МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

4

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1952

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 4

ИЮЛЬ - АВГУСТ 1952 г.

ИСТОРИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

Великая Октябрьская социалистическая революция открыла новый этап в развитии общества, знаменующий собой переход от общества капиталистического к обществу коммунистическому через диктатуру пролетариата. На этом новом этапе развития общества коренным образом изменяется вся система воспитания; в капиталистическом обществе воспитание молодежи, как и просвещение взрослых масс трудящихся, недоступно широким слоям трудящихся, проводится в целях укрепления господства буржуазии и неизбежно носит ограниченный характер.

Великая Октябрьская революция упразднила все ограничения и открыла трудящимся самый широкий доступ к культуре и просвещению.

Если буржуазное воспитание служит целям классового господства буржуазии, то коммунистическое воспитание служит целям построения бесклассового, коммунистического общества. На основе победы социализма в нашей стране достигнуты такие успехи в области воспитания подрастающего поколения, которых история человечества еще не знала: развернута огромная сеть государственных дошкольных учреждений, осуществлено обязательное начальное обучение, осуществляется всеобщее семилетнее обучение, создана государственная система профессионально-технического обучения, открыта широкая сеть средних общеобразовательных школ, специальных средних и высших учебных заведений.

Во всей системе народного образования огромная роль принадлежит советской школе, перед которой партией и государством поставлена исключительно ответственная задача подготовить хорошо образованных и всесторонне развитых строителей коммунизма.

Начиная с первых дней Великой Октябрьской социалистической революции и до исторического постановления ЦК ВКП (б) «О начальной и средней школе» от 5 сентября 1931 г., советская школа прошла огромный и сложный путь. Ликвидация неграмотности, введение всеобщего обучения, изжитие схоластики и ложного классицизма в содержании программ дореволюционной школы, переход к новым методам обучения—все это потребовало огромной творческой работы.

Этот сложный путь советская школа прошла самостоятельно, не имея предшественников и не могла следовать ничьим примерам. Разумеется, на пути создания советской школы имели место как удачные, так и неудачные эксперименты. Наряду с важнейшими прогрессивными мероприятиями допускались и отдельные ошибки.

Постановление ЦК ВКП (б) от 5 сентября 1931 г. явилось историческим переломным этапом в жизни нашей школы прежде всего потому, что в нем, во-первых, сформулирована основная задача советской школы:

«Советская школа, ставящая своей задачей „подготовлять всесторонне развитых членов коммунистического общества“, дает детям несравненно более широкий общественно-политический кругозор и общее развитие, чем дореволюционная буржуазная школа», и, во-вторых, были указаны основные недостатки школы, имевшие место в то время:

«.. . коренное недостаток школы в данный момент заключается в том, что обучение в школе не дает достатонного объема общеобразовательных знаний и неудовлетворительно разрешает задачу подготовки для техникумов и для высшей школы вполне грамотных людей, хорошо владеющих основами наук...».

В-третьих, были указаны пути устранения имевших место недостатков и обеспечения дальнейшего развития советской школы.

«Предложить Наркомпросам Союзных республик немедленно организовать научно-марксистскую проработку программ, обеспечив в них точно очерченный круг систематизированных знаний.. . ».

Постановление ЦК ВКП (б) до конца разоблачило теории «леваков», которые под видом борьбы за политехническую школу грубо искажали ленинское понимание политехнизации, умаляли значение теории, занимались методическим прожектерством и своим отрицанием роли учителя, твердых программ, учебного расписания, изучения систематического курса учебных дисциплин вели фактически к разрушению школы.

Как известно, сторонники антиленинской теории «отмирания школы» выдвинули идею преобразования школы в цех предприятия. Это приводило к тому, что занятия в школе фактически уничтожались, а школьники и учителя работали на заводе. Весь учебно-педагогический процесс был подчинен борьбе за промфинплан завода.

Наряду с разоблачением антиленинской сущности этих теорий об «отмирании школы» постановление ЦК вооружило на успешную борьбу «с главной опасностью на пути построения политехнической школы, с правооппортунистическими искажениями политики партии, ведущими к отказу от политехнизации школы, к попыткам сохранения старой, словесной школы...».

Постановление ЦК ВКП (б) от 25 августа 1932 г. «Об учебных программах и режиме в начальной и средней школе» является органическим продолжением сентябрьского постановления.

В августовском постановлении ЦК с исчерпывающей ясностью определил дидактические принципы и методы обучения в советской школе. Центральный Комитет указал, что преподавание должно строиться в соответствии с возрастными особенностями учащихся. В частности, это имеет огромное значение для правильной постановки преподавания математики.

В августовском постановлении говорится:

«Провести внутреннее перераспределение учебного материала программ..., приведя объем и характер учебного материала этих программ в полное соответствие с возрастными особенностями детей...».

В этом постановлении были определены основные формы организации учебной работы в советской школе:

«Основной формой организации учебной работы в начальной и средней школе должен являться урок с данной группой учащихся со строго определенным расписанием занятий и твердым составом учащихся».

В постановлении от 25 августа Центральный Комитет справедливо осудил антипедагогические извращения, культивируемые буржуазной школой, которые пытались обосноваться в советской школе. Таковы, например, небезызвестные «методы проектов», «дальтон-планы», «лабораторно-бригадные методы» и т. п. измышления, заимствовавшиеся некоторыми «педагогами» из американской школы.

Применение этих методов, особенно в отношении усвоения основ математики и физики, наносило громадный вред, ибо эти методы исключали систематичность и качество знаний.

Так, например, согласно «методу проектов», вся учебная работа должна принять характер практических «дел» (помочь колхозу в уборке урожая или помочь заводу в выполнении промфинплана); в процессе этих «дел» учащиеся должны приобретать и некоторые научные знания. Можно представить, какие знания могут получить учащиеся в области математики 1

В августовском постановлении 1932 г. сказано:

«Однако, несмотря на указание ЦК..., что ни один метод не может быть признан основным и универсальным методом учебы, в практике работы школ получил распространение, как основной, так называемый «лабораторно-бригадный метод» (в ряде школ он стал универсальным), который сопровождался организацией постоянных и обязательных бригад, приведших к извращениям в виде обезлички в учебной работе, к снижению роли педагога и игнорированию во многих случаях индивидуальной учебы каждого учащегося.

ЦК ВКП (б) предлагает НКПросу союзных республик ликвидировать эти извращения лабораторно-бригадного метода.. . ».

Исторические постановления Центрального Комитета подняли все дело руководства школой на новую, более высокую ступень; в них было указано, что основным и решающим в строительстве школы является борьба за качество знаний и что все усилия учителей, пионерских, комсомольских и партийных организаций должны быть направлены на обеспечение высокого общего образования учащихся, на связь обучения с производительным трудом. Постановления дали развернутые конкретные предложения по переработке программ в целях обеспечения в них строгой научности, систематичности и доступности для детского возраста, дали четкие указания по вопросам организации учебной работы и укреплению школьного режима и всемерно укрепили ведущую роль учителя.

Эти решения послужили основанием для дальнейших постановлений о школе, из которых важнейшим является постановление от 12 февраля 1933 г. «Об учебниках для начальной и средней школы», в котором определен характер учебной литературы, предназначенной для школы.

Огромные успехи советской школы обусловлены в первую очередь тем, что вся армия советских учителей дружной и самоотверженной работой претворяет в жизнь указания ЦК.

Необходимо отметить огромное значение постановлений ЦК в деле преподавания математики. Исходя из самой сущности математики, ее изучение должно происходить в строгой логической последовательности, в стройной безукоризненной системе. Эта истина, азбучная для советского педагога, не признается представителями буржуазной педагогики, протаскивающими под видом прогрессивных идей точки зрения, ведущие на деле к упадку уровня преподавания математики.

Такими являются небезызвестные идейки разного сорта зарубежных «реформистских» движений (пресловутое «клейновское движение», «движение Перри» и т. д.), как, например, искусственное создание ненужных концентров, фрагментарность в изложении математики, узкий практицизм, недооценка необходимости выработки твердых математических навыков, различного рода «нестрогие изложения», базирующиеся на необоснованных суждениях, поверхностное, несистематическое «знакомство с идеями» без закрепления их должными навыками и т. п.

Выдвинув в качестве основного принципа научность и систематичность изложения математики, постановления ЦК ВКП(б) решительным образом закрыли возможность насаждения в советской школе подобного рода «методических» идей, чуждых лучшим традициям нашей отечественной методики математики.

Указание Центрального Комитета на необходимость увязки материала программы математики с программами смежных дисциплин (физики, химии, черчения) имеет огромное значение в отношении выработки научно правильного, материалистического мировоззрения учащихся. Показ связи математики с различными естественно-научными дисциплинами действенно убедит учащихся, что абстрактные математические понятия отражают соотношения, существующие в реальной действительности.

В советской школе не может быть места бредовым идеалистическим измышлениям, распространяемым буржуазными учеными, будто бы математика есть продукт свободного творчества человеческого духа.

В сентябрьском постановлении 1931 г. сказано: «Применяя в советской школе различные новые методы обучения, могущие способствовать воспитанию инициативных и деятельных участников социалистического строительства, необходимо развернуть решительную борьбу против легкомысленного методического прожектерства, насаждения в массовом масштабе методов, предварительно на практике не проверенных...».

Одной из важнейших проблем настоящего времени является ликвидация перегрузки учащихся. При дальнейшем усовершенствовании программ и методики преподавания существенно выделение принципиально важного материала, необходимого для прочного овладения учащимися основами наук, и разгрузка школьного курса от материала, не имеющего принципиального значения и изучающегося в школе лишь в силу сложившихся традиций.

Еще в августовском постановлении 1932 г. Центральный Комитет в числе недостатков программ того времени указал на их перегрузку.

«Основными недостатками программ являются:

а) Перегрузка программ учебным материалом, приводящая к тому, что ряд дисциплин проходится в школе наспех, а знания и навыки детьми твердо не усваиваются и не закрепляются (по математике — отдел стереометрии в 7-й группе*...)».

Настоящее время ознаменовалось в жизйи школы событием огромной важности. Осуществляется переход на всеобщее семилетнее обучение. В V—VII классы школы влились огромные контингенты учащихся, к педагогической работе привлечено большое количество молодых учителей и учителей, впервые приступивших к преподаванию в средней школе. Проведение в жизнь этого мероприятия требует от учителей математики—одной из важнейших учебных дисциплин—самоотверженной работы, настойчивости в преодолении трудностей.

Математика, и в частности арифметика, является дисциплиной, на которую падает значительный процент неуспевающих, и борьба за твердые, прочные знания, за хорошую успеваемость учащихся, за ликвидацию второгодничества должна повседневно, настойчиво проводиться всем огромным коллективом учителей математики.

Исторические постановления ЦК ВКП(б), имеющие основоположное значение для современной советской школы, должны служить руководством в педагогической и общественной деятельности каждого учителя.

* 7-я группа — седьмой год обучения при девятилетнем обучении в школе 1 и II ступени до 1934 г.— Ред.

ПРОФЕССОР ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ МОРДУХАЙ-БОЛТОВСКОЙ

М. Н. ЧЕРНЯЕВ (Ростов)

7 февраля 1952 г. в г. Ростове-на-Дону скоропостижно скончался известный ученый и педагог профессор Д. Д. Мордухай-Болтовской, научно-педагогическая деятельность которого весьма многогранна.

Д. Д. Мордухай-Болтовской родился в 1876 г. в г. Павловске, бывшей Петербургской губернии, в семье инженера путей сообщения. Среднее и высшее образование Д. Д. получил в Петербурге. Физико-математический факультет университета он окончил в 1898 г. Тотчас же после окончания университета началась научно-педагогическая деятельность Д. Д. Мордухай-Болтовского, которая не прекращалась до дня его смерти. Д. Д. начал свою педагогическую работу ассистентом в Варшавском политехническом институте, куда он был рекомендован своими учителями, профессорами Петербургского университета К. А. Поссе и А. А. Марковым.

В 1909 г. Д. Д. Мордухай-Болтовской был избран профессором математики Варшавского университета, вместе с которым в 1915 г. переехал в город Ростов-на-Дону, где и протекала вся его дальнейшая научно-педагогическая деятельность, за исключением краткого перерыва, вызванного тяжелым ранением в ногу осколком вражеской бомбы в 1941 г. и эвакуацией. В 1950 г. Д. Д. перешел на работу в г. Пятигорск в Педагогический институт. На время зимних каникул Д. Д. приехал в г. Ростов, где и скончался.

В 1902 г. была опубликована первая печатная работа Д. Д. Мордухай-Болтовского «Об одном обобщении теоремы Абеля », за которой последовал ряд других исследований в этой трудной области математического анализа. В конце 1906 г. Д. Д. Мордухай-Болтовской в Петербургском университете успешно защитил диссертацию на ученую степень магистра математики на тему «О приведении абелевых интегралов к низшим трансцендентным». Эта диссертация представляет собой большую монографию (свыше 25 печатных листов).

Разработанный в этой диссертации метод приведения абелевых интегралов к низшим трансцендентным позволил автору в последующих работах решить ряд весьма трудных проблем, как-то: вывести условия существования алгебраического решения обобщенного уравнения Эйлера; решить задачу Шварца о преобразовании абелевых интегралов и др.

В 1913 г. профессор Д. Д. Мордухай-Болтовской разрешил 22-ю проблему Гильберта об аналитической природе функции Ç(s), опубликовав оригинальное доказательство весьма трудной теоремы о гипертрансцендентности этой функции.

Д. Д. Мордухай-Болтовской является автором ряда работ по трансцендентности чисел и функций; ему принадлежит удачная классификация таких чисел и установление признаков принадлежности трансцендентных чисел к тому или иному классу. Ряд работ Д. Д. относится к области интегрирования трансцендентных функций в конечном виде и решения дифференциальных уравнений в квадратурах.

Многие исследования Д. Д. Мордухай-Болтовского посвящены вопросам геометрии, методики преподавания и истории математики.

Переводы с латинского языка с интересными комментариями математических сочинений И. Ньютона и с греческого языка, сопровождаемые аксиоматическими и методическими комментариями «Начал» Евллида, осуществленные Д. Д. Мордухай-Болтовским, являются капитальными трудами по истории математики за последние годы.

Ряд исторических работ Д. Д. посвящен классикам русской математической науки. Предметом исследования одной из работ Д. Д. Мор-

духай-Болтовского был вопрос о связи методических идей первой половины XIX в. с философией того времени.

В работе о развитии теории пределов Д. Д. исследовал вопрос об идее предела в средние века.

К области классической дифференциальной геометрии относится большое исследование Д. Д. по теории сетей Чебышева, положившее начало ряду работ других советских геометров.

Интересна работа проф. Д. Д. Мордухай-Болтовского по кривизнам высших порядков плоских кривых. В работах по алгебраическим кривым Д. Д. обобщаются диаметральные и полярные их свойства.

Д. Д. Мордухай-Болтовской много занимался теорией геометрических построений; он обобщил известные построения Штейнера на случай сколь угодно малой дуги начерченной окружности, а в другой своей работе распространил эти результаты на построения, осуществляемые на шаре.

Д. Д. дал подробное решение основных задач на построение на плоскости Лобачевского, заложив тем самым общие основы теории этих построений, успешно разрабатываемой в трудах советских геометров.

Ряд геометрических работ Д. Д. Мордухай-Болтовского относится к геометрии многомерных пространств. Опираясь на некоторые теоремы четырехмерной геометрии, Д. Д. удачно их использовал для выполнения построений в ограниченной части плоскости. Весьма интересно предложенное Д. Д. доказательство, посредством проектирования из пятимерного на трехмерное пространство, теоремы Шаля о гипербоидальном расположении двух тетраэдров.

Весьма плодотворна педагогическая деятельность профессора Д. Д. Мордухай-Болтовского. За свою полувековую работу в Варшавском, а затем в Ростовском университете Д. Д. подготовил не один десяток научных работников, ныне успешно преподающих математику в различных высших учебных заведениях Советского Союза.

Эти результаты были обусловлены умелым руководством и педагогическим мастерством Д. Д. Курсы лекций, которые он читал, и составленные им учебные руководства весьма оригинальны и свидетельствуют о большой творческой работе автора и лектора.

С первых лет своей педагогической деятельности Д. Д. Мордухай-Болтовской начал интересоваться постановкой преподавания математики в средней школе; он участвовал в русской национальной подкомиссии международной комиссии по реформе преподавания математики и сотрудничал в ряде методических журналов.

Д. Д. был активным участником съездов преподавателей математики, выступив с рядом оригинальных докладов. Организованный проф. Д. Д. Мордухай-Болтовским в 1924 г. в г. Ростове-на-Дону методический коллоквиум объединил почти всех преподавателей математики города. Коллоквиум продолжает работу и теперь при Ростовском педагогическом институте. Значительная часть сообщений, сделанных на заседаниях методического коллоквиума, переработана в статьи и опубликована в методических журналах.

Организованный проф. Д. Д. Мордухай-Болтовским в г. Ростове математический кабинет состоит в основном из интересных моделей правильных и полуправильных многогранников, выполненных по разверткам, рассчитанным руководителем. Этот кабинет является лабораторией, в которой будущие геометры и преподаватели математики имеют возможность совершенствовать свои знания и развивать необходимые пространственные представления.

По инициативе Д. Д. Мордухай-Болтовского, всегда придававшего большое значение наглядности преподавания, были введены факультативные занятия в Ростовском педагогическом институте по изготовлению геометрических моделей, чертежей и других учебных пособий. Многие из учеников Д. Д., ныне учителя советских школ, успешно используют приобретенные в студенческие годы навыки моделирования, облегчая тем самым свой труд педагога.

