МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

4

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1953

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 4

ИЮЛЬ—АВГУСТ 1953 г.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

К ВОПРОСУ ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Ю. М. ГАЙДУК (Харьков)

«Отстаивая достоинства геометрического метода исследования, я далек от мысли об его исключительности»*

Н. Е. Жуковский

1. Последнее время в методической литературе заметно проявление повышенного интереса к вопросу о формах определения тригонометрических функций. В связи с этим, естественно,, обсуждением затрагивается и теоретическое ядро этого вопроса — возможность двоякого определения этих функций: геометрического (обычного в школьном курсе) и аналитического (иногда применяемого в качестве исходного в высшей математике). Сравнительный анализ геометрического и аналитического способов определения** приводит к различным выводам, смотря по тому, какой точкой зрения — строго теоретической или же педагогической — приходится руководствоваться. С теоретической точки зрения аналитическое определение заслуживает предпочтение перед обычным геометрическим, так как последнее существенно связано с евклидовой геометрией, тогда как первое не находится в зависимости от какой бы то ни было геометрической системы. Напротив, при подходе к делу с точки зрения педагогических требований геометрический характер обычного определения с присущей ему простотой, наглядностью и конструктивностью должен быть признан скорее достоинством, чем недостатком. В пользу этого же заключения говорит еще и то обстоятельство, что геометрический аспект школьного курса тригонометрии, с самого начала подчеркиваемый геометрическим способом введения тригонометрических функций, имеет большое политехническое значение*:

* Цитата взята из речи Н. Е. Жуковского «О значении геометрического метода истолкования в теоретической механике», «Математический сборник», т. XVIII, 1896.

** Ср. довольно подробное, но частично не свободное от возражений изложение вопроса в книге «Вопросы тригонометрии и ее преподавания» Н. М. Бескина, Учпедгиз, 1950.

* В этой связи отметим явную недооценку Н. М. Бескиным (в цитируемой в предыдущей сноске книге) политехнического значения раздела тригонометрии, посвященного решению треугольников. Этот раздел практически нужен не только «ничтожному меньшинству учащихся — будущим геодезистам» (как склонен считать Н. М. Бескин), но и той огромной массе абитуриентов средней школы, которой предстоит или во втузах, или непосредственно на производстве иметь дело с сильно «тригонометризированной» механикой (теоретической и технической). С другой стороны, весьма искусственны попытки Н. М. Бескина приписать решению треугольников какое-то особое философское значение, именно ради которого, по его мнению, этот раздел и следует изучать в школе. По Н. М. Бескину, без изучения задачи тригонометрического решения треугольников «получится пробел в мировоззрении, так как не будет известен следующий фундаментальный научный факт — все, что вполне определено, может быть вычислено». Прими мы тезис, провозглашенный Н. М. Бескиным, буквально — во всем его неопределенном объеме, нам пришлось бы заподозрить его автора в склонностях к философскому пифагоризму. Если же понимать мысль Н. М. Бескина в соответственно ограниченном смысле, то все же остается совершенно неясным, почему именно решение треугольников, а не какая-либо другая часть школьного курса математики должна являться адэкватной иллюстрацией рассматриваемого факта.

вспомним, что в технике до сих пор используется почти исключительно евклидова геометрия, и притом преимущественно в ее «тригонометрическом виде».

Впрочем, в качестве наиболее решающего довода, заставляющего «волей-неволей» оставаться в школьном преподавании при геометрическом определении, выдвигается обычно то соображение, что аналитические определения тригонометрических функций уже потому не пригодны в школьной практике, что в их основе лежат специальные понятия высшей математики (ряды, дифференциальные уравнения и т. п.), не известные, конечно, учащемуся средней школы.

Будь этот довод действительно неотразим, вопрос о введении в школьный курс тригонометрии понятия об аналитическом способе определения тригонометрических функций потерял бы под собой всякую почву.

В действительности, однако, дело обстоит иначе, поскольку для тригонометрических функций существуют также более элементарные аналитические способы определения, в изложении которых нет необходимости привлекать средства высшей математики.

Познакомить читателей журнала с идеей одного из таких способов и составляет задачу дальнейшего содержания этой статьи.

Исходя из всего вышесказанного, мы отнюдь не предлагаем, конечно, излагаемый ниже способ в качестве замены обычного геометрического определения. Но мы полагаем, что изучение идеи этого способа на занятиях математического кружка десятиклассников может иметь большое значение для развития у учащихся правильных представлений о природе тригонометрических функций. Некоторое понятие об этом способе могло бы также быть дано и всем учащимся при повторительных занятиях по курсу тригонометрии.

2. Говоря об аналитических определениях тригонометрических функций, будет уместно указать на то, что инициатива их введения принадлежит Н. И. Лобачевскому. В своем сочинении «Алгебра или вычисление конечных» (1834) великий русский геометр определяет функции синус и косинус чисто аналитически, полагая

cos x — L, sin X = M,

где L и M суть коэффициенты действительной и мнимой части eîx, т. е.

eix = L+ML

(Функция е'1Х определяется при этом предварительно с помощью степенного ряда.)

Нужно думать, что к аналитическому определению тригонометрических функций Н. И. Лобачевский пришел в связи с исследованиями по созданной им неевклидовой геометрии, в которой тригонометрические функции сохраняют роль важного аналитического орудия, не имея, однако, там столь же простого геометрического истолкования, как в евклидовой планиметрии.

3. В основе излагаемой ниже теории лежит идея введения специальных (конкретных) типов функций как решений функциональных уравнений простейшего вида. Прием этот особенно просто реализуется применительно к «функциям элементарной алгебры», таким, например, как степенная или показательная: так, показательная функция / (х) = ах может быть определена как функция, удовлетворяющая функциональному уравнению:

/(*+*)=/(*)•/(у).

рассматриваемому в классе, например непрерывных функций, и подчиняемому какому-либо дополнительному условию, обеспечивающему единственность его решения (скажем, условию /(1)~а)*. Такого рода функциональные уравнения, выражающие характеристическое свойство соответствующих функций, называют функциональными характеристиками последних.

Заметим, что при аксиоматическом построении анализа (и, в частности, учения об элементарных функциях) существование решения исходного функционального уравнения постулируется и задачей теории является доказательство (при соответствующих условиях) единственности этого решения и исследование его свойств. Последовательное проведение аксиоматической точки зрения потребовало бы построении полной аксиоматики учения о функциях, что вывело бы за рамки настоящей статьи. Мы ограничим поэтому здесь нашу задачу тем, что, исходя из, вначале гипотетически принимаемого**, аналитического определения одной из тригонометрических функций, установим затем его теоретическую эквивалентность с обычным геометрическим определением, — тем самым будет в конечном счете оправдана законность исходного аналитического определения.

4. Следуя намеченному пути, введем функцию «аналитический косинус» посредством нижеследующего определения:

Непрерывную функцию f (х), определенную на всей действительной оси, мы назовем «аналитическим косинусом^, если:

* Ср. § 92 «Характеристическое свойство показательной функции» в «Специальном курсе элементарной алгебры» С. И. Новоселова, «Советская наука», 1951.

** Т. е. без предрешения вопроса о фактическом существовании решения, полагаемого в основу функционального уравнения.

1) она удовлетворяет функциональному уравнению:

f(x+y)+f(x-y) = V(*)f(y) (1) при любых числовых значениях х и у\

2) существует наименьший положительный корень ^обозначим его через -2-) уравнения /(л;)=0, так что

(2) (3) (4)

В формулировках всех нижеследующих предложений f(x) будет обозначать определенную таким образом функцию; когда же нужно будет подчеркнуть зависимость этой функции от величины константы с, мы будем обозначать ее / (л:) или с еще большей точностью cos,, х.

Теорема 1. Имеем:

/(0) = 1. (5)

Для доказательства полагаем в (1) х = у = 0: /(0)+/(0)=2/*(0),

откуда и следует (5), если принять во внимание, что /(0)ф0 в силу (4).

Теорема 2. Функция f (х) — четная:

/(*)=/(-*). (6)

Полагая в (1) х=0, находим:

/(У)+/(->) = 2/(0)/(у), откуда в силу (5):

f(-y) = f(y).

Теорема 3. Имеет место «формула приведения»:

f(c + x) = -f(x). (7)

Для доказательства к сумме

применяем равенство (1):

в силу (2), откуда и вытекает утверждение теоремы.

Следствие. Из (7), полагая там л; = 0, получаем:

/(с) = -/(0) = -1. (8)

Теорема 4. / (х) — функция периодическая, имеющая число 2 с своим периодом:

/(2с+ *)=/(*). (9)

Заменяя в (7) х на х+с, имеем:

/(2с+*)=-/(с+*).

Сопоставляя последнее равенство с формулой (7), находим (9). Следствие:

f(2c)=\. (10)

(Полагаем х = 0 в (9).)

Замечание к теореме 4. Можно убедиться, что 2с будет наименьшим положительным периодом/(лг). Действительно, пусть 2/<2с и 2/ —тоже положительный период / (х). Тогда, заметив, что

/(2/)=/(2/ + 2с)=/(2с)=1,

положим в (1) х~у = /:

/(20+/(0)=2/2(/),

откуда

/»(!)=1,

так что

/(/)==*= 1.

Рассмотрим отдельно каждую из возможностей. Пусть /(/) = 1. Сопоставляя это с (8), имеем:

/(0+/(0=0-

Преобразуя сумму в левой части с помощью уравнения (1), найдем:

Замечая, что в силу (7) и (6)

перепишем последнее равенство так:

Вследствие того, что в наших предположениях

последний результат показывает, что -д- не будет наименьшим положительным корнем уравнения f (х) = 0, что находится в противоречии с условием (3).

Остается рассмотреть вторую возможность: /(/)=— 1. Полагая в (1) х=у = -^-, в этом случае находим:

так что / у ) = 0, что снова противоречит условию (3).

Теорема 5. Значения функции f (х) по абсолютной величине не превосходят единицы:

i/(*)i<i. (11)

Рассуждая «от противного», допустим, что при некотором х — а

1/(л)1>1-

Рассмотрим при сделанном предположении следующее выражение:

Таким образом, должно выполняться неравенство:

С другой стороны,

так что

Полученное противоречие доказывает теорему.

Полезно отметить то обстоятельство, что при выводе всех установленных выше теорем нам не приходилось прибегать к свойству непрерывности, обладания которым мы потребовали от функции / (х) согласно определению: действительно, наши выводы до сих пор носили характер «алгебраический» (в расширенном понимании этого слова). Напротив, при доказательстве нижеследующей теоремы, непосредственным следствием которой будет заключение о тождественности функции «аналитический косинус» с соответствующей функцией геометрической тригонометрии, непрерывность функций явится важнейшим элементом рассуждения*.

Теорема 6. Не существует двух различных непрерывных функций fv(x) и /2 (х), удовлетворяющих функциональному уравнению (1) и условиям (2) —(4).

Допустим противное: пусть существуют две функции д (х) и /2 (л:), отличные друг от друга, непрерывные и удовлетворяющие условиям (1) — (4), а следовательно, обладающие также совокупностью свойств, сформулированных в теоремах 1—5. Хотя, по условию, функции fx (х) и /2 (х) — различны, т. е. /г (х) Ф/2 (х)9 заведомо существуют значения аргумента, при которых значения этих функций совпадают: такими значениями будут, например, х = 0, -у, с, 2с (в силу формул (2), (5), (8), (10)).

Покажем, что из совпадения значений функций ft (х) и /2 (х) при каком-либо х = аф0 должно необходимо следовать совпадение их и при всех остальных значениях аргумента.

Начнем с того, что, положив в (1) f=fi (I = 1,2), х=у=-а и воспользовавшись предположенным равенством fx (а) = /2 (а), напишем:

fx (2а) = 2/? (а) - 1 = 2/| (а) - 1 = /, (2а).

Допустив, что

Л (**) = Л (*<*), при 1 < k < п, (12)

находим:

откуда

при допущении (12). Отсюда в силу аксиомы математической индукции следует справедливость формулы

/г (и*) =/,(««) (13)

при всяком натуральном значении п.

С другой стороны, имеем после подстановки

Аналогично:

Сравнивая оба равенства при условии, что Л(а) =/2(а)> находим:

Считая сначала 0<а<с, так что fi\j2j и д j—оба заведомо одинаковых знаков

(положительны), из последнего неравенства находим:

Отсюда, в свою очередь, заключаем, что

и, очевидно, вообще

(14)

Нетрудно видеть* что формула (14) справедлива и для произвольного значения а при единственном условии, что

Л (*) =/»(«)•

Комбинируя формулы (13) и (14), мы видим теперь, что равенство

Д(а)=/2(а)

влечет за собой равенство

(15)

при всевозможных целых значениях тип.

Пусть теперь х — произвольное действительное число, а — какое-либо отличное от нуля решение уравнения Л (#) =/з (*)• Разложим — в бесконечную двоичную дробь** и составим последовательность

(16)

ее систематических (двоичных) приближенных значений. Последовательность (16) будет сходиться к пределу, равному — :

В силу соотношения (15):

(17)

Как известно, для непрерывной функций f (х) всегда существует Пт/(лг), причем

Поэтому имеем:

Совершая предельный переход (при k —» оо) в равенстве (17), находим поэтому

Л (*)=Л (*)>

так что функции fl (х) и /2 (х) должны быть тождественны.

Следствие. При с = тс функция /(х) тождественна с «геометрическим» косину сом:

cos* X = cos X. (18)

Действительно, как вытекает непосредственно из формул сложения для «обычного» косинуса, последний удовлетворяет функциональному уравнению (1) и при указанном условии обладает также свойствами (2) — (4).

Заметим далее, что в общем случае функция fc (х) тождественна с cos х^ .

5. Построив элементы аналитической теории функции косинус, мы можем теперь без труда ввести аналитически остальные тригонометрические функции, сводя их к косинусу посредством, скажем, следующих определений:

(19)

После этого вывод основных соотношений между тригонометрическими функциями проходит чисто аналитически без затруднений. Например:

Нужно сделать еще следующее замечание. Функция cos л: была «выделена» нами из класса функция coscx как функция cos**. В этом определении участвует, таким образом, число тт. Для того, чтобы вся теория тригонометрических функций носила последовательно аналитический характер, необходимо располагать аналитическим определением числа тс. Не вдаваясь в подробности, укажем только, что такое определение — и притом осуществимое достаточно элементарными средствами — действительно возможно.

Отметим, наконец, что принятый нами в этой статье способ является, конечно, не единственно возможным путем элементарно-аналитического определения рассматриваемого класса функций. С удобством можно, например, брать в качестве исходной — вместо косинуса — функцию тангенс, вводя ее как решение функционального уравнения:

* Предлагаем это показать самому читателю!

** Т. е. в систематическую дробь при основании системы, равном числу 2.

(при соответствующих дополнительных условиях); функции sin л: и cos л; можно определить при этом с помощью формул:

Полезным упражнением для читателя может явиться самостоятельная «разведка» этого пути построения аналитического учения о тригонометрических функциях.

6. Функциональное уравнение (1), положенное в основу изложенной здесь аналитической теории, имеет интересное значение для механики. Знакомство с этим вопросом может психологически облегчить начинающему понимание «происхождения» этой теории.

Как известно, первой после геометрии научной областью, для теоретической разработки которой нашел успешное применение аксиоматический метод, была статика — учение о равновесии сил. Первые аксиомы статики сформулировал еще Архимед, положивший их в основу теоретического вывода закона рычага.

Аксиом Архимеда, однако, было недостаточно для решения вопросов, относящихся к сложению сил различного направления. Базу для решения таких вопросов доставило известное правило параллелограма сил, эмпирическое открытие которого связано с именем Леонардо да Винчи.

В учебниках механики правило параллелограма обычно и сейчас принимается в качестве одной из аксиом статики. По сравнению с другими аксиомами это правило, однако, резко выделяется сложностью своего содержания. Эта сложность издавна побуждала искать теоретического доказательства правила параллелограма, т. е. вывода его из других более простых аксиом статики. Первый такой вывод был дан Даниилом Бернулли, членом Петербургской Академии наук, опубликовавшим его в русском научном журнале в 1728 г. В XVIII—XIX столетиях многие выдающиеся математики продолжали уделять внимание этому вопросу, стремясь упростить или улучшить требуемый вывод. Интересные доказательства правила были найдены, в частности, русскими математиками М. В. Остроградским, П. Л. Чебышевым, Имшенецким и др.

Примыкая к идее Д. Бернулли, мы покажем теперь, как закон параллелограма сил может быть выведен из аксиом статики на основании результатов п. 4. При этом обычную систему аксиом статики нужно только дополнить еще следующей (довольно «очевидной») аксиомой:

Две равные по величине силы, приложенные в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и направленную по биссектрисе угла, образованного данными силами. При этом, если Р — величина каждой из данных сил, R — величина равнодействующей, а 2х — величина угла между составляющими силами, то

/? = 2Р./(х), (20)

где f (х) — некоторая непрерывная функция своего аргумента*.

Для простоты мы ограничился выводом правила параллелограма для случая, когда две данные силы, приложенные к одной точке (как в только что высказанной аксиоме), равны между собой по величине.

Черт. 1

Рассмотрим (черт. 1) конфигурацию из четырех равных по величине сил ОР1У ОР2, ОЯ3, ОРЛ\ОРх\=\ОР2\=\ОРг\ = \ОР,\ = Р), приложенных в одной точке О и составляющих между собой углы, указанные на чертеже:

Складывая силы ОРх и ОР2 с одной стороны, и силы ОР3 и ОР4 — с другой, мы приведем эту систему четырех сил к двум силам: OQx и OQ2, направленным, соответственно, по биссек-

* Множитель 2 в формуле (20) введен для упрощения в последующих выкладках. Содержание вводимой аксиомы можно было бы, впрочем, несколько ослабить, на чем мы здесь не можем останавливаться.

трисам углов Р\ОР2 и Р3ОР4. При этом в силу (20)

Складывая затем получившиеся силы OQx и

OQ2, получаем силу OR, направленную, очевидно, по биссектрисе угла Р2ОР3, причем

Проделаем теперь сложение данных четырех сил в ином порядке. Складывая ОРх и ОР4, получим силу ORu идущую по биссектрисе угла Р2ОР3, причем

Складывая ОР2 и ОЯ3, получим силу 0/?2, также идущую по биссектрисе угла Р2ОР3, причем

Так как силы ORx и OR2 действуют вдоль одной прямой, то для их равнодействующей OR имеем:

(22)

Приравнивая выражения (21) и (22) для

получаем после сокращения на 2Р:

т. е. знакомое нам функциональное уравнение (1).

Условия (2) — (4), налагаемые на функцию «аналитический косинус», как легко проверит читатель самостоятельно, соблюдаются (в силу других аксиом статики) для отыскиваемой нами функции / (л:), если взять с = гс.

Используя поэтому следствие из теоремы 6, мы заключаем, что /(a;) = cosa:. Таким образом, формула (20), выражающая закон сложения двух равных по величине сил, составляющих между собой угол 2х, принимает вид:

R = 2Pcosx. (23)

Формула же (23), как легко установит читатель из элементарных соображений, показывает, что четырехугольник, образованный двумя приложенными в одной точке силами (равными в данном случае Р) и отрезками, соединяющими концы этих сил с концом их равнодействующей, будет ромбом — частным видом параллелограма*.

Тем самым установлен закон параллелограма сил для рассматриваемого нами простейшего случая равных по величине сил.

* Такое геометрическое истолкование аналитической формулы (23) справедливо, конечно, лишь в рамках евклидовой геометрии.

МЕТОДИКА

ПРОВЕРКА РЕШЕНИЯ, КАК НЕОБХОДИМЫЙ ЭЛЕМЕНТ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

П. М. ЭРДНИЕВ (с. Нечунаево Алтайский край)

Решение математического упражнения нередко заканчивают получением ответа, тогда как оно, как правило, должно завершаться проверкой. В процессе проверки мы убеждаемся в том, что ответ удовлетворяет всем исходным условиям, либо приходим к выводу о неверности ответа.

Проверка результата требует настойчивости и волевых усилий. Эти усилия окупаются сторицей: всем знаком эмоциональный подъем, который охватывает человека, убедившегося в своей правоте.

Значительное количество ошибок могло бы быть найдено и предупреждено самими учащимися (до оценки их работ учителем), если бы они умели контролировать свои результаты, знали бы приемы проверки решения.

Проверка ответа означает в некоторой степени исследование результата. Элементарные навыки исследования решения полезно культивировать, начиная с младших классов.

Во многих случаях (учащиеся и учителя!) сводят проверку лишь к повторному решению упражнения по прежнему плану, то-есть к повторению вычислений. Такая «проверка», разумеется, тоже должна практиковаться. Но основной упор должен быть сделан на смысловой проверке соответствия ответа всем поставленным условиям, ибо только такая проверка заключает в себе как проверку логического плана решения (последовательности вопросов), так и проверку результатов вычислений.

При обучении арифметике в начальной школе проверка четырех арифметических действий и проверка ответов задач находит широкое и продуктивное применение. Однако в V и VI классах проверка решения встречается очень редко; в этих классах в лучшем случае проверяются примеры на четыре действия; решения задач почти никогда не подвергаются проверке.

В VII классе проверка ответов задач, решаемых алгебраическим способом, встречается уже чаще; здесь как бы сам метод решения — составление уравнений — вынуждает вводить завершающий этап решения — проверку.

В действующих учебниках и задачниках почти не затрагивается вопрос о необходимости проверки (речь идет об учебниках Киселева и задачнике Березанской).

В задачнике по алгебре Ларичева имеются упражнения с требованием проверки, но эта установка не выдержана в главах об уравнениях и неравенствах.

Ниже следует попытка автора систематизировать и детализировать способы проверки соответственно программному материалу по математике для V—VII классов.

АРИФМЕТИКА

Будем исходить из следующего положения.

Решить задачу — это значит найти те значения искомых величин, которые удовлетворяют ее условию.

Учащимся должно быть ясно, что нельзя удовлетворяться получением первоначального результата, что необходимо еще установить его соответствие условию задачи. Только такой подход к делу может содействовать правильной оценке метода проверки.

I. Проверка решения задач

1. Проверка решения простых задач Прежде всего необходимо научить учащихся проверке простых задач, т. е. задач в одно действие.

Простая задача проверяется составлением и решением обратной задачи и притом двумя способами.

Пример 1. Первая бригада вспахала 300 га, вторая 230 га. Сколько га вспахано обеими бригадами?

Ответ: 550 га

Задачи для проверки.

1а. Две бригады вспахали вместе 550 га, из которых первой бригадой вспахано 300 га. Сколько гектаров вспахала вторая бригада?

16. Две бригады вспахали вместе 550 га, причем вторая бригада вспахала 250 га. Сколько гектаров вспахано первой бригадой?

Пример 2. Поезд прошел 150км за 5 часов. Какова скорость поезда?

Ответ: скорость поезда 30 км в час.

Задачи для проверки.

2а. Сколько километров пройдено поездом, если он был в пути 5 часов и скорость его равна 30 км в час?

26. Сколько времени поезд был в пути, если он проходил по 30 км в час, а прошел расстояние в 150 км?

Пример 3. На складе было 250 m зерна. Из этого количества вывезли на элеватор 60%. Сколько тонн зерна вывезли на элеватор?

Ответ: 150 т.

Задачи для проверки.

За. На складе было 250 m зерна, из которых отправили на элеватор 150 т. Сколько процентов зерна отправили на элеватор?

36. Со склада вывезли на элеватор 150 m зерна, что составило 60% всего зерна, находившегося на элеваторе первоначально. Сколько было зерна на элеваторе?

Пример 4. Делимое увеличено в 6 раз, а делитель уменьшен в 2 раза. Как изменится от этого частное?

Ответ: увеличится в 12 раз.

Задачи для проверки.

4а. Как надо изменить делимое, чтобы частное увеличилось в 12 раз, если известно, что делитель при этом уменьшен в 2 раза?

4б. Как нужно изменить делитель для увеличения частного в 12 раз, если делимое увеличено в 6 раз?

Схема составления обратных задач очевидна: исключая одно из чисел условия, делаем его искомым, ответ же исходной задачи вводим в обратную задачу в качестве известного. Совпадение ответа обратной задачи с исключенным числом означает завершение проверки решения исходной задачи.

При проверке учащиеся должны ожидать в результате определенное (именно исключенное) число. Например, приступая к решению задачи 36, ученик знает, что для подтверждения правильности решения задачи 3 в ответе задачи 36 должно получиться 250 т.

Приведенные выше упражнения содействуют осмысленному пониманию элементарных зависимостей между величинами, встречающимися в задачах: между ценой, стоимостью и количеством товара; между скоростью, временем и расстоянием; между делимым, делителем и частным и т. д.

Такого рода упражнения должны практиковаться, начиная с младших классов; тренировка в них необходима и для учащихся V—VII классов.

Формулировки обратных задач нужно разнообразить. Например, к примеру 2 допустимы следующие формулировки обратных задач:

2в. Что можно узнать, если дана скорость поезда в 30 км в час и время его движения —5 часов?

2г. Составьте задачу, обратную решенной, в которой требуется определить путь или требуется найти время движения поезда?

2д. Составьте обратную задачу для проверки пройденного расстояния (150 км); для проверки времени движения поезда (5 час.) и т. д.

После тренировки учащихся в проверке основных типов простых задач можно перейти к проверке решения составных задач.

2. Проверка решения составных задач

Проверка решения составной задачи производится одним из следующих двух способов.

Способ А. Составляют задачу, обратную к данной, вводя в ее условие полученный ответ и исключая из условия одно из чисел, становящееся искомым.

Проверка состоит в решении обратной задачи; получение исключенного числа в качестве ответа обратной задачи дает уверенность в правильности решения исходной задачи.

Способ Б. Убеждаются в соответствии полученного ответа всем условиям задачи.

Разберем проверку следующей задачи:

В двух ящиках 126 кг чая. Если из первого переложить во второй 4 кг, то в первом ящике чая будет в 2 раза больше, чем во втором* Сколько чая было в каждом ящике?

Ответ: В первом ящике было 88 кг, а во втором — 38 кг.

Проверка способом А.

Можно составить всего три обратные задачи:

1. Искомое — 126 кг.

В одном ящике содержится 88 кг чая, в другом — 38 кг. Сколько чая было в двух ящиках вместе?

2. Искомое — 4 кг.

В одном ящике 88 кг чая, в другом—38 кг. Сколько килограммов чая надо переложить из первого ящика во второй, чтобы в первом осталось чая в 2 раза больше, чем во втором?

3. Для проверки числа 2 составляем задачу: В одном ящике 88 кг чая, в другом—38 кг.

Из первого ящика переложили во второй 4 кг. Найти, во сколько раз в первом ящике чая осталось больше, чем во втором.

Решая, например, вторую обратную задачу, получаем:

Надо переложить из первого во второй 4 кг, что совпадает с исключенным числом.

Проверка способом Б.

Читаем условие задачи сначала полностью, потом — по отдельным смысловым частям; по каждой части определяем число, упоминаемое в ней.

Итак, читаем: «В двух ящиках 126 кг чая... »

Вопрос: А так ли получится, если учесть найденный ответ? Мы получили в ответе, что в первом ящике было 88 кг, во втором было 38 кг. Чтобы узнать, сколько чая в двух ящиках вместе, надо сложить эти количества: 88 + 38 = 126 (кг).

Итак, решение пока удовлетворяет первому требованию условия задачи.

Дальше рассуждаем так: «Если из первого ящика переложить во второй 4 кг, то в первом ящике останется

а во втором окажется

Далее: «В первом ящике будет тогда чая в 2 раза больше, чем во втором». Проверим это утверждение:

В нервом ящике чая осталось и в самом деле в 2 раза больше, чем во втором.

Вывод. Ответ не противоречит ни одному из положений условия задачи; задача решена правильно.

Проверку решения задачи целесообразно проводить устно. К письменной или полуписьменной проверке надо прибегать в случае многозначных или дробных чисел, действия с которыми в уме произвести трудно, а также в начале изучения данного типа задач.

При недостаточности времени можно даже ограничиться коллективным составлением плана проверки (способ Б) или обратной задачи (способ А).

Поскольку проверка решения является, вообще говоря, решением некоторой задачи, то формы записи проверки должны быть такими же, что и для решения задач:

1°. Запись без текста (отдельными действиями).

2°. Запись без текста (с использованием формул).

3°. Запись с вопросами впереди действий. 1. Сколько килограммов чая было в двух ящиках?

2. Сколько чая осталось в первом ящике, когда из него взяли 4лгг?

4°. Запись с предшествующими пояснениями.

1. В двух ящиках было 88 + 38 = 126 (кг) чая.

2. В первом ящике осталось 88 — 4 — = 84 (кг) чая и т. д.

5°. Запись связным текстом.

Записи 1°, 2° относятся к полуписьменной проверке, они должны практиковаться чаще прочих.

Для проверки способом Б лучше всего подходит запись 4°, так как в ней пояснения действий по смыслу и грамматической конструкции совпадают с предложениями условия задачи.

Замечание. Очень часто математическое упражнение допускает решение двумя и даже больше способами. В таких случаях нельзя ограничиваться одним сравнением этих способов с точки зрения «который лучше, изящнее, быстрее приводит к цели?», но и обязательно надо подчеркивать, что совпадение ответов к одной задаче, добытых существенно разными методами, и есть доказательство правильности ответа, его полная проверка. Развивающее значение подобной проверки неоспоримо и общеизвестно.

3. Полная и неполная проверка решения

При проверке решения мы можем ограничиться доказательством непротиворечивости ответа одному или нескольким (но не всем) данным задачи. Это есть неполная проверка, т. е. контроль соблюдения некоторых необходимых условий правильности ответа.

Полной, исчерпывающей проверка будет тогда, когда устанавливается соответствие ответа всем данным задачи.

В приведенном выше примере проверка посредством первой обратной задачи есть неполная проверка (проверяется одно данное — 126 кг).

Проверка способом Б есть всегда полная проверка. Способ Б можно рекомендовать как основной, обеспечивающий полноту проверки.

Возникает вопрос о целесообразности полной или неполной проверки в конкретных случаях.

Рассмотрим следующую задачу (№ 1840 сборника Березанской):

Число 850 разделить на такие три части, чтобы первая была в 3, а вторая в 6 раз больше третьей.

Решение.

Проверка.

В подобных случаях неполная проверка достаточна: зависимости 1:111 = 3 и 11:111 = 6, которые следовало бы проверить согласно схеме полной проверки, слишком очевидны.

В практической работе полную и неполную проверку следует перемежать.

Выработке навыков постоянного самоконтроля помогает особый вид контроля — прием приближенной оценки ожидаемого результата. Приблизительное установление возможных пределов ожидаемого ответа предупреждает недочеты типа описок, пропуска цифр и пр.

Пример. Бригада должна по плану вспахать 600 га. Фактически выполнено 120% плана. Сколько гектаров вспахано бригадой?

Пусть ученик решил задачу так:

(правило применено верно; зачеркнут лишний нуль в числителе).

Следующее рассуждение поможет ученику установить ошибочность результата: 600 га — весь план бригады, т. е. 100%.

Но бригадой выполнено 120%, т. е. больше 100%. Выходит, что бригада перевыполнила план. Ответ, во всяком случае, должен быть больше 600 га. Результат вычисления — неверный. Такая «прикидка в уме» уместна при решении многих простых задач, особенно задач на нахождение процентов или дроби от числа.

Замечание. В дальнейшем изложении понятия «неполная проверка» и «контроль» употребляются нами как равнозначные.

4. О значении проверки решения задач

Перейдем к выяснению конкретного значения проверки.

Пример 1. Брат и сестра заработали 480 трудодней. Брат получил 988 кг зерна, а сестра 832 кг. Сколько трудодней имел брат и сколько сестра?

Пусть задача решена так:

1) 988 + 832=1820 (кг)

2) 1820:480 = 4 (кг)

3) 988:4 = 272 (трудодня) имел брат

4) 832:4 = 28 (трудодней) имела сестра.

Проверка.

272 4- 28 = 300 (трудодней) заработано братом и сестрой, а по условию должно быть 480 (трудодней). Ошибка имеется в последнем действии: вместо 208 в частном получено 28.

Такого рода ошибки часто трудно уловить; обычный беглый повторный просмотр не всегда обнаруживает ошибку.

Проверка помогает обнаруживать любые ошибки, в том числе и логического порядка, несостоятельность плана решения.

Пример 2. В правом и левом карманах было всего 120 руб., причем в правом было денег в 4 раза больше, чем в левом. Сколько денег в каждом кармане?

Иногда ученики решают эту задачу так:

1) 120:4 = 30 (руб.) было в левом кармане

2) 120—30 = 90 (руб.) было в правом кармане.

Проверка.

1) 30 + 90 = 120 (руб.) было в двух карманах.

2) 90:30 = 3. В правом кармане было денег в 3 раза меньше, чем в левом, а не в 4 раза, как должно быть согласно условию.

В данном случае контроль первым действием не достигает цели. Ошибка обнаружена полной проверкой.

Проверка имеет значение как средство подготовки учащихся к решению задач составлением уравнений. При проверке решения мы производим логические построения, аналогичные тем, которые применяются при составлении уравнения. Разница состоит лишь в том, что в первом случае мы используем найденный ответ, а во втором — он фигурирует в виде неизвестного, обозначенного буквой.

Например, решая рассмотренную выше задачу алгебраическим способом, мы имели бы:

В двух ящиках 126 кг чая. Пусть х кг чая было в первом ящике, а во втором у кг. В двух ящиках было всего ^ — ^ = 126 (кг) чая. Если из первого ящика переложить во второй 4 кг, то в первом останется (х— 4) кг, а во втором окажется (.y+4) кг.

В первом ящике будет тогда в 2 раза больше чая, чем во втором, следовательно:

Органическая связь между проверкой и алгебраическим способом решения задач очевидна.

5. В каких случаях проверка необходима?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим следующие примеры.

Задача (№ 1107 из сборника Березанской).

У двух братьев 48 орехов; числа орехов, имеющихся у одного брата, равны -v- числа орехов, имеющихся у другого брата. Сколько орехов у каждого брата?

Ответ: у первого — 18 орехов, у второго— 30 орехов.

Интуиция подсказывает, что самое интересное в фабуле задачи заключается не столько в соотношении 18+30 = 48, сколько в равенстве:

Последнее равенство появляется при проверке, поэтому без нее процесс решения не был бы цельным. В таких задачах проверка решения не только желательна, но даже обязательна.

Рассмотрим другую задачу (№ 2079) того же сборника.

Гектар земли дает 30 и, пшеницы. Выход муки при размоле пшеницы составляет 90%. При выпечке хлеба получается припек в 40% от веса муки. Сколько хлеба получится из пшеницы, собранной с 10 га земли?

Ответ: 378 кг.

Задача не типовая, «обычная арифметическая».

Составление и решение обратной задачи требуют намного больше времени, чем решение исходной задачи. Простой просмотр решения, его повторение быстрее приводит к цели, чем проверка по условию.

Нецелесообразность проверки по условию подобных задач очевидна.

Для решения поставленного выше вопроса (хотя бы ориентировочно) воспользуемся классификацией арифметических задач И. И. Александрова. Разделим задачи, изученные в арифметике, на две группы:

I. Задачи, в которых прямо или косвенно указаны действия, какие надо совершить с данными числами.

Эти задачи можно характеризовать уравнением: x=f(a, b, с,. ,.,т), где X—искомый ответ, а,Ъ,. . . —данные величины.

II. Задачи, в которых над неизвестным числом совершен ряд определенных действий, результат которых известен.

Эти задачи можно характеризовать уравнением:

К последней группе относятся, по принятой терминологии, почти все типовые задачи.

На основании практических наблюдений мы пришли к следующему выводу:

1. Проверка (по условию !) нецелесообразна для задач I группы. Определяющее уравнение:

x = f(a, b,. . .,т)

для этой группы задач говорит о сравнительной простоте решения задач. Составление обратных к ним задач, их решение требует много времени, неоправданных усилий.

2. Проверка желательна для большинства задач II группы. Заметим, что фабула задач II группы обычно несколько искусственна, арифметическое решение основано на специальных приемах; наоборот, конструирование обратных задач не представляет особого труда, проверка решения по условию намного легче решения исходной задачи.

В нашей практике мы применяем проверку решения задач следующих типов:

1. Нахождение дроби от числа и числа по величине дроби.

2. Задачи на проценты.

3. Нахождение чисел по сумме и отношению, по разности и отношению, по сумме и разности.

4. Нахождение величин способом замены и уравниванием данных.

5. Задачи на пропорциональное деление.

6. Задачи на зависимость между компонентами действий.

6. Проверка решения взаимнообратных задач и примеров

В практике обучения математике недостаточно подчеркиваются связующие моменты между некоторыми типами задач, которые представляют собой взаимнообратные задачи, но согласно программе изучаются хронологически раздельно.

Например, после раздельного во времени изучения задач на нахождение дроби от числа и числа по величине дроби следует сказать о тесной связи этих двух типов задач, о том, что результат решения одной из них всегда можно проверить составлением и решением обратной задачи.

Пусть решается задача:

В амбаре было 42 m зерна. Найти, сколько зерна было отправлено на элеватор, если известно, что отправили на элеватор у всего зерна.

Решение.

Задача нахождения дроби от числа решается умножением числа на дробь.

Для проверки решения учащиеся с помощью учителя составляют обратную задачу:

Найти, сколько было зерна первоначально в амбаре, если из него отправили на элеватор 12 т, что составляет у всего зерна.

Решение.

что и должно быть.

Обратная задача — нахождение числа но величине дроби — решается обратным действием — делением данного числа на дробь.

Подобное параллельное рассмотрение взаимнообратных задач учит анализировать, сравнивать, находить сходство и различие, содействует прочному закреплению материала.

Такой комплексный подход возможен и целесообразен при изучении следующих тем:

1. Сложение и вычитание.

2. Деление и умножение.

3. Неправильная дробь и смешанное число.

4. Сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

5. Разложение на множители и раскрытие скобок.

6. Извлечение корня и возведение в степень.

7. Корень уравнения и грань для неизвестной величины в неравенстве и т. д.

II. Проверка арифметических действий

1. Четыре арифметические действия проверяется, как известно, по схемам: 1. Сложение:

Проверка.

2. Вычитание: Проверка.

3. Умножение: Проверка.

4. Деление: Проверка.

Деление с остатком:

Проверка.

Нет смысла приводить числовые примеры ввиду тривиальности вопроса.

Здесь существенно следующее:

Проверка арифметического действия производится двумя способами: действием того же названия и обратным к нему. Проверка первым способом возможна и до изучения обратного действия. Проверка вторым способом методически более ценна и должна применяться чаще.

Проверка четырех действий должна практиковаться (время от времени) и в старших классах: подтверждение истин, пройденных в начальной школе, в применении к новому числовому материалу (дроби, алгебраические выражения, действительные числа и т. д.) имеет важное значение.

Если для ученика V класса проверка примера

умножением (720-50 = 36 000) почти ничего не дает, то проверка деления

умножением

с ожиданием в произведении 76-g- поучительна!

2. При разложении числа на простые множители проверка устанавливает, что число в левой части равно числу в правой части. Бывает, хотя и редко, что учащиеся недоумевают, как можно доказать правильность разложения на множители. Однако с таких «тривиальных» вещей иногда укореняется формализм в знаниях.

Пример. 420 = 2-2.3.5.7.

Проверка.

3. При прохождении тем H.O.K, и Н.О.Д. редко указывают на возможность проверки найденных чисел (т. е. Н. О. К. и Н. О. Д.). Учащиеся иногда много тренируются в алгоритме нахождения Н. О. К. и Н. О. Д., но в то же время свойства этих чисел им не вполне ясны.

Пример. Найти Н. О. К., Н. О. Д. чисел 12, 18, 60.

Имеем:

Проверка Н. О. К.

Проверка H. О. Д.

В большинстве примеров учащимися демонстрируются «утвердительные» результаты. Однако утверждения не могут быть понятны без сравнения с отрицаниями. Следовательно, нельзя ограничиваться показом того, что число а является тем-то. Полезно иногда показывать, что число b не может им быть, так как оно «не выдерживает* проверки.

Так, например, число 4 не может быть Н. О. Д. чисел 12, 18, 60, так как:

но 18 на 4 не делится без остатка.

