МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

2

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1953

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 2

МАРТ — АПРЕЛЬ 1953 г.

ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЕ ОБУЧЕНИЕ В СОВЕТСКОЙ ШКОЛЕ

Товарищ Сталин в своем гениальном труде «Экономические проблемы социализма в СССР», рассматривая вопрос о переходе от социализма к коммунизму, пишет, что для этого перехода необходимо осуществить три основных предварительных условия. Для осуществления третьего предварительного условия необходимо введение всеобщего политехнического обучения.

«Необходимо, в-третьих, добиться такого культурного роста общества, который бы обеспечил всем членам общества всестороннее развитие их физических и умственных способностей, чтобы члены общества имели возможность получить образование, достаточное для того, чтобы стать активными деятелями общественного развития, чтобы они имели возможность свободно выбирать профессию, а не быть прикованными на всю жизнь, в силу существующего разделения труда, к одной какой-либо профессии» (И. В. Сталин, Экономические проблемы социализма в СССР, Госполитиздат, 1952, стр. 68—69).

XIX съезд Коммунистической партии Советского Союза, руководствуясь гениальным трудом И. В. Сталина «Экономические проблемы социализма в СССР», наметил программу грандиозных работ, необходимых для построения коммунизма в нашей стране.

Директивы XIX съезда партии по пятому пятилетнему плану развития СССР определяют пути могучего подъема народного хозяйства страны и дальнейшего роста материального благосостояния и культурного уровня советского народа. Новые задачи исторического значения поставлены пятилетним планом в области народного образования.

Директивами XIX съезда по пятому пятилетнему плану развития СССР на 1951 —1955 годы дано указание завершить к концу пятилетки переход от семилетнего образования на всеобщее среднее образование (десятилетка) в столицах республик, городах республиканского подчинения, в областных, краевых и крупнейших промышленных центрах и подготовить условия для полного осуществления в следующей пятилетке всеобщего среднего образования (десятилетка) в остальных городах и сельских местностях.

Для выполнения этой задачи предусмотрено увеличение строительства городских и сельских школ, примерно, на 70% по сравнению с предыдущим пятилетием, а для обеспечения возрастающей сети школ необходимым количеством учителей — увеличение приема в педагогические институты в 1951—1955 годах на 45% по сравнению с приемом за 1946—1950 годы.

В целях дальнейшего повышения социалистического воспитательного значения общеобразовательной школы и обеспечения учащимся, заканчивающим среднюю школу, условий для свободного выбора профессий, в решениях съезда дано задание приступить к осуществлению политехнического обучения в средней школе и провести мероприятия, необходимые для перехода к всеобщему политехническому обучению.

Новый этап в истории развития советской школы требует от каждого учителя глубокого изучения решений XIX съезда партии и активного, творческого участия в осуществлении задач, поставленных XIX съездом.

Для каждого учителя особое значение имеет его участие в осуществлении политехнического обучения в школе.

Как известно, проблема политехнического образования была впервые поставлена К. Марксом и Ф. Энгельсом и свое дальнейшее развитие получила в трудах В. И. Ленина и И. В. Сталина. Эта проблема является составной частью учения о построении коммунистического общества и вытекает из анализа развития производительных сил нашей страны.

Энгельс пишет, что «...промышленность, управляемая всем обществом планомерно и в общественном интересе, нуждается в людях со всесторонне развитыми способностями, в людях, способных ориентироваться во всей системе производства» (К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., т. V, 1929, стр. 478).

Необходимость политехнического образования возникает еще в условиях капитализма. Крупная промышленность, революционизируя разделение труда внутри общества, непрерывно бросает массы капитала и массы рабочих из одной отрасли производства в другую. Природа крупной промышленности требует от рабочего широкой технической культуры и быстрой ориентации в постоянно изменяющемся производстве. «С другой стороны, в своей капиталистической форме она воспроизводит старое разделение труда с его закостеневшими специальностями» (К.Маркс, Капитал, т. I, 1949, стр. 412).

Вот почему Маркс указывает, что только «...неизбежное завоевание политической власти рабочим классом завоюет надлежащее место в школах рабочих и для технологического обучения, как теоретического, так и практического» (К. Маркс, Капитал, т. I, 1949, стр. 493).

Владимир Ильич Ленин более полно развил учение Маркса — Энгельса о политехническом образовании.

В программе партии, принятой на VIII съезде РКП(б), было записано, что задачей партии является «Проведение бесплатною и обязательного общего и политехническою (знакомящего в теории и на практике со всеми главными отраслями производства) образования для всех детей обоего пола до 17 лет».

В 1920 году Владимир Ильич, просматривая тезисы Н. К. Крупской о политехнизме, сделал ряд замечаний, имеющих исключительное значение для понимания политехнического образования. В. И. Ленин писал, что в деле обучения молодежи следует «...безусловным заданием поставить немедленный переход к политехническому образованию или, вернее, немедленное осуществление ряда доступных сейчас же шагов к политехническому образованию...» (Ленин, Соч., т. XXX, изд. 3, стр. 419).

Политехническое образование является важнейшим средством развития всех способностей человека в социалистическом обществе. Бурное развитие промышленности в нашей стране, высшая техника требуют подготовки всесторонне развитого, высокообразованного рабочего.

Товарищ Сталин пишет: «Что было бы, если бы не отдельные группы рабочих, а большинство рабочих подняло свой культурно-технический уровень до уровня инженерно-технического персонала? Наша промышленность была бы поднята на высоту, недосягаемую для промышленности других стран» (И. В. Сталин, Экономические проблемы социализма в СССР, Госполитиздат, 1952, стр. 28).

Осуществим ли такой подъем культурно-технического уровня трудящихся в условиях советского строя? Да, он осуществим, так как у нас производительные силы освобождены от оков капитализма, труд освобожден от гнета эксплуатации, у власти стоит рабочий класс и молодое поколение страны имеет все возможности получить достаточное техническое образование.

В чем же сущность политехнического обучения?

Классическое определение сущности политехнического обучения дано Марксом. Это — обучение, которое «...знакомит с основными принципами всех процессов производства и в то же время дает ребенку или подростку навыки обращения с простейшими орудиями всех производств» (К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., т. XIII, ч. I, 1936, стр. 199).

Содержание политехнического обучения в школе раскрыто В. И. Лениным в известных замечаниях на тезисы Н. К. Крупской. В это содержание В. И. Ленин включает основные понятия об электричестве, о применении электричества, о плане электрификации страны, посещение электрической станции, завода, совхоза, знания основ агрономии.

Излагая конкретные мероприятия для осуществления в школе 2-й ступени доступных первоначальных шагов к политехническому образованию, В. И. Ленин требует, чтобы ученик по окончании школы 2-й ступени «...имел политехнический кругозор и основы (начатки) политехнического образования, именно:

(аа) основные понятия об электричестве (точно определить, какие),

(бб) о применении электричества к механической промышленности,

(вв) » тоже к химической,

(гг) тоже о плане электрификации РСФСР,

(дд) посетил не менее 1—3 раз электрическую станцию, завод, совхоз,

(ее) знал такие-то основы агрономии и т. д. (В. И. Ленин, Соч., т. XXX. изд. 3, стр. 419).

В. И. Лениным названы четыре главнейшие отрасли производства: энергетика, механическая промышленность, химическая промышленность и сельское хозяйство.

Эти производства охватывают все многообразие конкретных видов производств. Возникает вопрос: с какими же конкретными производ-

ствами надо знакомить учащихся, чтобы дать им необходимый политехнический кругозор?

В. И. Ленин говорит, что политехнический принцип «не требует обучения всему, но требует обучения основам современной индустрии вообще» (запись Ленина на III сессии ВЦИК VII созыва 26—27 сентября 1920 г. по докладу Наркомпроса).

Следовательно, в содержание политехнического обучения должны быть включены те основные, общие черты и моменты, немногие научные принципы, усвоение которых должно облегчить в дальнейшем понимание любого конкретного производства.

Мы знаем, что электричество проникло во все отрасли промышленности, в сельское хозяйство и транспорт, что где бы ни стал работать наш ученик, по окончании школы он непременно будет иметь дело с электричеством. Отсюда следует вывод, что знания и навыки по электротехнике обязательно должны входить в содержание политехнического обучения.

Несмотря на огромное разнообразие различных машин, в них можно найти общее. Эти общие моменты — машина-двигатель, передаточный механизм и рабочая машина. Поэтому учащиеся должны быть хорошо ознакомлены с работой не только электрического двигателя, но и двигателя внутреннего сгорания.

Наше сельское хозяйство все более и более приобретает характер индустриального производства. В нем находят применение разнообразнейшие машины, электричество и химия. Поэтому овладение общими научными принципами энергетики, механической и химической технологией является подготовкой к участию не только в промышленности, но и в сельском хозяйстве. Учащиеся должны быть ознакомлены с научными принципами агрономии, основанными на элементах мичуринской биологии.

Из всего сказанного выше можно наметить те умения и навыки, общие для всех производств, которыми должны овладеть учащиеся.

К числу их можно отнести: умение в уме производить различные вычисления, умения читать и выполнять чертежи, схемы, пользоваться измерительными приборами, справочными таблицами, обращаться с простейшими машинами, выполнять несложные электромонтажные и радиотехнические работы, иметь понятие о выращивании сельскохозяйственных культур и др.

Без знания основ наук нельзя понять научных основ производства. Поэтому необходимо прежде всего дать учащемуся широкое общее образование: знание математики, физики, химии, биологии, понимание законов природы, на использовании которых основывается техника. Политехническое образование будет помогать более глубоко и осмысленно овладевать учащимися основами наук.

Политехническое обучение даст учащимся знания общих основ производства, вооружит их рядом практических навыков, соединяя обучение с общественно-производительным трудом. Такие формы труда, как изготовление предметов оборудования для школы, выращивание культур на пришкольном участке и др., не только будут способствовать воспитанию коммунистических черт у учащихся (коллективизм, уважение к труду, новаторство), но и позволят им увидеть в труде поле для приложения научных знаний.

В истории развития советской школы было немало допущено ошибок в деле политехнического образования. После Великой Октябрьской революции при школе создавались примитивные мастерские по картону, лепке и т. п. Связи между учебными предметами и трудом не было.

На более позднем этапе развития школы сторонники антиленинской теории «отмирания школы» выдвинули идею преврал;ения школы в цех завода, оторвав тем самым политехнизацию школы от общего образования и подчинив обучение производственной практике и общественной работе учащихся.

ЦК ВКП(б) в своем постановлении «О начальной и средней школе» от 5 сентября 1931 года осудил эти взгляды: «Всякая попытка оторвать политехнизацию школы от систематического и прочного усвоения наук, особенно физики, химии и математики, преподавание которых должно быть поставлено на основе строго определенных и тщательно разработанных программ, учебных планов и проводиться по строго установленным расписаниям, представляет собой грубейшее извращение идей политехнической школы».

Политехническое обучение в школе должно строиться на прочном фундаменте знаний общеобразовательных предметов, особенно таких, как физика, химия и математика. Ознакомление с основами современного производства подразумевает не только понимание сущности технологического процесса, машин и орудий, но и понимание общественного характера производства, его роли в жизни социалистического общества, его организации, размещения основных природных богатств сырьевых ресурсов и промышленности в мире и в СССР и т. д. Ознакомление с основами производства должно включать и краткие сведения из истории рассматриваемого способа производства, роли русских и советских ученых в истории техники, перспективы развития, показ учащимся на художественных образах самоотверженного труда советских лю-

дей на производстве, в сельском хозяйстве и т. д.

Все эти знания осваиваются учащимися не только на уроках физики, химии и математики, но и на уроках литературы, истории, географии, естествознания и других школьных предметов.

Следовательно, политехническое обучение в школе будет тем успешнее, чем лучше будет поставлено усвоение основ наук и в первую очередь усвоение курсов физики, химии и математики.

Математика, как наука, изучающая количественную сторону предметов и процессов реального мира, играет чрезвычайную роль в осуществлении политехнического обучения. Без знания математики нельзя изучить технику. Во всех отраслях производства приходится иметь дело с количественными нормативными показателями, с численными характеристиками разнообразных величин и отношений между ними.

Полное осуществление политехнического обучения примет конкретные формы, когда Министерством просвещения РСФСР будут даны школе новые программы и учебники. Но передовые школы и учителя уже сейчас приступили к введению в преподавание элементов политехнического обучения.

Министерство просвещения РСФСР в инструктивном письме «О задачах школы в связи с решениями XIX съезда Коммунистической партии Советского Союза», опубликованном в «Учительской газете» от 20 декабря 1952 года, пишет: «К осуществлению политехнического обучения органы народного образования и школы должны приступить уже в текущем учебном году, проявляя инициативу и настойчивость в этом деле».

Несомненную помощь в деле нахождения путей в политехническом обучении приносят учителям творческие обсуждения в институтах усовершенствования учителей и на совещаниях методических предметных комиссий.

Хороший почин в помощи учителям математики провела «Учительская газета», опубликовав 24 декабря 1952 года ряд статей, посвященных вопросам политехнического обучения при преподавании математики в средней школе.

Учитель математики должен так строить изложение программного материала, чтобы учащиеся, кроме прочных знаний всей теории программных вопросов, получили еще ряд умений и навыков: умение в уме производить различные вычисления, умения пользоваться русскими счетами и логарифмической линейкой, умение пользоваться различными справочными таблицами, читать чертежи, схемы, производить различные несложные расчеты, пользоваться измерительными приборами и уметь произвести простейшие землемерные работы.

Такое изложение учебного материала будет способствовать воспитанию у учащихся качеств, необходимых не только для дальнейшего обучения, но и для практической деятельности. Эти качества — умение работать самостоятельно и творчески, умение пользоваться математическими знаниями в смежных школьных дисциплинах (физика, химия, астрономия, естествознание) и некоторые практические навыки (применение простейших счетных приборов, измерения на местности, вычисление поверхностей и объемов).

Центральной фигурой всего педагогического процесса является учитель, а потому от его методологической и научно-педагогической подготовки и будет зависеть успех политехнического обучения.

Каждый учитель должен повседневно изучать труды классиков марксизма-ленинизма, повышая свой идейно-теоретический уровень.

Особо важное значение имеет глубокое изучение гениального труда товарища Сталина «Экономические проблемы социализма в СССР» и материалов XIX съезда Коммунистической партии Советского Союза.

Учителя и работники народного образования, встретившие с огромным воодушевлением исторические решения XIX съезда партии, приложат все силы и знания и под руководством партии Ленина — Сталина добьются нового подъема народного просвещения.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ЧИСЛО ИЗМЕРЕНИЙ

А. С. ПАРХОМЕНКО (Москва)

Основными объектами элементарной геометрии являются точка, прямая, плоскость и все пространство. Главным, что отличает эти объекты один от другого, является число измерений или, как еще говорят, их размерность. При этом пространству приписываются три измерения, плоскости — два, прямой — одно и точке — нуль. Откуда возникло это соглашение? Какие свойства основных объектов геометрии отражает их число измерений?

Понятие о том, что пространство имеет три измерения возникло в связи с определением объемов тел. Чтобы найти объем какого-нибудь гела, имеющего правильную форму, надо произвести линейные измерения по трем различным направлениям (длина, ширина и высота, например, в случае прямоугольного параллелепипеда). Далее, вычисление длин отрезков, так или иначе связанных с телом, может быть сведено к определению длин отрезков, идущих по трем различным направлениям, так, например, для определения диагонали произвольного параллелепипеда достаточно знать длины трех его ребер, исходящих из одной точки, и углы между ними, т. е. длины трех отрезков. При этом во всех случаях двух линейных измерений было бы недостаточно.

Далее, механика учит нас, что если мы выберем в пространстве три какие-либо направления, из которых никакие два не лежат на одной прямой, а все три не лежат в одной плоскости, то какое бы четвертое направление мы ни взяли, перемещение по этому четвертому направлению может быть сведено к последовательному перемещению по трем выбранным направлениям, причем двух направлений и здесь было бы недостаточно.

Наконец, аналитическая геометрия указывает нам способ, как поставить в соответствие каждой точке пространства три числа — координаты этой точки — так, чтобы это соответствие было взаимно однозначным, т. е. чтобы каждой точке пространства соответствовала определенная система трех чисел, разным точкам пространства соответствовали разные системы и каждая система трех чисел непременно соответствовала бы некоторой точке пространства.

Отметим сейчас же одно очень важное обстоятельство. Соответствие, устанавливаемое аналитической геометрией между точками пространства и тройками их координат, не только взаимно однозначно, но и взаимно непрерывно; определения понятия взаимной непрерывности соответствия мы здесь давать не будем; сейчас же, выражаясь не вполне точно, заметим только, что в случае взаимной непрерывности двум достаточно близким точкам соответствуют тройки, числа которых отличаются друг от друга сколь угодно мало и, наоборот, двум тройкам, числа которых достаточно близки друг другу, соответствуют сколь угодно близкие точки. И вот, если требовать, чтобы соответствие между точками пространства и системами из п чисел было не только взаимно однозначным, но и взаимно непрерывным, то оказывается, что при я = 3, ставя в соответствие каждой точке пространства три ее координаты, мы получим именно такое соответствие. Более того, оказывается, что такое соответствие между точками пространства и системами из п чисел можно установить только тогда, когда /1 = 3.

Возможность установить взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между точками пространства и системами, состоящими именно из трех чисел, глубже всего характеризует трехмерность пространства, поскольку, с одной стороны, оно дает нам в руки мощный метод для изучения пространства, составляющий сущность аналитической геометрии, а с другой

стороны, позволяет определить понятие о пространстве высшего числа измерений, необходимое как для самой математики, так и для ее приложений к физике.

Прежде чем переходить к вопросу о пространствах высшего числа измерений, заметим, что по соображениям, аналогичным тем, в силу которых пространству приписывают три измерения, плоскости следует приписать два измерения: для определения площади плоской фигуры достаточно знать два какие-нибудь линейные размера этой фигуры; далее, если задать на плоскости два направления, то перемещение по любому третьему направлению может быть сведено к последовательному перемещению по двум заданным направлениям; наконец, введение на плоскости координат устанавливает взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между множеством точек плоскости, с одной стороны, и множеством пар действительных чисел — с другой. Подобные же соображения заставляют нас считать, что прямая имеет одно измерение, а точка — нуль измерений.

По аналогии с пространством, имеющим три измерения, мы будем называть плоскость «пространством двух измерений», или «двумерным пространством», прямую—«пространством одного измерения», или «одномерным пространством». При этом под размерностью пространства мы понимаем число координат каждой его точки.

Аналитическая геометрия, вводя координаты, не только устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками действительных чисел, но и указывает зависимость между координатами точек, составляющих некоторый геометрический объект, причем эта зависимость такого рода, что она имеет место для координат всех точек данного объекта и не выполняется ни для каких других точек. Так, например, координаты х, у, Z всех точек плоскости удовлетворяют уравнению первой степени с тремя неизвестными:

Но равенство не будет иметь место, если точка не принадлежит плоскости.

Координаты точек прямой, если ее рассматривать как линию пересечения плоскостей, проходящих через эту прямую, удовлетворяют двум уравнениям рассматриваемых плоскостей:

Длина отрезка AB с концами в точках A(xv yv Zx) и В(х2, у g, z2) выражается формулой:

координаты точек поверхности шара с центром в точке С (а, Ь, с) и радиусом г удовлетворяют уравнению:

и т. д. Таким образом, как только в пространстве выбрана система координат, каждый объект элементарной геометрии можно задать системой чисел или системой формул, полностью характеризующих этот объект. Это обстоятельство позволило математикам XVII и XVIII веков создать новый метод для изучения геометрии, состоящий в том, что вместо того, чтобы изучать сами геометрические объекты, изучают соответствующие им системы чисел и формул: вместо пространства мы будем тогда иметь дело с множеством всех троек действительных чисел; вместо плоскостей — с уравнениями первой степени; вместо прямых — с системами таких уравнений и т. д.

Все эти рассуждения подводят нас вплотную к определению понятия о пространстве п измерений. Если вместо пространства можно изучать множество всех троек действительных чисел, а вместо геометрических объектов, находящихся в этом пространстве, — формулы, соответствующие этим объектам, то формально можно было бы определить пространство как множество всевозможных троек действительных чисел, определяя основные геометрические образы соответствующими системами формул. Но такое определение для трехмерного пространства носило бы, как мы сказали, формальный характер, так как наше понятие о пространстве возникло как абстракция реального физического пространства, а основные образы геометрии суть абстракция реальных (материальных) вещей, с которыми нам постоянно приходится иметь дело на практике. Поэтому для построения геометрии надо характеризовать пространство теми свойствами (аксиомами), которые являются абстракцией свойств реального пространства. Совокупностью этих свойств и определяется понятие пространства в геометрии. Соответствие же между точками пространства и тройками их координат отражает лишь отдельное, хотя и очень важное свойство нашего пространства. Поэтому мы обеднили бы понятие обычного трехмерного пространства, если бы определили его как совокупность троек действительных чисел, а геометрические образы — как системы формул.

Такой подход к определению пространства как совокупности систем чисел, не будучи пригоден

для трехмерного пространства, является базой для определения пространства высшего числа измерений.

Пространством п измерений называется множество всех упорядоченных систем из п действительных чисел. Сами эти системы называются точками n-мерного пространства, а отдельные числа, составляющие данную систему, — координатами точки.

Основными образами элементарной геометрии являются точка, прямая, отрезок, угол, треугольник, плоскость, сфера и другие. Все эти понятия могут быть определены и в n-мерном пространстве. Однако здесь за определение этих понятий берутся те свойства соответствующих объектов геометрии трехмерного пространства, которые там выражают зависимость между координатами и выводятся как соответствующие теоремы в аналитической геометрии. В n-мерной геометрии эти свойства, обобщенные в соответствии с числом измерений пространства, берутся уже в качестве определений. При этом в пространстве высшего числа измерений вводятся в рассмотрение новые объекты, которым в обычном пространстве никакого аналога нет. Поясним все сказанное примерами.

В трехмерном пространстве плоскость, т. е. подпространство двух измерений, выражается одним уравнением первой степени с тремя неизвестными; прямая, т. е. одномерное подпространство, выражается двумя такими уравнениями первой степени, в которых коэффициенты при соответствующих неизвестных не пропорциональны. Соответственно этому в n-мерном пространстве (п — 1)-мерным подпространством называется совокупность тех точек п-мерного пространства, координаты которых удовлетворяют одному уравнению первой степени с п неизвестными:

(п—2)-мерным подпространством называется совокупность тех точек, координаты которых удовлетворяют двум таким уравнениям первой степени, в которых коэффициенты при соответствующих неизвестных не пропорциональны. И вообще, k-мерным подпространством п-мерного пространства называется совокупность тех точек, координаты которых удовлетворяют совместной системе из п — k независимых уравнений первой степени с п неизвестными.

В частности, одномерные подпространства, т. е. такие совокупности точек, координаты которых удовлетворяют п—1 независимым уравнениям первой степени, называются прямыми n-мерного пространства; двумерные подпространства, т. е. такие совокупности точек, координаты которых удовлетворяют п — 2 независимым уравнениям первой степени, называются плоскостями п-мерного пространства и т. д.

Эти названия не случайны: они объясняются тем, что совокупность точек прямой или плоскости n-мерного пространства может быть приведена во взаимно однозначное соответствие с точками обыкновенной прямой или плоскости, при котором расстояние между точками прямой или плоскости я-мерного пространства будет равно расстоянию между соответствующими точками обыкновенной прямой или плоскости. Такое соответствие позволяет всю геометрию, построенную на обыкновенной плоскости, перенести и на плоскость в n-мерном пространстве. В частности, там можно будет говорить о равенстве треугольников, об окружностях и т. д.

Рассмотрим подробнее четырехмерное пространство. В нем имеются нульмерные подпространства (точки), одномерные подпространства (прямые), двумерные подпространства (плоскости) и трехмерные подпространства. Мы видим, что наряду с образами трехмерной геометрии — точками, прямыми и плоскостями—здесь имеются и новые образы — трехмерные подпространства, и притом в бесконечном числе экземпляров.

Эти основные- образы геометрии четырехмерного пространства связаны между собой рядом предложений, аналогичных аксиомам соединения обычной элементарной геометрии. При этом некоторые из этих предложений формулируются совершенно так же, как и в случае трехмерного пространства. Например, как и в обычной геометрии, в случае четырехмерного пространства имеют место такие предложения: через две точки четырехмерного пространства можно провести прямую и притом только одну; через три точки четырехмерного пространства, не лежащие на одной прямой, мо кно провести плоскость и притом только одну и т. д.

Но если мы возьмем, например, предложение элементарной геометрии, утверждающее, что две плоскости, имеющие общую точку, имеют и общую прямую, то в четырехмерной геометрии оно уже не имеет места: там можно найти две плоскости, имеющие только одну общую точку. В самом деле, ведь плоскость в четырехмерном пространстве задается двумя уравнениями первой степени с четырьмя неизвестными. Совокупность же точек, общих двум плоскостям четырехмерного пространства, определяется системой четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Если эта система совместна и уравнения ее независимы, то она имеет единственное решение. Числа, составляющие это решение, и являются координатами единственной точки, общей двум рассматриваемым плоскостям.

Две плоскости четырехмерного пространства, имеющие общую точку, могут иметь общую прямую лишь в том случае, если они принадлежат одному и тому же трехмерному подпространству. Если же мы возьмем два трехмерные подпространства, принадлежащие одному и тому же четырехмерному пространству, то они или вовсе не имеют общих точек (параллельны друг другу), когда коэффициенты при всех неизвестных в их уравнениях пропорциональны, либо имеют общую плоскость—совокупность точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обоих данных трехмерных подпространств.

Трехмерное подпространство и плоскость, лежащие в четырехмерном пространстве, либо вовсе не имеют общих точек (в этом случае они называются параллельными), либо имеют общую прямую, либо, наконец, плоскость всеми своими точками принадлежит трехмерному пространству. Это будет иметь место в том случае, когда координаты каждой точки, одновременно удовлетворяющие обоим уравнениям, определяющим данную плоскость, удовлетворяют и уравнению, определяющему трехмерное подпространство.

Трехмерное пространство и прямая, лежащие в четырехмерном пространстве, либо вовсе не имеют общих точек (в этом случае они называются параллельными), либо имеют одну общую точку, либо прямая целиком лежит в трехмерном пространстве.

Прямая и плоскость четырехмерного пространства могут быть расположены так, что прямая или целиком лежит в данной плоскости, или прямая и плоскость лежат в одном и том же трехмерном подпространстве, или, наконец, они не принадлежат обе никакому трехмерному подпространству; в этом случае они не имеют ни одной общей точки.

Всякие две прямые четырехмерного пространства принадлежат одной плоскости или одному и тому же трехмерному подпространству (скрещивающиеся прямые).

Мы для того так подробно остановились на примере четырехмерного пространства, чтобы читатель мог яснее представить себе черты сходства и различия между обычным трехмерным пространством и простейшим пространством высшего числа измерений. Возвратимся снова к общему случаю я-мерного пространства и покажем, каким образом переносятся на этот общий случай другие понятия обычной геометрии. Укажем прежде всего, как определяется в я-мерном пространстве понятие расстояния между двумя точками, играющее основную роль в обычной геометрии и ее приложениях.

Под расстоянием между двумя точками л (хи *2,... ,хп) и * (уи у 2,... ,уп) мы понимаем число р (л:, у) =

Такое определение расстояния в n-мерном пространстве является распространением на этот случай формулы расстояния между двумя точками, выводимой в аналитической геометрии.

Определив понятие расстояния между двумя точками в /1-мерном пространстве, мы можем совершенно так же, как это делается в трехмерном пространстве, определить в я-мерном пространстве сферу как геометрическое место точек, находящихся от данной точки (центра сферы) на данном расстоянии (радиус сферы). Из этого определения тотчас же получаем уравнение сферы с центром в точке C(avan,... , ап) и радиусом г:

где (xt, х2,. . ,,хп) — произвольная точка сферы. Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки сферы и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на сфере.

Совокупность точек, лежащих внутри сферы с центром в точке С и радиусом г, т. е. точек, удаленных от центра сферы менее, чем на радиус, определяется неравенством:

Это неравенство надо понимать в том смысле, что координаты всякой точки, находящейся внутри сферы, удовлетворяют ему, и, наоборот, если это неравенство выполнено, то точка с координатами xlt х2,.. .,хп лежит внутри сферы.

Одним из самых важных геометрических преобразований на плоскости и в пространстве является преобразование движения. Оно определяется там как преобразование, сохраняющее расстояние между двумя точками. Это определение понятия движения дословно переносится и на любые я-мерные пространства.

Движением в п-мерном пространстве называется такое преобразование пространства, при котором сохраняется расстояние между двумя точками. Это означает, что каждой точке пространства ставится в соответствие некоторая точка того же пространства и это соответствие такого рода, что если двум точкам а и b соответствуют точки а' и Ь', то всегда

Из этого определения непосредственно следует, что движение отображает пространство вза-

имно однозначно (и взаимно непрерывно) на все пространство, при этом, если точке a (xujc2> • • • >хп) соответствует точка а' (х\,Х2, —УХп)> то координаты точки а' выражаются через координаты точки а целыми линейными функциями:

причем на коэффициенты aik накладываются ограничения, аналогичные тем, которые имеют место в обычном трехмерном пространстве*).

В частности, движение, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении (т. е. все прямые, соединяющие соответственные точки, параллельны между собой), называется параллельным переносом. Движение, являющееся параллельным переносом, выражается такими формулами:

По аналогии с трехмерным пространством введем еще одно понятие, которое нам скоро понадобится. Всякая плоскость делит трехмерное пространство на два «полупространства», при этом две точки а и b принадлежат одному полупространству, если они лежат по одну сторону от данной плоскости, и к разным полупространствам, если они расположены по разные стороны от этой плоскости. В аналитической геометрии доказывается такая теорема:

Для того чтобы две точки а(хх, yv zx) и b (х2, у2, Z2) лежали по одну сторону от плоскости, заданной уравнением Ах + By ++Cz+D = 0, необходимо и достаточно, чтобы координаты обеих точек а и b одновременно удовлетворяли или неравенству Ах 4- By 4- Cz -j- D > 0, или неравенству Ax + By+Cz+D<lO.

Эта теорема дает повод ввести следующее определение, относящееся уже к я-мерному пространству.

Мы говорим, что две точки а(уиу2,.. .,уп) и b(zltz2,. . ,,zn) лежат по одну сторону от (п — 1)-мерного подпространства аххх+а2х2+-}-... -f - апхп -j- b = 0, если координаты этих точек удовлетворяют одновременно или неравенству

или неравенству

т. е. если или одновременно выполняются неравенства:

или же одновременно выполняются неравенства:

На плоскости многоугольником, имеющим наименьшее число вершин, является треугольник. Из всех многогранников в пространстве наименьшее число вершин имеет тетраэдр*). Найдем в n-мерном пространстве фигуру, аналогичную треугольнику на плоскости или тетраэдру в пространстве. Такую фигуру мы будем называть n-мерным симплексом. Треугольник имеет три вершины, тетраэдр — четыре, т. е. и в том и в другом случае на единицу больше, чем размерность плоскости или пространства.

n-мерный симплекс имеет, по определению, п + 1 вершину. Если возьмем все вершины симплекса, кроме одной вершины а0, то они определяют (п—1)-мерное подпространство, в котором лежит (п — 1)-мерная грань симплекса, противоположная вершине а0. Таким образом, каждый п-мерный симплекс имеет п+\ (п — 1)-мерных граней. Так как каждая из этих граней содержит п вершин, то она представляет собой (п — 1)-мерный симплекс.

Подобным же образом найдем, что п-мерный симплекс имеет:

(п — 2)-мерных граней, которые являются (п — 2)-мерными симплексами, и т. д.

При этом точка m только тогда считается принадлежащей симплексу (или его грани), если эта точка и каждая вершина симплекса лежат по одну сторону от (п—1)-мерной грани, противоположной рассматриваемой вершине (если, конечно, точка m не лежит в плоскости этой грани).

Рассмотрим несколько подробнее случай четырехмерного симплекса. Он имеет 5 вершин, 10 ре-

*) Т. е. сумма квадратов коэффициентов при неизвестных, стоящих в одной строке вышеприведенных формул, должна быть равна 1, а сумма произведений соответствующих коэффициентов двух различных строк должна быть равна 0:

*) Под тетраэдром мы здесь понимаем любую треугольную пирамиду.

бер, 10 двумерных (плоских граней) и 5 трехмерных граней. При этом из каждой вершины выходит четыре ребра (соединяющих эту вершину с остальными четырьмя). Все эти факты мы устанавливаем просто, рассматривая число сочетаний из 5 элементов (вершины симплекса) по 2, по 3, по 4 и принимая во внимание, что две вершины определяют одномерную, три—двумерную и четыре—трехмерную грань.

Подобным же образом по аналогии с обычным кубом трехмерного пространства вводится понятие об n-мерном кубе. Если в трехмерном пространстве грани куба лежат в плоскостях координат и ребра куба имеют длину 1, то совокупность точек, принадлежащих кубу (или его граням), определяется неравенствами:

Понятие об /1-мерном кубе получается простым обобщением: п-мерным кубом с ребром длины \, грани которого лежат л (п—1)-мерных подпространствах хх = U, хг = 0, ..., хп = 0, называется совокупность точек п-мерного пространства, координаты которых удовлетворяют неравенствам:

Четырехмерный куб имеет 16 вершин, 32 ребра, 24 двумерных (плоских) грани и 8 трехмерных граней. При этом из каждой вершины куба выходят четыре ребра. Все эти данные мы получаем, рассматривая единичный куб и принимая во внимание, что его трехмерные грани определяются уравнениями:

двумерные грани мы получим, рассматривая всевозможные системы из двух вышеприведенных уравнений, а ребра — беря системы, состоящие из трех уравнений. Надо следить только за тем, чтобы эти системы были совместны: нельзя, например, брать систему: хх = 0 и хх=\.

Мы не можем, конечно, ни начертить, ни изготовить модель никакого n-мерного симплекса или куба при п > 3, но мы можем представить себе по крайней мере схему соединения их ребер.

Руководствуясь в качестве исходного пункта при определении основных понятий я-мерной геометрии теоремами аналитической геометрии, а иногда и дословно перенося понятия элементарной геометрии на случай п измерений, математики довольно глубоко проникли в сущность строения n-мерного пространства. Так, еще в 80-х годах XIX столетия были найдены все правильные многогранники я-мерного пространства. При этом за определение правильного многогранника здесь опять берется такое свойство обычных правильных многогранников, которым обладают все правильные многогранники трехмерного пространства и не обладают никакие другие многогранники. А именно: многогранник n-мерного пространства называется правильным, если любую вершину этого многогранника можно перевести посредством преобразования движения в любую другую вершину так, что при этом преобразовании многогранник совмещается сам с собой.

Оказалось, что в четырехмерном пространстве имеется 6 правильных многогранников: 1) аналог тетраэдра — правильный четырехмерный симплекс, ограниченный пятью трехмерными правильными тетраэдрами, сходящимися по четыре в каждой его вершине; 2) аналог куба — четырехмерный куб, ограниченный восемью трехмерными кубами, сходящимися по четыре в каждой вершине; 3) аналог октаэдра — четырехмерный многогранник, взаимный четырехмерному кубу, ограниченный шестнадцатью правильными трехмерными тетраэдрами, сходящимися по восемь в каждой вершине; 4) некоторый четырехмерный двадцатичетырехгранник, взаимный сам себе, ограниченный правильными трехмерными тетраэдрами; 5) некоторый четырехмерный стодвадцатигранник, ограниченный стодвадцатью трехмерными правильными октаэдрами, сходящимися по четыре в каждой вершине. Некоторый четырехмерный шестисотгранник, ограниченный шестьюстами трехмерными правильными тетраэдрами, сходящимися по двадцать в каждой вершине, причем этот многогранник взаимен стодвадцатиграннику.

В каждом из пространств выше четырех измерений имеется три и только три правильные многогранника: 1) аналог тетраэдра (симплекс), 2) аналог куба и 3) двойственный ему аналог октаэдра. Наряду с правильными многогранниками большой интерес как для самой математики, так и для ее приложений представляют и другие виды многогранников и, в частности, так называемые параллелойдры. Это такие конгруэнтные многогранники, которыми можно заполнить все пространство так, чтобы они примыкали друг к другу по целым граням и чтобы каждый из них можно было получить из любого другого параллельным переносом. Простейшими примерами параллелойдров являются кубы.

Знаменитый русский ученый Е. С. Федоров (1853—1919), разрабатывая математические основы кристаллографии, нашел, что в трехмерном

пространстве имеется пять видов существенно различных параллелойдров; а известный советский математик Б. Н. Делоне нашел все параллелойдры четырехмерного пространства. Оказалось, что там имеется 51 существенно различных видов параллелойдров. Вопрос о том, сколько имеется параллелойдров в пространствах более высокого числа измерений, до сих пор остается нерешенным.

Не следует думать, что лица, способные так глубоко проникнуть в изучение геометрии пространств высших размерностей, обладают каким-нибудь специальным представлением хотя бы четырехмерного пространства. Поскольку наше реальное пространство трехмерно, а человеческие представления суть лишь отражение окружающего нас материального мира, мы не можем представить себе четырехмерного пространства так, как мы представляем себе трехмерное, т. е. в виде тех или иных материальных образов. И если ученым удалось получить довольно значительные результаты, относящиеся к пространству высшего числа измерений, то в этом проявляется лишь их способность глубоко проникнуть в сущность тех закономерностей, которые имеют место в нашем обычном пространстве, установить логическую связь этих закономерностей и обобщить их на случай более высокого числа измерений.

n-мерное пространство, таким образом, есть лишь математическое понятие, созданное в науке в качестве абстракции нашего трехмерного пространства и используемое как математический аппарат для изучения некоторых сторон окружающего нас реального мира. При этом мы употребляем термин «пространство» потому, что я-мерное пространство обладает многими важными свойствами обычного трехмерного пространства.

Особенно плодотворным является использование представления о четырехмерном пространстве в механике, где к трем пространственным координатам х, у, z добавляется в качестве четвертого «измерения» время t. Это представление введено Лагранжем (1736—1813). Именно с Лагранжа и начинается историческое развитие учения о многомерных пространствах. Введенное Лагранжем представление о четырехмерном пространстве в его время не было оценено должным образом и получило широкое распространение лишь с развитием специального принципа относительности в начале XX века.

Как математическая теория учение об n-мерном пространстве получило быстрое развитие, начиная с 40-х годов XIX века; здесь следует назвать имена Кели А. (1821 — 1895), Грасмана Г. (1809—18/7), Плюкера Ю. (1801 — 1868) и Римана Б. (1826—1866). В частности, Плюкер пришел к понятию о четырехмерном пространстве, рассматривая совокупность прямых обычного трехмерного пространства. Ведь всякая прямая в трехмерном пространстве может быть задана двумя уравнениями вида:

у — ах+Ь, z = cx+d.

Таким образом, положение всякой прямой в трехмерном пространстве зависит от четырех величин (параметров): a, b, с> d. Взяв за основной элемент геометрии не точку, а прямую, Плюкер и пришел таким образом к представлению о четырехмерном пространстве.

Риман в своей статье «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» рассматривает не только n-мерные пространства, но и другие многообразия п измерений. В этой работе Риман не только положил начало глубоким математическим исследованиям, но и коснулся вопроса о сущности наших пространственных представлений и о приложении этих идей к изучению явлений природы. Результаты Римана были позже применены в теории относительности.

Как мы уже упоминали, понятие об я-мерном пространстве нашло свое применение в механике и физике. Так, при изучении механизмов с п степенями свободы бывает целесообразно рассматривать каждое возможное положение механизма как точку я-мерного пространства. В кинетической теории газов изучаются даже пространства 6 N измерений, где N — число молекул в одной грамм-молекуле газа, причем каждая из них характеризуется шестью числами: тремя координатами, определяющими ее положение в пространстве, и тремя компонентами скорости. Так как Л/ = 6-1028, то мы имеем здесь дело с пространством 36-1033 измерений.

Наконец, наиболее важным применением пространств высшего числа измерений является рассматриваемое в теории относительности четырехмерное пространство, в котором четвертым измерением является время. Элементами этого четырехмерного пространства являются так называемые «мировые точки». При этом в понятии «мировой точки» (в отличие от точек обычного пространства) объединяется определенное положение точки в пространстве с определенным положением во времени. Поэтому «мировые точки» и задаются четырьмя координатами.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

ПЕРВЫЙ РУССКИЙ АРИФМЕТИК И ГЕОМЕТР

(К 250-летию со дня публикации «Арифметики» Л. Ф. Магницкого)

В. Е. ПРУДНИКОВ (Москва)

Леонтий Филиппович Магницкий является выдающимся русским педагогом-математиком первой половины XVIII века, а его знаменитая «Арифметика, сиречь наука числительная»—одной из самых замечательных русских книг XVIII века, которую М. В. Ломоносов назвал «вратами учености».

Л. Ф. Магницкий первый познакомил наших предков с математикой в редком для своего времени объеме и показал ее большое практическое значение. В этом — главная заслуга Л. Ф. Магницкого перед историей математического образования в нашей стране.

Не менее важна его заслуга как первого учителя русских моряков, преодолевшего с успехом те громадные затруднения, которые встретились ему при изложении на русском языке основ мореходной науки.

Магницкий родился б (19) июня 1669 года. Сведения о жизни и деятельности Л. Ф. Магницкого очень скудны; большая часть этих сведений до сих пор не подтверждена документально.

Тридцати двух лет Л. Ф. Магницкий стал учителем математики первой русской школы, в которой изучению этой науки было отведено видное место, а именно—математико-навигацкой школы, учрежденной в 1701 году. В этой школе русских юношей, «добровольно хотящих, иных же паче со принуждением», обучали арифметике, геометрии, тригонометрии с приложением к геодезии и астрономии, навигации плоской и меркаторской, математической географии, ведению вахтенного журнала («диунала»).

