га выполненной работы начисляется условной пахоты

1.

Весенняя вспашка........

1 га

2.

Обычный сев..........

0,3 „

3.

Узкорядный сев.........

0,6 ,

4.

Боронование ..........

0,11 .

5.

Уборка комбайном........

0,5 .

6.

Сенокошение..........

0,3 .

7.

Подъем зяби (после многолетних трав)..............

1,4 .

В восьмых классах при изучении функций и их графиков мы дали учащимся составить и начертить номограмму: «Сопротивление почвы в зависимости от глубины вспашки и удельного сопротивления почвы». Для этого дается формула:

R = kBh (кг),

где k — коэффициент удельного сопротивления почвы, В — ширина захвата и h — глубина вспашки (в сантиметрах).

Номограмма составляется для одного корпуса плуга (В — величина постоянная — 35 см). Коллективно составляется таблица:

h (см)

18

20

22

24

26

28

0,2

126

140

154

168

182

196

0,3

189

210

231

252

273

294

0,4

252

280

308

336

364

392

0,5

315

350

385

420

455

490

0,6

378

420

462

504

546

588

Затем вычерчивается номограмма (черт, 1).

Черт. 1

Обмеру площадей непосредственным измерением мы учили учащихся во всех классах при проведении практических работ на местности. Каждую практическую работу мы сначала проводили в классе с помощью «миниатюр-полигона», а после этого выводили учащихся на местность. Миниатюр-полигон представляет собой лист фанеры размером 1,5 м X Ь5 на котором ставятся укрепленные на крестовинах эккеры, астролябия (упрощенная), эклиметр и вешки.

Приборы изготовлены учащимися школы. Высота приборов 30—40 см. Учитель устанавливает доску на своем столе, наклонив ее немного в сторону класса, и показывает, как надо выполнять работу, прочерчивая необходимые линии мелом. Для выполнения работ на местности мы с учащимися изготовили 10 эккеров, 5 астролябий, 5 эклиметров, 5 равнобедренных прямоугольных треугольников и 30 вешек. Все приборы (кроме вешек) снабжены отвесами и укреплены на стойках, заостренных внизу.

Из вопросов, относящихся к производственной деятельности полеводческой бригады, мы взяли только способы измерения скирд и стогов. На фанерной доске учащиеся изготовили модели скирды и стога из соломы, стянув их проволокой. Размеры скирды 70 см X 50 см X 30 см. Только после того как на модели были показаны приемы измерения объема, учитель вел учащихся к настоящей скирде, где они самостоятельно производили измерения. В V классе вычисления производились в целых числах, измерения выполнялись непосредственно; в VIII классе при измерении высоты пользовались признаками подобия треугольников, а в IX — высота измерялась с помощью эклиметра (решался прямоугольный треугольник).

Знакомство с производственной деятельностью в сельском хозяйстве хорошо вести на задачах, составленных по материалам местной МТС, колхоза. Такие задачи решаются учащимися с большим интересом, так как в них идет речь о людях, лично им знакомых.

Вот примеры таких задач:

В V классе.

1. Норма вспашки на тракторе ДТ-54 8 га за смену. Тракторист Дулин систематически перевыполнял норму на 1/8. Сколько га вспахал он за 14 дней?

2. При норме в 330 га условной пахоты за сезон тракторист Петров вспахал 528 га. Определить, на сколько процентов перевыполнил он план.

Пример задачи для VI класса был приведен выше.

В VII классе.

Какое количество кругов сделал тракторист на тракторе ДТ-54, если он пахал прямоугольное поле длиной 1 км и выполнил сменную норму?

Одним из важных моментов в подготовке учащихся к практической деятельности надо считать умение производить приближенные вычисления.

Учащиеся IV класса были научены определять приближенно (на глаз) площадь комнаты, небольшого участка земли, объем дома (внешний). В V и VI классах учащиеся дополняют свои умения вычислением площадей круглых клумб, параллелограмов. Большое значение мы придаем умению произвести приближенные денежные подсчеты, как, например: «Сколько рублей стоят 3 м сукна по 82 руб. 30 коп. за 1 мЪ (^247 руб.)

Частые упражнения на уроках алгебры в приближенных вычислениях выражений вида

выработали у учащихся девятых классов навыки контроля при вычислениях с таблицами логарифмов.

В настоящем учебном году мы знакомим учащихся при помощи решения задач, составления таблиц и графиков с работой комбайнового агрегата, с условиями оплаты труда комбайнеров.

Учителя математики школы сделали в прошедшем учебном году первые шаги в области внедрения элементов политехнического обучения. Опыт работы показывает, что качество обучения от этого не страдает. Учащиеся с большим интересом относятся к материалу, знакомящему их с производственной деятельностью человека. Однако одним нам не под силу справиться с целым рядом вопросов. Так, например, мы ознакомили учащихся V и VI классов с нормами выработки, со способами измерения площадей, на которых выполнены тракторные работы, но при существующих программах мы не видим возможностей закреплять эти умения в старших классах.

Трудно нам самим составлять задачи на местном материале. Формулировки условий зачастую получаются нечеткими, громоздкими. Неудовлетворительно обстоит дело с обучением работе на конторских счетах. Главснабпрос завозит к нам только большие счеты, а между тем нам надо в каждой школе иметь столько маленьких счетов, чтобы была возможность на уроке дать их каждому ученику (30—35 шт.). Желательно иметь пособие для учителя, где подобраны задачи, знакомящие учащихся с промышленным и сельскохозяйственным производством (цифры могут варьироваться в соответствии с местным материалом).

К ИЗУЧЕНИЮ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ЛИНЕЙКИ В ШКОЛЕ

К. Я. КАБАНОВА (Калинин)

В «Учительской газете» от 24 декабря 1952 г. помещена статья учителя 348-й средней школы г. Москвы Н. И. Сырнева под названием «Занятия с логарифмической линейкой».

Тов. Сырнев относится к числу немногих учителей, занимающихся изучением логарифмической линейки в школе. Он в своей практике не ограничивается только теоретическим ознакомлением учащихся с логарифмической линейкой, а добивается умения работать с нею. «Тема „Логарифмическая линейка“,—пишет т. Сырнев, — проходится в конце третьей четверти в IX классе, после изучения логарифмов. Учитель обычно изучает теорию и показывает приемы вычисления с помощью линейки. Разумеется, ученики не могут сразу запомнить и перенять эти приемы и научиться быстро считать. Нужна, конечно, длительная практика. Вычисления с помощью линейки в это время выполняются настолько медленно, что преимущества ее перед другими способами вычислений сходят на нет. Вскоре и учебный год подходит к концу, наступают каникулы, и к X классу ученики совершенно забывают о линейке и больше ею не пользуются».

Учитывая это и ставя цель научить учащихся работать с линейкой, т. Сырнев изменил традиционный порядок изучения линейки и стал знакомить с нею учащихся не в IX классе, а значительно раньше. «Впервые я показываю ее, — пишет он, — учащимся в VIII классе при повторении темы „Возвышение в степень и извлечение квадратного корня“, когда ученики знакомятся с возвышением в квадрат и извлечением квадратного корня по таблицам. Я демонстрирую линейку как своеобразную таблицу квадратов и квадратных корней. Ученики находят по ней квадраты и корни. При этом не требуется перемещения движка линейки, приобретается пока лишь навык в чтении делений ее шкал. Положение запятой при возвышении в квадрат определяется по соображению, а при извлечении корня — по граням подкоренного числа. На все это уходит лишь два урока. Но в дальнейшем ученики, как правило, всегда пользуются линейкой при возвышении в квадрат и извлечении корня».

В VIII же классе учащиеся приучаются пользоваться линейкой для нахождения синусов и тангенсов углов и для решения обратной задачи.

«На протяжении всего восьмого года обучения и первой половины девятого года на уроках математики и физики наши ученики постоянно пользуются линейкой, и к моменту, когда по программе они знакомятся с принципом построения логарифмической шкалы, они уже свободно читают ее деления, сразу начинают бегло выполнять умножение, деление и решать комбинированные примеры», — пишет т. Сырнев.

Суть предложения т. Сырнева сводится к тому, что он прежде изучения устройства линейки, уже в VIII классе, приучает учащихся пользоваться шкалами как таблицами. Мысль эта сама по себе интересна. Действительно, чем раньше учащиеся будут знакомы со шкалами и с применением их для вычислений, тем быстрее при ознакомлении с линейкой они оценят ее и привыкнут к вычислениям при ее помощи, будут чувствовать потребность в ней для рационализации работы и экономии времени. С этой точки зрения метод работы Н. И. Сырнева — пользование шкалами А и D как таблицей для нахождения квадратов чисел и квадратных корней и шкалами D и S(T) для нахождения синусов и тангенсов задолго до знакомства с логарифмами и устройством шкал логарифмической линейки— заслуживает внимания. Но он имеет один недостаток: учащиеся работают с логарифмическими шкалами, не имея понятия о логарифмах, т. е. не понимая устройства шкал линейки.

Имея в виду этот недочет своего метода работы, т. Сырнев пытается смягчить его, говоря, что в курсе математики есть другие такие примеры, когда теоретическое обоснование того или иного факта дается не сразу (как пример приводит число тг).

Однако надо полагать, что такой довод ни в коей мере не оправдывает пользования логарифмическими шкалами без теоретического обоснования их построения. Пользование линейкой в течение 1,5 лет без понимания способов построения ее шкал нарушает дидактический принцип сознательного усвоения знаний учащимися.

Метод Н. И. Сырнева можно исправить, оставив без изменения его идею. Это можно сделать, заменив соответствующие вычисления на логарифмических шкалах вычислениями с помощью шкал, теоретическое обоснование устройства которых учащимся доступно на этой ступени обучения. Так, для возведения чисел в квадрат и для извлечения квадратного корня можно

воспользоваться двойной квадратичной шкалой (см. ниже), для нахождения значений синусов и тангенсов — тоже соответствующими нелогарифмическими шкалами (см. черт. 3 и 4). Практическое их осуществление может быть выполнено самими учащимися. Пользование же ими для вычислений ничем не будет отличаться от пользования для цели вычисления логарифмическими шкалами. Верно, точность самодельных линеек будет несколько меньше, чем точность, какую дают шкалы линеек фабричного изготовления. Однако преимущества таких самодельных линеек налицо: 1) теоретическое обоснование их устройства доступно учащимся; 2) вычислительная работа с их помощью ничем не отличается от вычислительной работы с помощью логарифмических шкал; 3) практическое осуществление шкал учащимися не вызовет большого труда и будет полезно в общем плане знакомства учащихся с различными способами графического изображения функциональной зависимости и с построением шкал в частности. Время, затраченное на построение шкал, окупится с лихвой при вычислительной работе по ним.

Как можно построить квадратичную двойную шкалу? Взяв полоску миллиметровой бумаги размером 230 мм\30 мм, проведем посередине прямолинейный отрезок длиной в 200 мм*. Это будет ось шкалы. Далее по одну сторону оси нанесем перпендикулярные к ней штрихи по уравнению а = 2а (а — метка штриха; ä — его расстояние от начала шкалы в миллиметрах). Получим равномерную шкалу с метками от 0 до 100. По другую сторону оси нанесем штрихи по уравнению Ъ = 2Ь2, где b — метка штриха; Ъ — его расстояние от начала шкалы в миллиметрах. Получим неравномерную шкалу с метками от 0 до 10 (черт. 1). Построить шкалу нетрудно, если воспользоваться четырехзначной таблицей квадратов.

На переой шкале длинные штрихи обозначают метки: 0;5; 10; 15; 20; ... 100; короткие штрихи — 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9; И; 12; 13; 14; 16; 17 и т. д. Кроме этого, на миллиметровой бумаге получаются метки: 0,5; 1,5; 2,5; 3,5 и т. д.

На второй шкале длинными штрихами обозначены метки: 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 5,5; 6; 6,5; 7; 7,5; 8; 8,5; 9; 9,5; 10; короткими штрихами— 2,1; 2,2 и т. д. до 2,9; далее: 3,1; 3,2; 3,3; 3,4; 3,6; 3,7; 3,8; 3,9; 4,1; 4,2; 4,3; 4,4; 4,6; 4,7; 4,8; 4,9; ...

Назовем первую шкалу Л, а вторую—В; будем обозначать в общем случае метки первой шкалы а, второй — Ь. Рассматривая шкалы А и В совместно, замечаем, что против меток b шкалы В стоят квадраты тех же меток на шкале Л. Объясняется это обстоятельство просто, если исходить из уравнений шкал и учесть тот факт, что начальные метки их (0) противостоят друг другу. В самом деле, если метки а и b противостоят друг другу, то их расстояния от начала шкал равны между собой: b = а. Но а = 2а; Ъ — 2Ь2, а поэтому 2Ь2=2а, или Ь2 = а. Правило для возведения в квадрат и извлечения корня с помощью этих шкал остаются теми же, что и для выполнения этих действий на логарифмических шкалах.

Правила. Чтобы возвести в квадрат число Ь, надо найти на шкале В метку b и прочесть противостоящую метку а шкалы А.

Чтобы извлечь квадратный корень из числа а, надо найти метку а на шкале А и прочитать противостоящую метку b шкалы В.

Положим, требуется найти: 3,22, 0,512, “^72. Вычисления с помощью построенной двойной шкалы дают следующие результаты: 10,25; 0,260; 8,48.

Контрольное вычисление с помощью четырехзначных таблиц дает:

Относительная погрешность результата, даваемого двойной шкалой, не превышает 0,1 %.

Черт. 1

* Лучше взять полоску миллиметровой бумаги размером 230 мм X 15 мм и наклеить на такую же полоску белой, неграфлёной бумаги с расчетом на то, что неравномерную шкалу удобнее вычерчивать на неграфлёной бумаге. Для этой же цели можно воспользоваться краем листа миллиметровой бумаги.

Примерно такую же точность дают вычисления с помощью логарифмической линейки.

Вывод. С точки зрения точности вычислений самодельная квадратичная двойная шкала может вполне заменить на некоторое время (около 1,5 лет) соответствующие логарифмические шкалы (А и D) счетной линейки. С помощью этой же квадратичной линейки (двойной шкалы) учащиеся будут учиться читать метки и устанавливать числа на шкалах, а следовательно, научатся интерполяции на глаз.

Если полученную двойную шкалу наклеить на картон, то она может долго служить учащемуся для вычислений.

Если взять длину шкалы в 1000 мм, то получим демонстрационную квадратичную линейку с двумя шкалами: а = 10а и ô = \0Ь2 (в миллиметрах).

Квадратичная двойная шкала может быть выполнена и в другом варианте, а именно: шкалу для чисел взять равномерной (с уравнением b = 20b), а шкалу для квадратов чисел — неравномерной (с уравнением а = 201/а). Этот вариант шкалы (черт. 2) в сущности не имеет преимущества перед первой двойной шкалой. Однако по внешнему виду неравномерная шкала второго варианта несколько похожа на логарифмическую шкалу: расстояния между двумя соседними целыми метками уменьшаются к концу обеих названных шкал. Дело обстоит наоборот в неравномерной шкале первого варианта. С этой точки зрения, пожалуй, удобнее пользоваться самодельной линейкой второго варианта, неравномерная шкала которой напоминает логарифмическую шкалу.

Когда учащиеся познакомятся с логарифмическими шкалами, следует обратить их внимание на преимущества последних перед квадратичными шкалами, заключающиеся в том, что, во-первых, логарифмические шкалы на всем своем протяжении дают одинаковую относительную погрешность; во-вторых, логарифмические шкалы дают возможность вычислять по формулам, основанным на пропорциональности (первой степени, квадрату, кубу и т. д.), и тем самым позволяют решать почти все задачи, встречающиеся в технике и математике.

Подобные же приборы не трудно изготовить для получения значений синусов и тангенсов углов и для решения обратных задач.

Действительно, взяв полоску миллиметровой бумаги (размерами 230 мм X 30 мм), построим посередине, как и раньше, ось шкалы длиной в 200 мм. По одну сторону нанесем равномерную шкалу по уравнению: à = 200а с метками от 0 до 1 (черт. 3). По другую сторону оси строим шкалу по уравнению: ~s = 200 sin s. Имея под руками четырехзначные таблицы тригонометрических функций, и эту шкалу легко построить. В самом деле, беря из таблицы значения синусов углов и умножая их на 200, полу-

Черт. 2.

Черт. 3.

Черт. 4.

чим выраженные в миллиметрах расстояния от начала шкалы соответствующих меток углов s, выраженных в градусах.

Переход с метки 5 шкалы 5 на противостоящую метку а шкалы А дает значение sin s; обратный переход дает значение 5 аргумента по его синусу, взятому на шкале А. При помощи этой шкалы можно вычислять также и значения косинусов по формуле cos 5 = sin (90° — s).

Точно так же легко построить двойную шкалу — линейку для определения значений тангенсов углов (от 0 до 45°) и для решения обратной задачи, а также для вычислений значений котангенсов.

ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ

Д. К. УЛЬЯНОВ (Нальчик)

Тема «Делимость чисел» содержит признаки делимости, нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух или нескольких чисел.

Этот раздел имеет важное теоретическое значение, поскольку он является первым и, к сожалению, единственным в средней школе посвященным изучению свойств натуральных чисел.

Ввиду недостаточной разработки данной темы в учебной и методической литературе считаем целесообразным дать в помощь учителю ее поурочную разработку.

Примечание. Задачи, номера которых указаны в планах уроков, взяты из «Сборника арифметических задач и упражнений» Е. С. Березанской, а теоретический материал — из учебника А. П. Киселева «Арифметика».

Признаки делимости суммы

1-й урок

Материал первых двух уроков послужит основанием для выводов признаков делимости чисел. Не следует формулировать признаки делимости и неделимости суммы сразу, нужно постепенно подводить учащихся к их выяснению на конкретных числовых примерах.

Преподаватель сообщает учащимся, что на первом и на следующих уроках будут изучаться признаки, по которым, не производя самого деления, можно узнать, делится одно число на другое или нет. «Например, — говорит учитель, — можно, не производя деления, сказать, делится ли число 8 145 963 225 на 9, на 5, на 2 и т. д.».

Учитель предлагает учащимся назвать два числа, одно из которых делится, а другое не делится на данное число, например на 7; затем— два числа, делящиеся на 7, Далее рассматриваются две, например, такие суммы:

21+4; 28+35.

