МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

1

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1954

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 1

ЯНВАРЬ—ФЕВРАЛЬ 1954 г.

ТРИДЦАТЬ ЛЕТ БЕЗ ЛЕНИНА — ПО ЛЕНИНСКОМУ ПУТИ

Тридцать лет назад, 21 января 1924 года, Коммунистическая партия, советский народ, трудящиеся и угнетенные всех стран понесли тяжкую утрату — скончался Владимир Ильич Ленин.

Центральный Комитет нашей партии, обращаясь к партии и ко всем трудящимся, в эти скорбные дни писал: «Никогда еще после Маркса история великого освободительного движения пролетариата не выдвигала такой гигантской фигуры, как наш покойный вождь, учитель, друг. Все, что есть в пролетариате поистине великого и героического — бесстрашный ум, железная, несгибаемая, упорная, все преодолевающая воля, священная ненависть, ненависть до смерти к рабству и угнетению, революционная страсть, которая двигает горами, безграничная вера в творческие силы масс, громадный организационный гений, — все это нашло свое великолепное воплощение в Ленине, имя которого стало символом нового мира».

Учение Ленина и его деятельность имеют громадное всемирно-историческое значение. Ленин впервые после Маркса и Энгельса обосновал и творчески развил в новых условиях учение о новой стадии развития общества — о социализме и коммунизме — и о пролетарской революции, как основном средстве перехода к этой высшей стадии. В многолетней титанической борьбе Ленин создал и отстоял высшую форму организации пролетариата — революционную пролетарскую партию в России, недавно отпраздновавшую свое славное пятидесятилетие.

Вся история Коммунистической партии Советского Союза, ее всемирно-исторические победы связаны с именем ее великого основателя и вождя — Ленина. Закаленная и сплоченная им в боях против российского дворянско-помещичьего самодержавия и империалистической буржуазии, вооруженная передовой теорией марксизма-ленинизма, партия возглавила в октябре 1917 года пролетарскую революцию, утвердила и защитила от многочисленных врагов диктатуру пролетариата, власть рабочих и крестьян.

Великие научные открытия Ленина: доказательство возможности победы социализма первоначально в одной, отдельно взятой, капиталистической стране, открытие республики Советов как наилучшей политической формы диктатуры пролетариата, учение о руководящей роли пролетарской партии, создали нерушимую основу первого в мире социалистического государства — Союза Советских Социалистических Республик. Основываясь на глубоком знании объективных законов развития общества, опираясь на монолитную партию, сплотившую вокруг себя массы трудящихся, Ленин разработал и начал проводить в жизнь план построения социалистического общества. Этот план предусматривал мощное развитие социалистической промышленности (в первую очередь тяжелой) и энергетики, перестройку сельского хозяйства на основе кооперативного плана, резкий подъем политической сознательности и образовательного уровня масс (культурная революция).

Тридцать лет, прошедших со дня смерти В. И. Ленина, были годами героической борьбы советского народа за претворение в жизнь ленинских заветов. На каждом этапе Коммунистическая партия, руководствуясь теорией марксизма-ленинизма, вырабатывала правильную политику, обеспечивавшую дальнейшее укрепление социалистического строя и соответствующую коренным интересам народа. Ученик и продолжатель дела Ленина великий Сталин обогатил и развил дальше марксистско-ленинское учение

применительно к новым условиям. Вместе со своими соратниками он тридцать лет вел страну по ленинскому пути, преодолевая неслыханные трудности и громя всех врагов ленинизма.

Серьезным испытаниям подверглась многонациональная семья советских народов в годы Великой Отечественной войны. В ожесточенных боях 1941 —1945 годов советский народ отстоял свою родину, разгромил фашистских агрессоров и спас человечество от угрозы порабощения. В результате войны фронт империализма был прорван еще в нескольких местах. Из системы капитализма выпал ряд стран, трудящиеся которых свергли гнет буржуазии и, учась на опыте Советского Союза, пошли по пути социалистического развития.

В настоящее время советский народ залечил раны войны, восстановил и расширил свое народное хозяйство. Союз Советских Социалистических Республик является могучей социалистической державой, обладающей высоко развитой и бурно растущей на базе передовой науки промышленностью. В сельском хозяйстве безраздельно победил колхозный строй, преобразующий сельскохозяйственное производство на базе современной техники и социалистических производственных отношений. В стране за годы Советской власти произошла культурная революция, неузнаваемо изменившая весь облик советского народа. Быстро растет благосостояние трудящихся.

Наша партия, во главе со своим Центральным Комитетом, и Советское правительство, поддержанные всем народом, осуществляют ряд мероприятий, направленных на гармоничное развитие всех отраслей народного хозяйства и резкий подъем в кратчайшие сроки материального и культурного уровня жизни трудящихся города и деревни.

Учение марксизма-ленинизма не имеет границ. Оно становится знаменем борьбы трудящихся всего земного шара. Во всемирной истории совершается все быстрее и быстрее распад капиталистической системы. Мир движется к коммунизму. Бессильны и безнадежны попытки американских и прочих поджигателей войны задержать это движение.

Советский Союз — ударная бригада мирового революционного рабочего движения — теперь не одинок. С ним рядом, в едином лагере, соединенные вечной нерушимой дружбой, находятся великая Китайская Народная Республика, миллионы трудящихся стран народной демократии, Германская Демократическая Республика. Потерпела провал попытка американских агрессоров и их сателлитов поработить героический корейский народ. Растет и ширится мировое революционное рабочее движение и национально-освободительная борьба в колониальных и зависимых странах.

Имя Ленина, идеи Ленина, дела Ленина, пример советских людей, следующих заветам Ленина, вдохновляют сердца трудящихся и угнетенных, ведут их на борьбу во имя мира, демократии и социализма, во имя нового, коммунистического общества.

Советский народ идет по ленинскому пути, отдавая все свои силы делу укрепления своей социалистической родины, ее могущества. Он безгранично доверяет своей родной Коммунистической партии, руководимой соратниками и учениками Ленина. В сердце каждого советского человека бережно хранятся чувства беспредельной любви и благодарности Ленину — вождю, учителю, другу, поведшему нас по неизведанному, трудному, но радостному и светлому пути к коммунизму.

Особенные чувства благодарности и любви к Ленину и ответственности за исполнение его заветов испытывает многочисленная армия советских учителей.

Владимир Ильич неустанно разоблачал политику царского правительства, направленную на принижение и отупление народа. «Россия всегда останется бедной и нищей в отношении расходов на просвещение народа, пока народ не просветится настолько, чтобы свергнуть с себя гнет крепостников-помещиков», — писал он в 1913 году. С большим сочувствием он отмечал бедственное положение народных учителей, скромный героизм передового учительства, служащего, несмотря на невыносимые условия, делу просвещения народа.

После победы Великой Октябрьской социалистической революции В. И. Ленин неустанно подчеркивал, что задачу строительства коммунизма можно решить «только овладев всем современным знанием, умея превратить коммунизм из готовых заученных формул, советов, рецептов, предписаний, программ в то живое, что объединяет вашу непосредственную работу, превратить коммунизм в руководство для вашей практической работы».

Чрезвычайно высоко расценивал Ленин роль советских учителей. Неустанно заботится о них Коммунистическая партия. В Советском государстве учитель поднят на небывалую доселе высоту. Он — почетный человек, окруженный любовью и уважением народа. Повседневно советские учителя воспитывают новые поколения строителей коммунистического общества, беззаветно преданных партии и своей родине, знающих и умелых, способных творчески решать конкретные задачи коммунистического строительства.

Благодаря научно обоснованной соответствую-

щей объективным законам развития общества, политике Коммунистической партии, ее роли вдохновителя и организатора революционной энергии и творчества масс, процесс развития социалистического общества неизмеримо ускоряется. Промышленность, оснащенная новой техникой, механизированное сельское хозяйство, современные транспорт, связь, различные отрасли науки и культуры, система товарного обращения, государственный аппарат требуют культурных, разносторонне образованных специалистов. Подготовка специалистов высшей и средней квалификаций зависит от того, в какой мере обеспечивает средняя школа прочные, разносторонние знания учащихся.

Все это налагает на советское учительство серьезные обязанности в деле повышения качества политехнической подготовки учащихся.

Одним из основных элементов политехнического образования является обучение математике. Прочные, систематические знания по математике являются необходимым условием для работы в любой отрасли народного хозяйства. Однако нельзя допускать, чтобы изучение математики превратилось в самоцель. Учащихся нужно научить видеть практические возможности, открывающиеся при изучении математики в области смежных наук и повседневной жизни. Конкретные примеры должны быть жизненными и свидетельствовать о преимуществах советского социалистического строя и новых социалистических методов труда.

В ряде школ преподавание математики ведется в отрыве от других дисциплин. Это является пережитком тех метафизических воззрений, которые обусловливали резкое разграничение наук и являлись препятствием для их развития. Сущность социалистического способа производства и достигнутый уровень народного хозяйства предполагают сочетание в самом широком масштабе различных областей знания. Процесс взаимодействия науки с техникой при решении комплексных задач социалистического строительства должен найти отражение в школьном обучении. Для преподавания математики это означает, в первую очередь, осуществление тесного взаимодействия с преподаванием физики, химии, естествознания, с целью внедрения методов математических расчетов в изучение явлений природы и трудовой деятельности людей.

В свою очередь, такие согласованные действия оживят математику, и она предстанет в глазах учащихся не как «сухой и скучный предмет», а как действенное орудие советских людей — строителей новой, прекрасной жизни.

Выработка умения связывать текущие практические дела с основными политическими задачами партии, с ее борьбой за победу коммунизма составляет основную задачу всех работников школы — учителей и учащихся. Всякий успех в решении этой задачи будет означать реальное достижение в деле коммунистического воспитания новых поколений советского народа, в деле выполнения ленинских заветов.

В период постепенного перехода от социализма к коммунизму задача коммунистического воспитания подрастающего поколения приобретает огромное значение. Особенную остроту этой задаче придает наличие капиталистического окружения, пытающегося всеми средствами возрождать и культивировать пережитки капитализма в сознании людей. Но тщетны все эти попытки! Идеи ленинизма составляют гранитную основу мировоззрения советских людей; никому не погасить в их сердцах света ленинских идей.

Мы живем в замечательную эпоху. Всепобеждающее революционное учение Маркса — Энгельса—Ленина — Сталина сделалось знаменем большинства человечества. Оно стало действенной силой, преобразующей мир. В наши ряды непрерывным потоком вливаются новые поколения молодых строителей нового общества, свято чтущих память Ленина, беззаветно преданных делу Ленина, своей Коммунистической партии, знающих, умелых и энергичных работников. Нас ведет родная партия — детище Ленина, руководимая соратниками и учениками Ленина, знающими пути исторического развития и уверенно ведущими партию и народ к сияющим вершинам коммунизма.

Коммунизм предстает перед нами во всей своей реальности и достижимости. Благодаря усилиям партии и всего народа он входит в нашу повседневную жизнь как реальное воплощение предначертаний Ленина.

Под знаменем ленинизма, под руководством Коммунистической партии — вперед, к торжеству коммунизма!

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

К ВОПРОСУ О ДЛИНЕ ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КРУГЛЫХ ТЕЛ

Проф. И. К. АНДРОНОВ (Москва)

О пределе невыпуклой правильной ломаной, полувписанной в окружность, и длине окружности

I

Проблема длины окружности в евклидовой плоскости разрешена за много веков до нас. Уже в V—IV вв. до н. э. были сделаны догадки Анаксагором, Антифоном и Бризоном о взаимной связи между окружностью и вписанными и описанными правильными многоугольниками. Только в IV в. до н. э. Эвдокс превратил эти догадки впервые в научный метод — метод исчерпания, в котором впервые зарождается идея эволюции количественных изменений.

В III в. до н. э. великий Архимед усовершенствовал метод и впервые применил его к нахождению многих геометрических величин, в частности к нахождению верхней и нижней границ длины окружности. Он установил, что с — длина окружности — находится в следующих границах:

где D — диаметр окружности.

К концу XVII и началу XVIII в. в Европе найден был общий метод ректификации плоских кривых, уравнение которых имеет вид у =/(jc). Длина такой кривой выражается

С этого времени раздваивается учение о длине окружности:

1) в элементарных курсах предлагаются различные усовершенствования, связанные с учением о бесконечно-малых, предельных переходах и установлением аксиомы непрерывности для более корректного изложения теории;

2) в курсах математического анализа стараются строже изложить проблему интеграла и длину полуокружности получают как частный случай из вышезаписанного интеграла, когда

Несмотря на различие логических методов и различие вычислительной техники, в них неизменным остается исходный момент, связанный с вписыванием ломаной в окружность.

II

Автор решил подойти к учению о длине окружности с иного, более общего исходного момента.

А. Осуществим следующее построение (черт. 1)

1. Пусть взята окружность радиуса R; построим концентрическую окружность с радиусом

где п — произвольное натуральное число.

2. Разделим обе окружности на m равных частей, где m — четное число, точками:

а) на окружности радиуса R:

Ь) соединив радиусами центр с точками Ль А2у...,Ат на окружности радиуса г, получим точки Ви В2у...9Вт.

3. Соединяем отрезками последовательно точки Bi с Л1э Л1 с А2у А2 с В2,..,, Ат с Лт и ßm с Вг (на рисунке m = 8),

Будем называть полученную ломаную А1А2В2ВгАъА,...АтВтВ1А1 невыпуклой правильной ломаной, полувписанной в окружность; обозначим ее длину через Lm$n.

В. Найдем LmtTl

1. Предварительно найдем отрезки:

и вычислим:

2. Найдем отрезки:

3. .Найдем отрезки:

4. После этого находим

Исследуем предел 1т,п> когда т—+оо и п —> оо*, имеем:

если lim существует:

1. Если m = kn, причем——► (), когда т—>оо и п—► оо (например, при п = т2)ъ

2. Если m=kn, где &=const>0, (например, при m = Зя), то

т. е. больше длины окружности на любое положительное число k.

3. Если m=kn, причем — —* оо, когда т—юо и п —* оо, тогда lim Lm$n не существует, так как Lm,n —* оо (например, при m = я2).

Черт. 1

* Так как в дальнейшем (в данном и всех других аналогичных случаях) будет идти речь о пределе Lmn при п —> оо, т->ооу то для простоты в обозначении будем писать Lim Lmn вместо подробной записи

III

А. Осуществим следующее построение (черт. 2)

1. Пусть взята окружность радиуса R; построим концентрическую с радиусом

2. Разделим окружность радиуса R на m равных частей точками:

Л1у Л2, . . . , Ат.

Разделим окружность радиуса г на m равных частей точками:

вх, в2,..., ВтУ

причем точки Bh где

i= 1, 2, . . . , т,

расположены на радиусах /?, проходящих через середины дуг Ai Ai+\.

3. Соединяя отрезками последовательно

Ах с Ви Вг с Л2, . . . , Ат с Вт и Вт с А1% получим ломаную

А,В1 А2В2. ..АтВтА1.

Будем называть полученную ломаную

А1В1А2В2...ВтА1

невыпуклой правильной ломаной, полувписанной в окружность; обозначим ее длину через Lm,n.

В. Найдем LmtTl

1. Предварительно дополним построение, образовав дельтоид ОВ1А1Вт и Д ЛДО (опустив из Аг перпендикуляр ЛхО на прямую ОВх).

2. Найдем:

3. Найдем:

4. Найдем отрезки:

Имеем:

После этого находим Lm>n:

Исследуем предел Lmtn, когда т—>оо и п —» оо,

1. Если m = kn> причем

а потому

2. Если m = kn, где & = const]>0, то, когда т—*оо и п — оо,

т. е. больше длины окружности.

3. Если /я=£л, причем — — ос. когда

Черт. 2

/и-^оо и л-оо, то \\mLm>n не существует, так как Lm,n —*• оо.

Отметим, что в первом случае длина ломаной невыпуклой ассимптотически приближается к длине ломаной выпуклой, вписанной в окружность, а во втором и третьем случаях этого не происходит.

В самом деле, обозначив угол АХВХА2 через 2<р, имеем:

откуда

для первого случая, когда

и тогда

для второго и третьего случаев

Попутно отметим, что площадь круга получается как предел площади правильного полувписанного многоугольника независимо от того, как стремятся m и п к бесконечности. В самом деле:

1. Площадь дельтоида:

2. Площадь правильного полувписанного многоугольника

3. Найдем предел площади правильного полувписанного многоугольника, имеем:

О видоизменении метода Шварца в связи с нахождением площадей боковых поверхностей цилиндра, конуса и площади сферы

I

Проблема площадей поверхностей простейших тел вращения получила впервые научное решение в работах великого Архимеда (287, 212 гг. до н. э.). Лишь к концу XVII и началу XVIII в. был найден европейскими математиками общий метод компланации поверхностей, получаемых от вращения кривых y=f[x) вокруг оси х, а именно:

Постепенно выяснилось, какие надо дать ограничения на функцию у = f (х). Из этого интеграла получаются как частные случаи площади боковых поверхностей круглых цилиндра и конуса и площадь поверхности сферы, а именно:

1) у =/(jc) = const = R (для цилиндра), где а = 0 и

2) у =/(*) —jïx (Для конуса), где а = 0 и Ъ=Н,

3) y = f(x) = Y^R2 — X2 (для сферы), где а~ — R и b = R.

В первой половине XVIII в. наш гениальный соотечественник Леонард Эйлер (1707 — 1783 гг.) обобщил учение о компланации поверхностей, он вывел формулу:

частным случаем которого является площадь поверхности вращения.

В XIX в. известный немецкий геометр Г. А. Шварц (1843—1921 гг.) в одной из своих работ по теории поверхностей обратил внимание на то, что не всякая последовательность площадей поверхностей вписанных полиэдров в цилиндр имеет предел, а если имеет, то не всегда он является площадью боковой поверхности цилиндра (см., например, Вебер и Вельштейн «Энциклопедия элементарной математики», т. II, кн. II и III, стр. 271—276).

Автор статьи решил подойти к учению о площади боковых поверхностей круглых цилиндра и конуса и площади сферы с той же точки

зрения, с которой он подошел к учению о длине окружности, изложенной в первой части статьи.

II

1. Пусть дан прямой круговой цилиндр с радиусом основания R и высотой И. Проведем в обоих основаниях концентрические окружности с радиусом

Разделим на m равных частей обе окружности радиусом R и выполним построение, представленное на чертеже 3, соответствующее построению, описанному во втором примере первой части статьи (см. черт. 2).

2. Найдем площадь Мт>п боковой поверхности призмы, полувписанной в цилиндр (черт. 3):

3. Проведем исследование, аналогичное тому, которое изложено в первой части статьи; в итоге получим:

с) WmMmtn не существует, когда — —♦ оо при условии, что /я —* оо и п—*оо. Отметим, что в первом случае lim2cp = 7c (где 2<p = iA41Z?1,42) (первую часть статьи); следовательно, обе нормали в точке В к плоскостям граней многогранника стремятся к совпадению с нормалью к цилиндрической поверхности.

III

1. Пусть дан прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой Н. Проведем в основании конуса концентрическую окружность с радиусом

где п — натуральное число.

Разделим обе окружности на m равных частей аналогично делению, проведенному в основаниях цилиндра; соединим отрезками точки деления в последовательности, указанной на чертеже 4.

Соединив отрезками все точки деления двух окружностей с вершиной конуса, получим невыпуклую пирамиду, полувписанную в конус (черт. 5).

2. Найдем площадь Mmin боковой поверхности невыпуклой пирамиды, полувписанной в конус:

а) обозначим /_АВАх=2уу тогда </ABD = y\ отметим, что ^ОВОг = ^ /ЪООх = 90°—ср;

с) высотой треугольника SAB будет перпендикуляр SOb где 0{0 проекция его на плоскость основания» а потому

Черт. 3 Черт. 4 Черт. 5

d) находим площадь треугольника SAB:

f) исследуем предел площади боковой поверхности пирамиды, полувписанной в конус:

где / — образующая конуса.

1. Если m = kn, причем

2. Если m=kn, где k> 0 — константа, то, когда tu —* оо и п—> оо,

тогда

3. Если m = kn, причем

когда m —* оо и п —* оо, то lim Mmin не существует, так как Мт,п —* оо.

IV

1. Пусть дана окружность радиуса /?, проведем концентрическую окружность радиуса

Разделим обе окружности на m равных частей, где m — четное число, аналогично делению, проведенному в предшествующих примерах, и соединим отрезками последовательно точки деления, как указано на чертеже 6.

Вращением обеих окружностей и невыпуклой ломаной вокруг АА т образуем две сферы радиусов R и г и фигуру, полученную от вращения полувписанной ломаной (черт. 6 и черт. 7).

Обозначим площадь поверхности последней фигуры через Sm,n. 2. Найдем 5т,„.

а) Найдем сумму площадей боковых поверхностей усеченных конусов, образованных от вращения отрезков

вокруг оси АА т (возможно вырождение некоторых усеченных конусов в цилиндры, конусы и круговые кольца). Имеем:

b) Преобразуем полученное, имеем:

с) Найдем предел площади тела вращения, полученного от вращения ломаной полувписанной в окружность, когда она вращается вокруг диаметра окружности; имеем:

d) Исследуем этот предел:

1. Если m—kn, причем — —♦ 0, когда m —* со

2. Если m = kn, где k^O — константа, тогда

3. Если т = kn, причем —♦оо, когда m—»со ил—►со, то \\vaSm>n не существует, так как Smtn —♦ со.

Черт. 7

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ И. Н. УЛЬЯНОВА В ОБЛАСТИ МЕТОДИКИ МАТЕМАТИКИ

Б. В. БОЛГАРСКИЙ (Казань)

Яркий образ даровитого педагога, методическая деятельность которого тесно связана с деятельностью его идейного учителя — Н. И. Лобачевского, представляется нам в лице отца Владимира Ильича Ленина — Ильи Николаевича Ульянова (1831 — 1886).

До нашего времени сохранилось много воспоминаний о плодотворной педагогической деятельности И. Н. Ульянова, о его светлой личности, о человеке, которого недаром называли «учителем учителей». Мы знаем, что в царское время не могли получить широкого распространения и изучения педагогические взгляды Ильи Николаевича лишь потому, что его семья была в резкой оппозиции с существовавшим тогда в России общественным строем. Теперь же, в советское время, появилось немало научных трудов, посвященных изучению педагогической деятельности И. Н. Ульянова. В настоящей статье мы хотим коснуться лишь его идей в области преподавания математики, изложенных в ряде обнаруженных нами архивных документов.

И. Н. Ульянов начинал свою педагогическую деятельность преподавателем физико-математических дисциплин в школах Пензы и Нижнего Новгорода (ныне г. Горького), а в дальнейшем руководил школьной работой в Симбирской губернии (ныне Ульяновской области) в качестве инспектора, а затем директора начальных училищ.

Еще будучи студентом физико-математического факультета Казанского университета (курс которого он закончил в 1854 г.), И. Н. Ульянов воспринял традиции, созданные в этом университете Н. И. Лобачевским. В эти годы гениальный геометр уже не принимал непосредственного участия в управлении университетом и в научной работе его кафедр, но прогрессивные общепедагогические и методические идеи Н. И. Лобачевского являлись основой педагогической работы передовой части научных работников университета. Еще не заглохли бодрые призывы Н. И. Лобачевского: «Жить — значит чувствовать, наслаждаться жизнью, чувствовать непрестанно новое, которое бы напоминало, что мы живем» (Н. И. Лобачевский, Речь, произнесенная 5 июля 1828 года, «О важнейших предметах воспитания»).

Обладая материалистическими убеждениями, Н. И. Лобачевский понимал, что первые понятия даже такой абстрактной науки, как математика, возникли у человека не как измышления человеческого разума, а заимствованы человеком из окружающей его природы, из реальной жизни. Он добивался, чтобы при преподавании обучали тому, «что на самом деле существует, а не тому, что изобретено праздным умом» (там же).

Одним из основных принципов обучения Н. И. Лобачевский полагал возможность применения полученных знаний к практике. Он считал необходимым строить преподавание на строго научных основаниях и притом добиваться предельной ясности изложения. Что же касается преподавания на первых ступенях обучения, то оно, по мнению Н. И. Лобачевского, должно опираться на конкретные данные и сопровож-

даться применением принципа наглядности, чтобы у учащихся изучаемые объекты были «под пальцами и перед глазами».

Прогрессивная студенческая молодежь жадно впитывала эти идеи и выносила их далеко за пределы университета, направляясь в качестве преподавателей в самые отдаленные пункты Казанского учебного округа.

Попечитель Казанского учебного округа так характеризует И. Н. Ульянова в своем отчете по округу за 1867/68 учебный год: «Ульянов, снискавший себе известность отличного педагога, по достоинству занимает принадлежащее ему место между лучшими преподавателями. Его мягкое и симпатичное обращение с воспитанниками, всегда ровный и благоразумный такт привлекают к нему учеников и заставляют охотно заниматься. Самое его преподавание отличается ясным и толковым изложением и тем терпеливым вниманием, которым он слабых и менее развитых учеников доводит до полного усвоения преподаваемого...» (Гос. архив ТАССР, фонд 92, № 9485, листы 795—796).

Приведенная нами характеристика говорит о многом; только истинный педагог, любящий свою работу, любящий детей, может поддерживать «всегда ровный и благоразумный такт», который помогает ему спокойно относиться ко всем трудностям, встречаемым при работе в школе, и создает на его уроках атмосферу полного доверия со стороны учащихся. А методы изложения преподаваемой дисциплины у Ульянова, его чуткий, индивидуальный подход к каждому учащемуся давали возможность усвоения всего материала даже самыми слабыми учениками.

Среди преподавателей И. Н. Ульянов всегда пользовался большим уважением и авторитетом. Даже когда И. Н. Ульянов уже не работал в Нижегородской гимназии, при решении методических вопросов на заседаниях педагогического совета вспоминались его мнения. Так, 25 декабря 1869 г. на объединенном заседании педагогических советов Нижегородской гимназии и дворянского института, посвященном вопросу о методике повторения при преподавании математики, председательствующий предложил вниманию присутствующих мнение, изложенное по этому поводу И. Н. Ульяновым на одном из прежних заседаний педагогического совета. В этом мнении содержатся указания о повторении курса алгебры, физики и космографии. В частности, относительно алгебры указано: «Повторение алгебры ведется мною или теоретически, или посредством задач; повторяя статью об уравнениях, я преимущественно налегаю на задачи и на составление уравнений из условий вопроса... Вообще при повторении стараюсь спрашивать дробными вопросами всех учеников и слежу за тем, чтобы весь класс принимал участие в повторении известного отдела» (Гос. архив ТАССР, фонд 92, № 9805, листы 9—10).

Наиболее широко и плодотворно удалось применить И. Н. Ульянову свои педагогические способности, когда он работал инспектором и директором народных училищ Симбирской губернии. Многочисленные документы знакомят нас с неустанными заботами И. Н. Ульянова о создании новых школ и улучшении существующих школ как в материальном отношении, так и в отношении методики преподавания. Его ежегодные отчеты, хранящиеся в Государственном архиве ТАССР, указывают на то, что И. Н. Ульянов всегда старался лично ознакомиться с постановкой дела в каждой школе и, отмечая достоинства и недостатки работы учителей школ, давал ряд указаний методического характера. В результате его талантливого руководства в Симбирской губернии число народных школ неизменно возрастало и преподавание в них совершенствовалось с каждым годом. Это должны были признать и руководители народного просвещения по Казанскому учебному округу. 13 июля 1874 года попечитель Казанского учебного округа доносил управляющему министерством просвещения: «Имею честь присовокупить, что, согласно моим указаниям, прежде сделанным, г. инспектор (т. е. И. Н. Ульянов. — Б. Б.) тотчас же делает распоряжения об устранении замеченных им в училищах недостатков, и потому по настоящему отчету не представилось мне необходимости делать какие-либо распоряжения. Вообще я почитаю долгом высказать, что Ульянов весьма ревностно и разумно исполняет свои обязанности, и, благодаря ему, училища Симбирской губернии улучшились и в материальном и в педагогическом отношении» (Гос. архив ТАССР, фонд 92, № 11547, лист 21).

В частности, в преподавание школьной математики трудами И. Н. Ульянова было внесено столько нового, интересного и полезного, что «скучный» и тяжело усваиваемый до того времени предмет стал приобретать совсем иной характер: он заинтересовывал как учителей, так и учащихся.

В своем отчете по Симбирской губернии за 1871 год Ульянов писал: «По арифметике в большей части училищ ученики знают только 4 действия над целыми числами и затрудняются в решении даже несложных задач. Но есть и такие училища, и их теперь гораздо больше, чем в прошлом году, в которых обучение счету ведется практическим путем, наглядно, при помощи палочек, счет и т. п.; здесь умственное счисление всегда предшествует письменному и именованные числа — отвлеченным, что много

помогает учащимся осмыслить все арифметические действия и оказывает заметное влияние на развитие соображения учеников. Что касается задач, то лучшие и деятельные учителя, соображаясь с занятиями местных жителей, берут их из практики обыденной жизни» (Гос. архив ТАССР, фонд 92, № 10503, лист 100).

Это высказывание было сделано Ульяновым на втором году его работы в качестве инспектора школ Симбирской губернии. Когда И. Н. Ульянов приступал к работе в Симбирской губернии, то в большинстве школ этой губернии обучение носило чисто формальный характер; плохая постановка дела объяснялась также отчасти и полным отсутствием какого-либо оборудования, которое могло бы дать в руки преподавателя материал для оживления уроков. И. Н. Ульянову пришлось создавать настоящие школы там, где они только значились на бумаге. Как мы видим, в области преподавания математики он сразу обратил внимание на важнейшие недостатки, существовавшие в школах, и подчеркнул те достоинства, которыми обладало преподавание отдельных учителей. Если И. Н. Ульянов и рекомендует при преподавании математики изучение начального счета проводить наглядно при помощи палочек, счет и проч., как это рекомендовано и у Грубе, то это обучение у И. Н. Ульянова преследует цель не формального познания числа (как у Грубе), а имеет целью практическое ознакомление с числом. Далее мы видим, что И. Н. Ульянов обращает большое внимание на развитие у детей умственного счета, который должен предшествовать письменному. Это методическое указание И. Н. Ульянова мы нередко забываем и в наше время, и в таких случаях результаты получаются плачевные.

Дальнейшее указание И. Н. Ульянова о том, что счет с именованными числами должен предшествовать счету с числами отвлеченными, обнаруживает его желание приучить учащихся к осмысленному пониманию счета как процесса реального, процесса необходимого и применимого в обыденной жизни. Наконец, последнее указание И. Н. Ульянова в приведенном нами отрывке из его отчета определенно отмечает необходимость заимствовать содержание задач из практической жизни, ознакомлять учащихся с деятельностью человеческого общества. Таким образом, обучение математике делается не только осмысленным, но и приобретает воспитывающее значение.

Все новое, что И. Н. Ульянов вносил в школьное преподавание, являлось важным началом в деле реорганизации школьной методики. Это новое помогало избавиться от зубрежки старой школы и давало возможность учителю в строгой последовательности подойти к развитию абстрактного мышления у учащихся.

Из отчета И. Н. Ульянова за более поздние годы видно его личное благотворное влияние на развитие методов преподавания в школах Симбирской губернии, на успехи, которых стали добиваться преподаватели математики. В отчете И. Н. Ульянова за 1878 год мы уже читаем: «Арифметика и геометрия в уездных училищах преподаются также толково и практично. Преподаватели имеют в виду не только изощрить детей в технике исчисления и измерения, но и дать им сознательные представления о составе чисел, их отношениях и законах счисления, а также наглядные сведения о формах и составных частях тел. Ученики приучаются и к применению полученных ими на уроках математики знаний к делу, путем постоянного упражнения в решении практических задач» (Гос. архив ТАССР, фонд 92, № 13587, лист 383). «Лучше и ровнее всех предметов школьного обучения идет в народной школе арифметика. Вполне доступная учителям в тех элементарных курсах, в каких она издается для наших народных училищ, наука эта пользуется особенной любовью учителей и поэтому даже в самых посредственных школах часто идет очень удовлетворительно. Свободно располагая учебным материалом этого предмета, чувствуя в себе достаточно сил для решения вопросов на первые четыре действия простых и именованных чисел, учителя ведут занятия арифметикой как-то особенно бодро, весело и потому всегда с успехом. Ясно намеченная и точно определенная задача, которой должно достигать их преподавание, устанавливает методы их занятий на более практическом и прямом пути и облегчает им достижение предполагаемых программой результатов» (Гос. архив ТАССР, фонд 92, № 13587, лист 412).

Мы считаем, что основой для такого успешного преподавания арифметики в школах послужил рекомендованный самим Ульяновым подход к ее изложению, когда учителя ставили своей целью «не только изощрить детей в технике и измерении», а приучали учеников «к применению полученных ими на уроках математики знаний к делу, путем постоянного упражнения в решении практических задач».

Равным образом и на уроках геометрии И. Н. Ульянов особенно заботился о том, чтобы дети совершенно ясно представляли себе реальные соотношения в пространственных образах, а не приучались к оторванным от этих образов рассуждениям. Например, в своем отчете за май 1880 года, говоря об Ардатовском уездном училище, И. Н. Ульянов отмечает: «На классе геометрии речь шла об измерении поверхности

пирамиды. Из ответов учеников обнаружилось, что некоторые мальчики затруднились различать высоту пирамиды от апофемы. Поэтому мною предложено преподавателю заботиться о том, чтобы ученики имели ясное понятие об изучаемом, предоставлять учащимся более самодеятельности и заставлять учеников самих клеить из бумаги различные тела при изучении геометрии с целью ясного усвоения ими различных геометрических тел» (Гос. архив ТАССР, фонд 92, № 144009, лист 256).

Одним из интересных документов является сообщение И. Н. Ульяновым сведений попечителю Казанского учебного округа о работе учителей, окончивших курс учительской семинарии. В этом документе И. Н. Ульянов характеризует деятельность двадцати шести учителей из Порецкой семинарии. И. Н. Ульянов пишет: «Все они относятся добросовестно к принятым на себя обязанностям, тщательно приготовляются к урокам и ведут дело с заранее обдуманною целью, обращают должное внимание на классную дисциплину, в большинстве случаев ведут правильно класс объяснительного чтения, не уклоняясь слишком в сторону при объяснениях по поводу читаемого, и вообще могут быть причислены к лучшим учителям народных школ» (Гос. архив ТАССР, фонд 92, № 13594, листы 11—13). Далее И. Н. Ульянов указывает на недостатки, которыми эти учителя обладают. Приведем некоторые из этих указаний:

1., Некоторые учителя не приучают учеников младшего отделения к изложению на письме прочитанного, почему письмо идет не параллельно с чтением, а отстает от него.

2. При занятиях умственным счетом не составляют таблиц разложения чисел на все 4 действия и мало рассматривают чисел.

3. Мало обращают внимания на приучение учеников высказывать план решения письменных задач.

4. Много говорят сами, препятствуя через это развитию в детях самостоятельности; например, на уроках наглядного обучения не ученики, как следовало, под руководством учителя изучают предмет, а сам преподаватель указывает и пересчитывает признаки предмета...

7. Спешат в преподавании и не умеют сообразовать педагогические приемы с действительными силами учащихся.

8. У некоторых из преподавателей замечено преувеличенное представление о своих педагогических совершенствах, что препятствует им правильно ценить результаты своей деятельности и служит тормозом к дальнейшему их преуспеванию.

9. Напрасно требуют слишком поспешных ответов и не исправляют неправильные по языку ответы учеников.

10. Мало обращают внимания на излишнее употребление местных, иногда очень неблагозвучных, присловий.

11. При объяснении предметов не всегда соблюдают последовательность в переходе от рассмотрения одной стороны к другой и даже часто, почти без всякой нужды, перескакивают от одного предмета к другому и таким образом не имеют возможности объяснить ни одного из них.

Было бы весьма полезно будущим учителям запасаться основательными сведениями из психологии, а из естественных наук достаточно познакомиться преимущественно с местными произведениями природы настолько, как сколько это необходимо для разумного экскурсирования с учениками школы по окрестностям и, наконец, учителю школы не излишне, по крайней мере практически, ознакомиться с лучшими способами обработки пахотной земли, уходом за домашним скотом, разведением плодовых растений и огородных овощей».

