МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

6

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1953

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 6

НОЯБРЬ — ДЕКАБРЬ 1953 г.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ

В. Я. САННИНСКИЙ (Ворошиловград)

В школьном курсе математики изучаются некоторые формулы из теории арифметических рядов. Сюда относятся формулы общего члена арифметической прогрессии и некоторых других последовательностей, формулы суммы их членов. Вместе с этим изучаются и простейшие целые рациональные функции — линейные, квадратичные и другие.

Представляется целесообразным установить связь между этими разделами алгебры и показать, что задача отыскания формулы общего числа той или иной последовательности тесно связана с задачей интерполяции функции. Научное и методическое значение этого вопроса трудно переоценить.

Настоящая статья является некоторым итогом работы с учащимися в этом направлении.

Материал расположен концентрически: линейная функция, квадратичная функция и целая рациональная функция я-й степени, что делает возможным его изучение школьниками в порядке внеклассной работы не только на последнем году обучения, но и по мере прохождения соответствующих тем программы.

Ниже мы будем рассматривать целые рациональные функции, т. е. многочлены. Общий вид многочлена (от одного аргумента) таков:

Множеством допустимых значений аргумента будем во всех случаях считать множество чисел, образующих арифметическую прогрессию:

где jc0 — начальное значение аргумента, h — ступень аргумента. Соответствующие значения функции будем обозначать так:

JV» У\\ УV. -Уз; — и называть последовательностью значений функции.

Линейная функция

1. Конечные разности линейной функции и их свойство.

Рассмотрим для примера линейную функцию:

Дадим аргументу х ряд значений через равные промежутки:

Соответствующие значения функции у будут:

Вычисляя далее разности между каждыми двумя последовательными значениями функции, называемые конечными разностями &у первого порядка, получим:

Заключаем, что разности первого порядка линейной функции у = 3х — 7 постоянны и равны 3. Результаты вычислений представлены в виде таблицы (стр. 2).

Подмеченное свойство является общим для всех линейных функций.

Теорема. Разности первого порядка ли-

нейной функции у = а1х+а0 постоянны и равны axh, где h — ступень аргумента.

X

2

3

4

5

У

-1

2

5

8

Ду

3

3

3

Доказательство. Пусть аргумент х принимает значения:

и

соответствующие значения функции. Тогда разности первого порядка будут:

2. Применение свойства конечных разностей линейной функции.

Пусть известны несколько соответствующих друг другу значений аргумента и линейной функции (во всех случаях значения аргумента даны через равные промежутки). Требуется найти эту функцию.

Составим разности между последовательными значениями функции, т. е. разности первого порядка. Задача имеет решение только в том случае, если эти разности окажутся равными между собой. Коэффициенты ах и а0 искомой линейной функции найдем, составив из условий вопроса и решив систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: ах и а0.

Заметим пока, что существуют и более сложные функции, удовлетворяющие условиям поставленной задачи, но из них линейная есть простейшая.

Задача 1. Числа — 0,5; 2; 4,5;... последовательные значения линейной функции при *=1; 2; 3;... Определить функцию.

Составим таблицу.

X

1

2

3

У

-0,5

2

4,5

Ду

2,5

2,5

Разности первого порядка равны между собой. Представим искомую линейную функцию в виде:

где ах и а0 — искомые коэффициенты.

Для определения коэффициентов ах и а0 имеем систему

Вычитая (1) из (2), получим:

^ = 2,5. Далее, из (1) находим:

а0 = — 0,5 — ах = — 3; а0 — — 3.

Искомая функция:

Заметим, что найденная формула дает возможность вычислить любое по порядку значение функции.

Задача 2. Найти линейную функцию, последовательными значениями которой являются числа:

(А)

Рассматривая любой член у последовательности (А) как функцию его номера х, составим таблицу.

X

1

2

3

У

ax + d

ax + 2d

Ду

d

d

Разности первого порядка равны. Для отыскания коэффициентов Ах и Л0 искомой функции

имеем систему:

(1)

(2)

Решив эту систему, найдем:

Ах = d\ А0 =ах — d.

Искомая функция:

и

Мы получили формулу любого числа арифметической прогрессии или арифметического ряда первого порядка.

Задача 3. Интерполяционная формула первого порядка.

Пусть дана (в общем виде) таблица соответствующих друг другу значений аргумента и функции:

причем &у0 = &ух =... Определить соответствующую функцию вида у = ахх+а0. По условиям, имеем систему:

(1)

(2)

Вычтя из уравнения (2) уравнение (1), получим:

откуда

Но и

поэтому

Из (1) находим:

Искомая функция:

или

Последнее равенство называют интерполяционной формулой Ньютона первого порядка. Пользуясь ею, можно легко решить задачи 1 и 2, для чего достаточно заменить в формуле параметры х0, y0f h и Av0 их данными значениями и произвести над числами указанные действия.

Полученная формула решает (и притом однозначно) задачу нахождения линейной функции по двум парам соответствующих друг другу значений аргумента и функции. К подобному выводу легко прийти, если исследовать систему уравнений, к которой свелась задача, или исследовать саму формулу (стоит только помнить, что h ф 0).

Если в задаче 3 отбросить указание на вид искомой функции, сохранив все остальные условия, то задача станет неопределенной. Действительно, тогда, наряду с найденной функцией

(1)

условию задачи будет удовлетворять, например, функция:

(2)

и бесконечное множество других. Но, как будет показано далее, среди этих функций только одна первая — целая рациональная, все же остальные не алгебраические. Это обстоятельство делает возможным, не в ущерб определенности решения задачи 3, заменить требование линейности искомой функции более умеренным требованием, чтобы искомая функция была целой рациональной.

Сказанное позволяет сделать вывод, что если не выходить из множества целых рациональных функций, то равенство разностей первого порядка является характеристическим свойством линейной функции.

Применим полученный вывод к решению следующей задачи.

Задача 4. Даны три последовательные значения

некоторой рациональной функции. Найти соответствующую функцию.

Обозначив через у числитель, через z знаменатель дроби, будем искать дробь как рацио-

нальную функцию ее номера х. Из требования рациональности функции следует, что у и z — целые рациональные функции от х. Имеем таблицу:

Так как Ау и Az постоянны, то ищем целые рациональные функции у и z как линейне. Для отыскания последних можно воспользоваться интерполяционной формулой первого порядка:

Искомая функция дробно-линейная.

Квадратичная функция

I. Свойство конечных разностей квадратичной функции.

Разности между последовательными разностями первого порядка называют разностями второго порядка и обозначают А2у.

Таким образом:

Для квадратичной функции

имеем таблицу (см. след. столбец).

Из таблицы видим, что разности второго порядка данной квадратичной функции равны между собой. Равенство разностей второго порядка есть общее свойство всех квадратичных функций.

Теорема. Разности второго порядка квадратичной функции

у = а2х2 + ахх -J- а0

постоянны и равны Ь2д2А2.

Доказательство. Пусть аргумент х принимает значения:

и функция у — соответственно значения:

Две последовательные разности первого порядка будут:

Разность второго порядка будет:

Так как полученное выражение не содержит jc0, то при данных h и квадратичной функции все разности второго порядка равны между собой.

2. Применение свойства конечных разностей квадратичной функции.

Задача 1. Пусть известны квадраты трех последовательных целых чисел:

требуется продолжить ряд квадратов.

Имеем квадратичную функцию у = х2у три значения которой известны. Находим разности перврго порядка:

676 — 623 =^ 51; 729 — 676 — 53.

Находим разность второго порядка:

Так как функция — квадратичная, то следующая разность второго порядка также равна 2; следующая разность первого порядка равна 53 -[-2 = 55; следующее значение функции: 729 + 55 = 784 и т. д.

Вычисления удобно располагать в виде таблицы.

Аналогично продолжается таблица и влево.

Построение интерполяционных формул

Если даны соответствующие друг другу значения аргумента и квадратичной функции, то для отыскания последней достаточно составить из условий задачи и решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: а2, ах и а0. Задача имеет решение лишь в том случае, когда разности второго порядка постоянны. Решение будет единственным, если в условии задачи содержится указание на то, что искомая функция — квадратичная.

Задача 2. Квадратичная функция задана таблицей:

Определить функцию.

Последовательные разности первого порядка суть:

4; 6; 8.

Последовательные разности второго порядка суть:

2; 2.

Разности второго порядка постоянны, следовательно, задача имеет решение. Полагая

определим а2, ах и а0. По условию, имеем:

Решив систему, найдем:

Искомая функция:

Задача 3. Вывести формулу суммы членов арифметической прогрессии.

Как нетрудно видеть, для последовательности сумм SXf 52,... разности второго порядка постоянны:

Поэтому, предложенную задачу можно заменить задачей отыскания квадратичной функции:

Для определения коэффициентов Л2, Ах и Л0 имеем систему:

Решив эту систему, найдем:

Искомая функция:

Задача 3. Найти квадратичную функцию, которая:

при х = х0 принимает значение y=zyQt при х = хг принимает значение у~уи при х = х2 принимает значение у~у2. Будем искать функцию в виде

где k — коэффициент, подлежащий определению. Полагая в этой формуле х = х0, получим

полагая

получим:

т. е. первые два требования выполнены.

Определим k так, чтобы выполнялось третье условие, т. е. из уравнения

Приняв во внимание, что

последнее уравнение перепишем так:

откуда

следовательно,

Искомая функция:

Мы получили интерполяционную формулу Ньютона второго порядка, которая решает (и притом однозначно) задачу отыскания квадратичной функции по трем парам соответствующих друг другу значений аргумента и функции.

Как и в случае линейной функции, имеет место общее утверждение: если не выходить аз множества целых рациональных функций, то равенство разностей второго порядка является характеристическим свойством квадратичной функции.

Применим этот вывод к решению следующей задачи.

Задача 4. Дана таблица: 1

2, 3, 4

3, 4, 5, 6, 7

п.....(2п — 1 последовательных чисел).

Найти сумму Sn чисел п-й строки. Составим таблицу.

п

1

2

3

4

Sn

1

9

25

49

AS

8

16

24

Д2£

8

8

Разности второго порядка постоянны (это можно проверить в общем виде), следовательно, искомая целая рациональная функция — квадратичная.

Для отыскания этой функции применим интерполяционную формулу второго порядка. Имеем:

Попутно обнаружено такое свойство строк данной таблицы: сумма чисел каждой строки ее равна квадрату нечетного числа (среднего в каждой строке).

Целая рациональная функция /г-й степени

Свойство конечных разностей я-го порядка.

Мы видели, что у линейной функции постоянны разности первого порядка, у квадратичной— разности второго порядка. Аналогичное свойство имеет место и в общем случае целой рациональной функции.

Теорема. Разности п-го порядка целой рациональной функции п-ой степени постоянны и равны п\ anhn.

Доказательство. Пусть

данная целая рациональная функция л-й степени.

С помощью бинома Ньютона находим:

(Применить метод индукции.)

Последняя разность отлична от нуля и не зависит от а:0, тогда как все предыдущие разности содержат х0, а все последующие разности равны нулю.

Интерполяционная формула Ньютона

Докажем предварительно следующее: Теорема. Любое значение ут целой рациональной функции п*й степени выражается через начальное значение и конечные разности формулой:

(1)

Докажем это равенство методом полной математической индукции.

Непосредственно находим:

Таким образом, равенство (1) верно для ю = 1, 2, 3.

Допустим, что равенство (1) верно для m = k, т. е. пусть

(2)

тогда и

(3)

Сложив равенства (2) и (3) почленно, получим:

Отсюда на основании принципа математической индукции заключаем, что равенство (1) верно для любого натурального т.

Пусть хт и ут суть соответствующие друг другу значения аргумента и функции. Известно, что

(4) (5)

Подставив значение

в равенство

(4), получим:

или

Рассмотрим следующий многочлен степени т:

(6)

При значениях х = х0, хъ х2, . . . , хт значения этого многочлена соответственно суть

У=Уо, У\, У2з • - • >Ут-

Таким образом, равенство (6) дает формулу

для многочлена степени т, имеющего при заданных т+\ значениях аргумента х0, хи . . ., хт заданные значения у0, уХ) . . . 9ут.

В силу теоремы единственности никакого другого многочлена степени не выше т, имеющего те же значения при тех же заданных /гг —j— 1 значениях аргумента, не существует.

Формула (6) называется интерполяционной формулой Ньютона.

Из всего сказанного можно сделать такие выводы:

Если целая рациональная функция есть функция т-й степени, то ее конечные разности т-го порядка постоянны и отличны от нуля (это предложение доказано выше). И обратно:

Если у целой рациональной функции постоянны и отличны от нуля конечные разности т-го порядка, то эта функция имеет степень m (она не может иметь степень ниже или выше, чем т, в противном случае были бы постоянны и отличны от нуля разности порядка ниже или выше, чем ni).

Таким образом, во множестве целых рациональных функций постоянство разностей /гг-го порядка является характеристическим свойством целой рациональной функции /я-й степени.

Эти выводы используются так.

Пусть даны (в достаточном числе) соответствующие друг другу значения аргумента и функции и требуется найти функцию в виде целой рациональной.

Для решения задачи составляются конечные разности первого, второго и т. д. порядков; пусть разности /г-го порядка оказываются равными между собой и отличными от нуля. Тогда на основании обратной теоремы заключают, что искомая целая рациональная функция есть многочлен я-й степени. Вопрос об определении его коэффициентов решается однозначно, по интерполяционной формуле Ньютона. Коэффициенты можно также найти, составив и решив систему линейных уравнений.

Применим сказанное к задаче.

Задача. Найти сумму квадратов п первых чисел натурального ряда.

Требуется вычислить сумму:

]2_|_22 + 32+ ... + n2 = Sn.

Полагая в этом равенстве п равным 1, 2, 3. .., получим таблицу (см. след. столбец).

Разности третьего порядка равны (это нетрудно проверить в общем виде), следовательно, искомая целая рациональная функция есть функция третьей степени. Для определения этой функции воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона соответствующего порядка:

Полагая в этой формуле

получим:

Рассмотренный вопрос имеет весьма важное практическое значение. Наблюдая реальную зависимость между двумя переменными величинами (например, физическими), мы можем результат наблюдения отобразить таблицей (значения аргументу даются через равные промежутки). По такой таблице рассмотренными методами отыскивается соответствующее аналитическое представление зависимости в виде многочлена (в общем случае приближенное).

Приведем примеры применения интерполирования к реальным физическим зависимостям, взятым из раздела «Теплота» школьного курса физики.

Задача 1. В результате наблюдения изменения температуры t кипения воды при изменении давления h получена таблица*.

Построить интерполяционную формулу (типа многочлена) этой зависимости. Составим таблицу конечных разностей:

А Л:0,4; 0,4; 0,4; 0,3; 0,4; 0,4; 0,3; 0,4; 0,3.

Разности первого порядка оказались почти равными. Следовательно, приближенная формула зависимости имеет вид:

Для определения постоянных в случае линейной функции чаще всего пользуются методом избранных точек. Это делается так. Избирается система координат. В этой системе строятся точки по их координатам (/г; t). При помощи прозрачной линейки проводится «наилучшая» прямая (точки на ней или в одинаковом числе по разные стороны от нее). Из построенных точек выбираются две, лучше других лежащие на прямой и по возможности наиболее удаленные друг от друга. В данном случае такими будут точки (730; 98,9), (780; 100,7). Остается написать уравнение прямой, проходящей через эти точки. Для этого имеем систему:

Решив систему, найдем:

Искомая зависимость имеет такой вид:

Построенная формула называется эмпирической и может быть использована для нахождения значений t для значений h из промежутка (710, 800).

Задача 2. Наблюдение зависимости давления h (в мм рт. ст.) насыщенных паров воды от температуры дало следующие результаты**.

t

0

2

4 j 6

8

10

12

14

16

18

20

h

4,6

5,3

6,1 j 7,0

8,0

9,2

10,5

12,0

13,6

15,5

17,5

Выразить эту зависимость соответствующим многочленом.

Составим таблицу конечных разностей.

ДА

0,7

0,8

0,9

1,0

. 1,2 1,3 1,5

1

1,611,9

1

2,0

Д2й

0,1

0,1

0,1 0,2

1

0,1 0,2 0,1 0,3 0,1

Из таблицы видим, что разности второго порядка почти постоянны; будем искать зависимость вида

Для определения постоянных а2, ах и а0 воспользуемся методом средних. Так как для определения трех параметров потребуется три уравнения, то разобьем наши данные на три равные группы (группы друг от друга отделены двумя вертикальными чертами) и вычислим средние

* Таблица заимствована из книги проф. Б. А. Знаменского «Лабораторные занятия по физике в средней школе», ч. 1, Учпедгиз, 1949, стр. 354.

** Таблица заимствована из книги «Практикум по физике», изд. АПН РСФСР, 1951, стр. 108.

значения t и h в каждой группе. Получим таблицу.

На основании этих условий имеем систему:

Решив эту систему, найдем:

Искомая формула:

Пользуясь построенной эмпирической формулой, можно для любого 0° ^ / ^ 20° вычислить соответствующее значение h.

Заметим еще, что параметры задачи 2 можно было определять методом избранных точек, равно как и в задаче 1 можно воспользоваться методом средних.

Для упражнения можно рекомендовать следующие задачи:

1. Функция принимает значения: 41, 43, 47, 53 при значениях аргумента: 1, 2, 3, 4. Найти функцию.

2. Даны четыре последовательные куба, например:

X

1

2

3

4

5

6

У

5

10

10

5

1

4. Найти сумму п слагаемых:

Продолжить таблицу кубов.

3. Найти выражение для функции, заданной таблицей

МЕТОДИКА

ШАР НА УРОКАХ ЧЕРЧЕНИЯ

С. Н. АНДРЕЕВ (Ленинград)

Шар в программе по черчению встречается три раза: в программе VII класса в разделе 8 говорится: «Построение чертежа куба, призмы, цилиндра, конуса и шара по заданным размерам в трех видах»; в программе IX класса в разделе 5 упоминается в числе проекций геометрических тел и проекция шара, и, наконец, в программе X класса в разделе 4 говорится: «Пересечение шара плоскостью, параллельной одной из плоскостей проекций. Построение проекций точек, принадлежащих поверхности шара.

Работа № 35. Вычерчивание шара, имеющего вырез двумя взаимно перпендикулярными плоскостями, параллельными плоскостям проекций».

В VII и IX классах достаточно ограничиться чертежом проекций шара и показать, как проставляются размеры шара.

В X классе вопрос ставится шире. Здесь мы не можем ограничиться только ортогональными проекциями на три плоскости и игнорировать требования стереометрии, где в большинстве задач и теорем пользуются наглядными изображениями. Поэтому мы должны одновременно с ортогональными проекциями шара, его сечений и вырезов дать учащимся приемы построения наглядного изображения шара, т. е. сообщить учащимся, как строится шар в аксонометрии.

Чтобы построить наглядное изображение предмета, нужно определить его видимый контур, т. е. абрис. Точнее, абрисом мы называем ту линию на плоскости проекций, которая получается от пересечения проектирующих плоскостей или поверхностей с плоскостью проекций.

Для построения абриса шара нужно сначала построить в аксонометрических проекциях три его взаимно перпендикулярные сечения, проходящие через центр (три большие круга), и тогда обертывающая кривая будет абрисом шара.

При изображении основных геометрических форм, особенно многогранников, учащиеся привыкли пользоваться кабинетной проекцией; поэтому построим шар в этой проекции и для большей наглядности изображения покажем вырез -g- части, ограниченной упомянутыми тремя взаимно перпендикулярными плоскостями.

На чертеже 1 изображен шар в кабинетной проекции, с показом трех больших взаимно перпендикулярных кругов. Одно из сечений шара (во фронтальной плоскости) изображается кругом, а два других — эллипсами, и обертывающая кривая, дающая абрис шара, есть эллипс. Действительно, параллельная проекция круга

Черт. 1

есть эллипс, следовательно, косоугольная проекция шара тоже есть эллипс. Наглядно это можно представить так: проектирующие лучи, наклонные к плоскости Р; проекции (черт. 2) и касательные к поверхности шара образуют цилиндрическую поверхность. Эта цилиндрическая поверхность пересекается плоскостью Р наклонно к основанию А цилиндра, и, следовательно, в сечении получается эллипс В.

Черт. 2

Если в обыденной жизни мы привыкли видеть круг в виде эллипса, например в посуде: ведра, стаканы и пр., то шар никогда не представляется нам эллипсом, и поэтому вычерчивание шара в виде эллипса противоречит нашим привычным представлениям. Кроме того, вычерчивание эллипса затруднительно и требует излишней затраты времени, что неприемлемо для стереометрии, где нужно быстро справляться с чертежом.

Черт. 3

Таким образом, мы не можем рекомендовать учащимся при вычерчивании наглядного изображения шара пользоваться кабинетной проекцией, и поэтому необходимо обратиться к ортогональным проекциям, когда шар проектируется в круг.

Рассмотрим, как строится прямоугольная изометрическая проекция круга, лежащего в горизонтальной плоскости. Известно, что изометрические оси имеют следующие направления: вертикальная ось OZ (черт. 3) на чертеже имеет вертикальное направление, а горизонтальная ох и боковая оу принимают направления, составляющие углы в 30° с горизонтом (горизонтальной линией). Таким образом, углы между осями (черт. 4) по 120°. Показатель искажения по всем осям 0,82 — это значит, что все размеры в направлении осей уменьшаются в отношении 0,82. Прямоугольную изометрическую проекцию круга О (черт. 5) можно построить так: диаметры AB и CD, совпадающие с горизонтальной и боковой осью, займут в изометрической проекции поло-

Черт. 4

Черт. 5

жение АХВХ и CXDX (черт. 6), т. е. по горизонтальной и боковой осям, и составят 0,82 своих размеров, т. е. АХВХ = 0,82 AB и CXDX = = 0,82 CD. Диаметр EF займет положение EXF\ по горизонту и спроектируется в действительную величину, т. е. EXFX = EF, a GH спроектируется в GXHX и расположится в направлении, перпендикулярном к горизонту, причем GXHX = 0,58 GH. Таким образом получится восемь точек эллипса: A1B{CxDlEîFxGxHx. Некоторое упрощение приведенных числовых соотношений позволит ускорить нахождение упомянутых восьми точек. Действительно, OiFi'.OiBi.OxGi = 1:0,82:0,58^=; 1 : -g- Это последнее соотношение дает такой порядок построения (черт. 6): после того как построены изометрические оси и проведен горизонт, от точки Ох откладываем по горизонту ОхЕх = OxFx = R круга; отрезок OxFx делим на пять равных частей, после чего -g- OxFi откладываем по горизонтальной и боковой осям и получаем точки AXBXCXDX и -у OxFx по вертикальной оси, где и получаем точки Gx и Н\. Соединив плавной кривой эти восемь точек, получим эллипс*. Пользуясь пропорциональным масштабом (черт. 7), можно получить более точные величины отрезков:

Если Аа равняется радиусу круга, то ас = =0,58 /?, и ad = 0,82 R. Пользуясь приведенными числовыми соотношениями, легко можно построить три взаимно перпендикулярные сечения шара, при этом нужно помнить, что малая ось эллипса, являющегося проекцией круга, лежащего в горизонтальной плоскости, совпадает с вертикальной изометрической осью, а малые оси двух других эллипсов, которые получаются, как проекции кругов, лежащих во фронтальной и профильной плоскостях, совпадают с горизонтальной и боковой изометрическими осями. Большие оси эллипсов перпендикулярны соответственным малым осям.

Построим сначала в изометрической проекции три большие взаимно перпендикулярные круга, шара (черт. 8). Для этого проводим радиусом,

Черт. 6

Черт. 7

Черт. 8

* Предлагаемый автором «упрощенный» метод определения точек эллипса при построении изометрической проекции круга не может быть признан удачным. Округление величины малой оси до 3/5 большой оси путем ее увеличения и величины сопряженных диаметров до 4/5 путем их уменьшения приводит (как это видно из чертежей 6 и 8) к искажению очерка кривой, что затрудняет их инструментальную обводку по нормальным лекалам. (Ред.)

равным радиусу шара, окружность, делим ее на 12 равных частей, и через точки деления проводим диаметры. Строим концентрические окружности радиусом -|- и R.

Пересечение окружностей с диаметрами дают точки эллипсов: точки Еъ Сх, Gx, Вь Fx, Du НХу Аг дают эллипс, являющийся проекцией круга, лежащего в горизонтальной плоскости; точки Ки Ви 1Х, Slf 1Ъ Аи Мъ Nt определяют проекцию круга, лежащего во фронтальной плоскости; точки, Рх Nx, UXi Dx, Qx, Sx, Tx, Cx принадлежат эллипсу, являющемуся проекцией круга, лежащего в профильной плоскости. Обертывающая кривая — круг, радиус которого равен радиусу шара. Полюсы Nx и Sx отстоят от абриса шара на расстоянии — части радиуса.

Итак, абрисом шара в прямоугольной изометрической проекции является круг, и построение сечения требует нахождения восьми точек.

В стереометрических задачах обыкновенно берутся горизонтальные сечения шара; посмотрим, как будут выглядеть вписанные в шар правильные пирамиды.

На чертеже 9 изображена правильная вписанная четырехугольная пирамида, при этом основание пересекает радиус в его середине. Здесь боковые ребра А/В и ND сливаются и рисунок получается недостаточно наглядным.

Правильная шестиугольная пирамида N ABC DE F (черт. 10) является вписанной, плоскость основания проходит через середину радиуса OxS. Вершины F и С лежат на концах диаметра FC (боковая ось), а для получения вершин В, D, Л, Е нужно через середины радиусов OxF и ОхС провести хорды BD и АЁ, параллельные горизонтальной оси.

Чтобы получить вершины Л и С правильной треугольной пирамиды (черт. 11), нужно через середину радиуса OxF провести хорду ЛС, параллельную горизонтальной оси.

Наглядность двух последних изображений вполне достаточная, и чертежи позволяют производить всевозможные дальнейшие построения в виде проведения внутри прямых линий и плоскостей.

Прямоугольная диметрическая проекция не предусмотрена программой по черчению, однако мы не можем обойти ее, тем более, что этот метод рекомендуется ГОСТом и, кроме того, в очень многих учебниках и задачниках наглядные изображения выполнены преимущественно в диметрической проекции (см., например,, А. К. Р у даев, Сборник задач по начертательной геометрии, Огиз, 1946).

Диметрические оси (черт. 12) образуют углы 13Г25', 13Г25' и 97°10', но если через точку С провести горизонт, то горизонтальная ось (ОХ) образует с горизонтом угол 7° 10', а боковая (OY) — угол 4Г25'.

Построение диметрических осей не представляет затруднений, если принять во внимание, что

Построение диметрических осей показано на чертеже 13.

Показатели искажений по вертикальной и го-

Черт. 9 Черт. 10 Черт. 11

Черт. 12

ризонтальной осям — 0,94, но боковой — 0,47; приравнивая два первые показателя к единице, получим следующее отношение показателей: 1:1:0,5. Следовательно, изображение получается увеличенное в отношении 1:0,94= 1,06, поэтому большая ось во всех трех эллипсах равна 1,06D (D—диаметр круга).

Чтобы построить в диметрической проекции круг, лежащий во фронтальной плоскости, нужно по вертикальной и горизонтальной осям отложить радиус круга (черт. 14) и через концы отложенного радиуса — через точки А, С, Е и G — провести отрезки, параллельные осям. Получим ромб. Большая ось эллипса HD, равная 1,06D, совпадает с большей диагональю ромба, малая ось эллипса BF — с меньшей диагональю и равна 0,94D, она же и боковая ось (Б. О.) проекции.

Круг, лежащий в горизонтальной плоскости, проектируется в эллипс (черт. 15), у которого большая ось АЕ, равная 1,06D, совпадает с горизонтом, малая ось СН совпадает с вертикальной осью и равна 0,35D, по горизонтальной оси откладывается OB = OF = /?, (где R — радиус круга) и но боковой оси OD = ОО = 0,5/?. Как мы уже говорили, в стереометрических задачах часто употребляются горизонтальные сечения, поэтому очень важно научиться быстро от руки строить эллипс, являющийся проекцией круга, лежащего в горизонтальной плоскости. Действительно, если по горизонту отложить АЕ =

то но вертикальной оси откладываем СН = 0,35D, или

Таким образом, отложив большую ось, мы у часть ее откладываем по вертикальной оси и приучаемся быстро через эти четыре точки проводить эллипс. Это очень облегчит и ускорит построение стереометрических чертежей.

Ниже показано на чертеже 16, как вписать в круг квадрат, когда его диагонали совпадают с горизонтальной и боковой осями.

На чертеже 17 показан квадрат, у которого стороны параллельны горизонтальной и боковой осям, при этом стороны, параллельные горизонтальной оси, спроектируются в действительную величину, а параллельные боковой — в ~ натуральной величины. Чтобы найти вершины квадрата, нужно радиусы OA и OB разделить на 10 равных частей, и через седьмое деление про-

Черт. 13

Черт. 14

Черт. 15

Черт. 16

вести линии, параллельные боковой оси, так как ■у- = — ^ 0,7/?. Построение вписанного треугольника (черт. 18) выполняется так: радиус OA делится пополам и через его середину проводится хорда CD параллельно боковой оси. Треугольник BCD — искомый. Здесь высота BE проектируется в действительную величину.

Правильный шестиугольник ACDBEF (черт. 19) строится тоже просто: через середины А О и ВО проводятся хорды CF и DE параллельно боковой оси. Стороны CD и FE проектируются в натуральную величину.

Конечно, возможны и другие случаи расположения вписанных правильных треугольника и шестиугольника. Все эти упражнения полезно сделать, чтобы учащиеся могли легко строить вписанные в шар, конус и цилиндр многогранники.

Круг, лежащий в боковой (профильной) плоскости, проектируется в эллипс с таким же соотношением величин, как и круг в горизонтальной плоскости. Малая ось эллипса BF совпадает с горизонтальной осью проекций и равна -g- большой оси, равной 1 ^ Д (где D — диаметр круга) и перпендикулярной к малой оси. По вертикальной оси (В. О.) откладываем отрезки ОС и ОН, равные радиусу круга, а по боковой оси (Б. О.) OA и ОЕ, равные половине радиуса круга (черт. 20).

Как видим из чертежа 21, абрисом шара в диметрической проекции является круг, радиус ко-

Черт. 17

Черт. 18

Черт. 19

Черт. 20

Черт. 21

торого в 1,06 раза больше радиуса шара, т. е. R шара = 1 ~ R круга (черт. 21).

Полюсы N и S отстоят от абриса на расстоянии 2Q радиуса круга.

Горизонтальные и профильные сечения шара строятся без особых затруднений.

Пусть дана вертикальная проекция шара, пересеченного плоскостью Р. Построим в диметрической проекции сечение шара плоскостью. На чертеже 22 показано построение: откладываем 0{0[ = OOf и проводим через точку 0'х хорду АХВХ и строим отрезок CxDi9 равный АХВХ.

Через точки AXCXBXDX проводим эллипс. В случае надобности через точку 0\ можно провести горизонтальную и боковую оси. Это нужно тогда, когда требуется вписать в сечение многоугольник.

Если дано профильное сечение (черт. 23), то построение выполняется следующим образом: по горизонтальной оси откладываем 0{0\ = 00', через точку 0\ проводим АХВХ ±_ 0V0\ (горизонтальной оси). От точки откладываем 0'{СХ = 0\Dx = ^0\Ax или 0\В{.

И в том, и в другом случае нужно приучиться от руки строить эллипс по двум осям, когда малая ось равна ~ большой оси.

Мы остановились здесь более подробно на выполнении наглядных изображений шара для того, чтобы тему «Шар и его сечение» по программе черчения начать с выполнения этих изображений.

На долю учителя черчения часто выпадает обязанность раньше учителя математики знакомить учащихся с геометрическими фигурами, с определениями и даже с некоторыми свойствами этих фигур.

Упомянем, что нужно сообщить учащимся о шаре.

Шар получается вращением полукруга около своего диаметра. Шар иногда определяется, как геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от одной точки — от центра. Концы диаметра называются полюсами. Отрезок, соединяющий центр шара с точкой его поверхности, называется радиусом шара. Линия, соединяющая две точки поверхности шара (сферы) и проходящая через центр, есть диаметр шара.

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Радиус круга сечения тем больше, чем ближе сечение расположено к центру. Сечение шара плоскостью, проходящей через центр, называется большим кругом шара; радиус этого сечения равен радиусу шара.

Шар проектируется ортогонально на плоскость в круг. Сечение шара плоскостью, параллельной плоскости проекций, проектируется в круг,

Черт. 22

Черт. 23

а плоскостью, наклонной к плоскости проекций, — в эллипс.

По теме «Шар и его сечения» нужно провести следующие работы:

1) Вычерчивание наглядных изображений шара с вырезом 4“ части в изометрической и диметрической проекциях (в рабочих тетрадях).

2) Решение задачи на нахождение проекций точки, лежащей на поверхности шара; точка задана только в вертикальной проекции (в рабочей тетради).

3) Решение задачи на вычерчивание сечения шара двумя плоскостями, параллельными плоскостям проекций (в рабочей тетради).

4) Самостоятельное решение учащимися задачи на сечение шара двумя плоскостями, параллельными плоскостям проекций (по раздаточному материалу, на форматках, тушью).

Содержанием первой работы является вычерчивание наглядных изображений шара в изометрической и диметрической проекциях, как это сделано на чертежах 8 и 21. Что касается технического рисунка шара в кабинетной проекции, то достаточно ограничиться показом заранее составленной таблицы с этим рисунком, с указанием, что в задачах на шар этот рисунок не употребляется.

Вторая работа представляет следующую задачу: «Дана проекция аг точки Ау лежащей на поверхности шара (черт. 24). Построить остальные проекции и наглядное изображение в диметрической проекции».

Как в этой задаче, так и в последующих, мы предпочитаем строить наглядное изображение шара в диметрической проекции, как наиболее простой и быстро выполнимой.

Решение задачи указано на чертеже 25: проводим через точку А плоскость Р || И. На чертеже показаны следы плоскости Pv и Pw и точка Рг пересечения плоскости Р с осью OZ (черт. 25).

Горизонтальная проекция сечения есть круг. Получаем два решения, т. е. точки а и а\ dt и а2.

Технический рисунок (черт. 26) выполнен так, как было указано раньше, т. е. в диметрической проекции. Хорда АА' проведена параллельно боковой оси, на расстоянии О'В = О'Ь по горизонтальной оси.

Черт. 24

Черт. 25

Черт. 26

Учащимся можно предложить решить эту же задачу, если через точку А провести плоскость Р\\ W.