Учителями математико-навигацкой школы были назначены приглашенные еще в 1698 г. англичане: для «науки математической»—Андрей Фархварсон, для «науки навигацкой»—Стефан Гвин и Ричард Грейс.

Помощником Фархварсона в 1702 году был назначен Магницкий, известный руководству математико-навигацкой школы как лучший математик Москвы того времени. Тогда же были отпущены средства на составление и печатание учебника Магницкого по математике.

Учитывая, что математико-навигацкая школа являлась у нас первым центром математического и морского образования и что с ней была связана деятельность Магницкого, мы позволим себе привести полностью подлинный документ о ее основании и первых днях существования.

«Да в прошлом 1701 году по имянному великого государя указу велено быть математическим и навигацким наукам, а тех науках во учителях быть английские земли урожденным: математической — Андрею Даниловичу Фархварсону, навигацкой — Степану Гвыну, да рыцеру Грысу, а во учение избирать добровольно хотящих, иных же паче со принуждением и учинить неимущим поденной корм, усмотряя, арефметики или геометрии ежели кто сыщется отчасти искусным, по пяти алтын в день, иным же по гривне и меньше, рассмотрев коегождо искусство учения, и ведать те науки во Оружейной палате боярину Ф. А. Головину с товарищи.

И для тех наук определен двор мастерские палаты в Кадашеве, называемой большой полотенной.. .

И марта в 15 день, да апреля в 24 день вышенаписанный учитель А. Фархварсон с товарищи сказали, что им на том дворе учить тех наук учеников невозможно для того, что тот двор построен на месте низком, а надобно де тех наук двору нотребну быть ради смотрения в совершенстве оризонта на месте высоком. А вместо того двора взята под те науки Сретенская по земляному городу башня с палатами, на которой часы боевые.

Февраля в 22 день о тех же науках у вышеозначенных учителей велено быть осташковцу Леонтию Магницкому и через труд свой издать ему на словенском диалекте, избрав от арефметики и геометрии и навигации, поелику возможно годную к тиснению книгу. И ноября в 21 день он, Леонтий Магницкий, книгу арефметику издания своего явил и та книга послана с ним же, Леонтием, в типографию и велено с той же книги напечатать в типографии со усмотрением исправления 2400 книг»*).

Преподавание в математико-навигацкой школе шло в следующем порядке: ученики, обучившиеся арифметике, после экзамена у Магницкого переводились в следующий класс, класс геометрии; обучившиеся геометрии переводились в класс тригонометрии и т. д.

Магницкий, обучавший арифметике, геометрии и тригонометрии, вначале преподавал также плоскую навигацию. Но после ссоры с учителями-англичанами излагал ученикам только одну тригонометрию, и ученики от него переводились к иноземным учителям**).

По окончании курса Фархварсон и Магницкий подавали списки «окончивших обучение и готовых к практике» сначала в Оружейную палату, а потом в приказ военно-морского флота. Определенного срока для окончания курса в математико-навигацкой школе не было; кончали курс по мере выучки, и чем скорее, тем считалось лучше. Время было очень горячее, шла Северная война, и многие навигаторы прямо со школьной скамьи брались на корабли.

Математико-навигацкая школа развернула полностью свою работу с начала 1704 года; в 1706 году из нее уже было отправлено в Голландию и Англию 30 учеников для обучения мореходству; в 1711 году в школе было уже 311 навигаторов, т. е. молодых людей, окончивших начальный курс мореплавания; в 1712 году из состоявших в училище 517 учеников были «в готовности для науки за море 50 человек, к инженерной — 170 человек».

Об уровне преподавания математических наук в навигацкой школе дает представление тот факт, что Петр I требовал «отписать к Москве к математическим учителям (на Сухаревой башне), дабы они сделали вычисление, сколь много солнцу затмения будет в Воронеже, и, нарисовав, к нам прислали». Приведенный факт указывает, что учителя математико-навигацкой школы были в состоянии производить сложные астрономические наблюдения и вычисления.

Преподавательские обязанности Л. Ф. Магницкий исполнял с присущей ему исключительной добросовестностью, о чем свидетельствует следующее письмо дьяка Курбатова (1703 года), фактического руководителя математико-навигацкой школы: «По 16 июля набрано и учатся 200 человек. Англичане учат их той науке чиновно. Имеем им помоществователем Леонтия Магницкого, который непрестанно при той школе бывает, и всегда имеет тщание не только к единому ученикам в науке радению, но и ко иным к добру поведениям, в чем те англичане, видя в школах его управление не последнее, обязали себя к нему, Леонтию, ненавидением»*).

В этом письме дана сравнительная оценка учителей математико-навигацкой школы и обрисованы отношения между Магницким и учителями-англичанами в начале их совместной педагогической деятельности.

Оплата труда Магницкого сравнительно с учителями-англичанами была низкой**). Но за усердное отношение к преподавательским обязанностям Магницкий, повидимому, получал иногда добавочное вознаграждение.

Вот три любопытные в этом отношении факта, записанные в документах старинных дворцовых приказов: 1) «Расходы на устройство саксонского кафтана и другого платья Леонтию Магницкому за его непрестанные прилежные в навигацкой школе во учении труды»; 2) «Роспись расходов за построенные Леонтием Магницким на его дворе в полатах и на дворе всякие строения»; 3) «О выдаче жалованья Леонтию Магницкому за работы при цыркульных делах»***).

В 1715 году последовал указ Петра об учреждении в Петербурге Морской академии. С этого года математико-навигацкая школа несколько изменила свой характер: обучение военным наукам было перенесено во вновь открывшуюся

*) А. Викторов, Описание записных книг и бумаг старинных дворцовых приказов 1613—1725, М., 1883, стр. 468.

**) А. Кротов, Морской кадетский корпус, СПБ, 1901, стр. 23.

*) С. М. Соловьев, История России, т. XV, гл. 2, стр. 1347—1348.

**) Фархварсон получал 250 руб., два другие—по 150 руб., Магницкий получал только 90 руб. 1 алтын 4 деньги, несмотря на то, что школой он занимался больше, так как на нем лежали инспекторские обязанности.

***) А. Викторов, Описание записных книг и бумаг старинных дворцовых приказов 1613— 1725, вып. 2, М., 1883, стр. 480 — 483.

Морскую академию, а в московской школе стали учить только арифметике, геометрии и тригонометрии.

С момента открытия Морской академии Магницкий стал старшим учителем математико-навигацкой школы и заведующим ее учебной частью. Ему, между прочим, был поручен, начиная с 1714 года, набор учителей для учрежденных тогда по всей России цифирных школ. Набирать таких учителей предписывалось «не из знатных пород», и Магницкий в 1716 году доносил, что он выбрал из своей школы только 6 человек и что tбольше из таких незнатных пород достойных не явилось»*).

В 1725 году сенат издал указ, где было сказано, что тех учеников Морской академии, которые «в определенное время не кончат положенных наук, тех исключить в матрозы, дабы под видом учения время не продолжали, и даром жалованью не брали».

Слова указа «в определенное время» поставили вопрос, в какое время ученики Морской академии могут изучить ту или иную науку. За ответом на этот вопрос обратились к Фархварсону и Магницкому; первый дал свои соображения, второй отказался определенно отвечать на поставленный вопрос, потому что время изучения предмета, по мнению Магницкого, зависит от способности ученика и его прилежания.

В своем ответе адмиралтейскому начальству он писал: «Арифметику прилежный выучит в 10 месяцев, а ленивый в год; геометрию — прилежный в 6, ленивый — в 8 месяцев; тригонометрию — прилежный в 2, а ленивый в 3 месяца. И менее тех лет научить не можно, понеже многие, которые вновь к нам присылаются, ничем не разнствуют с посохою (мужиком, взятым от сохи), что и читать мало умеют...».

С 1832 года Магницкий заведовал распорядительной и хозяйственной частью школы. Интересны в связи с этим следующие факты, которые сообщены в статье «Сочинитель первой русской арифметики Леонтий Магницкий»**).

«Из дел Сухаревского архива видно, что Магницкий, управляя Московской академической конторой при Анне Ивановне, подавал в Коллегию отчеты, которые заставляли его переделывать, и получал в год жалованья 260 руб. Это обстоятельство и слова в надгробной надписи, что он был „обид от неприятеля терпеливейший“, дают основание предполагать, что и он терпел оскорбления в ту годину, когда жестокая рука Бирона тяготела над русскими».

Сохранилось еще одно свидетельство о роли и значении Магницкого для математико-навигацкой школы.

В этой школе при Магницком учился Василий Яковлевич Чичагов (1726—1809), впоследствии известный боевой адмирал, одержавший блестящую морскую победу над шведами в 1789 году. Вот что рассказывал он об ученье в математико-навигацкой школе своему сыну П. В. Чичагову, со слов которого мы и передаем этот рассказ: «Один из учителей, Магницкий, слыл за великого математика... Он издал даже печатанное славянским шрифтом сочинение в лист, бывшее у меня в руках, в котором заключались арифметика, геометрия, тригонометрия и начатки алгебры. Впоследствии эту книгу признавали за образец учености. Тут-то отец мой почерпнул свои познания»*).

Службе в математико-навигацкой школе Магницкий отдал большую половину своей жизни. В значительной мере благодаря его руководству этой школой математические знания стали распространяться в нашей стране и приобретать соответствующее им значение.

Достаточно сказать, что Сухарева башня, место, где помещалась математико-навигацка» школа, получила в первой четверти XVIII века нарицательное имя. Она считалась чем-то вроде математического факультета. Широко было известно, что в этой башне преподается математика, делаются астрономические наблюдения, физические опыты; отсюда распространялись астрономические предсказания. Здесь получили образование многие учителя математики того времени.

Магницкий руководил математико-навигацкой школой до последних дней своей жизни. Он умер 19(30) октября 1739 года и погребен в Москве. На надгробном камне Магницкого была сделана его сыном надпись, проливающая известный свет на личность Леонтия Филипповича. Мы приведем ее полностью ввиду того, что ее содержание до последнего времени почти не было известно.

«Жития чистого, нрава тишайшего, обхождения честного, праводушия любитель, ко всем приятнейший и всяких обид, страстей и злых дел всеми силами чуждающийся, правды как о духовных так и гражданских делах опаснейший хранитель, наукам изучился дивным и неудобовероятным способом, его величеству Петру I для остроумия в науках учинился знаем в 1700 году и от его величества, по усмотрению нрава ко всем приятнейшего и к себе влекущего, пожалован именован прозванием Магницкий и учинен Российскому благородному юношеству учи-

*) Архимандрит Макарий, Историко-статистическое описание Рязанской духовной семинарии, Новгород, 1864.

**) «Московские Ведомости», 1836, № 76.

*) Архив адмирала П. В. Чичагова, вып. 1, СПБ, 1885, стр. 48.

телем математики, в котором звании ревностно, верно, честно, всепрележно и беспорочно служил и, прожив в мире 70 лет, 4 месяца и 10 дней, 1739 года октября 19-го о полуночи в 1 часу, по шестидневной болезни и которою благочестно скончался».

Магницкому принадлежат несколько руководств по математике*), из которых важнейшим является «Арифметика, сиречь наука числительная».

В «Арифметике» Л. Ф. Магницкого обращает на себя внимание прежде всего обширный трактат о древних еврейских, греческих и римских деньгах, мерах и весах Голландии и Пруссии, мерах и деньгах Московского государства, три сравнительные таблицы мер, веса и денег. Этот трактат, отличающийся замечательными подробностями, ясностью и точностью, свидетельствует о глубокой эрудиции и начитанности Л. Ф. Магницкого.

Заметим здесь, что этот трактат был широко использован одним из замечательных педагогов-математиков XVIII века, прославившимся своим свободомыслием, Яковом Павловичем Козельским в «Арифметических предложениях» (СПБ, 1764), который поместил в конце названной книги «меры пространства, весы и монеты».

Даже и теперь указанный раздел «Арифметики» Л. Ф. Магницкого может принести известную пользу при историческом исследовании, так как дает сведения о том, как наши далекие предки измеряли землю, сыпучие вещества, какие у них были деньги и т. д.

Л. Ф. Магницкий искусно использовал новинки в области арифметики, ввел новые наименования: «миллион», «биллион» и т. д., сделав тем самым крупный шаг вперед, возвел нуль в ранг числа, причислив его к «перстам» (первым десяти числам) и тем самым намного опередил свое время; поместил множество объяснительных примеров («прикладов»), включая примеры «некиих увеселительных действий, через арифметику употребляемых», обнаружил большой педагогический талант при изложении арифметических действий, алгебраических сведений, сведений о вычислении площадей и объемов и начал тригонометрии.

«Арифметика» Л. Ф. Магницкого обладала важными для своего времени научными и методическими достоинствами, и ее преимущества особенно ясно выступают при сравнении с аналогичными западноевропейскими учебниками, ей современными.

Один из знаменитых русских математиков акад. В. Я. Буняковский так оценивал «Арифметику» Магницкого в начале 60-х годов XIX века:

«Книга его (Л. Ф. Магницкого) исполнена добросовестно; изложение в ней ясное и если примем в соображение тогдашнее состояние математических наук в России, то не можем отказать ей даже в полноте сообщаемых сведений»*).

Как известно, В. Я. Буняковский особенно интересовался теорией чисел и своими трудами внес немало ценного в эту область математического знания. Тем приятнее отметить ту высокую оценку, какую он дает «Арифметике» Л. Ф. Магницкого.

В предисловии к «Арифметике» Л. Ф. Магницкий писал: «...будет сей труд добре пользовать русский весь люд». Это желание вполне сбылось. Его книга помогла ученикам математико-навигацкой школы дать в 1726—1734 годах материалы для первой «генеральной карты всея Руси» и первого географического атласа. Его же книга стимулировала М. В. Ломоносова к естественно-научному образованию.

«Арифметика» Л. Ф. Магницкого является ценнейшим источником, из которого историки отечественной науки всегда будут черпать сведения об уровне математических познаний нашего народа в начале XVIII века.

*) В 1703 году Магницкий совместно со своими английскими товарищами по навигацкой школе издал «Таблицы логарифмов, синусов, тангенсов и секансов к научению мудролюбивых тщателей». Это были первые таблицы на русском языке.

В 1722 году Магницкий издал мореходный справочник «Таблиц горизонтальных северные и южные широты».

*) Энциклопедический словарь, составленный учеными и литераторами, т. V, стр. 3527, СПБ, 1862.

МЕТОДИКА

О ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ В СТАРШИХ КЛАССАХ

М. Г. ВАСИЛЬЕВ (Петровск)

За последнее время все чаще и чаще в методической литературе указывается на необходимость прививать учащимся V—VII классов навыки в действиях с приближенными величинами. Тем не менее до сих пор многие учащиеся V—VII классов не имеют должных вычислительных навыков.

Поэтому перед преподавателями VIII классов стоит задача устранить указанный недостаток.

Ознакомление с правилами действий над приближенными числами я провожу в VIII классе в форме небольших бесед в тесной увязке с прохождением учения о радикалах и об измерении отрезков.

Учащиеся знакомятся с происхождением приближенных чисел, округлением, подсчетом значащих цифр и с правилами действий над приближенными числами («правила подсчета цифр»), объяснение проводится на примерах обычным способом—путем замены сомнительных цифр знаками вопроса.

В результате этой работы учащиеся усваивают следующие правила:

1. При сложении и вычитании приближенных чисел сохраняем справа только те разряды, которые имеются у всех слагаемых, остальные десятичные знаки отбрасываем с округлением.

Примечание. При округлении целых чисел цифры излишней точности заменяются нулями.

После этого выполняем сложение или вычитание по обычным правилам.

2. При умножении и делении все компоненты уравнивают по числу значащих цифр, округляя их до числа цифр меньшего по количеству значащих цифр компонента.

В произведении сохраняется столько значащих цифр, сколько их имеется в каждом из компонентов (после уравнивания).

3. При возведении в степень в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени.

4. При извлечении корня в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное приближенное число.

5. При расчетах, требующих большей точности во всех промежуточных результатах, рекомендуется оставлять одной цифрой более, чем указывают правила. Последнюю цифру в окончательном результате следует отбросить (с учетом правил округления).

Переходим к изложению тех упрощений, которые можно внести в вычислительную работу в старших классах.

VIII класс

Первое практическое применение изложенных правил учащиеся получают при прохождении темы «Решение прямоугольных треугольников».

Помещенные в учебнике пятизначные таблицы ученики переделывают на трехзначные, кроме того, каждый имеет таблицу квадратов чисел от 11 до 99, которой они уже пользовались ранее при решении квадратных уравнений (см. табл. 1 в конце статьи) и таблицу чисел---(см. табл. 2 в конце статьи).

При вычислении элементов прямоугольных треугольников следует из методических соображе-

нии выбирать вначале примеры, в которых линейные элементы задаются с одной-двумя значащими цифрами. Правильнее считать линейные элементы полученными в результате измерения, и соответственно их значности брать данные из таблиц; это упрощает вычисления и дает возможность учащимся в будущей практике избегать излишней работы.

Пример 1. Гипотенуза с = 2,3 и ^ А = 34°. Найти остальные элементы прямоугольного треугольника и его площадь.

Решение.

Проверка.

Примечание. Извлечение корня выполняется приближенно, по таблице 1.

Пример 2. Даны катеты а = 32 и b = 43. Найти остальные элементы прямоугольного треугольника и его площадь.

Решение.

Примечание. Для возведения чисел в квадрат и извлечения квадратного корня применяется таблица 1.

Примечание. Если линейные элементы даны с точностью до одной-двух значащих цифр, то нет смысла вычислять углы с большей точностью.

При решении примеров, в которых значения линейных элементов даны с тремя значащими цифрами, надо знакомить учащихся с сокращенным умножением и делением и с нахождением тригонометрических функции для углов, данных в градусах и минутах, и с обратной задачей— нахождением угла в градусах и минутах по данному значению тригонометрической функции (методом интерполяции).

Указываем, что если значения линейных элементов даны с тремя значащими цифрами, то достаточно вычислять углы с точностью до 10', а в условии примеров или задач брать углы с точностью до 10'.

Пояснить это можно на таком примере.

Даны катеты а = 232 и £ = 324.

Найти угол А.

Числа а и b будем считать полученными в результате измерения, тогда:

Истинное значение тангенса угла А будет заключаться между значениями:

Следовательно, значение угла (вычисленное по четырехзначным таблицам) колеблется между 35°ЗГ и 35°42', т. е. разница составляет ^11'.

Далее следует привести примеры на вычисление с помощью сокращенного умножения и деления.

Пример 1. Гипотенуза с = 32,4 и катет а = 26,3. Найти остальные элементы прямоугольного треугольника и его площадь.

Решение.

Вспомогательные вычисления.

«Маленький» нуль в числе 39сОо' показывает, что приближенное число взято с точностью до 10'.

Пример 2. Катет 6=1,23 и ^# = 36с2о'. Найти остальные элементы прямоугольного треугольника и его площадь.

Решение.

Вспомогательные вычисления.

Примечание. При решении дважды использован способ сокращенного умножения и один раз — сокращенного деления.

После усвоения всех четырех случаев решения прямоугольных треугольников преподавателю следует перейти к приложениям тригонометрии.

Пример. Груз весом 62 кг подвешен на кронштейне ABC (черт. 1). Угол между горизонтальным стержнем AB и подкосом ВС равен 56°. Определить усилие, сжимающее подкос ВС и растягивающее стержень ЛЛ(черт. \ ).

Решение.

Разложим силу Р = 62 кг на две составляющие силы X и у. Из прямоугольного треугольника BED имеем: сила у, сжимающая подкос ВС, равна:

Сила X, растягивающая стержень, равна:

Примечание. Использована таблица 2 обратных значений и приемы сокращенного умножения.

Пример 2. На наклонной плоскости, составляющей с плоскостью горизонта угол в 37°10', лежит груз в 75,6 кг. Определить силу, необходимую для удержания этого груза, и силу давления (трение не учитывать) (черт. 2).

Решение. Разложив груз 75,6 кг на составляющие X (сила давления) и у (сила, необходимая для удержания груза), из прямоугольного треугольника ABC имеем (черт. 2): X = 75,6 • cos 37° 10' = 75,6 • 0,785^59,3 (кг); у = 75,6 • sin 37°20' = 75,6 - 0,607 ^45,9 (кг). (Использованы приемы сокращенного умножения.)

Проверка. Находим равнодействующую:

При проверке использованы таблицы Брадиса XI и XII.

К сожалению, в задачниках по физике преобладают задачи с углами в 35°, 45° и 60°, что далеко не всегда бывает в действительности. Необходимо увеличить число задач, в которых углы даны в десятках и единицах градусов, решение таких задач при использовании вышеуказанных упрощений не вызовет особых затруднений.

При прохождении темы «Метрические соотношения в треугольнике и в круге» учащиеся продолжают применять полученные навыки в действиях с приближенными числами и используют таблицы 1 и 2. Из методических соображений

Черт. 1.

Черт. 2.

считаю более целесообразным теоремы о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике пройти до изучения темы «Тригонометрические функции острого угла». Проходя последнюю тему, учащиеся могут применять теорему Пифагора для проверки.

После прохождения темы «Тригонометрические функции острого угла» учащиеся переходят к прохождению темы «Метрические соотношения в треугольнике и круге», продолжая при этом углублять свои навыки в действиях с приближенными числами и в применении таблиц 1 и 2.

Задачи на метрические соотношения элементов треугольника и круга подобраны в стабильном задачнике так, что почти во всех задачах получаются «точные» ответы, и если у ученика «не извлекается» корень, то он всегда склонен думать, что решил задачу неверно. Если бы данные в задачах были получены путем действительного измерения, то в большинстве задач ответы получались бы приближенными; наша цель—подготовить учащихся так, чтоб они умели вычислять при любых данных в условии задачи.

Привожу образцы таких задач и их решение. Каждый преподаватель может составить целый ряд таких задач на любую теорему или на приложение нескольких теорем.

Задача 1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3,3 м и 4,2 м. Найти высоту, принимая за основание гипотенузу.

Решение.

Воспользуемся соотношением:

Примечание. Использованы таблицы 1 и 2.

Задача 2. Стороны треугольника 7,6 м и 9,6 м. Угол между ними 60°. Найти третью сторону.

Решение. Обозначив третью сторону через х, а известные стороны через а и Ь, имеем:

где аг — проекция стороны а на сторону Ъ.

Примечание. Использована таблица 1.

Задача 3. Стороны треугольника а = 64 см, Ь =72 см, с = 86 см. Найти проекцию меньшей стороны на большую.

Решение (черт. 3).

Вспомогательные вычисления.

Примечание. Использованы таблицы 1 и 2 и способ сокращенного умножения.

Задача 4. Стороны треугольника а = 74 см, Ь = 82 см и с = 94 см. Найти медиану большей стороны.

Применяя обычный способ решения (медиану продолжаем на расстояние, равное ее длине, соединяем конец продолжения с двумя вершинами; полученный четырехугольник есть параллелограм); обозначив медиану через л', имеем:

Примечание. Использована таблица 1.

Задача 5. Определить высоту параллелограма, у которого основание равно 0,52 м, а диагонали 0,42 м и 0,76 м.

Черт. 4.

Решение (черт. 4).

Вся высота ^0,24.

Примечание. При решении использована таблица 1 и способ сокращенного деления.

После прохождения формулы Герона эта задача решается другим способом.

Богатый материал для применения приближенных вычислений учащиеся встречают при решении задач на тему «Площади прямолинейных фигур».

Задача 1. Здание прямоугольной формы имеет длину в 82,5 м и ширину в 26,5 м. Определить в арах площадь застроенного участка.

Решение.

s = д-£ = 82,5.26,5 ^ 2190 (кв. м).

Ответ: 21,9 ар.

Задача 2. Ширина полотна дороги а =6,75 м9 стрелка h подъема полотна над насыпью должна составлять 2% ширины полотна, высота насыпи //=1,50 м и откосы наклонены к линии горизонта под углом 45°. Вычислить площадь поперечного профиля дороги.

Решение (черт. 5).

Черт. 5.

Вспомогательные вычисления.

Ответ. Площадь поперечного профиля дороги ^ 12,8 кв. м.

Задача 3. Пол комнаты желают выстлать паркетом в форме правильного шестиугольника со стороной в 12 см.

Предполагаемая к покрытию таким паркетом площадь пола имеет следующие размеры. 7,48 м в длину и 3,25 м в ширину. Определите нужное число паркетных плит.

Решение. Обозначив площадь плитки через s, а сторону через а, имеем:

или 0,037 м\

Площадь пола равна

7,48-3,25^24,3 (м*), откуда находим число плиток:

24:0,037 = 24-27^650.

Примечание. При решении применяется метод сокращенного умножения и таблица 2.

IX класс

Учащиеся в начале учебного года знакомятся с четырехзначными таблицами Брадиса:

1. С таблицами натуральных значений тригонометрических функций VIII, IX, X.

2. С таблицей квадратов и кубов XI и XIII.

3. С таблицей квадратных корней XII.

4. С таблицей обратных чисел XVII.

При наличии достаточного времени возможно ознакомление учащихся с этими таблицами и в VIII классе.

С остальными таблицами учащиеся IX классов знакомятся попутно с проходимым материалом. Например, при прохождении отдела о длине окружности и площади круга—с таблицами XIV и XV.

На уроках геометрии и тригонометрии учащиеся IX классов время от времени выполняют задачи на решение прямоугольных треугольников с применением четырехзначных таблиц натуральных тригонометрических функций, причем метод сокращенного умножения приносит особенно большую пользу.

Сокращенное деление лучше заменять сокращенным умножением, применяя таблицу XVII.

Пример 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза с = 23,34, ^/ Л=36°42'. Найти остальные элементы и площадь s.

Решение.

Вспомогательные вычисления.

Пример 2. Даны: гипотенуза с = 43,21 и катет а = 36,24. Найти углы А и В, катет Ь и площадь s.

Решение.

Примечание. Возведение в квадрат произведено по таблице X, извлечение корня — по таблице XII Брадиса.

Вспомогательные вычисления.

Не надо перегружать учащихся большим количеством примеров с многозначными числами, так как эти примеры в дальнейшем будут проще решаться с помощью таблиц логарифмов, но необходимо, чтобы учащиеся умели делать приближенные вычисления и без таблиц логарифмов, пользуясь натуральными таблицами.

При прохождении раздела о длине окружности и площади круга можно предложить учащимся, например, такие упражнения.

Задача 1. Определить относительную погрешность при замене длины полуокружности С через а3 -j- а4.

Учитель разъясняет на простых примерах понятие об абсолютной и относительной погрешности и предлагает решить задачу, взяв для я У2 и ]/3 значения с точностью до 0,00001 (таблица Брадиса, стр. 5).

Решение.

I) Абсолютная погрешность равна:

3) Относительная погрешность равна:

Вспомогательные вычисления.

Задача 2. Дерево имеет в обхвате 1,884 м. Чему равна площадь его поперечного сечения, имеющего форму (приблизительно) круга

Решение.

Вспомогательные вычисления.

Примечание. Используются таблицы XI и XVII и метод сокращенного умножения.

В IX классе учащиеся знакомятся с таблицами логарифмов и обычно к концу года все вычисления с многозначными числами и в особенности с радикалами и дробными показателями производят с помощью четырехзначных таблиц логарифмов.

Следует подробно объяснить, в каких случаях надо вычислять с помощью логарифмов и когда лучше от них отказываться.

Учащийся в основном должен пользоваться следующим положением: при наибольшей простоте получать требуемую точность результата.

Так, нижеследующий пример: вычислить

решается при помощи натуральных тригонометрических таблиц проще, чем при помощи логарифмов. Имеем:

X класс

Учащиеся продолжают практику применения «правил подсчета цифр» в своих вычислениях, широко применяя таблицы и сокращенное умножение.

Богатый материал для вычислений представляется при решении задач на вычисление объемов и поверхностей тел.

Привожу пример интересной задачи, которая является переделкой задачи № 21 § 18 задачника Рыбкина (II часть).

Задача. Отрезок ствола длиной в 15,5 м имеет следующие диаметры концов: dx=42 см и d2 — 25 см. Диаметр среднего сечения ^ = 36 см. Принимая объем, полученный от умножения площади среднего сечения на длину дерева, за истинный, определить процент ошибки, которую мы делаем, вычисляя объем по формуле усеченного конуса.

Примечание. Древесный ствол имеет форму, более близкую к параболоиду, чем к усеченному конусу, поэтому задачу, помещенную в сборнике Рыбкина лучше дать в вышеприведенной редакции.

Решение.

Искомый процент

Вспомогательные вычисления.

Задача 2. Внутренний диаметр чугунного полого шара 8 см, а внешний 10 см. Определить вес шара. Удельный вес чугуна 7,3.

Решение. Обозначив искомый вес через д. а удельный вес через d, имеем:

Вспомогательные вычисления.

При решении косоугольных треугольников учащиеся имеют возможность также применить упрощенные приемы вычисления, если будут умело выбирать таблицы, а не исключительно только пользоваться таблицами логарифмов, как это часто бывает. Так, при вычислении углов треугольника по данным линейным элементам удобно пользоваться натуральными тригонометрическими таблицами, если длина сторон дана с небольшим числом значащих цифр.

Пример. Даны стороны треугольника а = 6,0 см, Ъ = 5,0 см и угол f = 62°, заключенный между ними. Найти остальные элементы треугольника и его площадь.

Угол а находим по формуле:

При данных с тремя или четырьмя значащими цифрами, в этом случае решения косоугольных треугольников, можно также производить вычисления, пользуясь теоремой косинусов, можно использовать и теорему косинусов, и теорему синусов, но значительно проще следующий способ решения:

(I)

Выражение (I) можно вычислить, логарифмируя «по частям» или логарифмируя выражение b sin С

- и вычисляя с помощью таблиц натуральных значений тригонометрических функций и применяя сокращенное умножение.

Пример.

Вспомогательные вычисления.

Далее, выражение

вычисляем обычным способом с помощью таблиц логарифмов.

В настоящей статье большое внимание уделено на приложение «правил подсчета цифр», сокращенного умножения, таблиц к решению треугольников, хотя по своему удельному весу в программе средней школы этот вопрос занимает скромное место. Это объясняется тем, что при прохождении именно этих разделов учащиеся часто применяют нерациональные способы вычислений.

Таблица 1 Для нахождения квадратов чисел от 11 до 99

Таблица 2

Таблица значений чисел вида

Примечание I. Таблицей 1 учащиеся пользуются также для нахождения точных значений квадратных корней для чисел, помещенных в таблице, и для нахождения приближенных квадратных корней с точностью до двух значащих цифр из приближенных чисел от 100 до 10 000. В последнем случае таблицей пользуются, если только две значащие цифры подкоренного числа надежны.

Например, требуется найти сторону квадрата, равновеликого прямоугольнику, измерения которого 76 м и 32 м.

Обозначив сторону искомого квадрата через х, имеем:

Примечание II. По таблице 2 учащиеся VIII класса находят числа вида —, что дает возможность деление чисел заменять более простым действием — умножением. При пользовании таблицей необходимо руководствоваться следующим правилом: если число п — целое или целое число с дробью, но не состоит из единицы и последующих нулей, то число —--правильная десятичная дробь, имеющая в начале столько нулей (считая и нуль целых), сколько целых цифр в числе л; если число п — правильная десятичная дробь (не состоящая из единицы и предшествующих нулей), то число — имеет в целой части своей столько цифр, сколько нулей в числе п (считая и нуль целых). Например:

При числах в три и более значащие цифры учащиеся пользуются таблицей XVII Брадиса.

Пример применения таблицы 2.

Задача. В колхозе засеяно 330 га рожью, 230 га — овсом и остальные 310 га — пшеницей. Узнать, сколько процентов всей площади засеяно рожью, овсом и пшеницей.

Решение.

От редакции. Умение пользоваться правилами приближенных вычислений имеет важное значение с точки зрения политехнического обучения, так как без этих правил нельзя правильно производить практические расчеты.

Внедрение в курс средней школы соответствующих вычислительных навыков должно происходить путем упорной повседневной работы во всех классах.

В настоящей статье М. Г. Васильева даны образцы вычислительных упражнений для VIII—X классов. По этим образцам учитель может самостоятельно составлять различные примеры.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ КАК ОДИН ИЗ ФАКТОРОВ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ*)

А. В. ЛАНКОВ (Молотов)

Многие вопросы методики математики, несомненно, будут подвергнуты пересмотру с точки зрения идеи политехнического обучения. В особенности это необходимо сделать в отношении задач. Задачи появились в результате развития трудовой деятельности человека на заре его истории. В этом нетрудно убедиться, проанализировав несколько документов древнего мира.

Памятниками математических познаний египтян являются папирусы, относящиеся к Среднему царству (1,5—2 тысячи лет до н. э.). Московский папирус Голенищева заключает 18 арифметических задач. Их содержание взято из трудовой деятельности египетского народа: постройка корабля, выпечка караваев хлеба и изготовление пива из объемной единицы зерна, оплата труда. Только три задачи имеют отвлеченное содержание. В папирусе Rhind'a (Британский музей) приводится 64 задачи. Содержанием большинства задач являются расчеты по разделению караваев хлеба между несколькими лицами, по обмену караваев хлеба раз-

*) Как известно, по вопросу о характере школьных арифметических задач существуют различные точки зрения. Настоящая статья печатается в порядке обсуждения вопроса об арифметических задачах с точки зрения политехнического обучения.

ной величины и пива различной крепости, по расплате с работниками. Египтяне, земледельцы по преимуществу, естественно, отражали в задачах мотивы, связанные с сельскохозяйственной деятельностью.

Один из памятников, относящихся к небольшому государству южной Вавилонии (IV тысячелетие до н. э.) содержит многочисленные хозяйственные записи и расчеты, связанные с полевым хозяйством. Вычисления указывают на сложившуюся систему мер: длины, площадей, емкостей. В более поздних записях найдены астрономические вычисления, инженерные расчеты и т. д.

Китайский памятник древности «Киу-Чанг»— девять отделов арифметики (около 2600 лет до н. э.) также содержит задачи хозяйственного значения (продажа скота и т. п.).

В римском мире появляются задачи на раздел наследства.

Греки ввели задачи-эпиграммы, задачи-софизмы, задачи в стихотворной форме.

Постепенно содержание задач видоизменяется и отделяется от первоисточника — хозяйственной деятельности людей: задача становится логической загадкой, чаще всего отражающей ход мысли какого-то отдельного человека. Мотивы такого рода задач отличаются повторяемостью. В папирусе Rhind'a имеется задача-ребус, известная под именем «лестницы». Написаны пять чисел: 7, 49, 343, 2401, 16 807. Рядом с числами написаны слова: картина, кошка, мышь, ячмень, мера. Сопоставляя числа и слова, ученые высказали гипотезу, что здесь имеется интерпретация следующей задачи: У семи лиц имеется по семь кошек, каждая кошка съедает по семь мышей, каждая мышь съедает по семь колосьев ячменя, из каждого колоса может вырасти по семь мер зерна. Сколько всего предметов? (Истолкование ориенталиста Родэ и историка математики Кантора).

У Леонарда Пизанского в его книге Liber abaci (1202 г.) помещена аналогичная задача: Семь старух отправляются в Рим. У каждой старухи по семь мулов, каждый мул несет по семь мешков, в каждом мешке по семь хлебов, в каждом хлебе по семь ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всего предметов?

Типы задач, встречающиеся в современных сборниках, нередко имеют многовековую давность. В упомянутом выше китайском источнике «Киу-Чанг» встречается задача, весьма родственная и близкая нашим современным сборникам (Березанская, Чекмарев и Филичев): 5 волов и 2 барана куплены за 10 таэлей, а 2 вола и 8 баранов — за 8 таэлей.

Найти стоимость одного вола и одного барана.

В «Палатинской анфологии» (VI—VII в. н. э.) имеется задача: Какая часть суток прошла, если оставшаяся часть суток составляет 2 -g- прошедшей?

Арабский математик Бега-Эддин (XVI в. н.э.) в книге «Эссенция искусства счисления» приводит задачу: Некто ночью спросил, который час. Ему ответили, что одна треть протекшего времени равна одной четверти остающегося. Определить время. Теперь этот «тип» на все лады перепевается современными авторами учебно-задачной литературы.

Монах Максим Плануд (XIV в. н. э.) дал задачу: Некто, умирая, велел принести свой сундук и начал делить имущество между своими сыновьями, говоря: «Я хочу разделить мои деньги поровну между моими сыновьями так, что первый должен получить одну монету и седьмую часть остатка, второй — две монеты и седьмую часть остатка...* и т. д. Задача использована в некоторых наших задачниках.

Задачи на водоемы встречаются у Герона Александрийского (I в. н. э.) и в «Палатинской анфологии».

В первом русском сборнике задач*) уже имеются задачи о короне царя Гиерона, о награждении изобретателя шахматной игры и др.

Даже задачи на «правила» дошли до нашего времени (Чекмарев и Филичев).

На протяжении столетий задачи, связанные с хозяйственной деятельностью, постепенно «затухали», терялись, так как формы хозяйственной жизни постепенно изменялись. Задачи искусственные, отвлеченные, наоборот, укреплялись, переходили из века в век. Создавались определенные шаблоны задач, которые методико-математическая литература стала называть «типами». Многие из отвлеченнных задач «выродились» в какие-то своеобразные кроссворды, а между тем вряд ли кто склонен думать, что кроссворды развивают логическое мышление: кроссворды имеют познавательное значение, а многие задачи совершенно лишены и этого. Такова задача: В бассейн проведены четыре трубы. Через первую в 47 минут вливается 282 ведра воды, через вторую... и т. д. (Сб. Чекмарева и Филичева). Всем знакома в алгебре такая задача: Некто, про-

*) «Собрание 651 избраннейшего примера, в пользу юношества, учащегося арифметике, под смотрением преосв. Иустина, епископа Пермского, взятых из книг, но по большей части новоизобретенных посильными трудами Алексея Вишневского, учителя математики в пермской семинарии», Пермь, 1806.

оав часы за 39 руб., получил при этом столько процентов прибыли, сколько рублей ему самому стоили часы. Что они ему стоили? (Задача встречается во многих сборниках.) Не уступает ей и такая: От шнура отрезали У всего шнура и - - см, потом отрезана остатка и еще см... и т. д.

Трудно верить, что все эти премудрости встречаются на страницах советской учебной литературы, а между тем они заполняют 50—60% любого из сборников задач.

Стремление обновить учебно-задачную литературу началось в конце XIX века (Гольденберг и др.), но предрассудки живучи: Ир. Верещагин построил свой сборник на основе «лучших иностранных образцов» (это о нем в свое время говорили: «Ни рукой не поднять, ни умом не объять»). А основные советские сборники арифметических задач очень похожи на «Сборник» Ир. Верещагина. Времена меняются, история идет вперед, наша страна быстрыми темпами идет к коммунизму, советские люди создают переворот в науке, а в школе советские дети решают те же задачи, над которыми в свое время сидели их деды. Вопрос о задачах нужно в первую очередь привести в соответствие с идеей политехнизации. О задачах достаточно много писали, на «задачные уродства» указывали передовые представители методико-математической науки еще в конце XIX века. И в настоящее время проблема составления задач привлекает к себе внимание методистов. Правильно писал И. В. Арнольд, что «совершенно нетерпимо такое положение, при котором как содержание, так и методы преподавания математики и, в частности, основы основ арифметики сохраняют еще следы застывших и устаревших схем и традиций и не приведены в достаточно полное и точное соответствие с потребностями современности»*). Однако автор пришел лишь к ничтожным результатам. «Арифметическое содержание задач должно фиксироваться, — говорил он, — на основе детального и исчерпывающего анализа тех элементов мышления и воображения учащихся, развитие которых составляет цель обучения арифметике... Постановка вопросов в задачах должна быть, как правило, реальной, получение ответа интересным для учащихся, конкретное оформление (фабула) и подбор числовых данных должны иметь либо познавательную ценность, либо эмоциональную окраску и расширять числовой кругозор учащихся ».

Все это весьма общие соображения, которыми, пожалуй, можно оправдать почти любую задачу любого «Сборника».

Условия: У хозяйки было на руках 7-g- руб или: Продано ^ кг сахара по 2 y руб. за килограмм — расширяют числовой кругозор, а первое из них для дореволюционного времени было реальным. (Кстати, в сборнике Березанской встречаются: «2 ^/я», задача № 852, «длина окружности равна 39 у см*, задача № 945.)

Узко ставит вопрос специальная методическая работа С. В. Филичева и Е. Ф. Чекмарева, предназначенная для учителей*). Здесь на качество задачного материала вообще не обращается внимание, авторов интересует лишь техника решения. Авторы пишут, что «в школьной практике, кроме чисто арифметических задач, решение которых производится применением обычных приемов синтеза и анализа, решаются и так называемые типовые задачи, для решения которых применение синтеза и анализа не всегда достаточно» (стр. 64). Итак, «чисто арифметические задачи» и «типовые задачи» противопоставляются (оригинальная классификация). А дальше идут «героновские водоемы» и все прочие аксессуары XIX века, когда передовые педагоги-математики боролись с задачным «многоделием».

Бездумное отношение авторов к содержанию задач стало какой-то традицией. Академия педагогических наук издала специальный сборник, посвященный решению задач**). В сборнике помещено пять статей, относящихся к задачам по арифметике: три статьи — к алгебраическим задачам, и две — к геометрическим. Проблема качества задач авторов не интересует. Даже большая специальная статья М. Ф. Добрыниной***) игнорирует этот вопрос, хотя, кажется, бесспорным факт, что протекание мыслительных процессов не может не зависеть от материала.

Более содержательный взгляд на качество задач, устанавливающий связь задач с вопросом о воспитании диалектико-материалистического мировоззрения, советского патриотизма, встре-

*) И. В. Арнольд, Принципы отбора и составления арифметических задач, Известия Академии педагогических наук РСФСР, вып. 6, 1946.

