МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

3

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1953

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 3

МАЙ-ИЮНЬ 1953 г.

К ВОПРОСУ О ПОЛИТЕХНИЧЕСКОМ ОБУЧЕНИИ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

С. А. ПОНОМАРЕВ (Москва)

В целях дальнейшего повышения социалистического воспитательного значения общеобразовательной школы и обеспечения учащимся, заканчивающим среднюю школу, условий для свободного выбора профессий, XIX съезд партии дал задание приступить к осуществлению политехнического обучения в средней школе и провести мероприятия, необходимые для перехода к всеобщему политехническому обучению.

Министерство просвещения РСФСР в инструктивном письме «О задачах школы в связи с решениями XIX съезда Коммунистической партии Советского Союза», опубликованном в с Учительской газете» от 20 декабря 1952 г., пишет: «К осуществлению политехнического обучения органы народного образования и школы должны приступить уже в текущем учебном году, проявляя инициативу и настойчивость в этом деле».

Приводимые ниже соображения о некоторых практических шагах на пути осуществления политехнического обучения в преподавании математики являются обобщением опыта учителей, которые уже не первый год стремятся осуществить связь теории с практикой, внести элементы политехнического обучения при изложении своего предмета.

Исходным моментом при изложении математики является положение диалектического материализма о том, что математика, как и всякая другая наука, имеет предметом объективную реальность. Отличие математики от других наук состоит в том, что она изучает только количественные и пространственные формы реального мира, абстрагируется от их материального содержания. И. В. Сталин в своем труде «Марксизм и вопросы языкознания» пишет: «В этом отношении грамматика напоминает геометрию, которая даёт свои законы, абстрагируясь от конкретных предметов, рассматривая предметы, как тела, лишённые конкретности, и определяя отношения между ними не как конкретные отношения таких-то конкретных предметов, а как отношения тел вообще, лишённые всякой конкретности »*).

Математика как наука, изучающая количественную сторону предметов и процессов, играет чрезвычайную роль в осуществлении политехнического обучения.

Без знания математики нельзя изучить технику. Во всех отраслях производства приходится иметь дело с количественными нормативными показателями, с численными характеристиками разнообразных величин и отношений между ними.

Учителям надо помнить, что чем лучше и глубже учащиеся усвоят программный материал по математике, тем шире будет у них политехнический кругозор, ибо вся техника в той или иной мере базируется на теоретических положениях математики. Но кроме глубоких и прочных знаний в объеме, определяемом программой, учащиеся должны овладеть рядом умений и навыков: умением в уме производить различные вычисления, умением пользоваться различными справочными таблицами, читать чертежи, схемы, умением пользоваться счетными приборами (счетами и логарифмической линейкой), производить различные несложные расчеты, умением пользоваться математическими знаниями в смежных школьных дисциплинах (физика, химия, астрономия, естествознание и т. д.) и выработать некоторые практические навыки (производство измерений на местности, нахождение

*) И. Сталин, Марксизм и вопросы языкознания, Госполитиздат, 1952, стр. 24.

поверхностей и объемов тел, изготовление моделей и др.).

Основные конкретные пути политехнического обучения непосредственно при преподавании математики следующие:

1. Решение задач, отражающих окружающую действительность.

2. Повышение вычислительной культуры учащихся.

3. Практические работы учащихся.

4. Кружки по изучению счетных приборов (счеты, логарифмическая линейка).

5. Экскурсии*).

Решение задач, отражающих окружающую действительность

Важнейшим средством изучения математики и связи ее преподавания с практикой и политехнической подготовкой учащихся служит решение задач, фабулой которых являются вопросы социалистического строительства в нашей стране, вопросы, отражающие действительность.

Многие учителя математики и работники педагогических институтов в газетных статьях и в периодической печати ставят вопрос о необходимости создания новых задачников, где в большем количестве, чем в существующих, должны быть помещены задачи жизненного характера. Важно помнить, что между тренировочными задачами и задачами жизненного характера должно соблюдаться такое соответствие, которое помогало бы основной цели — прочному овладению основами математики. Нельзя допустить повторения ошибок начала 30-х годов, когда сообщаемые знания по математике определялись потребностями того или другого производства и создавались пособия для учащихся, вроде «Математика для металлиста», «Математика для работников сберкасс», и т. п. В этих пособиях были помещены задачи, преследующие крайне утилитарные цели и дающие отрывочные знания курса математики. Признавая важность задач, в которых математический метод применялся бы для познания жизненных явление, надо большую часть учебного времени расходовать на решение таких залач, которые закрепляют и пополняют изучаемый теоретический материал.

Проф. В. М. Брадис в статье «За высокую вычислительную культуру» («Учительская газета» от 24 декабря 1952 г.) приводит две задачи, требующие от учащихся самостоятельности и умения приложить математические знания.

«Учитель приносит в VIII класс какую-нибудь круглую металлическую деталь диаметром 300—400 мм, например шкив, и говорит, что требуется установить по возможности более точно длину его диаметра, имея в руках не весь ш<ив, а лишь часть его обода. Учащимся раздаются вырезанные из плотной бумаги круговые сегменты, заранее заготовленные учителем путем обвода некоторой дуги взятого шкива».

Для IX класса В. М. Брадис рекомендует решить следующую задачу: «Имеется лента, свернутая в виде тугой плоской спирали, например бумажная лента кассового аппарата. Требуется, не разматывая ленту, найти ее длину. Начав опять-таки с глазомерной оценки искомой величины, выясняем возможность двух путей решения:

1) принимая все витки равными одной и той же окружности среднего диаметра и

2) принимая все витки за окружности диаметра, возрастающего по закону арифметической прогрессии с разностью, равной двойной толщине ленты.

Установив, какие данные надо получить путем непосредственного измерения, формулируем задачу математически (два варианта формулировки).

Дальше идет самостоятельная работа учащихся. В заключение учащиеся разматывают ленту, непосредственно измеряют ее длину и сравнивают с ней свои результаты, найденные путем расчета».

В сборнике задач по алгебре Шапошникова и Вальцова, ч. I и II, в задачниках Рыбкина имеется ряд задач, опирающихся на материал по физике. Некоторые учителя избегают предлагать эти задачи для решения, считая их громоздкими и «бедными» по математическому содержанию.

Решение и исследование таких задач расширяет кругозор учащихся, помогает им уяснить, в каком случае и при каких условиях возможно их решение. Такого рода задачи имеются и в задачниках по алгебре Ларичева.

Приведем еще некоторые темы практических задач для V—VI классов.

1. Составить смету на побелку комнат и коридоров школы при таких-то расчетных данных. (Учитель устанавливает, что точно подлежит побелке, потребный материал, стоимость рабочей силы и т. д.)

2. Составить смету на озеленение улицы. (Учитель дает некоторый справочный материал.)

3. Составить смету на организацию похода, экскурсии.

4. Составить смету на проводку электросети и т. д.

Поскольку весь класс должен принять участие в решении практических задач, то возможно так организовать работу: класс разбить по бригадам (3—5 учеников в бригаде), распределить между

*) Эта классификация, конечно, имеет относительный характер, и она приведена в целях удобства дальнейшего изложения.

ними работу (возможно параллельное выполнение одной и тол же части работы двумя бригадами), установить срок выполнения и дать указание, как проводить те или другие измерения или расчеты. После окончания учебного дня учащиеся под наблюдением учителя проводят необходимые измерения, делают вычисления, и полученное от бригад результаты окончательно обрабатываются.

Желательно, чтобы в V классе учащиеся самостоятельно составили две сметы: первая смета составляется учащимися по готовой форме, с данными справочного характера, ранее подготовленными учителем; для второй сметы учащимся ставится задача, и они сами должны найти все необходимые данные (измеряя и прибегая к справочникам).

В качестве примера составления сметы первого вида приводим такую задачу.

Составим смету на содержание лошадей, коров и мелкого скота на шесть месяцев.

Наименование скота

Количество

Овес

Сено

Отруби

Норма на 6 мес.

Всего

Норма

Всего

Норма

Всего

1

2 3

Рабочие лошади.....

Молодняк — лошади . . .

Коровы ..........

и т. д.

32 12 140

4 а

2,5 .

15 ц 10 , 10 .

3 Ц

Всего . .

Задачи, кроме закрепления проходимого теоретического материала, имеют и большое значение в деле коммунистического воспитания учащихся. Язык цифр весьма убедителен, и необходимо, чтобы учитель математики, так же как и учитель истории и географии, использовал числовые данные социалистического строительства.

Каждый учитель по данным из журналов, газет, справочников может составить задачи производственного характера, затрагивая как вопросы промышленности, так и вопросы сельского хозяйства. Такие задачи учитель может найти в недавно вышедших книгах: 1) Т. А. Песков, Сборник арифметических задач, 2) С. А. Пономарев и Н. И. Сырнев, Сборник арифметических задач для V—VI классов, 3) В. А. Игнатьев, Н. И. Игнатьев и Я. А. Шор, Сборник задач по арифметике для педагогических училищ.

Особенно благодарный материал для учителя при составлении задач дают великие стройки коммунизма и материалы XIX съезда партии. Например, из рассмотрения графиков роста промышленной продукции у нас и в наиболее развитых капиталистических странах — США и Англии (см. напр. газету «Правда» от 31 декабря 1902 г.), учитель может составить ряд задач, имеющих большое воспитательное значение.

Следовательно, учитывая недостаточность задач жизненного производственного характера в существующих задачниках, учитель должен сам составить ряд задач, отражающих вопросы социалистического строительства.

Особо следует выделить решение геометрических задач. Мы не будем останавливаться на задачах на нахождение площадей или объемов окружающих тел, а также на задачах на построение, ибо каждому из нас понятна их роль в политехническом обучении.

Остановимся на одном вопросе, имеющем весьма большое значение для развития пространственного воображения, а именно на значении чертежа.

В основе развития пространственных представлений лежит непосредственное восприятие пространственных форм. Поэтому широкое использование наглядности в преподавании геометрии, своевременное использование моделей является обязательным в преподавании математики.

Большую роль в развитии пространственного воображения играет правильно построенный чертеж. Между тем построению хорошего чертежа, помогающего решить задачу, на котором ученик увидел бы все необходимые размеры, некоторые учителя мало уделяют внимания. В конце первого полугодия 1952/53 учебного года для десятых классов школ г. Москвы городским отделом народного образования была дана контрольная работа по геометрии, состоящая из двух задач: первая задача — вычислительного характера: а вторая читалась так: «Изобразить куб, вписанный в правильную четырехугольную пирамиду так, что его нижнее основание лежит на основа-

нии пирамиды, а вершины верхнего основания лежат на апофемах боковых граней пирамиды». Задача несложная, но, к сожалению, немало учащихся выполнили изображение крайне плохо.

Особенное внимание следует обратить на вычерчивание пространственных фигур. Понимание стереометрических чертежей трудно дается учащимся в силу их условности: на чертеже искажаются величины углов, длины отрезков, пересекаются между собой линии, в действительности не имеющие общих точек, и т. д. Многие учащиеся со слабо развитым пространственным воображением долгое время не в состоянии преодолеть эти трудности и не могут проанализировать или доказать теорему на измененном чертеже. Поэтому учитель должен особое внимание уделять чертежу. Весьма полезные сведения учитель может почерпнуть в статье Г. Владимирского «Каким должен быть чертеж преподавателя геометрии» («Математика в школе», 1941, № 3), а также в заметке Г. Назаревского «Конструктивные чертежи» («Учительская газета» от 24 декабря 1952 г.).

Повышение вычислительной культуры

Одной из задач школьной математики является выработка у учащихся сознательных и прочных умений и навыков в возможно более точном и быстром выполнении различных числовых расчетов.

Надо признать, что в нашей школе еще многие учителя слабо используют в своей практике устные упражнения, вычисления со счетными приборами (русскими счетами и логарифмической линейкой) и не дают сведений о производстве приближенных вычисление с наперед заданной точностью. А между тем эти вопросы и являются главными формами работы для повышения вычислительной культуры учащихся.

Вычисления можно различать по методу вычислений и но характеру данных и искомых.

По методу различают три основные вида вычислений: устные вычисления, письменные вычисления и вычисления с применением вспомогательных средств.

Устные вычисления

Одним из испытанных средств, способствующих лучшему усвоению математики, повышающих вычислительную культуру, являются устные упражнения на уроках математики; эти упражнения способствуют более сознательному усвоению предмета, приучают учащихся отчетливее воспринимать сущность математических понятий, определений, теорем и преобразований.

Систематическое проведение устных вычислений бесспорно повышает вычислительную культуру, являясь в то же время действенным оружием в борьбе с формализмом знаний.

Устные упражнения способствуют развитию у учащихся внимательности, наблюдательности, сообразительности, инициативы, повышают дисциплину и возбуждают интерес к работе.

Роль устных упражнений в повышении вычислительной культуры на уроках математики неоднократно освещалась как на страницах учебно-методических пособий, так и в журналах, и за последние два года изданы сборники задач для устных упражнений, а потому не станем больше останавливаться на этом весьма важном средстве повышения вычислительной культуры учащихся.

Исчерпывающий материал для проведения устных упражнений учитель может найти в книгах: В. А. Игнатьев и др., Сборник упражнений для устного счета (арифметика, алгебра, геометрия и тригонометрия), Е. С. Березанская и Ф. Ф. Нагибин, Сборник упражнений для устного счета (алгебра и тригонометрия), Я. Ф. Чекмарев, Сборник упражнений для устного счета по арифметике.

Вычисления с применением вспомогательных средств

Бурное развитие всех видов промышленности, сельского хозяйства на базе высшей техники выдвигают следующие требования к нашим хозяйственным вычислениям: точность, быстрота и своевременность выполнения.

Выполнение этих требований осуществляется вычислениями с применением вспомогательных средств. К числу средств, автоматизирующих и механизирующих вычислительную работу, относятся приборы, машины, таблицы и номограммы. В городах и в ряде крупных предприятий у нас созданы счетные станции, отделы, следовательно, у учителя имеется возможность провести экскурсию в целях ознакомления с работой счетных машин.

В условиях школы учитель должен научить учащихся умению обращаться со счетными приборами: с конторскими счетами и логарифмической линейкой. Многие учителя не только путем внеклассной работы, но и систематической работой в классе обеспечивают приобретение учащимися прочных навыков в обращении с приборами. Учитывая большое значение этих навыков, остановимся более подробно на них в разделе внеклассной работы.

Недостатком в работе учителей математики является слабое использование на уроках различных вычислительных таблиц. В классах на уроках математики редко можно увидеть настенные вычислительные таблицы. Даже имеющиеся

у каждого ученика старших классов четырехзначные математические таблицы используют только при вычислениях с помощью логарифмов, а между тем там имеется много нужных и полезных таблиц. Вычислительные таблицы являются эффективным средством автоматизации вычислительных работ, а потому надо приучить учащихся пользоваться ими.

За последние годы в технике широко используется графический метод решения различных практических задач путем построения так называемых номограмм.

Номограммы — графические расчетные таблицы; номограмма представляет собой график, на котором, в соответствии с формулой зависимости, графически выражена эта зависимость между данными и искомыми величинами. Применение номограмм позволяет во много раз ускорить выполнение различных вычислений, не требующих большой точности.

Научить учащихся свободно строить графики и пользоваться ими — одна из важных задач в преподавании математики.

Учить детей пользоваться графиками учителя должны начинать уже в V классе.

Учитель 59-й средней школы г. Москвы И. Морозкин в статье «Графики и номограммы», помещенной в «Учительской газете» от 24 декабря 1952 г., перечисляет вопросы, которые он рассматривал в практике преподавания, прибегая к графическому методу.

Эти вопросы: построение диаграмм и графиков, выражающих длины рек, путей сообщения, рост промышленности, длину окружности в зависимости от диаметра и т. д.

Более полное применение графического метода начинается с VII класса.

Мы знаем, что по характеру данных и искомых вычисления разделяются на точные и приближенные. В школьном курсе математики совершенно недостаточно уделено внимания вопросу ознакомления учащихся с действиями над приближенными числами, между тем работники вузов всегда выражают пожелание школе повысить вычислительную культуру выпускников средней школы. Школьные учебники и задачники излагают учащимся теорию и задачи в основном на «точных» числах, между тем как в окружающей жизни человек всегда встречается с «приближенными» числами.

Конечно, вполне естественно, что математика на первых порах ее изучения — наука о точных числах. Но и в младших классах средней школы (V—VI классы) учащийся должен иметь основные понятия о приближенных вычислениях.

Допустимо ли, что наши учащиеся, вычисляя площадь прямоугольника по найденным ими величинам, например при длине 3,18 м и ширине 4,23 м, считают свой ответ 13,4504 м2 верным?

Они не могут оценивать точность получаемых ими результатов действий над приближенными данными, тратят много времени на получение «нелепых хвостов ненужных цифр» (академик Крылов).

Весьма часто в существующих задачниках даются «разноточные» данные, например в задаче: «Решить треугольник, зная, что его стороны равны 5,2 м и 3 M, а угол, лежащий против одной из них, равен 36° 24'35“».

Очевидно, в новых программах по математике будет указано, как и что надо проходить из теории приближенных вычислений. Но, не ожидая новых программ, каждый учитель может дать и в часы уроков, и в часы внеклассных занятий основные понятия о приближенных вычислениях без строгого учета погрешностей. Желательно ознакомление учащихся со следующими вопросами:

1. Числа точные и приближенные.

2. Абсолютная и относительная погрешности.

3. Четыре действия с приближенными числами.

4. Округление.

5. Вычисления с наперед заданной точностью.

Практические работы

Практические работы по математике в средней школе, в широком смысле, весьма многочисленны и разнообразны.

К ним можно отнести: решение упражнений и задач как письменно, так и устно; составление различного рода таблиц: процентов, квадратных корней и т. д.; различного рода измерительные работы в классе и в поле; изготовление математических моделей и т. д.

Здесь мы будем говорить о практических работах, понимая под ними такие работы, которые прививают учащимся какие-либо практические навыки и выполнение которых сопряжено с применением измерительных и счетных приборов, чертежных принадлежностей, а также и такие работы, как составление различного рода таблиц и смет.

Большое воспитательное и практическое значение имеет выработка у учащихся умений и навыков применения полученных знаний на практике. К сожалению, весьма и весьма часто при проведении простейших практических работ учащиеся показывают полную беспомощность. Приведем два примера.

1. В средней школе Москвы, территориально расположенной от здания Моссовета на расстоянии около 250 м, на уроке геометрии в VI классе было дано учащимся задание: «Напишите на листке бумаги предполагаемое расстояние от двери школы до здания Моссовета»; учащиеся дали различные ответы, в интервале от 30 м

до 1500 м. После того как пять учеников измерили расстояние в шагах (было взято среднеарифметическое 5 измерзний), классу было предложено в .фазить приближенно расстояние в метрах. Почти все учащиеся дали ответ с точностью до 0,01 м.

2. С. М. Чуканцов в статье «Воспитание советского патриотизма в процессе изучения математики в средней школе» пишет: «По заданию Института методов обучения АПН РСФСР калужским областным институтом усовершенствования учителей была проведена письменная работа в двух параллельных пятых классах 1-й женской средней школы г. Калуги. Среди других примеров и задач была предложена и такая задача: «Вычислить площадь этого прямоугольника и записать решение». Тут же прилагался начерченный прямоугольник. Никто из шести учащихся V класса Г, решавших эту задачу, правильно не решил ее. У всех были допущены грубые ошибки в измерении.

В V классе Б той же школы, где арифметику преподает В. А. Соколова, которая не только учит своих учащихся теории, но и приучает их применять полученные знания на практике и проводит с учащимися практические занятия — измерения на местности, все учащиеся решавшие эту задачу, решили ее правильно*).

Эти примеры показывают, что в ряде школ недостаточно обращают внимания на увязку теории с практикой.

При выборе практических работ нужно иметь в виду не только привитие учащимся некоторых производственных навыков в целях расширения политехнического кругозора, но и то, что в школе сообщается строгая система математических знаний; практические работы должны иметь несложное техническое содержание с явно выраженной математической сущностью.

Приведем некоторые возможные практические работы в средней школе.

По арифметике учащиеся могут выполнить следующие практические работы:

1) Сложение, вычитание и простейшие случаи умножения и деления на конторских (русских) счетах.

2) Изготовление моделей геометрических фигур, изучаемых в V классе. Вычисление поверхностей и объемов тел.

3) Составление таблиц для умножения чисел, для вычисления процентов, для вычисления длины окружности и площади круга.

4) Составление несложных хозяйственных расчетов и смет, например смету на побелку комнаты, здания и т. д.

5) Составление диаграмм и эмпирических графиков (температуры, успеваемости по четвертям и т. д.).

В каждом классе, учащимся должны быть предложены практические работы по изготовлению наглядных пособий по программе математики данного класса. Слабо успевающим ученикам изготовление наглядных пособий приносит особенную пользу.

После того как учащиеся в VI классе приступят к изучению систематического курса геометрии, перед учителем открывается большой простор для составления и выполнения практических работ — измерительных работ на местности. Но и в V классе учащиеся могут выполнить ряд измерительных работ.

Измерительные работы на местности в курсе математики средней школы

Измерения на местности, определение объемов и поверхностей различных предметов являются не только формой практической работы учащихся, но и представляют действенное средство борьбы с формализмом знаний учащихся. Учитель нередко встречается с тем, что учащиеся, хорошо усваивающие формулы о нахождении поверхностей и объемов тел, затрудняются в вычислении объемов или поверхностей конкретных тел, не понимая, как найти измерением необходимые данные.

Учащиеся теряются в выборе единиц измерения, затрудняются в выборе простерших способов измерения и особенно чувствуют себя беспомощными при необходимости произвести измерения на местности. Учащиеся V класса на вопрос, как измерить расстояние от школы до их квартиры, давали ответы: «измерить надо километром», «измерить надо метром». Но не только учащиеся младших классов не умеют производить необходимые измерения, этим недостатком страдают и ученики старших классов.

Причина этих недостатков заключается в том, что измерительным работам на местности не уделялось до сего времени почти никакого внимания. Программой по математике не выделены часы для выполнения этих работ, хотя в объяснительной записке к программе высказана правильная мысль: «Необходимо также показывать практические приложения геометрии, повышая этим интерес учащихся к предмету и их уверенность в его ценности. Сюда относятся прежде всего измерения всякого рода, в частности измерения на местности, вычисления площадей и объемов и т. п.». Но эти требования без указания, за счет какого времени как и что выполнить, остаются только пожеланием. Бесспорно, что в новой программе по математике не только будет

*) Методический сборник «В помощь учителю математики», изд. газеты «Знамя», Калуга, 1949.

указано конкретное содержание измерительных работ, но и выделено необходимое для этого время.

Основные этапы в проведении измерительных работ следующие:

1. Ознакомление с инструментом; приемы работы с инструментом в классной обстановке.

2. Полевая работа.

3. Обработка материала полевой работы.

Приведем тематику возможных измерительных работ.

V класс. 1. Измерение индивидуального шага учащихся на базе в 100 м. Техника подсчета шагов при измеэении расстояний на местности. Определение расстояний на глаз с последующей проверкой шагами.

2. Проведение прямых на местности и измерение их с помощью мерной цепи шагами и полевым циркулем.

3. Эккер. Пользование эккером. Проведение перпендикуляра к данной прямой. Построение на местности ара и гектара как в виде квадрата, так и в виде прямоугольника.

Кроме указанных трех работ на местности, учащиеся при прохождении соответствующего материала знакомятся с численным и линейным масштабами.

VI класс. 1. Астролябия. Измерение и построение углов любой величины с помощью астролябии.

2. Определение расстояния между двумя точками:

а) одна из которых недоступна, б) обе доступны, но из одном другую нельзя увидеть.

3. Определение высоты предмета. Определение глубины оврага.

4. Проведение параллельных прямых на местности. Нивелирование (определение высоты холма).

VII класс. Буссоль. Пользование буссолью.

1. Построение на местности четырехугольников различных видов с помощью эккера и буссоли.

2. Съемка плана с помощью астролябии.

3. Определение расстояния до недоступной точки или определение высоты предмета с помощью равенства треугольников.

VIII класс. 1. Построение прямого угла с помощью египетского треугольника. Определение недоступных расстояний приемами, основанными на подобии треугольников. Определение расстояния дальномером.

2. Вычисление площади земельного участка по плану.

3. Определение недоступных расстояний с помощью тригонометрических функций острого угла.

IX класс 1. Съемка плана земельного участка школьной астролябией с вычислением координат вершин. Вычисление площади этого участка.

2. Нахождение недоступных расстояний с помощью решения прямоугольных треугольников и вычислений с применением таблиц логарифмов.

X класс. 1. Нахождение недоступных расстояний с помощью решения косоугольных треугольников.

2. Нахождение объемов и поверхностей различных хозяйственных построек и сооружение.

Приведенный список возможных измерительных работ вполне посилен для учащихся средней школы.

У учителей, не проводивших еще в своей практике измерительных работ, возникают вопросы: где достать нужные инструменты? Где взять необходимое время для этих работ? Где найти место для измерительных работ, если школы размещены в центре крупного города? и т. д.

Опыт работы учителей, действительно желающих проводить измерительные работы, показывает, что встречающиеся трудности преодолимы.

Эти учителя с помощью учеников изготавливают самодельные инструменты (эккеры, астролябии, мензулы, эклиметры, дальномеры, уровни, рейки и вехи). К числу положительных сторон самодельного изготовления инструментов относится и то, что, в отличие от фабричного, самодельный инструмент дает идею построения прибора в ее «чистом» виде.

Некоторые учителя считают нецелесообразным применение астролябии и других инструментов, перечисленных в темах измерительных работ, в силу того, что в землемерии сейчас не пользуются астролябией, а пользуются теодолитом. Конечно, в последующие годы осуществления политехнического обучения возможно будет обеспечить школу должным количеством теодолитов, но для овладения теодолитом требуется неизмеримо больше времени, чем для освоения вышеназванных инструментов.

Важно помнить, что в школе на данном этапе надо проводить такие работы, которые при несложном техническом содержании давали бы явно выраженную математическую сущность процесса.

Где взять время для проведения измерительных работ? Практика показывает, что учитель в течение года может уделить 6—8 часов для проведения этих работ. Учащиеся охотно выполняют измерительные работы и во внеурочное время.

Учительница 50-й школы Москвы А. А. Прокофьева в течение ряда лет регулярно проводит весной и осенью измерительные работы на местности

(в среднем по три работы на класс), и все работы выполняются в основном с инструментами, сделанными учениками.

Что касается места для проведения измерительных работ, то выбор его зависит от обстановки, в которой находится школа. Некоторые учителя Москвы производят измерительные работы и на территории школы, и даже на специально устроенном небольшом полигоне, применяя миниатюрные инструменты. Конечно, наиболее подходящим местом для работы является поле.

Домашнюю работу учащихся также надо использовать как важное средство расширения политехнического кругозора. Домашние задания по математике на составление и решение задач с производственным содержанием, измерительные работы в своей квартире или на участке, занимаемом семьей учащегося, выполнение графических работ, изготовление моделей тел или моделей для решения задач и др. — бесспорно обогащают политехнический кругозор учащихся.

Учитель А. Н. Клюка (Ростовская область) пишет, что перед нашими учениками, окончившими школу, — будущими мастерами урожая, бригадирами, руководителями колхозов, агрономами и механиками, — практика жизни может поставить и такие задачи:

1. Перевезти горючее из нефтебазы в определенный срок.

2. Перевезти сено на стойловый период для молочно-товарной фермы.

3. Составить смету на закладку колхозного сада.

4. Распределить хлебный аванс между колхозниками по количеству выработанных трудодней.

И далее т. Клюка на конкретном примере показывает, как учитель организует выполнение домашнего задания.

«Учитель предлагает детям решить задачу: „Колхозу предстоит прополоть участок пшеницы в два дня. Сколько для этого потребуется человек?“ В классе обсуждают задачу и выясняют, какие данные нужно иметь для ее решения. На собирание данных и решение задачи дается несколько дней. Дети самостоятельно измеряют площадь участка, узнают о нормах выработки у бригадира полеводческой бригады, проверяют по справочнику. Получив все необходимые данные, они составляют полный текст задачи и решают ее».

Для выполнения дома ученикам может быть предложено вычерчивание графиков и диаграмм, показывающих работу завода, колхоза, совхоза, рост посевных площадей, садов, урожайности и т. п.

Конечно, учителю надо помнить, что практическая работа дома, в силу полной самостоятельности выполнения работы учеником, требует значительного времени, а потому такого рода задачи должны иметь только эпизодический характер.

Кружки по изучению счетных приборов

В разделе «Повышение вычислительной культуры» было указано, что одним из действенных средств, повышающих культуру вычислений, является ознакомление учащихся со счетными приборами — русскими конторскими счетами и логарифмической линейкой и введение вычислений с помощью этих приборов в практику работы в школе и дома.

Даже в рамках существующей программы по математике у учителя имеется возможность не только ознакомить учащихся с математической сущностью счетных приборов, но и научить их пользоваться при вычислениях русскими счетами и логарифмической линейкой.

Работа учителей, заставляющих своих учеников систематически работать с этими приборами, не только дает учащимся практические навыки в вычислительной технике, но и значительную экономию времени, которую учитель использует для более глубокого изучения теории. В краткой форме изложим опыт работы учителей, использующих в своей работе счетные приборы.

Русские конторские счеты. Каждый из нас знает, что необыкновенная простота и остроумие замысла, положенные в основу русских счетов, служат причиной того, что этот счетный прибор и по настоящее время остается самым распространенным и необходимым средством механизации вычислений.

Сложение и вычитание чисел иногда производятся на счетах быстрее, чем даже на арифмометре.

Поэтому ознакомление учащихся со счетами и введение счетов в практику вычислений — необходимое мероприятие.

Учащиеся средней школы познакомились со счетами еще в начальной школе, а поэтому учитель математики уже в V классе должен требовать от учащихся, чтобы они при выполнении действий сложения и вычитания у доски использовали счеты, которые учитель приносит в класс.

Все эти операции учитель проделывает в классной обстановке, а дальнейшее ознакомление со счетами проводится во время внеклассной работы. Для этого надо организовать кружок «любителей русских счетов» или секцию при математическом кружке. Состав кружка — учащиеся V—VI классов.

Содержание работы кружка составит освоение следующих операций на счетах: умножение на

однозначный множитель; умножение на двузначный и многозначный множители. Упрощенные приемы умножения на счетах (умножение на множитель с одинаковыми цифрами, на числа, кратные 9, на числа, близкие к круглым). Деление на многозначный делитель. Деление на числа, близкие к круглым. Смешанные задачи на вычисление на счетах.

Выполнение всей программы потребует 18— 20 часов кружковой работы, т. е. примерно 10 занятий. Конечно, исходя из имеющегося времени, можно эту программу сократить; важно заинтересовать учеников, дать разумное использование их свободного времени. С теорией конторских счетов можно ознакомиться по книге Юрьева «Счетная техника», Статиздат, 1952.

Логарифмическая линейка. Программой по математике предусмотрено ознакомление учащихся с принципом устройства логарифмической линейки. Ознакомление с логарифмической линейкой обычно учителя проводят в конце третьей четверти в IX классе. В классе учитель может уделить не более четырех часов на изучение линейки и за это время он излагает теорию и показывает следующие приемы вычисления: возведение в квадрат и куб и извлечение квадратного и кубического корней, умножение и деление чисел. Конечно, за четыре часа учащиеся не приобретут необходимой точности и быстроты вычислений; вычисления в это время выполняются настолько медленно, что преимущества вычислений с помощью линейки в глазах некоторых учеников теряются.

