МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

1

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1953

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 1

ЯНВАРЬ-ФЕВРАЛЬ 1953 г.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Доктор физ.-мат. наук С. В. ФОМИН (Москва)

Для так называемой «элементарной» математики характерен сохранившийся еще от греческой науки разрыв между алгебраическими методами, с одной стороны, и наглядно-геометрическими представлениями—с другой. Правда, при решении геометрических задач часто используются те или иные алгебраические приемы, однако в элементарной математике нет общих методов для сведения геометрических задач к алгебраическим, равно как и нет общих методов геометрической интерпретации алгебраических формул и соотношений.

Простейшим из таких общих методов является введение в пространстве системы координат. Это дает возможность каждой точке пространства поставить в соответствие систему трех действительных чисел х, у, z, каждое уравнение, связывающее величины х, у, Z, интерпретировать как некоторую поверхность в пространстве и т. д. Таким образом, метод координат позволяет, во-первых, систематически, в соответствии с вполне определенными правилами, использовать алгебру для решения задач геометрии, классификации и исследования различных геометрических образов (кривых, поверхностей и т. д.), а во-вторых, он дает возможность, по совершенно общим правилам, геометрически интерпретировать различные алгебраические соотношения. Например, всякое линейное уравнение вида

Ax*+By+Cz+D = 0

изображает в пространстве некоторую плоскость (точнее говоря, совокупность всех тех точек пространства, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, есть плоскость).

Две плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0 (1)

A^ + B^ + C^+D^O (2)

могут совпадать, пересекаться или быть параллельными между собой. Каждый из этих случаев легко охарактеризовать алгебраически определенными соотношениями между коэффициентами в уравнениях (1) и (2); именно, если

то плоскости совпадают; если

то они параллельны, в остальных случаях плоскости пересекаются. Если плоскости, изображаемые уравнениями (1) и (2), пересекаются, то эти два уравнения определяют прямую линию (состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют обоим этим уравнениям).

Переходя к уравнениям, более сложным, чем линейные, мы охватим таким же образом более сложные поверхности и т. д.

Однако указанное соответствие между алгебраическими и геометрическими образами имеет известные пределы. С помощью планиметрии мы можем интерпретировать различные алгебраические соотношения, относящиеся к двум переменным величинам х и у, считая их координатами точек плоскости. Аналогично, соотношения, содержащие три переменные х9 у, zy связываются с геометрией в пространстве. Но уже для уравнений, содержащих четыре переменные,

мы непосредственно не можем дать соответствующей геометрической интерпретации. В то же время все те факты и соотношения, которые верны, например, для систем линейных уравнений с тремя неизвестными, совершенно автоматически переносятся на системы с четырьмя, пятью и вообще с любым числом неизвестных. Поэтому формально, используя основные идеи аналитической геометрии, можно без всякою труда строить чисто алгебраическими приемами «геометрию» в пространстве четырех, пяти и вообще любого числа измерений. Например, назовем «точкой» четырехмерного пространства любую четверку чисел (х, у, z, w), совокупность «точек», удовлетворяющих уравнению вида Ax+By -f Cz+ Dw+ Е = О, назовем «трехмерной гиперплоскостью» в этом пространстве и т. д. Аналогично можно рассматривать «пространство» с произвольным числом измерений я, назвав его точками системы п чисел (xl9x2,. . - ,*„) и определив в нем соответствующим образом «прямые», «плоскости» и т. д.

Эти идеи «я-мерной геометрии», возникшие примерно в середине прошлого века, не получили бы, конечно, широкого распространения и развития, если бы они не оказались весьма плодотворными как для самой математики, так и для различных ее приложений. Методы «геометрии n-мерного пространства», или, как мы теперь обычно говорим, линейной алгебры, нашли свое применение в аналитической геометрии, в механике, .в теории дифференциальных уравнений и т. д.

В более поздний период, в конце прошлого и в начале этого века, идеи линейной алгебры получили дальнейшее блестящее развитие. При этом само понятие «пространство» подверглось новому обобщению, включив в себя и так называемые бесконечномерные пространства. Возникшая здесь теория оказалась тесно связанной с важнейшими разделами современной математики — дифференциальными и интегральными уравнениями, тригонометрическими рядами и т. д., а также и с современной теоретической физикой, • первую очередь квантовой механикой.

Таким образом, линейная алгебра является тем разделом математики, изучение которого дает возможность познакомиться, притом в весьма доступной и элементарной форме, с рядом понятий, играющих фундаментальную роль в современной математике и ее приложениях.

С другой стороны, в линейной алгебре особенно отчетливо видна связь между геометрическими представлениями и алгебраическими методами. Эта связь, характерная для так называемой высшей математики, все больше и больше проникает и в школьное преподавание. Поэтому, хотя основные понятия линейной алгебры и не входят в программу средней школы, знакомство с ними полезно для учителя с точки зрения не только расширения его математического кругозора, но и его непосредственной педагогической деятельности.

Наконец, линейная алгебра широко использует аксиоматический метод, исторически впервые возникший в геометрии, но имеющий в настоящее время первостепенное значение v. для всей математики в целом. Изложению самых основных понятий линейной алгебры и посвящена наша статья.

Содержание

§ 1. Линейное пространство. 1. Определение линейного пространства и примеры. 2. Линейная зависимость. 3. Число измерений линейного пространства. 4. Базис, координаты. 5. Изоморфизм линейных пространств. 6. Подпространства линейного пространства. 7. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений.

§ 2. Евклидово пространство. 8. Определение евклидова пространства. 9. Длина вектора и угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. 10. Ортогональный нормированный базис. 11. Изоморфизм евклидовых пространств.

§ 3. Линейные преобразования в евклидовом пространстве. 12. Определение и примеры линейных преобразований. 13. Сложение и умножение линейных преобразований. 14. Матрица линейного преобразования. 15. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения. 16. Самосопряженные преобразования. 17. Билинейные и квадратичные формы.

§ 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1. Определение и примеры. Во многих областях математики и физики, например в аналитической геометрии, механике, электродинамике и т. д., важную роль играет понятие вектора. Векторами могут быть величины различной физической или геометрической природы (силы, скорости, радиусы-векторы точек некоторой кривой и т. п.), однако с точки зрения самого аппарата векторного исчисления важна не природа этих величин, а только те математические операции, которые над векторами можно производить и свойства которых остаются одни и те же, независимо от конкретного физического или геометрического смысла рассматриваемых векторов. Такими операциями являются, в первую очередь, сложение векторов и умножение векторов на числа.

В математике часто приходится встречаться и с другими объектами, которые можно складывать между собой и умножать на числа. Приведем некоторые примеры.

1°. Рассмотрим всевозможные однородные линейные уравнения с п неизвестными:

аххх-\а2хг +...4-^=: 0 (д| — произвольные действительные числа, из ко-

торых некоторые или даже все могут оказаться нулями).

Складывая такие уравнения между собой или умножая их на числа (как это, например, делают с целью исключения тех или иных неизвестных при решении систем линейных уравнений в средней школе), мы будем всякий раз снова получать уравнения того же вида. При этом можно не выписывать самих неизвестных хг, х2,...,хп, а производить соответствующие действия над системами п чисел:

а = (аиа%9.. ,,ал)

— коэффициентами уравнений. Тогда операции сложения и умножения на числа будут для таких систем записываться следующим образом: если

а = (аиа2,.. .,ал), 6 = (ô1,ô2,.. ,,bn) и к — произвольное действительное число, то

Легко проверить, что эти операции подчиняются тем же правилам, что и соответствующие операции над векторами.

2°. Рассмотрим совокупность всех непрерывных функций, определенных на некотором отрезке [а, Ь\. Такие функции, как известно, можно складывать между собой и умножать на числа, получая в результате снова непрерывные функции на том же отрезке.

Количество подобных примеров можно было бы увеличить неограниченно.

Естественно попытаться рассмотреть все подобные примеры с единой точки зрения, охватив их одним общим понятием. Такая постановка вопроса приводит нас к следующему определению.

Определение 1. Множество R элементов Ху у у.. .yZy. . .называется линейным пространством, если:

I. Для любых двух элементов х и у из R определен элемент z = x+yy называемый их суммой, причем:

2) X + ly + g) = (X+y) + r,

3) в R существует такой элемент О (нулевой элемент), что для любого X из R\

4) для каждого элемента х в R существует обратный ему элемент —х, такой, что

II. Для любого элемента х из R и любого числа X определен элемент кх — произведение элемента х на число X, причем

5) афх) = (а$)х

(т. е. произведение числа ос на элемент ßjc равно произведению числа aß на элемент х);

6) 1 -X = х\

7) (a+P)x=ax + ß*;

8) а(х+у) = ах+ау.

Подчеркнем, что в этом определении совершенно безразлично, что именно представляют собой элементы множества R и как именно определены операции сложения элементов из R и умножения их на числа; важна лишь справедливость указанных выше аксиом 1) — 8). Читатель легко может убедиться в том, что эти аксиомы представляют собой не что иное, как обычные правила действий над векторами. Таким образом, совокупность всех векторов в трехмерном пространстве (или на плоскости) представляет собой линейное пространство. Нетрудно также убедиться в том, что эти аксиомы выполнены в приведенных выше примерах 1 и 2, т. е. что они действительно являются примерами линейных пространств. Приведем еще некоторые примеры.

3°. R — совокупность всех многочленов в степени не выше п. Операции сложения и умножения на числа определены, как обычно, т. е. если

и

(среди коэффициентов а09аи..., anyb0ybu .. ,,Ьп некоторые, или даже все, могут оказаться нулями), то

и

Непосредственной проверкой аксиом 1 — 8 легко убедиться, что R — линейное пространство.

Заметим, что совокупность всех многочленов, степень которых в точности равна я, не образует линейного пространства (например, среди таких многочленов не будет нулевого элемента).

4°. Предположим, что элементы множества R — это пары

обычных векторов в трехмерном пространстве. Операции сложения и умножения на числа определены следующим образом:

если

X = (a,b), у = (c,d),

то

х+у =(а+ с, b + d\ hc = (\a, Щ.

Легко проверить, что R — линейное пространство.

Часто элементы произвольного линейного пространства называют векторами. Эта терминология не приводит ни к каким недоразумениям, напротив, она вызывает некоторые наглядно-геометрические представления, которые часто оказываются полезными.

2. Линейная зависимость. Для линейных уравнений, векторов в трехмерном пространстве и на плоскости и т. д. важную роль играет понятие линейной зависимости. Например, если мы рассматриваем два линейные уравнения:

alx+b1y = cv а1хАгЪ<2у = съ

то для того, чтобы они имели единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы эти уравнения были независимы, т. е. чтобы одно из них нельзя было получить из другого умножением на число. Сформулируем соответствующее определение применительно к элементам произвольного линейного пространства.

Определение 2. Векторы x,y,...,z, принадлежащие линейному пространству R, называются линейно зависимыми, если существуют такие числа а, ß,..., У, среди которых хотя бы одно не равно нулю, что

**+$У + - .. + Х* = 0. (3)

В противном случае векторы х,у,... ,z называются линейно независимыми. Иначе говоря, векторы х,у,..., z линейно независимы, если из (3) следует, что

а = ß = ... = X = 0. (4)

Примеры. 1°. В трехмерном пространстве линейная зависимость трех векторов означает, что эти векторы лежат в одной плоскости. Если в трехмерном пространстве взять больше чем три вектора, то они обязательно будут линейно зависимы.

2°. Если один из векторов х, у,.,., z равен нулю, например х = 0, то эти векторы обязательно линейно зависимы.

Действительно, тогда справедливо равенство:

1.0 + 0..У + .. .+0.z = 0. 3°. Если

* = ау+...+А*, (5)

то векторы X, у у..., z линейно зависимы. Действительно, в этом случае

1 • X — ау —.. . — \z = 0.

Вектор X при этом называется линейной комбинацией векторов у, . . . , z. Легко проверить, что если векторы х, у, . .., z линейно зависимы, то хотя бы один из них можно представить как линейную комбинацию остальных.

4°. В пространстве всех непрерывных функций (пример 2 п. 1) рассмотрим функции:

N—произвольное число. Эти функции линейно независимы. Действительно, многочлен

тождественно равен нулю (т. е. нулевому элементу рассматриваемого пространства) только в том случае, если

а = Р = ... = Х = 0.

3. Число измерений линейного пространства. Понятие линейной зависимости векторов позволяет сформулировать весьма важное понятие размерности (числа измерений) линейного пространства. Действительно, рассматривая простейшие примеры линейных пространств — прямую, плоскость, трехмерное пространство, мы видим, что на прямой существует только один линейно независимый вектор (все остальные ему пропорциональны), на плоскости можно найти два линейно независимые вектора, а в трехмерном пространстве максимальное число линейно независимых векторов равно трем. Эти примеры подсказывают следующее определение.

Определение 3. Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует п линейно независимых векторов, а любые п+\ векторов в нем обязательно линейно зависимы.

Если в пространстве R можно найти как угодно много линейно независимых векторов, то оно называется бесконечномерным.

Найдем размерность пространств, приведенных в примерах 1—4 п. 1.

1°. Рассмотренное в примере 1 пространство, векторами которого являются всевозможные системы п чисел jc = ($t, £2, .. . , 5Л), мы назовем с координатным пространством» и будем обозначать символом Кп. Легко проверить, что размерность этого пространства равна п.

2°. Возьмем в пространстве всех непрерывных функций векторы

они линейно независимы (см. пример 4° п. 2). Так как N произвольно, то рассматриваемое пространство бесконечномерно.

3°. Пространство многочленов степени не выше п имеет размерность Действительно,

в нем многочлены 1, t, ..., tn линейно независимы, а любые п+2 многочленов степени не выше п обязательно линейно зависимы.

4°. Пространство пар векторов шестимерно. Доказательство предоставляется читателю.

Так как пространство Кп можно построить для любого л, то пример 1° показывает справедливость следующего утверждения: существуют линейные пространства любой размерности п. Существование бесконечномерных пространств показывает пример 2°.

4. Базис, координаты. В обычном трехмерном пространстве можно задать систему координат (косоугольную), выбрав три произвольные вектора, не лежащие в одной плоскости. Тогда всякий вектор можно записать, притом единственным образом, как линейную комбинацию этих трех. Аналогично вводится понятие системы координат, или базиса, в n-мерном пространстве.

Определение 4. Базисом n-мерного линейного пространства называются любые его п линейно независимых векторов.

Существование в каждом n-мерном пространстве хотя бы одного базиса непосредственно следует из определения размерности линейного пространства, сформулированного в предыдущем пункте.

Понятие базиса важно тем, что оно позволяет в любом я-мерном линейном пространстве свести операции сложения векторов и умножения их на числа (определенные каким-то произвольным образом) к обычным арифметическим операциям над числами и, в конечном счете, дать полное описание всех конечномерных линейных пространств.

Теорема 1. Каждый вектор х из п-мерного пространства R можно записать как линейную комбинацию базисных векторов.

Доказательство. Пусть еъ е2, ..., еп — базис в R и X — произвольный вектор из R. Векторы Ху еХу e2f . . ., еп линейно зависимы, так как их число равно п +1, а пространство R я-мерно. Таким образом, имеет место равенство:

(6)

в котором не все коэффициенты равны нулю. Число <х0 не может быть равно нулю, так как иначе векторы еъ е29...у еп оказались бы линейно зависимыми, в противоречие с определением базиса. Поэтому, перенося в равенстве (6) все члены, кроме первого, вправо и деля его на л0, получим:

где

Числа üj, £2, .. ., £л называются координатами вектора х в базисе еи е2, . . ., еп. Нетрудно проверить, что при фиксированном базисе ei>e2> • • • > еп они определяются вектором х однозначно.

Пусть теперь

два произвольные вектора. Тогда

(X — произвольное число).

Таким образом, при сложении двух векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на некоторое число его координаты умножаются на это число. Мы видим, что понятие базиса действительно позволяет свести операции сложения векторов и умножения их на числа к соответствующим операциям над числами, а именно—над координатами этих векторов.

5. Изоморфизм линейных пространств Вы.пе мы уже указывали ряд примеров линейных пространств. Интересно выяснить, какие из этих пространств действительно различны между собой, а какие отличаются друг от друга лишь способом обозначения векторов в этих пространствах. Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно прежде всего точно сформулировать, какие два линейные пространства следует считать одинаковыми, или, как обычно говорят, изоморфными, а какие—различными. Поскольку все, что можно сказать о линейном пространстве, формулируется, в конечном счете, в терминах сложения векторов и умножения векторов на числа, естественно ввести следующее определение.

Определение 5. Линейные пространства R и R' называются изоморфными, если между их векторами можно установить взаимно однозначное соответствие*)

х<—> х'

так у что выполнено следующее условие: если X *-* х'

*) Соответствие между элементами двух множеств M и Мг называется взаимно однозначным, если каждому элементу из M соответствует один и только один элемент из М' и, обратно, каждому элементу из М' соответствует один и только один элемент из М.

и

то

Непосредственно из этого определения вытекает, что два линейные пространства различной размерности не могут быть изоморфны друг другу.

Далее оказывается справедлива следующая теорема 2. Два пространства R и R'f имеющие одну и ту же размерность л, изоморфны между собой.

Доказательство. Пусть еъ еа, ..., еп — произвольный базис в R и е\9 е'2, ..е'п — произвольный базис в R'. Каждый вектор из R может быть записан, притом единственным способом, в виде

Подставим этому вектору х в соответствие вектор

т. е. такой вектор из R, который в базисе е[, е'2, ..., е'п имеет те же самые координаты, что и вектор X в базисе ех, е2, еп. Это соответствие взаимно однозначно, так как при фиксированном базисе всякий вектор однозначно определяется своими координатами. Далее, если вектору

соответствует вектор

а вектору

вектор

го вектору

соответствует вектор

т. е. вектор хг -}~У Аналогично вектору

соответствует вектор

т. е. вектор he'. Таким образом, установленное соответствие действительно представляет собой изоморфизм. Теорема доказана.

Итак, мы показали, что каждое линейное пространство вполне определяется своей размерностью п. Для каждого п мы можем построить n-мерное линейное пространство Кп (см. пример 1 п. 3). В силу доказанной теоремы любое другое линейное пространство той же размерности п отличается от Кп только обозначением элементов.

Замечание. Если некоторый объект определен с помощью системы аксиом, то говорят, что данная система аксиом является полной, если всякий другой объект, удовлетворяющий той же самой системе аксиом, обязательно изоморфен первому, т. е. всякая теорема, справедливая по отношению к первому объекту, справедлива и по отношению ко второму. В противном случае система аксиом называется неполной. Примером полной системы аксиом является, например, гильбертова система аксиом евклидовой геометрии. Полученные нами в этом пункте результаты показывают, что система аксиом 1—8, определяющих линейное пространство, не полна (существуют неизоморфные между собой линейные пространства, например прямая и плоскость). Однако, как показывает теорема 2, эту систему можно сделать полной, добавив к ней еще одну аксиому:

9. В пространстве R существует п линейно независимых векторов и любые я+1 векторов в R линейно зависимы.

6. Подпространства линейного пространства. Определение 6. ПодпространствомRx линейного пространства R называется такая совокупность элементов из /?, что если хиу принадлежат /?ь то элементы х+у и \х также принадлежат Rv

Согласно этому определению, в любом пространстве существует так называемое нулевое подпространство, состоящее только из нулевого элемента. Все пространство R также является своим подпространством. Эти два подпространства называются несобственными подпространствами. Укажем некоторые более содержательные примеры подпространств.

1°. В трехмерном пространстве всякая прямая, проходящая через начало координат, представляет собой подпространство (одномерное). Аналогично, любая плоскость, проходящая через начало координат, будет двумерным подпространством.

2°. В пространстве Кп векторы вида (О, £2,..., £„). У которых первая компонента \х равна нулю, образуют подпространство. Легко проверить, что размерность такого подпространства равна п — 1.

3°. В пространстве непрерывных функций на некотором отрезке [а, Ь\ совокупность многочленов образует линейное подпространство, так как сумма двух многочленов есть снова многочлен и произведение многочлена на число также является многочленом.

Если в линейном пространстве R взято произвольное множество векторов х, у, ... (конечное или бесконечное), то в R существует наименьшее подпространство, содержащее все эти векторы. Для того чтобы построить такое подпространство, нужно взять совокупность всех линейных комбинаций этих векторов. Такое подпространство называется линейной оболочкой векторов ху у, .... Размерность линейной оболочки некоторой совокупности векторов равна числу линейно независимых векторов в этой совокупности. В частности, линейная оболочка К линейно независимых векторов л:(1), jc<2) ,..., xS® имеет размерность К.

В трехмерном пространстве совокупность векторов вида

х = х0 + Ъх1, (7)

где Xq и хх — фиксированные векторы, а X—числовой параметр, принимающий произвольные значения, представляет собой прямую. Естественно поэтому и в любом линейном пространстве совокупность векторов вида (7) назвать прямой линией. Аналогично, всякую совокупность векторов вида

X = х9 + hcx + \*.х2,

где хх и х2—фиксированные линейно независимые векторы, хь—произвольный фиксированный вектор, а X и |1> — произвольные числа, будем называть плоскостью.

7. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений. Понятие линейного пространства позволяет дать наглядно-геометрическую интерпретацию основным фактам теории линейных уравнений. Мы остановимся на двух таких фактах: на понятии фундаментальной системы решений и на критерии разрешимости системы.

1. Рассмотрим однородную систему k линейных уравнений с п неизвестными:

(8)

Всякую систему п чисел х], х°2, .. . , х°п, таких, что если вместо неизвестных хи хг,...,хп в уравнения (8) подставить соответственно Х\, Х2, . . ., хп, то уравнения (8) обратятся

в тождества, называется решением этой системы уравнений. Если

(9) (10)

— два решения системы (8), то хх = аг + ßi>

х2 = а2 + Р ». • • - » хп = *п + РЛ — сумма Решений (9) и (10), а хх = Ха19.. ,,хп = Хал — произведение решения (9) на число X.

Для однородных систем линейных уравнений известно следующее:

1) Всякая такая система имеет хотя бы одно решение. Действительно, ясно, что значения хх = х2 = . . . = хп = 0 удовлетворяют уравнениям (8).

2) Сумма двух решений и произведение решения на число также являются решениями. Справедливость этого утверждения проверяется непосредственной подстановкой.

3) Если среди уравнений (8) имеется г линейно независимых, то можно выбрать п — г решений системы (8) так, что любое ее решение можно единственным образом представить в виде линейной комбинации данных решений. Эти п — г решений называются фундаментальной системой решений уравнений (8)*).

На языке геометрии эти факты формулируются следующим образом.

Совокупность решений системы (8) представляет собой подпространство п-мерного пространства Кп. Его размерность равна п—г, где г— число линейно независимых уравнений в системе (8). Фундаментальная система решений—это базис в данном п—г-мерном подпространстве.

Рассмотрим в качестве примера систему двух уравнений с тремя неизвестными (п = 3, k = 2):

(11)

Если эти уравнения независимы, то они изображают пару пересекающихся плоскостей. Совокупность решений этой системы представляет собой пересечение этих двух плоскостей, т. е. прямую, проходящую через начало координат. Любое ненулевое решение, т. е. любой ненулевой вектор, направленный по этой прямой, представляет собой фундаментальную систему решений. Если уравнения зависимы, то они оба изображают одну и ту же плоскость, которая и представляет собой совокупность решений системы (11). Любые два неколлинеарные вектора, принадлежащие этой плоскости, образуют фундаментальную систему решений уравнений (11).

*) См., например, А. Г. Курош, Курс высшей алгебры.

2. Рассмотрим теперь неоднородную систему уравнений:

(12)

и воспользуемся следующей ее геометрической интерпретацией: столбцы из коэффициентов при хг, лг2,..., хп, т. е. системы чисел {а11> а21>- • ->akl)> (а12> а22>- • -»а^)*- • •, (а1Я» а2п>-•->akn) будем рассматривать как векторы в ^-мерном пространстве. Аналогично интерпретируется и совокупность свободных членов \ри Ь2,. . ., bk).

Введем для краткости обозначения:

Тогда система (9) может быть записана в виде одного векторного уравнения:

где ах,а2,..., ап и £—векторы, а хх, лг2,..., хп— числа. Следовательно, решить систему (9)—это значит представить вектор b как линейную комбинацию векторов аг, а2,...,ап. Ясно, что это возможно тогда и только тогда, когда вектор b принадлежит линейной оболочке векторов а>\,а2,..., ап. Но для этого в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы среди векторов а1>я%9» - - > ап>Ь было столько же линейно независимых, сколько и среди одних только векторов аг, а2,..., ап. Число линейно независимых среди векторов а19 а2,..., ап — это число линейно независимых столбцов в матрице

(13)

т. е. ранг этой матрицы. Аналогично, число линейно независимых среди векторов аг, а2,... ..., an,b — это ранг расширенной матрицы

(14)

Таким образом мы приходим к следующей известной теореме:

Для того чтобы система (12) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы коэффициентов (13) был равен рангу расширенной матрицы (14).

Пример.

Здесь аг = (1, 1, 1), а2 = (1, —1, 3), ав = (—1, 1, —3), их линейная оболочка — плоскость, порожденная векторами (1, 1, 1) и (1,—1, 3), т. е. плоскость

2х—у — z = 0.

Вектор (1, 0, 2) лежит в этой плоскости, и система разрешима.

§ 2. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

8. Определение евклидова пространства. Выше мы видели, что в линейном пространстве можно определить плоскости, прямые, понятие параллельности, пересечения и т. д. Однако в терминах линейного пространства нельзя определить, например, такие фундаментальные геометрические понятия, как длина и угол между векторами. Мы введем эти понятия, опираясь на понятие скалярного произведения, которое определим аксиоматически*).

Определение 7. Говорят, что в линейном пространстве определено скалярное произведение, если каждой паре векторов х, у из R поставлено в соответствие некоторое действительное число (х, у), причем это соответствие обладает следующими свойствами

1) У) = (У, •*)

2) + *2. У) = (*1. У) + (*г » У)

3) (Кх, у) = Цх,у)

4) (*, х) >- 0, причем (х, х) = О тогда и только тогда, когда х = 0.

Линейное пространство, в котором определено скалярное произведение, мы будем называть евклидовым пространством.

Легко видеть, что перечисленные в определении 7 свойства 1 —4 — не что иное, как известные свойства скалярного произведения векторов в обычном трехмерном пространстве, т. е. это последнее подходит под определение евклидова пространства. Приведем еще два примера евклидовых пространств.

1°. Определим в линейном пространстве Кп, векторами которого являются системы п чисел, скалярное произведение векторов

*) Можно было бы определять аксиоматически длину вектора и угол между векторами, а потом уже вводить понятие скалярного произведения, однако это привело бы к более сложной системе аксиом.

формулой

Справедливость аксиом 1—4 легко проверяется.

2°. Пусть R — пространство многочленов степени не выше я, определенных на отрезке [—1, 1]. Определим скалярное произведение двух таких многочленов x(t) и у (t) формулой

Справедливость аксиом 1—4 сразу вытекает из основных свойств интеграла.

9. Длина вектора и угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского.

С помощью скалярного произведения легко ввести понятия длины вектора и угла между векторами.

Определение 8. Длиной вектора х, принадлежащего некоторому евклидову пространству R, называется число

Сформулируем теперь определение угла между векторами так, чтобы выполнялось известное из элементарной геометрии соотношение: скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Ясно, что единственный способ для этого — следующий:

Определение 9. Углом «р между векторами X и у называется число*)

В частности, если (л:, у) = 0 ^т. е. ср= -j^ , то векторы X и у называются ортогональными.

Введенное нами определение угла между векторами нуждается в некотором обосновании. Для того чтобы оно имело смысл, необходимо доказать, что выражение ^ р~ всегда (т. е. при любых X и у) можно считать косинусом некоторого угла. Иначе говоря, нужно доказать неравенство

или, что то же самое

(1)

Это важное неравенство называется неравенством Коши-Буняковского. Оно было доказано Коши в 1821 г. (Oeuvres IIs) для частного случая координатного евклидова пространства (пример 1° п.8). В более общем случае его доказал и систематически использовал русский академик В. Я. Буняковский (1859 г.). Часто встречающееся в литературе, особенно иностранной, название «неравенство Шварца» исторически совершенно неверно, так как у Шварца это неравенство впервые встречается только в 1885 г.

Перейдем к доказательству неравенства Коши-Буняковского. Рассмотрим вектор х — ty, где X и у — произвольные векторы, a t — некоторое действительное число. По свойству 4° скалярного произведения (определение 7) имеем:

при всех значениях t. Это означает, что квадратный трехчлен, стоящий в левой части последнего неравенства, не может иметь двух различных действительных корней. Следовательно, его дискриминант не может быть положителен:

т. е.

что и требовалось доказать.

Пользуясь введенными нами определениями длины вектора, угла между векторами и неравенством Коши-Буняковского, можно доказать любую геометрическую теорему, которую можно сформулировать с помощью понятия длины и угла. Докажем, например, утверждение: в треугольнике длина каждой стороны не превосходит суммы длин двух других его сторон.

Пусть две стороны треугольника изображаются векторами х и у, тогда третья его сторона изображается вектором х +y. Имеем, принимая во внимание неравенство Коши-Буняковского:

(2)

Это неравенство называется обычно неравенством треугольника.

Если векторы х и у ортогональны, т. е. (х,у) = 0, то \х + у\*=(х+ у, х+у) = = (X, X) + 2 (X, у) + СУ, у) = IX р + I у \\ Мы получаем, таким образом, теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

10. Ортогональный нормированный базис. Известно, что в аналитической геометрии (на плоскости или в пространстве) наиболее

*) Углы измеряются в радианах.

удобной системой координат является прямоугольная система. Аналогично, в n-мерном евклидовом пространстве наиболее удобным базисом является так называемый ортогональный нормированный базис.

Определение 10. Говорят, что векторы еи е2,.. ., еп образуют в n-мерном евклидовом пространстве ортогональный нормированный базис, если они попарно ортогональны и каждый из них имеет длину 1, т. е. если

(3)

Векторы,образующие ортогональный нормированный базис, линейно независимы, т. е. они действительно образуют базис в смысле определения 4 § 1. В самом деле, пусть

(4)

Умножая это равенство скалярно на е1, получим:

т. е. = 0 (/ = 1, 2,..., п). Следовательно, равенство (4) возможно только при кх = Х2 = ... = х„ = о.

Посмотрим, как выражается скалярное произведение двух векторов через их координаты в некотором ортогональном нормированном базисе еъ е2,..., еп. Пусть

Тогда

т. е. в ортогональном нормированном базисе скалярное произведение записывается весьма просто, а именно как сумма попарных произведений их координат в этом базисе. Так как длина вектора и угол между векторами выражаются через скалярное произведение, то отсюда следует, что и все геометрические формулы в ортогональном нормированном базисе должны записываться проще, чем в произвольном t косоугольном э базисе.

11. Изоморфизм евклидовых пространств. Как и в случае линейных пространств, при рассмотрении разных примеров евклидовых пространств естественно возникает вопрос о том, какие евклидовы пространства одинаковы (изоморфны), а какие—действительно различны. При этом, однако, так как в евклидовом пространстве, помимо операций сложения векторов и умножения их на числа, вводится еще и скалярное произведение, то само определение изоморфизма для евклидовых пространств должно быть иным, чем для линейных.

Определение 11. Два евклидовы пространства R и R' называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие х<->х' так у что:

Теорема 4. Все евклидовы пространства одной и той же размерности п изоморфны между собой.

Доказательство. Пусть R и R' — два евклидовы пространства одинаковой размерности п. Выберем в R ортогональный нормированный базис еи е2,..., еп, а в R' — ортогональный нормированный базис е'{9 е'2,..., е'п. Каждому вектору * = Si*i+... + £,,£„ из R поставим в соответствие вектор х' = ^е'{ -(-.. .+Ьпе'п из /?'. Рассуждения, аналогичные проведенным в п. 5 § 1, показывают, что это соответствие взаимно однозначно и условия 1) и 2) определения 11 выполнены. Далее, если

— два вектора из R, а

— соответствующие им векторы из /?', то, согласно полученному в п. 10 выражению скалярного произведения двух векторов через их координаты в ортогональном нормированном базисе, имеем:

и

Следовательно,

Таким образом, условие 3) определения 11 также выполнено, и установленное нами соответствие действительно является изоморфизмом.

Легко проверить, что два евклидовых пространства различной размерности не могут быть изоморфны.

Из доказанной теоремы следует, например, что любое двумерное евклидово пространство представляет собой просто обыкновенную плос-

кость, на которой справедливы все без исключения теоремы планиметрии, а всякое евклидово пространство, размерность которого равна трем, совпадает с обычным нашим трехмерным пространством, которое изучается в элементарной геометрии. Можно сказать, что система аксиом, определяющих евклидово пространство, вместе с условием, что размерность этого пространства равна трем, представляет собой полную систему аксиом, равносильную тем системам аксиом, которые обычно кладутся в основу евклидовой геометрии (например, аксиоматика Гильберта).

§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

12. Определение и примеры линейных преобразований. В различных вопросах математики и физики приходится встречаться с функциями, у которых значениями как независимого переменного, так и самой функции являются не числа, а векторы некоторого евклидова пространства. Рассмотрим, например, кубик, сделанный из какого-либо упругого материала, и предположим, что этот кубик деформируется под действием некоторых сил. Каждая частица кубика при этом переместится из своего первоначального положения в некоторое новое положение. Относя каждому вектору х, идущему из начала координат в некоторую точку, вектор, идущий в ту точку, куда переместилась соответствующая частица после деформации, мы получим функцию векторного аргумента, значения которой также являются векторами.

Функция у = Ах, которая каждому вектору X некоторого евклидова пространства R ставит в соответствие вектор у из этого же пространства, называется преобразованием пространства R.

Среди различных преобразований наиболее простыми и важными являются так называемые линейные преобразования.

Определение 12. Преобразование у=Ах называется линейным, если оно обладает следующими свойствами:

1) А(хг+х2) = Ахх + Ах2 2) А (кх) = ХАх (X — произвольное число).

Примеры. 1°. Пусть R — трехмерное пространство и R' — плоскость в нем, проходящая через начало координат. Поставим в соответствие каждому вектору х из R его проекцию на плоскость /?'. Это соответствие представляет собой линейное преобразование. Справедливость условий 1° и 2° следует из основных свойств проекций: проекция суммы двух векторов равна сумме их проекций, и при умножении вектора на некоторое число X его проекция умножается на это же число.

2°. Пусть R — трехмерное пространство. Рассмотрим поворот этого пространства вокруг оси z на некоторый угол <р. При этом каждому вектору X ставится в соответствие вектор, получаемый из X указанным поворотом. Ясно, что это соответствие будет линейным преобразованием.

3°. Пусть R — пространство многочленов степени не выше п—1. Поставим в соответствие каждому многочлену P(t) его производную Р'(t). Это соответствие представляет собой линейное преобразование, так как, согласно основным правилам дифференцирования:

Среди всех линейных преобразований некоторого пространства выделим особо так называемое нулевое преобразование, относящее каждому вектору X нулевой вектор:

Ох = 0,

и единичное преобразование, относящее каждому вектору X сам этот вектор:

Ех = X.

13. Сложение и умножение линейных преобразований. Введем для линейных преобразований операции сложения и умножения. Именно, суммой двух линейных преобразований А и В мы назовем такое преобразование С, что для всякого вектора х из R

Сх == Ах + Вх.

Далее, произведение двух линейных преобразований мы определим как последовательное их выполнение, т. е.

С = АВ

означает, что для всякого вектора х из R Сх = А (Вх).

Преобразование В называется обратным к преобразованию А, если AB = ВА = Е. Преобразование, обратное к А, обозначается символом А—К

Необходимо подчеркнуть, что при умножении линейных преобразований важно, в каком порядке эти сомножители берутся, так как, вообще говоря,

AB ф В А.

В остальном свойства операций сложения и умножения для линейных преобразований такие же, как и для чисел.

14. Матрица линейного преобразования.

Выше мы видели, что если в n-мерном пространстве R выбран некоторый фиксированный базис, то всякий вектор из R определяется системой п чисел — своими координатами. Аналогично, всякому линейному преобразованию в я-мерном пространстве, в котором зафиксирован некоторый базис eXi е2,...,еп, мы поставим сейчас в соответствие некоторую определенную систему из я2 чисел — матрицу этого преобразования.

Пусть в я-мерном пространстве R дан некоторый базис еи e2t. . ., еп. Тогда всякое линейное преобразование А однозначно определяется заданием векторов Аеи Ае2,...,Аеп — образов базисных векторов. Действительно, для любого вектора х = lxex -J- 12е2 -(-...-}- Ьпеп имеем :

Запишем теперь каждый из векторов Аех, Ае2,... . . ., Аеп как линейную комбинацию базисных векторов:

Матрица

составленная из координат этих векторов (выписанных по столбцам), называется матрицей данного линейного преобразования А в базисе ех, е2,..., еп. Согласно сказанному, всякое линейное преобразование однозначно определяется своей матрицей.

Примеры. Найдем матрицы преобразований, рассмотренных в примерах 1° — 3° п. 12.

1°. В трехмерном пространстве R примем за базис систему трех взаимно ортогональных единичных векторов ех, е2, ев, из которых ех и е2 лежат в плоскости R'. Преобразование А представляет собой проекцию всего R на плоскость R. Поэтому

Аех = ег, Ае2 = е2У Аег — 0.

Таким образом, матрица этого линейного преобразования имеет вид:

2е. Примем в трехмерном пространстве R за базис единичные векторы ех, еъ е9, направленные по осям X, уу z соответственно. При повороте на угол ср вокруг оси z они перейдут в векторы

Матрица этого преобразования:

3°. В пространстве многочленов степени не выше п примем за базис векторы

Если D — преобразование, ставящее в соответствие каждому многочлену его производную, те

D(1) = 0, D(t) = 1,..., D (t») = ntn~y Соответствующая матрица имеет вид:

Очевидно, что матрицей единичного преобразования в любом базисе будет единичная матрица

а матрица нулевого преобразования при любом выборе базиса состоит сплошь из нулей.