Таковы результаты более чем полувековой работы крупного ученого и талантливого педагога.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ОБ ОБЩИХ ПРИЗНАКАХ ДЕЛИМОСТИ

И. Е. ПОЛЯКОВ (Москва)

В журнале «Математическое образование» (№ 8, 1914 г., и № 1, 1915 г.) была помещена статья проф. И. И. Чистякова «О некоторых признаках делимости». Во второй части этой статьи был дан вывод так называемых общих признаков делимости*. Под общим признаком подразумевается признак, применимый к целой группе чисел, например, признак делимости на числа, оканчивающиеся единицей, и т. п.

В настоящей статье мы даем более простой вывод таких общих признаков делимости. Мы полагаем, что в таком изложении эти признаки вполне доступны для учащихся, могут быть ими выведены и усвоены в порядке внеклассной работы и в дальнейшем получить применение при вычислениях.

Мы исходим из следующих общеизвестных теорем элементарной арифметики:

Теорема 1. а) Между суммой и двумя слагаемыми, ее составляющими, существуют следующие отношения:

1. Если два из членов этого равенства делятся на какое-нибудь число, то и третий член также делится на это число.

2. Если из двух членов один делится, а другой не делится на какое-нибудь число, то и третий член на это число не разделится.

б) Совершенно те же отношения существуют между уменьшаемым, вычитаемым и разностью.

Теорема 2. Если число А является кратным простого делителя К, то и произведение т А, где т является целым числом, также будет кратным К.

И наоборот, если А не делится на К> то и тА не будет делиться на КУ если только т и К—числа взаимно простые.

Условимся в дальнейшем натуральное число обозначать буквой А, число его десятков буквой а, цифру его единиц буквой Ь.

Таким образом, натуральное число в дальнейшем будет обозначаться так: А = \0а+Ь.

Во избежание недоразумений мы подчеркиваем, что буквой а мы обозначаем не цифру десятков, а число десятков. Так, в числе 7643 буквой а мы обозначаем не 4, а 764; 7643 = 764ХЮ + 3.

В самом начале обратим еще внимание на одно очень важное обстоятельство: простые делители не могут оканчиваться на 0, 2, 4, 5, 6, 8. Следовательно, цифрой единиц в простом делителе может быть только либо 1, либо 3, либо 7, либо 9.

Переходим теперь к изложению признаков делимости натуральных чисел на любые простые делители.

Прежде всего докажем следующую теорему: Для того чтобы натуральное число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы на 11 разделилась разность между числом десятков данного числа и цифрой** его единиц.

* См. также статью И. Кастровицкого «Общие признаки делимости», «Математика и физика в школе», 1934, № 3.

** Конечно, здесь и в дальнейшем под «цифрой» подразумевается число, изображаемое этой цифрой.

Доказательство. А = \0a + b=\0a + a—a+b = Ид—(а—о).

Таким образом, А = \\а — (а — Ь). Отсюда ясно (согласно теореме 1 п. б), что для делимости Л на 11 необходимо и достаточно, чтобы (а — Ь) разделилось на 11. Но (а— Ь)—это и есть разность между числом десятков данного числа и цифрой его единиц.

Числовой пример. Делится ли на 11 число 297?

Итак: 297 = 29.11 —(29 —7).

В данном примере 29 — 7 = 22. Ясно, что 22 делится на 11, а следовательно, и 297 должно делиться на 11.

Однако в больших числах разность между числом десятков и цифрой единиц будет выражаться также многозначным числом, по внешнему виду которого нельзя определить, делится ли оно на 11. Например, возьмем пятизначное число 68 607. Вычитая 7 из числа десятков, получаем: 6860 — 7 = 6853. На основании только что доказанного признака делимости на 11 мы видим, что делимость числа 68 607 на 11 зависит от того, разделится ли на 11 разность 6853. А это в свою очередь зависит от того, разделится ли на 11 разность (685 — 3), т. е. 682. А делимость числа 682 на 11, очевидно, зависит от того, разделится ли на И разность (68 — 2), т. е. 66. Так как 66 делится на 11, то и 682, и 6853, и 68 607 должны разделиться на 11 : ведь каждое из этих чисел получено из последующего числа путем вычитания цифры его единиц из числа его десятков.

Практически определение делимости на 11 можно проделать очень быстро, легко и удобно, как это видно из приводимых примеров:

Как видим, первые два числа делятся, а вторые два не делятся на 11.

Признак делимости на простые делители, оканчивающиеся на 1

Припомним теперь приведенную в начале теорему 2 и посмотрим, что получится, если мы натуральное число А будем умножать на различные множители: 2, 3, 4, 5, 6 и т. д.

Умножая на 3, мы получаем:

Итак:

Из этого равенства следует, что ЗА (а следовательно, согласно теореме 2, и А) разделится на 31, если (а — 3 Ь) разделится на 31. Но (а — 3 Ь) представляет собой разность между числом десятков натурального числа А и утроенной цифрой его единиц.

Умножая натуральное число А на 4, получаем:

Итак:

Из этого равенства ясно, что 4 Л (а следовательно, согласно теореме 2, и А) разделится на 41, если (а— 4 Ь) разделится на 41. Но (а — Ab) есть разность между числом десятков данного натурального числа и учетверенной цифрой его единиц.

Точно так же, умножая на 6, мы получаем:

Следовательно, для того чтобы 6 Л (а следовательно, и А) делилось на 61, необходимо и достаточно, чтобы (а — 6о) делилось на 61. Но (а — 6 0) — это разность между числом десятков данного числа и умноженной на 6 цифрой его единиц.

Отсюда мы можем вывести следующий признак делимости натурального числа на простой делитель, оканчивающийся на 1 (31, 41, 61 и т. д.): «Чтобы натуральное число делилось на такой делитель, необходимо и достаточно, чтобы на него делилась разность между числом десятков данного числа и произведением цифры его единиц на число десятков делителя (на 3 при делителе 31, на 4 при делителе 41, на 6 при делителе 61 и т. д.)».

Докажем этот признак в общем виде. Простой делитель, оканчивающийся на 1, обозначим буквой В, число его десятков буквой /. Тогда ß=10/-fl.

Умножим натуральное число Л на / (т. е. на число десятков делителя). Мы получаем:

Так как (10 / + 1) = В, то мы имеем:

Из этого равенства ясно: так как аВ делится на В, то для того чтобы Al (а следовательно, согласно теореме 2, и А) делилось на В, необходимо и достаточно, чтобы на В делилось выражение (а — Ы), т. е. разность между числом десятков натурального числа и произведением цифры его единиц на число десятков / делителя В.

Практически определение делимости чисел на 31, 41, 61, 101 и т. д. проделывается так же легко и быстро, как и на 11. Мы должны только вычитать из числа десятков данного числа не просто цифру единиц, а цифру единиц, умноженную на 3, на 4, на 6 и т. д. в зависимости от числа десятков делителя. Приведем примеры:

Цифра единиц числа умножается:

Признак делимости на простые делители, оканчивающиеся на 7

Путем умножения на 3 мы всем таким делителям придаем форму делителей, оканчивающихся на 1 (7X3 = 21; 17X3 = 51; 37X3= 111 и т. д.).

Благодаря этому мы легко сможем определить делимость на 7, 17, 37 и т. д., пользуясь тем же приемом, каким мы определяли делимость на 31, 41, 61 и т. д.

Мы имеем право это делать, основываясь на известной теореме теоретической арифметики: раз данное число делится на составное число, то оно делится на каждый множитель этого числа; если оно делится на 21, значит оно делится и на 3, и на 7.

При делении на 41 мы умножали цифру единиц на 4, при делении на 61—на 6 и т. д. Точно так же при делении на 7 (так как 7X3 = 21) мы должны цифру единиц умножать на 2; при делении на 17 (так как 17X3 = 51) умножать на 5; при делении на 37 (так как 37X3 = 111)— на 11 и т. д.

Умножаем цифру единиц числа:

Из этих примеров мы видим, что число 6076 не делится ни на 51, ни на 17. Число 28 305 делится без остатка на 111, следовательно, делится и на 37. Число 2072 не делится на 21, но получается разность 14, которая показывает, что 2072 на 7 делится.

Признак делимости на делители, оканчивающиеся на 9

Предложим следующий новый признак делимости на 9: «Для того чтобы натуральное число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы на 9 разделилась сумма числа его десятков с цифрой его единиц».

Доказательство:

Л=10а + & = 9а-(-а + о = 9а + (а+о). Итак:

А =9а4- (а + &).

Отсюда ясно: если (а+Ь) делится на 9, то и А разделится на 9,

Числовой пример.

Так как 23 -[-4 = 27 делится на 9, то число 234 также должно делиться на 9.

Основываясь на приведенной выше теореме 2, будем натуральное число умножать последовательно на 2, 3, 4, 5, 6 и т. д. Получаем:

Итак:

Отсюда следует, что, если (a+2ô) делится на 19, то и 2 А (а следовательно, согласно теореме 2, и А) делится на 19.

Но (а + 2 Ь) представляет собой число десятков натурального числа А плюс удвоенная цифра его единиц.

Умножим теперь число А на 3. Получаем:

Итак:

Ясно, что если (a+3&) делится на 29, то и ЗЛ (а следовательно, и А) делится на 29. Но (а + Зй) представляет собой число десятков данного числа А плюс утроенная цифра его единиц.

Умножим еще число А на 6. Получаем:

Итак:

Это значит, что для того чтобы число А делилось на 59, необходимо и достаточно, чтобы число его десятков плюс умноженная на 6 цифра его единиц делилась на 59.

Из этих примеров выводим признак делимости натуральных чисел на простой делитель, оканчивающийся на 9:

Если число десятков данного числа плюс произведение цифры его единиц на число десятков делителя, увеличенное на единицу, делится на делитель, то и все число делится на делитель.

Докажем этот признак в общем виде. Назовем простой делитель, оканчивающийся на 9, буквой В, число его десятков буквой /. Тогда:

ß=10/ + 9.

Умножим данное натуральное число А на (/+1):

Подставляя В вместо (10/+9), получаем:

Из этого равенства видно, что так как а-В делится на В, то для того чтобы А (/4-1) (а следовательно, согласно теореме 2, и А) делилось на В, необходимо и достаточно, чтобы выражение [а -(- ^ (/ +1)] делилось на В. Но [a +ô (/+1)] это и есть число десятков данного числа плюс цифра его единиц, умноженная на число десятков делителя, увеличенное на единицу. Приведем пример.

Цифра единиц числа умножается:

Из этих примеров мы видим, что первое число делится на 19, второе—на 29, третье—на 59.

Признак делимости на простые делители, оканчивающиеся на 3.

Здесь мы поступаем аналогично тому, как мы поступали с делителями, оканчивающимися на 7: путем умножения на 3 мы придаем им форму делителей, оканчивающихся на 9(13Х X 3 == 39; 23 X 3 = 69 и т. д.). Мы исходим из теоремы, гласящей, что если число делится на составное число, то оно делится и на каждый множитель, входящий в составное число.

Приведем примеры делимости на 13(39), на 23 (69), на 53 (159).

Умножаем цифру единиц числа:

Из этих примеров мы видим, что число 12 532 делится на 13; число 22402 делится на 23, так как 46 делится на 23; число 51516 делится на 159, следовательно, оно делится и на 53.

Излагаемые признаки применимы и для определения делимости на составные числа, оканчивающиеся на 1,3, 7, 9, например, на 27, 81, 91, 49 и т. п. Действительно, при определении делимости на 27 или 81 мы по сумме цифр, например, числа 10 098 или 3807 можем сказать, что оба они делятся на 9. Однако, чтобы узнать, что первое число делится на 27, а второе на 81, надо сначала разделить их на 9, и тогда по сумме цифр частного мы определяем, что первое частное делится на 3 (т. е. все число на 27), а второе частное — на 9, т. е. все число на 81. Вместо этого по нашему методу можно быстро и легко определить делимость сразу на 27, 81 и т. д.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

ВЫДАЮЩИЙСЯ МАТЕМАТИК И ПЕДАГОГ ИОСИФ ИВАНОВИЧ СОМОВ (1815—1876)

Ф. Д. КРАМАР (Алма-Ата)

10 мая 1951 г. исполнилось 75 лет со дня смерти крупного деятеля русской науки, талантливого математика, механика и педагога академика Иосифа Ивановича Сомова.

И. И. Сомов принадлежит к старшему поколению знаменитой Петербургской математической школы. Вместе с М. В. Остроградским, П. Л. Чебышевым и В. Я. Буняковским Иосиф Иванович своей многолетней научно-педагогической деятельностью способствовал идейному и организационному оформлению этой школы, замечательные результаты и традиции которой оказали глубокое влияние на всю последующую историю развития математики в России и СССР.

Будучи глубоким математиком и механиком, автором ряда научных мемуаров, посвященных различным областям алгебры, геометрии, анализа, механики, Иосиф Иванович Сомов вместе с тем был неутомимым прогрессивным деятелем в области начального, среднего и высшего математического образования в России в середине прошлого столетия. Много лет он был инспектором частных пансионов и школ города Петербурга, членом попечительского совета при попечителе Петербургского учебного округа, членом училищного комитета при министерстве народного просвещения, руководителем педагогических занятий по математике в Петербургском университете и т. д.

Известно, что почти все крупные представители русского естествознания XIX в. были вместе с тем сторонниками, пропагандистами и организаторами прогрессивных реформ в области образования, авторами многих учебников для высшей и средней школы, воспитателями ряда поколений талантливых педагогов. В частности, почти все известные своими глубокими математическими исследованиями представители Петербургской математической школы принимали самое живое участие в жизни средней школы. На страницах журнала «Математика в школе» освещалась уже многогранная педагогическая деятельность академиков П. Л. Чебышева* и М. В. Остроградского**. В этих статьях упоминалось о том, что активными соучастниками М. В. Остроградского и П. Л. Чебышева в их деятельности на поприще среднего и высшего математического образования были академики И. И. Сомов и В. Я. Буняковский.

Вся жизнь и деятельность И. И. Сомова пронизана идеей страстного служения отечественной науке и просвещению. Он был ярым противником всякой косности и рутины в науке и просвещении. Вместе с тем он никогда не ограничивался лишь благосклонностью и сочувствием к новым плодотворным идеям. Он внимательно следил за важнейшими открытиями в науке, обогащал нашу литературу сочинениями, посвященными этим открытиям, нередко внося свои собственные значительные усовершенствования. Изложение новых, часто довольно трудных открытий в области анализа, благодаря усовершенствованиям И. И. Сомова, становилось понятным и доступным широкому кругу читателей. Своей многолетней и разносторонней научно-педагогической деятельностью И. И. Сомов приобрел большую популярность среди интеллигенции и учащейся молодежи своего века и оставил глубокий след в истории русского математического образования.

Иосиф Иванович Сомов родился 13 июня 1815 г. в селе Отрада Клинского уезда Московской губернии, в обедневшей дворянской семье.

Получив дома начальное образование, И. И. Сомов поступил в 1827 г. в Московскую губернскую гимназию. В гимназии он своим усердием и способностями, в особенности в области физики и математики, обратил на себя внимание преподавателя математики известного педагога П. Н. Погорельского.

П. Н. Погорельский постарался развить активный интерес к физико-математическим наукам и внимательно руководил классным обучением и внеклассным чтением будущего ученого. Именно благодаря влиянию этого опытного и дальновидного учителя И. И. Сомов против желания отца, готовившего своему сыну военную карьеру, поступил в 1832 г. в Московский университет, на физико-математический факультет, который окончил в 1835 г.

Будучи студентом, И. И. Сомов самостоятельно изучал классические труды Ньютона. Эйлера, Лагранжа, Коши, Остроградского и др, и старался систематически следить по журналам за новыми достижениями математической мысли. При этом он сталкивался с большими трудностями: с одной стороны, целый ряд математических сочинений и журналов нельзя было достать, с другой стороны, он, не имея научного руководителя, был вынужден читать бессистемно. Вероятно, с наибольшими трудностями он встретился в работе над алгебраической литературой, так как обстоятельного руководства по высшей алгебре на русском языке тогда не было.

Желание восполнить этот пробел в русской математической литературе и тем облегчить изучение алгебры, а также увлечение новыми открытиями в области алгебры определили на первых порах научные интересы И. И. Сомова по окончании университета.

К началу 1837 г. был подготовлен, а в 1838 г. в Москве вышел из печати первый обширный труд И. И. Сомова под заглавием «Теория определенных алгебраических уравнений высших степеней». Этот труд свидетельствовал об огромной начитанности 22-летнего автора; в нем И. И. Сомов обнаружил не только глубокое и совершенное знание предмета, но и незаурядное мастерство в ясности и доступности изложения новейших достижений алгебры, хотя сам автор и не имел еще за своими плечами никакого педагогического стажа.

В том же 1838 г. за упомянутое сочинение молодому И. И. Сомову Академией наук была присуждена половинная Демидовская премия (716 рублей серебром). Этот факт свидетельствует и о больших достоинствах первой книги И. И. Сомова, и о ее актуальности.

В 1846 г. академик В. Я. Буняковский следующим образом характеризовал историческое значение и внутренние достоинства книги И. И. Сомова:

«Итак, сочинение по этой науке на русском языке было бесспорно первой потребностью и для молодых людей, посвятивших себя обстоятельному изучению математики, и для самих преподавателей, понимающих свое призвание.

И. И. Сомов напечатал в 1838 г. книгу об

* «Математика в школе», 1948, № 6, ст. В. Е. Прудникова «Педагогическое наследие П. Л. Чебышева», стр. 28—33.

** «Математика в школе», 1951, № 2, ст. И. А. Марон «Педагогическое наследие М. В. Остроградского», стр. 13—22.

этом важном предмете под заглавием «Теория определенных алгебраических уравнений высших степеней». Это сочинение по полноте своей, верности взглядов, современности содержания, по изложению, отличающемуся особенной ясностью, простотою и отчетливостью, а также по новым развитиям разных алгебраических теорий, собственно принадлежащих автору, обратило справедливое внимание всех отечественных математиков. Академия наук присудила его автору Демидовскую премию. Что же касается до пользы, которую оно принесло изучающим математический анализ, то в этом отношении все наши математики, и в особенности занимающиеся преподаванием высших частей точных наук, единогласно засвидетельствуют, что распространение у нас новых алгебраических теорий и примечательных трудов Фурье, Штурма, Абеля, Коши, Остроградского обязано преимущественно книге Сомова... По всем этим уважениям рассматриваемое сочинение. .. имеет неотъемлемое право на звание классического»*.