Если учитель при дальнейшем прохождении математики не требует производства вычислений с помощью линейки, то ученики к концу X класса ее забывают. Поэтому многие учителя, в целях выработки прочных навыков в обращении с линейкой, организуют кружки изучения логарифмической линейки.

Для успешного овладения техникой операций на линейке необходимо иметь логарифмическую линейку каждому учащемуся. Желательно иметь линейки в 25 см.

Опыт учителей, знакомящих учащихся с логарифмической линейкой, показывает, что наиболее целесообразна будет следующая последовательность материала по изучению линейки: принцип устройства линейки, чтение меток, возведение в квадрат и извлечение квадратного корня, возведение в куб и извлечение кубического корня, умножение и деление, выполнение ряда последовательных умножений и делений, правило определения запятой в результатах вычислений, вычисления с тригонометрическими функциями. Для осуществления этой программы требуется 10—12 двухчасовых занятий кружка.

Достойна подражания практика освоения линейки, проводимая учителем 348-й средней школы Москвы Н. И. Сырневым. Н. И. Сырнев впервые показывает линейку в VIII классе при повторении темы «Возведение в степень и извлечение квадратного корня». Он демонстрирует линейку как своеобразную таблицу квадратов и квадратных корней. Этим приобретается навык в чтении меток. При прохождении темы «Тригонометрические функции острого угла» он снова обращается к линейке. На протяжении VIII и IX классов Н. И. Сырнев требует от учащихся применения линейки, и когда в конце третьей четверти в IX классе они знакомятся с принципом ее устройства, то, умея свободно читать метки, начинают бегло выполнять умножение и деление и решать комбинированные задачи. И далее, в практике работы при вычислениях Н. И. Сырнев прибегает в большей мере к линейке, чем к таблицам логарифмов.

Экскурсии

Одним из важнейших средств осуществления политехнического обучения в школе являются производственные экскурсии.

Еще в 1920 г. В. И. Ленин в своих заметках на тезисы Н. К. Крупской «О политехническом образовании» писал:

«...3) безусловным заданием поставить немедленный переход к политехническому образованию или, вернее, немедленное осуществление ряда доступных сейчас же шагов к политехническому образованию, как-то:

а) посещение электрической станции, ближайшей, и ряд лекций с опытами на ней; ряд практических работ, какие только возможны с электричеством; разработать тотчас детальные программы (на 1 посещение, на курс в 5, 10 лекций; в 1, 2 месяца и т. д.),

б) тоже — каждый сносно поставленный совхоз,

в) тоже — каждый сносно поставленный завод» ...*)

Производственные экскурсии содействуют всестороннему развитию учащихся, расширяют их кругозор. Они дают понимание конкретных фактов окружающей действительности, знакомят с технологией производства и орудиями производства, с общими научными принципами социалистического производства.

Политехническое обучение должно познакомить учащихся с главными отраслями производства и с основными научными принципами производственных процессов. Поэтому наиболее ценными

*) В. И. Ленин, Соч., изд. 3-е, т. XXX, стр. 419.

объектами для экскурсий являются передовые, наиболее технически оснащенные предприятия.

Производственные экскурсии, как правило, должны быть связаны с экскурсиями, проводимыми по физике, химии и биологии. Учитель математики должен знать, что увидят и с какими процессами будут ознакомлены учащиеся, а затем до или после экскурсии должен остановиться на математической сущности этих процессов. В больших городах на крупных предприятиях и вообще в тех населенных пунктах, где имеются счетные станции или счетные отделы, необходимо совершить экскурсию с целью ознакомления со счетными машинами и их работой. В Москве же имеется Политехнический музей, где полно представлена счетная техника. Какое удивление и в то же время удовлетворение испытывают ученики, когда видят, какие сложные преобразования-вычисления мгновенно производят машины!

Непростительно для учителя математики Москвы, если он не совершит в течение года одну экскурсию в Политехнический музей.

Чтобы успешно осуществлять политехническое обучение, учитель должен быть сам политехнически образованным человеком: знать научные принципы социалистического производства и владеть необходимыми практическими умениями и навыками.

Учитель, отгородившийся от практики социалистического строительства, не сумеет осуществлять задачи политехнического обучения.

Повышение квалификации учителя зависит прежде всего от самого учителя, от того, как он использует различные совещания, доклады и лекции по темам, связанным с политехническим обучением. Особое внимание учитель должен уделять посещению различных выставок и музеев. Никакое описание какой-либо машины или технологического процесса не может сравниться с тем впечатлением, которое получит учитель при рассмотрении в музее или на выставке моделей или натуральных экспонатов. Большую пользу в повышении квалификации окажут учителю производственные экскурсии и туристические путешествия.

Несомненную помощь приносит учителям обсуждение вопросов политехнического обучения в институтах усовершенствования учителей и на совещаниях методических предметных комиссий. Хороший почин в оказании помощи учителям математики провела «Учительская газета», опубликовав 24 декабря 1952 г. ряд статей, посвященных вопросам политехнического обучения при преподавании математики в средней школе.

Центральной фигурой всего педагогического процесса является учитель, и поэтому от его методологической и научно-педагогической подготовки зависит успех политехнического обучения.

Наш учитель не просто передает знания учащимся, а он воспитывает их на основе этих знаний, увязывая теорию с практикой социалистического строительства. Следовательно, чтобы учить и воспитывать, учителю не только надо знать предмет, не только хорошо владеть эффективными методами учебного процесса, но надо быть вооруженным марксистско-ленинской теорией.

Каждый учитель должен повседневно и серьезно заниматься повышением своего идейно-теоретического уровня, изучением трудов классиков марксизма-ленинизма. Особо важное значение имеет глубокое изучение гениального труда товарища Сталина «Экономические проблемы социализма в СССР» и материалов XIX съезда партии.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

П. С. МОДЕНОВ (Москва)

Вопросы, связанные с решением и исследованием систем уравнений, причины появления посторонних решений, причины, по которым в процессе различного рода преобразований уравнений могут быть утеряны решения, — почти не освещены в нашел учебной и методической литературе. Не считая книги Новоселова С. И. «Специальный курс элементарной алгебры», изд. «Советская наука», 1951 г., где дано теоретическое обоснование некоторых наиболее употребительных методов, применяемых в средней школе при решении систем уравнений, мы не имеем сколько-нибудь обстоятельных указаний по данному вопросу. Однако указанная книга является учебником, а не сборником задач, а потому в ней изложены в основном теоретические положения, и, таким образом, практическая сторона дела не получила надлежащей разработки.

До сего времени в школе решение систем уравнений сводится почти всегда к ряду «манипуляций», заключающихся в том, что данные уравнения почленно перемножают или делят, почленно вычитают или складывают, «выражают» из какого-нибудь уравнения одно неизвестное через другие и подставляют найденное выражение в остальные уравнения системы и т. д.

При этом весьма часто не только учащийся, но даже и преподаватель не может ответить на следующие вопросы:

1) Являются ли найденные совокупности чисел решениями данной системы?

2) Не утеряны ли в процессе преобразований уравнений решения данной системы?

Конечно, первый вопрос о появлении «посторонних» решений может быть, по крайней мере принципиально, решен проверкой, однако в случае систем уравнений с параметрами, найденные выражения могут быть столь сложны, что проверка явится весьма трудным делом в техническом отношении.

Что касается второго вопроса об «утерянных» решениях, то на него нельзя дать даже и принципиально простого ответа, если не подходить к решению систем уравнение с точки зрения общих теоретических соображений.

Решения систем, приводимые многими авторами, принципиально ничуть не выше рассуждений Вити Малеева*), который решал следующую задачу: «12 топоров и 3 пилы стоят 84 руб.; 12 топоров и 5 пил стоят 100 руб. Сколько стоит один топор и одна пила?» Витя рассуждал так: Я стал думать, как решить задачу, сначала я подумал, что если 12 топоров и 3 пилы стоят 84 рубля, то надо сложить все топоры и пилы вместе и 84 поделить на то, что получилось. Я сложил 12 топоров и 3 пилы, получилось 15. Тогда я стал делить 84 на 15, но у меня не поделилось, потому что получился остаток. Я понял, что произошла ошибка, и стал искать другой выход. Другой выход нашелся такой: я сложил 12 топоров и 5 пил, получилось 17, и тогда я стал делить 100 на 17, но у меня опять получился остаток. Тогда я сложил все 24 топора между собой и прибавил к ним 8 пил, а рубли тоже сложил между собой и стал делить рубли на топоры с пилами, но деление все равно не вышло. Тогда я стал отнимать пилы от топоров, а деньги делить на то, что получилось, но все равно у меня ничего не получилось. Потом я еще пробовал складывать между собой пилы и топоры по отдельности, а потом отнимать топоры от денег, и то, что осталось, де-

*) П. Носов, Витя Малеев в школе и дома, Детгиз, 1952 г., стр. 74.

лить на пилы, и чего я только не делал, никакого толку не выходило».

Целью настоящей статьи является:

1) показать на примерах, как следует рассуждать и действовать при решении систем уравнений, чтобы полученные совокупности чисел составили множество всех решений данной системы;

2) подвергнуть критическому разбору применяемые методы решения систем уравнений.

Общий принцип, который будет положен в основу при исследовании систем уравнений, можно сформулировать так:

При решении систем уравнений желательно последовательно заменять данную систему другими системами, эквивалентными данной, до тех пор, пока не будут получены все решения данной системы.

Однако на практике систему уравнений не всегда удается заменить эквивалентной системой; в таком случае в результате каждой замены надо выяснить, какие решения могли быть «утеряны» и какие совокупности чисел являются «посторонними» решениями, т. е. такими решениями системы, заменяющей данную, которые не являются решениями данной системы.

На наш взгляд, в школе не следует излагать общей теории эквивалентности систем уравнений; впрочем, и невозможно охватить с этой точки зрения то разнообразие приемов, которые применяются при решении систем.

Доказательство того, что в результате некоторого преобразования получена система, эквивалентная данной, или в случае если данная система заменяется системой, ей неэквивалентной, — установление «утерянных» и «посторонних» решений следует давать в школе каждый раз применительно к рассматриваемому конкретному примеру. Это приведет к сознательному и правильному применению хорошо известных приемов решения систем и будет способствовать слиянию чисто механической стороны дела с исследованием принципиальной возможности выполнения тех или иных выкладок.

Как ни естественна такая постановка вопроса, можно с уверенностью сказать, что общие соображения, сформулированные выше, не проникли еще достаточно прочно в сознание учащихся и даже лучших преподавателей математики средних школ.

Так, например, в журнале «Математика в школе», 1951, № 5, под названием «Средняя школа и вузы» была помещена рецензия хорошо известного читателям журнала преподавателя математики М. Шебаршина на мою книгу «Сборник задач по математике». В этой рецензии на странице 76 автор рецензии пишет:

«Не согласится ли П. С. Моденов, что если он считает себя вправе ожидать от абитуриента изящного, простого или нешаблонного решения, то и читатель его сборника имеет право к нему, автору, предъявить аналогичные претензии? Два примера покажут нам, что и автор не безгрешен. В решении системы № 393 получена равносильная система (курсив мой.—П. М.):

(1)

из которой легко убедиться...».

Между тем система, приведенная в условии задачи № 393, вовсе не равносильна системе (1).

В самом деле, система (1) получается из системы, приведенной в условии задачи № 393, если почленно вычесть из первого уравнения второе, из второго — третье, а из третьего — первое. Таким образом, М. Шебаршин фактически утверждает, что система равенств:

(2)

эквивалентна следующей системе равенств:

(3)

Однако это явно неверно: система (3) удовлетворяется совокупностью любых трех равных между собой чисел (например: а — 5, Ъ = 5, с = 5), однако эта совокупность чисел не удовлетворяет равенствам (2) (и даже ни одному из этих равенств).

Для читателя, знакомого с определителями, отметим, что определитель системы (3) равен нулю:

в этом причина неэквивалентности систем (2) и (3).

В журнале «Математика в школе», № 2 за 1952 г., была помещена рецензия также хорошо известного читателям преподавателя математики Л. М. Лоповка на 2-е издание того же сборника задач. Автор рецензии пишет:

«Пример № 130, кроме указанных в ответе

решений, имеет еще следующие, найти которые нужно из систем уравнений:

(4)

Это неверно. В самом деле: система, приведенная в условии задачи № 130, имеет вид:

Эта система эквивалентна следующей:

или следующей:

Последняя же система эквивалентна совокупности следующих систем:

Решая каждую из последних систем, найдем следующие решения:

т. е. то, что указано в ответе к задаче № 130.

Ошибка, допущенная в рецензии Л. М. Лоповка, может быть раскрыта и совершенно элементарными рассуждениями: данная система двух уравнений третьей степени с двумя неизвестными имеет 3-3 = 9 решений. В ответе к задаче («Сборник задач», изд. 1951 г., № 130) дано именно 9 решений. Автор рецензии считает, что этого мало, и считает, что утеряны решения двух систем, каждая из которых имеет 6 решений, т. е. утеряно 12 решений—более того числа решений, которое имеет данная система?!

Системы (4), которые привел Л. М. Лоповок, он, конечно, сам и не решал, так как в противном случае им самим ошибка была бы немедленно обнаружена. Эти системы (4) были получены рецензентом из каких-то общих соображений, и вот здесь, конечно, не были приняты во внимание общие положения об эквивалентности систем уравнений.

Такого рода ошибки могут быть объяснены только тем, что вопросы эквивалентности систем уравнений с практической точки зрения еще не проникли в среднюю школу. А ведь указанные погрешности касаются самых простых случаев, связанных с понятием эквивалентности систем уравнений. Не лишним будет отметить, что обе отмеченные ошибки не были замечены и редакцией журнала, а в отделе задач решения систем уравнений почти всегда даются без анализа процесса решения с точки зрения эквивалентности цепи промежуточных систем.

В связи с поставленным мною вопросом я должен коснуться еще одного места в упомянутой выше рецензии Л. М. Лоповка, где автор рецензии предлагает свою собственную схему (геометрическую) исследования системы двух уравнений с двумя неизвестными. Здесь следует сказать со всей категоричностью: предлагаемая автором схема исследования системы двух уравнений с двумя неизвестными абсолютно недопустима и методически порочна по следующим соображениям:

1) Вопрос об исследовании систем линейных уравнений есть вопрос алгебраический, а не геометрический.

2) Это исследование допускает геометрическую интерпретацию лишь для случая я = 2 и п = Ъ, между тем алгебраический метод исследования всегда единообразен.

3) Исследование системы из k линейных уравнений с п неизвестными может быть дано алгебраически совершенно элементарно, просто и понятно без применения теории определителей и теории матриц (см. «Специальный курс элементарной алгебры» С. И. Новоселова). Чрезвычайно важно, что при этом удается обойти такую трудно понятную для учащихся средних школ логическую категорию, как «существование и общность решения».

Метод, предлагаемый Л. М. Лоповком, лишен, таким образом, перспективы на обобщение.

Переходя к рассмотрению примеров, рассмотрим сначала случаи, когда удается построить цепь эквивалентных между собой систем уравнений.

Пример 1. Решить систему уравнений:

(1)

Решение. Преобразуем первое слагаемое левой части второго из уравнений системы следующим образом:

Таким образом, данную систему можно переписать в виде:

(1')

Заменим во втором уравнении системы (1') Х~\~У числом 2. Тогда получим систему:

(2)

Системы (Г) и (2) эквивалентны. В самом деле, если числа х и у удовлетворяют системе (1'), то они будут удовлетворять и системе (2), так как из равенств (Г) следуют равенства (2). Обратно: если выполнены равенства (2), то, заменяя в выражении 4 — 2 ху число 4 на (х+у)2 [что возможно сделать в силу первого из уравнений системы (2)], а в знаменателе левой части второго из уравнений (2) множитель 2 и число 4 соответственно на х+у и (х+у)2 [что возможно в силу первого из равенств (2)], мы получим равенства (Г), значит, системы (Г) и (2) эквивалентны. Умножив обе части второго из уравнений (2) на 2-39-(4—3ху) и упростив, получим уравнение:

или

Это уравнение эквивалентно второму из уравнений системы (2), так как мы умножали обе части второго из уравнений (2) на 78(4—Зху),

значения же х и у, при которых этот множитель обращается в нуль (4—3ху = 0), не удовлетворяют уравнению:

Отсюда следует, что система (2) эквивалентна следующей:

(3)

а значит, и системе (1).

Система (3) эквивалентна совокупности следующих двух систем:

(41) (42)

В самом деле, любое решение системы (3) является вместе с тем и решением одной из систем (4,) или (42), так как если выполнены равенства (3), то будут выполнены или равенства (4Х), или равенства (42). Обратно: любое решение одной из систем (4Х) или (42) является решением и системы (3), так как если выполнены равенства (4j) или (42), то будут выполнены и равенства (3). Значит, все решения системы (3) являются всеми решениями систем (4t) и (42). Решая системы (4j) и (42), мы найдем все решения данной системы:

Пример 2. Решить систему уравнений:

(1)

Решение. Обозначим левые части данных уравнений соответственно через fv /2, /3 и /4; тогда данная система запишется в виде:

(1')

Система уравнений:

(2)

эквивалентна данной системе (Г). В самом деле, если выполнены равенства (Г), то будут выполнены и равенства (2). Обратно: если выполнены равенства (2), то будем иметь:

или

Но

следовательно,

а тогда, например, из равенства f1+f2 = 25 найдем fx = 14.

Подставляя в уравнения системы (2) вместо fv /«• /з и fi их выражения, получим:

(2')

Эта система эквивалентна данной. Рассмотрим систему:

(3)

Эти соотношения являются следствием равенств (2х), т. е. если выполнены равенства (2х), то будут выполнены и равенства (3). Обратно: если выполнены равенства (3), то будут выполнены и равенства (2'). В самом деле, пусть равенства (3) выполнены. Тогда из первого и четвертого из равенств (3) получим:

из второго и четвертого:

а из третьего и четвертого:

Следовательно, системы (2') и (3) эквивалентны. Уравнения системы (3) можно переписать так:

(3')

Система (3') эквивалентна совокупности следующих четырех систем:

(4)

т. е. любое решение системы (3х) будет решением одной из систем (4 ), (4,), (43) или (44) и обратно: любое решение одной из систем (4,), (42), (43) или (44) является и решением системы (3'). Поэтому, решая системы (4t), (42), (43) и (44), мы найдем все решения системы (о ), а значит, и все решения данной системы (1):

Пример 3. Исследовать систему уравнений:

(1)

Решение. Система (1) эквивалентна следующей:

(2)

В самом деле, если выполнены равенства (1), то будут выполнены и равенства (2) и обратно: если выполнены равенства (2), то будут выполнены и равенства (1).

Система (2) эквивалентна следующей:

(3)

или

(3')

Эта система эквивалентна следующей:

(4)

Система же (4) эквивалентна системе:

(5)

или

(5')

Наконец, система (5') эквивалентна системе:

(6)

или

(7)

Последняя система несовместна, так как последнее уравнение системы не имеет ни одного решения (после упрощений получим:—1 =0), значит, и данная система несовместна, так как данная система эквивалентна системе (7).

Пример 4. Решить систему уравнений:

(1)

где а>0, Ь>0, с>0 и среди чисел а, Ь, с есть по крайней мере два различных.

Решение. Обозначим левые части данных уравнений соответственно через Д, /2 и /г

Тогда система (1) будет иметь вид:

(1')

Рассмотрим следующую систему уравнений:

(2)

и докажем, что эта система уравнений эквивалентна данной системе (Г). В самом деле, если Ху у, z удовлетворяют каждому из уравнений системы (Г), то они будут удовлетворять и каждому из уравнении системы (2), так как если выполнены равенства (Г), то будут выполнены и равенства (2).

Обратно: если выполнены равенства (2), то

или

Но

Отсюда следовательно,

Но если f2=-b2, то /, — b2 = a2 — b2, значит, f1=a2. Наконец, из равенства /2—f3 = b2 — г2 и равенства ft=-b2 получим fz — c2. Итак:

т. е. если выполнены равенства (2), то будут выполнены и равенства (1').

Подставляя теперь в равенства (2) вместо Д, /2 и /я их выражения через х, _у, z, т. е. соответственно:

получим:

(2')

или

(2“)

или, полагая:

получим:

(2“')

Система (2//г) эквивалентна следующей:

(3)

В самом деле, из равенств (2'“) следуют равенства (3), а из равенств (3) следуют равенства (2'“).

Отметим, что равенство А ~\- В — а2 + b2 с2 следует из первых трех равенств (3). В самом деле: пусть выполнены равенства:

Тогда, сложив второе равенство почленно с первым, получим:

Значит,

или

или Но

следовательно,

откуда а = Ь — с, что противоречит условию задачи. Значит, А ф О, а потому из равенства

следует: и значит,

Итак, мы доказали, что если выполнены первые три равенства из равенств (3), то будет выполнено и четвертое равенство. Поэтому система (3) эквивалентна системе (4), состоящей из трех первых уравнений системы (3):

(4)

Из последнего уравнения находим:

поэтому система (4) эквивалентна совокупности следующих четырех систем:

(5)

Обозначим правую часть последнего уравнения через а:

(а имеет, вообще говоря, четыре различных значения). Тогда система (о) примет вид:

(5')

где а ф О (так как при а=0 было бы также Л=0).

Эта система эквивалентна следующей:

(6)

так как из равенств (5') следуют равенства (6) и обратно—из равенств (6) следуют равенства (5').

Система (6) есть система линейная. Решая ее, получим:

(7)

где а принимает одно из четырех значений. Таким образом, данная система имеет, вообще говоря, 4 различных решения. Эти решения даны формулами (7), где а принимает указанные выше 4 значения.

Рассматривая методы исследования эквивалентности систем уравнений, приведенные в разобранных выше примерах, мы можем сделать ряд общих выводов:

1) При установлении эквивалентности двух систем уравнений иногда полезно левые части уравнений обозначать одной буквой:

2) Если в системе уравнений:

одно из уравнений, например уравнение Д—О, эквивалентно уравнению вида: х — F (у, zt. . . )

(это будет, например, в том случае, когда в уравнение fi=0 неизвестное х входит в первой степени, причем коэффициентом при х является число, отличное от нуля), то заменяя в уравнениях:

неизвестное х его выражением через уу z,. . ., мы получим систему, эквивалентную данной:

Этой теоремой обосновывается «метод подстановки».

3) Иногда систему нескольких уравнений с несколькими неизвестными выгодно заменить эквивалентной системой большего числа уравнений с теми же неизвестными, и т. д.

Рассмотрим еще два примера.

Пример 5. Решить в поле действительных чисел систему уравнений:

(1)

Решение. Возводя обе части первого уравнения ]/лГ = ]/у в квадрат, получим систему:

(2)

Уравнение х — у в поле действительных чисел не эквивалентно уравнению ]/1с — Y У • В самом деле, уравнению х=у удовлетворяют, например, числа лг= — 2 и у=.— 2, однако эта пара чи-

сел в поле действительных чисел не является решением уравнения l/~x=\fy.

Однако, если добавить к уравнению х =- у условия: X >- 0, у >• 0, то такая смешанная система

(3)

будет эквивалентна системе (1), ибо из равенств (1) следуют соотношения (3), и обратно: из соотношений (3) следуют равенства (1).

Решая смешанную систему (3), найдем ее единственное решение:

которое, в силу эквивалентности систем (1) и (3), будет и единственным решением данной системы (1).

Здесь небезинтересна геометрическая интерпретация: уравнение ]/х = \Гу есть уравнение луча — биссектрисы координатного угла первой четверти, а уравнение х2+у2 = 1—уравнение окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Эти линии пересекаются в одной только

точке Мх

Уравнение х = у есть уравнение биссектрисы координатного угла 1-й и 3-й четвертей.

Линии х=у и х2+у2 — \ пересекаются н двух точках:

(черт. 1),

так что системы (1) и (2) не эквивалентны. Однако дополнительное условие: х >- 0, у >- 0 — восстанавливает эквивалентность (см. выше; системы (1) и (3) эквивалентны).

Если возвести обе части первого уравнения еще один раз в квадрат, то получим систему:

(4)

Эта система не эквивалентна ни системе (1), ни системе (2): первое уравнение системы (4) есть уравнение пары биссектрис координатных углов, которые с окружностью х2 +у2 = 1 пересекаются в четырех точках:

Однако, если добавить условия: х^О, у^О, то смешанная система:

(5)

уже эквивалентна данной системе (1), ибо из равенств (1) следуют соотношения (5), и обратно из соотношений (5) следуют разенства (1).

Этот пример позволяет сделать следующий вывод:

Иногда система уравнений может быть заменена эквивалентной ей смешанной системой, т. е. системой, состоящей из уравнении и неравенств.

В заключение рассмотрим пример, заимствованный из «Сборника алгебраических задач» Е. Пржевальского, Учпедгиз, 1941.

Пример 6.

Решить систему уравнений:

Вот какое решение приводит сам автор:

«Из первого уравнения (“разделив обе части на

или

откуда

(I)

Из второго уравнения:

Черт. 1

или

или

или

откуда:

(II)

Комбинируя уравнения (I) и (II), найдем несколько значений х и у, из которых удовлетворяют уравнениям:

х = 4 и у — 2».

Здесь мы имеем типичный пример «манипуляций», проводимых без всякого анализа эквивалентности цепи промежуточных систем. Словом «или», повторяемым три раза подряд, автор разделяет четыре уравнения, каждое из которых не эквивалентно предыдущему, а именно каждое из уравнений:

(А)

(В)

(С) (D)

не эквивалентно предыдущему, а последнее уравнение не эквивалентно совокупности уравнении (II):

(Е)

Действительно: уравнение (А) имеет, например, такое решение: х= 1, у = 0, которое не является решением уравнения (В). Уравнение (С) имеет, например, такое решение:

которое не является решением уравнения (В)*), Далее, уравнение (С) имеет решение х = 0, У=—2, но эта совокупность чисел не является решением уравнения (D).

Наконец, одно из уравнений (Е) имеет в качестве решения пару чисел: х = 0, у = —2, которая не является решением уравнения (D). Далеко не благополучно обстоит дело и с преобразованием первого уравнения данной системы; оно, т. е. уравнение:

(F)

заменяется неэквивалентным уравнением

(G)

В самом деле, для последнего уравнения, (G). х = 0, у = 0 — решение, а для первого уравнения, (F), эта пара чисел не является решением.

Таким образом, в цитированном выше решении автор заменяет первое уравнение системы ему не эквивалентным и второе уравнение системы ему не эквивалентным. Не удивительно, что в результате приходится производить проверкой «отбор» решений. Автор приводит ответ: х = 4, у =2. Эта пара чисел действительно есть решение данной системы, что может быть установлено проверкой. Но где гарантия того, что это есть единственное решение? Метод автора, конечно, не может дать ответа на этот вопрос, ведь автор заменил данную систему уравнений несколькими системами, совокупность которых не эквивалентна данной системе, а потому среди решений данной системы часть могла и не попасть в число решений совокупности систем (I) и (II).

Мы опять приходим к тому важному в принципиальном отношении вопросу, который сформулирован выше: при < решении» системы <произвольными манипуляциями» мы можем лишь в итоге установить проверкой появление посторонних решений, но не можем установить, есть ли утерянные решения или нет.

Покажем, как можно изменить рассуждения для того, чтобы быть уверенными в том, что в итоге не будут утеряны решения и не проявятся «посторонние» решения.

Прежде всего отметим, что если какое-нибудь уравнение системы заменить уравнением ему эквивалентным, то получим новую систему, эквивалентную данной. Поэтому будем, как это делает и сам автор, преобразовывать отдельно каждое из уравнений системы, учитывая, однако, возможные нарушения эквивалентности.

Уравнение:

(1)

эквивалентно такому:

*) Вопрос об эквивалентности уравнений естественно ставить в определенном поле. 6 данном случае мы с самого начала имеем в виду поле действительных чисел.

или

(3)

В самом деле, если выполнено равенство (1), то у2-j- *>0, л:>0, значит, будет выполнено и равенство (2), а значит, и равенство (3). Обратно: если выполнено равенство (3), то л:>0, а тогда и у2+ х> 0, значит, будет выполнено равенство (2), а значит, и (1).

Итак, уравнения (1) и (3) эквивалентны. Далее, уравнение (3) перепишем так:

(3')

или

(3“)

или

(4)

Совокупность двух уравнений (4) эквивалентна уравнению (3“), или (3'), или (3), так как если выполнено равенство (3), то будет выполнено одно из равенств (4), и обратно: если выполнено одно из равенств (4):

то будет выполнено и равенство (3“), или (3'), или (3). Теперь перепишем уравнение (4) так:

(4')

или

(4“)

отсюда

(5)

Это уравнение уже не эквивалентно уравнению (4“), но если к нему добавить условие: х ф О, то эквивалентность будет восстановлена. Итак, совокупность смешанных систем:

(6)

эквивалентна уравнению (4“), следовательно, и исходному уравнению. В самом деле, если выполнено равенство (4“), то х ф О и из (4“ ) следует:

В первом случае у ф 1, во втором случае уф — 1 (если предположить, что в случае у =Ух (—_У := 1, то получим у =0 — противоречие; аналогично доказывается, что во втором случае уф — 1), а потому:

Обратно: если выполнена одна из смешанных систем (6), то будет выполнено и одно из уравнений (4“).

Далее, первая из смешанных систем (6) эквивалентна следующей:

а вторая — следующей:

В самом деле, если (в поле действительных чисел!) выполнены условия:

то будут выполнены и равенства (7'); обратно из условий (7') следуют соотношения:

Аналогично доказывается эквивалентность смешанной системы

и системы (7“).

Итак, первое из уравнений данной системы эквивалентно совокупности двух смешанных систем (7') и (7“) в том смысле, что любое решение одного только первого уравнения данной системы является решением одной из систем (7); обратно: всякое решение любой из смешанных систем (7) является решением первого уравнения данной системы.

Преобразуем теперь второе уравнение данной системы:

следующим образом:

или

(8)

Итак, второе из уравнений данной системы эквивалентно уравнению (8).

Таким образом, данная система эквивалентна совокупности двух смешанных систем:

(9)

т. е. все решения смешанной системы (9') и все решения смешанной системы (9“) будут всеми решениями данной системы.

Будем решать смешанную систему (9'). Докажем, что эта система эквивалентна такой:

(10')

В самом деле, из равенств (9') следует, что у £ 0 ^из - У_ j >о) и У Ф —2 (в противном случае у\^х = 0, откуда или у — 0, или х = -0, чего не может быть), а значит,^ и у+2—числа одного знака

Обратно: из соотношений (10') следуют соотношения (9').

Уравнение:

можно переписать так:

Отсюда или у = —1, но это уже противоречит условию: у (у + 2) > 0, входящему в систему (10'). Значит, остается

Решая систему:

находим:

откуда:

Значение ух = — 1 не удовлетворяет условию у (у + 2) > 0, значение у2 = 2, следовательно, а:2 = 4 удовлетворяет всем условиям системы (10').

Значение yz =

не удовлетворяет условию

Если у^ ~

Значение х4 и ук удовлетворяют всем условиям системы (10').

Исследуем систему (9“). Эта система эквивалентна такой:

Преобразуя уравнение

как и выше, получим уравнение:

Решая систему:

получим: откуда:

Значение у1 не удовлетворяет условию:

а значение у2 не удовлетворяет условию: Значит, система (10“) не имеет решений.

Итак, данная система имеет два решения:

Изложенный прием исследования систем уравнений может быть применен и к исследованию уравнений с одним неизвестным.

Введение понятия смешанной системы и здесь часто приносит большую пользу: не приходится проводить никаких дополнительных исследований о потере или приобретении «посторонних» корней. Наконец, корни смешанной системы принесут пользу и при решении тригонометрических уравнений.