Замечание. Предлагаемая нами «проверка^ Н. О. К. и Н. О. Д. не является полной проверкой. Для исчерпывающей проверки необходимо установить, что частные от деления взаимно просты.

Мы полагаем, что в V классе достаточно ограничиться неполной проверкой.

4. Изучив две операции: обращение неправильной дроби в смешанное число и обращение смешанного числа в неправильную дробь, надо обратить внимание на взаимнообратность этих двух операций и возможность проверки одной из них другой, противоположной.

Пример. Имеем:

Проверка.

обратить в неправильную дробь (ожидаем:

5. Проверка сокращения дробей или приведения к наименьшему общему знаменателю, сопровождаемое ссылкой на основное свойство дроби, поможет учащимся прочно усвоить это свойство.

Пример 1. Сократить дробь Решение.

Проверка.

Пример 2. Привести к общему знаменателю дроби: Решение.

Н. О. К. чисел 120 и 75 есть число 600.

Проверка.

6. Пропорции можно проверять двумя способами: либо на основании определения, либо на основании основного свойства пропорции.

Пример. Проверить пропорцию:

Проверка. 1-й способ.

(величина левого отношения);

(правое отношение),

Значит, пропорция верна.

(произведение крайних членов),

(произведение средних членов),

Значит, пропорция верна.

АЛГЕБРА

I. Проверка тождественных преобразований

С первых шагов обучения алгебре проверка решения должна стать главным методом установления правильности и целесообразности того или иного алгебраического преобразования.

Распространенным недостатком изучения алгебры в VI классе (и частично в VII классе) все еще остается механическое, неосмысленное производство различных тождественных преобразований. Для преодоления этого недостатка надо научить учащихся видеть в алгебраическом выражении обычные числа, а в алгебраических операциях — действия над числами.

Последней цели способствует проверка правильности алгебраического преобразования подстановкой вместо букв некоторых их числовых значений.

Мы учим, например, что надо писать:

А между тем законный вопрос ученика: «Почему мы должны так поступать?» — не всегда получает убедительный ответ.

Вычислением численных значений должны сопровождаться в той или иной мере все алгебраические преобразования в VI и VII классах.

Например, для контроля правильности тождества 2 (по нашему списку) поступаем так:

Пусть а = —1; Ь — 2 (для краткости будем в дальнейшем символами Л. Ч. и П. Ч. обозначать левую и правую части равенства).

Значит, такое преобразование оправдано. Проверка правильности разложения на множители (тождество 5). Пусть:

Учащиеся должны «ожидать» в правой части число — 60. В самом деле:

Замечание. Следует указать учащимся, что подстановка численных значений букв исчерпывающей проверкой тождественных преобразований служить не может, что это всего лишь контроль. Тем не менее такие упражнения помогают учащимся видеть числа в буквенных выражениях, убеждают их в законности преобразований, выясняют смысл знака равенства.

При действиях с одночленами и многочленами, при изучении формул сокращенного умножения и деления, при разложении на множители, при изучении действий с алгебраическими дробями наряду с числовыми подстановками следует применять «обычную проверку» на основании зависимостей между компонентами действий.

Пример 1.

Проверка 1а.

Пример 2.

Проверка 2а.

Проверка 26.

Пример 3. Рассмотрим разложение на множители:

Проверка.

Разложение произведено правильно.

Пример 4. Произведено действие:

Проверка 4а.

Проверка 4б.

Мы полагаем, что вместо решения двух однотипных примеров на одно и то же действие иногда выгоднее обойтись решением одного примера, но с последующей его проверкой. В этом случае в смысле количества тренировочных упражнений мы ничего не теряем, но с психологической точки зрения получается выигрыш.

В самом деле, при проверке появляются элементы поисков, рассуждений, привлечения ранее изученного материала (повторение) и, наконец, главное — учащийся убеждается в обоснованности формальных операций.

II. Проверка решения уравнения

Внимание учащихся должно быть сосредоточено на том, что число, полученное в результате определенной цепи преобразований над уравнением, только тогда будет корнем уравнения, когда оно «выдерживает проверку», удовлетворяет исходному уравнению.

В начале уравнения должны обязательно решаться с проверкой.

Для проверки уравнения целесообразно придерживаться знакомой нам схемы вычисления значений Л. Ч. и П. Ч.

Пример. Решить уравнение:

Ответ: х=\. Проверка.

Значит, уравнение решено верно.

Запись проверки корня в форме цепи тождеств, которые получаются его подстановкой сразу в обе части исходного уравнения, нелогична.

Мы имеем в виду форму записи, приводимую в учебнике Киселева:

При этой записи для доказательства существования равенства между Л. Ч. и П. Ч. мы преждевременно пользуемся знаком равенства, принимая заключение за условие. В самом деле, мы можем написать знак равенства (или неравенства) лишь в конце цепи, когда известны значения Л. Ч. и П. Ч.

При решении задач алгебраическим способом проверка решения должна быть обязательной (особенно при выполнении проверочных работ на решение задач составлением уравнения).

Пример.

По плану цех завода должен изготовить за 26 рабочих дней определенное количество деталей. Улучшив технику производства, цех стал изготовлять ежедневно на 50 деталей больше, чем было намечено по плану, а потому уже за 24 дня работы цех не только выполнил плановое задание, но изготовил еще 200 деталей сверх плана. Сколько деталей изготовил цех за 24 рабочих дня?

Приводим решение ученика Ю.

(II) Цех должен изготовлять по х деталей в день.

(III) Тогда за 26 дней цех может выпустить 26 л: деталей. Но фактически цех перевыполнял дневную норму на 50 деталей, то-есть в день выпускалось х -[-50 деталей. За 24 рабочих дня было выпущено (л: + 50) 24 деталей.

(IV) По условию это количество деталей было больше планового на 200 штук, поэтому составляем уравнение: (х -(- 50) 24 = 26 х + 200.

(V) 24*-|-1200=26л:+200; 1000 = 2*; ;е = 500. 500 деталей в 1 день — таков был план цеха.

(VI) Ответ: (500 +50).24= 13 200 деталей изготовлено цехом за 24 рабочих дня.

(VII) Проверка. Цех завода должен был изготовить 500 26 = 13 000 деталей. Сверх плана изготовлено 5 • 50 • 24— 13 000=13 200 — 13 000 = = 200 деталей, что соответствует условию. Значит, задача решена правильно.

Надо отметить, что в VII пункте приведенной выше схемы решения мы подразумеваем проверку ответа задачи по ее условию, а не проверку корня уравнения. Дело в том, что, во-первых, корень уравнения не всегда совпадает с ответом на вопрос, во-вторых, уравнение может быть составлено неверно (IV пункт), а формально решено правильно (V пункт). Проверка корня подстановкой его в уравнение ошибки в решении задачи не обнаружит. Проверка же ответа по условию задачи установит наличие ошибки, где бы она ни была допущена.

Например, ученик Л. для той же задачи составил уравнение:

(распространенный дефект);

решив уравнение, он нашел л: = 700 и соответственно «ответ»:

Проверяя решение по условию, он получает: 26-700=18 200 деталей составлял план цеха, а фактически выпущено 18 000 деталей; выходит, цех не выполнил плана, что явно противоречит условию. Проверка помогла ему обнаружить неправильность результата.

Замечание. Приведенная здесь форма записи проверки решения в виде связного текста, по-нашему, является основной для седьмого класса. Допустимы и остальные формы записи проверки указанные в разделе арифметики.

III. Проверка решения неравенства

Схема проверки неравенства должна остаться такой же, как и для проверки уравнений. Сравниваются численные значения Л. Ч. и П. Ч. неравенства при значении неизвестного х — а, удовлетворяющем простейшему неравенству, получившемуся в результате решения данного неравенства.

При этом возможно одно из трех:

1) Л. Ч. и П. Ч. удовлетворяют исходному неравенству. В этом случае контроль подтверждает правильность решения неравенства.

2) Л. Ч. и П. Ч. удовлетворяют противоположному неравенству.

Неравенство решено неверно.

3) Л. Ч. =П. Ч. Неравенство решено неверно

Пример.

Значит, контроль подтверждает правильность решения.

Можно сравнить значения Л. Ч. и П. Ч. неравенства при значениях неизвестного, не удовлетворяющих окончательно полученному простейшему неравенству.

Следует иметь в виду, что эти способы полной проверкой не являются, а являются лишь контролем, подтверждающим правильность решения или указывающим на его ошибочность.

Вопрос о полной проверке неравенств выходит за рамки возможностей VI и VII классов.

IV. Проверка извлечения квадратного корня

Нередко учителя основное внимание учащихся концентрируют на алгоритме извлечения квадратного корня из числа (который к тому же подробно не обосновывается) и мало конкретизируют смысл самого определения корня.

С этой точки зрения полезно проверять приближенное извлечение корня, с определенной точностью (с избытком или с недостатком).

Например, требуется извлечь квадратные корни из 2 с точностью до 0,01 с избытком и с недостатком.

Ответ:

Проверка.

И окончательно:

Значит, приближенные корни найдены верно.

ГЕОМЕТРИЯ

Понимание первых теорем геометрии в VI классе бывает обычно неполным, уяснение точного смысла теоремы долго остается непосильным для учащихся, они не могут четко разбираться в условии и заключении, не говоря уже о сознательном усвоении логических доказательств.

Проверка в геометрии является хорошим средством конкретизации теорем, которое принесет несомненную пользу, особенно на первых порах обучения геометрии.

При проверке в геометрии приходится производить измерение отрезков и углов соответствующими инструментами.

Последнее немаловажно: навыки в пользовании простейшими чертежными инструментами заставляют желать лучшего.

1. Проверка (подтверждение) теорем

«Проверка» теоремы нами понимается так: после устного доказательства теоремы строим фигуру, удовлетворяющую требованиям условия теоремы; затем производим измерения соответствующих элементов этой фигуры; наконец, по результатам измерений проверяем, выполняется ли заключение теоремы.

Пример. Пусть доказана теорема: Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то против большего из углов, заключенных между равными сторонами, лежит большая сторона.

Учитель проводит после логического доказательства примерно следующую беседу:

— Произведем проверку этой теоремы. Начертите два треугольника: АБС и АХВХСХ, соблюдая условия теоремы. Данные в условии элементы измерьте и результаты измерений запишите.

Учтите, что у каждого из вас получатся разные пары треугольников, только проследите, чтобы АВ = АХВХ, АС=аАхСх; договоримся, чтобы все взяли ^ВАС, большим, чем /_В1А1С1.

О чем говорится в заключении теоремы?

— «...против большего из углов, заключенных между равными сторонами, лежит большая сторона».

— Значит, на какие углы надо обратить внимание?

— Надо измерить ^ВАС и ^тВ1АхСх.

— Какой из них больше по условию?

— ^ВАС>/_ВХАХСХ.

— Какие стороны нам нужно сравнить согласно заключению теоремы?

— Нам нужно сравнить длины ВС и ВХСХ.

— Допустим, мы измерили ВС и получили: ВС = 10 см. Может ли тогда, если теорема верна, ВХСХ равняться 10 см? быть больше 10 см? быть меньше 10 см?

Далее следует сопоставление результатов измерений.

Учитель заключает: У всех вас получен один и тот же результат: если чертеж построить точно, то всегда против большего угла в треугольниках с двумя соответственно равными сторонами лежит большая сторона. Значит, логическое доказательство подтверждается на примерах.

Замечание. Строго говоря, подобная « проверка» на одном примере является иллюстрацией, примером. Мы полагаем, что в младших классах можно использовать знакомый термин «проверка»; возможно и использование более точного термина «пример».

Примерно в таком же порядке проверяется решение некоторых задач на доказательство.

Пример. Задача № 19, § 3 задачника Рыбкина, ч. I:

Доказать, что в треугольнике каждая сторона меньше половины периметра.

После обычного доказательства можно произвести проверку.

Измеряем длины сторон; пусть, например, AB = 8 см, ВС = 6 см, АС = 4 (см).

Вычисляем половину периметра:

Выше мы привели пример беседы, проводимой после логического доказательства теоремы. Возможно проводить вводную беседу, предшествующую формулировке теоремы и ее доказательству.

Такой подход к формулировке геометрических предложений применим в той или иной вариации к изучению многих начальных теорем геометрии, как-то:

1) О свойствах равнобедренного треугольника.

2) О внешнем угле треугольника.

3) О соотношениях между сторонами и углами треугольника.

4) О треугольниках с двумя соответственно равными сторонами.

5) О сумме углов треугольника, многоугольника.

6) Об измерении углов дугами окружности.

II. Проверка решения задач на вычисление

Решение геометрических задач на вычисление проверяется аналогично тому, как проверяются решения задач в арифметике. Приведем один пример. Задача № 70, § 5 задачника Рыбкина, ч. I:

Средняя линия трапеции равна 8 дм и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми равна 2 дм. Определить основания трапеции.

Ответ: £С = 6 дм, AD=\0 дм (черт. 1).

Черт. 1

Проверка.

1. Найдем среднюю линию трапеции

2. В треугольнике ABD средняя линия

3. В треугольнике BDC средняя линия

4. MN — NK=5 — 3 = 2 (дм), что и должно быть по условию.

В данном случае мы применили способ Б проверки арифметической задачи. Разумеется, можно практиковать составление обратной задачи (способ А), например:

Большее основание трапеции равно 10 дм, а средняя линия 8 дм. Определить разность частей, на которые делится средняя линия диагональю трапеции.

III. Проверка решения задач на построение

Проверка решения задач на построение предшествует доказательству (а в простейших случаях заменяет его).

Уже на простейших задачах должно быть показано, что результаты построений могут и должны быть проверены.

Изучая темы о проведении перпендикуляра, о делении угла и отрезка пополам, не следует ограничиваться логическим доказательством; нужно еще показать, что в первом случае углы в самом деле равны 90е (измерить транспортиром или угольником), а во втором случае — убедиться измерением в равенстве половин угла; в третьем случае — показать циркулем равенство половинок отрезка и т. д.

Такой подход обеспечивает контроль за каждым шагом при решении задач на построение. Небольшой сдвиг карандаша или линейки, неточная засечка точки циркулем уже отражается на результате построения.

Учащиеся привыкают относиться к построениям столь же серьезно, как они относятся к вычислениям.

Пример. Решить задачу:

Построить треугольник по двум сторонам а и Ь (а<Ь) и углу У1. лежащему против меньшей стороны (черт. 2).

Проверка решения производится по знакомой схеме: читаем условие задачи по частям, рассматриваем построенную фигуру, сверяем размеры элементов: длины сторон АС, ВС (ВХС) с длиной отрезков а и b (циркулем), величину </ВАС с величиной ^ / (транспортиром).

Проверяем расположение элементов и обрашаем внимание на то, что меньшая сторона (ВС = а) должна лежать против ^ /. Убеждаемся, что решениями являются \ ABC и Д AlBlCl.

В таких задачах часто ошибаются, неправильно располагая элементы треугольника относительно друг друга: ^ / оказывается либо против АС, либо против AB.

IV. Решение задач построением, как проверка

От решения задач «на построение» необходимо отличать решение геометрических задач построением.

По сложившейся традиции существуют три обособленные типа задач, с разными целями, с разными способами их решения: на доказательство, на вычисление и на построение.

Метод решения задач на построение требует умелого владения чертежными инструментами, в чем мало упражняются при ре нении задач двух других типов. Создается искусственный барьер между задачами трех типов.

Точным построениям обычно придают значение второстепенного средства для изучения геометрии, тогда как они могли бы стать вторым способом решения некоторых задач на вычисление и на доказательство, пусть неполным, но простым и наглядным, отсюда — и незаменимым для контроля.

В качестве примера рассмотрим задачу № 1, § 6 задачника Рыбкина, ч. I:

На сторонах угла ABC, равного 120°, отложены отрезки AB — ВС — 4 см. Провести окружность через точки А, В, С и найти, чему равен ее радиус (черт. 3).

Ответ: радиус равен 4 см.

Проверкой решения может служить решение точным построением.

1. Строим ^ ABC =120° (по транспортиру).

Черт. 2 Черт. 3

2. На сторонах утла откладываем АВ — ВС — = 4 см (циркулем и линейкой).

3. Проводим окружность через три точки А, В, С.

4. Находим ответ: измеряем радиус г — z=zOA = 4 см описанной окружности.

Производя эту проверку, ученик должен вспомнить построение угла по данному его размеру, деление отрезка пополам, откладывание отрезка данной длины, проведение окружности через три точки. Это и есть рациональное повторение «простых задач на построение».

В некоторых задачах только точный чертеж может открыть путь решения.

Разберем задачу № 88, § 5 задачника Рыбкина:

В четырехугольнике диагонали равны 10 см и S см и пересекаются под углом в 56°25'. Определить стороны четырехугольника, который получим, соединяя середины сторон данного (черт. 4).

При неточном чертеже весьма сомнительно, чтобы ученик быстро уловил ключ к решению задачи, а именно заметил, что MNEF — параллелограм. На точном чертеже это видно сразу.

Проверку точным построением можно применить при решении, например, такой задачи на доказательство:

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Заключение

1. Обучая учащихся математическим действиям и операциям, изучая решение задач, разбирая доказательства теорем, мы должны научить их и способам проверки.

2. Чрезмерное увлечение проверкой может обеднить запас школьных упражнений. При пользовании методом проверки следует соблюдать чувство меры. Дать точный рецепт, когда нужно и когда не нужно проверять,—невозможно.

Ясно следующее: в начале изучения нового материала проверка используется систематически, притом чаще применяется полная проверка с подробной записью; после твердого усвоения материала проверка применяется эпизодически, притом можно обходиться неполной проверкой, без подробной записи, или устной проверкой.

Достаточно небольшой практики, чтобы научиться пользоваться методом проверки; разнообразие ее форм позволяет вводить проверку в урок без затраты дополнительного времени.

3. Полное решение упражнения и задачи (то-есть наличие проверки) должно быть обязательным при выполнении контрольных работ. (Разумеется, для тех упражнений, где проверка целесообразна.)

4. Желательно увеличить число упражнений в задачниках, где требовалась бы проверка полученного ответа.

Черт. 4

К ВОПРОСУ О ПОЛИТЕХНИЧЕСКОМ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ*

Т. А. ПЕСКОВ (Уфа)

Одним из элементов политехнического обучения является решение математических задач практического характера. Практические задачи, имеющиеся в небольшом количестве в стабильных задачниках, по своей структуре не могут быть признаны настоящими практическими задачами, так как они характеризуются наличием готовых числовых данных, над которыми нужно выполнить различные действия, чтобы получить ответ на вопрос задачи.

Настоящие практические задачи, решаемые людьми различных профессий, или совсем не содержат готовых числовых данных, или содержат их в минимальном количестве. Приведем примеры:

1. Начислить трудодни трактористам за рабочий день.

2. Составить смету на покраску полов в школе.

3. Высчитать, сколько следует получить сдачи покупателю со 100 рублей.

4. Высчитать, сколько стоит доставка посылки, например, из Уфы в Москву.

Для решения таких задач необходимо установить сначала числовые данные путем различных измерений, непосредственного подсчета тех или

* Статья печатается в порядке обсуждения.

иных объектов и использования различных справочников и таблиц.

Решение настоящих практических задач возможно и необходимо в школе, но количество их не может быть большим, так как практические задачи чрезвычайно разнообразны и нахождение числовых данных, необходимых для их решения, в огромном большинстве случаев сопряжено с непреодолимыми для учащихся трудностями.

Приводим примерный перечень практических и близких к ним по содержанию задач, решение которых возможно в школе.

1. Определить площадь пола в классе и установить, достаточна ли эта площадь для учеников V класса.

2. Определить вместимость классной комнаты для V класса и установить, соответствует ли вместимость класса количеству учащихся.

3. Определить, достаточно ли света в V классе, если для нормального освещения класса площадь окон должна составлять не менее -i- площади пола.

4. Определить вместимость школьного дровяника.

5. Вычислить, сколько дров нужно для отопления школы в течение года.

6. Определить площадь школьной усадьбы и отдельно площадь школьного двора, сада, огорода.

7. Вычислить, сколько яблонь можно посадить на участке, отведенном под школьный сад.

8. Вычислить, сколько кустов малины можно посадить на участке, отведенном под школьный сад.

9. Определить вес кирпича.

10. Задачи на вычисление площади различных многоугольников, начерченных на классной доске.

11. Задачи на вычисление площади круга, сектора и сегмента, начерченных на классной доске.

12. Задачи на вычисление поверхностей и объемов различных предметов известной учащимся формы (моделей геометрических тел, консервных банок, стаканов, деталей машин, коробок, листочков из школьной тетради и др.).

13. Определить, сколько жести потребовалось на изготовление пионерского барабана.

14. Определить процент успеваемости по математике в своем классе.

15. Начертить диаграмму распределения земли в местном колхозе или совхозе (пахотная земля, луга, лес, выгон и др.).

16. Определить средний возраст учащихся в классе (с точностью до 1 месяца). Задачи с № 1 по № 9 включительно следует решать в V — VI классах, № 10 —- в V и VII классах, № 11 в V и IX классах, .n1» 12 в V и X классах, № 13 в V и VI классах, Ni? 14 следует решать во всех классах, № 15 и 16 в V классе.

Настоящие практические задачи имеют огромное значение в смысле политехнической подготовки учащихся. Первый этап решения таких задач, т. е. установление числовых данных, следует признать весьма ценным как со стороны выработки у учащихся умения ставить математически практические задачи, так и со стороны приобретения ими навыков в различных измерениях при помощи рулетки нутромера, масштабной линейки, штангенциркуля, микрометра и др.

Вычисления, которые должны выполнить учащиеся при решении таких задач, явля?отся прекрасными упражнениями на приближенные вычисления.

Задачи № 1, 2 и 3 следует решать на одном уроке.

Опыт говорит, что учащиеся очень интересуются такими задачами и все изъявляют желание произвести различные измерения, необходимые для решения задач. Целесообразна следующая организация работы учащихся. Учитель поручает трем учащимся измерить длину комнаты, трем учащимся ширину комнаты и трем учащимся размеры окон.

После проверки учителем результаты измерения записываются на классной доске и в тетрадях и производятся вычисления.

Задачи, связанные с измерениями на школьной усадьбе, нужно решать на одном из уроков в весеннее время. Желательно иметь в школе несколько рулеток или в крайнем случае несколько веревок, разделенных на метры и дециметры. В этом случае будет возможно разбить учащихся на группы и каждой группе поручить особую работу. Задачи под № 9, 10, 11, 12 и 13 следует предлагать учащимся соответствующих классов при учете успеваемости. В число вопросов, на которые должен ответить вызванный ученик, нужно включать одну из указанных задач. Готовясь к ответу, ученик производит все нужные измерения и вычисления.

Таким образом, при минимальной затрате времени все учащиеся постепенно будут вовлекаться в работу по решению задач без готовых числовых данных.

Решение настоящих практических задач, разумеется, не исключает необходимости решения практических задач с готовыми числовыми данными. Наоборот, количество таких задач должно быть увеличено в стабильных задачниках, причем в этих задачах должны быть отражены в доступной для учащихся форме достижения советской техники.

Вполне прав проф. И. К. Андронов, утверждая, что основным звеном, за которое надо сейчас взяться, чтобы осуществить политехническое обучение математике, является проблема задачника ( - Учительская газета», 1952 г., № 102).

О НЕОБХОДИМОЙ ПРЕДПОСЫЛКЕ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ*

С. С. АНЦЫФЕРОВ (Москва)

«Всякая попытка оторвать политехнизацию школы от систематического и прочного усвоения наук, особенно физики, химии и математики, преподавание которых должно быть поставлено на основе строго определенных и тщательно разработанных программ, учебных планов и проводиться по строго установленным расписаниям, представляет собою грубейшее извращение идеи политехнической школы».

(Постановление ЦК ВКП (б) от 5 сентября 1931 г.)

Это указание необходимо помнить сейчас, когда перед нами стоит грандиозная задача, поставленния XIX съездом партии: «...приступить к осуществлению политехнического обучения в средней школе и провести мероприятия, необходимые для перехода к всеобщему политехническому обучению».

Постановление ЦК ВКП(б) 1931 г., определяя общую задачу советской школы — «подготовлять всесторонне развитых членов коммунистического общества», подчеркивает в то же время, что «для успешного овладения техникой современного производства требуется прежде всего широкое общее образование и культура».

В какой же мере выполняются эти задачи программами и учебниками по математике, а прежде всего самим содержанием математики как предмета обучения?

Остановимся на первом этапе обучения математике — на обучении арифметике в средней школе.

Курс арифметики должен дать учащимся определенный круг прочных знаний и навыков, требующихся в обыденной жизни, а также необходимых для восприятия последующих разделов математики и других предметов, в частности, физики и химии. Он должен вырабатывать у учащихся культуру сознательных, рациональных и безошибочных расчетов, в том числе и технических.

Однако этим не может ограничиться роль арифметики в политехнической школе. Арифметика должна развивать у учащихся логическое мышление, в частности, понимание связей и зависимостей как между предметами, так и между явлениями, без чего невозможно овладение техникой.

Курс арифметики должен воспитывать учащих я в духе диалектического материализма, он должен внушать им чувство советского патриотизма.

Следует отметить, что программа средней школы в той или в другой степени декларирует эти задачи. Однако осуществление курса арифметики на практике определяется учебником, который* проводит курс, основанный на схеме столетней, примерно, давности. Учебник Киселева весьма далек от научности (подменяемой в нем схоластикой) и ни в какой мере не приближает учащихся к методам изучения природы и труда освобожденного человечества, а тем более к методам влияния человека на природу. Мало того, система построения учебника и его содержание ни в коей мере не могут способствовать развитию логического мышления учащихся.

Вопрос об учебнике арифметики имеет первостепенную важность, во-первых, потому, что учебником определяется все направление преподавания предмета; во-вторых, потому, что это — единственное учебно-теоретическое руководство для ученика; в-третьих, потому, что и методические пособия для преподавателя, построенные с учетом этого и только этого учебника, страдают (вольно или невольно) формализмом и схоластичностью.

В подтверждение сказанного выше об учебнике Киселева приведем примеры из различных его разделов.

Десятичная система счисления. Учебник начинается разделом «Целые числа, их наименование и обозначение», в котором должен был бы излагаться основной вопрос курса школьной арифметики — десятичная система счисления. Однако на протяжении всех шести страниц термин «десятичная система счисления» даже не встречается. Да он и не может встретиться, так как здесь идет речь только об отсчитывании в заранее данном числе десяти единиц, десяти десятков, десяти сотен (§ 4). Что касается миллионов, то они характеризуются лишь как тысячи тысяч, миллиарды — как тысячи миллионов, триллионы — как тысячи миллиардов.

* Статья печатается в порядке обсуждения.

* Имеется в виду стабильный учебник Киселева в переработке А. Я. Хинчина.

Ни словом не упомянуто о том, что миллион есть в то же время десять сотен тысяч, миллиард — десять сотен миллионов, триллион — детять сотен миллиардов.

Автор дает рисунок, на котором выделяет десятки из общего числа 43-х палочек, но сам десяток как счетная единица взят на рисунке совершенно произвольно. Рисунок не дает никаких ассоциаций, связанных именно с десятичностью системы счисления. Совершенно тем же путем можно было бы выделять пятки или дюжины. Мало того, этот рисунок вовсе не связывает между собой нумерации устную и письменную. Совершенно не представлены здесь ни роль нуля, ни роль принципа поместного значения цифры.

Определение нуля дано в § 6 как цифры, обозначающей «отсутствие предметов».

«6. Обозначение чисел до тысячи. Первые девять чисел обозначаются особыми знаками или цифрами:

1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9.

С помощью этих девяти цифр и десятой О (нуль), означающей отсутствие предметов, можно изобразить всякое число.

Цифра 0 обозначает, что предметов вовсе нет, цифра 1 — что имеется только один предмет и т. д.».

Это определение не вяжется с дальнейшим изложением того же самого параграфа. Действительно, приведя примеры записи чисел: 42; 40; 345; 340, автор утверждает:

«Приведенные примеры показывают необходимость введения нуля. Так, в обозначении числа триста сорок (340) нельзя опустить нуль, потому что 34 означает тридцать четыре. Напротив, нули, стоящие влево от первой значащей цифры, могут быть опущены и почти всегда опускаются; 045 означает то же, что 45; 007 — то же, что просто 7».

Между тем нуль на конце числа, как это видно из приведенного примера, вовсе не показывает отсутствие предметов.

Не удивительно, что при своем толковании нуля учебник дает и чисто формальное объяснение записи чисел цифрами:

«8. Обозначение чисел, превосходящих тысячу. Пусть требуется написать число: тридцать пять миллиардов восемьсот шесть миллионов семь тысяч шестьдесят три единицы. Его можно написать при помощи цифр и слов так:

35 миллиардов 806 миллионов 7 тысяч 63 единицы.

Чтобы можно было обойтись совсем без слов, условились: во-первых, числа миллиардов, миллионов, тысяч и простых единиц писать рядом, в одну строчку, слева направо, и, во-вторых, изображать каждое из этих чисел всегда(*) тремя цифрами, т. е. вместо 63 единиц писать 063, вместо 7 тысяч писать 007 и т. п.*. Тогда наше число изобразится так:

035 806 007 063

Впрочем (*), и здесь с левой стороны нулей не пишут, т. е. изображают наше число так:

35 806 007 063».

Совершенно неуместный формализм в разъяснении основного стоящего перед учащимися вопроса.

При таком изложении, конечно, тщетно было бы искать освещения основного принципа десятичной системы счисления: Десять единиц любого разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда, а также следствий этого принципа в современной системе письменной нумерации.

Термин «десятичная система счисления» встречается в учебнике лишь в необязательном для учащихся параграфе. Сюда же в необязательный материал попали и римские цифры, с которыми учащиеся должны быть обязательно знакомы. Но даже и в этом разделе нет указания на такое важнейшее обстоятельство, что среди римских цифр отсутствует знак, обозначающий нуль.

Учебник совершенно игнорирует живой практический пример, идеально конкретизирующий как основной принцип десятичной системы счисления, так и его следствия, а именно—гениальное изобретение русского народа — русские счеты.

Между тем счеты, действительно, конкретизируют следующие вопросы счисления:

1. Основной принцип десятичной системы счисления (схема I).

При этом единица высшего разряда получается из единиц низшего путем присчитывания и, естественно, десять единиц низшего разряда заменяются на счетах одной единицей высшего разряда, так как дальше присчитывать единицы на низшей проволоке нельзя.

2. Следствия основного принципа десятичной системы счисления в современной системе письменной нумерации, а именно (схема II):

1) Поместное значение цифры при записи числа.

2) Значение нуля при записи числа.

3) Увеличение числа в 10 раз приписыванием к нему нуля справа.

Счеты одновременно разъясняют вопросы как

* Здесь и в дальнейшем знаком (*) отмечены наши выделения текста.

Схема I

Схема II

Схема III

устной, так и письменной нумерации, если придать им положение, показанное на приведенных схемах.

При этом предполагается, что счеты расположены в плоскости стола так же, как книга или тетрадь.

Здесь создается полное соответствие между изображением числа косточками на счетах и записью его цифрами, так как количество единиц каждого разряда соответствует количеству косточек, отложенных на соответствующей проволоке.

При общепринятом расположении счетов этого соответствия не получается. Действительно, если бы мы захотели, например, написать число четыреста шестьдесят восемь тысяч девятьсот тридцать один цифрами в том порядке, как оно отложено на счетах при общепринятом их положении, то запись числа пришлось бы вести не слева направо, а сверху вниз (схема III).

Следует подчеркнуть учащимся простоту идеи поместного значения цифр и знака 0, противопоставив запись числа в современной системе счисления записи его же римскими цифрами, где отсутствует знак, изображающий нуль и вместе с тем — поместное значение цифр.

Именно здесь уместно было ознакомить учащихся с высказыванием Энгельса о нуле: «Нуль богаче содержанием, чем всякое иное число. Прибавленный к любому числу справа, он в нашей системе счисления удесятеряет данное число. Вместо нуля для этой цели можно было бы принять любой другой знак, но лишь при том условии, что этот знак, взятый сам по себе, означал нуль, был бы равен нулю. Таким образом, в самой природе нуля заключено то, что он находит такое применение и что только он один может получить такое применение» (Ф. Энгельс, Диалектика природы).

Именованное число. Понятие о целом числе (§ 1) основывается в учебнике только на счете предметов. «Один предмет да один предмет составляют два предмета; два предмета да один предмет составляют три предмета; три да один (тут уже «выскочили» предметы.—С. А.) составляют четыре и т. д. Один, два, три, четыре и т. д. называются целыми числами».

Учебник не отмечает здесь целых чисел, получаемых в результате измерения, т. е. именованных чисел. В предисловии к учебнику сказано, что «понятие о мерах и именованных числах естественно нашло себе место в виде особого отдела на рубеже между учением о целых числах и учением о дробях». А между тем в § 113 именованное число совершенно отчетливо определяется как целое число.

На понятии именованного числа следовало остановиться уже в том же первом параграфе, не давая такого одностороннего определения целого числа, как «один предмет да один предмет». Понятие именованного числа требует четкой расшифровки и конкретизации. А между тем оно окружено в учебнике изрядной путаницей.

Так, в одном из изданий, предназначенном для будущих учителей (Киселев, Систематический курс арифметики для педагогических училищ, под редакцией А. Я. Хинчина, § 1) читаем: «Число называется именованным, если оно сопровождается названием тех предметов, из которых составлено, например, пять карандашей». И это — все, если не считать данную же здесь сноску: «Примечание редактора. Во многих учебниках различают еще числа «предметные», или «конкретные»; ввиду отсутствия принципиальной разницы между «конкретными» и именованными числами мы в дальнейшем этими терминами пользоваться не будем».

Во-первых, число вообще не может быть составлено из предметов, а, во-вторых, именованное число получается не при счете предметов, а при измерении величин, сопровождаемом счетом. Пять же карандашей — не именованное число, и никаких «конкретных» или «предметных» чисел вводить не следует.

Подобное же ошибочное определение именованного числа повторяется и в упомянутом выше § 113 учебника для средней школы: «Целое число вместе с указанием наименования тех единиц, из которых оно составлено, называется именованным числом. Так, 5 карандашей, 3 метра, 37 граммов-— именованные числа».

А разве дробное число 5 -i- кг не является именованным числом?

Это определение, неправильное само по себе, противоречит также и положению, высказанному в приведенной выше выдержке из предисловия А. Я. Хинчина.

Да и в самом учебнике, несмотря на то, что в § 113 именованное число было определено как целое число, в следующем § 114, озаглавленном «Почему для измерения величин нужны новые числа», читаем следующее:

«Когда мы хотим сосчитать, сколько столов в классе или сколько деревьев в саду, то всегда найдется целое число, отвечающее на наш вопрос. Поэтому для счета предметов никаких других чисел, кроме целых, не требуется.

Но когда мы хотим измерить, например, длину комнаты, то мы хотим узнать, сколько раз выбранная единица длины, например метр, содержится в этой длине. При этом может случиться, что мы отложим метр 5 раз и заметим, что осталась еще неизмеренная часть длины, но что наш метр в этой части не укладывается — она меньше метра. Это значит, что измеряемая длина содержит единицу измерения (метр) больше 5 раз, но меньше 6 раз. Значит, никакое целое число не может служите

ответом на вопрос о том, сколько метров содержит измеряемая длина (потому что нет целого числа, которое больше 5, но меньше 6). Если мы хотим все же получить на наш вопрос ответ в виде некоторого числа, то мы должны расширить область изучаемых нами чисел, т. е. ввести, кроме целых чисел, еще другие, новые числа. К изучению этих чисел мы теперь и переходим».

Термин «именованное число» во всем этом параграфе не упоминается. Однако и цитата, приведенная из предисловия, и то обстоятельство, что здесь говорится о необходимости введения новых чисел при измерении («потому что нет целого числа, которое больше 5, но меньше 6»), тогда как в предыдущем параграфе именованное число определяется как целое число,— все это не может внести в сознание учащегося ничего, кроме путаницы.

На самом же деле в определении именованного числа совершенно не характерен признак его дробности или целости. Суть вопроса совершенно в другом — в природе именованного числа.

Само собой разумеется, что при измерении могут встретиться и дробные именованные числа. Но дробные числа могут встретиться и при счете предметов, выходящем из рамок натуральных чисел. Если перед нами лежат два целых яблока и одна половинка, мы скажем, что здесь 2^ яблока, и никаким целым числом мы результата счета не выразим.

Введение составных именованных чисел дает в ряде случаев возможность избежать дробных чисел. Так, например, длину 1^ м мы можем выразить составным именованным числом: 1 метр 3 сантиметра.

Вместе с тем 2~ яблока мы можем также выразить другим числом, но не целым, а дробным: у яблока.

Основанием для введения термина «именованное число» служит совсем другое обстоятельство. Об этом совершенно ясно говорит схема IV.

На схеме показано расстояние между двумя вехами. Это расстояние может быть выражено различными числами, в зависимости от выбранной единицы измерения:

или 131 фут, или 56 аршин, или 40 метров.

Эти именованные числа равны между собой:

131 фут = 56 аршинам = 40 метрам.

Если же отбросить наименования единиц измерения, то эти числа становятся неравными:

131 ^56^-40.

Эти числа мы не можем принять как результат измерения расстояния между вехами.

Имея одинаковое число предметов, например 5 карандашей, 5 книг, 5 ножей, мы можем выразить количество их одним и тем же отвлеченным числом 5, подразумевая при этом, что каждый предмет представляет собой счетную единицу.

5 карандашей, 5 книг, 5 ножей представляют собой равномощные множества.

Однако не имеет смысла утверждать, что 131 фут, 56 аршин и 40 метров представляют собой равномощные множества.

Итак: Именованным числом называется такое число, при котором указана единица измерения. Без указания единицы измерения именованное число теряет свой смысл.

Обыкновенные дроби. Оторванностью от реальной действительности и от практической жизни отличается весь отдел «Обыкновенные дроби».

Рассматривая целые числа как совокупность предметов (§ 1), учебник иллюстрирует понятие о долях только на величинах. Совершенно игнорируются здесь доли предмета, фигуры. «Таким образом дробное число может появиться как результат измерения»,— так заканчивается § 118.

В § 119 вот как иллюстрируется «получение дробных чисел при делении целого числа на равные части»:

«Пусть требуется разделить 5 кг хлеба на 8 равных частей. Мы можем выполнить это деление так: вообразим, что каждый килограмм хлеба разделен на 8 равных частей (на восьмые доли); тогда в 5 кг хлеба таких долей окажется 8-5, т. е. 40, а в одной восьмой части 5 кг хлеба их должно быть 40:8, т. е. 5. Значит, восьмая часть 5 кг равна |- одного килограмма ^и вообще восьмая часть 5 каких-нибудь единиц равна ^ одной такой единицы)».

Кто же на самом деле будет кромсать 5 кг хлеба на сорок кусков, чтобы получить кг?

Схема IV

Если автор предлагает учащимся это «вообразить», то почему бы не сказать, как это делается на самом деле? А именно: 5 кг хлеба делятся на 8 равных частей. Каждая из них будет весить в 8 раз меньше, чем 5 кг, т.е. -g- кг, где дробь ■g- есть частное от деления одного числа (5 килограммов) на другое число (на 8 равных частей).

После воображаемого деления 5 кг хлеба на 40 равных кусков автор путем подобных же формальных рассуждений приводит учащихся к формальному же выводу:

«Чтобы разделить целое число на несколько равных частей, достаточно взять это целое число числителем дроби, а знаменателем написать другое число, показывающее, на сколько равных частей делится целое число».

Отсюда выводится следствие.

«Следствие. Всякую дробь можно рассматривать не только как собрание нескольких одинаковых долей единицы, но и как одну долю нескольких целых единиц. Так, дробь ~ есть не только пять восьмых долей одной единицы, но и одна восьмая доля 5 единиц».

Ни одного пояснительного рисунка не дано.

Казалось бы, что из сопоставления правила и следствия можно было тут же сделать вывод о том, что раз в числителе «взято» целое число, а в знаменателе «написано» другое целое число, на которое делится числитель, то «взятый» числитель является делимым, «написанный» знаменатель— делителем, а сама дробь не может представить собой ничего другого в этом случае, как частное от деления числителя или знаменатель. (Это ведь следует и из заголовка § 119: «Получение дробных чисел при делении целого числа на равные части».) Однако этот вывод не приводится и на всем протяжении учебника. А между тем он очень важен для последующей трактовки всего раздела учения о дробях, в частности для умножения на дробь. Вся трактовка этого раздела в учебнике формальна (спекулятивна). В этом в значительной мере и кроется причина бесполезной траты учащимися и преподавателем большой части часов, отведенных на изучение дробных чисел.