Непосредственным делением (устно) учащиеся убеждаются, что первая сумма (25) не делится на 7, а вторая (63) делится на 7. Учитель объясняет, что слагаемое 21 есть сумма трех семерок, поэтому делится на 7, число 4 не представляет собой суммы целого числа семерок. Сумма 25 не делится на 7, так как она не состоит из целого числа семерок.

Аналогично устанавливается, что вторая сумма (63) состоит из целого числа семерок, а поэтому делится на 7. Следовательно, о сумме двух слагаемых можно сказать:

1. Если каждое слагаемое делится на данное число, то и их сумма делится на это число.

2. Если одно слагаемое делится, а другое не делится на данное число, то и их сумма не делится на это число.

Далее учитель предлагает назвать: а) три числа, делящиеся на 7; б) одно число, делящееся, например, на 3, а два следующие числа, не делящиеся в отдельности на 3, но чтобы сумма последних двух чисел делилась на 3; в) несколько чисел, каждое из которых не делится на 4, а их «парные» суммы делились бы на 4. Возьмем, например, такие числа:

а) 14+35+49; б) 6+8+7;

В) 9+3+7+13+11+5.

Учащиеся убеждаются, что суммы названных чисел 98, 21 и 48 делятся соответственно на 7, на 3 и на 4.

В примерах б) и в) учащиеся устанавливают, что «парные суммы» состоят из троек (четверок), поэтому их суммы делятся на 3 (или на 4).

Возьмем теперь два слагаемые, каждое из которых делится, например, на 4, и одно слагаемое, не делящееся на 4, например 36+44+23. Выясняется, что сумма этих чисел 103 не делится на 4, так как слагаемое 23 не делится на 4, потому что число 23 не состоит из целого числа четверок.

Учитель ставит вопрос: может ли быть такой случай, чтобы каждое слагаемое не дели-

лось на данное число, а сумма их делилась на это число?

Приводятся примеры: числа 4 и б не делятся на 5, а их сумма 10 делится на 5; сумма 2-|-10-}-3+15 делится на 6, а ее слагаемые не делятся на 6 и т. д.

Эти примеры приводятся для выяснения следующего положения:

Если слагаемое или сумма нескольких слагаемых делится на какое-нибудь число, то для того, чтобы сумма всех данных слагаемых разделилась на это число, надо, чтобы сумма остальных слагаемых делилась на то же число.

Если слагаемое или сумма нескольких слагаемых делится на какое-нибудь число, а сумма остальных слагаемых не делится на то же число, то и сумма всех данных слагаемых не разделится на это число.

Изученный материал следует закрепить устным решением примеров, аналогичных следующим:

1) Узнать, не производя деления, делятся ли:

2) Придумать парные слагаемые, каждое из которых не делится на 7, а их сумма делилась бы на 7.

3) Можно ли и как произвести двумя способами указанные действия:

Домашнее задание. Выучить § 82 (1, 2). Решить примеры № 511, 513.

Признаки делимости разности и произведения

2-й урок

Учитель повторяет и обобщает с учащимися прием, примененный при выводе делимости суммы. На числовых примерах устанавливается, что если уменьшаемое и вычитаемое делится, например, на 3, то и разность, как «состоящая из троек», разделится на 3, а если уменьшаемое делится, а вычитаемое не делится на 3, то и разность не разделится на 3 (почему?).

После разбора трех-четырех примеров, из которых один-два будут взяты на неделимость разности, формулируется признак делимости и неделимости разности (аналогичный признаку делимости и неделимости суммы).

Приступая к выводу делимости произведения, учитель предлагает назвать произведения:

а) двух чисел, каждое из которых делится на 3;

б) двух чисел, одно из которых делится на 3, другое нет; в) двух чисел, каждое из которых не делится на 3; г) дзух чисел, каждое из которых не делится на 6, а произведение их делилось бы на 6.

Примеры.

Применив признаки лелимости суммы, нетрудно установить, что произведения а) и б), как содержащие множители, делящиеся на 3, делятся на 3; произведение в) не делится на 3.

Особое внимание следует уделить случаю г), когда каждый из сомножителей не делится на данное число, а произведение делится. Следует объяснить, что произведение г) делится на 6 потому, что в нем содержатся множители, дающие произведение, делящееся на 6.

После разбора примеров с тремя-четырьмя множителями учитель формулирует признак делимости произведения.

Если хотя бы один из сомножителей, содержащийся в произведении, делится на какое-нибудь число, то и произведение разделится на это число.

Закрепление изученного материала следует осуществить на конкретных примерах:

1) Не производя вычитания, указать, на какие из чисел: 2, 3, 4, 5 и 7, делится разность 240—48.

2) Произвести указанные действия:

3) Во сколько раз увеличится число, если к его цифрам приписать нуль?

4) Во сколько раз увеличится однозначное число, если к его цифре приписать ту же цифру?

5) Во сколько раз увеличится двузначное число, если к его цифрам приписать те же цифры и в том же порядке?

6) Во сколько раз увеличится любое трехзначное число, если к его цифрам приписать те же цифры и в том же порядке?

7) Почему полученное в последнем случае шестизначное число делится на 7, 11 и 13 (известно, что 1001=7-11 «13)?

Домашнее задание. Выучить § 82 (3). Решить № 512, 514.

Признаки делимости на 2 и на 5

3-й урок

Дается определение: все числа, делящиеся на 2, называются четными, а не делящиеся на 2, — нечетными.

Следует указать, что нуль также является четным числом. Учитель предлагает назвать числа, которые одновременно делились бы на 2 и на 5.

Естественно, что учащиеся называют числа, равные целому числу десятков, например: 10, 20, 40, 120 и т. п.

Учащиеся должны объяснить, что данные числа делятся на 2 и на 5, так как каждое из них равно сумме десятков и каждый десяток делится на 2 и на 5 (делимость суммы).

Так как числа, составленные из десятков, оканчиваются нулем (не обязательно одним), то присутствие нуля на конце числа показывает, что число делится на 2 и на 5.

Далее учитель выясняет признак делимости на 2 и на 5 чисел, не оканчивающихся нулем.

Сначала учащиеся называют все однозначные числа, не оканчивающиеся нулем, но делящиеся на 2, т. е. 2, 4, б и 8, и на 5, т. е. 5. Затем учащиеся определяют делимость и неделимость двузначных, чисел на 2, например: 44, 45, 84, 85 и т. д.

Наконец, после рассмотрения примеров трехзначных и многозначных чисел формулируется окончательный вывод.

При этом, применяя признак делимости суммы, нужно за первое слагаемое брать число десятков, а за второе — число единиц.

Примеры.

1) 226:2 = (220+6) : 2=220:2+6:2. Очевидно, 226 делится на 2, так как слагаемые 220 и 6 делятся на 2.

2) 223:2= (220+3): 2=220:2+3:2. 223 не делится на 2, так как слагаемое 3 не делится на 2.

3) 125:5= (120+5): 5=120:5+5:5. Следовательно, 125 делится на 5.

4) 324: 5=(320+4) : 5=320:5+4:5. Очевидно, 324 не делится на 5.

Из приведенных примеров легко видеть, что делимость чисел на 2 и на 5 зависит от последней цифры числа.

На 2 делятся те и только те числа, которые оканчиваются четной цифрой. На 5 делятся те и только те числа, которые оканчиваются нулем или цифрой 5.

Если число не оканчивается нечетной цифрой, то оно не делится на 2. Если число не оканчивается нулем или цифрой Ъ, то оно не делится на 5.

После этого учитель предлагает примерно такие упражнения:

1) Назвать из чисел 846, 415, 6400, 527, 15604 те, которые делятся на 2 и на 5.

2) Указать наименьшее (наибольшее) трехзначное и четырехзначное число, которое одновременно делится на 2 и на 5.

3) Четным или нечетным числом является произведение двух последовательных чисел.

4) Выписать из натуральных чисел ряд последовательных нечетных чисел от 1 до 31.

Домашнее задание. Выучить § 83, 85. Решить № 543, 502 (на 2 и на 5), 504 (на 4).

Признаки делимости на 4 и на 25

4-й урок

Восстановив в памяти учащихся основной прием, примененный для вывода признаков делимости на 2 и на 5, преподаватель предлагает назвать числа, одновременно делящиеся на 4 и на 25; например: 100, 200, 300, 400, 1400,...

Выясняется, что всякое число, состоящее из сотен (оканчивающееся двумя нулями), делится одновременно на 4 и на 25.

После этого учащиеся выделяют двузначные числа, делящиеся на 4 и на 25. Числа, делящиеся на 4 и на 25, следует написать в четыре ряда:

1) 20, 40, 60, 80.

2) 24, 28, 44, 64, 68, 84, 88.

3) 12, 16, 32, 36, 52, 56, 76, 96.

4) 25, 50 и 75.

Из рассмотрения написанных рядов чисел видно, что всякое нечетное двузначное число на 4 не делится; что на 4 делится: а) число, состоящее из четного числа десятков; б) число с четным числом десятков, оканчивающееся на 4 и на 8; в) число с нечетным числом десятков, оканчивающееся на 2 и на 6. На 25 делятся только три двузначные числа: 25, 50, 75.

Подобный разбор приучает учащихся устно определять делимость и неделимость двузначных, а следовательно, и многозначных чисел на 4 и на 25,

Рассмотрев два, например, такие ряда многозначных чисел:

1) 27 340, 864 564, 39076, 12630, 42 035,...

2) 15625, 1275, 1050, 15627, 12640,..., учащиеся легко соображают, что для установления делимости многозначного числа на 4 и на 25 надо разбить его на два слагаемые, первое из которых есть целое число сотен, а второе — число, изображаемое двумя последними цифрами. Первое слагаемое как сумма сотен всегда делится на 4 и на 25, следовательно, делимость числа будет зависеть только от числа, изображенного двумя последними цифрами.

Затем формулируются признаки делимости и

неделимости на 4 и на 25. Следует иметь в виду, что учащиеся часто дают следующую ошибочную формулировку признака делимости на 4: «На 4 делится всякое число, у которого две последние цифры делятся на 4». (Точная формулировка дана в учебнике Киселева.)

Для закрепления материала можно рекомендовать следующие упражнения:

1) Назвать двузначные числа с четным (нечетным) числом десятков, делящиеся на 4.

2) Узнать, делятся ли числа 85 000, 41 248, 1596, 1276, 1330, 1247, 1275, 2150 на 4 и на 25.

3) Существует ли такое двузначное (четырехзначное) число, которое делилось бы одновременно на 4 и на 25.

4) Назвать високосные годы XX века. Домашнее задание. Выучить §84, 85

(25). Решить № 502 (4, 25), 507.

Признаки делимости на 9 и на 3

5-й, 6-й уроки

Несколько более трудными для учащихся представляются выводы признаков делимости на 9 и на 3.

Признак делимости на 9 может быть выведен следующим образом. Сначала рассматривается ряд чисел, изображенных посредством только одной цифры 9. Например, 99, 999, 9999 и т. д. Все эти числа делятся на 9. Далее рассматривается любое число, например 3546*.

Данное число можно записать в следующем виде:

3546 = 3.1000 + 5.100 + 4.10 + 6.

После чего разбираются следующие вопросы: какое наибольшее число, содержащееся в тысяче, делится на 9? Какой остаток будет при делении 1000 на 9? Какой остаток будет при делении 100 и 10 на 9? Какие остатки будут при делении 3000 на 9, при делении 500 на 9, 40 на 9 и 6 на 9?

Теперь данное число можно записать так: 3-999 +3 + 5-99 + 5+4-9 + 4-+6.

Применив переместительное и сочетательное свойство суммы, получим:

3546 = (3-999 + 5-99+4-9) + (3 + 5+4 + 6).

Каждое слагаемое суммы, заключенное в первой скобке, делится на 9 (почему?). Следовательно, делимость 3456 на 9 зависит от суммы, заключенной во второй скобке. Эта сумма равна 18 и делится на 9, поэтому и число 3546 делится на 9. Но сумма 3 + 5 + 4 + 6 изображает сумму цифр данного числа.

Аналогично рассматривают неделимость числа 3425, сумма цифр которого не делится на 9.

После подробного разбора еще двух примеров формулируется известный признак делимости на 9.

Следует разъяснить условность выражения «сумма цифр» (цифры складывать нельзя). В действительности эти слова означают: «сумма однозначных чисел, записанных цифрами данного числа».

Признак делимости на 3 следует вывести на шестом уроке таким же способом, как и признак делимости на 9.

При закреплении материала двух уроков учитель должен решить с учащимися примеры, подобные № 504 (2,3), 506. Выработать навык устно определять делимость на 9 (на 3) чисел, подобных 3069, 4 500 639, 801900 423 и др. Последний вопрос учащиеся легко усваивают, так как они видят, что во всех разрядах или в двух-трех слагаемых, вместе взятых, данные числа делятся на 9 и на 3. На шестом уроке следует решать примеры на делимость и неделимость одного и того же числа на 9 и на 3 с тем, чтобы потом сделать вывод, что если данное число делится на 9, то оно разделится и на 3, а если оно делится на 3, то не всегда разделится на 9.

Дополнительные упражнения.

1) Назвать несколько трехзначных и четырехзначных чисел, которые при делении на 9 давали бы остаток: 3, 4 и 7.

2) Какие наименьшие числа нужно отнять от чисел 29, 166 и 300, чтобы разности разделились на 9.

Домашнее задание. Выучить § 86. Решить § 501 (2), 502 (на 9), 504 (2,3), 505, 506 (а).

Проверка действий посредством числа 9

7-й урок

Учитель предлагает найти остаток от деления на 9 чисел, например, 101302; 213002 и 4 981 734 562. Непосредственным делением на 9 учащиеся находят соответственно остатки 7, 8 и 4. Учитель объясняет, что найденные остатки можно получить иначе, а именно: найти сумму цифр данного числа. Если сумма цифр даст число, меньшее 9, то это и будет искомый остаток. Остаток от деления числа 101 302 на 9 равен 1 + 1+3 + 2 = 7. Число 213 002 имеет остаток, равный 8, так как 2 + 1+3 + 2 = 8.

В случае если сумма цифр числа больше 9, к полученной сумме цифр следует применить

* Методически правильнее было бы рассмотреть сначала остатки от деления на 9 чисел: а) 10, 100, 1000,..., б) 400, 2000, 3000, 500, 40,..., а затем уже перейти к числу 3546. — Ред.

тот же прием, т. е. продолжить нахождение суммы цифр до тех пор, пока не получится число, меньшее 9. Если получится число 9, то данное число делится на 9, в этом случае остаток равен 0.

При определении остатка от деления числа 4 981 734 562 на 9 находим: 4 + 9 + 8 +1 + 7 + 3 + 4 + 5 + 6 + 2 = 49; 4 + 9=13; 1+3 = 4. Следовательно, искомый остаток равен 4.

Проверка сложения с помощью числа 9 состоит в следующем. Находим остатки от деления слагаемых на 9, затем находим сумму остатков, к которой применяем тот же прием. Полученный остаток сравниваем с остатком от деления искомой суммы на 9. Если конечные остатки не равны между собой, то сложение сделано неверно, а если равны, то, вероятно, сложение сделано правильно.

Пример. Проверить:

Остаток слагаемых:

Сумма остатков слагаемых равна 3.

Получилось одно и то же число 3; вероятно, вычисление сделано верно.

В дальнейшем учитель требует, чтобы действия при проверке по возможности производились устно.

Пример. Проверить: 8613 045 + 1693 + 45 637 = 8 659 365.

Имеем:9 + 1 +7 = 17; 1+7 = 8; 8 + 6 + 5 + ^.9 + 3 + 6 + 5=42; 4 + 2 = 6; 8ф6. Следовательно, вычисление сделано неверно.

Проверка вычитания сводится к сложению остатков вычитаемого и разности.

Пример. Проверить:

Есть основание считать, что вычитание сделано правильно.

Правило проверки умножения сообщается без доказательства путем рассмотрения примеров.

Проверить: 816 -1264 = 1 021 424.

Решение. Произведение остатков: 6 • 4 = 24; 2 + 4 = 6. Остаток произведения: 1 + 2 +1 + 4+2 + 4 = 14; 1+4 = 5. 6^5, следовательно, умножение сделано неверно. Вновь умножая 816 на 1264, получаем 1 031 424. Число 1 031 424 при делении на 9 дает остаток 6. Второй раз умножение сделано правильно.

При проверке деления возможны два следующие случая: а) деление производится без остатка, б) деление — с остатком.

Если деление совершается без остатка, то проверку производят так, как и при проверке умножения, принимая делимое за произведение, а делитель и частное — за множители. Если же деление производится с остатком, то следует сначала из делимого вычесть остаток, а затем поступить так, как в случае а).

Пример. Проверить: 180327:18 = 10018 (остаток 3); 180 327— 3 = 180 324; 180 324 = 18-10 018. Остаток 180 324 равен 0; остаток (18-10 018) равен 0, следовательно, контроль подтверждает правильность вычисления.

Домашнее задание. Найти и исправить ошибки в вычислениях:

Примечание. Проверка арифметических действий посредством числа 9 есть условие необходимое, но недостаточное для достоверности полученного результата.

Пример. Проверить: 189 ■ (100 + 202) = 6048. Контроль: 1) 9 (1 + 4) = 45; 4 + 5 =9; 2) 6 + 4 + 8 = 18; 1+8 = 9.

Остатки произведения 189 (100 + 202) и написанного результата 6048 равны, однако ответ найден неверно, так как при вычислении сделана ошибка на число, кратное 9.

Числа простые и составные

8-й урок

Преподаватель предлагает учащимся устно разделить число 84 на 2, 3, 4, 6, 7, 14, 84,...и 1.

Отвечая на вопросы преподавателя, учащиеся называют делимое, делители, частное и остаток. Затем учитель предлагает то же число 84 разделить на 5, 8, 9, 10,... и ставит те же вопросы. Учитель подчеркивает, что как числа

2, 8, 4,..., 84 и 1, так и числа 5, 8, 9... названы делителями, однако их свойства в обоих случаях неодинаковы. Первые делители обладают свойством делить число без остатка (нацело), вторые делят число 84 с остатком. После этого учитель объясняет, что делители 2, 3,4..- числа 84, в отличие от чисел 5, 8, 9,...., называются точными делителями этого числа или просто делителями, а число 84 называется кратным числом 2, 3, 4 и т. д. После этого дается определение делителя:

Если одно число делится на другое, то второе число называется делителем первого, а первое — кратным второго.