Введение смешанной системы можно рекомендовать в основном при решении иррациональных уравнений. Естественно, что смешанные системы следует вводить только тогда, когда уравнение или система исследуются в поле действительных чисел.

При исследовании иррациональных уравнений с одним неизвестным можно рекомендовать предварительно найти область определения функций, стоящих в левой и правой частях данного иррационального уравнения; это обычно и служит базой для получения из данного иррационального уравнения смешанной системы, эквивалентной данному уравнению, но уже не содержащей иррациональностей.

Подводя итог, следует сказать, что богатое техническое наследие русских математиков-педагогов, каковыми, например, являются сборники задач Е. Пржевальского, не может удовлетворять сейчас советскую школу.

Чрезвычайный подъем идейного уровня преподавания математики в средней школе требует развития более глубоких с идейной точки зрения методов решения задач. В настоящей статье мы показали на примерах, какие общие приемы позволяют избежать устаревших методов решения систем уравнений, сводящих все дело к чисто технической стороне.

Одним из новых приемов, который здесь дан, является замена системы уравнений эквивалентной смешанной системой из уравнений и неравенств. Идея введения понятия смешанной системы принадлежит С. И. Новоселову*); это весьма полезное понятие при проведении исследования систем уравнений высших степеней.

От редакции. В настоящей статье П. С. Моденова приводятся образцы исследования систем уравнений в основном на примерах повышенной трудности.

Исследования систем уравнений по данным образцам могут служить полезными упражнениями с точки зрения работы учителя над повышением своей квалификации.

Подбор задач, в которых аналогичное исследование может быть выполнено до конца силами учащихся, является важной методической проблемой, находящейся в стадии разработки и еще не получившей окончательного решения.

*) С. И. Новоселов, Специальный курс элементарной алгебры, «Советская наука», 1951.

МЕТОДИКА

О РАЗВИТИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Г. А. НАЗАРЕВСКИЙ (Москва)

Эта статья является продолжением нашей статьи, помещенной под тем же заголовком в журнале «Математика в школе», № 5 за 1951 г.

Цель работы — показать, что из всех методов изображения пространственных фигур метод косоугольной параллельной проекции в школьной практике наиболее целесообразен. В первой статье было выдвинуто требование свободного выбора положения оригинала, то-есть того основного фактора, который позволяет изображать пространственные тела правильно, достаточно наглядно и легко выполнимо, причем на все время обучения сохраняется один и тот же метод косоугольной параллельной проекции.

В ряде задач на изображения многогранников и их комбинаций было показано, что изображение пространственных тел методом косоугольной параллельной проекции вполне доступно для учащихся, правильно и наглядно. Здесь нужно опять напомнить, что легкость выполнения чертежа зависит от рационального выбора положения изображаемого оригинала, это красной нитью проходит почти во всех задачах, разобранных в первой части этой статьи, опубликованной в 1951 году.

Вторая часть статьи — продолжение первой — демонстрирует изображение тел вращения и комбинации их с другими телами. Эта часть работы показывает, что, сохраняя единство метода изображения геометрических тел при рациональном выборе положения оригинала, сохраняется легкость выполнения чертежа, правильность и наглядность. Наглядность, правда, страдает при изображении шара, однако не настолько, чтобы не считать ее достаточной. На изображении шара, как наиболее трудном в косоугольной параллельной проекции, нужно остановиться и разобрать его более подробно.

Отрицательным моментом в изображении шара в косоугольной параллельной проекции является то, что шар изображается эллипсоидом, а его абрис — эллипсом. Противники этого метода изображения считают, что если человек видит абрис шара из любого положения, как круг, то изображение абриса шара эллипсом недопустимо и его надо отбросить. Так ли это? Известно, что требования к изображению пространственных фигур—правильности, наглядности и легкости выполнения—сочетать полностью невозможно. Что же страшного, если при правильном изображении несколько пострадает наглядность? Разрушит ли это изображение представление о шаре? Вряд ли.

Представление о шаре возникает у человека с самого раннего детства, гораздо раньше, чем о других телах. Представление о том, что солнце — шар, не нарушается от того, что при восходе или заходе оно часто видно в виде эллипса. Тень от мяча, положенного на землю при низком солнце, дает вытянутый круг, и все же представление о мяче остается, как о шаре. Почему же при изображении абриса шара эллипсом вдруг рухнет представление о шаре? Кроме того, в школьной практике для решения задач не требуется изображать шар полностью, достаточно изобразить его большие круги или

большой и малый круги, а остальное дополнит воображение, то-есть то представление о шаре, которое воспринято каждым из нас с детства.

При комбинации многогранников с шаром на чертеже вполне достаточно изобразить многогранник и те круги шара, которые требуются для решения задачи, остальное, а именно шар, помимо нашей воли дополнит воображение, и учащийся будет представлять этот шар. В этом случае нельзя писать, что изображена, допустим, пирамида и описанный около нее шар, а необходимо указать, что изображена пирамида и большой и малый круги шара, описанного около данной пирамиды. Кроме того, надо отметить, что практически не встречается задач, где бы было необходимо изображать шар полностью, то-есть изображать его эллипсоидом.

Скрывать этот недостаток изображения шара в косоугольной параллельной проекции нельзя, поэтому в школе должен быть большой чертеж шара в этой проекции как наглядное пособие. Вычерчивать же его на уроках математики не требуется, так как практически такой чертеж нигде не встречается.

Остается отметить еще одно очень важное достоинство косоугольной параллельной проекции — это эффективность построения, то-есть возможность легко решать большинство задач построением и, наоборот, по чертежу находить элементы изображенного тела.

Удобства применения косоугольной параллельной проекции настолько велики, что естественно заставляют в школьной практике выбирать этот метод из ряда других возможных способов изображения геометрических тел.

Тела вращения и комбинации их с другими телами

Изображение цилиндра связано с изображением окружности на горизонтальной плоскости. Так как окружность на горизонтальной плоскости изображается в виде эллипса, у которого большая и малая оси смещены, то цилиндр следует изображать с четырьмя образующими, сохраняя таким образом изображение осевого сечения цилиндра во фронтальной плоскости (черт. 77)*).

Задача 34 (Рыбкин, § 13, № 10). Через верхний конец образующей цилиндра под углом в 45° к ней проведена касательная к цилиндру. Радиус основания цилиндра 1 м, высота 4 м. Определить расстояние касательной от центра каждого основания.

В задачнике Рыбкина издания 1947 г. чертеж к этой задаче неверен, что подробно разобрано в книге профессора Н. Ф. Четверухина «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии ». В кабинетной проекции чертеж к этой задаче показан на чертеже 78. В профильной плоскости Q образующая цилиндра AD есть линия касания плоскости Q и цилиндрической поверхности. Чтобы провести касательную под углом в 45° к образующей цилиндра AD, нужно, приняв сперва образующую цилиндра AD за сторону

Черт. 77

Черт. 78

*) Нумерация чертежей и задач является продолжением нумерации в первой части статьи (см. № 5, 1951 г.).

квадрата, построить квадрат в плоскости Q согласно принятому правилу, то-есть провести прямую под углом в 45° к AD и отложить на ней отрезок АВ = ^ AD. После построения квадрата ABCD нужно провести диагонали квадрата АС и BD. Диагональ квадрата АС образует с его стороной AD угол в 45°. Так как радиус OD перпендикулярен к плоскости Q, то OF—наклонная и DF—ее проекция на плоскость Q. Отрезок АС перпендикулярен отрезку DB, как диагонали квадрата; следовательно, на основании теоремы о трех перпендикулярах, отрезок АС перпендикулярен OF. Дальнейшее не требует пояснений. Искомые расстояния на чертеже суть отрезки OF и ОхА.

На чертежах 79, 80 и 81 показаны изображения цилиндра, вписанного в куб, в правильную четырехугольную пирамиду и правильную треугольную пирамиду.

В случаях построения вписанного цилиндра, равностороннего или с заданным отношением H:R, применяется метод подобия аналогично построению, разобранному в задаче 30 на чертежах 68 и 70 (см. первую часть статьи).

Вопрос о том, как вычерчивать тело, вписанное в другое, пунктиром или комбинацией пунктирных и сплошных линий, не является существенным и может быть оставлен на усмотрение учителя. На чертежах 80 и 81 показаны сечения пирамид плоскостями верхних оснований цилиндров, построение их полезно, удобно, но не обязательно.

Задача 35. Около правильного октаэдра описать цилиндр и по заданным на чертеже точкам А, В и С провести сечение (черт. 82).

1-й шаг. Строим правильный октаэдр по его трем осям.

2-й шаг. Строим описанный цилиндр.

3-й шаг. Через точку С проводим хорду CD параллельно AB; так как ось AB параллельна плоскости основания цилиндра, то секущая плоскость пересечет основание по прямой, параллельной AB.

4-й шаг. Через точки F и О проводим прямую до пересечения с плоскостью верхнего основания в точке Е.

5-й шаг. Через точку Е проводим хорду KL параллельно AB.

6-й шаг. Проводим кривые К АС и LBD пересечения секущей плоскости с цилиндрической поверхностью. Точки этих кривых можно получить, проводя последовательно окружности (се-

Черт. 79

Черт. 80

Черт. 81

чения, параллельные плоскости основания) и хорды в них, пересекающие EF и параллельные AB.

7-й шаг. Прямая FE пересекает ребра октаэдра в точках M и N. Соединив их последовательно с точками А и В, получим сечение октаэдра — четырехугольник AMBN.

Ответ: в сечении цилиндра часть эллипса KCDL\ в сечении октаэдра—четырехугольник AMBN.

Такого типа задачи, хотя и полезные, но выходящие за пределы программы, следует отнести на занятия математического кружка.

Изображение конуса не требует особых пояснений, поэтому можно ограничиться непосредственно чертежами (см. черт. 83 а, 83 6 и 83 в). Осевое сечение конуса—треугольник SAB находится во фронтальной плоскости (см. черт. 83 а), SC, SB и SD — видимые образующие, SA — невидимая образующая, но изображается, так как принадлежит осевому сечению. С уменьшением отношения //:/? наступит момент, когда SC сольется с изображением образующей SA (см. черт. 83 6), а при дальнейшем уменьшении этого отношения все образующие SA, SC, SB и SD будут видны, как показано на чертеже 83 в.

Шар

Шар в параллельной косоугольной проекции изображается при помощи трех больших кругов, изображенных во фронтальной, горизонтальной и профильной плоскостях. На чертеже 84 показано изображение больших кругов шара в этой проекции, при ср = 45° и К = ^ . Во фронтальной плоскости большой круг шара с диаметра-

Черт. 82

Черт. 83а

Черт. 836

Черт. 83в

Черт. 84

ми AB и CD передан в натуральную величину. В горизонтальной плоскости большой круг шара изображен в виде эллипса по правилу, указанному ранее. Диаметры суть AB и EF, последний при изображении уменьшен в два раза. В профильной плоскости такое же построение, как и в горизонтальной плоскости, диаметры — CD и EF.

Для полной обрисовки шара нужно провести ряд малых кругов, параллельных горизонтальной и вертикальной плоскостям, и полученные концы больших осей эллипсов соединить плавной кривой. На чертеже 85 показано несколько таких малых кругов, параллельных горизонтальной плоскости. В этой проекции шар изобразится в виде эллипсоида. С таким изображением шара учащихся надо ознакомить на заранее приготовленном крупном чертеже, в дальнейшей же практике ограничиваться изображением трех больших кругов, которые вполне дают представление о шаре.

Задача 36. В куб вписать шар.

Построение выполняется, как показано на чертеже 86. В таком изображении комбинации тел достигается большая наглядность и сохраняется удобство сопоставления линейных элементов. Центры граней куба являются точками касания шаровой поверхности граней куба, на чертеже точки: Е, К, F, L, M и М. Линейные размеры диаметров шара совпадают с размерами ребер куба. Диаметры EF и MN изображены без искажения и равны на чертеже ребру куба AB, диаметр KL равен половине ребра куба AB.

То же самое можно сказать о втором решении этой задачи, показанном на чертеже 87, где взято другое положение куба.

Задача 37. В куб вписан шар. Построить сечения куба и шара плоскостью, проходящей через три точки Л4, Вх и Си данные на ребрах куба, как показано на чертеже 88.

1-й шаг. По заданным точкам Ai9 В{ и Сх строим сечение куба — многоугольник i41ß1DACl£l/3'1 (секущая плоскость XYZ).

2-й шаг. Строим сечения куба координатными плоскостями, в которых лежат большие круги шара, и в каждой из этих плоскостей получим сечения куба — квадраты.

3-й шаг. Находим точки пересечения секущей плоскости XYZ с сечением куба во фронтальной плоскости, на чертеже точки Кх и Lv и, соединив их отрезком прямой, пересечем большой круг шара, лежащий во фронтальной плоскости, в точках К и L.

4-й шаг. Аналогичным путем найдем точки Рг и Qv принадлежащие как секущей плоскости XYZ, так и горизонтальному сечению

Черт. 85

Черт. 86

Черт. 87

куба. Соединив их отрезком прямой, найдем точки сечения Р и Q, принадлежащие большому кругу шара, лежащему в горизонтальной плоскости.

5-й шаг. Аналогичным путем построим точки Мх и Nx и найдем точки M и N, принадлежащие большому кругу шара, лежащему в профильной плоскости.

6-й шаг. По полученным шести точкам строим сечение шара. Если этих шести точек недостаточно, то, проводя плоскости параллельно граням куба и строя в них малые круги сечений шара, а также прямые пересечения этих плоскостей секущей плоскостью, можно найти бесконечное множество точек поверхности шара, принадлежащих секущей плоскости, то-есть сечение шара. На чертеже 88 найдено шесть точек К, Р, M, L, Q и N, принадлежащих поверхности шара и секущей плоскости, и по этим точкам «на глаз» показана окружность искомого сечения. Как построить точно—указано выше.

Такого типа задачи можно использовать на занятиях математического кружка.

Задача 38. В правильную четырехугольную пирамиду вписать шар.

1-й шаг. Строим пирамиду так, чтобы линейный угол двугранного угла при основании был передан в натуральную величину. На чертеже 89 угол SMO.

2-й шаг. Проводим биссектрису угла SMO до пересечения с высотой пирамиды SO в точке F.

3-й шаг. Радиусом, равным FO, из точки F проводим окружность, вписанную в треугольник SMN, это будет большой круг искомого шара во фронтальной плоскости.

4-й шаг. По найденному большому кругу шара строим большие круги в горизонтальной и профильной плоскостях, а затем и шар.

На чертеже 89 изображена правильная четырехугольная пирамида и большой круг шара, вписанного в эту пирамиду.

Задача 39. В правильную треугольную пирамиду вписать шар.

Построение аналогично предыдущей задаче и показано на чертеже 90. На этом чертеже показан только большой круг шара во фронтальной плоскости. В школьной практике часто этим можно ограничиться. При таком построении необходимо указывать, что на чертеже изображена пирамида и большой круг шара, вписанного в нее.

Задача 40. В правильную шестиугольную пирамиду вписать шар.

Черт. 88

Черт. 89

Черт. 90

Если такое построение не является самоцелью, то достаточно начертить часть этой пирамиды так, как это показано на чертеже 91. Построение и указание о том, что именно изображено на чертеже, аналогично предыдущим двум задачам.

Задача 41. В правильную п-угольную пирамиду вписать шар.

Для построения требуется п-я часть пирамиды. При п четном левая часть чертежа аналогична построению, показанному на чертеже 89. При п нечетном левая часть чертежа аналогична построению, показанному на чертеже 90.

Задача 42. Около правильной четырехугольной пирамиды описать шар.

1-й шаг. Строим пирамиду так, чтобы угол наклона бокового ребра к плоскости основания был передан без искажения.

2-й шаг. Около равнобедренного треугольника SAC, который лежит во фронтальной плоскости, описываем окружность. Эта окружность есть окружность большого круга искомого шара.

Остальные два большие круга шара можно не строить, так как построенный на чертеже 92 малый круг ABCD вместе с остальным чертежом дает наглядное представление искомой комбинации тел. На чертеже изображена правильная четырехугольная пирамида, большой и малый круги шара, описанного около этой пирамиды.

Задача 43. Около правильной треугольной пирамиды описать шар.

1-й шаг. Строим пирамиду так, чтобы боковое ребро было изображено в натуральную величину, как показано на чертеже 93.

2-й шаг. Делим ребро SC пополам и проводим через точку деления перпендикуляр к ребру SC до пересечения с высотой SO или с ее продолжением (на данном чертеже с продолжением высоты SO, в точке F).

Точка пересечения F — центр искомого шара, радиус шара — FS.

На чертеже достаточно провести большой круг и малый круг, описанный около основания пирамиды, таким образом будет изображена пирамида, большой и малый круги шара, описанного около нее.

Задача 44. Описать шар около правильной четырехугольной усеченной пирамиды.

Построение показано на чертеже 94. Указание о том, что изображено на чертеже, аналогично указаниям к предыдущим задачам.

Задача 45, На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними: 6 см, 8 см и 10 см. Радиус шара 6 см. Найти расстояние от центра шара

Черт. 91

Черт. 92 Черт. 93 Черт. 94

до плоскости, проходящей через эти три точки (Рыбкин, § 20, № 7, числовые данные изменены).

1-й шаг. Строим во фронтальной плоскости треугольник ABC с заданными сторонами. Треугольник ABC — прямоугольный по условию. Выбираем положение его так, чтобы гипотенуза была горизонтальна, и проводим высоту CD (чертеж 95).

2-й шаг. Переводим это изображение в горизонтальную плоскость.

3-й шаг. Проводим через точку О перпендикуляр ON к горизонтальной плоскости и радиусом, равным 6 см, из точки А проводим дугу до пересечения с перпендикуляром ON в точке F, как показано на чертеже 96.

4-й шаг. Радиусом F А проводим окружность большого круга.

На чертеже изображены большой и малый круги шара, на поверхности которого даны три точки. Искомое расстояние FO.

Задача 46. (Рыбкин, § 20, № 13.) Стороны треугольника 13 см, 14 см и 15 см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касательного к сторонам треугольника. Радиус шара 5 см.

1-й шаг. Масштаб 1:2.

2-й шаг. Строим во фронтальной плоскости треугольник ABC по трем данным сторонам, располагая его так, как показано на чертеже 97, и находим центр вписанной окружности. Проводим высоту CD и радиус ОМ.

3-й шаг. Переносим этот треугольник на горизонтальную плоскость, как показано на чертеже 98. Проводим ON перпендикулярно горизонтальной плоскости.

4-й шаг. Радиусом, равным 5 см, проводим из точки M дугу до пересечения с ON в точке F.

Из точки F радиусом FM проводим окружность большого круга.

На чертеже изображены большой и малый круги шара, касательного к сторонам треугольника. OF — искомое расстояние.

Помимо тел вращения, которые были разобраны в этой статье, в задачах встречаются тела, полученные при вращении многоугольников вокруг заданной оси. Надо отметить, что эти тела вращения представляют различные комбинации рассмотренных тел.

Изображение этих тел вращения производится так:

1-й шаг. Строится данная фигура и ось вращения.

2-й шаг. Строится фигура симметрично данной относительно оси вращения. Получается осевое сечение тела вращения.

3-й шаг. Указывается путь каждой вершины вращаемой фигуры, то-есть окружности, которые строятся, как было показано ранее.

Черт. 95 Черт. 96 Черт. 97

Черт. 98

4-й шаг. Строятся дополнительные образующие для абриса изображаемого тела, что, вообще говоря, необязательно.

На чертеже 77 изображен цилиндр, его можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника ОАВОх вокруг его стороны 00 {\ так же можно рассматривать чертежи конуса, усеченного конуса, шара и его частей. Таким образом, изображение тел вращения этим способом или способом, указанным ранее, одно и то же.

Для иллюстрации разберем несколько задач.

Задача 47. Квадрат со стороной а вращается вокруг перпендикуляра к диагонали, проведенного через ее конец. Определить объем и поверхность полученного тела (Рыбкин, § 24, № 1).

1-й шаг. Строим во фронтальной плоскости квадрат ABCD и ось вращения MN, располагая их соответственно условию задачи.

2-й шаг. Строим квадрат ABXCXDU симметричный данному относительно оси MN.

3-й шаг. В горизонтальных плоскостях строим окружности радиусов FD, АС и KB, показывая ими тот путь, который описывают вершины квадрата при вращении его вокруг оси MN. Чтобы эти окружности при изображении тела вращения не находили друг на друга и тем самым не затрудняли наглядности изображения, удобнее в этих случаях изменить принятое ранее условие (^f = 45° и k— на другое, где <р = 30° и &=у> что и проделано на чертежах к этой и последующим двум задачам (черт. 99, 100 и 101).

4-й шаг. Для получения абриса тела вращения проводим дополнительно образующие D2C2 и С3В2 (черт. 99).

Задача 48. Равносторонний треугольник со стороной а вращается вокруг внешней оси, которая параллельна стороне и удалена от нее на расстояние, равное апофеме треугольника. Определить объем и поверхность полученного тела (Рыбкин, § 24, № 5).

Построение аналогично предыдущему и показано на чертеже 100.

Задача 49. Высота равностороннего треугольника продолжена за вершину на свою длину, и через конец продолжения проведен перпендикуляр к нему. По стороне а определить объем и поверхность тела, образуемого вращением треугольника вокруг построенного перпендикуляра (Рыбкин, § 24, № 7).

Построение аналогично предыдущему и показано на чертеже 101. Применение в этих чертежах сплошных, пунктирных, тонких и цветных линий предоставляется на усмотрение учителя.

В заключение хотелось бы вернуться к разделу многогранников, где не был затронут вопрос об изображении наклонного параллелепипеда, в частности при доказательстве теоремы об объеме наклонного параллелепипеда. Как для учителя, так и для ученика всегда является трудным изобразить в этом наклонном паралле-

Черт. 99

Черт. 100

Черт. 101

лепипеде его перпендикулярное сечение: выйдет ли чертеж или нет? Поэтому при изображении наклонного параллелепипеда необходимо указывать, куда проектируется одна из его вершин, тогда изображение будет верным, наглядным и при этом условии можно строить перпендикулярное сечение, а не изображать его произвольно, что создает неверный чертеж. Разберем это построение на следующей задаче.

Задача 50. На заданном изображении наклонного параллелепипеда ABCD AlBlClDl в кабинетной проекции с заданной высотой АхО построить перпендикулярное сечение.

1-й шаг. На данном чертеже наклонного параллелепипеда (черт. 102) на ребре Aßx выбираем произвольно точку А2.

2-й шаг. В плоскости AlBiClDl проводим i42D2 перпендикулярно АХВХ или DlCl (под углом в 45°, так как плоскость горизонтальная).

3-й шаг. Во фронтальной плоскости проводим А2М параллельно АхО и А2М = АхО.

4-й шаг. Через точку M в плоскости ABCD проводим В2С2 перпендикулярно AB.

5-й шаг. Соединив отрезками прямых точки

Л2 с В2 и D, с С2, получим перпендикулярное сечение.

На том же чертеже полезно изменить положение точки О и соответственно этому изменению показать, как изменится перпендикулярное сечение. Если взять положение Ои то перпендикулярное сечение будет A2B3C3D2t если же взять положение 02, то перпендикулярное сечение будет A2BKCkDv

Черт. 102

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ МЕТОДОМ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ

Н. С. ВОРОБЬЕВ (Иваново)

В целях осуществления политехнического обучения в средней школе необходимо установить реальное творческое содружество в работе учителей математики и черчения: желательно, чтобы преподаватель черчения был включен в математическую секцию; должно быть налажено взаимное посещение уроков с последующим обсуждением этих уроков на математической секции. Учитель же математики должен максимально повысить свою графическую культуру и осуществить реально связь между курсом математики и черчения в своей практической работе. Он должен максимально использовать навыки учащихся, полученные ими на уроках черчения, и показать практическую необходимость этих знаний. Надо показать учащимся, что серьезная графическая подготовка даст возможность решать некоторые математические и практические проблемы быстро, легко и достаточно точно. В повседневной работе учитель должен быть требовательным в смысле графической грамотности как к себе, так и к учащимся.

Для разрешения поставленных задач учителю математики следует подробно ознакомиться со следующими работами Н. Ф. Четверухина:

1) Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии (Учпедгиз, 1946), где автор дает теорию методов наглядного изображения в разрезе практического применения их в работе учителя.

2) Стереометрические задачи (изд. АПН, 1947—1948 гг., ч. I и ч. II), где автор ставит исключительно серьезную проблему о применении методов прямоугольного проектирования при решении задач по стереометрии. Эта работа Н. Ф. Четверухина исключительно ценна по своей практической направленности в вопросе развития пространственного и логического мышления учащихся средней школы. Практика работы в средней школе показывает, что практическое осуществление этого направления дает прекрасные результаты.

Существующая учебная программа по курсу черчения для средней школы предусматривает изучение следующих вопросов:

1) Проектирование точки на две, три перпендикулярные плоскости.

2) Проектирование отрезка на две, три перпендикулярные плоскости. Проектирование отрезков общего положения, а также параллельного и перпендикулярного к плоскости проекций.

3) Нахождение истинной величины отрезка.

4) Проектирование плоской фигуры общего положения, параллельной и перпендикулярной плоскости проекций.

5) Построение плоских сечений геометрических тел.

6) Нахождение натуральной величины плоского сечения.

7) Проектирование геометрического тела и комбинации геометрических тел.

8) Построение линий пересечения поверхностей простейших геометрических тел.

Этого материала вполне достаточно, чтобы теоретические и практические навыки курса черчения положить в основу практического применения их на уроках математики в разделе решения стереометрических задач.

Рассмотрим ряд примеров из задачника Рыбкина по тригонометрии.

Задача (№ 14, § 22). Определить угол при вершине в осевом сечении конуса, описанного около четырех равных шаров, расположенных так, что каждый касается трех других.

Решение этой задачи обычно избегается учителем, так как она сопряжена с большими трудностями в смысле наглядного изображения этой пространственной конфигурации. Приготовление наглядного изображения к этой задаче требует значительной затраты времени на изготовление чертежа. Пользуясь косоугольной диметрией (к сожалению, единственно распространенным методом изображения в средней школе), чертеж грамотно построить трудно, а в условиях средней школы даже невозможно. Более легко изобразить эту конфигурацию в прямоугольной изометрии (черт. 1).

Если для решения этой задачи использовать метод прямоугольного проектирования на две взаимно перпендикулярные плоскости (черт. 2), то задача становится вполне возможной в условиях средней школы и явится прекрасным образцом задачи, на которой можно выяснить следующие положения:

1) Метод наглядного изображения — не единственный метод для решения стереометрической задачи. Изображение в прямоугольных проекциях на две плоскости в некоторых случаях строится легче и быстрее.

2) Приготовление этого чертежа посильно учащемуся IX класса, все необходимое дано на уроках черчения.

3) На полученном изображении угол т! о* о'3 = ~ изображается в натуральную величину и он может быть измерен непосредственно.

Черт. 1

Черт. 2

4) Если в первом варианте решения мы имеем дело с «чертежом-картинкой», которая иллюстрирует только форму конфигурации и помогает вскрыть геометрические связи между элементами, то во втором варианте мы имеем «чертеж-модель», которая дает возможность изучить и геометрические связи и метрические соотношения между элементами. Если в первом случае мы не можем осуществить построение, включая данные задачи, то во втором случае данные задачи являются отправным пунктом построения чертежа. Этим самым задача на вычисление тесно увязывается с задачей на построение.

5) Анализ решения задачи и вычисление искомой величины аналитическим образом крайне просты, так как прямоугольные треугольники, которые включают искомые и вспомогательные величины, выявляются быстро на чертеже. Метод проектирования на две плоскости сводит решение стереометрической задачи к решению ряда планиметрических. Искомый угол — равен углу т'°\°\ (они равны как соответственные углы). В самом деле, s'm' —их общая сторона, а о\ k' = = o'J,' = R — радиусу шаров; o'Ak' и о'ъГ перпендикулярны к s'b', как радиусы, проведенные в точки касания, следовательно: о'Ао'3\\ s'b'.

Угол т'о'Ао'3 входит в прямоугольный треугольник m'o\o'v где o'4o'3=2R, а т'о'3=тоъ— радиус описанного круга около правильного треугольника охо2о9 и равен 2 — *— , так как отрезок М09 взят в пространстве параллельно вертикальной и горизонтальной плоскостям проекций и проектируется на них в натуральную величину в виде проекций т'о'3 и тов.

Из треугольника тго'Ао'3 определяем

Решение данной задачи может служить примером того, как чертеж в прямоугольных проекциях облегчает разыскать систему прямоугольных треугольников, включающих искомые величины, и автоматически сводит решение стереометрической задачи к планиметрической.

Задача (№ 3, § 19). В правильной четырехугольной призме через середины двух последовательных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковые ребра и наклоненная к плоскости основания под углом öl. Сторона основания равна р. Определить площадь полученного сечения.

Строим проекции призмы ABCDAiBxCiDx (черт. 3). Располагаем призму в системе плоскостей проекций так, чтобы сечение располагалось перпендикулярно к плоскости проекций, тогда оно спроектируется на эту плоскость проекций в виде прямой линии, а угол наклона сечения с другой плоскостью проекций в натуральную величину.

Боковые ребра призмы расположим перпендикулярно к другой плоскости проекций, тогда они на эту плоскость спроектируются в виде точек, а сечение SKMNL спроектируется в виде пятиугольника.

Известно: площадь проекции равняется площади проектируемой фигуры, умноженной на косинус угла наклона проектируемой фигуры с плоскостью проекции, т. е. имеем:

откуда:

Черт. 3

Так как Д атп—прямоугольный с катетами-у. то

При данном решении:

1. Устранены ошибки в построении плоского сечения, которые часто допускают учителя и учащиеся при построении плоских сечений в наглядном изображении.

2. Путь решения краток, рационален и естественно вытекает из чертежа.

3. Задача включила в себя элементы построения с соблюдением натуральной величины заданных элементов.

4. При параллельном решении этой задачи обычным методом с наглядным изображением можно отчетливо показать рациональность и преимущества изложенного метода.

5. Решение задачи можно продолжить и найти истинную величину площади сечения графическим путем.

Задача (№ 17, § 19). В правильной треугольной пирамиде даны стороны основания р и двугранный угол при основании а. Определить площадь сечения DKMF, проведенного через центр основания параллельно двум непересекающимся ребрам пирамиды SA и ВС.

Строим проекции правильной треугольной пирамиды S ABC (черт. 4). Располагаем пирамиду SABC так, чтобы осевое сечение SAE, включающее линейный угол двугранного угла при основании, расположилось параллельно плоскости проекций, а основание ABC параллельно другой плоскости проекций, тогда они на эти плоскости проекций спроектируются в натуральную величину, а искомое сечение расположится в проектирующей плоскости, след которой легко построить по условию данной задачи.

При решении этой задачи обычным методом, используя наглядное изображение, учащиеся встречаются с рядом трудностей:

1. Необходимо построить плоское сечение DKMFj предварительно задав его двумя пересекающимися прямыми DF и ОЛ/, чтобы выполнить условие параллельности сечения ребрам SA и ВС.

2. Необходимо определить форму многоугольника в сечении, т. е. доказать, что фигура DKMF—прямоугольник, что учащимися редко доводится до конца. Нередко сечение принимается за трапецию и вычисление площади производится по формуле площади трапеции.

При решении задачи методом прямоугольного проектирования на две плоскости эти трудности устраняются. Построение сечения производится обычным путем, как для любого сечения проектирующей плоскостью. Прямоугольность плоского сечения подсказывается непосредственно горизонтальной проекцией dkmf.