Определение дроби как частного от деления одного целого числа на другое можно было показать на любом житейском примере непосредственно. Тем более его можно было бы дать в § 151, специально посвященном в первой своей части делению целого числа на целое. Однако и здесь это определение отсутствует. Мало того, самая возможность всякого случая деления целых чисел принимается автором с оговоркой «допущения» умножения на дробь.

Приводим выдержку из учебника.

«§ 151. Вывод правил деления. При делении могут представиться 5 следующих случаев:

1) Деление целого числа на целое. Такое деление было рассмотрено в арифметике целых чисел. Но там точное деление не всегда было возможно, так как делимое не всегда есть произведение делителя на целое число; поэтому в общем случае приходилось рассматривать деление с остатком. Теперь же, допустив умножение на дробь(*), мы всякий случай деления целых чисел можем считать возможным, за исключением деления на нуль, которое и здесь остается невозможным. Пусть, например, требуется разделить 5 на 7, т. е. найти число, произведение которого на 7 дает 5. Такое число есть дробь у потому что у 7 = 5. Точно так же 20:7 =- -у, потому что у 7 = 20».

Итак, прежде чем разрезать на 7 равных частей буханку весом 5 кг, ученик должен сначала подумать: «А найдется ли такое число, произведение которого на 7 дает 5?».

Но ведь указанное автором действие: у • 7 вовсе и не представляет собой умножения на дробь!

Кроме того, «взяв» в числителе 5, а в знаменателе «написав» 7, мы уже, согласно § 119, разделили целое число (5 кг) на 7 равных частей, не задумываясь о возможности «умножения на дробь». Стало быть, дробь у есть уже частное и разговор о получении дроби как частного должен был быть закончен еще в § 119.

Однако и здесь, в § 151, мы не находим определения дроби как частного.

Мы находим лишь следующее правило, несколько отличающееся от прежнего, где было «взять» и «написать»:

«Правило 1-е. Чтобы разделить целое число на целое, надо составить дробь, числитель которой равен делимому, а знаменатель — делителю».

Не проще ли сказать так, как и есть на самом деле:

«Дробь может быть получена как частное от деления целого числа (например, 5 кг) на другое целое число (например, на 7 равных частей)».

Эта совершенно законная формулировка исключает в дальнейшем необходимость введения целого ряда условностей и даже самого «допущения» умножения на дробь. Это умножение становится совершенно естественным без всякого «допущения» и подчиняется, как увидим дальше, общему определению с умножением на целое число.

Умножение на целое и на дробное число. Определение умножения, даваемое для частного случая, т. е. для целого множителя, конечно, неприменимо для дробного множителя, так как нельзя взять какое бы то ни было число слагаемым дробное число раз. Но вместо того чтобы искать другое, общее для всякого множителя определение умножения, принято, опять по иностранному образцу, рассуждать так: «Если для дробного множителя не подходит определение умножения на целое число, а умножать надо, то остается допустить возможность умножения на дробь».

Умножению на дробь стабильный учебник (§ 140) дает следующее определение:

«... 2) Умножить какое-нибудь число (множимое) на дроб ь (множитель) — значит найти эту дробь множимого.

Так, умножить 5 на -g-, значит найти -g- пяти единиц. Умножить на 3-, значит найти числа -г.

Таким образом нахождение дроби от данного числа, рассмотренное нами перед этим, мы будем теперь называть умножением на дробь».

«Рассмотренное же Нами перед этим» формулируется в § 137 так:

«. . .чтобы найти величину какой-нибудь дроби данного числа, надо уменьшить это число во столько раз, сколько единиц в знаменателе дроби, и результат увеличить во столько раз, сколько единиц в числителе дроби».

Дробь данного числа мы находим здесь путем приведения к одной доле, и первым действием является здесь деление.

Это-то правило и применяется догматически к умножению на дробь, но при том еще в искаженном виде.

«§ 143. Вывод правил умножения.

...2) Умножение целого числа на дробь.

Пусть дано умножить 7 на -g-. Это значит найти -g числа 7. Для этого найдем сначала числа 7, а потом

Значит:

Правило 2-е. Чтобы умножить целое число на дробь, надо умножить целое число на числитель дроби и это произведение сделать числителем, а знаменателем подписать знаменатель данной дроби».

Как видим, «вывод» правила повторяет нахождение дроби от числа методом приведения к одной доле. Первым действием здесь, как и в § 137, является деление. В «правиле» же совершенно произвольно первым действием является умножение. Да и само правило дано в чисто формальном виде: вместо «разделить» говорится «подписать».

Стабильный учебник дает четыре правила умножения, из которых — три для умножения на дробь (§ 143). Он же дает различные определения для умножения на целое и на дробное число (§ 140) и нигде не пытается дать обобщение этого действия для случаев целого и дробного множителей.

Наоборот, многообразием правил и определений он подчеркивает невозможность этого обобщения.

«§ 140. Определения. 1)... умножить какое-нибудь число на целое число — значит составить сумму одинаковых слагаемых. .. 2) умножить какое-нибудь число на дробь — значит найти эту дробь множимого».

Между тем единство умножения на любое (целое или дробное) число надо искать вовсе не в способе выполнения действия («составить сумму», «найти дробь»), а в общности роли множителя при умножении на любое (целое или дробное) число.

Об этом говорит схема V.

На схеме представлено решение трех задач, имеющих общий смысл и решаемых умножением на различные множители:

1) на целое число,

2) на смешанное число или неправильную дробь,

3) на правильную дробь.

Общность смысла этих задач выражается в общности вопроса, в них поставленного, а именно: по данному числовому значению единицы величины (по стоимости одного метра ткани) требуется найти значение нескольких единиц (стоимость нескольких метров) или нескольких долей единицы той же величины (стоимость нескольких долей, т. е. дроби, метра).

Во всех трех задачах множимое одно и то же — стоимость одного метра ткани. Множители же различны.

В первой задаче поставлены два самостоятельные вопроса, которым и соответствуют два различные множителя, причем оба — целые числа. А именно: по данной стоимости 1 метра ткани (16 руб.) требуется найти: а) стоимость 5 метров и б) стоимость 2 метров.

Схема V

Во второй задаче при той же стоимости одного метра ткани (16 руб.) требуется найти стоимость промежуточного числа метров: 2 ~ му или, что то же самое, -д- м.

Поскольку стоимость 5 м и 2 м находим умножением, нет никакого основания сомневаться в том, что и стоимость промежуточного числа метров — 2 -g-, или у метра, — тоже находится умножением.

Этот-то промежуточный множитель и решает вопрос не только о «возможности» умножения на дробь (ведь даром 2 метра не дадут!), но и о способе умножения.

Нам не приходится сомневаться в том, что «существует ли такое произведение», как это делают методисты (Чичигин, Методика преподавания арифметики. Пособие для учительских институтов, изд. 1949 г., стр. 133). Мы должны лишь установить способ выполнения этого действия.

Мы имеем право заменить смешанное число неправильной дробью . От этой замены суть зопроса не изменяется. Вместо того чтобы умножить 16 руб. на 2 ~, будем умножать на ^ , основываясь на том, что множитель есть частное от деления пяти на два и это частное в два раза меньше множителя 5.

Совершенно ясно, что -~ метра стоят в 2 раза меньше, чем 5 целых метров. Следовательно, и произведение 16 --^ получится вдвое меньше, чем произведение 16-5. А именно:

16.|- = (16.5):2, или 1~9 т. е. 40 (руб.).

Здесь первым действием служит умножение на 5.

Мы нашли способ умножения на дробь, воспользовавшись свойством дроби, как частного от деления числителя на знаменатель.

«Чтобы умножить целое число на дробь, умножаем целое число на числитель дроби и полученное произведение делим на знаменатель дроби».

Совершенно необоснованно возражение методистов от школьной арифметики, говорящих: «В процессе объяснения, между прочим, высказывается утверждение, что 3 вчетверо больше ~i

а это можно утверждать только после изучения деления на дробь (?!)» (Чичигин, стр. 133).

Деление на дробь здесь совершенно не причем. Каждый школьник понимает, что 5 метров, разделенные пополам, вдвое меньше, чем 5 целых метров. (Здесь 5 делится на целое число 2.)

Игнорируя путь познания истины от живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике, эти методисты возражают против подхода к решению рассматриваемой проблемы от конкретного примера. Они пускают в ход формалистическое соображение о том, что «произведение двух чисел (например, 8 • 3) сравнивается с искомым произведением ^с 8 • ^ ^ , которое еще не найдено, и неизвестно даже, существует ли оно» (Чичигин, Там же).

Мы знаем, что оно существует, и нашли для определения его значения надлежащий путь.

Решив вторую задачу, мы пришли к следующим выводам:

1) Значение стоимости дробного количества метров ткани находится умножением стоимости одного метра на соответствующую дробь.

2) Умножение целого числа на дробь выполняется умножением целого числа на числитель дроби и делением полученного произведения на знаменатель дроби.

В третьей задаче требуется найти значение стоимости тоже дробного числа метров, но выраженного правильной дробью, а именно метра.

Пользуемся рассуждениями, примененными к решению второй задачи, поскольку в этом рассуждении не играло никакой роли соотношение между числителем и знаменателем дробного множителя:

Само собой отпадает такое утверждение, которое смущает методистов и приводит к абсурду ученика: «1 метр стоит 16 руб.; 2 ~ метра стоят в 2| раза больше; ~ метра стоят в ^ раза больше ».

Речь идет вовсе не о том, что мы находим число, большее данного в у раза или в g- раза.

Речь идет о том, что мы находим значение пяти вторых числа и пяти восьмых данного числа, принимаемого за единицу.

Будет ли это значение больше или меньше данного, зависит только от того, будет ли множитель больше или меньше единицы.

Мог бы возникнуть вопрос о непривычности формулировки, которую должен усвоить учащийся. Но для данного случая — умножения на дробь — формулировка остается привычная:

«Умножением на дробь мы находим дробь множимого. Если множитель — неправильная дробь, то произведение получается больше множимого. Если множитель — правильная дробь, произведение получается меньше множимого».

Эта формулировка, данная для частного случая (для умножения на дробь), ни в чем не противоречит установленному нами единству смысла умножения на целое и на дробное число.

Оба случая умножения обобщаются в таком определении:

«Умножить любое число на целый или на дробный множитель — значит, приняв множимое за значение единицы величины, найти значение нескольких единиц или нескольких долей единицы, указанных множителем». В этом заключается единство смысла умножения на целое и на дробное число.

Или:

«Посредством умножения на целое или на дробное число мы по данному значению одной единицы величины находим значение нескольких единиц или дроби той же величины».

Деление на целое и на дробное число. Понятие об отношении. В разделе целых чисел стабильный учебник рассматривает две различные по смыслу задачи на деление: деление на части и деление по содержанию.

Один из них разделен на два подвида. Это не совсем удачно, так как и другой тоже надо было бы в таком случае разделить на два подвида. Но для нас это не имеет значения.

При рассмотрении же деления на дробь (§ 151) совершенно не говорится о смысле действия. Выводится лишь способ выполнения действия, как обратного «допущенному» умножению. Заканчивается же вся глава «Действия над дробными числами» § 156 и 157 — «Отношение двух чисел».

§ 156 начинается словами: «После введения дробных чисел деление, как мы видели, становится действием всегда возможным (за исключением деления на нуль). Значит, если даны два числа, то существует частное от деления первого числа на второе (если только второе число не нуль).

Частное от деления одного числа на другое иначе называется отношением этих чисел.»

Это совершенно не соответствует истинному положению вещей. Не всякое частное может служить отношением. Так, в задаче на отыскание числа по его дроби (т. е. по данному отношению) отношением является делитель, а не частное.

Этой оговорки нет на протяжении всего учебника. По этому же пути идут и методисты (Чичигин, стр. 173).

Схема VI

Следует различать две задачи на деление на дробь. Рассматривая деление как действие, обратное умножению, мы знаем, что в одном случае делителем является множимое (случай деления по содержанию), в другом — множитель (случай нахождения числа по его дроби).

Схема VI иллюстрирует случай деления на дробь, когда известны произведение и множимое (деление по содержанию). Этот случай деления настолько прост, что не требует разъяснений. Он полностью аналогичен (по смыслу) делению на целое число.

На схеме изображен сосуд, содержащий б стаканов молока. Здесь же видно, сколько порций молока получится, если это количество молока разлить на порции по 2, по 1 , по 1 и стакана.

Мы знаем: если разлить молоко на порции по 2 стакана в каждой, то получится 3 порции:

Если разлить это молоко на порции по 1 g-3 стакана, или по стакана, то получится 4 порции:

Если разделить это молоко на порции по одному стакану, то получится 6 порций:

Если разделить это же количество молока на 3 порции по -у стакана, то получится 8 порций:

Этот случай, как и следующий, ясно показывает относительную величину частного (по отношению делимого).

При делении на неправильную дробь частное получается меньше делимого, при делении на правильную дробь — больше делимого.

Здесь нет никакой нужды рассматривать деление как действие, обратное умножению. С одинаковым успехом можно рассматривать умножение действием, обратным делению, так как и смысл деления, и способ его выполнения совершенно ясен.

Общий вывод:

«Если требуется найти, сколько раз одно число (целое или дробное) содержится в другом или какую часть составляет одно число от другого, выполняем это делением».

Схема VII иллюстрирует другой случай деления на дробь — случай нахождения числа по данной его дроби (известны произведение и множитель). Рисунок освещает деление как действие, обратное умножению, рассмотренному на схеме V, и говорит о способе нахождения значения единицы величины по данному значению нескольких единиц или нескольких долей (дроби).

Здесь также обнаруживаем общность смысла деления на целое число и на дробь.

Схема VII

Общий вывод:

«Если известно значение нескольких единиц какой-либо величины или нескольких долей (т. е. дроби) ее, то значение одной единицы этой величины находим делением».

Здесь так же, как и в предыдущем случае, освещается вопрос о том, почему частное может получиться и больше, и меньше делимого.

Приведенные рисунки настолько просты, что позволяют учащимся усвоить вопросы о сущности и способах умножения и деления на дробь в несколько минут.

Вывод правил умножения и деления дроби на дробь не представляет ничего принципиально нового по сравнению с делением целого числа на дробь.

При этом определение произведения: «Произведением двух дробей называется такая дробь, числитель которой есть произведение числителей данных дробей, а знаменатель — произведение знаменателей» — заменяется таким: «Произведением двух дробей является такая дробь» и т. д.*.

Собственно об отношении. Отождествляя всякое частное с отношением, методисты вносят невероятную путаницу, сбивая с толку учителей, а те, в свою очередь, учеников.

Цитируем из той же «Методики» Чичигина.

«Если во всех задачах на деление оставить только числа, без наименования, отбросив их конкретное истолкование (?), то при делении одного числа на другое разрешается, в сущности, только один вопрос, какую дробь одно число составляет от другого (1).

Ответ на этот общий (?) вопрос, который находится действием деления, и условились (кто с кем?) называть отношением одного числа к другому» (стр. 175).

Но ведь «отбросить конкретное истолкование», значит — для школьной арифметики — лишить задачу смысла! Не потому ли и получается у т. Чичигина смешение двух совершенно различных задач, требующих деления на дробь, в одну: задачу на нахождение отношения? А ведь сам же он далее говорит:

«Вся работа (по изучению отношений) завершается применением полученных новых знаний и навыков к решению задач, в которых требуется найти или отношение двух чисел, измеряющих данные величины, или одно из этих чисел, зная отношение и другое число» (стр. 175).

Автор не замечает того, что в последнем случае ему придется делить на отношение, а не получать отношение в качестве частного.

* Здесь, разумеется, речь идет не о формально логических, а о педагогических определениях действий. —Р

Вот к чему приводит формализм и стремление «отбросить» реальную сущность вопроса.

Стремясь определить отношение только как дробь, методист запутывается в формальных определениях. Разграничивая по-своему термины: «частное», «дробь» и «отношение», он высказывает совершенно необоснованные и притом архиформальные утверждения (стр. 173—174).

«При этом следует отметить, что термин «частное» чаще всего применяется для целого числа или дроби, полученных при делении одного целого числа на другое (числителя на знаменатель)*; а отношением называется частное, полученное при делении любого числа на другое (эти числа могут быть целыми, дробными и смешанными), например:

Отношения, записанные в правой части каждого равенства (а чем они отличаются от отношений, записанных в левой части равенства?), иногда называются обобщенными или сложными дробями. Вот эти обобщенные и сложные дроби и называются отношениями» (!?).

Дело совсем не ь том, как записать данное деление посредством двоеточия или посредством черты. Дело и не в том, что отношение показывает, «какую дробь составляет одно число от другого», тем более, что автору «Методики» для своего определения приходится тут же подводить под понятие дроби и целое число. Дело совсем в другом.

Особый термин «отношение» получает право гражданства только потому, что он заключает в себе единство противоположностей.

Отношение показывает: или во сколько раз одно число больше другого, или какую часть одно число составляет от другого (схема VIII).

На оба эти — количественно противоположные — вопроса получаем ответ при помощи одного и того же действия—деления.

Получится ли в частном целое, смешанное или дробное число, это не имеет никакого значения в определении понятия «отношение».

Первый из вопросов («во сколько раз одно число больше другого?») возникает уже при изучении целых чисел (деление по содержанию). Отношение может быть и целым числом.

Второй вопрос («какую часть составляет одно число от другого?») возникает позже — при изучении дробей. Поэтому ставить знак равенства между понятиями «отношение» и «дробь» нельзя.

Схема VIII

* Стало быть, частное все-таки есть дробь, полученная от деления числителя на знаменатель? Зачем же это скрывать в разделе о дробях!

В той же «Методике» т. Чичигина (стр. 177) говорится, что частное «|- может быть ответом на следующие вопросы: во сколько раз число а больше числа b (иначе: сколько раз число b содержится в числе а), если а>о, или какую часть число а составляет от числа Ь, если а<Ь. Преподаватель сообщает учащимся, что это частное (jj^ условились называть отношением числа а к числу Ь. Затем учащиеся по вопросам преподавателя формулируют определение отношения двух чисел как частного, полученного при делении одного числа на другое, и повторяют основные вопросы, которые решаются делением».

Давая отношению определение, как частного, автор не делает оговорки, что частное может и не быть отношением (в случае деления на части). Так, например, частные, полученные в примерах схемы VII, нельзя назвать отношениями.

Мало того, автор далее вновь подчеркивает свою точку зрения:

«Преподаватель разъясняет, что вместо букв а и b можно подразумевать любые числа, не только целые, но и дробные, а также смешанные, например:

«В силу этого понятие «отношение» отличается от понятий «частного» и «дроби»: в последних делимое и делитель или числитель и знаменатель только целые числа, а члены отношения могут быть любыми числами»(*).

А ведь раньше было сказано, что отношение показывает, «какую дробь составляет одно число от другого»!

Между тем единственно правильное определение понятия «отношение» — это то, что дано на схеме VIII. И никаких дополнительных толкований оно не требует.

Совершенно необоснованно дается понятие об отношении и в стабильном учебнике лишь после того, как уже закончено изучение дробей.

Что совершенно отсутствует в курсе арифметики? Мы уже говорили, что курс арифметики средней школы построен совершенно формально, не раскрывает существа арифметических понятий и действий. Он не приучает к употреблению учащимися в каждом случае наиболее рационального способа вычислений (требование, предъявляемое стахановцу на производстве, — наиболее рационального метода работы в каждом отдельном случае). Основное — этот курс не прививает учащимся методов диалектического материализма, не дает им основ логического мышления, опирающегося на факты и связи, взятые из реальной действительности. В курсе полностью отсутствуют обобщения. Совершенно игнорируется необходимость развить функциональное мышление учащихся. Весь курс носит эклектический характер, в корне противоречащий самой сущности математической дисциплины.

Учебник совершенно не соответствует требованиям политехнической школы. Он не задается целью научить учащихся «читать формулы» подобно тому, как каждый рабочий должен уметь «читать чертеж». В нем даже отсутствует раздел «Функциональная зависимость величин». Имеется глава «Пропорциональная зависимость величин», в которой рассматриваются лишь два частных случая функциональной зависимости величин прямо пропорциональная и обратно пропорциональная. У учащихся искусственно создается убеждение, что зависимость между явлениями ограничивается лишь этими двумя видами. Отсутствует понятие о переменных величинах и самый термин «функциональная зависимость».

Совершенно не дается понятия о графическом выражении функциональной зависимости.

Между тем «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика» (Ф. Энгельс, Диалектика природы).

Идея функциональной зависимости должна пронизывать программу и учебник арифметики, начиная с раздела целых чисел. Сюда должны быть включены в активной форме вопросы, как, например: «Один из сомножителей увеличили в несколько раз; что надо сделать с другим сомножителем, чтобы произведение не изменилось? чтобы произведение увеличилось во столько-то раз?» и подобные же вопросы относительно других арифметических действий.

Курс арифметики должен заканчиваться специальным разделом «Функциональная зависимость величин», в котором должно быть представлено, в частности, и троякое выражение зависимости таблицей, графиком и формулой.

Нет совершенно никакого основания переносить понятие о функциональной зависимости только в курс алгебры, придавая школьной арифметике совершенно несвойственную ей статичность.

Примеры графического выражения функциональной зависимости следует брать из области физических и технических наук, в первую же очередь из области строительства коммунизма в нашей родине, в частности стахановского движения.

Отсутствуют в стабильном учебнике рисунки, помогающие конкретизировать изучаемый материал. Между тем точку зрения, что наличие рисунков противоречит научности школьного курса и «вульгаризирует» науку, пора оставить.

Даже такой раздел, как «Проценты», где сами собой напрашиваются диаграммы, сближающие науку с жизнью, и тот без иллюстраций дается в учебнике мертво и схоластично.

Традиционная арифметика столетней давности служила прикладным целям капиталистического строя.

Арифметика в Стране Советов должна служить воспитанию и образованию строителей коммунистического общества.

ОБ ОДНОМ ВОПРОСЕ АЛГЕБРЫ

Б. Я. ПАХОМОВ (с. Плоское Орловской обл.)

Вопросы преподавания комплексных чисел в курсе X класса еще недостаточно освещены в методической литературе. Между тем и теоретическая, и методическая стороны преподавания этой темы заслуживают внимания.

Совершенно нетерпимым является, например, такое положение, когда во многих случаях в сознание учащихся старательно внедряется идея, что / — это и есть J — 1. Что / является одним из значений \]—1 (другим является — /) — это верно, но говорить, как это сказано в § 137 стабильного учебника (Киселев, Алгебра, ч. II), что мнимая единица — это У—1, значит делать грубую ошибку*. Эта ошибка повторяется иногда и в новейшей учебной литературе. Возьмем, например, «Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии» Е. С. Березанской и Ф. Ф. Нагибина, вышедший в 1951г. На стр. 89 в формулировке упражнения 1 содержится в общем правильная мысль, что / — это новое число, вводимое для того, чтобы сделать возможным извлечение корня четной степени из отрицательного числа, что / — это такое число, квадрат которого полагается равным — 1. Следовало ожидать, что авторы будут последовательны в проведении этой точки зрения, однако читателя ждет разочарование уже на следующей странице. В упражнении 10 требуется преобразовать выражения:

воспользовавшись числом /. Судя по приведенным ответам, авторы ждут от ученика примерно таких преобразований:

в полном соответствии с порочной традицией считать |/— 1 = /. Если же пользоваться только тем свойством 19 что i'2 = — 1, то следовало бы писать:

Если учащиеся уже знакомы с извлечением корня из комплексного числа, то дальнейшие преобразования можно провести так:

считая, что возможны самые различные комбинации знаков. Аналогично обстоит дело со вторым примером из этого же упражнения.

В несколько неудобное положение попадают авторы, давая ответы к упражнению 53, где требуется найти ошибки з рассуждениях. Судя по этим ответам, авторы сами не смогли найти злополучные ошибки в следующих рассуждениях:

* Об этой ошибке см. также книгу П. С. Моденова «Сборник задач по математике», «Советская наука», 1952, стр. 112.

* Законность преобразования у 125- (—1) — = бу^б^— 1) мы считаем установленной. См. С.И. Новоселов, Специальный курс элементарной алгебры, «Советская наука», 1951, стр. 117 и 161.

А между тем эта ошибка сразу бросается в глаза: считается, что / == у—1. Чтобы выявить другую ошибку, полезно обратиться ко второму примеру. Здесь сначала считается, что квадратный корень имеет только одно значение (|/ —1 = = /), а в конце берутся два значения (JA = = ztzl). В таком случае подобное же неверное рассуждение можно провести и для действительных чисел:

Внимательно рассматривая эти примеры, в особенности третий, можно выявить еще одну ошибку, впрочем, связанную с первой: понятие арифметического корня ошибочно распространяется на радикалы в поле комплексных чисел. В самом деле, почему обязательно |/ —9—3/ или ]/—1=/?

Если рассматривать извлечение, например, квадратного корня в поле действительных чисел, то равенство 3 = У^9 можно считать верным при условии, что берется только арифметическое, т. е. положительное значение корня. В таком случае преобразование — Y—9 —1 недопустимо. Это преобразование допустимо в поле комплексных чисел, но тогда нельзя писать: 3 = у^9, так как понятие арифметического корня в поле комплексных чисел не вводится. Действительно, какое число следовало бы считать арифметическим значением Y—9 или, скажем, у t ? Ясно, что ни число 3/, ни число —3/ нельзя назвать положительным, так же как не являются ни положительными, ни отрицательными числами числа

А ведь неверное равенство i = V —1 и основано, очевидно, на наивном распространении понятия арифметического корня на комплексные радикалы.

Все это Е. С. Березанская и Ф. Ф. Нагибин обошли. Ошибку в приведенных рассуждениях они объясняют только тем, что в этих рассуждениях применяются правила действий, доказанные только для арифметических корней. Подобное неясное пояснение может только направить учащихся, а возможно и отдельных учителей, на ложный путь. В стабильном учебнике, действительно, не приводится никаких рассуждений, из которых непосредственно вытекала бы допустимость преобразования

но это вовсе не означает, что такое преобразование вообще недопустимо. Наоборот, нетрудно убедиться, что в поле комплексных чисел справедливо равенство

Стало быть, дело не в правилах действия с корнями. Действительная ошибка, вызывающая парадоксальные результаты, состоит в том, что игнорируется сам смысл комплексного радикала и протаскивается наивное представление об «арифметическом» комплексном корне.

Несмотря на переработки, стабильный учебник издается каждый год с одними и теми же ошибками в § 137: здесь содержится и «определение» 1 — у—1, здесь и неверные равенства типа Y —b2 — Ы. А между тем давно пора покончить с этими ошибками.

* Заметим, что можно было бы в качестве обобщения понятия арифметического корня рассматривать главные значения комплексных радикалов (при определенном выборе аргумента), однако тогда правило умножения арифметических действительных радикалов перестает быть применимым. См. С. И. Новоселов, Специальный курс элементарной алгебры.

* См. С. И. Новоселов, Специальный курс элементарной алгебры, «Советская наука», 1951, стр. 161.

К ВОПРОСУ ОБ УЧЕБНИКЕ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ VI И VII КЛАССОВ

П. М. ЭРДНИЕВ (Нечунаево, Алтайский край)

Учебник геометрии Киселева, как известно, обладает многими положительными качествами; к ним следует отнести прежде всего лаконичность языка и доступность изложения, наличие удачного подбора упражнений. Однако этот учебник обладает и существенными недостатками, которые затрудняют работу с ним, особенно в VI и VII классах.

1. Стиль изложения и язык учебника игнорируют возрастные возможности учащихся; не учитывается тот факт, что первые страницы читают учащиеся 12—13 лет, а последние — предназначены учащимся 17—18 лет.

Не случайно учителя в шестых классах прибегают к параллельной записи доказательств теорем в тетрадях; это объясняется тем, что ученик не может по учебнику научиться подробной, логически связной математической речи, необходимой для доказательства теоремы.

Чрезмерную лаконичность изложения первых теорем следует заменить подробными (быть может, вначале до мелочей) рассуждениями.

2. Хорош тот учебник, в котором материал излагается так, как он изучается и фиксируется на уроке. Ни один учитель геометрии не сомневается в необходимости ознакомления учащихся с общепринятой схематической записью условия, заключения, доказательства.

Если проведение схемы «дано — доказать — доказательство» во всем учебнике излишне, то подобное оформление первых теорем необходимо. Этого нет в учебнике Киселева.

3. Учащиеся VI класса очень трудно осваиваются с необычным расположением текста в учебнике. Под одной «шапкой» даны несколько теорем (например, теоремы о признаках равенства прямоугольных треугольников, о перпендикуляре и наклонных, о признаках параллельности прямых, прямые и обратные теоремы и т. д.).

Не удивительно, что общее для двух или нескольких теорем условие учащиеся относят только к первой теореме, а формулировки остальных часто заучивают «по учебнику», без условия. К тому же, подобным расположением текста отрывается формулировка теоремы от ее доказательства, что затрудняет работу с учебником. (Например, текст учебника расположен так: формулировка прямой теоремы, формулировка обратной теоремы, доказательство прямой теоремы, доказательство обратной теоремы.)

Нам представляется целесообразным такое расположение текста, когда за формулировкой теоремы следует непосредственно ее доказательство.

4. В учебнике геометрии применяется параллельное расположение текстов теорем о биссектрисе угла и о перпендикуляре, проведенном к отрезку через его середину.

В большей степени подобное расположение материала оправдало бы себя при изложении прямых и обратных теорем, где сравнение схематических записей условия и заключения облегчает понимание связи между этими теоремами. Например, мы в своей практике применяем следующую параллельную запись.

Теоремы о соотношении между углами и сторонами треугольника.

Прямая теорема

Обратная теорема

5. Об аксиомах в учебнике Киселева сказано лишь вскользь, хотя с ними мы встречаемся при логическом анализе доказательств уже первых теорем. Смутное представление об аксиомах сохраняется зачастую вплоть до окончания курса геометрии (об этом убедительно говорят ответы учащихся на экзаменах на аттестат зрелости). Не допуская и мысли об изложении вопросов полноты или непротиворечивости системы аксиом в школьном учебнике, мы все же считаем, что список аксиом, которые используются в логических доказательствах, должен быть в нем дан крупным шрифтом. Например, учащиеся семилетней школы должны твердо знать в качестве аксиом предложения:

а) через две точки можно провести только одну прямую;

б) две прямые, лежащие в одной плоскости, могут пересечься только в одной точке;

в) аксиома о параллельных.

6. Мы считаем целесообразным изменить формулировки и доказательства некоторых теорем, переработав их так, чтобы они стали логически более «прозрачными» для понимания учащимися.

а) Теорему: Разность двух сторон треугольника меньше третьей, доказывать так, как предлагает т. Чупров (журн. «Математика в школе», 1952, № 5, стр. 62).

б) Теорему о средней линии треугольника сформулировать так: Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. Эта формулировка аналогична формули-

ровке теоремы о средней линии трапеции и усваивается учащимися легче, чем приведенная в учебнике.

Доказательство лучше дать такое, как в учебнике Ю. О. Гурвица.

в) Следует сосредоточить в учебнике в одном месте систематическое изложение материала о геометрических местах точек.

г) В учебнике Киселева раздел «О зависимости между дугами, хордами и расстояниями хорд от центра» (§ 100, 110) изложен очень громоздко; в теоремах этого раздела одно условие и два следствия.

Удобнее этот раздел изложить в упрощенном виде (в таком же плане построены вопросы в экзаменационных билетах VII класса): «Зависимость между дугами и хордами», «Зависимость между хордами и расстояниями их от •центра».

7. В разделе «Вписанные и -некоторые другие углы» совершенно не излагается вопрос об угле, описанном около окружности, и угле, образованном касательной и секущей. Полагаем, что нет никакой необходимости подробно рассматривать каждый случай в виде теоремы, а следует свести их к предельным случаям «угла с вершиной вне окружности», когда одна или обе секущие становятся касательными.

Можно также опустить приводимое в учебнике доказательство теоремы об угле, составленном хордой и касательной, так как она является обычным следствием более общей теоремы об измерении вписанного угла. Такой подход к изложению темы обеспечивает полноту и систематичность и позволяет вводить элементы движения в геометрию (касательная как предельное положение секущей).

Это тем более важно, что в стабильном задачнике есть много задач на описанный угол и угол между секущей и касательной, решение которых необходимо.

8. В учебнике Киселева в § 106 утверждается, что обратные теоремы «о диаметре, перпендикулярном к хорде», можно доказать способом от противного. Но это при наличии посылок учебника невозможно, так как в нем не разобраны все взаимно исключающие друг друга случаи.

Чтобы можно было применить метод от противного при доказательстве обратных теорем данного раздела, следует в учебнике дать теорему: Диаметр, не перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые дуги на неравные части.

9. Признаки равенства прямоугольных треугольников, не требующие особого доказательства (§ 56 учебника), следовало бы дать как следствия признаков равенства треугольников сразу после них.

10. Представляется также необходимым иначе изложить материал о центральной и осевой симметрии, введя, быть может, больше описаний и снабдив текст цветными рисунками.

11. Следует исключить § 78.

ОБ ИЗМЕНЕНИИ ВЕЛИЧИНЫ ДРОБИ С ИЗМЕНЕНИЕМ ЕЕ ЧЛЕНОВ*

Заслуженный учитель школы БССР И. ПИСАРЧИК (Мозырь)

В программе по арифметике для пятых классов средней школы существует раздел «Изменение величины дроби с изменением ее членов». Этот раздел по традиции перешел из программы и учебников по арифметике дореволюционной школы в программы и учебники советской школы. Наличие этого раздела, очевидно, имеет целью: во-первых, дать теоретическое обоснование замены одной дроби другой, равной ей, с соответственно меньшими (большими) членами; во-вторых, научить решать задачи на увеличение (уменьшение) дроби в несколько раз. Что касается первого пункта, то он не вызывает никаких недоуменных вопросов по существу. Обосновать замену одной дроби другой, равной ей, но с соответственно меньшими (большими) членами (основное свойство дроби), стабильный учебник арифметики А. П. Киселева рекомендует на наглядных пособиях (чертеже). И это правильно. Такое усвоение основного свойства дает возможность сознательно выполнять преобразование дробей и, в частности, приведение к общему знаменателю. Что же касается второго пункта — дать теоретическое обоснование увеличения или уменьшения дроби в несколько раз в зависимости от увеличения или уменьшения ее членов, то постановка этого вопроса в такой форме и в самом начале изучения дробей в V классе вряд ли обоснована.

Во-первых, если такое раннее знакомство с техникой увеличения и уменьшения дроби в несколько раз имеет целью подготовить учащихся к пониманию умножения и деления дроби на целое

* Статья печатается в порядке обсуждения.— Ред.

число, то это ознакомление надо бы поставить в гех параграфах, где говорится об умножении и (соответственно) о делении дроби на целое число, а не в начале изучения дробей.

Во-вторых, так называемое изменение (увеличение и уменьшение) дроби в несколько раз уместно было бы рассматривать как следствие умножения и деления дроби на целое число (в случае деления числителя дроби на делитель нацело), а не делать его основой для умножения и деления дроби на целое число.

В-третьих, неуместная постановка в программе и учебнике вопроса об увеличении и уменьшении дроби в несколько раз создает фальшивую логическую баЗу для изучения умножения и деления дроби на целое число. В начале изучения дробей мы под видом «увеличения» и «уменьшения» без достаточного обоснования даем ученикам правило умножения и деления дроби на целое число, а потом ссылаемся на это правило при умножении и делении дроби на целое число. Для примера приведу использование этого правила в § 143 учебника арифметики А. П. Киселева: «Пусть требуется дробь умножить на 5. Это значит 3 увеличить в 5 раз. Чтобы увеличить дробь в 5 раз, достаточно увеличить ее числитель или уменьшить ее знаменатель в 5 раз (§ 127)»*. И это сделано вместо того, чтобы рассмотреть умножение дроби на целое число как повторение троби слагаемым данное число раз.

В-четвертых, постановкой вопроса об изменении величины дроби в связи с изменением ее членов в самом начале изучения дробей мы фиксируем внимание учащихся не на дроби, как таковой, а на ее обозначении, выражении. Почти на первых порах мы заставляем учащихся оперировать над формой, над символом, а не над дробями, как таковыми. В сущности изменение числителя (знаменателя) дроби есть следствие увеличения (уменьшения) дроби.

В-пятых, постановка вопроса об увеличении и уменьшении дробей в самом начале изучения дробей создает в сознании учащихся смешение или даже полное отождествление понятий увеличение и умножение. В учебнике Киселева (§ 143) прямо сказано: умножить — это значит увеличить.

В «Сборнике задач и упражнений по арифметике» Е. С. Березанской в разделе «Сравнение дробей», наряду с упражнениями на «увеличение», «уменьшение», даны примеры на умножение и деление дроби на целое число (№ 621, 622, 625, 626).

Автором задачника предполагается, очевидно, что ученики, при решении названных упражнений, уже умеют умножать и делить дроби на целое число. Если бы они умели это делать сознательно, то в этом не было бы ничего плохого. Но где же и когда ученики изучали эти действия?

При таком расположении материала и при таком определении умножения ускользает понимание того, что «увеличение» и «уменьшение» — это задачи, решаемые умножением или делением на целое число.

В-шестых, изменение величины дроби с изменением ее членов представляет собой функциональную зависимость между членами дроби и ее величиной (прямая и обратная пропорциональная зависимость). Изучение этого вопроса без знакомства с действиями над дробями педагогически не обосновано. Кроме того, на данной стадии изучения арифметики дроби представляются ученикам величинами постоянными, а не переменными, и говорить об изменениях величины дроби с изменением ее членов преждевременно.

В качестве выводов напрашиваются следующие предложения:

1. Увеличение и уменьшение дроби в несколько раз с изменением ее членов изучать в пятом классе в связи с умножением дроби на целое число и делением дроби на целое число.

2. Увеличение и уменьшение дроби в несколько раз с изменением ее членов не ставить основанием для вывода правил умножения и деления дроби на целое число, а считать следствием этих правил.

3. Не отождествлять «увеличение» и «уменьшение» дроби с арифметическими действиями умножения и деления дроби на целое число.

4. Увеличение и уменьшение дроби в несколько раз не считать каким-то суррогатом арифметических действий, а считать задачей, решаемой умножением или делением дроби на целое число.

* Киселев, Арифметика, в переработке А. Я. Хинчина, стр. 103.

ИЗ ОПЫТА

ПРАВИЛА ПОДСЧЕТА ЦИФР, СОКРАЩЕННОЕ УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ В КУРСЕ VIII КЛАССА

М. Г. ВАСИЛЬЕВ (Петровск)

Ознакомление с простейшими приближенными вычислениями желательно проводить уже в семилетней школе, но так как в программе нет на это указаний, то большинство преподавателей семилетней школы совершенно не знакомит учащихся с этим важным разделом. Но если в семилетней школе и обходятся без приближенных вычислений, то в старших классах, где учащиеся встречаются с различными иррациональными числами (корни, логарифмы, антилогарифмы, число ic, значение тригонометрических и обратных круговых функций и т. д.), без них уже трудно обойтись.

Поэтому каждый преподаватель VIII класса должен позаботиться о том, чтобы ознакомить учащихся, хотя бы в самой элементарной форме, с простейшими действиями над приближенными величинами.

Мне кажется, удобнее всего связать это ознакомление с прохождением темы о радикалах и об измерении отрезков в форме небольших бесед, рассчитанных на 15—20 минут.

Беседа первая

Тема: «Происхождение приближенных чисел».

Некоторые сведения о приближенных значениях проходятся параллельно с изучением тем: «Понятие об измерении» (по геометрии) и «Понятие об иррациональном числе» (по алгебре).

Содержание. Числа точные и приближенные; происхождение приближенных чисел; примеры приближенных чисел, полученных при измерении, подсчете (приближенный подсчет); вычисление (приближенное деление, приближенное извлечение корней); округление приближенных чисел, правило четной цифры; о количестве значащих цифр приближенного числа.

Беседа вторая

Тема: «Сложение и вычитание приближенных чисел».

Проходится параллельно с прохождением темы «Сложение и вычитание радикалов».

Содержание. Приводится пример.