*) С. В. Филичев и Я. Ф. Чекмарев, Руководство к решению арифметических задач. Пособие для учителей, Учпедгиз, 1948.

**) Решение задач в средней школе, сб. под общей редакцией Н. Н. Никитина, изд. АПН РСФСР, стр. 318.

***) Мыслительные процессы при составлении уравнений, стр. 125—170.

чается в журнальных статьях. Укажем на интересные статьи С. М, Чуканцева (журн. «Математика в школе», 1940, № 2, 4, 5; 1948, № 6 и др.), Л. Г. Круповецкого (журн. «Математика в школе», 1948, № 3; 1952, № 3), проф. А. М. Астряба (статья в сборнике «Нариси з методики викладання арифметики», «Радянська школа», 1950) и др.

Выясним, какие требования предъявляет к задачам идея политехнического обучения.

Политехнизация создаст членам общества «...возможность свободно выбирать профессию, а не быть прикованными на всю жизнь, в силу существующего разделения труда, к одной какой-либо профессии» (И. В. Сталин, Экономические проблемы социализма в СССР, Госполитиздат, 1952, стр. 68—69). Следовательно, предметом политехнизации является то основное, общее принципиальное, что необходимо для каждой отрасли производства.

Из этих требований и будем исходить, определяя значение задач. Прежде всего необходимо расширить понятие «задача». В обычном понимании задачей считают вопрос, ответ на который не является точным воспроизведением теоремы, правила или определения учебника. Отсюда следует, что упражнение: «с помощью линейки и циркуля разделить данный отрезок пополам»— нельзя считать задачей (Брадис, Методика математики, стр. 57), хотя учебники геометрии помещают этот вопрос в разделе «Основные задачи на построение», а в другом месте «Методики» Брадиса говорится, что «на первое место в курсе арифметики ставятся задачи-примеры» (стр. 112). Но выполнение любого примера предусмотрено соответствующей теорией, следовательно, это тоже не задача. Нельзя критерий задачи ставить в зависимости от того, помещен ли вопрос в учебнике или нет.

Дело, однако, не только в игнорировании логики. Определение «Методики» поддерживает устаревший метафизический взгляд на задачи, отбрасывая большое количество упражнений, особенно ценных в аспекте политехнизации. Ученик может знать теорию деления отрезка пополам и не уметь выполнить это деление. «Методика» же не признает выполнение за задачу.

Всякое построение, измерение, вычисление, короче говоря, всякое упражнение есть задача. Любой математический вопрос является задачей. При таком расширении понятия «задача» сборники обогатятся новыми задачами: в их состав войдут измерения отрезков (разными способами), измерения площадей, объемов, построения на местности и т. д.

Расширение понятия «задача» не требует обязательного увеличения объема сборников задач.

На рубеже XIX века в учебниках теории математики помещалось большое количество аксиом; понятие о системе аксиом в то время еще отсутствовало, и единственным критерием для помещения той или иной аксиомы в учебник являлось мнение автора. Примерно в таком же положении находятся в настоящее время сборники задач.

Необходимо пересмотреть состав сборников задач по каждому предмету среднешкольного курса математики, приняв во внимание требования педагогики, психологии и теории самого предмета. Эта работа, несомненно, является весьма сложной и трудоемкой, требующей постановки большого числа экспериментов. Но основные вехи ее могут быть намечены в данный момент, в связи с проведением в жизнь идеи политехнизации обучения. Основанием для этого, с одной стороны, могут служить многочисленные высказывания передовых педагогов XIX— XX веков, с другой стороны — требования политехнизации.

Задачи не цель, а только средство обучения: на этом должна строиться реформа учебно-задачной литературы. Материал задач не может быть вечным, неизменным: в нем должна отражаться эпоха, биться пульс современной жизни. В эпоху строительства коммунизма нельзя преклоняться перед задачниками типа Ир. Верещагина, собравшего, как в фокусе, «достижения заподноевропейской методики». Задачам должны быть свойственны логичность построения, точность и ясность языка, краткость содержания, реальность соотношений, фабула, основанная на жизненной ситуации. Казуистические, схоластические, искусственные задачи могут быть опущены с пользой для дела.

«Типовые» задачи, как вырабатывающие шаблоны, освобождающие ученика от необходимости мыслить, должны быть изъяты из сборников. «Решение однородных по структуре и форме задач, — говорит Н. А. Менчинская, — как правило, приводит к односторонним обобщениям, к выработке косных, стереотипных шаблонов решения. Варьирование материала является одним из основных средств воспитания гибкого математического мышления»*).

Типы — предрассудок, от которого, наконец, пора освободиться. А деление задач на «чисто арифметические» и «типовые», которые, якобы, нельзя решить ни методом анализа, ни методом синтеза, — методический курьез. Примерно 75 лет тому назад вошли «типы» в нашу школу, и за это время никто даже не смог определить по-

*) Н. А. Менчинская, О психологии решения арифметических задач, «Советская педагогика», 1940, № 1.

нятия «тип», никто не создал более или менее логичной классификации. Отчасти, может быть, в типизаторских увлечениях кроется причина того своеобразного факта, что наши школьники менее всего умеют решать арифметические задачи.

Защитники отвлеченных, искусственных задач обычно утверждают, что такие задачи особенно ценны для развития логического мышления учащихся. Это — глубокое заблуждение. Правильно утверждает К. Ф. Лебединцев: «Если мы желаем, чтобы учащиеся получили, благодаря изучению математики, возможно более широкое умственное развитие, то мы должны упражнять их математическое мышление на таком материале, который имел бы прямую связь с областью других наук и с явлениями жизни в самом обширном смысле этого слова»*). Советская психология придает большое значение конкретности материала, которым оперирует мышление учащихся.

Итак, в целях возможности включения новых задач, необходимых с точки зрения политехнизации, мы предлагаем:

1) Отказаться от громоздких искусственных задач с условием от 8 до 20 строк (исключение может быть сделано для некоторых исторических задач в отделе «Для любителей»). Средний размер условия — две-пять строк, в повторительных отделах можно допустить задачи с условием в шесть-семь строк.

2) Отказаться от наиболее нелепых «типовых» задач.

3) Отказаться от задач, нереальных по подбору числовых данных. Не следует, например, длину комнатной мухи увеличивать в миллион раз, измерять пробег паровоза с точностью до третьих долей километра и воду, потребляемую паровозом^ — с точностью до литра.

Нельзя на подводы нагружать тонны груза и т. д.

4) Отказаться от задач, нежизненных по ситуации, по взаимосвязям. Сомнительна ценность таких задач: Найти вес рыбы, зная, что хвост ее весит 4 кг... и т. д. Говоря о жизненности, мы не понимаем ее только как утилитарную полезность. Мы не отрицаем искусственных отвлеченных задач (так называемых «алгебраических»), которые нередко легко решаются при помощи уравнений, но представляют трудности при арифметическом решении.

Нельзя развивать творческое мышление и воспитывать волевые качества человека на тривиальном материале.

Задача нередко привлекает учащихся своей трудностью. Игнорировать такие задачи нельзя, если они не содержат нелепостей в условиях.

Например, задача: Пароход идет от Горького до Астрахани 5 суток, а обратно 7 суток. Сколько времени идут по течению плоты от Горького до Астрахани? (время движения парохода указывается без остановок) — полезна. Она ставит перед учеником много интересных вопросов. Задача № 1156 о часовых стрелках (из «Сборника» Березанской) хороша. Однако роль таких задач должна быть ограниченной, нецелесообразно загромождать ими сборники задач.

5) Необходимо отказаться от засорения условий задач техническими и научными терминами, требующими большой работы для их освоения. Таковы: «рефракция», «бонификация», «типографский пункт», «атомный вес», «волочильный барабан» и т. п. Сборник задач нельзя обращать в энциклопедию с перелицованными для построения задач данными, с подбором чисел, действующих на воображение.

Необходимо принять во внимание, что некоторые данные, ценные с точки зрения их жизненного познавательного значения, являются скоропреходящими, быстро стареют, становятся анахронизмами (скорости, грузоподъемности, рекордные достижения и т. п.)*).

«Чистка» сборника задач, предлагаемая нами, освободит не менее 50% всего объема для новых задач, которые необходимы для осуществления идеи политехнизации обучения.

На первом плане в сборнике остаются простые задачи (задачи, решаемые одним действием), имеющие большое методическое значение. С помощью их познается смысл действия. Решение всякой сложной задачи основано на умении решать простые задачи, из простых задач составлять сложную задачу и сложную задачу разбивать на простые задачи. Все эти упражнения необходимы.

В составе задачника сохраняются примеры, на которых вырабатывается вычислительная техника. Далее идут задачи, о которых мы говорили выше, задачи в обычном понимании, но

*) К. Ф. Лебединцев, Метод обучения арифметике в старой и новой школе, М., 1914, стр. 13.

*) В «Сборнике» Березанской ряд задач представляет такие анахронизмы: 1489, 1934, 1960, 1961 и др. (по изд. 1918 г.) В сборнике В. А. Игнатьева, Н. И. Игнатьева, С. А. Пономарева и Я. А. Шора (Методический сборник задач и упражнений по арифметике, изд. 1949 г.), вообще довольно интересном, имеется задача № 426 о поездке в Магадан. Студентка института, в поисках за оригинальными задачами, наткнулась на нее и решила проверить ее содержание по существу. Оказалось, что поездка из Ногаево в Магадан на оленях — уже давно прошедший этап.

без логических вывертов и типовых «уродств»*).

Теперь перейдем к задачам нового типа, особенно необходимым с точки зрения политехнизации обучения. В учебно-задачной литературе старого типа преобладающее, даже исключительное значение имели вычислительные операции, выполняемые главным образом письменно. Такая односторонность ныне не должна иметь места. В содержание вычислительных операций должны быть внесены три поправки: необходимо усилить устные вычисления, ввести задачи и упражнения на приближенные вычисления и, наконец, начать инструментальные вычисления. Большое педагогическое и жизненное значение устных вычислений непререкаемо. Потребности любой профессии предъявляют спрос на такого рода вычисления. Вынесение их в отдельные сборники нежелательно: это дает право считать устные вычисления необязательными.

Приближенные вычисления широко применяются даже при элементарных технических расчетах. Внедрение их в школу, начиная с V класса, является фактом первостепенной важности. Мы в этом отношении разделяем взгляд В. У. Грибанова о том, что «необходимо провести некоторые изменения и исправления в учебниках и сборниках задач»**).

Развитие творческого мышления, инициативы и самостоятельности требуют включения в сборник новых видов вычислительных задач.

1) Задачи-таблицы. Например, дано народонаселение нескольких городов на 1913 год и на 1950 год. Узнать, на сколько увеличилось народонаселение за указанный промежуток времени. Здесь нет материала для конструктивной работы учащихся, но эти задачи необходимы и полезны: они устанавливают связь математики с живой действительностью, обогащают внутренний мир учащихся.

2) Составление задач по таблицам. Упражнения по изучению количественных отношений материального мира. Конкретные данные приводят таблицы, связь между ними устанавливают учащиеся, создавая конструкции задач.

3) Задачи на составление и проверку документов (счет, требование, наряд и т. п.).

Инструментальные вычисления приобретают в Советском Союзе исключительно большое значение. Раньше специалисты-вычислители необходимы были лишь в обсерваториях. Теперь эта специальность широко используется во всех областях учета, планирования и проектирования. Появилась специальная дисциплина «машинная математика», в отдельных университетах открыты «вычислительные кабинеты», ряд фабрик механизированного счета обслуживает народное хозяйство СССР, издается литература по этим вопросам*).

Возможности средней школы по введению инструментальных вычислений в настоящее время являются ограниченными. При проведении большой программы политехнизации обучения потребности школы в вычислительной технике, конечно, будут учтены. Но необходимо сейчас же начать осуществление малой программы политехнизации, использовав имеющиеся условия. В связи с курсом арифметики могут быть поставлены вычислительные упражнения на счетах и вычисления по таблицам. В дальнейшем, в IX классе должны быть введены в обязательном порядке вычисления с помощью логарифмической линейки. Говоря о табличных вычислениях, мы не имеем в виду вычисления по таблицам результатов четырех арифметических действий, в этом нет необходимости. В связи с курсом арифметики можно практиковать вычисления по таблицам стоимости товара, заработной платы, процентов и т. п.

В сборник задач необходимо включить упражнения на составление таких таблиц и на нахождение результатов по ним. В более старших классах применение таблиц расширяется. От вычислений на счетах учащиеся на следующих ступенях перейдут к вычислениям на арифмометре, к определению площадей с помощью планиметра (при большой программе политехнизации)**).

Наряду с вычислительными операциями необходимо широко внедрить в работу школы измерительные операции, на которые в настоящее время не обращается достаточного внимания.

В одном из заданий Академии педагогических наук РСФСР было упражнение: Найти площадь данного (начерченного) прямоугольника (стороны прямоугольника были равны 8 см и 4,5 см). Более половины учащихся правильного результата не дали.

Если бы эта задача была дана в такой форме: Основание прямоугольника 8 см, высота 4 5 см. Найти его площадь, задачу решили бы все учащиеся. Трудность первой формулировки заключалась в требовании собственными силами найти данные при помощи измерения.

Необходимо систематически решать задачи на измерения: измерение отрезка, начерченного

*) Задачи более сложные и, в частности, оригинальные «исторические» задачи помещаются в особый отдел «Для любителей».

**) «Математика в школе», 1952, № 4.

*) Б. Н. Делоне, Краткий курс математических машин, ч. I, М., 1952, стр. 135; М. С. Тукачинский, Как считают машины, 1952, стр. 64, и др. издания.

**) Мы не разделяем пристрастия В. М. Брадиса к палочкам Непера, считая их бесполезными в работе школы.

на бумаге (с помощью мерительной линейки, с помощью циркуля и мерительной линейки), измерение расстояний на глазомер, шагами, шнуром, полевым циркулем, измерение длины дерева, измерение диаметра дерева (с помощью штангенциркуля), упражнения с нутромером, измерение толщины (доски, стекла, железного листа). Измерение простейших площадей (комнаты, небольшого квадратного или прямоугольного участка). Измерение простейших объемов (ящика, комнаты, поленницы дров).

С измерениями могут быть связаны разнообразные задачи: вырезать из бумаги ленту определенной длины; найти площадь листа бумаги, объем доски и т. п.

Особенно разнообразны могут быть измерения и построения на местности: провешить прямую линию данной длины, построить квадрат данного размера (с помощью эккера), построить прямоугольник данного размера и т. д.

Необходимо широко практиковать графические упражнения. В связи с курсом арифметики возможны следующие работы: построение диаграмм (столбчатых и секторных), чтение диаграмм, составление задач по диаграммам, построение простейших графиков (температуры, успеваемости учащихся в классе и т. п.), составление задач по графикам*).

Мы охарактеризовали роль арифметических задач в малой программе политехнизации (пока школы не имеют специальных мастерских, математических лабораторий и т. п.). Для осуществления этой программы не придется преодолевать никаких особых трудностей. Почти все оборудование можно изготовить собственными силами. Не нужно нарушать систематичность курса арифметики.

Нам могут возразить, что предлагаемая реформа трудна. Такое возражение мы заранее отводим. Если «очистить» задачники от того старого, накопившегося в течение столетий хлама, если не заставлять учащихся решать искусственные, сложные по условиям «типовые» задачи, то времени для новых задач, которые необходимы при осуществлении идеи политехнизации, будет вполне достаточно. Сохранение рутины и шаблона недопустимо. Несомненно, затруднения встретятся: учителям необходимо повысить свою квалификацию, начать работу по изготовлению инструментов; администрация школ встретится с необходимостью несколько иной организации работы (в смысле, например, освобождения времени весной и осенью для различных работ на местности и т. д.).

Необходимо, не теряя времени, поставить вопрос о составлении новых сборников задач и об издании необходимой методической литературы. То, что мы говорим об арифметических задачах, в одинаковой мере относится и к другим видам задач (особенно к геометрическим и тригонометрическим).

Во всех отделах математики следует, наконец, поставить вопрос о том, что задачи должны воспитывать не только логическое мышление учащихся, не только их волевые качества, но и материалистическое мировоззрение. Наша задача не только поставить этот ворос, но и дать на него конкретный обстоятельный ответ.

*) Сборник задач вообще не должен быть серым и скучным. Он много выиграет, если будет содержать графический материал (иллюстрации условий некоторых задач, графические упражнения и т. п.).

К ВОПРОСУ О ВЫПОЛНЕНИИ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ НА АТТЕСТАТ ЗРЕЛОСТИ ПО ГЕОМЕТРИИ И ТРИГОНОМЕТРИИ

К. С. БОГУШЕВСКИЙ (Москва)

Статьи Э. А. Ясинового, А. И. Волхонского и Н. А. Принцева, помещенные в № 6 журнала за 1951 год и посвященные решению задач с письменным объяснением, вызвали ряд откликов со стороны читателей.

Повидимому, вопрос этот все еще остается недостаточно выясненным как в отношении требований, которые следует предъявлять к учащимся, так и в отношении методики обучения учащихся составлению таких объяснений.

Особенно остро стоит вопрос о требованиях к объяснениям решений задач, предлагаемых на письменном экзамене на аттестат зрелости по геометрии с тригонометрией. Острота вопроса в данном случае вполне понятна, так как различие требований к объяснениям и вообще к оформлению экзаменационной письменной работы на аттестат зрелости ведет к колебаниям в оценке работ, а это часто отражается на отметке в аттестате и иногда решает вопрос о присуждении медали.

Поэтому совершенно естественно стремление учительства, инспекторов и методистов уточнить эти требования, унифицировать их.

Примерно одна треть всех откликов на вновь*) поставленный редакцией журнала вопрос об объяснениях к решению задач посвящена всецело требованиям к письменным экзаменационным работам на аттестат зрелости по геометрии с тригонометрией. По этому вопросу редакция получила обстоятельные заметки от учителей Н. И. Шевелева (г. Кропоткин), П. А. Крупина (г. Киров областной), М. Ф. Шуршалова и М. К. Журавлева (г. Ртищево), Н. С. Фидрус (г. Ряжск) и от инспекторов Н. И. Михайлова (МособлОНО) и Н. А. Мацко (Черниговск. облОНО).

Вопросы, выдвинутые в этих заметках, можно разбить на две группы: к первой относятся вопросы об объеме требований, предъявляемых к работам на аттестат зрелости, ко второй группе — вопросы о характере изложения объяснений, в частности вопросы о формах ссылок на теоретические положения.

Наиболее острые и принципиальные разногласия обнаруживаются в мнениях авторов заметок по вопросу об объеме требований к работам учащихся и, в особенности, по вопросу о построении геометрической фигуры, данной в условии задачи.

Для большинства заметок характерно требование, правда, высказываемое с различной степенью категоричности, «чтобы решение задачи содержало обоснованное объяснение построения геометрических образов, указанных в условии задачи», т. е. чтобы экзаменационная задача всякий раз рассматривалась как задача и на построение и на вычисление.

М. Ф. Шуршалов и М. К. Журавлев (г. Ртищево) в своей совместно написанной статье «Требования к письменным работам по геометрии на аттестат зрелости» считают безусловно необходимым ввести это требование в нормы оценки экзаменационных работ: «если учащийся строит чертеж, минуя методы построения, о пятерке, — утверждают авторы, — не может быть и речи». Целесообразность введения этого требования авторы мотивируют как соображениями научного порядка, так и тем, что при таком содержании работы оценка ее будет более обоснованной, не будет в столь сильной степени зависеть от чисто внешних качеств работы. Н. С. Фидрус, приводя в своей заметке в качестве образца решение экзаменационной задачи 1951 года, начинает его с построения чертежа. Излагается и обосновывается построение на основании принципов решения задач на построение, установленных в стабильном учебнике.

П. А. Крупин указывает, что первый этап решения задачи он предлагает учащимся в одной из трех следующих форм:

1. Описание чертежа.

2. Описание чертежа с элементом построения (проведение высоты, построение линейных углов и т. п.).

3. Построение данной пространственной фигуры. (Решение задачи на построение.)

Эту последнюю форму т. Крупин называет «наиболее совершенным видом оформления работы ».

Н. И. Михайлов к вопросу о построении геометрической фигуры, данной в задаче, подходит своеобразно. Он считает, что учащийся должен доказать существование данной «геометрической конструкции».

«Доказательство существования данной геометрической конструкции, — говорит автор, — может быть чисто логически обосновано или более детально подтверждено построением... Доказательство путем построения часто является более легким, но в то же время и более громоздким, чем чисто логическое обоснование. Однако следует иметь в виду, что иногда необходимость построения чертежа или части чертежа предусмотрена в условии задачи. Если же в условии задачи такого требования не имеется, учащийся вправе сам выбрать способ доказательства существования данной геометрической конструкции».

Таким образом, автор как будто бы не считает принципиально обязательным рассматривать любую геометрическую задачу как задачу в первую очередь на построение. Однако требование доказательства существования указанной в задаче геометрической конструкции в очень большом числе случаев будет означать то же требование построения фигуры. Это будет как следствие того, что в учебнике доказательства существования геометрических образов мыслятся в основном в форме построения этих образов, так и в виду неизбежных сомнений, что понимать под логическим доказательством существования данной геометрической конструкции. Можно ли под этим подразумевать непротиворечивость всех выводов, полученных в процессе решения задач? Можно ли считать, что получение определенного ответа на вопрос задачи подтверждает существование данной геометрической конструкции и т. д.? Преподаватели будут сомневаться и колебаться в толковании термина «чисто логическое обоснование», а потому естественно будут предпочитать для доказательства существования метод построения, а не метод чисто логического обоснования.

Что касается требования доказательства существования, как такового, то в строго теоретиче-

*) Впервые на страницах журнала данный вопрос был поставлен в статье Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева в № 1 журнала за 1947 год.

ских курсах геометрии оно, конечно, соблюдается, в стабильном же учебнике геометрии Киселева такая проблема, собственно говоря, и не ставится, доказательство существования проводится только в отношении некоторых образов, да и то не в явном виде. Наконец, вопрос о чисто логическом доказательстве существования с методической стороны совершенно не разработан, в особенности в применении к решению задач*). Таким образом, надо признать, что предъявление к учащимся требования доказывать при выполнении ими экзаменационной работы существование данной геометрической фигуры является необоснованным.

Противоположной точки зрения в вопросе о построении геометрической фигуры, данной в задаче, держится Н. И. Шевелев, приславший в редакцию журнала статью «Письменные экзаменационные работы по геометрии». Тов. Шевелев напоминает о первой статье, помещенной в журнале на данную тему, именно о статье Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева (№ 1 журнала за 1947 год) и о статьях Я. С. Дубнова и К. Е. Агринского (в № 6 журнала за тот же год), критиковавших ее.

В статье Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева, как известно, приводятся образцы желательного оформления экзаменационных работ по геометрии с тригонометрией, в некоторых из этих образцов решение задачи начинается с обоснованного построения геометрических фигур, т. е. с решения задачи на построение. Однако, как указывается в критических замечаниях на эту статью, обоснования построений, приводимые Ю. О. Гурвицем и С. В. Филичевым, не всегда оказываются исчерпывающими и точными, и это вполне естественно, так как не всякую задачу на вычисление можно решить приемами построений, изучаемыми в средней школе. На этом основании т. Шевелев и считает, что в число требований, предъявляемых к решению экзаменационной задачи по геометрии с тригонометрией, не должно включаться требование излагать построение всей фигуры, которая дана в условии задачи. Автор предлагает ограничиваться требованием обоснования всех необходимых для решения задачи заключений о взаимном соотношении между теми или иными геометрическими образами, фигурирующими в данной задаче.

В свете приведенных выше соображений представляется небесполезным привести пример из статьи тт. Журавлева и Шуршалова, чтобы показать, к какого рода «обоснованиям» приводит иногда стремление во чтобы то ни стало обосновать построение в каждой задаче на вычисление.

Авторы дают примерное решение задачи: В основании пирамиды, объем которой равен V, лежит равнобедренный треугольник с углом а при вершине. Боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания угол ср. Найти высоту пирамиды.

Пункт первый решения задачи — построение чертежа данной пространственной фигуры. (В дальнейшем проводится авторский текст с пропуском элементарных пояснений.)

«Положим, что высота пирамиды равна H (курсив мой. — К. Б.). На произвольно взятой плоскости пространства L строим равнобедренный треугольник с углом а при вершине (AEDF). Находим центр О описанного около треугольника EDF круга. Через точку О проводим перпендикуляр к плоскости L, на котором откладываем отрезок OS=H. (Как это откладываем отрезок OS, когда он неизвестен?) Соединим точку О с вершинами треугольника EDF и через SO и прямые ЕО, DU и FO проводим плоскости, в которых на SO при точке S строим углы, равные 90° — у; стороны их пересекут ОБ, OD и OF в точках Ву А и С. Через стороны треугольника ABC и точку 5 проведем плоскости, пересечение которых определит положение пирамиды SABC*.

Все изложенное авторами ни в коем случае нельзя признать «построением» данной пирамиды: в лучшем случае — это анализ построения, самого же построения авторы, естественно, дать не смогли.

Конечно, было бы лучше при решении данной задачи отказаться от требования выполнить построение.

Можно a priori утверждать, что с подобной ситуацией (большой трудностью, а иногда и невозможностью выполнить построение) придется встречаться неоднократно, а следовательно, перед учителями и учащимися неизбежно и многократно будет вставать вопрос: обязательно ли при решении данной задачи пытаться выполнить построение пространственной геометрической фигуры по всем правилам решения задач на построение или не обязательно? Особенно остро этот вопрос будет стоять перед учащимися при выполнении, а перед учителями при оценке экзаменационных работ на аттестат зрелости. Такие неопределенности в школьных условиях совершенно недопустимы, и учительство нетерпеливо ожидает их устранения.

В чем же причина разногласий? Почему одни деятели математического просвещения считают обязательным для учащихся выполнение построения при решении любой задачи, другие же считают это необязательным?

*) Наконец, имеет основание и такая точка зрения, что существование той или иной фигуры, данной в задаче, следует считать постулированным условием задачи.

Причина разногласий заключается в основном в том, что часть учителей, методистов и школьных инспекторов рассматривают каждую задачу, как задачу комбинированную, т. е. задачу и на вычисление, и на построение, иначе говоря, стирают грань между задачами различных типов.

Правильно ли это? По нашему мнению, совершенно неправильно: разделение геометрических задач на три типа: задачи на вычисление, на построение и на доказательство — вполне устоявшееся, определенное, оно указывается и в программе, и в обьяснительной записке, оно никем в печати никогда не отвергалось, наконец, оно применяется в ряде авторитетных геометрических задачников повышенного типа (Романовского, Адамара, Делоне и Житомирского, Барыбина и Исакова и др.); упражнения, помещенные в учебниках Киселева и Глаголева, тоже разбиты на указанные три типа.

Формулировка условий задач каждого типа имеет свои особенности, эти особенности общеизвестны и очень определенны, и потому типы задач легко различимы, так что ошибок и разногласий в классификации задач быть не может.

Наряду с задачами, принадлежащими какому-либо одному из указанных типов, вполне возможны, конечно, и допустимы задачи комбинированного типа, в том числе допустимы (и не только допустимы, а и настоятельно необходимы) комбинированные задачи на построение и вычисление, но тогда в условии должны быть ясно выражены требования: 1) построить такую-то фигуру и 2) вычислить такие-то ее элементы.

С такими условиями задач мы встречаемся в задачнике Рыбкина по стереометрии [см. § 3, № 24, 25, 26, 27, 28; § 4, № 19; § 9, № 19, 20, 21, 22; § 11, № 13 (провести сечение и найти его площадь), 17; § 12, № 11].

Большим недостатком задачника Рыбкина, конечно, является недостаточное число задач на построение и задач комбинированного типа. (В задачнике же по тригонометрии таких задач вовсе нет.) Учитель может и должен перередактировать ряд задач так, чтобы они стали задачами определенно комбинированного типа. Учителя должны знать, что в контрольных работах по заданиям райОНО и облОНО и в экзаменационных работах задачи такого комбинационного характера вполне возможны, но при этом, конечно, в формулировке условия должны отчетливо выступать оба требования.

Здесь уместно напомнить о необходимости отмести, как несерьезную перефразировку указаний методиста П. А. Ларичева, допущенную К. Е. Афинским в заметке, помещенной в № 6 журнала за 1947 год.

В этой заметке т. Агринский пишет: «Дана, например, задача: в шар вписана правильная пирамида. . . Методист П. А. Ларичев склонен рассуждать здесь так: „Кто-то вписал в шар пирамиду. Как он ее вписал — не наше дело. Наше дело использовать при решении задачи свойства вписанного тела. Никаких (?) построений здесь делать не следует“. Другое дело, если задача начинается словами: „В шар вписать правильную пирамиду и определить то-то“».

Первая фраза «Кто-то вписал в шар пирамиду» помещена для красного словца, но она до известной степени осмеивает и тем заранее опорочивает все последующее рассуждение, а между тем положения о структуре условий задач, высказанные П. А. Ларичевым и повторяемые в настоящей статье, согласуются с положениями, которых придерживаются Б. Н. Делоне и О. К. Житомирский в своем задачнике, Ж. Адамар в своей «Геометрии» и проф. Д. И. Перепелкин в решениях к задачам, помещенным в книге Адамара.

В задачнике Делоне и Житомирского задачи на построение формулируются, например, так:

№ 377. Найти построением плоскость, касающуюся трех заданных сфер.

Комбинированная задача (№ 327) на построение и вычисление сформулирована так:

Построить кратчайший отрезок, опирающийся концами на две диагонали граней куб а, принадлежащие двум смежным граням и не встречающиеся. В каком отношении делятся эти диагонали теми точками, в которых этот отрезок на них опирается?

Или другой пример (№ 337). Достроить некоторый заданный тетраэдр до параллелепипеда четырьмя способами, исходя от каждой из четырех вершин тетраэдра, и принять четыре вершины этих четырех параллелепипедов, противолежащие в каждом параллелепипеде вершине тетраэдра, за четыре вершины некоторого большого тетраэдра. Рассмотреть, как расположены параллелепипеды и заданный тетраэдр по отношению к этому большому тетраэдру и во сколько раз объем полученного тела больше, чем объем данного тетраэдра?

Решение таких комбинированных задач, проводимое авторами, отчетливо разделяется на две части: построение и вычисление.

Задачи же на вычисление в задачнике Делоне и Житомирского формулируются, как правило, так:

№ 404. Расстояния трех вершин некоторого параллелограма от плоскости Р суть а, Ъ, с. Найти расстояние от четвертой вершины.

Или: № 399. Из некоторой точки M опущен на плоскость Р перпендикуляр h и проведены две наклонные, углы которых с пер-

пендикуляром равны 30°, угол же между наклонными 60°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

В авторском решении этих задач никакого построения не выполняется, а устанавливается соотношение между элементами данных фигур.

Точно так же автор решений задач, помещенных в книге Адамара, проф. Д. И. Перепелкин для задач на вычисление дает решение, не содержащее предварительного построения, а только разбирает зависимость между элементами фигуры, применяя чертеж в целях наглядности; такова, например, задача № 567:

Ребра пирамиды продолжены за ее вершину, и эти продолжения пересечены плоскостью, параллельной ее основанию. Найти сумму объемов обеих пирамид, зная площади В и В' обоих оснований и расстояние h между их плоскостями.

Чертеж, прилагаемый к решению задачи, чисто ориентировочный; задача не рассматривается как комбинированная. Другое дело в задаче № 578:

Пересечь призму плоскостью, параллельной ее основаниям, так, чтобы пирамида, у которой вершина лежит в плоскости верхнего основания призмы, основание — в плоскости нижнего основания призмы, а боковые ребра проходят через вершины сечения, была равновелика данной призме.

Эта задача решается, как задача комбинированная,— на построение и вычисление.

Таким образом, принцип классификации задач, а следовательно, и требований к их решению строго, на основании текста условий, согласуется с точкой зрения, принятой и в указанных выше достаточно авторитетных книгах.

Такой же точки зрения надлежит придерживаться и нам, учителям десятых классов, и всем, имеющим отношение к экзаменам на аттестат зрелости, и не пытаться перетолковывать на свой лад и вкус условия экзаменационных задач. Только таким образом можно будет добиться наибольшего единства в оценке работ учащихся.

Задачи, предлагавшиеся Министерством просвещения для экзаменов на аттестат зрелости, все без исключения были одного типа, именно типа задач на вычисление. В этом отношении редакция условий задач не вызывала никаких сомнений. Поэтому правы экзаменационные комиссии, которые предъявляли к выполнению работ требования, соответствующие требованиям к решению задач на вычисление.

Однако среди работников просвещения можно отметить тенденцию к расширению требований за указанные выше рамки, главным образом в направлении присоединения к задаче на вычисление еще и задачи на построение. Если это привело где-либо к снижению отметки под предлогом невыполнения подобного расширенного требования, то это снижение следует признать «занижением» отметки.

Как можно заключить по откликам, поступившим от ряда учителей, методистов и ответственных работников отделов народного образования, это расширение требований иногда пытаются оправдать недостаточной насыщенностью задач математическим содержанием, а также тем, что задачи на вычисление не предоставляют лучшим учащимся возможности выявить свое математическое развитие и показать умение проводить теоретически полноценное рассуждение. Но это вопрос уже совершенно другого порядка, и если даже указанные опасения имеют под собой почву (в чем позволительно очень и очень сомневаться), то и тогда никто не имеет права отягощать решение экзаменационной задачи привнесением требований, не предусмотренных ее условием. Всем нам, имеющим непосредственное отношение к оценке письменных экзаменационных работ на аттестат зрелости, необходимо в первую очередь условиться принимать задачу такой, какой она является согласно ее условию, ничего не добавляя и не перетолковывая; поступая таким образом, мы сделаем большой шаг на пути к достижению известного единообразия в оценке экзаменационных работ.

Между тем практика показывает, что ряд учителей требует от учащихся, чтобы они решение каждой задачи на вычисление начинали с построения данной геометрической фигуры. Конечно, таким же образом эти учащиеся выполняют и решение экзаменационной задачи десятого класса.

Естественно возникает вопрос, как подходить к оценке таких работ. Ведь, строго говоря, учащиеся проделали работу, которая по условию задачи вовсе не требуется, и тем загромоздили решение задачи. Следует ли за это снижать отметку, как снизил бы каждый учитель отметку за выполнение учащимся лишних преобразований, за определение величин, не нужных для решения задачи, и т. п.

На этот вопрос, несмотря на всю его естественность, следует ответить отрицательно: нельзя отождествлять углубление, хотя и произвольное, содержания задачи и явную оплошность в выполнении решения задачи. Следует учесть также и то, что построение чертежа геометрической фигуры в некоторых случаях используется учащимися для обоснования зависимости между элементами рассматриваемой фигуры.

Однако было бы лучше всего, если бы учителя приучали учащихся разбираться в условии задач и применять для решения задач на вычи-

сление и построение методы решения, присущие каждому из этих видов задач.

Учитывая характер задач, предлагавшихся (начиная с 1947 года) для экзамена на аттестат зрелости, Н. И. Михайлов в своей заметке намечает примерную схему выполнения экзаменационной работы. Эта схема в общем оказывается применимой к решению почти всех задач на вычисление, поэтому полезно ее привести, исключив только пункт о доказательстве существования данной в задаче геометрической фигуры.

1. Чертеж со всеми необходимыми для решения построениями.

2. Описание чертежа.

3. Обоснование чертежа и плана решения. (Точнее: вывод зависимости между данными и искомыми элементами фигуры, рассматриваемой в задаче.)

4. План решения.

5. Решение в буквенном виде (с некоторыми попутными пояснениями и доказательствами по отдельным частным моментам решения).

6. Нахождение числового значения полученной буквенной формулы.

7. Ответ задачи (с наименованиями).

8. Элементарное исследование границ допустимых значений формулы или отдельных ее элементов.

Будет весьма полезно ознакомить с этой схемой учащихся, показать, как следует ею пользоваться, какое содержание в нее надо вкладывать, но, конечно, нельзя будет лишить учащихся права допускать те или иные целесообразные отклонения от схемы.

Н. И. Михайлов приводит решение одной задачи, выполненной учащимся в школе по указанной схеме.

Задача (дана на экзамене на аттестат зрелости в 1948/49 учебном году). В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом а и площадь основания которого S, вписан шар. Определить объем конуса, отсекаемого от данного плоскостью круга, по окружности которого поверхность шара касается боковой поверхности конуса.

Раньше всего в решении даются два чертежа (пункт 1-й схемы): чертеж 1, изображающий всю геометрическую конструкцию задачи; чертеж 2, изображающий осевое сечение конуса.

Пункту второму схемы решения задачи соответствует следующее описание чертежа: «По условию задачи имеем конус с вершиной в точке С, основанием с диаметром AB и высотой CK. В него вписан шар с центром в точке О и радиусом OD. ED — диаметр круга касания шара с конусом. Конус с вершиной в точке С и основанием с диаметром ED — отсеченный конус, объем которого требуется определить». Требование давать описание чертежа вполне целесообразно и напомнить о нем небесполезно, так как во многих ученических работах такого описания не проводится и потому иногда остается неясным, что именно изображают те или иные детали чертежа.

Описание чертежа, приведенное в тексте, страдает излишней тяжеловесностью изложения, и, кроме того, в нем не говорится о чертеже 2. (Это делается ниже, что несколько нарушает стройность работы.)

Пункт третий схемы является основным и наиболее ответственным во всем объяснении. В этом пункте должны излагаться:

1. Построения высот, линейных углов данных и искомых двугранных углов, углов прямой линии с плоскостью, тех или иных точек и т. п.

2. Обоснованные выводы о взаимном расположении тех или иных элементов данной геометрической конструкции (граней, ребер, вершин, высот, центров вписанных и описанных шаров и т. п.), для чего приходится устанавливать: а) параллельность и перпендикулярность прямых, прямых и плоскостей, плоскостей; б) равенство отрезков, углов, дуг и т. п.; в) вид фигур, рассмотрение которых предусматривается условием задачи, и т. п.; г) те или иные геометрические места точек.

В решении рассматриваемой задачи часть объяснения, соответствующая третьему пункту схемы, содержит:

« 1. Доказательство того, что данный конус — прямой.

2. Доказательство того, что центр шара — точка О существует (?) и лежит на высоте данного конуса CK*).

Черт. 1. Черт. 2..

*) Правильнее сказать: доказательство того, что существует точка О, равноудаленная от всех образующих конуса и от плоскости его основания.

3. Доказательство того, что отсеченный конус — прямой».

Конечно, доказывать, что данный конус—прямой, совершенно излишне. В учебнике ясно указывается, что в элементарной геометрии рассматриваются только прямые и, кстати сказать, круговые конусы, в задачнике тоже фигурируют только такие конусы. Тов. Михайлов настаивает на необходимости доказывать, что данный конус — прямой, на том основании, что если бы считать, что в задачах по геометрии подразумеваются только прямые конусы, то в условии некоей другой задачи (именно задачи, предложенной для экзамена в 1951 г.) оказалось бы лишнее условие. (Задача эта содержит следующее указание: «В конус вписана треугольная пирамида с равными боковыми ребрами». Здесь указание, что вписана пирамида с «равными боковыми ребрами», совершенно лишнее, хотя и непротиворечивое.)

Конечно, подобная мотивировка, приводимая т. Михайловым в защиту своей точки зрения, настолько натянута, что ее вряд ли можно принимать всерьез.

Следующий вопрос о положении центра шара разобран достаточно четко. В решении говорится:

«Если шар вписан в конус, то должна существовать точка, равноудаленная от всех образующих и плоскости основания конуса. ГМТ, равноудаленных от образующих конуса и лежащих внутри конуса, является высота конуса. Следовательно, центр шара, вписанного в конус, должен лежать на высоте конуса CK.

В треугольнике СВК биссектриса угла (СВА), OB является ГМТ, одинаково удаленных от сторон угла ВК и СВ. Точка О — точка пересечения OB и CK и будет центром шара, вписанного в данный конус, так как OD —OK, a OK перпендикулярен к плоскости основания конуса. Таким образом определено положение точки О и тем самым доказано существование данной комбинации геометрических тел».

Подчеркнутую фразу, как и все вообще относящееся к доказательству существования шара, вписанного в конус, следует исключить из объяснения.

После этого опять излагается доказательство того, что отсеченный конус, о котором говорится в задаче,— прямой. Здесь, по существу говоря, требовалось бы доказать, что линией касания шара и боковой поверхности конуса является окружность и что плоскость этой окружности перпендикулярна к высоте конуса.

Следующим этапом выполнения экзаменационной работы предполагается изложение плана собственно решения задачи, т. е. плана проведения всех промежуточных операций, необходимых для получения в общем виде ответа на вопрос задачи. (Чаще всего среди этих операций встречается решение тех или иных треугольников— прямоугольных и, изредка, косоугольных — и использование подобия треугольников.) Этот этап довольно часто в работах учащихся отсутствует. Тов. Михайлов тоже замечает, что изложение плана можно считать необязательным, во всяком случае в этом плане не следует ни повторять приведенных в предшествующих этапах решения обоснований, ни предварять тех пояснений, которые будут сделаны ниже в процессе решения задачи в общем виде.

5-й раздел работы заключает в себе, согласно схеме, собственно решение задачи в общем виде (на буквах) с некоторыми попутными пояснениями и доказательствами по отдельным частным моментам решения. Здесь описываются, например, ранее не описанные, оказавшиеся необходимыми вспомогательные построения, устанавливается вид полученных фигур, их особые свойства, обосновывается их равенство или подобие, указываются треугольники, используемые для определения тех или иных углов или отрезков, и т. п.