Здесь, помимо очень метких и чрезвычайно полезных указаний об общем поведении преподавателя, мы видим и самое решительное требование о необходимости связи преподавания с практической деятельностью человека и заботу о соблюдении чистоты и правильности русского языка.

Заканчивая на этом обзор тех данных о методической деятельности И. Н. Ульянова, которые нам удалось найти в архивах ТАССР, мы должны заключить, что в лице И. Н. Ульянова Казанский учебный округ имел выдающегося представителя новых течений в методике преподавания математики, основанных на материалистических идеях, которые вносили в школу понятие о реальном происхождении основных математических понятий и помогали развивать у учащихся сознание приложимости математики в жизни как для самых необходимых житейских потребностей, так и при всякого рода деловых и технических расчетах.

Это стремление сблизить преподавание математики с жизнью, вооружить учащихся вычислительным методом, который необходим для решения всякого рода практических задач, развить в них мышление и умение сознательно, а не формально подходить к разрешению любого математического вопроса — вот то звено, которое связывает методические идеи И. Н. Ульянова с методикой нашей советской школы.

Знакомство с этими идеями необходимо для каждого советского педагога.

МЕТОДИКА

О ПОНЯТИЯХ УРАВНЕНИЯ И ТОЖДЕСТВА

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

До настоящего времени в учебной литературе нет установившейся точки зрения относительно взаимной связи понятий уравнения и тождества.

В старой учебной литературе эти понятия противопоставлялись в том смысле, что тождество как равенство, верное при «всех значениях» содержащихся в его частях аргументов (букв), не считалось уравнением. В самом определении уравнения делалась оговорка, что уравнение — это равенство, справедливое «не при всех, а лишь при некоторых» значениях неизвестного. Эта точка зрения подверглась справедливой критике в более поздней учебной и методической литературе.

Во-первых, при решении уравнений нет никаких разумных оснований исключать случай, когда равенство, содержащее неизвестное (или неизвестные), выполняется при всех допустимых значениях неизвестного (неизвестных).

Во-вторых, a priori, до решения уравнения, лишь в самых простейших случаях можно сразу сказать, является ли предложенное уравнение «в самом деле» уравнением или оно не есть уравнение, а является тождеством.

В-третьих, эта точка зрения способна создать путаницу при решении и исследовании уравнений, содержащих параметры. Приняв эту точку зрения, придется говорить, что при некоторых значениях параметров предложенное уравнение есть «на самом деле уравнение», а при некоторых значениях параметров оно «перестает быть» уравнением и «обращается в тождество».

В более современной литературе высказывается другая точка зрения, согласно которой тождество рассматривается как уравнение, которое удовлетворяется всеми (допустимыми) значениями неизвестного (неизвестных). Таким образом, уравнение трактуется как более общее понятие, а тождество как частный случай уравнения. Эта последняя точка зрения также вызывает серьезные возражения. Прежде всего по самой постановке вопроса, доказательство тождества и решение уравнения суть различные задачи. Так, при доказательстве тождества мы не ищем никаких неизвестных, тогда как при решении уравнения главным вопросом является нахождение значений неизвестных. Как известно, изучение тождественных преобразований может происходить совершенно независимо от изучения уравнений.

В учебной литературе как тождество, так и уравнение называются общим термином «равенство», однако этот общий термин в данных двух случаях понимается различно. Чтобы убедиться в наличии различного понимания термина «равенство» в случаях тождества и уравнения, достаточно привести хотя бы следующие соображения.

В простейших случаях (например, применительно к многочленам) соотношение тождественности обладает следующим свойством: если А тождественно В, а В тождественно С, то А тождественно С, или символически:

Если А=В и ß = C, то А = С Этот закон транзитивности рассматри-

вается как одно из характеристических свойств понятия равенства.

Однако ничего похожего не имеет места применительно к уравнениям. Так, например, уравнения

не находятся друг с другом ни в какой связи. Здесь закон транзитивности равенства неприменим, ибо третье уравнение никак не следует из первых двух.

Небезинтересно заметить, что указание на необходимость различного понимания термина равенство в случаях тождества и уравнения встречается и в старых методических воззрениях. Именно, высказывалась следующая точка зрения: «тождество есть утверждение, а уравнение есть вопрос». Здесь, однако, сами «определения», из которых усматривается различие понятий тождества и уравнения, выглядят довольно смехотворно.

В школьном курсе до VI класса понятие равенства широко применяется в арифметике. Пусть А и В — некоторые арифметические (для простоты цифровые) выражения; если в результате выполнения всех действий, указанных в обоих данных выражениях, получится одно и то же число, то пишут:

А = В.

Следовательно, эта запись означает, что А и В суть лишь внешне различные представления одного и того же числа. Так, например, выражения

представляют (лишь в разной форме) одно и то же число 2. Приведем другой пример: всякое рациональное число может быть бесконечным множеством способов представлено в виде дроби. Так, например, равные между собой дроби

изображают одно и то же число поэтому пишут:

В курсе алгебры VI класса тождество понимается как равенство, верное при всех значениях входящих в него букв. Здесь, с функциональной точки зрения, под тождественными выражениями понимаются выражения, дающие, быть может, лишь внешне различные представления одной и той же функции.

В самом начале курса геометрии говорится о равных фигурах. Здесь под равенством понимается утверждение, что имеет место лишь различное расположение в пространстве (на плоскости) одной и той же фигуры.

Во всех приведенных примерах равенство понимается как соотношение, выражающее представление одного и того же объекта, но, быть может, в различных видах. Во всяком случае, именно так воспринимается учащимися понятие равенства. Во всех рассмотренных случаях соотношению равенства присущи следующие основные свойства:

I свойство рефлексивности: всегда а — а;

II свойство симметрии: если а —• Ь, то Ъ — а;

III свойство транзитивности: если а = Ь и b = с, то а = с.

Остановимся кратко на данном вопросе в общем виде. Пусть Ж — некоторое множество элементов; предположим, что между элементами этого множества установлено некоторое соотношение, причем два элемента множества Ш могут находиться, а могут и не находиться 6 этом соотношении. Говорят, что данное соотношение есть соотношение эквивалентности, если оно обладает свойствами рефлексивности, симметрии и транзитивности. Обозначим наличие соотношения эквивалентности между элементами а и b следующим образом: а~Ь, тогда основные, характеристические свойства эквивалентности символически запишутся так:

I а~а (рефлексивность),

II если то Ь~а (симметрия),

III если а~Ь и то (транзитивность).

Конкретным примером соотношения эквивалентности (кроме примеров, приведенных выше) может служить подобие многоугольников на плоскости. Здесь множество Ш есть множество всех многоугольников, элементы а, Ъ, с,... суть многоугольники. Основные свойства соотношения эквивалентности формулируются так:

I всякий многоугольник подобен сам себе;

II если первый многоугольник подобен второму, то и второй многоугольник подобен первому;

III если первый многоугольник подобен второму и второй подобен третьему, то и первый многоугольник подобен третьему.

Другим примером соотношения эквивалентности может служить равновеликость.

Пусть а — некоторый определенный элемент данного множества; выделим из множества Ш его часть, состоящую из всех элементов, эквивалентных а. Эта часть не может быть пустой,

так как, в силу свойства рефлексивности, в ней содержится сам элемент а. Все элементы выделенной части эквивалентны между собой, так как если и то и (как это нетрудно вывести из характеристических свойств II и III).

Покажем, что соотношение эквивалентности разбивает все данное множество на части, называемые классами эквивалентных элементов, так что любые два элемента одного и того же класса эквивалентны между собой, а любые два элемента различных классов не эквивалентны.

В самом деле (как сказано выше), всякий элемент а множества Ш определяет часть, состоящую из элементов множества Зй, эквивалентных элементу а и эквивалентных между собой; обозначим эту часть символом Ша. Пусть Ъ — некоторый элемент множества Ж; возможны два следующие случая:

Случай 1° Ь^а. В этом случае класс Ша элементов, эквивалентных а, и класс Шь элементов, эквивалентных Ь, совпадают, так как всякий элемент, содержащийся в Шь, содержится в Ша и обратно, всякий элемент, содержащийся в Ша, содержится в Шь. В самом деле, пусть с содержится в тогда с~Ь, но по условию а~Ь, следовательно, т. е. с содержится в Ша.

Аналогично доказывается, что если с содержится в Ша, то с содержится в Шь.

Случай 2°. Элемент а не эквивалентен элементу Ь. В этом случае классы Ша и Шь не имеют общих элементов. В самом деле, если бы существовал элемент с, общий классам Ша и ШЬУ то имели бы место соотношения с~а и но тогда, вопреки условию, а~£.

Из изложенного и вытекает возможность разбиения множества Ш на классы эквивалентных элементов.

Чтобы задать некоторый класс, достаточно в качестве «представителя» этого класса задать один какой-либо из его элементов. Свойства, общие для всех элементов некоторого класса, возможно изучать, выбрав любого конкретного представителя данного класса.

Так, в приведенном примере соотношения подобия к одному и тому же классу относятся все подобные между собой многоугольники (например, все квадраты, все треугольники с данными углами и т. д.), неподобные многоугольники относятся к различным классам. То общее, что присуще всем многоугольникам одного и того же класса, есть их «форма». Чтобы получить понятие лишь о форме какой-либо фигуры, можно рассматривать любую фигуру, подобную данной (например, ее снимок или модель).

В арифметике разбиение на классы эквивалентных элементов применяется для установления соотношения равенства. В качестве примера напомним построение (формально-логическое) поля рациональных чисел при помощи пар целых чисел. Как известно, в этой теории рассматривается множество всех пар (а, Ь) целых чисел (где Ь >0), при этом устанавливается соотношение эквивалентности посредством следующего определения: пары (а, Ь) и (с, d) считаются эквивалентными:

(а, b) ~ (с, d), если ad = be.

Нетрудно установить справедливость основных свойств I, II, III (предоставляем это читателю).

Установленное соотношение эквивалентности позволяет разбить множество всех пар на классы эквивалентных пар. Каждый из полученных таким путем классов определяет новый объект — рациональное число. Пары, содержащиеся в одном и том же классе, дают представления одного и того же рационального числа. Здесь установленное соотношение эквивалентности выражает принцип отождествления при представлении рациональных чисел посредством пар второй ступени. Поэтому вместо термина «эквивалентно» применяется термин «равно», а вместо знака ~ пишут знак равенства =. В обычном обозначении пары (а, Ь) пишутся в виде дробей ~ , и таким образом мы приходим к известному условию равенства дробей:

Здесь существенно иметь в виду, что в данном способе построения теории рациональными числами следует считать не сами пары (или дроби), а классы равных (эквивалентных) пар (дробей)*.

Для задания рационального числа достаточно задать в качестве представителя класса одну какую-нибудь дробь, изображающую это число (обычно в качестве такого представителя берут несократимую дробь). Так, например, дроби б“ • “9 • Тб“ и Т“ п,> как принадлежащие одному и тому же классу, определяют одно и то же

* Воспользуемся случаем заметить, что в учебной литературе нередко встречается грубо ошибочная точка зрения, согласно которой рациональные числа определяются как пары, а не как классы равных пар второй ступени. См., например, определение, данное в книге И. В. Арнольда «Теоретическая арифметика» (изд. 2, 1939, стр. 128): «Рациональными числами называются пары (а, Ь) целых чисел а и Ь...*. В более современной литературе (И. В. Проскуряков «Числа и многочлены», изд. АПН) эта ошибка не повторяется.

число. Несократимая дробь рассматривается как каноническое представление этого числа.

Аналогично кольцо целых чисел может быть построено посредством пар первой ступени на базе натурального ряда чисел. В этой теории две пары натуральных чисел (а, Ь) и (с, d) считаются эквивалентными, если

a + d = b + с.

Целые числа (положительные, отрицательные и нуль) рассматриваются как классы эквивалентных пар.

Обратимся к понятию тождественности многочленов. В множестве всех многочленов соотношение эквивалентности устанавливается следующим образом: два многочлена Р (х, у,... ) и Q(xy у,...) эквивалентны, если они содержат одни и те же буквы-аргументы и при всех системах числовых значений аргументов значения многочленов Р и Q равны (соотношение равенства в множестве чисел следует считать установленным)*. Непосредственно ясно, что установленное соотношение эквивалентности обладает свойствами рефлексивности, симметрии и транзитивности. Два эквивалентные многочлена называются тождественными, а для обозначения тождественности двух многочленов применяется в школьной практике тот же знак =. Тождественные многочлены определяют одну и ту же функцию. Для установления тождественности двух или нескольких многочленов обычно применяются законы арифметических действий и их непосредственные следствия.

Можно было бы привести ряд других подобных примеров. Во всех этих примерах соотношение эквивалентности (установленное так или иначе) служило принципом отождествления, устанавливающим, при каких условиях два элемента (например, две дроби, два выражения) определяют один и тот же математический объект. Для обозначения наличия соотношения эквивалентности, выражающего принцип отождествления, обычно применяется знак равенства.

Примечание. Из того факта, что принцип отождествления (равенство) устанавливается при помощи соотношения эквивалентности, еще не следует, что соотношение эквивалентности во всех случаях служит принципом отождествления (например, равновеликие фигуры в общем случае не являются равными).

Разумеется, что с изложенной точки зрения никаких неверных равенств не может быть. Между двумя элементами может либо существовать, либо не существовать соотношение эквивалентности, а потому

либо а — Ь, либо а ф Ъ.

Так, например, арифметические выражения 2-(3—1) и (2—1)• (3— 1) определяют различные числа:

2.(3— 1) = 4 и (2— 1)(3— 1) = 2,

поэтому между этими выражениями нельзя поставить знака равенства; они не связаны соотношением эквивалентности.

Указанное обстоятельство послужило причиной ряда возражений против термина «неверное равенство», введенного в книге П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова «Алгебра». Однако, как нетрудно обнаружить, в последнем случае слово «равенство» и знак = употребляются в ином смысле, отличном от первоначального.

Рассмотрим этот вопрос в общем виде. Пусть Ш — некоторое множество, для элементов которого установлено соотношение эквивалентности. Рассмотрим два какие-либо элемента а и Ъ этого множества; выскажем следующее суждение: «элементы а и Ъ эквивалентны». Это суждение может быть истинным, а может быть ложным в зависимости от того, являются ли на самом деле элементы а и b эквивалентными или нет. Обозначим символически высказанное суждение при помощи знака =, т. е. напишем:

а=Ь. (1)

Будем говорить, что равенство (1) верно, если а^Ь, и что равенство (1) неверно, если элемент а не эквивалентен Ь. Таким образом, понятие «неверное равенство» приобретает вполне определенный смысл. Так, например, равенство

неверное, оно означает следующее суждение:

3-4-5

«в результате выполнения действий 2 — 1 и ^ получится одно и то же число». Но это суждение ложно, так как после выполнения действий получаются разные числа: 1 и 4.

Мы видим, что в данном случае знак = обозначает не само соотношение эквивалентности а суждение о наличии этого соотношения. Если как само соотношение эквивалентности, так и суждение о его наличии обозначать одним и тем же символом = и запись а = Ъ

* Мы сознательно придерживаемся функционального, а не чисто алгебраического принципа отождествления многочленов, так как в школьном курсе принимается именно первый принцип. Отказ (в школьном курсе) от функционального принципа в пользу чисто алгебраического на том основании, что последний принят в современной абстрактной алгебре, явился бы беспочвенным прожектерством.

называть равенством, то понятие равенства приобретает двоякий смысл. Именно такое положение вещей имеет место в школьном курсе математики. Знак = может обозначать как равенство двух чисел, так и суждение о наличии равенства. Полностью устранить эту двойственность можно путем применения различных терминов и различных символов, например^ и =.

Обратимся непосредственно к понятиям тождества и уравнения. Пусть U(x, у,...), V(x,y, . . .), W(x,y, ...),... — некоторые выражения, рассматриваемые совместно на некотором множестве (одном и том же для всех данных выражений) допустимых систем значений аргументов. Как известно, выражения U(Xy у9...) и V(x, у9. ..) называются тождественными, если их значения (численные) равны при всех значениях (допустимых) аргументов (т. е. входящих в них букв). Здесь равенство

U(x,y,...) = V(x,y,...)

обозначает имеющее место соотношение эквивалентности.

Перейдем к понятию уравнения. Пусть

/i (х, У у • • • ) и Л (х> У* • • • )

Данные функции (в частности, заданные некоторыми выражениями); выскажем следующее суждение: «значение f\ С** У* • • • ) и значение /2 (х, у,...) представляют собой одно и то же число». Записав символически это суждение, получим равенство

f\(x\y9...) = f2(x,y9...)9 (f)

называемое уравнением. Высказанное суждение, вообще говоря, при некоторых системах значений аргументов х, у,. .. является истинным, а при некоторых ложным. В первом случае система чисел х, у,... называется решением уравнения; решить уравнение (f)—значит найти множество всех его решений. Как видно из сказанного, слово «равенство» и знак = в случае тождества и в случае уравнения понимаются в различных смыслах.

Относительно понятия системы уравнений заметим следующее: система уравнений

/l —?1. /2 = ?2>- • •» /„ = ?,,

есть система равенств, выражающая следующее суждение: значение Д равно значению срг; значение /2 равно значению ср2 и т. д.; значение fn равно значению уп при системе значений аргументов одной и той же для всех рассматриваемых функций.

Из всего сказанного ясно, что с изложенной точки зрения не имеет смысла сравнивать понятия: «тождество» и «уравнение» (например, считать тождество частным случаем уравнения), так как здесь идет речь о понятиях, между собой несравнимых.

О необходимости различать понятия: «тождество» и «уравнение» говорит применение в высшей алгебре специального символа ^ для обозначения тождества: запись

U=V

означает тождество, а запись U=V

— уравнение.

Приведем пример из методики математики. Как известно (в силу закона транзитивности), при выполнении тождественных преобразований допускается запись «цепочкой», например:

Вместе с тем, при решении уравнений запись «цепочкой» не допускается. Так, например, нельзя считать правильной следующую запись при решении уравнения:

Здесь знаки равенства, стоящие на первом, третьем и четвертом местах, обозначают тождественные преобразования, и их смысл отличен от смысла знака равенства, стоящего на втором месте. Можно было бы писать так:

Из сказанного отнюдь не следует, что уравнение не может удовлетворяться тождественно. В самом деле, высказав суждение «значение fi(x9 у,...) равно значению /2(лг, у,...):

мы можем получить самые разнообразные ответы на вопрос об истинности этого суждения.

1°. Суждение ложно при всех допустимых системах значений неизвестных. В этом случае уравнение не имеет решений, множество всех его решений пусто. Такое уравнение называется противоречивым.

2°. Суждение истинно при всех допустимых системах значении неизвестных. В этом случае имеет место тождество:

Л (х* У>>--)=/*(*• У-**)-

Говорят, что уравнение удовлетворяется тождественно, в этом случае множеством всех

его решений является множество всех допустимых систем значений аргументов.

3°. Уравнение не противоречиво и не удовлетворяется тождественно. В этом последнем случае существуют (допустимые) значения аргументов, при которых равенство (f) является верным, и существуют системы значений аргументов, при которых равенство (f) не является верным.

В старой учебной литературе равенство (f) называлось уравнением лишь в случае 3°. Против такой точки зрения резонно известное возражение: чтобы ответить на вопрос, является равенство (f) уравнением или нет, надо найти множество всех его решений, т. е. решить уравнение (?), либо косвенным образом убедиться в невозможности случаев 1° и 2°. Такая точка зрения не может внести ничего, кроме путаницы.

Мы предвидим следующее возражение: вполне возможна другая (вторая) точка зрения, а именно: всякое равенство, содержащее буквы

fi(x> У-- .)=/%(х* У*--(*)

можно называть уравнением, т. е. понимать его как суждение о равенстве численных значений левой и правой частей. При этом тождество определяется как частный случай уравнения, когда оно удовлетворяется всеми (допустимыми) системами значений аргументов (букв). Однако эта (вторая) точка зрения не меняет сущности дела. Действительно, в том частном случае, когда уравнение (f) оказывается тождеством, выражения f\(x, у,...) и /2(х, у,. ..) считаются тождественными: они изображают одну и ту же функцию, имея одинаковые значения во всей области определения. Таким путем в множестве всех рассматриваемых выражений устанавливается соотношение эквивалентности (принцип отождествления), а именно:

fx(x,y9...)~ft (х,у,...),

если уравнение (f) есть тождество. Следовательно, мы опять пришли к тому же выводу о двояком смысле термина «равно» и знака = (если, разумеется, не будут введены особые термины и обозначения).

Нам представляется эта вторая точка зрения, во всяком случае с методической стороны, менее целесообразной, чем первая. Достаточно вспомнить, что на самых первых порах изучения алгебры учащиеся производят несложные тождественные преобразования непосредственно на основе законов действий, не связывая выполняемые операции с задачей решения уравнения, или, например, что доказательство основных тригонометрических тождеств (хотя бы теорем сложения) никогда не ассоциируется с решением уравнения.

Перейдем к методическим выводам. Наилучшим решением вопроса было бы раскрытие точного смысла рассматриваемых понятий и введение различных терминов и различных символов для обозначения неодинаковых понятий. Однако, с другой стороны, первоначальное изучение понятий тождества и уравнения относится к VI и VII классам, где возрастные возможности учащихся не позволяют полностью осуществить такое решение вопроса. Для младших классов можно принять за основу методическое его решение, данное в книге П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова «Алгебра»:

Тождеством называется «равенство, верное при любых значениях входящих в него букв. Тождествами называются и все верные равенства, вовсе не содержащие букв».

Понятию тождества можно дать определение, следуя учебнику Киселева (ч. I, стр. 62 и 63). По сути дела определения, данные в обоих указанных учебниках, совпадают, но в книге Киселева определение сформулировано несколько более пространно, но зато без термина «верное равенство» (хотя выражение «равенство верно» встречается в последующем тексте). Уравнение лучше всего определить как равенство, содержащее неизвестные числа (одно или несколько), выраженные буквами.

Это определение уравнения, вполне доступное для учащихся младших классов, вовсе не исключает возможности случаев, когда уравнение либо не имеет решений (нет численных значений неизвестных, ему удовлетворяющих), либо удовлетворяется тождественно (равенство оказывается верным при всех значениях неизвестных).

Мы полагаем, что понятия уравнения и тождества по самой постановке вопроса представятся учащимся различными, а потому в их сопоставлении (о чем уже была речь выше) и не возникнет надобности. Таким образом, сущность дела будет ясна учащимся в той степени, которая достаточна на данной стадии изучения математики (VI и VII классы).

При всех условиях в каждом конкретном случае учащиеся должны понимать смысл знака равенства: употребляется ли он для обозначение тождественного преобразования, или им пользуются при решении уравнения.

Мы полагаем, что в старших классах путем последовательно и постепенно проводимой систематической работы можно и должно вскрывать точный смысл таких основных понятий, как «равенство», «тождество», «уравнение», «тождественное преобразование». В X классе, где проводится систематический обзор и подводится итог всему пройденному за предыдущие годы,

беседы, посвященные основным понятиям, могут явиться весьма содержательными и плодотворными.

Во всяком случае, по нашему глубокому убеждению, выяснение смысла основных понятий школьного курса имеет неизмеримо большую ценность, чем, например, поверхностное и частичное знакомство с аппаратом дифференциального и интегрального исчислений.

Разработка соответствующих конкретных методических мероприятий в старших классах требует не только теоретических, но и экспериментальных исследований и может служить предметом специальной работы. Первые эксперименты могут быть произведены на кружковых занятиях.

Примечание. В определении понятия тождественности аналитических выражений, изложенном выше, существенным является условие, в силу которого все данные выражения рассматриваются на одном и том же множестве допустимых систем значений аргументов. Таким образом, выше шла речь о тождественности выражений на некотором данном множестве. В современной учебной и методической литературе существует точка зрения, согласно которой понятия тождественности и тождественного преобразования толкуются в расширенном смысле. Именно, тождеством называется равенство

U(x,y,...)=V(x,y,...),

верное при всех системах значений аргументов, содержащихся в общей части областей onределения вы раже нии

U(xt у,...) и V(x, у,...).

При таком расширенном толковании понятия тождества тождественное преобразование может изменить область определения данного выражения. Вопрос об изменении области определения всякий раз должен подвергаться специальному исследованию, так как при новом, расширенном понимании тождества нельзя безоговорочно применять известные ранее свойства тождеств.

Приведем следующий пример. Выражения х и 10lg* имеют областями определения соответственно интервал (— оо, оо) (т. е. множество всех действительных чисел) и интервал (0, оо) (т. е. множество всех положительных чисел). Тождественное преобразование

(1)

расширяет область определения левой части.

Выражения х и — \0]si~x) имеют областями определения интервалы (— оо, оо) и (— оо, 0)

(т. е. множество всех отрицательных чисел).

Тождественное преобразование

также расширяет область определения первоначально данного выражения.

В данном случае из сопоставления тождеств

путем формального применения закона транзитивности можно прийти к заведомо неверному результату:

Дело в том, что выражение Ю'в* имеет смысл лишь при положительных, а выражение — lO^si—*) лишь при отрицательных значениях X, т. е. области определения левой и правой частей не имеют ни одной общей точки.

В многочисленных статьях и заметках, поступивших в различное время в редакцию журнала «Математика в школе», неоднократно затрагивался вопрос о понятиях тождества и уравнения. Нам представляется, что различные неясности, «недоуменные вопросы» и неувязки обусловлены именно той двойственностью понятия равенства в школьном курсе, о которой выше шла речь.

Остановимся на некоторых высказываниях.

В статье «Что такое уравнение» В. Бешкарев (г. Горький) наиболее близко подходит к правильному решению вопроса. В его высказываниях достаточно определенно отмечается, что равенство может пониматься в различных смыслах. В этом автор вполне прав. Однако, к сожалению, выводы, к которым приходит т. Бешкарев, изложены настолько нечетко, что невозможно поставить их на критическое обсуждение. Вот некоторые из высказываний автора:

«Главное заключается в том, что тождество может быть записано независимо от каких-либо задач, хотя бы только предполагаемых».

«Итак, уравнение есть равенство двух алгебраических выражений, записанных на основе условия конкретной задачи...»

«Оказывается, что назвать данное равенство тождеством или уравнением зависит от его истории, его происхождения».

«Абстрагируясь от конкретных задач, мы и получаем „чистое“ уравнение. В этом случае оно само является формулировкой условия. Именно такое абстрактное уравнение и определяется, например, в книге Новоселова».

Нам кажется, что этими высказываниями, лишенными точного математического смысла, автор скорее запутывает сущность дела, чем вносит

в нее ясность. Кроме того, в последнем цитированном высказывании автор допускает самопроизвольное толкование текста учебника. Сущность же дела заключается в следующем: в каждом конкретном случае, учитывая указанную выше двойственность в понимании термина «равенство», необходимо точно установить, в каком смысле применяется этот термин. Соответствующее указание дается либо непосредственно (например, «доказать тождество» или «решить уравнение»), или вытекает из смысла вопроса (например, при решении текстовых задач).

Понятиям тождества и уравнения уделено много внимания в статье Е. С. Савина (Астрахань) «К вопросу об основных определениях теории уравнений в средней школе». Автор дает следующее определение:

«Соотношение равенства между численными значениями двух алгебраических выражений называется уравнением».

Здесь сказывается характерное для многих, часто встречающихся высказываний отсутствие ясности в употреблении терминов. Как понимать слова «соотношение равенства»? Идет ли речь об обозначении действительно имеющего место соотношения равенства числовых значений (тогда как быть с противоречивыми уравнениями?), или лишь о формальной записи, т. е. о «соединении» двух выражений посредством знака равенства (такое формальное определение не удовлетворяет самого автора).

Мы уверены, что во многих случаях возникающие дискуссии обусловлены отсутствием необходимой математической точности в самой постановке вопроса, в формулировке определений и в применении терминов.

О РЕШЕНИИ И ИССЛЕДОВАНИИ УРАВНЕНИЙ В КУРСЕ ШКОЛЫ

И. И. СМИРНОВ (Москва)

В № 1 журнала «Математика в школе» за 1952 г. был помещен ряд статей об уравнениях:

С. И. Новоселов, О решении и исследовании уравнений.

В. Н. Беляев, О преподавании общей теории уравнений.

A. А. Шуваев, О равносильности уравнений.

B. К. Матышук, О решении задач на исследование уравнений в X классе.

Н. Н. Круликовский, К вопросу об исследовании задач на квадратные уравнения.

П, А. Буданцев, О преподавании систематического курса уравнений в VII классе.

В письме в редакцию журнала П. А. Буданцев (г. Чкалов) называет опубликование этих статей началом широкой дискуссии вопроса об уравнениях в школьном курсе. Это вполне подтверждается откликами читателей, приславших в редакцию статьи и письма, в которых затрагиваются различные стороны поставленного вопроса. Задача настоящей статьи — подвести некоторые итоги развернувшейся дискуссии в части, касающейся исследования уравнений, и поставить новые вопросы.

Как теория, так и методика темы об исследовании уравнений в школьном курсе разработаны еще далеко неудовлетворительно, в чем убеждают и учебник алгебры А. П. Киселева, и различные задачники, включая и такой ценный для учителя, как «Сборник задач по математике» П. С Моденова. Остановимся на примерах, с которыми встречается учитель.

В задачнике по алгебре П. А. Ларичева (изд. 1952 г.) к уравнению № 1118 (I часть):

дан ответ:

следует же:

при Ъ = û уравнение не имеет решений.

В сборнике задач по математике П. С. Моденова (изд. 1952 г.) к уравнению № 81:

приводится ответ:

ни одного решения, если п ]> 10 000; одно X = 2 при /2 = 10 000 и два решения, если 0 < п < 10 000.

По поводу этого ответа П. А. Буданцев отмечает, что уравнение не имеет решения также при 0<я^1 (lgi0lgli0rt не имеет смысла) и имеет единственное решение х = 3 также и при п = 1000 (это следует из условия х ф 1).

В сборнике вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии Е. С. Березанской и Ф. Ф. На-

гибина (M., 1951) к уравнению № 92:

дан ответ:

следует же:

В сборнике задач по математике К. С. Барыбина и А. К. Исакова (М., 1952) к уравнению № 60:

дан ответ:

а должно быть:

Приведенные примеры показывают, насколько актуальна борьба с отжившим формалистическим подходом к решению уравнений. Формализм здесь сказывается в том, что решение уравнения сводится к получению некоторого выражения для неизвестного, без достаточного осмысливания как полученного результата, так и тех операций, посредством которых он получен.

Формалистический подход к решению уравнений сохраняется в силу того, что современная функциональная трактовка уравнений еще не нашла должного отражения в учебной и методической литературе; новые искания в области теории и методики уравнений представлены в статьях В. Н. Беляева, А. А. Шуваева и П. А. Буданцева. Однако авторы статей в ряде случаев не освободились от характерного разрыва между изложением теории и практикой решения уравнений; остановимся на некоторых примерах.

В статье В. Н. Беляева (1952, № 1, стр. 23) читаем:

«Теорема 4. От умножения обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, вообще говоря, получается уравнение, неравносильное данному».

Далее приводится такой конкретный случай. Уравнение х- 2= 0 имеет единственный корень.

Умножив обе части уравнения на х, получим уравнение, имеющее два корня: хх = 2 и х2 = 0 и потому неравносильное первому.

В практике решения уравнений нам не приходилось встречаться с источником появления посторонних корней, аналогичным показанному в примере В. Н. Беляева, — этот пример имеет лишь теоретическое значение (как контрпример).

В алгебре Киселева (ч. I, стр. 68) и алгебре Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского (ч. I, 1951, стр. 144) возможность появления посторонних корней при решении дробных уравнений объясняется умножением частей уравнения на общий знаменатель дробных (относительно неизвестного) членов; в действительности основная причина появления здесь посторонних корней в другой операции (см. ниже, гл. 1, теорема III, примеры 1—3).

Близко к приложению на практике та же теорема (об умножении обеих частей уравнения) сформулирована в статье А. А. Шуваева, но приведенные для иллюстрации примеры опять не встречаются в практике решения уравнений* и часто сопровождаются такими терминологическими архаизмами, как «опускание» общего множителя, «отбрасывание» общего знаменателя и т. п. Где и как применить теорему на практике — в статье А. А. Шуваева читатель не найдет ответа.

Из сказанного видно, что в перестройке изучения уравнений в школе предстоит нелегкая работа по преодолению устаревших формалистических традиций.

Переходим к краткому изложению теории уравнений с одним неизвестным (основные определения и теоремы) в том виде, как она (по нашему мнению) должна быть дана в X классе.

В дальнейшем изложении подразумевается, что в VII классе уравнения рассматриваются над множеством рациональных чисел, в VIII и IX классах — над множеством действительных чисел, в X классе иррациональные, трансцендентные и все параметрические уравнения — над множеством действительных чисел.

I. Теория уравнений с одним неизвестным

Определение 1. Множеством допустимых значений аргумента х или областью определения функции ср(лг), заданной формулой, называется множество всех значений аргумента X, при которых выражение ср(лг) имеет смысл.

Примеры (для сокращения записи область определения функции условно обозначаем символом D).

* Эти примеры (как и приведенный В. Н. Беляевым) имеют ценность как разъясняющие смысл теоремы.

Определение 2. Уравнением с одним неизвестным называется равенство

/(*)=/! (*),

где функции рассматриваются в общей части их областей определения.

Эту общую часть будем называть множеством допустимых значений неизвестного или областью определения уравнения.

Примеры.

Область определения уравнения

Определение 3. Решением или корнем уравнения называется значение неизвестного, при котором значения обеих частей уравнения равны.

Принято говорить, что решение (или корень) уравнения с одним неизвестным удовлетворяет данному уравнению.

Определение 4. Решить у равнение, не содержащее параметров,—значит найти множество всех его решений.

Определение 5. Два уравнения называются равносильными, если в данном множестве чисел (рациональных, действительных и др.) множество всех решений одного из этих у равнений совпадает с множеством всех решений другого.

Примечание. Кратность корней не учитывается, так как общая теория уравнений относится как к алгебраическим, так и к трансцендентным уравнениям.

Определение 6. Выражение ср(х) и выражение cpj (х) называются тождественными, если их значения равны при всех значениях арумента х, при которых оба эти выражения имеют смысл, т. е. в общей части их областей определения.

Примеры тождественных выражений.

Определение 7. Замена одного математического выражения другим, ему тождественным, называется тождественным преобразованием.

Замечание. Определения 6 и 7 делают законными многочисленные тождественные преобразования, с которыми приходится иметь дело учащимся VI—X классов при изучении теории тождественных преобразований в алгебре и тригонометрии и которые связаны с изменением области определения математических выражений*.

Примеры.

Никаких ограничений при этих преобразованиях вводить не требуется, иначе выполнение многих тренировочных упражнений, закрепляющих навыки в тождественных преобразованиях, было бы практически крайне затруднительно.

Сказанное не исключает того, что по крайней мере в IX классе учитель должен в ряде случаев обращать внимание учащихся на изменение области определения выражений при тождественных преобразованиях, накапливая материал для обобщений в X классе.

В решении уравнения (в отличие от чисто тренировочных упражнений на тождественные преобразования) исследование изменения области его определения при тождественных преобразованиях его частей имеет существенное значение и обязательно.

Теорема I. Если над частями уравнения

* Неравенству | х | > 0 удовлетворяет произвольное число, поэтому (в поле действительных чисел) это неравенство может служить для обозначения множества всех действительных чисел.

* См. примечание в статье С. И. Новоселова, помещенной в настоящем номере (стр. 21).

произведено тождественное преобразование, в результате которого получено уравнение

?(*) = ?!(*) (2)

с той же областью определения, то второе уравнение равносильно первому;

если область определения уравнения (1) будет расширена у то второе уравнение может быть неравносильным первому, оно может иметь посторонние для уравнения (1) корни, принадлежащие множеству значений неизвестного, на которое расширена область определения уравнения (1);

если область определения уравнения (1) будет сужена, то второе уравнение может быть неравносильным первому в силу потери корней, принадлежащих множеству значений неизвестного, на которое сужена область onределения уравнения (1).