Отметим, наконец, что при сложении линейных преобразований их матрицы складываются, а при умножении линейных преобразований их матрицы перемножаются*). Отсюда следует, что матрица

*) Сложение двух матриц определяется как сложение их соответствующих элементов» т. е. С = А+В означает, что = + bfk для всех /, k. Произведение С — AB двух матриц А и В определяется так: элемент матрицы С, стоящий в /-й строке и &-м столбце, равен сумме попарных произведений элементов /-й строки матрицы А на соответствующие элемены k-го столбца матрицы В:

Исторически эти определения операций над матрицами как раз и возникли в силу той связи, которая существует между матрицами и линейными преобразованиями.

преобразования А~~\ обратного преобразованию А, является обратной к матрице преобразования А. Так как матрица имеет обратную в том и только в том случае, когда ее детерминант не равен нулю, то отсюда следует, что преобразование А имеет обратное тогда и только тогда, когда его матрица в каком-либо (а значит, и в любом) базисе имеет детерминант, отличный от нуля.

15. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения. Когда рассматривается некоторая числовая функция, ее можно рассматривать не только на всем том множестве, на котором она определена, но и на любой его части. Иначе обстоит дело в случае линейных преобразований.

Если мы хотим линейное преобразование А, определенное в пространстве R, рассматривать как преобразование, определенное в некотором его подпространстве R', то необходимо, чтобы преобразование А переводило векторы, принадлежащие R', снова в векторы, принадлежащие тому же самому подпространству /?'.

Определение 13. Подпространство R' евклидова пространства R называется инвариантным относительно линейного преобразования А, если из того, что вектор х принадлежит R', следует, что вектор Ах также принадлежит R'.

Примеры инвариантных подпространств. Рассмотрим примеры линейных преобразований, которые были приведены в п. 12.

1°. А — проектирование трехмерного пространства R на плоскость R'. Очевидно, что в этом случае прямая, перпендикулярная R', является одномерным инвариантным подпространством*), а сама плоскость R' будет двумерным инвариантным подпространством. Всякая прямая, лежащая в плоскости R' и проходящая через начало координат, также будет инвариантным подпространством (одномерным).

2°. А — поворот трехмерного пространства вокруг оси z. Инвариантными подпространствами являются ось z и плоскость ху.

3°. D — операция дифференцирования в пространстве многочленов степени^ п. Совокупность многочленов степени не больше k(k^ri) образует инвариантное подпространство, так как, дифференцируя многочлен степени ^/г, мы снова получим многочлен, степень которого не больше k.

При изучении линейных преобразований особенно важную роль играют одномерные инвариантные подпространства. Если вектор х принадлежит одномерному подпространству, инвариантному относительно преобразования А, то векторы X и Ах должны быть, очевидно, пропорциональны:

Ах = \х.

Всякий ненулевой вектор х, удовлетворяющий условию Ах = \х, называется собственным вектором преобразования А. Соответствующее число \ называется собственным значением преобразования А.

В приведенном выше примере 1° (проектирование) векторы, лежащие в плоскости R', суть собственные векторы, соответствующие собственному значению 1. Все векторы, ортогональные /?', являются собственными векторами, соответствующими нулевому собственному значению.

В примере 2° (поворот) векторы, перпендикулярные плоскости ху, являются собственными векторами, соответствующими Х=1. Никаких других собственных векторов и собственных значений это преобразование не имеет.

В примере 3° (дифференцирование) единственными собственными векторами являются многочлены нулевой степени, т. е. постоянные. Соответствующее собственное значение есть нуль.

16. Симметрические линейные преобразования. Среди всевозможных линейных преобразований наиболее важными являются так называемые симметрические преобразования.

Линейное преобразование А называется симметрическим (самосопряженным), если оно удовлетворяет следующему условию: для любых двух векторов х, у £R скалярное произведение вектора Ах на у равно скалярному произведению вектора х на вектор Ау:

(Ах, у) = {х, Ау).

Симметрические линейные преобразования могут быть охарактеризованы следующим образом: для того чтобы линейное преобразование А было симметрическим, необходимо и достаточно, чтобы в любом ортогональном нормированном базисе матрица этого линейного преобразования была симметрической (т. е. а\ь = aui для всех /, k).

Пример. Пусть R — трехмерное пространство и А — преобразование, переводящее каждый вектор х = {1Л, £2, ;3) из R в вектор

где \, Х2, Х3 — три фиксированные числа. Легко проверить, что А — линейное преобразование. Это преобразование — симметрическое. Действительно, если у = (у\х, т)2, ri3) — произвольный вектор из R, то

*) Инвариантное подпространство может переходить не только само в себя, но и в свою часть, в частности в нуль.

При Х1 = Х1 = Ха=1 получается единичное преобразование, при Х1 = l2= 1, Х3 = 0 — проектирование на плоскость ху, при Х1 = Х2=1, Х3 = =— 1 — зеркальное отражение в плоскости ху.

Симметрические линейные преобразования играют важную роль в различных приложениях математики. Например, изучение малых колебаний некоторой механической системы (а именно нахождение так называемых собственных частот и собственных колебаний такой системы) сводится, по существу, к нахождению собственных векторов и собственных значений некоторого симметрического преобразования. Весьма важную роль симметрические преобразования—правда, не в конечномерном, а в бесконечномерном пространстве—играют в квантовой механике. Отметим также, что изложение теории кривых и поверхностей второго порядка становится значительно яснее и короче, если воспользоваться некоторыми фактами, относящимися к симметрическим линейным преобразованиям.

В этом пункте мы рассмотрим структуру таких преобразований.

Полное описание симметрических линейных преобразований основывается на следующей теореме, доказательство которой не представляет большого труда*).

Если А — некоторое симметрическое линейное преобразование в п-мерном евклидовом пространстве R, то в R существует ортогональный нормированный базис ev е29... , еп, состоящий из собственных векторов преобразования А. Матрица преобразования А в этом базисе имеет вид:

(1)

т. е. является диагональной.

Отсюда следует, что всякое симметрическое линейное преобразование в я-мерном пространстве можно представить себе следующим образом. Пусть Xj, Af,..., Хл — собственные значения преобразования А. Тогда А представляет собой растяжение пространства по п взаимно ортогональным направлениям с коэффициентами 1^1 I ^я 1 и изменение на противоположное направление тех координатных осей, для которых Х<0. Далее, из сказанного видно, что если два симметрические линейные преобразования имеют одинаковые собственные значения, то они представляют собой по существу одно и то же преобразование, но отличаются только выбором системы координат. Естественно не различать между собой два такие преобразования (как, например, мы в элементарной геометрии не различаем два треугольника с одинаковыми сторонами и углами, но различным образом расположенные на плоскости), т. е. считать, что каждое симметрическое преобразование однозначно определяется своими собственными значениями, или, что то же самое, своей канонической матрицей (1).

17. Билинейные и квадратичные формы. Пусть А — некоторое симметрическое линейное преобразование и х, у — произвольные векторы из R. Скалярное произведение (Ах, у) представляет собой числовую функцию от двух векторных аргументов. Обозначим ее А (х; у). Эта функция обладает следующими свойствами, непосредственно вытекающими из свойств скалярного произведения и из определения симметрического линейного преобразования:

Всякая числовая функция пары векторов, обладающая указанными свойствами 1) — 3 называется симметрической билинейной формой. Нетрудно показать, что всякая симметрическая билинейная форма А(х\ у) может быть записана, притом единственным образом, в виде (Ах, у), где А — некоторое симметрическое линейное преобразование.

Положив в симметрической билинейной форме х=у, мы получим функцию А(х; х), зависящую уже не от двух, а только от одного вектора, называемую квадратичной формой. Из сказанного следует, что всякая квадратичная форма может быть записана в виде (Ах, х), где А — некоторое симметрическое линейное преобразование.

Теория квадратичных форм играет важную роль в геометрии, в различных вопросах механики. О некоторых из этих приложений будет сказано ниже.

Пусть в '/-мерном пространстве R, в котором дана симметрическая билинейная форма А (х, у), выбран некоторый базис. Если:

—два вектора из R, то в силу свойств 1) и 2):

*) См., например, И. М. Гельфанд, Лекции по линейной алгебре.

Числа üik = А (ей е£) не зависят от векторов X и у (они зависят только от самой билинейной формы А(х; у) и от базиса еи £2>---» еп). Таким образом, получаем:

Матрица

называется матрицей данной билинейной формы в базисе еи е2,..., еп. Легко проверить, что если этот базис нормированный и ортогональный, то матрица билинейной формы совпадает с матрицей линейного преобразования Л, соответствующего данной билинейной форме.

Пусть А (л:; х) — некоторая квадратичная форма в n-мерном пространстве R и А — соответствующее ей симметрическое линейное преобразование. Выбрав в R некоторый ортогональный нормированный базис, мы можем, очевидно, записать значение билинейной формы через координаты вектора х и через элементы матрицы линейного преобразования А в этом базисе. Посмотрим, каково будет соответствующее выражение, если взять тот базис, в котором матрица линейного преобразования А приводится к диагональной. Пусть еи еп — такой базис (т. е. базис, состоящий из собственных векторов преобразования А) и пусть

тогда

и, следовательно, в этом базисе

(2)

Приведение квадратичной формы к виду (2) называется приведением к главным осям.

Коэффициенты Xt, Х2,..., Хл определяются квадратичной формой A (je; jc), однозначно — это собственные значения линейного преобразования Л, соответствующего этой квадратичной форме.

В различных вопросах, например в теории колебаний, важную роль играет понятие положительно определенной квадратичной формы.

Определение 14. Квадратичная форма А(х; х) называется положительно определенной, если А(х; х)>0 для любого вектора хфО.

Простейшим примером положительно определенной квадратичной формы является скалярное произведение, т. е. форма

А(х; х) = {х, х).

Пример. Рассмотрим некоторую механическую систему, имеющую п степеней свободы. Это означает, что положение такой системы в каждый момент определяется заданием п параметров: qu <78l..., qn. Простейший пример такой системы — п маятников (каждый из которых качается в некоторой определенной плоскости), соединенных друг с другом пружинками. Потенциальная энергия Т такой системы представляет собой некоторую функцию параметров qu q2,---, qn, определяющих положение системы:

Рассмотрим положение равновесия этой системы. Для простоты записи предположим, что этому положению равновесия отвечают нулевые значения параметров q: qx = qt = ... = qn = 0.

Разложим функцию T(qlf qi9qn) по формуле Тейлора. Получим:

где R — величина порядка qzr Считая значения q малыми, т. е. рассматривая только состояния системы, близкие к положению равновесия, можно отбросить остаточный член R в формуле (5). Далее, так как потенциальная энергия всегда определяется лишь с точностью до постоянного слагаемого, то можно считать, что Т0 = 0 Наконец, положение равновесия характеризуется тем, что силы, действующие на систему, в этой точке обращаются в нуль, следовательно, в этой точке

Таким образом,

(6)

Равновесие будет устойчивым, если потенциальная энергия в данной точке имеет минимум. Для этого в свою очередь достаточно, чтобы квадратичная форма (6) была положительно определенной. В противном случае равновесие неустойчиво.

О ДЕЛИТЕЛЯХ ЧИСЕЛ ВИДА 2p+1

М. И. СЛОБОДСКОЙ (Грозный)

От редакции. Вопрос о совершенных числах, помимо чисто исторического интереса, до сих пор привлекает к себе внимание математиков потому, что отыскание этих чисел связано с установлением простоты или непростоты огромных чисел вида 2Р — 1, а это уже для двузначных показателей р представляет задачу большой трудности и требует большой затраты времени.

В настоящее время сведения о числах вида 2р — 1 при р простом сводятся к следующему.

1. Установлено, что числа 2^—1 — простые при

р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127.

2. Найдено полное разложение на простые множители для

р= 11, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 67, 71, 73, 79.

3. Известны два или более простых делителя (но неполное разложение) для

р = 113, 151, 179, 223, 233, 239, 251.

4. Известен только один простой делитель для

/> = 83, 97, 131, 163, 173, 181, 191, 197, 211.

5. Доказано, что 2Р — 1 — число составное, но не известен ни один простой делитель для

/?= 101, 103, 109, 137, 139, 149, 241, 257.

6. Неизвестно, простые или составные числа 2^—1 при

/?= 157, 167, 193, 199, 277, 229.

Для значений ру больших 258, известны простые делители для

/у = 263, 281, 283, 317, 337, 359, 367, 397, 419, 431, 443, 461, 464, 487, 491, 499, 547, 557, 571, 577, 593, 601, 617, 61^, 641, 659, 683,619, 743, 761, 827, 829, 839, 857, 877, 881, 883, 911, 929, 937, 941, 967.

Печатаемая здесь статья т. И. И. Слободского написана им в начале 1950 года, когда он был еще студентом Грозненского педагогического института, и является результатом большой и кропотливой работы. Она дает новые сведения о делителях больших чисел вида 2Р — 1 (а также вида 2р 4 1).

Найденные и доказанные т. Слободским совершенно самостоятельно две теоремы (4-я и 5-я) позволили ему установить делители для огромных чисел. Судить о их величине можно хотя бы потому, что уже число 2257 — 1 равно

231 584 178 947 632 390 847 141 970 017 375 845 706 539 969 331 281 128 078 915 168 015 826 259 279 871.

т. е. содержит 78 цифр. А находящееся, например, в таблице т. Слободского число 25002331 — 1, имеющее делителем число 10 004 663, содержит свыше полутора миллионов цифр. Собственно, теорема 4 позволяет найти сразу делитель числа 2Р — 1 для любого /?, удовлетворяющего условиям теоремы.

Особенный интерес представляют приведенные в статье таблицы 2 и 3, где даны делители чисел вида 2Р + 1 для значений р, уже не подходящих под условия теорем 4 и 5. Здесь автором проделана огромная вычислительная работа, которая заслуживает быть отмеченной.

Редакция считает, что статья т. Слободского может послужить интересной темой для доклада на школьном математическом кружке.

Совершенными числами называются такие числа, которые равны сумме своих собственных делителей (1)*).

Например: 6=l+2+3;

28=1+2+44-7+14.

Евклид в конце IX книги своих «Начал» выводит формулу для четных совершенных чисел:

(1)

Формула (1) и дает совершенные числа, если выполняются следующие два условия: 1 ) р — число простое, 2) 2р — 1 — число простое.

Но числа вида 2р—1 при определенных значениях р могут быть как простыми, так и составными. Для окончательного решения вопроса о четных совершенных числах требуется выяснить, при каких значениях р число 2р — 1 — простое, а при каких — составное.

Впервые начал исследовать этот вопрос Мерсенн (Mersenne) в 1644 году. Им было указано, без доказательства, что для показателей р = = 13, 17, 19, 31 числа вида 2р—1 будут простые. Простота числа 231 — 1 была впервые доказана Л. Эйлером, и, по замечанию П. Л. Чебышева в 70-х годах прошлого столетия, это было «самое большое простое число, доселе известное». Простота числа 261—1 была установлена в 1883 году талантливым русским вычислителем Первушиным.

*) Цифры в скобках — ссылки на литературу, приведенную в конце статьи.

В настоящее время установлено, что числа 2W—lf 2107—1 и 2127-1 —простые.

Для показателей /> = 101, 103, 109, 137, 139, 149, 257 установлено, что числа 2^—1 — составные (2).

В следующей таблице для чисел 2^—1 указано по одному делителю (6).

Таблица 1

Делители чисел 2р—1 находятся по следующей теореме.

Теорема 1 (3). Простые делители чисел вида 2р—1 при р простом должны быть вида 2pz+\ и в то же время одного из двух видов: 8/Я+1 или 8т— 1.

При помощи следующей теоремы можно установить простоту или непростоту чисел вида 2'—1.

Теорема 2 (7). Число 2Р—1 будет простым или составным соответственно тому, является ли оно делителем для (р—1)-го члена последовательности: s{ = 4, s2 = 14, 53 = 194, 54 = =37 634, s&= 1 416 317954, где

Так, например, число 25—1=31—простое; действительно, /7 = 5, причем s4=37 634 делится на 31 без остатка.

Пользуясь условием теоремы 2, Крайчик (Kraitchik) в 1922 году доказал, что 2257—1 — число составное.

Нахождение делителей или обнаружение простоты или непростоты больших чисел вида 2Р—1 при помощи теорем 1 и 2 сопряжено со значительной вычислительной работой. Так, Д. Лемер замечает, что для доказательства непростоты числа 2149—1 он потратил приблизительно 70 часов. Для обнаружения делимости 2128 099—] на 256199 при помощи основных теорем теории сравнений мне пришлось потратить 12 часов.

Цель настоящей заметки — сообщить результаты исследований о факторизации чисел вида 2Ph\.

Рассматривая таблицу 1, мы замечаем, что при значении /7=11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251 числа вида 2р—1 имеют делители вида 2/7+1 (z= 1).

Возникает вопрос: будут ли в дальнейшем встречаться числа вида 2р—1, имеющие делители вида 2 р + 1, и как их обнаружить?

Используя основные свойства теории сравнений, я обнаружил в промежутке для значений р от 359 до 2003 23 таких числа*).

Рассматривая эти числа, можно заметить, что р везде только одного вида 6 п — 1, где п — четное, откуда можно сделать предположение:

а) Число 2Р—1 будет делиться на простое число 2 р + 1, если р вида 6 п — 1, где п — четное.

Аналогично в числовом промежутке от 5 до 1973 для 28 значений р мною было обнаружено, что числа вида 2^+l имеют делители вида 2/7+l, причем р — тоже вида 6 п—1, где п — нечетное**). Отсюда можно сделать предположение:

б) Число будет делиться на простое число 2 р +1, если р — вида 6 п — 1, где п — нечетное.

Докажем эти два предложения.

Для их доказательства нам потребуется теорема 3 (смотрите ниже). Докажем теорему 3, пользуясь следующими теоремами.

Теорема 56 (4). Все нечетные делители х*+2у2 суть вида 8/я-}-1 или 8т+3, все нечетные делители х2 — 2у2 суть вида 8/7Z-J-1 или 8 m — 1.

Теорема 69 (5). Простые нечетные делители

*) Автором приложена таблица 128 значений р (от 359 до 5 002 583), для которых 2^—1 имеет делителем число 2/7-j-l. Из-за экономии места таблицу не приводим.

**) Приложена таблица 126 значений р (от 5 до 5 003 249), для которых 2Р -(- 1 делится на 2р+\.

OP +1 при p простом должны быть вида 2pz+\ или делить а+\.

Теорема 3. Простые делители при

р простом должны быть вида 2pz+\ и в то же время одного из двух видов: 8т+\ или 8т + 3.

Доказательство. В теореме 69, полагая а = 2, получим, что простые делители 2^+1 при р простом должны быть вида 2pz+\. Замечаем, что при а = 2 число a + 1 равно 3, а 3 — простое число вида x3+2j/3, где X —у = 1.

Таким образом, делитель a+1 при а = 2 будет формы х2+2у2. Докажем, что 2pz+\ должно быть делителем формы х2+2у2.

В самом деле, 2pz~\-\ делит 2^-(-1, где р вида 2 п+ 1 — нечетное; следовательно, 2 pz 4-1 должно делить 2-(22л+1 + 1), а это приводится к виду: + 2; полагая х = 2^п^ и j/ = l, мы придем к выражению вида х2+2у2\ но по теореме 56 делители формы х2+2у2 должны быть одного из двух видов: 8т+\ или 8т+3.

На основании доказанного нами заключаем, что все простые делители 2^-}-1 при р простом должны быть вида 2 pz +1 и в то же время одного из двух видов: 8т+\ или 8 /тг —[- 3, причем доказано, что 2^—(—1 всегда кратно 3 при р — нечетном.

Теперь докажем установленные выше закономерности а) и б).

Теорема 4. Число вида 2р—1 всегда делится на простое число 2 р + 1, если р — вида 6 п — 1, где п — четное. Число вида 2Р-\ 1 всегда делится на простое число 2/?+1, если р — вида 6 îi — 1, где п — нечетное.

Доказательство. По малой теореме Ферма число 2*р—1 всегда делится на простое число 2 p -j- 1, но

Одно из двух чисел произведения правой части всегда будет делиться на простое число 2/J+l, так как левая часть делится на 2р+1.

Но оба числа 2р — 1 и 2р -j- 1 одновременно не могут делиться на 2 p -j- 1, так как сумма этих чисел:

не делится на 2 р + 1.

Таким образом, если 2р — 1 делится на 2Р~М» то 2^+l не делится на 2/?4~1 и наоборот.

р — как простое число может быть одного из двух видов: 6/14~1 или 6я—1.

1) Пусть р — вида 6п+\, где n = 2k — четное, тогда:

2) Пусть р — вида §n+\,Yjyz n = 2k+\ — нечетное, тогда:

Из первого и второго заключаем: если р — вида §п+\, то делитель вида 2/7+1 будет кратен 3, т. е. не является простым.

3) Пусть /? —вида 6 /х — 1, где n=2k— четное, тогда:

4) Пусть р — вида 6 п — 1, где п = 2 k + 1 — нечетное, тогда:

где /# = 3 £ + 1.

Из третьего и четвертого следует, что простые делители 2р+\ могут быть только одного из двух видов: 1) S m — 1, если р — вида 6п — 1, где п — четное; 2) 8 m + 3, если р — вида 6А1+1, где п — нечетное.

Так как из двух чисел. 2р—1 и 2р+ \ — одно всегда делится на 2/?+1, то, следовательно: 1) 2Р— 1 всегда будет делиться на простое число 2/7 + 1, если р — влда 6 /г — 1, где п — четное, так как в этом случае 2 р 4~ 4~1 — вида 8 т— 1, что удовлетворяет условию теоремы 1; 2) 2Р+\ всегда будет делиться на простое число 2р+\, если р — вида 6 п— 1, где п — нечетное, так как в этом случае 2 p f 1 — вида 8 m + 3, что удовлетворяет условию теоремы 3.

В самом деле, если мы допустим противное, что 2Р—1 будет делиться на простое число 2/7 + 1 вида 8/тг + З, а 2*4“! будет делиться на простое число 2 р + 1 вида 8 m — 1, то будет нарушено условие теорем 1 и 3, что невозможно.

С помощью теории сравнений эту теорему можно сформулировать так:

2'Е(-1)* [1110(1(2/7+1)],

если р — вида 6 п—1.

Из теоремы 4 вытекает следующее следствие: число N=2P~l-(2P—1) не будет совершенным, если 2р+1—простое число вида 8т — 1.

Таким образом, мы ответили на вопрос, как обнаружить числа вида 2р—1, имеющие делители вида 2/7-f -1.

Кроме того, нами были исследованы некоторые числа вида 2^ztl, имеюцие делители вида 2/72:+ 1, где z>l.

Таблица 2 Показатели р и делители чисел вида 2р — 1

В таблице 2 даны показатели р чисел 2р—1, имеющих делители вида 2/7Z+1, где z (в данных случаях) принимает значения 3, 4, 5.

В таблице 3 даны показатели р чисел 2^+1 > имеющих по одному делителю вида 2/7Z+l» где z принимает значения 3, 4, 5.

Таблица 3 Показатели р и делители чисел вида 2^+1

Литература

(1) Радемахер и Теплиц, Числа и фигуры, 1938, стр. 143-150.

(2) Венков Б. А., Элементарная теория чисел. 1937, стр. 29.

(3) Арнольд И. В., Теория чисел, 1939, стр. 66—72.

(4) Чебышев П. Л., Полное собрание сочинений, том I, 1946, стр. 129.

(5) Чебышев П. Л., Полное собрание сочинений, том I, 1946, стр. 152.

(6) Е. Lucas, Théorie des nombres, Paris, 1891, т. 1, стр. 374-377.

(7) Lehmer D. H., Note of Mersenne numbers. Bulletin of the American Mathematical society, vol. 38, June 1932, стр. 383.

МЕТОДИКА

ВОСПИТАНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ НАВЫКОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ

В. М. БРАДИС (Калинин)

Общепризнано, что одной из важнейших задач школы является выработка у молодежи навыков правильного мышления, т. е. практического овладения законами логики — науки о формах правильного мышления. В настоящее время логика как особый учебный предмет введена в среднюю школу, но при этом не отпадает обязанность всех учебных предметов, и прежде всего математики, заботиться о воспитании логических навыков. Сравнительная простота тех сторон действительного мира, какие изучаются математикой, позволяет особенно легко обеспечивать правильное их отображение в мышлении, а потому позволяет уделять особенно много внимания тем формам мышления, какие при этом используются. Конечно, грубо ошибочно сводить все содержание математики к логике, но нельзя не признать, что изучение математики может и должно воспитывать логические навыки в большей мере, чем изучение лю5ой другой дисциплины.

Что должен делать учитель математики, чтобы добиться максимального эффекта в этом отношении?

Прежде всего сам учитель должен строжайше соблюдать требования логики во всем, что он делает, говорит, пишет. Бесполезно настаивать на четкости определений, формулируемых учащимися, если сам учитель дает многословные, ча:то нечеткие объяснения новых понятий. Учащиеся не приобретут уменья доказывать свои утверждения, если доказательства, излагаемые учителем, не являются образцовыми. Нередко приходится наблюдать примеры непоследовательности, допускаемой учителем и никогда не ускользающей от внимания учащихся: учитель говорит о необходимости аккуратной записи, хорошего чертежа, а сам на доске пишет и чертит кое-как; говорит о необходимости проверки всякого предложения, получаемого в результате обращения изученной теоремы, а сам пользуется обратными предложениями, не ставя вопроса об их доказательствах (например, доказав теорему Пифагора, не останавливается на вопросе о том, верна ли ей обратная, а сразу этой обратной пользуется, как чем-то само собой разумеющимся). Если оставить в стороне вопрос о непоследовательности в поступках и ограничиться только важнейшими требованиями к логической стороне изложения (как теоретического материала, так и решений задач), то можно сказать следующие три правила, подлежащие безусловному выполнению самим учителем и относящиеся к понятиям, суждениям, умозаключениям.

1. Надо всегда обеспечивать ясное понимание учащимися каждого употребляемого термина, раскрывая содержание соответствующего понятия путем описания или правильно построенного определения.

2. Надо точно, ясно и кратко формулировать все предложения (аксиомы и теоремы), с которыми приходится иметь дело, четко устанавливая условие и заключение, а в старших классах выясняя, кроме того, возможность их обращения.

3. Надо тщательно обосновывать все утверждения, отмечая в надлежащих случаях, что такое-то утверждение принимается без доказательства (как аксиома, основанная на опыте, или как гипотеза, которая в дальнейшем должна быть проверена и либо отвергнута, либо доказана).

Никогда не допуская нарушения этих трех правил в своем собственном изложении, учитель существенно облегчает и воспитание соответствующих навыков у своих учеников.

Но быть образцом ясности и последовательности еще мало. Надо иметь в виду еще ряд обстоятельств, без учета которых восприятие и усвоение этих образцов учащимися будет затруднено.

Научные определения вносят четкость, точность, ясность в те более или менее расплывчатые представления о рассматриваемых вещах, какие уже имеются у учащихся, но определение ничего не дает, если никаких представлений об этих вещах у человека еще нет. Бесполезно, например, рассматривать точное определение предела последовательности, если учащиеся еще не встречались с разнообразными последовательностями. Заботясь об определениях, учитель должен в первую очередь позаботиться о ярких и живых представлениях. Усвоение определения отнюдь нельзя сводить к простому заучиванию некоторой фразы. Подлинное, а не только формальное усвоение определений предполагает уменье привести примеры и контрпримеры (противоречащие примеры), т. е. указать объекты, удовлетворяющие и не удовлетворяющие определению, уменье указать род и видовой признак, уменье критически отнестись к неточным вариантам определения, уменье формулировать определения своими словами, но точно. Хорошей проверкой правильности понимания и прочности усвоения определений может служить рассмотрение различных особых случаев. Например, рассмотрев определение взаимно простых и взаимно составных чисел в теории делимости, полезно спросить, являются ли взаимно простыми такие числа, как, например, 0 и 5, 1 и 5. Правильный ответ, гласящий, что числа 1 и 5 взаимно просты, так как имеют единственный общий делитель 1, а числа 0 и 5 не взаимно просты, так как имеют два общих делителя: 1 и 5, — получается сразу далеко не всегда. Надо уделять особое внимание терминам, имеющим более чем одно значение, как, например, термину «корень», употребляющемуся в математике в трех различных смыслах: корень как результат действия извлечения корня, корень как знак этого действия, корень уравнения. На незаметном переходе от одного значения термина к другому основаны некоторые ошибочные рассуждения (софизмы), рассмотрение которых вообще очень поучительно. Например, замечая, что при х = ау имеем

и что двучлен уп — 1 при любом натуральном значении показателя п делится без остатка на двучлен у — 1, заключаем, что и хп — ап при любом натуральном п и, само собой, при любом значении х и а делится без остатка на ап~1 (х — а). Между тем, полагая х = 3, а = 2, /1 = 3, имеем

и видим, что в этом частном случае полученное общее заключение не верно. Это противоречие обусловлено тем, что термин «делится» употреблен в первой части рассуждения, где речь шла о делимости многочленов, в смысле, существенно отличном от того, в каком он употреблен во второй его части, где речь шла о натуральных числах: делимость одного многочлена на другой означает, что остаток равен нулю, но отнюдь не означает, что коэффициенты частного — целые числа. Например, двучлен х2 — 1 делится на двучлен 2х—2, но в частном получается х -j- -.

Работа над определениями должна вестись при изучении любого раздела математики на протяжении всего ее курса, но эта работа никогда не должна сводиться к простому заучиванию готовых определений.

Нельзя обходить вопрос о связи между понятиями; надо различать случаи, когда одно понятие подчинено другому, является частным его случаем, и случаи, когда оба они равноправны, будучи соподчинены одному и тому же более общему понятию. Например, понятие квадрата подчинено понятию прямоугольника, так как квадрат — частный случай прямоугольника: всякий квадрат есть прямоугольник, но не всякий прямоугольник есть квадрат. Понятия же треугольника и прямоугольника соподчинены более общему понятию многоугольника.

Аналогичное положение имеет место и в деле воспитания навыков в правильном понимании и правильной, формулировке математических предложений (суждений). Заучивание готовых текстов аксиом и теорем, взятых из учебника или продиктованных учителем, имеет само по себе малое значение. Прежде всего нужно ясное понимание тех фактов, которые устанавливаются в этих аксиомах и теоремах, нужно хорошее знакомство с этими фактами в отдельных конкретных случаях. Никуда не годится, например, такое положение, когда учащийся, правильно сформулировав теорему, затрудняется привести примеры ее применения или даже не в состоянии применить ее в конкретном случае, указанном учителем, а это нередко бывает. Так, например, не всякий десятиклассник, правильно формулирующей теорему о трех перпендикулярах, умеет применить ее к доказательству пер-

пендикулярности проекции апофемы пирамиды (на плоскость основания) и стороны основания.

Лучшим средством обеспечить сознательное усвоение учащимися содержания любой теоремы является такой порядок ее изучения, когда она получается как итог ряда наблюдений и экспериментов, причем особенно ценно, если этот итоговый вывод учащиеся делают сами (разумеется, сперва в виде догадки, гипотезы, подлежащей дальнейшей проверке). Учитель, заявляющий классу: «Сегодня будем доказывать новую теорему — три медианы треугольника пересекаются в одной точке»—без какой бы то ни было предварительной подготовки, серьезно нарушает принцип генетического характера изучения. Работа дает несравненно лучшие результаты, если учащимся предварительно было дано задание начертить несколько произвольных треугольников, провести в каждом все три медианы и посмотреть, как располагаются их точки пересечения. Тогда учитель начинает с вопроса о том, что заметили учащиеся относительно пересечения медиан, и формулированная им теорема только подтверждает правильность догадки, к какой естественно приходят учащиеся. Получается знание факта, а не только словесного текста теоремы.

Когда понимание содержания математического предложения обеспечено, остается еще провести работу по анализу его условия (или условий) и заключения, по рассмотрению различных вариантов его текста, как правильных, так и неправильных.

Третью после понятий и суждений сторону проблемы воспитания логических навыков образует вопрос об умозаключениях, т. е. вопрос об обоснованности суждений, об их взаимной связи, об их предпосылках. Здесь основное — выработка привычки не просто утверждать или отрицать что-либо, а всегда ставить вопрос об основаниях для всякого такого утверждения или отрицания, всегда спрашивать: «А почему?»

Само собой разумеется, что требование обоснованности суждений, имеющее полную силу на всех ступенях обучения математике, осуществляется в разных классах по-разному. Например, трудно требовать от пятиклассников полного объяснения применяемых ими правил действий над многозначными числами, но оно уже посильно для шестиклассников, особенно если не брать чисел в общем виде, а проводить рассуждение на каких-нибудь произвольно взятых числах, подчеркивая возможность проведения рассуждения для любых чисел и основываясь на свойствах действий, переместительном, сочетательном, распределительном. Развитию навыка в правильных умозаключениях очень способствуют вопросы вроде следующих: что можно сказать о сумме двух чисел, если известно, что каждое слагаемое кратно 5? если каждое слагаемое не кратно 5? если одно кратно 5, а другое не кратно 5? Что можно сказать о разности, если известно, что уменьшаемое заключается между 15 и 20, а вычитаемое между 7 и 9?

Вопрос об обратных, противоположных и обратно противоположных предложениях должен привлекать внимание учителя не только при изучении геометрии. По поводу многих математических предложений уже в V классе уместно ставить учащимся вопрос о справедливости обратного и противоположного предложений, конечно, не употребляя этих терминов и формулируя его не в общем виде, а конкретно, применительно к каждому данному случаю. Например, выяснив, что делимость каждого слагаемого на 5 обеспечивает делимость на 5 и их сумм, спрашиваем, что можно сказать о делимости на 5 каждого слагаемого в случае, когда известно, что их сумма делится на 5.

Чем старше возраст, тем сложнее те доказательства, какие становятся доступными, тем более общий и отвлеченный характер они могут принимать, но нужна самая большая осторожность, чтобы никогда не предъявлять к учащимся данного класса непосильных требований. Всякое доказательство есть цепь умозаключений, и надо научить учащихся расчленять его на эти составные части. Подчеркиваем, что и здесь, как и в вопросе о понятиях и суждениях, нельзя подменять сознательное изучение доказательств механическим их заучиванием, что нередко, к сожалению, имеет место. Если ученик бойко и точно излагает доказательство, воспроизводя учебник, необходимо проверить, насколько он его понимает: предложить сделать другой чертеж, тоже соответствующий условиям вопроса, другие обозначения, потребовать объяснения употребляемых в этом рассуждении терминов, спросить об основаниях высказанных утверждений.

Изучение готовых доказательств имеет большое значение в деле воспитания логических навыков, но ограничиваться им нельзя. Несложные доказательства должны даваться самими учащимися при решении задач, в виде проверки правильности найденного решения: надо доказать, что полученный ответ удовлетворяет всем требованиям задачи. Кроме того, очень полезно решение специальных задач «на доказательство», которые можно давать на любой раздел курса. Наконец, заботясь об обоснованности каждого утверждения, какое приходится высказывать по ходу решения, надо проводить более или менее сложные их доказательства.

Закончим настоящую заметку рассмотрением логических элементов, которые встречаются при

решении следующей интересной и поучительной задачи, которую можно рекомендовать для самостоятельного решения в IX и X классах в связи с изучением прогрессий и с повторением арифметики: выяснить, какие натуральные числа допускают представление в виде суммы двух или более последовательных натуральных чисел и какие такого представления не допускают.

Начинаем с наблюдений, пробуя находить требуемые представления для небольших натуральных чисел.

1) Числа 1 и 2 требуемых представлений не допускают.

2) 3 = 1 + 2 (единственное представление).

3) 4 не допускает, так как 1 + 2 -|— 3 = = 6>4, 2+3 = 5>4, 3 + 4 = 7>4.

4)5 = 2 + 3, 6=1 + 2 + 3, 7 = 3 + 4 (единственно возможные представления).

5) 8 не допускает, так как l+2+ 3 + 4 = = 10>8, 2 + 3 + 4 = 9>8, 3 + 4 + 5 = = 12>8, 4 + 5 = 9>8.

6) 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4= 9 (два представления).

7) 10=1+2 + 3 + 4, 11=5 + 6, 12 = = 3 + 4 + 5f 13 = б+7, 14 = 2 + 3 + 4 + 5,

15= 1+2 + 3 + 4 + 5 = 4 + 5 + 6=7 + 8.

8) 16 не допускает.

Все сделанные до сих пор заключения вполне обоснованы теми систематическими пробами, какие мы производили. Например, невозможность представления числа 16 в виде суммы двух или более последовательных натуральных чисел устанавливается тем, что, складывая последовательные натуральные числа, начиная сперва с 1, потом с 2, далее с 3, 4, 5, 6, 7, 8, мы каждый раз получаем сперва суммы, меньшие 16, а потом суммы, большие 16, а само число 16 не получается ни разу. Брать слагаемые, большие 8, не надо, так как уже два такие слагаемые (9 + 10 = 19) дают в сумме больше 16.

Замечая, что все найденные числа, не допускающие требуемого представления, а именно числа 1, 2, 4, 8 являются последовательными степенями 2, естественно приходим к такой гипотезе: требуемое представление невозможно для чисел вида 2k, где k — любое натуральное число или 0, и возможно для всех остальных натуральных чисел, т. е. для всех чисел, имеющих хотя бы один нечетный, отличный от единицы делитель. Продолжая наши наблюдения для чисел от 17 до 32, убеждаемся, что наша гипотеза подтверждается и для них: 17 = 8 + 9, 18 = 3 + 4 + 5 + 6 = 5+6 + 7, 19 = 9 + 10 и т. д., число же 32 требуемого представления не допускает.