В этом разделе учащиеся часто допускают всевозможные излишества в словесных пояснениях. Так, например, наблюдались случаи, когда учащиеся при решении прямоугольных треугольников подробно излагали словесные правила их решения, при установлении равенства и подобия треугольников приводили полные тексты соответствующих признаков равенства и подобия треугольников, излагали доказательство положения, что центр квадрата совпадает с центром круга, вписанного в этот квадрат; ссылаясь на те или иные теоремы, излагали полные их тексты и т. п.

Конечно, невозможно какой-либо инструкцией точно определить, какие положения следует в процессе решения задачи подробно обосновывать, о каких — достаточно только упомянуть, а о каких — ввиду их общеизвестности — не нужно даже и упоминать, но извлечь некоторые указания по этому вопросу из практики школ и отдельных учителей и методистов все-таки возможно.

Пожалуй, наиболее целесообразно привести эти указания в виде конкретных примеров.

Так, например, при установлении равенства треугольников достаточно, не формулируя самого признака, указать равные элементы этих треугольников, гарантирующие их равенство. (Сказанное о равенстве треугольников относится и к случаю их подобия.) Применение теоремы Пифагора следует выполнять без ссылок на теорему, указывая только, что рассматривается

прямоугольный треугольник с прямым углом при такой-то вершине. Свойства сторон, углов и диагоналей параллелограма, прямоугольника, ромба и квадрата, доказанные в учебнике, можно применять без ссылок на теоремы после того, как будет установлено, что рассматриваемая фигура принадлежит к такому-то виду четырехугольников. Также можно применять без формулировок и теоремы о признаках параллелограма. Например, достаточно сказать: ABCD — параллелограм, так как AB = CD и AB || CD. Подобным же образом следует поступать и при использовании свойств пропорциональных отрезков и теорем о биссектрисе угла треугольника. Например, AD—биссектриса угла А треугольника ABC, поэтому и т. д.

В правильном треугольнике без каких-либо словесных пояснений можно применять соотношения между высотой, стороной и радиусами вписанной и описанной окружности. Без формулировки каких-либо правил выполняется тригонометрическое решение треугольников.

Применяя формулу площади какой-нибудь фигуры (выведенную в учебнике), достаточно указать, например, следующее (черт. 3):

Черт. 3.

ABCD — параллелограм, В F — высота, поэтому площадь ABCD = AD-BF.

Конечно, все эти сокращения в объяснениях возможно делать только после того, как возможность применения той или иной теоремы будет достаточно обоснована.

В применении к примеру о площади параллелограма должно быть, например, обосновано, что ABCD — действительно параллелограм, а BF — его высота.

В стереометрии подобного рода рационализацию объяснений следует проводить более осторожно, однако и здесь утверждения теорем следует применять, не приводя их текста; так следует поступать при построении проекции отрезка на плоскость и прямую, при использовании признаков параллельности и перпендикулярности прямых, прямых и плоскостей и плоскостей, во всех случаях применения теоремы о трех перпендикулярах и т. п. Необходимо только особенно тщательно следить за тем, чтобы возможность применения тех или иных теорем была в полной мере обоснована и чтобы было ясно, какая из теорем используется в каждом данном случае.

Например, пусть требуется доказать, что в правильной пирамиде плоскость, проходящая через высоту пирамиды и через ее апофему, перпендикулярна к той боковой грани, в которой находится эта апофема (черт. 4).

Черт. 4.

Доказательство возможно изложить в такой форме:

OK_LABf как апофема правильного многоугольника;

SK _L AB, как апофема пирамиды.

OK и SK лежат в плоскости SOK, поэтому AB J_ пл. SOK. Плоскость SAB проходит через прямую AB, которая перпендикулярна к плоскости SOK, поэтому пл. SAB _\_ пл. SO/f-

Еще пример.

Пусть дана пирамида SABCD, основанием которой служит прямоугольник ABCD, а высотой—боковое ребро SA.

Требуется доказать, что треугольники SBC и SDC — прямоугольные (черт. 5).

Черт. 5.

Доказательство.

SA JL пл. ABCD, поэтому A3 — проекция ребра SB на плоскость ABCD.

ВС _L AB, так как ABCD—прямоугольник. Поэтому ВС _[_ SB по теореме о трех перпендикулярах и, следовательно, Д SBC—прямоугольный с прямым углом при вершине В.

Таким же образом доказывается, что Д SCD — прямоугольный с прямым углом при вершине D*).

В приводимом т. Михайловым решении задачи о шаре, вписанном в конус, указанный раздел работы изложен предельно, даже до чрезмерности лаконично в смысле словесных пояснений, кроме того, на чертежах, приведенных т. Михайловым, отсутствуют явно необходимые линии OB (на черт. 2) и ВК (на черт. 1).

Приглашаю теперь читателей статьи вернуться к детальному рассмотрению решения данной задачи.

Привожу 5-й раздел решения задачи в редакции т. Михайлова, сопровождая это решение некоторыми попутными замечаниями. (Эти замечания приводятся в скобках.)

«Анализируя чертеж 2, мы усматриваем ряд взаимно связанных ДД-ов ОВК, OFD, CFD, в которые входят данные и искомые задачи». (Замечание. Вряд ли допустимо заменять слово «треугольников» значком ДД-ов.)

«На основании этого проведем решение задачи в буквенном виде по следующему плану (лучше — в такой последовательности):

[Замечание. Следовало бы разобрать вопрос об углах треугольника OFD, с другой стороны, излишней является запись: OD -cos (90°— «)].

С таким изложением данного раздела работы можно, несмотря на несколько сделанных попутных замечаний, в основном согласиться: оно, во всяком случае, лучше тех многословных и пустословных изложений, которые иногда культивируются отдельными учителями. Этим разделом т. Михайлов заканчивает изложение образца решения задачи. (Один из возможных вариантов оформления вычислительной части работы приводится ниже.)

Однако в заметке т. Михайлова, как и в заметках некоторых других корреспондентов, оказался незатронутым один вопрос, способ решения которого начинает вызывать разногласия в среде преподавателей и методистов, именно вопрос о приведении к так называемому логарифмическому виду выражений, которые надо будет вычислять для тех или иных частных значений данных величин.

Предположим, что в ответе, полученном в общем виде, оказалось выражение:

1 +sin a+ cos а.

Такой случай в действительности встретился в одной из задач 1950 года.

Как надо вычислять это выражение для какого-нибудь частного значения угла а, например, для значения а = 37°28/? Непосредственно ли в виде

1 —|— sin а -|— cos а

с помощью таблиц натуральных тригонометрических величин, или в виде

полученном после соответствующих преобразований? Если провести вычисления обоих этих выражений, то получим:

откуда

[Для дальнейших вычислений понадобится

Проверка вычислений по пятизначным таблицам дает для логарифма данного выражения значение, равное 0,38058, т. е. показывает, что ответ, полученный при вычислении выражения,

*) Все сказанное о сокращении и рационализации объяснений относится, само собой разумеется, ко всем случаям обоснований тех или иных положений, в том числе и к обоснованиям свойств данной в задаче геометрической фигуры (3-й раздел решения задачи).

не приведенного к логарифмическому виду, оказывается более точным. В смысле экономии времени первый способ вычислений (для данного примера) тоже, очевидно, является более предпочтительным.

Однако вычисление выражений без предварительного приведения их к логарифмическому виду оказывается более рациональным не всегда. Так, например, вычислять выражение:

во всех отношениях целесообразнее после приведения его к логарифмическому виду.

Таким образом, с точки зрения рационализации вычислений, нет оснований отдать предпочтение раз навсегда одному из приведенных приемов.

Сторонники мнения о необходимости предъявлять к учащимся требование приводить выражение, подлежащее вычислению, к логарифмическому виду, приводят еще следующие два соображения:

1) Поскольку экзаменационная работа в X классе является работой по геометрии, а по тригонометрии она должна заключать в себе и чисто гониометрическое задание, а таковым в большинстве предлагавшихся задач и является задание приведения тригонометрического выражения к так называемому логарифмическому виду.

2) Ввиду того, что наиболее точные таблицы тригонометрических функций содержат только логарифмы значений этих функций, пользование этими таблицами (к чему учащиеся должны быть подготовлены) подразумевает приведение выражений к логарифмическому виду.

В подавляющем большинстве случаев к учащимся в процессе обучения предъявляется требование приводить ответ к логарифмическому виду. (За исключением тех случаев, когда это для учащихся является недоступным.) Такое же требование предъявляется к учащимся и в случае выполнения ими экзаменационной работы на аттестат зрелости.

Учитывая два последние соображения, следует высказаться за сохранение в силе требования о приведении тригонометрических выражений к логарифмическому виду в случаях, предусмотренных программой курса тригонометрии.

Методисты Министерства просвещения РСФСР и его органов на местах, как можно заключить по их рецензиям на работы учащихся, поддерживают эту практику школ.

На этом возможно было бы закончить обсуждение высказываний корреспондентов журнала по вопросам выполнения учащимися десятых классов экзаменационных работ по геометрии и тригонометрии, так как в основном рассмотрены все вопросы принципиального характера, поднятые в заметках, присланных в редакцию. Но поступить так — значило бы пройти мимо того факта, что почти во всех заметках, присланных в редакцию, большое, а иногда и доминирующее место занимает показ образцов решения задач, признаваемых авторами заметок достойными оценки «5». Повидимому, непосредственный, живой обмен опытом признается необходимым дополнением к теоретическим высказываниям по затронутым вопросам. По крайней мере пожелания такого рода неоднократно высказывались учителями, и на учительских совещаниях и конференциях иногда и ставился подобный обмен опытом.

Поэтому представляется целесообразным привести некоторое число образцов решения задач, снабдив их комментариями, основанными отчасти на нашем собственном опыте, а отчасти на сравнении этих образцов с другими, аналогичными.

В число этих образцов войдут также образцы, в которых решение задачи начинается с построения геометрической фигуры, рассматриваемой в задаче.

Поступить так автора побудили следующие причины: во-первых, значительное число присланных образцов решения относится именно к категории решений «с построением», и потому рассмотреть эти образцы интересно уже с этой точки зрения; во-вторых, если учителя в процессе обучения будут решать комбинированные задачи на построение и вычисление, что представляется весьма желательным, то подобные образцы окажутся нелишними, в особенности если их прокомментировать; наконец, в-третьих, не исключена возможность, что Министерство просвещения РСФСР сочтет необходимым в тех или иных целях включить в экзаменационные работы задачи, в которых будет требоваться (конечно, в явной форме) выполнить построение какой-нибудь геометрической фигуры.

Оговариваюсь, что помещение образцов решения задач «с построением» отнюдь не означает, что такое решение рекомендуется для задач на вычисление. Для задач на вычисление рекомендуется метод решения, не содержащий построения.

Чтобы подчеркнуть и реализовать это положение, автор статьи приводит для решений, изложенных «с построением», параллельно вариант решения, не содержащий построения.

Задача (из статьи М. К. Журавлева и М. Ф. Шуршалова).

В конус, образующая которого I наклонена к плоскости основания под углом а, вписана пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник; одна из граней пирамиды, основанием которой является катет

прямоугольного треугольника, наклонена к плоскости основания под углом ß. Найти объем пирамиды*).

(Авторы не указывают, откуда взята задача, но во всяком случае условие ее следовало перередактировать.)

1. Построение чертежа данной пространственной фигуры

На произвольно взятой плоскости в пространстве строим прямоугольный треугольник по гипотенузе / и острому углу а. Для этого на плоскости проводим прямую, на которой откладываем данный отрезок /. На / (хорошо ли говорите: «на /»? Ведь не напишет никто: «на /?», вместо того чтобы написать: «на радиусе»), как на диаметре, строим полуокружность и на диаметре в конце его (?) строим угол а. Полученную точку пересечения полуокружности со стороной угла а соединяем с другим концом диаметра.

Полученный треугольник, обозначим его SOB,— прямоугольный, так как один из его углов — вписанный и опирается на диаметр.

Заставим (вычурное выражение) треугольник SOB (черт. 6) вращаться около катета, противолежащего углу а. Вращением треугольника будет образован конус SAB, образующая которого / наклонена к плоскости основания под углом а.

Черт. 6.

В полученном конусе проведем осевое сечение SAB. На (?) оси конуса SO при точке S в плоскости осевого сечения построим угол (90°—ß), сторона которого пересечет диаметр основания в точке К. Через точку К проведем хорду CD, перпендикулярную диаметру AB. Через точку С проведем диаметр СЕ и точку D соединим с точкой Е. Получим треугольник С DE, угол С DE которого равен 90°, так как он опирается на диаметр и вписанный. Через каждую сторону треугольника CDE и точку .S проведем плоскости, пересечение которых определит положение пирамиды SCDE (черт. 6). (Чертеж, приведенный авторами в их рукописи, выполнен неправильно: DE должна быть на чертеже параллельна AB, а она изображена непараллельной. Нехорошо также, что точки А и В на чертеже авторов показаны точками «заострения».)

Рассмотрим треугольник S КО. SO—перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, aSK—наклонная, проекция которой OK перпендикулярна ребру двугранного угла CD. На основании теоремы о трех перпендикулярах SK перпендикулярна CD. Следовательно, угол SKO—линейный угол двугранного угла CD. В треугольнике SKO ^/5/СО = 90° — 9Ö° + ß = ß.

Следовательно, в конус SAB вписана пирамида SCDE; одна из граней пирамиды, основанием которой (?) служит катет прямоугольного треугольника С DE, наклонена к плоскости основания под углом ß.

Исследование. Построение возможно, если луч, проведенный через точку S, при построении угла 90° — ß не выйдет за пределы конуса, для чего необходимо, чтобы угол BSO был больше угла KSO, т. е. чтобы 90° — а > 90° — ß. Задача возможна при условии, что ß> а. (Нехорошо сказано: «луч, проведенный через точку 5»; лучше: «луч, выходящий из точки 5». Неточно сказано: «луч... не выйдет за пределы конуса». Луч S К тоже выйдет за пределы, так как он может быть продолжен за точку К.)

(Построение комбинации тел изложено обстоятельно; само изложение несколько многословно и требует редакционных исправлений.)

2. Условия и данные задачи

Дано: SAB — конус; SB—образующая конуса; SB = l и </SBO = a.

SCDE — пирамида; Д С DE — прямоугольный; / SKO = $. Определить объем V пирамиды.

(Теперь, после выполнения построения, уже можно считать данным, что ^ SBO — а и У S КО =- (В: при отсутствии «построения» следовало бы считать данными, что угол прямой SB с плоскостью основания конуса равен а и что двугранный угол SCDO равен ß.)

3. Решение в общем виде

Объем пирамиды V равен одной трети произведения площади основания пирамиды на высоту (вряд ли стоит давать эту формулировку):

(1)

где 50С1| — площадь основания пирамиды и H— высота пирамиды.

*) Текст условия задач, решения и объяснений дается авторский, комментарии приводятся в скобках.

1) Находим высоту пирамиды. Из Д SBO:

SO = SBs'ma; tf = /sina; (2) OB = SB-cosql; 0£ = /cosa; C£ = 2 / cos a.

(Заголовок пункта не соответствует содержанию.)

2) Находим 50СН пирамиды. Площадь прямоугольного треугольника CDE равна половине произведения катетов. (Лишняя подробность.)

(3)

(Тоже несоответствие заголовка содержанию, так как площадь основания определяется только в п. 5.)

3) Находим: DE- DE = 2КО, так как /СО-средняя линия Д CDE. О—середина СЕ и К—середина CD ввиду того, что хорда CD, перпендикулярная к диаметру AB, делится диаметром в точке К пополам.

Находим КО из Д5АГО;

(4)

4) Находим CD из Д CDE. По теореме Пифагора:

(5)

5) Подставляя (4) и (5) в (3) (хорошо ли так писать?) получим:

(6)

6) Подставляя (6) и (2) в (1) (?), получим:

Ответ. Объем пирамиды, вписанной в конус, равен:

(Вряд ли в ответе целесообразно писать наименование в скобках.)

Приводимое тт. Журавлевым и Шуршаловым построение возможно заменить примерно следующим обоснованием зависимости между данными и искомыми элементами.

Пусть SACB — данный конус, SCDE — вписанная в него пирамида, Д CDE — основание пирамиды, SO — общая высота конуса и пирамиды.

По условию задачи образующая конуса SB наклонена к плоскости основания под углом а, следовательно, ^/SBO = а, так как OB является проекцией SB на плоскость основания конуса.

Треугольник CDE — прямоугольный, вписанный в окружность, следовательно, гипотенуза его СЕ является диаметром окружности; одна из двух боковых граней пирамиды, проходящих через его катеты, образует с плоскостью основания угол ß. Пусть этой гранью является SCD. Без ограничения общности решения задачи можно считать пирамиду расположенной так, что диаметр AB перпендикулярен к хорде CD, т. е. OK J_ CD*). Для построения линейного угла ji достаточно соединить вершину пирамиды 5 с точкой К. OKl_CD и OK— проекция SK, следовательно, SK _[_ CD (по теореме о трех перпендикулярах); поэтому ^ SKO является линейным углом двугранного угла SCDO и равен (J:

Дальнейшее решение задачи будет совпадать с решением, изложенным тт. Журавлевым и Шуршаловым в п. 3.

Очень посчастливилось одной задаче, предложенной на экзамене на аттестат зрелости в 1951 году. Решение этой задачи излагается в заметках М. К. Журавлева и М. Ф. Шуршалова и П. А. Крупина. Кроме того, образцы ее решения докладывались неоднократно на совещаниях учителей. На основании сравнения и сопоставления этих решений составлен вариант решения, приводимый ниже.

Задача. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а, две боковые грани пирамиды перпендикулярны к основанию, а большее боковое ребро ее наклонено к основанию под углом ß. В пирамиду вписан прямоугольный параллелепипед так, что четыре вершины его находятся на боковых ребрах пирамиды, а четыре другие вершины — на основании пирамиды. Определить объем параллелепипеда, зная, что диагональ его образует с плоскостью основания угол a (черт. 7).

Описание чертежа.

SABCD — данная пирамида; грани SBC и SB А перпендикулярны к плоскости основания ABCD.

*) В случае нежелания делать подобное указание можно провести диаметр А\ВХ, перпендикулярный к CD.

KXBLXMXMKNL — параллелепипед, вписанный в пирамиду.

Вывод основных свойств фигуры. (Обоснование чертежа.)

а) Ребро SB _L пл. ABCD, так как SB является линией пересечения плоскостей SBC и SBA, перпендикулярных к плоскости ABCD.

б) SD — большее боковое ребро пирамиды, так как проекция этого ребра больше проекций других боковых ребер (BD>BC и BD> AB, как диагональ квадрата ABCD).

в) Данный угол ß является углом SDB, так как У SDB есть угол между наклонной SD и ее проекцией BD на плоскость ABCD.

г) Пусть К, N, L и M — вершины верхнего основания данного параллелепипеда, тогда KNLM является сечением пирамиды плоскостью, параллельной основанию, потому что нижнее основание параллелепипеда находится на основании пирамиды. По теореме о параллельных сечениях пирамиды многоугольник KNLM подобен многоугольнику ABCD, но ABCD по условию задачи — квадрат, следовательно, и KNLM тоже является квадратом. Итак, основанием параллелепипеда является квадрат.

д) Вершины нижнего основания параллелепипеда являются проекциями его вершин верхнего основания, а так как AB, ВС и BD являются соответственно проекциями ребер SA, SC и SD, на которых лежат вершины верхнего основания N, L и М, то вершины нижнего основания Кх, Lx и М1 лежат соответственно на сторонах основания AB и ВС и диагонали BD. Четвертой вершиной нижнего основания параллелепипеда является В, так как точка В есть проекция точки N.

е) Так как все диагонали прямоугольного параллелепипеда одинаково наклонены к плоскости основания, то данным углом а можно считать угол NMXB, поскольку МХВ является проекцией на плоскость основания диагонали параллелепипеда NMX, т. е. /_NMxB — a.

4. План решения.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, т. е. V = BLxy^BKX'BN, но основанием параллелепипеда является квадрат, т. е. BKX=BLX, поэтому для решения задачи надо найти BLX и BN.

Ребро BLX найдем, используя подобие треугольников SBC и SNL, но предварительно надо найти высоту пирамиды SB, зная ВС —а и угол р; выразить BN через BLX, зная угол а.

Решение в общем виде.

a) BD = а ^2 “(как диагональ квадрата ABCD).

Из Д SBD, зная, что /_ SDB=$ и ^ SBD = = 90°, выводим:

б) Обозначив BLX =х, получим ВМХ как диагональ квадрата BLXMXKV Из Д NBMX, зная что

получаем:

в) /\SBCco /\SNL, так как NL\\BC\

Лучше, но не обязательно:

Приведем один из возможных вариантов вычисления объема параллелепипеда при следующих данных:

Черт. 8.

Ответ. Объем параллелепипеда равен 15,86 ма. П. А. Крупин приводит образец решения этой задачи со следующим построением (черт. 8):

Черт. 8.

«В произвольной плоскости строим квадрат ABCD со стороной а. Из вершины квадрата В строим SB ±_ип. ABCD (неудачно, что заранее берется обозначение вершины пирамиды: буква S).

Через диагональ квадрата BD и перпендикуляр SB, пересекающиеся в вершине В, строим плоскость SBD (зачем говорить: «пересекающиеся в вершине £»; это видно по обозначениям), а в этой плоскости при вершине основания D (какого основания?) строим У SDB — ß.

Точка пересечения 5 прямых SB и SD и определяет вершину заданной в условии пирамиды.

Через точку 5 и стороны квадрата AB, ВС, CD и DA строим плоскости, при этом каждая пара смежных (?) плоскостей пересечется по прямой, соединяющей вершины основания ABCD с вершиной пирамиды S, а значит, эти линии пересечения плоскостей: SA, SB, SC, SD — ребра заданной пирамиды. (Неудачная редакция.)

Таким образом построенная пирамида — данная».

Далее следует доказательство этого утверждения, после чего излагается построение вписанного параллелепипеда.

«Впишем в эту пирамиду прямоугольный параллелепипед, удовлетворяющий условию задачи. Для этого в пл. BSD строим угол DBEX = а. Пересечение ВЕХ и SD определит точку Ех — одну из вершин верхнего основания прямоугольного параллелепипеда. Через точку Ех строим плоскость ElF]BîQ] || ABCD. Сечение EXFXB}QX— квадрат, так как ExFxBiQxco со ABCD по теореме о сечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Проектируя вершины Ех, Fx, Bv Qx на плоскость основания ABCD и построив плоскости через FXF и ЕЕХ, ЕЕХ и QQlt мы получим прямоугольный параллелепипед, удовлетворяющий условию задачи». Приводится доказательство этого утверждения.

Описание построения, приведенное П. А. Крупиным, плохо отредактировано, но по существу правильно. Это построение в данной задаче заменяет собой вывод свойств данной геометрической фигуры, а потому П. А. Крупин, минуя соответствующий раздел схемы решения, переходит непосредственно к нахождению величин, необходимых для определения объема данного параллелепипеда.

Возможно, пожалуй, ограничиться приведенными выше образцами решения экзаменационных задач, так как дальнейшие образцы в значительной мере повторяли бы их, но, конечно, будет неплохо, если журнал продолжит через некоторое время печатание таких образцов, которые будут содержать действительно что-нибудь новое и поучительное.

Помимо тех принципиальных вопросов, которые уже рассмотрены в настоящей статье, немаловажное значение имеет еще один вопрос — об исследовании решения задачи.

Н. А. Мацко (г. Чернигов, облОНО) в своей заметке, присланной в редакцию журнала несколько позднее других заметок (чем и объясняется то обстоятельство, что данный вопрос не оказался рассмотренным совместно с прочими принципиальными вопросами), выдвигает в качестве обязательного требование проводить исследование решения задачи. В приведенных т. Мацко образцах решения двух задач исследование заключается в определении «границ изменения» данных углов и в указании, во что вырождается данная в задаче фигура при предельных значениях углов, а во второй задаче— еще в определении максимума искомой величины, что требует применения специальных приемов исследования, знание которых вряд ли обязательно для учащихся.

Ввиду того, что исследование решения геометрических задач сопряжено иногда с особыми трудностями, что рамки исследования не всегда оказываются определенными, а также и ввиду того, что вопросам исследования решения гео-

метрических задач на вычисление ни стабильный учебник, ни стабильный задачник, ни программа и объяснительная записка к программе почти не уделяют внимания, — представляется нецелесообразным и рискованным предъявлять к учащимся на экзамене требование выполнять исследование решения задачи.

Если же отдельные учащиеся выполнят такое исследование достаточно обстоятельно и правильно, то это можно будет учесть при оценке работы как особое ее достоинство.

Настоящая статья в основном преследует цель—путем обмена опытом содействовать установлению большего единства в системе требований к экзаменационным работам, а потому и большего единства в оценке этих работ.

Конечно, основным методом в работе на путях к достижению такого единства является метод обмена опытом, но, кроме этого, представлялись бы полезными и другие мероприятия, например:

1) Возможно было бы поставить за правило осведомлять учителей, оценивавших экзаменационные работы, с мнением комиссии облОНО о качестве исправления работ и правильности их оценки. Ознакомление это должно проводиться на совещании заинтересованных учителей с постановкой на этом совещании доклада комиссии рецензентов о требованиях, которые комиссия считала необходимым предъявить к объяснению решения каждой из предложенных задач.

2) Одновременно с рассылкой на места текстов экзаменационных работ на аттестат зрелости Управление школ Министерства просвещения РСФСР могло бы особым приложением для сведения облОНО рассылать и примерный перечень для каждой данной задачи тех положений, которые учащиеся должны обосновать в своих объяснениях к решению задачи. (Может быть достаточно, чтобы такой перечень исходил не от Управления школ, а от методиста-консультанта министерства.)

3) В порядке оценки результатов экзаменов на аттестат зрелости журнал «Математика в школе» и «Учительская газета» могли бы помещать заметки с мест или статьи, написанные на материале этих заметок, примерно с такой тематикой: Что учащиеся объяснили хорошо? Что пропускали обосновывать? Что встречалось лишнего в объяснениях? Каково вообще качество решения задач различных вариантов? и т. д.

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ ВЫПУСКНИКОВ СЕМИЛЕТНИХ ШКОЛ

Н. А. МАЦКО (Чернигов)

На выпускных экзаменах в седьмых классах семилетних и средних школ нашей области Управлением школ Министерства просвещения УССР для письменных экзаменов по алгебре (с арифметикой) были предложены следующие задачи.

Первый вариант

1. На строительстве Южно-Украинского и Северо-Крымского каналов будет работать 500 различных экскаваторов, среди них и большие шагающие экскаваторы.

Сколько будет работать больших шагающих экскаваторов, если 8% шагающих и 12% других будут составлять 58 экскаваторов?

2. Выполнить указанные действия и вычислить полученный результат при условии, что

3. Вычислить выражение:

Второй вариант

1. На строительстве Южно-Украинского и Северо-Крымского каналов будет работать 15 000 тракторов и автомобилей.

Сколько будет работать тракторов и сколько автомобилей, если 15% от общего количества автомобилей больше, чем 9% общего количества тракторов, на 1050 машин?

2. Выполнить указанные действия и вычислить полученный результат при условии, что

3. Вычислить выражение:

Для среднего учащегося этот текст экзаменационной работы не должен вызвать значительных затруднений.

Мы имели возможность проверить и проанализировать письменные экзаменационные работы выпускников седьмых классов двенадцати школ Варвинского и Иванницкого районов Черниговской области. Сопоставление этих работ с прошлогодними экзаменационными работами учащихся тех же школ показывает несомненный рост успеваемости выпускников семилетней школы как в количественном, так и в качественном отношении. Сопоставим результаты экзаменов в 1951 и 1952 годах.

Оценка

1951 г.

1952 г.

5“ 4“ .3“ .2“

6,2% 25,0% 58,4% 10,4%

6,6% 35,5% 52,1% 3,8%

Если принять во внимание, что количество учащихся в седьмых классах этих школ по сравнению с прошлым годом увеличилось с 456 до 605 человек и что в 1952 году экзаменационные комиссии значительно строже подходили к оценке работ выпускников, то повышение качества знаний выпускников семилетней школы станет вполне очевидным.

Преобладающее большинство семиклассников с работой справились успешно, дали сжатое, но исчерпывающее объяснение зависимостей между величинами, данными в условии задачи, обосновали составление уравнений, выбрали наиболее рациональные пути решения задачи и примеров. Работы учеников VII классов Иванницкой средней школы (учитель Павленко И. Д.), Журавской средней школы (учитель Фин Г. И.), Остаповской семилетней школы Варвинского района (учитель Васюк Н. И.) и некоторых других школ обладают четкостью, рациональностью вычислений и отсутствием ошибок, свидетельствуют о знании программного материала. Преобладающее большинство этих работ вполне заслуженно оценено баллами «5» и «4». Вот образец объяснения составления уравнения (ученик Иванницкой средней школы):

«Обозначим количество больших шагающих экскаваторов, которые будут работать на строительстве каналов, через х. Всего на строительстве будет работать 500 экскаваторов, поэтому число прочих экскаваторов выразится через 500—X. 8% от числа больших шагающих экскаваторов составляют 0,08 х, а 12% от числа прочих экскаваторов составляют

Согласно условию задачи, 8% от числа больших шагающих и 12% от числа прочих экскаваторов составляют вместе 58 экскаваторов. Следовательно,

Решая это уравнение, находим:

Затем каждый ученик обязательно делает проверку по условию задачи и полностью записывает ответ.

Результат экзаменов не случаен. На протяжении учебного года учитель И. Д. Павленко Выполнил большую работу. Проводя в классе контрольные работы, он учитывал каждую ошибку ученика, тщательно выяснял причины ошибок и затем упорно работал над их устранением. Самое преподавание математики учитель проводил увлекательно, подбирал интересные задачи, часто с использованием местного материала, в то же время он не снижал научного уровня преподавания. Его ученики четко усвоили специфические особенности выполнения действия над числами в алгебре по сравнению с арифметикой, при изучении отрицательных чисел прочно усвоили их особенности, поняли их практическое значение. При решении задач на составление уравнений учитель сопоставлял арифметические и алгебраические способы решения. С одной стороны, ученики повторяли решение типовых арифметических задач, с другой стороны, они убеждались в преимуществах алгебраических способов решения этих же задач. В значительной мере помогала учителю и правильно организованная домашняя работа учащихся: отстающим ученикам он давал задания на те разделы программы, которые ими слабо усвоены, домашние задания он сопровождал указаниями, на что следует обратить особое внимание, над чем необходимо подумать.

Не останавливаясь более детально на опыте работы лучших учителей, я хочу остановиться на недостатках в знаниях выпускников семилетних школ.

Основным недостатком, свойственным подавляющему большинству экзаменационных работ, является обоснование составления уравнения по условию задачи.

В конце учебного года Управление школ Министерства просвещения УССР в газете «Радянська освита» (11 мая 1952 г.) дало установку— «решать задачи с письменным объяснением не обязательно, но работа ученика, выполненная без письменного объяснения, не может быть оценена оценкою «5». Многие учителя поняли эту установку так, что на решение задач с письменным объяснением надо ориентировать только отличников. Между тем только в том случае, если ученик пишет не голые цифры, а излагает, как он понимает зависимости между величинами, входящими в условие задачи, можно судить о сознательности его работы и о глубине его знаний.

Вот образцы «объяснений» учащихся, свидетельствующих о формальном составлении уравнений.

1) Ученик записал:

«Число больших шагающих экскаваторов обозначим X, число малых— у*. Затем сразу (без объяснения) пишет:

«Сколько было больших шагающих экскаваторов?

(или 0,08 X в других работах).

Сколько было малых?

Отсюда уравнения:

2) «Обозначим количество больших шагающих экскаваторов через х, а малых через 000—л:». (Однако число прочих экскаваторов ученик не произвольно обозначает через 500—х, а согласно условию задачи.)

Решение задачи путем составления уравнения с одним неизвестным более рационально, чем путем составления системы уравнений с двумя неизвестными, ибо в последнем случае система сводится все равно к уравнению с одним неизвестным, а задача требует ответа только на вопрос: сколько было больших шагающих экскаваторов? Однако большинство учащихся избрало именно решение задачи путем составления системы уравнений. Здесь сказалась сила традиции*).

Типичным недочетом является неумение учеников избрать наиболее рациональный путь ре-

шения уже составленных уравнений. Так, решая даже такую систему:

вместо того чтобы умножить первое уравнение на 0,08 и вычесть из второго, многие учащиеся по привычке сперва освобождают второе уравнение от дробей, получают систему:

затем первое уравнение умножают на 8 и вычитают из второго.

Примерно около 40% учащихся составляли систему:

затем освобождались от дробей, получая еще более громоздкие записи.

В ряде случаев учителя даже не отмечали как недочет нерациональные способы решения уравнений. Это показывает, что учителя довольствуются тем, что ученик решил задачу, и не обращают внимания на способ решения.

Проверка правильности решения задачи встречается обычно в работах учеников лучших учителей. Это говорит о недооценке учителями привития навыков самоконтроля. Кроме того, некоторые ученики проверяют правильность решения составленного уравнения, но не соответствие результата условию задачи.

Действия с алгебраическими дробями и формулы сокращенного умножения учащиеся усвоили во всех школах сравнительно хорошо, и здесь грубые ошибки встречаются крайне редко. Но вычисление числовой величины алгебраического выражения сделано неправильно в 213 работах из 605. В отдельных школах вычисление числовой величины алгебраического выражения неверно выполнили до 90% всех выпускников (Загонская семилетняя школа Иванницкого района, Калиновичская Варвинского района). Причин этому две:

1. Этот материал изучался еще в начале курса алгебры в VI классе, а в VII не был в достаточной мере повторен.

2. Пример на нахождение числовой величины алгебраического выражения был хотя и несложен:

но значения букв, в него входящих, были даны в виде простых и десятичных дробей и притом j

*) Здесь следует заметить, что нельзя считать пороком, если учащийся решил данную задачу составлением системы уравнений. Кроме того, объяснения ученика, приведенные в примере 1), немногословны и вполне правильны. — Ред.

отрицательных, а действия с отрицательными числами учениками усвоены слабо.

На этот недостаток надо обратить серьезное внимание, ибо твердые навыки в вычислении значений алгебраических выражений необходимы учащимся при решении задач по физике и в технике, где ученики встретятся с формулами.

Арифметический пример решили все учащиеся, кроме тех, чьи работы оценены оценками « 2 ».

Следующие характерные недочеты были обнаружены нами при проверке решений примера:

1. Неумение пользоваться законами арифметических действий для рационализации вычислений. Применив переместительный закон умножения, ученик, выполняя работу (первый вариант), в знаменателе мог устно перемножить 2,5-1,47-4, но 60% учеников, выполнивших эту работу, перемножали по порядку сомножителей — «в столбик».

2. Значительная часть учащихся не умеет определить, в каких дробях удобнее выполнять вычисление, и вычисляет в простых там, где удобнее это делать в десятичных. Так, в Калиновичской семилетней школе ученики выполняли в простых дробях действия:

и вычисление значения выражения

все учащиеся этой школы, а также до 50% учащихся других школ выполняли в простых дробях.

Этот недочет свидетельствует о том, что навыки учеников в вычислениях с десятичными дробями слабее навыков в вычислениях с простыми дробями.

3. Слабые навыки устного счета. Часть учащихся допускает даже такие «письменные» вычисления:

(Примеры взяты из разных школ.)

4. При действиях с простыми дробями учащиеся не всегда сокращают дроби, чем усложняют вычисления, а при приведении дробей к общему знаменателю последний находят не как общее наименьшее кратное, а простым перемножением знаменателей:

5. Отсутствие умения обнаружить ошибку путем сопоставления компонентов и результата действия — приблизительно, «на глаз». Ученики «не замечают», что при умножении на правильную дробь получился результат, больший множимого, а при делении на неправильную дробь частное получилось больше делимого. Такие ошибки, как

остаются незамеченными.

Результаты устных экзаменов по геометрии в седьмых классах в количественном отношении, как правило, выше, чем результаты экзаменов по алгебре. Но это не говорит о том, что выпускники семилетних школ геометрию знают лучше, чем алгебру или арифметику. Наоборот, здесь, на устных экзаменах по геометрии, мы наблюдали снижение требований к экзаменующимся. В ряде случаев мы наблюдали, что ученик наизусть формулирует теорему и пересказывает доказательство по учебнику, но если лишь немного изменить условие (предложить трапецию, у которой нижнее основание короче верхнего, или вместо остроугольного — тупоугольный треугольник), даже хорошие ученики испытывают затруднение.

Большим недочетом знаний многих выпускников семилетних школ является отсутствие практических навыков. Практические работы на местности проводят сейчас почти все учителя математики, но проводят их формально, оторванно от преподавания теоретического материала (несколько работ осенью или весною). В повседневной учебной работе практические навыки учащихся не развиваются. В результате — ученики не умеют на глаз определить величины угла, нарисованного на классной доске, с точностью до 10е, не имеют конкретного представления о величине ара, гектара.

Курс наглядной геометрии, изучаемый учащимися в пятых классах, нередко превращается в арифметику на геометрическом материале. В VII классе ученики не повторяют элементы этого курса (так как они отсутствуют в экзаменационных билетах). Не удивительно, что

в VII классе Варвинской семилетней школы ученики не могли ответить на вопросы, как вычислить площадь треугольника, круга, длину окружности, а учительница О. И. Божок была даже недовольна тем, что выпускникам VII класса задавались такие вопросы.

Но и теоретический материал по геометрии изучается в VI — VII классах еще в ряде школ сухо, формально, как заучивание соответствующих параграфов учебника Киселева. Ученики даже иногда спрашивают: для чего, например, доказывать, что в треугольнике против равных углов лежат равные стороны, а против большей стороны — больший угол, если это и так ясно? Сам материал геометрии седьмых классов кажется учащимся оторванным от практики, к тому же, в отличие от алгебры и арифметики, учителя мало уделяют внимания внеклассной работе по геометрии.

Все это приводит к тому, что знания учениками геометрии в значительной степени продолжают оставаться формальными и поверхностными.

Много лучшего заставляет желать и грамотность учащихся, а также их устная речь на экзаменах по математике. Преподаватели математики еще мало обращают внимания на умение учеников правильно излагать свои мысли. В результате — на письменных экзаменах ученики пишут безграмотно, даже в математических терминах делают грубые ошибки и на устных экзаменах не соблюдают согласований, неправильно употребляют падежи, допускают неправильные ударения.

Результаты экзаменов по математике в седьмых классах семилетних и средних школ показывают, что качество знаний выпускников седьмых классов значительно повысилось в сравнении с прошлым годом. Это повышение есть результат повышения идейного и научного уровня преподавания математики, качественного роста кадров преподавателей.

Но экзамены показывают также и наличие серьезных недочетов в знаниях выпускников семилетних школ. Каждый учитель математики должен глубоко проанализировать эти недочеты с тем, чтобы их устранить и добиться повышения качества преподавания и дальнейшего улучшения знаний учащихся.

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРИГОНОМЕТРИИ

М. Г. ПАРАФИЛО (Сталино)

Как среди преподавателей, так и среди методистов существует большой разнобой, доходящий иногда до абсурдного толкования исследования решения геометрических задач.

В подтверждение этого можно сослаться хотя бы на заметку инспектора школ Черниговского облОНО Н. Мацко, напечатанную в «Учительской газете», № 58 от 19 июля 1952 года, под заглавием «Серьезные пробелы в знаниях».

В этой заметке т. Мацко совершенно правильно поднимает вопрос о роли и значении исследования решения геометрических задач (с применением тригонометрии), но в то же время сам решает этот вопрос неверно.

На экзаменах на аттестат зрелости выпускникам средних школ Черниговской области была предложена следующая задача:

Основанием пирамиды служит прямоугольник. Длина каждого бокового ребра равна т. Плоские углы трехгранных углов при основании пирамиды суть а, ß и 90°. Определить объем пирамиды.

Решив эту задачу, мы получим ответ:

Исследование решения этой задачи, по мнению т. Мацко, должно заключаться в том, что ученики должны были увидеть «вырождение» геометрических форм. «В приведенной нами задаче, — говорит т. Мацко, — с увеличением углов а и ß до 90° объем пирамиды „вырождается“ в отрезок прямой длиною в /и, а с уменьшением углов до 0° пирамида „вырождается“ в квадрат — плоскую фигуру, но заметить это могли только ученики некоторых школ».

Отрадно слышать от т. Мацко, что эту метаморфозу с пирамидой 'заметили только учащиеся некоторых школ.

Как можно говорить, что объем (т. е. число) пирамиды вырождается в отрезок прямой? Или же о том, что пирамида вырождается в квадрат?

Следует заметить, что а и $ одновременно приближаться к нулю не могут, так как a -J- ß для данной задачи всегда больше 90°. Здесь можно допускать приближение к 0 одного из углов, но тогда квадрата не получится.

Этот факт красноречиво говорит о том, что в вопросе исследования решения геометрических задач далеко нет ясности.

Как же проводить исследование решения гео-

метрических задач с применением тригонометрии?

Здесь нельзя дать раз и навсегда установившуюся схему, пригодную на все случаи жизни. Нет никакой необходимости, чтобы все учителя математики, а тем более учащиеся делали исследование абсолютно одинаково. Мы должны требовать только принципиально правильного решения и исследования существенных вопросов.

Если нет никаких указаний в условии самой задачи на исследование того или другого вопроса, то никакого специального исследования проводить не надо, следует лишь показать, что решение задачи имеет определенный смысл. Если же в задаче есть указание об исследовании, то его нужно провести со всей тщательностью.

Разберем два примера.

Для вышеуказанной задачи никакого специального исследования проводить не нужно. Здесь только надо было показать, что подкоренное выражение есть положительное число.

В самом деле, углы а и ß — оба острые, как углы при основании равнобедренного треугольника. Кроме того, так как а, ß и 90° суть плоские углы трехгранного угла, то

(a-fß)>90° и |a-ß|<90°,

а поэтому cos(a-j-ß)— число отрицательное, a cos (а — ß) — положительное. Следовательно,

— cos (a -}-ß). cos (а — ß) > 0.

