МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

5

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1952

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 5

СЕНТЯБРЬ-ОКТЯБРЬ 1952 г.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

УЧЕНИЕ О ЧИСЛЕ В XVIII И ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЕ XIX ВЕКА

В. Н. МОЛОДШИЙ (Москва)

1. Понятие числа прошло многовековый и сложный путь исторического развития. Вместе с развитием понятия числа совершенствовались основы и способы построения учения о числе*.

В истории вопроса об обосновании учения о числе особо интересен период от начала XVIII в. до середины XIX в. В это время решение вопросов техники и точных наук связывалось со все усиливающимся применением понятия числа. Понятие числа было значительно обобщено. Были открыты новые, своеобразные свойства чисел (особенно комплексных и гиперкомплексных чисел). В связи с этим основы и способы построения учения о числе, полученные математиками XVIII в. от математиков XVII в., подверглись критической переработке. Положительным результатом этих исследований, особо развернувшихся в первой половине XIX в., явилось оформление в основных чертах тех способов обоснования учения о числе, какие обычно применяются и в наше время**.

В нашей литературе по истории математики развитие способов обоснования учения о числе в XVIII и первой половине XIX в. освещено

явно недостаточно. В работах буржуазных историков математики этот вопрос чаще всего освещается неправильно — идеалистически и метафизически. Не останавливаясь здесь на критике их взглядов, отмечу только, что в своей существенной части последние сводятся к следующим ложным утверждениям:

Существует всеобъемлющее и неизменное понимание математической строгости; его разработали древние греки. При обосновании математических теорий математики обязаны руководствоваться этим пониманием математической строгости.

В XVIII в. математики были очень заняты разработкой сложных проблем техники и точных наук, но не дали своим теориям, в том числе и учению о числе, научное обоснование, и даже « .. .забыли идеал математической строгости древних греков». Вследствие этого они часто ограничивались неточными и даже ошибочными рассуждениями, которые выдавали за строгие доказательства. Так, например, математики XVIII в. отрицали объективность понятия комплексного числа, считали возможным доказывать правило знаков: (_<*)(-&)=+а*.

Когда в первой половине XIX в. математики поняли ошибочность действий своих предшественников и вернулись к идеалу математической строгости древних греков, то они быстро преодолели все имеющиеся здесь недостатки и дали всем своим математическим теориям, включая учение о числе, научное обоснование.

Цель этой статьи—на основе идей Ф. Энгельса

* О том, что такое основы и способы построения математических теорий или, иначе, что такое обоснование математических теорий и в связи с чем они развиваются, см. мою статью «О некоторых гносеологических вопросах математики», опубликованную в журнале «Математика в школе», № 6 за 1951 г.

** Говорю «обычно», так как не учитываю исследований об основах учения о числе, связанных с математической логикой.

об условиях, содержании и формах развития науки и философии нового времени, кратко описать реальные основания, ход и важнейшие результаты разработки способов обоснования учения о числе в XVIII и первой половине XIX в.*.

2. В XVIII в. большинство ученых считало математику наукой о величинах, существующих вне человеческого сознания. Величайший математик XVIII в., русский академик Л. Эйлер, писал: «...от чувствования душа заключает всегда, что есть в самом деле предмет, вне нас находящийся»; «Когда мозг мой рождает в душе чувствование дерева или дома какого-нибудь, то смело утверждаю, что вне меня есть дерево или дом и познаю его место, величину и другие качества»** (подчеркнуто мною. — В. М.). Это материалистическое толкование предмета математики помогало ученым XVIII в. укреплять связи математики с другими науками и практикой, способствовало ее развитию.

Ученые XVIII в. добились больших успехов в математике и ее приложениях еще и потому, что под сильным давлением запросов практики смело расширяли область и методы своих исследований. До Декарта математика была, в основном, наукой о числах, величинах и геометрических фигурах. Она располагала ограниченным запасом основных понятий. К последним относились понятия о целых, дробных и иррациональных положительных числах, о формах простейших тел, о длинах, площадях и объемах. Арифметика, евклидова геометрия, тригонометрия и начала алгебры, по существу, исчерпывают содержание всей математики этого времени. Энгельс называл математику этого периода ее развития низшей или элементарной математикой и указывал, что она «... движется по крайней мере в общем и целом, внутри границ формальной логики;...»***.

Из сказанного ясно, что то, что в наше время объединяют названием элементарной математики или математики постоянных величин по содержанию (и, как увидим, по способам обоснования), значительно богаче низшей математики. После Декарта понятия переменной величины, бесконечности и движения, а значит, и диалектика проникают в математику, становятся основой ее новых методов. «Поворотным пунктом в математике, — писал Энгельс, —была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем»****.

Благодаря материалистическому истолкованию и, в основе, диалектическому методу познания количественных соотношений и пространственных форм реального мира, математики XVIII в. добились значительных результатов в математическом анализе и его приложениях, развили дальше алгебру, теорию чисел и другие математические теории. Широко использовались и все известные в то время виды чисел: целые, дробные, иррациональные (положительные и отрицательные) и комплексные.

Вместе с этими факторами, способствовавшими развитию математики, в XVIII в. был другой фактор, действовавший на нее, значит, и на учение о числе, в обратном направлении.

Материализм XVIII в. был ограниченным, метафизическим. Признавая материальность мира, метафизически мыслящие ученые и философы считали, вместе с тем, что все явления природы обусловлены действием ее неизменных и вечных законов, благодаря чему каждое явление, в конечном счете, должно быть объяснено только с помощью этих «вечных» законов. К их числу обычно относили те законы науки, с которыми чаще всего встречались и которые были хорошо изучены. Выполнить это удавалось только в ограниченных областях знания. Трудности, связанные с таким подходом к явлениям, естествоиспытатели в основном преодолели только в XIX в.

То же положение вещей имело место и в математике. Энгельс неоднократно подчеркивал факт влияния метафизики на математику XVIII и даже первой половины XIX в.

«Сама математика, — писал Энгельс,—занимаясь переменными величинами, вступает в диалектическую область, и характерно, что именно диалектический философ Декарт внес в нее этот прогресс. Как математика переменных относится к математике постоянных величин, так вообще диалектическое мышление относится к метафизическому. Это нисколько не мешает, однако, тому, чтобы большинство математиков признавало диалектику только в области математики, а многим среди них не мешает и далее оперировать всецело на ста-

* Эта статья представляет краткое резюме исследования автора, посвященного развитию учения о числе в XVIII и XIX вв. Редакция.

** Л. Эйлер, Письма о различных физических и филозофических материях, писанных к некоторой немецкой принцессе, ч. II, изд. 4, СПБ, 1796, стр. 72 и следующие. См. также философские работы М. Ломоносова.

*** Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1951, стр. 127.

**** Ф. Энгельс, Диалектика природы, 1952, стр. 206.

рый, ограниченный метафизический лад теми методами, которые добыты диалектическим путем »*.

Энгельс указал также, в чем в то время выражалось тормозящее влияние метафизики на обоснование математических теорий.

«До конца прошлого столетия и даже до 1830 г.,—писал Ф. Энгельс,—естествоиспытатели более или менее обходились при помощи старой метафизики ... Однако известное замешательство вызвала уже высшая математика, которая рассматривает вечную истину низшей математики как преодоленную точку зрения, часто утверждает нечто противоположное ей и выставляет положения, кажущиеся представителю низшей математики просто бессмыслицей ... Нет ничего комичнее, чем жалкие уловки, увертки и вынужденные приемы, к которым прибегают математики, чтобы разрешить это противоречие, примирить между собою высшую и низшую математику, уяснить себе, что то, что у них получилось в виде неоспоримого результата, не представляет собою чистой бессмыслицы .. »**.

Итак, по мнению Энгельса, в XVII—XVIII вв. многие ученые старались примирить истины высшей математики с истинами низшей математики, которые они метафизически абсолютизировали. Иначе, они пытались объяснить, истолковать результаты высшей математики на базе «вечных», «незыблемых» принципов низшей математики. Поскольку выполнить это было невозможно, то ученые были вынуждены проводить «примирение» путем «жалких уловок, уверток» и т. п.

Сказанное Энгельсом справедливо не только в отношении высшей математики. Большинство трудностей, с какими встречались математики XVIII в. при обосновании арифметик всех им известных видов чисел, сводилось к тому, что и здесь они пытались примирить новое со старым, построить учение о числе на фундаменте, заложенном в свое время для обоснования теорий низшей математики. Чтобы это показать, мы сначала постараемся детальнее выяснить существо «вечных» истин низшей математики.

3. В XVIII в. область исследований математики отождествлялась, как тогда говорили, с областью «реальных» или «абсолютных» величин. Под «реальными» или «абсолютными» величинами понимали такие величины, которые:

1) могут быть больше или меньше;

2) подчиняются следующим, «верным для всех величин» аксиомам:

Используемые в этих аксиомах понятия о сложении, вычитании, умножении и делении трактовались, как правило***, в элементарном арифметическом смысле. Слова «сложить» и «умножить» ассоциировались с выполнимостью всех законов счета. При формулировке второй части аксиомы е) требование с 0 не указывалось, но молчаливо предполагалось.

В XVIII в. были даже математики, которые полностью отождествляли предмет исследований всех математических дисциплин с областью элементарной арифметики и евклидовой геометрии. «В древности говорили,—писал Лагранж,— что арифметика и геометрия — крылья математики. Без метафор, однако, можно утверждать, что эти две науки являются основанием и сущностью (подчеркнуто мною.— В. М.) всех наук, которые изучают количество»****. «Все к аналитике принадлежащие науки,—подчеркивал еще раньше Кестнер,— суть собственно важные части арифметики или геометрии, или такого знания, которое из обеих составлено»*****. Естественно, что эти математики включали в общее понятие «реальной», или «абсолютной» величины основные свойства обычных арифметических и геометрических величин, а потому и считали все эти свойства присущими любым величинам.

Понятие «реальной», или «абсолютной» величины метафизически абсолютизировалось, считалось предельно широким, не допускающим дальнейшего обобщения.

* Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1951, стр. 115. Указанная Энгельсом «пропорциональность» между элементарной и высшей математикой, с одной стороны, и метафизикой и диалектикой — с другой, относится, преимущественно, к уровню их развития в XVII —XVIII вв.

** Ф. Энгельс, Диалектика природы, 1952, стр. 160.

*** Говорю «как правило», так как многие математики XVIII в., оперируя с различными величинами, обходили вопрос о смысле сложения и умножения. Но при построении учения о числе эти действия трактовались в обычном арифметическом духе.

**** Lagrange, Leçons élémentaires sur les mathématiques, Journа1 d'École Polytechnique, t. II, 1812, стр. 198.

***** Кестнер, Начальные основания математики, пер. с нем., СПБ., 1794, стр. 4—5. Опубликована впервые в середине XVIII в.

Математики XVIII в. утверждали, что обоснование математической теории является строгим, когда построение этой теории начинается с истинных определений и аксиом и завершается логически выдержанным доказательством теорем. Но истинность определений и аксиом математики XVIII в. также, как правило, трактовали ограниченно, метафизически. К аксиомам каждой математической теории относили только указанные выше «всеобщие» аксиомы. Истинными определениями считали только определения, базирующиеся на понятии «абсолютной» величины.

Таким образом, общая схема построения каждой математической теории в своих существенных чертах метафизически сводилась к следующему.

Посредством соответствующей конкретизации понятия «абсолютной» величины надо дать истинные (как часто говорили, — ясные) определения изучаемых величин и их взаимных отношений. Потом с помощью этих определений, «всеобщих» аксиом и средств логики доказать положения обосновываемой математической теории.

Считали также, — и это неизбежно, если принять все сказанное выше,—что свойства и законы, присущие «абсолютным» величинам, имеют неограниченную область действия. Поэтому полагали возможным рассуждать о любых величинах так, как о величинах «абсолютных». Например, считали, что любой закон алгебры верен, если истинность его проверена на «абсолютных» (т. е. арифметических) величинах.

Трактовка математики как науки об «абсолютных» величинах и базирующаяся на ней «общая» схема построения математических теорий получили развитие задолго до XVIII в. По существу они выражали самое общее, что было присуще всем объектам низшей математики (т. е. общее из того, что изучалось в математике примерно до работ Декарта), и поэтому были в свое время основами каждой теории низшей математики. Математики XVIII в. прибавили к этим общим принципам «немногое»: они их метафизически абсолютизировали.

4. В связи с указанными основными установками, большинство математиков XVIII в. полагало, что построение учения о числе надо осуществлять на базе общих определений понятия числа и арифметических действий, основанных на понятии «абсолютной» величины. При этом молчаливо предполагалось, что каковы бы ни были числа, для них справедливы все законы счета.

В первой половине XVIII в. общее понятие числа трактовали, как правило, в духе Евклида: число есть множество единиц. Общие определения арифметических действий трактовались, естественно, так, как это делают при элементарном истолковании арифметики количественных натуральных чисел. Во второй половине XVIII в. (под влиянием разнообразных задач об измерении величин) господствующее положение завоевывает более широкое определение понятия числа, выдвинутое еще Ньютоном: «Число есть отвлеченное отношение величины к другой величине того же рода, принятой за единицу»*. Последнее определение охватывает как равноправные положительные целые, дробные и иррациональные числа. Во второй половине XVIII в. получает распространение и определение умножения, опирающееся на истолкование Ньютоном понятия числа: произведение есть число, которое относится к одному сомножителю так, как другой сомножитель относится к единице.

По своим основным свойствам понятия о положительных и отрицательных и комплексных числах выходят за рамки понятия «абсолютной» величины. Не укладываются они и в рамки принятых в XVIII в. «всеобщих» определений числа, т. е., на деле, в рамки определения Ньютона и, тем более, Евклида. Поэтому арифметика положительных и отрицательных чисел и арифметика комплексных чисел не могли быть построены по указанной выше «всеобщей» схеме. В связи с этим в XVIII в. и возникали парадоксы, а значит, и трудности обоснования учения о числе.

Математики XVIII в. трактовали положительные и отрицательные числа как «абсолютные» величины, но взятые в противоположном смысле (например, имущество и долг). Предполагалось также, что обычные арифметические определения сложения и умножения сохраняют свою силу и в области положительных и отрицательных величин. На этой базе можно проинтерпретировать правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел и правила умножения на положительное число (строго говоря, проинтерпретировать только для целых чисел).

Действительно, например:

Но в случае умножения, когда множитель— отрицательное число, такого рода результат недостижим. Выражение «взять множимое слагаемым столько раз, сколько -[-1 содержится в множителе —о» лишено реального смысла. Поэтому, подавляющее большинство

* И. Ньютон, Всеобщая арифметика, изд. АН СССР, 1948, стр. 8.

математиков XVIII в. считало соотношения:

(+a)(—b) = — ab, (— а)(— b)= +ab

парадоксальными и даже лишенными реального содержания.

Считали парадоксальными и некоторые другие свойства положительных и отрицательных чисел. Казалось странным, что —а<0. Как нечто может быть меньше чем ничто?* Немало споров вызвала пропорция +I: — 1= — 1 : +1, так как в ней, вопреки сущности «абсолютной величины», большее, деленное на меньшее, равно меньшему, деленному на большее.

Понятие комплексного числа казалось еще более парадоксальным. Комплексные числа не могут быть «естественным образом» связываемы знаками >, <; для них, вообще говоря, несправедливо соотношение у/а \/1> = у ab, верное для «абсолютных» величин; реальный смысл комплексных чисел неизвестен.

Даже построение арифметики рациональных чисел по «общей схеме» не обходилось без трудностей: при обосновании правила умножения числа на дробь нельзя опираться на обычное определение умножения.

В течение всего XVIII в. математики пытались преодолеть подобные парадоксы и построить учение о числе на прочном фундаменте. Однако, как правило, все эти исследования предполагали всеобщность истин низшей математики. Порой это, по видимости, удавалось и удовлетворяло многих математиков. В других случаях вызывало нарекания, а значит, и новые попытки подобных «построений».

Чтобы преодолеть парадоксальность правила знаков для умножения, математики чаще всего исходили из предположения истинности переместительного (для умножения) и распределительного законов в области положительных и отрицательных величин («они верны для всех видов величин»!) и «доказывали» указанные соотношения. Содержание таких «доказательств» сводилось к следующему:

Лаплас считал такое «доказательство» правил знаков логически выдержанным.

Конечно, все это не является доказательством в современном понимании этого слова, но в то же время и не представляет полной бессмыслицы. Объективный смысл этого «доказательства» таков: если величины можно складывать и умножать, если они подчиняются законам «абсолютных» величин, а также переместительному и распределительному законам, то такие величины необходимо перемножать только согласно правилам, принятым в арифметике положительных и отрицательных чисел. Поскольку, однако, переместительный и распределительный законы относились к понятию «абсолютной» величины, такого рода заключение рассматривалось как доказательство.

По основным свойствам понятие комплексного числа резко отличается от понятия «абсолютной» величины. Обосновать арифметику комплексных чисел так, как обосновывали арифметику положительных и отрицательных чисел, не представлялось возможным. В связи с этим находятся многочисленные попытки математиков XVIII в. доказать, что понятие комплексного числа не допускает никакого реального истолкования. Однако, учитывая пользу, которую приносили точным наукам «воображаемые» числа, их оставляли в математике в качестве вспомогательных понятий для исследования свойств «абсолютных» величин. При этом считалось само собой разумеющимся, что с «воображаемыми» числами можно оперировать в исчислениях так же, как оперируют и с числами «реальными».

Были даже математики, которые считали не объективным и понятие отрицательного числа (Даламбер, Л. Карно и др.). Однако большинство математиков XVIII в., особенно русские ученые Л. Эйлер, С. Котельников, Н. Муравьев и др., считали понятие отрицательного числа объективным и старались дать арифметике положительных и отрицательных чисел достаточное обоснование.

Все возрастающая роль отрицательных и комплексных чисел, неудачи, связанные с попытками построить учение о числе на старом фундаменте, побудили некоторых передовых в этом вопросе математиков XVIII в. — Симпсона, Муравьева, Весселя и др. — обратиться к разработке новых способов обоснования учения о числе. Симпсон и Муравьев** отказались от метафизической абсолютизации элементарных определений арифметических дей-

* В XVIII в. нуль трактовался, как правило, только как знак ничто. В учении о числе символ —а всегда обозначал только отрицательное число.

** Н. Муравьев, Начальные основания математики, СПБ, 1752.

ствий и строили арифметику дробных и арифметику положительных и отрицательных чисел в связи с постепенным обобщением определения умножения. Вессель развил полное истолкование арифметики комплексных чисел (а значит, и арифметики положительных и отрицательных действительных чисел) с помощью векторов, расположенных на плоскости.

Работы Симпсона, Муравьева и особенно Весселя по вопросам обоснования понятия числа во многом предвосхитили то, что в этом направлении было развито в первой половине XIX в. Но в XVIII в. идеи передовых математиков о новых способах построения учения о числе заметного распространения не получили. В течение всего XVIII в., особенно до его последней четверти, подавляющее большинство математиков исходило при построении учения о числе из признания предельной общности понятия «абсолютной» величины, а значит, и из признания правильности «всеобщей» схемы обоснования математических теорий. В связи с этим в течение всего XVIII в. не прекращались попытки обосновать арифметику положительных и отрицательных чисел на базе понятия «абсолютной» величины, а объективность понятия комплексного числа отрицалась.

5. Почему математики XVIII в. не отказались от явно устаревших способов построения учения о числе, не признали и не развили должным образом то новое, действенное, что в этом направлении было разработано некоторыми передовыми их современниками? Почему, напротив, они метафизически абсолютизировали трактовку математики как науки только об «абсолютных» величинах, неоднократно, но безуспешно пытались построить учение о числе по устаревшей «всеобщей» схеме?

Решающее значение здесь имело то, что в XVIII в. метафизика господствовала в естествознании и философии. Метафизика способствовала абсолютизации понятия «абсолютной» величины и традиционных способов построения учения о числе. Метафизика заставила некоторых математиков, в том числе Даламбера и Карно, считать отрицательные числа «ложными», «фиктивными», хотя в XVIII в. объективность понятия отрицательного числа могла быть доказана без особого труда.

Кроме того, в XVIII в. в самой математике, в том числе и в учении о числе, сложились условия, благоприятствующие метафизической трактовке вопросов обоснования математических теорий.

По объему математика XVIII в. значительно превосходила математику предшествующих столетий. Однако материал исследований математики XVIII в. был во многом схож с материалом ее исследований в прошлых веках, т. е. был качественно однороден. В учении о числе эта качественная однородность выражалась в том, что до второй четверти XIX в. развитие понятия числа приводило к числам нового вида, для которых все законы счета верны и для которых, кроме чисел комплексных, можно установить «естественные» (т. е. количественного характера) определения понятий «больше» и «меньше». Подобное же «постоянство» и «однородность» основных законов и свойств имели место в геометрии, алгебре и даже в математическом анализе. Благодаря этому математики, как правило, не могли выделить в каждой математической теории самое основное, главное для ее обоснования—ее специфические основные законы, а потому и не могли разработать для многих из них научно выдержанные основы. Вся исторически сложившаяся обстановка заставляла математиков XVIII в. искать общую основу учения о числе, считать возможным построить его на этой основе.

Такая общая основа и была «найдена» в трактовке понятия «абсолютной» величины, «общего» понятия числа и «общих» определений арифметических действий.

Поскольку изучались величины, для которых верны все законы счета, основанные на них аппараты исчисления всегда приводили к правильным результатам. Это, конечно, способствовало метафизической абсолютизации этих законов, отнесению их к общему понятию «абсолютной» величины.

Понятие комплексного числа не укладывается в рамки понятия «абсолютной» величины. Однако в XVIII в. оно являлось, как правило, только вспомогательным орудием исследований. Только некоторые математики (Эйлер, Даламбер) изучали объекты, для обозначения и описания количественных отношений которых необходима арифметика комплексных чисел. Но даже и они не разработали в связи с этим полную интерпретацию арифметики комплексных чисел. В подавляющем же большинстве случаев изучались величины, для обозначения и описания количественных отношений которых достаточно множество действительных чисел; ответ на задачу, выражаемый комплексным числом а+Ыу ЬфО, указывал здесь на невозможность ее решения. Представлялась возможность объявить понятие комплексного числа необъективным, «ложным», «воображаемым» и сохранить его в математике в качестве полезной, вспомогательной фикции.

Таковы основные внутриматематические пред-

посылки, способствовавшие в XVIII в. тормозящему влиянию метафизики на разработку вопросов обоснования учения о числе.

6. Качественно новые факты, накопленные в математике в последней четверти XVIII в. и особенно в первой половине XIX в., исключительная роль, какую они стали играть в науке и технике, показали, что традиционное и метафизически абсолютизируемое толкование предмета и способов обоснования математики несовместимо более с развитием учения о числе, алгебры, анализа бесконечно малых и геометрии. К числу этих фактов нужно в первую очередь отнести открытие Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии, потом открытие проективной геометрии и геометрии я-мерных пространств, разработку теории групп, новые результаты математического анализа и открытие теории функций комплексного переменного. Эти открытия подорвали базу метафизики в математике, позволили передовым ученым наметить более широкое толкование ее предмета и начать развивать достаточно гибкие и действенные методы обоснования содержания математических теорий. В частности, эти факты побудили передовых математиков первой половины XIX в. признать и начать развивать далее то новое, положительное, что в вопросах обоснования понятия числа было развито в XVIII в.

Как и в XVIII в., передовые математики первой половины XIX в. руководствовались в своей научной работе материалистическим миропониманием. Но их материализм, например у Н. И. Лобачевского, во многом освобождается от метафизики, присущей ученым VIII в.

В первой четверти XIX в. разработка вопросов обоснования понятия числа оставалась почти на том же уровне, на каком она была и в конце XVIII в. Арган и другие математики разрабатывали геометрическое истолкование арифметики комплексных чисел, но их работы редко встречали понимание и сочувствие. В 1821 г. Коши рассматривал комплексные числа только как полезные символы, не имеющие объективного содержания. Он считал их полезными для одновременной записи двух реальных равенств: а = ах и b = b] в виде одного символического равенства, благодаря чему вычисления с парами реальных равенств заменяются вычислениями с комплексными числами*. Гаусс применял понятие комплексного числа, но в скрытой форме, не говоря ничего о его природе.

Журнал Жергона публиковал работы Аргана и др. о комплексных числах в отделе философии математики, повидимому, подчеркивая этим их дискуссионный характер.

Вопросы обоснования арифметики положительных и отрицательных чисел обсуждались, но, как и в XVIII в., большинство исследователей видело цель своих изысканий в «доказательстве» правил знаков. Только Н. И. Лобачевский и здесь опередил многих своих современников и трактовал арифметику положительных и отрицательных чисел как аппарат алгебраического исчисления, объективность посылок которого хотя нуждается в подтверждении, но может быть показана не обязательно в связи с общепринятым толкованием понятия величины**. Действительные числа получили широкое признание. Однако, как и в XVIII в., обоснование их арифметики при помощи необоснованного понятия предела удовлетворяло почти всех математиков. Арифметика натуральных и рациональных чисел излагалась по-старому: только на базе традиционного количественного истолкования понятий о целых и дробных числах.

Во второй четверти XIX в. область приложений понятия комплексного числа становится значительно шире. Исследования задач, относящихся преимущественно к теории теплоты и теории потенциала, привели Коши и Римана к основам теории функций комплексного переменного. Развивая теорию эллиптических функций, Абель, Якоби и др. широко использовали арифметику комплексных чисел. Благодаря теории биквадратичных вычетов комплексные числа оказались необходимыми даже в теории чисел.

Под влиянием этих фактов арифметика комплексных чисел получает дальнейшее развитие. Разрабатывается вопрос о геометрическом представлении корней п-ой степени из действительных и комплексных чисел. Гаусс создает основу теории целых комплексных чисел. Вводятся наименования, принятые и в наше время: комплексное число вместо мнимое число, модуль и аргумент комплексного числа.

Операции сложения и умножения комплексных чисел позволяют отобразить совокупность всех возможных движений на плоскости (параллельное смещение, поворот с растяжением или с сжатием). Этим и объясняется возможность и целесообразность использования арифметики комплексных чисел в метрической геометрии. Потребности математической физики побудили исследовать вопрос: нельзя ли соответствующие преобразования в трехмерном

* Cauchy, Anа1yse а1gébrique, Paris, 1821, стр. 173. См. также Ганкель, Теория комплексных числовых систем, Казань, 1912, стр. 23—24.

** Н. И. Лобачевский, Сочинения, т. IV, Алгебра или вычисление конечных, М. — Л., 1948.

пространстве отобразить с помощью арифметики комплексных чисел более высокого порядка. Гамильтон разработал арифметику кватернионов, которая дает аппарат для решения этого вопроса.

В развитии арифметики гиперкомплексных чисел Грассман опирался на иные идеи. Он строил геометрию я-мерных пространств как самостоятельную дисциплину («учение о протяженности»), наряду с которой развивал другую самостоятельную дисциплину — теорию измерения. Последняя строилась им в связи с понятием числа, с учетом потребностей геометрии /г-мерных пространств. Поэтому Грассман и занялся построением арифметик чисел с я-основными единицами. Эти исследования привели Грассмана к гиперкомплексным числам.

При проведении этих исследований Гамильтон и Грассман сконструировали новые интерпретации арифметик положительных и отрицательных целых чисел, рациональных и комплексных чисел как пар натуральных, пар положительных и отрицательных целых и пар действительных чисел.

Коренные изменения в трактовке основных вопросов математического анализа и теории рядов выдвинули на первое место понятие предела. Оно стало необходимым при определениях и доказательствах утверждений, относящихся к функциям, производной, интегралу и т. п. Но обоснование понятия предела и, особенно, разработка признаков его существования заставили привлечь понятие действительного числа, считать, что последнее обосновано раньше, чем первое. Возникла необходимость обоснования арифметики действительных чисел не на базе понятия предела, а как базы теории пределов. Решить этот вопрос в первой половине XIX в. не удалось: не было необходимой для этого теории множеств. Но постановка этого вопроса сыграла значительную роль в создании необходимых условий для возникновения теорий Кантора, Вейерштрасса и Дедекинда.

Понятие порядка всегда играло в математике заметную роль. Однако его значение для развития и построения математических теорий, в том числе и учения о числе, не всегда было одинаковым. В XVIII в. изучение величин связывалось обычно с их измерением; соответственно этому понятие «реального» числа трактовалось только как понятие количественного числа. В первой половине XIX в. понятие порядка выдвигается на первое место в проективной геометрии, а затем и в геометрии я-мерных пространств. Когда выяснилось, что метрическая геометрия является надстройкой проективной геометрии, возник вопрос, как обосновать проективную геометрию без метрической, а значит, и без понятия количественного числа. Оказалось, что для этого нужно ввести проективные координаты, численные значения которых являются порядковыми действительными числами. Возникла необходимость в разработке учения о порядковых числах. И эта проблема была решена во второй половине XIX в.

Очерченный процесс развития (обобщения) понятия числа был неразрывно связан с разработкой методологических идей первостепенной важности, в основном восходящих в XVIII в.

Как уже указывалось, в XVIII в. комплексные числа, как правило, были только вспомогательным орудием исследований свойств реальных величин; комплексный корень показывал невозможность решения задачи. В первой половине XIX в. комплексные и гиперкомплексные числа стали обозначениями исследуемых реальных величин — векторов в п-мерном пространстве (/г = 2,3,...). Отношения и связи чисел в областях комплексных и гиперкомплексных чисел отображали отношения и связи в соответственных областях этих векторов. Ответ на задачу, выраженный комплексным или гиперкомплексным числом, имел в этой области объективный смысл. Объявлять комплексные и гиперкомплексные числа «ложными», «воображаемыми», как это делали математики XVII—XVIII вв., стало невозможным.

Арифметика комплексных и арифметика гиперкомплексных чисел показали, далее, что переход к новой, более широкой области чисел связан с необходимостью обобщать определения действий исходной области чисел. Требование строить учение о числе на определении «абсолютной» величины и на обычных определениях арифметических действий оказалось невыполнимым.

Арифметика комплексных чисел и, особенно, арифметика гиперкомплексных чисел показали также, что в расширенной области чисел, как правило, не выполняются некоторые свойства чисел, которые, напротив, выполнялись в исходной области чисел. При переходе к комплексным числам от действительных пришлось отказаться от связывания их знаками > и <. В арифметике кватернионов оказывалось необходимым дополнительно отказаться и от закона переместительности умножения. Действительно, для кватернионов:

где i, j и k — мнимые единицы, умножение определяется соотношениями:

Законы счета, исторически самые стойкие, а потому и составляющие основу «неизменной» сущности «абсолютной» величины, оказались законами с ограниченной областью действия. Отсюда следовало, что при построении арифметики любого вида чисел нельзя исходить из предположения выполнимости всех законов счета в области этих чисел. Напротив, опираясь на свойства чисел, выраженные в определениях их отношений Q>, =,<0 и связей (+, — и т. д.), надо в каждом случае проверить, какие из законов счета выполняются Е обосновываемой области чисел и какие не выполняются.

Характеризуя значение последнего факта, А.Пуанкаре справедливо заметил: «...кватернионы Гамильтона дали нам пример операции, представляющей почти полную аналогию с умножением, которую можно назвать тем же именем и которая, однако, не коммутативна: произведение изменяется при перестановке множителей. Здесь в арифметике мы имеем революцию, совершенно подобную той, которую Лобачевский произвел в геометрит* (подчеркнуто мной.—В. М.).

Развитие геометрии /г-мерного пространства и проективной геометрии, опыт конструирования различных интерпретаций арифметик комплексных и гиперкомплексных чисел и другие исследования показали, что понятие числа — широкое понятие, которое нельзя трактовать только в обычном количественном смысле. М. В. Остроградский однажды подчеркнул большую общность понятия числа очень образно. Он заметил, что не число есть отношение однородных величин, а, напротив, отношение однородных величин есть число. Выяснилось также, что положения арифметики любого вида чисел (значит, и ее основные положения) являются описаниями общих количественных отношений, осуществимых в различных областях объектов. Следовательно, чтобы дать этим отношениям точное описание, целесообразно абстрагировать их от всего второстепенного, несущественного и изучать их в чистом виде. Факт этот был осознан многими гениальными математиками первой половины XIX в.—Лобачевским, Гауссом, Грассманом и др. Так, например, Гаусс писал: «Математик всегда мыслит отвлечением от свойств предметов и от содержания их отношений: его дело только перечисление предметов и сравнение их отношений»**.

Суммарно: в первой половине XIX в. метафизическая трактовка математики как науки только об «абсолютных» величинах, метафизическое разделение чисел на «реальные» и «воображаемые», требование строить учение о числе на определении «абсолютной» величины и на обычных определениях арифметических действий, необоснованное подведение новых чисел под законы чисел известных оказались окончательно дискредитированными. Выяснилось, что «всеобщая» схема построения учения о числе является действенной в узкой области, по существу совпадающей с элементарной теорией количественных натуральных чисел.

Все указанные выше факты показали также, что для обоснования арифметики какого угодно вида чисел достаточно:

1) Перечислить ее основные понятия, определения и посылки в чистом виде (условия сравнения по величине, определения арифметических действий и, быть может, аксиомы). Это необходимо осуществлять путем анализа основных специфических и общих свойств изучаемых и известных видов чисел. Эти посылки в совокупности и дадут определение чисел рассматриваемого вида.

2) Подтвердить объективность понятий об изучаемых числах. Для этого надо показать, что характеризующие их основные посылки осуществляются на объектах какой угодно природы.

3) Выяснить, какие законы счета выполняются в обосновываемой области чисел.

Все остальное содержание арифметики рассматриваемого вида чисел должно быть логическим следствием ее посылок и осуществимых в ней законов счета. Перенесение свойств одной области чисел в другую допустимо только в той их части, которая является следствием только общих посылок той и другой области.

Однако, учитывая требования алгебры, анализа и геометрии, открывшиеся широкие возможности развития понятия числа пришлось использовать преимущественно в направлении, максимально сохраняющем основные свойства

* А. Пуанкаре, Отчет о работах Д. Гильберта. (См. Д. Гильберт, Основания геометрии, изд. 1923, стр. 106-107.)

** А. В. Васильев, Введение в анализ, вып. 2, Казань, 1908, стр. 181.

известных чисел (принцип перманентности формальных законов). Последнее обстоятельство подчеркивало целесообразность наметившейся еще в XVIII в. тенденции обобщать понятие числа в связи с расширением определений действий.

Учитывая все сказанное выше, можно сделать такое заключение: в XVIII и особенно в первой половине XIX в. решение новых задач техники, точных наук и математики способствовало значительному развитию понятия числа. Благодаря этому учение о числе не только освободилось от пут метафизики XVIII в., но уже в первой половине XIX в. подошло к диалектико-материалистическим обобщениям.

7. Новые способы построения учения о числе в основных чертах были развиты в первой половине XIX в. Но не все разделы учения о числе удалось построить на фундаменте, отвечающем новым требованиям. К последним относились арифметика натуральных и арифметика действительных чисел. Это было сделано во второй половине XIX в., в связи с развитием теории множеств и математической логики (аксиоматика Пеано для натуральных чисел, теории действительных чисел Дедекинда, Кантора и Вейерштрасса). Однако, когда было сделано и это, развитие понятия числа и разработка более совершенных способов обоснования о числе продолжались и далее. Идет эта работа и в наше время, в первую очередь в нашей стране. Ограничусь только двумя фактами. Когда Пеано указал систему аксиом арифметики натуральных чисел, возник вопрос, как доказать ее непротиворечивость. Насколько сложна эта проблема, можно судить по тому, что в начале нашего века знаменитый математик Д. Гильберт в докладе «О проблемах будущей математики» поставил ее на втором месте, вслед за так называемой гипотезой континуума. Крупнейшие результаты в решении этой проблемы получил П. С. Новиков. В 1946 г. в «Успехах математических наук» акад. А. Н. Колмогоров поставил вопрос о новом обосновании арифметики действительных чисел, отвечающем современному уровню развития математики. Эту задачу решили два советские математика: А. С. Кованько и А. И. Алимов. Их работы отличаются оригинальностью, и каждая по-своему не только решает, но и обобщает проблему акад. Колмогорова.

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ИДЕИ И ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ АКАДЕМИКА А. А. МАРКОВА

В. Л. МИНКОВСКИЙ (Орел)

20 июля текущего года исполнилось 30 лет со дня смерти одного из крупнейших русских математиков и выдающегося борца с царским произволом Андрея Андреевича Маркова (1856—1922).

Великий ученый постоянно уделял большое внимание постановке преподавания математики в средней школе, продолжая славные патриотические традиции своего гениального учителя П. Л. Чебышева и его предшественников. Освещению этой стороны деятельности А. А. Маркова и посвящается настоящая статья.

А. А. Марков в борьбе за включение Академии наук в работу по реформированию средней школы

К началу XX в. остро встает вопрос о реформе средней школы. Интенсивный экономический рост России и общая политическая обстановка конца прошлого столетия настоятельно требовали внесения существенных перемен в образовательную систему. Однако

министры царского народного просвещения (Боголепов, затем Ванновский) предпочитали ограничиваться обещанием реформ и воздерживаться от действий. «Мы, революционеры, — писал В. И. Ленин в феврале 1902 г.,—ни на минуту не поверили в серьезность обещанных Ванновским реформ»*.

А. А. Марков ясно осознавал, что бюрократическое царское министерство народного просвещения не было способно разрешить актуальных проблем реформы. Но ему хотелось верить, что эту задачу сможет решить Академия наук, если воспользуется на деле принадлежащим ей по уставу правом входить во все дела, касающиеся просвещения.

А. А. стремился прежде всего побудить членов Академии осознать свою ответственность за судьбы русского народного просвещения. В письме к академику В. И. Ламанскому Марков сообщал:

* В. И. Ленин, Сочинения, т. 6, изд. 4, стр. 63.

«... 4-го марта (1901 г. — В. М.) я говорил с А. С. Фам.* о § 8 устава Акад. (Акад. может входить во все, касающееся до просвещения), и он заявил мне, что уже давно думает воспользоваться этим пунктом устава. Когда же я обращал внимание других акад. на тот же пункт, то они находили, что нельзя ничего сделать.

Пока все ограничивается желанием отдельных лиц, которые даже не выяснили друг другу, чего они хотят. Следовало бы собраться и обсудить, как помочь просвещению России, находящемуся в большой опасности»**.

14 апреля 1901 г. А. А. Марков подал непременному секретарю Академии Н. Ф. Дубровину записку о настоятельной необходимости включиться Академии в решение вопросов реформы учебного дела. Однако не только обсуждение, но даже оглашение текста записки не было допущено.

По этому вопросу вице-президент Академии П. В. Никитин в сентябре 1901 г. обратился к президенту великому князю К. К. Романову со следующим письмом:

«В заседании Общего Собрания 1 сентября по прочтении протокола майского заседания Марков заявил, что протокол не полон, и настаивал на прибавлении статьи такого приблизительно содержания: „В конце заседания Августейший президент обратился к членам с вопросом, не имеет ли кто-нибудь из них еще каких-либо заявлений. Акад. Марков выразил желание узнать о судьбе записки, которую подал непременному Секретарю. Авг. Президент отвечал, что не находит возможным допустить ее обсуждение; тогда акад. Марков просил приложить ее к делам“.

Я счел себя вынужденным согласиться на это дополнение к протоколу, т. к. оно не противоречит действительности и не влечет за собой включения в протокол самой записки, внесение которой на обсуждение не было разрешено; содержание записки (она касалась желательности участия Академии в решении вопроса о реформе учебного дела) и в этом дополнении не излагается и даже не обозначается»***.

Из приведенного документа ясно видно, что настойчивые попытки А. А. Маркова содействовать превращению Академии наук из замкнутого ведомства в национальный ученый центр рассматривались царскими чиновниками как проявление недопустимой оппозиции к правительству, а потому упорно парализовались.

Об одной крупнейшей победе А. А. Маркова в этом направлении будет рассказано в следующем разделе нашей статьи.