После этого следует перейти к понятиям простого и составного числа.

Учитель выписывает на доске несколько чисел, например 1, 12, 17, 23, 48, 84, 97, и задает вопрос о том, какие числа являются делителями для каждого из написанных чисел.

Разобрав таким образом написанные числа, устанавливается, что каждое из чисел 17, 23 и 97 имеют делителями единицу и самого себя; числа 12, 48 и 84 имеют более двух делителей; число 1 имеет делителем единицу.

Таким образом, в зависимости от числа делителей все целые числа разбиваются на три группы: а) число единица, б) числа простые, в) числа составные.

По требованию учителя учащиеся придумывают примеры простых и составных чисел. После этого формулируется определение простого и составного числа:

Простым числом называется такое натуральное число, которое имеет только два делителя: единицу и самого себя.

Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет больше двух делителей (т. е. делится на другие числа, кроме единицы и самого себя).

Заметим, что единица не относится ни к простым, ни к составным числам. Это единственное натуральное число, которое имеет только один делитель.

Для закрепления этих определений преподаватель предлагает примеры:

1) Определить число делителей чисел 2, 4, б и 12.

2) Назвать делители чисел 10, 11, 15 и придумать числа, им кратные.

3) Написать пять простых чисел.

4) Из чисел 19, 18, 37, 71, 87, 61, 137, 184 выделить простые числа.

5) Какие делители имеют числа 48, 53, 23, 49, 147?

6) Найти число, простые множители которого повторяются один раз и равны 13, 7 и 37.

7) Найти и исправить ошибку в определении: «Простое число — это такое число, которое делится на единицу и само на себя».

Домашнее задание. Выучить § 90. Решить № 497.

О способах нахождения простых чисел

9-й урок

Следует рассказать историю вопроса о нахождении простых чисел. С древних времен простые числа привлекали внимание математиков. Древнегреческий математик Евклид из Александрии, живший за три века до н. э., доказал, что простых чисел бесконечное множество.

Древнегреческий математик Эратосфен, живший в одном столетии с Евклидом, указал способ составления таблиц простых чисел. В то время люди писали на дощечках, покрытых воском. Эратосфен, находя составное число, исключал его, прокалывая на его месте восковой слой. По окончании дощечка была похожа на решето (сито). Поэтому способ Эратосфена нахождения простых чисел носит название «решето Эратосфена».

Учащиеся под руководством преподавателя составляют таблицу простых чисел от 2 до 97, для чего выписывают 8 рядов, по 12 чисел в каждом; в рядах вычеркивают числа, делящиеся на 2 (кроме числа 2), затем на 3 (кроме 3), на 5 и т. д. Оставшиеся незачеркнутыми числа составят таблицу простых чисел от 2 до 100.

Вопросом о том, как найти закон, по которому простые числа распределяются в натуральном ряде, занимался знаменитый русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821 —1894). Им был выведен закон распределения простых чисел, который дает возможность приближенно установить, сколько простых чисел заключается в сколь угодно большом промежутке чисел натурального ряда.

Следует указать на исключительный успех нашего советского математика академика Ивана Матвеевича Виноградова, который в 1937 г. частично решил проблему, высказанную еще в XVIII в. петербургским академиком Гольдбахом. Он доказал, что всякое нечетное число, начиная с некоторого, равно сумме трех простых чисел.

Надо показать учащимся, как трудно установить, является ли данное многозначное число простым или составным в том случае, когда среди его сомножителей нет 2, 3, 5 и т. д. Так, например, трудно сразу определить — простое или составное число 30 997, так как оно делится лишь на следующие простые числа: 139 и 223.

Приведем другой пример. В 1879 г. русский математик-любитель Первушин доказал, что число, содержащее 2525 223 цифры, является составным, так как оно делится на число 167 772161. Это составное число, написанное обычным шрифтом в строку, имеет длину в 5 км. Только для написания его при восьмичасовом дне потребуется примерно 53 дня.

Домашнее задание. Продолжить составление таблицы простых чисел до 199. Выучить таблицу простых чисел от 2 до 47.

Разложение чисел на простые множители

10-й урок

При проверке домашнего задания учитель повторяет с учащимися определения простого и составного числа, а затем предлагает (устно) найти делители чисел:

21, 12, 17, 37, 15, 28, 30. (А)

Далее отмечается, что на основании зависимости между членами действия деления (делимое равно делителю, умноженному на частное) составное число можно представить в виде произведения двух или нескольких его делителей.

Пример: 12 = 3-4 = 3.2.2.

В данном примере делители 3, 2 и 2 написаны множителями, поэтому иначе делитель можно назвать множителем. Представление числа в виде произведения называется разложением этого числа на множители.

Далее предлагается в ряде чисел (А) выделить составные числа и разложить их на простые множители. После разложения чисел 15, 28, 38 и т. п. учитель предлагает (устно) разложить на простые множители многозначные числа, например:

420, 8874, 952 и т. п. (1)

Далее следует рассмотреть практическое правило, изложенное в § 91 учебника Киселева.

После упражнений в записи произведения нескольких равных сомножителей в виде степени и, наоборот, степени в виде произведения следует дать более краткую запись разложения числа. Пример: 4320 = 25-33-5.

Решив в классе примеры, подобные № 115 и др., учитель должен отметить, что всякое число, кроме единицы, может быть разложено на простые множители и притом только одним способом (§ 97).

Домашнее задание. Выучить § 91. Решить № 516, 517.

Наибольший общий делитель и нахождение его способом разложения на множители

11-й и 12-й уроки

В результате прохождения материала этих двух уроков учащиеся должны уметь четко различать общие делители и наибольший общий делитель двух или нескольких чисел. Они должны также уяснить, что общих делителей чисел может быть несколько, а наибольший общий делитель у данных чисел может быть только один.

Изложение нового материала следует начать с повторения определения делителя. Выписав на доске, например, такие числа: а) 8 и 17; б) 20 и 5; в) 24 и 20; г) 12, 18 и 42, учитель предлагает назвать делители, которые входят в состав обоих чисел групп а), б), в) и в состав трех чисел группы г).

По соображению (пользуясь признаками делимости чисел) учащиеся находят следующие общие делители: для группы а) 1; для группы б) 1 и 5; для группы в) 1, 2 и 4; для группы г) 1, 2, 3 и 6.

Далее учитель предлагает найти общие делители многозначных чисел, например: 144 и 368; 126 и 231; 1638, 224 и 74. Ясно, что учащиеся не смогут сделать это устно, поэтому учитель предлагает, предварительно разложив числа на простые множители, отыскивать общих делителей. Когда ученики усвоят понятие общего делителя нескольких чисел, можно переходить к рассмотрению вопроса о наибольшем общем делителе.

Для этого учитель предлагает учащимся назвать общие делители чисел 24 и 36.

Из рассмотрения общих делителей устанавливается, что число 12 является наибольшим общим делителем чисел 24 и 36.

После разбора еще нескольких примеров формулируется определение НОД (см. § 97 учебника Киселева).

Из разложений чисел 24 и 36 на простые множители:

24 = 2.2-2.3 36 = 2.2.3-3

видно, что 12 = 2-2-3 состоит из обших простых множителей чисел 24 и 36, следовательно, 12 есть общий делитель данных чисел. С другой стороны, 12 есть произведение всех общих множителей, содержащихся в разложениях чисел 24 и 36, следовательно, 12 есть наибольший делитель.

Разобрав, таким образом, еще один пример с тремя числами, формулируем правило (см. § 98 учебника Киселева).

Пример 1. Найти НОД чисел 36 и 120.

Пример 2. Найти НОД чисел 40, 28 и 180.

Из двух уроков, отводимых на выяснение понятия о наибольшем общем делителе и способах его нахождения, примерно 1-^- урока уйдет на объяснение и закрепление изучаемого материала; в оставшееся время следует в классе выполнить примерно такие упражнения:

1) № 521—523; 542.

2) Устно определить НОД чисел: а) 20 и 5; б) 30, 60 и 45; в) 500, 200, 300 и т. п.

3) Разделить числа 48, 40 и 72 на их наибольший общий делитель.

4) Разделить числа 21, 27 и 420 на наибольшее число, на которое они делятся.

Домашнее задание. Выучить § 97, 98. Решить № 521—523.

Взаимно простые числа

13-й урок

Чтобы ознакомить учащихся с понятием о взаимно простых числах, преподаватель предлагает разложить на простые множители два составные числа, например 25 и 36.

Запись: 25 = 5-5; 36 = 2-2-3-3.

Далее учащиеся находят НОД (25, 36) = 1.

«Такие числа,— говорит учитель, — называют взаимно простыми». Потом учащиеся придумывают по 3—4 взаимно простых числа. Например: а) 15, 10 и 7; б) 25, 18, 29 и 100.

Следует отметить различие между понятиями «взаимно простые числа» и «простое число»: когда мы говорим о простом числе, то речь идет об одном числе, которое делится только на единицу и на себя. Когда же мы говорим о числах взаимно простых, то их должно быть не менее двух, причем каждое в отдельности может быть и не простым, но все их делители, кроме единицы, различны.

После этого дают определение взаимно простых чисел. Взаимно простыми числами называются те числа, для которых НОД есть единица.

Если каждое из чисел оказывается взаимно простым с каждым другим из них, то такие числа называются попарно простыми. Например, числа 12, 7 и 11 не только взаимно простые, но и попарно простые, так как каждая пара чисел 12 и 7; 12 и 11; 7 и 11 имеют НОД, равный единице.

Для лучшего уяснения этого вопроса полезно рассмотреть примеры, подобные следующим:

1) Будут ли числа 12, 36 и 17 взаимно простыми? Почему?

2) Из групп чисел: а) 10, 4 и 5; б) 8, 7 и 11; в) 100, 15 и 6; г) 8, 102 и 20 — выделить взаимно простые и попарно простые.

3) Написать все двузначные числа до 50, попарно простые с числом 9.

4) Написать все числа, взаимно простые с числом 30, но меньшие его; указать, какие из этих чисел простые.

5) Найти взаимно простые числа, содержащиеся множителями в числах 14, 49 и 350.

Домашнее задание. Выучить из § 97 определение взаимно простых чисел. Решить № 498, 548, 551. Повторить § 83 и 86.

Признак делимости на 6, 12, 15

14-й урок

Преподаватель выводит признак делимости на 6 (см. § 87). Можно сообщить учащимся и признаки делимости на другие числа (12, 15), если класс хорошо подготовлен и учитель располагает для этого временем.

После, когда признаки делимости будут изучены, необходимо указать, что эти признаки справедливы только тогда, когда составное число (делитель) является произведением взаимно простых множителей. Например, число 36 делится на 6 и на 4, но не делится на 24, так как 4 и 6 — числа не взаимно простые; число 36 делится на 4 и 9 и делится на 36, так как 4 и 9 — взаимно простые числа.

На этом уроке преподаватель должен закрепить все ранее изученные признаки делимости чисел решением примеров, подобных № 504 (7, 8), 510, 513 и следующих:

1) Назвать все двузначные числа от 30 до 99, которые одновременно делятся на 2, на 3, и проверить, делятся ли они на 6.

2) Назвать двузначные числа, делящиеся на 5, но не делящиеся на 15; делящиеся на 3, но не делящиеся на 15.

3) Указать по три четырехзначных числа, одновременно делящихся на 3, на 5, и проверить, делятся ли они на 15.

4) Какую из цифр нужно поставить между двумя единицами, чтобы полученное трехзначное число было меньше 121 и не делилось на 3.

5) Написать наименьшее нечетное трехзначное число, делящееся на 15.

Домашнее задание. Выучить § 87. Решить № 503 (6, 12, 15), 506, 512.

Наименьшее общее кратное нескольких чисел

15-й урок

При проверке домашнего задания и опросе учащиеся повторяют определение числа, кратного данному.

Рассматривая, например, такой ряд чисел: 15, 30, 45, 60,..., делящихся на 15, приходим к выводу, что чисел, кратных данному, можно найти сколько угодно.

Для выяснения понятия общего кратного и наименьшего общего кратного данных чисел рассмотрим два числа, например 15 и 20.

Напишем ряд чисел:

60, 120, 180, 240,..., делящихся на 15 и на 20. Мы можем и дальше писать кратные данным.

Числа 60, 120, 180, 240... называются общими кратными данных чисел. Аналогично рассматривают примеры на отыскание общего кратного трех-четырех данных чисел.

Ясно, что среди общих кратных чисел 15 и 20 наименьшим будет 60. После разбора примера с тремя числами (например: найти наименьшее общее кратное чисел 3, 16 и 10) дается определение НОК (см. § 101 учебника Киселева).

После того как учащиеся усвоят изложенный материал, необходимо устно, «по соображению», на основании определения общего кратного и НОК решить ряд примеров на нахождение общих кратных и наименьшего общего кратного данных чисел. Для этого учитель называет по два-три числа и предлагает учащимся назвать по нескольку общих кратных данным числам, а затем из них выделить наименьшее общее кратное.

После решения нескольких примеров учитель должен выяснить, что наименьшее кратное у нескольких чисел существует только одно.

Необходимо обратить серьезное внимание на то, чтобы ученики не путали НОК и НОД. Для этого полезно дать учащимся смешанные упражнения. Например, найти наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель чисел 56 и 20.

В порядке упражнений можно использовать примеры № 528, 530.

Домашнее задание. Выучить § 101. Решить № 524 (б), 526, 529.

Нахождение наименьшего общего кратного способом разложения на простые множители

16-й урок

На предыдущем уроке ученики находили наименьшее общее кратное подбором, по соображению. Теперь нужно сообщить правило для нахождения НОК. Следует повторить, что если дано несколько чисел» то их кратное содержит в себе все множители, входящие в каждое из данных чисел.

Будем искать число, делящееся на 15 и на 18. Так как искомое число делится на 15, то оно должно делиться на 3 и на 5. Поэтому в него должны входить множители 3 и 5, и так как наше число должно делиться на 18, то в него должны войти множители 2-3-3. Значит, числа, кратные 15 и 18, содержат множители 3, 5, 2, 3 и 3.

Кратное: 3-5.2-3.3 = 270.

Однако мы ищем не просто кратное, а наименьшее общее кратное, и, как нетрудно видеть, искомым НОК является число 90.

Мы нашли число 270, перемножив все множители чисел 15 и 18. При этом получилось число, большее того, которое нужно. Это объясняется тем, что некоторые множители излишне повторялись. В число 15 входят множители 3 и 5. В число 18 входят множители 2 и две тройки. Так как одна тройка уже вошла в 18, то при нахождении НОК достаточно было дописать только одну тройку и тогда мы получим:

3-5-2.3 = 90.

Значит, при нахождении НОК нужно выписать из последующих чисел только недостающие множители.

После этого учитель вместе с учащимися решает у доски еще один пример с подробным объяснением и правильной записью.

Найти общее наименьшее кратное чисел 780 и 126.

780 = 2-2-3.5-13, 126 = 2-3-3.7

НОК = 2-2.3-5-13-3.7 = 16 380; НОК (780, 126) = 16 380.

Теперь можно сформулировать правило по учебнику (§ 102) и перейти к решению примеров № 527 (11, 13).

Домашнее задание. Выучить § 102. Решить № 527 (5, 10, 12).

Упражнения в нахождении НОК и НОД

17-й и 18-й уроки

Примерно половина урока посвящается решению примеров в нахождении НОК. Сначала учащиеся находят НОК не взаимно простых чисел общим способом (см. урок 16). Потом рассматриваются частные случаи определения НОК:

1) Когда большее из данных чисел делится на меньшее, тогда большее из них и является НОК.

Например: НОК (54; 18)=54.

2) Когда данные числа взаимно простые, то их НОК равно их произведению.

Например: НОК (21, 32) = 21-32 = 672.

Остальные полтора урока отводятся решению задач на нахождение НОК — № 533, 537—541, смешанных задач на нахождение НОД и НОК — № 534, 535, 552 и задач типа:

1) Учащиеся трех пятых классов А, Б и В построились для прогулки в ряды сначала по 4 человека, а затем перестроились в ряды по 6 человек. Сколько учащихся явилось на прогулку от каждого класса, если известно, что всего их было больше 90, но меньше 100 и что в каждом следующем классе учащихся было на 2 больше, чем в предыдущем? Ответ: 30, 32, 34.

2) Найти наименьшее общее кратное трех чисел, сумма которых равна 120, причем второе число втрое больше первого, а третье равно сумме двух первых чисел. Ответ: 180.

3) Через станцию проходят три поезда. В первом поезде 648 пассажиров, во втором 720 и в третьем 792. Сколько вагонов имеет каждый поезд, если известно, что в каждом вагоне находится одинаковое число пассажиров (наибольшее из всех возможных)? Ответ: 9, 10 и 11.

Большую часть задач надо решить в классе, остальные задать на дом.

Вопрос о задачах с политехническим содержанием заслуживает гораздо большего внимания, чем ему уделяется в школе в настоящее время. Учитель должен на 17-м и 18-м уроках решить как можно больше задач с производственно-техническим содержанием. Так, например, при выполнении первого действия задачи № 528 [НОК (28, 16)=112] учитель должен показать, что закон сцепления зубьев зубчатых колес имеет математический характер, что встреча зубьев зубчатых колес должна происходить через число зубьев, равное НОК числа зубьев сцепленных колес. Но так как НОК взаимно простых чисел равно их произведению, то это свойство используется в технике для уменьшения амортизации (изнашивания) зубьев шестеренок: с этой целью числа зубьев шестеренок делают взаимно простыми.

Примерная контрольная работа

19-й урок

Вариант 1 (правая сторона).

1. Не производя сложения, указать, разделится ли сумма:

8192 763 + 3571236 + 459 + 300 на 9 и на 3.

2. Найти взаимно простые числа, содержащиеся множителями в числах 35, 50 и 600.

3. Три автобуса одновременно отправляются с автобусной станции по трем направлениям и возвращаются — первый через 1 час 40 мин. и вновь отправляется через 20 мин.; второй возвращается через 5 час. 20 мин. и вновь отправляется через 40 мин.; третий возвращается через 2 часа 45 мин. и вновь отправляется через 15 мин. Все три автобуса отправились в 7 час. утра. В какое ближайшее время они вновь одновременно выедут с остановки? Вариант 2 (левая сторона).