Доказательство. МК и DF на вертикальную плоскость проектируются точкой, следовательно, МК и DF перпендикулярны этой плоскости, откуда DF \\ МК- О — центр описанного круга около треугольника АВС9 следовательно,

Стороны угла s'e'a! разбиты параллельными прямыми s'a' и п'о'\ откуда:

так как при параллельном проектировании сохраняется пропорциональность отрезков, откуда DF = KM— —~ . Рассматривая треугольники асо и abo с общим основанием ао, имеем:

Черт. 4

откуда:

kd H ao и mf h ao, т. e. kd \\ mf, но ae _[_ cb, следовательно, kd, mf и on перпендикулярны km и df. Фигура dfkm — прямоугольник, а следовательно, и проектируемая фигура DFKM — прямоугольник, так как одна из сторон прямого угла DF параллельна горизонтальной плоскости проекций ON = o'n! и является натуральной величиной высоты, так как on || оси проекций по построению, следовательно, ON || вертикальной плоскости проекций и проектируется на нее в натуральную величину о'п! -= aV.

Из треугольника e's'o':

Из треугольника s'о'а!:

Как видно из изложенного:

1. При решении облегчен анализ решения задачи и составление плана.

2. Облегчен процесс построения сечения и выявление характера сечения.

3. Введен элемент пропорциональности отрезков, через который устанавливается параллельность прямых, факт очень существенный, но о котором забывают в средней школе, да и вообще избегают пользоваться в решении практических вопросов.

Задача (№5, § 19). Основанием прямой четырехугольной призмы служит ромб с острым углом а. Как надо пересечь эту призму, чтобы в сечении получить квадрат с вершинами на боковых ребрах?

По своему характеру эта задача на построение, но в силу «особого внимания» к задачам на вычисление ее в средней школе решают как задачу на вычисление, несмотря на то, что, решая ее как задачу на построение, мы вскрываем более ярко все геометрические связи между элементами, выдвигая на первый план ее геометрическую сущность. Прибегая к методу прямоугольных проекций, мы получим изящное и быстрое решение.

Построим проекции призмы ABCDAlBlCxDl (черт. 5). Если данная призма прямая, то искомое квадратное сечение, будучи спроектировано на горизонтальную плоскость проекций, своей проекцией будет иметь основание призмы ABCD (на чертеже 5 оно равно abed). Заключим искомое сечение в проектирующую плоскость, тогда след секущей плоскости определит угол наклона этой плоскости по отношению к плоскости основания. Примем за вершину искомого сечения вершину основания Л и из точки а', радиусом, равным диагонали ромба bd, построим дугу окружности и найдем точку пересечения ее с ребром с'с\. Угол k'а!с* и будет искомым углом ср, под которым нужно направить секущую плоскость по отношению плоскости основания, чтобы получить в сечении квадрат.

Докажем, что фигура AN КМ—квадрат. Пересекающиеся прямые АК и MN перпендикулярны, так как горизонтальные проекции ak и тп перпендикулярны по построению, MN перпендикулярна вертикальной плоскости проекций, так как проектируется на нее в виде точки, следовательно, MN параллельна горизонтальной плоскости проекций и проектируется на нее в натуральную величину, равную mn = bd. Но, как известно, если проекция угла представляет собой прямой угол, то проектируемый угол будет прямым, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций. Прямая АК параллельна вертикальной плоскости проекций и проектируется на нее в натуральную величину a'k'=AK, но a'kl=bd = mn по построению, следовательно,

Черт. 5

MN—AK. Точка О делит ak и тп пополам — по построению. Фигура AN КМ—квадрат, диагонали равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

Если вычислить аналитически угол ср, то из треугольника а'т'Ь' :

— по построению, следовательно,

Из изложенного следует, что:

1. Величина искомого угла между плоскостями определяется графически, независимо от линейных размеров призмы.

2. Решение кратко и рационально.

Задача (№ 2, § 19). Правильную четырехугольную призму требуется пересечь так, чтобы в сечении получился ромб с острым углом а. Определить положение секущей плоскости.

Строим проекции правильной призмы (черт. 6). Для определения угла наклона секущей плоскости:

1. Строим натуральную величину сечения AMKN — ромб с диагональю, равной bd, и острым углом ос.

2. Определяем вторую диагональ ромба АК. Радиусом АК из точки а' строим окружность и находим точку К'.

3. /_ k'a'c' — искомый угол. Доказательство и аналитическое определение величины угла аналогично предыдущей задаче.

Задача (№ 5, § 20). Радиус основания конуса равен R, а образующая наклонена к плоскости основания под углом а. В этом конусе проведена плоскость через его вершину под углом ß к его высоте. Определить площадь полученного сечения.

Строим проекции конуса и методом вращения определяем натуральную величину сечения (черт. 7).

Аналитическое выражение площади может быть найдено достаточно легко и рационально следующим образом:

Черт. 6

Черт. 7

Опыт работы показывает, что наибольшие затруднения у учащихся вызывают задачи, в которых требуется построение линейных углов и в которых участвуют комбинации вписанных и описанных тел. Посмотрим, как эти задачи могут быть разрешены методом прямоугольных проекций.

Задача (№ 36, § 19). Основанием пирамиды служит ромб со стороною р и острым углом а. Из боковых граней две (например, заключающие угол а) перпендикулярны к основанию, а две другие образуют с ним угол ср. Определить боковую поверхность этой пирамиды.

Построим проекции пирамиды SABCD (черт. 8) и линейные углы ср двугранных углов SABD и SBCD. Из точки d опустим перпендикуляры на стороны ab и be, получим вершины линейных углов M и N, соединяя точки m!, ri и s', получим вертикальные проекции линейных углов.

Сторона линейного угла DM = dm (и DN — dri) строится как перпендикуляр к ребрам двугранного угла АВ = аЬ (и ВС=Ъс).

Высота ромба равна ak = md = nd = ps\noL из треугольника akd. Зная сторону sm и зная, что вторая сторона линейного угла ms наклонена к плоскости проекций под углом ср, можем определить длину проектирующего перпендикуляра

который является высотой пирамиды. Боковая поверхность пирамиды

так как площадь проектируемой фигуры равна ее проекции, деленной на косинус угла наклона ее к плоскости проекций. Окончательно боковая поверхность будет равна:

При рассмотренном решении:

1) Построение линейного угла вытекает естественно из его определения. Построение перпендикуляров происходит в одной плоскости, поэтому сохраняется натуральная величина прямого угла.

2) Построение стороны линейного угла в горизонтальной плоскости дает возможность выразить ее величину через высоту ромба.

3) В полном объеме можно использовать соотношение между проектируемым образом (прямая, плоская фигура) и его проекцией, что обычно в средней школе опускается или должным образом не воспринимается учащимися.

Задача (№ 13, § 19). В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна р, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол а. В эту пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины лежат на апофемах пирамиды. Определить ребро куба.

При построении наглядного изображения этой пространственной конфигурации у учащихся естественно возникает следующий вопрос: какой величины взять ребро куба, чтобы на рисунке был изображен действительно вписанный в пирамиду куб, а не прямоугольный параллелепипед? Обычно на этот вопрос учащийся не получает удовлетворительного ответа, так как иногда сам учитель не может решить этого вопроса. А вопрос весьма существенный и носит конструктивный характер.

Построим проекции пирамиды SABCD (черт. 9) с ее апофемами SM, SN, SK и SL.

По условию, вершины куба лежат на апофемах, следовательно, проекции вершин куба будут лежать на проекциях апофем. Основание куба лежит на основании пирамиды. Расположим грани

Черт. 8

куба параллельно плоскостям проекций, тогда они на эти плоскости спроектируются в натуральную величину.

На вертикальной плоскости проекций проекция грани куба изобразится квадратом, вписанным в треугольник т''s'п', образованный проекциями апофем и частью проекции основания пирамиды.

Впишем в этот треугольник квадрат, как указано на чертеже 9 (т. е. решим планиметрическую задачу на построение методом подобия). За цен гр подобия примем вершину вспомогательного квадрата.

Получим вертикальную проекцию куба, вписанного в пирамиду. Горизонтальная проекция найдется легко, непосредственным проектированием. Задача решена графически. Аналитически ребро куба можно выразить так: из Д m's'n' и Д/V// имеем:

где fp' = o\o есть ребро куба х, s'о' — высота пирамиды Л, m'ri — половина диагонали основания и равна - ^ , s'o\ — h — х. Тогда пропорция примет вид:

откуда:

Из треугольника a's'о': h = а'о' tg а = р ^2 tg а.

Подставив значение h в формулу для определения ребра, получим:

Из изложенного следует, что:

1) Задача решена графическим путем, как задача на построение. Величина ребра куба определена единственным образом. Изображение соответствует условию задачи.

2) Вопрос неопределенности изображения исключен.

3) В процессе решения задачи дано применение планиметрической задачи на построение о вписании квадрата в треугольник.

4) Анализ решения задачи и составление плана решения легко вытекают из рассмотрения чертежа, где прямоугольные треугольники, включающие неизвестные величины, даются без искажения, что является довольно существенным фактором в практике работы средней школы.

Задача (№ 4, § 20). Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно р и образует с плоскостью основания угол а. В эту пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что его основание лежит в плоскости основания пирамиды. Определить высоту цилиндра.

Построим проекции пирамиды SABC (черт. 10).

По условию задачи: пирамида правильная, следовательно, высота проектируется в центр основания. Вписанный цилиндр равносторонний, следовательно, его осевое сечение — квадрат, ось цилиндра будет совпадать с высотой пирамиды и цилиндр будет касаться боковых граней в точках, лежащих на апофемах граней.

Построим в вертикальной проекции квадрат, вершина которого будет лежать на апофеме SM (черт. 10). За центр подобия примем точку о'. Это будет вертикальная проекция цилиндра, горизонтальная проекция находится непосредственным проектированием. Задача графически решена.

Черт. 9

Аналитическое вычисление высоты цилиндра. Имеем:

так как треугольники f's'o', m's'o' подобны; sfo' — высота h пирамиды; из Дз'с'о':

Отрезок fo\ — радиус основания цилиндра, равный половине высоты цилиндра -у, о'хо' — высота цилиндра х,

s'o\ = s'o' — о\о' = h — X,

т'о' — радиус вписанного круга в треугольник abc, который равен половине радиуса описанной окружности, т. е. = —^— из треугольника s'c'o'. Подставим данные в пропорцию и преобразуем:

Задача (№ 8, § 22). Основанием пирамиды служит ромб со стороной р и острым углом а; двугранные углы при основании равны <р. Определить радиус шара, вписанного в эту пирамиду.

Решение этой задачи дает возможность учащимся практически применить понятие о введении новой плоскости проекций, что оживляет учебный материал курса черчения и делает его практически целеустремленным.

Построим проекции пирамиды SABCD (черт. 11).

1) Строим проекции основания ABCD в системе плоскостей проекций с осью х.

2) Строим новую вертикальную проекцию основания в системе плоскостей проекции с осью хх, которая проведена параллельно высоте ромба.

Тогда сечение пирамиды, включающее линейные углы ср, спроектируется в натуральную величину.

3) Строим это сечение по высоте ромба и углу ср, находим натуральную высоту пирамиды.

4) Строим окружность, вписанную в это сечение, что будет соответствовать большому кругу шара, вписанного в эту пирамиду.

5) Радиус этой окружности и будет искомой величиной. Аналитическое выражение радиуса вписанного шара.

Черт. 10

Черт. 11

3) Высота ромба тп = Ы = р sin а из треугольника Ыс.

4) Искомый радиус шара

Решение задач приведенного выше характера может являться материалом для кружковых занятий.

В заключение считаю необходимым отметить, что приведенный метод решения стереометрической задачи не нужно считать основным, ведущим методом, исключающим обычное решение с наглядным изображением, а нужно рассматривать его как метод вспомогательный, применение которого в общем комплексе с другими методами решения расширит кругозор учащихся, изменит взгляды учащегося на чертеж и знания, получаемые на уроках черчения, даст возможность теоретические знания применить на практике. Этот метод сблизит математику с черчением и заставит учащегося увидеть тесные связи между этими предметами, заставит воспринимать явления не в их изолированной обособленности, а в тесной связи с другими явлениями, в их диалектической связи.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ

И. И. СМИРНОВ (Москва)

I. К постановке вопроса

В процессе работы учителя по теме «Тригонометрические уравнения» возникает ряд вопросов, на которые существующая учебная и методическая литература не дает удовлетворительных ответов.

1°. Действующая программа отводит на тему «Тригонометрические уравнения» 16 часов, но содержание темы в достаточной мере не раскрыто ни программой, ни объяснительной запиской, ни методическим письмом Министерства просвещения РСФСР «О преподавании математики в V — X классах».

В программах предыдущих лет (например, 1938 г.) на тему отводилось 24 часа и она включала «Решение уравнения:

способом введения вспомогательного угла и выражением sin л; и cos л: через tg-^-». В действующей программе время на тему уменьшено на 8 часов, о приемах решения уравнения вида:

не упоминается; естественно возникает вопрос, подлежат ли изучению эти приемы.

В методическом письме Министерства просвещения (стр. 88) дается указание: «Работа учащегося не должна быть затруднена необходимостью решать излишне сложные тригонометрические уравнения, не легко относимые или вовсе не принадлежащие к нескольким основным типам. Это указание не только ничего не разъясняет, но вызывает ряд вопросов:

1) О каких «типах» идет речь?

2) Входит ли в программу решение системы уравнений, решение уравнений с неизвестным под знаками аркфункций, уравнений с параметрами?

Отсутствие ясности в этих вопросах приводит к осложнениям — к разрыву между содержанием работы в школе, которую нормально можно выполнить за 16 учебных часов, и уровнем требований на приемных экзаменах в вузах. Стремление учителей охватить возможно больший круг тригонометрических уравнений, чтобы избавить учащихся от неожиданностей на приемных экзаменах в вузах, ведет к перегрузке учащихся.

2°. В учебнике Рыбкина по тригонометрии (§ 72) излагается вопрос о несобственных корнях уравнений; в прежних изданиях задачника того же автора (например, 1938 г.) в ответах приводились несобственные корни уравнений. Так. к уравнению:

(§ 14, № 70)

приводилось решение:

При переиздании учебника § 72 сохранен до настоящего времени, в ответах же задачника Рыбкина несобственные корни исключены: в задачнике издания 1950 года к тому же уравнению № 70 дается ответ: «Решения нет».

Опять возникает вопрос, включает ли действующая программа понятие о несобственных корнях?

3°. Формулы решения тригонометрических уравнений, приводимые в ответах задачников, содержат повторяющиеся корни (будем условно называть такие корни кратными). Так, в задачнике Рыбкина (изд. 1938 г.) к уравнению (§ 14, № 61):

дан ответ:

или

Здесь в первом варианте ответа кратными корнями являются значения хг и х2\ во втором варианте ответа все корни, выраженные второй формулой 180°я, повторяются первой формулой 90° л; первая же формула 90°л и третья 30° ++ 60° п повторяют углы вида 90° + 360° п и 270° + 360° п.

В задачнике П. С. Моденова («Сборник задач по математике», изд. 2-е, 1951) к уравнению № 241:

приводится ответ:

здесь повторяется множество углов &7г.

Спрашивается, является ли наличие кратных корней в решениях тригонометрических уравнений теоретически оправданным или его следует объяснить отсутствием доступной методики их исключения.

4°. В методическом письме Министерства просвещения РСФСР (стр. 82) читаем: «...при проверке работ обнаруживается, что учащиеся не вооружены какой-либо методикой (курсив наш.—И. С.) проверки решений. Так, найдя решение 120°nztz40° уравнения учащийся проверяет лишь корни zt40°, получающиеся из общего решения при п = 0, и этим удовлетворяется. Между тем для проверки найденного решения надо было, положив в нем n = 3k, п = 3 ft+1, n = 3k—1 и тем выделив и отбросив целое число периодов (120° • 3 = 360°), проверить корни: ±: 40°, 120° dz 40°, 120° — 40°, т. е. корни: —40°, +40°, 80°, 160°».

Нужно полностью согласиться с автором письма, что какая-либо удовлетворительная методика проверки решения тригонометрических уравнений, доступная и обеспечивающая полноту проверки, отсутствует; это показал и сам автор: он упустил, что следовало еще проверить корни: 200° и 280°.

При разных вариантах решения уравнения:

могут быть получены такие решения:

Эти решения, будучи различными по внешнему виду, выражают одно и то же множество корней.

Допустим, что ученик получил второй вариант решения, а в ответе задачника видит первый. Если ученик не знает доступного приема сопоставления различных формул, выражающих одно и то же множество корней, он не будет уверен в правильности своего решения и станет искать другой способ решения.

Если в аналогичном случае в задачнике будет приведен неверный ответ (что нередко имеет место), то весь дополнительный труд ученика пропадет даром.

Нужно дать доступную методику сопоставления формул корней, которые могут получиться при разных способах решения тригонометрического уравнения.

5°. В литературе отсутствует изложение какого-либо плана работы по теме, проверенного опытом, позволяющего в отведенное программой время достаточно глубоко и широко изучить тему.

Ясно, однако, Что приемы решения тригонометрических уравнений не следует излагать в случайной последовательности, без достаточного внимания к теоретической основе приема, без критического отношения к изложению приемов в учебной литературе, где иногда допускается теоретическая неполноценность изложения.

6°. Вопросу исследования решения тригонометрических уравнений до настоящего времени не уделено достаточного внимания, между тем об его актуальности говорят неверные ответы в задачниках разных авторов. Приводим примеры.

а) В задачнике Рыбкина (изд. 1950 г.) к уравнению (§ 15, № 38):

дается ответ:

Ответ неверный: значение--*- не удовлетворяет уравнению.

б) В задачнике П. С. Моденова (изд. 1951 г.) к уравнению (№ 711):

дан ответ:

Ответ неполноценный: следовало указать ограничение: «при

в) В задачнике Позойского (Р. И. Позойский, Сборник задач по тригонометрии, М., 1950) к уравнению (гл. VII, № 273):

(1)

дан ответ:

при любых значениях а и b Ф 0 и

Ответ неверный. Действительно, решение:

(при £ = 0) следовало дополнить ограничением: и афО, так как при а = £ = 0 уравнение (1) обращается в тождество.

Сложнее вскрывается, что решение:

при любых значениях а и b ф 0 — неверное. Пусть а = #<0 (удовлетворяет ограничению) тогда:

Берем серию корней:

Подставляя корень ~ в уравнение (1), получим:

или

Но, по допущению:

афО.

Такой же результат получим при подстановке прочих корней этой серии. Таким образом, серия корней for-}- не удовлетворяет уравнению (1).

Приведенные примеры неверных решений далеко не единичны.

II. Общие вопросы

О кратных и несобственных корнях. В элементарной математике нет возможности говорить о кратных корнях трансцендентных уравнений. В задачнике Рыбкина, издания последних лет (например, 1950 г.), кратные корни в ответах исключены; теперь, например, к № 71 (§ 14), вместо прежнего ответа (см. гл. I, 3°), читаем: л;=180ол; 30o+60° п. Если в некоторых ответах в задачниках и теперь встречаются повторяющиеся корни (Рыбкин, № 11,64; Позойский, гл. VII, № 224), то это следует отнести лишь к недосмотру или к несовершенству методики их исключения.

О несобственных корнях тригонометрических уравнений в скрытой форме («нахождение истинного значения», «раскрытие неопределенности») говорится в учебнике Рыбкина (§ 72), в книге И. А. Гибша «Элементарная математика», М., 1936 г., и в книге H. М. Бескина «Вопросы тригонометрии и ее преподавания», М., 1950 г. Более определенно о несобственных корнях сказано в книге С. И. Новоселова «Обратные тригонометрические функции», М., 1950 г. Автор указывает, что по дополнительному определению значение х = а, при котором хотя бы одна из частей уравнения:

теряет смысл, считается корнем уравнения, если

Таким образом, строго научное (а такое только и может быть оправдано) понятие о несобственных корнях связано с понятием предела функции, но такое определение выходит за рамки школьной программы, против расширения которой предупреждает методическое письмо Министерства просвещения РСФСР (стр. 76). Понятие о не-

собственных корнях следует считать для школы непрограммным вопросом.

Разложение формул корней на элементарные. Трудности, связанные с исключением кратных корней проверкой решения, сопоставлением решений, исключением посторонних корней, могут быть преодолены применением метода разложения формул корней на элементарные.

Ограничимся рассмотрением случая, когда обе части тригонометрического уравнения имеют общий период. Для простоты будем считать этот период равным 2 к (этот случай наиболее часто встречается в школьной практике).

Условимся называть формулу корней: X = 2 izn + а,

где

0<а<2тг,

элементарной. Как видно, множество корней, заданных элементарной формулой, является двухсторонней прогрессией (я = 0, zïi 1, dt 2,...) с разностью, равной одному периоду; основной угол а принадлежит полусегменту [0, 2 тс); это множество изображается одной точкой тригонометрической окружности, соответствующей концу дуги а.

Например (черт. 1), множество корней 2 /гтс—j— изобразится точкой А\ множество корней 2 Атс + изобразится точкой В; множество корней 2&тс+Д^- изобразится точкой С.

Сложная формула корней, включающая более одного угла, принадлежащего полусегменту [0, 2тс), без труда разлагается на элементарные. Пусть имеется серия корней х — + ~ .

Будем придавать k значения 0, 1, 2,...,—1, — 2,...; тогда при k — 0 получим х=-^-9 при k = 1 будем иметь х =■ , при k—2 получим X = , при k — 3 получим X = —. Других углов на полусегменте [0,2 тс) не имеется, и, таким образом, исходная сложная формула разлагается на четыре элементарные:

Множество корней, заданное этими четырьмя элементарными формулами, совпадает с множеством корней, заданным исходной формулой. Это можно видеть на чертеже 2, где точка А изображает множество корней 2 £тс + , точка В — множество корней 2 /гтс + , точка С — множество корней 2&тс-|—^—, точка D — множество корней 2kiz+ (черт. 2).

Условимся после сложной формулы корней записывать в скобках те значения углов, определяемых этой формулой, которые заключены в промежутке [0, 2 тс). Так, в предыдущем примере имеем:

Доступное всем учащимся разложение сложных формул на элементарные делает легко обозримой всю совокупность корней сложной формулы, помогает устранить трудности и исключить ошибки при решении тригонометрических уравнений. Переходим к примерам.

1°. Как указано выше, в методическом письме Министерства просвещения рассматривался вопрос о проверке корней 120° я ±: 40° уравнения:

Проверке подлежат все корни, выраженные

Черт. 1

Черт. 2

этой формулой. Разложив последнюю на элементарные, получим:

120° л ±40° (40°, 80°, 160°, 200°, 280°, 320°),

откуда и очевидно, что автор письма, применив несовершенную методику, упустил из вида корни 200° и 280°.

Примечание. В силу периодичности обеих частей подстановкой в уравнение основного угла элементарной формулы проверяется пригодность всего множества углов, изображаемых этой формулой.

2°. Разложение формул корней на элементарные позволяет легко сопоставить различные формы, в которых может быть представлено общее решение уравнения. Так, например,

или или

суть три различные способы задания общего решения уравнения:

Разлагаем на элементарные формулы первое решение:

затем второе решение:

и. наконец, третье решение:

Отсюда видно, что все гри решения различны лишь по форме, так как выражают одно и то же множество корней.

3°. Преобразование формул общего решения тригонометрического уравнения можно выполнять на основе метода разложения формул на элементарные.

Пусть получено общее решение уравнения

в виде:

Разложим обе формулы на элементарные

Изобразим множество всех корней точками тригонометрической окружности (черт. 3).

Черт. 3

По чертежу видно, что разность между углами, определяемыми формулами (черт. 3):

кратна те, а поэтому вся совокупность углов этих формул может быть выражена одной формулой:

Так же можно установить, что множество углов, определяемых двумя другими элементарными формулами, может быть выражено одной формулой:

Объединяя обе полученные формулы в одну, будем иметь:

Примечание. В отдельных случаях при сопоставлении формул корней применяется метод тождественных преобразований. Приводим пример В сборнике задач Позойского к уравнению (№203. гл. VII):

дан ответ:

Другой прием решения этого же уравнения приводит к ответу:

В обоих ответах вторые серии изображают одно и то же множество корней, что можно показать методом тождественных преобразований. Действительно:

4°. В задачнике Рыбкина к уравнению (§ 11, № 64):

дан ответ:

х = 36° + 72° л; 60° + 120° п.

Разложив обе формулы на элементарные, получим:

Из сопоставления элементарных формул видно (черт. 4), что в них повторяются корни:

Черт. 4

Исключив последние из второй формулы (черт. 4), получим:

Ответ, освобожденный от повторяющихся корней, будет:

Ознакомить учащихся с методом разложения формул корней на элементарные следует одновременно с решением простейших тригонометрических уравнений. Приводим примерные упражнения.

Разложить на элементарные следующие формулы:

Выразить одной формулой следующие серии корней:

Исключить повторяющиеся корни в следующих формулах:

О плане работы по теме. О плане работы по теме «Тригонометрические уравнения» с попыткой его мотивировать в методическом письме Министерства просвещения (стр. 87—88) сказано:

«Согласно программе, тема „Тригонометрические уравнения“ как бы требует сосредоточения изучения этого вопроса на отдельном промежутке времени. Однако занимаемое этой темой место в программе не отражает наиболее целесообразной методики ее преподавания. Решение отдельных видов (! — И. С.) тригонометрических уравнений может и должно выполняться параллельно и в связи с изучением формул гониометрии, служа для него полезным средством (в каком отношении?— И. С.) и вместе с тем имея самостоятельное значение. При изложении темы „Тригонометрические уравнения“ приобретенные учащимися теоретические и практические знания подвергаются систематизации и дальнейшему развитию.

Установлено, что преподаватели, сосредоточивающие прохождение этой темы только на небольшом отрезке курса X класса, не достигают хороших результатов».

По поводу такого высказывания возникает ряд вопросов, возражений и замечаний следующего содержания.

Автор умалчивает о том, достигают ли лучших результатов те преподаватели, которые от случая

к случаю вводят решение «отдельных видов» (каких?—И. С.) тригонометрических уравнений в качестве упражнений при изучении формул гониометрии.

Решение тригонометрических уравнений основано не только на свойствах тригонометрических функций, но и на общей теории уравнений, которая никакого отношения к гониометрии не имеет и будет уводить в сторону внимание учащихся от усвоения теоретического содержания гониометрии. Такой отрыв будет еще усугубляться необходимостью изучения ряда специфических приемов решения тригонометрических уравнений. Изучение гониометрии безусловно пострадает. Сомнительна и польза от случайных отрывочных экскурсов в область тригонометрических уравнений даже для получения каких-либо навыков их решения*).

Тригонометрические уравнения еще недостаточно применяются при изучении геометрии, и Министерство просвещения ни разу на письменных экзаменах по геометрии в X классах не предложило задачи, сводящейся к решению и исследованию тригонометрического уравнения; между тем решение задач по геометрии на составление и исследование тригонометрических уравнений значительно обогатило бы содержание задач на исследование элементарных функций. Такое положение объясняется тем, что место, отводимое программой теме «Тригонометрические уравнения», неудачно; но это легко поправимо. Решение косоугольных треугольников имеет ограниченное применение, и изучение этой темы вполне возможно перенести на второе полугодие курса X класса; наоборот, тему «Тригонометрические уравнения» следует перенести на первое полугодие, увеличив число часов до 20 — 24, как было до 1940 года.

Изложение вопроса о тригонометрических уравнениях мы предлагаем вести по такому плану.

IX класс. Понятие о тригонометрическом уравнении и его корнях, решение простейших уравнений и непосредственно к ним приводимых.

X класс. Приемы решения тригонометрических уравнений. Случаи потери и приобретения посторонних корней. Исследование тригонометрических уравнений.

В IX классе учащиеся должны быть подготовлены к тому, чтобы не затрудняться решением таких (и подобных им) уравнений:

Следует особо обратить внимание учащихся на правильный ход решения уравнений, непосредственно приводимых к простейшим, и предупредить ошибки при их решении. Между тем такие ошибки приходится встречать даже в учебной литературе. Так, Гебель (В. Я. Гебель, Прямолинейная тригонометрия и собрание задач, М., 1927) допускает обычную ошибку при решении уравнения cos — — 1. Цитируем решение (стр. 63):

«cos ~y = — 1. Поэтому —J- = 180°, а искомая дуга X =\20° или в общем виде: 120°+360°я».

Подобные ошибки встречаем и в задачнике Позойского, издания 1950 г. (!), например, в решении № 191, гл. VII.

Приводим примерное изложение учащимся решения аналогичного уравнения.

Пусть дано решить уравнение:

(*)

а) Обозначив аргумент лг+ 30° через у, получим простейшее уравнение:

из которого

Заменяя теперь у его значением х+30°, получим:

Сделаем исчерпывающую проверку полученного решения подстановкой корней в данное уравнение (*).

б) Теперь можно ознакомить учащихся с обычным ходом решения этого же уравнения. Тре-

*) Здесь и в ближайших последующих рассуждениях изложены личные взгляды автора статьи, могущие служить предметом обсуждения. — Ред.

буется найти множество всех значений аргумента X + 30°, синус которых равен ^ . Это множество выражается формулой:

откуда:

в) В заключение следует предостеречь от распространенного ошибочного хода решения аналогичных уравнений.

Уравнению (*) удовлетворяет значение аргумента:

лг+30° = 60°,

откуда:

лг = 60о^-30о = 30° и в общем виде

Сделаем проверку. х = 360° п+ 30°; удовлетворяет (по предыдущей проверке). л;=:360о +150°; не удовлетворяет:

sin (150°+ 30°) = sin 180° = 0.

III. Приемы решения

В школьной учебной литературе наиболее часто применяются два основные и три особые приема решения тригонометрических уравнений, которые и надлежит изложить в школе.

К основным приемам мы относим (условно):

1) приведение уравнения к алгебраическому относительно какой-либо одной тригонометрической функции;

2) представление уравнения в виде равенства нулю произведения нескольких сомножителей.

К особым приемам мы относим:

1) решение однородных тригонометрических уравнений;

2) решений уравнений, выражающих равенство одноименных функций;

3) решение уравнений вида:

Большинство тригонометрических уравнений школьного курса решается одним из основных приемов. Особые приемы охватывают лишь ограниченные группы (виды) уравнений.

Изучение приемов решения тригонометрических уравнений следует вести на уравнениях, целых рациональных относительно sin jc и cosa:, чтобы излишними осложнениями (посторонние корни) не отвлекать внимание учащихся от сущности дела.

Изложение приемов полезно дать в их сопоставлении на решении какого-либо одного уравнения. Приводим пример.

Решить уравнение:

(*)

Решение уравнения приведением к алгебраическому относительно какой-либо одной тригонометрической функции

1-й вариант. Заменим в уравнении (*) sin2.* через 1 — cos2 х:

Мы получили квадратное уравнение относительно cos X, решая которое получим два простейшие уравнения:

откуда:

2-й вариант. Заменим в уравнении (*) cos2 х через 1 — sin2jc:

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно sin л:. Решив его, получим:

3-й вариант. Применив формулу косинуса двойного угла, будем иметь:

Получено линейное уравнение относительно cos 2 ху непосредственно приводимое к простейшему. Решаем его:

Теперь следует обратить внимание учащихся на тот факт, что три варианта одного и того же приема привели к трем различным по форме решениям уравнения (*), выражающим, однако, одно и то же множество корней, как это видно из сопоставления элементарных формул.

Решение уравнения (*) разложением на множители

Предварительно следует напомнить учащимся теоретическую основу приема решений уравнения

вида / (х) = О разложением левой части на множители.

4-й вариант. Левая часть уравнения (*) разлагается на множители как разность квадратов:

Следует заметить, что каждый из сомножителей левой части имеет смысл при произвольном значении аргумента.