Измерено расстояние между пунктами А, В и С. Расстояние от А до В равно 236 м, расстояние от В до С 8,6 км. Найти расстояние от А до С, если все три точки расположены по направлению прямой линии.

Расстояние от Л до ß измерено с точностью до 1 м. Расстояние от В до С с точностью до 0,1 км, поэтому в числе 8,6 км нам неизвестны сотые доли километра, а в числе 236 м неизвестны дециметры. Поставив на месте неизвестных цифр знаки вопросов и обратив 236 м в километры, имеем:

т. е. в сумме известны только единицы и десятые доли километра. Значит, число известных десятичных знаков суммы совпадает с числом знаков в приближенном числе с наименьшим количеством десятичных знаков. Пример второй.

Надо найти сумму чисел

Если мы возьмем V 2 с точностью до 0,001, а У^З с точностью до 0,1 и сложим с проставлением знаков вопросов, то в сумме будут из-

вестны только единицы и десятые доли единицы:

Опять число известных десятичных знаков суммы совпадает с числом десятичных знаков в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков.

Сообщается правило:

При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их имеется в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков.

Сообщается, что для упрощения вычислений рекомендуется приближенные слагаемые с большим количеством десятичных знаков округлять, сохраняя лишь одну запасную цифру.

Пример. Надо найти вес прибора S, состоящего из частей а, ß, 7 и ä, причем

Вычисление:

При вычислении алгебраической суммы нескольких иррациональных чисел (например радикалов) необходимо каждое слагаемое взять с одной и той же степенью точности, причем если результат надо получить с точностью до 0,01, то каждое слагаемое надо взять с запасной точностью, т. е. до 0,001.

Пример. Найти сумму угЗ+у/Г2 с точностью до 0,01.

Вычитание всегда может быть заменено сложением, и поэтому правила округления и подсчета цифр, изложенные для сложения, остаются справедливыми и для вычитания приближенных чисел; проверить справедливость их для различных случаев вычитания можно, пользуясь знаками вопроса, поставленными вместо неизвестных цифр.

Беседа третья

Тема: «Умножение приближенных чисел». Проходится при прохождении умножения радикалов.

Содержание. Учащимся предлагается вычислить площадь прямоугольника, стороны ко торого равны V 2 см и У"3 см, двумя способами 1-й способ: путем нахождения приближенных значений /2 и у^З и их перемножения;

2-й способ: путем перемножения радикалов и приближенного извлечения У 6. По первому способу имеем:

Пользуясь вторым способом, имеем:

Во втором случае мы получаем ответ с точностью до 0,0001. Сравнивая с ним результаты, полученные при первом способе, замечаем, что при умножении двузначного числа на двузначное в произведении получаем две верные цифры: 2,38^2,4.

При умножении трехзначного числа на трехзначное в произведении получаем три надежные цифры (2,4393^2,44) и при перемножении четырехзначных чисел — четыре верные цифры (2,449048 ж 2,449).

Для объяснения, почему при умножении приближенных чисел можно поручиться за верность только первых нескольких цифр, преподаватель предлагает перемножить приближенные числа, поставив знаки вопросов на месте первых неизвестных цифр в множимом и множителе:

Далее сообщается, что при умножении приближенных чисел, имеющих одинаковое количество значащих цифр, в произведении получаются приближенные числа, для которых число верных цифр совпадает с числом значащих цифр множимого (или множителя), если же компоненты имеют различное количество значащих цифр, то число верных цифр произведения совпадает с числом значащих цифр того из множителей, которое имеет наименьшее число значащих цифр. Например, умножая /2 на У^З, взятые с точностью до 0,01 и 0,001, имеем:

Верными являются только две первые цифры. Сообщается правило:

При умножении приближенных чисел в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр.

Далее следует указать, что в результате перемножения двух приближенных чисел мы получаем одно и то же число верных цифр в произведении, будут ли числа эти с различным числом значащих цифр или будут округлены до количества значащих цифр компонента с наименьшим количеством значащих цифр. Например:

Поэтому для упрощения вычислений при умножении приближенных чисел данные с большим числом значащих цифр округляются до числа значащих цифр того компонента, в котором имеется самое меньшее количество значащих цифр; при вычислениях, требующих большей точности, сохраняется одна лишняя цифра.

Беседа четвертая

Тема: «Деление приближенных чисел».

Проводится при изучении деления радикалов.

Предлагается решить задачу:

Площадь прямоугольника равна VHÄ, одна из сторон прямоугольника равна Y3. Найти приближенно с точностью до а) 0,1, б) 0,01 и в) 0,001 вторую сторону прямоугольника двумя способами'.

1. Вычисляя уг2\ и Y 3 и производя деление приближенных чисел.

2. Производя деление V~2\ на Y3 и вычисляя Yi.

Примечание. Чтобы не тратить в классе время на производство вычислений как для умножения, так и для деления по первому способу, можно предварительно изготовить плакат.

Решение.

1-й способ:

2-й способ:

Объясняется, что результат, полученный вторым способом, является более верным, так как, согласно теореме о делении радикалов с одинаковыми показателями, у 7 есть точное значение частного, а погрешность, допущенная при извлечении корня, не превышает единицы последнего разряда. Сравнивая результат, найденный вторым способом, с результатами, полученными первым способом, замечаем, что при делении двузначного числа на двузначное в результате получаем только две надежные цифры, при делении трехзначного числа на трехзначное — три и при делении четырехзначного на четырехзначное — четыре верных цифры.

Далее предлагается разделить 4,582 на 1,7 В результате получаем: 2,694 ^ 2,7, т. е. столько же, сколько мы получили бы, округлив 4,582 до 4,6.

Разбирая эти примеры, мы видим, что правила умножения приближенных чисел остаются верными и для деления.

Сообщается, что в справедливости этих правил можно было бы убедиться и другим способом: подставляя знаки вопросов на месте первой неизвестной цифры.

Например:

Далее делить нет смысла, так как получившаяся в остатке единица сомнительна, а остальные цифры остатка нам неизвестны.

Преподаватель сообщает учащимся, что правила «подсчета цифр» и разобранные главным образом на примерах приближенных значений квадратных корней остаются справедливыми и для любых приближенных чисел.

Подчеркиваем, что правила эти облегчают вычисления, так как мы, применяя их, своевременно отбрасываем ненадежные «хвосты» цифр и предлагаем в дальнейшем пользоваться этими правилами при действиях, в которых будут встречаться приближенные компоненты.

Беседа пятая

Тема: «Правила «подсчета цифр» при возведении в степень и извлечении корня». Сообщаются правила:

1. При возведении в степень (в квадрат и куб) в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число.

2. При извлечении квадратного и кубического корней в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное (приближенное) число.

Первое правило легко иллюстрировать на основе правил умножения.

О справедливости второго правила легко догадаться, рассматривая извлечение корня, как действие, обратное действию возведения в степень.

Легко показать справедливость правила, проставляя знаки вопросов на месте неизвестных цифр.

Пример:

Производить далее извлечение корня нет смысла, так как получаемая в остатке цифра ненадежна, а остальные цифры неизвестны.

Сокращенное умножение

Решается задача: Площадь участка имеет форму прямоугольника, измерения которого равны 236 м и 124 м. Найти площадь участка.

Решая задачу с применением обычного способа умножения, получим:

5=124-236 = 29264 = 29300 (кв. м), или 2,93 га.

Вспомогательные вычисления:

Согласно правилам подсчета цифр, в ответе мы взяли три значащие цифры, а остальные, справа стоящие, откинули, как ненадежные. Следовательно, вычисления, проведенные справа от вертикальной черты, проделаны напрасно. Правда, они оказались небольшими, но при числах с большей значностью эти напрасно проведенные вычисления уже будут отнимать значительно больше времени.

Есть способ перемножения, при котором мы не будем затрачивать время на вычисление ненужных цифр.

Это способ, называемый сокращенным умножением, заключается в следующем:

1-й случай. Оба множителя имеют одинаковое количество значащих цифр.

Пишем под одним из сомножителей другой, переставив его цифры в обратном порядке (числа взяты из разобранной задачи):

Затем перемножаем крайнюю справа цифру множителя, в данном примере 1, на все цифры множимого справа налево, т. е. на 6, 3 и 2. Выполнив это, цифры 1 и 6 зачеркиваем:

Затем перемножаем 2 на 3 и на 2, причем к результату от перемножения 2 на 3 прибавляем 1, полученную при округлении результата от умножения 2 на 6:

Полученный результат подписываем под ранее полученным, начиная с крайней правой цифры, и цифры 2 и 3 зачеркиваем:

Теперь остается умножить 4 на 2 и к полученному результату прибавить 1, полученную при округлении результата от перемножения 4 на 3 10).

В целом это перемножение представится так:

В найденном результате число целых цифр устанавливается путем перемножения данных чисел, округленных до высших разрядов:

Следовательно, в ответе надо взять 29 200 кв. мч или 2,92 га.

По правилам подсчета цифр перемножаемые числа имеют или одинаковое число значащих цифр, или отличаются на одну значащую цифру.

Первый случай мы разобрали. Разберем расположение действий сокращенного умножения для второго случая, когда разность в числе значащих цифр сомножителей равна 1.

Задача. Вычислить длину окружности, пользуясь формулой C = Kd, если при измерении диаметр d оказался равным 32,62 м.

Объясняется, что число гс есть число иррациональное и может быть взято только приближенно с требуемой степенью точности.

Согласно правилам подсчета цифр, значение для гс надо взять равными 3,1416.

Перемножение следует расположить в таком порядке:

т. е. за множитель принимается число с меньшим количеством значащих цифр, причем цифры мно-

жителя подписываются под множимым в обратном порядке, начиная с первой цифры слева.

Процесс перемножения проводится так же, как и в разобранном первом примере:

Для выделения целой части производим грубый подсчет:

т. е. должно получиться число, близкое к 100.

Для сравнения приводится перемножение, проведенное обычным способом:

Все вычисления по правую сторону от вертикальной черты проделаны напрасно!

Сокращенное деление и таблицы вида ——

Решается задача: Объем тела равен 120,3 куб. см, вес 783,6 г. Найти удельный вес тела.

Решение:

Вспомогательные вычисления:

Абсолютная величина остатка меньше половины делителя.

Сокращенный способ

Зачеркиваем цифру 3 и делим первый остаток 618 на 120:

Примечание. При умножении 5 на 120 учитываем 1,5, полученные от перемножения 5 на 3, округляя, прибавляем 2.

Зачеркиваем 0 и делим 16 на 12.

Зачеркиваем 2 и делим 4 на 1.

В целом деление по этому способу может быть расположено так:

Деление сокращенным способом может быть заменено умножением при помощи таблиц обратных чисел (см. таблицу XVII четырехзначных математических таблиц Брадиса В. М.).

Если приходится делить на число, состоящее из цифр, близких к 9, то лучше пользоваться таблицами обратных чисел; если же цифры дели теля близки к 1, то лучше делить, применяя способ сокращенного деления. Например:

Вспомогательные вычисления:

Вспомогательные вычисления:

При делении десятичной дроби на десятичную в случае разницы в количестве цифр в дробной

части делимого и делителя производится деление данных чисел, как целых, полученный ответ регулируется подсчетом округленных компонентов.

Пример 1.

Разделив сокращенным способом 8326 на 3213, получим в частном 2,592.

Прикидываем частное от деления 8000 на 3, получим приблизительно 2500. Следовательно, в частном получим 2592.

Пример 2.

Следовательно, в частном имеем 25,92.

В IX классе после прохождения темы «Обобщение понятия о показателе» можно познакомить учащихся со следующим приемом:

Опять производим деление целых чисел, а ответ «регулируем» степенью числа 10:

В общем виде правило можно записать так:

где М и N— целые числа.

Каким бы из указанных приемов учащиеся ни пользовались, необходимо приучать их постоянно контролировать свои вычисления грубым подсчетом результата.

Навыки эти пригодятся им при всех вычислительных операциях, будут ли они пользоваться сокращенным умножением или делением, или будут вычислять механизированным способом с помощью счетной линейки или арифмометра.

От редакции. Значение приближенных вычислений и правил, позволяющих рационализировать вычисления, с точки зрения политехнического обучения бесспорно, об этом говорить излишне. По поводу настоящей статьи т. М. Г. Васильева необходимо сделать два следующие замечания:

1. Первоначальные сведения о приближенных вычислениях желательно давать раньше, а именно в V и VI классах, некоторые учителя именно так и поступают.

Вопрос о приближенных вычислениях в младших классах разобран в статье т. М. Г. Васильева «Простейшие вычисления с приближенными величинами в курсе семилетней школы», журн. «Математика в школе», 1951, № 5. Материал старших классов дает возможность укрепить и усовершенствовать навыки, приобретенные в младших классах.

2. Изложенные автором правила сокращенного умножения и деления упрощают вычисления и имеют несомненную практическую ценность. Однако, с другой стороны, законно опасение, что эти правила, требующие при выполнении действий новых навыков, создадут путаницу, так что учащиеся будут дезориентированы наличием «старых» и «новых» способов.

Этот вопрос может быть решен экспериментальным путем, однако редакция не имеет сведений, проводился ли еще где-нибудь подобный опыт.

Можно рекомендовать первый эксперимент введения правил сокращенного умножения и деления произвести на занятиях школьного кружка.

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ*

Е. Ф. МОНОГЕНОВА (Пенза)

Тема «Скрещивающиеся прямые» содержит в себе три вопроса: 1) понятие о скрещивающихся прямых, 2) угол между двумя скрещивающимися прямыми и 3) расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

Эти вопросы не сосредоточены в одном месте курса стереометрии, а «рассеяны» по нему и проходятся по мере накопления у учащихся знаний о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве. Обычно эта тема дается учащимся с большим трудом. Ввиду еще слабо развитого пространственного представления, учащиеся затрудняются в понимании материала и быстро забывают пройденное, причем непрочности знаний способствует не только нечеткость полученных представлений, но и недостаточность упражнений.

Для успешного изучения вопроса о скрещивающихся прямых необходимо: 1) обеспечить уроки наглядными пособиями; 2) составить ряд упражнений для выработки отчетливых представлений и закрепления пройденного; 3) в дальнейшем неоднократно возвращаться к изученному, комбинируя в задачах вновь проходимый материал с вопросами о нахождении углов и расстояний между скрещивающимися прямыми, что мож-

* Настоящая статья представляет собой доклад, прочитанный на городских и областных «педагогических чтениях» в г. Пензе в 1952 г. заслуженным учителем школ РСФСР Е. Ф. Моногеновой.

но сделать в X классе при изучении многогранников (или при решении треугольников в тригонометрии).

Для обеспечения наглядности при прохождении темы необходимо иметь следующие пособия: 1) набор моделей прямых и плоскостей; 2) набор проволочных моделей различных многогранников; 3) модель для построения прямой, пересекающей две данные скрещивающиеся прямые и перпендикулярной к ним обеим; 4) плакаты с чертежами для некоторых задач.

В начале изучения каждого вопроса все должно моделироваться самими учащимися (должен иметься так называемый раздаточный материал) для выработки ясных представлений. Затем роль моделей должна уменьшаться и возрастать роль чертежа: учащиеся должны научиться и делать, и читать чертежи. После того как будут выработаны правильные представления изучаемых образов, можно практиковать решение легких задач без чертежа и модели для развития пространственного воображения; проверять решения можно по модели или чертежу.

I. Подводя учащихся к понятию о скрещивающихся прямых, вспоминаем о возможных взаимных положениях двух прямых, а именно:

1) прямые имеют две общие точки, тогда они сливаются в одну;

2) прямые имеют одну общую точку, тогда они пересекаются; такие прямые лежат в одной плоскости;

3) прямые не имеют общих точек и лежат в одной плоскости, тогда они параллельны.

Далее ставим перед учащимися вопрос о том, не могут ли две прямые находиться еще в каком-либо взаимном положении, и для решения этого вопроса предлагаем такую задачу.

Дана плоскость Р, на ней прямая DE и точка С вне прямой. Провести через точку С прямую, не лежащую в плоскости Р.

Получив искомую прямую AB (черт. 1), устанавливаем: 1) что она не может пересечься с DE, так как в противном случае через AB и DE можно было бы провести новую плоскость R и через прямую DE и точку С проходили бы две различные плоскости: R и Я, что невозможно; 2) что AB и D не параллельны по той же причине. После этого даем определение: Две прямые, которые не пересекаются и не параллельны, называются скрещивающимися (Еще раз подчеркиваем, что скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.)

Далее предлагаем учащимся указать скрещивающиеся прямые: а) на модели куба (модель каркасная); б) в классной комнате; в) на улице

Следующим этапом в работе является отыскивание скрещивающихся прямых на чертеже, например на чертеже куба (черт. 2) или решение задачи № 1 из § 1 задачника Рыбкина; при этом следует уделить особое внимание отсутствию точек пересечения прямых в тех местах, где на чертеже пересекаются изображения скрещивающихся прямых; при этом хорошо все точки пересечения прямых отметить цветным мелом.

Аналогичное упражнение следует дать учащимся на дом.

Дальнейшие упражнения:

1. На прямой даны две точки. Построить через каждую из них перпендикуляры к данной прямой. Как могут быть взаимно расположены эти перпендикуляры)

2. Даны две пересекающиеся плоскости: Q и Р. Из разных точек А и В линии их пересечения проведены на каждой из плоскостей по прямой: АС — на плоскости Q и BD — на Р. Доказать, что эти прямые скрещивающиеся (черт. 3).

Предположим противное, тогда через прямые АС и BD можно провести плоскость М. Эта плоскость содержит точку В и прямую АС, а потому она должна слиться с плоскостью Q. Про ходя через прямую BD и точку А, плоскость должна слиться с плоскостью Я, чего быть не может, так как эти плоскости различны. Следовательно, АС и BD — скрещивающиеся прямые.

3. Через данную точку А провести прямую, пересекающую данные скрещивающиеся прямые а и Ь, не проходящие через А (черт. 4).

Черт. 1

Черт. 2 Черт. 3

Искомая прямая должна проходить через точку Л и пересекать прямую а; значит, она лежит r плоскости Му проходящей через прямую а и точку А (так как две ее точки: точка А и точка пересечения с прямой а должны лежать в плоскости М). Она лежит также и в плоскости Ny проходящей через точку А и прямую о; следовательно, она служит линией пересечения плоскостей M и N. Отсюда вытекает и построение. Если линия пересечения плоскостей M и M окажется параллельной прямой а или Ь, то задача не имеет решения.

4. Две скрещивающиеся прямые пересечены третьей. Сколько плоскостей можно провести через эти прямые так, чтобы каждая плоскость определялась двумя прямыми из данных?

Заставляя учащихся отыскивать на моделях и чертежах скрещивающиеся прямые, надо давать и такие пары прямых, которые при продолжении пересекаются, когда учащиеся, отвечая на вопрос:

скрещиваются ли эти прямые, — должны ответить: нет. Например:

5. Определить взаимное положение следующих прямых: ВВ' и NC; AM и NC; MN и AC; MN и ВС; если Л, Ву С, D, А'у В'у Су D'-вершины куба, a M и N — середины смежных ребер (черт. 5).

Этими упражнениями мы закрепляем определение скрещивающихся прямых и учим учащихся видеть, в каких плоскостях лежат те или иные прямые.

Ввиду новизны понятия «скрещивающиеся прямые» следует, во избежание забывания при прохождении последующих глав стереометрии, вводить соответствующие упражнения.

Задача 1. В плоскости Р дана прямая AB и вне этой плоскости точка М. Сколько прямых, скрещивающихся с прямой AB и параллельных плоскости Р, можно провести через данную точку М?

Задача 2. Верна ли теорема: прямая, параллельная плоскости, параллельна всякой прямой, лежащей в этой плоскости?

Задача 3. Почему прямые, лежащие в параллельных плоскостях, либо параллельны, либо скрещивающиеся, а пересекающимися быть не могут?

Задача 4. Даны две скрещивающиеся прямые и вне их точка. Провести через данную точку плоскость, параллельную двум данным скрещивающимся прямым.

Задача 5. Провести в правильной треугольной пирамиде через центр основания сечение, параллельное двум непересекающимся ребрам (Рыбкин, Задачник по тригонометрии, § 19, № 17).

Задача 6. Через две скрещивающиеся прямые провести пару параллельных плоскостей.

Задача 7. Середины всех отрезков, концы которых лежат на двух скрещивающихся прямых, лежат в одной плоскости. Доказать.

Задача 8. Построить прямую, пересекающую две данные скрещивающиеся прямые и параллельную третьей данной прямой.

II. Перейдем теперь к вопросу об угле между двумя скрещивающимися прямыми.

Выясняем с учащимися, что скрещивающиеся прямые, не пересекаясь, не образуют угла в обычном смысле, и даем новое определение. Предварительно мы доказываем теорему:

Если через произвольную точку пространства провести прямые, параллельные двум данным скрещивающимся прямым, то величина полученного угла не зависит от положения этой точки (черт. 6).

Имеем

Следовательно,

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

Далее даем определение:

Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку.

Примечание: Угол берется острый.

Дав определение, следует указать, что часто бывает выгодно брать точку О на одной из данных прямых.

Далее следует расширить понятие о взаимно перпендикулярных прямых, считая взаимно перпендикулярными прямые и пересекающиеся, и непересекающиеся в том случае, если они образуют прямой угол.

Определение. Две прямые, образующие прямой угол, называются взаимно перпендикулярными.

Нужно дать и более общее определение перпендикулярности прямой и плоскости.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна ко всякой прямой, лежащей в этой плоскости.

Отсюда вытекает и новая формулировка теоремы, выражающей признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Прямая, перпендикулярная к двум каким-либо пересекающимся прямым на плоскости, перпендикулярна и ко всякой прямой, лежащей на той же плоскости.

Для выработки отчетливого представления об угле между скрещивающимися прямыми и закрепления данного учащимся определения надо проделать ряд упражнений как непосредственно после введения этого определения, так и в дальнейшем.

Упражнения.

1. Имеются две параллельные прямые и третья прямая, пересекающая первую из них. В каких взаимных положениях может быть эта третья со второй и какой она образует с ней угол, если первую прямую она пересекает под углом в 40°?

2. Из центра правильного треугольника восставлен перпендикуляр к его плоскости. Определить, какие углы образует он со сторонами треугольника?

3. В правильной треугольной призме определить угол:

а) между боковым ребром и не пересекающей его стороной основания.

Ответ: Угол между AB и CD равен углу АВМ = 90° (где ВМ \\ CD) (черт. 7).

б) Между стороной верхнего основания и стороной нижнего, непараллельной ей.

Ответ: Угол между АЕ и CD равен углу BCD, так как АЕ \\ СВ\ угол BCD = 60°.

4. Определить углы в кубе:

а) Между скрещивающимися ребрами.

б) Между диагональю куба и не пересекающей ее диагональю основания (черт. 8).

Ответ: угол между B'D и АС равен углу B'DN=:90'0 (MN\\ AC).

в) Между диагональю куба и непересекающим ее ребром (черт. 9).

Ответ: угол между А'С и AB равен углу A'CD =. arc ig /2.

г) Между диагональю грани и не пересекающим ее ребром (черт. 10).

Ответ: угол между В'В и 'CD равен углу DC С = = 45°.

д) Между непересекающимися диагоналями смежных граней (черт. 11),

Ответ: угол между A'D и B'D' равен углу ArDB = = 60°.

5. Доказать, что непересекающиеся ребра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны (черт. 12).

Черт. 7 Черт. 8

Черт. 9 Черт. 10

Черт. 11

Ответ: угол между АС и SB равен углу SBN = 90° (MN II АС), т. е. АС j_ Sß.

6. Доказать, что в правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро перпендикулярно к не пересекающей его диагонали основания (черт. 13).

7. В основании прямой призмы лежит треугольник CBD с прямым углом В; CD = = /3 дм; АВ = 3 дм; BD = /2 дм. Определить угол:

а) Между диагональю боковой грани CF и скрещивающимся с ней ребром AB.

Ответ: 30°.

б) Между С F и АЕ (черт. 14).

Ответ:

8. В равностороннем цилиндре точка окружности верхнего основания соединена с одной из точек нижнего. Угол между радиусами, проведенными в эти точки, равен 30°.

Определить угол между соединительной прямой и осью цилиндра (Рыбкин, Задачник по тригонометрии, § 20, № 1) (черт. 15).

9. В задачу № 23 из § 3 по геометрическому задачнику Рыбкина следует ввести дополнительный вопрос о нахождении угла между скрещивающимися прямыми, данными в задаче (черт. 16).

Дано: АВ\\М; ВК± M; ВК = Ь;АС±АВ; BD _|_ AB; АС и BD не лежат в одной плоскости; АС = BD = с.

Найти угол между АС и BD.

Кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Задача. Даны две скрещивающиеся прямые. Построить прямую, пересекающую обе данные прямые и перпендикулярную к ним обеим.

Решение 1. (Если этот вопрос разбирается до изучения перпендикулярности плоскостей.)

Даны скрещивающиеся прямые а и Ъ. Проводим через прямую а плоскость М, параллельную прямой Ь. Из произвольных точек прямой b опускаем два перпендикуляра на плоскость M (черт. 17): АА' _L M и ВВ' _L M. Соединяем прямой точки А' и В' и через точку С' (точку пересечения прямых А'В' и а) проводим СС J_ М; СС' — искомая прямая. Докажем это.

АА' II ВВ', как два перпендикуляра к одной плоскости. Проводим через А А' и ВВ' плоскость Q (такая плоскость всегда существует и единственна). Прямые b и А'В', имея с этой плоскостью по две общие точки, лежат в ней. А'В' || b (если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает ее, то линия пересечения параллельна первой прямой):

Черт. 12

Черт. 13 Черт. 14

Черт. 15

Черт. 16

Черт. 17

поэтому прямая СС должна лежать в одной плоскости с прямой ВВ\ проходящей через точку С, а такая плоскость единственная плоскость Q. Следовательно, СС лежит в плоскости Q.

Если на плоскости прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и другую. Таким образом, СС пересечет обе данные скрещивающиеся прямые.

Так как СС L M, то СС ± а и СС _L А'В\ А'В' Il b, а следовательно, и СС JL Ьу т. е. СС перпендикулярна к двум данным скрещивающимся прямым. Итак, СС — искомая прямая.

Далее выясняем, что отрезок СС является кратчайшим расстоянием между точками данных скрещивающихся прямых. Соединив произвольные точки F и Е прямых а и b и проведя FF' _[_ Ж, увидим, что FF' < FE у FF' =. СС. Следовательно, OC<FE.

Итак, доказано, что СС является кратчайшим расстоянием между прямыми а и Ь.

В методике Гангнуса и Гурвица имеется доказательство единственности ответа, но в стабильных учебниках этот вопрос не рассматривается; это доказательство ведется от противного.

Если разбирать эту же задачу после прохождения вопроса о двух взаимно перпендикулярных плоскостях, то решение ее будет проще и нагляднее.

Решение 2. Через прямую а проводим плоскость M d b\ через прямую b проводим плоскость Q ±_М; через точку С строим СС J_ M. Прямая СС у имея общую точку С с плоскостью Q, перпендикулярной плоскости М, должна лежать в плоскости Q и т. д.

Решение 3 (черт. 18). Через а проводим плоскость M \\ by а через b — плоскость N \\ а; M || N. Через b проводим плоскость Р J_ М, через а — плоскость Q J_ M. Плоскости Р и Q пересекаются; если бы было Р || Q, то было бы DE II by но DE II а, следовательно, а \\ b, что противоречит условию.

Линия СС пересечения Я и Q есть искомый общий перпендикуляр.

Из этого построения учащиеся ясно видят существование общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым и его единственность.

По окончании решения этой задачи следует выяснить:

1) что расстояние между скрещивающимися прямыми есть в то же время расстояние и от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, параллельной ей и проходящей через другую прямую;

2) что это расстояние есть в то же время и расстояние между двумя параллельными плоскостями, в которых лежат скрещивающиеся прямые.

Решение этой задачи следует иллюстрировать пространственной моделью, так как она требует ясных пространственных представлений и трудно дается учащимся.

Детально разобранное и выученное построение следует применять при решении задач, в которых отрезки скрещивающихся прямых являются элементами пространственных фигур.

Задачи.

1. //? концов отрезка AB, равного а и параллельного плоскости М, проведены к ней перпендикуляр АС и наклонная BD J_ AB. Найти расстояние между АС и DB (черт. 19).

2. Ребро куба равно а. Найти кратчайшее расстояние между ребром куба и непересекающей его диагональю (Рыбкин, § 7, № 8) (черт. 20).

Найдем расстояние между AB и CD. Проведем плоскость Р (AFBE). Эта плоскость Р || CD, ибо CD H FB\ СКА. Р; DL ± Р; проводим ОМ J_ Р\ ОМ — искомое расстояние:

3. Высота цилиндр г 6 дм; радиус основания 5 дм. Концы данного отрезка лежат на окружности обоих оснований; длина отрезка 10 дм. Найти его кратчайшее расстояние от оси и угол между 00\ и MN (Рыбкин, § 13, № 8) (черт. 21).

Черт. 18

Черт. 19

Через ММХ и MN проводим плоскость Q;

Ответ: CK = 3 дл*. Угол между ООг и AfrV равен углу DCM; угол DOW = arc cos -г .

4. В равностороннем цилиндре, радиус основания которого равен R, точка окружности верхнего основания соединена с точкой окружности нижнего. Соединительная прямая образует с плоскостью основания угол а. Определить кратчайшее расстояние между этой прямой и осью цилиндра (черт. 22).

Дано: угол ABA'=ol; OA = R. Найти расстояние между 00' и AB. Можно, не строя это расстояние, искать O'D, сославшись на то, что искомое расстояние равно расстоянию от 00' до плоскости треугольника ABA'.

Выяснить условия возможности задачи.

5. В правильной четырехугольной призме построить кратчайшее расстояние от стороны основания до той диагонали, которая не пересекает эту сторону (Рыбкин, § 7, № 26) (черт. 23).

Найдем расстояние между BD' и CD. Это расстояние равно расстоянию прямой CD от плоскости AD'C'By т. е. равно DL = СМ9 где DL _L AD'; CN±BC.

6. Определить расстояние между двумя непересекающимися ребрами правильного тетраэдра, длина ребра которого равна а (черт. 24).

Проводим плоскость BSK через ребро BS и высоту .SO и KL _1_ SB; KL — искомое расстояние. Докажем это.

АС _[_ KB; следовательно, AC J_ SK (по теореме о трех перпендикулярах) и АС _L KL (по теореме о двух перпендикулярах); KL JL SB — по построению.

Следовательно,

что и требовалось доказать.

7. Задача № 31 из § 3 задачника по геометрии Рыбкина.

8. Определить расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, если ребро его равно а (черт. 25)ь

Определим расстояние между АС и DC. Через DC и А'С проводим плоскость F | АС. Проводим OK_L Р (OK лежит в плоскости диа-

Черт. 20 Черт. 21

Черт. 22 Черт. 23

Черт. 24

Черт. 25

тонального сечения и пересекает Or D). OK равно искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми (NM)

Число задач на скрещивающиеся прямые можно увеличить, если при решении задач на многогранники вставлять дополнительные вопросы или в условии задач время от времени данный угол заменять равным ему углом между скрещивающимися прямыми.

ИЗ ПИСЕМ И ЗАМЕТОК ЧИТАТЕЛЕЙ

К. С. БОГУШЕВСКИЙ (Москва)

I

В последнее время уделялось довольно много места на страницах журнала вопросу о решении с объяснением арифметических задач,— укажем хотя бы на статьи А. А. Могильницкого и А. И. Цвинтарной, В. Кирюнова, И. Н. Голайдо, С. Пильмана, А. И. Волхонского, Э. А. Ясинового, П. В. Стратилатова, А. И. Леничкина, Н. В. Каверина, Я. Е. Гальперина, напечатанные в журнале за 1950—1952 гг. Поэтому в присланных в редакцию заметках и статьях имеются повторения уже опубликованных в журнале высказываний и методических указаний, однако имеется и новый материал, в том числе обсуждение и критика статей по данному вопросу, помещенных в журнале. Обобщить описанный в этих заметках опыт учителей и сопоставить разные мнения представляется полезным.

Все корреспонденты согласны, что учащиеся должны научиться приводить устные и письменные объяснения к решению задач, но в вопросе о содержании и о форме этих объяснений как устных, так в особенности письменных, мнения авторов заметок расходятся иногда довольно резко. Особенно резки расхождения в вопросе об объяснениях, содержащих изложение анализа решения задачи. Еще в № 1 журнала за 1951 г. И. Н. Голайдо выступил с полемической статьей, направленной против высказываний А. А. Могильницкого и А. И. Цвинтарной о желательном характере объяснений к решению задач. И. Н. Голайдо приходит к выводу, что только объяснение, заключающееся в изложении анализа решения задачи, имеет ценность с точки зрения обучения учащихся умению решать задачи и объяснять их решение.

В недавно присланной в редакцию журнала статье «О решении арифметических задач с письменным объяснением» т. П. К. Антонов (Ульяновская обл., с. Игнатовка) приходит к противоположному мнению и утверждает, что требовать от учащихся изложение анализа бессмысленно.

Корнем этих разногласий является, конечно, различие в приемах обучения учащихся решению задач, обусловленное в значительной мере различием взглядов на доступность аналитического метода решения задач для учащихся того или иного возраста.

Поэтому целесообразно остановиться сначала на вопросе о применении анализа при решении арифметических задач.

Анализ при решении арифметических задач

Авторы заметок в большинстве случаев учитывают трудности внедрения аналитического метода в практику преподавания арифметики и предлагают те или иные пути преодоления этих трудностей.

Так, Г. П. Ковальчук (Харьковская обл., Чугуевский район, село Малиновка) указывает, что знакомить учащихся с элементами анализа задач следует начинать уже с первого класса. Например, при решении задачи: «В садике посадили 12 вишен, а яблонь на 8 меньше. Сколько всего деревьев посадили?» — следует еще до решения задачи подвести учащихся к мысли, что для решения необходимо предварительно узнать, сколько посадили яблонь.

Во втором и третьем классах задачи, по мысли автора, решаются с введением элементов анализа в виде вопросов учителя, причем, конечно, ни о какой формулировке метода не может быть и речи, и весь этот «анализ» проводится только в устной форме.

Об этом же пишет и С. И. Елинсон (г. Уфа). Тов. Елинсон подчеркивает необходимость постепенного и неторопливого приучения учащихся к аналитическому методу решения задач. Сначала это должно проводиться в форме ответов учащихся на целесообразно поставленные учителем вопросы, затем учащиеся начинают приучаться ставить вопросы сами (себе или друг другу), и только после этого учитель начинает добиваться изложения анализа устно в повествовательной форме.

С точки зрения приучения учащихся к анализу может оказаться полезным и прием решения за-

дач с помощью графических иллюстраций, так как составление графических иллюстраций к задаче уже само по себе является некоторым анализом задачи. Поэтому уместным будет привести несколько примеров таких иллюстраций из статьи М. С. Ермакова (г. Ворошиловград) «Решение арифметических задач с объяснением».

К сожалению, автор нигде не связывает в явном виде работу над своими чертежами с приучением учащихся к анализу задач. Ниже приводится авторский текст решения двух задач.

Задача. Для осушения луга вырыты 3 канавы общей длиной в 480 м. Вторая канава в 2 раза длиннее первой, а третья на 30 м длиннее второй. Определить длину каждой канавы.

Решение.

1. Графическая иллюстрация условия (черт. 1).

Черт. 1

2. Если бы длина третьей канавы была такой, как второй, т. е. на 30 м короче, то и общая длина была бы на 30 м короче (черт. 2).

Черт. 2

3. Теперь мы можем длину первой канавы принять за 1 часть, тогда длина второй должна быть равна 2 частям, а третьей тоже 2 частям, так как третья сейчас имеет такую же длину, как вторая, а всего частей будет:

(черт. 3).

Черт. 3

Дальнейшее решение уже обычно не вызывает затруднений, и вряд ли для него следует тратить время на выполнение графических иллюстраций.

Объяснение, данное автором ко второму вопросу, нельзя признать удачным, так как оно не содержит в себе элементов, которые вызывали бы учащихся на «действие», будили бы их активность. В это объяснение, безусловно, необходимо было ввести элементы анализа, примерно в такой форме (форма должна находиться в зависимости от класса, в котором проводится урок).

Вопрос. На какой известный тип задач похожа данная задача?

Ответ. На тип задач «на части» (на кратное отношение).

Вопрос. Как надо изменить условие относительно длины третьей канавы, чтобы задача сделалась действительно задачей на части (на кратное отношение)?

Ответ. Надо предположить (взять), что третья канава на 30 м короче, т. е. такой же длины, как вторая.

Вопрос. Как же в таком случае надо изменить величину общей длины канав?

Ответ. Надо уменьшить общую длину канав на 30 м:

С помощью графической иллюстрации очень легко решаются, как показывает автор, задачи такого типа, как задача № 450 из задачника Березанской.

Задача. На станции стояли два состава товарных вагонов (одинаковой длины). В одном составе было на 12 вагонов больше, чем в другом; когда от каждого состава отцепили по 4 вагона, то длина первого состава оказалась в 2 раза больше длины второго состава. Сколько вагонов было в каждом составе?

Автор пишет: «Ученик V класса решил эту задачу очень быстро в уме. Сначала он изобразил графически два состава при помощи прямых линий (черт. 4). Затем он отсек по 4 вагона от каждого состава с левой стороны. Тогда оставшаяся часть первого состава оказалась вдвое длиннее второго

Черт. 4

состава и, по условию, на 12 вагонов длиннее второго...». Дальнейшее решение задачи очевидно.

Включение элементов анализа в объяснение к решению этой задачи тоже весьма желательно, провести его можно таким же приемом, какой указан для предыдущей задачи.

П. К. Антонов, говоря о трудностях освоения учащимися аналитического метода решения арифметических задач, проводит в подтверждение своего мнения ряд соображений. Так, он указывает, что при производстве анализа учащийся должен оперировать с величинами, не известными ему, как с известными, а это действительно дается учащимся не так легко; далее автор указывает, что неверно, будто анализ представляет собой сколько-нибудь точное изложение того пути, которым удалось прийти к избранному способу решения задачи; «путь рассуждений,— говорит автор,— гораздо сложнее идеального аналитического метода».

Особенно настойчиво предостерегает П. К. Антонов от наблюдающегося иногда формального «изучения» метода, заучивания стандартных формулировок, «образцов анализа» и т. п. Такое формальное «изучение» метода сказывается отрицательным образом в дальнейшем, в VII и VIII классах особенно, при решении геометрических задач на построение учащиеся обнаруживают непонимание смысла и цели анализа. Анализ для них из инструмента, служащего для отыскания решения задачи, обращается в добавочный «привесок», затрудняющий оформление решения задачи.

А. И. Зайцев (г. Ногинск), Ф. Н. Князева (г. Первомайск Одесской обл.), С. И. Елинсон вполне справедливо указывают, что слишком догматическое применение анализа при решении арифметических задач может принести только вред. Действительно, требование выполнять анализ при решении задач, в которых порядок действий совершенно очевиден, или задач на хорошо разученные типы будет восприниматься учащимися как определенная помеха, усложняющая решение и запутывающая его.

Естественнее и охотнее всего учащиеся «примут» аналитический метод, если удастся показать на практике его пользу. Для этого хорошо прибегать к анализу в случаях, когда учащиеся затруднятся при решении какой-нибудь задачи, не сумеют найти «первого вопроса».

Письменные объяснения решения арифметических задач

Во всех заметках рекомендуется особая осторожность при переходе от устного изложения анализа к письменному; возможность требовать от учащихся изложения анализа в письменном виде мыслится только после полного овладения ими устной формой изложения анализа, т. е. после усвоения смысла и цели анализа.

П. К. Антонов указывает, что сплошь и рядом приходится наблюдать, как учащиеся, уже решив задачу, мучаются над специальной разработкой анализа, пытаясь «изложить на бумаге те мысли, которые4 должны были бы быть согласно методу, но которых в действительности не было». Такие случаи приходилось наблюдать и нам, возможны, они, конечно, тогда, когда анализ включается в решение задачи чисто формально, и учащиеся не пользуются им для отыскания способа решения. П. К. Антонов безусловно прав, утверждая, что изложение анализа в письменной форме является «наитруднейшим» этапом работы над оформлением решения задачи, но, приходя на этом основании к выводу, что «сколько-нибудь толковую запись анализа в V и даже VI классе могут дать только отдельные учащиеся», он явно впадает в крайность. Эта крайность объясняется полемической направленностью заметки т. Антонова против уже упоминавшейся статьи т. Голайдо (№ 1 журнала за 1951 г.).