Рассмотрим теперь задачу, в которой ставится вопрос об исследовании.

В правильной четырехугольной пирамиде стороны основания а см; грани наклонены к основанию под углом а.

Найти: 1) площадь сечения, проведенного через сторону основания перпендикулярно боковой грани; 2) объем верхней отсеченной части пирамиды. Исследовать, как изменяется вид и площадь сечения с изменением угла а, рассмотрев случаи:

а = 0, а<45°, а = 45°, а>45°.

Объяснение построения (черт. 1).

Так как плоскость сечения должна пройти через сторону основания и быть перпендикулярной к боковой грани, то для этого достаточно, чтобы она проходила через сторону основания и перпендикуляр, опущенный из какой-либо точки стороны основания на противолежащую боковую грань.

Точку на стороне основания, из которой будет опущен перпендикуляр, возьмем следующим образом. Проведем апофему SK боковой грани SBC, получим точку /О Проведем проекцию апофемы на плоскость основания пирамиды и продолжим ее до пересечения со стороной основания AD в точке F. Заметим, что FK±_BC (теорема о трех перпендикулярах), следовательно, FK перпендикулярна и AD (AD параллельна ВС). Соединив точку 5 и точку F, мы получим апофему боковой грани SAD (SF_[_AD, так как FK ± AD).

Таким образом мы получили равнобедренный треугольник SFK с углом а при основании (У SKF есть линейный угол двугранного угла). Высота треугольника SKF, опущенная из вершины Ку перпендикулярна к плоскости боковой грани SAD, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости: SF и прямой, параллельной AD (высота, опущенная из вершины К Д SKF перпендикулярна ВС, так как плоскость этого треугольника перпендикулярна ВС).

Высота равнобедренного треугольника, опущенная из вершины угла при основании, будет лежать внутри треугольника тогда, когда угол при вершине — острый, в данном случае—когда </KSF <90°, следовательно, 2а>90°, a значит, а>45°; высота треугольника пойдет по апофеме SK, если а = 45°, и пойдет вне треугольника, если а<45°, и тогда мы не получим никакого сечения.

Таким образом, плоскость сечения пирамиды можно провести только тогда, когда 45°<а<90°.

Пусть 45°<а<90°. Через ребро ВС и высоту ЕК Д S F К проведем плоскость, которая пересечет боковую грань ASD по прямой AIN, параллельной ВС, так как ВС \\ AD.

В сечении получим равнобедренную трапецию MNBC, так как MN \\ ВС и MN <#С; MB=NC, как стороны равных треугольников АМВ и DNC, лежащие против равных углов ( Д АМВ = Д DNC, так как ^ MAB = <Х NDC,

AB = DC и AM = DN, потому что MN \\ AD и треугольник ASD — равнобедренный). Решение.

(1)

Находим MN и ЕК. Из прямоугольного треугольника EFK

(2)

Из подобных треугольников .SAW и SAD имеем:

откуда:

(3)

Из &SFO и Д5£АГ находим:

(4) (5)

Подставив в формулу (3) значения SE и .S/7, получим:

Сделав подстановку в формулу (1) значений MN, ВС и ЕК, получим:

(7)

Верхняя отсеченная часть пирамиды представляет собой четырехугольную пирамиду SMBCN.

(8)

Площадь основания этой пирамиды есть площадь сечения MNBC, а высотой пирамиды является отрезок SE. так как

Подставив в формулу (8) значения Soc„. и /У, получим:

(9)

Так как 45°<а<90°, то cos 2 а — отрицательное число, следовательно, V>0. Ответ:

Исследование

1) Геометрические соображения при обосновании построения привели нас к заключению, что 45°<а<90°. При а = 0 пирамиды не будет и вопрос о форме сечения лишен смысла. Формула площади сечения S=a2sin3 а при а = 0 дает 5 = 0.

2) При 0 < ос < 45° формула (7) дает положительное решение, площадь увеличивается с увеличением угла a (sin аг > sin а2, если 04 ]> а2 для значений 0<сс<45°), а геометрические соображения привели нас к тому, что сечения (внутреннего) не будет. Это будет внешнее сечение продолжения боковых граней пирамиды.

3) При а 45° формула для площади сечения дает:

Геометрические соображения приводят нас к тому, что сечение пирамиды в этом случае будет совпадать с боковой гранью SBC. Это будет треугольник, площадь которого равна:

4) При 45° < а < 90° формула дает для площади сечений положительное решение. Площадь сечения увеличивается с увеличением угла а и находится в границах

Надо отметить, что в этой задаче вопрос относительно а = 0 является излишним, так как в условии самой задачи сказано, что а есть линейный угол двугранного угла, а поэтому при а = 0 теряет смысл и сама задача.

Конечно, нет никакой возможности, да в этом и нет никакой необходимости, со столь подробными выкладками решать каждую задачу на уроках или же требовать от учащихся такого решения дома. Но мы должны постоянно требовать, чтобы учащиеся обосновывали каждый свой шаг в решении задачи, доказывали возможность геометрических построений, правильного применения теорем.

Но чтобы учащиеся приобрели навыки в строгом обосновании решения задач и письменном изложении решения, чтобы приучить учащихся к математической строгости при решении задач, чтобы развивать их логическое мышление, необходимо, начиная уже с VIII класса, практиковать подробные решения геометрических задач как в классе, так и дома, выбирая для этой цели наиболее богатые по геометрическому содержанию задачи.

От редакции. Вопрос об исследовании геометрических задач с применением тригонометрии начал разрабатываться в методической литературе лишь в последнее время. Пока еще преждевременно выставлять исследование геометрических задач в качестве обязательного требования при выполнении экзаменационных работ, но эти исследования полезно проводить при решении некоторых задач в течение года. Достаточно обстоятельно соответствующие образцы исследования разобраны в работе Л. В. Кривлевой «Приложение тригонометрии к решению и исследованию геометрических задач» (издательство АПН, Москва, 1951.)

В настоящей заметке М. Г. Парафило приводит весьма поучительный пример ошибки, к которой может привести формальный подход к исследованию геометрической задачи.

ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ СПОСОБЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ*)

Н. А. ПРИНЦЕВ (Курск)

Математические задачи на вычисление решаются двумя основными способами, которые для краткости будем называть арифметическим и алгебраическим.

Первый способ сводится к тому, что для нахождения значений искомых величин задачи производят ряд арифметических действий в определенной последовательности над данными значениями величин, о которых идет речь в задаче, и получают значения искомых величин. Принято задачи, решаемые этим способом, называть арифметическими, однако это не совсем правильно, ибо одну и ту же задачу можно решать и арифметическим, и алгебраическим способом.

Успех решения задачи арифметическим способом зависит от умения правильно наметить последовательность арифметических действий над данными в задаче числами и результатами предыдущих действий. Эта последовательность иногда получается в результате трудных и искусственных комбинаций, которые, вообще говоря, весьма разнообразны для различных задач. Если для решения задачи необходимы эти искусственные комбинации, то такую задачу принято называть типовой арифметической задачей. В умении найти способ решения и заключается трудность.

Второй способ — алгебраический — заключается в том, что искомые числа или связанные с ними другие неизвестные числа обозначают символами (обычно буквами) и составляют при помощи арифметических действий над этими символами и данными в условии задачи числами уравнения, решая которые определенными методами, получают ответ на вопрос задачи. Этот способ требует знания сравнительно простых зависимостей между данными и искомыми значениями величин, указанных в задаче. Сравнительно редко для составления уравнений приходится прибегать к особым, искусственным приемам. Однако трудность заключается в том, что надо уметь составлять буквенные выражения, и, главное, в том, чтобы уметь найти эти выражения для одного и того же числа, т. е. для левой и правой частей уравнений. Главное преимущество этого способа перед арифметическим заключается в его универсальности; он с успехом применяется к таким задачам, которые решаются арифметическим способом совершенно различно. Прием рассуждения при этом способе одинаков, и в этом его большая ценность.

Возьмем такие задачи из сборника арифметических задач С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева:

1) Сумма двух чисел равна 38. Найти эти числа, если -g- первого числа равны— второго.

2) Для столовой приобретено за 1536 рублей 120 ложек и 84 тарелки. Ложка стоила в 2у раза дороже тарелки. Сколько стоит одна ложка и сколько тарелка?

Как известно, решение алгебраическим способом начинается с обозначения неизвестных. В первой задаче одно из чисел можно обозначить через X, а другое через 38 — х и необходимое равенство вытекает непосредственно из последнего указания задачи:

Вторая задача арифметическим способом решается совсем отлично от первой: необходимо предположить, что на данную сумму куплены только ложки или только тарелки, .заменить (как принято говорить) количество тарелок соответствующим по цене количеством ложек. Алгебраически она решается без того, чтобы прибегать к какому-либо особому способу, достаточно цену тарелки обозначить через х, тогда стоимость ложки будет 2 - х, а затем уже составлять величину их общей стоимости и получать необходимое уравнение:

*) Статья печатается в порядке обсуждения.— Ред.

Существуют, конечно, и другие приемы решения задач, когда для решения задачи характерным является не последовательность расчетов или необходимость составить уравнение, а некоторые логические комбинации, связанные с пробами, с рассмотрением некоторых возможных вариантов. К таким задачам относится, например, следующая: Среди 80 монет имеется одна фальшивая, более легкая, нем все остальные, имеющие все одинаковый вес. Как при помощи четырех взвешиваний на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету?

Однако такие задачи не являются характерными для школьной практики, их чаще решают на кружковых занятиях и очень редко на уроках математики. Типичными для школы приходится признать арифметический и алгебраический способы решения задач на вычисление.

Первый из этих методов — арифметический — является более трудным и имеет в дальнейшем все меньшее и меньшее применение, но в школе им пользуются длительное время — в течение первых шести лет обучения.

Второй метод — алгебраический — быстрее усваивается учащимися и является для них более- легким. Это следует хотя бы из того, что учащиеся начинают знакомиться с ним вплотную лишь во второй учебной четверти в VII классе. Однако, обычно результаты контрольных работ по алгебре в VII классе по задачам на составление уравнений одинаковы по сравнению с результатами таких работ в VI классе но арифметике, которую учащиеся изучали в течение шести лет.

Чем объяснить такое положение, что арифметическому методу решения уделяется так много времени в семилетней школе по сравнению со временем, в течение которого изучается алгебраический метод решения? Быть может, арифметический способ является основой для второго, более лучшего и универсального способа—алгебраического? Быть может, арифметический способ чаще применяется на уроках математики в старших (VIII—X) классах школы?

На тот и другой из последних вопросов приходится ответить отрицательно. Арифметический прием решения задач не является основой для алгебраического метода, ибо многие задачи легче и проще решаются этим последним методом, а сам арифметический прием решения многих так называемых типовых арифметических задач представляет собой маскировку алгебраического способа решения.

При дальнейшем изучении математики и физики в старших классах алгебраический прием применяется более часто, чем арифметический прием решения задач, некоторые теоретические вопросы и задачи на доказательство решаются з этих классах с помощью алгебраического метода.

В настоящей статье мы и хотим обратить внимание на чрезмерное увлечение арифметическим методом на уроках арифметики, на то, что много времени затрачивается на решение таких задач, которые более естественно и проще, не прибегая к особым ухищрениям, решать алгебраическим способом, наконец, на то, что это увлечение арифметическим способом решения задач наносит ущерб другим разделам математики, в частности постановке преподавания геометрии в семилетней школе.

Многие вопросы, которые придется затронуть ниже, имеют дискуссионный характер, но это и является целью статьи. Мы уверены, что обсуждение вопроса о характере, объеме и роли так называемых арифметических задач в курсе математики семилетней школы, о месте и значении арифметического способа решения задач должно оказать положительное влияние на дальнейшее улучшение постановки преподавания математики в школе.

Какие задачи целесообразно на уроках арифметики решать арифметическим способом? В связи с такой постановкой вопроса возможно у читателя возникнет другой вопрос: разве можно и целесообразно решать задачи на уроках арифметики алгебраическим способом? Наш ответ на этот вопрос будет утвердительным; считаем, что уместно и целесообразно показать на уроках арифметики и другой, алгебраический метод решения. Более того, мы должны признать, что этим способом мы пользуемся на уроках арифметики. Еще в начальной школе учащиеся решают так называемые примеры «с иксом», даже в сборнике арифметических задач и упражнений для II класса начальной школы, каким пользуются учащиеся школы в настоящее время, имеются такие упражнения (см., например, № 721 и другие).

Подобные упражнения имеются и в сборнике арифметических задач для III—VI классов. Эти упражнения по существу представляют простейшие уравнения. Много таких упражнений содержит новый арифметический задачник С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева. Упражнения на нахождение неизвестного члена пропорции являются тоже простейшими уравнениями. Задачи на пропорциональное деление и на пропорциональные величины решаются по существу алгебраическим способом. Такие задачи, как, например, задача:

На какое число надо уменьшить

чтобы получилось

— целесообразно решать

с помощью записи:

т. е. алгебраическим способом.

Таким образом, постановка вопроса о том, какие задачи на уроках арифметики целесообразно решать арифметическим способом, не должна вызывать удивления или возражения.

Так называемые задачи-примеры уже по своей форме задания указывают, каким приемом надо решать данный пример. Если дано упражнение:

Найти X, если -^-л; = 4С0, то данный пример решается алгебраическим способом, т. е. определяется неизвестнее число х как неизвестный сомножитель по произведению и другому сомножителю.

Если дан обычный арифметический пример на вычисление, например:

то решают его арифметическим способом.

Текстовые задачи можно, как известно, разделить на простые и составные. Очевидно, простые задачи решаются арифметическим путем, так как каждая из них относится к некоторому определенному арифметическому действию, но и здесь в некоторых случаях полезно прибегнуть к уравнению, как было уже указано для задачи, в которой по уменьшаемому и разности надо было найти вычитаемое.

Некоторые составные задачи-расчеты, которые для своего решения не требуют каких-либо особых приемов рассуждения, целесообразно решать арифметическим путем. Как пример такой задачи приведем следующую: В киоск доставили 960 тетрадей; — этого количества было в одну линейку, +-в клетку, а остальные— в две линейки. Сколько доставили тетрадей в две линейки? Эта задача представляет собой обычную составную задачу, не содержащую так называемой типовой задачи. Она представляет собой обычный расчет: сперва расчет для количества тетрадей в одну линейку, потом — в клетку, затем расчет их общего количества и, наконец, вычисление числа тетрадей в две линейки.

Однако, на уроках арифметики очень часто решают так называемые типовые задачи, решение которых должно сопровождаться объяснением самого приема решения; этот прием решения зависит как от формы задания данных и искомых величин (например, задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности), так и от содержания задачи (например, задачи на встречное движение). Большинство этих задач легче решается алгебраическим способом, арифметический способ решения их усваивается детьми с трудом, вследствие своей искусственности, а иногда и сложности рассуждения. На ознакомление с методом решения таких типовых задач в школе тратится много времени, и, по нашему мнению, это время тратится непроизводительно, так как потом, когда учащиеся эти же задачи начинают решать на уроках алгебры другим, алгебраическим способом, то они забывают надуманные, чрезвычайно иногда искусственные арифметические способы решения. Возникает вопрос: зачем же уделялось так много времени освоению этих арифметических приемов решения, которые в дальнейшем совсем не применяются?

Нам кажется, что большинство типовых задач следует решать алгебраическим способом. Таких задач наши задачники по арифметике содержат немало. Возьмем для примера такую задачу: На 240 тетрадей израсходовано 740 листов бумаги; тетради сделаны в 2у и 3-^- листа. Сколько сделано тех и других тетрадей? Арифметический прием решения ее заключается, как известно, в том, что надо предположить (то, чего на самом деле нет), что все 240 тетрадей сделаны, например, по 2 -~ листа каждая. Этот прием значительно сложнее алгебраического приема решения, который приводит, например, к уравнению:

составляемому с помощью обычных, знакомых детям арифметических расчетов.

Уместно в связи с этим поставить вопрос: что больше соответствует психике ребенка, его общему развитию: алгебраический или арифметический способ решения типовой задачи? Многие считают, что алгебраический метод решения задач, связанный с идеей буквенной символики, недоступен учащимся IV—V классов. Мы полагаем, что это мнение неправильно и основано на том, что мы не выяснили практически этот вопрос, не обучали детей этому методу. Алгебраический метод, соединенный в некоторых случаях с графической иллюстрацией, вполне может быть усвоен в той или иной мере учащимися IV—V классов. Во всяком случае, арифметический метод решения многих типовых задач безусловно не соответствует психологическим особенностям детей, которые обучаются в IV—VI классах, а потому многие из них с таким трудом решают более сложные арифметические задачи. Этим до некоторой степени

объясняется то обстоятельство, что решаемость арифметических задач на контрольных работах в V и VI классах бывает низкой.

Во всяком случае, для улучшения постановки преподавания математики в школе необходимо тщательно пересмотреть задачи, какие принято предлагать учащимся на уроках арифметики. С одной стороны, надо ограничить применение арифметического способа решения, исключить из задачников более сложные и некоторые типовые задачи, поместив их в отдельном приложении для внеклассной, необязательной работы, а с другой стороны, надо ввести в большем объеме алгебраический метод при решении задач на уроках арифметики, используя его для решения типовых задач, постепенно приучая учащихся к решению задач этим методом.

Пересмотр задачников по арифметике для I—VI классов, приведение их в соответствие с возрастными особенностями учащихся, использование алгебраического способа решения задач на уроках арифметики — все это даст некоторую экономию во времени, потребном для изучения курса арифметики в I—VI классах школы. Эта экономия позволит улучшить постановку геометрии в школе, позволит ввести в эти классы доступный и интересный для учащихся геометрический материал.

Те элементы, которые включены в курс арифметики, не обеспечивают гармонического развития детей, геометрические представления учащихся к тому времени, когда они начнут изучать в VI классе систематический курс геометрии, крайне бедны. Исключение некоторых видов задач и усиление геометрического материала может оказать только благотворное влияние на математическое развитие учащихся.

Сторонники «арифметического» направления в решении задач по поводу только что приведенного предложения о некотором «стеснении» арифметического способа решения задач могут возразить, указав, что арифметический способ решения имеет большое значение для овладения алгебраическим методом решения и для общего математического развития учащихся. Рассмотрим это возражение.

Арифметическому способу решения задач мы отдаем известное место на уроках арифметики и придаем ему большое значение в математическом развитии учащихся, в частности он имеет определенное значение для обучения учащихся использованию алгебраического метода решения задач. Но мы считаем, что то увлечение арифметическим приемом решения задач, какое наблюдается в настоящее время в школе, то место, какое занимают так называемые типовые арифметические задачи, особенно на уроках арифметики IV—VI классов, не оправдывают себя.

Если мнение о том, что типовые арифметические задачи имеют большое значение для приобретения навыка решать задачи алгебраическим способом, справедливо, то это означает, что без умения решать типовые задачи трудно научиться решать задачи алгебраическим путем. Но на самом деле это неверно, так как в сборниках алгебраических задач мы встречаемся с этими типовыми «арифметическими» задачами и... обязываем учащихся решать их другим способом, может быть, даже (в интересах обучения новому методу) заставляем учащихся забыть (хотя бы на время) известный им из уроков арифметики арифметический метод решения.

Во всяком случае, приемы рассуждения, каким мы обучаем учащихся на уроках алгебры при решении задач алгебраическим способом, очень часто резко отличаются от тех приемов рассуждения, какие мы практикуем на уроках арифметики. В редких случаях существует какая-либо тесная связь между прежним и новым методами. Это обстоятельство достаточно убедительно вскрывает несостоятельность мнения о том, что та работа, которая ведется на уроках арифметики над типовыми и более сложными арифметическими задачами, имеет особое значение для выработки умения решать задачи алгебраическим способом.

Это мнение, по нашему убеждению, объясняется той традицией в преподавании математики, которая еще, к сожалению, сильна в нашей школе и не дает возможности перестроить преподавание в соответствии с идеями и требованиями современной математики и методики ее преподавания.

Что надо уметь, чтобы научиться решать задачи алгебраическим способом? В какой мере арифметический способ решения задач полезен в этом отношении?

Для решения задач алгебраическим способом необходимо прежде всего уметь отлично решать всевозможные простые арифметические задачи, так как при составлении буквенных выражений для алгебраического уравнения приходится решать эти простые задачи.

Возьмем для примера следующую задачу:

Продано 23 одинаковых билетов в мягкие вагоны и 60 одинаковых билетов в жесткие, всего—на 4775 рублей. Билет в жестком вагоне стоит на 33 — рубля дешевле, чем в мягком. Сколько стоит билет в жестком вагоне и сколько в мягком вагоне?

Такая задача может быть дана как на уроке арифметики, так и на уроке алгебры. Для решения ее алгебраическим способом необходимо знать: во-первых, определение стоимости по цене и количеству, во-вторых, определение общей

стоимости как суммы и, в-третьих, надо уметь написать зависимость между числами, если одно из них меньше (дешевле), чем другое, на некоторое число. Таким образом, при составлении уравнений:

надо уметь решать три вида простых задач. Нужно ли для решения задачи алгебраическим способом владеть тем искусственным приемом ее решения — способом «предположения», — каким эта задача решается на уроке арифметики? Нет, этого способа знать не нужно.

Но, быть может, затрата времени и энергии учащихся и учителя на решение таких задач арифметическим способом оправдывается тем, что этот способ оказывает большое влияние на общее математическое развитие учащихся, на их умение правильно рассуждать, обобщать, делать выводы? Конечно, в какой-то мере решение таких задач оказывает влияние в этом направлении, но мы склонны считать, что это влияние не является столь значительным, какое следовало бы ожидать, принимая во внимание удельный вес такой работы на уроках арифметики в школе.

В пользу нашего мнения говорит и то, что позже, в старших классах или после окончания школы, в сознании людей остается очень небольшой след от сложных арифметических способов решения.

Наблюдения показывают, что многие люди, окончившие среднюю школу и даже изучающие математику в высших учебных заведениях, с трудом решают типовые задачи искусственными, арифметическими способами, не помнят приемов их решения, но легко, быстро и уверенно решают их алгебраическим методом.

Так, например, родители, имеющие соответствующее математическое образование, часто не в состоянии объяснить своим детям — школьникам V или VI классов — арифметический прием решения задачи, решая ее, однако, алгебраическим способом.

Нередко учителя математики испытывают большие затруднения в нахождении арифметического способа решения задачи, если ее арифметический метод решения не является достаточно известным. Таких задач много, например, в сборнике арифметических задач для педагогических училищ, встречаются они и в школьных задачниках по арифметике. Характерно, что при затруднении в решении такой задачи арифметическим способом ее начинают решать алгебраическим способом, а после такого решения начинают давать арифметическое решение или, если можно так выразиться, переводят решение на «арифметический» язык, переводят с трудом, точно с родного языка на иностранный.

Исходя из приведенных соображений, мы считаем, что арифметический способ решения сложных и типовых задач усваивается с трудом; при дальнейшем обучении математике, когда чаще прибегают к более общему и более мощному алгебраическому методу решения задач, постепенно забываются, утрачиваются арифметические приемы решения этих задач.

Сформулируем в заключение наши выводы и предложения об арифметическом способе решения задач в курсе школьной математики.

1. В настоящее время в школе на уроках арифметики уделяется много времени решению задач арифметическим способом и сравнительно редко прибегают на уроках арифметики к алгебраическому способу.

2. Значительное время на уроках арифметики уделяется сложным и так называемым типовым арифметическим задачам, которые целесообразно решать алгебраическим способом, так как он является более общим и более рациональным, чем арифметический способ.

3. Чтобы улучшить качество преподавания к школе математики и, в частности, поставить процесс обучения умению решать задачи на уроках арифметики в соответствие с общим и математическим развитием детей, необходимо пересмотреть задачный материал по арифметике, особенно для IV—VI классов школы, сделать его более доступным и посильным для учащихся.

4. При решении задач на уроках арифметики использовать не только арифметический метод решения, но и алгебраический, постепенно приучая детей к решению задач последним методом.

5. Часть типовых задач для III—VI классов школы перенести в более старшие классы на уроки алгебры, часть оставить в курсе арифметики IV—V классов, решая их главным образом при помощи алгебраического способа.

6. В задачниках по арифметике выделить для внеклассной работы некоторые более трудные задачи, решаемые арифметическим путем, для ознакомления учащихся с особыми приемами решения.

7. На усвоение решения типовых задач арифметическим способом в настоящее время тратится много времени, а потму при условии некоторой разгрузки задачного материала по арифметике и рационализации способов решения получится экономия во времени.

Вследствие этого будет создана возможность улучшить постановку преподавания геометрии путем введения подготовительного курса геометрии в I—V классы школы, имеющего своей целью развитие геометрических представлений.

О НЕКОТОРЫХ ПРИЛОЖЕНИЯХ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Д. М. МАЕРГОЙЗ (Киев)

Тождественные преобразования занимают довольно значительное место в школьном курсе алгебры.

Безусловно правильно замечание С. И. Новоселова, что «пренебрежительное отношение к тождественным преобразованиям, как к чему-то «безидейному», заслуживает решительного осуждения»*).

Но наряду с должным вниманием к самой технике тождественных преобразований необходимо систематически раскрывать перед учащимися и их многообразные приложения.

Лишь только при этом условии техника тождественных преобразований становится действенным орудием в руках учащихся и резко повышается их интерес к самим преобразованиям.

В данной статье мы хотим остановиться на применении тождественных преобразований для соответствующих упрощений арифметических вычислений, для обоснования некоторых приемов сокращенных приближенных вычислений, для более глубокого повторения некоторых вопросов из курса арифметики и для решения задач на «доказательство» в курсе алгебры.

Что касается применения тождественных преобразований к важному разделу школьного курса алгебры — уравнениям, то этот вопрос вполне удовлетворительно разрешен в сборнике задач по алгебре П. А. Ларичева.

Применение тождественных преобразований для упрощения вычислений

Этому вопросу уделяется некоторое внимание в школьной практике. Но подбор упражнений для этой цели не всегда достаточно эффективен и нередко носит случайный характер. Поэтому от учащихся часто ускользает важное значение тождественных преобразований для упрощения вычислений. Между тем еще задолго до непосредственного изучения тождественных преобразований есть возможность ярко подчеркнуть учащимся, что знание алгебры позволяет значительно упростить вычисления. Например, при выполнении упражнений на нахождение числовых значений алгебраических выражений целесообразно дать, скажем, такое задание: определить числовое значение выражения:

Учитель при проверке данного задания обращает внимание учащихся на то, что можно устно быстро вычислить найденный результат, так как для этого достаточно лишь сложить 6,1 и 1,4.

На учащихся обычно такое замечание производит очень сильное впечатление, так как для получения данного результата им пришлось выполнить девять действий и среди них довольно громоздкие, как возведение в куб, деление и умножение десятичных дробей и т. п.

Здесь и уместно подчеркнуть, что умение заменять данное алгебраическое выражение другим, тождественным ему, — дает возможность достаточно быстро находить числовые значения некоторых выражений. И в связи с этим ставится задача перед учащимися — приобрести прочные навыки по алгебре.

При прохождении формул сокращенного деления следует систематически подбирать такого рода эффективные упражнения. Например:

вычислить значение частного:

при

0 = 9,8 и с = 7,6.

Опыт показывает, что значительная часть учащихся обычно забывает или не догадывается применить предварительно соответствующую формулу сокращенного деления и тратит много времени и энергии на вычисления.

Нецелесообразно сначала давать учащимся указание «найти числовое значение следующего выражения, предварительно упростив его», как это, например, многократно делает П. А. Ларичев*) в его сборнике задач по алгебре.

Когда учащийся не сопоставил оба способа вычислений, то он не сможет должным образом оценить огромные преимущества второго способа и, следовательно, целесообразность сделанного указания. К выводу, сделанному в вышеприведенном указании, учащийся должен прийти после рассмотрения нескольких аналогичных упражнений.

Чтобы выработать у учащихся прочные навыки в предварительном применении тождественных преобразований для упрощения вычислений, следует, где только возможно, к каждому отдельному виду тождественных преобразований специально подбирать эффективные упражнения для этой цели. Например, после изучения формул сокращенного умножения полезно дать уча-

*) С. И. Новоселов, Специальный курс элементарной алгебры, 1951, стр. 4.

*) П. А. Ларичев, Сборник задач по алгебре, часть I, Учпедгиз, 1951, стр. 81.

щимся такое задание: найти числовое значение произведения:

(a2 + b2)(a+ö)(a —Ь) при а = 2 и 0 = 0,1. При наличии указанного навыка учащиеся вычислят результат в уме; так как для этого достаточно вычислить:

При прохождении раздела «Разложение на множители» следует также специально подбирать соответствующие упражнения для этой цели. Например, после изучения вынесения общего множителя за скобки обязательно следует давать на вычисление такого рода задание: вычислить:

Как правило, учащиеся сначала вычисляют каждое произведение в отдельности, а потом находят их сумму. Когда же учитель обращает внимание, что в данном случае можно результат быстро вычислить в уме, применив для этого только что изученный на этом уроке способ вынесения общего множителя за скобки, то на ряде лиц учащихся появляется изумление: «Как же так, ведь это не алгебраический пример, а арифметический; тут же никаких букв нет». Когда одна из учениц под руководством студента-практиканта вынесла 9,24 за скобки и в уме вычислила сумму 43 -|— 32 -|— 25 = 100, а затем произведение 9,24*100 = 924, то наступило большое оживление в классе. Все стали просить давать им аналогичные упражнения, и важность такого простого тождественного преобразования, как вынесение общего множителя за скобки, предстала в глазах учащихся совершенно в ином свете.

Применение тождественных преобразований для обоснования некоторых приемов сокращенных приближенных вычислений

Умение применять некоторые приемы приближенных вычислений имеет важное практическое значение. В VI классе есть возможность вооружить учащихся некоторыми соответствующими навыками. Например, после изучения умножения многочленов можно дать учащимся приближенную формулу:

где а и Ъ малы в сравнении с единицей. Необходимо при этом учащимся подчеркивать, что когда а и b малы, то их произведение ab — «совсем мало» и им обычно пренебрегают в практических вычислениях. Например: 1,002Х X 1,003 »1,005, где а = 0,002 и £ = 0,003 малы в сравнении с единицей. Погрешность ab = 0,000006 так мала, что ею практически пренебрегают. Когда расчет ведется на тысячные доли, то на миллионные доли не обращают внимания.

Учащимся следует указать, что можно с успехом пользоваться данной приближенной формулой и при отрицательных значениях а и Ь, лишь бы их абсолютные величины были малы в сравнении с единицей. Например, чтобы вычислить быстро приближенное произведение 0,999-0,998, представляем себе предварительно 0,999 в виде:

0,001) и 0,998 —в виде 1 + (— 0,002). В данном случае а = — 0,001, £= — 0,002, а их сумма — 0,003. Поэтому

0,999 - 0,998 ~ 1 -f (— 0,003) = 0,997.

Аналогично вычисляется быстро приближенное произведение:

1,003-0,998^1,001, где a -f b = (-f 0,003) -4 + (— 0,002) = 0,001.

Разумеется, что следует обращать внимание учащихся на те границы, в пределах которых допускается пользоваться данной приближенной формулой.

После изучения формул сокращенного умножения следует дать приближенные формулы:

при \а\ малом в сравнении с единицей. Например, 1,0033^ 1,006; здесь пренебрегаем членом а2 = 0,000009.

0,9982 « 1 + (— 0,004) = 0,996, где а = —0,002. Аналогично:

В VII классе заслуживают внимания приближенные формулы:

являющиеся следствием приближенного равенства:

при \а\ малом в сравнении с единицей. Например:

Действительно,

Усовершенствовать в дальнейшем данные навыки можно на специальных упражнениях, в которых вышеуказанные приближенные фор-

мулы применяются в различных комбинациях. Например, чтобы вычислить быстро приближенное частное

делаем так: прежде всего представляем себе частное как произведение:

Аналогично вычисляется частное так как

Разумеется, что промежуточные выкладки даются лишь на первом этапе; в дальнейшем следует добиваться от учащихся давать ответ сразу.

В VIII классе при приближенном извлечении квадратного корня из числа очень полезно познакомить учащихся с приближенной формулой:

при \а\ малом в сравнении с единицей. Например:

Заслуживают внимания некоторые более сложные упражнения, требующие комбинированного применения некоторых предыдущих приближенных формул.

Чтобы вычислить, к примеру, сокращенным способом

следует предварительно вычислить приближенное значение подкоренного выражения:

Затем

Результаты вычислений учащиеся могут проверить или непосредственно, или с помощью соответствующих таблиц.

Вышеуказанные упражнения весьма полезны для учащихся. Во-первых, им прививаются важные навыки в сокращенных приближенных вычислениях. Во-вторых, в этих упражнениях широко применяются различные тождественные преобразования, пользу которых учащиеся ярко ощущают. В-третьих, в таких упражнениях учащиеся приучаются учитывать специфику каждого отдельного случая. Они убеждаются наглядно в гибкости алгебраического аппарата и также в том, что при определенных условиях целесообразнее пользоваться не точными, а приближенными формулами.

Применение тождественных преобразований к решению задач на доказательство в курсе алгебры

Задачи на доказательство в курсе алгебры еще не внедрены в школьную практику. Объясняется это ненормальное явление рядом обстоятельств. В бывшем стабильном сборнике Шапошникова и Вальцова такие задачи совершенно отсутствовали. В сборнике Ларичева, введенном лишь с 1951/52 учебного года в школьную практику, мало задач на доказательство, особенно в первой части этого сборника. Удельный вес этих задач в первой части меньше 1%.

В известных алгебраических задачниках повышенной трудности, как, например, в сборниках В. А. Кречмара, Е. Пржевальского и др., имеются в достаточном количестве задачи на доказательство. Но по своему характеру эти задачи рассчитаны не на среднего учащегося массовой школы, а на участников математических олимпиад.

Из-за почти полного отсутствия в школьной практике задач на доказательство в курсе алгебры создается у многих учащихся неверное представление об алгебре как школьной математической дисциплине. Немало учащихся даже старших классов наивно полагает, что геометрия — это наука, в которой доказываются теоремы, а в алгебре нет теорем. В представлении этих учащихся алгебра — это наука, «в которой решаются примеры и задачи с помощью уравнений». Между тем есть полная возможность, начиная с VI класса, широко внедрять на уроках алгебры задачи на доказательство, вполне посильные для основной массы учащихся. Опыт применения задач на доказательство на уроках алгебры в шестых классах ряда школ г. Киева убедительно показал, что такие задачи не только посильны учащимся VI класса, но и вызывают у них огромный интерес. Как правило, все пробные уроки студентов, на которых давались задачи на доказательство, проходили с большим успехом.

*) Полагаем, что здесь было бы проще применить общую формулу:

где а и Ъ могут принимать положительные и отрицательные значения. В частности, при а = О получаем приведенные выше формулы для jqr^- — Ред.

Многое, конечно, зависит от первоначального подбора этих задач и от формы, в которой они преподносятся шестиклассникам. Практика показала, что на протяжении одного урока можно в VI классе решить с учащимися две-три задачи на доказательство при достаточно высокой активности класса. Например, на одном из пробных уроков студентов в VI классе решались такие задачи:

1. Доказать, что сумма любых трех последовательных целых чисел делится на 3.

2. Доказать, что если к произведению двух последовательных целых чисел прибавить большее из них, то получим квадрат большего числа.

Опишем кратко, как эти задачи решались на уроке.

Из предварительной беседы с учительницей выяснилось, что учащиеся данного класса не были знакомы с понятием «последовательные целые числа». Учитывая это обстоятельство, студент-практикант, после обычной проверки домашнего задания, сначала на конкретных числовых примерах разъяснил учащимся, что следует понимать под выражением «последовательные целые числа». На протяжении нескольких минут класс хорошо усвоил это понятие. После этого было предложено каждому из учащихся придумать какие-нибудь три последовательные целые числа, найти их сумму и убедиться, что она делится на 3 без остатка. Трудно передать, какое оживление наступило в классе. Тогда было обращено внимание класса, что утверждение, к которому пришли на основании рассмотрения ряда отдельных конкретных примеров, требует доказательства. Вызванная к доске ученица сама записала в общем виде сумму трех любых последовательных целых чисел так:

Было предложено классу доказать, что эта сумма при любом целом значении а всегда делится на 3. Многие учащиеся догадались раскрыть скобки и сделать приведение подобных членов.

На доске появилась запись:

С помощью самих учащихся было установлено, что первое слагаемое (стоящей справа суммы) 3 а делится на 3 при всяком целом а, а второе слагаемое 3 очевидно делится само на себя, и поэтому на основании признака делимости суммы выражение 3 а + 3 делится на 3 при любом целом а.

Здесь же было подчеркнуто, что знание алгебры помогает нам глубже понимать арифметику и устанавливать новые свойства чисел.

Решение второй задачи проходило в таком же плане, но уже в немного более быстром темпе. При решении второй задачи также сначала предлагалось каждому из учащихся придумать какие-нибудь два числа (последовательные и целые), найти их произведение и к нему прибавить большее из данных двух чисел. При этом обращалось внимание, что полученный результат обязательно является квадратом. На доске появились такие записи отдельных учащихся:

Лишь после этого один из учащихся довольно бегло окончательно оформил на доске доказательство в таком виде:

Домой было дано задание: 1) Доказать, что сумма любых пяти последовательных целых чисел делится на 5.

2) Доказать, что сумма любых двух последовательных целых чисел не делится на 2.

Некоторые из учащихся настолько заинтересовались этим заданием, что во время 20-минутного перерыва решили эти задачи и прибежали к студенту-практиканту показать ему свое решение.

В том классе, где учащиеся были до пробного урока студента знакомы с понятием «последовательные целые числа», удавалось решить на одном уроке еще и третью задачу.

Разумеется, что нет необходимости все задачи на доказательство решать на специальных уроках, отведенных для этой цели.

В каждом классе достаточно ограничиться двумя-тремя такими специальными уроками.

Основную массу задач на доказательство надо решать систематически на протяжении всего учебного года, вкрапливая их по одной в обычные уроки, посвященные тождественным преобразованиям.

Совершенно не разработан вопрос о подборе этих задач для каждого класса в определенной методической последовательности. Особенно важно решить этот вопрос для средних классов (VI и VII).

Нам кажется, что содержание задач на доказательство в средних классах, а особенно в VI, должно быть в основном ориентировано на более глубокое повторение некоторых вопросов из курса арифметики. Благодарной темой для этой цели является делимость чисел.

*) Этот урок был дан еще до изучения вынесения множителя за скобки, и поэтому оформление доказательства было дано в таком виде.

Известно, что учащиеся V класса довольно слабо воспринимают элементы теории в разделе «Делимость чисел». Это в особенности относится к обоснованию признака делимости на 9. В VI классе можно дать посильное для учащихся доказательство этого признака в общем виде. Для начала достаточно ограничиться доказательством этого признака для любого трехзначного числа. Покажем, как это сделать.

Предлагаем учащимся написать формулу любого трехзначного числа в виде:

100а+10*+-с.

Требуем от них словесной формулировки признака делимости на 9, а затем указать, что будет являться суммой цифр в числе, содержащем а сотен, b десятков и с единиц. Лишь после этого формулируем теорему о признаке делимости на 9 в таком виде:

Дано любое трехзначное число:

lOOa+lOfc + c.

Доказать, что это число разделится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр (т. е. а+Ь+с) разделится на 9.

Доказательство.

Ю0а+10£ + с = (99д + а) + (9£ + &) + с.

На основании переместительного и сочетательного законов сложения имеем:

100а+10£ + с = 99а + 9£ + (а + й+с).

Первые два слагаемых 99 а и 9Ь делятся на 9. Следовательно, делимость всей суммы на 9 зависит исключительно от третьего слагаемого (а+ b + с), представляющего собой сумму цифр данного числа. Поэтому, если третье слагаемое (я 4“ Ь + с), т. е. сумма цифр данного числа, делится на 9, то и вся сумма (т. е. данное число) разделится на 9. Если же сумма цифр (а+Ь+с) не делится на 9, то и данное число не разделится на 9.

В сильном классе можно задать на дом самим доказать этот признак делимости для любого четырехзначного числа, представив его в виде:

1 000 а + 100.-Ô +10 d.

Если это доказательство дается во втором полугодии в VI классе, когда учащиеся по курсу геометрии уже знакомы с понятиями: «прямая, обратная и противоположные им теоремы», то следует обратить внимание на то, что при доказательстве этого признака были доказаны две теоремы: прямая и противоположная ей. Вот почему в формулировке теоремы фигурировало выражение «тогда и только тогда». Здесь же довольно удобно обратить внимание на важное понятие «необходимо и достаточно», сопоставив признак делимости на 9 с признаком делимости суммы, являющимся только достаточным признаком, но не необходимым.

У учащихся VI класса вызывают большой интерес известные свойства двузначного числа при перестановке его цифр. Доказательство этих свойств с помощью алгебраического аппарата посильно даже для слабых учащихся. Например, предлагается каждому из учащихся придумать какое-нибудь двузначное число, переставить в нем цифры и найти разность данных двух чисел.

На доске выписываются полученные результаты: 41 — 14=27; 51—15 = 36; 83 — 38 = 45.

К изумлению учащихся, оказывается, что все они кратны 9. Вызванный к доске ученик легко оформляет доказательство в таком виде: данное число Ю а +Ь\ после перестановки в нем цифр оно равно \0b+a. Их разность:

(Юд + ô) — (Ю^ +а) = 9 а — 9Ь.

На основании признака делимости разности утверждаем, что эта разность всегда кратна 9. Если эта задача на доказательство дается после ознакомления учащихся с вынесением общего множителя за скобки, то следует подчеркнуть, что эта разность не только кратна 9, но всегда равна девятикратной разности цифр двузначного числа (конечно, при афЬ). Действительно:

(10а + £) — (10* + а) = 9(а — Ь).