А. А. Марков в борьбе с реакционными идеалистическими поползновениями в преподавании математики 30 января 1914 г. в газете «День» было опубликовано письмо в редакцию «Вопрос Министерству народного просвещения» за подписью акад. А. Маркова. В этом письме А. А. Марков сообщал о ставшей ему известной деятельности министерства просвещения по подготовке к введению в средние учебные заведения преподавания начал теории вероятностей. Кроме того, А. А. заявлял, что находящаяся в его руках печатная записка по этому вопросу П. С. Флорова с примечаниями П. А. Некрасова не может служить основанием для установления преподавания названного предмета. Он высказывал свое недоумение, почему к этому серьезному делу не привлекаются «надлежащие специалисты». Последнее ведь делается только тогда, когда есть сознательное намерение, «решить кое-как и плохо».

Петр Степанович Флоров, педагог-математик и директор Урюпинского реального училища был убежденным сторонником включения начал теории вероятностей в программу курса алгебры средней школы.

Павел Алексеевич Некрасов, бывший профессор Московского университета и попечитель Московского учебного округа, пользуясь влиянием как член совета министра народного просвещения стремился добиться осуществления преподавания элементов теории вероятностей в школе по весьма своеобразному проекту. При выработке проекта Некрасов исходил не из стремления расширить математический кругозор оканчивающих среднюю школу, а из совершенно иных, весьма далеких от математики целей. Сущность этих целей вполне откровенно и достаточно выпукло обрисована единомышленником Некрасова профессором Юрьевского университета и членом совета министра народного просвещения В. Г. Алексеевым. Последний заявил, что образовательное значение курса теории вероятностей для среднеучебных заведений «громадно, т. к. им открывается совсем новое мировоззрение в противоположность господствующему материалистическому мировоззрению, которое упрочилось во всех отраслях знаний, незаметно пронизало всю нашу культуру, весь строй нашей жизни вследствие блестящих успехов математического анализа и ос-

* Здесь речь идет об академике по разряду ботаники Андрее Сергеевиче Фаминцыне (1835—1918).

** Архив АН СССР, ф. 35, оп. 1, № 887, лл. 3—5.

*** Архив АН СССР, ф. б, оп. 1, № 20, л. 42.

нованной на нем механики — в приложении последних к явлениям природы»*.

Разумеется, для того чтобы теория вероятностей смогла бы сыграть роль рассадника идеалистического мировоззрения, кстати сказать, неизвестно почему получившего у Алексеева название «нового», ее следовало начинить предвзятыми, явно ошибочными толкованиями.

Этим требованиям в широкой мере удовлетворял проект Некрасова и Флорова.

Для придания проекту большего веса Некрасов добился циркуляра министерства от 23 декабря 1913 г. об официальном запросе мнения нескольких лиц по поводу этого проекта. В числе фамилий запрошенных мы не находим имен крупнейших специалистов по теории вероятностей, как А. А. Маркова, А. М. Ляпунова, но зато были представлены соратники Некрасова — Флоров и Алексеев.

В 1915 г. «Журнал МНП» в трех последовательных номерах (за февраль, март и апрель) опубликовал весьма пространную статью П. А. Некрасова «Теория вероятностей и математика в средней школе». В этой статье изложен проект Некрасова и Флорова, приведены высказывания запрошенных по проекту лиц и все это обильно сдобрено примечаниями и заключениями самого автора статьи.

Однако ни в одном из приведенных высказываний по проекту не содержится оценки его по существу. В то же время в некоторых из высказываний утверждается, что осуществление проекта желательно или, по крайней мере, допустимо в порядке постановки опыта.

Возможность осуществления указанного проекта становилась реальной. Для ее предотвращения необходимо было выявиться незаурядной силе, которая сумела бы возглавить последовательную борьбу с реакционными идеалистическими поползновениями, направленными против прогрессивных материалистических принципов отечественной методики математики.

К счастью для русской школы, такая сила нашлась: знамя борьбы против мракобесия в преподавании математики высоко поднял замечательный русский академик А. А. Марков.

А. А. Марков начал выступать с разоблачениями лженаучных потуг мистика и реакционера П. А. Некрасова еще с конца прошлого века. Дело в том, что способный в молодости математик Некрасов, заняв высокое положение на лестнице служебной иерархии, стал использовать страницы математической прессы уже не в целях содействия дальнейшему развитию науки, а в целях прославления самодержавия и религии путем искажения и злоупотребления наукой. Свои запутанные по форме, ложные по существу определения и суждения Некрасов пытался выдавать за учение какой-то особой математики, не желающей в своих определениях изменять истинным классическим гуманитарным основам, направленным в сторону, противоположную тому, что называется варварством, каннибализмом, первородным грехом»**.

Рассмотрим для примера, как следует по-некрасовски рассуждать об иррациональных числах, чтобы не впасть в «варварство, каннибализм, первородный грех».

«Вообразим среди учеников скептика в отношении иррациональных чисел, — говорит Некрасов, — усвоившего однакоже геометрические фигуры и знающего скалу положительных рациональных чисел х=~^-, где а и о суть целые взаимно простые числа натурального бесконечного ряда: 1, 2, 3,... . Такие скептики существуют не только среди детей, но и взрослых, впервые знакомящихся с миром иррациональных чисел. Подобный отрицатель вправе построить следующие два правильных (по содержанию посылок и по форме) силлогизма, однакоже парадоксальных по своим заключениям: А. Никакое нечетное число не может равняться четному.

Если существует число -у-, равное |/2, то можно выбрать нечетное целое число, равное четному. Следовательно, не существует числа -у-, равного У2.

Б. Числа равного У 2, как сказано не существует. Если существует диагональ квадрата, сторона которого есть 1, то она по пифагоровой теореме выражается числом ~, равным У2. След., не существует длины диагонали названного квадрата.

Наш скептик, делающий столь нелепые (перед судом здравого смысла) выводы, не хочет сделать относительной бесконечно малой погрешности против формальных правил логики. Если бы он согласился сделать бесконечно малую ошибку, то он нашел бы число-—-, равное У 2, в пределе при Ь = оо. Он, как сказано в писании, «оцеживает комара», но в то же время он проглатывает верблюда, т. е. отвергает крупную по ее значению теорию иррациональных чисел»***.

* П. А. Некрасов, Теория вероятностей и математика в средней школе, «Журнал МНП», 1915, февраль, стр. 101—102.

** «Журнал МНП», октябрь 1915, стр. 102.

*** П. А. Некрасов, Теория вероятностей, СПБ, 1912, стр. XIV. Цитата приведена с сохранением всех особенностей текста автора.

Легко видеть, что «крупную по ее значению теорию иррациональных чисел» отвергает сам Некрасов, принимая в приведенном рассуждении ложное утверждение за истинное. В самом деле, во втором силлогизме как правильное содержится ложное утверждение: длина диагонали выражается числом -у-. Из дальнейших рассуждений Некрасова явствует, что он отождествляет понятия малой и бесконечно малой величины.

На грубо ошибочное толкование Некрасовым основных понятий анализа указывал еще в 1901 г. А. М. Ляпунов. Однако Некрасов не только не признал своих заблуждений, но всячески пропагандировал их, выдавая за более высокую степень проникновения в сущность понятий предела и бесконечно малой величины.

В майском номере «Журнала МНП» А. А. Марков дал сжатую, но предельно четкую характеристику проекта Некрасова и Флорова. Марков заявил, что он ограничивает свою задачу выяснением негодности плана преподавания теории вероятностей, который намечен программами и объяснениями П. С. Флорова и П. А. Некрасова.

А. А. указал, что порядок, рекомендуемый программой, является недопустимым, так как им нарушается логика развертывания понятий данной математической дисциплины (теорема Я. Бернулли предшествует теоремам сложения и умножения вероятностей). Приведенное же Флоровым простое объяснение теоремы Я. Бернулли, которое высоко оценивается Некрасовым, неправильно, так как оно построено на недопустимом злоупотреблении понятием бесконечности.

Для реализации своего проекта его авторы предполагали ознакомление учеников средней школы с их собственными трудами, во-первых, со статьей Некрасова «Задачи и игры из детского мира, развивающие понятия по логике и статистической теории взаимоотношений» («Математическое образование», 1912, № 5 и 6), в которой рассказывается о не представляющих никакого интереса опытах с картами; во-вторых, со статьей Флорова «Шашка вперед» («Вестник опытной физики и элементарной математики», 1893, № 148 и 151), которая посвящена свидетельским показаниям.

А. А. Марков по этому поводу писал: «... в программу введен самый слабый отдел теории вероятностей — о свидетельских показаниях, который с полным основанием можно пропускать; в университетском курсе (в «Теории вероятностей» проф. В. П. Ермакова этого отдела вовсе нет; в моей книге ему посвящено 5 стр. и на примере показано, что решению задач, сюда относящихся, нельзя придавать большого значения)»*.

В июльском номере «Журнала МНП» была напечатана ответная статья Некрасова, в которой он делал попытку дискредитировать в глазах учителей и учеников средней школы петербургскую школу математиков. Он заявил, что проповедуемая этой школой дурная теория познания «пустила довольно глубокие корни в Петербургских болотах, заволакивающих вредными испарениями действительные светила науки и ее преподавания»**.

Проф. К. А. Поссе, вступив в полемику («Журнал МНП», 1915, сентябрь), указал на нечестность полемических приемов Некрасова и на вред его абсурдных статей, искажающих трактовку основных понятий математического анализа—бесконечно малой величины и предела, которые стали уже достоянием средней школы.

Однако уже в следующей книге журнала (1915, октябрь) появилась новая статья Некрасова, где автор, прикрываясь дымовой завесой страшных слов, не имеющих отношения к математике, снова пытался провести ошибочное толкование основных понятий и определений анализа.

Необходимо было оградить русскую школу от посягательств Некрасова и его сторонников.

14 октября 1915 г. по предложению акад. Маркова в Академии наук создается комиссия по обсуждению вопросов, касающихся преподавания математики в средней школе. В комиссию были избраны академики А. А. Марков, А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов и члены-корреспонденты Академии Д. К. Бобылев, Н. Я. Цингер и А. Н. Крылов.

Комиссия провела три заседания (26 октября, 9 и 16 ноября) и единогласно приняла развернутое заключение, доложенное на заседании физико-математического отделения АН 28 ноября 1915 г.

В докладе говорится, что АН «не имеет права молчать долее и обязана высказать свое суждение об основных ошибках и ложных (а потому и вредных) идеях, распространяемых П. А. Некрасовым с целью проведения их в обиход средней школы».

«Необходимо еще раз напомнить, что сам Некрасов считает толкование „отвлеченных математических начал, предлагаемых учащимся для вытверживания“, предметом государственной важности («Журнал МНП», октябрь, 1915, стр. 98)».

* «Журнал МНП», 1915, май, стр. 33.

** «Журнал МНП», 1915, июль, стр. 15.

«Комиссия считает, что речь идет действительно о „предмете государственной важности“: о возможности пагубного влияния рассматриваемых заблуждений на преподавание математики».

«Преподносить учащимся в средней школе такого рода бездоказательные выводы и неправильные толкования основных теорем теории вероятностей (теорема Чебышева) в качестве образовательного и развивающегося материала, само собой разумеется, недопустимо».

«Влияние членов Совета Министра народного просвещения П. А. Некрасова и В. Г. Алексеева может оказать серьезный вред еще и в другом отношении. Указанные лица стремятся употребить математику и в особенности теорию вероятностей для таких целей, которым эти науки, по самому их существу, служить неспособны.

Делается настойчивая попытка воздействовать при помощи указанных наук на нравственно-религиозное и политическое миросозерцание юношества в наперед заданном направлении».

«Опыт показал, что все эти поползновения (имевшие место в прошлом.—В. М.) либо рассыпались в прах перед неумолимой строгостью точной науки, либо приводили к результатам прямо противоположным тем, которых добивались злоупотреблявшие математикой для целей, ей совершенно чуждых»*.

В последние годы своей жизни П. С. Флоров полностью осознал свои ошибки. В письме к А. А. Маркову от 1 июня 1918 г. он выразил «искреннюю благодарность за отеческое наставление, прочитанное мне в 1915 году. Оно способствовало исправлению недочетов моего характера и моего отношения к науке»*. В конце письма Флоров, прося у А. А. прощения, признался, что его мучает «жгучее чувство стыда»**.

22 октября 1918 г. П. С. Флоров обратился с открытым письмом к Некрасову***. Этим письмом старый педагог, чувствуя приближение конца своего жизненного пути, хотел публично «погасить свои заблуждения».

Воспроизводим отрывок из этого волнующего документа:

«Сообщения „лично для меня“, которых Вы не можете повторить перед ареопагом ученых, были главным орудием моего умственного порабощения Вами. От этого порабощения я эмансипировался путем тяжких переживаний, т. к. Вам долгое время удавалось побивать мои сомнения тем же орудием. Но наперекор Вашему влиянию мои сомнения крепли и, наконец, привели меня к истине. Я познал истину посредством изучения мемуара акад. А. А. Маркова 1907 года и тем спас себя от опубликования „существенной неправильности“. Подперев эту „существенную неправильность“ ссылкой на свой мемуар (стр. 366 — 368 тома XXVIII Мат. сб.), Вы возвели ее на степень одного из „незаменимых достоинств“ моего сочинения. К удивлению Вы и теперь продолжаете сохранять свою позицию и рассматривать мое прозрение как „вступление на путь коренных заблуждений“»****.

П. С. Флоров, глубоко осознав свои ошибки, потребовал от Некрасова возвращения своих рукописей. Однако последний их не возвратил.

Пораженный апоплексическим ударом в тяжелой форме, Флоров не без основания опасался, что после его смерти Некрасов попытается опубликовать его ошибочные работы. Это заставило парализованного старика продиктовать своим ученикам письмо в Наркомпрос, в котором он изложил создавшееся положение*****.

Приведенные отрывки из писем 1918 г. вносят определенные коррективы в оценку роли П. С. Флорова в походе Некрасова против прогрессивных принципов отечественной методики математики.

Высказывания А. А. Маркова по некоторым вопросам методики преподавания математики

Для понимания взглядов А. А. Маркова на вопросы преподавания математики необходимо отметить, что он придавал исключительное значение выработке у учащихся единственно правильного, материалистического подхода к основным понятиям математики. Именно в этом смысле он утверждал, что понятия усваиваются не столько путем их формального определения, которое, разумеется, необходимо для построения науки, «как нашим отношением к ним, которое выясняется постепенно»******.

* Архив АН СССР, ф. 1, оп. 1а, № 162, стр. 252 — 266 (печатано как рукопись).

** Архив АН СССР, ф. 173, оп. 1, № 47, лл. 13 и 14.

*** Мы называем это письмо открытым, так как его подлинность подтверждалась учениками 1-й Валдайской советской школы (И. Плинером, Н. Петровым и А. Ивановым), а копия его была послана ученым, в частности А. А. Маркову.

**** Архив АН СССР, ф. 173, оп. 1, №47, л. 119.

***** Там же, лл. 123-124.

****** А. А. Марков, Исчисление вероятностей, М., 1924, стр. 2.

При изложении математических дисциплин не следует злоупотреблять словесными формулировками, стремясь с помощью их все без исключения разъяснять. «Должен, однако, заметить,— говорит А. А. Марков,—что многие любят именно разъяснять то, что не подлежит разъяснению, и при этом, конечно, легко могут наговорить всякого вздора»*.

А. А. Маркову была совершенно чужда переоценка формальных целей преподавания математики. Так, например, в связи с разработкой в 1915 г. программ преподавания математики в проектировавшихся средних школах различных типов с преобладанием гуманитарных или естественно-научных дисциплин А. А. Марков заявил, «что не считает необходимым для всех изучать тригонометрию с тем, чтобы после ее забыть»**.

Структура и содержание лекций А. А. Маркова говорят о том, что он никогда не пренебрегал воспитывающей стороной обучения. Считая тот или иной вопрос или задачу достойными внимания, А. А. Марков при их изложении убедительно демонстрировал, что значит и как следует доводить дело до конца. В частности, с этой целью он порой затрачивает при рассмотрении примера на приложение некоторой формулы до нескольких страниц, детально останавливаясь в интересах начинающего слушателя на всех сопутствующих обстоятельствах.

Весьма поучительно, что постоянное внимание к возможным затруднениям недостаточно еще продвинутого в математике читателя не помешало А. А. Маркову сделать свои классические книги «Исчисление конечных разностей» и «Исчисление вероятностей» крупными научными произведениями. Эти труды резко отличаются от иностранных учебников того времени, которые неизмеримо ниже книг Маркова как в отношении своих научных, так и педагогических достоинств.

В связи с выходом в свет 3-го издания «Теории вероятностей» А. А. Маркова К. А. Поссе писал автору:

«Получив Вашу книгу, я невольно вспомнил то время, когда, по оставлении Чебышевым университетской кафедры, мы так эгоистически уговаривали Вас взять на себя чтение теории вероятностей, считая это дело особенно трудным.

Оказалось, что с этим трудным делом Вы не только справились, но и поставили этот предмет на такую высоту, на которой он не стоял ни в одном университете. Вашу книгу, конечно, будут изучать все, кто этим предметом интересуется, а таких людей очень много».

А. А. Марков был убежденным сторонником реформы преподавания математики в средней школе, но сущность этой реформы он видел не во введении в школу начал аналитической геометрии, математического анализа или теории вероятностей как самостоятельных дисциплин, а в освобождении школьной трактовки элементарной математики от «существующих уже поводов для ошибок и недоразумений».

А. А. Марков решительно высказывался против попыток некритического следования за иностранными «модными направлениями» в области преподавания математики.

В частности, в 1911 г. в связи с переводом на русский язык «Элементарной математики» французского ученого Э. Бореля он писал редактору русского перевода В. Ф. Кагану:

«Я был сторонник, если не решительный сторонник реформы, то, во всяком случае, стоял к ней ближе, чем теперь, но если будет реформа так проведена, как представляет ее книга Бореля, то, извините, я буду против реформы».

Подобный отзыв Маркова вызван тем, что книги Бореля по элементарной математике, насыщенные многими идеями, вносили слишком много интуиции в изложении предмета. В результате этого учебники математики утрачивали способность вооружать их изучающего методами утверждения истины.

Марков же в своей преподавательской деятельности как в высшей, так и в средней школе пользовался строгими логическими построениями. Так поступал он потому, что считал своим долгом вооружить слушателей не только знанием истины и способами разведки ее, но и методами ее доказательного утверждения.

О книге же Бореля Марков сказал: «Но ведь здесь нет математики, остались только ее приложения».

Марков указывал, что у Бореля приложения математики имеют грубый характер, так как он игнорирует оценку погрешности в приближенных вычислениях.

Вообще, А. А. Марков считал допустимым использование только таких приближенных формул, которые позволяют произвести оценку погрешности. Если существующие формулы не удовлетворяли этому требованию, то Марков считал их недостаточными, требующими дополнений.

А. А. Марков очень бережно подходил к ценным проявлениям русской методической мысли. В письме к своему лучшему другу В. А. Стеклову 26 мая 1915 г. он сообщал:

* Архив АН СССР, ф. 162, оп. 2, № 264, л. 35 (из письма А. А. Маркова Владимиру Андреевичу Стеклову от 26 ноября 1910 г.).

** Архив АН СССР, ф. 162, оп. 2, № 266.

«... я сильно опасаюсь, что между мною и Граве не будет полного согласия. Например, Граве находит, что до учения о многочленах нельзя решать уравнений, а я ничего невозможного в этом не вижу». Д. А. Граве был «очень недоволен К. Ф. Лебединцевым». Граве не оценил исключительно большого значения в создании рациональной методики преподавания алгебры пропедевтического цикла уравнений, вводимого вместе с началом буквенной символики.

Позиция А. А. Маркова была глубоко прогрессивной. Разработанные К. Ф. Лебединцевым основы методики пропедевтического цикла уравнений нашли свое дальнейшее развитие в работах методистов советского периода и стали прочным достоянием нашей средней школы.

Правильному решению методических вопросов А. А. Марков придавал исключительное значение. В письме к В. А. Стеклову 13 июля 1915 г. он писал: «Относительно средней школы, а быть может и во многих других случаях, К. А. Поссе вместе с Д. А. Граве находятся, повидимому, в лагере своих врагов».

К. А. Поссе и А. А. Марков резко разошлись в принципиальной оценке «Сборника упражнений и задач по элементарному курсу алгебры» Д. А. Бема, А. А. Волкова и Р. Э. Струве, представляющего переработку популярного в то время немецкого задачника Бардея. А. А. Марков решительно выступал против:

1. Отсутствия преемственности в преподавании предмета и чрезмерного увлечения так называемой математической словесностью. Последнее выражалось: 1) в стремлении нагрузить детскую память возможно большим числом всевозможных правил, 2) в разучивании ответов на надуманные, излишние вопросы.

2. Обременения уроков математики задачами, требующими сообщения ученикам не известных им сведений из физики и техники, так как в этом случае неизбежны не только потеря времени и отвлечение внимания, но и не все задания будут отчетливо понятны для решающего.

3. Раннего введения определений общих понятий. Для примера цитируем следующее высказывание: «... я, однако, сильно сомневаюсь в необходимости вводить в курс 4-го класса общее понятие о функциях».

4. Отрыва в изучении тех или иных вопросов курса математики от их назначения.

«В частности, замечу, что интерполирование встречается в алгебре, но гораздо позже, при употреблении логарифмических таблиц, там этому вопросу, очевидно, и должно быть».

5. Загромождения курса алгебры таблицами и графиками. «По существу трудного там ничего нет; графиками пользуются уже в курсе географии II класса. Конечно, я ничего не имею ни против таблиц, ни против график, но только не следует загромождать ими курс алгебры».

6. Смешения описаний и определений, конструирования особой школьной терминологии и попыток выдать за доказательство опытную проверку в нескольких частных случаях.

7. Сохранения в школьном курсе математики остатков уже преодоленных наукой ошибочных воззрений. «Что же касается выражений вида -jp то говорить о них так, как в сборнике, вводя какое-то главное значение, нигде не надо».

А. А. Марков не покидал непосредственной преподавательской деятельности до последних лет жизни, считая, что одними книгами учить мало. Будучи в 1917/18 учебном году в годичной командировке, предоставленной Академией наук «для продолжения научных занятий», и проживая в г. Зарайске, А. А. Марков для удовлетворения своей постоянной потребности в педагогической деятельности преподавал в местном реальном училище. Сын А. А. Маркова, учившийся у отца в этом училище, ныне известный советский математик проф. А. А. Марков рассказывает: «Главный упор отец делал на решение задач. Для желающих усовершенствоваться в этом деле он вел дополнительные занятия во время каникул и по воскресеньям. Эти необязательные занятия охотно посещались многими учениками и принесли им пользу. За всю эту краткую, но интенсивную деятельность отец получил от педагогического совета Зарайского реального училища благодарственный адрес, до сих пор хранящийся у автора этих строк».

Колоссальные заслуги А. А. Маркова в разработке различных проблем математики сделали его имя бессмертным. Его педагогические воззрения и гражданское мужество сыграли исключительно большую роль в борьбе за торжество материалистических принципов в преподавании математики. Многие из этих воззрений не потеряли своей актуальности и до наших дней.

МЕТОДИКА

ИЗУЧЕНИЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ШКОЛЕ

Г. М. КАРПЕНКО (Москва)

Необходимым условием для усвоения теории обратных тригонометрических функций является хорошее знание учащимися предшествующего курса тригонометрии и всех вопросов учения о функциях, пройденных ранее.

Для изучения обратных тригонометрических функций необходимо иметь понятие об обратных функциях, монотонных функциях, об отрезке и промежутке. Эти понятия должны быть сообщены учащимся при изучении степенной, показательной, логарифмической и других функций в VIII—X классах, и в X классе надо только возобновить данный материал в памяти учащихся.

Обычно в литературе принято «числовой промежуток» именовать иностранным словом «интервал», а «числовой отрезок»—словом «сегмент». Русские слова «промежуток» и «отрезок» вполне соответствуют тем понятиям, которые вкладываются в эти слова, поэтому нет никаких оснований заменять их иностранными, тем более, что слово «сегмент» в понятии учащихся средней школы имеет другой смысл. Поэтому мы считаем целесообразным слово «интервал» заменить словом «промежуток» и слово «сегмент» — словом «отрезок».

Итак, под промежутком (а, Ь) будем понимать множество всех действительных чисел лг, удовлетворяющих неравенствам:

а<Аг<о.

Под отрезком же [а, Ь] будем понимать множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенствам:

Учащиеся должны усвоить, что геометрически промежуток от а до b есть множество всех точек, лежащих между данными точками а и Ь, кроме самих точек а и b (черт. 1), которые являются граничными. В отрезок входят также и граничные точки а и b (черт. 2).

Необходимость отличать промежуток от отрезка можно иллюстрировать на таком примере: если функцию y = sinx можно рассматривать на отрезке —-j, -я- , то при рассмотрении функции y = tgx надо исключить граничные точки--j и -J , так как при х = -+- тангенс угла не существует.

Арксинус. Для перехода от функции y = s\nx к обратной ей функции необходимо выделить отрезки, на которых функция^ = sin л; является монотонной, т. е. или только возрастает, или только убывает.

Отрезки монотонности функции следует показать на графике синуса (черт. 3). Обычно для синуса отрезок монотонности — ^ х ^ принимают за основной. На этом отрезке синус возрастает от —1 до 1. Следующим отрезком

Черт. 1.

Черт. 2.

монотонности, как это видно из графика, является отрезок ~ ^ X ^ ~ тт. На этом отрезке синус убывает от 1 до —1.

Так как отрезки

исчерпывают полный период синуса, то (в силу периодичности) нетрудно установить все отрезки монотонности этой функции. Такими отрезками являются:

(1)

(2)

где k — любое целое число (положительное, отрицательное или нуль). На отрезках (1) синус возрастает от —1 до 1, а на отрезках (2) убывает от 1 до — 1.

На каждом из отрезков (1) и (2) значения х и у связаны взаимно однозначным соответствием, т. е. каждому значению аргумента х соответствует одно значение функции у и, наоборот, каждому значению функции у соответствует одно значение аргумента х. Поэтому на каждом из отрезков вида (1) и (2) для функции у = s\nx существует обратная ей функция.

Рассмотрим функцию у = sin X на основном отрезке монотонности:

Функция sinx имеет на этом отрезке обратную функцию, которая называется арксинусом и обозначается так:

X = arcsin^y, где у является аргументом, а х — функцией.

Так как аргумент обозначают обычно буквой Ху а функцию буквой у, то и в данном случае желательно применять такие же обозначения. Тогда будем иметь:

Определение функции arc sin х можно дать учащимся в следующей формулировке.

Определение, arc sin х есть дуга, взятая на отрезке от — ^ до у, синус которой равен числу X, где — 1 ^ х ^ 1.

Заметим, что термин «дуга» принято понимать двояко: как геометрический объект — часть окружности и как число—меру дуги. Во всех случаях, когда речь идет о числовых функциях, этот термин понимается во втором смысле.

На основании определения арксинуса имеем:

Область определения арксинуса должна быть четко усвоена учащимися, исходя из того, что каждому значению х на отрезке

—1<*<1

приводится в соответствие одно определенное значение у на отрезке

К этому следует добавить, что вне отрезка — 1 ^ X ^ 1 функция

теряет смысл, поскольку значение синуса по абсолютной величине не превосходит единицы.

Закрепление понятия об арксинусе следует осуществлять на конкретных примерах. Например, пусть задано значение синуса, равное

Требуется на отрезке найти дугу, соответствующую этому значению синуса. Следует подчеркнуть, что здесь аргументом является синус, а функцией дуга, синус которой равен

и что в записи

требуется найти соответствующую данному синусу дугу.

Учащиеся без труда найдут, что

Примеры:

Следует также рассмотреть примеры, в кото-

рых значение обратной тригонометрической функции находится при помощи таблиц по данному значению тригонометрической функции. Например, найти arc sin 0,1; arc sin -i-; arc sin 0,3571.

Основные свойства арксинуса. 1. Функция у = arc sin х на отрезке от — 1 до 1 возрастает от — у^о у,

Доказательство. Действительно, рассматривая множества значений х и у на отрезках — 1 <л: ^ 1 и — ~ ^С.У ^С~у > можем сказать, что каждому значению х соответствует одно значение у и, наоборот, каждому значению у соответствует одно значение х, т. е. между значениями х и у существует взаимно однозначное соответствие на этих отрезках (черт. 4).

При этом, как известно, большей дуге соответствует большее значение синуса. Пусть ух = arc sin Xj, y2 = zrzs\nx2 и —l<i*i<C < x2 ^ 1, тогда yl <СУ2- В самом деле, если бы имело место неравенство У\^у2у то мы имели бы

s\nyx >>sin_y2, т.е. хх>х2,

что противоречит условию, при котором выбраны значения хг и х2.

2. При изменении знака аргумента функция arc sin л: изменяет знак, не изменяя абсолютной величины:

arc sin ( — л:) = — arc sin х.

Доказательство. Так как при любом аргументе значения арксинуса заключены на отрезке от —до то и дуга arc sin (—^заключена на этом же отрезке.

Из неравенств

следуют неравенства:

следовательно, дуга — arc sin х заключена на том же отрезке от

Кроме того, обе дуги имеют одинаковый синус:

следовательно,

что и требовалось доказать.

Следует привести примеры на применение второго свойства. Например:

График функции ^у = arc sin* получается из графика функции у = $тх путем зеркального отражения дуги синусоиды в биссектрисе координатного угла XOY (черт. 5) (обычный способ построения графика обратной функции).

Известные свойства функции aresin* следует иллюстрировать на графике:

функция у = arc sin х — возрастающая: с увеличением х от —1 до 1 точка графика, двигаясь слева направо по кривой, «поднимается» от точки Мх (—1, — до точки

Черт. 4.

Черт. 5.

Как уже было установлено, функция^ = sin л: является монотонной на каждом из отрезков вида:

(1')

(k—любое целое число), на которых sinx возрастает от — 1 до 1.

Обратной ей функцией на каждом из этих отрезков является функция

(3)

Рассмотрим функцию у = sinx на отрезке от ~ до ~ тт. На этом отрезке функция sinx является монотонной, она убывает от 1 до — 1. Следовательно, на этом отрезке возможен переход к обратной функции. Для того чтобы найти дугу X, имеющую синус, равный у, и расположенную на отрезке тс , воспользуемся формулой приведения:

Если дуга X заключена на отрезке

(4)

то дуга 71 — X заключена на отрезке

в чем легко убедиться вычитанием членов неравенств (4) из числа тс. Для функции у = sinx на отрезке |д, -| я J обратной является функция

В силу периодичности функции у = sin х она является монотонной на всех отрезках вида:

где эта функция убывает от 1 до —1.

Следовательно, на всех отрезках (2') также возможен переход от функции у = sinx к обратной функции

При ограниченности времени можно не выводить формул (3) и (5) в общем виде, но надо на конкретных примерах показать, как, зная дуги arc sin л: и пользуясь формулами приведения, можно по данному значению синуса х найти соответствующую дугу на любом заданном отрезке монотонности синуса.

Ниже приведен примерный список соответствующих упражнений.

1. На отрезке |д я, ^ тг J найти дугу а, синус которой равен:

Так как

2. На отрезке £ — — гс, — у 71 ] найти дугу а, синус которой равен:

Так как

3. На отрезке [7 *, -j « J найти дугу а, синус которой равен:

Так как

то имеем:

4. На отрезке ^ — ^-тс, —-^^ найти дугу а, синус которой равен:

Арккосинус. Функция y=cosx не является монотонной на множестве всех действительных чисел, и для перехода к обратной функции надо выделить отрезки, на которых косинус является монотонной функцией.

На отрезке О^лг^тс функция cos л: убывает от 1 до—1 и, следовательно, на этом отрезке между значениями х и у существует взаимно однозначное соответствие. А это значит, что на этом отрезке существует функция, обратная функции y = cosx, которая называется арккосинусом:

Поменяем местами х и у; имеем:

Определение, arc cos х есть дуга, взятая на отрезке от О до тс, косинус которой равен числу х, где — 1 х ^ 1.

Из этого определения следует, что

cos (arc cos je) = х.

Областью определения функции arc cos х является отрезок — 1 ^ X ^ 1.

Вне этого отрезка функция не существует.

Для закрепления определения функции у = arc cos X рекомендуется решить несколько простейших примеров:

Следует решить примеры, в которых для нахождения дуги надо воспользоваться тригонометрическими таблицами, например:

Далее надо объяснить учащимся следующие свойства арккосинуса:

1. Функция у = arc cos х на отрезке — 1^л:^1 убывает от тс до нуля (доказательство аналогично доказательству монотонности арксинуса).

2. Имеет место равенство:

В самом деле, пусть

Итак, дуги arc cos (—л:) и гс — arc cos л: содержатся на отрезке [0, и] и имеют одинаковый косинус, следовательно:

График функции у = arc cos х получается из графика функции y = cosx путем зеркального отражения дуги косинусоиды в биссектрисе координатного угла XOY (черт. 6).

На полученном графике следует проиллюстрировать установленные свойства арккосинуса.

Из самого определения следует, что функ-

ция y = 2LTccosx для всех X на отрезке — 1 ^л:^ 1 положительна, кроме значения х=\у для которого она равна нулю. Эта функция является монотонно убывающей, соответствующая точка графика «опускается» от точки М2(—1, тг) до точки Af1(l,0).

Функция y = cosx убывает от 1 до —1 на каждом из отрезков:

0)

и возрастает от — 1 до 1 на отрезках вида:

(2)

Следовательно, на каждом из отрезков (1) и (2) возможен переход к обратной функции.

На отрезках вида (1), на которых функция ^ = cosa; убывает от 1 до —1, обратной ей является функция:

(3)

на отрезках же вида (2), на которых функция y = cosx возрастает от —1 до 1, обратной ей является функция:

(4)

В частности, на отрезке от —тг до 0 обратной функцией для функции у = cos х будет

В качестве упражнений в нахождении дуги по заданному значению косинуса этой дуги можно решать примеры, подобные следующим.

1. На отрезке [2 тс, Згс] найти дугу а, косинус которой равен:

Имеем:

2. На отрезке от —тс до 0 найти дугу а, косинус которой равен:

Имеем:

3. На отрезке от те до 2 т: найти дугу а, косинус которой равен:

Так как

то

Арктангенс. Рассмотрим функцию^ = tg х в промежутке

В этом промежутке функция y = tgx возрастает от —оо до +°°- Следовательно, на нем существует функция, обратная функции у = tg Ху которая называется арктангенсом и обозначается так:

где у является аргументом, a arctg^y—функцией.

Поменяв местами буквы х и у, будем иметь: где

Определение, arctgjc есть дуга, взятая в промежутке от —~ до тангенс которой равен х.

Учащиеся должны понимать, что дуга берется в промежутке от —^ до :

На основании определения арктангенса имеем:

Примеры:

Областью определения функции y = arctgx является множество всех действительных чисел, т. е. промежуток —оо < х < -(- оо. Сама же функция принимает произвольное действительное значение в промежутке —<у < ^-.

Основные свойства арктангенса:

1. Функция arctgjt в промежутке — оо < X <[ -f - оо возрастает от — у до -j .

2. При изменении знака аргумента функция arctgjc изменяет знак, не изменяя абсолютной величины:

Доказательства этих свойств учащиеся могут провести так же, как были доказаны соответствующие свойства арксинуса.

Графиком функции ^y = arctgA: является ветвь графика функции x = tgy в промежутке

Сдвинув промежуток ^— у, у j на любое целое число периодов тангенса, получим промежутки ^— у + kit, j + , в каждом из которых тангенс монотонно возрастает от —оо до + оо. Следовательно, в каждом из этих промежутков существует обратная функция. Функцией обратной функции y = tgx в промежутке:

является

(1)

Упражнения можно провести на примерах, подобных следующим.

1. В промежутке , у iy найти дугу а, тангенс которой равен:

2. В промежутке (^ъ* Y у найти дугу а, тангенс которой равен:

3. В промежутке ( — у тс, —^“ найти дугу а, тангенс которой равен:

Черт. 7.

Так как

то:

Арккотангенс. Рассмотрим функцию y = ctgx в промежутке от нуля до it. В этом промежутке функция y = ctgx убывает от +oo до —оо. Следовательно, в этом промежутке существует функция, обратная функции у = ctg х, которая называется арккотангенсом:

Поменяв местами х и у, будем иметь:

в промежутке (0, *).

Определение, arc ctg х есть дуга, взятая в промежутке от О до тг, котангенс которой равен x.

Из этого определения следует:

Примеры:

Основные свойства арккотангенса.

1. Функция arc ctg л; в промежутке — оо < л: < + оо убывает от гс до 0.

2. Имеет место равенство:

arc ctg (— x) = tz — arc ctg x.

Доказательство этих свойств должны провести учащиеся так же, как были доказаны соответствующие свойства других обратных тригонометрических функций.

Графиком функции у = arc ctg х является ветвь графика функции x = cigy в промежутке 0<у<ъ (черт. 8).

В силу периодичности котангенс убывает от +oo до —оо в промежутках (kiz, (Â-j-l)it), где k есть любое целое число.

Следовательно, в каждом из этих промежутков для котангенса существует обратная функция:

(1)

Упражнения. 1. В промежутке от Зя до 4 т: найти дугу а, котангенс которой равен:

Имеем:

2. В промежутке (—2тг, —и) найти дугу а, котангенс которой равен:

Так как

то имеем:

Функции арксеканс и арккосеканс можно исключить из рассмотрения, так как они практически не применяются.

Желательно изложенные сведения об обратных тригонометрических функциях дать учащимся в легкообозримой форме, чтобы они могли сопоставлять свойства различных функций.

Относительно области определения обратных тригонометрических функций можно сказать следующее: функции arc sin „V и arc cos x определены в отрезке от —1 до 1, а функции arctgx и arc ctg л: определены для всех действительных значений х от —оо до + оо (черт. 9 и 10).

Сами же функции могут принимать следующие значения: значения функций arc sinx и arctgjc заключены в пределах от —до

Черт. 8.

причем для арксинуса берется отрезок

а для арктангенса промежуток (черт. 9).

Значения же функций arc cos х и arc ctg x заключены в пределах от 0 до тс, причем для арккосинуса берется отрезок [0, тс], а для арккотангенса— промежуток (0, тг) (черт. 10).

Функции arc sin л; и arctgx являются возрастающими, а функции arc cos х и arc ctg x — убывающими.

При изменении знака аргумента обратных тригонометрических функций имеют место следующие соотношения:

Тригонометрические операции над обратными тригонометрическими функциями. Как известно, тригонометрические функции одного и того же аргумента могут быть выражены одна через другую путем алгебраических действий.

Рассмотрим простейшие случаи тригонометрических операций над обратными тригонометрическими функциями.

Из определения арксинуса и арккосинуса следуют соотношения:

(1)

на отрезке от — 1 до 1.

Следует подчеркнуть, что равенства (1) являются тождествами только на отрезке — 1^л:^1. Вне этого отрезка левые части равенств (1) не имеют смысла, в то время как правые их части могут принимать любые действительные значения.

Если геометрически изобразить функции у =х и у = sin (arc sin х), то из графиков будет ясно видно существующее между ними различие (черт. 11 и 12).

Действительно, графиком функции у = х является прямая, а графиком функции у = sin (arc sin х) является только отрезок этой прямой, абсциссами концов которого являются ±\.

Преобразуем выражение sin (arc cos x). Пусть a = arc cos x. Тогда cosa = jt. Пользуясь формулой выражения синуса через косинус:

Черт. 9.

Черт. 11.

Черт. 10.

Черт. 12.

имеем:

Установим, какой знак надо взять перед корнем. Так как дуга arc cos л: заключена на отрезке от 0 до тс, то синус этой дуги неотрицателен: sin (arc cos л:) ^0.

Следовательно, перед корнем необходимо взять знак -|—

Окончательно имеем:

где — 1 1.

Преобразуем выражение sin (arc tgx).

Пользуясь формулой выражения синуса через тангенс:

имеем:

Определим знак перед полученной дробью. Так как при х^О имеем 0 ^ arc tgx< у, то синус дуги arctg* также неотрицателен:

При х<0 имеем: —< arc tg х < 0. Следовательно, и sin (arc tgx) <0.

Из сказанного вытекает, что корень надо брать со знаком -j-> так как только при таком выборе знака дробь будет иметь такой же знак, какой имеет х.

