МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

5

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1953

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 5

СЕНТЯБРЬ-ОКТЯБРЬ 1953 г.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

ИЗ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИДЕЙ В РОССИИ

Ф. Т. ДЗЮБА (Краснодар)

«Руководство к преподаванию арифметики. Для употребления в уездных училищах. Издано Департаментом народного просвещения, Санктпетербург, в типографии Департамента народного просвещения, 1832 г.».

Под таким названием сто двадцать лет назад получило распространение методическое пособие для учителей, свидетельствующее о высоком уровне, на котором уже в то время стояла наша педагогическая наука, правильно разрешавшая основные вопросы преподавания. Эти вопросы и в наше время не утратили интереса.

Пособие имеет 426 страниц и содержит пять отделений и восемь прибавлений. Оно излагает систематический курс арифметики в виде беседы учителя с учениками. В вопросо-ответной форме изложено введение и почти все пять отделений, чтобы наглядно показать учителю, как нужно практически осуществлять те советы и указания, которые даются в предисловии и которые вызывают и до сих пор особенный интерес.

В предисловии поставлены цели преподавания, указаны основные способы преподавания, наиболее целесообразно ведущие к достижению поставленных целей, и приведены шесть общих правил для руководства учителю.

Указав на две главные цели преподавания, из которых «Первая состоит в упражнении и развитии умственных способностей учащихся, а вторая в сообщении им полезных и необходимых в общежитии познаний», автор пособия правильно замечает, что достижение этих целей «без сомнения, весьма зависит от способа преподавания», и требует, чтобы учитель не допускал бессмысленного заучивания учеником отдельных несвязных сведений, «которыя в весьма короткое время изглаживаются из его памяти и оставляют в нем только воспоминание, что он учился математике».

Чтобы избежать этого, требуется систематическое изложение предмета. Пусть преподающий «начинает с самой простой, наглядной истины и постепенно ведет своего ученика к требуемому заключению посредством надлежащих вопросов». Не случайно подчеркнуты последние два слова. Роли эти «надлежащих вопросов», или, как их принято теперь называть, наводящих вопросов, придается и ныне огромнейшее значение. Искусство педагога в значительной мере зависит от умения правильно и последовательно ставить наводящие вопросы. И в наше время для преподавателей, особенно для начинающих, полезно процитировать обоснование значения наводящих вопросов: «Сей способ преподавания есть самый естественный: он есть тот самый, которым первоначально образуются в нас представления и понятия о предметах. Оный приличествует всякому возрасту, но наиболее детскому, потому что и самыя способнейшие дети не в состоянии обнять вдруг целой цепи мыслей и заключений; посредством же надлежащих вопросов, примененных к возрасту и способностям, внимание их обращается на каждую мысль отдельно, на зависи-

мость последующей от предыдущей, и наконец на всю связь оных».

Замечательны приведенные в предисловии шесть общих правил, которые даются учителям для руководства:

«Упражнения надлежит приспособлять к понятиям и возрасту учащихся.

Не оставлять ничего без основательного объяснения.

Наблюдать постепенность.

Сперва развить в учениках ясное понятие о каком-нибудь предмете, а потом уже дать определение оного.

Заставлять учеников решать в уме легкия задачи.

Показывать ученикам пользу и необходимость каждого арифметического правила, приспособляя оное к решению занимательных и часто встречающихся в общежитии задач».

В пояснении к первому правилу учитель предостерегается, чтобы в результате его преподавания ученики не привыкали употреблять ничего не значащие выражения, не привыкали употреблять выражения, которых они не понимают.

Поэтому не рекомендуется слишком рано оперировать с весьма большими числами, о которых учащиеся не могут иметь точного представления, а также не занимать учащихся слишком рано сложными задачами, утомляющими учеников, но не приносящими им существенной пользы.

«Первоначальные упражнения должны быть весьма просты и просто выражены» — вот основное требование первого правила.

Второе правило — «Не оставлять ничего без основательного объяснения», — распространяясь на все науки, имеет особо важное значение в математике, где все истины и правила находятся в тесной взаимной связи. Чтобы приучить учеников рассматривать исследуемый предмет или явление с разных сторон и глубоко вникать в их сущность, учитель должен излагать одно и то же правило в разных видах. Этим учитель достигнет и того, что не будет утомлять учащихся частым повторением, которое для получения прочных знаний и навыков весьма необходимо.

Правило постепенности «состоит в неприметном переходе от простого к сложному, от наглядного к отвлеченному, от частного к общему». Это правило выдвигает очень важное требование: преподавание основывать на наглядности, а общее выводить из хорошо подобранных частных примеров.

Чтобы обучение не было догматическим, четвертое правило требует сначала дать ясное понятие о правиле, а потом уже формулировать его. Известно, что и в наше время нарушение этого правила является одной из важнейших причин формализма в знаниях учащихся.

«Как может дитя понять определение неизвестного ему предмета?» — задается вопрос и здесь же сразу дается ответ: «Оно повторяет в таком случае слова, которыя для него суть только пустые звуки».

Как же учитель должен преподавать, чтобы не приучать учащихся к пустословию, чтобы избежать формализма в знаниях учащихся? Для этого дается совет, как уже упоминалось выше, решить с учениками хорошо подобранные примеры, показать, что общего они имеют, а потом уже заставить вывести соответствующее правило, причем учителю «поставляется в особенную обязанность заставлять самих учеников извлекать оныя из частных случаев». Как видим, четвертое правило вменяет учителю в особенную обязанность не давать ученикам в готовом виде правило для того, чтобы они его лишь затвердили механически, требуется, чтобы учащиеся сначала на частных примерах поняли сущность излагаемого, а потом выучили точное определение. Это определение с помощью учителя должно быть сформулировано после того, как учитель проверит путем опроса, насколько учащиеся сознательно поняли сущность изучаемого правила. «Конечно, не можно требовать, чтоб ученики сами были в состоянии сделать точное определение узнаннаго ими правила, однакож учитель может легко увериться из их слов, ясно ли они понимают изложенное правило», — замечает автор руководства.

В сноске, сделанной к четвертому правилу, довольно четко определена и роль учебника в преподавании: «По оному учащийся должен повторять те правила и определения, которые были ему объяснены во время урока».

Пятое правило мотивировано тем, что «упражняясь часто счислением в уме, ученики привыкнут скоро определять различные отношения между числами, что весьма облегчает нужное соображение для решения практических вопросов». И далее говорится, что, решая в уме легкие задачи, ученики напрягают «всю силу памяти и мышления, чтобы помнить условие задачи и ясно представлять себе ход решения, и в сем-то напряжении душевных сил заключается настоящая польза; скорое же вычисление есть уже следствие онаго».

Таким образом, главная цель устных упражнений заключается не в быстром их решении; последнее достигается попутно.

Насколько важное значение придается пятому правилу, видно из того, что на устное решение легких задач рекомендуется отводить «некоторую часть каждого урока (около получаса)», так как

ясность в понятиях и прочные навыки приобретаются путем частых упражнений.

И, наконец, шестое правило обязывает учителя показывать ученикам пользу и необходимость каждого изучаемого правила, исходя из тех соображений, что малолетние ученики не могут понять отвлеченной пользы, поэтому необходимо показывать им ближайшую цель. По этим же соображениям задачи должны быть тщательно подобраны из знакомой действительности или из знакомых областей наук, должны быть увязаны с современностью.

Серьезного внимания заслуживает замечание: «Учитель должен всегда помнить, что не в больших выкладках заключается истинное затруднение и настоящая польза, а в точном исследовании условий задачи, и посему составлять такие примеры, решение коих требовало бы размышления».

Весьма важное требование выдвигается во второй части шестого правила: преподавание должно развивать практические навыки учащихся. Необходимо изучать арифметические правила, «приспособляя оныя к решению занимательных и часто встречающихся в общежитии задач».

В заключение указывается, что при соблюдении перечисленных правил ученики научатся самостоятельно решать задачи, «в общежитии встречающиеся», а способнейшие ученики научатся сами выводить и арифметические правила.

Хотя рекомендуемый способ преподавания, говорится далее, требует «более времени и большаго напряжения, как от ученика, так и от учителя», но зато успехи будут основательными, в то время как при несоблюдении перечисленных правил изучаемые понятия и правила не станут достоянием учащихся, а «оныя останутся им чуждыми и скоро изгладятся из памяти».

Было бы интересно установить автора этого документа. Судя по содержанию последнего, это должен быть один из передовых математиков-педагогов своего времени. Нельзя предположить, что такой методический документ мог быть написан чиновником министерства просвещения мрачной эпохи Николая первого.

МЕТОДИКА

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В V КЛАССЕ*

В. У. ГРИБАНОВ (Молотов)

В объяснительной записке к программе по арифметике сказано, что преподавание арифметики имеет целью научить учащихся сознательно, быстро, уверенно и наиболее рационально производить действия с целыми и дробными числами и применять полученные знания к решению задач и выполнению простейших расчетов практического характера.

Казалось бы, что учащиеся, изучив курс арифметики, должны действительно «сознательно, быстро, уверенно и наиболее рационально» справляться хотя бы с такими несложными задачами практического характера, как определение количества кусков обоев для оклейки комнаты, количества листов железа для крыши, количества трудодней, заработанных колхозником при уборке сена с некоторой площади (с вычислением самой площади), и т. д.

Однако для решения такого рода задач подготовка учащихся явно недостаточна: с одной стороны, потому, что подобные задачи в шхоле почти не решаются; с другой стороны, и решать их нельзя, чтобы вычисления были «сознательными, быстрыми, уверенными и рациональными», так как для этого необходимо знание некоторых сведений по приближенным вычислениям, а в школе эти сведения не изучаются.

Действительно, в большинстве практических задач и данные, и результаты являются приближенными, и чтобы операции с ними выполнялись «сознательно и уверенно», необходимо знание понятия о приближенном числе и некоторых понятий и правил, связанных с оценкой точности данных и искомых. Чтобы вычисления были «быстрыми и рациональными», необходимо знание некоторых правил округления данных и результатов действий.

Указание в объяснительной записке к теме «Округление данных и результатов действий» говорит только о том, что учащийся должен уметь округлять «до ближайшей тысячи», «до ближайшей сотни» и т. д., а почему и для чего (?) — основания для этого остаются совершенно непонятными.

Все элементарные понятия и правила приближенных вычислений, доступные для изучения в школе, известны и освещены в методической литературе. Недостаточно разработанной остается методика их изучения в школе.

Автор настоящей статьи и ставит своей задачей поделиться опытом изучения основных понятий и правил приближенных вычислений в V классе и некоторыми методическими соображениями на основе этого опыта**.

При проведении занятий на основе нашего опыта может быть будут найдены более удачные приемы изложения, более удачные определения и более сжатый объем содержания. Автор не претендует на отсутствие недостатков в этом смысле и будет вполне удовлетворен, если последуют те или иные изменения, проверенные и доказанные опытом занятий.

* Вопрос рассматривается при существующем количестве часов, отводимом на арифметику в V классе.

** Занятия проведены в двух пятых классах школы при Молотовском пединституте в 1951/52 учебном году учителем К. В. Кустовой, а также ранее в экспериментальном порядке в ряде школ г. Молотова учителями: Е. М. Кармиловой, С. М. Чепкасовой, Л. М. Поповой, В. С. Рязановым и Л. И. Медведевой, за что автор выражает им свою признательность.

Понятие о приближенном числе

Приближенные числа определялись как такие числа, которые получаются всегда при измерении и округлении, в ряде случаев при счете предметов и в результате вычислений.

Понятие о приближенном числе как результате счета давалось в связи с темой «Устная и письменная нумерация многозначных чисел». На примерах подсчета количества учащихся в классе, количества парт, количества окон по фасаду здания школы, с одной стороны, и количества присутствовавших на митинге, количества деревьев в городском саду, количества листьев на дереве— с другой, было установлено, что в результате счета получаются числа или точные, или приближенные. Приближенные результаты счета получаются вследствие: 1) неудобства счета большого количества предметов, беспорядочно расположенных (например, некоторые деревья в городском саду могут быть сосчитаны дважды и более, а некоторые совсем не сосчитаны), и 2) некоторой неопределенности объектов (предметов) счета (например, при подсчете деревьев некоторые засохшие или полузасохшие деревья, молодые деревья, кусты и т. д. могут войти или не войти в подсчет). Благодаря этим причинам при повторных подсчетах могут получиться другие результаты. Учащиеся легко сами приводили ряд примеров, когда в результате счета получаются числа или точные, или приближенные (количество членов в семье, количество окон в доме, количество летящих в стае птиц, количество больших и малых рек в СССР и т. д.).

Для закрепления рассматривали еще ряд примеров с установлением причин приближенности результатов подсчета. (В школе значится по спискам на данное число 326 учащихся; вчера в школе присутствовало 320 учащихся; в рабочем поселке 13 500 человек жителей; товарный поезд был в пути 16 суток; отцу, матери и сыну вместе 112 лет; человек находящийся в покое, совершает 16 дыханий в минуту; на 1 кв. см кожи человека находится 160 потовых желез, и другие примеры.)

Замечания. 1. Учащиеся вместо слова «приближенно» склонны употреблять слово «приблизительно» по той причине, что это слово им уже знакомо из обыденной жизни. При проведении занятий указывалось, что словом «приблизительно» обычно дается грубая оценка величины, оценка, как говорят, «на глаз», и этим оно отличается от слова «приближенно». Потом, после ознакомления с понятием погрешности, было указано, что со словом «приближенно» тесно связано задание числа с определенной точностью. Кроме того, термин «приближенно» является общепринятым в науке.

2. Учащиеся склонны считать, что приближенные числа получаются лишь в результате счета большого количества предметов и, наоборот, что большие числа как результат счета есть всегда числа приближенные. При проведении занятия была показана на примере неосновательность того и другого представления. Чтобы установить, будет ли данный или ожидаемый результат счета точным или приближенным, нужно проводить анализ условий, при которых сделан подсчет.

На уяснение причин приближенности результата счета следует обращать особое внимание, так как в дальнейшем при решении задач приходится устанавливать, какие данные считать точными и какие — приближенными, поэтому надо приучать учащихся к самостоятельному определению точности или приближенности данных во всевозможных расчетах как в школе, так и в практической жизни. Часто бывает, что тот или иной результат счета можно считать и точным, и приближенным. Например, в задаче сказано, что заработная плата рабочего за полмесяца выразилась в 540 рублей. Если считать 540 рублей как количество определенных денежных знаков, полученных из кассы рабочим, то это число будет точным. Если же считать 540 рублей как сумму начислений по табелям за выполненные различные работы, то это число будет приближенным, как сумма приближенных чисел. В таких неопределенных случаях приходится просто полагать при решении, что данное число точное или приближенное, учитывая общий смысл задачи.

Понятие о приближенном числе как результате измерения было дано в связи с темой «Меры длины». На примере практического измерения длины класса и ширины тетради (подробности проведения занятия опускаем) был сделан общий вывод, что в результате измерения всегда получаются приближенные числа вследствие: 1) не идеальной точности измерительного при-, бора и 2) не идеальной правильности объекта измерения (например, длина класса вдоль одной стены не абсолютно точно равна длине класса вдоль другой стены). То же в результате взвешивания как особого вида измерения.

Учащиеся легко усваивают причины приближенности результатов измерения и приводят сами много примеров.

Понятие о приближенном числе как результате округления было дано попутно в связи с вопросом об округлении чисел.

Понятие о приближенном числе как результате вычисления тоже дано попутно в связи с вопросом о приближенном частном (см. приближенное частное).

Замечание. Некоторые авторы книг по приближенным вычислениям избегают названия «приближенное число», а употребляют «прибли-

женное значение числа или величины». Большинство же отождествляют оба названия. Мы пользовались первым термином, как более удобным с точки зрения данного выше понятия о приближенном числе.

Округление чисел и погрешность округления

Понятие об округлении целых чисел было дано после понятия о приближенном числе как результате счета. Занятия проводились по следующему плану.

Положим, что, подсчитав количество деревьев в городском саду, мы получили число 856. В результате подсчета может быть ошибка не только в числе единиц, но и в числе десятков; кроме этого, допустим, что нам совсем не нужно знать, сколько десятков и единиц деревьев, а достаточно только знать, сколько сотен деревьев растет в городском саду. Поэтому мы можем, как говорят, округлить это число до сотен, т. е. единицы и десятки отбросить и заменить их нулями. Тогда можно сказать, что в городском саду растет или 800, или 900 деревьев. Выясняется, что лучше взять число 900, так как оно ближе к числу 856, и записывается так: 856^900. Сообщается, что знак % называется знаком приближенного равенства и читается «приближенно равно».

Далее точно так же были рассмотрены еще примеры: количество присутствовавших на митинге (538 человек) и отвлеченные числа: 2472, 3691, 3712, 1849. В результате на классной доске была получена запись:

Затем путем подробного анализа этих округлений получены правила:

Округлить число — значит сохранить в нем одну или несколько цифр, считая слева направо, а остальные отбросить.

При округлении целых чисел отбрасываемые цифры заменяются нулями.

Если первая из отбрасываемых цифр 5 или больше 5, то последнюю из сохраняемых цифр увеличивают на единицу.

Если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последнюю из сохраняемых цифр оставляют без изменения.

Дальше было рассмотрено правило четной цифры.

Пусть требуется округлить число 6250 до сотен. Мы можем взять или 6200, или 6300. Так как они одинаково близки к числу 6250, то безразлично, какое из них взять вместо округляемого. Но число, в котором последняя из сохраняемых цифр четная, удобнее числа с нечетной последней цифрой в некоторых случаях (например, при делении на 2). Поэтому при таком округлении условились брать последнюю из сохраняемых цифр четной. Следовательно, вместо числа 6250 при округлении его до сотен следует взять 6200. Было рассмотрено еще несколько примеров и получено правило:

Если отбрасывается только одна цифра 5, то последнюю из сохраняемых цифр оставляют без изменения, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная.

Это правило называется правилом четной цифры.

После решения небольшого числа примеров на округление было дано определение погрешности округления как разности между округляемым и округленным числами или наоборот.

Затем решались такие примеры на округление и на нахождение погрешности округления: округлить следующие числа (до указанного разряда) и найти погрешность округления (317, 503, 4305, 2450 и др.), определить погрешность округления, если число 283 572 заменить числом: 1) 300 000; 2) 280 000; 3) 284000 и т. д.

Округление с избытком и с недостатком было рассмотрено в связи с приближенным частным.

При решении задач с приближенными данными (а не проектными) на вычисление периметров простейших фигур, на вычисление площади квадрата и прямоугольника, объема куба и прямоугольного параллелепипеда результаты округлялись до указанного учителем разряда (согласно правилам о результатах действий с приближенными числами и правила запасной цифры). Так как учащиеся интересовались, почему нужно округлять результаты до такого-то разряда, а не какого-либо другого, то эти правила пришлось сообщить им, но без обоснования,- и указать, что подробно они будут рассмотрены позднее..

Приближенное частное

Тема о приближенном частном изучается в V классе по существующей программе, и методика изучения известна. Мы кратко остановимся только на тех вопросах темы, которые непосредственно связаны с приближенными вычислениями.

1. Здесь учащиеся впервые встречаются с понятием о приближенном числе как результате вычисления (пока деления точных чисел). Делается вывод, что результат деления точных чисел есть число точное или приближенное. В связи с этим повторяются предыдущие случаи получения приближенных чисел и дается уже обобщенное определение, что приближенными числами называются такие числа, которые получаются всегда при измерении и округлении и

часто при счете предметов и в результате вычислений. Для V класса такое определение можно считать вполне достаточным.

2. Выясняются и закрепляются выражения: «Приближенное частное с точностью до (единицы такого-то разряда)» или просто «до (такого-то разряда)» (до десятых, до сотых и т. д.), и термины «с недостатком» и «с избытком». Выясняется, что в последнем случае погрешность будет не больше единицы последнего сохраняемого в частном разряда. Попутно с этим дается понятие об округлении с избытком и об округлении с недостатком.

3. Повторяются правила округления, причем правило «При округлении целых чисел отбрасываемые цифры заменяются нулями» теперь дополняется правилом: при округлении десятичных дробей отбрасываемые десятичные знаки нулями не заменяются.

На это дополнение необходимо обращать особое внимание и закреплять его на большом количестве примеров, так как навык по замене отбрасываемых цифр нулями при округлении целых чисел учащиеся в первое время невольно распространяют и на округление десятичных дробей.

Здесь же рассматривается особый случай, когда при округлении десятичных дробей приходится сохранять нуль в крайнем правом разряде. Например, округляя число 2,702 до сотых, получаем 2,70. Нуль показывает, что число взято с точностью до сотых; если нуль отбросить, то получим число 2,7 с точностью только до десятых. Вывод: в приближенных десятичных дробях нуль в том разряде, с точностью до которого взято число (в разряде указанной точности), всегда сохраняется.

На это правило также приходится обращать особое внимание и закреплять его на достаточном количестве примеров. Контрольные работы показали, что учащиеся делают больше всего ошибок именно на это и предыдущие правила.

4. Рассматриваются простые практические правила получения приближенного частного с погрешностью до половины единицы последнего сохраняемого в частном разряда: 1) если остаток больше половины делителя, то последнюю цифру частного увеличивают на единицу; 2) если остаток меньше половины делителя, то последнюю цифру частного оставляют без изменения; 3) если остаток точно равен половине делителя, то последнюю цифру частного оставляют без изменения, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная.

Эти правила практически легко усваиваются, и в то же время применение их значительно упрощает нахождение приближенного частного с определенной точностью (избавляет от необходимости находить лишние цифры в частном с последующим выполнением процесса округления).

Значащие цифры приближенного числа. Двоякий смысл цифры нуль

Почти все правила оценки точности результатов действий над приближенными числами по способу подсчета цифр опираются на понятие о значащих цифрах приближенного числа и тесно связаны с их подсчетом. Поэтому значение этого вопроса является весьма существенным в способе подсчета цифр. С другой стороны, как показали занятия, уяснение самой сущности значащих цифр и главным образом практическая сторона распознавания их в числе, особенно двоякого смысла нуля, являются довольно трудными для учащихся V класса (если пользоваться известными в литературе определениями).

Исходя из этих соображений, нами дано такое определение: значащими цифрами числа являются цифры 1, 2, 3,..., 9; нуль (или несколько нулей) считается также значащей цифрой, если он стоит между другими значащими цифрами в числе. Нули в начале и конце числа считаются незначащими, кроме случая, когда нуль в конце стоит в том разряде, с точностью до которого взято число, или, короче, когда нуль стоит в разряде данной точности.

Опыт показал, что это определение является наиболее приемлемым для изучения в V классе по сравнению со всеми другими известными определениями. (Оценку других определений в настоящей статье мы не приводим.)

Ознакомление с приведенным определением проводилось после темы о приближенном частном по следующему плану.

Повторялось определение, что значащими цифрами называются цифры 1, 2, 3,...,9. Что касается нуля, то он может быть и значащей, и незначащей цифрой согласно следующему определению (сообщалось данное выше определение).

Определение уяснялось и закреплялось на ряде примеров сначала без нулей на конце: 2805; 0,025; 0,00702 и т. д. В каждом случае ставились вопросы: сколько всего цифр в числе? Сколько значащих цифр и почему?

Затем рассматривались примеры целых приближенных чисел с нулями на конце:

250 (с точностью до единицы). Нуль является значащей цифрой, так как стоит в разряде данной точности.

2500 (с точностью до десятков). Нуль десятков — значащая цифра, так как она стоит в разряде данной точности, а нуль единиц — незначащая.

2500 (с точностью до единиц). Оба нуля являются значащими цифрами, так как нуль еди-

ниц стоит в разряде данной точности, а нуль десятков — между двумя значащими цифрами.

Примеры с округлением целых чисел: дано число 2303; округлив его до десятков, получаем приближенное число 2800 (с точностью до десятков); нуль десятков — значащая цифра, так как он стоит в разряде данной точности, а нуль единиц — незначащая цифра; если это же число округлить до сотен, то оба нуля будут незначащими цифрами.

Примеры десятичных дробей с нулями на конце: 0,230 — три значащие цифры: нуль тысячных является значащей цифрой, так как он стоит в разряде данной точности (что число взято с точностью до тысячных).

0,5300 — четыре значащие цифры: нуль десятитысячных является значащей цифрой, так как он стоит в разряде данной точности; нуль тысячных тоже, как стоящий между значащими цифрами.

Примеры на округление десятичных дробей: дана дробь 0,7403; округлив ее до тысячных, получаем дробь 0,740 с тремя значащими цифрами; подчеркивается, что нуль тысячных нельзя не писать, так как запись 0,74 показывала бы, что округление произведено до сотых; дана дробь 0,7003; округлив ее до тысячных, получаем дробь 0,700 с тремя значащими цифрами.

Вывод: в приближенных десятичных дробях нули в конце всегда являются значащими цифрами, в противном случае они не пишутся.

Определение значащих цифр закрепляется еще на ряде примеров. Особенно тщательное закрепление на большом количестве примеров необходимо о двояком смысле нуля в конце приближенных чисел, чтобы учащиеся твердо усвоили все частные случаи, особенно при округлении целых чисел и десятичных дробей; это является наиболее трудным и в то же время практически важным.

Указания. 1. Так как в приближенных числах с нулями на конце, взятых с точностью до последнего разряда, эти нули всегда являются значащими (например, в числах 270 с точностью до единицы и 0,270), то нули на конце в точных числах тем более являются значащими. Вообще с точки зрения данного выше определения в точных числах все нули являются значащими, кроме нулей слева.

2. Целые приближенные числа со значащими нулями на конце встречаются довольно редко, поэтому достаточно в этих случаях, как исключениях, делать просто оговорку «с точностью до (такого-то) разряда», что практически и делается, если не употребляется запись со степенью числа 10. Например, если дано приближенное число 2300 и не сделано оговорки, то считается, что это число дано с точностью до сотен и оба нуля незначащие; если же оно дано так: «2300 (с точностью до единиц)», то оба нуля — значащие.

Верные и сомнительные цифры приближенного числа. Запись приближенного числа

Ознакомление учащихся с этими вопросами проводилось вслед за предыдущей темой в таком плане.

В результате измерения длины класса тремя учениками были получены числа: 12,56 м, 12,74 м и 12,67 м. Из сопоставления результатов видим, что первые две цифры во всех трех числах одинаковы, цифры десятых уже изменяются на единицу, цифры же сотых совершенно различны. Это значит, что мы узнали точно целое число метров (12) в длине класса, поэтому цифры 1 и 2 можно назвать верными цифрами; цифра же десятых метра в числе, выражающем длину класса, вызывает уже сомнение, так как цифры десятых в отдельных результатах колеблются; тем более сомнительной будет цифра сотых метра в числе, выражающем длину класса.

Таким образом, в приближенных числах мы можем рассматривать две категории цифр: цифры верные и цифры сомнительные.

Чтобы устанавливать, какие цифры в приближенном числе являются верными и какие сомнительными, существует следующее определение: цифра какого-либо разряда в приближенном числе считается верной, если это число имеет погрешность не больше половины единицы этого разряда; если же погрешность больше половины единицы какого-нибудь разряда, то цифра этого разряда и цифры стоящих вправо разрядов считаются сомнительными

Применим это определение к нашему примеру. Для этого находим сначала среднюю длину класса (с понятием «средняя длина», «средний вес», «средний заработок» и т. д. учащиеся уже встречались при решении задач):

Теперь нам нужно знать погрешность полученного приближенного значения длины класса. Точное значение погрешности мы найти не можем, так как не знаем точного значения длины класса, поэтому найдем среднюю погрешность. Для этого сначала найдем погрешности результатов отдельных измерений с найденным средним числом. Имеем:

Находим среднюю погрешность:

Теперь на основании определения устанавливаем, что цифра в разряде единиц (2) является верной, так как средняя погрешность 0,06 меньше половины целой единицы, тем более верной является цифра 1; цифра же десятых (6) является сомнительной, так как средняя погрешность 0,06 больше половины одной десятой (0,06 больше 0,05), тем более сомнительной является цифра сотых (6).

На занятиях возникла необходимость отмечать сомнительные цифры каким-нибудь значком. Условились перечеркивать их косой чертой, так что результат выглядел в такой форме 12,6з (м)*.

Дальше предлагалось таким же образом найти ширину класса и отметить сомнительные цифры результата.

Затем рассматривались случаи однократного измерения: длины стола в дециметрах с точностью до половины дециметра (сомнительных цифр нет), веса предмета в граммах с точностью до одного грамма (одна сомнительная цифра), температуры воздуха в классе по показанию стенного классного термометра в целых градусах с точностью до половины градуса (сомнительных цифр нет).

Особо рассматривались приближенные числа, получаемые в результате округления точных чисел. Например, имеем точное число 2,53. Округлив его до десятых, получаем приближенное число 2,5. Погрешность округления будет 2,53 — 2,5 = 0,03, что составляет меньше половины одной десятой. Следовательно, число 2,5 имеет только верные цифры. Точно так же округлив точное число 2,58 до десятых, получаем приближенное число 2,6, имеющее тоже только верные цифры. Таким образом, приближенные числа, получаемые при округлении точных чисел по основным правилам округления, имеют всегда только верные цифры. (Случаи округления с избытком и округления с недостатком, когда округленное число может иметь последнюю цифру сомнительную, не рассматривались за недостатком времени.)

Замечание. Некоторые учащиеся сначала затруднялись устно находить половину единицы того или иного разряда и не понимали этого выражения, говоря иногда «половина цифры» разряда или «половина» разряда. Пришлось несколько минут уделить этому вопросу особо. Очень помогли записи:

после чего учащиеся уже легко устно находили половину единицы того или иного разряда.

Вопрос о сравнении погрешности с половиной единицы того или иного разряда оказал очень благотворное влияние на закрепление знаний учащихся по десятичной системе нумерации.

Ознакомление с правилом записи приближенного числа было непосредственно связано с примерами на определение верных и сомнительных цифр.

На классной доске выписываются из рассмотренных примеров результаты с сомнительными цифрами:

Задается вопрос: как же следует записывать окончательно приближенные числа, т. е. сохранять ли только верные цифры, а сомнительные отбрасывать по правилам округления, или сохранять и сомнительные цифры.

Из последнего примера видим, что если в числе 253 г отбросить сомнительную цифру 3, то мы получим слишком грубый результат — 250 г, показывающий, что взвешивание произведено только с точностью до одного десятка граммов, тогда как на самом деле взвешивание произведено с погрешностью не более 1 г. Следовательно, результат взвешивания лучше выразить числом 253 г, сохранив и сомнительную цифру.

Если в числе 12,66 м отбросить обе сомнительные цифры (6 и 6), то мы получим опять слишком грубый результат — 12 м, показывающий, что измерение длины класса произведено только с точностью до метра. На самом же деле мы старались все три измерения произвести с точностью до сотой доли метра, т. е. с точностью до сантиметра, но оказалось, что сотые доли слишком колеблются в отдельных измерениях, в десятых же долях метра (дециметрах) колебания невелики — меньше одного дециметра (погрешность = 0,06 м). Таким образом, длину класса лучше выразить числом 12,7 м, округлив до десятых долей метра.

Точно так же проводится рассуждение для числа 6,54 м и устанавливается, что его окончательно следует записать так: 6,5 м, т. е. сохранив одну сомнительную цифру.

Наконец, еще раз отмечается, что приближенные числа, получаемые при округлении точных чисел (по основным правилам округления), оказываются только с одними верными цифрами, так как сомнительных цифр в этом случае не получается.

После этого учителем формулировалось правило записи приближенного числа: приближенное число, полученное в результате счета, или измерения, или вычисления, надо писать так, чтобы все его значащие цифры, кроме послед-

* По техническим причинам сомнительные цифры не перечеркнуты, а набраны более мелким шрифтом. (Ред.)

ней, были верны, и лишь последняя цифра могла быть сомнительной, причем с погрешностью, не превосходящей в большинстве случаев одну-две единицы того разряда, в котором она стоит.

Для закрепления этого правила и на определение верных и сомнительных цифр решалось много примеров типа следующих:

1. Указать верные и сомнительные цифры следующих приближенных чисел и записать эти числа согласно правилу:

2843, если погрешность составляет 8 единиц; 3852, » » » 32 единицы;

8,34 » » » 0,02 » ;

8,03 » » » 0,05 » ;

52,03 » » » 0,1 » ,

и подобные им.

2. Из таблицы перевода русских мер в метрические известно, что 1 пуд ^ 16,38 кг. Принимая 1 пуд » 16,3 кг и 1 пуд ^16,4 кг, указать верные и сомнительные цифры в этих числах.

3. Площадь круга радиуса 10 мм равна 314,2 кв. мм. Ученик, начертив этот круг на миллиметровой бумаге и подсчитав число клеток в 1 кв. мм, получил площадь 308 кв. мм. Указать верные и сомнительные цифры числа 308 и записать его согласно правилу.

4. Четыре измерения расстояния от железнодорожной станции до ближайшей деревни дали результаты: 2648 м, 2656 м, 2663 м и 2678 м. Найти среднее число, указать верные и сомнительные цифры его и записать окончательный ответ согласно правилу.

5. Сделайте несколько измерений длины своей комнаты, найдите среднюю длину, укажите верные и сомнительные цифры в числе, выражающем среднюю длину, и запишите его согласно правилу.

6. Найдите среднее количество своих шагов от дома до школы (решить так же, как примеры 4 и 5).

Указание. При проведении занятий оказалось, что учащиеся при чтении правила записи приближенного числа склонны говорить не «одну--две единицы», а определенно «две единицы» и слова «в большинстве случаев» опускают. Такое стремление к определенности кажется естественным, однако следует говорить именно «не превосходящей в большинстве случаев одну-две единицы», подчеркивая тем самым некоторую неопределенность в этом вопросе; эти слова, кроме прямого их смысла, указывают также на то, что иногда приходится сохранять сомнительную цифру и с погрешностью больше двух единиц того разряда, в котором она стоит, что, правда, встречается очень редко. Однако об этом следует предупреждать учащихся и говорить, что при действиях с приближенными числами с такими случаями приходится встречаться. Одновременно нужно обращать внимание учащихся на то, что малые погрешности встречаются чаще, чем большие. Вообще на правило записи приближенного числа приходится обращать особое внимание, вскрывая по возможности полнее его сущность как при первом ознакомлении, так и в дальнейшем при обосновании правил о результатах действий.

После ознакомления учащихся со значащими цифрами, верными и сомнительными цифрами и правилом записи приближенных чисел рассматривались основные правила способа подсчета цифр, касающиеся действий с приближенными числами, иначе говоря, оценка точности результатов вычислений по способу подсчета цифр.

Сложение и вычитание приближенных чисел

Занятия по данной теме проводились по следующему плану.

Решается задача: Стеклянный пузырек весит 52,8 г, пробка к нему 4,85 г. В пузырек влили 35 г воды, отмерив ее мензуркой. Каков общий вес пузырька с водой и пробкой? (В. М. Брадис, Средства и способы элементарных вычислений, стр. 49).

Производя сложение обычным путем, получаем:

Так как данные слагаемые являются числами приближенными, как числа, полученные в результате измерения, то и полученное число 92,65 является тоже приближенным, как результат сложения приближенных чисел. Возникает вопрос: все ли цифры в полученной сумме нужно сохранить для окончательного ответа или некоторые отбросить?

Поскольку в последнем слагаемом (35) нам неизвестны ни десятые, ни сотые, так как оно дано с точностью до целых, то и в полученной сумме десятые и сотые остаются неизвестными, а потому в окончательном результате мы не можем их написать, как неизвестные для нас цифры. Известные же десятые и сотые в остальных слагаемых мы принимаем во внимание, но только в процессе сложения и в полученной сумме при округлении ее для окончательного ответа. Это рассуждение можно представить так: поставив букву н вместо неизвестных нам десятых и сотых

и округлив полученную обычным путем сумму, т. е. приняв во внимание известные десятые и сотые, получим 92,65^93 (г).

Дальше рассматривается еще ряд примеров на сложение и вычитание приближенных чисел:

Из сопоставления разрядов с отброшенными цифрами в результатах с разрядами, не имеющими значащих цифр справа хотя бы в одном из компонентов (Цифры каких разрядов отброшены? Каких разрядов нет в таком-то компоненте?), вытекает правило: при сложении и вычитании приближенных чисел в полученном результате нужно отбросить по правилам округления цифры тех разрядов справа, которых нет хотя бы в одном из данных приближенных чисел.

Для закрепления правила решается еще ряд примеров и задач.

Случай, когда один или несколько компонентов являются числами точными, особо не рассматривался, так как задачи такого типа на первые два действия являются редким исключением и, кроме того, он не составляет никаких затруднений для объяснения.

Особо рассмотрен случай, когда данные приближенные числа являются целыми.

Решается задача: В трех населенных пунктах имеется жителей: 28 500 человек, 6 850 человек и 825 человек. Найти число всех жителей.

Решая обычным путем, получаем:

Полагая, что первое слагаемое дано с точностью до сотен, а второе до десятков, т. е. в первом слагаемом нет ни разряда единиц, ни разряда десятков (в смысле нет значащих цифр ни в разряде единиц, ни в разряде десятков), то и в окончательном ответе мы не можем сохранить цифру единиц и цифру десятков. Поэтому, округляя полученный результат с точностью до сотен, находим: 36 175 » 36 200 (человек).

Как видим, правило остается полностью применимым и в этом случае.

Указание. Необходимо обращать особое внимание учащихся на то, что теперь отбрасываемые цифры заменяются нулями, что следует непосредственно из операции округления целых чисел.

Для закрепления правила в случае сложения и вычитания целых приближенных чисел решается еще несколько примеров и задач.

Контрольные работы показали, что из числа всех ошибочных ответов при сложении и вычитании приближенных чисел непосредственно на применение правила оказалось около половины, а все остальные связаны с другими правилами: с округлением чисел, с понятием о значащих цифрах, о двояком смысле нуля и просто с техникой обычного сложения и вычитания. Отсюда следует, что правила округления, определение значащих цифр и понятие о двояком смысле нуля необходимо отрабатывать в свое время особенно тщательно, а при сложении и вычитании обращать на них особое внимание.

Умножение приближенных чисел

Учителем выписываются на классной доске результаты измерения длины и ширины класса, полученные ранее: длина 12,7 м, ширина 6,5 м. Предлагается вычислить площадь пола.

Получается решение:

Так как данные являются числами приближенными, то и произведение их является числом приближенным. Чтобы опять выяснить, все ли цифры в полученном произведении нужно сохранить для окончательного ответа или некоторые отбросить, найдем площадь по неокругленным данным.

Мы имели: длинам 12,66 м\ ширинам6,54 м.

Перемножив, получаем:

12,66X^,54 = 82,7964 (кв. м).

Сравнивая этот результат с результатом 82,55, мы видим, что разность между ними выражается почти в две с половиной десятых, т. е. цифра десятых является уже весьма сомнительной, тем более сомнительной будет цифра сотых, и, следовательно, на основании правила записи приближенного числа такие цифры в окончательном результате писать не следует. Поэтому, округляя, получаем: 82,55^83 (кв. м).

Итак, для умножения мы имели один множитель с тремя и другой с двумя значащими цифрами; окончательный результат получили с двумя цифрами. Вообще существует следующее правило о результате при умножении любых приближенных чисел: в окончательном результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенный множитель с наимень-

шим количеством значащих цифр (самое «короткое» из данных приближенных чисел по количеству значащих цифр). Дальше учитель предлагает проверить это правило еще на ряде примеров.

Берется задача, аналогичная рассмотренной: Длина прямоугольника 1,84 м, а ширина 0,96 м; найти его площадь.

Решая обычным путем, получаем:

В данных этой задачи нам неизвестны отброшенные сомнительные цифры и неизвестны погрешности. Поэтому, чтобы установить, сколько значащих цифр следует сохранить в ответе, будем рассуждать так.

Поскольку данные в задаче являются числами приближенными, как результаты измерения, то, согласно правилу записи приближенных чисел, последняя значащая цифра в каждом из них может быть как верной, так и сомнительной.

Допустим, что данные имеют только верные цифры. Это значит, что погрешность каждого из них не больше половины единицы последнего разряда. Пусть каждый множитесь имеет наибольшую в этом случае погрешность, равную половине единицы последнего разряда, т. е. можем взять числа, увеличенные на эту погрешность: 1,845 м и 0,965 M, или уменьшенные на эту погрешность: 1,835 м и 0,955 м. Какой вариант взять — совершенно безразлично. Возьмем первый. Теперь, перемножив эти числа, получаем:

Сравнивая этот результат с первым 1,7664 кв. м, видим, что цифра единиц и цифра десятых не изменились, следовательно, эти цифры (1 и 7) являются верными цифрами и их следует сохранить в окончательном ответе. Остальные цифры являются сомнительными, и первую из них 6 (сотых) следует сохранить или отбросить. Что* бы проверить это, допустим теперь, что цифры последних разрядов в данных для умножения числах сомнительные. Это значит, что погрешность будет больше половины единицы последнего разряда. Будем считать, что множители даны с погрешностью в одну сотую. Тогда вместо данных множителей мы можем взять множители, увеличенные на 0,01 м, и, перемножив их, будем иметь: 1,85 X 0»97 м = 1,7945 кв. м.

Сопоставив этот результат с первым (1,7664 кв. м), видим, что теперь разность между ними 1,7945 — 1,7664 = 0,0281 выражается почти в три сотых. Это значит, что цифру сотых (6), по правилу записи приближенного числа, оставлять в окончательном результате не следует. Таким образом, ответ мы должны взять такой:

т. е. какой и следует согласно правилу. Возьмем еще такой пример:

Увеличивая сомножители на половину единицы последнего разряда, получаем:

Сопоставив этот результат с первым, видим, что цифра целых и цифра десятых являются верными, а цифра сотых изменилась больше чем на три единицы этого разряда, даже при верных цифрах сомножителей. Такую цифру в ответе оставлять нельзя, и мы получаем:

о чем и говорит правило.

Для закрепления правила решается ряд примеров:

Решаются задачи на вычисление площади квадрата, прямоугольника и другие, но пока в одно действие, так как при решении задач в несколько действий требуется применение правила запасной цифры.

Дальше рассматривается случай, когда один из компонентов является числом точным. Если при сложении и вычитании такой случай можно особо не рассматривать, как об этом было сказано выше, то при умножении и делении этого делать нельзя, так как арифметические задачи этого типа встречаются, пожалуй, чаще, чем задачи, в которых оба компонента суть числа приближенные.

Решается задача: Один вагон каменного угля весит 27,4 т. Найти вес 75 таких вагонов угля.

Решая обычным путем, получаем:

Правило распространяется и на этот случай, но учитывается только количество значащих цифр в приближенном данном, а на количество цифр в точном числе не обращается внимания.

Так как в данном случае в приближенном данном три значащие цифры, то и в ответе оставляем три значащие цифры. Получаем:

Проверка. Допустим, что число 27,4 имеет погрешность 0,1. Увеличив это число на 0,1 и перемножив, получаем:

Находим разность: 2062,5 — 2055,0 = 7,5 (т).

Эта разность показывает, что в качестве ответа действительно следует взять 2060 (т).

Затем рассматривается ряд примеров, причем в одних примерах приближенное число берется множимым, а в других — множителем. Например (точные компоненты даны жирным шрифтом):

Дальше рассматривается случай, когда сомножители суть целые приближенные числа.

Решается задача: Длина кл~сснсй доски 235 см, ширина 96 см. Найти площадь доски.

Решение: 235 X 56=22560ä 23 000 {кв. см).

Проверка: 236X97 = 22892; цифра сотен не заслуживает доверия.

Примеры:

(Нули справа в компонентах последних двух примеров являются цифрами незначащими, поскольку не сделано особой оговорки о разряде точности.)

Замечание. 1. Следует иметь в виду «неблагоприятные» случаи при умножении (и в дальнейшем при делении), когда результаты, взятые согласно правилу, имеют большие погрешности, чем следует согласно правилу записи приближенного числа.

Например, возьмем произведение 7,26 X Ь2 = = 8,712.

Согласно правилу, берем 8,712 ^ 8,7. Проверяем: 7,27 X 1»3 = 9,<ч31; разность 9,451—8,712 = 0,739 показывает, что цифру десятых сохранять не следует.