1. Не производя вычитания, указать, делится ли разность:

806 675 — 20 315 на 5 и на 25.

2. Разделить числа 18, 15 и 450 на наибольшее число, на которое они делятся.

3. Колхозник привез на рынок яблоки. Когда он их подсчитал, то получилось целое число десятков, целое число сотен и целое число дюжин, причем всего яблок оказалось больше 600, но меньше 1000. Сколько рублей выручил колхозник за яблоки, если каждый десяток был продан по 3 рубля.

Итоговое повторение

20-й урок

Урок следует начать с анализа письменной работы. При проверке контрольной работы учитель классифицирует ошибки, уделяя особое внимание разбору и исправлению грубых ошибок. Необходимо, чтобы вызванные к доске ученики не только исправляли допущенные ими ошибки, но и обосновывали, почему именно они исправили так, а не иначе.

После анализа письменных работ, учитывая допущенные при этом ошибки и ошибки в процессе изучения всего раздела, учитель проводит корректирующие упражнения. Приводим некоторые из них:

1) Сформулировать признаки делимости на 6, 12, 15.

2) Объяснить, почему число, делящееся на 2 и на 3, делится на 6, а число, делящееся на 3, не всегда делится на 9.

3) Может ли быть такой случай, чтобы сумма и некоторые слагаемые делились на данное число, а каждое из остальных или их сумма не делились на это число?

4) Назвать три группы двузначных чисел, имеющих общий делитель 4.

5) Дать определение простого числа, составного числа, делителя, общего делителя, НОД, общего кратного, НОК и привести примеры.

6) Назвать число натурального ряда, которое не причисляется ни к простым, ни к составным.

7) Назвать наибольшее общее кратное чисел 3, 18, 46. (Почему нельзя назвать?)

8) Как найти наименьшее общее кратное данных чисел?

9) Как найти делители данного числа?

10) Какие два делителя имеются у каждого числа ?

11) Как найти число, если его простые множители в таблице простых чисел занимают второе, третье и восьмое место и в числе содержатся множителями один раз?

12) Найти и исправить ошибку в формулировке: «На 4 делится всякое число, последние две цифры которого делятся на 4».

13) Проверить устно вычисление:

а) 918 642 -f19 817 254 632 = 19 817173 274;

б) 19 634-1275 = 24 033 350.

14) Куплено 240 конфет, 120 яблок и 50 мандаринов. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этой покупки?

Кружковая работа

В порядке кружковой работы учитель может рассмотреть следующие вопросы:

1. Алгоритм Евклида (§ 99, 100).

2. Признаки делимости чисел на 8, 125, 7, 11 и 13 (Б. А. Тулинов и Я. Ф. Чекмарев, Арифметика для педучилищ).

3. Способ определения простого числа, большего последнего числа выписанного ряда (последний абзац § 94).

4. Проверка вычислений посредством числа 9 (М. К. Гребенча и С. Е. Ляпин, Арифметика).

5. Решение занимательных задач на угадывание задуманного числа и интересных старинных задач, подобных задаче № 22 «Сборника арифметических задач» Т. А. Пескова.

В «Методике арифметики» Е. С. Березанской и в других книгах имеются примеры для работы в кружке.

Примечание. Нами не рассмотрен на уроках способ нахождения НОД путем последовательного деления, так как в программу V класса он не включен. Однако, поскольку второй способ определения НОД находит себе применение при нахождении общей наибольшей меры двух отрезков в VIII классе и так как признаки делимости суммы, разности и произведения, на которых основывается доказательство этого способа, известны учащимся, мы рекомендуем на кружковых занятиях обязательно изучить этот способ.

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ

У. С. ДАВЫДОВ (Гомель)

В методической литературе неоднократно отмечалось, что в школьных учебниках и задачнике по тригонометрии недостаточное внимание уделяется изучению свойств тригонометрических функций: возрастание и убывание, наибольшие и наименьшие значения, графики, периодичность и др. Достаточно сказать, что задачник Рыбкина не содержит ни одного упражнения на построение графиков.

В настоящей статье дается материал по следующим вопросам:

1) графики тригонометрических функций,

2) наибольшие и наименьшие значения. График функции у = A sixix+B.

1) y = sinx. Имеем:

График этой функции есть синусоида (обыкновенная) или «гармоника» (его построение изложено в школьном учебнике). Заметим, что данная синусоида симметрична относительно начала координат, так как

и имеет период Т = 2ъ (черт. 1).

Дуга синусоиды в промежутке (0, гс) расположена вогнутостью вниз; приводим элементарное доказательство (см. С. И. Новоселов, Алгебра и элементарные функции): обозначив середину произвольной дуги МХМ2 и стягивающей ее хорды МХМ2 соответственно через M и /С, получим:

имеем:

поэтому КА<МА, т. е. середина хорды нахо дится ниже соответствующей точки дуги.

2) у = 2 sin х. График этой функции есть гармоника с периодом 2тс; наибольшее значение функции равно 2 и наименьшее — 2. Эта гармоника получается растяжением синусоиды у = sin X в 2 раза от оси ОХ.

3) у — — 2sinAT, Соответствующая гармоника симметрична гармонике y=2s\nx относительно оси ох; здесь имеет место преобразование осевой симметрии — зеркальное отражение в оси ОХ.

4) у = sin х+2. График есть гармоника ^ = sinAT, но «перенесенная вверх» на 2 единицы. Здесь имеет место преобразование параллельного перенесения в направлении оси О У (черт. 2).

Упражнения. Начертить графики функций:

5) график функции у = sin (х + ср). Пример: у = sin ^л: -|—^-J. Для построения графика целесообразно аргументу х давать значения те же, что и в примере 1, но уменьшенные на — (черт. 3).

Полученная линия есть также гармоника y = sinx9 но «перенесенная влево» на расстояние-^-. Здесь имеет место преобразование параллельного перенесения в направлении оси ОХ.

Рекомендуется учащимся для сравнения построить на одном чертеже оба графика у = sin х

Период функции

также равен 2тс. На чертеже имеем:

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

б) у = sin ух — -g-J . Для построения графика целесообразно аргументу х давать значения те же, что и в примере 1, но увеличенные на

Получим гармонику, «перенесенную вправо» на расстояние (черт. 4).

Черт. 4

Приходим к заключению, что график функции у = A sin (х + ср) есть синусоида у = A sin х с периодом 7' = 2тг, перенесенная в направлении оси ОХ влево на |ср|, если <р>0, и вправо на |ср|, если <р<С0. Заметим, что величина ср иногда называется фазой.

Рекомендуется учащимся для сравнения построить на одном чертеже графики трех функций:

7) График функции y = sln2х. Для построения соответствующего графика будем аргументу х давать значения те же, что и в примере 1, но уменьшенные вдвое (черт. 5).

Черт. 5

Получаем синусоиду (гармонику) с наибольшим значением, равным 4-1, наименьшим —равным —1, но с периодом 7* = — = т:. Эта линия получается путем сжатия к оси OY в два раза синусоиды у = s'mx (черт. 5).

8) у = sin -у-. Здесь целесообразно давать аргументу х значения, вдвое большие, чем в примере 1. Получаем гармонику с периодом

Г = 2тг.2 = 4тг.

В данном случае имеет место «растяжение» от оси OY в два раза (черт. 6).

Черт. 6

Рекомендуется учащимся построить для сравнения на одном чертеже графики функций:

Из предыдущих примеров заключаем, что график функцииу=A sin сод: есть синусоида, проходящая через начало координат; ее период равен Т = — , что можно показать так:

Синусоида заключена между двумя параллельными прямыми, расстояние между которыми равно 2-|Л|.

Упражнения. Построить графики функций:

и определить их периоды.

Пример:

Если представить эту функцию в виде

то Для построения графика целесообразно умень шить на -~ значения х из примера 1 (черт. 7).

Черт. 7

Период Т = —- ~j^J = тт.

Упражнения.

1) Построить график функции в положении Аи определяемом углом AOAt=(p. Обозначим постоянную угловую скорость через ш. Тогда расстояние у проекции точки M на диаметр ВС от центра выразится формулой:

2) Построить график переменного тока

Из рассмотрения предыдущих примеров заключаем, что график функции у = A sin (сод: -|- ср) есть синусоида (гармоника) с периодом , перенесенная в направлении оси ОХ влево на ~, если ф]>0, и вправо на |~~~|» есЛИ ср < 0. При А > 0 имеем:

где Утах —

А есть наибольшее значение функции.

График функции у = A cos (cox -J- ср). Так как

то график функции у = A cos (шл: -J- ср) есть также гармоника. Заметим, что величину А можно считать положительной; в самом деле:

Рекомендуется учащимся для сравнения построить на одном чертеже графики функции:

Гармоническое колебание

Пусть точка M движется равномерно по окружности в положительном направлении (черт. 8); в начале движения точка находится

где R есть радиус окружности, a t — время, прошедшее от начала движения. Мы пришли, таким образом, к синусоидальной функции

с периодом Т = , который называется периодом полного колебания. Проекция точки M на диаметр ВС будет совершать колебательное движение около центра О.

Общую синусоидальную функцию

можно представить в другом виде. Для этого выполним следующие преобразования:

Обозначим:

имеем:

(1)

Обратно: всякую функцию, заданную формулой (1) можно представить в виде

Возвысив обе части уравнений:

в квадрат и сложив, найдем:

кроме того,

Черт. 8

Упражнение. Найти амплитуду и фазу гармоники

у = 3 sin 2х + 4 cos 2x.

Решение.

Упражнения.

Примечание. В некоторых случаях можно поступать проще; например:

Сложение гармоник с одинаковыми периодами

Сумма двух гармоник, имеющих одинаковые периоды, есть также гармоника с тем же периодом. Действительно, имеем:

Результирующую гармонику можно построить, складывая направленные отрезки, изображающие ординаты соответствующих точек данных гармоник.

Пример. Сложить гармоники

график представлен на чертеже 9.

Черт. 9

Некоторые функции можно привести к виду

у — A sin (шл: + ср)

при помощи тождественных преобразований.

Пример 1.

3) Произведение двух синусоидальных функций с одинаковыми периодами есть также синусоидальная функция с вдвое меньшим периодом. Действительно:

это есть гармоника, перенесенная в направлении оси ординат на расстояние, равное

период

Упражнения.

Сложение гармоник, имеющих разные периоды

Сумма гармоник (синусоидальных функций), имеющих разные, но соизмеримые периоды, есть периодическая (но не синусоидальная) функция, период которой в общем случае равен

наименьшему кратному периодов слагаемых функций. Например, период функции

есть наименьшее кратное

Примеры.

Примечание. Из формулы

можно прямо вывести:

5) Представить как сумму гармоник:

Наибольшие и наименьшие значения

Нахождение наибольших и наименьших значений функций элементарными средствами в курсе средней школы представляется нам гораздо более полезным, чем средствами формального аппарата дифференциального исчисления.

Рассмотрим ряд примеров и задач.

1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 3 + 4 sin х.

Так как наибольшее и наименьшее значения функции sin х равны соответственно и —-1, то

Так как наибольшее и наименьшее значения функции sin2 je равны соответственно 1 и 0, то

Заметим, что пользование производными сопровождается более сложными преобразованиями.

10) у = a sin X +b cos х. Данная функция представляет собой гармонику, которая, как показано выше, может быть преобразована к виду

поэтому

поэтому (см. предыдущую задачу) имеем:

отсюда

При решении ряда задач на нахождение наибольших и наименьших значений можно пользоваться следующим приемом.

Решим уравнение:

относительно х. Для этого, воспользовавшись формулами

придем к уравнению:

значение ig действительно при условии:

отсюда

следовательно,

15) y = aigx+bç,tgx. Воспользовавшись предыдущим приемом, придем к уравнению:

откуда

Если числа а и b имеют разные знаки, то последнее условие имеет место при любом у и, следовательно, функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения; в этом случае она может иметь произвольное действительное значение.

Если числа а и b имеют одинаковые знаки, то получим:

следовательно,

Имеем:

заметив, что

получим:

18) Найти прямоугольный треугольник с данной гипотенузой, имеющий наибольшую площадь.

Решение.

искомый треугольник — равнобедренный.

19) Найти прямоугольный треугольник с данной гипотенузой, имеющий наибольшую сумму катетов (или наибольший периметр).

Ответ: равнобедренный треугольник.

20) Из всех треугольников с данным основанием и данным углом С при вершине найти треугольник, имеющий наибольшую площадь.

Решение.

наибольшее значение S имеет место при

откуда

искомый треугольник — равнобедренный.

21) Доказать, что из всех треугольников с данным углом а, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.

22) Через вершину прямого угла треугольника провести вне его прямую так, чтобы сумма ее расстояний до вершин острых углов была наибольшей (черт. 10).

Решение.

Таким образом, искомую прямую надо провести под углом х—-А к катету ВС.

23) Из всех прямоугольных треугольников с данной высотой h найти такой, который имеет наименьшую гипотенузу.

Решение.

24) Доказать, что из всех квадратов, вписанных в данный квадрат, наименьшую площадь имеет тот, вершины которого находятся в серединах сторон данного квадрата.

25) Из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данную окружность, найти такой, который имеет наибольшую сумму высоты и основания (черт. 11).

Решение.

Черт. 10

Из уравнения

находим:

отсюда

26) Коэффициент полезного действия винта равен

где а — угол подъема винта, ар — угол трения (tg р = [л — коэффициент трения). При каком значении а величина т) будет наибольшей?

Решение.

при этом

Отметим интересный способ построения Tlmax (черт. 12).

Из вершины О квадрата ОАВС со стороной, равной единице, проводим прямую ОЕ под углом ос к OA и прямую ОМ под углом р к ОЕ. Отрезок Z,/C = tj — искомый, так как

Отрезок FK, построенный, как указано на чертеже 13, равен Tjmax.

27) Из всех треугольников, имеющих данный периметр и данный угол, определить тот, который имеет наибольшую площадь.

Решение.

Если А — данный угол, то 5тах будет при

т. е.

откуда

В = С;

искомый треугольник — равнобедренный; его площадь равна

От редакции. Настоящая статья содержит ряд задач и примеров на исследование тригонометрических функций; такого рода упражнения почти отсутствуют в задачнике Рыбкина. Материал статьи частично может быть использован в классе, а частично на кружковых занятиях.

Черт. 11

Черт. 13

Черт. 12

О СИСТЕМЕ ПИСЬМЕННЫХ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ «АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ»

С. В. МАЙОРОВ (Москва)

Раздел «Алгебраические дроби» справедливо считается одним из трудных для сознательного и прочного усвоения его учащимися.

В целях достижения полноценных знаний учащихся по этой теме я в течение всего учебного года систематически включаю в контрольные работы упражнения на действия с алгебраическими дробями.

Ниже приводятся в хронологическом порядке тексты письменных работ, которые давались мною учащимся при изучении самой темы «Алгебраические дроби» и в порядке повторения при изучении дальнейших тем.

Предварительно с учащимися были повторены (в классе и дома) совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями, действия с относительными числами, действия над одночленами и многочленами, формулы сокращенного умножения, разложение многочленов на множители.

1) 10 сентября (в скобках даны вторые варианты работ).

1. Упростить:

2. Перемножить одночлены:

3. Перемножить многочлены:

4. Выполнить деление:

5. Выполнить деление:

2) 21 сентября. Разложить на множители:

3) 6 октября (после изучения начальных сведений о дробях).

1. Разложить на множители многочлен:

2. Найти НОД:

Найти НОК:

3. Сократить дробь:

4. Привести дроби к общему знаменателю:

4) 21 октября (после изучения сложения и вычитания дробей).

Выполнить действия:

5) 30 октября (после изучения четырех действий с дробями или после темы «Пропорции» — 15 ноября).

6) 14 декабря (при изучении уравнений).

1. Выполнить действия:

2. Решить уравнения:

б) с проверкой:

7) 18 января.

1. В одном сарае 6000 кг торфа, в другом 3600 кг; из первого расходуют ежедневно по 400 кг, из второго по 150 кг. Через сколько дней во втором сарае останется в 1,5 раза больше торфа, чем в первом?

(В одном ведре в 5 раз больше яблок, чем во втором. Если переложить из первого во второе 30 яблок, то во втором станет в 2 раза больше, чем в первом. Сколько яблок было в каждом ведре?)

8) 24 февраля (после изучения темы «Система уравнений)).

1. Решить уравнения:

2. Решить систему уравнений:

3. Решить систему неравенств:

9) 10 марта.

1. Двое рабочих получили за работу 950 руб. Первый работал 15 дней, второй 14 дней. Первый за 4 дня выручил на 85 руб. больше, чем второй за 3 дня. Сколько каждый из них получил в день?

2. Выполнить действия:

10) 10 апреля (после изучения темы «Извлечение квадратного корня из чисел»).

1. Извлечь квадратные корни:

2. Решить уравнение:

В заключение, при повторении всего курса, в начале мая даю контрольную работу на два часа (все предыдущие работы давались на один урок).

11) 8 мая.

1. Задача. Пассажирский поезд находится на станции А и товарный поезд на станции В, расстояние между которыми 65 км. Если поезда выйдут одновременно по одному и тому же направлению, то пассажирский поезд, следуя за товарным, догонит его через 13 часов. Если же товарный поезд выйдет из В навстречу пассажирскому на 24 мин. раньше его, то поезда встретятся через 36 мин. после выхода пассажирского.

Найти скорость каждого поезда.

2. Выполнить действия:

Изложенная система проводимых мною письменных контрольных работ в VII классе была одобрена на методических комиссиях математиков средней школы № 167 и средней школы рабочей молодежи № 98 г. Москвы.

К ВОПРОСУ О РАЦИОНАЛИЗАЦИИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Г. ГОЛЯНД (Льгов)

Вопрос о рационализации вычислений, о выборе наиболее рационального способа решения задачи является одним из важных вопросов в деле обучения математике. Можно привести большое количество примеров, — буквально из всех разделов математики, — когда один и тот же вопрос можно решить разными способами, не одинаковыми по простоте и эффективности. Неустанно пропагандировать, путем умелого показа и сопоставления, наиболее рациональные приемы есть обязанность учителя математики. Однако здесь, как и везде, нужно соблюдать известную меру, иначе могут получиться нежелательные результаты. Можно согласиться с утверждением автора статьи «О рационализации вычислений» («Математика в школе», 1952, № 2) Н. А. Троицкой, что «всякое нерациональное действие должно вызывать порицание со стороны учителя», но нельзя согласиться с тем, что «за невыполнение подобных указаний в дальнейшем следует снижать оценку». Если ученик допустил действительно грубые промахи (с точки зрения рационализации работы), то после соответствующих предупреждений ему можно снизить отметку. К числу таких промахов относятся:

1) сложение и вычитание смешанных чисел путем предварительного превращения в неправильные дроби, 2) неприменение переместительного и сочетательного законов сложения и умножения, 3) неприменение формул сокращенного умножения, 4) неприведение подобных членов, 5) несокращение дроби или обеих частей уравнения.