Итак,

Желательно показать учащимся геометрическое истолкование полученных результатов. Для этого возьмем тригонометрический круг радиуса, равного 1, и рассмотрим случай при лг>0 (черт. 13).

Число X = tg а есть величина линии тангенса AB угла а = arc tgx. Величина отрезка CD есть значение синуса угла a: CD = sin а.

Из подобия треугольников ОАВ и OCD имеем:

Откуда:

Так как

то

Откуда

Учащиеся в качестве домашней работы могут рассмотреть геометрическую интерпретацию для случая, когда л;<0.

Примеры и таблица формул, которые получаются в результате выполнения простейших тригонометрических операций над обратными тригонометрическими функциями, приведены в книге С. И. Новоселова «Обратные тригонометрические функции» (Учпедгиз, 1950).

Указанную таблицу формул учащиеся могут заполнять по мере их получения.

Учащиеся должны понимать, что эти формулы являются не чем иным, как лишь иначе написанными знакомыми формулами, при помощи которых тригонометрические функции выражаются одна через другую. Таким образом, составление и применение рассматриваемых формул естественно увязывается с повторением в X классе материала, который проходился в IX классе в начале изучения курса тригонометрии.

Примеры, решаемые с применением основных формул, приведены в сборнике задач по тригонометрии Н. Рыбкина, § 15.

Для образца приводим решения некоторых из них:

Черт. 13.

№ 4,

№ 16.

Примеры преобразований на основе таблицы формул имеются в книге С. И. Новоселова «Обратные тригонометрические функции».

В средней школе желательно рассмотреть следующую теорему:

При всех допустимых значениях х имеют место соотношения:

Доказательство теоремы на основе формул приведения:

не представляет затруднений (подробности см. в книге С. И. Новоселова «Обратные тригонометрические функции»).

Преобразование одних обратных тригонометрических функций в другие

Преобразование одних обратных тригонометрических функций в другие следует вначале рассмотреть только для таких функций, значения которых заключены в одних и тех же пределах. Например, арксинус и арктангенс заключены в промежутке от--~- до ~ , и в этом промежутке дуга вполне определена, если задано значение ее синуса или тангенса. Выразим arc sin л: через arctgjc и arctgx через arc sin X,

Пусть у = aresinх, тогда

Так как дуги aresinje и arctg расположены в одном и том же промежутке от --Y до -у, то из последнего равенства

имеем:

для всех значений: —Также из равенства:

вытекает соотношение:

справедливое при всех действительных значениях X.

Так как арккосинус и арккотангенс заключены в одном и том же промежутке от 0 до it, то их также легко преобразовать одна в другую.

Действительно, из равенств:

следуют соотношения:

Так, например:

При преобразованиях обратных тригонометрических функций, значения которых содержат-

ся не в одних и тех же, а в различных промежутках, надо быть более осмотрительным. Действительно, преобразуем функцию арксинус в арккосинус. Пусть дана функция^ = aresinх на отрезке от 0 до 1.

т. е.

так как при 0^л;^1 обе дуги содержатся в первой четверти, т. е.

При — 1^л:<0 последнее равенство не может выполняться, так как —arc sin ле < О, а дуга arc cos ^1—х2 заключена на отрезке от 0 до -а- . Для того чтобы прийти к правильному результату, изменим знак аргумента.

Тогда:

Таким образом, окончательно имеем:

Например:

и т. п.

Преобразование одних обратных тригонометрических функций в другие подробно рассмотрено в § 14 книги С. И. Новоселова «Обратные тригонометрические функции».

Запоминать учащимся формулы преобразования не следует. Важно, чтобы учащиеся на конкретных числовых примерах научились производить эти преобразования.

Некоторые методисты в необходимый минимум вносят также формулы сложения для обратных тригонометрических функций. Но трудности, связанные с этими преобразованиями, не позволяют заниматься изучением в средней школе теорем сложения.

В задачнике Н. Рыбкина содержится ряд упражнений на преобразование сумм и разностей значений обратных тригонометрических функций. Однако при решении примеров с конкретными числовыми данными обычно можно избежать применения громоздких общих формул, так как по данным численным значениям аргументов обратных тригонометрических функций бывает возможно установить, в каких промежутках расположены рассматриваемые дуги. Ниже на ряде примеров из сборника Рыбкина показано решение соответствующих упражнений без применения общих формул, выражающих теоремы сложения.

Желательно этот раздел перенести на кружковые занятия.

№ 19. Выразить сумму:

через арккосинус. Имеем:

Дуга ß содержится между 0 иу . Вычислим

Находим:

Далее замечаем, что дуга arc cos заключена между 0 и и; в данном случае она лежит во второй четверти:

Так как arc cos у = -g- и arc cos -у < , то дуга а также заключена между 0 и п:

Итак, и дуга

дуга arc cos ^--j^j-^ расположены в одном и том же промежутке от 0 до тс, обе дуги имеют одинаковый косинус, а потому они равны:

№ 20. Выразить разность

через арксинус.

Дуга у есть разность двух дуг:

Установим, на каком отрезке заключена дуга f. Так как дуги а и ß лежат в первой четверти и а , то и дуга f = а — ß расположена на отрезке--0 :

Вычислим синус дуги у:

Итак,

Так как дуги arc sin (—0,28) и f заключены на отрезке —^- , oj и имеют одинаковый синус, то:

№ 21. Выразить сумму

через арктангенс.

Установим, на каком отрезке заключена дуга а. Так как

Вычислим тангенс дуги а:

Так как

Следовательно,

№ 28. Проверить справедливость следующего равенства:

Выразим сумму

через арккотангенс. Для этого сначала установим, на каком отрезке заключена дуга а. Так как

Далее вычислим котангенс дуги а:

следовательно,

Программой средней школы предусматривается небольшой объем сведений по теории обратных тригонометрических функций. Главное за-

ключается в том, чтобы учащиеся твердо усвоили определения обратных тригонометрических функций, знали промежутки, в которых заключены их значения, знали основные свойства аркфункций.

Понятие многозначной функции в рамках школьного курса математики остается бесперспективным и способно лишь создать ничем неоправдываемые трудности.

Трудности, связанные с изучением бесконечнозначных функций Arc sin л;, Arc cos л: и др., известны всем. Поэтому в целях разгрузки школьного курса от ненужного материала мы предлагаем не вводить понятие многозначной функции и ограничиться рассмотрением лишь четырех основных функций:

arc sin Ху arc cos л:, arc tgx и arc ctg л:.

Вместе с тем совершенно необходимо, чтобы основной материал был закреплен достаточным числом упражнений. Хорошим материалом для упражнений служат такие вопросы как выполнение тригонометрических операций над аркфункциями, соотношения между аркфункциями, выражение аркфункций друг через друга. Все эти вопросы кратко изложены в настоящей статье (подробное изложение учитель найдет в книге С. И. Новоселова «Обратные тригонометрические функции»).

Таким образом, перечисленные вопросы не следует рассматривать как обязательный материал для изучения, это лишь материал для упражнений, который может быть использован в той или иной части по усмотрению учителя. Так, например, при выражении аркфункций одна через другую можно ограничиться числовыми примерами, а можно (если позволит время) в виде упражнения рассмотреть несколько общих формул.

Наконец, различные преобразования над обратными тригонометрическими функциями или их численными значениями могут быть увязаны с повторением теории тригонометрических функций (выражение тригонометрических функций друг через друга, теоремы сложения и т. п.)

Поэтому соответствующий материал может быть использован также при повторении тригонометрии.

Так как формулы сложения для аркфункций не предусмотрены программой, то и соответствующие примеры из сборника Рыбкина нельзя рассматривать как обязательный материал. Но, разумеется, в порядке упражнений могут быть использованы и эти примеры, при этом их решение должно выполняться не на основе общих формул (которые учащимся неизвестны), а по тем образцам, которые мы привели в настоящей статье.

РАЗВИТИЕ РЕЧИ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

И. А. ГИБШ (Москва)

В труде «Марксизм и вопросы языкознания» И. В. Сталин говорит:

«Язык есть средство, орудие, при помощи которого люди общаются друг с другом, обмениваются мыслями и добиваются взаимного понимания. Будучи непосредственно связан с мышлением, язык регистрирует и закрепляет в словах и в соединении слов в предложениях результаты работы мышления, успехи познавательной работы человека и, таким образом, делает возможным обмен мыслями в человеческом обществе»*.

Это фундаментальное положение является решающим в построении наиболее углубленной и эффективной методики преподавания наук и учебных предметов; оно имеет большое значение в преподавании точных наук и, в особенности математики, в которой логические элементы выступают в наиболее явной форме, Умение логически мыслить, правильно рассуждать является необходимым условием для глубокого и сознательного усвоения этой дисциплины, а в самой тесной органической связи с этим умением находится умение с полной ясностью и с возможно большей точностью излагать свои мысли, правильно — с логической и стилистической стороны — строить предложение, употреблять только нужные слова и этим достигать необходимой краткости.

Выработка такой именно речи есть дело немалой трудности, но это дело должно служить предметом повседневной и неослабевающей заботы советских учителей.

Какие же мероприятия и какие средства можно рекомендовать учителю математики, по-

* И. Сталин, Марксизм и вопросы языкознания, Госполитиздат, 1951, стр. 22.

ставившему себе целью решение проблемы о развитии речи учащихся в процессе изучения ими школьного курса математики?

1°. Прежде всего преподаватель должен решить эту проблему для себя самого, в области своей работы в классе. Путем упорного, настойчивого и, главное, повседневного труда преподаватель выработает, найдет ту именно речь, которая при изложении им нового материала, при опросе учащихся, при беседе с ними будет воспринимаема учащимися как некоторый образец, как одно из возможных решений проблемы о наилучшей речи.

Качествами, определяющими эту речь, должны служить: а) полная ясность выражаемых ею мыслей, б) научность (точное употребление терминов, точность формулировок, определений и предложений, логическая обоснованность рассуждений), в) соблюдение правил этимологии и синтаксиса (правильное употребление падежей, согласование, употребление союзов, сокращение предложений), г) литературность (приближение к литературному стилю, живость и, если возможно, образность изложения).

Между прочим, всячески должны устраняться такие пороки, как употребление паразитических слов.

Проверять качество своей речи преподаватели должны взаимно посещая уроки своих товарищей по работе и подвергая установленные достоинства и недостатки обсуждению на заседаниях предметных комиссий. Председатели предметных комиссий могут дать сравнительную характеристику речи всех учителей математики, а заведующие учебной частью сделать обзор состояния, в котором находится решение этой проблемы, в масштабе всей школы.

Весьма целесообразно практиковать и такое мероприятие: преподаватель математики составляет письменное изложение какого-либо урока или его части по своему выбору, а затем представляет это изложение на рассмотрение каждого из своих товарищей по специальности, после чего работа учителя подвергается обсуждению на заседании предметной комиссии. Нет никакого сомнения в том, что это — в особенности в первое время — будет значительно содействовать установлению некоторых общих норм, которым должна подчиняться речь учителя, и вместе с тем выявлению всего возможного разнообразия стилей, своеобразия подходов и приемов и весьма интересного различия индивидуальностей, которые отнюдь не должны стираться и быть подавляемы общими установками.

2°. При выработке собственной речи, которая могла бы служить образцом для учащихся, преподаватель должен уделить особое внимание употребляемой им математической фразеологии и настойчиво обогащать ею научный стиль речи учащихся в области математики.

Так, например, учащийся должен систематически приучаться к выражениям:

1) «Если две величины связаны между собой так, что отношение каждых двух значений одной величины равно отношению двух соответствующих значений другой величины, то эти величины называются прямо пропорциональными».

Здесь пропуск, допустим, слова «каждых» или «соответствующих» уже поведет к нарушению правильности, точности определения, исказит его смысл.

2) «Если две величины связаны между собой так, что с увеличением любого значения одной величины соответствующее значение другой величины увеличивается во столько же раз, то эти величины прямо пропорциональны».

Здесь слова «во столько же раз» составляют самую существенную часть этого признака; пропуск их полностью уничтожает признак.

3) «Наложим треугольник ЛВС на треугольник А'В'С так, чтобы: во-первых, вершина А первого треугольника совпала (совместилась) с вершиной Аг второго треугольника; во-вторых, чтобы сторона АС первого треугольника пошла (направилась) по стороне ÄC второго треугольника; в-третьих, чтобы треугольник ABC расположился (оказался расположенным) по ту же сторону от совпавших сторон, по которую расположен треугольник А'В'С\ Тогда. .. » и т. д.

Все эти три условия наложения должны быть четко указаны в проведенном его описании. Замена слова «пошла (направилась) по стороне» словами «совпала со стороной» была бы ошибкой.

4) «Продолжим отрезок AB в сторону точки В и на продолжении возьмем точку С».

Пропуск слов «в сторону точки В» создал бы неопределенность, неясность в представлении о выполненной операции.

5) «Уравнение f(x)-g(x) = 0 распадается на уравнения (сводится к совокупности уравнений):

f(x) = 0 и £(лг) = 0».

Но замена слова «совокупности» словом «системе» была бы очень грубой ошибкой.

6) «Простым числом называется число, делящееся только на единицу и само на себя».

Пропуск слова «только» полностью аннулировал бы это определение.

Знакомя учащихся с новым выражением, с новым оборотом речи, преподаватель должен

подробно объяснить, почему именно это выражение, этот оборот правильно и точно передает мысль, и, приведя примеры неправильных, неточных выражений, указать, в чем состоит эта неправильность, неточность. Так, переходя от одного выражения к другому и фиксируя на каждом из них внимание учащихся, анализируя его и предупреждая возможные отклонения от него, преподаватель сумеет достигнуть значительных успехов в области развития речи учащихся.

Особенно четко проявляется связь речи с мышлением в тех случаях, когда учащемуся приходится заменить сокращенный условный период полным, выражая его в форме: «Если..., то...».

1) Учащийся далеко не всегда умеет сразу заменить сокращенное предложение: «Во всяком параллелограме противоположные углы равны между собой»—полным предложением: «Если четырехугольник есть параллелограм, то противоположные углы его равны между собой».

А между тем, только придав условию теоремы его полную форму, учащийся правильно установит, какое именно соотношение ему дано и какое он должен вывести.

2) Едва ли все учащиеся сумеют без всяких затруднений дать полную формулировку теоремы Пифагора в виде: «Если треугольник — прямоугольный и все его стороны измерены произвольной, но одной и той же единицей, то квадрат числа, выражающего длину гипотенузы, равен сумме квадратов чисел, выражающих длины катетов».

Но ведь важно подчеркнуть, что высказанное в теореме утверждение относится к прямоугольному треугольнику и имеет место независимо от выбора единицы измерения и что речь идет о квадратах длин отрезков, а не самих отрезков.

Краткие (легко усваиваемые) формулировки встречаются в математике часто, и преподаватель не должен упускать ни одного случая, в котором ему представляется возможность проверить понимание учащимся точного смысла предложения путем составления полной его формулировки.

3°. Для того чтобы обеспечить правильное употребление учащимися математических терминов, обозначающих понятия, каждый из этих терминов должен не только сообщаться, но и изучаться: при сообщении термина должно быть по возможности указано его происхождение, его буквальный смысл, а затем должен быть исчерпывающе раскрыт его научный смысл; не надо скупиться на хорошие примеры, иллюстрации. Недостаточно глубокое, поверхностное усвоение понятия является в дальнейшем основной причиной его неправильного употребления учащимися; неясное, неполное понимание термина немедленно влечет за собой неточную, расплывчатую, туманную речь.

Так, например, если преподаватель не установит точного смысла выражения «необходимо и достаточно» (равнозначащего выражениям «все те и только те», «в том и только в том случае»), то учащийся будет либо избегать его, либо употреблять слова «необходимо и достаточно» не в их точном, научном смысле.

Между тем в строгом рассуждении, каким именно и должно быть математическое рассуждение, можно оперировать только такими понятиями, которые строго определены и понимаются всеми однозначно. Если кто-либо при изучении математики употребляет те или иные термины и выражения, то он должен вкладывать в них в точности тот смысл, который был для них установлен; этим самым будет устранен один из самых существенных поводов для возникновения неточностей, неясностей и даже прямых ошибок в речи учащегося.

4°. В самой тесной связи с указанными средствами развития речи должно находиться использование преподавателем учебников по всем разделам математики. Внимательно ознакомившись с тем текстом учебника, который преподаватель намерен включить в ближайшее домашнее задание, он обратит внимание учащихся на те выражения и формулировки, с которыми они встретятся в задаваемом тексте учебника, и разъяснит им все, что является в нем существенным, определяющим и неупоминание чего может даже свести эти формулировки на степень бессодержательных, пустых предложений.

Возможны и такие случаи, когда изложение и формулировки учебника не удовлетворяют преподавателя; тогда он должен особенно тщательно изложить тему на уроке и продиктовать учащимся все требующие заучивания формулировки, сопроводив их обычными разъяснениями.

5°. Речь учащегося на уроках математики должна быть, конечно, подчинена тем общим законам, которые учащиеся изучали на уроках родного языка. Немалое число преподавателей не обязывает учащихся следовать общим законам языка, а неоднократно мирится с отступлениями от этих законов. Эти отступления имеют многообразное выражение: в неправильном употреблении падежей, в несоблюдении согласованности, в опускании союзов (если, так как), в неправильном сокращении придаточных предложений, в резком отступлении от пра-

вильной расстановки слов в предложении, в сведении всего предложения к двум-трем словам и т. п. Имеется достаточно оснований утверждать, что преподаватели в своем большинстве мало реагируют на эти ошибки и недостатки речи и уж во всяком случае не учитывают их при оценке знаний учащихся. Само собой разумеется, что такое положение дела не только не содействует выработке правильной речи учащихся и ее развитию, но, наоборот, может привести к регрессу в этом отношении, к приобретению учащимися плохих навыков речи, порочных оборотов.

Преподаватель должен провести с учащимися беседу о значении развития ими своей речи и о необходимости достичь этого в процессе изучения каждого предмета и в том числе математики. Затем преподаватель обращает внимание учащихся на то, что их ответы не могут не оцениваться также и в отношении умения ясно, точно и правильным языком излагать свои мысли.

Со следующего же урока преподаватель начинает внимательно следить за правильностью речи каждого учащегося во время его устных ответов у доски и с места, неизменно и неуклонно указывая ему и всему классу на допускаемые им ошибки речи всех видов (теоретические, грамматические, стилистические). Постепенно к нахождению и указанию ошибок в речи привлекаются все учащиеся класса, причем это должно делаться в той же форме, в которой это обычно делалось раньше по отношению к нахождению и указанию самими учащимися теоретических ошибок учащихся, в порядке их активного участия в уроке; сейчас только круг этих ошибок как бы расширяется включением в него всякого рода речевых ошибок.

В процессе выработки у учащихся умения принимать активное участие в уроке преподаватели должны приучать их так же настороженно и внимательно прислушиваться к нарушениям языка, как и к ошибкам товарищей в области теории предмета.

Однако выявление недостатков речи есть лишь половина дела. За ней должно следовать и ей должно сопутствовать постепенное и непрерывное совершенствование речи. В этом отношении роль учителя особенно велика: достижение успехов в его собственной речи, выявление и настойчивое подчеркивание наиболее удачных выражений, оборотов в речи учащихся, обращение внимания учащихся на наилучшее изложение вопроса, достигнутое их товарищами, — всем этим может воспользоваться учитель для развития устной речи учащихся.

6°, Весьма эффективным средством для развития языка учащихся может служить выработка у них правильной письменной речи. Выявление ошибок учащихся в их письменных работах (домашних и классных) является делом очень трудоемким, но зато весьма благодарным.

В этой области имеют место две стадии: стадия выявления ошибок и недочетов, допускаемых учащимися в их письменных работах, и стадия развития письменной речи, ее совершенствования.

Надо сказать, что даже первой стадии не все учителя, к сожалению, уделяют должное внимание. Исправление даже математических ошибок не ведется некоторыми учителями с достаточной тщательностью, с необходимым вниманием: допускаются пропуски ошибок, не выделяются более серьезные ошибки (все ошибки подчеркиваются одинаково), не приводится какое бы то ни было объяснение, в чем состоит ошибка. У таких учителей совсем не в обычае отмечать стилистические, орфографические и, в особенности, пунктуационные ошибки.

Преподаватели математики должны обращать самое большое внимание на то, чтобы учащиеся тщательно и правильно проставляли знаки препинания и в особенности запятые. Это умение органически связано со способностью отчетливо мыслить и отчетливо выражать мысли словами; пропуск знаков препинания, в особенности запятых, явно свидетельствует о недостаточной организованности мышления учащегося.

Наоборот, приучение учащихся к систематическому безошибочному проставлению знаков препинания самым благотворным образом влияет и на организацию мысли и речи.

Во второй стадии развития письменной речи учащихся, состоящей в совершенствовании этой речи, опять основную, организующую роль играет сам учитель.

Учитель математики должен в своих записях на уроке показывать образцы правильной речи. Как далек от идеала учитель, не продумывающий не только расположения тех записей, которые ему придется делать на доске в процессе изложения нового материала, но и существа этих записей, их логической последовательности, подчиненности или соподчиненности, необходимой полноты и завершенности, глубины обоснования каждого пункта. Такой преподаватель даст на доске образец неполноценной записи, нередко отличающейся неорганизованностью, разбросанностью, явной недоработанностью и пестрящей то там, то здесь неполнотой, пропусками слов, неуклюжими сокращениями.

Какую, наоборот, организующую силу для воспитания правильной (письменной и отсюда устной) речи представляет собой тот препода-

ватель, который, предварительно продумав и проработав во всех подробностях запись предстоящего урока, осуществит ее в точном соответствии с задуманным планом и тем самым даст учащимся подлинный образец записи математического рассуждения.

Однако исправление ошибок учащихся только тогда окажется эффективным для поднятия культуры письменной речи учащихся класса, когда учитель будет систематически суммировать все принципиальные ошибки, допускаемые учащимися в их письменных работах, и делать их объектом активного обсуждения в классе. Эти обсуждения будут каждый раз напоминать учащимся о том, что к недочетам их письменных работ относятся не только математические ошибки, но и все стилистические, орфографические и пунктуационные недостатки их письменной речи.

Особенно большое значение в деле выработки правильной письменной речи имеет составление учащимися так называемых объяснений к решениям текстовых задач. Надо сказать, что методика преподавания математики не дала еще вполне согласованных указаний относительно того, как именно следует составлять объяснения к решениям текстовых задач. Однако для всех преподавателей ясно, что эти объяснения должны быть написаны вполне грамотным и притом непременно связным языком, а не в виде отрывочных, сокращенных предложений, весьма непонятно и неточно выражающих мысль.

Внедряя в практику учащихся составление объяснений, которые имеют форму связного рассуждения, последовательно излагающего каждый этап решения, преподаватель приобретет очень действенное средство и широкое поле для развития правильной письменной речи учащихся. Но и в этой области преподавателю придется творчески пролагать пути, вырабатывать и умело доводить до учащихся наилучшие возможные образцы объяснений, отнюдь, однако, не стесняя самодеятельности учащихся, которые самостоятельно придут к другим формам объяснений, подчиненным указанным преподавателем общим принципам.

Для иллюстрации этих общих соображений приведем примеры ошибок и недочетов, наблюдавшихся в устной и письменной речи учащихся (а иногда и преподавателей) в области математики.

1. Теоретические ошибки. В процессе изучения математики учащиеся допускают ошибки, происходящие от непонимания или незнания материала, а также от невнимания, от неумения или нежелания сосредоточиться. С каждым из этих и других источников ошибок преподаватель, конечно, ведет борьбу. При этом, для устранения ошибок в области усвоения теории дисциплины большое значение будет иметь тот факт, что преподаватель обращает внимание на каждую неточность речи, на неправильность или неполноту формулировок, на неправильность употребления терминов.

1) «Чтобы найти целое число по части»— вместо «все число по его дроби».

2) «Уравнение не изменилось»—вместо «корни уравнения не изменились».

3) «Умножить дробь на число m»—вместо «умножить числитель и знаменатель дроби на число т»,

4) «Уравнение будет справедливо»—вместо «уравнение будет удовлетворяться».

5) «Чему равна прямая»—вместо «чему равен отрезок прямой».

6) «Число можно сократить» —вместо «дробь можно сократить».

7) «Эти многоугольники подобны, потому что разбиваются на ряд подобных треугольников»— вместо «на одно и то же число подобных и одинаково расположенных треугольников».

8) «Против равных углов лежат и равные стороны»—пропущено «в равных треугольниках».

9) «Проведем перпендикуляр к середине отрезка»— вместо «через середину отрезка»; «восставим перпендикуляр в точке»—вместо «из точки».

10) «Равные наклонные имеют равные проекции»— вместо «равные наклонные, проведенные из одной и той же точки к некоторой прямой».

11) «Задача на построение состоит из четырех частей»—вместо «решение задачи на построение».

12) «Прямые параллельны, сколько бы мы их ни продолжали».

13) «Тело, полученное от вращения ломаной линии».

14) «Будет увеличиваться»—вместо «будет неограниченно увеличиваться».

15) «При неограниченном увеличении числа сторон» —вместо «удвоении». Это — существенная ошибка, ибо можно увеличивать число сторон, оставляя некоторые из них без изменения.

16) «Уравнение больше нуля» —вместо «трехчлен больше нуля».

17) «Приводим к общему знаменателю» — вместо «сложим, вычтем». Это — весьма распространенная ошибка, состоящая в смешении основного преобразования со вспомогательным.

18) «Подобные многоугольники относятся, как их сходственные стороны».

19) «В равных треугольниках все элементы равны».

20) «тс равно бесконечному иррациональному числу».

2. Неправильное употребление и искажение терминов. Приведем несколько примеров неправильного употребления или искажения терминов.

1) Слово «количество» очень часто неправильно употребляется вместо слова «число». Надо говорить: «число рабочих, рублей, процентов», а не «количество рабочих, рублей, процентов».

2) «Поделим»—вместо «разделим»; «перемноженное на 2»—вместо «умноженное».

3) «Раскладывается на множители»—вместо «разлагается».

4) «Восстановим перпендикуляр» —вместо «восставим».

5) «Поменять знаки»—вместо «изменить».

6) «Скажи теорему»—вместо «сформулируй теорему» или «приведи условие теоремы».

7) «Разница»—вместо «разность».

8) «Обозначим эту величину а»—вместо «через а» или «буквой а».

9) «Частное не нарушится»—вместо «не изменится».

3. Грамматические ошибки. Оставляя в стороне орфографические и пунктуационные ошибки, о необходимости исправлять которые говорилось выше, укажем несколько грамматических ошибок другого рода.

1) «Синус двести семьдесят градусов» — вместо «двухсот семидесяти». «Больше пятьсот сорока градусов»—вместо «пятисот». «До семьсот двадцати градусов»—вместо «семисот».

2) Предложение «^А+^B=2df как сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции», грамматически неверно. Надо: *^.А+ ^/B = 2d, так как А и В углы, прилежащие к боковой стороне трапеции».

3) «Делится на само себя»—вместо «само на себя».

4) Для того чтобы можно было склонять объекты, обозначенные математическими символами, и приписывать им род, надо предпосылать им существительные. Например, надо говорить не «это a», a «это слагаемое а, этот множитель а, это основание а» и т. п. Нельзя говорить: «синус угла равен В А к ОБ», а надо: «равен отношению отрезка В А к отрезку ОБ».

5) «Относится, как три к два»—вместо «к двум».

6) Запись «8:5» должна читаться «отношение восьми к пяти», а не «восемь относится к пяти». Если же имеется пропорция 8:5 = 24:15, то можно прочесть ее каждым из этих способов.

7) «Обозначим за /?»—вместо «через

4. Стилистические ошибки и недочеты. Приведем примеры таких недостатков речи учащихся в области математики, которые можно назвать стилистическими.

1) Вместо того чтобы дать величине ее название (площадь, вес, время, цена и т. п.), учащиеся прибегают к универсальному слову «количество», говоря: «количество га, количество килограммов, количество дней, количество рублей» и т. п.

2) В объяснениях к задачам допускается неправильная расстановка слов: «в 12 дней вымостят 6 человек, в 1 день вымостят 6-12 человек». Надо: «Чтобы вымостить улицу в 12 дней* должны работать 6 человек».

3) Распространенной стилистической ошибкой является употребление слова «то» вместо «поэтому».

Иначе говоря, словом «то» начинают предложение, не являющееся главным по отношению к какому-либо придаточному (условному или причинному); последнее вовсе отсутствует.

4) Серьезные затруднения в правильном построении предложения встречаются при чтении записи, в которой имеется знак отношения (двоеточие или черта). Так, например, запись ученик читает- относится к А'С\ умноженное на BD относится к ß'Z/», а запись т = дГ^г он читает: «/я равно отношению AB относится к А'В'у.

5) Неопределенным вопросам: «что называется...», «на основании чего... » и т. п.—следует предпочесть более точные: «какое число, какая фигура, какое действие называется...», «на основании какой теоремы, аксиомы...». Это внесение большей точности в вопросы будет иметь своим следствием и более точные ответы учащихся.

6) Вот еще отдельные примеры неправильного стиля:

«Давайте потише!», «Давайте говорите!». «Пойдет к доске»—вместо «Иди или идите к доске».

«Умножим на скобку»—вместо «на выражение, заключенное в скобки».

5. Неясные, недостаточно понятные, небрежные выражения.

1) «Какие члены мы можем представить группой» —вместо «сгруппировать».

2) «Мы переписали это неравенство в другую сторону». Речь идет о перенесении членов неравенства из одной его части в другую.

3) «Надо, чтобы все выражения были в положительных степенях» —вместо «представляли собой степени с положительными показателями».

4) «Точным (?) рациональным числом иррациональное число представить нельзя». Речь идет о том, что иррациональное число можно приближенно представить рациональным числом.

5) «Прямые будут линейным углом двугранного угла».

6) «Если от равных отнять равные, то величина этих равных не изменится».

7) «Между двумя параллельными прямыми можно провести плоскость»—вместо «через две параллельные прямые».

8) «Скобки»—вместо «выражение, заключенное в скобки». Еще хуже: «Первая скобка есть отрицательное число».

9) «Линейный угол получается от пересечения двугранного угла плоскостью». Какой плоскостью, не указано.

10) «Углы с параллельными сторонами» — вместо «Углы с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами».

11) «Периметр сторон многоугольника».

12) «Одна точка» —вместо «одна и та же точка».

13) «Когда мы доказываем (?) длину окружности ».

6. Неправильные ударения. Приходится встречать следующие неправильные ударения:

1) «Икса»—вместо «икса».

2) «Сантиметр, километр»—вместо «сантиметр, километр».

3) «Приведенная форма уравнения»—вместо «приведенная», «усеченная пирамида» — вместо «усеченная».

4) «Окружностей»—вместо «окружностей»; «конусов»—вместо «конусов».

5) «Сегмент»—вместо «сегмент».

6) «Вектора»—вместо «векторы».

7. Пропуск знаков препинания. Особенно часто это имеет место в заданиях, записываемых на доске учителем. Например, записано:

«Шапошников гл. XI § 2 №№ 95_100», а должно быть:

«Шапошников, гл. XI, § 2, №№ 95—100»;

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ

У. В. ДАКАЦЬЯН (Ростов-на-Дону)

Гениальные труды И. В. Сталина по вопросам языкознания обязывают перестроить преподавание не только русского языка, но и других предметов в отношении усвоения учащимися правильной устной и письменной речи, свойственной любой дисциплине.

Не секрет, что нередко учащиеся, имеющие даже хорошую успеваемость по математике, делают грубые ошибки в правописании математических терминов и пишут, например, так: «бисекриса» или «бессикриса» и т. д.

Однако исправление ошибок в текущих письменных работах и объяснение правописания новых слов не достигают цели. Учащиеся воспринимают отдельные замечания учителя несознательно, так как эта работа не активизируется, и укоренившиеся ошибки возникают вновь время от времени.

Одним из эффективных средств борьбы с ошибками в правописании математических терминов, как показал опыт работы, является проведение математических диктантов.

Нам хочется поделиться опытом проведения этой работы, давшим исключительно хорошие результаты.

Для VIII и IX классов был составлен диктант, насыщенный математическими терминами предшествующих лет, включая и новые термины. Диктант проводился на одном из уроков математики, выделенном специально для этой цели. В начале урока была сообщена цель проведения этой работы—изжить орфографическую неграмотность учащихся в математической терминологии. Чтобы обеспечить полную самостоятельность при выполнении работы и выявить истинные знания, учащимся было сказано, что отметки за диктант не будут выставлены в классный журнал и таким образом результаты диктанта не повлияют на отметки; но чтобы правильно научиться писать в дальней-

шем, нужна полная самостоятельность в работе, ибо ошибки в математической терминологии в последующих контрольных работах будут расцениваться как недочеты и повлияют на общую отметку. Этого было вполне достаточно, и каждый учащийся старался во время диктанта действительно проверить самого себя.

Ниже приводим текст диктанта для VIII класса, проведенного в конце первой четверти: «Высота, биссектриса и медиана равностороннего треугольника пересекаются в одной точке. Перпендикуляр короче наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой. Диагонали параллелограма в точке их пересечения делятся пополам. Равнобедренные треугольники подобны, если углы при вершинах равны. Отношение несоизмеримых отрезков выражается иррациональным числом. Арифметика, алгебра и геометрия составляют разделы математики.

Периметром многоугольника называется сумма всех его сторон. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой образуются соответственные, односторонние и накрестлежащие углы. Прямая, пересекающая окружность в двух точках, называется секущей. Касательная, проведенная в конце диаметра, перпендикулярна к нему. Ломаная линия длиннее прямой, соединяющей ее концы. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны. Метр — единица измерения длины. Абсолютные величины противоположных чисел равны».

Текст диктанта не может претендовать на абсолютную безупречность в смысле насыщенности математическими терминами, изученными до VIII класса, но он содержит в себе наиболее часто встречающиеся слова из различных разделов математики, в основном из геометрии. По объему текст был составлен правильно, так как времени оказалось как раз столько, сколько хватило для проведения диктанта по всем правилам (чтение сначала целиком, затем по предложениям, потом проверка учащимися после чтения учителем еще раз текста целиком). Одновременно диктант явился некоторым повторением ранее пройденного.

В большинстве работ количество ошибок оказалось достаточно большим. Многие учащиеся сделали ошибки в словах «биссектриса», «диагонали», «пересекаются», «единица», «абсолютная», «величина», «пополам», «ломаная», «параллельный» и т. п.

Даже у лучших учащихся, имеющих высокие отметки по математике, оказалось много ошибок в правописании терминов. Характерно, что слово «иррациональное», было написано ошибочно пятью-шестью учащимися, несмотря на то, что учитель подробно останавливался на разъяснении особенности правописания этого слова.

После проведения диктанта работы были тщательно проанализированы и выписаны индивидуальные ошибки учащихся.

Учащиеся ожидали результаты диктанта с большим интересом и нетерпением, но работы не были розданы на следующем уроке, так как они были сначала переданы учителю русского языка и литературы для изучения характера ошибок.

Известно, что, если к какому-либо вопросу возбудить особый интерес, внимание активизируется и содержание запоминается глубоко и прочно, «на всю жизнь». Так случилось и здесь.

На очередном уроке был дан подробный анализ качества выполненного диктанта как в целом по классу, так и каждым учащимся в отдельности.

После этого работы были розданы на руки, и было предложено дома изучить свои ошибки и переписать текст вновь, если число ошибок было велико, составить новые предложения с ошибочно написанными словами, составить из «сомнительных» слов словарь и т. д. Работа над ошибками продолжалась и в дальнейшем, в ближайшие две-три недели, попутно на последующих уроках математики.

Результаты проведенной работы были ощутительны. Учащиеся перестали ошибаться в написании слов, не только вошедших в диктант, но и новых. Низкие результаты диктанта возбудили у них внимание к правописанию математических терминов и создали благоприятные условия для постоянной бдительности и самоанализа при письме. Ответственность за свое письмо у учащихся значительно возросла, что и обеспечило повышение их грамотности.

Мы считаем, что такие диктанты следовало бы проводить в каждом классе, в конце четверти или полугодия, не обязательно на весь урок. Таким образом можно было бы проверить грамотность учащихся, включая в математические диктанты всю терминологию, входящую в программу по математике средней школы, и тогда не было бы «неожиданностей» в письменных сочинениях учащихся выпускных классов не только по математике, но и по литературе.

Желательно выпустить небольшой сборник математических диктантов по годам обучения (начиная с пятого), так как по этому вопросу почти нет никакой литературы.

О КУЛЬТУРЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ

В. М. РОЗЕНТУЛЛЕР (Ленинград)

В математических науках логические элементы выступают в наиболее явной форме. Дело в том, что математика отличается от других школьных предметов в широком употреблении математических знаков, поэтому сами математические записи требуют меньше слов. Учащиеся должны с большой точностью излагать свои мысли, логически и стилистически правильно строить предложение, употреблять только нужные слова и добиваться необходимой краткости речи.

Воспитание у учащихся культуры математической речи является одной из важнейших задач учителя математики.

Во-первых, необходимо, чтобы сам учитель математики служил в этом отношении примером для учащихся. Во-вторых, учитель математики должен быть исключительно внимательным на протяжении всего урока и при проверке письменных работ учащихся и не пропускать ни одного случая неправильной речи учащихся.

Учащиеся должны строить свою письменную и устную речь по всем правилам грамматики языка. Часто учащиеся неправильно употребляют падежи, хотя математически запись является правильной. Нередко можно слышать такое устное выражение: «Надо к двести двадцать пять прибавить (или приплюсовать) двести сорок три»:

225 + 243

вместо того, чтобы правильно сказать:

«Надо к двумстам двадцати пяти прибавить. . . ». Или «тангенс триста пятьдесят четыре градуса» вместо «тангенс трехсот пятидесяти четырех градусов ».

Здесь в письменном отношении запись учащихся верна, но страдает устная речь, а может быть, и наоборот. Поэтому, следует классифицировать ошибки устной и письменной математической речи учащихся и наметить пути для их преодоления.

Письменная речь. Загляните на обложку ученической тетради некоторых учащихся, там можно встретить такие надписи:

ТЕТРАДЬ по Арифметика

ученика...

В лучшем случае написано по «Арифметике». Почему слово «арифметика» должно писаться с большой буквы? Нередко можно встретить такое написание математических терминов: «еденица, привидение (подобных членов), катит, гепотенуза, матиматика» и т. п.

Вновь вводимые математические термины должны быть написаны четко учителем на доске и переписаны учащимися. Нельзя согласиться с мнением И. Крылова (см. статью «О воспитании культуры речи учащихся» в журнале «Математика в школе», № 3 за 1951 г.), что не следует разъяснять учащимся происхождение или перевод на русский язык всех слов. Мы считаем необходимым при введении новых математических терминов давать анализ слова и его объяснение. Это имеет образовательное и воспитательное значение. С этой целью учащимся полезно завести специальный математический словарь в алфавитном порядке. Некоторые учащиеся допускают отступления от общепринятой сокращенной записи ряда слов. Так, например, слово «рубль» записывается «р», «рб», «руб» и т. д. Разнообразие сокращенных записей имеет место и в словах: «копейки» — «коп», «к»; «килограмм» — «кг», «кгр», «кгм»; «километр» — «клм», «км», «кил.» и т. п. Необходимо придерживаться существующего стандарта в сокращении наименований.

Нередко встречаются такие записи на доске и в тетрадях:

или при сложении и вычитании смешанных чисел:

или при умножении десятичных дробей

Нередко учащиеся, списывая условие из задачника:

«Увеличить в 100 раз...», пишут: 4,56 =456.

В тетрадях учащихся встречаются и такие записи:

гипотенуза = 50 см (получается, что слово «гипотенуза» равно 50 см).

При переносе формул с одной строчки на другую знак равенства нередко не переносится на следующую строку.

До сих пор в контрольных работах по арифметике встречаются небрежные, математически неграмотные и совершенно недостаточные формулировки вопросов.

Например: «Сколько было частей?», «Сколько было бы..., если бы ящики были равны?», «Какая часть процента падает на первый ящик?».. «Чему равна ~ часть? Сколько было кг. в у?», «Сколько штук яиц равна одна часть?» и. другие.