На дом можно дать для самостоятельного доказательства задачу № 373 Из сборника Ларичева: Доказать, что сумма двузначного числа и числа написанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 11.

При изучении формул сокращенного умножения есть возможность составить довольно большое количество задач на доказательство, и притом разнообразного характера. Методика составления этих задач такова. Зная, например, что

а(а_|_б) + 9 = (а + 3)2

или

b(b— 10) + 25 = (é — 5)3 и т. п.,

можно составить задачи для шестикласснике и в увлекательной для них форме:

Задумайте любое число; у множьте его на число, большее задуманного на 6, и к полученному произведению прибавьте 9. Полученный результат является квадратом. Доказать это.

Учитывая психологию шестиклассников, не следует давать им эту задачу на доказательство в обычной форме:

Доказать, что выражение а (а+6)+9 является квадратом.

В такой обычной форме эта задача не вызывает у учащихся живого интереса, какой мы наблюдали у них, когда им предлагалась эта задача в предложенной нами выше форме. В обычной форме учащиеся оперируют сразу буквами (символами), что заслоняет от них конкретное числовое содержание данной задачи. Иное дело, когда учащиеся начинают сначала оперировать конкретными числами и действиями над ними. Например:

2-8 + 9 = 25 = 52; 4-10 + 9 = 49 = 73 и т. п.

Потребность в доказательстве ощущается остро в таких случаях, и значение алгебраического аппарата сильно вырастает в глазах учащихся.

Однако, ограничиваться в VI классе только такого рода задачами не следует. Пользуясь только формулами квадрата суммы или разности двух чисел, можно решать с учащимися VI класса задачи на доказательство разного характера.

Например, безусловно посильны для шестиклассников и интересны для них такие задачи: Доказать, что если целое число не делится на 3, то разность между квадратом этого числа и единицей делится на 3.

Учащимся VI класса следует сначала дать доказательство в таком развернутом виде:

Если число не кратно трем, то при делении на 3 оно может иметь в остатке 1 или 2. В первом случае число имеет вид Зя+1; квадрат его, уменьшенный на единицу, равен

Верность утверждения очевидна (каждое слагаемое делится на 3). Во втором случае число имеет вид Зл + 2:

В этом случае верность утверждения также очевидна. Потом можно учащимся указать, что формулу Зл + 2 можно заменить на Зп— 1, так как если при делении на 3 число имеет в остатке 2, то это значит, что нехватает единицы, чтобы данное число делилось на 3. Таким образом, общий вид числа, не делящегося на 3, такой: Зя±1:

На дом можно дать такую задачу: Доказать, что если число при делении на 5 дает в остатке 1 или 4, то квадрат его, уменьшенный на единицу, разделится на 5 без остатка.

Задач, подобных этим, можно составить в любом количестве. Например:

Доказать, что если число при делении на 5 дает в остатке 2 или 3, то квадрат этого числа, увеличенный на единицу, разделится на 5.

Вполне аналогична такая задача:

Доказать, что если квадрат числа, имеющего при делении на 7 остаток 5, увеличить на 3, то полученная сумма разделится на 7.

Еще интереснее для учащихся такая задача:

Доказать, что квадрат натурального числа, увеличенный на 3, никогда не разделится на 5.

Обычно учащиеся ее решают так: Если данное число кратно 5, то оно имеет вид 5 п; квадрат его, увеличенный на 3, равен 25я2 + 3. В этом случае верность утверждения очевидна (одно слагаемое делится на 5, а другое нет). Если же данное число не кратно 5, то оно при делении на 5 может иметь четыре разных остатка: 1; 2; 3; 4.

В этом случае числа имеют такой вид:

В данном случае имеем:

или

Верность утверждения очевидна и в этих случаях (первое и второе слагаемое делятся на 5, а третье нет).

Разумеется, что можно решить эту задачу, не прибегая к алгебраическому аппарату, пользуясь такими соображениями: для того чтобы число делилось на 5, оно должно оканчиваться нулем или цифрой 5. Следовательно, квадрат искомого числа должен оканчиваться цифрой 7 или цифрой 2. Но нет таких целых чисел, квадрат которых оканчивался бы цифрой 7 или 2. Отсюда и вытекает верность утверждения. Для учащихся второй вариант решения значительно труднее по двум причинам:

1) в скрытом виде применяется доказательство от противного;

2) многим учащимся не известен факт, что квадрат целого числа не может оканчиваться цифрой 7 или 2; они на эту деталь не обращают внимания.

Большой интерес вызывает у учащихся способ быстрого вычисления квадрата натурального числа, если известен квадрат предыдущего числа. Например, чтобы вычислить 162, зная, что 153 — 225, поступаем так:

Этот прием значительно упрощает составление таблицы квадратов целых чисел. Обоснование

этого приема вполне доступно учащимся VI класса. Действительно:

Еще больший интерес вызывает у учащихся один частный прием умножения двузначных чисел. Например, чтобы быстро перемножить, скажем, 88 на 94, поступаем так:

1) Вычисляем дополнения этих чисел до ста; в данном случае это будут 12 и 6.

2) Вычитаем от одного из данных двух чисел дополнение другого числа. В данном случае: 88 — 6 = 82 или 94— 12 = 82.

Полученная разность равна числу сотен искомого произведения.

3) Произведение дополнений дает количество десятков и единиц искомого произведения: 12-6 = 72.

Кратко это записывается так:

Искомое произведение равно 8272.

Этот прием довольно эффективен в том случае, когда произведение дополнений меньше ста. Например:

Обоснование этого приема также посильно учащимся. Его можно дать в такой форме:

Обозначим дополнение первого числа до ста через a, a второго — через Ь.

Первое число равно ( 100 — а), второе ( 100 — Ь). Их произведение

Отсюда и видно, что количество сотен равно [(100 — а) — Ь\, т. е. разности первого числа и дополнения второго, или [(Ю0 — Ь) — а], т. е. разности второго числа и дополнения первого.

Обоснование этого приема требует уже знания вынесения общего множителя за скобки; поэтому ознакомление с этим приемом быстрого умножения возможно лишь при прохождении разложения на множители.

Использование аппарата разложения на множители дает возможность составлять задачи на доказательство в достаточном количестве.

Покажем, как это можно сделать. Предварительно обращается внимание учащихся, что из двух последовательных целых чисел — одно непременно четное; поэтому произведение таких чисел является четным числом. После этого дается целая серия задач, в которых используется данное свойство.

Задача. Доказать, что если к целому числу прибавить его квадрат, то полученная сумма будет всегда четной.

Доказательство: п+п* = п(п+\). Данная сумма является произведением двух последовательных чисел, и поэтому она является четным числом*).

На дом для закрепления дается задача № 685 (из сборника Ларичева, часть I): «Доказать, что если а — целое число, то а2 — а делится на 2 без остатка».

Для непосредственного использования вышеуказанного свойства можно составить довольно разнообразные задачи и в любом количестве. Например, зная, что а? —а четно при целом значении а, можно составить большое количество задач, используя этот факт. Учитывая, что от прибавления к четному числу любого нечетного числа полученная сумма будет нечетной, можно составить такие задачи:

Доказать, что следующие выражения:

не делятся на 2 при любом целом а.

Принимая во внимание, что четность не нарушится, если к четному числу прибавить любое четное число, можно составить другую серию аналогичных задач. Например:

Доказать, что выражения:

четные при целом а.

Можно дать такое указание: представить, например, выражение a? -j-9 а в виде суммы (а3 + а) + 8 а или а2 — 7 а в виде (а2 — а) — 6 а.

Для непосредственного использования свойства произведения двух последовательных целых чисел можно составить такие задачи:

Доказать, что выражения:

являются четными при целых значениях букв, содержащихся в них.

Значительно больший интерес вызывает у учащихся такая задача:

Разность между квадратом любого нечетного числа и единицей всегда делится на 8. Доказать это.

*) Полезно обратить внимание учащихся, что эту задачу и следующую за ней можно решить и без аппарата разложения на множители, используя свойства четных и нечетных чисел.

Как правило, учащиеся предварительно убеждаются в верности этого утверждения на конкретных примерах:

Неожиданность результата вызывает обостренный интерес к доказательству этого утверждения, допускающему два варианта:

(1)

Данная разность представляет собой произведение 4 на четное число и поэтому кратна 8.

(2)

Данная разность представляет собой произведение двух последовательных четных чисел. Следовательно, одно из них непременно кратно 4, а их произведение кратно 8.

На дом можно задать решить задачу № 74б2 из сборника Ларичева: Доказать, что разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8.

Следует указать учащимся на то, что разность квадратов любых двух нечетных чисел (не только последовательных) делится на 8, но доказательство этого утверждения целесообразно перенести на занятия математического кружка, либо в VII класс. Чтобы учащиеся легко восприняли доказательство последнего утверждения, целесообразно предварительно предложить им доказать следующее: из двух выражений (n+k) и (/x —j— ^ —I— 1 ) — одно непременно четное, а другое нечетное при целых значениях пик. Выяснить условия, при которых четно первое выражение и при которых четным является второе выражение.

Используя данный результат, учащиеся легко смогут доказать, что если разность двух нечетных чисел не делится на 4, то сумма этих же чисел кратна 4 или наоборот.

Использование свойства произведения трех последовательных целых чисел дает возможность составить большую серию задач на доказательство. Например:

Доказать, что разность между целым числом и его кубом кратна 6.

Доказательство.

Эта разность представлена в виде произведения трех последовательных целых чисел и поэтому она делится на б без остатка.

Чтобы использовать данную задачу как отправную для целой серии последующих задач, достаточно к выражению л3 — п прибавить любое выражение, кратное 6.

Например, доказать, что выражения:

делятся на 6 при целых значениях букв х, у, z.

Слабым учащимся следует дать указание: предварительно представить, скажем, выражение х'6 + 5 X в виде (л:3 — х)+6х.

Что касается задач на доказательство для VII класса, то в первую очередь следует решать там более сложные задачи по курсу VI класса, но с обязательным соблюдением преемственности. Благодаря преемственности в подобранных задачах прочно закрепляются в памяти учащихся исходные факты. Например, при углубленном повторении разложения на множители полезны и такие задачи.

Доказать, что Jt3 + 3 х* + 2 х кратно 6 при целом X или кратно 24 при четном х.

Не вызовет затруднений у учащихся доказательство такого утверждения: Если к произведению трех последовательных целых чисел прибавить среднее из них, то получим куб этого среднего числа. Например:

/Действительно:

Значительно сложнее для учащихся такая задача:

Доказать, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с единицей дает полный квадрат.

Доказательство.

Из решения видно, что здесь уже требуется более высокая техника разложения на множители. Если учащиеся VII класса не решали такого типа упражнений, то эту задачу следует перенести на занятия математического кружка.

В VII классе следует решать и такие задачи, которые хотя и не требуют высокой техники тождественных преобразований, зато предъявляют более повышенные требования к математическому мышлению. К задачам такого типа относятся, например, такие:

Доказать, что разность между нечетным числом и его кубом делится на 24.

Доказательство.

где п — нечетное число. Что это произведение делится на 3, известно из предыдущего*). Остается доказать, что оно делится также на 8. По условию, п — нечетное число, поэтому (п — 1) и (л —|— 1) являются двумя последовательными четными числами. Следовательно, одно из них кратно 4 и их произведение кратно 8. Из делимости числа на 3 и на 8 вытекает делимость его на 24.

Пожалуй, более простой является следующая задача:

Доказать, что если каждое из двух чисел не делится на 3, то разность их квадратов делится на 3.

Доказательство.

a* — b' = (a — b) (a + b).

По условию а и b являются числами вида (3/z-J-1) или (3/z-J-2). Если эти числа имеют одинаковые остатки при делении на 3, тогда их разность делится на 3. Если же они имеют разные остатки, тогда их сумма делится на 3. Отсюда и вытекает верность утверждения.

При прохождении алгебраических дробей следует давать некоторые задачи на доказательство, углубляющие курс арифметических дробей. Например:

Доказать, что от прибавления к членам правильной дроби одного и того же положительного числа дробь увеличивается.

Доказательство этого утверждения можно дать учащимся VII класса в такой форме.

Дана правильная дробь

Доказать, что

где а, Ь, с — положительные числа.

Доказательство. Рассмотрим разность

она равна дроби

Знаменатель полученной дроби положителен, так как сумма и произведение положительных чисел всегда положительны. Числитель данной дроби представляет собой произведение положительного числа с на разность (Ь — а). Так как по условию первоначальная дробь правильная, то by>a, или b — а>0. Отсюда следует, что полученная разность положительна, т. е.

На дом следует задать аналогичное доказательство для случая неправильной дроби.

Полезно рассмотреть в VII классе и такой вопрос, кажущийся учащимся немного парадоксальным. Например: Доказать, что от прибавления к числителю числа большего, чем к знаменателю, дробь при некоторых условиях уменьшается. Выяснить эти условия.

Доказательство. Пусть первоначальная дробь —, а измененная у~-^, где с > d и все числа а, Ь, с, d — положительные. Рассмотрим разность:

Она положительна при ad> be, или когда

Полученный результат свидетельствует о том, что измененная дробь будет меньше первоначальной при условии, что отношение чисел, прибавляемых соответственно к числителю и знаменателю, меньше первоначальной дроби.

Так как отношение прибавляемых чисел по условию больше единицы (с> d), т. е. -j- > 1, то и первоначальная дробь ~ и подавно больше единицы.

Учащимся часто кажется, что если сначала от знаменателя дроби вычесть положительное число, а потом к знаменателю первоначальной дроби прибавить то же самое число, то изменения дроби в обоих случаях по абсолютной величине одинаковы.

Чтобы разрушить это распространенное ошибочное представление, можно доказать учащимся, что увеличение дроби во втором случае всегда больше уменьшения дроби в первом случае.

Доказательство. Первоначальная дробь уменьшенная в первом случае

увеличенная во втором случае

где а, Ь, с — числа арифметические*). Рассмотрим уменьшение дроби в первом случае; оно равно:

Увеличение дроби во втором случае равно:

Сравнение обоих уклонений от первоначальной дроби показывает, что они неодинаковы по абсо-

*) Из трех последовательных целых чисел одно непременно делится на 3.

*) Кроме того, с < Ь.

лютной величине. Причем изменение величины дроби во втором случае больше [так как числители одинаковы, а знаменатель b (b — с) меньше знаменателя b (b -j- с)].

Этот факт полезно использовать для разъяснения решения одной простой задачи, поражающей учащихся неожиданностью результата.

Скорость лодки в стоячей воде 6 км/час, скорость течения 2 км/час, а расстояние, пройденное лодкой в один конец, равно 24 км. Определить проигрыш и выигрыш во времени от влияния течения.

Верный ответ при решении этой элементарной задачи обычно вызывает немалое смущение у учащихся. Почему, спрашивают они, когда течение нам помогает, мы выигрываем во времени 1 час:

а когда это же течение нам мешает, то уже проигрываем 2 часа?

Как же это так, спрашивают учащиеся, ведь скорость течения одна и та же в обоих случаях, почему же выигрыш и проигрыш во времени неодинаковы.

Для разъяснения кажущегося парадокса следует рассмотреть с учащимися три дроби:

где 5 — расстояние, v — скорость в стоячей воде, ас — скорость течения.

Из предыдущего уже известно, что уклонение дроби - _ - от дроби — больше уклонения дроби —j— от —. Этим свойством дроби, доказанным раньше, и объясняется, почему проигрыш во времени всегда превышает выигрыш.

Задачи на доказательство для старших классов имеются в достаточном количестве во второй части сборника Ларичева.

Вопрос об их расположении в определенной методической последовательности и здесь также еще требует своего разрешения. Однако острота этого вопроса здесь значительно меньше.

Нам хотелось бы специально отметить группу задач, связанных с выделением полного квадрата*), почти совершенно отсутствующую в сборнике Ларичева (II часть). Например:

Доказать, что если утроенная сумма квадратов трех действительных чисел равна квадрату суммы этих же чисел, то эти числа равны между собой.

Учащимся можно предложить доказать аналогичное свойство для случая четырех чисел, а затем дать обобщение для случая любого количества чисел. После этой задачи удобно перейти к такой:

Доказать, что

при любых действительных значениях а, Ь, с.

Еще более высокая техника выделения полного квадрата требуется в следующей задаче:

Если сумма четвертых степеней четырех положительных чисел равна их учетверенному произведению, то эти числа равны между собой. Доказать это.

Сочетание хороших навыков в группировке сомножителей с выделением полного квадрата требуется и в такого рода задачах:

Доказать, что выражение

положительно при любом действительном значении х.

В заключение отметим, что систематическое решение задач на доказательство в курсе алгебры не только повышает интерес к тождественным преобразованиям, значительно стимулируя усовершенствование их техники, но и оказывает огромное благотворное влияние на развитие математического мышления учащихся. Благодаря систематическим упражнениям в доказательстве утверждений в курсе алгебры достигается «единый фронт» в геометрии и алгебре. Одновременно при соответствующем подборе упражнений достигается и углубленное повторение теоретических сведений по арифметике.

*) Большая важность этого навыка освещена нами в специальной статье. См. статью в журнале «Математика в школе», № 3, 1948, Д. М. Маергойз, Об одном важном алгебраическом навыке.

ИЗ ОПЫТА

С. В. КОВАЛЕВСКАЯ — ВЫДАЮЩИЙСЯ РУССКИЙ МАТЕМАТИК*)

А. А. ГОЛДУН (Луцк)

Девятнадцатый век выдвинул на арену науки замечательных людей: Сеченова, Менделеева, Мечникова, Попова, Лобачевского, Чебышева и многих других. Среди этих имен гордо звучит имя первой русской женщины-математика Софьи Васильевны Ковалевской.

Судьба Софьи Васильевны была связана с жизнью ряда выдающихся русских ученых, писателей, общественных деятелей. В научных, литературных и деловых отношениях С. В. Ковалевская вместе со своим мужем В. О. Ковалевским и его братом А. О. Ковалевским была связана с гениальными русскими людьми: Мечниковым, Тимирязевым, Жуковским, Менделеевым, Герценом, Чебышевым и другими.

Студенческие годы Ковалевской протекали в отечественной высшей школе и в некоторых зарубежных университетах в условиях непрерывной общественно-политической борьбы и столкновений, в известной степени вызванных тем или иным отношением различных групп ученых к прогрессивным идеям.

С. В. Ковалевская родилась 15 января 1850 года в семье генерал-лейтенанта артиллерии Василия Васильевича Корвин-Круковского и воспитывалась в имении родителей в с. Палибино, Витебской губернии. Отец ее был строгий, придерживался старых взглядов, выступал против образования женщин и очень боялся, чтобы его дочери не вышли из-под его влияния до замужества. Но С. В. Ковалевская сумела и при таких условиях добиться поставленной цели. Жизнь ее была сложной и противоречивой, но глубокая любовь к науке, упорное стремление доказать, что женщина может заниматься любой профессией и служить человечеству на научном поприще, помогли ей преодолеть все препятствия. Напряженным и целеустремленным трудом она добилась признания в научной среде и стала первой в мире женщиной-профессором мужской высшей школы в Стокгольме. Много раз она пыталась передать свои знания русской молодежи, но правящие круги царской России были непоколебимы в своем отрицании прав женщины на самостоятельность.

Успехи научной и профессорской деятельности окрылили С. В. Ковалевскую, она проявила литературное дарование, написала несколько повестей, роман из жизни русской революционной молодежи, драму и замечательные «Воспоминания детства» — яркий документ, характеризующий эпоху перехода России от феодально-крепостнического к буржуазно-капиталистическому строю.

Интерес к математическим наукам С. В. Ковалевская проявила еще в детстве.

Начиная свое образование, «Воробышек», как называли С. В. Ковалевскую домашние, сначала была равнодушна к математике, но она скоро полюбила ее и великолепно справлялась с самыми трудными задачами. Ее учитель Малевич, видя необыкновенные способности своей ученицы, окончив курс арифметики, начал преподавать ей алгебру и геометрию. С. В. своими математическими способностями приводила его в восторг, и он старался развивать ее склонность к логическому мышлению, а она с радостью входила в новый мир, открытый ей любимым учителем. Вызвал интерес к математике у С. В. Ковалевской еще один случай. Для оклейки стен в доме ее родителей нехватило обоев, и решили детскую комнату оклеить записками лекций по дифференциальному и интегральному исчислениям, которые сохранились у отца С. В. еще с тех пор, когда он учился у знаменитого математика профессора М. В. Ост-

*) От редакции. Настоящая статья является лекцией, которая была прочитана преподавателем математики педучилища Волынской области УССР действительным членом Общества по распространению политических и научных знаний А. А. Голдун.

Этот доклад содержит материал, который может быть сообщен учащимся в плане изучения жизни и деятельности великих русских ученых.

роградского. От этих формул, украшавших стены детской, отвернулся бы любой ребенок, но С В. подолгу простаивала перед сложными чертежами, стараясь постичь их смысл.

Часы, проведенные за рассматриванием фигур и чертежей в записках лекций, впоследствии дали свои результаты. Отца радовали успехи дочери, и он разрешил ей после 15-летнего возраста заниматься основами математического анализа под руководством известного петербургского преподавателя А. Н. Страннолюбского. Эти занятия продолжались со значительным успехом более двух лет, но попытки С. В. получить образование в университете окончились неудачей, так как в то время путь ей туда, как женщине, был закрыт, и для получения образования она вынуждена была выехать за границу. Но отец, от которого она зависела и юридически, и материально, никогда бы не дал на это согласия. С. В. нашла выход из этого положения в том, что вышла фиктивно замуж за В. О. Ковалевского, и это освобождало ее от опеки родителей. Весной 1869 года она выехала за границу. В то время ей было только 18 лет, но это был человек с своеобразным, твердым характером, упорный в желаниях, умеющий серьезно требовать и отстаивать свою внутреннюю свободу. Уезжая, С. В. говорила: «Мы уезжаем. Мы бросим вызов этой устаревшей морали. Я постараюсь на практике, а не в теории доказать всем, что женщина может стать ученым и что ученые женщины не должны оставаться собственницами в браке». Прощаясь с Чебышевым, она сказала: «Я хочу иметь диплом, Пафнутий Львович. Математика для меня не увлечение, а жизненное призвание».

Сначала С. В. слушала в Гейдельберге лекции по математике и физике. В 1870 году она поехала в Берлин с целью слушать лекции Вейерштрасса. Но в Берлинском университете женщинам был закрыт доступ на лекции, и она попросила Вейерштрасса давать ей индивидуальные уроки. Вейерштрасс принял ее недружелюбно и, чтобы не заниматься с ней, задал ей 5—6 математических вопросов и предложил несколько задач для решения на дому, надеясь, что она не справится с заданием. «Если задачи не затруднят Вас, можете принести решение в ближайшую субботу в одиннадцать часов утра». Каково было удивление профессора, когда точно в назначенный час С. В. пришла к нему с блестяще решенными задачами. Он охотно стал с ней заниматься. Учение в Берлине продолжалось четыре года и окончилось тремя самостоятельными работами: «К теории дифференциальных уравнений в частных производных», «О приведении некоторого класса абелевых интегралов к эллиптическим интегралам» и «О форме кольца Сатурна». Геттингенский университет присудил Ковалевской степень доктора философии по математике «с наивысшей похвалой». Ее математические работы получили признание со стороны самых авторитетных отечественных и зарубежных специалистов. Сам Вейерштрасс отметил, что работой «О приведении абелевых интегралов к эллиптическим интегралам» он вполне доволен.

Будучи глубоким знатоком чистой математики, С. В. Ковалевская в то же время направляла свои взоры в область прикладной математики. Ее работа «К теории дифференциальных уравнений в частных производных» играет существенную роль в прикладных математических науках—механике, физике и астрономии.

Высокая оценка труда С В. Ковалевской о дифференциальных уравнениях нарастает с течением времени. Этот труд получил ноЕое высокое признание в обзорах по истории математики, сделанных в связи с юбилеем Академии наук СССР в 1945 году. В одном из них говорилось: «Имя величайшей женщины-математика XIX века Ковалевской связано с классической «теоремой существования», которую она доказала в самом общем виде и которая является в настоящее время необходимой составной частью всякого курса анализа».

Исследование Ковалевской вошло во все современные учебники дифференциальных уравнений в частных производных в виде одной из важнейших глав под названием «системы Ковалевской». Высокая оценка дана труду С. В. Ковалевской «О форме кольца Сатурна». Первая попытка в разрешении этого вопроса принадлежит Лапласу. Лаплас решил эту задачу приблизительно, пользуясь несколькими упрощающими предположениями. Он допускал, что кольца Сатурна состоят из жидкой однородной массы. Он предполагал, что поперечное сечение кольца есть эллипс, а полуоси его малы по сравнению с расстоянием от центра эллипса до оси вращения кольца, которая проходила через центр инерции Сатурна. С. В. Ковалевская оставила без изменений гипотезу о физическом строении кольца и сконцентрировала свое внимание на геометрических предположениях Лапласа.

Современные спектроскопические наблюдения приводят к выводу, что кольца Сатурна образованы системой частиц. Кольцо, построенное согласно предположениям Лапласа, является механически нестойким и должно распадаться на отдельные частицы. Исследование С. В. Ковалевской сохраняет и сейчас принципиальный интерес для гидродинамики и небесной механики.

Эта работа, доставившая С. В. Ковалевской ученую степень, относится к астрономии. Высокую оценку этого труда дал знаменитый русский математик, «отец русской авиации» Н. Е. Жуковский. Он говорил, что «Ковалевская прешла школу высокого математического анализа, но

самостоятельные ее работы относятся не к одной чистой математике, а равным образом и к прикладным наукам. Анализ Лапласа очень прост и изящен, но он представляет только первое приближение к решению задачи. Ковалевская расширила и решила эту задачу».

Ко времени своего возвращения на родину, в конце 1874 года, С. В. была ученым, овладевшим самыми сложными и актуальными разделами математики того времени, ученым, давшим самостоятельные исследования, обеспечившие ей великую научную репутацию. Чтобы достичь этого в 24 года, нужен был не только выдающийся талант, но и большая сила воли, самоотверженная работа. На это она решилась не только ради любви к науке, но и ради борьбы с несправедливостью тогдашнего социального строя, ради борьбы за равноправие женщин.

Она говорила сама о себе: «Чувствую, что я призвана служить истине — науке и прокладывать новый путь женщинам, потому что это значит служить справедливости». Она говорила: «Я хочу иметь деньги не для себя, нет, а чтобы открыть высшие женские курсы, помогать женщинам учиться». Выступая перед студентами в Петербурге, она заявила: «Друзья мои, мои милые друзья! В особенности Вы, мои добрые подруги. Несколько лет назад нас, женщин, стремившихся к знанию, было мало — единицы. Теперь вас сотни. Нам было трудно тогда. Нам пришлось вырываться из родительского дома, уезжать учиться за границу, пользоваться даже обманом. Ваш путь будет легче. Правительство колеблется в женском вопросе. Но, благодаря таким людям, как Сеченов, как профессор Бородин, женщина получит доступ в университет. Перед вами откроется свободная дорога. Боритесь же за счастье быть самостоятельными, за право жить, работать и творить ради высшего идеала».

А. О. Ковалевский, вспоминая о С. В., говорил: «Она всегда считала себя в принципе социалисткой. За границей встречалась с эмигрантами и к общественным вопросам проявляла большой интерес. Революционной молодежи помогала, как могла. По ее мнению, для честного и мыслящего человека — буржуазное спокойное существование возможно только в таком случае, если он на все закроет глаза, перестанет общаться с людьми и будет жить только личными интересами. Но тогда следует самым тщательным образом избегать всякого соприкосновения с действительной жизнью. Иначе возмущение несправедливостью, которую видишь вокруг себя, станет так велико, что все интересы побледнеют перед интересами великой социальной борьбы, развертывающейся перед нашими глазами, а искушение самому вступить в ряды борцов станет слишком велико». М. Ковалевский говорил, что, не состоя в рядах какой-либо политической партии, С. В. тем не менее не относилась безучастно к самоотверженному служению обществу. Возможно, если бы не ранняя смерть, С. В. приняла бы более деятельное участие в революционной борьбе.

Возвратясь в Россию, С. В. посетила сначала Петербург, а затем и Москву, но в обеих столицах она не смогла найти применение своим знаниям. Пытаясь сдать магистерский экзамен, С. В. получила ответ, который был для нее тяжелым ударом. Министр Сабуров, несмотря на просьбы видных людей того времени, бессердечно ответил: «Ковалевская и ее маленькая дочь успеют состариться прежде, чем женщины будут допущены в университет». Этот удар был настолько велик, что С. В. Ковалевская временно даже отошла от научной деятельности.

В 1879 году по предложению Чебышева С. В. выступила с докладом о теории абелевых функций на VI съезде естествоиспытателей и врачей. Доклад получил высокую оценку Чебышева, Жуковского, Тимирязева и других. Этот успех вдохновил С. В. Ковалевскую на дальнейшую работу. Она снова вернулась к научной работе и занялась исследованием вопроса о преломлении света в кристаллической среде. Об этой своей работе С. В. говорила: «Наши математики прекурьезный народ. Они все так помешаны на точности, что печатают лишь то, что приведено ими в совершенное состояние. Самые же свои плодотворные и смелые идеи, которые именно могут служить стимулом для дальнейших работ, они дер кат для самих себя и для своих знакомых и слушателей. Что касается моей работы о преломлении света в кристаллической среде, то успех ее обеспечен».

Потеряв надежду получить кафедру на родине, она приняла предложение занять кафедру математики в Стокгольмском университете. И хотя С. В. чувствовала большое одиночество, но уже первые ее лекции имели небывалый успех. В Стокгольмском университете она работала восемь лет и прочитала двадцать курсов различных вопросов анализа. В этот период она представила работу «О движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки», которая создала ей мировую славу и за которую на международном конкурсе она получила премию.

Над этой темой в свое время работали знаменитые математики Эйлер, Лагранж и Пуансо, давшие несколько частных решений. Вопрос имел важное практическое значение, так как включал в себя теорию маятника. По этому вопросу было объявлено Французской Академией наук два конкурса, но оба они не дали ожидаемых результатов. На третий конкурс было представлено

15 работ. Комиссия признала, что сочинение под девизом: «Говори, что знаешь, делай, что обязан, будь, чему быть» является самым замечательным, и комиссия решила автору выдать увеличенную премию: вместо трех — пять тысяч франков. При вручении С. В. премии Дюбуа-Реймон заявил: «С. В. Ковалевская не только превзошла своих немногих предшественниц в математическом образовании, но заняла между современными математиками одно из самых видных мест. Она получила премию за решение вопроса о вращении твердого тела под влиянием действующих на него сил. Из представленных задач две были решены Лагранжем. Решение третьей задачи, самой сложной, принадлежит Ковалевской. Ее решением исчерпываются средства современного анализа». Через год она представила Парижской Академии наук две работы на тему «О движении твердого тела» и получила вторично премию в 1500 крон. Исследованиям Ковалевской о движении твердого тела вокруг неподвижной точки посвящено много работ крупнейших математиков последней четверти XIX века и начала первой половины XX века—вплоть до наших дней.

Известно свыше шестидесяти работ, в которых или специально разбирается, разъясняется труд Ковалевской, или самостоятельно исследуется этот вопрос, но всегда с упоминанием сочинений С. В. Ковалевской. Русские математики в это время под руководством Чебышева сделали еще раз попытку привлечь Ковалевскую к научной работе в России, но очень сильны были в то время реакционные круги, и их попытки снова не увенчались успехом. Но русским математикам все же удалось добиться того, что С. В. 7 ноября 1887 года была избрана членом-корреспондентом Академии наук. Чебышев послал С. В. телеграмму следующего содержания: «Наша Академия наук только что избрала Вас членом-корреспондентом, допустив этим нововведение, которому не было до сих пор прецедента. Я очень счастлив видеть исполненным одно из моих самых пламенных и справедливых желаний».

С волнением С. В. прижалась губами к телеграмме и произнесла: «Наконец, я удостоена чести от дорогого мне отечества! Наконец, русская женщина вошла в Академию наук!»

Были попытки показать С. В. как западноевропейского, а не русского ученого; внешней причиной к этому было то, что ее научная деятельность протекала главным образом за границей. Однако легко видеть необоснованность этой точки зрения. Она работала за границей не по собственному желанию, а в силу тех условий, в которых жили женщины царской России. Живя вдали от родины, она держала тесную связь с русскими учеными, она работала над вопросами, интересовавшими русских ученых.

Основной чертой работ русской математической школы XIX века была постановка и разрешение конкретных, но глубоких задач естествознания, которые требовали средств математического анализа, и безусловно С. В. принадлежит к русской математической школе. М. Ковалевский, вспоминая свои встречи с С. В. в Стокгольме, говорит: «Достаточно было нескольких встреч, чтобы убедиться, как одиноко чувствовала себя эта женщина на чужбине, как все русское было близко ее сердцу и как она чувствовала себя отрезанной, если не от всего мира, то по крайней мере от России своим только наполовину добровольным приездом в Стокгольм».

Работая в области математики, С. В. увлекалась и литературой. Кроме математических работ, которые навсегда вошли в историю науки, Ковалевская оставила ряд литературных произведений. Роман «Нигилистка», драма «Борьба за счастье», «Воспоминания детства». В драме «Борьба за счастье» главная героиня Алиса, напоминающая чертами характера С. В., высказывает ее чувства и переживания. В речи Алисы к рабочим о справедливости отражены социально-политические идеалы С. В. Рецензенты писали, что в пьесе Ковалевской отразилась душа одной из замечательных русских женщин. В пьесе, кроме глубоких философских предпосылок о лучшем укладе социальных отношений, есть богатый чисто драматический материал.

«Сила не в одиночестве, — в единении»,— такой последний торжественный аккорд пьесы «Борьба за счастье». Большое распространение получил роман «Нигилистка». В основу его сюжета положены события из жизни племянницы жены Пушкина — В. С. Гончаровой, которой С. В. помогала материально в то время, как она осталась одна с маленьким ребенком на руках, когда муж ее Павловский был в ссылке. Историю отношений Гончаровой и Павловского С. В. изобразила в романе на фоне революционного движения 70-х годов. Роман издавался за границей. В России он был запрещен вплоть до 1917 года. Исключение было сделано в 1908 году для чешского перевода и то лишь потому, что цензор в своем рапорте писал: «В повести действительно не мало мест, где рисуется тяжкая участь политических преступников в России, но мне кажется, что намерением автора было не столько изобразить политическое движение или преследование их правительством, сколько нарисовать тип русской женщины, готовой положить душу свою за идею, не считаясь совсем с последствиями».

В 1906 году одна студенческая организация,

воспользовавшись кратковременной свободой печати, выпустила роман «Нигилистка» на русском языке. На обложке было указано: «Литературные гонорар пожертвован наследницей автора в пользу амнистированных заключенных».

В советскую эпоху роман был издан с предисловием, в котором на ряду с художественными достоинствами было отмечено также его историческое значение.

Большой интерес романа заключается в изображении революционных стремлений молодежи начала 70-х годов. Движение этого периода не получило в романе С. В. достаточного объяснения, но многое в психологии молодых народников писательница поняла верно и изобразила хорошо.

Живой интерес С. В. к революционному движению никогда не затухал. Вернувшись к науке и проживая в начале 70-х годов в Париже, С. В. встречалась со многими деятелями международного революционного движения, она сблизилась с русскими и польскими революционерами. В переписке с ними она с волнением спрашивала о судьбе революционеров, попавших в плен к царским жандармам или бежавших из тюрем и с каторги. Судьбы русского освободительного движения были близки сердцу С. В. и тогда, когда она занимала кафедру математики в Стокгольме. Узнав о побеге из тюрьмы русско-польского революционера Дикштейна (1884 г.), она писала: «Каждая борьба требует организации со строгой дисциплиной, а для нас главный вопрос в борьбе. Будущие поколения, более просвещенные и освобожденные от устаревших уз, вероятно, скорее, чем мы, смогут избрать окончательную форму правления».

Интересовалась также С. В. рабочим движением. Особенно ярко выражен ее интерес к социальным вопросам в беседах с зарубежными социалистами, примыкавшими в начале 80-х годов к левому крылу социал-демократов.

«Настала пора, — говорила она, — когда надо вновь вызвать к жизни учреждение, подобное Интернационалу, только с более строгой организацией и с более определенными целями. Я особенно убеждаюсь в этом, наблюдая нашу русскую эмиграцию, погибающую от недостаточной деятельности. Проявляя такую энергию в Западной Европе, эта эмиграция могла бы служить хорошую службу общему делу при хорошем руководстве».

После того как С. В. ближе познакомилась с социалистами разных национальностей, задачи теории социализма и размышления о способах политической борьбы стали перед нею столь неотразимо, что она с трудом могла заставить себя сосредоточиться над своей научной работой.

Проявляя большой интерес к общественным вопросам, С. В. жестоко высмеивала либеральных политиков, у которых нехватало смелости додумать все до конца. Личные переживания и социальные воззрения С. В. отражены в той или иной степени во всех ее литературных трудах. Наиболее известное ее произведение «Воспоминания детства» имеет вполне заслуженную репутацию одного из лучших изображений деревенской и столичной жизни помещичьей семьи в эпоху подготовки и осуществления отмены крепостного права. В этом произведении превосходен детский образ самой Ковалевской, хорошо показано превращение девочки в подростка, формирование целеустремленного и настойчивого характера, благодаря которому С. В. сумела осуществить свои мечты о завоевании женщиной равноправия в науке. Многие спрашивали С. В., как она может совмещать занятия сложное и отвлеченной математической наукой, а также профессуру с писанием рассказов. Она отвечала: «Я понимаю, что вас так удивляет, что я могу заниматься одновременно и литературой и математикой. Многие, которым никогда не представлялось случая более узнать математику, смешивают ее с арифметикой и считают ее наукой сухой. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии, и один из первых математиков нашего столетия говорит совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи в то же время поэтом в душе. Только, разумеется, чтобы понять верность этого определения, надо отказаться от старого предрассудка, что поэт должен сочинять что-то несуществующее, что фантазия и вымысел одно и то же. Мне кажется, что поэт должен только видеть то, чего не видят другие, видеть глубже других. Очень может быть, что в каждой из этих областей я сделала бы больше, если бы предалась ей исключительно, но, тем не менее, я ни от одной из них не могу отказаться совершенно».

10 февраля 1891 года Софья Васильевна умерла от воспаления легких. Ее смерть была воспринята русским прогрессивным обществом как большая национальная утрата. В Стокгольме получены были телеграммы с выражением скорби по поводу кончины С. В. Российская Академия наук извещала, что она «оплакивает невозвратимую утрату своего знаменитого корреспондента». На могилу были возложены венки, присланные со всех концов родины умершей: из Петербурга, Москвы, Тифлиса, Харькова и др. городов. Прощаясь с С. В., М. Ковалевский сказал: «Софья Васильевна, благодаря Вашим знаниям, таланту и характеру, Вы всегда были и будете славой своей родины. Вас оплакивает вся ученая и литературная Россия. Работая по

необходимости вдали от родины, Вы сохранили свою национальность, Вы остались верной и преданной союзницей юной России, России мирной, справедливой и свободной, той России, которой принадлежит будущее».

Стокгольмский университет хотел поставить

памятник С. В. Ковалевской, но это было сделано ее соотечественниками. Великий русский ученый Н. Е. Жуковский писал: «К сожалению, ранняя смерть отняла у нас соотечественницу, которая немало содействовала прославлению русского имени».

ИЗ ОПЫТА ПРЕПОДАВАНИЯ АЛГЕБРЫ В VI КЛАССЕ

Б. И. ВОРОНОВ (Кунья)

1. Чтение и запись алгебраических выражений

С первых уроков, когда ученики познакомились с коэффициентом и степенью, я уделяю особое внимание порядку действий, без чего нельзя научить учащихся сознательному чтению алгебраических выражений.

Первоначально я начинаю с выражений, где встречаются действия первой ступени и скобки (таблица 1).

Таблица 1 Таблица 2

Таблица 3

Потом разбираю алгебраические выражения (таблица 2), где встречаются все четыре арифметические действия без скобок, затем (таблица 3) — со скобками. Далее я занимаюсь разбором таких алгебраических выражений (таблица 4, 5, 6), где встречаются коэффициент и степень.

Таблица 4 Таблица 5

Таблица 6

При разборе таблиц, которые вывешиваются в классе и пополняются на доске, я перед учащимися ставлю вопросы:

1. Какие действия в том или ином выражении?

2. Какое действие первое, второе, третье и т. д.?

3. Какую роль в данном выражении играют скобки?

4. Какой был бы порядок действий без скобок?

5. Какое действие последнее, предпоследнее? и т. д.

Разбором порядка действий я всегда достигал полного представления со стороны учащихся о том, какое действие последнее, первое и вообще какова последовательность действий в прямом и обратном порядке.

Разбором таблиц ограничиваться не следует. Для закрепления, проверки знаний и развития творческой мысли учащихся следует проводить

ряд письменных работ. Приведу несколько примеров таких работ.

Пример 1. Дано: а, Ь, с, d. Составить алгебраические выражения, в которых были бы действия двух первых ступеней, причем:

а) последнее — сложение;

б) последнее — умножение;

в) последнее — вычитание и т. д.

Работая самостоятельно, учащиеся глубже осознают изучаемое, приучаются сознательно думать. Приведу .несколько ответов из ученических тетрадей:

а) ab+c\d a+bcd (а — b)c+d

б) (a — b + c)d (a+b)-(c—d) (a:b)-{c — d)

в) а : с — (d + b) abc — d ab — (d + с)

Пример 2. Дано: a2+bc. Указать последовательность действий.

Учащиеся дают ответ: «Первое действие — возведение в квадрат числа а; второе действие — умножение чисел b и с; третье и последнее действие — сложение».