С 1839 г. И. И. Сомов начал преподавательскую работу, которую не прекращал почти до кончины. В 1839 г. он поступил учителем математики в Московское коммерческое училище, а в следующем 1840 г.—преподавателем математики в Московский дворянский институт. Одновременно он принялся за составление магистерской диссертации и подготовку к сдаче магистерских экзаменов. Успешно сдав в 1841 г. в Московском университете экзамены и публично защитив диссертацию «Об интегралах алгебраических иррациональных дифференциалов с одною переменной», И. И. Сомов получил степень магистра математики.

Магистерская диссертация И. И. Сомова, напечатанная в Москве в 1841 г., показала, что автор ее так же мастерски владеет интегральным исчислением, как и алгебраическим анализом.

Еще до получения степени магистра в 1841 г., по предложению профессора астрономии Петербургского университета А. Н. Савича, И. И. Сомов был приглашен на освободившуюся вакансию адъюнкта (доцента) чистой математики. Воспользовавшись приглашением Петербургского университета, И. И. Сомов осенью 1841 г. переехал в Петербург и приступил к работе в качестве адъюнкта чистой математики в университете. С этого времени начинается неутомимая деятельность И. И. Сомова как на ученом, так и на учебном поприще в Петербургском университете, продолжавшаяся беспрерывно 35 лет.

Первые годы И. И. Сомов читал высшую алгебру, плоскую и сферическую тригонометрию, аналитическую геометрию, начертательную геометрию, теорию эллиптических функций, дифференциальное исчисление. Начиная с 50-х годов, он постепенно переходит на чтение различных курсов механики. Лекции, читанные И. И. Сомовым в университете, обыкновенно сопровождались обзором важнейших и новейших открытий по каждому разделу предмета, с указанием литературы, по которой желающие слушатели сами могли бы углубленно изучить материал, выходящий за пределы учебной программы.

Вскоре в Петербургском университете начали вести преподавательскую работу адъюнкт П. Л. Чебышев (с 1847 г.) и профессор академик В. Я. Буняковский (с 1846 г.). Благодаря плодотворной научной и педагогической деятельности этих трех крупных представителей русской математики: Чебышева, Буняковского и Сомова — физико-математический факультет молодого Петербургского университета (открыт в 1819 г.) уже к середине XIX в. занял ведущее место среди университетов не только по уровню преподавания, но и по значимости и разнообразию научно-исследовательской работы.

Научные интересы Сомова в Петербурге концентрируются, главным образом, на проблемах прикладного анализа—аналитической механики и математической физики.

В 1847 г. за работу «О распространении световых волн в срединах, не имеющих двойного преломления» И. И. Сомову была присуждена степень доктора математики и астрономии и звание экстраординарного профессора по кафедре прикладной математики Петербургского университета. В 1848 г. за эту же работу Академия наук присудила И. И. Сомову Демидовскую премию.

С 1857 г. И. И. Сомов — ординарный профессор и заведующий кафедрой прикладной математики, а в 1866 г., по истечении 25-летнего срока преподавания в университете, ему было присвоено звание заслуженного профессора Петербургского университета.

Действовавший в то время университетский устав предусматривал, что профессор, проработавший в высших учебных заведениях 25 лет, должен отчисляться в отставку. Ученому совету университета предоставлялось право приглашать такого профессора для продолжения работы в университете еще на пять лет.

В 1864 г. истек 25-летний срок преподавательской работы И. И. Сомова. На основании ходатайства физико-математического факультета ученый совет университета единогласно избрал Сомова еще на 5 лет ординарным профессором**.

* Ленинградский областной исторический архив, фонд 14, связка 69, дело 4737, лист 23—24.

** Там же, л. 283.

В представлении физико-математического факультета содержится следующая оценка педагогической деятельности И. И. Сомова:

«Преподавание г. Сомовым аналитической механики в нашем университете является в высшей степени плодотворным, потому что ведется ученым, который принадлежит к числу самых талантливых у нас деятелей науки.

Факультет не может не обратить внимания на прекрасный дар изложения, которым отличаются лекции г. Сомова, на то усердие, с которым он исполнял все возлагаемые на него обязанности по его университетской службе, и на ту любовь к учащемуся у нас юношеству, которая так много способствовала к поддержанию возникающих у нас талантов»*.

С именем Сомова связан еще один важный момент в истории университетской математики. В 1847 учебном году Сомов прочитал в Петербургском университете специальный курс — «Теория эллиптических функций». Это был первый лекционный курс эллиптических функций в наших университетах. О содержании этого курса можно составить полное представление по учебному руководству, вышедшему из печати в Петербурге в 1850 г. под заглавием «Основания теории эллиптических функций». Этот труд Сомова, подобно его первому сочинению «Теория определенных алгебраических уравнений высших степеней» (М., 1838), является знаменательным событием в истории русского математического образования.

В то время учебного пособия по теории эллиптических функций не существовало ни в русской, ни в иностранной математической литературе. Это объяснялось трудностью и новизной предмета. Таким образом, труд И. И. Сомова представлял собой первое оригинальное учебное пособие по теории эллиптических функций.

В 1854 г. проф. В. Я. Буняковский и проф. П. Л. Чебышев в отзыве на это сочинение писали:

«Сочинение проф. Сомова — Основания теории эллиптических функций — занимает почетное место между классическими сочинениями по математике не только нашими, но и всеми иностранными»**. А через 25 лет после выхода в свет упомянутого труда И. И. Сомова академик Е. И. Золотарев в речи, произнесенной на заседании физико-математического отделения Академии наук, говорил: «Лучшая похвала этому сочинению состоит в том, что даже в настоящее

время, более 25 лет после его появления, оно смело может быть рекомендовано всякому начинающему знакомиться с теорией эллиптических функций. Оно и до сих пор является украшением русской математической литературы»***.

В 1851 г. за «Основания теории эллиптических функций» Академия наук присудила Сомову в третий раз Демидовскую премию.

В 1857 г. И. И. Сомов был избран член.-корр. Академии наук, а в 1862 г,—ординарным академиком, вместо умершего академика М. В. Остроградского. С этого времени Сомов стал принимать самое деятельное участие как в научно-исследовательской работе Академии наук, так и в различного рода академических и правительственных комиссиях. Долгое время Сомов состоял членом комитета правления Академии наук от физико-математического отделения АН.

В изданиях Академии наук ежегодно печатались мемуары Сомова, посвященные преимущественно различным вопросам механики. В них он давал либо новое решение трудных задач, либо существенное обобщение результатов и уточнение доказательств основных предложений аналитической механики, установленных другими авторами.

С 1857 г. И. И. Сомов начал вести курс аналитической механики, гидростатику и гидродинамику в Петербургском университете. Еще раньше он начал вести статику и динамику. В 1872, 1874, 1877 гг. последовательно тремя частями вышел в свет оригинальный курс теоретической механики; последняя третья часть была издана по рукописи Сомова в 1877 г., уже после смерти автора.

«Рациональная механика» И, И. Сомова являлась не только весьма ценным вкладом в русскую литературу, но и в мировой литературе она была оригинальной, свежей книгой по механике. Спустя год, т. е. в 1878 г., все три части механики И. И. Сомова были переведены на немецкий язык и изданы в Германии.

С 1860 г. И. И. Сомов несколько лет подряд читал в Петербургском университете курс дифференциального и интегрального исчислений. Уже на следующий год курс дифференциального исчисления Сомова был издан литографским способом на 448 страницах и потом переиздавался несколько лет подряд. Было принято специальное решение физико-математического отделения Академии наук**** о напечатании курса дифференциального исчисления И. И. Сомова

* Ленинградский о эл. ист. архив, ф. 11, св. 69, д. 4737, л. 287—288.

** Там же, л. 172.

*** Записки Академии наук, т. 31, 1877, стр.255.

**** Протоколы физико-математического отделения Академии наук, протокол от 21 сентября 1865 г., § 230.

в академической типографии, однако, по неизвестным причинам, это решение осталось не исполненным. Это учебное пособие И. И. Сомова, как и предыдущие, стояло на уровне новейших достижений математического анализа, отличалось хорошим математическим языком и удачной последовательностью изложения различных отделов дифференциального исчисления и его приложений. В сочинении очень редко автор употреблял иностранные слова и еще реже отсылал читатели к иностранным руководствам по высшей математике. Чувствуется, что учебное пособие составлено русским ученым для учащихся родного отечества. Большое внимание уделяется приложениям дифференциального исчисления к решению различных задач геометрии, механики, физики.

До сих пор мы останавливались, главным образом, на освещении в хронологическом порядке научно-педагогической деятельности И. И. Сомова в Петербургском университете. Обратимся теперь к характеристике его работы в других учебных заведениях Петербурга.

Кроме университета, И. И. Сомов вел преподавание высшей математики и механики в двух военно-учебных заведениях: Пажеском корпусе (1842—1849) и Морской академии (1849—1862) и в двух гражданских технических высших учебных заведениях: Институте путей сообщения (1848—1849) и Институте горных инженеров (1849—1862). В этих учебных заведениях И. И. Сомов читал начертательную геометрию, аналитическую геометрию, дифференциальное и интегральное исчисления, некоторые разделы механики.

О добросовестности И. И. Сомова как преподавателя и его тщательной подготовке к чтению лекционных курсов в этих учебных заведениях свидетельствует хотя бы тот факт, что им изданы почти по всем читанным лекционным курсам учебные руководства, отличающиеся изяществом стиля, ясностью изложения и научной современностью предмета. Многие из его учебников по нескольку раз переиздавались, вплоть до начала XX в., часть его лекционных курсов была издана литографским способом.

В рукописном фонде научной библиотеки Ленинградского государственного университета хранится рукопись (308 стр.) неизданного учебника «Дифференциальное исчисление», написанная мелким почерком рукою И. И. Сомова. Это свидетельствует о том, что изданные учебные руководства были подготовлены собственноручно Сомовым, а не являются обработанными конспектами студентов. Таким образом, несмотря на чрезвычайно большую педагогическую работу, Сомов к каждому курсу и к каждой своей лекции готовился весьма тщательно.

Преподавание математики и механики Сомовым в основных технических учебных заведениях Петербурга того времени способствовало поднятию на значительную высоту изучения точных наук представителями инженерных специальностей.

И. И. Сомов был не только преподавателем математики в военных учебных заведениях, но и активным сподвижником М. В. Остроградского во всех учебно-педагогических мероприятиях последнего. И. И. Сомов был членом особой комиссии (председателем был М. В. Остроградский) при штабе главного начальника военных учебных заведений, в обязанности которой входило составление окончательных заключений по рукописям учебных пособий для военных учебных заведений. Кроме рецензирования поступавших в издание рукописей учебников, И. И. Сомов написал и сам несколько учебных руководств для военных учебных заведений, которые были одобрены упомянутой комиссией и пользовались заслуженным успехом у преподавателей и учащихся.

Так, в 1857 г. вышла из печати «Аналитическая геометрия» И. И. Сомова, которая затем переиздавалась без существенных изменений в 1867, 1880, 1907 гг. Материал в книге расположен в такой последовательности, которая в основном совпадает с лучшими современными курсами аналитической геометрии для технических вузов. Изложение удовлетворяет всем основным требованиям, предъявляемым к учебным руководствам: необходимая строгость сочетается с ясностью и доступностью изложения. В книге имеется большое число примеров приложения методов аналитической геометрии к решению различных задач механики и физики. Каждая новая теорема после завершения доказательства обязательно иллюстрируется на 2—3 конкретных примерах, что способствует более полному выяснению ее содержания и применений, а также значительно облегчает усвоение учащимися. Высокие научные и педагогические достоинства этого учебного руководства обеспечили ему сравнительно большую долговечность: более 50 лет книга И. И. Сомова служила основным пособием по аналитической геометрии р военных учебных заведениях.

В 1861 г. вышло из печати второе учебное пособие И. И. Сомова по аналитической геометрии под названием «Начальные основания аналитической геометрии двух измерений», на 112 страницах. Этот учебник существенно отличался от рассмотренного выше руководства по аналитической геометрии как содержанием фактического материала, так и формой изложения.

Написан учебник был по «поручению начальства Морского кадетского корпуса,— как пишет в предисловии сам И. И. Сомов, — с учетом возраста учащихся». В книгу «...включается только самое существенное из аналитической геометрии, необходимое для того, чтобы учащиеся укрепились в алгебре, через приложение ее к решению геометрических вопросов и вместе с тем ознакомились с кривыми линиями, которые могут им встретиться в астрономии, навигации и механике»*.

Если учесть эту вспомогательную роль аналитической геометрии в программе среднего военно-учебного заведения, то учебник И. И. Сомова заслуживает весьма положительной оценки. Читатель книги И. И. Сомова постепенно, на многочисленных примерах, подробно и образно описанных автором, знакомится с основными методами аналитической геометрии и убеждается в больших преимуществах этого метода на решении задач, заимствованных, на первых порах, из элементарного курса геометрии. Каждая новая тема предварительно разъясняется на нескольких конкретных примерах. Затем формулируется точная математическая постановка вопроса, приводится подробное доказательство или решение проблемы, а затем опять даются уже более трудные примеры применения полученных теоретических выводов.

Это учебное руководство И. И. Сомова было одобрено особой комиссией Остроградского и выдержало два издания (СПБ, 1861, и СПБ, 1879). Авторы распространенных учебников высшей математики для техникумов еще и теперь, по нашему мнению, могли бы позаимствовать много хороших методических приемов у И. И. Сомова при изложении элементов аналитической геометрии.

Высокими педагогическими достоинствами обладает также учебное руководство «Начертательная геометрия» И. И. Сомова, вышедшее из печати первым изданием в 1862 г. Этот учебник выдержал три издания: 1862, 1873, 1881 гг. Он был написан И. И. Сомовым как «Курс инженерных отделений кадетских корпусов и Николаевского инженерного училища», но впоследствии стал одним из основных учебных пособий по начертательной геометрии почти во всех гражданских технических институтах.

Наряду с обширной педагогической деятельностью в университете и высших технических и военных учебных заведениях Петербурга, при активной научно-исследовательской и организационной работе в Академии наук, И. И. Сомов все годы принимал живейшее участие в жизни начальной и средней школы. Как упоминалось уже выше, он много лет был инспектором частных пансионов и школ Петербурга (с 1843 по 1857 г.), членом попечительского совета по делам учебной части при попечителе Петербургского учебного округа, членом училищного комитета при министерстве народного просвещения.

Вместе с П. Л. Чебышевым, М. В. Остроградским и В. Я. Буняковским Иосиф Иванович проделал большую работу по поднятию уровня преподавания математики и физики в средних учебных заведениях и по созданию хороших учебников по математике для школ. Как член училищного комитета при министерстве народного просвещения, Сомов часто писал рецензии на учебники, подготовленные к печати различными авторами. Многие из них по указанию Сомова подвергались существенной переработке, а часть из них не допускалась к изданию. Кроме того, Сомов сам написал учебник «Начальная алгебра», который был одобрен Чебышевым в качестве учебника для гимназий и выдержал семь изданий (первое издание 1860 г., последнее 1901 г.).

Первоначально учебник «Начальная алгебра» был написан для воспитанников Морского кадетского корпуса и одобрен особой комиссией по учебным пособиям под председательством М. В. Остроградского. Вскоре он нашел широкое распространение в других военных учебных заведениях и начал постепенно проникать в гимназии и реальные училища. Четвертое издание (СПБ, 1875) вышло уже с грифом «Одобрена ученым комитетом министерства народного просвещения как руководство для гимназий и реальных училищ».

Как известно, в это время членом ученого комитета Главного правления училищ при министерстве народного просвещения по математическим наукам был П. Л. Чебышев. «Начальная алгебра» была переработана И. И. Сомовым применительно к программам гимназий и реальных училищ и получила одобрение П. Л. Чебышева. После 1864 г. учебник И. И. Сомова выдержал еще три издания: 1880, 1891, 1901 гг. Отличительной чертой объема фактических знаний, содержащихся в учебнике И. И. Сомова, является наличие в виде «Дополнения» элементов высшей математики: теории функций, теории пределов, понятия сходимости бесконечных рядов, основных свойств бесконечно малых величин, распространения бинома Ньютона на любые вещественные показатели и т. п.

В 60-е годы, как известно, в учебном деле совершался заметный поворот от чрезмерного увлечения древними языками и сухого схоластического преподавания в начальных и средних

* И. Сомов, Начальные основания аналитической геометрии двух измерений, СПБ, 1861, Предисловие.

школах к более живому, приспособленному к возрасту учащихся обучению. Разумеется, успехи этого поворота существенно зависели от создания учебных руководств, проникнутых новыми прогрессивными педагогическими идеями. «Начальная алгебра» И. И. Сомова потому и встречена была благожелательно учителями военных и гражданских средних учебных заведений, что она отвечала этим новым педагогическим направлениям в преподавании математики.

И. И. Сомов на сравнительно небольшом числе страниц (250 стр.) сумел изложить сжато, но довольно ясно, образным математическим языком программный материал гимназий и реальных училищ; на каждое правило всегда приводится несколько удачно подобранных примеров, поясняющих дополнительно суть вопроса. Часто в качестве таких поясняющих примеров Сомов приводил задачи с условиями, позаимствованными из доступной пониманию учащихся практической деятельности людей, что тем самым служило и другой важной педагогической цели: сделать знание алгебры активным орудием на практике в руках учащихся и окончивших обучение.