Даже при верных цифрах компонентов получаем:

7,265 X Ь25 = 9,08125, и разность 9,08125 — — 8,712 = 0,36925 показывает, что цифру десятых сохранять не следует.

Такие неблагоприятные случаи получаются тогда, когда множитель с наименьшим количеством значащих цифр имеет первой цифрой 1,2 или 3, а произведение имеет первой цифрой 7,8 или 9 (при делении: когда компоненты имеют первой цифрой 1,2 или 3, а частное имеет первой цифрой 7,8 или 9); так как такие компоненты дают большую относительную погрешность, а последняя в свою очередь вызывает большую абсолютную погрешность результата.

Если учитывать эти неблагоприятные случаи, то правило было бы более строгим в такой редакции: «в результате нужно сохранять количество значащих цифр не больше, чем их имеет приближенное данное с наименьшим количеством значащих цифр*. Но практическое применение его при обычных вычислениях менее удобно, и неблагоприятные случаи все равно не учитываются, поэтому лучше пользоваться обычной формулировкой.

2. При обосновании правила на примерах нами был использован способ варьирования с последними значащими цифрами в компонентах, а не способ неизвестных сомнительных цифр, обозначаемых буквой н или знаком ?, так как второй способ при умножении и делении (особенно при делении) имеет ряд крупных недостатков и почти непригоден при обосновании правила запасной цифры.

Деление приближенных чисел

Учитель сообщает учащимся, что для определения количества значащих цифр в частном при делении приближенных чисел пользуются тем же правилом, что и при умножении, т. е. в частном находят столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное (делимое или делитель) с наименьшим количеством значащих цифр, так что получается следующая общая формулировка правила для обоих действий: При умножении и делении приближенных чисел в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим количеством значащих цифр (самое «короткое* из данных приближенных чисел).

Применим правило при решении известной нам задачи о площади пола класса. Рассматривая умножение, мы нашли, что площадь пола класса ^83 кв. м, длина классам 12,7 м. Найдем ширину класса, полагая, что мы ее не знаем.

Так как делимое имеет две значащие цифры, то частное, согласно правилу, должно быть найдено тоже только с двумя значащими цифрами.

Имеем:

т. е. получаем: 83 кв. м: 12,7 м^ 6,5 му как раз то приближенное значение ширины, которое нам известно и было взято для вычисления площади пола класса.

Возьмем еще такую задачу: Моток проволока весит 44,5 кг. Сколько метров проволока в этом мотке, если 1 м ее весит 0,293 кг?

Вычисляем частное, согласно правилу, с тремя значащими цифрами:

т. е. получаем: 44,5:0,293^152 (м).

Чтобы проверить, что частное действительно нужно взять только с тремя цифрами, т. е. проверить правило об ответе при делении приближенных чисел, поступаем так же, как и при умножении.

Берем делимое, увеличенное на единицу последнего разряда, а делитель — уменьшенный на единицу последнего разряда (чтобы получить большое частное). Получаем:

Этот результат отличается от первого на

следовательно, цифру единиц действительно нужно сохранить в ответе и взять 152, о чем и говорит правило. Примеры:

Затем рассматривается случай, когда один из компонентов является точным числом.

Решается задача: Проволоку длиной 32,7 м нужно разрезать на 16 равных частей. Найти длину каждой части.

Решая, получаем: 32,7 м : 16 » 2,044 м » 2,04 м.

Проверка: увеличим делимое, положим, на 0,1 и снова разделим:

Находим разность:

Следовательно, в ответе действительно цифру сотых нужно сохранить.

Примеры (точные числа даны жирным шрифтом):

Дальше рассматривается случай, когда данные для действия деления приближенные числа являются целыми числами.

Решается задача: Площадь земельного участка прямоугольной формы содержит 5226 кв. м, длина участка равна 82 м. Найти ширину участка.

Решая, получаем: 5226:82^64 (м).

Примеры:

Замечания. 1. Контрольные работы показали, что, как и при сложении, большинство ошибочных ответов относится не к применению правила при умножении и делении, а к применению правил округления и понятия о двояком смысле нуля.

2. Правило предварительного округления данных мы не рассматривали, считая этот вопрос еще преждевременным для учащихся V класса.

Решение задач с приближенными данными

Если задача с приближенными данными решается только одним действием, например умножением, то естественно, что нужно применить правило о результате при умножении, т. е. в ответе нужно сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим количеством значащих цифр.

Если же задача решается в несколько действий, то, округляя результаты промежуточных действий, согласно рассмотренным правилам, мы к погрешностям данных прибавляем еще погрешности от округления. «Эти погрешности округления накопляются и могут, в конце концов, оказать заметное влияние на окончательный результат. Оказывается, что влияние это можно устранить почти целиком, если во всех промежуточных результатах брать не столько цифр, сколько указывают рассмотренные выше правила, а одной цифрой больше» (В. М. Брадис, Средства и способы элементарных вычислений, стр. 61). В окончательном же результате эта запасная цифра отбрасывается по правилам округления.

Занятия по этой заключительной для учащихся V класса теме арифметики приближенных вычислений проводились по следующему плану.

Решалась задача: Вырыт котлован длиной 7,3 м, шириной 5,5 м и глубиной 3,5 м. Сколько надо подвод, чтобы вывезти вырытую землю, если 1 куб. м земли весит 2,13 m и каждая подвода берет в среднем 0,35 т?

Перед учащимися ставился вопрос, как надо решать задачу с приближенными числами: согласно ли рассмотренным выше правилам или несколько иначе, и сообщалось, что такие задачи решаются по следующему правилу, уста-

новленному практикой (правило запасной цифры). При решении задач с приближенными данными нужно в результатах промежуточных действий сохранять на одну цифру больше, чем требуют правила о результатах отдельных действий, причем при определении количества значащих цифр в промежуточных результатах запасные цифры в числах не принимаются во внимание (не входят в подсчет); в окончательном же результате запасная цифра отбрасывается по правилам округления. В целях учета запасные цифры подчеркиваются.

И дальше выполнялись вычисления, требуемые задачей, согласно правилу:

Для проверки достаточно изменить только последнее данное 0,35 на возможную погрешность его 0,01, как мы получим уже другой результат: 300 m : 0,34 m = 882 подводы.

Как видим, цифра сотен осталась без изменения, цифра десятков еще заслуживает доверия, а цифра единиц является уже весьма сомнительной. Следовательно, в ответе больше чем две значащие цифры действительно оставлять не следует.

Дальше было показано практическое значение правила в смысле рационализации в вычислениях. Задача решалась снова, но без округления промежуточных результатов, и сравнивалось новое решение с прежним. Учащиеся убеждались, что правило действительно весьма упрощает вычислительную работу.

Затем решалась задача только на сложение и вычитание: Для изготовления желтой меди сплавили 64,1 кг красной меди, 32,75 кг цинка и 2,863 кг свинца. Вес полученного слитка оказался 97,48 кг. Определить, сколько металла угорело во время плавки.

Решение:

Результат первого действия следовало бы взять только с точностью до десятых, так как сотых и тысячных в первом слагаемом нет, но поскольку этот результат не окончательный, то мы оставляем еще цифру сотых в качестве запасной. Окончательный ответ берем только с точностью до десятых, а цифру сотых отбрасываем как запасную.

Дальше решалась еще задача на совместные действия первой и второй ступени. На прямоугольной площадке, имеющей размеры 10,5 X Х8,7 м2, разбиты клумбы квадратной формы, одна со стороной 2,5 м и четыре со стороной 1,5 м каждая. Найти часть площадки, не занятую клумбами.

Решение:

При решении довольно большого количества задач можно пользоваться следствием из основного правила: При решении задач с приближенными данными, если нет действий сложения и вычитания, нужно в окончательном ответе сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет самое «короткое» из данных в условии приближенных чисел, а все промежуточные вычисления вести с количеством значащих цифр на одну больше.

Применение этого правила значительно упрощает определение количества значащих цифр как в окончательном, так и в промежуточном результатах.

Случай так называемой «потери» количества значащих цифр при вычитании в V классе рассматривать еще не следует.

Заключение

Для изучения всего изложенного материала требуется часов 15—20. Часть часов берется за счет времени, отводимого программой на округление чисел, на приближенное частное и на решение задач; часть часов покрывается экономией времени, которая получается благодаря рационализации в вычислениях при решении задач; часть часов мы брали за счет решения некоторых «трудных» задач, которые гораздо проще решаются при помощи уравнений и которые вообще пора бы исключить из сборников арифметических задач при обязательном семилетнем обучении.

Весь изложенный материал вполне доступен пониманию учащихся V класса и не труднее обычного арифметического материала, изучаемого в V классе.

ВВЕДЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ*

В. И. СЕВБО (Ужгород)

Математика XIX столетия освободила понятие функции (действительного переменного) от «прокрустова ложа» аналитического выражения и перешла к общей современной идее функции как соответствия. Первым, кто подал эту идею, был гениальный русский математик Н. И. Лобачевский, который в 1834 г. писал по поводу понятия функции следующее: «Это общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с X постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной**. Эта идея через три года (в 1837 г.) была выражена Лежен-Дирихле в виде следующего определения функции, сохранившегося до наших дней: «у есть функция переменной х на отрезке если каждому значению х на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие — аналитической формулой, графиком, таблицей, либо даже просто словами».

Последним этапом развития понятия о функции явилось дальнейшее обобщение его, основанное на теории множеств. Если каждому элементу х множества X ставится в соответствие некоторый элемент у множества Y, то говорят, что задана функция:

В новой, наиболее широкой, современной концепции идея функционального соответствия распространяется на нечисловые объекты (элементы множеств). В частности, она охватывает собой общую идею геометрических преобразований, как идею соответствия между множествами точек (симметрическое преобразование, преобразование гомотетии и т. п.). Такая высокая абстракция значительно расширяет область применений математической теории.

Отсюда вытекает то высокое идейно-воспитательное и общеобразовательное значение, которое по праву принадлежит преподаванию функций в средней школе. Изучая функции, учащиеся привыкают следить за изменениями разного рода величин, характеризующих явления природы, замечать тенденции либо закономерности этого изменения, устанавливать взаимные связи и зависимости между величинами. Кроме того, изучение функций непосредственно подводит учащихся к основным, весьма глубоким и плодотворным идеям высшей математики. Тем самым оно дает возможность максимально приблизить школьную математику к современному уровню математической науки.

Однако никак нельзя начинать школьную теорию элементарных функций слишком рано, например еще в семилетней школе. Ведь современная научная идея функции, как соответствия между элементами множеств, является высокоабстрактной идеей. Мышление же школьников в возрасте 11 —13 лет остается в известной мере конкретным, связанным с образными представлениями о реальных процессах изменения разных величин в жизни и в природе. Поэтому наиболее подходящим и целесообразным оказывается начинать систематическое учение о функциях лишь в старших классах средней школы (VIII — X классы). В семилетней же школе можно и необходимо заняться соответствующей подготовительной работой — так называемой функциональной пропедевтикой*.

Начиная с младших классов, всюду, где это возможно, и попутно программе, но без употребления термина «функция» следует рассматривать с учащимися явления изменения одних величин в зависимости от изменения других величин. Речь может идти об изменении результата арифметического действия в зависимости от изменения компонентов, об изменении разного рода реальных величин в арифметических задачах конкретного содержания (в частности, в задачах на пропорциональные величины), об изменении числового значения алгебраического выражения в зависимости от изменения значения букв, входящих в это выражение (вычисление значений и исследование алгебраических выражений) и т. д.

На примерах разного рода упражнений и задач конкретного содержания учащиеся должны научиться разрешать вопросы, подобные следующим: 1) возможно ли изменение рассматриваемой

* Статья печатается в порядке обсуждения. (Ред.)

** Ученые записки Казанского университета, кн. 11, 1831.

*** См СИ. Новоселов, Специальный курс элементарной алгебры, 1951, стр. 17.

* См. В. И. Севбо, Функциональная пропедевтика в семилетней школе, «Математика в школе», 1950, № 3.

конкретной величины при данных условиях; 2) от чего зависит такое изменение; 3) каковы характер либо закономерность этого изменения; 4) каким будет изменение одной величины при данном изменении другой; 5) каковы допустимые значения одной либо другой величины при данных конкретных условиях; 6) каковы возможные границы изменения одной или другой величины; 7) каковы могут быть максимальные либо минимальные значения одной или другой величины и т. д.

Подобная практика приведет учащихся к усвоению понятия зависимости между переменными величинами. Учащиеся постепенно познакомятся с алгебраическим, а затем (в VII классе) и с графическим изображением некоторых простейших зависимостей (элементарные графики). Последующая графическая интерпретация линейных уравнений в VII классе в большой мере поможет ясному пониманию функциональной природы уравнений.

В целом, функциональная пропедевтика в семилетней школе даст возможность учащимся накопить необходимый запас представлений, образов и понятий, на основе которых можно будет в VIII классе подвести учащихся к общей идее функции как соответствия. Учащиеся постепенно приобретут тот математический багаж, обобщение которого приведет их к успешному овладению общим понятием функции в его современной научной трактовке.

Приступая к систематическому учению об элементарных функциях в VIII классе, мы никак уже не можем удовлетвориться предыдущим понятием зависимости между переменными величинами.

Дело в том, что, когда речь идет о функции, далеко не всегда можно применить слово «зависимость». В самом деле, мы можем, например, говорить о функции такого вида:

Здесь каждому действительному значению аргумента X ставится в соответствие одно и то же значение у функции, равное единице. Таким образом, можно сказать, что в этом случае функция фактически не зависит от выбора значения х аргумента; она вовсе и не изменяется, сохраняя постоянное значение, равное единице. То же можно сказать и о функции вида:

при изучении тригонометрических функций острого угла в VIII классе.

Подобные примеры (см. также пример 4-й ниже) показывают, что основным в понятии функции является не зависимость и не изменение функции при изменении аргумента, а наличие самого закона соответствия, согласно которому каждое значение аргумента однозначно определяет соответствующее ему значение функции.

С другой стороны, даже тогда, когда речь идет о зависимом изменении величины, понятие «зависимость» отнюдь не точно соответствует содержанию математического понятия функции. Дело в том, что словом «зависит» мы можем характеризовать иногда такую связь между величинами, которую все же нельзя назвать функцией. Например, мы можем сказать, что вес человека зависит от его роста. Однако нельзя сказать, что вес человека является функцией его роста. И нельзя потому, что, зная рост человека, мы не сможем точно указать вес этого человека. Существует много людей, имеющих одинаковый рост, но не одинаковый вес. Таким образом, в термине «зависимость» отсутствует необходимая точность и определенность, характеризующая смысл современного понятия функции.

На самом деле, когда мы говорим, что одна величина есть функция другой, то мы имеем в виду, что каждому данному значению этой другой величины соответствует вполне определенное, точно указываемое значение первой величины. Например, каждому данному числу п сторон выпуклого многоугольника соответствует вполне определенная сумма 5 внутренних углов этого многоугольника, вычисляемая по известной формуле:

где d — величина прямого угла. Поэтому о сумме 5 внутренних углов многоугольника можно говорить не только то, что она зависит от числа п сторон многоугольника, но ее можно назвать функцией числа сторон п. Здесь мы имеем не просто зависимость суммы внутренних углов от числа сторон многоугольника, но именно функциональную зависимость. При этом число л сторон многоугольника является аргументом, а сумма 5 внутренних углов — функцией.

Возникает далее вопрос: можно ли придавать аргументу какие угодно значения и искать затем соответствующие им значения функции? Предыдущий пример суммы углов многоугольника приводит к отрицательному ответу. В самом деле, мы не можем аргументу — числу п сторон многоугольника — придавать, например, значения: п=2 либо п = 5 , так как не существует многоугольников, имеющих две стороны либо дробное число сторон.

Таким образом, говоря о функции, мы непременно должны точно установить все то множество значений, которые, при заданных условиях, можно либо допустимо придавать аргументу. Это множество всех возможных (допустимых) значений

аргумента называют областью определения функции. В нашем примере значениями аргумента (числа п сторон многоугольника) могут быть, очевидно, лишь натуральные числа, не меньшие трех, т. е. л>-3.

Следовательно, областью определения рассматриваемой функции является множество всех натуральных чисел, начинающихся с числа 3.

После этих замечаний можно будет перейти к дальнейшим обобщениям, а именно отметить, что факт соответствия, характеризующего функцию, можно наблюдать не только по отношению к величинам, измеряемым действительными числами, но и к объектам иной природы, например к точкам, образующим геометрические фигуры. Возьмем, например, какую-либо плоскую геометрическую фигуру X и точку О, которую примем за центр симметрии. В таком случае каждой точке X заданной фигуры X соответствует вполне определенная точка у, симметричная точке х относительно данного центра симметрии (черт. 1). Отсюда вытекает что точку у можно называть функцией точки х. Фигура X составляет множество всех допустимых значений аргумента (точек) и, следовательно, служит областью определения рассматриваемой функции; а множество всех соответствующих им (симметричных) точек у, образующее фигуру Y, есть множество значений функции.

Так постепенно, на конкретных примерах, можно выяснить учащимся VIII класса точный смысл современного понятия функции как соответствия между элементами двух множеств.

Самое определение функции можно сформулировать примерно так:

Если каждому элементу (значению) х одного множества X поставлен каким-либо образом в соответствие определенный элемент (значение) у другого множества Y, то говорят, что у есть функция от х, и записывают это символически в виде равенства:

где символ / означает установленный закон соответствия, т. е. правило, позволяющее для каждого X найти соответствующий ему элементу. Например, для упомянутого выше случая симметричных фигур (черт. 1) таким правилом будет задание центра О симметрии и известное построение точек, симметричных относительно центра. Что касается ранее упомянутого примера суммы внутренних углов многоугольника как функции числа сторон этого многоугольника, то закон соответствия выражается формулой:

позволяющей по данному числу п сторон многоугольника найти сумму 5 его внутренних углов.

Надо признать, что понятие функции в его современном смысле содержит немалые трудности для усвоения учащимися. Эти трудности, в конечном счете, сводятся к необходимости обобщения, абстрагирования всех прежних представлений, приобретенных учащимися в результате предыдущей функциональной пропедевтики в семилетней школе.

Прежде всего необходимо, чтобы учащиеся имели в виду не только случаи непрерывно изменяющейся, как бы «текущей» величины аргумента, но и случаи каких угодно, в том числе и дискретных (прерывных) множеств значений аргумента. Учащимся необходимо обобщить свои прежние представления об изменении или «движении» аргумента в определенной области и перейти к более общему представлению о произвольном множестве допустимых значений аргумента, составляющих область определения данной функции. Дело не в том, что аргумент должен изменяться, т. е. «последовательно пробегать» все допустимые для него значения. Речь вообще идет о том, что аргумент может приобретать какое угодно из допустимых для него значений «без связи» с прочими значениями. При этом каждому допустимому значению аргумента должно соответствовать вполне определенное значение функции. Таким образом, учащиеся должны уточнить ранее употреблявшийся недостаточно выразительный термин «зависит» и перейти к более абстрактному, зато более точному и универсальному термину «соответствует».

Далее, учащиеся должны укрепиться в мысли о том, что закон функционального соответствия может быть выражен каким угодно способом: не обязательно только алгебраической формулой (одной или несколькими), но и иными средствами: таблицей, геометрическим построением, либо какой-нибудь словесной формулировкой (правилом). Важно лишь, чтобы принятый закон соответствия давал возможность для каждого допустимого значения аргумента указать определенное соответствующее ему значение функции.

Наконец, учащиеся должны постепенно освоиться с тем, что понятие соответствия, лежащее в основе определения функции, может относиться не только к величинам, выражаемым числами, но и к произвольным объектам, например геометрическим точкам, как об этом говорилось в приведенном выше примере двух геометрических фигур, симметричных относительно центра (черт. 1).

Чтобы облегчить упомянутые трудности и помочь четкому усвоению учащимися современного общего понятия функции, полезно иллюстрировать преподавание рядом конкретных примеров функций, имеющих различные области определе-

ния и разные способы задания закона соответствия.

Для этой цели можно рекомендовать как ориентировочные следующие примеры:

Пример 1. Площадь Q квадрата, построенного на отрезке длины ху является функцией числа X.

Закон соответствия выражается алгебраической формулой:

Так как длиной х отрезка может быть какое угодно положительное число (рациональное либо иррациональное), то областью определения функции служит множество всех положительных чисел.

Пример 2. Пусть каждому действительному числу X поставлено в соответствие другое число у> вычисляемое по формуле:

Тогда у будет функцией л:, у = f(x), областью определения функции является множество X всех действительных чисел х. Закон соответствия выражается указанной формулой:

Принято значение функции f(x) при определенном конкретном значении аргумента х=а обозначать символом /(а).

Таким образом, для нашей функции будет:

Так, например, при лг = 2 получим:

Пример 3. Сумма 5 внутренних углов выпуклого многоугольника является функцией / (ri) числа п сторон этого многоугольника, вычисляемой по формуле:

(где d — величина прямого угла).

Так как областью определения этой функции является множество натуральных чисел, начинающихся от трех (л>-3), то символ /(2) здесь не имеет смысла (многоугольник не может иметь двух сторон); также не имеет смысла символ /

Пример 4. Как известно из геометрии (см. учебник Киселева, часть I, § 83), сумма Т всех внешних углов выпуклого л-угольника равна разности между 2dn и суммой всех внутренних углов 2d (п — 2), т. е.:

Таким образом, величина Т является функцией числа п сторон многоугольника. Область ее определения, так же как и в предыдущем примере, есть множество всех натуральных чисел л>>3.

После приведения подобных членов в предыдущей формуле закон соответствия выразится проще:

следовательно, каждому натуральному числу п>^3 соответствует одна и та же сумма внешних углов 4rd.

Пример 5 (задача). В бочку емкостью 75 л льется из водосточной трубы дождевая вода со скоростью 5 л в минуту. Дождь идет в течение 20 минут. Определить на все время дождя объем V воды, которая будет в бочке через t минут после начала дождя.

Решая задачу, найдем, что каждому моменту времени t соответствует определенный объем V воды в бочке. Следовательно, объем V воды в бочке есть функция числа t минут, прошедших от начала дождя. Так как через 15 минут вся бочка наполнится и остальная вода будет выливаться через края бочки, то закон функционального соответствия на все время дождя выразится следующими двумя формулами:

Областью определения функции служит множество всех положительных значений t в промежутке от 0 до 20.

Пример 6. На отрезке координатной оси абсцисс, взятом от начала координат до точки с абсциссой 2, построен равнобедренный треугольник с вершиной в точке (1; 1).

В этом случае (черт. 3) каждому отрезку, изображающему абсциссу х какой-либо точки M

Черт. 1

Черт. 2

боковой стороны треугольника, соответствует определенный отрезок, изображающий ординату у этой точки. Следовательно, отрезок у для какой угодно точки M является функцией отрезка х.

Закон соответствия задан построением равнобедренного треугольника.

Если говорить о длинах упомянутых отрезков X и у, то этот же закон может быть выражен с помощью следующих двух формул:

Областью определения этой последней функции является множество всех положительных чисел в промежутке от 0 до 2.

Пример 7. Пусть каждому действительному числу X поставлено в соответствие число у, равное частному от деления абсолютной величины X на самое число х.

Число у является функцией х. Закон соответствия может быть выражен формулой:

Этот же закон соответствия можно записать иначе, а именно с помощью следующих двух равенств:

Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, отличных от нуля.

Пример 8. Дана четверть AM окружности с неподвижным радиусом OA = R и подвижным радиусом OB, образующим при своем повороте центральный острый угол Z. ЛОВ = а (черт. 4). Каждому значению угла а будет соответствовать отношение длины перпендикуляра ВС к длине радиуса R. Это отношение есть функция угла а, которую называют синусом и обозначают:

Область определения функции, в данном случае, есть множество всех возможных значений угла а в пределах от 0 до 90°, т. е. 0°<а<90°.

Законом соответствия служит вышеупомянутая операция построения перпендикуляра ВС, опущенного из конца подвижного радиуса на неподвижный, и последующее вычисление отношения ВС_ R

Пример 9. В таблице выигрышей по облигациям государственного займа опубликовано двести номеров выигравших облигаций и соответствующие им суммы выигрышей.

В данном случае сумма выигрыша является функцией номера выигравшей облигации. Закон соответствия задан самой таблицей выигрышей. Область определения функции (область допустимых значений аргумента) составляет множество двухсот определенных чисел, показывающих номера выигравших облигаций.

Пример 10. Даны таблицы приближенных значений тригонометрических функций синуса (косинуса) и тангенса (котангенса) для углов от 0 до 90°.

В этом случае функциями будут синус (косинус) и тангенс (котангенс). Законы соответствия заданы таблицами. Областью определения функций является множество всех значений углов в пределах от 0 до 90°.

Пример 11. Пусть каждому положительному числу X поставлено в соответствие наибольшее целое число у, не превышающее х. Проще говоря, у есть целая часть положительного числа х. Например:

Тогда у будет функцией от х, которую обозначают символом:

Таким образом:

Закон соответствия выражен здесь словесным описанием (у равно целой части л:). Областью

Черт. 3

Черт. 4

определения функции служит множество всех положительных чисел.

Пример 12 (задача). Дан внешний центр подобия О, коэффициент подобия k = 2,5 и фигура X на плоскости. Построить по этим данным фигуру Y, перспективно-подобную фигуре X относительно центра О (черт. 5).

Черт. 5

Выполнив построение по правилам, изложенным в § 174—177 учебника геометрии Киселева, часть I, получим, что каждой точке х данной фигуры X соответствует вполне определенная точка у построенной фигуры К, а именно точка у, лежащая с точкой х на одном луче, проведенном из центра О, причем так, что отношение расстояний этих точек от центра О равно коэффициенту подобия k = 2,5 (черт. 5).

В этом случае точки обеих фигур взаимнооднозначно связаны между собой определенным законом соответствия, который можно было бы символически записать так:

у = ч(х),

где под символом у(х) надо понимать правило перспективно-подобного (гомотетичного) преобразования с данным центром и коэффициентом подобия.

Областью определения функции будет множество всех точек данной фигуры X.

Приведенные примеры уяснят учащимся весьма общий смысл современного математического понятия функции.

О ПРИМЕНЕНИИ ЗАКОНОВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ В ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ

Э. ЯСИНОВЫЙ (Куйбышев)

Во многих случаях ошибки в алгебраических преобразованиях, допускаемые учащимися старших классов, объясняются невниманием к законам арифметических действий.

Таковы, например, следующие «сокращения» дробей:

Некоторые учащиеся десятых классов при решении тригонометрических уравнений, однородных относительно sin х и cos лг, пишут:

При выполнении действий с дробями некоторые учащиеся допускают ошибку такого рода:

Ниже я излагаю свой опыт борьбы с ошибками, источником которых является нарушение основных законов арифметических действий.

V класс.

Все основные законы арифметических действий проходятся за первые два месяца.

Безусловно, вначале много внимания уделяется практическим применениям этих законов; но для того чтобы учащиеся не забыли их при прохождении следующих тем, я, проверяя домашние задания, требую от вызванных к доске учащихся формулировок этих законов, умения записать их в общем виде (на буквах) и даю пример на вычисление, с применением законов действий.

Применяя приемы устного счета, некоторые учащиеся допускают ошибки, например, такого рода:

Я объясняю учащимся, что в этом приеме устного счета мы пользуемся распределительным законом умножения относительно сложения (или вычитания), и сопровождаю объяснения следующими записями:

(1)

(2)

Я напоминаю учащимся, под каким названием эти правила помещены в учебнике. Для того чтобы понять равенство (1), надо вспомнить, как умножить сумму на число или число на сумму. Для того чтобы понять равенство (2), необходимо вспомнить, как умножить число на разность.

Учащиеся повторяют еще раз формулировки этих правил. Позже, при умножении и делении смешанного числа на целое, я объясняю, что, применяя распределительный закон, мы эти действия можем выполнять быстрее и рациональнее, чем путем превращения смешанных чисел в неправильные дроби. Так, например, при вычислении выражений:

нет надобности в превращении смешанных чисел в неправильные дроби, так как само превращение с дальнейшим выполнением действий занимает много времени. Эти примеры лучше решить так:

Я говорю учащимся, что эти все выкладки делаются в уме и что только для объяснения я все последовательно записал.

Если бы эти примеры (особенно последний) мы стали решать путем превращения смешанных чисел в неправильные дроби, то мы потеряли бы напрасно много времени.

При сложении или вычитании смешанных чисел я объясняю, что, производя указанные в данном арифметическом выражении действия отдельно над целыми частями смешанных чисел и отдельно над дробными их частями, мы применяем переместительный и сочетательный законы сложения. Например:

Большое значение имеет запись в общем виде всех законов арифметических действий. Этим самым мы закладываем фундамент для лучшего усвоения алгебраического материала в VI классе. Показав запись в буквенном виде 3—4 законов, я в дальнейшем привлекаю самих учащихся к записи в общем виде законов и правил, которые проходятся вновь. Опыт показывает, что поощрение учащихся, написавших правильно в общем виде какое-либо вновь сформулированное правило, побуждает и других к применению записей в общем виде (на буквах).

VI класс.

В VI классе работа в этм направлении продолжается как на уроках арифметики («Проценты», «Отношения» и «Пропорции»), так и на уроках алгебры. Но на уроках алгебры работа протекает в другом плане. Так, например, формулируя теорему об умножении многочлена на одночлен, я спрашиваю, кто ее хочет записать в общем виде (чаще всего после формулировки тех или иных правил алгебры, в том числе и сформулированной выше теоремы, учащиеся сами просятся к доске, чтобы записать в общем виде услышанное правило). После появления на доске записи: (а +b+c+d)-m = a-m+ b-m+c-m+d-m, я обращаюсь к классу со следующими словами: «Подумайте и скажите, на основании какого правила арифметики мы можем так писать».

Желающих немало. Ответ следует правильный: на основании распределительного закона умножения относительно сложения.

Очень важно, чтобы учащиеся поняли, что вывод правил умножения и деления многочлена на одночлен и правила умножения многочлена на многочлен основан на распределительном законе умножения относительно суммы. Также очень важно, чтобы учащиеся поняли смысл термина, которым назван тот или иной закон.

В учебнике «Арифметика» Киселева объясняется название того или иного закона (см. § 20, стр. 14: переместительный и сочетательный законы сложения, § 59, стр. 37: распределительный закон умножения относительно сложения).

Решая по теме «Степени» примеры на вычисление таких выражений, как 23, З2; 25, 52; З4, 43 и т. д., я задаю учащимся вопрос: «Имеет ли место переместительный закон для возведения в степень?» Из вычислений вышеприведенных степеней следует правильный ответ.

В тетрадях ученики записывают следующее: «Действие возведения в степень не обладает переместительным свойством, т. е.

аь ф Ьа (вообще говоря)».

Учащимся нравятся особенно последние слова ^вообще говоря». Я предлагаю подумать о смысле этих слов. Если ученики не умеют объяснить, то я объясняю, что утверждение аь фЪа без всяких оговорок неверно, так как имеются некоторые значения для а и Ь9 при которых ab = ba. Например, 24 = 42, так как 24= 16 и 43 = 16. И еще: ab = bay если а = Ь.

В связи с ошибками, допускаемыми учащимися шестых классов при возведении в степень суммы, я задаю вопрос: «Имеет ли место рас-

пределительный закон при возведении в степень суммы?» Если учащиеся не понимают вопроса, я объясняю его следующим образом: «Когда мы пишем:

то это означает, что умножение числа на сумму «распределяется» на каждое слагаемое этой суммы. Когда мы пишем:

то это означает, что деление суммы на число можно «распределить» на каждое слагаемое этой суммы, т. е. каждое слагаемое разделить на это число m, а потом уже все частные сложить. Когда же вы пишите:

то вы молчаливо считаете, что действие возведения в степень суммы обладает распределительным свойством, т. е. что это действие «распределяется» на каждое слагаемое. А это неверно. Во-первых, уже по формуле, как вы знаете, имеем:

а во-вторых, можно убедиться на примерах в том, что вы не правы, когда пишете:

Так, например,

В тетрадях ученики записывают следующее: «Распределительный закон возведения в степень относительно суммы или разности, вообще говоря, не имеет места, т. е.

(Х~\~У)2 Ф х2+у2 (вообще говоря)». Смысл слов «вообще говоря« уже понятен учащимся. Я предложил учащимся найти пример, когда справедливо равенство

Применяя правило возведения в степень произведения, некоторые учащиеся допускают ошибки вида:

Я объясняю, что в этом случае мы имеем дело с распределительным законом возведения в степень относительно умножения; беря квадрат произведения 3-а-&, мы должны каждый его множитель возвысить в квадрат. Запись

означает, что действие возведения в степень произведения «распределяется» на каждый множитель этого произведения.

Опыт показывает, что чем чаще при допущении учащимися ошибок, рассматриваемых выше, обращать внимание на соответствующие законы, тем скорее уменьшится число учащихся, допускающих эти ошибки.

VII класс.

Если ученик VI или VII класса допустил ошибку, например, такого рода:

а другой ученик указал ее, объяснив правильную запись тем, что перед скобками стоит знак минус, я обращаюсь еще к классу с вопросом: «Кто, из вас вспомнит, какое правило из арифметики, которое вы проходили в V классе, применимо здесь?

На основании какого правила из арифметики написано:

Поднимается несколько рук; один из учеников отвечает: «Правило читается так: для того чтобы вычесть разность из какого-либо числа, можно вычесть уменьшаемое и прибавить затем вычитаемое или раньше прибавить к числу вычитаемое, а потом вычесть уменьшаемое».

Подобного рода ошибки встречаются и при сложении и вычитании алгебраических дробей. Когда же учащиеся поправляют эти ошибки, мотивируя свою поправку пресловутыми словами «ведь перед чертой дроби стоит знак минус ...», то я и здесь задаю вопрос, подобный предыдущему.

Если учащиеся VII класса пишут на доске, например:

я обращаюсь к классу с вопросом: «Кто объяснит (не только укажет, а объяснит), в чем заключается ошибка?» Привожу один из ответов: «Мы знаем, что при делении многочлена на одночлен следует каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные частные сложить. Здесь же он только 2а2Ь разделил на by а с не разделил. Надо писать:

«А кто хочет, — обращаюсь я к учащимся, — вспомнить одно правило из курса арифметики V класса, которое здесь применяется?» Последовал ответ: «Здесь применим распределительный закон деления относительно сложения, который читается так: для того чтобы некоторую сумму разделить на число, достаточно на это число разделить каждое слагаемое суммы и полученные частные сложить».

VIII класс.

В VIII классе я также пользуюсь каждым удобным случаем, дающим возможность иллюстрировать применение того или иного закона действий, того или иного определения даже в том случае, когда ошибка не допущена (а особенно когда она допущена). Я приучаю учащихся пользоваться этими законами и определениями и для мотивировки тех или иных преобразований, которые они проделывают над алгебраическим выражением, а также при доказательствах теорем (правил). Всякое преобразование, которое учащийся проделывает, должно быть мотивировано: на основании какого определения или какого закона мы представляем данное выражение в другом виде, а полученное выражение в новом виде и т. д. Так, например, задав на дом самостоятельно выучить § За, б по учебнику алгебры Киселева, ч. II, я обнаружил, что никто во вновь принятом мною VIII классе не мог связно, мотивированно рассказать доказательство теоремы о возведении в степень произведения и дроби. Я говорю учащимся, что в учебнике этот вопрос (и многие другие) изложен сжато, конспективно, кратко. Например (Киселев, Алгебра, ч. II, стр. 3): «Пользуясь известными свойствами умножения, получим ...», а далее следуют преобразования. Значит, ученик должен знать, какие свойства умножения здесь применены.

При прохождении теорем о возведении произведения и дроби в степень я еще раз напоминал учащимся о распределительном законе. При прохождении формулы квадрата многочлена я задал вопрос: «Имеет ли место распределительный закон возведения в степень относительно сложения?»

Привожу ответ одного из учеников: «Распределительный закон возведения в степень относительно сложения не имеет места, так как если бы он имел место, то мы должны были бы, например, писать, что

а это неверно: в правой части должны быть еще удвоенные произведения 2ab+2ac+2bc».

В тетрадях учащиеся записывают следующее предложение: «Распределительный закон возведения в степень произведения или дроби имеет место, распределительный закон возведения в степень суммы не имеет места».

То же самое я повторяю при прохождении теорем об извлечении корня; формулы:

означают, что действие извлечения корня обладает распределительным свойством относительно умножения и деления. Но извлечение корня из суммы (или разности) не обладает распределительным свойством, так как, например, нельзя писать, что:

без всяких оговорок, т. е. вообще

В этом необходимо убедить учащихся как путем возведения правой части соответственно в квадрат или куб, так и на конкретном примере, скажем, таком:

(точки заменяют здесь десятичные знаки), т. е. можно записать с помощью неравенств:

Если же извлечь корень отдельно из каждого слагаемого, т. е. если применить распределительный закон извлечения корня из суммы, то получим, что У 16+25=4+ 5, т. е. что ]/Т\ = = 9, а это неверно.

Если ученик VIII класса допускает ошибку такого рода:

или такого рода:

то я не ограничиваюсь репликами: «так не сокращают» или «ведь перед чертой дроби стоит знак минус». Я привлекаю учеников к тому, чтобы они доказали неправильность этих действий, т. е. чтобы они указали, какие правила арифметики или алгебры нарушены в том или ином случае.

Если учитель будет следить систематически за тем, чтобы учащиеся сознательно выполняли те или иные действия, т. е. чтобы они умели обосновать свои действия, ссылаясь на соответствующие законы, если учитель для исправления ошибки, допущенной на доске учеником, будет привлекать учащихся класса с тем расчетом чтобы они не только указали и исправили ошибку, а также объяснили, на основании какого закона арифметики или алгебры сделано исправление, — тогда учащиеся лучше усвоят проходимый материал и увереннее будут проводить выкладки в преобразованиях алгебраических выражений.

ИЗ ОПЫТА

ОБ ЭЛЕМЕНТАХ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ В ШКОЛЕ РАБОЧЕЙ МОЛОДЕЖИ

П. И. ЕГОРШИН (г. Горький)

На наш взгляд, политехническое обучение должно в первую очередь осуществляться на самом уроке (как основной форме учебно-воспитательной работы). В связи с этим в процессе изучения программного материала учащиеся должны знакомиться с применением полученных знаний в науке, технике и практической деятельности человека. Кроме того, на самом уроке с учащимися необходимо производить доступные им расчеты и вычисления, непосредственно связанные с жизнью, с практикой.

Цель настоящей статьи — поделиться педагогическим опытом по внедрению элементов политехнизма на уроках математики в старших классах средней школы рабочей молодежи № 5 г. Горького.

В IX классе при изучении темы «Правильные многоугольники» мы практикуем построения и измерения на местности, в частности построение квадрата, правильного шестиугольника и треугольника путем деления окружности на несколько равных частей. Построение вполне возможно проводить с помощью простейших инструментов и принадлежностей: бечевки, рулетки или мерной ленты и эккера — крестообразного или цилиндрического типа, изготовленного самими учащимися. Эккер необходим для построения прямых углов (построение квадрата).

Одновременно непосредственными измерениями устанавливается, что радиус описанной окружности вдвое больше радиуса вписанной в правильный треугольник окружности.

Учащиеся определяют центр окружности, описанной около правильного многоугольника или вписанной в него, как точку пересечения двух перпендикуляров, восставленных к сторонам многоугольника из их середин, или двух биссектрис углов, или, наконец, одного такого перпендикуляра с биссектрисой. Проведение этих работ на местности имеет большое значение в дальнейшем при решении задач, а также для глубокого усвоения программы по геометрии в X классе.

По измеренным сторонам учащиеся дома вычисляют площади правильных многоугольников по формулам:

а) для треугольника

б) для шестиугольника

Для решения в классе и дома, а также для самостоятельных работ предлагаются задачи не только из задачника (§ 12 № 1—5, 7, 9—11, 15, 16, 17, 24, 31—34), но и такого типа:

1) На деревянную колонну, поддерживающую перекрытие, действует сжимающая сила 6,3 т. Определить нагрузку на 1 кв. см колонны, если ее поперечное сечение представляет квадрат со стороной 15 см.

2) Из каких правильных многоугольников данного вида можно сложить паркет?

3) Можно ли произвести настилку пола из паркета в форме квадратов и таких правильных многоугольников, стороны которых равны сторонам квадрата? Представьте на чертеже (черт. 1).

4) Пол машинного зала электростанции размером 8 м X 14 м нужно выстлать керамическими плитками в форме правильных шестиугольников. Ширина плитки (расстояние между двумя параллельными сторонами) равна 150 мм. Сколько потребуется плиток?

5) Ледник имеет форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами 5 му 4 м и 2,5 м. Сколько рейсов придется сделать трехтонному автомобилю, чтобы набить ледник полностью льдом, если 1 куб. м льда весит 0,9 m (пустоты во внимание не принимаются).

6) Балка прямоугольного поперечного сечения, выпиленная из круглого бревна, имеет наибольшую прочность, если высота сечения больше ширины его в }/2 раза.

Вычертить сечение балки на торце бревна (задача для повторения). Решение (черт. 2):

Наибольшая прочность балки получается при 2

АЕ= d, где d — диаметр бревна, или СЕ =

При изучении темы «Длина окружности и площадь круга» мы приносим в класс цилиндр, конус и усеченный конус, изготовленные самими учащимися. Повернув, например, цилиндр своим основанием, обращенным к учащимся, мы предлагаем определить длину окружности и площадь круга двумя приемами:

1. Сначала ориентировочно, на глаз, каждый учащийся записывает у себя в тетради, какова по его мнению должна быть длина окружности и площадь круга.

В это время учитель обходит парты и просматривает записи учащихся. Затем на доске мы выписываем только верхние и нижние границы прикидочных вычислений учащихся, т. е. наименьшие и наибольшие значения величин длины окружности и площади круга в виде таблички:

Границы вычислений

Длина окружности

Сгл. в СМ

Площадь круга

Sr;i, в см2

Наименьшее значение

Наибольшее значение

2. Затем несколько учащихся (2—3 человека) поочередно измеряют диаметр основания цилиндра с помощью штангенциркуля.

Результаты измерения записываются на доске. При расхождении результатов учитель устанавливает источник ошибки учащегося, происходящей, как правило, от неправильного отсчета по штангенциркулю (благодаря наличию нониуса на движке точность отсчета составляет от 0,1 мм до 0,02 мм).

После этого цилиндр и штангенциркуль учитель передает на каждую парту для тренировки в отсчетах (устройство штангенциркуля и порядок отсчетов следует объяснить раньше или в начале данного урока).

Наконец, каждый из учащихся находит относительную величину погрешности, полученную на основании глазомерных определений по формулам:

а) при вычислении длины окружности

(1')

б) при вычислении площади круга

(2')

где С и S — соответственно величины длины окружности и площади круга, полученные на основании измерения; Сгл. и 5ГЛ. — величины длины окружности и площади круга, полученные на глаз.

Черт. 1

Черт. 2

Формулы (1) и (2) применяются в том случае, когда глазомерные вычисления получены с недостатком по отношению к «точному» результату С и 5, а формулы (V) и (2') — с избытком.

Рассматривая вопрос об отношении длины окружности к диаметру, мы обращаем внимание учащихся, что тг — число постоянное для всех окружностей и иррациональное. Если при решении задач мы берем приближенное значение it = 3,14, то мы обязаны пользоваться методом приближенных вычислений: «Число точных цифр в результате умножения и деления приближенных чисел не может быть больше, чем в наименее точном из данных». Число 3,14 содержит три значащие цифры, значит, в результате умножения или деления на это число следует оставлять только три значащие цифры.

Здесь мы обращаем внимание учащихся на исключительную роль в создании теории приближенных вычислений знаменитого русского математика П. Л. Чебышева и академика Героя Социалистического Труда А. Н. Крылова.

Двум учащимся поручаю подготовить доклады о П. Л. Чебышеве и А. Н. Крылове. Эти доклады мы заслушиваем во внеурочные часы.