Только после того, когда учащиеся научатся безошибочно определять порядок действий, я перехожу к чтению и записи алгебраических выражений. Сначала я занимаюсь только чтением, для чего могут служить те же таблицы. Внимание учащихся обращаю на последнее действие; если последнее действие — сложение, то выражение есть сумма; если последнее действие — умножение, то выражение есть произведение, и т. д. Предлагаю учащимся найти в выражении предпоследнее, третье от конца действие и т. д. Проводя разбор алгебраических выражений по таблицам, перед учащимися ставлю следующие вопросы:

1. Отыскать сумму, произведение и т. д.

2. Выписать выражения, которые представляют разность, частное и т. д.

3. Что представляет собой это выражение, а это?

4. Перечислить действия с первого до последнего или с последнего до первого.

Таким образом я достигаю сознательного усвоения вопроса о виде выражения, о порядке действий и перехожу затем к чтению выражений. Вот ряд примеров и вопросов.

Дано: Ьа+с.

Вопрос: Какие действия в этом выражении? Ответ: Умножение и сложение. Вопрос: Какое последнее действие? Ответ: Сложение.

Вопрос: Что представляет из себя выражение?

Ответ: Сумму.

Вопрос: Сумму чего?

Ответ: Произведения и числа с.

Вопрос: Прочитайте выражение.

Ответ: Сумма произведения чисел а и b и числа с. Дано: (а3 + £3)3.

Вопрос: В каком порядке надо произвести действия?

Ответ: Возвести а и b в квадрат, сложить и сумму возвести в куб.

Вопрос. Какое последнее действие?

Ответ: Возведение в куб.

Вопрос: Что надо возвести в куб?

Ответ: Сумму.

Вопрос: Сумму чего?

Ответ: Сумму квадратов чисел а и Ь.

Вопрос: Перечислите действия с последнего до первого.

Ответ: Возведение в куб, нахождение суммы, возведение в квадрат.

Вопрос: Прочитайте выражение.

Ответ: Куб суммы квадратов чисел а и Ь.

Следует учащимся показать графически, что чтение выражений идет в обратном порядке по сравнению с порядком выполнения действий (таблица 7).

Таблица 7

После устной работы по чтению алгебраических выражений следует заняться записью их по тексту.

На протяжении всей дальнейшей работы не следует оставлять чтение алгебраических выражений, напротив, всегда, где возможно, надо его применять, увязывать с новым: это закрепляет пройденное и предупреждает возникновение ошибок.

Нередко в дальнейшей работе учитель забывает о чтении алгебраических выражений и порядке действий и не только не требует от учащихся применения пройденного, но и сам избегает его применять. Так, например, вместо того чтобы предложить учащимся найти квадрат разности между числом а и утроенным числом b, учитель диктует: «открой скобку, а минус ЗЬ, закрой скобку, в квадрате». Такая практика разучивает учащихся тому, что было пройдено.

2. Числовое значение алгебраического выражения

Чтобы полнее проанализировать пробелы в знаниях учащихся и подчеркнуть недочеты в преподавании, я остановлюсь на примерах, которые были предложены учащимся шестых классов в разных школах, в разные года обучения.

Пример 1. Вычислить: — 24.

Из 215 учащихся только 5 человек дали правильный ответ (— 16), остальные получили + 16.

Пример 2. Найти числовое значение:— 3 а2 при а = 2.

Из 163 учащихся только 35 человек получили правильный ответ (— 12), 45 человек получили + 12, а остальные учащиеся получили плюс или минус 36.

Пример 3. Найти числовое значение : —а3 — За2 при а = — 3.

Из 150 учащихся только 17 человек получили правильное числовое значение этого выражения (0), а остальные получили: — 54,— 108 и даже+ 54.

Пример 4. Письменная работа в VI классе в 1940 году содержала такой пример: Найти числовое значение, при а=--]у, такого алгебраического выражения:

Из 81 ученика (двух шестых классов) только один ученик дал правильный ответ (— 84). Оказалось, что учитель, рассказав о нахождении числового значения алгебраических выражений, сразу приступил к примерам из сборника Шапошникова и Вальцова, не подготовив учащихся к ним (примеры № 254 из § 9, где встречаются все действия).

Следовало изучение этой темы начинать с самых простых выражений. С помощью постепенного перехода от самого простого выражения к более сложному можно добиться за короткий промежуток времени нужных результатов—прочного, глубокого усвоения этого важного раздела.

Я разбиваю алгебраические выражения на три группы. Сначала на первом уроке я учу учащихся устно и письменно находить числовые значения алгебраических выражений, в которых встречаются действия одной ступени (таблица 8). Беря то или иное выражение и давая различные значения буквам, предлагаю найти:

На следующем и на ряде дальнейших уроков эта и предыдущие таблицы облегчают организацию устного счета и повторения.

Далее, когда я убеждаюсь, что учащиеся усвоили примеры на нахождение числового значения с выражениями таблицы 8, приступаю к нахождению (устно, а затем письменно) числовых выражений, где встречаются действия различных ступеней (таблица 9).

Таблица 8

Таблица 9

Только после этого я перехожу к упражнениям из стабильного учебника. Такой же последовательности придерживаюсь и при нахождении числового значения алгебраического выражения с относительными числами. Учащиеся, усвоив нахождение числового значения простейших выражений, которые являются элементами сложного алгебраического выражения, не допускают ошибок в дальнейшем. При такой последовательной работе мы добились положительных результатов.

Приведу текст письменной работы.

1. Найти числовое значение выражений:

2. Вычислить:

3. Относительные числа

Иногда учащихся учат «сокращенному» заучиванию правил, как-то: к плюс на плюс есть плюс», «минус на плюс есть минус», «минус на минус

есть плюс» и т. д. При такой формулировке правила у учащихся после прохождения всех действий с относительными числами получается путаница, порождающая большое количество ошибок. В работах учеников можно встретить записи: —5 — 6 = + 11 или —6 + 8 = —2 и т. д., ибо они учили: «минус — минус есть плюс», «минус — плюс есть минус».

Прочного, глубокого усвоения этого раздела программы я добивался следующим образом. На основании большого количества задач я объясняю правило нахождения суммы относительных чисел:

Чтобы найти сумму двух относительных чисел с одинаковыми знаками, надо перед суммой абсолютных величин поставить их знак.

Чтобы найти сумму двух чисел с разными знаками, надо перед разностью их абсолютных величин поставить знак числа с большей абсолютной величиной.

Далее я занимаюсь с учащимися устными и письменными упражнениями.

Нет надобности проводить тренировку на примерах, которые требуют больших вычислений, ибо эти вычисления на первых уроках отвлекают от основного — от постановки знака перед результатом. После того как учащиеся безукоризненно усвоят правило сложения относительных чисел, перехожу к выводу «формул двойных знаков». В дальнейшем изучении алгебры учащимся приходится дело иметь с такой записью:

— 8+12—16 + 9, но не с такой: (—8) + + (+12) + (— 16)+ (+9), то-есть с записью, в которой знак действий опускается, а подразумевается алгебраическая сумма. Следовательно, переходить от записи: (—2) — (+ 8) + (—4) + + (+3) —(—6) к записи: (— 2) + (— 8) + + (— 4) + (+ 3) + (+ 6) нет надобности, такой переход — лишняя трата времени. Я всегда переходил к записи на основании формул двойных знаков, то-есть к такой записи: —2 — 8 — 4 + 3 + 6, после чего применял правило сложения относительных чисел.

После знакомства с формулами двойных знаков (таблица 10) я от учащихся требую такого ответа:

«Чтобы прибавить отрицательное число, надо абсолютную величину взять со знаком «минус».

«Чтобы отнять отрицательное число, надо абсолютную величину взять со знаком «плюс», — но не такого: «минус — минус есть плюс».

Таблица 10

В целях закрепления материала я применяю беглый устный счет, устный счет «цепочкой» (опуская знаки действий).

Особое внимание я обращаю на возведение относительных чисел в степень и, в частности, на различие таких записей:

и т. п.

4. Формулы сокращенного умножения

При изучении первой и второй формул сокращенного умножения следует сразу же показать, что

и т. д.

После вывода формул ученик должен их видеть, ежеурочно их читать и находить их в любом алгебраическом выражении, а главное, уметь их применять, то-есть с помощью формул получить произведение, разложить многочлен на множители.

Я всегда на уроках алгебры в VI, а также в VII классе (при повторении) пользовался следующими таблицами, которые вывешены в классе:

Таблица 11

Таблица 12

Я всегда занимаюсь повторением нахождения квадрата, куба числа, удвоенного произведения двух, трех чисел, нахождения утроенного произведения квадрата одного числа на другое. Я даю несколько многочленов и предлагаю:

Найти квадрат первого члена, квадрат второго.

Найти произведение первого на второе, удвоенное произведение.

Найти куб первого числа, куб второго.

Найти утроенное произведение квадрата первого на второе и т. д.

Учащиеся быстро, с меньшим количеством ошибок научатся сокращенно производить умножение. Тренировкой занимаюсь или по примерам из стабильного учебника, или по примерам, записанным на доске, или по примерам таблицы 13.

Таблица 13

Переходя к формулам сокращенного деления, я провожу устно и письменно такие, например, подготовительные упражнения: Упражнение 1. Записать в виде квадрата, если это возможно:

Упражнение 2. Записать в виде куба, если это возможно:

Упражнение 3. Представить как удвоенное произведение двух чисел:

Упражнение 4. В данном многочлене найти квадрат числа, куб числа, удвоенное произведение двух чисел:

Упражнение 5. В данном многочлене найти члены, из которых можно получить: разность

квадратов, квадрат разности, сумму кубов и т. д.:

Выполняя эти упражнения, учащиеся приучаются сознательно применять формулы сокращенного умножения и деления. После этой подготовительной работы я перехожу к формулам сокращенного деления (таблица 12) и сопоставляю их с формулами сокращенного умножения.

5. Группировка

На уроках я уделяю много внимания последовательному умножению многочленов и в ряде примеров из стабильного учебника после краткого умножения предлагал учащимся произвести умножение последовательно. При прохождении способа группировки приходилось повторять последовательное умножение и обратить внимание учащихся, что группировка — это обратные преобразования последовательному умножению многочленов.

Для наглядного представления я вывешиваю таблицу 14, изображающую схематически группировку как обратное действие последовательному умножению.

Таблица 14

При прохождении этой темы таблица 14, или на нее похожая, всегда висит в классе.

ДЕЙСТВИЯ С НУЛЕМ В СЕМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ

В. И. ЛУКОВЕЦКИЙ (Кролевец)

При прохождении программного материала действия с нулем являются для учащихся одним из «камней преткновения», равно как и само понятие нуля как числа, а не как знака для записи отсутствующих единиц данного разряда. Ошибки вида 0-а = а\ 0:а = а встречаются не только в пятом, но и в старших классах. Не случайно объяснительная записка к программе по математике предупреждает:

«Необходимо обратить внимание учащихся на действия с нулем и единицей: 0+0 = 0; а+0=а; 0+а = а; а — 0 — а, 0 -а =0; а-0 = 0; деление на нуль не имеет смысла».

Для прочного и сознательного усвоения действий с нулем нужно, начиная со второго раздела задачника «Целые числа», систематически помещать некоторое количество специальных упражнений.

Упражнения на действия с нулем должны быть разнообразными: от несложных примеров для устного счета до обыкновенных примеров на все действия (с целыми числами или дробными).

Ниже приводятся несколько упражнений для устного счета. Эти примеры дают возможность параллельно с повторением основных приемов устного счета еще раз остановить внимание учащихся на действиях с нулем.

Целые числа

1) (37-11—2035:5) • 85 -J- 15 (повторяется умножение на Н, деление в случае нуля в частном и рядом с этим выполняются действия с нулем).

2) 420 + (23.15 — 345) (умножение на 15).

3) (522 —58-9):84.

Обыкновенные дроби

Десятичные дроби

В стабильном задачнике по арифметике есть некоторое количество упражнений на зависимость между данными и результатами действий (кстати сказать, весьма незначительное). Это весьма важный материал с точки зрения развития идеи функциональной зависимости. Но следовало бы наряду с примерами вида:

поместить и примеры, подобные таким:

При повторении действий с целыми числами (при решении примеров на все действия) следовало бы включить примеры вида:

В этих примерах вопрос о действиях с нулем рассматривается совместно с действиями над натуральными числами. Вот подробное решение первого примера:

Здесь уделяется внимание различным сравнительно трудным для учащихся V класса вопросам: порядок действий, умножение на число с нулем в середине (1 и 6-е действия) нуль в частном (2-е действие), и вместе с тем в 4, 5 и 7-м действиях учащиеся встречаются с нулем.

Подобные же примеры следовало бы поместить и на все действия с дробями (см. примеры). При решении примеров на определение неизвестного числа на основании зависимости между компонентами и результатами действий можно дать несколько примеров такого вида:

Может быть, в этом вопросе следовало бы пойти еще дальше: на протяжении учебного года решить несколько задач (конечно, ни в каком случае не злоупотреблять их количеством), где пришлось бы иметь дело с нулем. Такие задачи можно дать только тогда, когда ученики хорошо усвоят действия с нулем.

Приведем два примера.

Пример 1. Бассейн, который содержит 120 ведер воды, может наполняться тремя трубами. Первая труба вливает 12 ведер за минуту, вторая— 15 ведер за минуту, третья— 18 ведер за минуту. Сколько минут должна действовать третья труба для наполнения бассейна, если через первую трубу вода вливалась на протяжении пяти минут, а через вторую — на протяжении четырех минут?

При решении нужно объяснить учащимся, что таким образом бассейн был наполнен первыми двумя трубами (12 • 5 + 15 • 4= 120), стало быть, третья труба в наполнении бассейна участия не принимала, т. е. работала нуль минут. Это

можно записать с помощью чисел и знаков действий: 120 — 120 = 0 (ведер) наполнила третья труба;

0:18 = 0 (минут) работала третья труба.

Конечно, анализу этой и подобных ей задач нужно уделить больше внимания, чем разбору обычных задач. Таким образом, для учеников нуль и действия с нулем сделаются понятными и перестанут быть чем-то необычным.

Пример 2. Расстояние между двумя городами 112 км. Из этих городов один другому навстречу должны были выехать два велосипедиста. Определить скорость второго велосипедиста, если скорость первого 16 км\час, л встреча состоялась через 7 часов.

Решение.

1) 16-7=112 (км) — проехал до встречи первый велосипедист.

Итак, ученики видят, что встреча состоялась в городе, из которого второй велосипедист, оказывается, и не выезжал, значит, скорость его равна нулю. Это можно записать так:

2) 112 — 112 = 0 (км) — проехал второй велосипедист.

3) 0 : 7 = 0^- ^ ^ — скорость второго велосипедиста.

Примеры на действия с нулем следует вводить не только в V классе, но и дальше — в VI и VII классах. Новый алгебраический задачник Ларичева (часть I) содержит некоторое количество таких примеров, но их следовало бы увеличить. Учащиеся свободно овладеют действиями с нулем только тогда, когда будут время от времени с ними встречаться.

Примеры.

(нуль — множимое и слагаемое).

3)

(нуль — множимое и вычитаемое).

4)

(нуль — делимое). Следует обратить внимание, что разность 12у — Н6Т над°бности вычислять, так как

при делении нуля на любое число (кроме нуля) в* частном получится нуль.

Все действия с дробями. Более трудные примеры.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О КНИГЕ Б. А. КОРДЕМСКОГО, Н. В. РУСАЛЕВА «УДИВИТЕЛЬНЫЙ КВАДРАТ»*)

(Государственное издательство технико-теоретической литературы, М. — Л., 1952, Тираж 200 000 экз. Цена 2 р. 05 к.)

Ю. М. ГАЙДУК (Харьков)

Среди множества популярных книг по математике, изданных в последние годы Гостехиздатом, рецензируемая книга выделяется своим особенно высоким тиражом. Тираж в 200 000 экземпляров, которым выпущена эта (не такая уже маленькая по объему) книга, является, конечно, красноречивым свидетельством существования у нас массовой потребности в научно-популярной математической литературе. Вместе с тем, адресуясь к такой широкой читательской аудитории, авторы и издательство, естественно, лишь повышают свою ответственность за качество книги.

Содержание «Удивительного квадрата» состоит из трех глав и «Послесловия».

В первой главе, получившей название «Превращения квадрата», помещены двадцать с лишним «головоломок» — упражнений на составление различных геометрических фигур из частей наперед раскроенных квадратов. Одна из этих головоломок знакомит, в частности, с танграмом — геометрической игрой, изобретенной еще в древнем Китае. (К сожалению, черный квадрат на обложке книги, который должен изображать танграм, повидимому, вследствие типографской оплошности, воспроизведен неправильно.) О стомахионе, близкой к танграму салонной игре древних греков (предложенной и геометрически исследованной Архимедом), авторы, однако, не упоминают.

В конце первой главы приведены решения рассмотренных головоломок, но без теоретического обоснования их истинности: последняя здесь молчаливо констатируется в силу наглядной очевидности. Материал первой главы книги служит, таким образом, своего рода «пропедевтическим введением» к главе второй, посвященной, собственно, теории превращений квадрата. Основная задача этой второй главы — показать, каким образом нужно разделить данный квадрат прямолинейными разрезами, чтобы переложением полученных частей могла быть составлена равновеликая с квадратом прямолинейная фигура заданной формы. Задача эта решается здесь сначала применительно к головоломкам первой главы (определяющим требуемые формы превращений квадрата), а затем обобщается доказательством теоремы о том, что всякий многоугольник может быть превращен в равновеликий ему квадрат. Для самостоятельной работы читателя здесь имеется полтора десятка систематически подобранных задач; отдельно приведены и иногда излишне подробные (особенно в выкладках) их решения.

«Некоторые замечательные свойства квадрата» — так названа глава третья книги. Содержание этой главы отличается большой пестротой и лишь частично продолжает главную тему предыдущих разделов книги. Действительно, здесь мы находим и некоторые простые геометрические задачи на максимум и минимум (решением которых оказывается квадрат), и «правило квадрата в шахматах», и построения при помощи перегибания квадратного листа бумаги, и ряд других вопросов, столь же мало связанных с превращением фигур путем разрезания и переложения частей. Только в конце этой главы авторы возвращаются к основной теме книги, а именно при рассмотрении специального вопроса о так называемом совершенном квадрировании прямоугольника, т. е. о разрезании последнего на конечное число квадратов, стороны которых выражаются неповторяющимися целыми числами. Не излагая сложного математического решения задач совершенного квадрирования, авторы ограничиваются тем, что без вывода указывают на связь их с задачей о распределении токов в некоторой замкнутой электрической цепи. Используя эту связь (и частную форму известных законов Кирхгофа), оказывается возможным составить систему линейных уравнений, из которых определяются стороны квадратов, заполняющих требуемым образом прямоугольник (последний может быть и квадратом). Отметим еще, что рассмотренная авторами задача совершенного квадрирования получила свое решение в сравнительно недавнее время.

Кроме указанного, третья глава содержит несколько упражнений для читателя с отдельно сообщенными решениями.

*) В настоящем номере редакция помещает две небольшие рецензии на книгу Б. А. Кордемского и Н. В. Русалева. Редакция полагает, что эти рецензии дополняют друг друга: первая дает общий анализ содержания, вторая указывает на ряд конкретных недочетов данной книги. — Ред.

Завершением книги служит очень интересное по теме, но с крайне скупо разработанным авторами содержанием «Послесловие».

В нем рассказывается о задаче наиболее экономичного (т. е. такого, при котором получается наименьший процент отходов) раскроя промышленных материалов — задаче, имеющей большое практическое значение для нужд социалистического производства, и об оригинальном методе решения этой задачи, предложенном советскими учеными. Уместно напоминают здесь авторы и о классической работе П. Л. Чебышева о рациональной кройке одежды.

Полезен для читателей книги приложенный к ней аннотированный список литературы, «дополняющей» ее содержание. Нужно пожалеть только о его неполноте: в нем не названы, в частности, многочисленные и частично весьма ценные статьи и заметки по главному предмету данной книги, помещенные в наших популярно-математических журналах*)(«Журнале элементарной математики», ВОФЭМе и др.), хотя из этого материала авторами в ряде случаев сделаны прямые заимствования.

Оценивая характер изложения материала в книге, можно согласиться с авторами, когда они говорят (в предисловии) об общедоступности первой главы книги. Труднее согласиться с ними относительно доступности всего остального содержания для читателей с семи-восьмиклассным образованием: целый ряд рассмотренных в третьей главе вопросов требует от читателя или более широкого запаса математических знаний (в некоторых вопросах, в частности, знания тригонометрии), или, во всяком случае, более высокой общей культуры математического мышления. Для сознательного же усвоения содержания «Послесловия« читателю необходимо знакомство с начатками аналитической геометрии.

Таким образом, было бы правильнее рекомендовать «Удивительный квадрат» читателям с законченным средним образованием и учащимся старших классов.

Отметим теперь некоторые принципиальные, на наш взгляд, недостатки в содержании рецензируемой книги.

Две трети «Удивительного квадрата», как мы видим, посвящены раскрытию «на примере квадрата» замечательной планиметрической теоремы Ф. Больаи, утверждающей равносоставленность любых двух равновеликих многоугольников. Установленная в главе второй теорема о том, что всякий многоугольник можно превратить в равновеликий ему квадрат, представляет собой не только частный случай теоремы Ф. Больаи, но, так сказать, слегка «недоношенную» форму ее: из последней сама теорема Ф. Больаи может быть (в плане изложения, принятого в рецензируемой книге) сразу получена с помощью установленной в книге транзитивности свойства равносоставленности (лемма 4, стр. 65). Тем не менее, авторы книги не дают этого — буквально «стучащегося в двери» — вывода теоремы Ф. Больаи. (Это тем более непоследовательно, что о теореме Ф. Больаи авторы упоминают в предисловии к книге!) Не происходит ли это по той причине, что авторы считали себя связанными названием книги, в котором говорится исключительно о квадрате? Если так, то, думается, скорее следовало изменить название книги, чем из формальных соображений обрывать на полуслове изложение цельной геометрической теории большого образовательного значения. Добавим к этому, что в свете теоремы Ф. Больаи название «Удивительный квадрат» вообще представляется мало удачным для этой книги, так как квадрат в отношении «превращаемости» в равновеликие ему многоугольники принципиально ничем не выделяется среди других прямолинейных фигур.

Вызывает возражение еще один момент в рецензируемой книге. Мы имеем в виду изложение в ней задачи совершенного квадрирования с ее «электротехническим» решением. Это «решение» привлекло к себе симпатии авторов книги, повидимому, своей неожиданностью и внешней эффектностью. При всем том оно остается, однако, для читателей книги совершенно не обоснованным ни теоретически, ни хотя бы интуитивно и неизбежно произведет на них впечатление какого-то загадочного кунштюка. Позволительно сомневаться в познавательной ценности подобного изложения математического вопроса в популярной книге.

Наконец, не свободен от возражений стиль книги. Мы в недоумении, например, с какой целью авторы сочли нужным воспроизвести в главе III известную (и, право, не очень остроумную) «задачу-шутку», начинающуюся безобидным вопросом, «чему равно 2 в квадрате», и кончающуюся «сакраментальной» проблемой, «чему равен угол в квадрате». Этот не относящийся к делу анекдотец, сопровождаемый толкованиями, столь же мало связанными с содержанием рассматриваемой в этом месте книги математической задачи, появился здесь, повидимому, лишь в качестве «дивертисмента», благо в нем речь идет «о квадрате»! Не станем доказывать неуместность подобных «художественных» дивертисментов в популярной научной книге: об этом уже не раз писалось в нашей печати*).

Высказывая эти замечания, мы основываемся на убеждении, что задачей автора популярной математической книги должно быть не столько более или менее «занимательное» изложение разрозненных математических фактов и курьезов, сколько доступное— но вместе с тем вполне научное — освещение сущности связных математических теорий и их значения.

Не останавливаясь на критике более частных недостатков рецензируемой книги**), сделаем выводы о том, что может почерпнуть из нее преподаватель математики средней школы.

Материал первой и второй главы книги может быть использован для внеклассных занятий учащихся (средних и старших классов) как дополнительное средство для развития их конструктивного геометрического воображения, их «геометрической конструкторской смекалки».

Раздел второй главы, посвященный вопросу о «возможности превращений квадрата», нужно использовать при этом для итогового занятия по материалам этих глав, дополнив его, однако, отсутствующим

*) Упомянем здесь только следующие статьи в Ж. Э. М. (т. I, 1884-1885 г.): Г. Флоринского «Превращение прямоугольника в квадрат», «Превращение квадрата в равносторонний треугольник», «Превращение прямоугольного треугольника в квадрат» и А. Руктешеля «Превращение квадрата... в п равных равносторонних треугольников».

*) См. рецензию С. А. Пономарева на книгу С. Боброва «Волшебный двурог» («Математика в школе», 1950, № 2).

**) Отметим только без надобности «нагруженную» формулировку авторами аксиомы Архимеда (стр. 69): «каковы бы ни были два неравные отрезка AB и CD<АВ, всегда найдется такое натуральное число /?, что nCD <; AB < (п + 1 ) CD. Левая часть неравенства как доказуемая — лишняя (если понимать соответствующим образом значение числа).

в книге логическим завершением этой теории — доказательством общей теоремы Ф. Больаи. Рассмотренный в «Послесловии» вопрос о рациональном раскрое материалов, доставляющий хорошую иллюстрацию политехнического значения математики, должен быть изучен на кружке в старших классах; конспективно изложенный материал «Послесловия» нуждается, однако, в предварительной тщательной методической обработке его преподавателем.

Заметим в заключение, что операция превращения прямолинейных фигур (с помощью разрезания на конечное число частей и их переложения) получила большое теоретическое значение в современной аксиоматической геометрии, где она лежит в основе учения о площадях. О силе этой операции свидетельствует тот факт, что на ее основе возможно самое общее построение теории площадей многоугольников, не требующее принятия аксиом непрерывности и независимое от того или иного решения вопроса о параллельных прямых.

Пусть же читатели книги Б. А. Кордемского и Н. В. Русалева удивляются, но не чрезмерно фетишизируемому авторами квадрату*), —а действительно замечательной силе, заключенной в, казалось бы, столь простой и в столь близкой к повседневной материальной практике людей геометрической операции!

*) В геометрии Лобачевского, например, квадрат не существует вовсе, тогда так теорема Ф. Больаи сохраняет свою силу.

О КНИГЕ Б. А. КОРДЕМСКОГО И Н. В. РУСАЛЕВА «УДИВИТЕЛЬНЫЙ КВАДРАТ»

В. С. МИХЕЛЬСОН (Москва)

Основным вопросом, рассматриваемым в книге, является вопрос о возможности превращения квадрата в равновеликий ему многоугольник. Ответом на этот вопрос является теорема: всякий многоугольник можно превратить в равновеликий ему квадрат. Эта теорема доказывается в книге конструктивным путем, т. е. указывается одна из возможных последовательностей превращений многоугольника в квадрат. Доказательство вполне доступно учащимся VII—VIII классов.

Остановимся подробнее на разборе отдельных глав книги.

В первой главе собраны 23 задачи-головоломки: из 12 квадратов требуется составить различные геометрические фигуры.

По поводу этих задач необходимо сказать следующее:

1. Следовало бы проставить размеры всех разрезов, так как малейшее отклонение от них делает предложенную задачу неразрешимой. Для примера рассмотрим квадрат № 3 (стр. 14).

Можно показать, что задача разрешима (если не менять форм частей квадрата) только в том случае (черт. 1), когда точки Е, F, L к M делят стороны квадрата пополам и

Тогда становится ясным, как строить данные разрезы, и не нужно копировать их с книги, как это предлагают авторы. На стр. 8 читаем: «Важно, чтобы все линии, начерченные на квадратах, были скопированы как можно точнее». Простановка всех размеров намного облегчила бы чтение книги, освободив читателя от необходимости механической перерисовки чертежей, и сделала бы эту часть книги более интересной. Иногда размеры одних разрезов зависят не только от длины стороны квадрата, но и от размеров других разрезов. Рассмотрим квадрат № 4 (стр. 15). Обозначим АЕ через h (черт. 2).

Нетрудно показать, что тогда:

Итак, берем произвольную точку Е на стороне AD, соединяем точку Е с точкой В, опускаем из точки С перпендикуляр Cl на BE и возьмем на прямой BE

Черт. 1. Черт. 2.

точку F так, чтобы FL = -g- BE, соединяем точку F с точкой С и получаем искомые разрезы. Меняя длину отрезка h, можно получать новые разрезы.

Аналогичные расчеты можно было бы привести и для других разрезов.

Непонятно, зачем нужно было дублировать каждый квадрат (в книге наряду с большими квадратами имеются аналогичные маленькие заштрихованные квадраты).

Желательно, чтобы в приложении к книге были даны напечатанные на плотной бумаге все квадраты с их разрезами, что можно было бы использовать при решении задач первой главы.

Следует отметить, что некоторые вычисления в третьей главе очень усложнены, их можно упростить, и это облегчило бы чтение книги. Приведем примеры.

1. Рассмотрим задачу о делении отрезка в крайнем и среднем отношении при помощи перегибания. Доказательство, приведенное в книге, излишне усложнено. Аналогичное решение этой задачи мы находим в книге Роу «Геометрические упражнения с куском бумаги»*) (к сожалению, эта книга не включена авторами в список дополнительной литературы, помещенный в книге на стр. 156). Приведем другое доказательство, которое освобождает нас от необходимости рассмотрения дополнительных точек (например, точка У, см. задачу 1, стр. 108). Дано:

ВЕ = ЕС=~2~; АВ = а; ВЕ = ЕК; АК = АХ. Требуется доказать, что АХ2 = АВ-ВХ (черт. 3).

Черт. 3.

Доказательство. 1. Из &АВЕ

Рассмотрим теперь вторую часть задачи. Проведем К F J_AE, и пусть К F пересекает AB в точке F. Возьмем YF = FB.

Требуется доказать, что BY2 = AB-AY.

Доказательство.

То, что AY2=.AX-XY, можно доказать следующим образом:

Рассмотрим теперь вычисления в конце стр. 110. Их можно провести так:

II. Рассмотрим задачу № 4 (см. стр. 111). В этой задаче требуется вписать в данный квадрат равносторонний треугольник (также при помощи одних только перегибаний бумаги). Приведем доказательство построения этой задачи, которое в корне от-

Черт. 4.

*) С. Роу, Геометрические упражнения с куском бумаги, изд. 2, 1923, Одесса, задача 60, стр. 24—26.

личается от доказательства, приведенного в книге: в доказательстве мы не используем тригонометрию и действия с иррациональными выражениями, поэтому оно, во-первых, намного короче, чем доказательство, приведенное в книге, во-вторых, доступно учащимся VII класса (черт. 4). Дано :

1) ABCD — квадрат; 2) AG = AB; 3) AF = BF; 4) DE = CE; 5) Z. G АН = z. HAB; 6) Z.HAK = = z К AB.

Требуется доказать, что АК = KI = IA. Доказательство.

К сожалению, в книге имеются различные опечатки, неточности и т. д. Например:

1. На странице 8 мы читаем: «Примерная раскраска всех двенадцати квадратов показана на последней странице обложки книги...», но на этой обложке из двенадцати нарисованных квадратов семь квадратов имеют дефекты. Обозначив квадрат, стоящий на пересечении i строки и j столбца через KU, мы находим следующие ошибки:

а) У квадратов Ки и /С12 длина верхних частей правой боковой стороны различна, а она должна быть одинакова (сравните с квадратами на стр. 10 и 12).

б) У квадратов К22 и К2ъ неправильно нанесены некоторые разрезы (см. стр. 16 и 17).

в) У квадратов Кгь К32 и Кзз нехватает некоторых разрезов (см. стр. 22, 23 и 25).

Считаем целесообразным перенесение этих цветных квадратов с обложки в текст книги, например, вместо маленьких заштрихованных квадратиков, а также печатание книги на лучшей бумаге.

2) На странице 53 написано:

а это приводит к тому, что ниже пишется следующее равенство:

3) В последнем равенстве на странице ПО: ВК2 = BY* + AB AY вместо ВУ* + AB BY.

а на следующей странице:

BY* = AB-Y В вместо BY2 = AB-AY.

4) На странице 121 в 9-й строке снизу написано «не большую» вместо «не меньшую», а это делает объяснения непонятными.

5) На странице 151 написано:

и т. д.

Несмотря на эти недостатки, книга представляет интерес для учащихся средней школы. На основании материала книги можно проводить интересные кружковые занятия.

ОТ РЕДАКЦИИ

В № 6 за 1952 год журнала «Математика в школе» в статью Б. П. Бычкова «Из истории развития передовых педагогических идей в России» вкрались следующие опечатки:

В № 1 журнала за 1953 год в части тиража на стр. 59 перевернут чертеж 3-

На стр. 87 (правый столбец) в строке 9 снизу

ХРОНИКА

НИКОЛАЙ ТИМОФЕЕВИЧ ЗЕРЧЕНИНОВ

Проф. И. К. АНДРОНОВ (Москва)

Фронт педагогических наук понес тяжелую утрату: 14 сентября 1952 года после непродолжительной болезни скончался известный педагог доцент Николай Тимофеевич Зерченинов. Он не дожил немногих дней до предполагаемого своего семидесятилетнего юбилея.

Н. Т. Зерченинов, окончив в 1901 году московскую гимназию, поступил на физико-математический факультет Московского университета. По окончании университета в 1906 году Н. Т. начал педагогическую деятельность в качестве преподавателя математики и физики женской гимназии в г. Москве. Одновременно с этим он вел занятия (на добровольных началах) в Мытищинской воскресной школе и при заводах в г. Москве. В ту пору из среды педагогов выделялась небольшая группа передовых учителей, ищущих живые формы преподавания и наполнявших жизненным содержанием учебный предмет математики.

Тогда шли дискуссии о реформе математического образования, и в связи с этим передовые для того времени преподаватели математики средней школы и профессора образовали Московский математический кружок с его печатным органом — журналом «Математическое образование». Молодой преподаватель математики Н. Т. Зерченинов вошел в это объединение передовых преподавателей математики. Первым печатным выступлением Н. Т. явилась помещенная в журнале «Педагогическое образование», № 3 за 1913 год, критическая заметка о трех вышедших книгах: Попова «Новая геометрия», Полидорова «Сборник геометрических задач» и Мандрыка «Смекалка-догадка».

Но недюжинные педагогические способности и огромная работоспособность Н. Т. проявились в советское время, когда открылись широкие возможности развития передовой инициативы и настоящего творчества, когда быстрыми темпами стало расти массовое народное образование.

С первых дней Октябрьской революции Н. Т. стал активным строителем советской трудовой школы и проводником идей советской передовой методики преподавания математики, сперва в одной из лучших опытно-показательных школ г. Москвы, впоследствии названной школой имени Нансена, а затем в лучшем московском рабфаке при университете.

Первой печатной работой в советское время, в которой участвовал Н. Т., явился коллективный труд «Методическая проработка программы математики V, VI, VII годов обучения семилетней школы», выпущенный в 1927 году.

В скором времени в журнале «Вестник просвещения», № 5—6 за 1928 год, появилась статья «Двухлетний опыт массовой проверки навыков учащихся второго концентра московских семилеток».

С 1927 года Н. Т. по поручению Наркомпроса принимал участие в составлений многих программ и методических записок к ним. (Например, программы средней школы 1927—1929, 1932, 1933, 1934 годов и другие).

В 1930 году были выпущены с участием Н. Т. следующие работы:

1)«Методическая проработка программ математики для VIII и IX годов обучения школы II ступени» и

2) «Годовые и проверочные работы по математике» с отдельной брошюрой «Инструкция для проведения проверочных работ по математике».

В дальнейшем ежегодно появлялись дидактические статьи Н. Т. о преподавании математики или в соответствующих специальных сборниках, или

в журналах: «Методика политехнической школы», № 9 за 1932 год — «Какие требования предъявляют по математике к первому и второму концентру ФЗС», «Математика и физика в средней школе», № 1 за 1934 год — «Как проводить проверочные испытания по математике», «Методический бюллетень МОНО», № 12 за 1938 год — «Построение урока геометрии» и в № 2 за 1939 год — «Закрепление знаний и навыков по математике», «Математика в школе», № 3 за 1938 год — «О повторении на уроках математики» и в № 3 за 1948 год — «Решение задач на пропорциональные величины».

С 30-х годов Н. Т. стал известным практиком-методистом математики, в связи с чем он был приглашен в Московский областной педагогический институт на чтение курса методики математики, где работал с 1933 по 1941 год и одновременно занимал место методиста математики в различных районах города Москвы.

Требовательный к себе, Н. Т. требовал от всех учителей вверенного ему района необходимой дисциплины, работы над собой, хорошей техники проведения урока и следил за качественными результатами каждой школы района. Молодые и начинающие учителя находили в нем не только требовательного начальника, но и старшего товарища, который не жалел своих сил и времени, чтобы рассказом и показом передать свой большой передовой опыт. В ответ на это Н. Т. пользовался от учителей заслуженной любовью и авторитетом старшего товарища.

Н. Т. выступал в качестве лектора на многих курсах и конференциях учителей города Москвы и ее области (Орехово-Зуево, Бронницы, Волоколамск, Коломна) и других городов республики (Моршанск, Хренов, Иваново-Вознесенск, Можайск и др.)

Во время Великой Отечественной войны и после ее победоносного окончания Н. Т. перешел на работу в учительский институт, где вел курсы методики математики и специальный курс элементарной математики сперва в Загорске с 1942 по 1948 год, а потом в Москве с 1948 по 1951 год.

Будучи занят непосредственной работой в школе, с учительством и в институтах, Н. Т. не успел подготовить к печати труд, отражающий его многолетний опыт преподавания математики. Лишь частично этот опыт реализовался в работе «Методика преподавания математики» (Методическое пособие для заочников педагогических и учительских институтов, Учпедгиз, 1948, 74 стр.) В этой работе автор дал краткие ответы на значительную часть вопросов, связанных с общей и частными методиками преподавания математики и ее разделов; в ней подобрана сравнительно подробная литература к каждому разделу методики математики; в конце даны темы для контрольных работ. Наиболее интересной частью в этой работе является дидактика преподавания математики: место учебника и задачника, классно-урочная форма обучения, подготовка к началу учебного года, подготовка к уроку, домашние задания, тетради учащихся, учет и оценка знаний учащихся, контрольные работы, помощь отстающим, испытания.

Н. Т. был хорошим практиком, знал, что надо дать молодому учителю математики, о котором он проявлял особую заботу. Сотни и тысячи учителей математики г. Москвы знают и ценят Николая Тимофеевича Зерченинова, как своего учителя, бессменного методиста и члена кафедры математики городского института усовершенствования учителей, ценят как культурного, опытного, требовательного и одновременно чуткого своего руководителя.

Н. Т. уделял большое внимание заочному образованию, дав сборники задач для учащихся заочной средней школы по алгебре, геометрии, тригонометрии, получивших до 14 изданий.

Николай Тимофеевич имел еще много сил и возможностей, и много возлагалось надежд на его деятельность, в особенности в печати, где подводился итог его многолетней педагогической работе, но организм не выдержал большого напряженного труда.

Постараемся с удвоенной энергией сделать то, что, к сожалению, не успел осуществить Николай Тимофеевич Зерченинов. Нам предстоит большая работа по пересмотру программ, учебников и методик в связи с проведением в жизнь всеобщего десятилетнего образования и политехническим обучением в школе, в свете решений XIX съезда нашей партии.

НА «ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ЧТЕНИЯХ» 1952 ГОДА В КАЗАХСКОЙ ССР

А. И. МОСТОВОЙ (Узун-Агач)

На прошедших вторых республиканских «Педагогических чтениях» при Научно-исследовательском институте педагогических наук Министерства просвещения Казахской ССР особый интерес на секции преподавателей математики вызвал доклад преподавателя алма-атинской средней школы № 79 Николая Гордеевича Сушко «О некоторых вопросах преподавания арифметики в V—VI классах».

В своем докладе Н. Г. Сушко поделился опытом своей многолетней работы.

«Вопросы преподавания в V классах, — говорит докладчик, — проблемные. Важным является и то, как мы встречаем пятиклассников. Ведь до этого их учил один учитель, который каждого знал всесторонне, поэтому и мог более эффективно помочь каждому их них. Теперь же их учат девять человек. Не слишком ли много? Ведь у каждого преподавателя к детям свой или почти свой подход. И требования, какими бы они ни были едиными, для учащихся тоже новы.

Нередко бывает, что мы, не дав ребенку освоиться в новой обстановке, «бомбардируем» его двойками, и у него омрачается радость того, что он ученик высшего класса».

Далее т. Сушко сказал о том, как он начинает работать с пятиклассниками. Уже в последней четверти учебного года он знакомится с будущими пятиклассниками, когда они учатся еще в IV классе. Посещая уроки, он сближается с детьми, изучает их, прислушивается к тому, как они говорят, как отвечают уроки.

Изучив до некоторой степени будущих своих учеников, Николай Гордеевич на первых уроках старается говорить с учащимися тем языком, каким

они говорили в IV классе. Он вводит новые понятия постепенно и притом на основе того, что учащимися изучено, с чем они уже знакомы. Н. Г. Сушко строит повторение так, что оно является не только воспроизведением того, что дети изучали в IV классе, но охватывает новые понятия с более глубоким содержанием, на более высоком теоретическом уровне.

Далее докладчик остановился более подробно на первом уроке.

Познакомив кратко учащихся с тем, что они будут изучать по арифметике, он объясняет, что «нам, современным людям, а следовательно, и детям, значительно легче подниматься на следующую ступень развития, чем было когда-то в древности нашим предкам. Ведь теперь каждый из вас, — обращается учитель к детям, — может свободно считать и вести запись этого счета. Но было время, когда человек считать не мог. Один, два, много — был весь его счет».