Вообще почти всем учебным руководствам И. И. Сомова присуща одна характерная черта: ими можно было с успехом пользоваться не только учащимся в учебных заведениях, но и тем, кто занимался самообразованием. Иосиф Иванович хорошо знал о большом стремлении к знанию самых широких слоев молодежи. Вместе с тем он видел, что число учебных заведений росло очень медленно и что доступ к ним выходцев из трудового народа всячески затруднялся. Поэтому свои учебные руководства он составлял так, чтобы ими можно было пользоваться для самообразования. Это был своего рода протест против реакционной политики царского правительства в области образования, преграждавшего доступ к науке выходцам из «низших» сословий.

Почти одновременно с первым изданием «Начальной алгебры» вышли в свет «Таблицы обыкновенных логарифмов чисел и тригонометрических линий» (СПБ, I860), изданные под наблюдением И. И. Сомова и с его объяснительной статьей. В подобного рода таблицах для средних учебных заведений тогда ощущался острый недостаток; хороших, точных таблиц на русском языке тогда не было. В статье коротко, но ясно были объяснены основные свойства логарифмов чисел, переход от логарифмов по одному основанию к логарифмам чисел по другому основанию. Затем следовали объяснения к расположению и устройству таблиц и правила вычислений по ним. Все пояснения сопровождались конкретными числовыми примерами.

Почти 20 лет И. И. Сомов был экзаминатором по математике в комитете при Петербургском университете для испытания на звание домашнего учителя. Он сам лично составлял программы этих экзаменов и затем принимал по ним экзамены. В Ленинградском историческом архиве хранится несколько вариантов таких программ за разные годы*.

Много лет он руководил педагогическими занятиями студентов физико-математического факультета, желавших подготовить себя к учительской работе в гимназиях и высших учебных заведениях. О программе этих занятий можно составить ясное представление, например, по такому документу. В своем «Доношении» ректору университета от 2/Х 1843 г. И. И.Сомов сообщал, что он «...для педагогических занятий со студентами 2-го отделения (т. е. физико-математического факультета) назначил одну лекцию в неделю по четвергам с 102/2 до 12 часов. Предметом сих занятий будут: разбор руководств по части алгебры, геометрии и арифметики, чтение пробных лекций и решение практических задач»**.

Такие прекрасные талантливые русские педагоги и методисты средней школы, как Верещагин, Евтушевский, Воленс и другие, учебники которых имели самое широкое распространение в начальных и средних учебных заведениях вплоть до советского периода, прошли школу Сомова в Петербургском университете.

Иосиф Иванович Сомов был математиком-энциклопедистом. Об этом красноречиво и убедительно говорит список его печатных трудоз и учебников. В изданиях Академии наук, русских иностранных журналах он опубликовал 28 мемуаров научного характера, 5 рецензий и 11 различных учебников.

Остановимся подробнее на одном мемуаре И. И. Сомова, содержание которого тесно примыкает к элементарному курсу геометрии. Речь идет о мемуаре, напечатанном в «Математическом сборнике» (т. III, 1868, стр. 79 — 84) под заглавием «Элементарный способ вычисления части поверхности или объема шара, заключающейся между плоскостями, не проходящими через центр».

Любопытна история этого мемуара. Из сообщения автора вместе с тем видно подлинное мастерство И. И. Сомова, основанное на необык-

* Например, Ленинградский обл. ист. архив, ф. 14, св. 106, д. 5032, л. 4—5, за 1851 г.

** Там же, ф. 4, св. 57, д. 4631, л. 13.

повенно широкой эрудиции в изыскании простых, прозрачных решений различной трудности задач.

Начинает И. И. Сомов свой мемуар словами: «В 52 томе математического журнала Креля находится длинный мемуар, в котором издатель журнала, с помощью интегрального исчисления, вычисляет наружную поверхность и объем части шара, заключающийся между двумя плоскостями, пересекающимися под каким-нибудь углом внутри шара. Автор говорит в предисловии, что ему встретился в технике случай к вычислению этой части шара и что предмет его мемуара потому уже интересен, что представляет пример, где решение обыкновенной простой задачи сопряжено с длинными выкладками, ведущими к сложным результатам.

Но сложное решение Креля может быть заменено весьма простым, элементарным, которое имею честь сообщить Московскому математическому обществу. Я полагаю, что оно может быть полезно в решении многих практических вопросов и способно войти в курс элементарной геометрии. Профессор архитектуры в Институте путей сообщения А. Б. Бернгард указал мне на многочисленные приложения, которые может иметь это решение, при исчислении парусных и церковных сводов. До сих пор архитекторы, за неимением общей формулы для вычисления части шара, заключающейся между плоскостями, не проходящими через центр, употребляли для этой цели приблизительные, весьма неудовлетворительные способы».

Далее идет самое решение упомянутой задачи, занимающее у Сомова всего полторы странички, включая сюда чертеж и пояснения к нему.

Сущность решения состоит в следующем. Вычисление поверхности и объема части шара, заключающейся между двумя произвольными плоскостями, пересекающимися внутри шара, но не проходящими через центр (это тело И. И. Сомов назвал «сферическим клином»), И. И. Сомов сводит к случаю, когда одна из плоскостей проходит через центр шара. Итак, речь будет идти о вычислении поверхности, а затем объема, сферического сегмента BAB'D (черт. 1), образованного плоскостями ABF и BDB'\ первая из них проходит, а вторая не проходит через центр. И. И. Сомов вычисляет половину поверхности (и объема), т. е. рассматривает часть BAD, а затем удваивает полученные результаты и находит поверхность (и объем) всего клина. Проводятся вспомогательные сечения шара: плоскостью FOD параллельно плоскости BCD и плоскостью EI F перпендикулярно плоскости BCD; эта четверть шара и изображена на чертеже. Тогда поверхность ADB есть разность между поверхностями DBE и ЕАВ. «Но поверхность DEB,— пишет И. И. Сомов, — относится к поверхности всего шарового сегмента высоты НЕ, как дуга DB к целой окружности того же радиуса; поэтому, положив ОЕ = R, ЕН = А, = а, мы будем иметь поверхность DEB — aRh. Что же касается до поверхности ЕАВ, то она принадлежит прямоугольному сферическому треугольнику и определяется сферическим избытком этого треугольника. Означив через ß меру сферического угла ABE в долях радиуса, по известной формуле для сферического треугольника, найдем: поверхность ЕАВ = R*(ol -f ß — . Следовательно, поверхность

(1)

Положив ОН = а, СИ = bt СВ = с, мы будем иметь для определения углов аир формулы:

Аналогичными рассуждениями, рассматривая искомый объем ACDB как разность между объемами EDHB и ЕАСНВЕ, Сомов находит объем целого клина:

(2)

Далее говорится: «Сферический клин, составленный двумя плоскостями, не проходящими через центр шара, может быть представлен суммою или разностью двух клинов, имеющих общую грань, проходящую через центр шара».

Затем И. И. Сомов показывает, как можно вычислить поверхность и объем части шара, заключающейся между тремя и более плоскостями, пользуясь формулами (1) и (2). В заключительной части мемуара эти результаты применяются к эллипсоиду.

Черт. 1

Таким образом, мы действительно убеждаемся, что все выкладки у Сомова совершенно элементарны, в то время как в упомянутой статье Креля решение этой задачи занимает 8 страниц с применением двойных и тройных интегралов. И если решение И. И. Сомова, против его ожидания, и не вошло в элементарные курсы геометрии, то только потому, что оно предполагает знакомство с началами сферической тригонометрии.

Начинающие научные работники широко пользовались обширными познаниями Сомова в самых различных областях математики. Известно, что первое время по приезде в Петербург квартиру Сомова часто посещал молодой П. Л. Чебышев. Сомов всегда внимательно следил за специальной периодической литературой, и Чебышев любил подолгу беседовать с Иосифом Ивановичем о различных новых открытиях в математике. Близкая дружба адъюнкта П. Л. Чебышева и профессора И. И. Сомова в первый период их совместной работы в Петербургском университете превратилась в глубокое взаимное уважение коллег профессоров в последующем.

Методологической основой прогрессивной научной и педагогической деятельности И. И. Сомова был трезвый материалистический взгляд на окружающий человека мир предметов и явлений. И поэтому основную задачу той науки, представителем которой был Сомов, он видел в познании законов природы, в открытии связей между различными явлениями материальной действительности, существующей независимо от человека. Уже в самом первом своем сочинении «Теория определенных алгебраических уравнений высших степеней» (1838) задачи математики Сомов определил следующими словами:

«Математика есть наука о функциях величин. Цель математики: 1) исследовать свойство всякой функции и уметь определять известные величины, в нее входящие, 2) открывать функции в природе, т. е. выражать математически зависимость, существующую между величинами, входящими в какое-либо явление природы»*.

И. И. Сомов подчеркивал, что мощное поступательное развитие математических наук должно происходить в их неразрывной связи, во взаимном проникновении проблем и методов и что основой этого движения вперед должны быть факты, наблюдения, исторический опыт человечества.

«Сколько анализ и геометрия служили к раскрытию законов движения и развития сил природы— столько же механика и математическая физика помогли развитию аналитических и геометрических методов исследования»**.

Замечательно и то, что И. И. Сомов во всех своих сочинениях придерживается исторического подхода при изучении важных математических или физических проблем. Все крупные сочинения и учебники Сомова начинаются с подробного исторического обзора развития предмета, с выяснения положительных и отрицательных сторон различных течений математической мысли, а затем уже развертывается современное состояние теории.

Он придавал большое значение изучению молодым поколением истории науки, так как «... история науки всегда помогает критическому изучению ее настоящего хода». По инициативе И. И. Сомова и при его непосредственном деятельном участии с 1860 г. в «Журнале Министерства путей сообщения» было начато систематическое печатание «Переводов из классиков прошедших столетий по части физико-математических наук». Первым автором, с которого начали печатать эти «Переводы», был Галилей. К сожалению, это хорошее начинание упомянутым журналом продолжалось всего лишь два года и дальше «Бесед» Галилея не пошло. Во вступительной статье к этим «Переводам» И. И. Сомов писал:

«Начало, послужившее основанием наук, интересует нас не менее открытий, развивающих эти науки. Весьма интересно и поучительно знать, как великие мыслители дошли до идей, в которых таились истины, послужившие началом открытий, приносящих честь человеческому уму и доставивших практическую пользу усовершенствованием цивилизаций. При этом история науки всегда помогает критическому изучению ее настоящего хода . . . Одни теории, порожденные умозрениями и недостаточно подтвердившиеся фактами, могут совершенно рушиться, другие же теории, постепенно опирающиеся на опыт, наблюдения и математические истины, могут только преобразовываться и очищаться от неверных гипотез по мере того, как науки будут обогащаться фактами»***.

Таким образом, здесь отчетливо выступает материалистическая сущность воззрений И. И. Сомова на задачи науки и на ее методы.

Будучи страстным поклонником всего нового, нарождающегося и развивающегося в науке, И. И. Сомов придерживался и прогрессивных общественно-политических взглядов. В области

* И. И. Сомов, Теория определенных алгебраических уравнений высших степеней, М., 1838, стр. 2.

** И. И. Сомов, Рацион, механика, ч. 1, Кинематика, СПБ, 1872, стр. VI.

*** «Журнал Министерства путей сообщения», т. XXI, 1860, стр. 40.

просвещения он был сторонником широкого реального образования. Он всячески пропагандировал необходимость увеличения часов и улучшения методики преподавания естественных наук в школах. Как университетский деятель он в трудные для университетов 60-е годы энергично отстаивал научную независимость высшей школы и необходимость держать в ней научное преподавание на должной высоте. И. И. Сомов настаивал на расширении автономии университетов и протестовал против чрезмерной власти попечителя учебного округа над университетами и против все увеличивавшегося вмешательства полиции в жизнь учебных заведений.

В своих критических замечаниях по поводу университетского устава в 1862 г. И. И. Сомов в одном из пунктов писал:

«Мне кажется, что университеты могли бы существовать без попечителя и без его помощника ... Я нахожу лишним предоставление министру права назначать по собственному усмотрению лиц на вакантные кафедры университетов»*.

И. И. Сомов целиком и полностью был взращен на русской почве. За границу он первый раз поехал, будучи уже седым профессором. Он прекрасно знал широкое стремление к знанию разночинной молодежи, равно как и огромные трудности, стоявшие на путях этого благородного стремления. Поэтому его энергичные заботы о создании хороших русских учебников по высшей и средней математике, его отцовское внимание к учащейся молодежи, его постоянно приподнятое вдохновенное чтение лекций — все это было результатом искреннего стремления способствовать распространению знаний среди широких слоев населения. Профессор И. И. Сомов не только с большой охотой отвечал на вопросы учащихся и давал советы относительно дальнейшей учебы и работы, но и помогал им книгами из своей библиотеки, часто помогал и деньгами нуждающимся студентам. За все это студенты любили своего профессора, и многие считали себя обязанными ему за отеческую заботу при получении высшего образования.

Товарищи по университетской службе уважали И. И. Сомова как за его глубокие познания, так и за его прямой и честный характер, за преследование не личных, а исключительно общественных интересов, за его принципиальное высоконравственное поведение на службе и вне службы.

Будучи человеком неистощимой энергии, И. И. Сомов одновременно исполнял самые разнообразные обязанности и поручения. Лишь к шестидесятилетнему возрасту он постепенно начал освобождать себя от чрезмерной педагогической нагрузки с тем, чтобы иметь больше возможности для кабинетных занятий любимой наукой. Прослужив почти 35 лет в Петербургском университете, он в начале 1876 г. вышел в отставку по причине плохого здоровья.

Друзья и коллеги Иосифа Ивановича по физико-математическому факультету — профессора А. Савин, П. Чебышев, В. Буняковский, А. Коркин, Ф. Ленц, Ю. Соховский—обратились 15 января 1876 г. с коллективным письменным представлением в совет университета, предлагая избрать И. И. Сомова почетным членом Петербургского университета в знак благодарности за его долголетнюю работу.

Совет Петербургского университета в своем заседании 15 января 1876 г. единогласно избрал И. И. Сомова в почетные члены университета.

Еще раньше, в 1867 г., этой же чести удостоил его Московский университет. 23 января 1869 г. Московское общество испытателей природы избрало Иосифа Ивановича своим почетным членом.

После освобождения от преподавательской работы в университете И. И. Сомов не терял с ним деловой связи. У себя дома он охотно принимал студентов и своих бывших учеников, беседовал с ними на научные темы, давал книги и журналы из своей обширной библиотеки. Друзья и коллеги надеялись, что И. И. Сомов обогатит еще русскую научную литературу рядом своих интересных мемуаров, но неожиданная смерть 10 мая (28 апреля по старому стилю) 1876 г. прервала прекрасную, благородную жизнь Иосифа Ивановича.

Вся научно-педагогическая деятельность Иосифа Ивановича Сомова имела единственную цель — всеми возможными способами содействовать процветанию русской науки и проистекала из одного источника — необыкновенной преданности науке, являющейся сокровищем всего народа. Сомов смотрел на свою деятельность как на патриотическое служение народу.

И сейчас, когда советская наука прочно заняла ведущее место в мировой культуре, мы должны с благодарностью вспомнить о нелегком труде ученых и просветителей прошлого века, подготовивших в то тяжелое время основу нынешнего процветания науки в Советском Союзе.

* «Замечания на проект общего устава императорских российских университетов», СПБ, 1862, стр. 124-125.

МЕТОДИКА

ВОСПИТАНИЕ ВНИМАНИЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ*

М. Н. ПОКРОВСКАЯ (Москва)

Заслуженный учитель школ РСФСР

Значение внимания в учебном процессе

Каждый из нас знает, как велико значение внимания учащихся для успешного хода урока и всего процесса обучения в целом.

Все мы можем наблюдать у себя в классе отдельных учеников, хотя и сидящих за партой, но на самом деле «ушедших из урока» в область своих собственных размышлений, воспоминаний или мечтаний. Можно с уверенностью сказать, что невнимательность является одной из причин неуспеваемости учащихся. Это, конечно, не значит, что невнимательность может оправдывать низкую успеваемость или, наоборот, только внимательность учащихся сама по себе может быть источником успеваемости. Первым фактором, обеспечивающим успеваемость, является качество работы учителя, качество обучения и воспитания, в том числе и воспитания внимания.

Что такое внимание? Вниманием называется направленность и сосредоточенность психической деятельности человека на чем-либо определенном.

Роль внимания в умственной деятельности.

а) Внимание ускоряет умственную деятельность и облегчает вступление ученика в работу

б) Внимание повышает качество и точность работы.

в) Внимание обеспечивает быстроту и прочность запоминания.

г) Внимание ускоряет процесс образования навыков.

Отличники внимательны ко всему. Нашими советскими психологами изучался вопрос о том, сколько времени тратят на уроки отличники, и оказалось, что времени они тратят никак не больше других учеников, но они внимательны ко всему:

1) к объяснению учителя;

2) к его вопросам;

3) к ответам учащихся;

4) к ошибкам и достижениям товарищей;

5) к чтению книги;

6) к подготовке домашних заданий.

И интересно, что такое внимание ко всему становится привычкой отличников, не требующей особых усилий.

Врожденная ли функция внимание? Внимание отнюдь не является какой-то неизменной, врожденной функцией сознания. Внимание — это свойство личности, формирующееся в процессе воспитания и находящееся в связи с другими сторонами этой личности. Без развития целеустремленности, например, воли или интереса будет слабо развиваться н внимание.

* Доклад, прочитанный на секции математики во время январских учительских совещаний 1952 г. в Киевском районе Москвы.

Обучение и воспитание — две стороны единого процесса.

Вот почему, обучая математике или любой другой дисциплине, мы должны на уроках и воспитывать в учащихся необходимые для советского человека качества и черты характера и в том числе произвольное, активное и устойчивое внимание, являющееся залогом успеха его учебной работы.

Особенности предмета математики. До сих пор я говорила об общем значении внимания учащихся, и это может относиться к любому уроку по любому предмету. Но для нас, математиков, в силу специфики нашего предмета, внимание школьников играет особую роль. Особенность предмета математики в ее абстрактности. Абстрактность эта характеризуется тем, что математика изучает количественные отношения и пространственные отношения вещей, а не сами вещи.