До сих пор мы имели дело с двумя понятиями, а именно: с понятиями числа, «представимого» и «непредставимого» в виде суммы двух или более последовательных натуральных чисел, и с двумя предложениями, формулирующими выводы из наших наблюдений и равносильными одному следующему: если натуральное число а не превосходит 32, оно представимо в виде суммы двух или более последовательных натуральных чисел тогда и только тогда, когда имеет хотя бы один нечетный делитель, отличный от единицы.

Дальше неизбежно встает вопрос, сохраняется ли эта теорема для чисел, больших 32. Ясно, что продолжать наблюдения не имеет смысла: этим путем мы никогда не решим вопроса полностью, если гипотеза верна. Становимся на другой путь. Допускаем, что число а представимо требуемым образом, а именно, что оно есть сумма п последовательных натуральных чисел, начиная с числа х:

или применяя формулу суммы членов арифметической прогрессии:

Здесь натуральное число л>-2, так как слагаемых либо 2, либо больше, а натуральное число х>-1. Если п четно, то число 2л; + + я— 1 нечетно и не меньше 3; если же п нечетно, то число 2л; + л—1 четно и не меньше 4, но 3.

Таким образом, если а представимо требуемым образом, то 2 а непременно имеет нечетный делитель, не меньший 3. Этот делитель должен быть и у самого числа а. Замечая, что 2k не имеет ни одного нечетного делителя, отличного от единицы, приходим к заключению, что никакое число вида 2k не допускает представления в виде суммы двух или более последовательных натуральных чисел.

Доказав эту теорему, ставим вопрос об истинности обратного предложения: если а не представимо требуемым образом, то а есть 2k, или, что то же самое, предложения, противоположного доказанному: если а ф 2k, то а представимо. Для чисел до 31 включительно, как показали наши наблюдения, оно истинно, но надо выяснить, сохраняется ли оно для больших чисел.

Допускаем, что а = uv, где и — какой-нибудь нечетный делитель числа а, отличный от 1. Тогда имеем:

Рассматриваем порознь случаи, когда п — четно и нечетно (других быть не может). 1-й случай: п — четно, п = 2, 4, 6,..., тогда 2 X —|— п — 1 — нечетно. Можно взять

2х+п—1 = и, n = 2v,

откуда:

х = 4-(я+1)-„.

2-й случай: п — нечетно, п=3, 5 7,..., тогда 2х+п — 1 — четно. Можно взять

2х+п — 1 = 2v, п — и,

откуда:

x = v--y (п — 1).

В обоих случаях для х получаются целые значения, но возникает вопрос, являются ли они положительными. Сравнивая v и и, замечаем, что всегда либо v < ~- и, либо v > -~- и, так как v — натуральное число, и — нечетное натуральное число. Если v <-^- и, то и подавно V < -9~(а“Ь 1)' в 1“м слУчае л:>>1, а во 2-м аг^О. Если же то и подавно v>~(u — 1 ), во 2-м случае х1, а в 1-м х^О. Поэтому всякому нечетному, отличному от 1 делителю и данного числа а соответствует одна и только одна пара значений п и х, удовлетворяющая всем требованиям задачи.

Поставленная задача решена полностью, причем сделано даже больше, чем требовалось, а именно: установлено число всех возможных представлений требуемого рода: их столько, сколько различных нечетных делителей, отличных от 1, имеет данное число я, так как приравнивание нечетного множителя произведения (2 X -f - п — 1 ) • п любому нечетному делителю числа я, отличному от 1, дает, как легко видеть, одно и только одно новое решение.

Окончательно ответ на вопрос задачи можно формулировать так: всякое натуральное число а допускает столько различных представлений в виде суммы двух и более последовательных натуральных слагаемых, сколько нечетных, отличных от единицы делителей оно имеет; числа вида 2ку не имеющие ни одного такого делителя, таких представлений вовсе не допускают.

В качестве примера найдем все представления для числа а =105, для которого и = 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105. Всего имеем 7 следующих представлений, легко устанавливаемых с помощью указанных выше формул:

Проверка:

Рассмотренная довольно сложная задача дает, как видим, много материала для воспитания правильных логических навыков по всем трем линиям: по работе с понятиями, суждениями, умозаключениями. Но с подобными элементами логики мы встречаемся в большей или меньшей мере на каждом шагу, и никогда не следует забывать о необходимости полного их использования. Особенно важна и трудна борьба за последовательность, согласованность суждений, часто нарушаемая детьми (и не только детьми).

ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Ф. Ф. ПРИТУЛО (Дзауджикау)

В преподавании математики в старших классах неизбежно наступает такой момент, когда возможность сознательного и глубокого усвоения учащимися дальнейшего курса должна существенным образом опираться на знания некоторых элементов логики. Однако надлежащих знаний ученики не могут приобрести в предыдущих классах, а поэтому на определенной ступени обучения возникает настоятельная необходимость дать учащимся некоторый систематический и строго очерченный минимум логических основ математики.

Мой личный опыт, а также и опыт учителей, с которыми мне приходилось обсуждать этот вопрос, показал, что эпизодические и случайные экскурсы в область логики не могут дать достаточно полного решения поставленной проблемы, а поэтому я стал давать учащимся этот минимум в качестве особой, специальной темы под названием «Математические предложения и методы доказательств».

Результатом четырехлетнего опыта работы по названной теме явилась конкретная ее разработка, которую я в дальнейшем и предлагаю для обсуждения.

РАЗРАБОТКА ТЕМЫ

Тема: Математические предложения и методы доказательств........16 час.

Подтемы:

1. Понятие. Объем и содержание понятия........1 час

2. Классификация.....1 час

3. Определение......2 часа

4. Аксиомы........2 часа

5. Методы доказательств . . 2 часа

6. Теорема........2 часа

7. Признаки достаточные и необходимые ....... 2 часа

8. Дедукция и индукция . . 2 часа

9. Полная математическая индукция ........ 2 часа

Итого. . .16 часов

Количество часов можно было бы значительно сократить (примерно на 6 часов), если бы не было необходимости диктовать учащимся краткое содержание каждого урока (ввиду отсутствия соответствующего материала в учебниках).

К изучению темы я приступаю с начала второй четверти курса IX класса, выделяя для нее 1 час в неделю, что и позволяет к концу четверти изучить первые 5 подтем (8 часов).

Примечание. Выбор момента начала работы по теме и самих подтем определяются в значительной мере необходимостью подготовить учащихся к усвоению курса стереометрии.

Подтемы 6, 7 и 8-я изучаются к концу третьей четверти (6 часов). Подтема 9-я изучается в течение первой четверти курса X класса.

Преимущества такого планирования в том, что:

1) Распределение часов на длительный период почти не отражается на выполнении программы.

2) Целесообразно постепенно вводить учащихся в круг рассматриваемых вопросов.

Перехожу теперь к конспективному изложению материала по каждому уроку.

1-й урок

Понятие. Объем и содержание понятия

В математике приходится иметь дело с понятиями, например: «треугольник», «квадрат», «уравнение», «иррациональное число» и т. д.

В понятии различают объем и содержание.

Под объемом понятия подразумевают совокупность всех объектов (предметов), входящих в данное понятие. Например: 1) в объем понятия «страны света» входят север, юг, восток и запад; 2) в объем понятия «треугольник входят все виды треугольников: а) прямоугольный, б) тупоугольный, в) разносторонний и т. д.

Под содержанием понятия подразумевают совокупность всех признаков, характеризующих данное понятие. Например, содержание понятия «параллелограм» есть совокупность двух признаков: а) четырехугольник, 6) параллельность (попарно) противоположных сторон.

Существует тесная связь между объемом и содержанием понятия, а именно: если увеличить содержание понятия, то объем его уменьшится и наоборот.

Пример. Если к двум признакам, характеризующим параллелограм, добавим еще один признак — равенство всех сторон, то совокупность этих трех признаков будет характеризовать уже новое понятие—«ромб», объем которого меньше объема понятия «параллелограм».

Род и вид

Если объем понятия Р входит как часть в объем понятия Q, то понятие Q называется родом, а понятие Р — видом.

В математике род и вид относительны. Одно и то же понятие может быть и родом и видом в зависимости от объема сравниваемого с ним понятия. Например, параллелограм есть род по отношению к ромбу и вид по отношению к четырехугольнику.

Примечание. Могут быть и несравнимые между собой понятия, например «число» и «ромб». В этом случае указать род и вид невозможно.

Упражнение. Указать род и вид для следующих понятий: 1) «правильный многоугольник» и с квадрат»; 2) «уравнение» и «равенство»;

3) «рациональное число» и «целое число»;

4) «хорда» и «диаметр».

2-й урок Классификация (деление)

Процесс раскрытия (выяснения) объема понятия называется делением рода на виды, или классификацией.

Раскроем объем понятия «треугольник» (черт. 1).

Черт. 1

Принято называть (в данном случае): 1 ) « Треугольник » — делимым понятием (родом).

2) Членами деления (видами) являются: а) остроугольный треугольник, б) прямоугольный треугольник, в) тупоугольный треугольник.

3) Основанием деления — признак, по которому производится деление. (В данном случае — величина наибольшего угла треугольника.)

Понятие «треугольник» можно классифицировать иначе (черт. 2).

Черт. 2

Упражнение. Назвать для этого случая: 1) делимое понятие, 2) члены деления, 3) основание.

Правильная классификация должна удовлетворять двум основным требованиям (вообще их больше):

1) Деление должно быть соразмерным (исчерпывающим). Это значит, что сумма полученных видов должна равняться делимому роду.

2) Деление должно производиться по одному основанию. (Термины «сумма» и «равняется», конечно, условны.)

Примеры ошибочной классификации:

а) Треугольники бывают остроугольные и прямоугольные (нарушено первое требование).

б) Треугольники бывают остроугольные, прямоугольные и равнобедренные (нарушено второе требование).

Упражнения.

Указать ошибки в следующих классификациях:

а) остроугольные треугольники бывают разносторонними и равносторонними;

б) линии бывают прямыми и ломаными;

в) углы бывают прямыми, острыми и вертикальными.

3-й урок Определение

Процесс раскрытия содержания понятия состоит в перечислении его признаков. Перечислить признаки понятия—это и значит дать определение этому понятию.

Правильное определение должно удовлетворять двум основным требованиям (вообще их больше):

1) В определении указываются не все признаки, а только основные.

2) В определении не должно быть «порочного круга» (тавтологии).

Рассмотрим каждое из этих требований в отдельности.

1. В определении указываются только основные признаки.

Указать все признаки вообще невозможно. Например, понятие «параллелограм» имеет следующие признаки: а) четырехугольник, б) параллельность (попарно) противоположных сторон, в) равенство этих сторон, г) равенство противоположных углов и т. д.

Из множества признаков (свойств) понятия выбирают главные (основные) признаки, опираясь на которые, можно затем установить (вывести) все остальные (второстепенные) признаки. Эти основные (и только основные) признаки и входят в состав определения.

Основных признаков два: 1) ближайший род, 2) видовое отличие (или видовые отличия).

Пример. В определении параллелограма указаны следующие признаки: а) четырехугольник

(ближайший род), б) параллельность сторон (видовое отличие).

Чтобы не ошибиться в выборе ближайшего рода, полезно пользоваться схемами, например чертежом 3.

Черт. 3

Контрольные вопросы

1. Какие понятия являются родовыми по отношению к ромбу?

(Ответ: параллелограм, четырехугольник, многоугольник, фигура.)

Какое из них является ближайшим родом? (Ответ: параллелограм.)

2. Сколько определений можно дать квадрату? (Ответ: согласно приведенному чертежу, для квадрата можно брать в качестве ближайшего рода и ромб, и прямоугольник, следовательно, квадрату можно дать два определения.)

Упражнения.

Указать ближайший род (родовой признак) и видовое отличие (или видовые отличия) в определениях следующих понятий: а) диаметра, б) хорды, в) отрезка, г) прямоугольной трапеции, д) уравнения, е) простого числа.

4-й урок

Определение (окончание)

2. В определении не должно быть «порочного круга».

Это требование означает, что нельзя определять новое понятие через такое понятие, которое зависит от определяемого.

Примеры «порочного круга» в определениях:

а) Сложение есть нахождение суммы нескольких чисел, суммой же называется результат сложения.

б) Прямым углом называется угол, содержащий 90 градусов, а градус есть часть прямого угла.

Так как при определении каждого нового понятия можно пользоваться только ранее известными понятиями, которые, в свою очередь, должны опираться на еще ранее известные, то должны существовать некоторые первоначальные понятия, которым не предшествуют никакие ранее известные понятия. Этим первым понятиям нельзя дать определения (не впадая в ошибку, называемую «порочным кругом»), а поэтому их принимают без определений и называют неопределимыми, или первоначальными, понятиями. К ним относятся такие понятия, как 1) «точка», 2) «прямая», 3) «плоскость», 4) «число» и др. Вместо определений этим понятиям даются описания и перечисления их свойств.

Упражнения.

1. Дать описания и указать свойства прямой и плоскости.

2. Дать описание процессу нахождения суммы.

5-й урок Аксиомы

Необходимость аксиом

Доказательство теорем опирается, вообще говоря, на ранее доказанные теоремы. Последние, в свою очередь, являются следствием еще ранее доказанных теорем. Так как такой процесс приведения к ранее доказанному не может продолжаться бесконечно, то в каждой математической теории должны существовать некоторые первоначальные положения, которым не предшествуют истины, ранее доказанные. Эти первоначальные положения не могут быть доказаны обычным путем (т. е. ссылкой на ранее доказанные утверждения); в этом смысле такие первоначальные положения принимают без доказательства.

Положения, принимаемые в математических теориях без доказательства, называются аксиомами.

Происхождение аксиом

На этот вопрос существуют два ответа: научный, материалистический, и антинаучный, идеалистический.

Согласно материалистической точке зрения, в аксиомах описываются основные, наиболее общие свойства изучаемых в математических теориях количественных соотношений и пространственных форм реального мира. Только благодаря этому с помощью аксиом и законов логики можно доказывать теоремы, в которых выражаются другие свойства чисел, геометрических фигур и т. п. Например, зная что (в плоскости) через точку, лежащую вне прямой, можно про-

вести только одну прямую, параллельную этой прямой, и, опираясь на другие аксиомы (и ранее доказанные теоремы) геометрии Евклида, доказывают, что в этой геометрии сумма углов треугольника равна двум прямым углам.

Хотя аксиомы не доказываются, но истинность их проверяется на практике. Если, пользуясь аксиомами и следствиями из них (теоремами) мы в практической деятельности получаем верные результаты, то, значит, аксиомы правильно описывают основные свойства количественных соотношений и пространственных форм реального мира.

Задание на дом. По учебнику геометрии Киселева, ч. II, прочесть об аксиомах геометрии, пункты 1, 2, 3 (стр. 81—84).

6-й урок

Аксиомы (окончание)

Идеалисты утверждают, что аксиомы математики — врожденные истины или являются продуктом совершенно свободного творчества человеческого разума. Так, Кант пытался доказать, что люди от рождения имеют представление о пространстве, причем представляют его якобы так, как оно описано Евклидом в его «Началах». Великий русский математик Н. И. Лобачевский, открыв неевклидову геометрию, основанную на новой системе аксиом, опроверг идеалистическое толкование аксиом как врожденных истин. Толкование аксиом как результатов совершенно свободного творчества человеческого разума также не является научным. Если бы аксиомы не описывали основные свойства пространственных форм и количественных соотношений реального мира, то с их помощью нельзя было бы получать правильные результаты, нельзя было бы применять математику в практике, технике и других науках.

Так, например, геометрия Лобачевского, основанная на системе аксиом, отличной от Евклидовой, оказалась полностью приложимой к поверхностям особого вида (псевдосферы).

Для учителя. В начале урока нужно сообщить учащимся некоторые биографические сведения о Н. И. Лобачевском, охарактеризовать его как ученого и педагога. Дать краткий обзор истории постулата о параллельных. Показать зависимость между аксиомой о параллельных и суммой углов треугольника. Описать попытку Лобачевского определить сумму углов треугольника опытным путем, указать, что степень точности современных измерительных инструментов еще недостаточна для решения вопроса о том, какая именно из двух геометрий (Евклида или Лобачевского) более точно соответствует действительности.

7-й урок

Анализ и синтез

Синтез означает сопоставление и соединение и представляет такой метод рассуждений, который начинается с известного положения и через ряд промежуточных заключений приводит к выводу неизвестного ранее положения или к решению данного вопроса.

Анализ означает разложение и расчленение и представляет собой такой метод рассуждений, которым идут от неизвестного к известному, т. е. предполагают доказываемое положение верным и выводят из него следствия, надеясь прийти к тому, что дано или ранее известно.

Пример.

Доказать, что среднее арифметическое двух неравных положительных чисел больше их среднего геометрического.

Дано:

д> Ь\ £>0; афЬ.

Доказать:

Синтез

1. Известно, что

2. или:

3. Следовательно:

4. или:

5. Значит:

6. или:

7. Следовательно:

что и требовалось доказать.

Анализ 1. Пусть (для того чтобы):

2. следовательно:

3. Следовательно:

4. или:

5. или:

6. или:

7. или:

но последнее следствие верно (ранее известно).

Однако для гарантии достоверности приведенного выше доказательства нужно проверить возможность «обращения» хода выкладок, т. е. удостовериться в правильности переходов от одного звена доказательства к другому, производя их в обратном порядке. Необходимость такой проверки вызывается тем, что в некоторых случаях неверные исходные равенства могут давать верные следствия.

Например: 1. Пусть

Тогда:

и 4 = 4 (верно!).

2. Пусть

Тогда:

Мы в обоих случаях получили верные равенства из неверных. Ошибка сейчас же обнаружится, если произвести выкладки в обратном порядке, т. е. из равенства квадратов двух чисел не вытекает равенство их первых степеней и из равенства синусов двух углов не вытекает равенство самих углов.

8-й урок Анализ и синтез (окончание)

Схема рассуждений по методу синтеза — безусловная, по методу анализа — условная.

Синтез: «Так как А истинно, то и ß истинно».

Синтетический метод применяется дли изложения уже найденного доказательства, аналитическим — пользуются при самостоятельном нахождении доказательств (преимущественно).

Пример.

Теорема. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то такой четырехугольник есть параллелограм.

Черт. 4

Дано:

AB = CD и AD = BC. Доказать:

ABCD — параллелограм (черт. 4).

Анализ

1)

2) 3)

4) Треугольник ABD = треугольнику BCD — ? Но это верно (по трем сторонам).

Синтез

Для учителя. Для лучшего уяснения смысла анализа и его роли в «открытии» доказательства полезно привести еще один пример (не записывая его в тетрадях).

Таким примером может послужить теорема об углах с параллельными сторонами.

Дано:

АХВХ II AB; АХСХ \\ АС. Требуется доказать:

</Ах = Z.A (черт. 5).

Анализ

Поскольку требуется доказать равенство углов, целесообразно включить их в некоторые

фигуры (проще всего в треугольники) и доказать затем равенство углов, исходя из равенства треугольников. Проводим произвольно ВС, затем (поскольку нам нужны равные треугольники) проводим ВХСХ так, чтобы АХС\ — АС и АХВХ = AB.

Чтобы доказать равенство треугольников, достаточно доказать, что ВХСХ = ВС.

Включим тогда интересующие нас отрезки в новую фигуру, для чего проведем ВВХ и ССХ. Если теперь ВВХССХ — параллелограм, то теорема доказана, но ВВХССХ — параллелограм, если ВВХ = ССг и ВВХ \\ ССХ, а это, в свою очередь, будет доказано, если удастся установить, что они равны и параллельны какому-нибудь третьему отрезку. Теперь проводим ААХ и т. д.

Черт. 5

9-й урок

Теорема

1. Строение теорем.

Теорема состоит из двух частей: 1) условия (того, что дано); 2) заключения (что требуется доказать).

Условие обычно начинается со слова «если», заключение — со слова «то», однако часто встречаются теоремы, в которых слова «если» и «то» опущены (ради краткости). Например: «Вертикальные углы равны».

Чтобы хорошо представить себе, что дано и что требуется доказать в этой теореме, нужно четко отделить условие от заключения, для этого формулируют теорему, вводя слова «если» и «то». Например: «Если углы вертикальные, то они равны».

Для учителя. Все это записывать не стоит, достаточно повторить устно.

На предыдущем уроке нужно задать повторить § 29, 30, 31 по I части учебника Киселева (состав теоремы, обратная и противоположная теоремы).

Упражнение. Дать полную формулировку следующих теорем, вводя слова «если» и «то»:

1. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

2. В выпуклом вписанном четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 2d.

3. Периметры подобных многоугольников относятся, как сходственные стороны.

2. Виды теорем.

Различают четыре вида теорем: 1) прямую, 2) обратную, 3) противоположную, 4) обратную противоположной или противоположную обратной.

Прямая— «Если есть А, то есть £».

Обратная — «Если есть В, то есть Л».

Противоположная — «Если нет А, то нет £».

Противоположная обратной или обратная противоположной— «Если нет В, то нет Л».

Для учителя. Определения обратной и противоположной теорем достаточно только повторить.

Четвертая теорема носит двойное название потому, что она может быть получена двумя способами:

1) как теорема обратная 3-й теореме; 2) как теорема противоположная 2-й теореме.

Пример.

1. Если углы вертикальные, то они равны.

2. Если углы равны, то они вертикальные.

3. Если углы не вертикальные, то они не равны.

4. Если углы не равны, то они не вертикальные.

Мы знаем, что 1-я теорема верна; докажем, что верна и 4-я теорема. Действительно, будем отрицать ее заключение, т. е. предположим, что углы — вертикальные, тогда они должны быть равны (согласно 1-й теореме). На самом же деле дано, что они не равны. Значит, отрицать заключение нашей теоремы (4-й) нельзя, что и доказывает его справедливость. В то же время мы видим, что теоремы 2-я и 3-я не верны: 2-я не верна потому, что равные углы могут быть и не вертикальными, 3-я — потому, что невертикальные углы могут быть равными.

Пример:

В треугольнике.

1. Если стороны равны, то противолежащие им углы равны.

2. Если углы равны, то противолежащие им стороны равны.

3. Если стороны не равны, то противолежащие им углы не равны.

4. Если углы не равны, то противолежащие им стороны не равны.

Здесь все четыре теоремы верны.

Упражнения (на дом).

Считая данные теоремы прямыми, сформулировать для каждой из них остальные три тео-

ремы и указать, какие из них верны и какие не верны:

1. Если соответственные углы равны, то прямые — параллельны.

2. Если два числа делятся на 5, то их сумма делится на 5.

3. Если стороны двух острых углов перпендикулярны, то эти углы равны.

4. Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3.

10-й урок Теорема (окончание)

Обратимость теорем. Чтобы решить вопрос об условиях, при которых все четыре теоремы верны, докажем следующее положение:

Теоремы 1-я и 4-я, а также 2-я и 3-я взаимно обратимы.

Примечание. Взаимная обратимость двух теорем состоит в том, что из справедливости одной из них вытекает справедливость другой и наоборот.

Докажем взаимную обратимость 1-й и 4-й теорем. Нужно, следовательно, доказать два положения:

1) Из справедливости 1-й теоремы следует справедливость 4-й.

2) Из справедливости 4-й следует справедливость 1-й.

Доказательство 1-го положения:

Дано: 1-я теорема верна.

Требуется доказать: 4-я теорема верна.

При доказательстве будем пользоваться методом «от противного». Сущность этого метода состоит в том, что начинают с отрицания заключения доказываемой теоремы (предполагают «противное») и, опираясь на ранее известные теоремы, выводят из этого предположения следствия до тех пор, пока не получат такое следствие, которое противоречит либо условию доказываемой теоремы, либо какой-нибудь ранее известной теореме. Как только такое следствие получено, теорему можно считать доказанной, т. е. мы убеждаемся, что нельзя отрицать заключение доказываемой теоремы, значит, нужно признать его справедливость.

Итак, будем отрицать заключение 4-й теоремы («нет Л»), т. е. предположим, что «Л есть». Тогда на основании теоремы 1-й должно быть В, что противоречит условию доказываемой (4-й) теоремы («нет В»). Искомое противоречие получено, значит, справедливость теоремы доказана.

Доказательство второго положения.

Дано: 4-я теорема верна.

Требуется доказать: 1-я теорема верна.

Предположим, что В нет, тогда, на основании 4-й теоремы, не должно быть и Л, но по условию (1-й теоремы) А есть. Противоречие обнаружено, следовательно, теорема доказана.

Точно так же доказывается взаимная обратимость 2-й и 3-й теорем (предложить учащимся на дом).

Теперь можно утверждать, что для установления справедливости всех четырех теорем достаточно доказать две не взаимно обратимые теоремы, т. е. 1) либо 1-ю и 2-ю, 2) либо 1-ю и 3-ю, 3) либо 2-ю и 4-ю, 4) либо 3-ю и 4-ю.

Замечание. Указанные 4 пары теорем не взаимно обратимы уже потому, что мы имели случаи убедиться в том, что при справедливости одной из них, другая была не верна.

Чаще всего доказываются теоремы 1-я и 2-я, реже 1-я и 3-я, две последние комбинации (2-я и 4-я, 3-я и 4-я) почти не употребляются.

Упражнения.

1. Вытекают ли из теоремы: «Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3»—следующие теоремы:

а) «Если сумма цифр числа не делится на 3, то число не делится на 3».

б) «Если число не делится на 3, то сумма его цифр не делится на 3».

2. Вытекают ли из теоремы: «Если четырехугольник — параллелограм, то его диагонали, пересекаясь, делятся пополам» — следующие теоремы:

а) «Если диагонали четырехугольника, пересекаясь, делятся пополам, то такой четырехугольник — параллелограм».

б) «Если диагонали четырехугольника, пересекаясь, не делятся пополам, то такой четырехугольник не параллелограм».

в) «Если четырехугольник не параллелограм, то его диагонали, пересекаясь, не делятся пополам ».

11-й урок Условия достаточные и необходимые

1. Достаточный признак. «Свойство Л есть признак, достаточный для существования свойства В, если из наличия А вытекает наличие В*.

Пример. Если два числа делятся на 5, то их сумма делится на 5. (Наличия делимости каждого числа достаточно для делимости суммы.) Эту теорему можно формулировать так: «Для того чтобы сумма двух чисел делилась на 5, достаточно, чтобы каждое число делилось на 5».

Еще пример. «Если углы вертикальные, то они равны». Иначе: «Для равенства двух углов достаточно, чтобы они были вертикальными».

Итак, каждую прямую теорему можно рассматривать как достаточный признак.

«Свойство Л есть признак, только достаточный для существования свойства В, если наличие А гарантирует существование В, но В может существовать и без наличия А».

Чтобы убедиться, является ли достаточный признак А только достаточным, нужно установить возможность существования В при условиях, отличных от Л.

В двух предыдущих примерах каждый признак был только достаточным. Действительно: 1) сумма двух чисел может делиться на 5 и тогда, когда каждое из них не делится на 5 (например: 7+8 =15); 2) углы могут быть равны и не будучи вертикальными.

Утверждение «только достаточно» часто заменяют утверждением «достаточно, но не необходимо». Например: «Для того чтобы сумма двух чисел делилась на 5, достаточно, но не необходимо, чтобы каждое из них делилось на 5».

Следовательно, признак является только достаточным, когда либо противоположная, либо обратная теорема не верны.

2. Необходимый признак. «Свойство Л есть признак, необходимый для существования свойства В, если без наличия А не может быть В».

«Свойство А есть признак только необходимый, если без наличия А не может быть В, но наличие Леще не гарантирует существования В».

Пример. Параллельность одной пары сторон четырехугольника есть условие, необходимое для того, чтобы он оказался параллелограмом, но в то же время это условие только необходимое, так как и при наличии этого условия четырехугольник может и не быть параллелограмом (трапеция).

Условие только необходимое называют также «необходимым, но .недостаточным».

Необходимое условие формулируется обычно как противоположная, либо обратная теорема. Например:

1) «Если сумма цифр числа не делится на 3, то число не делится на 3».

2) «Если число делится на 3, то сумма его цифр делится на 3».

Обе эти теоремы выражают одну и ту же мысль: «Чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 3».

12-й урок

Признак необходимый и достаточный

Свойство А есть признак, необходимый и достаточный для существования свойства В, если из наличия Л следует В и без наличия Л не может быть В*. Или: «...если из наличия Л следует В, а из наличия В следует Л».

Отсюда следует, что если Л есть признак, достаточный и необходимый для существования В, то В, в свою очередь, есть признак, достаточный и необходимый для существования А.

Необходимый и достаточный признак есть совокупность двух теорем: прямой и противоположной, либо прямой и обратной.

Утверждение «необходимо и достаточно» заменяют часто утверждениями: «тогда и только тогда» или «те и только те».

Например: «Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3».

Или: «Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3».

Или: «На 3 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3».

Здесь термину «достаточно» соответствуют термины «тогда» и «те». Чтобы доказать любое из этих утверждений, нужно доказать прямую теорему: «Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3».

Термину «необходимо» соответствуют термины: «и только тогда», а также «и только те».

Чтобы доказать любое из этих утверждений, нужно доказать либо противоположную, либо обратную теорему, т. е. либо: «Если сумма цифр числа не делится на 3, то число не делится на 3», либо: «Если число делится на 3, то сумма его цифр делится на 3».

Упражнения.

1. Стороны треугольника 3, 4 и 5. На основании какой теоремы можно считать этот треугольник прямоугольным?

2. Совокупность двух теорем:

а) Диагонали параллелограма, пересекаясь, делятся пополам.

б) Если диагонали четырехугольника, пересекаясь, делятся пополам, то такой четырехугольник есть параллелограм — сформулировать как одну теорему в виде достаточного и необходимого признака тремя способами, т. е. пользуясь терминами: 1) «необходимо и достаточно», 2) «тогда и только тогда», 3) «тот и только тот».

3. Повторить второе упражнение для совокупности теорем:

а) Число делится на 2, если оно оканчивается либо четной цифрой, либо нулем.

б) Число не делится на 2, если оно не оканчивается ни четной цифрой, ни нулем.

4. Пусть доказана теорема: «В треугольнике против равных сторон лежат равные углы». Можем ли мы на основании этой теоремы утверждать: «Углы треугольника равны тогда и только тогда, когда они лежат против равных сторон»?

13-й урок Дедукция

Различают два вида умозаключений: дедукцию и индукцию. Дедукция есть умозаключение от общего к частному. Оно имеет форму силлогизма. Силлогизм состоит из трех частей: I) общее суждение (большая посылка), 2) частное суждение (малая посылка), 3) заключение (вывод).

Примеры.

1. 1) Все растения суть организмы.

2) Сосны суть растения.

3) Сосны суть организмы.

2. 1) Все правильные одноименные многоугольники подобны.

2) Данные правильные многоугольники одноименны.

3) Данные правильные многоугольники подобны.

В обоих примерах:

первые суждения — общие;

вторые суждения — частные;

третьи суждения — заключения.

Для того чтобы можно было сделать заключение, необходимо наличие общего термина з обеих посылках.

В первом примере общим термином является слово « растения ».

Во втором— «правильные одноименные многоугольники».

Сущность дедукции состоит в том, что данный частный (индивидуальный) случай подводится под общее положение.

Правильность дедуктивного умозаключения зависит от справедливости обеих посылок. Если обе посылки верны, то заключение бесспорно.

Математические умозаключения преимущественно дедуктивны. В целях краткости речи одна из посылок (обычно большая) часто опускается (она подразумевается).

Например: «Данные правильные многоугольники подобны, потому что они одноименны» (опущена большая посылка).

Если сокращенная форма силлогизма (энтимема) непонятна или неубедительна, то прежде всего нужно восстановить полную форму силлогизма.

Например:

Сокращенные формы: 1) «Данный вписанный угол — прямой, так как он опирается на диаметр» (нет большой посылки).

2) «Данный вписанный угол — прямой, так как все вписанные углы, опирающиеся на диаметр,— прямые» (опущена малая посылка).

Полная форма силлогизма:

1) «Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, — прямые».

2) «Данный вписанный угол опирается на диаметр».

3) «Данный вписанный угол—прямой». Упражнения.

Восстановить полную форму силлогизма в следующих умозаключениях:

1) «Данное равенство есть тождество, так как оно справедливо при любых численных значениях входящих в него букв».

2) «Два данные числа — взаимно простые, так как их общий наибольший делитель—единица».

3) «Данная хорда — диаметр, так как она наибольшая».

4) «Сумма данных углов равна 2d, так как они являются противоположными углами вписанного четырехугольника».

5) «Площади данных многоугольников относятся, как квадраты сходственных сторон, так как эти многоугольники подобны».

6) «Около данного многоугольника можно описать окружность, так как он правильный».

14-й урок Индукция

Индукцией называется умозаключение от частного к общему. Различают два вида индукции: полную и неполную.

Полная индукция. Полной индукциов называется умозаключение, основанное на рассмотрении всех частных случаев.

Пример 1-й. Если в классе 30 учеников и если относительно каждого ученика справедливо суждение, что он прилежен, то на основании этих 30 частных суждений выводится общее суждение: «Все ученики класса прилежны».

Пример 2-й. Доказательство теоремы об из мерении вписанного угла. В процессе доказательства рассматриваются три возможные частные случая (в зависимости от положения центра окружности по отношению к сторонам угла).

В каждом из этих частных случаев устанавливается одна и та же закономерность. Так как эти частные случаи исчерпывают все возможные случаи, то тем самым доказана справедливость общего суждения: «Всякий вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается».

Заключение, основанное на полной индукции, является вполне достоверным, поэтому полная индукция употребляется как метод строгого научного доказательства. Однако ею пользуются редко из-за ее громоздкости при большом числе частных случаев и невозможности применения, когда число частных случаев неограниченно.

Неполная индукция. Неполной индукцией называется умозаключение, основанное на

рассмотрении одного или нескольких (но не всех) частных случаев.

Например: 1) «Медь при нагревании расширяется ».

2) «Стекло при нагревании расширяется».

3) «Все тела при нагревании расширяются».

Заключение, основанное на неполной индукции, может быть ошибочным, поэтому она не может употребляться как метод строгого научного доказательства. Значение неполной индукции состоит в том, что рассмотрение частных случаев наводит (индукция — наведение) на мысль о существовании той или иной закономерности, — помогает формулировать эту закономерность, доказательство же ее справедливости должно быть осуществлено иным путем (обычно дедуктивным).

Для учителя. В качестве примеров теорем, сформулированных на основании неполной индукции (но не доказанных), привести теорему Гольдбаха и большую теорему Ферма.

15-й урок

Полная математическая индукция

Для выяснения смысла метода рассмотрим пример.

Как известно, формула любого члена арифметической прогрессии:

ап = а\ + (п— l)d

выводится из рассмотрения нескольких частных случаев (неполная индукция), такой вывод нельзя считать достаточно обоснованным. Мы знаем, что из справедливости некоторого положения в частных случаях еще не следует его справедливость вообще.

Например, если в выражение:

т2 — m —|— 41

подставлять вместо m числа: 1, 2, 3, 4, ..., 40, то получаются простые числа. Однако при яг = 41 получаем: 413 — 41-[-41 = 1681 (составное число).

В целях отыскания строгого доказательства заключения, гипотетическая справедливость которого основана на неполной индукции, пользуются часто переходом от m к /гг —I— 1. Смысл этого перехода в том, что желают убедиться *в передаче по наследству» справедливости рассматриваемой закономерности от произвольного натурального числа m к следующему за ним m +1.

Итак, допустим справедливость формулы:

= (1)

Докажем ее справедливость для следующего (/я + 1)-го члена, т. е. докажем, что

Действительно, прибавляя к обеим частям равенства (1) d, получим:

но

Следовательно:

что и требовалось доказать.

Мы убедились, что формула, справедливая для т-го члена, справедлива и для (т+1)-го члена.

Это значит, что справедливость формулы действительно «передается по наследству».

Если, например, m = 10, то мы доказали справедливость формулы для одиннадцатого члена; полагая теперь m =11, мы считаем ее доказанной для (11+1)-го члена и т. д.

Убедимся еще в справедливости формулы для т=\.

Действительно, пусть

при m = 1 получаем:

т. е. at = аг — бесспорное равенство.

Значит, формула справедлива для любого члена (т. е. каков бы ни был номер члена).

Необходимость проверки при m = 1 вызвана тем, что «по наследству» может передаваться и ложное свойство, т. е. такое, которое не имеет места ни при каком т.

Например, пусть некоторое натуральное число т(т^2) будет равно своему предшествующему, т. е., что

т = m — 1. (1 )

Тогда

m +1 = m — 1 + 1,

или

т+1 = т. (2)

Оказалось, что следующее за m число (т. е. /я+1) тоже обладает тем же «свойством» (т. е. равно своему предшествующему), тем не менее такая «закономерность» не существует и не может существовать, так как равенство ( 1 ) не имеет места ни при каком натуральном т.

Метод перехода от m к m+1 называется методом полной математической индукции или « совершенной » индукцией.

Сущность метода состоит в следующем:

1) Исходя из справедливости некоторого утверждения для какого-нибудь определенного

(но произвольно взятого) натурального числа т, доказывают справедливость этого утверждения для числа m+i.

2) Непосредственной проверкой убеждаются в справедливости рассматриваемого утверждения при т=\.

Из наличия этих двух условий и вытекает справедливость нашего утверждения вообще, т. е. для любого целого и положительного т.

Примечание. К формулировке же самого утверждения приходят очень часто эмпирически, основываясь на рассмотрении частных случаев.

16-й урок

Полная математическая индукция (окончание)

Рассмотрим еще один пример.

«Требуется доказать, что разность одинаковых целых положительных степеней двух чисел делится на разность первых степеней тех же чисел» (здесь речь идет о делимости многочленов).

Дано: п — целое, положительное число.

Требуется доказать: (ап — Ьп) ! (а — Ь).

Мы знаем, что доказательство состоит из двух этапов.

1-й этап. Будем исходить из того, что наше утверждение верно для некоторого т, и постараемся доказать его справедливость для т+ 1.