Для самостоятельных работ и упражнений в классе и дома мы практикуем такие задачи:

1) Какой груз выдерживает стальной канат, имеющий 14 см в окружности, если допускаемая нагрузка равна 800 кг/см2?

2) Определить площадь поперечного сечения трубы городского водопровода, имеющего внутренний диаметр 600 мм.

3) Буксирный пароход тянет баржу с равномерной скоростью. Сила тяги пароходного винта в данный момент равна 1400 кг. Сопротивление воды движению самого парохода равно 600 кг. Определить диаметры канатов, которые надо протянуть от парохода к барже, если применять один канат, а также два и три одинаковых каната. Допускаемая нагрузка на канат равна 100 кг/см2.

4) Скорость паровоза 72 км/час, радиус его колеса 1 м\ колесо катится по рельсу без скольжения.

а) Определить скорость поезда в секунду.

б) Определить число оборотов колеса в секунду.

5) Груз С =. 2000 кг, обвязанный пеньковым канатом (черт. 3), поднимается краном. Найти диаметр каната, если допускаемая нагрузка равна 100 кг\см2.

6) Во сколько раз, при одинаковой скорости течения, через трубу диаметром 15 см протекает воды больше, чем через трубу диаметром 6 см?

7) В цилиндре паровой машины пар давит с силой 12 кг на 1 кв. см. Диаметр поршня 35,6 см. Как велико давление пара на поршень?

Заслуживает всеобщего внимания опыт 401-й московской мужской школы, в которой ученики, начиная с VII класса, ведут тетради «Новое в науке и технике». В этих тетрадях можно встретить: «Шагающий экскаватор», «Землесосный снаряд», «Гиганты самосвалы» и др. Наша школа переняла этот опыт и успешно применяет его на уроках математики.

Учащимся X класса на уроках геометрии предлагается приближенно, на глаз, определить боковую и полную поверхности, а также объем призмы, параллелепипеда, пирамиды, цилиндра и конуса.

Затем учащиеся производят измерения необходимых элементов геометрического тела (ребер, диаметра, высоты и т. д.) и соответствующие вычисления.

Нахождение поверхностей и объемов «действительных» реальных тел и заключительный этап работы — сравнение вычисленных результатов с глазомерными — всегда вызывают повышенный интерес у учащихся. Практика показывает, что ошибка глазомерных расчетов с каждым разом резко уменьшается. Уже третье глазомерное определение для большинства учащихся дает удовлетворительные результаты.

Для упражнений на поверхности и объемы тел, кроме задач, имеющихся в задачниках Рыбкина, мы предлагаем значительное количество задач, связанных с жизнью.

1) Сколько кубических метров раствора пойдет на наружную штукатурку стен здания длиной 65,5 м, шириной 14,5 м и высотой 20,8 м? Здание имеет 80 окон размерами 1,6 л*Х2,25 м и 4 наружные двери 1,5 л* X 2,50 м. На 1 м2 стены расходуется 0,036 куб. м раствора (ответ дать с точностью до 0,1 куб. м).

2) Крыша башни имеет вид правильной шестиугольной пирамиды. Сторона основания 2,3 м,

Черт. 3

высота 4,1 м. Узнать поверхность крыши с точностью до 0,1 кв. м.

3) Классные помещения должны быть рассчитаны так, чтобы на одного учащегося пришлось не менее 6 мА воздуха. Допустимо ли в класс размером 8,1 л*Х6>5л*Х4>2 м поместить 35 человек?

4) На 1 куб. м кладки расходуется 420 кирпичей. Сколько потребуется кирпичей для постройки складского помещения длиной 15 м, шириной 7,78 м и высотой 4,0 м, имеющего 4 окна размерами 0,8 л*ХЬ5 м и одну дверь 1,0 л*Х2,2 м! Толщина стен 39 см.

5) Определить емкость сарая прямоугольной формы с двускатной крышей и прямым углом между стропилами, если длина сарая 12 м, ширина 7,5 M, высота стен 3,5 м.

6) Сколько воды вместит цилиндрический паровой котел, имеющий длину 3,5 м и внутренний диаметр 1,4 м? Через котел проходят две паровые трубы с диаметром по 35 см каждая.

7) Средний годовой сток речных вод достигает на территории Советского Союза 3939 куб. км. Какова будет площадь водохранилища, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с высотой 10 м (0,01 км), чтобы поместить эту воду?

8) Угол откоса для мелкого песка ср —31°. Куча песка имеет вид конуса, длина окружности основания которого С = 11 м. Удельный вес песка d = \9ß. Узнать вес этой кучи (Н. Рыбкин, § 21, № 32).

9) Сосуд, имеющий форму шара, наполнен газом с давлением, равным 150 am. Внутренний диаметр шара 300 см. Определить величину давления, испытываемую всей сферической поверхностью.

При прохождении темы «Косоугольные треугольники» учащиеся получают сведения об измерительных угломерных инструментах, их устройстве и технике отсчета углов. По окончании темы мы ежегодно проводим измерения на местности элементов косоугольных треугольников.

Для этого в назначенный день и час учащиеся выходят на берег реки Волги. После тренировки в отсчетах и измерения углов с помощью теодолита и разбивки базиса мерной лентой (обычно в 100 м или 200 м) замечаем на противоположном берегу Волги несколько видных предметов (столб, куст, копна сена и т. д.); измеряем два угла (Л и С) с концов базиса (черт. 4). Каждый учащийся непременно измеряет «свои» углы и решает «свою» задачу. Все вычисления элементов треугольника учащиеся производят дома. Учитель записывает лишь базис и два угла, полученные каждым учащимся в результате измерения.

Подобные задачи практической тригонометрии вызывают живейший интерес со стороны учащихся. Буквально на следующий день почти все учащиеся приносят учителю решения своих косоугольных треугольников, как своеобразный рапорт успехов в области тригонометрии.

Вторым, осуществленным в нашей школе мероприятием по политехническому обучению является привлечение абсолютно всех учащихся к моделированию задач и теорем по геометрии.

Цель моделирования двойная: во-первых, развить у учащихся пространственное воображение; во-вторых пробудить интерес к конструированию и привить учащимся практические навыки, необходимые для любой профессии.

Учитывая загруженность учащихся школ рабочей молодежи, а также необходимость развития абстрактного мышления, не следует чрезмерно увлекаться моделированием. Поэтому мы придерживаемся твердого правила: каждый учащийся VIII—IX классов изготовляет одну модель за весь год, а учащиеся X класса — две модели в год.

Обычно модели изготовляются из весьма различных материалов: бумаги, картона, фанеры, дерева, стекла, проволоки, оргстекла и т. д.

Приводим несколько чертежей моделей, изготовленных учащимися к задачнику Н. Рыбкина «Сборник задач по тригонометрии» (черт. 5—7).

Для моделирования мы берем теоремы из стабильных учебников Киселева, ч. I—II, а задачи— из «Сборника задач по геометрии» ч. I—II, «Сборника задач по тригонометрии» Н. Рыбкина, а также из ряда пособий.

Учащиеся VIII—X классов нашей школы принимают также активное участие в изготовлении наглядных пособий по алгебре, геометрии и тригонометрии. За последние пять лет учащиеся изготовили все необходимые пособия по геометрии: несколько призм, параллелепипедов, пирамид, цилиндров, конусов, шар и его части и многое другое. Изготовлены плакаты по геометрии, алгебре и тригонометрии основных формул, сечений тел и графиков функций (23 плакатов). Эти

Черт. 4

модели и плакаты (часть которых экспонировалась на Всероссийской научно-практической конференции работников школ рабочей молодежи в Москве 27—31 октября 1952 г.) оказывают ценную помощь учителю как на самом уроке, так и во время проведения групповых и индивидуальных консультаций и дополнительных занятий.

В настоящее время учащиеся IX и X классов заняты изготовлением фотоальбома по математике, богато иллюстрированного чертежами, графиками, сечениями тел и образцами решения отдельных задач и примеров.

К третьему мероприятию по политехническому обучению относится внеклассная работа. В начале учебного года нами была поставлена задача обучить учащихся VIII—X классов работать с логарифмической линейкой. Имеются уже некоторые результаты: учащиеся без всякого труда овладели вычислением квадратов чисел, извлечением квадратного корня и, наконец, значений тригонометрических функций. В настоящее время продолжается работа по обучению умножению, делению и логарифмированию чисел.

На занятиях математических кружков VIII— X классов учащиеся сделали ряд докладов:

1) Устный счет.

2) Определение неприступных расстояний.

3) Угломерные измерительные приборы и использование их в школьной практике.

4) О выборе профессии. Профессия математика (по брошюре акад. Колмогорова).

5) Решение некоторых задач по физике и математике с помощью графиков и номограмм.

В течение последних пяти лет в нашей школе регулярно проводятся физико-математические и химические вечера.

Подобные вечера проводятся с целью:

1) ознакомления учащихся с жизнью и деятельностью выдающихся деятелей русской и советской науки и техники;

2) ознакомления с последними достижениями советской науки и техники;

3) показа применения законов физики, математики и химии в производственных процессах и практике коммунистического строительства.

В 1952/53 учебном году в школе проведены четыре такие вечера. На них поставлены доклады о жизни и деятельности великих русских ученых и изобретателей: М. В. Ломоносова, Д. И. Менделеева, Н. И. Лобачевского, М. В. Остроградского, П. Л. Чебышева, С. В. Ковалевской, А. М. Ляпунова, А. Н. Крылова, Ивана Федорова, И. И. Ползунова, И. П. Кулибина и К. Э. Циолковского.

В настоящее время школа готовит вечер, посвященный советским математикам и химикам — академикам И. В. Виноградову, А. Н. Колмогорову, О. Ю. Шмидту, Н. Д. Зелинскому.

Учащиеся IX и X классов нашей школы под руководством учителей разрабатывают какую-нибудь интересующую их тему. Ниже указаны некоторые из этих тем:

1. Другой вывод формулы суммы членов арифметической и геометрической прогрессий.

2. История открытия логарифмов.

3. Применение пределов в геометрии в курсе IX и X классов.

4. Выбор профессии. Профессия математика.

5. Действия с комплексными числами, выраженными в тригонометрической форме.

6. Наивыгоднейшее изображение трехмерных геометрических образов на плоскости.

7. Теория приближенных вычислений.

8. Решение двучленных уравнений при помощи комплексных чисел (применение формулы Моавра).

9. Метод математической индукции в средней школе.

Черт. 5 Черт. 6 Черт. 7

10. Изготовление простейших измерительных приборов.

К четвертому мероприятию следует отнести производственные экскурсии учащихся на объекты строительства, в лаборатории высших учебных заведений и планетарий.

В этом учебном году учащиеся всех классов нашей школы три раза посетили планетарий, а учащиеся десятых классов побывали в лабораториях Горьковского инженерно-строительного института имени В. П. Чкалова, университета, Политехнического института имени А. А. Жданова и Педагогического института.

В результате этих экскурсий учащиеся еще более убеждаются в тесной связи математики, химии и физики, сложности современной техники.

ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛИТЕХНИЗАЦИИ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

П. Д. АРТЕМОВ (Воронеж)

При политехническом обучении изучение основных принципов производства и приобретение практических навыков должны органически входить в содержание предметов, в том числе и в математику.

Работая много лет учителем математики, я пришел к глубокому убеждению, что знания учащихся по математике и их интерес к ней значительно повышаются, если в процессе учебной работы по математике решаются задачи производственно-технического характера.

Прикладными производственными вопросами нужно насыщать курс математики. Однако нельзя так вести преподавание математики, чтобы нарушался стройный порядок в прохождении программы, чтобы нарушалась методика преподавания математики из-за практических целей, значит, сообщение основ математических знаний должно находиться на первом месте и лишь в порядке закрепления и повторения пройденного следует на уроках математики решать задачи, связанные с производством, с техникой, расширяя знания в связи с политехнизацией.

Техническими задачами и формулами нельзя пользоваться без системы. Их нужно давать тогда, когда теоретический математический материал урока по математике усвоен и его надо закрепить. Поэтому задачи и формулы я подбираю по темам математики и решаю в строго определенной системе, чтобы закрепить соответствующую тему.

Первое главное требование при политехнизации, которому должна быть подчинена вся работа по математике: учить лучше, добиваться высокой культуры математических вычислений, научить самостоятельно и творчески работать.

Второе требование, на которое должно быть обращено особое внимание, — это вопрос о выработке у учащихся умений и навыков в применении полученных математических знаний в других науках, в производственной жизни, в технике и в сельском хозяйстве. При политехническом обучении значение практических навыков приобретает весьма ответственный характер.

Для внедрения элементов политехнизма на уроках математики необходимо научить учащихся пользоваться конторскими счетами; это имеет не только практическое, но и познавательное значение. Желательно познакомить учащихся с работой на арифмометре.

Нужно научить пользоваться измерительными приборами: кронциркулем, штангенциркулем, микрометром, центроискателем.

Нужно научить определять точность вычислений на микрометре и штангенциркуле. Необходимо научить пользоваться поперечным масштабом, делительным циркулем, логарифмической линейкой.

Одной из основных задач с точки зрения политехнического обучения является привитие учащимся навыков в измерении на местности, в измерении недоступных расстояний, в определении высоты предмета, к которому нельзя подойти. Большое значение имеет также определение объемов и поверхностей различных сооружений.

Большое значение в технике имеют приближенные измерения. Этому вопросу в настоящее время уделяется мало внимания, а на него нужно обратить большее внимание. Следует хорошо проработать вопрос о численном и линейном масштабе, о предельной точности масштаба, что крайне необходимо для измерительной работы на местности.

Нужно привить навыки пользования справочниками, таблицами: умножения, деления, процентных расчетов, извлечения корней и т. д.

При прохождении темы о треугольниках следует сказать учащимся, что треугольник очень

устойчивая фигура и имеет большое применение в технике: стропила крыш домов имеют форму треугольников, из треугольников построены лебедки экскаваторов и подъемных кранов.

Необходимо продемонстрировать треугольник и прямоугольник, сделанные из пластинок, закрепленных в углах одним гвоздем. Показать, что треугольник устойчив, а прямоугольник при нажатии превращается в косоугольный параллелограм. Такой подход вызывает большой интерес учащихся.

При решении задач геометрического характера на вычисление площадей геометрических фигур, на вычисление поверхностей и объемов геометрических тел следует применять в качестве наглядных пособий чертежи, модели и демонстрировать непосредственно производственные детали или модели деталей: пробки для кранов, фланцы, крышки молота, подшипники и др.

Следует отметить, что большой интерес у учащихся вызывает решение задач при непосредственном измерении производственных деталей в классе самими учащимися.

При вычислении числовых значений алгебраических выражений при данных значениях букв следует давать задачи на вычисление некоторых несложных технических формул.

Примерно: Токарь завода имени Калинина (Воронеж) Ростовцев на токарном станке ДИП-200 при 562 оборотах в минуту обтачивал бабу для молота диаметром 340 мм. Определить скорость резания (т. е. определить длину стружки, даваемую за 1 минуту).

При решении нужно сказать, что скорость резания определяется по формуле:

В этой формуле V — скорость резания, тс = 3,14, D — диаметр обтачиваемой детали. По нашей задаче D = 340 мм, п — число оборотов в минуту. По нашей задаче л = 562 оборота (делится на 1000, чтобы получить длину стружки в метрах, так как диаметр всегда дается в миллиметрах).

Дано:

имеем:

Подобной задачей мы даем учащимся понятие о применении алгебры в технике.

Решив эту задачу, следует сказать, что до Великой Октябрьской социалистической революции была скорость резания до 100 м в минуту.

У нас в СССР многие стахановцы-скоростники значительно превысили эту скорость. Токарь Ростовцев добился скорости резания 600 м в минуту, а токарь завода имени Коминтерна (Воронеж) Елагин достиг скорости резания 1600 м в минуту. Таких скоростей резания не добились ни в одной капиталистической стране.

Такое пояснение возбуждает не только интерес, но и восторг учащихся.

На уроках алгебры при решении задач на составление уравнений следует давать задачи производственно-технического характера, которые может составить каждый учитель математики, ознакомившись предварительно с некоторыми вопросами техники.

На уроках же арифметики следует решать задачи производственно-технического характера, составление которых не вызовет особых затруднений.

Привожу в качестве образцов ряд задач по темам программы.

По теме: «Целые числа»

Задача 1. Длина детали прямоугольной формы на чертеже 5 мм, а ширина 3 мм. Масштаб 1 :100. Определить площадь детали в натуре.

Задача 2. Зубчатое колесо делает 4620 оборотов за 77 минут, а другое колесо делает 1080 оборотов за 54 минуты. Во сколько раз первое колесо вращается быстрее второго?

По теме: «Десятичные дроби»

Задача 3. Оловянистая бронза содержит 0,84 меди и 0,16 олова.

Сколько килограммов меди и олова в отдельности содержится в 250 слитках, если каждый слиток весит 6 кг?

Задача 4. Шпиндель токарного станка делает 400 оборотов в минуту, а продольная подача за один оборот 0,4 мм. Сколько потребуется времени, чтобы обточить две детали длиной 1279,4 мм и 320,6 мм, если на установку каждой детали необходимо 3 минуты?

Задача 5. Винт, повернувшись 5 раз, уходит вперед на 0,3 мм. На сколько он уйдет вперед за 15 оборотов?

Задача 6. Длина начальной окружности зубчатого колеса 301,44 мм. Расстояние между серединами зубцов 9,42 мм по начальной окружности. Сколько зубцов имеет колесо?

По теме: «Проценты»

Задача 7. Советский твердый сплав «победит» содержит вольфрама с углеродом 88,5%, кобальта 10%, никеля 1,5%. Сколько содержится каждого из этих веществ в 300 кг «победита»?

Задача 8. Оловянистый баббит содержит 83% олова, 11% сурьмы, 6% меди. Сколько

взять указанных веществ для изготовления 240 кг баббита. На угар прибавить 6%.

Задача 9. Углеродистая сталь содержит 98% железа, 1,45% углерода, 0,37% кремния, 0,08% марганца, 0,05% серы, и 0,05% фосфора. Сколько содержится каждого из этих веществ в куске стали весом 250 кг'?

Задача 10. Щелочной раствор для промывки деталей должен содержать каустической соды 3%, кальцинированной соды 14%, поташа 2%, мыла 1% и воды 80%.

Сколько надо взять каждого из указанных веществ для приготовления 160 кг раствора?

По теме: «Вычисление числовых значений алгебраических выражений при данных значениях букв»

Задача 11. Токарь завода имени Калинина (Воронеж) Ростовцев на токарном станке ДИП-200 при обточке бабы для молота диаметром 340 мм достиг скорости резания 600 м в минуту. Определить число оборотов в минуту по формуле:

Задача 12. Необходимо нарезать на токарном станке бронзовую гайку при диаметре резьбы D=18 мм и при диаметре сверления d= 15,1 мм. Определить глубину резьбы по формуле:

Задача 13. Определить мощность кузнечного молота М-412 по формуле:

где Е — мощность молота, v — скорость в секунду, равная 7 M, m — масса падающих частей (бабы и пр.), /я =15,2 кг.

Задача 14. Вычислить мощность молота М-415 по формуле Е = г^-, где v— скорость 7 м\секу /гс = 40,7 кг — масса падающей части.

Задача 15. Вычислить площадь сечения неравнобочной угловой стали по размерам, данным на чертеже 1 в миллиметрах.

Задача 16. Вычислить площадь головки шестигранного болта со стороной 12 мм.

По теме: «Длина окружности и площадь круга»

Задача 17. Вычислить длину приводного ремня по чертежу 2. Диаметры шкивов по 200 мм, а расстояние между центрами шкивов 1500 мм.

Задача 18. Вычислить длину окружности крышки молота, у которой диаметр D равен 151 мм.

Задача 19. Вычислить площадь фланца, у которого наружный диаметр D равен 120 мм, а внутренний диаметр D равен 41 мм.

Задача 20. Вычислить площадь фланца, у которого диаметр внутренней окружности равен 41 мм, а ширина кольца 39,5 мм.

По теореме Пифагора

Задача 21. Вычислить длину ремня при перекрестной передаче (черт. 3), если диаметры шкивов по 300 мм, а расстояние между центрами шкивов — 3 000 мм.

По теме: «Поверхности и объемы»

Задача 22. Сколько литров нефти вместится в ванне, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда длиной 20 дм, шириной 10 дм, высотой 60 см?

Задача 23. Какой длины нужен стальной квадратный прут со стороной квадрата 4 см для изготовления 80 молотков весом 0,75 кг каждый? На угар и обрубки прибавить 6%.

Задача 24. Сколько потребуется железа для изготовления круглой масляной ванны (с крышкой) высотой 60 см, диаметром 80 см? На обрезки и загибы добавить 5%.

Задача 25. Сколько выйдет молотков весом 0,6 кг каждый из стального круглого прута длиной 4 м и диаметром 2 см. Допуски и угар 10%.

Задача 26. Определить вес стального кольца с диаметром D = 20 см и Dt=5 см, толщина кольца 2 см (öf = 7,8),

Указанные образцы не исчерпывают всех задач, необходимых при политехническом обучении, — они не охватывают всех специальностей. Каждый преподаватель математики сможет дополнить этот список другими задачами, ознакомившись предварительно с той иди другой специальностью.

Черт. 1 Черт. 2 Черт.3

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПИОНЕРСКИХ СБОРАХ

С. С. БЕЛОВ (Ростовская обл.)

1.

Бесспорно, что интерес к предмету со стороны учащихся является существенным условием для успешного и прочного его усвоения. Поэтому, начиная работу в школе, я поставил перед собой задачу возбудить у учащихся интерес и любовь к математике. Эта задача для меня облегчалась тем, что в этих же классах я вел физику и имел возможность на уроках физики подчеркнуть значение математики.

При изучении физических явлений я подчеркивал важность математических законов, помогающих разобраться в целом ряде сложных технических вопросов.

Особое внимание при этом я уделил при прохождении тем (Простые измерения», «Простые механизмы» и др.

Говоря о творцах новой техники, конструкторах и изобретателях — лауреатах Сталинской премии, я указывал учащимся на необходимость знать хорошо математические законы. Приводил примеры, подтверждающие, что любую машину можно сделать правильно и точно лишь в том случае, если знаешь превосходно математику и умеешь применять знания последней на практике.

В связи с этим у учащихся возникал целый ряд вопросов, выходящих за пределы программы. Вместе с этим я пришел и к выводу о том, что сведений и знаний, получаемых учащимися на уроках, недостаточно, чтобы удовлетворить растущие потребности школьников.

Сделав такой вывод, я часть вопросов стал переносить на воспитательный час, проводимый мною, как классным руководителем, один раз в неделю. При этом я не пытался сразу явно ставить вопросы, связанные с математикой. Но каждый раз, проводя беседу на ту или иную тему, я старался незаметно включить эти вопросы, указывая на органическую, естественную связь математики с народным хозяйством.

Так, например, в беседе о «Чудо-машинах» я приводил данные о творческом содружестве специалистов-математиков и инженеров при работе над техническими проблемами.

При проведении беседы на тему «Наша страна — родина авиации» я рассказал популярно о работе счетных машин, показал учащимся чертежи с расчетами первых воздушных шаров, дирижаблей и самолетов. Говоря о работе малых вычислительных машин, я привел следующий факт: перемножение двух восьмизначных чисел занимает на такой машине 40 секунд. При этом я заметил, что этот факт не произвел на учащихся особенного впечатления. Тогда я предложил трем учащимся перемножить два восьмизначные числа. Это заняло у них довольно много времени, да и к тому же ответы у всех получились разные. Только после этого учащиеся прониклись уважением к «умной», как они выразились, машине, которая сама выполняет в указанном порядке арифметические действия, фиксирует промежуточные результаты, использует их в дальнейших вычислениях и, наконец, выдает окончательный отпечатанный результат.

Так постепенно я подводил учащихся к неизбежному логическому выводу о важности и необходимости математических наук.

Заметив у учащихся некоторую заинтересованность предметом, я стал в конце часа, отводимого на воспитательную работу, изредка предлагать занимательные задачи или проводить устно шутливые математические викторины, постепенно усложняя подбираемый материал.

Элемент занимательности и эта кропотливая работа, которую я, конечно, закреплял и на уроках, привели к положительным результатам. Я стал замечать, что учащиеся с нетерпением ждут «математическую пятиминутку», как я ее назвал, и бывали огорчены, если она по плану не намечалась на этот день.

Удостоверившись в этом, я стал переходить к более обстоятельным и целенаправленным сообщениям об измерительной технике; о том, как математика применяется при изучении законов движения небесных тел, при расчетах металлических конструкций, зданий, кораблей, плотин, электростанций и т. д.

При этом я уделял несколько минут пропаганде научно-популярной литературы, показывая иллюстрации и зачитывая отдельные выдержки из таких книг, как «Занимательная алгебра» и «Занимательная геометрия» Перельмана, «Занимательные задачи» Г. Б. Поляк (Учпедгиз, 1948), «Число и наука о нем» Г. Н. Берман (Гостехиздат, 1948), «Счет и число» Г. Н. Берман (Военгиз, 1948), «Когорта славных» Ю. П. Фролов (Госкультпросветиздат, 1949) и т. д.

В классе всегда находились желающие прочесть данную книгу. Рассказывая о прочитанной книге, они заинтересовывали своих товарищей. И книга долго ходила по рукам учащихся.

Кроме того, я внимательно следил за статьями и очерками математического содержания в периодической печати: «Затейник», «Пионер», «Дружные ребята», «Знание — сила», «Техника — молодежи», «Пионерская правда», и своевременно рекомендовал их учащимся. Иногда я зачитывал наиболее интересное место, стараясь заинтере-

совать учащихся, а затем прерывал чтение и отсылал их к первоисточнику.

В большинстве случаев этим я достигал цели — привить учащимся интерес к научно-популярной и художественной литературе, освещающей вопросы истории и применения математики.

Не менее велика роль, которую играет в деле привития учащимся интереса к математике изготовление простейших вычислительных и измерительных приборов. Так, например, после демонстрации мною различного вида арифметических линеек типа «Считай в уме — проверяй на линейке», выпускаемых Главучтехпромом Министерства просвещения РСФСР, многие учащиеся заинтересовались ими и изготовили их самостоятельно. Я практиковал также целый ряд практических работ измерительного характера в качестве домашних заданий. При выполнении последних перед учащимися убедительно вырисовывалась роль математических вычислений.

К таким заданиям относятся: определение веса чугунной печной плиты или кирпича (без весов), определение веса картофеля в погребе и т. п. Для выполнения такого рода заданий, кроме знания удельного веса, необходимо умение вычислять объем. Весьма увлекли учащихся способы определения объема стога и скирды сена, а также определение «живого» веса животных способом Моторина.

Объем стога с круглой вершиной и широким основанием определяется так:

1) перекидывается рулетка через верх стога, полученное измерение запоминается или записывается;

2) измеряется «обхват», т. е. длина окружности стога.

Объем стога вычисляется по формуле:

где V — объем, / — длина окружности, п—перекидка.

Так, например, при длине окружности, равной / = 24 л, и перекидки через верх от земли до земли п = 20 м имеем объем стога V= 160 м\

Объем сена, сложенного в скирду, определяется следующим образом:

1) измеряется скирда поперек путем переброски рулетки от земли через верх до земли;

2) измеряется ширина и длина скирды. Объем вычисляют по формуле:

где V — объем, п — перекидка, Ь — ширина и / — длина скирды.

Так, например, если из обмера скирды получили: перекидка /г = 15 м, ширина Ь = Ъ м

и длина скирды / = 15 м, то для объема имеем:

Беря данные веса 1 мв и зная объем сложенного корма, можно высчитать общий вес стога или скирды этого корма.

Способ определения «живого» веса животных по способу Моторина заключается в измерении обхвата в подпруге. Так, например, для того чтобы определить вес лошади, необходимо обхват в подпруге в сантиметрах умножить на 6 и из результата вычесть 620 — получается вес лошади в килограммах.

В сельской местности эти и подобные им задания, вполне посильные учащимся V — VII классов, имеют большое жизненное применение, а поэтому вызывают и у учащихся, и у их родителей глубокий интерес, имеют определенное воспитательное значение.

Все это помогало учащимся осознать значение математики в их быту, в производстве, для естествознания и техники.

Лишь после такой подготовки я перешел к сообщениям об отдельных занимательных вопросах из истории развития математики в России. И большим радостным для меня событием был тот день, когда после краткого сообщения на уроке об истории числа тс и роли в этом гениального Эйлера, для которого Россия стала второй родиной, учащиеся обратились ко мне с просьбой провести для них беседу специально на эту тему.

К этой беседе я готовился очень тщательно: подбирал интересный материал, привлек учащихся к изготовлению необходимых иллюстраций, использовал проекционный аппарат. Для меня было очень важно, чтобы именно эта беседа прошла наиболее интересно и увлекательно. Тогда подобная тематика прочно войдет в быт моего класса.

Волнения мои были напрасны. Беседа прошла удачно во всех отношениях. Удачной и памятной для меня она была потому, что этой беседой мне удалось по-настоящему приоткрыть дверь в увлекательный мир математики. Свидетельством этого является то, что именно в этот день всеми единогласно было принято решение провести пионерский тематический сбор, посвященный арифметике и ее развитию в России. Это было, несомненно, крупным успехом.

Я очень хорошо понимал, что эта работа должна быть закреплена проведением какого-то крупного мероприятия, которое подытожило бы проведенную работу, завершило и закрепило достигнутые успехи. Таким мероприятием и явился тематический сбор, описание которого и является основной темой данной статьи.

2.

Для того чтобы успешно решить проблему привития учащимся любви к математическим наукам, учитель должен разнообразить формы и методы этой работы, включая и работу пионерской организации. Было бы, конечно, ошибочным подчинить всю воспитательную работу как в классе, так и в пионерском отряде этой цели. Но систематически проводить эту линию наряду с решением целого ряда других воспитательных задач вполне целесообразно. При этом необходимо учитывать запросы и интересы учащихся, осуществлять тесный контакт с пионервожатым и пионерским активом, всемерно использовать самостоятельность и инициативность детского коллектива. Все это позволит удовлетворить возросшие потребности учащихся, расширить их общий кругозор, углубить их знания в области целого ряда учебных дисциплин, в том числе и в области математики.

Несомненно, пионерская работа в этом отношении таит огромные возможности, является обширным полем полезной и нужной деятельности пионерских работников и учителей.

В методической литературе и периодической печати явно недостаточно освещен вопрос перестройки пионерской работы в свете решений VII пленума ЦК ВЛКСМ, почти не обобщен опыт организационной стороны подготовки и проведения тематических пионерских сборов в условиях сельской школы.

Важно и ценно не только перечислить, что можно сделать по данному разделу, но конкретно и подробно остановиться на организационной стороне вопроса, рассказать о трудностях, встречающихся при этом, и путях их устранения. Тематический пионерский сбор, посвященный математике, явился итоговым еще и потому, что он показал тот сдвиг, те перемены, которые вызвало решение VII пленума, как оно заставило нас, учителей, пересмотреть свою работу с пионерами в классе, критически отнестись ко многому и практически перестроиться на основе этого решения.

Чтобы не быть голословным, остановлюсь кратко на том, к каким выводам пришли мы с пионервожатой, ученицей IX класса, Зиной Медведевой, после детального изучения решений VII пленума ЦК ВЛКСМ.

Обсуждая с пионервожатой вопрос о том, как нам дальше строить свою работу в свете этих решений, мы детально разобрали все сборы, проводимые нами ранее. При этом нам стала очевидна та большая ошибка, которая была допущена нами при организации этих сборов.

Ошибка эта в основном заключалась в организационной подготовительной работе, предшествующей сбору.

Тему сбора нам, правда, подсказывали сами ребята. Но затем инициативу всей подготовки сбора забирали в свои руки я и вожатая. Мы сообща с ней составляли план сбора, иногда писали сами полностью монтаж, реже указывали ребятам источники, где они могут подобрать нужный материал. Написав монтаж, мы разбивали его на части, переписывали эти отрывки, нумеровали и раздавали пионерам. Ребята с готовностью добросовестно выучивали поручаемый им текст и старались декламировать его с выражением, внятно и четко. Затем 2—3 раза мы проводили репетицию сбора для того, чтобы учащиеся знали порядок выступлений, твердо знали текст.

В результате сбор проходил внешне организованно, гладко и убедительно.

Какова же ценность и воспитательное значение такого сбора? Теперь нам стало очевидным, как низко познавательное значение таких сборов. Ведь пионеры, идя на сбор, не ожидали увидеть и услышать там что-то новое, интересное. Порядок сбора и его содержание ими уже были хорошо изучены на репетициях.

Таким образом, основная цель сбора: возбудить интерес и раскрыть что-то новое, не выполнялась. А отсюда понятно, что внутреннего удовлетворения пионеры на сборе не получали, если, конечно, не принимать во внимание чувства удовлетворения от сознания того, что сбор понравился гостям.

Обнаружили мы и еще один крупный недостаток в проведении таких сборов. Он заключается в том, что, расписывая все действия пионеров при подготовке к сбору, мы тем самым не воспитывали у них инициативности и навыков самостоятельности. Таким образом, пионерский коллектив лишался возможности созидать и творить, что вызывало у членов последнего разочарование и неудовлетворенность.

Так решение пленума помогло нам критически отнестись к своей работе, найти и объяснить свои ошибки.

3.

Как же после этого мы приступили к исправлению допущенных ошибок, как осуществляли перестройку своей работы в свете указаний ЦК ВЛКСМ?

Я ограничусь описанием одного тематического сбора, при проведении которого мы учли анализ своих ошибок и постарались их избежать. Конечно, проведение одного сбора еще не характеризует повседневной работы с пионерским коллективом в классе. Подготовку к этому сбору мы вели очень кропотливо, тщательно продумывая каждую деталь, каждый этап сбора.

Темой для сбора мы решили выбрать вопрос, посвященный арифметике и ее развитию в России.

Это решение возникло после того, как я в своем классе на воспитательном часе по просьбе ребят рассказал историю числа тт. Учащихся беседа очень заинтересовала, и они попросили меня рассказать им подробней об истории возникновения математики в России.

Подготовку к сбору мы начали с того, что совместно с вожатой разработали детально план проведения сбора. Причем план проведения сбора пионерам мы не сообщили. До самого начала сбора никто из пионеров (кроме совета отряда) не знал о том, что и в какой последовательности будет происходить на сборе. Мало того, в подготовку к сбору мы внесли некоторый элемент таинственности и занимательности.

Составив план, мы с вожатой распределили вначале обязанности между собой. Я должен был подготовить краткую вступительную беседу и обеспечить подготовку к сбору двух звеньев. Вожатая должна была обеспечить художественную часть и подготовку к сбору двух других звеньев. Для этого мы вначале подобрали необходимый материал, выбрали из него наиболее доступный учащимся VI класса. Кроме того, мы предварительно просмотрели комплекты журналов «Пионер», «Затейник» и «Знание — сила», а также газеты «Пионерская правда», для того чтобы иметь возможность ориентировочно порекомендовать пионерам источники для подбора материала, необходимого для занимательной части сбора и математической викторины.

После этого мы подробно обсудили возможности и способности каждого из пионеров, учитывая их склонности и заинтересованность, было учтено все: умение рисовать, увлечение физикой, умение быстро производить вычисления в уме, наклонности драматические и склонность к художественному чтению. При этом мы старались охватить всех пионеров класса активным участием в подготовке сбора. После того как план сбора нами был до конца продуман и мы отчетливо представили его себе во всех деталях, началась организационная работа с пионерами. При этом подготовка носила совершенно иной характер, чем прежде. Всю работу по подготовке сбора выполняли сами пионеры, мы же только руководили и направляли их деятельность. Результаты этого не преминули сразу же сказаться.

Всех увлекла подготовка к сбору. Необходимо отметить, что самими пионерами был внесен целый ряд существенных поправок и изменений в составленный нами предварительный план сбора. И мы с радостью отметили, как критичны наши ребята, сколько у них выдумки и изобретательности. На первых же порах подготовки сбора мы убедились в том, какие возможности таит инициатива самих ребят, если она не скована. Так, пионерами были внесены предложения: сбор начать отрывком из пьесы о Ломоносове, в сбор включить математические забавы Магницкого, математическую викторину провести в занимательной форме и т. д.

Все эти предложения были обсуждены и приняты. В результате такого коллективного содружества план проведения сбора был значительно дополнен и изменен. Некоторые задания поручались отдельным пионерам, более крупные — целиком звену. Для выполнения каждого задания надо было самому пионеру найти нужную литературу, выбрать из нее наиболее интересное и подготовить к сбору.

Сами ребята разобрались в математических забавах Магницкого и целом ряде других занимательных арифметических фокусов, подобранных ими самостоятельно, сами подобрали материал и для математической викторины.

Вся подготовка велась в глубокой тайне. Каждое звено, каждый участник, выполняя задание, был заинтересован, чтобы до дня сбора о сущности задания никто не знал. Я наблюдал, как некоторым учащимся хотелось поделиться с товарищами сенсационным известием, удивить их и порадоваться их удивлению. Но они мужественно крепились, рассчитывая на больший, вполне заслуженный успех и эффект во время сбора. Ребята понимали очень хорошо, что в противном случае сбор потеряет всякий интерес.

Родители учащихся мне потом «жаловались», что им пришлось дома выполнять роль объектов для математических экспериментов своих детей. Каждый участник хотел убедиться в том, что он овладел в совершенстве секретом данного арифметического фокуса. И поэтому они еще и еще заставляли своих родителей, дедушек и бабушек, а иногда и соседей, загадывать число и производить с ним целый ряд несложных вычислений. Даже дома они обставляли это таинственно, морщили лоб, старались сделать вид, что вычисления достаются им с большим трудом, и затем, правильно отгадав задуманное число, имели торжествующий вид, наблюдая иногда и неподдельное изумление старших.

Художники приготавливали необходимые портреты и цитаты, а также всевозможные таблицы для вычислений. Чтецы учили отрывки из стихотворений Ломоносова и «Арифметики» Магницкого, а также готовились к пересказу об увлечениях математическими забавами Магницкого поэтов Лермонтова, Бенедиктова и Пушкина.

Члены кружка юных физиков готовили световые эффекты, необходимые при появлении «великого мага и математика Матенадарана», который должен был проводить математическую викторину.

Девочки для него шили особый костюм, а юные биологи набили чучело совы.

Не без дела сидели наши певцы, танцоры и физкультурники, готовившие заключительную художественную часть сбора. В процессе подготовки между звеньями вспыхнул огонек здорового, так необходимого во всем, соревнования. Предстоящий сбор уже представлялся ребятам важным событием в их жизни, к нему с увлечением готовились, с нетерпением его ожидали.

Я наблюдал на переменах, как ребята намекали товарищам, что они к сбору готовят что-то необычное. Те, стараясь не отстать от них, также утверждали, что и у них имеется в запасе кое-что из ряда вон выходящее.

А в целом сбор возбудил несомненный интерес, сулил много занимательного и необычного, так как никаких репетиций сбора мы не проводили, проверяя готовность участников в индивидуальном порядке. Проверка показала, что все участники отнеслись к порученным заданиям вдумчиво и выполнили их добросовестно. После проверки была назначена дата сбора. Пионеры сами решили, кого пригласить на сбор, написали красиво оформленные пригласительные билеты и разнесли их. На сбор ребята пригласили целиком параллельный VI класс «А», всех классных руководителей и пионервожатых, весь состав учкома, совета дружины и бюро школьной организации ВЛКСМ. Несколько билетов были посланы в соседнюю неполную среднюю школу. Я не возражал против такого количества приглашаемых. Если сами ребята считают, что им есть что показать и они уверены в своих силах, не стоило сомневаться в их возможностях.

4.

Как непосредственно проходил сбор?

Всем участникам сбора и гостям было объявлено о том, чтобы каждый захватил с собой лист бумаги и карандаш. Сбор проходил в школьном зале, в котором были расставлены столы. Помещение было нарядно, с любовью оформлено.

Сбор начался с отрывка из школьной постановки «Михайло Ломоносов», напечатанного в брошюре В. И. Левашова «Школьный вечер, посвященный М. В. Ломоносову» (АПН, 1951, стр. 30).

На сцене декорация изображала деревянную избу, освещенную горящим на столе каганцом. За столом Михайло с «Арифметикой» Магницкого в руках. Ломоносов один.

Михайло (рассматривая титульный лист книги): «Арифметика — сиречь наука числительная... составлена Магницким Леонтием»... (Пауза. Опускает книгу.) «Из крестьян российских, как и я, а какую книгу написал! Кажется, уже всю наизусть выучил, а как открою, — оторваться не могу. Недаром говорят, когда государь Петр Великий прочел ее, то сказал, что она притягивает к себе подобно магниту, и поэтому сочинителю именоваться Магницким повелел.

Великую пользу отечеству принесет книгой Леонтий Магницкий! (Пауза. С горечью.) А вот я и от охоты к ученью уж сколько лет покоя себе не найду и к наукам способность в себе чувствую не малую, а таки умру, наверное, помором, которым как все Ломоносовы умирали*.

После этого вступления председатель совета отряда предоставил слово мне.

В своей беседе я доступно рассказал учащимся об истории развития арифметики в России. Иллюстрируя беседу интересными историческими фактами, я убедительно показал учащимся ведущую роль русских ученых в разрешении целого ряда весьма сложных в то время математических проблем.

Остановившись кратко на практическом значении математики, я подчеркнул громадные успехи развития математической науки в Советском Союзе, охарактеризовал достижения математики в России и рассказал о советских математиках — лауреатах Сталинской премии.

Беседу я закончил призывом к учащимся глубже, тщательней и упорней изучать эту полезную и увлекательную науку.

Привожу материал, которым я пользовался при проведении беседы.

а) Наука о вычислениях

То, о чем мы сегодня услышим на сборе, не написано в учебниках и не излагается на уроках.

Сбор ставит своей целью показать, как возникли основные разделы и понятия начальной математики, как они развивались и дошли до их современного состояния.

Математика имеет весьма интересную и обширную историю.

Для подробного изложения истории одного только раздела математики — арифметики — потребовалось бы очень много времени.

В связи с этим поставим перед собой весьма скромную задачу — очень кратко ознакомиться с основными фактами истории развития арифметики в России, постараемся нарисовать картину математических знаний у народов нашей родины.

При этом мы не будем выходить за пределы круга вопросов, которые имеют непосредственную связь с изучаемой в школе начальной математикой.

Среди всех наук математике принадлежит особое место.

Математики не занимаются строительством станков, машин и зданий; в их кабинетах нет пробирок и колб, весов и спиртовок; они не производят опытов. Но творчество математиков, искусство оперировать числами и выражениями, умение составлять и решать уравнения — сло-

вом целый арсенал математических методов нужен всем другим наукам и отраслям техники.

Математика — это язык, на котором говорят все точные науки. Математика вооружает нас умением изучать явления мира. Математика не только замечательное орудие расчета исследований. Порой она помогает ученым опережать и наблюдения, и опыт.

В каждой области знания, в любой профессии нужна помощь математики. Без математики инженеры не могут конструировать машину, архитекторы — сооружать здания, агрономы — выращивать урожай, капитаны — вести корабли.

«Я считаю математику важной наукой именно в современных условиях и именно для вас, для советской учащейся молодежи. Математика дисциплинирует ум, приучает к логическому мышлению. Недаром говорят, что математика — это гимнастика ума... Какую бы науку вы ни изучали, в какой бы вуз ни поступали, в какой бы области ни работали, если вы хотите оставить там какой-нибудь след, — то для этого везде необходимо знание математики. А кто из вас не мечтает теперь стать моряком, летчиком, артиллеристом, квалифицированным рабочим в различных областях нашей промышленности, строителем, металлургом, слесарем и т. д.?

Но все этм профессии требуют хорошего знания математики». (Из обращения М. И. Калинина в апреле 194-1 года к старшеклассникам Ленинского района Москвы.)

Так оценивает значение математики один из соратников великих творцов счастливой советской жизни — Ленина и Сталина.

Не случайно М. И. Калинин придает такое значение математике, не случайно также, что так много уроков математики бывает во всех классах средней школы: по шесть — семь часов в неделю.

«Как и все другие науки,—писал Ф. Энгельс,— математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики».