Анализ экзаменационных работ за 1950/51 учебный год по арифметике в пятых классах Красносельского района Ленинградской области говорит о том, что учащимися было допущено 356 ошибок при решении задачи, в том числе на неправильную формулировку вопроса пришлось 100 ошибок. Еще хуже положение в шестых классах; из 160 допущенных ошибок при решении задачи 77 ошибок падают на неправильную формулировку вопроса.

Не лучше обстоит дело с письменными объяснениями решения алгебраических и геометрических задач: объяснения иногда даются в виде отрывочных, неграмотных и сокращенных предложений. Между тем известно, что особенно большое значение для выработки правильной письменной речи учащихся имеют правильные, логически ясные и грамотные объяснения к задачам.

Если относительно составления объяснения к решениям текстовых задач по арифметике и алгебре существует некоторое единство, то относительно составления объяснения к решениям геометрических задач, к доказательствам теорем единства нет даже в пределах одной и той же школы.

Во-первых, сам стабильный учебник должен давать примеры правильной математической записи. К сожалению, учебник геометрии А. П. Киселева не учит, как символически записать, что «дано» и что «требуется доказать в теореме». Между тем во многих школах математическая запись заменяется часто словесной формулировкой, что, конечно, нежелательно.

Рассмотрим несколько примеров записей теорем.

Теорема. Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 2d, то около него можно описать окружность (черт. 1).

Дано: ABCD — четырехугольник;

Доказать:

OC=OB=OA = OD. (1)

(Запись (1) означает, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность с центром О).

Теорема. Если окружность разделена на некоторое число равных частей, то, соединив хордами соседние точки, получим правильный многоугольник (вписанный) (черт. 2).

Дано: окружность с центром (О);

Доказать:

Теорема: Квадрат стороны треугольника, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух других сторон, сложенных с удвоенный произведением одной из этих сторон, на отрезок ее от вершины острого угла до высоты (черт. 3).

Дано: Д АВС\ А < 90°; BD ± АС.

Доказать: ВС2 = АВ*+ АС2 — 2АС-АО.

Такие записи способствуют усвоению теорем, к ним надо приучать учащихся с VI класса, например:

1) Записать, что отрезок AB разделен точкой С на две равные части, необходимо следующим образом: АС = СВ.

2) Дан равнобедренный треугольник ABC. Запись: Д/ШС; АВ = ВС (но нельзя записать ДЛБС; /шА = ^тС).

3) Дан прямоугольный треугольник ABC.

Черт. 1. Черт. 2. Черт. 3.

Запись: ДЛБС; АС±ВС (или: ДЛВС; /С = 90°).

4) В треугольнике ABC проведена медиана BD.

Запись: /\АВС; AD = DC.

Для устранения ошибок, о которых говорилось выше, от учителя требуется исключительно кропотливая работа:

а) Во-первых, учитель должен систематически проверять письменные работы учащихся и отмечать не только математические ошибки, но и стилистические, и орфографические, и пунктуационные.

б) Во-вторых, в старших классах надо рекомендовать учащимся (начиная с VI класса) математические сочинения и рефераты по разным вопросам (доказательство теоремы, объяснение решения задачи, вывод формулы, а также составление письменного сочинения на основе самостоятельного изучения некоторого вопроса).

в) Большое значение имеет для развития речи самостоятельное составление задач по определенной теме, например:

1. Составьте несколько задач, решение которых сводится к решению системы:

2. Составьте теорему по следующим записям и чертежу:

Дано: ДЛЯС; АЕ = СЕ\ CD = BD.

Доказать: ED \\ AB; ED = i AB.

Формулировка теоремы: «Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине» (черт. 4).

Большое значение для улучшения математической подготовки и для содержательной работы по культуре письменной речи учащихся имеет составление вопросов самими учащимися V — VII классов и логических планов к темам в VIII — X классах. Составление вопросов и логических планов производится после прохождения данной темы в данном классе или по повторяемому материалу. Вот примерный вопросник, составленный учеником VII класса, и примерный логический план, составленный учеником X класса (во время повторения) к теме «Уравнения» (Киселев, ч. I, § 78 — 90).

Вопросник

1. Что называется равенством?

2. Какие бывают случаи равенства?

3. Что называется тождеством и уравнением?

4. Что называется корнем уравнения?

5. Какие уравнения называются равносильными?

6. Что значит «решить уравнение»?

7. Какие нужно производить преобразования чтобы решить уравнение?

8. Почему обе части уравнения нельзя делить на нуль?

9. Что получится при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное?

10. Как проверить, правильно ли решена задача?

Логический план

1. Определение уравнения как частного случая равенства; отличие тождества от уравнения.

2. Классификация уравнений.

3. Корни уравнения; их количество.

4. Равносильность уравнений.

Устная речь

Многие учащиеся не обращают внимания на правильность ударения, и учителя математики не придают этому значения. Однако учащиеся часто говорят: «сегмент» вместо «сегмент», «процент» вместо «процент», «аргумент» вместо «аргумент» и т. п. Задача учителя заключается в том, чтобы своевременно исправить речь учащихся. Ведь известно, что до сих пор некоторые учащиеся старших классов (даже девятых и десятых классов) говорят «трёхугольник» вместо «треугольник». Мы считаем, что это является результатом несвоевременного исправления речи учащихся со стороны учителя.

Учащиеся всех классов допускают ошибки в математических формулировках. Бывает, что учащиеся путают такие основные понятия, как «определение», «теорема», «аксиома», «правило», «признак», «свойство» и т. д.

Часто в школьной практике приходится встречаться с такими казусами:

Когда ученику задают вопрос: «Что называется средней линией треугольника?», ученик отвечает: «Средняя линия треугольника параллельна третей стороне и равна ее половине». Этим ответом учащийся сказал свойство средней линии треугольника, но не ее определение.

Почти всегда, когда учащиеся формулируют правило умножения десятичных дробей, говорят: «...надо множить, как простые числа...».

Черт. 4.

а не «...надо множить, как целые числа...».

А между тем из отдела «делимость чисел» учащимся давно известно, что всякое простое число является целым числом, но не всякое целое число является простым числом.

Рассмотрим целую серию «стандартных» ученических ответов на вопросы учителей.

Вопрос: «Какие прямые называются параллельными?»

Ответ: «Параллельными прямыми называются такие, которые не пересекаются (не сказано, что прямые лежат в одной плоскости)».

Вопрос: «Что называется параллелограмом?»

Ответ: «Параллелограмом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны (?) и параллельны».

Вопрос: «Сформулируйте правило умножения дроби на дробь?»

Ответ: «Чтобы умножить дробь на дробь, «адо числитель умножить на числитель, знаменатель умножить на знаменатель». (И все!)

Вопрос: «Какие треугольники называются подобными?»

Ответ: «Если два угла одного треугольника соответственно (?) равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны». Или:

«Если три стороны одного треугольника пропорциональны сходственным (?) сторонам...» и т. д.

Такие ответы учащихся свидетельствуют о том, что они не понимают различия между определением и признаком и не понимают назначения слов «соответственно» и «сходственными ».

Вопрос: «Что называется окружностью?»

Ответ: «Замкнутая кривая линия, все точки которой равно удалены от одной точки, называемой центром окружности на данном расстоянии, называемом радиусом».

А разве основание конуса не обладает таким же свойством по отношению к его вершине. Выходит, что образующая конуса и будет радиусом окружности, а вершина конуса — центром окружности.

Нам кажется, что учащиеся часто неточно формулируют некоторые математические понятия из-за недостаточной требовательности учителя и недостаточного внимания учителя к правильной математической речи учащихся. Некоторые ошибки в речи учащихся связаны с тем, что сами учебники допускают неточности в определении.

Так, например, до сих пор в учебнике Киселева (II часть) имеется теорема: «Боковая поверхность призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро», хотя речь идет о площади боковой поверхности призмы*.

Во многих письменных работах по геометрии, представленных к награждению медалями, за 1950/51 учебный год имела место запись: «Высота пирамиды упадет в центр окружности, вписанной в ее основание (вместо того чтобы сказать: «...проектируется в центр...»).

Часто, когда учитель задает ученику вопрос, что написано на доске:

а3 —б2?

Ученик отвечает: «На доске написано произведение суммы двух чисел на разность этих чисел». Наоборот, когда на доске написано:

(a — b)(a2+ab + b2)

учащийся отвечает, что на доске написана разность двух кубов. Надо разъяснять учащимся, что а2 — Ь2 есть разность двух квадратов, тождественно равная произведению суммы двух чисел на разность этих же чисел, или что (а— ô)-(a3-4 ab+b2) есть произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы этих же чисел, тождественно равное разности двух кубов.

Большинство учащихся отвечает: «а в квадрате минус b в квадрате равно а+Ь на а— Ь» или «разность кубов равна разности оснований на неполный квадрат суммы». Надо чаще останавливать учащихся и объяснять им, что под словом «на» можно понимать и умножить, и разделить.

Надо систематически тренировать учащихся в чтении словами символических записей, например:

Таких символических записей учителя могут подобрать в достаточном количестве в каждом классе и по каждой математической дисциплине.

Основной путь борьбы за правильную математическую речь учащихся — это постоянное внимание к их речи, своевременное исправление ошибок и личный пример учителя.

* Автор здесь не прав. В учебнике Киселева на стр. 38 оговорено, что термин «боковая поверхность» употребляется ради краткости вместо термина «площадь боковой поверхности». — Редакция.

О РАБОТЕ НАД РЕЧЬЮ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Я. М. ЧЕРНЯКОВ (Москва)

Работа учителя математики над речью учащихся теснейшим образом связана с борьбой за глубокие знания, за сознательное усвоение изучаемого предмета, за развитие логического мышления учащихся. Об этом говорят многие факты и примеры из нашей практики. Если учащиеся дают определения: «Общая сторона двух равных смежных углов называется перпендикуляром» или: «Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть перпендикуляр, проведенный через середину отрезка, соединяющего две эти точки» — и думают, что отвечают правильно, то можно утверждать, что либо перед данными учащимися в свое время не было раскрыто с необходимыми ясностью и полнотой смысл термина «перпендикуляр», либо учитель не обратил должного внимания на недостаточность даваемых учащимися определений. Так или иначе, но учащиеся усвоили эти неправильные (точнее, недостаточные) определения, в результате чего в их сознании исказилось истинное представление о перпендикуляре как о прямой, имеющей определенную взаимозависимость с другой прямой. Отсюда ясно, что учитель математики обязан чрезвычайно внимательно следить за речью учащихся, за правильной формулировкой аксиом, определений, правил и теорем, но в первую очередь он обязан обеспечить правильное понимание учащимися математических терминов, понятий и предложений. Каждый новый термин должен не только сообщаться учащимся, но и изучаться на уроках. Это значит, что при знакомстве с новым термином должно быть указано, если возможно, его происхождение, раскрыт его «буквальный» и научный смысл. Например, при знакомстве с термином «перпендикуляр» учащимся надо сказать, что это латинское слово и в переводе означает «отвес»; что в учебнике Киселева перпендикуляр определяется так: «Когда смежные углы равны и когда, следовательно, каждый из углов есть прямой, общая сторона называется перпендикуляром к прямой, на которой лежат две другие стороны» (курсивом выделены слова, которые обычно опускаются учащимися, но без которых определение теряет смысл); что перпендикулярность одной прямой к другой прямой условно выражается в виде знака, который изображает собой равные (обязательно равные!) смежные углы; что знак этот следует писать правильно, а не как вздумается (часто наши учащиеся пишут этот знак неправильно: в виде неравных смежных углов, и он своим видом отрицает то, что должен утверждать); что прямая является перпендикуляром лишь в том случае, когда она находится в определенной связи с другой прямой, а именно: когда она пересекается с этой второй прямой и пересечение осуществляется под прямым углом.

Если учащимся будет в достаточной мере раскрыто содержание термина «перпендикуляр», тогда им станет понятно то определение перпендикуляра, которое дано в учебнике, и они заучат его сознательно и без искажений. Это же предохранит их от многих последующих ошибок. Они будут понимать, что геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек, есть не просто «перпендикуляр», проведенный через середину отрезка, соединяющего две данные точки, а перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти две точки, и проходящий через его середину. В седьмом классе учащиеся не будут упорно формулировать свойство первой замечательной точки в треугольнике так: «Три перпендикуляра, проведенные через середины сторон треугольника, пересекаются в одной точке». Против этих и им подобных неточных или недостаточных формулировок учащиеся будут вооружены правильным пониманием термина «перпендикуляр». В письменных работах нам не придется встречаться с такими фразами: «Возьмем на прямой и восставим перпендикуляр», «Опустим перпендикуляр в точку на прямой» и т. п.

Нельзя мириться с такими ответами учащихся: «Треугольники равны по двум катетам», «Треугольники равны по катету и гипотенузе», «Эти углы равны, так как лежат против равных сторон», «Внешний угол треугольника равен двум внутренним углам, не смежным с ним», «Углы равны 2d, как углы односторонние при параллельных прямых», «Накрестлежащие углы при параллельных прямых „равны“» и т. п. А между тем иногда учителя пропускают многие из этих ответов без исправления, а учащиеся заучивают их, повторяют много раз и привыкают к ним. В результате получается привычка к неточной, неправильной речи.

К сожалению, в некоторых случаях и учебники наши способствуют этому. Так, например, в учебнике А. П. Киселева (Геометрия, часть

первая, § 58) теорема о свойстве перпендикуляра, проведенного к отрезку прямой через его середину, формулируется так: «1) Если какая-нибудь точка (/С, черт. 63) лежит на перпендикуляре (MN), проведенном через середину отрезка (АВ), то она одинаково удалена от концов этого отрезка (т. е. КА = КВ)». Может быть, наличие чертежа и сглаживает неточность этой формулировки, но неточность все же остается.

Нелепыми кажутся, например, и такие фразы (если отрешиться от привычки к ним и читать их впервые), которые мы читаем в § 142: «Через каждую вершину Д ABC (черт. 160) проведем прямую, параллельную противоположной стороне его. Тогда получим вспомогательный Д АХВ1С1... ». Здесь подразумевается, что через каждую вершину проводится прямая, параллельная стороне, противоположной этой вершине. Есть неточности в формулировках и во второй части этого учебника.

Чтобы иметь успех в борьбе за точный, правильный и логический язык учащихся, в частности на уроках геометрии, необходимо еще в шестых классах на конкретных примерах в доступной форме достаточно полно раскрыть учащимся содержание таких понятий, как «определение», «свойство», «признак», и подчеркнуть отличие их друг от друга. В седьмых классах следует повторить это же в начале учебного года на новых конкретных примерах, чтобы избавить учащихся от тех трудностей и той путаницы, которые в противном случае будут неизбежны при изучении темы «Параллелограмы».

Учитель математики обязан на своих уроках вести борьбу за грамотный язык с точки зрения произношения и правописания. Необходимо требовать на уроках математики, чтобы учащиеся строили свою речь по всем правилам грамматики. Часто учащиеся при устных ответах неправильно употребляют ударения, падежи, не соблюдают согласований, неправильно строят предложения. Мы часто слышим «километр» вместо «километр», «сегмент» вместо «сегмент», «по условию задачи сказано» вместо «в условии задачи сказано», «согласно условия задачи» вместо «согласно условию задачи» и т. д. Необходимо внимательно следить за речью учащихся во время их ответов у доски или с места, систематически указывать на допускаемые ошибки речи и требовать их исправления. Нужно чаще привлекать других учащихся к этому исправлению, развивая таким образом внимание всех учащихся к тому, о чем идет речь в классе.

Мы обязаны учить детей умению правильно, кратко и точно излагать свои знания не только устно, но и письменно; например, умению составлять объяснение к решению текстовой задачи, умению изложить кратко план построения и дать обоснованное доказательство к решению задачи на построение и т. д.

Некоторые учащиеся в своих работах не признают запятых, точек, заглавных букв в начале предложения, красных строчек; иногда пишут предложения без подлежащего или сказуемого; встречаются предложения, состоящие из одного придаточного предложения без главного, и т. д. Учащиеся иногда даже стараются найти этому оправдание: «Это же не русский язык» или «У меня тут решено все верно».

Приведу примеры таких нелепых предложений (VII класс) с сохранением их орфографии: «Докажем сначало, что построенный нами есть ромб», « AB на 6 см от центра», «Потому-что диагонали в точке пересечения деляться по полам, и противоположные стороны равны», «Если две прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются сколько бы мы их не продолжали», «Строим чертеж „требуваемой“ формы», «Прямоугольник ABCD удовлетворяет все „потребности“ условие задачи», «Следовательно эта фигура ромб проведем вспомогательную прямую СО которая будет являтся диагональю а диагонали в точки пересечения делется пополам», и т. д.

У авторов этих предложений, несомненно, очень низка грамотность, но мне кажется, что даже они не допустили бы такой вопиющей безответственности по отношению к грамотности письма в работах по русскому языку. Эти и другие примеры убеждают нас в наличии серьезных недочетов в нашей работе над речью учащихся и в том, что в данной области необходимо работать всем учителям много, вдумчиво и напряженно.

ОБ АНАЛИЗЕ И СИНТЕЗЕ И ИХ МЕСТЕ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Н. В. КАВЕРИН (Москва)

Анализ и синтез — основные методы познания, «...мышление, — как говорит Энгельс, — состоит столько же в разложении предметов сознания на их элементы, сколько в объединении связанных друг с другом элементов в единство. Без анализа нет синтеза»*. Анализ и синтез в наших методиках и нашей практике обучения должны рассматриваться не в отрыве один от другого, а в их диалектическом единстве. Действительно, решая задачу, не только составную, но и простую в одно действие, ученик прибегает одновременно к анализу и синтезу. Если ученик шел от данных и переходил к вопросу задачи или, начиная с вопроса задачи, составлял план решения и подбирал необходимые данные для решения поставленных вопросов,— в обоих случаях он использовал и анализ, и синтез.

То же имеет место и при решении примеров, начиная с примеров на сложение в пределах десяти и кончая наиболее сложными на совместные действия с целыми и дробными числами в V и VI классах. Вот иллюстрация к этому: когда дан числовой пример в 6—7 и более действий, то, естественно, этот сложный пример ученик должен разбить на отдельные элементы— действия, т. е. прибегнуть к анализу; но, производя эту разбивку и затем выполняя действия, ученик прибегает и к синтезу: он объединяет, сочетает нужные числа для одного действия, другие — для другого, т. е. он вновь из частей составляет целое, иначе говоря, применяет синтез. К сожалению, в отдельных методиках освещение анализа часто дается в сочетании с такими словами: «труден», «недоступен», «прибегать к нему надо редко, а больше пользоваться синтезом», «разбирать аналитическим методом задачи в средней школе только в 2—3 вопроса или задачи, ранее решенные синтетическим методом». Подобные суждения о методах приходится слышать и от отдельных учителей.

Такая трактовка аналитического и синтетического методов неправильна. Работа лучших учителей математики, достигающих замечательных успехов, есть результат широкого использования обоих методов: как анализа, так и синтеза в их единстве — и опровергают то положение, что анализ малодоступен учащимся.

Можно говорить об аналитическом и синтетическом методах разбора задач как этапах в процессе решения задач, но неверно делать вывод, что надо применять в школе отдельно по преимуществу синтетический или аналитический метод.

Надо считать необоснованными выводы, что синтетический прием быстрее приводит к цели, что анализ труден, утомителен для школьников и должен иметь меньшее применение. Здесь верно одно: быстрее иногда получается результат при использовании синтеза, и то только в задачах с так называемым прозрачным содержанием, задачах-примерах, задачах-расчетах,, где числа расположены так, что можно поочередно брать каждую пару чисел или первое новое найденное число и следующее число из условия, чтобы, не задумываясь, выполнить над ними действия и получить нужный ответ.

Вот пример такой задачи.

Задача 1. Рабочий-стахановец получил ссуду на постройку дома с рассрочкой платежа на 5 лет. Стоимость дома 14 580/>ytf.; в первый год надо заплатить -g- этой стоимости, во второй год ~ остатка, в третий нового остатка, в четвертый ^ следующего остатка, а в пятый год — всю остальную сумму. Сколько рублей уплатил рабочий в пятый год?

Здесь зависимости между величинами очень просты и от ученика требуется главным образом умение решать задачи в одно действие и знать технику вычислений.

Но широкое использование по преимуществу синтетического приема ставит ученика в весьма затруднительное положение при решении задач более сложных, задач, где зависимости между данными и искомыми даются в осложненной завуалированной форме. Вот одна из таких задач.

Задача 2. Школа купила 280 билетов в театр и кино. Стоимость билета в театр относилась к стоимости билета в кино, как 3-Ц-:1,3. Билет в кино стоил дешевле билета в театр на 2 руб. 40 коп. Число билетов в театр составляло 27jy% числа билетов

* Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, Госполитиздат, 1951, стр. 40.

в кино. Сколько стоили все билеты в театр и кино вместе?

При решении таких задач один синтетический прием и методика разбора, соответствующая этому приему: что узнать сначала?, что узнать потом? и т. п. — не приведет к положительному результату. Несомненно, здесь надо применить оба метода: анализ и синтез.

Методы разбора условия задачи

Различают следующие методы разбора: аналитический, аналитико-синтетический и синтетический. Если при разборе исходят из вопроса задачи и через ряд простых задач приходят к числам, данным в условии задачи, то принято этот разбор считать аналитическим. Если же разбор идет в обратном порядке, т. е. от данных условия к вопросу задачи, то этот прием относят к синтетическому методу.

В ряде случаев практикуется применение того и другого метода. При этом в первую очередь разлагают составную задачу не на простые задачи в одно действие, как при анализе, а на другие, тоже составные задачи, но менее сложные по своему содержанию, чем данная, и затем переходят к синтетическому разбору и решению каждой выделенной задачи отдельно. Этот метод разбора принято называть аналитико-синтетическим.

Приведем отдельные примеры разбора условия задач.

Задача 3. Из двух пунктов А и В одновременно вышли навстречу один другому 2 автомобиля. Автомобиль, вышедший из В, имел скорость 50 км/час, а автомобиль, идущий из А, шел со скоростью 40 кмIчас. Встреча автомобилей произошла на расстоянии 20 км от середины. Определить расстояние между пунктами А и В.

Приведем такую иллюстрацию к задаче 3 (черт. 1).

На графике отмечены направление, середина пути и место встречи, что и должно быть установлено в результате анализа условия, а именно: автомобили вышли одновременно, т. е. были одинаковое время в пути; первый шел со скоростью 50 км/час, а второй 40 км/час; отсюда следует, что первый автомобиль прошел большее расстояние, чем второй, и поэтому указанное в условии место встречи должно находиться на 20 км от середины в сторону того пункта, из которого вышел второй автомобиль.

Составление иллюстрации уже само является некоторым анализом условия. Дальнейший разбор будем проводить примерно так:

1) Устанавливаем, что в данной задаче известно: а) скорости автомобилей (50 км и 40 км); б) время выхода — вышли одновременно; в) место встречи (20 км от середины).

2) Устанавливаем неизвестные: а) пути первого и второго автомобилей; б) расстояние между А и В (это вопрос задачи).

3) Припоминаем основные зависимости между величинами, входящими в задачу, а именно: связь между расстоянием, скоростью и временем. Обращаем внимание, что весь путь AB слагается из пути, пройденного первым автомобилем, и пути, пройденного вторым автомобилем. Отсюда заключаем, что для ответа на вопрос задачи надо знать два числа: время движения и сумму скоростей обоих автомобилей.

Сумма скоростей находится легко, так как скорости каждого автомобиля даны, а потому основное внимание должно быть направлено на нахождение времени движения.

Ставим примерно следующие вопросы: Как определить время? Что надо использовать

Черт. 1.

из условия задачи? Что нам дано? Что надо узнать для нахождения времени?

Путем таких вопросов вместе с учениками устанавливаем следующее:

Зная, что автомобили встретились на расстоянии 20 км от середины, утверждаем, что место встречи находилось от середины влево, по направлению движения первого автомобиля, так как этот автомобиль шел быстрее второго, а в пути они были одинаковое время. Поэтому они прошли разные расстояния: первый прошел после середины пути еще 20 км, а второй не дошел до середины пути 20 км. По этим данным возможно узнать, на сколько первый автомобиль прошел больше, чем второй. (Это решается сложением 20 км и 20 км). Это же видно и из чертежа, где показано, что путь первого превышает путь второго на 2 отрезка по 20 км.

Таким образом, мы получаем, что первый автомобиль прошел до встречи лишних 40 км.

Дальше, узнав разность скоростей за 1 час, можно узнать и то время, какое были в пути оба автомобиля. Очевидно, это время будет равно разности расстояний, пройденных каждым автомобилем, разделенной на разность их скоростей.

Теперь легко составить план решения.

Последовательность вопросов в плане будет идти в порядке, обратном вопросам при анализе.

План. 1) На сколько километров первый автомобиль проходит в 1 час больше второго, если известно, что скорость первого автомобиля равна 50 км\час, a второго 40 км\час?

2) Зная, что автомобили встретились на расстоянии 20 км от середины всего пути, найдем, на сколько путь первого автомобиля до встречи был больше пути второго автомобиля.

3) Сколько времени в пути были оба автомобиля, если известно, что за это время первый автомобиль прошел больше, чем второй, на 40 км, а каждый час первый автомобиль проходил на 10 км больше второго автомобиля?

4) Сколько километров пройдут оба автомобиля за 1 час, если известно, что первый проходил за 1 час 50 км, а второй 40 км?

5) Чему равно расстояние между пунктами А и В, если известно, что при встречном движении оба автомобиля проходили в час 90 км, а время движения 4 часа?

Решение.

Возьмем еще задачу для аналитического разбора.

Задача 4. На одном складе было 185 тонн угля, а на втором 220 тонн. Ежедневно с первого а второго склада отпускали по 15 тонн. Через сколько дней на втором складе будет в 2 раза больше угля, чем на первом?

Решение этой задачи основано на знании зависимости между компонентами вычитания и на умении решать задачи по разности и кратному отношению, т. е. на знаниях, предусмотренных программой не только V, но и IV класса.

Согласно условию, на втором складе после отпуска угля его осталось в 2 раза больше, чем на первом, т. е. дано кратное отношение, а по наличию угля можно узнать их разностное отношение.

Что надо узнать, чтобы решить вопрос задачи одним действием?

Ответ: Надо узнать, сколько угля отгрузили за все время с каждого склада и сколько отпускали ежедневно (последнее число, т. е. ежедневный отпуск, дано: 15 т).

Знание и опыт должны убедить учеников, что разность между первоначальным наличием угля и количеством угля, оставшимся после отпуска одного и того же числа тонн с каждого склада, не меняется, на основе неизменяемости разности при уменьшении вычитаемого и уменьшаемого на одно и то же число. (Это имеет место и в нашей задаче: первоначальная разность 220—185=35 (m), останется неизменной, потому что от 220 m и 185 m отнимают по 15 m одинаковое число раз.)

Таким образом, можно сделать следующие выводы.

Разность между количеством угля, бывшего на каждом складе первоначально остается той же и после отпуска угля, т. е. будет равняться 220—185 = 35 (т). Отсюда:

1) Зная разность и кратное отношение, равное 2, можно найти, сколько осталось угля на первом и втором складах. Очевидно, что 1 часть оставшегося угля равна 35 (ni), а 2 части равны 35-2 = 70 (т).

2) Затем надо определить по остатку и уменьшаемому, сколько угля отпустили с каждого склада, так как мы знаем, сколько угля осталось и сколько было первоначально.

3) Последнее, т. е. количество всего отпущенного угля с каждого склада и количество тонн, отпускаемых ежедневно со склада, дадут возможность решить и вопрос задачи, т. е. узнать, через сколько дней на втором складе будет угля в 2 раза больше, чем на первом складе.

После такого разбора легко наметить следующий план решения:

1) Найти разность между первоначальным

наличием угля на складах, зная, что на одном складе было 220 m, а на другом 185 т.

2) Найти разность в частях, приняв остаток на первом складе за одну часть, а на втором складе за две таких же части, или узнать, сколько осталось угля на первом складе.

3) Сколько угля было отпущено с первого склада, если известно, что там первоначально было 185 m, а осталось 35 т?

4) Сколько дней отпускали по 15 m с каждого склада, если всего отпустили по 150 т?

Целесообразно для решения этой задачи применить графический метод, тогда разбор задачи значительно упростится и быстро будет найдено надлежащее решение (черт. 2 и 3).

Решению подобных задач должна предшествовать подготовительная работа по решению

Было угля первоначально. Первый склад — 185 т.

более простых задач, что недостаточно наблюдается в практике, но что весьма необходимо для решения трудных задач.

В качестве подготовительной работы к задаче 4 следует поставить устное решение таких, более простых задач:

На первом складе было 40 m, а на другом 50 m угля. Ежедневно с каждого склада отпускали по 10 тп.

Первая группа вопросов:

1) Сколько угля останется на каждом складе через день?

2) Сколько угля останется на складах через 2 дня?

3) Сколько угля останется на складах через 3 дня?

4) Сравнить, на сколько тонн было на втором складе больше, чем на первом:

а) первоначально,

б) после отпуска по 10 /тг,

в) после отпуска в течение 2 дней по 10 m,

г) после отпуска по 10 m в течение 3 дней.

Ответы подтвердят, что разность не меняется, а остается постоянной, потому что от уменьшаемого и вычитаемого отнимают во всех этих случаях по одному и тому же числу.

5) Во сколько раз на втором складе останется угля больше, чем на первом, в третьей задаче?

Ответ: в 2 раза больше.

Другой вид дополнительных задач к решению задач типа 4 — нахождение неизвестных чисел по их разности и кратному отношению.

1. Разность двух чисел равна 120, а их частное равно 3. Найти эти числа.

2. Первое число больше второго на 70 и в то же время больше его в 5 раз. Найти эти числа.

Вывод. Подробный разбор приведенных выше задач (3 и 4) показывает, что для сознательного решения задач необходимо применение не только аналитического, но и синтетического, или, точнее, аналитико-синтетического метода.

Разбирая задачи 3 и 4, начиная с главного вопроса, мы в отдельных случаях прибегали не только к анализу, но и к синтезу. Например, при разборе задачи 4, поставив главный вопрос, через сколько дней на одном из складов будет в 2 раза угля больше, чем на другом, мы обращали внимание и на исходные данные: сколько было угля первоначально на одном складе (185 m), на другом (220 m). Затем по этим данным сразу пытались получить новые числа или решить такой вопрос, ответ на который нам необходим для решения вопроса задачи. Провести полный аналитический разбор этой задачи путем «чистого» анализа было бы для учащихся крайне затруднительно и потому явно нецелесообразно.

При разборе задачи 3 мы имели тоже такие моменты. Установив, что для решения главного вопроса надо знать сумму скоростей и время движения, мы дальше много внимания уделили синтетическому разбору, а именно: обращали внимание на скорость первого и второго автомобилей и устанавливали, что можно и нужно узнать по этим данным (узнать сумму и разность скоростей); разбирали возможность нахождения разности путей, пройденных каждым автомобилем до момента встречи, а затем уже, после этого отступления в сторону синтетического приема, мы пошли вновь по пути аналитического разбора.

Так фактически происходит и на практике, но мы все-таки называем один разбор аналити-

Черт. 2.

Черт. 3.

ческим, а другой — синтетическим, смотря по тому, каким моментам при разборе мы уделяем больше внимания, что берем за исходное, как ведем разбор: от неизвестных величин переходим к известным, или обратно: от первоначальных данных постепенно подходим к неизвестному.

Разбор — важнейший этап в решении. В разборе вскрывается функциональная зависимость между величинами, входящими в задачу, проводится расчленение сложного на составляющие его простые элементы, трудную задачу разлагаем на несколько более легких, простых задач, решив которые, можно получить ответ и на вопрос задачи.

Разнообразие задач по степени их трудности, их структуры, а также уровень развития и подготовки учащихся V и VI классов требуют от учителя большого искусства, творческого подхода к разбору. В практике имеют место две формы разбора: 1) предварительный и 2) полный разбор, завершающий составление плана.

Необходимо давать учащимся подумать над условием задачи, чтобы они могли проявить свою сообразительность, инициативу, творчество. Полезно чаще ставить такие вопросы при разборе: Что надо узнать? Как узнать? Почему, зачем мы это узнаем? Откуда можно узнать? Замените эту задачу другой, более легкой. На какую задачу эта задача похожа? Необходимо предварительно добиваться сознательного понимания и запоминания условия задачи; надо устанавливать связи между величинами, входящими в задачу. Следует строить так разбор, чтобы было обеспечено ясное восприятие, понимание условия,—это первый этап, ведущий к успешному решению. Второй этап — это момент составления плана.

Вывод может быть только один: анализ и синтез в практике решения проявляются в их диалектическом единстве, и без одного метода нет места для другого.

Весьма полезно проводить подготовительную работу перед решением трудных задач, повторяя решение задач более простых и с небольшими числами.

Аналитический метод разбора условия задачи

Остановимся на разборе задач аналитическим методом с последующей или параллельной записью разбора, а иногда и составлением соответствующих схем. Возьмем следующую задачу.

Задача 5. Товарный поезд проехал расстояние от Москвы до Сталинграда через Воронеж за 36 часов. Расстояние от Москвы до Воронежа в 640 км он проходил со скоростью 32 км/час, а остальное расстояние— по 27 км/час. Сколько километров от Москвы до Сталинграда?

После чтения задачи и ряда вопросов по ее содержанию сделаем чертеж к этой задаче (черт. 4) и краткую запись условия.

Краткая запись условия

По условию и краткой записи нетрудно установить входящие в задачу величины и связи между ними.

1. Известно (дано в задаче):

1) расстояние от Москвы до Воронежа — 640 км\

2) скорость поезда на этом участке — 32 кмIчас;

3) скорость поезда на участке Воронеж — Сталинград — 27 км\час\

4) время движения поезда от Москвы до Сталинграда — 36 час.

Черт. 4.

2. Неизвестно:

1) время движения на участках Москва — Воронеж и Воронеж—Сталинград;

2) расстояние от Воронежа до Сталинграда.

Требуется определить расстояние от Москвы до Сталинграда.

После этого продолжаем разбор и составляем план решения при активном участии всего класса.

— Что требуется узнать в задаче?

— Сколько километров от Москвы до Сталинграда?

Запишем этот вопрос на доске, а ученики записывают его в тетрадях.

— Из каких двух участков состоит все расстояние?

— Из участка от Москвы до Воронежа и от Воронежа до Сталинграда.

— Что известно в задаче о расстояниях между этими городами?

— Известно, что от Москвы до Воронежа 640 км.

— Значит, чего же нехватает, чтобы определить все расстояние?

— Нужно еще знать, сколько километров от Воронежа до Сталинграда.

Вывод. Чтобы определить, сколько километров от Москвы до Сталинграда, необходимо иметь такие данные: расстояние от Москвы до Воронежа и от Воронежа до Сталинграда.

— Каким действием определим все расстояние?

— Сложением.

Теперь запишем сначала на доске, а ученики в тетрадях, что нужно знать для решения главного вопроса задачи и отметим, что уже известно (черт. 5).

Итак, по этой записи мы видим, что для решения вопроса задачи раньше нужно узнать расстояние от Воронежа до Сталинграда.

С этим новым выделенным вопросом поступаем так же, как и с главным, т. е. разбираем, какие надо иметь данные, чтобы решить этот вопрос одним действием.

Нам известна скорость движения поезда от Воронежа до Сталинграда (27 км в час), но неизвестно время движения. Отсюда делаем вывод: чтобы узнать расстояние между Воронежем и Сталинградом надо, кроме скорости движения, знать время движения поезда на этом участке.

Получаем такую запись (черт. 6):

Таким образом, мы выделили третий вопрос: определение времени движения между Воронежем и Сталинградом. Что мы знаем о времени движения по условию?

Весь путь от Москвы до Сталинграда поезд прошел за 36 часов. Как найти время движения поезда на втором участке, если мы знаем только время, в которое прошел поезд весь путь, т. е. время на двух участках, или знаем сумму двух слагаемых?

Ответ. Сразу ответить нельзя, а надо сначала найти, сколько часов поезд был в пути на первом участке между Москвой и Воронежем? Последнее, говорят ученики, найти легче, так как дано, что длина участка равна 640 км, а скорость поезда равна 32 км в час. А после решения этого вопроса достаточно будет от 36 часов отнять время движения на первом участке.

Таким образом мы разобрали и два последние вопроса, что запишем так на двух схемах (черт. 7 и 8):

Черт. 5.

Черт. 6.

Черт. 7.

Черт. 8

Для решения последнего вопроса все данные имеются, поэтому его можно решить сразу и получить нужный ответ.

После этого учащиеся без труда составляют и весь план решения.

План.

1) Сколько часов ехал поезд от Москвы до Воронежа? 640:32

2) Сколько часов ехал поезд от Воронежа до Сталинграда? 36 — 640:32

3) Сколько километров от Воронежа до Сталинграда? 27.(36 — 640:32)

4) Сколько километров от Москвы до Сталинграда? 640 4 27.(36—640:32)

В заключение заметим, что весь анализ данной задачи можно представить в виде таблицы.

Табличная запись аналитического разбора задачи 5

Чтобы узнать:

Надо знать или определить:

Каким действием решается:

1. Сколько километров от Москвы до Сталинграда?

1. Сколько километров от Воронежа до Сталинграда?

2. Расстояние от Москвы до Воронежа (640 км)

Сложением двух расстояний: между Воронежем и Сталинградом и между Москвой и Воронежем

2. Сколько километров от Воронежа до Сталинграда?

1. Сколько часов шел поезд между Воронежем и Сталинградом?

2. Скорость движения поезда на участке пути между Воронежем и Сталинградом (27 км)

Умножением скорости движения в час на число часов, которое поезд был в пути

3. Сколько часов шел поезд между Воронежем и Сталинградом?

1. Сколько часов шел поезд на участке от Москвы до Воронежа?

2. Время движения поезда от Москвы до Сталинграда (36 час.)

Вычитанием из общего времени (36 час.) того времени, которое поезд был в пути между Москвой и Воронежем

4. Сколько часов шел поезд от Москвы до Воронежа?

1. Расстояние от Москвы до Воронежа (640 км)

2. Скорость движения поезда между Москвой и Воронежем (32 км\час)

Делением расстояния на скорость

Синтетический метод разбора условия

Синтетический метод, беря за исходное известные данные, или найденные числа, или сочетания этих чисел, путем постановки и решения отдельных вопросов обеспечивает решение главного вопроса. Синтетический метод обладает большой доступностью, легкостью применения, а потому он находит самое широкое применение в практике решения задач.

Продемонстрируем его применение на разборе условия и составления плана решения задачи.

Задача 6. Экскаватором при подготовке котлована для фундамента высотного здания за 10 дней вынуто 27 000 кубических метров земли, а при ручной работе 3 человека, роя котлован, могут за 1 день вынуть 2^- куб.

метра земли. Сколько надо поставить человек, чтобы они за 1 день вынули такое количество земли, какое вынимает экскаватор за 1 день? (Или вопрос: во сколько раз производительность экскаватора за 1 день больше, чем производительность одного человека?) Запишем условие задачи и разберем ее так:

Сколько человек надо поставить на работу, чтобы они вынули за один день столько же земли, сколько вынимает экскаватор за один день? Повторение условия.

Вопрос. Что сказано в задаче о работе экскаватора?

Ответ. Экскаватор за 10 дней вынимает земли 27000 куб. м.

Вопрос. Что известно о работе трех человек?

Ответ. Они за один день вынимают 2j куб. м.

Вопрос. Что спрашивается в задаче? Какой главный вопрос? Ученики повторяют вопрос задачи.

Дальше после повторения полностью условия задачи продолжаем разбор.

Обращаем внимание на первые два числа условия и ставим такой вопрос: что надо узнать по этим данным?

Ответ. Зная, сколько кубических метров земли вынул экскаватор за 10 дней, надо определить сколько кубических метров земли он вынул за 1 день.

Вопрос. Зная, что трое рабочих за день вынули 2-j куб. м земли, что дальше надо узнать?