Третья работа имеет следующее содержание: «Дана вертикальная проекция шара с вырезом двумя плоскостями; построить остальные проекции и наглядное изображение в диметрической проекции» (черт. 27).

На чертеже 28 показано решение задачи в проекциях Монжа. Вычерчивание диметрической проекции не представляет затруднений: строим круг, радиус которого равен 1 ^ радиуса шара.

Это будет абрис шара. Затем строим два сечения шара, как это показано на чертежах 22 и 23. Все построение показано на чертеже 29.

Все три вышеприведенные работы служат подготовкой для проведения последней — четвертой— самостоятельной работы по теме Шар».

Четвертая работа проводится по раздаточному материалу, каковым является нижеприведенный набор карточек (черт. 30). В карточке дана вертикальная проекция шара с вырезом его части двумя плоскостями, параллельными плоскостям И и W.

Черт. 27 Черт. 28

Черт. 29

Черт. 30

Получив карточку, учащийся должен перечертить в рабочую тетрадь по данным размерам вертикальную проекцию, дочертить две недостающие проекции, после чего выполнить технический рисунок в диметрической проекции.

После соответствующей проверки вся задача должна быть выполнена тушью по форматке.

Для дальнейшего пополнения задачами приведенной картотеки можно воспользоваться примерами, имеющимися в «Альбоме чертежей для средней школы» И. И. Евдокимова, а также и из других источников.

Этой задачей тема «Шар» по программе черчения заканчивается.

Как показал наш опыт работы, учащиеся научились строить ортогональные проекции шара и его сечений на три плоскости, находить проекции точек на поверхности шара, строить наглядное изображение шара и его сечений, параллельных плоскостям проекций, преимущественно горизонтальной (И) и профильной (W), при этом для построения наглядных изображений в задачах на шар предпочтение нужно отдать диметрической проекции.

Однако нельзя сказать, что все стереометрические задачи на шар должны сопровождаться выполнением наглядного изображения в той или другой проекции, т. е. в диметрической или изометрической.

Есть целый ряд задач, в которых построение наглядного изображения затруднительно, и, кроме того, оно не дает возможности четко и ясно выделить те элементы и фигуры, которые приводят к решению.

Некоторые задачи целесообразнее сопровождать чертежом ортогональных проекций на две или на три плоскости, т. е. прибегнуть к проекциям Монжа.

Для примера рассмотрим задачу № 14 из § 22 «Сборника задач по тригонометрии» Н. Рыбкина, изд. 1948 г.

«Определить угол при вершине в осевом сечении конуса, описанного около четырех равных шаров, расположенных так, что каждый касается трех других» (черт. 31).

Имеем в виду, что центрами трех шаров, составляющих нижний ряд, служат вершины Оъ О2 и О., равностороннего треугольника 0{0203f а центром четвертого шара является точка 04 пересечения медиан. Шары в плоскости И располагаем гак, чтобы одна из медиан треугольника Ох0203 была параллельна плоскости V. Чтобы найти вертикальную проекцию центра четвертого шара (04), нужно вертикально проектирующий луч, проведенный из точки 04, пересечь дугой из точки 0'2 радиусом равным диаметру шара. На вертикальной проекции показан конус с вершиной в точке S и с углом а между образующими в осевом сечении.

Так как образующая конуса S'Br параллельна линии центров 0402, то из треугольника 0'AÄO'2 определяем угол у*.

(1)

Если радиус шаров обозначим R9 то

т. е. радиусу круга, описанного около треугольника С\0203, у которого сторона равна 2R.

Этот радиус 0402 равен

Подставив эти значения в (1), получим:

Черт. 31

ЕЩЕ РАЗ О ПРЕОБРАЗОВАНИИ РАДИКАЛОВ И РЕШЕНИЙ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

Вопросу о решении иррациональных уравнений на страницах журнала «Математика в школе», а также и в сборниках задач уделялось достаточно внимания. Вопрос как будто совершенно выяснен: надо последовательно проводить понятие об арифметическом корне и определять область допустимых значений букв, и тогда избежание сшибок при решении иррациональных уравнений обеспечено.

Такую точку зрения проводят авторы многих учебников, задачников и статей. Однако при осуществлении этого правильного взгляда авторы ряда книг, давая решения иррациональных уравнений, допускают недосмотры, могущие смутить читателей этих книг.

Мой аспирант Н. П. Раззадорин (ныне преподаватель Бирского педагогического института) выбрал темой своей диссертации «Действия третьей ступени в курсе алгебры». В этой работе много внимания было уделено арифметическому корню и решению иррациональных уравнений. Естественно, было предложить диссертанту, между прочим, просмотреть, как решаются иррациональные уравнения авторами задачников и отдельных книг и статей, особенно теми авторами, которые подчеркивают значение проведения понятия арифметического корня. Результаты просмотра решений оказались не лишенными интереса и, как мне кажется, заслуживающими доведения некоторых из них до сведения учителей и учащихся. Ниже приводятся некоторые примеры неполных, по существу, неточных решений.

Пример 1. Сборник задач Н. П. Антонова, М. Я. Выгодского, В. В. Никитина и А. И. Санкина, под ред. М. Я. Выгодского, стр. 16, № 64. Упростить выражение:

На странице 141 дается такое решение: «Представим второй радикал в виде

приведем его к одному показателю с первым радикалом:

Перемножим корни, получим:

Авторы делают замечание: «Предполагается, что х>0 (в противном случае \ 2х не будет арифметическим корнем, и тогда ответ будет не 2 ух, а — 2 ух)».

Ошибочность ответа очевидна: при х^О имеем 2 f/х > 0, чего быть не может, так как второй радикал отрицательный:

Замечание авторов о возможности л;<0 непонятно, так как они условились рассматривать только арифметические корни (стр. 132) и тогда данные радикалы не имеют смысла.

Правильное решение при проведении понятия арифметического корня следующее.

Радикалы данного выражения имеют смысл при х>0. В таком случае

так как при х > 0, 6л: < 8л: и арифметический корень у 6х меньше арифметического корня у Sx (второе свойство арифметического корня).

Ответ:

Пример 2. Сборник задач под ред. М. Я. Выгодского, стр. 32, задача № 198.

Решить уравнение:

(1)

На странице 179—180 даются два способа решения этого уравнения, оба содержащие одну и ту же ошибку. Авторы пишут, что записанное без степеней с отрицательными показателями данное уравнение имеет вид:

(2)

Первый способ решения. Освобождаемся от знаменателя:

Возводим в квадрат:

Отсюда находим:

Подставляем х = а в левую часть исходного уравнения. При этом числитель и знаменатель будут соответственно равны:

(см. решение предыдущей задачи) и

Если а >- 0, то I а \ = а и частное равно:

Если же а < 0, то | а | = — а и частное равно:

Таким образом, при а>>0 значение х = а есть корень уравнения, а при а<0 значение к = -у а не является корнем. Теперь подставляем в левую часть значение х = — -j- а. В противоположность предыдущей задаче это значение является корнем при а^О и не является корнем при а> 0.

Второй способ решения того же уравнения, данный авторами сборника. Уничтожаем иррациональность в знаменателе:

Выражение

всегда имеет положительные значения или нуль; поэтому, извлекая корень из обеих частей уравнения, имеем:

или

Возводим в квадрат:

Вместо а2 напишем |а|2. Получаем:

Ответ: х = -j- | а |, т. е. при а 0 имеем:

В решении предыдущей задачи, на которое дважды ссылаются авторы, содержится подчеркивание для учащегося правила:

Против этого правила как раз и согрешают сами авторы при решении примера. Они, очевидно, выполняли преобразования левой части так:

Уравнение, составленное из последнего звена цепи приравненного

авторы и решают обоими способами, получая один и тот же неверный результат. Ошибку авторы делают при переходе от второго с конца звена цепи преобразований к следующему. Надо было писать:

при а > 0

(так как в этом случае

при д< 0 (тогда

Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух выводных уравнений, оба же данные авторами решения ограничились решением только первого из них, предполагая, что а может быть как положительным, так и отрицательным числом в первом выводном уравнении, позабыв о том, что это уравнение получается при предположении, что я>0.

Записав данное уравнение в виде

(3)

устанавливаем: при а = О член теряет смысл;

при X = 0 уравнение обращается в не имеющее смысла «равенство»: 1 = -i-. Значит, данное уравнение следует рассматривать только при условиях: а ф О и х ф 0.

Считая корень арифметическим, как предполагают авторы, имеем:

Знаменатель левой части уравнения (3) положителен:

Так как дробное выражение в левой части (1) по условию равно , то должно иметь место неравенство:

Следовательно,

Решая это неравенство относительно , получим:

т. е. X и а одного и того же знака.

Отсюда ясна ошибочность второго ответа, данного в задачнике.

Правильное решение уравнения (1) следующее:

откуда

Из этого равенства следует, что х и а должны быть числами одного знака:

и

Так как — >0, то — = т, х = т а при любом значении а, отличном от нуля. При а<0 будет и х<0, в то время как согласно решению, данному авторами задачника, значение X во всех случаях положительно. Ошибка произошла от того, что при решении задачи авторы при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) сделали ту же ошибку, от которой они подчеркнуто предупреждают со ссылкой на предыдующую задачу.

Пример 3. В брошюре И. А. Мхитарова «Решение иррациональных уравнений способом подстановки» (Гос. изд-во Северо-Осетинской АССР, Дзауджикау, 1952) автор на странице 3 заявляет: «Условия возможности решения, исследование и проверка корней в этой статье не рассматриваются». О понятии арифметического корня автор не упоминает, и остается неясным, считает ли он проведение этого понятия само собой подразумеваемым или он допускает принятие двух действительных значений корней четной степени. В первом случае он, наверное, подчеркнул бы это обстоятельство, поэтому можно полагать, что он стоит на второй точке зрения. В этом случае вызывает замечания решение в брошюре примера № 2 на странице 6, где автор делает следующее:

(*)

Пусть, говорит автор,

(**)

Подставив t = 1 в уравнение (**), получим: хг = 0, х2 =5.

Как сказано, в статье не упоминается об арифметическом корне; хотя автор молчаливо как будто этим понятием пользуется, поэтому остается

необоснованной подстановка л:2 5л: -|— 1 = t2, пока не установлено множество допустимых значений для х. При х = — 2, например, получаем t2 = — 5.

Далее остается необоснованным отбрасывание второго, полученного автором, значения для t, именно

При

имеем из

Если рассматривать не только арифметические корни, то подстановка х = \- в исходное уравнение дает:

Беря отрицательное значение корня, получаем:

т. е. X = -g- удовлетворяет данному уравнению.

Если бы автор указал, что он понимает под корнями только арифметические их значения, и устанавливал бы при преобразованиях множества допустимых значений букв, то его решение получило бы обоснование, чего не хватает решению, помещенному в брошюре.

Пример 4. В журнале для учителей Венгерской Народной Республики (Школьный математический листок), том 3 за 1951 год, помещено следующее решение системы иррациональных уравнений:

Откуда

Решение примера явно неверное, так как подстановка в первое уравнение системы значений:

х = — 18 и .у = — 2

дает:

Правильное решение следующее. В системе (1) х и у должны быть одинаковых знаков, т. е.

Если X и у оба отрицательные:

то подстановка этих значений в систему (1) даст:

или

откуда

Подставив в последнюю систему а = 9Ь, имеем:

(2)

или

или

что невозможно.

Положительные значения для х и у удовлетворяют системе, так как в скобках левых частей уравнений будет одно и то же выражение.

При проведении понятия арифметического корня невозможность отрицательных значений для X и у ясна сразу, так как равенство

невозможно.

Пример 6. Необходимость рассмотрения арифметического корня и определения множества

допустимых для букв значений иллюстрирует ясно решение уравнения

которое фигурировало в некоторых статьях.

Решая это уравнение без исследования допустимых значений букв, можно получить следующее:

Если написать, как это склонен делать ученик:

то получим

Дискриминант этого уравнения отрицателен:

его корни мнимые, и для ученика VIII класса как будто исходное уравнение корней не имеет.

Однако X = — 2 удовлетворяет данному уравг нению, как показывает подстановка.

Правильное решение следующее.

Первый радикал имеет смысл при 1 — 4л: ^ О

Неравенство х^~2 противоречит условию *^.-г-, поэтому равенство

невозможно.

Решая второе уравнение

имеем:

Так как в этом уравнении должно быть , л:^.— у, то единственным решением исходного уравнения является

х = — 2.

Если не проводить понятия арифметического корня, то л; = 0 является также корнем данного уравнения.

Приведенные примеры лишний раз показывают, к каким недоразумениям приводит нечеткое обращение со знаком корня.

Профессор Д. А. Граве в своем учебнике алгебры для средних учебных заведений «Начала алгебры» (Классное руководство для гимназий и других средних учебных заведений, Петроград, 1915, и брошюра о преподавании элементарной алгебры, методические указания к книге того же автора под заглавием «Начала алгебры», Петроград, 1915) пишет:

«Радикал есть знак, слабая сторона которого состоит в том, что неизвестно, какое из нескольких его значений имеется в виду. Это такой знак, что, если он написан, то надо словами добавить, которое из значений радикала рассматривается».

В своем большом университетском курсе высшей алгебры (Д. А. Граве проф., Элементы высшей алгебры, Киев, 1914, 712 стр., большого формата) автор выражается еще резче:

«Радикал есть знак неудачный, а потому и теория решений уравнений при помощи этого знака есть теория, не имеющая практического значения».

Единственный путь для внесения определенности в изложение этой главы школьной алгебры есть четкое проведение в школьном изложении темы о радикалах понятия арифметического корня и его основных свойств и определения при преобразованиях радикалов множества допустимых значений букв в выражениях, стоящих под знаком корня. При этих условиях всякая неясность в употреблении этого «неудачного знака» отпадает.

К МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Г. Б. ПОЛЯК (Москва)

Обучение решению арифметических задач в V и VI классах в ряде случаев оказывается недостаточно эффективным, о чем свидетельствуют слабые навыки решения задач у многих учащихся этих классов. В настоящей статье мы намерены остановиться на нескольких методических приемах, которые, как показывает опыт, могут способствовать существенному повышению эффективности обучения в данной области.

1. При подборе сложной арифметической задачи некоторые учителя не уделяют должного внимания анализу трудностей, которые она содержит, и не принимают мер для подготовки учащихся к успешному ее решению.

Приведем пример из школьной практики. В V классе учитель решал с учащимися задачу:

Первая бригада электропильщиков может спилить лес на участке за 30 часов. Второй бригаде на эту работу необходимо времени на меньше, чем первой. Третья бригада может спилить лес на этом участке в 1 раза скорее, чем первая. Во сколько часов будет спилен лес на этом участке при совместной работе всех трех бригад.

При решении этой задачи никто из учащихся не сумел правильно определить время, в течение которого вторая бригада могла спилить лес на данном участке. (Для определения этой величины учащиеся предлагали из 30 вычесть ~.) Многие учащиеся не сумели правильно найти часть работы, какую каждая бригада могла выполнить в 1 час. Еще большее число учащихся не сумело правильно выбрать действие при решении главного вопроса задачи.

В результате многочисленных наводящих вопросов учителя задача была решена, но способ ее решения был понят лишь немногими учащимися, о чем свидетельствовали устные ответы и письменные работы.

Совершенно иной была эффективность обучения решению этой задачи в другом V классе, где учащиеся были подведены к приведенной выше задаче строго постепенно.

Прежде всего этой задаче были предпосланы следующие подготовительные задачи:

Гусеничный трактор может вспахать поле в 4 дня. Какую часть поля он вспашет в 1 день?

Колесный трактор может вспахать поле в 12 дней. Какую часть поля он вспашет в 1 день?

Гусеничный трактор может вспахать поле в 4 дня, а колесный — в 12 дней. Во сколько дней оба трактора, работая вместе, могут вспахать это поле?

Каждая из этих задач решалась учащимися устно, но учитель со слов учащихся записывал решение каждой из них на доске, что помогало учащимся лучше осмыслить способ решения. Кроме того, при решении каждой из этих задач была применена наглядность: при решении первой задачи учитель начертил на доске прямоугольник (поле) и разделил его на 4 равные части, при решении второй задачи начерченный на доске прямоугольник был разделен на 12 равных частей, а при решении третьей задачи, после того как было найдено, что оба трактора вместе могут вспахать в один день -тр поля, на доске был начерчен прямоугольник, разделенный на 3 равные части. Первые два рисунка помогли учащимся понять способ нахождения части работы, выполненной каждым трактором в 1 день. Третий рисунок помог им понять, как определить количество дней, в течение которых оба трактора могут вспахать поле при совместной работе (учащиеся объясняли здесь выбор действия так:

сколько раз — содержится в 1 — во всем поле, — столько дней работали вместе оба трактора).

Лишь после решения указанных подготовительных задач перешли к решению задачи о работе электропильщиков, но и эта задача не была предложена сразу в том сложном виде, в каком она приведена выше, так как в таком виде она была бы непосильна для многих учащихся.

Задача об электропильщиках (кстати сказать, предварительно было выяснено значение этого слова) была вначале предложена без дополнительных условий в следующем виде:

Первая бригада электропильщиков может спилить лес на участке за 30 часов, вторая бригада может спилить лес на этом участке за 24 часа, а третья — за 20 часов. Во сколько часов будет спилен лес на этом участке при совместной работе всех трех бригад?

Лишь после письменного решения этой задачи она была постепенно усложнена дополнительными условиями. Стерев в записи условия данное

«24 часа» (время, в течение которого вторая бригада могла спилить лес на данном участке), учитель, вместо стертого данного, написал: «на 6 часов скорее». В беседе с учащимися было выяснено, какой дополнительный вопрос и какое дополнительное действие потребовалось бы, если бы в задаче было сказано, что вторая бригада могла спилить лес на этом участке на 6 часов скорее, чем первая. Затем условие задачи в части, касающейся рабочего времени второй бригады, было еще более усложнено: о второй бригаде было сказано, что для того, чтобы спилить лес на участке, ей требовалось на — меньше того времени, какое требовалось первой бригаде. Здесь была сначала найдена от 30 часов, а затем из 30 часов вычли 6 часов и было выяснено, что в таком виде задача решалась бы семью действиями.

Наконец, условие было усложнено в части, касающейся рабочего времени третьей бригады: с доски было стерто данное «20 часов» и вместо него в отношении третьей бригады было написано, что она могла спилить лес на этом участке в 1 у раза скорее, чем первая бригада. В беседе с учащимися было выяснено, что в этом случае потребовалось бы еще одно дополнительное действие ( 30:1 -^j , а всего для решения задачи потребовалось бы 8 действий.

В таком сложном виде задача была задана учащимся на дом.

Наблюдения показали, что при письменном решении упомянутой задачи (правда, когда она не была еще усложнена дополнительными условиями) лишь один ученик из тридцати допустил неверный выбор отдельных действий, а на вопросы, связанные с решением усложненной задачи, все спрошенные учащиеся давали правильные ответы.

В описанном случае ввиду слабых навыков учащихся в решении задач пришлось, как это пэказано выше, начать с решения задач в одно действие и лишь путем постепенного усложнения подвести детей к решению задачи в восемь действий. При лучшей подготовке учащихся столь большая подготовительная работа была бы излишней. Здесь можно было бы начать сразу с задачи в пять действий, вводя затем в нее те дополнительные условия о количестве рабочего времени второй и третьей бригады, которые приводились выше.

Учитывая степень трудности намечаемой для решения задачи и подготовку учащихся, учитель должен каждый раз определять, нужно ли предпосылать данной задаче подготовительные и какие именно. При этом следует стремиться к тому, чтобы учащимся не оказывалась излишняя помощь, которая может их освободить от умственных усилий и тем сделать данную работу малополезной.

Приведем несколько задач и покажем, какая предварительная подготовка давалась учащимся при их решении.

Для решения в классе была намечена задача № 1145*.

Окружность скакового поля 24 00 м. По этой окружности в одном и том же направлении скачут две лошади, начавшие свое движение одновременно. Первая лошадь за 1 i мин. проскакала 240 M, вторая за 1 мин. 15 сек. — 450 м. Сколько окружностей по скаковому полю должна сделать вторая лошадь, чтобы опередить первую на длину окружности поля?

Чтобы сделать решение этой задачи посильным для учащихся, им предварительно была предложена следующая подготовительная задача для устного решения:

Окружность скакового поля 2400 м. По этой окружности в одном и том же направлении скачут две лошади, начавшие свое движение одновременно. Первая лошадь проходила в минуту 300 M, вторая — 400 м. Сколько окружностей по скаковому полю должна сделать вторая лошадь, чтобы опередить первую на длину окружности поля?

Подготовительная задача помогла учащимся, в особенности слабо подготовленным, понять способ решения задачи № 1145, которая была им предложена вслед за этим.

Возьмем задачу № 1491.

Имелось 12 ящиков чая двух сортов; в каждом ящике было 30,5 кг чая. В первый день продали 0,7 всего чая по цене 1,75 руб. за каждые 25 г; во второй день продали 0,9 оставшегося чая по цене 4,5 руб. за 0,05 кг. Сколько денег получили за проданный чай и сколько чая осталось для продажи?

Для подготовки учащихся к решению этой задачи учащимся были предложены следующие две подготовительные задачи:

1) 0,05 кг чая стоят 3,6 руб. Сколько стоит килограмм чая?

2) 25 г чая стоят 2 руб. 25 коп. Сколько стоит килограмм чая?

Решение задачи № 1491 в целом не должно было представлять больших затруднений для учащихся. Но их могло серьезно затруднить определение цены килограмма чая, особенно

* Эта и последующие задачи, приведенные в настоящей статье, взяты из сборника задач и упражнений по арифметике Е. С. Березанской, издание 1951 г.

цены чая, проданного в первый день. В целях предупреждения этого затруднения решению задачи № 1491 и были предпосланы приведенные выше подготовительные задачи.

Задаче № 1597: Один поезд вышел со станции À в 9 час. 45 мин. и направился со скоростью 58 км в час к станции В, находящейся на расстоянии 265,4 км. В 10 час. 15 мин. со станции В ему навстречу вышел курьерский поезд со скоростью 60,2 км в час. Узнать, на каком расстоянии от станции А и от станции В встретятся оба поезда и в котором часу произойдет эта встреча? — была предпослана следующая подготовительная задача: Пассажирский поезд вышел со станции А и направился со скоростью 60 км в час к станции В, которая находилась на расстоянии 250 км от А. Через— часа со станции В ему навстречу вышел товарный поезд со скоростью 50 км в час. На каком расстоянии от станции А и от станции В встретятся оба поезда?

Подобным образом при решении ряда сложных задач рекомендуется на основе анализа трудностей, которые в них содержатся, предварительно дать учащимся подготовительные задачи, входящие как элементы в состав сложной с тем, чтобы сделать посильным для детей решение последней.

Подготовка учащихся к решению сложных задач, о которой шла речь, уместна лишь тогда, когда без этого решение выбранной задачи может оказаться непосильным для рада учащихся. В остальных случаях подготовительные задачи могут принести даже вред, поскольку это может чрезмерно облегчить работу учащихся и тем снизить ее эффективность.

2. Мы рассмотрели, как следует подготовлять учащихся к решению трудных для них задач. С другой стороны, в ряде случаев после решения задачи, если оно хорошо понято, полезно усложнить ее с тем, чтобы учащиеся глубже осмыслили связи и зависимость между данными и искомыми величинами.

Возьмем задачу № 1595. Два поезда вышли со станции А и В в одно и то же время навстречу друг другу и идут со скоростью', первый 59,5 км, а второй 60,5 км в час Встреча их произошла через 0,85 часа. Определить расстояние между станциями.

Учитывая легкость задачи, полезно после решения усложнить ее дополнительными условиями, а именно:

Два поезда вышли со станции А и В в одно и то же время навстречу друг другу и идут со скоростью: первый 59,5 км, а второй 60,5 км в час. Встреча их произошла через 0,85 часа. Во сколько часов первый поезд может пройти все расстояние между этими станциями? Или:

Два поезда вышли со станции А и В в одно и то же время навстречу друг другу.

Первый поезд в каждые 1-j часа проходил 84 км, а второй в каждые 0,4 часа проходил 24 км. Встреча поездов произошла через 0,85 часа. Определить расстояние между станциями.

Приведем еще несколько примеров усложнения задач. Возьмем задачу № 9S2.

Турист ехал из одного города в другой.

В первый день он проехал yj пути, во второй ^ и в третий -g- всего расстояния между этими городами, после чего ему осталось проехать еще 182 км. Сколько километров между этими городами?

В случае, если решение этой задачи не представляло особых затруднений для учащихся и было хорошо понято ими, можно усложнить ее условие, например:

Турист ехал из одного города в другой.

В первый день он проехал р^, во второй ^ и в третий -g всего расстояния между этими городами, после чего ему осталось проехать еще 204 км. Сколько километров проехал турист в каждый из этих трех дней? Или:

Турист ехал из одного города в другой.

В первый день он проехал ^ пути, во второй день того, что в первый, а в третий день в 1~ раз больше, чем во второй, после чего ему осталось проехать еще 182 км. Сколько километров между этими городами? Или:

Турист ехал из одного города в другой.

В первый день он проехал yf пути, во второй и в третий -g- всего расстояния между этими городами. Сколько километров проехал турист в каждый из этих трех дней, если в первый день он проехал на 8 км больше, чем во второй?

Возьмем задачу № 1133.

Пароход прошел расстояние между двумя пристанями по течению за 3jg часа, идя со средней скоростью 22 км в час. За сколько времени пароход сделает обратный путь про-

тив течения, если он будет двигаться в час на 4 км медленнее, чем по течению?

После решения этой задачи можно ее преобразовать так:

Пароход прошел расстояние между двумя пристанями по течению за 3^ часа, идя со скоростью 22— км в час. За сколько времени пароход сделает обратный путь против течения, если скорость течения равна 2 км в час? Или:

Пароход прошел расстояние между двумя пристанями против течения за 3-^ часа, идя со средней скоростью 20 ки в чгс. За сколько времени пароход сделгет обратный путь по течению, если он будет двигаться в час на 5 км быстрее, чем против течения? Или:

Пароход может пройти расстояние между двумя пристанями по течению за 3-j часа, идя со средней скоростью 22— км в час. За сколько времени пароход пройдет расстояние между эти ни пристанями по течению и против течения, если против течения он двигался в час на 5 км медленнее, чем по течению?

Задача № 2099: Один забойщик шахты вырубил за смену 26,25 m угля, выполнив 175% нормы. Сколько тонн угля вырубил за смену второй забойщик, выполнивший 182% той же нор мы — может быть преобразована так:

Один забойщик шахты вырубил за смену 29,75 т, выполнив 175% нормы. На сколько больше тонн угля вырубил за смену второй забойщик, выполнивший 182% той же нормы.

Или:

Один забойщик шахты вырубал за смену 29,75 т, выполняя 175% нормы. Второй забойщик выполнял в смену 182% той же нормы. Сколько тонн угля вырубал каждый забойщик в месяц, если считать, что в месяце 26 рабочих дней?

Или:

Один забойщик шахты вырубал за смену 26,25 т, выполняя 175% нормы. Второй забойщик выполнял в смену 182% той же нормы. Сколько тонн угля сверх нормы давал каждый забойщик в месяц, если считать, что в месяце 26 рабочих дней?

Мы приводили здесь по нескольку разновидностей каждой из рассмотренных задач. Но мы имеем в виду решение не всех разновидностей каждой данной задачи, а чаще всего лишь одной из них, выбор которой делается учителем в зависимости от цели урока и подготовки учащихся.

3. В приведенных выше задачах изменения вносились в условия и от учащихся требовалось новое решение в соответствии с новыми условиями.

Можно, наоборот, вносить изменения в решение, предлагая учащимся сказать, при каких условиях задача решалась бы новой комбинацией действий.

Возьмем задачу № 1539.

Куплено 3 кг крупы по 4,2 руб. и 0,5 кг масла.

Сколько стоил 1 кг масла, если за всю покупку заплатили 20,8 руб.?

После решения задачи к записанным на доске трем действиям было добавлено еще одно. Получилась запись:

Учащимся было предложено сказать, при каком главном вопросе задача решалась бы так, как показано на доске. Последовал ответ: «Если бы в задаче спрашивалось, сколько стоят 2 кг масла».

Затем решение задачи было еще более усложнено: к приведенным выше четырем действиям было добавлено следующее пятое:

5) 40-32,8= 7,2 (руб.).

На предложение учителя сказать, при каком главном вопросе задача решалась бы указанными пятью действиями, учащиеся ответили: «Если бы в задаче спрашивалось, сколько сдачи следует получить с 40 руб., если купить 2 кг масла».

Затем к первым трем действиям были добавлены следующие три:

Учащиеся легко сообразили, что задача решалась бы так, если бы в ней спрашивалось, сколько следует уплатить за 2 кг масла и 5 кг крупы.

Приведем еще несколько примеров изменения решений задач.

Возьмем задачу № 1084. Три совхоза имеют 3564 га земли. В первом совхозе а во втором ~ того числа гектаров, которое насчитывается в третьем совхозе. Сколько гектаров земли было в каждом совхозе?

После решения задачи с доски были стерты два последние действия. В ответ на соответствующий вопрос учителя дети сказали: «Задача решалась бы так, если бы в ней спрашивалось, сколько гектаров земли было в третьем совхозе». Учащиеся легко определили главный вопрос задачи и тогда, когда с доски было стерто только последнее, а затем только предпоследнее действие.

Затем к четырем основным действиям, которыми решается задача, учитель добавил следующие три:

На предложение учителя сказать, при каких условиях задача решалась бы так, учащиеся составили задачу:

Три совхоза имеют 3564 га земли. В первом совхозе ~, а во втором того числа гектаров, которое насчитывается в третьем совхозе. Первый совхоз собрал по 30 ц, второй—по 25 ц и третий—по 20 ц зерна с гектара. Сколько центнеров зерна собрал каждый совхоз?

Возьмем задачу № 1504.

0,65 всей земли колхоза составляет пахотная земля, 0,4 остальной земли — под лугами, 0,1 нового остатка земли — под кустарником и остальные 132,3 га заняты лесом. Как велика площадь, занимаемая колхозом?

После решения задачи можно стереть первые действия, оставив на доске следующие:

Подобным образом можно из решения задачи № 1596: Два туриста отправились одновременно навстречу друг другу: один из базы А, другой — из басы В. Первый в каждые 1,8 часа проходил по 8,37 км, а второй в каждые 0,6 часа делал по 2,25 км.

Через сколько времени встретятся туристы, если расстояние между базами А и В равно 111,72 км? — исключить первые два действия, оставив последние два, а именно:

Учащимся предлагается сказать, при каких условиях задача решалась бы приведенными действиями.

Внесение учителем подобных изменений в решение задачи обычно требует мало времени, вследствие чего можно в решение одной задачи последовательно вносить несколько изменений (сначала одно, затем другое и т. д.), спрашивая каждый раз у учащихся, при каких условиях задача решалась бы теми действиями, которые показаны на доске.

4. При решении некоторых задач полезно после выполнения решения увеличить или уменьшить одно или два из данных чисел и предложить учащимся устно вычислить, какой ответ получился бы в результате решения задачи при новых числовых данных.

Возьмем задачу.

Вырыт котлован, длина которого 24 м, ширина 6 м, а глубина м. Сколько нужно 1-J- тонных грузовых автомобилей для вывоза вырытой земли, если 1 куб. м земли весит 1-|- т?

После решения задачи, когда в ответе получилось 256 автомобилей, учащимся было предложено вычислить устно:

Сколько \~тонных грузовиков потребовалось бы, если бы длина котлована была равна 48 м? если бы она была равна 12 м? если бы длина его составляла 12 м, а ширина 3 м?

Сколько 3-тонных грузовиков потребовалось бы для вывоза земли при данных в задаче размерах котлована?

Возьмем задачу № 1004.

В нескольких ящиках было всего 678 кг яблок; в каждом из шести первых ящиков было по 35-~ кг яблок, а в каждом из остальных ящиков было по 38 -j- кг. Во скольких ящиках было по 38 кг яблок?

После решения задачи полезно, заменив число 38 -у вдвое меньшим ( 19 ), предложить учащимся вычислить устно, какой ответ получился бы в результате решения задачи, если бы в каждом из остальных ящиков было по 19 -тг кг яблок.

Возьмем задачу № 1487.

Купили по равному числу метров ткани двух сортов и за всю покупку уплатили 148,5 руб. По скольку метров куплено той и другой ткани, если одна продавалась по 4,8 руб., а другая по 3,45 руб. за метр?

После решения задачи можно увеличить или уменьшить в несколько раз стоимость покупки

(например, вместо 148,5 руб. взять 297 руб., 1485 руб. или 74,25 руб.) и спросить у учащихся, какой ответ получился бы от решения задачи, если бы за всю покупку уплатили не 148,5 руб., а 297 руб. (или 1485 руб. или 74,25 руб.). Можно, с другой стороны, оставив неизменной стоимость всей покупки, увеличить в несколько раз цену каждой ткани (например, вместо 4,8 руб. и 3,45 руб. взять 9,6 руб. и 6,9 руб., или 48 руб. и 34,5 руб.) и предложить устно вычислить, какой ответ получился бы в результате решения задачи при новых числовых данных.

В школьной практике зависимость между величинами в решаемых задачах часто выясняется односторонне, при определенных неизменных условиях. В результате учащиеся нередко не осмысливают связи и отношения между данными и искомыми числами, недостаточно глубоко понимают способ решения, а иногда и вовсе не понимают его.

В противовес такой практике описанные выше приемы преобразования задач направлены на разностороннее рассмотрение связей и отношений между данными и искомыми числами, поскольку эти связи рассматриваются здесь при различных условиях (при изменении данных, искомых, при введении дополнительных условий и т. д.).

Благодаря этому описанные приемы способствуют более глубокому проникновению учащихся в содержание и смысл задачи, лучшему пониманию ими зависимости между величинами и, как следствие, более осмысленному выполнению решения. Учащиеся при этом лучше осмысливают способ решения не только тех задач, при решении которых учитель применяет указанные приемы, но и многих других. Так, преобразование задач № 1595 и № 1597, о чем говорилось выше, помогает учащимся лучше понять зависимость между временем, скоростью и пройденным расстоянием.

Подобным образом, преобразование упомянутой выше задачи № 2099 помогает учащимся более осмысленно решать не только эту задачу, но и другие задачи, в которых идет речь о выполнении и перевыполнении производственных планов.