Итак, пусть дано:

Требуется доказать:

Имеем:

Выражение (аш+!—bm+l) мы представили в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на (а — Ь)\ первое потому, что содержит множитель (а — Ь), второе — как содержащее множитель (ат — Ьт), который делится на (а — Ь) по условию. Значит, и выражение (ат + 1 — bm + l) делится на (а—Ь).

2-й этап. Проверим справедливость утверждения при m = 1.

Действительно: (а1 — Ь1) : (а — Ь).

Так как оба условия соблюдены, то наша теорема доказана, т. е. (ап — Ьп)\(а — Ь) при любом целом и положительном п.

Упражнение. Доказать методом полной математической индукции справедливость формул для любого члена геометрической прогрессии и числа размещений из m элементов по п.

Этим уроком заканчивается изучение всей темы.

Заключение

Труд и время, затраченные на изучение темы, могут быть оправданы только при условии достаточного и оперативного использования и применения полученных знаний как при изучении нового материала, так и при систематизации и обобщении ранее пройденного.

В связи с введением в программу X класса специального курса логики может возникнуть вопрос, не отпала ли необходимость в материале, изложенном в настоящей статье.

Прежде всего нужно констатировать, что:

1) Школьный учебник логики совсем не содержит таких важных и нужных для математики вопросов, как аксиомы, теоремы, признаки, достаточные и необходимые, полная математическая индукция. Эти вопросы составляют половину всей темы (8 часов).

2) Вопросы второй половины темы — те, которые затрагиваются в учебнике логики,—не рассматриваются в этом учебнике в нужном для математики аспекте.

3) Использовать же хотя бы эти общие знания по логике мы фактически не можем, поскольку такая возможность возникает не ранее конца третьей четверти X класса, т. е. тогда, когда почти заканчивается программа.

Учитывая изложенные обстоятельства, мы полагаем, что необходимость изучения и включения в школьную программу предлагаемой темы остается попрежнему весьма актуальной и настоятельной. Вместе с тем опыт показывает, что эту тему можно проработать в рамках часов, отведенных для математики в курсе IX и X классов, без всякого сокращения какого-либо раздела программы.

От редакции. Ныне действующая программа по математике не предусматривает выделения специальных часов, посвященных элементам логики. Поэтому соответствующую рекомендацию автора следует рассматривать как предложение, публикуемое для обсуждения в порядке, постановки вопроса.

Редакция полагает, что многие методические рекомендации автора могут быть использованы учителем и при современной структуре программы, в которой элементы логики в применении к математике в виде отдельной темы не выделены.

О МЕТОДЕ ПРИВЕДЕНИЯ К ПРОТИВОРЕЧИЮ

М. М. ЛИМАН (Краснодар)

Наши учебники по геометрии (А. П. Киселева и Н. А. Глаголева) не всегда согласуют трудность материала с возрастными особенностями учащихся и с их умением делать логические выводы.

Так, на наш взгляд, доказательство математических предложений методом приведения к противоречию дается в учебниках слишком рано, когда учащиеся VI класса еще только овладевают умением давать математические доказательства, когда они едва начинают осознавать необходимость таких доказательств. И в это же время мы стараемся научить учащихся доказывать теоремы различными способами, в том числе методом приведения к противоречию, который для большинства из них непосилен.

Действительно, перед учащимися возникают сразу две трудности: во-первых, овладеть умением проводить доказательства теорем и, во-вторых, овладеть способами математических доказательств. Разрешая одновременно обе эти задачи, мы до конца не решаем ни одной.

Метод приведения к противоречию является не легким для учащихся VI класса, и в методической литературе трудно найти удовлетворительное изложение вопроса о том, когда и как учитель должен знакомить учащихся с этим методом доказательства.

До темы «Параллельные прямые» в учебнике геометрии А. П. Киселева метод от противного используется для доказательства семи теорем (§ 47, 52, 55, 57). В теме «Параллельные прямые» метод приведения к противоречию необходим, но до изучения этой темы лучше им не пользоваться; пусть к этому времени учащиеся хорошо овладеют прямым способом доказательства.

Поэтому мы предлагаем: до изучения темы «Параллельные прямые» все теоремы доказывать прямым методом.

Приведем примеры, на которых покажем, как можно заменить косвенное доказательство прямым доказательством.

Теоремы. Прямоугольные треугольники равны:

1) если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого или

2) если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе 41 катету другого.

1) Пусть даны два прямоугольные треугольника: ABC и АХВХСХ (черт. 1), у которых АВ= АХВХ и ^A = ^AV

Требуется доказать, что Д ABC = Д АХВХСХ.

Черт. 1

Наложим Д АгВхСх на Д ABC так, чтобы их равные гипотенузы совместились. Тогда по равенству углов А и Ах катет АХСХ пойдет по катету АС. По условию, ВС ± АС пВхСх J_ АХСЪ но так как из точки В можно опустить на прямую АС только один перпендикуляр (§ 24), то и катет ВгСх пойдет по катету ВС. Две прямые могут пересечься только в одной точке, следовательно, вершина Сх должна совпасть с С. Итак, данные треугольники совместились, следовательно, они равны.

2) Пусть в прямоугольных треугольниках ABC и АХВХСХ (черт. 2) дано:

Черт. 2

Требуется доказать: Д ABC = Д AXBXCV Приложим Д АгВ1Сх к Д ABC так, чтобы равные катеты ВХСХ и ВС совместились. Тогда прямые углы АСВ и АгСхВх окажутся смежными: они имеют общую сторону ВС и в сумме составляют 180°. Следовательно, вершина А1 упадет на продолжение стороны АС в точку А„ и Д АхВгСх займет положение ДЛ2БС. Теперь мы имеем равнобедренный Д АВА2 (AB = ВА2), его высота ВС является одновременно и медианой: АС = CA2f следовательно, /\АВС и Д А2ВС равны по трем сторонам. Отсюда заключаем, что Д ABC = Д АХВХСА, ч. т. д.

Теоремы. Во всяком треугольнике;

1) против равных углов лежат равные стороны;

2) против большего угла лежит большая сторона.

1) Дано: /\АВС, ^А = ^С (черт. 3).

Черт. 3

Требуется доказать: AB = ВС.

Доказательство. Проведем перпендикуляр к стороне АС через ее середину и повернем Д ABC вокруг этого перпендикуляра на 180°. Тогда точка А займет положение точки С, а точка С — положение точки А. В силу равенства углов А и С сторона СВ пойдет по прежнему направлению стороны AB, а сторона AB — по прежнему направлению стороны СВ. Так как две прямые могут пересечься только в одной точке, то положение точки В не изменится. Следовательно, Д ABC займет прежнее положение, а потому AB = ВС, ч. т. д.

2) Дано: ДЛЯС, ^С>^ А.

Требуется доказать: AB > ВС.

Доказательство. Построим ^ACD = = / А% тогда по предыдущей теореме AD = CD. Из треугольника BCD имеем: ВС<CD4-BD; из треугольника ADC имеем: CD = AD. Следовательно, ВС < AD -fBD, т. е. ВС<ЛВ, ч. т. д.

Для упрощения доказательств рекомендуется после общих признаков равенства треугольников или вслед за теоремой о свойстве внешнего угла дать признаки равенства прямоугольных треугольников. В остальном сохранить порядок изложения тот же, что и в учебнике А. П. Киселева.

Приведенные здесь прямые доказательства теорем не являются более сложными, чем косвенные.

Рассмотрим коротко вопрос о том, почему метод приведения к противоречию является трудным для понимания учащихся VI класса, хотя схему самого метода они запоминают довольно быстро, так как она немногословна и проста.

Пусть мы доказываем теорему:

Во всяком треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Дано: ДЛБС, ^С>^Я.

Требуется доказать: АВ^ВС.

Всем известно доказательство этой теоремы методом приведения к противоречию.

1) «Допустим противоположное, т. е. допустим, что AB не больше ВС...*. Учащиеся недоумевают: зачем им вдруг допускать противоположное и почему бы не признать прямое утверждение, ведь в нем состоит конечная цель доказательства.

2) Исходя из сделанного предположения, заключаем, что если AB = ВС, то /_ С = У А. а если АВ<ВС, то ^С<А И то и другое противоречит условию теоремы. Однако ученику трудно осознать, почему возникло противоречие.

3) Наконец, получив противоречие, мы объявляем: «Следовательно, АВ> ВС. Теорема доказана».

Учащимся неясно, откуда вытекает справедливость теоремы: ведь мы предполагали вначале, что она неверна.

Подкупающая краткость данного доказательства достигается за счет его ясности. Без основательного ознакомления учащихся с методом от противного они не смогут ясно представить себе весь ход рассуждений. Весьма распространенная ошибка учащихся состоит в том, что они в методе от противного делают допущение, противоположное не заключению теоремы, а ее условию

Трудность состоит еще и в том, что мы не можем дать учащимся VI класса доказательство логической эквивалентности прямой и обратной противоположной теорем, так как это для них непосильно.

Отсюда проистекают и многие другие ошибки, которых, однако, можно избежать, если постепенно ввести учащихся в метод приведения к противоречию, подобрав для этого соответствующий материал.

Введение в метод следует дать на специальном уроке; не загружая этот урок побочным материалом, мы с успехом достигнем цели.

Изложение сущности метода приведения к противоречию мы рекомендуем дать на следующих примерах.

Пример 1. Если Маша Соловьева — ученица IX класса средней школы, то она окончила восемь классов.

а) Доказательство прямое. По условию, Маша — ученица IX класса. Но так как все ученики переводятся в IX класс только после окончания ими VIII класса, то отсюда заключаем, что и Маша Соловьева окончила восемь классов, ч. т. д.

б) Косвенное доказательство. Допустим, что Маша не окончила восемь классов средней школы. В таком случае она не была бы в IX классе. Но по условию, Маша — ученица IX класса. Налицо противоречие: Маша не в IX классе, и в тоже время она ученица IX класса.

Каковы причины противоречия? Или наши рассуждения были неправильными, или мы сделали неверное предположение. Но рассуждения были верны, следовательно, неверным является предположение, поэтому его надо отбросить.

Итак, мы доказали, что Маша окончила восемь классов средней школы.

Пример 2. У двух мальчиков вместе 45 яблок. У одного на 13 яблок больше, чем у другого. Доказать, что у второго мальчика 16 яблок.

а) Можно, решая задачу, определить, сколько яблок имеет другой мальчик. Это будет прямой метод доказательства. Но мы побуждаем учащихся дать косвенное доказательство.

б) Косвенное доказательство. Пусть второй мальчик имеет не 16 яблок, тогда у него яблок может быть или больше шестнадцати, или меньше шестнадцати. Если у второго мальчика яблок больше шестнадцати, то у первого их будет больше 29 (так как у первого по условию на 13 яблок больше), а у обоих вместе окажется больше 45 яблок.

Мы пришли к противоречию с условием задачи, так как по условию задачи у обоих мальчиков вместе должно быть ровно 45 яблок, а не больше.

Следовательно, наше предположение было неправильным, поэтому оно должно быть отброшено; второй мальчик не может иметь яблок больше шестнадцати.

Если допустим, что у второго мальчика яблок меньше шестнадцати, тогда у первого их будет меньше 29 (так как по условию задачи у первого мальчика на 13 яблок больше), а у обоих вместе окажется меньше, чем 45 яблок.

Мы опять пришли к противоречию с условием задачи, потому что по условию оба мальчика имеют ровно 45 яблок, а не меньше. Следовательно, наше допущение было неверным, поэтому оно должно быть отвергнуто. Второй мальчик не может иметь меньше шестнадцати яблок.

Итак, мы доказали, что у второго мальчика не может быть ни больше шестнадцати, ни меньше шестнадцати яблок. Следовательно, у него их ровно 16 штук.

Пример 3. Если одно слагаемое делится на 7, а сумма не делится на 7, то другое слагаемое не делится на 7.

Доказательство. Допустим, что другое слагаемое делится на 7. Тогда одно слагаемое делится на 7 по условию, другое слагаемое делится на 7 по предположению. Поэтому и сумма этих двух слагаемых разделится на 7, что противоречит условию, так как по условию сумма на 7 не делится. Следовательно, нельзя допустить, что другое слагаемое делится на 7.

Таким образом, это слагаемое на 7 не делится, ч. т. д.

Пример 4. На основании аксиомы о том, что через две точки можно провести только одну прямую, доказать косвенным методом, что две прямые могут пересечься только в одной точке.

Доказательство. Пусть две прямые а и b пересекаются не в одной, а по крайней мере в двух точках А к В.

Тогда прямая а проходит через точки А и В и прямая b проходит через те же точки А и В. Следовательно, через две точки А и В проходят две прямые а и Ь, что противоречит аксиоме о том, что через две точки можно провести только одну прямую. Таким образом, две прямые не могут пересечься более чем в одной точке, так как это приводит к противоречию с аксиомой.

Отсюда вытекает, что прямые могут или пересекаться в одной точке, или нигде не пересекаться (случай параллельности двух прямых).

После этих примеров сообщаем учащимся, что рассмотренный нами косвенный метод доказательства называется методом приведения к противоречию, потому что он приводит к противоречию или с условием задачи, или с принятыми определениями и аксиомами, или с ранее доказанными теоремами, или, наконец, с принятым допущением.

Мы видим, таким образом, что методом приведения к противоречию могут быть доказаны многие факты (см. примеры). Этот метод нередко оказывается проще и короче прямого доказательства и, следовательно, скорее и легче приводит к цели.

Исходя из этого, мы указываем учащимся на необходимость усвоить сущность данного метода и даем такую схему доказательства теорем методом приведения к противоречию.

Чтобы доказать теорему методом приведения к противоречию:

1) делают предположение, противоположное заключению доказываемой теоремы;

2) исходя из сделанного предположения, приходят путем правильных рассуждений к противоречию;

3) заключают, что противоречие возникло в результате неправильного предположения, а поэтому оно должно быть отброшено, как неверное, чем и доказывается утверждение теоремы.

По данной схеме предлагаем учащимся доказать

несколько теорем, уже им знакомых и ранее доказанных прямым методом. Примеры таких теорем можно взять хотя бы из § 47, 57 учебника А. П. Киселева, ч. I. Это приучает учащихся доказывать теоремы различными методами.

Кроме того, доказательство уже известных теорем методом приведения к противоречию дает возможность глубже проникнуть в сущность этого метода.

Если метод приведения к противоречию применяется к теоремам, ранее доказанным, то он будет лучше понят, так как внимание учащихся не рассеивается и направлено исключительно на особенности нового метода доказательства.

ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ В ПРЕПОДАВАНИИ ГЕОМЕТРИИ

М. И. КУЗЬМИНСКИЙ (Опочка)

Одной из целей преподавания геометрии является развитие логического мышления учащихся. Если в отношении усвоения геометрического материала и его практического применения школы достигли значительных успехов, то в отношении развития логического мышления учащихся имеются еще значительные недостатки. В методическом письме Министерства просвещения РСФСР о преподавании математики в V—X классах (1950 г.) в числе других недостатков отмечается следующее:

«Учащиеся часто не понимают, зачем нужно доказательство, и не чувствуют в нем потребности, логическая сущность доказательств от них ускользает. В результате многие учащиеся просто заучивают доказательства... запоминают зрительной памятью формы чертежа и расстановку букв и аккуратно отвечают выученный по книге урок» (Методическое письмо Министерства просвещения РСФСР, 1950, стр. 37).

И методическое письмо Министерства просвещения, и методическая литература по геометрии свидетельствуют о том, что изучение систематического курса вначале трудно для учащихся. Трудность эта происходит оттого, что доказательства геометрических теорем изложены в учебнике языком, отличным от того языка, к которому учащиеся привыкли ранее. Следовательно, учащихся надо научить пользоваться этим языком, так как только после этого они будут в состоянии излагать доказательства теорем сознательно.

Каждое доказательство теоремы состоит из одного или нескольких умозаключений. Каждое умозаключение состоит из двух достоверных суждений, из которых и выводится умозаключение. Например, теорема «Сумма двух смежных углов равна двум прямым углам» состоит из одного умозаключения.

Действительно: а) Развернутый угол равен двум прямым углам (первое суждение).

б) Два смежные угла составляют в сумме развернутый угол (второе суждение).

в) Следовательно, сумма двух смежных углов равна двум прямым углам (умозаключение).

Работа по развитию логического мышления учащихся должна проходить через ряд последовательных и доступных ученику упражнений.

Прежде чем приступить к доказательству теорем, необходимо дать понятие учащимся о суждении и умозаключении.

Суждение есть утверждение или отрицание чего-либо. К суждениям будут относиться аксиомы, теоремы, определения, различные свойства и признаки геометрических фигур. Примерами логических суждений могут служить следующие математические предложения:

1. Все прямые углы равны.

2. Сумма смежных углов равна двум прямым углам.

3. Каждый угол имеет две стороны.

4. Две прямые линии не могут пересекаться более чем в одной точке.

5. Два угла называются равными, если при наложении они совпадают, и т. п.

Все эти суждения утверждают наличие определенных признаков у предмета.

Ознакомление учащихся с суждением следует начинать на материале из быта учащихся, например: мой товарищ отлично учится; осенью листья некоторых деревьев желтеют; многие травы обладают целебными свойствами; сегодня урок по геометрии был очень интересен и др.

Из приведенных примеров видно, что наши суждения выражаются грамматическими предложениями, но не всякое предложение есть логическое суждение; например, предложение закрой дверь не является логическим суждением. После того как учащиеся приобретут навык в составлении суждений из жизненного обихода, необ-

ходимо перейти к составлению математических суждений. Примеры:

1. Через две точки можно провести одну прямую.

2. Дуга есть часть окружности.

3. Из одной точки на прямую можно опустить только один перпендикуляр.

4. Пересечение двух прямых линий есть точка.

На составление суждений нет надобности выделять отдельные уроки. Этой работой целесообразно заниматься на каждом уроке. Материал для составления суждений найдется в каждой теме урока. Например, в связи с темой «Угол» можно составить следующие суждения:

1. Стороны угла можно бесконечно продолжать от вершины.

2. Каждый угол имеет внутреннюю и внешнюю области.

3. Сумма углов обладает свойством переместительности.

Следующей ступенью в занятиях с учащимися по развитию логического мышления является составление умозаключений. Вывести умозаключение — значит из двух достоверных суждений вывести третье достоверное суждение. Работа эта — трудная, а поэтому ее следует выполнять последовательно, не торопясь. Вывод умозаключений следует делать сначала из суждений, взятых из быта учащихся

Примеры: 1. а) Все ученики должны выполнять правила для учащихся, б) Я — ученик, в) Следовательно, я обязан выполнять правила для учащихся.

2. а) Все граждане Советского Союза должны защищать родину, б) Я гражданин Советского Союза, в) Следовательно, я должен защищать свою родину.

После того как учащиеся приобретут некоторый навык в составлении умозаключений, подобных вышеуказанным, следует перейти к составлению умозаключений из математических суждений.

Примеры: 1. а) Развернутый угол равен двум прямым углам;

б) углы АОВ, ВОС и COD в сумме составляют развернутый угол (черт. 1);

в) следовательно, сумма углов АОВ, ВОС и COD равна двум прямым.

2. а) Равным центральным углам соответствуют равные дуги;

б) центральный угол АОВ равен центральному углу COD;

в) следовательно, дуга AB равна дуге CD

3. а) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны;

б) треугольник ABC — равнобедренный с основанием АС\

в) следовательно, угол А равен углу С, и т. д.

Доказательство каждой теоремы есть совокупность нескольких умозаключений, которые связаны между собой в определенной последовательности. Для примера возьмем теорему:

Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла его, не смежного с этим внешним (черт. 2).

Первое умозаключение.

а) Медиана делит противоположную сторону треугольника на два равные отрезка;

б) AM — медиана треугольника;

в) следовательно, отрезок ВМ равен отрезку MC.

Второе умозаключение.

а) Вертикальные углы равны между собой;

б) углы АМВ и CMN — вертикальные;

в) следовательно, угол АМВ равен углу CMN.

Третье умозаключение.

а) Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны;

б) в треугольниках АМВ и CMN угол АМВ равен углу CMN и сторона ВМ равна MC и AM равна MN;

в) следовательно, треугольник АМВ равен треугольнику CMN.

Четвертое умозаключение.

а) В равных треугольниках углы соответственно равны;

б) угол MCN соответствует углу В;

в) следовательно, угол MCN равен углу В.

Черт. 1

Черт. 2

Пятое умозаключение.

а) Целый угол больше части этого угла;

б) угол В равен части внешнего угла BCD;

в) следовательно, внешний угол BCD больше угла В.

Это и требовалось доказать.

В качестве второго примера возьмем теорему: В треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон (черт. 3).

Черт. 3 Черт. 4

Первое умозаключение.

а) Треугольник, в котором две стороны равны, называется равнобедренным;

б) в треугольнике BCD сторона BD равна стороне ВС;

в) следовательно, треугольник BDC — равнобедренный.

Второе умозаключение.

а) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны;

б) треугольник BDC — равнобедренный с основанием CD;

в) следовательно, ^ D = ^ BCD.

Третье умозаключение.

а) Целый угол больше своей части;

б) j^D, равный BCD, составляет часть угла DCA;

в) следовательно, угол ACD больше угла D.

Четвертое умозаключение.

а) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол;

б) в треугольнике ACD ^/ ACD больше угла D;

в) следовательно, сторона AD больше стороны АС, или АВ+ВС больше АС.

В связи с приведенным подробным разъяснением теорем возникает вопрос о символической записи учениками на уроках в тетрадях. Как показывает опыт, записи эти полезны, но они не должны отнимать у ученика много времени на уроках. Во многих случаях достаточно одной-двух символических записей каждого умозаключения. В редких случаях их требуется больше.

Покажем это на примерах.

В результате объяснения последней теоремы запись в тетради может быть примерно такая:

Доказательство.

I. II. III.

IV.

Эти записи могут служить планом для доказательства теоремы. По ним учащийся может строить умозаключения, а в таком случае заучивать готовые формулировки по учебнику и не будет надобности.

Приведем еще два примера символической записи доказательства теорем.

Пример 1. Теорема. Если из одной и той же тонки, взятой вне прямой, провести к этой прямой перпендикуляр и какие-нибудь наклонные и если основания двух наклонных одинаково удалены от основания перпендикуляра, то такие наклонные равны (черт. 4).

Символическая запись теоремы:

Черта отделяет условие теоремы от заключения. Вопросительный знак показывает, что требуется доказать.

1. Доказательство начинается с изучения прямоугольных треугольников ABD и CBD. Чтобы доказать равенство этих треугольников, надо установить, что два какие-либо элемента первого треугольника равны соответствующим двум элементам другого треугольника. Такими элементами будут катеты названных треугольников. Символически это можно записать так:

Первые три записи вытекают примерно из такой беседы.

Рассмотрим Д ABD и Д CBD. В указанных треугольниках катет AD равен катету DC по условию, катет BD — общий. Последнее равенство: Д ABD = Д CBD, является результатом следующего умозаключения.

а) Прямоугольные треугольники равны, если катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого треугольника;

б) в треугольнике ABD и С BD катеты равны;

в) следовательно, треугольник ABD равен треугольнику CBD.

В тетрадях ученики записывают: Д ABD = = Д CBD. Устно они это равенство обосновывают, для этого строят умозаключение, подобное приведенному.

Далее остается доказать, что наклонная AB равна наклонной ВС. Это можно установить из равенства треугольников ABD и CBD:

а) в равных треугольниках соответственные стороны равны;

б) в равных треугольниках ABD и CBD соответственные стороны AB и ВС;

в) следовательно, АВ = ВС.

В тетрадях учащихся получится следующая символическая запись:

а) Объяснение теоремы

б) Доказательство

Пример 2. Теорема. Сумма углов треугольника равна двум прямым (черт. 5).

Черт. 5

Символическая запись условия и заключения теоремы:

Первое умозаключение.

а) Внутренние накрест лежащие углы равны между собой;

б) угол 1 и угол 4 — внутренние накрест лежащие углы;

в) следовательно, угол 1 равен углу 4.

Символическая запись к этому умозаключению:

1) ^1=^4.

Второе умозаключение.

а) Внутренние накрест лежащие углы равны между собой;

б) угол 3 и угол 5—внутренние накрест лежащие;

в) следовательно, угол 3 равен углу 5. Символическая запись к умозаключению:

2) ^3 = ^5.

Третье умозаключение.

а) Развернутый угол равен двум прямым углам;

б) углы 4, 2 и 5 составляют в сумме развернутый угол;

в) следовательно, углы 4, 2 и 5 в сумме составляют два прямые угла.

Символическая запись:

3) ^4 + ^2 + ^5=2rf.

Заменив угол 4 и угол 5 соответственно равными углами 1 и 3, получим:

4) Zl+ZH^3 = 2d.

Приведенная форма умозаключений — силлогистическая. Наша речь выражается не в силлогистической форме, но чтобы она была понятна ученику, необходимо, чтобы учащиеся овладели силлогистической формой выражения умозаключения. Произведя некоторые упрощения в силлогистической форме умозаключений, мы у учащихся выработаем язык, которым написаны учебники и книги научного содержания.

В обычной речи умозаключения мы выражаем сжато, не в силлогистической форме. В теореме о сумме внутренних углов треугольника первое и второе умозаключение можно выразить короче, а именно: угол 4 равен углу 1 и угол 3 равен углу 5, как внутренние накрест лежащие Такая сжатая формулировка будет понятна учащимся лишь в том случае, если они предварительно упражнялись в построении умозаключений в силлогистической форме. Сжатые же формулировки, как абстрактные, на первых порах непонятны учащимся, и они поневоле их заучивают.

Рассмотрим еще один пример.

Теорема. Если какая-либо точка К лежит на биссектрисе ОМ угла АОВ, то она одинаково удалена от сторон этого угла (черт. 6).

Возьмем треугольники ОКС и OKD. Первое умозаключение.

а) ОМ — биссектриса;

б) биссектриса делит угол пополам;

в) следовательно, угол 1 равен углу 2.

Второе умозаключение, а) Прямоугольные треугольники равны, если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника;

б) у прямоугольных треугольников ОСК и ODK гипотенуза OK — общая и угол 1 равен углу 2;

в) следовательно, Д ОСК = Д ODK.

Третье умозаключение.

а) В равных треугольниках соответственные стороны равны;

б) треугольники ODK и ОСК равны, и в них КС и KD — соответственные стороны;

в) следовательно, КС = KD.

Доказательство этой теоремы в стабильном учебнике Киселева изложено так: «Так как ОМ делит угол пополам, то прямоугольные треугольники ОСК и ODK, имея общую гипотенузу и равные острые углы при вершине О, равны, а поэтому KC = KD». Изложение учебника подкупает своей сжатостью, но ученику на первых порах оно непонятно.

На подробное доказательство потребуется больше времени, чем на обычное объяснение учителя, но в результате подробного объяснения ученики не только поймут, но в основном усвоят материал урока. Сжатое же объяснение приводит к тому, что ученики не понимают объясняемого. Чтобы усвоить материал, в таком случае его многократно повторяют до тех пор, пока он не будет заучен. В этом случае надо считать время не только на разъяснение материала, но и на повторение. При таком условии сжатое объяснение не даст экономии времени, а для учащихся создаст большие трудности.

При выражении в расширенной форме умозаключений в преподавании геометрии получится ряд преимуществ:

1) Ученик научится понимать, что значит логически мыслить, и сам научится логически мыслить, так как на каждом уроке он в этом будет упражняться.

2) Геометрический материал будет хорошо понят.

3) Речь учащихся будет последовательно развиваться.

4) Будет развиваться способность ученика самостоятельно разбираться в новом материале.

5) Труд ученика по изучению геометрии будет постепенно облегчаться.

6) Будет изжито механическое заучивание доказательств теорем. Излишне затраченное вначале время с избытком сэкономится на последующих занятиях.

Не следует думать, что на уроках геометрии необходимо исключительно заниматься составлением силлогизмов. Эта работа на первых порах нужна для того, чтобы научить ученика обоснованно делать умозаключения. Но после того как ученик научился это делать, надо перейти к обычной, несиллогистической форме нашей речи.

Черт. 6

ОБ ОРГАНИЗАЦИИ УРОКА ПО МАТЕМАТИКЕ

К. П. СИКОРСКИЙ (Москва)

Вопросы организации урока по математике продолжают являться предметом обсуждения читателей журнала. Редакцией за последнее время получен ряд статей и заметок на тему, в частности в порядке отклика на статьи Я. А. Шора (1950, № 6) и К. С. Богушевского (1951, № 6).

В этих статьях более детально затронуты следующие вопросы:

1) об организации учета знаний учащихся, главным образом о методике устного опроса;

2) о проверке домашних заданий;

3) о методике проведения контрольных работ и

4) некоторые общие вопросы организации урока.

Дадим обзор высказываний по каждому из этих вопросов в отдельности.

I. Об учете знаний

Этот вопрос рассматривается в статьях М. А. Свидерского (Москва), С. Л. Рошаль

(Москва), Г. H. Скобелева (ст. Мотовиловка Фастовского района, Киевской обл.), Н. Преображенского (Селище Калининской обл.), С. П. Робаковского (г. Каганович Киевской обл.).

Авторы этих статей частично полемизируют с авторами уже опубликованных статей и одновременно более или менее подробно излагают свои собственные приемы работы. При этом различные авторы стоят иногда на прямо противоположных позициях. Так, т. Свидерский утверждает, что даже в течение самых больших четвертей (1-й и 3-й) можно устно опросить в старших классах не более 18—20 человек, а т. Скобелев рассказывает о такой организации опроса (и опять в старших классах), при которой он имеет возможность поставить на одном уроке до 18 оценок за устный опрос.

Думаем, что с этими двумя крайностями нельзя согласиться.

Тов. Свидерский правильно определяет место устного опроса в педагогическом процессе.

«При устном контроле все учащиеся слушают ответы вызванного ученика. Они сами себе уже ответили на поставленный вопрос и в случае неудачного ответа товарища готовы дать верный ответ. Весь класс живет одной мыслью. Те из учащихся, которые не смогли ответить себе на поставленный вопрос, слушают ответ товарища и обогащаются знанием. Только такой устный контроль, обучающий весь класс, имеет большое педагогическое значение. Он обязателен как прекрасное средство в разъяснении и закреплении изучаемого и ранее изученного материала».

Но т. Свидерский не видит возможностей проводить такой опрос каждого ученика старших классов, хотя бы по одному разу в четверть при условии, если в классе не менее 30 человек, и рядом дальнейших своих высказываний в значительной степени принижает роль устного опроса.

Проводя краткий анализ программы по математике в отношении времени, отводимого на те или иные разделы программы, т. Свидерский указывает: «Число уроков по геометрии в VIII и X классах одинаково (это не совсем так: в первом полугодии действительно в обоих классах по 2 часа в неделю, а во втором—в VIII классе — 3 часа, а в X—2 часа, если сюда присоединить один час от тригонометрии.— К. С), но характер курса различен: в X классе доминирующее значение имеет решение задач, а в VIII классе не меньшее значение имеет курс теоретический. Уже это говорит, что в старших классах к уроку, а также и к устному контролю надо подходить с различными мерками». Тов. Свидерский считает, что одновременный вызов к доске нескольких учеников и к тому же «письменный опрос» еще нескольких учеников по заранее заготовленным билетам пользы для класса, как опрос обучающий, не имеет: «Учитель пытается занять класс повторением или проверкой домашних заданий; внимание учащихся раздвоено: один слушает вопрос учителя, а другой следит за доской. Нет единой работы класса. Для многих урок потерян. Этот метод устного контроля порочен, и его следует осудить».

Далее т. Свидерский развивает мысли о большем значении письменных работ, чем устного опроса.

Вот аргументы т. Свидерского в защиту большего значения письменных работ: «Основной базой для суждения об усвоении данной дисциплины для инспектирующих органов являются результаты письменной работы. При выводе отметки по геометрии в аттестат зрелости Московский городской отдел народного образования при «4» за письменную работу выводит в аттестат «4», несмотря на то, что учащийся имеет и по устному экзамену, и за все четверти «5».

При устном опросе по арифметике, алгебре и тригонометрии оценка ответа учащегося по большей части мало объективна, так как если отвечающий встретил затруднение, то или учитель поставит перед ним наводящий вопрос, или привлечет ученика из класса».

Тов. Свидерский считает, что, если даже урок посвящен только опросу, можно опросить не более двух учеников за урок. Поэтому он считает, «что вовсе необязательно, чтобы каждый ученик имел в каждой четверти хотя бы одну оценку по устному опросу». В тексты же письменных работ следует, по мнению т. Свидерского, включать теоретические вопросы. «Удельный вес оценок за устные ответы значительно ниже оценок за письменные работы».

С этой точкой зрения никак нельзя согласиться. Из опыта приемных экзаменов в высшие учебные заведения известно, что не единичны случаи, когда при высоких оценках по математике в аттестате поступающий очень слабо отвечает на устном экзамене. При вопросе о причинах таких расхождений поступающий говорит, что в школе устно его почти никогда не спрашивали.

Где же должно происходить развитие правильно построенной и логически обоснованной устной речи учащихся, если согласиться с т. Свидерским и в течение четверти устно опрашивать далеко не всех учащихся?

Признавая большое значение устного опроса в системе школьного обучения, но не видя практических возможностей осуществлять регулярный и частый опрос на уроке, т. Свидерский

считает «возможным введение в старших классах в некоторых случаях тематического учета». Под этим мы понимаем опрос учащихся сразу по всей большой теме, т. е. проводить нечто в роде зачета, но тогда это предложение безусловно нарушило бы урочную систему средней школы и противоречило бы постановлению ЦК ВКП (б) от 1932 г.: «В основу учета школьной работы должен быть положен текущий индивидуальный, систематически проводимый учет знаний учащихся».

Т. С. Мнацаканов (Баку) и Г. Н. Скобелев в противоположность т. Свидерскому не только высоко оценивают значение устного опроса, но и находят практические возможности проводить его на уроках.

Так, т. Мнацаканов пишет: «При устном опросе учащегося я выявляю не только умение применять полученные знания на практике, но также и умение самостоятельно мыслить. Больше всего я обращаю внимание на устный опрос, потому что здесь можно точно определить знание и понимание данного вопроса учащимся. В каждой четверти каждый учащийся у меня отвечает два-три раза» (речь идет о старших классах).

Г. Н. Скобелев считает правильно организованный опрос учащихся одним из наиболее эффективных средств борьбы за полную успеваемость учащихся.

Г. Н. Скобелев подробно говорит о подготовке учителя к опросу:

«Учитель, помимо классного журнала, должен иметь еще дополнительную ведомость учета знаний учащихся, в которой он отмечает пробелы в знаниях учащихся по той или иной теме, а также знать психологические особенности ученика.

Просмотрев дополнительную ведомость успеваемости учащихся, я устанавливаю, кого мне необходимо спросить, вспоминаю психологическую характеристику ученика и подбираю для него вопросы.

В том случае, если намеченный для опроса ученик слабо подготовлен и его ответ в некоторой степени вызывает сомнение, я подготавливаю заранее ряд возможных дополнительных вопросов.

Подобного рода подготовка к уроку позволяет мне спрашивать на уроке почти весь класс, прячем 8—18 учащимся я могу поставить оценку».

Далее Г. Н. Скобелев приводит стенографическую запись урока по геометрии в VIII классе, на котором он спросил 22 учащихся, из них девяти поставлена оценка. На этом уроке были у доски доказаны три признака подобия треугольников, учитель разобрал новый материал:

признаки подобия прямоугольных треугольников и теорему об отношении высот в подобных треугольниках.

Вот за что, например, были поставлены оценки трем учащимся.

Первый учащийся формулировал третий признак подобия треугольников, сделал на доске чертеж для доказательства, записал, что дано и что требуется доказать, сказал, какое построение необходимо сделать для доказательства, записал пропорциональность сторон подобных треугольников (на основании леммы о подобных треугольниках).

Второй учащийся продолжил доказательство — доказал равенство сторон вспомогательного треугольника и одного из данных; в дальнейшем он указал на неправильности, допущенные другим учеником в доказательстве первого признака подобия треугольников.

Третий учащийся закончил доказательство третьего признака подобия треугольников и дал правильные ответы на два очень несущественные вопроса, из них один, связанный с новым материалом. Каждый из этих учащихся получил за ответ оценку «5».

Мы считаем и с нами, очевидно, согласна С. Л. Рошаль, сомневающаяся в возможности опросить на уроке очень большое количество учащихся, что т. Скобелев не прав, поставив оценки, и притом очень высокие, за столь незначительные ответы, какие он получил от первых трех учащихся. Мы уверены, что ответы этих учащихся не удовлетворяют «Нормам оценок успеваемости учащихся V—X классов средней школы по математике», утвержденным Министерством просвещения РСФСР в 1948 г.

Г. Н. Скобелев приводит и другой пример. В X классе проводится обзорный урок по теме «Функция у = sinX*. Урок начался небольшим вступлением учителя относительно функции yz=sinx и ее свойств.

Затем семь человек отвечали на теоретические вопросы (например: 1) изменение функции у = sin X в пределах изменения угла от — оо до+oo; 2) синус отрицательных углов; 3) синус суммы и разности двух углов и т. п.) и девять человек решали примеры. Вот образцы этих примеров (за решение каждой группы примеров учащийся получал оценку).

1) а) Определить знак разности:

б) Вычислить без таблиц логарифмов произведение:

в) При каких значениях х теряет смысл выражение -—- ?

2) а) Определить знак произведения:

б) При каких значениях х теряет смысл выражение

в) При каких значениях х дробь положительна?

3) а) Возможно ли равенство:

б) Что больше:

в) При каких значениях х дробь отрицательна?

На этом уроке (обзорном!) были спрошены 16 человек и все 16 человек получили оценки; то-есть в X классе каждый ученик отвечал в среднем 2 1/2 минуты. Не принижает ли т. Скобелев значение отметки?

В опыте т. Скобелева ценно следующее: тщательная подготовка к опросу, такая организация внимания учащихся, когда в любой момент любой из учащихся может продолжить ответ другого ученика или указать недочеты в его ответе. Тов. Скобелев прав, утверждая, что «учащиеся начинают регулярно готовить уроки, чувствуя, что каждый из них может быть спрошен».