Приравняв нулю каждый из сомножителей, приходим к двум уравнениям:

Решим сначала уравнение cos х -j- sin х = 0. Заменив cos л: через sin (90° — л:), получим:

sin (90°— я)-}- sin л: = 0

и

откуда:

Примечание. Здесь следует указать учащимся, что при перемене знака в обеих частях равенства перед слагаемым 180° п можно оставить прежний знак в силу того, что множитель п выражает любое целое число (не только положительное).

Решив аналогично уравнение cos х — sin х = 0, получим:

Объединив решения двух уравнений, полученных разложением на множители левой части уравнения (*), будем иметь окончательно:

Теперь следует рассмотреть особые приемы, которые можно применить и при решении данного уравнения.

Решение однородных относительно sin л: и cos х уравнений

Понятие об однородных уравнениях известно учащимся из алгебры; здесь необходимо уточнить понятие об однородных относительно sin л: и cos X тригонометрических уравнениях. Необходимо также предварительно напомнить учащимся следующее положение из теории равносильности уравнений: при делении обеих частей уравнения:

(А)

на выражение у(х),содержащее неизвестное х могут теряться те корни уравнения (А), при которых делитель <р(лг) обращается в нуль.

Переходим к решению уравнения (*). 5-й вариант. Получив разложением на множители левой части два однородные уравнения:

далее продолжаем так. Решаем уравнение:

(1)

Проверяем предварительно, что значения неизвестного Ху при которых cos X = 0, не являются корнями уравнения (1). Это ясно, так как если cosx = 0, то sinAT = sin(90° + Ш°n)=-z±i 1. Следовательно, можно без потери корней обе части уравнения (*) разделить на cosa::

откуда:

Решив так же второе уравнение:

(2)

получим:

Объединив решения обоих уравнений, получаем общее решение данного уравнения (*):

Как видно, прием решения однородных уравнений является частным (упрощающим) вариантом основного приема, сводящего данное уравнение к алгебраическому относительно какой-либо одной тригонометрической функции; на это следует указать учащимся.

Примечание. Решение однородных тригонометрических уравнений и приводимых к однородным достаточно полно представлено в книге С. И. Новоселова «Обратные тригонометрические функции».

Решение уравнений, выражающих равенство одноименных тригонометрических функций

Если написать равенство:

sin а = sin ß

и поставить перед учащимися вопрос, при каких значениях а и ß равенство будет верным, то часто получится быстрый ответ: «При равных значениях аир». После же выраженной учителем неудовлетворенности таким ответом появятся

добавления: «Не обязательно при равенстве значений аир, например, sin 45° = sin 135°».

В школе возможно ограничиться теоремой о необходимом и достаточном условии равенства косинусов углов, доказательство которой можно изложить так.

Пусть

тогда

(2)

откуда или

(3)

Условие (3) можно представить так:

и окончательно:

Таким образом, чтобы выполнялось равенство:

cos а = cos (5,

необходимо и достаточно, чтобы или сумма углов а и ß, или разность их равнялась целому числу периодов косинуса.

После доказательства теоремы полезно привести ее геометрическое истолкование.

Примечание. С другим доказательством теоремы можно ознакомиться в книге С. И. Новоселова «Обратные тригонометрические функции».

Не следует обременять учащихся доказательством и запоминанием условий равенств:

гак как любое из них можно свести к доказанному, например, равенство

равносильно равенству

и т. п.

6-й вариант. Получив уравнения:

продолжаем так. Решаем первое уравнение:

Приравниваем сумму аргументов целому числ) периодов:

откуда:

Приравняв разность аргументов целому числу периодов, получим противоречивое равенство. Так же решаем уравнение:

Приводим его к равенству косинусов:

Откуда получим вторую серию решений:

Пишем теперь общее решение уравнения (*), объединив обе полученные формулы корней:

После изложения приведенных здесь четырех приемов можно предложить учащимся дать самостоятельно новый вариант решения уравнения (*). Обычно учащиеся уже без труда усматривают в нем однородное уравнение.

7-й вариант.

Сопоставив в заключение изложенные варианты решения, следует дать учащимся ряд указаний:

1. Тригонометрическое уравнение может быть решено разными приемами или даже разными вариантами одного приема (варианты 1-й, 2-й, 3-й); при этом формулы общего решения могут различаться по форме, выражая, однако, одно и то же множество корней.

2. Нет необходимости искать ход решения, приводящий к ответу в задачнике; в случае расхождения формул общего решения их следует сопоставить с разложением на элементарные или методом тождественных преобразований. Если

получатся различные множества корней, то правильное решение находится путем проверки.

3. Необходимо стремиться дать наиболее короткое решение каждого уравнения. Так, для уравнения (*) такими будут 3-й и 7-й варианты.

Такие указания предупредят затруднения ученика при расхождении ответов, направят мысль учащегося на творческое искание рационального хода решения; знание основных и особых приемов создает необходимый простор для таких исканий. Учитель должен развивать инициативу учащихся, подбирая для домашних работ уравнения, допускающие различные варианты решения.

Примечание. Изложение приемов решения, разобранных на уравнении (*), займет 3—4 урока; поэтому после разбора каждого приема следует задавать учащимся для самостоятельного решения соответствующие уравнения, подбирая их из § 3—14 задачника Рыбкина.

Уравнения вида

а • sin X + b • cos х + с = 0, (*)

где a, b, с отличны от нуля.

Все тригонометрические функции углов могут быть рационально выражены через тангенс угла

Подставив tg-cy- в уравнение (*), получим:

Окончательно при

Если Ь = Су то уравнение (*) примет вид:

откуда:

Приравнивая нулю каждый из сомножителей, приходим к двум уравнениям:

Решаем первое из этих уравнений:

Решаем второе уравнение как однородное относительно sin у и cos -

Примечание 1.В учебнике Рыбкина (§ 71, X) решение уравнения (*) разобрано неудовлетворительно: упущен случай, когда Ь = с. Этот пробел неудачно пытались восполнить в учебнике тригонометрии Бермант и Люстерник (издание 1950 г.):

«Если же Ь = с, то уравнение (*) следует решать непосредственно, так как квадратное уравнение (**) обращается в линейное, что сопровождается потерей корня.

Тогда из уравнения (*) имеем:

и, значит:

откуда:

Вторая из этих серий корней получается ыэ решения линейного уравнения, в которое обращается квадратное (**) при b = c, а первая серия корней при этом оказывается потерянной».

Некорректность приведенного решения очевидна: серия корней шг распадается на две элементарные:

2лтг и тг(2л+1),

первая из которых не удовлетворяет уравнению (1 ) и уравнению (*), вторая же выражает несобственные корни уравнения (1).

Примечание 2. Выше (гл. I, .6°) было приведено неверное решение уравнения:

(2)

в задачнике Позойского. Приводим решение, исключающее ошибки, допущенные Позойский.

При a — b — Q уравнение (2) обращается в тождество. Решаем уравнение, исключая эти значения параметров:

Примечание 4. Уравнения вида:

а • sin X + b • cos x+ c = 0

решаются также введением вспомогательного угла; это изложено в учебнике Рыбкина и более обстоятельно в книге С. И. Новоселова «Обратные тригонометрические функции».

В учебной и методической литературе приводятся еще особые случаи решения уравнений, иногда довольно искусственные. По нашему мнению, критическое ознакомление учащихся с такими решениями расширит их кругозор и будет полезным.

Следовало бы больше уделить внимания уравнениям, при решении которых приходится прибегать к «двустороннему» применению формул гониометрии, например:

Приведем пример.

1. Решить уравнение:

Умножим обе части уравнения на 2:

Теперь очевидно, что первые члены в обеих частях уравнения выражают разность косинусов углов и вторые — сумму единицы и косинуса удвоенного угла, отсюда находим следующий путь решения:

Сопоставив элементарные формулы, видим, что нужно исключить повторение корней 2 /гтг и iz(2k+l); проще этого сделать в 1-й формуле корней, тогда окончательно получаем:

Приводим для упражнений дополнительные к задачнику Рыбкина уравнения.

IV. Посторонние корни

Уравнения, целые относительно sin л: и cosa:

Посторонние корни исключаются исчерпывающей проверкой полученного общего решения уравнения путем подстановки в уравнение. Приводим пример. Уравнение:

SinAT-j-COSjt— 1 (*)

возвышением обеих его частей в квадрат и дальнейшими преобразованиями приводится к виду

откуда:

При подстановке в уравнение (*) серии корней получаем верное равенство; то же получаем при подстановке серии корней ~+2kK.

Уравнение (*) не удовлетворяется при подстановке двух других серий корней:

эти серии корней являются посторонними и подлежат исключению. Остается:

Уравнения, дробные рациональные относительно sin* и cos*

Кроме уравнений, непосредственно содержащих в знаменателях sin* или cos*, к этой группе относятся также уравнения, рациональные относительно tg*, ctg*, sec*, cosec*, так как эти функции рациональны относительно sin* или cos*.

После исключения из школьного курса понятия о несобственных корнях уравнений всякое дробное относительно sin* или cos* выражение рассматривается как не имеющее смысла при тех значениях *, которые обращают в нуль знаменатель дроби; эти значения неизвестного могут быть посторонними корнями тригонометрического уравнения данного вида.

Появлению посторонних корней можно дать и другое теоретическое объяснение. В самом деле, при решении дробного уравнения его приводят к целому виду, умножая обе части уравнения на общий знаменатель. Как известно из теории эквивалентности уравнений, при этом могут появляться посторонние корни — те значения неизвестного, которые обращают в нуль общий знаменатель. Отсюда намечается такой общий прием решения дробных уравнений:

1) все функции, входящие в уравнение, выражаются через sin* и cos*;

2) отмечаются те особые значения неизвестного, которые обращают в нуль знаменатели дробей, — это возможные посторонние корни;

3) уравнение приводится к целому виду и решается обычными приемами;

4) сопоставлением элементарных формул исключаются посторонние корни.

Приводим примеры решения дробных уравнений.

1°. Решить уравнение:

Решение. Выразив tgx через sin* и cos*, получим:

Теперь очевидно, что посторонними корнями могут быть те значения неизвестного *, при которых cos* = 0; эти особые значения выражаются формулой:

Приводим уравнение к целому виду и решаем его:

откуда:

Посторонних корней нет.

Посторонних корней нет.

Исключая повторение серии корней 2 тс, получаем окончательно: * = шг.

2°. Решить уравнение:

Решение.

Особые значения неизвестного *, которые могут появиться как посторонние корни уравнения, суть:

Исключая повторяющиеся значения неизвестного, получаем окончательно:

Теперь приводим уравнение к целому виду и решаем его:

Посторонних корней нет.

Корни — посторонние.

Посторонних корней нет. Ответ:

3°. Решить уравнение (задачник Рыбкина, § 14, № 27):

Решение. Выражаем

Особые значения х, которые могут появиться как посторонние корни уравнения, суть:

Заменив четыре формулы одной, получим для особых значений неизвестного:

Приводим уравнение к целому виду и решаем его:

корни — посторонние.

Корни — посторонние. Ответ: решения нет.

Примечание. В задачнике Рыбкина приведен ответ:

x=.180°ft.

4°. Выражая в тригонометрических уравнениях функции tgx, ctg Ху sec xt cosec* через sin* и cos Ху можно прийти к изменению области определения тригонометрических выражений и через это — к приобретению посторонних корней. Это заставляет внести корректив в предложенный общий прием решения дробных тригонометрических уравнений. Приведем пример.

Решить уравнение:

(1)

Решение.

(2)

Особые значения неизвестного х9 которые могут появиться как посторонние корни для уравнения (2), суть:

кроме того, для уравнения (1):

так как при этих значениях х функция tgx не имеет смысла. Обе формулы заменяем одной:

Приведя уравнение (2) к целому виду и решая его, получим:

откуда:

Корни — посторонние.

Посторонних корней нет. Ответ:

В этом примере функция:

определена на множестве всех действительных чисел, кроме чисел вида ^ , а функция:

на том же множестве, кроме чисел вида mt. Изменение области определения функции у могло повести к получению посторонних корней множества ~ (2 k + 1), что и предупреждено добавлением особых значений неизвестного х по уравнению (1). (В уравнениях 1°, 2°, 3° изменение области определения при выражении tgx, sec л: и tg2x через sin* и cos* не имело места.)

Таким образом, после выделения особых значений неизвестного по знаменателям дробных членов (примеры 1°, 2°, 3°, 4°) следует еще обратиться к исходному уравнению и добавить

при этом особые значения неизвестного, не вошедшие в множество уже найденных особых значений, как это сделано в примере 4°. 5°. Решить систему уравнений:

Особые значения неизвестного у суть:

sin .у = 0, y — mz (О, тс).

Приводим второе уравнение к целому виду и преобразовываем его:

(1)

Подставляем у = --х из первого уравнения

во второе:

(2)

Значения неизвестного х, при которых cos X = О, не являются корнями уравнения (2).

Разделив обе части уравнения (2) на cosx, получим:

Примечание 1. В литературе аналогичные системы решаются с помощью производной пропорции, в силу чего встречаются многочисленные погрешности, так как применение производных пропорций ведет нередко к приобретению и потере корней. Пора отказаться от некритического применения производной пропорции при решении уравнений.

В методическом письме Министерства просвещения (стр. 83) приводится уравнение:

при решении которого учащиеся отмечали, что cos 3 X ф О, а в дальнейшем оставляли эту запись неиспользованной. Здесь, с одной стороны, сказалась рецептурность рассмотрения приемов решения тригонометрических уравнений в учебной литературе и с другой — неразработанность приемов исключения посторонних корней, так как приемы, указанные в том же письме (стр. 83—84), чрезвычайно осложнены и малодоступны.

Мы полагаем, что изложенный нами прием решения уравнений, в которых могут встречаться посторонние корни, доступен для всех учащихся.

В тригонометрии учитель должен иллюстрировать на примерах положения общей теории эквивалентности уравнений, так как в алгебре неоднократно рассматривается эта теория, но на практике учащиеся с посторонними корнями, о появлении которых говорит теория, не встречаются (за исключением иррациональных уравнений). При решении дробных тригонометрических уравнений необходимо давать одновременно как уравнения, в которых посторонние корни отсутствуют, так и уравнения, решение которых приводит к посторонним корням, воспользовавшись тем, что такие уравнения достаточно представлены в задачнике Рыбкина (§ 14, № 64—72). Тогда для всех учащихся будет понятен смысл ограничения: cos 3 х ф О, и оно не останется неиспользованным.

После того как учащиеся достаточно усвоили общий прием решения дробных тригонометрических уравнений, можно указать частные случаи, в которых можно (но не необходимо) отступить от общего приема. Приведем примеры.

6е. Уравнения вида

(*).

где а, Ь и с отличны от нуля, можно решать так.

Умножим обе части уравнения (*) на tgx. получим:

(**)

Значения х, при которых tgx— О, не удовлетворяют исходному уравнению (*), так как при этих значениях х теряет смысл ctg х; не удовлетворяют они и второму уравнению (**). Оба уравнения (*) и (**) — эквивалентны; решив последнее из них как квадратное относительно tgx, получим и решение данного уравнения (*).

7°. Решить уравнение:

Решение. Особые значения неизвестного х, которые могут оказаться посторонними решениями, суть:

При этих значениях теряет смысл tgx.

При этих значениях х теряет смысл ctg 2*.

Объединив обе серии, получим для особых значений неизвестного одну формулу:

Будем теперь последовательно приравнивать нулю каждый из сомножителей левой части данного уравнения:

В полученной формуле подлежит исключению множество посторонних корней шт. Исключив эти корни и преобразовав формулу, получим:

Все эти корни — посторонние.

Все корни удовлетворяют данному уравнению. Ответ:

V. Об исследовании тригонометрических уравнений

А. Уравнение с параметрами

О неразработанности и несовершенстве методики решения уравнений с параметрами говорилось выше.

Ошибки при решении таких уравнений встречаются в учебной литературе даже при наличии одного параметра. Приводим примеры.

В задачнике Позойского (гл. VII, № 274) к уравнению:

приводится ответ:

Возьмем для проверки, например, а = , что удовлетворяет ограничению:

Тогда:

Берем серию корней: Подставив в уравнение

получим:

Итак, данная серия корней при а = -g- не удовлетворяет уравнению.

Допущенная автором ошибка элементарна. Ее следует объяснить только невниманием к теории решения тригонометрических уравнений и господством шаблона («типы»!), о которых говорилось выше.

Решение рассмотренного уравнения приведено ниже (пример 2°).

Остановимся еще на решении уравнения:

(*)

приведенном в учебнике тригонометрии Берманта и Люстерника (стр. 173—174, изд. 1950 г.).

Получив при ограничениях: тф\ и хф п- ~ общее решение уравнения:

авторы переходят к его исследованию; цитируем их вывод:

«Если m отлично от 1, 2 и 3, то все решения уравнения (*) заключены в формуле

где п может принимать значения 0, riz 1, rt 2,. .

кроме тех, которые обращают дробь в целое число. Например, при m = 4

где п — любое целое положительное или отрицательное число, а также нуль, но не кратное числу 3».

Как видно, авторы упустили из виду, что нуль — тоже целое число, вследствие чего при 2 и п = 0 дробь — _ j =0 при любых значениях т,

отличных от 1, 2 и 3, и ограничение:

не будет выполняться. Другие недостатки исследования без труда может вскрыть внимательный читатель.

В школе достаточно решать несложные уравнения с одним параметром. Общий метод их решения может быть представлен примерно в таком плане:

1. Устанавливаются значения параметров, при которых уравнение обращается в тождество.

2. Налагаются ограничения на параметры (исключающие тождество), и уравнение решается обычными приемами, в процессе решения налагаются дополнительные ограничения на параметры, диктуемые теорией или смыслом задачи.

3. Исследуется полученное решение, причем устанавливаются окончательные ограничения для параметров. Приведем примеры.

1°. В главе III было рассмотрено решение уравнения:

В самом начале решения было наложено ограничение:

а~ЬфО, так как при а — Ь = 0 уравнение обращается в тождество. Дальнейшие ограничения были даны в процессе решения уравнения.

2°. Решить уравнение:

Установив предварительно, что не существует значений а, при которых это уравнение обращается в тождество, преобразуем его:

Уравнение имеет решение при условии:

откуда:

Теперь рассматриваем два случая:

откуда:

Если аф у , то, выразив sin х и cos х через ig , получим:

Если а = -у , то получим:

откуда:

Теперь или

или

откуда:

Ответ:

3°. Решить уравнение (задачник Позойского, гл. VII, № 269):

Решение.

Приравняв нулю каждый из сомножителей, приходим к двум уравнениям:

Из первого уравнения имеем:

Из второго уравнения получим: или

или

При

данное уравнение обращается в тождество. Ответ:

и X — произвольное число, если а = 2 foi.

4°. Решить уравнение (сборник задач Моденова, № 475):

Решение.

Приравниваем целому числу периодов 2 /гтг •сумму аргументов:

Находим значения k, при которых Решив систему неравенств:

получим k = 0 или k — 1 Если k = 0, то

Если й = 1, то

Приравнивая теперь разность аргументов целому числу периодов 2 for, получим:

Решив опять систему неравенств:

получим /5 = 0 и, следовательно,

Ответ:

5°. Найти углы ромба, если отношение m его периметра к сумме диагоналей равно .

Решение в общем виде. Обозначим сторону ромба через а, его острый угол через х, меньшую диагональ через k, большую через / (черт. 5), будем иметь:

По условию задачи:

По смыслу задачи и по допущению:

Теперь имеем:

продолжая решение, получим:

Задача имеет решение, если

откуда: тогда:

Ответ (в общем виде):

при

Примечание. При m = ^2

arc sin 1 — -g- = “g“

т. е. ромб будет квадратом. Частное решение при

Так как

то задача имеет решение. Подставив в общее решение значение т — -g-, получим.

6°. Около шара описан усеченный кону с, боковая поверхность которого относится к поверхности шара как т:п. Определить угол между образующей и большим основанием конуса.

Решение. Обозначим радиусы верхнего и нижнего основания конуса соответственно через г и R', его образующую CD через /, острый угол CDA через х, радиус шара через R (черт. 6).

Тогда будем иметь: поверхность шара (5Ш.) равна 4 тс/?3.

Выразив из прямоугольного треугольника CED радиус шара через образующую конуса, получим:

Боковая поверхность конуса (5б. к. ) равна:

По условию задачи:

По смыслу задачи:

Продолжая решение, получаем:

Задача имеет решение при условии:

откуда: Ответ:

Решению геометрических задач на составление и исследование тригонометрических уравнений (аналогичных примерам 5° и 6°) должно быть отведено особое внимание в школе. Такие задачи по стереометрии достаточно представлены в задачнике Рыбкина, и следовало бы подобные задачи предлагать на письменных экзаменах по геометрии в десятых классах. Задачи из планиметрии необходимо решать уже в девятых классах, усложняя их по мере прохождения гониометрии. При этом такие задачи следует предлагать и решать как задачи на определение угла плоской фигуры, не вводя понятия о тригонометрическом уравнении. Приводим пример.

7°. В квадрат вписан другой квадрат. Определить меньший угол между сторонами квадратов, если отношение площадей квадратов равно 1,5.

Решение. Обозначим (черт. 7)/_AKN через X. Из прямоугольного треугольника AKN будем иметь:

Черт. 6

Черт. 7

Прямоугольные треугольники AKN и KBL равны, так как имеют равные гипотенузы KN= = KL и равные острые углы AKN=^BLK, как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами).

Из равенства треугольников следует, что ßK=AN, поэтому:

Отношение площадей квадратов равно:

По условию задачи:

откуда:

Угол X — меньший острый угол прямоугольного треугольника, поэтому

Ответ: меньший угол между сторонами квадратов равен 15°.

Б. Уравнения с неизвестным под знаком аркфункций

Сложность и неразработанность методики, проистекающие отсюда ошибки при решении уравнений с неизвестным под знаком аркфункций — можно было бы иллюстрировать на ряде примеров из литературы; иногда поражает полная беспомощность авторов провести исследование таких уравнений (см. Шахно, Сборник конкурсных задач по математике, Л., 1951, № 414). Образовательное значение этих уравнений крайне ограничено. Все это заставляет думать, что в школе следует (и только в порядке ознакомления учащихся) ограничиться решением простейших уравнений.

Приводим примеры.

8°. Решить уравнение:

Для сокращения записей обозначим arc tg 3 х через а и arc ctg За: — через ß. Тогда равенство (*) примет вид:

Взяв тангенс от обеих частей, получим в качестве следствия алгебраическое уравнение.

Допустив теперь, что уравнение (*) имеет решение, переходим к составлению и решению алгебраического уравнения:

(*)

При л;<0 левая часть данного уравнения отрицательна. Уравнению удовлетворяет положительный корень.

Ответ:

9°. Решить уравнение (Рыбкин, § 16, № 38):

По определению:

следовательно,

Тогда:

Ответ:

Автор надеется, что многотысячный коллектив учителей математики средней школы, в порядке творческой советской критики и самокритики, откликнется на статью и на основе своего опыта внесет коррективы к изложенному в ней.

При этом еще раз следует напомнить, что речь идет о содержании и объеме работы по теме в отведенные программой учебные часы — о необходимом и достаточном минимуме сведений.

ИЗ ОПЫТА

ПОНЯТИЕ ОБ ИРРАЦИОНАЛЬНОМ ЧИСЛЕ В КУРСЕ VIII КЛАССА

Т. К. ШАБАШОВ (Ногинск)

Основными причинами затруднений в восприятии учащимися понятия иррационального числа и других понятий, с ним связанных, на мой взгляд, являются следующие:

1. Нет такого общего определения понятия числа, из которого различные частные виды чисел, например отрицательные, иррациональные и другие, получаются путем указания дополнительных свойств, выделяющих эти частные виды чисел из всех чисел вообще. Общее понятие числа является суммой частных классов чисел. Оно получается путем последовательного расширения понятия числа, исходя из натуральных чисел.

2. Существующие теории действительных чисел ввиду их сложности не могут в полном объеме изучаться в школе, а потому возникают методические трудности в упрощении основных положений какой-либо из теорий применительно к условиям средней школы.

3. Учащиеся при введении понятия об иррациональном числе по существу впервые встречаются с неограниченно продолжающимся процессом измерения отрезка, несоизмеримого с единицей длины, с бесконечными десятичными дробями и т. д.

Учитывая указанные трудности, следует особенно тщательно проводить подготовительную работу, облегчающую усвоение учащимися понятия иррационального числа.

Некоторые подготовительные мероприятия, направленные на облегчение восприятия основных сведений об иррациональном числе в VIII классе, следует проводить в предшествующие годы обучения.

Например, в V классе учащиеся должны хорошо усвоить, что десятичные дроби, конечные и бесконечные периодические, изображают обыкновенные дроби, что любая обыкновенная дробь при обращении в десятичную дает или конечную десятичную дробь, или бесконечную периодическую.

Еще в V и VI классах нужно обратить особое внимание учащихся (без доказательства) на то, что всякая бесконечная периодическая десятичная дробь может быть обращена в обыкновенную. Следует обращать внимание на то, что любая обыкновенная дробь может быть представлена конечными десятичными дробями с недостатком и с избытком с любой степенью точности.

В V классе в порядке кружковой работы полезно рассмотреть нахождение общего наибольшего делителя способом последовательного деления. Сознательное усвоение этого способа дает возможность учащимся в VIII классе легче воспринять процесс нахождения общей меры двух отрезков.

В VI классе учащиеся должны хорошо усвоить понятие о числовой оси, об изображении рациональных чисел точками этой оси.

В VIII классе необходимо уточнить терминологию учебника Киселева «Алгебра» об извлечении корней. В указанном учебнике фигурируют понятия: «точный корень», «приближенный корень», которые могут привести к неправильному пониманию наличия «неточных» корней. Следует пользоваться терминологией: «значение корня», «приближенное значение корня».

Введению понятия об иррациональном числе в VIII классе предшествует значительная подготовка на уроках геометрии при изучении темы

«Измерение отрезков». Этот геометрический материал прежде всего подводит к необходимости введения «новых» чисел — бесконечных непериодических дробей.

Материал темы «Измерение отрезков», предшествующий введению понятия иррационального числа, мною разбивается по времени его изучения следующим образом.

На первом уроке даю:

а) Вводные замечания относительно содержания темы.

б) Понятие об общей мере и наибольшей общей мере двух отрезков.

в) Теоремы, на которых основано нахождение н. о. м. (наибольшей общей меры) двух отрезков.

На втором уроке даю:

а) Аксиому Архимеда.

б) Нахождение н. о. м. двух отрезков в случае их соизмеримости.

На третьем уроке рассматриваю:

а) Вопрос об н. о. м. двух отрезков в случае их несоизмеримости.

б) Даю понятие о соизмеримых и несоизмеримых отрезках. Вскрываю причины невозможности установить на практике наличие несоизмеримых отрезков.

в) Рассматриваем примеры:

Соизмеримы ли отрезки? Назовите их общую меру. Сколько общих мер имеют эти отрезки?

В примерах (4) и (5) указываю ученикам, какой обыкновенной дроби равняется каждая периодическая дробь; это делаю после ответа ими на вопрос, соизмеримы ли отрезки.

На четвертом уроке рассматриваю теорему о несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны. На дом даю задачу:

Доказать, что основание равнобедренного треугольника с углом при основании в 36° несоизмеримо с боковой стороной этого треугольника.

На третьем и четвертом уроках обращаю особое внимание на усвоение учащимися процесса нахождения н. о. м. двух отрезков и на понимание того факта, что для несоизмеримых отрезков процесс последовательного отложения остатков будет неограниченно продолжаться.

На пятом и шестом уроках геометрии учащиеся непосредственно подводятся к необходимости введения новых чисел, а потому на этих уроках остановимся несколько подробнее.

В начале пятого урока повторяем, какие числа называются рациональными. После этого разъясняю следующие положения:

1) Чтобы составить представление о величине данного отрезка, его сравнивают с другим, известным нам отрезком, который называется единицей измерения.

2) Измерить отрезок, соизмеримый с единицей длины, — значит узнать, сколько раз в нем содержится единица или какая-нибудь доля единицы длины.

Число, получившееся после измерения отрезка, называют длиной отрезка при данной единице измерения.

3) Рассматриваем, как производится измерение отрезка, соизмеримого с единицей длины.

Обращаю внимание учащихся на то, что так как по условию отрезки (данный и единица длины) соизмеримые, то сама единица длины или какая-нибудь ее доля содержится целое число раз в измеряемом отрезке.

Рассматриваем различные случаи, которые могут встретиться при измерении отрезка, соизмеримого с единицей длины. Эти случаи изображены на чертежах 1, 2 и 3, причем для удобства изображения в тетрадях учениками, для облегчения понимания процесса измерения, указываю, что удобно взять за единицу измерения отрезок d = S клеточкам; измеряемые отрезки: а =9 клеточкам, Ь = 7,5 клеточкам, с —8 клеточкам (или соответственно в сантиметрах). Имеем:

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Из рассмотрения случаев, изображенных на чертежах 1, 2 и 3, приходим к выводам:

1) При выбранной единице длины (d) длина отрезка а выражается целым числом 3, длина отрезка b выражается конечной десятичной дробью 2,5, длина отрезка с выражается бесконечной периодической дробью 2,(6).

2) В результате измерения отрезка, соизмеримого с единицей длины, или сама единица, или некоторая ее доля содержится целое число раз в измеряемом отрезке, и потому в результате измерения получаем число целое или дробное (вообще говоря, — обыкновенную дробь). Иначе говоря, длина отрезка, соизмеримого с единицей длины, выражается числом рациональным.

На шестом уроке рассматриваем измерение отрезка, несоизмеримого с единицей длины.

На этом уроке устанавливаем, что вследствие несоизмеримости данного отрезка AB с единицей длины CD ^ черт. 4, Aß;^23^- клеточки, CD = 10 клеточкам^ нет такого третьего отрезка, который бы содержался целое число раз в измеряемом отрезке и в единице измерения, а потому никакая доля единицы CD, в частности никакая десятичная ее доля, не будет содержаться целое число раз в измеряемом отрезке. По этим причинам вместо отрезка AB будем измерять два другие отрезка, соизмеримые с единицей длины CD, из которых один больше AB, а другой меньше AB. Каким образом это производится, видно из чертежа 4 и из соответствующей математической записи результатов измерения.

Указанный процесс измерения может быть продолжен неограниченно:

так как вследствие несоизмеримости отрезков AB и CD при откладывании на AB любой доли отрезка CD будем получать остатки, меньшие, чем эта доля CD.

Далее делаем следующие выводы:

1) Продолжая процесс измерения отрезка неограниченно, можно получить его длину с какой угодно степенью точности с избытком или с недостатком.

2) При неограниченно продолжающемся процессе измерения соответственные приближенные значения длины измеряемого отрезка с избытком и с недостатком будут иметь одинаковые целые части, одинаковое число десятых долей, сотых долей и так далее неограниченно. Итак, приближенные значения длины измеряемого отрезка при неограниченно продолжающемся процессе измерения приводят к одной и той же десятичной дроби с бесконечным числом десятичных знаков. Эта дробь не может быть периодической, так как если бы она была периодической, то она могла бы быть обращена в обыкновенную дробь, следовательно, измеряемый отрезок был бы соизмерим с единицей длины, что противоречит условию.

3) Мы пришли к выводу, что для того чтобы выразить длину отрезка, несоизмеримого с единицей длины, недостаточно одних рациональных чисел, а необходимы новые числа, изображающиеся бесконечными непериодическими дробями, до сих пор до VIII класса не встречавшиеся. Без этих новых чисел мы не сможем числом выразить длину отрезка, несоизмеримого с единицей длины.