В ряде заметок, присланных в редакцию, определенно констатируется, что приучить учащихся V класса (ко второму полугодию учебного года), и тем более VI класса, достаточно осмысленно и толково излагать анализ решения задачи в письменной форме вполне возможно, но для этого надо провести значительную подготовительную работу. Не говоря уже об упоминавшемся упорном внедрении анализа в устные объяснения, необходимо, чтобы учащиеся раньше всего освоились с более элементарными и доступными им формами письменных объяснений-комментариев к решению задач. В этом отношении все авторы заметок явно или неявно полемизируют с т. Голайдо, статью которого можно понять, как призыв изгнать все формы письменных объяснений, кроме изложения анализа, т. е. как призыв, миновав все промежуточные этапы, сразу взяться за «наитруднейший».

П. К. Антонов отстаивает ценность различных форм письменных объяснений, «однако,— заявляет он,— научить кратко и точно выражать свои мысли, обосновывать их можно не сразу, не мгновенно, а постепенно, и потому методистам и учителям необходимо конкретно определить, в каком классе, какие формы объяснений следует вводить и требовать». И дальше: «процесс совершенствования письменных записей я представляю так: в третьем классе совершенствуется традиционная форма вопросов, так как она наиболее доступна для учащихся. Однако учитель должен постепенно показывать и другие формы. Особенно полезно применять другие формы в тех случаях, когда вопрос к какому-нибудь действию трудно сформулировать».

В качестве примера автор приводит задачу: В двух ящиках 200 кг, в одном на 2 кг меньше, чем в другом. Сколько килограммов в каждом ящике?

Общеизвестно, как трудно для учащихся точно сформулировать основной вопрос к этой задаче. «Не лучше ли,— говорит автор,— дать объяснение, состоящее из нескольких фраз повествовательного характера, например: если отнимем из второго ящика 2 кг, то в обоих останется поровну; узнаем, сколько же килограммов будет тогда в обоих ящиках».

Автор считает, что учителя поступают неправильно, когда не разрешают учащимся перемежать в записях решения задачи вопросы фразами повествовательного характера.

«В IV классе,— по мнению автора,— надо проводить дальнейшее совершенствование как формы вопросов, так и других форм объяснений». С письменными объяснениями автор рекомендует решать задачи не более чем в три действия, причем предостерегает от многословия, которым грешат, например, объяснения, приводимые тт. А. А. Могильницким и А. И. Цвинтарной.

В качестве рекомендуемого им образца П. К. Антонов приводит решение следующей задачи: На станцию привезли 2480 ц пшеницы; в первый день выгрузили -g привезенной пшеницы, во второй день на 180 ц больше. Сколько пшеницы выгрузили во второй день?

Решение.

1. Сколько пшеницы выгрузили в первый день?

В первый день выгрузили всей пшеницы. Найдем сначала -]!- от 2480 ц:

А в два раза больше:

В первый день выгрузили 992 ц.

2. Сколько пшеницы выгрузили во второй день?

Во второй день выгрузили на 180 ц больше, чем в первый. Прибавим 180 ц к 992 ц

Во второй день выгрузили 1172>>.

(Обращает на себя внимание, что автор избегает загромождать речь фразами вроде «мы узнали уже. .. поэтому. . .» или «известно что. . . а следовательно. . .» ит. д.; это, конечно, целесообразно. Точно так же целесообразно, что на каждый вопрос приводится формулировка ответа. Это целесообразно не только по формальным соображениям, а также потому, что заставляет учащегося лишний раз подумать о том, что он узнал.)

К приведенному образцу автор дает примечание: «Если учащиеся привыкли к повествовательной форме записи объяснений, то формулировку вопросов можно опустить, так как объяснение к каждому действию и формулировка результата действия вполне достаточны для того, чтобы показать ход решения и обосновать его».

В пятых классах П. К. Антонов рекомендует переходить к повествовательной форме объяснений, «добиваясь еще более точной формулировки предложений и включая большее число элементов объяснений».

В пятом классе автор считает, например, обязательным, чтобы учащийся в точной форме объяснял принятые им обозначения: «пусть такая-то величина составляет одну часть, тогда такая-то величина составит столько-то таких же частей» и т. д.

По вопросу о том, что именно учащийся должен объяснять, автор говорит: «нужно добиваться того, чтобы каждый учащийся давал объяснение тех действий и приемов, которые в данный момент не являются для него очевидными, объяснял неявные зависимости» и т. д. Это в общем справедливо, но это только принцип, его нужно конкретизировать в применении к обучению в каждом классе; одним из приемов такой конкретизации является взаимное ознакомление учителей с нормами их требований к письменным объяснениям учащихся.

В заключение автор подчеркивает, что, обучая письменному объяснению, следует не перегружать учащихся чрезмерным числом задач, решаемых с полным письменным объяснением.

Что касается записи анализа задачи, то, как уже выше указывалось, П. К. Антонов по существу сомневается в выполнимости для учащихся V и VI классов требования давать толковое законченное и притом осознанное письменное изложение анализа, поэтому подробно разработанных методических указаний к составлению письменного анализа автор не дает.

Ф. Н. Князева (г. Первомайск Одесской обл.) применяет различные формы записи решения задач в V классе.

Первая форма письменного оформления учащимися решения задач состоит в обычной системе вопросов к каждому действию без каких-либо объяснений выбора действия. Автор указывает, что этот вид письменного оформления применяется в пятом классе в начале года. С таким объяснением решается, например, задача № 857 (задачник Березанской).

Вторая форма — это тоже система вопросов к отдельным действиям, но при этом выбор каждого действия обосновывается. Например, запись решения задачи: Расстояние от Москвы до

Ленинграда аэроплан пролетает за 4 часа, это самое расстояние поезд проходит за 16 часов. Определить расстояние от Москвы до Ленинграда, если известно, что аэроплан пролетает в час на 120 км больше, нежели проходит поезд—т. Князева приводит в таком виде.

«1. Какую часть расстояния от Москвы до Ленинграда пролетает аэроплан за 1 час?

Все расстояние составляет 1. Аэроплан пролетает его за 4 часа, а за 1 час он пролетает в 4 раза меньше. Нужно произвести действие деления:

часть всего расстояния пролетает аэроплан за 1 час.

2. Какую часть расстояния от Москвы до Ленинграда проходит поезд за 1 час?

Поезд проходит расстояние от Москвы до Ленинграда за 16 часов, а за один час он проходит в 16 раз меньше, — нужно произвести действие деления:

часть всего расстояния проходит поезд за 1 час.

3. Какую часть расстояния от Москвы до Ленинграда составляет \20 км}

Аэроплан за 1 час пролетает ~ часть всего расстояния, а поезд проходит ^ часть. Разность находится действием вычитания:

части всего расстояния от Москвы до Ленинграда составляют 120 км.

4. Определить расстояние от Москвы до Ленинграда. Все расстояние от Москвы до Ленинграда составляет 1. этого расстояния составляет 120 км.

Число по его части находится действием деления:

640 км составляет расстояние от Москвы до Ленинграда».

Решение завершается проверкой с постановкой вопросов к каждому действию, но уже без обоснования применения того или иного действия.

По поводу изложенного объяснения хочется заметить, что нелогично, с одной стороны, все искомое расстояние принимать за единицу (учащиеся хорошо принимают выражение — «за условную единицу», а с другой — каждый вопрос ставить так, что введенное обозначение в нем никакой роли не играет. Если вопрос ставить так, как его ставит т. Князева: «какую часть всего расстояния проходит поезд за один час?», и ответ записывать: «j-g (часть)», то совершенно излишним представляется обозначение искомого расстояния единицей. Однако опыт показывает, что такой прием объяснения плохо воспринимается учащимися, и потому большинство учителей вводит «условную единицу». Но тогда следует соответствующим образом перередактировать вопросы. Так, приведенный выше вопрос следует поставить в такой форме: «какое расстояние, выраженное в условных единицах, проходит поезд за 1 час? — и ответ записать: ^ (единицы).

Третья форма письменного решения задач должна по мысли т. Князевой заключать в себе следующие части: «анализ задачи, план решения задачи, объяснение выбора действия (обоснование применения данного действия), выполнение действия, запись результата каждого действия и объяснение ответа».

Тов. Князева приводит в качестве образца работу одной из учениц V класса, очевидно одобренную ею.

«Задача (№ 1596 из задачника Березанской). Два туриста отправились одновременно навстречу друг другу: один из базы А, другой из базы Б. Первый в каждые 1,8 часа проходит по 6,37 км, а второй в каждые 0,6 часа делал по 2,25 км. Через сколько времени встретятся туристы, если расстояние между базами А и Б равно \i\J5 км?

Анализ задачи

Чтобы узнать, через сколько времени встретятся туристы, нужно знать, сколько километров проходили два туриста за 1 час вместе.

Чтобы узнать, сколько километров проходили два туриста за 1 час вместе, нужно знать, сколько километров проходил каждый турист за 1 час в отдельности. (Здесь представлялось бы полезным приучать учащихся констатировать, что это мы уже можем узнать непосредственно. Подчеркивание этого положения послужит уяснению смысла и цели анализа. Между тем на эту «мелочь» часто не обращают внимания, и потому приходится наблюдать в VII и VIII классах, что учащиеся, например, при решении задач на построение не представляют себе, что цепь умозаключений анализа надо строить до тех пор, пока она не дойдет до построения, которое можно выполнить непосредственно.)

План решения задачи

1. Сколько километров проходил первый турист за 1 час?

2. Сколько километров проходил второй турист за 1 час?

3. Сколько километров проходили два туриста за 1 час вместе?

4. Через сколько времени туристы встретятся, если расстояние между базами А и Б 111,72 км? (Включение напечатанной в разрядку фразы в план, конечно, непоследовательно; ни к одному из предыдущих пунктов плана никаких пояснений не приводится.)

План и решение с письменным объяснением

1. Сколько километров проходил первый турист за 1 час?

Если первый турист за 1,8 часа проходил по 8,37 км, то за 1 час он проходил в 1,8 раз меньше. Нужно произвести действие деления:

За 1 час первый турист проходил 4,65 км. 2. Сколько километров проходил второй турист за 1 час?

Второй турист за каждые 0,6 часа проходил 2,25 км. Число по его части находится действием деления:

Второй турист за один час проходил 3,75 км.

3. Сколько километров проходили два туриста за 1 час вместе?

Первый турист за 1 час проходил 4,65 км, второй за 1 час проходил 3,75 км. Сумма находится сложением:

За 1 час два туриста проходили вместе 8,4 км.

4. Через сколько времени туристы встретятся?

Расстояние между базами А и Б 111,72 км. За каждый час туристы вместе проходили по 8,4 км.

Нужно узнать, сколько раз по 8,4 км содержится в \\\,12км, через столько часов туристы встретятся:

Ответ. Туристы встретятся через 13,3 часа».

Рассматривая приведенный т. Князевой образец решения задачи, можно заметить, что непосредственное объяснение к решению представляет собой по существу систему вопросов, которая сопровождается обоснованиями выбора действия к каждому вопросу. Поскольку каждый вопрос излагается дважды (в плане и в решении), следует признать целесообразным, как это и делают многие учителя, не требовать от учащихся отдельной записи плана, а ограничиться записью «плана и решения» (по терминологии автора).

Следует отметить некоторые длинноты в пояснениях к вопросам; например, лишними являются пояснения к третьему вопросу. (Нахождение суммы действием сложения вряд ли надо в V классе объяснять. Здесь уместно учесть предложение т. Антонова разрешать учащимся не объяснять тех положений, которые на данном этапе обучения должны быть для них очевидными.)

Далее, поскольку ответ на каждый вопрос систематически формулируется с полной записью наименования, то постановка наименований при выполнении действия представляется излишней.

Наконец, в приведенном образце решения не имеется проверки. Вопрос об обязательности проверки, как видно, не находит у т. Князевой определенного решения. Судя по приводимым ею образцам письменного решения задач, ученицы то выполняют проверку, то не выполняют.

Отметим еще, что вопрос, изложенный т. Князевой в форме: «Сколько километров проходили два туриста за 1 час вместе?»,— некоторые учителя предпочитают формулировать иначе: «На сколько километров сближаются туристы за 1 час?»

Письменное изложение анализа в приведенном образце, предшествующее непосредственному решению задачи, немногословно, доступно для учащихся и действительно может помочь учащимся установить план решения задачи.

Однако, наряду с удачными образцами анализа, т. Князева приводит и рекомендует образцы, страдающие многословием и излишней детализацией, способной запутать учащихся, а не помочь им решить задачу. Это показывает, что над шлифовкой формы изложения анализа надо очень серьезно работать.

Тов. Князева и некоторые другие авторы заметок указывают на возможность применения схем для изложения анализа, но никто не приводит образца подобной схемы.

Постараемся восполнить этот пробел на примере одной из задач, разбор которой (чрезвычайно многословный) дан т. Князевой.

Задача (№ 865 из задачника Березанской). Для выполнения работы поставлено 3 рабочих, из которых первый мог выполнить ее за 8 дней, второй —за 12 дней, третий за 10 дней. Какая часть работы останется невыполненной после трех дней их совместной работы? (см. схему на стр. 58).

Ответы на вопросы III, IV и V получаются непосредственно одним действием. Следовательно, анализ закончен.

Возможно привести параллельно схему решения задачи; в этой схеме, конечно, порядок вопросов будет обратный. Сопоставление обеих схем поучительно.

В своей заметке т. Князева указывает также, что составлению письменных объяснений надо

учащихся специально обучать. «Основное, — говорит она, — устная подготовка. Намечается задача определенного типа; решается ряд задач этого типа аналитическим методом, причем решение сопровождается устным объяснением. Когда учитель убедится, что решение задач этого типа усвоено, он переходит к составлению письменного объяснения. Под руководством учителя класс коллективно составляет формулировку объяснения... Учащиеся записывают это объяснение с решением в своих тетрадях как образец решения задач данного типа с объяснением... Затем учитель в качестве домашнего задания задает решение задачи такого же типа с письменным объяснением по образцу разобранного в классе».

Ряд образцов письменного решения задач с предварительным анализом приводит в своей заметке «Из опыта решения арифметических задач с анализом» С. И. Елинсон (г. Уфа). Среди этих образцов (выполненных, как указывает т. Елинсон, учащимися VI класса) имеются более удачные и менее удачные; к сожалению, С. И. Елинсон не дает оценки этим работам, поэтому нам придется выбрать самим образец, представляющийся наиболее удачным.

«Задача. Три пионерские отряда собрали металлический лом. Первый отряд собрал 30% всего металла, а вес металла, собранного вторым отрядом, относился к весу металла, собранного третьим отрядом, как

Сколько металлического лома было собрано каждым отрядом, если второй отряд собрал на 0,6 тонны больше, чем первый отряд?

Анализ

Чтобы узнать, сколько металлического лома было собрано каждым отрядом, надо знать, сколько процентов приходится на металлический лом, собранный каждым отрядом, и сколько они всего собрали лома. Первое можно узнать, зная, сколько процентов приходится на металлический лом, собранный первым отрядом, и зная, как относится вес металла, собранного вторым отрядом, к весу металла, собранного третьим отрядом. Второе же можно узнать, зная разность веса металла, собранного первым отрядом, и веса металла, собранного вторым отрядом, в тоннах и в процентах, или, иначе, нужно узнать, сколько процентов приходится на 0,6 тонн металлического лома».

Приведенный анализ обнаруживает со стороны учащегося понимание идеи и смысла анализа, изложен он немногословно, формулировки достаточно точны. Недостатком его является некоторая неопределенность последовательности вопросов; происходит это, повидимому, вследствие стремления учащихся к повествовательной форме изложения; нужно добиваться, чтобы и в повествовательной форме ясно отражалась необходимая последовательность вопросов.

Дальнейшая запись решения состоит из вопросов, поставленных к отдельным действиям. Обоснований применения тех или иных действий не

приводится. Проверка решения излагается, но беа постановки вопросов.

Конечно, часть пояснений, необходимых в IV и V классах, в VI классе можно уже не требовать, но все же непосредственное решение задачи следует давать в более развернутом изложении.

М. С. Ермаков (г. Ворошиловград) и А. А. Могильницкий (Кривое озеро Одесской обл.) не рекомендуют требовать от учащихся V и VI классов перехода на повествовательную форму изложения объяснений, считая, что целесообразно довольствоваться в этих классах более доступной для учащихся и вполне полноценной формой вопросов, сопровождаемых объяснением выбора действий.

Еще более определенно по вопросу о возможности введения в V классе формы связного рассказа для изложения объяснений к решению задач высказывается т. Князева. Она пишет: «Эту форму решения задач я старалась применять в работе с классом, но она моим ученицам — общей массе — оказалась трудной. Справлялись с работой только лучшие учащиеся».

Выводы

Подводя итоги всем приведенным высказываниям, можно заключить, что решение задач с письменным объяснением единодушно признается обязательным элементом обучения арифметике, и это, конечно, вполне правильно. Следует только рекомендовать не обременять учащихся чрезмерно большим числом задач, решаемых с таким объяснением.

Во втором полугодии V класса учащиеся должны уже уметь в письменное объяснение включать изложение анализа задачи. Это умение может появиться только в результате продолжительной и тщательной подготовки путем устных упражнений, и такую подготовку учитель должен проводить. Надо остерегаться опасности обратить работу по записи анализа задачи в формальное «составление и сочинение анализов». (Об этой опасности предупреждают П. К. Антонов и некоторые другие корреспонденты журнала.)

В письменном изложении анализа необходимо избегать многословия, в частности не следует увлекаться так называемыми «полными ответами». (Как известно, полный ответ на вопрос учителя заключается в том, что учащийся повторяет содержание вопроса.) При устной работе в классе полный ответ уместен потому, что вопрос задает учитель, в письменной же работе он является излишним, так как вопрос ставится самим учеником, и повторение содержания вопроса при ответе на него только затягивает изложение анализа. Между тем в некоторых приводимых авторами заметок образцах анализа такая форма изложения встречается. Так, например, т. Князева применяет эту форму «полных ответов» при решении задачи, анализ которой нами дан в виде схемы (см. стр. 57): «Вопрос задачи. Какая часть работы останется невыполненной после трех дней совместной работы трех рабочих?

Чтобы узнать, какая часть работы осталась невыполненной после трех дней совместной работы трех рабочих, надо узнать, какую часть работы выполнили трое рабочих за три дня их совместной работы.

Чтобы узнать, какую часть работы выполнили 3 рабочих за 3 дня их совместной работы, надо узнать...» и т. д.

В результате один только анализ задачи занимает не менее пяти страниц ученической тетради.

Не может быть сомнения, что такая форма записи анализа совершенно нецелесообразна.

В целях сокращения писанины можно рекомендовать применение время от времени схем для изложения анализа.

Следует также не требовать всякий раз доведения анализа непременно до такого вопроса, ответ на который получается в результате одного действия; вполне достаточно, если анализ будет доведен до вопроса, получение ответа на который хотя и требует выполнения нескольких действий, но не затрудняет учащихся. Не следует требовать изложения анализа в тех случаях, когда анализ является искусственным или натянутым.

Письменное объяснение к решению задачи не исчерпывается, конечно, изложением анализа. Дальнейшее объяснение должно состоять в изложении плана решения задачи и в обосновании применения тех или иных действий.

В большинстве случаев отдельного плана не составляется, план связывается с обоснованием выбора тех или иных действий для решения задачи; этот прием записи следует одобрить, так как он устраняет бесполезное повторение одних и тех же предложений.

Много споров ведется по вопросу о форме объяснений. Значительное число учителей является приверженцами объяснений, состоящих из цепи вопросов и в той или иной мере мотивированных ответов на них, приуроченных к каждому применяемому действию.

Эта форма объяснений действительно наиболее удобна для учащихся, в связи же с проведением анализа она является и наиболее естественной, так как сам анализ представляет собой по существу тоже цепь вопросов.

Конечно, указанная форма объяснений должна изменяться в деталях по мере перехода учащихся из класса в класс.

Первоначально все объяснение заключается в постановке вопросов, затем добавляется, по мере улучшения навыков учащихся в письме, изложение ответов на поставленные вопросы; в пятом классе вводится обоснование выбора действия для получения ответа на поставленный вопрос. В пятом же классе в середине учебного года вполне целесообразно показать учащимся прием записи объяснения без постановки вопросов. Однако и в этом случае объяснение приурочивается к выполняемым действиям и отличается от прежнего приема только тем, что сам вопрос не ставится, а излагается только конкретный смысл выполняемого действия. Например, в задаче об аэроплане и поезде, курсирующих между Ленинградом и Москвой (условие задачи смотрите выше), объяснение вполне возможно провести без постановки вопросов.

Так, вопрос: какую часть расстояния от Москвы до Ленинграда пролетает аэроплан за 1 час, если все расстояние он пролетает за 4 часа?—и последующее обоснование выбора действия можно заменить таким предложением повествовательного характера: если все расстояние между Ленинградом и Москвой аэроплан пролетает за 4 часа, то за 1 час он пролетит в 4 раза меньше; поэтому, разделив условную единицу на 4, узнаем, какое расстояние аэроплан пролетает за 1 час:

Подобным же образом легко и естественно перефразируются и другие пункты объяснения.

Легко видеть, что оба приема объяснений по существу отличаются только стилистически, и потому спорить о преимуществах того или иного приема совершенно бесполезно.

Впрочем, встречаются случаи (на это, как мы уже отмечали выше, указывает т. Антонов), когда оказывается более удобной то одна, то другая форма объяснений. Поэтому полезно советовать учащимся применять в своих письменных работах и ту и другую форму объяснений.

Основным в обоих видах объяснений является то, что они излагаются по пунктам, приуроченным к отдельным действиям (или иногда к отдельным комплексам действий, характерным для того или иного разученного типа задач).

При этом условии составление плана объяснений представляется для учащихся вполне очевидным. Объяснения, составленные в такой форме, легко используются учащимися в процессе решения задачи для обозрения проделанной работы, проверки ее и т. п.

Вопрос о проверке решения арифметических задач в методической литературе давно решен в положительном смысле. Поэтому приучать учащихся выполнять проверку решения необходимо. В контрольных работах в V и VI классах, в экзаменационных работах требование проверки должно применяться.

Решение задач в педагогических училищах

Вопросу решения арифметических задач с письменным объяснением специально в применении к педагогическим училищам посвящена заметка т. А. И. Зайцева (г. Ногинск) «О решении арифметических задач с объяснением». Тов. Зайцев останавливается на такой схеме решения задач:

1) Анализ (рассуждение).

2) План решения.

3) Объяснение с решением.

4) Проверка.

Он приводит образец решения по этой схеме задачи:

Совхоз и три колхоза отремонтировали за свой счет мост через реку. Совхоз внес 62,5% всей стоимости ремонта моста. Остальные деньги были внесены тремя колхозами. Суммы денег, внесенные первым и вторым колхозами, были обратно пропорциональны числам 1 и 0,8 (3), а сумма денег, внесенная третьим колхозом, относилась к сумме денег, внесенной вторым, как 0, (6): 1. Сколько денег внес каждый колхоз на ремонт моста и сколько процентов составляет сумма денег, внесенная тремя колхозами вместе, от суммы денег, внесенной совхозом, если известно, что совхоз внес на 3750 рублей больше, чем все три колхоза вместе?

«I. Анализ задач. Задача — комбинированная и состоит из двух задач. Первая задача — надо найти, сколько процентов составляет сумма денег, внесенная тремя колхозами вместе, от суммы денег, внесенной совхозом, и вторая — надо найти, сколько денег внес каждый колхоз на ремонт моста.

II. План решения:

1) определение в процентах суммы денег, внесенной тремя колхозами вместе;

2) определение процентного отношения суммы денег, внесенной в процентах тремя колхозами, к сумме денег, внесенной в процентах совхозом;

3) определение стоимости ремонта моста;

4) определение в процентах суммы денег, внесенной каждым колхозом;

5) определение суммы денег в рублях, внесенной каждым колхозом на ремонт моста.

III. Объяснение и решение.

1. Принимаем всю стоимость ремонта моста за 100%. Так как совхоз внес 62,5% стоимости ремонта моста, то на долю трех колхозов вместе

в процентах приходится 100% —62,5% =37,5%.

2. Находим, сколько процентов составляет взнос трех колхозов на ремонт моста от взноса совхоза:

Итак, первая задача решена: взнос колхозов на ремонт моста составляет 60% от взноса совхоза.

3. Так как известно, что совхоз израсходовал 62,5% стоимости, а колхозы 37,5%, то разность в процентах составляет 62,5% — 37,5% =25%.

Эти 25% всей стоимости ремонта равны по условию задачи 3750 руб. Отсюда находим стоимость всего ремонта моста. Она будет равна:

Мы не приводим изложения дальнейших пояснений к решению задачи, так как содержание и стиль объяснений уже достаточно ясны из предыдущего.

Прежде всего бросается в глаза, что в приводимом образце решения т. Зайцев отводит слишком незначительную роль анализу, включая в него только рассуждение о том, что данная задача — комбинированная и состоит из двух отдельных задач. В результате все решение задачи проводится фактически чисто синтетическим методом. Конечно, поскольку данная задача состоит из двух типовых задач, основным методом ее решения является синтетический, но все же роль анализа в ее решении должна была бы иметь большей удельный вес. От будущих учителей арифметики было бы желательно требовать большего внимания аналитическому методу и большего умения сопоставлять и комбинировать его с синтетическим методом. В этих целях учащимся педагогических училищ можно рекомендовать ознакомиться со статьей Н. В. Каверина, помещенной в № 5 журнала за 1952 г.

Материал этой статьи вряд ли может найти непосредственное применение в школьном преподавании; ввиду его сложности и громоздкости он должен применяться частями, в известной последовательности, излагать же в классе целиком разбор решения задач, данный т. Кавериным, конечно, невозможно. Но для будущих учителей арифметики ознакомление с материалом статьи т. Каверина весьма желательно, так как вопросы, касающиеся существа данных методов и способов их сочетания при решении задач различных типов, разобраны в статье весьма тщательно, подробно и с большим числом примеров.

Что касается формы объяснений, приводимых т. Зайцевым, то она, очевидно, представляет собой систему пояснений к отдельным действиям, изложенных в повествовательной форме. Прототипом этой формы является система вопросов.

В пояснениях к действиям следовало бы произвести некоторые сокращения, например, почему не сказать: «определение в процентах доли каждого колхоза» вместо «определение в процентах суммы денег, внесенных каждым колхозом?»

II

В заметках и письмах, присланных в редакцию, обсуждаются и другие самые разнообразные вопросы методики арифметики.

1. А. М. Такташкин (ст. Кишерть Молотовской обл.) в своей заметке «О некоторых формулировках» предлагает изменить редакцию «ключевого» вопроса к задачам на нахождение чисел по их сумме и разности.

Так, к задаче: Два покупателя купили в магазине товаров на 300 рублей, причем один из них израсходовал на 50 руб. больше другого. Сколько израсходовал каждый? — т. Такташкин предлагает следующую формулировку «ключевого» вопроса: «Чему равняется удвоенная стоимость меньшей (или большей) покупки? или: «Чему равняется удвоенная стоимость покупки первого (или второго) покупателя?»

При объяснении решения задачи автор предлагает показывать на чертеже, что при вычитании разности чисел из их суммы получается удвоенное меньшее число.

«Учащиеся, по замечанию автора, легко усваивают оба способа решения; четкость формулировки не оставляет сомнений, а простота предложения (с синтаксической точки зрения) не вызывает затруднений при его построении учащимися».

Формулировка вопроса, предлагаемая автором заметки, применяется рядом учителей, но многие учителя все еще пользуются неточной и неуклюжей формулировкой вроде следующей: «На сколько рублей купили бы оба покупателя, если бы они купили поровну?» Приходилось слышать даже и такую «постановку» вопроса: «Сколько рублей заплатили оба поровну вместе?» Поэтому представляется небесполезным привести это указание т. Такташкина.

Обоснованным представляется и другое предложение т. Такташкина — «поменять местами» приведенные в учебнике арифметики Киселева определение правильной и неправильной дроби и заключение, вытекающее из определения, т. е. применять такой порядок изложения:

Определение. Правильной дробью называется дробь, величина которой меньше единицы (не лучше ли просто: правильной дробью называется дробь, меньшая единицы), а неправильной дробью — та дробь, величина которой больше или равна единице.

Заключение. Числитель правильной дроби меньше знаменателя, а числитель неправильной

дроби равен знаменателю или больше его.

Можно согласиться с автором, что предложенное им определение «раскрывает сущность понятия и, кроме того, дает объяснение самих терминов «правильная» и «неправильная дробь», так как по смыслу слово «дробь» есть часть единицы, поэтому правильной называется только та дробь, которая меньше единицы». (Между прочим, такова же в основном и история происхождения этих терминов.) Определение же, принятое в учебнике Киселева: «правильной дробью называется дробь, числитель которой меньше знаменателя, а неправильной...» и т. д., исходит не из содержания понятия, а из формы.

2. В. Малимон (УССР, Винницкая обл., Крыжапольский район, с. Ольшанка) в заметке «По поводу статей М. Г. Парафило (№ 3 журнала за 1952 г.) и С. Пильмана (№ 1 журнала за 1951 г.)» предлагает несколько изменить форму записи при нахождении наименьшего общего кратного. Эти изменения заключаются в следующем:

1) Делители записываются строчкой ниже делимого, т. е. в одной строчке с частным. (Подобная запись необычна, но в данном случае, как будет видно из дальнейшего, она оправдывает себя.)

2) Если какое-нибудь из чисел таблицы не делится на данный делитель, то под этим числом проводится черта.

3) Общие делители отмечаются галочкой. Таким образом, таблица для решения примера:

Найти наименьшее общее кратное чисел 24; 108; 216 и 135 — будет выглядеть так:

Наименьшее общее кратное — 2-2-2-3-3-3-5 = = 1080.

Постановка черточек (взамен переписывания числа) действительно облегчает нахождение общих делителей и дополнительных множителей: общими делителями будут те делители, которые стоят в строке, не содержащей черточек, а дополнительными множителями для каждого числа будут те делители, против которых под данным числом стоит черточка.

3. Н. К. Козин (г. Вязники Владимирской обл.) в заметке по поводу статьи А. И. Леничкина в № 3 журнала за 1952 г. «О решении некоторых арифметических задач» предлагает другой способ решения задачи:

Сумма двух чисел \80;-£- первого числа равны второго. Найти эти числа. Записав условие задачи в виде следующей схемы:

и затем

автор в дальнейшем опирается на положение, что «при двух равных произведениях отношение множителей равно обратному отношению соответствующих множимых (А к Б)». Это положение автор считает необходимым пояснить на ряде примеров типа:

Здесь отношение множителей (б к 12) равно 1:2, а отношение множимых (8 к 4) равно 2:1.

На основании высказанного положения автор и приводит решение задачи. «Из схемы следует, что, поскольку отношение множителей равно 5:4, то отношение А к Б равно отношению 4:5...» и т. д. Дальнейшее решение очевидно.

Предлагаемый т. Н. К. Козиным прием, основанный на понятии обратной пропорциональности величин, конечно, не пригоден для учащихся V класса: его место в VI классе, тогда как прием, изложенный А. И. Леничкиным, предназначается именно для учащихся V класса, поэтому оба приема не исключают друг друга.

Для VI класса способ решения задач подобного типа очевиден, но мы все-таки привели выдержки из заметки А. И. Козина потому, что т. Козин вполне правильно подчеркивает необходимость тщательно выяснить учащимся положение об обратной пропорциональности искомых чисел А и Б соответствующим сомножителям ^ и 3

Мы бы только предпочли не ограничивать обоснование этого положения, как это делает т. Козин эмпирическим приемом (путем рассмотрения приемов), а подтвердить его теоретическим рассуждением, основанным на свойстве

произведения (если один сомножитель увеличить в несколько раз, то другой надо уменьшить во столько же раз, чтобы произведение не изменилось).

4. Т. Т. Акимов (Алтайский край, ст. Поспелиха) в отклике на эту же статью т. Леничкина возражает против загромождения курса V класса задачами, естественное место которых в VI классе. Конечно, считать обязательным решение таких задач в V классе неправильно, но относить это замечание к задачам того типа, который разобран А. И. Леничкиным, не следует, так как для хорошо подготовленного V класса они доступны, а польза от решения их очевидна: они углубляют понимание учащимися свойств действий с дробями.

5. Ш. Ш. Маневич (г. Сталино) в заметке «Об одной ошибке в теории периодических дробей» указывает, что в некоторых учебниках излагается неверное правило для сложения и вычитания периодических дробей. Так, в учебнике арифметики М. К. Гребенча говорится: «сложение и вычитание периодических дробей производится по обычному правилу сложения и вычитания десятичных дробей, не обращая внимания на скобки, заключающие период».

В примере, который приводит М. К. Гребенча, применение указанного правила дает правильный результат:

что легко проверить:

Однако попытка применения приведенного правила к решению примера: 1,2 (49)-(-2,3 (82)— уже приводит к ошибочному результату:

Этот ответ неправилен, правильный ответ будет 3,6(32).

Тов. Миневич указывает правило для сложения периодических дробей. Согласно этому правилу, чтобы найти сумму периодических дробей, надо:

«1. Переписать данные дроби в таком виде, чтобы в них было одно и то же число цифр между запятой и периодом, взятым в скобки, также одно и то же число цифр должно быть в выражении, взятом в скобки (в периоде).

2. Найдя сумму чисел, заключенных в скобках, записать в скобках из этого числа столько цифр (начиная с низшего разряда), сколько их было в скобках в каждой дроби, а число, образуемое цифрами, не вошедшими в период, добавить не только к сумме чисел, записанных до периода, но и к полученному периоду».

Применив это правило к разобранному выше примеру, получим правильный результат:

так как

Приведем еще один более сложный пример. Найти

Решение.

Разумеется, изложенное правило выходит за рамки школьной программы.

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

ЕЛИЗАВЕТА ФЕДОРОВНА ЛИТВИНОВА

Л. Н. ГРАЦИАНСКАЯ (Киев)

Е. Ф. Литвинова-Ивашкина* родилась в 1845 г. в Тульской губернии в имении отца Федора Алексеевича Ивашкина. Тринадцати лет ее отвезли учиться в Петербург в Мариинскую гимназию, где тогда начальником был известный педагог Николай Алексеевич Вышнеградский, уделявший много внимания и сил вопросу женского образования в России. Но недолго училась Е. Ф. Ивашкина в гимназии: блестящие способности, большая начитанность привели к тому, что в 1864 г. она решила держать экзамен в университете за курс гимназии.

Два года готовилась к экзамену Е. Ф. в деревне.

«Осенью 1864 г. родители не пустили меня в Петербург, отчасти за неимением средств, а главное, они боялись, чтобы я, как они говорили, где-нибудь и в чем-нибудь не попалась».

И только в начале 1866 г. в Москве Е. Ф. получила аттестат за курс средней школы.

Переехав без позволения родителей в Петербург, Е. Ф. намеревалась жить своим трудом и готовиться к поступлению в университет. В это время она вышла замуж за врача Литвинова.

Живя в Петербурге, Е. Ф. Литвинова вместе со своей гимназической подругой, истинной шестидесятницей, Серафимой Богдановой примкнула к кружкам революционной молодежи.

Е. Ф. Литвинова была страстной поклонницей идей Белинского, Добролюбова, Чернышевского и других революционных демократов.

Математическое образование Е. Ф. получила в Петербурге у выдающегося преподавателя математики Александра Николаевича Страннолюбского, учителя гениального математика Софии Васильевны Ковалевской и корабельного инженера, академика Алексея Николаевича Крылова.

Е. Ф. Литвинова писала: «А. Н. Страннолюбский, в награду за прилежание, познакомил меня с началами аналитической геометрии и дифференциального исчисления. Эти последние его

* Ивашкина — девичья фамилия Е. Ф. Литвиновой

уроки привели меня в восторг и внушили мне такой интерес к математике, что я продолжала заниматься ею сама по книгам и университетским лекциям, которыми меня снабжали молодые математики»*.

После смерти мужа, по совету любимых учителей — А. Н. Страннолюбского и профессора физики Степана Александровича Усова, — Е. Ф. в 1872 г. уехала учиться за границу в Цюрихский университет и там примкнула к кружкам революционной молодежи.

Летом 1873 г. вышел правительственный указ, приказывающий русским студенткам к 1 января 1874 г. оставить Цюрихский университет и политехникум и вернуться в Россию**. В случае же невыполнения указа студентки по возвращении в Россию не могли быть допущены ни на какую работу в русские учебные заведения.

Е. Ф. Литвинова, страстно желая учиться, не подчинилась указу правительства; в 1876 г. она закончила Цюрихский университет и лишь в 1878 г. после защиты работы по теории функций в Бернском университете возвратилась в Петербург.

В Цюрихе Е. Ф. познакомилась с С. В. Ковалевской. «У вас с ней что-то неуловимое общее», — не раз говорил мне Александр Николаевич Страннолюбский», — так писала Е. Ф. Литвинова***.

Здесь небезинтересно упомянуть о трогательной дружбе этих двух замечательных русских женщин. Е. Ф. Литвинова смотрела на Ковалевскую как на звезду первой величины, к которой тянулись все молодые девушки, стремящиеся к высшему образованию.

Итак, после окончания университета в Цюрихе, который ей дал звание учителя мужских гимназий, и Бернского — с дипломом доктора математики, философии и минералогии (с высшей похвалой «summa cum laude»), Е. Ф. Литвинова вернулась в Россию. Но, как и Софья Ковалевская, она не смогла в России найти применение своему таланту и вынуждена была, по условиям царского времени, преподавать арифметику в младших классах Петербургской гимназии А. А. Оболенской.

С большим трудом добилась Е. Ф. и этой работы, ведь она была в числе цюрихских студенток, попавших под указ. Указ царского правительства со всей силой обрушился на Е. Ф. Литвинову, в результате чего она всю жизнь была ограничена в служебных и пенсионных правах. Всю жизнь она работала вольнонаемной, получая почасовую оплату, в год это ей давало от 520 до 880 руб. И только в 1887 г. за выдающиеся педагогические заслуги, после неоднократных просьб ее и о ней, по «высочайшему» на то разрешению, Е. Ф. Литвинова была допущена к преподаванию математики в старших классах гимназии. Таким образом, Е. Ф. была первой женщиной в России, преподающей математику в старших классах гимназии (но все же нештатной и без права выслуги лет).

Неоднократно Е. Ф. обращалась в министерство просвещения с просьбой предоставить ей работу на высших женских курсах и разрешить сдать магистерский экзамен. Как в том, так и в другом ей было отказано, хотя другие женщины с меньшими научными заслугами привлекались к чтению лекций на курсах.

Оставаясь только учителем средней школы, Е. Ф., благодаря большому педагогическому таланту, скоро выдвинулась и стала в ряды ведущих преподавателей России.

Ученицы Е. Ф. Литвиновой — выдающийся советский педагог Надежда Константиновна Крупская и Варвара Ипполитовна Тарновская (дочь известной шестидесятницы В. П. Тарновской) по мужу Левинсон-Лессинг, а также сослуживица Е. Ф., Ольга Владимировна Орбели — очень высоко оценивали педагогическую работу Литвиновой в гимназии.

Н. К. Крупская писала: «По арифметике у нас в гимназии оказалась очень хорошая учительница — Литвинова, кончившая Цюрихский университет. Скоро арифметика стала моим любимым предметом. Мы проходили дроби и начало алгебры. В центре внимания было решение задач. Самое главное, на что обращала внимание Литвинова, было решение задач. Мы писали объяснение, почему надо делать то или иное действие. Это осмысливало для нас решение задач. Объяснение задач, осмысливание действия приучало логически мыслить.

Когда Ленин во время дискуссии о профсоюзах говорил в 1921 г., что начальная школа должна учить логически мыслить, я вспомнила, как учила нас этому Литвинова. Она учила нас самих выводить правила»*.

.. .Другому, чему нас научила Литвинова,—это уменью делать обобщения »*.

