МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

6

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1952

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 6

НОЯБРЬ—ДЕКАБРЬ 1952 г.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

ИЗ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ ПЕРЕДОВЫХ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИДЕЙ В РОССИИ

Б. П. БЫЧКОВ (Бельцы)

Родоначальниками передовых методических идей в области преподавания математики надо считать выдающегося русского ученого М. В. Остроградского (1801—1861) и его ученика В. Н. Шкларевича (1835—1915)*, опередивших почти на пятьдесят лет зарубежное так называемое «реформистское» движение.

Русская методическая мысль развивалась совершенно самостоятельно, независимо от развития западноевропейской методической мысли, а во многих вопросах значительно опережала последнюю.

Цель настоящей заметки—познакомить широкие круги читателей журнала с содержанием статьи В. Н. Шкларевича «Некоторые соображения о методе преподавания начальной математики», опубликованной в журнале «Педагогический сборник» (книжка V, 1865), в которой автор статьи развивает идеи своего учителя М. В. Остроградского и высказывает ряд мыслей, сохранивших актуальность и до настоящего времени, а также показать, что идеи М. В. Остроградского нашли широкий отклик среди передовой части русских методистов и преподавателей математики.

В этой статье В. Н. Шкларевич рассматривает недостатки математической подготовки учеников военных гимназий, поступающих в военные училища, и предлагает меры к устранению таковых, выражая надежду на то, что высказанные им мнения «вызовут гг. преподавателей к печатному обсуждению многих интересных вопросов».

Основной недостаток в математической подготовке учеников, оканчивающих курс в военных гимназиях, по мнению В. Шкларевича, заключается в следующем: «Почти исключительное усвоение одних только внешних форм математических истин и весьма слабое понимание их сущности» («Педагогический сборник», книжка V, 1865, стр. 391), иными словами, формализм математических знаний учащихся.

Автор статьи считает, что подобные факты могут происходить от следующих причин:

1) От того, что «преподавание геометрии начинается прямо научным изложением теорем, относящихся к свойствам и измерению протяжений, когда ученик не имеет ещё ни малейшего наглядного представления о протяжениях. От этого содержание геометрии представляется ему сухим формализмом, в котором он не видит сущности».

2) «Преподавание математики вообще страдает недостатком наглядности и таких практических занятий, которые, кроме применения излагаемых в курсе правил, способствовали бы разъяснению самой сущности излагаемых в нем понятий» (там же, стр 392; подчеркнуто в тексте).

Дальше рассматриваются меры для устранения вышеуказанных недостатков в преподавании

* См. «Историко-математические исследования» выпуск III, статья И. А. Марон «Академик М. В. Остроградский как организатор преподавания математических наук в военно-учебных заведениях России», а также «Математика в школе», 1951, статья того же автора «Педагогическое наследие М. В. Остроградского».

геометрии и алгебры, которые, по мнению автора, в основном сводятся к изменению порядка преподавания геометрии и к введению в преподавание алгебры и геометрии некоторых практических упражнений.

Что касается геометрии, автор рекомендует в младших классах практиковать ряд упражнений, основанных на измерениях, цель которых— введение ученика в круг геометрических понятий. В следующих классах изучение геометрии должно состоять из двух курсов: подготовительного и научного.

Автор, следовательно, предлагает дедуктивному курсу геометрии предпослать пропедевтический курс. Цель такого пропедевтического курса он видит «в наглядном ознакомлении с главнейшими свойствами и способами измерения протяжений, при помощи разных простейших упражнений» (там же, стр. 394), и предлагает даже подробную программу подобных упражнений, среди которых необходимо отметить следующие: измерение длины отрезков и нахождение отношения между ними; измерение длины окружности; понятие о перпендикулярных линиях и построение их с помощью линейки и угольника; понятие о параллельных линиях и построение их с помощью линейки и угольника; пропорциональность отрезков, образованных пересечением непараллельных линий с параллельными линиями; деление отрезка на равные части; десятичный масштаб; подобие фигур и вычерчивание простейших планов; измерение площадей и объемов.

Переходя к преподаванию алгебры, автор замечает, что большинство учеников «не выносит из курса алгебры ясного сознания о том, что всякое алгебраическое уравнение есть выражение некоторой зависимости между входящими в него величинами» (там же, стр. 400), и затрудняется в исследовании содержания простых алгебраических формул.

Для устранения этих недостатков В. Шкларевич предлагает после изучения алгебраических действий «занять учеников разбором разных алгебраических формул». Эти упражнения он рекомендует проводить в следующем порядке: учитель пишет формулу и предлагает ученикам разобрать, какое влияние на изменение численного значения всей функции окажет изменение численного значения каждой из входящих в нее переменных величин. С значением термина «функция» автор считает необходимым знакомить учеников. «Затем, чтобы сделать все выводы вполне осязательными, ученики всего класса вычисляют численные значения разобранной функции при разных численных значениях входящих в нее переменных величин. Результаты всех вычислений сводятся в одну общую таблицу. Тогда ученики сверяют выводы, сделанные из рассмотрения вида функции, с теми, которые могут быть сделаны из рассмотрения таблицы. В другой раз упражнение следует вести в обратном порядке. Именно, заставить учеников вычислить сначала ряд численных значений функции, потом составить таблицу, исследовать ее и затем уже — сверить результаты исследования с видом функции» (там же, стр. 401 ; подчеркнуто в тексте).

Введение подобных упражнений автор мотивирует тем, что «умение судить по ряду численных значений каких-нибудь величин о зависимости, существующей между ними, необходимо при изучении многих прикладных наук».

Здесь ясно выражено стремление приучать учащихся видеть в алгебраических выражениях не только определенную комбинацию букв и чисел, но и функцию от этих букв. Достаточно сравнить эти указания с указаниями, данными в объяснительной записке к программе по математике (Учпедгиз, 1931, стр. 1 ), чтобы убедиться, насколько автор статьи опередил свое время.

Дальше В. Шкларевич считает, что при решении задач на составление уравнений нельзя ограничиться только составлением и решением уравнений, а каждое решение должно быть непременно исследовано, так как только исследованное решение вопроса получает полный смысл в глазах ученика и представляет для него интерес.

«Аналитическое исследование, вычисление и построение формул должны быть введены совместно»,— утверждает автор (там же, стр. 402). В курс алгебры он предлагает «ввести статью об уравнениях между двумя переменными, в которой обратить особенное внимание на исследование этих уравнений, показать графическое их построение и объяснить связь, существующую между видом уравнения и видом кривой, ему соответствующей.

Мы предлагаем здесь вовсе не смешение алгебры с аналитической геометрией, но объяснение общего приема, имеющего огромное значение во всех прикладных науках» (там же, стр. 402—403).

В курс алгебры автор предлагает ввести небольшие статьи об эмпирических уравнениях и о графическом интерполировании. Заслуживает особого внимания мнение Шкларевича о том, что в преподавании алгебры следует брать преимущественно такие примеры для упражнения, которые служили бы пособием для изучения физики. Часто и в настоящее время ученики на уроках физики не видят в формуле s=vt выражения закона прямой пропорциональной зависимости, несмотря на то, что на уроках ал-

гебры они безошибочно выражают этот же закон формулой у = kx.

Высказывания и предложения в духе перестройки школьного курса математики на основе идеи функциональной зависимости продолжались в среде русских методистов и преподавателей математики и в дальнейшем. Так, например, в «Кратком обзоре деятельности педагогического музея военно-учебных заведений за 1888/89 учебный год», который печатался в «Педагогическом сборнике» с октября 1889 года, мы находим указания на то, что в 1888/89 учебном году при обсуждении доклада проф. П. А. Шиффа на тему «Теорема Коши о пропорциональной зависимости функций» в отделе математики музея присутствующие преподаватели пришли к выводу о необходимости ознакомления учеников средних учебных заведений с термином «функция». Прения по поводу доклада привели к следующим результатам:

1) Мнение о необходимости знакомить учащихся со всеми приемами обобщения доказательств разделяется всеми.

2) Также и мнение о необходимости ознакомить учеников в курсе математики средних учебных заведений с термином «функция» (вышеупомянутый «Краткий обзор», стр. 170).

В том же учебном году в отделе математики был заслушан доклад методиста С. И. Шохор-Троцкого «Об уравнениях и определителях», в котором докладчик наметил в общих чертах путь изучения уравнений в средних учебных заведениях, исходя из понятия о функции.

Следовательно, передовые идеи в области преподавания математики широко обсуждались и пропагандировались многими русскими методистами-математиками на протяжении почти всей второй половины XIX века, и только косность царских чиновников, усматривающих в каждом новом начинании подрыв основ существовавшего строя, мешала претворению их в жизнь.

МЕТОДИКА

ПОНЯТИЕ АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ*

П. МУРАВЬЕВ (Иваново)

В объяснительной записке к программе по математике указано, как следует дать в VI классе определение понятия абсолютной величины числа; вместе с тем в учебнике алгебры Киселева в разделе «Относительные числа» написано: «Абсолютной величиной относительного числа называется это число, взятое без знака; так, абсолютная величина числа —10 есть 10, абсолютная величина числа +5 есть 5». Давно признано, что это определение не является научным, и непонятно, почему оно до сих пор сохранилось в стабильном учебнике.

Никаких иных упоминаний об абсолютной величине действительного числа в стабильном учебнике алгебры не содержится.

Многие учителя строго придерживаются определений стабильного учебника, следовательно, учащиеся средней школы один раз в VI классе изучают определение абсолютной величины, да и то в неправильной формулировке.

В задачнике Шапошникова и Вальцова этот вопрос совсем опущен. Лучше дело обстоит в задачнике алгебры Ларичева, но и там этот вопрос не получил достаточного освещения.

После сказанного становится понятным, почему учащиеся недостаточно усваивают понятие абсолютной величины действительного числа.

В настоящей статье мы ставим задачу методически осветить этот вопрос применительно к действующей программе по математике в средней школе с приведением примеров для закрепления и усвоения этого понятия.

Впервые учащиеся получают понятие об абсолютной величине числа в VI классе. К сожалению, во многих случаях это первое знакомство является и последним. Определение абсолютной величины числа должно быть дано так, как это сделано в объяснительной записке к программе по математике.

Определение. Абсолютной величиной положительного числа называется само это число, например |+7J = 7; абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число, например I —71 = 7; абсолютная величина нуля есть 0, I 01 = 0.

Для того чтобы подвести учащихся к этому определению, мы рекомендуем рассмотреть примеры, подобные следующим:

1) В некоторой местности средняя температура воздуха в октябре 0°. 20 октября в 2 часа ночи было 7° мороза, а в 14 часов было 5° тепла. Найти отклонение температуры от средней ночью и днем.

В этой задаче нас не интересует вопрос

* От редакции. В статье тов. Муравьева содержится большой выбор примеров на тождественные преобразования и на исследование функций различной степени трудности. Эти примеры в той или иной части по усмотрению учителя могут быть использованы в классных занятиях. Статья дает также полезный материал для занятий школьных кружков.

о том, в какую сторону произошло отклонение, так как требуется узнать только, каким числом градусов выразилось это отклонение.

Температура ночью была —2е, а днем Температура ночью отклонилась от средней на 2 единицы; температура днем отклонилась от средней на 5 единиц. Математически это записывается так:

Читается эта запись следующим образом: абсолютная величина числа —2 равна положительному числу 2; абсолютная величина числа +5 равна ему самому. Вертикальные черточки ||, внутри которых записано число, являются знаком абсолютной величины этого числа.

Необходимо дать геометрическое истолкование понятию абсолютной величины числа. Рассмотрим числовую ось (черт. 1).

Черт. 1

Построим на этой оси точки А и В. Им соответствуют числа —2 и +5. Очевидно, что длина отрезка OA равна двум единицам, т. е. абсолютной величине числа —2, а длина отрезка OB равна 5 единицам, т. е. абсолютной величине числа -[-5. Следовательно, с геометрической точкой зрения абсолютная величина данного числа есть длина отрезка на числовой оси между начальной точкой и конечной точкой, изображающей данное число.

Теперь можно перейти к рассмотрению вопроса об абсолютной величине числа 0. Для этого присоединим к нашей задаче еще одно условие: пусть температура в 8 час. утра была 0°. Каково отклонение от средней температуры в этом случае? Очевидно, оно равно 0. Математически это записывается так |0|=0, и читается следующим образом: абсолютная величина числа 0 равна 0.

Полезно рассмотреть хотя бы еще один пример.

2) Токарь вытачивает детали цилиндрической формы. Допустимое отклонение от нормы для диаметра цилиндра 0,05 мм. За первый час работы рабочий выточил три детали, причем обмеры показали, что первая деталь имеет диаметр больше нормы на 0,02 мм, вторая деталь меньше нормы на 0,03 мм, а третья деталь имеет заданный диаметр. Каково отклонение от нормы в каждом случае?

Решается задача в том же плане, как и предыдущая.

После рассмотрения этих задач следует дать приведенное выше определение понятия абсолютной величины числа и закрепить его на числовых примерах.

Найти абсолютную величину каждого из чисел:

Найти \а\, если:

Необходимо особо подчеркивать, что одну и ту же абсолютную величину имеют два противоположные числа. Например, найти числа, абсолютная величина которых равна 10. Это будут числа —10 и -(-10.

В заключение необходимо подвести итоги и записать следующие выводы:

1. Абсолютная величина любого числа, кроме 0, есть число положительное. Абсолютная величина 0 есть 0.

2. Противоположные числа имеют одну и ту же абсолютную величину.

3. Геометрически абсолютная величина числа означает длину отрезка на числовой оси между начальной точкой и конечной точкой, изображающей данное число.

На дом задаются примеры, аналогичные рассмотренным и приведенным выше.

После того как дано определение понятия абсолютной величины числа, необходимо постоянно возвращаться к нему при решении обычных задач и примеров, а не забывать об этом определении, как это часто бывает.

Сейчас мы приведем такие примеры из числа обычных, решаемых в VI и VII классах.

VI класс

Относительные числа

Сложение, вычитание, умножение и деление относительных чисел:

Аналогичные примеры легко придумает каждый учитель. Полезно обращать внимание на то, что абсолютная величина суммы не превышает суммы абсолютных величин слагаемых, а абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин сомножителей.

VII класс

Уравнения 1-й степени с одним неизвестным

01*1 = 2.

Одну и ту же абсолютную величину имеют два противоположные числа: х и —х.

Следовательно, данное уравнение равносильно следующим двум уравнениям:

х=2 (а); — х = 2 (б).

Решая их, получим:

Xi —- 2j Х2 — — 2.

Проверка:

2) 1| = 3.

Одну и ту же абсолютную величину имеют два противоположные числа:

X—1 и —(х—1) = 1—X.

Следовательно, данное уравнение равносильно следующим двум:

Решая уравнения (а) и (б), получим:

Проверка:

3) Решить уравнения:

В этой теме содержится пункт о решении неравенств 1-й степени с одним неизвестным, поэтому следует решить несколько примеров такого типа:

а) |*|<1.

Одну и ту же абсолютную величину имеют два противоположные числа:

Следовательно, данное неравенство равносильно следующим двум неравенствам:

х<\ (а); -лг<1 (б).

Решая неравенства (а) и (б), получим:

д:<1 и — 1,

или

X < 1 и — 1 < X.

Мы видим, что —1 меньше х, а х меньше +1, следовательно, решение неравенства можно записать так:

-1<*<+1,

X есть любое число в промежутке от —1 до +\. Полученному результату надо дать иллюстрацию на числовой оси (черт. 2).

Одну и ту же абсолютную величину имеют два числа:

Черт. 2

Следовательно, данное неравенство равносильно следующим двум неравенствам:

X— 1 <3 (а) и 1—х<3 (б).

Решая эти неравенства, получим:

;с<4 и — 2 < X

(черт. 3).

Черт. 3

Запишем короче:

— 2<*<4.

Примеры такого типа в VII классе возможны, но необязательны.

4) Приведем примеры для упражнений. Решить неравенства:

Примечание. Мы придаем большое значение примерам, не имеющим решения, ибо они дают богатый материал для рассуждений.

Теперь перейдем к изучению понятия абсолютной величины числа в VIII классе. В первой теме курса алгебры «Степени и корни» дается понятие об иррациональных числах. Необходимо указать, что в области действительных чисел остается в силе прежнее определение абсолютной величины числа, и повторить это определение.

Таким образом, имеем:

С понятием абсолютной величины связано решение примеров на действия с радикалами. Мы стоим на той точке зрения, что не следует вводить понятие «алгебраического» корня.

Надо, чтобы учащиеся твердо и четко знали определение корня лг-й степени из числа а:

Определение. Арифметическим корнем п-й степени из неотрацтельного числа а называется такое неотрицательное число, которое, будучи возведено в степень п, дает а. При этом следует указывать, что п — целое положительное число, не равное 1, а — любое число.

Все теоремы, на основании которых выполняются действия над радикалами, доказываются в курсе средней школы только для арифметических корней. Обычно авторы учебников и задачников делают оговорку о справедливости этих теорем только для арифметических корней, а в дальнейшем изложении сами часто об этом забывают. Многие учителя следуют такому изложению и не дают учащимся упражнений на усвоение понятия арифметического корня.

В подавляющем большинстве случаев нет необходимости давать какие-то особые упражнения по этому вопросу. Достаточно не забывать об этом самому учителю при решении примеров на «действия над радикалами» из наиболее распространенных в настоящее время задачников алгебры Шапошникова и Вальцова и Ларичева. Мы приведем некоторые примеры из этих задачников и покажем, как следовало бы их решать, учитывая понятие арифметического корня. (Во всех приведенных ниже примерах берутся арифметические значения радикалов.)

«Сборник алгебраических задач» Шапошникова и Вальцова, ч. II, глава IX.

№ 47

Ответ в задачнике:

Очевидно, автор полагает, что d>0, но нигде об этом не говорит, да если бы такая оговорка и была сделана, то ее значение для усвоения понятия арифметического корня учащимися было бы ничтожно.

Мы стоим на той точке зрения, что не нужно вводить особых ограничительных условий, следует решать примеры с радикатами так, как они есть, т. е. рассматривая различные возможные случаи. Исключения возможны для сложных примеров, решение которых для учащихся VIII класса будет затруднительным или невозможным. В этих случаях необходимо вводить дополнительные условия, что должно быть специально оговорено и записано.

№ 50

№ 104

Задача возможна, если афО и а — b0. Ответ в задачнике:

№ 123

№ 141

Ответ в задачнике:

№ 222

Задача возможна, если b 0:

№ 298

Необходимые условия: (а+Ь) и (а — Ь) имеют одинаковые знаки.

Ответ в задачнике:

«Сборник задач по алгебре» Ларичева, ч. II, 1949.

На стр. 30 имеется подстрочное примечание: «Для упражнений на радикалы ответы даны при условии, что буквы в подрадикальных выражениях обозначают положительные числа и разность вида m — п рассматривается при т> я».

С точки зрения усвоения понятия арифметического корня упражнения в этом задачнике такого же типа, как и в задачнике Шапошникова и Вальцова.

Приходится выразить сожаление о том, что автор задачника ограничился вышеприведенным подстрочным примечанием вместо рассмотрения вопроса об арифметическом корне по существу.

Приведем некоторые примеры:

№ 131 (3)

Ответ в задачнике:

№ 153

Необходимое условие для того, чтобы К было действительным числом:

Отсюда получаем:

Ответ в задачнике:

№ 156 (2)

Необходимые условия:

1) Пусть у>0, тогда /С=0;

2) пусть у <С®, тогда К = 4уу/х—у.

Ответ в задачнике: /{ = 0.

Из вышеприведенных примеров видно, что мы рекомендуем следующую схему решения примеров, содержащих действия над радикалами:

1) установить условия, при которых величина выражения будет действительным числом;

2) выполнить указанные действия с учетом понятия арифметического корня, не вводя дополнительных ограничительных условий (исключая сложные примеры);

3) получить ответ для различных возможных случаев.

Вопрос об арифметическом корне неоднократно освещался в различных статьях журнала «Математика в школе». В частности, в № 4 за 1951 г. имеется статья на эту тему, автор которой рассматривает более сложные примеры.

Подробное и очень удачное изложение вопроса о радикалах читатель найдет в «Специальном курсе элементарной алгебры» С. И. Новоселова, изд. 1951 г., который мы горячо рекомендуем как настольное пособие для каждого учителя математики средней школы.

При изучении остальных тем курса алгебры в VIII классе понятие абсолютной величины действительного числа почти не встречается, но это происходит только потому, что авторы учебников и задачников не уделяют должного внимания этому вопросу.

Не желая впадать в другую крайность, мы рекомендуем учителю изредка давать простые примеры на усвоение понятия абсолютной величины числа.

Приведем примеры.

При изучении темы «Функции и их графики» мы считаем необходимым построение графиков функций следующего типа:

1) у = yjx* (черт. 4).

Черт. 4

Черт. 5

Запишем в другом виде, а именно:

Итак,

(черт. 6).

Черт. 6

Понятие абсолютной величины действительного числа в курсе алгебры IX класса.

Первая тема в курсе алгебры—«Последовательность чисел». В этой теме изучаются такие вопросы, как понятие предела числовой последовательности и основные теоремы о пределах. Как известно, последние могут быть даны без доказательства, но с обязательной иллюстрацией на числовых примерах. Если учитель найдет возможным изучить эти теоремы с доказательством (например, на занятиях кружка), то потребуются знания двух теорем о свойствах абсолютных величин.

Теорема 1. Модуль суммы (любого числа слагаемых) меньше или равен сумме модулей слагаемых.

Примечание. Термины «абсолютная величина числа» и «модуль числа» равнозначны.

Требуется доказать, что имеет место неравенство:

но это следует непосредственно из правила сложения относительных чисел. Если оба слагаемые одинаковы по знаку, то при их сложении абсолютные величины складываются; в этом случае имеет место равенство. Если слагаемые противоположны по знаку, при сложении из большей абсолютной величины вычитается меньшая; в этом случае имеет место неравенство.

Методом полной индукции ее можно было бы доказать для любого числа слагаемых.

Теорема 2. Модуль произведения (любого числа множителей) равен произведению модулей сомножителей:

Это следует непосредственно из правила умножения относительных чисел.

Если последовательность имеет своим пределом число /, то при произвольном заданном е > О выполняется неравенство:

для п>М, где M есть некоторое положительное число (определяемое заданием s).

Важно разъяснить учащимся геометрический смысл неравенства

Это можно сделать следующим путем:

Два противоположные числа:

имеют один и тот же модуль, который меньше числа е.

Если ип > /,

то

(1)

Если

то

(2)

Из неравенства (1) находим, что

(3)

Из неравенства (2) находим, что

(4)

Объединяя неравенства (3) и (4), получим:

На числовой оси отмечены четыре числа (черт. 7):

Черт. 7

Последнее неравенство показывает, что все члены ип, номера которых больше М, принадлежат промежутку (/—г, /+6)- Каждое число будет больше, чем / — е, и меньше, чем Z-j-e, лишь не больше, чем Ж, членов последовательности могут не принадлежать этому промежутку.

Изучая логарифмическую функцию у = х> также полезно рассмотреть несколько примеров, связанных с понятием абсолютной величины числа. Приведем некоторые такие примеры.

1) .y = log2 \х\ (черт. 8).

Черт. 8

Здесь X есть любое число, кроме л; = 0. 2) jvf = log3 I а: —

Область определения этой функции: — ос <х<+°°» кроме х=2.

График, как и обычно в средней школе, строим «по точкам», учитывая свойства функции (черт. 9).

Черт. 9

3) у = 2,02« (■* + 1К Область определения функции: х> 1.

Обычная ошибка, допускаемая учащимися: строят график функции у=х—1, где х есть любое число, а нужно строить график функции у = х — 1, где х>\ (черт. 10).

В X классе при изучении темы «Неравенства» понятию абсолютной величины числа следует уделить достаточное внимание. Как мы уже говорили выше, необходимо изучить теоремы о модуле суммы и произведения. Если они изучались ранее, то целесообразно повторить этот материал.

Перейдем к примерам.

Черт. 10

Имея в виду особо важное значение неравенств, рассмотренных в примерах (1) и (2), необходимо закрепить их в сознании учащихся путем решения примеров такого типа с обязательной геометрической иллюстрацией на числовой оси.

Примеры для упражнений

11) Найти область определения функции:

Решение.

При X > 2 будем иметь: л: — 2^1, откуда лг^З; при х<2 будем иметь: 2— откуда х> 1.

Ответ: 1 <!л;<;3.

Приведем некоторые примеры из курса тригонометрии, где полезно применять понятие модуля действительного числа.

Формулы приведения

Вычислить:

1) Как изменяются функции:

при изменении угла от 0 до 2 it?

Результаты записать в виде таблицы:

Примечание. Знак / означает возрастание функции в данном интервале; знак \ означает ее убывание.

2) Доказать, что функция у = \ъ\ъх\ имеет период тт.

Доказательство. | sin (iü+jc)| = |—sin a:J= I sin x\.

Итак, получили: [ sin (-пг + je) [ = | — sin*] = I sin a: |, а это и означает, что тс есть период функции 3; = I sin л: j.

3) Найти период функций:

y = \cosx\, y = \tgx\, y = \dgx\.

4) Построить график функции:

yz=\sinx\ черт. 12).

5) Построить графики функций:

6) Аргумент изменяется от 0 до 2тг. Как при этом изменяются следующие функции:

Обратные тригонометрические функции

1) Найти область определения и множество значений следующих функций:

Приводим решение примера для случая «б»:

1) Найдем область определения функции:

откуда:

Решаем неравенство

Так как

Это означает, что; х >- 1 для х > О и — X >-1 для X < 0.

Ответ: лг>-1; —1.

2) Найдем множество значений функции.

Как известно, 0 ^ arc cos ср ^ it. В нашем примере

3) Построить графики следующих функций:

Черт. 11

Черт. 13

Приведем построение графика функции

Значит, ось Oy будет осью симметрии для графика этой функции (черт. 13).

В заключение заметим, что мы приводили лишь наиболее простые примеры по курсу алгебры и тригонометрии, связанные с понятием абсолютной величины действительного числа. Нам кажется, что решение подобных примеров будет содействовать более глубокому изучению алгебры и тригонометрии и вместе с тем даст возможность учащимся усвоить понятие абсолютной величины числа.

ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ В СИСТЕМАТИЧЕСКОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ*

В. Н. ШИШЛЯННИКОВА (Киев)

Изучение темы «Площади прямолинейных фигур» в систематическом курсе геометрии должно соответствовать научным принципам преподавания геометрии, а это значит, что изложение темы «Площади» по содержанию должно быть научно ценным и должно иметь научную систему. Преподавание нужно ставить так, чтобы развивалось логическое мышление учащихся. Кроме того, при изучении этой темы надо разъяснить ее практическое значение, научить учащихся применять полученные знания в жизни.

Сейчас преподавание темы «Площади» в средней школе пока еще не отвечает всем перечисленным требованиям. Изложение измерения площадей в систематическом курсе геометрии носит все еще рецептурный характер; оно и сейчас состоит из множества частных указаний догматического характера.

Идейно-теоретический уровень изложения темы «Площади» в средней школе снижается и вследствие устарелости стабильного учебника А. П. Киселева.

В учебнике Киселева нет даже попыток увязать вывод формул для измерения площадей фигур с известными «допущениями о площадях».

Изучение теории измерения площадей заменяется механическим заучиванием правил измерения площадей.

Таким образом, естественно поставить вопрос о пересмотре содержания и методов преподавания темы «Площади» в систематическом курсе геометрии средней школы.

Об определении понятия площади в систематическом курсе геометрии

Определение площади в нашей учебно-педагогической литературе можно разбить на три вида:

во-первых, площадь определяется как часть плоскости**;

во-вторых, площадь определяется как число***;

в-третьих, площадь определяется как величина****

Какое же из этих определений площади следует предпочесть в средней школе?

Определения первого рода (площадь — часть плоскости) имеют сейчас ценность только с точки зрения истории развития понятия о площади, а потому от таких определений нашей школе нужно отказаться. Такое определение площади есть по сути определение многоугольника (не в смысле контура).

«Многоугольником называется совокупность прямолинейных отрезков, каждый из концов которых есть одновременно конец одного, и только одного, другого из них.

* Статья тов. В. Н. Шишлянниковой печатается в порядке обсуждения. — Ред.

** Давидов, Элементарная геометрия, изд. 39, 1922, Гиз, гл. VIII,§ 137, стр. 146; Извольский, Геометрия на плоскости, изд. 3, Гиз, Москва, 1923; Малая советская энциклопедия, т. VI, стр. 608; Мазинг, Геометрия для средних учебных заведений, Москва,. 1876; Лакруа, Основания геометрии, Москва, 1835.

*** Глаголев, Элементарная геометрия, Учпедгиз, М., 1949, гл. VIII, § 252; Долгушин, Систематический курс геометрии для средних учебных заведений, Петербург — Киев, 1912, гл. XXIV, § 195, стр. 108; Брадис, Методика преподавания математики в средней школе, Учпедгиз, 1949, § 19, стр. 337; Костин, Основания геометрии. Учебник для пединститутов. .Учпедгиз, 1946, гл. VIII, стр. 278; Перепелкина и Новоселов, Геометрия и тригонометрия (для учительских институтов), Учпедгиз, 1947, гл. VIII, § 52.

**** Адамар, Элементарная геометрия, Учпедгиз, 1938, кн. IV, гл. 1, § 243, стр. 215; Богомолов, Геометрия (Систематический курс), Учпедгиз, 1949, § 41, стр. 241; Бескин, Методика геометрии, Учпедгиз, 1947, гл. X, § 3, стр. 88; Смогоржевский, Основания геометрии, Киев, 1947, § 21, стр. 75; Лежандр, Основания геометрии, СПБ, 1837, кн. Ill,стр. 62; Кутузов, Геометрия, Учпедгиз, М., 1950, ч. III, гл. IX; Киселев, Геометрия. Учебник для средней школы, Учпедгиз, 1949, гл. V, § 243, стр. 147.

... рассматриваются только плоские многоугольники (т. е. предполагается, что все отрезки, образующие многоугольник, лежат в одной плоскости).

...Если многоугольник ограничивает определенную часть плоскости (как это всегда бывает в случае выпуклых многоугольников), то эта часть плоскости сама называется «многоугольником». (См. БСЭ, т. 39, статья чл.-корр. АН СССР Б. Н. Делоне «Многоугольники».)

Остановимся подробнее на втором и третьем определениях.

Каждое понятие может быть определено двояко:

1) совокупностью признаков, определяющих это понятие (содержание понятия);

2) совокупностью объектов, входящих в это понятие (объем понятия).

Определяя площадь как число, имеют в виду не «совокупность признаков», а только один «признак»(??) площади; опуская при этом другие существенные признаки, не выявляют геометрическую сущность понятия площади.

Число есть количественная характеристика (значение) величины, причем и сами числа в свою очередь являются частным случаем математических величин. Поэтому определения второго вида опираются не на основное понятие, понятие величины, а на свойство этой величины принимать (числовые) значения.

Отсюда следует, что если определять понятие площади как числа, то это значит допустить, чтобы учащиеся не понимали различия между величиной и числом и называли бы величину числом. Определить площадь как число в систематическом курсе геометрии — это значит не выяснить перед учащимися геометрической сущности излагаемого вопроса.

В курсе геометрии необходимо четко различать понятия величины и числа и определять площадь через понятие величины*.

Обратимся к принятым в учебниках определениям площади.

«Площадью простого многоугольника называется число, определяющее размер части плоскости, ограниченной этим многоугольником».

(См. учебник Н. А. Глаголева «Элементарная геометрия», Учпедгиз, М., 1949.)

«Величина плоскости, заключенной внутри многоугольника или какой-нибудь другой плоской замкнутой фигуры, называется площадью этой фигуры». (См. учебник Киселева «Геометрия», ч. 1).

При определении площади по учебнику Глаголева (как числа) учащиеся считают площадью то число, которое получается после измерения площади фигуры, и говорят об измерении площади, не определив еще, что такое площадь.

Определение площади по учебнику Киселева дается с применением слова «величина», однако:

1) разъяснения понятия величины в учебнике вообще не встречается;

2) определяя площадь как величину (т. е. отнеся понятие «площадь» к определенному роду понятий), необходимо еще и описать, какими особенностями обладает эта величина, присущими ей одной и отличающими ее от других величин (т. е. нужно перечислить существенные признаки вида понятая),—этого в определении площади в учебнике Киселева нет.

Признаки, определяющие понятие площади среди величин, в «Геометрии» Киселева изложены поз ке в отдельном параграфе в виде основных допущений о площадях. Эти «основные допущения о площадях» являются существенной частью определения понятия площади, а потому отрывать их от этого определения не только не желательно, но и невозможно. «Основные допущения о площадях» Киселев относит не к площадям, а к числам, измеряющим эти площади (следовательно, в учебнике совершенно не отражены вопросы о соответствии между площадями и числами и свойства, присущие площадям-величинам, сразу перенесены на числа, соответствующие этим площадям).

Кроме того, существенные признаки, определяющие понятие площади (выраженные даже в такой форме), в изложении Киселева имеют следующие недостатки:

1) не выясняются причины их введения;

2) в дальнейшем изложении учения об измерении площадей на них нигде нет ссылок;

3) эти «допущения» ни в какой мере не выявляют геометрической сущности вопроса о площадях: учащимся, знакомящимся с теорией измерения площадей, трудно увидеть в «первом допущении о площадях» инвариантность площади относительно движения, а во «втором допущении»—инвариантность площади при взаимной перестановке ее частей.

Учитывая сказанное, а также неудовлетво-

* В математическом анализе, где уже говорят об алгорифме вычисления площадей сложных фигур, определяют площадь как число, имея в виду, что всякая величина, а значит и площадь фигуры, в конечном итоге имеет количественную характеристику, т. е. число, а поэтому позволительно вместо площадей условно брать числа. Такое положение в математическом анализе допустимо, так как при этом предполагается, что определение площади многоугольника в геометрии, на которое опираются в математическом анализе, уже установлено.

рительное определение понятия площади в «Геометрии» Киселева, мы полагаем, что содержание темы «Площади» нужно перестроить, а именно: при прохождении этой темы необходимо дать следующее разъяснение, касающееся понятия величины*.

Сравнить — это значит установить, что больше, меньше или равно.

Величиной называется все то, что можно сравнивать.

Здесь идет речь о сравнении между собой объектов данного класса. Понятие величины нужно рассмотреть с учащимися на конкретных примерах, выявляя на каждом примере, что величина это есть свойство, присущее данному классу предметов. Например, вес — это есть свойство материальных тел, тела можно сравнивать (т. е. устанавливать « больше », «меньше» или «равно») «по весу»; протяженность есть тоже свойство материальных тел, причем тела можно сравнивать между собой по протяженности; все физические тела имеют объемы, нет тела без объема; значит, обьем выступает как свойство тела, причем такое свойство, по отношению к которому тела можно сравнивать между собой, т. е. объем есть величина тела; фигуры имеют площади, площадь выступает как свойство фигур, причем по отношению к нему фигуры можно сравнивать между собой; значит, площадь фигуры есть величина.

Разъясняя учащимся понятие величины, должно указать им, что для определения понятия площади недостаточно назвать площадь величиной, что нужно указать для этой величины особенности, отличающие ее от других величин, — существенные, важнейшие ее особенности.

Сначала нужно остановиться на особенностях некоторых физических величин и выделить из этих особенностей главные (например, перечислив особенности «магнитной силы», как-то: притягивать к себе все железные и стальные предметы, не притягивать к себе медь, не обладать ковкостью и др., — предложить учащимся назвать важнейшую особенность магнита). После этого следует сообщить учащимся, что величина-площадь имеет две важнейшие особенности:

1) площадь фигуры не зависит от положения этой фигуры в пространстве;

2) если фигура составлена из нескольких фигур, то площадь фигуры равна сумме площадей фигур, ее составляющих.

Нужно подчеркнуть, что этими особенностями обладают не все величины. Для этого нужно, например, приписать эти особенности некоторым физическим величинам и убедиться, что эти особенности им не присуши.

В частности, можно взять .илу тяжести какого-либо предмета, которая зависит от положения тела на земном шаре, имеет различное значение в зависимости от того, находится ли данное тело на экваторе или на полюсе. Можно рассмотреть еще такой пример: в различных точках пути летящего снаряда скорость и ускорение будут различными, а это значит, что скорости и ускорение снаряда зависят от его положения на траектории.

Примерами величин, для которых не выполняется вторая особенность площадей, могут являться силы, направленные в противоположные стороны (равнодействующая сил есть не арифметическая сумма сил, а алгебраическая сумма сил), или силы, направленные под углом (равнодействующая есть геометрическая сумма сил и ищется по правилу параллелограма), и т. д.

После такой работы над уяснением и усвоением понятия площади можно сформулировать следующее определение:

«Площадью фигуры называется величина фигуры, имеющая такие две главные особенности:

1) площадь фигуры не зависит от положения ее в пространстве;

2) если фигура состоит из нескольких фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур».

За основу предлагаемого определения взято определение на стр. 225, § 243, книги Адамара «Элементарная геометрия», Учпедгиз, 1948, книга IV, «Площади», глава I «Измерение площади».

В курсах по основаниям геометрии тоже нет единого определения понятия площади.

В некоторых книгах по основаниям геометрии (например, Гильберт «Основания геометрии», М. —Л., 1948, гл. IV, § 18 — 21) определения площади не встречается (в этой книге «Учение о площадях на плоскости» дается с помощью аксиом I — III группы и не опирается на понятие числа; средствами самой геометрии здесь создается «исчисление отрезков», которое предоставляет те же удобства, что и арифметика действительных чисел).

В других курсах по основаниям геометрии (например, Депутатов «Основания геометрии»,журн. «Математика в школе», 1938, №5—6) определение понятия площади дается через

* Величина — свойство совокупности объектов (геометрических — отрезков, площадей, углов, или физических — тел, сил), по отношению к которому установлен л критерии их сравнения, т. е. признаки их равенства или неравенства.

понятие величины (на стр. 16: «...каждый простой многоугольник обладает свойством занимать некоторую часть плоскости Это свойство простых многоугольников называется их плоскостной протяженностью или площадью»).

Однако это определение площади является неполным и даже нечетким, так как в этом определении не раскрыты другие «элементарные определенности» этой величины.

В третьих книгах по основаниям геометрии (например, Костин «Основания геометрии», изд. 2, Учпедгиз, М., 1948, гл. VII, «Теория площадей», стр. 281) площадь определяется как число (при этом на число, соответствующее площади, накладываются определенные требования), т. е. дается определение площади после присоединения аксиом IV группы (непрерывности) к аксиомам I — III группы. В этом курсе оснований геометрии не раскрыта необходимость введения определенных требований (свойства площади-величины), накладываемых на число.

Наконец, есть курсы по основаниям геометрии, где имеется четкая постановка вопроса о площади — величине и числе, соответствующем этой площади, — мере площади, причем, когда каждому простому «многоугольнику ставится определенная величина — его площадь», то понятие площади вводится так, что оно характеризуется двумя известными требованиями (см. в книге Смогоржевского, стр. 75).

При таком определении площади понятие равносоставленности фигур органически вытекает из второй особенности определения площади, в то время как при определениях площади, ныне даваемых в средних школах, понятие равносоставленности фигур дается как определение, ни на что не опирающееся и ниоткуда не вытекающее.

Сравнение площадей

На конкретных примерах учащиеся должны убедиться в том, что понятия «равно», «больше» и «меньше» применимы к площадям, что площади можно сравнивать между собой как величины без привлечения чисел. Здесь важно не только наглядно убедить учащихся в том, что площадь есть геометрическая величина, но и установить различие понятий «равенство», «равносоставленность», «равновеликость» площадей и взаимную связь между этими понятиями.

В учебно-педагогической литературе нет определенного единства в трактовке вопроса о сравнении площадей.

По изложению этого вопроса учебники можно условно разбить на две группы: на учебники, где этот вопрос описывается*, и на учебники, где изложение сопровождается доказательствами**.

Кроме того, есть еще и такие учебники, в которых этот вопрос вовсе не излагается***.

При изучении сравнения площадей фигур учащиеся должны отчетливо понимать, что при сравнении необходимо взять не менее двух многоугольников, которые могут быть одноименными, а могут быть и разноименными.

Сравнение площадей разноименных многоугольников (за исключением простейших — треугольника и параллелограма) пока еще не рассматривается в учебно-педагогической литературе****; в тех же учебниках, где этот вопрос до некоторой степени освещается, не охватывается раздел о превращениях равновеликих фигур (раздел о превращениях равновеликих фигур обычно расположен после вопроса измерения площадей).

Для того чтобы раздел сравнения площадей был методически построен более правильно, предлагается сравнение площадей и превращение равновеликих фигур не разделять, а сочетать их, т. е. включить вопрос о превращении равновеликих фигур в сравнение площадей.

Изучение сравнения площадей в средней школе рекомендуется разбить на два этапа.

На первом этапе, кроме введения понятий равносоставленности и равновеликости фигур, установить:

1) что параллелограмы, имеющие равные основания и высоты, — равновелики;

2) что площадь всякого треугольника есть половина площади параллелограма;

3) что треугольники с общим основанием и равными высотами — равновелики.

Но втором этапе нужно сравнивать площади

* Например, Малинин, Геометрия и собрание геометрических задач. Руководство для городских и уездных училищ.

** Например, Глаголев, Элементарная геометрия, Учпедгиз, М., 1949.

*** Киселев, Геометрия. Учебник для средней школы, Учпедгиз, 194У; Давыдов, Элементарная геометрия, изд. 39, Гиз, 1922; Борель, Элементарная геометрия, ч. II, Геометрия, изд. 2, 1922; Долгушин, Систематический курс геометрии для средних учебных заведений, Петербург — Киев, 1912.

**** За исключением книги Извольского «Геометрия на плоскости», Гиз, М., 1923, и работы Извольского «Геометрическое учение о площадях», помещенной в журн. «Математика и физика в средней школе», 1935, 2.

произвольных фигур, используя известные построения Евклида*.