Кроме того, эти приемы экономят учебное время, так как на усвоение условий и решение преобразованных задач требуется несравненно меньше времени, чем на восприятие условий и решение новых задач. Благодаря этому, применение описанных приемов способствует увеличению количества задач, повышает продуктивность учебных занятий.

Положительной стороной этих приемов является и то, что они расширяют возможность применения самостоятельных работ учащихся по решению задач, так как преобразованные задачи в большинстве случаев могут предлагаться для вполне самостоятельного решения.

Что касается, в частности, последнего из описанных выше приемов, то он способствует пониманию учащимися функциональной зависимости между величинами, поскольку здесь выясняется, как с изменением значения одной величины изменяется значение другой, связанной с ней величины.

Приемы, о которых шла речь в настоящей статье, особенно полезны для слабоуспевающих учащихся. При одностороннем рассмотрении связей между величинами таким учащимся нередко трудно осмыслить эти связи и, как следствие, трудно понять способ решения задачи. Разностороннее выяснение связей и отношений между величинами, которое достигается при применении описанных выше приемов, помогает этим учащимся лучше понять задачи и способы их решения. Эти приемы могут, таким образом, явиться эффективным средством повышения успеваемости по арифметике.

О РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕДОСТУПНЫХ РАССТОЯНИЙ И ВЫСОТ НА МЕСТНОСТИ

Б. Н. БЕЛЫЙ (Киев)

Выполнение учащимися измерительных работ на местности является одним из важнейших практических мероприятий, содействующих осуществлению политехнического обучения в средней школе. Среди различных видов геодезических работ в школе рассматриваются разнообразные задачи на определение недоступных расстояний и высот. Некоторые из них довольно часто приводятся в методической литературе, посвященной измерительным работам на местности.

Каждая из этих задач может быть решена различными методами. Однако в литературе, к сожалению, отсутствует классификация и анализ этих методов.

Опыт проведения с учащимися измерительных работ на местности позволяет сделать по этому вопросу некоторые замечания, которые окажут помощь учителю в выборе для каждого данного класса метода решения практических задач как по отношению к изучаемому теоретическому материалу, так и в зависимости от условий местности.

Мы имеем в виду следующие задачи:

1) Определение расстояния до недоступной точки.

2) Определение расстояния между двумя доступными точками, когда его нельзя измерить непосредственно.

3) Определение расстояния между двумя недоступными точками.

4) Определение высоты предмета, к основанию которого можно подойти.

5) Определение высоты предмета, к основанию которого подойти нельзя.

Различные методы решения этих задач рассмотрим на конкретном примере.

Задача. Определит расстояние AB между двумя недоступными точками.

I. Метод дополнительных построений на местности. Этот метод заключается в том, что в результате определенных геометрических построений на местности непосредственно измеряется величина, либо равная искомой, либо равная ее некоторой части.

При пользовании этим методом каждую данную задачу можно решить различными способами (приемами).

Так, например, данную задачу можно решить такими способами.

1) По эту сторону препятствия (реки, овраги и т. п.) провешивается произвольная прямая MN (черт. 1).

С помощью эккера на этой прямой отыскиваются такие точки К и L, чтобы AKJ_MN и BL jL MN.

Измеряют длину отрезка KL и находят его середину—точку О, в которой выставляют веху.

Продолжают прямые АК и BL и, идя вдоль них, отыскивают такие точки С и D, которые лежат соответственно на продолжении прямых ВО и АО (черт. 1).

Тогда CD — AB.

Действительно, треугольник КОС равен треугольнику LOB (так как КО —OL, ^СКО = = Z.OLB = 90°, ^СОК = Z_BOL) и, значит, OB = ОС. Далее треугольник КО А равен треугольнику LOD (так как КО = OL, ^ АКО = = ^DLO = 90°, /mKOA = £DOL) и, значит, OA = OD. Следовательно, в полученном четырехугольнике ABCD диагонали в точке пересечения делятся пополам. А такой четырехугольник есть параллелограм. Поэтому AB = CD.

2) Провешивается произвольная прямая MN (черт. 2), на которой находят точки К и L, служащие основами перпендикуляров АК и BL.

Берут на KL любую точку О и откладывают от нее вправо и влево вдоль прямой MN отрезки так, чтобы КС = СО и OD = DL. Восстанавливают перпендикуляры к прямой MN из точек С и D до пересечения их с прямыми АО и ВО в точках Е и F. Тогда ЕС — средняя линия треугольника А OK и, значит, АЕ = ЕО; DF —

Черт. 1

средняя линия треугольника BOL и, значит, BF=FO. Но в таком случае EF является средней линией треугольника А OB.

Следовательно, AB = 2EF.

Непосредственно измеряют EF и находят, таким образом, недоступное расстояние AB.

3) Провешивают произвольную прямую MN (черт. 3). Через любую точку этой прямой провешивают КС II AN и KD II BN. Пересечения этих прямых соответственно с прямыми AM и ВМ дадут точки С и D. Тогда, так как Д AMNoo/\CMK и ДЯЛШсчо ДОАГ/С, имеем:

откуда следует, что

т. е. Д АВМоо ДСЛТО. А значит, можно записать, что

и, следовательно,

Непосредственно измеряют MN, CD и МК и находят AB.

Рассмотренные выше три способа решения данной задачи методом дополнительных построений на местности можно было бы назвать соответственно способами параллелограма, средней линии треугольника, подобных треугольников.

II. Графический метод. Этот метод заключается в том, что результаты выполненных на местности измерений изображаются в определенном масштабе на бумаге и искомая величина находится графически.

Например, для нахождения расстояния AB (черт. 4) на местности откладывается и измеряется базис CD и прилежащие к нему углы: ^ACDy Z.ADC, Z.BCD> Z-ßDC-

На бумаге в масштабе строятся на основании CD два треугольника: Д ACD и £±BCD — по основанию и двум прилежащим углам. Графически определяется расстояние между точками А и В. Используя масштаб, находят искомую величину расстояния AB.

Решение такой задачи можно выполнить и непосредственно в поле, на местности, если пользоваться не угломерным инструментом, а планшетом или мензулой. Мензулу устанавливают сначала в точке С, затем в точке D (черт. 5). С каждой из этих точек визируют на точки А

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

и В и в результате пересечения линий визирования получают точки а и Ь. Расстояние AB, как и в предыдущем случае, находят графически.

Следовательно, в зависимости от того, выполняется ли построение на бумаге в результате измерения углов угломерным инструментом или построение выполняется непосредственно на местности (при пользовании планшетом, мензулой), можно различать два вида графического метода:

а) графический угломерный метод,

б) графический углоначертательный метод.

III. Аналитический метод. Этот метод заключается в том, что искомую величину находят в результате определенных вычислительных операций, которые выполняются над измеренными на местности величинами.

Аналитическим методом данная задача решается в такой последовательности. На местности откладывается и измеряется базис CD и прилежащие к нему углы (черт. 4).

Пусть результаты измерений такие: CD = b; Z.ACD = a; /_ADC=§\ /_BCD = y, /_BDC^ = 8. Сначала определяется AD из треугольника ACD. По теореме синусов:

Из треугольника BCD аналогично находим BD:

Если предположим, AD = m, a BD = n, то применяя теорему косинусов, находим третью сторону треугольника ABD:

Как очевидно из приведенных рассуждений и чертежей, решение задач первым из рассмотренных методов требует довольно громоздких построений на местности.

На это обстоятельство, к сожалению, как правило, не обращается внимания в методической литературе для учителя, авторы которой без всяких оговорок рекомендуют решение задач именно методом дополнительных построений на местности**.

Между тем, решение практических задач этим методом возможно только в исключительных, «идеальных» условиях местности, когда последняя по характеру своего рельефа приближается к плоскости. В противном же случае точность полученных результатов резко падает, или условия местности вообще не разрешают выполнять необходимые построения.

Вместе с тем этот метод имеет значительные педагогические преимущества: выполнение учащимися определенных геометрических построений на местности содействует развитию пространственных представлений, применение геометрических теорем для доказательства тех или иных положений и конечного решения задачи имеет большое значение с точки зрения развития логического мышления учащихся.

Поэтому, если только условия местности, где проводятся учащимися геодезические работы, позволяют провести решение задачи методом дополнительных построений на местности, это следует проделать с учащимися, особенно VI—VIII классов. Способ решения задачи при этом зависит от изучаемого в данном классе теоретического материала (например, способ средней линии треугольника, способ равных треугольников и т. д.).

Если же из-за рельефа местности применение этого метода невозможно, то в упомянутых выше классах следует пользоваться графическим методом. Графический метод наиболее удобно ввести в VI классе в связи с изучением признаков равенства треугольников: графическое определение недоступного расстояния или высоты сводится фактически к построению на бумаге треугольника по определенным его элементам.

В школе следует популяризировать как угломерный, так и углоначертательный виды графического метода. Это полезно и из тех соображений, что пользование графическим методом является безусловно необходимой пропедевтикой перед работой учащихся по съемке плана местности.

Практика показывает, что результаты, полученные при решении задачи графическим методом, нужно брать не более чем с двумя значащими цифрами.

С учащимися VIII—X классов задачи на определение недоступных расстояний и высот целесообразно решать аналитическим методом. Точность результатов при этом методе обусловливается точностью угломерного инструмента. Если углы измеряются с точностью до 1', 2' или 5' (теодолитом, гониометром, буссолью «БС»), то преимущество этого метода в смысле точности очевидно. В случае же измерения углов школьной астролябией (если подойти к этому вопросу с чисто практической точки зрения) следует отдать предпочтение графическому методу: точность аналитического метода здесь бесполезна.

* Конечно, можно было бы сначала определить АС и ВС из треугольников ACD и BCD, а затем — искомое расстояние AB как сторону треугольника

** Сам термин «метод дополнительных построений на местности» в литературе отсутствует.

Но даже и тогда, когда школа не располагает геодезическими инструментами надлежащей точности, необходимо решить этим методом несколько задач, на примере которых учащиеся ознакомятся с одним из практических приложений тригонометрии.

При решении практических задач аналитическим методом базис на местности нужно откла-

дывать так, чтобы избежать измерения малых углов: абсолютная погрешность измерения угла (зависящая от точности инструмента и не зависящая от величины измеряемого угла) придется на меньший угол, а поэтому будет иметь место увеличение относительной погрешности, что неблагоприятно скажется на окончательном результате.

О ЗАДАЧАХ НА СОСТАВЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

С. В. СИНАКЕВИЧ (Ленинград)

При изучении школьного курса тригонометрии у значительного числа учащихся создается ложное представление, будто теоретические познания по тригонометрии практически необходимы лишь для решения задач геометрического характера (определение длины отрезка, площадей фигур, объемов и поверхностей некоторых тел и т. п.). При этом учащийся часто свыкается с мыслью о том, что лишь тригонометрические функции острого угла находят себе применение при решении практических задач, а обобщение понятия тригонометрических функций на произвольные действительные значения аргумента является якобы математической абстракцией, не встречающей в дальнейшем применения.

Если, например, в ходе решения геометрической задачи или задачи с физическим содержанием решается тригонометрическое уравнение, то учащийся привыкает к тому, что лишь один корень этого уравнения заслуживает рассмотрения.

Подавляющее большинство экзаменовавшихся в Ленинградский политехнический институт имени М. И. Калинина, решая предложенную мною задачу:

Определить угол при вершине равнобедренного треугольника по заданной боковой стороне Ь и площади S, давали один ответ:

— вместо двух ответов:

Такое положение, мне кажется, объясняется тем, что в существующих учебниках и задачниках по тригонометрии почти нет задач, выходящих за пределы применения тригонометрии к решению треугольников.

Статья И. М. Кипниса «Геометрические и физические задачи на составление тригонометрических уравнений» («Математика в школе», № 2 за 1952 г.) не восполняет этого пробела. В упомянутой статье не приведено ни одной задачи, для которой каждый корень (или по крайней мере несколько корней) имеет практический смысл.

Правда, курс физики в школьном объеме не дает достаточного материала для применения понятия тригонометрических функций от произвольного аргумента; однако, несомненно, что возможно подобрать целый ряд задач как геометрического, так и физического содержания, в которых могут быть использованы основные идеи курса тригонометрии.

Ниже приводятся образцы задач, сводящихся к составлению и решению тригонометрического уравнения, множество (или некоторая его часть) корней которого имеет практический смысл.

Задача 1. Решить равнобедренный треугольник по заданному основанию а и радиусу описанной окружности R.

Решение. Составляем уравнение:

(по теореме синусов), где а — угол при вершине равнобедренного треугольника. Отсюда

Приняв во внимание, что

получим:

Определяем угол при основании ß:

Определяем боковую сторону Ь:

При a<2R задача имеет два решения; при а = 2R задача имеет один ответ Саг = а2 =“у“) i при л>2/? задача не имеет решения.

В рассмотренном примере условию задачи удовлетворяют, вообще говоря, два корня тригонометрического уравнения.

Задача 2. Кривошип OA = г вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью со (черт. 1).

В точке А кривошип OA шарнирно соединен с шатуном АС = 1>2г, конец которого С свободно скользит по отрезку M N (точки MXN и О лежат на одной прямой). Определить моменты времени, в которые конец шатуна С будет находиться в точке В (середина отрезка MN, где M и N—крайние положения С).

В начальный момент времени конец шатуна С находится в точке N.

Решение. На основании теоремы косинусов* (треугольник О АС) составляем уравнение:

Согласно условию, точка С должна совпасть с точкой В (середина отрезка MN), и следовательно:

так как MN = 2r. Итак, ОС=1. Получаем уравнение:

Откуда

Если полагать, что ^>0, то условию задачи удовлетворяет множество полученных корней при целом неотрицательном k (бесконечное множество корней).

Если не вводить ограничения t>0 (очевидно, и t<0 может иметь физический смысл), то условию задачи удовлетворяет каждый корень уравнения.

Задача 3. В котором часу расстояние между концами минутной и часовой стрелок равно а, если длины стрелок соответственно равны Lui?

Решение. Определим угол а между стрелками через t часов (пополудни).

За t часов минутная стрелка поворачивается на угол — 2rd, часовая стрелка на угол — ~ . Следовательно,

На основании теоремы косинусов составим уравнение:

Согласно условию 0^.t^\2 (предполагается двенадцатичасовой циферблат).

Полагая k = 0, 1, 2,..., 11, получим 22 существенно различные ответа (при k = О перед первым слагаемым знак плюс, при /5 = 11 перед первым слагаемым знак минус).

Задача имеет решение при

В частном случае при а = L — / получим:

т. е. ответ для известной задачи («В котором часу направления часовой и минутной стрелок совпадают?»).

Задача 4. По двум концентрическим окружностям, радиусы которых относятся, как 1:2,

Черт. 1

* Здесь и в дальнейшем мы Имеем в виду обобщенную теорему косинусов: квадрат расстояния между концами двух векторов, имеющих общее начало, равен сумме квадратов длин векторов минус удвоенное произведение их на косинус угла между ними.

равномерно движутся две точки с одинаковыми линейными скоростями v.

В начальный момент времени (при t = 0) обе точки лежали на одной прямой с центром окружностей и были расположены по одну сторону от центра.

Определить моменты времени, в которые обе точки будут иметь общую проекцию на прямую, проходящую через начальные положения точек. Радиус меньшей окружности равен г (черт. 2).

Черт. 2

Решение.

Угловые скорости точек равны Составляем уравнение:

так как проекция точки на ось абсцисс равна длине радиуса-вектора, умноженной на косинус угла между радиусом-вектором с осью абсцисс.

Разделив обе части равенства на г (г ф 0) и воспользовавшись формулой для косинуса двойного угла, получим:

так как

откуда:

Условию задачи удовлетворяет каждый из полученных корней, если не вводить ограничения /]>0, и все значения t при &>-(), если ввести указанное ограничение.

Задача 5. Определить координаты точек пересечения двух синусоид:

Решение. Составляем уравнение:

Следовательно:

Уравнению удовлетворяют корни:

Откуда найдем искомые точки пересечения:

Мы считаем, что решение некоторых приведенных выше задач на составление тригонометрических уравнений поможет сознательному усвоению учащимися этой темы и явится одним из действенных средств в борьбе с формализмом в их знаниях.

ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЕ ОБУЧЕНИЕ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ*

А. Ш. БЛОХ (Молодечно)

В какой бы области ни специализировался выпускник средней школы, ему необходимо иметь некоторый минимум знаний по математике для того, чтобы ориентироваться в тех закономерностях и связях между явлениями, которые встретятся в его практической деятельности. Поэтому преподаваемая в средней школе математика должна в первую очередь дать широкие знания по элементарной теории функций. Только при широком проникновении в школьный курс понятия функции можно научить учеников диалектическому мышлению.

В конце прошлого столетия передовая русская педагогическая общественность, опередив на много математиков Запада, подняла вопрос о реформе преподавания математики, в частности алгебры, на функциональной основе. Известный педагог-математик Шереметевский еще в 1895 году писал: «Если вся математика есть, в сущности, учение о функциях, то ясно, что и элементарный курс должен группироваться вокруг основного понятия и функциональной зависимости» (А. В. Ланков, К вопросу развития передовых идей в русской методике математики, стр. 107).

Настоящий курс школьной математики страдает тем существенным недостатком, что дает ограниченные знания по элементарной теории функций, изучение которой нередко сводится только к графическому изображению некоторых простейших функций. Можно усомниться, чтобы при таком изучении сущность понятия функции (изменение, движение) была сознательно усвоена учениками. (Заметим, что мы не считаем необходимым вводить в среднюю школу общее определение функции как соответствия между элементами произвольных множеств.) Совсем не рассматриваются в курсе вопросы исследования функциональной зависимости; но, что более существенно, понятие функции не пронизывает весь курс алгебры.

Политехническое обучение на уроках математики должно в первую очередь заключаться в расширении и углублении вопросов изучения функциональной зависимости.

Это, конечно, не значит, что в среднюю школу нужно ввести изучение начал дифференциального и интегрального исчислений. Задача состоит не в том, чтобы дать ученику побольше различных сведений, порой формальных, из области теории функций. Задача состоит в том, чтобы, во-первых, преподавание элементарной математики перестроить на функциональной основе, во-вторых, научить учащихся элементарными средствами исследовать функциональную зависимость и применять свои знания к решению различных практических задач. Так, например, в настоящее время каждому учителю-математику совершенно ясно, что тему «Логарифмы» нельзя излагать, не рассматривая логарифмическую функцию. Но и такие темы, как «Исследование уравнений», «Исследование квадратного трехчлена», «Неравенства второй степени», «Прогрессии», нельзя излагать на должном теоретическом уровне без функциональной трактовки.

Что касается исследования функций то для исследования многочленов (можно ограничиться второй и третьей степенью) общий метод с использованием дифференцирования можно так упростить, что даже не потребуется определения производной. Это упрощение достигается тем, что главная линейная часть приращения многочлена легко вычисляется. Указанный способ исследования функций, в первую очередь исследование на максимум и минимум, будет доступен учащимся старших классов. Метод можно затем обобщить для иррациональных функций (можно ограничиться квадратным корнем) и для функции, выражающей обратно пропорциональную зависимость. Знание методов исследования функций значительно расширит математический кругозор учащихся, введет их в круг современных математических идей и откроет перед ними очень интересную и важную область приложения. В качестве примера приложения укажем несколько задач, решение которых будет, по нашему мнению, доступно учащимся.

1. В данный конус вписать цилиндр наибольшего объема.

2. Пусть луч света должен перейти из среды, расположенной над границей Aß, в среду, расположенную под AB (из точки С в точку D). При этом скорость света в первой среде Р, во второй Т. В какой точке M луч должен пересечь границу AB, чтобы на переход из точки С в точку D ушло минимум времени? (Закон преломления света.)

3. Требуется приготовить открытую сверху цилиндрическую кружку наибольшего объема при заданном количестве материала (т. е. задана поверхность).

4. Котел состоит из цилиндра, завершенного двумя полусферами; принимая объем его постоянным, определить диаметр так, чтобы поверхность была наименьшей.

* Печатается в порядке обсуждения. (Ред.)

Таково первое основное направление политехнизации на уроках математики.

Включение в курс математики средней школы элементов приближенных вычислений — второе основное направление политехнизации в курсе математики.

Выпускник средней школы в своей практической деятельности встретится с вопросами измерения; ему придется оперировать с данными измерения. Поэтому, в школе ученик должен усвоить ту простую истину, что измерения проводятся с некоторой точностью, которая зависит от многих причин, в первую очередь от точности измерительных приборов. Учащийся должен по степени точности исходных данных уметь указать степень точности результата простейших вычислений, должен уметь рационально производить расчеты с приближенными данными.

Значительное место в курсе должно быть также уделено линейной интерполяции и экстраполяции, а также изучению математических таблиц. В школе изучаются таблица логарифмов и тригонометрические таблицы. Желательно, чтобы вначале ученики сами составили, суммируя ряд нечетных чисел, таблицу квадратов натуральных чисел от единицы до 100; таблицу квадратов чисел от 1 до 10 через одну сотую и таблицу поправок к последней для тысячных. В курс математики следует включить изучение каких-нибудь практических таблиц. Нужно считать ненормальным тот факт, что в школе не знакомят с логарифмической линейкой. Оканчивающие среднюю школу должны уметь пользоваться логарифмической линейкой.

Введение в курс математики элементов векторной алгебры — третье основное направление политехнизации в курсе математики.

Уже давно назрела потребность в изучении векторного исчисления в школе. Только на уроках физики получают ученики отдельные сведения о векторах. Между тем, не говоря уже о приложении векторного исчисления к физике и прикладным вопросам, эта тема имеет большой теоретический интерес. На примере векторов ученики убеждаются в том, что существуют отличные от чисел объекты (векторы), которые можно складывать, умножать, и для этих операций выполняются почти все законы, известные из арифметики. Знание векторов упростило бы изложение тригонометрии и комплексных чисел. Конечно, изучение векторной алгебры следует проводить постепенно с V по X классы. Вот основные три направления, по которым должна проводиться политехнизация на уроках математики*. Остается еще только указать, в каком направлении уменьшить существующую программу, чтобы дать возможность ввести элементы теории функций, приближенных вычислений и векторной алгебры. Нам кажется, что можно без ущерба для курса математики значительно уменьшить темы: «Соединения и бином Ньютона», «Решение квадратных уравнений».

«Учительская газета» (1949 год, № 57) писала: «Какой уж год равнодушно печатаются с матриц одни и те же, давно устаревшие дореволюционные учебники. Мы отдаем дань уважения и справедливости таким трудам, как «Арифметика», «Алгебра» и «Геометрия» Киселева, сборник алгебраических задач Шапошникова и Вальцова. Но ведь время идет, математическая наука движется вперед, жизнь предъявляет к школе новые требования, сами люди меняются».

Много ли изменилось с тех пор? — Издан только задачник Ларичева.

Преподавателям уже сейчас можно в пределах действующей программы уделить больше внимания указанным вопросам. Часть из них можно вынести на изучение в математические школьные кружки.

* Здесь следует заметить, что мнение о необходимости изучения в школе элементов теории функций и приближенных вычислений в основном разделяется всеми методистами, тогда как мнение о включении в программу векторной алгебры разделяется далеко не всеми. (Ред.)

ИЗ ОПЫТА

ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛИТЕХНИЗМА В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

Н. Н. ЛОБАНОВ (Калуга)

В задачи политехнического образования входят знакомство в теории и на практике с главными отраслями производства и тесная связь обучения с общественно-производительным трудом.

В наши дни на любом производстве и в сельском колхозном хозяйстве мы встретимся со всевозможными машинами. Во всякой машинной установке мы найдем следующие три основные части: двигатель, передаточный механизм, рабочую часть. Рабочая часть станков снабжена режущими и прочими обрабатывающими инструментами.

Этим определяются некоторые моменты в работе учителей математики.

I. В процессе преподавания надо сопровождать теоретическое обучение изучением вопросов техники, вопросов зависимости действий частей машин: двигателя, передаточных механизмов, рабочей части.

В основном это изучение должно проходить в порядке решения задач соответствующего содержания, с закреплением путем демонстрации некоторых деталей механизмов и показа их взаимодействия или с разъяснениями по плакатам и стенным наглядным пособиям.

В заключение целесообразно провести экскурсию в механические мастерские техникума, завода, в колхоз, совхоз, МТС, железнодорожный узел.

Решение задач учащимися следует сопровождать построением чертежей, схем действия частей машин и т. д.

По вопросам техники легко составить задачи на подбор зубчатых колес. Можно составить задачи на передачу определенной скорости вращения частей машин, скорости резания на станках, задачи на коническую обточку, на установку резцов, на взаимодействие шкивов, на определение длины приводных ремней и др.

Необходимы и задачи, имеющие чисто практическое значение: на вычисление объема лесного материала, пиленого материала, на вычисление объемов цистерн, баков, бочек с горючим материалом, задачи на составление простейших смет по ремонту комнат, квартир и по строительным работам.

Прежде всего, я использую задачи с политехническим содержанием, имеющиеся в стабильных задачниках. Однако решение этих задач в методическом отношении я коренным образом изменил. Рассмотрим, например, следующую задачу по арифметике для VI класса:

Какой диаметр должен иметь шкив IV, чтобы шкив III делал 1200 оборотов в минуту, если ведущий шкив I делает 300 оборотов? Диаметр I — 30 см; II — 20 см; III — 18 см (черт. 1).

Раньше в приведенной задаче и подобных ей меня интересовала, главным образом, вычисли-

Черт. 1

тельная сторона. Сейчас я решаю эту же задачу по-иному. Я преподношу ее учащимся уже не как просто задачу, а как вопрос о системе шкивов для передачи заданного числа оборотов, в результате чего вычислительная сторона становится обслуживающей при сообщении сведений об основах производственных процессов в форме задачи.

К решению этой задачи я готовился заранее. Мною выполнен плакат с заголовком «Система шкивов для передачи заданного числа оборотов», сделан яркий чертеж на плакате и записано условие к чертежу.

По этому плакату я разъясняю понятие о ведущих и ведомых шкивах, разъясняю, что от диаметра шкива зависит число его оборотов, что ведущий шкив соединяется ремнем с двигателем. Остальные шкивы называются ведомыми вследствие соединения их с ведущим. Конечный шкив III при соединении со станком дает возможность обрабатывать материалы (металлы, дерево) резцами с определенной скоростью, что зависит от числа оборотов конечного ведомого шкива.

Этот же плакат я использовал для решения многих подобных же задач, меняя на плакате условно роль отдельных шкивов, делая шкив III ведущим, а остальные ведомыми, придавая, кроме того, разное число оборотов ведущим шкивам.

Рассмотрим задачу № 1921 из сборника Березанской.

Зубчатое колесо А имеет 60 зубьев и делает 114 оборотов в минуту. Найти число оборотов в минуту ведомой зубчатки В, если она имеет 25 зубцов.

Эта задача ранее была для меня интересной как задача практического характера, но при ее решении центральное место все же занимала вычислительная сторона. Сейчас я решал ее тоже (заранее подготовившись) по-иному. Я приготовил стенной плакат с заголовком «Вращательное движение при сцеплении зубчатых колес». На плакате сделан яркий чертеж зубчаток и написано условие задачи. Этот плакат и заголовок фиксируют внимание учащихся именно на системе сцепления, на движении зубчаток при их вращении, а вычислительная сторона является обслуживающей.

По плакату я разъясняю, что если в первой задаче шкивы вращаются в одном направлении, то во второй задаче зубчатки имеют встречное вращение, что показано стрелками на плакате. Зубчатки могут соединяться в более сложную систему, и нужно различать вращение каждой из них.

Третья задача, которую я решал, дает представление о том, что и шкивы могут быть соединены так, что вращение их будет происходить, как и зубчаток, в противоположном направлении, для этого их соединяют перекрестной ременной передачей. Для решения нижеследующей задачи я приготовил плакат с заголовком «Система вращения шкивов в противоположном направлении» (черт. 2).

Ведущий шкив Б соединен перекрестной ременной передачей со шкивом А. Какой диаметр имеет шкив А, если он делает 1200 оборотов в минуту, а шкив Б делает 900 оборотов в минуту и имеет диаметр 20 сантиметров? В каком направлении относительно друг друга происходит вращение шкивов?

Этот плакат я использовал также для решения подобных задач, меняя роль шкивов ведущего и ведомого, меняя величину диаметров и число оборотов.

При помощи решения перечисленных задач учащимися хорошо усвоено понятие об обратной пропорциональности величин, составление и решение пропорций.

Большой интерес вызывает задача о велосипедной передаче. Передачей велосипеда называем расстояние, проходимое задним колесом велосипеда при одном обороте педалей. Если Q — передача, zx — число зубцов педальной зубчатки и z2 — число зубцов зубчатки заднего колеса велосипеда, D — диаметр заднего колеса, то

Из этой формулы видна зависимость скорости велосипеда от диаметров зубчаток, и она вызывает у учащихся соображения конструктивного характера. Очевидно, чем больше число зубцов у педальной зубчатки и чем меньше число зубцов у зубчатки заднего колеса, тем больше скорость велосипеда. Возникают, однако, вопросы: что заставляет ограничивать число зубцов педальной зубчатки, в чем мы проигрываем, если увеличиваем число ее зубцов? Эти вопросы живо интересуют учащихся.

В результате сообщаю, что нормальные числа зубцов для передачи велосипеда таковы: педаль-

Черт. 2

ные зубчатки имеют 20—30 зубьев; зубчатки заднего колеса 7—11 зубьев.

В задачнике Е. С. Березанской имеется достаточное количество задач, соответствующих целям политехнизации. Однако учитель должен для их решения с учащимися хорошо готовиться. Таковы задачи № 1918, 1919, 1920, 1921, 1922, 1923, 1924, 1925, 1926, 1927.

В новом учебном году мне предстоит работать в седьмых классах. Я предполагаю установить преемственность в тематике задач.

По теме «Окружность, взаимное расположение окружностей» я познакомлю учащихся с понятием о шаге зацепления зубчатых колес, о передаточном числе, с модулем зацепления и с их практическими применениями.

Шагом зацепления называется расстояние между осями двух смежных зубцов, измеренное по начальной окружности (черт. 3). Под начальными окружностями понимают воображаемые окружности с центрами, совпадающими с центрами зубчаток и проходящими через зубцы зацепляющихся зубчатых колес, так что они (окружности) касаются друг друга. Диаметры начальных окружностей должны быть такими, чтобы при вращении колес начальные окружности катились одна по другой без скольжения.

Очевидно, что шаг зацепления должен укладываться целое число раз на начальной окружности колеса и столько именно раз, сколько зубцов имеет колесо. Таким образом, обозначая шаг зацепления t, имеем:

где гх и г2 — радиусы начальных окружностей колес и zx и £2 — числа их зубцов.

Задача. Какой шаг зацепления должно иметь зубчатое колесо, если зацепляющееся с ним колесо имеет 60 зубцов и диаметр начальной окружности этого колеса равен 150 мм.

Эта задача легко решается по вышеприведенной формуле, с разъяснением понятия о шаге зацепления.

Из формулы шага зацепления можно дать понятие о передаточном числе.

Передаточным числом называется отношение скоростей вращения зацепляющихся колес, что важно при замене зубчатых колес с другим количеством зубьев:

Из формулы шага зацепления выводится и понятие о модуле зацепления. Если

то

Если принять t, равным целому числу миллиметров, то диаметр начальной окружности не будет целым числом, поэтому, чтобы получить для диаметра начальной окружности целое число, t принимают — равным целому числу, например 2, 3, 4 и т. д.

Величина — называется модулем зацепления и обозначается буквой

Обратная величина выражает число зубьев, приходящихся на 1 миллиметр диаметра начальной окружности.

Задачи.

1. Диаметр начальной окружности зубчатого колеса равен 60 мм, а модуль зацепления равен 2,5. Определить число зубцов.

2. Найти модуль зацепления зубчатого колеса, имеющего 60 зубцов и диаметр начальной окружности 150 мм.

3. Зубчатка с модулем зацепления равным 1,5 мм имеет 24 зубца. Определить диаметр начальной окружности.

4. Две зубчатки, находящиеся в зацеплении имеют соответственно 60 и 80 зубцов. Модуль зацепления равен 2,5. Определить расстояние между центрами зубчаток.

Если в цеплении участвуют не две зубчатки, а больше, то такая зубчатая передача называется системой зубчатых колес. Для того чтобы зубчатые колеса могли правильно зацепляться друг с другом, необходимо, чтобы они имели одинаковый шаг и одинаковый модуль.

В целях облегчения замены зубчатых колес, а также составления систем зубчатых колес зубчатые колеса строятся сериями одинакового шага, но с различными диаметрами и числами зубцов.

Для зубчатых колес одной серии соблюдаются

Черт. 3

соотношения. Например, модуль зацепления Е равняется

откуда диаметр начальной окружности зубчаток

Большое значение имеют и задачи на железнодорожную тематику. Таких задач очень много в задачниках Березанской, Каменского и Либермана, в сборниках задач, издававшихся Отделом школ ГУУЗа МПС.

II. Соответственно программе по геометрии вполне могут быть выполнены на местности следующие работы, которые я и выполняю в своей практике.

1. Измерения с помощью простейших инструментов (мерная цепь, эккер, высотомер, эклиметр, буссоль, мензула).

2. Измерения расстояний и углов на глаз.

3. Измерения расстояний шагами. Конкретно я выполняю на местности следующие работы:

1) Провешивание линий.

2) Построение перпендикуляра к прямой из точки, данной вне прямой, при помощи мерной цепи.

3) Построение перпендикуляра прямой из точки, данной на прямой, при помощи мерной цепи.

4) Эти же построения при помощи эккера.

5) Построение параллельных прямых при помощи мерной цепи и при помощи эккера.

6) Построение углов на местности с применением эккера и буссоли.

7) Определение недоступных расстояний на основе равенства треугольников.

8) Определение ширины реки.

9) Определение на основе подобия треугольников расстояний между двумя точками, которые недоступны.

10) Определение высоты дерева при помощи высотомера, а также с применением эклиметра.

11) Определение недоступных высот и расстояний.

12) Измерение недоступных расстояний графическим способом.

13) Съемка плана местности с мензулой полярным способом, способом засечек и способом обхода участка по пограничной линии.

14) Разбивка пришкольного участка под посадку кустарников, плодовых деревьев.

III. Железнодорожному транспорту в своей работе я уделяю особое внимание и провожу экскурсии на железнодорожное полотно. Такие вопросы, как вычисление величины уклона и подъема железнодорожного полотна, изучение соответствующих указателей, имеющихся на путях, определение радиуса закругления железнодорожного пути, представляют для учащихся большой интерес.