4) Длина отрезка, соизмеримого с единицей длины, выражается числом целым или обыкновенной (конечной десятичной или бесконечной периодической) дробью, т. е. числом рациональным, а длина отрезка, несоизмеримого с единицей длины, выражается бесконечной непериодической дробью.

На уроках алгебры подготовку к введению понятия об иррациональном числе я провожу следующим образом.

Первые восемь уроков алгебры в VIII классе никаким образом непосредственно не связаны с введением понятия об иррациональном числе, и я перечислю лишь, как распределяется материал программы на этих уроках.

На первом уроке даю определение степени с целым положительным показателем, теоремы об умножении и делении степеней одного и того же

Черт. 4

основания, общий вид четного и нечетного числа.

На втором уроке рассматриваю степень отрицательного числа, степень произведения, дроби и степени.

На третьем уроке решаем примеры на действия со степенями с целым положительным показателем.

На четвертом уроке рассматриваю возведение трехчлена и четырехчлена в квадрат.

На пятом уроке провожу решение примеров на указанные выше разделы и повторение теоретических вопросов, рассмотренных на предшествующих уроках.

На шестом уроке провожу контрольную работу по изученному материалу.

На седьмом уроке даю понятие о корне п-й степени из числа, об арифметическом корне из числа и его свойствах.

На восьмом уроке повторяем известное учащимся из VII класса извлечение квадратного корня из многозначных чисел, представляющих точный квадрат.

Непосредственная подготовка к введению понятия об иррациональном числе начинается с девятого урока алгебры.

На девятом уроке:

а) Доказываю лемму:

Квадрат нечетного натурального числа нечетен.

Пусть (2я-[-1)— любое нечетное число, где п — любое целое число, имеем:

Откуда справедливость леммы очевидна. 2) Доказываю теорему:

Не существует такого рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

Предположим, что

Тогда на основании определения корня:

откуда следует, что р2 — число четное, а значит, на основании леммы и р — число четное, и потому оно может быть представлено в виде: р = 2п, где п — целое положительное число. Подставив вместо р его значение, получим:

Последнее равенство показывает, что q2 —число четное, и на основании леммы q также число четное.

Мы пришли к выводу, что числа р и q—числа четные, а следовательно, дробь — — сократимая, что противоречит условию, значит, наше предположение о равенстве ]/2 рациональному числу неверно.

Разъясняю, что если корень из целого числа не равен целому числу, то он не равен и никакой обыкновенной (десятичной конечной или десятичной периодической) дроби, так как степень дробного числа дает число дробное, но не целое.

Рассматриваем пример:

Числа, квадратный корень из которых не равен никакому целому числу и никакой обыкновенной дроби, то-есть не равен рациональным числам.

На десятом уроке указываю, что из чисел, не представляющих точный квадрат, извлекается квадратный корень приближенно; даю определение приближенного квадратного корня с недостатком и с избытком с точностью до у^, и решаем примеры на извлечение приближенного квадратного корня из чисел.

На одиннадцатом уроке провожу беседу, посвященную обобщению понятия о числе.

В этой беседе обращаю внимание на следующие положения:

1. Счет предметов приводит к понятию целого положительного числа и к числу нуль.

2. Измерение величин, соизмеримых с единицей измерения, приводит к необходимости введения дробных чисел.

3. Измерение величин, которые могут иметь взаимно противоположные направления, приводит к необходимости введения отрицательных чисел.

Рассматриваем операции, которые до сих пор производили над числами:

1. Действия сложения и умножения всегда выполнимы во множестве целых положительных чисел.

2. Чтобы действие вычитания всегда могло быть выполнимо, необходимо введение отрицательных чисел.

3. Чтобы могло быть выполнимо деление (кроме

деления на нуль), необходимо введение дробных чисел.

В каждом случае, как только были введены новые числа (дробные, отрицательные), мы устанавливали признаки их сравнения, устанавливали действия над ними так, чтобы выполнялись законы действий, справедливые для чисел, ранее известных.

В результате рассмотренного постепенного обобщения понятия о числе было получено множество рациональных чисел. Любое рациональное число может быть выражено конечной десятичной или бесконечной периодической дробью.

На уроках геометрии мы видели, что процессы измерения величин, в частности процессы измерения отрезков, несоизмеримых с единицей измерения, приводят к выводу, что среди рациональных чисел нет таких, которыми можно было бы характеризовать длину отрезка, несоизмеримого с единицей длины. В этом случае длина отрезка выражается новыми числами, которых нет среди рациональных чисел, — бесконечными непериодическими дробями.

На уроках алгебры мы установили, что ~\/~2 не равен никакому рациональному числу и, следовательно, неограниченно продолжающийся процесс извлечения квадратного корня из числа 2 приводит также к бесконечной непериодической дроби. Это относится не только к |/2 , но и к бесконечному множеству корней различных степеней из других чисел.

Обращаю внимание учеников на то, что в IX классе они узнают, что отношение длины окружности к ее диаметру выражается также бесконечной непериодической дробью.

Многие другие вопросы, кроме рассмотренных выше, тоже приводят к числам, отличным от рациональных чисел,— к бесконечным непериодическим дробям.

Даю определение:

Числа, которые могут быть выражены бесконечной непериодической дробью, называются иррациональными числами.

Разъясняю терминологию: ratio — отношение; рациональные числа — числа, которые могут быть представлены в виде отношения двух целых чисел; иррациональные — в таком виде представлены быть не могут.

Рассматриваем примеры иррациональных чисел:

1) Y2 =1,414213... (и другие корни, которые не могут быть выражены рациональными числами).

2) Отношение длины окружности к ее диаметру

3) Указываю, как учащиеся сами могут написать сколько угодно иррациональных чисел вида:

0,1010010001 ...

27,343343334...

Выясняем, что иррациональное число известно (задано), если указан способ получения любого числа его десятичных знаков.

Даю определение множества действительных чисел: числа рациональные и иррациональные вместе называются действительными числами.

Вычерчиваем схему классификации действительных чисел (черт. 5).

Черт. 5

На этом же уроке даю понятие о приближенном значении иррационального числа, рассмотрев это на примере.

Обрывая на каком-нибудь знаке бесконечную непериодическую дробь, выражающую иррациональное число, получаем приближенное значение этого числа с недостатком, с точностью до 1; до 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., а увеличивая на единицу последний сохраненный десятичный знак, получим приближенное значение числа с избытком, но с той же точностью. Рассматриваем это на заранее заготовленной таблице приближенных значений числа “J/ÏT:

При рассмотрении таблицы приближенных значений У2 обращаю внимание на то, что в процессе последовательного вычисления приближенных значений иррационального числа разность между соответствующими значениями, взятыми с недостатком и с избытком, равняется одной единице последнего взятого десятичного знака, а потому при неограниченно продолжающемся

процессе вычисления приближенных значений эта разность может быть сделана как угодно малой.

В качестве домашнего задания было предложено:

1) § 6—8 учебника алгебры Киселева, ч. II.

2) Выполнить упражнения из № 146 «Сборника задач по алгебре» Ларичева, ч. II.

На двенадцатом уроке вспоминаем о том, что величины, имеющие противоположные направления, условились выражать противоположными по знаку рациональными числами. Разъясняю, что условились также поступать и в том случае, когда величины выражаются иррациональными числами, и таким образом получается, что каждому положительному действительному числу соответствует противоположное ему отрицательное действительное число.

Указываю, что определение абсолютной величины действительного числа остается таким же, как и для рациональных чисел.

Далее переходим к изображению иррациональных чисел на числовой оси.

Рассмотрение этого вопроса начинаем с восстановления в памяти учащихся того, как изображают на числовой оси рациональные числа. Показываю, что любому рациональному числу на числовой оси при выбранной единице масштаба соответствует точка числовой оси, но не каждой точке числовой оси соответствует рациональное число. Например, нет рационального числа, соответствующего точке, отстоящей от точки нуль на расстояние, равное диагонали квадрата, стороной которого является единица масштаба. Точкам, расстояния которых от начала отсчета (от точки нуль) равны отрезкам, несоизмеримым с единицей масштаба, соответствуют бесконечные непериодические дроби (иррациональные числа).

Далее разъясняю, как производится изображение чисел на числовой оси (на примере изображения \fT= 1,4142135 ... черт. 6).

Чтобы изобразить иррациональное число точкой числовой оси, поступаем следующим образом.

Откладываем последовательно приближенные значения иррационального числа с недостатком и с избытком на числовой оси. Тогда промежутки, заключенные между точками, изображающими приближенные значения иррационального числа с недостатком и с избытком с одной и той же степенью точности, при неограниченно продолжающемся процессе будут неограниченно «укорачиваться», стремясь к нулю, то-есть существует только одна точка, которая принадлежи! всем этим промежуткам. Эта точка и принимается за геометрическое изображение иррационального числа.

Обращаю внимание учащихся, что после введения иррациональных чисел каждому числу соответствует точка числовой прямой и, обратно, каждой точке на прямой соответствует определенное число, выражающее длину отрезка от начала отсчета до этой точки.

На этом же уроке устанавливаем принципы сравнения двух действительных чисел:

1) Два действительные числа равны, если они могут быть выражены десятичными дробями с соответственно одинаковыми цифрами. (Особо указываю двойственность в изображении рациональных чисел, которые могут быть представлены в виде конечной десятичной дроби. Например: 2,237 = 2,236999...).

2) Из двух положительных действительных чисел больше то, которое при разложении в десятичную дробь содержит большее число целых, при равенстве целых — содержит большее число десятых долей и так далее (при этом вместо чисел вида 3,25999... берут число, ему равное, 3,26).

3) Из двух отрицательных действительных чисел считается меньше то, у которого абсолютная величина больше. Любое отрицательное число меньше нуля, а нуль меньше всякого положительного числа.

Все сказанное о сравнении действительных чисел иллюстрируется на примерах. Указать, какое из чисел больше:

Черт. 6

Домашнее задание: 1) Киселев, Алгебра, ч. II, § 9. 2) Ларичев, Сборник задач по алгебре, ч. II, № 147.

На тринадцатом уроке знакомлю учащихся с действиями над иррациональными числами, обращаю внимание на то, что понятие об этих действиях дается по определению так, чтобы выполнялись законы действий, которые' были справедливы для рациональных чисел.

Сложение иррациональных чисел рассматриваю на примере нахождения суммы у/2 —|—1/3. Будем складывать последовательно десятичные приближения J/2 и \/~3 по недостатку и по избытку (предварительно составлены таблички приближенных значений У 2 и У 3 так, как и в учебнике алгебры Киселева). Получим таблицу:

Рассматривая эту таблицу, делаем следующие выводы:

1) Если нужно сложить два или несколько иррациональных чисел, складывают их приближенные значения, выраженные десятичными дробями, взятыми с недостатком или с избытком с одной и той же степенью точности, в результате чего получают приближенное значение суммы иррациональных чисел с точностью до двух единиц соответствующего разряда.

2) Если сложение приближенных значений производится последовательно и неограниченно, то мы придем к бесконечной десятичной дроби, которая принимается за сумму данных иррациональных чисел.

3) Даю определение: Сложить два действительные числа — значит найти такое третье число, которое было бы больше суммы любых приближенных значений слагаемых, взятых с недостатком, но меньше суммы любых приближенных значений, взятых с избытком.

4) Разъясняю смысл определения, чтобы не получилось отождествления суммы иррациональных чисел с множеством ее приближенных значений.

На других действиях подробно не останавливаюсь на уроке, а указываю, как они производятся, и даю их определение, так как идея всего этого становится достаточно ясной после детального разбора действия сложения.

На уроке мы находим (в качестве упражнения) первые пять десятичных знаков бесконечной дроби, выражающей результат действия умножения у 2 на у 3.

Домашнее задание: 1) Киселев, Алгебра, ч. II, § 10. 2) Ларичев, Сборник задач по алгебре, ч. II, № 148. Четырнадцатый урок посвящаю подведению итогов темы. Итоговая беседа проводится по следующим вопросам:

1) Какие числа называются рациональными? Привести примеры.

2) Какие числа называются иррациональными? Привести примеры.

3) Какие числа называются действительными?

4) Какие из чисел рациональные и какие иррациональные:

а) 0,323325325...

б) 0,32532553255532...

в) 0,02002000200002...

г) 3,2560560560...

(предполагая, что закон чередования десятичных знаков остается таким же и далее).

5) Почему необходимо введение иррациональных чисел?

6) Назовите числа, отличные от рациональных.

7) Начертите схему классификации действительных чисел.

8) Всякая ли бесконечная дробь выражает иррациональное число?

9) Какие действительные числа считаются равными?

Расположите в порядке убывания числа:

10) Можно ли сложить числа 3,7 и

Что мы будем понимать под их суммой? Найдите сумму этих чисел с точностью до 0,001.

11) То же — относительно вычитания, умножения и деления.

12) Можно ли при сложении (вычитании) двух иррациональных чисел получить число рациональное?

13) Можно ли при сложении рационального числа с иррациональным получить число рациональное, то же — при вычитании?

14) В дроби числитель — иррациональное число, знаменатель — рациональное число. Может ли эта дробь быть числом рациональным?

Может ли эта дробь быть числом рациональным, если а и b — иррациональные числа?

15) Возьмите числовую ось. Выберите единицу масштаба. Найдите на числовой оси хотя бы одну точку, которой не соответствовало бы (при выбранной единице масштаба) никакое рациональное число. Какое число будет геометрически изображаться этой точкой?

На этом уроке еще раз обращается внимание на то, что иррациональное число может быть выражено только бесконечной непериодической дробью и не может быть выражено ни целым числом, ни дробным числом, однако практически это не представляет неудобств. На практике всегда можно взять вместо иррационального числа такое его приближенное значение, что допускаемая ошибка будет как угодно малой и, следовательно, вычисления над иррациональными числами могут быть заменены вычислениями над их соответствующими приближенными значениями.

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ В КУРСЕ VIII КЛАССА

П. А. БУДАНЦЕВ (Чкалов)

В данной статье дается краткое описание опыта изложения темы «Тождественные преобразования иррациональных выражений» рядом учителей математики города Чкалова.

Тождественное преобразование иррационального выражения рассматривается с функциональной точки зрения.

Например, выражение

рассматривается как функция от аргумента л:, определенная в интервале — со <х<+ оо, а тождественное преобразование как замена этого выражения тремя аналитическими выражениями на соответствующих промежутках множества действительных чисел, а именно:

Ниже приводим краткий план изложения тождественных преобразований иррациональных выражений в VIII классе.

Учащиеся к этому времени уже знакомы с действительными числами и действиями над ними, а также им известно, что символ У а при допустимых значениях а обозначает единственное действительное число, удовлетворяющее условию (]Az) = а, а именно: при я натуральном и а>0 символ У а обозначает неотрицательное число (арифметический корень), при п нечетном и а < 0 }Лй — отрицательное число.

Числовые значения а, при которых выражение действительно, называются допустимыми значениями параметра а.

Кроме того, с самого начала изучения темы «Степени и корни» с учащимися повторены преобразования, связанные с понятием абсолютной величины числа, на примерах типа:

1. Показать на числовой оси те значения а, которые удовлетворяют условиям:

2. Тождественно преобразовать выражения:

3. Решить уравнения и неравенства:

Решим для примера уравнение 3. Допустимые значения:

При л;>0

нет корней. При л;<0

нет корней.

Общий вывод: уравнение 3-е корней не имеет.

§ 1. Свойства корней (6 час.)

Перед изучением теорем об извлечении корня из произведения, дроби, степени и других рассматриваются следующие теоремы (леммы).

Теорема 1. Если а> Ь>0, то ап> Ьп.

Доказательство. Из неравенства а>Ь>0 следует:

откуда по свойству транзитивности

Аналогично из неравенств следует:

Следствие 1-е: Если а<Ь<0, то

Доказательство. Из неравенств а <7><С0 следует:

— а> — £>0 и далее по доказанной теореме:

откуда при п четном

при п нечетном:

ч. т. д.

Замечание. При доказательстве мы пользовались свойствами неравенств, изученными в VII классе.

Теорема и следствие обычно иллюстрируются на примерах вида:

Теорема 2. Если числа а и b одного знака и ап = Ьп, то а = Ь.

Доказательство (от противного). Допустим, что афЬу например а>Ь, тогда согласно теореме 1 и следствию из нее ап ф Ьп> что противоречит условию теоремы второй и тем доказывает ее справедливость.

1-е свойство к о р н я (извлечение корня из произведения):

2-е свойство корня (извлечение корня из дроби):

3-е свойство корня (извлечение корня из степени):

4-е свойство корня (основное свойство арифметического корня):

Замечание. Каждое из этих свойств разъясняется на конкретных примерах, а потом доказывается в общем виде. Подвести учащихся к первому свойству можно на примерах следующего типа:

Проверить равенства путем вычисления левой и правой части:

Непосредственная проверка показывает справедливость всех равенств, кроме 3-го, что позволяет сформулировать первое свойство, которое легко доказать на основании второй теоремы (леммы) так:

(согласно правилу возвышения произведения в степень)

(по определению корня)

(по определению произведения)

(по определению абсолютной величины неотрицательного числа).

Следовательно, числа:

одного знака и их я-ые степени равны, согласно теореме 2 они равны, ч. т. д. Аналогично рассматривается 2-й случай для п нечетного.

После доказательства формулируется и записывается учащимися в тетради правило.

1. Чтобы извлечь арифметический корень четной степени из произведения (неотрицательного), достаточно извлечь корень этой же степени из абсолютной величины каждого сомножителя и результаты перемножить.

2. Чтобы извлечь корень нечетной степени из произведения, достаточно извлечь корень этой же степени из каждого сомножителя отдельно и результаты перемножить.

Аналогично изучаются остальные свойства корня.

Для большей простоты 4-е свойство изучается только применительно к арифметическому (неотрицательному) корню, хотя нам приходилось наблюдать, что сами учащиеся при решении примеров догадывались о справедливости этого свойства для алгебраических корней в случае т и п нечетных, например:

Следует тщательно разъяснить неприменимость этого основного свойства арифметического корня для а<0 и m или п четном, например:

или

тогда как символ У— 4 не обозначает действительного числа.

Редакция основного свойства арифметического корня (4-го свойства) дается в такой форме: Если показатель арифметического корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить (нацело) на одно и то же натуральное число, то полученный арифметический корень тождественно равен первоначальному.

Половина отведенного времени уходит на упражнения в применении изложенных четырех свойств корня.

Привожу решение двух примеров:

(1-е и 3-е свойства)

(2-е и 3-е свойства).

Допустимые значения: а и b — любые действительные числа, с ф 0.

Допустимые значения: а — любое действительное число, b Ф 0.

Поясняется, что иррациональное выражение вида:

где R — рациональное выражение, а Л — целое рациональное выражение, в котором дальнейшее упрощение с помощью свойств 1, 3, 4 произвести нельзя, обычно считают нормальным видом иррационального выражения.

Таким образом тождественные преобразования в приведенных двух примерах сводились к приведению выражений к нормальному виду.

§ 2. Подобные корни и их приведение

Сумма, разность, алгебраическая сумма иррациональных выражений и их тождественное преобразование — 3 часа.

Определение. Выражения вида

называются подобными.

Если /?! = R2, то подобные выражения

равны. (Предварительно это понятие разъясняется на примерах.)

Как известно, выражения вида А+В и А—В, где А и В — алгебраические выражения, называются соответственно суммой и разностью выражений А и В. Далее на примерах разъясняется, что тождественные преобразования суммы, разности и алгебраической суммы иррациональных выражений основаны на законах арифметических действий и свойствах корней.

Примеры тождественных преобразований:

(1-е и 3-е свойства корня, переместительный, сочетательный и распределительный законы).

В этом примере допустимыми значениями а являются любые действительные числа. Выполненное тождественное преобразование называется приведением подобных членов алгебраической суммы.

§ 3. Произведение, частное, степень и корень из иррационального выражения (теория и практика)—8 час.

Устанавливаются следующие тождества (при допустимых значениях аргументов):

(1)

(2)

(3) (4)

которые выражают правила тождественных преобразований произведения, частного, степени и корня из корня, или, иначе, правила умножения, деления, возвышения в степень и извлечения корня из корня.

Эти тождества, как и свойства корней, разъясняются на конкретных примерах, например:

на основании переместительного и сочетательного законов и 1-го свойства корня (читаем справа налево). Потом или дается обоснование в общем виде, или ограничиваются разъяснением на числовом примере, в зависимости от подготовленности класса.

Если приводится обоснование в общем виде, то оно оформляется примерно так (применительно к первому тождеству):

(переместительный и сочетательный законы и 1-е свойство корня), откуда:

(свойство транзитивности тождества).

Для преобразования произведения и частного корней с различными показателями надо их предварительно привести к общему показателю (на основании основного свойства арифметического корня).

Примеры.

§ 4. Различные упражнения на тождественные преобразования иррациональных выражений —8 час.

Упражнения задачника Шапошникова и Вальцова дополнялись упражнениями типа:

1. Определить допустимые значения х в выражениях:

2. Проверить справедливость тождества:

3. Решить уравнение:

4. Найти значения функции:

и построить график этой функции.

Указание. Предварительно упростить:

5. Что больше:

Мы приводим лишь некоторые типы иррациональных уравнений, преобразуемых в рациональные путем тождественных преобразований или решаемых непосредственно без преобразования (см. 3,а, б, в).

Упражнения из задачника Шапошникова и Вальцова, гл. IX:

§ 1, № 3, 9, 19.

§ 2, № 44, 47, 53, 65, 66, 69, 70, 76. § 3, № 84; § 4, № 104, 108; § 6, № 141, 142, 144, 146 (при а>£>0). § 7, № 164, 166, 180, 210. § 8, № 243, 245, 246, 250. § 9, № 267, 273, 298 (при а=-1), 299.

§ 5. Упражнения для повторения и тренировки

Тождественные преобразования выражений, содержащих абсолютную величину числа.

При решении этих примеров учащиеся приучены пользоваться числовой осью.

Устанавливаем, что, например, последнее выражение следует тождественно преобразовывать отдельно в каждом из трех промежутков:

Для более глубокого и осознанного понимания учащимися преобразования выражений, содержащих абсолютную величину чисел, в VII и VIII классах решались уравнения следующего типа:

Решим для примера последнее уравнение, предварительно разбив область допустимых значений неизвестного на промежутки:

а) Решим уравнение в промежутке х ^ — 1, в котором ему равносильно уравнение Зх+2х++2+л; — 5 = 3, откуда лг=1. Это уравнение корней не имеет в промежутке л:^—1.

б) В промежутке — 1 < х ^ 5 данному уравнению равносильно следующее: 3 л; — 2х — 2+Jç-x—5 = 3, которое имеет корень л: = 5.

в) При лг>-5 имеем: Зл:—2х—2 — лг++ 5 = 3, или 3 — 3,

т. е. X — любое число в промежутке х >- 5.

Ответ: Уравнение имеет бесконечное множество решений, ему удовлетворяет любое число *>5.

После того как учащиеся усвоили приемы тождественных преобразований выражений, содержащих абсолютную величину чисел, переходим к тождественным преобразованиям иррациональных выражений.

I. Тождественные преобразования на применение трех свойств корня.

Упростить, тождественно преобразовав выражения:

Установив в последнем примере, что m — любое действительное число, кроме нуля, и, преобразовав данное выражение в •—^—* на основании 2-го и 3-го свойств, учащиеся продолжают далее преобразование параллельно для двух промежутков: т> 3 и m ^3.

Вынести рациональный множитель из-под знака радикала:

II. Тождественные преобразования на применение основного свойства корня.

(IV свойство.) Упростить выражения:

III. Алгебраическая сумма иррациональных выражений и ее тождественное преобразование.

В последнем примере допустимые значения X—любые действительные числа. На основании IV-го (основного) свойства арифметического корня получим:

35) Решить уравнение:

Привести корни к общему показателю:

IV. Произведение и частное иррациональных выражений и их тождественные преобразования.

V, Введение рационального множителя под знак радикала. Извлечение корня из корня.

Различные упражнения на тождественные преобразования иррациональных выражений:

Типы упражнений для занятий в математическом кружке поданной теме

1. Тождественно преобразовать, упростив:

2. Доказать тождество для а <С 2:

3. Построить график функций:

4. Тождественно преобразовать, упростив:

5. Решить уравнения:

В заключение необходимо отметить, что мы осветили лишь вопрос о тождественных преобразованиях выражений, содержащих буквы-аргументы, и не касались методики выработки навыков преобразования выражений, не содержащих букв-аргументов, так как этот вопрос не нов.

Однако надо отметить, что описываемый опыт имел полный успех лишь у тех учителей, которые умели найти золотую середину, а именно: не увлекаясь сложными примерами с многими буквами-аргументами (если рассматривали таковые, то при соответствующих ограничениях, как это указано в нашей статье), они в то же время не сводили функциональную трактовку к набору лишь нескольких случайных примеров, как это сделано в школьных задачниках.

Исходя из этого, мы и решили поместить достаточно большое число таких упражнений (составленных в основном учителями), систематический подбор которых отсутствует в школьных задачниках Шапошникова и Вальцова и Ларичева.

О ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ

(В порядке постановки вопроса)

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

Статья тов. А. А. Буданцева, помещенная в настоящем номере, посвящена вопросу методики математики, еще не получившему своего окончательного решения, а потому она естественно носит дискуссионный характер.

Как известно, формула

(1)

широко применялась в старых учебниках без всяких оговорок относительно условий, при которых она справедлива. Современная методика не может рекомендовать чисто формальное выполнение упражнений без выяснения условий, при которых справедливы применяемые соотношения (формулы, тождества, неравенства и т. п.). Исходя из сказанного, в решении упражнений на тождественные преобразования иррациональных выражений можно наметить два пути.

Первый путь состоит в том, что при преобразовании радикалов четных степеней пользуются формулой:

(2)

Второй путь состоит в том, что на значения аргументов и параметров заранее налагаются такие ограничения, при которых применима формула (1).

Первый путь при полном своем осуществлении потребовал бы громоздких дополнительных исследований, в особенности при преобразованиях выражений, содержащих несколько аргументов (или параметров). Поэтому встать на первый путь при решении всех упражнений было бы нереально в школьной практике. Это привело бы к необходимости значительно сократить число тренировочных упражнений, без которых нельзя выработать прочных математических навыков. Сказанное подтверждается образцами решения примеров, приведенными в статье тов. Буданцева. Сам автор признает, что успешная реализация предлагаемой им методики удается не всякому учителю.

Второй путь открывает широкие возможности для проведения тренировочных упражнений, однако при нем школьные упражнения обедняются в научно-идейном отношении, так как почти исключается элемент исследования при выполнении тождественных преобразований. Кроме того, при дальнейшем изучении математики и в ее приложениях может встретиться необходимость применения формулы (2).

Правильное решение вопроса надо искать в разумном сочетании обоих путей, именно: часть упражнений должна решаться при дополнительных ограничениях (второй путь), а часть без этих ограничений, с надлежащим исследованием (первый путь), посильным для учащихся. В настоящее время данная методическая проблема еще не получила своего решения и находится в стадии разработки. За последнее время проблема тождественных преобразований привлекает к себе внимание многих ученых-методистов. Успешное решение данного вопроса возможно на основе опыта работы передовых учителей. Вместе с тем необходимо предостеречь учителей массовой школы от крайностей, так как неумеренные увлечения еще экспериментально непроверенными точками зрения могут повлечь за собой тяжелые последствия.

Надо полагать, что автор нового сборника задач П. А. Ларичев поступил правильно, включив в первые издания стабильного задачника лишь весьма ограниченное число примеров с полным исследованием. Вместе с тем надо надеяться, что по мере разработки данного вопроса в последующие издания сборника будут вноситься необходимые коррективы.

В задачнике П. А. Ларичева последовательно проводится второй путь (за исключением немногих примеров), а потому мнение, что якобы к примерам на радикалы в этом сборнике даны неправильные (неполноценные) ответы, ошибочно.

К ВОПРОСУ О ПОЛИТЕХНИЗМЕ

(от редакции)

В поисках путей, наиболее обеспечивающих выполнение основной задачи, стоящей перед советской школой, задачи коммунистического воспитания молодого поколения, советские учителя частью стихийно, частью сознательно включали в свою педагогическую работу в той или иной форме, в той или иной степени отдельные элементы политехнизма. Это и естественно, так как политехническое образование является существенной, неотъемлемой частью коммунистического воспитания.

Эти искания и достижения советской школы в области реализации элементов политехнического образования находили свое отражение в методической литературе, в частности в довольно многочисленных статьях, напечатанных в журнале «Математика в школе» за прошлые годы.

В настоящий момент, когда XIX съезд партии во всю ширь поставил перед советской школой грандиозную задачу осуществления политехнического обучения в средней школе и проведения мероприятий, необходимых для перехода ко всеобщему политехническому обучению, вполне понятно желание внимательно просмотреть, проанализировать, какие шаги в этом направлении были сделаны советской школой, учесть уже имеющийся опыт советского учительства и, опираясь на него, идти дальше вперед.

В этих целях редакция сочла целесообразным дать перечень статей, опубликованных в журнале за прошлые годы и имеющих непосредственное отношение к вопросу политехнизации школы. Перечень включает в себя следующие разделы:

1. Общие вопросы коммунистического воспитания

Включение этого раздела вполне понятно, поскольку, как уже сказано, политехническое обучение является существенной составной частью коммунистического воспитания.

2. Борьба с формализмом в преподавании математики

Политехнизация школы требует безусловного, решительного отхода от формализма в школьном преподавании математики. Формализм в знаниях учащихся обнаруживается прежде всего в том, что, зная те или иные математические факты в их словесной формулировке, ученик не представляет себе сущности этих фактов, а потому и не может применить свои знания на практике. Понятно, что переход к политехническому обучению предусматривает в качестве одного из существенных мероприятий ликвидацию пережитков формализма в преподавании математики и, соответственно, в знаниях учащихся. Этим и объясняется включение данного раздела в предлагаемый перечень статей.

3. Практические навыки

Этот раздел по понятным причинам занимает центральное место в перечне и содержит наибольшее количество статей. Именно эти статьи и дают описание опыта учителей, направленного

к сближению теории с жизнью, к применению полученных учащимися теоретических знаний в практической деятельности.

Можно думать, что здесь именно открывается тот путь, двигаясь по которому мы наиболее близко подойдем к политехническому обучению в той его части, которая относится к математике. Ибо, если задача политехнизации школы требует в первую очередь овладения самой математикой, как составной частью общего образования, как орудием познания мира, то та же задача требует, чтобы математические знания были действенными, чтобы они оказывали существенную помощь в деле освоения основ того или иного производства, чтобы ученик мог и умел применить эти знания в своей практической деятельности. Статьи настоящего раздела описывают первые шаги, которые делала и делает наша школа в этом направлении.

4. Наглядные пособия и их изготовление

Являясь действенным методическим средством, способствующим сознательному и прочному усвоению предмета, наглядные пособия в геометрии играют существенную роль в развитии пространственных представлений учащихся. В это же время изготовление этих пособий производится, как правило, силами самих учащихся под руководством преподавателя, что сообщает навык в обращении с простейшими инструментами и дает возможность применить в практической работе хотя бы элементарные математические знания.

5. Задачи

Сюда включены печатавшиеся в журнале задачи на темы современной советской действительности (сталинские пятилетки, великие стройки коммунизма), способствующие коммунистическому воспитанию учащихся, а также задачи прикладного характера, как пример приложения математической теории к решению задач из других научных дисциплин: физики, механики и пр.

Такова тематика помещаемого ниже списка.