Пример 1. Решить уравнение (в множестве действительных чисел):

(1)

D: лг>>2. Возведя обе части уравнения (1)

в квадрат и решив выводное уравнение, получим:

Уравнению (1) удовлетворяет один корень х = 3.

Выполним теперь тождественное преобразование левой части уравнения (1); перемножив радикалы, получим:

(2)

По возведении обеих частей в квадрат найдем: х\ =3, х2 =. 2,5; оба корня удовлетворяют уравнению (2).

Уравнение (2) неравносильно уравнению (1): оно имеет еще корень х— — 2,5, принадлежащий множеству значений неизвестного, на которое расширена область определения уравнения (1) при переходе к уравнению (2).

Пример 2. Решить уравнение:

(1)

Dt: |лг|>0. Решив уравнение (1), получим:

^ = 10, х2 = —10.

Оба корня удовлетворяют уравнению (1). Сделаем тождественное преобразование левой части уравнения (1):

(2)

D2: д:>0 (!). Решив уравнение (2), получим:

Уравнение (2) неравносильно уравнению (1): потерян корень х=—10, принадлежащий множеству значений неизвестного, на которое сужена область определения уравнения (1).

Практический вывод: желательно избегать тождественных преобразований частей уравнения, ведущих к сужению области определения уравнения (что практически выполнимо); в противном случае, чтобы не допустить ошибок, потребуется находить дополнительные решения, принадлежащие отпавшей части области определения уравнения (что не всегда легко выполнимо). Для иллюстрации сказанного приводим решение уравнения:

(1)

(2)

(3)

Выводное уравнение (3) не имеет решений; следует ли из этого и почему, что исходное уравнение (1) также не имеет решений?— предоставляем объяснить читателю.

Теорема II. Если к обеим частям уравнения

/(*)-/,(*)

прибавить одно и то же выражение у(х), имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного, то получится уравнение

/(*)+?(*)-Л (*)+»(*).

равносильное данному.

Доказательство общеизвестно.

Приложения I и II теорем.

1. Слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

2. Равные слагаемые в обеих частях уравнения можно взаимно уничтожить; если при этом область определения уравнения будет расширена (теорема I), то полученные корни следует проверить по исходному уравнению.

Пример. Дано уравнение:

(1)

Dx: х>3. Уравнение (1) не имеет решений (в множестве действительных чисел).

Прибавив к обеим частям уравнения (1) выражение

и выполнив приведение подобных членов, получим;

х=2. (2)

D2: |*| >-()(!). Корень уравнения (2): х = 2.

Значение х = 2 не принадлежит множеству допустимых значений неизвестного в данном уравнении (1) и является для этого уравнения посторонним решением.

Теорема III. Если обе части уравнения

f(x)=ft{x)

умножить или разделить на выражение <?(х), имеющее смысл и не равное нулю, при всех допустимых значениях неизвестного, то получится уравнение, равносильное данному.

Доказательство общеизвестно.

Приложение теоремы III.

Обе части уравнения можно умножить на любое число, отличное от нуля, и, в частности, знаки всех слагаемых в частях уравнения можно переменить на противоположные (умножение обеих частей уравнения на —\).

Пример 1. Решить уравнение:

Умножим обе части уравнения (1) на общий знаменатель 'f (х) = 3(х2 + 1) 4= О, получим равносильное уравнение:

(2)

Выполним сокращение дробей:

(3)

D3: IX I >- 0. Область определения уравнения (2) при сокращении дробей не изменилась, и в соответствии с теоремой I уравнение (3), целое относительно неизвестного, равносильно уравнению (2) и уравнению (1).

Пример 2. Решить уравнение:

(1)

Умножим обе части уравнения (1) на общий знаменатель ср (z) — (z — 1) (z — 3); ср (z) =f= 0 в множестве допустимых значений неизвестного. Получим равносильное (теорема III) уравнение:

(2)

Выполнив сокращение дробей, получим:

(3)

D3: I 2 I >•()(!). Область определения уравнения (1), при переходе к (3) расширена, и в соответствии с теоремой I могут появиться посторонние для уравнения (1) корни. Решив далее уравнение (3), получим х=2. Это значение неизвестного принадлежит области определения уравнения (1) и является его решением.

Пример 3. Решить уравнение:

(1)

(2) (3)

Решение л;=4 уравнения (3) является посторонним для уравнения (1), так как значение х=4 не является допустимым для уравнения (1).

Выше указывалось, что при функциональной трактовке уравнений объяснение появления посторонних корней при решении дробных уравнений в учебниках алгебры Киселева, также Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского, несовершенно. Здесь мы подробно остановились на решении элементарных примеров с целью показать, что появление посторонних корней обусловлено не умножением обеих частей на общий знаменатель, а последующим сокращением дробей, т. е. тождественным преобразованием.

Замечание. В VII классе, по нашему мнению, не следует объяснять учащимся появление посторонних корней при решении дробных уравнений на основе теории равносильности, — этого здесь сделать и нельзя. Достаточно показать, что при решении по обычным правилам уравнений, содержащих неизвестное в знаменателях дробей, могут получаться значения неизвестного, при которых отдельные знаменатели обращаются в нуль. Далее останется разъяснить, что поскольку деление на нуль не имеет смысла, то значения неизвестного, обращающие какой-либо из знаменателей дробей в нуль, не удовлетворяют данному уравнению, не считаются его корнями и потому отбрасываются. Полезно здесь ввести понятия о допустимых значениях неизвестного и посторонних корнях и показать приемы проверки корней при решении дробных уравнений (сопоставлением с допустимыми значениями неизвестного, подстановкой в каждый из знаменателей или в исходное уравнение).

Задача изложения теории эквивалентности уравнений заключается в том, чтобы дать учащимся ясное представление об источниках поте-

ри и приобретения корней и тем самым предупредить ошибки, допускаемые при решении уравнений. Основными операциями при преобразовании уравнений будем называть прибавление равных слагаемых к частям уравнения, умножение и деление частей уравнения на одно и то же выражение, многообразные тождественные преобразования над частями уравнения. В настоящей статье мы ограничимся рассмотрением этих основных операций и не будем касаться различных «особых» операций, как, например, возведение обеих частей в степень. Естественно возникает вопрос: какие из основных операций ведут к приобретению или потере корней?

Из сопоставления трех приведенных теорем о равносильности уравнений видно, что ответ дается первой теоремой: в практике решения уравнений к потере или приобретению корней ведут тождественные преобразования, связанные с изменением области определения уравнения.

Вторая теорема (о прибавлении) и третья теорема (об умножении и делении) просто констатируют случаи, когда операции прибавления и умножения, выполняемые над частями уравнения, ведут к получению уравнения, равносильного данному.

При внесении ясности и определенности в вопрос об источнике приобретения и потери корней намечается и простой методический прием предупреждения ошибок при решении уравнений: необходимо наблюдать за областью определения уравнения при каждом тождественном преобразовании над его частями, не допускать сужения ее; проверять корни выводного уравнения по данному, если в процессе решения уравнения имело место расширение области определения уравнения.

При решении параметрических уравнений учитываются допустимые значения параметров.

Определение 8. Решить у равнение, содержащее параметры, — значит найти множество всех его решений для каждой допустимой системы значений параметров.

При решении параметрических алгебраических уравнений, приводимых к виду ах—Ь, могут представиться три случая: при одних допустимых системах значений параметров (из множества всех допустимых) уравнение будет иметь единственное решение, при других — бесконечное множество решений, при третьих — не иметь решений.

При решении параметрических алгебраических уравнений, приводимых к квадратному, следует иметь в виду четыре случая: когда уравнение имеет два решения, когда одно, когда бесконечное множество решений и когда уравнение не имеет решений.

Проиллюстрируем применение изложенной теории к решению примеров. Для краткости записи множество допустимых значений параметров будем обозначать символом Му множество допустимых значений неизвестного—символом D.

Пример 1° № 1049 из задачника Ларичева (ч. I, для VII кл.).

Решить уравнение:

2т — (т + п) х=(т — п) х. (1)

Применяя теоремы II и I, получаем равносильное уравнение:

(т — п) X + (m + п) х=2т. (2)

Применяя теорему I, получаем опять равносильное уравнение:

2тх=2т. (3)

При m ф 0 (теорема III)

х—1.

Мы получили решение уравнения (1), если m Ф 0; но множеством допустимых значений параметра m в уравнении (1) является М: \т\>0 и, согласно определению 8, нужно еще рассмотреть решение уравнения (1) при /я = 0. Это делаем по выводному уравнению (3), равносильному уравнению (1); будем иметь:

0-л:=0,

откуда

X — произвольное (рациональное) число.

Ответ. х= 1 при m Ф 0\ х — произвольное число, если т = 0.

Пример 2° (из экзаменационной работы по VII классам за 1951 г.). Решить уравнение:

(1)

Применяя теоремы III и I, получим:

(2)

Теперь на основе теорем II и I получим равносильное уравнению (2):

2ал:=а(7а + 3), (3)

откуда при а ф 0

если же а=0, то уравнение (3) примет вид:

0-х=0,

откуда X — произвольное число.

Делаем еще проверку в соответствии с теоремой I,

следовательно, при

и уравнение (1) решений не имеет,.

2)

откуда при а =

3) При а=0 получим: X — произвольное число, кроме х=0, так как X ф а.

Ответ.

2) уравнение не имеет решения при

3) х — произвольное число, кроме нуля, если а=0.

Спрашивается, что предполагал составитель текста получить от учащегося, повидимому, —^— ? Но тогда здесь и нужно искать рассадник формализма в преподавании математики.

Заметим, что одна из распространенных ошибок при решении параметрических уравнений состоит в том, что отсутствует проверка принадлежности полученного решения множеству допустимых значений неизвестного.

Пример 3°. Задачник П. А. Ларичева (II часть, № 445). Решить уравнение:

(1)

Применив теорему I, получим равносильное исходному уравнение:

(2)

Теперь по теоремам III и I будем иметь:

(3)

Делая дальнейшие преобразования, получаем на основании теорем I и II уравнение, равносильное уравнению (3):

Если а ф ztz Ь (теорема III), то

Решение получено не для всех допустимых систем значений а и а только для систем, в которых а ф z±zb. Находим еще решение уравнения (4) при а = ±Ь. Если a=zïzb ф 0, то уравнение (4) примет вид:

откуда

х=0;

если а = Ь = 0, то

и, следовательно, х — произвольное число.

Мы нашли решение уравнения (4) для всех допустимых систем значений а и Ь, но это уравнение в соответствии с теоремой I может быть неравносильным уравнению (1); следовательно, нужно еще проверить принадлежность полученных решений множеству допустимых значений неизвестного в первом уравнении (DL: х ф 0, X ф 2). Делаем это.

1. При а ф zLb имеем:

Следовательно, при

будет

и решение

не удовлетворяет уравнению (1), Имеем также:

Теперь х2 = 2, если а =—ЗЬ и решение

исключается для уравнения (1).

2. Если а=^цЬф0у то из уравнения (4) х—0; решение не удовлетворяет уравнению (1) (О,: хфО).

3. При а = Ь = 0 уравнению (4) удовлетворяет произвольное значение х9 но уравнению (1) будет удовлетворять произвольное значение х, кроме х=0 и *=2.

Ответ.

4. X — произвольное число, кроме х = О и х — 2, если а = Ь = 0.

5. Уравнение не имеет решения при a =±ô ф 0.

Примечание. Так как при Ьф О и при а= zïz3b имеем аф ±Ь, то в случаях 2 и 3 соответствующие условия можно записать так: а= — ЗЬфО и а = ЗЬ ф 0.

Пример 4°. Рассмотрим здесь источники погрешностей в решении уравнения

допущенных в сборнике П. С. Моденова.

Для уравнения (1) Мг: л>1; Dx: 0<С*<4> кроме х~\.

(2) (3) (4) (5) (6)

откуда (при п 0 и | х \ !> 0) приведенный П. С. Моденовым ответ будет удовлетворять уравнению (5), но не уравнению (1). Уравнение (5) следовало решать при М: п> 1 (согласно определению 8) и 0<[л;<4, кроме х=\.

Как видно из решения примеров 1°—4°, изложенная нами система построения теории уравнений с одним неизвестным удовлетворительно разрешает трудности, встречающиеся при решении алгебраических и трансцендентных уравнений, и, как показывает наш опыт работы в школе, без затруднения воспринимается учащимися X класса.

Изложение теории и методов решения уравнений в VI —IX классах должно быть приведено в соответствие с положениями общей теории уравнений, изучаемой в X классе. Это касается основных определений, теорем равносильности, методики решения. Нам представляется наиболее соответствующим такой постановке вопроса первое определение уравнения дать в том виде, как оно сформулировано в книге «Алгебра» П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова: оно доступно пониманию для соответствующего возрастного состава учащихся, наиболее просто обобщает представления об уравнении, накапливающиеся с VI класса. Напоминаем это определение:

Равенство, в кото ром одно число, выраженное буквой, считается неизвестным, а значения остальных букв (если они имеются) считаются известными, называется у равнением.

При переходе в VII классе к системам уравнений можно уже дать определение в более общей формулировке, как предлагает В. Н. Беляев:

Уравнением называется равенство, в котором одно или несколько чисел, обозначенных буквами, считаются неизвестными, а значения остальных букв, если они имеются, считаются известными.

В VIII классе при графическом решении уравнений с одним неизвестным (линейных и квадратных) закладывается понятие об уравнении как о равенстве значений двух функций, а в дальнейшем — в IX классе — это понятие разъясняется при обзоре логарифмических уравнений в конце года.

Понятие о допустимых значениях букв должно быть заложено уже в VI классе при рассмотрении действий с нулем (деление на нуль), путем подбора соответствующих задач на вычисление значений буквенных выражений. В VII классе, в связи с решением дробных относительно неизвестного уравнений, вводится понятие о допустимых значениях неизвестного. В VIII классе при рассмотрении и сопоставлении графиков — линейной функции, обратной пропорциональности, квадратичной функции — закладывается представление об области определения и множестве значений функции; в IX классе эти понятия формулируются б связи с изучением показательной, логарифмической и тригонометрических функций (используя графики этих функций) и закрепляются соответствующими упражнениями. В IX классе в конце года можно уже ввести символы

Аналогично должна расширяться и углубляться теория равносильности уравнений. Е. С. Савин (Астрахань) в статье, присланной в редакцию, замечает, что сознательное усвоение теорем равносильности уравнений и правильное применение их в практике решения уравнений постигается лишь

немногими учащимися, и видит причину этого в следующих обстоятельствах:

сравнительно высокая абстрактность теорем, не соответствующая возрастным особенностям учащихся;

в практике решения уравнений непосредственно применяются следствия, почему учащийся не понуждается к усвоению сущности теорем.

Е. С. Савин как выход из такого положения предлагает перестройку теорем равносильности таким образом, чтобы сами теоремы имели непосредственное приложение при решении уравнения, как, например:

«Всякое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, переменив при этом его знак на противоположный. Полученное в результате такого преобразования уравнение равносильно данному».

Мы не согласны с Е. С. Савиным. Причина существующих недостатков в другом; ее можно отчетливей понять, припомнив рассказ для детей о мальчике — стороже овец, который после ряда поднятых им ложных тревог о помощи остался в одиночестве, когда волк действительно напал на овец. Дело в том, что уже в VII классе в теории говорят о возможности появления посторонних корней, но в примерах на уравнения в сборниках Шапошникова и Вальцова и П. А. Ларичева посторонних корней не встречается (за единичными исключениями у последнего).

Так же обстоит вопрос и с допустимыми значениями параметров. В теории о них скажут, а когда дойдет дело до буквенных уравнений, то ответы задачников будут говорить учащемуся, что все прекрасно обходится и без учета допустимых значений букв. Вот в чем причина! У учащихся создается убеждение, что все разговоры о допустимых значениях, о теоремах равносильности — это только для ответа, если «спросят», а для решения уравнений они никакого значения и не имеют, все гладко и так выходит...

Для перестройки преподавания теории уравнений в VI—X классах сделано еще очень мало. Учителю можно пока рекомендовать для ориентировки статью П. А. Буданцева в № 1 журнала «Математика в школе» за 1952 г. и статью В. К. Матышука в № 4 журнала за 1950 г.; при этом учитель должен с большой осторожностью отбирать материал, посильный для учащихся соответствующих возрастных групп.

II. Исследование уравнений

Авторы корреспонденций, полученных редакцией по вопросу исследования уравнений, касаются трех его сторон: содержания, методики и некоторых принципиальных положений.

Повод к постановке таких вопросов дают: изложение темы в учебнике Киселева, формулировка темы в программе по алгебре для X класса, пояснения в «Объяснительной записке» к программе и в методическом письме Министерства просвещения РСФСР «О преподавании математики в V —X классах», разработанном АПН. В учебнике Киселева читаем:

«Исследовать уравнение — значит рассмотреть все особые случаи, которые могут представиться при решении его, и уяснить значение этих случаев для той задачи, из условий которой уравнение составлено».

Далее рассматриваются пять случаев решения уравнений вида

ах = Ъ\

положительное, отрицательное, нулевое и «неопределенное» решения, а также случай, когда уравнение не имеет решений.

Здесь сказывается одновременно и ограниченность, и узость постановки вопроса. Узость в том, что исследование уравнения мыслится только в приложении к уравнениям, составленным по условию задачи; ограниченность в том, что имеются в виду только лишь наиболее часто рассматриваемые случаи решения уравнения при решении задач.

Не вносят ясности в постановку вопроса об исследовании уравнений ни объяснительная записка, ни методическое письмо. В обоих документах читаем, что в X классе должны только систематизироваться сведения об исследовании уравнений, сообщенные в курсах VII и VIII классов.

«...в X классе должны быть только приведены в систему те сведения об исследовании решений уравнений и задач с параметрическими данными, которые изучались учащимися постепенно в VII классе (в связи с решением буквенных уравнений и задач первой степени) и VIII классе (в связи с решением буквенных уравнений и задач второй степени)» (Методическое письмо, 1950, стр. 67—68).

Естественно возникает вопрос: какие же именно сведения об исследовании уравнений из курса VII и VIII классов должны систематизироваться в X классе?

В том же методическом письме (стр. 67) читаем указания, что в VII классе

«...необходимо приучить учащихся... записывать решение уравнения Ах = В в форме

Если при решении буквенных уравнений в VII классе учащиеся только и должны усвоить, что уравнение ах=о имеет решение — при условии а ф 0, то какие же сведения об исследовании уравнений и^ курса VII класса надо

приводить в систему в X классе? (сравнить решение примеров 1°, 2° здесь в конце главы I).

В методическом письме (стр. 68) приводится еще примерное для VII класса решение уравнения с параметрическими данными, составленного по условию задачи. Автор письма полагает, очевидно, что такие решения посильны и действительно имеют место в VII классе (I).

Наконец, автор письма, видимо, полагает, что решение уравнений и задач, не содержащих параметры, не включает элементов исследования!

Мы вполне согласные С. И. Новоселовым в том, что постановка вопроса об исследовании уравнений не имеет определенного содержания в отрыве от решения уравнения. Формулируем задачу исследования уравнения.

Определение. Исследовать у равнение — это значит: 1) установить множество допустимых значений для неизвестного и параметров (если последние имеются) и 2) найти соответствующее этим значениям множество всех решений уравнения (для каждой допустимой системы значений параметров, см. гл. I, определения 4 и 8).

В такой постановке вопроса элементы исследования имеются при решении каждого уравнения (не только параметрического), различие только в большей или меньшей сложности содержания исследования.

В то же время очевидно, что в X классе, где только и можно изложить теорию уравнений в том виде, как она дана в I главе, база для исследования уравнений другая, чем в предшествующих классах. Поэтому в задачу X класса входит далеко не только систематизация изученного в предшествующих VII и VIII (а в IX?) классах.

По содержанию исследования уравнений последние можно разделить на две группы, с двумя подгруппами в каждой:

I группа. Уравнения-примеры, решаемые без дополнительных условий:

A. Не содержащие параметров.

B. Содержащие параметры.

II группа. Уравнения, решаемые при дополнительных условиях:

A. Уравнения-примеры с заданными дополнительными условиями.

B. Уравнения, составленные по условию задачи.

I группа А. Задача исследования при решении уравнений-примеров, не содержащих параметров, состоит в следующем:

1) установить область определения уравнения;

2) найти множество всех его решений, в частности — наблюдая при тождественных преобразованиях частей уравнения изменение его области определения.

I группа В. Задача исследования при решении параметрических уравнений-примеров без дополнительных условий состоит в следующем:

1) установить множества допустимых значений для неизвестного и параметров;

2) найти все возможные решения уравнения для каждой из допустимых систем значений параметров.

Примеры были приведены в конце I главы (примеры 1° — 4°).

Напоминаем, что при решении уравнений группы I в VII классе уравнения рассматриваются над множеством рациональных чисел, в VIII и IX классах — над множеством действительных чисел, в X классе (за исключением иррациональных и параметрических)—над множеством комплексных чисел; все трансцендентные уравнения в школе рассматриваются над множеством действительных чисел.

II группа А. Уравнения-примеры, решаемые при дополнительных условиях.

Такие уравнения (при очень ограниченном разнообразии дополнительных условий) представлены в задачниках Шапошникова и Вальцова (ч. II, гл. XXIII, № 1—6, 11—14, 25— 30) и Ларичева (ч. II, гл. XIII, № 1415—1418 и 1432—1439).

Нам кажется, что самая постановка заданий к этим примерам неудачна для X класса: подобные упражнения более целесообразно отнести на VII и VIII классы (на более доступных, конечно, примерах) для расширения представлений о допустимых значениях букв. В X классе к указанным примерам 1—4 из задачника Шапошникова и Вальцова и к примерам № 1415 из задачника Ларичева было бы естественнее поставить задание: «Найти положительные решения уравнений», вместо «При каких значениях t нижеследующие уравнения имеют положительные решения?» (аналогично изменить задание и к другим примерам).

Решение уравнений II группы А распадается на две ступени:

1) сначала уравнение решается аналогично уравнениям группы I, с теми же элементами исследования, без учета дополнительных условий.

2) из найденного множества решений отбираются удовлетворяющие дополнительным условиям при соответствующих дополнительных элементах исследования.

Приведем для иллюстрации решение примера № 11 (гл. ХХШ) из задачника Шапошникова и Вальцова при измененной формулировке задания.

Найти положительные, отрицательные и ну левые решения уравнения

если

m ф О, (пфО), а ф 0.

B. Уравнение не имеет решения, если

m ф 0, я = О

или

m = 0, а ф 0, (л ^ 0).

C. X — произвольное число, кроме

* = 0,

если

m = 0, а = 0, (я / 0).

Из полученных решений отбираем удовлетворяющие дополнительному условию х 0 (положительные решения). Случай А.

Решаем без дополнительных условий

(2) (3)

Продолжая решение, найдем для уравнения (1), г. е. при Мх и Dx:

А.

X — произвольное положительное число, если т = 0, а = 0, п ф 0.

Так же отбираются решения, удовлетворяющие условию #<0, т. е. отрицательные решения. Нулевые решения. Случай А.

Заметим здесь, что «неопределенное» решение, которое трактуется как случай, когда уравнение удовлетворяется «любым» значением неизвестного, следует уточнить как «случай, когда уравнение имеет бесконечное множество решений». Название «неопределенное решение» следует исключить.

II группа В. При решении уравнений, составленных по условию задачи, дополнительные условия устанавливаются по смыслу задачи самим решающим, — в этом и все отличие по сравнению с исследованием в случае II группы А.

Наиболее распространенный ход решения этих уравнений такой:

1) составляется уравнение и решается сначала в широком числовом множестве (множество всех действительных чисел);

2) по смыслу задачи устанавливаются дополнительные условия — допустимые значения для параметров и неизвестного;

3) из всех решений уравнения отбираются удовлетворяющие дополнительным условиям, т. е. решению задачи.

Приведем примеры решения задач указанным приемом, чтобы в дальнейшем конкретно охарактеризовать некоторые дискуссионные вопросы.

1°. В одном резервуаре а ведер, а в другом Ъ ведер воды. В каждый час в первый резервуар прибавляется по m ведер, а во второй по п ведер. Через сколько часов количество ведер воды в обоих резервуарах сравняется!

Решение. Допустим, что количество воды в обоих резервуарах сравняется через х часов, тогда в первом резервуаре будет (а+тх) ведер, а во втором (Ь+пх) ведер воды. Получаем уравнение:

(1)

Исследование решения уравнения По смыслу задачи а > О, Ъ > 0, т>09 /2>0, х}>--jjj- часов назад в первом резервуаре не было воды) и, кроме того, х>— — (— часов назад не было воды во втором резервуаре).

Положительное решение

Вариант 1.

b — а>0 и m — я >0.

Отсюда b > а и m > я, т. е. в данное время во втором резервуаре воды больше, а поступает в него за каждый час меньше; поэтому количество воды в резервуарах может сравняться по прошествии нескольких часов.

Вариант 2.

b — а < О и т — п<0.

Теперь b и т<п. В данное время во втором резервуаре воды меньше, а в каждый час в него поступает больше, и опять количество воды в обоих резервуарах может сравняться в будущем.

Нулевое решение

m — п ф О, b — а = 0.

Если m ф п и b = û, т. е. если за каждый час в резервуары поступает разное количество воды, то равное количество воды в них может быть только в данный момент.

Отрицательное решение

Вариант 1.

b — а>0 и m — /z< 0.

Тогда b>a и т<пу т. е. при меньшем количестве воды в первом резервуаре в данный момент и при меньшем поступлении в него воды в каждый час равное количество воды в обоих резервуарах могло быть только прежде.

Так как в данное время во втором резервуаре воды больше и в каждый час в него поступает большее количество воды, то равное количество последней в обоих резервуарах могло быть в какой-либо предшествующий момент лишь в том случае, если наполнение второго резервуара начинается позднее;

отсюда

Проверяем решение по условию:

Это неравенство выражает соотношение между параметрами, при котором момент выравнивания количества воды в резервуарах мог наступить; отрицательное решение уравнения (при b — а > 0 и m — п<0) удовлетворяет решению задачи.

Вариант 2.

Ъ — а<0 и /я—-я>0.

Теперь имеем: Ь<а и п; это значит, что в данное время воды больше в первом резервуаре и за каждый час поступает в него воды больше, чем во второй; поэтому опять равное количество волы в обоих резервуарах могло быть только раньше данного момента.

При а> b и т>п момент выравнивания количества воды в резервуарах мог наступить при

Проверив по условию х>--—, убедимся, что отрицательное решение уравнения при b — а 0 и m — п>0 удовлетворяет решению задачи.

Бесконечное множество решений

Если в уравнении (1) (т — п)х=Ь — а будет m — п = 0 и b — а = 0 или т = п и b = а, то оно будет удовлетворяться любым значением лг. Соотношение т = п выражает, что в каждый резервуар за час прибывает одинаковое количество воды; соотношение b = а указывает на равное количество воды в резервуарах в данный момент. Очевидно, что количество воды в обоих резервуарах при таких условиях в любой момент одинаково.

Уравнение не имеет решения

Если m — я = 0 и b — а ф 0, то уравнение (1) не имеет решений. Соотношения т = п и b Ф а выражают равное поступление воды в каждый резервуар в час при неравном ее количестве в резервуарах в данный момент; выравнивание количества воды в резервуарах не может наступить.

Ответ.

1. При Ь>а и т>п или b<da и т<п. Равное количество воды в резервуарах будет через - часов.

2. При b = а и m ф п. Равное количество воды в резервуарах имеется в данный момент.

3. При Ь>а, т<п и ~<С~ или при Ь<*а% гп>п и — *> —. Равное количество воды в резервуарах было т_'п\ часов назад.

2°. Два куска латуни весят а кг. В первом куске чистой меди содержится р%, во втором q%, при этом в первом куске чистой меди на b кг больше, чем во втором. Сколько весит каждый кусок?

Решение. Предположим, что первый кусок весил X кг, тогда второй весил (а — х) кг; в первом куске чистой меди будет щ кг, во втором -—ПХ)“ Кг' условию в первом куске на b кг чистой меди больше, что и выражаем уравнением:

решаем его:

Исследование решения у равнения

По смыслу задачи а>Ь>0; 0</?<Ч00; 0<?<100; £0<а.

В формуле решения уравнения числитель и знаменатель дроби — положительные числа, и уравнение имеет положительное решение. Проверяем его по условию х<а-

Полученное неравенство определяет дополнительное условие, при котором задача имеет решение (х<а)* В самом деле, разность содержания чистой меди в двух кусках меньше ее содержания в первом куске; поэтому она и подавно должна быть меньше содержания чистой меди в обоих кусках при том же проценте р, что и выражает неравенство.

Проверяем решение по условию х>Ь.

Полученное неравенство верно (так как а > Ь и /?<Ю0 «латунь»); следовательно, исходное (равносильное ему) также верно. Решение удовлетворяет условию X > Ь.

Ответ.

первый кусок весит

Остановимся теперь на кратком обзоре некоторых принципиальных и методических вопросов решения задач и уравнений, поставленных вышедшей в последнее время литературой, а также корреспонденциями в редакцию журнала.

О допустимых значениях неизвестного При решении задачи на резервуары множество допустимых значений для неизвестного рассматривалось в бесконечном промежутке х>--^-^илилг>--7г) * включающем отрицательные значения х, так как эти значения х имеют реальное истолкование.

Учебник Киселева стоит на другой позиции (см. § 126 учебника). Сторонники позиции учебника, как это видно из редакционных примечаний к нашей статье в сборнике «Решение задач в средней школе» (изд. АПН, 1952), оправдывают ее ссылкой на логическую сторону вопроса, а именно: решение уравнения, составленного на случай «будет», нельзя рассматривать на случай «был» без дополнительного доказательства составлением уравнения на случай «был», что второе уравнение (на случай «был») получается из первого путем замены х на — х\ этот последний факт и должен свидетельствовать о том, что, трактуя величину х как направленную, можно ограничиться одним первым уравнением. Ограниченность такого подхода к установлению множества допустимых значений видна хотя бы из того, что при нем выпадает нулевое решение уравнения, часто имеющее определенный реальный смысл для решения задачи. Но главное не в этом, а в том, что операции над относительными числами как раз и устанавливаются так, чтобы при решении конкретных задач не было необходимости раздельно рассматривать случаи различного направления величин (например, был и будет, вверх и вниз и т. д.); недопонимание этого поведет к ненужным усложнениям.

Допущение — «равное количество воды в резервуарах будет через х часов» — следует рассматривать и как соглашение о начале отсчета времени, по которому время в будущее (от того момента, когда начался отсчет) считается положительным, а в прошлое отрицательным; при

этом в множество допустимых значений неизвестного естественно включаются нуль и отрицательные числа, нулевое и отрицательное решения уравнения получают определенный смысл для решения задачи без какого-либо дополнительного оправдания. Такая естественная точка зрения нашла уже неоднократное подтверждение в печати. Отсылаем читателя к следующим книгам: «Алгебра» П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова, «Алгебра» Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского, «Специальный курс элементарной алгебры» (для педвузов) С. И. Новоселова. Некритическое следование архаизму учебника Киселева мы встретили лишь в статье В. К. Матышука (№ 1 журнала за 1952 г.). Позиция учебника Киселева не выходит за рамки узкой и ограниченной постановки вопроса об исследовании уравнений, о которой сказано выше, и отпадает в новой постановке этого вопроса.

В печати приходится встречаться с двумя способами установления границ допустимых значений неизвестного. В книге С. И. Новоселова («Специальный курс элементарной алгебры») эти границы устанавливаются из рассмотрения аналитических выражений, получаемых при составлении уравнений, и истолкования их в соответствии со смыслом задачи. Так, на стр. 223 в задаче, сходной с приведенной нами на наполнение резервуаров, для неизвестного указано дополнительное условие 0 < аг + тг х <[ vu которое подразумевает нижнюю границу допустимых значений неизвестного х>--—. В нашем изложении подобная граница логически обоснована посредством анализа и истолкования условия задачи. Мы не считаем такое расхождение принципиальным вопросом, в равной мере допустим и тот, и другой подход; в практике школьной работы мы предпочитаем изложенный нами, так как он заставляет учащегося глубже вдумываться в условие задачи, в свойства рассматриваемых величин и процессов. Укажем пример того, к каким противоречащим действительности выводам может привести одностороннее предпочтение исследования аналитических выражений. В «Сборнике задач по математике» П. С. Моденова к задаче № 4: «Непромытый „золотой песок“ содержит k % чистого золота. После каждой промывки „золотого песка“ отходит р % содержащихся в нем примесей и теряется q % от имеющегося в песке золота. Сколько следует произвести промывок, чтобы число процентов содержания золота в „золотом песке“ было не менее чем г?»

По составленному неравенству

приводится в качестве ответа такое решение неравенства:

если (?! — И. С).

Аналитически такое решение неравенства допустимо, но соотношение д>р может иметь место лишь в том случае, когда удельный вес примесей больше удельного веса золота (?!). Такой «золотой песок» не реален, а если бы и существовал, то кто же стал бы к нему для обогащения золотом применять процесс промывки?

О допустимых значениях параметров В той же задаче (на стр. 223) из указанной книги С. И. Новоселова, по условию которой параметры пг и т2 обозначают количество литров воды, поступающее за одну минуту в каждый из двух сосудов, автор допускает для параметров т± и п2 как положительные, так и отрицательные значения. Ясно, что отрицательные значения параметров будут соответствовать измененному (по старинной терминологии) тексту задачи: значение тх < 0 будет означать, что из первого сосуда за одну минуту будет вытекать т± литров воды. Считаем, что в школьной практике такие осложнения излишни и не в них дело; в школе допустимые значения параметров достаточно рассматривать только в множестве положительных чисел (исключая даже нуль), кроме случая, когда данная величина «естественно» может принимать положительные и отрицательные значения (например, температура); включение таких задач в сборники крайне желательно. Вопрос о допустимых значениях параметров есть дело соглашения.

Особое внимание должно привлекать отыскание и обоснование по смыслу задачи соотношений между параметрами, которые и упрощают исследование, и нередко помогают избежать несоответствия формального решения задачи реальной действительности, как это имело место в приведенной задаче на промывку золотого песка из книги П. С. Моденова.

О схемах решения задач и уравнений Г. А. Кудреватов (Фергана) в письме в редакцию совершенно правильно напоминает, что следует развивать творческую мысль учащихся, направляя ее на поиски коротких путей решения уравнений, требующих отступления от изученных схем. Приведем несколько примеров из его письма.

1. Уравнение

может быть решено в уме

без приведения к целому виду и последующих преобразований.

2. Уравнение

может быть решено в уме (л;=1), если усмотреть такое его преобразование:

3. Уравнение

jc(jc+1)=56

решается в уме: 7 или —8, без раскрытия скобок и применения формулы.

4. Задача: «После двух последовательных снижений на одинаковое число процентов цена костюма снизилась с m руб. до п руб. Hа сколько процентов производилось снижение каждый раз?», обычно посредством громоздких преобразований сводится к уравнению

и его решению;

эту задачу можно свести к уравнению:

Г. А. Кудреватов своевременно напоминает слова А. Н. Колмогорова («О профессии математика», 1952): «...нахождение удачных путей решения уравнений, не подходящих под стандартные правила», близко соприкасается «с теми способностями, которые часто требуются от математика в серьезной научной работе».

Однако это высказывание не исключает пользования схемами, к которым ведут теоретические обобщения.

Мы уже показали, что при тождественных преобразованиях над частями уравнения необходимо следить за изменением области определения уравнения, но это — обобщение, схема. Отступив от этой схемы при решении уравнения

можно допустить ошибку, как было указано в главе I (см. теорему I). Таким отступлением объясняется и ошибка при решении логарифмического уравнения в книге П. С. Моденова.

Было указано еще другое обобщение: при решении параметрического уравнения требуется найти множество всех решений для каждой допустимой системы значений параметров; что тоже ведет к схеме (см. гл. I, примеры 1° — 3°). Отступил от этой схемы Г. А. Кудреватов и дал в письме неполноценное решение уравнения:

(1)

Г. А. Кудреватов, минуя промежуточные выкладки, получает очевидное следствие:

(с — d)x=bc(c — d), (2)

откуда

х=5с (с ф d).