Передовую математику разрабатывали ученые, чутко прислушивавшиеся к запросам практики. Именно такими были русские математики. Они явили миру величайшие примеры математического творчества, дали блистательные образцы приложения математических теорий к вопросам естествознания и техники.

Еще в VIII веке выдающийся узбекский ученый ал-Хорезми пишет в предисловии к своей книге, что он «... составил это небольшое сочинение из наиболее легкого и полезного в науке счисления и притом такого, что требуется постоянно людям в судебных процессах, в торговле и во всех их деловых взаимоотношениях, в случаях измерения земель, проведения каналов, в геометрических вычислениях».

Основоположник русской науки М. В. Ломоносов отводил в своей разносторонней деятельности большое место работе над математическим оснащением наук, изучающих природу. Так, им были написаны книги «Элементы математической химии», «Теория электричества, разработанная математическим путем».

Как великий завет, звучат слова Ломоносова о том, что необходимо пронизать математикой даже такую науку, как геология.

Великий естествоиспытатель, подчеркивая значение математики, писал: «Все, что без того было темно, сомнительно и неверно, математика сделала ясным, верным и очевидным».

Великий русский математик П. Л. Чебышев (1821 — 1894) являлся ученым, который чаще, чем кто-либо из математиков, решал задачи, вытекавшие из практических нужд человека. Об этом можно судить по заглавиям его трудов, среди которых встречаем такие: «О построении географических карт», «Об одном механизме», «О зубчатых колесах», «О кройке платьев» и т. д. Он изучал устройство ветряных мельниц, разных заводских установок и, по его словам, повсюду наталкивался на вопросы математики, о которых наука его времени знала мало.

Можно привести многочисленные примеры того, как самые оригинальные, совершенно новые для математики того времени идеи возникали из решений чисто практических задач.

Так же живо откликалась на запросы, предъявляемые жизнью, и арифметика — один из разделов математики.

Что такое арифметика и почему эта составная часть математики имеет столь большое значение в жизни человека?

Переходя к вопросу об истории возникновения арифметики у народов нашей родины, я кратко остановился на том, какую роль в развитии последней сыграли армянский ученый Анания из Ширака (VII век), узбекские ученые Мухамед ал-Хорезми (VIII век) и ал-Каши (XIV век). Для того чтобы охарактеризовать тот исключительно высокий уровень, которого достигло развитие арифметики у народов наших республик в средние века, я привожу следующие факты.

Из сочинений Анании особенный интерес для нас представляют учебник по арифметике и задачник, в котором помещены таблицы сложения, вычитания, умножения и деления чисел, похожие на таблицы наших школьных учебников младших классов. Эти таблицы принадлежат к самым древним из известных в науке.

Высота уровня знаний Анании становится ясной, если указать, что современник его, английский монах Бэда «Достопочтенный», который

считался в Европе самым ученым человеком своего времени, говорит: «В мире есть много трудных вещей, но нет ничего такого трудного, как четыре действия арифметики». Анания же решает задачи, требующие сложения восьми дробей, среди знаменателей которых имеются 7, 8, 9, 13, 14, 16, 20, что приводит к очень большому общему знаменателю.

Для сравнения можно также привести высказывания автора английского учебника арифметики 1735 года:

«В интересах учащихся ... мы излагаем отдельно (в конце книги) правила действий над ломаными числами, обыкновенно называемыми дробями, при виде которых часть учащихся приходит в такое уныние, что останавливается и восклицает: „Только не дальше!а».

Таким образом, действия над дробями, которые одиннадцать столетий позднее еще приводят в ужас обучающихся арифметике в Англии, для Анании из Ширака не представляют труда.

Ал-Хорезми написал учебник арифметики, по латинскому переводу которого учились европейские народы.

Ал-Каши впервые ввел в науку десятичные дроби, без которых немыслимы современные математика и техника. Это имело место на 175 лет ранее появления десятичных дробей в Европе.

б) Арифметика у русского народа

Письменные памятники математических знаний русского народа мы имеем, начиная примерно с тысячного года нашего летосчисления. Этис знания являются результатом предшествовавшего долгого развития и основаны на практических нуждах человека.

Рано возник в России интерес к науке в широких слоях населения. Сохранились сведения о школах при Владимире Святославовиче (978 — 1015), при Ярославе Мудром (1036— 1054). Находились в очень раннюю эпоху «числолюбцы», интересовавшиеся математикой не только в той мере, в какой она была нужна непосредственно для практической деятельности. Примером таких числолюбцев был новгородский монах начала двенадцатого столетия Кирик, написавший в 1134 году книгу «Кирика—диакона Новгородского Антониева монастыря учение, им же ведати человеку числа всех лет».

При исчислении времени Кирик применял «дробные часы», подразумевая под ними доли двенадцатичасового дня. Доходя в этом счете до седьмого дробного числа, каковых во дне оказывается 937 500, он заявляет: «больше сего не бывает», что, повидимому, означает, что более мелких долей дня не употребляли.

У русских числа обозначали вначале зарубками на палочках, которые назывались бирками. Затем наши предки писали числа при помощи букв славянского алфавита, над которыми ставился особый значок — титло. Влиянием этой нумерации объясняются некоторые термины русского языка. В старых учебниках грамматики буква и называлась «и осьмиричное», буква / — «и десятиричное». Объясняются эти названия тем, что в славянской нумерации буква и обозначала 8, буква / — 10. (Желательно показать таблицу «Славянская нумерация», см. И. Я. Депман, Из истории математики, стр. 28.)

Потребности хозяйственной жизни далекого прошлого довольствовались сравнительно небольшими числами — так называемым «малым счетом» наших предков. Он доходил до числа 10 000, которое в самых старых памятниках называется «тьма», т. е. темное число, которое нельзя ясно представить.

В дальнейшем граница малого счета была отодвинута до 108, до числа «тьма тем». Старинная рукопись по этому поводу заявляет, что «больше сего числа несть человеческому уму разу мети». Но наряду с этим «малым числом», «коли прилучался великий счет и перечень», употреблялась вторая система, называвшаяся «великим числом или счетом», или «числом великим словенским». В нем употреблялись более высокие разряды: тьма — 106, легион — 1012, леодр — 1024 ворон — 1048; иногда еще колода — десять воронов— 1049 (хотя нужно было бы за колоду принять, следуя системе, 1096). (Там же, стр. 29, таблица «Славянская нумерация больших чисел».)

Для обозначения этих больших чисел наши предки употребляли оригинальный способ, не встречающийся ни у одного из известных нам народов: число единиц любого из перечисленных высших разрядов обозначается той же буквой, что и простые единицы, но обрамленной для каждого числа соответственным бордюром.

В первом печатном русском учебнике математики, в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого (1703), даются уже интернациональные термины для больших чисел (миллион, биллион, триллион, квадриллион).

Славянская нумерация потеряла свое практическое значение с принятием индусской.

Естественно сопоставить со сказанным состояние математических знаний у народов, населяющих Западную Европу.

В Западной Европе того периода запись чисел производилась при помощи громоздкой римской нумерации, в которой даже малые числа требуют большого количества знаков (например, 878 записывается так: DCCC LXXVIII), а запись больших чисел гораздо сложнее, чем в великом славянском счете. Наши современные цифры в Западной Европе появляются лишь в тринадцатом столетии.

Говоря о развитии арифметики в России, нельзя не остановиться более подробно на авторе первой оригинальной энциклопедии математики, посвященной в основном арифметике, — Л. Ф. Магницком (XVII век).

в) Л. Ф. Магницкий и его «Арифметика»

1703 год является важным моментом в истории математического просвещения в России. В этом году вышла капитальная книга под длинным заглавием:

«Арифметика сиречь наука числительная,

с разных диалектов на словенский язык переведенная и во едино собрана и на две книги разделена . . .

Сочинися сия книга через труды Леонтия Магницкого».

Книга эта содержит начала арифметических знаний того времени. В конце книги имеется снабженный большим числом таблиц отдел.

Использовав, кроме русской рукописной литературы, то, что ему казалось полезным из иностранных источников, Магницкий весь материал приспособил к потребностям русского читателя и сумел создать книгу, оказавшуюся столь полезной для огромного числа самоучек.

В течение полустолетия книга с честью выполняла свою роль, став пособием для всех русских людей, которые стремились к математическому образованию.

Об авторе этой замечательной книги мы знаем очень немного.

Леонтий Филиппович Магницкий родился 9 июня 1669 года, умер в 1742 году, хотя эта дата не совсем точно установлена. Вышел он из народа.

Единственный сохранившийся до нашего времени документ рассказывает: «Петр I многократно беседовал с ним о математических науках и был так восхищен глубокими познаниями его, что называл его магнитом и приказал писаться Магницким. Какое он имел прозвище до этого, то даже ближним его неизвестно».

Учился Магницкий в единственном в то время в России высшем учебном заведении — в Славяно-Греко-Латинской академии в Москве, где учение велось на латинском и греческом языках. Математика в академии не преподавалась, и в ней Магницкий был самоучкой. Закончив успешно академию, он до своей смерти состоял учителем навигацкой школы — этого первого рассадника математических знаний в России.

М. В. Ломоносов называл «Арифметику» Магницкого «вратами своей учености» и знал ее наизусть.

«Вратами учености» эта книга была для всех русских людей первой половины XVIII века, стремившихся к образованию.

Магницкий понимал, как потребность русского общества в математической литературе, так и то, что нельзя русскому читателю предложить перевод иностранной математической книги, не учитывающей вековое самобытное развитие русского народа.

Он поэтому использовал широко русскую рукописную литературу, добавляя к ней достижения мировой научной мысли, переработанные и приспособленные к потребностям русского читателя, и подчеркивал, что

«Разум весь собрал и чин

Природно русский, а не немчин».

Магницкий высоко ценил теорию. Он делил свою «Арифметику» на две книги: первую называет «Арифметика-политика», вторую — «Арифметика-логистика».

Первая назначается для тех, кто желает только научиться решать практические вопросы — «исчислять всякое исчисление в продаже и куплях». Эта часть изложена без доказательств, рассказом и показом — решением примеров.

Вторая часть — «арифметика-логистика» — решает теоретические вопросы, «токмо уму нашему подлежащие»; и Магницкий заявляет, что их решать при помощи простых средств арифметики-политики нельзя.

В результате всего этого был создан первый оригинальный русский учебник арифметики. Русская математическая литература не знает другой книги, которая имела бы такое историческое значение.

Написанная в качестве учебника, книга Магницкого нашла гораздо более широкий круг потребителей, как этого и ожидал автор, говоривший в предисловии книги:

«И желаем, да будет сей труд

Добре пользовать русский весь люд».

Оправдалось и другое предположение автора:

«И мню аз, яко то имать быть,

Что сам себя всяк может учить».

Книга, действительно, стала пособием для тысяч самоучек. Магницкий высоко ценил арифметику, считая ее жизненно необходимой. Так, в своих произведениях он уверяет своего читателя, что арифметика нужна всем, не только купцам:

«Цену товаров обретати

И радостно ее исчисляти», но и людям

«Ремесленным и художным,

Подданным всяким и вельможным». Ее должен изучать

«Хотящий быть морской пловец,

Навигатор или гребец»,

и что

«Ныне и всяк лучший воин Эту науку знать достоин».

В связи с этим Магницкий в заключение обращается к читателям книги с горячим призывом:

«Арифметике любезно учися,

В ней разных правил и штук придержися.

Ибо в гражданстве к делам есть потребно,

Лечити твой ум, аще числит вредно.

Та пути в небе решит и на море,

Еще на войне полезна и в поле.

Общее всем людям образ дает знати,

Дабы исправно в размерах вступати».

М. В. Ломоносов как раз и ценил высоко «Арифметику» Магницкого «за ее стремление пробудить у учащегося интерес к познанию окружающего мира числом и мерою».

г) О простых числах

Дальнейшее развитие начальная арифметика получила в высшей арифметике (теория чисел), которую один из видных математиков Гаусс назвал «царицей математики». В этой области русские математики явили миру высочайшие примеры математического творчества.

Теория чисел ставит своей целью изучение свойств натуральных чисел.

Учением о простых числах, делящихся только на единицу и на самого себя, занимались лучшие русские математики: П. Л. Чебышев, Е. И. Золотарев и другие.

Напомню вам, что греческий ученый Евклид впервые доказал, что простых чисел бесконечное множество, что не существует наибольшего простого числа.

Около ста лет после него другой греческий ученый Эратосфен дал способ выделения простых чисел из чисел натурального ряда («решето Эратосфена»).

Русский математик-самоучка И. М. Первушин сделал многое для того, чтобы заполнить пустые места таблицы «решета Эратосфена». В частности, в 1878 году он разрешил вопрос о том: простое или составное одно из чисел, содержащее 2 525223 цифры, найдя его делитель 167 772 161.

Если бы это число напечатать обычным шрифтом, потребовалась бы строка длиной в 5 км или книга обыкновенного размера в 1000 страниц.

Результаты Первушина были проверены и подтверждены в Петербургской и Парижской академиях наук.

Но никто из математиков мира не мог решить вопроса (в общем виде), сколько простых чисел имеется в натуральном ряде чисел от 1 до 1000, от 1 до 10 000 и т. д.

В решении этого труднейшего вопроса математики крупнейший результат принадлежит П. Л. Чебышеву, одному из самых гениальных математиков не только в России, но и во всем мире.

В 1850 году Чебышев вывел формулу, которую безрезультатно искали самые выдающиеся математики, для оценки количества простых чисел, заключенных между 1 и любым числом х.

О впечатлении, которое произвело открытие Чебышевым формулы для определения числа простых чисел, можно судить по отзывам крупнейших математиков.

Знаменитый английский математик Сильвестр (1814—1897), охарактеризовав Чебышева как «победителя простых чисел», высказал мысль о том, что «дальнейших успехов в теории простых чисел можно ожидать только тогда, когда родится некто, настолько превосходящий Чебышева своею проницательностью и вдумчивостью, насколько Чебышев превосходил этими качествами обыкновенных людей».

Не менее показательны успехи советского ученого академика И. М. Виноградова, давшего ряд исследований по теории чисел, несравненных по своей глубине, силе и тонкости. Эти исследования увенчались в 1937 году знаменитым доказательством положения о том, что всякое достаточно большое нечетное число либо само простое, либо есть сумма трех простых чисел*.

Для обоснования этого положения им были созданы новые методы доказательства, найдены совершенно новые пути исследования, которые тщетно пытались в течение двухсот лет найти математики всего мира.

д) Передовая роль русской науки

Своими выдающимися работами в области теории чисел академик Виноградов с честью продолжил арифметические исследования Чебышева.

В истории культуры нет примера более кровной связи с народом, более самоотверженного служения ему, стремления отдать ему все силы и знания, чем история русской науки.

Начиная с гениального холмогорского рыбака Ломоносова, лучшие люди русской науки всегда выходили из толщи народа, всегда были плоть от плоти, кровь от крови его и не забывали об этом. Передовое мировоззрение, пламенная любовь к родине — вот что вдохновляло русских ученых, верных сынов нашего талантливого на-

* Это положение можно наглядно и доступно иллюстрировать для учащихся VI — VII классов. И. Я. Депман, Из истории математики, стр. 87, таблица стр. 89.

рода, вот что помогало им, несмотря на экономическую отсталость страны, задавленной самодержавием, создавать труды, поднимающие человечество на новые ступени культуры.

«Европа бедней нас талантливыми людьми», — говорил В. И. Ленин.

Неудивительно, что многие западные историки иногда не останавливались перед явным искажением истории математики, лишь бы скрыть бесспорное первенство русской математической мысли в преобладающих основных разделах математики. Для этого они никогда не брезговали никакими средствами. Бывали случаи, когда иноземные ученые попросту присваивали открытия, сделанные в нашей стране, или же систематически замалчивали их. Так, например, изобретателем десятичных дробей почти во всех иностранных книгах называется фламандский (бельгийский) инженер Симон Стевин (1548—1620). Стевин в 1585 году издал брошюру, в которой горячо агитировал за введение в употребление новых десятичных дробей, при помощи которых, по его словам, «можно решать все житейские задачи без ломаных» (так назывались простые дроби у всех народов).

Однако, как мы уже знаем, десятичные дроби были введены в научную литературу около 175 лет до него узбекским математиком и астрономом ал-Каши. Вычисляя значения числа тс с точностью до 16-ти знаков, он десятичные знаки называет: десятичные минуты, десятичные секунды и т. д.

В написанном в 1427 году «Ключе к искусству счета» ал-Каши дает правила вычислений в десятичной системе, т. е. учит умножению и делению десятичных дробей.

Сказанное дает нам полное основание считать узбекского ученого начала пятнадцатого столетия ал-Каши основоположником употребления десятичных дробей и тем ученым, который и обосновал теорию этих дробей.

е) Заключение

В заключение своей беседы я сделал следующий вывод: «Перед нами прошли имена многих ученых, которые мы встречаем в курсе математики средней школы. Сравнивая вклады, внесенные ими в сокровищницу мировой культуры, нельзя не видеть особенного характера русского гения. Примеров величия русской науки можно было бы привести еще много. Во все времена математическая наука в России стояла очень высоко. Наша страна — родина многих великих математиков, которые своими открытиями обогатили науку.

За короткий исторический срок советская наука показала блистательные образцы творческих дерзаний. С огромным размахом и планомерностью проводятся в нашей стране математические исследования.

Эти исследования являются большим научным вкладом и имеют огромное практическое применение, и наши ученые в большинстве отделов математики занимают ведущее положение в мировой науке.

Каждый новый год приносит нам известия о новых и новых победах советской науки.

Все богатство нашей науки советские ученые ставят на службу великому делу — построению коммунистического общества.

Познакомившись вкратце с историей развития начальной арифметики в России, мы можем отчетливо представить себе, в чем заключается сила математики, можем теперь убедительно ответить на вопрос, почему ее называют ключом к пониманию многих наук, к решению многих практических вопросов.

И мне хочется, ребята, чтобы каждый из присутствующих зажегся желанием стать активным борцом за дальнейший расцвет передовой советской математической науки. А для этого надо искренне и глубоко полюбить математику, изучать ее вдумчиво и терпеливо.

Для тех, кто основательно заинтересуется математикой, открыты все пути дальнейшей серьезной учебы. В нашей стране нет преград для овладения знаниями, нет границ для приложения добытого умения.

Свою беседу я заканчиваю словами М. И. Калинина: «Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к этому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.

В добрый час, за книги, ребята!

Новых побед, новых успехов, юные математики — будущие ученые, новаторы математической науки!»

Таков круг вопросов, затронутых мною в беседе. При этом мною частично использован материал, помещенный в книге «Рассказы о русском первенстве», под общей, редакцией В. Орлова (изд. «Молодая гвардия», 1950).

В основном же весь приведенный мною материал с небольшими изменениями взят из книги И. Я. Депмана «Из истории математики» (Детгиз, 1950).

Эта очень полезная и удачно написанная книга является незаменимым пособием для внеклассной работы по математике. При проведении сбора мы ориентировались исключительно на этот материал, используя его почти без всякой переработки.

Приведенная здесь беседа, вполне понятно, слишком велика по объему. Я лично использовал

на сборе приведенный материал лишь частично, выбирая самое существенное, красочное и доступное учащимся шестых классов. Беседа заняла всего 25—30 минут. Изложив максимум фактического материала, который можно использовать при проведении подобной беседы, я имел в виду оказать практическую помощь молодым сельским учителям, не имеющим под руками использованных мною первоисточников*.

После окончания беседы, используя доску, пионеры в своих кратких выступлениях рассказывают образно о развитии понятия о числе и нумерации в России, о возникновении дробных чисел, а также о различных способах арифметических действий.

Пионер показывает на доске «способ умножения русских крестьян», представляющий удобный прием для замены более сложного арифметического действия — умножения произвольных чисел действиями более простыми: сложением, «удвоением» и «раздвоением».

Л. Ф. Магницкий в главе об умножении указывает на кажущуюся странность одного из способов умножения, при котором действия располагают так:

«Странность» этого способа умножения заключается только в том, что умножение начинается с умножения на высший разряд множителя. Так поступать естественно уже потому, что важнейшая часть произведения получается от умножения на высший разряд множителя. При умножении приближенных чисел этот способ несравненно более удобен, чем обычный.

Вообще арифметические действия в разные эпохи выполнялись различными способами.

Я расскажу о «способе умножения русских крестьян».

Он заключается в следующем.

Пусть требуется выполнить умножение 47X33.

Составляем два столбца чисел, начиная с данных чисел, один — умножением на два, другой — делением на два. Имеем:

Произведение 47X33 получается от сложения тех чисел первого столбца, которые стоят против нечетных чисел второго столбца, в данном случае 47X33=1504-[-47=1551.

Чтобы объяснить этот способ умножения, произведем сначала по этому способу вычисление произведения 47X32:

Очевидно, что произведение любой пары соответственных чисел обоих столбцов в этом примере одно и то же, так как, идя сверху вниз, мы один сомножитель увеличиваем, другой уменьшаем в два раза, отчего произведение не изменяется. Следовательно,

Докладчик приглашает одного из гостей произвести умножение, используя показанный способ. «Найдем произведение 53X49:

А затем докладчик подводит итог своему сообщению: «Этот способ умножения является практичным, если приходится одно и то же число умножать на разные числа. Пусть, например, счетовод колхоза вычисляет причитающиеся разным лицам суммы, при условии, что каждый рабочий данного разряда получает в день 53 рубля.

Первый столбец, получаемый последовательным удвоением, является общим при всех умножениях и вычисляется раз навсегда. Для получения сумм, причитающихся за различные числа трудодней, остается составлять лишь для каждого

* К сожалению, книга И. Я. Депмана издана явно недостаточным тиражом — в 45000 экземпляров, в связи с чем эту крайне необходимую в обиходе учителя математики книгу в настоящее время весьма трудно достать (так, например, на весь район имеется всего 2—3 экземпляра). Книга ходит по рукам, учителя вынуждены переписывать интересующие их вопросы. В связи с этим, по-моему, назрел вопрос о переиздании книги, а также имеется необходимость расширить ее объем за счет вопросов, имеющих непосредственное отношение к программе по математике неполной средней школы.

* В качестве слагаемых берутся числа, стоящие в первом столбце против каждого нечетного числа во втором столбце.

числа дней второй столбец чисел делением на два, что легко выполняется в уме».

«Способ умножения русских крестьян» заключается в замене умножения сложением и простейшими случаями умножения и деления чисел на 2. Умножение и деление произвольных чисел представляли для человека большие трудности. Сначала были усвоены действия умножения и деления на 2, которые под названием «удвоения» и «раздвоения» чисел в течение многих столетий в учебниках арифметики рассматривались, как особые арифметические действия.

Председатель совета отряда Б. умело руководит ходом сбора:

«Многие пионеры нашего отряда, зная роль математики в жизни, стараются расширить свои знания в этой замечательной науке.

Математика — наука не только полезная, но и интересная. Задачей сегодняшнего сбора является не только ознакомление с целым рядом фактических данных. Мы постараемся еще лишний раз подчеркнуть увлекательность арифметики.

С этой целью пионеры 1-го и 2-го звеньев подготовили целый ряд занимательных исторических задач и арифметических фокусов, носящих иногда даже шуточный характер. В этом нет беды, так как задачи они подбирали так, что для их решения требуется серьезная работа мысли, хорошее знание основ арифметики, умение быстро и правильно считать в уме».

Вступительная часть сбора незаметно переходит в занимательную. Но эти обе части сбора органически связаны в одно целое. Слово предоставляется 1-му звену. Это звено много поработало над тем, чтобы наглядно рассказать сбору о «Математических забавах Магницкого».

Пионер кратко рассказывает о том, что «Математические забавы» в «Арифметике» Магницкого составляют особый раздел «о утешных неких действиях, чрез арифметику употребляемых», начинающийся с указания, что, следуя примеру арифметиков, автор помещает его в свою книгу утехи и особенно для изощрения ума учащихся.

Забава первая. На сцену выходит пионер Б. Он разбивает присутствующих на группы по 8 человек каждая и каждой группе вручает проволочное кольцо. А затем, производя устно в уме необходимые вычисления, безошибочно отгадывает, у какого по порядку человека, на какой руке, на каком пальце и на каком суставе надето кольцо.

Пусть кольцо находится у четвертого человека на втором суставе пятого пальца (надо условиться, что суставы считаются, например, от оснований пальцев).

Угадывающий просит сделать следующие действия, не называя получающихся чисел:

1) номер лица, имеющего кольцо, умножить на 2 (4-2 = 8);

2) к полученному произведению прибавить 5 (8 + 5=13);

3) полученную сумму умножить на5 (13-5=65);

4) к произведению прибавить номер пальца, на котором находится кольцо (65-)-5 = 70);

5) сумму умножить на 10 (70-10 = 700);

6) к произведению прибавить номер сустава, на котором находится кольцо (700 + 2 = 702);

Результат объявляется угадывающему. От полученного числа последний отнимает 250 и получает 702 — 250 = 452.

Первая цифра (идя слева направо) дает номер человека, вторая цифра — номер пальца, третья цифра — номер сустава. Кольцо находится у четвертого человека на пятом пальце на втором суставе.

Забава вторая. Так же безошибочно ученица А. отгадывает при помощи вычисления, у кого из девяти человек, вызванных на сцену, и в каком кармане находится карандаш.

Отгадывание она производила с завязанными глазами, попросив только произвести следующие вычисления:

— Умножьте на 2 порядковый номер того из ребят, кто взял карандаш. К произведению прибавьте 3. Получившуюся сумму умножьте на 5. Если карандаш в правом кармане, то к произведению прибавьте 8, а если в левом, то 9.

— Скажите, какое число у вас получилось.

Узнав результат, она немедленно из полученного числа вычла 22. В разности, которая получится, цифра слева соответствует номеру того, кто взял карандаш. Если вторая цифра 1, то карандаш в правом кармане, если 2 — то в левом.

Предположим, что карандаш у восьмого номера в правом кармане. Тогда вычисления примут такой вид:

От числа 103 вы отнимаете 22, получается 81. Первая цифра слева (8) — номер того, кто взял карандаш; 1 показывает, что карандаш положен в правый карман.

Забава третья. Ученица А. отгадывает любой задуманный день недели, а также возраст любого из присутствующих.

Отгадывание производится двумя способами.

Один из них напоминает способ, применяемый в первой забаве, и представляет меньший интерес. Второй способ состоит в следующем. Из задуманного числа вычитается 1. Остаток надо удвоить и прибавить к произведению первоначально задуманное число. К полученному результату необходимо прибавить 2, сумму разде-

лить на 3. После указанных действий получается точный ответ.

Забава четвертая. Сложней было задание ученика М. Ему предстояло отгадывать любую фамилию из ниже помещаемого перечня при помощи устных вычислений с цифрами, составляющими дату рождения или смерти задуманного писателя.

А. С. Пушкин 1799—1837 А. С. Грибоедов 1795—1829 Н. В. Гоголь 1809—1852 М. Ю. Лермонтов 1814—1841

— Выберите любую фамилию, запишите ее у себя на листочке бумаги вместе с датой рождения или смерти этого писателя.

— Отделите в этой дате две цифры слева и напишите их в стороне. Написанное двузначное число умножьте на 2, а к произведению прибавьте 5.

— Сумму умножьте на 5, к получившемуся числу припишите нуль и затем прибавьте число, выраженное остальными двумя цифрами даты, которые находятся справа. Когда все эти вычисления будут сделаны, скажите мне результат, и я вам тотчас назову задуманную фамилию.

Через несколько минут посыпались готовые результаты. Но М. успевал так же быстро и отгадывать задуманные фамилии. Больше всего ребят поражало то, что они, делая вычисления письменно, допускали ошибки, а М. устно мимоходом определял их ошибочность и просил проверить еще раз результат.

Быстрота, с которой определялась ошибка, объяснялась тем, что отгадывающему достаточно было для определения задуманной даты вычесть из получившегося в результате вычислений окончательного результата число 250.

Я наблюдал за поведением в зале учащихся старших классов. Они так же активно участвовали в сборе, и им было вовсе не скучно.

Первое звено на сцене сменяет второе.

Пионер П. рассказывает о том, как увлекались арифметикой поэты Лермонтов и Бенедиктов.

Известно, что Лермонтов был большим любителем математики и в своих вольных и невольных переездах из одного места службы в другое всегда возил с собой учебник математики. Вот один из рассказов современников, близко знавших Лермонтова, об его отношении к математике (см. И. Я. Депман «Из истории математики», стр. 58):

«В начале 1841 года Тенгинский полк стоял в Анапе. Скучающие офицеры, в том числе и Лермонтов, собирались друг у друга.

Раз речь зашла о каком-то ученом кардинале, который мог решать в уме самые сложные математические задачи.

— Что вы скажете на это, Лермонтов? — обратился к нему один из почтенных батальонеров, старик с Георгием; — говорят, что вы тоже хороший математик?

— Ничего тут удивительного нет, — отвечал поэт. — Я тоже могу представить вам, если хотите, весьма замечательный опыт математических вычислений.

— Сделайте одолжение.

— Задумайте какое угодно число, и я с помощью простых арифметических действий определю это число.

— Ну что же, попробуйте, — рассмеялся старик, очевидно, сомневавшийся. — Но как велико должно быть задуманное число?

— А это безразлично. Но на первый раз, для скорости вычислений, ограничимся числом из двух цифр.

После необходимых вычислений Лермонтов сообщил задуманное число.

— Кажется, если не ошибаюсь, число 282? Батальонер даже привскочил — так поразила его точность вычисления.

— Да, совершенно верно, 282. Я задумал число 50 и он снова проверил вычисление.

— Фу, да вы не колдун ли?..

— Колдун не колдун, а математике учился, — улыбнулся Лермонтов».

После этого пионер 3. воспроизводит эту математическую забаву Лермонтова.

При проведении этой забавы необходимо учесть то, что отгадывающий сообщает не задуманное число, а число, получившееся в результате вычислений. Поэтому необходимо поручать проведение этой забавы ученику, обладающему хорошим навыком в устном счете и тренированной памятью. Для упражнения отгадывающему полезно вначале дать несколько готовых примеров, аналогичных приведенному:

Продолжая сообщение, другой ученик рассказывает о том, что математикой, кроме Лермонтова, увлекались и многие другие поэты. Так, например, А. С. Пушкин пытался объяснить нынешнюю форму цифр, сопоставляя форму цифр с числом палочек, точек и углов в цифре.

В полных собраниях его сочинений имеется заметка с чертежом: «Форма цыфров арабских составлена из следующей фигуры AD (1), ABDC (2), ABECD (3), ABD + AE (4)» (черт. 1).

А. С. Пушкин называет наши цифры арабскими. Вернее их называть индусскими, так как арабы были только передатчиками индусских цифр в Европу. (В России они появились в конце XIII века.)

Любителем математики также был русский поэт Бенедиктов (1807—1873), посвящавший свои

досуги занятиям математикой и оставивший рукопись «Увеселительная арифметика» — повидимому, одну из первых попыток изложения математики в занимательной форме на русском языке.

Этого пионера сменяет звеньевой 1-го звена. Перед тем как приступить к объяснению «секретов» забав Магницкого, он говорит несколько слов о том, что эти «секреты» легко обосновать при помощи замечательнейшей науки — математики.

«Видите, каким многосторонним и интересным оказалось применение математики, такой простой и сухой на первый взгляд.

Значение и могущество математики как раз и объясняется тем, что она помогает нам очень часто постичь скрытую суть вещей. Только хорошо зная законы математики, можно правильно и успешно применять их в жизни.

Изучая математику, мы встречаемся с правилами, которые нам зачастую могут показаться скучными и даже ненужными. Но они пригодятся нам, как только мы сумеем находить им практическое применение.

Сегодняшний сбор показал нам, как многообразен и занимателен мир математики. Л мы ведь только слегка приоткрыли дверь в этот увлекательный мир. Еще очень много любопытного и неизведанного в нем».

Объяснение забав* вызывает большой интерес.

Пионеры из других классов и вожатые ничего не пропускают, стараясь все запомнить и записать, чтобы потом использовать у себя в отряде все увиденное и услышанное на сборе.

Заключительный этап объяснения прерывается совершенно неожиданно. Внезапно раздались три громкие удара. Свет в зале погас. Вспыхнул луч проекционного фонаря. Окрашиваясь в различные цвета при помощи вращающегося диска с вставленными цветными стеклами, он осветил фигуру «великого мага и математика Метенадарана». Одет он был в белую тогу, на которой были нашиты всевозможные формулы, чертежи и математические знаки. На голове у него был высокий остроконечный колпак с чалмой. Внушительные усы, наклеенные густые седые брови и большая борода делали неузнаваемым ученика К. В одной руке у него была сова, у которой вместо глаз были вставлены мигающие лампочки от карманного фонаря, в другой массивный жезл.

Надо было видеть лица ребят, чтобы понять, как поразило их это неожиданное появление. Дети остаются детьми. В этом возрасте вполне понятна их тяга ко всему загадочному, фантастическому. Не меньшее удовольствие этот сюрприз доставил и старшеклассникам.

Глухим басом, прекрасно изменяя свой голос, К. объявил о том, кто он такой. После этого он заявил, что берется загипнотизировать всех сидящих в зале и заставит их всех до одного задумать угодное ему число.

Ребята с удовольствием изъявили согласие быть загипнотизированными. «Гипноз» начался.

Задумали все, конечно, числа разные. Но в результате 6—7 вычислений у них у всех получилось одно и то же число.

Кончив «гипноз», К. стукнул три раза посохом об пол и открыл шкатулку, в которой находилось десять запечатанных конвертов различной величины. Торжественно, не спеша К. распечатывал их один за одним. В зале стояла мертвая тишина. Наконец, распечатан последний конверт, в котором и находилась табличка с необходимым числом.

К. молча поднял ее над головой.

По рядам пробежал шопот удивления.

У всех получился один и тот же результат, как и предсказал «великий маг и математик».

«Гипноз» полностью удался.

Секрет «гипноза», как и забавы Лермонтова, заключался в том, что «маг» заставлял всех, участвующих в «гипнозе», вычесть задуманное ими число, каково бы оно ни было, из суммы этого же числа и некоторых других, подсказанных чисел, так что ему было легко подсчитать результат.

Этот эпизод был необходим для того, чтобы произвести некоторую разрядку после часа напряженных математических вычислений.

Началась математическая викторина. Викторину проводил К. в занимательной форме.

Стукнув три раза посохом об пол, он внятно читал очередной вопрос викторины. Одновременно он зажигал лампочки, вставленные в глаза сове. Затем у совы глаза тухли, она «задумывалась». В это время участники викторины, поставив очередной номер вопроса на своем листке, отвечали письменно на вопрос или производили необходимые несложные вычисления. Через двухминутный перерыв у совы снова

Черт. 1

* Необходимо заметить, что при объяснении забав не следует преждевременно говорить о забаве Лермонтова, так как она используется в последующем этапе сбора.

вспыхивали глаза, и раздавался снова стук посоха*. После окончания викторины «великий маг и математик» лично прошел по рядам и собрал написанные листки с ответами.

Вновь гас свет и «маг» исчезал.

Сцену заполнили участники самодеятельности. Началась художественная часть.

В это время я и помогавшие мне другие учителя математики занялись подведением итогов викторины. Учащиеся VIII — X классов принимали участие в викторине вне конкурса. Но и они не все могли похвастаться максимальным количеством набранных очков.

Из участников сбора и гостей — пионеров шестых классов, двое: Г. и Л., набрали по 9 очков из 10. Тут же их фамилии были вписаны в заготовленный заранее текст на красочных книгах, предназначенных победителям викторины.

Были оформлены и надписи на книжках-премиях наиболее активным участникам сбора. После окончания художественной части были объявлены итоги викторины и вручены премии.

После того как были сообщены итоги викторины, сбор объявляется закрытым.

Слово берет председатель совета дружины. В своем выступлении он говорит о том, что проведенный сбор всем присутствующим понравился, что, несомненно, он поможет ребятам заинтересоваться математикой, вызовет желание глубже изучить эту замечательную науку, необходимую в каждой области знаний. В заключение он от имени совета дружины выносит благодарность всему отряду за хорошо проведенный сбор.

Старшая пионервожатая призывает присутствующих вожатых перенять опыт работы Зины Медведевой, подумать над тематикой пионерских сборов в своих отрядах и проводить их на высоком уровне.

В своем выступлении директор школы ставит вопрос о необходимости вдумчивого отношения к учебе.

Подчеркивая познавательное значение проводимого сбора, директор школы говорит и о том, что проведение и организация таких сборов, несомненно, сплачивает коллектив. В заключение он желает отряду успеха в работе и учебе, а также выражает уверенность, что пионеры не остановятся на достигнутом, подготовят и проведут еще не один тематический сбор, посвященный физике, истории, географии, русскому языку и другим учебным предметам.

В своем ответном слове председатель совета отряда благодарит гостей за внимание и от имени всех пионеров отряда обещает, что работа отряда будет еще полноценней и дружней.

Долго еще не расходятся ребята. В зале большое оживление. То там, то здесь вспыхивает жаркий спор, возникает смех. Вновь и вновь пионеры воспроизводят отдельные детали сбора.

Очень характерны те выводы, которые сделали отдельные учащиеся в ходе проведения сбора:

«Ни в одном учебнике нет ничего такого, что мы узнали сегодня на сборе».

«А я думал, что в математике нельзя открыть что-то новое. Есть готовые формулы и теоремы, выучил их — и на этом математика кончается».

«Вот посмотрите, ребята, с сегодняшнего дня я больше двойку по арифметике получать не буду. Стыдно не знать такой предмет».

А общее единодушное мнение участников сбора таково:

«Скучных и ненужных предметов в школе нет, если интересоваться ими по-настоящему, глубоко их изучать».

И если раньше оживление было более заметно среди гостей, то теперь все на равных правах. На этом сборе не было исполнителей и зрителей, а самое главное — не было равнодушных. Это была наша несомненная победа.

5

Подведем итоги. Конечно, ошибки мы допустили при проведении и этого сбора: сбор немного затянулся, не совсем удачно была составлена викторина, не совсем гладко прошли сообщения самих пионеров. Но не это решало общий успех.

Важно и ценно было, по-моему, другое. Мы встали, мне кажется, на верный путь. Я не берусь утверждать, что сбор прошел образцово. Вовсе нет. Но в одном я не сомневался — сбор своей основной цели достиг. Впервые ребята со сбора ушли вполне удовлетворенными. Сбор им много дал нового и занимательного.

Кроме того, они поверили в свои силы и возможности. Они убедились в том, как много они могут сделать сами. Детский коллектив обрел веру в себя и раз и навсегда отказался теперь от нашего ошибочного излишнего опекунства.

Помимо всего этого, необходимо отметить и познавательное значение сбора. Сбор наглядно показал участникам его, что скучных и неинтересных учебных дисциплин нет, что и математика может быть увлекательной и занятной. Сбор, несомненно, помог многим учащимся, недооценивавшим значение математики, понять ее положение среди наук. Последующие наблюдения показали, как вырос среди учащихся интерес к математике. Многие из участников

* Схема электрифицированной совы помещена в книге С. Глязера «Познавательные игры», 1951, стр. 36.

сбора, заинтересовавшись глубоко математикой, перешли от случайных увлечений занимательной математикой к систематическому и серьезному изучению этой науки. И к концу III четверти многие участники сбора повысили свои оценки по математике. Не беру на себя смелость утверждать, что только сбор послужил основной причиной этого роста успеваемости. Но я могу утверждать смело, что интерес к предмету проведенный сбор повысил и сыграл определенную роль в деле повышения успеваемости.

Положительным в организации и проведении сбора явилось следующее:

1. Благодаря массовому участию пионеров класса в подготовке сбора нам удалось убедительно показать, что для успешного изучения и понимания математики вовсе не нужны какие-то особые способности.

2. Сбор, несомненно, явился действенной пропагандой математических наук, помог многим учащимся, ранее к ним скептически относящимся, по-настоящему оценить и заинтересоваться арифметикой. Все это вызвало у учащихся желание серьезно изучать математику, вызвало интерес к научно-популярной математической литературе и тем самым приобщило их к более глубоким знаниям в этой области.

3. Подготовка к сбору привила, а проведение самого сбора закрепило постоянное стремление участников сбора пополнять недостающие знания.

4. Подготовка и проведение сбора помогли также в осуществлении повторения пройденного материала, так как при этом учащиеся не только вспомнили многое пройденное в классе, но значительно расширили и углубили свой общий математический кругозор. Полученные знания, несомненно, помогли затем учащимся и в повседневном дальнейшем изучении арифметики.

5. Фактический материал, приведенный на сборе, показал перспективность изучения начальной математики.

Формы проведения таких сборов могут быть самыми разнообразными. Но роднить их должен один общий вывод, который надо суметь сделать ярким и выпуклым.

Каждый такой сбор должен подготавливать учащихся к мысли о том, что всякий, кто возьмется всерьез за изучение математики, очень скоро почувствует и поймет, как интересен и вместе с тем сложен окружающий мир. Учащиеся должны самостоятельно прийти к выводу о том, что только знание физики, математики и других родственных наук поможет им в самых простых вещах открывать очень много нового, что до сих пор было для них загадкой.

Чтобы вывод этот был осознанным и прочным, необходимо соответствующие мероприятия готовить вдумчиво и тщательно, а достигнутые успехи развивать, закрепляя вызванный интерес осуществлением системы целого ряда других мероприятий, подчиненных этой важной задаче.

В нашей школе опыт проведения пионерских тематических сборов, посвященных математике, был широко применен в остальных классах.

Учителя нашей школы также провели не менее увлекательные математические вечера для учащихся седьмых классов и для учащихся VIII — X классов.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПИОНЕРСКИЙ СБОР В V—VI КЛАССАХ

М. А. РЕЗНИКОВ (Одесса)

В настоящей статье я хочу поделиться опытом проведения математических пионерских сборов в V и VI классах. Это были первые сборы, проведенные в I четверти учебного года.

V класс

После официальной части и отдачи рапортов вожатая объявляет математический пионерский сбор открытым.

«Пятый год вы изучаете арифметику, — говорит она, — а многие из вас еще не совсем ясно представляют себе ее значение. Разобраться в этом поможет вам А».

А. «Арифметика — наука о числах, о действиях над ними и свойствах этих действий.

С арифметикой человек знакомится с раннего детства, когда начинает считать. И с этого времени арифметика становится спутником человека на всю жизнь, он пользуется арифметикой буквально на каждом шагу».

Далее А. на конкретных примерах показывает применение арифметики в самых разнообразных теоретических и прикладных науках, в искусстве, в производстве, в быту и делает вывод о необходимости для каждого человека хорошо знать арифметику.

Вожатая: «Сейчас выступит замечательный вычислитель пионер П».

П. «Прошу назвать два числа. Я найду их сумму, разность, от суммы вычту разность (или,

по вашему усмотрению, сумму сложу с разностью), и на выполнение этих действий мне понадобится всего несколько секунд». Ребята из зала называют числа, а П., записывая их и действия, которые нужно над ними произвести, сразу пишет ответ.

Вожатая: «Вы часто встречаетесь с большими числами: миллионами, миллиардами, триллионами и другими. Изучая географию, вы узнаете, например, что площадь нашей страны — более 22 миллионов квадратных километров. Между тем не все представляют себе, какие большие эти числа — миллион, миллиард, триллион. Чтобы наглядно показать это, В. может привести такие примеры».

В. «Миллион людей, взявшись за руки, образовали бы очень длинную цепь. Начало ее было бы в Киеве, а конец в Архангельске. Если миллион спичечных коробок положить одна на одну, образовался бы «столбик» высотой в 15 км. Ежеминутно наши легкие 18—20 раз вдыхают воздух. Чтобы сделать миллиард дыханий, необходимо прожить более 95 лет.

Миллиард секунд — это 31,7 года, а миллиард минут примерно 19 столетий. Мы живем в XX столетии. Значит, наше летосчисление лишь недавно перешло за миллиард минут.

Книга в триллион страниц весила бы 1 500 000 т. Ее толщина равнялась бы 50 000 км. Прочесть книгу в триллион страниц удалось бы только через 30 000 000 лет. Чтобы перевезти эту «книгу» в разобранном виде, понадобилось бы 1000 огромных товарных составов с мощными паровозами».