Вторая ученица Литвиновой, В. И. Левинсон-Лессинг, в беседе со мной вспоминала: «Литвинова, преподававшая у нас геометрию в старших классах, давала некоторые теоремы самим доказывать. Это очень увлекало учениц. В классе

* Е. Ель, Из времен моего студенчества, «Женское дело», 1899, IV, стр. 36.

** Царское правительство, боясь развития среди молодежи революционных идей, издало указ о возврате на родину студенток Цюрихского университета и политехникума.

*** Е. Ель, Из времен моего студенчества, стр. 37.

* Н. К. Крупская, Избранные педагогические произведения, 1948, стр. 263, 264, 275.

Литвинова разбирала различные способы доказательства и поэтому ученицы глубоко усваивали материал.

Проходя курс кристаллографии на физико-математическом факультете, я часто вспоминала Литвинову, которая дала мне глубокие знания по геометрии и тем помогла легко усвоить кристаллографию. Литвинова устраивала соревнования в решении задач, давая нам задачи (на теперешнем языке) олимпиадного типа».

Сослуживица Литвиновой, преподавательница литературы в гимназии Оболенской с 1912 по 1918 г., О. В. Орбели говорила мне: «Не только в гимназии, но и вообще в среде петербургских учителей Литвинова пользовалась особым авторитетом. Елизавета Федоровна всегда говорила свое, смело и оригинально. Ученицы особенно хорошо относились к Литвиновой, любили и уважали ее».

Е. Ф. Литвинова — талантливый педагог, смелый новатор в применении активных методов преподавания. Е. Ф. интересно преподавала математику, она будила и развивала творческие силы молодежи, требовала, чтобы ученики самостоятельно выводили правила. Кроме того, Е. Ф. предлагала учащимся разыскивать в разных задачниках задачи, аналогичные решенным. Она уделяла большое внимание способу решения и объяснению решения. Ученицы писали, почему надо делать то или другое действие. Это осмысливало решение задач. Более сильных и любознательных учениц такое преподавание очень увлекало.

Результаты педагогического опыта Е. Ф. освещала в педагогических статьях. Она затрагивала такие злободневные и жизненные проблемы педагогического дела, что они не потеряли интерес и поныне. В частности, ее интересовали вопросы разгрузки от лишнего материала программы по математике, логического развития на уроках математики, борьбы с формализмом в преподавании математики и др.

Педагогическим вопросам Е. Ф. посвятила свыше 70 статей, напечатанных в журналах: «Педагогический сборник», «Образование», «Женское образование», «Женское дело», «На помощь матерям», «Русская школа», «Северный вестник», «Наблюдатель» и др.

Кроме влечения к математике, Е. Ф. обладала немалым литературным талантом. Благодаря литературной работе она была близко знакома с Н. А. Некрасовым, В. А. Слепцовым, А. Н. Плещеевым, А. И. Герценом, Н. П. Огаревым, С. А. Венгеровым, Н. А. Котляревским и др.

У Е. Ф. в молодости страсть к математике преобладала над склонностью к литературе. Правда, еще в гимназии она писала стихи, которые получили одобрение Н. А. Некрасова. В 1870 г. Литвинова в политической и литературной газете «Неделя» напечатала художественный автобиографический рассказ «На чужих плечах».

Начиная с 1891 г., Е. Ф. напечатала в «Библиотеке» Ф. Ф. Павленкова десять биографических очерков замечательных людей. Последний ее очерк «Лаплас» напечатан в 1919 г. в издательстве «Сотрудничество».

Наиболее ценными и интересными являются очерки Е. Ф. Литвиновой о Н. И. Лобачевском, С. В. Ковалевской, Лапласе, Эйлере, Даламбере, Кондорсэ. Е. Ф. Литвинова является первым биографом Ковалевской.

Живые, содержательные повествования о жизни и деятельности великих мыслителей, простое, ясное изложение, блестящие сравнения — вот отличительные черты этих очерков. В них ученый математик, философ и публицист сливаются воедино.

Глубоко образованной, знакомой с последними достижениями в науке показала себя Е. Ф. в статьях «Логика математических наук» и «Из области высшей арифметики».

В первой работе она высказывала следующую мысль: «В математике весьма много вопросов, которые могут быть решены одинаково легко как синтетическим, так и аналитическим методом.

В основных положениях этой науки имеет преимущество синтетический метод, и доказательство простейших арифметических и геометрических положений может быть выведено только синтетически, тогда как, наоборот, более сложные задачи всегда легче решаются путем анализа и иногда совершенно не поддаются синтетическому методу»*.

В работе «Из области высшей арифметики» Е. Ф. изложила воззрения Гельмгольца, Кронекера, Дедекинда и Ганкеля на счет и измерение, теорию Гельмгольца порядковых чисел, учение об отрицательных числах по Гельмгольцу и Кронекеру, воззрения Дедекинда и Вейерштрасса на происхождение отрицательных чисел.

Е. Ф. излагала в популярной форме новые идеи в математике и указывала, в каких разделах школьной программы они могут найти свое отражение.

Литературная продукция Литвиновой превышает 2 000 печатных страниц; большая часть ее работ посвящена вопросам преподавания математики, а также воспитанию и обучению в школе.

Жизненны, глубоки и актуальны работы Литвиновой по методике математики, но жаль, что они помещены в журналах, подавляющая часть

* Е. Литвинова, Логика математических наук, «Педагогический сборник», 1885, VI, стр. 554.

которых в настоящее время представляет библиографическую редкость.

Е. Ф. Литвинова писала рецензии почти на все выходящие в свет учебники математики для средней школы. Ею написано одиннадцать больших рецензий. В 1888 г. Е. Ф. первая дала положительный отзыв о задачнике по алгебре Шапошникова и Вальцева, а в 1892 г. — об «Элементарной алгебре» Киселева.

Е. Ф. Литвинова, как и С. В. Ковалевская, всегда была путеводной звездой для всех женщин, стремившихся к высшему образованию. Немало об этом говорили ее ученицы и сослуживцы во время празднования двадцатипятилетнего юбелея ее педагогической деятельности 7 декабря 1903 г., который очень тепло отметила общественность Петербурга (в гимназии и газетах)*.

В августе 1897 г. Литвинова, как активный борец за развитие высшего женского образования в России, вместе с В. П. Тарновской, О. К. Нечаевой и Е. Н. Щепкиной была делегирована от русских женщин в Брюссель на международный женский конгресс.

Е. Ф. Литвинова, как выдающийся педагог, в 1911 г. была командирована в Берлин, Геттинген, Страсбург, Нанси и Цюрих для ознакомления с постановкой преподавания геометрии в средней школе.

В Петербурге ей было разрешено открыть курсы для подготовки в высшую школу, эти курсы так и назывались «Курсы Е. Ф. Литвиновой».

Е. Ф. Литвинова скончалась в 1919 г.

Имя Е. Ф. Литвиновой — одно из тех, которым следует отвести видное место в истории русского просвещения.

* «Новое время», «Биржевые ведомости», «Новости» — все от 8 декабря 1903 г.

ОТ РЕДАКЦИИ

Ввиду того что число участников конкурса по решению задач значительно возросло и продолжает расти от номера к номеру, редакция журнала «Математика в школе» не имеет возможности в сводках помещать фамилии всех читателей, приславших решения. Начиная с № 4 1952 г., редакция помещает фамилии участников конкурса, решивших не менее 50% задач, помещенных в журнале. Вместе с тем редакция просит читателей, присылающих решение задач, придерживаться следующих правил, выполнение которых является обязательным для всех участников конкурса:

1. Решения задач присылаются отдельно от всякой другой корреспонденции.

2. Решение каждой задачи дается на отдельном листочке и подписывается автором решения с указанием местожительства (город, район, область).

3. К решениям прилагается на отдельном листе список номеров присылаемых задач и точный адрес.

4. Решения должны быть написаны четко и разборчиво, а номер каждой из решенных задач должен быть крупно выделен.

5. Если решаемая задача не является оригинальной и решавший эту задачу отыскал решение в каком-либо руководстве, то необходимо давать изложение решения, а не ограничиваться только ссылкой на источник.

Редакция напоминает всем лицам, предлагающим задачи в «Отдел задач», что не принятые к напечатанию задачи уничтожаются, и по поводу них редакция в переписку не вступает.

При подведении итогов конкурса при прочих равных условиях будет учитываться качество решения (полнота решения, исследование, оригинальность оформления).

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О «СБОРНИКЕ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ» К. С. БАРЫБИНА И А. К. ИСАКОВА

И. М. ЯВОРСКИЙ (Москва)

В свете решений XIX съезда КПСС о переходе ко всеобщему десятилетнему и политехническому образованию мы, педагоги-математики, в настоящее время должны общими усилиями правильно решить вопрос о соединении теории с практикой в процессе преподавания математики.

Проф. И. К. Андронов в статье, помещенной в «Учительской газете» за 24 декабря 1952 г., совершенно правильно отметил, что «основным звеном, за которое надо сейчас взяться, чтобы устранить недостатки, является проблема задачника»

В последнее время был издан ряд задачников, таких, как сборники П. А. Ларичева, К. У. Шахно, П. С. Моденова, в которых значительно расширены тематика и методы решения задач. Появление задачников-решебников (типа сборника Выгодского, Антонова и др.) совершенно нежелательно, ибо на наш взгляд, кроме вреда, такие решебники ничего не приносят. Споры о том, нужно ли давать решения в задачниках или нет,— дело давнее. По нашему твердому убеждению задачник-решебник, в котором подробнейшим образом решены все задачи, даже совсем тривиальные, как это сделано в сборнике под редакцией Выгодского, убивает всякую инициативу и склонность к творчеству у учащихся. Когда предложена интересная задача и нет никакого указания на решение, то у решающего создается впечатление, что он решает новую проблему, он напрягает все свои силы, догадывается, изобретает, творит. Мы считаем, что в задачнике должны быть даны образцы решений, которые знакомят читателя с разнообразными методами, а к задачам должны быть даны только ответы и лишь к наиболее трудным краткие указания.

Таким образом, на наш взгляд, задачник должен знакомить учащихся с различными методами решений задач и примеров и предоставлять большое поле деятельности для развития самостоятельного мышления и математического творчества. Нельзя сказать, что и рецензируемая книга Барыбина и Исакова удовлетворяет этому требованию.

Рецензируемая книга «Сборник задач по математике» К. С. Барыбина и А. К. Исакова (пособие для учителей VIII—X классов, Учпедгиз, 1952) содержит задачи по алгебре, геометрии (планиметрии и стереометрии) и тригонометрии.

В книге собрано большое количество задач (около двух тысяч). Характер большинства задач примерно таков, как в уже ранее издававшихся учебных пособиях, учебниках, задачниках и журналах.

Мы полагаем, что нужны новые сборники задач по математике, так как нельзя считать проблему задачной литературы по элементарной математике уже полностью решенной усилиями названных авторов. Напротив, целый ряд разделов курса элементарной математики еще вызывает трудности и у учащегося, и даже у преподавателей.

Внедрение в школу понятия функции, естественно, выдвигает требование дать задачи, связанные с этим понятием, а также с простейшими исследованиями функций элементарными средствами. В «Специальном курсе элементарной алгебры» С. И. Новоселова намечены пути построения задач, связанных с подобными исследованиями, на возрастание и убывание функций, на отыскание наибольших и наименьших значений, на выпуклость и вогнутость графиков и т. д. Все это — благодарная почва для создания новых типов задач и новых методов их решения.

Благодарный материал для создания упражнений нового типа, связанных с простейшими задачами по теории вероятностей, дает комбинаторика. Богатые возможности в решении геометрических задач, опирающихся лишь на аксиомы соединения (а иногда и порядка), дает применение геометрических преобразований, в частности перспектива, и т. д.

К сожалению, в своей книге К. С. Барыбин и А. К. Исаков дали очень мало задач, требующих для своего решения разнообразных новых приемов и методов решения, тогда как именно эти задачи, на наш взгляд, особенно необходимы для учителей.

Целый ряд разделов школьного курса элементарной математики усваивается учащимися недостаточно глубоко. К- С. Барыбин и А. К. Исаков правильно наметили вопросы, по которым надо дать набор задач. Можно только приветствовать появление задач по таким вопросам, как понятие об иррациональном числе, абсолютная величина, функции и

графики, последовательности, неравенства, многочлены, задачи на доказательство в алгебре, планиметрии и стереометрии, обратные тригонометрические функции; заголовки всех этих разделов мы находим в рецензируемом сборнике. Однако следует отметить, что авторы далеко не всегда удовлетворительно решают вопрос о подборе задач по этим темам. Так, на иррациональные числа по существу задач не дано: остается лишь заголовок на стр. 3; чрезвычайно беден и безидеен набор задач в разделе «Функции и графики»; интересный раздел «Последовательности» представлен в целом неинтересно и слишком формально, задачи на неравенства во многом носят характер искусственно подобранных примеров. Нет систематического набора задач на решение неравенств, на геометрическое истолкование решения неравенств. Несомненно, удались авторам задачи, связанные с понятием абсолютной величины (первые номера задач), задачи на доказательства в геометрии, задачи 1185—1217, почему-то названные авторами «задачами на построение» (?). Относительно последних задач следует заметить, что суть дела здесь заключается в ряде вопросов по стереометрии, построенных в основном на базе аксиом соединения и порядка; в ряде случаев привлекается и метрика. Вопросы подобного рода живо и интересно будут восприняты и учителями, и учащимися; они воспитывают и развивают геометрическое мышление. Несомненно, удачен набор задач по обратным тригонометрическим функциям; этот раздел все еще вызывает большие трудности.

Текстовые задачи подобраны авторами не всегда удачно. В задачнике помещены такие задачи, которым совсем не место в современном задачнике. Таковы, например, задачи на смешивание воды со спиртом, на переливание вина из одной бочки в другую, на взвешивание на испорченных весах, на опоздание поездов, на игру в карты, на приглашение гостей и др. Так, в задаче № 103 сказано: Из сосуда, наполненного спиртом крепостью 92°, отлили 1 л и дополнили водой; затем еще раз отлили 1 л и дополнили водой, после чего крепость в сосуде стала 69о. Определить емкость сосуда.

Надуманная постановка вопроса. Таким образом никто никогда не определяет емкость сосуда. Если помещение такой задачи один раз авторы могли бы оправдать тем, что она дана для тренировки, то совершенно неоправданным является то, что эта задача помещена 3 раза: № 316 (переливали 20 раз!), 681, 103.

Среди задач на движение также встречаются очень искусственные и даже совершенно неестественные.

Так, в задаче № 267 сказано: На одной из станций Московского метро человек пробежал по ступеням поднимающегося эскалатора до высоты 10 м и обратно, употребив на пробег в оба конца 73 сек.

В другой раз он проделал то же самое на спускающемся эскалаторе и употребил на пробег туда и обратно 4 мин. 22 сек. Найти собственную скорость эскалатора и подъема человека, если...

Если какой-нибудь ученик школы, услышав от учителя такую задачу, вздумает (что вполне возможно) проделать такой трюк на эскалаторе метро, то он, во-первых, физически не сможет этого выполнить, а, во-вторых, будет задержан администрацией метро

На эту тему можно было составить ряд реальных задач, например движение самолета при попутном и встречном ветре, движение парохода по течению и против течения, движение подводной лодки на различной глубине и т. д.

Для чего потребовалась авторам такая странная фабула задачи? К этому типу относятся задачи № 262, 265, 268 Наша современная действительность так насыщена содержанием, что может служить богатым источником для составления задачников (сооружение тоннелей, постройка метро, строительство домов-гигантов, сооружение новых машин: самосвалов, подъемных кранов, шагающих домкратов, комбайнов для укладки шоссейных дорог, мощных гусеничных тракторов, универсальных станков, радиолокация, телевидение, сооружение сельскохозяйственных машин, авиация, железнодорожный, водный транспорт, строительство мощных гидроэлектростанций, счетные приборы; задачи, связанные с различными открытиями, связанные с приоритетом русской науки).

Авторы рецензируемого задачника прошли мимо всего этого, что является большим недостатком.

Перейдем теперь к оформлению работы. Уже в предисловии авторы пишут: «В главах I—XI, XIII по алгебре и в главах I—X по тригонометрии решения даны в множестве действительных чисел (что означает эта фраза? — И. Я.). Поэтому: 1) Функция y = f(x) рассматривается как соответствие, где каждому допустимому значению х соответствует единственное действительное значение #у» (при чем здесь слово «поэтому»?). Далее авторы пишут: «Исследование неразрывно связано с решением» (непонятно, о чем идет речь).

Это предисловие, на наш взгляд, должно быть заменено обстоятельным введением, в котором авторы должны четко формулировать свои принципиальные установки, как, например: что уравнения и системы уравнений, которые содержат только целые рациональные функции, решаются всегда в поле комплексных чисел; иррациональные уравнения (и системы), а также любые неравенства — в поле действительных чисел; для обратных тригонометрических функций берутся их главные ветви (можно даже дать определения) и т. д.

Отсутствие четких принципиальных установок сильно вредит книге. Приведем ряд примеров, подтверждающих то, что было сказано выше; в тех случаях, когда комментарии нам кажутся излишними, мы их не даем. В отдельных случаях к соответствующей выписке даются замечания.

Начнем с дефектов, имеющих принципиальный характер.

В задаче № 191 в пункте III требуется найти значения л-, при которых функция возрастает. Что имеют здесь в виду авторы: выделить промежутки для значений аргумента, в которых функция возрастает, или выделить те значения л-, в каждом из которых функция возрастает. Понятие возрастания функции в точке — одно, понятие возрастания в промежутке — другсе. Эти понятия по-разному формулируются. Напомним соответствующие определения читателю:

1) Функция /(х) называется возрастающей при X = а, если существует такое положительное число /7, что при всех Ху удовлетворяющих неравенствам а — h < X < я, имеет место неравенство f(x) < / (я), а при всех х, удовлетворяющих неравенствам а < X < а + Л, имеет место неравенство / (х) > / (а).

2) Функция f (х) называется возрастающей в интервале (я, Ь), если для любых двух значений х\ и х^ из этого интервала, удовлетворяющих неравенствам а < х\ < х2 < имеет место неравенство f(xù<f(x2).

Что имели в виду авторы в условии задачи № 191? По условию задачи речь идет об отыскании множества точек, в каждой из которых функция возрастает; по ответу, пожалуй, о возрастании в промежутке. Дело

обстоит тем хуже, что в этом примере оба множества совпадают, и это еще более может запутать читателя.

В задаче № 331 вопрос 2) поставлен неестественно; все и всегда ставят вопрос так: «Найти такое число N, что при всех п> N выполняется неравенство

Авторы же спрашивают, при каком значении п

Плохая услуга высшей школе.

В задаче № 559 в вопросе 2 требуется вычислить

Подобные вещи абсолютно недопустимы, задача явно ставится в поле комплексных чисел, но тогда недопустимо давать лишь одно действительное значение для радикала у/~х3-}-у3+3ху при комплексных X и у.

В задаче № 568 требуется найти модуль -|_ 4 / -|_ -J- у 3 — 4 г. В ответе дано одно действительное число. Однако на самом деле у^З + 4 / имеет два значения и 3 — 4 г имеет два значения, следовательно, выражение у'З + 4 г + у^З — 4 г имеет четыре значения и каждое из них имеет свой модуль. Опять плохая услуга высшей школе.

Задача № 662 сформулирована так: Сколько решений имеет каждое уравнение системы

Имеет ли система общее решение?

Термин «общее решение» употребляется в математике совсем в другом смысле, а именно: общим решением системы уравнений называется множество всех решений этой системы. В этом смысле — всякая система уравнений имеет общее решение (которое может быть и пустым множеством). Применяя этот термин в другом смысле, авторы опять путают читателя.

В задаче № 663 требуется составить уравнение, которое допускало бы решения х = 2 и у=3 и было бы несовместно с уравнением 5х — 2у = 12.

Здесь опять путаница, с которой приходится бороться еще и сейчас в средней школе. Дело в том, что, во-первых, система значений неизвестных х, у, удовлетворяющая уравнению, называется решением, а не решениями этого уравнения; во-вторых, в математике никто и никогда не говорит, что «это уравнение несовместно с этим». Говорят о несовместной системе уравнений, говорят об эквивалентности одного из уравнений системы другому, но термин «уравнение несовместно с уравнением» — вредная выдумка, путающая дело там, где приходится бороться за чистоту терминологии.

Приведем примеры (не претендуя на полноту) более мелких погрешностей.

Задача № 1. «В примерах «£»—«£» считать, что записью задан закон чередования цифр» — фраза, не имеющая смысла. Недопустимо также считать, что последовательность определяется несколькими ее первыми членами. Эту ошибку авторы повторяют несколько раз.

Задача № 44. «4) При каких значениях <р (х) уравнения у(ху = Ъ и /(•*) = О равносильны? /(х) и ю (х) — многочлены, не имеющие общих корней». Вопрос лишен смысла.

Задача № 69. «Могут ли корни уравнения (х — а) (х — Ь) = с быть мнимыми, если с — действительное число?» Но ничего не сказано о а и Ь.

Задача № 72. «Корни суть обратные величины» (стиль !).

Задача № 84. «... Найти такое значение для я, при котором один из корней обоих уравнений был бы общий» (стиль!).

Задача №114. «...Найти их скорости, если известно, что они двигались равномерно и непрерывно» (неудачен термин «непрерывно»).

Задача № 120. «Два населенных пункта... желают...» (кто «желают» ? — пункты?).

Задача № 122. «Какую площадь предполагалось засаживать (?) и сколько засаживали ?».

Задача № 168. « Указать, что в следующих равенствах является функцией, а что аргументом...». Судя по ответу, авторы считают, что то, что обозначено буквой X, есть аргумент, а буквой у — функция. Наивная точка зрения.

Задача № 173. «При каких значениях х следующие функции равны нулю...». Надо сказать: «значения следующих функции равны нулю», иначе получается некорректно; это повторяется и в дальнейшем.

Задача № 195. «Дать пример функции, которая при X = — 2 и X = 1 по абсолютной величине неограниченно возрастает». Вопрос лишен смысла и поставлен математически некорректно.

На стр. 21 имеется заголовок «Системы уравнений второй степени», а в тексте содержатся и иррациональные уравнения, и уравнения третьей степени.

Задача № 271, вопрос 2). Недопустимо требовать написать формулу общего члена последовательности по нескольким ее первым членам.

Задача №272. «1) Показать, что центральные углы правильного треугольника, четырехугольника и т. д. составляют последовательность». Во-первых, сам вопрос бессодержателен, и, во-вторых, непонятно, что такое «центральный угол треугольника». Не имеют смысла и аналогичные вопросы в задачах № 273 и 274.

Задача № 281. «В последовательности ах=2, ац7=66! Общий член — целая линейная функция» (чего — не сказано!) «Восставить последовательность» — так не говорят.

Задача № 295. «Найти сумму следующих последовательностей...». Однако дальше нет ни одной последовательности, а выписаны выражения: n -J- (n +1) + + (п + 2) +----(n + п) и другие, каждое из которых не есть последовательность и даже не «сумма последовательностей».

Задача № 306. «Квадрат и равносторонний треугольник заполнены одинаковым числом равных кругов» (как «заполнены»? — непонятно).

Задача № 309. «Из точки А проведены: ABJ_MN и ряд наклонных к MN так, что каждая наклонная равна проекции (куда — не сказано) ближайшей наклонной (слово «ближайшей» — неуместно). Доказать, что перпендикуляры, восстановленные к этим наклонным из их оснований на MN...t> (стиль!).

Задача № 330. «1) Показать, что... разность 1— ап может быть сделана меньше любого малого числа». Что такое «малое» число? Такая небрежность формулировки недопустима.

Задача № 335. «Найти предел суммы бесконечного ряда». Надо: «найти сумму ряда...»

Вообще авторы часто переделывают на свой лад давно принятую и твердо установившуюся терминологию.

Задача № 360. «Чем отличаются функции...»—бессодержательный вопрос. «Проиллюстрируйте эту разницу...».

Задача № 383. Пропущено: аф\, Ь ф\ (а и b — основания логарифмов).

Задача № 497. «Сколько сигналов можно подать с помощью четырех различных флагов, если их рас-

полагать вертикально в любом числе?». Непонятно, почему «в любом числе», ведь флагов всего четыре?

Задача № 498. «Некто, имеющий шесть знакомых, предполагает пригласить их в гости. Сколько при этом может получиться комбинаций?» Курьезная постановка вопроса. В условии задачи сказано: «предполагает пригласить». Во-первых, отсюда не следует, что «некто» их пригласит, а, во-вторых, если они и пригласят, то непонятно, о каких «комбинациях» спрашивают авторы.

задача № 500. «4) два определенных мальчика всегда не вместе» (?)

Задача № 517. «... иметь в виду два случая: 1) когда порядок предметов имеет и 2) когда не имеет значения». Непонятно, что значит «порядок имеет значение», какое значение?

Задача № 564. «Доказать, что комплексное число а+Ы можно представить в виде -^Гт[ * если его модуль I a + Ы I = 1 ». Не сказано, что m — число действительное; не сказано и о том, что исключением является случай: а=—1, Ь = 0; число — 1 при этом рассматривается, конечно, как комплексное.

Задача № 578. «Умножить обе части неравенств: 1) 3>2 на я» и т. д.— странные вопросы.

Задача № 588. «Написать (?) квадратный трехчлен вида X* + рх + ç, который был бы отрицателен в интервале — 2<*<3». Странно, что в ответе дано х2 — х — 6. Задача же имеет бесконечное множество решений: (х — а) (х — Ь), где а — любое число < — 2, а Ь — любое число > 3. Почему авторы берут а = — 2, b ~3, непонятно.

Задача № 661. «... Какая разница случая 2) со случаем 3)(?)» (так по-русски не говорят и не пишут).

Задача № 680. «... бассейн был полон на половину »(?)

Задача № 702. Не сказано, что имеется в виду многочлен с коэффициентом при д;3, равном 1. В противном случае условию удовлетворяет однопараметрическое семейство многочленов.

Задачи № 714 и 715. Из условия и ответа задачи j№ 714 следует, что авторы считаются с кратностью корней. После этого слова «более чем п значений je» в задаче № 715 могут вызвать путаницу. Лучше: «более чем п различных значений х».

Не более благополучно обстоит дело и в разделах «Геометрия» и «Тригонометрия». Мы не будем здесь приводить подробно ошибок, отметим лишь номера задач, где даны нечеткие или неверные формулировки.

Читатель, который возьмет на себя труд просмотреть следующие номера задач: 796, 816, 835, 849, 868, 878, 910, 918, 934, 937, 948, 949, 952, 965, 968, 919, 974, 983, 1016, 1020, 1022, 1023, 1033, 1045, 1049, 1050, 1051, 1075, 1078, 1080, 1115, 1125, 1134, 1143, 1147, 1161, 1171, 1172, 1175, 1218, 1210, 1218, 1218, 1218, 1218, 1232, 1234, 1256, 1262, 1269, 1271, 1275, 1289, 1297, 1304, 1315, 1318, 1323, 1332, 1339 (неверен ответ), 1356, 1361 и многие другие задачи по геометрии, — убедится в том, что часть этих задач сформулирована математически некорректно, а часть — крайне небрежно: здесь делятся пополам прямые (?), берется сумма перпендикуляров (?), окружности пересекаются по хордам (?), трапеция имеет «большую непараллельную сторону» (№ 907), квадрат движется по прямой (№ 1049), говорится про полувысоту ( ) усеченного конуса (№ 1332) и т. д. Характерная погрешность этого рода допущена авторами в задаче № 1366, где медный шар имеет концентрическую пустоту (?) и требуется найти радиус пустоты (?).

Есть в перечисленных задачах и неверно поставленные вопросы.

Заключение

1) Сборник правильно намечает целый ряд разделов школьного курса, где нужно дать набор задач, однако в целом он эту задачу все же не решает. Удались авторам наборы задач, связанные с понятием абсолютной величины числа, целый ряд вопросов по стереометрии (№ 1185—1217), задачи на обратные тригонометрические функции.

2) В сборнике имеется много погрешностей, неясных, неверных формулировок, путающих современные математические понятия и терминологию.

Таким образом, задача о создании сборника задач по элементарной математике все еще остается не решенной. Тем не менее сборник нельзя считать бесполезным. Как мы уже отмечали, ряд разделов авторам, несомненно, удался.

Как весьма оградное явление следует отметить, что авторами книги являются учителя-практики. Надо признать ценной инициативу учителей включиться в большую творческую работу по созданию учебной и методической литературы.

Высказав ряд серьезных критических замечаний, мы вместе с тем надеемся, что наша критика поможет авторам в их дальнейшей работе над книгой.

О КНИГЕ С. И. НОВОСЕЛОВА «СПЕЦИАЛЬНЫЙ КУРС ЭЛЕМЕНТАРНОЙ АЛГЕБРЫ»

(Государственное издательство «Советская наука», 1951)

Б. М. БУДАК (Москва)

Рецензируемая книга представляет собой учебник для физико-математических факультетов педагогических институтов и написала в соответствии с алгебраическим разделом специального курса элементарной математики.

В настоящее время вряд ли кто-либо будет оспаривать, что знания математического анализа и высшей алгебры в объеме вузовской программы недостаточно для квалифицированного преподавания школьного курса алгебры, не являющегося ни составной частью курса математического анализа, ни составной частью курса высшей алгебры. Будущий учитель нуждается в специальной подготовке. Однако специальный курс элементарной алгебры, задачей которого является расширенное и научно обоснованное изложение соответствующих разделов школьного курса элементарной алгебры, лишь недавно сложился как самостоятельная дисциплина на физико-математических факультетах пединститутов.

В связи с этим возникла задача написания учебника, которую и решает С. И. Новоселов своей книгой.

Книга состоит из девяти глав: «Многочлены», «Дробная рациональная функция», «Радикалы и иррациональные функции», «Уравнения и неравенства», «Уравнения и неравенства первой степени», «Уравнения и неравенства высших степеней», «Показательная и логарифмическая функции над полем действительных чисел», «Комбинаторика», «Последовательности».

В своем «Спецкурсе» С. И. Новоселов, не дублируя курсов «высшей» и «современной» алгебры, привлекает многие важные понятия современной математики. Все изложение построено с привлечением теоретико-множественных понятий; в частности, на теоретико-множественной основе построена теория уравнений и неравенств; решение уравнения или неравенства трактуется как отыскание множества всех его решений; отсюда предельно четко формулируется понятие об эквивалентности уравнений, систем уравнений и неравенств.

Автор с уважением относится к установившейся в школе терминологии, определениям, формулировкам. Однако в тех случаях, когда традиционное изложение является лишь пережитком старых воззрений, он смело идет по новому пути. Так обстоит дело с комбинаторикой. Становясь на теоретико-множественную точку зрения, автор дает ясные и четкие определения в теории соединений, вместо явно устаревших и неудовлетворительных, применяемых по сие время.

В связи с изучением многочленов, рациональных и элементарных функций находят естественные применения и конкретизацию такие общие понятия современной алгебры, как понятия кольца и поля.

Наконец, в книге нашла достаточно широкое и естественное развитие функциональная точка зрения, и эта точка зрения также систематически и неуклонно проводится на протяжении всего курса. С функциональной точки зрения трактуется исследование уравнений и неравенств, тождественные преобразования, действия над радикалами, учение о последовательностях и, в частности, прогрессии (арифметическая прогрессия есть значения линейной функции ах + b для натуральных значений х, геометрическая прогрессия — значения показательной функции ах для натуральных значений х).

Значительное внимание уделяет автор исследованию элементарных функций элементарными средствами. Такие понятия, как «область определения функций», «множество значений функции», «ограниченность», «монотонность», «наибольшие и наименьшие значения», естественно, находят себе место в школьном курсе. Все эти понятия в аппаратом дифференциального исчисления не связаны, и автор правильно не ставит знакомство с этими понятиями в зависимость от аппарата дифференциального исчисления. Здесь приобретает особо важное значение исследование функций элементарными средствами, которое в ряде частных случаев выполняется даже проще, чем методами дифференциального исчисления (следует отметить, что С. И. Новоселов является одним из первых инициаторов введения в школу вопросов, связанных с исследованием элементарных функций элементарными средствами). Элементарные приемы исследования, предлагаемые автором, не сводятся целиком к искусственным приемам, применяемым к различным задачам. Автор дает общие приемы для исследования функций, непосредственно связанные с определениями, показывая их на удачно подобранных примерах. Так, определив возрастание функции в промежутке: f(x) — возрастает в промежутке [а, Ь], если для двух любых значений Х\ и хъ удовлетворяющих неравенствам:

будет выполнено неравенство:

автор проводит на стр. 419 исследование функции:

в интервале (0, + оо ). Составляется разность:

откуда и следует, что

Отсюда делается заключение, что f(x) в промежутке (О, Yk) убывает, а в промежутке (Yk, + 00) возрастает.

Стремясь к научной строгости, автор вместе с тем не забывает и тех вопросов, включение которых в школьный курс обусловлено причинами научно-педагогического, а не только чисто теоретического характера. Примером может служить значительное количество решенных задач на составление и исследование уравнений и систем уравнений, задач на неравенства, в том числе и текстовых, и пр. Автор показал здесь, что он не пренебрегает насущными нуждами учителя. Другим примером может служить вопрос о тождественных преобразованиях. Едва ли нужно доказывать абсурдность еще существующей точки зрения, что тождественные преобразования

есть нечто «безидейное» (и может быть принесено в жертву «функциональному началу»).

Умение свободно и рационально производить тождественные преобразования является важнейшим делом для школы, и автор совершенно прав, уделяя внимание не только обоснованию тождественных преобразований, но и различным способам их практического выполнения.

Книга С. И. Новоселова в некоторых своих частях рассчитана на лиц, знакомых с общим курсом математического анализа, аналитической геометрии и высшей алгебры. Это позволяет автору, во-первых, не дублировать материал, известный из курсов высшей математики, а сосредоточить основное внимание на вопросах «элементарной алгебры». Так, например, автор делает правильно, что пользуется основной теоремой о существовании корня алгебраического уравнения, не доказывал этого предложения. То же относится, например, к исследованию линейных систем при помощи аппарата теории детерминантов. Во-вторых, некоторые понятия, знакомые читателю из названных выше курсов, находят свое применение в «Спецкурсе», что особенно важно для учителя. Так, например, известные свойства непрерывных функций получают применение при решении уравнений и неравенств, сведения из аналитической геометрии находят применение в различных геометрических интерпретациях (исследование систем уравнений, решение неравенств), общее понятие сходимости ряда связывается с элементарными методами суммирования рядов и т. д. В книге С. И. Новоселова увязка «высшей» математики с элементарной вполне естественная и представляется нам, по нашему личному мнению, неизмеримо более ценной, чем попытки зарубежных деятелей в «стиле» Клейна перемешивать вещи, не находящиеся между собой в органической связи. Достаточно привести в качестве примера известную книгу «Элементарная математика с точки зрения высшей» Ф. Клейна, где автор поместил, например, в томе, посвященном элементарной алгебре, феномен Гиббса., выясняющий характер неравномерной сходимости ряда Фурье в окрестности точки разрыва функции, для которой построен ряд.

К достоинствам книги следует отнести стремление автора установить точный смысл многих понятий, которые нередко в школьной практике считаются «очевидными» и не требующими определения. Примерами могут служить понятия: «тождественное преобразование», «упрощение выражения», «исключение неизвестного», «возрастание и убывание функции», «соединение» (в комбинаторике) и пр.

Важно отметить, что в книге С. И. Новоселова содержится большое число до конца решенных примеров и задач, причем всегда проводится исследование всех возможных случаев. Примеры, как правило, располагаются в порядке возрастающей трудности, начиная от обычных примеров школьного типа и кончая примерами повышенной трудности, требующими у учащегося достаточно высокой математической культуры.

Несомненно, что рецензируемая книга в целом удалась автору; более того, мы считаем, что появление «Спецкурса» по элементарной алгебре С. И. Новоселова является очень большим достижением за последние десятилетия в области подсобных работ для средней школы. Ни энциклопедия элементарной математики, ни отдельные публикации и статьи не в состоянии сколько-нибудь заменить с большим вкусом сделанную книгу С. И. Новоселова. Естественно, что на том хорошем и верном пути, по которому пошел автор, создавший свой курс почти на пустом месте, не все еще гладко и над курсом предстоит в дальнейшем очень большая работа. Мы отметим сейчас ряд дефектов книги. Эти дефекты не являются мелочами, и автору надо серьезно и много подумать над улучшением ряда разделов книги при ее последующих изданиях.

1. Досадным упущением автора следует считать тот факт, что в главе, посвященной рациональной функции, совершенно не рассмотрено выделение целой части из неправильной алгебраической дроби. Быть может, следовало бы изложить (хотя бы кратко) теорию разложения правильных алгебраических дробей на простейшие дроби.

2. Нам представляется целесообразным посвятить один из разделов книги рассмотрению элементарных трансцендентных функций над полем комплексных чисел. Это находилось бы в полном согласии с изложением теории элементарных алгебраических функций, принятым в. той же книге: автор излагает теорию как действительных, так и комплексных радикалов и проводит надлежащие сопоставления. Так следовало бы поступить и в теории элементарных трансцендентных функций.

3. Дискуссионным является вопрос о включении в комбинаторику элементов теории вероятностей. Автор отказался от изложения элементов теории вероятностей. Правда, методами комбинаторики обычно решаются задачи «с конечным числом испытаний» и изложение теории вероятностей на основании этих так называемых урновых схем не сможет дать правильного представления о сущности современной теории вероятностей. Однако дать понятие о вероятности даже для указанного выше частного случая нам представляется все же полезным. Это разнообразило бы задачи комбинаторики и сделало бы их более содержательными.

4. Наконец, наиболее существенным дефектом книги является следующее обстоятельство: некоторые важнейшие понятия и идеи современной математики, о которых автор говорит много, так сказать «не работают» или «работают не в полную силу». Чтобы не быть голословными, приведем два примера:

1) Мы не считаем, что автор поступил правильно, не включив в курс теорию уравнений 3-й и 4-й степени, как это было сделано в подробных старых курсах элементарной алгебры. Дело, конечно, вовсе не в том, что эти вещи излагаются в курсе высшей алгебры. Изложение этой теории следовало бы построить так, чтобы показать в действии понятия кольца и поля; здесь эти понятия явились бы инструментом исследования, и вот тогда учащийся увидел бы те богатейшие возможности, которые кроются в этих абстрактных понятиях. Выяснение роли абстракции в математике, несомненно, имеет огромное значение в деле формирования марксистско-ленинского мировоззрения у учащихся.

2) Возьмем еще один пример. Автор довольно большое место уделяет функциональным уравнениям, определяя ими характеристическое свойство той или иной функции, например функций я**, lognx (конечно, помимо функционального уравнения даются еще некоторые ограничения на функцию). Однако эти вещи, чрезвычайно важные и интересные, изложенные с большим вкусом и с позиций, доступных даже учащимся средней школы, остаются без надлежащего применения. Учащемуся может показаться, что функциональные уравнения могут быть применены лишь для нового вывода известных ему свойств элементарных функций. Между тем легкобыло привести такие убедительные примеры, на которых выяснилась бы вся сила указанной абстракции, которые надолго, если не навсегда, заставили бы учащегося запомнить характеристическое свой-

ство той или иной функции. Мы позволим себе привести один такой конкретный пример. Начнем с напоминания того, какие свойства функции \cfgax автор выделяет как характеристические, доказывая следуюшую теорему (стр. 442):

I. Если функция f(x) определена при всех положительных значениях х и возрастает на множестве всех положительных чисел,

II. если

где X и у — любые положительные числа, то / (х) = lga Ху где а > О, а ф 1.

Автор доказывает эту теорему на стр. 442—444.

Рассмотрим следующий пример: построим график ветви гиперболы:

расположенной в первой четверти (черт. 1).