Особые навыки в связи со спецификой математики. Особенность предмета математики требует от учителя развивать у учащихся особые навыки.

1. Мы должны приучать школьников к исключительно полноценной, законченной аргументации. Нельзя теорему доказать наполовину или «почти» доказать. Нельзя вывести формулу наполовину или «почти» вывести. Всякое суждение должно быть обосновано до конца.

2. Если в естествознании ряд обобщений делается на основании опыта, то в математике мы должны вести борьбу с необоснованными обобщениями.

3. В математике учащиеся должны учитывать всевозможные разнообразные случаи. Например: при исследовании квадратного трехчлена следует рассматривать все три случая:

D>0, D<0 и D = 0

(где Ü — дискриминант); изучая действительные числа, следует иметь в виду десятичные дроби периодические и непериодические; изучая вопрос об объеме многогранников, надо исчерпать все разнообразные случаи: параллелепипед прямоугольный (целые, дробные, иррациональные измерения), прямой, наклонный, затем призма треугольная, многоугольная, затем пирамида.

4. Требуется понимание учащимися логической схемы, уменье перечислять логические этапы доказательства теоремы. Отсюда лаконизм как путь к схеме.

5. Требуется заостренная четкость и расчлененность рассуждений и классификации изучаемого, нумерация случаев, подслучаев. Например, виды квадратных уравнений:

I. Неполные.

1) с = 0;

2) Ь = 0;

3) Ь = 0 и с = 0.

II. Полные.

1) Неприведенные.

а) второй коэффициент — нечетное число;

б) второй коэффициент — четное число.

2) Приведенные.

а) второй коэффициент — нечетное число;

б) второй коэффициент — четное число.

6. Мы должны приучать учащихся видеть частное в общем и общее иллюстрировать частным.

Примеры.

а) Зная первый признак подобия треугольников (по двум углам), учащиеся должны уметь видеть р нем и признак подобия прямоугольных треугольников, не требующий особого доказательства.

б) Зная формулу решения полного, неприведенного квадратного уравнения, учащийся должен уметь решать по этой формуле любое неполное квадратное уравнение.

в) Имея перед собой график логарифмической функции, учащийся должен суметь проиллюстрировать на нем данное свойство этой функции.

7. В математике мы требуем от учащихся точности математических записей, о чем я буду говорить дальше.

Все перечисленное, как и не упомянутые здесь другие особенности нашего предмета, требует для усвоения исключительного внимания, и потому воспитание его у учащихся приобретает для нас, преподавателей математики, особенную остроту. Но, с другой стороны, сам наш предмет воспитывает внимание. Разберемся, из каких элементов может складываться работа учителя математики по воспитанию внимания учеников.

Моменты в работе учителя математики, способствующие воспитанию внимания

1. Начало урока. Исключительное значение имеет начало урока, часто дающее тон всему дальнейшему его течению. Подтянутость, собранность учащихся в начале урока способствует проявлению и развитию внимания, излишняя же возбужденность или, наоборот, расслабленность, вялость тормозят внимание.

В нашей школе (№ 56 г. Москвы), например, начало урока организуется так. Учащиеся, возбужденные горячими спорами и быстрыми движениями на перемене, по предварительному звонку выстраиваются перед своим классом. Руководит построением физорг или классный организатор. Здесь же присутствует и учитель.

Спокойно, без излишней торопливости, учитель привлекает к себе внимание класса, постепенно ставя себя в центре его. Учащиеся постепенно успокаиваются, ждут сигнала учителя. Потом, после второго звонка, по его приглашению входят в класс и сразу же приступают к работе. После этого вступают в силу педагогические традиции учителя: стиль его поведения, речь, организация урока и т. д.

2. Поведение учителя. Стиль поведения учителя: спокойствие, выдержка, манера держаться, собственная организованность и внимание ко всему играют громадную организующую роль во всем ходе урока. Учитель должен видеть всех в классе и всех держать в сфере своего внимания: одного он спрашивает у стола теорию, другие у доски решают задачи или готовятся к доказательству теоремы, двое сидят на задней парте и завязали между собой разговор, кто-то в другом углу возится с какой-то бумажкой — все это нужно видеть, своевременно реагировать и реагировать искусно, не нарушая, по возможности, хода урока. Излишнее замечание по адресу одного отвлекает от работы других и иногда может принести больше вреда, чем пользы. Вместо этого, может быть, достаточно выразительно глянуть, подойти, тронуть за плечо или молча взять посторонний предмет, которым занят ученик.

Мне пришлось наблюдать учителя математики в одном из наиболее неорганизованных пятых классов школы. Не нарушая общего течения урока, он набрал в карманы много различных вещей, которыми занимались ребята: бумажки, резинки, палочки и т. д. и только по окончании урока, отпустив класс, он стал беседовать с провинившимися учениками.

3. Речь учителя. Речь учителя является одним из элементов его общего поведения и должна строиться по тем же принципам. Чрезмерно громкая речь создает условия, при которых неустойчивые, болтливые ученики «под шумок» могут потихоньку вести разговоры; тихая (конечно, тоже в меру) речь учителя приучает к напряжению внимания. Это позволяет ему в нужных случаях подчеркнуть повышением голоса нужную мысль и таким образом сосредоточить на ней внимание учащихся.

4. Проверка домашнего задания. Из вопросов, относящихся, собственно, к организации и ведению урока, отмечу прежде всего постановку проверки домашних заданий.

Приведу один курьезный факт, когда вопрос о правильности решения задачи, заданной на дом, решался большинством голосов: какой ответ получился у большинства учеников, значит тот и правильный. Учитель, конечно, должен иметь у себя не только правильное решение задачи, но и заранее знать, кому и какой вопрос при ее проверке он будет ставить. Он должен при этом держать класс в состоянии мобилизационной готовности, всех иметь в поле зрения и проверять не только факт выполнения задания, но и степень самостоятельности, а также уменье преодолевать встречающиеся затруднения. Поэтому учитель должен интересоваться не только ответом того или иного примера или задачи, но и задавать вопросы, выясняющие сознательность решения. Например: каков нормальный вид получившегося квадратного уравнения? Какую формулу применяли для решения квадратного уравнения? Как вы справились с переменой знака перед дробью?

Так, например, при проверке решения задачи (Ларичев, ч. II, № 520) на составление квадратного уравнения надо спросить: с какими величинами мы имеем дело в задаче (s, v, t)? Какою зависимостью они связаны (s = v-t)? Что приняли за главное неизвестное? Как через данные в задаче числа и через введенное неизвестное вы выразили время движения скорого поезда? и т. д. Какую задачу вы составили для проверки решения, используя данные и найденное значение неизвестной величины? Какую величину в этой задаче вы приняли за искомую?

5. Проведение опроса. Вообще опрос— это очень трудное дело; он не должен быть скучным, он не должен быть только контролирующим. Помимо контроля он должен выполнять обучающие и воспитывающие функции.

Правда, как исключение, но все же можно еще и теперь наблюдать такую картину: «Сейчас будет отвечать...» —говорит учитель, ищет по журналу, кого бы спросить, и только потом называет фамилию ученика и задает ему вопрос. Вызванный идет к доске, у других вырывается вздох облегчения, наступает разрядка — гроза пронеслась.

Но большинство учителей усвоило другую, более правильную традицию, при которой внимание учеников фиксируется не на том, кто пойдет, а на том—что спросят. «Сейчас нужно ответить на следующий вопрос...»—говорит учитель тему, дает время на размышление и уже потом называет фамилию. Цель достигнута — ученики лишний раз подумали, в уме повторили материал, собрались с мыслями.

К опросу учитель должен готовиться дома, отмечая в поурочном плане, кого и о чем он будет спрашивать, какие дополнительные вопросы задавать. В ходе опроса он должен активизировать и учеников, чтобы они делали поправки и дополнения к ответу товарища, вовлекая, таким образом, в процесс опроса весь

класс. Объединение математиков нашей школы договорилось о том, что когда вызванный ученик отвечает, остальные слушают и записывают недочеты и только потом вносят добавления и поправки.

6. Стимулирование активности учащихся. Учитель должен всемерно добиваться того, чтобы учащиеся на всех этапах урока были максимально активны и внимательны ко всему, что делается в классе: при устном опросе учащихся, при проверке домашнего задания, при объяснении нового материала, при повторении учеником новой, только что доказанной учителем теоремы и т. д.

Для этого учителю необходимо иметь в виду не только того, кто непосредственно ему отвечает, но все время держать в напряжении весь класс. Одним из приемов, способствующих этому, является учет отдельных хороших ответов и высказываний учеников на разных этапах работы, поправок и дополнений к ответу товарищей, толковых разъяснений по поводу домашнего задания и т. д. И каждый учащийся должен знать, что его учитель не пройдет мимо отдельных хороших ответов и высказываний, что он в виде каких-либо пометок у себя накапливает их, а потом учтет все это при оценке ответа учащегося во время официального опроса.

7. Дополнительные вопросы при опросе. Исключительную роль в воспитании внимания играет постановка дополнительных вопросов по темам. Вопросы эти обычно накапливаются по всем темам у учителей, публикуются они и в печати.

Например, в журнале «Математика в школе» (1946, № 3) И. А. Гибш дает набор вопросов по отдельным темам алгебры, геометрии и тригонометрии. Много устных вопросов дано в № 6 журнала «Математика в школе» за 1951 г. в статьях «Об организации урока математики» и «Устный опрос». Интересные вопросы дает С. И. Новоселов в своей статье в методическом сборнике «Математика в школе», вып. 1, 1943.

Вопросы должны помогать проверять глубину усвоения материала и развития учащихся, а не скользить по поверхности. Только тогда они будут интересны для школьников и, следовательно, воспитывать их внимание.

Примеры дополнительных вопросов:

Алгебра

3) 1б25 — сколько цифр в числе?

4) К)1*? = ?

5) Какое из чисел lg 1000 п и lg ^qqq больше и на сколько?

6) При всех ли значениях х справедливо неравенство |л:|>0? (Нет, |jc[ = 0, если лг=0.)

7) Какое значение может иметь частное -if-'? ' X

если х>0, и —1, если х<0.)

8) Какое понятие более общее:

а) целого числа или дробного?

б) натурального числа или целого?

Геометрия

1) Как построить куб по его диагонали?

2) Если сложить основаниями два правильные тетраэдра, получится ли правильный многогранник?

3) Если один шар вдвое больше другого по объему, то как относятся их поверхности?

4) Длина перпендикуляра из середины боковой стороны трапеции на другую а см, а боковая сторона b см.

Как определить площадь трапеции? И др.

8. Темп урока. Темп урока — это очень важный момент в его течении и успехе. Если материал подается вяло, скучно, с излишними повторениями, если половина урока идет на проверку домашнего задания, особенно если учитель не подготовился к этой проверке и она не интересует весь класс, такой урок, конечно, не будет способствовать развитию внимания учащихся. Темп урока должен быть достаточно быстрый, напряженный, бесперебойный, рассчитанный по минутам. Учитель, быстро ведущий урок, имеет больше шансов на удачный результат, нежели медленно ведущий. Так психологами были проведены наблюдения, в результате которых оказалось, что при быстрой работе учащиеся делают меньше ошибок, чем при медленной. Но дело такта учителя соблюдать при этом нужный темп, чтобы мысль ученика, с одной стороны, не останавливалась, с другой — и не отставала от мысли учителя.

9. Насыщенность урока. С темпом

урока тесно связана насыщенность его материалом. Урок должен давать достаточное содержание для мыслительной деятельности учащихся. «Уплотненный» урок — необходимое средство для воспитания активного произвольного внимания учащихся. Поэтому, идя на урок, учитель должен иметь его предварительный расчет по минутам, он должен знать, что на его уроке не произойдет ни одной заминки, что ученики его целый урок будут напряженно работать.

10. Сменность в видах работы учащихся. Если долго решать однотипные упражнения (примеры на тождественные преобразования радикалов или решение однотипных уравнений), то внимание вследствие утомления начнет колебаться. Во избежание этого, работу необходимо разнообразить.

В распоряжении математиков есть для этого различные формы работы. На уроке геометрии — доказательство теоремы у доски или вместо доказательства — перечисление его логических этапов, устное доказательство теоремы — без чертежа, перечисление опорных теорем, на которые ученик ссылается при доказательстве данной теоремы. С доказательства теорем мы имеем возможность переключить внимание класса на решение задач и тоже разных типов — на вычисление, на доказательство, на построение, письменно у доски, с учителем, устно или письменно у себя в тетрадях. Конечно, в сменности работы должна быть мера и педагогический такт.

В 1947 г. в журнале «Математика в школе» я критически описала прием такого переключения внимания. Трое учащихся вызваны к доске, а весь класс решает самостоятельно задачу. Когда вызванные к доске подготовятся, класс получает задание немедленно прервать работу над решением задачи и перейти к слушанию товарища. Такое переключение очень трудно дается ученикам и, на мой взгляд, нецелесообразно, так как переключить внимание не менее, а может быть более трудно, чем сосредоточить, а внимание здесь послепроизвольное. Со мной в журнале «Математика в школе» полемизировал мой товарищ, учитель Я. А. Шор. А в № 6 журнала за 1951 г. подведены некоторые итоги возникшего обсуждения. В частности, по этому вопросу мое отрицательное отношение к резкому переключению внимания учащихся признано правильным. Когда вызванные ученики готовятся у доски к ответу, остальных нужно занять более легкой работой — проверкой домашнего задания, ответами на устные вопросы, поставленные учителем, одним словом, занять их делом, с которого легче потом будет переключить их внимание на то, что делается у доски.

11. Разнообразие методических приемов и средств. Во избежание так называемых колебаний внимания, в целях воспитания в учащихся устойчивого внимания мы должны всемерно заботиться о разнообразии методических приемов и средств подачи нового материала, опроса, повторения, проверки домашних заданий и т. д. Учащиеся усваивают программный материал не только со слов учителя, но и сами выполняют упражнения, решают задачи на пройденное, чертят графики, делают чертежи и построения. Учитель в отдельных случаях проводит лекции, обычно же при объяснении нового он вопросами привлекает к выводу этого нового самих учащихся.

12. Освещение материала с разных сторон. Я уже говорила, что лучшее сосредоточение внимания возможно при достаточно быстром темпе урока. Мысль учащихся должна быть в движении и развиваться в одном направлении. А это значит, что изучаемый материал должен быть показан перед учащимися разносторонне, различными своими качествами, с различных точек зрения.

Примеры.

а) Объяснив новую теорему, мы на этом же уроке стараемся проиллюстрировать ее на задачах или сравнить с другой, уже знакомой теоремой (например, признаки подобия треугольников и признаки равенства).

б) Изучая логарифмическую или показательную функцию, мы не только определяем и исследуем их аналитически, но и широко используем графики названных функций для иллюстрации их свойств.

в) При изучении квадратного трехчлена целесообразно указать, что трехчлен может принимать различные (допустимые) значения, что в случае равенства трехчлена нулю получаем корни трехчлена, а сам трехчлен в этом случае уже будет представлять левую часть квадратного уравнения; при условии же, когда трехчлен больше нуля или трехчлен меньше нуля, будем иметь неравенство второй степени. Одновременно следует разобрать и график трехчлена.

г) Изучение дискриминанта квадратного уравнения полезно увязать с графиком трехчлена и с графическим методом решения квадратного уравнения (для случаев, когда D>0, D = 0 и D<0).

14. Повторение-просмотр материала под новым углом зрения. При повторении материала следует рассматривать его под новым углом зрения.

Например, при повторении темы «Площади прямолинейных фигур» надо предложить учащимся просмотреть последовательность в выведении формул площадей прямолинейных фигур с целью проверки осуществления охвата всех возможных случаев — площадей квадрата, прямоугольника (целые, дробные, иррациональные измерения), параллелограма, треугольника, ромба, трапеции. По окончании темы «пропорциональные линии в круге» надо предложить учащимся подвести итог пройденному — какие из известных пропорциональных отрезков есть в треугольнике и в круге; сравнить случаи пропорциональности отрезков с равенством отрезков в треугольнике и в круге.

15. Роль ожидания в развитии произвольного внимания. Непроизвольное внимание свойственно школьнику с ранних лет, но для развития произвольного внимания требуется много сил. Произвольное внимание связано с волевым усилием и с интересом, но уже не к самой деятельности, а к ее результатам, т. е. с интересом к цели.

Вот почему необходимо сообщать ученикам тему, над которой начинается работа, если возможно сообщить ее практическое значение и заинтересовать их ожиданием нового матерала.

При прохождении в VIII классе квадратных уравнений желательно начать работу с решения задач на составление уравнения. Составив уравнение (известно еще с VII класса) и проведя необходимые упрощения, учащиеся получат квадратное уравнение и увидят, что решить они его не могут. Они, естественно, задумаются над этим решением и будут ожидать от учителя ответа на этот вопрос.

Решая квадратное уравнение по формулам, нужно сообщить заранее, что в дальнейшем мы будем решать их также и графически, создав этим заинтересованность учащихся в ожидании графического метода.

Кроме ожидания результатов учебной работы, развитию внимания способствует и выполнение основного дидактического требования — знать предыдущее, чтобы понимать новое.

При переходе, например, к решению неполных квадратных уравнений учащиеся должны уметь решать линейное уравнение а?х — 6 = 0, чтобы по ошибке не написать х = b — а3, что хотя и редко, но случается.

Прежде чем начать решение квадратных уравнений со знаменателями, содержащими неизвестное, необходимо повторить вопрос о возможности приобретения посторонних корней, несколько его обобщив, к этой же теме необходимо повторить действия с алгебраическими дробями.

16. Роль затруднений. Нередки случаи, когда учащиеся невнимательны на уроках математики только потому, что встретились с трудностью, которую не смогли преодолеть. Но если им тактично помочь, найти ключ к решению задачи или выводу правила, то внимание становится как бы произвольным, учащиеся постепенно увлекаются продолжением работы.