Эту часть темы сравнения площадей рекомендуется излагать по следующему плану:

1) сравнение площадей прямоугольников с равными высотами и основаниями;

2) сравнение площадей прямоугольников с равными высотами и неравными основаниями;

3) сравнение площадей прямоугольников с равными основаниями и неравными высотами;

4) сравнение площадей прямоугольников с неравными основаниями и неравными высотами (на этом случае останавиться подробно; при этом использовать задачу № 23 (1), § 13, из задачника Рыбкина).

Далее рассмотреть с учащимися следующие вопросы:

5) превращение произвольного многоугольника в равновеликий ему треугольник;

6) превращение треугольника в прямоугольник, равновеликий данному треугольнику;

7) сравнение площадей произвольных многоугольников.

По мере сообщения учащимся этого материала следует решить задачи из задачника Рыбкина: § 13, № 31 (1, 2), № 32 (1, 2) на стр. 73; § 13, № 23 (1, 2) на стр. 72; § 13, № 49, 50 на стр. 74 и др.

Кроме того, нужно, чтобы учащиеся приобрели твердые навыки в «перекройке» одних фигур в другие, т. е. чтобы учащиеся умели путем «разрезания» преобразовывать: параллелограм в прямоугольник, трапецию в прямоугольник, трапецию в треугольник, трапецию в параллелограм, параллелограм в треугольник и т. д.

Измерение площадей

Измерение площадей в систематическом курсе средней школы можно расчленить на две части: в первой части нужно рассматривать соответствие между площадью и числом, причем число, соответствующее площади фигуры, называть мерой площади; во вторую часть должно входить изложение теорем об измерении площадей отдельных видов фигур.

Остановимся сначала на первой части вопроса. В курсе геометрии средней школы нет надобности, да и нельзя знакомить учеников с этой частью измерения площадей во всей ее полноте, как это делается в основаниях геометрии. Однако избегать постановки этой части вопроса не следует.

В учебно-педагогической литературе имеются два вида изложения.

В одних учебниках* этот вопрос вовсе не ставится и при измерении площадей предполагается как нечто само собою разумеющееся, что всякой площади можно поставить в соответствие число. В этих учебниках сразу говорится о том, как найти число, соответствующее той или другой площади.

В некоторых учебниках** в этом упрощенном разрешении вопроса заходят так далеко, что за площадь считают то число, которое получается после измерения величины площади.

В учебниках другой группы вопрос о соответствии площадей и чисел ставится и решается либо развернуто и полностью***, либо схематично (хоть и полно)****, либо нечетко и неполно*****, т. е. во всех случаях таким образом, что в школьной практике эта часть темы чаще всего опускается.

Сделаем попытку изложить этот вопрос в форме, пригодной для школьного преподавания.

Знакомство учащихся с вопросом о соответствии между площадью и числом рекомендуется начать с указания о соответствии числа более простой геометрической величине — отрезку; учащимся следует напомнить, что отрезкам соответствуют числа и что эти числа суть длины отрезков; нужно напомнить, как получаются эти

* Многоугольники превращаются в равновеликие им треугольники, каждый из которых преобразуется в равновеликий ему прямоугольник. Один из полученных прямоугольников принимается за основной, тогда остальные прямоугольники нужно превратить в прямоугольники с основаниями, равными данному, основному (по известному построению Евклида). Из сравниваемых прямоугольников больше (или меньше) по площади те, высоты которых больше (или меньше).

Об этом см. в вышеуказанной литературе.

* Сюда относятся:

1) Давыдов, Элементарная геометрия, М.— Петроград, изд. 39, 1922, гл. VIII, § 137, стр. 146;

2) Малинин, Геометрия и собрание геометрических задач, М., 1892, § 214, стр. 116;

3) Гурвиц и Гангнус, Систематический курс геометрии для средней школы, 1936, Учпедгиз, гл. IX, стр. 82;

4) Мазинг, Геометрия для средних учебных заведений, М., 1876, отд. V, § 148, стр. 142;

5) Вулих, Краткий курс геометрии, СПБ, 1913. изд. 35, § 163, стр. 94;

6) Герхер, Учебник элементарной геометрии, М., 1922, отд. VI, § 58, стр. 58;

7) Сочинение Лежандра «Основания геометрии и тригонометрии», СПБ, 1837, кн. III, стр. 61.

** Глаголев, Элементарная геометрия, Учпедгиз, М., 1949.

*** Например, в книге Адамар «Элементарная геометрия», ч. I, М., Учпедгиз, 1948, изд. 3, кн. IV, гл. I, стр. 225; имеется «Прибавление Д» на стр. 278 (§ 313—319).

**** Долгушин, Систематический курс геометрии, Петербург—-Киев, 1912, гл. XXIV, на стр. 108 имеется «Приложение 1».

***** Киселев. Геометрия, Учпедгиз, 1949, гл. V, § 244, стр. 148.

числа (имеется в виду конструктивный способ измерения отрезков).

Переходя к сравнению площадей, следует предложить учащимся одну из сравниваемых фигур принять за единицу измерения площадей. После введения единицы измерения — квадрата, нужно напомнить учащимся из пропедевтического курса геометрии, как подсчитывать единичные квадраты сетки, наложенной на измеряемую фигуру. Число, соответствующее площади фигуры, назвать мерой площади. Следует обратить внимание учащихся, что данной площади соответствует вполне определенное число единичных квадратов (считая и части единичных квадратов) и что для данной площади это число — единственное и постоянное. Нужно показать учащимся (опытным путем), что число единичных квадратов, соответствующее площади, не зависит ни от положения накладываемой на площадь сетки, ни от положения фигуры.

Нужно проверить для мер площадей и вторую особенность площади-величины.

После этого можно прийти к выводам:

1. Равные площади имеют равные меры площадей.

2. Мера площади суммы нескольких площадей фигур равна сумме мер площадей этих площадей фигур.

Учащимся нужно рассказать, что в школе это положение только разъясняется, а не доказывается.

При изложении второй части вопроса об измерении площадей нужно сообщить учащимся косвенные способы нахождения мер площадей, т. е. рассказать об измерении площадей не путем накладывания сетки единичных квадратов, а посредством измерения некоторых линий фигуры.

Измерение площадей прямолинейных фигур проводится тем или иным перекраиванием фигур одной в другую (чаще всего в треугольник), а по существу сводится к измерению площади прямоугольника.

Измерение площади прямоугольника со сторонами, которые выражаются рациональными числами*, рассматривать в VIII классе средней школы; случай, когда стороны выражаются иррациональными числами, целесообразнее рассматривать в IX классе после знакомства учащихся с системой совместных приближений, перед вычислением площади круга*.

Порядок изложения вопроса об измерении площадей в систематическом курсе геометрии может быть двояким.

С одной стороны, после измерения площади прямоугольника можно перейти к выводу формулы для измерения площади прямоугольного треугольника, а потом—произвольного треугольника; затем к выводу формул для измерения площади параллелограма, ромба, трапеции и, наконец, произвольного многоугольника.

С другой стороны, после измерения площади прямоугольника можно перейти к выводу формулы для измерения площади параллелограма и далее произвольного треугольника, а потом всех других фигур.

Выбрав одну из этих схем, преподаватель в конце изучения темы должен сообщить и другую схему для систематизации теорем об измерении площадей прямолинейных фигур.

При доказательствах теорем об измерении площадей отдельных фигур необходимо опираться на две главные особенности величины-площади.

В качестве примера этой необходимой увязки рассмотрим вывод теоремы об измерении площади параллелограма. (Площадь параллелограма равна произведению основания на высоту.)

Доказательство

1) Д АВМ = Д DCN, следовательно, их площади измеряются одним и тем же числом (1-я особенность площадей-величин) (черт. 1);

2) число, измеряющее MBCN, равно сумме чисел, измеряющих MBCU и DCN (2-я особенность площадей-величин):

пл. MBCN = пл. MBCD +пл. DCN;

3) пл. ABCD = пл. MBCN, потому что они равносоставленные и, значит, равновеликие и им соответствуют равные числа;

4) так как пл. MBCN соответствует число.

Черт. 1

* Случай, когда стороны прямоугольника выражаются целыми числами, в стабильном учебнике Киселева «Геометрия», гл. V, § 246, рассмотрен и в общем виде. Случай с дробными числами рассматривается только на частном примере (основание равно 3—, а высота равна 4— лин. ед.).

Брадис в своей книге «Методика преподавания математики в средней школе», Учпедгиз, 1949, на стр. 338 в компактной форме дает доказательство формулы S = bh, где b и h — дробные.

* См. «Научные записки», т. X, педагогическая серия № 2, Киев, 1950, на стр. 63—92 статья доцента И. Е. Шиманского «Методика изложения иррациональных чисел и теории пределов в средней школе» (на украинском языке).

полученное от произведения MN-BM, а отрезок MN равен отрезку АО, следовательно,

пл. ABCD = AD-BM.

При сообщении материала об измерении площадей прямолинейных фигур рекомендуется не выпускать ряд интересных подробностей:

1) при измерении площади параллелограма рассмотреть случай, когда основанием параллелограма служит меньшая из его смежных сторон;

2) при измерении площади трапеции обратить внимание учащихся на то, что это можно произвести несколькими способами (черт. 2 и 3)

(после навыка в перекройке фигур, приобретенного учащимися при сравнении площадей, эти способы усвоятся ими быстро);

3) при выводе формулы для измерения площади трапеции желательно включить элементы исследования этой формулы, указав при этом на связь между формулами для измерения площадей трапеции, треугольника и параллелограма (черт. 4).

Чтобы установить связь между формулами:

нужно сначала положить, что одно из оснований трапеции равно нулю, а потом что одно из оснований трапеции равно другому;

4) при измерении площади многоугольника следует указать учащимся варианты способов вычисления такой площади (можно пять основных).

Предлагается следующий план для изучения этой темы в VIII классе средней школы:

1. Знакомство с понятием величины. Определение площади. Конгруентные, равносоставленные и равновеликие фигуры .... 1 урок

2. Сравнение площадей и превращение равновеликих фигур......3 урока

3. Измерение площадей (теоретическая часть) .... 1 урок

4. Измерение площадей отдельных фигур и решение задач.......8 уроков

5. Контрольная работа . . 1 урок

Всего . • .14 уроков

14 уроков на измерение площадей прямолинейных фигур в VIII классе предусмотрено программой по математике на 1950/51 г.

По конспектам уроков, разработанным автором, проводились уроки в школе № 7 (8 А и 8 Б классы) и в школе № 33 (в классах 8 Б и 8 Г) Киева с 2 апреля по 30 апреля 1951 г.

Таким образом была произведена проверка предложенной системы, содержания и методики преподавания теории измерения площадей прямолинейных фигур в систематическом курсе геометрии в восьмых классах средней школы.

Проверкой установлено, что:

1) можно ввести в школьную практику определение понятия площади через понятие величины: учащиеся дают четкие, осознанные ответы на предлагаемые вопросы, в то время как в классах, где опыт не проводился, учащиеся, определяя площадь фигуры по учебникам (Глаголева или Киселева), не могли объяснить смысл отдельных частей этих определений;

2) выявление инвариантности площади относительно движения после примеров неинвариантности относительно движения некоторых физических величин вызывает у учащихся яркий эмоциональный интерес к изучаемому;

3) понятие равносоставленности фигур органически вытекало из 2-й особенности определения площади, в то время как в классах, где опыт не проводился, понятие равносоставленности фигур давалось как определение, ни на что не опирающееся и ниоткуда не вытекающее;

4) сравнение площадей усваивается учащимися совершенно легко, при этом преобразование фигур в равновеликие фигуры воспринималось учащимися как неотделимая часть при

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

сравнении площадей; в классах, где эксперимент не проводился, вопрос о преобразовании фигур ставился изолированно после измерения площадей; главным же оказалось то, что учащиеся научились так «перекраивать» фигуры, что при прохождении измерения площадей тут же на уроке предлагали свои способы вывода формул измерения площадей отдельных фигур;

5) при изложении измерения площадей (теоретические сведения) учащиеся четко различали понятие величины (здесь площадь), которая подлежала изучению и измерению, и числа (мера площади), которое соответствовало этой величине; расчленив эти понятия, учащиеся глубже понимали связь между ними;

6) такое принципиальное подчеркивание существенных сторон геометрии меры при изложении измерения площадей повышает активность учащихся при усвоении изучаемого материала; дальнейшее изучение измерения площадей (вывод формул, решение задач) прошло с большим интересом; этот интерес и внимание к изучае-

мому позволили учащимся значительно быстрее (по сравнению с параллельными классами, где этот опыт не проводился) усвоить дальнейший материал по программе*;

7) специальный подбор задач облегчил учащимся усвоение методов, способов и приемов решения задач на сравнение площадей, преобразование фигур в фигуры равновеликие и измерение площадей фигур.

* Эта тема изучается в четвертой четверти учебного года в VIII классе средней школы, а измерение отрезков — в первой четверти учебного года в VIII классе. Рекомендуется, однако, понятие величины, как основное понятие геометрии, вводить только с изучением измерения площадей, когда у учащихся имеется с изучением величин-отрезков некоторый опыт, на который при изучении величин-площадей нужно опираться и делать некоторые обобщения.

При изучении объемов тел в X классе вводить понятие величины будет уже поздно, так как учащиеся там уже должны будут оперировать этим понятием и применять его уже не к двухмерной области, а к трехмерной.

ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА СРАВНЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ

Н. А. АРСЕНЬЕВ (Ярославль)

В простых задачах сравнение площадей фигур выполняется путем сравнения их измерений. Во всех случаях, когда в условии задачи нет данных для сравнения площадей фигур простейшим способом, применяются вспомогательные приемы сравнения. Рассмотрим применение некоторых из этих приемов.

I. Сравнение по частям

Одна из сравниваемых фигур или обе фигуры разлагаются на части, и сравнение выполняется по частям (номера задач даны в соответствии с приведенным в настоящей статье списком упражнений).

Задача 20. Из вершины вписанного в круг остроугольного треугольника ABC проведены диаметры АА', ВВ', СС; точки А', В', С соединены с прилежащими вершинами треугольника. Площадь полученного шестиугольника в два раза больше площади данного треугольника. Доказать.

На чертеже 1 шестиугольник АС'ВА'СВ' разложен на шесть равнобедренных, попарно равных треугольников, а данный треугольник разложен на три треугольника. Каждая из шести частей шестиугольника равновелика одной из трех частей данного треугольника (имеют расположенные на одной прямой равные основания — радиусы окружности и общую вершину — в каждой из вершин данного треугольника).

Решение.

Черт. 1

Задача 31. Стороны треугольника ABC разделены от А к В, от В к С и от С к А в отношении 1:2, и точки деления M, N и Р соединены между собой. Площадь полученного треугольника составляет ~ площади данного треугольника. Доказать.

Дополнительное построение. Через каждую из точек M, N и Р проведены две прямые, параллельные сторонам данного треугольника (черт. 2). В разложенном на части треугольнике ABC имеем:

пл. AFM= пл. FMP = пл. PCD, пл. PCD = пл. hDN=un. BEN, пл. BEN = пл. EMN.

(Треугольники с равными измерениями.)

&PMF=&POM, l\PDN=/\PON, Д EMN = Д MON.

(Диагональ параллелограма делит его на два равные треугольника.) Треугольник ABC разложен на 9 равновеликих треугольников, а треугольник MNP'— на 3 таких же треугольника. Отсюда:

пл. MNP = ~ пл. ABC.

Разложение на части и сравнение по частям мы можем применять в различных вариантах при решении большей части задач на сравнение площадей прямолинейных фигур.

В прилагаемом ниже списке сравнение по частям применимо в задачах: 1, 2, 4, 5, 7, 10, 12, 13, 19, 20, 31, 32, 36.

II. Применение вспомогательных фигур

Обычно в качестве вспомогательной фигуры берется фигура, равновеликая одной из сравниваемых фигур или же легко сравнимая с каждой из них. Так, любой из девяти треугольников в решении задачи 31 (черт. 2) может рассматриваться как вспомогательный, площадь которого служит общей мерой для треугольников ABC и MPN.

Задача 22. Через середины К и F диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD проведены прямые, параллельные другой диагонали, и точка Е пересечения этих прямых соединена с серединами сторон данного четырехугольника. Этими прямыми четырехугольник делится на четыре равновеликие части. Доказать.

Требуется доказать, что

пл. MBNE = пл. NCPE= пл. PDQE = пл. AMEQ (черт. 3).

Примем за их общую меру площадь данного четырехугольника ABCD и докажем, что площадь каждого из них равна ~ пл. ABCD.

Требуется доказать: пл. AMEQ = 4 пл. ABCD.

Для доказательства воспользуемся вспомогательным четырехугольником AMKQ, равновеликим четырехугольнику AMEQ. (Треугольник AMQ принадлежит обоим четырехугольникам, а треугольник MEQ равен треугольнику МКQ, как имеющие общее основание и равные высоты.) Выполняем сравнение по частям:

(1)

(2)

Для остальных четырехугольников прием доказательства тот же.

Задача 25. Если медианы треугольника взять за стороны другого треугольника, то площадь последнего равна — первого. Доказать.

Требуется доказать, что площадь треугольника, построенного на отрезках AF, BE, CD, равна — пл. ABC (черт. 4).

Черт. 2 Черт. 3

Черт. 4

Середины отрезков медиан от точки их пересечения до вершин треугольника соединяем с точками D, Е и F. За единицу для сравнения площадей двух треугольников примем треугольник МОЕ.

1. Треугольник МОЕ подобен треугольнику, построенному на медианах, так как МО = \AF9 0Е = \ВЕ9 EM=±CD. Отношение их площадей равно ^^3 = ~, поэтому площадь треугольника, построенного на медианах, равна 9 единицам.

2. Остальные пять треугольников, расположенных вокруг точки О, равны треугольнику МОЕ (по третьему признаку). Шесть треугольников, прилежащих к вершинам А, В и С, попарно равновелики с шестью рассмотренными выше треугольниками (равные основания и общая высота). Треугольник ABC разложен на 12 равновеликих треугольников. Его площадь равна 12 единицам. Отношение площадей равно j.

Иногда для выражения зависимости между площадями двух фигур берегся несколько вспомогательных фигур.

III. Прием наложения или совмещения фигур.

При решении задач на сравнение площадей наложение одной фигуры на другую применяется с целью получения такого их взаимного расположения, при котором сравнение площадей сводится к сравнению их измерений или же к сравнению несовмещенных частей фигур.

Задача 30. В прямоугольный треугольник вписан круг. Доказать, что площадь данного треугольника равна площади прямоугольника, имеющего измерениями отрезки гипотенузы, определенные точкой касания вписанного круга.

На чертеже 5 имеем: 1) данный треугольник ABC и 2) прямоугольник OLEM с заданными измерениями.

Действительно: ЕМ = AF = AD и EL = ВК = BD.

Требуется доказать, что пл. LEMO = пл. /\ ABC.

Будем доказывать, что пл. LEMO = пл. ABE (пл. ABC' = ABE).

Их общая часть — пятиугольник LEMNP.

Докажем равновеликость несовпадающих частей:

Доказательство. Проведем радиус OD:

Прибавим к обеим частям равенства общую площадь LEMNP. Получим: пл. LEMO = пл. ABE = пл. ABC.

Задача 24. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC построен внешним образом прямоугольник ABDE. На катете АС построен прямоугольник ACLF такой, что его вершина F лежит на стороне DE прямоугольника ABDE. Доказать равновеликость построенных прямоугольников и показать их равносоставленность.

Выполним построение в соответствии с условием задачи (черт. 6) и продолжим СВ и ED до их взаимного пересечения (в точке /С).

Решение.

1) Параллелограм AFKB равновелик прямоугольнику A ED В (имеют общие измерения AB и BD)\ параллелограм AFKB равновелик прямоугольнику AFLC (имеют общие измерения Ah и АС).

Откуда: пл. AFLC — пл. AEDB.

2) Треугольник AEF переносим в положение BDK Получаем параллелограм AFKB, разрезанный по FL и BD на четыре части. Треугольник KFL (с разрезом) переносим в положение ABC. Получим прямоугольник AFLC, разрезанный на четыре части. Треугольник

Черт. 5

Черт. 6

BDK (с разрезом) переносим в исходное положение AEF. Получим прямоугольник AEDB, разрезанный на четыре части, попарно конгруентные частям прямоугольника AFLC.

Прием наложения может быть также применен в решении задач 1, 14, 21, 32.

IV. В решении некоторых задач на сравнение площадей мы используем возможность дополнить равные фигуры сравниваемыми фигурами и получить одну и ту же фигуру или же различные, но равновеликие фигуры.

Задача 17. На дуге ÂB квадранта ЛОВ взяты две точки С и D так, что ^AC—^BD. Из этих точек на радиус OB опущены перпендикуляры СЕ и DF. Доказать, что площадь сектора COD равна площади фигуры CDEF.

Решение.

1) Д ОСЕ=Д OD F (черт. 7).

2) Сектор COD и фигура ECDF дополняются равными треугольниками до одной и той же фигуры OCDF, т. е. пл. COD + пл. DOF = пл. ECDF-+- пл. СОЕ = пл. OCDF. Откуда: пл. CüD = пл. ECDF.

Задача 38. Внутри квадранта АОВ на радиусах OA и OB как на диаметрах построены полуокружности, пересекающиеся в точке С. Доказать, что площадь лепестка ОС, образованного дугами пересекающихся полуокружностей, равна площади, ограниченной дугами AB, АС и ВС.

Решение.

1) Показываем равенство площади квадранта АОВ и суммы площадей полукругов АСО и ВСО, применяя формулу площади круга (черт. 8).

2) Обозначив площади сравниваемых фигур через X и у и равные площади частей квадранта через а, получаем равенство:

х\-у4-2а = 2 (а4-х), откуда: х=у.

Те же приемы применяются в решении задач 16, 33, 39, 40.

V. Алгебраический метод в решении задач на сравнение площадей применяется в тех случаях, когда сравнение площадей заменяется сравнением мер площадей, выраженных формулами (см. задачи 15, 16, 18, 36).

Иногда применение алгебраического метода неизбежно, особенно в тех случаях, когда отношение площадей по условию задачи должно быть представлено в виде алгебраического выражения.

Задач а. В треугольнике ABC каждая из сторон от А к В, от В к С и от С к А делится в отношении k. Точки деления D, Е и F соединяются с противолежащими вершинами треугольника. Соединительные прямые АЕ, BF и CD у взаимно пересекаясь, образуют треугольник А'В'С, площадь которого выражается формулой:

Доказать.

Дополнительные построения: 1) проведем соединительные прямые: AB', ВС\ СА'\ 2) обозначим площади треугольников А'В'СГ, АА'В', ВВ'С, СС'А', АА'С, ВАВ', ССВ соответственно через х, а, Ь, с, т, п, р (черт. 9).

Если на одной из соединительных прямых, например на BF, принять за общее основание двух треугольников с вершинами в точках А и С отрезок А'В' или отрезок ВВ', то получим пары треугольников с равными основаниями, отношение высот которых будет равно отношению CF: ДР = £ (эти высоты будут сходственными катетами двух подобных прямоугольных треугольников с гипотенузами (CF и AF). Отношение площадей этих треугольников также равно k, поэтому можем записать: x+c=ka и р +b=kn. Повторяя те же суждения для треугольников с общим основанием на прямой CD и вершинами в точках А и В, а также на прямой АЕ с вершинами в точках

Черт. 7 Черт. 8

Черт. 9

ß и С получим шесть уравнений, с помощью которых вспомогательные площади можно выразить через X и k:

Откуда получим:

Задача. 36. В квадрат вписан круг. Через произвольную точку круга проведена касательная. Точки пересечения касательной с прилежащими сторонами квадрата соединены с наиболее удаленной вершиной квадрата. Площадь полученного треугольника имеет постоянную величину. Доказать.

Из чертежа 10 устанавливаем, что площадь треугольника AEF может быть выражена через площади трех треугольников: AECf ACF и ECF, в измерения которых войдут радиус и переменные отрезки: ЕК = МЕ = х и KF = hN=y. Переменные отрезки х к у должны быть в процессе преобразований исключены.

Решение 1 (основные операции выполняются над измерениями площадей фигур).

Пользуясь теоремой Пифагора, получаем:

откуда:

Решение 2 (основные операции производятся над фигурами).

Доказываем равновеликость треугольника AEF и квадрата OMCN разложением на части и сравнением по частям. Каждая из этих фигур разлагается на четыре треугольника:

VI. Сравнение площадей может иногда применяться как вспомогательный прием для нахождения метрических соотношений между элементами фигур (задачи 11, 41, 42, 43, 44).

Задачи на сравнение площадей

1. Доказать теорему о площади треугольника путем разложения треугольника на части, из которых можно получить прямоугольник с основанием, равным основанию треугольника, и высотой, равной половине высоты треугольника.

2. Через вершины вписанного в окружность равностороннего треугольника проведены касательные до их взаимного пересечения. Доказать, что площадь описанного треугольника равна учетверенной площади данного треугольника.

3. Точка, взятая внутри параллелограма, соединена со всеми его вершинами. Суммы площадей противолежащих треугольников равны. Доказать.

4. В параллелограме ABCD точки M и N, взятые на сторонах ВС и АВ, соединены с вершиной D и с точкой О пересечения диагоналей. Площадь четырехугольника MBND делится ломаной MON на две равновеликие части. Доказать.

5. В треугольнике ABC проведена медиана AD. Показать, что треугольник C~\D можно разрезать на две такие части, из которых составится треугольник ABD.

6. На основании АС треугольника ABC построен прямоугольник АEDC, боковая сторона которого вдвое больше высоты треугольника (обе фигуры расположены с одной стороны от основания). Точки Е и D соединены с точкой В. Доказать, что площадь треугольника ABC равна полусумме площадей треугольников ABE и BCD.

Указание. Применить решение задачи 3 и учесть, что треугольник ABC и треугольник CBD равновелики.

Черт. 10

7. Через каждую вершину четырехугольника проведена прямая, параллельная его диагонали. Доказать, что площадь полученного таким образом параллелограма вдвое больше площади данного четырехугольника.

8. В треугольнике ABC проведена средняя линия DE II АС. Площадь трапеции ADFC в три раза больше площади треугольника DBE. Доказать.

9. В трапеции ABCD середина Е одной из непараллельных сторон (AB) соединена с точками С и D. Площадь треугольника DEC равна половине площади трапеции. Доказать.

10. На катетах а и Ъ и гипотенузе с прямоугольного треугольника ABC построены внешним образом квадраты. Внешние вершины прилежащих квадратов соединен jI прямыми. Каждый из треугольников, образованных соединительной прямой и сторонами двух квадратов, равновелик данному треугольнику. Доказать.

11. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую ему сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Доказать с помощью теоремы об отношении площадей треугольников.

12. Площадь правильного вписанного в круг шестиугольника есть среднее пропорциональное между площадями правильных треугольников—вписанного и описанного около того же круга. Доказать разложением на равные треугольники.

13. Площадь правильного вписанного в круг шестиугольника равна -j- площади правильного описанного шестиугольника. Доказать разложением на равные треугольники.

14 Разрезать данный параллелограм на две такие части, из которых можно составить новый параллелограм с теми же измерениями, но а) с наибольшим периметром, б) с наименьшим периметром.

15. Площадь кругового кольца, заключенного между концентрическими окружностями, равна площади круга, который имеет своим диаметром хорду большей окружности, касающуюся меньшей окружности. Доказать.

16. На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены полуокружности: на катетах — вне треугольника и на гипотенузе — со стороны треугольника. Доказать, что сумма площадей двух луночек, ограниченных большей полуокружностью и меньшими полуокружностями, равна площади треугольника.

17. На дуге АВ квадранта АОВ взяты две точки С и D так, что kj АС ~ w BD. Из этих точек на радиус О В опущены перпендикуляры СЕ и DF. Доказать, что площадь сектора СОи равна площади фигуры CEFD, ограниченной двумя полухордами СЕ и DF, отрезком LF и дугой CD.

18. В круге с центром О проведена хорда AB. На радиусе АО как на диаметре описана окружность. Доказать, что площади двух сегментов, отсекаемых хордой AB от обоих кругов, относятся, как 4:1.

Указание. Предварительно доказать, что дуги сегментов имеют одинаковую меру.

19. В квадрате ABCD каждая из вершин соединяется последовательно: А — с серединой стороны ВС, В — с серединой стороны CD и т. д. Эти прямые своим пересечением образуют квадрат, составляющий пятую часть данного квадрата. Доказать.

20. Из вершины вписанного в круг остроугольного треугольника ABC проведены диаметры: АА\ ВВ\ СО. Точки А\ В', О соединены с прилежащими вершинами треугольника. Площадь полученного шестиугольника в два раза больше площади данного треугольника. Доказать.

21. Площадь правильного вписанного в круг восьмиугольника равна площади прямоугольника с основанием, равным диаметру круга, и высотой, равной стороне вписанного квадрата. Доказать.

Указание. Наложить одну фигуру на другую и доказать равновеликость несовмещенных частей фигур.

22. Через точки К и F — середины каждой из диагоналей четырехугольника АВСи — проведены прямые, параллельные другой диагонали, и точка пересечения этих прямых соединена с серединами сторон данного четырехугольника. Этими прямыми четырехугольник делится на четыре равновеликие части. Доказать.

23. Равнобочная трапеция ABCD с основаниями а и Ъ описана около окружности. Доказать, что

пл. ABCD= -с- (a + b) y^äb.

Указание. Учесть свойство сторон описанного четырехугольника и выразить высоту трапеции через а и Ь.

24. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC построен внешним образом прямоугольник ABDE. На катете АС построен прямоугольник ACLF так, чтобы его вершина F лежала на стороне DE прямоугольника ABDE. Доказать равновеликость построенных прямоугольников и показать их равносоставленность.

25. Если медианы треугольника взять за стороны другого треугольника, то площадь последнего равна ~т первого. Доказать.

26. Площадь трапеции равна произведению одной из непараллельных сторон на длину перпендикуляра, опущенного из середины другой непараллельной стороны на первую. Доказать.

27. В четырехугольнике ABCD через середину Е диагонали АС проведен отрезок FEK параллельно диагонали BD. Отрезок ВК делит четырехугольник на две равновеликие части. Доказать.

Указание. Четырехугольник ABED равновелик четырехугольнику ABKD.

28. Доказать, что площадь треугольника ABC может быть выражена формулой:

где a, b и с — стороны треугольника, га — радиус вневписанной окружности, касающейся стороно1 а.

29. Площадь данного прямоугольника равна половине площади прямоугольника, сторонами которого служат диагонали квадратов, построенных на прилежащих сторонах данного прямоугольника. Доказать.

30. В прямоугольный треугольник вписан круг. Доказать, что площадь данного треугольника равна площади прямоугольника, имеющего измерениями отрезки гипотенузы, определенные точкой касания описанного круга.

31. Стороны треугольника ABC разделены от А к В, от В к С и от С к А в отношении 1:2 и точки деления M, N и Р соединены между собой; площадь полученного треугольника составляет -g- площади данного треугольника. Доказать.

32. В прямоугольнике ABCD отложены на стороне AD отрезок АЕ, равный т, и на стороне CD — отрезок CF, равный п. Концы отрезков Я и f со-

единены между собой и с вершиной В прямоугольника. Площадь треугольника BFE равна полуразности площадей данного прямоугольника и прямоугольника со сторонами m и п. Доказать.

33. Если площади двух треугольников, прилежащих к основаниям трапеции и образуемых пересечением ее диагоналей, равны соответственно /?3 и q\ то площадь всей трапеции равна (р g)2. Доказать.

34. Через точку D, взятую на стороне ВС треугольника ЛВС, проведен >i прямые, ограниченные сторонами треугольника, DE || АС, DF\\AB и точки Е и F соединены. Треугольник AFE имеет площадь, среднюю пропорциональную между площадями треугольников BED и CFD. Доказать.

Указание. Применить теоремы об отношении площадей треугольников с равными высотами и о пропорциональности отрезков, отсекаемых на сторонах угла параллельными прямыми.

35. Ьнутри параллелограма ABCD взята точка Р, лежащая с вершиной А параллелограма по одну сторону от диагонали BD. Точка Р соединена со всеми вершинами параллелограма. Доказать, что пл. С DP - пл. ADP =г пл. ВСР — пл. АВР = пл. BDP.

Указание. Воспользоваться решением задачи 3. Выразить площадь BDP через площади четырех трехугольников с общей вершиной в точке Р.

36. В квадрат вписан круг. Через произвольную точку круга проведена касательная. Точка пересечения касательной с прилежащими сторонами квадрата соединена с наиболее удаленной вершиной квадрата. Площадь полученного треугольника имеет постоянную величину. Доказать.

37. Доказать, что периметры равновеликих треугольников обратно пропорциональны радиусам вписанных окружностей.

38. Внутри квадранта АСВ на радиусах АО и ВО как на диаметрах построены полуокружности, пересекающиеся в точке С. Доказать, что площадь лепестка ОС, образованного дугами пересекающихся полуокружностей, равна площади, ограниченной дугами AB, АС и ВС.

39. Через точку, взятую на диагонали АС параллелограма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам. Данный параллелограм делится на четыре параллелограма. Параллелограмы, не пересекаемые диагональю АС, равновелики. Доказать.

40. В круг вписан равносторонний треугольник. Из середины каждой из дуг окружности как из центра радиусом данного круга внутри треугольника проведены дуги, образующие три лепестка. Их площадь равна разности между площадью круга и удвоенной площадью треугольника. Доказать.

41. Сумма расстояний любой точки, взятой внутри правильного многоугольника, до его сторон есть величина постоянная. Доказать.

42. Из точки О, взятой внутри треугольника, опущены перпендикуляры ta, tb, tc на его стороны. Доказать, что

Указание. Воспользоваться теоремой об отношении площадей треугольника с общим основанием.

43. Из точки О, взятой вне треугольника, но внутри угла А, опущены перпендикуляры на его стороны. Доказать, что

44. Для любого треугольника

где г — радиус вписанного круга. Доказать.

Указание. Воспользоваться формулами выражения площади треугольника через сторону и соответствующую высоту, через периметр и радиус вписанного круга и составить три уравнения.

ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ

К. С. БАРЫБИН (Москва)

Тема «Функции и их графики»—одна из важнейших в программе средней школы. Особенно тщательно приходится изучать ее в VIII классе, так как учащиеся получают здесь основные сведения о функциональной зависимости и приобретают навыки, необходимые в дальнейшем.

Опыт работы показал, что полезно обратить внимание на то, как находить область определения функции и вести элементарное исследование.

Как только в VIII классе на уроке дано понятие функции, на следующем уроке учащимся предлагается разобрать, при каких значениях X какие-нибудь выражения не имеют смысла, например:

В примерах 1—5 выражения теряют смысл потому, что деление на 0 невозможно; в примерах 6—9 — потому, что в множестве действительных чисел извлечение квадратного корня из отрицательных чисел невыполнимо, а в примерах 9—12—по обеим указанным причинам.

После этого учащиеся легко смогут (делая соответствующие исключения) найти область определения функции.

Возьмем, например, функции:

Областью определения этих функций является в примерах 1) и 2) множество всех действительных чисел; в примере 3) множество всех действительных чисел, отличных от нуля; в примере 4) множество всех действительных чисел, отличных от 1; в примере 5) х^2\ 6) JC>2; 7) в этом случае лг>-4 и лг-^3, что невозможно; следовательно, выражение у = Y* — 4+|/3—X в множестве действительных чисел не определяет никакой функции. Число подобных примеров можно увеличить.

После этого учащиеся знакомятся с типами функций и построением их графиков, и когда это усвоено, полезно использовать графики для исследования функций, которое можно провести по следующей схеме: 1) найти область определения функции; 2) выяснить, возрастает функция или убывает; 3) имеет ли наибольшее или наименьшее значение; 4) указать значения аргумента, при которых функция равна нулю, положительна, отрицательна.

Задача 1. у = 2х—1 (черт. 1).

Черт. 1

Функция линейная. Учащиеся знают, что ее график — прямая линия, значит, для построения графика достаточно найти две точки его.

Затем учащиеся по графику показывают, что: 1) область определения — множество всех действительных чисел; 2) функция возрастающая; 3) функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;

Задача 2. у = х2 — 2х — 3.

Для построения графика этой функции найдем характерные для него точки. Во-первых, нули функции, для чего составим уравнение:

откуда:

во-вторых, найдем точку наименьшего (наибольшего) значения фунции, выделив из трехчлена X2 — 2х — 3 полный квадрат:

При X = 1 функция имеет наименьшее значение— 4. Возьмем эти точки (— 1; 0), (1; —4) и (0; 3) за основные (для уточнения можно найти еще несколько точек) и построим график (черт. 2). По графику учащийся должен показать, что: 1) область определения: множество всех действительных чисел; 2) функция убывает при #<М, возрастает при х> 1; 3) наименьшее значение у равно — 4, наибольшего нет; 4) у = 0 при хг = — 1 и х2 = 3; 5) .у>0 при лг< — 1 и лг>3; 6) ,у<0 при — 1 <л:<3.

Полезно тренировать учащихся находить по

Черт. 2

данному аргументу значение функции и обратно. В примере 2 можно спросить: 1) чему равно значение у, когда х = — 2; 1; 5 и т. д., или 2) чему равно значение х, когда у = 2; — 1,6 и т. д.; 3) найти значения х, при которых уу 5, — 3<О<0, — 3<.у<0 ит. д. Ответ на каждый вопрос учащийся должен уметь иллюстрировать по графику.

Можно связать исследование функций с конкретными задачами.

Задача 3. Над обрывом под углом к горизонту бросают камень, высота подъема которого над уровнем обрыва определяется по формуле h = 20 t — 5t2, где h — высота полета в метрах, с точностью до 0,2, t—время в секундах, считая с момента, когда бросили камень. 1) В какое время камень будет в высшей точке полета? 2) В какой промежуток времени камень будет на высоте больше 15 м? 3) В какое время камень будет на уровне обрыва? 4) В какое время камень будет ниже уровня обрыва?

Строим график на отрезке 0 <; t 5 (черт. 3).

Решение будет: 1) t=2; 2) в интервале 1<<3; 3) tx = 0; t, = 4; 4) t>4.

Особенно полезны задачи на максимум и минимум. Хотя бы несколько таких задач следует решить.

Задача 4. Периметр прямоугольника равен 8 см. 1 ) Выразить его площадь в функции одной из сторон. 2) Когда его площадь равна 3 см2? 3) У какого прямоугольника с таким периметром площадь будет наибольшей? Проиллюстрировать значение на графике.

1) Пусть одна сторона х см, тогда другая (4 — х)см и площадь S = x(A—л:).

2) 5 = 3 см2, следовательно, х(4 — лг) = 3, откуда стороны прямоугольника 1 см и 3 см.

3) Найдем наибольшее значение S= х (4—л:)=

Наибольшее значение площади (4) будет, когда одна сторона прямоугольнике х = 2, т. е. когда прямоугольник является квадратом.

Задача 5. Сумма двух сторон треугольника 4 см, угол между ними 60°. Найти: 1) наименьшее значение периметра; 2) наибольшее значение площади; 3) какой это будет треугольник? (черт. 4).

1) Пусть в треугольнике ABC АВ = х; АС = 4 — X и ^А = 60°. Проведем высоту ВВи тогда

Сумма двух сторон AB и АС не меняется, следовательно, периметр треугольника ABC будет наименьшим, когда сторона ВС имеет наименьшую длину:

Подкоренное выражение имеет наименьшее значение 2 при х=2. Следовательно, наименьшее значение периметра треугольника ABC равно 6 см.

2) Из треугольника АВВХ находим ВВХ =

Площадь будет наибольшей, когда достигает наибольшего значения:

это выражение будет иметь наибольшее значение (4) при X = 2. Следовательно, наибольшее значение S лвс будет равно |/3 см2.

3) В этом случае AB = 2 см, но тогда и АС = 2 см, а так как А = 60°, то и ВС — = 2 см, т. е. треугольник правильный.

Черт. 3

Черт. 4

Задача 6. По сторонам прямого угла С к вершине движутся равномерно точки А и В, первая со скоростью 4 см/сек, вторая 3 см) сек. В некоторый момент АС = 75 см, ВС = 50 см.

1) Выразить расстояние между А и В в функции времени;

2) найти наименьшее расстояние между ними.

Пусть в некоторый момент АС = 75 см, ВС = 50 см, за t секунд точка А пройдет путь AAx=4t, а точка В пройдет BBx = 3t (черт. 5). Тогда в прямоугольном треугольнике САХ = 75 — 4t, СВХ = 50 — 31 и расстояние между точками Ах и Вх равно:

Это расстояние будет наименьшим и равно 5 через 18 секунд от начального момента.

Вряд ли целесообразно много решать уравнений графически, так как степень точности такого решения низка, но наглядность графиков очень хорошо применить для иллюстрации решения.

Рассмотрим, например, вопрос о равносильности уравнений. Возьмем уравнение:

x — 1 = 2. (1)

Его корень х=3 найден графически на чертеже 6. Возведем обе части уравнения (1) в квадрат, тогда уравнение:

х2_2х-^-\ =4 (2)

имеет два корня: — 1 и 3 (черт. 7), т. е. уравнения (1) и (2) неравносильны.

В качестве упражнения можно: I) к обеим частям уравнения (1) прибавить по 4 или х+1 и т. д.; 2) обе части умножить на 3; 3) обе части умножить на х + 1 и т. д. Затем по графику проиллюстрировать, что в случаях 1) и 2) полученное уравнение равносильно, а в случае 3) не равносильно уравнению (1).

Задача 7. N живет в 4 км от станции; он может пройти это расстояние за 48 минут, а на автомобиле доехать за 4 минуты. Сколько он должен ехать на автомобиле, а потом идти пешком, чтобы через 15 минут после выезда из дома быть на станции?

Обозначим время проезда на автомобиле через x минут, скорость автомобиля 1 км\мин,

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

Черт. 8

пешехода -рг км\мин, тогда уравнение будет:

откуда X = 3 (минутам). График пути автомобиля (s = t) пройдет через начало координат, соответствующее пункту отправления, а график пути пешехода = 0 пройдет в конце 15-й минуты через точку К — соответствующую станции (черт. 8). В точке М, проехав за 3 минуты 3 км, N сошел и через 12 минут после этого пришел на станцию К.