Тов. Скобелев проводит и индивидуальный «письменный опрос» по специальным карточкам, в которые включает примеры, задачи или теоретические вопросы по тому материалу, по которому у данных учащихся имеются пробелы и над которыми они работают. Карточки для контроля результатов работы таких учащихся учитель составляет для каждого отдельно.

По таким образом составленным карточкам вызванные учащиеся, посаженные за первые две-три парты, пишут ответы в своих тетрадях.

В это время учитель ведет обычный урок: проверяет домашнее задание и устно опрашивает других учащихся.

Тов. Скобелев не исключает из своей практики и «углубленный опрос». Эта форма опроса состоит в том, что учитель спрашивает ученика основательно по всему пройденному ко дню опроса материалу текущей темы (например: сложение и вычитание радикалов, умножение, деление и возведение в степень радикалов и т. п.), требует подробного решения с объяснением, анализа решения, обоснования решения, исследования результата.

Очень интересны мысли Г. Н. Скобелева об индивидуальном подходе к учащимся во время опроса. Он делит учащихся по отношению к работе и по знаниям на несколько групп. «Чаще всего учитель спрашивает учащихся, которые по тем или иным причинам начинают снижать свои оценки, а также учащихся, получающих за свою работу оценки, колеблющиеся между плохими и удовлетворительными оценками.

При подготовке к опросу необходимо учитывать следующее:

1) Как ведет себя ученик во время опроса: спокойно или волнуется, смущен или, наоборот, развязен и т. п.

2) Ожидает ли ученик подсказок, дополнительных вопросов учителя, или дополнительные вопросы, а можеть быть, и подсказки выбивают его из колеи.

3) Внимателен ли ученик, и подмечает ли он ошибки других.

4) Каково развитие речи ученика.

Индивидуальные качества ученика дают ясный ответ учителю на вопросы:

1) Поправлять ли ученика во время ответа?

2) Задавать ли наводящие вопросы отвечающему?»

Мы считаем, что Г. Н. Скобелев прав, называя продуманные им формы опроса «системой опроса, являющейся одним из факторов достижения полной успеваемости учащихся по математике: эта система приучает учащихся постоянно повторять пройденное, углублять и расширять полученные знания».

С. Л. Рошаль (Москва) в своем письме в редакцию рассказывает о том, как осторожно она подходит к отметке, выставляемой в журнал. Она вообще считает, что не следует ученику ставить оценки при разборе в классе учителем нового материала. По мнению С. Л. Рошаль, ученик недостаточно внимательно будет слушать, если будет ожидать, что в любой момент его могут спросить и за ответ поставить отметку в журнал. «Диктуя тему урока и зная, что на данном уроке от ребят потребуется большое напряжение, я объявляю, что оценок на этом уроке не будет. На лицах у ребят появляется светлая радостная улыбка, и понятно: они рады тому, что хоть иногда, хоть изредка могут работать не только на оценки, но для знаний. Оценки действуют на ребят гнетущим образом».

Мы не можем согласиться с этим противопоставлением оценок лучшему усвоению знаний. Правильно поставленная отметка, убеждающая ученика в качестве его знаний, помогает ученику в его росте, в лучшем овладении им преподаваемых в школе предметов.

Тов. Преображенский (Селище Калининской обл.) возражает против «уплотненного» опроса. «Класс — единый коллектив. Каждый член этого коллектива обязан принимать участие в общей работе». При «уплотненном» опросе, по мнению т. Преображенского, наблюдается «некая рассеян-

ность» как со стороны учителя, так и со стороны ученика.

Разумеется, «уплотненный» опрос имеет и свои недостатки, но в руках опытного учителя тщательно продуманная система и «уплотненного» опроса даст хорошие результаты.

II. О проверке домашних заданий

На проверке домашних заданий останавливаются в своих статьях С. П. Робаковский (г. Каганович Киевской обл.), В. А. Костоянский (пос. Гранки Смоленской обл.), Н. Преображенский (Селище Калининской обл.) и отчасти тт. Свидерский и Мнацаканов.

В их высказываниях нет чего-либо принципиально нового, отличного от того, что уже опубликовано в обзорной статье К. С. Богушевского. Признавая безусловную необходимость проверки выполнения домашних письменных работ, авторы заметок считают полезным и необходимым, помимо регулярной проверки домашних работ на уроке, сплошную проверку домашних тетрадей учащихся.

В. А. Костоянский пишет в своей небольшой заметке о такой применяемой им практике проверки домашних заданий по геометрии. Во время перемен между уроками особые дежурные ученики заблаговременно заготовляют на доске чертежи к домашнему заданию.

Вызванный на уроке ученик рассказывает решение задачи или (даже!) доказывает теорему по готовому чертежу.

Это принципиально неправильно: чертеж к решению задачи, к доказательству теоремы — один из основных моментов, позволяющих проверить правильность геометрических представлений учащегося.

Т. С. Мнацаканов проводит регулярную сплошную проверку домашних работ учащихся, для чего учащиеся имеют по каждому предмету две тетради для выполнения домашних заданий,— эти тетради учащиеся сдают поочередно учителю для проверки.

Для записи работы в классе учащиеся т. Мнацаканова ведут еще третью тетрадь, которая постоянно находится в их руках.

Тов. Свидерский рассматривает проверку домашних заданий в связи с устным опросом: «Устный опрос, кроме повторения и закрепления материала, имеет еще и дисциплинирующее значение. Учащиеся должны знать, что они легко могут получить полную оценку при проверке выполнения домашнего задания».

И далее: «При проверке письменных домашних заданий не нужно решать эти задания на доске (ведь большинство все-таки решило их дома и для них это будет потерей времени), а поставить такие вопросы, ответы на которые могли бы помочь найти решение тем учащимся, которые не решили их дома, и были бы полезны для учащихся, решивших их дома».

Если характер упражнений, данных на дом, уже не нов для учащихся, то на уроке не обязательно для проверки выполнение на доске всего задания.

В то же время мы глубоко убеждены, что при проверке почти любого домашнего задания по математике, особенно в старших классах, можно и должно задать ученику ряд таких вопросов, ответы на которые выявят глубину знаний опрашиваемого ученика и обогатят знания остальных учеников класса. Ответы ученика на такого рода вопросы позволят учителю поставить в журнал полноценную отметку.

Однако, судя по статье т. Свидерского, он не поставит ученику хорошей оценки за объяснение правильного решения данных на дом упражнений.

III. О контрольных работах

Методике проведения контрольных работ посвящены статьи Т. С. Мнацаканова (г. Баку) и В. Мельникова (г. Гори). Оба автора проводят контрольные работы по окончании проработки и достаточного закрепления определенного раздела программы. Непосредственно перед контрольной работой учитель проводит уроки самостоятельной и полусамостоятельной работы учащихся, во время которой и учителю, и ученикам становится ясна степень подготовленности к предстоящей контрольной работе. Контрольные работы т. Мнацаканов проводит по шести вариантам, в текст работы он включает не только текущий материал, но и повторение. Содержание работ по отдельным вариантам, вообще говоря, однотипное, но наличие шести вариантов обеспечивает достаточную самостоятельность выполнения работ. Тов. Мельников дает работы только в двух вариантах, но работы проводит следующим образом: все учащиеся класса обязаны записать оба варианта, но только одна половина класса записывает текст первого варианта в тетрадях для контрольных работ, другая — в домашних тетрадях; тогда первая половина класса текст второго варианта записывает в домашних тетрадях, а вторая — в тетрадях для контрольных работ. Такая форма сообщения учащимся текстов задания обеспечивает, по мнению т. Васильева, одновременное начало выполнения работы всеми учащимися. Тексты контрольной работы, записанные в домашних тетрадях, являются домашним заданием к следующему уроку. Это в свою очередь об-

легчает учителю анализ ошибок учащихся при последующей раздаче проверенных контрольных работ.

Тов. Васильев правильно пишет, что проверку контрольных работ по возможности следует производить уже к следующему уроку.

Тов. Мнацаканов проводит для себя тщательный анализ и классификацию ошибок учащихся и использует результат этого анализа как в своей текущей работе в данном классе, так и при планировании работы в последующие годы.

Тов. Преображенский, говоря о контрольных работах и признавая их необходимость, почему-то считает «противоречащими педагогике» предложения давать контрольные работы в большом количестве вариантов. «Такие предложения просто оскорбляют ученика»,—пишет т. Преображенский. Мы считаем, что он не прав: вся учебная работа в школе основана, в частности, на контроле работы учащихся; учащийся во время выполнения контрольных работ должен быть поставлен в условия максимальной самостоятельности.

IV. Общие вопросы организации урока

Некоторым из общих вопросов организации урока посвящены две статьи М. Ф. Писарева (станица Суворовская Ставропольского края) и небольшая заметка Н. Ф. Дудник (Ахтырка).

М. Ф. Писарев одну из своих статей посвящает методике «вводных уроков». «Основными задачами вводного урока являются: 1) дать учащимся общие сведения, в частности исторические, по изучаемой теме, раскрыть ее объем; 2) подготовить учащихся к восприятию темы или раздела программы; 3) обобщить конкретные представления учащихся, полученные ими в процессе наблюдения в жизни, и использовать эти представления в целях лучшего понимания программного материала; 4) возбудить интерес к предмету.

На вводных уроках в начале учебного года учитель рассказывает ученикам о работе их товарищей в данном классе, показывает образцы лучших работ и пособий, приготовленных учащимися для математического кабинета школы и тем самым побуждает учащихся продолжить работу своих товарищей.

М. Ф. Писарев практикует также на вводных уроках небольшие итоговые доклады учащихся по пройденным темам. На уроках, на которых начинается изучение нового материала, для лучшего понимания которого необходимо большое число примеров, М. Ф. Писарев широко использует заранее заготовленные таблицы.

Н. Ф. Дудник рассказывает об опыте «потемно-методического планирования уроков математики» в отличие от календарного. Вот схема рекомендуемого ею плана (в скобках дана выписка из образца, присланного Н. Ф. Дудник): 1) № урока; 2) дата; 3) новый материал (вычитание дробей); 4) повторение связное (определение действия, свойство действия); 5) повторение оторванное (приемы устного вычитания целых чисел); 6) методическая последовательность — содержание и формы работы (проверка домашнего задания, проверка знаний вычитания целых чисел, упражнения по задачнику, выводы, домашнее задание); 7) выполнение с указанием фамилий учеников, не усвоивших урока; 8) отметка об уроке директора школы или зав. учебной частью или самого учителя.

Учитель, как бы опытен он ни был, обязан тщательно подготовиться к уроку, но составлять на целую четверть такой сложный план, к тому же содержащий очень много общих вопросов, нет никакой необходимости. В то же время рекомендуемый Н. Ф. Дудник план не может быть и планом на текущий урок: в плане нет перечня упражнений.

Большому и важному вопросу в работе учителя посвящена большая статья М. Ф. Писарева «Повторение». Автор в начале статьи дает ряд общих положений о повторении, как-то: «при повторении невозможно проводить работу без активного участия учащихся. Повторение требует тщательного отбора учебного материала, нахождения в нем основного. Затрата времени на повторение обусловливается общей задачей урока, содержанием главного элемента темы урока. Вне обобщения и анализа учебного материала повторение неполноценно. Повторение предполагает проверку знаний связи отдельных фактов».

В зависимости от темы урока повторение может предшествовать изложению нового материала, сопутствовать ему и быть дано в конце урока в виде установления связи нового с уже ранее пройденным.

Но повторение учебного материала может и должно проходить не только непосредственно связанное с текущим материалом. «Без правильной организации систематического ежедневного повторения, при откладывании повторения на конец учебного года повторение малопродуктивно; повторение может стать повторным изучением, и тогда уже поздно исправлять ошибки года. Учитель математики должен широко пользоваться задачами и упражнениями для повторения теоретического материала».

«В работе по повторению особенно важно для развития мышления учащихся включать задания, требующие сравнений, преобразований, применения знаний для правильного толкования

новых понятий. При разборе задач и других упражнений целесообразно при повторении ограничиваться изложением только хода решения задачи и обоснования решения; надо включать также те упражнения, в решении которых учащиеся допускали ошибки».

Прав М. Ф. Писарев, когда говорит, что и при устном ответе учащегося у доски можно и следует вести повторение. Так, например: «Ученик доказывает теорему косинусов. После доказательства следует спросить: о возможности ее применения к прямоугольному треугольнику; на цепь каких теорем из геометрии, из тригонометрии опирается только что проведенное доказательство и т. д.»

К повторению М. Ф. Писарев правильно относит и обзорные уроки — лекции по отдельным темам. Верно также его предложение широко применять составление планов, конспектов. Это очень облегчит учащемуся подготовку к экзамену,

В статье М. Ф. Писарева рассказывается еще об одной интересной детали его работы, непосредственно не связанной с повторением. Он ведет сам для учащихся «тетрадь образцов», в которой записывает, как учащийся должен выполнять письменно те или иные задачи и упражнения. Отдельные части этой тетради переносятся на вывешиваемые в классе таблицы.

Такая постановка работы внесет большой порядок и организованность в записи учащихся.

V. Заключение

Тема об организации урока продолжает вызывать интерес всякого творчески работающего учителя.

Помещенные в журнале статьи об организации урока по математике позволяют сделать следующие выводы:

1) Учителя математики правильно добиваются полного использования каждой минуты урока.

2) Проверку выполнения домашних заданий учителя признают одним из важнейших моментов обучения математике, но не все еще учителя считают правильное, хорошо объясненное решение упражнений и задач, выполненных в домашних условиях, достаточным для оценки ответа учащегося соответствующей отметкой в журнале и табеле.

3) В практике устного опроса применяются различные методы, в целом направленные к достижению двух целей: а) наиболее частый контроль работы учащихся и б) наиболее глубокий контроль. В этом отношении имеются и две крайние точки зрения: а) краткий опрос отдельных учеников, но такой опрос, в котором принимают участие все ученики класса; б) параллельный опрос (часто в порядке выполнения небольшой письменной работы) нескольких учащихся; при этом ряд учащихся безусловно выключается из общей работы учителя с классом и в) редкий углубленный опрос очень небольшого количества учеников с привлечением полного внимания всего класса.

Мы считаем, что крайние точки зрения по устному опросу не дадут хороших результатов в достижении прочных глубоких знаний всех учащихся класса. Учитель к опросу должен так же тщательно готовиться, как он готовится к объяснению нового материала. При подготовке к опросу необходимо учитывать индивидуальные особенности и недостатки в знаниях отдельных учеников.

4) Еще недостаточно освещены вопросы проведения контрольных работ, последующего анализа их результатов, методики фронтальных самостоятельных работ, обучения пользоваться учебниками (особенно в V—VI классах) или в более общей формулировке — методики выполнения домашних заданий.

ДЕЛЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ

Б. А. КОРДЕМСКИЙ (Москва)

Деление окружности на п равных частей, или сводимая к этому задача о построении правильного многоугольника, завершает в школьном курсе геометрии цикл конструктивных задач планиметрии.

Учащихся обучают способам деления окружности при помощи циркуля и линейки на 3, 4 и 6 частей, иногда еще на 10 и 5 частей и сообщают им о Гауссовом признаке возможности деления окружности.

В тех же случаях, когда точное построение невыполнимо, рекомендуют осуществлять деление окружности приближенно, посредством транспортира. Следуя школьному учебнику, учитель часто этим и ограничивается.

Какой толк ученику в том, что окружность можно разделить геометрически точно на 3, 5, 6, 15, 17 или 257 частей, когда нет единого приема деления, когда, скажем, делить окружность на 15 частей приходится не так, как на 5 или 6 частей, а все способы разве запомнишь?

Поэтому никто из окончивших школу почти никогда в обиходе не пользуется возможностью геометрического деления окружности на 5, 10 или 17 частей, и деление окружности на любое заданное число частей обычно осуществляется только при помощи транспортира, быть может, за исключением случаев деления на 3, 4 и 6 частей (эти приемы деления запоминаются надолго).

Несомненно, учащихся не может не заинтересовать идея излагаемого ниже приближенного способа геометрического деления окружности, применяемого, например, архитекторами, и притом единого для любого числа делений.

Впечатление от знакомства с таким способом деления особенно усиливается после того, как выясняется, что в случае деления окружности на 3, 4 или 6 частей этот способ оказывается точным.

Пусть требуется разделить данную окружность на п (черт. 1) равных частей. Построим на любом ее диаметре AB равносторонний треугольник АС В и разделим диаметр AB точкой D в отношении ADiAB = 2 : п.

Черт. 1

Соединим точки С и D отрезком и продолжим его до пересечения с окружностью в точке Е. Тогда дуга АЕ будет составлять примерно^- часть окружности, или хорда АЕ будет стороной правильного вписанного я-угольника.

Если выразить зависимость между величиной центрального угла АОЕ, образующегося при указанном построении, и числом делений п, то получится следующая точная формула:

С другой стороны, при точном делении окружности на п равных частей центральный угол должен быть равен —. Сравнивая угол —

с углом АОЕ, получим величину погрешности, которую мы делаем, принимая дугу АЕ за ~ часть окружности (см. таблицу на стр. 50).

Если выполнить этот расчет для некоторых значений п, то, как видно из таблицы, указанным способом можно приближенно разделить окружность на 5, 7, 9 или 10 частей с небольшой относительной ошибкой — от 0,07 до 1 %. Такая погрешность вполне допустима в большинстве практических работ. Как видно из таблицы, с увеличением числа делений п точность способа заметно падает, т. е. относительная погрешность растет, но, как будет показано далее, при любом п она не превышает 10,3%.

Перейдем теперь к выводу упомянутой формулы.

Пусть R= 1 (черт. 2). Тогда AD.DB = 2:п\

Черт. 2

обозначим

или

Зная, что

получим:

Возводя в квадрат, получим квадратное уравнение относительно tga:

Решая уравнение и заменяя k его значением, получим:

(*)

Этот вывод вполне доступен ученикам IX класса и является хорошей задачей.

Теперь найдем предел относительной погрешности:

которую мы допускаем, заменяя тангенс угла — тангенсом угла a при /г—-> оо-

Переходя к пределу (выкладки элементарны, мы их опускаем), получим:

Отсюда следует, что относительная погрешность 8 < 10,3%. Учащихся обязательно заинтересует также указание на то, что изложенный здесь способ приближенного геометрического деления окружности на п равных частей является не единственно возможным, что можно искать другие приемы, может быть, даже более простые и дающие лучшее приближение.

Ознакомление учащихся с приближенным решением проблемы деления окружности сделает более выпуклой и теоретическую ее часть.

Эмоциональную сторону проблемы можно усилить рассказом о том, что Гауссу было еще только 17 лет, когда ему удалось открыть признак теоретической построимости правильного я-угольника, и это открытие произвело на него такое впечатление, что он отказался от намерения получить филологическую специальность и решил посвятить свою жизнь математике.

ИЗ ОПЫТА

О ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ

К. К. ЛЕМБКЕ (Балашов)

Основная цель изучения геометрических теорем в школе состоит в том, чтобы научить учащихся самостоятельно доказывать теоремы я тем самым развить способность к самостоятельному строго логическому мышлению.

В Методическом письме Управления школ Министерства просвещения РСФСР о преподавании математики за 1950 г. сказано (стр. 35): «Еще нередки случаи, когда учащиеся неясно представляют себе сущность дедуктивного процесса в геометрии, в частности смысл доказательства и способ его отыскания... С задачами на доказательство семиклассники справляются плохо. Имеются классы, в которых ни один из учащихся не мог решить следующие задачи на доказательство: 1) доказать, что в равнобедренном треугольнике две высоты равны; 2) доказать, что в равнобедренном треугольнике две медианы равны...».

Таким образом, основная цель изучения доказательств геометрических теорем в целом пока что не всегда достигается. Каковы основные дефекты преподавания геометрии? Главный недостаток состоит в том, что учащиеся, следуя учебнику Киселева, обычно запоминают готовое решение без указания на то, каким образом оно было найдено. Таким приемом учащиеся не могут научиться самостоятельно доказывать теоремы. Чтобы развить у учащихся способность к самостоятельному мышлению, необходимо показать, как должна работать мысль, чтобы отыскать доказательство теоремы. Медленно, постепенно на основе разбираемых доказательств надо знакомить учащихся с различными методами доказательств; прежде всего с аналитико-синтетическим методом, а также с частными методами: методом наложения, методом равенства треугольников, методом доказательства от противного, методом подобия и некоторыми другими методами.

Учащимся необходимо решать большое количество задач, хорошо подобранных и вполне соответствующих их развитию.

Особенно трудной и ответственной является работа с учащимися шестого класса, так как они впервые встречаются с изучением доказательной геометрии. И. С. Соминский в статье «О работе учащихся шестого класса в связи с изучением первых теорем геометрии» («Математика в школе», 1947, № 4) предложил подробно разработанную систему упражнений, необходимую для того, чтобы «поднять общее развитие учеников на тот уровень, при котором возможно сознательное усвоение программного материала».

В Методическом письме Министерства просвещения также отмечается, что «с целью приучения детей к самостоятельному мышлению необходимо практиковать решение задач на доказательство». Далее указывается, что сначала работа проводится под руководством преподавателя, а потом—в качестве самостоятельных заданий.

В настоящей статье мне хотелось бы, с одной стороны, на основании своего опыта показать, что, пользуясь методическими указаниями, можно частично достигнуть хороших результатов, с другой же стороны, объяснить, почему этот успех является лишь частичным и при каких условиях можно ожидать полного успеха.

Ученицам седьмого класса Балашовской школы № 39 была предложена следующая задача на доказательство:

Доказать, что если при пересечении двух хорд каждая разделится пополам, то точкой их пересечения является центр окружности.

Ученицы должны были не только доказать теорему, но и по возможности объяснить, какими соображениями они руководствовались, отыскивая общий план решения.

Ниже приводятся доклады учениц.

Ученица М.

«Дано: АО = ВО и DO = CO.

Требуется доказать, что О — центр окружности, т. е. отрезки OA, OB, ОС и OD являются радиусами.

Мне нетрудно было догадаться, что теорема будет доказана, если удастся установить равенство этих отрезков. Это будет достигнуто, если мы докажем, что АО = СО (черт. 1). Но это равенство будет доказано, если будет доказано, что ^1 = </2, так как в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

В свою очередь, равенство углов мы докажем, если докажем равенство дуг:

так как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны между собой. Но чтобы доказать равенство дуг, надо доказать равенство хорд:

ВС = AD,

так как равные хорды стягиваются равными дугами.

Последнее равенство будет доказано, если мы докажем равенство треугольников:

а также равенство углов:

так как в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Но последние два равенства легко можно доказать, опираясь на то, что нам дано.

Углы равны, как вертикальные. Треугольники же равны, так как две стороны и угол между ними в одном треугольнике равны тем же элементам в другом треугольнике.

В своем доказательстве я все время двигалась от того, что требовалось доказать, к тому, что было дано.

Я не испытывала затруднения, так как двигалась, как мне казалось, по единственному пути. Теперь, после того как дорога проложена, можно доказать теорему более кратко, направляясь от того, что дано, к тому, что требуется доказать:

откуда откуда

откуда откуда

откуда вытекает, что О—центр окружности».

Преподаватель. Есть вопросы?

Ученица А. Мне неясно последнее заключение. Отчего, если отрезки равны, то О является центром?

Ученица М. Это и так ясно... Впрочем, можно и доказать... Если поместить острие циркуля в точку О и провести окружность радиусом OA, то эта окружность пройдет через точки А, В, С и D. Понятно?

Ученица А. Понятно.

Ученица М. Значит, окружность, проведенная из О, сольется с данной окружностью; таким образом, О — центр данной окружности.

Ученица А. А почему окружности сольются?

Ученица М. Неужели и это надо доказывать?.. А впрочем, потому сольются, что мы знаем, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну окружность.

Преподаватель. Есть еще вопросы?

Ученица Г. Мы доказывали методом движения от неизвестного к известному, а вы, К. К., говорили, что это движение всегда сочетается с обратным движением от известного к неизвестному. Как это надо понимать? Может быть, так, что М. провела сначала доказательство в одном направлении, а потом более кратко в другом?

Черт. 1

Преподаватель. Нет. Каждый отдельный шаг содержит оба направления. Например, мы говорим: «Чтобы доказать равенство AO = CD, надо доказать равенство /\ = У2ъл Это движение в одном направлении. Но это — половина фразы. Далее, поясняя сказанное, говорим: «Так как мы знаем, что если = /2. то AO = CD . Это — движение в обратном направлении. Точно так же построены и другие шаги, или звенья, доказательства. Кто из вас доказал эту теорему другим методом?

Ученица Д. Я доказала теорему, направляясь от известного, т. е. от того, что нам было дано. Нам дано, что OD = ОС и OA = OB. Кроме того, нам известно, что углы между этими отрезками равны между собой. Значит, треугольник ADO равен треугольнику ВСО и AD = CB, откуда AD = CB. Это — единственный путь. Но дальше идти некуда. Можно, однако, таким же образом доказать, что DB = АС. Что же теперь делать с этими равными дугами? Только и можно их сложить;

тогда получим: ADB = АСВ, откуда видно, что AB — диаметр. Так же можно доказать, что DC — тоже диаметр. О, как точка пересечения двух диаметров, является центром. Всё. Преподаватель. Есть вопросы?

Ученица А. Ты доказала, что ADB—ACB, а потом просто сказала, что AB — диаметр. А ты докажи.

Ученица Д. А разве это нужно доказывать ? Мы ведь знаем, что диаметр делит окружность пополам.

Преподаватель. Это — прямая теорема. Предлагаю доказать обратную: «Если хорда делит окружность пополам, то она является диаметром». Кто ее докажет? Напомню, что обратные теоремы часто доказываются методом от противного

Ученица Д. (делает новый чертеж 2). Нам дано, что АМВ = ANB. Надо доказать, что AB — диаметр. Положим, что AB не диаметр, т. е. центр лежит не на Aß, а, допустим, в точке О. Проведем диаметр АОС. Нам дано, что АМВ — половина окружности. А теперь, допустив, что АС — диаметр, выходит, что w

и AMC также является половиной той же окружности. Получается, что АМВ = AMC, чего быть не может, так как АМВ < AMC. Итак, нельзя предполагать, что AB не диаметр. AB — диаметр.

Преподаватель. Есть еще вопросы? Нет. Пожалуй, полезно вспомнить, как мы доказывали, что два диаметра, у нас AB и CD, пересекаются в центре. Вы, Н., желаете доказать? Докажите.

Ученица Н. Диаметр должен проходить через центр. Значит, центр должен одновременно находиться и на AB и на CD, поэтому он должен находиться в точке их пересечения О.

Преподаватель. Кто из вас доказал теорему еще каким-нибудь иным способом?

Ученица В. Большей частью для доказательства необходимо провести какие-нибудь вспомогательные линии. Мне показалось вполне естественным, что здесь такими линиями являются AD, DB, ВС и CA (черт. 3). Нам дано, что диагонали полученного четырехугольника делятся точкой их пересечения пополам; значит, этот четырехугольник является параллелограмом, а потому AD = ВС и BD = АС. Далее можно доказывать так, как только что доказывала Д.

Ученица Л. Я тоже доказала, что четырехугольник — параллелограм, но я отметила равенство противоположных углов: ^А = </Ву а так как они в сумме равны 180° (ведь четырехугольник — вписанный), то каждый из них — прямой.

Черт. 2

Черт. 3

Итак, четырехугольник — прямоугольник: OA = = OD = OB= ОС. О —центр.

Преподаватель. Я вам говорил прошлый раз, что эта теорема доказывается просто методом от противного. Кто из вас доказал?

Ученица А. Нам надо доказать, что О является центром. Предположим, что О не центр, а центром является какая-нибудь другая точка, например О' (черт. 4). Тогда, соединив О' с С и D, получим равнобедренный треугольних CO'D, так как О'С —O'D, как радиусы. О'О— медиана, а потому и высота. О'OD = 90°. Но таким же образом можно доказать, что /_0'ОВ тоже прямой. Этого быть не может, а потому нельзя было предполагать, что О не является центром. О — центр.

Преподаватель. Можно доказать проще, не образуя треугольников. Мы знаем, что отрезок, проведенный из центра к середине хорды, перпендикулярен к ней, а потому 0'Oj_CD и 0'0_\_АВ. Получим, что из точки О проведены два перпендикуляра к отрезку О'О, чего быть не может, а потому О — центр. Вы видите, что данная теорема методом от противного доказывается наиболее просто. Теперь запишите задание на следующую неделю.

Дано: AB — диаметр; АС = CD.

Требуется доказать: AB = BD (черт. 5).

Эту задачу на доказательство можно также решить различными методами.

Положительные стороны такого рода упражнений очевидны. Учащиеся повторяют большое число теорем, изучают различные методы доказательств, развивают и укрепляют интуитивное мышление.

Работа имеет живой характер, она интересна и не похожа на обычное изучение уже доказанных теорем. Самостоятельное решение вопроса дает ученикам большое внутреннее удовлетворение. Но необходимо указать и на отрицательную сторону работы. Активное участие в работе принимало небольшое число учениц, не больше одной четверти класса. Большинство же всё еще имело недостаточное развитие, чтобы полностью понимать все высказывания выступающих и самостоятельно доказывать новые теоремы.

Когда учащиеся изучают доказательство теорем, строго следуя учебнику Киселева, у них обычно создается убеждение, что каждую теорему можно доказать только единственным способом и что, во всяком случае, доказательство учебника является лучшим.

Необходимо показать учащимся, что это не так. Необходимо научить учащихся доказывать некоторые теоремы различными способами. Конечно, преподаватель, учитывая развитие учащихся, должен в более или менее явной форме дать указания, облегчающие решение вопроса. Велика бывает радость ученика, когда ему удастся самостоятельно доказать теорему и иным способом, чем в учебнике. Многие доказательства, найденные учащимися, по своей идее и конструкции нисколько не уступают доказательствам учебника, а некоторые превосходят их по простоте и изяществу, а потому представляют общий методический интерес. Приведу примеры из своей практики.

I. Теорема. Угол, составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его.

Вот какие доказательства были предложены учащимися (черт. 6).

1) Требуется доказать, что а = —.

Угол а, расположенный вне круга, мы измерить не можем, поэтому его надо заменить таким равным ему углом, который мы умеем измерять, например вписанным. Как получить такой угол? Самое простое — это провести хорду параллельно касательной. Тогда а — Ъ,

Черт. 4

Черт. 5

Здесь и далее слово «измеряется» записывается знаком равенства (=). Мы вправе так поступать, так как фраза «угол измеряется дугой» означает, что число угловых градусов, содержащихся в угле, равняется числу дуговых градусов, содержащихся в дуге (a, m и п означают число градусов, содержащихся в угле или дуге).

2) Здесь угол а заменяется равным ему центральным углом. Один радиус проведен перпендикулярно хорде, а другой проведен в точку касания (черт. 7).

Тогда а = Ь = п, но п — так как радиус, перпендикулярный хорде, делит ее, а также и дугу пополам. Теорема доказана:

3) Опять заменяем угол а вписанным углом b с соответственно перпендикулярными сторонами, одна из которых является диаметром, проведенным в точку касания (черт. 8). Хорды перпендикулярны друг к другу, так как образуют вписанный угол, опирающийся на диаметр. А потому a = b = ~2~.

Учащиеся не без основания считают, что каждое из приведенных доказательств проще доказательства в стабильном учебнике. Особенно хорошо по краткости и изяществу последнее доказательство.

II. Теорема. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним.

Одна ученица предложила следующий способ доказательства (черт. 9).

Дан треугольник ABC. Надо доказать:

Будем двигать Д ABC так, чтобы его основание АС скользило по прямой AD до тех пор, пока точка А не совместится с С. Тогда треугольник займет положение СВ'С. Вершина В с первого же момента движения вправо окажется внутри угла BCD, а угол B'CD (т. е. угол А) оказывается меньше угла BCD (т. е. угла С).

Итак, угол А меньше угла С, что и требовалось доказать.

Надо стремиться к тому, чтобы каждый шаг при доказательствах и построениях был мотивирован и обоснован. Но на практике иногда получается так, что учащиеся совершенно не знают, какие вспомогательные линии надо проводить и, вообще, как приступить к делу. В этом случае учащимся приходится или совсем отказаться от решения вопроса, или же двигаться без всякого определенного плана, пользуясь методом, который можно назвать методом блуждания. Такой метод не является вредным; напротив, попадая подчас в тупики, а иногда, находя верное решение, учащиеся накопляют опыт, развивают интуицию, и мало-помалу метод блуждания перерастает в движение, более или менее мотивированное и обоснованное.

Одна ученица седьмого класса, С, пользуясь методом «блуждания», нашла простое доказательство следующей теоремы: Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Черт. 6 Черт. 7 Черт. 8

Черт. 9

Ученица пробовала проводить всякие вспомогательные линии: между прочим, высоту, медиану, биссектрису; пользовалась различными методами. Дано: АВ>ВС. Требуется доказать: </C>Z.A (черт. 10).

Черт. 10

Удачное решение пришло, когда ученица догадалась провести биссектрису BD и перегнуть /\ BDC по BD так, что он принял положение BDC.

Заметим, что С всегда ляжет на стороне AB, так как дано, что АВ>СВ.

После такого перегиба теорема сразу доказывается. Действительно, мы знаем, что внешний угол треугольника (С) больше внутреннего, с ним несмежного А:

так как

Несколько слов об опытном изучении планиметрических теорем. Опытные «доказательства» теорем полезны для наглядного, а потому и более полного изучения и запоминания самого закона, выраженного теоремой. Если, например, учащиеся измеряют стороны и углы начерченного ими треугольника, то они хорошо поймут и усвоят теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника. Но могут ли такого рода эксперименты облегчить логическое доказательство теоремы? Некоторые методисты считают применение моделей в планиметрии излишним и даже вредным. Так, например, т. Машков («Математика в школе», 1937, № 5, стр. 33) приходит к выводу, что применение моделей в планиметрии может быть вредным, так как «1) оно убеждает учащихся в ненужности логического доказательства, 2) оно оставляет школьника пассивным, давая ему преждевременно готовый ответ, до которого он должен дойти путем активного вывода».

С этим нельзя согласиться. Наоборот, применение моделей может убедить учащихся в необходимости логического доказательства. Для этого надо сравнить опытное «доказательство» с логическим доказательством и показать учащимся огромное значение, мощь последнего. Приведу пример.

Тема урока: «Сумма внутренних углов треугольника».

Преподаватель предлагает каждому ученику начертить любого вида треугольник, измерить транспортиром углы треугольника и, сложив их, записать результат их на доске. Минут через десять на доске появляется следующая запись: 179°, 178°, 180°, 181°, 180°, 180°, 182°, 179°, 180°, 180°, 179° и т. д.

Ознакомив учащихся с результатом измерения, преподаватель указывает, что никакого строгого вывода сделать нельзя, так как результаты измерения не могут быть безусловно точны; с другой стороны, хотя измерением и были охвачены десятки треугольников, однако мы не можем иметь строгой уверенности, что если взяты для опыта очень маленькие, или очень большие треугольники, или треугольники какого-либо иного вида, то у нас не получится совсем иной результат. Таким образом, измерительная демонстрация не является абсолютно точной и абсолютно строгой.

Далее преподаватель переходит к теоретическому доказательству теоремы. Он указывает, что если сумма углов сейчас измерена с абсолютной точностью, то она равна ровно 180°. Далее преподаватель говорит, что проведенное доказательство обладает абсолютной строгостью. Правда, доказательство проведено на некотором определенном треугольнике; однако этот треугольник являлся как бы представителем бесконечного множества треугольников любой формы и любой величины. Таким образом, теоретическое доказательство, в отличие от опытного, является точным и строгим.

Из сказанного можно сделать вывод, что изредка проводимые измерительные эксперименты:

1) в наглядной форме вскрывают сущность самой теоремы;

2) способствуют прочному ее запоминанию;

3) давая грубое, приближенное обоснование теоремы-, указывают на необходимость прибегнуть к более точному и строгому методу доказательства;

4) дают возможность, сопоставляя опытное «доказательство» с теоретическим, выявить мощь и значение последнего.

Вопрос о доказательстве геометрических теорем в методической литературе разобран как будто правильно; вскрыты ошибки преподавания, намечены пути для их преодоления. А между тем всё еще заметных сдвигов не видно, основная цель не достигается.

Ниже излагаются основные причины этого явления*).

1. Стабильный «учебник» Киселева является, по существу, не учебником, а научным сочинением, в котором все теоремы с начала до конца доказываются одним и тем же синтетическим методом, дающим готовое решение без указания на то, каким образом оно было найдено. Такой «учебник» не может научить учащихся самостоятельно доказывать теоремы; да он и не преследует эту цель. По методу доказательства «учебник» Киселева и ему подобные мало чем отличаются от «Начал» Евклида, творение которого предназначалось отнюдь не для школьников.

Учебник геометрии должен содержать не только доказательства теорем, но и их логическое обоснование, должен знакомить учащихся с различными методами доказательств, должен содержать хорошо подобранные и систематизированные упражнения на доказательство (в том числе и софизмы), начиная с самых легких, которые были бы доступны самым слабым по развитию учащимся. Учебник должен содержать исторический материал, биографии выдающихся математиков, особенно русских и советских.

2. Отчего многие преподаватели продолжают работать по старинке, строго, без особых отклонений следуя стабильному учебнику? Потому что этот метод работы является для преподавателя самым простым: здесь не надо придумывать логические обоснования, терять время на решение соответствующих упражнений, не надо вообще преодолевать многовековую инерцию; можно двигаться по проторенной дорожке. Для преодоления инерции, для изменения движения надо ввести некоторую внешнюю силу.