IV. Теоретическое обучение должно во всех возможных случаях закрепляться и такими практическими работами, как работа по изготовлению моделей геометрических тел (деревянных, стеклянных, картонных, металлических), простейших измерительных приборов и других наглядных пособий.

Эту работу все учителя нашей школы стремятся проводить и совершенствовать ее.

V. Особое внимание должно уделяться со стороны учителей математики графическим работам. В школьных программах имеется, однако, большой разрыв в работе учителей математики и черчения. Этот разрыв остро чувствуется в шестых классах, где начинается геометрия, а черчения совершенно нет, этот разрыв чувствуется и в содержании программы по черчению, особенно в десятых классах.

VI. Во всей своей дальнейшей работе я намерен проводить в отдельных классах следующие мероприятия.

V класс

1. Решение задач с использованием числовых данных пятого пятилетнего плана по теме «Проценты».

2. Счет на конторских счетах — практические навыки.

3. Счет на арифмометре.

4. Измерения на местности.

VI класс

1. Решение задач с использованием данных пятого пятилетнего плана при повторении темы «Проценты».

2. Построение графиков по числовым данным пятого пятилетнего плана.

3. Решение задач технического характера по теме «Пропорции).

4. Измерения на местности.

VII класс

1. Решение задач технического характера по теме «Взаимное положение окружностей».

2. Экскурсия на железную дорогу. Экскурсия в механические мастерские.

3. Измерения на местности.

VIII класс

1. Построение графиков по данным пятого пятилетнего плана.

2. Измерения на местности.

3. Работа с пантографом.

4. Механическое измерение площадей, расстояний по плану, карте, пользуясь планиметром, курвиметром.

IX класс 1. Счет на логарифмической линейке.

2. Моделирование по теме «Линии и плоскости в пространстве).

3. Измерения на местности.

X класс

1. Счет на логарифмической линейке.

2. Моделирование геометрических тел.

3. Решение задач практического характера по теме «Поверхности и объемы».

4. Измерения на местности с применением тригонометрии.

ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

В. Д. ЧИСТЯКОВ (Витебск)

Уже сейчас, в рамках ныне действующей программы по математике, учителя математики многих школ г. Витебска (БССР), не дожидаясь специального политехнического оборудования, находят время и место вопросам политехнического обучения.

При планировании своей учебной работы учителя математики исходят из следующих соображений.

1. В преподавании математики необходимо, чтобы на каждом этапе обучения учащийся представлял себе те практические, реальные соотношения между вещами из окружающей обстановки, абстрактным отражением которых являются соответствующие математические положения.

2. Рисунок и чертеж должны найти самое широкое применение во всех преподаваемых дисциплинах в школе, в особенности в преподавании математики. Надо всегда помнить, что чертеж — язык техники. Задача школы — научить пользоваться этим языком.

3. На уроках математики необходимо больше использовать все возможные наглядные пособия (модели, чертежи, таблицы). Более того, надо привлечь учащихся к изготовлению некоторых наглядных пособий, к изготовлению моделей теорем и ряда геометрических задач.

4. Научить учащихся пользоваться логарифмической линейкой, конторскими счетами, арифмометром.

5. Познакомить учащихся с теорией и практикой приближенных вычислений.

6. Шире использовать в практике преподавания графики и номограммы.

7. Больше внимания уделять практическим задачам, связанным с измерениями на местности.

Каждый учитель должен научиться пользоваться астролябией, эккером, эклиметром и другими измерительными инструментами и уметь решать всевозможные задачи на местности. Надо помнить, что измерительные работы дают широкую возможность увязать теоретический материал геометрии с курсом арифметики, с черчением и рисованием.

8. При решении задач учитель должен подбирать такие задачи, в которых математический метод применялся бы для познания жизненных явлений, а не для искусственных механических операций. Ученик должен не только уметь решать задачи, но и уметь составлять их. Для этой цели надо широко использовать цифровой материал из газет и журналов.

9. Следует проводить экскурсии на фабрики, заводы, в МТС и совхозы. Экскурсии нужно проводить по заранее продуманному плану, с определенно намеченной целью. Материалы экскурсии в надлежащей обработке должны дать ценный материал для занятий по математике (материал для задач, интересные технические чертежи и т. д.).

В марте месяце текущего года кафедра математики Витебского государственного педагогического института имени С. М. Кирова приняла участие в работе конференции учителей г. Витебска по вопросам политехнического обучения.

На этой конференции на основе ныне действующей программы по математике был принят примерный перечень мероприятий по проведению некоторых вопросов политехнизации по математике, не требующих особого дополнительного времени.

V класс

Арифметика. Вычисление объема классной комнаты, квартиры. Вычисление площади земельного участка, площади классной комнаты. Расчет количества необходимого материала (для оклейки комнаты, изготовления модели куба, прямоугольного параллелепипеда). Подбор задач с практическим содержанием. Приобретение прочных навыков в пользовании счетами (на математическом кружке). Построение диаграммы по материалам XIX съезда КПСС (рост промышленной продукции СССР и капиталистических стран за 1929—1951 гг. по докладу Г. М. Маленкова, выработка электроэнергии в СССР и др.). Успеваемость класса за I, II и III четверти и т. д.: вычисление процента неуспеваемости в классе по отдельным предметам и в целом. Процентные вычисления по материалам пятилетнего плана, а также материалам предприятий г. Витебска (использовать данные экскурсий). Измерение длины окружности и диаметра и вычисление числа тг посредством конкретных измерений (стакан, тарелка, цилиндр). Рекомендовать эту работу провести в классе и дать домашнее задание. Знакомство с измерительными инструментами (метр, рулетка, штангенциркуль). Познакомить учащихся с правилами приближенных вычислений по способу подсчета верных цифр и использовать их при практических измерениях. В процессе преподавания чаще прибегать к устным и полуписьменным вычислениям и к частичному использованию счетов. В преподавании арифметики использовать арифметический ящик и различные таблицы, в частности таблицы для устного счета.

VI класс

Арифметика. Съемка плана класса, школьного двора, пришкольного участка (ознакомление с масштабом, пользование рулеткой, эккером, транспортиром, астролябией; изготовление эккера, астролябии). Повторение практических задач, предусмотренных для V класса, с усложнением данных. Рекомендовать экскурсии на предприятия в связи с прохождением темы «Пропорциональное деление» (расчет зубчатых колес, механизмов). Решение задач на смешение с использованием данных лабораторных работ по химии, а также данных предприятий.

Алгебра. Построение графика температуры за месяц, использовав наблюдения кружка юных мичуринцев. Изучение графика движения поездов и составление графика по данным. Пользование таблицами квадратов и кубов чисел. Использование формулы сокращенного умножения при устных вычислениях.

Геометрия. Измерения на местности: провешивание прямых линий, построение прямых углов, разбивка поля на прямоугольные участки, построение параллельных прямых в связи с разбивкой сада, аллеи, парка; измерение высоты дерева, здания, столба и пр. с использованием равнобедренного прямоугольного треугольника. Построение треугольников на местности по заданным условиям (по всем признакам равенства треугольников). Следует уделить большое внимание задачам на построение. Рекомендовать изготовить силами учащихся шарнирный треугольник и четырехугольник. Рекомендовать моделирование некоторых теорем и задач. Ознакомить учащихся с биографией Н. И. Лобачевского, его ролью и значением в развитии математики, а также ознакомить с деятельностью П. Л. Чебышева.

VII класс

Алгебра. Пользование таблицами квадратов и кубов чисел и квадратных корней. Графическое решение уравнений. Построение простейших номограмм (снижение цен и т. д.).

Геометрия. Измерения на местности (провести практические работы на местности, рекомендованные для V и VI классов). Составление системы таблиц на геометрические места точек. Моделирование теорем. Моделирование четырехугольников.

VIII класс

Алгебра. При изучении функций обратить внимание на существование готовых таблиц и при вычислениях и построениях графиков пользоваться готовыми таблицами функций (у = 2кх; у=т:х2; у = -i-; у = х2\ y = \fx). Графические приемы решений. Использовать номограммы для решения квадратного уравнения, теоремы Пифагора и др.

Геометрия. Измерения на местности: измерение недоступных расстояний, высот, ширины реки Двины; измерение площади земельных участков многоугольной формы. Использование поперечных масштабов для измерения расстояний по карте. Приближенные вычисления с применением строгого учета погрешностей. Изготовление наглядных пособий (модель для изучения изменений тригонометрических функций). Иметь разграфленную классную доску.

IX класс

Алгебра. Изучение логарифмической линейки: на классных занятиях познакомить с принципом устройства логарифмической линейки, а пользование логарифмической линейкой отнести на занятия математического кружка. Построение графиков показательной и логарифмической функции

и их использование при решении задач. Познакомить с графическим решением трансцендентных уравнений вида 2х = 4х, tg х = х— 1 и др.

Геометрия. Рекомендовать решение задач на построение эффективными методами (на проекционном чертеже). Моделирование теорем о двух и трех перпендикулярах. Изготовить силами учащихся геометрический ящик (набор прямых и плоскостей) для иллюстрации теорем о взаимном расположении прямых и плоскостей. Изготовить модель трехгранного угла. Ознакомить учащихся с биографией и деятельностью советского математика-геометра Н. Ф. Четверухина.

Тригонометрия. Построение графиков тригонометрических функций, изготовление тригонометра. Пользование таблицами, не ограничиваясь графиками, приведенными в учебнике. Пользование таблицами перехода градусной меры в радианные.

X класс

Алгебра. Решение задач технического содержания, на изучение наибольшего и наименьшего значения и свойств квадратичной функции.

Графическое решение неравенства. Обратить большее внимание на соотношение абсолютных величин. Графическое решение неравенств, содержащих два неизвестных. Познакомить с графическим и численным способами решения уравнений высших степеней (на внеклассных занятиях).

Геометрия. Моделирование круглых тел. Изготовление правильных чертежей на круглые тела. Чертежи к задачам на круглые тела. Моделирование тел вращения. Изготовление модели усеченного конуса.

Тригонометрия. Рекомендовать решение задач прикладного характера с помощью тригонометрии, используя материал, помещенный в журнале «Математика в школе». Вычисление площадей, расстояний, высот с помощью тригонометрии.

Все перечисленное выше уже осуществляется в той или иной мере нашими передовыми учителями математики. В этом отношении накопился, некоторый положительный опыт. Задача заключается в том, чтобы этот ценный опыт после внимательного изучения и обобщения сделать достоянием всех учителей математики.

К МЕТОДИКЕ ИЗУЧЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

Л. С. КАРНАЦЕВИЧ и В. С. КАРНАЦЕВИЧ (Тюмень)

Программа по математике для средней школы рекомендует учителю отвести на тему «Показательная функция и логарифмы» 36 уроков. Из них 6—8 уроков следует, по нашему мнению, посвятить изучению показательной функции.

Действительно, не подлежит сомнению необходимость дать учащимся отчетливое понятие о функции, научить проводить исследование простейших функций (устанавливать область определения, промежутки монотонности и т. д.), строить графики и, наоборот, по графику судить о свойствах функции («читать» график). Учитывая всю важность усвоения учащимися идеи функциональной зависимости и приобретения ими некоторых технических навыков исследования функций, учитель математики обязан использовать все возможности, предоставляемые ему, в этом отношении программой.

При изучении показательной функции предоставляются следующие возможности:

1. Обосновывается ряд чисто арифметических свойств степени, причем эти свойства сейчас же иллюстрируются графиками. Это обоснование дает понять учащимся возможность и необходи-

мость доказательства алгебраических теорем (а о пренебрежении к теории алгебры со стороны учащихся и учителей не раз говорилось на страницах журнала «Математика в школе»)*.

Заметим также, что здесь мы имеем повод повторить раздел арифметики, в котором идет речь о правильных и неправильных дробях, в частности об уменьшении множимого при умножении на правильную дробь и т. д.

2. При построении графика показательной функции учащиеся еще раз встречаются с асимптотическим приближением кривой к прямой (первый раз в VIII классе при изучении функции V =— J, но теперь уже вооруженные понятием о пределе.

3. Упражнения по теме «Показательная функция», как показал опыт, дают возможность учащимся лучше понять графики и развивают в них

* С. М. Чуканцов, Мой опыт борьбы с формализмом в преподавании математики, 1947, № 2; П. С. Моденов, О приемных испытаниях на физический факультет Московского университета в 1948/49 учебном году, 1949, № 2.

способность иллюстрировать графически арифметические зависимости.

Первый урок был посвящен определению показательной функции. Он начался с повторения зависимости между компонентами и результатом арифметического действия.

Так были рассмотрены:

а) Зависимость произведения от одного из двух сомножителей:

б) Частного от делимого:

в) Суммы от одного из двух слагаемых:

г) Разности от уменьшаемого, или вычитаемого:

у = X — а\ у = а — X.

д) Частного от делителя:

Был сделан вывод, что только в последнем случае график представляет собою кривую линию, а во всех остальных случаях — прямую.

Возник вопрос о том, какие действия еще известны, и после указания на возвышение в действительную степень было установлено, что степень может зависеть от основания и от показателя.

Учащимся было предложено написать формулу, выражающую последнюю зависимость. Так был введен термин «показательная функция» и была дана формула:

у = ах.

Определение показательной функции было дано следующее:

Функция, выражающая зависимость степени от показателя степени при данном основании, называется показательной функцией.

Далее перед классом был поставлен ряд вопросов:

1. Есть ли смысл изучать функцию у = а* при а, равном 0, или а, равном 1.

Выяснили, что при таких значениях а изучение функции не представляет интереса, так как при а = 0 и положительных значениях аргумента у = 0, а при отрицательных значениях аргумента ах лишается смысла. При а = 1 функция ах тождественно равна 1.

2. Может ли а быть отрицательным числом? Рассмотрели пример: у = (— 3х.) Составили таблицу для этой функции со ступенью, равной 0,5 для промежутка от 0 до 2. Сейчас же вскрылось, что при многих дробных значениях аргумента мы не можем говорить о значении функции, так как при определении дробного показателя рассматривалось только положительное основание (С. И. Новоселов, Специальный курс элементарной алгебры, стр. 136).

Тогда, естественно, был сделан вывод об условии считать а числом положительным.

Определение дробной степени было дано нами в свое время как арифметического корня:

где Уат — единственное действительное число п-я степень которого равна ат. Поэтому оговорку стабильного учебника А. П. Киселева об арифметическом значении корня при определении показательной функции мы считаем излишней.

После рассмотрения возможных значений а выяснили, что аргумент — показатель — может принимать любые действительные значения.

Отметили, что с показательной функцией учащиеся на уроках алгебры уже встречались при изучении геометрических прогрессий. Именно: если первый член такой прогрессии равен единице, то

т. е. величина члена прогрессии есть функция показателя п—1. Правда, множеством допустимых значений аргумента является здесь множество только натуральных чисел.

Учащиеся придумали по заданию учителя несколько примеров показательной функции:

у=2х\ ^ = 10*; у =7,2*.

Урок закончился составлением таблицы и вычерчиванием графика функции у — 2х.

Здесь было поставлено, с целью научить читать график, несколько вопросов:

1. Найти по чертежу 23'5; 23-5; J/32.

В последнем случае т/32 = 2 2 ' отмечаем на оси абсцисс точку с абсциссой 2 2 ^ восставляем перпендикуляр до пересечения с кривой и находим длину отрезка этого перпендикуляра.

2. Указать, какой степенью числа 2 является число 6. (Проводим прямую, параллельную оси абсцисс и удаленную от нее на 6 единиц, опускаем из точки встречи этой прямой с графиком перпендикуляр на ось абсцисс и т. д.)

На дом было задано: повторить определение показательной функции и построить график функции у = 3х.

На втором уроке рассматривались свойства показательной функции в таком порядке.

Вспомнили, что вид графика функции у = kx зависит от k, а именно: при k положительном график образует острый угол, а при к отрицательном — тупой угол с положительным направлением оси абсцисс. В первом случае функция является возрастающей, а во втором случае — убывающей. Это иллюстрируется соответствующими чертежами (черт. 1).

Предлагается решить вопрос: какие два существенно различные случая могут представиться при изучении функции в зависимости от а?

Это трудный вопрос, но, думается нам, необходимый, если мы не хотим сделать изложение догматическим, а желаем пользоваться каждым поводом для того, чтобы пробудить мысль учащегося. Здесь не следует торопиться. Каждому должно стать ясным после соответствующих ответов и дополнительных разъяснений учителя, что речь может идти об изучении свойств степени правильной дроби, с одной стороны (а< 1), и неправильной дроби, с другой стороны (а>1). Под правильной дробью мы разумеем здесь положительное действительное число, меньшее единицы, а под неправильной дробью — большее единицы (например, \[3), но не беда, если учащиеся будут представлять себе только рациональные значения а. С точки зрения осмысленного повторения арифметических соотношений этого достаточно.

Итак, исследование функции разделяется в соответствии с двумя случаями: а > 1 и а < 1.

Учитель предлагает разделить страницу тетради по прямой, параллельной полям, пополам и записывать доказательства последующих теорем слева (при а> 1).

Порядок изучения свойств был принят следующий: подмеченное свойство кривой на графике переводилось на язык арифметики, проверялось на таблице, приводились примеры, и только после этого свойство доказывалось аналитически.

Мы согласны с С. И. Новоселовым в том, что «в основу построения графиков функций следует положить не построение кривой «по точкам», а исследование свойств данной функции» («Математика в школе» за 1946 г., № 5—6, стр. 33), но считаем, что на первых порах более доступным и не менее полезным является составление суждений самими учащимися о свойствах функции по начерченному графику. Дело учителя разъяснить, что график, построенный по нескольким точкам, гипотетичен и потому-то мы и обращаемся в конце концов к логическим доказательствам.

Свойство первое (ах > 0) было доказано так же, как и в учебнике Киселева.

Вначале здесь был поставлен перед классом вопрос: может ли график функции у =ах пересечь ось абсцисс или коснуться оси абсцисс?

Дело в том, что при выполнении домашнего задания по построению графика функции у = 3* некоторые учащиеся произвольно продолжили кривую влево так, что она оказалась «под» осью абсцисс. Такого рода ошибка при выполнении схематического рисунка с изображением графика функции отмечалась нами в течение нескольких лет.

Подробное выяснение ответа на поставленный выше вопрос поэтому совершенно необходимо.

Ко второму свойству показательной функции мы подошли так.

На заранее изготовленном на бумаге чертеже (черт. 2) с графиком функции^ = 2Х учитель провел прямую, параллельную оси абсцисс и удаленную от последней на расстояние, равное единице (приколол лучинку, окрашеную в темный цвет).

Учащимся было предложено составить формулировку еще одного свойства, рассматривая взаимное положение кривой и построенной прямой. Это было сделано: значения показательной функции больше единицы при положительных и меньше единицы при отрицательных значениях аргумента. Это же было предложено повторить

Черт. 1

Черт. 2

в терминах арифметики: положительная степень неправильной дроби больше единицы, а отрицательная — меньше единицы.

Этот вывод подтвердила и таблица, построенная еще на предыдущем уроке.

Наконец, учащиеся придумали примеры:

Доказательство было проведено так.

Пусть х-рациональное число натуральные числа;

Подчеркнутое неравенство следует из рассуждений: если бы У ар ^ }/“ 1, то после возвышения обеих частей в степень q мы получили бы аР ^ 1. В приведенном выше рассуждении используется свойство неравенств: обе части неравенства с положительными членами можно возвысить в одну и ту же натуральную степень.

Нам кажется, что это свойство и некоторые другие свойства неравенств должны быть не только сформулированы, но и доказаны раньше, чем это предусматривает существующая программа. Действительно, доказательства этих свойств не представляют трудностей (см., например, статью Александрова и Колмогорова в журнале «Математика в школе», 1941, № 2), а применять эти свойства приходится постоянно и при изучении пределов в курсе алгебры IX класса, и при решении ряда вопросов тригонометрии, и в других разделах.

Во всяком случае, справедливость указанного выше свойства неравенств не вызывает сомнений у учащихся и может быть подтверждена примерами.

Если же X = —s (s — рациональное и больше нуля), то

Случай иррационального х был рассмотрен так же, как и в учебнике Киселева.

На втором уроке было рассмотрено и третье свойство — монотонное возрастание функции. Приводим только доказательство: Дано: хх> х2. Требуется доказать:

Доказательство.

Значит,

На дом было задано: начертить график функции у = > сформулировать (и записать формулировки в черновой тетради) теоремы, аналогичные доказанным, при условии а<М.

Доказательство же этих теорем с соответствующей записью на правой половине страницы было проведено на третьем уроке учащимся у доски, и таким образом в сознании учащихся были закреплены методы доказательств. Повторяем, что каждое свойство иллюстрировалось графиком, таблицей, примерами и, наконец, доказывалось.

Четвертый, пятый и шестой уроки были посвящены упражнениям и рассмотрению еще двух свойств графика, а значит, и степени. Рассматривались следующие свойства: 1. Кривая, представляющая собою график функции у = ах при #<М, неограниченно приближается к оси абсцисс при возрастании аргумента, но не может иметь с ней ни одной общей точки.

Ознакомление с этим фактом, выходящее за рамки элементарной математики, по нашему мнению, имеет образовательное значение.

Надлежало доказать, что а* станет меньше как угодно малого числа е > 0 при достаточно больших значениях х (а < 1) (черт. 3). Так была сформулирована задача. Учащимся было сказано, что доказательство не дается, так как оно выходит за рамки программы.

Оно может быть проведено следующим образом.

Рассматриваем геометрическую прогрессию:

Сравниваем разности последовательных членов:

Замечаем, что они убывают.

Поэтому все последующие разности меньше, чем первая.

Если обозначить эти разности, начиная, с первой, через du d2,..., dn, то

что меньше, чем

так как Итак,

Решим неравенство (относительно п):

откуда

Итак, при

имеем ал<е, а поэтому ах<£ при всех х, больших п (функция монотонно убывает).

Черт. 3

2. Чем больше а (<2> 1), тем большее приращение функции соответствует одному и тому же приращению аргумента при одном и том же начальном его значении.

Это свойство, конечно, в другой, так сказать, геометрической форме, подметили учащиеся, сравнивая графики различных показательных функций, построенных на одних и тех же осях координат.

Они говорили о том, что одна кривая — более пологая, другая — более крутая, говорилось о быстроте возрастания, о близости к оси ординат и т. д.

Учитель обратился снова к графику линейной функции и показал, что там одному и тому же приращению аргумента соответствует одно и то же (для данной функции) приращение функции, но другое приращение для другой функции (черт. 4).

Черт. 4

Затем на готовых графиках показательных функций было замечено и сформулировано так, как выше, соответствующее свойство показательной функции (черт. 5).

Черт. 5

Доказательство может быть проведено так:

h — приращение аргумента. Требуется доказать:

Доказательство. Сравниваем произведения

и

Из того, чтоа>аь следует, что а*°>ах* и ah> ан{. Итак, второе произведение больше первого, ч. т. д.

Повторяем, что два последние свойства нами не доказывались, а были только отмечены на чертежах и сформулированы (и записаны в тетрадях). Учащиеся должны были знать эти свой-

ства. Их можно сообщать без доказательства, а доказательство провести на внеклассных занятиях.

Переходим теперь к перечислению упражнений, предлагавшихся учащимся для закрепления изученных свойств показательной функции.

Эти упражнения сопровождались непременно графическими иллюстрациями, выполняемыми учащимися самостоятельно и схематически, от руки.

1. Сравнить с единицей

2. Сравнить между собою

3. Решить графически уравнения

4. Сравнить аир, если

5. Что можно сказать о величине ту если

6. Решить графически уравнение:

7. Доказать, что графики функций

симметричны относительно оси ординат.

Конечно, наряду с этими упражнениями шло и повторение пройденного, в частности, предлагались примеры на дробные и отрицательные показатели.

Порядок выполнения упражнений рассмотрим на двух примерах. Возьмем упражнение 2, б: сравнить (0,35)-Ь2 и (1,25)-°«75.

1) Прежде всего ученица указывает, что (0,35)—!«2 есть значение функции 0,35*, а (1,25)—°«75 есть значение функции 1,25*;

2) строит схематически графики этих функций (от руки) (черт. 6);

3) отмечает ординаты, соответствующие этим частным значениям;

4) выясняет по графику, что 1,25—°»75<0,35—1 *2.

Черт. 6

Конечно, не возбранялось сразу дать ответ на поставленный вопрос, основываясь на доказанных свойствах показательной функции, но мы считали, что указанная методика решения примера способствовала тому, что к графику, к графическому способу решения в сознании учащихся складывалось известного рода уважение, как к методу, позволяющему ответить на вопрос с наименьшим напряжением памяти и умственных усилий.

Со схематического вычерчивания графиков начиналось выполнение каждого из остальных упражнений, приведенных выше.

Мы особенно настаиваем на необходимости таких упражнений с графическими иллюстрациями. Только в процессе выполнения этих упражнений учащиеся усваивают свойства показательной функции не формально и, что может быть еще более важно, учатся «читать» график.

Логарифмическая функция была нами изучена в таком же плане.

О САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ

(Из опыта преподавания в школах рабочей молодежи)

И. А. МХИТАРОВ (Дзауджикау)

Учебный план школ рабочей молодежи более уплотнен по сравнению с учебным планом массовых школ. Учащиеся школ рабочей молодежи располагают значительно меньшим временем для подготовки домашних заданий, так как совмещают учебу с работой на производстве. Поэтому, очень важным моментом в деле обучения в школе рабочей молодежи является выработка у учащихся навыков самостоятельной работы.

В настоящей статье изложен опыт развития у учащихся навыков самостоятельной работы по математике в VIII—X классах школ рабочей молодежи.

В школах рабочей молодежи, как и в массовых школах, основной формой работы является урок. Изучение теоретического и практического материала на уроках математики должно происходить при активном участии всех учащихся класса. Выработка у учащихся навыков самостоятельной работы на уроках математики может складываться из многих моментов, но мы рассмотрим только некоторые из них.

При изучении новой темы в школах рабочей молодежи весь теоретический материал, который посилен учащимся, должен быть выведен силами самих учащихся во время работы в классе, конечно, при некоторой помощи учителя.

В VIII классе учащиеся могут самостоятельно изучить следующие разделы: «Теорема Виета», «Разложение квадратного трехчлена», «Биквадратные уравнения», некоторые теоремы о метрических зависимостях между элементами геометрических фигур.

В IX классе такого рода разделами будут: «Вывод формул любого члена геометрической и арифметической прогрессии», «Логарифм произведения, частного, степени и корня», «Зависимости между сторонами правильных многоугольников и радиусами описанных окружностей» и почти все задачи на построение из курса стереометрии, «Тригонометрические функции углов: 30°, 45°, 60°, формулы для двойного и половинного аргумента» и т. д.

В X классе учащиеся могут самостоятельно изучить решение двучленных и трехчленных уравнений, вывод формул поверхности призмы и пирамиды, вывод формул объемов усеченной пирамиды, усеченного конуса, шарового сегмента и другие разделы.

Но учитель должен понять всю ответственность, которую он берет на себя, поручая изложение нового теоретического материала учащемуся. При необдуманном подходе учебный материал может быть скомкан и будет причинен вред, исправить который очень трудно.

Подготовка к урокам, на которых ученики будут самостоятельно доказывать новые теоретические положения, должна быть более тщательной, чем к обычным урокам. При подготовке к уроку надо учесть много обстоятельств.

Рассмотрим несколько примеров.

В качестве первого примера рассмотрим несколько разделов темы «Квадратные уравнения». При подготовке к этим урокам пришлось продумать следующие вопросы:

Как от решения уравнения

более «плавно» перейти к решению уравнения

и соответственно подобрать упражнения с «медленно» нарастающей степенью трудности.

Рассмотрим решение квадратного уравнения как установление функциональной зависимости неизвестного от коэффициентов уравнения, что должно сделать выводы всех формул более целеустремленными.

Должен предупредить, что все алгебраические преобразования, которые здесь приведены, делают учащиеся, учитель только руководит работой в класссе.

На уроках, при решении уравнения вида

не следует ограничиваться решением таких уравнений, как, например, л:2 = 25 или х2 = 14; когда учащиеся твердо усвоят их решение, следует усложнять упражнения и предлагать учащимся решить например, такие уравнения:

При решении перечисленных уравнений общая установка такова: решение квадратного уравне-

ния сводится к решению двух уравнений первой степени. Учащиеся должны научиться второй член представлять в виде удвоенного произведения первого числа на второе, а из свободного члена выделять квадрат второго числа. Такая подготовительная работа должна предшествовать выводу формулы корней полного квадратного уравнения.

Урок, на котором дается вывод формулы квадратного уравнения, можно начать с решения уравнения, у которого второй коэффициент есть нечетное число.

Например:

Учитель снова подчеркивает, что можно решение и этого квадратного уравнения свести к решению двух уравнений первой степени, для чего левую часть уравнения полезно представить как квадрат разности двух чисел.

При решении уравнения возникает затруднение, так как второй коэффициент представляет нечетное число. Учитель задает вопрос: «Что нужно сделать, чтобы второй коэффициент стал четным числом?»

Обычно учащиеся предлагают умножить обе части уравнения на 2, но учитель спрашивает у учащихся, какое мы преимущество потеряли бы в этом случае.

Учащиеся устанавливают, что первый член уже трудно будет представить как квадрат первого числа, и тут же возникает мысль умножить обе части уравнения на 4, т. е.

Дальнейшие преобразования вызывают уже меньше затруднений:

Если время позволяет, то хорошо решить уравнение, корни которого иррациональны, это еще одна ступень в подготовке к выводу общей формулы.

Пример.

Приступая к решению уравнения

(1)

учитель должен указать, что данными числами являются коэффициенты уравнения, а искомым числом X. Иначе: надо установить зависимость х от коэффициентов уравнения р и q в виде некоторой формулы.

Условие можно записать так:

В уравнении (1) даны р и q, надо найти х.

В последующей беседе учащиеся устанавливают, что задачу можно решить сведением квадратного уравнения к двум уравнениям первой степени, для чего левую часть можно представить как квадрат суммы двух чисел.

Преобразования примерно таковы, как и в предыдущих случаях, хотя они носят общий характер:

при условии:

Устанавливаем, что задача решена и корни уравнения находятся в функциональной зависимости от коэффициентов уравнения, т. е. х есть функция от двух величин р и q. Учитель объясняет, что теперь корни уравнения можно находить, подставляя в полученную формулу числовые значения р и q.

Отсюда вытекает особая важность этой формулы. Следовательно, учащиеся должны помнить формулу, ее вывод и словесную формулировку, После этого можно приступить к практике решения квадратных уравнений по этой формуле.

Для вывода формулы

никакой предварительной подготовки производить не надо. Учащиеся уже идут по проторенной дороге.

Записывается условие: В уравнении

даны коэффициенты а, Ь, с. Определить х.

О способе решения уже могут сказать сами учащиеся, что решение квадратного уравнения сводится к решению двух уравнений первой степени, для чего левая часть представляется как квадрат суммы двух чисел.

В беседе учителя с учащимися устанавливает-

ся, что для того чтобы первый член был квадратом, а второй коэффициент — удвоенным произведением, достаточно обе части уравнения умножить на 4а, тогда уравнение примет следующий вид:

Дальнейшие преобразования учащиеся производят по известной им схеме.

Еще раз подчеркиваем, что корни уравнения можно найти, подставляя в данную формулу числовые значения а, Ъ, с.

При выводе свойств корней квадратного уравнения (теорема Виета) учитель в предварительной беседе сообщает, что целью сегодняшнего урока является установление зависимости суммы и произведения корней квадратного уравнения от его коэффициентов.

Учащиеся записывают: В квадратном уравнении

даны рид, требуется определить

Учитель спрашивает о том, какую зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами учащиеся уже знают. Учащиеся указывают формулы:

После этого, выполнив вычисления, получим:

(2)

Полезно на этом уроке указать, что из полученных формул видно, что не только корни зависят от коэффициентов, но и коэффициенты зависят от корней; это указание будет весьма полезно при разложении квадратного трехчлена.

Формула разложения квадратного трехчлена на множители выводится также самими учащимися при направляющем руководстве преподавателя.

Условие можно записать так:

Даны корни хх и х2 трехчлена х2+рх+ q, разложить трехчлен на множители.

В дальнейшей беседе устанавливается, что р и q находятся в зависимости от хх и х2 и поэтому в данный трехчлен подставляем выражения (2) для р и q. Обычными преобразованиями учащиеся устанавливают формулу:

Хотя на изучение приведенного квадратного уравнения было затрачено несколько больше времени, но при прохождении трех остальных разделов эта затрата окупилась. А главное, весь материал был изложен и все преобразования были произведены при активном участии самих учащихся.

Из вышеизложенного видно, что центр тяжести работы по математике учитель переносит на урок, что весьма важно в школах рабочей молодежи.

В двух последующих примерах будет показано, что при выводе некоторых теоретических положений можно изменить постановку вопроса так, чтобы его решение свелось к решению привычной задачи. Главное в этом случае, как можно яснее выразить, какая величина является данной, а какая — искомой.

При прохождении темы «Метрические соотношения в треугольнике» свойство квадрата стороны, лежащей против острого угла, можно рассматривать как решение задачи.

Задача. В треугольнике даны стороны Ь и с, угол между ними острый. Дан также отрезок сх от вершины острого угла до высоты, опущенной на одну из этих сторон. Определить квадрат третьей стороны. Дано:

AB = с; АС = b\ AD = сх; BD ± ЛС\ </ВАС — острый. Найти ВС2 (черт. 1).

Квадратный трехчлен разложен на множители в зависимости от хх и х2.

Черт. 1

После записи условия и построения чертежа происходит разбор задачи.

Представим его в виде вопросов учителя и ответов учеников.

Вопрос: Что нам надо определить ?

Ответ: Нам надо определить ВС2, т. е. ВС2 надо найти в зависимости от Ъ, с, сх.

Вопрос: В каком прямоугольном треугольнике находится отрезок ВС?

Ответ: ВС является гипотенузой прямоугольного треугольника BCD.

Вопрос: Что надо знать, чтобы определить ВС2?

Ответ: Чтобы определить ВС2, надо знать квадраты катетов BD и CD.

Вопрос: Как определить DC?

Ответ: DC можно найти как разность двух известных отрезков АС и AD, т. е. b — сх.

Вопрос: В каком прямоугольном треугольнике находится BD?

Ответ: BD есть катет прямоугольного треугольника ABD.

Вопрос: Как определить BD'1?

Ответ: BD2 можно определить как разность квадратов двух известных отрезков: гипотенузы AB = с и катета AD = сх.