Вожатая: «Г. продемонстрирует забаву, впервые опубликованную в „Арифметике“ Магницкого». Выводит восемь человек, знакомит их с сутью забавы, дает приготовленное из картона кольцо, и Г. проводит с ними забаву. (И. Я. Депман, Из истории математики).

Вожатая: «Некоторые ребята не проявляют большого интереса к устному счету. Д. расскажет вам, к чему это может привести».

Пионер Д. на наглядных примерах показывает, как слабые навыки в устном счете приводят к затруднениям при решении задач, а также в быту.

Вожатая: «Проверим, владеете ли вы устным счетом». Вывешивает таблицу для устного счета.

Заместитель вожатого объявляет, что все правильные ответы будут им фиксироваться и соответственно оцениваться при помощи учителя. Желательно объявить, что два лучшие математика будут по окончании сбора премированы (примерно «Занимательной арифметикой» или «Занимательной геометрией»).

Таблица содержит такие примеры:

Слово для ответов надо предоставлять, как правило, первому ученику, поднявшему руку, но одновременно стараться втянуть большее количество участников. Заместитель вожатого называет лидера «соревнования».

Вожатая: «Так как большинство из вас увлекается устным счетом и неплохо им владеет, пионер Ж. подготовил вам еще одну таблицу для устного счета».

Ж. вывешивает таблицу:

(примеры для устного счета на остальные правила и законы можно дать на следующем сборе). Заместитель вожатого ведет учет правильных ответов.

Вожатая: «Пионер Ж. продемонстрирует еще одну забаву».

Ж. проводит третью забаву Магницкого (И. Я. Депман, Из истории математики).

Вожатая: «Вас, наверное, интересует, кто автор этих замечательных забав. Автор их Л. Ф. Магницкий. Более подробно о нем расскажет пионер 3.»

3. читает о Магницком отрывок из исторического романа Волкова «Два брата» (с добавлением, почему он назывался Магницким).

Вожатая: «Ни для кого из вас не представляет трудности подсчитать и записать некоторое количество предметов, так как вы владеете счетом. Не сразу люди стали такими грамотеями. Более подробно об этом скажет пионер И.».

И. «В разное время разные народы считали и записывали числа по-разному. Путешественники наблюдали, как туземцы Южного Архипелага для подсчета единиц откладывали камушки; набрав 10 камушков, они кладут в сторону веточку (десяток). Десять веточек они заменяют одной большой веткой (сотня)».

Вожатая: «С развитием ремесла и торговли возникла потребность записывать числа. Об этом расскажет пионер К.».

К. «Индусы числа от единицы до девяти включительно записывали при помощи начальных букв слов, которыми обозначалось определенное количество единиц. Арабы во II столетии нашей эры передали индусские знаки в Европу, отчего и на-

ши цифры О, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9 получили название арабских; в Европе почти до конца XVII столетия существовали счетные доски, позволившие усовершенствовать действия сложения и вычитания. К. демонстрирует изготовленную им модель счетной доски (абак, черт. 1). Говорит, что греки и римляне обозначали числа на абаке камушками. «Я также обозначу на абаке любое число, которое вы мне скажете (в пределах триллионов), а мой друг, пионер Л., будет их подсчитывать, сейчас он находится за дверью класса».

Ученики называют числа, К. обозначает их на абаке. По приглашению входит Л. Просматривает наличие камушков в отделениях и называет число, обозначенное К. Если присутствующие пионеры сами не догадаются, каким образом Л. называет задуманные ими числа, К. объясняет.

Так, например, 200 000 00Г 300 002 на абаке камушками обозначится, как на чертеже.

К. и Л. вперемежку показывают образцы сложения и вычитания на абаке разных чисел (задают присутствующие). Можно вызвать присутствующего пионера, по желанию, для проведения действий на абаке.

Вожатая: «Существует ли сейчас абак? Предоставляется слово пионеру М.».

М. «Одним из наиболее усовершенствованных образцов абака являются счеты». М. демонстрирует на счетах сложение, вычитание, умножение (под диктовку и контроль присутствующих).

Вожатая: «Что дает нам возможность производить быстро действия?

Позиционная система счисления. Пионер Н. убедит вас в этом».

Н. вывешивает плакат с надписью «XXIXmDCXXXV ± XXIHmDCX» и предлагает найти устно сумму и разность. Потом эти же числа записывает арабскими цифрами и предлагает выполнить то же.

Вожатая: «Этот плакат вас практически убедил в преимуществе позиционной нумерации. Пионер О. сообщит вам нечто о великом русском поэте Михаиле Юрьевиче Лермонтове, чего до сих пор вы не знали».

О. рассказывает математическую забаву М. Ю. Лермонтова (И. Я. Депман, Из истории математики). Рисунки и надписи М. Ю. иллюстрируются в увеличенном виде. В заключение О. предлагает всем присутствующим задумать любое число и устно, или при помощи записи проделать над этим числом все действия, какие будут указаны, т. е. дублируется задача Лермонтова с присутствующими.

Вожатая: «В заключение вы прослушаете отрывок из пьесы Фонвизина «Недоросль», показывающий обучение арифметике Митрофанушки».

Сбор заканчивается объявлением фамилий победителей в конкурсе и заключительным словом преподавателя.

Опыт проведения таких сборов показал, что они проходят живо, интересно. Их с интересом посещают члены математического кружка и учащиеся параллельных и старших классов.

Присутствие «гостей» налагает чувство ответственности на пионеров, проводящих сбор, объединяет их в дружный коллектив, подымает их авторитет в глазах не пионеров.

Таким образом, складываются предпосылки для организации детского коллектива, что является первейшей необходимостью для успешной учебно-воспитательной работы.

VI класс

Ниже кратко изложено содержание пионерского сбора в VI классе.

После официальной части вожатая говорит, что некоторые ученики пассивно относятся к изучению алгебры, считая этот предмет не столь важным. Пионер А. внесет ясность в этот вопрос.

А. читает ответ академика С. Л. Соболева читателю «Пионерской правды» «Для чего мы изучаем алгебру».

Вожатая: «Пионер Б. проверит, как хорошо вы понимаете единицу».

Б. вывешивает плакат, где написано: «Укажите, где в выражениях

можно опустить единицу».

Заместитель вожатого ведет учет правильных ответов и ставит соответствующее количество очков (совместно с учителем).

Вожатая: «Пионерка В. обратилась ко мне с вопросом по алгебре.

Попробуйте вы, ребята, разрешить его».

В. вывешивает плакат, с вопросом, написанным на нем: «Где можно опустить нуль?»

Черт. 1

Вожатая: «Для лучшего понимания значения термина «коэффициент» попробуйте ответить на вопросы пионера Г.».

Г. вывешивает плакат, на котором рекомен^ дуется назвать коэффициент в выражениях:

Вожатая: «Пионер Г. заготовил для сбора вопросы по геометрии».

Г. вывешивает плакат с вопросами.

1. Сколько отрезков на чертежах (черт. 2)?

Черт. 2

2. Сколько дуг изображено на чертежах (черт. 3)?

Черт. 3

3. Сколько сегментов изображено на чертежах (черт. 4)?

Черт. 4

Вожатая: «Пионер Д. желает всем вам дать математический диктант».

Д. медленно диктует № 7—11 (жирным шрифтом) из задачника Шапошникова и Вальцова. Закончив текст, заместитель вожатого вызывает одного ученика для записи математического выражения первого предложения и спрашивает, кто записал так. Если запись верная, учитываются все. поднявшие руки и получают соответствующее количество очков.

Вожатая: «Занимательные вопросы подготовил Е.».

Е. Вывешивает чайнворд «Геометрия» и задает по нему вопросы.

Правильные ответы вписывает, заполняя его.

(«Пионерская правда» № 25 (3632) от 27 марта 1953 г.)

Вожатая: «Ж. прочтет о гениальном русском математике Чебышеве».

Ж. читает главы: «Некоторые свойства целых чисел и П. Л. Чебышев» (И. Я. Депман, Из истории математики), показывая необходимые таблицы.

Вожатая: «Интересные вопросы подготовил пионер 3.».

3. вывешивает плакат и читает вопросы.

1. Чем является единица в выражениях 5а+1; Ьа + 5?

2. Всегда ли р будет меньше, чем 3р?

3. Является ли число 8т целым числом? Вожатая: «Пионер И. подготовил вопросы по геометрии».

И. вывешивает плакат и читает вопросы.

1. Сколько секторов изображено на чертежах (черт. 5)?

Черт. 5

2. Сколько углов имеется на чертежах (черт. 6).

3. Назовите только острые, прямые и тупые углы на чертежах.

Черт. 6

Вожатая: «Пионеры К. и Л. подготовили две задачи».

К. «Длина комнаты b M, а ширина и высота по а.

Форму какого геометрического тела имеет комната?

Найти объем комнаты и площадь каждой стены».

Л. «Из доски нарезали 8 квадратиков со стороной b см и пять со стороной d см. Обрезков не осталось. Какова была площадь доски?» Дальнейшие вопросы:

1. Что больше:

2. а) Сколько треугольников имеется на каждом чертеже?

Ь) Какого вида имеются треугольники (черт. 7)?

Черт. 7

3. Чему равно неизвестное число:

4. а) Есть ли разница между смежными и прилежащими углами.

Ь) Есть ли разница в порядке действий в выражениях:

Как прочесть эти выражения? 5. а) Как иначе записать алгебраические выражения:

вводя черту дроби, как знак деления? Ь) Будут ли верны такие записи:

Изготовление плакатов создает быстрое чередование вопросов. Учитель следит за ответами, вносит свои замечания и поправки. Если учитель заметит, что какой-либо раздел плохо освещается учениками, то он обратит на него внимание учащихся на уроках после сбора.

ОПЫТ РАБОТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА ДЕСЯТЫХ КЛАССОВ

М. Г ВАСИЛЬЕВ (Петровск)

Ежегодно по желанию учащихся я провожу занятия математического кружка. Цель этих занятий—удовлетворить запросы наиболее одаренных учащихся, способствовать их математическому развитию. Занятия провожу два раза в месяц; начинаю работу в сентябре, кончаю в апреле. Учащиеся с большой охотой посещают занятия кружка. На некоторые темы учащиеся делают доклады, готовясь по указанной мной литературе, более сложный материал сообщается мной; на некоторые доклады приглашаются все учащиеся старших классов, причем иногда занятия проводятся в форме математических вечеров. Эти расширенные занятия математического кружка обычно посвящаются изучению жизни и деятельности выдающихся математиков, на них приглашаются все учащиеся старших классов. План работы я обсуждаю в начале работы с записавшимися в кружок учащимися, поэтому тематика некоторых занятий год от года меняется.

Привожу подробный план работы кружка. Некоторые занятия мной переработаны в соответствии с приобретенной мной за последнее время литературой (отдел о неравенствах).

Занятие 1 (примерно 15 сентября)

1. Организационные вопросы (выбор секретаря, утверждение плана работы).

2. Самостоятельная работа учащихся: доказательство формул размещений и перестановок методом математической индукции.

3. Математический софизм: «1=2». Содержание выражения:

приводятся с целью повторения старого материала. Кружковцы должны найти ошибку и подробно объяснить, в чем она заключается.

Упражнения для работы дома:

1. Вывести формулу сочетаний методом математической индукции.

2. Найти, сколько делителей имеет число 288 = 25 • З2, если в число делителей входят единица и само число.

Примечание. Решения домашних упражнений кружковцы подают в письменном виде преподавателю до начала следующего занятия; лучшие решения разбираются на занятии кружка.

Занятие 2 (примерно 30 сентября)

I. Самостоятельная работа учащихся по выводу формул:

Преподаватель следит за работой учащихся, в случае затруднений помогает наводящими указаниями; ученик, решивший наиболее быстро и рационально, вызывается к доске для изложения своего решения.

2. Вывод признака делимости многозначных чисел на 11 (сообщение преподавателя).

3. Математический софизм: «2 = 3». Содержание: 4—10 = 9— 15;

Упражнения на дом:

1. Исходя из равенства

получаем:

Политая в згой формуле последовательно т~ ~~2Д',..., т, составить ряд равенств, скла дывая которые получим формулу:

2. Исходя из равенства

вывести формулу суммы кубов первых m чисел натурального ряда. Установить справедливость этих формул методом математической индукции.

Занятие 3 (примерно 5—10 октября)

На это занятие приглашаются все учащиеся старших классов.

1. Участник кружка делает доклад «Леонард Эйлер».

2. Кружковцы предлагают собравшимся для решения интересные задачи и вопросы.

а) Двое заспорили о содержании бочки. Один говорил, что воды в бочке более половины, другой утверждал, что меньше. Как убедится, кто прав, не применяя ни палки, ни веревки, ни вообще какого-либо приспособления для измерения.

b) Написать нуль тремя пятерками.

c) Как быстро подсчитать

d) Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 100 включительно?

e) Можно ли ходом шахматного коня попасть из левого нижнего угла доски в правый верхний, побывав на каждом поле ровно один раз?

Занятие 4 (примерно 15 октября)

1. Сообщение преподавателя о решении задач на максимумы и минимумы (элементарными средствами).

2. Решаются задачи:

a) по одну сторону от прямой ММ расположены точки А и В. Найти на MN точку С такую, чтобы АС+СВ было наименьшим.

b) Через вершину А треугольника ABC провести прямую ху так, чтобы сумма расстояний до нее от вершин В и С была наибольшей.

c) Через точку М, данную внутри угла ABC, провести прямую, отсекающую от угла треугольник наименьшей площади.

Упражнения на дом:

a) Из прямоугольных треугольников с данной высотой найти треугольник, имеющий наименьшую площадь.

b) Внутри прямого угла поместить отрезок данной длины так, чтобы он отсекал от сторон угла треугольник наибольшей площади.

c) На стороне ВС треугольника ABC найти точку, сумма расстояний которой до двух других сторон наименьшая.

d) Доказать, не пользуясь логарифмическими таблицами, что

Занятие 5 (примерно 30 октября)

1. Один из участников кружка доказывает теорему Эйлера о соотношении между числом ребер, граней и вершин выпуклого многогранника.

2. Участник кружка доказывает теорему: Произведение двух положительных множителей, сумма которых постоянна, имеет наибольшее значение при равенстве множителей

приводятся три доказательства этой теоремы).

3. Решаются следующие задачи:

а) Найти наибольшее значение функций:

1) у =х(а—х)\

2) y=zx(2 — x).

Учащиеся чертят схематический график функции.

b) Из всех прямоугольников данного периметра 2р определить тот, который имеет наибольшую площадь.

c) Из всех треугольников с данным периметром 2р и данным основанием а определить тот, который имеет наибольшую площадь.

Указание. Воспользоваться формулой.

d) Из круговых секторов данного периметра найти сектор наибольшей величины.

Указание. Обе части формулы S—-^- умножить на 4, сумма 2r+1 =2р.

Упражнения на дом:

1. Найти наибольшее значение функций:

Для второй функции начертить схематический график.

Указание. При наибольшем значении у наибольшее значение имеет также и

Черт. 1

2. Из квадратного листа ABCD (черт. 1), сторона которого равна а см, вырезать по углам такие равные квадраты, чтобы остальной лист, согнутый по прямым ab, be, cd и da, составлял коробку наибольшей емкости.

3. В сегмент, вмещающий данный угол, вписать треугольник наибольшей площади.

Указание. Решается без применения доказанной теоремы.

4. Каковы бы ни были числа а и b и каково бы ни было натуральное число п, имеет место формула:

(бином Ньютона). Доказать непосредственно методом полной индукции.

Занятие 6 (примерно 15 ноября)

1. Участник кружка доказывает теорему: Сумма двух положительных слагаемых, произведение которых постоянно, имеет наименьшее значение при равенстве слагаемых (приводятся три способа доказательства).

2. Решаются задачи.

а) Найти наименьшее значение указанных ниже функций при условии, что х 0.

b) Из всех прямоугольников данной площади S найти прямоугольник наименьшего периметра.

c) Через вершину А параллелограма провести прямую, отсекающую на продолжениях сторон, не проходящих через А, отрезки, сумма которых имеет наименьшее значение.

d) отрезок а разделить на такие две части, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на отрезках, была наименьшей.

e) Предлагается учащимся найти ошибку в математическом софизме: «Прямой угол равен тупому» (см. «Математика в школе», 1946, Nb 5—6).

Упражнения на дом:

1. Найти наименьшее значение функций:

2. Из всех прямоугольников данной площади S определить тот, который имеет наименьший периметр.

3. Найти

т. е. выяснить, сходится ли последовательность

Указание.

1. Доказываем, что эта последовательность возрастает и ограничена, а потому она имеет предел.

2. Обозначив через х искомый предел, решаем

уравнение:

Занятие 7 (примерно 20—25 ноября)

Приглашаются все учащиеся старших классов.

1. Ставится доклад «Н. И. Лобачевский». После доклада преподаватель сообщает собравшимся краткий очерк развития геометрии, рассказывает о «Началах» Евклида, о пятом постулате и неудачных попытках его доказать, излагает основную идею геометрии Лобачевского.

2. После ответов преподавателя на вопросы учащихся кружковцы предлагают собравшимся задачи для решения:

a) Двузначное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, дает полный квадрат. Найти все такие числа.

b) На вечере было 42 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга — с восемью, Вера с девятью и так далее до Нины, которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров (мужчин) было на вечеринке.

c) В двенадцать часов обе стрелки часов совпадают. Через сколько времени они снова встретятся ?

Занятие 8 (примерно 1 декабря)

1. Доклад преподавателя о простых числах. Содержание доклада: определение простого числа; эратосфеново решето; евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел; попытки математиков найти формулу простых чисел; простые числа в арифметических прогрессиях.

2. Решение задач:

a) Доказать, что число простых чисел в арифметической прогрессии 4я-|-3 бесконечно.

b) Доказать, что квадрат любого простого числа, кроме 2 и 3, при делении на 12 дает в остатке 1.

c) Зная углы треугольника, определить угол между медианой и высотой, проведенными из вершины какого-нибудь угла.

Работа на дом:

1. Три простые числа а, Ь и с, большие числа 3, образуют арифметическую прогрессию:

Доказать, что d делится на 6.

2. Найти все простые числа р такие, что ^ —I— 10 и /? + 14 тоже являются простыми числами.

3. Вычислить cos tgl.

Занятие 9 (примерно 15 декабря)

1. Сообщение преподавателя о простых числах: распределение простых чисел в натуральном ряде чисел; работы Эйлера, Лежандра, Дирихле, постулат Бертрана; ассимптотический закон Чебышева; число Скьюза.

2. Один из участников кружка доказывает теорему:

Если данное число не делится ни на одно из простых чисел вплоть до некоторого простого числа, квадрат которого больше данного числа, то оно есть простое число.

3. Самостоятельная работа.

Решение задачи:

Натуральное число а имеет п различных делителей. Найти произведение всех его делителей.

Указание. Разобрать два возможные случая: 1-й случай: п—четное число. 2-й случай: п — нечетное число; один из делителей равен \fa. Почему? Работа на дом:

1. Доказать малую теорему Ферма: Если р — простое число, то при всяком а разность ар — а делится на р.

2. Определить значение х, при котором дробь

имеет наибольшее значение.

Указание. Определить значение х, при котором -~- имеет наименьшее значение.

Занятие 10 (примерно 20 декабря)

Приглашаются все учащиеся старших классов. 1. Доклад участника кружка «П. Л. Чебышев».

2. Решение задач:

a) Доказать, что каждое число вида а4-[-4— составное число, если а — натуральное число, не равное 1.

b) Найти четырехзначное число, представляющее точный квадрат, зная, что две его первые цифры, равно как и две последние, порознь одинаковы.

c) Заполнить клетки разграфленного квадрата, числами так, чтобы их произведения во всех строках во всех столбцах и в обеих диагоналях были одинаковые (т. е. составить образчик магического квадрата с постоянным произведением и указать способ составления таких квадратов).

Занятие 11 (примерно 30 декабря)

1. Доклад участника кружка: Умножение и деление комплексных чисел, выраженных в тригонометрической форме.

Возведение в степень. Формула Муавра.

2. Самостоятельная работа кружковцев. Необходимые указания делаются преподавателем.

а) На основе сообщенного материала вывод формул тригонометрии:

b) вывод формул:

с) Доказать, что если

то

Работа на дом:

1. Упростить

2. Вычислить суммы:

Указание. Рассмотреть сумму:

Занятие 12 (примерно 15 января)

1. Преподаватель делает доклад: «Понятие функции и геометрические интерпретации» (статья С. И. Новоселова, «Математика в школе», 1940, № 6).

Работа на дом:

1. Построить схематические чертежи указанных ниже функций, исследуя их:

Указание. Выделить полный квадрат.

Указание. Кривая симметрична относительно начала координат. Произведение слагаемых постоянно, их сумма имеет наименьшее значение при равенстве слагаемых.

2. Задача. Квадрат со стороной а разделить на четыре части так, чтобы из них можно было составить тетраэдр.

Занятие 12а (расширенное, примерно 20— 25 января)

1. Доклад участника кружка: «Архимед».

2. Решение задач:

а) Известно, что среди 80 монет имеется одна фальшивая, более легкая, чем остальные, имеющие все одинаковый вес. При помощи четырех взвешиваний на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету.

b) Некоторое расстояние было промерено дважды. Результат первого измерения 150,2 м, результат второго 149,9 м. Какова истинная величина промеренного расстояния?

c) По какой системе счисления нужно написать число 75, чтобы при делении на 5 (написанное по той же системе) оно давало в остатке 3?

d) Из центра города в пригород и обратно движутся трамваи один вслед за другим с частотой следования в 5 минут. Определить, сколько трамваев встретит каждый трамвай в пути следования в одном направлении, если средняя скорость его движения г;=12 км/час. Расстояние между конечными пунктами S=9 км.

Занятие 13 (примерно 1 февраля)

1. Участник кружка доказывает теорему: Если произведение п положительных чисел равно 1, то их сумма не меньше п.

2. На основании доказанной теоремы решаются задачи:

а) Доказать, что если хи х2, х19 хА.. .ухп -положительные числа, то

Ь) Доказать, что

с) Доказать, что при а 1

3. Участник кружка доказывает теорему: Среднее геометрическое положительных чисел не больше среднего арифметического этих же чисел.

4. На основании доказанной теоремы решаются задачи:

а) Доказать неравенство:

Ь) Из всех параллелепипедов с данной суммой трех взаимно перпендикулярных ребер найти тот, объем которого наибольший.

Работа на дом:

1. Доказать неравенство:

Указание:

2. Доказать, что при любом целом п > 1 имеет место неравенство:

3. Найти диаметр круга, в сегмент которого, соответствующий хорде длиной в у 21 см, вписан квадрат со стороной в 1,4 см.

Занятие 14 (примерно 15 февраля)

1. Доклад участника кружка: «Понятие о среднем степенном, среднем квадратическом и среднем гармоническом».

Доказательство теоремы: Среднее степенное с отрицательным показателем не превосходит среднего геометрического, а среднее степенное с положительным показателем не меньше среднего геометрического.

2. На основании изложенного решаются задачи: а) Доказать, что если аи а2, ад,... ,ап — положительные числа, то

Ь) Доказать, что для любых положительных чисел а и Ь (а ф Ь) справедливо неравенство:

с) Пусть положительные числа аи а2, а3, aê,...,an составляют арифметическую прогрессию Доказать, что

3. Разбирается математический софизм:

4. Вычислить устно, чему равно произведение логарифмов всех последовательных чисел от 1 до 300.

Работа на дом:

1. Доказать неравенство:

где аи а2, а3, а4 — положительны).

2. Доказать неравенство:

3. Найти четыре последовательные числа, произведение которых равно 1680.

Занятие 15 (примерно 1 марта)

1. Преподаватель доказывает, что последовательности

где Хп =

возрастают. Доказывает, что

убывает с увеличением номера п. Далее преподаватель рассказывает о числе е и о значении этого числа в математике и технике.

2. Самостоятельная работа.

а) Доказывается неравенство:

(1)

Указание. Применить метод математической индукции.

b) Доказать, что 300!> 100300

Указание. Воспользоваться доказанным неравенством (1).

c) Доказать теорему:

Сформулировать ее словами.

Работа на дом:

1. Доказать методом математической индукции неравенство:

2. Доказать неравенство:

Указание. Воспользоваться выше доказанным неравенством.

3. Квадрат целого числа оканчивается тремя одинаковыми цифрами. Какие это цифры?

Занятие 16 (примерно 8 марта)

Приглашаются учащиеся всех старших классов.

1. Доклад участника кружка: «Софья Васильевна Ковалевская».

2. Решение задач:

a) Разбирается математический софизм: Катет прямоугольного треугольника равен гипотенузе.

b) Задача: «Окружность разделена точками А, В и С на три равные части. На дуге AB (меньшей полуокружности) взята точка М. Доказать, что MA 4~ MB = MC.

c) Задача. Пароход идет от Горького до Астрахани 5 суток, от Астрахани до Горького 7 суток. Сколько времени будет плыть плот по течению?

d) Можно ли, имея лишь два сосуда вместимостью 3 л и 5 л, налить из водопроводного крана 4 л воды?

Занятие 17.

1. Сообщение преподавателя: «Неопределенные, или Диофантовы, уравнения».

2. Решение неопределенных уравнений.

Занятие 18 (примерно 1 апреля)

1. Доклад участника кружка: «Принцип Кавальери и его приложение к нахождению площадей и объемов».

2. Разбирается лемма о равновеликих пирамидах, как частный случай теоремы, и сообщается способ вывода формулы объема пирамиды с помощью этой леммы (в классе ранее был сделан вывод формулы объема пирамиды по учебнику геометрии Н. А. Глаголева).

3. Выводится формула объема шара с помощью принципа Кавальери.

4. Решаются задачи:

a) В шаре, радиус которого R = 2 дм, высверлено вдоль диаметра отверстие цилиндрического вида. Найти объем оставшейся части шара, если радиус цилиндра r=~ R.

b) На данном отрезке AB с помощью данного раствора циркуля (не равного AB) и линейки построить равносторонний треугольник.

Работа на дом:

1. Доказать, что площадь четырехугольника равна половине произведения длины диагоналей на синус угла между ними.

2. Доказать, что

3. Доказать, что две плоскости, проходящие через концы обеих троек ребер, сходящихся в концах диагонали куба, рассекают эту диагональ на три равные части.

Занятие 19 (15 апреля)

1. Доклад участника кружка: «Теоремы Гюльдена и их приложение к решению задач на тела вращения».

2. Решение задач на применение этой теоремы.

Работа на дом:

Три задачи на тела вращения (решить двумя способами).

Занятие 20 (примерно 25 апреля) Приглашаются все учащиеся старших классов.

1. Доклад участника кружка: «Лауреат Сталинской премии Лев Семенович Понтрягин».

Литература: журнал «Семья и школа», 1949, N2 7.

2. Решение задач:

a) из «Занимательной геометрии» Я. И. Перельмана, изд. 1950 г.

1) Одним росчерком (стр. 238).

2) Семь мостов Калининграда (Кенигсберга)

b) Задача о трех домиках, голубятне, колодце и навесе из «Математического калейдоскопа» Г. Штейнгауза.

«Секрет» всех этих задач подробно излагается преподавателем; сообщается, что все эти вопросы принадлежат к области математики — топологии, — в которой так успешно работает Л. С. Понтрягин.

Всех кружковцев, делающих доклады, я снабжаю литературой и тщательно проверяю их подготовленность дня за 2—3 до занятия; просматриваю их конспекты и беседую с ними. Если у кружковцев оставалось свободное время и было желание еще поработать, то им обычно предлагались дополнительные задачи, которые я очень часто выбирал из известного сборника задач П. С. Моденова.

Из года в год кружковцы издавали математическую газету «Математический вестник», в которой помещались краткие биографии выдающихся математиков, заметки по истории математики, разбирались некоторые математические вопросы, освещалась работа учащихся по математике, в конце помещались задачи.

ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

Е. А. ПЕТРОВ (Урюпинск, Сталинградской обл.)

Одним из элементов политехнического обучения в средней школе является внеклассная работа по математике: практические измерения с помощью инструментов на местности, изготовление учащимися моделей геометрических тел и фигур, выполнение различных чертежных работ.

В своей практической работе я придаю боль-

шое значение связи математической теории с окружающей действительностью, стараясь научить учащихся пользоваться своими знаниями для решения многих задач, требующих умения работать с простейшими измерительными инструментами.

Значительное место во внеклассной работе отводится моделированию геометрических фигур

(в IX классе) и тел (в X классе), вычерчиванию графиков алгебраических и тригонометрических функций и их изучению.

Учащиеся старших классов имеют свой математический кружок, организованный мной в 1945/46 учебном году, они регулярно выпускают свою стенную математическую газету «Корень», в которой отражается деятельность кружка, помещаются научно-популярные статьи по математике, физике и астрономии, проводятся конкурсы решения задач повышенной трудности, рассказывается о событиях в нашей стране, в нашем районе и в школе.

В истекшем учебном году (я работал в четырех десятых классах) центр тяжести всей внеклассной работы переносился на подготовку выпускников к сдаче экзаменов на аттестат зрелости. Эту работу я вел по трем направлениям:

1) углубление знаний учащихся по математике путем постановки ряда докладов и обзорных лекций на математическом кружке;

2) проведение практических занятий на местности во внеурочное время с целью применения полученных знаний на практике;

3) обязательное изготовление каждым десятиклассником геометрической модели, которое развивает конструктивные навыки у учащихся;

4) тщательное выполнение ряда чертежей по геометрии, приучающее учеников к аккуратности, точности и способствующее развитию их пространственного воображения.

Прежде чем приступить к практическим измерениям на местности, я познакомил учащихся с устройством простейшего угломерного инструмента — астролябии, затем рассказал им, как надо пользоваться астролябией на местности, как производить ее установку и отсчитывать по ней углы. Перед выходом на практические занятия учащиеся должны были иметь при себе следующие принадлежности: чертежную бумагу, карандаш, резинку, таблицы логарифмов, линейку, рулетку, деревянную веху и транспортир.

Первый выход в поле состоялся 12 октября. К этому времени учащимися уже была изучена тема «Решение косоугольных треугольников. Цель практических занятий была следующая: проверить знания учащихся на практике по теме «Косоугольные треугольники» и научить их с помощью измерительных инструментов производить необходимые для решения задач измерения на местности.

На первом занятии присутствовали два десятые класса в составе 60 учащихся, которые были разбиты на шесть бригад. Каждой бригаде было предложено решить три задачи на местности, затем произвести необходимые вычисления, сделать чертежи к задачам. Для выполнения всей работы отводилось три часа.

Ниже приводится перечень задач, которые решались десятиклассниками на первом занятии:

1. Определение ширины реки Хопра (с помощью тригонометрии).

2. Определение расстояния между двумя недоступными точками.

3. Измерение высоты дерева с помощью угломерного инструмента и рулетки.

4. Определение расстояния до недоступного предмета.

5. Вычисление площади треугольного земельного участка (по трем сторонам).

6. Вычисление площади треугольного земельного участка по двум сторонам и углу, заключенному между ними.

7. Определение ширины реки с помощью подобия треугольников.

При определении ширины оврага учащиеся сделали проверку решения задачи непосредственным измерением ширины оврага с помощью рулетки. Разница в результате вычислений и в результате непосредственного измерения оказалась незначительной.

В процессе выполнения практических работ учащиеся приобретали навыки в провешивании прямых линий на земной поверхности, в построении базисов, углов, тренировались в работе с угломерными инструментами.

При определении ширины реки учащиеся пользовались прямоугольными треугольниками различной величины и таким образом контролировали сами себя. Интересно отметить, что точность при определении ширины реки была довольно значительная: максимальная разница в вычислениях не превышала 10—15 см. Так как цена одного деления угломерного инструмента составляла один градус, то погрешности, полученные при измерениях, можно считать вполне допустимыми.

Измеряя высоту дерева, ученики строили на земле различные базисы. Это опять давалось с целью самоконтроля. Получались разные прямоугольные треугольники, разные острые углы зрения, но высота дерева должна быть одна и та же. Действительно, разница при определении высоты дерева оказалась равной 5 см: одна бригада получила результат 12 м 29 см, а другая — 12 м 34 см. Учащиеся заинтересовались таким вопросом: на сколько сантиметров отличается полученный ими результат от действительной высоты дерева, и решили сделать непосредственное измерение высоты дерева. Эту задачу решил выполнить ученик С. Он взобрался на дерево и с помощью рулетки произвел истинный промер высоты дерева. Все учащиеся с большим интересом следили за его работой. Каково же было их удивление и радость, когда он сообщил всем, что дерево имеет высоту 12 м и 30 см. Эта непосредственная проверка убедила учащихся в том,

что их измерения дают хорошие результаты, весьма мало отличающиеся от действительных. С большим энтузиазмом учащиеся принялись за решение очередной задачи: определение расстояния между двумя недоступными предметами (водонапорной башней и трубой консервного завода).

Принцип решения этой задачи я рассказал учащимся на месте; он заключается, как известно, в решении двух косоугольных треугольников. Немедленно был разбит базис на ровной площадке, длина которого составляла 100 м, после чего первая бригада приступила к измерению необходимых углов. Все нужные измерения были сделаны в течение 20—25 минут. Но нужно было еще произвести много вычислений. Здесь уже ученикам потребовались их теоретические познания и навыки в быстром пользовании логарифмическими таблицами.

Началась заключительная часть практической работы: обработка полученных данных при измерениях и вычерчивание чертежей. Бригадиры собирали свои бригады и начинали руководить последним этапом работы.

Учащиеся садятся в кружок и дружно начинают выполнять чертежи и заниматься вычислениями. Каждому интересно узнать поскорее результаты своей работы, поэтому работа кипит, так как каждый ученик хочет быстрее остальных огласить свои результаты: какова ширина реки, высота дерева, расстояние между трубой завода и башней, какова площадь земельного участка и т. д.

Вторая группа десятиклассников выполняла те же задачи на местности, что и первая. Это помогало мне при проверке их работы.

После проведения практических работ на местности весь материал используется для стенной математической газеты старшеклассников, в которой помещаются статьи о проделанной работе, отчеты бригадиров и впечатления отдельных учащихся о практических занятиях. Редколлегия математической газеты «Корень» обрабатывает полевой материал и своевременно выпускает очередной номер своей газеты, в которой дается отчет о практических работах одного X класса.

В начале нового учебного года (в октябре 1953 г.) я думаю провести с выпускниками следующие практические измерения на местности:

1) мензульную съемку с последующим вычерчиванием плана местности в определенном масштабе;

2) нивелировочные работы на местности;

3) определение расхода воды на реке Хопре.

Работа математического кружка ведется в соответствии с изучаемым программным материалом. Каждый десятиклассник в течение учебного года должен представить два чертежа по геометрии (на многогранники и на круглые тела) и изготовить одну геометрическую модель.

Прежде чем приступить к этой работе, ученик знакомится в математическом кабинете с имеющимися чертежами и моделями, изучает их, затем знакомится с требованиями, которые предъявляются к вычерчиванию чертежей и изготовлению моделей. После этого ученик получает определенную задачу, к которой он должен представить чертеж и модель. За выполнение этой практической работы ему ставится отметка в классный журнал. Ученику не может быть выведена отличная отметка в четверти, если он не выполнил практическую работу по изготовлению модели и вычерчиванию чертежа. Качество чертежных работ и изготовленных моделей можно считать удовлетворительным. Около 70% чертежей, которые были сданы учащимися десятых классов в первой учебной четверти 1952/53 учебного года, оценены баллом «5». Остальные чертежи признаны хорошими и удовлетвори тельными.

Чтобы правильно и красиво изготовить модель геометрического тела, учащийся должен хорошо знать свойства этого тела и уметь сделать правильные расчеты развертки, — это сближает теорию математики с ее практическим применением, развивает у учащихся геометрическое воображение и конструктивные навыки.

Повторение программного материала по математике с учащимися десятых классов в этом учебном году мной началось с первого дня занятий.

Помимо систематического повторения курса на уроках, ведется углубление ранее изученного материала на занятиях математического кружка. Учащиеся имеют возможность повторить почти любой раздел геометрии на наглядных пособиях, имеющихся в распоряжении математического кабинета. Эти наглядные пособия в большинстве своем изготовлены руками самих учащихся.

На занятиях математического кружка ставятся доклады научно-популярного содержания из различных отделов математики, делаются обзорные лекции, проводятся викторины и математические олимпиады. Были выпущены специальные бюллетени, посвященные жизни и научной деятельности Н. И. Лобачевского и С. В. Ковалевской.

Придавая большое значение внеклассной работе по математике, я считаю ее одним из элементов политехнического обучения в средней школе, помогающим мне не только увязывать теорию с практикой, но и развивать у учащихся трудовые навыки, нужные им в будущей практической деятельности. Внеклассная работа по математике способствует углублению программного материала и повышению качества знаний по предмету. Поэтому в своей работе я неизменно следую правилу: по мере возможности сближать математику с практикой в жизни, развивать всемерно трудовые и конструктивные навыки у учеников и углублять программный материал.

О КРУЖКОВОЙ РАБОТЕ ПО АРИФМЕТИКЕ

Я. А. ШОР (Москва)

Мы полагаем, что кружковая работа должна быть рассчитана на различные группы учащихся. В кружковую работу надо вовлекать не только учащихся, имеющих явно выраженную склонность к математике, но также прочих сильных и средних по успеваемости учащихся. Отсюда вытекает, что и материал нужно подбирать такой, который был бы доступен для начинающих работать в кружках, не отталкивал бы их своей сложностью, постепенно поднимал бы членов кружка от более простых к более сложным видам работ.

Ниже мы предлагаем вниманию учителя ряд арифметических задач, решаемых в целых числах. Эти задачи могут быть использованы в кружковой работе как в V—VII, так и в старших классах.

Применяя различные методы работы, учитель может: а) решать эти задачи в кружке; б) давать их для предварительного решения дома с последующим изложением решения на кружке; в) использовать как материал для стенной газеты, помещая 1—2 задачи в каждом номере.

Предлагаемые задачи не содержат каких-либо особых трудностей, являясь лишь задачами несколько повышенной трудности, и поэтому многие из них доступны для рида учащихся и могут, следовательно, найти различные формы применения как во внеклассной, так и в классной работе.

Задача 1. Предполагалось выпустить некоторое количество изделий в 40 дней, но так как оказалось, что нужно выпустить на 736 изделий больше, то работа продолжалась на 16 дней дольше, несмотря на то, что ежедневно выпускали на 12 изделий больше, чем предполагали. Сколько изделий было первоначально намечено к выпуску?

Решение. 1) 12X56 = 672 (изделия); 2) 736 — 672 = 64 (изделия); 3) 64:16 = 4 (изделия); 4) 4X40=160 (изделий). Работа продолжалась 56 дней, и каждый день сверх плана выпускали 12 изделий, т. е. в эти 56 дней выпустили 672 изделия сверх плана. Остальные 64 изделия были выпущены в течение 16 дней по плану, т. е. ежедневно по плану надо было выпускать 4 изделия, и, следовательно, план составлял 160 изделий.

Задача 2. Бригада колхозников наметила убрать урожай с некоторой площади в течение 10 дней, но так как ежедневно убирали на 4 га больше предположенного, то по истечении 8 дней оказалось, что убрали на 12 га больше намеченного. Какую площадь первоначально наметила к уборке бригада колхозников? Ответ: 100 га.

Задача 3. Нужно было в течение 18 дней заготовить некоторое количество березовых, сосновых и дубовых дров. Сверх задания было заготовлено 160 куб. м дров, хотя работа была выполнена за два дня до срока, так как ежедневно сверх плана заготавливали 85 куб. м дров. Дубовых дров было заготовлено в 4 раза меньше, чем других пород, а сосновых на 1232 куб. м меньше, чем березовых. Сколько куб. м березовых дров было заготовлено?

Решение. Ежедневно сверх плана заготавливали 160:16=10 куб. м дров. Остальной излишек 85— 10 = 75 куб. м дров в день необходим был для того, чтобы выполнить работу за 2 дня до срока, т. е. 75-16=1200 куб. м должны были заготавливать в 2 дня или 600 куб. M вдень. Итак, заготовили 10960 куб.м дров [600-18 + 160 или (600 + 85). 16].

Количество дубовых дров составляло пятую часть всей заготовки, т. е. 2160 куб. м. Отсюда нетрудно узнать и количество заготовленных березовых дров. Ответ: 5000 куб. м.

Задача 4. Комсомольцы IX классов, члены географического и исторического кружков, рассчитывали совершить поход по родному краю в течение 20 дней, но так как они пробыли в пути на 4 дня дольше и делали в день на 3 км больше предположенного, то маршрут удлинился на 132 км. Определить длину пройденного комсомольцами маршрута. Ответ: 432 км.

Задача 5. Если грузить ежемесячно по 1500 вагонов, то через несколько месяцев для окончания годового плана останется погрузить еще 6000 вагонов, но так как грузили по 1800 вагонов в месяц, то к концу этого же времени осталось погрузить лишь 3600 вагонов, чтобы выполнить годовой план погрузки. В оставшееся после выполнения годового плана время грузили по 2000 вагонов в месяц. Определить количество погруженных за год вагонов.

Решение. Удалось за некоторый период погрузить на 2400 (6000 — 3600) вагонов больше потому, что в месяц грузили на 300 вагонов больше намеченного, следовательно, этот отрезок времени составляет 8 месяцев. План погрузки 18000 вагонов (1500• 8+6000 или 1800-8 + 3600) был выполнен за 10 месяцев, в остальные 2 месяца погрузили еще 4000 вагонов, а всего за год — 22000 вагонов.

Задача 6. Найти четырехзначное число, сумма цифр которого равна 20, зная, что число сотен есть среднее арифметическое между числом тысяч и десятков, а число десятков — среднее арифметическое между числом сотен и единиц. Известно, что число тысяч на 6 больше числа единиц.

Решение. Число десятков на столько больше числа единиц, на сколько оно меньше числа сотен, а последнее на столько же меньше числа тысяч. Следовательно, на разность между числом тысяч и единиц приходится 3 части, или б единиц, т. е. на 1 часть приходится 2 единицы. Отбросив излишки 2 —[— 4г —j— 6=12 и разделив остальные 8 на 4 части, получим, что число единиц равно 2, десятков — 4, сотен — 6, тысяч — 8, т. е. искомое число — 8642. Второй способ: сумма числа единиц и тысяч должна равняться сумме числа десятков и сотен, т. е. каждая из этих сумм равна 10. Дальнейшее решение уже нетрудно.

Задача 7. Подсчитали, что если было бы подано некоторое количество автомашин с грузоподъемностью по 30 мешков каждая, то 900 мешков зерна оказались бы непогруженными. Если же на каждую машину грузить по 40 мешков, то осталось бы непогруженными только 400 мешков. На самом деле пришлось грузить зерно на подводы по 10 мешков на каждую, на автомашины— по 25 мешков и на тракторы с прицепом — по 70 мешков. Подвод было в 3 раза меньше, чем автомашин, но в 2 раза больше, чем тракторов. Сколько было автомашин?

Решение. Из первой части условия узнаем, что всего было 2400 мешков. Составим одну группу: 1 трактор, 2 подводы и 6 грузовиков. Это дает погрузку — 70 —|- 10-2 + 25 • 6 = 240 мешков. Таких групп было 10, т. е. автомашин было 6-10 = 60.

Задача 8. Нужно было вывезти из пионерского лагеря и из турбазы по одинаковому числу ребят. В турбазу были поданы автобусы, вмещавшие по 42 чел., а в лагерь — по 26 чел. За день из -лагеря сделали на 3 поездки больше, чем из турбазы. К концу дня в турбазе осталось 32 пионера, а в лагере — 18 пионеров. Сколько всего надо было вывезти пионеров?

Решение: 1) 26 X 3 = 78 (пионеров); 2) 32 — 18= 14 (пионеров); 3) 78—14 = 64 (пионера); 4) 42 — 26=16 (пионеров); 5) 64:16 = = 4 (поездки); 6) 42 X 4 + 32 или 26 X 7 + 18 = = 200 (пионеров); 7) 200Х2 = 400 (пионеров).