Задача 8. На гонках один велосипедист прошел все расстояние в 20 км с постоянной скоростью 20 км\час, а другой первую половину пути ехал со скоростью 16 км\час, а вторую половину со скоростью 24 км\час. Какой велосипедист прошел это расстояние скорее?

Ответ: первый (черт. 9). График наглядно иллюстрирует соотношение путей для каждого момента движения.

Задача 9. В момент, когда велосипедист, ехавший равномерно со скоростью 6 м/сек, поравнялся со стоявшим автомобилем, последний начал двигаться в том же направлении с ускорением 1 м/сек. Через сколько секунд автомобиль догонит велосипедиста?

Пусть искомое время t, тогда велосипедист пройдет за это время s = 6t метров, а автомобиль sx == 0,512 метров. В момент, когда автомобиль догоняет велосипедиста, 0,5£3 = 6£, откуда t\ = 0, ^2 = 12.

Построив график на отрезке 0<£^12 (черт. 10), видим, что велосипедист и автомобиль будут находиться рядом два раза, а именно: 1) когда ^ = 0, что соответствует начальному моменту движения автомобиля, и 2) когда t= 12 сек.

В IX классе, когда изучена показательная функция, а затем логарифмическая, можно, чтобы подготовить учащихся находить область определения функции, предложить им разобрать, при каких значениях х данные выражения имеют смысл, например:

Выражение теряет смысл в примерах: 1) потому, что деление на 0 невозможно; 2) потому,, что извлечение квадратного корня в множестве действительных чисел выполнимо только из неотрицательного числа; 3) по обеим указанным причинам; 11) потому, что логарифмическая функция определена только для положительных чисел; 16) по трем указанным причинам.

Затем решаются задачи на исследование функции примерно по той же схеме, как в VIII классе.

Черт. 9

Черт. 10

Задача 10. Построить графики следующих функций и провести исследование: а) у = 2Х~Х (черт. 11).

1) Область определения: множество всех действительных чисел; 2) функция возрастающая; 3) нет ни наибольшего, ни наименьшего* значения; 4) у>0 при всех значениях х.

При этом можно поставить ряд частных вопросов, например: 1)чему равно значение функции

2) чему равно значение х, когда у = 8; 4; 3 и т. д.; 3) какая разница в графиках функций у = 2х и у = 2Х~1; 4) при каких значениях х функция у = 2х—1 больше, чем 2; 5) при каких значениях х функция у = 2х—1 больше 1, но меньше 2?

б) у = 2х — 4 (черт. 12).

1) Область определения: множество всех действительных чисел; 2) функция возрастающая; 3) нет ни наименьшего, ни наибольшего значения; 4) у = 0 при х = 2; у>0 при ху 2 и .у <0 при лг<2.

Можно поставить вопрос: какая разница между графиками функций: у = 2х и у = 2х — 4?

в) у = 2~** (черт. 13).

1) Область определения: множество всех действительных чисел;

2) функция убывает при л;<0, возрастает при л:>>0;

3) наименьшее значение 0, наибольшего нет; 4) у 0 при всех значениях х.

г) у = 2^х“ (черт. 14).

Черт. 11

Черт. 12

Черт. 13

Черт. 14

* В программе средней школы вопрос о пределе функции не рассматривается.

Преобразуем '2УХ\ yjx*—-корень арифметический и потому yjlc* = J XI, т. е. у = 2!х

1) Область определения: множество всех действительных чисел; 2) функция убывает при х <0, возрастает при х>0; 3) наименьшее значение 1, наибольшего нет; 4) у>0 при всех значениях х.

д) y = 2v'* (черт. 15).

1) Область определения: х>0; 2) функция возрастающая; 3) наименьшее значение 1, наибольшего нет.

При этом можно для каждой из этих функций поставить вопросы, как в случае ta».

Задача 11. Построить графики следующих функций и провести исследование:

1) Функция определена для всех значений х> — 1; 2) функция возрастающая; 3) нет ни наибольшего, ни наименьшего значения; 4) у = О при л: = 0; у>0 при х>0; jy<0 при — 1 О<0.

б) Можно поставить вопрос о разнице графиков:

(черт. 17).

1) Функция определена для всех значений х\

2) функция убывающая; 3) нет ни наибольшего, ни наименьшего значения; 4) у = О при

в) у = 1о£2лг* (черт. 18.)

1) Функция определена для всех действительных значений х, не равных нулю (черт. 18);

2) график состоит из двух отдельных ветвей, симметричных относительно оси OK, функция убывает при л:<0 и возрастает при лг>0;

3) нет ни наибольшего, ни наименьшего значения; 4) у = О при хг = — 1 и хг = 1 ; уУ>0 при x <—1 и у <0 в двух интервалах: — 1<х<0 и 0<лг<1.

(черт. 19).

По определению логарифма.

и потому у =х.

1) Область определения: х^О; 2) функция возрастающая; 3) пет ни наибольшего, ни

Черт. 15

Черт. 16

Черт. 17

Черт. 18

наименьшего значения; 4) у>0 при всех допустимых значениях х.

Для всех случаев можно поставить ряд частных вопросов, аналогичных случаю ta» предыдущей задачи.

Что касается графического решения уравнений, то для приближенного решения некоторых трансцендентных уравнений в средней школе это единственный способ.

Задача 12. Решить уравнение:

Построим графики функций: у = 2—*9 у = х, и для решения найдем точку пересечения графиков (черт. 20). Отсюда (очень грубое приближение) X ^0,7.

Задача 13. Проиллюстрировать на графике, что уравнение x2=logx не имеет корней.

Построим графики функций у = х2 и y=\gx. Очевидно, что общих точек графики не имеют (черт. 21).

Черт. 19

Черт. 20

Черт. 21

О ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЯХ БУКВ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ

Г. А. КУДРЕВАТЫЙ (Фергана)

Часто мы заставляем учащихся решать большое количество уравнений, заботясь лишь о том, чтобы верно выполнять определенные преобразования по указанным рецептам, но мало или даже совсем не заботясь о том, чтобы ученики отдавали себе ясный отчет в законности этих преобразований и в смысле получаемых результатов. В известной степени этому способствуют и учебные пособия. Приведем ряд примеров.

К уравнению (№ 1121 сборника алгебраических задач Ларичева, ч. I):

дается ответ:

При т= 1, п = — 1 уравнение примет вид:

откуда видно, что оно удовлетворяется всеми значениями

Однако по ответу можно найти только

Чтобы выяснить это «недоразумение», рассмотрим решение данного уравнения:

при X ф п и X ф m получаем: 2(т+ п)х = (т+пу,

откуда:

X = 0,5 (т + п) при т+пф0. Таким образом, ответ надо понимать так:

считая что

т+п ф 0.

К уравнению (сборник алгебраических задач Ларичева, ч. II)

которое можно переписать так:

дается ответ:

Но при а = 1 данное уравнение принимает вид:

и удовлетворяется всеми х ф 1, тогда как по ответу найдем только

Оказывается, что ответ надо понимать так:

а полное решение данного уравнения выглядит так:

X — любое число, не равное а, при а = 1 или а = 0.

Мы убеждены, что такие неполные ответы, данные без указания условий, при которых они имеют место, способствуют лишь формальному усвоению правила решения уравнений.

Кроме того, отдельных, творчески мыслящих учащихся это может привести к недоумению.

Так, например, если к геометрической задаче: Стороны параллелограма а и Ь. Биссектрисы углов, прилежащих к стороне а, пересекаются с противоположной стороной или ее продолжением в точках M и N. Найти длину отрезка MN — дается ответ: 2Ь— а, без оговорки, что а <2Ь, то мы вправе думать, что ученик, у которого на чертеже а>2Ь, не сможет получить указанного ответа и будет недоумевать, не находя «ошибки» в своем решении.

Игнорирование вопроса о допустимых значениях букв при решении уравнений приводит к формальному решению вопроса, которое иногда можно встретить и в самих задачниках для средней школы.

Так, например, в сборнике алгебраических задач Ларичева к уравнению № 1119(2) :

дан ответ:—b (?!).

Такой «корень» мог получиться при отсутствии проверки решения с точки зрения допустимых значений неизвестного.

При дальнейшем изучении математики учащиеся не могут пройти мимо вопроса о допустимых значениях букв при решении уравнений. Они неизбежно встретятся с этим вопросом, например, при решении иррациональных уравнений в VIII классе, логарифмических уравнений в IX классе, тригонометрических уравнений в X классе. Приведем примеры.

К уравнению (сборник задач по тригонометрии Рыбкина)

дается ответ:

Из условий

определим допустимые значения неизвестного:

Данное уравнение можно заменить равносильным (при данных допустимых значениях х):

После сокращения на

получим:

что возможно только при cos X = 0 или 1. Откуда видно, что данное уравнение допустимыми значениями не удовлетворяется и, следовательно, не имеет решений.

В сборнике задач по математике П. С. Моденова (изд. 1950 г.) к уравнению № 660

указан ответ:

Получились углы, при которых tgx не имеет смысла.

Приведенные примеры показывают, что наши задачники не уделяют должного внимания вопросу допустимых значений букв при решении уравнений.

Некоторое исключение представляет задачник Н. Н. Полозовой, в котором глава об уравнениях начинается с предупреждения автора: «в ответах к уравнениям с буквенными коэф-

фициентами указаны только случаи, когда в уравнении ах ~ b а ф О».

Так, например, к уравнению № 1870(i)

указывается ответ: —ab при а ф Ь.

Но ведь и при а = 0, b = — 2 данный ответ не имеет смысла, так как уравнение нельзя рассматривать при а = 0 или Ь = 0.

Такое положение ведет к формальному изучению решения уравнений в средней школе. Благодаря ему мы часто наблюдаем формализм в выборе способа решения данного уравнения. Так, например, решая задачу: Из скольких элементов можно составить 56 размещений по 2 элемента в каждом размещении? и составив уравнение:

х(х— 1) =56,

ученик X класса чаще всего дальше ведет решение так:

X2 — X — 56 = 0; X = 0,5 ± 7,5;

*г = 8, х2-= — 7,

хотя ответом может служить лишь х = 8. И очень редко мы встретим более короткое и простое решение:

х(х— 1) = 8.7,

откуда x = 8, так как речь идет о натуральных последовательных числах: х и х— 1.

Нельзя допустить, чтобы только в X классе яри прохождении исследования уравнений ученик знакомился с тем, что, например, такая система уравнений:

х+у=\, х+а?у = а

имеет решение:

при условии, если аф±19 и что при а= 1 эти формулы дают лишь одно (^х=у = -^-^

из бесчисленного множества решений, а при а = — 1 система вообще не имеет решений.

Тема «Исследование уравнений» в X классе должна быть подведением итогов соответствующей работы в предшествующих классах.

Нам кажется целесообразным, чтобы решение таких уравнений, как начиналось с выяснения допустимых (х ф 0 и н- 1) значений неизвестного.

Ученик должен ясно представлять себе неравносильность таких уравнений, как

(решение первого очевидно, а второе не имеет решений).

В задачниках ученику, начинающему систематическое изучение уравнений (в VII классе), должны предлагаться примеры с теми оговорками, которые обычно только подразумеваются авторами задачников.

Так, например, если к уравнению:

ах+Ьх — а2 — Ь2

дается ответ: а — &, то в условии надо указывать, что данное уравнение требуется решить при а -j- b Ф 0.

Если же в условии примера оговорки а+Ь Ф 0 нет (что представляется нам возможным и нужным для заканчивающих изучать уравнения первой степени с одним неизвестным), то это должно означать, что учащемуся предлагается рассмотреть все случаи и дать полный ответ:

1) х = а — b при а+ЬфО,

2) тождество при а-(-& = 0.

Все эти и подобные им вопросы имеют несравненно большее образовательное значение, чем обычное формальное решение многочисленных примеров.

В заключение нам хотелось бы отметить, что предлагаемая нами постановка решения уравнения в школе, начиная с VII класса, обеспечит более активную работу учащихся, умножит элементы самостоятельности в этой работе и тем самым позволит нам отойти от той, может быть, усидчивой и напряженной, но пассивной работы ученика, в результате которой он получает в значительной степени мертвые и формальные знания .

ИЗ ОПЫТА

ОБ ИНДИВИДУАЛЬНОМ ПОДХОДЕ К УЧАЩИМСЯ

А. К. ИСАКОВ (Москва)

Прежде я считал урок, на котором учитель хорошо объяснил новый материал, а ученики хорошо отвечали по теме и на дополнительные вопросы, безупречным. Теперь же я назову его таким только в том случае, если учитель сможет объяснить, почему он вызывал к ответу именно тех, а не других и почему он задавал им именно те, а не другие вопросы. Дело в том, что при индивидуальном подходе вызов учащихся для опроса и содержание предлагаемых им дополнительных вопросов перестают быть случайными. Так как продуктивность занятий учащихся зависит от самых разнообразных причин, как-то: от способностей и прилежания, от состояния здоровья, иногда от домашних условий и от многого другого, то подходить с одной и той же меркой к учету успеваемости каждого считаю неправильным. Во избежание этого я завел тетрадь, где против фамилии каждой из моих учениц записаны все касающиеся ее характерные сведения «неучебного» порядка. Туда же я заношу все мои наблюдения о недоработке ею той или другой темы или раздела темы, хотя бы раздел этот был и не из программы данного класса. Я заношу в тетрадь и проявление учениками повышенного математического мышления или хороших навыков в счете и преобразованиях.

Эта тетрадь, содержание которой постоянно меняется, позволяет мне лучше следить за успеваемостью каждой ученицы и скорее прийти к ней на помощь. С небольшой запущенностью ученица и сама справится, так как знает, что я ее обязательно спрошу. Если же запущенность большая, то я даю ученице соответствующее задание й в помощь ей (по договоренности с классом) прикрепляю сильную ученицу. Заслуги этой сильной ученицы считаю нужным отметить у себя.

При подготовке к уроку тетрадь сигнализирует мне, что завтра я должен спросить ученицу A, а не В, хотя, быть может, у А уже есть две отметки, а у В еще ни одной. Она же подсказывает мне, о чем я должен спросить ученицу помимо изучаемой темы.

В первую очередь я стараюсь вызывать часто болеющих и тех, кто по той или иной причине находится в более тяжелых условиях, чтобы к концу четверти у них было хотя бы по три оценки.

Урок, как общепринято, я начинаю с проверки выполнения домашнего задания, в которое почти всегда включаю один вопрос на повторение из материала любого предыдущего класса. Считаю это абсолютно необходимым, так как прочно усваивается учащимися лишь то, к чему они часто возвращаются.

Если задание было устного характера (теория по алгебре и тригонометрии, теоремы по геометрии), то вызываю к доске двух учениц, которые отвечают из заданного урока, и если за ними числятся долги, то — по вопросу из недоработанного раздела. Пока вызванные ученицы готовятся, я занимаюсь со всем классом на ту же тему.

Проверку письменного задания я иногда произвожу, обходя всех учениц, и если кто-нибудь из них скажет, что она не справилась с заданием, а «следов» домашней работы не представит и никакой уважительной причины не приведет, ставлю в журнал плохую оценку как за невыученный урок. Случаи такие редки,

и, кроме того, такая проверка ничего не говорит о том, выполнено ли задание самостоятельно или списано с чужой тетради. Поэтому я часто вызываю учениц проделать один из номеров домашнего задания на доске, особенно если он содержит или повторительный, или такой материал, который дает возможность познакомить класс с новым приемом решения. Картина становится сразу ясной. Если ученица решила задачу, выставляю соответствующую отметку; если не справилась, ставлю плохую отметку и замечаю в тетради, чтобы спросить ее вторично. Крайне важно внушить классу уверенность, что все недоработанное будет спрошено. У тех, кому я не доверяю, беру тетради на дом, проверяю, все ли задания выполнены, исправляю чертежи и записи, а ошибки, показывающие серьезное непонимание, заношу в тетрадь.

За плохое ведение домашней тетради выставляю соответствующую отметку в журнал и в табель.

Дальнейший ход урока в общих чертах такой: объясняю новый материал, причем я приучил класс спрашивать меня, если кто-либо чего не понял. Упражнения по новой теме сначала делаю на доске, так как важно приучить весь класс к порядку записей, дать дополнительные пояснения и указания.

Иногда устраиваю специальные уроки повторения и проверки знаний. Тогда к доске я вызываю одну ученицу, причем весь класс делает тот же пример. Если тема алгебраическая или тригонометрическая, то вызванная к доске ученица, чтобы не мешать самодеятельности класса, делает все записи молча, но обязательно настолько подробно, чтобы ход преобразований был ясен каждому. Если решается задача по геометрии, то отвечающая должна вслух объяснить построение чертежа и наметить план решения. Иногда решение задачи начинает одна ученица, а заканчивает другая.

Вопросы повторительного характера иногда задают сами учащиеся. Если нужно, я уточняю и дополняю формулировку этих вопросов. Участие класса в таком опросе, если им не злоупотреблять, считаю очень ценным, так как учащиеся перебирают в памяти все пройденное. Получается как бы особый вид повторения.

Когда я только начинал практиковать такую форму опроса, то в классе едва находилось 2—3 человека, которые задавали вопросы (притом мало содержательные). Постепенно вопросы становятся разнообразнее, а бывают и настолько интересные, что я заношу их в тетрадь против фамилии предложившей их ученицы.

Одновременно с опросом одной ученицы у доски я сажаю на первые парты 4—6 человек, которым раздаю персонально для них заготовленные карточки, где, кроме вопроса на ту же тему, которую изучает класс, имеется и дополнительный вопрос на недоработанный раздел. Кто выполнит только первую часть из карточки, получает хорошую отметку по изучаемой теме и плохую за старое и наоборот. В первом случае ученица будет опрошена по теме дополнительного вопроса, во втором—по изучаемой теме. В тетради делаю соответствующие пометки.

Иногда, чаще всего перед контрольной работой, я произвожу беглый письменный опрос— «летучку». На доске пишу два равноценные по трудности варианта и даю на выполнение их 15—20 минут. Ограниченность во времени гарантирует самостоятельность выполнения работы.

Контрольные работы я даю индивидуальные, т. е. для каждой ученицы я заготовляю отдельную карточку, которая показывает понимание теории и знание техники преобразований.

По тем или другим причинам не всегда удается подготовить число вариантов контрольной работы по числу учащихся в классе. В таком случае я ограничиваюсь 8—10 вариантами. Два из них пишу на доске, а шесть или восемь остальных дублирую, меняя только числовые или буквенные данные.

Так я борюсь со списыванием и подсказами, которые приносят слабо успевающим учащимся колоссальный вред, так как, привыкнув надеяться на помощь подруг, они окончательно теряют веру в свои собственные силы и способности.

Исправленные контрольные работы возвращаю обязательно в ближайший день, пока из памяти писавших не исчезло содержание работы. При выдаче делаю подробный анализ характерных ошибок, а таких при большом количестве вариантов бывает достаточно. После разъяснения заставляю одну или двух учениц перечислить все недочеты, о которых шла речь.

Не писавшие работу и не справившиеся с ней получают на руки варианты этой работы для подготовки и через 3—4 дня пишут вторично работу, похожую на первую. Были ученицы, которым пришлось писать на одну и ту же тему по три раза.

Описанный мною тип урока, когда один человек отвечает у доски, а остальные делают то же самое в своих тетрадях, не активизирует работу всего класса. Такие уроки хороши в начале изучения новой темы, в дальнейшем же я предпочитаю уроки самостоятельной

работы, которые провожу так: на доске пишу два варианта задания, чтобы рядом сидящие писали разное. Советую классу основательно подумать, если же кто не в силах справиться с примером, то должен подойти ко мне. Я даю пояснение или направляющее указание и слежу за общим ходом работы. Через достаточный промежуток времени начинаю вызывать по одному человеку к себе и указываю недочеты. Кто сделает все задание, получает «4» или «5», кто выполнит достаточную часть его, получает «3», а кто сделает мало—«2».

Примеры, вызвавшие затруднение у класса, заношу в тетрадь, чтобы включить в домашнее задание. Класс больше любит такие уроки и работает напряженнее. Правда, иногда бывает сделано немного, зато в другой раз задание оказывается недостаточным.

Методика подготовки к уроку сложнее в младших классах, чем в старших. Привожу два примера, как я провожу объяснение в VI классе.

Тема: «Геометрическая интерпретация формулы (а+

Опыт прежних лет научил меня подходить к этой теме очень постепенно. Сначала я задаю всему классу вопрос: «Что такое квадратный метр»? Редко находится хоть один человек, который дал бы толковый ответ, что это квадрат со стороной в 1 метр. Выясняю, что такое см2, дм2, км2. Спрашиваю, что больше: квадратный километр или гектар.

Прошу сказать, какие площади измеряются квадратными километрами. В наше время, в эпоху великих преобразований природы, следует задать вопрос о размерах территории Франции (551000 км2) и Англии (244 000 км2) и указать, что площадь песчаной Кара-Кумской пустыни, ныне орошаемой и превращаемой в плодородную почву, превосходит по своему размеру территорию Англии и Франции, взятых вместе.

Дальше после выяснения геометрического образа выражений

перехожу к геометрическому толкованию формулы (a+ô)2.

После такого постепенного и неторопливого подхода геометрический смысл формулы (а + Ь)2 доходит до полного понимания всего класса и предохраняет от типовой ошибки: (а+Ь)2 = а2 -(- b2, а по аналогии и от другой: (а — Ъ)2 = а2 — Ъ2.

Тема: «Вынесение множителя за скобку». Задаю на дом подсчитать общую длину трех окружностей, диаметры которых указаны на чертеже (черт. 1).

Большинство будет делать вычисление без вынесения множителя за скобку в порядке последовательности:

и, конечно, потеряет много времени.

Только у отдельных учащихся окажется правильный прием:

Когда на следующий день класс узнает новый прием вынесения множителя за скобку, он им заинтересовывается, так как наглядно убеждается в его пользе при вычислениях. После этого я проделываю еще два таких же примера и два примера на сокращение дробей:

и уже потом перехожу к упражнениям из задачника. Такой наглядный подход к теме делает ее более интересной и осмысленной.

Самую операцию вынесения множителя за скобку объясняю как умножение суммы на одно и то же число. Этот прием объяснения лучше предохраняет от типовой ошибки, когда в скобке пишут вместо трехчлена двучлен, например:

Чтобы показать вынесение за скобку множителя с буквенным показателем, чтобы придать конкретное содержание и этому абстрактному случаю, я решаю задачи на делимость многочленов, примерно такого типа:

1) Доказать, что сумма трех последовательных степеней числа 2 делится на 7.

2) Доказать, что сумма трех последовательных четных степеней числа 2 делится на 21.

На таких примерах учащиеся не только знакомятся с приемом вынесения за скобку множителя с буквенным показателем, но и получают для себя и еще не мало полезных и развивающих сведений.

Черт. 1

ПОНЯТИЕ О НЕРАВЕНСТВЕ В СЕМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ

М. Г. ВАСИЛЬЕВ (Петровск)

Материал о неравенствах в семилетней школе, как мы полагаем, должен проходиться в три приема.

Первое ознакомление учащихся с неравенствами преподаватель делает в VI классе. Учащиеся знакомятся со знаками неравенства.

В неравенствах, как и в равенствах, различают правую и левую части.

Учащиеся решают в VI классе упражнения:

А. Прочитать следующие записи:

В. Соединить знаком равенства или неравенства следующие числа:

С. Записать, какое из двух чисел больше:

Задание на дом: Ларичев, Сборник задач по алгебре, ч. I, упражнения 37, 38, 39, § 2.

Знаки > и < широко применяются при доказательствах геометрических теорем. Перед доказательством теоремы о сумме и разности сторон треугольника рекомендуется познакомить учащихся со свойством монотонности неравенств: если а> Ь, то

Это свойство поясняется на ряде числовых примеров.

Перед доказательством теоремы о ломаной линии и отрезке прямой, соединяющей ее концы, учитель дает понятие о неравенствах одинакового смысла и противоположного смысла и на числовых примерах объясняет, что при сложении двух неравенств одинакового смысла получается новое неравенство того же смысла. Например,

Этих сведений вполне достаточно для понимания геометрического материала, сообщаемого учащимся в VI классе.

Дальнейшее изучение неравенств относится к VII классу после прохождения общих сведений об уравнениях и тождествах. Материал может быть пройден в 5—6 уроков в форме 20—30-минутных бесед.

1-й урок. Определение неравенства. Знаки неравенств.

Учащимся следует напомнить, что в VI классе при прохождении геометрического материала они часто пользовались знаками > и <.

Сообщается определение: два числа или два алгебраические выражения, соединяемые знаком неравенства, образуют неравенство.

Кроме знаков > и < для указания того, что число а не равно числу Ь, пишут: а ф Ъ.

Далее следует объяснить запись а>Ь, которая читается: а не меньше Ь, и а^Ь, что обозначает: а не больше Ь.

Например, про количество воды k, налитой в двухлитровый сосуд, можно написать: £<2 л.

Обозначив буквой п любое двузначное число, а буквой m — трехзначное число, можно написать:

Если а^Ъ и b>cf то обычно пишут неравенства цепочкой:

Аналогично если а<Ь и b <£, то пишут: Я<о<с.

Неравенства — 5<л:<15 можно кратко записать так: I 5|<х

Объясненный материал закрепляется на примерах.

Задание на дом: 1. Заменить сокращенной записью неравенство:—1-^*^1.

2. Неравенства: 3<л: и л:<5 записать цепочкой.

3. Записать с помощью знаков неравенства, что число x не меньше числа у, что число m не больше числа п.

4. Взвешенное тело оказалось легче 9 г и тяжелее 8 г. Записать это в виде неравенств, обозначив вес тела буквой g. Остальная часть урока посвящается закреплению ранее пройденного материала.

2-й урок. Применение неравенств для записи приближенных величин.

Пользуясь метром с дециметровыми делениями, измеряется длина и ширина классной доски. Пусть, например:

/ (длина) ^2,6 м, А (ширина) ^1,7 м.

С помощью знаков неравенств можно написать верхнюю и нижнюю границы длины я ширины:

2,55 л*</<2,65 м, 1,65 л*<Л< 1,75 м.

Преподаватель объясняет учащимся правильность этой записи: действительно, если бы длина была хоть немного меньше 2,55, то при измерении мы приняли бы ее за 2,5, а если бы она была больше 2,65 м, то при измерении мы приняли бы ее за 2,7 м, а не за 2,6 м.

Далее, вычерчивается на доске круг, измеряется его диаметр. Допустим, например, что d (диаметр) ^ 34 см. Тогда можно написать неравенства:

33,5 <cf< 34,5 см.

В самом деле, если бы диаметр был меньше 33,5 см, то мы его приняли бы за 33 см, а если бы он был больше 34,5 см, то мы приняли бы его за 35 см.

Таким образом, допущенная нами погрешность заключается между + 0,5 см и —0,5 см.

Это записывается так:

= 34 см (±0,5).

Дается объяснение термина «погрешность»: разность между точным числом и его приближенным значением называется погрешностью этого приближенного значения.

Иногда выражают погрешность в процентах; так, 0,5 составляет 1,5% от 34, поэтому rf=34 см (±1,5%).

Приводятся другие примеры.

1. Среднее расстояние от Земли до Солнца 149450 000 (± 17 000) км.

2. На радиоприемнике имеется надпись: «300 (н= 10% ) омов».

Оба примера подробно разбираются. Задание на дом. Пояснить ниже помещенные записи, написав их в виде неравенств:

В оставшуюся часть урока закрепляется ранее пройденный материал.

3-й урок. Свойства неравенств.

Все свойства неравенств легко объяснить на числовых примерах; эти свойства следует пояснить геометрически на числовой прямой.

Ввиду очевидности свойств I и II привожу объяснение лишь свойства III на геометрическом чертеже.

Преподаватель напоминает учащимся изображение положительных и отрицательных чисел на числовой оси; обращает внимание на то, что большее число из двух данных чисел всегда располагается правее меньшего (черт. 1).

Черт. 1

В частности, положительное число а больше 0; оно изображается точкой вправо от точки О; отрицательное число b меньше 0; оно изображается точкой влево от точки О.

Надо показать, что если а>Ь, то а+ т> b+ m и а — т> b — т.

Рассматриваем несколько положений чисел а и b на осях (черт. 2).

Черт. 2

Прибавление числа m (считаем для определенности ту>0) к числам а и b равносильно передвижению соответствующих точек на оси на m единиц вправо, причем число аА^т будет больше числа Ь+т, так как точка, изображающая а+т, правее точки b + т.

Так же легко объяснить вторую часть третьего свойства, когда число m вычитается из числа а и Ь.

Материал закрепляется на соответствующим образом подобранных примерах.

К обеим частям неравенств прибавить указанные в квадратных скобках числа и убе-

диться, что полученные неравенства будут того же смысла:

Задание на дом. Ларичев, Задачник, ч. I, упражнения 1234, 1235, 1238.

Остальную часть урока можно употребить на закрепление пройденного материала.

4-й урок. Четвертое свойство неравенств: если а>Ь и m — положительное число, то

если а>Ь и m — отрицательное число, то

Это свойство также легко объяснить на чертеже.

Случай 1-й.

Число а— положительно, число b — отрицательно (черт. 3).

Черт. 3

При положительном множителе m точка а, изображающая число am, расположится вправо, а точка Ьт — влево от нулевой точки, следовательно:

am > Ьт.

Случай 2-й. а и b — положительные числа (черт. 4).

Черт. 4

В этом случае точка, изображающая число am, также расположится правее точки Ьт, так как при умножении на m отрезок Оа больше увеличится, чем отрезок Ob.

Так же легко объяснить и случай, когда а и b — отрицательные числа.

При умножении на отрицательное число числа, изображавшиеся точками положительной полуоси, изобразятся точками отрицательной полуоси, а числа, изображавшиеся точками отрицательной полуоси, изобразятся точками положительной полуоси. Следовательно, точка am окажется левее точки Ьт (что объясняется на соответствующих чертежах).

Случай деления на число m специальных объяснений не требует, так как деление на m равносильно умножению на ——.

Для закрепления четвертого свойства решаются примеры.

1. Обе части неравенства умножить на указанное в квадратной скобке число:

2. Обе части неравенства разделить на указанное в квадратной скобке число:

Задание на дом. Ларичев, Задачник, ч. I, упражнения 1237, 1240, 1241, 1242, § 51.

5-й урок. Решение неравенств 1-й степени с одним неизвестным.

Следует подчеркнуть, что если а> Ь, то разность а — b есть положительное число, а если а<Ь, то разность а — b — отрицательное число.

Обратно, если а-—b = k, где k— положительное число, то а)>(?, a если а — b = m, где m — отрицательное число, то а<Ь.

На доске пишется несколько неравенств:

Первые два неравенства преподаватель называет числовыми неравенствами, остальные четыре — буквенными.

Путем подстановки вместо х чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5... выясняется, что неравенства 3 и 4 справедливы только при некоторых значениях входящих букв; учащиеся легко соображают (в общем виде), что неравенства 5 и б справедливы при любых значениях букв (с Ф 0).

Сообщается определение: неравенства, верные при любых значениях входящих в них букв, называются тождественными неравенствами.

Далее учитель предлагает задачу отыскать все значения х, при которых справедливо неравенство:

х-2>0.

Разобрав эту задачу, следует дать определение: всякое значение неизвестного х, при котором верно неравенство, содержащее это неизвестное, называется решением данного неравенства.

В данном неравенстве его решениями будут все значения х>2.

Неравенство может иметь бесконечное множество решений.

Далее указывается, что решения простейших неравенств легко найти по соображению, но более сложные неравенства (не содержащие неизвестного в знаменателе) решаются на основании тех же правил, на основании которых решаются уравнения; надо не забывать только при умножении обеих частей уравнения на отрицательное число изменять знак неравенства на противоположный.

Решение основано на двух теоремах о равносильности неравенств, которые обычно доказываются в X классе. Чтобы показать, что решение неравенств по правилам решения уравнений будет верно, можно решить какое-нибудь неравенство двумя способами: способом решения уравнений и способом уравнивания частей неравенства:

1-й способ.

2-й способ. Если неравенство выполняется, то его правая часть равна левой плюс некоторое положительное число:

Зх— 1 = *-f 7-fft, где £>0.

Вместо неравенства получаем уравнение, которое решаем по обычным правилам;

Указывается, что в дальнейшем неравенства 1-й степени с одним неизвестным будут преимущественно решаться первым способом.

Далее следует объяснить, что под равенством 1-й степени с одним неизвестным понимают неравенство, которое не содержит неизвестного в знаменателе и после раскрытия скобок, перенесения всех членов в левую часть и приведения подобных членов имеет вид:

где а и b — известные числа. Решаются в классе неравенства:

Задание на дом. Ларичев, Задачник, ч. I, упражнение 1243 (1, 4, б, 8, 9).

В дальнейшем, попутно с прохождением нового материала, пройденное о неравенствах закрепляется путем вопросов по теории и решения новых примеров на неравенства.

После ознакомления учащихся с графиками у = ах+Ь и ax+by+c — 0 и геометрического истолкования решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными преподаватель знакомит учащихся с геометрическим истолкованием решения неравенств 1-й степени с одним неизвестным.

Для этого достаточно одного-двух уроков.

Этот материал можно сообщить так: на доске пишется неравенство:

Преподаватель предлагает левую часть неравенства обозначить буквой у и вычертить график у = х — 2 (черт. 5).

Черт. 5

Черт. 6

Ордината у будет положительна при всех значениях х больше 2, что видно по графику. Следовательно, х — 2>0 при всех значениях х>2.

Берется неравенство 2х—1 > х +3. Обозначив левые части через ух и у2, получим две переменные, зависящие от х:

Строим их графики (черт. 6).

Согласно чертежу ясно видно, что ордината ух больше ординаты уг при всех значениях *>4; все эти значения и являются решением неравенства:

Задание на дом. Решить графически неравенства:

Проверить решение алгебраическим способом.

От редакции. Настоящая статья т. Васильева помещается в порядке методической помощи начинающему учителю.

Следует иметь в виду, что графическая интерпретация неравенств, связанная с построением графика линейной функции у — kx + 6, программой не предусмотрена, а потому соответствующие рекомендации автора обязательными ни в коей мере считаться не могут.

МЕТОД ПОДОБИЯ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ

Т. П. ПОКРОВСКИЙ (Москва)

Решению задач на построение методом подобия должна предшествовать подготовительная работа. Прежде всего учащиеся должны уяснить себе, что в подобных треугольниках все сходственные элементы пропорциональны. Для этого им предлагается самостоятельно по образцу теоремы, доказанной в § 165 учебника Киселева, доказать четыре теоремы (все или некоторые) такого содержания: в подобных треугольниках сходственным сторонам пропорциональны сходственные линейные элементы: биссектрисы, медианы, радиусы вписанных и описанных окружностей.

Вторым подготовительным этапом должны быть упражнения в построении треугольников, подобных данному, если в них даны: а) одна из сторон или б) один из других линейных элементов, например: высота, биссектриса, медиана. При решении этих задач внимание учащихся фиксируется на следующих моментах:

а) данный линейный элемент откладывается на сходственном ему линейном элементе данного треугольника от соответственной вершины последнего как от центра подобия;

б) если данным линейным элементом является не сторона треугольника, а какой-либо другой элемент (например, медиана), то сходственный ему элемент должен быть предварительно проведен в данном треугольнике.

Для первоначального ознакомления учащихся с решением задач методом подобия следует подробно решить одну из простейших задач, например такую.

Задача 1. Построить треугольник ABC, если даны углы А и С при основании АС и медиана BD последнего.

Дано: </А = ^/<х\ ^С=^т; медиана BD = тъ.

Требуется построить треугольник ABC. Решение.

Анализ. Сперва построим вспомогательный треугольник произвольного размера (подобный искомому), а затем строим треугольник, в который входила бы данная медиана (черт. 1).

Черт. 1

Построение. На прямой МЫ откладываем отрезок АХС\ произвольной длины и при точках Ах и Cj строим данные углы (с вершинами в точках Ах и Сх); точка пересечения В сторон АХВ и СХВ этих углов — третья вершина вспомогательного треугольника АХВСХ. Проводим медиану BDX к основанию АХСХ. От той же вершины В треугольника, принимаемой за центр подобия, на медиане BDX или ее продолжении откладываем медиану BD искомого треугольника, равную данному отрезку. Через ее конец D проводим АС \\ АХСХ. Точки пересечения А и С этой прямой с продолжениями боковых сторон ВАХ и ВСХ вспомогательного треугольника являются вершинами иско-

мого треугольника. Треугольник ЛВС — искомый.

Доказательство. Построенный Д ЛВС удовлетворяет условиям задачи. Медиана BD равна данному отрезку по построению: </лА = Ах и ^С = ^.Сх, как соответственные углы при параллельных АС и АХСХ и секущих AB и ВС, а так как ^Л^^а и /Сх = ^/-[ по построению, то / А = / <х и /С ~

Нередко в задачах, решаемых методом подобия, условиями, определяющими форму треугольника, являются не два угла, а один угол и отношение прилежащих сторон. Решение одной из таких задач приведено в учебнике (§ 181). В решении этой задачи учащиеся могут разобраться самостоятельно.

Дальнейшим усложнением в части построения вспомогательного треугольника является включение в задачу таких условий, которые требуют применения метода геометрических мест. Весьма полезно предложить учащимся самостоятельно решить одну из подобных задач, а именно задачу № 2 в конце § 181 (мелкий шрифт, стр. 107) такого содержания: построить треугольник, зная отношение высоты к основанию, угол при вершине и медиану боковой стороны. Прежде чем решать эту задачу, учащиеся должны припомнить, как решается двукратным применением метода геометрических мест задача из курса VII класса: построить треугольник по основанию, углу при вершине и высоте (№ 15, стр. 80).

Усложнением во второй стадии построения, а именно в построении искомого треугольника, подобного вспомогательному, является включение в условие задачи в качестве линейного элемента радиуса вписанной или описанной окружности. К числу таких задач относится задача 1 в конце § 181 (мелкий шрифт): построить треугольник, зная два его угла и радиус описанной окружности, а также и другая задача: построить треугольник ABC, если даны угол А при основании АС, отношение стороны AB к основанию и радиус вписанного круга. Ввиду наличия особых приемов, применяемых при решении этих задач (например, принятия центра окружности за центр подобия).

преподаватель перед заданием их на дом или дает указание об особенностях решения, или же предлагает одну из них решить в классе под своим руководством. При объяснении решения этих двух однотипных задач приемы, применяемые при их решении, обобщаются, причем внимание учащихся акцентируется на следующих моментах (см. черт. 2 и 3).

Задача 2 (из § 181). Дано: </ВАС = ^ а : ^ ВС А = У ^, Радиус описанной окружности а. Требуется построить треугольник ABC.

Задача 3. Дано: </ВАС= Z.*\ АВ:АС — = т:п; радиус вписанной окружности а. Требуется построить треугольник ABC.

1. Во вспомогательном треугольнике AXBXC^ отыскивается соответственно центр О описанной или вписанной окружности и проводятся три радиуса: а) из центра О описанной окружности (черт. 2) к вершинам АХВХ и Сх треугольника, б) из центра О вписанной окружности (черт. 3) перпендикулярно к сторонам треугольника.

2. Для построения искомого треугольника ABC, подобного вспомогательному АХВХСХ. а) на этих радиусах откладывается данный отрезок а от центра О окружности, как от центра подобия, и получаются радиусы АО, ВО, СО окружности, описанной около искомого треугольника, и радиусы DO, ЕО и FO окружности, вписанной в него; б) концы А, В и С радиусов описанной окружности соединяем прямыми AB, ВС и АС и получаем искомый треугольник ABC (черт. 2); в) через концы же D, Е и F радиусов вписанной окружности проводим прямые

Черт. 2

Черт. 3 Черт. 4

AB, ВС и АС, параллельные сторонам АХВХ, ВХСХ и АХСХ вспомогательного треугольника, и получаем искомый треугольник ABC (черт. 3).

3. Подобие построенных треугольников — искомого и вспомогательного — доказывается равенством в них соответственных углов: а) как вписанных углов, каждый из которых (например, Вг и В) равен половине центрального угла Аг ОСг, если искомый треугольник построен по радиусу описанной окружности (черт, 2), и б) как углов с параллельными, одинаково направленными сторонами, если искомый треугольник построен по радиусу вписанной окружности (черт. 3).

Эти задачи можно решить и другим способом, если уже пройден § 185 учебника. Сущность этого способа заключается в следующем (черт. 4). После построения вспомогательного треугольника АХВС{ и определения в нем радиуса OxDx вписанной окружности мы по стороне АХВ, радиусу OiDl (F В) и данному радиусу a(FB) находим, по способу нахождения четвертого пропорционального (§ 185), сходственную сторону AB искомого треугольника; затем по найденной стороне AB строим искомый треугольник ABC, подобный вспомогательному треугольнику AXBCV Построение угла AXBFX при нахождении четвертого пропорционального (AB), в интересах возможно большей четкости чертежа, следует провести не внутри, а вне треугольника АХВСХ.

Сравнивая приведенные выше способы решения этих двух задач, учащиеся приходят к такому выводу:

а) при решении задачи 3, в которой дан радиус вписанной окружности, второй способ предпочтителен, как более краткий: приходится меньше проводить параллельных прямых и радиусов;

б) наоборот, при решении задачи 2, в которой дан радиус описанной окружности, первый способ лучше, как более простой и как не связанный с проведением параллельных прямых.

Метод подобия применяется не только при построении треугольников; он применяется также при построении многоугольников, как-то: разносторонних четырехугольников, параллелограмов, трапеций и др. Построение четырехугольников методом подобия сложнее, чем построение треугольников, но основные приемы, применяемые при построении, одни и те же.

Приводим пример.

Задача 4. Построить четырехугольник ABCD, если в нем даны углы А, В и С, отношение сторон AB и AD и сторона CD.