Далее следует на доске и в тетрадях следующая запись:

Задача решена, ВС выражено в зависимости от Ъ, с, сх. Если ВС обозначим через а, то

Устанавливаем словесную формулировку.

Вообще теоремы, доказательство которых носит алгебраический характер, можно рассматривать как задачи, в которых одни величины определяются как функции других величин.

В качестве последнего примера рассмотрим вывод формул синуса, косинуса и тангенса половины угла.

Еще на предшествующих уроках должны быть выведены формулы:

Во вводной беседе учитель указывает, что перед учащимися стоит задача — вывести формулы для синуса, косинуса и тангенса половины угла.

В этих формулах функции половины угла а надо выразить через косинус угла а.

Будем cosa рассматривать как данную величину, а функции половины угла как искомые. Значит, условие может быть записано так:

Выразить sin -~, cos — f \g — через cosa.

Учитель предлагает вспомнить формулы, содержащие функции половины угла; из двух формул, записанных выше, отдаем предпочтение формуле

Вопрос: Можно ли в этой формуле левую часть выразить через одну из искомых величин ^cos — и sin j и как это сделать?

Ответ: Левую часть можно выразить через sin ~, для чего надо cos2 выразить через sin ~.

В тетрадях и на доске производится запись:

Остальные преобразования особых затруднений не вызывают.

Можно вызвать к доске второго ученика, который таким же образом выведет формулы для cos у и ig -2 .

Потом учащимся нужно сказать, что вывод формул и сами формулы надо помнить на память. Эти формулы позволяют переходить от тригонометрических функций целого угла к тригонометрическим функциям половины угла.

Здесь мы рассматривали изложение теоретического материала, но и практические вопросы математики рассматриваются примерно с этой же точки зрения и изучаются примерно так же, как было изложено выше.

Конечно, не надо думать, что работа в классе заключается в том, что учитель проводит вступительную беседу и задает вопросы, а учащиеся на них отвечают.

Все вышеприведенное — это запись основных моментов урока и указание точек зрения, с которых учитель и учащиеся рассматривают те или иные математические вопросы. На самом деле урок значительно сложнее и гибче.

Ученики должны внимательно слушать, уметь повторить сказанное учителем, суметь ответить на заданный вопрос или же суметь поставить вопрос по ходу решения, самостоятельно делать преобразования после разбора и, может быть, способом, отличным от только что рассмотренного в классе.

Учитель не только проводит вступительную беседу и задает вопросы, ему надо учитывать массу «мелочей», которые необходимы для успеха в работе.

Например, если надо вывести формулы объема усеченной пирамиды или объема шарового сегмента, то важно умение ученика аккуратно оформлять математические работы, так как доказательства содержат много алгебраических преобразований.

При выводе же теоремы Виета почерк ученика и его умение оформлять запись уже такой роли не играют.

Учитель все время следит за работой у доски не только с целью предупреждения ошибок, но и с целью наиболее рационального использования аоски, наиболее удачного расположения выкладок. Во время решения он помогает не только учащемуся у доски, но и некоторым слабым учащимся индивидуально, не выпуская из поля зрения работу в классе.

Важным моментом работы в классе является подведение итога, когда и учитель, и учащиеся после решения устанавливают важность полученных результатов, исследуют эти результаты и т. д.

В заключение можно сказать, что навыки самостоятельной работы учащихся определяются всем стилем работы учителя. Учителю надо уметь ценить инициативу учащихся: если учащиеся предлагают неправильный или нерациональный способ решения или доказательства, то не следует резко отвергать их, а необходимо объяснить учащемуся его ошибку или же указать на нерациональность предложенного решения. Во всех случаях надо поощрять стремление учащихся к самостоятельности в рассуждении, в решении и доказательстве.

КРИТИКА КАК МЕТОД ОПРОСА И УЧЕТА ЗНАНИЙ

З. РУПЕЙКА (Каунас)

Наша школа широко пользуется критикой как мощным средством воспитания сознательности, дисциплинированности, как средством борьбы с отставанием. Но во время урока к критике и оценке своих знаний ученики мало привлекаются. В педагогической литературе этот вопрос мало разработан.

В книге В. М. Брадиса «Методика преподавания математики в средней школе» (изд. 1949 г.) на странице 86 сказано: «Плохо, если ответ ученика, вызванного к доске, слушает только учитель, а все остальные ученики занимаются каждый своим делом. Вызванный к доске является как бы докладчиком, сообщение которого должны внимательно слушать все присутствующие, делая у себя надлежащие пометки и выступая, после окончания сообщения, с критическими замечаниями, дополнениями, предложениями. Дальше должно идти заключительное слово докладчика-ученика и, наконец, разрешающее все сомнения слово учителя». Это очень ценное указание, как должен производиться опрос и учет знаний учащихся. Нарисована картина самого совершенного, по нашему мнению, процесса: как должен ученик отвечать приготовленный им урок и как, в то же время, должен держаться весь классный коллектив, чего должен стараться добиться преподаватель в своей работе. Но как достичь этого, указаний не дается.

Прежде чем начать применять метод критики, всех учеников надо предупредить, что если один из них будет отвечать урок или давать ответ на какой-либо вопрос учителя, все обязаны внимательно слушать и стараться подметить недостатки и ошибки в ответе вызванного ученика, чтобы по требованию учителя каждый смог их указать. Иначе говоря, каждый должен быть готов дать возможно более полную и исчерпывающую критику ответа товарища. О подмеченных недостатках разрешается делать в черновиках краткие заметки. Требуемую учителем полную критику ответа будем называть основной критикой, в отличие от мелких критических замечаний и поправок, дополняющих основную критику. Наряду с основной критикой (по требованию преподавателя) не исключаются критика, дополнения, указания ошибок и т. п. по личной инициативе отдельных учащихся, к чему они допускаются по общим правилам, установленным для этого на уроках.

Учащимся разъясняется, что их критика не повлечет снижение оценки отвечающего урок, которого в дальнейшем будем называть докладчиком, потому что учитель выставит отметку, какую заслуживает ответ, независимо от критики, но критика даст возможность оценить знания и самостоятельную работу критикующих, которым также будет выставлена надлежащая отметка.

При проверке знаний мы предлагаем ученику ответить урок или ответить на вопрос из заданной темы. Мы разрешаем излагать всю тему, или некоторую ее законченную часть. Затем мы вызываем другого ученика и требуем от него дать как можно более полную критику «доклада». Когда «оппонент» изложит свои замечания и поправки, мы вызываем, если есть в этом надобность, третьего ученика или обращаемся ко всему классу с предложением дополнить критику. Таким образом, весь класс привлекается к серьезной работе, указываются все малейшие недостатки ответа, предлагаются более точные формулировки определений и доказательств, более рациональные способы решений. Не остаются без внимания даже такие, казалось бы, мелочи, как, например, недостаточная точность чертежа, нерациональная

запись доказательства теоремы или решения задачи, неудачный выбор буквенных обозначений, несимметричность записи и т. д. Все мелкие неточности, ошибки, неясности в записях на доске мы разрешаем исправлять самому «докладчику» во время критики, если же он этого не сделает или вновь допустит ошибки, то исправление производит тот, кто на них указал. Критику мы считаем оконченной, когда видим, что указаны все подмеченные нами недостатки «доклада», и когда больше не находится желающих высказаться.

Когда критика закончена, мы предлагаем «докладчику» попробовать самому устранить все существенные пробелы и недостатки «доклада». Если «докладчик» этого сделать не в состоянии, то мы поручаем внести поправки одному из производивших основную критику, но чаще всего не тому, кто на этот недостаток указал. Только в том случае, если ученик, которому поручено исправление или дополнение пробела, этого сделать не может, мы вызываем ученика, указавшего на недостаток. Так мы поступаем потому, что, во-первых, полагаем, что все ученики должны одинаково хорошо проработать заданную тему и должны уметь устранять любой существенный недостаток изложения «докладчика», и, во-вторых, потому, что желаем возможно полнее проверить знания критикующих.

Окончив исправление и дополнение «доклада», мы опять возвращаемся к «докладчику» и выясняем, поняты ли им те недостатки и ошибки в его «докладе», на которые было указано критикующими. Если это нужно, мы можем предложить повторить без ошибок некоторые пункты из изложенного материала.

Если тема не исчерпана, то вызывается новый ученик-«докладчик» и тема разбирается до конца выше описанным образом под руководством преподавателя.

Проверив кратким дополнительным вопросом по пройденному курсу знания учеников, которым была поручена основная критика «доклада», мы оцениваем ответы соответствующими отметками. Оценку знаний мотивируем и высказываем свои замечания, в особенности обращая внимание на ответ ученика-«докладчика», отмечая положительные стороны его «доклада» и обращая серьезное внимание на недостатки. Указание положительных сторон ответа и мотивировку оценки находим необходимым, ибо в ряде случаев после всесторонней критики у классного коллектива может создаться впечатление, что ответ будто бы не был удовлетворительным, а преподаватель все же почему-то не оценил его плохой отметкой.

Организованная таким образом проверка знаний оказалась очень эффективной. Ученик, давая отчет о подготовке урока перед всем классом, будучи принужден выслушивать критику этого ответа со стороны класса, должен считаться не только с преподавателем, но и со всем коллективом, должен сильнее почувствовать недостатки своей работы. Это заставляет его сравнивать свою работу с работой своих товарищей. В результате весь классный коллектив «подтягивается» и в то же время учится ко всему подходить критически и самокритически, а также учится общими силами достигать совершенной как по форме, так и по содержанию работы.

Для проверки знаний учащихся мы пользуемся вышеизложенным методом лишь в старших классах и не на всех уроках, а только в следующих случаях:

1) когда была задана по своему содержанию новая обширная тема;

2) при проверке в классе заданных на дом более или менее сложных задач и упражнений;

3) при повторении законченных отделов курса;

4) когда было задано на дом самостоятельно разработать какую-либо новую тему.

Может показаться, что этот метод является громоздким, сложным, для проверки знаний нескольких учеников отнимающим много времени. Однако в действительности дело обстоит иначе: урок проходит оживленно в атмосфере максимального внимания и трудового подъема и дает преподавателю возможность за 15—25 минут глубоко и всесторонне проверить знания 3—7 учеников. Кроме того, этот метод дает преподавателю богатейший материал для анализа и оценки как своей работы (вскрыть ее слабые стороны), так и работы всего коллектива и отдельных учеников, их характера, наклонностей, инициативы.

Проиллюстрируем применение этого метода примером.

В IX классе была задана на урок теорема Пифагора (Евклида).

Отвечать урок была вызвана ученица К. Вот ее ответ:

«Теорема Пифагора. Сумма квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

На доске она делает соответствующий чертеж (черт. 1), а затем продолжает:

На сторонах треугольника построили квадраты, нужно доказать, что сумма площадей квадратов BDEA и AFGC равна площади квадрата ВСКН.

Из вершины треугольника А на его сторону ВС опускаем перпендикуляр и его продолжаем до пересечения со стороной квадрата ВСКН в точке М. Таким образом получаем два четырехугольника: BLMH и LCKM. Соединим точки А и H, а также С и D прямыми. Получили два

треугольника: Д£ОС и /\ВАН. Эти треугольники равны, потому что имеют по две (соответственно) равные стороны и по равному углу между этими сторонами. Треугольник BDC имеет основание BD, общее со стороной квадрата BDEA, а его высота NC = В А равна стороне квадрата. Следовательно, площадь /\BDC равна половине площади квадрата В DE А. Точно так же, £\ВАН имеет основание ВН, общее с прямоугольником BLMH и высоту АР, равную стороне BL прямоугольника BLMH. Это значит, что площадь /\BAfi равна половине площади прямоугольника BLMH. Так как, по доказанному, /\BDC и /\ВАН равновелики, то, следовательно, площадь квадрата BDEA равна площади прямоугольника BLMH. Соединив G и В, а также А и К прямыми, совершенно так же докажем, что площадь квадрата AFGC равна площади прямоугольника LCKM. Но сумма площадей прямоугольников BLMH и LCKM равна площади квадрата ВСКН. Следовательно, сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе, что и требовалось доказать».

Осведомляемся, все ли изложено из того, что задано на урок. Получив утвердительный ответ, вызываем ученика Д. и поручаем ему критику ответа.

Ученик Д. Во-первых, содержание теоремы сказано не совсем точно. К. начала так: «Сумма квадратов, построенных на катетах.. .», а нужно было сказать: сумма площадей квадратов. . . Затем она утверждала, что /\BDC = /\ВАН потому, что имеют по две равные стороны и по равному углу между этими сторонами, но не доказала этого. Точно так же не совсем ясно, почему l\BDC равновелик половине квадрата BDEA и /\ВАН равновелик половине прямоугольника BLMH. Прямоугольники BLMH и LCKM К. почему-то назвала просто четырехугольниками. В конце она утверждала, что будто бы было доказано, что /\JBDC и /\ВАН равновелики, в то время как было доказано, что они равны. Хотя из равенства треугольников следует, что они равновелики, но все же так говорить, я думаю, не следует. Больше я ничего не заметил.

Вызываем ученика Н., чтобы он в свою очередь указал на недостатки «доклада». Он сообщает:

«Я присоединяюсь к критике Д., только мне кажется излишним подробно доказывать, почему /\BDC равновелик половине квадрата BDEA и /\ВАН — половине прямоугольника: это ясно на основании доказательства теоремы о площади треугольника.

Кроме того, в самом начале К. должна была сообщить, что мы уже раньше изучали теорему Пифагора, но в другой форме, а именно, что квадрат числа, измеряющего длину гипотенузы, равен сумме квадратов чисел, измеряющих длины катетов, которая равносильна данной теореме, ибо квадрат числа, измеряющего длину отрезка, как раз и является мерой площади квадрата. Теперь же нам задано другое доказательство теоремы Пифагора, доказательство Евклида, которое основано не на вычислении площадей квадратов, а на непосредственном сравнении этих площадей.

Следующий большой недостаток ответа заключается в том, что на доске почему-то К. не сделала записи, что нужно доказать, и краткой записи самого доказательства.

Затем, начиная доказывать, она сказала, что на сторонах треугольника построили квадраты, не указав, что это прямоугольный треугольник. Когда К. получила два прямоугольника, нужно было пояснить, зачем они получены, каков будет дальнейший ход доказательства.

И еще недостаток: К. не указала примера практического применения теоремы».

Предлагаем желающим пополнить критику. Руку поднимает ученица М. Она говорит:

«Бросается в глаза плохой чертеж. Вместо квадратов начерчены прямоугольники. Прямоугольный треугольник тоже не выглядит прямоугольным. Затем К. не точно выражалась, говоря: «соединим Л и Я, а также С и D прямыми», нужно было сказать — отрезками прямых. Кроме того, она не сказала, какие задачи мы уже решали при помощи доказанной теоремы, которые тоже были заданы на урок».

Предложив пополнить критику, замечаем, что желает высказаться ученик Р. Он заявляет:

«Говоря об опущенном перпендикуляре из вершины А, К. не сказала, до какой стороны квадрата ВСКН мы должны его продолжить».

Так как больше желающих высказаться нет,

Черт. 1

то обращаемся к «докладчице» и спрашиваем ее, согласна ли она с указанными недостатками. Она заявляет, что согласна. Повторяет содержание теоремы без недостатков. На доске она уже сделала запись того, что нужно доказать, но самого доказательства не записала. Пробовала дать доказательство равенства /\BDC и ДБАг7, но запуталась. На помощь вызвали критиковавшую ответ ученицу М., которая быстро и правильно это доказала, а также помогла сделать краткие записи доказательства теоремы.

«Докладчицу» К. мы спросили, понимает ли она разницу в понятиях: «равные» и «равновеликие». Она это удовлетворительно объяснила.

Когда М. окончила записи, ей было предложено написать формулу Герона и объяснить ее назначение.

Затем мы вызвали критиковавшего ответ ученика Д., спросили его, какие задачи нами были решены с применением только что доказанной теоремы. Он хорошо и быстро их формулирует и решает.

Опрос окончен. Даем общий итог критики и поясняем, что ученица К. по существу теорему доказала, однако допустила ряд неточностей и пробелов, что серьезнейший недостаток ответа — это плохое изложение встретившегося в теореме доказательства равенства треугольников и отсутствие кратких записей доказательства.

Ответ «докладчицы» К. оцениваем баллом «3»;

критиков: Д. — «5» (учится вообще хорошо); Н. — «5» (отличник); М. — «4» (учится удовлетворительно); ответ Р., похвалив его за внимательность, оставляем без оценки.

Из приведенного примера видим, что ученица К., как умела, так и излагала свои знания от начала и до конца. Другой, может быть, был бы результат, если бы мы, заметив какую-либо ее ошибку, попробовали бы, как это обыкновенно делается, немедленно исправлять и наводить ее на «истинный путь». Возможно, что тогда она, потеряв нити своих мыслей, вообще не смогла бы удовлетворительно довести доказательства до конца. А если бы мы вмешались с маленькими наводящими вопросами и поправками, то ученица, может быть, довела бы доказательство до конца так, как надо. Но тогда, конечно, критика ее ответа была бы мало уместной, а ученица могла бы вообразить, что она ответила безукоризненно и что ей нечего стараться работать лучше. Совсем другой результат получается, когда мы даем возможность сделать «доклад», а затем подвергаем его строгой ученической критике, которая каждого заставляет задуматься над своей работой.

Приведенный пример, взятый из нашей практики, конечно, не охватывает всех сторон данного вопроса. Он дает лишь представление о хорошей, по нашему мнению, критике при удовлетворительном «докладе», когда наглядно проявляются положительные стороны метода критики.

ИЗУЧЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ В VII КЛАССЕ

М. С. БЕЛЯКОВ (г. Комсомольск Ивановской обл.)

Согласно программе в VII классе по теме «Неравенства» следует изучить: понятие о неравенстве. Свойства неравенства. Решение неравенства первой степени с одним неизвестным. Однако далеко не ясен объем подлежащего изучению материала. В этом и заключается одна из главных педагогических трудностей изучения данной темы. В какой трактовке следует, например, изучать в VII классе свойства неравенств? В объяснительной записке к программам по математике указывается лишь, что «под свойствами неравенства» (VII класс) и «основными свойствами неравенства» (X класс) надо понимать следующие свойства:

1) если а>Ь, то Ь<а;

2) если а > b> Ь> с, то а > с (транзитивность неравенства);

3) если а^Ьу то а+с*> Ь+с (монотонность неравенства);

4) если а>Ь и с>0, то ас>Ьс; если а>Ь и с<0, то ас<Ьс.

Но ничего не сказано о том, следует ли давать доказательства свойств неравенства, применять при этом термины «транзитивность» и «монотонность» или ограничиться только проверкой данных свойств на числовых примерах.

В методическом письме Управления школ Министерства просвещения РСФСР «О преподавании математики в V — X классах» говорится, что неравенства, содержащие неизвестные, «решаются либо на основании теорем о равносильности неравенств, сообщаемых без доказательства, либо на основании свойств арифметических (числовых) неравенств». Однако это замечание не дает ответа на очень многие важные методические вопросы, как, например: какое определение неравенства следует давать? Следует ли упоминать о двойных неравенствах? о неравенствах одина-

кового и противоположного смысла? Следует ли давать правило почленного сложения неравенств одинакового смысла? правило почленного вычитания неравенств противоположного смысла? определение равносильных неравенств и т. п. Тов. Межировский в статье «Неравенства в средней школе», опубликованной в № б журнала «Математика в школе» за 1937 год, и проф. Брадис в книге «Методика преподавания математики в средней школе» и т. Крельштейн в «Методике преподавания математики» (под редакцией С. Е. Ляпина) предостерегают учителя от каких бы то ни было теоретических рассуждений с семиклассниками при изучении неравенств. Они считают, что «основательное изучение неравенств следует отнести на X класс» (Брадис), где нельзя ограничиться лишь аппеляцией к проверке на числовых примерах и необходимо проводить строго обоснованное доказательство. «Все... свойства могут быть «выведены» на численных примерах без доказательств, но с оговоркой, что они будут доказаны позже (в X классе)» (Крельштейн).

Но и эти указания не дают ответа на возникающие у учителя вопросы при изучении неравенств в VII классе. Дело усложняется еще и тем, что не только учителя, но и учащиеся VII класса не имеют руководства по изучению этого раздела.

Многолетний педагогический опыт позволил мне установить определенный объем и глубину темы «Неравенства» в VII классе. Для изучения ее отводится пять уроков. На первом уроке учащиеся знакомятся с простейшими неравенствами и видами неравенств; на втором — изучаются свойства неравенств; на третьем — порядок решения неравенств первой степени с одним неизвестным; на четвертом уроке решаются упражнения; на пятом уроке выполняется самостоятельная работа.

Показу содержания и хода каждого из пяти уроков и посвящена настоящая работа.

1-й урок

Тема. Простейшие неравенства. Виды неравенств.

Беседуем о том, что часто бывает известно, что одно число больше другого, но неизвестно, на сколько единиц. Или возможны случаи, когда нужно отметить только понятия «больше», «меньше» и «неравно», не вдаваясь в более близкое сравнение величин. Для обозначения того, что одно число больше или меньше другого употребляются знаки неравенства, с которыми учащиеся знакомились еще в V классе. Пишем на доске соответствующие знаки:

Поясняем, как пишутся последние четыре знака на примерах: 5>4; —7< — 2; а>-—1 и Ь^З и т. д., т. е. острием к меньшему числу.

Пусть а, Ъ и с — какие-нибудь числа. Желая обозначить их неравенство, не указывая которое из них больше, пишут: а ф Ъ. В том же случае, когда известно, которая из двух величин больше, а которая меньше, пишут:

Два числа или два алгебраические выражения, соединенные таком больше Ç>) или меньше (<С), составляют неравенство.

У всякого неравенства различают (как и у равенства) две части: левую и правую. В алгебре часто применяются неравенства, с помощью которых обозначается положительное число, например а > 0, и отрицательное число, например Ь <С 0. Эти обозначения следует запомнить и пользоваться ими в нужных случаях. Неравенства часто применяются в геометрии; так, неравенство y^A<d обозначает, что У4—острый угол, неравенство </B>d обозначает, что В — тупой угол. Иногда пишут неравенства с двумя знаками, например а>Ь>с, которые заменяют собой два неравенства а>Ъ и Ь>с и называются двойными неравенствами. Они читаются так: Ъ меньше а, но больше с.

Неравенства могут быть числовыми (верные) и буквенными. Примерами верных числовых неравенств могут служить неравенства: — 3 — 7; 9>2 и т. п.

Буквенные неравенства могут быть справедливыми при всех значениях, входящих в них букв, например: 2b +11 > 2b + 3 (объясняем и испытываем последнее неравенство, подставляя различные числа). Существуют и такие буквенные неравенства, которые справедливы не при всяких численных значениях входящих в них букв, например: 4jc -j- 6 Зл: — 8 (испытываем при

Неравенство, верное при всех значениях входящих в него букв, называется тождественным неравенством.

Например:

Затем указываем, что неравенства бывают одинакового и противоположного смысла.

Неравенства считаются одинакового смысла, если они имеют одинаковые знаки. Например:

или

Два неравенства считаются неравенствами противоположного смысла, если они имеют разные знаки. Например:

или

Особо тщательно следует установить разницу между знаками чисел, входящих в неравенство, и знаком неравенства, так как ученики часто смешивают эти понятия. Затем переходим к упражнению, которое состоит в том, что в примерах 1238—1249 задачника Ларичева (ч. I) учащиеся должны указать: а) двойные неравенства; б) неравенства одинакового смысла и в) неравенства противоположного смысла.

На дом даем задание:

1. Усвоить определения по записям в тетради.

2. Придумать и написать в тетради два двойных неравенства; две пары неравенств одинакового смысла; две пары — противоположного смысла (неравенства должны быть числовые).

3. Повторить по учебнику алгебры Киселева $ 78 (свойства равенств).

2-й урок

Тема. Свойства неравенств.

После опроса определений, данных на предыдущем уроке, переходим к объяснению свойств неравенств, сопоставляя каждое из них со свойствами равенств и проверяя на примерах с разными (как положительными, так и отрицательными) числами.

1-е свойство равенств:

1-е свойство неравенств:

Проверяем на примерах:

2-е свойство равенств:

2-е свойство неравенств:

Проверяем на примерах:

Формулируем и записываем вывод:

Части неравенства можно менять местами, при этом знак неравенства меняется на противоположный.

Например, неравенство 10 — 3>9 — 4 после перемены местами его частей будет таким:

9 —4<10 —3.

3-е свойство равенств: если а = Ь и m — любое число, то

a zïz m = b ±: т.

3-е свойство неравенств: если а > bum любое число, то

az— т> b т.

Проверяем на примерах 1 и 3 из № 1238 задачника Ларичева.

4-е свойство равенств:

если а = Ь, то ат = Ьт и — = — ;

в последнем случае m ф0.

4-е свойство неравенств: если а> Ь, то:

а) при т>0 имеем:

am “> Ьт и — — ; ^ m ^ m '

б) при m = 0 получим равенство

am = Ьт;

в) при т<0 имеем:

Проверяем на примерах № 1240 (1—2); 1241 (1—2); 1242 (1—2) из задачника Ларичева.

Делаем выводы и записываем их:

При умножении обеих частей неравенства на нуль оно обращается в равенство.

Например: — 5 <— 2; после умножения обеих частей неравенства на нуль будет:

— 5-0 = 0 и —2-0=0, 0 = 0.

При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный.

Этот вывод следует чаще напоминать на всем протяжении изучения неравенств, так как его (как показал опыт) учащиеся забывают применять при решении неравенств. Далее следует обратить особое внимание учащихся на пятое и шестое свойства неравенств.

5-е свойство неравенств:

если b и c^d, то a+c^b+d. Проверяем на примерах: 5>3 и — 12 > — 15, то 5 + (—12)>3 + (—15), т. е. — 7> — 12. Делаем вывод:

Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать, оставляя прежний знак неравенства.

После этого решаем такие примеры:

Замечаем и поясняем примерами, что неравенства одинакового смысла вычитать нельзя. 6-е свойство неравенств:

Проверяем на примерах:

Делаем вывод:

Два неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства из которого производилось вычитание.

После этого решаем такие примеры:

Замечаем и поясняем примерами, что неравенства противоположного смысла складывать нельзя. Даем задание на дом:

1. Решить примеры № 124-0 (3); 1241 (3); 1242 (3 —4) из задачника Ларичева.

2. Усвоить вызовы, записанные в тетради.

3. Решить примеры:

а) сложить почленно неравенства:

б) вычесть почленно неравенства:

4. Повторить по учебнику алгебры Киселева § 88 (порядок решения уравнений).

3-й урок

Тема: Решение неравенств. Урок начинаем с воспроизведения в памяти свойств неравенств по вопросам:

1. Можно ли менять местами части неравенства и каким образом?

2. Что сделается с неравенством, если члены его умножить на нуль?

3. Что сделается с неравенством, если все члены его умножить на отрицательное число?

4. В чем состоит правило почленного сложения неравенств одинакового смысла?

5. В чем состоит правило почленного вычитания неравенств противоположного смысла?

Затем с места проверяем выполнение домашнего задания. При проверке решения примеров, списанных с доски, обязательно еще раз спросить правила почленного сложения неравенств одинакового смысла и почленного вычитания неравенств противоположного смысла. Желательно после урока взять для проверки и оценки домашние работы учащихся.

Далее, переходим к объяснению порядка решения простейших неравенств, содержащих неизвестное. Так как до X класса решать неравенства приходится очень редко, то мы не считаем необходимым в VII классе изучать теоремы об эквивалентности неравенств, которыми обосновываются преобразования при решении неравенств.

Для объяснения порядка решения неравенств разбираем пример, в котором содержатся скобки и дробные члены:

и ведем рассуждение в таком плане. Раскрываем скобки:

Так как все члены неравенства можно умножать на любое положительное число, то (так же, как уравнение) неравенство можно освободить от дробных членов.

Умножим все члены неравенства на 6.

Получим:

Путем вычитания из обеих частей неравенства по 4л: и прибавления по 5 и 6 перенесем известные члены в одну, а неизвестные в другую часть неравенства:

Следует при этом обратить внимание на то, что члены неравенства переносятся из одной части в другую с противоположным знаком (как и при решении уравнений). Приводим подобные члены в каждой части неравенства отдельно; получим:

Полученный результат показывает, что значением X может быть любое число, которое больше 15, например: 16, 15ö, 165- и т. д., т. е. неравенство имеет бесконечное множество решений.

Иллюстрируем графически множество всех решений неравенства (черт. 1).

Черт. 1

Указываем, что значение х не может равнять' ся 15 и быть меньше 15. В первом случае неравенство превратится в равенство:

Во втором случае при подстановке в неравенство вместо X числа, меньшего 15, неравенство меняет знак на противоположный. Например, при подстановке вместо X числа 14, получим:

После рассмотрения еще одного примера переходим к обобщениям и выводам.

Решить неравенство, содержащее неизвестное, это значит — определить все значения неизвестного, при которых данное неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Порядок решения неравенств первой степени такой же, что и при решении уравнений, т. е. нужно:

1. Освободить неравенство от дробей (коэффициенты предполагаются рациональными).

2. Раскрыть скобки.

3. Перенести члены, содержащие неизвестное, в одну часть, а известные члены — в другую.

4. Сделать приведение подобных членов в каждой части отдельно.

5. Разделить обе части неравенства на коэффициент при неизвестном.

Следует подчеркнуть, что если коэффициент при неизвестном — отрицательное число, то при делении на него обеих частей неравенства меняется знак неравенства на противоположный.

Итак, мы приходим к выводу, что неравенство первой степени с одним неизвестным путем преобразования можно привести к виду ах> Ь. Если коэффициент при неизвестном а ф О, то получим X > — при а > 0; или х < —-при а<4).

После этого переходим к упражнениям, причем иллюстрируем графически каждый результат.

Примеры.

Наконец, разберем следующий пример: неравенство 7х -|- 3 > 7х + 9 не имеет решений, так как при любых значениях х левая часть его меньше правой, если его решать, то придем к абсурду 0 > 6; неравенство 7х -j- 3 < 7х + 9 удовлетворяется тождественно.

Даем задание на дом:

1. Решить из сборника Ларичева № 1243 (1—4); 1244; 1245. Решения 1—4 примеров № 1243 проиллюстрировать графически.

4-й урок — упражнения

Урок начинаем проверкой домашнего задания с места.

1. Что значит решить неравенство?

2. В каком порядке решаются неравенства? Затем, получив ответы на вопросы, переходим

к решению примеров:

После этого даем задание на дом:

3) При каких значениях х выражения:

положительны ?

4. При каких значениях х выражения:

отрицательны ?

5-й урок — самостоятельная работа

Первые 15 минут урока посвящаем проверке домашнего задания, а далее идет самостоятельная работа:

1. Вариант № 1243 (5 и 9); 1590 (3).

2. Вариант из задачника Ларичева № 1243 (6 и 8); 1591 (3).

Решить и дать графическую иллюстрацию № 1243 (9) первому варианту и № 1243 (6) — второму варианту.

Опыт подтвердил, что пяти уроков вполне достаточно для основательного (в объеме VII класса) изучения этой темы в изложенном плане.

От редакции. Учитывая отсутствие материала по теме «Неравенства» в учебнике алгебры Киселева часть I, и многочисленные пожелания учителей, редакция поместила настоящую статью т. Белякова в порядке методической помощи начинающему учителю. В № 6 журнала «Математика в школе» за 1952 г. на ту же тему была помещена статья тов. Васильева. Редакция полагает, что эти две статьи, дающие несколько различную методическую трактовку данной темы, могут взаимно дополнять друг Друга.

ВЫЧИСЛЕНИЯ НА РУССКИХ СЧЕТАХ

П. М. ЭРДНИЕВ (Алтайский край, с. Нечунаево)

Русские счеты — самый простой и самый распространенный вычислительный прибор. Современное счетоводство без них невозможно. Можно без преувеличения сказать, что каждому человеку пригодится в жизни умение правильно и рационально вычислять на счетах.

В объяснительных записках действующих программ начальной и средней школ говорится об использовании счетов на уроках, однако это требование не конкретизировано.

Обычно, оканчивающие школу не умеют производить простейшие выкладки на счетах. В лучшем случае применение счетов ограничивается использованием их при нумерации целых чисел. Совершенно не применяются счеты для производства умножения и деления, для действий с именованными числами.

Вполне целесообразным было бы применение счетов при изучении десятичных дробей, процентов. В V—VI классах учащиеся почти не упражняются в вычислениях на счетах, тогда как в этих классах они изучают систематический курс арифметики, и здесь окончательная отработка приемов вычислений на счетах является естественной.

Наш опыт показывает, что постоянное пользование счетами повышает культуру арифметических вычислений; учащиеся убеждаются в преимуществах вычислений на счетах по сравнению с письменными вычислениями; сочетание приемов устных вычислений с выкладками на счетах развивает сообразительность, закрепляет навыки в устных вычислениях.

Рассмотрим, в каких формах следует использовать счеты при прохождении различных тем.

Нумерация

Для удобства пользования при нумерации следует снабдить классные счеты надписями разрядов и классов (черт. 1).

Надписи названий классов следует выполнить на листах разного цвета.

При откладывании чисел на счетах следует обратить внимание, что в принципе числа можно откладывать в каком угодно порядке следования разрядов. Так, число 42683 можно отложить, например, следующими способами:

1) сорок две тысячи, б сотен, 83 единицы;

2) 2 единицы тысяч, 4 десятка тысяч, 3 единицы, 6 сотен, 8 десятков и т. д.

Такие упражнения содействуют осмысленному пониманию состава чисел в десятичной системе счисления.

Наглядно решаются на счетах задачи такого типа:

Черт. 1

Найти сколько сотен в числе 42 683.

Решение. Снизу закрываем две проволоки (сотня — два нуля — две проволоки), остающееся сверху число дает число сотен (426).

Сложение

Сложение на счетах отличается от письменного сложения чисел.

а) Поразрядное сложение производят «способом округления»:

Чтобы прибавить 8 мы прибавляем десяток (присчитываем один шарик верхнего разряда) и отбрасываем «лишние» 2 шарика (7 — 2 = 5).

б) При сложении многозначных чисел поразрядное сложение начинают (как и в устном счете) с высших разрядов.

Упражнения предлагаются в порядке возрастающей трудности, например:

Вычитание

а) Поразрядное вычитание производят тоже округлением».

Чтобы вычесть 8 из числа 45, вычтем сначала 10, т. е. отнимем один шарик верхнего разряда и вернем 2 единицы на нижнем разряде.