Что касается остальных нерациональных приемов, то бороться с ними, конечно, надо, но не путем снижения отметки, а путем поощрения учащихся, применяющих рациональные приемы. Здесь надо действовать по преимуществу методами показа и разъяснения.

Н. А. Троицкая считает, что «устное решение, например, таких уравнений, как:

в VII классе не должно вызывать особых затруднений», однако я пришел к твердому убеждению, что добиваться устного решения таких примеров, конечно, надо, но категорически требовать этого от всех учащихся (тем более под угрозой снижения отметки) совершенно недопустимо. В каждом классе найдется значительная часть учащихся, которые знают материал твердо, но если заставить их сделать в уме несколько действий подряд, они ошибутся. Вот характерный пример. Пишу на доске

Зх — 2у = 4:

и предлагаю учащимся устно выразить у через х. Сильные ученики, конечно, быстро это делают, но очень многие при этом ошибаются, поскольку нужно три действия выполнить в уме, но если вызвать их к доске, они правильно решат

этот пример:

Пусть лучше такие учащиеся работают более медленно, соразмерно своим силам, зато будут уверены, что не ошибутся, а с течением времени и они подтянутся.

Нельзя согласиться с тем, что борьба за рациональные приемы вычислений вырождается подчас в крохоборство, как при решении примеров (см. статью Н. А. Троицкой):

Далее Н. А. Троицкая утверждает, что «при решении задач при помощи составления уравнений нужно показать учащимся, что часто успех решения задачи зависит от удачного выбора неизвестного. На умение выбирать неизвестное при составлении уравнения следует обращать внимание с первых шагов изучения уравнений». Конечно, удачный выбор неизвестного имеет значение, но сравнительно небольшое. Не этот момент нужно акцентировать перед учащимися, а другой: выбор неизвестного принципиально роли не играет для правильного решения задачи. Ученик должен быть убежден в том, что какую бы величину он ни принял за неизвестное, — а в каждой задаче имеется обычно несколько неизвестных величин,—он непременно решит задачу, если только в дальнейшем будет правильно выражать через эту величину все остальные неизвестные и правильно составит уравнение.

Ученик, уверенный в правильности этого положения (а чтобы он убедился в этом, нужно почаще решать одну и ту же задачу разными способами), будет уверен в своих силах и не бросит решение задачи на полпути, потому что «способ не годится».

Итак, полагаю, что выбор неизвестного имеет свое значение (встречаются задачи, но их очень мало, где удачный выбор неизвестного в большой степени помогает решению задачи), но оно сравнительно невелико.

В заключение я хочу отметить, что полезно иногда, особенно в конце учебного года, когда повторяется весь материал, посвятить несколько часов решению одних и тех же задач многими способами. Приведу несколько примеров из своей практики.

I. (Рыбкин, ч. 1, § 13, № 80).

Задача. Определить площадь трапеции, у которой параллельные стороны 60 см и 20 см, а непараллельные 13 см а 37 см.

Способ 1 (черт. 1)

Черт. 1

3) Из треугольника АВВ1:

Из треугольника CCXD:

Способ 2 (черт. 2)

Черт. 2

Способ 3 (вариация способа 2) (черт. 3)

Черт. 3

так как основание параллелограма (АСг) вдвое меньше основания треугольника (CXD), но зато мы меньшее основание умножаем на всю высоту, а большее (в 2 раза) основание треугольника мы умножаем только на половину высоты. Значит,

Sabcd = 240 -f 240 = 480 {см2).

Способ 4 (черт. 4)

Черт. 4

1) Проведем диагональ АС; АС=х.

Способ 5 (черт. 5)

Черт. 5

1) Продолжим AB и CD до пересечения в точке /О

2) Д AKD оо Д КВС:

II. На консультации, в конце учебного года, при разборе вопроса «Изменение синуса с изменением острого угла» один любознательный ученик задал мне вопрос: «А как доказать, что ССХ> DDX?» (черт. 6). Я указал, что это доказательство от них не требуется, но, поскольку имелось свободное время, предложил вниманию учащихся несколько доказательств, остальные они придумали сами.

Доказательство 1 (черт. 7)

Соединим С с D; треугольник OCD равнобедренный; значит, лежащий при основании угол OCD меньше 90°, а угол CXCD и подавно меньше. В четырехугольнике CXCDDX углы при

Черт. 6. Черт. 7.

вершинах Сх и Dx прямые, а так как угол CXCD острый, то угол CDDX тупой. Тогда, если из D восставить перпендикуляр к DDX, он пройдет внутри круга. Пусть DK_]_ DDX, четырехугольник ClKDD1 — параллелограм, КСХ = DDU ССг>КС; значит, CCl>DDL.

Доказательство 2 Из треугольника ОССг:

Из треугольника ODDx:

Имеем:

но так как

то

или

Доказательство 3

Соединим D с Сг. Рассмотрим два треугольника: ОССх и ODCv У них по две стороны соответственно равны: ОСх — общая сторона и OC=OD, а углы, заключенные между ними, не равны: СОСх > DOCv Тогда, согласно теореме о треугольниках с двумя равными сторонами, имеем: ССХ> DCX\ но DCX> DDX\ следовательно, ССХ и подавно больше DDX.

Доказательство 4

Продолжим ССХ и DDX до пересечения с окружностью в точках L и К. Так как хорды CL и DK перпендикулярны к радиусу ОЛ, то они делятся в точках Сг и Dx пополам. Так как ^СЛ/,> w DAK, то

Должен сказать, к стыду моему, что лучшее из доказательств дал не я, а ученики. Но это лишний раз доказывает, что никоим образом нельзя снижать учащимся отметку за то, что они решили задачу не самым рациональным способом. Самый рациональный способ не всегда сразу первым приходит в голову, обычно он является результатом более или менее длительных размышлений. Разбор вышеуказанных вопросов проходил очень активно и, можно сказать без всякого преувеличения, он произвел на учащихся огромное впечатление. Они все более убеждались в том, что хотя «все дороги ведут в Рим», но надо стараться выбрать наиболее удобную из дорог.

* Лишь пережитками архаизмов в учебнике Рыбкина можно объяснить отсутствие обоснования монотонности тригонометрических функций в первой четверти (в данном случае синуса). Доказательство 4, приведенное автором статьи, наиболее естественно и вполне доступно учащимся. Таким образом, для установления возрастания синуса вовсе не необходимо, как до настоящего времени еще думают некоторые учителя, прибегать к помощи «тригонометра» или других подобного рода пособий. — Ред.

ПРОСТЫЕ МОДЕЛИ В КУРСЕ ЧЕРЧЕНИЯ

Л. М. ЭЙДЕЛЬС (Северо-Казахстанская обл.)

Первые сведения об изображении тел в прямоугольных проекциях, а также и в кабинетной (косоугольной фронтальной) в VII классе настоятельно требуют использования объемных моделей.

Между тем изготовление моделей для значительного числа преподавателей черчения является делом мало привычным. Среди выпускаемых для школы наглядных пособий модели для курса черчения также пока отсутствуют. Возникает настоятельная необходимость найти формы наиболее рационального и быстрого изготовления моделей для упражнения как в построении прямоугольных проекций, так и аксонометрии (изометрия или кабинетная проекция).

Довольно удобным «сырьем» для этой цели являются обычные спичечные коробки, которыми может располагать каждый учащийся. На прилагаемых рисунках показаны различные варианты моделей, изготовленных только из трех спичечных коробок, причем они не подвергаются никакому разрезанию, вставкам или дополнениям, а входят в модель целиком. Задача выполнения модели заключается только в склеивании трех коробок разными сторонами, в различных комбинациях. Приведенные варианты из такого ограниченного количества коробок

далеко не используют еще всех возможностей, имеющихся в этом направлении. Еще больше возможностей появляется при условии увеличения количества коробок, входящих в модель, до четырех или пяти, а также при допущении возможности разрезания коробок и выполнения вставок из коробок же. Но и приведенных примеров достаточно, чтобы показать большие возможности, имеющиеся в этом весьма простом материале.

Моделирование может производиться двояко: заранее учитель склеивает коробки и обклеивает их бумагой для скрытия стыков и увеличения прочности модели (бумага может применяться цветная глянцевая, что делает модель более красивой на вид); другая возможность заключается в моделировании на глазах учащихся в классе. Складывая желательным образом коробки, учитель тут же может скреплять их обычными булавками с головками, которые, протыкая коробки, остаются незаметными для наблюдателя. Каждая модель может быть таким образом на уроке неоднократно трансформирована в другую. По заданию учителя учащиеся делают такие же модели дома и чертят по ним изображения в кабинетной проекции (VII классы) или в изометрической проекции (IX классы). Лучшие модели, выполненные учащимися, могут служить неплохим пополнением для школьного кабинета по черчению. Их качеством является легкость и относительная прочность.

Как видно из рисунков, отдельные изображения дают одну и ту же модель в разных раккурсах, т. е. в разных поворотах по отношению к наблюдателю. Эта особенность, т. е. значение выбранной точки зрения на предмет при расположении его относительно осей проекции для получения наиболее наглядного изображения при условии наибольшей экономии сил и труда, мною постоянно подчеркивается на уроках. Вместе с тем выполнение различных вариантов при разных раккурсах предмета чрезвычайно заинтересовывает учащихся и весьма ощутимо помогает им в развитии пространственного воображения, стимулирует их к творчеству в этом направлении. При этом они, создавая новые комбинации моделей все из тех же трех коробок, тут же стараются запечатлеть результат на чертеже. Это обстоятельство говорит о том, что несложное моделирование такого рода может служить начальным этапом во внеклассной работе по черчению при условии перехода впоследствии, особенно с старшеклассниками, к моделированию в более сложных формах (модели с криволинейными очертаниями и т. п.).

Черт 1-18.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

НОВОЕ ПОСОБИЕ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ

Л. М. ЛОПОВОК (Хмельницкий)

В 1953 году издательство «Советская наука» выпустило книгу С. И. Новоселова «Специальный курс тригонометрии», допущенную в качестве учебного пособия для педагогических институтов. В предисловии автор указывает, что изучение «специального курса элементарной математики» введено в педагогических институтах недавно, программа этого курса сложилась лишь в последнее время. Естественно, это весьма затрудняет создание учебных пособий.

Читатель знаком с работой С. И. Новоселова «Обратные тригонометрические функции», выдержавшей несколько изданий, и его учебником тригонометрии для учительских институтов («Геометрия и тригонометрия» А. Н. Перепелкиной и С. И. Новоселова). Новая работа, в которой использованы опыт и некоторые материалы предыдущих работ автора, является значительным шагом вперед в деле создания полноценного учебника тригонометрии для педагогических институтов. Она написана на надлежащем научном уровне и по богатству содержания намного превосходит вышедшие ранее курсы тригонометрии. Хотя автор сознательно не рассматривает ряда вопросов, связанных с методикой изложения тех или иных частей курса* в школе, данная книга представляет большой интерес и для учителя средней школы.

Остановимся подробнее на содержании рецензируемой книги.

Небольшое введение (§ 1—6, стр. 5—26) касается прежде всего содержания курса тригонометрии. К сожалению, исторические замечания автора слишком лаконичны. Буквально в двух словах названы работы Леонарда Эйлера и Н. И. Лобачевского, имен других математиков нет. Полного представления о развитии тригонометрии читатель не получает. Это кажется нам упущением, так как создание научного курса истории математики — еще не решенная задача.

Особое внимание во «Введении» уделяется основным понятиям теории проекций, измерению углов и координатной плоскости. Заканчивается этот раздел изложением понятия о монотонных функциях и о периодических функциях. Эти вопросы хотя и не входят в курс тригонометрии, однако столь важны в ходе дальнейшего изложения, что их включение в книгу вполне целесообразно.

Введя определение периодической функции, автор ограничивается определением и показом графиков. На страницах журнала «Математика в школе» приводились упражнения на установление периодичности функций. Например, дано, что

при постоянном а и любом х. Периодична ли функция / (х)'? Подобные примеры следовало бы привести в § 6.

В главе 1 излагается геометрическая теория тригонометрических функций (§ 7—21, стр. 27—95). Автор начинает с определения тригонометрических функций угла, после чего дает четыре интерпретации тригонометрических функций. Эти параграфы чрезвычайно важны для будущего учителя математики. Автор считает целесообразным ограничиться изучением, в качестве основных, четырех тригонометрических функций. Против этого трудно возразить. Однако в программе тригонометрии средней школы значатся не четыре, а шесть тригонометрических функций. Учителю приходится интерпретировать изменение знаков секанса и косеканса по четвертям, не пользуясь соотношениями sec а = —— и coseca = —т-—.

Поэтому, пожалуй, стоило бы показать интерпретации шести функций, сохранив замечание о возможности ограничиться четырьмя из них.

В § 11 вычисляются значения тригонометрических функций углов — при п = 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12.

В школе вычисление этих величин производится несколько иным способом, однако при повторении использование материала книги целесообразно.

В § 12 выводятся периоды четырех тригонометрических функций. В школе принятый автором путь едва ли применим. Там вопрос о периодичности изучается в связи с формулами приведения. Установив непосредственно, что sin (х + 90°) = cos х и cos (х + 90°) = — sin xt получают:

* Например, по поводу отбора интерпретации тригонометрических функций С. И. Новоселов указывает, что «этот вопрос рассматривается в методике тригонометрии» (стр. 37). Такой же характер имеет примечание автора на стр. 6 и др.

К этому прибавляют обоснование того, что период функции у = sin X кратен 90°.

Такое изложение, вполне отвечая определению, данному автором в § 6, представляется нам более удобным для школы.

Во второй части главы изложены вопросы об определении интервалов знакопостоянства, о четности и нечетности, о множествах значений, о промежутках, монотонности и о непрерывности тригонометрических функций.

Определяя множества значений тригонометрических функций, автор вводит понятия об обратных тригонометрических функциях. Нужно сказать, что переход к изучению обратных тригонометрических функций (в X классе) целесообразно осуществлять именно по такому плану.

К сожалению, опечатка, вкравшаяся на стр. 50, искажает до противоречивости условие теоремы о множестве дуг, имеющих синус, равный т. С одной стороны указывается, что — 1 <!т <11, а затем написано: «Если I m I > 0, то не существует углов (дуг), удовлетворяющих условию (2)». Должно быть, конечно,

«|/ю|>Ь.

В приведенных примерах автор злоупотребляет знаками точного равенства. В учебнике нельзя писать

В этих примерах следует пользоваться знаком приближенного равенства.

В этой же главе рассмотрен вопрос о доказательстве тригонометрических тождеств. Для учителя имеют большое значение указания автора о необходимости учета арифметических корней. Ошибки при преобразовании выражений, содержащих радикалы, нередко имеют место в школах. В старых изданиях задачника Н. А. Рыбкина также имели место подобные неточности.

Автор правильно указывает на значение тождественных преобразований в курсе тригонометрии. К сожалению, таким преобразованиям не всегда уделяют место в вузах. Укажем, например, на задание из учебника интегрального исчисления H. Н. Лузина:

к которому приведен ответ: — ctg х + cosec х + с. При этом для получения такого ответа рекомендуется умножать числитель и знаменатель на 1 — cos х. А почему бы, скажем, не выполнить естественные преобразования:

Поэтому приведение в рецензируемой книге многочисленных примеров доказательства тождеств, исключения неизвестных и т. п. следует приветствовать. Достоинством изложения является, между прочим, и остроумная геометрическая интерпретация ряда соотношений.

Пример 1 можно решить проще. Дело в том, что

Условие примера 13 (стр. 68) содержит опечатку: напечатано sec* вместо cosec*.

Изложение непрерывности тригонометрических функций в той форме, как это сделано в § 19, для школы, по нашему мнению, не годится. Там оно может быть сделано только после изучения формул приведения к виду, удобному для логарифмирования. Так как строить графики приходится раньше, то никакого обоснованного изложения непрерывности тригонометрических функций своевременно не дается. С. И. Новоселов находится в более «удобных» условиях и потому излагает материал своевременно. Он строит графики тригонометрических функций, а также и таких функций, как у = \oga (sin х) (при а > 1), у = |/“loga sin X, у = 2C0S х, у = cos — и т. д. Материал этого параграфа с большой пользой может быть использован на математическом кружке.

Вторая глава «Теоремы сложения и их следствия» (§ 22—32, стр. 96—181) очень близка к школьному курсу. С. И. Новоселов весьма подробно показывает возможные пути вывода теорем сложения, обращая при этом внимание читателей на то, что многие из известных интерпретаций не являются выводами теоремы сложения, так как они применимы лишь при некоторых ограничительных условиях (чаще всего 0<а<90° и 0<ß<90°).

Здесь же приводится вывод формул тригонометрических функций от суммы любого числа слагаемых. Этот материал представляет интерес не только для учителей и студентов, но и для школьников — членов математических кружков.

§ 23 посвящен формулам приведения. Изложение корректное и в то же время доступное даже девятиклассникам. Изложение заканчивается правилом пользования формулами приведения* и примерами. Далее идут функции кратных дуг. формулы деления аргумента и формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (и суммы — в произведение). Изложение содержит интересные геометрические интерпретации и сопровождается многочисленными примерами. При этом автор приводит многие полезные приемы выполнения описываемых преобразований. Как и в вышедшем в прошлом веке учебнике Е. М. Пржевальского, в рецензируемой книге значительное внимание уделено суммированию конечных рядов. Многие примеры из § 29 могут быть использованы в школе для работы с более сильными учащимися и для математического кружка.

Нам кажется, что следовало остановиться и на таких трех формулах, имеющихся в школьном задачнике:

Тогда бы пример 4 (стр. 125) был решен проще**.

* Формулировка кажется нам не совсем удачной. Нехорошо писать, что «формулы приведения к горизонтальному диаметру не меняют наименования тригонометрической функции, формулы приведения к вертикальному диаметру изменяют наименование тригонометрической функции на сходственное» (стр. 111).