Ответ. По этим данным узнаем, сколько земли вынимает за день один рабочий.

Вопрос. Что теперь надо узнать? Повторите главный вопрос задачи.

Ответ. Зная ответы на первый и второй поставленные вопросы, надо узнать, сколько человек потребуется поставить на работу, чтобы они сделали такую работу, какую экскаватор делает за один день, т. е. решить и главный вопрос задачи. После такого разбора повторяются все вопросы в последовательном порядке или составляется план решения.

Следующим этапом будет само решение.

В процессе разбора следует ставить не только указанные вопросы, но и такие, как, например: зачем это надо узнавать? как это узнать? почему надо применить то или иное действие?

При синтезе иногда разбор и составление плана решения ведется так, что ученик, не думая, отвечает, какой можно поставить вопрос. Например, учитель задает такие вопросы: что можно узнать сначала? что узнать потом? что узнаешь дальше?—Ученик в этих случаях, не оценив достаточно структуру задачи, не представляя всю задачу в целом, ставит быстро иногда вопросы лишние, ненужные для правильного и наиболее быстрого получения ответа на главный вопрос задачи. Вот примеры подобных подходов к задаче, разобранной нами синтетическим методом. Ученики, отвечая на первый вопрос учителя или при самостоятельной работе над этой задачей, сами могут поставить и такие вопросы:

1-й вопрос. Узнаем сначала, сколько вынули грунта экскаватором и трое рабочих вместе? Или: На сколько больше вынули земли экскаватором, чем ручным способом?

Это будет метод проб, метод случайного подбора вопросов и чисел из условия. Это — механический, нецелесообразный подход. Решить подобные вопросы можно, но все дело в том, что их не надо решать. Ученики, не оценив, не проанализировав связей между величинами, не представив себе задачу в целом, быстро начинают выполнять действия, не определив, зачем это надо делать. Такая работа без плана, без перспективы часто ведет к ошибкам и лишней трате времени. Это — работа вслепую, без достаточно осознанной цели, а потому и наталкивает ученика на указанные ошибки.

Но наряду с указанным недостатком синтеза он имеет и свои положительные стороны:

1. Синтез более доступен для ученика по сравнению с анализом, потому что он позволяет переходить от простого с сложному, от известных данных в условии к нахождению новых чисел, нужных для дальнейшего решения.

2. При синтетическом методе ученик приучается связывать величины и сразу видит результаты своей работы. Ученик ставит вопросы и тут же может находить новые числа, может производить необходимые действия, не дожидаясь полного составления плана, чего он не имеет возможности делать при аналитическом разборе.

Выводы: 1) Чтобы использовать положительные стороны синтеза и ослабить его отрицательные качества, необходимо сочетать в процессе разбора синтез с анализом и не ставить вопросы в редакции, подталкивающей ученика на случайные ответы. Следует ставить вопрос: не «что можно узнать», а «что надо, что необходимо узнать», «зачем мы это узнаем».

2) Глубже вначале останавливаться на содержании условия, оценивать каждое слово, каждое число условия, добиваться ясного представления всей задачи в целом и уметь разделять ее на отдельные части, на простые задачи. Не надо спешить с постановкой вопросов и тем более проведением вычислений еще в то время, когда ученики не запомнили, не поняли, не представили условия, не составили хотя бы в основном всего плана решения.

3) Сначала должен проводиться разбор условия, составление плана, а потом вычисления. В этом и состоит рациональный путь получения быстрого решения, а не наоборот, что еще имеет место на отдельных уроках решения задач и, в особенности, при выполнении домашних, самостоятельных и контрольных работ в классе.

4) Целесообразно иногда при синтетическом разборе оформлять письменно план по такой форме:

1-я графа—Зная то — то:

2-я я —Надо узнать и

3-я „ —Каким действием.

Вот примерная схема (см. стр. 52).

Разбору задач синтетическим методом должны предшествовать такие подготовительные упражнения:

1. По двум данным простых задач поставить всевозможные вопросы и вопросы, только необходимые по смыслу задачи. Например: первый поезд проходит в час 40 км, а второй 35 км\час.

Возможные вопросы:

а) На сколько километров первый поезд идет быстрее, чем второй?

б) Во сколько раз скорость первого поезда больше скорости второго? И т. п.

Табличная запись синтетического разбора задачи 6

Зная:

Необходимо узнать или найти:

Каким действием решить?

1. Количество рабочих — 3 чел.

2. Выполненную работу тремя рабочими вместе за день — куб. м земли

1. Выполненную работу экскаватором — 27000 куб. м

2. Время работы — 10 дней

1. Работу за один день экскаватора — 27 ООО куб. м

2. Работу за один день одного рабочего— 2^р куб. м

1. Сколько куб. метров земли вынимает за один день один рабочий?

2. Сколько куб. метров земли вынимает экскаватор за один день?

3. Сколько человек надо поставить на один день, чтобы они сделали работу, выполненную экскаватором за один день?

Делением количества куб. метров вынутой земли на число рабочих:

(куб. м)

Делением количества куб. метров вынутого грунта на число дней работы:

27 000:10 = 2700 (куб. м)

Делением числа куб. метров грунта, добытого экскаватором, на число куб. метров грунта, вынутого одним рабочим:

2700:+ = 3600 (рабочих)

Ответ: 3 600 рабочих

2. Необходимые вопросы.

Задача, где надо ставить только необходимые вопросы:

Разность двух чисел 500, а частное равно 6. Найти эти числа. Это тип задачи, которую без достаточного осмысливания решить затруднительно, и в особенности нельзя решить без осознания зависимостей между данными и сознательного понимания терминов: «частное» и «разность».

Здесь первые вопросы: что узнать сначала? что узнать потом?—без предварительного разбора и знаний того, что показывает разность и частное,—будут неуместны.

3. Следует упражняться в подборе вопросов, как по двум величинам находить третью. Например:

1) Зная скорость и время, что можно найти?

2) Зная время и путь, что можно определить?

3) Что находится по цене и количеству товара?

Затем следует упражняться в разборе условий и составлении плана решения задач сначала в два, а потом в три, четыре, пять и больше действий, с расположением задач по степени трудности.

Аналогичную подготовительную работу следует также вести и в целях лучшего применения аналитического метода. Если мы при синтетическом разборе требуем от ученика умения по имеющимся данным числам поставить нужный вопрос, то при аналитическом разборе от ученика наряду с этими умениями еще требуется овладение другим навыком а именно: навыком подбора к вопросу необходимых данных из условия задачи или взятых из ее решения. В этом направлении особое значение приобретают упражнения в подборе необходимых чисел или величин для решения вопросов задачи, как, например:

1) Что надо знать, чтобы определить: а) одно слагаемое, б) множитель, в) делимое, г) вычитаемое и т. п., д) найти процентное отношение; е) найти число по его части или дроби и т. п.

2) Какие надо знать две величины, чтобы найти новую величину. Например, что знать:

а) чтобы найти пройденный путь,

б) чтобы определить время работы,

в) чтобы найти стоимость товара и т. п.

Очень важно упражнять учащихся в самостоятельном составлении задач, в дополнении задач новыми данными, в разложении сначала задач в 2 действия на 2 простые задачи, затем задач в 3, 4, 5 и больше действий, соблюдая их расположение по степени трудности. Надо поставить за правило: перед разбором трудных задач упражняться в аналитическом разборе задач более легких, подготавливающих к решению трудных задач.

Аналитико-синтетический метод

Наиболее широкое применение имеет в решении задач аналитико-синтетический метод. Сущность его состоит в использовании в процессе разбора двух методов: анализа и синтеза. Начав разбор с главного вопроса задачи, мы ограничиваемся разложением составной задачи, не на простые задачи, а на другие, тоже составные, но более легкие, или такие, решение которых ученику известно. Разбор этих выделенных задач мы проводим, исходя из данных, с последовательным переходом к главному вопросу.

Подобный разбор проиллюстрируем на следующей задаче.

Задача 7. В магазине было печенье двух сортов. Второго сорта имелось 150 кг, что составляло 33-^% всего печенья. Цена одного килограмма печенья первого сорта относилась к цене второго сорта, как 10,5 л: 6. Сколько стоило все печенье, если известно, что один килограмм первого сорта стоил на 4 руб. дороже одного килограмма второго сорта?

После чтения и повторения условия задачи работа будет протекать примерно так:

Анализ условия с разбивкой его на две части: первая — что известно в задаче, и вторая — что неизвестно.

Первая часть. Дано: 1) количество печенья второго сорта 150 кг, что составляло 33~% от всего имевшегося в магазине печенья;

2) цена 1 кг печенья первого сорта относилась к цене 1 кг второго сорта, как 10,5:6. Цена первого сорта дороже цены второго сорта на 4 рубля.

Вторая часть. Неизвестно в задаче:

1) Количество печенья первого сорта.

2) Количество всего печенья.

3) Цена 1 кг первого сорта и цена 1 кг второго сорта.

4) Сколько стоило печенье первого и второго сортов.

Этот предварительный анализ следует иногда не только вести в устной форме, но и проводить такие записи на доске, которые бы помогали дальнейшему разбору задачи и составлению ее плана.

Таким образом мы устанавливаем, что в данной задаче можно выделить две другие задачи, решение которых и даст ответ на главный вопрос данной задачи.

Первая задача —определение количества печенья первого сорта, и вторая — определение стоимости печенья первого и второго сорта.

Выделив эти основные задачи, мы обращаем внимание, как подойти к решению этих задач.

Надо исходить из главного вопроса данной задачи. Предварительный разбор уже в известной степени подготовил к тому, как найти ответ на этот вопрос, что необходимо знать для его решения. Ученики без труда отвечают так: для решения главного вопроса надо знать стоимость первого и второго сорта. Дальнейший разбор должен привести к выделению и таких вопросов: сколько было печенья первого и второго сорта отдельно, а также, какова цена каждого сорта. Последующее расчленение всей задачи на отдельные простые задачи не встречает трудностей, разбор дальше протекает в основном синтетическим методом. Вот ход этой части работы. Ставим такие вопросы.

Вопрос: Посмотрите, что известно о количестве печенья?

Ответ: Печенья второго сорта было 150 кг, что равнялось 33-^% от всего печенья.

Эти данные дают возможность определить весь запас печенья, для чего достаточно разделить 150 кг на 33~% или на-i (это есть нахождение целого числа по его части). Дальше, легко находим количество печенья первого сорта. Затем разбираем вопрос о цене и общей стоимости печенья. Зная кратное отношение цен (10,5 : 6) и разность в ценах, «наводим учащихся на приемы» решения подобных задач и устанавливаем, нак найти цену первого и второго сорта. (Находим, чему равны в частях 4 руб. и отсюда определяем цену первого и второго сорта печенья.)

Наконец, по цене и количеству печенья каждого сорта находится стоимость отдельно первого и второго сорта, что дает возможность решить и главный вопрос задачи.

Рассмотрим еще задачу 8.

Задача 8. На строительстве Волго-Донского канала, одной из великих строек коммунизма, бригада рабочих шагающего экскаватора значительно повысила производительность труда. Отношение нормы выемки грунта к фактической выемке за апрель и июнь 1951 г. равно 7,5:10:12,5. Известно, что экскаватором вынуто грунта за июнь на 100 000 куб. м больше, чем полагалось по норме. Узнать: 1) какая норма выработки экскаватора; 2) на сколько кубометров вынуто грунта больше нормы за апрель и июнь вместе и 3) на сколько процентов превышает норму производительность труда экскаваторщиков отдельно за апрель и июнь месяцы?*

После чтения условия задачи, объяснения новых понятий, имеющихся в задаче: «нормы выработки», «шагающий экскаватор» и т. п. (повторения задачи по частям и полностью), — дальнейшая работа будет протекать примерно так: проводится анализ условия задачи, при этом выделяется:

1) что известно в задаче (дано) и

2) что требуется определить. Известно:

1) Отношение нормы к фактической выработке за апрель и июнь 7,5:10: 12,5.

* Данные о выработке взяты из газеты «Правда» от 13 июля 1951 г.

2) Превышение выемки грунта: вынуто грунта больше нормы за июль на 100000 куб. м.

Требуется узнать: 1) Сколько куб. метров грунта по норме должен вынимать экскаватор за 1 месяц?

2) На сколько больше нормы вынуто грунта за апрель и июнь вместе?

3) На сколько процентов превышена норма отдельно в процентах за апрель и июнь.

Дальше делаем вывод, что решение данной задачи состоит из трех частей:

1) определение нормы выработки; 2) превышение нормы выработки за апрель и июнь месяц; 3) перевыполнение плана за апрель и июнь в процентах.

Затем разбирается последовательно каждая часть задачи.

1-я часть

1-й вопрос. Что мы знаем о выполнении плана и норме?

Ответ. Известно отношение нормы к выполнению и превышение нормы за июнь на 100000 куб. м.

2-й вопрос. Как мы по этим данным будем находить ответ на поставленный в 1-й части задачи вопрос?

Ответ. Согласно условию задачи, можно сказать, что норма выработки содержит 7,5 таких частей, каких выполнено за апрель 10 частей, а за июнь 12,5 частей. К тому же известно, что перевыполнение за июнь достигло 100 000 куб. м. Отсюда, найдя разность в частях, которая составляет 100000 куб. м, можно найти ответ и на поставленные вопросы в 1-й части задачи.

После этого можно перейти к составлению плана решения 1-й части задачи.

2-я и 3-я части. Дальше, таким же образом, разбираем 2-ю и 3-ю части, т. е. определяем превышение нормы выработки в кубометрах и в процентах за апрель и июнь.

В итоге такого разбора мы будем иметь следующий план решения всей задачи.

План решения задачи

1) Сколько частей составляет перевыполнение в 100 000 кубометров за июнь?

2) Сколько кубометров грунта приходится на 1 часть?

3) Сколько кубометров грунта должны вынимать по норме?

4) На сколько частей и кубических метров вынуто за апрель больше, чем полагалось по норме?

5) Зная перевыполнение за апрель (50 тыс куб. м) и за июнь (100000 куб. м), найдем, на сколько кубических метров перевыполнена норма вместе за апрель и июнь?

6) На сколько процентов перевыполнен план за апрель?

7) На сколько процентов перевыполнена норма за июнь?

Примечание: Задача может решаться и другими способами.

Выводы

При разборе двух последних задач мы пользовались как анализом (в особенности в 1-й части разбора), так и синтезом (главным образом, во 2-й части разбора), а потому этот метод и называется аналитико-синтетическим. Этот метод быстро ведет к цели и наиболее экономен, а потому им надо широко пользоваться в сложных задачах, распадающихся на ряд менее сложных задач, решение которых ученику должно быть известно. Но отсюда не следует делать вывода, что не надо в школе заниматься полным аналитическим разбором. Наоборот, каждый учитель математики должен научить учащихся применять анализ в единстве с синтезом. Чтобы сделать это более доступным, надо показать сначала анализ и синтез отдельно на простых задачах, а потом — на более сложных. Показать анализ как путь разбора от главного вопроса к второстепенным, что и приводит к разложению главного вопроса на ряд других вопросов; при синтетическом разборе мы идем обратно: от первого, второстепенного, до последнего, главного вопроса.

Нам следует различать:

1) обучение анализу и синтезу и

2) применение анализа на практике вместе с синтезом.

В первом случае мы обязаны продемонстрировать анализ и синтез, если можно так выразиться, в их «чистом виде», чтобы впоследствии брать их в диалектическом единстве.

В целях наиболее широкого внедрения в практику разбора задач аналитическим, синтетическим и аналитико-синтетическим методами рекомендуется так строить методику разбора и ведения записей, чтобы сама форма разбора и записи способствовала применению того или иного метода. Весь ход разбора, начиная с главного вопроса и кончая последним, т. е. все разнообразные вопросы иногда записываются в том порядке, в каком они будут следовать при решении.

ИЗ ОПЫТА

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

И. И. ГОЛЬДЕНБЛАТ (заслуж. учитель УССР, Одесса)

Несмотря на то, что решение геометрических задач на доказательство подымает геометрическую культуру учащихся, на этот раздел задач до настоящего времени обращают недостаточно внимания.

Эти задачи, содействуя более глубокому усвоению пройденного материала, в то же время оказывают помощь и в решении целого ряда задач на вычисление.

В настоящей статье я хочу поделиться опытом своей работы по решению геометрических задач на доказательство, для чего привожу образцы решенных задач в VI, VII и VIII классах; я привожу также задачи на вычисление, для решения которых учащиеся использовали решенные ими ранее задачи на доказательство. Задачи сопровождаются краткими решениями.

Задачи из курса VI класса

1. Медиана треугольника меньше его полупериметра.

Проведя в треугольнике ABC медиану BD будем иметь:

Отсюда:

2. Медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключена. Продолжим медиану AM (черт. 1) за точку M на расстояние MD = AM и точку D соединим с В. Тогда /\АМС= /\BMD по двум сторонам и углу между ними. Отсюда BD = AC. Из треугольника ABD имеем:

3. В равнобедренном треугольнике: I) две медианы равны; 2) две биссектрисы равны; 3) две высоты равны.

Пусть в равнобедренном треугольнике ABC (черт. 2) ВМХ и СМ — медианы, BNt uCN — биссектрисы и ВРХ и CP — высоты. Первое положение вытекает из равенства треугольников ВСМ и ВСМХ (или АВМг и АСМ), второе— из равенства треугольников BCN и BCNX (или ABNi и ACN) и третье — из равенства треугольников БРС и ВРгС (или АВРХ и АСР).

Черт. 1. Черт. 2.

Примечание. Конечно, учащимся следует давать каждую из этих теорем отдельно, с особым чертежом для каждой.

4. Если через середины каждой из равных сторон равнобедренного треугольника провести перпендикуляры до пересечения с другой из равных сторон, то эти перпендикуляры равны.

Теорема вытекает из равенства треугольников (черт. 3). При задании этой теоремы следует вместе с учащимися рассмотреть отдельно случаи острого, прямого и тупого угла при вершине.

5. Перпендикуляры, проведенные к двум сторонам угла на равных расстояниях от вершины, пересекаются на биссектрисе этого угла.

Соединив точку пересечения D (черт. 4) с вершиной угла, получим два равные треугольника (по гипотенузе и катету). Отсюда

Z.BAD = Z.CAD

и AD — биссектриса.

6. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник — прямоугольный.

Имеем (черт. 5):

Задачи из курса VII класса

7. Если через точку пересечения диагоналей параллелограма провести произвольную прямую, то ее отрезок, заключенный внутри параллелограма, делится этой точкой пополам.

Теорема вытекает из равенства треугольников АОМ и CON (черт. 6) по стороне и прилежащим к ней углам.

8. Если прямая пересекает основания трапеции, то ее отрезок, заключенный между основаниями, делится средней линией трапеции пополам.

Доказательство аналогично предыдущему (черт. 7).

9. В равнобедренном треугольнике сумма расстояний каждой точки основания от боковых сторон есть величина постоянная, равная высоте, опущенной на боковую сторону.

Из точки /С(черт. 8) проведем перпендикуляр KN на высоту BD. Тогда:

ND = КМ. (1)

Черт. 3. Черт. 4. Черт. 5.

Черт. б. Черт. 7. Черт. 8.

Из равенства треугольников BLK и BN К (по гипотенузе и острому углу) имеем:

BN = KL. (2)

Из (1) и (2):

KL + KM = BN + ND = BD.

Следует рассмотреть случай, когда один из перпендикуляров и боковая высота падают на продолжение боковой стороны. Доказательство остается тем же.

10. Из всех хорд, проведенных в окружности через одну точку, хорда, перпендикулярная к радиусу, проведенному через эту точку, является наименьшей.

Пусть хорда CD перпендикулярна к радиусу OK (черт. 9). Проведем через К произвольную хорду AB и к ней перпендикуляр OF. В треугольнике OFK гипотенуза OK больше катета OF. Следовательно, хорда AB ближе к центру, чем CD, и, значит, AB>CD.

11. Если к двум внешне касающимся окружностям провести три общие касательные, то внутренняя из них пересекает две другие в точках, одинаково удаленных от точек касания.

По свойству касательных, проведенных из одной точки, имеем (черт. 10):

12. Если две окружности касаются внешне, то всякая секущая, проведенная через точку касания, отсекает от этих окружностей две противолежащие дуги, содержащие одинаковое число градусов.

Из равнобедренных треугольников МОК и NOxK (черт. 11) имеем:

Задачи из курса VIII класса

13. Если две окружности касаются внешне, то часть их общей внешней касательной, заключенная между точками касания, есть среднее пропорциональное между диаметрами окружностей.

Треугольники О AM и ON M (черт. 12), а также O^BN и OxNM равны по гипотенузе и катету (OA = ON; ОхВ = OxN). Отсюда:

^ OMN = ОМА и ^ OxMN = Z. ОхМВ,

а следовательно:

А так как сумма всех этих четырех углов равна 2d, то

^iOMN+Z.O,MN = d

и треугольник ОМО{ — прямоугольный.

По свойству перпендикуляра, проведенного к гипотенузе из вершины прямого угла, будем иметь:

ON:MN = MN:OxN или по умножении членов пропорции на 2:

Черт. 9.

Черт. 10.

Черт. 11.

Черт. 12.

14. Произведение двух сторон треугольника равно диаметру описанной окружности, умноженному на высоту, опущенную на третью сторону.

Прямоугольные треугольники ЛСК и ADB (черт. 13) подобны, так как углы К и В равны, как вписанные, опирающиеся на одну и гу же дугу CA. Тогда имеем:

AC:AD = AK: AB,

или:

b:ha=2R:c.

Отсюда:

bc = 2R-ha. 15. Произведение двух сторон треугольника равно квадрату биссектрисы угла между ними, сложенному с произведением отрезков третьей стороны.

Из подобия треугольников ABE и DBC (черт. 14: ^1=^2 и = </С) имеем: AB:DB = BE:BC,

Но по свойству хорд, проходящих через одну точку, имеем:

IDE = AD.DC

и, следовательно:

ас = Р + ADDC.

16. Если S — площадь треугольника, р — его периметр иг — радиус вписанной окружности, то г= — . Доказать.

Имеем (черт. 15):

Отсюда:

Приведем теперь несколько задач, при решении которых учащиеся использовали ранее решенные ими задачи на доказательство:

17. В равнобедренном треугольнике из точки, взятой на основании, проведены перпендикуляры к боковым сторонам, равные 7 см и 5 см. Определить высоту, опущенную на боковую сторону.

Задача легко решается на основании задачи 9. При этом учащиеся или просто ссылаются на задачу 9 и получают сразу 12 см, или повторяют весь ход рассуждений задачи 9, что теперь для них уже не представляет труда.

18. Если через точку касания двух окружностей проведем две секущие и концы их соединим хордами, то эти хорды параллельны. Доказать (черт. 16).

На основании задачи 12 заключаем, что

Черт. 13.

Черт. 14.

Черт. 15.

углы С и D (или А и В) равны, как вписанные, опирающиеся на дуги, содержащие одинаковое число градусов. Отсюда АС \\ DB.

19. Две окружности радиусом в 12 см и 3 см внешне касаются. Определить длину части их общей внешней касательной, заключенной между точками касания (черт. 17).

На основании задачи 13 имеем:

Отсюда:

20. Если a, b, с — стороны треугольника, S — его площадь и R — радиус описанной окружности, то R = ^£ . Доказать.

На основании задачи 14 имеем:

bc = 2Rha.

Отсюда:

21. В треугольнике ABC стороны а = 1 см, 0 = 6 см, с = 8 см. Определить биссектрису угла А.

Для определения биссектрисы имеем формулу, выведенную в задаче 15. Чтобы ею воспользоваться, следует сначала определить отрезки BD и CD (черт. 18), на которые биссектриса AD делит сторону а. По свойству биссектрисы имеем (CD = х):

Отсюда находим х = 3 (см) и, значит, CD = 3 см, BD = A см. Теперь в силу задачи 15 легко находим:

22. Стороны треугольника а = 13 см, &=14 см, с = 15 см. Определить радиусы вписанной и описанной окружностей.

Задача легко решается по формулам, выведенным в задачах 16 и 20, с применением формулы Герона.

Заметим, что здесь мы дали лишь краткие указания к решениям, имея в виду, что статья предназначается для учителей. Конечно, при решении этих же задач с учащимися объяснение должно быть полным: сделан чертеж, введены обозначения; сделаны и оговорены вспомогательные построения, обоснованы все высказываемые положения — о равенстве углов, треугольников и пр.

Как мы уже говорили, при решении задач 17 — 22 учащиеся могут просто сослаться на результаты соответствующих задач из № 1 —16 (особенно если связанные между собой задачи даются вскоре одна после другой). Но очень неплохо и при решении задач № 17 — 22 снова повторить решение в полном виде.

Черт. 16.

Черт. 17.

Черт. 18.

ИЗ ПИСЕМ И ЗАМЕТОК ЧИТАТЕЛЕЙ

К. С. БОГУШЕВСКИЙ (Москва)

В настоящей статье дается обзор заметок и писем, поступивших в редакцию журнала, по вопросам методики преподавания геометрии и тригонометрии. Материал по возможности систематизирован: сперва рассматриваются заметки, посвященные вопросам преподавания планиметрии, затем стереометрии и, наконец, тригонометрии.

Но ввиду того, что в некоторых заметках затрагиваются одновременно вопросы методики преподавания различных разделов курса, в отдельных случаях пришлось отступать от принятой системы расположения материала.

1. В заметке «Геометрические задачи в VI классе» т. В. Прокофьева (г. Ленинград) делится своим опытом преподавания геометрии в VI классе. Автор уделяет много внимания решению задач на доказательство, причем эти задачи решаются в классе, задачи же на вычисление в основном используются в качестве материала для домашних заданий. Мотивируется это тем, что задачи на доказательство кажутся учащимся значительно более трудными «видимо, потому, — говорит автор, — что они более резко отличаются от знакомых и привычных им арифметических задач».

Чтобы выделить достаточно времени на решение задач на доказательство, т. Прокофьева отказалась от такой распространенной формы закрепления нового материала, как повторение учениками только что изложенного доказательства теоремы. Отказ от этой формы закрепления нового материала т. Прокофьева мотивирует также указанием, что подобная ориентировка на слабого ученика нецелесообразна, так как она «не дает пищи уму» и что «учащимся нужно предоставлять больше возможности для проявления самостоятельности и в рассуждениях и в работе над книгой».

По мнению т. Прокофьевой, первое время затруднения при решении геометрических задач на доказательства имеют в основном следующие причины: 1) учащиеся не сразу научаются понимать условие задачи; 2) долгое время учащиеся «не умеют создавать чертеж».

Для преодоления этих затруднений т. Прокофьева считает полезным провести ряд упражнений обратного типа: по данному чертежу и схематической записи условия составлять текст задачи. Нельзя также, по мнению автора, предъявлять сразу высокие требования к самостоятельности решения задач. На первом этапе обучения геометрии в VI классе задачи разбираются, решаются, доказываются и записываются коллективно.

На втором этапе учащимся предоставляется возможность после коллективного разбора решения задачи самостоятельно записать ее решение и доказательство.

И, наконец, только на третьем этапе учащиеся всю работу над задачей проводят самостоятельно.

Первый и второй этапы занимают примерно все первое полугодие.

В своей заметке т. Прокофьева касается вопроса об аналитическом и синтетическом методе решения задач и приводит интересное сопоставление «аналитического и синтетического способов рассуждений» при решении одной из задач на доказательство.

Дано: АС \\ BD; АС = DB.

Доказать: CD делит AB пополам (черт. 1 ).

Аналитическое рассуждение

Когда проведем CD, отрезок AB разделится точкой О на отрезки АО и OB, нам нужно доказать, что АО = OB.

АО и OB являются сторонами треугольников АСО и OBD. Стороны треугольников будут равны, если они лежат в равных треугольниках против равных углов. Следовательно, достаточно установить равенство треугольников АСО и OBD.

Для установления равенства треугольников сравним их элементы:

АС = BD — по условию;

</A = J/B — как углы накрестлежащие при параллельных АС и BD и секущей AB;

^/C = </D — как углы накрестлежащие при тех же параллельных и секущей CD.

Следовательно, Д АСО = Д OBD — по признаку равенства треугольников. Поэтому АО = OB, как стороны, лежащие против равных углов в равных треугольниках.

Таким образом, CD делит AB пополам, что и требовалось доказать.

Черт. 1.

Синтетическое рассуждение

Известно, что АС \\ BD и AB — секущая, следовательно, ^.А = ^В, как накрестлежащие при параллельных АС и BD и секущей AB.

Но CD тоже является секущей, поэтому ^C = ^D.

А так как по условию АС = BD, то Д АСО = Д OBD и т. д.

Небесполезно, если учителя, не имеющие достаточного опыта в преподавании геометрии в VI классе, проведут (для себя) на ряде задач такое сопоставление аналитического и синтетического приемов рассуждения. Требовать от учащихся VI класса, чтобы они сами умели разъяснять различие между этими методами рассуждений, вероятно, было бы преждевременным, но приучать их время от времени пользоваться аналитическим методом решения геометрических задач, безусловно, следует.

2. В заметке «К вопросу о преподавании геометрии в шестом классе» т. В. А. Уметский (Тамбовская обл., Лысогорский район, с. Горелое) разбирает вопрос о причинах больших затруднений, встречающихся при преподавании геометрии в шестых классах.

По мнению автора, причины эти заключаются в том, что учащиеся сразу встречаются с целым рядом трудностей: «во-первых, они должны научиться делать необходимые заключения; во-вторых, освоить ряд отвлеченных понятий, на материале которых надо строить рассуждения; в-третьих, эти умозаключения дети должны связать в целую логическую систему, в сложную цепь рассуждений». Ко всем этим видам работы учащиеся VI класса, как правило, оказываются недостаточно подготовленными.

В результате они, идя по линии наименьшего сопротивления, пытаются выйти из положения путем зазубривания текста учебника и объяснений преподавателя. Это приводит к чисто формальному усвоению материала, «и этот формализм в знаниях учащихся, — говорит автор, — дает себя знать не только на первых порах изучения геометрии, но оставляет неизгладимый след и на последующие годы обучения». Чтобы преодолеть указанные трудности и добиться сознательного усвоения учащимися курса геометрии VI класса, т. Уметский осуществляет следующие мероприятия.

1) Прежде всего с учащимися проводятся на конкретном бытовом материале специальные упражнения по составлению умозаключений, на которые придется ссылаться в процессе доказательства теорем.

«Так, например, теоремам о внешнем угле треугольника и о зависимости между сторонами и углами треугольника, — говорит автор, — я предпосылаю следующие упражнения: вызвав двух учеников — Иванова и Петрова — одинакового роста, предлагаю классу вопрос об их росте. Устанавливаем положение: рост Иванова равен росту Петрова. Затем, посадив на место Иванова, вызываю Сидорова, одного из самых малых по росту учеников класса. Устанавливаем, что рост Петрова больше Сидорова. Снова ставлю вопрос: какой можно сделать вывод о росте Иванова и Сидорова? Получаю ответ: poet Иванова больше роста Сидорова. Почему?

С моей помощью составляется умозаключение: если рост Иванова равен росту Петрова, а рост Петрова больше роста Сидорова, то рост Иванова больше роста Сидорова».

Представляется полезным это умозаключение записать (схематически) на доске, запись может помочь некоторым учащимся лучше осознать воспринятое на слух умозаключение.

Далее т. Уметский повторяет аналогичные рассуждения на более отвлеченном материале, например на отрезках и углах.

2) Поскольку для успешного усвоения указанных теорем необходимо, чтобы класс овладел понятием внешнего угла треугольника, т. Уметский предлагает учащимся не только строить внешний угол при различных положениях треугольника, но и находить внешний угол треугольника на усложненном чертеже. Например, предлагается найти внешние углы треугольника ABC на следующих чертежах (черт. 2, 3 и 4).

3) Если доказательство какой-нибудь теоремы требует составления сравнительно длинной цепи умозаключений, т. Уметский распределяет это доказательство на два урока. Так, например, при изложении доказательства теоремы

Черт. 2.

Черт. 3. Черт. 4.

о внешнем угле треугольника на первом уроке выполняется чертеж, делается запись условия теоремы, проводится дополнительное построение и доказывается равенство получающихся треугольников. На втором уроке повторяются все эти уже усвоенные этапы доказательства, и «таким образом, — говорит автор, — перед учащимися остается только одна трудность: отдельные, уже знакомые умозаключения связать в целую логическую систему».

При таком методе прохождения курса геометрии он усваивается учащимися VI класса более сознательно и прочно.

Однако, чтобы этот метод можно было бы применять сколько-нибудь планомерно, следует, по мысли автора, пожелать, чтобы в задачниках, методических пособиях или в журнальных статьях были даны наборы упражнений на составление умозаключений нужных типов, а также упражнения, содействующие усвоению учащимися основных геометрических понятий.

3. Тов. Чупров (Ленинградская обл., Всеволожский район, п/о Блудное) в своей заметке излагает доказательство теоремы о разности двух сторон треугольника, не опирающееся на преобразование неравенств.

Пусть требуется доказать, что АС — AB < ВС (черт. 5).

Откладываем AD=ÀB, тогда DC=AC—AB. Проводим BD.

Треугольник ABD — равнобедренный, поэтому S 1 = ^ 2. но 2i 3 > ^ 1 — по свойству внешнего угла треугольника, следовательно, ^3>^2.

Из этого вытекает, что ^3 — тупой, поэтому в треугольнике BDC сторона ВС — наибольшая, т. е.

DC<BC, или АС — АВ<ВС.

Тов. Чупров правильно отмечает, что доказательство теоремы о разности двух сторон треугольника, основанное на преобразовании неравенства а+Ь>с в неравенство а>с — Ь, воспринимается некоторыми учащимися VI и даже VII класса чисто формально, показателем этого служит то, что учащиеся старших классов большей частью забывают об этом свойстве сторон треугольника. С этой точки зрения доказательство теоремы, предлагаемое т. Чупровым представляется желательным. Оно является также полезным упражнением на применение ряда теорем.

4. В заметке «Об одном геометрическом месте точек» проф. А. Д. Мышкис (г. Рига) указывает на неправильность формулировки: «геометрическое место точек, одинаково удаленных от сторон угла, есть биссектриса этого угла», приведенной в учебнике Киселева (ч. I, § 60).

В самом деле, если иметь в виду все точки плоскости, то возникает вопрос, как понимать в применении к точкам, не лежащим внутри данного угла, выражение «точка, одинаково удаленная от сторон угла»?

Если это понимать так, что кратчайшие расстояния от точки до лучей OA и OB должны быть равны, то для любой точки лучей ОЕ и OF и части плоскости, заключенной внутри угла EOF, меньшего 180°, такими расстояниями будут расстояния до точки О, т. е. вершины данного угла. Таким образом, геометрическим местом точек, одинаково удаленных от сторон угла, будет не только биссектриса данного угла, но и часть плоскости, определяемая углом EOF (EOF<\8Q°) (черт. 6).

«Если же, — говорит автор заметки, — расстояние от точки до сторон угла понимается как длина перпендикуляра, опущенного из точки на луч или его продолжение, то указанное геометрическое место точек состоит из биссектрисы данного угла и биссектрис обоих углов, смежных с данным».

Поэтому проф. Мышкис предлагает следующее уточнение формулировок:

«Геометрическое место точек, лежащих внутри угла и одинаково удаленных от его сторон, есть биссектриса этого угла» и «если какая-нибудь точка лежит внутри угла, но не на его биссектрисе, то эта точка не одинаково удалена от стороны данного угла».

При решении задач и доказательстве теорем приходится, как правило, пользоваться только таким ограниченным пониманием данного гео-

Черт. 5.

Черт. 6.

метрического места точек, поэтому уточнение формулировок, предлагаемое проф. Мышкис, следует принять. При повторении курса будет полезно указать учащимся на возможность более широкого понимания данного геометрического места точек.

5. В заметке «О доказательстве теоремы о пересечении трех медиан треугольника» С.П. Крутик (Краснодарский край, станица Старо-Щербиновская) указывает, что общепринятое доказательство теоремы о трех медианах треугольника проводится по следующей схеме: сперва доказывается, что две медианы пересекаются в такой точке, что отрезки каждой медианы находятся в отношении 2:1, а затем из этого положения, как следствие, получается вывод о пересечении трех медиан в одной точке. Тов. Крутик приводит доказательство теоремы о пересечении трех медиан в одной точке, независимое от соотношений между отрезками медиан.

В треугольнике ЛВС через точку пересечения медиан AF и BD и вершину С проводится прямая СЕ и доказывается, что эта прямая является третьей медианой треугольника, т. е., что ЛЕ = ВЕ (черт. 7).

Для доказательства треугольник ЛВС следует дополнить до параллелограмов ABNC и АВСМ, затем, рассматривая две пары подобных треугольников ( Д ОВЕ оо Д ОСМ и Д ОАЕоо Д OCN), получаем две пропорции:

Из сравнения этих пропорций легко выводится равенство отрезков АЕ и BE, а этим и доказывается теорема.

Соотношение между отрезками каждой медианы легко выводится из записанных выше пропорций.

Например, из пропорции

получаем:

Следует заметить, что обычное доказательство имеет то преимущество, что оно не опирается на подобие треугольников, а потому может быть изложено раньше изучения темы «Подобие треугольников».

6. Тов. М. И. Гозман (г. Кагановичи, Киевской обл.) в своем письме поднимает вопрос о некоторой перестройке темы «Пропорциональные отрезки в круге». Он указывает, что в учебнике Киселева теоремы об этих отрезках излагаются для частных случаев, а именно: для случая хорды, пересекающейся с диаметром, и для случая касательной и секущей, проведенных из одной точки, более же общие случаи, случай хорд, пересекающихся внутри круга, и случай двух секущих, выходящих из одной точки, рассматриваются как следствия, получающиеся путем обобщения доказанных теорем. Тов. Гозман считает более логичным обратный путь и предлагает сперва доказать теоремы для более общего случая — для отрезков хорд, пересекающихся внутри круга, и для отрезков секущих, а выводы о соотношениях между отрезками хорд и между касательной и отрезками секущей изложить в виде следствий из теорем. Порядок изложения темы о пропорциональных отрезках в круге, предлагаемый т. Гозман, не нов, он был принят в целом ряде учебников геометрии и представляется более естественным; целый ряд преподавателей и сейчас придерживается такого порядка изложения. Укажем, однако, некоторые соображения в пользу порядка изложения темы, принятого в учебнике Киселева. Именно, если на протяжении почти всего курса теоремы, как правило, излагаются для наиболее общих случаев, а следствия даются для случаев более частных, то это не значит, что учащихся не следует познакомить с возможностью использовать и обратный прием — прием математически законного обобщения частного случая.

Кроме того, по крайней мере один из частных случаев, именно случай секущей и касательной, значительно важнее общего случая — двух секущих, и потому частный случай целесообразнее дать учащимся в виде теоремы.

7. В заметке «О формуле удвоения» тов. Кеслин (г. Киев) предлагает некоторое изменение вида формулы, а также и ее вывода.

Пусть AB — сторона правильного вписанного в круг многоугольника, имеющего п сторон, т. е. АВ = ап (черт. 8). Проведя диаметр MN, перпендикулярный к хорде AB, получим AM — сторону правильного вписанного в круг многоугольника, имеющего 2 п сторон, т. е. AM = а2п.

Хорда AM есть средний пропорциональный

Черт. 7.

отрезок между диаметром MN и проекцией хорды AM на этот диаметр, т. е.

ОР выражается через R и ап из Д О АР.

и, таким образом, получаем:

«В таком виде, —говорит автор, — формула более проста и удобна для вычислений».

Конечно, с утверждением автора, что приводимая им формула более проста по сравнению с общеизвестной формулой, согласиться нельзя, но что она удобна для вычислений, — это справедливо. Автор приводит образцы вычислений с помощью этой формулы.

Отметим, что в статье В. Серговского «Вычисление тг в средней школе» («Математика в школе», 1937, № 5 — 6) дается формула, предложенная т. Кеслиным и применяется автором для вычисления а384.

8. В заметке «Об одном доказательстве теоремы Пифагора» т. Е. И. Mайданников (г. Конотоп, УССР) предлагает небольшое видоизменение в доказательстве теоремы Пифагора (черт. 9).