б) Вычитание начинают с высших разрядов.

Упражнения предлагаются в порядке возрастающей трудности, например:

(без раздробления единиц) (одно раздробление) (два раздробления)

Умножение

Умножение на счетах в школьной практике не применяется. Но если ограничиться только сложением и вычитанием и не показать принципиальную возможность производства умножения и деления на счетах, то снижается ценность этого счетного инструмента.

Умножение на счетах основывается на законах сложения и на приемах устного счета, изучаемых в школе, а потому обучение умножению особой методической трудности не представляет.

а) Умножение на единицу с нулями сводится к «подъему» числа на счетах на столько проволок (разрядов), сколько нулей в множителе.

Так, например, при умножении:

127-100 = 12700.

Закрываем рукой две пустые проволочки внизу счетов, сверху откладываем 127, снимаем руку и читаем получившееся число: 12 700.

б) При умножении на однозначные числа наиболее целесообразным способом (чаще всего применяемым в счетоводстве) является прием повторного складывания множимого столько раз, сколько единиц в множителе. При этом стараются сократить число выкладок:

в) При умножении на однозначное число можно пользоваться и способом письменного умножения (поразрядного умножения).

Умножение начинают с высших разрядов.

Пусть требуется выполнить умножение

Имеем:

г) При умножении на двузначное число рассматриваемый пример лучше всего написать на бумаге или на доске.

Иногда откладывают множитель на верхних проволоках счетов, а на нижних — множимое.

Пусть требуется выполнить умножение (черт. 2):

Сначала умножаем множимое на десятки множителя, потом прибавляем произведение множимого на единицы множителя:

Это — общий прием.

В некоторых случаях выгодно начинать с умножения на низшие разряды множителя; так в рассмотренном примере получим:

При умножении на двузначные числа, как всегда, надо стремиться к уменьшению числа выкладок:

Общий случай умножения числа на трехзначные числа изучать в школе нет необходимости. Приемы умножения те же, что и на двузначные числа.

В частных случаях умножение на трехзначные числа производится легко:

Деление

а) Деление на единицу с нулями производится опусканием числа на столько разрядов, сколько нулей в делителе.

б) Деление на однозначное число производится аналогично письменному делению.

Пусть требуется выполнить деление:

Имеем:

Единицы разрядов частного откладываются на верхних проволоках счетов (или записываются).

в) При делении чисел на двузначные и более числа пользуются последовательным вычитанием делителя из делимого, притом вычитание начинают с высших разрядов. Так, например:

Имеем:

По мере отнимания делителя откладывают шарики на верхних проволоках счетов.

Окончательная картина решения приведённого примера показана на черт. 3.

г) Деление числа на 2 (как и удвоение числа) встречается при вычислениях на счетах очень часто.

Деление на 2 начинают с низших разрядов. Пусть требуется выполнить деление 736:2 = 368.

Имеем:

1) 6:2 = 3 единицы;

2) 3 дес.:2=1 дес. и 5 единиц

(на второй проволоке отбрасываем 2 шарика и 5 шариков на первой проволоке присчитываем).

3) 7 сотен:2 = 3 сотни и 5 десятков (сбрасываем 4 сотни и присчитываем 5 десятков).

д) В некоторых случаях выкладки можно упростить:

Черт. 2

Черт. 3

Десятичные дроби

Использование счетов при изучении действий с десятичными дробями необходимо в той же мере, что и в случае целых чисел.

Целесообразно снабдить счеты надписями названий классов и разрядов и десятичных долей (черт. 4).

При вычислениях достаточно ограничиться тысячными долями.

Приемы вычислений на счетах с десятичными дробями те же, что и с целыми числами.

В случаях умножения и деления на десятичные дроби вычисления производятся, как с целыми числами, а затем отделяются доли аналогично постановке запятой при письменных вычислениях.

Упражнения предлагаются в порядке возрастающей трудности, например:

Именованные числа

Счеты должны применяться при действиях с именованными числами. Пользование ими позволяет наглядно показывать связь между десятичными дробями и именованными числами в метрической системе.

Легко производятся на счетах операции превращения и раздробления именованных чисел.

Целесообразно оборудовать счеты надписями наименований (черт. 5, 6, 7).

С именованными числами можно проводить, например, такие упражнения:

Проценты

Так как проценты суть сотые доли числа, а умножение и деление на 100 на счетах производятся просто, то использование счетов для решения простейших задач с процентами вполне возможно.

При помощи счетов можно решать следующие задачи:

1. Найти 1%, 10%, 20%, х% от 400, 48 и т. д.

2. Найти число, если 1%, 2%, 4%, 8%, 10%, 20%, 25%, 50%, х% его составляют 4 кг, 200 руб., 48 и т. д.

Черт. 4

Черт. 5 Черт. 6 Черт. 7

ЗАДАЧИ НА ЧЕРТЕЖАХ

П. М. РЫБАКОВ (Иваново)

Руководствуясь принципами политехнического обучения, учитель обязан всемерно приближать курс геометрии к жизни. В производственных задачах часто приходится иметь дело с фигурами, представляющими собой соединение простейших геометрических фигур. Ученик должен уметь находить изучаемые геометрические фигуры в окружающей обстановке и уметь применять свои знания к вычислению элементов сложных фигур путем разложения последних на простейшие.

В соответствии с этим общим положением большую ценность приобретают задачи на чертежах.

При решении этих задач применяются два вида чертежей: 1) чертежи демонстрационные и 2) чертежи для самостоятельной индивидуальной работы учеников.

При упражнении с демонстрационным чертежом ученик показывает, на какие простейшие фигуры следует разделить данную фигуру и какие надо выполнить измерения для решения задачи, затем делает эти измерения и выполняет необходимые вычисления.

Пример. Ученику предлагается найти площадь фигуры, изображенной на чертеже 1 (задача дается в IX классе при прохождении темы <Окружность и круг>).

Разбив данную фигуру на несколько простейших, ученик показывает, что для решения задачи следует выполнить только два измерения, затем выполняет эти измерения и делает необходимые вычисления, сопровождая последние ссылками на соответствующие формулы.

Решая геометрическую задачу, ученик имеет дело с приближенными числами. Практические измерения и связанные с ними приближенные вычисления должны занять прочное место при изучении геометрии. При решении задачи ученик должен выполнять только необходимое и достаточное количество измерений. Производить эти измерения следует с особой тщательностью. Для учеников становится ясной целесообразность давать сперва решение в общем виде, особенно в тех случаях, когда в процессе решения представляется возможность выполнить ряд упрощений формулы.

Приведем задачу, предлагаемую в X классе при прохождении темы «Решение косоугольных треугольников».

Найти площадь фигуры, изображенной на чертеже 2.

При решении этой задачи две величины (радиус дуги ААХ и мера этой дуги) определяются косвенным путем. Ученик выполняет четыре линейных измерения, например: m, п, d и D (черт. 3). Искомый радиус R = А02 определяется из уравнения:

откуда

Далее,

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

откуда

следовательно, имеем:

или

Упражнения второго типа даются в порядке самостоятельной работы учеников, выполняемой в классе под общим наблюдением преподавателя. Преподаватель приносит в класс папку (альбом) чертежей. В папке содержится 40 — 50 листков, на каждом листке дан чертеж, краткий текст задачи и ответ. Каждый ученик получает отдельную задачу, выполняет все необходимые вычисления и, решив задачу, показывает свое решение учителю и получает новый лист. К подобным работам следует приступить при начальном ознакомлении учеников с геометрией в V классе. Подробно об этой работе см. нашу статью «Геометрические задачи в V классе», опубликованную в № 4 журнала «Математика в школе» за 1952 г.

В техническом черчении имеет большое применение сопряжение дуги с прямой линией или с другой дугой. Этому важному вопросу следует уделить внимание при изучении темы «Окружность» в VII классе. Краткие объяснения приведены в учебнике геометрии (§ 116), там же в V главе помещены три интересные задачи на сопряжение дуги окружности с прямой линией и с другой дугой (№ 53, 54, 55). Следует дополнительно показать несколько примеров сопряжений.

Демонстрация нескольких чертежей (черт. 4—8) поможет ученикам понять, как выполняется сопряжение дуги окружности с прямой линией и с другой дугой. Много интересных сопряжений можно найти в технических справочниках и особенно в справочниках (и альбомах) по архитектуре.

Работу с альбомами чертежей следует провести при прохождении темы «Площади многоугольников» (VIII кл.) и «Длина окружности и площадь круга» (IX класс).

В § 13 сборника задач по геометрии Рыбкина приведено несколько задач на чертежах (№ 12, 13, 72—75, 90, 91). Особенно интересна задача

Черт. 4 Черт. 5 Черт. 6

Черт. 7 Черт. 8

№ 73, где даны указания о вычислении площади «живого сечения» реки. Ученик должен в школе научиться находить приближенное значение площади криволинейного замкнутого контура: это важно с точки зрения развития навыков в решении практических задач.

В альбом по этой теме автор включил ряд чертежей многоугольников и фигур, ограниченных произвольными кривыми линиями. Самостоятельная работа учеников с чертежами альбома проводится после решения таких задач, помещенных в сборнике Рыбкина, и после разбора следующей задачи в классе:

Вычислить (приближенно) площадь фигуры, ограниченной гиперболой у = —, осью абсцисс и прямыми: X = 1 и х = 6 (черт. 9).

Строим график. Отрезок В1В{.=Ь единицам делим на несколько (на 5) равных частей и через точки деления проводим прямые, параллельные оси ординат. Применяя тот же способ приближенного определения площади, каким пользовались при определении площади «живого сечения» реки (задача № 73), находим пл. А1АЬВ6В1^

= 11,2 (квадратных единиц).

На дом даются следующие задачи:

1. Найти (приближенно) площадь фигуры, ограниченной параболой у=х2, осью абсцисс и прямой линией х = 4.

2. Найти площадь, ограниченную гиперболой у = —, осью абсцисс и прямыми х = 1 и X = 6.

Богатый материал для задач на чертежах дает тема «Длина окружности и площадь круга». Автор составил альбом (папку чертежей), в который вошло более 60 чертежей и, кроме того, несколько демонстрационных чертежей.

Ниже приведен ряд чертежей из альбома; требуется по чертежам 10 и 11 найти длину бесконечного ремня, по чертежам 19, 20, 26 найти площадь и периметр фигуры, по остальным чертежам требуется найти площадь фигуры.

Чертежи окрашены в различные цвета. По своему содержанию задачи весьма различны, темы задач взяты из справочника инженера, справочника техника, курсов технического черчения и т. п. Задачи различны по своей сложности, наряду с легкими задачами (напр. № 12 и 14) имеются задачи довольно сложные (например № 18, 22, 28).

Черт. 9

Черт. 10

Черт. 11

Черт. 12

Черт. 13

Черт. 14—28

Решение задач требует от учеников проявления изобретательности в разложении фигуры на составные части и в комбинировании этих частей. Так. например, решая задачу по чертежу 23, ученик показывает, что тогда легко определяется пл. AXBXDB2A2, как сумма площадей фигур BXDB2 и АХВХВ2А2.

К проведению этой работы ученики подготовляются решением «задач на чертежах», помещенных в сборнике задач по геометрии (§ 15, № 57, 58, 63, 69). На работу с альбомом чертежей отводятся три урока, после чего ученики свободно справляются с решением довольно сложных задач. После этих занятий листки альбома даются ученикам на дом, причем наиболее сильным ученикам даются более сложные задачи, вроде приведенной на чертеже 29.

Задачи на чертежах возможно предлагать при прохождении всех тем геометрии и тригонометрии. Возьмем, для примера, тему «Тригонометрические уравнения». К сожалению, в сборнике задач и упражнений приводятся только готовые тригонометрические уравнения и не предлагается задач на их составление. Это снижает ценность данной темы, так как ученики не видят практических применений умения решать тригонометрические уравнения.

Приведем задачу, решаемую путем составления тригонометрического уравнения.

Овал вычерчен четырьмя попарно равными дугами окружностей. Размеры овала'. Ох02 = а

Черт. 29

и AB=b. Найти, сколько градусов содержится в каждой дуге (черт. 30).

Для решения задачи достаточно определить угол (острый) ООх03.

Черт. 30

Полагаем, что ^ ООхОъ = х, тогда

Из последнего равенства следует, что по требованиям задачи угол ООх03 должен быть меньше 60°.

Имеем:

или

или

Решив данное уравнение, найдем (мы не касаемся исследования в общем виде):

Ученикам дается на дом такое задание:

Начертить прямоугольную рамку с овалом внутри. Размеры овала указываются, причем дается несколько вариантов (например: 6 см и 9 см; 12 см и 20 см; 9 см и 12 см; 10 см и 16 см и т. д.). Каждый ученик решает один назначенный ему вариант.

Перед вычерчиванием заданного овала ученик должен начертить произвольный овал и дать подробное решение, не прибегая к выведенной на уроке общей формуле, а затем с помощью линейки, циркуля и транспортира построить требуемый овал. К построенному чертежу ученик прилагает подробное решение.

В целях повторения ранее пройденного программного материала задачу можно дополнить требованием найти площадь построенного овала.

Чертеж с кратким текстом, сжато и вместе с тем наглядно дающий содержание задачи, следует применять при решении некоторых исторических задач. Привожу, например, задачу об арбелоне Архимеда:

Черт. 31

Доказать, что площадь арбелона (или секирки) AMEBNCKA равна площади круга Ох (приводится черт. 31).

ШКОЛЬНЫЙ НИВЕЛИР

П. ТРИФОНОВ (Н. Тагил)

В школьной практике V — VII классов применяется прямое, или геометрическое нивелирование, когда непосредственно определяется разность уровней точек местности, в VIII — X классах может применяться тригонометрическое нивелирование. При первом способе нивелирования используются приборы: 1—2 рейки, вехи, ватерпас, уровень, рулетки, водяной нивелир. Мы заменяем выше перечисленные приборы одним, более удобным и простым нивелиром. В приборе используется свойство углов с вза-

Черт. 1

имно перпендикулярными сторонами. Общий вид прибора дан на чертеже 1. «Шаг» прибора AB может быть выбран произвольно (лучше 2—2,5 м). Существенной частью прибора является эклиметр Т (черт. 2) с подвижным указателем. Экли метр крепится к EF неподвижно.

Принцип применения прибора показан на чертеже 3.

Пример. Нужно определить профиль заданного участка местности. Сначала провешиваем заданное направление, затем, при помощи прибора определяем при постоянном «шаге» его «угловые превышения» точек местности, которые записываем в таблицу (черт. 4), и по данным измерения в плане строится профиль местности (черт. 5). Углы строятся при помощи транспортира.

При построении профиля местности удобно использовать миллиметровую бумагу.

На окружности радиуса (черт. 6) ОМ = — ^-АВ, где Aß—«шаг» прибора, отмечаются точки, соответствующие измеренным углам превышения местности, и полученные в масштабе отрезки h{ и 11 наносятся как соответствующие высоты и отрезки горизонтали.

Можно прибор видоизменить, как указано на чертеже 7, сделав для удобства его складным.

При нивелировании больших участков местности водяной нивелир с успехом заменяется комбинированным, который используется как нивелир и как эклиметр (черт. 8).

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4 Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

Черт. 8

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О НОВОМ МЕТОДИЧЕСКОМ ПОСОБИИ ДЛЯ ШКОЛ РАБОЧЕЙ МОЛОДЕЖИ

Заслуженный учитель школ РСФСР Е. ВОЛЫНЦЕВ, К. ГОЛУБЕВ и А. КИСЕЛЕВА (Москва)

Книга «Вопросы преподавания математики в V—X классах школ рабочей молодежи» авторов Н. М. Богданова, С. А. Борисова, И. С. Ершова и П. В. Стратилатова (Учпедгиз, 1952 год) является первым пособием для школ рабочей молодежи, содержащим методические указания по всему курсу математики. Это пособие состоит из введения, планирования программного материала по классам и методических указаний к каждой теме программы.

Во введении кратко указаны особенности состава учащихся школ рабочей молодежи и способы организации приема учащихся. Однако этого еще недостаточно; в пособии следовало бы дать подробные указания о консультациях, о работе с отстающими учащимися, о видах самостоятельных работ, о дозировке домашних заданий, об организации урока в школах рабочей молодежи, о форме и методах учета знаний. От правильного решения учителем этих вопросов в значительной мере зависит качество обучения в школах рабочей молодежи. В ряде случаев авторы делают ссылки на методические письма по отдельным вопросам организации и методики обучения в школах рабочей молодежи, не учитывая, что этих писем нет у большинства учителей, а порой их нет даже и в школе. Хорошо разработанное введение окажет учителям большую помощь. В следующем издании книги введению надо уделить надлежащее внимание и рассмотреть в нем особенности организации работы по обучению математике в школах рабочей молодежи.

В пособии помещено подробное планирование программного материала по каждому классу, что поможет учителю в составлении четвертных и поурочных планов; к каждой теме дана методика объяснения наиболее трудных уроков и примерное содержание контрольных работ по материалу темы.

Методические указания к прохождению программного материала даны по каждой теме программы для каждого класса.

В разделе, посвященном вопросам методики обучения арифметике в V и VI классах, имеются достаточно подробные указания к темам о делимости чисел, о действиях с дробями, о процентных вычислениях и пропорциях. Приведены рациональные приемы вычислений и решения задач, так, например, дан сокращенный прием нахождения Н. О. приведены рациональные приемы решения примеров и задач (стр. 20, 25, 47). Хорошо объяснен прием ознакомления учащихся с приведением дробей к общему знаменателю на конкретной задаче, а не на отвлеченном примере, как это принято делать. Удачно подобраны задачи повышенной трудности на проценты и на пропорциональное деление и хорошо дано объяснение их решения (стр. 40, 50—53).

Авторы упустили из виду типовые задачи и совсем о них не упоминают, а между тем следовало бы указать в решении каких типовых задач, пройденных в III и IV классах, должны упражняться учащиеся V класса при повторении целых чисел и при изучении действий с дробями. Учащиеся, как правило, слабо знают способы решения типовых задач, а знание этих способов нужно в VI и VII классах для решения ряда задач на вычисление из задачника по геометрии Рыбкина. В следующем издании желательно исправить это упущение.

Разделы пособия, посвященные методике обучения алгебре, разработаны удачно. Даны ценные указания по методике преподавания наиболее трудных тем программы, как, например: относительные числа, разложение многочлена на множители, уравнения, прогрессии. Формулировка определений дана в соответствии с современными требованиями науки.

Нам кажется излишним перечисление авторами большого количества методической и учебной литературы по алгебре. Вместо ссылок на задачи и формулировки из задачника Полозовой или учебника Александрова и Колмогорова следовало бы привести эти задачи и формулировки, так как у большинства учителей школ рабочей молодежи нет этих книг.

Очень громоздки некоторые рекомендуемые авторами домашние задания (стр. 62, 66 и др.); по своему объему они непосильны для учащихся школ рабочей молодежи.

Авторы предлагают вводить упражнения по решению уравнений, начиная с первых уроков по алгебре в VI классе. Это нецелесообразно, так как уроки алгебры насыщены новым и трудным для учащихся

материалом и поэтому не следует отвлекать внимание учащихся в сторону другой трудности*.

Авторы предлагают для ознакомления учащихся с отрицательным числом использовать лишь листки отрывного календаря, хотя это лучше сделать на шкале термометра, от которой легко перейти к числовой оси.

На страницах 69—70 авторы ^предлагают изучение каждой формулы сокращенного умножения сопровождать решением примеров на применение ее к разложению многочленов на множители. В школе рабочей молодежи этого сделать нельзя, так как на изучение каждой формулы отводится всего лишь по одному часу и, кроме того, к этому времени учащиеся еще незнакомы с понятием о разложении алгебраического выражения на множители.

Нецелесообразно предлагаемое авторами расширение программы VI класса за счет введения извлечения квадратного и кубического корней (стр. 70).

Весьма кратки и формальны указания к теме «Пропорции» в VII классе (стр. 78—79), а также к теме «Функции и их графики» в VIII классе. Авторы ограничиваются ссылкой на методику Брадиса, хотя следовало бы показать, как эти темы следует проработать в школе рабочей молодежи.

При изучении свойств показательной функции авторы предлагают пояснить учащимся, что она непрерывна (стр. 111). Этого указания не следовало бы давать, так как такое пояснение вряд ли возможно и нужно.

Указаниям к прохождению программы по геометрии предпосланы общие указания о содержании самостоятельных работ учащихся, о требованиях к формулировкам определений, аксиом, теорем, о письменном оформлении доказательств теорем и решений геометрических задач, о чертежах и о методике обучения доказательству теорем. Этот материал очень полезен для учителей школ рабочей молодежи.

Методические указания к программному материалу VI и VII классов разработаны конкретно, чего нельзя сказать об указаниях к материалу VIII—X классов.

К каждой теме авторы указывают слишком большое количество задач, не учитывая реальных возможностей учащихся школ рабочей молодежи. Авторам следовало бы указать лишь тот минимум задач, который необходим для усвоения каждой темы.

Авторы не дают перечня задач для измерений на местности и их методической разработки; этот перечень особенно нужен в настоящий период с точки зрения политехнического обучения. На странице 154 только отмечено, что целесообразно проводить измерения на местности, но как их провести, не указано.

На страницах 169—170 авторы приводят теоремы о пределах, которые предлагается давать без доказательств. К этим теоремам следовало бы дать примеры на вычисление периметров вписанных и описанных многоугольников.

Первые уроки по стереометрии разработаны четко и правильно.

В разделе, посвященном тригонометрии, не совсем удачно и четко разработана тема об обратных тригонометрических функциях. Нет конкретных методических указаний, как организовать преподавание этого трудного раздела программы.

В указаниях, относящихся к теме о тригонометрических уравнениях, ничего не сказано об исследовании решений, хотя этот вопрос имеет большое значение. Авторы ограничиваются только лишь указаниями на необходимость проводить проверку решения.

Несмотря на отмеченные выше недостатки, которые необходимо устранить в следующих изданиях, рецензируемая книга является удачным и ценным пособием для учителей математики школ рабочей молодежи.

* В этом пункте точка зрения авторов рецензии разделяется далеко не всеми учителями и методистами и не соответствует установкам программы. (Ред.)

ОБ ОДНОЙ ОШИБКЕ В «СБОРНИКЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ» И. И. АЛЕКСАНДРОВА

М. ФЕДОРЮК (Москва)

На стр. 23 t Сборника задач на построение» H И. Александрова напечатано следующее (изд. 18, 1950 г.):

«109. Если SO есть высота пирамиды и AB одна из сторон основания, то при движении точки 5 к точке О угол ASB все увеличивается.

Решение. Если S переходит в X, то АХВ вращением около оси AB надо совместить с плоскостью ASB. Проведем высоту из 5 на AB и применим 54,1. На основании этой теоремы легко доказать, что сумма плоских углов многогранника менее Ыъ. В 54,1 говорится: «Если на отрезке AB описывать дуги различными радиусами, то дуга меньшего радиуса будет вмещать больший угол и обратно».

Между тем задача 109 верна лишь в том случае, если к стороне AB не прилегает тупой угол. Докажем это.

Рассмотрим три случая:

I. ^ SAB — прямой. SO — высота пирамиды AOBS. По теореме о трех перпендикулярах OAJ_AB, а по обратной теореме ХА _L AB. Далее, SA>XA>OA (черт. 1).

Черт. 1

Следовательно,

откуда ( так как все эти углы меньше —- )

II. ^LSAB и Z.SBA — острые (черт. 2).

Проведем SK JL AB и соединим К с X; К будет лежать между точками Л и Б.

По теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах:

Из доказанного выше следует:

Складывая неравенства, получим требуемое:

III. Z.SAB — тупой (черт. 3).

Проведем OK _!_ В А и соединим К с 5; S К 1_ AB; К лежит вне отрезка AB. Из доказанного выше следует:

но отсюда нельзя сделать никакого вывода о соотношении между углами ASB и АОВу так как нельзя производить вычитание неравенства одинакового смысла.

Попробуем решить вопрос иначе.

Совместим вращением около оси AB плоскость ASB с плоскостью GAB и попытаемся определить, какой же из углов больше (черт. 4).

Нетрудно доказать, что угол, вершина которого лежит на SK или на продолжении SK будет наибольшим в том случае, если вершина_его отстоит от точки К на расстоянии, равном у/~ ab, где а — К А, b = К В, что и показывает, что задача 109 из сборника И. Александрова требует исправления. Что касается теоремы о сумме плоских углов выпуклого многогранного угла, то доказать ее с помощью результатов I и II нельзя, так как остается открытым вопрос о том, можно ли пересечь многогранный угол плоскостью так, чтобы стороны сечения не образовывали тупых углов с ребрами угла.

Черт. 2 Черт. 3 Черт. 4

НОВАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

Первое полугодие 1953 г.

I. История математики, классики математики, советские математики

Виноградов И. М., Избранные труды, изд. Академии наук СССР, М., 1952, 436 стр. с черт. Тираж 3000 экз. Цена в перепл. 21 р. 70 к.

Войтинская Д. М., Выдающиеся отечественные математики. Рекомендательный список литературы для самообразования, изд. 2, исправл. и дополн., изд. Центральной политехнической библиотеки, М., 1952, 22 стр. Тираж 2000 экз.

Герасимова В. М., Указатель литературы по геометрии Лобачевского и развитию ее идей, Гостехиздат, М., 1952, 192 стр. Тираж 3000 экз. Цена в перепл. 6 р.

Гнеденко Б. В., Михаил Васильевич Остроградский. Очерки жизни, научного творчества и педагогической деятельности, Гостехиздат, М., 1952, 332 стр. с илл. и 3 л. портр. Тираж 7000 экз. Цена в перепл. 8 р. 40 к.

В книге помещены также работы М. В. Остроградского: Заметки по теории теплоты, О преобразовании переменных в кратных интегралах. Заметка о линейных дифференциальных уравнениях.

Историко-математические исследования, вып. 5, Гостехиздат, М., 1952, 472 стр. с илл. и 3 л. портр. Тираж 4000 экз. Цена в перепл. 13 р. 75 к.

В книге помещены: две речи Т. Ф. Осиповского (1765—1832) и две статьи о нем; диссертация К. M Петерсона (1828—1881) «Об изгибании поверхностей» и две статьи о ней; статья о А. В. Летникове (1837—1883) и три статьи из истории математики: Г. М. Фихтенгольц «О преобразовании переменных в кратных интегралах», И. Г. Спасский «Происхождение и история русских счетов», В. В. Гуссов «Работы русских ученых по теории гамма-функций».

Насир Эддия, Мухаммед Туси, Трактат о полном четырехстороннике (Шаклул Гита), перев. под ред. Г. Д. Мамедбейли и Б. А. Розенфельда, изд. Академии наук Азербайджанской ССР, Баку, 1952, 200 стр. с черт. Тираж 1000 экз. Цена 9 р. 75 к.

Новлянская М. К., К тридцатилетию со дня смерти акад. А. А. Маркова, том 7, вып. 6, «Успехи математических наук», 1952, стр. 213—215.

Отрадных Ф. П., Жизнь и творчество П. Л. Чебышева, «Советская наука», М., 1953, 37 стр., Тираж 15 000 экз. Цена 75 к.

II. Учебники и учебные пособия

Барыбин К. С, Сборник геометрических задач на доказательство. Пособие для учителей, Учпедгиз, М., 1952, 152 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 3 р. 65 к.

Берман Г. Н., Сборник задач по курсу математического анализа (для высших учебных заведений), под ред. А. Ф. Берманта, изд. 4, стереотипное, Гостехиздат, М, 1953, 528 стр. с черт. Тираж 50 000 экз. Цена в перепл. 8 р. 60 к.

Виноградов И. М., Основы теории чисел, изд. 6, исправл., Гостехиздат, М., 1953, 180 стр. Тираж 20 000 экз. Цена в перепл. 4 р. 75 к.

Гребенча М. К. и Ляпин С. Е., Арифметика. Пособие для студентов учительских институтов, изд. 2, переработ., Учпедгиз, М., 1952, 280 стр. с черт. Тираж 40 000 экз. Цена в перепл. 6 р. 55 к.

Давыдов Н. А., Коровкин П. П. и Никольский В. Н., Сборник задач по математическому анализу. Учебное пособие для педагогических институтов, Учпедгиз, М., 1953, 196 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 5 р. 80 к.

Дубнов Я. С, Основы векторного исчисления, часть 2. Линейные функции вектора. Векторный анализ (теория полей). Начала тензорного исчисления, Гостехиздат, М., 1952, 415 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена 10 р. 35 к.

Курош А. Г., Курс высшей алгебры (для гос. университетов и педагогических институтов), изд. 3, Гостехиздат, М.—Л., 1953, 335 стр. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 9 р. 15 к.

Ляпин Е. С, Курс высшей алгебры. Пособие для физико-математических факультетов педагогических институтов, Учпедгиз, М., 1953, 344 стр. с черт. Тираж 15 000 экз. Цена в перепл. 8 р. 05 к.

Моденов П. С, Сборник задач по математике. С анализом ошибок, допущенных поступавшими в высшие учебные заведения, изд. 4, «Советская наука», М., 1953, 384 стр. с черт. Тираж 75 000 экз. Цена 5 р.

Новоселов С. И., Специальный курс элементарной алгебры (для педагогических институтов), изд. 2, «Советская наука», М., 1953, 560 стр. с черт. Тираж 35 000 экз. Цена в перепл. 11 р. 35 к.

Панов Д. Ю., Счетная линейка, изд. 9, Гостехиздат, М., 1953, 128 стр. с илл. и 2 отд. л. черт. Тираж 150 000 экз. Цена 2 р. 75 к.

Смирнов В. И., Курс высшей математики, том 2, изд. 12, стереотип, Гостехиздат, М., 1953, 628 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 17 р. 10 к.

Смирнов В. И., Курс высшей математики, том 3, часть 1, изд. 5, Гостехиздат, М.—Л., 1953, 340 стр. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 9 р. 45 к.

Степанов В. А., Курс дифференциальных уравнений. Учебник для гос. университетов, изд. 6, Гостехиздат, М., 1953, 468 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 12 р. 10 к.

Фаддеев Д. К. и Соминский И С, Сборник задач по высшей алгебре (для гос. университетов и пед. институтов), изд. 4, стереотипное, Гостехиздат, М., 1953, 308 стр. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 7 р. 20 к.

Фиников С. П., Курс дифференциальной геометрии. Учебник для гос. университетов, Гостехиздат, М., 1952, 343 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 8 руб.

Цубербиллер О. Н., Задачи и упражнения по аналитической геометрии, (для втузов), изд. 17, стереотипное, Гостехиздат, М., 1953, 356 стр. с черт. Тираж 100 000 экз. Цена в «перепл. 8 р. 05 к.

Шахно К. У., Сборник конкурсных задач по математике с решениями, изд. 2, исправл. и дополн. изд. Ленинградского университета, Л., 1953, 236 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена 6 р. 50 к.

III. Методика преподавания математики

Зыкус А. И., Пути повышения успеваемости по математике в V—VII классах, Учпедгиз, М., 1952, 40 стр. с черт. Тираж 50 000 экз. Цена 40 к.

Из опыта преподавания математики в школах рабочей молодежи. Сборник статей, состав. Я. Ф. Чекмарев, изд. Академии педагогических наук РСФСР, М., 1952, 132 стр. с черт. Тираж 15 000 экз. Цена 1 р. 70 к.

Из опыта работы учителей математики, не имеющих второгодников. (Сборник статей), Учпедгиз, М., 1952, 104 стр. Тираж 50 000 экз. Цена 1 р. 20 к.

Сборник содержит 6 статей: Г. А. Михайлов, Коммунистическое воспитание на уроках математики; Н. А. Кирсанова, Правильная организация урока — основа предупреждения неуспеваемости; А. А. Марычева, Пути достижения полной успеваемости по математике; Н. Н. Ляпин, Как я добился полной успеваемости; Е. Ю. Филиппова, Повышение качества знаний и успеваемости учащихся по математике путем сочетания классной и внеклассной работы; 3. Н. Краснова, Школьный математический кабинет, как средство углубления знаний учащихся по математике.

Истомина Н. С, Планы уроков по геометрии в VI классе (из опыта работы), под ред. В. М. Брадиса, Учпедгиз, М., 1952, 116 стр. с черт. Тираж 50 000 экз. Цена 1 р. 75 к.

Спатару К. Г., Решение задач по геометрии с применением тригонометрии е X классе, изд. «Школа советикэ», Кишинев, 1952, стр. с черт. Тираж 600 экз. Цена 75 к.

Устименко М. Д., Рациональные способы проверки при решении алгебраических задач и примеров, Учпедгиз, Алма-Ата, 1952, 20 стр., Тираж 3000 экз.

Яшанин И. Г., Требования к письменным работам по геометрии с тригонометрией в десятых классах средней школы. Методическое письмо в помощь учителям математики средних школ, Горьковский обл. институт усовершенствования учителей, Горький, 1953, 10 стр. с черт. Тираж 1000 экз.

IV. Книги по различным вопросам высшей математики

Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, Гостехиздат, М., 1953, 492 стр. Тираж 5000 экз. Цена в перепл. 20 р. 90 к.

Гобсон Д. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, Перев. с английского С. В. Фомина, Гос. изд-во иностранной литературы, М., 1952, 476 стр. с черт. Цена 34 р. 40 к

Дринфельд Г. И., Трансцендентность чисел к и е, изд. Харьковского университета, Харьков, 1952, 76 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена 1 р. 25 к.

Курош А. Г., Теория групп, изд. 2, переработ., Гостехиздат, М., 1953, 468 стр. Тираж 5 000 экз. Цена в перепл. 16 р. 35 к.

Левитан Б. M., Почти-периодические функции, Гостехиздат, М., 1953, 396 стр. Тираж 4000 экз. Цена в перепл. 10 р. 75 к.

Поль Б. и Бреммер Х., Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа, перев. с англ., под ред. и с предислов. И. Н. Денисюка, Гос. изд-во иностранной литературы, М., 1952, 507 стр. с черт. Цена в перепл. 27 р. 30 к.

V. Научно-популярная литература, пособия для кружков

Берман Г. Н., Приемы счета, изд. 5, Гостехиздат, М., 1953, 88 стр. Тираж 100 000 экз. Цена 1 р. 25 к.

Островский И. А., Начертательная геометрия в популярном изложении, при редакционном участии Н. М. Бескина, Гостехиздат, М., 1953, 224 стр. с илл. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 5 р. 85 к.