3. Но, пожалуй, самым большим препятствием для проведения урока так, как указывается в методической литературе, является недостаток времени. Новый метод требует новой дозировки программного материала. Применяя новые методы, невозможно добросовестно изучить доказательства всех теорем программного материала. Необходимо сократить программу, отбросить доказательства некоторых теорем, оставив только те доказательства, которые вполне по силам учащихся, которые наилучшим образом могут содействовать их развитию, дать наибольший эффект в смысле достижения поставленной цели. Разбор слишком сложных доказательств, не соответствующих развитию учащихся, бесполезных для приобретения новых познаний, является непроизводительной затратой времени и потому должен быть отброшен.

Доказательство всей цепи теорем необходимо только для науки. Преподаватель, конечно, должен в своем кратком историческом обзоре познакомить учащихся с развитием геометрии, указать на значение геометрической «цепи» теорем. Однако нет никакой необходимости и никакого смысла протаскивать учащихся через доказательства всех теорем этой цепи.

РАЗВИТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В VI—VII КЛАССАХ

Ф. А. АНДРЕЕВ (Уфа)

Изучая в школе геометрию, мы рассматриваем ее как предмет, который, с одной стороны, вооружает учащихся системой полезных знаний, накопленных человечеством на протяжении тысячелетий, с другой стороны, развивает логическое мышление.

Но если в вооружении учащихся прочными знаниями учителя добились значительных успехов, то в развитии самостоятельного логиче-

ского мышления дело обстоит не совсем благополучно. А без укрепления навыков правильного логического мышления знания учащихся не могут быть ни систематическими, ни прочными, ни глубокими, так как качество знаний тесно связано с развитием самостоятельной мыслительной деятельности.

Развитие логического мышления — задача школы; в разрешении ее должны участвовать все учителя.

Ни один из школьных предметов не обладает такими возможностями для развития логического мышления, как геометрия. Никакой другой пред-

*) Изложенные ниже выводы автора носят дискуссионный характер и могут явиться предметом обсуждения. (Ред.)

мет не дает столько примеров для логических рассуждений, как геометрия.

Можно ли считать, что цели и задачи, поставленные перед геометрией, достигнуты, если ученики только выучат и запомнят определения, формулировки и доказательства теорем? Конечно, нет.

Доказательства теорем в геометрии приводятся, главным образом, для того, чтобы ученики овладели методом геометрических доказательств, развивали логическое мышление.

Огромную помощь в этом оказывает решение учащимися задач на доказательство. В настоящей статье мы хотим поделиться опытом своей работы по обучению учащихся решению задач на доказательство.

Ничто так не убивает интерес у учащихся, как трудности, которые они не в силах преодолеть. Поэтому, приступая к решению задач на доказательство, учитель должен иметь особенно тщательно продуманную, разработанную на доступном материале систему работы и методику обучения решению задач этого вида.

Эта система и методика обучения должны иметь на первое время следующую цель: научить учащихся переводить условия задачи на язык геометрических обозначений; научить составлять чертеж по условию задачи.

Наиболее приемлемой и методически правильной будет система, когда задачи на доказательство классифицируются по существу проходимых теорем. Ниже делается попытка установления такой системы.

Вначале решение геометрических задач на доказательство в VI классах нужно проводить на заготовленных учителем чертежах, а задачи подбирать так, чтобы изучаемые теоремы ассоциировались в сознании учащихся с разнообразием форм и положений. При ознакомлении учащихся с некоторыми аксиомами (Киселев, § 28) необходимо решить несколько задач на доказательство с помощью аксиом. Эти же решения будут наглядной иллюстрацией к словесным формулировкам аксиом, что поможет в дальнейшем не только при решении задач, но и при доказательстве теорем, например при доказательстве теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами и других.

Возьмем аксиомы (Киселев, § 28):

«Если две величины равны порознь одной и той же третьей величине, то они равны между собою»;

«Если к равным величинам прибавим поровну или от равных величин отнимем поровну, то равенство не нарушится»;

«Если к неравным величинам прибавим поровну или от неравных величин отнимем поровну, то смысл неравенства не изменится, т. е. большая величина остается большей величиной».

Эти аксиомы не лишне проиллюстрировать на применении их к решению следующих задач:

Черт. 1

Черт. 2 Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

Указанные выше задачи учащиеся решают по готовым чертежам и без формулировок; желательно решить нижеуказанные задачи по формулировкам.

1) Дан прямолинейный отрезок AB и две точки С и D на нем. Отрезки АС и DB равны. Доказать, что точка О, служащая серединой отрезка AB, делит отрезок CD пополам.

2) Угол АО В разделен пополам прямой ОС и через вершину его проведена прямая DE, образующая с ОС прямые углы. Доказать, что острые углы AOD и ВОЕ равны между собой.

После того как учащиеся усвоили теоремы о смежных и вертикальных углах, решить задачи (Киселев, § 28, № 4; Рыбкин, § 2, № 27):

«Доказать, что биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны».

Черт. 7

Доказательство:

(Киселев, § 28, № 5):

«Доказать, что биссектрисы двух вертикальных углов составляют продолжение одна другой».

Черт. 8

Черт. 9

Доказательство:

Аналогичные задачи: Киселев, § 28, № 6 и 7.

После изучения теоремы о свойствах равнобедренного треугольника решить следующие задачи:

«Доказать, что углы, образованные боковыми сторонами равнобедренного треугольника и продолжением основания, равны».

Доказательство:

«Доказать, что в четырехугольнике с попарно равными смежными сторонами внутренние углы, образованные неравными сторонами, равны».

Черт. 10

Доказательство:

Усвоение первого признака равенства треугольника дает возможность решить задачи:

«Из вершины равнобедренного треугольника проведены два отрезка, которые делят основание на три равные части. Доказать, что отделенные этими отрезками слева и справа треугольники равны».

Черт. 11

Доказательство:

«В четырехугольнике, в котором две противоположные стороны равны, проведена диагональ, образующая с равными сторонами равные углы. Доказать, что полученные треугольники равны».

Черт. 12

Доказательство:

Аналогичные задачи, решаемые применением теоремы о первом признаке: Рыбкин, § 3, № 5, 7.

После усвоения второго признака равенства треугольников желательно решить следующие задачи на доказательство:

«Из точки D, взятой на биссектрисе угла В, проведены два луча, образующие с биссектрисой в точке h равные углы и пересекающие стороны угла. Доказать, что полученные треугольники равны».

Черт. 13

Доказательство:

«Через середину отрезка DE проведена прямая до пересечения с перпендикулярами, восставленными из концов отрезка DE. Доказать, что образовавшиеся треугольники равны».

Черт. 14 Черт. 15

Доказательство:

Аналогичные задачи, решаемые применением теоремы о втором признаке: Киселев, упр. II, № 3; Рыбкин, § 3, № 4.

Усвоив третий признак равенства, решить: «В параллелограмме противоположные стороны равны. Две противоположные вершины соединены диагональю. Доказать, что Получившиеся треугольники равны».

Доказательство:

«В равностороннем треугольнике ЛВС проведена медиана CD. Доказать, что образовавшиеся треугольники ADC и BDC равны».

Черт. 16 Черт. 17

Доказательство:

В учебнике геометрии Киселева нет одной важнейшей аксиомы Архимеда: прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками, которую мы часто применяем при решении задач. Но вместо этой аксиомы в учебнике имеется ряд теорем о сравнительной длине прямолинейного отрезка с ломаной линией (§50, 51). Изучив их, необходимо решить задачи на доказательство по Киселеву, упр. II, №7: «Сумма диагоналей четырехугольника меньше его периметра, но больше полу периметра».

Дано: ABCD — четырехугольник (черт. 17)

Доказательство:

Откуда:

Аналогичные задачи по Киселеву: упр. II, № 4, 5, 6, 8.

Аналогичные задачи по Рыбкину: § 3, № 19, 20.

Когда будут изучены теоремы о признаках равенства прямоугольных треугольников (§ 56, 57), следует решить задачи:

«Через середину отрезка AB проведена прямая. Доказать, что перпендикуляры, опущенные из точек А и В на проведенную прямую, равны».

Черт. 18

Доказательство:

Рыбкин, § 3, № 28: «Доказать, что в равнобедренном треугольнике высоты, опущенные на боковые стороны, равны».

Дано: /\АВС — равнобедренный (черт. 19)

Черт. 19

Доказательство:

Обратная: «Доказать, что тот треугольник, у которого две высоты равны, равнобедренный*.

Доказательство:

Подобные задачи, решаемые применением теорем о признаках: Киселев, упр. II, № 1, 3; Рыбкин § 3, № 26, 27.

В процессе прохождения теорем о параллельных прямых (§ 70 — 80) решить задачи на доказательство:

«Доказать, что биссектрисы: 1) внутренних накрест лежащих, 2) внешних накрест лежащих, 3) соответственных углов при параллельных — взаимно параллельны».

Черт. 20

Доказательство:

«Через точки А и В и прямолинейного отрезка AB проведены параллельные прямые, которые пересекают в точках С и D произвольную прямую, проходящую через середину отрезка AB. Доказать, что отрезок CD в точке D делится пополам».

Черт. 21

Доказательство:

«На прямолинейном отрезке AB даны точки С и D так, что АС = DB. Из точек D и В по одну сторону AB восставлены к AB перпендикуляры, на которых отложены одинаковые отреши DK и BE. Доказать, что прямая АК\\ прямой СЕ».

Доказательство:

Черт. 22

Одновременно с прохождением теорем о сумме углов треугольника и многоугольника, как заключительной темы по VI классу, необходимо решить задачи на доказательство (Киселев, упр. III, № 3; Рыбкин, § 4, № 43):

«Доказать, что если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник — прямоугольный».

(черт. 23)

Черт. 23

Доказательство:

Следовательно: Д ABC —- прямоугольный. Эту задачу можно сформулировать в теорему (Рыбкин, § 4, задача № 46).

Дано: Д ABC — равнобедренный (черт. 24)

Черт. 24

Доказательство.

Следовательно: Д ADC — равнобедренный.

Задачи к этой теме: Рыбкин, § 4, № 25, 26, 33, 35, 44. Задачи по учебнику Киселева: упр. III, № 2,3 — те же, что и по Рыбкину, № 42, 43.

Решение элементарных задач на доказательство в VI классе первое время целесообразно проводить на заготовленных учителем чертежах, которые следует сопровождать записью, что дано и что требуется доказать. Формулировка не пишется, не пишется и доказательство.

Формулировка задачи читается и попутно сверяется правильность перевода формулировки задачи на графический язык, правильность записи того, что дано и что требуется доказать. Цель — научить по условию задачи строить чертеж и выделять из условия задачи, что дано и что требуется доказать. Приучение учащихся к правильной записи задачи в символической форме ведет к осмысливанию задачи и быстрому ее решению.

Когда задача понята, почти всегда находятся ученики, которые решают задачу. Если же не найдутся такие, то учитель сам должен помочь, направив ход рассуждений.

В процессе хода решения (доказательства) па классной доске ведется запись (в тетрадях не обязательно). Запись хода решения нужно приучать делать в символической форме, без всяких письменных объяснений, но устно каждая запись должна быть обоснована. (Почему? Ссылка на аксиому или теорему.) Такая запись экономит время, расчленяет доказательство на отдельные звенья и тем способствует лучшему пониманию, выделяет логический остов из словесного доказательства.

Решение в шестых классах элементарных задач, основанных на аксиомах, определениях и первых теоремах, поможет добиться того, что учащиеся сознательно усвоят основные элементы геометрических фигур, определения, теоремы, на которых основано дальнейшее изучение геометрии.

Решение задач на доказательство приучит учащихся применять аксиомы, определения и теоремы; приведет к тому, что аксиомы, определения, теоремы будут в сознании учащихся ассоциироваться с большим количеством конкретных геометрических положений, что исключит формальное, механическое заучивание.

И наконец, решение задач поможет понять то, что не легко и не сразу дается, а именно понять, в чем сущность доказательства той или иной теоремы.

У учащихся седьмых классов имеется достаточный запас знаний основных теорем, которыми они могут оперировать при решении задач на доказательство. Действенное значение запаса имеющихся у учащихся теорем видно будет из того, что учащиеся, применяя различные теоремы, получают решение задач разными способами. Это разнообразие и оригинальность приемов решения надо всячески поощрять, как мы поощряем оригинальное решение задач на вычисление.

Возьмем, например, задачу (Киселев, упр. III, № 3; Рыбкин, § 4, № 43): «Доказать, что если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный»,— решенную нами в VI классе. При повторении в VII классе эту задачу учащиеся решат уже не одним способом, а тремя и более; это возможно потому, что запас имеющихся теорем у них стал больше.

Второе доказательство задачи (Рыбкин, § 4).

Черт. 25

Доказательство.

Проводим получим:

DE — медиана

Д DBC — равнобедренный, тогда

Третье доказательство.

Черт. 26

Доказательство.

Проводим DE У AB и DF || ВС Получим: BEDF — параллелограм Проводим EF, получим:

Значит, BEDF — прямоугольник. Следовательно: Д ABC — прямоугольный.

Четвертое доказательство.

Черт. 27

Доказательство. На продолжении BD отложим DE = BD

Соединим Е с А и С, получим: АВСЕ — четырехугольник

Значит, АВСЕ — прямоугольник. Следовательно: Д ABC — прямоугольный. Эта задача может быть сформулирована в теорему:

Если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник — прямоугольный.

Задача, ставшая теоремой, поможет решать другие задачи.

Еще пример.

Доказать, что в равнобедренном треугольнике прямые, соединяющие середины боковых сторон с серединой основания, равны.

Дано:

Д ABC — равнобедренный (черт. 28) D, Ем F — середины сторон

Черт. 28

Доказательство:

Следовательно: DE = DF.

На основании решения этой задачи учащиеся могут вывести теорему:

Если в равнобедренном треугольнике середину основания соединить отрезками с серединами боковых сторон, то эти отрезки будут равны.

Приведем еще задачу, которую учащиеся решили тремя способами:

Доказать, что в равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Первое доказательств о. Дано:

ABCD — равнобедренная трапеция (черт. 29)

Черт. 29

Доказательство. Проводим CF || AB

Второе доказательство (черт. 30).

Черт. 30

Третье доказательство (черт. 31)

Черт. 31

Проводим диагонали АС и BD

Еще пример задачи, которую учащиеся решили тремя способами, применяя к решению различные теоремы. Эта задача числится в перечне задач VI класса, но ее желательно решить в VII классе, так как при ее решении применяется несколько теорем темы «Параллелограм и трапеции».

Рыбкин, § 4, № 42. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

Дано: Д ABC — прямоугольный (черт. 32) ВМ — медиана

Черт. 32 Черт. 33

Доказательство. Продолжим ВМ и на продолжении отложим MD = BM, соединим D с Л и С

Второе доказательство (к решению применена теорема Фалеса).

Проводим MN\\AB, получим: BN = NC (черт. 33). Проводим MD \\ ВС, получим AD— DB.

Значит, DN — средняя линия.

Третье доказательство (черт. 34).

Черт. 34

Учащиеся формулируют теорему: В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. В процессе прохождения темы «Параллелограм и трапеция» желательно решить задачи на доказательство по Рыбкину, § 5, № 9, 11, 18, 19, 34, 44, 46,50,52, 90—93. Задачи №9, 37, 44 и 72 могут быть учащимися легко сформулированы в теоремы.

Попутно с прохождением темы «Окружность» следует решить следующие задачи на доказательство: Рыбкин, § 6, №7, 16, 18, 47; по Киселеву — указанные в упражнении.

Рыбкин, § 6, № 7. «Доказать, что кратчайшее расстояние между двумя окружностями, лежащими одна вне другой, есть отрезок линии центров, заключенный между окружностями ».

Дано: О и Ох—окружности (черт. 35) ООх—линия центров

Т. д.: AB — кратчайшее расстояние между окружностями, или AB<dDC

Черт. 35

Доказательство. Проводим ODCOu получим:

Отняв от обеих частей неравенства по OA = OD и ВОх — СОх, получим:

AB < DC.

Рыбкин, § 6, № 18. «Доказать, что из всех хорд, проходящих через точку А, взятую

внутри круга, наименьшей будет та, которая перпендикулярна к диаметру, проходящему через Л».

Дано: точка А в окружности О (черт. 36)

Доказательство.

При изучении темы «Измерение угла дугами» решить задачи по Рыбкину, § 7, № 21, 23, 27; по Киселеву — данные в упражнениях.

Приведем пример решения задачи из учебника Киселева в упр. № 16.

Эта задача как задание на дом была дана 17 февраля, а 18 февраля учащиеся ее доказывали в классе самыми разнообразными способами. Привожу из них три способа.

Задача. «К двум окружностям центров О и Oj, касающимся извне в точке А, проведена общая внешняя касательная ВС. Доказать, что угол ВАС — прямой».

Первое доказательство (черт. 37). Дано:

О и Ох — окружности, касающиеся извне ВС — общая касательная

Доказательство:

Второе доказательство (черт. 37).

Третье доказательство (черт. 38).

Черт. 36 Черт. 37 Черт. 38

Радиусом, равным BD, описываем окружность с центром в D.

j/^BAC — прямой, как угол, опирающийся на диаметр.

Эта задача давалась для решения в классе после усвоения теорем о вписанном треугольнике и свойствах описанной окружности, а именно: когда центр лежит внутри треугольника, на середине гипотенузы и вне треугольника. Применяя пройденные теоремы и свойства описанной окружности, учащиеся эту задачу решили еще несколькими способами. Приведенные примеры решения задач различными способами и вывод формулировок теорем показывают творческий подход к решению задач со стороны учащихся.

Повседневно на уроках, на кружковых занятиях, подчеркивая важность решения задач различными способами, можно видеть в практике работы, как у учащихся появляется интерес к предмету, развивается творческий подход к решению задач. Учитель видит, что такая система работы вооружает учащихся полезными теоретическими знаниями, которые учащиеся умеют применять в практике, что благодаря такой системе работы учащиеся осмысленно применяют теоремы к решению задач, начинают лучше понимать структуру и ход геометрических доказательств.

О ПРИМЕНЕНИИ СИМВОЛИКИ В КУРСЕ СТЕРЕОМЕТРИИ

А. А. СТОЛЯР (Могилев)

Одной из основных задач, решаемых в процессе преподавания стереометрии, является развитие правильных пространственных представлений учащихся. При решении этой задачи мы встречаем некоторые трудности, вызванные, с одной стороны, тем, что плоское изображение пространственной фигуры, которым мы пользуемся, искажает истинные взаимные расположения геометрических элементов, а с другой стороны, тем, что принятая в школьной практике система обозначений отношений геометрических элементов недостаточна для того, чтобы мы могли ее с пользой применять в процессе доказательства стереометрических теорем и решений задач.

Для ликвидации трудностей первого рода необходимо ознакомить учащихся с основными методами изображения пространственных фигур на плоскости (центральное и параллельное проектирование), научить их видеть на плоском изображении действительное взаимное расположение элементов пространственной фигуры.

Для ликвидации трудностей второго рода необходимо пополнить символику школьной геометрии обозначениями отношений пересечения, принадлежности, скрещивания и др.

Применяя более полную символику, мы имеем возможность точно записывать условия и заключения стереометрических теорем в символической форме, давать краткую запись самого процесса доказательства теорем, выявляя при этом логическую строгость и последовательность наших рассуждений. Применение символики позволяет нам доказывать некоторые теоремы, вовсе не обращаясь к чертежу. Если не злоупотреблять доказательствами без чертежа, то применение небольшого числа таких доказательств весьма положительно сказывается на повышении математической культуры учащихся.

В настоящей статье дается краткое описание опыта применения в процессе преподавания стереометрии в IX и X классах средней школы одного из вариантов системы обозначений геометрических элементов и отношений между ними. Ниже приводится эта система обозначений, и ее применение иллюстрируется на ряде конкретных примеров.

Точки обозначаются заглавными буквами латинского алфавита:

А, В, С, D,...,

прямые — малыми буквами того же алфавита:

а, Ь, с,...,

плоскости — буквами греческого алфавита:

а, ß, f, v,...

Ввиду того что всякие две различные точки А и В определяют одну единственную прямую, то прямая еще обозначается символом AB, т. е. двумя своими точками.

Отрезок, определяемый точками А, В на прямой AB, обозначается символом:

[АВ].

Символ ABC обозначает плоскость, определяемую точками А, В, С, не лежащими на одной прямой.

Кроме символов || и J_, обозначающих соответственно отношения параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, вводятся еще следующие обозначения других отношений.

Выражения: «прямая а проходит через точку Л» или «точка А лежит на прямой а» — равносильны и обозначают лишь то, что точка А входит как элемент в состав множества точек, называемого прямой а. Аналогично выражения: «прямая а лежит на плоскости а» или «плоскость а проходит через прямую а» — равносильны и обозначают лишь то, что прямая как множество точек является частью множества точек, образующих плоскость а. Исходя из смысла этих выражений, мы применяем для их обозначения знак «принадлежности» (или «включения»). Так, суждение: «точка А лежит на прямой а»—обозначим символом: Ас: а, суждение: «прямая а лежит на плоскости а» — тем же символом: а с: а (или аса — плоскость а проходит через прямую с).

Следует отметить, что отношение принадлежности обладает свойством транзитивности, т. е. если Ada и aCZot, то Лса.

Логическую связь «если — то» обозначим символом —таким образом имеем:

Пересечение прямых, плоскостей обозначим символом Х-

Суждение: «прямые а и Ъ пересекаются в точке М» — обозначим символом:

это означает, что

Аналогично: а X ß = я есть символическая запись суждения: «плоскости а и ß пересекаются по прямой а», или «а есть линия пересечения плоскостей а и ß».

Таким образом, теорему: «Все общие точки двух плоскостей лежат на линии их пересечения»— можно символически записать так:

Ввиду того что часто в теоремах отрицается определенное отношение между элементами, то целесообразно ввести символ для обозначения логической операции отрицания.

Так, отрицательное суждение: «точка А не лежит на прямой а»—обозначаем: А а а или, если множество точек, не лежащих на прямой а, обозначить символом а, то суждение Ada равносильно суждению A ci а.

Два отрицания: а \\ b и а X ^ — равносильны утверждению: «прямые а и b скрещиваются». Обозначим это суждение символом а ^ Ь.

Символом ВС = пра (АС) обозначим суждение: iBCесть проекция наклонной АС на плоскость а». Это означает, что:

Приведем сейчас доказательства нескольких теорем школьного курса стереометрии и решения нескольких задач на доказательство с применением указанной выше символики; некоторые доказательства будут даны без чертежа, хотя, строго говоря, все они осуществимы без помощи чертежа.

I. Признак параллельности прямой и плоскости: «Если прямая вне плоскости параллельна какой-либо прямой на плоскости, то она параллельна и самой плоскости» (черт. 1).

Черт. 1

Доказательство. Так как а \\ Ь, то существует плоскость ß такая, что a cz ß и b cz ß. Тогда *E(aXP)_ Допустим, что а || а, тогда:

что противоречит условию а К Ь. Это противоречие доказывает теорему.

II. «Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны между собой».

Доказательство.

что противоречит условию теоремы: (а || ß). Это противоречие доказывает теорему.

III. Теорема о трех перпендикулярах:

«Перпендикуляр к проекции наклонной, лежащий в плоскости проекции, перпендикулярен и к самой наклонной» (черт. 2).

Черт. 2

(по определению прямой, перпендикулярной плоскости);

2) а _1_ ВС (по условию);

а±АВ(\)—>а±АВС

(признак перпендикулярности прямой и плоскости).

3) a _L ABC (2); АС с ABC (аксиома) — —>а_[_ЛС (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

Обратная теорема доказывается совершенно аналогично.

Важно указать на каждом этапе доказательства, на основании какой ранее доказанной теоремы, какого определения или какой аксиомы мы делаем вывод на этом этапе. Это помогает учащимся выяснить место доказываемого положения в логической последовательности теорем.

IV. Взаимное расположение трех плоскостей.

Исследование всевозможных случаев взаимного расположения трех плоскостей имеет большое значение в деле развития пространственных представлений учащихся. Опыт показывает, что если провести это исследование непосредственно с помощью чертежа, то учащиеся запутываются в сложных чертежах. Лучшие результаты мы получаем, проведя это исследование без помощи чертежа и иллюстрируя на чертеже уже найденные случаи взаимного расположения трех плоскостей.

Ниже приводится это исследование.

Пусть даны три плоскости: а, ß и 7.

Различаем два основные случая: либо какие-нибудь две из данных трех плоскостей параллельны, либо никакие две не параллельны, т. е. данные три плоскости попарно пересекаются.

Рассмотрим отдельно каждый из этих случаев.

А) Пусть а ii Тогда представляются следующие возможности:

1) т h ß, и так как ß || а, то y ii а (свойство транзитивности).

_2) (Y X ß) Е я, и так как ß || а, то (-[Х«) = — Ь, причем а \\ Ь.

Действительно, если бы 7 X а» тогда мы имели бы 7 ii а, и так как а || ß, то 7 || ß, что противоречит условию.

Таким образом, в этом случае либо все три плоскости параллельны, либо две из них параллельны, а третья пересекает их по параллельным прямым.

Б) Пусть никакие две из трех данных плоскостей не параллельны, т. е.

Тогда либо какие-нибудь две из трех линий пересечения совпадают, либо никакие две не совпадают.

1) Пусть

и

тогда т. е. или

Три плоскости имеют общую прямую.

2) Пусть

Рассмотрим какие-нибудь две из трех линий пересечения, например а и Ь.

Так как а, £czß, то либо (аХ^)ЕД либо а ii Ь.

а) Пусть (а X Ь) ЕЕ А тогда:

Следовательно:

Три плоскости имеют одну общую точку, б) Пусть а ii Ь, тогда имеем:

Три плоскости не имеют общей точки, попарно пересекаясь по параллельным прямым.

В случае Б мы пришли к следующему выводу: три попарно пересекающиеся плоскости либо не имеют общей точки, либо имеют одну общую точку, либо имеют общую прямую.

Все эти случаи взаимного расположения трех плоскостей иллюстрируются на чертеже или модели.

Рассуждения, посредством которых мы исследовали взаимное расположение трех плоскостей, применяются при решении некоторых задач на доказательство.

В качестве задачи на доказательство можно дать учащимся следующее предложение: Даны два треугольника ABC и AxBiCi, не лежащие в одной плоскости и обладающие тем свойством, что соответствующие стороны попарно пересекаются, т. е.

Доказать, что:

а) три точки пересечения соответствующих сторон M, N и Р лежат на одной прямой, т. е. РаММ, и

б) три прямые ААг, ВВХ и ССг, соединяющие соответствующие вершины, проходят через одну точку или попарно параллельны, т. е. либо

Доказательство.

б) Пусть а, Р и f — три плоскости, определяемые тремя парами пересекающихся прямых.

Следовательно:

Рассмотрим какие-нибудь две из трех линий пересечения, например ААХ и ВВХ.

Следовательно:

Пусть тогда:

Совершенно аналогично доказывается следующее предложение: Если соответствующие стороны двух треугольников ABC и АХВХСХ, не лежащих в одной плоскости, соответственно параллельны, т. е.

то три прямые ААХ, ВВХ и CCXi соединяющие соответствующие вершины, проходят через одну точку или попарно параллельны, т. е. либо (AAlXBBlXCCx)'ES, либо

Легко заметить, что приведенные два предложения являются частными случаями проективной теоремы Дезарга о двух перспективных треугольниках. Теоремы, в выражающие именно такие свойства взаимного расположения геометрических образов, играют особую роль в деле развития пространственных представлений учащихся. Поэтому не может быть сомнения в целесообразности увеличения удельного веса таких задач на доказательство в школьной геометрии.

Необходимо также уделять больше внимания тем стереометрическим задачам на вычисление, которые содержат в себе в качестве составной части некоторую задачу на доказательство.

Приведем пример такой задачи.

Задача. Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, если известны высота h и расстояние а середины высоты от боковой грани.

В этой задаче необходимо предварительно доказать, что середина высоты проектируется на плоскость боковой грани в точке, лежащей на апофеме пирамиды.

Докажем более общее положение, которое находит себе применение во многих задачах:

«Любая точка высоты пирамиды проектируется на плоскость боковой грани в точке, лежащей на высоте этой боковой грани» (черт. 3).

Черт. 3

ч. т. д.

Примеров таких стереометрических задач можно привести очень много.

К сожалению, некоторые учителя уделяют много внимания стереометрическим задачам на вычисление другого рода, которые вряд ли

можно назвать геометрическими, ибо они требуют знания одних лишь формул поверхностей и объемов и сводятся к решению уравнения или системы уравнений. Примером такой задачи может служить следующая задача:

«Сумма ребра одного куба с ребром другого равна 12 дм; сумма объемов этих кубов равна 468 дм. Определить длину ребра каждого куба».

Ясно, что решение таких задач не содействует развитию пространственных представлений учащихся.

Приведенные примеры достаточно наглядно показывают, что применение символики в преподавании стереометрии помогает учителю решить важнейшие задачи развития пространственных представлений и логического мышления учащихся.

От редакции. Затрагиваемый автором статьи вопрос о применении символики в курсе стереометрии заслуживает внимания. Но, разумеется, следует предостеречь учителя от крайностей. Проведение доказательств без чертежей может оказать отрицательное влияние на развитие пространственных представлений тем, что сведет геометрические рассуждения лишь к формально-логическим схемам. Следует избегать также слишком громоздких символических выкладок.

Правильное решение вопроса заключается в разумном сочетании символики и наглядных геометрических иллюстраций.

ОТ РЕДАКЦИИ

XIX съезд партии в директивах по пятому пятилетнему плану развития СССР поставил перед школой большую и ответственную задачу: «...приступить к осуществлению политехнического обучения в средней школе и провести мероприятия, необходимые для перехода к всеобщему политехническому обучению».

Одним из первых шагов на пути к выполнению этого исторического решения является изучение и обобщение опыта передовых советских учителей, которые в своей педагогической практике проводили те или иные мероприятия, являющиеся составной частью политехнического обучения.

В этих целях редакцией журнала совместно с редакцией «Учительской газеты» было проведено в декабре совещание учителей московских школ методистов и научных работников (материалы совещания опубликованы в № 102 «Учительской газеты» от 24/XII 1952 г.).

Для ближайших №№ журнала редакция предполагает подготовить серию статей, посвященных вопросу политехнизации советской школы.

Редакция обращается к учителям математики с предложением присылать в наш адрес статьи и заметки о своем опыте внедрения элементов политехнизации в преподавание математики.

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

ДМИТРИЙ МАТВЕЕВИЧ ПЕРЕВОЩИКОВ

С. КАСЬЯНЮК (Пенза)

В середине прошлого столетия великий русский демократ Н. Г. Чернышевский писал: «Имя Д. М. Перевощикова пользуется у нас громкою известностью, вполне заслуженною, и если бы кто-нибудь из многочисленных почитателей русского математика составил полное и основательное обозрение ученой его деятельности, то нет сомнения, он этим исполнил бы желание всякого, интересующегося успехами наук в России.

... в последние 30 лет никто не содействовал столько, как он, распространению математических, астрономических и физических сведений в русской публике: Д. М. Перевощиков был первым, неутомимейшим и полезнейшим из людей, посвятивших свою ученую деятельность этому прекрасному стремлению» (Н. Г. Чернышевский, Полное собрание сочинений, т. II, Госполитиздат, 1949, стр. 620—621).

Дмитрий Матвеевич Перевощиков родился 17 апреля 1790 г. в Пензенской губернии в дворянской семье. В 1802 г. он поступил в Казанскую гимназию. Учиться Перевощикову пришлось вместе со своим братом — известным филологом — и с писателем С. Т. Аксаковым. Аксаков в «Семейной хронике» и «Воспоминаниях» дал прекрасное описание Казанской гимназии и университета. Нередко там встречается и имя его друга Д. М. Перевощикова.

Под влиянием замечательных педагогов Карташевского и Запольского Д. М. Перевощиков начал заниматься математикой и в 1805 г. поступил в Казанский университет на физико-математический факультет. Приехавший в 1808 г. в Казань Бартельс был поражен математическими познаниями студентов: «К моей великой радости, я нашел в Казани... необыкновенный интерес к математическим наукам».

Окончив университет, Д. М. Перевощиков поступил в Симбирскую гимназию старшим учителем математики и физики (1809—1816), где считался одним из лучших преподавателей.

В 1818 г. Д. М. Перевощиков начал преподавание высшей геометрии и алгебры в Московском университете, который в то время переживал период застоя.

Начинать надо было с настоящей постановки лекций и с создания хороших учебников. За это и взялся Д. М. Перевощиков. Он написал учебники по алгебре, арифметике, геометрии, механике, физике, сферической тригонометрии, высшей математике, астрономии.

В предисловии к переводу «Дифференциального исчисления Франкера» (Москва, 1824 г.) Перевощиков изложил свои взгляды на учебник. Прежде всего Перевощиков много внимания уделяет выработке логического мышления и самостоятельной работе учащегося: «Учебное сочинение... должно доставлять учащимся столько познаний, чтоб они могли без труда переходить от него к исследованиям высшим».

Поэтому учебник должен отличаться методической последовательностью и стройностью: «сочинитель обязан содержащиеся в учебном сочинении истины соединить так, чтобы все они проистекали из одной коренной истины очевидным образом». «Это научает выводить заключения и пользоваться ими при новых вопросах».

Как только выработается логическое мышление, «постигнувши сию тайну, учащийся и с малым количеством истин будет в состоянии

приобретать новые сведения, даже сам проложить путь к открытиям. Посему нет надобности наполнять учебную книгу исследованиями частными, которые, обременяя память, не позволяют уму действовать свободно и удаляют от цели учения».

Д. М. Перевощиков протестует против тех задач, которые требуют искусственных приемов, догадок, оставляя их вне учебных занятий. «Примеры должно разрешать помощью непосредственного приложения предшествовавших теорий, а не посторонними, искусственными приемами».

«Наконец, краткость в выражениях необходима, часто довольно одного указания на прежнее исследование, обременительнее же всего повторения».

И он делает заключение: «Из сего видно, что составить учебную книгу не так легко, как обыкновенно думают; чтоб написать сочинение сего рода об одной части науки, дол кно обнимать всю науку, хорошие учебные сочинения весьма редки, потому что познания сочинителя часто простираются не далее его книги».

Всем этим требованиям отвечали учебники, написанные Д. М. Перевощиковым: «Арифметика» (1820), «Главные основания аналитической геометрии трех измерений» (1822), «Гимназический курс чистой математики» (1838), «Основания алгебры» (1854) и др.

Интересно, что в своей «Арифметике» Перевощиков выступил как сторонник метрической системы мер (а это в то время было небезопасно; достаточно вспомнить те громы, которые Фусс обрушил на Лобачевского за предложение ввести в геометрию метрическую систему и десятичное деление углов).

С 1826 по 1837 г. Д. М. Перевощиков выпустил 13 томов «Ручной математической энциклопедии», семь из них занимала математика, 3 — механика, 1 — оптика, 1 — физика и 1 — астрономия.

Издавая этот труд, Д. М, Перевощиков преследовал большую цель: «Кто соберет все части, тот составит небольшую библиотеку, содержащую физико-математические науки в их нынешнем усовершенствованном состоянии».

По этой книге в свое время училась математике вся Россия; по ней учился Гоголь, считавший ее одним из самых образцовых математических сочинений на русском языке, по ней учился Лермонтов в Благородном университетском пансионе и в бытность его в школе гвардейских подпрапорщиков. По «Ручной энциклопедии» до 1842 г. Н. Е. Зернов читал лекции в Московском университете.

«Ручная энциклопедия» свидетельствует о больших знаниях автора, о его знакомстве с новыми идеями и стремлении довести их до широких масс.

В 1826 г. Д. М. Перевощиков получил звание профессора астрономии за научные работы и преподавательскую деятельность. В Москве он читал лекции по астрономии, алгебре, высшей геометрии, сферической тригонометрии, прикладной математике, аналитической геометрии, анализу, механике, геодезии и т. д.

Как лектор Д. М. Перевощиков пользовался исключительной славой. Он был одарен литературным и лекторским талантом. По словам современников, он преподавал математику «вдохновенно, как поэт, как бы создавая ее во время изложения, со страстной любовью к ней, которую сообщал и сзоим слушателям» («История Московского университета» Шевырева).

Читал он простым русским языком, сохраняя всю глубину мысли, и всегда высмеивал «птичий язык» любителей иностранных словечек, так вспоминал о нем А. И. Герцен. Случалось, что некоторые студенты других факультетов, случайно попав на лекцию Перевощикова, так были увлечены его изложением, что начинали заниматься математикой. Так случилось, например, с известным филологом, профессором А. Д. Галаховым.

Д. М. Перевощиков прекрасно понимал, что приобщить юношество к серьезному труду можно было только посредством ясного, простого и краткого изложения основ науки. Считая русских юношей способными к математике, Перевощиков принимал все меры к тому, чтобы «открыть» их таланты, как «открыл» он Зернова Н. Е., Драшусова А. Н., Герцена А. И., Чебышева П. Л., Давидова А. Д. и многих других. Он обогащал науку не только своими собственными исследованиями, но и оказал ей огромную услугу, как наставник и руководитель многих русских ученых.

Как человек Д. М. Перевощиков пользовался всеобщими симпатиями. Воспоминания о нем сохранили и его питомцы: В. Г. Белинский, А. И. Герцен, П. Л. Чебышев, Н. Е. Зернов и др. Так, проф. Шестаков писал: «То был золотой век Московского университета: в нем читали известные профессора, имя которых до сих пор произносится с уважением: Перевощиков, Грановский, Иноземцев, Крылов и др.».

Будучи профессором в Московском университете, Перевощиков занимается вопросами астрономии, небесной механики и математики. Кроме чисто научных работ в «Ученых записках» Московского университета, неустанный пропагандист точных наук Д. М. Перевощиков поместил множество популярных статей и обозрений, написанных прекрасным литературным языком: «О разложении рациональных дробей»,

«О решении неопределенных уравнений), «О времяисчислении», «Фигура Земли», «О кометах», «Распределение тепла по земной поверхности», «Франсуа Араго» и др.