В общеизвестном приеме доказательства теоремы, изложенном в стабильном учебнике, доказывается равновеликость треугольника СВМ половине прямоугольника PBMQ и равновеликость треугольника AHB половине квадрата CFHB и, таким образом, на основании равенства треугольников СВМ и AHB устанавливается равновеликость прямоугольника PBMQ и квадрата CFHB.

Тов. Майданников предлагает не строить вспомогательного треугольника AHB, а доказать равновеликость треугольника СВМ непосредственно как половине прямоугольника PBMQ, так и половине квадрата CFHB.

Треугольник СВМ равновелик половине квадрата CFHB, так как его основание ВС является стороной квадрата, а высота МК равна стороне квадрата, что вытекает из равенства прямоугольных треугольников ABC и ВМК (AB = ВМ; ZL KB M = ^ ВАС — как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Тов. Майданников указывает, что такой прием доказательства усваивается учащимися легче, чем приведенный в учебнике.

9. Тов. Д. Ф. Изаак (г. Орел, Чкаловской обл.) в заметке «Об одном приеме решения задач на многогранники» указывает, что при решении многих задач на многогранники используется формула

(черт. 10), где

Черт. 8.

Черт. 9.

ср — угол между наклонной AB и плоскостью Р, а—острый угол между наклонной AB и прямой ВС, принадлежащей плоскости Р, [3 — угол между прямой ВС и проекцией наклонной AB на плоскость Р.

Вывод приведенной формулы т. Изаак предлагает в таком виде:

Проводим OD±BC, тогда AD±BC.

откуда:

Тов. Изаак приводит несколько примеров применения полученной формулы, и на этом основании считает необходимым рекомендовать учащимся запомнить эту формулу.

Однако следует заметить, что применение данной формулы будет наиболее полезным, если сочетать ее с двумя обобщениями так называемой теоремы о трех перпендикулярах.

1-е обобщение. Если наклонная AB к плоскости Р образует равные углы с прямыми ВС, ВСХ, проведенными на плоскости Р, то проекция прямой AB на плоскость Р образует с этими прямыми равные углы (черт. 11).

2-е обобщение. Если проекция OB наклонной AB на плоскость Р образует равные углы с прямыми ВС и ВСХ, проведенными на плоскости Р, то и сама наклонная AB образует с этими прямыми равные углы.

Многие учителя еще в IX классе сообщают эти обобщения учащимся; если же эти обобщения учащимся не были сообщены в IX классе, то их можно получить как следствия из формулы:

В самом деле на основании выведенной формулы получим (черт. 11):

Если ^АВС = ^АВСХ, то cos ^ОВС = cos У ОВСх. откуда для данного случая вытекает и равенство углов:

^ОВС = </OBCv

Таким же образом доказывается и 2-е обобщение.

Если знать приведенную выше формулу и указанные обобщения теоремы о трех перпендикулярах, то составление плана решения и самое решение многих задач очень упрощаются.

В подтверждение своего утверждения т. Изаак приводит решение ряда задач, в том числе и такой задачи: «Все грани параллелепипеда — ромбы со стороной а и острым углом ос. Найти объем параллелепипеда».

Решение.

Объем V = Q •//, где Q — площадь основания, а И — высота параллелепипеда.

Высота АО параллелепипеда пересечет биссектрису ^BAD(так как yi Ах AB = AXAD), т. е. диагональ АС ромба ABCD (черт. 12).

Обозначим у^АхАО через л:.

Тогда:

Черт. 10. Черт. 11. Черт. 12.

Следовательно:

или

10. Тов. Вольпе (Ст. Пола, Новгородской обл.) в своей заметке «Цепная связь теорем», основываясь на мысли, что «необходимо, чтобы учащийся видел всю цепь теорем, которые использованы в данной теореме и были доказаны предварительно», приводит образцы таблиц, наглядно показывающих эту «цепь». Например, для теоремы об измерении вписанного угла автором дается такая таблица (черт. 13).

Черт. 13.

В этой же таблице перечисляются и те понятия, которыми приходится оперировать при доказательстве теоремы (вписанный угол, центральный угол, окружность, треугольник, угол, прямая точка).

О значении таких таблиц-схем неоднократно говорилось на методических совещаниях учителей и упоминалось в печати. Изучение, а в особенности составление таких таблиц приучит учащихся к логически обоснованным ответам, поможет им составлять объяснения к решению задач и т. п., учащиеся полнее и отчетливее осознают идею взаимосвязи теорем геометрии.

Тов. Вольпе указывает еще, что работа над составлением таких таблиц поможет и самому учителю, в частности в вопросе о заданиях для повторения.

О месте, которое должно занимать составление схем и таблиц указанного типа и работа над ними в условиях классных занятий, т. Вольпе высказывается несколько неопределенно.

«Такие схемы, сведенные в таблицы, — говорит автор,—должен иметь каждый преподаватель геометрии». Далее: «Если эта работа начата не с VI класса, то схемы связи теорем предлагается составить на занятиях математического кружка, а затем ознакомить с основными из них остальных учащихся».

Тов. Вольпе указывает также, что работу подобного рода можно проводить в форме своеобразной математической игры, организованной примерно так.

На отдельных карточках записывается ряд теорем, один из участников игры вытягивает одну из карточек, читает написанную на ней теорему и затем подбирает карточки, на которых написаны теоремы, нужные для доказательства доставшейся ему теоремы. После этого остальные участники вносят необходимые дополнения и исправляют сделанные ошибки.

Таким образом, все сказанное товарищем Вольпе по вопросу о внедрении описанного им приема в практику преподавания наводит на мысль, что автор ограничивает применение его в основном рамками внеклассных мероприятий.

Следует отметить, что в этом отношении некоторые преподаватели проявляют большую решительность и в практике своего преподавания требуют от учащихся составления таких схем на уроках во время ответов по заданному материалу и даже в порядке закрепления вновь изученной теоремы. Результаты этой работы учителя оценивают положительно.

Однако применять этот прием строго систематически из урока в урок все-таки не представляется целесообразным и возможным как по недостатку времени, так и в виду опас-

ности впасть в шаблон и своего рода формализм. Кроме сказанного, следует учесть и то обстоятельство, что при доказательстве теорем изученные ранее теоремы используются «неравномерно»: большей частью упоминаются все время одни и те же теоремы, а такое непрестанное повторение все одних и тех же теорем становится скучным и перестает быть эффективным.

Поэтому наиболее правильным будет применять на уроках изучение и составление таблиц доказательства теорем только эпизодически, главным образом, при изучении наиболее трудных теорем.

11. Тов. Н. Кириллов (г, Ярославль)указывает на возможность использовать обыкновенный химический штатив с тремя зажимами для построения моделей к ряду теорем и задач по стереометрии. Для этого надо заготовить набор плоских геометрических фигур, изготовленных из фанеры или картона: квадраты (20 см X 20 см), прямоугольники (20 см X X 30 см), параллелограмы со сторонами 20 см и 25 см, ромбы со стороной 20 см, треугольники— равносторонние, равнобедренные и прямоугольные, круги разных радиусов.

В качестве отрезков прямых могут служить натянутые резиновые шнурки, обмотанные нитками (они продаются в галантерейных магазинах). Шнурок можно закрепить в любой точке фигуры, для чего достаточно сделать шилом отверстие в нужной точке или надрез на стороне фигуры. Вместо отверстий и надрезов на фигурах можно пользоваться патефонными иголками, вставляя их в вершины или стороны фигур. В этом случае надо заготовить куски шнура с петельками на концах.

Пользуясь возможностью передвигать вставку штатива и вращать ее вокруг оси, можно собрать модели к очень многим задачам и теоремам.

Тов. Кириллов рекомендует заготовленные плоские фигуры окрасить в черный цвет, чтобы можно было проводить на них мелом различные вспомогательные линии.

12. Тов. А. М. Баранов (Хакассия, Аскиз) указывает в своей заметке на желательность ознакомления учащихся с формулой площади сегмента:

Формула эта почему-то не помещена в учебнике и, как правило, не сообщается учащимся, а между тем она весьма полезна, достаточно проста, и вывод ее несложен. В самом деле, пусть (черт. 14):

Черт. 14.

Тогда:

но

и потому:

Выражая R через а, получаем

Если, как указывает автор, основанием сегмента, т. е. хордой, будет служить сторона правильного многоугольника, имеющего п сторон, то формула площади сегмента примет вид:

В заметках тт. Андросенко (г. Бухара) и Приедите (г. Рига), о которых говорится ниже, формула площади сегмента приводится в ином, более простом виде благодаря применению радианного измерения дуг. В этом последнем виде формула представляет больший интерес.

13. Товарищи П. Андросенко (г.Бухара) и К. Д. Приедите (г. Рига) посвящают свои заметки вопросам использования радианной системы измерения дуг и углов в практике школы.

Тов. Андросенко, применяя радианное измерение дуг, приводит формулу площади сегмента, о которой уже говорилось выше, в таком виде:

где г — радиус круга, а— радианная мера дуги сегмента.

Тов. Андросенко указывает на удобство применения формулы в таком виде. Некоторый интерес представляет указываемое т. Андросенко следствие из этой формулы о зависимости между дугой сегмента и дугой равновеликого ему сектора.

Пусть г—радиус круга, а — радианная мера дуги сегмента, ах—радианная мера дуги равновеликого сегменту сектора, тогда:

т. е. «радианная мера дуги сегмента, уменьшенная на синус ее дуги, — говорит автор, — дает радианную меру дуги равновеликого сектора».

Это положение дает возможность заменять вычисление площади сегмента вычислением площади сектора.

Тов. Приедите указывает, что радианная система измерения дуг (углов) недостаточно отражена в школьном курсе математики, а между тем в технических вузах требуется свободное владение этой системой. Представляется необходимым, по мнению автора, расширить применение в школьном преподавании радианной системы измерения.

Не приводя полностью объяснений автора к введению понятия радианной меры, так как они в основном не отличаются от общепринятых, укажем все-таки некоторые интересные детали этих объяснений.

В «радианной системе измерение дуг выражается не в долях окружности, а в долях радиуса».

Из этого положения непосредственно выводится формула:

где р — радианная мера дуги, г и / — соответственно длины радиуса и дуги.

Далее: «Выясним единицу радианной системы измерения, т. е. когда р=1».

1 = —, или / = г, т. е. «один радиан содержит дугу, длина которой равна радиусу». В качестве образцов применения радианной меры, т. Приедите приводит примеры на вычисление.

1. Найти длину дуги (/), если г (радиус круга) = 5,0 см, и а (дуга сегмента) = 120°.

Для а =120° находим по таблицам Брадиса р = 2,09 и вычисляем по формуле / = р-г = 5,0-2,09« 10,5 (см).

2. Вычислить площадь сектора с дугой, равной 1 радиану.

Решение: 5сект. = г\

Этот результат автор заметки предлагает связать с квадратурой сектора, так как он оказывается равновеликим половине квадрата со стороной, равной г.

3. Вычислить площадь сегмента с дугой а =15°.

Находя по таблицам р = 0,2618, вычисляем по формуле:

4. Высота конуса равна 4 дм, радиус основания равен 3 дм. Боковая поверхность конуса развернута на плоскость. Найти угол полученного сектора (Рыбкин, § 14, № 27).

Решение. Пусть р — искомый угол в радианной мере, / — образующая конуса,/? — радиус основания, H — высота,

Составляем уравнение

решаем его:

Подставляя числовые данные, получаем:

Нам представляется, что ознакомление учащихся с приводимой авторами формулой площади сегмента является весьма целесообразным; особенно потому, что применение этой формулы приучит учащихся пользоваться радианным измерением дуг.

Чтобы не обременять учащихся увеличением числа формул, подлежащих запоминанию, можно введение этой формулы компенсировать

исключением формул приближенного вычисления площади сегмента, которыми ни один преподаватель, вероятно, не пользуется при решении задач (Киселев, § 269).

14, В статье «К вопросу проверки корней тригонометрических уравнений» т. Л. Ревия (Тбилиси) указывает весьма целесообразный прием проверки корней.

С сущностью этого приема удобнее всего познакомиться на примере, приводимом автором.

Пример. Решить уравнение:

Решение.

К проверке корней т. Ревия дает такое указание: «Если будем иметь дело с долями периода, то тогда переменной k следует придать такие значения, чтобы выделялись целые периоды». (Это указание является главным звеном в том приеме проверки, который применяет т. Ревия.)

Проверка.

Левая часть уравнения

Чтобы выделить в аргументе периоды, следует положить:

Таким образом будут получены все значения, которые может принимать выражение:

имеем:

Значение х{ = 180° k является корнем данного уравнения.

Левая часть равна:

В данном примере при проверке можно было бы обойтись без приближенных вычислений, поступая таким образом:

Значения х2,з ^ zt 180° k ± 35° 16' являются корнями данного уравнения.

Отрицательной стороной заметки т. Ревия следует признать то, что автор производит проверку корней независимо от того, приводили ли применявшиеся преобразования к уравнениям, равносильным данному, или могли получаться уравнения неравносильные. По крайней мере в пяти примерах из разобранных семи преобразования не могли привести к уравнению, неравносильному данному, и все-таки т. Ревия неукоснительно производит проверку получившихся корней.

Нам представляется, что в X классе следует требовать, чтобы учащиеся разбирались в вопросах равносильности уравнений и прибегали к проверке корней только в тех случаях, когда могли появиться посторонние корни.

Поэтому-то из всех примеров, разобранных автором, пришлось выбрать приведенный выше, хотя он и не является наиболее показательным,

но в процессе преобразований данного уравнения могли появиться посторонние корни и потому необходимость прозерки корней является бесспорной.

В некоторых случаях предлагаемый т. Ревия прием проверки корней оказывается довольно громоздким. Так, чтобы проверить равенство

cos (288° k 4 144°) + cos (72° k + 36°) = О,

автор последовательно принимает:

к = Ъ п; 5 п~\-\\ 5 п -j— 2\ 5 /z —f- 2; 5/I-J-3 и Ъп+А.

Подобные случаи не единичны (даже если иметь в виду только задачник Рыбкина), поэтому следует предостеречь от чрезмерного увлечения проверкой корней и не требовать, как правило, проверки в тех случаях, когда нет опасности появления посторонних корней.

15. Тов. И. Г. Альтшулер (г. Ленинград) в заметке, посвященной решению задач на доказательство тригонометрических тождеств при условии:

а 4- у = Î80° (см. задачник Рыбкина, § 13, № 39 — 49), указывает интересные варианты решений этих примеров.

Так, для примера № 48 т. Альтшулер предлагает такой прием решения:

можно на основании примера № 39 записать:

Аналогично решает т. Альтшулер и пример № 49.

Для примера № 42 т. Альтшулер использует такой любопытный прием решения:

Зная, что

записанное тождество представляем в таком виде:

далее:

Деля обе части равенства получаем:

Эти формулы действительно имеют широкое применение при решении тригонометрических уравнений, а в особенности при интегрировании тригонометрических выражений, поэтому приучить учащихся пользоваться ими весьма желательно.

В заключение т. Альтшулер предлагает решать примеры № 39—49 в таком порядке: 39, 40, 48, 49, 46, 47, 41, 45, 42, 43, 44.

16. Тов. А, Н. Гуляев (г. Малмыж Кировской обл.) в своей заметке «Из опыта работы» указывает на желательность приучить учащихся к мысли, что каждый аргумент тригонометрической функции можно рассматривать то как двойной, то как половинный, то как сумму или разность двух аргументов и т. д. С этой целью автор применяет преобразования одного и того же выражения с помощью разных формул. Таким образом, получается цепь равенств.

Например:

Далее т. Альтшулер указывает, что, решив примеры № 41 и 43, можно примеры № 45 и 44 свести к этим примерам, если в примере № 45 котангенсы выразить через тангенсы, а в примере № 44, наоборот, тангенсы выразить через котангенсы.

Для решения примеров № 46 и 47 автор считает наиболее целесообразным воспользоваться формулами «понижения степени»:

Подобного рода преобразования, по мысли автора, помогут преподавателю преодолеть формализм усвоения тригонометрических формул — явление очень распространенное в школьной практике. С этой же целью т. Гуляев предлагает в примерах, взятых из задачника Рыбкина, усложнять аргумент и, в частности, чаще выражать его в радианной мере, особенно при повторении курса в X классе. Например, пример № 20(a) из § 11 (на преобразование

к виду, удобному для логарифмирования) задать при повторении раздела в X классе в таком виде:

Пример № 20(b) задать в таком виде:

Решение стереометрических задач с применением тригонометрии автор находит полезным завершать небольшим исследованием.

Пусть, например, дана задача: «Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен а, определить двугранный угол ß между боковыми гранями пирамиды».

Ответ получается в виде:

Учащимся, говорит автор, предлагается, исследуя полученную формулу, установить, как изменяется угол ß при изменении высоты от 0 до оо, если основание пирамиды остается неизменным.

Ответ. При увеличении высоты от 0 до оо угол а уменьшается от 120 до 0°, и, следовательно, угол ß уменьшается от 180 до 60°.

Подобного рода исследования, конечно, весьма элементарны; в настоящее время ряд преподавателей работает над методикой проведения исследования в значительно более сложных случаях, но все-таки и случаи исследования, проводимые т. Гуляевым, могут принести известную пользу.

Повторение в X классе темы «Мнимые числа» т. Гуляев находит целесообразным связать с повторением темы «Обратные тригонометрические функции». С этой целью аргумент комплексного числа в тригонометрической форме следует представлять в виде обратной тригонометрической функции.

Например,

Это указание т. Гуляева тоже представляет интерес, так как практика показывает, что учащиеся пытаются самостоятельно применять подобного рода запись и допускают при этом те или иные ошибки.

17. В объяснительной записке к программе IX класса по математике указывается, что теорему о перпендикуляре к плоскости следует излагать в общем виде, т. е. не ограничиваясь случаем прохождения прямых, проведенных на плоскости через основание перпендикуляра. Таким же образом естественно излагать и теорему о «трех перпендикулярах».

Тов. Т. К. Шабашев (г. Ногинск Московской обл.) приводит доказательство этих теорем, изложенных в обобщенном виде. Доказательство каждой теоремы разбивается на две части. В первой части теорема доказывается для частного случая, указанного в учебнике. Во второй части теорема распространяется на общий случай.

Эту вторую часть доказательства теоремы о перпендикуляре к плоскости т. Шабашев излагает таким образом (черт. 15):

Дано: СЕ, CD, FL — в плоскости Р.

AB _L СЕ; AB 1 CD. Требуется доказать: AB ± FL. Доказательство.

Для доказательства проводим через точку В в плоскости Р прямые ВЕг || CE; BDX || CD; BLX У FL.

На основании определения угла между скрещивающимися прямыми {AB к CD и AB к СЕ) и условия теоремы имеем:

Откуда AB J_ BLX и, следовательно. AB _L FL (ч. т. д.).

Подобным же образом проводится и доказательство теоремы о трех перпендикулярах в общем виде.

Как правильно указывает т. Шабашев, для

Черт. 15.

изложения теорем в общем виде приходится сделать некоторое изменение в порядке прохождения учебного материала. Именно, вопрос об угле между скрещивающимися прямыми изложить до изучения теорем о перпендикуляре к плоскости, т. е. значительно раньше, чем это сделано в учебнике. Осуществить эту перестановку вполне возможно и даже естественно, так как определение угла между скрещивающимися прямыми основывается только на свойствах параллельных прямых.

В дальнейшей части своей работы т. Шабашев приводит решение нескольких задач, чтобы показать, как облегчается оно благодаря изложению теорем о двух и трех перпендикулярах в обобщенном виде. Решение одной из задач в изложении т. Шабашева приводится ниже; при этом следует отметить полноту и ясность объяснений, данных тов. Шабашевым.

Задача (Рыбкин, Сборник задач по геометрии, ч. II, § 3, № 25).

В правильной треугольной пирамиде S ABC сторона основания, а и боковое ребро Ъ. Провести в этой пирамиде плоскость через середины ребер AB и ВС параллельно ребру ЪВ. Определить площадь полученного сечения (черт. 16).

Тов. Шабашев излагает решение этой задачи в таком виде. Пусть точки L и N—середины сторон AB и ВС основания пирамиды S ABC. Тогда LN — средняя линия треугольника ABC служит линией пересечения плоскости сечения с плоскостью основания пирамиды:

Плоскость грани ASB проходит через прямую SB, по условию параллельную плоскости сечения, и пересекает эту прямую (так как имеет с ней общую точку L) по прямой KL II *В,

Таким же образом найдем линию MN пересечения плоскости сечения с гранью пирамиды S ВС:

MN И SB.

Соединив точки К и М, получим линию пересечения плоскости сечения с гранью A SC.

Так как KL \\ SB и MN \\ SB, то KL \\ MN.

Прямая LN И АС, а потому LN || плоскости ASC.

Плоскость сечения, проходя через прямую LN, параллельную плоскости ASC, пересекает ее по прямой КМ || LN. В сечении получили четырехугольник KLMN, являющийся параллелограмом, так как у него, по доказанному, противоположные стороны попарно параллельны.

Докажем, что параллелограм KLMN—прямоугольник.

Пусть О — центр основания пирамиды. Тогда ВО _[_ АС, как отрезок высоты правильного Д ABC, и ВО J_ LN на основании теоремы о перпендикуляре к одной из двух параллельных прямых (LN У АС).

Но OB есть проекция наклонной SB на плоскость Д ABC, а потому на основании теоремы о трех перпендикулярах LN J_ SB.

По доказанному выше KL \\ SB, следовательно, LN J_KL и параллелограм KMNL является прямоугольником а1 = LB по условию, KL II SB по доказанному, следовательно

но, АХ — средняя линия Д ASB; KL= — = . Площадь прямоугольника KMNL =

Черт. 16.

ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ДРОБИ

Я. П. АНОХИН (Пензенская обл.)

В настоящей заметке будет идти речь об одном из способов решения некоторых смешанных задач на нахождение дроби числа и числа по данной его дроби.

Работая в шестых классах семилетней школы, я применял этот способ при повторении, он оправдал себя, как наиболее рациональный и доступный для учащихся. Его можно применять и в пятых классах.

Приведу образцы решения задач этим способом.

Задача 1. Сумма трех чисел равна 110. yj одного числа равны у второго и третьего. Найти эти числа.

Схематическая запись условия задачи:

По такой записи легко проводить работу над условием задачи.

Работа над условием проводится по такому плану:

а) Что требуется найти в задаче? (Три числа.)

б) Что известно про эти числа? (Сумма их равна 110, кроме того,

в) Как вы понимаете, что

(Если первое число умножить на -jy, а второе на у, а третье на —, то получим равные числа, или: если первое число разделим на 11 и результат умножим на 3, второе число разделим на 7 и результат умножим на 3, третье число разделим на 4 и результат умножим на 3, то получим равные числа.)

При работе над условием задачи больше внимания уделяю на нахождение дроби числа в два действия.

Решение

Если первое искомое число (I) разделить на 11 равных частей и взять 3 таких части, второе искомое число (II) разделить на 7 равных частей и взять тоже 3 части и третье искомое число (III) разделить на 4 равные части и взять тоже 3 части, то по условию задачи получим равные числа.

Отсюда заключаем, что частные от деления I на 11, II на 7, III на 4 равны, так как, взяв три части от деления I на 7, три части от деления II на 7 и три части от деления III на 4, получим равные результаты.

Сказанное поясняю и на чертеже (черт. 1).

При объяснении обязательно надо подчеркнуть, что частные от деления I на 11, II на 7, III на 4 равны, так как в условии задачи говорится, что взяв по три (одинаковое число) частных, получим равные результаты. Принимая любое из частных за одну «теть, можно заключить, что первое искомое число содержит 11 частей, второе — 7 частей, третье — 4 части, т. е. столько, сколько единиц в знаменателе уравнивающей дроби (дроби j|» я называю уравнивающими дробями, так как умножив на них искомое число, получим равные числа).

Дальнейшее решение пойдет очень легко:

Проверка:

Черт. 1.

Такая проверка глубже пояснит сущность задачи и ее решение.

При решении данной задачи и подобных ей, обращаю внимание, что уравнивающие дроби уу, у» -у имеют равные числители.

Вывод. Если уравнивающие дроби — с равными числителями, то искомые числа содержат столько частей, каков знаменатель соответствующей уравнивающей дроби.

Когда учащиеся усвоят это положение, то приступаю к решению задач, в которых уравнивающие дроби даны с разными числителями.

Задача 2. Со склада трем магазинам выдали 1300 кг сахара. Сколько килограммов получил каждый магазин, если известно, что ^- числа килограммов, выданных первому магазину, равны числа килограммов, выданных второму, и у числа килограммов, выданных третьему?

Схематическая запись условия задачи:

Как видим, в данной задаче уравнивающие дроби р у, у с разными числителями.

Можно ли сказать, что первому магазину выдали 5 частей, второму 3 части, третьему 7 частей? Нет, так как частные от деления числа килограммов, выданных первому магазину» на 5, числа килограммов, выданных второму магазину, на 3, и числа килограммов, выданных третьему магазину, на 7 — разные, ибо для получения равного числа килограммов, первое частное надо взять три раза, второе два раза и третье шесть раз.

Поясняю сказанное на графиках (черт. 2 и 3).

Чтобы узнать, сколько частей выдали каждому магазину, приведем уравнивающие дроби к одинаковым числителям, тогда получим:

Теперь можем сказать, что первому магазину выдали 10 частей, второму 9 частей, а третьему 7 частей. Графическая иллюстрация подтверждает сказанное.

Дальнейший ход задачи ясен.

Целесообразно провести проверку, как и в задаче 1.

Примечание: В шестых классах я немного видоизменял решение подобных задач. Например, задачу 2 решали и так: сначала узнаем, в каком отношении находятся числа килограммов, выданных магазинам: I : II : III = 10:9:7.

Суть дела, как видно, не менялась.

Черт. 2.

Черт. 3.

ОТ РЕДАКЦИИ

В статье М. В. Яковкина „Об энциклопедии элементарной математики“, помещенной в № 3 журнала .Математика в школе“ за 1952 г., вкралась опечатка:

стр. 67, левый столбец, 6 строка снизу напечатано следует

(стр. 16 и 17) (стр. 16 и 77)

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ПРОПАГАНДА ПЕРЕДОВОГО ОПЫТА УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ (Сборники институтов усовершенствования учителей за 1947—1951 гг.*)

А. В. ЛАНКОВ (Молотов)

Одной из действенных форм популяризации передового опыта учителей является издание методических сборников, в которых публикуются работы учителей.

Из года в год издание методических сборников институтов усовершенствования учителей увеличивается, улучшается их содержание. За период 1947—1951 гг. мы нашли более 20 сборников, содержащих работы методико-математического характера и ряд отдельных изделий. Некоторые институты выпустили специальные сборники, посвященные только преподаванию математики (Воронежский, Калужский, Краснодарский, Ленинградский городской, Ленинградский областной, Рязанский, Тюменский). К сожалению, такие сборники выпускаются не всеми институтами усовершенствования учителей, печатаются небольшими тиражами и не всегда проходят через книготорговую сеть. Поэтому знакомство с этими сборниками затруднено, и их влияние обычно не выходит за пределы той территории, которую обслуживает соответствующий институт усовершенствования учителей.

Общие вопросы методики математики

1. Одним из основных вопросов, особенно важных для учителя и недостаточно освещенных в методике, является вопрос об идейно-политическом воспитании на занятиях по математике. Этому вопросу посвящена содержательная статья С. М. Чуканцова в калужском сборнике**.

Наиболее эффективным средством воспитания советского патриотизма автор считает популяризацию великих достижений нашего народа в области математики. «Имеется ли возможность у преподавателя математики,— говорит он,— раскрыть перед учащимися заслуги передовых деятелей математической науки перед человечеством, показать героизм и патриотический подъем нашего народа, его бескорыстное служение делу освобождения человечества от гнета и эксплуатации?» Автор отвечает на этот вопрос утвердительно и подробно характеризует отдельные этапы работы. В связи с арифметикой автор останавливается на заслугах П. Л. Чебышева, Л. Эйлера, Л. Ф. Магницкого. В геометрии он подробно освещает деятельность Н. И. Лобачевского. Происхождение алгебры автор связывает с деятельностью Мухамеда ибн Музы Альхорезми (ошибочно называя его арабским математиком, так как родиной его является Хорезм — ныне территория Узбекской ССР). Много сведений автор дает о советских математиках: И. М. Виноградове, Л. С. Понтрягине, П. С. Александрове и др.

С. М. Чуканцов не ограничивается сообщением фактических сведений о том или ином математике: он указывает, в какой форме и когда можно использовать эти сведения, приводит интересные примеры проведения соответствующей беседы в школах г. Калуги (учителя В. М. Виноградова, Л. Н. Сенник, Н. С. Сторожева), указывает литературу. Автор отмечает трудности работы. Основными трудностями являются несовершенство учебников и отсутствие соответствующей (историко-математической) литературы.

Великие достижения нашей родины, грандиозные темпы социалистического строительства, колоссальный размах восстановительных работ в Советском Союзе могут быть показаны в задачах. Автор приводит в качестве образца 13 задач, из которых б задач построены на данных из народного хозяйства Калужской области***.

Работа С. М. Чуканцова тем и ценна, что отражает живой опыт работы школ.

О том, как можно использовать уроки математики в целях воспитания коммунистического мировоззрения учащихся, пишет в Рязанском сборнике т. Кислова****. Она указывает, что в практике рабо-

* Часть материала подобрана студентами IV курса педагогического института Р. Бояринцевой и И. Кокорышкиной.— А. Л.

** Воспитание советского патриотизма в процессе изучения математики в средней школе, сб. «В помощь учителю математики» под ред. П. Н. Четверикова и М. Н. Денисова, Калуга, 1949.

*** Большой материал по этому вопросу автор дал в журнале «Математика в школе», 1948, № 6.

**** Идейно-политическое воспитание на уроках математики, сб. «В помощь учителю», Рязань, 1950.

ты школ идейно-лолитическое воспитание нередко сводится к знакомству с биографиями и деятельностью выдающихся математиков, что совершенно недостаточно.

Работа т. Кисловой является как бы дополнением к статье С. М. Чуканцова. Автор рекомендует для воспитательных целей использовать математическую теорию. Изучение теории предлагается проводить индуктивным методом. Учащиеся становятся как бы участниками открытия новых для них математических фактов.

2. Не менее существенным и актуальным вопросом является борьба за высокую успеваемость по математике. Работы на эту тему встречаются в сборниках пяти институтов. На более ценные статьи по этому вопросу имеются в воронежском сборнике*.

В работе каждого учителя, говорит П. К. Таркавич, должна проводиться определенная система мероприятий, обеспечивающая высокую успеваемость: тщательная подготовка учителя к уроку, глубокое овладение своим предметом, связь теории с практикой, учет индивидуальных особенностей учащихся и применение индивидуальных заданий, широкое разнообразие приемов и средств по закреплению усвоенного материала, самостоятельная работа учащихся, правильная организация внеклассной работы и т. д.

Автор указывает, что все эти мероприятия помогли ему добиться в своей практике почти полной ликвидации второгодничества.

Голос учителя-творца, добивающегося высоких результатов не механическим повышением оценок, а продуманной «до мелочей» постановкой работы, чувствуется в этой статье.

Н. М. Бублик добивается высокой успеваемости путем введения индивидуальных «лицевых счетов», в которых систематически фиксируются все пробелы и недочеты отстающих учащихся и намечаются конкретные меры их ликвидации**. Результат был исключительно велик: к концу учебного года класс достиг высокой успеваемости, экзамены выдержали все учащиеся.

В ярославском сборнике помещена статья П. И. Смирновой***. Автор уделяет большое внимание психологическим факторам: преемственности в работе четвертых-пятых классов, изучению особенностей класса в целом и отдельных учащихся и т. д. Вопрос о преемственности в работе средней и начальной школы освещает также заслуженная учительница т. Заболотная в великолукском сборнике****. и в той и в другой работах проводится мысль, что учителя пятых классов должны начинать изучение своих будущих учеников в IV классе начальной школы. В средней школе необходимо на первых шагах так строить работу, чтобы требования к учащимся не шли вразрез с требованиями в начальной школе. Эта мысль заслуживает большого внимания: нередки случаи, когда работа в V классе

чрезмерно формализируется; когда в общей массе не замечаются отдельные ученики; когда ученики всецело предоставляются себе, в то время как в начальной школе они постоянно находятся в тесном общении с учителем.

В статьях т. Щербатова***** и т. Фридман****** делаются попытки классифицировать допущенные в работах ошибки и выяснить причины их появления.

В сборнике Воронежского института (1950 г.) помещена интересная статья «Анализ практического материала к экзаменационным билетам», вскрывающая положительные и отрицательные стороны подготовки учителя к экзаменам, в частности подбора задач и примеров к билетам.

Все эти статьи заставляют. учителя прежде всего задуматься над подбором задач и примеров для контрольных работ и экзаменов, а затем более; глубоко и проникновенно отнестись к результатам работ.

3. Большим вопросом является методика повторения. Как оно должно быть организовано, какое место необходимо ему отвести, какие цели оно преследует — на эти вопросы методическая и учебная литература не дает окончательного ответа.

Эта тема освещается в работах С. Е. Ляпина******* и Р. Б. Срода********.

В первой статье разработаны формы повторения математического материала, приведены общие методические указания по повторению, дано много примеров и задач, которые можно использовать для углубления и систематизации знаний учащихся.

Во второй статье проводится правильная мысль, что повторение не должно сводиться к механическому воспроизведению в памяти пройденного материала. Автор различает следующие виды повторения: повторение, предшествующее объяснению нового материала, и повторение в конце изучаемой темы. Второй вид повторения дает возможность осветить пройденный материал с другой точки зрения и таким образом прочно закрепить его в памяти*********.

4. Слабое отражение в сборниках находит внеклассная работа по математике, хотя этот вопрос и не принадлежит к числу глубоко разработанных в математической литературе.

В воронежском сборнике в статье К- А. Севастьяновой********** автор, на основании своей практики, дает подробное описание таких форм работы, как математический кружок, математический турнир, пионерский тематический сбор, математическая газета,

* П. К. Тарнавич, Из опыта повышения успеваемости учащихся по математике, сб. «Опыт передовых учителей», «За высокую успеваемость учащихся по математике», под ред. Иванова, Воронеж, 1951.

** Н. М. Бублик, Опыт работы с отстающими учащимися методом индивидуальных задач, там же.

*** Предупреждение неуспеваемости по математике, сб. «В помощь молодому учителю», Ярославль, 1951.

**** Предупреждение неуспеваемости и второгодничества в школах, методический сборник, Великие Луки, 1951.

***** Анализ письменных работ по русскому языку и математике за 1948/49 учебный год, Томский областной институт, 1949.

****** Анализ полугодовых контрольных работ по математике, сб. Красноярского областного института, 1950.

******* Некоторые соображения о повторении математики в средней школе, методический сборник «Математика в школе» Ленинградского областного института, 1947.

******** Повторение на уроках математики, Астраханский институт, 1950.

********* Вопрос о повторении был особенно подробно разработан в статье Н. Н. Полозовой и И. Я. Депмана «Система и методика повторения в V—X классах», сб. «В помощь учителю», Ленинградского городского института, 1945. Но разбор этой интересной работы выходит за пределы нашей статьи.— А. Л.

********** Внешкольная работа с учащимися V класса, сб. «Опыт передовых учителей», Воронеж, 1951.

олимпиада. Статья представляет ценность по той причине, что в V классе обычно внеклассная работа недооценивается. В статье излагается и организационная сторона дела и приводится большой фактический материал, над которым работают учащиеся под руководством преподавателя.

Заслуживает внимания небольшая статья Е. П. Смирновой о работе с учебником*. Приучение учащихся к учебнику требует от учителя длительной и кропотливой работы. Автор требует не механического запоминания материала по книге, а добивается сознательного усвоения: учащиеся подбирают свои примеры, дают доказательства теорем при ином расположении данных и т. д.

Методика арифметики

Преподавание арифметики в V и VI классах средней школы, казалось бы, должно явиться одним из актуальных вопросов, однако сборники, издаваемые институтами усовершенствования учителей, освещают вопросы преподавания арифметики без достаточного углубления.

Ленинградский областной институт в 1947 г. выпустил специальный сборник, посвященный арифметике**. В нем помещено семь статей по вопросам преподавания арифметики в начальной школе. Разбор их не входит в нашу задачу, однако некоторые вопросы стоят в одинаковой степени остро как в начальной, так и в средней школе (решение задач, устные вычисления).

Одна из статей этого сборника (Е. И. Отто, Виды арифметических задач) ставит старый вопрос о классификации задач. Автор рекомендует учителям классификацию задач, предложенную в свое время И. И. Александровым. «Тип задачи, — говорит Александров, — зависит лишь от той математической зависимости данных и искомых, которая определяет тот или иной способ решения». Однако совершенно ясно, что «зависимость данных и искомых» не всегда определяет тот или иной способ решения: почти каждая сложная задача может быть решена несколькими способами. Следовательно, основание данной классификации представляется неопределенным и может привести лишь к шаблонам в решении. Е. И, Отто из 12 типов И. И. Александрова берет 6 типов.

Некоторые типы звучат несколько странно, например II тип — задачи на нахождение чисел по результатам действий, III тип — задачи на движение. К типу задач на движение можно привести множество задач, в условиях которых не говорится о движении, а решение будет такое же, как и решение задач на движение.

Вопрос о классификации (в частности, о «типизации») задач поставлен почти 100 лет назад и до настоящего времени не решен (и вряд ли может быть решен). Нет смысла делить задачи на «типовые» и «нетиповые», как это делает Е. И. Отто. Эти понятия нельзя отнести к числу научных.

Решению примеров посвящена работа А. В. Дрокина в Краснодарском сборнике***. Автор в своей статье освещает вопрос о записи решения сложных примеров. Школьная практика имеет дело с двумя видами решения примеров и записи: решение по частям, решение «цепочкой». Автор дает следующую схему записи: если комбинированный сложный пример содержит лишь действия, которые выполняются устно, то решение записывается путем последовательных преобразований «цепочкой»; если в примере имеются действия, которые требуют письменных вычислений, то только их надо выполнять отдельно, а результаты вносить в цепь преобразований, не прерывая последних, если, наконец, все или большинство действий настолько трудны, что могут быть выполнены только письменно, то решать пример следует по частям.

Вопрос не имеет принципиального значения, но его практическое значение весьма велико. Ученики, не приученные в V классе к последовательной записи («цепочкой»), встречают большие затруднения при решении примеров на тождественные преобразования в алгебре.

Устным вычислениям посвящены статьи С. В. Воронина**** и заслуженной учительницы А. К. Станкевич*****. В этих статьях приведено большое количество примеров и упражнений, но отсутствует теория и мало методики. Например, умножение на 25 у С. В. Воронина регулируется правилом: разделить множимое на 4 и результат умножить на 100. А почему? Не исключена возможность, что некоторые учителя будут подходить к вопросу также догматически, что совсем нежелательно.

Освещение вопроса с точки зрения методики также необходимо. Берем пример из статьи А. К. Станкевича:

792 — 77 - 79 = 79(79 — 77) = 79 • 2 = 158.

Несомненно, результат легко вычисляется устно, но в каком классе и в связи с каким материалом можно впервые объяснить такое решение?

Более содержательна и интересна другая статья С. В. Воронина о функциональной зависимости, помещенная в калужском сборнике******. Автор проводит правильную мысль, что «уяснение этой зависимости должно получиться не в результате заучивания каких-либо формул и правил» (курсив наш). Методику вопроса автор начинает строить сначала для начальной школы: «без помощи последней, — говорит он, — нет возможности надеяться на успешную разработку этого вопроса в неполной средней школе. Если нет предварительной базы, то где найдет время учитель для ее создания в V и VI классах?» Очень хорошо, что автор не забывает об этой преемственности.

Несколько теоретично построена статья Б. Н. Кузнецова в иркутском сборнике, где автор также касается вопроса о функциональной зависимости*******. Автор рекомендует начинать знакомство с функциональной зависимостью с V класса. В этом отношении более прав С. В. Воронин, утверждающий необходимость преемственности начальной и средней школы.