Решение, как без труда заметит читатель, незаконченное.

Часто при решении уравнений прибегают к подстановкам без достаточного теоретического обоснования, что также может приводить к ошибкам.

Приводим характерный для этого случая пример, указанный П. А. Буданцевым.

В одном из номеров журнала «Математика в школе» за 1935 г. была помещена статья т. Хаймовича «О посторонних корнях при решении иррациональных уравнений с радикалами 3-й степени». Автор статьи приводил решение уравнения:

(1)

Возведя обе части уравнения (1) в куб, он получил:

(2)

а после замены множителя

единицей

(3)

откуда х^ — Q, х2 = 63. Значение х=0 является для уравнения (1) посторонним корнем. Появление такого корня т. Хаймович приписывает возведению частей уравнения (1) в куб, но это неверно: значение л; —0 не удовлетворяет уравнению (2), уравнения (1) и (2) равносильны. Предоставляем читателю объяснить появление постороннего корня.

Схемы, особенно в нашей массовой школе, где нужно обеспечить усвоение программы всеми учащимися, играли и будут играть основную (организующую) роль: теоретические обобщения ведут к схемам. Последние разлагают сложную операцию на ряд последовательных элементарных, доступных пониманию и выполнению каж-

дым учащимся; нетрафаретные решения требуют комбинирования операций, творчества.

Вопрос сводится, следовательно, к разумному комбинированию работы по схемам с возможными отступлениями от схем, теоретически и практически оправданными и осмысленными. В нашей практике применяется такое решение вопроса. Овладение схемой является обязательным для каждого учащегося; в процессе работы указываются возможные обоснованные отклонения от схемы. При решении задач и примеров разбираются варианты решений. Так, обеспечивается минимум знаний и навыков для всех учащихся и открывается простор для инициативы и творческих исканий.

Переходим к схемам решения задач.

Выше, при решении задач о наполнении резервуаров и о двух кусках латуни, была использована обычная широко применяющаяся схема, вытекающая из постановки вопроса об исследовании уравнений II группы В.

С. И. Новоселов («Специальный курс элементарной алгебры») рассматривает решение ряда задач как решение смешанной системы, состоящей из составленного по условию задачи уравнения и неравенств, выражающих дополнительные условия, вытекающие из смысла задачи; самый процесс решения (схема) по существу не отличается от приведенного нами.

Я. С. Дубнов в № 6 журнала «Математика в школе» за 1947 г. показал, что решение составленного по условию задачи уравнения

при х>т]>0, р>0 и q>0 приводится к решению линейного уравнения:

При таком решении исключаются многие операции, обычные для схемы решения задач на составление квадратного уравнения. Этот пример заслуживает внимания в том отношении, что в отдельных случаях дополнительные условия полезно установить непосредственно после составления уравнения; тогда, решая последнее сразу с учетом дополнительных условий, можно иметь меньше шансов упустить возможные упрощения; на этот случай следует обратить внимание учащихся.

Мы считаем, что всякое обогащение методики решения задач нужно приветствовать, как расширяющее для учителя выбор путей. Дело в конечном счете решается учителем; больший результат принесет тот метод, которым сам учитель овладеет в совершенстве. В этом отношении имеет ценность помещаемая в данном номере журнала статья М. С. Черепнина, хотя с нашей точки зрения и она не вносит упрощения и не содержит чего-либо «принципиально» нового. На этом мы заканчиваем обзор вопроса об исследовании уравнений.

Неотложным вопросом является разработка для школы теории решения систем уравнений с двумя неизвестными; оставлять эту тему в том состоянии, в каком она находится сейчас, немыслимо.

В порядке обсуждения необходимо поставить естественный вопрос, выдвигаемый практикой работы: когда же в таком объеме заниматься уравнениями в X классе? Ответ напрашивается естественный: такой темы сейчас нет, ее нужно дать, отведя до 25 часов. По нашему мнению, содержание темы должно быть следующим:

«Уравнение как равенство функций. Уравнения с одним неизвестным. Системы уравнений 1-й степени с двумя неизвестными».

Действующая программа по алгебре, а потому и знания по алгебре оканчивающих среднюю школу, носят лоскутный, необобщенный характер.

Обобщающей и завершающей темой в X классе и должна быть тема об уравнениях, при прохождении которой будут повторены и обобщены на более высоком, доступном только в X классе, теоретическом уровне основные темы алгебры — понятия числа и функции, теория и практика решения уравнений.

В задачнике по алгебре должна быть добавлена соответствующая глава взамен существующей XV главы задачника П. А. Ларичева.

О СОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ ПО УСЛОВИЯМ ЗАДАЧ

К. П. СИКОРСКИЙ (Москва)

I

Как известно, на письменных экзаменах по алгебре в VII и VIII классах средней школы дается задача на составление уравнения. Многолетнее наблюдение за результатами работ показывает, что наилучшие результаты дает именно решение задачи, тогда как примеры на тождественные преобразования алгебраических выражений, рациональных (в VII классе) и иррациональных (в VIII классе), решение систем уравнений первой степени, а также арифметические примеры выполняются учащимися хуже, чем решение текстовой задачи. Так, например, в средних школах Фрунзенского района г. Москвы весной 1953 г. из всех допущенных к экзамену учащихся VII классов правильно решили задачу 98%, упражнение на алгебраические дроби 85% и арифметический пример 82%; в VIII классах задачу правильно решили 99% учащихся, упражнение на преобразование радикалов 94% и третий пример (система уравнений второй степени, иррациональное уравнение, упражнение на теорему Виета и т. п.) 91%. Аналогичную картину можно видеть и на письменных экзаменах в вузы: решение задачи по алгебре на составление уравнения поступающие выполняют лучше, чем какие-либо другие упражнения.

Однако это благополучие не успокаивает учителей средней школы. Учителя считают, что методика решения алгебраических задач с помощью составления уравнения не разработана, и всякий творчески работающий учитель вносит нечто свое в разработку этой темы, занимающей большое место в программе VII и VIII классов.

Что методика обучения составлению уравнений по условию задачи—вопрос трудный, ясно хотя бы из того, что А. Н. Барсуков в своем большом исследовании, посвященном только уравнениям первой степени с одним неизвестным, вопросу «Составление уравнений» отводит 104 страницы. В этом исследовании автор приходит к выводу: «Составление уравнений по условиям задачи не поддается единому, руководящему, достаточно конкретному правилу».

В вышедших позднее книгах: «Методика преподавания математики» В. М. Брадиса; под тем же заглавием сборник статей под редакцией С. Е. Ляпина; «Алгебра» Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского (ч. I) — мы не найдем чего-либо принципиально нового по вопросу о методах составления уравнений по условию задачи.

В последнее время интерес к методике составления уравнений по условию задачи повысился отчасти в связи с публикацией двух работ И. Г. Польского и М. Ф. Добрыниной в сборнике АПН «Решение задач в средней школе».

Редакция журнала «Математика в школе» получила по данному вопросу четыре статьи учителей: В. В. Ефименко (Кореиз, Крымской обл.), И. И. Дырченко (Ташкент), Б. А. Эпельбаума (Москва) и Н. Кошевого (Краснодар).

Первая из этих статей затрагивает по существу только один организационный вопрос: когда начинать в VIII классе решение задач на составление квадратных уравнений? Автор правильно обращает внимание на то, что учащиеся, получив достаточные навыки по решению задач в VII классе, к решению задач на составление квадратных уравнений в VIII классе приступают только во второй четверти, а потому после такого перерыва испытывают большие затруднения. Рекомендация же объяснительной записки к программе по математике «решение простейших уравнений и их составление по условиям задач проводить в течение всего учебного года независимо от изучаемого раздела» не может быть в VIII классе осуществлена из-за отсутствия в стабильном задачнике П. А. Ларичева, ч. II, соответствующего материала.

Поэтому В. В. Ефименко предлагает еще до того, как приступить к первой теме VIII класса — «Степени и корни», вывести с учащимися формулу корней квадратного уравнения. При таком порядке прохождения программы VIII класса учитель получает возможность решать задачи с первых же недель учебного года.

Мы считаем, что предложение В. В. Ефименко вполне целесообразно. Нам известно, что ряд учителей школ Москвы первые 6—8 уроков первой четверти в VIII классе используют, с одной стороны, на повторение некоторых вопросов курса VII класса, а с другой — на вывод формул корней квадратного уравнения и решение задач и уравнений (имеющих рациональные корни).

При такой последовательности прохождения программного материала учащиеся решают значительно больше задач, чем при обычной последовательности (если начинать курс VIII класса с раздела «Степени и корни»). Прохождение темы «Степени и корни» лишь отодвигается на несколько уроков. «Выравнивание» наступает в середине второй четверти.

Остальные три статьи посвящены уже непосредственно методике решения задач на составление уравнений.

Каждый из авторов в той или иной мере останавливается на статьях И. Г. Польского и М. Ф. Добрыниной в указанном выше сборнике АПН.

Н. Кошевой и Б. А. Эпельбаум, излагая рекомендуемые ими методы решения задач, неоднократно ссылаются, в подтверждение своих выводов, на работу М. Ф. Добрыниной. Значительно более критически относится к этой работе И. И. Дырченко. М. Ф. Добрынина, анализируя мыслительные процессы учащихся при составлении уравнений, пользуется произведенными ею опытами с несколькими ею же обученными ученицами. Она производила исследования при решении задач курса VII класса и притом только с одним неизвестным. Аналогичным материалом пользуется и Н. Кошевой. Вот почему и М. Ф. Добрынина, и Н. Кошевой считают, что наиболее эффективным при решении задач является «первый тип мыслительных процессов» (по терминологии М. Ф. Добрыниной), заключающийся в том, что у ученика тотчас по прочтении условия задачи создается «представление как той величины, которая будет выражена частями уравнения, так и того математического действия, которое надо произвести над неизвестными величинами, чтобы получить эту величину», или, как предлагает назвать М. Ф. Добрынина, создается представление о «словесном уравнении».

H. Кошевой описывает применяемый им метод следующим образом:

«Метод решения задач состоит из четырех основных этапов:

I. Обозначение зависимостей и выбор зависимостей для составления уравнения.

II. Обозначение основного неизвестного и выражение через него других неизвестных.

III. Составление уравнения и его решение.

IV. Проверка решения.

Под первым основным этапом понимается детальный разбор условия задачи и выявление основных соотношений (зависимостей) между величинами, входящими в задачу, и выражение их (зависимостей) в словесной форме в виде равенств», т. е., как не трудно видеть, это — «словесное уравнение». Н. Кошевой в этом вопросе идет дальше М. Ф. Добрыниной, он тотчас же по прочтении задачи предлагает написать уравнение в словесной форме. Он показывает свою методику на примере решения нескольких задач:

Класс получил общие и простые тетради, всего 80 штук, общая тетрадь стоит 80 коп., а простая 16 коп. Сколько получено тех и других тетрадей, если все тетради стоят 20 руб. 80 коп.?

I. Обозначение зависимостей и выбор зависимости для уравнения.

1. Число общих тетрадей + число простых тетрадей = 80.

Вторую зависимость принимаем за основную, которую в дальнейшем используем для составления уравнения.

Первая зависимость будет использована для установления соотношений между неизвестными.

II. Обозначение основного неизвестного и выражение через него других неизвестных:

число общих тетрадей х (шт.); число простых тетрадей 80 — х (шт.); стоимость общих тетрадей 80л: (коп.); стоимость простых тетрадей 16(80 — х) (коп.).

III. Составление уравнения и его решение.

В зависимости, принятой за основную, заменим стоимости тетрадей найденными соотношениями и получим уравнение:

80* +16 (80 — х) = 2080»

и т. д.

По мере накопления опыта в решении задач Н. Кошевой допускает сокращение записей: «Задача. Из А в В вышел товарный поезд, проходящий в час 20 км. Через 8 часов выходит из В в А поезд, проходящий 30 км в час. Расстояние AB равно 350 км. На каком расстоянии от А поезда встретятся?

Такой же способ записей т. Кошевой применяет и при решении задач на составление систем уравнений.

Н. Кошевой приводит в своей статье еще ряд примеров, но из указанных здесь его прием ясен. Этот прием принципиально не отличается от приема М. Ф. Добрыниной.

Против обоснования этого приема ничего нельзя возразить. «Начиная решение задачи с представления словесного содержания уравнения, учащий-

ся вплотную становится перед вопросом отыскания основной связи между величинами, входящими в задачу... Представление словесного содержания уравнения облегчает учащемуся путь планирования решения».

Но в то же время нельзя не заметить того, что и Н. Кошевой и М. Ф. Добрынина обходят молчанием основной, с нашей точки зрения, вопрос: как работает мысль ученика, когда он составляет словесное уравнение? Как добиться от учащихся навыка тотчас по прочтении задачи называть «словесное уравнение»? Ведь составить «словесное уравнение» — это почти составить уравнение по условию задачи. На примерах несложных задач, которые имеют в виду Н. Кошевой и М. Ф. Добрынина, их предложения дадут хороший результат. Но стоит взять задачу несколько сложнее (например,- № 1141, 1224 из задачника Ларичева, ч. I), как даже хороший ученик не сможет дать сразу словесного выражения уравнения.

Широкого применения способ составления уравнений, рекомендуемый Н. Кошевым, не может найти. Тем более этот способ не применим при решении значительной части задач в VIII — X классах.

Б. А. Эпельбаум идет другим путем. Он останавливается только на задачах на движение и их «преобразованиях». Мы опять и здесь не знаем, как ученик выбирает неизвестные, как он должен использовать при помощи введенного неизвестного данные задачи, как для составления уравнения выразить одну и ту же величину двумя способами (или, как не совсем удачно выражается Б. А. Эпельбаум, «найти одно и то же число двумя способами»).

У Б. А. Эпельбаума есть основная идея, которую он старается обосновать и подтвердить на большом количестве примеров: «Метод сведения задачи, между величинами которой существует прямая или обратная пропорциональная зависимость, к задаче на движение применим во всех случаях».

В этом собственно и заключается метод решения задач на составление уравнений, предлагаемый Б. А. Эпельбаумом. В начале своей статьи он перечисляет те пути, которыми, по его мнению, следует идти при решении задач:

«I. Текстовые объяснения к решению задач по алгебре.

II. Функциональное мышление при решении задач.

III. Графическое представление условий задачи на движение и сведение всех задач, основанных на функциональной зависимости s = vt между величинами, входящими в задачу, к полной аналогии с задачами на движение».

Здесь под «графическим представлением условий задачи» автор подразумевает изображение произведений vt в виде суммы или разности отрезков.

Рассмотрим хотя бы один из многих примеров, приведенных Б. А. Эпельбаумом.

«Два поезда выходят из двух городов, расстояние между которыми 360 км, и идут навстречу друг другу. Они могут встретиться на середине пути, если второй поезд выйдет на 1,5 часа раньше первого. Если же они выйдут со станции одновременно, то через 5 час. расстояние между ними будет равно 90 км. Найти скорость каждого поезда».

Вариант этой задачи*: «На 360 руб. куплен товар двух сортов. Товара второго сорта куплено на 1,5 кг больше, чем товара первого сорта, поэтому за товар каждого сорта уплачено поровну. Если бы было куплено товара каждого сорта по 5 кг, то остались бы неизрасходованными 90 руб. Найти цену товара каждого сорта».

Автор, следуя своей идее, даже преобразованные задачи (математическое содержание которых действительно не отличается от «основных» — на движение) решает с чертежами, обычно применяемыми при решении задач на движение.

Так, решая задачу № 1588 из задачника П. А. Ларичева, ч. I, 1951, Б. А. Эпельбаум пишет:

«Если отложим в определенном масштабе количество выловленной рыбы на некоторой прямой, то получим отрезок AB, соответствующий количеству рыбы, которую нужно было выловить по плану, и отрезок АС, соответствующий количеству рыбы, которую бригада выловила фактически, и тогда содержание задачи может быть кратко записано так».

Автор показывает отрезок АС, равный сумме отрезков AB и ВС, где AB = SX и AC=S2.

«Улов рыбы за день можно рассматривать как скорости движения по отрезкам AB и АС, т. е. задача аналогична задаче на движение».

Далее автор дает решение задачи. Это решение в последней своей части, как и решение всех других задач в статье Б. А. Эпельбаума, мало отличается от общеизвестного и изложенного, например, в статье Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева («Математика в школе», 1947, № 1,)в «Методике преподавания математики» под редакцией С. Е. Ляпина, в сборнике «Вопросы преподавания математики в школах рабочей молодежи» под редакцией П. В. Стратилатова.

* Мной несколько меняется редакция некоторых неточных выражений, допущенных Б. А. Эпельбаумом (К. С).

Б. А. Эпельбаум пишет, что он заставляет своих учащихся изменять условие той или иной задачи так, чтобы математическое содержание задач осталось неизменным. Мы считаем такого рода упражнения полезными.

Совсем иначе построена статья И. И. Дырченко «Составление уравнений по условиям задачи»*.

Автор в начале статьи высказывает критические замечания по поводу статей И. Г. Польского и М. Ф. Добрыниной. Мы считаем эти критические замечания вполне правильными. И. И. Дырченко правильно указывает, что «в статье И. Г. Польского характерно, что на всем протяжении не встречается слово „анализ“, хотя анализ как метод именно и рекомендуется автором».

Критикуя работу М. Ф. Добрыниной, И. И. Дырченко отмечает, е частности, те же моменты, на которые и мы обратили внимание: „Автор (М. Ф. Добрынина), придавая исключительное значение составлению словесного уравнения, не дает конкретных указаний к дальнейшему ходу решения задачи и фактически вся „последовательность мыслительных процессов“ обрывается на составлении словесного уравнения».

М. Ф. Добрынина делит все задачи на четыре группы (см. стр. 106 и 166—170 сборника АПН «Решение задач в средней школе»), И. И. Дырченко возражает также против предложенной М. Ф. Добрыниной классификации задач на составление уравнений.

В итоге И. И. Дырченко, отдавая должное интересной работе М. Ф. Добрыниной, говорит: «Методические приемы М. Ф. Добрыниной могут быть с успехом применены при решении самых несложных, примитивных задач, где предварительное выделение словесного уравнения не представляет затруднений». С этим мнением И. И. Дырченко, как уже выше отметили, мы согласны.

Основным методом, предлагаемым самим И. И. Дырченко, для решения задач на составление уравнения является метод предварительного (до составления уравнения) анализа условия задачи.

И. И. Дырченко устанавливает два понятия: «связь» и «зависимость» между величинами.

«При решении задач способом уравнений связи и зависимости используются для двух целей: 1) для выражения одной величины через другую с помощью буквы, условно обозначающей одно из неизвестных, и 2) для составления уравнений».

И. И. Дырченко указывает на различие между анализом решения арифметических задач и предлагаемым им анализом задачи, решаемой составлением уравнений. Методика решения задач составлением уравнений, предложенная И. И. Дырченко, в основном мало отличается от предложенной И. Г. Польским.

II

Автор настоящей обзорной статьи в течение уже более двух десятков лет пользуется примерно теми же схемами, которые рекомендуют тт. Польский и Дырченко. В предлагаемых мной схемах имеются некоторые улучшения, не меняющие в принципе предложений тт. Польского и Дырченко.

Мы безусловно согласны с А. Н. Барсуковым, утверждающим, что «составление уравнений по условиям задачи не поддается единому, руководящему, достаточно конкретному правилу». Поэтому естественны попытки разбить весь или почти весь комплекс задач, решаемых в средней школе, на группы по тому или иному принципу, объединяющему задачи одной и той же группы, и дать методику составления уравнений для каждой группы в отдельности. Автор настоящей статьи как раз и пошел по пути, указанному А. Н. Барсуковым. Если посмотреть, с каким задачным материалом в школе имеет дело учитель, а следовательно, и ученик, то здесь мы не обнаружим слишком большого разнообразия.

Мы попытались разбить задачи на составление уравнений на три большие группы (в эти группы мы не включаем задачи на прогрессии, комбинаторику и другие специальные задачи).

1-я группа. Задачи, для которых соответствующие уравнения могут быть составлены путем выражения словесных предложений в математических формулах («перевести задачу с родного языка на язык алгебраический»).

2-я группа. Задачи, в которых данные и искомые величины функционально связаны между собой уравнением прямой пропорциональной зависимостью (включая сюда и задачи на равномерное движение) у = ах.

3-я группа. Прочие задачи.

К первой группе мы относим все задачи на отыскание отвлеченных чисел по тем или иным их свойствам, задачи на процентные расчеты, задачи на перекладывание и переливание, задачи на вычитание из некоего целого его долей и долей остатков и т. п.

Содержание второй группы достаточно ясно, однако мы не включаем сюда тех задач геометрического содержания, из физики, из техники и т. п., где, помимо установления числовой зависимости, необходимо знание некоторых фактов из геометрии, физики, механики и т. п.

В третью группу мы как раз и включаем задачи геометрического, физического и т. п.

* Статья И. И. Дырченко с некоторыми сокращениями помещена в настоящем номере.

содержания, часто встречающиеся в задачниках по алгебре.

Мы не претендуем здесь на установление какой-либо классификации задач ни по виду уравнения (самая ненадежная и спорная классификация), ни по содержанию, т. е. по характеру использованного конкретного материала (число типов задач в такой классификации было бы весьма велико), ни по какому-либо другому признаку.

Мы только хотим установить фактическое положение вещей в наших задачниках. При таком распределении задач окажется, что в задачнике П. А. Ларичева задач первой группы в I части (главы VII, VIII, X) имеется 45% и во II части (главы III, V, VI, XIII, XV) 20%, второй группы 49% и 60%, третьей группы 6% и 20%. Среди экзаменационных задач, которые предлагало Министерство просвещения РСФСР в 1947—1953 гг. для VII класса, были задачи по преимуществу второй группы, а для VIII и X классов — только второй группы.

В известном сборнике задач, предлагавшихся на экзаменах в вузы, П. С. Моденова (изд. 4), задачи по тем же группам распределяются следующим образом: 31%, 58% и 11 %, в аналогичном сборнике под редакцией М. Я. Выгодского: 34%, 63% и 3%.

Исходя из такого распределения задачного материала, с которым имеет дело наш ученик, естественно, и методику устанавливать применительно к действующим учебным руководствам.

Задачи первой группы в основной своей массе не вызывают затруднений у учащихся. Решение их производится так, как это показал еще Ньютон (см. работу А. Н. Барсукова). Таблицы-схемы с указанием «связей», практикуемые И. И. Дырченко для решения такого рода задач, с нашей точки зрения, излишни.

Для решения задач второй группы мы считаем безусловно необходимым составлять анализ условия задачи в табличной форме, примерно в той, как это рекомендуют И. Г. Польский, П. В. Стратилатов, И. И. Дырченко. Мы в своей практике подобный анализ применяем с успехом в течение более двадцати лет.

Вот как оформляется решение задач второй группы, более простой (№ 841 из задачника Ларичева, ч. II) и более сложной (№ 555).

Для погрузки 9,6 m груза послано несколько рабочих, но 2 из них были отправлены на другую работу, поэтому каждый из работавших погрузил на 0,24 m больше, чем предполагалось. Сколько человек работало на погрузке?

Обозначим число работавших на погрузке через X.

Число рабочих

Погружено 1 рабочим m

Всего погружено m

По условию задачи—— m больше ' m на 0,24 т; следовательно, имеем уравнение:

Два пешехода идут друг другу навстречу: один из пункта А, другой из В. Первый выходит из А на 6 часов позже, чем второй из В, и при встрече оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи дальнейший путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 часов, а второй в А через 9 час. Найти скорость каждого пешехода.

Обозначим путь, пройденный первым пешеходом до встречи через х км (жирными цифрами указан порядок заполнения отдельных клеток таблицы).

Скорость движения в км/час

Время движения в часах

Пройденный путь в км

Согласно условию задачи —- часов больше j^-j-y^ часов на о часов; следовательно, имеем уравнение:

В первой графе каждой таблицы или «подлежащем» по терминологии, принятой в статистике, должны быть указаны «субъекты условия задачи», т. е. о ком, или то, о чем говорится в условии задачи. В последующих графах («сказуемое» таблицы) указываются элементы уравнения прямой пропорциональной зависимости у=ах, причем мы рекомендуем значения у писать в третьей графе «сказуемого».

Наименования граф могут быть в зависимости от фигурирующего в задаче материала таковы:

а) количество, цена, стоимость; б) число рабочих, выработка одного рабочего в 1 единицу времени, общая выработка; в) время работы, производительность (работа в единицу времени), выполненная работа и т. п. Единицы измерения указываются обязательно в заголовках таблицы, этим, в частности, сразу привлекается внимание ученика к системе мер (ср. рекомендацию А. Н. Барсукова: «При составлении уравнения надлежит всегда строго соблюдать, чтобы обе части уравнения выражали одну и ту же величину и в одних и тех же единицах»).

Прежде чем составить таблицу, анализирующую условие задачи, ученик указывает, что он принял за неизвестное.

Надо рекомендовать принимать, как правило, за неизвестное то, что требуется найти в задаче. Однако в отдельных задачах (как, например, во второй из разобранных) неизвестное надо выбирать так, чтобы легче было вести анализ условия задачи. Обычно это бывают те величины (или, лучше сказать, значения величин), которые связаны между собой каким-либо простым соотношением («связью»), например: «больше на...», «больше в ... раз», «составляет „.. часть от... » и т. д.

Одно или два, или несколько неизвестных? На этот вопрос опять-таки надо отвечать так: если введение двух неизвестных облегчает анализ условия задачи, если эти неизвестные не связаны между собой каким-либо простым соотношением, надо вводить два неизвестные. В данном вопросе мы не согласны с Б. А. Эпельбаумом, считающим, что «решение задачи минимальным числом неизвестных способствует более глубокому усвоению содержания задач».

Так, например, по условию второй из разобранных задач очень хорошо составить систему двух уравнений, выбрав за неизвестные (л: и у) скорости каждого пешехода.

Мы считаем очень существенным обозначение буквой меньшего из неизвестных и настойчиво рекомендуем это учащимся. И. Г. Польский в этом вопросе безусловно прав.

Вот, например, задача № 615 из II части задачника Ларичева:

Чтобы сложить стену, два каменщика работали вместе с дней, и, сверх того, первый работал еще b дней. Сколько дней требуется каждому из них отдельно для выполнения всей работы, если второй каменщик может сложить эту стену на а дней скорее, чем первый.

Если через х обозначить искомое число дней работы второго (меньшее), то при решении уравнения получим дискриминант:

знак которого очевиден. Если же через х обозначить искомое число дней первого (большее), то дискриминант квадратного уравнения будет:

(а + £ + 2с)2 — 4а(Ь + с),

определение знака которого представляет для ученика серьезные трудности.

После того как неизвестное выбрано, схема таблицы составлена, ученик начинает переводить условие задачи на язык алгебры.

Если затем от ученика потребовать текстового детального объяснения к решению задачи, то целесообразно предложить ему указывать порядок, в котором он заполнял таблицу; тогда ученику гораздо легче построить связное, логически обоснованное объяснение.

Надо заметить, что каждая незаполненная клетка таблицы заставляет учащегося подумать, как ее заполнить, что взять из условия задачи. Таблица организует мысль ученика, постепенным заполнением пустых клеток ведет его к цели: составлению уравнения.

После заполнения таблицы какой-либо элемент условия задачи окажется неиспользованным; этот-то элемент и явится основанием для составления уравнения.

Разумеется, составлению таблиц, табличному анализу условия задачи надо обучать, к этому надо приучать уже в VI классе. Более того, мы с удовлетворением ознакомились с предложением П. В. Стратилатова уже в V классе решать некоторые из задач составлением аналогичных таблиц (см. «Математика в школе», 1952, № 3).

Иногда приходится слышать, что таблица сковывает ученика, не дает свободы для его творчества, что иногда ученик может гораздо быстрее составить уравнение, чем «тратить время» на таблицу. Мы считаем эти возражения несерьезными. В нашей практике мы наблюдали нередко, как хороший ученик, имеющий уже навыки в составлении уравнений с помощью предварительного табличного анализа условия задачи, отказывался от таблицы и сразу после прочтения задачи писал уравнение; в этом случае таблица излишня. Но слабый ученик постоянно пользуется таблицей при решении задач.

Мы не склонны преувеличивать значение таблицы — она не является универсальным методом решения даже задач второй группы; но табличный метод анализа условия задачи может быть применен и применяется нами и многими учителями для решения подавляющего большинства задач второй группы, имеющихся в наших задачниках.

Для выработки навыков в решении задач составлением уравнений их решение надо начинать в VI классе, предварительно проделав

подготовительные упражнения (в I части задачника П. А. Ларичева для этого имеется большой материал). Затем надо приступать (как это предлагает программа по математике) к решению задач на составление уравнений в VI классе и вести работу по их решению на протяжении всего курса алгебры в средней школе, и здесь также новый стабильный задачник по алгебре дает учителю для выполнения этого требования очень хороший материал.

Авторы методических руководств и отдельных статей настойчиво рекомендуют придерживаться основного принципа дидактики: от легкого к трудному.

В этом отношении наш стабильный задачник, особенно во II своей части, страдает недостатком: задачи в III, V и VI главах расположены недостаточно последовательно.

Поэтому учителю необходимо при планировании своей работы, придерживаясь какого угодно метода решения задач, тщательно продумать порядок задач, которые будут предлагаться учащимся.

По нашему мнению, надо начинать с простейших задач первой группы (по нашей терминологии), затем перейти к простейшим задачам второй группы, потом к более сложным задачам второй же группы, затем опять к задачам первой группы, но более сложным. Задачи третьей группы могут быть решены между задачами второй группы по мере приобретения навыков в решении задач составлением уравнений. К задачам третьей группы следует приступать только тогда, когда алгебраическая сторона решения у учащегося уже не вызовет затруднений.

Решение задач по алгебре — большая тема. В настоящей статье автор ознакомил с поступившими в редакцию статьями и заметками, затрагивающими вопросы методики составления уравнения, и поделился в некоторой части своим опытом.

Представляет интерес, в какой мере используется стабильный задачник (I и II части) в части решения задач, до задач какой трудности доходит учитель со своими учащимися, как осуществляется решение особо трудных задач.

СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПО УСЛОВИЯМ ЗАДАЧ

И. И. ДЫРЧЕНКО (Ташкент)

В методической литературе последних лет, посвященной вопросу составления уравнений, высказано немало новых и весьма ценных мыслей, но беда в том, что эти мысли пока разрознены и разобщены, и перемежены со старыми отживающими идеями и взглядами.

В недавно вышедшей книге «Решение задач в средней школе» (издание Академии педагогических наук РСФСР, 1952) имеются две статьи, непосредственно посвященные вопросу составления уравнений,—это статья И. Г. Польского «Составление уравнений по условиям задач» и статья М. Ф. Добрыниной «Мыслительные процессы при составлении уравнений». Обе эти статьи представляют собой опыт самих авторов. Коснемся каждой статьи в отдельности.

Статья И. Г. Польского интересна в том отношении, что в ней идея функциональной зависимости положена в основу составления уравнений, а анализ задачи играет основную роль в самом процессе составления уравнения. Но для статьи т. Польского характерно то, что на всем ее протяжении не встречается слово «анализ», хотя анализ как метод именно и рекомендуется автором. Автор называет анализ «планом решения задачи» или «общим правилом», повидимому, потому, что не знает, как будет «выглядеть» анализ в применении к алгебраическим задачам. К сожалению, приходится констатировать факт, что об анализе алгебраических задач на составление уравнений в нашей методической литературе почти ничего нет. Даже у А. Н. Барсукова в его фундаментальной работе «Уравнения первой степени в средней школе» вопросу об анализе алгебраических задач совсем не нашлось места (если не считать нескольких строк на стр. 240— 241, которые, в сущности, мало освещают дело).

Поэтому естественно, что многие учителя пытаются построить анализ алгебраической задачи по тому же принципу, что и арифметической, т. е. исходя из вопроса задачи, а те, которые убедились в бесплодности таких попыток, вообще избегают говорить об анализе алгебраических задач. Между тем правильно проведенный анализ именно и призван сыграть ту роль «общего правила», которое на протяжении целых полутора столетий волновало нашу методическую мысль. И это, видимо, понял И. Г. Польский, хотя по традиции он продолжает говорить о каком-то «общем правиле», якобы найденном им.

Перейдем теперь к классификации задач. И. Г. Польский предлагает разбить задачи на группы по их содержанию. В своей примерной классификации он выделяет восемь основных групп: 1) задачи на применение основных арифметических терминов, свойств действий и зави-

симостей между компонентами действий; 2) задачи физического содержания; 3) задачи на смешение; 4) задачи на прямую пропорциональность величин; 5) задачи на совместную работу; 6) задачи на нахождение числа по соотношению его цифр; 7) задачи геометрического содержания; 8) задачи на обратную пропорциональность.

Каждая из этих групп разбивается на подгруппы по виду функциональной зависимости между величинами, входящими в условие задач; так, например, задачи физического содержания разбиваются на следующие подгруппы: 1) сложение скоростей, 2) закон Архимеда, 3) рычаг, 4) температура смеси, 5) удельный вес и т. п. Казалось бы, при такой классификации задачи на движение должны были войти в группу задач с физическим содержанием, а они отнесены автором к группе задач на прямую пропорциональность величин.

Почему-то различаются задачи на встречное движение и на движение в одном направлении. Почему-то выделяются в отдельные подгруппы задачи на прибыль и убыток, куплю-продажу и т. д. Много недоуменных вопросов возникает при чтении примерной классификации И. Г. Польского, и все же в своей основе мысль автора верна: содержание каждой конкретной задачи — вот на что необходимо обращать внимание прежде всего, приступая к решению задач. Но разбивка задач на группы по их содержанию вряд ли имеет смысл, так как задач с различным содержанием такое множество, что никакой классификацией их не учесть.

В заключение И. Г. Польский пишет: «Некоторые авторы учебников по алгебре высказывали мнение, что нельзя указать общих правил для составления уравнений. Однако в педагогической литературе появляются время от времени попытки во что бы то ни стало решить положительно вопрос об установлении общих правил или своего рода „алгорифма“ для составления уравнений».

«История таких попыток, — пишет в сноске И. Г. Польский, — с XVII в. (Ньютон) по настоящее время изложена в указанной выше книге А. Н. Барсукова».

«Конечно, можно придумать такие задачи на составление уравнений, которые не будут подчиняться никаким правилам. Но все же для подавляющего большинства обычных задач такое правило установить можно».

И. Г. Польский, прочитав в книге А. Н. Барсукова о попытках со времени Ньютона и по настоящее время создать единое правило для решения задач способом уравнений, очевидно, не сумел сделать правильных выводов, не понял, что все эти попытки очень уж сильно напоминают попытки построить вечный двигатель и никакой реальной почвы под собой не имеют. Напрасно И. Г. Польский думает, что он «создал» какое-то общее правило для решения задач, где зависимость между величинами выражается формулой а = be, разбив их по содержанию на группы. Это совершенно неверно, ибо указания на некоторую общность в ходе суждений при решении задач, связанных формулой а = Ьс, — это еще не есть правило. И нам кажется, что если правильно понимать слова «общее правило», то говорить об общем правиле по отношению к решению текстовых задач вообще не имеет смысла. Мы не можем, конечно, отрицать таких общих положений, общих указаний, которые характеризуют данный способ решения задач (обозначение неизвестных, составление алгебраических выражений, составление уравнения), но в той же книге А. Н. Барсукова очень хорошо показано, что такой «общий принцип» мало чем может помочь при составлении уравнений. Действительно, со времени Ньютона и до настоящего времени немало было попыток найти «общее правило» для составления уравнений, но и немало было напечатано трудов, где весьма убедительно доказывается несостоятельность такой точки зрения, и нам кажется, что уже давно пора отказаться от бесплодных поисков «общего правила».