** Если положить в последней формуле а = 20°, то получим:

Пример 12 (стр. 137) в учебнике В. И. Шифф решен несколько проще.

Достаточно внимания уделено искусственным способам приведения суммы к логарифмическому виду. Такие преобразования встречаются не только в старых сборниках задач по тригонометрии (как указывает автор), но и в учебнике Н. А. Рыбкина. Поэтому будущему учителю следует ознакомиться и с этими приемами.

Завершается глава примерами исследования функций. Примеры подобраны удачно. Нам кажется, что следует не только говорить о том, что период функции у = ft (ах + b) + /2 imx + п) может быть не равен 2тс, а дать разбор примера (например, у=3 sin Ах—cos 2ху у = sin (6х + 20е) + lg (2х — 51 °) и т. п.).

Глава III (§ 33—39, стр. 182—229) посвящена обратным тригонометрическим функциям. Содержание этой главы известно читателям по одноименной брошюре С. И. Новоселова. В данном случае автор внес мало по сравнению с названной работой. Однако он добился большей компактности изложения, хотя внес в основной текст часть вопросов, отнесенных ранее к приложениям (например, полиномы Чебышева).

Материал этой главы широко используется учителями средних школ. Она написана на высоком научном и методическом уровне.

Глава IV (§ 40—55, стр. 230—327) посвящена тригонометрическим уравнениям и неравенствам. Автор указывает на недостатки определений тригонометрических уравнений, имеющихся в старых учебниках, но сам не дает определения. Он считает подобное определение излишним, так как «речь идет лишь о тех или иных весьма частных видах уравнений (называемых тригонометрическими) и специальных (а не общих) приемах их решения и исследования» (стр. 231). Рассуждения автора последовательны, но они игнорируют тот факт, что учителям (работающим в настоящее время или будущим) придется давать такое определение школьникам. По нашему мнению, следовало бы дать определение понятия тригонометрического уравнения.

В дальнейшем С. И. Новоселов довольно подробно останавливается на приемах решения тригонометрических уравнений и приводит многочисленные, удачно подобранные примеры. Основательно выяснен вопрос о формулах общего решения тригонометрического уравнения и их преобразованиях.

Применяя подстановки, сводящие данное тригонометрическое уравнение к алгебраическому, автор заменяет уравнение смешанной системой*. Этот прием еще мало внедрен в школу, но он обладает столь значительными научными достоинствами, что несомненно займет в будущем подобающее место в школьном преподавании. Если в алгебре его внедрение в VIII—IX классах тормозится плохим знанием неравенств, то в тригонометрии это препятствие отпадает: к моменту перехода к теме «Тригонометрические уравнения» изучение неравенств окончено.

Наряду с тригонометрическими уравнениями с одним неизвестным рассмотрены и системы тригонометрических уравнений, а также некоторые трансцендентные уравнения. Решения в большинстве случаев иллюстрированы геометрически.

Вторая часть главы IV посвящена неравенствам. Подбор упражнений довольно широк, но все же не охватывает многих интересных задач на доказательство. Некоторые примеры § 52 (в частности 6; 7) едва ли целесообразно разбирать. Полезнее связать их с разложением в ряд тригонометрических функций, приведенным автором ниже (в § 75).

Читатель встречался с тригонометрическими неравенствами в сборниках В. А. Кречмара, П. С. Моденова, в статье Ф. М. Больсена («Математика в школе», № 3 за 1950 г.). Список невелик, и поэтому учителя внимательно отнесутся к данной главе.

В конце главы автор делает примечание: «В скобках даны значения аргументов тригонометрических функций в градусах, поскольку распространенные тригонометрические таблицы составлены в градусной мере» (стр. 327). Это ненормальное положение уже отмечалось в печати, в частности на него указывал Н. М. Бескин в работе «Вопросы тригонометрии и ее преподавания». Пора бы расширить таблицы В. М. Брадиса значениями тригонометрических функций углов, заданных в радианной мере. Примеры таких таблиц приведены в упомянутой работе Н. М. Бескина.

Глава V (§ 56—68, стр. 329 — 404) посвящена вычислению элементов геометрических фигур (не только треугольников) и различным применениям тригонометрии.

Разумеется, много места уделено решению треугольников. Автор показывает взаимосвязь между группами соотношений, приводит геометрические интерпретации для некоторых формул (например, для формул Мольвейде). Все это подкрепляется перечнем формул, которыми можно воспользоваться при решении треугольников.

К сожалению, неудачно изложен вывод формулы s = -7>ab sin С. В тексте рассмотрено лишь одно из трех возможных положений высоты. Получается дефектный вывод. Между тем ниже (стр. 343) при выводе формул для вычисления высот рассмотрены все случаи. Следует дать полный вывод формулы для вычисления площади треугольника, а при вычислении высот использовать полученный ранее результат.

Автор приводит ряд примеров на доказательство соотношений в треугольнике. Нам кажется, что следовало остановиться на соотношении между углами, образуемыми трансверсалями со стороны треугольника. Тогда можно было бы получить тригонометрическую форму теоремы Чевы.

1) Если прямые ААи ВВХ и СС1у соответственно образующие со сторонами треугольника ЛВС углы ах и а 2, ßj и ß2> 71 и Ъ (черт. 1), пересекаются в одной точке, то

Черт. 1

* Мы не останавливаемся подробнее на сущности этого приема, так как он освещен в статье П. С. Моденова в журнале «Математика в школе», № 3 за 1953 г.

2) Если прямые ААЬ ВВ\ и ССг соответственно образуют со сторонами треугольника углы ах и а2 ßi и ?2» Ti и Ï2 (см- черт. 1), причем

то эти прямые пересекаются в одной точке.

Отсюда вытекали бы многочисленные (и полезные) упражнения, связанные с замечательными точками треугольника, в том числе и с точкой Брокара*.

Среди приведенных автором примеров часть такова, что решение с помощью тригонометрии нецелесообразно. Так, пример 6 удобнее решается при использовании соотношения R > 2г (стр. 336—337).

Равенство

(стр. 347) легче, конечно, доказывать так:

Задачу 6 (стр. 349) удобнее решать на основании теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу (или дополнительные углы). В самом деле:

К примерам 7—9 автор сам указывает иные пути решения (без помощи тригонометрии).

Излагая решение треугольников, С. И. Новоселов придерживается системы Торопова. Работы таганрогского учителя К. А. Торопова «Краткий курс тригонометрии» (1894) и «Магический ряд и его применение к решению задач» (1908) давно стали библиографической редкостью. Следовало рассказать о них и об авторе хотя бы в сноске.

Однако эти недостатки не снижают значения отдела о решении треугольников для студента и учителя. Автор подробно разбирает основные и неосновные случаи решения треугольников, приводит примеры решения четырехугольников и применения тригонометрии к решению стереометрических задач. В § 66 дается понятие о геодезических задачах, в § 67 — о применениях тригонометрии к физике, механике технике. Последний параграф главы посвящен тригонометрическим таблицам. В нем отсутствуют какие-либо замечания по истории таблиц, нет указаний, как составляются таблицы логарифмов тригонометрических величин*.

Две последние главы книги содержат аналитическую теорию тригонометрических функций и вопрос об элементарных трансцендентных функциях над полем комплексных чисел. Последняя (VII) глава, как отмечает и сам автор, не относится к курсу тригонометрии. В главе VI автор приводит без доказательства разложение тригонометрических функций в степенные ряды. Для учителя средней школы представляет интерес вывод таких разложений без помощи дифференциального исчисления. Такой вывод есть, например, в учебнике Пржевальского. Поскольку подобный материал может быть использован в кружковой работе, неплохо бы включить его в параграф 75.

Приведенный здесь краткий критический обзор содержания книги С. И. Новоселова показывает, что автор в основном удачно справился со своей задачей. Рецензируемая книга, несомненно окажется полезной и учителю средней школы; она окажет влияние и на будущие учебники тригонометрии для массовой школы.

При последующих изданиях перед автором возникает задача внесения исторических справок и некоторого освобождения книги от второстепенного материала. Нужно будет устранить многочисленные типографские дефекты: пропуски букв, числителей, подкоренных выражений и т. п. (см., например, стр. 15—5 св., стр. 41—1 ch., стр. 42—12 св., стр. 48—17 ch., стр. 61—1 ch., стр. 64—18 ch., стр. 115—1 св., стр 124—1 ch., стр 163—7 ch., стр. 164—10 сн. и т. д.). Иногда эти опечатки производят комический эффект. Так, например, на стр. 432 читаем: «Как известно из теории ядов...»(!)

Все эти недостатки легко устранимы. Прекрасные иллюстрации книги могут служить образцом для учителя.

Выход в свет книги С. И. Новоселова «Специальный курс тригонометрии» будет содействовать повышению уровня преподавания тригонометрии в наших школах.

* Впрочем, с ней можно ознакомиться и иным путем, показанным, например, в учебнике Е. М. Пржевальского (§ 148—151).

* См. учебник Е. М. Пржевальского, § 193.

О КУЛЬТУРЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ РЕЧИ

А. ВЛАСЕНКО (Сумы)

Практика показывает, что часть школьников и даже студентов не владеет в должной мере культурой речи (грамотность, стиль, лаконизм, логичность). Поэтому перед педагогами средних школ и высших учебных заведений стоит ответственная задача — систематически и всесторонне бороться за повышение культуры речи учащихся. Не случайно проблема культуры речи поставлена органами просвещения как одна из актуальных проблем сегодняшнего дня.

К сожалению, имеют место факты нарушения норм культуры речи в книгах, призванных способствовать борьбе за культуру речи.

В пособии «Методика преподавания математики» под обшей редакцией С, Е Ляпина (Учпедгиз, 1952) среди прочих параграфов имеется § 13 «О культуре математической речи».

Рассматривая этот актуальный вопрос, автор Б. И. Крельштейн показывает действенную роль речи и ее грамматически правильного оформления для формирования самой мысли. В текста приводится много примеров типичных ошибок, допускаемых учащимися в «математической речи», указываются некоторые пути борьбы с этими ошибками.

Все было бы хорошо, если бы сам автор Б. И. Крельштейн, ратующий за культуру речи, не грешил в отношении... культуры речи. Написанные им разделы пестрят языковыми погрешностями.

Мы не будем анализировать все эти погрешности, а рассмотрим лишь немногие, которые, однако, убедительно показывают неудовлетворительное положение с речью в названном выше методическом пособии.

Прежде всего § 13 «О культуре математической речи» написан нечетким, «дубовым» языком.

Так, по мнению автора, «грамотная речь в математике в значительной мере решает вопрос о математическом развитии и математических знаниях школьников» (стр. 55). Известно, что человек решает различные вопросы, а речь может лишь способствовать этому, а вот у Б. И. Крельштейна выходит, что речь решает вопрос. А потом, о каком вообще решении вопроса говорит автор? Автор, очевидно, имел в виду подчеркнуть то верное положение, что логичная, грамотная и четкая речь в значительной мере раскрывает характер и степень умственного развития учащихся, а также определяет качество их математических знаний. Но из высказывания автора, как видно, лишь очень туманно вырисовывается эта мысль.

Следующее предложение также не блещет формой: «Правописание вновь вводимого термина должно показываться на доске с обязательным перенесением (?) его (чего?) учащимися а свои тетради» (стр. 55).

Автор употребляет далее такие словосочетания: «классные (?) темы», «специальные (?) предметные (?) термины математики» (вместо «математические термины»). А чего стоит оборот: «...приближая ответ к устному рассказу проделанного вывода...» (стр. 58) я т. д.

На странице 4, в абзаце, содержащем 22 строки, словосочетание «Методика математики» без всякой необходимости повторяется семь раз.

На странице 9 имеется такое предложение: «Естественно, задачей преподавания математики и учителя*, ведущего это преподавание, является возбуждение у учащихся интереса к самостоятельным выводам, развитие у них пытливости и удовлетворения от самостоятельной работы». Первое подчеркнутое словосочетание стилистически очень неудачно, а далее, так можно подумать, автор проповедует какое-то «развитие... удовлетворения».

На странице 10 имеется такое неудачное расположение слов: «...от развития промышленности, наук и философии...», способное навести читателя на мысль, что философия не является наукой.

На странице 10 в силу пропуска двух союзов «что» (перед двумя придаточными предложениями) получился обзац, путаный язык которого явно напоминает самого Дюринга: «Дюринг писал, что в чистой математике рассудок занимается своими собственными творениями и фантазиями, понятия числа и фигуры составляют достаточный для нее создаваемый ею самой объект, и, таким образом, она имеет значение, не зависящее от частного опыта и реального содержания мира».

Укажем, что «небрежность и неточность в употреблении терминов ведет» автора этих слов (Б. И. Крельштейна) к путанице понятий. На странице 10 написано: «Тот факт, что математика занимается изучением законов реального мира в наиболее общем виде, ...не делает ее наукой, независимой от действительности». По Б. И. Крельштейну выходит, не философия (как это известно), а математика занимается изучением законов реального мира в наиболее общем виде.

На странице 11 имеется «водянистая вода»: «...математические методы аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений».

Посмотрим, однако, какие «логические» перлы преподносит автор в своем изложении элементов логики. На странице 17 написано: «Так, например, мы можем разделить понятие арифметической дроби на правильную и неправильную дробь». Автор опустил (не думаем, что ради лаконизма, ибо язык Б. И. Крельштейна «рыхлый», «водянистый») одно слово («понятия») перед словом «правильную», вследствие чего получилось «деление» понятия на дробь. Ниже на этой же странице повторяются аналогичные «деления» треугольников, обыкновенных дробей.

Автор неудачно употребляет инфинитивные формы глаголов. На странице 252, например, пишется об умении «охватить все заданное выражение полностью и подметить возможность представить его иначе».

Не будем утруждать читателей дальнейшим рассмотрением подобных «образцов». Приведенные примеры характерны и достаточно показательны. Они говорят о том, что учиться культуре речи надлежит не только учащимся средней и высшей школы.

* Курсив в цитатах везде наш.— А. В.

От редакции

В настоящей критической заметке не дается обшей научно-методической оценки книги «Методика преподавания математики» под общей редакцией С. Е. Ляпина.

Автор заметки останавливается лишь на дефектах письменной речи, нашедших место в главах, написанных одним из авторов —Б. И. Крельштейном.

Развернутая рецензия Т. А. Пескова на упомянутую книгу помещена в № 5 журнала «Математика в школе» за 1953 г.

ХРОНИКА

АЛЕКСАНДР ВАСИЛЬЕВИЧ ЛАНКОВ

В. У. ГРИБАНОВ (Молотов)

2 февраля 1953 г. после непродолжительной болезни скончался хорошо известный среди широкого круга учителей — математиков и методистов профессор Александр Васильевич Ланков.

А. В. Ланков родился в 1884 г. в деревне Воронцово бывшей Тверской губернии, Корчевского уезда, Яковлевской волости. Отец его был крепостным помещика Скарятина, после реформы 1861 г. служил лесником, позднее приписался к мещанскому сословию и занимался сельским хозяйством. Мать была из крестьянской семьи.

После окончания начальной школы, затем двухклассного сельского училища в с. Медведицком А. В. Ланков как один из хорошо успевающих учеников был оставлен на год при училище «на казенный счет» для подготовки к поступлению в Новоторжскую учительскую семинарию.

После окончания Новоторжской учительской семинарии в 1903 г. А. В. был назначен учителем начального училища в с. Марьино, но после пяти месяцев работы был переведен в двухклассное училище в с. Кимры, где учительствовал до весны 1907 г.

В 1907—1910 гг. А. В. учился в Московском учительском институте и окончил его с золотой медалью. Одновременно А. В. учился в Московском коммерческом институте в качестве вольнослушателя.

В 1905—1910 гг. А. В. начал свою литературную деятельность. Его первая статья «Воспоминания воспитанника учительской семинарии» была напечатана в журнале «Начальный учитель», выходившем в Петербурге под редакцией В. А. Латышева. В этом журнале и в журнале «Учитель» напечатан еще ряд его статей.

После окончания учительского института А. В. был назначен преподавателем математики в Тверское городское училище, где проработал до августа 1916 г.

В эти дни, помимо непосредственного педагогического труда, А. В. продолжал свою литературную деятельность в качестве сотрудника-рецензента учебной и методической литературы по математике в журнале «Педагогический вестник» Московского учебного округа.

В 1913 — 1914 гг. начинается административная деятельность А. В. сначала в должности заведующего городским педагогическим музеем, а затем в должности заведующего управлением по народному образованию городской думы. В зимние каникулы 1914/15 учебного года А. В. выступил с большим докладом на учительском съезде учебного округа на тему «Арифметические задачники», в результате чего учебный округ поручил ему пересмотр программы по арифметике для высших начальных училищ. В эти же годы, несмотря на начавшийся еще в 1914 г. активный туберкулезный процесс легких, А. В. не оставил литературную деятельность и написал свой первый учебник «Начала алгебры», который был принят к печати в Одессе в начале 1917 г., но вышел в свет только в 1918 г.

С августа 1916 г. А. В. был назначен наставником в Поливановскую учительскую семинарию, как зарекомендовавший себя с хорошей стороны преподава-

тель, глубоко интересующийся вопросами методики. В стенах этой семинарии были еще живы методические традиции А. И. Гольденберга, К. П. Арженикова и В. К. Беллюстина, известных основоположников методики преподавания начальной математики в России. Эти традиции и систематическая работа на положении преподавателя учительской семинарии обогатили методический опыт А. В., сделали методику преподавания его основной специальностью и определили направление его интересов до последних дней его жизни, — он стал учителем учителей.

Лечение на курорте в летние каникулы 1915—1916 гг. и трехлетнее пребывание в Поливанове, в здоровой сельской обстановке, избавили А. В. от опасной болезни, обычно оканчивавшейся смертельным исходом для многих учителей того времени.

В первый же год работы в Поливанове А. В. написал пособие «Устный счет. История, теория и методика устных вычислений». Издательством Сытина пособие было принято к изданию, но не вышло в свет, так как рукопись оказалась утерянной редактором А. А. Волковым. Только через четыре года рукопись была восстановлена автором и пособие издано «Работником просвещения».

Здесь же, в Поливанове, началась работа А. В. в выборных органах: весной 1917 г. он был избран гласным в уездное земство и председателем финансово-бюджетной комиссии в волостном земстве.