Черт. 1

Обозначим через / (а) площадь криволинейной трапеции, ограниченную гиперболой, осью ОХ и прямыми х-=\ и X = а (черт. 1). При этом будем считать эту площадь положительной, если я>1, и отрицательной, если 0<я<1. Рассмотрим теперь следующее преобразование: каждой точке M плоскости с координатами х, у поставим в соответствии точку М' с координатами

(1)

где k — любое положительное число. Пусть, например, k = 2, т. е. х' = 2х, у1 = . Геометрически это преобразование заключается в том, что мы «растягиваем» плоскость от оси OY в 2 раза (х* — 2х) и в 2 раза сжимаем плоскость к оси ОХ

Аналогичная картина имеет место и при любом положительном значении k. Так как при сжатии к оси ОХ «в k раз» все площади уменьшаются «э * раз», а при растяжении от оси OY «в k раз» все площади увеличиваются «в k раз», то в результате преобразования (1) величины площадей сохраняются. Отметим, что из формул (1) следует, что

а отсюда следует, что всякая точка М% лежащая на гиперболе ху = 1, после преобразования (1) перейдет в точку M't также лежащую на той же гиперболе, так как из равенств ху = х'уг и ху = 1 следует, что х'у' = 1. Возьмем теперь два произвольные положительные числа а и Ь. Будем считать, что a<J) и что оба эти числа больше 1. Рассмотрим следующее преобразование:

В результате этого преобразования точки А, В, С, D перейдут соответственно в точки

Значит, в силу сохранения площадей в этом преобразовании пл. ABCD — пл. EFMN, а потому пл. ABCD + пл. ABEF = пл. ABNM или в силу принятых нами обозначений:

Кроме того, ясно, что функция / (а) определена при всех положительных значениях а и монотонно возрастающая. Значит, выполнены условия I, II, а потому площадь криволинейной трапеции ABCD есть логарифмическая функция от а:

Ясно, как приближенно вычислить основание этих логарифмов. Здесь можно сказать и о числе е, и о способе приближенного вычисления логарифмов. Функциональное уравнение послужило здесь для получения целого ряда новых и важных фактов, послужило средством, увязывающим алгебру с геометрией. Пусть подобные вещи будут даны, скажем, петитом, но пусть читатель видит, что новые для него идеи служат средством для получения новых фактов и установления тесной взаимосвязи различных разделов школьного курса математики.

Приведенный пример не является надуманным; читателю, знакомому с интегральным исчислением, хорошо известна формула:

где x > 0, и доказательство этого равенства может быть проведено коротко при помощи характеристического свойства логарифма. Именно так некоторые авторы и строят в курсах математического анализа теорию логарифмической функции.

На этом мы закончим рассмотрение недостатков книги и дадим еще обзор рецензируемой книги по разделам.

Первые две главы посвящены учению о рациональных функциях (целых и дробных). Как известно, учение о рациональных функциях над числовым полем может быть развито с двух точек зрения: с «чисто алгебраической» и с «функциональной». Для рациональных функций над числовыми полями обе эти точки зрения равноправны. Вопрос о том, какую из этих точек зрения (в элементарной алгебре) принять за основу, явился в последнее время предметом обсуждения. Мы полагаем, что автор поступил правильно, приняв за основу функциональную точку зрения. В самом деле: в школе всегда придерживаются и будут придерживаться функциональной точки зрения, а в современных курсах высшей алгебры (см., например, книгу А. Г. Куроша) по вполне понятным причинам проводится «алгебраическая» точка зрения; здесь курсы высшей алгебры и «Спецкурс элементарной математики» дополняют друг друга, подходя к учению о рациональных функциях над числовым полем с различных точек зрения. Весьма существенно, что автор уделил должное внимание рассмотрению многочленов

и рациональных функций от нескольких аргументов; это вполне понятно, так как курс высшей алгебры, изучаемый в педагогических институтах, ограничивается обычно изучением целых рациональных функций от одного аргумента, тогда как даже в самых простых упражнениях в школе обычно требуется выполнять различные преобразования над выражениями, содержащими несколько букв.

Оригинально доказана теорема о тождественности многочленов; доказательство это вполне элементарно и не опирается на теорему о разложении многочлена на множители. С предельной ясностью изложен автором вопрос о тождественности дробных выражений, внесена полная ясность в вопросы, связанные с сокращением дроби на функциональные множители. Именно эти вопросы продолжают затруднять и по сие время многих учителей; неясности в этих вопросах служат источником многих научных и методических ошибок.

Заметим, однако, что мы не согласны с определениями одночлена и многочлена, приведенными в этом разделе книги. Действительно, если эти определения не дополнять какими-либо другими, отсутствующими в книге, то, например, общепринятое понятие тригонометрического многочлена не будет охватываться этими определениями.

Третья глава содержит обстоятельное изложение учения о радикалах. Автор отправляется от арифметического значения корня, так что символ УА, где А ^ 0, всегда как при четном, так и при нечетном п обозначает единственное неотрицательное число « лишь впоследствии автор производит подробное исследование, при каких условиях свойства арифметических радикалов остаются в силе для случая, когда А отрицательно. Такое построение учения о радикалах полностью устраняет ту путаницу, которая имеется в старой учебной литературе, где вначале рассматриваются «произвольные» радикалы и к тому же двузначные при четном л, а впоследствии правила действий над радикалами устанавливаются лишь для арифметических корней. Такое «традиционное» изложение поневоле наталкивает учащихся на ошибки, связанные с наивным убеждением, что алгебраические комплексные радикалы в общем случае обладают такими же свойствами, как и арифметические корни.

Третья глава завершается параграфом, в котором изложена теория комплексных радикалов, проведен анализ, в какой мере остаются в силе известные свойства действительных радикалов применительно к комплексным радикалам и в каком смысле надо понимать эти свойства. Такой подробный анализ исчерпывающим образом разъясняет целый ряд относящихся сюда «парадоксов».

Следующие три главы посвящены одному из центральных вопросов элементарной алгебры — учению об уравнениях и неравенствах. Первая из этих глав (глава IV) содержит изложение общих вопросов, теории уравнений и неравенств: понятие равносильности, преобразование уравнений, источники появления посторонних решений и потери решений. Все это чрезвычайно важные вопросы, вокруг которых и до сего времени ведется немало толков и споров и которые каждый учитель должен отчетливо понимать. В этой главе нашла отражение общая тенденция автора к установлению точного смысла понятий, с которыми в школе привыкли оперировать как с «очевидными». Сюда относится точная формулировка постановки вопроса о решении и исследовании уравнений, содержащих параметры. Удачно введенное автором понятие смешанной системы, т. е. системы, в состав которой входят и уравнения, и неравенства. В самом деле: в большинстве практических задач неизвестные ищутся из целого ряда условий, которые либо прямо указываются в тексте, либо вытекают из самого смысла рассматриваемых величин. Эти различные условия и приводят к системе соотношений, содержащих как уравнения, так и неравенства. Следует, однако, заметить, что хотя примеры, помещенные в § 56 «О решении и исследовании текстовых задач на составление уравнений и неравенств», весьма поучительны, основной текст этого параграфа написан, так сказать, неконструктивно и расплывчато.

То обстоятельство, что в книге теория неравенств представлена достаточно полно и основательно, является очень важным; средняя школа должна давать учащимся твердые навыки в обращении с неравенствами; отметим, что многие старые руководства надлежащего внимания неравенствам не уделяли.

Следующая, V глава посвящена общей теории линейных уравнений и неравенств. Как известно, теория линейных систем уравнений изучается в курсах высшей алгебры при помощи аппарата теории детерминантов, но на практике нередко элементарные методы решения и исследования систем гораздо быстрее ведут к пели, чем применение общих формул; в пределах школьной программы эти элементарные методы являются единственными. Автор вполне удачно и в общем виде показал, что процесс последовательного исключения неизвестных во всех случаях позволяет провести исследование линейной системы до конца, т. е. установить, совместна система или нет и, если совместна, найти все ее решения. Процесс сведения данной системы к треугольной позволяет составить и формулы, дающие общее решение, и установить число линейно независимых уравнений. Окончательно элементарный процесс приводит к тем же результатам, которые даются средствами высшей алгебры путем использования матриц и понятия базисного минора. И здесь курсы «высшей» и «элементарной» алгебры весьма удачно дополняют друг друга, освещая в данном случае вопрос о линейных системах с различных точек зрения.

Следующая глава, наиболее обширная по объему, посвящена теории уравнений и неравенств степени выше первой. Глава начинается с параграфов, посвященных квадратным уравнениям и неравенствам и свойствам квадратного трехчлена. Этот раздел достаточно полно разработан в учебной литературе, по этому вопросу было написано много всевозможных методических статей. Тем не менее автор не сделал ошибки, изложив эти вопросы с исчерпывающей полнотой. Приведем хотя бы такой пример: общеизвестно доказательство того, что если дискриминант квадратного трехчлена с действительными коэффициентами положителен, то этот трехчлен имеет два различные действительные корня, однако нередко приходится пользоваться обратным положением: если корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами действительны и различны, то его дискриминант положителен. К сожалению, в существующей учебной литературе не подчеркнуто, что условие А > О является необходимым и достаточным условием того, что квадратный трехчлен с действительными коэффициентами имеет действительные и различные корни. Этот досадный пробел восполнен рецензируемой книгой.

В этой же главе подробно и обстоятельно рассмотрены уравнения, приводящиеся к простейшим алгебраическим, — дробные и иррациональные. Введение в двух первых главах понятия канонического представления рациональной функции дает возмож-

ность алгебраически решать вопрос об особых случаях решения дробных уравнений, не прибегая в данном случае к общему принципу предельного перехода (для уравнений с одним неизвестным этот подход приводит к тому же результату, что и принцип предельного перехода). Обычные затруднения при решении иррациональных уравнений связаны с толкованием радикалов. С принятой в предыдущем изложении точки зрения один и тот же радикал трактуется различно, в зависимости от того, рассматривается ли этот радикал над полем действительных или над полем комплексных чисел. Отсюда понятно, что задачи решения иррационального уравнения в поле действительных и в поле комплексных чисел различны. Непонимание этого обстоятельства служит источником многих научно-методических ошибок в этом вопросе. В книге С. И. Новоселова читатель найдет ясное и исчерпывающее изложение этих вопросов. Автор показывает, что решение иррационального уравнения в поле комплексных чисел равносильно решению системы рациональных уравнений, а в поле действительных чисел — решению (в общем случае) смешанной системы, т. е. системы, состоящей из уравнений и, кроме того, неравенств, выражающих неотрицательность радикалов четной степени (вот здесь «работает» во всю силу понятие смешанной системы!). Подробно освещен вопрос о том, при каких способам решения возможно появление посторонних решений, а при каких способах посторонние решения не появляются. Таким образом вносится ясность в вопрос, когда необходима проверка решений и когда в этой проверке нет надобности. В этой же главе содержится интересный подбор хорошо разработанных примеров на решение неравенств высших степеней с одним и несколькими неизвестными. Решение таких неравенств с двумя и большим числом неизвестных чисто алгебраическими средствами обычно сопряжено с громоздкими и запутанными исследованиями, требующими специального рассмотрения большого числа возможных случаев (достаточно обратиться к старым руководствам по элементарной алгебре Маракуева, Билибина, Бертрана и др.). Применение геометрических методов решения неравенств дает ясное толкование алгебраического решения и делает это решение легко обозримым и естественным. Подобное сочетание алгебраических методов с геометрическими весьма удачно проводится в книге С. И. Новоселова. Овладение этими методами важно и для высшей школы, например при установлении пределов интегрирования при редукции кратных интегралов к повторным. Глава оканчивается параграфом, в котором изложенные методы решения уравнений и неравенств применяются к исследованию функций, нахождению наибольших и наименьших значений, решению соответствующих задач.

Следующая, VII глава посвящена тем трансцендентным элементарным функциям, которые обычно изучаются в курсе элементарной алгебры: показательная, логарифмическая, степенная с иррациональным показателем, сложная показательная функция. В строго систематичном изложении устанавливаются основные свойства этих функций: монотонность, непрерывность и пр. Элементарными средствами доказывается теорема о высшем порядке роста показательной функции и в качестве следствия выводится теорема о трансцендентности показательной и логарифмической функций, решаются функциональные уравнения, характеризующие эти функции. Для учителя средней школы весьма ценным являются примеры исследования элементарных функций, получающихся путем комбинирования различных элементарных алгебраических и трансцендентных операций. Такого рода упражнения совершенно отсутствовали в прежних руководствах по элементарной математике, а между тем даже простые примеры такого типа потребуют от учащихся хорошего знания свойств элементарных функций и умения сознательно пользоваться этими свойствами. Повидимому, автору рецензируемой книги принадлежит разработка системы таких упражнений, так как в прежних руководствам подобные упражнения отсутствовали. Внедрение таких задач в школьную практику нам представляется весьма полезным делом. В тесной связи с этим получает совершенно иное освещение решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Нельзя не согласиться с критикой той трактовки показательных и логарифмических уравнений, которая имела место в старой учебной литературе, где главное внимание уделялось формальным преобразованиям, приводящим к решению. Функциональный подход к уравнениям и неравенствам далеко не может ограничиться автоматизмом, а требует сознательного применения полученных навыков в исследовании функций. С этой точки зрения упражнения на решение трансцендентных уравнений и неравенств приобретают не только «тренировочную», но и научно-идейную ценность. Остается пожелать, чтобы в этом плане строилось решение показательных и логарифмических уравнений и в средней школе. Материал, относящийся к элементарным способам составления логарифмических таблиц, автором изложен весьма кратко; сам автор мотивирует это тем, что элементарные средства вычисления логарифмо:? оставлены далеко позади современным математическим аппаратом и вычислительными средствами и культивирование здесь элементарных средств является, по мнению автора, анахронизмом; со всем этим, на наш взгляд, следует согласиться, хотя в некоторых книгах, вышедших сравнительно недавно, переоценивается роль элементарных способов вычисления логарифмов. Так, например, в книге И.В.Арнольда «Логарифмы в курсе элементарной алгебры» упомянутые методы изложены довольно подробно.

Автор поступил правильно, изложив теорию показательной и логарифмической функции над полем действительных чисел. Однако было бы естественно распространить ее на комплексную область, так же как и теорию тригонометрических функций, сохраняя элементарность методов.

Следующая, VIII глава посвящена комбинаторике. По объему эта глава небольшая и содержит традиционный материал (соединения «без повторений» и «с повторениями»), дополненный применением теории сочетаний к многочленам и рассмотрением методов доказательств комбинаторных тождеств. Ценность главы VIII, как мы уже говорили, заключается в последовательном проведении теоретико-множественной и функциональной точек зрения на теорию соединений; все это должно быть введено в среднюю школу. Порядок изложения несколько отличен от традиционного. Так, сочетания определяются как части конечного множества, а размещения — как упорядоченные части. При таком подходе простейшим и отправным понятием оказывается понятие сочетания, поэтому автор сначала выводит общую формулу для числа сочетаний, а уже затем формулу для числа размещений. Такую последовательность в изложении материала можно рекомендовать и для средней школы. Изящны теоретико-множественные толкования некоторых комбинаторных тождеств; так, например, вычисление суммы биномиальных коэффициентов толкуется как нахождение общего числа всех частей конечного множества.

Последняя, также сравнительно небольшая, глаза IX посвящена элементам теории последовательностей.

Понятие последовательности играет очень большую роль в математике как в «высшей», так и в «элементарной». В современную школьную программу тема «Последовательности чисел» включена поэтому с полным основанием. Однако при практическом прохождении этой темы преподаватель встречается с трудностями, вызванными отсутствием в учебной литературе изложения теории последовательностей в плане элементарной алгебры. В книге С. И. Новоселова теория последовательностей изложена применительно к нуждам средней школы. Эта глава поможет преподавателю математики правильно построить изучение этой темы в школе. С самого начала вводится общее, единственно правильное, определение последовательности как функции от натурального аргумента, причем членами последовательности, т. е. значениями функции могут быть не только числа, но любые объекты. Это определение конкретизировано на различных примерах, взятых из школьного курса математики. Затем автор переходит к числовым последовательностям и, наконец, к частным видам последовательностей, которые подробно изучаются в школьном курсе, — к арифметической и геометрической прогрессиям. Далее, автор останавливается на различных частных приемах вычисления конечных сумм и, в частности, на суммировании прогрессий, степеней чисел натурального ряда и др. Суммирование членов бесконечной геометрической прогрессии рассматривается с точки зрения общей задачи суммирования рядов. Рекомендация автора заменить школьный термин «бесконечно убывающая прогрессия» термином «сходящаяся прогрессия» нам представляется не обоснованной, хотя в данном случае убывание и сходимость эквивалентны. Тему о последовательности, пожалуй, лучше было поместить в книге до главы о комбинаторике.

Заключение. Резюмируем все сказанное.

1) Книга С. И. Новоселова содержит в подробном изложении все разделы курса элементарной алгебры, sa исключением учения о числе.

2) Изложение почти без исключений строго систематическое, обработанное тщательно даже в мелких деталях.

3) Автор широко привлекает понятия современной математики, которые занимают прочное место в науке, способствуют действительному сближению «высшей» и «элементарной» математики и поднимают последнюю на более высокий научно-идейный уровень.

4) Изложение богато иллюстрировано разобранными до конца примерами, геометрическими интерпретациями, графическими иллюстрациями.

5) Высокий научно-теоретический уровень изложения сочетается с непрестанным вниманием к выработке твердых математических навыков.

6) Материал «Спецкурса» близок средней школе, отвечает насущным потребностям учителя. Автор никогда не пренебрегает теми вопросами школьного курса, наличие которых в программе обусловлено педагогическими соображениями. Вместе с тем автор не уклоняется в чисто методические вопросы, которые должны трактоваться в курсе методики математики.

7) Книга С. И. Новоселова, несмотря на свои большие достоинства, содержит еще целый ряд недостатков, о которых мы говорили выше, устранение которых вполне осуществимо в последующих изданиях.

Создание учебника по специальному курсу алгебры является вместе с тем и созданием самой этой дисциплины, ибо еще до последнего времени (пока не было учебной литературы) было много споров и неясностей в вопросе о том, что есть и чем должен быть специальный курс элементарной математики и, в частности, алгебры в педагогических институтах.

Создав учебник по специальному курсу алгебры, С. И. Новоселов выполнил научно-педагогическую работу большой ценности. Книга С. И. Новоселова является серьезным вкладом в отечественную учебную литературу и ценным пособием для преподавателей (а отсюда и учащихся) средних школ.

КНИГА, ЗАСЛУЖИВАЮЩАЯ ОДОБРЕНИЯ

С. А. Пономарев и Н. И. Сырнев, Сборник задач по арифметике

А. М. АБАТУРОВ (учитель Халтуринской средней школы)

Задачник соответствует разделам программы V и VI классов. Упражнения и задачи даны на каждую тему программы.

Первая глава задачника содержит упражнения по теме V класса «Повторение пройденного материала в начальной школе». Материал для упражнений расположен в порядке изучения действий над целыми числами и охватывает весь комплекс упражнений по каждому действию. Так, например, для изучения действия умножения имеется достаточное количество задач, решаемых умножением, примеров и задач на зависимость между сомножителями и произведением, на изменение произведения с изменением сомножителей, на практическое применение законов умножения. В примерах предусмотрены упражнения, когда произведение в зависимости от величины множителя может быть больше множителя, равно ему и равно нулю (№ 108).

Дан ряд упражнений для устного счета. Хорошо подобраны и разнообразны по своему содержанию упражнения для усвоения и осмысленного изучения результатов действий в связи с изменением компонентов. Задачи на все действия объединены по специфическим приемам решения (например, № 183— 192—нахождение двух чисел по данной сумме и разности). Вводя ту или иную задачу, авторы начинают с простейшего вида задач, вводят затем варианты и усложняют тип задачи. В конце первой главы дан ряд задач (№ 270—296) для повторения. В задачах числовой материал соответствует уровню необходимой арифметической подготовки учащихся. Условия задач сформулированы точно, ясно. В большинстве

задач использован жизненный материал, который осмысливает самые занятия по математике и делает их интересными (№ 120, 294).

Вторая глава первого отдела отведена в сборнике упражнениям на делимость чисел. Основы знания свойств чисел закладываются в V классе, а поэтому соответствующие упражнения должны быть разнообразны и интересны. В задачнике дано много упражнений, которые требуют от учащихся знания состава чисел и свойств целых чисел.

Второй отдел сборника содержит задачи и упражнения по изучению дробей. Содержание, объем, и расположение материала соответствует программным требованиям. Разнообразны по содержанию и конструкции задачи и упражнения на ознакомление с дробным числом, на равенство и неравенство дробных чисел, на преобразование смешанного числа и неправильной дроби, на изменение величины дроби с изменением ее членов, на сокращение и приведение дробей к Н. 0.3.; особенно ценно в некоторых из этих упражнений то, что они иллюстрированы чертежами (№ 460, 462, 465 и др.).

В этом отделе, как и в других, большое место отведено простым основным задачам на действия с дробными числами, что вполне целесообразно, так как только при условии прочного усвоения простых задач и навыков в выполнении действий над дробями можно успешно работать над решением сложных задач.

Удачный подбор задач на проценты позволяет попутно сообщить учащимся много полезных данных о нашем социалистическом строительстве. Среди задач на все действия с обыкновенными дробями имеются такие задачи повышенной трудности (№ 1402, 925), решение которых лучше всего отнести к работе математического кружка.

Задачи геометрического содержания выделены в сборнике в особые разделы, применительно к программе V класса. Наряду с задачами в сборнике даны формулы для определения площадей фигур, поверхностей и объемов тел, что облегчает работу ученика, избавляя его от излишних записей. Имеются задачи, которые требуют от учащихся умения определять площади заданных конкретных фигур путем непосредственного измерения необходимых величин.

В сборнике в особый раздел выделены упражнения на приближенные вычисления. Часть упражнений этого раздела (№ 1299—1307) требует более широких знаний, чем это предусмотрено программой V класса. Решение указанных примеров и задач н практическое изучение метода подсчета цифр при действиях с приближенными числами может быть отнесено к работе математического кружка.

Четвертый отдел содержит упражнения и задачи на пропорции и пропорциональные зависимости. Упражнения с таблицами позволяют при изучений зависимостей между величинами разобрать ряд примерив различных зависимостей. Наряду с пропорциональностью в задачах встречаются и другие виды зависимостей, что заставляет учащихся вдумчиво относиться к изучаемому материалу и не считать всякую возрастающую величину прямо пропорциональной (а всякую убывающую — обратно пропорциональной) другой величине.

Тематика задач на пропорциональную зависимость разнообразна.

Общий отдел сборника содержит 178 задач и примеров, охватывает программный материал V и VI классов и позволяет закрепить полученные знания и навыки, а также проверить знания программного материала по курсу V и VI классов.

Сборник отвечает тем идейно-политическим требованиям, какие предъявляются к советскому учебнику. Содержание сборника соответствует требованиям программы и по объему материала, и по его расположению. Отступления от программы имеются в разделе «Приближенные числа», они целесообразны, так как настойчиво вызываются жизнью. Однако изучение этого дополнительного материала, как не входящего в программу, следует отнести к внеклассной работе. Это же следует сказать и о дополнительном материале по расширению понятия о числе (отдел III, глава I).

Сборник соответствует надлежащим методическим требованиям. Внешнее оформление сборника хорошее.

Желательно:

1) увеличить число задач, показывающих з цифрах рост социалистического строительства;

2) по разделу «Пропорциональное деление» увеличить число задач на деление обратно пропорционально числам.

НОВАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

Второе полугодие 1952 г.

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

I. История и методология математики, советские математики, классики

Виноградов И. М., Математика в СССР, «Природа», 1952, № 11, стр. 62—63.

Делоне Б. Н., Пути развития алгебры. Доклад на Всесоюзном совещании по алгебре и теории чисел и выступления по докладу, М., 1951, «Успехи математических наук», 1952, вып. 3, стр. 155—178.

О работах, удостоенных Сталинской премии: А. Н. Колмогоров, О работах С. М. Никольского; С. М. Никольский, О работах Ш. Е. Микеладзе, «Успехи математических наук», 1952, вып. 5, стр. 237—238.

Гнеденко Б. В., Выдающийся русский ученый М. В. Остроградский, изд. «Знание», М., 1952, 25 стр. Тираж 69 000 экз. Цена 60 коп.

Грацианская Л. Н., Александр Николаевич Страннолюбский (1839—1903), Научные записки Киевского гос. университета, т. XI, вып. VII, «Математический сборник», 1952, № 6, стр. 111—116.

Тесленко И. Ф., Академик Дмитрий Александрович Граве (1863—1939), «Вопросы элементарной и высшей математики», 1952, вып. 1, стр. 5—14.

Шафаревич И. Р., Конференция по алгебре и теории чисел, М., 1951, Обзор работы, «Успехи математических наук», 1952, вып. 3, стр. 151—154.

II. Учебники и учебные пособия

Власов А. К., Курс высшей математики, т. 1. Аналитическая геометрия. Дифференциальные и интегральные исчисления, ч. 1, изд. 5, инспр., Гостехиздат.. М —Л.. 1952, 476 стр. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 11 р. 40 к.

Власов А. К., Курс высшей математики, т. 2. Элементы высшей алгебры. Дифференциальное и интегральное исчисления, ч. 2, изд. 4, испр., Гостехиздат, М.—Л., 1952, 512 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 12 р. 30 к.

Делоне Б. и Житомирский О., Задачник по геометрии, изд. 6, Гостехиздат, М.—Л., 1952, 295 стр. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 6 р. 95 к.

Лузин Н. Н., Интегральное исчисление. Учебник для вузов, изд. 3, «Советская наука», М., 1952, 416 стр. Тираж 50 000 экз. Цена 10 руб.

Новоселов С. И., Алгебра и элементарные функции. Учебник для учительских институтов, 3-е изд., Учпедгиз, М., 1952, 388 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 7 р. 20 к.

Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебник для физико-математических факультетов гос. университетов, изд. 4, исправл. и дополн., Гостехиздат, М.—Л., 1952, 232 стр. Тираж 15 000 экз., Цена в перепл. 5 р. 20 к.

Привалов И. И., Аналитическая геометрия. Учебник для высших учебных заведений, изд. 17, частично перераб. и дополн., Гостехиздат, М.—Л., 1952, 368 стр. Тираж 100 000 экз. Цена в перепл. 7 р. 65 к.

Фаддеев Д. К. и Соминский И. С, Сборник задач по высшей алгебре (для гос. университетов и пед. институтов), изд. 3, Гостехиздат, М.—Л., 1952, 308 стр. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 7 р. 20 к.

Фиников С. П., Аналитическая геометрия. Курс лекций, читанный в Московском городском педагогическом институте, изд. 2, Учпедгиз, М., 1952, 328 стр. с черт. Тираж 25 000 экз., Цена в перепл. 7 р. 50 к.

Четверухин Н. Ф., Методы геометрических построений. Учебное пособие (для педагогически! институтов), изд. 2, Учпедгиз, М., 1952, 148 стр. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 3 р. 35 к.

III. Методика преподавания математики, пособия для учителей

Барсуков А. Н., Уравнения первой степени ъ средней школе. Пособие для учителей, изд. 3, Учпедгиз, М., 1952, 280 стр. Тираж 20 000 экз. Цена в перепл. 5 р. 40 к.

Березанская Е. С и Нагибин Ф. Ф., Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии (для VIII—X классов средней школы). Пособие для учителей, М., Учпедгиз, 1951, 160 стр. Тираж 50 000 экз. Цена в перепл. 2 р. 90 к.

Воронин С. В., Решение сложных арифметических задач, Гос. педагогический институт, Калуга, 1952, 72 стр. Тираж 1000 экз. Цена в перепл. 3 руб.

Георгобиани Н., К вопросу об единстве теории и практики в школьном курсе геометрии. Труды Тбилисского гос. педагогического института, том IX, 1952, стр. 461—466.

Гибш И. А., Исследование решений задач с параметрическими данными. Приложение: А. И. Фетисов, Решение задач геометрическими методами, изд. Академии педагогических наук РСФСР, М., 1952, 160 стр. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 4 р. 30 к.

Игнатьев В. А., Пономарев С. А. и Обуховская Е. Н., Сборник задач и упражнений для устных занятий по математике. Пособие для учителей средней школы, изд. 2, дополн., Учпедгиз, М., 1952, 240 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 4 р. 65 к.

Китаенко Б. Ф. и Поспелов Н. Н., Как решать задачи но стереометрии (задачи на вычисление). Методическое пособие, Латгосиздат, Рига, 1952, 227 стр. Тираж 1000 экз. Цена 3 р. 15 к.

Ларичев П., Выше уровень математической подготовки учащихся семилетних и средних школ, «Народное образование», 1952, № 7, стр. 56—60.

Никитин Н. Н., Опыт преподавания геометрии в V классе семилетней и средней школы, «Известия Академии педагогических наук РСФСР», 1952, вып. 43, стр. 299—332.

Чекмарев Я. Ф., Решение задач и устные вычисления по арифметике в педагогических училищах, Учпедгиз, М., 1952, 64 стр. Тираж 5000 экз. Цена 80 коп.

Чекмарев Я. Ф. и Снигирев В. Т., Методика преподавания арифметики, изд. 9, Учпедгиз, М., 1952, 272 стр. Тираж 35 000 экз. Цена в перепл. 5 р. 20 к.

Чичигин В. Г., Методика преподавания арифметики. Пособие для учительских институтов, изд. 2, Учпедгиз, М., 1952, 312 стр. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 5 р. 90 к.

Песков Т. А., Сборник арифметических задач. Пособие для учителей V—VI классов, Учпедгиз, М., 1952, 64 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 85 коп.

Шахно К. У., Сборник задач по математике. Пособие для учителей VIII—X классов, Учпедгиз, Л—М., 1952, 192 стр. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 4 р. 15 к.

Шоластер Н. Н., Первые уроки геометрии в VI классе. Методическое пособие для учителей, Учпедгиз, М., 1952, 40 стр. Тираж 50 000 экз. Цена 50 коп.

«В помощь учителю математики V—VII классов», под ред. И. Б. Афонина и В. К. Тихонова, Куйбышев, 1952, 22 стр. Тираж 2000 экз.

Примерные календарные планы работы учителя математики в V—VII классах на 1-е полугодие 1952/53 учебного года.

«В помощь учителю математики VIII—X классов», под ред. И. Б. Афонина и В. К. Тихонова, Куйбышев, 1952, 30 стр. Тираж 2000 экз.

Календарные планы работы учителя математики в VIII—X классах на 1-е полугодие 1952/53 учебного года (ориентировочные).

«Вопросы преподавания математики в V—X классах школы рабочей молодежи». Пособие для учителей, Учпедгиз, М., 1952, 208 стр. Тираж 20 000 экз. Цена 3 р. 90 к.

«Математика» (Материалы к проведению секции августовских учительских совещаний в 1952 г.), изд. Академии педагогических наук РСФСР, М., 1952, 56 стр. Тираж 5000 экз.

«Методика преподавания математики». Пособие для учительских институтов под ред. С. Е. Ляпина, Учпедгиз, Л., 1952, 452 стр. с черт. Тираж 50 000 экз. Цена в перепл. 10 р. 60 к.

Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова и др., книга 3. Функции и пределы. Основы анализа, Гостехиздат, М.—Л., 1952, 559 стр. Тираж 50 000 экз. Цена в перепл. 13 р. 10 к.

«О преподавании математики в V—X классах», Методическое письмо, Учпедгиз, М., 1952, 95 стр. Тираж 75 000 экз. Цена 1 р. 25 к.

IV. Научно-популярная литература, пособия для школьных кружков

Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я., Элементарное введение в теорию вероятностей, изд. 3, Гостехиздат, М.—Л., 1952, 144 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена 2 р. 20 к.

Берман Г. Н., Счет и число (Как люди научились считать), изд. 5, Гостехиздат, М., 1952, 32 стр. Тираж 100 000 экз. Цена 50 коп.

Делоне Б. Н. и Введенская Н. Д., XIV московская школьная математическая олимпиада, «Успехи математических наук», 1952, вып. 4, стр. 140—184.

Дынкин Е. Б. и Успенский А. В., Математические беседы. Задачи о многоцветной раскраске. Задачи из теории чисел. Случайные блуждания, Гостехиздат, М—Л., 1952, 288 стр. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 5 р. 65 к. («Библиотека математического кружка», вып. 6).

Ефремович В. А., Третья математическая олимпиада учащихся гор. Иванова, «Успехи математических наук», 1952, вып. 5, стр. 247—248.

Кованько А. С, Математическая олимпиада в гор. Львове, «Успехи математических наук», 1952, вып. 4, стр. 188—189.

Колмогоров А. Н., О профессии математики (В помощь поступающим в вузы), «Советская наука», М., 1952, 24 стр. Тираж 30 000 экз. Цена 40 коп.

Кордемский Б. А. и Русалев Н. В., Удивительный квадрат, Гостехиздат, М.—Л., 1952, 160 стр. Тираж 200 000 экз. Цена 2 р. 5 к.

Маркушевич А. И., Площади и логарифмы, Гостехиздат, М.—Л., 1952, 52 стр. Тираж 50 000 экз. Цена 80 коп. (Популярные лекции по математике, вып. 9.)

Михайлов И. Г. и Потапов В.С., Третья математическая олимпиада учащихся гор. Сталинграда, «Успехи математических наук», 1952, вып. 5, стр. 242—246.

Внеклассная работа по математике в средней школе. Сборник материалов в помощь учителю, Воронеж, обл. книгоизд-во, 1952, 67 стр. Тираж 1500 экз. Цена 2 руб.

Олимпиада по арифметике. Тренировочные задачи для школьников, 1952/53 учебный год, Ленинградский гос. университет имени А. А. Жданова, Л., 1952, 15 стр. Тираж 5000 экз.

V. Монографии по отдельным вопросам математики

Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, Гостехиздат, М., 1952, 224 стр. Тираж 5000 экз. Цена в перепл. 7 р. 20 к.

Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближенные методы высшего анализа, изд. 4, Гостехиздат, М.—Л., 1952, 696 стр. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 17 руб.

Кованько А. С, Интеграл Лебега, Книжно-журнальное изд-во, Львов, 1952, 198 стр. Тираж 2000 экз. Цена 11 руб.

Левкович В. Л., Теория вероятностей, изд. Академии наук БССР, Минск, 1952, 102 стр. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 3 руб.

Михлин С. Г., Проблема минимума квадратичного функционала, Гостехиздат, М.—Л., 1952, 216 стр. с черт. Тираж 5000 экз. Цена в перепл. 6 р. 15 к. («Современные проблемы математики»).

Уокер Р., Алгебраические кривые, перев. с англ. А. И. Узкова, Изд-во иностранной литературы, М., 1952, 236 стр. Цена 11 р. 85 к.

Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения (Дискретные распределения), перев. с англ. Р. Л. Добрушина и А. А. Юшкевич, под ред. Е. Б. Дынкина, предисловие А. Н. Колмогорова, Изд-во иностранной литературы, М., 1952, 428 стр. Цена в перепл. 22 р. 10 к.

VI. Справочные издания

Березин С. И., Счетная логарифмическая линейка. Практическое руководство, 3-е изд., Машгиз, М—Л., 1952, 48 стр. с илл. Тираж 100 000 экз. Цена 1 р. 15 к.

Выгодский. М. Я., Справочник по элементарной математике. Таблицы, арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, функции и графики, изд. 6, стереотипн., Гостехиздат, М.—Л., 1952, 412 стр. Тираж 100 000 экз. Цена в перепл. 8 р. 5 к.

Панов Д. Ю., Счетная линейка, изд. 8, Гостехиздат, М., 1952, 128 стр. с илл. и 2 отд. л. Тираж 50 000 экз. Цена 2 р. 75 к.

Яковкин М. В., Таблицы умножения и деления многозначных чисел на двузначные. Пособие для учителей средней школы, Учпедгиз, М.—Л., 1952. Тираж 25 000 экз. Цена 2 р. 65 к.

ХРОНИКА

ЮЛИЙ ОСИПОВИЧ ГУРВИЦ

Проф. И. К. АНДРОНОВ (Москва)

22 февраля 1953 г. после непродолжительной, но тяжелой болезни, скончался Юлий Осипович Гурвиц, педагог-математик, доцент кафедры математики Государственного педагогического института имени В. И. Ленина Еще три недели до смерти он, как всегда, с большим увлечением вел занятия с учителями математики в Городском институте усовершенствования учителей.

Ю. О. Гурвиц родился в Москве в 1882 г. в семье служащего. Окончив в 1901 г. Петропавловскую среднюю школу в Москве, он поступил в Московский университет на физико-математический факультет, где в ту пору по механике читал свои замечательные лекции гениальный ученый Николай Егорович Жуковский, по физике — известный профессор Н. А. Умов, по математике — известный геометр профессор Б. К. Млодзеевский, на горизонте появлялись молодые ученые — новаторы своей специальности: С. А. Чаплыгин, Д. Ф. Егоров, И. И. Жегалкин.

В годы пребывания Ю. О в Московском университете в стране вспыхнула революция 1905 года, всколыхнувшая всю родину и призвавшая передовую часть общества к активной борьбе с самодержавием. В этой борьбе особенно выделялась учащаяся молодежь и в первую очередь студенты, которые принимали участие в демонстрациях и в сражениях на баррикадах вместе с передовыми рабочими.

В связи с этими событиями задержалось окончание университета: Ю. О. лишь в 1907 г. окончил университет с дипломом первой степени. С этого года началась педагогическая деятельность молодого учителя Ю. О. Гурвица, он приступил к преподаванию математики в частных учебных заведениях: в реальном училище Н. М. Урвачева, а в дальнейшем в Петропавловском мужском училище (где семь лет тому назад он получил аттестат зрелости), а также Петропавловском женском училище.

В ту пору прогрессивная часть преподавателей математики средних учебных заведений и профессоров организовала Московский математический кружок под председательством проф. Б. К. Млодзеевского. Ю. О. — молодой преподаватель воспринял лучшее от старшего поколения: прогрессивную теорию, искусство в практику передового преподавания математики. 27 декабря 1913 г. математический кружок организовал в Москве второй Всероссийский съезд преподавателей математики, на который съехалось со всей родины более тысячи преподавателей математики средних школ и высших учебных заведений, съезд продолжался до 30 января 1914 г. Ю. О. но пропустил ни одного дня работы съезда, слушая доклады лучших учителей.

Только Великая Октябрьская социалистическая революция открыла большие возможности для разносторонней деятельности передовой интеллигенции, в частности на ниве просвещения. Революционный поток смыл тех из старых директоров гимназий, реальных и коммерческих училищ и других школ, которые были проводниками и идеологами старого мировоззрения и старой педагогики. На смену им советы учебных заведений выбирали новых заведующих школами.

С первых же дней Октябрьской революции Ю. О. стал заведующим одной из школ Рогожско-Симоновского района гор. Москвы. С 1918 г. Ю. О. при-

нимая живое участие в профсоюзном движении и как председатель районного отделения (городского и Бауманского районов), и как член президиума губернского отдела профсоюза работников просвещения. С 1919 по 1922 г. Ю. О. являлся организатором и заведующим социального воспитания Городского районного отдела народного образования, а с 1922 г. был выдвинут в Московский отдел народного образования.

В скором времени в Москве был организован педагогический техникум имени Профинтерна, где начали работать передовые педагоги, нынешние профессора тт. Шимбирев, Медынский, Знаменский и др. Среди них находился и Ю. О. Гурвиц. А когда открылись рабфаки, этот особый тип средней школы, где рабочие или подростки, вышедшие из рабочей среды, должны быть ускоренно приготовлены в вуз, Ю. О. был приглашен в качестве преподавателя математики на рабфак имени Тимирязева и рабфак имени Ленина, а в дальнейшем на рабфак при НКВД.

После закрытия рабфаков, с 1935 года и по день смерти Ю. О. являлся преподавателем математики школы № 175 Свердловского района, где он воспитал целое поколение нашего юношества,. Одновременно с работой в средней школе Ю. О. начал свою педагогическую деятельность в высшей школе. Ю. О. преподавал математику в Московском инженерно-строительном институте (1930—1934 гг.), в Вечернем рабочем институте имени Сталина, в Московском областном педагогическом институте (1932—1937 гг.), в Московском учительском институте (1947—1952 гг.), в Государственном педагогическом институте имени Ленина (с 1952 г. до конца жизни).

За успешную педагогическую работу в средней школе Президиум Верховного Совета РСФСР 5 августа 1943 г. присвоил Ю. О. Гурвицу звание заслуженного учителя школ РСФСР, а Наркомпрос РСФСР в 1944 г. наградил его значком «Отличник просвещения».

В связи с работой в высшей школе Ю. О. квалификационной комиссией при Государственном ученом совете Народного Комиссариата по просвещению был утвержден в звании доцента по кафедре математики.