Объяснение: К концу дня в лагере осталось на 14 пионеров меньше, чем в турбазе, следовательно, из 78 пионеров, вывезенных за три лишние поездки из лагеря — 64 пионера вывезено для покрытия того избытка в 16 пионеров, который дает каждая поездка из турбазы. Отсюда следует, что из турбазы было сделано 4 поездки и в ней было 200 пионеров (42 X 4 + 32) и столько же было в лагере.

Задача 9. Система распределительных каналов Волго-Дона представляется в следующем виде:

1) Верхне-Сальский — 22% длины всех распределительных каналов.

2) Нижне-Донской — 58,5% длины Верхне-Сальского.

3) Багаевский и Садковский — в сумме дают 50 км, причем длина Садковского канала составляет 3/4 длины Багаевского канала.

4) Азовский и Чирский — по длине равны между собой и в сумме дают ^ общей длины всех распределительных каналов.

6) Длина Ергенинского канала составляет 112% длины Верхне-Сальского канала. Зная, что длина Багаевского канала относится к длине Азовского канала, как 7 к 18, определить длину каждого из перечисленных каналов.

(Вычисления производить с точностью до 1 км.)

Ответ: длина Верхне-Сальского канала 125 км, Нижне-Донского — 73 км, Багаевского — 35 км, Садковского — 15 км, Азовского — 90 км, Чирского— 90 км, Ергенинского—140 км. Общая длина всей системы оросительных каналов — 568 км.

Задача 10. За 3 часа на самолете и 8 часов на поезде проехали 1344 км, а за 4 часа на автомобиле и 5 часов на мотоцикле проехали еще 436 км. Скорость автомобиля в 5 раз меньше скорости самолета, а поезд проходит на 12 км в час больше, чем мотоцикл. Какой путь может быть сделан в течение 46 часов, если время движения на автомобиле будет в 6 раз меньше, чем на поезде, на 2 часа больше, чем на самолете и на 3 часа меньше, чем на мотоцикле?

Указание. Длина пути, пройденного в первый раз, не изменится, если вместо 3 часов на самолете двигаться 15 часов на автомобиле. Если же вместо 8 часов на поезде ехать столько же времени на мотоцикле, то путь станет на 96 км меньше. Получаем: 15 час. автом. и 8 час. мотоц. 1248 км.; 4 час. автом. и 5 час. мотоц. 436 км.

Ответ: 3008 км.

Задача 11. Вес (брутто) 10 ящиков болтов и 7 ящиков гвоздей составляет 366 кг, а 5 ящиков шурупов и 3 ящика навесов — 262 кг.

Ящик с гвоздями в 3 раза легче ящика с навесами, а с болтами — на 4 кг тяжелее, чем с шурупами. Из 192 ящиков, отправленных на новостройку, количество ящиков с навесами было в 15 раз меньше, чем всех остальных. На 3 ящика болтов приходилось по 2 ящика шурупов, а на 10 ящиков гвоздей — 6 ящиков болтов. Сколько весили все отправленные материалы?

Ответ: 4284 кг.

Задача 12. Товарный поезд проходит в час на 26 км меньше скорого и поэтому при одновременном выходе от одной станции в одном направлении товарный поезд прибыл на станцию

назначения на 13 часов позднее скорого. Если поезда выйдут одновременно навстречу друг другу от этих двух станций, то через 3 часа после их выхода расстояние между ними уменьшится на 246 км. Определить расстояние между станциями.

Задача 13. На изготовление тетрадей по 50, 24 и 12 листов фабрика израсходовала 828000 листов бумаги. Тетрадей по 50 листов было на 6800 меньше, чем по 24 листа, а на тетради по 12 листов израсходовано в 3 раза больше бумаги, чем на тетради в 24 листа. Сколько было тетрадей по 50 листов каждая?

Решение. Увеличим число тетрадей в 50 листов на 6800, тогда общий расход бумаги станет I 168 000 листов (828000 + 50.6800).

На тетради по 12 листов израсходовано в 3 раза больше, чем на тетради в 24 листа, поэтому тетрадей в 12 листов было в 6 раз больше, чем в 24 листа.

Образуем теперь группу: 1 тетрадь в 50 листов, 1 тетрадь в 24 листа и 6 тетрадей в 12 листов. На такую группу понадобится 146 листов бумаги. Следовательно, таких групп или тетрадей по 24 листа было 8000, а тетрадей в 50 листов — 1200.

Задача 14. В один из цехов поступило 8400 м материи, а в другой — на 2800 м меньше. Первый цех израсходовал 1700 м материи, а второй — на 350 м больше первого. На сколько метров материи осталось в первом цехе больше, чем во втором? (Решить двумя способами.)

Первый способ: 1) 8400 — 2800 = 5600 м\ 2) 8400— 1700 = 6700 м; 3) 1700 + 350 = = 2050 м; 4) 5600 — 2050 = 3550 ^; 5) 6700— -3550 = 3150 м.

Второй способ: 2800 + 350 = 3150 м.

Рассуждение: по условию задачи разность составляла первоначально 2800 м. Уменьшаемое уменьшили на 1700, а вычитаемое уменьшили на число, которое на 350 больше, чем 1700. Следовательно, разность увеличилась на 350 и стала равной 3150.

Задача 15. В автогараже имеется 30 машин (без прицепов), которые могут вывезти некоторый груз за 16 дней. Во сколько дней будет перевезен груз, если гараж пополнился шестью автомашинами с прицепами, причем машина с прицепом перевозит 6 m в то время, за которое машина без прицепа перевозит 36 ц?

Решение. Для перевозки 18 m = 180 ц (Н. О. К. 60 и 36) требуется 3 машины с прицепом или 5 без прицепа. Следовательно, пополнение в 6 машин с прицепом равносильно 10 машинам без прицепа, и можно считать, что гараж имеет как бы 40 прежних машин. Работу по перевозке груза можно принять за 30-16 = 480 условных единиц и для ее выполнения требуется теперь 480:40=12 дней.

Задача 16. Автогараж, имея 30 машин (без прицепов), мог перевезти некоторый груз за 16 дней. Автогараж пополнился 9 машинами с прицепами, а груз, подлежащий перевозке, увеличился на восьмую часть. Во сколько дней будет выполнена перевозка груза, если машина с прицепом перевозит 6 m в то время, за которое машина без прицепа перевозит 36 и?

Ответ: 12 дней.

Задача 17. Участок прямоугольной формы, длина которого в 3 раза больше ширины, окружен оградой, отстоящей от сторон прямоугольника на 6 м. Площадь, ограниченная оградой, на 576 кв. м больше площади самого участка. Определить длину ограды.

Решение. 1) Площадь равна числу, полученному от умножения чисел, выражающих длину и ширину прямоугольника.

2) Каждый из двух сомножителей увеличен на 12, поэтому произведение увеличилось на сумму сомножителей, взятую 12 раз и еще на 12-12=144. Следовательно, 12-кратная сумма сомножителей равна 576—144 = 432, а сумма сомножителей равна 432:12= 36.

3) Итак, сумма двух чисел (длина и ширина) равна 36, причем одно из них в 3 раза больше другого, значит на 4 части приходится 36. Итак, ширина — 9 м, длина — 27 м, а длина ограды равна (9 + 6 + 6) • 2 + (27+6+6) • 2, или 120 м (черт. 1).

Черт. 1

Задача 18. Спортивная площадка, ширина которой в 5 раз меньше длины, окружена со всех сторон дорожкой одинаковой ширины. Наружная граница дорожки на 24 м больше ее внутренней границы, а площадь дорожки равна 468 кв.м. Определить площадь спортплощадки.

Ответ: 720 кв. м.

Задача 19. Верховой выехал в 4 часа утра, проезжая по 10 км в час и делая через каждые 3 часа привал на 30 минут. В 10 часов утра вслед за ним был послан мотоциклист, который догнал верхового в 12 часов дня и сопровождал его в течение 30 минут. На обратном пути мотоциклист увеличил скорость на 7 км 500 м

в час. В котором часу мотоциклист вернулся обратно?

Решение. До 12 час. дня верховой прошел путь, равный 70 км (от 4 до 7 час. — 3 часа, от 7 час. 30 мин. до 10 час. 30 мин. — 3 часа и от И час. до 12 час. — 1 час). Следовательно, скорость мотоциклиста равна 35 км в час. Мотоциклист сопровождал верхового до 12 час. 30 мин. дня и продвинулся еще на 5 км. Обратный путь, равный 75 км, он совершил за 2 часа и вернулся в 14 час. 30 мин.

Задача 20. Между станциями M и N находится станция А, расположенная в 9 раз ближе к М, чем к N, причем MA на 960 км меньше, чем AN. Из А в N вышел товарный поезд со скоростью 30 км в час, а через 2 часа из M в N отправился скорый поезд, делающий 50 км в час. Пробыв в N 2 часа, скорый поезд отправился обратно в М. Определить оба места встречи поездов (черт. 2).

Черт. 2

Решение. 1) По разности и кратному отношению определяем: МА = 120 км; AN= 1080 км\ AW=1200 км.

2) Решая задачу на движение в одном направлении, находим, что, скорый поезд по пути в N догнал товарный в точке С, отстоящей от M на 450 км или от N на 750 км.

3) CN скорый поезд прошел за 15 часов, т. е. до обратного выхода из N прошло 17 часов. За это время товарный поезд прошел 30-17 = = 510 км и находился в 240 км от N. Следовательно, встреча произошла через 3 часа после выхода скорого поезда из N, в 150 км от последнего.

Задача 21. Пункты А, Б и С расположены вдоль шоссейной дороги. Из А выходит легковая машина, а одновременно из В навстречу выезжает велосипедист, делающий в час на 60 км меньше, чем автомобиль. Через 3 часа они встретились в пункте, который в 6 раз дальше от А, чем от В. В другой раз легковая машина отправилась из Л в С, а через час из В в С выехал велосипедист. На каком расстоянии от В автомобиль догонит велосипедиста ? Указание. Так как автомобиль прошел до встречи в 6 раз больше, чем велосипедист, то и скорость его в 6 раз больше. Следовательно, по разности (60 км) и кратному отношению (6) находим, что скорость автомобиля 72 км в час, а велосипедиста—12 км в час.

Ответ: на расстоянии 36 км от В.

Задача 22. Расстояние AB равно 920 км. Из А отправляется товарный поезд, делающий 35 км в час, а через 4 часа навстречу ему из В отправляется скорый поезд, делающий на 15 км в час больше товарного. Через сколько часов после выхода товарного поезда расстояние между поездами составит 510 км?

Указание. Задача имеет два решения. Первое: (920—35-2—510) : (35 + 50) = 4 часа показывает, что через 6 часов после выхода расстояние между поездами было равным 510 км. Продолжая движение после встречи, поезда удалялись друг от друга на 85 км в час, и. следовательно, вторично расстояние между ними (после) стало равным 510 км через 6 часов после встречи.

Ответ: 1) Через 6 часов после выхода товарного поезда.

Задача 23. От А до 5 — 360 км. Из А в 4 часа утра выехал велосипедист со скоростью 12 км в час, делавший через каждые 4 часа привал на 2 часа. В 8 часов утра вслед за ним выехали из А автомобиль со скоростью 45 км в час и мотоциклист со скоростью 30 км в час, причем последний через каждые 4 часа делал привал на 30 мин. Пробыв в В 2 часа, автомобиль выехал обратно в А, увеличив скорость на 15 км в час. Через сколько времени после встречи с мотоциклистом автомобиль на обратном пути встретит велосипедиста?

Решение. От А до В автомобиль ехал 8 часов (360 км : 45 км) и выехал обратно через 8 + 2=10 часов, или в 18 час. За это время мотоциклист проехал 270 км (2 раза по 4 часа, 2 привала по 30 мин. и еще 1 час в движении, т. е. 4 • 2 + 1 = 9 часов). К моменту выхода автомобиля обратно между автомобилем и мотоциклистом было расстояние в 90 км (360—270), т. е. они встретились через 1 час после выхода автомобиля обратно, или в 19 час. К этому моменту, т. е. 19—4=15 часов, велосипедист прошел 12-4-[-12.4+12-3=132 км, так как он был в пути 11 часов (сделал два привала). К этому моменту между автомобилем и велосипедистом было 360—(60+ 132) =168 км. Велосипедист был еще до привала 1 час в пути, и расстояние между ним и автомобилем стало 168— (60+ 12) = 96 км. Это было в 20 час. Эти 96 км автомобиль прошел за 96:60, или за 1 час 36 мин., и встретил велосипедиста, который стоял на привале, в 21 час 36 мин. или через 2 часа 36 мин. после встречи.

Задача 24. Через 3 часа после выезда мотоциклиста оказалось, что пройденная часть пути на 110 км меньше оставшейся. Чтобы закончить путь в назначенный срок (8 часов), мотоциклист увеличил скорость на 10 км в час. Определите расстояние между городами.

Указание. Если бы последние 5 часов мотоциклист шел с прежней скоростью, то он

прошел бы на 50 км меньше и разность расстояний была бы равной 60 км (110—50), а разность времени — 2 часа, т. е. первоначальная скорость была 30 км в час. Ответ: 290 км.

Задача 25. Велосипедист и автомашина вышли в б часов утра навстречу друг другу из городов А и В и встретились в 8 часов утра. Продолжая свой путь, автомобиль прибыл в А в 8 час. 30 мин. утра. В котором часу велосипедист прибудет в В, если на остановки в пути он затратит 2 часа?

Решение. До встречи автомобиль был в пути 2 часа, а после встречи — 30 минут, т. е. оставшаяся часть пути в 4 раза меньше пройденной. Следовательно, велосипедисту нужно затратить в 4 раза больше времени, чем до встречи, и еще 2 часа на остановки, т. е. всего 10 часов (после встречи), и он прибудет в город ß в 6 час. вечера.

Задача 26. Один и тот же путь может быть сделан за 7 часов езды на мотоцикле и 3 часа на велосипеде, или за 5 часов езды на мотоцикле и 9 часов на велосипеде. Сравнить скорость движения мотоциклиста и велосипедиста.

Решение. Если от равных величин отнимем равные, то останутся равные величины. Сократив в обоих случаях время движения на велосипеде на 3 часа, получим, что за 7 часов на мотоцикле проезжают такой же путь, какой можно проехать за 5 часов на мотоцикле и 6 часов на велосипеде. Сократив опять время движения на мотоцикле на 5 часов, получим, что за 2 часа на мотоцикле проезжают такой же путь, какой за 6 часов на велосипеде, т. е. скорость последнего в 3 раза меньше скорости мотоцикла.

Укажем в заключение, что среди предложенных нами задач имеются сходные по методу решения, что позволяет закрепить тот или иной прием или ход рассуждений.

О НЕКОТОРЫХ МЕРАХ БОРЬБЫ ЗА УСПЕВАЕМОСТЬ УЧАЩИХСЯ

Заслуженный учитель школ РСФСР А. ПРОЗОРОВА (Гатчина)

В 1950/51 учебном году я работала в трех восьмых классах Гатчинской средней школы № 4. Все три класса для меня были новые, собранные из четырех школ г. Гатчины, из нескольких школ Гатчинского района Ленинградской области и из районов других областей. Поэтому первая моя задача состояла в изучении ошибок и недочетов в знании учащимися материала предыдущих классов. С первых же уроков обнаружились разнообразные ошибки в постановке знаков, ошибки при умножении степеней с одинаковыми основаниями (учащиеся перемножали показатели степеней); ошибки при возвышении степени в степень (показатели степеней складывали) и т. п. Изучение ошибок за курс семилетки я начала попутно с прохождением нового материала путем повседневной записи этих ошибок в особую тетрадь, заведенную мною для каждого класса.

Чтобы достичь хороших знаний учащихся, необходимы два условия: 1) методически правильно провести урок так, чтобы все учащиеся хорошо поняли излагаемый материал, и 2) закрепить эти знания на уроке и на последующих уроках. Рассмотрим каждое из этих условий.

Подготовка к уроку

При подготовке к уроку моей задачей было: продумать вопросы для повторения так, чтобы ученикам было наиболее понятно объяснение нового материала; подобрать устные упражнения к объяснению нового материала; продумать типичные ошибки по теме урока, подобрать задачи и примеры в порядке возрастающей трудности.

Приведу примеры:

1. При извлечении квадратного корня из числа, не являющегося точным квадратом, нужно (если это возможно) уметь представить это число в виде произведения таких чисел, чтобы одно из них представляло собой точный квадрат. Я знала, что большинство учителей V класса учит разложению на простые, но не на составные множители, поэтому я подобрала для устного счета ряд таких чисел, чтобы при разложении их на два сомножителя одно из них представляло точный квадрат, например: 72; 48; 432 и т. п.

На уроках обнаружилось, что некоторые учащиеся путают множители и слагаемые, т. е. полагают, что 18 равно 9-9. Но эту ошибку я скоро ликвидировала. Впоследствии учащихся не затруднял вопрос о разложении на множители, в чем я убедилась при решении геометрических задач с применением формулы Герона.

2. В практике разложения иррациональных выражений на множители подбор примеров в порядке возрастающей трудности имеет решающее значение, но таких примеров в задачнике

Шапошникова совсем нет, а в задачнике Ларичева их немного, причем отсутствуют примеры на разложение иррациональных выражений на множители при помощи формул сокращенного умножения, а между тем в задачнике Ларичева во многих примерах § 18 необходимо применение формул сокращенного умножения.

Я подобрала примеры в таком порядке:

Далее ряд примеров на вынесение общего множителя за скобку, например:

Примеры на разложение способом группировки, например:

Перед тем как объяснить разложение на множители по формулам сокращенного умножения, я подготовила примеры для повторения умножения при помощи формул сокращенного умножения, а затем примеры на умножение иррациональных выражений при помощи формул сокращенного умножения:

Последние формулы (4 и 5) трудно усваивались учащимися.

После рассмотрения каждого способа разложения учащиеся решали примеры на сокращение дробей. На прохождение темы «Разложение иррациональных выражений на множители» мною было отведено 2 часа.

3. При прохождении первых теорем геометрии обнаружилось, что значительная часть учащихся восьмых классов теоремы доказывают формально, не обосновывая каждого положения. В начале учебного года я допустила ошибку, полагая, что с изучением теорем все обстоит благополучно, так как теоремы изучаются уже третий год. Но уже при доказательстве теорем о признаках подобия треугольников обнаружилось, что учащиеся путали, что дано, что нужно доказать, а при доказательстве третьего признака подобия упускали из виду, что равенство углов при вершине треугольника неизвестно. Исходя из этого, я стала подбирать упражнения и вопросы для повторения, способствующие лучшему пониманию и усвоению той или иной теоремы, подготовлять чертежи, подбирать соответствующие задачи в порядке возрастающей трудности. Например, перед доказательством теоремы о перпендикуляре, опущенном из вершины прямого угла прямоугольного треугольника на гипотенузу, я наметила повторение свойств углов, образованных попарно перпендикулярными прямыми, приготовила соответствующие чертежи, с тем чтобы учащиеся на уроке на этом чертеже рассмотрели равные углы, подобные треугольники и установили, против каких углов лежат какие стороны. Для закрепления знаний по этой теореме учащиеся решили задачи по задачнику Рыбкина № 3, 11, 12 из § 10.

Проведение урока

Уроки я начинала с проверки выполнения домашнего задания путем беглого просмотра работы каждого учащегося. Так как дома я сама всегда решала все задачи и примеры, приготовленные для классной и домашней работы, то достаточно было одного взгляда, чтобы установить, верно ли ученик выполнил работу. Затем я предлагала тому или иному ученику рассказать (а не прочитать по тетради), как он решил пример и задачу и почему именно так. Иногда я предлагала ученику несколько вопросов, после чего ставила оценку. Часто я спрашивала объяснения решения задачи, решенной другим учащимся на доске в классе.

Я придаю очень большое значение устным упражнениям, так как эти упражнения помогают лучше осознать вывод правила или формулы. Подобные упражнения я предлагала (устно или записывала их на доске) перед объяснением нового материала, после объяснения — для закрепления и на последующих уроках — в качестве повторения.

Так, например, трудность темы «Вывод формулы квадратного уравнения приведенного вида» заключается в том, что учащиеся не умеют представить число в виде удвоенной его половины (курс VI кл.), не умеют дополнить двучлен до полного квадрата. Поэтому устно я предложила учащимся такие вопросы:

1) Какое число надо удвоить, чтобы получить число 8; 2; 3; 1?

2) Какое число надо удвоить, чтобы получить 2т; а; р?

3) Прочитайте выражения:

4) Какое число надо прибавить к двучлену х2 ++2-4x, чтобы получить квадрат суммы двух чисел? Каких именно? Далее я предложила ряд примеров на дополнение двучлена до полного квадрата суммы:

После того как ученики усвоили эти два вопроса, я приступила к выводу формулы решения квадратного уравнения, что прошло без всяких затруднений. Решением квадратного уравнения дополнением до полного квадрата я не занималась с учащимися, считая такой способ нерациональным.

Особенно широко я использовала устные упражнения по алгебре при решении примеров в классе и при заданиях на дом. Например, зная, что учащиеся часто допускают ошибки при освобождении подкоренного выражения от знаменателей, я предварительно предложила ряд устных упражнений, а именно:

а затем предложила такие примеры:

и т. п., при этом я обращала внимание на то, что перед знаком корня тоже будет дробное, а не целое число (или выражение). Чтобы убедить учащихся в этом, мы вносили под знак радикала вынесенный множитель. И все же было несколько учеников, которые долго не могли усвоить этого правила, и только путем индивидуальных заданий я окончательно ликвидировала эту ошибку.

Перед решением задач на составление уравнений (квадратных) типа деления числа на две неравные части я провела такие упражнения:

Которая из дробей больше? Почему?

Но чтобы учащиеся не подошли формально к составлению уравнения, я требовала объяснения составления уравнения согласно условию задачи, а деление числа на неравные части предложила учащимся использовать как проверку правильности составленного уравнения. Научить учащихся хорошо составлять уравнения по условиям несложных задач не было трудно, так как я применяла и в этом случае устные упражнения, т. е. диктовала учащимся условие задачи, а они должны были сразу же составить уравнение, после чего я просматривала решение, и учащиеся совместно исправляли ошибки, допущенные в составлении уравнения.

По геометрии устные упражнения мною проводились не только перед доказательством теорем, но главным образом перед решением задач. Я проводила ряд упражнений с чертежом, так как учащиеся часто не могли разобрать, прот,ив каких углов в подобных треугольниках лежат какие стороны; в сложном чертеже, какие углы равные; почему стороны равны, и т. п. Так, например, при решении задачи № 18 § 9 из сборника Рыбкина:

В треугольнике ABC проведена прямая BD так, что À/mBDC = /^АВС; на стороне АС получаются отрезки AD = 7 см; DC = 9 см. Определить сторону ВС и отношение BD: В А— мною были даны такие упражнения:

В данном треугольнике проведен отрезок так, чтобы в двух получившихся треугольниках один угол был общий и еще по одному равному углу, как показано на чертеже 1.

Черт. 1

Требовалось доказать, какие из треугольников подобны и почему, определить, какие стороны лежат против равных углов, составить равные отношения.

Таких упражнений я провела несколько. После этого учащиеся без труда решали намеченные задачи.

Сложную задачу я иногда расчленяла на простые, которые решались в классе, а затем данную задачу предлагала учащимся для самостоятельного решения или в классе, или дома. Так, например, перед решением задачи № 21 § 8 из сборника Рыбкина:

Стороны треугольника равны 51 см, 85 см и 104 см. Проведена окружность, которая касается обеих меньших сторон, а центр имеет на большей стороне. На какие части большая сторона делится центром? была проведена такая работа: 1) рассмотрев готовый чертеж, учащиеся установили, что боко-

вые стороны суть касательные к полуокружности, а потому центр ее одинаково удален от точек касания, т. е. он лежит на биссектрисе угла, противоположного стороне, на которой лежит центр.

Затем я предложила ученикам вписать в треугольник полуокружность с центром на одной из сторон и после этого записать отношения боковых сторон и отрезков, на которые делит центр третью сторону. Только после этого я объявила номер задачи.

Перед решением задач № 82—84 § 13 в классе были выполнены построения трапеции: 1) равнобедренной так, чтобы ее диагонали были взаимно перпендикулярны; 2) трапеции так, чтобы меньшая диагональ была перпендикулярна боковой стороне.

Для решения геометрических задач необходимо знание формулировок теорем. Но учащиеся иногда не придавали значения формулировкам; приходилось за это ставить неудовлетворительные оценки. Чтобы ученики лучше запоминали теоремы, я подбирала ряд задач, где применяются одни и те же теоремы. Например, при решении задач № 109 и 110 § 11 из сборника Рыбкина я обратила внимание учащихся на то, что эти задачи (на доказательство) решаются при помощи теорем о квадрате стороны, лежащей против острого и тупого угла треугольников. После прохождения теоремы о пропорциональности сторон и высот в подобных треугольниках учащиеся решали задачи, где нужно было доказать пропорциональность сторон и медиан, сторон и биссектрис в подобных треугольниках. После того как прошли задачу на построение методом подобия, учащиеся решали такие задачи из учебника:

1. Построить треугольник по отношению сторон, углу между ними и медиане или биссектрисе или какой-либо стороне, а также соответствующие задачи на построение прямоугольного треугольника.

2. В треугольник вписать квадрат так, чтобы одна сторона лежала на основании треугольника и две другие вершины — на боковых сторонах; или вписать прямоугольник по отношению его непараллельных сторон; или вписать параллелограм по данному острому углу и отношению непараллельных сторон.

Были подобраны и решены задачи на построение треугольника по данному отношению трех его сторон и одному из линейных элементов.

Закрепление знаний учащихся

Закрепление знаний учащихся — самая трудная часть работы, так как нельзя ограничиться несколькими уроками, нужна повседневная длительная работа. Опыт показывает, что учащиеся (в особенности те из них, которые не обладают достаточной усидчивостью) быстро забывают пройденное. Поэтому приходится вновь и вновь возвращаться к пройденному материалу, а в некоторых случаях полезно решить снова ранее решенную задачу.

Повторение пройденного материала мною проводилось таким образом:

1. Систематическое повторение материала, начиная с третьей четверти учебного года по составленному плану, с последующим опросом учащихся по пройденному материалу.

Часто при опросе, вместо доказательства теоремы, я предлагала лучшим и средним ученикам сформулировать теоремы, на которых основано доказательство, или доказать несложную теорему без чертежа, устно и без обозначений, так, чтобы ученикам было ясно, как доказывать теорему.

2. При повторении предлагались устные упражнения, но для этого я составляла уже более сложные примеры, чем в начале года; например, упростить:

или

Зная разложение выражений по формулам сокращенного умножения, большинство учащихся быстро находило ответ.

Тема «Действия с радикалами» очень трудна для учащихся, а потому при ее повторении я обратила серьезное внимание на решение сложных примеров, которые я брала из задачника Ларичева, а некоторые составляла сама. Пришлось опять предлагать примеры для устного решения, чтобы учащимся легче было решить упражнения самостоятельно в классе или дома.

Так, перед решением примера (домашнее задание):

я предложила такие упражнения в классе:

1. Вынести общий множитель за скобки:

2. Возвысить в квадрат:

Подобные предварительные упражнения (я пользовалась ими не всегда) приносили огромную пользу ученикам, слабо разбирающимся в решении сложных примеров. Лучшие ученики были недовольны указаниями, так как это мешало им проявить инициативу, поэтому в четвертой четверти я такие указания делала на дополнительных занятиях.

Если решение задачи очень сложно, то я предлагала двум-трем учащимся объяснить с места решенную задачу или пример. При решениях задач и примеров я указывала ученикам на значение применения рациональных способов вычислений и преобразований. Еще в начале года я показала ученикам, как можно быстро возвести в квадрат любое двузначное число, извлечь квадратный корень из трехзначных и четырехзначных чисел; как упрощаются преобразования при решении уравнений, если предварительно произвести сокращения; каким простым становится решение дробных иррациональных выражений, если дроби предварительно сократить (если это возможно).

Я провела с учениками такую работу. На дом был дан пример № 288 (4) § 18 из сборника П. А. Ларичева:

После проверки домашних работ я показала на доске в классе решения двух учениц: Л. (сильной) и П. (более слабой).

Решение Л.

Решение П.

Написав на доске оба решения, я обратила внимание учащихся на то, к каким сложным преобразованиям приводит отсутствие своевременного сокращения дробных выражений.

Особенно большой подготовки потребовало повторение в четвертой четверти пройденного за год. Я написала три задания: 1) 19 задач на составление квадратных уравнений различного типа, причем задачи я взяла из задачника П. А. Ларичева и из других, имеющихся у меня, задачников; 2) 40 примеров по алгебре на разные отделы курса, причем были и теоретические вопросы (например: «при каком значении q уравнение х2 — 8х+д = 0 имеет равные корни?»); 3) 38 задач по геометрии.

Каждое из этих заданий мной было написано в трех экземплярах и роздано каждому классу.

Для закрепления знаний я довольно широко использовала проведение самостоятельной работы в классе по окончании каждой темы, перед контрольной письменной работой. Задачи и примеры я составляла такие, чтобы туда вошли все наиболее трудные вопросы будущей контрольной работы. После проверки самостоятельной работы я анализировала ее с учащимися, а затем составляла тексты контрольной работы от 4 до 8 вариантов на отдельных листочках для каждого учащегося. И только изредка работа давалась в двух вариантах, в тех случаях, когда работу трудно списать, например доказательство теоремы (я предлагала учащимся изменить буквы на чертеже, данном в учебнике) или задачу на построение, где наибольшее значение имеет объяснение этой задачи. Каждую контрольную работу я анализировала, устанавливала фамилии учащихся, допустивших ту или иную ошибку, о чем доводила до сведения учеников на уроке, и раздавала допустившим ошибки индивидуальные задания, составленные мной дома после проверки работы.

Так, например, 13 октября была дана следующая самостоятельная работа.

1) Вычислить устно: 932; 952.

2) Вынести множители из-под знака радикала:

3) Ввести множители под знак радикала:

4) Освободить от знаменателя подкоренное выражение:

5) Привести корни к одному показателю:

Затем последовали контрольные работы: 16 октября — на преобразование корней; 27 октября — на сложение и вычитание корней; 14 ноября — на умножение и деление корней.

Всего проведено за год 11 контрольных работ по алгебре и 9 контрольных работ по геометрии.

Обычно на самостоятельной работе, тексты которой составлялись с расчетом на сильного ученика, я помогала тем из учащихся, которые затруднялись в решении того или иного примера, а иногда приостанавливала работу и объясняла какой-либо вопрос, в котором плохо разбиралась большая часть класса.

Для ликвидации ошибок, допущенных в контрольных работах и при устных ответах, я или давала индивидуальное задание, или устраивала дополнительные занятия один раз в неделю для каждого класса. Дополнительные занятия были в виде консультации. В четвертой четверти я устраивала два раза в неделю занятия по приготовлению домашних заданий, куда приглашала по 3—4 человека от каждого класса. Это были те ученики, которые не всегда выполняли задания, так как недостаточно усвоили курс. На эти занятия часто приходили и другие ученики.

Для лучшего понимания некоторых вопросов я использовала наглядные пособия. Так, по теме «Иррациональные числа» были сделаны два наглядных пособия; к теме «Функция и графики» были выполнены пособия на больших листах, а каждый учащийся сделал графики дома в виде альбома. При решении задач на движение я требовала от учащихся чертеж.

Заключение

В преподавании математики я обращала внимание главным образом на изжитие формализма. При доказательстве теоремы или решении задач учащимися я старалась узнать, до конца ли поняли теорему или задачу ученики. Ответ не считался удовлетворительным, если учащийся не все обосновал. Я требовала, чтобы размеры элементов чертежа соответствовали условию задачи. При прохождении темы «Графики и функции» требовалось не только уметь чертить график по точкам, но и исследовать этот график.

В результате всех вышеизложенных мероприятий в трех восьмых классах по алгебре успевают все, по геометрии не успевает один человек.

Но далеко еще не все сделано мной в отношении улучшения постановки преподавания. Некоторые учащиеся недостаточно хорошо поняли вопрос об иррациональном числе, о несоизмеримых отрезках, а следовательно, и лемму о подобии треугольников, и теорему о площади прямоугольника, если стороны измеряются иррациональными числами.

Одним из главных недостатков в преподавании является отсутствие проведения практических работ, что можно было бы сделать, так как материал VIII класса этому способствует.

О ПОСТРОЕНИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ k/x И ах2

В. Н. МИШАГИН (Тюмень)*

Известно, что построение графиков по точкам с предварительным составлением таблицы значений х и у отнимает много времени и отличается малой степенью точности, так как даже при целых значениях х соответствующие им значения у чаще всего получаются дробные и приближенные. Кроме того, однообразие этого способа построения понижает интерес учащихся к построению графиков вообще и к графическому решению уравнений в частности.

В настоящей заметке предлагается простой геометрический способ построения графиков функций:

а также дается его усовершенствование применительно к школьной практике. Предлагаемый способ имеет своей целью облегчить построение указанных графиков, увеличить его точность, а также приблизить его к практике построения кривых, осуществляемой инженерами и техниками.

1. Построение графика функции

Рассмотрим прямоугольную систему координат XOY (черт. 1) и точки

Через эти точки проведем два параллельные между собой луча. Из точки пересечения луча, исходящего из точки В, с осью ОХ проведем параллельно оси Y прямую до пересечения с лучом, исходящим из точки А. В пересечении последних прямых получится точка М, принадлежащая графику функции у = — .

Рассмотрим треугольники ABC и BKL. В силу параллельности их сторон они подобны, поэтому:

Обозначив координаты точки M через х и у, получим:

и наше равенство примет вид:

откуда

Построение графика может быть упрощено, если его производить на миллиметровой бумаге или на бумаге в клеточку. В самом деле, можно обойтись без проведения лучей, исходящих из точки В, если вершины К параллелограма ABKN (черт. 1) помещать в точках оси ОХ, через которые проходят вертикальные линии сетки бумаги, а вершины N — в расстоянии, равном У к от точек К. Тогда точки M графика будут получаться на лучах, исходящих из точки Л, и на соответствующих вертикальных линиях сетки бумаги.

Построение осуществляется в таком порядке. От начала координат в отрицательном направлении на оси OY откладываем отрезок ОС, равный выбранной единице длины (черт. 2). В положительном направлении на оси OY от точки О откладываем отрезок OB, равный к. На отрезке ВС, как на диаметре, строим полуокружность, которая пересечет ось X в точке D;

OD = У F. Строим точку А (— Ук, — Ук\ На оси ОХ от каждой точки пересечения ее с вертикальными линиями сетки бумаги 1, 2, 3, 4,... откладываем в отрицательном направлении отрезки, равные У к ; получим соответственно точки: 10, 20, 30, 40,... Проводя из точки А лучи через точки 10, 20, 30, 40,... до пересечения с вертикальными прямыми сетки бумаги, проходящими соответственно через точки 1, 2, 3, 4,..., получим точки I, II, III, IV,...

Черт. 1

* Статья печатается в качестве материала для занятий школьных кружков. (Ред.)

графика. Если число к является точным квадратом рационального числа, то построение \Z~k указанным способом отпадает. Точки графика, расположенные в первой четверти левее точки I, можно строить так: отрезки 1—I, 2—II, 3—III, 4—IV,..., взятые на вертикальных линиях сетки, откладываем на соответствующих горизонтальных линиях сетки бумаги от оси Y. Вторая ветвь графика, расположенная в третьей четверти, строится аналогичным способом. При этом точка А не меняет своего положения, а лучи, исходящие из нее, пересекают ось X левее точки О. Точки графика находятся на этих лучах и вертикальных линиях сетки ниже оси X.

2. Построение графика функции у = ах2

Построим окружность радиуса г с центром на оси OK, касающуюся оси ОХ (черт. 3). Из концов диаметра А и О проведем взаимно перпендикулярные лучи. Точка их пересечения находится на окружности. Если из точки пересечения луча, исходящего из А, с осью ОХ провести перпендикуляр к оси ОХ до пересечения с лучом, исходящим из О, то получим точку M, принадлежащую графику функции:

В самом деле, из подобных треугольников OAL и OML получим:

откуда:

Построение графика упрощается, если его выполнять на миллиметровой бумаге или на тетради в клеточку. В этом случае устраняется необходимость проведения прямых, перпендикулярных оси ОХ.

Построим, например, график функции у = 2х2. Из равенства -^ = а находим:

Примем за единицу длины 6 «клеточек», тогда

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

г = ~2- клеточки. Опишем окружность Çox, (черт. 4). Занумеруем точки пересечения вертикальных линий сетки бумаги с осью X: 1, 2, 3, 4,... Найдем на окружности точки 10, 20, 30, 40,..., лежащие соответственно на прямых A1, А2, A3, А4,... Проводя через точку О и через точки окружности 10, 20, 30, 40,... лучи до пересечения с вертикальными линиями сетки, проходящими соответственно через точки 1, 2, 3, 4,.., оси X, будем получать в пересечении точки графика I, II, III, IV,...

Аналогично можно строить точки графика во второй четверти плоскости, однако проще и быстрее они находятся как симметричные найденным точкам первой четверти.

Если появится необходимость уточнения графика в отдельных его участках (особенно это важно при графическом решении уравнений), то, проводя дополнительные вертикальные прямые, мы можем этим же способом найти точки, весьма близкие друг к другу и расположенные по разные стороны участка. Это же замечание относится и к построению графика функции

Объявление

Министерство просвещения РСФСР в соответствии с постановлением Совета Министров РСФСР проводит в 1953—1954 гг. конкурс на лучшую научно-художественную и научно-популярную книгу для детей.

Целью конкурса является создание произведений для внеклассного чтения школьников по физике, химии, математике, технике, биологии, сельскохозяйственным наукам, языкознанию, истории, географии и другим вопросам, с учетом школьных программ и задач политехнического обучения, а также создание познавательных книг для детей дошкольного возраста.

К участию в конкурсе приглашаются писатели, деятели науки и техники, искусства, педагоги, работники промышленности, сельского хозяйства, транспорта и других отраслей народного хозяйства.

На конкурс могут быть представлены рукописи, а также книги для детей, вышедшие в период проведения конкурса в Детгизе и других центральных, республиканских, областных, краевых издательствах, и произведения, опубликованные в периодической печати.

Образовано жюри конкурса под председательством министра просвещения РСФСР И. А. Каирова. В состав жюри вошли ученые, общественные деятели, писатели, педагоги.

Установлено 25 премий от 15000 до 5000 рублей, присуждаемых ежегодно, и поощрительные вознаграждения.

Организационная работа по проведению конкурса возложена на Государственное издательство детской литературы Министерства просвещения РСФСР (Детгиз).

Срок представления произведений на первый тур конкурса — до 31 декабря 1953 г., на второй тур — 31 декабря 1954 г.

Произведения направлять по адресу: Москва, Малый Черкасский пер., д. 1, Детгиз, «На конкурс».

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О КНИГЕ Б. В. ГНЕДЕНКО «МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ»

(Очерки жизни, научного творчества и педагогической деятельности, Москва, ГИТТЛ, 1952, 270 стр., 61 стр. приложений. Цена в переплете 8 р. 40 к.)

В. Н. МОЛОДШИЙ (Москва)

Дореволюционные русские и советские ученые посвятили немало работ описанию жизни, мировоззрения, общественно-педагогической и научной деятельности нашего знаменитого математика XIX века — Михаила Васильевича Остроградского. В их числе были И. И. Сомов, Н. Е. Жуковский, Л. К. Лахтин, A.B. Васильев и др. В конце рецензируемой книги Б. В. Гнеденко приводит список пятидесяти таких работ. Однако за последние пятьдесят лет не было напечатано ни одной монографии, касающейся всех сторон жизни и деятельности М. В. Остроградского. Л. К. Лахтин описал работы Остроградского в математике, Н. Е. Жуковский — в механике, другие авторы составили описания жизни М. В. Остроградского (часто неполные, а порой и недостаточно точные).

Б. В. Гнеденко поставил перед собой задачу написать монографию, которая дала бы широким кругам советских читателей — преподавателям, студентам, инженерам и техникам — научное описание и правильную оценку всех сторон жизни и плодотворной деятельности М. В. Остроградского.

Монография разбита на три очерка и содержит приложения.

Первый (биографический) очерк начинается интересным для преподавателей указанием на особую любознательность, которую проявил М. В. Остроградский в детские годы к работе мельниц, к измерению глубины ям и колодцев и т. п. Известно, что подобного рода любознательность была свойственна в детстве и другому знаменитому нашему математику— Пафнутию Львовичу Чебышеву. Автор рассказывает о гонениях, какие выпали на долю студента М. В. Остроградского со стороны реакционных чиновников Харьковского университета и министерства духовных дел и народного просвещения. Последние возненавидели М. В. Остроградского за его материалистическое и атеистическое мировоззрение и помешали ему получить диплом об успешном окончании Харьковского университета. С чувством глубокого уважения рассказывает автор о жизни, мировоззрении и деятельности первых выдающихся воспитателей и преподавателей М. В. Остроградского — профессорах Харьковского университета Андрее Федоровиче Павловском и Тимофее Федоровиче Осиповском (ректоре университета). Правильно описаны цель и результаты поездки М. В. Остроградского во Францию. Период пребывания М. В. Остроградского во Франции являлся важным этапом его жизни. «Однако,— подчеркнул Б, В. Гнеденко, — следует отметить, что Остроградский приехал в Париж с уже сложившимися научными интересами. За время пребывания во Франции он сохранил свою самобытность, проявив полную самостоятельность в выборе путей для дальнейшего развития науки» (стр. 63). Заканчивается первый очерк описанием служебной деятельности и личной жизни М. В. Остроградского. В частности, автор рассказывает о дружеских отношениях между М. В. Остроградским и знаменитым писателем Т. Г. Шевченко.

Особо хорошо написан очерк (второй) о научной деятельности М. В. Остроградского. Почти не используя математические формулы, автор описывает выдающиеся достижения М. В. Остроградского в механике, математической физике и математике и в связи с этим неоспоримо подтверждает приоритет М. В. Остроградского в решении ряда фундаментальных проблем (существенное развитие методов аналитической механики, общий способ решения задач теории удара, интегрально-вариационный принцип механики для неконсервативной динамической системы, теория канонических уравнений механики, формула, связывающая интеграл по объему с интегралом по поверхности, постановка задачи сходимости тригонометрических рядов, решение вопроса о распространении тепла в жидкости).

Заканчивая обозрения работ М. В. Остроградского по механике, Б. В. Гнеденко воспроизвел прекрасные слова Н. Е. Жуковского, сказанные им в 1901 г. в связи со столетием со дня рождения Остроградского:

«Большая часть ученых работ Остроградского относится к его любимому предмету — аналитической механике. Он писал по разнообразным вопросам этого предмета: по теории притяжения, по колебанию упругого тела, по гидростатике и гидродинамике, по общей теории удара, по моменту сил при возможных перемещениях и т. д. Во всех его рабо-

тах главное внимание сосредоточивалось не на решении частных задач, а на установлении общих теорий. Он с особенной любовью занимался расширением метода Лагранжа о возможных скоростях и установлением на самых общих началах теории динамики. Его обширная работа «Об изопериметрах» заключает в себе как частные случаи различные предложения Лагранжа, Пуассона, Гамильтона и Якоби об интегрировании уравнений динамики. С именем Остроградского всегда будет связано распространение способа возможных перемещений на системы с освобождающимися связями и изложение теорем динамики с помощью рассмотрения вариаций координат, происходящих от изменения произвольных постоянных» (стр. 120).

После обозрения фундаментальных результатов М. В. Остроградского в области математического анализа Б. В. Гнеденко с полным основанием указал, что они «...имеют не только и не столько историческое значение: они вошли в современную математику в качестве неотъемлемой составной ее части и представляют собой то необходимое орудие, без которого математика уже не может участвовать в деле изучения явлений природы» (стр. 151).

Б. В. Гнеденко подчеркнул также, что Остроградский не был только кабинетным ученым; большое внимание он уделял вопросам практики. Так, М. В. Остроградский занимался изучением полета сферических снарядов и посвятил этому вопросу несколько работ.