В 1919 г. А. В. переехал снова в Кимры. К этому времени с. Кимры стало уже уездным городом. Здесь А. В. сначала пришлось заняться административной работой, он был назначен членом коллегии и заместителем зав. отделом народного образования. В первые же дни своей новой работы он внес предложение об организации Постоянных педагогических курсов и взял на себя хлопоты по их открытию. 1 сентября 1919 г. курсы были открыты, и А. В. был назначен их заведующим. Позднее курсы были переименованы в педагогический техникум, который в 1944 г. отметил свой 25-летний юбилей.

Летом 1919 г. по инициативе А. В. были проведены курсы для учителей уезда. В связи с присутствием на курсах большинства учителей Кимрского уезда было организовано уездное отделение союза работников просвещения, и А. В. вскоре был избран председателем правления. С этого времени началось деятельное участие А. В. в профсоюзной работе.

В 1920 г. А. В. был избран делегатом на губернский съезд, с этого съезда — делегатом на Всероссийский съезд, где был избран членом ревизионной комиссии ЦК союза и после разделения союза на Рабпрос и Рабис — заместителем председателя ревизионной комиссии союза Рабпрос.

В октябре 1922 г. А. В. принял предложение Тверского губернского отдела народного образования о заведывании большой фабричной средней школой имени Ленина в г. Твери (ныне Калинин), где работал до конца 1929 г. Одновременно он вел преподавательскую работу сначала в педагогическом техникуме, затем на рабфаке и в рабочем университете и в конце этого периода — в педагогическом институте. Помимо административной и педагогической работы, А. В. вел работу в качестве секретаря президиума губернского правления союза работников просвещения (1922—1923 гг.) и в качестве депутата горсовета (1925—1926 гг.); с января по сентябрь 1930 г. он был ответственным редактором издательства «Работник просвещения». К этому периоду жизни А. В. относится особенно интенсивная его литературная деятельность. По предложению издательства «Работник просвещения» им было написано руководство по методике преподавания математики (первое в советское время)—«Математика в трудовой школе», выдержавшее семь изданий; были изданы задачники по арифметике и алгебре, в свое время широко известные, вышедшие в огромных тиражах не только на русском, но и на других языках народов СССР. Суммарный тираж этих работ доходит до 5 миллионов экземпляров.

В 1930 г. А. В. был избран заведующим кафедрой математики в Ферганский педагогический институт. В 1933 г. Государственный ученый совет Наркомпроса Узбекской ССР утвердил А. В. в ученом звании профессора. Отзыв секции научных работников от 15 апреля 1934 г. следующими словами характеризует деятельность А. В. в Узбекистане: «Несмотря на большую загрузку непосредственной педагогической работой в вузе, А. В. Ланков всегда отдавал силы и время для общественной и профсоюзной работы с полной добросовестностью и высокой талантливостью. Особенно необходимо отметить следующие важнейшие моменты в этот период (отмечаем некоторые из них. — В. Г.):

1) На фронте классовой борьбы. В январе 1932 г., в связи с письмом И. В. Сталина в журнал «Пролетарская революция», профессор Ланков энергично встал во главе бригады, которой был поручен просмотр всех институтских программ и очищение их от чуждых линии партии буржуазных тенденций, и эта борьба была проведена под его руководством с большой последовательностью и выдержанностью.

2) В вопросах поднятия работы коллектива вуза на высшую ступень. Эта работа проводилась главным образом энергией А. В. Ланкова, возглавлявшего производственный сектор СНР (организация научно-исследовательской работы, руководство программной работой и т. д.).

3) Важнейшей общественной заслугой профессора А. В. Ланкова является безвозмездное участие его в организации Ферганского, Маргеланского и Андижанского педагогических институтов, которые в настоящее время уже выросли настолько, что стали серьезнейшими рассадниками высшего педагогического образования в Узбекистане. Под его же руководством СНР приняла деятельное участие в организации новых вузов (Маргеланский хлопковый институт).

4) Необходимо отметить широкую просветительную деятельность профессора А. В. Ланкова в других районах Узбекистана (Бухара, Маргелан, Андижан, Ташкент), причем эта деятельность была связана с обширной литературной продукцией в области методики математики, в которой профессор Ланков является общеизвестным автором всесоюзного масштаба.

5) Высокую оценку своей работы профессор А. В. Ланков находит и в студенческих массах, для которых он положил много труда в отношении поднятия их знаний и культуры путем устройства научно-популярных лекций, непосредственной помощью в их работе и т. д.».

Такова многогранная деятельность А. В. в период пребывания его в Узбекистане.

В 1934 г., по предложению дирекции Пермского педагогического института (ныне Молотовского), А. В. перешел на заведывание кафедрой математики в этом институте, где и работал до последних дней своей жизни, как и в предыдущие периоды, проявляя самую разнообразную деятельность. С 1939 по 1947 г. работал заместителем директора института по научной и учебной работе, значительно оживив эту работу во всех направлениях. Руководил аспирантурой в довоенное и послевоенное время. Большинство из его аспирантов успешно защитили диссертации. Одновременно А. В. проводил большую методическую работу

с учителями города и области, выступая на собраниях, конференциях, съездах и на курсах городского и областного отделов народного образования и институтов усовершенствования учителей.

В дни Великой Отечественной войны А. В. проводил большую пропагандистскую работу, выступая с лекциями и докладами на политические темы перед широкой аудиторией трудящихся и в воинских частях.

К особым заслугам А. В. следует отнести его роль инициатора и организатора конференций математических кафедр педвузов Урала. Эти конференции сыграли огромную роль в деле улучшения постановки преподавания математических дисциплин, особенно элементарной математики и методики преподавания математики, и оказали большое влияние на научно-исследовательскую работу и повышение квалификации научных работников математических кафедр педагогических и учительских институтов Урала.

После освобождения от должности зам. директора по научной и учебной работе А. В. резко повысил свою литературную работу: каждый год он писал по две-три статьи по самым разнообразным вопросам, относящимся к жизни педвузов и к методике преподавания математики. В это время он написал работу «К истории развития передовых идей в русской методике математики» (книга вышла в свет в 1951 г.), «Математические интересы учащихся средней школы» (рукопись направлена в АПН) и несколько других работ, подготовленных к изданию.

За энергичную и разностороннюю деятельность в области просвещения и подготовки кадров учителей А. В. был награжден правительством в 1944 г. орденом «Знак почета», в 1945 г. — медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне» и Министерством просвещения в 1946 г. — значком «Отличник народного просвещения».

Почти 50 лет проработал Александр Васильевич на поприще просвещения, пройдя путь от народного учителя до профессора. Трудом настойчивым, целеустремленным, достойным подражания молодым учителям, ознаменован этот славный и почетный путь.

Несмотря на почти семидесятилетний возраст, А. В. имел еще много сил и энергии продолжать свою многогранную деятельность, но неожиданная болезнь быстро свела его в могилу.

Светлая память об Александре Васильевиче, как неутомимом труженике, жизнерадостном и обаятельном человеке, еще долго будет жить в сердцах всех знавших его по общественной, педагогической и литературной деятельности.

О РАБОТЕ МОСКОВСКОГО ГОРОДСКОГО ИНСТИТУТА УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ УЧИТЕЛЕЙ

С. В. ФИЛИЧЕВ (Москва)

В основу работы Московского городского института усовершенствования учителей по математике в' 1953 г. были положены постановления XIX съезда КПСС по вопросу об осуществлении политехнического обучения в общеобразовательной средней школе и работа И. В. Сталина «Экономические проблемы социализма в СССР».

На вечере показа лучшего опыта внедрения элементов политехнизма в процессе преподавания математики были поставлены доклады:

зав. кафедрой проф. И. К. Андронова «Математика в системе политехнического обучения» (вступительное слово);

В. И. Яровой (учитель 97-й школы) «Опыт проведения измерительных работ на местности»;

И. В. Морозкина (учитель 59-й школы) «Графический метод в курсе математики средней школы и его практические применения»;

H. И. Сырнева (учитель 352-й школы) «Работа с логарифмической линейкой в курсе средней школы»;

Г. А. Назаревского (учитель 58-й школы) «Конструктивный чертеж как средство развития пространственных представлений».

На научно-практической конференции преподавателей математики г. Москвы, посвященной внедрению элементов политехнизма в курс математики средней школы, были сделаны доклады:

I. «Преподавание математики в системе политехнического обучения» — зав. кафедрой И. К. Андронов.

2. «Устный счет в курсе арифметики средней школы» — К. Н. Петрова (учительница 211-й школы).

3. «Процентные расчеты и их практическое значение»— П. В. Стратилатов (учитель 352-й школы).

4. «Графики и номограммы в курсе средней школы» — И. В. Морозкин (учитель 59-й школы).

5. «Чертеж в процессе изложения курса стереометрии» — Г. А. Назаревский (учитель 58-й школы).

6. «Землемерные работы в школе» — В. И. Свирилин (учитель 164-й школы).

7. «Тематические пионерские сборы по математике» — Н. А. Васильева (методист Краснопресненского района).

В лекциях и на практических занятиях на годичных курсах особое внимание было обращено на вопросы политехнического обучения.

Так, во всех группах программы были насыщены практикой: по арифметике — устные, рациональные письменные и инструментальные вычисления;

по геометрии — работы на местности, инструментальная геометрия и решение практических задач;

по алгебре — логарифмическая линейка, графики и номограммы и решение практических задач;

по тригонометрии — рациональные табличные вычисления, вычисления на логарифмической линейке и решение практических задач как на плоскости, так и на сфере.

В семинаре по обмену передовым опытом были заслушаны десять докладов на следующие темы:

1. «Система работы учителя математики в VI—VII классах».

2. «О преподавании отрицательных чисел».

3. «Измерительные работы в средней школе».

4. «Связь преподавания математики и черчения».

5. «Применение измерительных приборов на уроках геометрии в средней школе».

6. «Функции и графики в VIII классе».

7. «Опыт проведения измерительных работ с учащимися при помощи самодельных приборов».

Институтом был организован цикл лекций на тему «Математика в системе политехнического обучения»; в цикл вошли следующие лекции:

1) О счетных машинах — чл.-корр. АН СССР Б. Н. Делоне.

2) О приближенных и табличных вычислениях, об

инструментальной математике и о подборе «политехнических задач» — проф. И. К. Андронов.

3) О решении задач на проекционном чертеже — канд. пед. наук А. И. Фетисов.

Эпизодические лекции были прочитаны по следующим темам:

1. «Элементарное изложение геометрии Лобачевского» — чл.-корр. АН СССР Б. Н. Делоне.

2. «Учение о последовательностях»—акад. П. С. Александров.

3. «Преподавание математики в свете работы И. В. Сталина «Экономические проблемы социализма в СССР» — проф. И. К. Андронов.

О РАБОТЕ ШКОЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА ПРИ ВИТЕБСКОМ ПЕДИНСТИТУТЕ

В. Д. ЧИСТЯКОВ (Витебск)

Начиная с 1949 г., при кафедре математики Витебского государственного педагогического института имени С. М. Кирова регулярно работают школьные математические кружки для учащихся средних школ г. Витебска (кружок для учащихся VII и VIII классов и кружок для учащихся IX и X классов).

Тематика кружков ежегодно разрабатывается кафедрой математики. К участию в работе кружков привлекаются сотрудники кафедры и лучшие учителя города.

Кружки работают по воскресным дням и объединяют лучших юных математиков из среды учащихся. На занятиях кружка учащиеся школ знакомятся с историей элементарной математики, с корифеями русской математической мысли (Н. И. Лобачевский, С. В. Ковалевская, П. Л. Чебышев и др.), а также с замечательными советскими математиками — лауреатами Сталинских премий. Кроме докладов, которые читаются членами кафедры, на каждом занятии кружка решаются задачи повышенной трудности, в том числе и задачи, предлагаемые в журнале «Математика в школе». Работа кружков завершается участием всех его членов в традиционных, ежегодно проводимых математических олимпиадах.

Так, в течение 1952/53 учебного года на кружках были рассмотрены следующие вопросы:

Кружок для VII и VIII классов

1) Великий русский математик П. Л. Чебышев.

2) Доказательство геометрических и алгебраических неравенств.

3) Эквивалентные уравнения.

4) Великий русский геометр Н. И. Лобачевский.

5) Графическое решение уравнении и неравенств.

6) Вычисление на счетах (несколько занятий).

7) Знакомство с арифмометром и работа с ним (несколько занятий).

8) С. В. Ковалевская.

9) Советские математики — лауреаты Сталинских премий.

10) Исследование уравнении с одним неизвестным.

11) Методика решения арифметических и алгебраических задач на доказательство.

Кружок для IX и X классов

1) Метод математической индукции.

2) Решение задач повышенной трудности на комбинаторику.

3) Неопределенные уравнения.

4) Н. И. Лобачевский и его геометрия в доступном изложении (при изложении геометрии Лобачевского использовались специально изготовленные таблицы и модели, в том числе и модель псевдосферы из папье-маше).

5) П. Л. Чебышев и его школа.

6) Логарифмическая линейка и упражнения с ней (несколько занятий).

7) Определители 2-го и 3-го порядка и исследование уравнений.

8) С. В. Ковалевская.

9) Советские математики — лауреаты Сталинских премий.

10) Логарифмы в комплексной области.

Материалы работы кружков ежемесячно освещаются в математическом бюллетене, издаваемом кафедрой, и используются учителями для проведения внеклассной работы у себя в школе.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 5 ЗА 1953 Г.

№ 1

Доказать неразрешимость в целых числах уравнения:

x2 — у2 = 2xyz.

Случай x = НЬ у, z — О исключается.

Решение. Представим данное уравнение в виде

Положим — = т% тогда имеем:

откуда

Но у z2 -\~ 1 не может быть целым числом ни при каком целом z. Допустим, что У z2 + 1 = я, где а — целое число, тогда получим z2 +1 = а2 или (a+z) (а — z) = 1, но это равенство при целых значениях а и z возможно только при z = 0, что исключается условием. И так как х = y[z± У z2 + 1 ], то, следовательно, у и х не есть целые числа. Следовательно, данное уравнение неразрешимо в целых числах.

№ 2

Найти наименьшее значение функции:

<t(x) = I X — I + I x — х21 + ... + I x — хп |,

1, х2,... > jc„ — данные числа, расположенные в возрастающем порядке, т. е.

х\ < х2 < хг.. .< хп.

Решение. Пусть Аь А2,..., Ап и Л4“ — точки на числовой оси, имеющие координаты, соответствующие числам хи х2у x3i..., xw х\ тогда длины отрезков МАи МА2,..., МАп будут равны \х — Хх\, \ х — х2\,...у \х — хп\, т. е.

и заданная функция у (л:) будет равна сумме расстояний переменной точки M от данных фиксированных точек

А\у A2l..., Ап.

Если точка M левее Ль т. е. если х < д^, тогда, обозначив через а разность — х, т. е. х — хх — а, а>0, получим:

(1)

Если точка M будет приближаться к Аи оставаясь влево от нее, то в сумме (1) будет уменьшаться только первый член п-МА{.

Если точка M совпадает с Аи т. е. х = Хц то а = MAi = Ot и сумма (1) будет иметь следующий вид:

(2)

а) Если п — 1 = 1, т. е. п = 2, то предыдущее равенство сводится с следующему:

а это и есть minimum функции

которого она достигает при любом х, удовлетворяющем условию

так как при этом значении х получим:

Если же п > 2, например п = 3, имеем:

а это и есть наименьшее значение функции

Аналогично рассуждая, получим при п = 4:

при п = 5: при п = 6:

при 11 = 2/7*.

что есть minimum данной функции. В самом деле, так как хр < х <! , то

При /î = 2/?+ 1, положив х = дг , lf получим:

что есть minimum данной функции, в чем легко убедиться, проделав выкладки, аналогичные предыдущим .

Итак, при п четном данная функция достигает наименьшего значения, равного

при любом x, удовлетворяющем условию

при п — нечетном данная функция достигает наименьшего значения при х = x„,t, которое равно

№ 3

Решить систему уравнений:

(1)

Решение. Преобразуем данную систему следующим образом:

(2)

Пусть

х+у = щ x+z — vy y+z = t. (У)

Тогда данная система примет вид:

(3) (4)

Сложив почленно уравнения (4), получим:

(5)

Вычитая из уравнения (5) последовательно каждое из уравнений системы (4) и учтя, что и ^ 0, v ф О, t фЪ, получим эквивалентную систему:

(б) (7) (8)

Решив систему уравнений (6), (7) и (8), получим:

Подставив эти значения и, v и t в равенство (2') и решив систему

получим:

2-е решение системы уравнений № 3. Обозначив числители левой части системы уравнений соответственно через а, ß, 7, имеем:

(1)

Складывая первое со вторым, первое с третьим и второе с третьим, получим:

(2)

Подставив соотношение (2) в заданную систему и учтя, что X + у ф О, X + z ф О, у + z ф О, получим:

(3)

Перемножив эти уравнения, получим:

(4)

Подставляя в соотношение (4) последовательно имеем:

(5)

Из (5) имеем:

(6)

Сложив все уравнения системы (6), получим:

(7)

Заменив в этом соотношении

из (6),

получим:

отсюда имеем:

или

аналогично

(8)

Далее из системы (2) имеем:

(9)

Корни берем со знаком + » так как отрицательные значения корней не удовлетворяют системе (3) и данной системе.

Заменив а, ß, у из соотношения (8) и решая систему (9), получим:

№ 4

Решить систему уравнений:

Решение.

Если ввести обозначения

то данная система примет вид: I. II. III.

Вычитая II из III, получим:

(IV)

Вычитая I из II, получим:

(V)

Так как сомножители не могут равняться нулю, то, разделив V на IV, получим:

откуда

(VI)

или

или

Заменив в уравнении (IV), получим:

Имеем систему:

(VII)

(I)

(VI)

Умножая I на II и вычитая VII, найдем:

откуда

(VIII)

Подставив V из соотношения (VIII) в уравнение (I) данной системы, получим:

(IX)

Решая уравнение IX, получим:

затем из уравнения VIII находим vt а из уравнения VI (а) находим t (fi).

Имеем:

Так как

то, взяв из таблицы (ß)^2, и2 и t2, получим:

Итак, в поле действительных чисел данная система имеет два решения, в поле же комплексных — 54.