Дано: ^Л = ^а; ^ß = ^ß; ^С = ZLX, AB : AD = т\п\ сторона CD = а. Требуется построить четырехугольник ABCD.

Решение.

Анализ. Сначала строим вспомогательный четырехугольник требуемой формы, затем, введя в построение данный линейный элемент — сторону АС, строим по ней четырехугольник, подобный вспомогательному (черт. 5).

Построение. На прямой MN откладываем отрезок AXD, равный п, строим УРАХВХ. равный ^а, с вершиной в точке Аг; на стороне его АХВХ от точки Ах откладываем отрезок, равный т; строим на нем У АХВХЕ* равный ^ ß, с вершиной в точке Вх; на прямой ВХЕ строим </BxCJ1, равный с вершиной в произвольной точке С2. Через точку D проводим прямую DC, параллельную CJi. Точка пересечения Сх этой прямой с ВХЕ — четвертая вершина вспомогательного четырехугольника AXBXCXD. На стороне DCX от точки D откладываем данный отрезок а, проводим диагональ BXD. Через конец С отрезка CD проводим прямую ВС, параллельную ВЛСХ, и через В, точку пересечения этой прямой с диагональю BXD, проводим прямую AB \\ АХВХ. Искомый четырехугольник ABCD построен.

Доказательство. <УА = ^Ах = а, как углы соответственные при параллельных AB и АХВХ и секущей DAX; ^ABC = Z.AXBXCX = ß, как углы, имеющие параллельные, одинаково направленные стороны; ^С = <У,BxCxDly как углы соответственные; У ВХСХР = 4yB^CJi — на том же основании; угол же ВХСМ = у у по построению; а потому У С = ^7- Из подобия треугольников ABD и AxBtD следует, что AB : AD = АХВХ : AXD\ так как АХВХ : AXD = m : п (по построению), то AB : AD = m: п. Сторона CD равна отрезку а по построению. Итак, построенный четырехугольник ABCD — искомый.

Для самостоятельного решения учащимся могут быть даны некоторые из следующих задач.

Черт. 5

1. Построить треугольник по углу, одной из сторон, прилежащих к нему, и по отношению этой стороны к третьей стороне (№ 23, стр. 126 учебника).

2. Построить треугольник по углу при вершине, основанию и отношению его к одной из боковых сторон (№ 24, там же).

3. Построить треугольник по высоте, углу при вершине и отношению отрезков основания (№ 25, там же).

4. Построить треугольник по углу при вершине, основанию и данной на основании точке, через которую проходит биссектриса угла при вершине (№ 26, там же).

5. Построить треугольник АБС, если даны угол А при основании АС, отношение сторон ВС и АС и биссектриса AD.

6. Построить треугольник ABC, если даны угол В при вершине, отношение основания АС к его медиане BD и высота BE.

7. Построить параллелограм, если даны острый угол, отношение сторон и одна из диагоналей.

8. Построить ромб, если даны отношение его диагоналей и высота.

9. Построить четырехугольник ABCD, если в нем даны углы А, В и D, отношение сторон AB и AD и диагональ BD.

Примечание. Не все задачи требуют полного решения: большинство решается в трех и чаще в двух стадиях (построение и доказательство); поэтому степень полноты решения должна оговариваться преподавателем, когда дается задание.

Усложнение во второй части построения — в построении искомой фигуры треугольника или четырехугольника, подобных вспомогательной фигуре, имеет место при наличии в условиях задачи не отдельного линейного элемента, а суммы или разности элементов, как-то: суммы двух сторон, периметра, суммы или разности медиан, разности биссектрисы и высоты, исходящих из вершины треугольника, и т. п. Решение таких задач требует некоторых предварительных разъяснений. Учащимся должно быть сообщено с соответственным обоснованием свойство производных пропорций: сумма или разность предыдущих так соответственно относится к сумме или разности последующих, как каждый из предыдущих к своему последующему. В применении к подобным треугольникам, в которых сходственные линейные элементы пропорциональны, это свойство пропорций должно быть выражено так: в подобных треугольниках сумма или разность сходственных линейных элементов пропорциональна самим этим элементам и, в частности, сходственным сторонам.

На вышеприведенном свойстве пропорций, примененном к подобным треугольникам, основано решение задач указанного типа. Рассмотрим примеры.

Задача 5. Построить треугольник, если даны два угла при основании и сумма медиан, исходящих из веригин этих углов.

Дано: 4/ВЛС = </а; ^АСВ = х, тс+-j- m = s. Требуется построить треугольник ABC.

Решение.

Анализ. Если построить вспомогательный треугольник, подобный искомому, и отложить на продолжении одной из его медиан другую медиану, то получим отрезок, равный сумме медиан вспомогательного треугольника, сходственный отрезку s, т. е. сумме медиан тг и та искомого треугольника (черт. 6).

Так как в подобных треугольниках суммы сходственных медиан пропорциональны самим этим медианам, а также и сходственным сторонам треугольников, то, зная суммы медиан: ADX вспомогательного треугольника и 5 искомого треугольника и сторону АСХ вспомогательного треугольника, можно найти сторону АС искомого треугольника АБС как четвертый пропорциональный отрезок. После этого строится искомый треугольник ЛВС, подобный вспомогательному АВХСХ.

Построение. Строим вспомогательный треугольник АВХСХ по двум данным углам а и 1 при основании. Проводим в нем медианы АЕ и СХН. Откладываем на продолжении медианы АЕ отрезок EDX, равный второй медиане СХН, и получаем отрезок ADU равный сумме этих медиан. Откладываем на ADX данный отрезок s от вершины А треугольника как от центра подобия. Проводим прямую DXCX и параллельную ей DC. Отрезок АС — четвертый пропор-

Черт. 6

циональный к трем другим: ADX, AD и ACV Через точку С проводим ВС \\ BXCV В — точка пересечения ВС с AB, есть третья вершина искомого треугольника.

Доказательство. В построенном треугольнике ABC ВАС = по построению; У АСВ = Z- АСХВХ = т, как соответственные углы при параллельных ВС и ВХСХ и секущей АС.

Так как /\ADCoo /\ADXCX, то AD:ADX =АС:АСХ; из подобия треугольников ABC иАВхСх следует: АС: АСХ = ВС:ВХСХ=АВ: АВХ. Отсюда: AD:ADX = АС:АСХ = ВС:ВХСХ = АВ:АВХ.

Эта пропорция показывает, что отрезок AD, равный данной сумме медиан (s) искомого треугольника, введен в построение. Итак, треугольник ABC удовлетворяет условиям задачи.

Задача 6. Построить треугольник ABC, если дан угол А, отношение сторон AB и АС и разность радиусов описанной и вписанной окружностей.

Дано: АВ:АС = т:п; ^ВАС = ^сс; разность радиусов описанной и вписанной окружностей равна d. Требуется построить треугольник ABC.

Построение. Построив вспомогательный треугольник АХВСХ (черт. 7) и найдя центры Ох и О вписанной и описанной окружностей, проводим радиусы OxDx и OB той и другой окружностей. На радиусе ÜB описанной окружности от точки О откладываем радиус OxDx вписанной окружности; получаем отрезок BD— разность радиусов окружностей вспомогательного треугольника. На этом отрезке от вершины В угла ОВАх как от центра подобия откладываем отрезок BE, равный данному отрезку d— разности радиусов окружностей искомого треугольника. Соединяем конец D отрезка BD с концом Ах стороны АХВ вспомогательного треугольника и через конец Е отрезка BE проводим прямую АЕ || AXD; точка пересечения А этой прямой с ВАХ определит конец стороны AB искомого треугольника и вместе с тем вторую вершину А (первая вершина В — общая у вспомогательного и искомого треугольников). Проведением прямой АС, параллельной стороне АХСХ вспомогательного треугольника, находим точку С пересечения двух других сторон (АС и ВС) искомого треугольника и вместе с тем третью его вершину. Искомый треугольник ABC построен.

Для самостоятельного решения могут быть даны учащимся некоторые из следующих задач.

1. Построить треугольник по двум углам и сумме или разности основания с высотой (№ 27, стр. 126 учебника).

2. Построить разнобедренный треугольник по углу при вершине и сумме основания с высотой (№ 28, там же).

3. Построить треугольник, если даны углы при основании и разность биссектрисы и высоты, исходящих из вершины треугольника.

4. Построить треугольник ABC, если дан угол С, отношение сторон AB и АС и сумма радиусов описанной и вписанной окружностей.

5. Построить прямоугольник ABCD, если дано отношение стороны AB к диагонали и периметр.

В задачах рассмотренных типов требовалось построить фигуру определенной формы и размеров; но метод подобия применяется и при решении таких задач, в которых, кроме того, предусматривается для построения искомой фигуры и положение ее на плоскости. В § 181 учебника решены (хотя и неполно) две задачи этого типа (№ 2 и № 3, крупный шрифт). Характерной особенностью решения задач рассматриваемого типа является применение в них, кроме метода подобия, и метода геометрических мест. Рассмотрим одну из этих задач.

Задача 7. В данный треугольник ABC вписать ромб с данным острым углом так, чтобы одна из его сторон лежала на основании АС треугольника, а две его вершины—на боковых сторонах AB и ВС.

Дано: треугольник ABC; острый угол Z = а ромба ZYXU. Требуется вписать ромб в треугольник ABC так, чтобы сторона ZU ромба лежала на основании АС треугольника, а две в-ершины Ки X—на сторонах AB и АС треугольника.

Решение.

Анализ. Если бы мы отбросили на время требование, чтобы одна из вершин ромба лежала на стороне ВС треугольника, и построили ромб DE h G с углом G, равным углу а, мы из

Черт. 7

вершины А треугольника как из центра подобия могли бы провести через вершину Е ромба прямую АХ, которая явилась бы геометрическим местом сходственных вершин множества ромбов, подобных построенному и удовлетворяющих всем условиям задачи, кроме одного (черт. 8). Одна из таких вершин, а именно в точке пересечения прямой АХ со стороной ВС треугольника, и есть вершина X искомого ромба. После этого легко построить искомый ромб.

Построение. Внутри треугольника ABC на его основании АС строим острый угол, равный данному углу, приняв за вершину его произвольную точку G; по этому углу и отрезку DG строим вспомогательный ромб DEFG. Из вершины А треугольника через вершину Е ромба проводим прямую, которая пересечет сторону ВС треугольника в точке X. Проводим XY || АС, YZ\\EF и XU\\YZ. Ромб XYZU — искомый.

Доказательство. Из подобия треугольников XAU и EAF имеем: XU:EF= АХ:АЕ\ из подобия треугольников YAX и DAE имеем: XY:DE = АХ:АЕ; так как вторые отношения этих двух пропорций равны, то равны и первые, т. е. XU:EF = XY:DE; в этой пропорции последующие члены EF и DE, как стороны вспомогательного ромба, равны, а потому равны и предыдущие члены, т. е. XU = XY; из этого следует, что построенный параллелограм XYZU есть ромб. Сторона его ZU лежит на основании АС треугольника ABC, вершины X и Y ромба—на боковых сторонах AB и ВС того же треугольника, угол YZU искомого ромба равен углу DGF = *.

К типу задач, решаемых такими же приемами, относятся задачи, в которых требуется в данные треугольник, сектор или сегмент круга вписать фигуры определенной формы, как-то: квадрат, прямоугольник (например, с данным соотношением сторон), равнобедренный прямоугольный треугольник, равносторонний треугольник, равнобочную трапецию (например, с данным углом и отношением сторон, его заключающих). Если все эти фигуры вписываются не в треугольник, а в сектор или сегмент круга, то при проведении прямой, служащей геометрическим местом сходственных вершин вписываемых фигур, точкой, из которой проводится эта прямая и которая принимается за центр подобия, является центр круга в секторе и середина основания в сегменте.

Ввиду того что при решении задач этого вида встречаются некоторые приемы, с которыми учащиеся еще не знакомы, необходимо познакомить их с этими новыми приемами в ходе решения какой-либо задачи.

Решим такую задачу.

Задача 8. В данный сектор круга вписать прямоугольник по данному отношению его сторон так, чтобы две вершины прямоугольника лежали на сторонах сектора, две же другие вершины — на его дуге.

Дано: сектор MON', отношение сторон AB и ВС прямоугольника: АВ:ВС = т:п. Требуется вписать прямоугольник в данный сектор, удовлетворяющий изложенным в задаче условиям.

Решение.

Построение. Проводим радиус OK, делящий угол MON пополам (черт. 9). На стороне ОМ сектора берем произвольную точку Ви опускаем из нее перпендикуляр на OK и продолжаем его до пересечения с другой стороной OK в точке Сх. Чтобы построить прямоугольник требуемой формы, нужно определить длину его боковой стороны по данному отношению сторон. Находим ее (см. дополнительный чертеж) по способу нахождения четвертого пропорционального (§ 185), после чего строим вспомогательный прямоугольник AXBXCXDX. Из точки О как из центра подобия через Аг про-

Черт. 8

Черт. 9

водим прямую OA —геометрическое место сходственных вершин множества прямоугольников, подобных построенному. Одна из этих вершин (А) лежит на дуге сектора: она принадлежит искомому прямоугольнику. Строим его: из точки А опускаем перпендикуляр на OK и продолжаем его до пересечения с дугой MKN в точке D; в точке А проводим перпендикуляр AB к хорде AD; в точке В проводим перпендикуляр ВС к отрезку AB; соединяем точки С и D прямой CD. Искомый прямоугольник ABCD построен.

Доказательство. Четырехугольник ABFE, в котором противоположные стороны параллельны и все углы прямые, есть прямоугольник; в нем AE=BF. В четырехугольнике ABCD AE=ED, так как радиус OK, перпендикулярный к хорде AD, делит ее пополам; с другой стороны, BF=CF, как соответственные катеты равных прямоугольных треугольников BFO и CFO (в них катет FO — общий, а ^ BOF = Z. С OF). Итак, противоположные стороны AD и ВС четырехугольника ABCD равны, так как их половины АЕ и BF равны; эти стороны и параллельны, как перпендикуляры, восставленные к прямой AB; углы BAD и АБС — прямые. Ввиду этого четырехугольник ABCD — прямоугольник. Из подобия треугольников АВО и АлВхО имеем: АВ:АхВх=ВО:ВхО; из подобия треугольников ВСО и ВхСхО имеем: ВС:ВХСХ = ВО:ВгО; так как в этих двух пропорциях вторые отношения равны, то равны и первые, а потому: АВ:АХВХ = ВС:ВХС1; переставив средние члены, получим: АВ:ВС = АВХ:ВХСХ; но A1Bl:JBlCl = т:п (по построению), а потому AB:ВС = т:п.

Задачу 6 можно решить и другим способом, сущность которого видна из анализа (черт. 9).

Анализ. Предположим, что задача решена, искомый прямоугольник ABCD вписан в данный сектор MOW Рассматривая чертеж, мы видим, что если провести радиус OK перпендикулярно к хорде AD, то он разделит ее пополам; вместе с тем и сторона ВС прямоугольника ABCD разделится этим радиусом пополам, ввиду чего треугольник ВОС — равнобедренный, а его высота есть Oh — медиана и биссектриса. Отсюда вывод: биссектриса OK угла MON есть ось симметрии и сектора MON (поскольку она делит пополам и хорду MN, и дугу M КМ), и вписанного в него прямоугольника ABCD; а потому строим не прямоугольники AXBXCXDX и ABCD — вспомогательный и искомый, как делали при первом способе решения, а «половины» их AXBXF]EX и ABFE— по одну сторону биссектрисы OK; затем пристраиваем вторую половину EFCD искомого прямоугольника ABCD, симметричную первой относительно OK, и получаем искомый прямоугольник.

Для самостоятельного решения учащимся могут быть даны некоторые из следующих задач:

1. Дан угол АОВ и внутри его точка С. Найти на стороне OB точку М, равноотстоящую от OA и от точки С (задача № 3 из § 181, стр. 107).

2. Вписать квадрат в данный сегмент так, чтобы одна его сторона лежала на хорде, а вершины противолежащих ей углов—на дуге (№ 32, стр. 127 учебника).

3. Вписать квадрат в данный треугольник так, чтобы одна сторона его лежала на основании треугольника, а вершины противолежащих ей углов — на боковых сторонах треугольника (№ 33, там же).

4. В данный треугольник вписать прямоугольник так, чтобы большая сторона его лежала на основании треугольника, а вершины противолежащих ей углов — на боковых сторонах треугольника; стороны прямоугольника должны относиться, как т:п (№ 34, там же).

5. В данный треугольник вписать прямоугольный равнобедренный треугольник так, чтобы вершина прямого угла лежала на основании данного треугольника, а гипотенуза была ему параллельна и лежала концами на боковых сторонах треугольника.

6. В данный сектор вписать квадрат так, чтобы две вершины последнего лежали на сторонах сектора, две же другие вершины — на дуге.

7. В данный сегмент вписать прямоугольник с данным отношением сторон так, чтобы большая сторона прямоугольника лежала на основании сегмента, а две вершины — на дуге.

Особую группу составляют задачи, подобные той, которая помещена в учебнике на странице 127 за № 35. В них даются фигуры, которые требуется описать треугольником, подобным данному, т. е. треугольником определенной формы. Таким образом, по содержанию они близки к тем задачам только что рассмотренного типа, в которых в данный треугольник требуется вписать фигуру определенной формы. Решаются те и другие задачи методом подобия, но приемы решения различны.

Задача 9. Данную трапецию описать треугольником, подобным данному, так, чтобы основание трапеции лежало на основании треугольника, а ее вершины — на боковых сторонах треугольника.

Дано: трапеция ABCD; треугольник АХВХСХ. Требуется данную трапецию ABCD описать треугольником А2В2С2, подобным данному треугольнику АХВХСХ, на указанных в задаче условиях.

Решение (черт 10).

Анализ Представим себе, что задача решена. Рассматривая чертеж, приходим к таким выводам о возможных способах решения задачи.

1-й способ. Построим треугольник АХВХСХ внутри трапеции так, чтобы основание треугольника лежало на основании трапеции, и, проведя потом через В прямую A2ß2, параллельную АХВХ, и через С прямую В2С2, параллельную ВХСХ, получим искомый треугольник.

2-й способ. Построим внутри трапеции на ее основании (нижнем) углы Ах и Сх треугольника АХВХСХ с вершинами в произвольных точках; проводим, как сказано выше, AtBt и С2В2 и получаем искомый треугольник.

3-й способ. На верхнем основании трапеции строим углы Ах и Сх треугольника АхВхСг с вершинами в точках ß и С. Продолжаем сторону В2В до пересечения с продолжением нижнего основания трапеции AD в точке А2 и сторону В2С до пересечения с продолжением AD в точке С2. Третий способ следует предпочесть первым двум, как более короткий: при этом способе решения не требуется дважды проводить параллельные линии, что имеет место при решении первыми двумя способами.

Построение. Построив углы Аг и Сх данного треугольника АХВХСХ на верхнем основании трапеции с вершинами в точках й и С и продолжив стороны этих углов до пересечения в точке В, получаем вспомогательный треугольник ВВ2С, подобный данному АХВХСХ.

Продолжив боковые стороны этого треугольника до пересечения в точках А2 и С2 с продолжениями AD, получаем искомый треугольник А2В2С2.

Доказательство. Построенный треугольник А2В2С2 подобен треугольнику ВВ2С, а так как последний подобен данному треугольнику А\В\С\ по построению, то и треугольник А2В2С2 подобен данному треугольнику АХВХСХ. Основание AD трапеции ABCD лежит на основании A.fi2 треугольника А«В2С2 и вершины В и С трапеции — на боковых сторонах А2В2 и С2В2 треугольника. Следовательно, построенный треугольник А2В2С2 есть искомый.

По образцу этой задачи решается ряд задач, в которых требуется описать треугольником, подобным данному, данные квадрат, прямоугольник, параллелограм, ромб, трапецию. Вместо треугольника могут быть даны элементы, определяющие его форму, как-то: два угла, угол и отношение сторон.

Для самостоятельного решения учащимся можно дать такие задачи:

1. Около данного квадрата описать треугольник, подобный данному треугольнику (№ 35, стр. 127 учебника).

2. Построить параллелограм, если даны острый угол, отношение основания к высоте и разность диагоналей. Построенный параллелограм описать равнобедренным прямоугольным треугольником так, чтобы основание параллелограма лежало на гипотенузе треугольника, а вершины— на катетах.

3. Построить равнобедренную трапецию, если даны острый угол, отношение нижнего основания к боковой стороне и диагональ. Построенную трапецию описать равнобедренным треугольником, в котором дано отношение основания к боковой стороне, так, чтобы нижнее основание трапеции лежало на основании треугольника, а вершины трапеции — на его боковых сторонах.

Черт. 10

О ПРИЗНАКАХ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

К. А. ГРИГОРЬЯН (Ростов-на-Дону)

Трудность при прохождении этой темы для учащихся состоит в том, что ученики не могут четко установить различия между необходимыми и достаточными условиями равенства треугольников. Сам способ доказательства (вычерчивание, а иногда и моделирование равных треугольников с последующим наложением) провоцирует учащихся на то, чтобы понимать способ наложения не как особый метод доказательства, а как способ сравнения, которым ученики, пожалуй, особенно часто пользуются на практике.

То, что учитель пишет: «Дано AB = АХВХ\ АС = АХСХ и^Л = ^Л1»,— еще не решает вопроса о данных, так как для ученика в этих треугольниках все элементы равны потому, что они равны на самом деле.

Для ученика совпадают при наложении не те элементы и не в том порядке, в котором хочет учитель; для него совпадают треугольники целиком, сразу (что и происходит на самом деле, прежде чем теорема доказана).

Для устранения этих трудностей следует четко установить различие между необходимыми и достаточными условиями и показать экономичность достаточных условий на нескольких практических задачах.

1. Столяру нужно заделать круглое отверстие. Что он должен измерить, чтобы изготовить латку дома? (черт. 1).

2. Столяру необходимо заделать квадратное отверстие. Что он должен измерить, чтобы изготовить латку дома?

Эти первые две задачи обычно ученики разрешают сразу: в первом случае нужно измерить диаметр, а во втором — сторону квадрата.

3. Столяру необходимо заделать прямоугольное отверстие. Что он должен измерить?

Достаточно ли измерить сторону AD?

Ученики замечают сами, что, зная длину стороны AD, столяр еще не может построить необходимый прямоугольник; нужно еще знать и длину стороны AB.

Может случиться, что ученик интуитивно заметит, что прямоугольник можно построить, зная длину одной стороны и диагонали или диагональ и угол между диагоналями.

В этом случае учителю следует отметить, что могут существовать различные группы достаточных условий для определения прямоугольника.

Следует задать вопрос: « Что бы вы сказали столяру, который измерил бы длину двух сторон и длину диагонали?»

Учащийся должен заметить, что одна из длин (например, диагональ) лишняя и сама определяется, если знать две другие.

4. Аналогичная задача ставится относительно треугольника (черт. 2).

В дальнейшем удобно пользоваться подвижной моделью треугольника с изменяющимися сторонами и углами.

Ученику предлагается измерить сторону АС и по ней построить на раздвижной модели треугольник ABC. Учащийся на модели строит равную ЛС, и убеждается, что знания этой стороны недостаточно (можно после построения попробовать «залатать» дыру).

Ученику предлагается измерить, кроме стороны АС, и угол А и построить его на модели.

Построив на модели соответствующие элементы, равные заданным, учащийся сравнением убеждается, что и этих условий недостаточно.

Учащийся может заметить, что для того, чтобы треугольники были равны, необходимо знать, кроме стороны ЛС и угла Л, еще и сторону AB.

Следует указать на то, что при этих условиях треугольники наверное будут равны, но для того, чтобы в этом убедиться, следует доказать это положение.

Можно эту работу продолжить, беря другие условия, лишние условия и т. д.

После того как ученик уяснит разницу между необходимыми и достаточными условиями, можно приступить к доказательству теорем, причем второй треугольник лучше вычерчивать не рядом с первым на доске, а на смежной сте~

Черт. 1

Черт. 2

не, на полу или где-нибудь в другом месте. При этом учитель в необходимых случаях пользуется подвижной моделью.

При прохождении третьего признака равенства следует сообщить учащимся о жесткости треугольника и применении этого качества в технике, например при постройке мостов.

Жесткость треугольника хорошо демонстрировать на той же модели, указывая учащимся на то, что каждая пара смежных сторон закреплена подвижно при помощи вита и указанное качество жесткости приобретается тогда, когда эти стороны становятся элементами треугольника. Говоря о жесткости, для лучшего понимания учащимися этого вопроса следует указать на фитуры, не обладающие этим качеством, например, четырехугольник (модель четырехугольника получается из модели треугольника путем присоединения еще одного звена).

Можно для закрепления материала после доказательства трех признаков дать примерно такие задачи:

Треугольное стекло упало и разбилось, как указано на чертеже (черт. 3), причем верхняя часть (1) разбилась вдребезги. Можно ли по оставшейся части заказать стекольщику вырезать такое же стекло? Каким признаком равенства треугольников мы здесь пользуемся? После таких задач рекомендуется решать задачи на доказательство из сборника задач Рыбкина.

Черт. 3

ИЗ ОПЫТА ПРЕПОДАВАНИЯ ЧЕРЧЕНИЯ

В. В. ТИТОВ (Харьковская обл.)

Роль и значение знаний, умений и навыков по черчению особенно возрастают теперь, когда XIX съездом партии поставлена задача политехнизации нашей школы. О практическом значении черчения говорят бывшие выпускники средних школ.

3. Арлашина пишет: «Сразу после окончания десятилетки мне пришлось работать в г. Сальске, в паровозном депо техником-чертежником; все время сталкиваюсь с чертежами деталей паровоза и, благодаря хорошей подготовке в школе, не встречаю трудностей».

Студенты Московского авиатехнического института пишут: «Знания, которые преподнесли по черчению в средней школе, помогли и помогают нам в учебе в институте. В школе нам привили любовь к технике, к черчению, чертежу. Черчение и начертательная геометрия, которые для большинства студентов были бичом, для нас были не только легкими, но и любимыми предметами».

Майор артиллерии Г. Якименко пишет: «Знания, полученные по черчению в средней школе, для нас особенно ценны, особенно нам, офицерам, находящимся на фронте. Я свободно могу оформить любой чертеж военного характера. Военному человеку невозможно обойтись без знания черчения».

Хорошая постановка преподавания черчения зависит почти исключительно от самого учителя.

Каждый начинающий учитель черчения, да и не только начинающий, встречается с целым рядом трудностей, которые необходимо преодолеть для того, чтобы хорошо обучать черчению. К числу таких трудностей можно отнести:

1) Переучивание учащихся на первом году обучения черчению (на Украине в VIII классе, так как черчение начинается с VIII класса, в других республиках в VII классе, так как черчение начинается с VII класса). Это обусловлено тем, что учащиеся в предыдущих классах, главным образом на уроках геометрии, приобретают неправильные приемы пользования чертежными инструментами (подробнее будет ниже).

2) Отсутствие каких-либо наглядных пособий и оборудования уроков черчения.

3) Недостаточность у учащихся пространственных представлений.

4) Неуменье работать карандашом от руки (выполнять эскизы и рисунки). Недостаточно

развитый глазомер и отсюда несоблюдение пропорций в выполняемой работе.

Организации рабочего места учащегося на парте, места, приспособленного для черчения, я отвожу первоочередное внимание на первом и на последующих уроках. Вообще говоря, организация рабочего места — это длительный процесс, требующий от учителя повседневного внимания и контроля. Только справившись с этой задачей, можно говорить о нормальном проведении уроков черчения.

Еще до 1 сентября школьники, придя в школу, увидят выставленную витрину под стеклом (600 мм X 850 мм), на которой смонтировано организованное рабочее место учащегося с наколотой на чертежную доску форматкой, смонтированы все чертежные принадлежности и даны три фотографии:

1) На уроке черчения в классе.

2) В домашней обстановке за выполнением домашних заданий по черчению.

3) Правильная посадка ученика во время черчения.

В витрине помещен следующий перечень чертежных принадлежностей:

1) чертежная доска с рейсшиной, 2) готовальня, 3) угольники -— 2 шт. (с углом 45 и 60°), 4) линейка обыкновенная, 5) линейка масштабная, 6) транспортир, 7) лекала — 2—3 шт., 8) чертежная ручка с перьями, 9) ручка с трубчатыми перьями, 10) чинка, 11) стеклянная бумага, 12) тряпочки, 13) кнопки, 14) резинки— 2 шт. (твердая и мягкая), 15) тушь черная и цветная, 16) карандаши — 2 шт. (твердый 2Н и мягкий HB), 17) наконечник на карандаши— 2 шт., 18) форматки с заготовленной рамкой и штампом для основной надписи.

Кроме этого, в витрине даны следующие правила:

1) В школу приходи подготовленным. 2) До прихода учителя в класс наколи форматку на чертежную доску и организуй место для работы (подготовь инструменты). 3) Работай внимательно, аккуратно и точно. 4) Будь осторожен, помни о соседе, не мешай ему. 5) Все инструменты и принадлежности должны быть на своих местах. 6) Ничего лишнего, не относящегося к работе, не должно быть на рабочем месте. 7) Инструменты и принадлежности должны храниться в специальной папке.

Продолжением этих семи правил служат следующие три правила под заголовком «Дома»: 1) Располагайся работать так, чтобы свет был слева, спереди. 2) Выполнив домашнее задание, заготовь для классной работы форматки: вычерти рамку, штамп, подготовь рабочее поле чертежа. 3) Закончив работу, все инструменты и принадлежности проверь по списку и в чистом, исправном и заправленном виде аккуратно сложи в папку.

Витрина привлекает внимание учащихся; это первое наглядное пособие (изготовлено мною), с которым учащиеся, начинающие изучать черчение, встретятся, придя в школу еще до начала учебных занятий. Это наглядное пособие привлекает внимание учащихся к организации рабочего места и дает возможность по списку приобрести все необходимые принадлежности.

На первый урок черчения я прихожу с полным образцовым комплектом чертежных принадлежностей, аккуратно сложенных в специальную папку. Пояснения и показ принадлежностей я начинаю с чертежной доски и рейсшины. Показываю несколько типов чертежных досок, как имеющихся в продаже, так и изготовленных учащимися и родителями. После этого перехожу к показу других инструментов и принадлежностей.

Уже на втором уроке черчения я начинаю практическую работу (вычерчивание рамки чертежа), обхожу все парты, проверяю наличие принадлежностей. Настойчиво требую от учащихся вычерчивания рамки только теми инструментами и теми приемами, которые мною указываются. Такое выполнение работы требует обязательного наличия необходимых чертежных принадлежностей и инструментов.

Проверку наличия чертежных инструментов и принадлежностей я считаю обязательной и на последующих уроках. Такую проверку я осуществляю различными способами:

1) Беглая проверка с обходом класса и различными замечаниями учащимся.

2) То же самое, с замечаниями по определенным намеченным вопросам, на которые я хочу в данном случае обратить внимание класса: правильная очинка карандаша, правильное положение рейсшины и правильное передвижение ее по кромке доски, расположение инструментов на парте и т. п.

3) Иногда я вызываю к себе учащегося со всеми принадлежностями и проверяю перед всем классом не только наличие, но заправку и содержание их (чистота, отпущенные винтики на рейсфедерах и другое), требуя от учащихся просматривать свои принадлежности.

4) Удачно проходит проверка на так называемых уроках-диктантах, когда фронтально весь класс вычерчивает один чертеж. Я с часами в руках, давая пояснения и вычерчивая чертеж на доске, на каждую операцию отвожу некоторое время (в минутах). Это очень подтягивает учащихся, требует не только наличия всех принадлежностей, но и рационально организованного места, требует класть инструменты на определенное место и в определенном поло-

жении, чтобы они были всегда под руками.

Такие проверки я делаю в третьей и четвертой четвертях первого года обучения. К этому времени учащиеся уже приобрели определенные навыки.

С первых же уроков должно начаться решительное и твердое искоренение неправильных навыков, приобретенных учащимися в предыдущих классах, при пользовании чертежными инструментами (главным образом на уроках геометрии). Дело в том, что математики, выполняя тот или иной чертеж на доске с помощью классных инструментов или от руки, как правило, совершенно не поясняют учащимся того, как верно, рационально, быстро и точно следует выполнять чертеж, как пользоваться чертежными инструментами. Учащиеся, естественно, сами по себе, без должного руководства учителя, глядя на доску, применяют самые различные приемы или повторяют приемы учителя.

Известно, что приемы выполнения чертежа на доске зачастую резко отличаются от приемов, которые следует применять при выполнении чертежа на форматке, в тетради. На доске вполне допустимо провести параллельные линии, пользуясь одной классной линейкой, на глаз, что совершенно недопустимо на чертеже в тетради или на форматке. На доске учитель, проводя прямую по классной линейке, пользуется обеими кромками линейки (и освещенной, и неосвещенной стороной), что недопустимо делать на чертеже. Учащиеся, как правило, не приучены к работе двумя угольниками и к использованию их при построении ряда углов, а поэтому они не понимают всего значения выполнения ряда построений с помощью угольников, когда чертеж (в том числе и математический) будет выполняться быстро (я особо подчеркиваю слово «быстро», что очень важно), верно, точно и аккуратно.

Можно привести много и других примеров неправильных навыков (неуменье правильно держать карандаш при проведении прямой по линейке, чинить карандаш и т. п.).

Сначала, при выполнении целого ряда работ на первых уроках, я фронтально всему классу показываю, как пользоваться инструментом (например, откладывание равных расстояний измерителем). Выполняя эти же операции на классной доске циркулем, я обращаю внимание учащихся на разницу приемов при вычерчивании на доске (например, классный циркуль нельзя взять за головку двумя пальцами). После этого предлагаю учащимся поупражняться сначала не на чертеже. В это время обхожу класс, делаю замечания, показываю приемы. На это уходит несколько минут. И только после предварительных упражнений учащиеся выполняют эти операции на чертеже на форматке.

Выполняя те или иные операции на классной доске, я систематически обращаю внимание учащихся: «Как вы проведете параллельные линии? Как вы будете держать карандаш?». Задаю вопросы. Требую того или иного учащегося встать на месте и показать приемы. Так из урока в урок, под бдительным наблюдением и при помощи учителя, ученики приобретают верные приемы и исправляют неверные навыки. Впоследствии менее приходится обращать внимание учащихся на разницу построений на классной доске и на форматке. В четвертой четверти первого года обучения при проведении уроков-диктантов мы уже совершенно не обращаем на это внимания, так как учащиеся достаточно усвоили верные приемы.

Наглядности обучения черчению я придаю большое значение и никогда не прихожу на урок без наглядных пособий. Наглядные пособия изготовляю в процессе подготовки к целой теме программы и в процессе подготовки к отдельным урокам. Мы с учениками на графическом кружке изготовляем наглядные пособия. Отдельные учащиеся изготовляют пособия в порядке индивидуальных заданий. К этому я привлекаю также шефов и родителей учащихся. Таким образом, у меня за годы работы накопилось много наглядных пособий на все разделы программы по всему курсу черчения.

Я составляю тематические комплекты наглядных пособий, которые из года в год улучшаю, пополняю или частично изменяю.

Так, по теме «Шрифты ГОСТ 3454-46» (одна из больших и трудных тем программы) у меня составлен следующий комплект:

1) Конструктивный плакат (формата а3), изготовленный мною из тонкого картона. Он представляет собой вычерченную по элементам на графической сетке букву о, к которой даются различные приставки, вырезанные отдельно из картона, и из буквы о можно таким образом получить: а, р, б, с, е, з, ю, в, д, т. е. все буквы, в конструкцию которых частично или полностью входит буква о.

2) Альбом заглавных и строчных букв и цифр, выполненных крупно (100 мм X 150 мм) в цвете, на цветной графической сетке (на форматке а4). Выполняли ученики в порядке индивидуальных заданий.

3) Цветной плакат (формата а1), на котором показаны параллельно заглавные и строчные буквы (А, а, Б, б, В, в, Д, д). Выполнен ученицами ШРМ № 3 на кружковых занятиях при 15-й Люботинской средней школе.

4) Конструкция всех букв и цифр (форматка аЗ). Таблицы на синьке даны шефами — ка-

федрой графики Харьковского политехнического института имени В. И. Ленина.

5) Фотографии страницы «Шрифты» из официального издания «Чертежи в машиностроении», издание 1950 г. Фотография выполнена учениками.

6) Копия таблицы конструкций букв из журнала «Математика в школе», 194-7, № 2, (в этом номере помещена статья «О преподавании стандартного шрифта в средней школе»), формата а1, заказывалась специалисту.

7) Копия ученической работы «Шрифты ГОСТ 3454-46», увеличена до формата а1.

8) Картотека букв и цифр на цветной графической сетке формата а8 (101 X 72) используется как раздаточный материал. Выполнялась мной и отдельными учащимися.

9) Копии с таблиц-синек, данных шефами. Выполнялись отдельными учащимися.

10) Образцы самодельных (выполнялись учащимися) перьев и ручек для надписей стандартным шрифтом:

а) деревянная ручка-перо представляет собой заостренную палочку, у которой конец обрезается по толщине обводки букв необходимого размера шрифта;

б) стеклянная ручка-перо, изготовленная по указаниям Н. А. Меделяновского (см. «Математика в школе», 1947, № 2);

в) ручка-перо, сделанная из бракованной иглы медицинского шприца и прикрепленная проволочкой к граненой палочке;

г) трубчатые перья разных размеров, сделанные по чертежу, приведенному в книге М. В. Атаманюка «Шрифт для чертежей», Гостехиздат Украины, 1949.

11) Шрифтовой угольник с углами в 75, 45 и 60°; на расстоянии 3,5 мм от одной стороны угольника, 5 мм от другой стороны и 7 мм от третьей стороны прорезаны щели; разработан и изготовлен самостоятельно учеником VIII класса 82-й средней школы г. Харькова Баша; приспособлен к размерам шрифта: 3,5; 5; 7.

12) Тетрадь «по двум косым», на которой выполнены по готовой сетке упражнения в надписях стандартным шрифтом.

13) Образцы-подлинники лучших ученических работ «Шрифты ГОСТ 3454-46» за прошлые годы.

Другой пример комплекта по теме «Сопряжения»:

1) Таблицы цветные формата а1, показывающие примеры выполнения сопряжений.

2) Таблицы на формате а1—чертежи контурных очертаний деталей, требующие выполнения сопряжений.

3) Таблицы на формате а1—чертежи этих же деталей, изображенных в аксонометрии;

4) Рабочие чертежи этих же деталей на форматах а4.

5) Детали металлические к чертежам и таблицам в натуре (фланец, серьга и другие).

6) Образцы-подлинники лучших ученических работ этих же и подобных контурных очертаний деталей.

При наличии такого комплекта можно показывать сопряжения на конкретных технических примерах. На рабочих чертежах даются краткие описания деталей: 1—конус русского изобретателя Рязанцева; применяется при соединении концов труб, работающих в условиях разных изменений температуры, в передней топке паровоза; 2 — храповое колесо; отличается от зубчатого профилем зуба и тем, что оно не работает в зацеплении с другими колесами; можно видеть на паровозах в смазочных прессах системы русского изобретателя Лысова, в лебедках, в часовых механизмах.

К такому комплекту наглядных пособий можно обращаться несколько раз. При изучении темы «Сопряжения» таблица, показывающая сопряжения, является центральной, другие таблицы — подчиненными.

При вычерчивании контурных очертаний деталей вторая таблица будет центральной. Этот же комплект может быть использован и в других классах при выполнении чертежей, но здесь центральными пособиями будут рабочие чертежи и детали, а другие таблицы — вспомогательными, справочными.

Третий пример комплекта по теме для IX класса «Проекции отрезка прямой общего и частных положений относительно плоскостей проекций»:

1) Цветные плакаты формата а1, изображающие трехгранный угол с проекциями отрезка на плоскостях и с выделением отрезка в пространстве.

2) Проволочные модели этих же отрезков, достаточно крупные (оси X, Y и Z 50 см длиной), которые вставляются в картонный трехгранный угол.

3) Изготовляемые учениками бумажные модели-эпюры складные, формата аб (101 X 144). В развернутом виде они равняются формату а4, поэтому мы их называем моделями альбомного типа. В эпюры вкладываются, вставляются или пришиваются различные вставки: отрезки, плоскости и другие в зависимости от изучаемого материала. Такие модели очень просто изготовлять, составлять (в развернутом виде) альбомы и (в свернутом виде) хранить в обыкновенных почтовых конвертах. Такие модели оказались очень практичными, они активизируют учащихся, заставляют их с интересом, творчески работать. Учащиеся изготовляют много интересных, остро-

умных и простых моделей, в которых цветные ниточки являются проектирующими лучами, фигура в пространстве оттягивается другой ниточкой, и т. п.

4) Образцы-подлинники лучших ученических работ.

Эпюр вычерчивается на доске. Таким образом, этот комплект позволяет показывать точки, отрезки и их проекции на эпюре (чертежи на доске), на аксонометрическом изображении (цветной плакат), на крупной модели и на индивидуальных ученических моделях. Этот методический прием очень ценен и необходим на первых уроках при изучении элементов начертательной геометрии. Он способствует развитию пространственных представлений и более прочному усвоению материала. К доске можно вызывать одновременно трех учащихся, которые будут решать задачи и упражняться (один у эпюра, другой у плаката и третий у модели).

Четвертый пример. Весьма интересным и оригинальным наглядным пособием является комплект по теме «Разрезы»:

1) Таблица формата а2, на ней изображена втулка. Две половины чертежа по оси симметрии открываются (как ставни у окна), и под ними мы увидим втулку в разрезе (вертикально продольный разрез).

2) Эта же втулка в натуре, т. е. металлическая деталь.

3) Конструктивные с открывающимися створками карточки форматов а5 и аб, на которых показаны разрезы полные и частичные (вырывы), соединение наружного вида с разрезом. Разрезы выполнены вертикальной, горизонтальной и профильной плоскостями. Даны чертежи деталей и учебных моделей.

4) Учебные модели и детали с выполненными разрезами (к вышеприведенным чертежам).