Ю. О. Гурвиц заслуженно пользовался авторитетом среди коллектива всего московского учительства. В течение всей своей педагогической деятельности Ю. О. вел большую методическую работу с учителями гор. Москвы, в институтах повышения квалификации педагогов, а в дальнейшем в институтах усовершенствования учителей (городском и областном) и являлся одновременно методистом Свердловского района гор. Москвы.

В ноябре 1945 г. Ю. О. вступил в ряды Коммунистической партии Советского Союза.

В 1946 г., когда было возобновлено издание педагогических журналов Министерства просвещения РСФСР, Ю. О. был приглашен в состав редакционной коллегии журнала «Математика в школе». Ю. О. в качестве члена редакционной коллегии активно работал в журнале до последних дней жизни.

В связи с многосторонней и плодотворной деятельностью Правительство наградило Ю. О. в 1944 г. орденом Трудового Красного Знамени; в 1945 г.— медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне»; в 1948 г. — медалью «В память 800-летия Москвы»; в 1948 г. — орденом Ленина.

Академией педагогических наук Ю. О. в 1948 г. был награжден медалью К- Д. Ушинского «за педагогическое мастерство и успешное обобщение своего многолетнего педагогического опыта в средней школе».

Ю. О. Гурвицем было напечатано: 15 статей общепедагогического и организационного характера и 14 по методике математики. Работы общепедагогического характера Ю. О. начал печатать с 1918 г.; укажем на следующие его труды:

«Задачи социального воспитания» (в «Вестнике просвещения», 1923 г.).

«Конференция учащихся школ II ступени» (там же).

«Неделя помощи школе» (там же).

«К вопросу о реорганизации школы II ступени» («Вестник просвещения», 1924 г.).

«Программы летней школы» (там же).

«Новые программы ГУСа для единой трудовой школы» (там же) и аналогичные другие.

Материалы по введению всеобщего обязательного обучения в Московской области (1930 г.).

Работы Ю. О. по преподаванию математики начали печататься с 1929 года:

1. Совместно с Е. С. Березанской в «Рабочей книге по математике» для VI класса Ю. О. Гурвицем написана часть, относящаяся к геометрии.

2. То же в 1930 г. для VII класса и то же для школы крестьянской молодежи.

К сожалению, ошибок Наркомпроса и многих методистов того времени, осужденных историческими постановлениями ЦК ВКП (б) о школе, не избежал и Ю. О. Гурвиц. В этих работах было отступление от необходимого систематического курса обучения математике в сторону комплексной системы, но вместе с тем в них подводился итог и положительному опыту работы Ю. О. в направлении связи математики с жизнью, с трудом.

По заданию Народного Комиссариата по просвещению Ю. О. Гурвицем совместно с Р. В. Гангнусом был написан первый стабильный учебник по геометрии (две части), вышедшие в 1932 и 1934 гг. Безусловно, в первый момент перехода от рассыпных рабочих книг по математике, где была занижена роль учителя, к настоящему учебнику, раскрывающему понятия и развивающему суждения по системе, проверенной в течение значительного вре-

мени, эти учебники сыграли свою положительную роль.

В 1935 г. теми же авторами был выпущен пропедевтический курс геометрии под названием «Начальные сведения по геометрии», этот учебник не имел большого влияния, так как, во-первых, в средней школе по учебному плану не отводилось времени для этого курса и, во-вторых, потому, что авторы взяли не совсем удачное направление: развитие пространственного мышления учащихся не было поставлено в основу этого курса.

В 1934—1935 гг. вышли два методические пособия для преподавателей школ и педагогических институтов, в которых авторы заполнили для того времени существенный пробел в части решения геометрических задач. Дело в том, что многие молодые учителя, не прошедшие хорошей школы в период с 1917 по 1932 г., не обладали практикой решения задач средней и повышенной трудности; надо было дать соответствующий задачник с методическими указаниями к решению. Это и было выполнено в указанных книгах, которые сыграли положительную роль для того времени.

В дальнейшем Ю. О. помещал свои методические заметки в журнале «Математика в школе»:

«Требования к письменным работам по математике» (1947, № 1), «Арифметические записи в средней школе» (1947, № 3).

Ю. О. выпустил несколько отдельных небольших брошюр методического характера, как, например: «Задачи на построение» (Методический материал в помощь учителю, издание Института политехнического образования, 1936 г.); «О подготовке к новому учебному году» (Сборник материалов о работе школы, МосгорОНО, 1941 г.). Повидимому, надо считать последней печатной работой Ю. О. статью «Об улучшении преподавания геометрии в VI— VII классах» (где дан большой, конкретный методический материал), помещенную в сборнике «Математика в школе» Городского института усовершенствования учителей (стр. 40—132) в 1951 г.

Кипучая деятельность Ю. О. Гурвица была приостановлена неожиданной болезнью, быстро сведшей его в могилу.

Ю. О. Гурвиц готовил новые методические пособия, после него остались незаконченные рукописи, которые, вероятно, удастся привести в порядок и издать для использования его передового опыта нашим учительством.

На наших глазах прошла жизнь замечательного педагога. Он обладал исключительным качеством педагога — чуткостью и любовью к людям и в особенности к учащимся.

Следующий пример является характерным для него, как для педагога.

Требовательный на уроке, он однажды заметил, как одна ученица занялась посторонним делом — рассматриванием коллекции марок; увидев это, Ю. О. немедленно отобрал альбом, а после урока сделал ученице соответствующее внушение. На другой день эта ученица была вызвана в учительскую, где учитель Ю. О. Гурвиц принес ей интересную марку, которой не было в коллекции, он подарил ученице марку с необходимым разъяснением, когда и как следует пользоваться альбомом. Этого случая ученица не может забыть до настоящего времени. На уроках Ю. О. она более никогда не отвлекалась и стала лучшей ученицей как по дисциплине, так и по академическим успехам.

Молодое поколение учителей должно взять от таких учителей, как Ю. О. Гурвиц, все лучшее путем изучения их работ и беседы с их учениками.

Нам предстоит большая и ответственная работа по пересмотру сложившихся традиций преподавания математики с тем, чтобы в общеобразовательной школе органически вступил в единство с политехническим обучением наш предмет — математика. В этом деле работы Ю. О. Гурвица окажут школе соответствующую помощь.

О РАБОТЕ СЕКЦИИ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ

Я. Г. ГВОЗДАРЕВ (г. Ивдель Свердловской обл.)

В течение ряда лет работа нашей секции заключалась в том, что ее участники посещали открытые уроки с последующим их разбором и обсуждением; заслушивали доклады на различные темы и делились опытом работы.

За последние два года были заслушаны доклады на следующие темы:

1. Предупреждение неуспеваемости.

2. Организация и методика повторения.

3. Геометрические места в курсе геометрии VII класса.

4. Графическое решение систем уравнений в VII классе.

5. Задачи, решаемые построением сегмента, вмещающего данный угол.

6. Решение задач по арифметике методом проверяемого предположения.

7. Диаграммы и орнаменты в курсе черчения VII—VIII классов и использование данных из решений XIX съезда КПСС.

8. Организация, программа и работа математических кружков V—VII классов.

9. Задачи на составление уравнений, их классификация и методика решения.

10. Обзор статей из журнала «Математика в школе».

11. Способы сокращенных вычислений в курсе геометрии и алгебры.

12. Решение задач на построение в курсе геометрии VII класса.

13. Различные способы доказательства теорем по геометрии и т. д.

Как показывает практика, в настоящее время нужно изменить методы работы секции, так как среди учителей много лиц, работающих в школе первые годы после окончания института или выдвинутых из учителей начальных классов.

Если проанализировать протоколы заседаний секции, то внешне получается все благополучно (!): собираемся раз в месяц, посещаем 2—3 открытые урока с последующим их обсуждением и разбором всех положительных и отрицательных сторон, заслушиваем доклады и выступления учителей и т. д. Однако после заседаний секции учителя не получали практических навыков, которые необходимы для непосредственной работы в школе. В настоящее время работу секции мы перестроили с целью дать больше конкретной помощи учителям, для чего, кроме открытых уроков и теоретических докладов, в работу секции включен семинар по ряду разделов математики. Например, в январе был проведен семинар на тему «Задачи на построение треугольника в VI классе и трапеции в VII классе». До начала семинара (за месяц) всем учителям были даны задачи из учебника Глаголева (Планиметрия, ч. I), с тем, чтобы учителя VI класса решили задачи на построение треугольника, а учителя VII класса — задачи на построение трапеции.

Занятия семинара были организованы таким образом, что руководитель секции был в роли «учителя», а все присутствующие — в роли «учащихся». «Учащиеся» подробно докладывали о методах решения тех или иных задач на построение и о том, как они будут рассказывать данный материал в классе. В итоге семинара выяснилось, что учителя применяют разнообразную методику объяснения решения задачи и недооценивают содержание § 69 из учебника Киселева, а поэтому получался разнобой в работе. В конце семинара были даны указания о стиле рассуждений при решении задач на построение и об объяснении их учащимся в школе.

Учителя были очень довольны семинаром, так как каждому было ясно направление дальнейшей работы по обучению учащихся решению задач на построение. На семинаре была дана полная разработка (семь уроков) основных задач на построение в VI классе, которая помещена в журнале «Математика в школе», № 3 за 1948 г.

Кроме введения семинарских занятий, мы изменили тематику обмена опытом работы с тем расчетом, чтобы до конца учебного года каждый учитель выступил на секции по вопросу об использовании на уроках математики и черчения материала из решений XIX съезда КПСС, при этом особенно требовалось оттенить вопросы политехнического обучения.

Считаю, что практические семинары (если они хорошо продуманы и подготовлены) дают больше пользы молодым учителям, чем доклады вообще, которые часто переписываются докладчиками с уже известных источников и зачитываются на заседаниях секции.

О РАБОТЕ МЕТОДИЧЕСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ г. ОДЕССЫ ЗА 1951 И 1952 ГОДЫ

Д. С. ГОНЧАРОВ (Одесса)

Методическое объединение преподавателей математики г. Одессы неоднократно (с 1937 по 1950 гг.) делилось опытом своей работы на страницах журнала «Математика в школе».

Благодаря наличию активного ядра в методическом объединении преподавателей математики заседания секции проводятся регулярно раз в неделю по понедельникам (это вошло за 15 лет в традицию). Преподаватели математики охотно посещают заседания секции. В среднем посещают заседания 60—80 человек.

Тематику докладов за последние два года (1951 и 1952) можно .распределить на три группы: а) вопросы преподавания арифметики и алгебры; б) вопросы преподавания геометрии и тригонометрии; в) различные общие вопросы преподавания математики в школе.

По арифметике и алгебре были сделаны членами секции доклады на следующие темы:

1. Теория натуральных чисел.

2. Как я работаю по арифметике в V классе (учительница М. С. Герасимова).

3. Решение задач по арифметике в V классе с письменным объяснением.

4. Опознание простых чисел.

5. Обращение обыкновенных дробей в десятичные.

6. Задачи на составление уравнений.

7. Системы уравнений в VII классе.

8. Расширение понятия о показателе степени.

9. Неравенства в VII и X классах.

10. Вопросы, которыми занимается алгебра.

11. О решении квадратных уравнений.

12. Теория континуума.

13. Алгебраические дроби.

14. Полная математическая индукция.

15. Комплексные числа.

16. Вопросы теории уравнений в VII—X классах.

17. Графическое решение неравенства вида

18. Эквивалентность неравенств и ее графическое истолкование.

19. Развитие понятия о числе.

20. Исследование функций на максимум и минимум в средней школе.

По геометрии и тригонометрии были сделаны следующие доклады:

21. Первые уроки по геометрии в VI классе.

22. Некоторые вопросы из курса планиметрии (конгруентность, параллельность, сумма углов треугольника).

23. Первые уроки по стереометрии в IX классе.

24. Контрольные работы по геометрии в VI классе.

25. Чертеж в курсе стереометрии.

26. О затруднениях при решении тригонометрических уравнений и способах их устранения.

27. Обратные тригонометрические функции в курсе X класса.

28. О решении задач по геометрии с применением тригонометрии.

29. Определение тригонометрических функций.

30. Образцы, решения задач по геометрии с применением тригонометрии.

По различным общим вопросам преподавания математики в школе состоялись следующие доклады:

31. Развитие логического мышления на уроках математики.

32. Как при прохождении курса математики популяризировать отечественных математиков.

33. Академик А. И. Крылов.

34. Жизнь и научная деятельность академика А. М. Ляпунова.

35. Вопросы политехнизации школы в разрезе преподавания математики.

36. Работа над развитием и культурой математической речи учащихся.

37. Вопросы методики опроса учащихся по математике.

38. Составление задач учителем.

39. Математические кружки.

40. Оформление письменных экзаменационных работ по математике.

41. Анализ сборников задач по алгебре П. А. Ларичева, ч. I—II.

Присутствовавшие высказывали мнение, что сборники П. А. Ларичева, сменившие сборники Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцова!, являются очень ценным пособием для преподавателя, однако по объему задачники П. А. Ларичева слишком велики для ученика. Желательно было бы в дальнейшем выделить в задачниках обязательный минимум задач и упражнений для учащихся, а остальной материал оставить для дополнительных заданий, для повторения, для контрольных работ, для учащихся-любителей математики и т. д.

42. Рецензии на стабильные учебники математики. Последний доклад представлял сводку рецензий, составленных по заданию облОНО коллективом преподавателей на действующие ныне учебники и задачники (Березанской, Киселева, Рыбкина, Ларичева).

43. Работа! выездного расширенного пленума отдела методики математики Украинского научно-исследовательского института педагогики в г. Виннице.

44. Ряд заседаний был посвящен обсуждению тематики четвертных и годовых контрольных работ, подбору задач и упражнений к экзаменационным билетам, обмену мнений о ходе экзаменов и разным текущим вопросам.

Обозревая работу секции за период 1951—1952 гг. видим, что секция стремилась откликнуться на весьма многие основные вопросы преподавания математики в школе. Своими силами секция старалась осветить ряд теоретических вопросов школьного курса математики и распространить лучший опыт преподавания. Этим секция оказывала несомненную помощь значительной части преподавателей математики в их текущей повседневной работе.

ЗАДАЧИ

ЗАДАЧИ ИЗ ПРАКТИКИ

А. ШИШКИН (Алма-Ата)

В связи с решениями XIX съезда КПСС перед преподавателями средней школы стоит задача при изложении своего предмета дать школьникам знания и навыки, имеющие применение в практической работе или в быту.

Одним из средств, направленных к осуществлению этой цели, являются задачи практического характера.

Мы предлагаем здесь задачи на пропорциональное деление, с которыми приходится встречаться на практике бухгалтерам, нормировщикам и бригадирам строительно-монтажных бригад.

Задача 1. Трое рабочих-— мастер, его помощник и подсобный рабочий — выполнили совместно работу и получили за нее 72 рубля. Сколько заработал каждый из них, если мастер должен получить 5 частей, помощник 4 и подсобный рабочий 3 части.

Ответ. 30 руб., 24 руб., 18 руб.

Задача 2. Те же трое рабочих на тех же условиях выполнили работу за 170 руб, причем мастер проработал 2 дня, его помощник — 3 дня и подсобный рабочий 4 дня. Сколько заработал каждый?

Ответ. 50 руб., 60 руб., 60 руб.

Работа на строительстве в большинстве случаев выполняется бригадами. В составе бригады участвуют рабочие различной квалификации, которая характеризуется его разрядом. В данное время на строительно-монтажных работах действует семиразрядная сетка, т. е. по своей квалификации все рабочие делятся на семь разрядов. Самые квалифицированные рабочие имеют 7-й разряд, а рабочие, не имеющие никаких навыков в работе, относятся к 1-му разряду. Месячный заработок бригады распределяется между ее участниками в зависимости от разряда рабочего и количества проработанных им дней.

По семиразрядной сетке из общей суммы заработка бригады выплачивается за один день работы рабочему

1-го разряда........1 часть

2-го я .........1,12 части

3-го , .........1,26 .

4-го „......... 1,43 ,

5-го . .........1,62 ,

6-го , .........1,97 .

7-го „ .........2,42 „

Эти части называются тарифными коэффициентами. Задача 3. Трое рабочих, из которых один 5-го разряда, один 4-го и один 3-го, выполнили работу за 64,65 руб. Каждый проработал одинаковое количество часов. Сколько заработал каждый рабочий? Ответ. Рабочий 5-го разряда 24,30 руб.

4-го . 21,45руб. 3-го . 18,90 руб. Задача 4. Трое рабочих — один 5-го разряда, один 4-го и один 3-го — взялись выполнить работу за 337,60 руб., причем рабочий 5-го разряда проработал 3 дня, рабочий 4-го разряда 4 дня и рабочий 3-го разряда 5 дней. Сколько заработал каждый?

Табель № 1

п/п

Фамилии

Разряд

Колич. дней

Тарифный коэффициент

Причитается частей

Цена одной части

Причитается зарплаты

1

Иванов .....

V

3

1,62

4,86

20,00 р.

97,20 р.

2

Сидоров .....

IV

4

1,43

5,72

20,00 р.

114,40 р.

3

Петров .....

III

5

1,25

6,30

20,00 р.

126,00 р.

Всего

16,88

337,60 руб.

Табель № 2

№ п/п

Фамилии

Разряд

Колич. дней

Тарифный коэффициент

Причитается частей

Цена одной части

Причитается зарплаты

1

Иванов .....

VI

25

1,97

49,25

10,00

492,50 руб.

2

Сидоров .....

V

25

1,62

40,50

10,00

405,00 р.

3

Петров .....

IV

25

1,43

35,75

10,00

357,50 р.

4

Плотников ....

IV

24

1,43

34,32

10,00

343,20 р.

5

Столяров ....

III

25

1,26

31,50

10,00

315,00 р.

6

Маляров.....

III

25

1,26

31,50

10,00

315,00 р.

7

Каменев.....

III

25

1,26

31,50

10,00

315,00 р.

8

Стеклов .....

III

25

1,26

31,50

10,00

315,00 р.

9

Железнов ....

III

25

1,26

31,50

10,00

315,00 р.

Всего

317,32

10,00

3173,20 руб.

Ответ. Рабочий 5-го разряда получил 97 руб. 20 коп.

4-го „ , 114,40 руб.

. 3-го . . 126,00 руб.

Условие задачи 4 и ее решение можно записывать в виде таблицы, как показано в табеле 1.

Задача 5. Бригада заработала за месяц 3173,20 руб. Количество проработанных дней и разряды указаны в табеле 2. Сколько заработал каждый рабочий?

От редакции

В деле осуществления политехнического обучения в средней школе исключительно важное значение имеет разработка задач с практическим содержанием, задач, отражающих грандиозный созидательный труд людей в нашем социалистическом обществе.

Для успешной разработки многообразных по своей тематике математических задач политехнического характера необходимо участие в составлении задач широких кругов советских учителей-математиков.

Редакция журнала «Математика в школе» обращается ко всем читателям журнала, желающим принять участие в разработке задач политехнического характера, с просьбой прислать в адрес редакции составленные читателями задачи. Наиболее удачные задачи будут опубликовываться в отделе «Задачи» с указанием фамилий лиц, их предложивших.

При присылке задач необходимо соблюдать следующие правила:

1. Задачи следует направлять в адрес редакции журнала «Математика в школе» (Москва, Чистые пруды, д. 6) отдельно от всякой другой корреспонденции.

2. Авторы задач должны указывать источники, из которых берутся цифровые данные.

3. Неопубликованные задачи уничтожаются и по ним редакция не вступает ни в какую переписку.

4. Задачи политехнического характера будут помещаться независимо от задач, предлагаемых в каждом номере на конкурс, а потому их решения в редакцию присылать не следует.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 1 ЗА 1953 ГОД

№ 1.

Доказать, что при любом натуральном п имеет место неравенство

Решение. Обозначим через Sn сумму

Так как

Складываем эти неравенства, получим:

следовательно,

№ 2

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

Решение. Из данного равенства находим:

установим, при каких значениях у х — действительное число.

Для того чтобы X было действительным числом, необходимо и достаточно, чтобы —(у2 — 4у + 3)>0, или —(у — 3)(у—1)>0. Это неравенство удовлетворяется при 1 < у < 3. Отсюда следует, что у может быть только больше 1 или меньше 3; так как при х = —3 у = 3, а при X = —1 у = 1, то 1 и 3 — соответственно наименьшее и наибольшее числовые значения у.

№ 3

Если площади двух прямоугольных треугольников относятся, как квадраты гипотенуз, то треугольники подобны. Доказать.

Решение I. Обозначим площади треугольников ABC и А\ВхС\ (черт. 1) соответственно через Q и Qx, а гипотенузы AB и А\В\ соответственно через с и Ci.

Проведем CD J_ AB и CXDX J_ АХВХ.

Имеем:

Следовательно, треугольник ABC — треугольнику А\В\С\ на основании теоремы: если стороны треугольников пропорциональны сходственным высотам, то треугольники подобны.

Можно решить эту задачу приложением тригонометрии к геометрии.

Решение II. Обозначим

тогда

Отсюда:

откуда или 2а = 2аь и тогда треугольники подобны на основании равенства двух углов, или 2а = 180° — аь а = 90°— аг. В этом случае треугольники также подобны.

№ 4

Решить уравнение:

Решение. Данное уравнение эквивалентно следующей смешанной системе:

или: отсюда

№ 5

Разделить данный отрезок на п равных частей, не пользуясь обычным способом проведения параллельных.

Решение. Решение можно получить на основании следующей теоремы: если в треугольнике ABC стороны АС и ВС разделены на п равных частей и вершина А соединена с концом первого отрезка прямой СВ от вершины С, а вершина В соединена с концом первого отрезка прямой АС также от вершины С, то

Доказательство. Разделим стороны АС и ВС на п равных частей; пусть

тогда ED II AB (черт. 2), что следует из подобия треугольников АСВ и ECD.

Из подобия треугольников OED и ОАВ вытекает пропорция

(1)

Черт. 1

Черт. 2

а из подобия треугольников CDE и ABC следует, что

следовательно, и

Из равенства (1) получим:

или

Аналогично доказывается, что

Пусть дан отрезок АЕ (черт. 3). Требуется разделить его на пять равных частей. Проведем под произвольным углом к отрезку АЕ луч AF и отложим на нем четыре равные отрезка

AN = NP = PD = DC;

затем конец С последнего соединим с точкой В и продолжим отрезок СВ за точку В. Отложим от точки В на продолжении СВ три отрезка, равных СВ:

ВК = KL = LE.

Конец последнего из этих отрезков соединим с D. Прямая FD, пересекаясь с отрезком АЕ, отсечет (на основании предыдущей теоремы) от него т часть, BD = j AB.

От редакции. Подавляющее большинство участвующих в решении этой задачи дали следующее решение :

Проведем ВС || АЕ и отложим отрезок ВС ф АЕ, на котором каким-то образом откладываем пять равных отрезков и затем, соединяя точку А с точкой В и точку Е с точкой С, получим точку D. Затем, соединяя точку D с точками деления ВС, разделим АЕ на пять равных частей (черт. 4).

Последнее решение не удовлетворяет условию задачи, так как оно связано с построением прямой, параллельной данной, что исключено в условии задачи.

№ 6

На гипотенузе ВС прямоугольного треугольника ABC вне его построен квадрат. Зная, что сумма катетов равна а, определить расстояние от вершины А до центра квадрата.

Решение. Четырехугольник САВО можно вписать в окружность, так как

CAB = ^ СОВ = 90°.

По теореме Птолемея

(черт. 5); но

Отсюда

и, следовательно,

№ 7

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 2. Найти углы треугольника, зная, что наименьшая возможная сумма расстояний точки от вершин треугольника равна -j/T".

Решение. Рассмотрим произвольную точку D. которая расположена внутри треугольника ABC (черт. 6).

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

Повернем треугольник ABC около вершины С на 60°, тогда точка А займет положение М% точка D — положение Е,

Таким образом, сумма расстояний точки D от вершин треугольника ABC равна длине ломаной MEDB. Наименьшая возможная величина этой суммы — отрезок MB. По условию MB = У~7. Пусть АС = х, тогда из соотношений

находим

Отсюда

итак, АС = 1, следовательно,

№ 8

Сумма боковых ребер правильной пирамиды равна периметру основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды.

Решение. Из условия следует, что боковое ребро равно стороне основания. Следовательно, плоский угол при вершине равен 60° и пирамида может быть или треугольная, или четырехугольная, или пятиугольная.

Рассмотрим все случаи:

1) /г = 3.

2) п = 4. В этом случае

(черт. 7)

Следовательно,

3) п = 5. В этом случае

№ 9

Черт. 7

Решить уравнение:

Решение.

№ 10

Если

Доказать.

Решение. Обозначим

тогда

(согласно условию), значит

Далее

Следовательно,

и так как то

Находим:

Отсюда

Наконец имеем:

складывая, получим:

№ 11

Решить уравнение

Решение. Так как р есть любое натуральное число больше 1, то должно быть а+х>0 и х>0. Имеем:

Отсюда

Так как

то и

Отсюда

Для существования решения нужно, чтобы а и Ь были одного знака и чтобы Ь>а.

№ 12

Если р и q — простые числа, то число pq~~x++ qp~~x — 1 делится на pq. Доказать.

Решение. На основании теоремы Ферма выражение pq~~l — 1 делится на q, если q — простое, а р — взаимно простое с q. Следовательно, делится на q и число (pq~l — 1) + qp~~X-Qp~l — 1 делится на простое число р} а поэтому кратно р и выражение

Так как число pq +qp —1 кратно и р и qt а р и q — простые, то оно делится на их произведение.

№ 13

Найти двузначное число, равное неполному квадрату суммы его цифр.

Решение. Согласно условию,

или Так как

то

а тогда но при значит При

решений нет, при

лг+y = 4, X = 1, у = 3. Ответ: 91; 63; 13.

№ 14

Построить треугольник ABC, зная положение одной из его вершин, середины противоположной стороны и точки пересечения высот

Решение. Допустим, что треугольник ABC— искомый (черт. 8), опишем окружность и продолжим АН до пересечения с окружностью в точке А1.

Получим:

но

как углы, дополняющие z. ABC до 90°, но Z. ВАН = Z ВСАГ. Следовательно,

и

Отсюда способ построения: соединяем Л с Я и строим H К = КА\ проводим

Строим окружность с центром в точке О и радиусом R = ОС, получим вершины В и С.

№ 15

На боковых ребрах тетраэдра S ABC отложены соответственно отрезки

АА1 = 2, ВВХ = 3, ССХ = 4.

Плоскость, проходящая через эти точки, делит объем тетраэдра в отношении 1:8. Определить боковые ребра тетраэдра, если известно, что они равны между собой.

Решение. Так как объемы тетраэдров, имеющих общий трехгранный угол, относятся, как произведения ребер, заключающих этот угол, то

(черт. 9).

Этому уравнению удовлетворяет только один целый корень X = 6. Следовательно, боковое ребро тетраэдра равно 6.

№ 16

Построить треугольник ABC по стороне а, биссектрисе I, углу ß и расстоянию h этой биссектрисы от вершины А треугольника.

Решение. Для решения этой задачи докажем следующую теорему: если в прямоугольной трапеции ABCD через точку О пересечения диагоналей АС и BD провести

и соединить то

(черт. 10)

Черт. 8

Черт. 9

Черт. 10

Черт. 11

из этой пропорции следует, что

и, следовательно,

из последних двух соотношений следует, что MN биссектриса угла AMD и МО = ON.

На основании этой теоремы легко и изящно решается предложенная задача.

На произвольной прямой отложим

BQ = 1, ВК ± BQ, ВК = а, ВО = oq.

Проводим КО и из вершины В делаем засечку радиусом а (черт. 11).

На продолжении КО получим точку С; соединив С с Q и проведя К А \\ BQ, получим вершину А.

ЗАДАЧИ

№ 51

Решить уравнение:

А. П. Бондаренко (ст. Ворожба)

№ 52

Найти три несократимые дроби

составляющие арифметическую прогрессию, если

М. Шебаршин (Кемеровская обл.)

№ 53

Решить уравнение:

(Найти трехзначное число, которое в 1 ^ раза больше произведения факториалов его цифр)

М. Шебаршин (Кемеровская обл.)

№ 54

Рассмотрим три произвольные различные пары действительных чисел:

(аь Ьх), (а2, Ь2), (я3> 63).

Доказать, что существует треугольник, стороны которого выражаются числами:

и вычислить площадь этого треугольника

П. С. Моденов (Москва)

№ 55

При каких значениях х и у выражение

имеет наименьшее значение. Найти это наименьшее значение элементарными средствами.

П. С. Моденов (Москва)

№ 56

Доказать, что

где |-- + 2j — так называемая дробная часть числа ~—У i, т. е. разность между этим числом — + 2« наименьшим целым числом, меньшим, чем само это число, или равным ему.

где I — ■+" 2 J — наибольшее целое число, меньшее X , 1 или равное — + -я-.

П. С. Моденов (Москва) № 57

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник ABCD. При какой величине угла наклона диагонали этого сечения к плоскости основания кратчайшим расстоянием по поверхности цилиндра между точками А и С будет ломаная ABC?

Шебаршин (Кемеровская обл.)

№ 58

В прямоугольный треугольник вписан круг. Площадь этого круга составляет к: (3 + 2 -/2) площади треугольника. Найти углы треугольника.

С. Петров (Винницкая обл.)

№ 59

Дан треугольник ABC. Найти три точки Ср Аъ В\, так чтобы около шестиугольника АСЬ ВАХ, СВ± А можно было описать окружность и чтобы в него можно было вписать окружность.

Б. Кашин (Вышний Волочек)

№ 60

Определить объем пирамиды по шести ребрам а, в, с, а\% в!, Ci,

И. Яворский (Москва)

№ 61

Решить уравнение:

И. Яворский (Москва)

№ 62

Решить уравнение:

И. Яворский (Москва)

№ 63

Точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника проектируется на стороны. Зная проекции, построить четырехугольник.

И. Яворский (Москва)

№ 64

Построить графики функций:

П. С. Моденов (Москва)

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 6 ЗА 1952 ГОД

М. Адшамов (Чкалов) 85, 86, 88—90, 92—94, 96—98; А. Айсин (Мордовская АССР) 87—90, 92, 94, 97, 99; Я. Байков (Московская обл.) 82,85—100; А. Бауэр (Мариинск) 85—100; П. Бартош (Чехословакия) 85—100; Ф. Бартенев (Евпатория) 85—100; М. Беккер (Таллин) 85, 86, 88—90, 92, 93, 96—98; С. Бернштейн (Киев) 85—90, 92—94, 96—99; Р. Бриллиант (Винница) 85—90, 92, 94—95, 97—99; Я. Будков (Спасск) 86, 87, 89, 92, 94, 96, 98; Б. Вайнман (Киев) 85—90, 92—94, 96—98; Е. Банковская (Тамбов) 87—90, 92, 97, 98; А. Владимиров (Асбест) 85—99; А. Волков (Татарская АССР) 85, 86, 88—94, 96—99; Б. Гельруд (Н. Тагил) 85—90, 92—99; А. Гемуев (Фрунзенская обл.) 85—90, 92—94, 96, 98; Я. Говоров (Краснодарский край) 85—100; Е. Головачев (Курская обл.) 85—90, 92, 94—99; А. Горохов (Белорецк) 85, 87—90, 92, 98; М. Готлер (Вильнюс) 87—91, 93—100; У. Давыдов (Гомель) 82, 86, 90, 92—99; В. Демчинский (Ровно) 85—99; И. Добайкин (Кемеровская обл.) 86, 88—94, 96—98; Я. Епимашко (Гродно) 82, 85—100; Я. Зайцев (Чувашская АССР) 85, 86, 91, 93, 94, 96, 98, 99;. Л. Зискинд (Винница) 85—90, 92—94, 96—98; Л. Израилевич (Омск) 85, 86, 88—90, 92—94, 97; Д. Изаак (Орск) 86, 88—90, 92—98; В. Киндефатер (Кемеровская обл.) 85—92, 94—100; А. Киселев (Ленинград) 82, 85—90, 92—99; П. Китайгородский (Москва) 85, 88—90, 92, 96; В. Козмодемьянский (Сызрань) 85—90, 92, 94, 96—98; Г. Копосов (Пудож) 86—90, 92—98; Г. Копылов (Днепродзержинск) 85—100; А. Кошелев (Ульяновская обл.) 85—90, 92—94, 96—100; П. Краснов (Полоцкая обл.) 85—90, 92, 94, 96—98; П. Крупин (Киров) 86—90, 92—99; И. Кулик (Харьков) 85—90, 92—100; Б. Латти (Новошахтинск) 85, 86, 89, 90, 92—98; Л. Лоповок (Проскуров) 85—99; А. Магеро (Витебская обл.) 85—90, 92—94, 96—98; Математический кружок суворовского училища (Ленинград) 85—87, 89, 92, 94, 96, 97; Математический кружок Чашниковской русской средней школы 85, 86, 88—90, 92—94, 96, 98; Математический кружок средней школы № 17 (Киев) 85—90, 92-94, 96—98; Л. Медведев (Серебряково) 82, 86, 88, 90, 92—95, 97, 98; Б. Меньший (Филоново) 82, 85—98, 100; Э. Миллер (Москва) 85—100; Б. Мирау (Алма-Атинская обл.) 82—98; И. Митянок (Ружаны) 85, 89, 90, 92, 94—98; И. Молибога (Верхний) 85—90, 92—100; A. Мостовой (Алма-Атинская обл.) 85—99; Т. Мышакова (Одесса) 85—100; Е. Павлов (Чувашская АССР) 85, 86, 88—90, 92—96, 98, 99; Ю. Палант (Харьков) 86, 88, 90, 92, 94, 99; С. Петров (Гайсин) 82, 85—90. 92—98; В. Попов (Сталинград) 82, 85, 86, 88—100; С. Попов (Москва) 85—98, 100; В. Рабинович (Северо-Казахстанская обл.) 85—98, 100; Е. Радченко (Курская обл.) 85, 86, 89, 90, 92, 94, 96, 98; Л. Рейзиньш (Рига) 85—100; Я. Рознатовский (Киев) 85—94, 96—99; В. Рубенчик (Минск) 85, 86, 89, 92, 94, 96—98; Н. Рубинштейн (Москва) 82, 85—90, 92, 94—98, 100; Г. Сакович (Киев) 82, 85—100; Ф. Сергиенко (Запорожье) 85—90, 92, 94—99; С. Смоляк (Москва) 82, 85—94, 96—100; B. Смышляев (Юрино) 85—90, 92—98; С. Стасюк (Стрый) 85—90, 92—94, 96—100; Э. Стрелецкий (Гродно) 85—100; А. Тралман (Ленинград) 85, 87—99; В. Утемов (Красноуфимск) 82, 85—100; А. Шалтаев (Ульяновская обл.) 85—90, 92—100; М. Шебаршин (Кемеровская обл.) 82, 85—100; П. Эрдниев (Алтайский край) 82, 85—99; А. Яблонский (Полоцкая обл.) 86—90, 92—94, 96—98, 100; Э. Ясиновый (Куйбышев) 85—98, 100.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ СВОДКА РЕШЕНИЙ

Дополнительная сводка по № 6 за 1952 г. А. Архипенко (Сталинградская обл.) 86, 89, 90, 92—94, 96, 98; Е. Боков (Кононово) 85, 86, 88—90, 92—98; Я. Бочкин (Витебск) 85—90, 92—94, 96—98; М. Буграчева (Енисейск) 82, 85—90, 92—100; В. Ветров (Восточно-Казахстанская обл.) 85—98, 100; А. Гаас (Караганда) 86, 88—92, 94—98; Э. и В. Героцкие (Брянская обл.) 86, 88—90, 92, 94, 96—98; Я. Глыбин (Гомельская обл.) 82, 85, 86, 88—90, 92—98; Ф. Гутковский (Варшава) 86, 89, 90, 92, 93, 97—99; Р. Ибрагимов (Ютаза) 86—90, 92, 96—98; А. Карков (Собинка) 85—100; С. Колесник (Харьков) 82, 85—90, 92—98; В. Кунахович (Шеломка) 86—90, 92, 94, 96, 97, 99, 100; М. Лейбман (Свердловская обл.) 85—98; М. Манукян (Келлеровка) 85, 86, 88—90, 92, 95, 98; К. Нелюбин (Кировская обл.) 85—98, 100; Е. Нечаев (Владимир) 86, 89, 90—92, 95, 97; Л. Печерский (Фрунзе) 82, 85—86, 88—100; И. Писаренко (Молдавская ССР) 85—90, 92—100; Р. Реннерт (Польша) 85, 86, 88—99, 92—98; Г. Стамболцян (Ленинакан) 85, 86, 89, 90, 92—94, 96—98; Ю. Якушенко (Дудинка) 85, 86, 89, 90, 92, 96—98; Ф. Яремчук (Дорогобыч) 85—90, 92, 94—98; Ф. Личманенко (Полтавский р-н) 81, 85—90, 92—94, 96—98; А. Кунц (Кишинев) 85, 88, 89, 92—94, 96, 97, 99; Я. Титов (Казань) 85—100; М. Ахматов 85—100; Г. Ахвердов (Ленинград) 85—88, 90, 92—94, 96—98, 100; А. Иоффе (Ленинградская обл.) 85—87, 89, 90, 92, 94, 95—98; С. Ажаббаров (Куйбышевская обл.) 85—100; Я. Губанов (Воронежская обл.) 85—94, 96—100; Р. Селецкий (Полесская обл.) 85, 86, 89, 90, 92—94, 97, 98, 100; А. Поволоцкий (Акмолинск) 85—90, 92—100; Г. Чепкасов (Краснодарский край) 85—100; Б. Дудолькевич (Киевская обл.) 86, 89, 90, 92, 94—97; Математический кружок пединститута» (Житомир) 85—89, 92—94, 96, 100; Математический кружок пединститута (Махачкала).

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Стр.

Ю. М. Гайдук — К вопросу об аналитическом и геометрическом определениях тригонометрических функций.................. 1

МЕТОДИКА

П. М. Эрдниев — Проверка решения, как необходимый элемент обучения математике ............................... 8

Т. А. Песков — К вопросу о политехническом обучении математике..... 20

С. С. Анцыферов — О необходимой предпосылке политехнического обучения . 22

Б. Я. Пахомов — 06 одном вопросе алгебры............... 35

П. М. Эрдниев — К вопросу об учебнике геометрии для VI и VII классов . 37

И. Писарчик — Об изменении величины дроби с изменением ее членов ... 38

ИЗ ОПЫТА

М. Г. Васильев — Правила подсчета цифр, сокращенное умножение и деление в курсе VIII класса....................... 40

Е. ф. Моногенова — Скрещивающиеся прямые............... 45

К. С. Богушевский — Из писем и заметок читателей............ 52

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

Л. Н. Грацианская — Елизавета Федоровна Литвинова.......... 64

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

И. М. Яворский — О «Сборнике задач по математике».......... 68

Б. М. Будак — О книге С. И. Новоселова «Специальный курс элементарной алгебры».............................. 72

A. М. Абатуров — Книга, заслуживающая одобрения........... 77

B. А. Невский — Новая литература по математике............. 79

ХРОНИКА

И. К. Андронов — j Ю. О. Гурвиц I ................... 81

Я. Г. Гвоздарев —О работе секции учителей математики......... 84

Д. С. Гончаров — О работе методического объединения преподавателей математики г. Одессы за 1951 и 1952 годы.............. 85

ЗАДАЧИ

А. Шишкин — Задачи из практики.................... 86

Решение задач, помещенных в № 1 за 1953 год.............. 87

Задачи ................................. 93

Сводка решений по № 6 за 1952 год................... 95

Дополнительная сводка решений...................... —

Редакционная коллегия:

Редактор А. Н. Барсуков. Зам. редактора С. И. Новоселов, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин

Зав. редакцией Р. С. Терюкалова

Технический редактор С. Н. Шахов Корректор А. А. Журавлев

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6. Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

Сдано в производство 7/V 1953 г. Подписано к печати 19/VI 1953 г. Учетно-изд. л. 10,87.

А 03337. Заказ 224. Тираж 60 000 экз.

Печ. зн. в п. л. 72 000 Цена 4 р. 50 к. Бумага 84 X 108Vi6=3 бумажн. л.—9,84 п. л.

13-я Журнальная типография Союзполиграфпрома, Главиздата! Министерства культуры СССР. Москва, Гарднеровский пер., 1а.