Итак, мы считаем, что И. Г. Польский правильно понял роль анализа при составлении уравнений, правильно понял и сущность анализа алгебраической задачи, но многие моменты еще недоработаны, в некоторых вопросах он стоит на старых позициях, в результате чего новые, свежие мысли автора переплетаются со старыми, устаревшими взглядами и приводят автора к неверным выводам.

В статье М. Ф. Добрыниной «Мыслительные процессы при составлении уравнений» описаны исследовательские работы, проведенные автором в своей школе по установлению видов мыслительной работы у учащихся при решении задач способом уравнений.

В результате проведенных наблюдений М. Ф. Добрынина устанавливает три различные типа таких последовательностей мыслительных процессов у учащихся. Мы остановимся лишь на том из них, который рекомендует сам автор как образец логического построения цепи умозаключений, приводящих безошибочно к уравнению.

В чем же заключается этот тип мыслительных процессов? Оказывается, у учащихся «непосредственно после прочтения условия задачи» должно создаться «представление как той величины, которая будет выражена частями уравнения, так и того математического действия, которое надо произвести над неизвестными величинами, чтобы получить эту величину».

Это представление автор называет представлением словесного содержания уравнения, или словесным уравнением. После этого вводятся буквенные обозначения для неизвестных величин, затем составляются два алгебраические выражения для одной и той же величины, «что и приводит к составляемому уравнению».

Вся последовательность мыслительных процессов сводится к весьма лаконическому указанию: «Сначала представь себе тип того уравнения, которое должно у тебя получиться, а потом уже решай».

Но эта мысль далеко не нова.

Напрасно автор пытается доказать, что между принципом С. С. Бронштейна, также положившего в основу составления уравнений предварительное выделение основного соотношения между количественными выражениями какой-нибудь величины, и ее принципом имеется существенное различие. (Заметим в скобках, что С. С. Бронштейн, оперируя понятием величины, также допустил неточность в терминологии, что привело к смысловой путанице, о чем см. в книге А. Н. Барсукова «Уравнения первой степени в средней школе», изд. 1948, стр. 189—190.) Правда, принцип М. Ф. Добрыниной выгодно отличается от принципа Бронштейна тем, что у нее совершенно исключается момент искусственного «уравнивания» алгебраических выражений при составлении уравнения, но это лишь кажущееся преимущество, на самом деле в практике решения задач способом уравнений зачастую бывает выгоднее принести в жертву «естественность» при составлении уравнения — простоте и компактности самого решения.

Какая гарантия у М. Ф. Добрыниной в том, что у учащегося возникнет именно то уравнение, к которому приводит наиболее рациональное решение?

Может случиться, что ученик вообще не сумеет составить словесное уравнение или, составив, не сумеет продолжить решение.

Автор, придавая исключительное значение составлению словесного уравнения, не дает конкретных указаний к дальнейшему ходу решения задачи, и фактически вся «последовательность мыслительных процессов» обрывается на составлении словесного уравнения.

Что же касается классификации задач и тех методических приемов, которые приводятся автором в конце статьи, то в принципе они также не новы; классификация задач по виду уравнений, к которым приводятся задачи, была известна раньше. Такая классификация подробно разработана А. Н. Барсуковым.

Правда, у М. Ф. Добрыниной есть свое и здесь, а именно: согласно ее классификации, задача причисляется к той или иной группе задач в зависимости от того «математического действия, которое надо произвести над неизвестными величинами, чтобы получить выбранную величину».

Таким образом, если это действие — сложение, то задача относится к первой группе, если вычитание — ко второй, умножение и деление — к третьей. Если же две неизвестные величины по смыслу задачи окажутся равными, то задача относится к четвертой группе.

Автор считает, что «этими четырьмя группами задач исчерпываются все возможные задачи, так как каждая задача может быть отнесена к одной из указанных четырех групп, определенных тем, что в уравнении надо получить сумму, разность, отношение или равенство величин». Против этого нечего возразить: одно из четырех математических действий или равенство непременно будет завершающим при составлении уравнения. Но здесь возникает вопрос: а можно ли считать группу задач, объединенных таким признаком, достаточно однородной и в другом каком-нибудь смысле, например в смысле одинаковости подхода к их решению (что для нас очень важно)? Нам думается, что нельзя.

Во всяком случае, автор не дает таких общих приемов, которые можно было бы положить в основу решения задач данной группы. Нельзя считать однородными задачи одной группы и в смысле общности их содержания — содержание задач совершенно не принимается во внимание автором в его классификации.

Таким образом, признак, выбранный автором для объединения задач в группы, не является существенным. Тогда какова же цель такой классификации?

Ведь для того чтобы определить, к какой группе относится данная задача, надо знать, какое действие будет завершающим при составлении уравнения, т. е. надо предварительно составить словесное уравнение.

Таким образом, в последовательности мыслительных процессов, сопровождающих решение задачи, определение словесного уравнения предшествует определению типа задачи. Это тоже нехорошо.

Кроме того, всякая классификация, оторванная от содержания задач, вообще вызывает возражения. Как можно, оторвав от задачи самую ее сущность — содержание, на основе лишь поверхностных признаков, чисто механически относить задачи к той или иной группе? Нам кажется, что такой подход к классификации задач ошибочен.

Итак, переходим к выводам. М. Ф. Добрынина провела большую и очень интересную работу по исследованию мыслительных процессов у учащихся при решении ими задач способом уравнений.

Нo М. Ф. Добрынина не критически использует собранный ею материал, совершенно механически переносит в свою методику один из типов последовательности мыслительных процессов, наблюдаемых ею у учащихся, и принимает этот тип за основу своих методических приемов. В этом — ее коренная ошибка. Методические приемы Добрыниной могут быть с успехом применены (и обычно применяются) при решении самых несложных примитивных задач, где предварительное выделение словесного уравнения не представляет затруднений и не осложняет дальнейшего хода решения.

Изложим теперь свою точку зрения на данный вопрос, покажем, как мы подходим к решению проблемы составления уравнений по условию задач.

Основное в задаче — это те объекты, которые рассматриваются, — величины и их количественные выражения, из которых некоторые могут быть известными (данными), а некоторые неизвестными (искомыми), и те связи и зависимости, которые имеются между ними.

Однако нельзя рассматривать величины и их соотношения как нечто застывшее и неизменное. Чтобы понять задачу, раскрыть ее основной смысл, надо раскрыть законы изменения величин, изучить условия, при которых эти величины проявляются, и установить основные зависимости между ними. С помощью анализа мы расчленяем задачу на отдельные процессы, выделяем основные величины, изучаем характер связей и зависимостей между ними и постепенно, шаг за шагом, раскрываем самую сущность задачи.

Но чтобы провести правильно анализ задачи, надо, во-первых, иметь в виду конечную цель, и, во-вторых, узнать те пути, которые к ней ведут.

Цель при решении алгебраической задачи есть составление уравнения, а пути достижения этой цели, очевидно, комплекс тех преобразований, которые должны привести к уравнению.

Но как разгадать, какие именно преобразования необходимы и в какой последовательности их производить, чтобы наиболее коротким путем подойти к уравнению? На что должен ориентироваться ученик, составляя уравнение? — Вот те вопросы, которые издавна волновали нашу методическую мысль и которые и сейчас еще стоят перед каждым преподавателем.

Общий принцип, положенный в основу составления уравнений, слагается из следующих трех основных шагов, являющихся непременным моментом при решении любой задачи способом уравнений:

1) Условное обозначение искомой или, вообще говоря, неизвестной величины какой-нибудь буквой, например буквой х. В этой операции заключен следующий смысл: обозначив неизвестную величину буквой х (или другой какой буквой), считают ее как бы известной, это облегчает установить зависимости между известными и неизвестными величинами.

2) Составление двух алгебраических выражений, представляющих собой в конечном итоге однородные величины (выраженные в одних и тех же мерах). Здесь следует заметить, что хотя этот момент и является непременным, но составление двух алгебраических выражений не является самоцелью; как мы увидим ниже, два однородные алгебраические выражения непременно образуются в процессе составления уравнения, хотя фактически эта цель и не преследуется. Иногда вторая операция — составление двух алгебраических выражений — сводится к составлению только одного выражения, которое приравнивается какому-нибудь одному числу (известному или неизвестному), но чтобы общность принципа не нарушалась, мы будем рассматривать это число как частный случай алгебраического выражения.

3) Составление уравнения. Здесь под составлением уравнения надо понимать само соединение знаком равенства двух алгебраических выражений, полученных в результате преобразований. Сюда входит и искусственное уравнивание этих выражений путем увеличения или уменьшения одного из них, если они окажутся неравными.

Но общий принцип — это лишь самые общие, принципиальные указания, характеризующие данный способ решения; в практике же, при составлении уравнений, мы неизменно встречаемся с целым рядом таких трудностей, где общий принцип мало чем может помочь. Это обстоятельство как раз и явилось источником для всех разногласий по вопросу методики составления уравнений.

Установим два понятия: связи и зависимости между величинами.

Если среди данных задачи имеется такое число, которое является (или может стать) результатом каких-либо математических действий над искомыми, или вообще говоря, над неизвестными величинами (точнее: над числовыми значениями этих величин), то мы говорим, что между этими величинами существует или задана связь. Например, если в задаче говорится, что сумма двух чисел равна 54, то это значит, что между искомыми числами установлена связь и эта связь выражается числом 54. Точно так же, если в задаче говорится, что одно неизвестное число больше другого в 5 раз, то число 5 также является связующим числом, так как число 5 может быть получено в результате деления одного искомого числа на другое. В частном случае, когда в задаче говорится о равенстве двух не-

известных чисел, связующее число можно принять за единицу.

Однако в задаче не всегда дается такое ясное описание связей, как это показано нами сейчас в примерах. Зачастую связи приходится «угадывать», т. е. определять их из условия, что требует определенных знаний и некоторых навыков. Например, в задаче: Разделить число 24 на такие две части, чтобы кратное отношение их было равно трем — прямо не говорится, что число 24 является суммой двух искомых чисел, — это должны установить сами учащиеся. Точно так же в задаче: Сколько градусов содержит каждый из смежных углов, если один больше другого в три раза? — одна из связей — неявная. Чтобы установить ее, мы должны установить из других источников (в условии задачи этого нет), что сумма двух смежных углов равна 180°. Иногда связь выявляется лишь после дополнительных рассуждений или с помощью соответствующего чертежа, на котором яснее выступает скрытая зависимость.

Различный характер самих связей, а также большое разнообразие форм их проявления, в зависимости от смысла задачи и формы ее изложения, нередко ставит учащихся в тупик. Зачастую учащиеся затрудняются решить ту или иную задачу лишь потому, что не умеют по условию задачи установить связи, а следовательно, не могут проделать и дальнейшую работу. Поэтому весьма полезно при изучении связей выполнить с учащимися ряд упражнений по определению связей, не решая еще самих задач.

Перейдем теперь к понятию зависимости между величинами.

Назовем зависимостью тот закон, по которому связываются, вообще говоря, разнородные величины, входящие в условие задачи. Например, если в условие задачи входят величины — путь, скорость и время, то зависимость между ними (при условии равномерного движения) будет выражаться формулой s = vt (или одной из производных формул), где 5—путь, v—скорость, t — время. Если же речь идет о компонентах деления в случае деления с остатком, то зависимость будет выражаться формулой: А — pq-^~py где А — делимое, р — делитель, g — частное, R — остаток. В задачах с однородными величинами понятия связи и зависимости могут совпадать, так как в этом случае связь тоже можно рассматривать как закон, устанавливающий некоторое определенное соотношение между искомыми числами. Например, в задаче: Найти два числа, если сумма их равна 37, а разность 23 — мы на основании первой связи обозначаем неизвестные: х и 37 — х, а вторую связь можно рассматривать как закон, устанавливающий зависимость между уменьшаемым, вычитаемым и разностью, причем одна из этих величин (разность) является параметром.

При решении задач способом уравнения связи и зависимости используются для двух целей: 1) для выражения одной величины через другую (с помощью буквы X, условно обозначающей одно из неизвестных) и 2) для составления уравнения.

Но основными объектами и их соотношениями не исчерпывается вся сущность задачи. В каждой задаче можно выделить еще одно качество, характеризующее ее совсем с другой стороны. Это — конструкция задачи, ее структура.

Ведь каждой задаче присущи свои особенности построения. Например, в задаче: Найти два числа, если сумма их 37, а разность 23 — мы имеем два числа и две связи, которые по смыслу задачи связаны между собой в определенную конструкцию. В виде схемы конструкция этой задачи будет выглядеть так:

Рассмотрим, например, задачу: Одно из двух неизвестных чисел больше другого на 7; если разделить большее число на 3, а меньшее на 2, то первое частное будет меньше второго на 1. Найти эти числа.

Кроме связей между неизвестными числами, указаны еще и преобразования. Конструкция этой задачи схематически будет выглядеть так:

Определив конструкцию задачи, значительно легче, по схеме, производить анализ содержания, отыскивать связи, зависимости, делать преобразования и синтезировать. Конструкция задачи является основным ориентиром при анализе. Схема построения задачи позволяет установить такую последовательность мыслительных процессов, которая соответствует наиболее рациональному решению. Переходим к примерам.

Пример 1. Летело стадо гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» «Нас не сто гусей, — отвечает ему вожак стада, — если бы нас было столько, сколько теперь, да еще столько, да полстолька, да четверть столька, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей». Сколько было в стаде гусей? (Старинная задача.)

Здесь некоторое количество (число гусей) подвергается последовательным преобразованиям, после чего становится равным 100.

Для решения данной задачи достаточно, обозначив основное неизвестное буквой х, подвергнуть X тем преобразованиям, которые диктуются условием, и уравнение получится само собой:

л: + д:+0,5л:+0,25л:4-1 = 100.

Пример 2. Сумма двух чисел равна 20. Если одно из этих чисел увеличить в 5 раз, а другое в 4 раза, то сумма полученных чисел будет равна 92. Найти эти числа. (Ларичев, № 791.)

Составим схему построения задачи. На основании первой связи выразим неизвестные через х:

I— X и II— 20 — X.

Согласно условию, преобразуем эти количества:

5-х и 4.(20 — *).

На основании второй связи составляем уравнение:

5л: + 4(20— лг) = 92.

Пример 3. По окружности, длина которой равна 999 м, движутся два тела по одному и тому же направлению и встречаются через каждые 37 минут. Определить скорость каждого тела, если известно, что скорость первого в 4 раза больше скорости второго. (Ларичев, № 1525.)

Здесь речь идет о трех величинах: пути, скорости и времени, связанных между собой зависимостью s=vt. Каждая из этих величин имеет по два проявления (так как рассматриваются два движения), следовательно, схему построения такой задачи можно изобразить в виде таблицы, которая после заполнения соответствующих граф полученными данными, будет иметь вид:

По смыслу задачи путь, пройденный первым телом, больше пути, пройденного вторым телом (за первые 37 минут), на 999 м (на 1 оборот). На основании характера установленной связи составляем уравнение:

37.4* _ 999 = 37лг.

Пример 4, Из чана, наполненного спиртом, вылили часть спирта и долили водой, потом вылили столько же, сколько прежде, литров смеси и снова долили водой. Тогда в чане осталось 49 л чистого спирта. Вместимость чана 64 л. Сколько вылили спирта в первый и во второй раз?

Основной смысл этой задачи заключается в следующем: две разнородные жидкости подвергаются количественным преобразованиям. Сообразно этому смыслу и проведем анализ задачи. В окончательном виде наша таблица будет иметь вид:

Зная зависимость между входящими в условие задачи величинами, составляем уравнение:

Фактически здесь можно составить и второе уравнение из данных второй графы, но оно будет тождественно первому, так как там устанавливается зависимость между теми же данными и тем же неизвестным (как в первой, так и во второй графе х означает одно и то же количество, хотя качественно и различных жидкостей):

Если мы произведем соответствующие упрощения в каждом из полученных уравнений, то получим одно уравнение:

На первый взгляд здесь оказалась одна графа лишней. Вообще говоря, для решения данной задачи достаточно было проследить за преобразованиями только одного количества — объема спирта (как это и сделал И. Г. Польский в своем решении), но нам кажется, что приведенные нами анализ и решение задачи ближе и доступнее учащимся, так как такой анализ полнее и глубже раскрывает сущность задачи.

Итак, основным методом при решении задач способом уравнений является анализ.

Анализ — всеобъемлющий метод, и сущность его не меняется от способа решения задачи, однако форма проведения анализа задачи, решаемой способом уравнений, значительно отличается от формы проведения анализа задачи, решаемой арифметическим путем.

Если при анализе арифметической задачи мы начинаем с вопроса задачи и постепенно, отыскивая связи между неизвестными и данными, подходим к данным задачи и затем, путем синтеза, уже к решению, то при анализе алгебраической задачи мы прежде всего устанавливаем конструкцию задачи, т. е. сразу же объемлем всю задачу целиком, и потом, как по канве, начинаем отыскивать связи, зависимость и производить необходимые преобразования, т. е. анализировать и синтезировать. А отсюда меняется и сам подход к решению задачи, т. е. сама методика.

Анализ (и синтез) задачи на уроке должен протекать примерно в такой форме. После прочтения и повторения условия задачи и составления чертежа (если в этом есть необходимость) учащимся задается ряд вопросов примерно такого содержания (в зависимости от условия задачи):

1. Какие величины входят в условие данной задачи? Выпиши их.

2. По скольку проявлений имеет каждая из этих величин? Отметь и это.

3. Какая основная зависимость связывает эти величины? Напиши формулу.

4. Какие преобразования над величинами и в какой последовательности необходимо произвести согласно условию? Составь схему построения задачи.

5. Какие из данных задачи являются числовыми значениями величин? Впиши их в соответствующие места схемы или графы таблицы.

6. Какие из данных задачи являются связями? Все ли связи даны явно? Если нет, то выяви их.

7. Какое из неизвестных удобнее всего обозначить через X? Обозначь.

8. Вырази через ху с помощью связей или зависимости, все остальные значения величин.

9. Какая связь (или зависимость) осталась неиспользованной?

10. Как на основании этой связи (или зависимости) составить уравнение? Составь.

Описанные приемы мы в течение ряда лет применяем на практике и можем с уверенностью сказать, что, пользуясь ими, учащиеся лучше ориентируются в условии задач, увереннее и быстрее находят правильное и наиболее рациональное решение.

О РЕШЕНИИ И ИССЛЕДОВАНИИ ЗАДАЧ, ПРИВОДЯЩИХСЯ К КВАДРАТНЫМ УРАВНЕНИЯМ

М. С. ЧЕРЕПНИН (Караганда)

Довольно сложных исследований требуют задачи на составление квадратных уравнений, допускающие или два положительные, или два отрицательные решения.

При неудачном выборе неизвестного или неудачном методе решения уравнения (составленного по условию задачи) может оказаться, что уравнение имеет два положительные решения, а задача допускает лишь одно (что выясняется после длительного исследования). Не редки случаи, когда учащиеся терпеливо и длительно исследуют очевидные истины.

В качестве примера приведем одну из неудачно исследованных задач В. К. Матышуком (см. «Математика в школе», 1952, № 1).

«Задача № 24. Из пункта А на берегу озера в пункт В, расположенный на берегу реки, впадающей в это озеро, вышел катер. Катер прибыл к месту назначения через m часов, пройдя по озеру а км, а по реке—половину этого расстояния. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки с км/час.

Составление и решение уравнения. Если X км/час — собственная скорость катера, то

Исследование. т>0, я > О, с>0 и х> с.

1. Исследуем дискриминант:

D = 4/тг2с2 — 4атс -f 9а2 = (2тс — а)2 -f Sa2.

Таким образом, D>0, и уравнение при любых положительных значениях параметров имеет действительные корни.

2. Так как в приведенном уравнении свободны й член , а коэффициент при неизвестном в первой степени меньше нуля, то оба корня уравнения положительны.

3. Теперь надо исследовать, удовлетворяют ли оба корня уравнения требованию: х>с. Составляем разность х — с:

Чтобы решить вопрос о знаке разности х — с, надо узнать, какое из двух чисел больше:

Возведением в квадрат этих чисел убеждаемся, что первое больше второго. Следовательно, решением задачи может быть только большее из двух полученных значений».

Исследование дискриминанта на знак, показанное в задаче № 24, в принципе верно, но лучше было бы поступить иначе:

Здесь очевидно:

Укажем другой, более рациональный способ решения и исследования задачи № 24.

Пусть X км [час — собственная скорость катера.

Имеем первоначальное уравнение:

по смыслу задачи:

а>0, ая>0, О 0, *~£>0.

Положив

X — C = Z] x=z+c9 получим уравнение относительно z:

Исследование. Так как — ас < 0, то D)>0 и задача допускает единственное положительное решение:

и, следовательно:

Аналогично должна решаться задача № 25 (см. статью В. К. Матышука).

Легко исследуется решение задачи № 5, приведенное в статье М. Н. Круликовского (см. «Математика в школе», 1952, № 1).

Положив YХ—У> получим:

Очевидно, что задача допускает единственное положительное решение.

Как видно из предыдущего, выбор неизвестного играет существенную роль и при исследовании.

Примерами задач, допускающих единственное решение, могут служить следующие задачи:

1. Отъехав а км от пристани, пароход остановился на tt часов, затем продолжал движение со скоростью, на v км/час меньшею первоначальной. Какова начальная скорость парохода, если все расстояние с км пароход прошел за t часов.

(Для простоты положить t— tx=T.)

2. В морозную погоду скорость конькобежцев в три раза выше скорости лыжников. Вследствие оттепели скорости тех и других снизились на b км/час, и поэтому конькобежцы дистанцию в а км прошли лишь на t часов быстрее, чем лыжники. Определить скорости конькобежцев и лыжников в морозную погоду.

Рассмотрим решение следующей задачи.

3. Цена груш была в три раза выше цены яблок. В магазин привезли другие сорта груш и яблок, так что цена на груши стала ниже на а руб., а на яблоки выше на а руб. (за 1 кг). На m руб. яблок было куплено на b кг больше, чем груш на ту же сумму. Сколько первоначально стоили груши и яблоки (за 1 кг)?

Решение.

По условию:

Положив:

и подставив в данное уравнение, получим:

Исследование. 1) Для действительности корней необходимо и достаточно:

2) Допустим, что £>>-(), тогда уравнение имеет два положительные решения при m > 2ab> так как 4ат>0; это условие — необходимое. Является ли оно достаточным? Легко убедиться, что нет. Так, например, положив т = ЗаЬ, получим:

3) Найдем достаточные условия. Пусть m = kab, где &>2, имеем:

Так как D>-0, то очевидно:

Следовательно:

Таким образом, получим: 1) Одно положительное решение задачи (два совпадающие корня уравнения):

при или

2) Два положительные решения:

Обычную утомительную проверку полученных корней по условию задачи целесообразно заменить контролем в виде составления задачи с арифметическими данными.

Выбираем данные в соответствии с результатом исследования.

Например, а=2, Ь = 2, тогда т — 30.

Имеем уравнение:

Что же касается решения

его можно рассматривать двояко. Если цену вычислять приближенно (с любой степенью точности), то эта формула имеет смысл, например в задачах на сложные проценты. Однако можно условиться не рассматривать цен, выраженных иррациональными числами, тогда эта формула отпадает.

Примеры задач, допускающих два решения. 4. Две бригады, работая совместно, могут выполнить всю работу за а часов. Если же работы сначала выполнит одна первая бригада, а остальную часть — вторая, то на выполнение работы уйдет b часов. Во сколько часов выполнит работу каждая бригада, работая отдельно?

5. Два моделиста пускают одновременно свои модели самолетов навстречу друг другу с расстояния а м; модели первого способствует попутный ветер, имеющий скорость v м/сек; модели второго тот же ветер препятствует, но зато собственная скорость ее вдвое больше собственной скорости первой модели и все расстояние она пролетает на t сек быстрее, чем первая. Каковы скорости обеих моделей?

От редакции

Различные вопросы, связанные с теорией и методикой преподавания уравнений, неоднократно освещались в изданной за последнее время учебной и методической литературе.

Многочисленные статьи и заметки, поступившие в редакцию журнала «Математика в школе», свидетельствуют о том, что эти вопросы продолжают интересовать учительство. Так как в ряде статей и заметок высказываются точки зрения, уже неоднократно освещавшиеся в печати, а также во многих случаях высказывания различных авторов повторяют друг друга, редакция не имела возможности поместить весь полученный материал на страницах журнала.

На основании изучения полученных статей редакцией были подготовлены следующие статьи: С. И. Новоселова «О понятиях уравнения и тождества», И. И. Смирнова «О решении и исследовании уравнений в курсе школы» и К. П. Сикорского «О составлении уравнений по условиям задач».

В этих статьях ставятся и обсуждаются вопросы, не получившие окончательного методического решения, приводятся конкретные примеры ошибок, все еще встречающихся в учебной и методической литературе, дается краткий обзор содержания полученных редакцией статей. Разумеется, что по ряду вопросов авторы указанных статей высказывают свои собственные точки зрения и делятся своим личным опытом (см., например, вторую часть статьи К. П. Сикорского), что может в свою очередь служить предметом обсуждения.

Кроме указанных статей, редакция помещает в настоящем номере в порядке обсуждения статью И. И. Дырченко «Составление уравнений по условиям задач» и заметку М. С. Черепнина «О решении и исследовании задач, приводящихся к квадратным уравнениям».

ИЗ ОПЫТА

К ВОПРОСУ ОБ ЭЛЕМЕНТАХ ПОЛИТЕХНИЗМА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

А. П. АЗИЯ (Одесса)

Многие учителя ошибочно полагают, что политехнизм на уроках математики сводится исключительно к насыщению условий математических задач данными по технологии и технике производства. На самом же деле главная задача заключается в том, чтобы учащиеся, закончившие курс VII и X классов средней школы, умели правильно применять свои знания для производства технологических расчетов.

Нельзя от преподавателя математики требовать знания и отражения всевозможных технологических расчетов на уроках математики, но принцип политехнизации настоятельно требует введения новых, общих для многих предприятий типов задач, не попавших, однако, в стабильные задачники.

К таким типам задач относятся:

1) задачи на подсчет количества воды, испаряемой при варке и сушке;

2) задачи на определение размеров аппаратов или баков для загрузки определенных количеств сырья;

3) варианты задач, когда из двух масс, имеющих разные концентрации, надо получить третью массу с промежуточной концентрацией.

Начнем с первого типа задач.

Мне неоднократно приходилось задавать отличникам учебы VII и X классов одну и ту же задачу. Сколько килограммов воды надо выпарить из 100 кг массы, содержащей 90% воды, чтобы получить массу с содержанием 80% воды?

Большинство ответов — 10 кг воды. Очевидно, такой ответ получался за счет отнесения разницы в 10% воды к 100 кг массы. Остальные отличники составляли пропорцию

Последнее решение имеет только видимость правильного. В действительности, надо выпарить 50 кг воды.

На любом производстве очень важно знать количество выпаренной воды в связи с сушкой материалов и концентрированием растворов, ибо с этим связаны затраты топлива и производительность оборудования. Для решения такой задачи достаточны теоретические знания, получаемые учащимися в курсе арифметики неполной средней школы. Необходимо только учителю дополнительно дать ученикам элементарное понятие о проценте сухих веществ в продукте как разности между 100% и процентом влаги в продукте.

При кипячении жидкости и сушке массы обычно можно считать, что количество сухих веществ не меняется. Нетрудно разъяснить ученикам, что при выпаривании воды (при отсутствии химических процессов) количества первоначальной и конечной массы продукта находятся в обратно пропорциональной зависимости от процента сухих веществ этих масс.

На этом основании можно предложить следующее решение вышеприведенной задачи:

1) процент сухих веществ в первоначальной массе:

100% —90% = 10%;

2) процент сухих веществ в конечной массе:

100% —80% =20%. Составляем обратную пропорцию:

100 кг массы — 10% сухих веществ X » » —20% » »

Количество выпаренной воды:

100 —50=50 (кг).

При решении задач на определение размеров аппарата или бака для загрузки определенных количеств отдельных видов сырья отличники средней школы затрудняются найти правильные результаты по двум причинам:

1) в средней школе они не получили понятия об объемном весе (насыпном весе), отличающемся от удельного веса;

2) в средней школе они не получили навыков решения задач по определению размеров чана, исходя из его емкости, когда даны соотношения этих размеров.

По этой причине мы считаем целесообразным на уроках геометрии в старших классах дать учащимся такого рода задачу, условие которой легко варьировать.

Определить размеры варочного чана цилиндрической формы. Загрузка чана 200 кг сахара-песка, 100 кг патоки, 25 кг воды. Полезная емкость чана равна 80% полной емкости. Высота чана равна 1,2 его диаметра.

Решение. Полезная емкость чана равна сумме объемов загруженного сырья, включая воду.

Объемный вес сахара-песка равен 0,9 g-^j- ; объемный вес патоки — 1,4 3— : объемный вес воды — 1 -г-г .

(Объемные веса других видов сырья и материалов можно найти в технических справочниках.)

Полезная емкость чана:

Полная емкость чана:

объем цилиндра:

Но высота И по условию задачи равна \92d.

На большинстве производств приходится иметь дело с переработкой сырья с целью извлечения содержащегося в нем определенного ценного вещества. При этом остаются отходы, содержащие небольшой процент этого вещества.

(Примеры: сахар из сахарной свеклы, жир из масличных семян, металл из руды и т. п.)

Естественно, что для производства имеют большое значение расчеты максимального выхода сахара, жира, металла и т. п. при данной концентрации в сырье и в отходах производства. На предприятиях и в лабораториях приходится часто смешивать две массы, содержащие разный процент одного и того же вещества для получения массы с промежуточной концентрацией. Требуется знать подсчет соотношения смешиваемых масс.

Знание типов задач, имеющихся в задачниках арифметики и алгебры, по смешиванию двух товаров по их ценностному признаку не дает нужных навыков для производства указанных технологических расчетов.

Мы рекомендуем для решения на уроках алгебры следующие типы задач.

При производстве халвы готовят полуфабрикат — подбелковую массу путем растирания и смешивания жареного подсолнечного ядра (с содержанием 48—53% жира) с подсолнечным маслом (с содержанием 99—100% жира). Содержание жира в подбелковой массе 60—65%.

На основании этих данных можно составить примерно следующую задачу:

I. Сколько килограммов подсолнечного масла с содержанием 99% жира надо добавить к 100 кг жареного ядра, содержащего 52% жира, для получения подбелкового масла с содержанием 60% жира?

Задача решается составлением уравнения:

II. В какао тертом содержится 54% жира. При отжатии на гидравлическом прессе какао-масла с содержанием 100% жира остается какао-жмых с содержанием 20% жира. Сколько можно отжать какао-масла из 100 кг какао тертого?

Решение. Искомое находят из уравнения:

III. Сколько надо добавить воды к 100 кг сухого молока с содержанием 7% воды, чтобы получить молоко с содержанием 60% воды?

Решение.

Придавая большое значение умению применять систему уравнения для решения задач, связанных с технологическими расчетами, все же считаем целесообразным ознакомить учащихся с упрощенным и ускоренным методом графического расчета непосредственно на уроке математики, либо на занятиях математического кружка.

В целях упрощения многих производственных расчетов вполне целесообразно применить простой геометрический графический метод расчета при помощи конверта Пирсона для всех случаев, где из двух масс с разными концентрациями или влажностями надо получить третью массу с определенной промежуточной концентрацией или влажностью. Приведем математическое обоснование метода конверта Пирсона. Для этого нужно алгебраическим путем решить в общем виде задачу на составление смеси.

Сколько килограммов надо взять первой жидкости с концентрацией а% и второй жидкости с концентрацией Ь%, чтобы получить M кг смеси с концентрацией с%, где а>с и с>Ь?

Решение. Первой жидкости берем х кг; следовательно, второй жидкости M — х кг.

Составляем уравнение:

Решив это уравнение, получим:

Количество первой жидкости:

Количество второй жидкости:

Для случая

М = а — Ъ, х = с — Ъ

количество первой жидкости с — Ь\

M — х = а — Ь — (с — Ь)=а — с,

количество второй жидкости а—с.

На этом основано быстрое графическое решение задач на составление смеси из двух компонентов с применением так называемого конверта Пирсона.

Конверт представляет собой прямоугольник с двумя проведенными диагоналями. В левом верхнем углу проставляют наибольшую концентрацию одного компонента (в данном случае а), а в левом нижнем углу — наименьшую концентрацию другого компонента (Ь) (черт. 1).

Черт. 1

В точке пересечения диагоналей проставляют концентрацию смеси (т. е. с). Соотношения компонентов в смеси получаем путем вычитания концентраций по длине каждой диагонали. Соотношения двух компонентов в смеси

(с — Ь) : (а — с).

Для нахождения количеств компонентов при общем количестве смеси M кг применяем пропорциональное деление M в отношении {с-Ь):(а-с). Решение.

1) Сумма частей:

т. е. мы получили те же результаты, что и при способе решения задачи путем составления уравнения.

Остановимся на ряде расчетов производства, где можно с успехом применить метод конверта Пирсона.

Рассмотрим решенную выше задачу о составлении подбелкового масла.

В данном случае наибольшая из трех масс — концентрация жира в подсолнечном масле. Принимаем ее равной 99%. Наименьшая концентрация в жареном ядре 52%.

Поставим эти обе концентрации жира в верхнем левом и нижнем левом углах конверта, а в точке пересечения диагоналей — промежуточную концентрацию жира подбелкового масла. Составляем пропорцию (черт. 2)

Черт. 2

2) Сколько воды надо выпарить из сиропа, содержащего 15% влаги, чтобы получить массу с 2% влаги в количестве 510 кг?

В наличии имеются три массы с разным содержанием влаги: вода с содержанием 100% влаги, масса с 2% влаги, сироп с 15% влаги.

На этом основании составляем конверт (черт. 3).

Для получения 85 кг массы с 2 % воды надо выпарить 13 кг воды, а для получения 510 кг массы потребуется выпарить воды:

Черт. 3

О СОСТАВЛЕНИИ ЗАДАЧ НА МЕСТНОМ МАТЕРИАЛЕ

Р. Н. АБАЛЯЕВ (Владимирская обл.)

С точки зрения политехнического обучения приобретает значение использование на уроках арифметики задач, составленных на местном материале, т. е. таких задач, сюжет и числовые данные которых берутся непосредственно из окружающей жизни.

Одним из источников для составления арифметических задач на местном материале могут служить газеты, журналы, книги и брошюры.

Ниже приводятся примеры задач, составленных по материалам, опубликованным в местной печати. По этим образцам каждый учитель может составлять самостоятельно задачи с различной тематикой.

В статье раклиста Кохомского хлопчатобумажного комбината Шеворакова «С превышением проектной мощности» написано: «Работая на двенадцативальной печатной машине, мы обязались вместо предусмотренных проектной мощностью 14784 метров ткани выпускать ежедневно 15 960 метров, причем продукции первого сорта давать не менее 99 процентов...» («Рабочий край», орган Ивановского обкома и горкома КПСС и областного Совета депутатов трудящихся, от 12 мая 1953 г.).

По этому тексту можно составить следующую задачу:

Задача 1. Бригада раклиста Кохомского хлопчатобумажного комбината Шеворакова обязалась вместо 14 784 м ткани, предусмотренной по плану, выпускать ежедневно 15 960 м, причем продукции первого сорта давать 99%. Сколько метров первосортной ткани даст стране бригада Шеворакова за месяц сверх плана? Сколько из этой ткани можно сшить платьев, если на каждое платье расходовать по 3 м 30 см?

При решении этой задачи полезно кратко рассказать учащимся о двенадцативальной печатной машине, а также о ее проектной мощности. Можно также показать фотографию или рисунок этой машины.

Под рубрикой «По Советской стране» в газете «Рабочий край» от 31 мая 1953 г. напечатана статья «Новатор-комбайнер С. Железняк», в которой сказано, что комбайн «Коммунар» безотказно работает под управлением С. Железняка (Героя Социалистического Труда) уже семнадцатый год. Непрерывно совершенствуя свою машину, комбайнер-новатор коренным образом изменил ее конструкцию, и

теперь она по своим качествам не уступает новейшим уборочным машинам. В прошлом году он убрал комбайном в колхозе имени Сталина 347 га хлебов и намолотил 75 000 ц зерна, а в нынешнем сезоне обязался выдать из бункера не менее 8000 ц.