Великий критик Белинский писал: «Журналы наши особенно богаты замечательными учеными статьями... Перевощикова Д. М.» (В. Г. Белинский, Избранные произведения, т. III, M., 1948, стр. 840), а Н. Г. Чернышевский заявлял: «Количество написанных им с этой целью статей очень велико: и по числу и по внутреннему достоинству они в русской литературе занимают первое место в ряду всех подобных произведений» (Н. Г. Чернышевский, Полное собрание сочинений, т. II, Госполитиздат, 1949, стр. 621).

Наряду с чисто научной и педагогической деятельностью Д. М. Перевощиков занимал различные административные должности. В 1818 г. он был избран директором Медицинского института при Московском университете (хотя по уставу это место должно было принадлежать профессору Медицинского института) и инспектором «казеннокоштных» (т. е. находящихся на содержании государства) студентов. Инспектор следил за поведением студентов, их занятиями, должен был заботиться об отдыхе, развлечениях, решал хозяйственные вопросы и т. д. Учившийся тогда в университете В. Г. Белинский писал: «Инспектор Д. М. Перевощиков— человек весьма известный в ученом свете. Он строг, любит порядок и устройством нашего казенного быта большей частью одолжены ему».

С 1827 по 1829 г. Перевощиков был членом училищного комитета. Оставив в 1830 г. должность инспектора, он в течение двух лет пробыл секретарем университетского совета. Несколько раз он был избран деканом.

С 1833 но 1836 г. Перевощиков редактировал «Ученые записки» Московского университета. В 1834 г. он был назначен инспектором над частными учебными заведениями г. Москвы, а в следующем году ревизовал учебные заведения Костромской губернии. В 1842 г. он был избран проректором, а в 1848 г. — ректором университета; на этом посту он пробыл до 1851 г.

Вся общественная деятельность Перевощикова характеризуется стремлением улучшить жизнь студентов, полной независимостью и самостоятельностью, презрением к подхалимству и бюрократизму. И только благодаря научным заслугам и большому авторитету начальству приходилось с ним мириться. Помощник попечителя учебного округа граф А. Н. Панин в своей записной книжке отмечает «строптивость подчиненного» и «непреклонность нрава», но и в то же время вынужден признать, что этот профессор мог бы быть украшением любого университета.

Выйдя в отставку в 1851 году, Д. М. Перевощиков переселился в Петербург, где в следующем году (6 марта 1852 г.) Академия наук избрала его в адъюнкты чистой математики. Пользуясь большей свободой, он всецело предался научной работе. В 1855 г. он получил звание экстраординарного академика. Появляются его капитальные труды по теории движения планет, принесшие ему славу крупного астронома: «Вековые возмущения семи больших планет», «Теория планет», «Гауссов способ вычислять элементы планет». В журналах попрежнему появлялось множество популярных статей академика Перевощикова по астрономии, физике, метеорологии, истории науки и т. д.

В последние годы жизни Перевощикова интересовали новые проблемы математического анализа. В «Записках императорской Академии наук» появляется целый ряд его работ по интегрированию функций.

Умер Д. М. Перевощиков 3 сентября 1880 г в Петербурге, похоронен на Смоленском кладбище.

Преподавательская деятельность Д. М. Перевощикова имеет большое значение в развитии русской науки; он поднял математическое образование в средних учебных заведениях изданием целой серии учебников; он был прекрасным пропагандистом новых идей. Перевощиков много сделал для пропаганды работ русских ученых и особенно Ломоносова: «Славою же первоклассного испытателя не пользуется он (Ломоносов) не токмо между чужеземцами, ко и между своими соотечественниками, из которых большая часть даже не думает, что в его рассуждениях о различных предметах естествознания могут заключаться мысли обширные и поучительные. ..

Для чего не следуют похвальному примеру иноземных ученых, которые всякое новое замечание своих собратий сохраняют тщательно, и даже весьма часто о самых мелочных опытах пишут и говорят, как об открытиях, расширяющих пределы науки?

Напротив, мы редко оцениваем справедливо труды своих сограждан, хладнокровно уступаем иностранцам славу изобретений...»

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О КНИГЕ Д. К. ФАДДЕЕВА и И. С. СОМИНСКОГО «АЛГЕБРА» ч. I

И. В. КУЛИКОВ (Череповец)

Выпуск из печати нового пособия по алгебре вызвал большой интерес со стороны преподавателей математики семилетних и средних школ.

Книга начинается подробным предисловием, предназначенным для учителей. Половина его занята указаниями о том, как нужно обучать учащихся решению задач при помощи уравнений в VI—VII классах до изучения темы «Уравнения 1-й степени с одним неизвестным». Авторы в предисловии подробно излагают «четыре шага» этого обучения.

В новом учебнике алгебры изложены следующие вопросы программы, которых нет в стабильном учебнике Киселева, часть I:

1. Решение простейших уравнений на основании определений и свойств арифметических действий и решение задач на составление уравнений.

2. Графическое изображение зависимости между величинами, построение графиков.

3. Геометрическое истолкование решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

4. Пропорции и пропорциональная зависимость.

5. Понятие о неравенстве и его свойствах, решение неравенств 1-й степени с одним неизвестным.

Определение абсолютной величины числа дается не такое, как в учебнике Киселева, а новое, более научное, соответствующее указаниям объяснительной записки к программе.

По-новому, с учетом современных научных взглядов и методических требований, излагается тема о положительных и отрицательных числах. Термин «относительные числа», как устаревший, совсем не употребляется; хорошо изложены вопросы о действиях над отрицательными числами. Вопрос об умножении отрицательных чисел сразу начинается с определения этого действия, и от учащихся не скрывается, что правило умножения отрицательных чисел не может быть доказано, а целесообразность его иллюстрируется на конкретной задаче.

Изложение главы III учебника о преобразовании целых алгебраических выражений начинается параграфом о цели алгебраических преобразований. При изложении вопроса о приведении подобных членов авторы не ограничиваются определением понятия о подобных членах и правилом приведения подобных, как это сделано в учебнике Киселева, а разъясняют, на чем основано приведение подобных членов. Таким же образом в книге разъясняегся и обосновывается правило вычитания многочленов.

Значительно глубже и подробнее, чем в стабильном учебнике, изложена тема «Уравнения 1-й степени с одним неизвестным». Авторы уделяют достаточное внимание разбору случаев, когда при решении уравнения теряются или приобретаются корни (глава VII § 1, 3).

Вместо двух способов решения системы уравнений 1-й степени с двумя неизвестными, которые даются в учебнике Киселева, изложены четыре способа (графический, сравнения, алгебраического сложения и подстановки).

Подробнее, чем у Киселева, разбирается решение задач на составление уравнений и систем уравнений 1-й степени в VII классе. На ряде задач показано исследование полученных решений по отношению к содержанию задач.

Наличие бесконечного множества решений у одного уравнения 1-й степени с двумя неизвестными наглядно разъяснено при помощи графика.

В новом учебнике четко и ясно изложены вопросы о пропорциях и пропорциональной зависимости, о неравенствах. Авторы уделяют должное внимание развитию логического мышления учащихся.

Достаточное внимание обращено обоснованию алгебраических правил при помощи законов и свойств математических действий. В конце книги дано дополнение, в котором разъясняются некоторые элементы логики и даются примерные упражнения для развития логического мышления учащихся по отдельным темам курса.

В книге хорошо изложены вопросы о законах в свойствах арифметических действий, об обратных действиях, о применении формул сокращенного умножения при устном счете.

Таковы положительные стороны книги Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского. Нам кажется, что они должны быть закреплены авторами при дальнейшей работе над составлением нового учебника алгебры, а преподавателям школ будут полезны при подготовке к урокам алгебры в VI и VII классах.

Переходим к разбору недостатков нового учебника.

При оценке любого школьного учебника преподаватели прежде всего обращают внимание на то, в какой мере он соответствует действующей программе по объему и расположению материала.

В книге Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского дан не весь материал, который требуется для изучения

алгебры в VI—VII классах. Крупным недостатком книги является полное отсутствие в ней кратких сведений из истории алгебры, о важности и необходимости которых говорить не приходится. Кроме того, в книге не изложены следующие вопросы:

1) сведения о знаках математических действий;

2) раскрытие скобок, в которые заключен многочлен, и заключение многочлена в скобки, перемена знаков, стоящих перед скобками; 3) сведения об условии равенства двух дробей; 4) графики равномерного движения и перевода мер; 5) решение систем уравнений 1-й степени при помощи вспомогательных неизвестных; 6) нормальный вид уравнения 1-й степени и системы двух уравнений 1-й степени с двумя неизвестными; 7) латинский алфавит и порядок его употребления; 8) перемена знаков у членов дроби; 9) образцы задач из области физики и геометрии.

Нам кажется, что перечисленные сведения необходимо внести в новый учебник алгебры; сделать это можно за счет более сжатого изложения отдельных частей книги и удаления из нее отдельных, менее актуальных, не предусмотренных программой вопросов. Более сжато следует изложить главы I, II и VI. Выбросить без вреда для дела можно следующие параграфы, содержание которых не предусмотрено программой: 1) § 14 (стр. 89) с теоремой о тождествах; 2) § 11 (стр. 184—187) — о признаках числа решений системы уравнений 1-й степени с одним неизвестным; 3) § 17 (стр. 68—79) с графиками функций: у = X2 и л:(10 — х) = 12; 4) § И (стр. 81 — —82) — мелкий шрифт об особых способах решения примеров на умножение многочленов; 5) § 11 (стр. 213—215) — о применении графиков для приближенного решения уравнений.

В книге имеются расхождения с действующей программой и в расположении учебного материала. Вопросы пропедевтики уравнений и решения задач пропедевтического цикла при помощи уравнения должны изучаться, начиная с первой темы алгебры в VI классе, вплоть до изучения темы «Уравнения 1-й степени с одним неизвестным» в VII классе, и увязываться с другими вопросами программы. Авторы же нового учебника все вопросы пропедевтики уравнений и решения задач пропедевтического цикла включили в первую главу своей книги. Если мы посмотрим следующие главы книги (II—VI), то не найдем в них ни одного указания о решении уравнений и о решении задач при помощи уравнений. Глава I нового учебника оказалась перегруженной этими вопросами: из 13 параграфов почти половина (§ 2, 9—13) посвящены уравнениям и решению задач при помощи уравнений. Обилие задач (разобрано больше 30 задач) порой затушевывает основное содержание вопроса, разбираемого в том или ином параграфе. Полное изучение всех задач на первых уроках алгебры недоступно для учащихся, и сами авторы не рекомендуют это делать.

В предисловии к книге они пишут: «Параграфы 2, 9, 11 и 12 посвящены вопросу о решении задач при помощи уравнений. Отнюдь не предполагается, что учитель будет знакомить учащихся с содержанием этих параграфов сразу» (стр. 3).

Читая предисловие дальше, мы узнаем, что вопрос, изложенный в § 11, рекомендуется изучать «в начале второй четверти и продолжать до конца первого полугодия», что «с проработкой § 12 спешить нельзя» и изучать следует, «когда класс созреет для этого», а именно: в конце шестого года обучения или даже в VII классе. Таким образом, авторы сами признают, что изучать материал первой главы в том порядке, в каком он расположен в учебнике, нельзя. Для чего же они так расположили этот материал? Из предисловия к книге мы узнаем, что сделано это «в целях систематичности изложения» (стр. 3). Но какой смысл в такой «систематичности изложения» учебного материала, которая идет в разрез с рекомендуемым самими же авторами нормальным порядком изучения его в школе. Если преподаватель не прочитает предисловия к книге, то, следуя за учебником, он будет на первых же уроках алгебры в VI классе изучать материал главы I в том порядке, в каком он изложен в учебнике, но решать задачи пропедевтического цикла учащихся не научит и напрасно потеряет время, так как обучение в этом случае не будет соответствовать возрастным возможностям учащихся. Если же преподаватель и прочитает предисловие к книге, то перед ним встанут недоуменные вопросы: 1) при изучении каких тем нужно знакомить учащихся с содержанием § 9—12, 2) как увязать изучение этих параграфов с изучением соответствующей темы. Еще больше затруднений при изучении главы I учебника возникнет у учащихся.

Со вторым случаем несоответствия в расположении материала с действующей программой мы встречаемся в главах III—V книги. Действия над одночленами и многочленами в главе III заканчиваются умножением расположенных многочленов. Деления одночленов и многочленов в этой главе нет. В главе IV учебника «Разложение многочленов на множители» мы также этого действия не находим. Оказывается, что деление одночленов и многочленов оторвано от имеющего с ними тесную логическую связь действия умножения и перенесено в главу V «Алгебраические дроби», которая по программе изучается в VII классе. Если преподаватель будет строить преподавание по новому учебнику, то ему придется после изучения умножения многочленов изучать тему «Разложение на множители», а затем уже в VII классе в теме «Алгебраические дроби» изучать деление одночленов и многочленов. Получается резкое расхождение учебного материала между действующей программой и новым учебником алгебры. В предисловии к книге авторы эту перестановку материала ничем не мотивируют. Если они имели в виду наличие логической связи между делением целых выражений и образованием алгебраических дробей, то все же они допустили ошибку, так как здесь эта связь значительно слабее, чем между умножением и делением алгебраических выражений.

Опыт перенесения деления одночленов и многочленов из темы «Одночлены и многочлены» в тему «Алгебраические дроби» имел место в учебнике Александрова и Колмогорова, но там перестановка материала была произведена иначе, более целесообразно. Глава «Целые выражения» в этом учебнике заканчивается умножением расположенных многочленов. Следующая глава посвящается не теме «Разложение на множители», а теме «Деление и дроби», и в начале этой главы излагается вопрос о делении одночленов и многочленов. Вслед за ней идет новая глава «Разложение на множители», а затем глава о действиях над дробями, в которой разложение многочленов на множители и находит себе практическое применение. Нетрудно видеть, что авторы этого учебника такой перестановкой установили логическую связь между делением целых алгебраических выражений и дробями, но не нарушили связи (по времени изучения) между умножением и делением одночленов и многочленов, т. е. добились большей систематичности в расположении учебного материала.

В книге Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского вышло

наоборот: умножение и деление оказались оторванными друг от друга, нарушена система нормального расположения учебного материала, установленная многолетней практикой школьного обучения и действующей программой.

Авторы выдвигают новые приемы обучения решению алгебраических задач пропедевтического цикла. Чтобы дать оценку этим приемам, остановимся на «четырех шагах» обучения, которые авторами рекомендуются в предисловии книги.

Первый шаг состоит в составлении уравнений, выражающих зависимость между величинами. Начинается он сразу после введения букв, т. е. на первых уроках алгебры в VI классе, и излагается в § 2 главы 1 учебника. Для иллюстрации сущности первого шага приведем две задачи, разобранные авторами в § 2 (стр. 12).

«Задача. Пароход за t часов прошел против течения реки S км. Скорость парохода в стоячей воде V км в час, скорость течения реки V км в час. Составить уравнение, выражающее зависимость между S, t, Vu v.

Мы знаем, что число часов, которое требуется пароходу, чтобы при данных условиях пройти 5 км против течения реки, определяется выражением yZIi (см- № !)• Значит, t = yZZif • Уравнение составлено».

Для ясности следует сказать, что эта задача является первой из задач, которыми авторы начинают обучение решению задач при помощи уравнений. Непосредственно перед ней были даны определения алгебраического выражения, равенства и уравнения, но никаких примеров на составление простейших алгебраических выражений не разбиралось. О необходимости такого рода упражнений и в предисловии к ученику почему-то умалчивается.

В том же § 2 разбирается такая задача из первого шага обучения.

«Задача. Через один кран ванна наполняется в а минут, через другой кран в Ь минут. Если открыть оба крана, то ванна наполнится в t минут. Составить уравнение, выражающее зависимость между а, Ъ и t.

Решение. Через первый кран в одну минуту наполняется — ванны, через второй кран -у. Через оба крана в 1 мин. наполняется -у + -у- часть ванны. Но, с другой стороны, при двух открытых кранах в 1 мин. наполняется -у- часть ванны. Значит,

Второй шаг в обучении решению задач при помощи уравнений, по мнению авторов, должен состоять в решении уравнений, «выражающих зависимость между величинами относительно одной из них как при частных значениях остальных величин, так и в общем виде». Суть этого шага состоит в том, что предлагается задача с буквенными данными, в которой требуется составить уравнение, выражающее зависимость между величинами, а затем узнать, чему равно одно из данных задачи, если остальные данные получают определенные постоянные значения. При этом авторы в предисловии рекомендуют в качестве материала брать ранее составленные уравнения, которые должны записываться в особую тетрадь. Изложен этот шаг в $ 9 главы I, а обучение ему должно проводиться в первой четверти учебного года, в VI классе.

Третий шаг — это опять решение задач при помощи ранее составленных уравнений. Особенность его состоит в том, что берутся те же самые задачи, что и в первом шаге, но в них все указанные данные, кроме одного, заменяются цифровыми данными, а для решения задачи извлекается из тетради с готовыми формулами одно из уравнений, соответствующее данной задаче. Работу эту авторы рекомендуют начинать в начале второй четверти в VII классе и продолжать до конца первого полугодия. В качестве примеров для иллюстрации этого шага в § 11 разбираются четыре задачи. Две из них (о пароходе и ванне) нам уже знакомы, они взяты из первого шага. Задача о пароходе как средство обучения здесь фигурирует уже шестой по счету раз.

Четвертый шаг начинается с того, что снова выдвигается на сцену, в третий по счету раз, знакомая задача о ванне. Для решения ее учащимся предлагается вспомнить уравнение, устанавливающее зависимость между величинами, данными в этой задаче ( — + -у = ~j- и затем подставить в него вместо букв а и t их значения из условия этой задачи и затем решить полученное уравнение:

решить это уравнение учащиеся, очевидно, смогут только тогда, когда в VII классе пройдут тему «Алгебраические дроби», поэтому авторы в предисловии к книге, разъясняя четвертый шаг, и говорят: «с проработкой § 12 спешить нельзя».

Рекомендуемые авторами новые приемы обучения решению алгебраических задач пропедевтического цикла существенным образом расходятся с методическими взглядами по этому вопросу, которые за последние десять лет выработались в процессе изучения и обобщения передового опыта лучших преподавателей математики VI — VII классов. Эти взгляды еще в г. были подробно изложены А. Н. Барсуковым в его книге «Уравнения 1-й степени в средней школе», до сих пор никем не оспаривались и за последние годы преподавателями школ с успехом применяются на практике. Они нашли селе яркое отражение и в новом задачнике алгебры для VI—VII классов П. А. Ларичева, который получил всеобщее признание и одобрение в кругах преподавателей математики.

Ни в предисловии, ни в тексте книги ничего не говорится о необходимости предварительных упражнений по составлению алгебраических выражений. Авторы свой «первый шаг» изучения сразу начинают с решения в общем виде трудных задач на составление уравнений, устанавливающих зависимость между величинами. Задачи взяты непосильные для учащихся VI класса на первых уроках алгебры, без соблюдения принципа постепенного нарастания трудностей. Примеры таких задач (о пароходе и ванне) нами ранее уже приводились. Сама формулировка вопроса задач: «Составить уравнение, устанавливающее зависимость между величинами» — в начале шестого года обучения недоступна для понимания учащихся. Решение этих задач приводит к составлению дробных уравнений. При обучении решению задач авторы совсем не применяют элементов наглядности, не пользуются ни рисунками, ни чертежами, иллюстрирующими процесс составления уравнений. Во всех четырех шагах обучения основным методическим приемом выдвигается широкое использование ранее составленных уравнений. В предисловии к книге даже рекомендуется записывать такие уравнения в осо-

бую тетрадь, т. е. составлять своего рода справочник. Таким приемом вряд ли можно научить учащихся VI класса решать задачи при помощи уравнений. Задачи по алгебре настолько разнообразны, что для каждой из них невозможно составить формулу решения. Применение такого справочника принесет не пользу, а вред, так как будет насаждать элементы формализма в обучении и тормозить развитие творческого мышления учащихся.

Мы полагаем, что изложенные в новом учебнике алгебры «четыре шага» обучения решению задач положительных результатов в преподавании алгебры не дадут и в практике школьной работы не привьются.

Перейдем к другим более мелким недостаткам нового учебника алгебры.

В § 1 (глава I) сообщается понятие о формуле, но оно не определяется, а лишь описывается при помощи таких примеров, как: «Выражение jg _ ^ называется формулой решения задачи». Или в другом месте: «Буквенное выражение у_~ представляет собою общую формулу решения задач указанного типа».

Ознакомившись с этими примерами, учащиеся могут получить неправильное представление о формуле, как группе чисел, соединенных знаками математических действий.

В том же § 1 дается следующее определение алгебраического выражения: «Выражение, в котором указано, какие действия и в каком порядке надо произвести над данными числами, называется алгебраическим выражением. Числа при этом могут быть обозначены буквами или при помощи цифр». Соответствующее определение в стабильном учебнике Киселева считается недостаточно точным, с трудом усваивается учащимися, и заучивать его не рекомендуется, но и в новом учебнике алгебры его нельзя признать вполне удачным. Вместо слова «выражение» лучше было сказать «всякая запись чисел». Конец определения носит характер примечания и недостаточно точен: числа в алгебре могут выражаться буквами, цифрами или теми и другими вместе. Понятие об алгебраическом выражении лучше вскрыто в учебнике алгебры П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова (изд. 1940 г., стр. 17).

В § 2 дается новое определение уравнения, резко отличающееся от того определения, которое имеется в учебнике алгебры Киселева. Уравнение определяется так: «Равенства, выражающие зависимость между величинами, называются уравнениями». Это определение близко подходит к современному научному. Давая его, авторы, очевидно, исходили из того, что очень важно выработать у учащихся взгляд на уравнение, как на равенство, выражающее зависимость между величинами, т. е. связать понятие об уравнении с понятием о функциональной зависимости. С этим нельзя не согласиться, но новое определение слишком отвлеченно и трудно для учащихся в начале шестого года обучения. На первых уроках алгебры они его не поймут и могут заучить лишь механически, так как об идее функциональной зависимости на данной ступени обучения учащиеся почти не имеют представления. Трудность для учащихся нового определения авторы, видимо, и сами учитывали, так как к определению уравнения дали замечание, занимающее половину страницы. В замечании делается попытка разъяснить смысл определения. Для этого из двух ранее составленных буквенных уравнений составляются четыре другие уравнения и указывается, что каждое из них выражает зависимость между величинами.

Мысль о важности приведения учащихся к пониманию, что всякое уравнение выражает зависимость между величинами, была высказана П. С. Александровым в статье «Научное содержание школьного курса алгебры» в 1946 году («Математика в школе», 1946, № 5—6, стр. 20). Но автор этой статьи совсем не утверждал, что такого понимания можно добиться сразу — на первых уроках алгебры в VI классе. Наоборот, есть основания полагать, что такую постановку вопроса об уравнениях в начале шестого года обучения он считал преждевременной, так как в учебнике алгебры, ч. I, составленном им же, в соавторстве с А. Н. Колмогоровым, понятие об уравнении для VI класса дается как о равенстве, содержащем неизвестные (неопределенные) числа, выраженные буквами (Александров и Колмогоров, Алгебра, ч. I, стр. 26), а определения уравнения здесь не дается. Предварительное определение уравнения, буквального запоминания которого от учащихся не требуется, в этом учебнике алгебры дается лишь для учащихся VII класса в теме «Решение уравнений 1-й степени».

Такую осторожность в сообщении определения уравнения можно объяснить тем, что определение уравнения как равенства, выражающего зависимость между величинами, точнее, как равенства двух функций, может быть сознательно усвоено учащимися лишь в старших классах средней школы, где, очевидно, его и следует давать.

В § 10 излагается понятие о тождестве. Трактуется оно по-современному. Тождество рассматривается как частный случай уравнения. Авторы пишут: «Существуют уравнения, которым удовлетворяет любое число. Так, например, уравнению:

удовлетворяет любое число. Такие уравнения называются тождествами». Недостаточную ясность и полноту этого описания, очевидно, сознают и сами авторы, так как сразу за ним в книге жирным шрифтом напечатано: «Вообще тождествами называются равенства, справедливые при любых (допустимых) значениях входящих в них букв. Тождествами называются также справедливые равенства, не содержащие букв (числовые тождества)».

Авторы начали с новой трактовки понятия о тождестве как о частном виде уравнения, а кончили старой, какая имеется в учебнике Киселева, но включили в нее лишь слово «допустимых» и дополнили указанием о существовании числовых тождеств. Слово «допустимых» для учащихся VI класса непонятно, но сразу после определения оно не разъяснено, а смысл его вскроется лишь через год, в VII классе, при изучении темы «Алгебраические дроби» (стр. 104). В результате учащиеся ясного представления о тождестве не получат. Нам кажется, что на данной ступени обучения лучше бы было не осложнять дела, а дать определение тождества в той формулировке, какая дана в учебнике Киселева, с добавлением, что тождествами называются и все верные равенства, вовсе не содержащие букв.

В § 3 (стр. 12—13) излагается вопрос о порядке действий и скобках. Сначала даются два правила вычисления алгебраических выражений, содержащих скобки. В них ничего не говорится о порядке выполнения действий в примерах без скобок, но затем почти на целой странице излагается пять исключений из этих правил. По существу полу-

чается семь правил, запомнить которые учащимся очень трудно. В стабильном учебнике Киселева этот вопрос изложен проще, короче и яснее.

В § 4. Понятию «коэффициент» дается такое определение: «Числовой множитель буквенного выражения называется числовым коэффициентом». Вслед за ним приводится несколько примеров:

«В выражении 3 ab — коэффициент 3».

«В выражении 2,5 abc — коэффициент 2,5».

Это определение нельзя признать удачным.

В алгебре буква выражает число и поэтому в приведенных примерах числовыми множителями будут не только числа, выраженные цифрами, но и буквами, входящими в эти выражения.

Расширение понятия «коэффициент» дается рано — в конце того же § 4, но окончательного определения этого понятия в книге совсем нет.

Определение коэффициента лучше дано в учебнике алгебры Александрова и Колмогорова: «Множитель, выраженный цифрами и стоящий впереди буквенного выражения, называется коэффициентом» (стр. 15). Авторы этого учебника учитывают трудности усвоения данного понятия и расширяют его не сразу, не на первых уроках алгебры в VI классе, а лишь в VII классе в теме «Пропорции и пропорциональная зависимость», где дают следующее расширенное определение коэффициента: «Постоянный множитель при выражении, содержащем переменное, принято называть коэффициентом, хотя бы он и был выражен буквами, а не цифрами».

В § 1 (глава II) авторы дают следующее, по их словам, «точное» определение отрицательного числа: «Каждому положительному числу сопоставляется число, называемое отрицательным». При этом считается, что «добавление к какому-либо числу отрицательного числа равносильно вычитанию соответствующего положительного».

Не опасно ли выдавать это определение за точное? В определении понятия отрицательного числа должны содержаться следующие моменты: 1) обозначение этих чисел, 2) условия их равенства и неравенства, в) определения арифметических действий.

В разбираемом определении первый и второй из этих моментов совсем отсутствуют, а третий освещается лишь частично. Поэтому данное авторами определение «точным» признать никак нельзя. Точное определение отрицательных чисел в VI классе с методической стороны невозможно. В школе оно должно быть заменено наглядно-практическим описанием. То, что авторы выдают за точное определение, есть описание, и при этом не совсем удачное. Учащиеся не поймут, что значит «сопоставляется». Для них останется туманным, какое это число «сопоставляется», что оно собой представляет. Неясным останется и конец определения: «добавление к какому-либо числу отрицательного числа равносильно вычитанию соответствующего положительного».

Описание отрицательных чисел лучше и доступнее дано в учебнике алгебры Александрова и Колмогорова (стр. 34): «Положительные числа служат для выражения увеличения величин. Для выражения уменьшений величин вводятся новые отрицательные числа. При этом каждому положительному числу а соответствует особое отрицательное число — а, выражающее уменьшение на а единиц измерения».

В § 9 (стр. 49) дано определение алгебраической суммы: «Алгебраическое выражение, представляющее собою запись нескольких последовательно проведенных действий сложения и вычитания, называется алгебраической суммой».

Лучше и точнее раскрывается понятие алгебраической суммы в учебнике Александрова и Колмогорова (стр. 47): «Совокупность алгебраических выражений, соединенных значками + или — , называется алгебраической суммой, а сами эти выражения вместе со стоящими перед ними значками называются слагаемыми этой суммы».

В § 2 (стр. 71) имеется такое определение рационального алгебраического выражения: «Алгебраические выражения, представляющие собою запись арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и возведения в степень), производимых над числами и буквами, называются рациональными алгебраическими выражениями». В нем не совсем удачна фраза «производимых над числами и буквами». Можно подумать, что в алгебре буквы изображают не числа, а что-то другое. Кроме того, в определении имеется неточность в отношении отнесения к рациональным выражениям тех выражений, в которых имеется действие возведения в степень: нет оговорки о том, что выражения, содержащие буквы в показателях степени, не считаются рациональными.

В том же параграфе дано следующее определение одночлена: «Одночленами называются произведения, составленные из числового сомножителя и одной или нескольких букв, каждая из которых взята в некоторой степени». Хотя данное определение и яснее, чем в учебнике Киселева, но в нем имеются недочеты: 1) нет указаний о том, что одночленами следует считать и такие выражения, которые записаны лишь одной буквой или только числом, выраженным цифрами; 2) снова неудачно употребляются слова «числовой множитель» вместо слов «множитель, выраженный цифрами».

Определение одночлена, имеющееся в учебнике Киселева, требует замены другим более научным и ясным. Но если включать в школьный учебник алгебры определение, по возможности близкое к научному, то лучше его взять из книги С. И. Новоселова «Алгебра и элементарные функции» (изд. 1952 г., стр. 34), а именно: «Одночлен есть произведение, состоящее из коэффициента, обозначенного цифрами, и одной или нескольких букв, взятых каждая в определенной степени, а также всякое число, обозначенное цифрами, либо буквой».

В главе V (стр. 118) алгебраическая дробь определяется как «частное от деления двух алгебраических выражений». Примеров алгебраических дробей после этого не приводится. При отсутствии примеров у учащихся может возникнуть сомнение в том, являются или нет алгебраическими дробями выражения такого вида, как

тем более, что на странице 103 учебника имеется такое указание: «Алгебраическое выражение называется дробным, если в числе указанных в нем действий есть деление на выражение, содержащее буквы».

Этот вопрос лучше изложен в учебнике Александрова и Колмогорова. Там понятие об алгебраической дроби определяется так: «Частное (отношение двух алгебраических выражений), записанное при помощи черты, называется алгебраической дробью» (стр. 82). Далее приводится достаточное количестве примеров различных видов дробей, а после этого указывается, что дроби, рассматриваемые в арифметике, являются частным случаем алгебраических дробей.

В § 1—2 главы VII освещается вопрос о свойствах уравнения и дается понятие о равносильных уравнениях. Авторы правильно отказались от доказательства в общем виде свойств равносильных уравнений, так как практика работы в школе показывает, что такие доказательства непосильны для уча-

щихся VII класса. Ознакомление с основными свойствами уравнений делается на частных примерах, но этот вопрос в новом учебнике изложен недостаточно четко и последовательно. Сначала излагаются свойства уравнения, после этого дается определение понятия о равносильных уравнениях, а затем опять повторяются те же свойства, но уже с применением термина «уравнение равносильно». Лучше было сохранить тот порядок изложения, какой имеется в учебнике Киселева, но вместо доказательства свойств равносильных уравнений в общем виде показать их на частных примерах.

Остановимся вкратце на некоторых недостатках книги общего характера.

Новый учебник алгебры имеет много недостатков в стиле изложения. Книга страдает многословием и отсутствием четкости изложения. Без лишних слов изложена только глава VI учебника о пропорциях и пропорциональной зависимости.

В ряде мест книга написана языком, мало доступным для понимания учащихся семилетней школы (§ 2 и 3 главы I, § 1 и 17 главы II, § 7 главы IV и § 1, 3 и 16 главы V, § 11 главы VIII, § 11 главы IX). Порой кажется, что учебник составлен не для учащихся VI—VII классов, а для студентов высших учебных заведений. Иногда авторы допускают непригодный для учебника, какой-то вольный и даже несколько развязный стиль изложения.

На стр. 23 режет глаза необычная для учебника математики фраза с восклицательным знаком: «Делить на нуль нельзя!» и пояснение к ней: «...действие деления нуля на нуль не может принести пользу при решении задач, так как у нас все равно нет никаких оснований для выбора определенного ответа».

На страницах 108, 109 даже в правиле, отпечатанном жирным шрифтом, три раза подряд употребляется слово «поделить» вместо разделить.

На стр. 111 бросается в глаза неудачная фраза: «Произвести сокращение посредством вынесения подходящих множителей в числителе за скобку».

На стр. 112 мы встречаем такой оборот речи: «После выполнения возможных сокращений в скобке получилась сумма очень простых дробей, так что все алгебраическое выражение стало проще на вид. Однако мы его несколько «испортили».

На стр. 172 применен непонятный и ненужный для учащихся новый термин «условный вывод».

Заголовки отдельных параграфов книги отличаются неопределенностью и не способствуют усвоению учащимися изложенного в этих параграфах материала. Так, например, § 14 главы III (стр. 88) озаглавлен «Некоторые выводы», а §8 главы V (стр. 114) озаглавлен «Общие замечания о делении многочлена на многочлен». Авторам лучше было бы вещи называть своими именами. В первом из указанных параграфов речь идет о возможности преобразования целого алгебраического выражения в многочлен, а во втором — о признаках невозможности деления многочлена на многочлен.

Глава V учебника заканчивается 16-м параграфом «Общие выводы» (стр. 125). Такой заголовок обязывал авторов сжато изложить в этом параграфе основные положения данной главы. На самом же деле учащиеся в § 16 найдут лишь длинные, трудным языком изложенные рассуждения об алгебраических преобразованиях и неуместный для заключительного параграфа главы разбор частных громоздких примеров.

Приведенные примеры далеко не исчерпывают всех стилистических недостатков книги, но уже и по ним можно сделать вывод, что авторы мало уделили внимания вопросам стиля изложения книги.

Язык учебника должен быть безупречным с точки зрения культуры математической речи. Он должен учить учащихся излагать свои мысли логически правильно, грамотно, кратко, ясно и точно. В этом отношении книга Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского еще далека от идеала.

В книге, кроме обыкновенного шрифта, использованы: жирный шрифт, курсив и мелкий шрифт, но как ими пользоваться, в предисловии не указано.

Нумерация параграфов дается по каждой главе отдельно, а не общая для всей книги. Такой порядок нумерации создает неудобство в пользовании учебником при сообщении домашних заданий учащимся и при отыскании того или иного параграфа, когда в тексте делаются ссылки на ранее изложенное.

В книге мало уделено внимания образцам наиболее рациональных и общепринятых записей; имеется разнобой в записях, применяются недостаточно рациональные, а иногда и неверные записи: 1) при решении уравнения, составленного по условию задачи, № 3 (стр. 33), допущена такая запись: 5jc+1=2; 5 л: = 1 ; X = 0,2 руб. Здесь наименование «руб.», согласно общепринятой записи, нужно было поставить в скобки; 2) при решении задач на составление уравнений решение одних задач проводится через все пять этапов (обозначения, составление уравнения, решение его, ответ, проверка), а при решении других уравнений отдельные этапы выпускаются (стр. 32—34); 3) проверка ответов по условиям задач в одних случаях проводится с текстовой и цифровой записью, а в других — без текста, только с цифровой записью (стр. 32—34); 4) при делении расположенных многочленов у членов многочлена-вычитаемого над первоначальными знаками + и — не ставятся новые, противоположные им знаки.

Какой можно сделать общий вывод? Авторы проделали большую работу по составлению нового учебника алгебры для VI—VII классов семилетней школы, но их книга еще содержит много крупных недостатков. В настоящем виде книга Д. К- Фаддеева и И. С. Соминского может быть использована лишь как одно из пособий для учителя и при этом не во всех ее частях. Чтобы сделать из нее полноценный учебник, полностью соответствующий запросам школы и современным научно-методическим требованиям, потребуется значительная дальнейшая работа в частности придется коренным образом переработать главу I, которая оказалась самой слабой частью книги.

ХРОНИКА

РАБОТА ОДЕССКОГО МЕТОДИЧЕСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ ШКОЛ РАБОЧЕЙ МОЛОДЕЖИ

А. Н. ЧЕРТКОВ (Одесса)

С каждым годом увеличивается как сеть школ рабочей молодежи, так и число учащихся в них. Преподавание в этих школах отличается от преподавания в массовых школах. В школах рабочей молодежи преподавателю нужно проявлять мастерство и искусство: уложить общий курс в малое количество часов и дать прочные знания учащимся, из которых многие были оторваны от занятий по 5— 10 лет. При таком положении учителям необходимо действовать совместно в поисках лучших путей в преподавании. Это обстоятельство послужило причиной основания при Одесском горОНО методического объединения учителей по специальностям, и в частности учителей математики и физики.

Объединение проводит заседания по средам, два раза в месяц от 14 до 17 часов. Работой методического объединения руководит бюро из трех лиц. Работа проводится по полугодичным планам.

В первом полугодии были заслушаны доклады:

31 октября 1951 г. т. Маянц, Воспитание чувства советского патриотизма и национальной гордости на уроках математики.

14 ноября 1951г. т. Хуторян, Уравнение 1-й степени в курсе средней школы.

28 ноября 1951 г. т. Перельман, содоклад на предыдущую тему.

12 декабря 1951 г. т. Горенштейн, Неравенства в курсе VII класса; т. Трейгер, Неравенства в курсе X класса.

26 декабря 1951 г. т. Колот (учитель заочной средней школы), Функциональная зависимость в курсе средней школы.

На январском учительском совещании член бюро методического объединения M. М. Байтальский сделал на совместном заседании с учителями массовых школ доклад на тему «Состояние преподавания математики в школах рабочей молодежи».

Во втором полугодии были обсуждены результаты обследования состояния преподавания математики в школах рабочей молодежи и были заслушаны следующие доклады:

23 января 1952 г. т. Хуторян, Решение задач на построение в средней школе.