5) Образцы-подлинники лучших ученических работ по этой теме.

Особенным вниманием у нас пользуется комплект цветных таблиц формата а4 «Основные правила при черчении». Выполнялись они учащимися — любителями рисования. Они представляют собой частично оригинальные рисунки с натуры, большинство же — увеличенные копии из учебников (в последнее время мы стали фотографировать с натуры) с кратчайшими текстами-правилами, составленными мною. Пример: из книги В. О. Гордона «Черчение плоских и пространственных фигур», изд. 1951 г., увеличивается рисунок 3 фигуры 19 (на стр. 17) и к рисунку дается текст: «При проведении окружности большого радиуса применяй удлинитель. Иглу и карандаш или круглое перо устанавливай вертикально».

В прошлом шефы одной из школ выполнили «Основные правила при черчении» типографским способом и дали ряд клише.

Эти «основные правила» были разбиты на следующие разделы:

1) Подготовка к работе.

2) Во время работы:

а) общие правила,

б) при работе карандашом,

в) при работе тушью,

г) порядок обводки тушью.

3) После окончания работы.

Затем «Основные правила» вышли большим цветным плакатом на хорошей бумаге. Здесь было значительно больше правил и клише. Я и сейчас продолжаю работать над «Основными правилами», улучшаю их и делаю более полными, охватывающими весь курс черчения в средней школе.

Плакаты и цветные таблицы вывешивались в рамках под стеклом в кабинете черчения.

Кабинет черчения — это обыкновенное, но дополнительно освещенное классное помещение, в котором ведутся по обыкновенному расписанию все уроки. Здесь сосредоточиваются наглядные пособия по черчению, повешена большая классная доска и имеется шкаф.

Очень желательным в целях наглядности является применение цветных мелков. Я их изготовляю очень просто: кладу маленькие кусочки мела на ночь в раствор анилиновой краски, а затем просушиваю.

Легким делом были подбор и составление деревянных моделей для съемки эскизов с натуры. Я широко использовал «строительные ящики» и «кирпичики» и из них складывал, склеивал или сбивал тонкими гвоздиками необходимые сочетания. В других случаях я дополнительно просверливал отверстия, вырезал пазы, делал срезы. Родители учащихся по моим эскизам изготовляли прекрасные буковые учебные модели, модели деталей, модели различных (срединных, угловых и других) соединений деревянных конструкций. Цветные модели из игрушечных ящиков помогали наглядности. Я всегда мог снабдить каждого учащегося моделью для съемки эскиза с натуры, причем двух одинаковых моделей в классе не было.

Значительно труднее и длительнее идет подборка металлических деталей. Необходимы детали, четко выражающие геометрические тела в их простейших сочетаниях. Такие детали приходится иногда долго отыскивать. Кроме объемных для съемки эскизов (в нескольких видах), последнее время я стал подбирать и «плоские* детали, которые демонстрирую при вычерчивании контурных очертаний деталей (с применением сопряжений или с применением деления окружности на равные части).

Комплекты моделей и деталей дополняются образцами-подлинниками лучших ученических работ.

Подбору и установлению лучших образцов ученических работ приходится уделять много груда, внимания и времени.

В течение последних четырех лет я работал над установлением образцов нескольких работ. Необходимо, чтобы содержание отвечало программным требованиям, чтобы посильно было для учеников (не слишком легко, не слишком трудно для выполнения), по композиции просто и красиво, чтобы теоретические пояснения и практическое выполнение работы укладывались в отведенное программой время.

Для установления образцов я прежде всего, глядя на часы, вычерчивал работу сам. Наметив данный вариант, я проверял выполнение его в ряде параллельных классов в нескольких школах, собирал работы и вел строгий учет процента выполнения, качества выполнения. В классах при проведении работ я делал, наблюдая за учащимися, различные записи-заметки. Учитывая все, я в другой школе вносил некоторые коррективы и уже несколько иначе проводил эту работу. Собрав материал за один учебный год, я в процессе подготовки к следующему учебному году анализировал его и намечал план на следущий учебный год. Эта кропотливая из года в год работа приводит к очень хорошим результатам.

Работа «Линии чертежа ГОСТ 3456-46» вполне достаточна, если учащиеся проведут в верхней части форматки двенадцать концентрических окружностей, а в нижней части форматки — двенадцать параллельных горизонтальных линий. Те и другие линии должны быть на расстоянии пяти миллиметров одна от другой. Из каждых двенадцати линий три линии должны быть выполнены сплошной «паутинкой», тонко; три линии — тоже «паутинкой», штрихпунктирной; три линии—штриховой, 0,3 мм шириной; три линии —сплошной жирной, 0,8 мм шириной.

Когда установлен образец, необходимо выбрать самый верный, точный и аккуратный чертеж для демонстрации. Нельзя переоценить роли и значения хорошего образца в натуральную величину при обучении черчению.

В одном классе я дал самые подробные устные пояснения и зарисовки на доске, выполнил работу «Линии чертежа» мелом на доске, опрашивал учащихся, но не показывал образца в натуральную величину. В другом классе я дал очень сжатые пояснения, вычертил только схему этой же работы, но всем роздал образ-, цы работ в натуральную величину. Ни в том, ни в другом случае я не помогал учащимся на их рабочих местах, и работа выполнялась ими совершенно самостоятельно. Получились различные результаты. В первом случае только несколько учеников вполне справились с работой, выдержав ширину линии, длину штрихов, расстояния между штрихами. Во втором случае только несколько учеников не справились с работой.

Подбору различных комплектов ученических работ я уделяю большое внимание, например: классная работа на деление окружности на равные части, домашняя работа на эту же тему, комплекты работ отдельных учеников за год, за несколько лет, лучшие работы на ту или иную тему работы, брак, работы, обведенные тушью в классе, и другие комплекты. Эти комплекты помогают мне в моей дальнейшей работе.

Для того чтобы урок был полноценным, необходима хорошая подготовка к нему, независимо от стажа работы учителя. Дома я создал соответствующие условия для работы. В небольшой комнате оборудовал рабочий кабинет. Здесь есть письменный и чертежный столы, небольшой столик для подготовки пособий к очередным урокам, шкаф для книг, этажерка для альбомов, полочки для различных комплектов ученических чертежей, ученические чертежные доски различных конструкций, чертежные инструменты, инструменты и материалы для моделирования из картона, дерева и проволоки. Все это помогает продуктивно работать, хорошо готовиться к урокам. Теперь я решил пополнить свой рабочий кабинет классной доской, чтобы в необходимых случаях мог предварительно вычертить чертеж или выполнить рисунок.

Готовясь к урокам, я просматриваю ученические чертежи и свои рабочие планы за прошлые годы, просматриваю зачастую много литературы по интересующим меня вопросам, газеты, заглядываю в учебники и методику математики, пользуюсь техническими библиотеками втузов. Часто обращаюсь к книге М. И. Калинина «О коммунистическом воспитании» и к другим книгам по педагогическим вопросам. Использую книгу Данилевского «История русской техники». Подбираю необходимые примеры. Наш знаменитый соотечественник Иван Петрович Кулибин еще в 1794 г. дал чертеж семафорного телеграфа по методу ортогональных проекций, в то время как книга Г. Монжа (французского ученого) «Начертательная геометрия» была опубликована в 1795 г. Подбираю примеры, показывающие грандиозное развитие советской техники, использую материалы великих сталинских строек коммунизма. Подбираю наглядные пособия, изготовляю новые, вычерчиваю работы, продумываю рисунок и чертеж на классной доске.

На уроке большая часть времени заполняется работой учащихся с помощью чертежных инструментов, особенно при изучении геометрического черчения. Особенно успешно геометрическое черчение и выполнение практических работ проходят в тех классах и школах, где теоретический материал хорошо усвоен на уроках геометрии.

Работать тушью в классе я считаю обязательным. Учитель должен обучить всем практическим приемам работы тушью.

При изучении геометрического черчения я несколько уроков полностью или частично отвожу для работы тушью. Считаю совершенно недопустимым перенос целиком на домашние задания обводку чертежа тушью. Обводку рамки чертежа тушью мы делали в классе, «Линии чертежа ГОСТ 3456-46» мы выполняли тушью в классе, целый ряд букв стандартного шрифта тоже в классе обводили тушью. Специальный урок по обводке чертежа тушью мы выделяли для контуров деталей, требующих сопряжений. Не менее 40 минут у учащихся уходит собственно на обводку тушью. Карандашный чертеж тонкой линией, конечно, вычерчивается заранее. Учащиеся свободно справляются за урок с простыми сравнительно контурами (фланец, серьга), а более сильные вполне справлялись с такими контурами, как грузоподъемный крюк.

Моя работа на таких уроках состоит главным образом в общем наблюдении. Я всегда нахожусь среди учащихся, ободряю, делаю те или иные замечания, разъясняю и показываю учащимся отдельные операции, помогаю, где нужно, лучшие работы сразу же показываю всему классу. Учащиеся свободно обращаются ко мне с вопросами, показывают свои работы.

В IX и X классах уже заметное место на уроках начинают занимать эскизные наброски от руки. В этих классах перед учителем стоят две важные задачи: развитие пространственных представлений и обучение верным, аккуратным и быстро выполняемым эскизам и различным зарисовкам от руки.

Для того чтобы учащиеся могли хорошо выполнять различные работы от руки, выдерживать пропорции, обвести работу соответствующими типами линий и сделать чертеж более рельефным, я отвожу некоторое время на уроках на небольшие предварительные упражнения и показываю приемы работы (как провести прямую, как построить на глаз тот или иной угол, как провести окружность и т. д.).

Но работа от руки все-таки остается одним из «узких» мест. Для следующего учебного года я подготовляю небольшое количество систематически подобранных упражнений, которые предполагаю показать в разное время на протяжении всего курса черчения.

Учащиеся старших классов с большим интересом решают пространственные задачи, а техникой выполнения чертежа с помощью инструментов занимаются с меньшей охотой. И эти интересы учащихся следует иметь в виду. В IX и X классах я ввожу тетрадь для эскизов (в клеточку) и применение цветных карандашей. Здесь я даю свободу не только в решении большого количества задач, но и в составлении их. При этом одни ученики составляют задачи, а другие решают. Такие уроки проходят с большой активностью, увлечением и интересом. Решение и составление задач я стараюсь проводить на всем протяжении обучения элементам начертательной геометрии. Приведу следующий пример. При пересечении правильной шестиугольной призмы проектирующей плоскостью мы рассматриваем различные фигуры сечения: прямоугольник, трапецию, треугольник, пятиугольник, семиугольник, восьмиугольник, правильный и вытянутые шестиугольники, частный случай — квадрат. После этого я распределяю различные варианты среди учащихся.

Отдельные уроки я посвящаю изготовлению бумажных моделей. Так, при изучении пересечений пирамиды проектирующей плоскостью я выделяю один час для моделирования в классе. Учащиеся заранее об этом предупреждаются, несколько человек приносят ножницы, некоторые приносят цветную бумагу. Такой урок я даю после того, как уже были вычерчены пересечения пирамиды (эпюр), развертка и наглядное изображение. Учащиеся уже хорошо ознакомились с изготовлением координатных углов и различных простейших моделей по элементам начертательной геометрии. На класс дается несколько различных вариантов пересечения пирамид (прямоугольная, квадратная, треугольная и другие).

В течение урока учащиеся карандашом вычерчивают эпюр, разрезают в одном месте и получают модель, отдельно вычерчивают развертку и модель секущей плоскости. Отдельные учащиеся даже вклеивают плоскость сечения в координатный угол и развертку пирамиды на свои места. Таким образом получаются очень хорошие модели, наглядно показывающие пересечение пирамиды проектирующей плоскостью, где плоскость выполняется одним цветом, развертка пирамиды — другим. Но должен отметить, что перед таким уроком проделывалась большая подготовительная работа на всех предыдущих уроках. Учащимся заранее были показаны различные варианты подобных полных моделей. Дома учащиеся продолжают незаконченную работу.

Домашние задания, как правило, служат продолжением урока, учащиеся на уроке уже как бы начинают их выполнять и частично выполняют; таким образом учащиеся успешно закрепляют знания и навыки, полученные на уроках. Кроме этого, выполнением домашних заданий я стараюсь подготовить учащихся к следующему уроку (я даю учащимся подготовить рабочее поле чертежа: разбить на четыре равные части и в каждой четвертой части найти в середине будущие центры окружностей— для урока «Деление окружности на равные части», вычертить в трех проекциях конус в правом верхнем углу — для урока «Пересечение конуса плоскостью» и т. п.). Такая подготовка позволяет быстро переходить на уроке к основному материалу, не теряя времени на подготовительную работу.

Задания на дом я стараюсь разнообразить: модель, чертеж карандашом, чертеж тушью, решение задач в тетрадке и т. п.

Запас различных вариантов заданий позволяет мне индивидуализировать задания и, ведя работу со всем классом, вести работу и с активом, и с отстающими. Но необходимо заметить, что при целом ряде работ («Линии чертежа», «Шрифты» и другие) необходим один вариант на класс. Это позволяет учащимся и учителю, сравнивая работы, лучше видеть те или иные их недостатки. Здесь ни в коем случае нельзя давать индивидуальных заданий.

В большинстве случаев необходимо иметь большой запас различных вариантов, особенно при изучении элементов начертательной геометрии, что способствует развитию пространственных представлений.

Тематическому содержанию в подборе различных вариантов я уделяю большое внимание и систематически накапливаю различные примеры.

В железнодорожных средних школах я подбираю материал из железнодорожной техники, стараюсь дать такие примеры, которые учащиеся могут увидеть: вместо двутавровой балки я даю профили различного типа рельсов; детали паровоза, детали путевого инструмента и различные другие примеры. В сельской школе я привлекаю материал из сельскохозяйственной техники. Подобранная таким образом тематика помогает учащимся лучше осмыслить чертеж, с большим интересом относиться к работе, развивает наблюдательность, прививает любовь к технике.

Конкретизация и наглядность материала облегчают работу и в разделах по элементам начертательной геометрии: вращение точки можно показать вращением гирьки на веревочке, вращение отрезка сравнить с гигантскими шагами, сечение показать разрезом предмета ножом, проекции показать как тень и т. д.

Уроки я всегда стараюсь разнообразить. Иногда бывают уроки, содержащие все звенья процесса обучения. Такие уроки можно проводить, когда тема урока легкая, графические работы небольшие и можно уложиться в один час. Я особенно хочу подчеркнуть недопустимость «единой» формы урока, которая сводится к вычерчиванию учителем чертежа на доске и к механическому перечерчиванию его учащимися себе в тетрадь (или даже к небрежным зарисовкам), когда вся тяжесть по выполнению разнообразных работ переносится на дом и учащиеся «самообучаются» с очень большой затратой времени и сил. Все показать и всему, что есть в программе, обучить мы должны на уроке.

На уроках я веду наблюдения за работой учащихся (за правильностью посадки, правильностью приемов работы, аккуратностью, точностью и быстротой работы) и, учитывая наблюдения, ставлю оценки за работу в классе. Я считаю недопустимым ставить оценки только за чертежи, да еще выполненные дома, без наблюдения учителя. Только сочетая наблюдения, устный опрос по чертежу (достаточно бывает двух-трех вопросов), при наличии законченной работы можно правильно оценить знания, умения и навыки учащихся.

Перехожу к внеклассной работе по черчению.

В 15-й средней школе на ст. Люботин Южн. ж. д. у меня был организован графический кружок из учащихся IX и X классов, в котором принимали участие несколько учащихся из соседней ШРМ № 3. Мы оформляли класс черчения, ремонтировали наглядные пособия и изготовили ряд новых пособий (таблиц): проекции отрезка, изометрическая проекция, фронтальная проекция, электрифицированная таблица «Покажи проекции точек», «конструктивный» плакат по теме «Разрезы», болт двухоборотный, плакатный шрифт и ряд других таблиц формата а1.

В другом году у меня в кружок стали записываться учащиеся из средних классов, в которых черчение не изучается. С этими учащимися мы выполняли различные тематические орнаменты; учащиеся занимались с увлечением, приобретая правильные навыки в работе.

Оборудование для кружка у нас состояло из трех стандартных столов. Школьный столяр приспособил крышки на петлях с одной стороны и на кронштейнах — с другой. Таким образом крышкам можно давать различный наклон. Большие рейсшины также сделал нам школьный столяр.

Учащиеся IX класса 82-й школы г. Харькова выразили желание организовать графический кружок. Как преподаватель черчения, я обратился за помощью в ближайший вуз — Автодорожный институт. Здесь пошли нам навстречу. Мы провели экскурсию актива учащихся на кафедру графики института. В институте нам выделили аудиторию и время для занятий, выделили двух членов кафедры графики для работы с кружковцами. Об этом кружке узнали учащиеся и учителя черчения других школ г. Харькова. Скоро кружковцев собралось около 80 человек из двенадцати школ г. Харькова и пригорода. Лаборант института обслуживал кружковцев наравне со студентами. В кружке была организована группа по рисунку, учащимся читались лекции по перспективе и проводилась с ними практическая работа — рисовали с натуры.

Экскурсии у нас пользуются большой популярностью. Мы посещали кафедры графики Харьковского инженерно-строительного и Горного институтов. В Харьковском институте инженеров железнодорожного транспорта для нас специально делались выставки студенческих работ и пособий. Мы знакомились с русскими и советскими учеными, внесшими вклад в развитие отечественной графики, в науку. Там же мы организовали встречу учащихся средних школ с бывшими учениками этой же школы, теперь студентами института. В. Олейник, бывший ученик Люботинской школы, теперь отличник в институте, рассказал о большой пользе знаний по черчению для дальнейшей учебы, с благодарностью вспоминая учебу в школе.

С X классом 18-й средней железнодорожной школы (разъезд Майский) мы провели экскурсию в паровозное депо на станции Люботин. Директор школы провел беседу с учащимися. Мы осмотрели депо, широко используя чертеж для ознакомления с механизмами и работой у станков. Заранее наметив со мной тематику, инженеры, техники и мастера попутно задавали различные вопросы по черчению. Мы прослушали лекцию о передовиках нашего депо, о рационализаторах и изобретателях (и здесь использовались чертежи), о железнодорожниках — лауреатах Сталинских премий. После мы зашли в технический уголок, где для каждого учащегося уже были приготовлены детали, мерительный инструмент, бумага и карандаш. Ученики должны были снять эскиз с натуры. Это был их «производственный» экзамен.

С учащимися X класса 17-й мужской средней школы г. Харькова мы последнюю работу на построение третьей проекции по двум данным и выполнение наглядного изображения производили в аудитории Харьковского политехнического института имени В. И. Ленина. По расписанию нам сделали урок последним, и мы всем классом отправлялись в институт.

В институте нам выдавали большие листы чертежной бумаги, рейсшины и инструменты. Нам отвели аудиторию. Я отобрал институтские синьки-задания (исключил пересечение тора с конусом и другие, выходящие за программу средней школы). По этим синькам десятиклассники выполняли задания.

Особым интересом среди учащихся пользуются текущие систематические выставки. Я режу ленточки бумаги длиной 840 мм и шириной 300—500 мм, складываю вчетверо по 210 мм и на каждую четвертую часть при» крепляю двумя скрепками узкой стороной форматки чертеж (чертежи выполняются так, что длинная сторона форматки располагается вертикально). Таким образом две ленточки будут иметь восемь чертежей, что равняется формату а1. Такие выставки-ленточки в течение одной-двух минут можно скрепить прямо на уроке из выполненных в классе работ учащихся, а в перемену кнопками приколоть в коридоре школы для всеобщего обозрения. Они удобны еще и тем, что любой чертеж в случае необходимости можно легко заменить другим. Учащиеся готовят сами такие выставки-ленточки из своих работ. Содержание выставок самое разнообразное: текущие классные работы, текущие домашние работы, работы отдельных учеников за определенный период (четверть, полугодие), работы целого класса, работы на определенные темы, работы нескольких параллельных классов, работы нескольких школ и пр. Большой интерес привлекают выставки, на которых можно сравнивать аналогичные работы. Возле этих выставок всегда в перемену толпятся учащиеся, ведутся горячие обсуждения. В конце последней перемены выставки-ленточки в течение двух минут убираются и складываются «гармошками» в папки. Такие выставки я использую на уроках, развешивая необходимые мне по содержанию «ленточки ».

Я здесь не говорю об обычных годовых или полугодовых выставках. Мне хочется привлечь внимание к тематике выставок, их оперативности и использованию в повседневной учебно-воспитательной работе.

Особенным интересом пользовались выставки отдельных учеников за несколько лет. Так, я выставлял работы И. Глушко и некоторых других учащихся 18-й школы за три года. Исключительно интересна была выставка графических работ ученицы Р. Зайковой (те-

перь она инженер железнодорожного транспорта). Были показаны все ее графические работы, начиная с дошкольного возраста и кончая прекрасными чертежами, эскизами и рисунками в X классе.

На переменах я не только вывешиваю выставки, иногда я вывешиваю таблицы с задачами-«головоломками», задачами на изгибание моделей из проволоки. Я подготовляю десятка два мягких проволочек миллиметров по 200 длиной. К таблицам собираются охотники решать самую трудную задачу. С увлечением начинается решение задач, изгибание проволочек по эпюрам.

Иногда учащиеся выступают в школьной стенной газете со статьями о черчении, помещают задачи. Учащиеся выступают также в многотиражках своего района «Красное знамя», в дорожной газете Южной железной дороги «Угольная магистраль» и в «Комсомольской правде».

К внеклассной работе я привлекаю и родителей. Родители 16-й школы помогли оборудовать прекрасную выставку, старший инженер И. В. Родин на кружковых занятиях показал проект народной стройки — клуба. Кружковцы с большим интересом обсуждали проект, тем более, что они сами личным трудом принимали участие в работах. Я устраивал собрания родителей «графического актива» учащихся. Эти родители были не только помощниками, но и пропагандистами улучшения постановки преподавания черчения в школах.

Комсомольцы — мои лучшие помощники, во всех начинаниях они идут впереди, показывая пример всем учащимся. С комсомольцами школы я провел занятия по оформлению школы, изготовлению лозунгов и других работ, и таким образом они как бы взяли на себя шефство над оформительской работой в школе. Я обратился в узловой комитет комсомола, и комсомольцы паровозного депо приняли горячее участие в подборе деталей, необходимых для кабинета черчения 16-й школы.

Я посещаю отдельных учащихся на дому, знакомлюсь с условиями и обстановкой, в которых они выполняют домашние задания по черчению, беседую с родителями, помогаю советом. Приходят нередко и ко мне отдельные учащиеся, они охотно среди альбомов, чертежей, пособий и литературы занимаются под моим руководством, участвуют со мной в подготовке к урокам.

В конце 1951/52 учебного года я наметил в порядке внеклассной работы прочесть учащимся десятых классов лекцию «Изображение пустотелого шара». Такой же доклад намечен, в несколько ином аспекте, и на секции математиков нашей школы.

Деловая, постоянная связь с кафедрами графики втузов и научной секцией графики Дома ученых г. Харькова, участие в секционной работе, связь с городским и областным институтами усовершенствования учителей оказывают значительную помощь.

На кафедрах графики харьковских автодорожного, инженерно-строительного и политехнического институтов ставились доклады о преподавании черчения в школе. Работники кафедр посещали уроки, кружковые занятия. Учеными Харькова читались доклады и лекции на семинарах учителей черчения. Кафедры графики некоторых институтов помогали наглядными пособиями, образцами чертежей и т. п.

Вообще говоря, уроки учителей черчения мало посещаются. Я старался использовать все возможные случаи для организации посещения моих уроков. Я приглашал учителей, практикантов-студентов вузов и родителей (особенно инженеров). Эти посещения мне очень помогли в деле улучшения уроков.

Большим и серьезным делом были областные выставки по черчению. Мы организовали посещение их учителями черчения. При осмотре их проводились беседы.

Последнее время в процессе работы я начал составлять методическую картотеку. В картотеке у меня накапливаются разработанные темы программы, перечни и образцы упражнений и самостоятельных работ, эскизы пособий, оборудования, различные тексты формулировок и т. п. Картотека мне служит частично справочником.

Использование существующей литературы, общение с учителями черчения и учеными вузов, постоянная, упорная работа над собой помогают мне все время расти и улучшать обучение черчению, повышать качество уроков и вести внеклассную и внешкольную работу.

ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ В ШКОЛЕ РАБОЧЕЙ МОЛОДЕЖИ

К. Е. АГРИНСКИЙ (Москва)

Рациональные приемы вычислений и решения задач. В IX класс школы рабочей молодежи пришли учащиеся, окончившие восемь классов московских и иногородних школ. Им было дано задание: вычислить катет по гипотенузе (ИЗ) и другому катету (112), т. е. вычислить:

Лишь двое применили формулу «разность квадратов». Все остальные возвышали числа в квадрат.

Точно так же лишь немногие решили уравнение:

X*— 10л: + 24 = 0

по теореме Виета.

При анализе работы преподаватель заявил, что отметки «5» и «4» снижены на единицу за нерациональное решение.

«Но ответ у нас получился правильный»,— последовало обычное в таких случаях возражение.

— Правильный ответ можно получить различными способами. Надо выбрать наиболее простой.

«Нас этому не учили».

Можно взять под сомнение справедливость последнего заявления многих учащихся, но все же остается бесспорным, что в школах мало уделяют внимания рациональным приемам вычислений. Многие учащиеся старших классов при сложении и вычитании смешанных чисел обращают их в неправильные дроби. Вместо того чтобы сразу написать ответ:

учащиеся обращают 42^ в неправильную дробь, т. е. не умеют применять распределительный закон.

Нарушение элементарных приемов вычислений встречается и в работах на аттестат зрелости.

Учитель должен систематически и планомерно прививать учащимся навыки рациональных вычислений, начиная с младших классов.

Материалом может послужить очередная задача из задачника или составленная самим преподавателем.

Приведу примеры.

Ученик VII класса решает уравнение:

Как правило ученик будет умножать 89 на 57.

Учителю полезно вмешаться и посоветовать не торопиться с умножением, а только обозначить 89-57.

Ученик пишет:

и убеждается, что умножение 89 на 57 было бы здесь излишним и бесполезным трудом.

При решении задач на составление уравнений особое внимание следует уделить вопросу о выборе неизвестных. Например, при решении задачи (Шапошников и Вальцов, задача № 400):

«С двух станций, находящихся на расстоянии 76 ~ км, выходят одновременно два товарные поезда и идут по одному направлению со скоростями 31 ^ км и ^4 км в нас>

причём первый идет за вторым. Когда первый поезд догонит второй?* — за неизвестное X можно взять число часов движения каждого поезда (1-й способ решения).

Несколько проще—по крайней мере для объяснений — задача решается, если за х принять расстояние (в километрах) от второй станции до точки «встречи» поездов (2-й способ решения).

Наконец, когда учащиеся приобрели достаточные навыки решения уравнений с буквенными коэффициентами, можно рекомендовать способ (3-й способ) замены данных величин буквами:

Число часов выразится величиной

Подставив числовые значения букв, получим ответ.

Последний способ решения сокращает записи и упрощает вычисления.

Полезно ученику VIII класса предложить вычислить ^ 39« _и 52а, не возвышая числа в квадрат.

Соответствующей формулы для данного слу-

чая нет, но здесь нетрудно заметить, что числа 39 и 52 имеют общий множитель 13, поэтому вычисление полезно выполнить так:

Разумеется, обычному перемножению 48-52 следует предпочесть умножение

однако едва ли будет полезно загружать память учащихся многочисленными и разнообразными приемами перемножения двузначных чисел. Эти приемы не удерживаются в памяти и могут приводить к ошибкам. Но прием возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5, следует рассмотреть:

Аналогично:

В отделе «Соединения» довольно часто встречаются уравнения вида: лг (/г + 1 ) = 56. Уравнение легко решается непосредственным сравнением двух последовательных чисел:

откуда:

Иногда автор задачника как бы направляет ученика на нерациональный путь решения, и если ученик не пойдет по указанному пути, то такую инициативу ученика следует поощрять. Например, в XV главе задачника Шапошникова и Вальцова под № 40 дана задача:

«Найти сумму членов ряда

Задача помещена в отделе «Прогрессии». Ученик, естественно, решает задачу по формулам:

Эту задачу можно решить проще, без формулы для суммы членов арифметической прогрессии, непосредственным суммированием ряда:

Аналогичный пример находим в алгебраическом задачнике Ларичева (задача № 1401):

«Если гс некоторому двузначному числу прибавить его половину, то в результате получится число, большее 128, но меньшее 130. Найти это число».

Задача помещена в отделе «Неравенства» для учащихся X класса, но ученик VII класса решит эту задачу очень просто: между числами 128 и 130 имеется единственное целое число 129. Обозначив через х неизвестное число, получим по условию задачи уравнение:

В задаче № 56 XX главы задачника Шапошникова и Вальцова требуется доказать, что во всяком неравнобедренном прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, меньше половины гипотенузы.

Учащиеся решают задачу аналитико-синтетическим методом. Синтетический метод упрощает решение, но он труднее, так как не всегда легко «догадаться», какое очевидное неравенство следует взять за исходное.

В результате получаются довольно громоздкие преобразования неравенства в ряд равносильных неравенств.

Но вот одна ученица заявляет: «Эту задачу можно решить проще».

Бывают иногда и такие случаи, когда учитель не видит того, что видит ученик: ученица описала около треугольника окружность; катет А (высота, опущенная на гипотенузу) меньше гипотенузы /? (черт. 1), но гипотенуза данного треугольника с = 2/?, поэтому А<у . Просто и изящно!

Геометрические задачи полезно решать различными способами: перестроить чертеж, иначе провести вспомогательные линии, выбрать другие наиболее подходящие теоремы и т. п.

Сравнивая различные способы решения задач, учитель должен обращать внимание класса на преимущества рациональных способов решения.

Черт. 1

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

ВАСИЛИЙ ПЕТРОВИЧ ЕРМАКОВ

С. А. ДАХИЯ (Харьков)

...Я желаю разумного и деятельного отношения преподавателей к науке, чтобы подобное отношение сообщилось и учащимся.

В. П. Ермаков

В марте текущего года исполнилось тридцать лет со дня смерти Василия Петровича Ермакова — профессора математики Киевского университета, члена-корреспондента Академии наук.

Имя В. П. Ермакова оставило видный след в истории развития отечественной математической культуры; даровитый ученый, он внес творческий вклад в ряд областей математической науки; выдающийся университетский профессор, он много способствовал подготовке почвы для возникновения в Киеве одного из крупных математических центров страны; автор ценных работ по вопросам педагогики математики и активный участник педагогических дискуссий своего времени, он был одним из тех деятелей, которые создавали передовую русскую методику преподавания математики в средней школе. Важная услуга оказана В. П. Ермаковым делу широкой популяризации физико-математических знаний в России основанием специального «Журнала элементарной математики».

В. П. Ермаков родился 27 февраля (ст. стиля) 1845 г. в г. Гомеле в «мещанской» семье. После окончания Черниговской гимназии он поступил в 1864 г. на математическое отделение физико-математического факультета Киевского университета. Окончив в 1868 г. университет со степенью кандидата, он был оставлен при нем на два года в качестве «стипендиата для приготовления к профессорской деятельности».

Университетскими преподавателями Ермакова были профессора М. Е. Ващенко-Захарченко, И. И. Рахманинов и П. Э. Ромер. Это были люди, стоявшие на уровне современной им науки и деятельно пропагандировавшие среди своих слушателей и в печати новые математические идеи*. Таким образом, В. П. Ермаков смог вынести из университета довольно широкий научный кругозор и вкус к актуальным в то время областям математического исследования.

Уже в бытность профессорским стипендиатом молодой ученый проявил разносторонность своих научных интересов, дав ценные самостоятельные исследования как в области чистого анализа, так и в области математической физики. Из этих ранних научных работ Ермакова общее внимание математиков обратил на себя открытый им (в 1870 г.) новый признак сходимости знакопостоянных рядов, замечательный по своей

* М. Е. Ващенко-Захарченко читал, в частности курс проективной геометрии, а позднее (с 1878 г.) и первый у нас курс неевклидовой геометрии. Специалист в области прикладной математики, И. И. Рахманинов систематизировал и пропагандировал в лекциях и в печати новые открытия в аналитической механике и особенно исследования М. В. Остроградского. П. Э. Ромер дал в своей диссертации «Основные начала метода кватернионов» и изложеиие теории гиперкомплексных чисел (кватернионов) и их геометрических приложений (векторную трактовку дифференциальной геометрии).

простоте и высокой «чувствительности»*. В своей простейшей форме этот признак (названный его автором «показательным») гласит: «Ряд /(l)-j~ +/(2)-}-/(3) 4~... будет сходящимся, если отношение —f(x) П^И 00 стремится к пределу, меньшему единицы, и будет расходящимся, если для достаточно больших значений х это отношение больше (или равно) единицы». (Функция f(x) предполагается положительной и убывающей.)

Успешно окончив «профессорскую стипендиатуру», В. П. Ермаков воспользовался предоставленной ему двухгодичной заграничной командировкой. Руководствуясь указаниями и советами П. Л. Чебышева, принявшего заботливое участие в молодом ученом и оказавшего ему авторитетную помощь в составлении плана дальнейших занятий, В. П. Ермаков направился в Берлин, где слушал лекции Куммера и Кронекера по теории чисел, Вейерштрасса — по теории абелевых функций и Гельмгольца — по теоретической физике; часть времени он провел в Гейдельберге, занимаясь экспериментальными исследованиями в физической лаборатории Кирхгоффа. Знакомясь с западноевропейской математикой, Ермаков сохранил, однако, самостоятельность своей научной мысли, он внимательно следил за достижениями русских математиков и особенно за высоко ценимыми им работами П. Л. Чебышева и его Петербургской школы. Свойственное научной школе П. Л. Чебышева стремление к тесному единению теоретической математики с областями ее приложения — и прежде всего с физикой — стало также путеводной нитью киевского математика в его научном творчестве последующего периода.

По возвращении из командировки В. П. Ермаков защитил в Петербургском университете магистерскую диссертацию на тему «Общая теория интегрирования линейных дифференциальных уравнений высших порядков с частными производными и с постоянными коэффициентами». Дифференциальные уравнения привлекают к себе исследовательский интерес Ермакова и в дальнейшем, как важнейший математический аппарат теоретической физики.

В 1874 г. В. П. Ермаков был избран доцентом Киевского университета. Одновременно он в течение семи лет работал преподавателем военной гимназии и читал геометрию на Высших женских курсах. Таким образом, В. П. Ермаков находился в непосредственном соприкосновении со средней школой и постепенно приобретал тот опыт преподавания элементарной математики, на основе которого сформировались затем его педагогические и методические воззрения. Вместе с тем, тогда же зародилось у В. П. сознание необходимости широкой популяризации математических знаний.

Новые — методические и популяризационные— интересы, возникшие у В. П., однако, еще продолжительное время почти не получали внешнего выражения. Большая педагогическая нагрузка и интенсивная научная работа, связанная сперва с подготовкой докторской диссертации, а затем с разработкой новых университетских курсов и с составлением к ним печатных руководств, поглощали все время ученого.

Защитив в 1877 г. докторскую диссертацию, посвященную дифференциальным уравнениям механики (в этой диссертации В. П. предложил оригинальный метод интегрирования канонических уравнений движения), В. П. стал экстраординарным профессором университета. Неся новые, более ответственные, университетские обязанности, В. П. все же еще ряд лет продолжал педагогическую работу в средней школе.

В восьмидесятых - девяностых годах центр тяжести научных изысканий В. П. сместился в направлении усиленно развивающихся в этот период более абстрактных областей математики. В. П. дал ряд оригинальных работ и ценных монографий по общим вопросам вариационного исчисления, по теории функций комплексного переменного, по теории вероятностей, по высшей алгебре. На этих работах лежит печать свойственной научному мышлению В. П. живой математической интуиции и вместе с тем высоко развитого критического чувства. Последнее направлено у В. П. против чрезмерного и бесцельного усложнения математических теорий, усложнения, грозящего математике, по мнению В. П., бесплодием и схоластицизмом.

«Простота! возможная простота!»—говорил В. П.**,—этого требует логика природы, логика жизни. Иное явление природы нам кажется сложным по существу; но вот является исследователь, который укладывает явление в простую форму, понятную для всех.

Так учит история. Послушаем же уроков истории и употребим все силы нашего ума на

* Как известно, частные признаки сходимости числовых рядов (Даламбера, Коши и др.) в так называемых «сомнительных» случаях не решают вопроса о сходимости ряда. «Чувствительность» (или, как говорят теперь, «эффективность») признака тем выше, чем менее объемистым будет класс таких сомнительных (для этого признака) рядов. Как показал Ермаков, его признак превосходит в этом отношении все ранее предложенные признаки (см. статью В. П. Ермакова «Теория сходимости бесконечных строк и определенных интегралов» в т. VI (1872) «Математического сборника»).

** Статья «В чем сущность алгебры?» («Педагогический сборник», 1896).

приведение изучаемого нами предмета к возможно простым формам».

Исходя из такого глубоко демократического по своему духу понимания значения науки, В. П. Ермаков усиленно занимается переработкой в указанном направлении ряда особенно сложных математических теорий (в частности, теории Галуа).

Соответствующие труды В. П. сыграли в свое время значительную и полезную роль, облегчая начинающим математикам доступ к «тайникам» математической науки и стимулируя внимание математиков к методическим проблемам.

В 1884 г. В. П. был избран членом-корреспондентом Академии наук «по разряду математических наук».

В том же году В. П. начал издание двухнедельного «Журнала элементарной математики». Журнал Ермакова пришел на смену прекратившему незадолго до того свое недолгое существование «Математическому листку», издававшемуся в Москве в 1879—1882 гг. А. И. Гольденбергом. Восстановив таким образом восходящую еще к тридцатым годам XIX столетия (когда К. Купфером в Ревеле издавался «Учебный математический журнал») традицию русской популярно-математической периодической печати, В. П. Ермаков сыграл важную роль в истории популяризации математических знаний в России. В программу журнала В. П. Ермаковым была включена, наряду с элементарной математикой, еще и физика, что отражало общую концепцию издателя-редактора о взаимооплодотворяющих связях этих двух наук и вместе с тем расширяло круг читателей журнала; впрочем, математическая часть журнала явно преобладала над физической. К участию в журнале В. П. Ермаковым были привлечены профессора математики и физики Киевского и других университетов и учителя местных и иногородних гимназий и учительских семинарий; подавляющее большинство помещенных в журнале математических статей принадлежало, однако, перу самого В. П. Ермакова. Журнал быстро завоевал признание со стороны учащихся и учителей средней школы. Главная цель, преследовавшаяся В. П. как редактором журнала, состояла в том, чтобы сделать журнал подлинной школой математического развития своих читателей; в связи с этим (и в соответствии с общими взглядами В. П. на методы изучения математики) в журнале уделялось преимущественное внимание отделу задач, содержанию которых обычно подчинялся в той или иной мере остальной (теоретический) материал. Особенно пропагандировались при этом недостаточно представленные в учебниках того времени геометрические задачи на построение. Редактором практиковалось также систематическое помещение в журнале «тем для сотрудников»; лучшие статьи на заданные темы публиковались в журнале. Журнал скоро сплотил вокруг себя актив молодых любителей математики, к которому, в частности, принадлежали— ставшие в будущем крупными учеными— Г. Ф. Вороной, Д. А. Граве, д. С. Мириманов и др.

Ограничивая первоначально программу журнала преимущественно задачей популяризации элементарной математики как научной дисциплины, издатель сперва отказался от введения в журнале педагогического отдела. Позднее, ознакомившись ближе с состоянием преподавания математики в средней школе и с активным движением среди учительства за улучшение постановки курса школьной математики, В. П. охотно пошел навстречу пожеланиям читателей и предоставил страницы журнала также для обсуждения вопросов педагогического характера. Особенно призывал при этом издатель учителей использовать журнал как трибуну для обмена педагогическим опытом.

«Журнал элементарной математики» издавался В. П. Ермаковым в течение двух лет; в связи с большой обремененностью ученого его непосредственными академическими обязанностями, он оказался вынужденным передать в 1887 г. дальнейшее издание и редактирование журнала одному из своих сотрудников — учителю физики Э. К. Шпачинскому, переименовавшему это издание в «Вестник опытной физики и элементарной математики».

По настоянию нового издателя В. П. сохранил, однако, за собой еще в течение ряда лет общее руководство математическим отделом журнала*.

С 1888 г. В. П. Ермаков — ординарный профессор Киевского университета. В 1890 г. он выступил в качестве одного из инициаторов создания Киевского физико-математического общества. Общество это вело интенсивную научную и методическую работу, объединив, наряду с научными работниками, также ряд видных педагогов и методистов (членами общества были, в частности, Щербина, Гольденберг, Лебединцев, Попруженко, Астряб и др.). На протяжении почти всей истории общества В. П. Ермаков оставался одним из самых ревностных его деятелей.

Стремясь к упрочению научных связей киевских математиков с математической общественностью всей России, В. П. Ермаков принимал живое участие в работе съездов русских есте-

* Дальнейшие подробности о ЖЭМ и сменившем его ВОФЭМ можно почерпнуть из статьи И. Я. Депмана «Русские математические журналы для учителя» («Математика в школе», 1951, № 6).

ствоиспытателей, выступая на заседаниях математической секции ряда съездов как с оригинальными научными сообщениями, так и с речами по педагогическим вопросам.

В 90-х годах окончательно сложились в своих основах педагогические и методические взгляды В. П. Ермакова. С целью приведения своих взглядов в систему и для ознакомления с ними широких кругов учительства В. П. пишет ряд статей, помещая их, главным образом, в наиболее прогрессивном педагогическом органе того времени—журнале «Педагогический сборник», а также в «Вестнике опытной физики и элементарной математики». Он пропагандировал также свои взгляды путем чтения публичных лекций, а затем и с трибуны XI съезда русских естествоиспытателей (1901 г.).