По данному тексту мы составили следующую задачу:

Задача 2. Герой Социалистического Труда комбайнер Сергей Железняк в прошлом году убрал комбайном «Коммунар» в колхозе имени Сталина 347 га хлебов и намолотил 7500 ц зерна, а в нынешнем сезоне он обязался намолотить 8000 ц. На сколько больше гектаров зерновых уберет комбайнер Сергей Железняк в нынешнем году, чем в прошлом году, если средний урожай с 1 га в нынешнем году будет такой же, как в прошлом году?

В связи с решением этой задачи можно кратко рассказать учащимся о зерноуборочных машинах, показать их на фотографии или рисунке.

В том же номере газеты, в статье мастера фабрики имени Балашова А. Гулякина «Выгодное дело для каждого предприятия», написано следующее: «... В прошлом году наша мастерская восстановила свыше 9500 деталей. Стоимость составила 5500 руб. А для приобретения такого же количества новых деталей нужно было затратить 25 000 руб. Итак, на одном десятке тысяч деталей сэкономлено 20 000 руб. Металла сбережено свыше 6 т. В 1953 г. намечено восстановить 25 000 изношенных чугунных деталей...»

Из этого газетного материала получилась следующая задача:

Задача 3. 10 000 восстановленных деталей дают экономию более 20 000 руб. и 6 m металла. Сколько денег и металла будет сэкономлено на фабрике имени Балашова в 1953 г., если намечено восстановить 25 000 изношенных деталей?

Из приведенных примеров ясно, как получаются «живые», актуально-злободневные задачи на местном материале.

Задача 4. Ткачиха фабрики имени 8 марта Шмонова обслуживает 14 ткацких станков, проектная мощность одного станка 4 м 79 см ткани в час. Сколько метров ткани дает ткачиха Шмонова за месяц сверх плана, если она норму выработки перевыполняет на 42%? (По материалам статьи «Осваиваем проектные мощности автоматов, вырабатывающих штапельное полотно», «Рабочий край» от 17 мая 1953 г.).

Задача 5. Тракторист Фролов Гаврилово-Посадского района длину гона в 1 км с захватом плуга в 1 м 70 см проходит за 10 минут. На сколько гектаров он перевыполнит норму за смену, если установленная норма 6 га 5000 кв. м за смену? (По материалам статьи «По часовому графику», «Рабочий край» от 24 мая 1953 г.)

Задача 6. «Овощеводы Гаврилово-Посадского совхоза обязались нынче собрать урожай овощей по 350 ц с гектара. Сейчас на огородах идет напряженная работа. За последние дни здесь посеяно 9,5 га огурцов, высажены в грунт рассады капусты «Московская поздняя» и помидоры на площади в \2 га. План сева овощей выполнен на 83%». (Подлинный текст отрывка статьи «Заканчивается высадка в грунт поздних овощей», напечатанной в «Рабочем крае» от 3 июня 1953 г.) Сколько центнеров овощей в среднем предполагается снять в Гаврилово-Посадском совхозе?

Задача 7. Девятимесячное задание прядильщицы Меланжевого комбината выполнили 13 августа. Сверх этого задания они дадут еще 52 289 кг пряжи. Сколько килограммов пряжи дадут прядильщицы Меланжевого комбината за год при той же производительности труда? (По материалам статьи «Дружба хлопководов и текстильщиков», «Рабочий край» от 1 октября 1952 г.)

В книге Н. И. Багрикова «Культура овощей» (Огиз, Ивановское областное государственное издательство, 1947) на странице 18 приводится таблица производительности труда на прополке овощей:

При работе вручную «щипком» — 6 кв. м в час. » » с помощью мотыги — 60 кв. м в час.

При работе ручным культиватором — 600 кв. м в час.

При работе конным культиватором — 1800 кв. м в час.

Этот материал позволяет составить и решить, например, такую задачу.

Задача 8. Во сколько дней будет проведена прополка овощей в нашем колхозе (при известном наличии инвентаря, рабочей силы и площади земли, занятой под овощами).?

ИЗУЧЕНИЕ СИММЕТРИИ В VI И VII КЛАССАХ

Г. А. ПТАХИН (Сталинградская обл.)

Усвоение материала об осевой симметрии во многом предопределяет успех изучения в VI классе последующих теорем, где для доказательства применяется перегибание чертежа или наложение фигур. К сожалению, изложение этого материала в учебнике геометрии А. П. Киселева (§ 37) нельзя признать методически правильным, хотя оно и является правильным в теоретическом отношении. Недостатками являются как отсутствие четкости в определении симметричной фигуры, так и изложение всего материала в одном параграфе. Определение симметричной фигуры дается лишь попутно с определением симметрии в расположении двух фигур, несколькими словами не в одном месте и в скобках. При этом не дано ни одного чертежа, иллюстрирующего понятие симметричной фигуры, и отсутствует само название «симметричная» для фигуры, имеющей ось симметрии. Для учащихся старших классов такое изложение не может вызвать трудностей, но материал об осевой симметрии проходится в начале шестого года обучения, когда учащиеся только приступают к изучению геометрии и запас пространственных представлений у них невелик, а умение обобщать еще не развито. Это обстоятельство не было учтено проф. Н. А. Глаголевым, написавшим § 37 в дополнение к учебнику Киселева (см. предисловие к ч. I учебника). Изложение всего материала об осевой симметрии в одном параграфе ориентирует учителя на прохождение его за один урок, и нередко учителя, особенно начинающие, допускают эту методическую ошибку. В результате, понятие симметричной фигуры слабо усваивается учащимися и затрудняет их в дальнейшем.

На изучение материала об осевой симметрии требуется, как показывает опыт, три урока.

Основой является понятие симметрии в расположении двух точек относительно прямой (оси):

Две точки А и Ах называются симметричными относительно прямой ММ, если они расположены: по разные стороны от прямой ММ, на одном и том же перпендикуляре к ней на одинаковых расстояниях от основания перпендикуляра Аа = Аха (черт. 1).

Прочное и сознательное усвоение этого понятия достигается путем нескольких упражнений учащихся, вызываемых учителем к доске для построения симметричных точек, и работой с наглядным пособием. Прямую ММ следует задавать на доске не только вертикальной (как это обычно делается), но в различных положениях, а точку А — по разные стороны и на разных расстояниях от ММ (черт. 1). Дано: ось симметрии — прямая ММ и точка А\ требуется, построить симметричную точку Аг.

Наглядным пособием может служить двойной лист бумаги, отделенный от середины обыкновенной ученической тетради, лучше с графлением в клетку или в одну линию. На нем легко убедиться в совпадении симметричных точек при перегибании плоскости по оси симметрии. Это свойство симметричных точек не всегда сразу бывает понятным всем учащимся без наглядной демонстрации.

Приняв за ось симметрии линию сгиба листа, найдя (при помощи масштабной линейки, чертежного треугольника или путем отсчета клеток) две симметричные точки и сделав проколы листа булавкой в этих точках, убеждаемся в совпадении проколов при перегибании листа. И обратно: свернув лист вдвое и сделав прокол в любом его месте, следует развернуть лист и соединить оба булавочные прокола прямой по линейке; полученная прямая окажется перпендикулярной к линии сгиба (что можно установить с помощью транспортира или треугольника), а точечные проколы одинаково удалены по начерченной прямой от линии сгиба.

Черт. 1

Такая демонстрация всегда вызывает интерес, и многие учащиеся охотно проделывают ее самостоятельно. После этого необходимо обратить внимание учащихся и на усвоение теоретического объяснения наблюдаемого факта совпадения симметричных точек: при перегибании чертежа по прямой МЫ отрезок а А пойдет по отрезку аАх потому, что углы АаМ и АхаМ равны, как прямые; точка А упадет на точку Ах потому, что отрезки Аа и Аха равны.

Сравнение углов и отрезков по величине путем наложения к этому времени уже известно учащимся, его нужно напомнить при повторении пройденного и при проверке знаний в начале урока.

Следующим этапом в изучении материала является усвоение понятия симметрии в расположении двух отрезков относительно прямой (оси).

Два отрезка AB и АХВХ называются симметричными относительно прямой MN, если каждой точке одного отрезка соответствует симметричная относительно прямой MN точка другого отрезка, и обратно, каждой точке второго отрезка соответствует симметричная точка первого отрезка (черт. 2).

Пояснив определение чертежом на доске, следует прежде всего теоретически установить совпадение симметричных отрезков при перегибании плоскости чертежа по оси симметрии MN.

Действительно, при таком перегибании точки Ах и Вх совпадают соответственно с симметричными им точками А и В. Через две точки можно провести только одну прямую (что учащиеся уже знают). Поэтому все точки отрезка АхВг окажутся на отрезке AB (и обратно).

Отсюда следует равенство симметричных отрезков, как совпадающих при наложении, и способ построения отрезка АгВъ симметричного данному отрезку AB: достаточно построить только концы искомого отрезка — точки Аг и Въ симметричные точкам А к В (концам данного отрезка), и соединить прямой найденные две точки.

Полученные выводы желательно иллюстрировать показом самодельного наглядного пособия.

Два одинаковые прямоугольника CMNF и MDEN (черт. 3) из фанеры или тонкого плотного картона соединены посредством полоски полотна тп и клея (см. вид сзади) так, что получившийся прямоугольник CDEF можно перегибать по прямой ММ до совпадения половин. Сложив таким образом прямоугольник CDEF, нужно сделать прорез лобзиком, чтобы получить симметричные отрезки AB и АХВХ на каждой половине пособия (см. вид спереди).

Таким же образом разъясняется симметричное расположение двух равных фигур относительно прямой (оси):

Две фигуры (любой формы) называются симметричными относительно прямой MN, если каждой точке одной фигуры соответствует симметричная относительно прямой MN точка другой фигуры, и обратно (см. учебник геометрии Киселева, § 37).

Для необходимых демонстраций нужно приготовить к уроку достаточное количество соответствующих наглядных пособий.

Пособия, иллюстрирующие симметричное расположение незамкнутых ломаных и кривых линий (черт. 4, вид спереди), делаются из фанеры или

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

картона, как указано выше; для фигур с замкнутым контуром любой формы (черт. 5) вполне возможно использование двойного листа ученической тетради.

Сложив такой лист, вырезают из него ножницами замкнутую фигуру по ее контуру. Развернув лист, получим на его половинах две равные фигуры, симметрично расположенные относительно линии (прямой) сгиба.

Следует, однако, заметить, что вырезы не всяких фигур из бумаги, подобные вышеуказанным, удобно демонстрировать перед классом. Кроме того, на таких вырезах нельзя показать симметричное расположение точек, лежащих внутри контуров симметричных фигур. Поэтому следует применять еще один вид наглядных пособий.

Выполнив на листе бумаги каждый из чертежей 5, нужно смочить левую его половину керосином, скипидаром или маслом, а затем высушить и протереть пропускной бумагой или ватой. При перегибании изготовленного таким образом пособия (черт, 6) по прямой MN до совпадения левой половины с правой хорошо заметно совпадение обеих фигур как по контурам, так и по точкам, лежащим внутри контуров (если смотреть с обратной стороны левой половины).

Изготовление вышеописанных простых наглядных пособий требует от учителя затраты небольшого количества времени и труда до урока, но зато дает большую экономию времени и облегчение труда при объяснении материала на уроке.

Закрепив построение симметричных отрезков и несложных фигур (треугольников и четырехугольников) упражнениями на доске и дав соответствующее задание на дом, следует этим и ограничиться на первом уроке.

При упражнениях целесообразно задавать ось симметрии с различными наклонами к горизонту, а также разъяснить, что для построения многоугольника, симметричного данному, достаточно найти лишь его вершины, которые следует соединить соответствующими отрезками прямых. При практическом построении криволинейной фигуры требуется найти много ее точек и чем больше, тем лучше.

Только на следующем уроке возможно продуктивное изучение осевой симметрии фигуры.

Фигура называется симметричной относительно прямой MNf если каждой точке А, В, С, D, Е,... фигуры соответствует симметричная относительно прямой A4N точка Аи Ви Си Dl, Еи... этой же фигуры (черт. 7).

Прямая MN в этом случае делит фигуру на две равные части и называется осью симметрии фигуры; фигура же называется симметричной, или имеющей ось симметрии. Для лучшего усвоения понятия симметричной фигуры и здесь необходим показ моделей. Начинать нужно с известных учащимся по предыдущим годам обучения фигур: прямоугольник, квадрат и круг, после чего перейти к равнобедренному треугольнику, равностороннему треугольнику, ромбу, правильному шестиугольнику, овалу и т, п.

Модели следует приготовить до урока, начертив нужные фигуры вместе с их осями симметрии на бумаге, отметив симметричные точки внутри контура булавочными проколами и вырезав ножницами каждую фигуру по ее контуру.

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

И здесь можно одну половину вырезанной фигуры сделать калькой.

На таких бумажных моделях легко показать, что:

1) ось симметрии делит фигуру на две равные части так, что при перегибании плоскости фигуры по оси симметрии одна часть совмещается с другой;

2) фигура может иметь одну (равнобедренный треугольник, равнобедренная трапеция), две (прямоугольник, ромб), три (равносторонний треугольник), четыре (квадрат), пять, шесть и т. д. (правильные многоугольники) и даже бесконечное множество (круг) осей симметрии (черт. 8—14);

3) не всякая прямая, делящая фигуру на две равные части, есть ее ось симметрии.

Примером может служить диагональ неравностороннего прямоугольника. Она делит прямоугольник на два равные прямоугольные треугольника, но не является его осью симметрии, так как половины прямоугольника не совмещаются при перегибании плоскости по диагонали (черт. 15).

Из других примеров того же рода можно привести: а) прямую PQ, проходящую через середины противоположных сторон ромба (черт. 16); б) прямую PQ, пересекающую противоположные стороны квадрата и не проходящую через их середины (черт. 17).

Деление фигуры какой-либо секущей прямой на две равные части является необходимым, но недостаточным условием для того, чтобы прямая была осью симметрии фигуры; достаточным условием будет совпадение обеих половин фигуры при перегибании ее плоскости по секущей прямой. Здесь мы имеем один из примеров «необходимого и достаточного условия». Этот и иодоб-

Черт. 8

Черт. 9

Черт. 10 Черт. 11

Черт. 12 Черт. 13

Черт. 14

Черт. 15

ные ему другие примеры следует использовать для пояснения понятий: «необходимое условие», «достаточное условие» и «необходимое и достаточное условие».

Третий урок целесообразно отвести на повторение и закрепление материала и на проверку знаний учащихся путем устного опроса у доски и с мест. При этом нужно использовать задачи на осевую симметрию в сборнике Рыбкина (№ 47—50, § 3) и подобные им, подготовленные к уроку самим учителем. Учащиеся должны указывать осевую симметрию в предметах окружающей обстановки: фасадах зданий, орнаментах, узорах, листьях деревьев, лепестках цветов, деталях машин, инструментах и т. п. Что касается замечания (в конце § 37 учебника) о необходимости выведения из плоскости одной из симметрично расположенных фигур (или половины симметричной фигуры) при вращении ее вокруг оси симметрии для совмещения с другой, симметрично расположенной фигурой (или с другой половиной симметричной фигуры), то при первоначальном изучении симметрии в VI классе оно является подробностью, загромождающей основной материал. На вышеуказанных трех уроках целесообразно пропустить это замечание и рассмотреть его потом, когда будет пройдена и усвоена центральная симметрия фигур и явится возможность сопоставления и сравнения обоих видов симметрия.

При двух часах в неделю, отведенных на геометрию в VI классе, использование трех уроков на изучение осевой симметрии может показаться на первый взгляд излишней тратой времени, которая повлечет за собой «наверстывание», т. е. форсированное прохождение некоторой части последующего материала. Опыт работы показывает обратное: после основательного изучения осевой симметрии прохождение теорем о свойствах равнобедренного треугольника и признаках равенства треугольников требует на 2—3 урока меньше времени; качество же усвоения материала этих теорем лучше, чем в том случае, когда осевая симметрия была пройдена за 1—2 урока.

Поэтому имеет смысл уделить даже четыре урока на изучение осевой симметрии, если обнаружится, что за три урока материал не усвоен в достаточной мере.

В VII классе при изучении темы «Четырехугольники» необходимо повторить весь материал об осевой симметрии. Здесь симметричность прямоугольника, ромба, квадрата, а позже и круга целесообразно доказывать для каждой из осей симметрии фигуры. Такие доказательства весьма просты и проводятся методом перегибания плоскости чертежа по предположенной оси симметрии подобно тому, как это делалось при доказательстве одной из первых теорем в VI классе, выражающей свойства равнобедренного треугольника. Доказательство этой теоремы, по существу, является доказательством предложения: «Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника есть и ось симметрии треугольника».

Программа геометрии VII класса в первом ее разделе «Четырехугольники» требует изучения центральной симметрии параллелограма. Весь остальной материал о центральной симметрии, имеющийся в учебнике Киселева (§ 85 и 86), программой не указан ни для VI, ни для VII классов. Он расположен в учебнике между программным материалом VI и VII классов. Поэтому одни учителя, следуя учебнику, заканчивают им последний раздел программы VI класса — «Параллельные прямые»; другие же — начинают геометрию в VII классе с изучения центральной симметрии.

Мы полагаем, что ни того, ни другого делать не следует. Опыт работы показывает, что целесообразнее отступить от порядка изложения материала в учебнике и начать изучение центральной симметрии после прохождения всех остальных свойств параллелограма, как это и указано программой (т. е. после § 90 учебника).

Материал о центральной симметрии изложен в учебнике (§ 84, 85, 86 и 91) несколько лучше с методической стороны, чем материал об осевой симметрии; но и он требует переработки и некото-

Черт. 16

Черт. 17

рых добавлений. Методика его изучения в общем та же, что и в случае осевой симметрии: каждое понятие необходимо иллюстрировать на соответствующем наглядном пособии, а что можно — закреплять в достаточной мере упражнениями на уроке под руководством и контролем учителя. Нужно иметь в виду, что сознательное усвоение центральной симметрии не является легким для учащихся в начале седьмого года обучения, так как заметить центральную симметрию на предметах окружающей обстановки гораздо труднее, чем осевую; да и встречается она реже осевой.

Следует пройти определения и свойства: 1) симметричного расположения двух точек относительно третьей (центра симметрии) точки (определение и способ построения даны в учебнике); 2) центральносимметричной фигуры.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если каждой точке (А, В, С, D,...) фигуры соответствует симметричная относительно О точка (ÄВ', С, D',...) этой же фигуры.

Точка О называется в этом случае центром симметрии фигуры; фигура, имеющая центр симметрии, называется центральносимметричной.

В качестве примеров центральносимметричных фигур следует привести окружность (черт. 14), косоугольный параллелограм (черт. 18) и его разновидности — прямоугольник, квадрат и ромб (черт. 8 и 10), указав для каждой фигуры положение ее центра симметрии.

Предложение: центром симметрии параллелограма является точка пересечения его диагоналей — нужно доказать.

Взяв произвольно точку Е на стороне ВС косоугольного параллелограма (черт. 18), соединим ее с точкой пересечения О диагоналей и продолжим отрезок ЕО до пересечения в точке Е' со стороной AD.

Треугольники ОЕС и ОЕ'А равны, так как ОС = ОА (по свойству диагоналей параллелограма), ^ЕОС = ^Е'ОА (как вертикальные углы) и У ECO = У Е'АО (как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых ВС и AD секущей АС.

Из равенства треугольников следует: ОЕ' = ОЕ (как стороны равных треугольников, лежащие против равных углов). Таким образом, точка Е' симметрична с точкой Е относительно точки О, в которой пересекаются диагонали АС и BD параллелограма.

Так как точка Е взята произвольно на стороне ВС, то и для всякой другой точки F, Q,... стороны ВС найдется симметричная относительно О точка F', Q',... на противоположной стороне AD того же параллелограма.

Подобно этому можно доказать, что и для всякой точки стороны AB найдется на противоположной стороне CD точка, симметрично расположенная относительно точки пересечения О диагоналей.

Таким образом, центральную симметрию параллелограма возможно изложить проще и яснее для учащихся, чем это сделано в учебнике на основании не указанной программой теоремы о свойствах прямой, проведенной через две точки, центральносимметричные двум другим точкам, взятым на данной прямой.

После определения центральносимметричных точек не следует сразу переходить к рассмотрению центральносимметричной фигуры; целесообразно рассмотреть свойства таких точек:

а) Центральносимметричные точки А и А' (черт. 19) совмещаются, если повернуть отрезок OA или отрезок OA' в его плоскости на 180° вокруг центра симметрии — точки О.

б) Центральносимметричные точки А к А' меняются местами при повороте плоскости чертежа на 180° вокруг центра симметрии — точки О.

Первое из этих свойств — очевидно вследствие равенства отрезков OA и OA'. Можно и продемонстрировать его, описав из точки О, как из центра, окружность радиусом ОЛ; она пройдет через точку А'.

Второе свойство можно продемонстрировать на наглядном пособии: чертеж 19 (достаточно больших размеров) нужно перевести на кальку (во время подготовки к уроку), закрепить кнопками на классной доске, наложить сверху кальку так, чтобы точки О обоих чертежей совпали, и, воткнув булавку в точку О, вращать кальку вокруг булавки. Чертеж-копию нужно выполнять на кальке рейсфедером, лучше тушью.

Эти два свойства центральносимметричных точек не приведены в учебнике; а между тем усвоение их, являясь легким, не требует затраты большого количества времени на уроке, позволит упростить изложение и облегчить усвоение учащимися свойств центральносимметричной фигуры любой формы или двух фигур (равных), симметрично расположенных относительно некоторой точки.

Черт. 18

Убедившись в усвоении учащимися материала о центральносимметричных точках, следует перейти к определению центральносимметричной фигуры, доказательству центральной симметрии косоугольного параллелограма (см. выше) и выяснению свойств центральносимметричной фигуры на примере параллелограма.

в) Центральносимметричная фигура разделяется на две равные части всякой прямой, проходящей через ее центр симметрии (черт. 18).

г) Каждая из этих частей совмещается с другой, если повернуть ее на 180° вокруг центра симметрии (не выводя из плоскости чертежа).

д) Части центральносимметричной фигуры меняются местами при повороте фигуры в ее плоскости на 180° вокруг центра симметрии.

е) Если через центр симметрии провести две прямые (например, ЕЕ' и FF' в параллелограме, черт. 18), то они отсекут от фигуры две равные, центральносимметричные части (на черт. 8 треугольники EOF и E'OF').

Свойства г) и д) аналогичны соответственно свойствам а) и б) центральносимметричных точек.

Доказываются все свойства весьма просто. Так, например, при повороте четырехугольника ABFF' (черт. 18) вокруг точки О на 180° его вершины — точки Л, Bt F и F' — совмещаются соответственно с симметричными им точками С, D, F' и F — вершинами четырехугольника CDF'F, являющегося другой половиной параллелограма ABCD.

Если же вершины одного четырехугольника совпали соответственно с вершинами другого, то оба четырехугольника полностью совместились (они равны — свойство в).

Свойства г) и д) желательно продемонстрировать на соответствующем наглядном пособии, каковым является чертеж 18 и его копия-калька. Демонстрация производится так же, как указано выше для свойства а) и б) центральносимметричных точек.

На следующем (втором) уроке необходимо закрепить и обобщить весь материал как о центральной, так и об осевой симметрии. Теперь вполне уместным и своевременным будет сравнение обоих видов симметрии — центральной и осевой: половину (или какую-либо часть) центральносимметричной фигуры можно совместить с другой половиной (или с соответствующей частью той же фигуры), не выводя ее при вращении из плоскости и не переворачивая другой стороной; для совмещения половин фигуры при осевой симметрии необходимо вывести одну из плоскости и перевернуть другой стороной. Этот материал изложен учебником в замечаниях к § 37 и 86.

Обзор симметричных фигур должен выявить, что центральносимметричная фигура может иметь оси симметрии (прямоугольник, ромб, квадрат) или не иметь их (косоугольный параллелограм— черт. 18, пропеллер самолета—черт. 20).

В первом случае каждая из осей симметрии проходит через центр симметрии; однако не всякая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, является осью симметрии этой фигуры. Фигура, симметричная относительно оси, может иметь, а может и не иметь центра симметрии (равнобедренный треугольник). В первом случае центр симметрии лежит на оси симметрии. Такой сравнительный обзор весьма полезен, так как он заключает в себе простейшие элементы исследовательской работы, вполне посильной для учащихся в начале седьмого года обучения, вследствие конкретности и наглядности материала.

Если учитель желает ограничиться только необходимым программным минимумом, то для этого достаточно вышеописанных двух уроков. Целесообразнее, однако, отвести еще два часа, чтобы пройти центральную симметрию полностью в объеме, данном учебником, увязав этот материал с повторением геометрических мест. Не создавая недопустимой перегрузки, такое изучение значительно увеличивает запас пространственных представлений учащихся; попутное же повторение программного материала VI класса совершенно необходимо в VII классе, где оно должно проводиться систематически, по возможности на каждом уроке.

При полном изучении центральной симметрии целесообразно распределить материал по урокам следующим образом:

Черт. 19

Черт. 20

Урок 1. Симметричное расположение двух точек и двух отрезков относительно некоторой точки (центра симметрии).

Урок 2. Симметричное расположение двух фигур любой формы относительно точки (центра симметрии). Центральная симметрия фигуры.

Урок 3. Повторение, закрепление и обобщение всего материала об осевой и центральной симметрии.

Урок 4. Углубленное повторение всего материала, увязанное с повторением геометрических мест. Приведем для образца порядок изложения материала о центральносимметричном расположении двух отрезков.

1. Вводится понятие о центральной симметрии в расположении двух отрезков относительно точки О путем соответствующего определения.

2. Выясняются свойства, аналогичные свойствам а) и б) центральносимметричных точек.

Центральносимметричные отрезки AB и А'В' совмещаются, если повернуть треугольник О AB или треугольник ОА'Вг в его плоскости на 180° вокруг центра симметрии — точки О.

Центральносимметричные отрезки AB и А'ВГ меняются местами при повороте плоскости чертежа на 180° вокруг центра симметрии — точки О.

3. Следует обратить внимание учащихся на равенство двух симметричных отрезков, как совпадающих при наложении.

4. Указывается способ построения отрезка А'В', симметричного с данным отрезком AB относительно данной точки О.

Порядок изложения материала о центральносимметричном расположении двух фигур любой формы совершенно аналогичен.

К уроку следует подготовить достаточное количество наглядных пособий, вычертив симметрично расположенные относительно точки О отрезки (черт. 21) и фигуры любой формы (см., например, черт. 22) и сняв копии-кальки с них. Последние при демонстрациях накладываются на соответствующие чертежи и закрепляются булавками в совмещенных центрах симметрии, а затем поворачиваются на 180° вокруг булавок.

Что касается теоретического доказательства совместимости двух центральносимметричных фигур любой формы при повороте одной из них в ее плоскости вокруг центра симметрии на 180°, то после рассмотрения свойств центральносимметричных отрезков его можно дать проще и понятнее для учащихся, чем это сделано в учебнике (§ 86), на примере двух треугольников ABC и А'В'С, расположенных симметрично относительно точки О (черт. 22).

При повороте фигуры О ABC в ее плоскости на 180° каждый из отрезков AB, ВС и CA совмещается, как было выяснено раньше, соответственно со своим симметричным отрезком А'В1 В'С и C'A'. Следовательно, треугольник ABC полностью совместится с симметричным ему треугольником А'В'С'.

Можно рассуждать и так: при указанном повороте каждая из точек А, В и С совмещается соответственно со своей симметричной точкой А', В', С и т. д.

На последнем (четвертом) уроке повторение материала углубляется изучением теоремы § 85 учебника:

Если для двух точек А и В какой-либо прямой AB (черт. 21) построить симметричные им точки А' и Вг относительно некоторой точки О, то:

1) прямая, соединяющая точки Аг и В', будет параллельна данной прямой АВУ причем отрезок AB равен отрезку А'В';

2) каждой точке данной прямой AB соответствует симметричная ей точка на построенной прямой А'В'.

Пункт 2 можно сформулировать иначе:

3) построенная прямая А'В' будет геометрическим местом точек, симметричных точкам данной прямой AB относительно взятой точки О.

Отсюда следствие:

Прямая А'В', параллельная даннной прямой AB, есть геометрическое место точек, симметричных точкам данной прямой AB относительно всякой точки О (центра симметрии),

Черт. 21

Черт. 22

находящейся между обеими прямыми на одинаковом от них расстоянии.

До этого, разумеется, необходимо напомнить учащимся понятие о геометрическом месте точек и уже известные по VI классу примеры геометрических мест.

Рассмотрение центральной симметрии параллелограма и окружности приводит еще к выводам:

1. Параллелограм (ABCD, черт. 18) состоит из четырех треугольников (ЛОГ), ВОС, АОВ и DOC), попарно расположенных симметрично относительно точки О пересечения его диагоналей (треугольник AOD симметрично расположен с треугольником ВОС, а треугольник АОВ — с треугольником DOC относительно точки О).

2. Любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит фигуру на две равные части так, что каждая половина фигуры является геометрическим местом точек, симметричных точкам другой половины относительно центра симметрии фигуры.

3. Если через центр симметрии фигуры провести две произвольные прямые, то они отсекут от фигуры две равные центральносимметричные части так, что каждая часть фигуры явится геометрическим местом точек, симметричных точкам другой части относительно центра симметрии фигуры (например, прямые ЕЕ' и FF' в параллелограме ABCD на черт. 18).

При вышеописанном прохождении материала на каждом уроке изучаются в сущности одни и те же свойства центральной симметрии, но на все более сложных геометрических образах.

Поэтому многократное повторение их не притупляет интереса учащихся к материалу и гарантирует лучшее и более прочное усвоение.

На занятиях кружка можно кратко ознакомить учащихся с эллипсом как геометрическим местом точек и центральносимметричной фигурой.

Время, отведенное на изучение геометрии в VII классе, вполне позволяет уделить четыре часа на прохождение центральной симметрии с попутным повторением осевой и геометрических мест.

В VIII классе при прохождении подобного преобразования многоугольника (§ 174 и 175 учебника) следует обратить внимание учащихся на равенство и симметрию подобно расположенных многоугольников относительно внутреннего центра подобия, если коэффициент подобия k = \. В этом случае задача подобного преобразования многоугольника является задачей на построение многоугольника, симметрично расположенного с данным относительно взятого внутреннего центра подобия.

Понятие симметрии является одной из основных идей геометрии и заслуживает большего внимания, чем уделяется ему в программах средней школы. Заботясь о повышении идейно-теоретического уровня преподавания, учитель должен добиваться сознательного и прочного усвоения учащимися всего материала о симметрии.

ИЗ ПИСЕМ И ЗАМЕТОК ЧИТАТЕЛЕЙ

К. С. БОГУШЕВСКИЙ (Москва)

Заметки по вопросам общей методики

1. Заметки Н. В. Метельского (г. Раков, Молодеченская обл.) и П. М. Савчука (г. Сталиногорск, Московская обл.) посвящены вопросам организации контрольных письменных работ.

Основным средством для обеспечения самостоятельности работы Н. В. Метельский считает поддержание строгой дисциплины на уроках и «многовариантность» заданий. Число вариантов должно быть таково, чтобы не более 2—3 учащихся получали одинаковые задания; схема распределения заданий должна изменяться. Кроме того, задания должны быть таковы, чтобы каждый учащийся, даже наиболее успевающий, был занят все время, отведенное на контрольную работу. Из этого вытекает, по мнению автора, необходимость индивидуализации заданий с учетом подготовки отдельных учащихся.

Это последнее положение представляется по меньшей мере спорным, так как оно ставит учащихся в неравные условия в смысле оценки их успеваемости. Многие учителя поступают несколько иначе: они всем учащимся дают задания примерно одинаковой степени трудности, но к этим заданиям добавляют (или в них ставят последним номером) дополнительные задания, состоящие из упражнения или теоретического вопроса повышенной трудности.

П. М. Савчук в заметке «О письменных работах по математике» высказывается за проведение контрольных письменных работ без предварительного предупреждения учащихся о времени их проведения. В пользу такого мнения П. М. Савчук приводит следующие доводы:

1) Уже за несколько дней до объявленного срока контрольной работы учащиеся начинают

хуже готовить уроки по другим предметам, т. е. срывают правильный ход учебных занятий.

2) Подготовка к контрольной работе вырождается в «самонатаскивание» учащихся только на решение определенных типов упражнений и мешает систематической и углубленной работе над материалом темы.

3) Страх перед контрольной работой порождает прогулы некоторых неуверенных в себе или просто нервных учащихся.

Стремясь быть последовательным, автор выступает против проведения контрольных работ по окончании изучения той или иной темы, указывая, что это является скрытой формой предупреждения о времени работы.

С предложением автора о ликвидации итоговых (по темам) контрольных письменных работ согласиться ни в коем случае нельзя. Проведение этих работ является совершенно необходимым элементом обучения и воспитания; эти работы являются подведением итогов, важнейшим этапом школьной работы.

Таким образом, «скрытая» форма предупреждения о времени работы неизбежна, а поскольку скрывать то, что является явным по существу, бессмысленно, следует признать естественным и необходимым проведение в ряде случаев контрольных письменных работ с предварительным предупреждением учащихся об их сроке.

Нами подчеркнуты слова «в ряде случаев», так как известно, что многие учителя, помимо итоговых по темам контрольных работ, проводят еще и так называемые «летучки», т. е. работы, о которых учащиеся заранее не предупреждаются. Эти работы проводятся в процессе изучения темы, они часто содержат материал из ранее пройденных тем и не всегда рассчитаны на весь урок.

Такие «летучки», действительно, оказываются полезными: они приучают учащихся систематически и своевременно учить уроки, решать задачи и примеры, повторять пройденное, т. е. быть готовыми в любой момент дать отчет о своих знаниях.

Говоря о содержании заданий, П. М. Савчук высказывается против раздробления упражнений на очень мелкие примеры и против включения слишком элементарных задач. Каждая контрольная работа должна, по справедливому мнению автора, требовать от учащихся не механического применения заученных правил, а известной работы мысли.

2. В заметке «О повторении математики» Г. Н. Скобелев (ст. Ново-Сергиевская, Чкаловская обл.) перечисляет те виды повторения, которые им применялись. Это:

1. Повторение при объяснении нового материала.

2. Повторение в течение нескольких минут, выделяемых для этого на уроке.

3. Повторение на специально отведенных для этого уроках.

4. Проведение письменных работ повторительного характера.

5. Обзорные лекции.

6. Индивидуальное повторение отдельными учащимися того или иного раздела курса по специальным заданиям.

7. Повторение на внеклассных занятиях (кружки, викторины, сборы и т. д.).

Наиболее подробно автор останавливается на организации специальных уроков повторения и приводит развернутый план одного из таких уроков для X класса.

Содержание урока: повторение функции

y = sin X.

К уроку учащимся были указаны номера параграфов по учебнику, которые они должны повторить.

На самом уроке учащимся был поставлен ряд вопросов теоретического характера, а затем предложены упражнения.

1. Определить знак разности:

2, Определить знак произведений:

3. Вычислить без помощи таблиц:

4. При каких значениях х теряют смысл выражения:

5. Может ли значение синуса выражаться рациональным числом?

6. Возможны ли равенства:

7. Что больше:

8. При каком значении х выражение

имеет наименьшее значение?

9. При каких значениях х дроби:

отрицательны?

10. При каких значениях х дроби:

положительны?

(Редакция некоторых упражнений нами исправлена.)

Упражнения представляют интерес и, по справедливому указанию автора, «помимо выяснения свойств функции y = s'mx1 оживляют урок, способствуют лучшему усвоению материала и развитию сообразительности учащихся и являются противоядием против формализма». Мы бы только взамен части упражнений (№ б, 9 и 10) включили упражнения, связанные с вопросами периодичности функций, четности и нечетности и т. д., и дополнили № 8 более сложными упражнениями.

Известный интерес представляет и применяемая автором схема учета знаний учащихся VII класса по алгебре.