Хорошо написан и третий очерк, посвященный педагогической деятельности М. В. Остроградского в высших учебных заведениях и его выдающейся роли в высших и средних школах России. М. В. Остроградский показан как выдающийся педагог и организатор математического образования в России, как создатель русской школы математики и механики, показан в действии, на базе не только анализа его педагогических взглядов и руководств, но и на образцах мастерства его преподавания. Подчеркнуто также, что «в начале нашего века взгляды Остроградского возродились и легли в основу международного движения за реформу преподавания математики» (стр. 246).

В первых трех приложениях даны в русском переводе (с французского) три важные работы М. В. Остроградского, список работ и обзор его рукописного фонда. Четвертое и пятое приложения посвящены выяснению отношения царского правительства к памяти М. В. Остроградского и описанию документов о полицейском надзоре за М. В. Остроградским. Для преподавателей математики представляет особый интерес четвертое приложение, почему мы здесь и опишем его подробнее.

В 1890—1892 гг. сын М. В. Остроградского заболел и остался без средств к существованию. Он обратился в правление Академии наук с просьбой о помощи, за которую предлагал отдать академии право на издание всех сочинений своего отца. Не получив ответа, сын Остроградского послал в правление Академии наук второе прошение:

«Отставной тит. сов. Викт. Мих. Остроградский, единственный сын покойного академика Мих. Вас. Остро-градского в дополнение к поданной докладной записке в комитет Правления императорской Академии наук с просьбой о пособии, в память службы отца, ввиду ужасающего бедственного положения, больного, просителя, или о вознаграждении его, хотя самой незначительной суммой за принадлежащее ему безраздельное право издания отдельным выпуском сочинений отца его с приложением им написанной биографии отца, покойного академика Мих. Вас. Остроградского, осмеливается почтительнейше присовокупить, что: умоляя о какой-либо помощи, больной, теряющий зрение, слабый, не имеющий (буквально) куска хлеба, сегодня просит, как просят бога, о «скорой» помощи и если бы таковая была возможна выдать ему авансом ныне же хотя 10 или несколько рублей, иначе помощь ему окажется бесполезной» (стр. 320—321).

Как помогли чиновники правления Академии наук сыну М. В. Остроградского и как они отнеслись к предложению издать труды его знаменитого отца?

Тридцать рублей «пожаловал» сыну Остроградского президент академии — вел. кн. Константин Константинович. Его «великодушие» не осталось без последствий: сын знаменитого русского математика вынужден был уехать в Полтаву и умер в «доме призрения бесприютных дворян Полтавской губернии»! Об издании полного собрания сочинений М. В. Остроградского до революции не было и речи!

Рассказывая учащимся о жизни и деятельности М. В. Остроградского (это лучше сделать на математическом кружке или на математическом вечере), целесообразно также рассказать им о трагедии его сына и зачитать его прошение. Прошение сына Остроградского — яркий, никогда не потеряющий силы документ, изобличающий цинизм и эгоистичность, составлявшие основу отношения царского правительства к передовой русской науке и ее представителям. Точно так же относятся теперь к передовой науке и передовым ученым современные «цивилизованные» правители империалистических государств — США, Англии и др.

В монографии Б. В. Гнеденко имеются и отдельные недочеты.

Автор неоднократно подчеркивает, что М. В. Остроградский был в основном стихийным материалистом. Показывает автор, где и в чем М. В. Остроградский порой отступал от материализма, к каким ошибкам это его приводило. Например, М. В. Остроградский определял понятие вероятности неправильно, субъективистски, как меру нашего незнания. В некоторых приложениях теории вероятностей к общественным явлениям — в задаче об ошибках судебных инстанций — М. В. Остроградский не учитывал специфических законов развития общества. Ясно, что в этих случаях решить поставленные задачи он не мог. Но автор недостаточно разъяснил, как трактовал М. В. Остроградский предмет математики и главные основные принципы математических теорий. Вследствие этого остался недостаточно выясненным другой, очень важный вопрос: в какой мере материалистическое миропонимание М. В. Остроградского помогало ему в правильной постановке и разработке проблем -механики, математической физики и математики.

Для М. В. Остроградского, говорит Б. В. Гнеденко, «пространство и время также представляют собой объективно существующие категории; все знания приобретаются посредством чувств, на которые воздействуют предметы, существующие вне и независимо от нашего сознания» (стр. 264).

Категории — это отражение в сознании наиболее общих и существенных сторон природы и общества. Следовательно, вне сознания категории существовать не могут. Для материалиста пространство и время — основные формы бытия материи. Так, конечно, трактовал их и М. В. Остроградский.

На 159-й странице монографии Б. В. Гнеденко цитирует М. В. Остроградского, согласно которому «все наши понятия приобретаются от совокупного

влияния чувств и размышления». Простое сличение показывает, что происхождение понятий трактовалось М. В. Остроградским глубже, правильнее, чем это представляет Б. В. Гнеденко.

Страницы 160—165 монографии Б. В. Гнеденко посвящены истории и причинам недоброжелательного отношения М. В. Остроградского к геометрии Н. И. Лобачевского, а впоследствии и к аналитическим исследованиям последнего. Б. В. Гнеденко усматривает причину этого факта в том, что многие работы Н. И. Лобачевского (в том числе и имевшиеся в распоряжении М. В. Остроградского) написаны схематично, без доказательств многих предложений, в мало доступной форме и содержат ошибки (правда, чаще всего по вине издательств). «Несомненно, — подчеркивает Б. В. Гнеденко,—будь работа Лобачевского изложена иначе, доступнее, Остроградский сумел бы оценить ее по достоинству. В этом его не удержали бы ни опасения быть непонятым другими, которые так пугали до конца жизни Гаусса, ни тысячелетия преклонения перед Евклидом» (стр. 163).

Конечно, для Остроградского «опасения» Гаусса были принципиально неприемлемы. Остроградский боролся за передовую науку и если бы он признал правильность идей Н. И. Лобачевского, то оказал бы им всемерную поддержку. Форма изложения многих работ Лобачевского действительно далека от совершенства. Но Остроградский был выдающимся математиком, и трудно согласиться с тем, что только несовершенства формы изложения могли помешать ему оценить должным образом содержание любой математической работы. По моему мнению, к сказанному Б. В. Гнеденко надо добавить следующие два соображения. Чтобы признать геометрию Лобачевского, нужно было согласиться с новым толкованием принципов математики, которые развил Лобачевский и положил в основу своего геометрического учения. Круг научных интересов Остроградского не был непосредственно связан с необходимостью анализа и существенного развития принципов элементарной геометрии, алгебры и учения о числе. Кроме того, Остроградский знал не все работы Лобачевского. Это, конечно, также мешало Остроградскому должным образом оценить геометрические идеи Лобачевского. Подтвердить сказанное можно следующим фактом. Известно, что акад. Фусс отнесся к сочинению молодого Лобачевского «Геометрия» недоброжелательно. Известно также, что причиной этого было отрицательное отношение Фусса к тем новшествам в толковании принципов геометрии, на базе которых написал Лобачевский свою «Геометрию».

Достиг ли Б. В. Гнеденко цели, какую он себе поставил при написании рецензируемой работы о М. В. Остроградском? Безусловно достиг. Широкие круги советских читателей получили хорошую, научно выдержанную книгу о жизни и разносторонней деятельности выдающегося русского математика XIX века Михаила Васильевича Остроградского.

Для преподавателей математики и физики книга Б. В. Гнеденко о М. В. Остроградском может быть полезна и в их практической деятельности.

НЕДОСТАТКИ, ВЕДУЩИЕ К ИДЕАЛИЗМУ И МЕТАФИЗИКЕ

(О книге Г. Н. Бермана «Число и наука о нем», Гостехиздат, М.—Л., 1949)

Г. Л. ХВЫЛЬ (г. Смела)

Общеизвестно, что математическая школа нашей родины в прошлом и в особенности в настоящем занимала и занимает почетное место в развитии математической науки.

Неожиданными для математиков всего мира явились блестящие открытия в прошлом русских и в настоящем советских математиков в области теории чисел. Многие проблемы этой науки оказались успешно разрешенными выдающимися русскими и советскими математиками.

Однако в научно-популярной литературе не нашли еще достаточно полного отражения эти выдающиеся успехи отечественной науки.

Частичному восполнению этого пробела и предназначена служить книга Г. Н. Бермана «Число и наука о нем», которая посвящена «общедоступному, но серьезному изложению некоторых глав учения о целых числах». По словам автора, книга должна дать материал «для чтения начинающим учителям, студентам педтехникумов и педучилищ, а главное — старшим школьникам...» (стр. 5).

Следует отметить, что книга живо и доступно излагает некоторые главы учения о целых числах и знакомит читателя с результатами, полученными в этой области русскими и советскими математиками.

Однако, как нам не без сожаления приходится констатировать, книга содержит ряд существенных недостатков.

Во-первых, в книге содержатся неудачные, а иногда и ошибочные утверждения, способные породить у начинающего читателя неправильные понятия, а зачастую и прямо идеалистические представления по вопросам происхождения и развития числа и счета.

Уже во введении, начинающемся историческим экскурсом, автор, стремясь, очевидно, сделать книгу «живее», в ряде случаев встал на путь ничем неоправданных «упрощений»:

«Натуральные числа возникают в результате счета... С этими числами люди познакомились на заре цивилизации... Счет — первая математическая операция, с которой человечество встретилось (курсив наш. — Г. Х.) задолго до сложения и умножения» (стр. 7).

Можно подумать, что числа «возникают», а на долю людей, этой индифферентной толпы, остается только «знакомиться» и «встречаться» с уже готовыми числами и счетом.

Все это происходит «на заре цивилизации»!? К тому же, какую «цивилизацию» и какую ее «зарю» следует здесь понимать?

Как видим, не исключена и такая идеалистическая интерпретация слов автора.

В других рассуждениях автора люди, наоборот, выступают как «активные творцы» математических понятий, которые до всего «додумываются», быть может, и независимо от потребностей практической деятельности человеческого общества.

«Первобытному человеку считать почти не приходилось» (стр. 9). «...как трудно человечеству было додуматься до нуля» (стр. 11). И дальше: «При со-

временном состоянии науки нельзя, повидимому, придумать (курсив наш. — Г. Х.) систему счисления, которая была бы удобнее позиционной» (стр. 38).

Так долго не было нуля, и... вдруг до него додумались! Или, быть может, возьмет кто-нибудь и придумает новую систему счисления!

Такие «картинки» возникновения математических понятий могут рисоваться только идеалисту.

Таким образом, мы находим здесь толки и кривотолки по поводу возникновения основных математических понятий, но нигде не находим четкой трактовки этого вопроса с позиции диалектического материализма, согласно которой понятия «число» и «счет» появились и сформировались в результате практической деятельности человека и оказались жизнеспособными, поскольку они способны отражать соотношения, имеющие место в реальной действительности.

Во-вторых, некоторые рассуждения автора не носят логически законченною, целостного характера, а, наоборот, способны породить противоречивые, а то и прямо неверные представления в сознании читателей.

Примером таких рассуждений может служить глава III (стр. 32—37), в которой автор намеревается показать бесконечность натурального ряда (как об этом он говорит на стр. 34).

Однако, прочитав третью главу, читатель не сделает подобного вывода, так как содержание главы представляет собой путаницу между архимедовской и современной точками зрения на бесконечность натурального ряда. И ни об одной из них читатель ясного представления не получает.

Автор говорит, что «Архимед впервые убедительно показал, что чисел бесконечно много», но как он это сделал, остается непонятным, так как из приводимого автором в доказательство этому примера Архимеда—«исчисление песка в пространстве, равном шару неподвижных звезд» — еще не следует бесконечности натурального ряда, ибо количество песчинок в этом пространстве хотя и большое, но все же конечное.

С другой стороны, и сам Архимед, дойдя до мириады мириад мириадо-мириадных чисел мириадо-мириадного периода, т. е. до числа 108'10',останавливается» (стр. 36).

Указывал ли Архимед на возможность продлить натуральный ряд дальше? Автор книги об этом умалчивает.

У читателя могут возникнуть противоречивые представления: с одной стороны, конечный ограниченный мир, с другой — бесконечный натуральный ряд, выводимый из этого конечного мира.

Автор из этого противоречия выходит легко, сославшись на пословицу: «Говорят, — пишет он,— бесчисленны, как песок морской» (стр. 32).

Но как выйти из этого противоречия читателю?

В-третьих, книга не лишена того же недостатка, что и некоторые популярные книжки, авторы которых, пользуясь материалом таких же популярных, но более старых книжек, заимствуют при этом устаревшие, а зачастую и неверные взгляды.

Приведем пример.

Автором заимствуется «курьезный пример» у немецкого популяризатора Курта Лассвица. При этом заимствуются и идеалистические взгляды, говоря грубо, выпирающие из этого примера. Причем все это делается без достаточных критических замечаний автора:

«Он (К. Лассвиц.—Г X.) поставил такой вопрос: сколько томов должна насчитывать библиотека, которая содержала бы не только все, что когда-либо было написано людьми, но и все, что когда-либо будет написано или хотя бы подумано; которая содержала бы все настоящие, прошедшие и будущие научные теории, все фантазии, включая самый дикий бред сумасшедшего, словом — решительно все?

Несмотря на явную нелепость постановки вопроса, задача эта имеет решение» (стр. 17).

И решение находится тут же, при помощи «небольшого» допущения (соглашения).

Допускается, что для всех букв алфавита (строчных, прописных и иностранных), знаков препинания, математических знаков, «пустышек» разной величины и т. д. вполне достаточно наборной кассы из... 1000 гнезд! (О неменьшей нелепости подобных «допущений» автор умалчивает, о чем речь будет идти ниже.)

Дальше особых затруднений не возникает. С помощью несложных рассуждений находится число томов «фантастической» библиотеки. Вот и все.

Итак, задача фиксирует внимание читателя на 1000 значков, как исчерпывающих человеческую письменность, и на количестве томов, содержащих все разумное, «что когда-либо знал, знает или будет знать человек».

Таким образом, найден предел развития письменности и общий предел всех знаний человеческих!!

Что же дальше будет делать человечество, когда этот предел будет исчерпан?

А что будет делать основной читатель этой книжки — старший школьник, начитавшись подобных примеров?

Не исключена возможность, что этот основной читатель, подражая автору «курьезною примера» и используя полученный им результат, примется за вычисления количества дней до «конца мира»?! И, разделив число знаков, содержащихся в томах этой «фантастической библиотеки», на число «человечество-знако-дней» (т. е. среднее количество знаков, написанных человечеством в один день), «найдет» искомое количество дней.

Как нетрудно заметить, эта «фантастическая задача» перекликается с «теориями» современных буржуазных лжеученых, апологетов империализма, о вечности и неизменности вещей и явлений природы, об их конечности, о замкнутости мира и его ограниченности во времени и пространстве и т. п.

С подобной же небрежностью автором рассматривается вопрос о вселенной.

«Рассмотрим, например, радиус вселенной, вернее— радиус доступной нам вселенной, так как всю вселенную мы представляем себе (курсив наш. — Г. Х.) бесконечной» (стр. 19).

Можно подумать, что вселенная бесконечна только в наших представлениях, в нашем воображении!

Под конец автор, опуская все оговорки, говорит прямо о «радиусе вселенной» и вычисляет «объем вселенной»!

«В физике все длины принято выражать в сантиметрах, поэтому и мы выразили радиус вселенной в сантиметрах» (стр. 19). И дальше: «Зная радиус, нетрудно определить и объем вселенной» (курсив наш.— Г. Х.) (стр. 20).

Излишним будет доказывать, к чему может привести подобная небрежность в научно-популярной литературе.

Возвратимся к примеру Курта Лассвица. Нашим выводам в отношении этого примера могут возразить, ссылаясь на краткое замечание автора о «явной нелепости постановки вопроса». Однако при внимательном рассмотрении всех дальнейших рассуждений автора всякие возражения полностью отвергаются следующим:

а) автор не раскрывает смысла этой «нелепости», который не так прост и не всегда под силу старшему школьнику;

б) дальнейшие рассуждения автора) говорят в пользу реальности задачи: 1) «...задача эта имеет решение» (стр. 17);

2) «Правда, нельзя найти наименьшего числа томов, нужного для такой „универсальной“ библиотеки. Но возможно подсчитать такое (сильно завышенное) число томов, при котором эта «универсальность» наверняка (курсив наш. — Г. Х.) осуществится» (там же);

в) ряд последующих глав пестрит именем К. Лассвица и результатом его примера, поставленного в число результатов, полученных при решении реальных проблем, «...мы ...без труда напишем числа, еще много большие... Однако это будут „призраки, лишенные плоти и крови“, потому что они не связаны ни с какой конкретной задачей. Число же Скьюза получилось в результате решения важной проблемы ...выдвинутой наукой, и в этом смысле оно является «числом-рекордсменом», оставившим далеко позади всех своих конкурентов. Число Курта Лассвица, число 9й ...число 10s*1()16 до которого дошел... Архимед, неизмеримо малы со скьюзовским гигантом» (стр. 154—155).

Как видим, автор наделил это «нелепое» число К. Лассвица «плотью и кровью» и поставил его в ряд результатов, полученных при решении важных научных проблем.

После этого трудно судить, к чему, собственно говоря, сам автор относит свое утверждение о вышеупомянутой «нелепости».

Следовательно, наши опасения о возможности придания читателем реального смысла рассмотренной выше задаче вполне обоснованы.

Выводы

Автор небрежно отнесся к освещению вопросов происхождения и развития основных математических понятий, чем породил возможность возникновения у читателя идеалистических и метафизических взглядов.

Помещение примера К. Лассвица без достаточной критики ничем неоправдано.

Читателю, которому придется обратиться к этой книге, нужно посоветовать отнестись критически к ее содержанию.

Советский читатель испытывает значительную необходимость в научно-популярной книге, где бы был интересно и доступно освещен весь путь развития понятия числа и счета от древности до наших дней, в книге, служащей примером материалистического подхода к явлениям и фактам возникновения и развития основных математических понятий.

О СПРАВОЧНИКЕ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ М. Я. ВЫГОДСКОГО

(изд. шестое)

А. И. МАРКУШЕВИЧ (Москва)

С 1948 года Гостехиздат ежегодно издает массовыми тиражами (по 100 000 экземпляров) «Справочник по элементарной математике» проф. М. Я. Выгодского. Эта книга нашла распространение в широких читательских кругах и обслуживает лиц разнообразных профессий и возрастных групп. Каждая категория читателей предъявляет к справочнику свои специфические требования, и в первых четырех изданиях, учитывая эти требования, автор дополнял и перерабатывал книгу (последние два издания вышли стереотипными). Улучшаясь от издания к изданию, книга М. Я. Выгодского стала полезным пособием для учащихся школы и особенно для лиц, самостоятельно изучающих элементарную математику, а также и для учителей математики.

По своей композиции «Справочник по элементарной математике» приближается к типу инженерно-технических справочников энциклопедического характера (каковы, например, «Справочник инженера-проектировщика промсооружений», «Краткий справочник архитектора» и др.). Здесь есть таблицы, формулы, графики, правила и тому подобный фактический материал. Он легко обозрим благодаря детальной рубрикации и подробному алфавитному указателю. Но «Справочник» дает также связное изложение основных понятий и методов арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии.

Эти особенности делают книгу Выгодского не только справочником, но также и хорошей научно-популярной книгой по математике, разделы которой можно читать подряд. Правда, у нас уже немало научно-популярных книг и брошюр по математике, но книга Выгодского остается пока единственной, охватывающей на небольшом объеме (около 25 авторских листов) всю систему сведений, относящихся к школьному курсу.

В каждом параграфе приведены примеры, число их достаточно для уяснения теоретических положений. Условия многих примеров взяты из жизни: должное внимание уделено рационализации вычислений и учету погрешности.

Введение новых понятий и методов всегда мотивируется: так, на стр. 82 объяснено, с какой целью введены десятичные дроби; на стр. 146 выясняется роль уравнений при решении задач; на стр. 224—225 разъясняется сущность логарифмов и на простых примерах показано преимущество вычислений с логарифмами.

Подробные исторические справки позволяют читателю судить не только о том, зачем придуманы логарифмы, но и как они были изобретены, как были составлены таблицы логарифмов и таблицы тригонометрических функций. Читатель получает отчетливое представление о том, как постепенно развивалось понятие числа, как создавалась тригонометрия и т. д. В связи с фактическими сведениями по истории элементарной математики даются имена крупнейших математиков всех времен и народов. При этом особое внимание уделено отечественным ученым (Л. П. Эйлер, Н. И. Лобачевский, П. Л. Чебышев, Р. О. Кузьмин, А. О. Гельфонд и др.). В «Справочнике» даны также сведения о математике в древней Армении и древней Грузии.

Однако исследования последних лет дают обильный материал для того, чтобы полнее и точнее раскрыть роль ученых, живших и работавших на территории нашей страны. Так, упоминание о Стевине в связи с введением десятичных дробей (стр. 89) следует дополнить ссылкой на замечательного среднеазиатского ученого Гиясэддина Джемшида, который ввел десятичные дроби на полтораста лет раньше Стевина. На Гиясэддина нужно сослаться так-

же в связи с биномом Ньютона (стр. 246—250), так как именно у него, на столетие раньше Штифеля, встречается теорема о биноме с натуральным показателем и т. д.*. Необходимо внести в новое издание «Справочника» соответствующие дополнения и изменения.

Язык «Справочника» простой, доходчивый и, как правило, сжатый. Но там, где надо разъяснить узловые вопросы, изложение становится более подробным; автор выявляет практические истоки отвлеченных понятий математики, приводит ряд исторических фактов, часто касается методических вопросов, а подчас пользуется и образными сопоставлениями.

Для примера возьмем вопрос о развитии понятия числа. На стр. 55 (§ 6 гл. II) мы читаем: «при счете отдельных предметов единица есть наименьшее число; делить ее на доли не нужно, а часто и нельзя (при счете камней прибавление к двум камням половины третьего дает 3 камня, а не 27г, а избрать президиум в составе 21/2 человек невозможно). Однако делить единицу на доли приходится уже при грубых измерениях величин, например при измерении длины шагами (21/2 шага и т. д.). Поэтому уже в отдаленные эпохи создалось понятие дробного числа». Далее автор отсылает читателя к § 16 и 31; (в § 16 на стр. 73—74 даны основные определения, в § 31 на стр. 88—89 — исторические сведения о дробях). Кстати сказать, в качестве одного из источников используется язык; так, на стр. 88 читаем: «О древности понятия «половина» свидетельствует тот факт, что во всех языках оно имеет особое наименование, не происходящее от слова «два». Выражение «большая половина», ...«полуживой», «полбеды» и т. д. показывают, что слово «половина» первоначально означало одну из двух частей (не обязательно равных друг другу)».

По вопросу о дальнейшем развитии понятия числа автор отсылает читателя к соответствующим параграфам. Отрицательным числам посвящены § 3—6 гл. III (стр. 127—133).

В первых двух абзацах § 3 устанавливается, что процессы введения дробных и отрицательных чисел математически аналогичны в том смысле, что оба делают возможными «невозможные» действия (деление и вычитание). «Однако в повседневной жизни,— продолжает автор, — и не представляется необходимым производить подобное вычитание (большего числа из меньшего), и потому очень долгое время оно считалось не только невозможным, но и бессмысленным. Развитие алгебры показало, что такое действие необходимо ввести в математику (см. ниже § 4), и оно было узаконено индийскими учеными примерно в VII в. н. э., а китайскими еще раньше. Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов».

Приведя это толкование, автор продолжает: «Толкование это носило искусственный характер: купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000—5000, а всегда выполнял вычитание 5000—3000. Кроме того, на этой основе можно было с натяжкой объяснить лишь правила сложения и вычитания «чисел с точками», но никак нельзя было объяснить правила умножения или деления».

В § 4 автор и выясняет происхождение упомянутых правил. В учебной литературе они либо «доказываются», либо принимаются в виде определения. Второй способ, безупречный с формальной стороны, представляется учащимся неубедительным. Впоследствии привычка примиряет ученика с правилом знаков, но нисколько не разъясняет этого правила. Автор «Справочника», исходя из простого примера, из практики решения уравнений (в § 15 на стр. 146—147 выясняется, как связаны уравнения с потребностями вычислительной практики), приводит читателя к следующему выводу: «1) отрицательные числа вводятся затем, чтобы устранить ряд трудностей, возникших прежде всего при решении уравнений; 2) правила действий над ними вытекают из необходимости согласовать результаты, полученные с помощью отрицательных чисел, с теми результатами, которые могли бы быть получены и без них».

Мы полагаем, что подобные разъяснения, хотя они несколько увеличивают объем книги*, вполне оправданы. Они позволяют учащемуся осознать, почему действия над действительными или комплексными числами выполняются так, а не иначе.

Как правило, в «Справочнике» М. Я. Выгодского нет выводов. Но иногда выводы даются. «Это сделано в тех случаях, — говорится в предисловии,— когда в школьных учебниках соответствующие вопросы либо вовсе не рассмотрены, либо неудовлетворительно изложены. Так, параграфы, посвященные комплексным числам, изложены даже с большей полнотой, чем в школьном учебнике».

В самом деле, из школьного курса учащийся выносит лишь смутное представление о комплексных числах. Во-первых, остается неясным вопрос: каким образом становится возможным извлекать квадратный корень из —1? Тот факт, что здесь происходит новое расширение понятия числа, остается в тени. В «Справочнике» эта идея не только четко сформулирована (стр. 183), но и последовательно проведена при рассмотрении действий (см. § 38, гл. III).

Во-вторых, учащемуся остается непонятным, для чего надо вводить комплексные числа и как такая мысль могла возникнуть в головах людей. На эти вопросы школьный учебник не дает ответа. В «Справочнике» (стр. 125—126) с полной ясностью показано, что введение комплексных чисел стало действительно необходимым при решении кубического уравнения.

По этим двум причинам те несколько страниц, которые автор уделил теории комплексного числа, отнюдь не являются лишними, по крайней мере до тех пор, пока в школьные учебники не будут внесены соответствующие объяснения.

В ряде параграфов «Справочника» учащийся находит новые для него приемы решения задач элементарной математики. Так, в § 44 гл. II (стр. 110) дан способ извлечения квадратного корня, описанный Героном еще 2000 лет назад, но не помещаемый в учебниках. Этот способ проще и быстрее ведет к цели, чем поразрядное извлечение, а, главное, идея его несравненно доступнее. Ведь мало кто из учащихся уясняет себе теоретическую основу поразрядного способа.

В § 58 гл. III мы находим способ решения неравенств 2-й степени с одним неизвестным, который обладает двумя преимуществами перед обычно излагаемым: во-первых, он пригоден при любом значении дискриминанта левой части (при обычном изложении надо различать случаи положительного и отрицательного дискриминанта); во-вторых, он основан

* А. П. Юшкевич, О математике народов Средней Азии в VIII—IX в. н. э. Историко-математические исследования, вып. IV, Гостехиздат, М.—Л., 1951.

* Вот примерный перечень соответствующих параграфов: §1—8, 31, 36 главы II; § 1—4, 15, 16, 34, 62 главы III; § 1—3, 18 главы IV; § 1—2, главы V.

на том же рассуждении, с помощью которого получается формула (квадратного уравнения.

В этих и в других методических новшествах оказывается то внимание к практической стороне дела, которое характерно для рецензируемой книги. Можно придерживаться разных мнений о преимуществах юго или иного способа извлечения корня, решения неравенств и т. п., но учителю полезно ознакомиться с различными способами, и в этом отношении «Справочник» М. Я. Выгодского также будет полезным.

Переходя к обсуждению недостатков рецензируемой книги, отметим прежде всего, что, пойдя по пути переработки «Справочника», автор остановился на полпути. В четвертом издании в разделах арифметики и алгебры, особенно в последнем, изложение приобрело более систематический характер и логические связи между фактами получили отчетливое оформление. Однако построение отдела алгебры нельзя еще признать убедительным. Определяя алгебру как учение об уравнениях (алгебраических), автор в сноске (стр. 12) указывает, что не все вопросы школьного курса алгебры сюда относятся, и в виде примера приводит прогрессии и логарифмы. Эти вопросы он все же сохраняет в разделе III (алгебра), но всю тему о функциях и графиках, также входящую в школьный курс, выделяет в особый раздел VI, никак не мотивируя это выделение. Мы считаем, что состав школьного курса алгебры нужно разобрать достаточно полно и подробно, указать основы каких именно математических дисциплин сюда входят и этого состава здесь не нарушать. В частности, раздел VI целесообразно соединить с разделом III в один раздел «Алгебра». От этого все изложение только выиграет в цельности и единстве.

В разделах геометрии и тригонометрии материал недостаточно систематизирован. Так, в § 7 гл. IV («Треугольник») после классификации треугольников говорится о сумме углов вне связи с параллельностью прямых, о которой говорится в § 11, опять-таки вне связи с теоремой о сумме углов треугольника. В § 15 («Углы в круге; длина окружности») формулы для длины окружности и площади круга даны без всякой связи со вписанными и описанными многоугольниками. В § 21 формулы для площадей плоских фигур приведены без каких-либо указаний на их взаимную связь. В геометрических разделах преобладает описательный стиль, что не согласуется со стилем разделов арифметики и алгебры. Эти недостатки нужно устранить. Необходимо далее ввести в § 1 гл. IV (предмет геометрии) характеристику геометрии, данную И. В. Сталиным в его труде «Марксизм и вопросы языкознания». Должны быть шире освещены такие вопросы, как, например, измерение длин, площадей и объемов. Следует дать сведения о методах решения геометрических задач, о простейших геометрических инструментах и их проверке, о применениях геометрии и тригонометрии к измерениям на местности.

Вообще в предстоящих изданиях «Справочника» нужно в значительно большей степени представить и развить вопросы, имеющие непосредственное прикладное техническое значение. Так, например, необходимо включить раздел о счетной линейке, рассказать о действиях на счетах и на арифмометре, уделить место приемам устного счета.

В «Справочнике» нет таблицы метрических мер и их перевода в старые меры, нет параграфа, посвященного именованным числам, нет раздела черчения, не содержится хотя бы простейших сведений о номограммах. Все эти пробелы необходимо восполнить.

Желательно дать в конце каждого из разделов краткие аннотированные списки доступной для читателя литературы.

Вполне возможно, оставаясь в круге рассматриваемых вопросов, дать представление о теории вероятностей— в связи с § 45 гл. II («Средние величины») и § 71 гл. III («Соединения»). В рамках главы II можно дать понятие о теории чисел и об отечественной теоретико-числовой школе.

В заключительном параграфе книги нужно рассказать об элементарной математике в целом, как учебном предмете, выявив отношение этого предмета к математической науке. Здесь уместно разъяснить также и смысл понятия «высшая математика».

Наконец, нам казалось бы полезным оживить страницы справочника портретами крупнейших математиков, упоминаемых в нем.

Отметим еще некоторые второстепенные недостатки, которые нужно выправить.

Так, на стр. 131 нужно наряду с определением абсолютной величины отрицательного и положительного числа дать определение абсолютной величины нуля. На стр. 183 необходимо ввести понятие мнимого числа и в соответствии с этим отредактировать формулировки (действительные числа могут противопоставляться мнимым, а не комплексным, рассматриваться совместно с мнимыми, а не с комплексными).

На стр. 211—212 приводятся некоторые важные неравенства, причем не указывается, какая связь между ними (например, что неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим вытекает из неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим, или что неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим есть следствие неравенства Коши-Буняковского). Стр. 212—213 заняты неравенствами Чебышева, весьма редко применяемыми. Их можно было бы опустить, заменив, быть может, другими.

На стр. 326 под заголовком «Шаровой слой» помещена формула для объема, а вслед за ней формула Р = 2nRh; между тем в разделе обозначений сказано, что Р — это полная поверхность.

Указанные недостатки устранимы, и наличие их не изменяет данную выше общую оценку книги. В свое время второе ее издание встретило положительную оценку на страницах «Советской педагогики» (1948, № 4, статья В. Л. Минковского). В. В. Голубев в своем обзоре некоторых пособий по элементарной математике («Советская книга», 1952, № 10) пишет, что справочник М. Я. Выгодского «очень содержателен, толково составлен и удобен для пользования». Но была высказана и противоположная точка зрения. С. И. Новоселов («Математика в школе», 1952, № 4) дал резко отрицательный отзыв о книге М. Я. Выгодского.

Не соглашаясь с оценкой книги, данной С. И. Новоселовым, мы полагаем, что книга Выгодского уже оправдала себя как полезное пособие для изучающих элементарную математику. Необходимо новое, улучшенное и дополненное в соответствии с новыми задачами, поставленными перед школой директивами XIX съезда партии, издание этой книги. Дополнения, о которых отчасти уже говорилось выше, должны исходить прежде всего из задачи введения политехнического обучения в общеобразовательную школу.

ПО ПОВОДУ ДВУХ РЕЦЕНЗИЙ*

В № 4 за 1952 год в журнале была помещена рецензия С. И. Новоселова на «Справочник по элементарной математике» проф. М. Я. Выгодского. В рецензии была дана резко отрицательная оценка книги.

В настоящем номере помещается рецензия проф. А. И. Маркушевича на ту же книгу, причем эта рецензия дает книге совершенно противоположную оценку (соглашаясь с рецензией С. И. Новоселова лишь в некоторых частных пунктах).

Следует отметить, что редакцией получено несколько статей и писем, резко возражающих против основных положений рецензии С. И. Новоселова, особенно против общей оценки книги М. Я. Выгодского. Таковы обстоятельные статьи т. Паева (Днепропетровск), инженеров тт. Решетникова и Фишмана (Краснодар, Станкостроительный техникум).

Возражения против рецензии С. И. Новоселова поступили от трех групп военнослужащих (тт. Быльнов, Дронов, Багринцев, Павлов и др., всего 12 подписей).

Не имея возможности поместить все эти статьи и заметки (да в этом и нет надобности, так как во многом они повторяют друг друга), редакция остановилась на рецензии А. И. Маркушевича потому, что она дает наиболее подробный анализ книги М. Я. Выгодского, а главное, потому, что она именно начинает с этого анализа содержания книги, указывает на ее положительные и отрицательные стороны (с точки зрения рецензента). Все остальные статьи содержат почти только или даже только полемику со статьей С. И. Новоселова.

Какие же выводы можно сделать по поводу книги М. Я. Выгодского из этих двух рецензий, так противоположных друг другу?

Уже наличие достаточно большого количества возражений против рецензии С. И. Новоселова, идущих от лиц различных профессий, имеющих широкий диапазон в отношении образования, заставляет сделать вывод, что некоторые основные положения рецензии С. И. Новоселова являются по меньшей мере спорными. Рассмотрим эти положения.

1. В своей рецензии т. Новоселов исходит из совершенно определенных требований, которым должен удовлетворять математический справочник. Это книга, «в которой в строгой системе приводятся математические таблицы, формулы, правила, условные обозначения и т. п. по данному разделу математики; пояснительный текст обычно бывает предельно кратким и лаконичным». В связи с этой основной установкой т. Новоселов далее перечисляет, чего не должно быть в справочнике.

Если принять эту точку зрения, то т. Новоселов совершенно прав, говоря, что в книге «справочный материал буквально тонет в материале, никакого отношения к справочнику не имеющему».

Но все дело в том, что эта точка зрения, ставящая справочник в узкие, определенные рамки, со стороны всех лиц, приславших свои замечания на рецензию т. Новоселова, вызвала единодушное возражение (по нашему мнению, достаточно обоснованное), и притом наиболее решительное возражение именно со стороны лиц, непосредственно пользующихся справочником, как учебным пособием (мы имеем в виду упомянутые выше группы военнослужащих).

В самом деле, если до последнего времени справочники содержали в себе только те материалы, о которых говорит т. Новоселов, то значит ли это, что они должны на вечные времена сохранить только такую структуру и такое содержание? Полагаем, что нет. Новые времена, новые условия, новые контингенты читателей могут предъявить и предъявляют и новые требования как к учебнику и задачнику, так и к книге справочного характера.

Для широких кругов, десятков тысяч советских людей, занимающихся самообразованием или обучающихся заочно, сухой справочник прежнего типа, содержащий лишь таблицы, формулы и правила, вряд ли представляет интерес. Им нужна книга, которая, кроме обычных справок, давала бы материал, до некоторой степени дополняющий учебник (конечно, ни в коей мере не дублирующий его), помогала бы лучше, глубже уяснить наиболее трудные разделы и вопросы изучаемой дисциплины, в известной мере выводила бы его за узкие рамки учебника, расширяла его математический кругозор.

Полагаем, что примерно такие цели имел в виду т. Выгодский при составлении справочника, и считаем это правильным. И т. Выгодский является совсем не единственным «нарушителем» традиционной структуры и содержания справочника. Тов. Маркушевич и т. Паев в своих рецензиях указывают несколько справочников того же типа, что и справочник т. Выгодского.

2. Другое дело, насколько отвечает только что указанным целям материал, помещенный в справочнике. Мы полагаем, что в этом отношении дело обстоит не совсем благополучно.

В своей рецензии т. Новоселов правильно указывает, что «в справочнике не может помещаться случайный материал по личному благоусмотрению автора, напротив, непременным условием является тщательная продуманность в подборе материала и системе его расположения». На конкретных примерах т. Новоселов показывает, что это правило далеко не всегда и не везде соблюдено автором и с большею частью его указаний приходиться согласиться.

Мы считаем, что справочник по элементарной математике не должен выходить за рамки элементарной математики (это не значит, однако, — не выходить за рамки учебника по элементарной математике); экскурсы в высшую математику здесь не должны иметь места тем более, что для читателей, не знакомых с высшей математикой, они вообще не имеют смысла.

Не приходится возражать против помещения в справочнике кратких исторических сведений, но следует признать совершенно излишним довольно детальное описание вавилонской системы нумерации (о шестидесятиричных дробях достаточно было упомянуть в § 31 того же раздела).

Отметим, что тт. Решетников и Фишман, возражая против обшей оценки справочника, в обоих этих приведенных выше пунктах согласны с т. Новоселовым

* Настоящая статья была обсуждена и принята редакционной коллегией.

Особое мнение представил член редакционной коллегии С. И. Новоселов, заявив, что он не согласен с настоящей статьей и в оценке книги М. Я. Выгодского «Справочник по элементарной математике» остается во всех пунктах на тех позициях, которые изложены им в его рецензии (см. журнал «Математика в школе», 1952, № 4).

Совершенно неуместно помещение крайне простого вывода формулы для корней приведенного квадратного уравнения тем более, что он полностью совпадает с выводом, данным в учебнике Киселева. И прав т. Новоселов, недоумевая, почему автор дает вывод именно этой формулы, а не ряда других.

Точно также неожиданное методическое указание — предупреждение о часто делаемой ошибке — смешении выражений (а + Ь)2 и а2 + Ь2 при наличии ряда других, не менее частых и не менее грубых ошибок — является чисто случайным и ничем не оправданным.

Уже этих приведенных выше замечаний достаточно, чтобы сделать вывод, что отбор действительно необходимого материала сделан недостаточно тщательно и недостаточно обоснованно.

Нельзя не отметить, что т. Маркушевич, приводя в своей рецензии примеры вполне уместных, по его мнению, исторических экскурсов, обходит молчанием экскурс в вавилонскую нумерацию. Точно также, признавая уместным изложение теории комплексных чисел, как изложенных в учебнике Киселева неудовлетворительно, он ни слова не говорит об уместности помещения вывода формулы корней квадратного уравнения. Это заставляет предполагать, что эти случаи исторического и теоретического экскурсов и т. Маркушевич считает неудачными.

3. Тов. Новоселов приводит в рецензии примеры неудачных формулировок и выражений, допущенных в справочнике. Если против некоторых его замечаний можно возражать (что естественно, так как высказывания т. Новоселова отражают его личную точку зрения, с которой другие вправе и не соглашаться), то другие замечания являются бесспорными. Так, бесспорно указание на неудачное и неверное противопоставление комплексных чисел действительным, с чем соглашается и т. Маркушевич (отметим, кстати, что такая же неудачная формулировка имеется в новом издании БСЭ в статье «Двучленное уравнение», т. 13, стр. 518).

Мы считаем, что т. Новоселов в значительной степени прав, критикуя высказывание т. Выгодского, что отрицательные числа были введены для устранения неудобств, возникающих при решении уравнений.

Вообще неполадок и недочетов редакционного порядка можно отметить в книге т. Выгодского немало.

Тов. Новоселов заканчивает рецензию выводом, что Гостехиздат, издавая в течение ряда лет книгу т. Выгодского, «допускает крупную ошибку». Верно ли это? Мы полагаем, что неверно. Несмотря на наличие приведенных выше крупных и мелких недочетов, книга является полезным пособием, оказывающим существенную помощь особенно лицам, самостоятельно изучающим элементарную математику. Живой литературный стиль изложения делает материал ее доступным для широкого круга читателей. В добавление к учебнику книга дает в основном нужные, интересные и практически полезные сведения.

Подведем итоги.

1. В рецензии т. Новоселова правильно указан ряд немаловажных недочетов книги т. Выгодского. Но т. Новоселов сделал необоснованный вывод, что эти недочеты опорачивают книгу в целом, и это привело его к неверной общей оценке книги.

2. В рецензии т. Маркушевича, наоборот, дана в основном правильная, положительная, общая оценка книги. Но, выдвигая на первый план достоинства книги (иногда даже несколько преувеличивая их), т. Маркушевич крайне мягко, почти вскользь, указал на некоторые недостатки книги, совершенно умолчав о других.

3. Являясь полезным учебным пособием, книга нуждается в пересмотре помещенного в ней материала с точки зрения отбора наиболее существенного, исключения всего, относящегося к высшей математике и, может быть, включения материала прикладного характера (см. рецензию т. Маркушевича).

Книга нуждается также в более тщательном редактировании.

О КНИГЕ «МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ»

Пособие для учительских институтов. Под общей редакцией С. Е. Ляпина, 1952

Т. А. ПЕСКОВ (Уфа)

Методическая литература по преподаванию математики обогатилась ценной книгой для студентов учительских институтов и учителей семилетней школы. В рецензируемой книге, написанной авторским коллективом под общей редакцией С. Е. Ляпина, многие методические вопросы разрешены правильно, в соответствии с современным уровнем методических знаний. Устранение имеющихся в книге недочетов в значительной степени повысит ее ценность.

Переходя к подробному анализу книги, остановимся прежде всего на общей части, написанной Б. И. Крельштейном и частично С. Е. Ляпиным. Удовлетворительно разработаны вопросы о методах преподавания, о воспитательной работе на уроках математики, о построении урока математики, об учете успеваемости, о планировании учебной работы, о домашних заданиях.

Остановимся подробнее на недостатках первой части. Рассматривая вопрос об идеализме в математике, Б. И. Крельштейн не считает нужным обосновывать некоторые свои утверждения ссылкой на соответствующие источники. На стр. 10 автор пишет, что идеалисты-математики признают эмпирическое происхождение понятий числа и фигуры, но считают дальнейшее развитие математики продуктом свободного творчества мышления. Это утверждение, не аргументированное указанием источников, противоречит содержанию тех книг и журнальных статей, которые известны читателям и в которых математикам-идеалистам и вообще философам-идеалистам не приписывается материалистическая трактовка вопроса о происхождении понятий числа и фигуры*.

Взятая из книги Энгельса «Анти-Дюринг» характеристика идеалистического понимания математики Дюрингом ни в малейшей степени не подтверждает изложенную на странице 10 точку зрения автора на идеализм в математике.

* Энгельс, Анти-Дюринг, 1948, стр. 36—38.

Таким образом, трактовка вопроса об идеализме в математике оставляет желать лучшего.

В книге, предназначенной для студентов учительских институтов и учителей семилетней школы, нужно было дать тщательно продуманное и вполне понятное изложение этого важного вопроса).

Бросается в глаза отсутствие систематичности в изложении некоторых вопросов.

Так, например, вопрос о повторении пройденного материала следовало бы рассмотреть в связи с вопросом о принципе прочности обучения.