№ 5

Через вершины треугольника ABC проведены внешние биссектрисы, которые, пересекаясь, образуют треугольник A\BiCi; вновь проведенные биссектрисы образуют треугольник А2В2С2 и т. д. Доказать, что фигура АпВпСп при п~+ оо стремится к равностороннему треугольнику, т. е. что

(черт. 1)

Решение. Имеем:

аналогично:

аналогично:

Рассмотрим разности углов:

Имеем:

Аналогично:

При

следовательно,

№ 6

В треугольник ABC вписаны четыре круга таким образом, что один из них касается трех сторон треугольника и трех других кругов, а каждый из остальных касается двух сторон треугольника ABC и первого круга. Определить радиус первого круга, если радиусы трех остальных кругов равны га, гс.

Решение. Пусть OK = г, а радиусы кругов 0\, 0,у 03 будут ra, гь, гс (черт. 2).

Имеем:

отсюда

Отсюда

(1)

аналогично:

Черт. 1

Черт. 2

Так как

то, применив формулу

получим:

или

№ 7

Решить в целых числах уравнение:

(1)

Решение. Имеем:

Сложив эти равенства, получим:

Итак, данное уравнение можно представить в следующем виде:

(2) (3)

Решив уравнение (3) относительно уу получим:

Выражение 1 + (3£2 — 2k) х будет точным только при X — 3.

Итак, при

Давая значения п — 0, + 1, + 2, + 3, ± 4,..получим решения данного уравнения в целых числах.

№ 8

Дано соотношение между углами треугольника,

найти зависимость между сторонами.

1-е решение. Преобразуем соотношение

Итак, данное соотношение можно записать в следующем виде:

Заменив sin А через •

sin В через

получим:

или

откуда

или

2-е решение. Путем элементарных преобразований данное соотношение приводится к виду:

применив теорему синусов, получим:

но

отсюда имеем:

№ 9

Если телесный угол шарового сектора содержит а стерадиан и а<2гс, а развертка конической поверхности этого сектора имеет центральный угол ß — радиан, то

(черт.) 3, 4). Доказать.

Черт. 3 Черт. 4

Решение. Пусть О АС В — сектор с телесным углом а стерадиан, a OAxBiA2 — развертка конической поверхности этого шарового сектора. Обозначим радиус шарового сектора через R, а угол осевого сечения сектора через S.

Имеем:

(телесный угол измеряется отношением поверхности сегмента этого сектора к квадрату радиуса), или

(1)

Длина дуги А\В\А2 равна длине окружности Ou т. е.

но длину дуги / можно выразить через радианную меру угла, т. е.

имеем:

(2)

Из равенств (1) и (2) имеем:

Но

№ 10

Отрезок AB делится на три равные части АС = CD = DB и отрезок CD удаляется из отрезка AB. Каждая аз оставшихся частей АС и DB снова делится на m pu равные части АР = TQ = QC, DR = RS = SB, и средние части PQ и RS снова удаляются и т. д. Доказать, что на отрезке AB найдутся такие точки, которые не будут удалены, сколько бы раз мы ни повторяли эту операцию удаления частей.

Решение. При удалении отрезка CD пограничные точки С и D остаются на своих местах (иначе отрезки АС и BD не имели бы концов, т. е. не имели бы крайних точек). Эти точки С и D, являясь общими для пар отрезков (АС, CD), {CD, DB), как бы считаются дважды, являются двойными (в смысле принадлежности двум различным объектам), отсюда следует, что при удалении отрезка CD удаляются из AB лишь внутренние точки, лежащие между Сп и D, крайние же точки С и D остаются.

1. Точки А и В никогда не могут быть удалены; в противном случае они должны были бы стать внутренними, являясь одновременно и крайними.

2. Сказанное относительно точек А и В верно для новых концов С и D и т. д.

Если принять, что при удалении отрезка CD отрезки Ад и BD «теряют» концы С и D, то все точки будут удалены, однако точки А и В останутся, если не допускать предельного перехода. Длины удаляемых отрезков составляют геометрическую прогрессию со знаменателем

Итак, как бы ни было велико п, после л-го удаления остается ( “у ) “я часть первоначального отрезка.

ЗАДАЧИ

№ 15

Разделить прямоугольный треугольник прямой, выходящей из вершины прямого угла, на два треугольника так, чтобы вписанные в полученные треугольники круги были равны.

Г. Гайсин (Винницкая обл.).

№ 16

Доказать, что сечение параллелепипеда плоскостью не может оказаться правильным пятиугольником.

Л. Лоповок (г. Проскуров).

№ 17

Окружность, вписанная в треугольник, касается его средней линии. Определить углы треугольника, если известно, что центр описанной окружности лежит на вписанной окружности.

Н. Титов (Казань).

№ 18

Решить уравнение:

И. Яворский (Москва).

№ 19

Решить систему уравнений:

М. Каченовский (Москва).

№ 20

Решить систему уравнений:

И. Яворский (Москва).

№ 21

В пространстве даны четыре точки Л, В, С, D. EF — общий перпендикуляр к отрезкам AB и CD. и AB ± CD. Зная, что ÄE = ЕВ = /я, С F = FD — п, EF~ky найти в пространстве точку О такую, чтобы сумма расстояний от нее до точек Д В, С и D достигала минимума.

П. Эрдниев (Алтайский край)

№ 22

Если прямые, соединяющие вершины треугольника ABC с точкой, находящейся внутри его, пересекают стороны треугольника АВУ ВС и АС соответственно в точках Си Au ä и из вершин С, Л и В проведены прямые, соответственно параллельные прямым ААи CCi и BBi до пересечения с продолжением сторон треугольника в точках А2, С2 и В2, то площадь треугольника ABC есть среднее геометрическое площадей треугольников А2АС, В2ВА и С2СВ. Найти внутри треугольника ABC такую точку О,“ для которой сумма площадей треугольников А2АС, В2ВА и С2СВ будет наименьшей.

Г. Мхитарян (Армянская ССР).

№ 23

Вычислить углы треугольника из соотношения:

М. Каченовский (Москва).

№ 24

Решить систему уравнений:

И. Яворский (Москва).

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

№ 1. Высота треугольной пирамиды, сложенной из 20 одинаковых шаров, равна Н. Найти радиус шара и ребро правильной пирамиды, описанной около данной «шаровой» пирамиды.

(Вторая всесибирская заочная математическая олимпиада.)

№ 2. Решить систему:

(Вторая всесибирская заочная математическая олимпиада.)

№ 3. Решить уравнение:

Ш. Кенжебаев (Кирг. ССР. Тянь-Шанская обл.).

№ 4. Определить углы треугольника, если известно, что

где ти т2, т3 — медианы треугольника, а, Ь, с — его стороны.

В. Смышлеев (Марийская АССР).

№ 5. Найти зависимость между я, b и с из соотношений:

Е. Боков (Краснодарский край).

№ 6. Треугольник является разносторонним прямоугольным тогда и только тогда, когда биссектриса одного его угла является в то же время биссектрисой угла между высотой и медианой того же угла.

П. Эрдниев (Алтайский край).

№ 7. Плоские углы при вершине трехгранного угла равны а, р и у. Определить углы, образованные гранями этого трехгранного угла.

М. Черепнин (Караганда).

№ 8. Решить уравнение:

И. Яворский (Москва).

№ 9. Докажите, что любая пара целых чисел х, у, получающаяся формуле

(1)

удовлетворяет уравнению

(2)

и обратно, все целые решения уравнения (2) получаются по формулам (1).

(Девятая Московская математическая олимпиада.) № 10. Доказать, что:

(Из задач для подготовки к десятой Московской математической олимпиаде.)

№ 11. Найти сумму коэффициентов многочлена, получающегося после раскрытия скобок и приведения подобных в выражении

(Из задач для подготовки к десятой Московской математической олимпиаде).

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 3 ЗА 1953 г.

Агринский Е. (Москва) 34, 35, 39, 40, 42, 43, 45—47; Ахвердов Г. (Ленинград) 34—50; Бауэр А. (Моршанск) 34—50; Бернштейн С. (Киев) 34—50; Боков Е. (Краснодарский край) 35, 36, 38—48, 50; Беляцкина Р. (ст. Ягуз) 34—36, 38—50; Вальтер Я. (Восточно-Казахстанская обл.) 34—36, 39—43, 45; Вейнман Б. (Киев) 34—47, 49, 50; Ветров К. (Восточно-Казахстанская обл.) 34—36, 38-40, 42, 43, 45—47, 49, 50; Владимиров Л. (Асбест) 34—47, 48—50; Гошлер М. (Вильнюс) 34—36, 38—42, 43—47, 49; Гаас А. (Караганда) 34—37, 41—45; Губанищев В. (Полесская обл.) 34—36, 38—50; Гемуев А. (Фрунзенская обл.) 34, 35, 39, 42, 43, 46, 47, 49, 50; Джабаров С. (Куйбышевская обл.) 34—36, 38—47, 49, 50; Давыдов У. (Гомель) 34—50; Егоров П. (Рязань) 34—36, 39—43, 45, 50; Епишин В. (Рязань) 34—36, 39, 41, 44, 45, 46, 50; Епимашко П. (Гродно) 34—36, 38—50; Исмагилов Р. (Башкирская АССР) 34—36, 39—48; Кулаго Е. (Бобруйская обл.) 34, 35, 39—45, 50; Кравшин М. (Дрогобыч) 34—40, 42, 43, 45, 46, 48—50; Кутепов А. (Ворошиловградская обл.) 34—36, 39—44, 46, 48, 50; Киселев А. (Ленинград) 34—48, 50; Кошелев А. (Ульяновская обл.) 35, 36, 38—40, 42—46, 50; Колесник С. (Харьков) 34—50; Кулик И. (Харьков) 34—50; Лейбман М. (Свердловская обл.) 34—37, 38—50; Левкович А. (Бобруйская обл.) 34—36, 38—45, 48—50; Левин А. (Таллин) 34—36, 39, 40, 42,43,46,50; Мирау Б. (Алма-Атинская обл.) 34—50; Молибога Я. (г. Верхний) 34—36, 38—40, 43—47, 49, 50; Меньших Б. (ст. Филоново) 34, 35, 37, 40, 42, 43, 44, 46, 48, 50; Мостовой А. (Алма-Атинская обл.) 34—50; 'Нахамчик С. (Рогачев) 34—47, 49, 50; Писаренко И. (Молда1ВСкая ССР) 34—50; Павелий В. (Пучинский район) 34—36, 38—40, 42—44, 45, 46, 49, 50; Приймаченко Р. (Житомирская обл.) 34—36, 38, 42—45; Пигарев Ю. (Киевская обл.) 34—50; Радченко Е. (Курская обл.) 34—36, 39, 41—44, 50; Ромов Я. (Северо-Казахстанская обл.) 34—50; Раухман А. (Крымская обл.) 34—37, 39, 40, 42—46, 48, 50; Рудштейн 3. (Бобруйская обл.) 34—40, 42—48, 50; Рубинштейн Н. (Москва) 34—36, 38—50; Рупейка 3. (Литовская ССР, Каунас) 34—50; Реннерт Р. (Польша) 34—36,38—46,48—50; Сирота М. (Полтавская обл.) 34, 36, 39—41, 43, 44, 46, 47, 49, 50; Стасюк В. (Дрогобычская обл.) 34—37, 39—50; Смышляев В. (Марийская АССР) 34—46, 48—50; Сергиенко Ф. (Запорожье) 34—37, 39—50; Строгальщиков П. (Вологодская обл.) 35, 36, 39, 43, 44, 45, 48, 50; Титов Н. (Казань) 34—50; Тралмак А. (Ленинград) 34—36, 38—50; Терехов Н. (Рязанская обл.) 34—45, 48; Утемов В. (Красноуфимск) 34—50; Цхай Т. (г. Андижан) 34—50; Черепнин М. (Караганда) 36—47; Чемисов И. (Орловская обл.) 34—37, 39—48, 50; Чепкасов Г. (Краснодарский край) 34—50; Эрдниев П. (Алтайский край) 34—48, 50; Яремчук Ф. (Дрогобыч) 34—40, 42, 43, 45, 46, 48—50; Ясиновый Э. (Куйбышев) 34—47, 49, 50.

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 4 ЗА 1953 г.

Агринский К. (Москва) 51—53, 58, 60, 61; Бернштейн С. (Киев) 51—62; Бартош П. (Чехословакия) 51—58, 60—62, 64; Бауэр А. (Моршанск); Вейнман Б. (Киев) 51, 53—55, 57, 58, 61, 64; Владимиров А. (Асбест) 51—62; Губанищев В. (Полесская обл.) 51—55, 57, 58, 60, 64; Гошлер М. (Вильнюс) 51— 58, 60, 61, 64; Головачев Е. (Курская обл.) 51, 53—56, 58, 60—62; Горохов А. (Белорецк) 51—59, 64; Гарслян М. (Грузинская ССР) 51—55, 58, 61; Гаас А (Караганда) 51—55, 57—62; Гемуев А. (Фрунзенская обл.). 51, 53, 54, 55, 58, 61, 62; Давыдов У. (Гомель) 51—58, 60—64; Джабаров С. (Куйбышевская обл.) 51—55, 57—58, 60—62; Епимашко /7. (Гродно) 51 — 64; Кириллов Н. (Ярославль) 51—55, 57, 58, 61; Козмодемьянский В. (Сызрань) 51—55, 57, 58, 61—62; Кунахович В. (Красноярский край) 53—58, 64; Лейбман М. (Свердловская обл.) 51—58, 60—62; Мирау Б. (Алма-Атинская обл.) 51—55, 57, 58, 60, 61, 62, 64; Мышакова Т. (Одесса) 51—58, 60—64; Магарам Е. (Южно-Сахалинск) 51—53, 55, 57, 58, 61; Мостовой А. (Алма-Атинская обл.) 51—55, 57, 58, 60, 61, 62, 64; Математический кружок (Минский педагогический институт) 51, 53—55, 57, 58, 61, 64; Наумов С. (Коми АССР); Пигарев Ю. (Корсунь-Шевченковский) 51—56, 58, 60—62, 64; Павелий В. (Ровенская обл.) 51, 53—55, 57, 58, 60, 62; Рубинштейн Н. (Москва) 51—55, 57, 58, 64; Рудштейн 3. (Любань) 51—58, 61, 64; Рознатовский Н. (Киев) 51—55, 57—62; Раухман А. (Крымская обл.) 51, 53, 54, 55, 57, 58, 61; Рупейка 3. (Каунас) 51—58, 60— 62, 64; Строгальщиков П. (Вологодская обл.) 51, 52, 54, 55, 58, 61, 62; Стасюк В. (Дрогобычская обл.) 51, 53—58, 60—62; Сергиенко Ф. (Запорожье) 51 —55, 57, 58, 60, 61, 62; Тралмак А. (Ленинград) 51—58, 60—64; Тишков Е. (Полоцк) 51—53, 55, 57—60, 64; Титов Н. (Казань) 51—62; Цимерман Я- (Краснодарский край) 51—55, 58, 59, 64; Цхай Т. (Андижан) 51—58, 60—62; Черепнин М. (Караганда) 51— 55, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 64; Шебаршин М. (Кемеровская обл.) 51—64; Яремчук Ф. (Дрогобич) 51—58, 60, 61; Ясиновый Э. (Куйбышев) 51—58, 61, 62, 64.

СОДЕРЖАНИЕ

МЕТОДИКА

Стр.

B. а. Буртаев — К вопросу о выполнении экзаменационных работ на аттестат зрелости ................................... 1

Я. М. Дымшиц — По поводу требований, предъявляемых к письменным экзаменационным работам............................. 7

М. С. Черепнин — О причинах разногласий в оценках экзаменационных работ по геометрии................................. 11

Н. Н. Шоластер — Некоторые вопросы преподавания тригонометрии в средней школе................................. 15

C. М. Васильев — К вопросу о возвышении в квадрат целых чисел и извлечении из них квадратных корней......................... 27

ИТОГИ ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЙ

М. Л. Лейвиков — О математической подготовке оканчивающих среднюю школу . 31

B. И. Рубцов и Л. С. Фрейман — Выше уровень математической подготовки оканчивающих школу..........................., 32

C. Г. Субботин — О подготовке по математике оканчивающих среднюю школу . . 36

Я- С. Юдкович — Некоторые итоги конкурсных экзаменов по математике в Белорусский электротехникум связи в 1953 г................„ . . 40

ИЗ ОПЫТА

А. Ф. Юников — Об элементах политехнизма в преподавании математики . . , . 45

К. И. Кабанова — К изучению логарифмической линейки в школе...... . 48

Д. К. Ульянов — Делимость чисел..................... 51

У. С. Давыдов — Некоторые вопросы преподавания тригонометрии ........ 61

С. В. Майоров — О системе письменных контрольных работ по теме «Алгебраические дроби».............................. . 70

Г. Р. Голянд — К вопросу о рационализации вычислений ..... 72

Л. М. Эйдельс — Простые модели в курсе черчения.............. 75

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Л. М. Лоповок — Новое пособие по тригонометрии .............. 77

A. Власенко — О культуре математической речи................. 80

ХРОНИКА

B. У. Грибанов— Александр Васильевич Ланков.............. 82

C. В. Филичев — О работе Московского городского института усовершенствования учителей . ,.............................. 84

В. Д. Чистяков — О работе школьного математического кружка при Витебском пединституте .............. 85

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 5 за 1953 г................... 86

Задачи.....,............................. 93

Задачи для учащихся »............................. —

Сводка решений по № 3 за 1953 г. .................» . , . 94

Сводка решений по № 4 за 1953 г....................... 95

Редакционная коллегия:

Редактор А.Н.Барсуков, зам. редактора С. И. Новоселов, члены редакционной коллегии: К. С. Богушевский, П. А. Ларичев, В. В. Немыцкий, H. Н. Никитин, С. В. Филичев, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Р. С. Терюкалова

Технический редактор С. Н. Шахов Корректор З. Федорова

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

Сдано в производство 6/1 1954 г. Подписано к печати 13/11 1954 г. Учетно-изд. 10,40.

А01656 Заказ 653 Тираж 90 000 экз.

Цена 4 р. 50 к. Бумага 84 X 108Vi6 = 3 бум. л. — 9,84 п. л.

13-я журнальная типография Союзполиграфпрома Главиздата Министерства культуры СССР, Москва, Гарднеровский пер., 1а.