3. М. И. Сидоров (пос. Пески, Московско-Рязанская ж. д.) в заметке «Вариации одновременной работы учителя и учеников на уроках математики» описывает не лишенные интереса образцы одновременного решения в классе задач с различными значениями данных или различными способами. Такая постановка работы имеет целью, по словам М. И. Сидорова, повысить заинтересованность и активность учащихся, улучшить использование времени на уроке, приучить учащихся сопоставлять результаты работы коллектива.

К сожалению, М. И. Сидоров очень неопределенно и несколько хаотично излагает самую систему организации этой работы.

Поэтому пришлось по отдельным разрозненным указаниям автора воссоздать эту систему, и пусть автор не посетует, если окажется, что в том или ином случае его высказывания не вполне правильно поняты.

Задача. На школьной олимпиаде было предложено для решения 10 задач. За каждую правильно решенную задачу засчитывалось по 5 очков, а за нерешенную задачу списывалось по 3 очка. Сколько задач было правильно решено учащимся, который получил при окончательном подсчете 34 очка? 10 очков? 2 очка?

Одни учащиеся получают задание решить задачу при условии окончательного итога в 34 очка, другие — в 10 очков, а один из учащихся решает задачу у доски, принимая окончательный итог равным 2 очкам.

По окончании работы подавляющим большинством учащихся учителю следует подвести итоги.

1. Зачитать обозначения неизвестных, подчеркнув их идентичность.

2. Зачитать полученные уравнения, подчеркнув тождественность левых частей уравнений и различие правых частей.

3. Зачитать ответы на вопрос задачи. Подобным же образом автор предлагает решать и некоторые геометрические задачи.

Задача. Провести окружность, которая проходила бы через две данные точки и центр которой находился бы на данной прямой.

Предварительно путем беседы учителя с классом устанавливается, что возможны различные варианты взаимного расположения данных точек и данной прямой; затем между учащимися рас-

пределяются эти варианты, причем один из вариантов дается учащемуся, вызванному к доске (и только ему).

Полученные решения задачи излагаются учащимися.

М. И. Сидоров делает интересное указание о возможности придать данной задаче конкретное практическое содержание, сформулировав ее так: Найти место на берегу реки, к которому должен пришвартоваться плову нии подъемный кран, чтобы, не изменяя длины выпущенной стрелки, переносить груз с одного данного места на другое. (Стрелкой называется расстояние от основания подъемного крана до ковша.)

Подобная работа по конкретизации содержания геометрических задач заслуживает внимания.

Прием одновременного решения задач различными способами автор демонстрирует на задаче:

Поезд проходит расстояние от города А до города В за 10 час. 40 мин. Если бы скорость поезда была на 10 км в час меньше, то он пришел бы в В на 2 часа 8 мин. позже. Определить расстояние между городами и скорость поезда.

К доске вызываются два ученика, одному предлагается решить задачу, выражая все неизвестные величины через S — расстояние между городами, другому — через v — скорость поезда. Между учащимися класса распределяются эти варианты решения.

Запись решения задачи оформляется на доске примерно так:

У ученика I

У ученика II

После окончания решения задачи проводится под руководством учителя сопоставление обоих приемов решения.

Методические заметки по алгебре

4. М. И. Добровольский (г. Львов) в своем письме в редакцию журнала рассказывает об опыте изложения в VI классе тем «Коэффициент и показатель степени» и «Формулы сокращенного умножения», проведенном учителями города Львова Н. Е. Зинич и В. П. Чумак. Первая тема обычно проходится так, что на первом уроке излагается понятие коэффициента, на втором — понятие показателя степени, третий урок посвящается упражнениям. Практика показывает, что первые два урока не вызывают как будто бы никаких затруднений у учащихся, но как только на третьем уроке учитель переходит к упражнениям, обнаруживается, что многие учащиеся при решении примеров смешивают понятия коэффициента и показателя степени. Учителю снова приходится возвращаться к выяснению данных понятий, т. е. повторять уже проделанную работу, вместо того чтобы применять на практике теоретический материал.

В целях устранения этой досадной необходимости Н. Е. Зинич применяет прием одновременного изучения коэффициента и показателя степени, причем особое внимание сразу же обращается на сопоставление данных понятий и на противопоставление их друг другу. Свою работу в классе Н. Е. Зинич строит так: оба понятия даются на одном уроке и на этом же уроке закрепляются путем:

1) составления таблицы:

а

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

а2

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

2) построения точек, соответствующих значениям первой и второй строчек и частично — третьей строчке (черт. 1);

3) анализа таблицы и расположения точек на плоскости.

М. И. Добровольский говорит, что в результате такого способа изложения материала учащиеся отлично разбираются в понятиях коэффициента

и показателя степени и никогда не смешивают их.

Изложение второй темы — «Формулы сокращенного умножения» тоже как будто бы вначале воспринимается учащимися без затруднений, но когда учитель переходит к упражнениям, то выясняется, что многие учащиеся применяют формулы неуверенно, а иногда и бессознательно и делают много ошибок.

При изучении этой темы оказывается полезным, по словам М. И. Добровольского, прием «своевременного расчленения основной трудности», применяемый В. П. Чумак.

Это «расчленение трудности», например, при изучении формулы куба суммы заключается в том, что составление правой части формулы разбивается на составление четырех так называемых «структурных формул», т. е. формул вида:

которые затем объединяются в окончательный ответ. Таким образом, возведение в куб двучлена

учащиеся выполняют в такой последовательности.

1. Составление структурных формул:

2. Составление окончательного ответа:

При таком «расчленении трудности» учащиеся, как указывает М. И. Добровольский, гораздо легче, быстрее и сознательнее усваивают все формулы сокращенного умножения и научаются ими пользоваться; самое составление структурных формул вскоре перестает быть необходимым.

5. Специально вопросу преподавания темы «Формулы сокращенного умножения» посвящена заметка учителя В. М. Чернова (Среневская школа, Усть-Допысский район, Великолукская область).

В. М. Чернов указывает, что раньше чем приступить непосредственно к изучению данной темы, он приучает учащихся к мысли о том, что можно подметить «некоторые закономерности в получающемся произведении». Так, например, если в двух перемножаемых многочленах имеются одинаковые члены, то в произведении обязательно получится квадрат этого члена; если в одном из многочленов имеется член, равный 1, то обязательно войдут в произведение все члены другого многочлена и т. д. Подобные рассуждения подготовляют учащихся к сознательному усвоению самого смысла формул сокращенного умножения.

В процессе изложения самой темы В. М. Чернов сообщает учащимся формулы квадрата суммы и разности двух чисел не только в обычной форме, но и в форме

с соответствующей словесной формулировкой.

Действительно знание этого вида формул оказывается полезным при переходе к теме разложения на множители по формулам сокращенного умножения.

6. Ю. А. Чернышев (г. Яренск, Кировская область) в заметке «Об определении понятия коэффициента в средней школе» указывает на путаницу, которая иногда наблюдается даже у оканчивающих среднюю школу в вопросе о понятии коэффициента.

Так, например, на вопрос: какой коэффициент выражения abc? — учащиеся обычно отвечают: «Ь; на вопрос же о коэффициенте в выражении nab ответы получаются разные: часть

Черт. 1

отвечает: «Ь, другая часть — «/2». Следствием такой путаницы в понимании термина «коэффициент» является путаница и в понимании термина «подобные члены». Подобны ли члены аЪх и тпх? На этот вопрос даже учащиеся старших классов не дадут единого ответа.

Для устранения подобной путаницы Ю. А. Чернышев предлагает:

1. Первоначально давать только понятие числового коэффициента, не пропуская при этом в названии слова «числового».

2. Понятие буквенного коэффициента определять относительно той или иной буквы или того или иного выражения. Например а — коэффициент члена аЬ2с относительно Ь2с.

3. Только после овладения этими двумя понятиями следует их объединить в одном понятии коэффициента, указав, что числовой коэффициент можно рассматривать как коэффициент относильно всего буквенного выражения в данном члене.

Подобная трактовка понятия коэффициента представляется достаточно ясной и полезной как при решении уравнений, так, в частности, при изучении бинома Ньютона, при действиях с радикалами и дробными, и отрицательными степенями, при преобразовании выражений, содержащих логарифмы, тригонометрические функции и т. п.

Например, в выражении

удобно считать коэффициентами (относительно |/^2) выражения а и 2Ь; в выражении

также удобно считать а и — 2 коэффициентами относительно Igx.

Мы полагаем, что было бы лучше говорить: «коэффициент при У“2 и при lg х» вместо «относительно У“2 и относительно lg х».

7. В. И. Глазков (Го Чернигов) в заметке «К исследованию квадратного трехчлена» указывает, что в стабильном учебнике алгебры для исследования квадратного трехчлена применяются два различные метода: один метод — для случая, когда дискриминант трехчлена положителен или равен нулю, и другой — для случая, когда он отрицателен. Чтобы устранить эту двойственность, действительно смущающую учащихся, В. И. Глазков предлагает и в случае отрицательного дискриминанта исследование квадратного трехчлена проводить тоже на основе формулы разложения квадратного трехчлена на множители, учитывая, что в данном случае корни хх и х2 являются сопряженными комплексными числами

имеем:

при любых действительных значениях х\

следовательно:

при любых действительных значениях х.

Вывод. Квадратный трехчлен

в случае, когда его дискриминат отрицателен, имеет при всех действительных значениях х тот же знак, что и коэффициент а.

Как показывает практика преподавания, этот прием исследования усваивается и запоминается учащимися легче, чем прием, изложенный в учебнике, и потому применение его в случае недостатка времени допустимо. Однако рекомендовать в качестве общей меры замену способа, принятого в учебнике, способом, предлагаемым В. И. Глазковым, не следует, так как для учащихся средней школы очень важно обстоятельное и всестороннее знакомство с методом «выделения полного квадрата», на основе которого проведено в учебнике Киселева исследование квадратного трехчлена в случае отрицательного дискриминанта.

Наиболее желательным было бы (при наличии времени) знакомить учащихся с применением обоих приемов исследования в каждом из трех случаев:

ft* —4де>0; Ь2 — 4ас = 0; £2 —4ас<0.

Такое решение вопроса целесообразно еще и потому, что в VIII классе при построении графика квадратного трехчлена уже использовался прием выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.

8. И. П. Теребенин (г. Сочи) в заметке «О постоянных прогрессиях» ставит вопрос о нецелесообразности исключать из рассмотрения так называемые постоянные прогрессии, т. е. арифметические с разностью d = 0 и геометрические со знаменателем q=\. В вопросе о включении этих прогрессий в курс средней школы среди учителей нет единого мнения, как нет единого мнения по этому вопросу и в ряде распространенных учебных пособий по элементарной алгебре.

Нам представляется, что И. П. Теребенин прав, считая, что нет никаких серьезных при-

чин, кроме некоторых соображений «удобства», для устранения этих прогрессий. Необходимо, впрочем, остановиться на некоторых их свойствах. Так, следует показать учащимся, что если в постоянной арифметической прогрессии остаются в силе формулы для ап и sn> так как при выводе их не исключался случай d = О, а в постоянной геометрической остается в силе формула для ип, то формула для суммы п членов для постоянной геометрической прогрессии оказывается уже неприменимой, так как при выводе ее вводится ограничение q ф 1.

9. К. Г. Снатару (г. Кишинев) в заметке «К вопросу о преобразовании сложного радикала вида |/~AzLl^B» излагает метод преобразования сложного радикала, позволяющий выполнять преобразование, не пользуясь готовой формулой. Подобную же задачу ставил и Б. Вайнман в своей заметке, выдержка из которой опубликована в № 3 журнала «Математика в школе» за 1952 г., но К. Г. Снатару решает вопрос по-иному, полнее и глубже, устанавливая также и критерий возможности преобразования.

Сущность метода, который излагает К. Г. Снатару, состоит в следующем.

Чтобы преобразовать ]/“ А±УВ, где а и В — рациональные числа или алгебраические выражения, к виду Ур — Уя* гДе Р и Я под“ чинены подобным же условиям, нужно раньше всего А — УВ представить в виде Az±l 2, затем следует найти два числа (или алгебраические выражения), сумма которых равна Л, а произведение равно —. Эти числа (или алгебраические выражения) и явятся искомыми-р и так как в этом случае будем иметь:

Значения р и q оказываются, очевидно, корнями х\,2 вспомогательного квадратного уравнения

т. е. равны

Чтобы числа р и q получились рациональными, необходимо и достаточно, чтобы Л2—В т. е. подкоренное выражение, было полным квадратом.

На практике большей частью не представляется необходимым прибегать к решению квадратного уравнения, так как искомые значения р и q удается найти «в уме».

К. Г. Снатару напоминает также, что поскольку имеется в виду арифметическое значение корня, необходимо в случае брать p>q.

Ниже приводится несколько примеров, иллюстрирующих применение предложенного метода.

Наибольшую трудность для вычислений представляют примеры, в которых В не содержит множителя 4, т. е. в которых подкоренное выражение ^ оказывается дробным. Эту трудность можно устранить при помощи особого приема, основанного на следующем преобразовании:

Легко видеть, что в этом случае нужно находить два числа: р и q, сумма которых равна 2Л, а произведение равно В. Решим таким способом пример 2:

10. А. Ф. Андреев (Ленинград) в заметке «О биноме Ньютона» поднимает вопрос о желательности одного уточнения в терминологии, а именно: желательно, во избежание недоразумений при решении задач, множитель Спт, входящий в состав п -[-1-го члена разложения (х+а)т по степеням х, именовать не просто коэффициентом члена разложения, как это делается в ряде новых задачников (Шахно, Ларичева и др.), а с обязательным добавлением слова «биномиальным».

Действительно, если в общей формуле разложения:

множители Спт называются коэффициентами членов разложения в общепринятом в элементарной алгебре понимании этого термина, то, с другой стороны, рассматривая это выражение как многочлен относительно аргумента х, мы должны считать коэффициентом выражение Сптап.

Еще пример. На вопрос о коэффициенте второго члена разложения:

одни учащиеся могут назвать число — 32, а другие — число 4. Конечно, возможность различных ответов на один и тот же вопрос должна быть устранена, и проще всего добиться этого, если принять предложение А. Ф. Андреева. Тогда на вопрос о биномиальном коэффициенте 2-го члена разложения каждый учащийся должен будет назвать число 4.

Вопросу алгебраической терминологии посвящено также письмо «За точность математической терминологии» В. П. Павперова (г. Цюрюпинск). Автор пишет: «Среди математиков нашего города вызвал оживленные прения вопрос о термине „ряд“. В курсах математического анализа обычно рядом называется выражение:

тогда как в школьном учебнике алгебры Киселева термин „ряд“ употребляется в другом смысле. Сама прогрессия (как арифметическая, так и геометрическая) называется рядом чисел».

Автор письма правильно замечает, что в учебнике Киселева термин «ряд» употребляется скорее в житейском, чем в математическом смысле (например, ряд игрушек, ряд солдат и т. п). «Следовало бы называть прогрессии не рядами, а последовательностями».

Замечание В. П. Павперова следует признать вполне справедливым.

Можно указать и другие примеры расхождения школьной терминологии с научной. Так, например, определение понятий многочлена и одночлена в учебнике Киселева не совпадает с определениями, принятыми в современной алгебре. Как известно, серьезные возражения вызывает термин «относительные числа».

Полагаем, что вполне своевременно поставить вопрос о приведении школьной математической терминологии в соответствие с современной научной терминологией.

11. А. П. Кириленко (г. Колпашево, Томская обл.) указывает на возможность более простого, чем приводит т. Ясиновый в № б журнала за 1951 г., решения задач типа задачи № 80 задачника Шапошникова и Вальцова, ч. I, гл. VIII:

Долг в 820 руб. уплачен банку в два годачные срока, причем в конце каждого года платили по 441 руб. По скольку процентов был сделан заем?

Обозначая через у руб. сумму денег, в которую обращается 1 рубль в конце 1-го года, А. П. Кириленко получает:

1. Долг в конце 1-го года составит 820.у руб.

2. После 1-го взноса долг составит

(820у—441) руб.

3. В конце 2-го года долг составит

(820^ — 441).^ руб.

Поскольку этот долг погашается взносом в 441 руб., получается уравнение:

820у2--441 .^ = 441,

или

820У —441^—441=0.

Решение этого уравнения допускает возможность значительных упрощений в вычислениях.

После определения у легко узнать, по скольку процентов был сделан заем.

ОДИН ИЗ УРОКОВ, ПРИВИВАЮЩИХ НАВЫКИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Д. И. ПАВЛОВ (с. Азовское. Крымская обл.)

В своей педагогической практике я стараюсь приучить учащихся к поискам наиболее рациональных приемов решения примеров и задач. Привожу в качестве примера один из уроков, направленных к этой цели.

Арифметическое выражение

вычисляю с классом обычным порядком — шестью вопросами:

(не исключаем целого, так как результат будет использован для деления);

Затем предлагаю решить этот пример четырьмя вопросами.

— Как это можно сделать? — Поднятые руки свидетельствуют о том, что ученики знают.

«В квадратных скобках надо опустить круглые скобки и отнять сумму, заключенную во вторые круглые скобки».

— Как отнять сумму?

«Чтобы отнять сумму, можно отнять каждое слагаемое одно за другим». Ученики вычисляют:

далее ученики приписывают вопросы 4), 5) и 6) предыдущего решения.

Получается второе решение, но уже более рациональное.

Обращаю внимание класса на то, что рационализацию они применили не полностью.

Замечание заинтересовывает класс, и скоро один из учащихся вносит предложение — вопросы 4), 5) и 6) решить двумя вопросами; все решение примет вид:

1) поступаем так же, как в предыдущем решении:

Решение, понятно, одобряю, но на достигнутом не останавливаюсь.

— А кто из вас решит этот пример двумя вопросами?

«Разве можно?»

— Можно.

Кое-кто из более смелых пытается объяснить, но попытка не удается: ученики не знают, как разделить на частное.

Тогда я беру пример:

18:*(10:5).

— Вычислите и скажите ответ.

Ученики вычисляют:

1) 10:5 = 2;

2) 18:2 = 9.

— Ответ вы дали верный, но способ решения нерациональный. Можно решить проще: одним вопросом, без скобок, с показом двух арифметических действий.

Многие уже догадались, как надо поступить.

Опрос задерживаю, прибавилось еще несколько человек, давших требуемое решение.

Вызванный к доске ученик записывает решение:

18:(10:5)=18.5:10 = 9.

— Давайте разберемся, какое арифметическое действие показано в круглых скобках.

«В скобках показано деление».

— Чем является число 10? «Число 10 есть делимое».

— Чем является число 5? «Число 5 есть делитель».

— Как называется результат деления? «Число, получаемое от деления, называется частным».

— Следовательно, что надо было сделать с числом 18?

«Число 18 надо было разделить на частное».

— Как вы это сделали?

«Число 18 умножили на делитель (5) и это произведение разделили на делимое (10)*.

— Правильно. Значит, как данное число разделить на частное?

«Чтобы данное число разделить на частное, можно это число умножить на делитель и произведение разделить на делимое».

— Верно. Применяйте это правило в тех случаях, когда оно понадобится.

— А теперь вы решите пример двумя вопросами?

Довольно быстро учащиеся дают четвертое решение:

Итак, мы четыре раза решали пример. Каждое следующее решение проще предыдущего. Результат во всех случаях равен 10. Все это весьма удовлетворяет класс.

К ВОПРОСУ О БИНОМЕ НЬЮТОНА

У. С. ДАВЫДОВ (Гомель)

По некоторым разделам школьного курса алгебры имеющиеся в задачниках упражнения заставляют желать лучшего; в большинстве случаев они крайне однообразны. В частности, на бином Ньютона большей частью предлагаются упражнения, в которых требуется по формуле общего члена найти член разложения, содержащий ту или иную букву с тем или иным показателем степени. Эти упражнения носят крайне искусственный характер и приводятся исключительно с целью повторения некоторых разделов.

Между тем можно составить ряд интересных задач на приложения бинома Ньютона к различным разделам математики.

I. Приложения к арифметике

Крайне интересным материалом на уроках, а также на кружковых занятиях являются вопросы теоретической арифметики (делимость чисел, свойства простых чисел).

Ниже на некоторых задачах показано применение бинома Ньютона к теории делимости чисел.

1) Найти остаток от деления 5013 на 7. Решение. Имеем:

5013 = (49 + 1)13;

разлагая по биномиальной формуле, заметим, что в каждом члене разложения будет содержаться множитель 49, за исключением последнего члена, равного 113=1; поэтому искомый остаток равен 1.

2) Докажем более общее предложение: если остаток от деления а на b равен г, то остаток от деления ап на b совпадает с остатком от деления гп на Ь.

Доказательство. Имеем:

рассуждая, как в предыдущей задаче, придем к требуемому заключению.

3) Найти остаток от деления 376 на 7. Решение. Так как остаток от деления 37 на 7 равен 2, то искомый остаток совпадет с остатком от деления 26 на 7, т. е. он равен 1.

4) Показать, что биномиальные коэффициенты разложения (a Ь)р, где р — простое число, кратны р, кроме первого и последнего членов.

Решение. Так как

есть целое число, то все множители знаменателя обязательно сократятся с какими-нибудь множителями числителя, но не с множителем р, так как каждый множитель знаменателя меньше /?, а р есть простое число.

5) Показать, что если а и b — целые числа, а р — простое число, то

кратно р.

6) Пусть / (х) — многочлен относительно х с целыми коэффициентами. Если значения / (2) и /(3) делятся на б, то /(5) также делится на 6 (доказать).

Решение. Пусть

откуда следует справедливость утверждения.

7) Доказать, что если р — нечетное простое число, то 2/7~1 — 1 делится на р.

Доказательство. Рассмотрим число

Это число кратно р (см. задачу 4); но так как р — нечетное число, то 2Р—1 — 1 кратно р.

Здесь мы воспользовались тем, что 2Р есть сумма биномиальных коэффициентов разложения бинома с показателем р.

8) Показать, что если число а не кратно 5, то а4 — 1 кратно 5.

Решение. Пусть остаток от деления а на 5 равен г. Тогда, согласно теореме, установленной в задаче 2, находим, что остаток от деления я4 на 5 совпадает с остатком от деления г4 на 5; но г может иметь только следующие значения: 1, 2, 3, 4(илигЬ1, ±2); во всех этих случаях непосредственно убеждаемся, что остаток будет 1; следовательно, а4 — 1 делится на 5.

9) Если а и b не делится на 5, то аА — ЬА делится на 5.

Решение. Числа а4 — 1 и ЬА — 1 делятся на 5; поэтому число

делится на 5.

10) Показать, что если а не делится на 7, то а6 — 1 делится на 7.

11) Показать, что число пп~~1 — 1 делится на (л-1)2 (при л>1).

Решение. Имеем:

где каждый член делится на (п — I)2.

12) Издавна математики интересовались такой функцией /(*), значение которой при любом натуральном х было бы простым числом. Показать, что f(x) не может быть многочленом с целыми коэффициентами.

Доказательство. Пусть вопреки утверждению

где a, byж, k — целые числа, /(<х) = /?, где а — натуральное, р — простое число. Тогда при х=а+р функция f (х) уже не даст простого числа. Действительно,

есть число составное.

II. Некоторые приближенные формулы

В задачнике Ларичева, ч. II, предложена задача (№ 1304): доказать справедливость приближенного равенства при достаточно малом а:

(1+ а)п^\+па.

Заметим, что термин «достаточно малый» не ясен; лучше сказать «достаточно малый в сравнении с единицей».

Предложенное равенство, очевидно, получено из разложения (\+а)п по биномиальной формуле, причем оставлены только первые два члена разложения, а остальные отброшены;

Здесь можно в весьма доступной форме, хотя бы грубо, оценить погрешность этого приближенного равенства, без чего пользование им является ничем не оправданным. Обозначив погрешность через /?, имеем:

но так как то

Но выражение

есть сумма биномиальных коэффициентов без первых двух; поэтому

Упражнения. 1) Вычислить

Решение.

Погрешность R меньше, чем

Проверка. Точное значение

2) Вычислить 1,16 и оценить погрешность. Ответ.

3) Доказать справедливость приближенного равенства:

Доказательство. На основании предыдущего имеем приближенное равенство:

отсюда

В частности,

Здесь можно воспользоваться удобным случаем и показать часто применяемый способ оценки погрешности:

Заметим, что такого рода упражнения полезно давать также в разделе «Неравенства». Пример.

Проверка.

4) Найти“]/1,02 и оценить погрешность; сделать проверку.

III. Доказательство теоремы Безу

Бином Ньютона дает возможность другим способом доказать теорему Безу. Пусть дан многочлен

Имеем тождество:

Для простоты обозначим х—a—q; тогда, раскрывая скобки по формуле бинома Ньютона, замечаем, что все члены разложений, за исключением последних, содержат множитель q = x—а и поэтому делятся на х — а; все последние члены войдут в состав искомого остатка; поэтому

Это доказательство интересно тем, что дает понятие о разложении многочлена по степеням X — а (формула Тейлора).

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

КОНСТАНТИН ФЕОФАНОВИЧ ЛЕБЕДИНЦЕВ

К. А. РУПАСОВ (Чаплыгин)

«Было время, когда за методикой математики почти не признавалось права на существование...

Эти времена прошли и назад не вернутсяъ.

К. Ф. Лебединцев

В октябре 1953 г. исполнилось 75 лет со для рождения Константина Феофановича Лебединцева — крупного русского методиста первой четверти XX в., автора ряда работ по вопросам преподавания математики и оригинальных учебников и задачников по алгебре, активного члена Московского математического кружка, деятельного участника I и II Всероссийских съездов преподавателей математики.

Жизнь и деятельность К. Ф. Лебединцева представляет собой яркий пример борьбы русских деятелей просвещения за внедрение в школу передовых идей.

Идеи по улучшению преподавания математики, выдвинутые русскими педагогами в XIX в., получили свое дальнейшее развитие, обобщение и углубление в трудах ряда русских методистов-математиков XX в., в том числе и К. Ф. Лебединцева, внесшего в методику преподавания математики много нового и оригинального.

К началу XX в. в России вполне сложились и оформились два крупные центра в области методики преподавания математики — петербургский и московский.

В тот же период времени методическая работа по вопросам преподавания математики начинает вестись и в других крупных городах России. На первое место после Петербурга и Москвы надо поставить Киев, который на грани двух веков — XIX и XX — вырастает в крупнейший методико-математический центр.

Киевский центр явился той средой, в которой К. Ф. Лебединцев вырос как педагог-математик.

К. Ф. Лебединцев родился 13 (25) октября 1878 г. в г. Радоме. В 1896 г. он окончил II Киевскую гимназию и поступил в Киевский университет. В гимназии состоял членом кружка, ставившего своей задачей борьбу с толстовско-деляновским режимом.

Можно с полным основанием утверждать, что на формирование методических взглядов К. Ф. Лебединцева оказал некоторое влияние профессор Киевского университета В. П. Ермаков, проявлявший живой интерес к вопросам преподавания математики в школе.

Окончив в 1900 г. Киевский университет, К. Ф. Лебединцев приступил к педагогической деятельности. Особое значение имела для него работа в I Киевском коммерческом училище и на Киевских высших женских курсах, где он в течение ряда лет проверял на практике свои методические взгляды, приведшие его впоследствии к созданию оригинальных и весьма интересных учебников и задачников по алгебре.

Первая печатная работа К. Ф. Лебединцева — «Как поддержать дисциплину в средней школе»— появилась в 1904 г. в журнале «Педагогическая мысль».

Статья не потеряла своего значения и сейчас, так как автор правильно указывал, что школьная дисциплина должна иметь своей целью выработку привычки к систематическому труду и развитие самодеятельности и общественных чувств.

Почти все работы К. Ф. Лебединцева, написанные им в первый (киевский) период его деятельности, носят общепедагогический характер. В статье «К вопросу о представительстве общества в жизни школы» К. Ф. Лебединцев критикует школьную систему министра просвещения Толстого, в статьях «О границах педагогического вмешательства в воспитание детей» и «Об одной педагогической утопии» критикует буржуазную теорию свободного воспитания.

Одновременно с педагогической деятельностью К. Ф. Лебединцев, обладавший большими организаторскими способностями и неутомимой энергией, вел большую общественную работу, являясь членом различных педагогических обществ.

В октябре 1905 г. в заседании Киевского педагогического общества К. Ф. Лебединцев выступил с рефератом «Как поддержать дисциплину в средней школе», причем при чтении реферата защищал учащихся, принимавших участие в политических забастовках. После этого события в Киеве началась травля К. Ф. Лебединцева, имевшая политические последствия: его заставили оставить работу в Киевском коммерческом училище.

В 1906 г. К. Ф. Лебединцев редактировал журнал «Педагогическая неделя», издававшийся в Киеве. За помещение в журнале статей, выражающих «явное недовольство правительственными мероприятиями в отношении учащих и учащихся», он был отдан под суд, в результате чего Киевский генерал-губернатор Сухомлинов и попечитель Киевского учебного округа Зилов принудили К. Ф. Лебединцева прекратить в Киеве его общественно-педагогическую деятельность.

С 1909 по 1916 г. К. Ф. Лебединцев преподавал в одном из лучших частных учебных заведений г. Москвы — в гимназии с совместным обучением Е. А. Кирпичниковой, в которой учились дети демократически настроенных родителей (например, артиста Качалова, художника Серова, члена компартии Инессы Арманд и др.).

Работая в гимназии Кирпичниковой, К. Ф. Лебединцев написал ряд статей в защиту совместного обучения детей обоего пола, а также стал известен математической общественности России как талантливый составитель учебников алгебры: в этот период времени вышли в свет его «Курс алгебры для средних учебных заведений», «Основы алгебры», «Руководство алгебры для женских гимназий», «Концентрическое руководство алгебры» и ряд задачников по алгебре.

В своих учебниках и задачниках по алгебре К. Ф. Лебединцев наиболее близко подошел к осуществлению основных требований, предъявлявшихся прогрессивными педагогами к преподаванию математики в школе.

Учебники алгебры К. Ф. Лебединцева были переведены на немецкий, польский и другие языки.

В 1910 г. К. Ф. Лебединцев вступил в число членов Московского математического кружка. Его доклады в кружке: «Программа и метод преподавания алгебры в средней школе», «Элементарный способ вычисления приближенных логарифмов, пригодный для педагогической практики», «Опыт изложения учения о простейших функциях и их графиках в средней школе», «Вопрос о дробях в курсе арифметики» — много внесли в методику преподавания математики. Все доклады были напечатаны и оказали значительное влияние на усовершенствование русской методики математики.

В докладе «Программа и метод преподавания алгебры в средней школе» К. Ф. Лебединцев высказал ряд ценных мыслей о преподавании математики. Роль математики в системе общего образования, говорил К. Ф. Лебединцев, важна главным образом благодаря ее значению в культурной жизни человека, и она должна изучаться не только как научная система, но и как могущественное орудие миропонимания. С этой

точки зрения в программах по алгебре должны быть сделаны существенные изменения: необходимо опустить все те вопросы, которые не имеют непосредственного приложения к жизни и не служат в то же время для теоретического обоснования и развития предмета (например, сложные и искусственные преобразования алгебраических выражений и пр.). Взамен же исключенных отделов, по мнению К. Ф. Лебединцева, следовало ввести ознакомление с функциональной зависимостью, с системой декартовых координат на плоскости, с понятиями производной и интеграла и с их приложениями.

Деятельное участие К. Ф. Лебединцев принимал в работе I и II Всероссийских съездов преподавателей математики, на которых им был прочитан ряд докладов по актуальнейшим вопросам методики преподавания математики. Особое внимание делегатов 1 Всероссийского съезда преподавателей математики привлек доклад К. Ф. Лебединцева «Метод обучения математике в старой и новой школе»; в нем докладчик резко критиковал существовавшие в то время руководства по математике, авторы которых стремились дать изложение математики в виде логической цепи истин, опирающихся на возможно меньшее число аксиом и соглашений.

Рассматривая современные ему учебники математики, К. Ф. Лебединцев отмечал, что их авторы стремятся построить курс на небольшом числе основных понятий и аксиом, желая все вновь вводимые понятия определить, а вновь вводимые положения доказать. К. Ф. Лебединцев резко возражал против такого абстрактно-дедуктивного построения курса. Такой способ изложения принято называть научным. Правильно было бы называть его наукообразным, так как, разумеется, ни в одном самом строго систематическом учебнике для средней школы не излагаются основания арифметики в таком виде, как ... у Дедекинда, или основания геометрии по Гильберту, а всегда допускается большее или меньшее число различных «нестрогостей».

Отвергая догматизм и логические натяжки в преподавании математики, борясь за соблюдение принципа научности, К. Ф. Лебединцев примирение научных и педагогических требований усматривал в применении конкретно-индуктиеного метода, который основан на рассмотрении ряда конкретных примеров и образцов.

Современная нам методика преподавания математики широко пользуется конкретно-индуктивным методом.

Весьма точно К. Ф. Лебединцев сформулировал принцип научности: «... в учебном предмете мы не можем ни утверждать чего-либо, противоречащего тому, что утверждается в науке, ни пользоваться такими способами объяснения, которые содержат логический дефект».

Таким образом, его понимание принципа научности полностью совпадает с современным пониманием этого принципа.

В полемике с Е. Смирновым, завязавшейся в 1910 г. на страницах «Вестника опытной физики и элементарной математики», К. Ф. Лебединцев высказал свой взгляд на вопрос о школьном изложении теории иррациональных чисел. Критикуя Е. Смирнова и других методистов за отвлеченность и наличие логических ошибок в школьном изложении теории иррациональных чисел, К. Ф. Лебединцев предложил свой способ преподавания теории иррациональных чисел. Этот способ состоит в том, что сперва указывается та категория величин, которые не могут быть выражены рациональными числами, и затем вводятся новые числа, которые и являются значениями этих величин. При этом К. Ф. Лебединцев широко пользовался графическими иллюстрациями.

Ряд своих работ К. Ф. Лебединцев посвятил вопросам начального обучения математике.

Исследования Лебединцева по вопросу о развитии числовых представлений у ребенка опровергают порочную и несостоятельную точку зрения Лая.

Не лишены интереса взгляды К. Ф. Лебединцева на отметки и экзамены. Он считал, что цифровая система оценки знаний зиждется на весьма шатких основаниях, носит субъективный характер и служит источником различных недоразумений.

Лебединцев говорит: «В самом деле, как вы докажете, что данный ученик ответил вам именно на тройку, а не на четверку? Разве у вас есть какой-либо психический силомер, который позволил бы вам измерять познания учащихся, как мы измеряем физическую силу динамометром или окружность груди с помощью сантиметровой ленты?»

Цифровую систему оценки знаний учащихся К. Ф. Лебединцев предлагал заменить составлением подробных характеристик знаний и отношения к делу учащихся.

В этих взглядах К. Ф. Лебединцева на отметки и экзамены мы усматриваем лишь резкий протест против крайне неудовлетворительного решения старой школой вопроса об отметках и экзаменах.

В мае 1915 г, либеральным министром графом Игнатьевым К. Ф. Лебединцев был приглашен к участию в работе по реформе средней школы. Являясь членом предметной комиссии по математике, возглавлявшейся проф. К. А. Поссе, К. Ф. Лебединцев составил свой «Проект программ по математике для общеобразовательной

средней школы», отличавшийся от проекта этой комиссии.

В 1916 г. К. Ф. Лебединцев был приглашен на должность окружного инспектора Петроградского учебного округа, где продолжал работу по составлению программ реформированной средней школы и по улучшению своих учебников алгебры.

В 1917 г. К. Ф. Лебединцев был избран председателем педагогического совета московской гимназии для учащихся обоего пола, учрежденной M. X. Свентицкой, а после Великой Октябрьской социалистической революции был привлечен в качестве консультанта в Отдел реформы школы Наркомпроса.

К. Ф. Лебединцев принадлежал к тому отряду интеллигенции, который со всей искренностью понес свои знания и силы на служение пролетариату.

В 1919 г. К. Ф. Лебединцев возвратился в Киев как консультант Отдела реформы школы Наркомпроса Украины и как член и зам. председателя коллегии экспертов Киевского губнаробраза.