Считаем необходимым добавить, что этим списком, конечно, не исчерпывается весь материал, напечатанный в журнале и имеющий в той или иной степени отношение к вопросам политехнического обучения. Во-первых, сюда не вошел ряд небольших заметок, затрагивающий мелкие частные вопросы, относящиеся к перечисленным разделам. Во-вторых, сюда совсем не вошли статьи, разрабатывающие такой крупный вопрос, как развитие функционального мышления. Хотя эта сторона математического образования, несомненно, является существенной составной частью политехнического обучения, тем не менее, поскольку она находит непосредственное отражение в программе по математике, мы сочли возможным не включать в список статьи, относящиеся к данному вопросу.

Наконец, совершенно ясно, что в большинстве статей, посвященных методике преподавания какого-либо раздела программы, не могли быть не затронуты в той или иной мере вопросы, специально рассматриваемые в перечисленных ниже статьях.

I. Общие вопросы коммунистического воспитания

1. Ермольцев В., Коммунистическое воспитание на уроках математики, 1939, № 5.

2. Чуканцов С. М., К вопросу о политехническом воспитании учащихся, 1939, № 6.

3. Покровская М. Н., Элементы воспитания в процессе обучения математике, 1947, № 5.

4. Чуканцов С. М., О воспитании у учащихся чувства советского патриотизма и советской национальной гордости, 1948, № 6.

5. Круповецкий Л. Г., Об идейно-политическом воспитании учащихся на уроках математики, 1950, № 3.

6. Пономарев С. А., О коммунистическом воспитании на уроках математики, 1951, № 3.

7. Гинзбург О., Из опыта изучения в школе биографий великих русских ученых, 1951, № 3.

8. Брейтерман М. А., Развитие мышления учащихся при решении задач, 1952, № 3.

9. Покровская М. Н., Воспитание внимания на уроках математики, 1952, № 4.

II. Борьба с формализмом в преподавании математики

10. Брадис В. М., Формализм в школьном курсе математики и борьба с ним, 1946, № 3.

11. Гибш П. А., О формализме в преподавании математики, 1946, № 3.

12. Шор Я. А., О некоторых способах борьбы с формализмом, 1948, № 1.

13. Чуканцов С. М., Мой опыт борьбы с формализмом на уроках математики, 1948, № 4.

14. Рабинович И. М., О некоторых факторах, ведущих к формализму, 1949, № 5.

15. Гольденблат И. И., Борьба с формализмом на уроках математики, 1949, № 1.

III. Практические навыки

а) Статьи общего характера

16. Чуканцов С. М., Ближе к практике, 1940, № 4, 5.

17. Грацианская Л. Н. и Пчелко А. С, Практические навыки на уроках математики, 1941, № 1.

18. Никитин Н. Н., Практические навыки в связи с изучением математики в V—X классах средней школы, 1941, № 1.

19. Дорф П. Я., Прикладные вопросы на уроках математики.

б) Устные вычисления

20. Кувыркин И., Устные вычисления в старших классах, 1937, № 1.

21. Теребенин И., Приемы быстрого возведения

в квадрат и извлечения квадратного корня, 1937 № 1.

22. Нагибин Ф. Ф., Устные вычисления и преобразования на уроках математики, 1937, № 4.

23. Голубев В. А., Устный счет в средней школе, 1946, № 3.

24. Филоматитская Е. Н., Устные упражнения по математике как метод работы, 1946, № 4.

25. Кирпарский И. А., Сокращенное умножение и возведение в квадрат, 1950, № 1, 2.

в) Приближенные вычисления

26. Макаревич И., Логарифмическая линейка в средней школе, 1937, № 3.

27. Филичев С. В., Приближенные вычисления в курсе арифметики V класса, 1947, № 2.

28. Васильев М. Г., Простейшие вычисления с приближенными величинами в курсе семилетней школы, 1951, № 5.

29. Грибанов В. У., Об учебной литературе по арифметике с точки зрения приближенных вычислений, 1952, № 4.

г) Развитие пространственных представлений

30. Нагибин Ф. Ф., Развитие глазомера на уроках математики, 1935, № 4.

31. Журавлев Б., О математическом зрении, 1940, № 5.

32. Рыбаков Д. М., О развитии пространственного (воображения, 1946, № 3.

33. Машков М. М., Развивать геометрическое воображение учащихся, 1949, № 2.

34. Назаревский Г. А., О развитии пространственных представлений на уроках математики, 1951, № 5.

д) Измерительные работы

35. Герценштейн Я. С, Геодезические работы в средней школе, 1941, № 2.

36. Знаменский М. С, Работы на местности в средней школе, 1941, № 2.

37. Кузин Ф. Д., «Тысячная» и ее применение для определения дальности, 1941, № 3.

38. Михайлов Г., Простые измерительные приборы, 1941, № 4.

39. Могильницкий А., Некоторые применения математики в артиллерии, 1941, № 4.

40. Анисимов В. П., О проведении практических работ по математике на местности, 1951, № 4.

е) Черчение

41. Андреев С. Н., Черчение в VI классе, 1947, № 2.

42. Меделяновский Н. А., О преподавании стандартного шрифта в средней школе, 1947, № 2.

43. Андреев С. Н., Техническое рисование и проекционное черчение в VII классе, 1950, № 6.

ж) Графики и диаграммы

44. Васильев М. Г., Графики в курсе VI и VII классов, 1950, № 4.

45. Пичугин И., О выполнении диаграмм на уроках черчения, 1950, № 6.

46. Петров В. П., О построении графиков в VI классе, 1952, № 4.

з) Навыки самостоятельной работы

47. Репьев В., Как учить читать математическую книгу, 1935, № 6.

48. Чуканцов С. М., Научить учиться, 1938, № 5, 6.

49. Покровская М. Н., Привитие учащимся навыка к самостоятельной работе, 1940, № 4.

IV. Наглядные пособия и их изготовление

50. Кувыркин Н., О некоторых математических приборах для средней школы, 1936, № 1.

51. Макаревич И., Метод моделирования в преподавании стереометрии, 1936, № 3.

52. Владимирский Г., Построение стереоскопических проекций геометрических фигур, 1937, № 3.

53. Репьев В., Наглядность при обучении математике (математический кабинет), 1941, № 1.

54. Михайлов Р., Наглядность в преподавании стереометрии, 1941, № 1.

55. Кротов В., Конструктор по планиметрии, 1941, № 1.

56. Колаковская Э., О доказательстве первых теорем геометрии, 1941, № 1.

57. Никольский Л., Наглядные пособия по математике, 1941, № 1.

58. Яновский Ф., Самодельные модели на уроках стереометрии, 1941, № 1.

59. Рыбаков П. М., Наглядные пособия по математике и работа с ними, 1946, № 3, 4.

V. Задачи

60. Грошев Г., Геометрические задачи, заимствованные из механики, 1934, № 4.

61. Круповецкий Л. Г., Задачи из современной жизни, 1938, № 4.

62. Грабовский М. и Котельников П., Задачи на составление тригонометрических уравнений, 1938, № 5—6.

63. Круповецкий Л. Г., Задачи из современной жизни, 1939, № 1.

64. Алисов Р., Задачи на квадратные уравнения, 1939, № 5.

65. Чуканцов С. М., Задачи с конкретным содержанием, 1940, № 2.

66. Круповецкий Л. Г., Закон о пятилетием плане на уроках арифметики, 1946, № 6.

67. Его же, Задачи по арифметике на темы пятилетнего плана развития сельского хозяйства, 1948, № 1.

68. Песков Т. А., К вопросу о содержании арифметических задач, 1949, № 3.

69. Ермашова О. П., Задачи прикладного характера на составление уравнений, 1950, № 1.

70. Ланшин В. В., Арифметические задачи на тему «Сталинский план преобразования природы и великие стройки коммунизма», 1951, № 3.

71. Нарышкин И. С, Арифметические задачи на тему «Великие стройки коммунизма», 1952, № 3.

72. Круповецкий Л. Г., Итоги послевоенной сталинской пятилетки на уроках арифметики, 1952, № 3.

73. Бушканец М. Г., Данные о культурном строительстве стран народной демократии на уроках арифметики, 1952, № 3.

74. Лоповок Л. М., Задачи що алгебре на современные темы, 1952, № 4.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О КНИГЕ К. У. ШАХНО «СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ» (для учителей VIII—X классов, Учпедгиз, 1952)

Н. М. МАТВЕЕВ (Ленинград)

Автором рецензируемой книги поставлена цель — дать учителю дополнительное пособие для работы в классе, для индивидуальных заданий учащимся, особо интересующимся математикой, и отчасти для внеклассной кружковой работы.

Задачи снабжены указаниями, а в случаях трудных или особо интересных — решениями.

Прежде чем ответить на вопрос о том, в какой степени автору удалось решить поставленную им перед собой задачу, остановимся на кратком разборе достоинств и недостатков t Сборника».

Всего в книге XIV отделов. Разберем их в порядке расположения.

I. Преобразование алгебраических выражений. За исключением нескольких задач (№ 23 и 24), все задачи этого отдела весьма интересны. Часть их составляют задачи, требующие для своего решения нешаблонных преобразований (№ 11, 12, 13, 14, 36 и др.), другие углубляют вопросы делимости многочленов (№ 7, 8, 9, 10), третьи дают примеры эффективного применения свойств пропорции и ряда равных отношений (№ 20, 21, 22). Задачи 24—35 и некоторые другие любопытны тем, что требуют весьма большой внимательности при выполнении преобразований. Ограничения, налагаемые на параметры, входящие в эти задачи, не позволяют вести вычисления формально. Особенно часто в них приходится использовать понятие арифметического значения корня, которое, как показывают приемные экзамены, усвоено многими поступающими чисто формально. Речь идет о равенстве

Кроме того, все эти задачи допускают различные пути решений, из которых лишь некоторые, а часто только один, рациональны. Тем более становятся полезными указания к решениям, которые и намечают эти рациональные пути. Кроме указаний, есть и решения, причем автор не злоупотребляет этим и приводит решения к задачам либо трудным (№ 10, 15, 18, 39), либо допускающим решения методами, мало знакомыми в элементарной математике (задача 19), либо желая дать образцы рациональных преобразований (№ 17, 22, 40, 41). Но даже и в тех случаях, когда приводится решение, читателю остается над чем поразмыслить.

В некоторых же случаях автор ставит читателю вопросы. Так, например, в задаче 40 требуется доказать равенство:

при условиях а > b > 0. Автор приводит решение, а затем делает следующее замечание:

«Однако доказанное равенство справедливо и при более широких предположениях относительно а и Ь, а именно при | b \ < а.

Обоснуйте это и приведите доказательство тождества для этого случая. При доказательстве следует помнить, что если 6<0, то I/ b2 = — b».

Аналогично автор поступает в задачах 25, 29,41.

Кроме того, по всему отделу разбросаны мелкие, но весьма полезные замечания, предупреждающие о возможных ошибках или предостерегающие от неверного пути: «...так как /г>/я, то

(задача 32); «... воспользуемся формулой куба суммы двух количеств в виде:

(задача 37) и другие.

Наряду с указанными достоинствами в этом отделе имеются и некоторые недостатки. Так, автор очень тщательно выписывает границы изменения параметров, но в задаче 28 он допускает неточность. В этой задаче требуется произвести преобразования, положив X = у ab, где а > 0, b > 0. Однако в преобразуемом выражении содержатся биномы (а — х) 2 и (х — Ь) 2 , которые теряют смысл при а^Ь. Значит, условия следовало бы заменить

такими: л>6>0. Да и вообще может быть имело бы смысл хотя бы часть ограничений для параметров предоставить определить читателю.

В некоторых задачах (№ 30, 38) вообще не указаны пределы для параметров, и хотя эти пределы очевидны, следовало бы для общего стиля или указать их, или предложить читателю их определить.

II. Алгебраические уравнения. Здесь, как на новость в задачниках средней школы, следует указать на уравнения и системы уравнений с абсолютными величинами неизвестных.

Например, решить систему:

(задача 49)

или:

(задача 50)

То же видим и в задачах 42, 44, 48, 51. Это очень полезные задачи. В вузе приходится иметь много дела с абсолютными величинами, и надо сказать, что первокурсников нередко такие вопросы смущают. Число подобных задач следовало бы увеличить. С другой стороны, число задач на свойства корней квадратного уравнения (№ 65—72) без ущерба можно было бы уменьшить, поскольку их достаточно и в стабильном задачнике.

Хороши задачи на исследование уравнений и системы уравнений (№ 57—62). Но их слишком мало, особенно если учесть, что среди них находится широко известная задача (№ 62). Кстати, эту последнюю задачу полезно знать при изучении в вузе линейных образующих поверхностей второго порядка.

Все остальные задачи представляют собой трудные задачи на решение уравнений, требующие изобретательности (№ 73—76) и остроумного производства действий, чтобы не потерять корней или не приобрести посторонних (№ 77—80).

Автор в решениях обычно обращает на это внимание. Во многих случаях устанавливаются условия, при которых найденное решение имеет смысл. Это освобождает от необходимости проверять значения неизвестного, найденные из иррационального уравнения. Особенно подробно это сделано в задачах 87 и 88. На такой прием действительно важно обратить внимание, поскольку формальная проверка иногда не достигает цели выявления посторонних решений. Для этого достаточно вспомнить известный пример трансцендентного уравнения хх = х.

Результат подстановки в него значений х = 1 и X = — 1 дает в обоих случаях тождество, в то время как в поле действительных чисел х = — 1 не является решением.

Наконец, все общие соображения относительно указаний и решений, высказанные нами в разборе предыдущего отдела, остаются в силе для этого и всех последующих отделов.

III. Составление уравнений. Среди задач этого отдела — много трудных и интересных. Но все это — обычные задачи на составление уравнений. В одной задаче (№ 95) автору приходится в решении использовать метод полной математической индукции. Есть задачи, в которых проведено или намечено исследование решений (№ 108, 109). Было бы очень полезно привести два-три примера подробного исследования решений задач с буквенными данными.

IV. Прогрессии. Этот отдел составлен удачно. Задачи в большинстве интересные и по сюжетам, и по решениям.

V. Логарифмы. Здесь помещены всего 23 задачи. Но они охватывают большое количество существенных вопросов. Здесь обращается внимание на важное равенство:

(задача 141), которое в дальнейшем и используется (задачи 148, 155).

На примерах простых задач (№ 146, 154) затрагивается вопрос о допустимых значениях логарифмической функции и снова вопрос об арифметическом значении корня (№ 146):

Интересны небольшие исследования задач 144, 149, 156, приведенные в решениях. Однако далеко не достаточно было указать, как это делается в задаче 156, что в выражении у* должны быть л:>0, у > 0. (Кстати, я > 1, & > 1 или 0 < д < 1 и 0 < & < 1 есть следствие х > 0 и у > 0.) Следовало бы несколько подробнее сказать о функции uv (что, впрочем, делается в отделе XI).

Другим недостатком является отсутствие указаний о возможности потерять решения и приобрести посторонние при использовании операций логарифмирования и потенцирования. Они затронуты, но почему-то в отделе XIV. Целесообразнее было бы задачи 533, 534, 535 отнести к отделу V.

VI. Соединения и бином Ньютона. Все задачи, и особенно на соединения, интересны. Некоторые (№ 180, 181, 182) очень трудные. И здесь автор, повидимому, имеет в виду интересы будущих студентов.

Задача 181 нужна в теории вероятностей, да и задачи 162—168 по своему характеру напоминают задачи на непосредственное вычисление вероятностей событий.

Так как отдела задач на математическую индукцию в «Сборнике» нет, то естественно было бы ожидать их здесь. Но здесь приведена только одна такая задача (№ 169). Число их следует увеличить.

VII. Преобразование тригонометрических выражений. Задачам предпосылается важное подстрочное примечание об исключении некоторых значений аргументов при определении тождественности математических выражений. Затем идут обычные задачи (но трудные) на доказательство тригонометрических тождеств (№ 184—194).

После двух задач на суммирование (№ 195—196) идет задача, на которой основан вывод второго инварианта кривой 2-го порядка (№ 19/).

Задача 212 такого характера, какие часто встречаются при преобразовании выражений, полученных в результате дифференцирования. Жаль, что такая задача только одна. Дело в том, что в средней школе встречаются преобразования только логарифмические, только алгебраические и только тригонометрические. Встретить смешанные преобразования или задачу на бином Ньютона с применением тригонометрических функций невозможно. А в вузе с такими задачами приходится иметь дело, и к ним важно было бы подготовить будущих студентов.

В разделе содержится ряд трудных задач на различные тригонометрические преобразования, на разыскание наибольших и наименьших значений (№ 205, 206), на доказательство с употреблением формулировок «необходимо и достаточно» и «тогда и только тогда» (№ 214, 215), обычно плохо понимаемых уча-

щимися, на границы применимости формул (№ 221— 227), на обратные тригонометрические функции и многие другие задачи.

Специально следует отметить известную задачу, дающую возможность чисто аналитически получить из теоремы синусов теорему косинусов (№ 209).

Вопросы, чему равен

хорошо уясняют выбор главных значении обратных тригонометрических функций. Мои ет быть, уместно было бы привести здесь графики функций:

а не относить их в отдел XI.

Задача 224, интересная сама по себе, дает возможность познакомить учащегося с полиномами П. Л. Чебышева. (Здесь допущена опечатка. В примечании должно быть: “^zrr cos (п arc cosх.)

Кстати, эта задача могла бы послужить прекрасной темой для математического кружка, в котором можно было бы познакомить учащихся с полиномами, наименее уклоняющимися от нуля и с биографией П. Л. Чебышева.

Несколько слов относительно задач на обратные тригонометрические функции. Конечно, теоремы сложения арксинусов и арктангенсов (№ 232, 235) очень уместны в таком задачнике. Но пользоваться ими при преобразованиях оказывается рационально лишь в редких случаях. Повидимому, автор держится того же мнения, потому что хотя в задачах 233, 234, 236 он и пользуется ими, что естественно для иллюстрации этих теорем, но тут же указывает на иную возможность (см. замечание к решению задачи 233). Однако об этом следовало бы сказать определеннее. Единственный случай, когда эти теоремы удобны для запоминания и употребления, это при ц = 1 и е = 0.

VIII. Тригонометрические уравнения. Отдел начинается уравнением, не имеющим решения в обычном смысле. В решении автор приводит принятое обобщение понятия корня и в обобщенном смысле это уравнение имеет решение.

Кроме тригонометрических уравнений в обычной постановке, рассматриваются также уравнения с абсолютными величинами аргумента или функции (№ 245, 253), с комбинациями тригонометрических функций с показательной и логарифмической (№ 254, 255) и другие.

Среди них есть и очень трудные, как, например, № 259. К последней, да и к некоторым другим (№ 256, 265) приведены не только решения, но и исследования, которые здесь весьма кстати.

Эти задачи (особенно № 259) могли бы быть неплохой темой для школьного математического кружка.

Очень слабо представлены уравнения с обратными тригонометрическими функциями. Тем уравнениям с обратными тригонометрическими функциями, которые помещены, следовало бы предпослать задачу 555 из отдела XIV или краткое разъяснение о возможности появления посторонних корней при решении уравнений указанного вида обычными способами.

IX. Комплексные числа. Здесь приведены 22 задачи на комплексные числа повышенной трудности по сравнению со школьными. Многие из них поэтому могли бы быть с успехом использованы на занятиях школьного математического кружка (например, № 270, 279, 280, 281, 283, 284, 285, 286, 287). Правда, следовало бы этим задачам предпослать вывод формулы Муавра, которой автор не приводит, хотя он этой формулой пользуется.

X. Неравенства. Учащийся средней школы имеет очень мало возможностей для решения неравенств. Поэтому, за исключением лишь немногих задач этого отдела, основанных на свойствах квадратного трехчлена или типов, рассматриваемых в классе, — они требуют от решающего самостоятельного подхода, а нередко и искусства.

В решениях автор обращает внимание на возможность плодотворного использования идеи непрерывности при решении некоторых видов неравенств (№ 295, 299, 300 и др.), дает хорошие образцы решения иррациональных неравенств (№ 303, 304).

Среди задач есть неравенства, весьма часто применяемые при исследовании сомнительных случаев сходимости степенных рядов, к которым приводит признак Даламбера (№ 323, 324). При этом задача 323 решается весьма эффектно.

Приводятся задачи о соотношении среднего арифметического и среднего геометрического (№ 312, 319, 320), которые сразу же прилагаются к решению других задач, в том числе к задачам на разыскание максимумов и минимумов.

Неплохо было бы привести здесь задачи на максимумы и минимумы функций, решаемые с помощью свойств квадратного трехчлена.

Приведен ряд интересных задач с условиями.

Особо заслуживают быть отмеченными неравенства, содержащие комбинации элементарных и трансцендентных операций, например:

Решить неравенства:

Несмотря на сравнительную простоту их решения, они очень ценны тем, что требуют безукоризненного знания свойств различных функций. Приходится лишь пожалеть, что таких неравенств мало.

В заключение приведено несколько трудных неравенств, часть которых решена остроумно. К числу таких задач следует отнести в первую очередь задачу 341, а также задачи 337 и 338.

XI. Исследование функций и построение графиков. В решениях к задачам этого отдела приведено подробное разъяснение о способах разыскания области определения элементарных функций и дана схема построения графиков.

Первые задачи (на область определения) являются естественным продолжением предыдущего отдела, поскольку для нахождения области определения функции приходится в большинстве приведенных задач решать неравенства. Здесь же приходится использовать свойства всевозможных функций (алгебраических и трансцендентных) в полном объеме, что делает задачи и интересными и трудными, хорошо содействующими развитию математического мышления.

Таковы, например, задачи:

Найти область определения функций:

Нет сомнений, что учащийся в двух последних случаях не сразу увидит, что области определения приведенных функций различны.

Следующая группа задач — на определение периода тригонометрических функций, состоящих из сумм тригонометрических функций с различными частотами. Здесь же приводится пример тригонометрической функции непериодической (№ 352), что так часто поражает учащегося, привыкшего считать, что сумма двух периодических функций всегда является периодической функцией.

Затем идут задачи на исследование функций и построение их графиков (№ 353—377), на геометрический смысл неравенств и на графическое определение числа действительных корней, — они представляют собой хороший материал для школьных математических кружков.

Требуя полного овладения материалом, нужным для их решения, задачи этого отдела вместе с тем сами содействуют углубленному усвоению этого материала. Графики весьма разнообразны и любопытны, равно как и многообразны математические сведения, необходимые для исследования функций, соответствующих этим графикам.

Все задачи этого отдела весьма полезны.

XII. Геометрические задачи на плоскости (планиметрия). В отделе помещено 83 задачи. Здесь нет задач, которые принято называть алгебраическими с геометрическим содержанием.

Здесь много задач на доказательство, на построение и на вычисление. Весьма многие задачи могли бы быть использованы в математическом кружке.

Под № 392 приведена теорема: Треугольник, имеющий две равные биссектрисы, — равнобедренный. Эта теорема широко известна. Но не так часто удается встретить людей, знающих ее доказательство. Автор дает два хорошие доказательства. Было бы очень долго перечислять все хорошие задачи: их слишком много не только среди теорем, но и среди задач на построение и вычисление.

В решениях автор приводит много примеров эффективного решения уравнений, к которым сводятся решения задач (№ 458, 459, 460, 469, 470 и др.).

XIII. Геометрические задачи в пространстве (стереометрия). Этот отдел менее богат, чем предыдущий. Мало задач чисто геометрических (без применения тригонометрии). Хороша задача 484.

XIV. Вопросы. Несколько странное название. Ведь здесь содержатся и теоремы, и задачи. Да и вообще не целесообразнее ли все вопросы, поставленные в этом отделе, распределить по другим отделам, поставив их там, где бы они могли служить указаниями к решению соответствующих задач?

Сам характер помещенных здесь задач и вопросов нов для наших задачников. Вместе с тем они очень важны, как затрагивающие и правильно разъясняющие многие «больные» вопросы средней школы. Вот некоторые из них:

1) Почему

Ясно, что все это определения. Но на приемных экзаменах в вузы обычно приходится встречаться с их «доказательствами». Такие смешения определений с теоремами допускаются учащимися довольно часто и в других частях курса.

2) Всегда ли верна формула:

Удивительно простой вопрос, на который очень редко приходится слышать правильный ответ. Дело в том, что обычно учащиеся не знают границ применимости формул, в частности какими должны быть корни, чтобы действия над ними, рассматриваемые в курсе средней школы, были справедливы.

3) Что такое решение уравнения или системы уравнений, совместность уравнений, эквивалентность уравнений?

Эти и другие вопросы, относящиеся к решению и исследованию систем уравнений, освещены в задачах 523—537. В ряде других задач приведены примеры логических ошибок (№ 538, 546, 547, 558 559).

Интересный вопрос поставлен в задаче 561: здесь на числовом примере показана справедливость утверждения Кантора о том, что невозможно определить иррациональное число как предел, не попадая в замкнутый логический круг. Правда, он сформулирован несколько нечетко.

Много интересных замечаний имеется в ответах на «Вопросы». Особо заслуживает быть отмеченным примечание к № 533 (и сходное с ним к № 535). В нем приведен пример того, когда переход от уравнения х = у к уравнению хт = ут (т — целое > 0) приводит не к посторонним корням, а к потере корня. Это кажется парадоксальным. Относится это к корню в обобщенном смысле.

Рассмотрев достоинства и недостатки рецензируемого «Сборника» по отделам, мы приходим к следующим общим выводам.

I. Как на существенные недостатки, кроме отмеченных выше, нужно указать на два:

1) В задачах резко разграничены формула и график Например, исследование функции у — arc sin (sin х) дано в одной главе (задача 218), а ее график — в другой (задача 368). Многие задачи выиграли бы, если бы наряду с аналитическим решением приводилось бы и геометрическое пояснение или решение. Например, при решении неравенства \gx2>\gx3 (№ 330) полезно было бы привести график показательной функции. При решении задачи 312а неплохо бы привлечь геометрию.

2) Задачи, как правило, вполне определенные. Данных приведено ровно столько, сколько требуется для решения. Но в таком задачнике, как рецензируемый, уместно было бы привести также задачи с недостатком или с избытком данных, предложив читателю «компенсировать» недостающие или удалить избыточные данные.

II. Несмотря на отмеченные недостатки, рецензируемый «Сборник» находится на гораздо более высоком идейно-теоретическом уровне, чем многие известные рецензенту задачники по элементарной

математике. Решение задач, помещенных в «Сборнике», в значительной степени ликвидирует разрыв между элементарной и высшей математикой (точнее говоря, между школьным и вузовским курсами математики).

Многие задачи могут быть с успехом использованы в школьных математических кружках, они будут способствовать повышению математической культуры учащихся средних школ и возбуждению у них интереса к более глубокому и специальному изучению математики.

Автор, как нам кажется, вполне успешно справился с поставленной им задачей.

Настоящий «Сборник» представляет собой хорошее дополнительное пособие для учителей VIII—X классов как для классной, так и для внеклассной и кружковой работы.

Принимая во внимание все вышеизложенное, мы считаем возможным рекомендовать переиздание рецензируемого «Сборника» в стереотипном виде (ибо ввиду малого тиража первого издания лишь незначительная часть преподавателей смогла обеспечить себя этой полезной книгой), с последующей подготовкой переработанного издания с учетом сделанных выше критических замечаний, а также особо ценных замечаний, которые возникнут у учителей после использования рецензируемого «Сборника» в практической работе.

ОБ ОДНОЙ ЗАМЕТКЕ

А. Н. БАРСУКОВ (Москва)

В № 3 журнала за 1952 год (стр. 79) была помещена заметка В. С. Александрова «Об одной грубой ошибке». В этой заметке т. Александров указывает на наличие логической ошибки в книге Г. Н. Бермана «Число и наука о нем», именно в доказательстве бесконечности ряда простых чисел. Приведем целиком это доказательство.

«Итак, предположим, что существует наибольшее простое число. Обозначим его через р. Рассмотрим число, представляющее собой произведение всех простых чисел от 2 до р, т. е. число 2 • 3 • 5 • 1... р. Прибавим к полученному числу единицу. Получим:

2-3.5-7... /7+1.

Это число, конечно, гораздо больше, чем р. Докажем, что оно не может быть составным.

Действительно, первое слагаемое, 2*3.5... р, как произведение всех простых чисел, делится на любое простое число, а второе слагаемое (единица) при делении на любое целое число, кроме единицы, дает в частном нуль и в остатке единицу. Значит, и сумма 2 • 3 • 5 • 7... р + 1 при делении на любое простое число даст в остатке единицу, т. е. на простое число не разделится. Но и на составное число оно делиться не может. Действительно, каждое составное число является произведением простых чисел, если бы число 2 • 3 • 5... р + 1 делилось бы на произведение, то оно делилось бы и на сомножителей (на сомножители? — А. Б.), т. е. на простые числа, что, как мы видели, невозможно.

Итак, число 2.3.5.7... (очевидно, должно быть 2 • 3 • 5 • 7... р + 1.— А. Б.) не делится ни на какое число (кроме, разумеется, самого себя и единицы), т. е. оно является числом простым; ранее мы видели, что оно больше р. Таким образом, предположив, что р — наибольшее простое число, мы нашли простое число еще большее. Это противоречие убеждает нас, что исходное предположение неправильно, т. е. что наибольшего простою числа быть не может: число простых чисел бесконечно».

Тов. Александров видит ошибочность доказательства в том, что вывод: «число 2 • 3 • 5 • 7... р + 1 — простое» — не соответствует действительности: число такого вида может быть как простым, так и составным (например, 2 • 3 • 5 • 7 • 11-13 + 1 = 59.509). Он

указывает (что обычно при этом приеме доказательства из неделимости числа 2 • 3 • 5... р + 1 ни на одно из простых чисел 2, 3,... р делается двойное заключение: или число 2 • 3 • 5... р + 1 — само простое, или делится на простое число, большее р (как это и есть в действительности). И в том и другом случае опровергается предположение о наибольшем простом числе р.

Эта заметка т. Александрова вызвала возражения как в письменной (т. Фалевич, Москва), так и в устной форме (от нескольких лиц). Именно указывалось, что с формально-логической стороны рассуждения проведены правильно и поэтому логической ошибки здесь нет. То, что вывод противоречит действительности — несущественно (из ложной посылки можно сделать любые ложные выводы). Существенно здесь то, что логическая цепь рассуждений привела к противоречию, а следовательно, и к выводу о неправильности сделанного предположения.

По поводу этих возражений можно сказать следующее.

Можно согласиться с тем, что с формально-логической точки зрения в том пункте доказательства, о котором говорится в заметке,— рассуждения проведены правильно и логической ошибки здесь нет. Хотя мы все же считаем, что доказательство было бы более четким и логически более закругленным (и, что важно с методической точки зрения,— соответствующим действительности), если бы цепь рассуждений закончилась именно тем двойным выводом, о котором говорится в заметке т. Александрова. Буквально такое доказательство дано, например, в известной книге Вебера и Вельштейна «Энциклопедия элементарной математики» (т. I, стр. 51). Предположив, что существует наибольшее простое число w, авторы берут число 2 • 3 • 5... w + 1 и доказывают, что оно или само простое, или делится на простое число, большее w, чем и опровергается сделанное предположение.

И все же, несмотря на это, доказательство, данное в книге Бермана, остается логически неполноценным и, кроме того, неудачным с методической точки зрения.

Начнем с логики.

Пока автор доказывает неделимость числа N = 2 • 3 • 5... р + 1 на простые числа 2, 3, 5... /?, все обстоит благополучно. Но, далее, автор хочет доказать, что N не делится и на составное число и начинает с положения: «каждое составное число является произведением простых чисел». А это положение доказывается только дальше через четыре страницы. Логическая неувязка налицо. Но не в этом главное (можно было теорему о разложении составного числа дать раньше, и тогда все было бы в порядке). Главное в том, что этим положением доказательство уже закончено, а потому все последующие рассуждения автора являются излишними, никчемными.