Интересна попытка автора ввести понятие «мно-

* Как я учу учащихся работать с учебником, сб. «В помощь учителю», Рязань, 1950.

** Сборник статей по арифметике Ленинградского областного института усовершенствования учителей, 1947.

*** Два способа решения сложных арифметических примеров, сб. методических статей «В помощь учителю», вып. 1, Краснодар, 1949.

**** Подготовка учителя к проведению беглого устного и письменного счета, сб. «В помощь учителю математики», Калуга, 1949.

***** Устный счет в средней школе, сб. «Учителя о своем опыте», Куйбышев, 1951.

****** Внедрение понятия о функциональной зависимости в связи с понятием пропорциональных величин, сб. «В помощь учителю математики», Калуга, 1949.

******* Некоторые выводы из опыта преподавания арифметики в V классе, сб. «В помощь учителю», вып. 2, Иркутск, 1950.

жества» в курс арифметики V класса, но автор делает лишь намек на это, не развивая своей точки зрения. Таково же отношение автора и к функциональной зависимости.

В статье Б. Н. Кузнецова учитель встретит некоторые новые мысли, но не найдет конкретного материала.

Вопросу об усилении роли арифметики в среднешкольном образовании посвящают свои статьи Н. Н. Полозова* и И. Я. Депман**.

Основные мысли Н. Н. Полозова формулирует следующим образом:

«1) арифметика должна лежать в основе математических дисциплин средней школы;

2) правильно поставленный курс арифметики повышает и углубляет знания учащихся в области других математических дисциплин;

3) основные идеи математики должны получить начало своего развития в начальной школе;

4) учителя математики средней школы продолжают работу над дальнейшим развитием и углублением основных вопросов, поднятых на уроках арифметики в начальной школе».

Статья И. Я. Депмана также доказывает необходимость усиления роли арифметики при прохождении курса элементарной математики***.

Статья содержит много сведений из истории математики, много фактов, но, к сожалению, автор несколько увлекается буржуазными математиками, методистами и психологами (Уайтхед, Л. Пуанкаре, Торндайк, Юнг и др.).

Обилие имен и цитат нередко нарушает стройность изложения.

Автор предлагает «восстановить в нашей школе преподавание арифметики в историческом значении этого слова». Он против превращения арифметики в «счетную мудрость», он за усиление теории и смеете с тем за усиление роли индукции в преподавании арифметики.

Методика алгебры

Работы по методике алгебры более многочисленны. Однако обращают на себя внимание следующие факты: 8 работ (из 16) напечатаны в ленинградских сборниках; из них большая часть принадлежит работникам Ленинградских вузов.

Таким образом, ленинградские сборники в основном имеют несколько академический характер. Многие работы, помещенные в них, безусловно интересны, и если мы не останавливаемся на них, то лишь по той причине, что нас больше интересует живой опыт непосредственных участников педагогического процесса в школе — учителей.

Главным вопросом, который освещается в работах учителей, являются уравнения. Эта тема разрабатывается в пяти статьях****.

На разборе конкретной задачи В. М. Дрокин показывает, как нужно составлять уравнения и исследовать решение в старших классах. При составлении уравнений иногда обращается большое внимание на составление вспомогательных алгебраических выражений и совсем не обосновывается главный момент — составление уравнения. В этом ошибка многих уроков, на которую указывает автор.

Работы Г. Г. Люшина, М. П. Поспелова и Л. В. Селивановой относятся к квадратным уравнениям.

Л. В. Селиванова в своей статье описывает опыт работы учительницы средней школы № 2 г. Сыктывкара А. А. Поповой. В статье дается календарный план работы т. Поповой по разработке темы «квадратные уравнения» и три конспекта уроков. В конспектах указывается использованная при подготовке к уроку литература. Статья показывает, как учитель должен готовиться к урокам, чтобы провести их с максимальным успехом.

В таком же плане разработана и статья М. П. Поспелова. Автор освещает следующие этапы работы: а) анализ задачи, б) составление и решение квадратного уравнения, в) проверка решения, г) определение соответствия найденных корней уравнения условию задачи и д) проверка решения задачи и оформление в тетради всех записей, относящихся к ее решению.

Статьи тт. Селивановой и Поспелова могут быть использованы с большим интересом учителями математики.

Одна работа посвящается неравенствам*****. В ней автор исследование квадратного трехчлена и решение неравенств проводит графическим методом.

В краснодарском сборнике (вып. II, 1948 г.) имеется ценная статья А. В. Дрокина «Алгебраические задачи на тождественные преобразования».

Автор приводит дополнительные задачи на тождественные преобразования, отсутствующие в принятой учебной литературе. Эти задачи делятся на два вида: 1) арифметические задачи, данные которых (все или только часть) обозначены буквами, и 2) алгебраические задачи на доказательство тех или иных свойств некоторых числовых множеств.

При решении задач первого вида ученики приобретают навыки в составлении алгебраических выражений по условиям конкретных задач. Второй вид задач — задачи на доказательство в алгебре — приучает учащихся к самостоятельному творческому мышлению.

Тождественным преобразованиям (и изучению уравнений) посвящается содержательная статья П. А. Буданцева в Чкаловском сборнике******. Автор при-

* К вопросу о преподавании арифметики в школе, сб. статей Ленинградского городского института усовершенствования учителей, 1947.

** Арифметика в курсе средней школы, сб. статей Ленинградского городского института усовершенствования учителей, 1947.

*** Эта статья является докладом автора на конференции ленинградских учителей в начале 1943 г., в дни самой жестокой блокады. — А. Л.

**** 1) А. В. Дрокин, О задачах по алгебре на составление и исследование уравнений, методический сборник, вып. 2. Пособие для учителей математики, Краснодар, 1949.

2) Г. Г. Люшин, Об исследовании квадратных уравнений в курсе X класса, сб. «В помощь учителю», Иркутск, 1950.

3) М. П. Поспелов, План проведения открытого урока по алгебре в VIII классе, сб. «В помощь учителю математики», Тюмень, 1948.

4) Л. В. Селиванова, Решение задач с помощью квадратных уравнений, сб. «В помощь школе», Коми АССР, 1951.

5) Мозалев, Приемы решения задач в V и VI классах, методический сборник № 2, Великие Луки, 1951.

***** Б. :П. Бычков, Исследование квадратного трехчлена и решение неравенств 2-й степени, сб. «В помощь учителю математики», Тюмень, 1948.

****** О функциональной трактовке при изучении уравнений, неравенств и тождественных преобразований в школьном курсе алгебры и тригонометрии, сб. «В помощь учителю», Чкалов, 1950.

меняет понятие об области допустимых значений параметра и такую трактовку называет функциональной. Функциональная трактовка, по его мнению, является выражением первой черты диалектического метода и, следовательно, должна составлять методологическую основу при изучении математики. Функциональная трактовка есть одно из средств воспитания диалектического мышления.

Статья интересна тем, что отражает опыт работы группы учителей г. Чкалова (заслуж. учительница А. Ф. Белихова, Е. А. Ветрова, А. М. Егорова, А. X. Иоффе, К. И. Кривоколенко, А. Н. Курбатов, Т. И. Николаева, А. Ф. Самойлова, С. Т. Смелова, Н. В. Чиликин).

Заканчивая статью, автор отмечает значение функциональной трактовки следующим образом: она «1) приучает учащихся мыслить диалектически; 2) предохраняет учителей и учащихся от грубых ошибок научного и методического характера, к сожалению, имеющих место и по сей день, и 3) изучение математики, пронизанное идеей функциональной связи, выигрывает в доходчивости, конкретной ясности, научной выдержанности и привлекательности».

В краснодарском сборнике помещена статья Я. Педченко о соединениях*. Автор рекомендует при изложении опираться на возможно большее количество конкретного материала и выбирать наиболее простые и конкретные доказательства.

Методика геометрии

Геометрия представлена примерно таким же числом работ, что и алгебра. Главным вопросом являются геометрические построения: им посвящена половина всех работ**.

Статья А. Г. Прозоровой состоит из четырех частей. В первой части даются образцы решения задач на построение (геометрические места, параллельное перенесение, симметрия, метод подобия и алгебраический метод). Во второй части приведены решения некоторых сложных задач, главным образом, из учебника Киселева. Третья часть состоит из семи заданий для самостоятельного выполнения их учителями. В четвертой части даются методические указания по решению задач. Статья содержит богатый практический материал, который может быть использован учителем на уроках.

В работе С. Е. Ляпина дается краткое описание отдельных методов: геометрических мест, подобия, инверсии, алгебраического метода и др.

Автор рекомендует учителям каждую задачу, которая будет предложена ученикам, предварительно решать дома, соблюдая все этапы решения.

Статья Д. К- Фаддеева представляет теоретический интерес. В ней дается краткое изложение вопроса об условиях, необходимых и достаточных для того, чтобы геометрическая задача на построение была разрешима с помощью циркуля и линейки. Решение задач на построение автор связывает с методом координат; в связи с этим он излагает сущность метода координат и исследует роль системы координат при решении задач на построение.

Опыт передовых учителей показывает, что учащиеся с большим интересом относятся к нешаблонным способам решения задач. В работе И. И. Чистякова рассматриваются различные варианты решения основных задач на построение. Так, например, задача «деление данного отрезка пополам» автором решается шестью способами. «Для решения этой задачи, — говорит автор, — почти всегда предлагается провести из концов разделяемого отрезка две дуги одинаковыми радиусами и соединить тючки их пересечения. При этом говорится, что радиусы про водимых дуг должны быть более половины разделяемого отрезка. Такое указание является явно логически дефектным (курсив наш), ибо, пока отрезок еще не разделен пополам, нельзя говорить об отрезке, большем его половины».

Работа с большим интересом может быть прочитана учителями и использована в процессе занятий. Многие построения связываются с именами математиков, которые их впервые предложили.

Статья Т. В. Поляковой предлагает ввести систему подготовительных упражнений, сводящихся главным образом к изучению зависимости между элементами фигур. Значительное место среди таких упражнений занимает дополнение данной фигуры до искомой. Подготовительные упражнения автор проводит в VI классе. Работа представляет интерес для учителей. В работе т. Дроздовой приводятся модели, которые автор рекомендует применять при решении задач на геометрические места.

Работа т. Буренина является как бы продолжением предыдущей статьи. Автор делает попытку классифицировать задачи на геометрические места. В статье приводится решение значительного количества сложных задач.

Трудному и недостаточно разработанному вопросу о задачах на доказательство посвящена лишь одна работа В. С. Карнацевича***.

Автор дает в своей статье большое количество задач и приводит ценные методические указания к их решению.

Решение задач на вычисление также освещается лишь в одной работе Т. В. Поляковой****.

Сущность аналитического метода автор не раскрывает полностью. Остается невыясненным это понятие и во второй ее работе*****.

Вопросу о преодолении трудностей, встречающихся на первых шагах систематического курса геометрии, посвящает свою работу П. Н. Игумнов******. Автор говорит, что ученики VI класса впервые в своей жизни встречаются с целым рядом новых понятий и условностей. Для усвоения их необхо-

* Введение в понятие соединений, сб. «В помощь учителю», вып. 2, Краснодар, 1949.

** 1. А. Г. Прозорова, Задачи на построение, методический сборник «Математика в школе» Ленинградского областного института, вып. 1, 1947.

2. С. Е. Ляпин, Задачи на построение по геометрии, тамж е.

3. Д. К- Фаддеев, О геометрических построениях, там же.

4. И. И. Чистяков, Варианты решения основных задач на построение, сб. «В помощь учителю математики» Ленинградского городского института, 1947.

5. Дроздова, Геометрические места точек, сб. «В помощь учителю», Ставрополь, 1951.

6. Т. В. Полякова, Решение задач на построение, сб. «В помощь учителю», Рязань, 1950.

7. Буренин, Решение задач на построение, там же.

*** Задачи на доказательство, сб. «В помощь учителю математики», Тюмень, 1948.

**** Аналитический метод решения задач на вычисление, сб. «В помощь учителю», Рязань, 1950.

***** Аналитический метод в преподавании геометрии, там же.

****** к вопросу о повышении качества знаний учащихся VI и VII классов по геометрии, сб. «В помощь учителю», Иркутск, 1950.

димы навыки в отвлеченном мышлении и хорошо развитое пространственное воображение.

К объяснению теоремы автор стремится подвести учеников опытным путем, широко используя модели, которые изготовляются самостоятельно и даже с помощью учеников.

В работе приводятся схемы моделей и даются указания, как их использовать на уроках. Статья, несомненно, принесет пользу преподавателям.

В этом же направлении построена статья ленинградской учительницы В. М. Хуторецкой*. Автор рассказывает в своей работе, как она добивается сознательного и прочного усвоения геометрии в VI классе. Автор добивается, чтобы учащиеся осознали логическую связь нового материала со старым, пройденным ранее. Свои мысли она развивает на примерах изложения темы «Признаки равенства треугольников» и теоремы «О свойствах углов с соответственно перпендикулярными сторонами».

В статьях тт. Игумнова и Хуторецкой видна живая творческая мысль, стремление разрешить «проблему VI класса».

Последняя статья интересна также и в том отношении, что ее автор является работником школы рабочей молодежи. Процесс преподавания математики в школах рабочей молодежи не нашел отражения в работах институтов усовершенствования учителей, статья т. Хуторецкой является приятным исключением.

Хороший образец изложения темы «Подобные многоугольники» дает заслуженная учительница А. М. Сахарова**.

Автор строит систему уроков на основе тщательного методического анализа темы и учета особенностей данного класса. Уроки А. М. Сахаровой разнообразны по характеру, но создают большое внутреннее единство. Статья интересна как пример творческого отношения учителя к работе.

В 1950 г. Воронежский институт выпустил брошюру И. П. Трунова «Измерительные работы на местности в курсе математики в семилетней и средней школе» (38 стр.). Все упражнения разбиты по темам и распределены по классам. Даны подробные указания к проведению каждого типа работы. Статья содержит много практического материала.

Вопрос об измерениях на местности освещается также в статье Н. Н. Лобанова***. В этой работе автор приводит «выполнение измерительных работ на местности по годам обучения в школе», что представляет ценность для учителя.

Большой заслугой Грозненского областного института усовершенствования учителей является издание специальной брошюры об измерениях на местности****.

Можно с удовлетворением отметить, что инициатива мест в деле обобщения опыта преподавания математики неизменно растет. В издании методико-математической литературы для учителя начинают принимать участие учреждения, которые раньше не проводили такого рода работы. В качестве примера можно указать на отдел учебных заведений Московско-Киевской железной дороги*****.

Кроме «Сборников» начинают появляться отдельные издания, посвященные изложению одного лишь конкретного вопроса.

В Симферополе в 1950 г. вышла брошюра на тему «Неравенства в программе математики VII класса» (методические указания), 13 стр.

В Кирове в 1951 г. издана брошюра «Об улучшении преподавания арифметики, алгебры и геометрии в V—VII классах семилетних и средних школ».

Тематика этих изданий не всегда удачна. Так, в Куйбышеве под названием «В помощь учителю математики» вышла под редакцией А. Б. Аронина работа Н. А. Сандлера «О письменных экзаменах на аттестат зрелости по геометрии с тригонометрией», 1951 г. В этом издании автор дает подробный разбор и решение задач, предлагавшихся на экзаменах на аттестат зрелости в 1946—1950 гг. Вряд ли нужно восстанавливать в правах старые «решебники»: ни учителю, ни ученикам они не приносят пользу, вред же от них возможен.

Некоторые институты издают специальные методико-математические сборники (Ленинградские институты, Краснодарский, Рязанский, Тюменский и др.); Воронежский институт придает своему последнему сборнику даже тематическое направление («За высокую успеваемость учащихся по математике», 1951). Все это свидетельствует о начавшейся в некоторых центрах большой и серьезной методико-математической работе.

Широкая популяризация опыта передовых учителей возможна лишь при условии участия в этом деле местных органов.

Пожелаем, чтобы ценный почин передовых институтов был подхвачен другими институтами усовершенствования учителей.

* Преподавание геометрии в VI классе (из опыта работы), Ленинградский городской институт, 1948.

** Подобные многоугольники, сб. «Опыт передовых учителей», «За высокую успеваемость учащихся по математике», Воронеж, 1951.

*** Организация работ по измерениям на местности при изучении математики в средней школе, сб. «В помощь учителю математики», Калуга, 1949.

**** В. И. Гриднев и В. В. Рыжиков, Измерительные работы на местности и самодельные инструменты для их выполнения, Грозный, 1948, 95 стр.

***** Опыт работы учителей по преподаванию математики в I—X классах, Калуга, 1951. Сборник содержит семь статей, из которых три освещают преподавание математики в средней школе и четыре — в начальной школе. — А. Л.

ХРОНИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ Г. КИЕВА

Л. Н. ГРАЦИАНСКАЯ (Киев)

Число участвующих в туре олимпиады 1951/52 учебного года по сравнению с прошлым годом увеличилось на 200, а количество учеников, правильно решивших задачи, возросло в 2,5 раза.

Для участия во 2-м туре явилось 917 учеников из 69 средних школ. Сдали работы 789 учеников

Первый тур проведен по школам.

Всю зиму, как и в предыдущие годы, в университете работали школьные математические кружки; участникам кружков прочитаны 3 лекции.

На заключительном заседании по итогам олимпиады анализ работ провели доц Шилов Г. Е., доц. Грацианская Л. Н. и ассистент Щуб Ц. А.

После проверки работ второго тура Комитет присудил победителям математической олимпиады 3 первые премии, 15 — вторых, 24 — третьих и 19 грамот.

Всей работой по подготовке и проведению олимпиады руководил составленный из преподавателей механико-математического факультета университета и представителя городского отдела народного образования Комитет во главе с проф. Гнеденко Б. В.

На заключительном заседании учителя средних школ г. Киева очень одобрительно отнеслись к задачам второго тура, полагая, что некоторые из них могут быть использованы для углубленного повторения материала в конце учебного года.

Приведем тексты задании.

Первый тур (внутришкольный)

Для VII и VIII классов

1. Пусть а + Ь + с кратно 6. Доказать, что а8 + Ь3 + с* кратно 6,

2 Дан треугольник ABC. На каждой из сторон построен равносторонний треугольник. Показать, что окружности, описанные вокруг них, пересекаются в одной точке.

3 Разрезать прямоутольник с измерениями 16 и 9 на две части так, чтобы из них можно было составить квадрат.

Для IX и X классов

1. На данной прямой найти точку, из которой одна из двух концентрических окружностей видна под углом втрое большим, чем вторая.

2. Доказать, что р2 — 1 делится на 24, если р — простое и р ^ 5.

3. Уничтожить иррациональность в знаменателе:

Задачи второго тура Для учеников X класса

1. Показать, что если разбить ряд всех нечетных чисел на группы так, что число каждой группы возрастает, как ряд натуральных чисел, го сумма чисел каждой группы будет равна кубу числа ее членов. (Задача Никомаха из Геразы.)

2. Найти трехзначное число, равное сумме факториалов своих цифр.

3. Дана прямая MN, окружность О и точки А, В на ней. Найти на окружности такую точку х, чтобы прямые Ах и Вх отсекали на прямой MN отрезок данной длины.

4. Найти углы прямоугольною треугольника, в котором отношение радиусов вписанной и описанной окружностей будет наибольшим.

5. Даны два скрещивающиеся отрезка. Найти геометрическое место средин отрезков, соединяющих каждую точку первого отрезка с каждой точкой второго.

Для учеников IX класса

1. Найти сумму

где числа au û2, аз, . . сщ составляют арифметическую прогрессию.

2. Найти два числа, зная, что сумма частных от деления каждого из них на их общий наибольший делитель равна 18, а их наименьшее кратное 975.

3. В пространстве дана точка А. Найти геометрическое место ее проекций на всевозможные прямые, лежащие в плоскости Р и проходящие через некоторую данную точку В этой плоскости.

4. Биллиард сделан в форме произвольного выпуклого многоугольника. На биллиарде стоят 2 шара: Mi и М2. Требуется толкнуть шар Мх в сторону AiA? так. чтобы он ударился затем в А^А9 и т. д.

и, оттолкнувшись от последней стороны АпА\, ударился бы в шар М2. (Известно, что угол падения равен углу отражения.)

5. Два играющих поочередно вынимают из двух ящиков шары. В свой ход каждый может брать из любого (только одного) ящика произвольное число шаров. Выигравшим считают того, кто берет последним. Как должен играть первый играющий, чтобы выиграть, если в одном ящике 73 шара, а в другом 118.

Для учеников VIII класса

1. В круг вписаны: трапеция, основанием которой служит диаметр, и равнобедренный треугольник, стороны которого параллельны сторонам трапеции. Доказать, что треугольник и трапеция равновелики.

2. Дан выпуклый многоугольник. Внутри взята произвольная точка М. Из точки M опускаются перпендикуляры на стороны многоугольника или на их продолжение. Доказать, что по крайней мере один перпендикуляр пересечет сторону многоугольника, а не ее продолжение.

3. Средины сторон AB и CD, ВС и DE выпуклого пятиугольника ABCDE соединены отрезками. Средины полученных отрезков вновь соединены. Доказать, что отрезок, их соединяющий, параллелен отрезку АЕ и равен !Д АЕ.

4. Показать, что уравнение

не имеет целых и положительных решений.

5. В ящике лежат 70 шаров: 20 красных. 20 зеленых, 20 желтых, остальные — черные и белые. Шары отличаются друг от друга лишь цветом. В темноте я выбираю шары. Какое наименьшее число шаров я должен взять, чтобы среди них было не меньше 10 шаров одного цвета.

Для учеников VII класса

1. Показать, что 4343—1717 делится без остатка на 10.

2. Найти двузначное число, равное удвоенному произведению его цифр.

3. Построить ромб при условии, что две его противоположные вершины лежат в данных точках, а третья вершина лежит на данной окружности.

4. Доказать, что прямые, соединяющие центры квадратов, построенных на сторонах параллелограма вне его, образуют квадрат.

5. Сколько раз в сутки стрелки часов перпендикулярны друг другу?

ПЕРВАЯ РЕСПУБЛИКАНСКАЯ ОЛИМПИАДА ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ ЛИТОВСКОЙ ССР

М. ГОШЛЕР (Вильнюс)

В марте месяце этого года Министерством просвещения Литовской ССР и Вильнюсским государственным университетом совместно с ЦК ЛКСМ Литвы при активном участии Вильнюсского государственного педагогического института и института усовершенствования учителей была проведена первая республиканская олимпиада юных математиков Литовской ССР. Олимпиада нашла живой отклик среди учителей и учащихся республики.

Участники олимпиады были разделены на две группы: младшую—для учащихся VIII — IX классов и старшую — для учащихся X — XI классов (в республике одиннадцатилетняя средняя школа). Разрешалось участие в младшей группе также учащимся VII классов.

В первом туре по всей республике участвовало 3611 учащихся.

В каждой группе было предложено восемь задач, оцененные очками. На решение задач было отведено 5 часов. Приводим задачи первого тура.

VIII—IX классы

1. Колхозницу спросили, сколько яблок она привезла на рынок. Она ответила, что точное число яблок ей неизвестно, но она знает, что если ее яблоки перекладывать по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, по 7, то всегда будет одно яблоко лишним. Сколько яблок было у колхозницы? (4 очка.)

2. Сколько имеется целых положительных чисел, не превосходящих 1000 и не делящихся ни на 5, ни на 7? (3 очка.)

3. Решить уравнение:

4. Из двух мест вышли одновременно два пешехода навстречу друг другу. При встрече оказалось, что первый прошел на а км больше второго. Если они будут продолжать путь, то, идя с прежней скоростью, первый придет в В через m часов, а второй в А через п часов после встречи. Найти скорости каждого пешехода. (4 очка.)

5. Доказать что Ф — п при всяком целом п делится на 6. (3 очка.)

6. Построить треугольник по периметру Р, углу А и высоте hb. (4 очка.)

7. В параллелограме проведены биссектрисы углов между диагоналями. Доказать, что точки пересечения биссектрис со сторонами параллелограма суть вершины некоторого ромба. (3 очка.)

8. Построить треугольник по трем данным медианам.

X и XI классы

1. Та же задача, что и для VIII и IX классов.

2. Доказать что выражение

а(а + 1)(а + 2)(а + 3) + \

есть полный квадрат. (4 очка.)

3. Найти сумму всех коэффициентов разложения бинома (4 а —3 Ь)п, где п—натуральное число.(3 очка.)

4. Доказать, что ( \~~î ) равно + 1, если k — четное, и равно — 1, если k — нечетное число. (2 очка.)

5. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжений ее боковых сторон, делит основания трапеции пополам. (4 очка.)

6. В пространстве даны три попарно непараллельные прямые а, Ь, с. Построить прямую, пересекающую прямые а, Ь и параллельную прямой с. (3 очка.)

7. Доказать тождество:

8. Доказать, что

В младшей группе неожиданно много неправильных решений получила задача 2. Многие из решавших ее полагали, что числа, не делящиеся ни на 5, ни на 7, это все те числа, которые не делятся на 35. Мимо этой чисто логической ошибки прошли и некоторые, проверявшие работы учителя.

При решении задачи 3 учащиеся не сумели сократить выкладки заменой а — b = р, a+b = q и дальнейшим разложением левой части уравнения на множители. Получив корни : Х\ = a + Ь и х2 = а2 — Ь2, никто из решавших не заметил, что при а=Ь уравнение имеет лишь один корень: х = а+Ь = 2 а. При разборе этой задачи учащиеся заявили: «Мы исследования еще не проходили: это — материал X класса». Это показывает, что в школах решение уравнений все еще проходится в отрыве от исследования.

В старшей группе наиболее трудными для учащихся оказались задачи 3, 5, 6. Очень громоздко решалась задача 7, между тем она решается очень просто, достаточно заметить, что

sin(«-T) = sin[7r + (T-a)] и (<x-ß) + (ß - Т)+ [* + (Y-«)] = *.

В результате первого тура 159 учащимся, набравшим не менее 15 очков, было предоставлено право участвовать во втором туре олимпиады, который был проведен 30 марта в Вильнюсе. Во втором туре приняло участие: 57 человек по младшей группе и 83 человека по старшей. Для участников второго тура было прочитано несколько лекций и проведен детальный разбор задач первого тура.

На втором туре были предложены следующие задачи.

VIII и IX классы

1. Что я знаю о Н. И. Лобачевском? (2 очка.)

2. У мальчика было несколько копеек. Когда ему дали еще 1 руб. 40 коп., он на все деньги купил 4 карандаша, заплатив за каждый вдвое более того, что он имел прежде. Сколько денег было у мальчика до получения 1 руб. 40 коп.? (Решить арифметически.) (2 очка.)

3. Доказать, что

является целым числом при всяком четном п. (3 очка.)

4. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1:2; а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27? (4 очка.)

5. Не решая уравнения

x* + px + q = 0,

найти сумму кубов его корней. (4 очка.)

6. Построить треугольник, зная отношение высоты и основания т:п, угол при основании и биссектрису этого угла. (4 очка.)

7. Доказать, что при пересечении биссектрис внутренних углов параллелограма получается прямоугольник, диагонали которого равны разности двух смежных сторон параллелограма. (4 очка.)

8. Решить уравнение

X и XI классы

1. Что я знаю о П. Л. Чебышеве? (2 очка.)

2. Отец поручил сыну измерить длину двора шагами. Дело было зимой, и на снегу остались следы ног сына. Желая его проверить, отец измерил длину двора своими шагами, начав с того же места и идя в том же направлении, так что некоторые следы ног отца совпадали со следами ног сына. Таким образом, всего следов на снегу по линии обмера оказалось 61. Чему равна длина двора, если шаг отца равен 0,72 му а шаг сына 0,54 ли (3 очка)

3. Дано р арифметических прогрессий, каждая из которых содержит п членов. Их первые члены соответственно равны: 1, 2, 3,..., р, а разности 1, 3, 5,..., 2/7—1. Доказать, что сумма членов всех прогрессий равна

4. Найти наибольший член разложения

5. В параллелограме ABCD точки К, L, Му N являются серединами сторон AB, ВС, CD, DA. Прямые а1, ВМ, CN, DK, пересекаясь, образуют четырехугольник. Доказать, что этот четырехугольник— параллелограм, и найти его площадь, зная, что площадь параллелограма ABCD равна Q. (4 очка )

6. Как можно пересечь плоскостью треугольную пирамиду, чтобы в сечении получился параллелограмм? (3 очка.)

7. Доказать, что

8. Решить уравнение

Первая задача в обеих группах имела целью выяснить, что учащиеся знают о великих русских математиках. Результаты — мало утешительны. На поставленный вопрос приступало отвечать лишь 40% участников: в среднем каждый ответ оценен в одно очко (при возможных 2 очках). Отсюда видно, что в школах не уделяется еще должного внимания ознакомлению учащихся с историей нашей отечественной науки, несмотря на то, что это требуется программой.

В младшей группе труднее всего для учащихся оказалась задача 4. Мало кто приступил к ее решению, а решавшие ее набрали лишь 25% из возможного числа очков. В основном, конечно, затрудняло составление уравнения. Многие не справились также с задачей 3, несмотря на то, что подобная задача была дана на первом туре.

По старшей группе большинство участников не справилось с задачей 4 и дало ответ, что наибольший член — средний, т. е. 11-й.

36 участников олимпиады были удостоены премий и награждены книгами.

В будущем году предполагается провести олимпиаду для учащихся каждого класса в отдельности, в том числе для учащихся V — VII классов. С участниками олимпиады будет проводиться подготовительная работа с начала учебного года.

ГОРОДСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ В КАЗАНИ

В. БАЛАКИН (Казань)

2. При каких значениях m имеет решение уравнение:

23 марта состоялся I (отборочный) тур олимпиады в Казанском государственном университете, в котором приняли участие более ста школьников и школьниц. К участию во II туре было допущено 30 участников I тура, давших лучшие решения пяти задач этого тура. Второй тур состоялся 28 марта.

Ниже приводятся задачи, предложенные участникам олимпиады.

I тур

1. Решить систему уравнений:

3. Показать, что если в треугольнике ARC углы В и А отличаются на 90°, то стороны связаны соотношением:

4. В кубе ABCDAiBfiiDi (одинаковыми буквами обозначены соответствующие точки верхнего и нижнего оснований) через диагональ АС\ проведены плоскости AClül и AC\Bi. Вычислить угол между ними.

5. Найти шестизначное число abode/, которое увеличивается в шесть раз, если три первые цифры переставить с тремя последними:

II тур

1. Доказать, что

2. Через четыре данные точки провести четыре прямые так, чтобы они образовали прямоугольник с заданным углом а между диагоналями.

3. Через вершину квадрата со стороной а = 12 провести прямую так, чтобы отрезок ее между прямыми, образующими стороны квадрата, был равен 5.

4. Сколькими различными способами можно раскрасить 6 граней куба в 6 различных цветов? Различными считаются раскраски, не переводящиеся друг в друга вращениями куба.

ТРЕТЬЯ МОСКОВСКАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО АРИФМЕТИКЕ

С. В. ФИЛИЧЕВ (Москва)

Третья олимпиада по арифметике для учащихся V—VII классов школ г. Москвы в 1951/52 учебном году состояла из двух туров. Первый тур проводился в районах столицы, а второй тур при институте усовершенствования учителей.

Учащиеся проявили большой интерес к олимпиаде. В первом туре участвовало 5326, во втором 837 учащихся.

Из 837 учащихся второго тура учащиеся пятого класса составляли 10%, шестого класса — 35% и седьмого — 55%

Успешно прошли второй тур 227 учащихся (27%), из которых 21 человек получили грамоты первой степени, а 206 — второй.

Успешно прошедшими второй тур считались те, которые решили не менее трех задач (предлагались четыре задачи).

Ниже приводятся задачи, предложенные в первом и втором турах.

Первый тур для пятых классов (в районах)

№ 1

Найти X.

2. Представить дробь -g в виде суммы дробей

с числителем, равным единице.

3. Некоторая сумма денег разделена на две части: первая часть равна всей суммы без 2000 рублей, вторая — равна половине остатка и еще 6000 рублям. Чему равна эта сумма денег и чему равна каждая часть?

4. Длина шоссейной дороги между двумя колхозами 44 км. В 6 час. утра выехал из первого колхоза почтальон на велосипеде; в 7 час. 8 мин. навстречу ему из второго колхоза выехал на лошади колхозник, в 9 час. утра они встретились. Скорость колхозника в 1 час на 2,5 км меньше скорости почтальона. Найти скорость в час почтальона и колхозника.

№2

Найти X.

2. Разделить 7 булок на 12 человек поровну, не разрезая ни одной булки на 12 равных частей.

3. Разделить 1800 руб. между тремя лицами так.

чтобы второе лицо получило ^ того, что получило первое, и еще 150 руб., а третье получило -г- части полученной вторым без 120 руб. Сколько получило каждое из этих лиц?

4. В 8 час. 30 мин. утра из двух пунктов выходят два автомобиля по одному направлению. Автомобиль, идущий позади, проходит все расстояние между пунктами отправления в 2~^ часа; передний же автомобиль движется в 2yj раза медленнее заднего. Когда первый автомобиль нагонит второй?

Первый тур для шестых классов

№ 3

Найти неизвестный член пропорции.

2. В бассейн проведена труба. Вследствие засорения трубы приток воды через нее уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, потребное для наполнения бассейна?

3. Цена за вход в сад 1 руб. 60 кон. с человека. Когда цену понизили, количество посетителей увеличилось на 60%, а сбор денег увеличился на 25%. На сколько копеек понизили плату за билет?

4. Молоко сибирской коровы содержит 5% жиров; молоко же холмогорки 3,5%, но удойность ее на 30% выше сибирской. Сколько надо взять молока от сибирской коровы, чтобы получить жиров на 5,4 кг больше, чем дает молока за то же время холмогорская корова?

№ 4

Найти неизвестный член пропорции.

2. Букинистический магазин продал книгу со скидкой в 10% с назначенной цены и при этом получил 8% сверх суммы, выплаченной им за книгу. Сколько процентов наценки первоначально предполагал получить магазин?

3. Цена за вход в сад 1 руб. 50 коп. с человека. Когда цену понизили, количество посетителей увеличилось на 50%, а сбор увеличился на 25%. На сколько копеек понижена плата?

4. За 10 учебников по географии и 15 учебников по биологии без переплета школа уплатила 52,5 руб. В переплете учебник по географии дороже на 20%, чем без переплета, а учебник по биологии на 30%, и тогда за те же учебники пришлось заплатить 66 руб. Какова цена учебника по географии и биологии без переплета?

Первый тур для седьмых классов

№ 5

1. Доказать, что разность квадратов двух последовательных целых чисел есть число нечетное.

2. Антикварный магазин, купив два предмета на общую сумму 360 руб. продал их, получив 25% наценки. Что стоит каждый предмет, если на первом была наценка 50%, а на втором 12,5%?

3. По углам вписанного в окружность треугольника определить углы треугольника, образованного касательными к этой окружности в вершинах первого треугольника.

4. Построить ромб по углу, образованному диагональю со стороной, и по сумме его диагоналей.

№6

1. Доказать, что произведение трех последовательных целых чисел, сложенное со вторым из них, равно кубу этого числа.

2. Турист, идущий из деревни на железнодорожную станцию, пройдя за первый час 3 км рассчитал, что он опоздает к поезду на 40 мин., если будет двигаться с той же скоростью. Поэтому остальной путь он проходил со скоростью 4 км в час и прибыл на станцию за 45 мин. до отхода поезда. Каково расстояние от деревни до станции?

3. По углам при основании вписанного в окружность треугольника определить угол между его основанием и касательной к окружности в вершине треугольника.

4. Построить параллелограм по стороне, сумме диагоналей и углу между ними.

Второй тур для пятых классов (при институте усовершенствования учителей)

№ 1

1. Вставить пропущенные цифры:

2. Страницы справочника по математике перенумерованы, на последней странице стоит число 710. Сколько потребовалось цифр для нумерации всех страниц, где каждая цифра не употреблялась для нумерации более одного раза?

3. Два поезда выходят со станций А и В навстречу один другому в различное время. Первый двигается в 1,5 раза скорее, но начинает движение на 14 час. позже. При встрече поездов оказалось, что второй прошел расстояние в 1,6 раза больше, чем прошел первый. Через сколько часов от начала движения первого поезда произошла встреча?

4. В бассейн проведены две трубы. Сперва открыли первую трубу; через три часа, когда бассейн наполнился водой до половины, открыли и вторую трубу. Через два часа после этого бассейн наполнился доверху. Найти вместимость бассейна, если через вторую трубу вливается в час 20 гл воды.

Второй тур для пятых классов

№ 2

1. Вставить пропущенные цифры:

2. Для нумерации страниц словаря потребовались 2322 цифры. Сколько страниц заключал в себе этот словарь?

3. Колхозник выехал из колхоза в 4,5 часа утра и приехал в город, когда было без 10 мин. 8 час. утра; если бы он проезжал в час на 0,6 км меньше, то ехал бы до города 3^j часа. Сколько километров от колхоза до города?

4. В два сосуда А и В одинакового веса налита вода, причем вес сосуда А с водой составляет веса сосуда В с водой. Если содержимое сосуда В перелить в сосуд Л, то вес последнего вместе с водой превысит вес сосуда В в S раз. Найти вес каждого сосуда в количестве воды в каждом из них, зная, что в сосуде В на 50 г больше воды, чем в сосуде А.

Второй тур для шестых классов

№ 3

1. Найти такое смешанное число, чтобы от деления его целого числа на yçjQ получилось в частном 200, а от деления его дроби на получилось в частном 5.

2. Доказать, что сумма двух нечетных последовательных чисел делится на 4.

3. Разность стоимости двух кусков ткани одинаковой длины 126 руб. 4 метра первого куска стоят на 13,5 руб. дороже, чем 3 метра второго. 3 метра первого и 4 метра второго стоят вместе 38,25 руб. Найти длину кусков и цену 1 метра ткани каждого куска.

4. Пионер, собирая деньги на радиоприемник, обратился за помощью к отцу и двум его братьям; они помогли ему. Выяснилось, что первый дядя добавил 25% того, что было собрано без него, включая накопления мальчика. Второй дядя и отец добавили соответственно 33-g-% и 50% того, что было собрано без них, включая накопления мальчика. Сколько стоил радиоприемник, если у пионера было 104 руб.?

№ 4

1. Найти такое смешанное число, чтобы от деления его целого числа на^ получилось в частном 150, а от деления его дроби на ^ получилось в частном 2.

2. Доказать, что квадрат нечетного числа, большего единицы, есть число, кратное 8, увеличенное на 1.

3. Купили 2 куска ткани: один в 4 м, другой в 30 м, заплатили за оба 425 руб. Если бы первый кусок был куплен по цене второго, а второй по цене первого, то за оба куска заплатили бы 415 руб. Сколько стоил метр ткани каждого куска?

4. Магазин распродал кусок ткани одного сорта в 4 дня и выручил, включая 7,5% наценки, 754 руб.

65 коп. В первый день было продано -g куска и еще 5 м, во второй день 0,2 остатка и еще 10 м, в третий день нового остатка и еще 9 ле и в четвертый день -g- того, что осталось после продажи в третий день и остальные 13 м. Сколько рублей стоит магазину метр этой ткани?

Второй тур для седьмых классов

№5

1. Найти два числа, зная их сумму 168 и общий наибольший делитель 24.

2. Найти два двузначные числа, обладающие следующим свойством: если к большему искомому числу приписать справа нуль и за ним меньшее число, а к меньшему приписать большее число и затем нуль, то из образовавшихся таким образом двух пятизначных чисел первое, будучи разделено на второе, дает в частном 2 и в остатке 590. Кроме того, известно, что сумма, составленная из удвоенного большего искомого числа и утроенного меньшего, равна 72.

3. В произвольном треугольнике ABC на продолжении стороны ВС за точку С возьмем точку D и проведем биссектрисы углов ACD и ABC. Доказать, что острый угол Е, образовавшийся при пересечении биссектрис, равен половине угла А.

4. Построить треугольник по двум данным углам при основании и данному его периметру.

№ 6

1. Если 4373 и 826 разделить на одно и то же число, то получим соответственно остатки 8 и 7. Чему равен делитель?