В коллегии экспертов К. Ф. Лебединцев составил первый учебный план и программу математики для семилетней школы Украины.

Одновременно К. Ф. Лебединцев преподавал математику в Киевской русской и украинской педагогических школах, а в 1921 г. он был привлечен к работе в Киевском институте народного образования и с этого времени до самой смерти был неизменно членом правления института, его проректором, деканом факультета социального воспитания и факультета профессионального образования.

В советский период К. Ф. Лебединцев выпустил в свет учебник алгебры под названием « Руководство алгебры ».

В «Руководстве алгебры» все содержание курса алгебры объединяется вокруг основных идей: понятия числа, понятия тождественного преобразования, понятия функции и ее графического изображения, понятия уравнения. «Руководство алгебры» было тепло встречено ГУСом и педагогической общественностью. Академик О. Ю. Шмидт об этом учебнике писал так: «Лучшим современным учебником алгебры считается: Лебединцев К. Ф. „Руководство алгебры“» (Большая советская энциклопедия, изд. 1, статья «Алгебра»).

Тождественные преобразования в «Руководстве алгебры» изложены в соответствии с научным пониманием этих преобразований и с выявлением их арифметической сущности.

С достаточной обстоятельностью и глубиной представлено в «Руководстве алгебры» учение о числе. Метод, выбранный К. Ф. Лебединцевым при введении отрицательных чисел, обеспечивает понимание необходимости введения этих чисел, что с методической точки зрения является очень ценным. Изложение вопроса о действиях над положительными и отрицательными числами выигрывает от использования удачных графических иллюстраций.

Способ изложения теории действительных чисел, предложенный К. Ф. Лебединцевым, основан на привлечении геометрического материала, что делает ее наглядной и доступной для понимания.

Теория уравнений изложена К. Ф. Лебединцевым в «Руководстве алгебры» с простотой и ясностью; автор

а) знакомит учащихся с уравнениями в самом начале курса, а затем неоднократно возвращается к этому вопросу;

б) вводит решение уравнений на основе определений и свойств арифметических действий и свойств равенств, избегая теории равносильности уравнений, которая едва ли доступна учащимся младших классов;

в) проводит через весь курс младших классов средней школы решение задач с помощью уравнений;

г) довольно рано знакомит учащихся с понятием об элементарном исследовании уравнений.

Изложение учения об уравнениях в «Руководстве алгебры» многими методистами признается очень удачным. Так, например, А. Н. Барсуков в своей книге «Уравнения первой степени в средней школе» пишет так:

«Из учебников этой группы* особенно выделяется популярный в свое время учебник К. Ф. Лебединцева «Руководство алгебры », ч. 1.

Если присоединить к нему задачник того же автора, то обе эти книги вместе подошли наиболее близко к осуществлению почти всех методических требований...»**.

Хотя учение о функциях и заняло в учебнике изолированное положение, но его изложение К. Ф. Лебединцевым обладает крупными достоинствами: ясно указывается, что всякое алгебраическое выражение следует рассматривать как функцию букв; доступно и просто изложен вопрос о графическом решении уравнений; проводится элементарное исследование функций (область определения, возрастание и убывание, наибольшие и наименьшие значения); учение о функциях связано с решением ряда практических задач.

К. Ф. Лебединцев не ограничился написанием

* Речь идет об учебниках алгебры, в которых особое внимание обращается на момент составления уравнения из условия задачи (К. Р.).

** А. Н. Барсуков, Уравнения первой степени в средней школе, 1948, стр. 141.

учебников, но составил и ряд алгебраических задачников.

В своих учебниках и задачниках по алгебре К. Ф. Лебединцев полностью реализовал или определенно наметил идеи по улучшению преподавания математики в средней школе.

Все учебные пособия К. Ф. Лебединцева сыграли выдающуюся роль в развитии методики преподавания математики.

В последние годы жизни К. Ф. Лебединцев написал три крупные работы: «Развитие числовых представлений у ребенка в раннем детстве», «Введение в современную методику математики» и учебник арифметики для семилетней школы «Счет и мера».

Незадолго до смерти К. Ф. Лебединцев написал также крупную работу «Введение в высшую математику». Эта работа за смертью автора не была опубликована.

Этим не ограничиваются последние работы К. Ф. Лебединцева. В 1924 г. вышла в свет первая часть его «Сборника задач и других упражнений по курсу алгебры», выдержавшая в советское время 10 изданий.

К. Ф. Лебединцев написал и вторую часть этого задачника, который был просмотрен комиссией ГУСа, но, несмотря на положительные отзывы рецензентов, был отклонен, как «не отражающий идею комплексного преподавания».

Большая работа надломила силы К. Ф. Лебединцева — в ночь с 25 на 26 октября 1925 г. он умер.

Дидактические и методические взгляды К. Ф. Лебединцева нашли свое отражение в современных программах по математике и в руководствах по методике преподавания математики. Они оказали влияние на действующий сейчас в школах учебник алгебры А. П. Киселева и на другие учебники как дореволюционного, так и советского периода.

Вполне понятно, что в настоящее время советская методика преподавания математики не может относиться некритически к движению за реформу преподавания математики конца XIX в. и начала XX в. В педагогических работах К. Ф. Лебединцева наряду с весьма ценными и прогрессивными идеями содержатся также точки зрения, неприемлемые для современной советской школы.

Взгляды К. Ф. Лебединцева на содержание и порядок изучения дробей, слишком детализированное изложение теории действительных чисел, изолированное положение учения о функциях, умаление роли тождественных преобразований — вот наиболее крупные ошибки во взглядах К. Ф. Лебединцева.

В то же время вся деятельность К. Ф. Лебединцева, протекавшая в борьбе с консерватизмом в преподавании математики, является примером беззаветного служения любимому делу.

К. Ф. Лебединцев в своих исканиях правильных путей в преподавании математики никогда не попадал под влияние «импортных» идей. Больше того, он всегда критически относился к тому, что проникало в Россию с Запада.

«Методическая часть книги, — писал К. Ф. Лебединцев о книге М. Симона „Дидактика и методика математики“, — может дать русскому учителю весьма мало ,., методические указания автора во многих случаях носят характер рецептов, недостаточно убедительных для читателя»*.

О книге Е. Дюринга «Мысли о лучшей постановке преподавания и изучения математики в средней и высшей школе» К. Ф. Лебединцев заявил: «Мы . . . положительно думаем, что . . . книга не очень поможет русскому читателю в его исканиях пути к реформе средней школы»**.

К. Ф. Лебединцев был замечательным пропагандистом методических идей. Он высоко поднял роль методики преподавания математики. И вполне современно звучат его слова: «... бывают учителя, у которых дети учатся математике неохотно и с трудом, плохо ее понимают и не выучиваются как следует вычислять и решать задачи; у других же учителей дети учатся той же математике без больших усилий и с интересом, и усваивают ее сознательно и хорошо... Отчего это бывает? Разумеется, оттого, что не все учителя одинаково хорошо умеют обучать детей, т. е. помогать им приобретать должные познания и навыки; один применяет такие приемы обучения, которые делают математику ясной и доступной детям и способны приохотить детей к занятиям счислением и измерением; другой этих приемов не знает или не умеет ими пользоваться, и оттого у него дело плохо ладится».

* «Вестник опытной физики и элементарной математики», 1912, № 555.

** «Педагогическая мысль», 1904, вып. 2,

ХРОНИКА

О РАБОТЕ СЕМИНАРА ПО ПОВЫШЕНИЮ КВАЛИФИКАЦИИ УЧИТЕЛЕЙ

А. ГИЛКО (Ср. Ахтубинский р-н, Сталинградской обл.)

Анализ состояния преподавания математики в V—-VII классах школ Ср. Ахтубинского р-на Сталинградской области за 1951/52 учебный год и сравнение данных анализа с данными об успеваемости учащихся за прошлые годы показали причины плохой успеваемости учеников. В некоторых школах эти причины заключались главным образом в слабой научно-методической подготовке некоторой части учителей. Поэтому в 1952/53 учебном году РОНО и педкабинет пришли к выводу о необходимости организации семинарских занятий для молодых и малоопытных учителей.

На совещании актива педкабинета, состоявшего из опытных учителей математики, мы разработали наиболее целесообразные формы организации семинарских занятий.

Опытные учителя В. А. Руденко, А. С. Егоров, А. С. Баландина, Н. С. Овчинникова и другие горячо откликнулись на нашу просьбу и изъявили готовность передавать свой опыт молодым учителям— участникам семинара.

Здесь же, на совещании, была намечена тематика первого семинара и распределены темы:

1. Задачи семинара и порядок работы (сообщение зав. педкабинетом).

2. Решение арифметических задач на целые числа (по теме «Повторение пройденного в начальной школе»),

3. Решение задач на запись и чтение алгебраических выражений (сборник Ларичева, ч. 1, гл. 1, .§ 6).

4. Анализ и синтез при решении арифметических задач.

5. Решение задач на построение в курсе VII класса.

В конце первого семинара, после разбора различных дополнительных вопросов, интересовавших учителей, и краткого подведения итогов, мы наметили тематику работы следующего очередного семинара. Темы предлагали сами участники. После этого педкабинету оставалось лишь поручить подготовку тем определенным учителям и оказать им помощь методическими советами и литературой.

Занятия семинара мы проводим регулярно ежемесячно по твердому расписанию, утвержденному зав. РОНО и сообщенному школам.

Тематика следующего семинара была такой:

1. Элементы политехнизации обучения на уроках математики. Этот доклад зав. педкабинетом был установочным. К нему были подготовлены выступления опытных учителей, которым было поручено разработать в качестве необходимого минимума конкретные мероприятия по классам.

2. Решение геометрических задач на доказательство.

3. Практические работы на местности по геометрий.

4. Внеклассная работа по математике.

5. Проведение уроков по теме «Деление числа на дробь».

6. Проведение уроков по теме «Нахождение дроби числа и числа по дроби».

7. Первые уроки по решению задач на составление уравнения с одним неизвестным.

На третьем семинаре были изучены следующие темы:

1. Учет и оценка знаний учащихся как средство предупреждения неуспеваемости.

2. Геометрические сведения в курсе арифметики в V классе.

3. Воспитание прилежания к учению.

4. Посещение и обсуждение уроков математики у опытных учителей.

5. Методика решения задач по геометрии на вычисление.

Еще преждевременно подводить итоги нашей работы с учителями математики, однако, судя по имеющимся результатам (например, успеваемость учащихся за 1-ую четверть 1952/53 учебного года оказалась выше успеваемости за 1-ую четверть прошлого года на 6%), мы можем высказать уверенность, что семинарские занятия с малоподготовленными учителями математики дадут желаемые результаты.

В СЕКЦИИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА

П. Я. ДОРФ (Москва)

В 1952/53 учебном году работа секции развивалась в том же направлении, что и в предыдущие годы. На заседаниях секции (по третьим четвергам каждого месяца в здании механико-математического факультета МГУ) рассматривались вопросы, непосредственно или близко связанные с преподаванием математики в школе.

На сентябрьском собрании А. Я. Хинчин разобрал ряд задач из теории вероятностей.

Выяснение понятия .вероятности события можно провести на конкретном примере: если в урне среди п шаров имеется к белых, то вероятность р появления белого шара при однократном вынимании выразится формулой: р = — . Эта формула вполне доступна для школьников.

При двукратном вынимании вероятность появления подряд двух белых шаров можно подсчитать так:

число всевозможных пар определится по формуле сочетаний:

число благоприятных случаев, т. е. пар белых шаров, выразится так:

Докладчик отметил, что теория вероятностей занимает значительное место при решении ряда технических вопросов. Этим объясняются многочисленные запросы, с которыми специалисты из различных областей обращаются к ученым, работающим в области теории вероятностей. Вот простой пример: на производстве для определения качества продукции производят выборочную проверку деталей. Вопрос о том, какое количество деталей надо проверить при выпуске, решается при помощи теории вероятностей.

Элементы теории вероятностей могут служить материалом для работы школьных математических кружков.

Постановлению XIX съезда партии о политехническом обучении были посвящены два заседания секции: октябрьское и январское.

На октябрьском заседании развернулись прения по докладам А. И. Маркушевича и П. Я. Дорфа.

В своем докладе А. И. Маркушевич высказал ряд положений, касающихся вопросов политехнического обучения.

Математика политехнична по своей природе. В средней школе изучаются основы наук, необходимые для общего образования, для развития человека, для производственной деятельности и для практической жизни.

Поэтому основная трудность — отобрать материал с учетом его образовательного и прикладного значения, запаса времени и возраста учащихся.

Деление математики на чистую и прикладную достаточно условно; например, в свое время теория конических сечений была вопросом «чистой» математики, позднее Каплер приложил эту теорию к движению планет, а Ньютон использовал ее для вывода законов механики.

Академик Алексей Николаевич Крылов (Собрание трудов, т. I) утверждал, что в школе необходимо, кроме знаний и навыков, развивать догадку, глазомер, веру в чертеж, ибо излишняя погоня за обоснованиями, доказательствами породит «умственную трусость». Аксиоматическое изложение должно прийти тогда, когда учащийся накопит некоторый запас знаний, образов, опыта.

Необходимо доводить решение задачи до числового результата, развивать ответственность за полученное числовое значение в любом практическом вопросе. Надо развивать критическое отношение к полученному результату, не должно быть погони за излишним числом знаков. Исчерпывающие указания по этому поводу можно найти в работах A. Н. Крылова и — для средней школы — в книгах B. М. Брадиса.

Следует уделять надлежащее внимание чертежу, который является особым языком науки и техники. Попутно следует указать на необходимость усовершенствования преподавания черчения в школах.

Знание теории и правил еще не гарантирует умения прилагать эти знания. В первую очередь надо производить математические операции наиболее рационально, наиболее «технично», увязывать преподавание математики с физикой, химией и др., знакомить с решением задач технического содержания.

П. Я. Дорф рассказал, в каких направлениях сейчас идет работа в школах и педагогических вузах.

Осуществление политехнического обучения в школьном курсе математики должно проходить по следующим трем основным направлениям: 1) глубокое осознанное усвоение учащимися теоретических знаний, 2) достаточно основательное овладение математической техникой (измерения, вычисления, преобразования, построения и т. д.), 3) приобретение необходимых навыков и умения применять математические знания к решению практических вопросов.

Докладчик высказал следующие соображения о тех элементах, из которых должна складываться работа.

1) Дальнейшее повышение идейно-теоретического уровня школьного курса математики в направлении большего сближения его с математической наукой.

2) Усиление борьбы с формализмом в знаниях и навыках учащихся по математике.

3) Глубокое изучение учителями принципов политехнического обучения.

4) Конкретная разработка содержания и методики политехнического обучения в школьном курсе математики, изучение и обобщение накапливаемого учителями опыта.

5) Эта разработка должна предусмотреть: а) установление тесной связи математической теории с практикой; б) вооружение учащихся такими мате-

матическими знаниями и навыками, которые особенно важны для практической деятельности людей; в) ознакомление учащихся с разнообразными применениями математики; г) содействие привитию учащимся некоторых навыков обращения с простейшими орудиями труда.

6) В школьном курсе математики должно быть уделено необходимое внимание приближенным вычислениям, вычислительной технике, овладению некоторыми счетными приборами (счеты, логарифмическая линейка, арифмометр), использованию в вычислительной практике разнообразных таблиц, графиков, простейших номограмм, применению различных измерительных инструментов (масштабная линейка, штангенциркуль, микрометр, палетка и т. д.), ознакомлению с некоторыми инструментами для землемерных работ и с применением этих инструментов при проведении измерительных работ на местности и при выполнении несложных расчетно-сметных работ.

7) Значительная часть вычислений, проводимых в школьном курсе математики, по приемам, оформлению и способам проверки должна быть приближена к техническим вычислениям. При проведении разнообразных измерений основное внимание следует уделять вопросам математической теории, лежащей в основе этих измерений. Необходима большая согласованность между школьными курсами математики, физики и черчения.

8) Для привития навыков и умений применять математику к решению практических вопросов особое значение имеют прикладные задачи (технического, производственного и бытового содержания), а также задачи из смежных дисциплин.

9) Приобретению учащимися навыков обращения с простейшими орудиями труда должна помочь работа по изготовлению моделей и иных наглядных пособий по математике.

10) Осуществление политехнического обучения в школьном курсе математики должно вызвать изменения в методах преподавания математики, в частности повышение роли практических и лабораторных работ, проводимых в классе, на местности и дома, усиление внимания к экскурсиям математического характера.

11) Для успешного осуществления политехнического обучения в школьном курсе математики надо переработать программу. Следует продолжить работу по совершенствованию учебных руководств, выпустить массовыми тиражами методические руководства, принять необходимые меры к обеспечению школ оборудованием по математике.

В прениях на январском заседании Н. Н. Никитин высказал ряд соображений из области частной методики.

Ноябрьское и декабрьское заседания были посвящены обсуждению доклада П. А. Ларичева о новом проекте программ по математике для средней школы.

Доклад вызвал оживленные и порою острые прения. Особенно резкие расхождения в мнениях были по вопросу об исключении из существующих программ некоторых тем и введении новых.

Общий вывод получился такой: весь проект программы нуждается в пересмотре, тщательной проверке, серьезных обоснованиях. В частности, многое зависит от хорошей организации проведения практических работ.

На февральском заседании секции был заслушан доклад Н. М. Бескина об «афинных преобразованиях в средней школе».

Материал доклада послужит интересным содержанием для внеклассной работы. Ставить его надо в плане развития преобразования подобия.

H. М. Бескин предлагает называть афинные преобразования отображениями, причем ввести их аксиоматически, сохраняя конструктивный элемент лишь как иллюстративный.

Мартовское собрание было посвящено обсуждению доклада А. И. Фетисова по вопросу об измерении площадей.

А. И. Фетисов предложил один из вариантов изложения теории измерения площадей многоугольников в VIII классе.

Сущность варианта заключается в том, что предварительно определяется понятие площади как действительного числа, которое можно отнести к каждому многоугольнику. Эти числа должны обладать следующими свойствами.

I. При выбранной единице длины каждому многоугольнику однозначно относится соответствующее действительное число.

2. Равные многоугольники имеют равные площади.

3. Если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей составляющих многоугольников.

Далее доказывается лемма о том, что для каждого треугольника произведение любой стороны на опущенную на нее высоту есть величина постоянная. Половина произведения основания на высоту принимается по определению за площадь треугольника. После этого доказывается, что это число удовлетворяет всем вышеуказанным условиям.

Площадь многоугольника определяется как сумма площадей треугольников при произвольном разбиении его на треугольники и вновь доказывается сохранение трех основных условий. После определяется площадь параллелограма, прямоугольника, трапеции и т. д.

Доклад вызвал ряд возражений со стороны слушателей: высказывались сомнения в отношении приемлемости такого изложения для школы — учащимся будет трудно понять, почему площадь треугольника должна именно так определяться. Некоторые участники совещания высказали мнение, что интересно произвести соответствующий эксперимент в VIII классе.

Апрельское заседание было посвящено докладу А. С. Кронрода о «машинной математике». Этот доклад вызвал у участников собрания особый интерес.

Для сравнения докладчик привел следующие данные.

С помощью логарифмической линейки можно выполнить 200 вычислений в смену.

С помощью машины Мерседес 2000 вычислений в смену.

С помощью реле 200 000 вычислений в смену. С помощью электроники 200 • 10б вычислений в смену.

Образные пояснения докладчика создали у слушателей яркое представление о большом и важном перевороте, произведенном применением машин в вычислительной технике.

На майском заседании полковник Гомонов и ст. преподаватель Тульского Суворовского училища т. Гайдуков рассказали о постановке преподавания элементов высшей математики в суворовских училищах.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 4 ЗА 1953 ГОД

№ 51

Решить уравнение:

(Sx + 7)2 (4х + 3) (X + 1) = 4,5.

Решение. Умножив обе части данного уравненения на 16, получим:

пусть

тогда

откуда

Имеем:

и

откуда

№ 52

Найти три несократимые дроби:

составляющие арифметическую прогрессию, если

Решение. Так как дроби

составляют арифметическую прогрессию, то

откуда X — у = у — z,

или 2у = X + z. (1)

Тогда

откуда

(2)

откуда

(3)

Разделив равенство (2) на (3), получим:

заменив из равенства (1) z = 2у — х, получим:

так как при х — у = 0 имеем: х = у, х — у ф 0, тогда из равенства (1) получим:

x — y = z,

а из равенства (2)

X = у = z = и, что исключено условием задачи. Тогда

(4)

откуда

Так как х, у, z, и — целые числа, то найдем такие целые значения х, при которых У5х2+6х+ 1 будет рациональным

Обозначим У 5х2 + (5* + 1 = t, откуда находим:

Найдем такие значения t, чтобы У 5^2 + 4 был рациональным.

Пусть У Ы2 + 4 = k; откуда

Наименьшие числа удовлетворяющие этому уравнению:

£1=9, /1=4.

Отсюда имеем:

дроби

удовлетворяют условию.

№ 53

Решить уравнение:

(Найти трехзначное число, которое в \lj2 раза больше произведения факториалов его цифр.)

Решение. Искомое число кратно трем. Наименьшее трехзначное число, кратное трем, есть 102, а наибольшее 999, Следовательно искомое число

Следовательно,

68<*!уЫ<666.

Из последнего соотношения следует, что ни одна из цифр искомого числа не может быть больше 5 (так как 61 = 720 > обо). Кроме того, искомое число должно делиться на 4, так как x\y\z\ должно делиться на 8. Действительно, чтобы получить в произведении факториалов цифр искомого числа число, не меньшее 68, нужно либо каждую цифру взять не меньшей двух, либо одну из цифр взять не меньшей четырех (если две другие единицы или единицы и двойки), либо две цифры — не меньшими трех, тогда третья цифра будет 2.

В произведении факториалов во всех возможных случаях будет множитель 8. Итак, искомое число делится на 4 и на 3 и его цифры удовлетворяют условиям:

0<лг<5, 0<у <5, 0О<5.

Для 2, как последней цифры искомого числа (четного) в данных пределах, возможны два значения: 2 и 4.

Для у при 2 = 2 возможны значения: 1, 3, 5, так как две последние цифры должны делиться на 4, т. е. при s в 2 для двух последних цифр искомого числа возможны комбинации 12, 32, 52. Из тех же соображений при z = 4 для у получаем 2 и 4, т.е. комбинации двух последних цифр: 24 и 44. Из предыдущих рассуждений вытекает, что испытанию подлежат только пять чисел:

312, 432, 252, 324, 144. Из этих чисел только 432 удовлетворяет условию

432= -|-4!3!2! = 3-24.6. № 54

Рассмотрим три произвольные различные пары действительных чисел (афх), (a2b2), (а3Ь3). Доказать, что существует треугольник, стороны которого выражаются числами:

и вычислить площадь этого треугольника.

Решение. Для того чтобы a, b и с были сторонами треугольника, необходимо чтобы выполнялись неравенства:

я + ô > с, 6 + с > я, я + с > 6, из которых вытекает неравенство Буняковского

В самом деле, соотношение a + b > с эквивалентно

а это и есть неравенство Буняковского.

Равенство возможно только в случае, если числа аъ — аъ 63 — Ь\ пропорциональны числам а2 — аг, Ь2 — Ь2; но тогда

но в этом случае три точки будут лежать на одной прямой.

Значит, имеет место строгое неравенство а 4- b > с; аналогично доказывается, что b + с > я и с -J- # > Ь.

Отсюда следует, что существует такой треугольник, стороны которого равны а, Ьу с.

Для вычисления площади треугольника можно воспользоваться формулой Герона или формулой

Итак

Обозначим

тогда

после упрощения имеем:

№ 55

При каких значениях х и у выражение

z m X* + 2ху + 2у2 + 2х + 4у + 3

имеет наименьшее значение. Найти это наименьшее значение элементарными средствами.

Решение. Преобразуем данный многочлен

Отсюда следует, что z принимает наименьшее значение, равное 1, при х+у + 1 = у + 1 = 0, т. е. при X = 0, у = — 1.

№ 56

Доказать, что

так называется дробная часть

числа

т. е. разность между этим числом и наименьшим целым числом, меньшим, чем само это число, или равное ему:

наибольшее целое число, меньшее

или равное

Решение. По определению целой части числа имеем:

(1)

По определению дробной части числа имеем:

Отсюда

(2)

По из (1) следует, что

или

(3)

Из (3) следует, что

(4J

Отсюда из (2) следует, что

Если п — четное, то

или в силу (4)

Если п — нечетное, то

Значит, всегда

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник ABCD. При какой величине угла наклона диагонали этого сечения к плоскости основания кратчайшим расстоянием по поверхности цилиндра между точками А и С будет ломаная ABC?

Решение. Условие задачи можно сформулировать так: «При какой величине угла наклона диагонали этого сечения к плоскости основания ломаная ABC будет короче расстояния между точками Л и С по боковой поверхности цилиндра?»

Если AD = H и АО = R (черт. № 1), то ломаная ABC имеет длину H + 2R.

Так как разверткой цилиндра будет прямоугольник, то винтовая линия будет диагональю этого прямоугольника и, следовательно, ее длина будет равна

следовательно,

Черт. 1.

Отсюда

Итак,

откуда

№ 58

В прямоугольный треугольник вписан круг. Площадь этого круга составляет тс : (3 + 2-j/2) площади треугольника. Найти углы треугольника.

Решение. Обозначим AD = х и DO = г (черт. 2), тогда площадь треугольника

(1)

Согласно условию имеем:

(2) (3)

Сделав замену в выражении (3), получим:

или

Следовательно,

№ 59

Дан треугольник ABC. Найти три точки Аи Вь Cj так, чтобы около шестиугольника ACiBAiCBxA можно было описать окружность и чтобы в него можно было вписать окружность.

1-е решение. Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, всегда можно построить четвертую точку так, что четырехугольник будет одновременно вписуем и описуем (смотри задачу № 363 в «Сборнике геометрических задач на построение» Александрова, 1950 г. изд.).

Итак, построим такие четырехугольники АВА\С, АВСВ1 и АСВС\ (черт. 3); так как все описанные окружности около этих четырехугольников проходят через вершины Л, В и С данного треугольника, то, следовательно, они все совпадают с окружностью, описанной около треугольника ABC. Докажем, что в этот шестиугольник можно вписать окружность.

Имеем:

Сложив эти равенства, получим:

АХС + Вг А + С, В = ВАХ + CBV + СХА{.

Так как сумма четных сторон шестиугольника AC\BAiCBi равна сумме нечетных сторон, то, следо-

Черт. 2.

Черт. 3.

вятельно, в него можно вписать окружность. Это утверждение можно доказать и другим способом. Так как четырехугольники АВАХС, АВСВ^ АС\ВС вписаны в окружность, то их внутренние углы удовлетворяют соотношениям:

Сложив почленно эти равенства, получим:

Следовательно, около шестиугольника АС\ВАХСВ можно описать окружность.

2-е решение. Около данного треугольника ABC опишем окружность; очевидно, и остальные точки А\, Bi, Ci вместе с вершинами данного треугольника должны лежать на одной окружности.

На каждой стороне данного треугольника ABC построим равнобедренные треугольники с вершинами на окружности, описанной около треугольника ABC.

Шестиугольник ACiBAxCBi (черт, 4) — искомый.

Черт 4.

Черт. 5.

Доказательство. По построению он вписан в окружность и так как

следовательно, в него можно вписать окружность.

№ 60

Определить объем пирамиды по шести ребрам я, Ь, с, аъ Ь\, с\.

Решение.

(1)

Из Д С DM (черт. 5) имеем:

но

следовательно,

(2)

По теореме косинусов имеем:

отсюда

Подставив это значение sin а в (2), получим (3):

но

Подставив эти значения косинусов в (3), получим:

№ 61

Решить уравнение:

Решение. В каждой скобке выполним преобразование:

перемножив, получим:

отсюда имеем два уравнения:

или

имеем: или

Из последнего уравнения находим:

№ 62

Решить уравнение:

Решение. Имеем:

или

Сократив на 7(д + ^)» получим:

(2)

Так как выражения (а + Ь + xf — & и *7 -f я7 делятся на х + а и (а + b -f ху — Ф и х7 + б7 делятся на то левая часть уравнения (2) делится на

(x + a)(x + b)=*x2 + (a + b)x + ab.

Имеем:

Отсюда

(3)

Представим последнее в следующем виде:

Пусть

(4)

тогда отсюда

Подставив это выражение в равенство (4), получим:

По условию а > 0, b > 0, следовательно,

поэтому

№ 63

Точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника проектируется на стороны. Зная проекции, построить четырехугольник.

Решение. Допустим, что четырехугольник ÄBCD ~ искомый (черт № 8),

Черт. 6.

На диагонали А\С\ опишем дугу, вмещающую угол

а на диагонали BXDX — дугу, вмещающую угол

Точка пересечения дуг О является точкой пересечения диагоналей искомого четырехугольника. В самом деле:

(1)

но и

Отсюда

а так как по построению

то, подставив эти значения в равенство (1), получим:

Аналогично докажем, что

Отсюда

Следовательно, BOD — прямая линия.

Из предыдущего рассуждения вытекает способ построения.

Соединяем точки А%, Вь Ci и D\\ на диагонали AxCi опишем дугу, вмещающую угол

а на диагонали BiDt опишем дугу, вмещающую угол

точку О пересечения дуг соединяем с точками Аь &ъ Сь D\ и проводим АВ±АгО, ВС ±ВгО, CD JL CiO и AD ± DiO. Четырехугольник ABCD — искомый.

№ 64

Построить графики функций'.

Решение, а) Имеем:

Наибольшее значение у равно

Наименьшее значение у равно

Значит, график функции у = F (х) расположен ниже прямой у = 2 и выше прямой у = — -г-. График пересекает ось у в точке, где х = 0, а y = sinO+-|- sin2 0 = 0, т. е. только в начале координат» Для нахождения точек пересечения с осью х решим уравнение

откуда

ху = 180л, х2 = — 90° + 360л.

Установим, в каких точках, т. е. при каких значениях х% график расположен над осью х. Для этого решим неравенство

sin X (1 + sin х) > 0,

получим:

360£<лг<180° + 360°£,

т. е. F(x)>0 в следующих интервалах:

(—720°, —540°), (—360°, —180°), (0, 180°), (360°, 540°).

В остальных промежутках F (л:) < 0.

Установим промежутки монотонности. Так как функция периодическая с периодом 2гс, то исследуем ее в интервале (0,27t). Из формулы

видно, что при увеличении * от 0 до 90°, F (х) растет от 0 до 2, при дальнейшем увеличении х от 90 до 210° F{x) убывает от 2 до —-j ; от 210 до 270° F (х) растет от - |- до 0 и т. д. Установленные свойства функции у = sin х + sin2 х дают возможность построить график, который имеет следующий вид (черт. № 7).

б)

следовательно, график функции у =

есть та же кривая, что график

но смещенная по оси ОХ на -к влево.

Черт. 7.

ЗАДАЧИ

1. Решить уравнение: где

а > b > с.

X. Хамзин (Стерлитамак)

2. Решить уравнение:

М. Каченовский (Москва)

3. Доказать, что в треугольнике ABC, где BL — медиана, ВМ — биссектриса, .имеет место соотношение:

П. Савчук (Сталиногорск)

4. Из всех четырехугольников с одними и теми же сторонами четырехугольника, около которого можно описать окружность, имеет наибольшую площадь.

И. Яворский (Москва)

5. Определить максимум функции:

И. Яворский (Москва)

6. Доказать тождество:

М. Каченовский (Москва)

7. Дан ряд концентрических окружностей с радиусами гь г2, г3, .. ./*£, причем площадь любого кругового кольца, заключенного между двумя соседними окружностями радиусов и rkjrx, равна площади внутреннего круга, радиус которого г\.

1. Доказать, что наибольшая хорда, целиком лежащая внутри любого такого кругового кольца, равна диаметру внутреннего круга 2/-х.

2. Для каких значений k эта хорда является стороной правильного многоугольника и какого именно?

Б. Лорткипанидзе (Алма-Ата)

8. Доказать, что объем тетраэдра равен произведению площади параллелограма со сторонами, соответственно равными двум противоположным ребрам, на одну шестую кратчайшего расстояния между этими ребрами тетраэдра.

8. Смышлеев (Марийская АССР, Юрьевский р-н)

9. Решить уравнение:

А. Гемуев (Фрунзенская обл.)

10. Решить уравнение:

где R — радиус круга, описанного около треугольника;

г —радиус круга, вписанного в треугольник;

(т. е. полупериметр треугольника).

М. Каченовский (Москва)

11. Доказать, что

С. Петров (г. Гайсин)

12. Решить систему уравнений:

И. Яворский (Москва)

13. При каком условии выражение х2 + у2 ^ z2 +t2 имеет минимум, если переменные х, у, z, t удовлетворяют равенству

тх + пу +pz+gt = Л,

где m, л, q и Л — постоянные.

М. Каченовский (Москва)

14. Решить уравнение:

Ф. Сергиенко (Запорожье)

ПОПРАВКА

В № 4 журнала за 1953 г. на стр. 11 в тексте примера 1 автором была допущена описка, не исправленная редакцией: вместо 988 кг надо 1088 кг. Соответствующие исправления должны быть внесены и в решение.

Задача № 22, условие которой помещено в № 2 журнала за 1953 г., кроме решения, приведенного в № 5 журнала, имеет еще три решения: 183 184, 328 329, 715 716.

Редакция

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Тридцать лет без Ленина — по ленинскому пути................ 1

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Андронов И. К. — К вопросу о длине окружности и площади поверхности элементарных круглых тел.......................... 4

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Болгарский Б. В. — Деятельность И. Н. Ульянова в области методики математики 11

МЕТОДИКА

Новоселов С. И. — О понятиях уравнения и тождества............. 15

Смирнов И. И. — О решении и исследовании уравнений в курсе школы .... 22

Сикорский К. П. — О составлении уравнений по условиям задач........ 38

Дырченко И. И. — Составление уравнений по условиям задач......... 44

Черепнин М. С. — О решении и исследовании задач, приводящихся к квадратным уравнениям.............................. 51

ИЗ ОПЫТА

Азия А. П. — К вопросу об элементах политехнизма на уроках математики ... 54

Абаляев Р. Н. — О составлении задач на местном материале.......... 57

Птахин Г. А. — Изучение симметрии в VI и VII классах............ 59

Богушевский К. С. — Из писем и заметок читателей............... 67

Павлов Д. И. — Один из уроков, прививающих навыки рациональных вычислений 75

Давыдов У. С. — К вопросу о биноме Ньютона................. 76

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

Рупасов К. А. — Константин Феофанович Лебединцев.............. 79

ХРОНИКА

Гилко А. — О работе семинара по повышению квалификации учителей..... 84

Дорф П. Я- — В секции средней школы Московского математического общества 85

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 4 за 1953 год................ 87

Задачи.................................... 95

Редакционная коллегия:

Редактор А. Н. Барсуков, зам. редактора С. И. Новоселов, члены редакционной коллегии: К. С. Богушевский, П. А. Ларичев, В. В. Немыцкий, H. Н. Никитин, С. В. Филичев, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Р. С. Терюкалова

Технический редактор С. Н. Шахов Корректор А. Г. Мареева

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

Сдано в производство 3/XI 1953 г. Подписано к печати 22/XII 1953 г. Учетно-изд. л. 11,05

А08176. Заказ 539 Тираж 90 000 экз.

Цена 4 р. 50 к. Бумага 84X108i/i6 = 3 бум. л.—9,84 п. л.

13-я журнальная типография Союзполиграфпрома Главиздата Министерства культуры СССР, Москва, Гарднеровский пер., 1а.

ПРОДОЛЖАЕТСЯ ПОДПИСКА на 1954 год

на ежемесячный журнал

„НАРОДНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ“

(Орган Министерства просвещения РСФСР)

Журнал рассчитан на работников отделов народного образования, педагогических кабинетов, педагогических учебных заведений, директоров средних и семилетних школ, детских домов и внешкольных учреждений.

Подписка принимается в городских и районных отделах „Союзпечати“, конторах и отделениях связи.

Учпедгиз