В основе педагогических убеждений В. П. Ермакова лежали прогрессивные идеи великих русских педагогов-демократов шестидесятых годов. Полный безусловной веры в силу целесообразного воспитания и обучения, он решительно отвергал реакционные теории «врожденных способностей» и «роковой роли наследственности», боролся, в частности, против распространенной догмы, «объясняющей» плохую успеваемость по математике в современной ему школе «отсутствием математических способностей у учащихся». Ответственность за математическую неуспеваемость В. П. возлагал на «дурное преподавание». Указывая на большие успехи русской школы в деле преподавания арифметики, он относил их за счет разработанной нашими методистами передовой методики; такая же методика, построенная с полным учетом опыта преподавания и передовой педагогической теории, должна быть создана и для других частей школьного курса математики.

Для дидактических взглядов В. П. характерно его требование от педагога искреннего, товарищеского отношения к учащимся, на основе которого и должен создаваться подлинный авторитет учителя: «Преподаватель математики должен отличаться скромностью и открыто сознаться перед учениками в ограниченности своих способностей... Случается иногда, что задачу на построение учитель не может решить, между тем находится сообразительный ученик, который ее решает просто. Учитель должен объявить, что геометрия в высшей степени капризная наука, которая одним дается легко, другим с трудом, что иногда ученик, едва знакомый с геометрией, обнаруживает в этой науке удивительные способности и даже затмевает учителя. Такое заявление... возбуждает у учащихся особое рвение, и они с большою охотою приступают к геометрии. Но беда, если учитель для поддержания в глазах учащихся своего престижа прикинется всезнающим! Рано или поздно он может попасть в ложное положение. Гораздо лучше, если учитель объявит, что он совместно с учениками готов трудиться над изучением такой интересной науки, как геометрия; подобное заявление может возбудить только симпатию и любовь учеников»*.

Ключом к методической концепции В. П. Ермакова является его отношение к вопросу о роли упражнений в школьном курсе математики. Страстно выступая против созерцательности и схоластицизма при обучении математике, В. П. настаивал на принципе деятельного и сознательного овладения учащимися математическими методами. Непременным условием для достижения этой цели он считал систематически поставленные упражнения учащихся в решении задач: «Изучение математики должно быть основано на постепенном решении задач, начиная с самых легких и простых. Я не отвергаю математической теории, но эта теория должна быть доведена до минимума и до возможной простоты. .. и должна быть излагаема применительно к решению задач»**. В. П. Ермаков решительно предостерегал учителей от следования указаниям высших школьных властей, направленных к низведению задач в курсе математики на степень простых примеров, служащих только для иллюстрации теории.

Признавая, таким образом, за упражнениями в решении задач в целом ведущую роль при обучении математике, В. П. Ермаков, естественно, резко осуждал две доминирующие тенденции в методике математики того времени: тенденцию «собирательную», стремящуюся непомерно расширить школьную программу математики путем включения в нее дополнительного учебного материала, не имеющего за собой особой образовательной ценности, и тенденцию, характеризующуюся погоней за псевдонаучной строгостью и чрезмерной общностью и абстрактностью изложения всех частей школьной математики***.

Активная работа учащихся при изучении математики не должна, однако, как указывает В. П., ограничиваться областью упражнений: усвоение учащимися теории нужно подчинить тому же принципу сознательности и активности. При изучении математической теории нужно

* «О преподавании геометрии» («Педагогический сборник», 1895, № 10).

** «Педагогический парадокс» («Педагогический сборник», 1898, № 2).

*** «Два направления в школьной математике» («Педагогический сборник», 1894, № 2).

стремиться не столько к тому, чтобы заставить учащихся запомнить формулы и теоремы и убедить их в истинности таковых путем пассивного ознакомления с соответствующими доказательствами,— сколько к тому, чтобы сообщить учащимся навыки математического мышления: «в математике следует помнить не формулы, а процессы мышления»*.

Интересны соображения В. П. Ермакова по вопросу о преподавании геометрии**. Признавая, что «в геометрии должна быть на первом плане строгая систематическая теория», В. П. предостерегал против мертвенного, механического заучивания этой теории. С этой целью он рекомендовал ряд продуманных методических мер: устное (без чертежей) изложение учениками доказательств теорем (при повторении); выяснение ученикам значения порядка теорем; решение задач на построение и пр. Резко отрицательно отнесся В. П. Ермаков к требованию введения пропедевтического курса геометрии. Считая, что вопрос о таком курсе поднят «плохими педагогами, не умеющими в ясной форме преподать детям геометрии», В. П. ссылался на известный ему опыт пропедевтики геометрии в одной из женских гимназий, где, по его словам, «вся пропедевтика заключалась в пустых разглагольствованиях, вызывавших скуку и отвращение у учащихся и отучавших их от правильного мышления». Для оценки этих взглядов В. П. Ермакова нужно заметить, что в них, наряду со здоровой критикой недостатков постановки пропедевтических курсов геометрии того времени, содержалось и неоправданное, предвзятое игнорирование педагогической необходимости в пропедевтике геометрии для учащихся начальных классов. Передовая педагогическая мысль сумела воспользоваться критикой недостатков первых опытов подготовительных курсов геометрии для серьезной, продуманной разработки проблемы геометрической пропедевтики***.

Из методических работ В. П. Ермакова наибольшее значение имели его многочисленные статьи (и выступления) о преподавании алгебры*. Отмечая неудовлетворительное состояние преподавания в школе алгебры, В. П. видел одну из главных причин этого в чрезмерно абстрактном, не указывающем учащимся цели, изложении начал этой науки. Для устранения зла В. П. предлагал начинать изучение алгебры с решения разными способами одних и тех же арифметических задач: сравнение этих способов показывает изучающим практическую важность правил, позволяющих заменить данный ряд арифметических действий другим рядом таких действий.—подобные правила и дает алгебра: «алгебра занимается преобразованием одних действий в другие**. Арифметическое происхождение алгебры, которое должно быть с самого начала отчетливо выяснено учащимся и не должно затушевываться в их сознании «символической» трактовкой ее сущности, не может, однако, оправдывать смешения в последующем изложении алгебры алгебраического элемента с арифметическим: последний, исторически вошедший в курс алгебры (извлечения корней, логарифмические и вообще приближенные вычисления), должен быть, по мнению Ермакова, отделен от собственно алгебраического материала и рассматриваться как продолжение курса арифметики. Упражнения в курсе алгебры должны иметь главной целью научить рациональному составлению и упрощению формул***.

В соответствии со стремлением Ермакова выставить на передний план в теории школьного курса алгебры собственно алгебраический аспект последней, мы не находим в его мето-

* «Роль памяти в математике» («Педагогический сборник», 1894, № 5).

** «О преподавании геометрии» («Педагогический сборник», 1895, № 10).

*** В пояснение позиции В. П. Ермакова в данном вопросе нужно еще прибавить, что отрицательное отношение части передовых методистов к введению пропедевтики в геометрию являлось в рассматриваемую эпоху своего рода реакцией на попытки шопенгауэрианцев и иных философских мракобесов опорочить научное преподавание геометрии в школе, подменить систематический курс геометрии теми или иными «созерцательно-опытными учениями о пространственных формах».

* «О начальном преподавании алгебры» (ВОФЭМ, 1890); «О преподавании алгебры» (публичная лекция в пользу голодающих, перепечатана в «Педагогическом сборнике», 1892, № 5); «Введение в алгебру» («Педагогический сборник», 1892, № 11); «Педагогические ошибки в алгебре» (там же, 1893, № 8); «Определение одночлена в алгебре» (там же, 1893, № 12); «Ненужные упражнения в алгебре» (там же, 1894, № 12); «Разложение многочленов на множители» (там же, 1895, № 8); «В чем сущность алгебры» (там же, 1896, № 5); «Два правила приближенного вычисления» (там же, 1892, № 4); Отдельные вопросы методики алгебры разработаны Ермаковым также в названных выше статьях по общей методике математики.

** Разумеется, эту формулировку нельзя признать полноценным определением школьной алгебры с ее весьма разнородным содержанием. Формула Ермакова имеет целью осмыслить первоначальную задачу алгебры (задачу тождественных преобразований), лежащую, однако, в основе такого центрального вопроса школьной алгебры, как вопрос о решении уравнений.

*** Некоторые подробности о предложенной В. П. Ермаковым методике алгебры см. в книге проф. А. В. Ланкова «К истории развития передовых идей в русской методике математики», Учпедгиз, 1951, стр. 104—106.

дико-алгебраических работах явного признания «функционального начала», которому предстояло сыграть важную роль в последующем формировании школьного курса математики. С другой стороны, содержащиеся в работах Ермакова указания о необходимости четкого выявления в алгебре элемента условного и элемента дедуктивного, равно как подчеркивание им значения в курсе алгебры идеи развития понятия числа, намечали не менее существенные «точки опоры» модернизации преподавания алгебры в нашей школе.

Методические идеи В. П.. Ермакова были в целом сочувственно встречены передовой педагогической математической общественностью России, сумевшей взять из них рациональное зерно и отклонить в то же время некоторые содержащиеся в них ошибки, крайности или увлечения*. О том влиянии, которое имели взгляды Ермакова на широкие круги учительства, хорошо свидетельствует отчет** одного из участников XI съезда естествоиспытателей, на котором В. П. Ермаков выступил с яркой речью при обсуждении вопроса об изменении программы школьной математики. В отчете, в частности, сказано: «Взгляды проф. Ермакова не раз проводились в печати. Они сводятся к тому, что не в той или иной программе, не в количестве материала заключается корень зла, а в том всепоглощающем формализме, который завладел нашей школой. Но горячая речь старого педагога, пользующегося у нас широкой известностью, была чрезвычайно уместна и имела большое значение в этом собрании преподавателей».

Высокое уважение русского учительства к педагогической деятельности В. П. было выражено Первым Всероссийским съездом преподавателей математики (1912), принявшим теплое приветствие ученому, не имевшему возможности присутствовать на съезде.

С конца девяностых годов, с момента основания в Киеве политехнического института, В. П., не порывая с университетом, связывает свою основную педагогическую деятельность с этим институтом. В связи с этой деятельностью В. П. составил свои руководства для студентов высших технических заведений по аналитической геометрии, дифференциальному и интегральному исчислениям, отличавшиеся большими педагогическими достоинствами и служившие свою службу вплоть до двадцатых годов нового века.

Пятьдесят лет продолжалось служение В. П. Ермакова отечественной науке и просвещению. Целый ряд поколений русских деятелей на поприще математики, педагогики и техники, вышедших из стен Киевского университета и политехнического института, был обязан Василию Петровичу своей математической культурой.

Умер В. П. Ермаков в Киеве в середине марта 1922 г. Вспоминая покойного учителя, проф. А. Пшеборский*** рисует глубоко симпатичный образ русского ученого-энтузиаста : «Как профессор Василий Петрович пользовался глубоким уважением и огромной любовью.. . Всякий находил у него горячую поддержку в своей научной работе... В. П. был человеком не только ума, но и чувства; он всегда горел сам и воспламенял окружающих».

* Так, борясь против механического заучивания содержания учебников и настаивая на решительном усилении в преподавании элемента упражнений, В. II. Ермаков иногда облекал эти требования в «нигилистический» тезис о том, что «в математике учебники не нужны — нужны только задачники». Рациональное решение вопроса об учебниках состояло, разумеется, не в уничтожении их, а в их улучшении и в установлении правильного отношения работы по учебнику ко всему процессу обучения. Эта задача во всей полноте решается уже советской школой.

** В. Ф. Каган, XI съезд естествоиспытателей (ВОФЭМ, 1902).

*** Его некролог, посвященный В. П. Ермакову, помещен в сборнике «Наука на Украине», № 3, Харьков, 1922.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О НОВОМ СБОРНИКЕ ЗАДАЧ ПО АРИФМЕТИКЕ

(С. А. Пономарев и Н. И. Сырнев, Сборник задач по арифметике для V и VI классов семилетней и средней школы, Учпедгиз, 1951)

Н. А. ПРИНЦЕВ (г. Курск)

Сборник задач по арифметике С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева вполне соответствует существующей учебной программе по арифметике как в отношении последовательности расположения отделов сборника, так и в отношении содержания каждого из них. Однако в отношении общего количества упражнений надо отметить, что их меньше, чем в стабильном задачнике Е. С. Березанской; желательно увеличить количество задач-примеров на все действия с дробями, а также количество задач средней трудности (в сборнике много усложненных задач, которые трудны для детей 11—12-летнего возраста).

Задачи (№ 1281—1284), связанные с обращением периодической дроби в обыкновенную, являются лишними, так как существующая программа предполагает только ознакомить учащихся на уроках арифметики с понятием периодической дроби. Нет надобности затрачивать время на изучение способов обращения периодической дроби в обыкновенную. Быть может, авторы дали эти задачи как Дополнительные, решение которых для учащихся необязательно, однако в них нет никакой надобности, так как учитель легко может подобрать такие задачи из других задачников.

Наиболее интересным является в рассматриваемом сборнике новый раздел «Расширение понятия о числе», который в свою очередь делится на две части: «Множество целых и дробных чисел» (§ 37) и «Основные задачи, решаемые каждым действием» (§ 38). Первая часть этого раздела (§ 37) содержит 22 задачи, с помощью которых авторы знакомят учащихся с такими важнейшими понятиями современной математики, как понятия множества и соответствия (речь идет о соответствии чисел точкам луча).

Авторы правильно сделали, включив эти вопросы в сборник, и в основном удачно и просто подошли к осуществлению своего замысла: задачи интересны по содержанию, сравнительно несложны, последовательно расположены. Следует, однако, отметить, что учащиеся V класса не изучали геометрии, а потому понятие о луче им незнакомо; это обстоятельство еще раз говорит о том, что для успешного изучения математики необходимо ввести в курс математики I—V классов изучение элементов геометрии. Для решения задачи № 1563 § 37 необходимо усвоение идеи буквенного обозначения чисел, с чем тоже, как правило, учащиеся V класса незнакомы. Мы полагаем, что в этом направлении можно было бы многое сделать с помощью сборника арифметических задач, и остается пожалеть, что составители сборника не приняли этого во внимание и не включили ряд систематических упражнений на буквенные обозначения чисел, такие упражнения служили бы хорошей подготовкой к изучению алгебры.

Вторая часть этого раздела (§ 38) посвящена простым арифметическим задачам или, как их называют авторы, основным задачам. Надо отметить, что последний термин, пожалуй, более точно выражает их методическую сущность как задач, лежащих в основе составных арифметических задач. Однако авторы, повидимому, понимают нечто другое под этим термином, так как некоторые из задач § 38 являются составными, а не простыми; например, задачи № 1538, 1589, 1608 и др. нельзя решить с помощью одного действия. Поскольку в сборнике даны заголовки к группам задач, например заголовок к задачам с № 1584 по 1589 («Задачи, решаемые действием сложения»), то нелогично в эту группу включать задачу № 1588, которая решается двумя действиями: умножением и сложением.

Вызывает некоторое недоумение и подбор задач. Для основных задач на сложение приведены задачи двух типов: 1) найти сумму слагаемых и 2) увеличить число на другое число; но для вычитания мы не нашли четко и просто сформулированной задачи вида: уменьшить число на некоторое другое число. Авторы приводят две последние задачи на вычитание, в которых дается по существу сумма двух чисел, например протяжение железных дорог Казахской ССР в 1942 г., и одно из слагаемых, в данном случае увеличение протяжения против 1913 г., а потому эти задачи следует отнести к тому же типу, что и первые две задачи этой группы, т. е. к типу: по сумме и одному из слагаемых найти другое слагаемое.

Авторы (судя по количеству требований о формулировке типа основной задачи на умножение) вы-

деляют шесть видов простых задач на умножение. Мы склонны считать, что всего приведено здесь только три вида, о которых мы обычно и упоминаем при рассмотрении просты» задач на умножение: 1) найти сумму одинаковых слагаемых, 2) увеличить число в несколько раз и 3) найти дробь числа. Такие задачи, как перевод одних мер в другие (задачи № 1606—1608), принадлежат к первому виду; задачи, где дано отношение, относятся к двум последним видам, а задачи на нахождение числа по его одной доле (задачи с № 1611 по 1613) относятся ко второму виду задач. Едва ли имеет смысл включать в число простых задач на умножение задачу № 1599, которая относится по существу к задачам на деление и имеет в общем виде такое содержание: «Сосуд имеет емкость а литров; мука, находящаяся в нем, весит b килограммов. Сколько весит мука, взятая в объеме 1 л?»

Задачи на деление представлены более полно и удачно, но было бы желательно дополнить эту группу задачами вида: по произведению и одному из сомножителей найти другой сомножитель.

Придавая большое значение сознательному и отчетливому усвоению различных видов простых задач, мы считаем, что этот раздел надо переработать так, чтобы каждая группа задач на данное действие подразделялась на подгруппы: задачи с натуральными (целыми) числами, задачи с дробными числами, включая отношения и проценты. К каждой группе задач надо дать краткие формулировки данного вида простых» задач, так как учащимся трудно сформулировать их самостоятельно, а учебник не содержит этих формулировок.

Учитель должен использовать задачи раздела «Расширение понятия о числе» постепенно, при прохождении соответствующих разделов учебной программы, органически связывая решение задач с изучаемым теоретическим материалом. Так, например, на первых уроках по теме «Обыкновенные дроби» следует использовать числовой луч и задачи, связанные с этим понятием. Было бы весьма желательно снабдить сборник краткими методическими указаниями к его применению в школе.

Учебно-воспитательная ценность нового сборника несомненна также и вследствие того, что авторы сумели освежить тематику многих задач.

В сборнике много задач, которые отражают в числовой форме достижения и темпы развития нашего социалистического хозяйства, нашей социалистической культуры. Желательно, однако, еще более увеличить число таких задач, используя, в частности, материалы о стройках коммунизма.

Правда, учебное пособие не может достаточно полно отобразить наши темпы и достижения, так как наша передовая социалистическая техника и наша культура быстро двигаются вперед, а потому учитель в процессе своей текущей работы должен сам составлять подобные задачи.

Многие задачи интересны для детей по своему содержанию; они имеют элемент занимательности. К таким задачам относятся задачи на предельный возраст животных (№ 715, 716, 755 и др.), на определение геологического времени (№ 1821 и 1822), задачи о вредителях сельского хозяйства (№ 1142 и 1143), задачи географического характера. Многие из них, кроме занимательности, имеют и большое воспитательное значение.

Авторы нового задачника поступили совершенно правильно, усилив в нем «алгебраические элементы». Под алгебраическими элементами мы разумеем уравнения, число которых в новом задачнике значительно больше по сравнению со стабильным задачником Е. С. Березанской. Уже на странице 22 задачника даны задачи № 98 и 99, которые начинаются словами: «Найти неизвестное число...» Такие упражнения систематически предлагаются и в дальнейшем: № 162, 182, 635 и т. д.

Кроме такого типа упражнений, авторы идут и дальше; они предлагают составлять простейшие уравнения. Так, например, задача № 636 формулируется следующим образом: «Записать равенства, обозначив неизвестное через х. Найти х.

В других задачах это требование не сформулировано, но хотелось бы думать, что авторы желали и здесь предложить учащимся алгебраический способ решения задачи. Так, например, решая задачу № 718: «Найти число, ^3 которого равны 288», хотелось бы, чтобы учащиеся записали так:

То же следовало бы сделать и в отношении таких задач, как задача № 775: «Какое число надо умножить на у, чтобы получить 1 “g-?»

Наконец, рассматривая новый сборник задач с учебно-воспитательной точки зрения, нельзя пройти мимо того факта, что авторы решили ввести ряд задач, имеющих характер вопросов и не преследующих вычислительные цели. Цель этих задач развить у детей математическое мышление, умение правильно рассуждать и делать обоснованные умозаключения. К таким задачам, носящим характер исследования или, как выражаются авторы, проверки (лучше сказать иллюстрации) теории, относятся, например, задачи № 358, 361, 478, 578, 1068 и др. В одних из них предлагается сделать теоретический вывод на конкретных примерах: «Если один из сомножителей делится на 2, то произведение делится тоже на 2» (№ 358); в других предлагается практически, на любых числах, придуманных учащимся, вывести некоторую теорему (№ 361); в третьих предлагается это сделать при помощи геометрической иллюстрации (№ 478); в четвертых предлагается сделать упражнение на так называемую «арифметическую диктовку» (№ 578 и 1068): записать при помощи скобок и знаков арифметических действий некоторые фразы. Нет нужды доказывать полезность подобных упражнений для развития математического мышления, для последующего изучения алгебры и геометрии.

В связи с этими замечаниями мы склонны считать, что в идейно-политическом и научном отношении новый сборник удовлетворяет тем требованиям, какие предъявляются к советскому учебнику.

Рассмотрим теперь достоинства и недостатки этого пособия в методической разработке отдельных тем и в решении некоторых общих методических требований.

Раздел, посвященный теме «Повторение пройденного в начальной школе», содержит 314 задач; в стабильном задачнике имеется 494 задачи на этот раздел.

В методическом отношении этот раздел в основном разработан так же, как и в стабильном задачнике. В новом сборнике уменьшено количество задач на время, что следует признать правильным, так как такие задачи не имеют почти никакого об-

разовательного значения, а в практическом отношении также не представляют ценности; уменьшено и число примеров на вычисление, что также можно признать целесообразным, если полагать, что навыки в действиях над натуральными числами должны быть получены в начальной школе. В конце этого раздела помещены задачи (№ 297—314), которые полезно использовать на внеклассных занятиях, но едва ли целесообразно решать с учащимися на уроке; часть из них требует некоторых дополнительных сведений из теории арифметики (понятие о других системах счисления).

В целом раздел составлен в методическом отношении вполне удовлетворительно, упражнения доступны для учащихся, многие из них направлены на то, чтобы вопросы теории были усвоены не формально, а сознательно. Количество упражнений по этому разделу с нашей точки зрения следует несколько увеличить как в части примеров, так и в отношении задач-расчетов.

Для второй темы учебной программы по арифметике «Делимость чисел» авторы выделили около 100 задач, т. е. почти в два раза больше, чем в стабильном задачнике. Задачи подобраны и здесь так, чтобы обеспечить сознательное усвоение этого раздела арифметики, углубить и расширить сведения, которые приводятся в учебнике. Однако надо отметить, что некоторые из задач мало доступны учащимся V класса. Например, задачи № 400—403, 405 следует перенести на внеклассные занятия. Было бы целесообразно подобные задачи выделить отдельно, например отметить звездочками или сосредоточить их в конце сборника, разбив их на те же разделы, на какие разбит материал в сборнике.

Еще лучше, по нашему мнению, создать отдельные сборники более сложных и интересных задач по математике, а также задач, предназначенных для расширения и углубления изучаемых теоретических сведений.

По разделу «Обыкновенные дроби» в сборнике дано пятьсот с лишком задач, т. е. почти такое же количество, как и в стабильном задачнике.

В соответствии с учебной программой в этот раздел включены задачи геометрического содержания и задачи на отношения, чего нет в стабильном задачнике.

Весьма положительной стороной нового сборника задач является использование в нем различных иллюстраций. Это безусловно необходимо и полезно для развития правильных представлений у учащихся, для сознательного усвоения ими некоторых арифметических фактов.

Хотелось бы еще несколько большей иллюстрации этого раздела, в частности задач с геометрическим содержанием. Например, следовало бы дать рисунок измерения длины окружности; дать больше задач на определение площади фигуры по чертежу; дать рисунок цилиндра, а не только его чертеж.

Слабо в методическом отношении подобраны первые задачи в § 9 «Основные понятия». В этом отношении, с нашей точки зрения, значительно лучше обстоит дело в сборнике Е. С. Березанской. В последнем сперва дается ряд задач, в которых конкретные предметы делятся на то или иное число равных частей, а уже после рассмотрения пятнадцати подобных задач ставится задача в абстрактной форме: сколько пятых частей содержится в единице (задача № 569); в новом же сборнике это делается уже после первой задачи (№ 415).

Последовательность упражнений по разделу «Происхождение дроби» надо тщательно пересмотреть. Следует постепенно переходить к более абстрактным задачам, используя рисунки и чертежи, которых почему-то совершенно нет в этом разделе.

В разделе «Десятичные дроби» вызывает недоумение форма записи упражнений в задачах № 989, 992, 1007: почему запись дана не в строчку, а столбиком? Вся трудность для учащихся в сложении и вычитании десятичных дробей заключается в записи, а потому не имеет смысла давать запись в готовой форме; необходимо дать учащимся возможность упражняться в правильной форме записи столбиком.

В раздел о десятичных дробях включены упражнения на приближенные вычисления; в упражнениях содержатся краткие указания о их выполнении. Можно только приветствовать появление подобных упражнений в школьных задачниках по арифметике. Эти упражнения важны с точки зрения практики. Правда, существующая учебная программа не предусматривает изучение правил действий над приближенными числами, но наличие таких упражнений будет очень полезно для учащихся и учителя. Количество их в задачнике невелико, но учитель всегда может сам дополнить их по данным образцам.

Раздел «Проценты» имеет 154 задачи. Методическая конструкция этого раздела в новом сборнике несколько отличается от принятой в стабильном задачнике. В последнем начинаются упражнения с записи дробей с помощью процентов, а затем ставится обратная задача — запись процентов в виде дробей. В новом задачнике эти вопросы распределяются по соответствующим видам задач на процентные вычисления, что можно признать более естественным.

Действительно, задача о нахождении процентов данного числа сводится к задаче о нахождении дроби числа, а потому целесообразно до решения такой задачи дать упражнения на запись процентов в виде дробей, что и сделали авторы, предложив ряд упражнений такого вида в первых двух задачах.

При изучении задач на процентное отношение авторы сперва предлагают упражнения на выражение числа (дроби) в процентах, а затем переходят к записи отношения двух чисел в виде процентов. Это последнее будет очень полезно учителю, так как из таких задач, как № 1468 и 1469, учащиеся сделают соответствующий вывод о способе решения задач на процентное отношение: сперва надо написать отношение двух» чисел, а затем вычислить его в процентах. Этим устанавливается связь с прежним материалом (отношение двух чисел) и становится понятным сам термин «процентное отношение двух чисел».

Среди задач этого раздела много таких, тематика которых отражает жизнь нашей страны. Авторы сумели подобрать разнообразные задачи и освежить их тематику.

Последние темы учебной программы «Пропорции» и «Прямая и обратная пропорциональность величин» представлены в § 39 и 43, которые содержат более 200 задач. Авторы удачно ввели в первый параграф этого раздела задачи на числовой масштаб; было бы желательным ввести и на линейный масштаб, приведя 2—3 какие-либо карты или плана.

Заслуживают внимания упражнения § 41, с помощью которых ярко вскрывается тот факт, что не всякие две зависимые величины пропорциональны — факт, о котором забывают часто учителя, а учащиеся путаются в этом вопросе.

Задачи в этом разделе современны и интересны по тематике; количество их достаточно. В этом разделе даны задачи на смешение и в частности на сплавы. Более целесообразно с нашей точки зрения подобные задачи решать на уроках алгебры с помощью

уравнений, а более простые из них включить в предыдущие отделы задачника. Раздел «Задачи на смешение» из сборника следует исключить.

Текстовые задачи в рассматриваемом сборнике представлены в большом количестве. Часть их представляет собой, как мы уже указывали, задачи-вопросы, не требующие вычислений, или такие задачи, в которых вычислительная сторона очень примитивна; цель таких задач — способствовать сознательному усвоению, развитию и углублению теоретических сведений. Другая часть текстовых задач представляет собой задачи-расчеты, содержанием которых являются «общеизвестные зависимости, например между ценой, стоимостью и количеством; между скоростью, расстоянием и временем; между нормой выработки, временем работы и полученной продукцией и т. п.» — как об этом указывается в объяснительной записке к учебной программе по математике для средней школы. Эти задачи помещены в каждом разделе сборника, но количество таких задач целесообразно для некоторых разделов увеличить, так как они наиболее доступны учащимся при самостоятельной работе дома.

Наконец, последняя группа задач представляет собой так называемые типовые задачи. В соответствии с указаниями, которые даны в объяснительной записке к программе, авторы дают типовые задачи с учетом также и другого указания, в котором говорится: «На каждый из указанных типов следует вводить задачи различного содержания: на движение, смешение, совместную работу, бассейны и т. п.». Эти задачи имеют свои особенности, их можно было бы назвать типовыми задачами по содержанию, поэтому авторы совершенно правильно поступают, выделяя их в отдельные рубрики. Так, например, группа задач с № 911 по 920 или с № 1198 по 1211 представляет собой задачи на движение. В конце таких отделов, как «Обыкновенные дроби» или «Десятичные дроби», а также на последних страницах сборника помешены задачи без выделения их по отдельным группам, что также следует признать вполне целесообразным.

Мы полагаем, что многие задачи являются трудными для учащихся, но в этом, пожалуй, виноваты не столько авторы, сколько та традиция в решении задач арифметическим способом, которая имеет место уже давно в нашей школе. Мы убеждены в том, что требования, какие мы привыкли предъявлять учащимся IV—VI классов в отношении умения решать задачи арифметическим способом, слишком велики. Мы полагаем, что многие из таких задач следовало бы перенести на уроки алгебры, где их можно было бы решать алгебраическим способом, благодаря чему упростилось бы преподавание арифметики, улучшились бы навыки учащихся производить быстро и правильно действия над числами, учащиеся приобрели бы лучшие навыки в решении задач алгебраическим способом к концу обучения в семилетней школе*.

Нередко типовые задачи в рассматриваемом сборнике значительно усложняются путем введения дополнительных условий; следовало бы увеличить число типовых задач в их, так сказать, чистом виде. Было бы желательно в конце сборника привести указатель номеров задач по каждому типу.

Упражнения, которые помещены в разделах на все действия с обыкновенными и десятичными дробями, на все действия с целыми и дробными числами и в общем отделе, не расположены в порядке возрастания степени трудности. Приведем несколько примеров. Задача № 1363 значительно проще, чем, например, задача № 1358. То же можно утверждать относительно задачи № 1395, которая не является типовой, а представляет собой обычную задачу на расчет; степень ее трудности значительно меньше, чем степень трудности многих предыдущих задач. Необходимо пересмотреть последовательность расположения задач в этих разделах сборника.

Нет в сборнике образцов контрольных работ, нет упражнений для повторения в конце некоторых разделов. Было бы желательно ввести это как в интересах учащихся (при повторении пройденного), так и в интересах учителя, который мог бы, ориентируясь на тематику приведенных в сборнике контрольных работ, составлять по их образцам письменные работы для учащихся. Следовало бы включить в конец сборника задачи, которые предлагались на экзаменах при поступлении в техникумы и педагогические училища. Количество задач для устного счета увеличивать нет надобности. Культура арифметических и вообще математических вычислений достигается, пожалуй, не наличием сборников для устных вычислений, а повседневной, упорной работой учителя, и не только в течение 3—5 минут, которые специально отводятся для устного счета на уроке, а во время всего урока. Вычислять устно надо всегда, когда это целесообразно и рационально с точки зрения затраты времени.

Внешнее оформление сборника вполне удовлетворительно: сборник издан на хорошей бумаге, шрифт четкий, рисунки и чертежи выполнены также ясно и четко. Нумерация упражнений рациональная, но мало приведено ответов к задачам. Встречаются опечатки, ошибки и неудачные формулировки. Приведем несколько примеров:

В № 1088 5) напечатано 0,35: 10,07, очевидно, надо было напечатать 0,35 : 0,07.

В задаче № 213 не указано, что самолеты вылетели одновременно. Кстати, почему в этой задаче напечатано «аэроплан», в других употребляется русское слово «самолет».

В задаче № 235 надо указать, что скорость выражается в км в час. Неудачно в задаче № 744 поставлен вопрос: «Сколько частей составляет...», следует сказать: «Какую часть составляет...».

То же для задачи № 801, в которой второй вопрос надо сформулировать так: «Каково было отношение между их летами 4 года назад?..»

Задача № 388 лишняя, так как достаточно усвоить учащимся один способ нахождения Н. О. Д. — путем разложения на множители.

Часто встречается слово «ездка», которое малоупотребительно; не следует ли его заменить словом «поездка»? Формулировки некоторых задач неясны и не всегда достаточно отчетливы; так, например, мы с трудом разобрались в условии задачи № 2132, которая, видимо, предполагает, что первоначально было 350 вагонов; разгрузив 200 из них, мы имели бы на следующий день вдвое больше, чем осталось, т. е. 300 вагонов, а разгрузив в этот день тоже 200 вагонов, мы имели бы на следующий день вдвое больше, чем оставалось, т. е. 200 вагонов и, наконец, разгрузив в этот день тоже 200 вагонов, мы добились бы того, что неразгруженных вагонов в этот день не осталось. Если так понимать задачу, то ее условие следовало бы сформулировать более четко, например: «На станции железной дороги накопилось большое число неразгруженных вагонов. По плану разгружалось ежедневно 200 вагонов, и через 3 дня на станции не осталось ни одного неразгруженного вагона. Сколько вагонов накопилось бы

* Здесь автор рецензии затрагивает дискуссионный вопрос, по которому среди учителей и методистов нет единого мнения.

на станции к концу первого дня, если бы в этот день не было разгрузки и если известно, что число неразгруженных вагонов во второй и в третий день удваивалось бы, если бы не было разгрузки?»

Эти недочеты и опечатки необходимо исправить, тщательно пересмотрев условия всех задач и ответы к ним.

В заключение следует сказать, что сборник задач по арифметике С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева является нужным и полезным для школы; он вносит новую тематику задач, новое направление в пре подавание арифметики, удачно разрешает некоторые методические вопросы и в этом отношении представляет шаг вперед по сравнению с сборником Е. С. Березанской, каким пользуются учащиеся школы в настоящее время. Однако, по нашему мнению, оба эти сборника содержат очень много сложных задач, которые не вполне доступны детям, обучающимся в V и VI классах школы; число таких задач необходимо уменьшить в новом сборнике; последовательность и система в подборе задач имеет еще много недостатков.

О КНИГЕ «С. В. КОВАЛЕВСКАЯ» (Воспоминания и письма)*

М. И. РАДОВСКИЙ (Ленинград)

Жизнь и деятельность С. В. Ковалевской все больше и больше привлекает к себе внимание. Еще при жизни она пользовалась значительной известностью как автор научных и художественных произведений. Но научное изучение ее творчества началось лишь недавно — в последние десятилетия.

Рассматриваемое издание содержит не только автобиографические рассказы С. В. Ковалевской, но и статьи других лиц, запечатлевших ценные черты из ее жизни и деятельности. В таком виде книга, по замыслу ее составителя, имеет целью показать С. В. Ковалевскую «в обстановке ее окружения, в условиях того времени, когда складывалось ее мировоззрение, когда она занималась своими научными исследованиями, читала лекции, писала романы и повести из русской помещичьей и революционной жизни. «Воспоминания детства» и другие произведения Софьи Васильевны, а также материалы для ее биографии, собранные в настоящем издании, представляют яркую, интересную главу из истории русской культуры второй половины XIX в., рисующую ее связь с развитием мировой культуры и показывающую влияние русского национального гения на развитие западноевропейской науки и литературы» (стр. 6).

Однако редактор и составитель книги С. Я. Штрайх включил в нее не все документы, сохранившиеся в советских архивных фондах, что является недостатком проделанной им работы. Впрочем, часть таких материалов он использовал в своих комментариях, приведя в них значительные выдержки из документов.

Научная карьера С. В. Ковалевской была не только блестящей, но, можно сказать, головокружительной. Не пройдя никакой официальной школы — средней или высшей, — она в двадцать четыре года получила степень доктора философии (точных наук), удовлетворив самые строгие требования и вместо одной работы представив три мемуара: «О дифференциальных уравнениях с частными производными», «О приведении некоторого класса абелевских функций к функциям эллиптическим» и «О форме колец Сатурна». Первый трактат был тотчас же напечатан в лучшем тогда математическом журнале. Представленные работы произвели на профессорскую коллегию такое впечатление, что, вопреки установившимся правилам, соискательница докторской степени была освобождена не только от экзаменов, но и от публичной защиты, а степень была присуждена — «summa cum lauda» (с высшей похвалой).

В силу различных обстоятельств, вытекавших из тогдашнего социально-политического состояния нашей родины, Ковалевская вынуждена была почти на десять лет прервать свои научные занятия. Но в 1884 г. она получила—первая из женщин — профессорскую кафедру. Продолжая свои научные исследования, Ковалевская решила математическую задачу, над которой бились такие знаменитые умы, как Эйлер, Лагранж и Пуассон, добившиеся в своих работах только частных успехов в этой области.

Академия наук в Париже давно установила премию за исследование на тему о движении твердого тела вокруг неподвижной точки под влиянием силы тяжести. Конкурс на эту премию много лет был безуспешным, и только в 1888 г. академия признала, что задача блестяще разрешена в работе под девизом «говори, что знаешь; делай, что обязан». Открытие автора признано было настолько ценным, что академия решила (до вскрытия конверта с девизом) удвоить премию. Когда после этого вскрыли конверт и оказалось, что автор труда — С. В. Ковалевская, академики из числа противников равноправия женщин вынуждены были, скрепя сердце, присоединиться к решению конкурсной комиссии. Это было подлинным триумфом русского научного гения.

Но жизненный путь С. В. Ковалевской был усеян не одними лаврами. На ее недолгом веку — она умерла сорока одного года — ей пришлось испытать не мало огорчений и жизнь ее — это мартиролог исключительно одаренного таланта, не имевшего возможности на родине приложить свои силы и вынужденного творить и умереть на чужбине.

В раннем детстве Ковалевская обнаружила необычайный интерес к математике, но домашняя обстановка в семье крупного помещика царской России не благоприятствовала развитию ее наклонностей. Отец Софьи Васильевны — отставной генерал В. В. Корвин-Круковский с нескрываемой враждебностью относился к ученым женщинам и только под влиянием соседа по имению, профессора Н. Н. Тыртова, дал согласие на занятая дочери математикой. Софья Васильевна частным образом занималась у известного педагога А. Н. Страннолюбского, но получить регулярное образование в высшем учебном заведении женщины тогда не имели возможности:

* Изд-во АН СССР, Научно-популярная серия. Мемуары, 1951, 576 стр., ц. 25 руб.

доступ туда был закрыт для них. Софья Васильевна была одной из первых русских женщин, которые пошли по пути борьбы за право на образование. Эта борьба описана Ю. В. Лермантовой, подругой С. В. Ковалевской, в воспоминаниях о ней, помещенных в настоящем издании (в приложениях, стр. 375—388).

Несмотря на лестный отзыв проф. Тыртова о математических способностях маленькой Сони, отец С. В., консервативный генерал, и слышать не хотел о том, чтобы отпустить ее за границу для получения образования. Девушкам, стремившимся к знаниям и самостоятельной общественно-полезной деятельности, приходили тогда на помощь передовые молодые люди, вступавшие с ними в фиктивный брак и этим избавлявшие их от опеки родителей. Софью Васильевну выручил В О. Ковалевский, прославленный впоследствии гениальный палеонтолог.

Это было в 1868 г. К тому времени Ковалевский уже окончил курс в Училище правоведения и, увлекшись под влиянием идей шестидесятников-революционных демократов естествознанием, развил обширную издательскую деятельность. За каких-нибудь пять-шесть лет он напечатал много книг, в том числе классические произведения Дарвина, Ляйэлля, Брэма и др. Он был также участником польского национально-освободительного восстания 1863 г., а через три года сражался в отрядах Гарибальди за свободу Италии. В. О. Ковалевский был близок с А. И. Герценом и многими другими выдающимися русскими людьми. Через мужа (фиктивный брак превратился затем в действительный) С. В. вошла в среду виднейших представителей науки и литературы, заняв в их ряду достойное место.

Однако в условиях царской России счастье Ковалевской и ее гениального мужа не могло быть продолжительным. Как отмечает С. Я. Штрайх, «потеряв душевное равновесие», В. О. Ковалевский, «под влиянием морального угнетения, потерял волю к борьбе за свои научные интересы и в апреле 1883 г. покончил самоубийством» (стр. 485).

Это было большим моральным ударом для С. В. Ковалевской. Так же тяжело отразилась на ней смерть любимой сестры — А. В. Корвин-Круковской, бывшей замужем за В. Жакларом — членом 1 Интернационала и активным деятелем Парижской Коммуны. В своих «Воспоминаниях» С. В. Ковалевская уделила сестре несколько глав, одна из которых начинается так: «Несравненно сильнее других влияний, отразившихся на моем детстве, было влияние моей сестры Анюты» (стр. 72).

Как все помещичьи дочери того времени, старшая сестра С. В. получила только домашнее образование. Но уже в раннем возрасте обнаружились ее природные дарования, проявившиеся на литературном поприще. Затем она вместе со своим мужем принимала деятельное участие в Парижской Коммуне. Приехав в начале 1871 г. навестить сестру, Софья Васильевна также участвовала в жизни парижского пролетариата С нею был тогда и В. О. Ковалевский, который в письмах к своему брату, гениальному русскому эмбриологу А. О. Ковалевскому, отразил сочувствие свое и своей жены к борьбе французского трудового народа за освобождение от капиталистического рабства. Все это также выявлено в тексте книги и в комментариях редактора.

В книге уделено большое место знакомству Софьи Васильевны и ее сестры с Ф. М. Достоевским. Рассказы Ковалевской об этом дополнены рядом других документов и прокомментированы в примечаниях.

После разгрома Коммуны Анна Васильевна вернулась на родину, но жизнь ее пошла не так, как ей мечталось в юности. С. В. писала в одном своем автобиографическом очерке: «Для старшей сестры жизнь оказалась злою мачехою. Ее блестящие дарования никогда не достигли полного развития. После многих лет скучной деревенской жизни вырвалась она, наконец, на волю, но действительность мало походила на ее ожидания» (стр. 138).