6 февраля 1952 г. т. Трейгер, Исследование уравнений.

20 февраля 1952 г. т. Крженицкая, Разложение многочлена на множители.

5 марта 1952 г. т. Сушко, Оформление письменных работ на экзаменах в X классе; т. Хуторян, Оформление задач на экзаменах по алгебре в VII классе.

19 марта 1952 г. т. Тартаковская и Хуторян, Результаты обследования состояния преподавания математики в школах рабочей молодежи № 2 и 6.

2 апреля 1952 г. т. Тартаковская, Повторение алгебры и геометрии на уроках математики в седьмых классах;

т. Байтальский, Та же тема в десятых классах.

16 апреля 1952 г. заседание было посвящено разбору экзаменационных билетов, рассмотрению типов задач к экзаменационным билетам по всем классам.

Эти вопросы были разработаны группой преподавателей в составе: т. Сушко — по десятым классам, т. Литвин — по девятым классам, т. Гриневич— по восьмым классам, т. Богомольного — по седьмым классам и Васютиной по пятым классам.

17 мая 1952 г. состоялся доклад проф. Одесского государственного университета доктора педагогических наук В. И. Костина на тему «Великий русский математик Н. И. Лобачевский».

28 мая 1952 г. о результатах первых экзаменов докладывали учителя Лысая, Богомольная и Хуторян.

На этом же заседании был рассмотрен и утвержден план проведения августовской конференции (намечена тематика и выделены докладчики), а также рассмотрен и утвержден план работ методического объединения на первое полугодие 1952/53 учебного года.

Систематическая работа с большим числом участников свидетельствует о целесообразности организации методического объединения преподавателей школ рабочей молодежи.

В СЕКЦИИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА

П. Я. ДОРФ (Москва)

За первое полугодие 1952 года в секции проведены намеченные пять собраний.

1. В январе А. И. Фетисов сделал доклад о геометрических преобразованиях.

2. Февральское собрание было посвящено анализу сборников задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в вузы.

3. В марте А. И. Маркушевич сделал доклад о необходимых и достаточных условиях в математических предложениях.

4. В апреле А. П. Юшкевич сделал доклад о работах среднеазиатских математиков в средние века.

5. Наконец, в мае состоялось общее собрание членов математического общества вместе с членами секции средней школы, на котором обсуждались три книги Энциклопедии элементарной математики.

В своем докладе А. И. Фетисов привел образцы изложения геометрии в старших классах школы методом геометрических преобразований.

Конгруентность — особая форма преобразований; наложение фигур связано с движением. Затем рассматриваются различные формы движений: параллельное перенесение, вращение и другие.

Наиболее пристально изучается симметрия, дающая часто значительные преимущества в системе доказательств перед общепринятыми доказательствами, и в то же время метод симметрии богат большим познавательным материалом.

Наконец, метод подобия дает широкий простор для привития школьникам навыков в геометрических преобразованиях.

На собрании, посвященном рассмотрению сборников конкурсных задач П. С. Моденова, К. У. Шахно и сборника под редакцией М. Я. Выгодского, состоялось общее обсуждение указанных сборников без постановки особого доклада.

Несмотря на ряд высказанных серьезных критических замечаний, выступавшие отмечали и положительные качества сборников. Отмечалось, что они не перекрывают, а в некоторых отношениях дополняют друг друга. Решения, приводимые в сборниках, сопровождаются анализом, исследованием, указаниями теоретического характера и т. п. Собрание, в силу указанных соображений, не согласилось с резкой критикой сборника под редакцией М. Я. Выгодского в статье Селиванова, напечатанной в «Учительской газете».

Мартовское собрание было посвящено докладу А. И. Маркушевича «Необходимые и достаточные условия в математике».

Докладчик предупредил, что он имеет в виду рассмотреть расширенно вопрос о рассуждениях при доказательстве, в частности о необходимых и достаточных условиях.

Каждая теорема толкует об этих условиях; в каждой теореме они обязательны. В качестве примера было взято свойство равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике два угла при основании равны, или в полной формулировке: если треугольник равнобедренный, то он имеет два равные угла.

Эту теорему в теоретико-множественной концепции можно истолковать как отношение включения между двумя множествами:

1-е множество А (треугольники, имеющие по крайней мере две равные стороны);

2-е множество В (треугольники с двумя равными углами).

Тогда можно утверждать, что множество А содержится во множестве В. Здесь уместно воспользоваться знаком включения А С В. При этом А С В можно истолковать так, что условие А достаточно для выполнения В, или В Э А, т. е. условие В необходимо для А: принадлежность к множеству В необходима для принадлежности к множеству А.

Далее приведенное положение было иллюстрировано примерами из арифметики (делимость суммы в связи с делимостью слагаемых), геометрии (прямая и обратная теорема) и др. Докладчик привел некоторые предложения алгебры множеств, которые могли бы занять учащихся в кружках.

Перед школой стоит большая и трудная задача — включить в систему преподавания математики исторические сведения. Сведения об открытиях наших отечественных ученых имеют важное значение для воспитания чувства патриотизма у учащихся. В этом отношении помощь учителю окажет доклад, прочитанный проф. А. П. Юшкевичем на заседании секции в апреле о среднеазиатских математиках средних веков.

Прежде всего было выяснено, что многие работы по математике в период VIII—XV вв. неправильно называются «арабскими». В период VII по IX в. арабы завоевали Северную Африку, Пиренейский полуостров и восточные страны; они возглавляли административные органы; арабский язык являлся официальным, на нем писались математические и другие сочинения; но это отнюдь не означает, что ученые были только арабы, а лишь то, что ученые в то время писали свои труды на арабском языке. В XVII—XIX вв. Ньютон, Эйлер, Гаусс, Якоби писали на латинском языке, но никто не причислит их к «латинским» ученым.

В середине века математикой занимались таджики и другие народы, живущие в современном Таджикистане, Узбекистане и Закавказье.

Математика среднеазиатских народов оригинальна, отличается от греческой; ее роль не менее значительна, в ней выдвигается на первое место вычислительная математика.

Докладчик привел некоторые конкретные данные.

Замечательный таджикский математик Гиясэддин Джемшид, работавший в обсерватории в г. Самарканде, в 1427 г. в связи с вычислениями длины окружности создал систему десятичных дробей. До этого господствовали громоздкие шестидесятиричные дроби. В Европе десятичные дроби впервые предложил военный инженер и математик Стевин в 1585 г., почти на сто пятьдесят лет позже.

Омар-ал-Хайям (около 1048—1122 гг.) из Хорасана, опираясь на разложение бинома (а + Ь)'1, извлекал корни из чисел. В частности, среднеазиатские ученые брали приближенные значения корней. Вообще же точность выкладок того времени поразительна; Так, при удвоении числа сторон вписанного в окружность многоугольника ученые доходили до 3-228 сторон и вычисляли 2г. =6,2831853071795865 (17 верных знаков!). Виет в 1593 г. знал только 9 верных знаков.

Магомет Насирэддин (1201—1274 гг.) из Хорасана был по происхождению азербайджанец. Он уже тогда трактовал отношение несоизмеримых отрезков как число. В Европе это стало общеизвестно лишь в конце XVI в.

Среднеазиатские ученые разработали алгебру как особую науку (решение уравнений); в частности, они умели решать некоторые виды кубических уравнений. Символикой в ту пору не пользовались, и уравнения записывались словами.

Насирэддин выделил также особую науку — тригонометрию. Многие сведения из нее в Европе стали известны на 200 лет позже; например, некоторые случаи решения сферических треугольников. Вообще же развитие тригонометрии — дело среднеазиатских математиков: сириец ал-Баттаниа (920 г.) ввел тангенс и котангенс и составил таблицы; Абул-Вафа (940—997 гг.) из Кухистана пользовался секансом и косекансом и ввел круг единичного радиуса; он же первый установил связь между тригонометрическими функциями. Таков неполный перечень исторических данных, которые должны найти себе место на уроках математики в средней школе. Речь идет не о курсе по истории математики, а о кратких содержательных справках по поводу изучаемого в данном классе матерала. Такое преподавание заинтересует школьников, повысит уровень их развития и сделает более осознанными и прочными их знания. Ссылки на географические пункты, где многие сотни лет тому назад зарождалась математическая наука, показ их на карте укрепят в сознании учащихся подлинное представление о роли ученых братских республик в Средней Азии и Закавказье.

За более подробными данными А. П. Юшкевич рекомендовал обратиться к выпуску IV «Историко-математических исследований», Гос. изд-во теоретико-технической литературы, 1951.

Майское заседание секции происходило совместно с пленумом Математического общества: на нем обсуждалось издание Энциклопедии элементарной математики, ГИТТЛ, 1951, в семи томах, из которых вышли в свет первые три.

В процессе обсуждения первых двух томов энциклопедии выступавшими были высказаны следующие мнения.

Статья И. Г. Башмаковой и А. П. Юшкевича «Происхождение системы счислений» не вызывала возражений ни по содержанию, ни по форме.

Статья А. Я. Хинчина «Элементы теории чисел» приводилась выступавшими как образец живого, доступного изложения теоретических вопросов.

Статья «Устный и письменный счет. Вспомогательные средства вычислений» В. М. Брадиса дает полезные сведения, но хорошо всем известные по работам того же Брадиса.

Наибольшее количество критических замечаний вызвала статья И. В. Проскурякова «Понятия множества, группы, кольца и поля. Теоретические основы арифметики». Все сходились на том, что эти сведения безусловно нужны: одним читателям напомнить их, обобщить, другим — просто сообщить. Однако написана статья трудно; часто приходится, чтобы разобраться в тексте, браться за более подробные курсы. В предисловии к изданию энциклопедии сказано, что труд этот не может служить для первоначального изучения предмета, но в изложении Проскурякова он иногда недоступен учителю и для вторичного чтения. Кроме того, многие из выступавших утверждали, что основная работа того же Проскурякова на эту тему, из которой при помощи сокращения получилась статья для энциклопедии, во многом превосходит ее. И тогда вставал вопрос, стоит ли перепечатывать хорошую книгу в ухудшенном виде.

Из материалов второго тома наибольшие возражения вызвала статья Л. Я. Окунева «Кольцо многочленов и поле рациональных функций». Она является вариантом главы из учебника, написана трудным языком и, по высказываниям некоторых из выступавших (А. Г. Курош и др.), содержит спорные моменты, что, разумеется, недопустимо в такого рода популярном издании.

На третий том откликов было мало; он посвящен вопросам анализа. К моменту обсуждения вышел только сигнальный экземпляр, и он не всем был знаком.

На этом закончилась работа секции средней школы в первом полугодии 1952 г. Бюро секции выработало план докладов на второе полугодие:

18 сентября 1952 г. А. Я. Хинчин, Основные понятия теории вероятностей.

16 октября 1952 г. Н. М. Бескин, Афинные преобразования и их применение в курсе математики средней школы.

20 ноября 1952 г. Кронрод, Машинная математика.

18 декабря 1952 г. А. Н. Барсуков, Обзор журнала «Математика в школе» за 1952 г.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 4 ЗА 1952 г.

№ 51

Если хх + х2 + ... + хп— Ii т0

Доказать. Решение, а) Полагаем:

Так как Имеем:

б) Полагаем:

Имеем:

Таким образом:

в) Согласно условию задачи имеем:

Так как

Так как

то

№ 52

Доказать, что при любых целых и положительных значениях m число

целое и положительное.

Решение. Имеем:

№ 53

Число xyzt—точный квадрат и такое, что число tzyx и частное от деления числа xyzt на число tzyx являются точными квадратами. Найти число xyzt.

Решение. Числа xyzt и tzyx, очевидно, различны (число вида аааа не может быть точным квадратом). Частное от деления первого из этих чисел на второе есть число однозначное и, следовательно, равно 4 или 9. Так как число xyzt — точный квадрат, то t может быть равно одному из следующих чисел: 1, 4, 5, 6, 9. Легко видеть, что £ = 1, ибо даже при t=4c произведение числа \zyx на 4 дает пятизначное число. Так как число 1 zyx — точный квадрат, то число X может быть равно одному из следующих чисел: 1, 4, 5, 6, 9. Если бы х=\, то * = 4 или t = 9, чего не может быть. Если бы х — 4, то £ = 6, чего также не может быть.

Аналогичным образом убеждаемся в том, что значениями X не могут быть числа 5 и 6. Итак, х — 9, причем частное от деления числа 9 yz 1 на число 1 zy9 необходимо должно быть равно 9. Таким образом, приходим к уравнению:

9-1000+ 100y+l(b+l = =г (1000 + 100 z + 10 у + 9)-9.

Это дает нам: у — 89* = 8. Так как

у<10, 2<10, то * = 0 и у = 8.

Итак, искомым числом может быть число 9801. Так как 9801 = 992, то число 9801 удовлетворяет условиям задачи.

№ 54

По высоте, опущенной из вершины прямого угла, и разности острых углов построить прямоугольный треугольник.

Решение. Пусть треугольник ABC — искомый (черт. 1). Проведем высоту CD и медиану СМ. Известно, что

Известно также, что

Таким образом построив треугольник CDM, можно будет легко построить и треугольник ABC.

№ 55

Решить уравнение:

Решение. Имеем:

Таким образом, данное уравнение примет вид:

Решая это уравнение относительно lg*, будем иметь :

Это дает нам

№ 56

Дана треугольная пирамида. Доказать, что

где R — радиус шара, вписанного в пирамиду, а йь h*, hz, h4 — длины перпендикуляров, опущенных из вершин пирамиды на противоположные грани.

Черт. 1

Черт. 2

Решение. Пусть в пирамиде S ABC (черт. 2) площади граней ABC, SAB, SBC и SAC равны соответственно S\9 $2» s4i а длины высот, проведенных из противоположных этим граням вершин, равны hi, Л2, Л3, Л4. Обозначим объем пирамиды через V.

Имеем: Sxh\ = s2h2 = s3h3 = $4Л4 = 3V. С другой стороны:

Это дает нам:

№ 57

Найти последние две цифры числа

Решение. Имеем:

где m — целое число. Отсюда следует, что

где п — целое число. Итак, последние две цифры рассматриваемого числа образуют совокупность 07.

№ 58

Доказать, что трехчлен:

ни при каком целом значении х не делится на число 169.

Решение. Представим данный трехчлен в следующем виде:

Если при некотором целом значении х данный многочлен делится на 169, то при этом же значении X он должен делиться на 13. Следовательно, при этом значении* выражение (х +9) (х — 4) должно делиться на 13, ибо 52 делится на 13. Отсюда следует, что по крайней мере один из множителей произведения (х + 9)-(х — 4) делится на 13. Но (х + 9) — — (х — 4) = 13. Таким образом, если один из множителей делится на 13, то и другой тоже делится на 13, а следовательно, произведение делится на 169. Так как 52 на 169 не делится, то многочлен на 169 ни при каком целом значении х делиться не может.

№ 59

В магазине один покупатель купил 47,5 м тесьмы, дал в кассу 25 руб. и получил сдачу. Другой покупатель вслед за первым взял 83 м такой же тесьмы, дал в кассу 100 руб. и получил сдачу. Выяснилось, что кассир допустил ошибку: первому покупателю он сдал столько рублей, сколько ему полагалось копеек, и столько копеек, сколько ему полагалось рублей: такая же ошибка была допущена и в отношении второго покупателя. Выяснилось, кроме того, что с обоих покупателей вместе кассир получил за тесьму столько денег, сколько стоила проданная им тесьма, поэтому для исправления ошибки первый покупатель передал второму 64 руб. с копейками. Сколько стоил метр тесьмы?

Решение. Допустим, что первый покупатель должен был получить сдачи х рублей у копеек и второй покупатель должен был получить сдачи z рублей t копеек. Допустим также, что первый покупатель отдал второму 64 рубля и копеек. Согласно условию задачи кассир сдал первому покупателю (100у+*) копеек, а второму ( 100-зг + ^) копеек. Таким образом, первый покупатель получил больше, чем ему следовало, на 99 (у — х) копеек, а второй покупатель получил меньше, чем ему следовало, на 99(^г — t) копеек. Согласно условию:

99 (у — х) = 99 (z — t) = 6400 + и.

Заметим прежде всего, что число 6400 + и делится на число 99 без остатка. Полагая 6400 + и = 99 v и решая это уравнение в целых положительных числах (причем 1 <! и <; 99), найдем, что v = 65 и и = 35. Это дает нам:

у — X = 65 и z — t = 65.

Выразим через х стоимость одного метра тесьмы. Получим выражение:

Выразим теперь эту же стоимость через z. Получим выражение:

Таким образом, мы приходим к уравнению:

которое и остается решить в целых положительных числах, принимая во внимание, что 1 <[ х <! 99 и 1<*<99. Решая это уравнение, получим: X = 10 и z = 75 у = 75 и t = 10. Следовательно, один метр тесьмы стоил 30 коп.

№ 60

Доказать, что число вида

есть точный квадрат.

Решение. Выражение, стоящее в первой скобке, — сумма членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель 10. Следовательно, это выражение мы можем представить в виде дроби:

Теперь данное в условии задачи выражение принимает следующий вид:

№ 61

Доказать, что если между цифрами числа 1331 написать по равному количеству нулей, то получится точный куб.

Решение. Вставим между цифрами числа 1331 по п нулей.

Получим число N = 1000.. .0300.. .0300.. .01. Это число имеет 3 п + 4 цифры и может быть записано так :

№ 62

Все грани параллелепипеда — равные ромбы. Один из острых двугранных углов равен 2 ср, ребро параллелепипеда равно а. Найти объем параллелепипеда.

Решение. Параллелепипед имеет трехгранные углы, плоские углы которых равны между собой. Обозначим острый угол ромба через 2а. Если а < 30°, го плоские углы упомянутых трехгранных углов — острые (ибо в противном случае сумма плоских углов превышала бы 360°). Если а>30°, то может представиться два случая: плоские углы упомянутых трехгранных углов — все острые и плоские углы этих трехгранных углов — все тупые. Через концы ребер, образующих трехгранный угол, имеющих равные плоские углы, проведем плоскость. Эта плоскость отсечет от параллелепипеда правильную треугольную пирамиду, объем которой, очевидно, в шесть раз меньше объема данного параллелепипеда (черт. 3).

Если а<30°, то все двугранные углы при боковых ребрах пирамиды — острые и мы можем каждый из них считать равным 2 ср. Если а<30°, то, кроме рассмотренного случая, надо рассмотреть еще тот случай, когда все плоские углы при вершине пирамиды — тупые, и тогда каждый из равных двугранных углов при боковых ребрах пирамиды следует считать равным 180° — 2-f.

Рассмотрим случай, когда все плоские углы при вершине правильной треугольной пирамиды — острые. Определим объем этой пирамиды. Через сторону Л]В основания этой пирамиды проведем плоскость А\КВ, перпендикулярную боковому ребру AD (черт. 4). Имеем:

ЛА1КВ = 2?.

Далее :

Так как

С другой стороны:

Следовательно,

Отсюда

Таким образом, сторона основания рассматриваемой правильной пирамиды равна:

Чтобы определить высоту пирамиды, найдем радиус круга, описанного около основания. Он равен:

Следовательно, высота пирамиды равна:

Так как площадь основания этой пирамиды равна:

то объем параллелепипеда будет равен:

В том случае, когда все плоские углы при вершине пирамиды ААгВК — тупые (а это может быть в том случае, если а>30°), ход решения мало изменится и мы получим следующий результат:

Очень небольшое число решивших задачу провели ее исследование, и только т. Ясиновой привел второе значение V.

№ 63

Вычислить плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды, если известно, что центры вписанного и описанного шаров совпадают.

Решение. Пусть точка M — общий центр вписанного и описанного шаров (черт. 5). Из точки M опустим перпендикуляр на грань SBC. Основание этого перпендикуляра (точка Е)> будет, очевидно,

Черт. 3 Черт. 4

служить центром описанной около треугольника окружности. Имеем далее: BE = ВО и СЕ = С09 как касательные к шару, проведенные из одной и той же точки. Отсюда следует, что треугольник ВЕС равен треугольнику ВОС. Таким образом, Z. ВЕС = = 90° и BSC = 45°.

№ 64

Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Одна из диагоналей параллелепипеда равна I и образует с плоскостью основания угол а, а с одной из боковых граней угол о. Найти объем параллелепипеда.

Решение. Проведем DE J_ ВС (черт. 6) и соединим точку Bi с точкой Е. Так как

Пусть длина диагонали DBX равна /. Тогда

Обозначим сторону основания параллелепипеда через X. Тогда

Таким образом приходим к уравнению:

Решая это уравнение, найдем:

Окончательно будем иметь:

№ 65

Дан равносторонний треугольник ABC. Найти геометрическое место точек М, для которых МС*= MA* + MB*.

Решение. Пусть точка M взята в плоскости треугольника ABC так, что

На отрезке MB построим равносторонний треугольник ВММХ (черт. 7).

Треугольник МВС равен треугольнику МХВА, так как

Следовательно, Так как

и треугольник АММХ — прямоугольный. Отсюда следует, что

Итак, если точка обладает указанным в условии задачи свойством и находится вне треугольника ABC, то она лежит на дуге сегмента, опирающегося на сторону AB и вмещающего угол в 30°.

Совершенно таким же путем доказывается, что если точка M лежит внутри треугольника и обладает указанным свойством, то она лежит на дуге сегмента, опирающегося на сторону AB и вмещающего угол в 150°.

Черт. 5 Черт. 6 Черт. 7

Допустим теперь, что точка M принадлежит одной из упомянутых дуг, например внешней по отношению к треугольнику ABC. Надо доказать, что

Произведя то же построение, что и выше, мы получим треугольник АММХ, у которого угол АММХ— прямой, ибо

Так как

и

то

Итак, искомым геометрическим местом является окружность, проходящая через вершины А и В треугольника ABC, причем ее центром служит точка О, симметричная вершине С относительно прямой AB (точки А и В также принадлежат искомому геометрическому месту).

Совсем просто задача решается с помощью метода координат. Примем вершину А за начало прямоугольной системы координат, а вершину В — за единичную точку оси ОХ. Направление оси OY выберем так, чтобы вершина С находилась в первом квадранте. Тогда ее координатами будут служить числа I ~2~» 2—У * Пусть точка М(х, у) обладает указанным в задаче свойством. Имеем:

Следовательно,

или

Таким образом, мы получили ту же окружность, о которой шла речь выше.

№ 66

Решить уравнение:

Решение. Имеем:

Представим левую часть уравнений в следующем виде:

Итак, имеем уравнение:

Умножим обе части этого уравнения на sin 2 х. Получим уравнение:

или

Таким образом, имеем уравнение:

Это дает нам:

Отсюда получаем:

Полученные выражения содержат посторонние для данного в условии задачи уравнения решения, которые были приобретены вследствие умножения обеих частей данного уравнения на sin 2 х обращается в нуль при х — (2m + 1). Следовательно, из приведенных выше формул надо исключить значения х вида (2 m + 1).

Таким образом, решения данного в условии задачи уравнения можно представить в следующем виде:

где k — любое целое число, за исключением чисел вида

где / — любое целое число, за исключением чисел вида

№ 67

Доказать, что если р — простое и п — натуральное число, то Српр при делении на п дает в остатке п.

Решение. Имеем:

(M — некоторое целое число). Так как Српр — целое число, п — также целое число, то и р — целое число. А так как р — простое число, то целое число. Итак, остаток от деления числа Српр на число р равен числу п (точнее остатку от деления числа п на число р, если п > р).

№ 68

Углы АХВХС треугольника ABC удовлетворяют равенству:

Найти зависимость между сторонами a, b и с этого треугольника.

Решение. Имеем:

Будем теперь преобразовывать левую часть данного в условии задачи равенства:

Итак, углы треугольника ABC связаны зависимостью

Преобразуем это равенство следующим образом:

Далее:

Это дает нам:

Так как

то искомое соотношение между сторонами треугольника имеет вид:

ЗАДАЧИ

1. Доказать, что при любом натуральном п имеет место неравенство:

С. Бернштейн (Киев).

2. Найти наименьшее и наибольшее значение функции:

С. Бернштейн.

3. Если площади двух прямоугольных треугольников относятся, как квадраты гипотенуз, то треугольники подобны. Доказать.

С. Бернштейн.

уравнение:

И. Голайдо (Брянская обл.).

5. Разделить данный отрезок на п равных частей, не пользуясь обычным способом проведения параллельных.

Ю. Лебедев (Московская обл.).

6. На гипотенузе ВС прямоугольного треугольника ABC вне его построен квадрат. Зная, что сум-

ма катетов равна а, определить расстояние от вершины А до центра квадрата.

Л. Лоповок (Проскуров).

7. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 2 см. Найти углы треугольника, зная, что наименьшая возможная сумма расстояний точки от вершин треугольника равна уТ см.

Л. Лоповок.

8. Сумма боковых ребер правильной пирамиды равна периметру основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды.

Л. Лоповок.

9. Решить уравнение:

jd — 2*3 + 6* — 9 = 0.

Е. Майданник (Конотоп).

10. Если

то

Доказать.

А. Микиша и В. Михельсон (Москва).

11. Решить уравнение:

А. Микиша и В. Михельсон. 12. Если р и q— простые числа, то число

делится на pq. Доказать.

Т. Мышакова (Одесса).

13. Найти двузначное число, равное неполному квадрату суммы его цифр.

Т. Мышакова.

14. Построить треугольник ABC, зная положение одной из его вершин, середины противоположной стороны и точки пересечения высот.

Т. Мышакова.

15. На боковых ребрах SA, SB, SC тетраэдра S ABC отложены соответственно отрезки АА} = 2, ВВХ = 3, ССг = 4. Плоскость, проходящая через точки Аи В\, Ci, делит объем тетраэдра в отношении 1:8. Определить боковые ребра тетраэдра, если известно, что они равны между собой.

А. Тралмак (Ленинград).

16. Построить треугольник ABC по стороне а биссектрисе / угла В и расстоянию h этой биссектрисы от вершины А треугольника.

И. Яворский (Москва).

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

1. Два туриста выезжают одновременно навстречу друг другу из двух пунктов А и В. При встрече оказалось, что первый проехал на 30 км больше второго и что через 4 дня он будет в В. Второй попадет в А через 9 дней после встречи. Найти расстояние AB.

2. В равнобедренном треугольнике высота равна 20 см, а основание относится к боковой стороне, как 4:3. Найти радиус вписанного в треугольник круга.

3. (l + tga).(l + tgß) = 2. Найти а + р.

4. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой а, а плоский угол при вершине равен углу наклона бокового ребра к плоскости основания.

5. Определите угол С треугольника, если

6. Доказать тождество:

7. Найти положительное решение системы:

8. Трехгранный угол, все плоские углы которого прямые, пересечен плоскостью, удаленной от вершины на а и отсекающей равные отрезки на ребрах. Найти объем полученной пирамиды?

9. На поверхности куба найти точки, из которых диагональ куба видна под наименьшим углом.

10. Показать, что если а, Ъ и с — стороны треугольника, то уравнение:

имеет мнимые корни.

11. Дано:

Найти cos (а + ß) и sin (а + ß).

12. Доказать, что

(Задачи были предложены на Одесской математической олимпиаде для учащихся старших классов средних школ. Сообщил М. Н. Швец.)

13. Решить уравнение:

А. М. Микиша и В. С. Михельсон (Москва)

14. Упростить выражение:

А. М. Микиша и В. С. Михельсон

15. Доказать, что число вида:

делится на 11 при любом натуральном п.

А. М. Микиша и В. С. Михельсон

СВОДКА РЕШЕНИЙ

К. Агринский (Москва) 52—55, 57, 58, 61—64, 68; , Алмазова (Беднодемьяновск) 52—58, 60, 61, 64; . Аревшатян (Ереван) 52—57, 60, 61, 64, 65; Г. Ахадов (Ленинград) 51—68; П. Бартош (Чехослова-ля) 51—63, 65, 67, 68; Ф. Бартенев (Евпатория) 51 — 3, 67, 68; А. Бауэр (Мариинск) 51—65, 67, 68; L Беккер (Таллин) 51—55, 58, 60, 63—65, 68; . Беляцкина (Аягуз) 51—68; В. Белых (Курская 5л.) 52—55, 57, 59—64; С. Берколайко (Харьков) 1—65, 67, 68; Е. Бернштейн (Киев) 51—61, 63, 64, Г, 68; В. Бешкарев (Горький) 51—61, 64, 65, 67, 68; . Боков (Краснодарский край) 51—56, 58—64, 67; I Бочкин (Витебск) 51—53, 55, 57, 58, 61, 63, 64; . Бугулов (Дзауджикау) 51—62, 64, 65, 67, 68; .Вайнман (Киев) 51—53, 55—58, 60—64, 68; А. Гаас Караганда) 51—55, 57—64, 67, 68; А. Гаранин (Казнь) 52—55, 57, 58, 60—64; Э. Героцкий (Брянская бл.) 51—56, 58—61, 64; Н. Говоров (Краснодарский рай) 51—68; К. Горев (Лукоянов) 51—65, 68; М. Гот-гр (Вильнюс) 51—65, 67, 68; В. Губанищев (Полес-кая обл.) 52—55, 57, 58, 60, 61, 63—65, 68; Ф. Гут-эвский (Польша) 51, 53—57, 59—65, 68; У.Давыдов Гомель) 51—54, 56—65, 67, 68; В. Демчинский Ровно) 51—68; Б. Дудолькевич (Звенигородка) 2—55, 57—64, 68; П.Егоров (Рязань) 51, 52, 54, 55, 8, 59, 61—65; П. Енимашко (Гродно) 51—68; К. Заецкий (Курская обл.) 52, 54, 55, 57, 59—61, 64, 65; I. Зискинд (Винница) 52, 54—56, 58—64, 68; Р. Ибагимов (Татарская АССР) 51—55, 62—64; Д. Изаак Орск) 52—55, 57, 59—62, 64, 65, 68; В. Исаков Казахская ССР) 52—65; В. Карнацевич (Тюмень) 1—65, 67, 68; А. Карпов (Собинка) 51—68; В. Кин-;ефатер (Кемеровская обл.) 51—68; А. Киселев (Ленинград) 51—65; С. Колесник (Харьков) 51—65, 67, 18; Г. Колосов (Пудож) 51—55, 58—65; Г. Копылов (Днепродзержинск) 51—65, 67, 68; В. Коряжкин 51, fe, 60, 61, 67; А. Кошелев (Ульяновская обл.) 51— (8, 60—65, 67, 68; М. Кравчишин и Ф. Яремчук Дрогобич) 51—65, 68; М. Крайзман (Львов) 51—64, »8; М. Кудаев (Джамбульская обл.) 52, 54, 55, 58, 1, 62, 64, 68; В. Кунахович (Красноярский край) 51— 13, 65, 68; М. Лейбман (Свердловская обл.) 51—65, j7, 68; Э. Магарам (Южно-Сахалинск) 52—54, 57, 19—62, 64, 65; А. Магеро (Витебская обл.) 52—55, 8, 61—64, 67, 68; Математический кружок Чашни-овской русской средней школы 52, 54, 55, 57—60, 2, 64, 67; Л. Медведев (Себряково) 51—62, 64, 67, >8; Н. Мельников (Белев) 51, 52, 54, 55, 57, 58, 60— 2, 65; П. Мирау (Алма-Атинская обл.) 51—68; L Мостовой (Алма-Атинская обл.) 51, 52, 55—65, '7, 68; Т. Мышакова (Одесса) 51—68; С. Нахамчик (Рогачев) 51, 52, 54—65, 67, 68; Е. Павлов (Чувашская АССР) 51—65, 67, 68; М. Пестов (Свердловск) 51—56, 60—64, 67, 68; С. Петров (Гайсин) 51, 52, 54, 55, 57—61, 63—65; Л. Печерский (Фрунзе) 51—62, 64, 65, 67, 68; И. Писаренко (Молдавская ССР) 51—65, 67, 68; В. Г» шов (Сталинград) 51—65, 66—68; С. Попов (Московская обл.) 51—64; В. Рабинович (Северо-Казахстанская обл.) 51—65, 67; С. Рабинович (Кировоградская обл.) 51—62, 64, 65, 67, 68; Е. Радченко (Курская обл.) 51—55, 57, 58, 60, 61, 68; С. Рапопорт (Фастов) 51—56, 60, 61, 63, 64, 68; Р. Реннерт (Польша) 51—65, 67, 68; Н. Рознатовский (Киев) 51—65, 67, 68; 3. Рудштейн (Бобруйская обл.) 51—55, 57—61, 63, 67; В. Слободин (Вологда) 51, 52, 54, 55, 59—62, 64; С. Смоляк (Москва) 51—58, 60—62, 64, 65, 67; В. Смышляев (Марийская АССР) 51—56, 58, 60—65, 67; В. Стасюк (Стрый) 51—68; И. Степанов (Иркутск) 51—56, 60— 65; Э. Стрелецкий 51—68; П. Строгальщиков (Вологодская обл.) 51—55, 58, 63, 64; И.Титов (Казань) 51—65, 67, 68; А. Тралман (Ленинград) 51—68; В. В. Утемов (Красноуфимск) 51—68; А. Хайруллин (Саратовская обл.) 51, 52, 54—57, 60—64; Т. Цхай (Андижан) 51—68; И. Челисов (Дмитровск) 51—56, 58, 60—65, 67; Г. Чепкасов (Краснодарский край) 51—65, 68; Н. Чернов (Измаил) 51—68; А. Шалтаев (Карсун) 51—65, 67, 68; М. Шебаршин (Кемеровская обл.) 51—68; П. Эрдниев (Алтайский) 51—65, 67, 68; Э. Ясиновый (Куйбышев) 51—57, 59—65, 67, 68.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ СВОДКА ПО № 4

И. Байков (Московская обл.) 51—68; А. Владимиров (Асбест) 51—65, 68; Е. Головачев (Курская обл.) 51, 52, 54, 56, 57, 60, 61, 63, 64—66; А. Дейнега (Винницкая обл.) 51—68; С. Джаббаров (Куйбышевская обл.) 51—53, 55, 57—64, 66, 68; В. Козмодемьянский (Сызрань) 51—53, 55—57, 59, 61, 63, 66; Л. Лоповок (Проскуров) 51—68; Б. Меньших (Филоново) 51—65; К. Нардов (Ленинград) 51—58, 60—65, 67, 68; К. Нелюбин (Кировская обл.) 51—65, 67, 68; Ю. Палант (Харьков) 51—65, 67, 68; Ю. Пигарев (Киевская обл.) 51—68; Л. Рейзиньш (Рига) 51—68; Н. Рубинштейн (Москва) 52—55, 58—64, 68; Р. Селецкий (Полесская обл.) 52—54, 58, 60, 61, 63—65; Г. Стамболцян (Ленинакан) 52—54, 57, 59— 65; В. Токарев (Константиновка) 51—68; М. Шатохин (Орел) 51—65, 67, 68; В. Штейншрайбер (Проскуров) 51—67.

ИТОГИ КОНКУРСА ЗА 1951 ГОД

Наибольшее количество задач решили:

1. Г. Ахвердов (Ленинград)

2. А. Бауэр (Мариинск)

3. В. Бешкарев (Горький)

4. А. Владимиров (Ялта)

5. К. Горев (Лукоянов)

6. В. Демчинский (Ровно)

7. В. Иножарский (Орел)

8. С. Колесник (Харьков)

9. С. Лебензон (Московская обл.)

10. Л. Лоповок (Каменец-Подольск)

11. Т. Мышакова (Одесса)

12. М. Пилютик (Московская обл.)

13. Л. Рейзиньш (Рига)

14. Г. Сакович (Киев)

15. Э. Стрелецкий (Гродно)

16. Н. Титов (Казань)

17. М. Торбик (Брянская обл.)

18. В. Утемов (Свердловск)

19. И. Федотов (Казань)

20. М. Шатохин (Орел)

21. Л. Шевелев (Орел)

22. Э. Ясиновый (Куйбышев)

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Стр.

С. В. Фомин — Основные понятия линейной алгебры............... 1

М. И. Слободской — О делителях чисел вида 2Р + 1.............. 16

МЕТОДИКА

B. М. Брадис —- Воспитание логических навыков при изучении математики .... 20

Ф. Ф. Притуло — Элементы логики в школьном курсе математики....... 25

М. М. Лиман — О методе приведения к противоречию............. 36

М. И. Кузьминский — Элементы логики в преподавании геометрии....... 39

К. П. Сикорский — Об организации урока по математике............ 43

Б. А. Кордемский — Деление окружности.................... 50

ИЗ ОПЫТА

К. К. Лембке — О доказательстве геометрических теорем............ 52

Ф. А. Андреев — Развитие логического мышления учащихся и решение задач на доказательство в VI—VII классах..................... 58

А. А. Столяр — О применении символики в курсе стереометрии......... 70

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

C. А. Касьянюк — Дмитрий Матвеевич Перевощиков............... 75

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

И. В. Куликов — О книге Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского «Алгебра»..... 78

ХРОНИКА

А. Н. Чертков — Работа Одесского методического объединения учителей математики школ рабочей молодежи...................... 84

П. Я. Дорф — В секции средней школы Московского математического общества . 85

ЗАДАЧИ

Решение задач, помещенных в № 4....................... 87

Задачи..................................... 93

Задачи для учащихся.............................. 94

Сводка решений................................ 95

Итоги конкурса................................ —

Редакционная коллегия

Редактор А. Н. Барсуков. Зам. редактора С. И. Новоселов, Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Р. С. Терюкалова Корректоры 3. Федорова, 3. Почаева

Технический редактор С. Н. Шахов

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6. Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР.

Слано в производство 6/XI 1952 г. Подписано к печати 24/1 1953 г. Учетно-изд. л. 10,91.

А 00751. Заказ 1447. Тираж 60 000 экз.

Печ. зн. в п. л. 86 000. Цена 4 р. 50 к. Бумага 84 X 1081/i6 = 3 бумажн. л. — 9,84 п. л.

13-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Москва, Гарднеровский пер., 1а.