Смогоржевский А. С, Метод координат. Популярные лекции по математике, Вып. 10, Гостехиздат, М., 1952, 40 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена 55 коп.

Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н. и Яглом И. М., Избранные задачи и теоремы элементарной математики, часть 2. Геометрия (Планиметрия), «Библиотека математического кружка», Гостехиздат, М., 1952, 380 стр. с черт. Тираж 50 000 экз. Цена 6 р. 75 к.

VI. Справочники

Андреев П. П., Математические таблицы, Гостехиздат, М., 1952, 472 стр. Тираж 15 000 экз. Цена в перепл. 7 р. 75 к.

Попов И. Г., Математические таблицы. Пособие для учителей, Учпедгиз, М., 1952, 112 + 4 стр. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 3 р. 20 к.

Яковкин М. В., Карманные таблицы умножения и деления многозначных чисел на двузначные, Гостехиздат, М., 1952, 128 стр. Тираж 50 000 экз. Цена в перепл. 1 р. 40 к.

VII. Пособия для заочников

Атанасян Л. С, Контрольные работы по дифференциальной геометрии для студентов-заочников педагогических институтов, Учпедгиз, М., 1953, 39 стр. с черт. Тираж 5000 экз. Цена 45 к.

Щегольков Е. А., Интегральное исчисление. Учебно-методическое руководство для студентов-заочников педагогических институтов, Учпедгиз, М., 1952, 139 стр. с черт. Тираж 5000 экз. Цена 2 р. 50 к.

ПИСЬМО В РЕДАКЦИЮ

Мне приходилось неоднократно встречать ссылки на мою статью «Геометрическая теория комплексных чисел», помещенную в журнале «Математика в школе» за 1940 г. № 3 (см. напр. сноску в статье И. М. Гельфанда в настоящем номере).

Считаю своим долгом заявить следующее: упомянутая моя статья явилась попыткой, сделанной мною в свое время, дать методику изложения теории комплексных чисел в школе с операторной точки зрения. В результате дальнейшего изучения этого вопроса и наблюдения за преподаванием я пришел к убеждению в методической несостоятельности построения учения о числе в школьном курсе на основе операторной точки зрения.

С. Новоселов.

ХРОНИКА

РЕСПУБЛИКАНСКИЕ «ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ЧТЕНИЯ» В УССР

М. Б. ГЕЛЬФАНД (Киев)

В начале июля 1953 г. в городе Львове состоялись первые республиканские «Педагогические чтения» по математике.

«Чтениям» предшествовала большая подготовительная работа. Доклады учителей обсуждались на методических объединениях, на учительских конференциях, рецензировались областными институтами усовершенствования учителей и отделом математики Украинского научно-исследовательского института педагогики.

На «чтениях» было заслушано около 40 докладов и выступлений учителей. Доклады группировались вокруг следующих основных тем.

1. Политехническое обучение в связи с преподаванием математики в средней школе.

2. Идейно-воспитательная работа на уроках математики.

3. Усовершенствование методов преподавания арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии.

4. Общепедагогические вопросы преподавания математики.

5. Внеклассная работа по математике.

Первой теме было посвящено 12 докладов учителей. Ценный опыт .политехнического обучения был отражен в докладах «О некоторых применениях геометрии и тригонометрии в связи с политехническим обучением» (учитель М. И. Мозок, г. Лубны Полтавской обл., школа № 3); «Применение комплексных чисел для решения задач по статике» (А. М. Коц, Львовская обл., Яворовская ср. школа № 1); «Номограммы в курсе математики средней школы» (В. М. Барановский, г. Глухов Сумской обл.); «Практические задачи по измерению на местности» (Д. Т. Щербаков-Курочко, с. Красногоровка Сталинской обл., школа № 12) и на эту же тему доклад учителя С. Г. Литюка (Киевская обл., Каневский район, с. Мартыновка). Содержательный доклад учителя В. В. Титова (Харьковская обл., станция Люботин, ж.-д. школа) о преподавании черчения был иллюстрирован ценными .моделями и многочисленными, хорошо исполненными работами учащихся. Слушатели высоко оценили методы и приемы преподавания учителя и высказали пожелание об издании его работы отдельной брошюрой для внедрения его опыта в массовую школу. Заслуживает внимания также доклад учительницы В. Е. Хренниковой (Одесса, художественное училище) «О значении черчения в политехническом обучении». Докладчица продемонстрировала интересные таблицы по черчению и рисованию, изготовленные учащимися, и показала, как эти таблицы могут быть эффективно использованы на уроках математики и физики при решении практических задач.

По второй теме вызвал интерес доклад учителя Н. В. Рознатовского (Киев, школа № 20) на тему «Элементы историзма в преподавании математики». Главное внимание докладчик уделил вопросу популяризации отечественных ученых в органической связи с изложением на уроках нового материала.

Большинство докладов было посвящено улучшению и усовершенствованию методов преподавания математики в средней школе. По алгебре были заслушаны следующие доклады: «Из опыта преподавания иррациональных чисел» (К. Ф. Филиппович, Одесса, ср. школа № 3); «Комплексные числа в X классе средней школы» (С. М. Бернштейн, Киев, школа № 22 и Киценко, Харьковская обл., Волковиская ср. школа № 3); «Из опыта преподавания неравенства 2-й степени в X классе» (Р. И. Магденко, Киев, школа № 22); «Уравнения высших степеней в курсе алгебры средней школы» (И. И. Вотченко, Николаевская обл., Вознесенская школа) и другие.

Интересно отметить, что преподавание темы «Комплексные числа» было представлено в двух вариантах. Первый — на основе векторной интерпретации, второй — на основе операторного истолкования комплексного числа*. Предпочтение, на наш взгляд, следует отдать второму.

Особый интерес у участников «Педагогических чтений» вызвал доклад учителя М. И. Кравчинина (Дрогобычская средняя школа № 1) «Решение задач на исследование квадратных уравнений». Применяемые им приемы и схемы исследования, проверенные долголетним опытом преподавания, вполне доступны учащимся.

Вопросу преподавания арифметики, к сожалению, были посвящены только два доклада. Первый — на тему «Решение арифметических задач с письменным объяснением» (Т. М. Кухаренко, Станиславская

* Учитель в основу своей разработки положил статью С. И. Новоселова «Геометрическая теория комплексных чисел», напечатанную в журн. «Математика в школе», № 3 за 1940 г.

обл.). Докладчица на конкретных примерах показывала, какими должны быть письменные объяснения учащихся V и VI классов при решении арифметической задачи. Второй доклад — «Числовые формулы при решении арифметических задач в V классе» (Е. П. Синческул, Николаевская обл., Арбузинская ср. школа) был заслушан с особым вниманием. Докладчица показала, как она в V классе приучает учащихся пользоваться числовыми формулами и этим самым подготовляет их к лучшему восприятию идеи буквенной символики в алгебре.

Вопросу преподавания геометрии были посвящены следующие доклады: «Методика решения задач на построение в VI и VII классах» (А. М. Беренштейн, Винница, ср. школа № 4) ; «Задачи на доказательство» (Е. Я. Столяр, с. Рожны, Винницкой обл.); «Аналитический метод доказательства теорем» (В. С. Петрова, Винница, средняя школа №1); «Задачи на вычисление» (Т. Е. Стретович, Коростышев, Житомирская обл.); «Роль наглядных пособий в развитии пространственных представлений учащихся» (И. А. Безрук, Львовская обл., Винниковекий район, школа № 1); «Использование понятия отрицательной площади при решении стереометрических задач» (учитель В. Д. Гудзь, Львовская обл., Куликовская средняя школа) и другие.

:В своем докладе т. Бернштейн показал, как он в VI и VII классах постепенно углубляет понятие геометрического места точек и какие для этой цели он использует наглядные пособия. Докладчик продемонстрировал интересные «динамические» пособия, изготовленные учащимися под его руководством. Интерес у слушателей вызвал также доклад т. Гудзя об «отрицательных площадях». Доклад этот был иллюстрирован хорошо исполненными рисунками учащихся. Разумеется, тема эта может быть поставлена только на занятиях математического кружка.

Из докладов, посвященных преподаванию тригонометрии, наибольший интерес представляют следующие: «Мой опыт преподавания тригонометрии» (засл. учитель школ УССР П. А. Горбатый, г. Киев, школа № 33) и на эту же тему доклад учителя Ф. М. Больсена (с. Новгородне, Кировоградская область). Заслуженный учитель, пользующийся популярностью среди учителей республики, П. А. Горбатый в очень интересной форме рассказал участникам чтения, как он своеобразно строит изложение учебного материала по тригонометрии, стремясь, с одной стороны, обеспечить строгость и научность изложения, а с другой стороны, приблизить преподавание к жизни. Следует отметить, что на эту тему им написана специальная монография, которая должна выйти в свет еще в настоящем учебном году.

Второй доклад как бы дополняет первый. Учитель Ф. М. Больсен показал, как можно оживить преподавание тригонометрии, разумно используя для этого решение задач (с их исследованием) из разных смежных дисциплин. При этом особое значение имеет решение при помощи тригонометрии планиметрических задач в VIII классе как средство, обеспечивающее хорошую подготовку учащихся к усвоению систематического курса тригонометрии.

Большое внимание на «Педагогических чтениях» было уделено общепедагогическим вопросам, связанным с преподаванием математики. Вызвал интерес доклад «Разработка системы опроса по математике для обеспечения сознательного усвоения учащимися учебного материала» (М. Л. Крайзман, учитель Львовской школы № 15). Докладчик на геометрическом материале показал разработанную им систему вопросов для проверки знаний учащихся по теме «Многогранники». Вопросы эти требуют сообразительности, вдумчивости, умения правильно применять определения и теоремы к математическим фактам, умения использовать знания в любой ситуации.

Заслуживают внимания доклады, посвященные организации самостоятельной работы учащихся (Л. Я- Кушниренко, Николаевская область, Арбузинская школа) и проверка домашних заданий по математике в V—VIII классах (учительница Шевель Л. М., Нежин, школа № 1).

Вопросу организации и проведения обзорных лекций в X классе был посвящен доклад учителя Л. М. Шмулензона (г. Винница, школа № 4). Докладчик проводит эти лекции в интересной форме, выбирая наиболее важные вопросы программы, требующие расширения, приведения в систему и углубления пройденного материала. Примерами могут служить темы: «Развитие понятия числа», «Понятие функции», «Решение уравнений» и т. п.; отдельные лекции проводились на занятиях математического кружка.

Вопросу внеклассной работы по математике были посвящены главным образом доклады, связанные с проведением математических олимпиад. Это мероприятие стало традицией в республике, почти во всех областях УССР ежегодно проводятся математические олимпиады. В своем вступительном слове проф. А. С. Кованько остановился на значении математических олимпиад и кратко рассказал о работе Львовского университета в этом направлении. О проведении математических олимпиад в Львовской области (за последние два года) участники «чтений» заслушали подробное сообщение доц. И. Ф. Тесленко (руководитель кафедры методики математики Львовского педагогического института). Этому же вопросу был посвящен доклад Р. А. Дубосарской (Житомирский пединститут) «О результатах четвертой математической олимпиады учащихся IX и X классов Житомирской области». Докладчица поделилась интересным опытом проведения олимпиад и познакомила участников «чтений» с результатами последней математической олимпиады, проведенной в 1953 г.

На «Педагогических чтениях» было также заслушано содержательное и интересное сообщение преподавателя В. С. Кролевец (Черниговская область) о математической олимпиаде для V—VII классов, проведенной в этом году республиканской пионерской газетой «3ipKa».

На «чтениях» выяснились и недостатки в работе некоторых учителей. Так, из докладов выяснилось, что у отдельных учителей имеется тенденция к расширению отдельных вопросов программы, что приводит к перегрузке учащихся (например, увлечение исследованием задач, варьированием на разный лад условия задачи, затемняя этим самым основной ее смысл и др.), недостаточная обоснованность трактуемых вопросов, нечеткость изложения (главное иногда растворяется во второстепенном) и др. Однако эти недостатки относятся лишь к отдельным работам. Большинство докладов содержит, как мы уже отметили, ценный передовой опыт, который должен быть внедрен в работу школ.

Отдел методики математики Украинского научно-исследовательского института педагогики запланировал издать книгу «Педагогические чтения по математике», в которой будут помещены лучшие доклады учителей.

ЗАДАЧИ

ЗАДАЧИ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

Ниже помещаются задачи политехнического характера, полученные в ответ на обращение редакции в № 1 и № 4 1953 г.

Задачи, предложенные Д. Т. Щербаковым-Курочко

(г. Красногоровка УССР)

1. Рабочий захват конных грабель 2,13 м. С какой скоростью должна двигаться лошадь, чтобы за час обработать 0,85 га!

2. Определить практическую производительность тракторной косилки за 8 часов работы, если рабочий захват (ширина срезывающей части) 2,13 м, скорость движения трактора 4,5 км\час и практическая производительность меньше теоретической на 8% (повороты, техосмотр, неполный захват).

3. Участок пшеницы прямоугольной формы размером 180 м X 1020 м косят комбайном «Сталинец». Сколько га (ориентировочно) скошено, если комбайн обошел кругом 5 раз и ширина захвата хедера 4,6 м.

4. На сколько времени хватит ящика зерна сеялки весом 250 кг, если ширина захвата сеялки 3,66 м и сеялка движется со скоростью 3,6 км час! Норма высева 150 кг на га.

5. Какую площадь скосил трактор с прицепом четырех конных косилок за 8 часов, если ширина захвата каждой косилки 1,56 м и скорость трактора 4,5 км,час? Известно, что практически на неполный захват надо скинуть 6%, а на повороты и техосмотр затрачивается 10% времени.

6. Свеклу посадили рядами с расстоянием между корнями в рядах в 30 см. Определить ширину междурядий, чтобы на 1 га росло 80 000 корней свеклы.

7. В вишневом саду 36 рядов, в каждом ряду по 45 деревьев, посаженных квадратным способом 6 м X 6 м. Междурядия обрабатывают культиватором в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Вычислить, какую площадь сада приходится обрабатывать вручную, если культиватором обрабатывают полосы шириною в 4 м.

8. На 1 га высевают 150 кг пшеницы, 1000 зерен которой весят 38 г. Предполагая, что 5% зерен погибает, вычислить площадь земли, которая приходится в среднем на каждое растение пшеницы.

9. Сколько муки вмещает закром формы прямоугольного параллелепипеда размером 1,4 м X 2,5 м X X 1,2 м, если 1 куб. м муки весит 320 кг?

10. Выкопан ледник в форме прямоугольного параллелепипеда размером 2,4 м X 6 м X 2,5 м. Определить площадь льда, которую необходимо вынуть на водоеме, чтобы набить ледник льдом. Толщина льда в водоеме 40 см, и 10% объем а надо учесть на неплотное прилегание кусков льда-

11. Для вычисления объема прямостенной с полуцилиндрическим верхом скирды пользуются формулой (0,52 г. — 0, 46 ш) ш-д, где иг — ширина скирды, д — длина «перекидки» веревки, которую перебрасывают поперек скирды для определения периметра перпендикулярного сечения без основания. Сколько куб. метров имеет скирда, если «перекидка» равна 25,42 м, ширина 6 м, длина 20 м!

12. На скольких подводах можно перевести сено, сложенное в скирду размером: ширина 6 м, длина 20 м, высота 8 м, если 1 куб. м сена весит 60 кг и на подводу кладут 400 кг! Стены скирды — прямоугольники с полуцилиндрическим верхом.

13. Тяговое сопротивление плуга выражают в килограммах и приближенно вычисляют по формуле:

Т =chin,

где

Г —тяговое сопротивление в килограммах; с — удельное сопротивление (сопротивление в килограммах на кв. см поперечного разреза пласта); h — глубина вспашки в сантиметрах; / — ширина захвата одного корпуса в сантиметрах; п — число корпусов.

Определить тяговое сопротивление плуга 5-К-35 при следующих данных: 5 — число корпусов, 35 — ширина захвата одного корпуса в сантиметрах, с — 0,4 (средней вязкости), h = 20 см.

14. Чтобы правильно поставить высевной механизм сеялки, ее на месте «прокручивают» и взвешивают зерно, которое выпадает через семяпроводы. Количество зерна, которое должно выпасть во время «прокручивания», вычисляют по формуле: М= jqqqq »

где M — количество зерна в килограммах, которое должно выпасть; Т — количество оборотов ходового колеса; с—рабочий захват сеялки; k — длина окружности ходового колеса в метрах;

а — норма высева на 1 га в килограммах.

Сколько килограммов зерна должно выпасть через высевной механизм сеялки на 24 сошника, с шириной междурядий в 15 см, если длина окружности ходового колеса 3,9 м, норма высева 150 кг на 1 га, если колесо сделало 50 оборотов?

15. Парижская зелень уничтожает почти всех вредителей сада. Способ изготовления раствора таков: на 10 литров воды берут 20 г парижской зелени и 40 г свежегашеной извести. Подсчитать, сколько потребуется парижской зелени и извести для опрыскивания 46 га плодоносного яблоневого сада, посаженного 10 м X 10 м и 6 га сливового, посаженного 6 м X 6 м. Норма опрыскивания одного плодоносного дерева приблизительно 12 литров.

16. Действительное количество воды, подаваемой поршневым насосом, на 8% меньше теоретического (клапаны закрываются не мгновенно). Сколько воды подает насос за 1 час, если диаметр поршня 12 см, ход 30 см и он делает 40 качаний в минуту?

17. Отработанный пар турбины охлаждается в цилиндрическом конденсаторе со вставленными в днища трубками, по которым течет охлаждающая пар вода. Сколько должен конденсатор иметь таких трубок, диаметром каждая в 23 мм и длиною 2855 мм, чтобы общая поверхность охлаждения равнялась 280 кв. метрам?

18. Определить время, за которое будет обработан вал на токарном станке, если длина 1,8 мч диаметр вала 65 мм, скорость резания 100 ммс ек, подача 0,5 мм на 1 оборот и число проходов 4.

Задачи, предложенные С. М. Бернштейном (Киев)

1. Шест длиной в 2 м отбрасывает тень в 3,5 м. Определить высоту заводской трубы, если ее тень в то же время равна 70 м.

2. Определить высоту дерева, если конец шеста С длиной а м, находящийся на Ь м от дерева и на с м от наблюдателя, виден на одной прямой с вершиной дерева. Рост наблюдателя равен h м.

3. Определить расстояние до дерева высотой 15 м, если при наблюдении одним глазом дерево полностью покрывается 0,4-метровой линейкой (поставленной отвесно), находящейся в вытянутой руке. Длина вытянутой руки приблизительно равна 0,6 м.

4. Самолет шириной 12 м был сфотографирован снизу в то время, когда он пролетал отвесно над аппаратом. Глубина камеры 12 см, ширина самолета на снимке 4 мм. На какой высоте самолет летал в момент фотографирования?

5. На плане нанесен участок земли в масштабе 1 :1000. Чему равна площадь этого участка в натуре, если на плане она равна 12 см2?

6. Для определения диаметра шкива (когда большая часть окружности скрыта) устанавливают штангенциркуль, чтобы концы его ножек стали на окружности шкива, а линейка его коснулась окружности. Расстояние между ножками штангенциркуля даст длину хорды а, а высота ножек—высоту сегмента (стрелку К). Диаметр находится применением теоремы о пересекающихся хордах.

Найти диаметр вала (D), если расстояние между ножками штангенциркуля а = 200 мм, высота ножек h = 25 мм.

7. Определить радиус кривизны часового стекла шириной 4 см и глубиной 2 мм.

8. На стальной плите нужно выфрезеровать выемку формы сегмента. Какого диаметра должна быть фреза, чтобы глубина выемки h = 10 мм, а длина а ее верхней части имела 40 мм!

9. Под дальностью наблюдения (или наибольшее видимое расстояние) принимается длина касательной, проведенной из точки 5 (глаза наблюдателя), находящейся на высоте h над уровнем земной поверхности, до точек горизонта.

Обозначив SA (дальность горизонта) через d, находим по теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности:

где R — радиус Земли; откуда

Так как h2 вследствие своей малости сравнительно с 2Rh на результат почти не влияет, то этой величиной можно пренебречь, поэтому наибольшее видимое расстояние вычисляется на практике по приближенной формуле:

а) Как далеко можно видеть с самолета на высоте h = 2 км?

б) Как далеко можно наблюдать поверхность воды в перископ подводной лодки, если щель перископа поднимается на 1 м над поверхностью воды?

в) На каком расстоянии от маяка находился корабль в тот момент, когда маяк стал виден для него, если высота маяка h\ = 180 м, а высота наблюдательной точки корабля («марс») h2 - 48 м!

10. От треугольного листа жести весом 5 кг нужно отрезать параллельно основанию полосу весом 2 кг? Как это сделать?

11. Конец круглого стального стержня нужно опилить в виде прямоугольника со сторонами 16 и 30 мм. Какого диаметра нужно взять стержень?

12. Требуется установить громоотвод на крыше здания, имеющего в плане форму прямоугольника со сторонами 24 м и 10 м. Определить наименьшую высоту громоотвода, могущего защитить здание.

Принимают, что громоотвод предохраняет площадь круга, описанного около его основания радиусом, равным удвоенной его высоте.

13. Как велик подъем двускатной кровли, длина ската которой 14,3 м, а пролет 26,47л/?

14. Телефонный провод прикреплен к столбу на высоте 9 м и к стене дома на высоте 4 м. Определить длину провода, если расстояние от дома до столба по земле 12 м (провисание провода не считать).

15. Определить скорость движения автомобиля в час, если ведущее колесо его диаметром 0,8 м делает 320 об/мин.

16. Барабан лебедки сделал 5 оборотов. На сколько поднялся при этом груз, если диаметр барабана d = 0,5 м!

Решение.

17. Ременная передача. Определить длину приводного ремня, соединяющего при прямой передаче два шкива, диаметры которых 500 мм и 360 мм, если расстояние между их центрами равно 2500 мм. Найти также число оборотов каждого шкива в мин., если скорость движения точки приводного ремня равна 628 м.мин.

18. Под каким углом зрения п виден человек ростом 1,7 м на расстоянии 100 м от наблюдателя?

Примечание. Если угол зрения невелик, то при решении практических задач прямолинейное расстояние между крайними точками предмета (т. е. его ширину или высоту) мож ю считать равным дуге

угла зрения, принимаемого за центральный. Практически это допустимо для углов до 10—15°, даже 20 — 30°, в зависимости от требуемой точности вычисления. Поэтому в данном случае по формуле длины дуги

находим:

19. Солнечный диск наблюдается с Земли под углом 32'. Расстояние от Земли до Солнца 150 мил. км. Вычислить длину диаметра Солнца.

20. Под каким углом зрения виден ноготь указательного пальца руки, вытянутой вперед, если среднее расстояние от глаза до ногтя около 65 см, ширина ногтя ^ 1 см“?

21. В море для определения расстояния корабля до берега измерили угол а, под которым виден предмет, стоящий на берегу, высота которого 30 м. Как велико расстояние от корабля до этого предмета, если а = 3°20'?

22. При какой нагрузке разорвется медная проволока толщиной 1,5 мм, если предельная нагрузка при растяжении равна 40 кг/мм2?

23. Три водопроводные трубы диаметрами 75, 70 и 90 мм соединены в одну. Найти диаметр соединяющей трубы, чтобы вода, которая поступает из грех предыдущих, текла с той же пропускной способностью.

24. Железная труба имеет толщину стенок 5 мм, длина внешней окружности 66 см. Определить площадь поперечного сечения трубы.

25. Водопроводная труба диаметром 20 см вливает свою воду в трубу диаметром в 25 см. Как изменится при этом скорость течения воды?

26. Во сколько раз при одинаковой скорости течения через трубу с диаметром 15 см протекает больше воды, чем через трубу с диаметром 6 см?

27. Внутренний диаметр цилиндра двигателя внутреннего сгорания равен 90 мм, среднее давление газов 12 кг/см2. Определить полное давление газов на поршень.

28. Сваи, врытые в землю, можно нагрузить до 30 кг\см2. Какой вес может иметь строение, опирающееся на четыре сваи диаметром 40 см каждая?

29. Землетрясение распространяется на земной поверхности со скоростью 800 м сек. Какую площадь может охватить землетрясение через 1 мин. после возникновения?

30. Определить угол подъема винтовой линии у, имеющей шаг 30 мм при диаметре цилиндра 80 мм.

31. Судно с курсом N30°W (в северо-западном направлении под углом 30° к северному направлению) движется со скоростью 14 миль час Из судна маяк замечен в направлении N10°O. Через */г часа этот маяк был виден в направлении N70°O. Определить расстояние судна от маяка при первом наблюдении.

32. Маяк I находится в направлении S74°0 и на расстоянии 20,3 миль от маяка II. С корабля маяк II замечен на западе и одновременно маяк I в направлении S50°O. Определить расстояние судна от обоих маяков.

33. Судно направилось в юго-западном направлении со скоростью 14 миль,час. Через 1 час времени установлено, что судно на самом деле продвинулось от первоначального положения на S60°W на расстояние 10 миль. Определить направление и скорость течения.

34. Чугунный шар диаметром 75 мм покрыт бронзовой оболочкой в 2,5 мм толщиной. Сколько граммов бронзы пошло на эту оболочку, если удельный вес бронзы 8,7 г смъ.

35. Медный стержень 270 мм длиной и 25 мм в диаметре вытягивается в проволоку длиной 75 м. Найти диаметр этой проволоки.

36. Спиральное сверло диаметром 12 мм делает 1080 об./мин. при подаче 0,2 мм,об. Найти объем высверленного металла за 5 сек.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 3 ЗА 1953 г.

№ 34

Три шара радиуса R касаются одной и той же плоскости и каждый из них касается двух других. Найти радиус шара, касающегося плоскости и трех данных шаров.

Решение. Обозначим центры данных шаров: Oi, 02, 03, центр искомого шара — 04.

Проекции центров на касательную плоскость : 0[, 0\, 0'3, 0\.

Треугольник Oi0203— правильный, со стороной 0103 = 2R (черт. 1).

Из треугольника O1O4N имеем:

где X — радиус искомого шара. Отсюда

Черт. 1

№ 35

В треугольнике ABC биссектрисы AD = feh BF = k2, Ck = k з составляют со сторонами углы «, Ь 7-

Выразить произведение sin a-sin ß-sin 7 через биссектрисы и высоты hh h2, h3 треугольника.

Решение. Пусть в треугольнике ABC (черт. 2)

тогда

перемножив, получим:

№ 36

В треугольнике ABC точка О является центром вписанной окружности. Пусть ^АОВ = т, Z.AOC = $, Z.COB = a.

Вычислить площадь треугольника ABC, зная, что

и R-r = п, где R — радиус описанной окружности, г — радиус вписанной в треугольник окружности.

Решение. Пусть в треугольнике ABC OK = г-радиус вписанного круга (черт. 3), тогда

тогда

(1) (2) (3)

Так как

то приняв во внимание, что Rr = п, и то, что

получим:

№ 37

Даны три точки: M, N и Р, не лежащие на одной прямой. Построить треугольник по следующим условиям: точки M и N являются его вершинами; одна из сторон треугольника лежит на прямой MN ; периметр треугольника отсекаемого от искомого треугольника биссектрисой угла N и прилежащего к прямой NP, равен отрезку Р.

Эту задачу можно сформулировать так: дан угол а = -g zlMNP и вне его точка М; через точку M провести прямую ML, отсекающую от этого угла треугольник заданного периметра Р.

Решение. Допустим, что треугольник NEL (черт. 4) — искомый. Построим вне вписанную окружность О, получим:

Отсюда вытекает способ построения: на сторонах данного угла BND отложим NB = ND =^Ph OD _L NDt BO _L NB, затем проведем окружность О радиусом OD = R и из точки M проведем касательную ML к окружности. Треугольник NEL — искомый.

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

№ 38

Числа a, ß, 7 удовлетворяют условиям:

Доказать справедливость неравенства:

Решение. По теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом имеем:

Сложив эти неравенства с тождеством

получим:

Так как по условию

Из последнего неравенства имеем:

№ 39

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины С прямого угла проведены высота С H и биссектриса CL На стороне СВ(СВ>СА) отложен отрезок CP = CA. Прямые АР и С H пересекаются в точке К- Найти длину отрезка KL, если дано: АС = Ь, ВС = а.

Решение. По условию, CP = СА и АСР = 90°, следовательно, биссектриса CL J_ АР (черт. 5). В треугольнике ACL AN J_CL и СН _L AL, следовательно, и LM JL АС. Из подобия треугольников KHL и ACH имеем

(1)

Из пропорции

определим AL:

Из подобия треугольников ACH и KHL имеем:

№ 40

Дан трехгранный угол, все плоские углы которого прямые. На одном из ребер взята точка А, на другом — точка В, на третьем — точка С. Обозначим вершину трехгранного угла буквой О, а проекцию этой вершины на плоскость ABC— буквой S. Доказать, что площадь треугольника АО В есть средняя пропорциональная между площадями треугольников АСВ и ASB.

Решение. Опустим перпендикуляр из точки О на плоскость ABC. Для этого выполним следующее построение:

1. Проведем ОМ А. AB, тогда на основании теоремы о трех перпендикулярах и СМ J_ AB и пл. COM _L пл. ABC (черт. 6), затем проведем OS JL СМ; отрезок OS весь лежит в плоскости ОСМ. Треугольник ОСМ — прямоугольный, следовательно,

Черт. 5

Черт. 6

Из равенства (а) имеем:

№ 41

Требуется, изготовить тетраэдр из треугольного листа жести (не разрезая его на части). При каких условиях это можно сделать? Вычислить сумму косинусов линейных углов всех двугранных углов тетраэдра.

Решение. Разделим каждую сторону треугольника ABC пополам, тогда при перегибании листа вершина А совпадает с В и с С (черт. 7). Но для того чтобы углы А, В и С могли служить плоскими углами трехгранного угла, необходимо, чтобы один из них (наибольший) был меньше суммы двух других, что возможно только в остроугольном треугольнике.

По построению треугольники FSD, DSE, FSE (черт. 8) — равновелики; обозначим площадь каждого из них буквой Q, а линейные углы двугранных углов — буквами а, ß, y, x, fx, v.

Имеем:

но или

№ 42

Три однозначных числа а, Ь, с образуют арифметическую прогрессию. Числа at ab, ce также образуют арифметическую прогрессию. Найти а, Ь, с.

Решение. Это условие можно записать в двух вариантах: I) а, ab, с2; II) a, ab, ce. Поэтому рассмотрим оба варианта. В случае I имеем систему:

откуда

Пусть с = a+2d, тогда получим уравнение:

так как

при d = 0, а = 1, т. е. числа 1,1,1 (этот случай исключен); при d—\, а = 4, т. е. числа 4, 5, 6, d>l не удовлетворяет. Итак, в случае I решение — единственное.

В случае II имеем систему:

или при b = a+d и с — а+2d имеем: \0a = 2Od. a = 2d.

При d — ] получаем:

при d = 2 получаем:

т. е. два ответа:

2, 3, 4 и 4, б, 8.

Черт. 7

Черт. 8

№ 43

В правильной треугольной призме ABC А\В\С через сторону основания AB а противоположную ей вершину С\ проведена плоскость. Вторая плоскость проведена через сторону Аф^ и вершину С. Найти отношение объемов частей призмы, на которые ее разбивают проведенные плоскости.

Решение. Плоскости АВС\ и АХВХС разделили данную призму на четыре многогранника: треугольную пирамиду CC^DE, четырехугольную пирамиду CABED, четырехугольную пирамиду C^BiED и пятигранник АОА\ВЕВ\ (черт. 9).

Обозначим объем данной призмы буквой V, тогда

Отношение объемов частей призмы равно:

№ 44

При помощи одной линейки провести прямую, параллельную основаниям данной трапеции так, чтобы ее отрезок, заключенный внутри трапеции, делился диагоналями на три равные части.

Решение. Прямая OR, соединяющая точку О пересечения боковых сторон с точкой R пересечения диагоналей, делит оба основания трапеции пополам. Через точки пересечения Р и Q прямых DB и AT, АС и ТВ проведем отрезок А2В2 и докажем, что А2Р = PQ = QB2 (черт. 10).

Из подобия треугольников ABQ, TQC и АВР и DPT вытекает, что

следовательно, PQ \\ AB.

Из подобия треугольников PQT, ABT, PQB и DBT имеем:

отсюда

№ 45

Доказать, что диаметр вписанной в треугольник окружности не может быть больше радиуса описанной окружности.

Решение. Пусть стороны треугольника а, Ь, с. Радиусы R и r описанной и вписанной окружностей можно заменить по формулам:

Требуется доказать, что 2r^R (а) или

(1)

так как S>0, /*>0, то неравенство (1) равносильно неравенству:

или или

(2)

Запишем ряд очевидных неравенств: или

(3)

или

что равносильно неравенству (а).

№ 46

Между цифрами 1 и 6 числа 16 вставим число 15. Далее между цифрами 1 и 5 полученного числа вставим снова число 15 и т. д. Получим числа: 1 156, 111 556, 11 115 556,..

Черт. 9

Черт. 10

Доказать, что все полученные таким способом числа — полные квадраты.

Решение. Требуется доказать, что

Преобразуем данное выражение следующим образом:

№ 47

Даны целые положительные числа а, Ь, с, d, е. Доказать, что если числа a+b+c-\~d-\~e кратно 30, то и число a5 + b5 + с5 + d5 + еъ также кратно числу 30.

Решение. Пусть

и

тогда

Произведение (х—])x(x-j-\) кратно числу 6. Если оно кратно и числу 5, то предложение доказано. Если оно не кратно числу 5, то х = 5у + 2 или X = 5у + 3, но тогда

Следовательно,

при любом значении х. Итак,

Имеем:

Замечание. Число слагаемых может быть произвольным.

№ 48

Построить трапецию по ее боковым сторонам, углу между продолжениями боковых сторон и углу между диагоналями.

Решение. 1. Анализ. Допустим, что ABCD (черт. 11) искомая трапеция, где

Выполним следующее вспомогательное построение: проведем BG\\CD и СИ \\ BD. Тогда

Отсюда вытекает следующий способ построения:

1) строим треугольник ABG по двум сторонам и углу между ними;

2) на продолжении GB отложим В H = GB\

3) на отрезке АН строим сегмент, вмещающий угол ß;

4) через точку В проводим ВС \\ AG и определяем точку С;

5) Отложив GD — ВС, получим точку D.

№ 49

Плоские углы трехгранного угла равны а, ß, 7. Обозначим углы между биссектрисами углов ß и 7, между биссектрисами углов а и 7, между биссектрисами углов а и ß соответственно через яь ßi> ïi-Доказать, что

Решение. Пусть

тогда, проведя биссектрисы этих углов (SA, SB и SC), получим углы:

(черт. 12).