Вынужденная после смерти мужа жить на чужбине, С. В. Ковалевская тяжело переносила разлуку с родиной. Увенчанная лаврами международного признания, она в России не могла получить даже места преподавательницы в средней школе. То положение, которое Софья Васильевна заняла в Швеции, далось ей не сразу. Вначале ее встретили там с явной враждебностью. Так, например, известный шведский писатель А. Стриндберг выступил против нее в статье, где доказывал, «что женщина — профессор математики — является вредным и неприятным явлением, даже, можно сказать, чудовищем, и что только галантностью шведов к женскому полу объясняется приглашение ее в страну, где есть столько мужчин-математиков, значительно превосходящих ее своими знаниями». Софья Васильевна много смеялась над этой статьей и говорила, что «может согласиться с тем, что она чудовище, но не с тем, что в Швеции так уж много мужчин-математиков, значительно ее превосходящих» (стр. 363—364).

Стокгольмские друзья С. В. Ковалевской понимали, какую честь оказывала С. В. Ковалевская их стране, преподавая в их университете, но вместе с тем они видели, что Швеция не заменяет ей родину. Шведская писательница Эллен Кэй, хорошо знавшая С. В. и написавшая первую ее биографию (помещена в настоящем издании, стр. 408—415), подчеркивала: «Все успехи Софьи Васильевны были ей дороги, только если она могла поделиться ими со своей обширною родиною». Эллен Кэй пишет: «В Стокгольме близкие к Софье Васильевне люди знали, что это—перелетная птица, для которой нет у нас своего гнезда, гостья, которой тяжело было чужое дело».

Другая шведская писательница А. Ш. Леффлер-Эугрен, близкая подруга Ковалевской, написавшая содержательные воспоминания о ней (они приведены в книге в наиболее существенных извлечениях), приводит следующие слова, сказанные ей Софьей Васильевной: «Я не могу передать вам по-шведски самых тонких оттенков моих мыслей; я принуждена всегда или довольствоваться первым попавшимся мне на ум словом, или говорить обиняками, и поэтому всякий раз, когда возвращаюсь в Россию, мне кажется, что я вернулась из тюрьмы, где держали связанными взаперти мои мысли» (стр. 426).

Эллен Кэй, характеризуя С. В., пишет: «Собственно русское выражалось во множестве своеобразностей..., а главное в умственном богатстве, которым за несколько последних десятилетий русский народ возбудил интерес всей Западной Европы к своей литературе. Русская интеллигенция владеет могущественною силою производительности; русские обладают неистощимою способностью усваивать, делать, создавать и давать, многосторонним избытком силы, чего Западная Европа не видала со времени эпохи Возрождения» (стр. 409).

Передовые общественные круги в России возмущались тем, что замечательная дочь русского народа вынуждена творить на чужбине. Глава русской математической школы академик П. Л. Чебышев и другие русские математики добились избрания С. В. в члены-корреспонденты Академии наук. В теле-

грамме, посланной Ковалевской по этому поводу, Чебышев выразил не только свои собственные чувства, но и чувства других русских людей, которым были дороги интересы родной страны. «Наша Академия наук, — писал Чебышев, — только что избрала вас членом-корреспондентом, допустив этим нововведение, которому не было до сих пор прецедента. Я очень счастлив видеть исполненным одно из моих самых пламенных и справедливых желаний» (стр. 354).

Из письма С. В. к подруге Ю. В. Лермантовой (20 ноября 1889 г.) видно, как она была рада этому избранию и как она была окрылена надеждой получить достойное ее способностям место на родине. Но надежды не осуществились. Софья Васильевна умерла 10 февраля 1891 г. вдали от России.

Весть о ее кончине облетела тотчас же весь мир. Со всех концов России были получены телеграммы в адрес Стокгольмского университета. На ее похоронах из соотечественников присутствовал только М. М. Ковалевский, произнесший краткую, но выразительную речь, которая отражала чувства всех русских людей, преданных родине: «Софья Васильевна!— сказал он, обращаясь к открытому гробу.— Благодаря вашим знаниям, вашему таланту и вашему характеру, вы всегда были и будете славой нашей родины. Недаром оплакивает вас вся ученая и литературная Россия... Вам не суждено было работать в родной стране. Но, работая по необходимости вдали от родины, вы сохранили свою национальность, вы оставались верной и преданной союзницей юной России, России мирной, справедливой, свободной, той России, которой принадлежит будущее» (стр. 407).

Но труды Ковалевской были оценены в полной мере только тогда, когда Россия стала на деле свободной страной. Только в наши дни, когда природным дарованиям наших людей даны все возможности для их развития, вклад С. В. Ковалевской в мировую науку стал предметом серьезного изучения. Рассматриваемая книга является лучшим тому доказательством. Объемистая библиография изданных за последнее время трудов Софьи Васильевны и работ о ней, обзор отзывов и характеристик виднейших советских специалистов завершают образ замечательной представительницы русского народа. Обзор этот заканчивается выступлением президента АН СССР академика С. И. Вавилова на торжественном заседании Академии наук, состоявшемся 13 января 1950 г. по случаю столетней годовщины со дня рождения С. В. Ковалевской. Свою речь С. И. Вавилов закончил следующими словами: «Великая Октябрьская социалистическая революция навсегда широко открыла двери высшего научного учреждения страны для женщины, и нет сомнения, что с каждым годом число женщин-ученых, работающих в Советской Академии, в Академии Сталинской эпохи, на самых ответственных постах будет возрастать. Огромные творческие научные силы русской женщины были впервые раскрыты перед всем миром С. В. Ковалевской» (стр. 542).

Мемуары С. В. издавались неоднократно. Не в первый раз их печатает Академия наук СССР, но новое издание значительно отличается от предыдущих. В нем учтены появляющиеся все время ценные работы о жизни и трудах великой нашей соотечественницы. Это издание выпущено в научно-популярной серии, но им будут пользоваться исследователи, занимающиеся историей науки и литературы в нашей стране.

Привлеченный к изданию материал будет служить в этом отношении ценным подспорьем. Редактор-составитель проделал в этом отношении большую работу. Правда эта работа не лишена некоторых ошибок и недостатков. Один из них отмечен выше. Нельзя, например, писать, что И. М. Гревс был профессором всеобщей истории, если он всю жизнь занимался средними веками и только отчасти поздней античностью (история римского землевладения). Еще хуже то, что в тексте сказано о том, что И. М. Гревс «остался без места», а в примечании это никак не комментировано, хотя широко известно, что это произошло вследствие гонений царских чиновников на передовых профессоров того времени.

НОВАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

Первое полугодие 1952 года

I. История математики. Классики математики. Советские математики

Историко-математические исследования, вып. 4, под ред. Г. Ф. Рыбкина и А. П. Юшкевича. Гостехиздат, М.—Л., 1951, 512 стр., с илл. и 3 л. портр. Тираж 3000 экз. Цена в перепл. 17 р. 90 к.

В книге помещены четыре статьи о М. В. Остроградском, три статьи о Н. И. Лобачевском, материалы к истории алгебры в России в XIX и в начале XX в. и две статьи из истории математики народов Средней Азии

Лобачевский Н. И., Полное собрание сочинений, т. V. Сочинения по математическому анализу, теории вероятностей, механике и астрономии, Гостехиздат, М.—Л., 1951, 500 стр., с илл. и 12 л. илл. Тираж 5000 экз. Цена в перепл. 21 р. 15 к.

Сто двадцать пять лет неевклидовой геометрии Лобачевского (1826—1951). Празднование Казанским государственным университетом имени В. И. Ульянова-Ленина и Казанским физико-математическим обществом 125-летия открытия Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии. Под ред. А. П. Нордена, Гостехиздат, М—Л., 1952, 208 стр., с черт, и 2 портр. Тираж 5000 экз. Цена в перепл. 7 р. 60 к.

Вороной Г. Ф., Собрание сочинений, в трех томах, т. I, изд. Академии наук УССР, Киев, 1952, 400 стр., с илл. Тираж 2000 экз. Цена в перепл. 32 руб.

Содержание: «О числах Бернулли», «О целых алгебраических числах, зависящих от корня уравнения 3-й степени», «Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей».

Делоне Б. Н., М. В. Остроградский и его работы в области математического анализа, «Природа», 1952, № 2, стр. 77—81.

Рыбкин Г. Ф., Материалистические черты мировоззрения М. В. Остроградского и его учителя Т. Ф. Осиповского, «Успехи математических наук», вып. 2, 1952, стр. 123—144.

Маркушевич А. П., Очерки по истории теории аналитических функций, Гостехиздат, М.—Л., 1951, 128 стр. Тираж 500 экз. Цена 4 р. 30 к.

Бари Н. К. и Люстерник Л. А., Работы Н. Н. Лузина по метрической теории функций. «Успехи математических наук», 1951, вып. 6, стр. 26—46.

Мордухай-Болтовский Д. Д., Из прошлого аналитической геометрии, «Труды Института истории естествознания», т. IV, 1952, стр. 216—235.

Гришвальд Л. Я., История открытия логарифмов, изд. Харьковского университета, Харьков, 1952, 32 стр., с илл. Тираж 30 ООО экз. Цена 50 коп.

Фель С. Е., Петровская геометрия, «Труды Института истории естествознания», т. IV, 1952, стр. 140—155.

Гусев В. А., Первый русский профессор начертательной геометрии Я. А. Севастьянов (1796— 1849), «Труды Института истории естествознания», т. IV, 1952, стр. 184—194.

Бернштейн С. Н., Собрание сочинений, т. I: «Конструктивная теория функций» (1905—1930), изд. Академии наук СССР, М., 1952, 582 стр. Тираж 8000 экз. Цена в перепл. 31 р. 50 к.

На стр. 565—577 дан полный список трудов С. Н. Бернштейна.

II. Учебники и учебные пособия

Адамар Ж., Элементарная геометрия. Пособие для учителей средней школы, под ред. и с приложением составленных Л. И. Перепелкиным решений всех помещенных в тексте задач, ч. 2, Стереометрия, изд. 2, Учпедгиз, М., 1952; 760 стр., с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 18 р. 50 к.

Барыбин К. С. и Исаков А. К., Сборник задач по математике для VIII—X классов. Пособие для учителей средней школы, Учпедгиз, М., 1952, 208 стр., с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 5 р. 55 к.

Бермант А. Ф., Курс математического анализа. Учебное пособие для высших технических учебных заведений, ч. 2, изд. 4, перераб. и дополн., Гостехиздат, М.—Л., 1951, 443 стр., с черт. Тираж 50 000 экз. Цена в перепл. 13 р. 30 к.

Берман Г. Н., Сборник задач по курсу математического анализа (для вузов), под ред. А. Ф. Берманта, изд. 3, исправл., Гостехиздат, М.—Л., 1952, 528 стр., с черт. Тираж 75 000 экз. Цена в перепл. 9 р. 90 к.

Виноградов И. М., Основы теории чисел. Учебник для физико-математических факультетов государственных университетов, изд. 6, исправл., Гостехиздат, М.—Л., 1952, 180 стр. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 5 р. 80 к.

Гельфонд А. Л., Исчисление конечных разностей. Учебное пособие для физико-математических и физико-технических факультетов государственных университетов, Гостехиздат, М—Л., 1952, 480 стр. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 10 р. 20 к.

Демидович Б. П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу (для физико-математических факультетов государственных университетов и педагогических институтов), Гостехиздат, М.—Л., 1952, 516 стр., с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 9 р. 60 к.

Игнатьев В. А., Игнатьев Н. И. и Шор Я. А., Сборник задач по арифметике. Пособие для педагогических училищ, Учпедгиз, М., 1952, 376 стр., с черт. Тираж 7500 экз. Цена в перепл. 5 р. 20 к.

Курош А. Г., Курс высшей алгебры (для государственных университетов и педагогических институтов), изд. 3, Гостехиздат, М.—Л., 1952, 335 стр. Тираж 15 000 экз. Цена в перепл. 10 р. 90 к.

Лузин Н. Н., Дифференциальное исчисление. Учебник для вузов, изд. 9, Советская наука, М., 1952, 476 стр., с черт. Тираж 50 000 экз. Цена в перепл. 11 руб.

Моденов П. С, Сборник задач по математике с анализом ошибок, допущенных поступавшими в высшие учебные заведения, изд. 3, Советская наука, М., 1952, 384 стр., с черт. Тираж 100 000 экз. Цена 5 руб.

Смирнов В. И., Курс высшей математики (для физико-математических факультетов государственных университетов с расширенной программой), т. I, изд. 13, стереотип., Гостехиздат, М.—Л., 1952, 472 стр., с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 15 р. 70 к.

Смирнов В. И., Курс высшей математики (для физико-математических факультетов государственных университетов и втузов с расширенной программой), т. II, изд. 11, стереотип., Гостехиздат, М.—Л., 1952, 628 стр., с черт. Тираж 15 000 экз. Цена в перепл. 17 р. 60 к.

Смирнов В. И., Курс высшей математики. Учебное пособие для физико-математических» факультетов государственных университетов, т. IV, изд. 2, Гостехиздат, М.—Л., 1951, 804 стр., с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 23 р. 45 к.

Рудаев А. К., Сборник задач по начертательной геометрии (для высших технических учебных заведений), изд. 7, стереотип., Гостехиздат, М.—Л., 1952, 344 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена 9 р. 45 к.

Уваренков И. М. и Маллер М. 3., Введение в анализ. Учебное пособие для педагогических институтов, под ред. П. П. Коровкина, Учпедгиз, М., 1951, 256 стр., с черт. Тираж 20000 экз. Цена в перепл. 6 р. 20 к.

Черкасов Р. С, Сборник задач по стереометрии. Пособие для учителей средней школы, Учпедгиз, М., 1952, 84 стр., с черт. Тираж 25 000 экз. Цена 1 р. 35 к.

Четверухин Н. Ф., Стереометрические задачи на проекционном чертеже, изд. 2, Учпедгиз, М., 1952, 128 стр., с черт. Тираж 5000 экз. Цена 1 р. 75 к.

Цубербиллер О. Н., Задачи и упражнения по аналитической геометрии (для втузов), изд. 16, исправл. и дополн., Гостехиздат, М.—Л., 1952, 356 стр., с черт. Тираж 75 000 экз. Цена в перепл. 8 р. 05 к.

Шилов Г. Е., Введение в теорию линейных пространств. Учебник физических и физико-математических факультетов государственных университетов, под ред. Н. В. Ефимова, Гостехиздат, М.—Л., 1952, 384 стр., с черт. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 7 р. 30 к.

Эльсгольц Л. Э., Вариационное исчисление, Гостехиздат, М.—Л., 1952, 168 стр., с черт. Тираж 7000 экз. Цена в перепл. 5 р. 30 к.

Сборник задач по математике, предлагающихся на вступительных экзаменах в вузы (с решениями). Пособие для поступающих в высшие учебные заведения, под ред. М. Я. Выгодского, Гостехиздат, М.—Л., 1951, 547 стр., с черт. Тираж 75 000 экз. Цена в перепл. 11 р. 30 к.

Шахно К. У., Сборник конкурсных задач по математике, с решениями, изд. Ленинградского государственного университета, Л., 1951, 218 стр., с черт. Тираж 20 000 экз. Цена 10 руб.

III. Методика преподавания математики

Барков И. Я., Элементы аналитической геометрии в средней школе, Челябгиз, Челябинск, 1951, 172 стр., с черт. Тираж 8000 экз. Цена 4 р. 40 к.

Барсуков А. Н., Первые уроки алгебры в VI классе. Методическое пособие для учителей, Учпедгиз, М., 1951, 33 стр. Тираж 50 000 экз. Цена 50 коп.

Кривлева Л. В., Некоторые приемы повторения математики в средней школе (из опыта работы), Краевой институт усовершенствования учителей, Красноярск, 1951, 19 стр. Тираж 2500 экз. Цена 1 р. 50 к.

Каверин Н. В., Методы решения арифметических задач в средней школе (V—VI классы), Учпедгиз, М., 1952, 64 стр. Тираж 50 000 экз. Цена 70 коп.

Притуло Ф. Ф., Математические предложения и методы доказательств в средней школе, Госиздат Северо-Осетинской АССР, Дзауджикау, 1952, 48 стр., с черт. Тираж 1000 экз. Цена 60 коп.

Серебровская Е. К., Опыт внеклассной работы по математике, изд. 2, перераб. и дополн., Госиздат, Иркутск, 1952, 119 стр., с черт. Тираж 500 экз. Цена 2 руб.

Сухарев М. Е., Задачи прикладного характера по некоторым темам школьного курса математики, Горьковский городской институт усовершенствования (учителей, г. Горький, 1951, 60 стр., с черт. Тираж 1500 экз. Цена 3 руб.

Курицын Н., Что и как улучшать в преподавании математики, «Народное образование», 1952, № 5, стр. 63—66.

Математика в школе. Из опыта работы учителей, Московский городской институт усовершенствования учителей. Сборник статей, «Московский рабочий», М., 1952, 208 стр., с черт. Тираж 8000 экз. Цена в перепл. 7 р. 50 к.

Вопросы по стереометрии, развивающие пространственное воображение учащихся, и задачи. Развитие математического мышления учащихся. Исследование уравнений. Об улучшении преподавания геометрии в VI—VII классах. Развитие пространственных представлений в курсе геометрии IX класса. Из опыта ознакомления учащихся с некоторыми изысканиями П. Л. Чебышева. Первая городская олимпиада по арифметике для учащихся V—VI классов школ г. Москвы в 1949/50 учебном году.

Решение задач в средней школе. Арифметика, алгебра, геометрия (из опыта учителей математики V—X классов). Сборник статей под ред. Н. Н. Никитина, изд. Академии педагогических наук РСФСР, М., 1952, 320 стр., с черт. Тираж 15 000 экз. Цена в перепл. 5 р. 20 к.

В помощь преподавателю математики. Сборник статей под ред. М. И. Альмухамедова, Татарский институт усовершенствования учителей, Татгосиздат, Казань, 1951, 144 стр., с черт. Тираж 5105 экз. Цена 2 р. 10 к.

Задачи с геометрическим содержанием в V классе. О решении уравнений в VI классе. Построение графиков в VI и VII классах. О решении задач методом составления уравнений в VII классе. Об исследовании уравнений в VIII классе. Последовательности чисел в курсе IX класса. Опыт обучения решению задач на проекционном чертеже.

За высокую успеваемость учащихся по математике. Сборник статей под ред. С. В. Иванова, Воронеж, 1951, 51 стр. Тираж 2000 экз

Содержание: «Из опыта повышения успеваемости учащихся по математике», «Опыт работы с отстающими учащимися», «Как я работаю над темой «Подобные многоугольники» (VIII класс), «Внеклассная работа по математике в V классе».

За улучшение преподавания математики в школе. Сборник статей, Тула, 1951, 76 стр., с черт. Тираж 3000 экз. Цена 1 р. 75 к.

Развитие логического мышления на уроках математики. Меры предупреждения неуспеваемости учащихся. Исторический элемент в преподавании математики. Решение задач с исследованием в курсе X класса средней школы.

IV, Книги по различным вопросам высшей математики

Букреев Б. Я., Планиметрия Лобачевского в аналитическом изложении, Гостехиздат, М.—Л 1951, 127 стр., с черт. Тираж 6000 экз. Цена в пе репл. 4 р. 25 к.

Гокиели Л. П., О понятии числа, изд. Академии наук Грузинской ССР, Тбилиси, 1951, 96 стр. Тираж 1000 экз. Цена 5 руб.

Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, Гостехиздат, М.—Л., 1952, 540 стр., с черт. Тираж 6000 экз Цена в перепл. 16 р. 35 к.

Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, ред. и комментарии Н. К. Бари и Д. Е. Мень шова, Гостехиздат, М.—Л., 1951, 551 стр., с черт Тираж 5000 экз. Цена в перепл. 20 р. 45 к.

Люстерник Л. А. и Соболев В И., Эле менты функционального анализа, Гостехиздат М.—Л., 1951, 360 стр. Тираж 6000 экз. Ценя 14 р. 10 к

Марков А. А., Избранные труды. Теория чисел Теория вероятностей, под ред. Ю. В. Линника, изд. Академии наук СССР, М., 1951, 720 стр. Тираж 3000 экз. Цена в перепл. 32 руб.

Урысон П. С, Труды по топологии и другим областям математики, ред., примеч. и вступит, статья П. С. Александрова, Гостехиздат, М.—Л., 1951. Тираж 3000 экз. (т. 1, 512 стр., с черт., цена в перепл. 19 р. 75 к.; т. 2, 992 стр., с черт., цена в перепл. 18 р. 65 к.).

V. Научно-популярная литература, пособия для кружков

Берман Г. Н., Приемы счета, изд. 4, Гостехиздат, М.—Л., 1952, 88 стр. Тираж 50 000 экз. Цена 1 р. 25 к.

Воробьев Н. Н., Числа Фибоначчи. Популярные лекции по математике, вып. 6, Гостехиздат, М.—Л., 1951, 48 стр., с черт. Тираж 25 000 экз. Цена 75 коп.

Гельфонд А. Л., Решение уравнений в целых числах. Популярные лекции по математике, вып. 8, Гостехиздат, М.—Л., 1952, 64 стр. Тираж 50 000 экз. Цена 95 коп.

Коровкин П. П., Неравенства. Популярные лекции по математике, вып. 5, Гостехиздат, М.—Л., /952, 56 стр., с черт. Тираж 25 000 экз. Цена 95 коп.

Курош А. Г., Алгебраические уравнения произвольных степеней. Популярные лекции по математике, вып. 7, Гостехиздат, М.—Л., 1951, 32 стр., с черт. Тираж 25 000 экз. Цена 50 коп.

Маркушевич А. И., Замечательные кривые. Популярные лекции по математике, вып. 4, изд. 2, Гостехиздат, М.—Л., 1952, 32 стр., с черт Тираж 50 000 экз. Цена 40 коп.

Натансон И. П., Простейшие задачи на максимум и минимум. Популярные лекции по математике, вып. 2, изд. 2, Гостехиздат, М.—Л., 1952, 32 стр., с черт. Тираж 25 000 экз. Цена 50 коп.

Соминский И. С, Метод математической индукции. Популярные лекции по математике, вып. 3, изд. 2, Гостехиздат, M—Л., 1952, 48 стр Тираж 50 000 экз. Цена 75 коп.

15-я Московская городская математическая олимпиада учащихся средних учебных заведений, 1952. Сборник подготовительных задач, М., 1952, 15 стр. Тираж 7000 экз.

Семендяев К. А., Счетная линейка. Краткое руководство, изд. 5, Гостехиздат, М.—Л., 1952, 47 стр., с илл. Тираж 50 000 экз. Цена 85 коп.

VI. Справочники

Рыжик И. М. и Градштейн И. С, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, изд. 3, перераб., Гостехиздат, M—Л., 1951, 464 стр. Тираж 15 000 экз. Цена в перепл 20 р. 45 к.

Хренов Л. С, Семизначные таблицы тригонометрических функций, Гостехиздат, М.—Л., 1951, 418 стр. Тираж 15 000 экз. Цена в перепл. 33 р 75 к.

VII. Пособия для заочников

Гаркави Е. Г., Сборник упражнений по высшей алгебре. Определители и система линейных уравнений. Пособие для самостоятельной работы студентов-заочников педагогических институтов, Учпедгиз, М.. 1951, 92 стр. Тираж 3000 экз.

Погорелов А. И., Сборник задач по высшей математике. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения. Учебно-методическое пособие для студентов-заочников педагогических институтов, Учпедгиз, М., 1951, 184 стр. Тираж 6000 экз. Цена 4 р. 90 к.

Игнатьев В. А. и Пономарев С. А., Сборник задач по арифметике с указанием приемов их решений. Методическое пособие для заочников педагогических училищ, изд. 2, Учпедгиз, М., 1951, 131 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 3 руб.

ПО ПОВОДУ СТАТЬИ И. Е. ГОППА

«Из опыта обучения учащихся геометрическому черчению круглых тел» («Математика в школе», 1950, № 6, стр. 37—42)

А. А. ПАНКРАТОВ (г. Калинин)

В журнале «Математика в школе», № 6 за 1950 г., помещена статья И. Е. Гоппа «Из опыта обучения учащихся геометрическому черчению круглых тел». Статья в целом представляет известный интерес и может быть полезна учителям, преподающим стереометрию. Однако многие ее части вызывают возражения. Изложим их по порядку

Автор в начале статьи рассматривает вопрос об изображении плоскости. Он устанавливает, что обычное изображение прямоугольника в виде параллелограма может быть легко оправдано, так как это есть косоугольная его проекция. Это, конечно, верно. Далее предлагается (вполне законно) рассмотреть возможные результаты ортогонального проектирования прямоугольника и даются такие (верные) чертежи (черт. 1—3).

Далее говорится следующее: «Разъяснив учащимся неприемлемость изображений а и b (т. е. изображений 1 и 2 в нашей нумерации чертежей.—А. П.), останавливаемся на изображении с (черт. 3.—А. П.), которым мы и будем пользоваться в дальнейшем, если требуется начертить ортогональную проекцию плоскости».

Из сказанного видно, что в данном случае автор решительно предпочитает проекции ортогональные косоугольным. Естественно спросить: почему? Никаких обоснований не дается. Да и можно ли вообще обосновать это, когда речь идет о столь элементарном и вовсе не принципиальном вопросе: как изображать прямоугольник? Думается, что нельзя. Поэтому правильно было бы сказать, что и косоугольные, и ортогональные проекции в данном случае одинаково пригодны. Больше того; автор должен был бы подчеркнуть, что проекции, названные им ортогональными (черт. 1—3), могут быть получены и в результате косоугольного проектирования прямоугольника.

Виды проекций (ортогональные или косоугольные) здесь совершенно безразличны: мы должны заботиться лишь об их наглядности (и, разумеется, верности).

Далее, что значит «начертить ортогональную проекцию плоскости»? Ведь известно, что в общем случае ортогональная (да и косоугольная) проекция плоскости на плоскость есть тоже плоскость. Значит, начертить ортогональную проекцию плоскости невозможно, так как невозможно начертить плоскость. При объяснениях учащимся того, как следует изображать плоскость, нужно соблюдать известную осторожность.

Указываем учащимся, что поскольку плоскость не ограничена ни в каком направлении, постольку бессмысленно говорить о проекции плоскости, так как проекции ее точек покрыли бы собою всю плоскость проекций. Поэтому мы берем часть плоскости в виде некоторой замкнутой фигуры. Подчеркиваем, что форма и размеры такой фигуры совершенно безразличны. Можно согласиться, что учащиеся уже привыкли к изображению плоскости в виде параллелограма. Это соответствует тому, что названная выше часть плоскости берется в виде прямоугольника или параллелограма. Но это не более как некоторая условность, и притом вовсе не обязательная. Автор наверное помнит, что в книге Н. Ф. Четверухина, которая упоминается в статье, плоскость очень ред-

Черт. 1-3

ко изображается в виде параллелограма, от чего качество чертежей нисколько не страдает.

Особенно четко должны усвоить учащиеся ту мысль, что, изобразив часть плоскости в виде той или иной фигуры, мы всегда можем расширить границы этой части по своему произволу. Непонимание этого является источником ошибок, подобных тем, которые нам неоднократно приходилось наблюдать. Так, решая задачу о пересечении данной прямой АВ(А\ВХ) с основной плоскостью Р, когда построения получаются такими, как на чертеже 4, учащиеся говорят, что искомая точка X лежит вне плоскости Р (черт. 4).

Вслед за приведенной цитатой в статье говорится: «В курсе X класса при черчении многогранников следует пользоваться обоими видами проекций (т. е. ортогональными и косоугольными.— А. П.).

Пример дан на чертеже 3, где изображена пирамида в двух параллельных проекциях: косоугольной и ортогональной». Мы в точности воспроизводим упомянутый автором чертеж на нашем чертеже 5. Возникает вопрос: где здесь проекция ортогональная и где — косоугольная? Автор ответа не дает. Но полагаем, что если бы он и попытался ответить, то из этого ничего бы не получилось. В самом деле, что можно сказать о виде проекций по данным проекциям пирамиды, если мы даже не знаем точно, о какой пирамиде идет речь? Можно сказать, что изображена четырехугольная пирамида, что в основании ее параллелограм,— не более. Далее можно утверждать, например, что левое изображение есть результат косоугольного проектирования описанной выше пирамиды. Но с неменьшим основанием это же можно сказать и про правое изображение. Чтобы вопрос имел полную определенность, нужно для всякого проектирования иметь в виду три фактора: а) объект проектирования, б) условия проектирования (положение объекта относительно плоскости проекций, направление проектирования), в) результат проектирования. Любые два из указанных моментов являются независимыми, т. е. могут назначаться произвольно. Так, задав точно объект и условия его проектирования, мы однозначно решим вопрос о результате этого проектирования. Или, зная результат и объект проектирования, можно указать и условия проектирования, т. е. определить вид проекции. Вопрос о виде проекций по данным проекциям и объекту решается не всегда элементарно (и однозначно). Поэтому автору, если он хотел показать две различные по видам проекции одного и того же объекта (пирамиды), нужно было точно указать, о какой пирамиде идет речь, и указать (а лучше — дать построения с необходимыми деталями), какие именно виды проекций этой пирамиды он желает продемонстрировать. Это тем более важно, что косоугольных и ортогональных проекций данного объекта может быть бесконечное множество.

В разделе, посвященном изображению круга, читаем: «Чтобы построить правильное изображение круга, возьмем окружность с описанным квадратом и двумя диаметрами, проходящими через точки касания (черт. 4). При проектировании этой фигуры квадрат изобразится параллелограмом, причем точки касания попрежнему должны делить его стороны пополам. Таким образом (черт. 5) получаем изображение а (косоугольная проекция) или b (ортогональная проекция)». У нас упомянутые чертежи воспроизведены соответственно под номерами 6 и 7 а и Ь.

Далее говорится: «Изображение а не имеет той симметрии, которой отличается оригинал. Поэтому указываем учащимся, что все чертежи, связанные с изображением окружности, будем выполнять в ортогональной проекции».

Мы видим, что автора преследует та же мысль, которую мы уже критиковали: во что бы то ни стало различать проекции косоугольные и ортогональные, различать, не заботясь о том, есть ли нужда в таком различении.

Опять напрашивается вопрос: как автор узнаёт, где какая проекция? Можно догадываться, что он пользуется аксонометрическими проекциями. Изображение а есть, видимо, обычная фронтальная проекция или близкая ей. Это действительно проекция косоугольная. Изображение b — это изометрическая проекция. Изометрия же — проекция ортогональная. Оговоримся, наши догадки будут справедливы лишь в том случае, если стороны квадрата, описанного около окружности, расположены на соответствующих осях или им параллельны. Если мы угадали по части аксонометрии, то нам неясно, почему автор открыто не заявил об этом. Ведь тогда сразу стало бы ясно, где проектирование косоугольное, где — ортогональное.

Там, где мы встречаемся с проекциями косоугольной и ортогональной, симпатии автора, конечно, на стороне последней. В разбираемом нами случае он пытается мотивировать свой выбор и ссылается на то, что на изображении а плохо дело с симметрией, на изображении же b — гораздо лучше. Не собираясь оценивать этот мотив (нам он кажется несерьезным), заметим, что автор делает очень неосторожные обобщения, если воображает, что столь же приятны будут все ортогональные проекции. Достаточно указать.

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6 Черт. 7

что если сделать этот же чертеж в диаметрической, например, проекции, то результат получится ничуть не лучше, чем на изображении а.

Выходит, таким образом, что нужно либо открыто заявить о применении аксонометрии, и тогда ясно указать, какими конкретными видами ее автор рекомендует пользоваться, либо просто вести речь о параллельных проекциях, не разделяя их на ортогональные и косоугольные, поскольку такое разделение в нашем случае ничего не дает. Второй путь, по нашему мнению, заслуживает предпочтения. В самом деле, из свойств параллельных проекций вытекает непосредственно, что верными будут оба изображения а и 6. Получив их (совсем не интересуясь, какое из них есть ортогональная проекция!), мы выбираем то, какое в данном случае наилучшим образом отвечает нашим целям.

Теперь ясно, что требование автора выполнять все чертежи, связанные с изображением окружности, в ортогональной проекции есть недоразумение.

В том же разделе статьи решается задача: в окружность вписать квадрат.

Сделав верный чертеж 1а, автор далее пишет: «На чертеже 1Ь дано неверное изображение вписанного квадрата, которым часто пользуются ученики (и преподаватели). Ошибка в том, что квадрат дан в косоугольной проекции, а окружность — в ортогональной» (см. у нас черт. 8).

Выше мы уже говорили о разделении автором проекций на косоугольные и ортогональные. Неуместно оно и здесь. Тем более, что автор хочет сделать из него универсальный критерий верности или неверности чертежей.

На самом деле все обстоит очень просто. Окружность мы изображаем в виде совершенно произвольного эллипса, совсем не интересуясь, какая получится проекция: косоугольная или иная. Проводим далее любую пару сопряженных диаметров эллипса и, соединив их концы, получим верное изображение вписанного квадрата.

Чтобы оценить верность чертежа 7Ь (у нас — 8Ь), достаточно проверить, являются ли диаметры AB и CD (обозначения введены нами) сопряженными. Такая проверка выполняется легко, следовательно, легко получается и ответ на интересующий нас вопрос. Рассуждения же о видах проекций способны лишь запутать дело.

Кстати, непонятно, почему автор избегает открыто пользоваться сопряженными диаметрами при решении рассматриваемой задачи. Предлагаемое им построение (черт. 6 статьи) практически менее удобно, чем при использовании сопряженных диаметров.

В разделе II статьи говорится об изображении цилиндра и конуса и опять применяется прежний подход к оценке чертежей. Справедливо замечая, что чертеж в задачнике Рыбкина (ч. II, § 13, задача № 10) ошибочен, автор дает чертеж 9, который, по его мнению, является верным. Возможно, что это и так, но следовало по крайней мере пояснить, как построен чертеж.

Мы охотно присоединяемся к рекомендации автора смотреть книгу Н. Ф. Четверухина «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии» и со своей стороны добавляем, что в ней критика того же чертежа дана без всяких ссылок на виды проекций отдельных его частей, дано правильное построение и сделано все это с предельной простотой и ясностью.

В разделе III статьи рассматривается вопрос об изображении шара. Верно изложив основное, автор приводит примеры верного и неверного изображения шара и экваториальной плоскости (черт. 16, а и b статьи) и пишет: «Стороны параллелограма, изображающего плоскость, должны быть параллельны каким-либо двум взаимно перпендикулярным диаметрам экватора». Это требование имеет смысл лишь при той непременной оговорке, что часть плоскости нами берется в виде прямоугольника. Выше говорилось, что это не является необходимым.

Что касается построения полюсов шара на его проекции, то, кроме указанного в книге Н. Ф. Четверухина, на которое ссылается автор, можно дать такое, как на чертеже 9 нашей статьи.

Здесь слева дана ортогональная проекция шара на некоторую плоскость, а справа — его проекция на плоскость, перпендикулярную первой. Экватор CBDA изобразится на правой проекции отрезком В'А'\ проведя через точку О' прямую, перпендикулярную В'А', находим проекции N' и S' полюсов. Зная же их, легко определяем положение полюсов N и S на левой проекции.

Описание построения ко второй задаче IV раздела (описать около шара конус) является невразумительным. Во-первых, каков диаметр шара (ОМ), если точки M на чертеже вовсе нет? (см. черт. 18 разбираемой статьи); во-вторых, что представляют собой точки А\ и В2, играющие важную роль в построении? И наконец, как проводятся образующие S Ai и SB2 конуса? Без ответа на эти вопросы (а его нет в статье) читатель не поймет решения задачи, если только он заранее его не знает. Чтобы разобраться в нем, следует смотреть книгу «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии» Н. Ф. Четверухина, где на стр. 171—172 эта задача решена с надлежащей отчетливостью.

Мало что понятно и в решении третьей задачи того же раздела (описать около шара правильную четырехугольную пирамиду), так как автор ссылается на предыдущий пример (задачу), пояснения к которому неудовлетворительны. Мы видим, таким образом, что все перечисленные нами неточности и недомолвки автора способны дезориентировать читателя и ввести его в заблуждение. Все это снижает качество статьи.

Черт. 8

Черт. 9

ХРОНИКА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПИОНЕРСКИЙ СБОР

К. П. СИКОРСКИЙ и Г. К. ЧАУС (Москва)

Еще в 1926 г. Н. К. Крупская на VII съезде ВЛКСМ выдвинула следующие задачи пионерской работы: 1) воспитание общественного подхода к каждому вопросу; 2) воспитание товарищеской солидарности; 3) умение объединенно, коллективно работать; 4) умение приобретать знания. Постановления XI съезда ВЛКСМ и VII пленума ЦК ВЛКСМ вновь подтверждают те же задачи. В частности, в этих постановлениях указано на необходимость организовывать тематические пионерские сборы.

В 43-й женской средней школе г. Москвы мы решили организовать пионерский математический сбор в пятых классах. В начале третьей четверти на объединенном собрании пионерского актива двух пятых классов, проведенном под руководством учительницы математики Г. К. Чаус, пионеры обсудили тематику сбора, распределение докладов и отдельных выступлений; ученицы были очень активны, внесли некоторые изменения и дополнения в первые предложения. По предложению же пионеров решено было закончить сбор инсценировкой; остановились на сцене из «Недоросля» Фонвизина.

Выбор форм участия в сборе проходил вполне свободно, причем при выборе тем докладов отчетливо сказались индивидуальные черты характера отдельных учащихся. В то же время нас радовал глубокий интерес и серьезное отношение к предстоящей работе.

Подготовка начата была частью на этом собрании, частью в ближайшие же дни. Были указаны следующие книги, из которых можно взять материал для докладов и составления задач.

Г. Н. Берман, Счет и число.

Гнеденко, Очерки по истории развития математики в России.

Ланков, К истории развития передовых идей в русской методике математики.

Перельман, Занимательная арифметика.

«Математика в школе», 1948, №4; 1951, № 3.

«Дружные ребята», 1951, № 9.

Волков, Два брата. Исторический роман.

Великие стройки коммунизма — разные брошюры.

Подготовка проходила при постоянной консультации учительницы Г. К. Чаус и методиста районного педкабинета К. П. Сикорского. Ученицы просили указаний, что именно из рекомендованной литературы следует использовать, как понять отдельные выражения, как решить ту или иную особо трудную, но интересную задачу.

Сбор состоялся в начале четвертой четверти. На сборе присутствовали несколько учителей школы, старший пионервожатый школы и полностью пионерки двух пятых классов. После обычных рапортов при организации пионерских сборов наш математический сбор начался выступлением методиста К. П. Сикорского. Затем следовали доклады учениц.

1. Счет, число и его изображение. Таня Б. очень интересно рассказала, как жизнь заставила людей научиться считать и изображать числа особыми знаками, какие существовали нумерации.

2. Первый русский педагог-математик Л. Ф. Магницкиий. Таня Э. живо рассказала о некоторых моментах биографии Магницкого, в частности о происхождении его фамилии.

3. Две другие девочки, Галя К. и Оля Б., прочитали из исторического романа Волкова «Два брата.» два отрывка: о Магницком и о том, как учились в навигацких школах при Петре I.

4. Биография А. П. Киселев а,— Марина Г.

5. Советские математики — лауреаты Сталинских премий, — Люба Ц.

6. Математика и великие стройки коммунизма. Люся А. серьезно и интересно сказала прежде всего о том, почему ведущееся сейчас строительство каналов и Куйбышевской ГЭС называется «великими стройками». Чтобы понять их величие, надо сравнить их с другими предприятиями, а для этого надо взять такие показатели, которые можно представить в числах.

Затем она привела несколько составленных ею задач на материале великих строек коммунизма.

7. Затем Нина 3. и Нина Г. предложили решить несколько задач из «Арифметики» Магницкого и составленных ими самими на тему: «Задумай число, а я отгадаю».

8. В последней, «художественной» части сбора была исполнена сцена из «Недоросля»: как Цифиркин обучает Митрофанушку арифметике и как при этом «помогает» матушка несмышленому дитяти.

Наконец были прочитаны стихи о значении математики.

Сбор, продолжавшийся около полутора часов, прошел очень оживленно, ученицы очень внимательно слушали и доклады, и другие выступления. Особый интерес вызвали отлично прочитанные страницы из романа Волкова «Два брата» и решение задач.

По окончании сбора ученицы просили организаторов его устроить математический сбор и в будущем году.

ЗАДАЧИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

(Несколько софизмов на материале элементарной и начал высшей математики)

Ю. М. ГАЙДУК (Харьков)

Вопрос о педагогической роли математических софизмов уже обсуждался на страницах журнала «Математика в школе», в частности в специальной статье В. Л. Минковского и в его же заметке о выдающемся русском педагоге и популяризаторе науки В. И. Обреимове*. Отсылая читателя за подробностями по данному вопросу и за дальнейшими литературными указаниями к названным статьям, ограничимся констатацией того, что анализ математических софизмов является одним из заслуживающих внимания средств в деле изжития формализма в усвоении учащимися природы математической дедукции.

Целью настоящей статьи является изложение нескольких софизмов, представляющихся нам довольно поучительными и если не новыми, то по крайней мере менее известными. Софизмы эти различной степени «трудности» и построены на весьма разнообразном математическом материале. В своей совокупности предлагаемые софизмы и сопровождающие их пояснения рассчитаны на силы и интересы студентов учительских и педагогических институтов, однако большая часть из них может быть использована и в школьном математическом кружке (старшеклассников).

Нахождение «решений» софизмов предоставляется читателям.

I. «Все большие числа приближенно равны между собой»

Этот элементарный софизм представляет собой в известном смысле некоторую вариацию известного в логике «парадокса кучи зерна»**.

Будем считать числа, начиная, скажем, с миллиона, большими и «докажем», например, что 1 0Q0 000^ 2 000 000.

Для всякого большого числа N можно принять, что

N^N+l. (1)

Полагая в соотношении (1) последовательно N г= 1000 000,1 000 001, 1 000 002,..., 1 9Э9 9Э9, получим:

(2)

Перемножая левые и правые части миллиона приближенных равенств (2), получим:

Сокращая обе части полученного приближенного равенства на 1 000 00Ы 000 002 • 1 000 003... 1 999 999, получим требуемое соотношение:

1000 000 ^ 2 000 000.