Но подобным облегчением затруднений нужно пользоваться разумно, имея в виду воспитательное значение трудностей. Интересно не то, что легко, интересно то, что требует усилия, умения преодолевать трудности.

Чем труднее задача, тем напряженнее внимание учащегося, чем легче задача, тем менее оно сосредоточено.

Поэтому при прохождении темы не следует ограничиваться элементарными вопросами, как бы скользящими по поверхности, а нужно ставить вопросы, вскрывающие сущность изучаемого. Примеры подобных вопросов я приводила раньше. Желательно было бы собирать в районных педкабинетах хорошие, глубокие вопросы, выявляющие развитие учащихся, чтобы они стали достоянием всего коллектива учителей.

17. Распределение внимания. Нередко мы можем услышать от ученика, слушающего сложа руки объяснение учителя, что ему трудно одновременно и слушать, и писать. А между тем распределение внимания между несколькими видами деятельности требуется и в учебной работе, и в жизни. Нашим ученикам это потребуется в вузе, где им придется слушать и одновременно записывать лекции. К этому их постепенно нужно готовить и в школе.

18. Роль коллектива и организованности класса в воспитании внимания. Во всем предыдущем анализе я говорила о работе учителя, так как учитель является центральной фигурой в школе. Но нельзя умолчать и о роли коллектива. Учебная работа по математике, как и воспитание внимания, успешнее проходит в организованном ученическом коллективе. Внимательность каждого ученика в значительной степени зависит от внимательности рядом сидящих товарищей и всего класса.

Не может ученик сосредоточенно работать над решением задачи, если его сосед по парте ему мешает. Воспитание внимания определяется, таким образом, не только непосредственной работой учителя, но и степенью организованности и сознательности детского коллектива, чему, следовательно, нужно придавать очень большое значение.

19. О «мелочах». Остановлюсь на отдельных, так называемых «мелочах», играю-

щих, тем не менее, свою роль в воспитании внимания.

а) Я имела случай наблюдать, как в III классе хорошая учительница перед решением задачи повторила ее 4 раза. Мне кажется, что с I класса необходимо приучать детей «ловить слово» учителя, и повторять сказанное учитель должен лишь в тех случаях, когда это необходимо, иначе ученики не привыкнут быть внимательными к каждому его слову.

б) В математике необходима скрупулезная точность символической записи, и учитель может показаться в своих требованиях педантом. На самом деле этого требует как специфика предмета, так и задача воспитания внимания школьника.

Я, например, предъявляю определенные требования к записям логарифмических вычислений, в которых не разрешаю повторять ни одной цифры, требую каждую цифру писать в отдельной клеточке, разряд под разрядом и т. д.

Вот образец такой записи:

Шапошников и Вальцов, задача № 128 (2):

в) Играет роль и такая, например, «мелочь»: ученик не может начать новую тетрадь, пока учитель не подписал старую, с тем, чтобы он в новой тетради учел недочеты, встречавшиеся в предыдущей тетради.

г) Такой же «мелочью», но тоже существенной, является требование держать на парте табель и при выходе к доске подавать как табель, так и тетрадь, а также и особый листок «чего я не знаю по математике» с учетом конкретных недоработок ученика.

Заключение. Таким образом, шаг за шагом мы, учителя математики, можем и должны воспитывать внимание учащихся, делая его все более произвольным, все более активным и устойчивым, вырабатывая у учащихся привычку быть внимательными. А привычка быть внимательным превращается во внимательность как черту характера личности. Отсюда и такие нравственные качества, как чуткость, отзывчивость и т. д. Человек может оказаться холодным, неспособным к сочувствию, к участию в делах и переживаниях другого только потому, что он часто не замечает того, что вокруг него делается. Отсюда — влияние внимания на моральные качества человека. Эта черта характера совершенно необходима учащимся старших классов, стоящим на грани гражданского совершеннолетия и готовящимся стать в ряды активных строителей коммунизма.

ОБ УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЕ ПО АРИФМЕТИКЕ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

В. У. ГРИБАНОВ (Молотов)

Изучение элементов приближенных вычислений в семилетней и средней школе является давно назревшей необходимостью.

Однако, чтобы ввести этот раздел математики в практику преподавания, требуется сделать еще многое.

Необходимо установить определенные требования относительно объема и содержания материала и программного расположения его по годам обучения, чего мы до сих пор, вообще говоря, еще не имеем, судя по небольшой методической литературе и по проектам программ*.

Необходим предварительный опыт преподавания и на основе этого опыта конкретные методические указания для учителей по каждой теме, как материале, новом для них и для

* Соображения автора по этому вопросу (на основании опыта преподавания) изложены в статье «К вопросу о приближенных вычислениях в средней школе», напечатанной в «Ученых записках» Молотовского государственного педагогического института, вып. 12, 1949.

большинства незнакомом даже с теоретической стороны.

Наконец, с введением приближенных вычислений в школу необходимо провести некоторые изменения и исправления в учебниках и сборниках задач по математике с точки зрения требований теории приближенных вычислений.

В настоящей статье мы и остановимся только на этом последнем вопросе, опираясь на опыт преподавания.

1. Существующая школьная учебная литература не дает правильного представления о точности данных и искомых во всевозможных вычислениях: Создается определенная привычка считать все данные абсолютно точными и на результаты вычислений смотреть как на числа, выражающие искомые величины абсолютно точно. В действительности же числа, которыми приходится пользоваться на практике, в большинстве случаев являются приближенными значениями величин с той или иной степенью точности, или, как мы будем говорить короче, являются числами приближенными. Так, результаты всевозможных измерений оказываются всегда числами приближенными, благодаря ограниченной точности измерительных приборов и других причин; результаты счета часто являются числами приближенными, а также и результаты вычисления даже с точными числами (например, при делении); наконец, результаты округления — всегда числа приближенные. Производя вычисления с приближенными числами, мы, конечно, и результаты будем получать тоже приближенные.

Так как действия с приближенными числами имеют свои особенности, то при вычислениях надо знать, какие числа из данных являются приближенными.

Практика показала, что установление приближенности данных в задачах является делом довольно трудным, если пользоваться существующими сборниками. Правда, в большом количестве задач по самому содержанию их можно судить о приближенности тех или иных данных. Но во многих задачах этот вопрос оказывается неопределенным. При решении таких задач приходится полагать, что одни данные являются приближенными, а другие — точными.

При составлении сборников задач, очевидно, надо избегать такой неопределенности путем уточнения содержания задач или специальных указаний. Может быть, следует ввести особое обозначение приближенных данных, например курсивом или жирным шрифтом.

В примерах для некоторых разделов такое обозначение необходимо.

Некоторые категории данных в задачах требуют к себе в большинстве случаев определенного отношения с точки зрения их точности. Так, отвлеченные данные, выражающие части целого, отношение величин и т. д., мы считали при проведении занятий чаще всего числами точными. Например, в задаче № 1655 из сборника Е. С. Березанской, в которой говорится, что рельс разрезан на 4 части, длина второй части в 1*/5 раза больше первой, длина третьей части составляет 3/4 второй,—числа 4, 1*/б и 8/4 считали точными. Правда, такие данные иногда являются и приближенными; например, в задаче № 1671 (там же), в которой сказано, что при нагревании на 1°С длина железного стержня увеличивается на 0,000012, число 0,000012 является определенно приближенным, как коэффициент линейного расширения железа. В сомнительных случаях относительно этой категории данных (отвлеченных данных), очевидно, желательны особые указания.

Второй категорией таких данных являются числа, выражающие денежные расчеты и стоимости. В большинстве случаев такие данные мы рассматривали как точные, в противном случае приходилось давать каждый раз особые указания. То же самое можно сказать и о данных, выражающих количество товара при покупке и продаже. Хотя они и являются чаще числами приближенными, но в торговых расчетах приходится оперировать с ними как с числами точными. Большинство таких задач приходится решать с точными данными. Достаточно номера таких задач отмечать каким-либо значком, например звездочкой, чтобы избавить от необходимости каждый раз устанавливать точность или приближенность данных.

В задачах по геометрии большая часть данных является числами приближенными как результат измерений, и, следовательно, при решении нужно учитывать их приближенность. Но многие задачи можно и следует решать как задачи с точными данными, рассматривая последние как числа заранее заданные (проектные). Например, задачи № 5, 7, 25, 27, 28, 45, 64 и многие другие только из одного § 5 части I сборника Рыбкина можно решать, считая данные числами точными. Номера таких задач достаточно отмечать каким-либо значком, чтобы избавить от необходимости устанавливать точность или приближенность данных. Вообще в вычислительной практике с такими числами, заранее заданными, а не полученными в результате измерения, счета или вычисления, приходится встречаться довольно часто и рассматривать их как числа точные.

Имея в виду, что установление приближенности данных является делом довольно трудным, может быть, в сборниках задач в каждом разделе ряд задач с приближенными данными следует выделять особо, а все остальные решать как с точными данными. Но, с другой стороны, следует иметь и ряд задач, в которых установление приближенности данных предоставляется самим учащимся, чтобы создать надлежащие навыки. Такие навыки совершенно необходимы при решении задач в быту и на производстве, когда решающему самому приходится устанавливать приближенность данных и оценивать точность результатов вычислений.

Очевидно, что вопрос требует дальнейшего изучения и опытной проверки.

2. Еще полвека назад академиком А. Н. Крыловым и позднее проф. В. М. Брадисом было высказано требование, чтобы по самому начертанию приближенного числа можно было судить о степени его точности, для чего следует писать число так, чтобы все его значащие цифры, кроме последней, были верны и лишь последняя цифра могла быть сомнительной, причем с погрешностью не превосходящей в большинстве случаев одну-две единицы того разряда, в котором она стоит. При этом обычно имеется в виду, что малые погрешности встречаются чаще, чем большие.

Несоблюдение этого требования в практике вычислений ведет к утомительным и нерациональным выкладкам, к растрате времени, а также к неумению осмысленно относиться к результатам измерений и вычислений.

Акад. А. Н. Крылов говорил об этом так: «...вычисление должно производиться с той степенью точности, которая необходима для практики, причем всякая неверная цифра составляет ошибку, а всякая лишняя цифра — половину ошибки. Насколько практика этого дела была несовершенна, я показал на ряде примеров, где 90°/0 было таких лишних цифр, которые без ущерба точности результата могли быть отброшены, а в одном вычислении, исполненном в чертежной Морского технического комитета, такой напрасной работы было 97% » (А. Н. Крылов, Мои воспоминания, 1942, стр.83). Насколько большое значение придавал А. Н. Крылов рациональным вычислениям, можно судить по следующим его словам: «Когда главный корабельный инженер Севастопольского порта Л. указаний относительно кораблестроительных вычислений не исполнил, то был уволен по моему представлению со службы» (там же).

С большим сожалением приходится констатировать, что наша средняя школа еще до сих пор не приучает учащихся к тем рациональным вычислениям, которым придавал такое большое значение акад. А. Н. Крылов. Значительно повинны в этом наши сборники задач.

Прежде всего в существующих теперь сборниках приближенные данные выражены нередко числами, написанными без учета требования акад. Крылова о записи приближенного числа. Например, в задаче № 1346 из «Сборника задач и упражнений по арифметике» Е. С. Березанской читаем: «Из листа стекла размером в 0,78 м X Х0,6б м вырезали 4 стекла прямоугольной формы размером 0,35 л* X 0,28 л*; 2 стекла размером 0,28 л* X 0,07 л* и 2 стекла размером 0,35 л*Х0,1 м- Вычислить площадь оставшегося» стекла». Последнее число (0,1 м) следовало бы,, в соответствии с остальными данными, писать так: 0,10 м. Точно так же в задаче № 1350 последнее число (9 м) следует писать: 9,0 В задаче № 1543 длину пути следовало записать: «400 км (с точностью до единиц)», считая нули значащими цифрами в соответствии с первым данным 112 км, и т. д. Если не делать указанных исправлений, то и ответы приходится брать с другой точностью. Например, в последней задаче (1543) в качестве ответа приходится брать 0,9, а не 0,87, и тем более не 0,875, как дано в задачнике.

В существующих сборниках к некоторым задачам даны приближенные ответы, но эти ответы часто даны без учета степени точности приближенных данных и являются неправильными с точки зрения требования акад. Крылова о записи приближенного числа. Если решать такие задачи с учетом приближенности данных, то ответы получаются с другим количеством значащих цифр. Разноречивость в ответах вызывает недоумение у учащихся, и учителю приходится говорить, что ответы в задачнике даны из расчета, если все данные в задаче считать числами точными, чего на самом деле сказать нельзя (см., например, № 1330, 1354, 1439 и многие другие из сборника арифметических задач Е. С. Березанской; № 441, 442, 473 и др. из гл. VI части I и № 140, 141, 143 и др. из гл. XVI части II сборника алгебраических задач Шапошникова и Вальцова, еще больше задач с подобными ответами в сборнике геометрических задач Рыбкина).

Так, например, уже первая задача с числовыми данными из I части сборника Рыбкина имеет ответ, противоречащий требованию акад. Крылова. В задаче сказано, что сращены 3 деревянные балки: длина первой 4,8 м, второй 3,4 м и третьей 5,8 м. Требуется найти их общую длину. Решая задачу, получаем: 4,8 -j-+3,4+5,8= 13,0. В ответе же дано 13 м. Точность ответа искажена самой его записью.

Рассмотрим еще задачу №11 из § 8 той же

3 части сборника Рыбкина. В задаче требуется найти высоту дерева. Решение с применением соответствующих правил способа подсчета цифр (см. правила б, 7, 10 в конце статьи) дает:

В ответе же дано 16,15 м. Точность ответа опять искажена: из вычисления видно, что цифры десятых и сотых в ответе не заслуживают доверия, поэтому, по терминологии акад. Крылова, они являются лишними и сохранение их следует считать ошибкой. (Если определить погрешность, пользуясь хотя бы способом границ, то мы увидим, что она может доходить до половины метра, следовательно, сохранение десятых и сотых в ответе действительно является бессмысленным.)

Таким образом, в первой задаче точность ответа занижена, а во второй — завышена. Подобными ответами у учащихся воспитывается ложное представление о точности результатов вычислений, безответственное отношение к точности; они просто не понимают сущности этого вопроса в продолжение всех лет обучения в школе.

Итак, если решать задачи с учетом приближенности данных (а с введением приближенных вычислений в школу так и придется их решать), то ответы у многих задач в существующих сборниках подлежат исправлению в отношении количества значащих цифр.

Подлежат исправлению в отношении количества значащих цифр и некоторые приближенные числа, данные в условии задач с излишне большой точностью по сравнению с другими данными. Так, в задаче № 1522 (сборн. арифм. задач Е. С. Березанской) вес литра атмосферного воздуха выражен числом 1,2932, тогда как размеры комнаты числами: 6,4 м, 5,2 м и 3,5 м\ в задаче № 2281 (там же) длина поезда выражена числом 145,75 м— вообще с невозможной точностью для длины поезда. Есть подобные данные и в других сборниках и особенно их много в примерах на решение треугольников: линейные размеры, как правило, даны числами с пятью значащими цифрами, а угловые — с точностью до секунды (очевидно, в соответствии с пятизначными таблицами Пржевальского, а не с реальной действительностью при вычислениях и измерениях).

Нередки случаи, когда при абсолютно точных данных применяемый способ вычисления дает приближенный результат, а в задачнике это обстоятельство игнорируется, ответ приводится с заведомо неверными цифрами. Например, в задаче № 109 гл. XVI части II сборника алгебраических задач Шапошникова и Вальцова требуется найти посредством логарифмов сотую степень числа 1,04, причем даны ответы 50,466 и 50,12, получаемые при применении таблицы пятизначных и четырехзначных логарифмов, без учета приближенного характера этих ответов: производя вычисление не механически, а сознательно, а именно, считаясь с приближенным характером табличных мантисс, мы должны были бы дать ответы 50, 47 и 50,1 или лучше 50,408 < 1,04100 < 50,524 и 49,55 < 1,04101>< 50,70».

3. Особого внимания заслуживает вопрос о соответствии в точности между числами, выражающими линейные и угловые- величины при решении треугольников. Не останавливаясь подробно, рассмотрим основное содержание вопроса на примерах с точки зрения школьной вычислительной практики.

Пусть требуется найти острый угол А прямоугольного треугольника, если противолежащий катет его а=\2ем и гипотенуза с = 73 см. Решая (без логарифмирования), получаем sin А = 0,164 (с одной запасной цифрой); пользуясь четырехзначными таблицами значений натуральных тригонометрических функций, находим ближайшее округленное тоже до трех значащих цифр значение sin Л = 0,165 и получаем: Л = 9°30'. Так как данные — с двумя значащими цифрами, то, следуя правилу (см. № 10), ответ нужно взять тоже с двумя значащими цифрами. Если бы доли градуса выражать десятичной дробью, то ответ следовало бы взять с точностью до десятых градуса, и, принимая во внимание, что 6'=0°1, получили бы: А — = 9°5. Выражая же ответ в градусах и минутах, приходится писать А = 9°30/, но иметь в виду, что погрешность может доходить уже до десятка минут и больше, поэтому цифру единиц минут (0) в данном ответе следует считать незначащей (см. определение 3).

Если решать задачу, пользуясь логарифмированием, то получим: lg sin А = 1,216; ближайшее табличное значение lg^ sin Л = 1,218 дает, конечно, тот же ответ: А = 9°30'.

Производить интерполирование в данном случае не имеет смысла, так как вычисление производится только с тремя значащими цифрами, причем третья цифра является уже запасной.

Убедимся в правильности оценки точности ответа, применяя один из способов строгого учета погрешностей, например способ границ. Пусть а = 12 (± 0,5) см и с = 73 (=+= 0,5) см. Решая (без логарифмирования), получаем:

Как видим, ответом может быть любое из значений: 9°00', 9°10', 9°20', 9°40', 9°50', 10°, в зависимости от погрешностей данных а и с\ значение же 9°30/ является наиболее вероятным, причем цифра десятков минут является уже довольно сомнительной, а цифра единиц минут (0) — определенно не значащей.