Если z. ADC — линейный угол двугранного угла SD, то проведя СВ JL SC, получим точку В на биссектрисе угла MSN = ß. AB будет также перпендикулярна к SA.

Так как стороны линейного угла перпендикулярны к ребру двугранного угла, то CD _l_ SD и AD J_ SD~

Черт. 11

Черт. 12

Из прямоугольных треугольников ASD, DSC,... имеем:

Отсюда

Аналогично доказывается, что

№ 50

Доказать, что

Решение. Преобразуем подкоренное выражение следующим образом:

Тогда левая часть данного выражения будет равна

Давая п различное значение:

/1=1, 2, 3, 4,...,

получим числа:

ЗАДАЧИ

№ 1

Решить уравнение:

Е. Майданник (Сумская обл.).

№ 2

Решить систему уравнений:

П. Савчук (г. Сталиногорск).

№ 3

В треугольнике ABC со сторонами а, Ъ, с проведены высоты AL, ВМу CN и точки L, M, N соединены между собой. Вычислить площадь треугольника LMN.

П. Савчук (г. Сталиногорск).

№ 4

Из квадратного листа жести, сторона которого равна а, вырезать развертку правильной четырехугольной пирамиды наибольшего объема и определить двугранный угол при основании этой пирамиды.

А. Мостовой (Алма-Атинская обл.).

№ 5

Найти объем правильной треугольной усеченной пирамиды, если известна длина средней линии боковой грани I = 20 см и расстояние между центрами вписанного и описанного шаров с =10-^3 см.

И. Сургучев (Москва).

№ 6

Решить уравнение:

И. Яворский (Москва).

№ 7

Решить систему уравнений:

И. Яворский (Москва).

№ 8

Решить систему уравнений:

И. Яворский (Москва).

№ 9

Круг радиуса k катится внутри круга радиуса 2R. Какие линии описывают точки катящегося круга?

П. Моденов (Москва).

№ 10

Найти наибольшее значение функции:

Я. Моденов (Москва)

№ 11

Доказать, что

являются корнями уравнения:

где

р — полупериметр треугольника,

г — радиус вписанного круга в этот треугольник, /? —радиус описанного круга.

И. Яворский (Москва)

№ 12

Решить систему уравнений:

И. Яворский (Москва).

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

№ 1

Доказать, что при любых целых значениях х и у выражение:

есть точный квадрат.

М. Коченовский (Москва).

№ 2

Исключить л“ и у из уравнений:

И. Яворский (Москва).

№ 3

Построить прямоугольный треугольник по высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу, и разности катетов.

Е. Садовников (Витебская обл.)

№ 4

Стороны треугольника АБС служат корнями уравнения

Доказать, что

p*>4q.

И. Яворский (Москва).

№ 5

Найти треугольник, стороны которого и площадь выражаются четырьмя последовательными числами.

М. Коченовский (Москва).

№ 6

Решить уравнение:

М. Коченовский (Москва).

№ 7

Доказать, что объем тела, ограниченного двумя цилиндрическими поверхностями, оси которых пересекаются под прямым углом, равен -g- к3.

И. Яворский (Москва).

№ 8

Доказать, что в прямоугольном треугольнике

где а и Ь — катеты, с — гипотенуза.

И. Яворский (Москва).

№ 9

Решить уравнение:

М. Коченовский (Москва).

№ 10

Решить уравнение:

М. Коченовский (Москва)

№ 11

Решить уравнение:

И. Яворский (Москва).

№ 12

Если из вершин треугольника АБС опустить перпендикуляры ААЪ ВВЬ CCi на произвольную прямую /, лежащую в плоскости этого треугольника, и из оснований Аъ Вь С\ этих перпендикуляров вновь опустить перпендикуляры на стороны ВС, CA, AB, то эти последние перпендикуляры пересекутся в одной точке. Доказать.

И. Яворский (Москва).

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 2 ЗА 1953 г.

Ахвердов Г. (Ленинград) 17, 19—31; Аветисян А. (Ленинакан) 20, 23, 24, 26, 27, 29—31; Агринский К. (Москва) 17, 19, 21—24, 26, 27, 29; Алмазова Е. (Пензенская обл.) 17, 20—27, 30, 31; Акопян А. (Тбилиси) 19, 20, 23, 24, 26, 27, 30, 31; Андрусенко Б. (Южный Сахалин) 19—21, 23, 24, 26, 27, 29, 30; Балев Пенго (Болгария, г. Троян) 17—31; Бриллиант Ф. (г. Винница) 17, 20—23, 24, 26, 27, 28, 30, 31; Бойков И. (Московская обл.) 17—24, 26—30; Больсен Ф. (Кировоградская обл.) 19, 20, 23, 24, 26, 27, 28, 33; Боков Е. (Краснодарский край) 17, 18, 19, 21, 22—31; Беккер М. (Эстонская ССР) 19, 20, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 30, 31; Бауэр А. (Кемеровская обл.) 17, 18, 20, 21, 23, 24—33; Бертнев Ф. (Евпатория) 17, 18, 19, 21—24, 26, 27, 29—31, 33; Владимиров А. (Свердловская обл.) 17, 18, 20, 21, 23, 24—32; Вейнман Б. (Киев) 17, 18, 20, 22—24, 26—30, 33; Ваковская Е. (Тамбов) 17, 19, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 30, 31; Ветров К. (Восточно-Казахстанская обл.) 17, 19, 20, 22—24, 26, 27—31; Готлел М. (Вильнюс) 17—31, 33; Гусев В. (Сызрань) 17—24, 26—31, 33; Гутковский Ф. (Варшава) 17, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 33; Горохов А. (Белорецк) 17, 18, 19—24, 26, 27, 29, 30, 31; Гольцман Р. (Нижний Тагил) 17, 18, 19—24, 26—33; Голод С. (г. Иваново) 17—33; Губанищев В. (Полесская обл.) 17, 18, 19—33; Демченский В. (г. Ровно) 17—33; Добреля И. (Днепропетровская обл.) 19, 20, 21, 26, 30; Джабаров С. (Куйбышевская обл.) 17—31; Давыдов У. (Гомель) 17—33; Дудолькевич Б. (Киевская обл.) 17, 19, 23, 24, 26, 28—31; Дарбинян Р. (Армянская ССР) 17—24, 26—30; Епишин В. (Рязань) 17—20, 23, 24, 26—28, 30, 31; Егоров П. (Рязань) 17, 19—24, 26—31; Злобин Н. (Орловская обл.) 17. 19—24, 26, 27, 30, 31; Зауэрвейн Т. (Алтайский край) 17, 19—24, 26, 27, 29—31; Исмаилов Р. (Башкирская АССР) 17, 18, 20—29; Кошелев А. (Ульяновская обл.) 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30; Китайгородский П. (Москва) 19, 20, 22, 23, 24, 26, 27, 30; Кудаев М. (Казахская ССР) 17, 19, 23, 24, 26, 27, 29—31; Киселев А. (Ленинград) 17—33; Костин Б. (Владимирская обл.) 19, 20, 22—31; Кулин И. (Харьков) 17—33; Кунахович В. (Красноярский край) 17, 18—24, 26, 27, 29,30, 31; Крайзман М. (г. Львов) 19, 20, 22—27, 29—31; Краснов Я. (Полоцкая обл. БССР) 17—24,26,27—30; Козмодемьянский В. (Сызрань) 19—21, 23, 24, 26, 27, 30, 31; Карпенко А. (Краснодарский край) 18, 19, 20, 22—24, 26, 27, 30; Кутелов А. (Ворошиловградская обл.) 17, 19—24, 26, 27—31; Копылов Г. (Днепродзержинск) 17—31, 33; Лейбман М. (Свердловская обл.) 17, 18, 19—24, 25—33; Латти Б. (Ростовская обл.) 17, 19—24, 26—31, 33; Литвинов В. (Ворошиловград) 20, 21, 23—28, 33; Манукья М. (г. Кокчеров, Казахская ССР) 19, 20, 23, 24, 26, 27, 28, 30, 31; Меньших Б. (Приволжский край) 17, 19—30, 33; Мирау Б. (Алма-Атинская обл.) 17—31, 33; Молибога И. (Ворошиловградская обл.) 17, 19—21, 23, 28, 30, 31; Муталитов Л. (Андижанская обл.) 23, 24, 26, 27, 30; Младенов А. (г. Лан, Болгария) 18, 19, 23, 24, 26—31; Мостовой А. (Алма-Атинская обл.) 17, 18—31, 33; Мишакова Т. (Одесса) 17—33; Майданник Е. (ст. Конотоп) 17—28, 30, 31, 33; Нахамчик С. (г. Рогачев, БССР) 17, 19—24, 26, 27, 29—31, 33; Острогорский Б. (г. Калинин) 19—22, 24, 26, 29—31; Приймаченко М. (Житомирская обл.) 17—24, 26, 27, 29—31; Пигарев Ю. (Киевская обл.) 17—33; Попов В. (Сталинград) 17, 19—31, 33; Рубцов П. (ст. Спирово) 19—21, 23, 24, 26—30; Раухман А. (Крымская обл.) 17, 19, 20, 23, 24, 26, 27, 28, 30; Рудштейн 3. (г. Любань, Бобруйская обл.) 19—24, 26, 27, 29, 30, 31, 33; Римский И. (Измаильская обл.) 21, 22, 25, 26; Рубинштейн Н. (Москва) 17, 19—24, 26, 27, 29—33; Рабинович В. (Северо-Казахская обл.) 17—24, 26—31, 33; Ренерт Р. (Польша) 17, 19—31; Рупейка 3. (г. Каунас, Литовская ССР) 17—31, 33; Радченко Е. (Курская обл.) 19, 20, 22—24, 26, 27, 29, 30; Сергиенко Ф. (Запорожье) 17, 19—27, 29—31, 33; Смышляев В. (Марийская АССР) 17—20, 22—24, 26—31, 33; Степанов И. (Иркутск) 17—24, 26—28, 30—33; Стасюк В. (г. Серый, Дрогобычская обл.) 17, 19—24, 26—31, 33; Сирота М. (Полтавская обл.) 20, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31; Гейман А. (Каменец-Подольская обл.) 17, 18, 20—24, 26—31, 33; Тралман А. (Ленинград) 17—33; Титов Н. (Казань) 17—31, 33; Утемов В. (г. Красноуфимск) 17—33; Тишков Е (г. Полоцк) 17, 19, 20, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31; Хайрулин А. (Саратовская обл.) 20—24, 26, 28, 33; Цхай Т. (г. Андижан) 17—33; Чудушов А. (Омская обл.) 17—20, 22—24, 26—28, 30, 31; Чередниченко В. (Ворошиловградская обл.) 19, 20, 23, 24, 26, 27, 29—31; Черепнин М. (Караганда) 17—33; Чепкасов Г. (Краснодарский край) 17—33; Эрдниев П. (Алтайский край) 17—24, 26—32; Ясиновый А. (Куйбышев) 17, 18, 19—29, 30, 31, 33; Яремчук Ф. (Дорогобыч) 17, 19, 20, 22—24, 26—31, 33;

ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ СТАТЕЙ, ПОМЕЩЕННЫХ В ЖУРНАЛЕ «МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ» ЗА 1952-1953 гг.

Передовые

«Исторические решения», 1952, № 4, стр. 1.

«Политехническое обучение в советской школе», 1953, № 2, стр. 1.

Пономарев С. А., К вопросу о политехническом обучении в преподавании математики, 1953, № 3, стр. 1.

Научно-популярный отдел

Болгарский Б. В., Идеи Н. И. Лобачевского в области методики математики, 1952, № 2, стр. 1.

Гайдук Ю. М., К вопросу об аналитическом и геометрическом определениях тригонометрических функций, 1953, № 4, стр. 1.

Моденов П. С, Об эквивалентности систем уравнений, 1953, № 3, стр. 11.

Поляков И. Е., Об общих признаках делимости, 1952, № 4, стр. 6.

Пархоменко А. С, Число измерений, 1953, № 2, стр. 5.

Саннинский В. Я., О числовых последовательностях, 1953, № б, стр. 1.

Слободской М. И., О делителях чисел вида 2Р + 1, 1953, № 1, стр. 16.

Фомин С. В., Основные понятия линейной алгебры, 1953, № 1, стр. 1.

Яковкин М. В., Свойства чисел, аналогичные теореме Безу, 1952, № 1, стр. 1.

Из истории математики

Бычков Б. П., Из истории развития передовых педагогических идей в России, 1952, № 6, стр. 1.

Дзюба Ф. Т., Из истории развития педагогических идей в России, 1953, № 5, стр. 1.

Крамар Ф. Д., Выдающийся математик и педагог Иосиф Иванович Сомов, 1952, № 4, стр. 10.

Молодший В. Н., Учение о числе в XVIII и первой половине XIX века, 1952, № 5, стр. 1.

Минковский В. Л., Педагогические идеи и деятельность академика А. А. Маркова, 1952, № 5, стр. 10.

Прудников В. Е., Первый русский арифметик и геометр, 1953, № 2, стр. 12.

Швецов К. И., Славянская нумерация, 1952, № 2, стр. 8.

Методика

Вопросы общей методики математики

Брадис В. М., Воспитание логических навыков при изучении математики, 1953, № 1, стр. 20.

Богушевский К. С, К вопросу о выполнении экзаменационных работ на аттестат зрелости по геометрии и тригонометрии, 1953, № 2, стр. 30.

Блох А. Ш., О политехническом обучении, 1953, № 6, стр. 38.

Гибш И. А., Развитие речи в процессе изучения школьного курса математики, 1952, № 5, стр. 30.

Дакацьян У. В., Математические диктанты, 1952, № 5, стр. 36.

Мацко Н. А., О математической подготовке выпускников семилетних школ, 1953, № 2, стр. 44.

Песков Т. А., К вопросу о политехническом обучении математике, 1953, № 4, стр. 20.

Покровская М. Н., Воспитание внимания на уроках математики, 1952, № 4, стр. 20.

Притуло Ф. Ф., Элементы логики в школьном курсе математики, 1953, № 1, стр. 25.

Розентуллер В. М., О культуре математической речи учащихся, 1952, № 5, стр. 38.

Сикорский К. П., Об организации урока по математике, 1953, № 1, стр. 43.

Троицкая Н. Т., О рационализации вычислений, 1952, № 2, стр. 46.

Черняков Я. М., О работе над речью учащихся на уроках математики, 1952, № 5, стр. 42.

Эрдниев П. М., Проверка решения, как необходимый элемент обучения математике.

Методика арифметики

Анциферов С. С, О необходимой предпосылке политехнического обучения, 1953, № 4, стр. 22.

Бушканец М. Г., Данные о культурном строительстве стран народной демократии на уроках арифметики, 1952, № 3, стр. 19.

Грибанов В. У., Об учебной литературе по арифметике с точки зрения приближенных вычислений, 1952, № 4, стр. 26.

Дрокин А. В., Способы решения комбинированных арифметических примеров, 1952, № 3, стр. 8.

Каверин Н. В., Об анализе и синтезе и их месте в процессе решения арифметических задач, 1952, № 5, стр. 44.

Круповецкий Л. Г., Итоги послевоенной сталинской пятилетки на уроках арифметики, 1952, № 3, стр. 14.

Ланков А. В., Арифметические задачи как один из факторов политехнического обучения, 1953, № 2, стр. 24.

Маергойз Д. М., К методике повторения целых чисел в V классе, 1952, № 2, стр. 38.

Писарчик И. Г., Об изменении величины дроби с изменением ее членов, 1953, № 4, стр. 38

Поляк Г. Б., К методике решения арифметических задач, 1953, № 6, стр. 26.

Парафило М. Г., По поводу статьи С. Пильмана «Опыт работы по арифметике в V классе», 1952, № 3, стр. 20.

Принцев Н. А., Об арифметическом способе решения задач на вычисление, 1953, № 2, стр. 51.

Стратилатов П. В., Как повысить качество

обучения решению задач по арифметике в V и VI классах, 1952, № 3, стр. 1.

Чуканцов С. М., О некоторых недостатках в школьных учебниках по арифметике, 1952, № 2, стр. 32.

Методика алгебры

Беляев В. Н., О преподавании общей теории уравнений, 1952, № 1, стр. 19.

Барыбин К, С, Функции и их графики, 1952, № 6, стр. 26.

Васильев М. Г., О приближённых вычислениях в старших классах, 1953, № 2, стр. 16.

Депман И. Я., Ещё раз о преобразовании радикалов и решении рациональных уравнений, 1953, № 6, стр. 21.

Карнацевич Л. С. и Карнацевич В. С, К методике изучения показательной функции, 1953, № 6, стр. 46.

Круликовский H. Н, К вопросу об исследовании задач на квадратные уравнения, 1952, № 1, стр. 46.

Кудреватый Г. А., О допустимых значениях букв при решении уравнений, 1952, № 6, стр. 33.

Маергойз Д. М., О некоторых приложениях тождественных преобразований, 1953,. № 2, стр. 56.

Матышук В. К., О решении задач на исследование уравнений в X классе, 1952, № 1, стр. 35.

Муравьев П., Понятие абсолютной величины действительного числа в средней школе, 1952, № 6, стр. 4.

Новоселов С. И., О решении и исследовании уравнений, 1952, № 1, стр. 13.

Пахомов Б. Я-, Об одном вопросе алгебры, 1953, № 4, стр. 35.

Севбо В. И., Введение математического понятия функции в средней школе, 1953, № 5, стр. 16.

Шуваев А. А., О равносильности уравнений, 1952, № 1, стр. 25.

Ясиновый Э. А., О применении законов арифметических действий в тождественных преобразованиях, 1953, № 5, стр. 21.

Методика геометрии и тригонометрии

Андреев С. Н., Шар на уроках черчения, 1953, № 6, стр. 11.

Арсеньев Н. А., Приемы решения задач на сравнение площадей, 1952, № 6, стр. 20.

Белый Б. Н., О различных методах решения задач на определение недоступных расстояний и высот на местности, 1953, № 6, стр. 32.

Воробьев Н. С, Решение задач по стереометрии методом прямоугольных проекций, 1953, № 3, стр. 33.

Карпенко Г. М., Изучение обратных тригонометрических функций в школе, 1952, № 5, стр. 17.

Кордемский Б. А., Деление окружности, 1953, № 1, стр. 50.

Кузьминский М. И., Элементы логики в преподавании геометрии, 1953, № 1, стр. 39.

Лиман М. Н., О методе приведения к противоречию, 1953, № 1, стр. 36.

Назаревский Г. А., О развитии пространственных представлений на уроках геометрии, 1953.. № 3, стр. 24.

Олифер Г. М., О решении геометрических задач на построение, 1952, № 2, стр. 13.

Парафило М. Г., Об исследовании и решении задач по геометрии с применением тригонометрии, 1953, № 2, стр. 48.

Сенников Г. П., Об исследовании в задачах на построение, 1952, № 2, стр. 23.

Синакевич С. В., О задачах на составление тригонометрических уравнений, 1953, № 6, стр. 35.

Смирнов И. И., Тригонометрические уравнения в школьном курсе, 1953, № 3, стр. 42.

Тесленко И. Ф., О неевклидовых геометриях в средней школе, 1952, № 4, стр. 33.

Шишлянникова В. Н., Понятие площади в систематическом курсе геометрии, 1952, № 6, стр. 13.

Эрдниев П. М., К вопросу об учебнике геометрии для VI и VII классов, 1953, № 4, стр. 37.

Из опыта

От редакции «К вопросу о политехнизме», 1953, № 3, стр. 77.

Агринский К. Е., Из опыта работы в школе рабочей молодежи, 1952, № 6, стр. 62.

Андреев Ф. А., Развитие логического мышления учащихся и решение задач на доказательство в VI—VII классах, 1953, № 1, стр. 58.

Анохин Я. П., Об одном способе решения арифметических задач на дроби, 1952, № 5, стр. 73.

Артемов П. Д., Элементы политехнизации в преподавании математики в средней школе, 1953, № 5, стр. 30.

Белов С. С, О математических пионерских сборах, 1953, № 5, стр. 33.

Беляков М. С, Изучение неравенств в VII классе, 1953, № 6, стр. 59.

Богушевский К. С, Из писем и заметок читателей, 1952, № 3, стр. 56; 1952, № 5, стр. 60; 1953, № 4, стр. 52.

Богданов И. М. и Лекторский В. А., Процентные вычисления в школах рабочей молодежи, 1952, № 3, стр. 32.

Брейтерман М. Д., Развитие мышления учащихся при решении задач, 1952, № 3, стр. 42.

Бурый А. И., Основные ошибки по арифметике учащихся V—VII классов и их причины, 1952. № 4, стр. 59.

Буданцев П. А., О преподавании систематического курса уравненией в VII классе, 1952, № 1, стр. 50.

Буданцев П. А., Тождественные преобразования иррациональных выражений в курсе VIII класса, 1953, № 3, стр. 69.

Васильев М. Г., Понятие о неравенстве в семилетней школе, 1952, № 6, стр. 39.

Васильев М. Г., Правила подсчета цифр, сокращенного умножения и деления в курсе VIII класса, 1953, № 4, стр. 40.

Васильев М. Г., Опыт работы математического кружка X класса, 1953, № 5, стр. 52.

Вокач С. А., О решении геометрических задач введением вспомогательного угла, 1952, № 3, стр. 54.

Воронов Б. И., Из опыта преподавания алгебры в VI классе, 1953, № 2, стр. 71.

Гальперин Я. Е., Запись решения задачи числовой формулой, 1952, № 4, стр. 70.

Горбатый П. А., Опыт преподавания обратных тригонометрических функций, 1952, № 2, стр. 59.

Голдун А. А., С. В. Ковалевская — выдающийся русский математик, 1953, № 2 стр. 66.

Гольденблат И. И., Решение геометрических задач на доказательство, 1952, № 5, стр. 55.

Григорьян К. А., О признаках равенства треугольников, 1952, № 6, стр. 51.

Егоршин П. И., Об элементах политехнического обучения в школе рабочей молодежи, 1953, № 5, стр. 25.

Исаков А. К., Об индивидуальном подходе к учащимся, 1952, № 6, стр. 36.

Кекчеева M. X., О работе математической комиссии школы № 29 г. Москвы, 1952, № 3, стр. 47.

Кипнис И. М., Геометрические и физические задачи на составление тригонометрических уравнений, 1952, № 2, стр. 52.

Круповецкий Л. Г., О некоторых задачах на процентные расчеты, 1952, № 2, стр. 67.

Леничкин А. И., О решении некоторых арифметических задач, 1952, № 3, стр. 29.

Лоповок Л. М., Задачи по алгебре на современные темы, 1952, № 4, стр. 76.

Лембке К. К., О доказательстве геометрических теорем, 1953, № 1, стр. 52.

Луковецкий В. И., Действия с нулем в семилетней школе, 1953, № 2, стр. 75.

Лобанов Н. Н., Элементы политехнизма в преподавании математики, 1953, № 6, стр. 40.

Мамлеев У. С, О составлении контрольных работ по арифметике, 1952, № 2, стр. 74.

Моногенова Е. Ф., Скрещивающиеся прямые, 1953, № 4, стр. 45.

Мишагин В. Н., О построении графика функций, 1953, № 5, стр. 71.

Новоселов С. И., О тождественных преобразованиях, 1953, № 3, стр. 76.

Прозорова А., О некоторых мерах борьбы за успеваемость учащихся, 1953, № 5, стр. 65.

Пономарев С. А., Первые уроки арифметики в V классе, 1952, № 4, стр. 41.

Петров В. П., О построении графиков в VI классе, 1952, № 4, стр. 52.

Петров Е. А., Внеклассная работа по математике, 1953, № 5, стр. 58.

Птахин Г. А., Метод геометрических мест в VII классе, 1952, № 4, стр. 74.

Покровский Т. П., Метод подобия в решении задач на построение, 1952, № 6, стр. 43.

Рупейка 3., О применении определителей в старших классах средней школы, 1952, № 1, стр. 66.

Рупейка 3., Критика как метод опроса учета знаний, 1952, № 6, стр. 52.

Рыбаков П. М., Геометрические задачи в V, классе, 1953, № 4, стр. 68.

Рыбаков П. М., Задачи на чертежах, 1953, № 6, стр. 68.

Резников М. А., Математический пионерский сбор, 1953, № 5, стр. 48.

Сырнев Н. И., Прямая и обратная пропорциональность величин, 1952, № 3, стр. 23.

Столяр А. А., О применении символики в курсе стереометрии, 1953, № 1, стр. 70.

Титов В. В., Из опыта преподавания черчения, 1952, № 6, стр. 52.

Трифонов Б., Школьный нивелир, 1953, № 6, стр. 72.

Чистяков В. Д., Элементы политехнического обучения на уроках математики, 1953, № 6, стр. 44.

Шор Я. А., О кружковой работе по арифметике, 1953, № 5, стр. 61.

Шабашов Т. К., Понятие об иррациональном числе в курсе VIII кл., 1953, № 3, стр. 62.

Щинова М. Ф., Из опыта педагогической практики студентов, 1952, № 3, стр. 50.

Эрдниев П. М., Вычисления на русских счетах, 1953, № 6, стр. 64.

Русские педагоги и математики

Грацианская Л. Н., Елизавета Федоровна Литвинова, 1953. № 4, стр. 64.

Дахия С А., Василий Петрович Ермаков, 1952, № 6, стр. 64.

Касьянюк С. А., Дмитрий Матвеевич Перевощиков, 1953, № 1, стр. 75.

Тесленко И. Ф., Дмитрий Александрович Граве, 1952, № 1, стр. 67.

Советские педагоги-математики

Котов И. И., Н. Ф. Четверухин (к шестидесятилетию со дня рождения и тридцатипятилетию научно-педагогической деятельности), 1952, № 2, стр. 78.

Ильин А. С, С. Ф. Филичев (к сорокалетию педагогической деятельности и шестидесятилетию ее дня рождения), 1952, № 2, стр. 83.

«Павел Афанасьевич Ларичев», 1952, № 3, стр. 63.

Критика и библиография

Александров В. С, Об одной грубой ошибке, 1952, № 3, стр. 79.

Абатуров А. М., Книга, заслуживающая одобрения, 1953, № 4, стр. 77.

Барсуков А. Н., Об одной заметке, 1953, № 3, стр. 84.

Будак Б. М., О книге С. И. Новоселова «Специальный курс элементарной алгебры», 1953, № 4, стр. 72.

Волынцев Е., Голубев К. и Киселев А.. О новом методическом пособии для школ рабочей молодежи, 1953, № 6, стр. 74.

Гайдук Ю. М., Новинки украинской методической литературы по математике, 1952, № 1, стр. 71.

Гайдук Ю. М., О книге Б. А., Кордемского и Н. В. Русалева «Удивительный квадрат», 1952, № 2, стр. 78.

Куликов И. В., О книге Д. К. Фадеева и И. С. Соминского «Алгебра», 1953, № 1, стр. 78.

Лурье Б. А., О книге Н. М. Бескина «Вопросы тригонометрии и ее преподавания», 1952, № 1, стр. 76.

Лоповок Л. М., О новом издании сборника задач по математике П. С. Моденова, 1952, № 2; стр. 85.

Ланков А. В., Пропаганда передового опыта учителей математики, 1952, № 5, стр. 75.

Михельсон В. С, О книге Б. А. Кордемского и Н. В. Русалева «Удивительный квадрат», 1953; № 2, стр. 80.

Молодший В. Н., О книге Б. В., Гнеденко «Михаил Васильевич Остроградский», 1953, № 5, стр. 74.

Маркушевич А. И., О «Справочнике по элементарной математике М. Я., Выгодского», 1953, №5, стр. 78.

Матвеев Н. М., О книге К. У. Шахно «Сборник задач по математике», 1953, № 3, стр. 80.

Новоселов С. И., О справочнике по элементарной математике, 1952, № 4, стр. 77.

Невский В. А., Новая литература по математике, 1952, № 4, стр. 80; 1952, № 6, стр. 76; 1953, № 4, стр. 79; 1953, № 6, стр. 76.

Пономарев С. А., Издание математической литературы Государственным учебно-педагогическим издательством для учителей средней школы, 1952, № 3. стр. 74.

Принцев Н. А., О новом сборнике задач по арифметике, 1952, № 6, стр. 70.

Панкратов А. А., По поводу статьи И. Е. Гоппа, 1952, № 6, стр. 79.

«По поводу двух рецензий», 1953, № 5, стр. 81.

Радовский М. И., О книге «С. В. Ковалевская». (Воспоминания и письма), 1952, № 6, стр. 74.

Песков Т. А., О книге «Методика преподавания математики». Пособие для учительских институтов», 1953, № 5, стр. 82.

Федорюк M., Об одной ошибке в «Сборнике геометрических задач на построение» И. И. Александрова, 1953, № 6, стр. 75.

Хвыль Г. Л., Недостатки, ведущие к идеализму и метафизике, 1953, № 5, стр. 76.

Яковкин М. Б., Об «энциклопедии элементарной математики», 1952, № 3, стр. 66.

Яворский И. М., О «Сборнике задач по математике», 1953, № 4, стр. 68.

Хроника

Анисимов Б., О работе математической секции методического объединения школ ст. Борисоглебска, 1953, № 5, стр. 87.____

Андронов И. К., 1 Ю. О. Гурвиц, ! 1953, № 4, стр. 81.

Балакин В., Городская математическая олимпиада по арифметике, 1952, № 5, стр. 84

Вейцман И. Б., На «Педагогических чтениях», 1952, № 4, стр. 87.

Грацианская Л. Н., Математическая олимпиада юных математиков г. Киева, 1952, № 5, стр. 81.

Гельфанд М. Б., Обобщение педагогического опыта, 1952, № 4, стр. 85.

Гвоздарев Я. Г., О работе секции учителей математики, 1953, № 4, стр. 84.

Гончаров Д. С, О работе методического объединения преподавателей математики г. Одессы за 1951 и 1952 годы, 1953, № 4, стр. 85.

Гельфанд М. Б., Республиканские «Педагогические чтения», 1953, № 6, стр. 79.

Гошлер М., Первая республиканская олимпиада юных математиков Литовской ССР, 1952, № 5, стр. 82.

Дорф П. Я., В секции средней школы Московского математического общества, 1953, № 1, стр. 85; 1952, № 3, стр. 84.

Кочкин П. В., Работа секции преподавателей математики V—VIII классов на VI конференции г. Сталинграда и Сталинградской области, 1952, № 3, стр. 81.

Кочкин П. В., О проведении «дня молодого учителя», 1952, № 4, стр. 85.

Кочкин П. В., О проведении курсов повышения квалификации учителей при Сталинградском областном институте усовершенствования учителей б 1951/52 учебном году, 1953, № 2, стр. 86.

Мостовой А. И., На «Педагогических чтениях» 1952 года в Казахской ССР, 1953, № 2, стр. 84.

Мамина А. А., О работе секции математиков Добранского района, 1953, № 3, стр. 86. I «Николай Тимофеевич Зерченинов», 1953, № 2, стр. 83.

Научно-практическая конференция учителей-математиков в Московском городском институте усовершенствования учителей, 1952, № 5, стр. 87.

Сикорский К. П., и Чаус Г. К., Математический пионерский сбор, 1952, № 6, стр. 82.

Френкель А. М., Астраханская областная научно-практическая конференция, 1952, № 3, стр. 80.

Филичев С. В., Третья Московская городская олимпиада по арифметике, 1952, № 5, стр. 84.

Чертков А. Н., Работа одесского методического объединения учителей математики школ рабочей молодежи, 1953, № 1, стр. 84.

Шаповалов Ф. Ф., Совещание по обмену опытом работы преподавателей Брянской области, 1952. № 4, стр. 82.

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Стр.

B. Я. Саннинский — Числовые последовательности и интерполяционные формулы ... 1

МЕТОДИКА

C. Н. Андреев — Шар на уроках черчения...................... 11

И. Я- Депман — Еще раз о преобразовании радикалов и решении иррациональных уравнений.................................... 21

Г. Б. Поляк — К методике решения арифметических задач.............. 26

Б. Н. Белый — О различных методах решения задач на определение недоступных расстояний и высот на местности.......................... 32

С. В. Синакевич — О задачах на составление тригонометрических уравнений...... 35

A. Ш. Блох — Политехническое обучение на уроках математики........... 38

ИЗ ОПЫТА

Н. Н. Лобанов — Элементы политехнизма в преподавании математики........ 40

B. Д. Чистяков — Элементы политехнического обучения на уроках математики .... 44

Л. С. Карнацевич и В. С. Карнацевич—К методике изучения показательной функции 46

И. А. Мхитаров — О самостоятельной работе учащихся при изучении математики ... 52

3. Рупейка — Критика как метод опроса и учета знаний............... 56

М. С. Беляков — Изучение неравенств в VII кл.................... 59

П. М. Эрдниев — Вычисление на русских счетах................... 64

П. М. Рыбаков — Задачи на чертежах........................ 68

П. Трифонов — Школьный нивелир.......................... 72

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Е. Волынцев, К. Голубев и А. Киселев — О новом методическом пособии для школ рабочей молодежи................................. 74

М. Федорюк — Об одной ошибке в «Сборнике геометрических задач на построение» И. И. Александрова............................... 75

В. А. Невский — Новая литература по математике.................. 76

ХРОНИКА

М. Б. Гельфанд — Республиканские «Педагогические чтения»............. 79

ЗАДАЧИ

Задачи с практическим содержанием....................... 81

Решения задач................................... 83

Задачи....................................... 89

Задачи для учащихся................................ 90

Сводка решений по № 2 за 1953 г...................... ... 91

Тематический указатель статей, помещенных в журнале «Математика в школе» за 1952—1953 гг................................. 92

Редакционная коллегия:

Редактор А. Н. Барсуков. Зам редактора С. И. Новоселов. В. В Немыцкий. А. П. Садиков. Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Р. С. Терюкалова.

Технический редактор С. Н. Шахов. Корректор 3. Федорова

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

Сдано в производство 3/IX 1953 г. Подписано к печати 22/Х 1953 г. Учетно-изд. л. 10,25

А06654 Заказ 427 Тираж 60 000 экз.

Печ. зн. в п. л. 72 000 Цена 4 р. 50 к. Бумага 82 X 108 = 3 бум. л. — 9,94 п. л.

13-я Журнальная типография Союзполиграфпрома Главиздата Министерства культуры СССР. Москва, Гарднеровский пер., 1а.

Цена 4 р. 50 к.