I, «Всякое натуральное число, отличное от единицы, больше самого себя»

Для того чтобы «доказать» высказанное предложение, применим метод математической индукции,

* «Математические софизмы и их педагогическая роль» (1946, № 5—6); «Василий Иванович Обреимов» (1951, № 5).

** Вот этот логический парадокс. Ставится вопрос: сколько зерен составляют кучу зерна?—Пусть имеется некоторая куча зерна, содержащая N зерен. Но если из какой-то кучи зерна убрать одно зерно, то останется, конечно, все еще куча зерна. Таким образом, из данной кучи в N зерен можно образовать, путем повторного изъятия каждый раз одного зерна, кучи в N—1, N — 2, 2 и, наконец, в одно зерно! Можно пойти и еще дальше и получить... кучу зерна без единого зернышка!

а именно — воспользуемся следующей формой аксиомы полной индукции: Если множество M таково, что: 1°) в нем содержится число 1, 2°) в нем содержится число п' = п -}- 1 всякий раз, когда это имеет место для числа л, то множество M содержит все натуральные числа.

Приступая к доказательству, образуем множество М, относя к нему число 1, а также всякое натуральное число, большее самого себя*.

Убедимся, что оба требования аксиомы индукции выполнены для множества М. Действительно: требование Г) соблюдено очевидно; что же касается требования 2е), то, предположив, что

п>п (1)

(т. е. что число п содержится в множестве М\ мы, прибавляя к обеим частям неравенства (1) по единице, получим

п' >п',

так что в этом случае и число п1 будет элементом множества М.

Применяя аксиому, заключаем отсюда, что множество M содержит все натуральные числа, так что (в силу характеристического свойства этого множества) всякое натуральное число либо равняется единице, либо превосходит само себя!

III. «Загадка точки в круге»

Дана окружность К и точка Р внутри нее (отличная от центра О окружности). Существуют ли на окружности: 1) точка, ближайшая к точке Р, 2) точка, наиболее удаленная от точки Р?

Элементарное решение. Проведя диаметр через точку Р, обозначим концы его через Q и R (см. черт. 1). Тогда легко показать, что точка R будет ближайшей к точке Р точкой окружности, а точка Q — наиболее удаленной.

Действительно, если M — произвольная точка окружности, отличная от точек Q и R, то (по свойству треугольника и окружности)

PM>OM — OP = OR — OP = PR,

PM<OM + OP = OQ + OP = PQ,

что и доказывает наше утверждение.

1-е аналитическое решение

Для решения задачи по известным правилам дифференциального исчисления введем декартову систему координат (черт. 2), взяв за ось *-ов прямую ОР.

Обозначив через г радиус окружности К и положив ОР = а, получим для расстояния d произвольной точки M (х, у) на окружности от точки Р выражение:

Теперь задача сводится к исследованию на максимум и минимум полученной функции

Точки максимума и минимума (если они существуют) должны, как известно, удовлетворять уравнению

/'(*) = о.

Находя производную от функции

находим, однако, что

так что эта производная ни при каком значении х в нуль не обращается. Отсюда следует, что функция f (х) не имеет максимумов и минимумов, т. е. что на окружности К не может быть ни самой близкой, ни самой удаленной точки по отношению к точке Р.

2-е аналитическое решение

Вместо того чтобы вводить, как только что, декартову систему координат, введем полярные координаты, взяв прямую ОР за полярную ось и обозначая полярный угол точки M через <р (черт. 2). Тогда по теореме косинусов (при прежних обозначениях):

Исследуя функцию

на максимум и минимум, найдем:

так что

Черт. 1

Черт. 2

* Это определение множества M формально не зависит от того, имеются или нет такие натуральные числа; если их нет, множество M будет состоять из одного элемента — числа 1.

при ? = 0 и ср = тс, что согласуется с элементарным решением*.

Какое же из решений ошибочно?

Отметим, что «задача о точке в круге» имеет за собой некоторую историю. Еще менее ста лет назад она (вернее, связанный с ней аналитический софизм) привлекала к себе внимание выдающихся математиков. Так, задача эта служила предметом переписки между М. В. Остроградским и Н. Д. Брашманом**. Остроградский считал, что наиболее естественным аналитическим подходом к задачам этого рода является рассмотрение их с помощью теории условных максимумов и минимумов функций нескольких переменных***.

При современных уточнениях в теории максимумов и минимумов софизм, заключающийся в первом аналитическом решении данной задачи, представляется уже довольно тривиальным, однако сопоставление различных «исходов» разных способов аналитического решения и сейчас сохраняет свою поучительность.

IV. «Парадоксальная прямая»

Напомним простой факт: если все элементы какого-либо столбца (или строки) определителя обращаются в нуль, то и сам определитель будет равен нулю.

На этом «основан» нижеследующий софизм.

Рассмотрим уравнение:

(1)

Легко видеть (для этого стоит только вычислить определитель), что (1) — уравнение первой степени относительно л: и у, и притом такое, что коэффициенты при X и у не равны оба нулю. Поэтому в системе декартовых координат XOY уравнение (1) изображает некоторую прямую.

Заметим теперь, что (в силу упомянутого выше свойства определителя) прямая (1) будет проходить через две различные бесконечно удаленные точки****: одну, определяемую парой параллельных прямых

(2)

и другую, определяемую парой параллельных прямых

(3)

[Эти бесконечно удаленнее точки наверное различны, так как прямые (3) не параллельна прямым (2).]

Прямая (1), соединяя две различные бесконечно удаленные точки, должна быть бесконечно удаленной прямой плоскости хОу, так что и все ее точки должны быть бесконечно удаленными точками.

Этот вывод, однако, немедленно опровергается тем, что прямая (1) проходит через конечную точку плоскости, координаты которой определяются системой уравнений:

т. е. через точку (0, 0).

V. «Всякий угол кратен двум прямым»

Для доказательства предложения, касающегося произвольных углов, естественно прибегнуть к тригонометрии. Кроме того, мы призовем на помощь комплексные числа.

Как известно, тригонометрические функции могут быть введены чисто аналитически (т. е. без обращения к какой бы то ни было геометрии). При таком аналитическом понимании тригонометрических функций значениями аргумента могут быть не только действительные, но и комплексные числа, и сами значения тригонометрических функций могут быть комплексными.

Вспомним тригонометрическую формулу тангенса суммы:

и считая в ней угол а произвольным, а угол ß таким, что tgf=/(/ = yr —1), найдем:

Полученное равенство

как легко видеть, возможно только в том случае, если разность сс + Ю-ß = « будет кратна гс, ч. т. д.

VI. «Нуль равен единице).

Одной из излюбленных тем элементарно-алгебраических софизмов является доказательство равенства неравных чисел, например нули и единицы. Как правило, такое доказательство осуществляется там с помощью операции деления на нуль, т. е. операции, незаконность которой хорошо известна.

Поэтому «доказательство» равенства 0 = 1, основанное на существенно иной идее, пожалуй, сможет показаться «более убедительным».

Прибегнем к услугам интегрального исчисления и воспользуемся в наших целях известной формулой «интегрирования по частям»:

(1)

Эта формула имеет силу, каковы бы ни были (дифференцируемые с интегрируемыми производными) функции и и v. Положим:

* Характер полученных станционарных точек можно аналитически определить хотя бы с помощью второй производной: F“(y)=2ra cos'f: f“(0) =2га>0 (минимум), a F“(n)——2га<0 (максимум).

** См. Письма Остроградского к Брашману («Математический сборник», т. I, 1866).

*** Предлагаем читателям, знакомым с этой теорией, фактически выполнить решение с ее помощью.

**** Этот софизм рассчитан на читателей, знакомых хотя бы с самыми начальными идеями проективной геометрии (в частности, с понятием бесконечно удаленных элементов).

тогда

(3)

и формула (1) после подстановки выражений (2) и (3) примет вид:

откуда, вследствие того что равные интегралы в левой и правой части равенства взаимно уничтожаются,

VII. Пример софизма в геометрии Лобачевского

Распространенное словоупотребление (которому следуем здесь и мы) связывает термин «софизмы» с попытками мнимо логического доказательства ложных предложений. От софизмов в этом смысле приходится поэтому отличать умнозаключения, доставляющие ложное доказательство истинных предложений. Этого рода умозаключения называют тогда паралогизмами*.

Обратим теперь внимание на следующее: отнесение определенного дефектного математического рассуждения к той или другой из названных двух категорий логических заблуждений может зависеть от того, «внутри» какой математической теории это рассуждение рассматривается. Так, например, если какое-то «доказательство» утверждает истинность евклидовой аксиомы о параллельных, то в евклидовой геометрии такое доказательство явится примером паралогизма**, тогда как в геометрии Лобачевского оно будет софизмом. Аналогично обстоит дело, конечно, и с различными эквивалентами евклидовой аксиомы параллельных (если иметь в виду попытки их доказательства средствами одной «абсолютной» геометрии).

В качестве конкретного примера такого софизма в геометрии Лобачевского рассмотрим нижеследующее «доказательство» того, что сумма углов (равностороннего***) треугольника равна двум прямым.

Итак, пусть ABC — равносторонний треугольник (черт. 3) и пусть BD, СЕ и AF— его высоты. Уже из соображений симметрии очевидно, что эти высоты пересекаются в одной точке, О****. В силу теоремы о свойстве бессектрисы и высоты равнобедренного треугольника,

(1)

(Мы обозначили через а общую величину каждого из углов треугольника ABC.)

С другой стороны, угол AOD образован сторонами АО и ОД перпендикулярными соответственно сторонам ВС и АС угла АСВ. Поэтому

z. AOD = z АС В = а. (2)

Из (1) и (2) заключаем, что

Совершенно аналогично:

Складывая левые и отдельно правые части последних шести равенств, получим:

что и требовалось доказать.

Приведенное доказательство может, правда, дать повод для следующего возражения. В доказательстве этом используется теорема о свойстве угла, образованного прямыми, перпендикулярными к сторонам данного угла, вывод же этой последней теоремы, изложенный в учебнике геометрии Киселева, как легко видеть, базируется на евклидовой теории параллельных. Эту теорему нельзя, следовательно, применять в геометрии Лобачевского — если только она не может быть доказана иначе, без помощи евклидовой аксиомы о параллельных.

Для того чтобы «оправдать» вышеприведенное доказательство, остается найти требуемое доказательство упомянутой теоремы. Это мы и попытаемся теперь сделать.

Возьмем произвольный острый угол ЛОБ (черт. 4) и, взяв на стороне АО его произвольную точку Аь восставим в ней перпендикуляр А\А' к АО. Обозначим через С точку пересечения прямых АХА' и OB и отложим от точки С на луче CA' отрезок CD =

Черт. 3

* Нужно, однако, оговориться, что в логике (и во французской математической литературе) термину «паралогизм» придается обычно более широкий смысл: под ним понимается там любое ложное по форме умозаключение (независимо от истинности или ложности его содержания). В таком случае софизм рассматривается в качестве частного вида паралогизма.

** Так как эта аксиома, как и вообще любая аксиома, логически невыводима (в данной строго аксиоматической системе).

*** А значит и всякого! (Как известно, из равенства суммы углов 2 d в каком-нибудь одном треугольнике вытекает то же свойство для любого треугольника.)

**** Это можно доказать совершенно элементарно, не прибегая к общей теореме о том, что высоты во всяком треугольнике пересекаются в одной точке.

= СО. Из точки D опустим перпендикуляр DBX на OB. Тогда

AOAfi = ADBtC

(как прямоугольные треугольники но гипотенузе и острому углу: ОС = СД i ОС Ai = z: £>C#i).

Отсюда следует, что

^ C£>#i = z. COAt = ^ ЛОВ.

Тем самым доказано, что существует некоторый угол ( у. СОВх), стороны которого взаимно перпендикулярны со сторонами данного угла ЛОВ и который равен углу ЛОВ.

Пусть теперь угол PQR—произвольно расположенный в рассматриваемой плоскости острый угол, стороны которого взаимно перпендикулярны со сторонами данного угла АОВ. Тогда движением угла PQR в плоскости чертежа всегда можно добиться совмещения точки Q с точкой D и прямой QP с прямой DAi'y при этом, в силу перпендикулярности QR к OB, QR пойдет по DBX (иначе из точки D были бы опущены на OB два различные перпендикуляра), и, следовательно, угол PQR совместится с углом CDB\. Поэтому ^ PQR = Z. CDB\ = z. АО В, что и оставалось доказать.

Читателю предлагается дать полный анализ приведенного софизма: в нашем изложении он остается еще незащищенным от возможности атаки, и притом в двух местах; однако только одно из этих двух брешей оказывается действительно неустранимой.

Черт. 4

От редакции. Помещая в отделе задач настоящую статью Ю. М. Гайдука, редакция предлагает желающим дать в виде упражнения анализ предложенных софизмов.

Соответствующие письма просьба направлять в редакцию отдельно от решений задач и от всякой другой корреспонденции.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 3 ЗА 1952 ГОД

№ 33

Решить систему уравнении:

Решение. Из условия вытекает, что хфОу уфОу ифО.

Отсюда следует, что

Складывая эти равенства, получим:

Имеем далее:

Аналогично найдем, что

Таким образом.

Это дает нам:

где £ — первообразный корень третьей степени из единицы.

Окончательно будем иметь:

№ 34

Построить треугольник по радиусу описанной окружности, сумме углов при основании и медиане одной из боковых сторон.

Решение. Зная сумму углов при основании, можно легко построить угол при вершине. Зная этот последний, легко можно теперь построить основание треугольника.

Таким образом, задача сводится к требованию построить треугольник по основанию, углу при вершине и медиане одной из боковых сторон. Подробное решение этой последней задачи помещено в № 2 журнала (решение задачи № 74).

№ 35

Доказать тождество:

Решение. Имеем:

(1)

Так как

то равенство (1) можно

представить в следующем виде:

Умножая обе части этого равенства на число

получим требуемое.

№ 36

Доказать тождество:

Решение. Имеем

Ряд читателей воспользовались соотношением:

№ 37

Построить треугольник по биссектрисе и радиусам окружностей, описанных около треугольников, на которые данная биссектриса разбивает искомый треугольник.

Решение. Пусть BD (черт. 1) — данная биссектриса. Строим две окружности так, чтобы отрезок BD служил их общей хордой (центры окружностей должны лежать по разные сторона от BD). Радиус первой из этих окружностей должен быть равен одному из данных в условии задачи радиусу, радиус второй—другому изданных радиусов. По разное стороны от отрезка BDI строим равные углы DBE(zl) и DBF ( z 2). (£ и F — точки окружностей). Проводим отрезок FD и продолжаем его до пересечения с окружностью, проходящей через точки Е, D, В. Точку пересечения обозначим буквой М. Пусть точка А — середина дуги ME, а точка С — пересечение продолжения отрезка AD с окружностью, проходящей через точки В, D, F. Отрезок АС является основанием искомого треугольника. В самом деле, ^8 — zô, Z6= z3, /_3 = Z-4, z4 = z7. Следовательно, Z 7 = Z 8. Так как z 1 = z2, то Z ABD = z CBD и треугольник ABC — искомый.

№ 38

Построить квадрат, если заданы расстояния трех его вершин от данной точки.

Решение. Пусть точка О — данная точка, а квадрат ABCD — искомый (черт. 2). Пусть также OA — а, OB = b, OD = d, где a, b, d — данное отрезки. Повернем квадрат ABCD в его плоскости вокруг точки А, так, чтобы точка D совпала с точкой В. Пусть при этом точка О перейдет в точку О'.

Черт. 1

Рассмотрим четырехугольник АО1 ВО. Имеем:

Диагональ AB этого четырехугольника служит стороной искомого квадрата.

Четырехугольник АО'ВО легко может быть построен. Для этого на произвольном луче, выходящем из точки О, откладываем отрезок OA = а и проводим АО* ±АО, АО' = АО = а.

На отрезке ОО' строим треугольник ОО'В так, чтобы OB = b и О'В = d. Если на отрезке ОО' построить треугольник ОО'В', где OB' = b и О'В' = d, то получим второе решение.

Ряд читателей нашли выражение стороны-*-искомого квадрата через данное отрезки a, b, d. Это можно сделать, применяя теорему косинусов (или обобщенную теорему Пифагора). Этот способ решения является более громоздким, чем приведенный выше.

№ 39

Решить уравнение:

Решение. Наиболее простое решение, принадлежащее т. Шебаршину, заключается в следующем: так как а ф 0 и b ф 0, то данное уравнение равносильно следующему:

Таким образом, имеем уравнение:

Выражение

не может быть равно нулю, ибо

Следовательно, Это дает нам:

Большая часть читателей данное уравнение заменяла следующим:

№ 40

Доказать, что в треугольнике со сторонами 3 см, 8 см, 10 см наибольший угол в три раза больше среднего по величине угла.

Решение. Обозначая наибольший угол треугольника через А, а средний по величине через В, воспользуемся следующими формулами:

Имеем :

Отсюда

Далее:

Таким образом,

Другие способы, предложенные читателями, основана на применении теоремы синусов или теоремы косинусов и носят более громоздкий характер.

№ 41

В круге с центром в точке О проведен радиус OA = R, и на нем отложен отрезок OB — а. Определить наибольший из вписанных в этот круг углов, опирающихся на отрезок OB (a<R).

Решение. Возьмем на окружности данного круга точку С и обозначим угол ОСВ через а, а угол ОВС через р. Имеем:

Это дает нам:

Очевидно, что sin л достигает максимума при максимуме sin ß, т. е. при ß = В этом случае

№ 42

Боковое ребро правильной п-угольной пирамиды равно а. Определить наибольшую возможную величину объема пирамиды.

Решение. Пусть SA =* а — боковое ребро пирамиды (черт. 3), .SO — высота ее, z SAO — угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Имеем:

Отсюда следует, что

Заметим, что О < а < . Объем V достигает максимума при максимуме выражения cos2 a-sin а. Это последнее достигает максимума тогда, когда достигает максимума выражение - л cos4 а • sin2 а, которое можно представить в следующем виде:

Сумма множителей

есть величина постоянная, и, следовательно, выражение -J cos4a-sin2 л достигает максимума в том случае, если эти множители равны. Итак,

В этом случае

Многие читатели выражали объем пирамиды через радиус основания R и искали максимум выражения:

Для этого достаточно было найти максимум выражения

Этот максимум имеет место при

В этом случае имеем:

№ 43

Из данного деревянного куба вытесана правильная шестиугольная призма наибольшего объема. Какой процент материала использован?

Решение. Пусть шестиугольник ABCDEF — основание призмы, квадрат KL MN — основание куба. Рассмотрим случай, когда M А — MB (следовательно, KE = KD). В этом случае z SOB =\Ъ° (OS±MN) и точки L, /-,0, С, N лежат на диагонали квадрата. Сторона искомого шестиугольника равна где а — сторона квадрата. Вели z SOB < 15°, то сторона шестиугольника будет, очевидно, меньше, а (/~6 — /2) чем —--2-* Угол SOB не может быть больше 15°, ибо в этом случае вершина А (а также и вершина D) будет находиться вне квадрата (при условии, что вершина В лежит на стороне квадрата).

Отношение площади шестиугольника к площади квадрата равно

Итак, использовано будет около 69,62% материала.

№ 44

Сумма квадрата двузначного простого числа и цифр этого числа есть также простое число. Найти его.

Решение. Число единиц искомого числа есть число нечетное. Так как квадрат простого числа есть

Черт. 3

Черт. 4

нечетное число, то сумма цифр искомого числа, на основании условия, есть число четное, а, следовательно, число десятков искомого числа есть число нечетное.

Пусть искомое число имеет х десятков и у единиц. Найдем сумму квадрата искомого числа и его цифр.

Имеем :

Так как .9 — простое число, то числа х + у и х+у + \ не должны быть кратны 3.

Так как число у не может быть равно 5, то у может, вообще говоря, иметь вид:

3k и За + 1.

Если у имеет вид ЗА, то х, согласно сказанному выше, может иметь вид 3/4-1.

Если у имеет вид 3£ + 1, то х может иметь вид 3/ (так как х + у и х + у +\ не должны быть кратны 3).

Итак, у может принимать следующие значения: 1, 3, 7, 9.

Если у = 1, то X = 3, так как 91 делится на 7.

Если у = 3, то X — 1, либо X = 7. Если у — 7, то X = 3, либо X = 9. Если у = 9, то х = 1, либо х = 7.

Таким образом, подлежат испытанию числа: 13, 31, 37, 73, 97, 19, 79. Число испытаний можно уменьшить на основании следующих соображений: если у = 1, то X + у ф 4, так как в противном случае число S было бы кратно 5. Следовательно, число 31 отпадает. Если у = 7, то х + у ф 16, так как в противном случае число S было бы кратно 5. Таким образом, и число 97 отпадает.

Непосредственным испытанием убеждаемся, что числа 13 и 79 являются искомыми.

Большая часть читателей при решении этой задачи непосредственным испытаниям подвергла шесть, семь и более простых двузначных чисел.

№ 45

Четырехзначное наело xyzt (х, у, z, t — различные цифры) представляет собой куб некоторого числа. Зная, что 2х= у — z и у = найти это число.

Решение. Очевидно, что 2 <; / <! 3 (у = t2 — однозначное число; если бы t = 0, то и ,у = 0; если бы t = 1, то и у = 1, но t ф у).

Легко показать, что t ф 2. В самом деле, если бы t = 2, то, согласно условию, 4 - z = 2 х н z = 0 либо z = 2.

В первом случае х — 2 = t, во втором случае z = t.

Но цифры искомого числа различны. Итак, t = 3. В этом случае у = 9 и 9 — z = 2x. Решая это уравнение в целых положительных числах, получим следующие пары значений:

Легко установить, что 0 << а < 3. Итак, возможные значения а суть 1 и 2. Мы видели выше, что 2 <!* -< 3. Отсюда вытекает, что Ь может быть равно 7 (73 = 343). Но 10д + 6<25 (ибо 253> 10ООО). Следовательно, искомое число равно 17з = 4913.

№ 46

Построить треугольник по его периметру 2 р, высоте ha и радиусу вписанного круга г.

Решение. Обозначим основание треугольника через а. Имеем:

Третья пара отпадает, ибо х ф г. Из чисел 1973, 2953 и 4913 только число4 913 является точным кубом. Приведем еще следующее решение задачи:

Таким образом, отрезок а легко может быть построен. Далее:

Пользуясь этим соотношением, можно легко построить угол -g-, а затем и угол А. Теперь остается построить треугольник по стороне я, высоте ha и углу А.

№ 47

Установить, в какой системе счисления справедливо равенство 371-11 =4181.

Решение. Пусть основанием системы счисления служит число X. Имеем:

Это дает нам:

№ 48

Если а, Ь, с — стороны треугольника ABC; К„, Кь* К с —биссектрисы углов этого треугольника; m и nt р и q, su t — отрезки, на которые биссектрисы делят соответственно стороны а, Ь, с, то а ( k\ + тп) = b(k\ + pq) = c(k2c+st). Доказать.

Решение. Опишем около треугольника ABC окружность и продолжим биссектрису AD до пересечения с окружностью. Обозначим точку пересечения через Е и рассмотрим треугольники ABD и АБС.

Так как эти треугольники подобны, то будем иметь :

или Так как

то

Отсюда Аналогично :

№ 49

Найти п последовательных натуральных чисел таких, чтобы сумма квадратов первых чисел равнялась сумме квадратов последующих —2— чисел.

Решение. Обозначим

член искомой последовательности через X. Эту последовательность можно представить в следующем виде:

Согласно условию, имеем:

Это дает нам:

Отсюда имеем:

Так как

№ 50

Определить объем треугольной пирамиды по трем ее боковым ребрам а, Ь,с и двугранным углам ßi» р2э h пРи этих ребрах.

Решение. Пусть SARC — данная пирамида, и пусть SA = а, SB = b, SC = с.

Пусть также

Объем пирамиды обозначим через v. Проведем высоту пирамиды из вершины А и обозначим ее через Л. Перпендикуляр, опущенный из вершины А на боковое ребро SB, обозначим через £.

Имеем:

Известно, что

(См. решение задачи № 69, помещенное в № 2 журнала за 1952 г.)

Имеем:

Так как

то

так как

Аналогично:

Таким образом,

Числитель дроби, входящей в правую часть, можно представить в таком виде:

Выкладки опускаем, предоставляя их выполнить самим читателям.

ЗАДАЧИ

85. Решить уравнение:

Б. Алеев (Мордовская АССР).

86. Найти все двузначные числа, каждое из которых на 9 больше суммы квадратов его цифр.

Б. Алеев.

87. Найти комплексное число z, если

88. Найти коэффициенты уравнения:

зная, что m — натуральное число и что корнями уравнения являются числа, обратные четырем последовательным числам натурального ряда.

B. Исаков (Казахская ССР).

89. Определить площадь ромба ABCD, зная, что радиусы окружностей, описанных около треугольников A BD и ACD, равны соответственно R и г.

В. Исаков.

90. Найти катеты прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вне вписанного круга, касающегося гипотенузы, равен 2 см, а высота, опущенная на гипотенузу, равна ( ^6 — 2) см.

М. Крайзман (Львов).

9К Дан четырехугольник ABCD, в который можно вписать окружность и около которого можно описать окружность. Доказать, что сумма расстояний центра описанной окружности от сторон четырехугольника равна сумме радиусов окружностей, описанных около треугольников AM В, ВМС, CMD, DMA, где M — точка пересечения диагоналей четырехугольника.

С. Лебензон (Московская обл.).

92. В прямой круговой усеченный конус вписан шар. Объем этого шара составляет половину объема конуса. Найти угол наклона образующей конуса к плоскости основания.

С. Петров (Гайсин).

93. Дана окружность и две точки. Через эти точки провести окружность так, чтобы она пересекала данную окружность в ее двух диаметрально противоположных точках.

C. Певзнер (Иркутская обл.).

94. Доказать, что число вида л:73 —л:37 при любом натуральном значении х делится на 10.

Д. Саланган (Кировская обл.).

95. Дан прямоугольный треугольник ABC (угол С — прямой). Из вершины А радиусом, равным катету АС, описана дуга, пересекающая гипотенузу в точке Е. Из вершины В радиусом, равным катету ВС, описана дуга, пересекающая гипотенузу в точке D. В криволинейную фигуру CDE вписан равносторонний треугольник CMN, причем точка M лежит на дуге CD, а точка N — на дуге СЕ. Определить площадь треугольника CMN, если площадь треугольника ABC равна Q, а дуга MD равна половине дуги СМ.

Д. Салангин.

96. Решить в поле действительных чисел уравнение:

А. Тралмак (Ленинград).

97. Определить углы равнобедренного треугольника, зная что его ортоцентр лежит на вписанной в треугольник окружности.

А. Тралмак.

98. При каких значениях а система неравенств

удовлетворяется при любом значении х.

Н. Чернов (Измаил).

99. Оценить погрешность, возникающую при замене выражения

выражением

при малом jß|

[см. статью Богушевского, помещенную в № 3 журнала «Математика в школе» («Из писем и заметок»)].

М. Филоненко-Бородич (Москва).

100. Построить график функции

Э. Ясиновый (Куйбышев).

В условии задачи № 82, помещенной в № 5 журнала, содержится опечатка.

Следует читать: «Для любого натурального числа а можно найти такие натуральные числа b и с, что будет иметь место тождество:

Доказать. Найти b и с при условии, что а — 3».

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

1. Найти р и д, если они являются корнями уравнения

*2 + рх + q = 0.

2. Два курьера вышли одновременно: один из пункта А в пункт В, другой из пункта В в пункт А. Каждый шел с постоянной скоростью и, придя в конечный пункт, немедленно поворачивал обратно. Первый раз они встретились в 40 км от В, второй раз в 20 км от А через 40 секунд после первой встречи. Найти расстояние между А и В и скорости обоих курьеров.

3. Доказать, что окружности, построенные на двух сторонах треугольника, как на диаметрах, пересекаются на третьей стороне (или на ее продолжении).

4. Доказать, что если при пересечении сторон четырехугольника с окружностью образуются четыре равные хорды, то суммы противоположных сторон четырехугольника равны между собой.

5. Трапеция разделена диагоналями на четыре треугольника. Определить площадь трапеции, зная площади Si и S* треугольников, прилежащих к основаниям трапеции. (Задачи 1—5 были предложены на Смоленской математической олимпиаде. Сообщили М. Балк и И. Раухваргер.)

6. Доказать, что

И. Дзигава (Тбилиси)

7. Доказать, что

где а, Ь, с — стороны треугольника, та, ть, тс — его медианы.

Н. Дзигава.

8. Площадь трапеции равна .9. Найти площадь четырехугольника, полученного соединением середин торон трапеции.

А. Мурклинский (Дагестанская АССР).

9. Основанием наклонного параллелепипеда является ромб ABCD, диагональ АС которого равна d. Боковое ребро BBh перпендикулярно к диагонали АС и равно Ь. Двугранный угол ВВХ равен 2 а. Найти объем и боковую поверхность параллелепипеда.

Э. Стрелецкий (Гродно).

10. Основанием наклонного параллелепипеда является ромб ABCD со стороной а и острым углом а. Вершина А\ верхнего основания проектируется в точку пересечения диагоналей нижнего основания. Грань А^ВфА (АА\ и ВВ\ — боковые ребра) наклонена к плоскости основания под углом ср. Найти объем и полную поверхность параллелепипеда.

Э. Стрелецкий.

11. Основанием треугольной призмы служит равносторонний треугольник со стороной а. Вершина А\ верхнего основания проектируется в середину стороны ВС нижнего основания. Двугранный угол АА\ равен 2 а. Найти объем и боковую поверхность призмы.

Э. Стрелецкий.

12. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Одна из диагоналей параллелепипеда равна / и образует с плоскостью основания угол а, а с одной из боковых граней угол ср. Найти объем и боковую поверхность параллелепипеда.

Э. Стрелецкий.

13. Доказать, что если числа а и b — взаимно простые, то и числа ab и а + b также взаимно простые.

И. Чернов (Измаил).

14. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, равны 6 см и 8 см, а одна из диагоналей четырехугольника равна 10 см. Найти площадь четырехугольника.

А. Шагинян (Ереван).

15. Доказать, что если в прямоугольной трапеции ABCD, где AD и ВС — основания, через точку О пересечения диагоналей провести отрезок MN параллельно основанию AD (точка M лежит на стороне AB) и точку M соединить с вершинами С и D, то MN есть биссектриса угла CMD.

И. Яворский (Москва).

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 3 ЗА 1952 г.

К. Агринский (Москва) 34—37, 39, 40, 45—49; И. Альтшулер (Ленинград) 34—37, 39—42, 44—49; Г. Ахвердов (Ленинград) 33—50; Ф. Бартенев (Евпатория) 33—37, 39—41, 43—47; Бартош (Чехословакия) 33—41, 44—50; М. Беккер (Таллин) 33—37, 39—42, 45—49; В. Белых (Курская обл.) 34—37, 41, 45—47, 49; С. Бернштейн (Киев) 33—37, 39—41; 44—49; Г. Бирннбаум (Макеевка) 33—37, 39—49; И. Бисярин (Ворошиловград) 33—42, 44—50; Е. Боков (Краснодарский край) 34, 36, 37, 39—42, 45—49* И. Бочкин (Витебск) 33, 35, 36, 39—41, 45, 47—49; Е. Бугулов (Дзауджикау) 33—37, 39—42, 44—49; Б. Вайнман (Киев) 33—37, 39—42, 45—49; А. Волков (Чувашская АССР) 34, 37, 39—41, 43, 45, 47, 48; А. Гаас (Караганда) 33—41, 45—50; А. Гемуев (Киргизская ССР) 34—36, 38—40, 45, 47, 49; М. Гимельштейн (Ленинград) 34—37, 39—41, 44—49; Е. Головачев (Курская обл.) 33—42, 44—49; М. Готлер (Вильнюс) 33—50; Б. Грюнвальд (Стерлитман) 34—37, 39—41, 43—49; В. Губанищев (Полесская обл.) 34—36, 39—43, 45, 47—49; С. Гущин (Алексиково) 33—37, 40, 41, 45, 47—49; У. Давыдов (Гомель) 34—41, 45—48, 50; В. Демчинский (Ровно) 33—41, 45—49; С. Джеббаров (Куйбышевская обл.) 33—36, 39—42, 47—49; М. Джемакулов (Ставропольский край) 34—36, 39—41, 44, 45, 47, 48; П. Егоров

(Ряэлаь) 34, 35, 37, 39-41, 43—47, 49; П. Епимашко (Гродно) 34—37, 39—42, 44—49; К. Зубилин (Орлов екая обл.) 34—37, 39—41, 45—48; Д. Изаак (Орск) 33—43, 45—49; В Исаков (Восточно-Казахстанская обл.) 32—37, 39—41, 43, 45—47, 49; А. Карпов (Собинка) 33—50; В. Каурковский (Белград) 33, 35, 36, 39, 40, 45, 47—49; Я. Килимник (Винница) 34—43, 45—49; В. Киндефатер (Кемеровская обл.) 33—43, 45—50; А. Киселев (Ленинград) 33—37, 39—41, 43—49; Г. Китайгородский (Москва) 34—36, 39, 45—48; В. Козмодемьянский (Сызрань) 33—35, 36, 40, 41, 44, 45, 47—49; Г. Капылов (Днепродзержинск) 33—42, 44—50; И. Косое (Брянская обл.) 33—35, 37, 39, 41, 42, 45, 47, 48; М. Крайзман (Львов) 34—42, 45—49; Б. Латти (Новошахтинск) 33—37, 39—45, 47, 48; И. Лашко (Синельниково) 33, 35, 36, 39—41, 43, 45—47, 50; М. Лейбман (Свердловская обл.) 33—41, 44—49; Л. Лоповок (Проскуров) 33—50; А. Магеро (Витебская обл.) 34—37, 39, 40, 43—47, 49; Е. Майданник (Конотоп) 34—36, 38—40, 41, 45—48; К. Максимов (Московская обл.) 35, 36, 39—41, 44, 45, 47, 49; М. Манукян (Кокчетавская обл.) 33, 35, 36, 37, 39, 40, 42, 45, 48; Л. Медведев (Себряково) 33—37, 39—4. 45—47; X. Меликов (Беслан) 33—35, 37, 39—42, 45—49; Н. Мельников (Белев) 33—37, 39, 40, 42, 46—49; Математический кружок Чашникской русской школы (Витебская обл.) 34—37, 39, 40, 44—46, 47; Т. Мышакова (Одесса) 33—50; К. Нардов (Ленинград) 34—37, 39—41, 44—49; В. Наряжкин (Пензенская обл.) 33—37, 39—41, 44, 45, 47, 49; Е. Павлов (Чувашская АССР) 33—41, 43, 45—50; Ю. Палант (Харьков) 33—42, 45—49; С. Петров (Гайсин) 34—37, 39—43, 45—49; Я. Петрусев (Смоленская обл.) 33—35, 37, 41—43, 45—47; Ю. Пигарев (Киевская обл.) 34—37, 38—49; О. Помельцова (Энгельс) 34—35, 37—40, 43, 46, 47; В. Попов (Сталинград) 33—49; С. Попов (Москва) 33—45, 47, 48, 49; Г. Прокопенко (Ялта) 34—37, 39, 41—43, 48; Р. Реннерт (Польша) 33—50; Я. Рознатовский (Киев) 33—43, 45—49; В. Рабинович (Марьеакэ) 33—37, 39—42, 45—49; 3. Рудштейн (Любань) 33—37, 39—41, 44—49; И. Рытов (Каменка) 34—41, 45, 47—49; Л. Рейзиньш (Рига) 33—50; Р. Селецкий (Полесская обл.) 33—36, 39—41, 45, 47, 49; Я. Синдюков (Калининград) 33—37, 39, 40, 45—47; В Скворцов (Ленинградская обл.) 34—37, 39—41, 45—47; /0 Слабое (Болгария) 33—35, 37, 41, 45—49; С. Смоляк (Москва) 33—41, 44—49; В. Смышляев (Марийская АССР) 33, 35—41, 45, 46, 48, 49; Г. Соколов (Владимир) 35, 36, 39, 40, 45, 47, 49; В. Стасюк (Стрый) 33—37, 39—42, 44—50; И. Степанов (Иркутск) 34—42, 46, 48; Э. Стерлецкий (Гродно) 33—50; П. Строгальщиков (Вологодская обл.) 34—37, 39, 40, 43, 45—47, 49; Н. Титов (Казань) 34—43, 45—50; Н. Торбин (Брянская обл.) 33—49; В. Утемов (Красноуфимск) 33—49; А. Хайруллин (Саратовская обл.) 34, 36, 37, 39, 40, 41, 44, 45, 47, 48; И. Худяков (Воронежская обл.) 33—37, 39—41, 42, 45—49; Т. Цхай (Андижан) 33—43, 45—50; Е. Цыгуля (Молдавская ССР) 33—37, 39—41, 44—48; Г. Черкасов (Краснодарский край) 34—41, 45—49; Н. Чернов (Измаил) 34—42, 44—49; А. Шалтаев (Ульяновская обл.) 33—37, 39—42, 44—49; М. Шебаршин (Кемеровская обл.) 33—50; П. Эрднилев (Алтайский край) 33—43, 45—50; Ф. Яремчук (Дрогобыч) 34—35, 39—41, 43—49; Э. Ясиновый (Фрунзе) 34—37, 39—50

Дополнительная сводка решений по № 3.

И. Байков (Московская обл.) 33—36, 39—40, 44—45, 47, 48; Н. Говорсв (Краснодарский край) 33—50; И. Гопп (Казань) 33—41, 43, 45—50; Е. Кулаго (Бобруйская обл.) 35, 36, 39, 40, 43, 45—48; Б. Меньших (Филоново) 33—41, 44, 45, 47—50; Б. Мирау (Алма-Атинская обл.) 34—49; Г. Многолетний (Мглин) 34—37, 39—41, 45—48; И. Молибога (Верхний) 33—49; А. Мостовой (Алма-Атинская обл.) 34—49; Е. Радченко (Курская обл.) 35—37, 39—42, 44, 45, 47, 49.

Продолжение дополнительной сводки будет помещено в следующем номере журнала.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 2 ЗА 1952

Ш. Адигамов (Халкабад) 18—24, 26, 28—31, Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 18—24, 26, 28—31; А. Багарян (Абхазская АССР) 18, 20—24, 26. 28—Ы; Я. Балев (Болгария) 18—24, 26, 28—32; Р. Белянкина (Аягуз) 18—24, 26—28, 30, 31; И. Вильявин (Астрахань) 21, 23, 26, 28—31; И. Говоров (Краснодарский край) 18—24, 26—32; И. Димовский (Болгария) 18—24, 26, 28—31; Б. Дудолькевич (Киевская обл.) 18—24, 26, 28, 30, 31; А. Злобин (Самарканд) 18, 21, 26—31; И. Кухарев (Уфа) 18—24, 26-32; Г. Лебедев (Обояень) 18—21 23, 24, 26, 29—31; С. Лебещон (Московская обл.) 18—24, 26—32, Ф. Личманенко (Полтавская обл') 18, 19, 21—24, 26, 28—31; Математический кружок Житомирского педагогического института 18—24, 26, 28—32; Я. Мончунский (Румыния) 18—24, 26—32; Р. Реннерт (Польша) 18—24, 26, 28—31; Г. Стамболцян (Армянская ССР) 18—24 , 26, 28—31- Я. Хуторян (Одесса) 18—24, 26—32; В. Чередниченко (Ворошиловградская обл.) 18, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 30.

От редакции.

В № 5 за 1952 г. журнал «Математика в школе» в статье В. Н. Молодшего «Учение о числе в XVIII и первой половине XIX века» на стр. 10 вкралась опечатка: правый столбец строки 22 и 23 (сверху)

напечатано: следует:

А. С Кованько Н. И. Кавун

и А. И. Алимов и Н. Г. Алимов

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Б. П. Бычков — Из истории развития передовых педагогических идей в России . 1

МЕТОДИКА

П. Муравьев — Понятие абсолютной величины действительного числа в средней школе............................ 4

В. И. Шишлянникова — Понятие площади в систематическом курсе геометрии . 13

Н. А. Арсеньев — Приемы решения задач на сравнение площадей...... 20

К. С. Барыбин—Функции и их графики................ 26

Г, А. Кудреватый — О допустимых значениях букв при решении уравнений ... 33

ИЗ ОПЫТА

A. К. Исаков — Об индивидуальном подходе к учащимся.......... 36

М. Г. Васильев — Понятие о неравенстве в семилетней школе........ 39

Т. П. Покровский — Метод подобия в решении задач на построение..... 43

К А. Григорьян — О признаках равенства треугольников.......... 51

B. В. Титов — Из опыта преподавания черчения............. 52

К. Е. Агринский — Из опыта работы в школе рабочей молодежи....... 62

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

C. А. Дахия — Василий Петрович Ермаков............... 64

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Н. А. Принцев —О новом сборнике задач по арифметике......... 70

М. И. Радовский —О книге «С. В. Ковалевская» (Воспоминания и письма) . . 74

В. А. Невский — Новая литература по математике............ 76

А. А. Панкратов — По поводу статьи И. Е. Гоппа............ 79

ХРОНИКА

К. П. Сикорский и Г. К. Чаус — Математический пионерский сбор...... 82

ЗАДАЧИ

Ю. М. Гайдук — Математические софизмы............... 83

Решения задач......................... 87

Задачи.................. .......... 93

Сводка решений......................« . . 94

Редакционная коллегия.

Редактор А. И. Барсуков. Зам. редактора С. И. Новоселов, Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий* А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин

Зав редакцией Э. А. Зайчикова

Технический редактор С. Н. Шахов Корректоры Г. Покровский и В. Соловова

____Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6 Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

А08314 Сдано в производство 29/VIII 1952 г Подписано к печати 3/XII 1952 г. Учетно-изд. л. 11,70. Печ. зн. в и. л. 72 000. Бумага 82 X 108Vi6 —3 б. л. — 9,84 п. л Тираж 52 000 экз.

Цена 4 р. 50 к.________Заказ 1303____

13-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР Москва, Гарднеровский пер., 1а.