2. Узнать, через сколько минут после того, как часы показывали 4 часа, минутная стрелка догонит часовую стрелку?

3. Доказать, что если две биссектрисы углов при основании равностороннего треугольника продолжить до взаимного пересечения и из середин полученных отрезков восставить к ним перпендикуляры, то основание треугольника рассечется этими перпендикулярами на 3 равные части.

4. Построить треугольник по трем его медианам.

От редакции. Дополнительная сводка решений задач, помещенных в № 2 1952 г. журнала «Математика в школе», будет напечатана в № 6.

НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ В МОСКОВСКОМ ИНСТИТУТЕ УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ УЧИТЕЛЕЙ

29 марта 1952 г. в Московском городском институте усовершенствования учителей состоялась научно-практическая конференция преподавателей математики школ г. Москвы На конференции были прочитаны следующие доклады:

В. А. Раевский «Культура математической речи».

Я. С Герценштейн «Культура письменной и устной речи на уроках математики».

Р. Ф. Шполянский «Необходимые и достаточные условия в курсе элементарной математики».

М. В. Карасева «Работа над правильностью речи на уроках математики».

Наибольший интерес участников конференции вызвали доклады В. А. Раевского и Р. Ф. Шполянского.

Ниже приводим краткое содержание этих двух докладов.

В. А. Раевский «Культура математической речи». В первой части доклада докладчик говорил о трудностях, обусловленных спецификой математики как науки и как (учебного предмета. Это трудности объективною характера.

При работе над развитием речи учеников преподаватели математики встречаются с рядом противоречий. Так, например, имеет место противоречие между необходимостью применения научного языка и затруднениями в его усвоении для детского возраста.

Подробная формулировка математических записей и вообще математических предложений нередко из-за громоздкости затемняет суть дела, а лаконичность выражения мысли трудно воспринимается учащимися.

В математике одно и то же понятие выступает в самых разнообразных сочетаниях с другими понятиями. Например, перпендикуляр — как прямая, как высота, как ось симметрии, как проектирующий луч в ортогональной проекции. Поэтому ученики должны мыслить о перпендикуляре, называя его в то же время различными именами, в зависимости от функции, им выполняемой.

Во второй части докладчик говорил о трудностях субъективного порядка, которые преодолеваются с большей легкостью, чем трудности объективного характера. Так, например, немалым препятствием для понимания мысли, выраженной словами, является отсутствие или слабая подчеркнутость смыслового ударения в словесно выражаемом предложении.

В особенности это сказывается при самостоятельном чтении учениками печатного текста, при выполнении домашнего задания или при восприятии устной невыразительной речи учеников или преподавателей. Это затруднение в понимании смысла сказанного увеличивается в том случае, если имеет место неправильное логическое ударение.

Докладчик привел много примеров трудностей, возникающих вследствие неточности математической терминологии.

В третьей части докладчик говорил о характерных неправильностях речи учащихся и о приемах работы над речью учащихся.

В частности, докладчик рассказал, как он исправляет ошибки в письменной речи учащихся.

Ошибки учащегося не только подчеркиваются учителем, но и сопровождаются пояснительной записью. Так, например, если ученик записал: «докозательство», то учителем на полях или в тексте делается следующая надпись: «Как найти правильно безударную гласную: сказка, рассказ, высказывание, отказ, указка, указ, заказ», а потом пишется слово «доказательство».

Р. Ф. Шполянский «Необходимые и достаточные условия в курсе математики средней школы».

Докладчик отметил, что основной особенностью математики и как науки, и как школьной дисциплины является преобладание в ней логических рассуждений. Понятие «необходимые и достаточные условия» является одним из тех логических элементов, без которых не могут быть поняты основы математики. Далее докладчик указал, что уже при изучении арифметики учащиеся знакомятся с рядом положений, понимание которых требует введения понятия «необходимое и достаточное условие». Это относится к признакам делимости чисел.

Дальнейшее развитие понятия о необходимых и достаточных условиях учащиеся получают в курсе геометрии.

Ученикам должно стать очевидным, что если условие прямой теоремы необходимо и достаточно, то обратная (противоположная) теорема верна. Если же условие прямой теоремы только достаточно, т. е. заключение не вытекает из условия, то обратная (противоположная) теорема может не быть справедливой.

Докладчик в своей практике рассматривает понятие «необходимые и достаточные условия» систематически при изучении курса математики, так как только последовательное применение понятия о необходимых и достаточных условиях явится одним из факторов, способствующих математическому развитию учащихся и лучшему усвоению предмета.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 2 ЗА 1952 г.

№ 18

Решить уравнение:

(1+*)4 = 2(Ь+лг4).

Решение. Раскрывая скобки и выполняя приведение подобных членов, получим:

х* — 4 лгз _ б X* — 4 X + 1 = 0.

Так как х ф 0, то это уравнение равносильно следующему:

Последнее уравнение перепишем так:

Полагаем: Тогда:

Дальнейшее ясно.

№ 19

Определить углы В и С треугольника ABC если его стороны связаны соотношением:

Известно также, что А = 72°. Решение. Раскроем скобки и перенесем все члены равенства в левую часть. Получим равенство:

Это равенство можно представить в следующем виде:

Это дает нам:

Следовательно,

Отсюда:

Так как А — 72°, то угол С может быть равен только 45°. Тогда В = 63°.

Ряд читателей при решении задачи применили формулу:

Из условия следует, что

Так как

Но

Следовательно,

и т. д.

№ 20

В сегмент с высотой h круга радиуса R вписать круг радиуса г. Исследовать решение.

Решение. Пересечем дугу данного сегмента прямой MN, параллельной прямой AB и отстоящей от AB на расстояние г (черт. 1). Далее из центра О круга, которому принадлежит данный сегмент, опишем дугу радиусом R — г. Точки пересечения этой дуги и прямой MN будут являться центрами искомых кругов.

По смыслу задачи г^-^* Задача имеет единственное решение, если Задача имеет два решения, если

№ 21

Определить площадь каждого из п последовательно касающихся друг друга кругов, вписанных в угол а, если радиус наименьшего из кругов равен г.

Решение. Пусть К — центр наименьшего из кругов, a L — центр следующего по порядку круга (черт. 2). Обозначим точки касания этих кругов с одной из сторон данного угла соответственно через А и В. Проведем прямую КС параллельно прямой AB. Обозначим радиус круга с центром в точке L через х.

Так как

то из прямоугольного треугольника LKC будем иметь:

Составляя производную пропорцию, получим:

Отсюда:

Нетрудно убедиться в том, что

представляет из себя отношение радиуса любого из кругов к радиусу предыдущего по порядку круга. Следовательно, радиусы кругов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем

Дальнейшее ясно.

№ 22

Числа а, Ь, с удовлетворяют условиям:

Черт. 1.

Черт. 2.

Доказать, что

Решение. Так как

Отсюда и вытекает требуемое.

Некоторые читатели решили задачу следующим образом.

Допустим, что

Следовательно,

а это противоречит тому, что

Таким образом,

Условие а^Ь+с является излишним. Ряд читателей при решении использовали и это условие. Это потребовало более громоздких выкладок.

№ 23

Для того чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы имело место соотношение'.

а*Ь = hc-c.

Решение. Так как

Таким образом, для того чтобы треугольник был прямоугольным, достаточно, чтобы имело место данное в условии задачи соотношение.

Необходимость выполнения условия можно доказать только в том случае, если предположить, что

(некоторые читатели, например т. Голянд, приняли это во внимание). Пусть треугольник ABC — прямоугольный. При условии, что hc ф а и Нсф Ь, прямым углом может быть только угол С. В этом случае ab = chc.

№ 24

В какой системе счисления при делении числа 4634 на число 555 получается в частном 5, а в остатке 530?

Решение. Обозначим искомое основание системы счисления через х. Условие задачи можно выразить с помощью следующего уравнения:

После преобразований получаем:

(1)

Так как х — натуральное число, то оно должно быть делителем числа 21. С другой стороны, так как в делимом фигурирует цифра 6, тод:>6. Следовательно, число X может быть равно только 7 или 21. Подстановкой убеждаемся, что только х = 7 удовлетворяет уравнению (1).

№ 25

В условии задачи была допущена ошибка. Правильный текст задачи печатается в настоящем номере и решения этой задачи будут рассматриваться вместе с решениями задачи этого номера.

№ 26

Решить систему уравнений:

а обе части второго уравнения умножим на 2. В результате получим следующую систему уравнений:

Решение. Заменим в первом уравнении cos 2 х и cos 2 у соответственно через

Эту систему можно заменить следующей:

Решая эту последнюю, получим:

Значения х и у можно найти по формулам:

Здесь п и k независимо друг от друга принимают всевозможные целые значения.

Некоторые читатели заменяли первое уравнение системы уравнением:

Второе уравнение они заменяли уравнением:

Таким образом они приходили к системе:

Дальнейшее ясно.

№ 27

Решить уравнение:

Решение. Имеем:

Это дает нам:

Корнями последнего уравнения служат числа 2 и — 5. Число 2 не удовлетворяет исходному уравнению, ибо

Подставляя в данное уравнение вместо х число—5, убеждаемся, что в этом случае равенство будет справедливо.

Многие читатели такого рода проверки не произвели, а поэтому решение задачи им не засчитано.

№ 28

Доказать, что если А и В — углы остроугольного треугольника, то имеет место неравенство: igA-tgB>\. Решение. Имеем:

Отсюда следует, что

Так как то

Некоторые читатели дали геометрическое решение этой задачи. Построим на стороне AB треугольника ABC полукруг (черт. 3).

Вершина С будет находиться вне полукруга, а основание D высоты CD будет лежать на стороне AB. Пусть точка К — точка пересечения высоты CD с полуокружностью.

Имеем:

№ 29

Около шара, радиус которого г, описан конус (прямой, круговой) наименьшего объема. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.

Решение. Пусть треугольник ACD представляет собой осевое сечение конуса (черт. 4) и пусть точка 02 — центр вписанного в конус шара. Обозначим угол 02AD через а.

Имеем:

Далее:

Объем V достигнет наименьшего значения в том случае, когда выражение

достигнет своего максимума. Так как здесь речь идет о максимуме произведения двух чисел ig2 а и 1 — ig2 а, сумма которых постоянна (она равна 1),

то этот максимум будет иметь место при равенстве множителей. Итак,

Дальнейшее ясно.

№ 30

Отношение радиуса описанной около равнобедренного треугольника окружности к радиусу вписанной в этот треугольник окружности равно X.

Определить угол при вершине треугольника. Решение. Воспользуемся следующим соотношением, имеющим место в любом треугольнике:

Следовательно,

Отсюда:

Пусть А — угол при вершине треугольника. Тогда:

Имеем:

или

Это дает нам:

Решая это уравнение относительно sin ^ будем иметь:

Задача имеет решение, если \ > 2.

№ 31

Найти общий вид целых положительных чисел, удовлетворяющих уравнению:

Решение. Пусть х — у = k. Тогда:

Х + у = &.

Это дает нам:

(k — любое целое число, большее единицы.)

№ 32

Дана функция:

Исследовать и построить график.

Черт. 3.

Черт. 4.

Решение. В поле действительных чисел областью определения служит интервал ( — 1, оо). Имеем:

График функции состоит из отрезка AB и части параболы ВС (черт. 5).

Черт. 5.

ЗАДАЧИ

(Срок присылки решений 15 декабря.)

69. Сумма площадей параллелограмов, построенных на двух сторонах треугольника, равна площади параллелограма, построенного на третьей стороне треугольника так, что ею вторая сторона равна и параллельна отрезку, соединяющему общую вершину двух первых параллелограмов с точкой пересечения продолжений их сторон, не имеющих общих точек со сторонами треугольника. Доказать.

А. Аляев (Пензенская обл.).

70. Площадь прямоугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей подобных этому прямоугольнику прямоугольников, построенных на катетах (гипотенуза и катеты являются сходственными сторонами подобных прямоугольников).

И. Арсеньев (Ярославль).

71. Найти основания всех таких систем счисления, в которых любая нечетная степень всякого натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само это натуральное число.

В. Барановский (Глухов).

72. Доказать, что при любом натуральном /г;>2 числа вида 22я + 1 оканчиваются цифрой 7.

Г. Бевз (Киевская обл.).

73. Доказать, что многочлены:

дБ + 4 дз + з а и а* + 3 а* + 1

ее имеют общих делителей ни при каком целом а.

И. Голайдо (Брянская обл.).

74. Решить уравнение:

Б. Давыдкин (Уфа). 75. Решить систему уравнений:

Ф. Кравченков (Можайск).

76. В треугольнике ABC высота ha составляет половину биссектрисы внешнего угла этого треугольника при вершине А. Найти разность углов В и С.

М. Лейбман (Свердловская обл.).

77. Если в треугольнике ABC угол А меньше угла С, то биссектриса угла А больше биссектрисы угла С. Доказать.

С Моисеев (Тамбовская обл.).

78. Периметр треугольника ABC равен 2 см. Доказать, что

(а, Ь, с —длины сторон треугольника).

А. Мурклинский (Буйнакск).

79. Если от деления многочлена М(х), целого относительно х, на разность х — а в частном получится многочлен Q(x), а в остатке R, то

S(QHl-a) = S(M)-R,

где 5(0) —алгебраическая сумма коэффициентов многочлена Q(лг), a S(M) — алгебраическая сумма коэффициентов многочлена М(х). Доказать.

В. Розентуллер (Ленинград).

80. Доказать, что отрезки, соединяющие последовательно центры правильных треугольников, построенных на сторонах любого треугольника и примыкающих к нему извне, образуют также правильный треугольник.

А. Тралмак (Ленинград).

81. Даны два смежные прямые угла с вершиной в точке О. В один из них вписана окружность радиуса R, а в другой — окружность радиуса

r(R>r).

Общая внешняя касательная к этим окружностям пересекает стороны углов в точках А и В. Определить площадь треугольника АОВ.

А. Шагинян (Ереван).

82. Для любого натурального числа а можно найти такие натуральные числа b и с, что будет иметь место тождество:

arc ig а = arc tg b + arc tg с. Доказать. Найти b и с при условии, что а = 3.

X Хамзин (Стерлитамак).

83. Доказать тождество:

П. Эрдниев (Алтайский край).

84. Если X и у— целые, взаимно простые числа, то наибольший общий делитель чисел:

есть делитель числа п,

В. Чмыхало (Полтавская обл.).

85. Дано: m — действительное число, п — натуральное число, не делящееся на квадрат натурального числа, большего 1, причем уЛг^т. Доказать, что существует единственное натуральное число X, удовлетворяющее условию:

и такое, что число пх является точным квадратом.

Н. Чернов (Измаильская обл.).

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

1. Доказать, что в прямоугольном тетраэдре квадрат площади грани, лежащей против прямого трехгранного угла, равен сумме квадратов площадей трех остальных граней.

2. Показать без помощи таблиц, что

3. Пусть

Показать, что при любом натуральном п

4. Доказать, что при любом натуральном п справедливо равенство:

5. Доказать, что если в треугольнике cos 2 А + cos2 В -f cos2 С = 1, то этот треугольник — прямоугольный.

6. Что больше:

7. Существует ли угол х такой, что

8. Найти геометрическое место точек пространства, расположенных в заданной плоскости и равноудаленных от двух заданных точек.

9. Существует ли угол х такой, что

sin.v-CGS* = sin 40°?

10. Показать, что сумма первых членов последовательности 7, 77, 777,...

11. Доказать, что наибольшие значения выражений:

равны.

(Задачи 1—11 были предложены на смоленских математических олимпиадах. Сообщили М. Балк и И. Раухвергер.)

12. На основании АС равнобедренного треугольника ABC взята точка D. Доказать, что сумма длив перпендикуляров, опущенных из точки D на боковые стороны, не зависит от выбора точки D на стороне АС.

А. Микиша и В. Михельсон (Москва).

13. Дана арифметическая прогрессия:

Доказать, что

А. Микиша и В. Михельсон. 14. Решить систему уравнений:

А. Микиша и В. Михельсон. 15. Решить систему уравнений:

А. Микиша и В. Михельсон.

СВОДКА РЕШЕНИЙ

По № 1

Г. Ахвердов (Ленинград) 1—13, 15—17; Я. Байков (Московская обл.) 1—4, 6—11, 13—17; А. Бауэр (Мариинск) 1—17; Е. Бернштейн (Киев), 1, 6—11, 15, 17; В. Бешкарев (Горький) 1, 2, 4—12, 14—17; Я. Бисярин (Ворошиловград) 1—11, 13—17; Я. Бочкин (Витебск) 1—4, 6—8, 11, 14—17; А. Владимиров (Ялта) 1—11, 13—17; А. Гаас (Караганда) 1—11, 13—17; Б. Галицейский (Проскуров) 1—4, 6—12, 14—17; Я. Говоров (Краснодарский край) 1—17; Я. Голайдо (Брянская обл.) 1, 2, 6—8, 10, 11, 14, 15, 17; К. Горев (Лукьянов) 1—15; 17; М. Готлер (Вильнюс) 1—12, 14—17; Я. Гуревич (Воронеж) 1, 2 4, 6—11, 14—17; Я. Гурфинкель (Ногинск) 1—3, 5—9, И, 14, 17; У. Давыдов (Гомель) 1—15, 17; А. Дейнега (Бершадь) 1—11, 13—17; В. Демчинский (Ровно) 1—4, 8, 9, 13—15, 17; С. Джаббаров (Камышла) 1, 4, 6—8, И, 13, 15, 17; А. Дупло (Грицев) 1—4, 6—8, 10—13, 17; Я. Епимашко (Гродно) 1—11, 13—17; Я. Жуков (Архангельская обл.) 1, 2, 6—11, 13, 14, 17; Л. Зискинд (Винница) 1—4, 6, 8—11, 15, 17; В. Исаков (Б. Нарымск) 1—9, II, 13, 15, 17; М. Кабинетов (Тула) 1—4, 6—8, 11, 15, 17; А. Камышев (Люберцы) 1—17; В. Киндефатер (Кемеровская обл.) 1—17; Я. Китайгородский (Москва) 1—3, 5, 6, 8, 10, И, 13—15, 17; С. Колесник (Харьков) 1—11, 13—17; Г. Копылов (Днепродзержинск) 1—17; М. Крайзман (Львов) 1—3, 6, 8—11, 14, 15, 17; А. Кутепов (Ворошиловек) 1—4, 6—12, 14—17; Б. Латти (Новошахтинск) 1, 4, 6—8, 11, 13—15, 17; С. Лебензон (Московская обл.) 1—4, 6—17; М. Лейбман (Свердловская обл.) 1—11, 13—17; Л. Лоповок (Проскуров) 1—11, 13—17; Математический кружок Житомирского пединститута 1, 3, 5, 10, 12, 14, 15, 17; К. Максимов (Тамбовская обл.) 1—4, 6—8, 10, 11, 13—15, 17; Математический кружок Львовской средней школы M /5—1, 2, 6, 8, 10, И, 14, 15, 17; Л. Медведев (Себряково) 1, 2, 6—8, 10, 14, 15, 17; Б. Меньших (Филоново) 1, 2, 4, 8—12, 17; Б. Мирау (Алма-Атинская обл.) 1—4, 6—12, 14, 17; Я. Молибога (Верхний) 1—4, 6—8, 10—17; Я. Мончунский (Бухарест) 1 — 17; А. Мостовой (Алма-Атинская обл.) 1—4, 6—11, 14, 1,5, 17; Г. Мышакова (Одесса) 1—17; /С. Нелюбин (Кировская обл.) 1—5, 8—17; Л. Нисневич (Москва) 1—И, 12, 14—17; Е. Павлов (Чувашская АССР) 1, 2, 4, 6, 8—11, 13—17; Ф. Певишев (Шилово) 1, 2, 4, 6—11, 14—17; М. Тестов (Свердловск) 1—4, 6—11, 15; Л. Печерский (Орск) 1—11, 14, 16, 17; И. Писаренко (Молдавская ССР) 1—11, 14—17; С. Попов (Московская обл.) 1—11, 13—17; В. Рабинович (Северо-Казахстанская обл.) 1—3, 6—9, И—15, 17; Е. Радченко (Курская обл.) 1—4, 7—9, 14, 15; Л. Рейзиньш (Рига) 1—11, 13,-17; К. Рябенко (Ворошилове^ 1, 2, 4, 6, 8, 11, 12, 14, 17; Ш. Савинов (Помоздино) 1—12, 14, 15, 17; В. Саннинский (Ворошиловград) 1—3, 5—11, 14, 15, 17; Г. Сакович (Киев) 1—17; Ф. Сергиенко (Запорожье) 1, 2, 4, 6—8, 10—13, 15—17; С. Смоляк (Москва) 1, 2, 4, 6—11, 13—15, 17; В. Стасюк (Стрый) 1—17; Э. Стрелецкий (Гродно) 1—17; Н. Титов (Казань) 1—11, 13—17; В. Токарев (Константиновка) 1—11, 13—17; М. Торбик (Брянская обл.) 1—15, 17; А. Тралмак (Ленинград) 1—17; В. Утемов (Красноуфимск) 1—11, 13—17; М. Федорюк (Проскуров) 1—17; М. Шатохин (Орск) 1—17; М. Шебаршин (Кемеровская обл.) 1—17; М. Шевченко (Воронежская обл.) 1—12, 14, 15, 17; Е. Шерсткин (Брянская обл.) 1—12, 14—17; К. Шехтов (Болгария) 1, 3, 6—8, 10, 11, 14, 17; В. Штейншрайбер (Проскуров) 1—4, 7, 8, 10—12, 14—16; М. Федорюк (Проскуров) 1—17; Я. Эрдниев (Алтайский край) 1—5Г 8—17; А. Южаков (Шадринск) 1—9, 11—17; Э. Ясиновый (Куйбышев) 1—11, 13—17.

По № 2

К. Агринский (Москва) 18—21, 24, 26, 28, 30; B. Азаров (Воронежская обл.) 18—21, 23, 24, 26, 28—30; Г. Акопджанян (Армянская ССР) 18, 21, 23, 24, 26, 28—30; Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 18, 20—24, 26, 28, 30; И. Альтшулер (Ленинград) 18—24, 26, 28—31; Б. Андрусенко (Южно-Сахалинск), 18, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 31; В. Артемов (Задонск) 18, 19, 21—24, 26, 28, 30, 31; А. Арутюнян (Ереван) 18—23, 26, 28—31; А. Архипенко (Сталинградская обл.) 18, 19, 21, 23, 26, 28—31; Г. Ахвердов (Ленинград) 18—24, 26—32; 3. Багавеев (Татарская АССР) 19—24, 26, 28—30; Р. Багдасаров (Туркменская ССР) 18, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 31; Я. Байков (Московская обл.) 18—24, 26, 28—32; М. Байтальский (Одесса) 18, 19, 23, 26, 28, 30, 31; Я. Бартош (Чехословакия) 18—24, 25, 28—31; А. Бауэр (Мариинск) 18—24, 26—32; М. Беккер (Таллин) 18, 19, 21—23, 26, 28—31; А. Белогуров (Дзауджикау) 18, 19, 21, 23, 26, 28, 31; В. Белых (Курская обл.) 19, 21—24, 26, 30; Я. Берман (Городок) 18, 21—23, 26—28; Я. Берх* гард (Казахская ССР) 19—24, 26, 28—31; С. Бернштейн (Киев) 18, 19, 21—24, 26, 27—31; В. Бешкарев (Горький) 18—24, 26—32; Г. Биринбаум (Макеевка) 18—24, 26—32; Я. Бисярин (Ворошиловград) 18—24, 26—31; Р. Брилиант (Винница) 18, 21—23, 26, 28—30; Е. Боков (Краснодарский край) 18, 19, 21—23, 26—31; Я. Бокучава (Тбилиси) 18, 19, 21—23, 26, 28, 31; Я. Бочкин (Витебск) 18—24, 26—31; М. Буграчева (Енисейск) 18—24, 26, 28—32; Е. Бугулов (Дзауджикау) 18—24, 26—32; А. Будков (Спасек) 18—24, 26, 28—31; Б. Вайнман (Киев) 18, 19, 21—24, 26—28, 30—32; Я. Вальтер (Казахская ССР) 18—24, 26, 28—31; Е. Ванновская (Тамбов) 18, 19, 23, 24, 26, 29, 30; В. Варганов (Москва) 18, 21—23, 26, 28, 30, 31; С. Вашакмадзе (Тбилиси) 18, 19, 21, 23, 26, 28, 30; Я. Верховский (Еврейская Автономная область) 18, 20—24, 26, 28—31; В. Ветров (Улан-Удэ) 18, 19, 21, 23, 24, 26, 27, 29; А. Владимиров (Ялта) 18—24, 26—32; А. Гаас (Караганда) 18—24, 26, 28—32; Б. Галицейский (Проскуров) 18—24, 26—32; А. Ганц (Гомельская обл.) 18—24, 26, 28—31; Т. Гарбузов (Кадиевка) 18, 21, 23, 24, 26, 30, 31; А. Гемуев (Фрунзенская обл.) 18—20, 22—24, 26, 28; В. и Э. Героцкие (Бежица) 18, 19, 21—24, 26, 28—31; М. Гимельштейн (Ленинград) 18—24, 26, 28—30, 32; Я. Глебов (Абакан) 18, 19, 21—23, 28, 30, 31; Я. Глыбин (Гомельская обл.) 18—24, 26—32; Я. Голайдо (Брянская обл.) 18—21, 23, 24, 26, 28—31; Е. Головачев (Курская обл.) 18—21, 23, 24, 26, 28—31; К. Горев (Лукоянов) 18—24, 26, 28—32; М. Готлер (Вильнюс) 18—24, 26—32; В. Губанищев (Полесская обл.) 18—23, 26—31; Я. Гуревич (Воронеж) 18—24, 26, 28—31; Ф. Гутковский (Варшава) 18—21, 23, 24, 25—32; У. Давыдов (Гомель) 18—24, 26—31; А. Дейнега (Винницкая обл.) 18—24, 26, 28—31; В. Демчинский (Ровно) 18—24, 26—31; C. Джаббаров (Куйбышевская обл.) 18, 19, 21, 23, 24, 26—31; Ш. Джалагания (Батуми) 18, 21, 23, 24—26—32; М. Джемакулов (Ставропольский край) 20—24, 26, 28, 31; Б. Диккер (Ананьев) 18, 19, 21,

23, 24, 26, 28—31; Л. Дименштейн (Свердловск) 18—24, 26, 28—31; А. Дупло (Каменец-Подольская обл.) 18, 19, 21—24, 26, 28—31; Я. Епимашка (Гродно) 18—24, 26—32; Д. Есипович (Богородск) 18—24, 26, 28—31; Т. Зауэрвейн (Алтайский край) 18, 21—24, 26, 28; А. Зац (Валуйюи) 18, 21, 23, 24, 26, 30, 31; Ф. Зиатдинов (Месягутово) 18—21, 23, 24, 26, 28, 30, 31; Л. Зискинд (Винница) 18—24, 26, 28—30, 31; В. Зотов (Курск) 18—21, 23, 24, 26, 27, 30; Я. Зубилин (Орловская обл.) 18, 20—24, 26—32; Р. Ибрагимов (Ютаза) 18, 19, 21, 23, 24, 26—30; Д. Изаак (Орск) 18—24, 26—32; Ю. Изосимов (Астрахань) 18—24, 26—32; В. Исаков {Казахская ССР) 18—24, 26, 28—31; М. Кабинетов (Тула) 18—24, 26—31; А. Камышев (Московская обл.) 18—24, 26, 28—32; А. Карпов (Собинка) 18—24, 26—32; В. Киндефатер (Кемеровская обл.) 18—24, 26—31; Н. Кириллов (Ярославль) 18, 19, 21—23, 26, 28, 30, 31; А. Киселев (Ленинград) 18—24, 26, 28—31; П. Китайгородский (Москва) 18, 19, 21, 23, 24, 26—30, 32; Я. Козлов (Минская обл.) 21—24, 26, 28—31; В. Козьмодемьянский (Сызрань) 18—24, 26—31; Я. Кожухар (Винницкая обл.) 18—24, 26, 28—31; С. Колесник (Харьков) 18—24, 26—32; Г. Колосов (Пудож) 18—21, 23, 26—31; В. Конопленко (Измаил) 18—24, 26, 28—31; Г. Копылов (Днепродзержинск) 18—24, 26—32; А. Кошелев (Ульяновская обл.) 18, 20—23; 26, 28—31; Е. Круглов (Муйнак) 18, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 31; М. Крайзман (Львов) 18—24, 26—32; Е. Кулаго (Бобруйская обл.) 18—24, 26—31; В. Кунахович (Красноярский край) 18—24, 26, 28—32; Н. Курочкин (Ново-Сергиевская) 20, 21—23, 26, 28, 31; А. Кутенов (Ворошиловок) 18—24, 26, 28—32; Л. Кучинский (Полесская обл.)' 18—24, 26, 28—31; Ф. Ландер (Одесса) 18—24, 26, 28—32; Б. Латти (Ростовская обл.) 18, 19, 21, 23, 24, 26, 29, 30; A. Левкович (Бобруйская обл.) 18, 19, 21—24, 26, 28, 30, 31; М. Лейбман (Свердловская обл.) 18—24, 26, 28—32; Л. Лоповок (Проскуров) 18—24, 26—32; Э. Магарам (Южно-Сахалинск) 18, 20, 22—24, 26, 30, 31; А. Магеро (Витебская обл.) 18—21, 23, 26, 30, 31; Е. Майданник (Конотоп) 18—24, 26, 28—31; К Максимов (Тамбовская обл.) 18—24, 26, 28—31; Математический кружок Суворовского военного училища (Казань) 18, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 31; B. Мацаев (Харьков) 18, 19, 23, 24, 28, 31, 32, Л. Медведев (Себряково) 18, 21—23, 26, 28—31; C. Мейдман (Одесса) 18—24; 26—32; X. Меликов (Беслан) 18, 20, 21—23, 26—32; Б. Меньших (Филипово) 18—24, 26—31; Б, Мирау (Алма-Атинская обл.) 18—2Ф, 26—32; Г. Михальков (Уфа) 18, 19, 21—24, 26—32; Г. Многолетний (Мглин) 18—21, 23, 24, 25, 28—31; Н. Могильный (Игрень) 18—24, 26, 28—31; И. Молибога (Верхний) 18, 20—22, 24, 26—29, 31; А. Мостовой (Алма-Атинская обл.) 18—24, 26, 28—31; И. Муртазина (Бугульма) 18—24. 26, 28—31; Т. Мышакова (Одесса) 18—24, 26—32; К Нардов (Ленинград) 18—24, 26, 28—32; С. Нахамчик (Рогачев) 18—24, 26, 28—31; К. Нелюбин (Кировская обл.) 18—24, 25, 28—31; Н. Нестеренко (Шепетовка) 18, 19, 21, 23, 24, 26, 28—30; В. Норяжкин (Пензенская обл.) 19—22, 24, 26, 28—31; Б. Острогорский (Калинин) 18, 19, 21, 24, 26—28, 30—32; Е. Павлов (Чувашская АССР) 18—24, 26, 28—31; Ю. Палант (Харьков) 18, 20, 21—24, 26—32; Ф. Певишев (Шилово) 18—24, 26—31; П. Пеньков (Каменец-Подольская обл.) 18—24, 26, 28—31; М. Пестов (Свердловск) 18—24, 26—32; С. Петров (Гайсин) 18—24, 26, 28—31; Я. Петрусев (Смоленская обл.) 18—24, 26, 28—32; Л. Печерский (Орск) 18—23, 26—32; Ю. Пигарев (Киевская обл.) 18—24, 26, 28—32; Я. Писаренко (Молдавская ССР) 18—24, 26, 28—31; В. Попов (Сталинград) 18—24, 26—31; С. Попов (Черкизово) 18—24„ 26—32; М. Пышный (Молчадь) 18, 19, 21—24, 26, 28—31; В. Рабинович (Казахская ССР) 18—24, 26, 28—32; Е. Радченко (Курская обл.) 18—24, 26, 27, 30, 31; С. Раппопорт (Фастов) 18, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 30 31; Я. Резвое (Суздаль) 18, 19, 23, 24, 26—32; Л. Рейзиньш (Рига) 18—24, 26—32; В. Рекис (Тукуль) 18, 21, 26—31; Я. Рознатовский (Киев) 18—24, 26, 28, 31; Я. Романчук (Харьковская обл.) 18, 19, 24, 26, 30—32; Я. Рубинштейн (Москва) 18—24, 26—32; Б. Рубенчик (Минск) 18, 20. 21, 23, 24, 26—28, 30—32; Я. Рубцов (Спирово) 18, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 31; 3. Рудштейн (Бобруйск, обл.) 18—24, 26, 31; Я. Рытов (Каменка) 18, 21, 23, 24, 26—28, 30, 31; К. Рябенко (Ворошиловск) 18—24, 26—32; Г. Сакович (Киев) 18— 24, 26—32; Д. Салангин (Кировская обл.) 18—24, 26, 28—31; В. Саннинский (Ворошиловград) 18—24, 26—32; Г. Саркисьян (Москва) 18, 19, 21, 23, 24, 26—31; Я. Сергачев (Малоярославец) 20, 21, 23, 24, 26, 30, 31; Ф. Сергиенко (Запорожье) 18, 24, 26, 28—32; Я. Синдюков (Калининград) 18—24, 26, 28—31; С. Смоляк (Москва) 18—24, 26, 28—32; В. Смышляев (Марийская АССР) 18—23, 26, 28, 30, 31; Я. Старченко (Ворошиловградская обл.) 18, 21, 22, 24, 26—28, 30—32; В. Стасюк (Стрый) 18—24, 26—32; Э. Стрелецкий (Гродно) 18—24, 26—32; Я. Строгальщиков 18, 19, 21, 23, 26, 28, 29—31; В. Студеновский (Мордовская АССР) 18—21, 23, 26, 28—31; Я. Сурин (Московская обл.) 18—21, 23, 24, 26—31; Я. Терехов (Рязанская обл.) 18—24, 26, 28, 30, 31; А. Тер-Минасян (Ереван) 21—24, 26, 28, 30; Я. Титов (Казань) 18—24, 26, 28—31; В. Токарев (Константиновка) 18—24, 26—32; М. Торбик (Брянская обл.) 18—24, 26—31; А. Тралмак (Ленинград) 18—24, 26—31; К. Тур (Полтавская обл.) 18—24, 26, 28—30; Я. Тушинов (Рогачев) 18—23, 26, 30, 31; К Устинова (Лениногорск) 18—21, 23, 24, 26, 28, 30, 31; В. Устиновский (Москва) 18—24, 26, 28—32; В. Утемов (Красноуфимск) 18—24, 26—32; М. Федорюк (Проскуров) 18—24, 26—32; Я. Феоктистов (Томская обл.) 19—24, 26, 28, 31; А. Фильщинский (Полтавская обл.) 18—24, 26, 28—31; С. Фитерман (Калужская обл.) 19, 23, 24, 26—29, 31; А. Хайруллин (Саратовская обл.) 18, 19, 21—24, 26, 28; Я. Харламов (Елец) 18—23, 26, 28—31; Я. Худяков (Воронежская обл.) 18—24, 26, 28—31; Е. Цыгуля (Дубоссары) 18, 19, 21, 23, 24, 26 28, 30, 31; Ц. Чачибая (Сухуми) 18, 21—23, 26, 28, 31; Я. Челисов (Дмитровск) 18—24, 25—31; Г. Чепкасов (Краснодарский край) 18—24, 26, 28—31; В. Черипов (Красноводск) 18—24, 26, 28—31; Я. Чернов (Измаил) 18—24, 26—32; Я. Чернявский (Саратов) 18—22, 24, 26, 30, 31; А. Шагинян (Ереван) 18, 21, 23, 24, 26, 28, 30; А. Шалтаев (Ульяновская обл.) 18—24, 26, 28—32; М. Шатохин (Орел) 18—24, 26—32; М. Шебаршин (Кемеровская обл.) 18—24, 26—32; В. Шевченко (Алтайский край) 18—21, 23, 24, 26—28, 30, 31; М. Шевченко (Воронежская обл.) 18—24, 26—32; X. Шехтов (Болгария) 18—23, 26, 28—30; Я. Шифрин (Ташкент) 18, 19, 21—24, 26, 28, 30, 31; Е. Шнайдер (Приморский край) 18, 19, 21, 23, 24, 26, 28, 30; В. Штейншрайбер (Проскуров) 18—24, 26, 28—32; М. Штер (Проскуров) 18, 19, 21 23, 24, 26, 28, 31; Я. Щукин (Полонное) 18, 20—24, 27—28, 30, 31; Я. Эрдниев (Алтайский край) 18—24, 26, 28—31; Ф. Яремчук (Дрогобыч) 18—24, 26, 28—31; Э. Ясиновый (Куйбышев) 18—24, 27—32.

СОДЕРЖАНИЕ

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Стр.

В. И. Молодший —Учение о числе в XVIII и первой половине XIX века .... 1

В. Л. Минковский — Педагогические идеи и деятельность академика А. А. Маркова .................................... 10

МЕТОДИКА

Г. М. Карпенко — Изучение обратных тригонометрических функций в школе . , 17

И. А. Гибш — Развитие речи в процессе изучения школьного курса математики 30

У. В. Дакацьян — Математические диктанты.................. 36

В. М. Розентуллер — О культуре математической речи учащихся....... 38

Я. М. Черников — О работе над речью учащихся на уроках математики .... 42

Н. В. Каверин — Об анализе и синтезе и их месте в процессе решения арифметических задач............................. 44

ИЗ ОПЫТА

И, И, Гольденблат — Решение геометрических задач на доказательство. ... 55

К. С. Богушевский — Из писем и заметок читателей.............. 60

Я. П. Анохин — Об одном способе решения арифметических задач на дроби . . 73

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

A. В. Ланков — Пропаганда передового опыта учителей математики...... 75

ХРОНИКА

Л. Н. Грацианская — Математическая олимпиада юных математиков г. Киева . 81

М, Гошлер — Первая республиканская олимпиада юных математиков Литовской ССР................................... 82

B. Балакин — Городская математическая олимпиада школьников в Казани. . . 84

C. В. Филичев — Третья московская городская олимпиада по арифметике ... 84

Научно-практическая конференция учителей математиков в Московском городском институте усовершенствования учителей............... 87

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 2 за 1952 г.................. 88

Задачи.................................... 92

Сводка решений................................ 94

Редакционная коллегия: Редактор А. Н. Барсуков. Зам. редактора С. И. Новоселов, Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин.

Технический редактор С. Н. Шахов. Корректоры О. К. Румянцева и 3. Ф. Федорова.

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6. Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

А06525. Сдано в производство 4/VII 1952 г. Подписано к печати 27/VHII 1952 г. Учетно-изд. л. 11,58 Зак. 1179. Тираж 52000 экз. Печ. зн. в п. л. 72000. Цена 4 р. 50 к.

Бумага 82xW8Vie = 3 бумажн. л.—9,84 п. л.

13-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР, Москва, Гарднеровский пер., 1а.

Цена 4 p. 50 к.

ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ СЛЕДУЮЩИЕ КНИГИ:

НОРДЕН А. П. Дифференциальная геометрия. Учебное пособие для педагогических институтов. Учпедгиз. 1948. 215 стр. Новая цена 5 р.

КОСТИН В. И. Основания геометрии. Изд. 2-е. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебника для педагогических институтов. Учпедгиз. 1948. 304 стр. Новая цена 6 р. 5 к.

ПОПОВ П. И. и БОГУСЛАВСКАЯ Н. Практикум по астрономии. Учебное пособие для педагогических институтов. Под общ. ред. П. И. Попова. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебного пособия для педагогических институтов. Учпедгиз. 1947. 94 стр. Новая цена 2 р. 50 к.

ГОРЯЧКИН Е. Н. Методика преподавания физики в семилетней школе. Том III. Основные детали самодельных и упрощенных приборов. Учпедгиз. 1950. 659 стр. Цена 12 р. 95 к.

Продажа производится в магазинах книготоргов.

В случае отсутствия указанных книг в магазинах на местах заказы направлять по адресу: Москва, Арбат 36, магазину № 69 Москниготорга.

Союзопткниготорг Главполиграфиздата