Если бы целое число градусов угла выражалось двузначным числом, то ответ пришлось бы взять с точностью только до единиц градусов. Например, полагая в данной задаче а = 54 см и с = 73 см, находим sin А ^0,740 и А = 47°42'; округляя до двух значащих цифр, получаем А ^48°. Чтобы убедиться в том, что ответ следует взять только с двумя значащими цифрами, достаточно опять применить способ границ, и мы получим: 46°42' < А <48°45'. Сравнивая со средним значением А = 47°42', видим, что в ответе действительно следует сохранить только первые две цифры, а число минут не заслуживает никакого доверия.

4. Во всех существующих сборниках числа в задачах, как правило, даются такими, что все вычисления выполняются гладко: дроби сокращаются, деление производится без остатка, корни извлекаются, коэффициенты уравнений упрощаются и т. д., т. е. так, как чаще всего при решении практических задач в жизни не бывает. Получается, что учащиеся в продолжение многих лет приобретают навыки, не отвечающие потребностям практики. Всем известна беспомощность учащихся или, по крайней мере, отсутствие надлежащих навыков при решении таких задач, когда решения не «гладки». Потребность введения в сборники такого рода задач («негладких») очевидна.

Отметим кстати, что во многих задачах с приближенными данными вычисления могут выполняться и точно (являются «гладкими»), но ответы и в таких случаях нельзя считать абсолютно точными, ввиду приближенности данных. Например, при решении задачи № 100 из сборника алгебраических задач Шапошникова и Вальцова, ч. 1, гл. II, в которой сказано, что с двух станций, находящихся на расстоянии 76*/2 км, выходят одновременно два поезда и идут по одному направлению со скоростями 3\11%км и 183/4 км в час, причем первый идет за вторым, и спрашивается, когда первый поезд догонит второй; действия выполняются точно, и учащиеся воспринимают ответ, что первый поезд догонит второй через 6 часов как абсолютно точный. Такого рода задачами у учащихся опять воспитывается ложное представление о точности данных и о точности искомых величин. Ответ для данной задачи следовало бы записать так: 6 ч. 00 м. в соответствии с приближенностью данных и правилами вычислений; этим была бы подчеркнута и его приближенность.

5. Остановимся еще на приближенных данных, выражаемых обыкновенными дробями. В практических вычислениях если и приходится встречаться с такими данными, то обычно только с однозначным знаменателем. Дроби с большим числом цифр в знаменателе заменяются и должны заменяться дробями десятичными, хотя бы из соображений рационализации при вычислениях.

Возникает вопрос об определении количества значащих цифр в таких данных при применении способа подсчета цифр. Можно высказать следующее предложение: всякую правильную дробь с однозначным знаменателем следует считать за одну значащую цифру в общем количестве значащих цифр в приближенном числе.

Так, данные б — км, 53 м, 285 -j г, -g- м считать соответственно с двумя, с тремя, с четырьмя, с одной значащими цифрами.

Справедливость этого предложения можно просто показать так. Возьмем неравенства:

Абсолютная величина разности между средним членом и крайними для большинства таких неравенств выражается в сотых долях единицы и только для двух неравенств:

она будет около 0,17. Следовательно, принимая средние члены как приближенные дроби, а крайние — как их границы, что практически и должно соблюдаться, мы будем допускать погрешность не больше одной-двух десятых, а это полностью согласуется с требованием акад. Крылова о записи приближенного числа, не противоречит практике и действительно дает возможность считать правильную обыкновенную дробь с однозначным знаменателем одной значащей цифрой, следующей за цифрой целых единиц.

С точки зрения изложенного, в существующих сборниках, очевидно, также желательны надлежащие исправления и изменения.

6. Для введения приближенных вычислений в школу необходимы некоторые изменения и в учебниках. Все сказанное выше полностью относится к примерам и упражнениям, имеющимся в учебниках. Помимо этого, необходимо введение в учебники элементов теории в надлежащем объеме, какой будет признан желательным для школы, а в методические пособия — введение подробных методических указаний для учителей.

Только после осуществления всех изменений, исправлений и добавлений в школьной учебной литературе можно ставить вопрос о введении элементов приближенных вычислений в программу средней школы.

Однако из только что сказанного совсем не следует, что рациональными вычислениями с приближенными данными нельзя заниматься в школе теперь, при существующей программе. Не ожидая изменений и исправлений, учителя могут и теперь сообщать учащимся необходимые теоретические сведения в порядке кружковой работы, а в крайнем случае и догматически давать некоторые определения и правила, необходимые при решении задач и упражнений с приближенными данными.

7. В заключение приведем систему определений и правил, к которой мы пришли при экспериментальном проведении занятий, положив в основу способ подсчета цифр, рекомендованный для изучения в школе проф. В. М. Брадисом.

1) Приближенные числа получаются в результате счета или измерения, или вычисления, а также при округлении чисел, причем при измерении и округлении всегда получаются приближенные числа.

Примечание. Достаточным признаком приближенности результата счета является наличие разных ответов при повторных подсчетах.

2) Округление чисел сводится к сохранению в них одной или нескольких цифр, считая слева направо, и к отбрасыванию остальных, причем при округлении целых чисел отбрасываемые цифры заменяются нулями.

Основные правила округления, а) Если первая из отбрасываемых цифр 5 или больше 5, то последнюю из сохраняемых цифр увеличивают на единицу; б) если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последнюю из сохраняемых цифр оставляют без изменения; в) если отбрасывается только одна цифра 5, то последнюю из сохраняемых цифр оставляют без изменения, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная (правило четной цифры).

Округление с избытком. Цифра последнего сохраняемого разряда всегда увеличивается на единицу.

Округление с недостатком. Цифра последнего сохраняемого разряда всегда оставляется без изменения.

Погрешностью округления называется разность между округляемым и округленным числами (или наоборот).

Вообще погрешностью приближенного значения называется разность между точным значением величины и приближенным ее значением (или наоборот).

3) Значащими цифрами числа являются цифры 1, 2, 3, . . . , 9; нуль или несколько нулей считаются также значащими цифрами, если они стоят между другими значащими цифрами в числе. Нули же в начале и конце числа считаются незначащими, кроме случая, когда нуль в конце стоит в том разряде, с точностью до которого взято число, или, короче, когда нуль стоит в разряде данной точности (в этом случае при записи целого числа делается указание в скобках о разряде точности).

Примечание 1. В приближенном числе, выраженном десятичной дробью, нули в конце являются значащими цифрами, в противном случае они не пишутся совсем.

Примечание 2. Число значащих цифр в числе остается неизменным при переносе запятой влево или вправо.

4) Цифра какого-либо разряда в приближенном числе считается верной, если число имеет

погрешность не больше половины единицы этого разряда; если же погрешность больше половины единицы какого-нибудь разряда, то цифра этого разряда и цифры следующих справа разрядов считаются сомнительными.

5) Правило записи приближенного числа (требование акад. Крылова). Приближенное число, полученное в результате счета или измерения, или вычисления, надо писать так, чтобы все его значащие цифры, кроме последней, были верны и лишь последняя цифра могла быть сомнительной, причем с погрешностью, не превосходящей в большинстве случаев одну-две единицы того разряда, в котором она стоит. При этом имеется в виду, что малые погрешности встречаются чаще, чем большие.

Примечание. Приближенные числа, даваемые математическими таблицами, всегда состоят только из одних верных цифр.

6) При сложении и вычитании приближенных чисел в полученном результате нужно отбрасывать по правилам округления цифры тех разрядов справа, которых нет хотя бы в одном из данных приближенных чисел.

7) При умножении и делении приближенных чисел в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим количеством значащих цифр (самое «короткое» из данных приближенных чисел).

8) При возведении приближенного числа в квадрат и куб в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень число.

Примечание. Последняя цифра квадрата, и особенно куба, при этом более сомнительна, чем последняя цифра основания.

9) При извлечении квадратного и кубического корня из приближенного числа в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число.

Примечание. Последняя цифра квадратного и особенно кубического корня при этом менее сомнительна, чем последняя цифра подкоренного числа.

10) Правило при решении задач в несколько действий (правило запасной цифры). При решении задач с приближенными данными нужно в результате промежуточных действий сохранять на одну цифру больше, чем требуют правила о результатах отдельных действий, причем при определении количества значащих цифр в промежуточных результатах запасные цифры в числах не принимаются во внимание (не входят в подсчет); в окончательном результате запасная цифра отбрасывается по правилам округления. В целях учета запасные цифры следует подчеркивать.

Примечание. Если при решении задач нет действий сложения и вычитания, то в окончательном результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет самое «короткое» из данных в условии приближенных чисел, а все промежуточные вычисления следует вести с количеством значащих цифр на одну больше.

11) Правило предварительного округления данных. Если некоторые данные в задаче имеют более низкие последние разряды (при действиях I ступени) или больше значащих цифр (при действиях II и III ступеней), чем другие, то их предварительно следует округлять, сохраняя лишь одну лишнюю цифру.

12) Правило пользования табличными данными. Нахождение числа из таблиц считается за отдельное действие, и если оно промежуточное, то берется запасная цифра.

13) Правило вычислений с наперед заданной точностью. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения окончательного результата с k значащими цифрами данные следует брать с таким количеством значащих цифр, чтобы предварительный результат имел k -j- 1 цифр.

14) Границы приближенного значения величины. Если известно, что значение некоторой величины х удовлетворяет двойному неравенству l<x<L, то / и L называются границами значения л:, при этом / называется нижней границей, a L — верхней границей.

Приближенным значением величины X называется произвольное число а, удовлетворяющее двойному неравенству l^a-^L.

При округлении границ / берется с недостатком, a L с избытком.

15) Абсолютная погрешность и ее граница. Абсолютной погрешностью числа а, как приближенного значения величины х, называется разность х — а. При а<х абсолютная погрешность положительна и при а>х — отрицательна.

Границей абсолютной погрешности числа а, как приближенного значения величины х, называется такое положительное число Д:г, которое, будучи прибавлено к числу а и отнято от этого числа а, дает границы значения л:, т. е. а — Да < х < а + Да, или, короче, х^а(-+~ Да).

16) Относительная погрешность и ее граница. Относительной погрешностью числа а, как приближенного значения величины

х, называется отношение абсолютной погрешности (а) к числу а, т. е. 8 = ~-.

Границей относительной погрешности числа ау как приближенного значения величины х, называется отношение тратим абсолютной погрешности (Да) к числу а, т. е. (о = . Обычно относительную погрешность выражают в процентах, тогда (о = ^-100%, и приближенное равенство записывается так: x^a(±z(û%).

Формула со = и определение верных цифр дают связь между границей относительной погрешности приближенного числа а и количеством верных цифр его.

Связь между границами абсолютной и относительной погрешностей и округлением результатов четырех действий над приближенными числами, основанная на том, что приближенные числа с одним и тем же числом десятичных знаков имеют одну и ту же границу абсолютной погрешности, а с одним и тем же числом значащих цифр — близкие границы относительной погрешности, с успехом используется для обоснования этих правил (см. статью проф. П. С. Александрова и акад. А. Н. Колмогорова «Свойства неравенств и понятие о приближенных вычислениях» в № 2 журнала «Математика в школе» за 1941 год).

В X классе в связи с неравенствами можно ставить изучение способа границ.

О НЕЕВКЛИДОВЫХ ГЕОМЕТРИЯХ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

И. Ф. ТЕСЛЕНКО (Львов)

Известно, что программа по математике для V—X классов средней школы ставит перед учителями такое требование: «...на уроках геометрии при изучении теории параллельных прямых совершенно необходимо указать, что кроме геометрии Евклида, изучаемой в школе, есть еще неевклидовы геометрии. Неевклидова геометрия, созданная знаменитым русским ученым Н. И. Лобачевским, носит его имя»*.

Такое категорическое требование вполне закономерно, ибо только в свете неевклидовых геометрий выясняется логическая структура евклидовой геометрии, изучаемая в средней школе.

Действительно, создать у учащихся правильные представления о богатстве фактов геометрии, обеспечить хорошую ориентацию в большом разнообразии геометрического материала, приблизить их к современным взглядам на геометрию как на науку можно только через близкое знакомство с элементами неевклидовых геометрий, в частности с геометрией, созданной знаменитым русским ученым Н. И. Лобачевским.

Не так давно, в начале прошлого столетия, в геометрии господствовало метафизическое положение Гегеля о том, что «Элементарная геометрия в таком объеме, в каком ее оставил нам Евклид, может уже рассматриваться как нечто законченное и не способное иметь больше истории»**, то-есть что элементарная геометрия в своих основах есть наука законченная в развитии. Однако уже факт создания неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским показывает абсурдность утверждения Гегеля. Больше того, геометрия Н. И. Лобачевского заставила пересмотреть (пополнить, обобщить), основы геометрии Евклида и открыла широкую перспективу развития геометрии в целом.

Среди методистов распространено убеждение, что если преподаватель глубоко ознакомится с идеями неевклидовых геометрий, то он сумеет в процессе объяснения учащимся вопросов школьной геометрии познакомить их в доступной форме с элементами великих геометрических идей, открытых и исследованных Н. И. Лобачевским. Такое мнение, безусловно, в основе правильно, ибо определяющими условиями высокого научно-идейного изложения элементарной геометрии являются глубокие знания ее основ, безупречное владение предметом геометрической науки и высокая математическая культура учителя. Однако важна и методическая сторона дела. Преподаватель геометрии может знать работы Лобачевского, Больяи, Римана и др., и все же не найдет «точек приложения» их геометрических идей в своей школьной практике, затруднится в ре-

* Программа по математике, 1951, стр. 6.

** Гегель, Сочинения, т. IX, Партиздат, 1932,. стр. 17.

шении важной научно-методической проблемы, выдвинутой современной программой.

Как известно, Евклид построил свою геометрию, исходя из небольшого числа исходных геометрических аксиом. Набор этих аксиом, данный у самого Евклида, был неполный. К концу прошлого столетия, главным образом благодаря работам Д. Гильберта, создана полная система, насчитывающая для двухмерной геометрии Евклида 14 аксиом.

Н. И. Лобачевский принял все аксиомы Евклида, кроме одной аксиомы параллельных. Аксиому о параллельных, или 5 постулат Евклида, он заменил следующей противоположной ему аксиомой:

Если дана прямая AB и не лежащая на ней точка С, то через точку С в плоскости ABC можно провести к прямой AB две различные параллельные прямые.

Из полученной таким образом системы аксиом Лобачевский создал стройную, логически безупречную неевклидову геометрию. Двухмерное пространство Лобачевского имеет такие свойства:

1) Параллельные линии не являются равноотстоящими друг от друга, но асимптотически сближаются друг с другом в направлении их параллельности и расходятся до бесконечности в направлении противоположном.

2) Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой не всегда пересекаются друг с другом. Не все наклонные, проходящие через данную точку, встречают перпендикуляр; две из них «асимптотически» приближаются к нему, а остальные сближаются до известного предела (где они имеют общий перпендикуляр), а затем снова расходятся до бесконечности.

3) Из 2) вытекает, что две прямые, перпендикулярные к третьей, на плоскости Лобачевского расходятся по мере продолжения их в обе стороны до бесконечности (а не равноотстоят друг от друга, как на плоскости Евклида).

4) Геометрическое место точек, находящихся с одной и той же стороны и на одном и том же расстоянии от данной прямой, есть линия кривая (а не прямая, параллельная данной прямой, как на плоскости Евклида).

5) Через точку вне данной прямой можно провести к этой прямой две параллельные линии (асимптотически приближающиеся к данной прямой в противоположных направлениях).

6) Сумма внутренних углов в треугольнике меньше 2d, причем «недостаток» (дефект) этой суммы до 2d возрастает пропорционально площади треугольника.

7) Подобные фигуры на плоскости Лобачевского не существуют.

8) Вследствие отсутствия подобия фигур на плоскости Лобачевского существует «абсолютная единица длины».

9) Через три точки, не лежащие на одной прямой, не всегда можно провести окружность,

10) Если увеличивать до бесконечности радиус круга, касающегося данной прямой в одной ее точке, то круг не сольется в пределе с этой касательной, а обратится в так называемую «предельную линию» или «предельный круг» и т. д.

Ограничиваясь только планиметрией Лобачевского, мы перечислили те из свойств пространства, на которые (или по крайней мере на одно из них) должен указать учитель, выполняя требование программы. Встает практический вопрос, на каком уроке и в какой форме указать? В объяснительной записке к программе по математике рекомендуется это сделать в разделе теории параллельных, т. е. в VI классе, и, вероятно, после изучения программного вопроса: «Аксиома параллельных и ее следствия». Иначе говоря, «указать» на существование неевклидовых геометрий в связи с изучением аксиомы параллельных, или 5 постулата Евклида, который, как известно, сыграл особенно важную роль в создании неевклидовых геометрий, в частности геометрии Лобачевского. Попытки доказать 5 постулат стимулировали возникновение и создание неевклидовых геометрий.

Кажется, что естественнее именно здесь выполнить требование программы: «указать... и т. д.». Однако, учитывая геометрические знания учащихся VI класса, возникают серьезные сомнения в целесообразности решения поставленной задачи именно здесь.

Практика школ г. Львова показывает, что при самом безукоризненном, в методическом отношении, подходе к решению поставленной задачи цель не достигается. Ученики VI класса не подготовлены к пониманию «указания» учителя о существовании неевклидовых геометрий, что нередко приводит к вредным последствиям, а именно, учащиеся говорят: «параллельные у Евклида не сходятся, а у Лобачевского сходятся в бесконечности». «А какая из этих геометрий верна?» и т. д. Попробуйте разъяснить учащимся VI или VII класса, что они верны обе!