В самом деле, будем считать доказанным высказанное автором положение: «каждое составное число является произведением простых чисел». Но только что перед этим автор доказал, что N — 2 - 3 • 5... р + 1 не делится ни на одно простое число. Отсюда, казалось бы, непосредственно следует, что N не может быть составным числом. И все. Вместо этого логически безупречного вывода автор для чего-то начинает доказывать, что N не может делиться на составное число. И для этого составного делителя он и использует положение о разложимости его на простые множители. Совершенно непонятно, почему автор применяет это положение не к составному (по предположению) числу N, а к его составному делителю. Логическая путаница здесь просто бьет в глаза.

Обратимся теперь к методике.

Позволительно спросить: допустимы ли в научно-популярной книге, рассчитанной на широкий круг читателей (подзаголовок книги — «Общедоступные очерки»), методы доказательства, которые часто называются «провокационными» и доказывают ложное положение, исходя из ложного предположения (лишь бы они противоречили друг другу). Мы считаем, что нет. Конечно, противоречие налицо, и ложность первой посылки отсюда логически вытекает. Но для читателя, не искушенного в логике, остается и запоминается и самый вывод (и много отчетливее, чем указанное противоречие). Ведь в данном случае в книге так и сказано: «мы нашли простое число, еще большее», и нигде не оговорено, что здесь важно не то — простое ли это число на самом деле, а важно, что получается противоречие с предположением.

Мы считаем, что такое трюкачество в популярной книге совершенно недопустимо. Ложное предположение в ней должно опровергаться фактом, противоречащим ему. (Например, неверное положение Ферма, что все числа вида 21 +1 — простые, было легко опровергнуто Эйлером, показавшим, что число 22°+ 1 — составное.) Такое именно опровержение фактом по отношению к рассматриваемому положению дает классическое по краткости и ясности доказательство, данное академиком И. М. Виноградовым в его книге «Основы теории чисел»: «Число простых чисел бесконечно».

Справедливость этой теоремы следует из того, что каковы бы ни были различные простые pi, р2>... Р к можно получить новое простое, среди них не содержащееся. Таковым будет простой делитель суммы:

P1P2: ...рк + 1,

который, деля всю сумму, не может совпадать ни с одним из простых pu Р2 — Рк)) И все. Добавив 2—3 пояснительные строки, это доказательство можно включить в любую, самую популярную книжку.

Вместо этого т. Берман в своей книжке принуждает неискушенного читателя (по крайней мере наталкивает его на это) поверить, что действительно «мы нашли простое число, еще большее». Так и случилось со студенткой, о которой упоминает в своей заметке т. Александров. К этому можно добавить, что такое же утверждение («всякое число вида 2 • 3 • 5... р + 1 — простое) высказал нам один московский физик. И можно поручиться, что такое утверждение можно услышать не раз и не два, особенно от лиц, прочитавших книгу Бермана. А ведь даже приняв ту концепцию доказательства, которая дана в книге, можно действительно прийти к очевидной для читателя нелепости (автор такое задание и ставит себе: «мы в результате правильных рассуждений придем к нелепости». Но ведь наличие простого числа большего р, совсем не нелепость. Нелепостью автор считает здесь противоречие с предположением. Полагаем, что здесь это слово неуместно). В самом деле, число N не может быть простым, так как оно больше р —1 самого большого простого числа (по предположению); но оно не может быть и составным (следует доказательство автора, конечно, надлежащим образом исправленное). Итак, натуральное число N (большее единицы), не является ни простым, ни составным, что явно нелепо. В таком виде доказательство не вызывало бы никаких неправильных толкований.

Мы потому уделили столько внимания и места такому сравнительно мелкому вопросу (есть или нет ошибки в таком-то доказательстве), что вопрос этот выходит за свои рамки. Он перерастает в вопрос о стиле изложения и приемах доказательства, допустимых в научно-популярной книге, рассчитанной на широкие круги советских читателей.

Само собой разумеется, что редакционное примечание к заметке т. Александрова, указывающее на наличие грубой математической ошибки в другом месте книги Бермана, остается в полной силе.

От редакции

В журнале „Математика в школе“ № 2 1953 года на стр. 96, строка 4 снизу напечатано: следует читать:

тираж 50000 экз. тираж 60000 экз.

ХРОНИКА

О РАБОТЕ СЕКЦИИ МАТЕМАТИКОВ ДОБРЯНСКОГО РАЙОНА

А. А. МАМИНА (г. Добрянка)

В настоящей статье изложен опыт работы секции математиков в Добрянском районе Молотовской области.

Секция существует уже на протяжении ряда лет; ниже мы остановимся более подробно на работе, проведенной за последние два года.

В четырнадцати школах района работает 32 учителя математики.

Совещания секции проводятся один раз в месяц по определенному календарному плану, составленному на полугодие. На заседание секции приезжают математики из близлежащих школ (Сенькинская, Палазненская, Висимская, Усть-Гаревская, Верх-Добрянская) и математики города.

Математики отдаленных школ Перемекая (42 км), Никуленская (60 км), Таборская (60 км) не могут посещать ежемесячно эти собрания. На январском совещании было вынесено предложение организовать в с. Перемском секцию математиков, куда и должны приезжать математики дальних школ.

Связь с этой секцией осуществляется через директоров, приезжающих ежемесячно в Добрянку.

По своему содержанию проводимая методическая работа охватывает такой круг вопросов:

1. Дидактические вопросы улучшения качества урока и борьбы за повышение успеваемости.

2. Отчеты о состоянии успеваемости за полугодие или за год, анализ весенних экзаменационных работ.

3. Методика внеклассной работы (кружки учащихся, математические вечера и т. п.).

4. Изучение опыта лучших учителей (открытые уроки, взаимопосещения уроков, выставки).

5. Работа школьных секций.

В группу дидактических вопросов входят: планирование учебного материала (на четверть, полугодие), методика планирования урока.

Планирование учебного материала поручается опытным учителям, которые, кроме разбивки тем по часам, останавливают внимание учителя на отдельных более трудных темах.

За последнее время учителя, приезжая на конференции, имеют уже при себе готовые планы и только уточняют время прохождения той или иной темы. Вся работа, входящая в этот круг вопросов, проводится в форме докладов, методических разработок, практикумов, консультаций по отдельным темам. Вот краткий перечень докладов, методических разработок и практикумов, проведенных за последние годы:

1. Уравнение 1-й степени в средней школе (по книге А. Н. Барсукова).

2. Подготовка учителя к уроку как важнейшее условие успешного обучения.

3. Систематическая проверка знаний учащихся

4. Учет знаний учащихся (опрос).

5. Предупреждение неуспеваемости по математике в средней школе.

6. Внеклассная работа по математике.

7. Формализм в преподавании математики и пути его изжития.

8. Геодезические измерения на местности.

9. Элементы функциональной зависимости в алгебре и арифметике.

10. Методика обучения решению задач на доказательство.

11. Методика решения задач на построение.

12. Методика графического решения системы уравнений 1-й степени с двумя неизвестными.

13. Методика систематического устного счета в V—VI классах (с подбором практического материала упражнений).

14. Методические разработки по отдельным текущим темам:

а) Повторение пройденного за начальную школу

б) Методика решения задач в V классе а письменным объяснением.

15. Практикум по решению задач:

а) Решение задач на построение.

б) Решение задач на нахождение части числа и числа по части.

в) Решение задач на пропорциональное деление.

Тематика докладов за нынешний год взята из указаний института усовершенствования, а за прошлые годы из запросов учителей.

Так, например, борьба за прочные навыки в решении уравнений в VII классе выдвинула со всей остротой вопрос о тщательном изучении методики решения уравнений, в связи с чем и был поставлен доклад «Решение уравнений 1-й степени».

На будущее время мы предлагаем ввести такой порядок, чтобы к докладам на ту или иную тему готовился не один докладчик, а несколько человек. Это повышает и ответственность докладчика, и активность слушателей.

Начиная с 1948/49 учебного года, была развернута большая методическая работа по анализу весенних экзаменационных работ по школам Добрянского района. В 1950/51 учебном году работу по анализу проводил актив математиков в количестве шести человек. Все члены актива под моим руководством просматривали работы каждой школы, начиная с V—VII классов.

Такая организация работы дает возможность коллективного обсуждения и анализа ошибок и сокращает время, затрачиваемое на эту работу. После такой работы ежегодно проводится заключительное собрание математиков, на котором и делается сообщение итогов анализа, даются практические указания к устранению недостатков в преподавании математики, поручаются индивидуальные задания учителям, сообразуясь с условиями их работы за прошедший год. На августовской конференции снова ставится вопрос об анализе письменных работ с установкой на ликвидацию имеющихся ошибок.

С целью выявления состояния внеклассной работы в школах района на январском совещании в 1949 году был поставлен специальный доклад «Внеклассная работа по математике».

Из сообщений с мест выявилось, что в большинстве школ математические кружки работают, но носят исключительно практическую цель — обучение учащихся вычислениям на торговых счетах.

Из-за недостатка литературы почти отсутствует сообщение исторических сведений.

В предложениях по докладу указывалось, что в работу кружков необходимо вводить исторический элемент, знакомить хотя бы кратко с биографиями великих ученых: Ломоносова, Лобачевского, Чебышева, Ковалевской; заниматься такими практическими вопросами, как измерение площадей полей, лугов, измерение объемов силосных ям, собирание сведений о практическом обмере площадей.

Учитывая воспитательное значение внеклассной работы о учащимися, в октябре 1951 года мы снова поставили доклад «Внеклассная работа», в котором докладчик остановился на значении, содержании и формах внеклассной работы.

В предложениях по докладу указывается, что теперь есть возможность: 1) шире развернуть кружковую работу, 2) установить единый день занятий в кружках, 3) провести внутришкольную олимпиаду в районную в январе.

Опыт проведения внутришкольной олимпиады, выпуск математической газеты, проведение математического вечера в школе № 1 был отражен на выставке районного январского совещания учителей. На выставку также были представлены альбомы с биографиями П. Л. Чебышева, Н. И. Лобачевского и С. В. Ковалевской. .

Одной из важнейших задач секции является изучение опыта лучших учителей района. Эта работа развернута пока слабо; при изучении лучшего опыта встречается ряд трудностей, являющихся следствием недостаточной разработки методики этого дела.

Большое значение мы придаем проведению открытых и изучению повседневных уроков, которые показывают целую систему работы учителя. Проведение открытых уроков приурочивается к дням заседания секции. Кроме этого, учителя из района имеют возможность побывать на уроках в школах № 1 и № 9 у любого учителя математики, а на заседании секции обсудить друг с другом, что ценного получили они от этих посещений.

Второй, вполне оправдывающей себя формой обмена опытом внутри коллектива школы и между школами, являются взаимопосещения уроков. Математики бывают и на уроках родственных дисциплин — физики и химии. Частое взаимопосещение уроков дает возможность учителю принимать активное участие в обсуждении вопросов по улучшению преподавания математики в школе.

Третьей эффективной формой обмена опытом является методическая выставка на январской и августовской конференциях, к которым необходимо тщательно готовиться, умело подбирать материал, характеризующий лучший опыт (наглядные пособия, конспекты уроков, методические разработки, рабочие планы).

Материалы на выставку дает главным образом школа № 1. Слабо привлекаются к этому большому делу школы района (за исключением Сенькинской школы).

С целью распространения передового опыта лучших учителей, который освещается в педагогической литературе, секция стремится познакомить каждого учителя с новейшими книгами и журналами, организует обмен методическими пособиями; на заседаниях разбираются статьи из журналов «Математика в школе», «Советская педагогика» и из «Учительской газеты». Так, например, были разобраны следующие статьи:

1. Статья т. Маролевой «Опыт преподавания математики» (г. Шуя Иваново-Вознесенской области)

2. «Геометрические сведения в курсе арифметики в V классе» («Математика в школе», 1950, № 5).

3. «О воспитании у учащихся чувства советского патриотизма и советской национальной гордости в связи с изучением математики в средней школе» («Математика в школе», 1948, № 6).

4. «Заметки о преподавании математики» («Учительская газета»).

5. «Предупреждение неуспеваемости» («Учитель екая газета») и другие.

Многие учителя систематически занимаются самообразованием. Они изучают труды классиков марксизма-ленинизма, знакомятся с методической литературой, читают художественную литературу.

На августовской конференции 1951 года был поставлен специальный доклад «О самообразовательной работе учителя и индивидуальных планах» (докладчик Г. М. Королев).

Докладчиком были внесены следующие предложения:

1. Всем учителям составить планы самостоятельной работы.

2. На каждом заседании секции заслушивать того или иного товарища о выполнении плана работы по самообразованию.

3. В школьной секции практиковать самоотчеты учителей на каждом заседании.

Молотовскому областному институту усовершенствования нужно обратить внимание на регулярное пополнение нашей библиотеки самыми необходимыми для учителя пособиями, так как в них ощушается острый недостаток.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЁННЫХ в № 6 за 1952 г.

№ 85

Решить уравнение:

Решение. Умножим обе части уравнения на —2 и прибавим к обеим частям по единице. В результате получим следующее уравнение:

Это уравнение можно представить в таком виде:

Корни этого уравнения найдем, решив следующие два уравнения:

Это дает нам:

№ 86

Найти все двузначные числа, каждое из которых на 9 больше суммы квадратов его цифр.

Решение. Искомое число представим в следующем виде: 10х+у. На основании условия задачи можем написать:

Представим это уравнение так:

Так как

и так как число 2 (д; — 5) есть четное число, то для отыскания целых положительных значений х и у можем положить:

Это дает нам:

Итак, искомые числа суть:

91, 90, 11, 10, 74, 34.

№ 87

Найти комплексное число z, если

Решение. Имеем:

и

Положим: Тогда:

Итак, для решения задачи остается решить систему уравнений:

В результате будем иметь:

№ 88

Найти коэффициенты уравнения

зная, что m — натуральное число и что корнями уравнений являются числа, обратные четырем последовательным числам натурального ряда.

Решение. Пусть наибольшим корнем уравнения

является число , где k — некоторое натуральное число. Остальные корни суть

Имеем :

Отсюда следует, что

Таким образом число k удовлетворяет неравенствам

Легко установить, что k = 3. Итак, корнями уравнения могут служить числа

Так как

то m = 18.

В этом случае уравнение примет вид:

Корнями этого уравнения действительно служат числа

№ 89

Определить площадь ромба ABCD, зная, что радиусы окружностей, описанных около треугольников ABD и ACD, равны соответственно R и r.

Решение. Пусть точка О—точка пересечения диагоналей ромба. Пусть также диагональ АС пересекает окружность, описанную около треугольника ABD, в точке Е, а диагональ BD пересекает окружность, описанную около треугольника. ACD, в точке F (черт. 1). Имеем:

Положим

Следовательно,

Это дает нам

Таким образом,

Обозначим каждое из этих отношений через t. Тогда

Отсюда

Следовательно

№ 90

Найти катеты прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вневписанного круга, касающегося гипотенузы, равен 2 см, а высота, опущенная на гипотенузу, равна (7/6 — 2) см.

Решение. Пусть окружность с центром в точке Е касается гипотенузы в точке К, продолжения катета АС — в точке D, а продолжения катета С В — в точке F (черт. 2). Пусть также СН ±АВ и ЕК±АВ.

Имеем : Так как

Черт. 1

Черт. 2

Обозначим угол МСН через а. Тогда и а = 30°. Таким образом,

Окончательно будем иметь:

№ 91

Дан четырехугольник ABCD, в который можно вписать окружность и около которого можно описать окружность. Доказать, что сумма расстояний центра описанной окружности от сторон четырехугольника равна сумме радиусов окружностей, описанных около треугольников АМВ, ВМС, CMD, DMA, где M — точка пересечения диагоналей четырехугольника.

Решение. Пусть точка О является центром описанной около четырехугольника окружности (черт. 3).

Положим

Расстояния от точки О до сторон четырехугольника ABCD обозначим соответственно через пх, Л2, Л3, /?4. Обозначим радиус окружности, описанной около четырехугольника ABCD, через R, а радиусы окружностей, описанных около треугольников АМВ, ВМС, CMD, DMA, соответственно через Rl% R2, Rzj Ri* Имеем:

Так как

Согласно условию,

Следовательно,

Имеем далее:

Таким образом:

С другой стороны:

так как

№ 92

В прямой круговой усеченный конус вписан шар. Объем этого шара составляет половину объема конуса. Найти угол наклона образующей конуса к плоскости основания.

Решение. Построим осевое сечение конуса (черт. 4). Пусть точка О — центр вписанной в трапецию ABCD окружности. Радиус этой окружности обозначим через rlf а радиусы оснований конуса — через R и г.

Черт. 3

Черт. 4

Из условия задачи следует:

где Л — высота усеченного конуса. Так как

Далее

В результате получаем уравнение:

Это дает нам:

Так как

то

№ 93

Дана окружность и две точки. Через эти точки провести окружность так, чтобы она пересекала данную окружность в ее двух диаметрально противоположных точках.

Решение. Пусть точка О — центр данной окружности, а точка 0\ — центр искомой окружности. Радиус данной окружности обозначим через R, а искомой — через г. I IycTb точки А н В — данные точки, a M, N — точки, в которых окружность радиуса г пересекает данную окружность (черт. 5). Легко установить, что 0\0 J_iW.V. С другой стороны, точка 0\ равно удалена от точек А и В. Имеем:

Таким образом точка 0\ лежит на перпендикуляре к отрезку AB, проходящем через его середину, и в то же время принадлежит геометрическому месту точек, разность квадратов расстояний которых от О и К есть величина постоянная. Дальнейшее ясно.

№ 94

Доказать, что число вида

при любом натуральном значении х делится на 10.

Решение. Имеем:

ХП _ х%1 = Х2П (д;3в _ 1).

Если X четно, то л;87 четно. Следовательно, число хп _ ХЪ1 делится на 2.

Если X нечетно, то *36 — 1 четно. Следовательно, хп — xzi и в этом случае делится на 2. Остается доказать теперь, что число хп — *37 делится на 5. Если X кратно 5, то *37 кратно 5. Пусть теперь х не делится на 5. Предположим сначала, что х = 5 п ± 1, где п — целое число. Число х*6 — 1 делится на число X2 — 1, т.е. на число 25п2 + 10п, следовательно, делится на 5. Предположим, что х = 5 п ±2. Число ^36—1 делится на число х2+\, т. е. на число 25 п2 + 20 п + 5, и, следовательно, делится на 5.

№ 95

Дан прямоугольный треугольник ABC (угол С — прямой). Из вершины А радиусом, равным катету АС, описана дуга, пересекающая гипотенузу в точке Е. Из вершины В радиусом, равным катету ВС, описана дуга, пересекающая гипотенузу в точке D. В криволинейную фигуру С DE вписан равносторонний треугольник С МК, причем точка M лежит на дуге CD, а точка N — на дуге СЕ. Определить площадь треугольника CMN, если площадь треугольника ABC равна Q, а дуга MD равна половине дуги СМ.

Решение. Обозначим катеты прямоугольного треугольника через а и Ь. Проведем В К _]_ СМ (черт. 6).

Так как CK = КМ и CN = NM, то прямая ВК пройдет через точку N. Проведем

Черт. 5

Черт. 6

Так как CL = LN и CM = MN, то прямая AL пройдет через точку М. По условию

Следовательно,

Из равенства треугольников СБУ и MBN следует, что Z.BNC = Z.BNM = 150°. Точно также из равенства треугольников AMN и AMC следует, что Z. AMN = Z. AMC = 150°. Таким образом,

Из треугольников CBN и АСМ имеем соответственно :

Отсюда

С другой стороны

Это дает нам:

Так как

Принимая во внимание, что А и В острые углы, будем иметь А = В = 45°. Вместе с тем

и площадь треугольника CMN будет равна

№ 96

Решить в поле действительных чисел уравнение

Решение. Данное уравнение можно представить в следующем виде:

или

Таким образом, один из корней уравнения равен числу — 0,5. Далее полагаем

Тогда

В результате получим уравнение:

Решая это уравнение в поле действительных чисел, получим: у = — 1.

Таким образом, вторым действительным корнем данного уравнения является число 2.

№ 97

Определить углы равнобедренного треугольника, зная, что его ортоцентр лежит на вписанной в треугольник окружности.

Решение. Пусть в треугольнике ABC

АС = ВС, AB = a, ZLBAC = а (черт. 7)

Центр вписанной в треугольник окружности обозначим через О, ее радиус — через г, точку касания этой окружности с основанием — через D, а со стороной АС — через F, ортоцентр — через Н. Имеем:

Из треугольников AHD и AOD будем иметь:

и

Итак, и

№ 98

При каких значениях а система неравенств

удовлетворяется при любом значении .v?

Черт. 7

Решение. Так как дискриминант трехчлена X2 — X -(- 1 равен числу — 3, то

при всех значениях х. Следовательно, данная система неравенств равносильна следующей системе:

После преобразований приходим к системе:

Оба неравенства будут справедливы при всех значениях в том случае, если

Эта система неравенств справедлива при -1<я<2.

№ 99

Оценить погрешность, возникшую при замене выражения

выражением

при малом I ß |.

Решение. Пусть

Обозначим относительную погрешность через Ь. Имеем :

Предположим, что ß>0. Тогда

где

Далее

Следовательно,

Подобным же образом можно оценить погрешность и при ß<0. В этом случае точность будет ниже.

№ 100

Построить график функции

Решение. Допустимыми значениями аргумента являются значения, удовлетворяющие неравенствам:

где

£ = 0,+ 1,±2,...

Каждому такому значению х соответствуют два значения у. Таким образом, график данной функции на этих отрезках состоит из графиков функций

заданных на этих же отрезках.

Решение задачи № 82 из № 5 за 1952 г.

Для любого натурального числа а можно найти такие натуральные числа b и с, что будет иметь место тождество

Доказать. Найти b и с при условии, что а = 3.

Решение. От данного в условии равенства легко перейти к равенству

Это дает нам

Положим и

Тогда и

Так как

Следовательно,

либо либо

Черт. 8

Так как

b и с — натуральные числа, то m и п — целые и положительные числа. Но всегда можно найти такие натуральные числа m и п, что тп = я3 + 1. Следовательно, всегда можно найти и натуральные числа b = а+т и с = а+п. В этом случае будет иметь место равенство

Отсюда следует, что углы arcctg а и arcctg b + + arcctg с имеют равные котангенсы. Но при натуральных b и с

и

Потому

Так как

Вместе с тем и

Отсюда следует, что

Если

то

Можно взять

Тогда

ЗАДАЧИ

34. Три шара радиуса R касаются одной и той же плоскости, и каждый из них касается двух других. Найти радиус шара, касающегося плоскости и трех данных шаров.

С. Андреев (Ленинград).

35. В треугольнике ABC биссектрисы AD = k\% BP=kî и СЕ = k3 составляют со сторонами ВС, АС и AB соответственно углы а, ß и 7. Выразить произведение sin (X'Sin р-sin y через биссектрисы и высоты Нь А2, А3 треугольника.

К. Войшеховский (Польша).

36. В треугольнике ABC точка О является центром вписанной окружности. Пусть Z. АОВ = 7, 4L АОС = ß, z. СОВ = а. Вычислить площадь треугольника, зная что

sin a-sin ß• sin у = m (0 < m < 1)

и

R-r= n, где R — радиус описанной, a г —радиус вписанной в треугольник окружности.

К. Войшеховский.

37. Даны три точки M, N и Р, не лежащие на одной прямой. Построить треугольник по следующим условиям: точки M и N являются его вершинами; одна из сторон треугольника лежит на прямой NP; периметр треугольника, отсекаемого от искомого треугольника биссектрисой угла N и прилежащего к прямой iVP, равен данному отрезку р.

Н. Добрынина (Москва).

38. Числа а, 3» y удовлетворяют условиям:

Доказать справедливость неравенства:

Ю. Изосимов (Астрахань).

39. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины С прямого угла проведены высота СН и биссектриса CL. На стороне СВ (СВ>СА) отложен отрезок СР = CA. Прямые АР и СИ пересекаются в точке К- Найти длину отрезка /С/-, если дано: АС = Ь, ВС = а.

Ю. Изосимов.

40. Дан трехгранный угол, все плоские углы которого прямые. На одном из ребер взята точка А, на другом — точка В, на третьем — точка С. Обозначим вершину трехгранного угла через О, а проекцию этой вершины на плоскость ABC — через S. Доказать, что площадь треугольника АОВ есть средняя пропорциональная между, площадями треугольников АСВ и ASB.

В. Козьмодемьянский (Сызрань).

41. Требуется изготовить тетраэдр из треугольного листа жести (не разрезая его на части). При каких условиях это можно сделать? Вычислить сумму косинусов линейных углов всех двугранных углов тетраэдра.

Г. Копылов (Днепродзержинск).

42. Три однозначных числа а, Ь, с образуют арифметическую прогрессию. Числа a, ab, ce также образуют арифметическую прогрессию. Найти а, Ь, с.

М. Лейбман (Свердловская обл.).

43. В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ через сторону оснований AB и противоположную ей вершину Ci проведена плоскость. Вторая плоскость проведена через сторону AtBt и вершину С. Найти

отношение объемов частей призмы, на которые ее разбивают проведенные плоскости.

Л. Лоповок (Проскуров).

44. С помощью одной линейки провести прямую параллельно основаниям данной трапеции так, чтобы ее отрезок, заключенный внутри трапеции, делился диагоналями на три равные части.

Т. Мышакова (Одесса).

45. Доказать, что диаметр вписанной в треугольник окружности не может быть больше радиуса описанной окружности.

С. Петров (Гайсин).

46. Между цифрами 1 и 6 числа 16 ставим число 15. Далее между цифрами 1 и 5 полученного числа ставим снова число 15 и т. д. Получим числа: 1 156, 111556, 11 115 556,... Доказать, что все полученные таким способом числа — полные квадраты.

Е. Прицкер (Киев).

47. Даны целые, положительные числа я, Ь, с, d, е. Доказать, что, если число a + Ь + с + d + е кратно числу 30, то и число

a* + b*+cu + d* + eS

также кратно числу 30.

П. Титов (Тюмень).

48. Построить трапецию по ее боковым сторонам, углу между продолжениями боковых сторон и углу между диагоналями.

X. Хамзин (Стерлитамак).

49. Плоские углы трехгранного угла равны а, ß, 7. Обозначим углы между биссектрисами углов ß и т, между биссектрисами углов а и y, между биссектрисами углов а и р соответственно через аь ß«, fi-

Доказать, что

X. Хамзин.

50. Доказать, что

К. Хоменко (Смела).

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

1. Найти наибольшее и наименьшее значение суммы sin х+ cos х, зная, что л; —угол в первой четверти.

2. Доказать, что если числа

образуют арифметическую прогрессию, то

(Задачи 1—2 были предложены на Смоленской математической олимпиаде. Сообщили М. Балк и И. Раухваргер.)

3. На полуокружности диаметра AD лежат точки Л, В, С, D. Хорды АС и BD пересекаются в точке Е. Доказать справедливость равенства:

AD* = АЕ'АС + DE-BD.

Р. Бернштейн (Мукачево).

4. Три равнобедренных треугольника ABCt АВС\ и ABCt имеют общее основание AB, а высоты их равны соответственно у AB, AB и -тр AB. Вычислить сумму углов при вершинах этих треугольников.

Р. Бернштейн.

5. Решить уравнение:

Р. Бернштейн.

6. Разложить на множители:

П. Китайгородский (Москва).

7. В правильной двенадцатиугольной призме через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол в 45°. Определить площадь сечения, если сторона основания равна а = 5 см.

П. Китайгородский.

8. Решить уравнение

Е. Майданник (Конотоп).

9. Не решая уравнения

вычислить разность кубов его корней.

Е. Майданник.

10. Стороны треугольника составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна 2 см. Площадь треугольника равна 6 см2. Определить стороны.

Е. Майданник.

11. Если

Доказать.

А. Микиша и В. Михельсон (Москва).

12. Найти отношение объемов и поверхностей, тел, полученных при вращении ромба с острым углом а вокруг обеих его диагоналей.

А. Микиша и В. Михельсон.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

С. А. Пономарев — К вопросу о политехническом обучении в преподавании математики ................................. 1

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ РАЗДЕЛ

П. С. Моденов —Об эквивалентности систем уравнений............. 11

МЕТОДИКА

Г. А. Назаревский — О развитии пространственных представлений на уроках геометрии ................................ 24

Н. С. Воробьев — Решение задач по стереометрии методом прямоугольных проекций ................................... 33

И. И. Смирнов — Тригонометрические уравнения в школьном курсе...... 42

ИЗ ОПЫТА

Т. К. Шабашов — Понятие об иррациональном числе в курсе VIII кл....... 62

П. А. Буданцев — Тождественные преобразования иррациональных выражений в курсе VIII кл............................... 69

С. И. Новоселов — О тождественных преобразованиях............. 76

От редакции — К вопросу о политехнизме.................. 77

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Н. М. Матвеев —О книге К. У. Шахно. «Сборник задач по математике» .... 80

А. Н. Барсуков — Об одной заметке...................... 84

ХРОНИКА

А. А. Мамина — О работе секции математиков Добрянского района....... 86

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 6 за 1952 г.................. 88

Задачи.................................... 94

Задачи для учащихся.............................. 95

Редакционная коллегия:. Редактор А. Н. Барсуков. Зам. редактора С. И. Новоселов, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Р. С. Терюкалова.

Технический редактор С. Н. Шахов Корректор А. А. Журавлев

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

Сдано в производство 5/III 1953 г. Подписано к печати 23 IV 1953 г. Учетно-изд. л. 10,15

А02430 Заказ 115. Тираж 60 000 экз.

Печ. зн. в п. л. 72 000. Цена 4 р. 50 к. Бумага 84 X 108716=3 бум. л.—9,84 п. л.

13-я Журнальная типография Союзполиграфпрома, Главиздата Министерства культуры СССР.

Москва, Гарднеровский пер., 1а.

Цена 4 руб. 50 коп.

ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ КНИГИ:

КОСТИН В. И. Основания геометрии. Изд. 2-е. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебника для педагогических институтов. Учпедгиз, 1948 г., цена 6 р. 50 к.

ЛУЗИН Н. Н. Теория функции действительного переменного.

Общая часть. Учебное пособие для педвузов. Изд. 2-е. Учпедгиз, 1948 г., цена 7 р. 85 к.

НОРДЕН А. П. Дифференциальная геометрия. Учебное пособие для педагогических институтов. Учпедгиз, 1948 г., цена 5 руб.

ПОПОВ П. И. и БОГУСЛАВСКАЯ Н. Практикум по астрономии. Учебное пособие для педагогических институтов. Учпедгиз, 1947 г., цена 2 р. 50 к.

ФИНИКОВ С. П. Аналитическая геометрия. Курс лекций в Московском городском педагогическом институте. Изд. 2-е. Учпедгиз, 1952 г., цена 7 р. 50 к.

МЛОДЗИЕВСКИЙ А. Б. Термодинамика. Курс теоретической физики. Пособие для пединститутов. Изд. 2-е. Учпедгиз, 1948 г., цена 8 р. 20 к.

Продажа в магазинах книготоргов.

Книги также высылаются по почте наложенным платежом, для чего заказы необходимо направлять отделу «Книга — почтой“ областного книготорга.

В случае отсутствия книг на местах заказы следует направлять по одному из следующих адресов:

1. Москва, 2-й Щукинский проезд, дом 3/8, магазину № 55 Москниготорга.

2. Москва, Б. Октябрьское поле, 9-я улица, корпус 1, магазину № 67 Москниготорга.

Союзкниготорг.