Учитель отмечает, что в нашей стране нет людей неграмотных, а следовательно, и не умеющих считать. Но есть еще и сейчас в колониях капиталистических стран, в Африке например, племена, для которых счет в пределе первого десятка представляет трудность.

На вопрос учителя, что можно считать, ученики отвечают: любые предметы. Учитель отмечает, что всякое полученное число в порядке прямого счета и называется натуральным числом.

Учитель дает определение натурального ряда, устанавливает с учащимися, что натуральный ряд чисел бесконечен. Кратко останавливается на истории развития написания цифр.

Затем докладчик дал разработку еще нескольких первых уроков по арифметике. Он часто приводил примеры из послевоенного пятилетнего плана восстановления и развития народного хозяйства и итогов его выполнения. Эти данные помогали учителю на уроках воспитывать у учащихся чувство патриотизма и национальной гордости за свою родину.

Касаясь деления числа на произведение и произведения на число, Н. Г. Сушко рассматривает этот вопрос в связи с закреплением и углублением знаний учащихся об изменении частного и его компонентов. Дается новый вид записи:

1840:20 = 1840:(10-2) = 1840:10:2 = 184:2 = 92,

который потом применяется и закрепляется при устных вычислениях.

О внеклассной кружковой работе по математике сделал доклад автор этих строк.

Учащиеся семиклассники дали семь доказательств теоремы о свойствах средней линии трапеции, тремя различными способами доказан четвертый признак равенства треугольников. Кружковцы явились активными участниками математических состязаний на страницах «Пионерской правды». Докладчик поделился опытом выпуска математических стенгазет и рукописных математических журналов, опытом проведения математических вечеров.

Большой интерес вызвала у слушателей иллюстрация примеров того, как богаты творческой фантазией наши учащиеся.

Так, задачу «Угол, вершина которого не помещается на чертеже, разделить пополам» кружковцы решили одиннадцатью способами.

Всеобщее одобрение вызвали примеры такого решения:

Пусть требуется угол ЛВС разделить пополам (черт. 1). Из произвольных точек M и N (взятых на сторонах данного угла) проводим ME || ВС и NE II AB. Откладываем MD = NE и проводим DK\\EN. Четырехугольник BMDK — ромб, диагональ которого (биссектриса угла MDK) разделит угол ABC пополам. Другое решение (черт. 2).

Из произвольной точки D проводим DE \\ ВС, тогда z ADE = z ЛВС, a z BDE — сумма двух других углов Д BDN. Разделим z BDE пополам, тогда Д BDN — равнобедренный, перпендикуляр, проведенный через середину основания DNy будет и биссектрисой угла ЛВС.

С содержательным докладом на тему «Типы уроков повторения по математике» выступил учитель Талгарской средней школы Алма-Атинской области Омашев Шабаз Газизович.

На подробно разработанных отдельных уроках он познакомил слушателей с методикой повторения материала в X классе.

Особенно удачно им подобраны примеры повторения темы «Функции и их графики».

Учительница математики Китаева Таисия Васильевна (г. Петропавловск) поделилась опытом применения аналитического метода в преподавании математики в VII классе.

Итогом многолетней работы учителя-пенсионера Ерещенко Василия Андреевича явился объемный труд «Из опыта моей работы». Докладчиком были зачитаны отдельные разделы этой работы.

Черт. 1.

Черт. 2.

О ПРОВЕДЕНИИ КУРСОВ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ УЧИТЕЛЕЙ ПРИ СТАЛИНГРАДСКОМ ОБЛАСТНОМ ИНСТИТУТЕ УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ УЧИТЕЛЕЙ В 1951/52 УЧЕБНОМ ГОДУ

П. В. КОЧКИН (Сталинград)

В 1951/52 учебном году нашим институтом были проведены курсы повышения квалификации учителей математики V—VII классов. Подготовка к проведению этих курсов нами была начата с начала учебного года.

В период августовских районных учительских совещаний в каждом районе области были выделены преподаватели V—VII классов для занятий на этих курсах. Каждый из выделенных преподавателей был обеспечен учебными планами и программами курсов. Основное руководство докурсовой работой учителей было возложено на райОНО, районные педагогические кабинеты и руководителей школ. В предметных секциях школ этим преподавателям поручались доклады по тематике районных предметных комиссий. При выезде в районы области инспектора облОНО и методисты института осуществляли контроль за самостоятельной работой учителей.

С целью улучшения контроля за самостоятельной работой учителей в новом учебном году нами запланировано наладить письменную связь с каждым преподавателем, включенным в систему годичных очно-заочных курсов. При этом каждому слушателю курсов будет дано задание написать по докурсовым занятиям зачетную письменную работу, которая будет обсуждена на секции преподавателей математики школы, а затем представлена в ИУУ для проверки.

Заключительной частью годичного цикла очно-заочного обучения учителей было проведение с ними месячных курсов при областном ИУУ.

По плану курсы были рассчитаны на 75 преподавателей. Однако на занятия явилось 103 преподавателя. Превышение намеченного по плану количества произошло отчасти потому, что некоторые преподаватели изъявили личное желание повысить свою квалификацию на этих курсах.

С целью более лучшего учета запросов слушателей лекторами курсов учебные группы были укомплектованы так, что наиболее подготовленные преподаватели составили самостоятельную группу.

Учебные планы и программы летних курсов были составлены на основе планов и программ, допущенных Министерством просвещения РСФСР в 1949 году.

Однако, на основе запросов учителей за прошлые годы, эти программы мы несколько изменили.

По общему циклу мы включили дополнительно 4 часа на тему «Учение товарища Сталина о языке».

По специальному циклу основная часть учебного времени была отведена на изучение арифметики, алгебры, геометрии и вопросов методики их преподавания.

Учитывая, что почти все преподаватели математики V—VII классов преподают и физику, мы включили 6 часов на вопросы методики физики.

По опыту проведения курсов за прошлые годы мы убедились, что преподаватели наибольший интерес проявляют к изучению приемов и методов работы передовых учителей, к изучению всей системы их работы. Поэтому лекторам курсов мы рекомендовали освещать в лекциях передовой опыт учителей.

В своей работе мы использовали еще один путь показа передового опыта. Мы проводили со слушателями курсов обмен опытом работы. Обмен опытом представлял собою активное обсуждение слушателями курсов различных приемов и методов работы в школе. На эти занятия были приглашены два учителя, добившиеся высокой успеваемости и глубоких знаний своих учащихся. В своих выступлениях эти учителя рассказали о своей работе. Затем проводилось обсуждение этих докладов. В выступлениях слушатели не ограничивались только высказыванием своих мнений по докладу, а рассказали и о своей работе.

Такая форма занятий является более активной и дает большие возможности показа лучшего опыта работы учителей. Обмен опытом занял 6 часов рабочего времени. На нем были заслушаны и обсуждены доклады:

1. Решение задач на составление уравнений с объяснением в VII классе.

2. Изучение темы «Формулы сокращенного умножения и деления».

3. Практические измерительные работы с учащимися в связи с преподаванием геометрии.

4. Работа с отстающими учащимися.

Как и в прошлые годы, в этом году для слушателей курсов методистом областного института была прочитана лекция на тему «Состояние преподавания математики и анализ знаний учащихся в школах области за 1951/52 учебный год».

В учебный план работы курсов был включен и с большим интересом прослушан преподавателями доклад о математическом предметном пионерском сборе, который был построен на обобщении опыта работы нескольких учителей города Сталинграда.

Слушатели курсов с интересом посещали выставку лучшего педагогического опыта, организованную при кабинете математики. Особое место на педагогической выставке было отведено докладам учителей на областных конференциях. При библиотеке института была организована выставка новинок методической литературы.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 5 ЗА 1952 г.

№ 69

Сумма площадей параллелограмов, построенных на двух сторонах треугольника, равна площади параллелограма, построенного на третьей стороне треугольника так, что его вторая сторона равна и параллельна отрезку, соединяющему общую вершину двух первых параллелограмов с точкой пересечения продолжении их сторон, не имеющих общих точек со сторонами треугольника. Доказать.

Решение. Пусть на стороне АС треугольника ABC построен параллелограм ACDXA\, а на стороне ВС — параллелограм ВССХВХ (черт. 1). На стороне AB построим параллелограм ABFE, удовлетворяющий условиям задачи. Обозначим через M точку пересечения продолжения отрезка CD и прямой EF. Пусть точка К есть точка пересечения продолжения отрезка ЕА с отрезком A\DX (или его продолжением).

Легко видеть, что параллелограмы EMNA и CDKA— равновелики. Равновелики будут также и параллелограмы AA\DXC и CDKA.

Отсюда следует, что параллелограмы EMNA и AA\DXC — равновелики. Аналогично можно доказать, что параллелограмы MNBF и BBfifi — равновелики. А так как площадь параллелограма ABFE равна сумме площадей параллелограмов EMNA и MNBF, то отсюда и вытекает требуемое.

Автор задачи т. Аляев указывает, что из данной теоремы получается, как ее следствие, теорема Пифагора, если положить угол С — прямым, а параллелограмы — квадратами. Тогда отрезок CD будет равен гипотенузе AB треугольника ABC.

Легко показать, что CD _[_ AB. (Это вытекает из равенства углов ВАС и LCDX.)

Следовательно, площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

№ 70

Площадь прямоугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей подобных этому прямоугольнику прямоугольников, построенных на катетах (гипотенуза и катеты являются сходственными сторонами подобных прямоугольников).

Решение. Заметим прежде всего, что эта теорема является простым следствием предыдущей теоремы. В рассматриваемом случае Д ABC со Д CÙDX и Z. ВАС = Z. DCDV

Следовательно (черт. 2), CD J_ AB и параллелограм ABFE является прямоугольником. Остается доказать, что этот прямоугольник подобен каждому из прямоугольников ACDXAX и ВСС}В]. Так как треугольник CDD, подобен треугольнику ABC, то CD:CDX = = AB: АС.

Черт. 1.

Черт. 2.

Итак, АВ:АЕ = AC\CDX. Дальнейшее ясно.

Легко видеть, что и здесь, взяв в качестве прямоугольников квадраты, получим теорему Пифагора. Но возможно и обратное: исходя из теоремы Пифагора, доказать данную здесь теорему. Так и поступили некоторые читатели. Обозначим стороны прямоугольного треугольника через а, Ь, с (с — гипотенуза). Каждый из этих отрезков примем за основание одного из прямоугольников. Высоты этих прямоугольников (в силу их подобия) можно обозначить через at, bt, et (t — некоторое положительное число).

Имеем:

Отсюда :

что и требовалось доказать.

№ 71

Найти основание всех таких систем счисления, в которых любая нечетная степень всякого натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само это число.

Решение. Обозначим основание системы счисления через л, а последнюю цифру некоторого числа, записанного в этой системе, — через а.

Очевидно, что а < п, а п > 1.

Натуральное число, оканчивающееся цифрой а, можно записать так: Кп + а. Имеем:

где К и L — натуральные числа. Согласно условию:

Тогда:

Умножим обе части этого равенства на Получим:

При любых натуральных значениях k и а < 10 девая часть, как произведение трех последовательных натуральных чисел, делится на 2, 3 и 6 и только на них. Следовательно, п может быть равно одному из этих трех чисел.

№ 72

Доказать, что при любом натуральном л<2 числа вида 22Л + 1 оканчиваются цифрой 7. Решение. Заметим прежде всего, что

Число 2“-1 —1 — нечетное и, следовательно:

Отсюда следует, что

Правая часть, очевидно, представляет собой число, оканчивающееся цифрой 7.

Некоторые читатели применили для решения задачи метод математической индукции. Решение в этом случае имеет следующий вид: предложение, сформулированное в условии задачи, справедливо при п = 2, так как 222 + 1 = 17.

Допустим, что предложение справедливо при п = k, т. е., что

Отсюда следует, что

Тогда:

Следовательно:

Отсюда по индукции и следует справедливость предложения при любом п > 2.

№ 73

Доказать, что многочлены:

не имеют общих делителей ни при каком целом а.

Решение. Имеем:

Пусть До —некоторое целое число. Тогда делители числа а^+ 4 а^ ~{-3 Oq являются делителями по крайней мере одного из чисел я0,

Пусть число d — делитель числа а^ или числа

Очевидно, что это число не может быть делителем числа

Пусть d — делитель числа

Так как

то очевидно, что d не может быть делителем числа

Тов. Стрелецкий прислал следующее решение задачи. Имеем:

Допустим, что при а = а0 числа

имеют общий делитель d ф 1. Тогда

число / (а0) = 1 должно делиться на d ф 1, чего не может быть.

Полученное противоречие убеждает нас в справедливости доказываемого предложения.

Ряд читателей, применяя алгоритм Евклида, показали, что наибольший общий делитель любых числовых значений данных многочленов равен единице.

№ 74

Решить уравнение:

Решение. Положим

Тогда

Так как

С другой стороны, так как

то

Это дает нам:

Таким образом, решение данного уравнения сводится к решению следующих двух систем:

Это дает нам:

№ 75

Решить систему уравнений:

Решение. Известно, что

Обозначим \ogyX через z. Данное уравнение примет вид:

Отсюда:

Таким образом, мы найдем корни уравнения, если решим системы:

В результате будем иметь:

хх = 128 х2 = 2 У1 = 2 И уз = 128

№ 76

В треугольнике ABC высота ha составляет половину биссектрисы внешнего угла этого треугольника при вершине А. Найти разность углов В и С.

Решение. Пусть в треугольнике ABC АЕ — биссектриса внешнего угла, AD _L ВС и AD = —g'AE (черт. 3).

Рассматривая прямоугольный треугольник ADEy заключаем, что Z. AED = 30°. Далее:

Следовательно:

С другой стороны, Z. ABE = 180э — В. Итак, А + 2 £ = 240°. Теперь имеем:

В-С = (А + 2В) — (А+ В+С) = 60°.

Некоторые читатели для решения задачи провели биссектрису внутреннего угла А и воспользовались тем обстоятельством, что биссектрисы внешнего и внутреннего угла при вершине Л—взаимно перпендикулярны.

№ 77

Если в треугольнике ABC угол А меньше угла С, то биссектриса угла А больше биссектрисы угла С. Доказать.

Решение. Заметим прежде всего, что если из вершины угла А треугольника ABC провести биссектрису 1А и высоту па, то угол между ними будет равен (черт. 4):

Из прямоугольного треугольника AHD имеем:

Черт. 3.

Черт. 4.

Аналогично получаем соотношение:

Отсюда:

Так как

Замечая, что

будем иметь:

Так как

то

Вместе с тем Итак,

Некоторые читатели аналитическое решение задачи основывали на применении известной формулы для биссектрисы внутреннего угла треугольника:

Был прислан ряд решений геометрического характера. Приведем некоторые из них.

Тов. Шебаршин рассматривает отдельно случай, когда ^С<90°, и случай, когда ^С>90°. Пусть ^:С<90°, пусть АО — биссектриса угла A, CF — биссектриса угла С (черт. 5). Имеем:

Следовательно, AFC > Z. ADC. Проведем окружность через точки Л, D, С. Точка F будет находиться внутри сегмента ЛЕ DC. Так k&k\jAED>\^CDE (ибо z2C> Z.A+ zC\ то AD>CE = CF + FE. Итак, AD > CF.

Подобным же образом доказывается теорема и в том случае, когда Z. С > 90°.

Тов. Рейзиньш для решения задачи проводит AE\\CF и CG\\Aü (черт. 6). Имеем: z.CGA =

Отсюда следует, что G А = АС = СЕ. Так как z.C> > Z.A, то Z. С AG > Z. АСЕ. Но тогда GC > АЕ. Далее:

Это дает нам:

Аналогично получаем:

Так как

Но GC > АЕ, следовательно, AD > CF.

№ 78

Периметр треугольника ABC равен 2 см. Доказать, что

(а, Ь, с— длины сторон треугольника).

Черт. 5.

Черт. 6.

Решение. Замечая, что согласно условию с = = 2 — а — 6, будем иметь:

№ 79

Если от деления многочлена М(х) целого относительно X на разность х — а в частном получится многочлен Q(x), а в остатке R, то

S(Q).(l-a) = S(M)-R,

где S (Q)— алгебраическая сумма коэффициентов многочлена Q (х), a S (M) — алгебраическая сумма коэффициентов многочлена M (х). Доказать.

Решение. При выполнении условий задачи имеет место тождество:

Полагая х= 1, получим:

S(M) = (l-a)-S(Q) + R,

так как

M(l) = S(M), a Q(\) = S(Q). № 80

Доказать, что отрезки, соединяющие последовательно центры правильных треугольников, построенных на сторонах любого треугольника и примыкающих к нему извне, образуют также правильный треугольник.

Решение. Пусть Ои О?, 03 — центры построенных на сторонах треугольника ЛВС правильных треугольников: ВС К, ACL, АВМ (черт. 7).

Черт. 7.

Имеем:

С другой стороны,

так как

Z.ACK = ^С + 60° и ^ОгСОх = Z.С + 60°. Таким образом,

ДЛС/С<\> AOiC02.

Отсюда следует, что

Подобным же образом, устанавливая подобие треугольников АВК и 0^03, получаем, что

Отсюда следует, что Oi02 = Oi03.

Аналогично доказывается, что Oi03 = 0203.

Некоторые читатели (в том числе и автор задачи) применили для решения задачи теорему косинусов, чем значительно усложнили это решение.

№ 81

Даны два смежные прямые угла с вершиной в точке О. В один из них вписана окружность радиуса R, а в другой — окружность радиуса г (R > г). Общая внешняя касательная к этим окружностям пересекает стороны углов в точках Au В. Определить площадь треугольника АО В.

Решение. Обозначим через 0\ центр окружности радиуса R, а через Оз — центр окружности радиуса г (черт. 8).

Черт. 8.

В силу того, что /\AD02c^/\ACOi будем иметь:

AD:AC= A02:AOv Таким образом,

Это дает нам:

Отсюда следует, что

Пусть окружность радиуса г касается прямой OB в точке Я, а окружность радиуса R касается той же прямой в точке F.

Имеем:

ВН — BF = FH = R — г.

С другой стороны,

BH + BF = BL + BK = DC = R + r.

Следовательно, ВН = R и OB = R-j-r.

Площадь треугольника АО В равна:

№ 82

Для любого натурального числа а можно найти такие натуральные числа b и с, что будет иметь место тождество;

Доказать. Найти b и с при условии, что а = 3.

В условие этой задачи вкралась опечатка. Исправление было помещено в № 6 журнала. Поэтому решения этой задачи будут рассмотрены вместе с решениями задач, помещенных в № 6.

№ 83

Доказать тождество

Решение. Известно, что

Применим это соотношение для решения задачи. Имеем:

и каждое из чисел, стоящих в круглых скобках, не меньше нуля.

№ 84

Если X и у —целые, взаимно простые числа, то наибольший общий делитель чисел х — у и

есть делитель числа п. Доказать.

Решение. Обозначим частное от деления многочлена:

на разность х — у через Q (х, у). По теореме Безу будем иметь:

Обозначим далее наибольший общий делитель для F(x, у) и х-у через D. Тогда:

где /(и/— целые.

Отсюда следует, что

Так как D не является делителем у (ибо в противном случае у их — у имели бы общий делитель, а следовательно, х и у также имели бы общий делитель), а — целое число, то D является делителем п.

№ 85

Дано: m — действительное число, п — натуральное число, не делящееся на квадрат натурального числа, большего 1, причем >/п <С т. Доказать, что существует единственное натуральное число X, удовлетворяющее условию

и такое, что число пх является точным квадратом.

Эта задача будет фигурировать в сводках под № 25 (так как она была первоначально помещена под этим номером в журнале № 2).

Решение. Так как число п не делится на квадрат натурального числа, то оно не может иметь в числе своих делителей точных квадратов. Так как пх — точный квадрат, то любой делитель числа п может входить в состав числа х только в нечетной степени. Следовательно, собственные делители числа X должны входить в это число только в четной степени.

Таким образом, можно положить: х = у2п. Данное в условии задачи неравенство можно записать теперь так:

или

Следовательно,

Обозначим число

через 1 + Р> где Р — целое или дробь. Имеем:

Р<У<Р + \-

Если р — целое число, то единственным целым числом, удовлетворяющим данному соотношению, явится само число р+\. Если р — дробь, то также существует только единственное целое число, удовлетворяющее данному соотношению. Из единственности числа у вытекает и единственность числа х.

ЗАДАЧИ

17. Доказать, что если в квадрат вписать прямоугольник с неравными сторонами, то диагонали квадрата будут служить его осями симметрии (на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямоугольника).

В. Борисов (Москва).

18. Пусть в A ABC la, 1ь> /г — соответственно биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С. Для того чтобы из этих биссектрис биссектриса 1Ь имела наименьшую длину, необходимо и достаточно, чтобы либо zA<zB<zC, либо z.A> zB> Z.C (Л, В, С — внутренние углы треугольника).

Ф. Бартенев (Евпатория).

19. Упростить

Ф. Бартенев.

20. Доказать, что

В. Барановский (Глухов).

21. Найти три натуральных числа а, Ь и с(я<6<с), таких, чтобы число Ь2 было средним арифметическим чисел а2 и с2.

И. Альтшуллер (Ленинград).

22. К трехзначному числу справа приписано число, на единицу большее. Найти это трехзначное число, зная, что полученное в результате приписывания число есть полный квадрат.

Н. Будков (Рязанская обл.).

23. Дана трапеция ABCD. Доказать, что имеют место соотношения:

(О—точка пересечения диагоналей трапеции; ВС \\ AD) Б. Кашин (Калининская обл.) 24. Решить систему уравнений:

М. Лейбман (Свердловская обл.).

25. Даны прямые AB \\ CD \\ EF (CD лежит между AB и EF). Между AB и CD даны две точки M и N, между CD и EF дана точка Я. Построить треугольник так, чтобы на каждой из трех данных прямых AB, CD и EF лежала одна из вершин треугольника, а на каждой из трех сторон треугольника лежала одна из трех данных точек M, N и Р.

А. Лейман и М. Шацкий (Здолбуново).

26. Доказать, что

где S — площадь треугольника ABC со сторонами а, Ь, с и с высотами hat hb, hc.

Ю. Попов (Ленинград).

27. Из точки /С, делящей пополам дугу окружности, стягиваемую хордой AB, проведены хорды, пересекающие хорду AB. Произведение каждой такой хорды на ее отрезок от точки К до точки пересечения с хордой AB равно квадрату хорды АК. Доказать.

И. Поляков (Москва).

28. Около треугольника ABC со сторонами а, Ь, с описана окружность. Обозначим через т, л, р соответственно расстояния от какой-нибудь точки окружности до сторон а, Ъ, с треугольника. Доказать, что

К. Рябенко (Ворошиловск).

29. Найти длину гипотенузы такого прямоугольного треугольника, который можно расположить на клетчатой бумаге так, чтобы гипотенуза лежала на одной из линий сетки, а все вершины треугольника лежали в вершинах квадратов, образованных линиями сетки.

Ю. Савинов (Коми АССР).

30. Показать, что

Найти значение левой части при х<2.

И. Степанов (Иркутск).

31. Упростите выражение (при дг< — 1):

В. Утемов (Красноуфимск).

32. Если сечение правильной четырехугольной пирамиды некоторой плоскостью представляет из себя правильный пятиугольник, то боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания углы по 45°. Доказать.

X. Хамзин (Стер лита мак).

33. Доказать, что уравнение:

ни при каком с не может иметь пять действительных корней.

X. Хамзин.

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

1. Основание равнобедренного треугольника равно 30 см, боковая сторона равна 25 см. Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружности.

2. Доказать, что для любого треугольника имеет место соотношение:

3. Дано: х+у + z — 1. Доказать, что

4. Доказать, что для любого треугольника имеет место соотношение:

где R — радиус описанной, а г — радиус вписанной окружности.

(Задачи № 1 — 4 предложены С. Фитерманом, ст. Износки.)

5. Если а и b — катеты прямоугольного треугольника ABC, то имеет место соотношение:

где А — острый угол, лежащий против катета а.

С. Тишин (Куйбышевская обл.).

6. Если один из трехгранных углов одной из двух треугольных пирамид равен одному из трехгранных углов другой, то объемы этих пирамид относятся, как произведения ребер, образующих равные трехгранные углы.

С. Вокан (Москва).

7. Решить уравнение:

Р. Бернштейн (Мукачево).

8. В треугольнике ABC биссектриса BD внутреннего угла В равна отрезку DC и стороне AB. Определить стороны и углы треугольника ABC, если АС=Ь.

А. Карпов (Собинка).

9. В треугольнике ABC биссектриса BD внутреннего угла В равна медиане АЕ. Определите AB, если АС = /3 и ВС = 2.

А. Карпов.

10. Площадь пятиугольника ABC DE равна 68 см2. Если из вершины А провести диагонали, то площади треугольников ABC, ACD и ADE составят геометрическую прогрессию. Если на стороне DE взять точку F так, чтобы ЕF = -ggg“ FD, то площади треугольников ABC, ACD и AEF будут составлять арифметическую прогрессию. Найти площадь каждого из треугольников ABC, ACD и ADE.

Р. Бернштейн.

11. Вычислить без таблиц:

/7. Китайгородский (Москва). 12. Разложить на множители:

П. Китайгородский.

13. Полная поверхность пирамиды равна 6 см2, а объем шара, вписанного в эту пирамиду, равен 50 смК Вычислить объем пирамиды.

П. Китайгородский.

14. Из А в В и из В в А одновременно вышли два пешехода. Когда первый прошел половину пути, второму осталось пройти 24 км, а когда второй прошел половину пути, первому осталось пройти id км. сколько километров останется пройти второму пешеходу после того, как первый закончит переход.

Ф. Бартенев (Евпатория).

15. Решить систему уравнений:

Ю. Попов (Ленинград).

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 5 ЗА 1952 г.

Н. Абаев (Костромская обл.) 69—73, 76—79, 83— 84; И. Абудов (Мордовская АССР) 69—81, 83—84, 25; Ш. Адигамов (Халкабад) 69 — 79, 81, 83; А. Азиев (Дзауджикау) 69, 70, 72, 75, 76,78, 80, 83; А. Айсин (Мордовская АССР) 70, 72, 73, 74, 76, 78, 79, 81, 83; Г. Акопаджанян (Армянская ССР) 69, 70, 73—79, 81, 83; И. Аксельрод и А. Левченко (Харьков) 69—75, 76, 78, 81, 83; Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 70, 72—77, 81, 83; И. Альтшулер (Ленинград) 69—77, 79—81, 83; Б. Андрусенко (Ю.-Сахалинск) 72—76, 79, 81, 83; В. Арутюнян (Армянская ССР) 70, 72—78, 81, 83; А. Архипенко (Сталинградская обл.) 69, 70, 73—78, 80, 81, 83; Г. Ахвердов (Ленинград) 69—81, 83, 84, 25; И. Байков (Московская обл.) 69—81, 83, 84, 25; М. Баркарь и А. Концу (Кишинев) 69—79, 81, 83: Ф. Бартенев (Евпатория) 69, 81, 83, 84, 25; П. Бартош (Чехословакия) 69—81, 83, 84, 25; А. Бауэр (Мариинск) 69—81, 83, 84, 25; M Беккер (Таллин) 69, 70, 72—81, 83, 84; А. Белогуров (Дзауджикау) 70, 72—79, 83; В. Белых (Курская обл.) 70—73, 75—77, 81, 83, 84; с. Бернштейн (Киев) 69, 70, 72—81, 83, 84; Е. Беров (Биробиджан) 69, 70, 72, 73, 75—79, 81, 83; В. Бешкарев (Горький) 69—81, 83, 84, 25; Е. Боков (Краснодарский край) 69, 70, 72—81, 83; И. Бочкин (Витебск) 69—76; М. Брик (Озеры) 69, 70, 72, 73, 75, 76, 79, 81, 83, 84, 25; Р. Брилиант (Винница) 69, 70, 72—81, 83; М. Буграчева (Енисейск) 69—81, 83, 84, 25; Е. Бугулов (Дзауджикау) 69—81, 83, 84, 25; Н. Будков (Рязанская обл.) 69, 70, 72, 73, 75—81, 83; Б. Вайнман (Киев) 69, 70, 72—77, 79, 81, 83, 84; Е. Ванновская (Тамбов) 69, 70, 73—78, 81; В. Варганов (Москва) 69, 70, 75—81, 83; В. Ветрог. (Орел) 69, 70, 72, 75—78, 81, 83; К. Ветров (Восточно-Казахстанская обл.) 69—81, 83, 84, 25; Р. Виненгрод. (Проскуров) 69, 70, 72—78, 81, 83, 25; А. Владимиров (Асбест) 69—81, 83, 84, 25; А. Гаас (Караган-

да) 69—81, 83, 84, 25; А. Гарания (Казань) 69, 70, 72—77, 81, 83; А. Гемуев (Фрунзенская обл.) 69, 70, 72—76, 78, 79, 81, 83; Э. Героцкий (Бежица) 69, 70, 72—81, 83; Н. Глыбин (Гомельская обл.) 69—81, 83, 25; Н. Говоров (Краснодарский край) 69—81, 83, 84, 25; Н. Голайдо (Брянская обл.) 69, 70, 72—78, 80, 81, 83; К. Горев (Лукоянов) 69—81, 83, 84, 25; М. Готлер (Вильнюс) 69—81, 83, 84, 25; С. Гнетулло (Норильск) 69—81, 83, 84, 25; В. Губанищев (Полесская обл.) 69—81, 83, 84, 25; А. .Гурвич (Красноярск) 69, 70, 76—78, 80, 81; Ф. Гутковский (Варшава) 69—81, 83; У. Давыдов (Гомель) 69—81, 83, 84, 25; Р. Дарбинян (Армянская ССР) 69—70, 72—81, 83; А. Дейнега (Винницкая обл.) 69—81, 83, 84, 25; В. Демчинский (Ровно) 69—81, 83, 84, 25; С. Джаббаров (Куйбышевская обл.) 69, 70, 72—79, 84; Ф. Донцов (Минская обл.) 69, 70, 72—77, 79, 81, 83; А. Егоров (Чистопольская обл.) 69—81, 83, 84, 25; П. Егоров (Рязань) 70—76, 79, 81, 83; П. Епимашко (Гродно) 69—81, 83, 84, 25; М. Зайденман (Бельцы) 70, 72— 77; 79; П. Зайцев (Чувашская АССР) 72—77, 81, 84; Т. Зауэрвейн (Алтайский край) 71—81, 83; Л. Зискинд (Винница) 69—81, 83; А. Злобин (Самарканд) 72—75, 77—79, 81, 83, 84; И. Ильин (Саратов) 69, 70, 74—76, 78, 80, 81, 83; Р. Ибрагимов (Татарская АССР) 69, 70, 72, 75—79, 81, 83; Д. Изаак (Орск) 69, 70, 72, 75—81, 83, 85; А. Иоффе (Петрокрепость) 69—72, 74—77, 79—81, 83; Г. Кандаян (Красноярский край) 72—77, 79, 83, 84; Л. Карпов (Собинка) 69—81, 83, 84, 25; В. Киндефатер (Кемеровская обл.) 69—81, 83, 84, 25; Н. Кириллов (Ярославль) 69, 70, 72, 74, 75, 76—78, 81, 83; А. Киселев (Ленинград) 69—81, 83, 84, 25; П. Китайгородский (Москва) 69, 70, 73, 74, 75, 76, 78, 80, 83; П. Козлов (Минская обл.) 69, 70, 73—81, 83, 84; В. Козьмодемьянский (Сызрань) 69, 70, 72—79, 81, 83, 84; С. Колесник (Харьков) 69—81, 83, 84, 25; В. Конопленко (Измаил) 69—81, 83, 84, 25. Г. Копосов (г. Пудож) 69, 70, 72, 74, 75, 76, 78, 79, 81, 83; Г. Копылов (Днепродзержинск) 69—81, 83, 84; В. . Копытин (г. Николаев) 69, 70, 72—76, 78—81, 83; М. Кравчишин и Ф. Яремчук (Дрогобыч) 69—81, 83, 84, 25; М. Крайзман (Львов) 69—78, 79—81, 83; П. Краснов (Полоцкая обл.) 69—72, 74—81, 83; А. Кошелев (Ульяновская обл..) 69, 70, 72—81, 84; Е. Кулаго (Бобруйская обл.) 69, 70, 72—77, 81; В. Кунахович (Красноярский край) 69—73, 75, 76, 78, 79, 81, 83, 84, 25; Н. Кухарев (Уфа) 69, 70, 72—81, 83; Б. Латти (Новосибирск) 69, 70, 72—79, 81, 83; Г. Лебедев (Обоянь) 70,72,73, 75, 76, 79, 81; М. Лейбман (Свердловская обл.) 69—81, 83, 84, 25; Б. Лерман (Житомир) 69—81, 83, 84, 25; Л. Лоповок (Проскуров) 69—81, 83, 84, 25; Э. Магарам (Южно-Сахалинск) 69—72, 74—79, 83; А. Магеро (Витебская обл.) 69, 70, 72, 74—78, 81, 83; М. Манукьян (Келлеровка) 69, 70, 74—78, 81, 83; Кружок методики и элементарной математики Минского педагогического института 69, 70, 72, 74—76, 78, 81, 83; Математический кружок Гродненского педагогического института 72—76, 78, 79, 83, 84, 25; Математический кружок Ярославского педагогического института 69—81, 83, 84, 25; Математический кружок школы № 17 г. Киеза 69, 72—76, 81, 83; Математический кружок средней школы села Туринская Слобода 69, 70, 72, 73, 76, 81, 83, 84; Математический кружок Дагестанского педагогического института 72, 74—76, 78—81, 83; Математический кружок Гродненского педучилища 69, 70, 72— 76, 79—81, 84; Математический кружок Житомирского педагогического института 71—76, 78—81, 83, 84, 25; Математический кружок Чашниковской русской средней школы 69, 70, 72—81, 83; Л. Медведев (Себряково) 69, 70, 72—79, 81, 83, 84; Н. Медведев (Чебоксары) 69—72, 74, 76—81, 84; X. Меликов (Беслан) 69—79, 81, 83; Б. Меньший (Филоново) 69—81, 83, 25; Б. Мирау (Алма-Атинская обл.) 69, 81, 83, 84, 25; Г. Михальков (Уфа) 70, 72, 74—79, 83; А. Младенов (Болгария) 69, 70, 72, 73, 75—77; И. Молибога (Верхний) 69, 70, 72—76, 78, 79, 81, 83; А. Мостовой (Алма-Атинская обл.) 69—81, 83, 84, 25; Т. Мышакова (Одесса) 69—81, 83, 84, 25; С. Наумов (Коми АССР) 72, 74—81, 83; С. Нахамчик (Рогачев) 69—81, 83, 84, 25; К- Нелюбин (Кировская обл.) 69—81, 83, 84, 25; И. Нестеренко (Конотоп) 69—76, 78, 81, 83; Е. Нечаев (Владимир) 69, 70, 72, 74—76, 78—81, 83; Е. Павлов (Чувашская АССР) 69—81, 83, 84, 25; Ю. Палант (Харьков) 69—80, 84, 25; Б. Пахомов (Орловская обл.) 70—76, 79, 81, 83, 84, 25; А. Парахонский (Черновицы) 69—80, 83, 84, 25; С. Петров (Гайсин) 69, 70, 72—81, 83; Л. Печерский (Фрунзе) 69—81, 83, 84, 25; Ю. Пигарев (Киевская обл.) 69—84; И. Писаренко (Молдавская ССР) 69—81, 83, 84, 25; A. Поволоцкий (Акмолинск) 69—80, 83, 84, 25; B. Поминов (Амурская обл.) 69, 70, 72, 75, 76, 79, 81, 83; В. Попов (Сталинград) 69—81, 83, 84, 25; C. Попов (Московская обл.) 69—78, 81, 83; В. Рабинович (Северо-Казахстанская обл.) 69—81, 83, 84, 25; Е. Радченко (Курская обл.) 69, 70, 72, 75, 76, 79, 81; С. Рапопорт (Фастов) 69, 70, 72, 74—76, 78, 80, 81, 83; Л. Рейзиньш (Рига) 69—81, 83, 84, 25; Р. Реннерт (Польша) 69—72, 74—81, 83, 84; Н. Рознатовский (Киев) 69, 70, 72—81, 83, 84; Б. Рубенчик (Минск) 69, 70, 72, 75—79, 81; Н. Рубинштейн (Москва) 70—81, 83; П. Рубцов (Спирово) 70, 72, 74—78, 81; 3. Рудштейн (Любань) 69—81, 83, 84, 25; Я. Рыжик (Полтава) 70, 72, 75—77, 81, 83; К- Рябенко (Ворошиловск) 69—81, 83; Г. Сакович (Киев) 69—81, 83, 84, 25; Р. Селецкий (Полесская обл.) 69—74, 76—79, 81, 83, 84, 25; И. Сергачев (Малоярославец) 69—81, 83, 84, 25; Ф. Сергиенко (Запорожье) 69—81, 83; В. Смирнов (Абакан) 69—81, 83, 84, 25; С. Смоляк (Москва) 69—81, 83, 84, 25; В. Смышляев (Марийская АССР) 69, 70, 72—79, 81, 83, 84; Г. Стамболцян (Ленинакан) 69, 70, 72—78, 81, 83; В. Стасюк (Строт) 69—81, 83, 84, 25; И. Степанов (Иркутск) 69, 70, 72—81, 83; Э. Стрелецкий (Гродно) 69—81, 83, 84, 25; П. Строгальщиков (Вологодская обл.) 69, 72, 81, 83, 84, 25; А. Тер-Минасян (Ереван) 70, 73—76, 79, 81, 83; Н. Титов (Казань) 69, 70, 72—81, 83, 84, 25; Е. Тишков (Полоцк) 69—72, 74—81, 83; В. Токарев (Сталинская обл.) 69—81, 83, 84, 25; А. Тралмак (Ленинград) 69—81, 83, 84, 25; И. Тужиков (Рогачев) 69—79, 81, 83, 84; К. Устинов (Лениногорск) 69, 70, 72—77, 81; В. Утемов (Красноуфимск) 69—81, 83, 84, 25; М. Федорюк (Москва) 69—81, 83, 25; А. Хайруллин (Саратовская обл.) 69, 70, 72, 74—77, 79—81; И. Худяков (Воронежская обл.) 69, 70, 72—81, 83, 84; И. Челисов (Орловская обл.) 69—81, 83, 84, 25; Г. Чепкасов (Краснодарский край) 69—79, 81, 83, 25: В. Чередниченко (Благовка) 70, 72, 74—76, 78, 81, 83; М. Черепнин (Караганда) 69—76, 78—81, 83, 84, 25; И. Черкасов (Чкаловская обл.) 70—81, 83. 25; Н. Чернов (Измаил) 69—81, 83, 84, 25; А. Шалтаев (Ульяновская обл.) 69—81, 83, 84, 25; М. Шатохин (Орел) 69—81, 83, 84; М. Шебаршин (Кемеровская обл.) R9—81, 83, 84, 25; В. Штейншрайбер (Проскуоов) 69—81. 83, 84, 25; М. Штер (Проскуров) 69/72—78, 81; П. Эрдниев (Алтайский край) 69—81, 83, 84, 25; А. Южаков (Шадринск) 69—81; Э. Ясиновый 69, 70, 72—81, 83, 84.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Политехническое обучение в советской школе................. 1

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

A. С. Пархоменко — Число измерений..................... 5

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

B. Е. Прудников — Первый русский арифметик и геометр........... 12

МЕТОДИКА

М. Г. Васильев — О приближенных вычислениях в старших классах...... 16

А. В. Ланков — Арифметические задачи как один из факторов политехнического обучения.............................. 24

К. С. Богушевский — К вопросу о выполнении экзаменационных работ на аттестат зрелости по геометрии и тригонометрии............... 30

Н. А. Мацко — О математической подготовке выпускников семилетних школ . 44

М. Г. Парафило — Об исследовании решения задач по геометрии с применением тригонометрии............................ 48

Н. А. Принцев — Об арифметическом способе решения задач на вычисление . . 51

Д. М. Маергойз — О некоторых приложениях тождественных преобразований . 56

ИЗ ОПЫТА

A. А. Голдун — С. В. Ковалевская — выдающийся русский математик...... 66

Б. И. Воронов — Из опыта преподавания алгебры в VI классе......... 71

B. И. Луковецкий — Действия с нулем в семилетней школе.......... 75

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Ю. М. Гайдук — О книге Б. А. Кордемского и Н. В. Русалева «Удивительный квадрат»................................. 78

В. С. Михельсон —О книге Б. А. Кордемского и Н. В. Русалева «Удивительный квадрат» ................................. 80

ХРОНИКА

Николай Тимофеевич Зерченинов ............ 83

А. И. Мостовой — На «Педагогических чтениях» 1952 года в Казахской ССР . . 84

П. В. Конкин — О проведении курсов повышения квалификации учителей при Сталинградском областном институте усовершенствования учителей в 1951/52 учебном году........................... 86

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 5 за 1952 год................ 87

Задачи.................................... 93

Задачи для учащихся............................. 94

Сводка решений задач............................. —

Редакционная коллегия:

Редактор А. Н. Барсуков. Зам. редактора С. И. Новоселов В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Р. С. Терюкалова.

Технический редактор С. Н. Шахов. Корректор А. А. Журавлев

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6. Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

Сдано в производство 9 1 1953 г. Подписано к печати 7/III 1953 г. Учетно-изд. л. 11,81+вкл. 0,24. А01959. Заказ 1634. Тираж 50 000 экз

Печ. зн. в п. л._72 000._Цена_4_р. 50 к. Бумага 82Х108716=3 бум, л. + вкл.О,125—9,84 п. л.+вкл. 0,20

13-я Журнальная типография Союзполиграфпрома, Главиздата Министерства Культуры СССР.

Москза, Гарднеровский пер., 1а.