Разбросано также по разным главам изложение вопроса о сознательности обучения. На страницах 32—33 выяснена кратко сущность принципа сознательности обучения, а на странице 49 рассматривается вопрос о формализме ученических знаний, однако эти вопросы следовало бы рассматривать одновременно, так как главной причиной возникновения формализма является именно нарушение принципа сознательности обучения.

Вопрос о формализме в рецензируемой книге рассматривается односторонне. В приведенных на странице 49 примерах 1, 2 и 4 формализм означает бессилие учащихся ориентироваться в известных им математических фактах при изменении привычного для них внешнего выражения этих фактов, тогда как наиболее частые проявления формализма вовсе не связаны с какими-либо изменениями во внешнем выражении математических фактов.

Основным признаком формализма ученических знаний является усвоение словесного выражения математических фактов без понимания содержания этих фактов или во всяком случае без достаточного понимания этих фактов.

Примеров, иллюстрирующих такое понимание формализма, автор не дает, что снижает ценность трактовки вопроса о формализме.

Правильно указывая некоторые средства борьбы с формализмом, автор не отнесся критически к рекомендуемому отдельными методистами доказательству теорем при другом положении чертежа. На странице 51 утверждается, что для понимания учащимися доказательства полезно изменять чертеж, менять буквы, доказывать справедливость теоремы для другого элемента. В качестве примера берется теорема о внешнем угле треугольника. Автор не пишет, кто должен доказывать теоремы при измененном положении чертежа, но все равно, кому бы ни отводилась эта роль, указанный прием следует признать неприемлемым. Ни учитель, ни ученики не располагают таким количеством времени, чтобы упражняться в доказательстве теорем при измененном положении чертежа.

Доказательство теоремы в этом случае бывает сопряжено с большими трудностями и, следовательно, с большой затратой времени не только для учащихся VI и VII классов, но также для учащихся старших классов и даже для студентов вузов. Теоремы должны доказываться и учителем, и учениками на наиболее удобном «стандартном» чертеже, но это не значит, что измененные чертежи не должны никогда фигурировать на уроках геометрии. Во многих случаях учитель должен при опросе учащихся после доказательства теоремы изменить стандартный чертеж и предложить ученику записать доказанное им соотношение (вывод) при новом чертеже.

В некоторых случаях вместо изменения чертежа следует изменить только один из его элементов. Так, например, после доказательства учеником теоремы о внешнем угле треугольника можно взять другой внешний угол и предложить записать, большим каких внутренних углов он является; или после доказательства теоремы о квадрате стороны, лежащей против острого угла треугольника, предложить учащимся написать, чему равен квадрат другой стороны.

Кроме таких преднамеренных изменений чертежей, учащиеся постоянно встречаются с необходимостью усматривать известные им соотношения в различных положениях чертежей при решении задач.

В книге с достаточной полнотой вскрыто содержание воспитательной работы на уроках математики (автор С. Е. Ляпин), но по некоторым видам воспитательной работы не дано никаких указаний практического характера, как, например, по вопросу о развитии внимания, воли.

Касаясь вопроса о материалистическом подходе К основным математическим понятиям, автор неудачно использует в качестве примера ознакомление учащихся с понятием «треугольник». Он рекомендует при первом же ознакомлении учащихся с треугольником выяснить, каким условиям должны удовлетворять те три отрезка, из которых строится треугольник, с чем нельзя согласиться (стр. 51, 52). Первым шагом при ознакомлении с треугольником и другими фигурами должно явиться наблюдение повой фигуры в окружающей обстановке, на моделях, чертежах, а об этом автор не говорит.

Затрагивая вопрос о рациональных способах различных вычислений, автор не останавливается на типичных ошибках учащихся. Об этих ошибках очень мало сказано и во второй части книги (стр. 198).

В перечне выдающихся наших математиков, с которыми нужно знакомить учащихся, отсутствуют молодые советские математики, что следует считать крупным недостатком книги. Постоянные упоминания в различных книгах и журнальных статьях одних и тех же имен дореволюционных математиков и современных математиков старшего поколения наводят некоторых учителей на ложную мысль, что выдающихся молодых советских математиков нет. В методическом руководстве следовало бы назвать несколько имен молодых советских математиков и дать о них краткие биографические сведения.

Вопрос о внеклассной работе по математике рассмотрен достаточно подробно, но мы думаем, что в работе клуба веселых математиков и кружков неизбежен параллелизм, а поэтому организацию названного клуба считаем излишней.

Из приведенного выше перечня недостатков вытекает необходимость основательной переработки 1-й части книги.

Переходим к методике арифметики, написанной С. А. Гастевой. Хорошо разработаны первые уроки арифметики, делимость чисел, обыкновенные дроби. Обращение обыкновенных дробей в десятичные, пропорциональность величин, решение арифметических задач.

Остановимся на недостатках второй части. Автор рекомендует после умножения дроби на целое число перейти к делению дроби на целое число, смешанного числа на целое число и даже к делению дроби

2 «На борьбу за материалистическую диалектику в математике». Сборник статей, изд. Коммунистической академии, 1931, статья Орлова.

3 «Математика в школе», 1939, № 5, статья Ермольева «Коммунистическое воспитание на уроках математики в средней школе».

4 «Природа», 1951, № 7, статья Александрова «Об идеализме в математике».

5 В. М. Брадис, Методика преподавания математики в средней школе, Учпедгиз, 1951.

на дробь при одинаковых знаменателях (стр. 136), а потом уже рассматривать умножение целого числа на дробь. Предлагая такой своеобразный концентризм, автор ссылается на методики Березанской и Чичигина и аргументирует ничего не говорящей фразой, что деление дроби на целое число связано с умножением дроби на целое число.

Второй аргумент, что деление дроби на целое число необходимо при решении задач и примеров на нахождение дроби числа, является также несостоятельным, так как при нахождении одной какой-нибудь доли от данной дроби можно обойтись без деления дроби на целое число, законами об изменении величины дроби от изменения ее членов, как это сделано в стабильном учебнике, изд. 1949 г., стр. 99. Указанная перестаноька тем, противоречащая программе и учебнику, не может быть оправдана ни с какой точки зрения*.

Указания о построении первых уроков по теме «Десятичные дроби» неконкретны, причем расположение отдельных вопросов не соответствует учебнику, в котором дана вполне правильная последовательность отдельных вопросов.

В изложении методики умножения и деления десятичных дробей автор, как и некоторые другие методисты, не мог преодолеть влияние известного дореволюционного методиста Шохор-Троцкого, разработки которого в данном случае не согласуются с требованием советской методики: насыщать преподавание идеей функциональной зависимости и давать наиболее рациональный вывод правил и формул.

Автор рекомендует выводить правила умножения и деления десятичных дробей путем обращения их в обыкновенные дроби, считая способ, основанный на функциональной зависимости, трудным для учащихся. В действительности второй способ легко усваивается учащимися при полном понимании сущности правил умножения и деления десятичных дробей, тогда как громоздкие манипуляции, сопряженные с заменой десятичных дробей обыкновенными (стр. 156, 157, 158), затрудняют сознательное усвоение правил, вследствие чего учащиеся в большинстве случаев не понимают, почему в произведении отделяется запятой с правой стороны столько знаков, сколько их имеется в сомножителях, или почему при делении на десятичную дробь делимое нужно увеличивать. На странице 159 рекомендуется совершенно неприемлемое правило: чтобы разделить число на десятичную дробь, достаточно умножить его на знаменатель дроби и полученное произведение разделить на ее числитель.

С другой стороны, вывод указанных правил при помощи функциональной зависимости весьма ценен еще с точки зрения ознакомления учащихся с функциональной пропедевтикой. Следует заметить, что в методике В. М. Брадиса второму способу вывода правил умножения и деления десятичных дробей уделяется гораздо больше внимания, чем в рецензируемой книге.

На странице 104 автор устанавливает, что одним из способов достижения сознательности усвоения материала и самостоятельности мышления служит предложенный С. И. Шохор-Троцким «Метод целесообразных задач».

В некоторых случаях автор умело пользуется этим методом, например при разработке вопросов об умножении на дробь и обращении обыкновенных дробей в десятичные, но чаще всего метод целесообразных задач применяется нерационально. Об этом говорят неудачные задачи, с решения которых начинается ознакомление учащихся с прямо пропорциональным делением и обратно пропорциональным делением. Обе задачи неконкретны и поэтому не уясняют необходимости изучения этих вопросов (стр. 192 и 195). К сказанному нужно добавить, что в книге совершенно не рассматривается деление числа на три части, чтобы х, : х2 = m : п, а х2 : *з = = р : q. Автор должен был учесть то обстоятельство, что этот случай пропорционального деления изложен в стабильном учебнике арифметики недоступно для учащихся.

Крайне неудачна задача для выяснения сущности сложного пропорционального деления (стр. 195). Для решения этой задачи нужно данное число разделить прямо пропорционально ряду чисел: 48, 70 и 78 и обратно пропорционально ряду чисел: 4, 31/2 и Зу4, тогда как следовало для начала взять жизненно-практическую задачу на деление данного числа прямо пропорционально двум рядам чисел.

Метод целесообразных задач игнорирован при установлении способа решения задач на нахождение процентного отношения двух чисел (стр. 168).

Излагая методику вопроса о пропорциональных величинах, автор вводит не предусмотренное программой понятие о коэффициенте пропорциональности, причем ссылается на ряд источников издания 1926, 1928 и 1932 годов. Никакой необходимости в этом понятии на данной ступени обучения нет, и поэтому введение его создает только лишние осложнения.

Третью часть книги, т. е. методику алгебры, написанную Б. И. Крельштейном, следует признать вполне удовлетворительной, за исключением изложения отдельных вопросов.

Первая тема VI класса разработана слишком подробно. Нет необходимости указывать различные способы ознакомления учащихся с буквенным обозначением чисел.

В частности, нецелесообразно решать несколько задач одинакового содержания, но с различными числовыми данными и потом записывать формулы решения, так как этот прием слишком громоздок и вызывает в сознании учащихся сомнение в необходимости выведенной формулы для решения задач, особенно если формула имеет такой вид:

(стр. 227).

Методику изложения относительных чисел следует признать вполне приемлемой, за исключением изложения вопроса об умножении относительных чисел.

Автор критикует установившийся в нашей методической литературе и школьной практике способ иллюстрации правил умножения относительных чисел решением соответствующих задач на движение и считает более целесообразным пользоваться при умножении положительного числа на отрицательное переместительным законом произведения, а правило умножения отрицательного числа на отрицательное дать учащимся догматически (стр. 239). Вопреки опыту, автор утверждает, что иллюстрация правила умножения задачами на движение трудна для учащихся. Таким образом, в методическом руководстве, изданном для учительских институтов, вместо вполне правильной с методической и методологической точек зрения разработки вопроса об умножении относительных чисел учителям предлагается отжившее свой век догматическое изложение, построенное по принципу: «Учитель так сказал». Такой анахронизм

* Следует заметить, что по данному вопросу существуют различные точки зрения. В тексте высказана точка зрения автора статьи. (Ред.).

нельзя не признать крупным недостатком книги.

В методической разработке темы «Разложение на множители» нет выяснения цели изучения этой темы.

Схема решения задач на составление уравнений слишком громоздка. Автор почему-то считает отдельными этапами составление уравнений и решение уравнений и вводит как особый раздел (пункт 5) получение ответа на вопрос задачи, причем не устанавливает, что следует понимать под этим разделом (стр. 290)*.

В книге нет образца письменного решения и объяснения задач на составление уравнений.

Ссылаясь на объяснительную записку к программе, автор не дает методической разработки и обоснования алгорифма извлечения квадратного корня (стр. 301). Следовало бы критически отнестись в этом случае к указанию авторов программы, так как это указание противоречит принципу сознательности обучения. Обоснование алгорифма извлечения квадратных корней при правильной методической разработке доступно для учащихся VII класса.

Четвертая часть книги, написанная М. М. Шидловской, является наиболее ценной. Весьма обстоятельно разработан геометрический материал, предусмотренный программой V класса.

Указание о решении задач с числовыми данными, полученными самими учащимися путем различных измерений, вполне соответствует идее политехнического обучения. Возникает только сомнение в целесообразности ознакомления учащихся с формулами длины окружности и площади круга. Мы думаем, что делать это в V классе преждевременно**.

Вполне правильно автор утверждает, что определению геометрических понятий должно в VI и VII классах предшествовать наблюдение учащимися соответствующих объектов и установление их характерных признаков.

Самого серьезного внимания заслуживают указания автора на необходимость выяснения содержания теорем на чертеже и наглядных пособиях, после чего должна следовать формулировка. В школьной практике нередко изучение той или иной теоремы начинается с формулировки без предварительного наблюдения чертежа. Такой порядок допустим иногда в старших классах, но в неполной средней школе нужно делать именно так, как рекомендует т. Шидловская (стр. 339—342).

Автор не решает вопроса, как должен поступать учитель в тех случаях, когда учащиеся VI класса протестуют против доказательства теорем, кажущихся им очевидными на основании чертежа. Он не считает полезным рекомендуемые некоторыми методистами так называемые обманы зрения на том основании, что этот прием якобы не убеждает учеников в необходимости дедуктивного доказательства, а наталкивает на опытную проверку. В таких случаях, которые, кстати сказать, очень редко имеют место, нужно, во-первых, выяснить учащимся ненадежность опытной проверки, а во-вторых, выяснить, что путем опытной проверки можно установить то или иное свойство геометрических объектов не вообще, а только по отношению к отдельному случаю.

Во всяком случае автор ошибается, отвергая полезность использования обманов зрения для выяснения ненадежности интуитивных умозаключений учащихся. В этом отношении безусловно прав В. М. Брадис, считающий весьма полезным ознакомление учащихся с простейшими оптическими иллюзиями (В. М. Брадис, Методика преподавания математики в средней школе, 1951, стр. 357).

Вполне соответствует принципам советской педагогики рекомендуемая автором генетическая разработка некоторых теорем (стр. 343 и 344).

К сожалению, автор ограничился краткими соображениями о генетическом методе. В частности, нужно было уточнить сферу применения этого метода, подробнее выяснить его преимущества и дать образец оформления изложения теорем в этом случае на классной доске.

Достаточно внимания уделено характеристике синтетического и аналитического методов доказательства теорем, но следовало бы иллюстрировать аналитический метод не одной примерной разработкой, а несколькими. Весьма полезно было бы показать несостоятельность различных возражений против аналитического метода.

Хорошо изложен вопрос доказательства теорем способом от противного, но, к сожалению, касаясь теоремы о первом признаке параллельности прямых, автор ничего не сказал о возможности применения в этом случае наглядного пособия (стр. 358, 359). Нельзя согласиться с утверждением автора, что параллельные прямые следует изучать раньше треугольника, как это сделано в учебнике Глаголева (стр. 396 и 397).

В этом случае автор противоречит самому себе, так как несколько ранее он пишет, что опыт учителей, проводивших преподавание по учебнику Глаголева, подтверждает трудность усвоения учащимися теоремы о первом признаке параллельности прямых и бессилие многих из них связно изложить доказательство.

Автор не сделал соответствующий вывод из опыта учителей, но без всякого основания утверждает, что если параллельные прямые пройдены до треугольников, то все построение курса обладает большей внутренней систематичностью, в результате чего математическое развитие учащихся значительно повышается (стр. 397).

Позволительно поставить т. Шидловской вопрос, как может повыситься математическое развитие учащихся, если в самом начале изучения геометрии они не в состоянии будут сознательно усвоить семь теорем, доказываемых способом от противного (Киселев, Учебник геометрии, ч. 1, § 73, 76, 77, 78).

Преподаватели математики много затрачивают труда, чтобы добиться сознательного усвоения этих теорем при существующем расположении материала, т. е. при изучении теории параллельных в конце учебного года. А что будет, если теоремы параллельных проходить в начале года?

На странице 326 автор приводит еще один аргумент в защиту своей точки зрения. Он пишет, что если параллельные прямые проходить до треугольников, то теорема о сумме углов треугольника не будет оторвана от первоначальных сведений о треугольнике. Этот аргумент нельзя признать убедительным, так как все равно мы не можем сконцентрировать все относящееся к треугольнику в одном месте: подобие треугольников и площадь треугольника изучаются значительно позднее.

Все изложенные выше соображения приводят нас к выводу, что из-за весьма проблематичной целесообразности более раннего изучения параллельных

* Отметим, что во всех трех приведенных образцах решения задач пятый пункт отсутствует; после «решения уравнения» непосредственно следует «проверка решения».

** В этом пункте редакция поддерживает точку зрения автора книги (ред.)

прямых нельзя допустить заведомо вредную для дела перестановку тем.

Параллельные прямые должны рассматриваться после треугольников, как это сделано в большинстве дореволюционных и советских учебников геометрии (Киселев, Давидов, Рашевский, Гурвиц и Гангнус, Д. И. Перепелкин, А. Н. Перепелкина, Богомолов). Изучать параллельные прямые до треугольников возможно только в том случае, если отказаться от логического доказательства прямых и обратных теорем о параллельности прямых и ограничиться интуитивным познанием учащимися этих теорем. Встать на такой путь не только по отношению к параллельным прямым, но и по отношению к некоторым другим разделам программы VI класса рекомендовали еще в 1911 г. на 1-м Всероссийском съезде преподавателей математики участники съезда Ройтман и Шохор-Троцкий.

В журнале «Математика в школе» № 1 за 1953 год в статье К. К. Лембке проводится такая же точка зрения, но совершенно очевидно, что вопрос об изменении существующего соотношения между логикой и интуицией в школьной геометрии должен быть детально обсужден, с постановкой соответствующих опытов. Впредь до вполне обоснованного решения этого вопроса, если только будет признано необходимым его решать, теория параллельных должна изучаться в плане логического курса, после изучения треугольников.

Весьма полезные и подробные указания даны по вопросу о решении задач на вычисление и доказательство (стр. 413, 420).

Методика решения основных задач на построение рассмотрена очень кратко. Следует согласиться с автором в том, что в учебнике Киселева общий метод решения задач на построение выясняется на трудной для учащихся задаче, и поэтому цель не достигается.

В методике предлагается задача такого содержания: Построить треугольник по основанию Ь, высоте hb и медиане ть, но эта задача тоже трудна. Опыт некоторых учителей говорит, что наиболее подходящей для указанной цели задачей является следующая задача: Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

В четвертой части отражена до известной степени идея политехнического обучения. Об этом говорят довольно подробные указания о геодезических работах в школе и интересные задачи на обоснование некоторых несложных инструментов и приборов (стр. 363 и 424).

Материал VI класса рассмотрен в книге достаточно подробно, тогда как по некоторым вопросам программы VII класса дано очень мало методических указаний. На тему «Четырехугольники» отведено всего четыре страницы, из которых на двух с половиной страницах разбирается вопрос о классификации четырехугольников. Автор уделил этому вопросу гораздо больше внимания, чем полагается, включив даже в него составление схем классификации параллелограмов. Мало уделено внимания теме «Окружность», хотя в этой теме есть очень трудные задачи на построение, как, например, задачи на проведение общей касательной к двум окружностям, задача на построение сегмента, вмещающего данный угол. Решение этих задач, данное в учебнике, не может заменить методическую разработку. Если учитель будет в классе объяснять эти задачи по учебнику, они не сыграют никакой роли в развитии навыков самостоятельного решения задач на построение.

Подводя итоги всему вышесказанному, следует признать, что общая оценка рецензируемой книги должна быть положительной, но в последующих изданиях необходимо устранить отмеченные недостатки.

ОТ РЕДАКЦИИ

Редакция журнала доводит до сведения читателей, участвующих в решении задач, помещаемых в журнале, что:

1. а) решение задач необходимо присылать только по одному номеру журнала;

б) не позже одного месяца после выхода журнала в свет;

в) отдельно от всякой другой корреспонденции.

2. Решение задач доводить до конца и оформлять аккуратно разборчивым почерком.

3. В сводке решений будут помешаться фамилии лиц, решивших не менее 50% задач, помещенных в одном номере журнала.

4. По поводу решений и присылаемых задач редакция в переписку с авторами не вступает.

ХРОНИКА

О РАБОТЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СЕКЦИИ МЕТОДИЧЕСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ ШКОЛ СТ. БОРИСОГЛЕБСК

В. АНИСИМОВ (Борисоглебск)

На январском собрании секции математиков методического объединения школ ст. Борисоглебск были намечены темы докладов учителей по вопросам о принципах политехнического обучения в школьном курсе математики. На этом собрании при обсуждении вопроса о практических работах по математике на местности было выдвинуто предложение организовать семинар, на котором учителя могли бы ознакомиться с приборами, необходимыми для работы на местности, с методикой проведения этих работ. Семинар этот поручили провести мне.

Совместно с руководителем секции т. Чукановой мы наметили провести этот семинар в три занятия и составили план работы. При подготовке к первому занятию руководитель семинара ознакомился с материальной частью школ. Оказалось, что никаких приборов в школах нет; в лучшем случае в физических кабинетах имеются компасы, уровни, ватерпасы, а у математиков — транспортиры. Выяснилась необходимость обстоятельно ознакомить учителей с устройством этих приборов. На январском собрании двумя участниками было высказано мнение, что при современном состоянии техники надо и в школе применять современные сложные землемерные инструменты. Однако, учитывая, что задача школы заключается не в подготовке специалистов-землемеров, а в сообщении учащимся только элементов политехнизма, и что школам легче и проще всего обзавестись простейшим оборудованием, мы решили ознакомить участников семинара с приборами школьного типа.

7 февраля состоялось первое занятие семинара на тему: «Необходимые измерительные приборы для проведения практических работ по математике». На этом занятии было дано описание устройства простейших измерительных приборов, указано их назначение и способы их применения. Занятие сопровождалось демонстрацией больших схем и рисунков. Эти схемы и рисунки предназначены для применения на уроках математики при прохождении программы и при подготовке к практическим занятиям. Для работы на местности потребуются: вехи, бирки, рулетка, эккеры, мензулы, транспортиры, эклиметр, буссоль, астролябия, планшеты, компасы, ватерпас, уровень, нивелир, рейки.

На данном занятии участникам были продемонстрированы все эти приборы. Все это оборудование, за исключением компаса, самодельное, изготовленное в нашей школе. Приборы привлекли к себе внимание учителей. Оказалось, что изготовить их своими средствами нетрудно (даже астролябию) и что школы могут вполне справиться с этим делом. Это занятие показало, что некоторые учителя не знакомы с измерительными приборами, и мы не ошиблись в порядке организации работы семинара, что отметили и сами слушатели.

28 февраля состоялось второе занятие семинара. На этом занятии было разобрано решение типичных задач: 1. Провешивание прямой линии между двумя точками. 2. Построение прямого угла 3. Проведение перпендикуляра из данной точки на данную прямую. 4. Измерение величины угла. 5. Определение величины угла в вертикальной плоскости (эклиметром). 6. Определение расстояния между двумя точками, между которыми пройти нельзя (методом равных или подобных треугольников, тригонометрически). 7. Определение высоты предмета геометрическими способами и тригонометрически. 8. Съемка плана эккером, мензулой, буссолью, астролябией, обходом участка, способом засечек и полярным способом. 9. Определение разности горизонтальных уровней точек местности с помощью ватерпаса, уровня, нивелира. Решение каждой задачи сопровождалось демонстрацией изготовленных для этого таблиц и рисунков и самих приборов. Все таблицы и рисунки учитель может с успехом использовать на своих уроках. Большой интерес у учителей вызвал набор настольных приборов (вехи, эккеры, астролябия и пр.). Эти приборы каждый ученик легко может сделать самостоятельно. С помощью этого набора ученики могут провести в классе (на столе или на полу) подготовительные занятия перед выходом в поле.

Последнее, третье занятие семинара намечено провести в начале сентября, в один из выходных дней.

На этом занятии участникам предложено провести работы уже на местности. Мы условились, что к этому времени школы изготовят сами или приобретут необходимые приборы. Участники разбиваются на группы в 3—4 человека. Каждой группе предложены определенные работы. На каждую работу составлена карточка, в которой указаны объект работы, оборудование, порядок проведения работы. Завершается работа изготовлением чертежей и планов на основании произведенных на местности измерений.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 2 ЗА 1953 г.

№ 17

Доказать, что если в квадрат вписать прямоугольник, с неравными сторонами, то диагонали квадрата будут служить его осями симметрии (на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямоугольника).

Решение. От вершин M и Р квадрата MNPQ, MB < BN (черт. 1) отложим равные отрезки МВ=. = МА = РС^ PD.

Имеем :

Д АМВ = Д CPD, АВ= CD и AB || CD \\ QN, так как Z / = Z.6— Z.4. Из равенства треугольников BNC и AQD следует, что ВС \\ АО || MP; но QN±MP (как диагонали квадрата), следовательно, и BCj_CD.

Итак, фигура ABCD — прямоугольник.

MP есть биссектриса углов АМВ и DPC, следовательно, она проходит через середины отрезков AB и DC, так как треугольники АМВ и DPC равнобедренные.

Итак, MP — диагональ квадрата, является осью симметрии прямоугольника. Аналогично доказывается то, что MQ также является осью симметрии того же прямоугольника.

№ 18

Пусть в треугольнике ABC 1а, 1Ь,1С — соответственно биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С. Для того чтобы из этих биссектрис биссектриса имела наименьшую длину, необходимо и достаточно, чтобы либо z. А < z. В <z.C, либо z i4> Z.B> л С (А, В, С—внутренние углы m реугольника ).

Решение. Проведем DC \\ BE, где BE — биссектриса внешнего угла CBL (черт. 2).

Тогда z. 1 = z.2, z.3= z4. Следовательно, ^2= так как z 1 ^ z. 3 и DB — ВС - а.

Из подобия треугольников ABE и ADC имеем:

(1)

Из треугольника DCB находим, что отсюда из соотношения (1) имеем:

аналогично находим:

Для сравнения 1а и 1Ь рассмотрим разность 1а — 1Ъ, Имеем:

Черт. 1

Черт. 2

Следовательно,

откуда

Аналогично доказывается, что

№ 19

Упростить:

Решение.

№ 20

Доказать, что

Решение. Запишем ряд очевидных равенств:

Сложив эти равенства, получим:

№ 21

Найти три натуральные числа а,Ь и с (а <Ь <с) такие, чтобы число № было средним арифметическим чисел а2 и с2.

Решение. Так как, согласно условию, а < Ь < с, то полагаем

а=Ь — х, с = Ь + у(х>0, у>0).

Из соотношения

получим:

(1)

Если положим х = у, то ху —0, т. е. х = у — 0, что исключено. Итак, X ф у. Из равенства (1) имеем:

(2)

Откуда следует, что числа

четные.

Пусть Решив систему

получим положительный корень

Чтобы число у было рациональным числом, положим

Имеем:

Итак, искомые числа:

где /и и л — любые натуральные числа.

№ 22

К трехзначному числу справа приписано число на единицу больше. Найти это трехзначное число, зная, что полученное в результате приписвывания число есть полный квадрат.

Решение. Обозначим искомое число буквой N,

1) N=№x+Wy + z. (1)

Согласно условию имеем:

или

(2)

или

3)

Так как то

(3)

Обозначив

(4)

где m и п — натуральные числа, получим:

Определим значения тип. Из равенств (4) имеем:

Откуда Поэтому

(5)

Обозначим

где

откуда где

Отсюда:

где

Подставив данные выражения для t в (5), получим:

Отсюда видно, что трехзначное число получим при

Проверка:

№ 23

Дана трапеция ABCD. Доказать, что имеют место соотношения:

(О — точка пересечения диагоналей трапеций, ВС (I AD).

Решение. ДОВС~&AOD (черт. 3).

Черт. 3

Следовательно, или

(1)

(2)

Из равенства (1) имеем:

заменив из равенства (2) получим:

Аналогично получается равенство:

№ 24

Решить систему уравнений

Решение. Так как х = у = z = О не являются решениями заданной системы, то, умножив выражение

получим:

(1) (2)

Вычитая уравнение (2) из уравнения (1) и заменяя xyz = 1, получим:

или

Отсюда :

Ответ:

№ 25

Даны прямые AB \\ CD \\ EF {CD между AB и ЕЕ). Между AB и CD даны две точки M и N, между CD и EF дана точка Р. Построить треугольник так, чтобы на каждой из трех данных прямых AB, CD и EF лежала одна из вершин треугольника, а на каждой из трех сторон треугольника лежала одна из трех данных точек.

Решение. Прямые AB, CD и ЕЕ будем рассматривать как изображение боковых ребер треугольной призмы (в параллельной проекции), на каждой из боковых граней расположена точка (черт. 4). Задача сводится к построению сечения призмы плоскостью, проходящей через точки M, N и Р. Построим два равные треугольника АСЕ и BDF так, чтобы их вершины лежали на заданных прямых (АС \\ BD, CE=DF и АЕ у BF), через точки M, N к Р проведем

Соединив точки К и L, получим KL \\ А\В\ \\ AB. Соединив точки M и Р, получим на прямой LK точку Q; соединив точку Q с точкой N, получим на ребре CD точку S; соединив S с M и с Р, получим вершины Т и R искомого треугольника STR.

№ 26

Доказать, что

где S — площадь треугольника ABC со сторонами а, Ь, с и с высотами ha, hb, hc.

Решение. Возьмем внутри треугольника какую-нибудь точку О (черт. 5). Пусть расстояния ее до сторон треугольника равны х, у, z.

Имеем :

Откуда

(1)

(2) (3)

Сложив равенства (1), (2) и (3), получим:

Черт. 4

Черт. 5

откуда

№ 27

Из точки К» делящей пополам дугу окружности, стягиваемую хорд)й AB, проведены хорды, пересекающие хорду AB. Произведение каждой такой хорды на ее отрезок от точки К до точки пересечения с хордой AB равно квадрату хорды АХ, стягивающей половину дуги АКВ.

Решение. Треугольник АРК подобен треугольнику AKD, так как Z.1 — Z.2 (по условию),

(черт. 6).

Черт. 6

№ 28

Около треугольника ABC со сторонами а, Ь, с описана окружность. Обозначим через т, п, р соответственно расстояния от какой-нибудь точки окружности до сторон треугольника at Ь, с. Доказать, что

Решение. Соединив точку N с вершинами треугольника, получим вписанный четырехугольник АВМС (черт. 7). По теореме Птолемея:

или

(1)

Из подобия треугольников AMN и BMMt

имеем:

(2)

Из подобия треугольников BDM и MCN имеем:

(3)

Подставив значения (2) и (3) в соотношение (1), после сокращения на ВМ получим:

№ 29

Иайти длину гипотенузы такого прямоугольного треугольника, который можно расположить на клетчатой бумаге так, чтобы гипотенуза лежала на одной из линий сетки, а все вершины треугольника лежали в вершинах квадратов, образованных линиями сетки.

Решение. Так как вершины искомого треугольника расположены в вершинах клеток (черт. 8), то, следовательно, отрезки ах и by должны выражаться в целых числах, а следовательно, и отрезок hc тоже должен быть целым числом, так как h?c ■= а\ • bt. Задача сводится к решению уравнения h^ = al-bi в целых числах.

Пусть

тогда

а гипотенуза

где пит — любые целые числа.

№ 30

Показать, что

Найти значение левой части при х <2.

Решение. Положим х — 1 = sin <р, тогда

и

Черт. 7

Черт. 8

Отсюда данное выражение принимает вид:

№ 31

Упростить выражение (при х<— 1):

Решение.

№ 32

Если сечение правильной четырехугольной пирамиды некоторой плоскостью представляет собой правильный пятиугольник, то боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания углы по 45°. Доказать.

Решение. Пусть IKLMN правильный пятиугольник (черт. 9). Тогда

следовательно, она параллельна линии их пересечения BD).

LE — ось симметрии пятиугольника SKLMN.

Находим

следовательно

(1)

Пусть

тогда

Заменив левую часть равенства (1), получим:

(2)

Аналогично из треугольников ENF и AEF находим

(3)

Из уравнений (2) и (3) получим

(4)

Из уравнений (2) и (3) находим

(5)

Из равенства (4) и (5) находим

(6)

Из уравнения (6) определим tg а.

а — острый угол, следовательно, а = 45°.

№ 33

Доказать, что уравнение:

X* — 2л:3 + 2лг + с = 0 (\)

ни при каком с ф 0 не может иметь пять действительных корней.

Решение. Допустим, что все пять корней уравнения (2) действительны. Не все пять корней уравнения (1) равны нулю в противном случае с = 0, что» противоречит условию. Сумма корней данного уравнения (равная коэффициенту при с с обратным знаком) равна нулю. Поз тому среди корней уравнения (1) должны быть как положительные, так и отрицательные.

Пусть *i>0 и лг2<0 — два корня уравнения (1). Представим уравнение (1) в виде

(2)

Здесь (л:3 — I)2 + 1 > 0 при любом действительном х. Подставляя в равенство (2) *1>0, получим — с>0. А подставляя х2 < 0, получим — с <0. Из этого противоречия вытекает доказательство теоремы.

ЗАДАЧИ

№ 1

Доказать неразрешимость в целых числах уравнения:

X* — у* = 2xyz. Случай х = у, z = Q исключается.

(Ушаков В. В., Старый Оскол)

№ 2

Найти наименьше значение функции:

где Х\% х2----, хп — данные числа, расположенные в возрастающем порядке, т. е. Х\ < х2 < х3 <... < хи9

(Мышакова Т., Одесса)

№ 3

Решить систему уравнений:

(Яворский И. М., Москва)

№ 4

Решить систему уравнений:

(Каченовский М. И., Москва)

№ 5

Через вершины треугольника ABC проведены внешние биссектрисы, которые, пересекаясь, образуют треугольник А\ВХС\\ внозь проведенные биссектрисы образуют треугольник Л2В2^2 и т. д. Доказать, что фигура АпВпСп при п -> оо стремится к равностороннему треугольнику, т. е. что

(Яворский И. М., Москва)

№ 6

В треугольник ABC вписаны четыре круга таким образом, что один из них касается трех сторон треугольника и трех других кругов, а каждый из остальных касается двух сторон треугольника ABC и первого круга. Определить радиус первого круга, если радиусы трех остальных равны

(Яворский И. М., Москва)

№ 7

Решить в целых числах уравнение:

(Эрдниев П. М., Алтайский край)

№ 8

Дано соотношение между углами треугольника:

Определить соотношение между сторонами а, Ь, с треугольника.

(Эрдниев П. М., Алтайский край)

№ 9

Если телесный угол шарового сектора содержит а стерадиан и а<<2гс, a развертка конической поверхности этого сектора имеет центральный угол ß радиан, то

Доказать.

(Хамзин X., Стерлитамак)

№ 10

Отрезок AB делится на три равные части АС = = CD = DB, и отрезок CD удаляется из отрезка AB. Каждая из оставшихся частей АС и DB снова делится на три равные части АР = TQ = QC, DR = = RS — SB, и средние части PQ и RS снова удаляются, и т. д. Доказать, что на отрезке AB найдутся такие точки, которые не будут удалены, сколько бы раз мы ни повторяли эту операцию удаления части.

(Фомин С. В., Москва)

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 1 ЗА 1953 г.

Архипенко А. (Сталинградская обл.) 3—11, 13, 15, 16; Андрусенко Б. (Южный Сахалин) 1, 3, 4—6, 8, 9, 11, 13; Абдулманов (Западно-Казахстанская обл.) 1—9, 11—15; Акопян А. (Тбилиси) 1—3, 6—9, 11, 15; Аксельрод И. (Харьков) 1—9, 11,13,15; Баластаева А. (Марийская АССР) 1—7, 9, 11, 13, 15; Бартон П. (Чехословакия) 1—16; Бугулов Е. (Дзауджикау) 1—16; Беккер М. (г. Таллин) 1—13; Бойков И. (Московская обл.) 1—9, 11—16; Бауэр А. (Моршанск) 1—16; Бертенев Ф. (Евпатория) 1—16; Бернштейн С. (Киев) 1—16; Беркалейко С. (Харьков) 1—15; Биченков И. (Минская обл.) 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13; Викетрад Р. (Проскуров) 1—16; Владимиров А. (Свердловская обл.) 1—16; Волков В. (Харьков) 1—6, 8, 9, 11—13; Волков А. (Татарская АССР) 1—9, 11—16; Вейнман Б. (Киев) 1—9, 11—16; Волков А. (Костромская обл.) 2—6, 8, 9, 11, 13, 14; Гусев В. (Сызрань) 1—14; Гельруд Б. (Нижний Тагил) 1—16; Голайдо И. (Брянская обл.) 1—16; Головачев Е. (Курская обл.) 1—16; Гошлер М. (Вильнюс) 1—16; Готман Э. (Коми АССР) 1—6, 8, 9, 11—15; Герасимов Ю. (г. Абакан) 1—9, 11—16; Гаас А. (Караганда) 1, 3—9, 13; Голод Е. (Иваново) 1—16; Губанов И. (Воронежская обл.) 1—4, 6; Героцкий (Брянская обл.) 1—9, 11, 13—15; Гольцман Р. (Нижний Тагил) 1—9,11—15; Демчинский В. (г. Ровно) 1 —16; Давыдов У. (Гомель) 1—16; Дудолькевич Б. (Киевская обл.) 5—9, 11, 13, 14; Джабаров С. (Куйбышевская обл.) 1—13, 15; Зубилин Н. (Орловская обл.) 1—4, 6, 8—11, 13—15; Зискинд Л. (Винница) 1—3, 5, 6, 9—11, 14—16; Исмагилов Р. (Башкирская АССР) 2, 4, 5, 6, 11, 12, 13, 14; Игнатович В. (Ровинская обл.) 1—6, 8—15; Иванов И. (Псков) 1—6, 8—16; Израилевич (Омск) 1—4, 6, 9, 13, 14; Краснов П. (Полоцкая обл.) 1 —16; Козмодемянский В. (Сызрань) 2—4, 6, 8, 9, 11, 13, 15; Кошелев А. (Корсунь) 1—9, 11—13, 15; Кулик И. (Харьков) 1—16; Китайгородский П. (Москва) 1-14; Кухарев Н. (Уфа) 1—9, 11, 13—16; Костин Б. (Владимирская обл.) 2—6, 8, 9, 11, 13—15; Кливачев В. (Горьковская обл.) 1—3, 5—7; Крайзман М. (Львов) 1—9, 11—15; Крупин П. (Киров) 1—15; Литвинов В. (Ворошиловград) 1—15; Лоповок Л. (Проскуров) 1—16; Лати Б. (Новошахтинск) 1—9, 11, 13, 14, 16; Митянок И. (Брянская обл.) 1, 3—9, 11, 13, 14; Магеро А. (Витебская обл.) 1—9, И, 13—16; Магарам Э. (Южный Сахалин) 1—4, 6, 7, 9, 11—13; Меньших Б. (ст. Филоново) 1, 3—8, 10—15; Мирау Б. (Узун-Агач) 1 — 16; Манукьян М. (Казахская ССР) 2—4, 6, 9, 10, 11, 13; Мамашев С. (Хорезмская обл.) 2, 4, 6, 7, 9, 11, 13, 14; Мостовой А. (Алма-Атинская обл.) 1—16; математический кружок (Житомир, пединститут) 1—16; математический кружок (Витебская обл., русская ср. ш.) 1—6, 8, 9, И—13; математический кружок (Киев, 17-я ср. ш.) 1—9, 11 —15; математический кружок (Тбилисский округ, Самаркандская ср. ш.) 1, 3—5, 8, 9, 11, 13; Нахамчик С. (Рогачев) 1—15; Попов В. (Сталинград) 1—16; Павлов Е. (Чувашская АССР) 1—15; Поволоцкий А. (Акмолинск) 1—16; Пигарев Ю. (Киевская обл.) 1—6, 8—16; Рознатовский Н. (Киев) 1—16; Рудштейн 3. (Бобруйская обл.) 1—3, 5—7, 9, 11, 13—15; Рабинович В. (Северо-Казахстанская обл.) 1—6, 8—15; Рашковский Д. (Кишинев) 1—16; Рубинштейн Н. (Москва) 1—4, 6, 8, 9, 11, 13—15; Стрелецкий Э. В. (Гродно) 1—6, 8—16; Салангин Д. (Кировская обл.) 1—16; Стасюк В. (Дрогобычская обл.) I—16; Смышлеев В. (Марийская АССР) 1—11, 13—16; Слунская Т. (Алма-Ата) 1—4, 6—14; Строгальщиков А. (Саратов) 3, 4, 6, 8, 9, И, 13, 14; Степанов И. (Иркутск) 1 — 15; Сергиенко П. (Запорожье) 1—4, 6—9, 11, 13, 14, 16; Сирота М. (Полтавская обл.) 1—6, 9—11, 14—15; Синдюхов Н. (Калининград) 3—5, 7—9, 11—14; Титов П. (Тюмень) 1—16; Торбин М. (Брянская обл.) 1—9, 11—15; Тужиков И. (Рогачев) 1—6, 8, 9, 10, 13, 14; Титов Н. (Казань) 1—15; Федоров В. (Курганская обл.) 1—15; Чалый (Воронежская обл.) 1—4, 6, 8, 9, И—14; Чепкасов Г. (Краснодарский край) 1—16; Чудушов А. (Омская обл.) 1, 3, 4, 6—9, 11 — 15; Цхай Т. (Андижан) 1—16; Цатурян В. (Казахская ССР) 1, 2, 4, 9, 10, И, 12, 13; Шебаршин М. (Кемеровская обл.) 1—16; Шалтаев А. (Корсунь) 1—6, 8—16; Шахназарян и Степанян (Нагорно-Карабахская авт. обл.) 1—8; Штейнирайбер В. (Проскуров) 1—16; Эрдниев И. (Алтайский край) 1—16; Ясиновый Э. (Куйбышев) 1—16; Яремчук Ф. (Дрогобыч) 1—16; Янулионис И. (Литовская ССР) 1—9, 11—15.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Ф. Т. Дзюба — Из истории развития педагогических идей в России...... 1

МЕТОДИКА

В. У. Грибанов — Приближенные вычисления в V классе............ 4

B. И. Севбо — Введение математического понятия функции в средней школе . . 16

Э. Ясиновый — О применении законов арифметических действий в тождественных преобразованиях........................... 21

ИЗ ОПЫТА

П. И. Егоршин — Об элементах политехнического обучения в школе рабочей молодежи................................. 25

П. Д. Артемов — Элементы политехнизации в преподавании математики в средней школе................................ 30

C. С. Белов — О математических пионерских сборах............... 33

М. А. Резников — Математический пионерский сбор в V—VI классах...... 48

М. Г. Васильев — Опыт работы математического кружка десятых классов .... 52

Е. А. Петров — Внеклассная работа по математике............... 58

Я. А. Шор — О кружковой работе по арифметике............... 61

A. Прозорова — О некоторых мерах борьбы за успеваемость учащихся..... 65

B. Н. Мишагин — О построении графика функций — и ах2.......... 71

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

В. Н. Молодший — О книге Б. В. Гнеденко «Михаил Васильевич Остроградский» 74

Г. Л. Хвыль — Недостатки, ведущие к идеализму и метафизике......... 76

A. И. Маркушевич — О справочнике по элементарной математике М. Я. Выгодского ................................... 78

По поводу двух рецензий........................... 81

Т. А. Песков — О книге «Методика преподавания математики». Пособие для учительских институтов............................ 82

ХРОНИКА

B. Анисимов — О работе математической секции методического объединения школ 87

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 2 за 1953 г.................. 88

Задачи.................................... 94

Сводка решений по № 1 за 1953 г....................... 95

Редакционная коллегия: Редактор А. Н. Барсуков. Зам. редактора С. И. Новоселов. В. В. Немыцкий. А. П. Садиков. Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Р. С. Терюкалова.

Технический редактор С. Н. Шахов. Корректоры 3. Федорова, М. Алексеева.

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

Сдано в производство 2/VII 1953 г. Подписано к печати 21/VI1I 1953 г. Учетно-изд. л. 12,21

А04236. Заказ 306 Тираж 60000 экз.

Печ. зн. в п. л. 72000 Цена 4 р. 50 к. Бумага 82Xl08Vie=3 бум. л.—9,94 п. л.

13-я Журнальная типография Союзполиграфпрома, Главиздата Министерства культуры СССР. Москва, Гарднеровский пер., 1а.