Практика школ показывает и другое, что именно следствиям из аксиомы параллельных уделяется мало внимания. Подтверждается это тем фактом, что большинство учеников VI—X классов почти ничего не знают об особой роли аксиомы параллельных в построении курса геометрии, и о том, что только часть ее утверждений, понятий и построений доказывается и рассматривается без помощи 5 постулата. Утверждения, построения и понятия, одинаково спра-

ведливые в геометриях Евклида и Лобачевского, называются абсолютными. Учитель должен твердо знать основные из них, чтобы при изучении систематического курса геометрии указывать, подчеркивать зависимость или независимость этих положений от 5 постулата.

В планиметрии без помощи постулата Евклида доказываются следующие теоремы.

1. Теоремы об измерении отрезков, дуг и центральных углов.

2. Теоремы о смежных и вертикальных углах.

3. Условия равенства треугольников и противоположные им теоремы.

4. Теоремы о перпендикуляре и наклонных.

5. Теоремы о хордах и их расстояниях до центра, о касательной и ее перпендикулярности с радиусом точки касания.

6. Условия пересечения прямой и окружности и двух окружностей.

7. Прямые теоремы о параллельных линиях, доказываемые на основании свойства внешнего угла треугольника.

Примерами задач на построение абсолютной геометрии, т. е. задач, решаемых одинаково и в геометрии Евклида, и в геометрии Лобачевского, являются: построение треугольника по трем его сторонам или по двум сторонам и углу между ними; деление данного отрезка пополам или деление данного угла пополам; проведение перпендикуляра из данной точки данной прямой к этой прямой или опускание перпендикуляра из данной точки на данную прямую и т. д.

В геометрию Лобачевского целиком может быть перенесена из евклидовой геометрии идея метода геометрических мест. При этом некоторые геометрические места, носящие абсолютный характер, останутся идентичными геометрическим местам евклидовой геометрии как по форме линий, так и по формулировке, а также по способу их построения и обоснования*.

Большинство же других задач и теорем школьного курса геометрии решаются и формулируются в геометрии Лобачевского иначе, чем в евклидовой. Сюда относятся почти все утверждения, содержащие понятие площади и объема, так как весь раздел о площадях и объемах в геометрии Лобачевского принципиально отличается от соответствующего раздела в геометрии Евклида. К этой же группе принадлежат почти все утверждения, включающие понятия параллельности.

Такое «насыщение» приложениями 5 постулата школьного курса геометрии дает полную возможность учителю провести необходимую подготовку учащихся для правильного восприятия указаний учителя о существовании неевклидовой геометрии Лобачевского, раскрыть глубокие связи между геометриями Евклида и Лобачевского, указать на существенное различие между ними, не выходя при этом за пределы программы.

Следует заметить, что на этом пути мы будем решать и другую важнейшую проблему повышения научно-идейного уровня преподавания школьной геометрии: изучение различных геометрий поможет учащимся лучше понять абстрактность истин и аксиом геометрии, следовательно, приблизит понимание учащимися основных утверждений геометрии до уровня требований современной математической науки: «Геометрия. . . дает свои законы, абстрагируясь от конкретных предметов, рассматривая предметы, как тела, лишенные конкретности, и определяя отношения между ними не как конкретные отношения таких-то конкретных предметов, а как отношения тел вообще, лишенные всякой конкретности»**.

Сейчас можно считать общепризнанным, что школьная программа по математике и стабильный учебник по геометрии не обеспечивают минимума знаний по вопросу о роли аксиоматики, дедуктивного построения геометрии и о важнейших ее методах доказательства теорем.

Все согласны с тем, что большинство учащихся, оканчивающих среднюю школу, не имеют правильного представления о происхождении и роли первоначальных посылок — аксиом и основных (первоначальных) понятий. В их представлении аксиомы — это истины, принимаемые без доказательства вследствие своей очевидности, что аксиомы абсолютно недоказуемы и что очевидные предложения вообще не нуждаются в доказательстве. Известно также и о том, что далеко не все учащиеся понимают сущность и роль математического доказательства как могущественного метода познания и установления закономерностей и основных свойств количественных отношений реального мира и, что особенно важно, не осознают его преимущества перед непосредственным экспериментальным изучением.

Часто для учащихся остаются неясными термины: «необходимо и достаточно», «тогда и только тогда», «по крайней мере», «хотя бы» и т. д. Мы обязаны также дать учащемуся глубокое понимание соотношений справедливости прямых, обратных и противоположных теорем, особенно доказательства от противного.

Нам думается, что ознакомление учащихся с некоторыми попытками доказательства 5 постулата и элементами геометрии Лобачевского

* Н. М. Нестерович, Геометрические построения в плоскости Лобачевского, Гостехиздат, 1951.

** И.Сталин, Марксизм и вопросы языкознания. Госполитиздат, 1951, стр. 24.

будет способствовать устранению указанных недостатков.

После сказанного вырисовываются пути, какими нужно идти, изучая школьную геометрию, чтобы справиться с поставленной задачей, не выходя при этом за пределы программы и не выделяя особого дополнительного времени. Таких путей три.

1) Кратко познакомить учащихся с историей 5 постулата, путем рассмотрения некоторых попыток его доказательства. При этом нас должны интересовать не только попытки доказательства, а и те «очевидные истины» и часто неявные допущения, на которых все эти попытки основывались. Ибо, несмотря на неверность всех этих доказательств, рассмотрение постулатов, на которых они основаны, безусловно принесет большую пользу в подготовке учащихся для правильного восприятия «указаний» на существование геометрии Лобачевского, которая построена на отрицании 5 постулата. Дело в том, что каждое такое доказательство, в конце концов, основывалось на каком-нибудь «очевидном» свойстве пространства, а это свойство на самом деле оказывалось само утверждением, равносильным постулату Евклида. Таким образом, все эти доказательства содержат «порочный круг».

Если же из какого-либо свойства пространства вытекает постулат Евклида и, наоборот, это свойство является следствием постулата Евклида, то ясно, что пространство, не удовлетворяющее этому постулату, должно обладать как раз противоположными свойствами.

Это вытекает из того известного положения, полностью применимого к утверждениям школьной геометрии, что если справедливы теоремы— прямая и обратная ей, то должны быть справедливы и противоположные им теоремы, чем мы и будем пользоваться в дальнейшем.

2) Показать особую роль аксиомы параллельных в построении курса геометрии. Иначе говоря, добиться такого положения, чтобы каждый ученик X класса после небольшого анализа того или иного геометрического положения мог установить зависимость или независимость его справедливости от 5 постулата.

3) Из неевклидовых геометрий ограничиться указаниями только на геометрию Лобачевского, с некоторыми элементами которой можно познакомить учащихся IX и X классов на математических кружках.

Изложим наши соображения о том, как практически построить работу учителя геометрии по подготовке учащихся к правильному пониманию его «указаний» о существовании неевклидовой геометрии, созданной великим русским ученым Н. И. Лобачевским.

VI класс

1. После изучения программной темы «Аксиома параллельных и ее следствия» и, следовательно, ознакомления учащихся с формулировкой 5 постулата Евклида* следует рассмотреть на уроке, посвященном решению задач, задачу на доказательство эквивалентности формулировок аксиомы параллельных, данных Евклидом и Плейфером. Доказательство изложено в книге Н. М. Бескина, Методика геометрии, стр. 115.

2. Полезно показать, что 5 постулат Евклида равносилен утверждению: перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой всегда пересекаются. Для доказательства следует использовать теорему о том, что во всяком треугольнике сумма двух каких-либо внутренних углов меньше 2d.

3. Изучая программную тему «Теорема о сумме углов треугольника», необходимо провести с учащимися разбор доказательства этой теоремы, указав на то, что мы при доказательстве пользуемся обратной теоремой параллельности. А эта последняя, как известно, доказывается на основании аксиомы о параллельных прямых, следовательно, справедливость теоремы «Сумма углов треугольника равна двум прямым» вытекает из справедливости 5 постулата Евклида.

Полезно предложить учащимся самим сформулировать установленную нами зависимость в силлогистической форме: «Если. .., то... », а именно:

Если справедлив постулат Евклида, то сумма внутренних углов во всяком треугольнике равна 2d (прямая теорема).

Естественно, возникает вопрос о справедливости и обратной теоремы:

Если сумма углов треугольника равна 2d, то постулат Евклида справедлив, т. е. сумма внутренних односторонних углов, полученных от пересечения двух не встречающихся линий третьей, равна 2d.

Обратная теорема также справедлива, но доказать ее мы сможем в VIII классе, так как для этого потребуется знание еще одной аксиомы — аксиомы Архимеда.

Таким образом, верна прямая теорема и обратная ей, следовательно, должны быть справедливы и противоположные им теоремы:

а) Если постулат Евклида не верен, то сумма углов в треугольнике не равна 2 d.

б) Если сумма углов в треугольнике не равна 2d, то постулат Евклида не имеет места.

Поэтому предложение «сумма углов в тре-

* А. Киселев, Геометрия, стр. 42.

угольнике равна 2d» равносильно постулату Евклида.

Дальнейшим следствием этого положения является предложение «сумма углов в четырехугольнике равна 4d», которое также равносильно постулату Евклида.

При рассмотрении противоположных теорем учитель имеет возможность выполнить требование программы и «указать» на геометрию Лобачевского.

4. Рассматривая обратные теоремы параллельности прямых, в частности о том, что перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой пересекаются, нужно прямо подчеркнуть, что этот признак является непосредственным следствием из аксиомы параллельных и показать это.

5. Одним из следствий из аксиомы параллельных является транзитивность параллельности прямых*. Здесь хорошо было бы рассмотреть доказательство первой из обратных теорем — признаков параллельности двух прямых, используя транзитивность, и показать его эквивалентность аксиоме параллельных. Здесь необходимо упомянуть М. В. Остроградского, который в своем «Руководстве начальной геометрии» принял в качестве аксиомы параллельных транзитивность параллельности.

6. Особенный интерес вызывает у учащихся рассмотрение попытки Тибо доказать независимость утверждения «сумма углов треугольника равна 2d» от аксиомы параллельных (или 5 постулата). Доказательство изложено у H. М. Бескина в «Методике геометрии», стр. 122, или у А. Киселева в «Геометрии для педучилищ», стр. 267.

VII класс

1. После изучения теоремы о свойствах сторон и углов параллелограма в стабильном учебнике помещено такое следствие: параллельные прямые везде одинаково удалены одна от другой**.

Здесь уместно рассмотреть попытку Прокла (410—485) доказать постулат Евклида, который принимает за «очевидное» такое предложение: расстояние между параллельными прямыми AB и CD конечно*** (черт. 1).

В самом деле, без постулата Евклида доказывается теорема: «если сумма внутренних односторонних углов ACD и CAB равна 2d, то прямые AB и CD не пересекутся»****.

Чтобы доказать постулат Евклида, достаточно показать, что всякая прямая АЕ, проведенная внутри угла CAB, пересечет прямую CD. Но АЕ должна пересечь CD, так как стороны угла ВАЕ расходятся до бесконечности, а расстояние между AB и CD конечно.

Таким образом, из геометрии Евклида мы знаем, что расстояние между двумя параллельными линиями везде одинаково и потому конечно.

Следовательно, если существует плоскость, где постулат Евклида не имеет места, т. е. неевклидова плоскость, то расстояние между двумя непересекающимися линиями, при их продолжении в одну и ту же сторону, вообще может быть сделано сколько угодно большим. Последнее и имеет место в плоскости Лобачевского.

Теперь в VII классе следует познакомить учащихся с жизнью и деятельностью великого русского математика Н. И. Лобачевского путем организации вечера, посвященного дню его рождения, 20 ноября 1792 г.

2. На математическом кружке учеников седьмых классов интересно было бы рассмотреть попытку Нассир-Эддина (1201—1274)**** доказать 5 постулат; он основывает свое доказательство на таком «очевидном» свойстве перпендикуляра и наклонной: перпендикуляр и наклонная к данной прямой сближаются в одном направлении и расходятся до бесконечности в другом.

Доказательство Нассир-Эддина изложено в книге В. Ф. Кагана, Основания геометрии, т. I (Гостехиздат, 1949).

Можно доказательство Нассир-Эддина опустить, указав на то, что из его допущения

Черт. 1

* А. Киселев, Геометрия, стр. 41.

** Там же, стр. 49.

*** См. доказательство: В. И. Костин, Основания геометрии, Учпедгиз, 1946.

**** Там же, стр. 39.

***** Азербайджанский математик.

непосредственно вытекает положение, равносильное постулату Евклида, а именно, что сумма углов в четырехугольнике равна 4d (черт. 2).

Действительно, восставим к прямой AB с одной ее стороны два равных перпендикуляра ВС и AD и соединим их концы С и D. В полученном четырехугольнике углы ADC и BCD должны быть равны. Но, кроме того, они должны быть и прямые. В самом деле, если бы они были острые, то AD и ВС не могли быть равны в силу допущения Нассир-Эддина. Отсюда заключаем, что если постулат Евклида несправедлив, то перпендикуляр и наклонная могут иногда сближаться до известного предела, а потом снова расходиться. На нашем чертеже 2 видно, что если равные углы С и D — острые, то прямые AB и CD сближаются до середины И отрезка DC, а затем расходятся. Последнее имеет место в плоскости Лобачевского.

3. После изучения программной темы: теоремы «через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и при том только одну», следует познакомить учащихся с доказательством 5 постулата Фаркашем Больяи (1775—1856), который основывал свое доказательство на таком утверждении: через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность. Доказательство изложено у Б. В. Кутузова, Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии, Учпедгиз, 1950, стр. 26.

Легко убедиться и в том, что это положение равносильно постулату Евклида в форме: перпендикуляр и наклонная пересекаются.

После рассмотрения доказательства Больяи нужно сделать выводы с тем, чтобы указать на еще одно положение геометрии Лобачевского, хотя бы в такой форме:

Итак, справедливы следующие предложения:

1. Если через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность, то перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой всегда пересекаются, т. е. постулат Евклида справедлив.

2. Обратно, на плоскости Евклида через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность. Но если справедливы предложения прямое и обратное ему, то должны быть справедливы и противоположные предложения:

Если постулат Евклида несправедлив, то не через всякие три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и наоборот.

Из этого положения непосредственно вытекает важное следствие, которое можно иллюстрировать на чертеже 3. Возьмем прямую ВС и построим окружность, касающуюся ВС в точке А.

Центр этой окружности будет лежать на перпендикуляре AÄ', восставленном к ВС из точки А. Если теперь увеличивать неограниченно радиус окружности, удаляя ее центр по перпендикуляру ААГ в бесконечность, то окружность, приближаясь к касательной ВС, не сольется с ней, как это имеет место в геометрии Евклида. Иначе говоря, можно выбрать точки Е и F, симметричные относительно прямой АА\ настолько близко к ВС, что окружность через эти точки не пройдет. Другими словами, пределом окружности, радиус которой неограниченно увеличивается, будет не прямая, а кривая, которая называется «предельным кругом» или орициклом («орос»—по-гречески предел). Последнее имеет место в плоскости Лобачевского.

VIII класс

1. После изучения раздела «Общая мера двух отрезков прямой» полезно рассмотреть эквивалентность 5 постулата и теоремы о сумме углов треугольника в качестве примера на применение аксиомы Архимеда. Доказательство изложено в книге Н. М. Бескина «Методика геометрии», стр. 120.

Черт. 2

Черт. 3

2. После изучения раздела 2—3: «Подобие треугольников и многоугольников» — следует рассмотреть попытку доказать постулат Евклида, данную Д. Валлисом (1616—1703), который принял за очевидное, что: «для каждой фигуры можно построить подобную ей фигуру произвольной величины». Доказательство изложено в книге В. И. Костина «Основания геометрии», Учпедгиз, 1946, стр. 29.

После доказательства делаем резюме.

Итак, справедлива следующая прямая теорема: если для каждой фигуры можно построить подобную ей фигуру любой величины, то постулат Евклида справедлив. Но из геометрии А. Киселева мы знаем, что справедлива обратная теорема:

Если верен постулат Евклида, то для каждой фигуры можно построить подобную ей фигуру любой величины.

А раз справедливы теоремы — прямая и обратная ей, то должны быть справедливы и противоположные им теоремы, следовательно:

Если подобных фигур не существует, то постулат Евклида несправедлив.

Можно доказать что: если постулат Евклида несправедлив, то подобных фигур быть не может.

3. На уроках, выделенных для решения задач (или на математическом кружке для учеников VIII класса), весьма полезно рассмотреть «доказательства» постулата Евклида, данные Лежандром (1752—1833). Мы уже видели, что теорема «сумма углов в треугольнике равна 2d» равносильна постулату Евклида.

Отрицая постулат Евклида, мы тем самым утверждаем, что сумма углов в треугольнике не равна 2d; возможны два предположения:

1) Сумма внутренных углов в треугольнике больше 2d.

2) Сумма внутренних углов в треугольнике меньше 2d.

Лежандр чрезвычайно остроумно и просто доказал, что первая гипотеза неверна. Затем Лежандр доказал такие теоремы: «Если сумма внутренних углов равна 2d или меньше 2d в каком-нибудь одном треугольнике, то эта сумма будет соответственно равна 2d или меньше 2d и во всяком другом треугольнике».

Доказательства всех этих положений доступно и хорошо изложены в книге Б. В. Кутузова «Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии», Учпедгиз, 1950.

Заметим, что рассмотрение доказательств Лежандра принесет учащимся пользу и в отношении практического применения аксиомы Архимеда, а для учителя, если для этого будут подходящие условия, будет возможность указать на существование еще неевклидовой геометрии — неархимедовой.

Анализируя доказательства постулата Евклида, данные Лежандром, можно видеть, что если в каком-либо треугольнике сумма внутренних углов меньше 2d, то сумма внутренних углов треугольника уменьшается по мере того, как возрастает его площадь.

Если мы приставим друг к другу равными катетами два одинаковые прямоугольные треугольника с суммою углов 2d — а в каждом из них, то получим треугольник, сумма углов которого равна 2d — 2 а, a площадь — вдвое больше площади каждого из этих треугольников. Таким образом, с возрастанием площади треугольника вдвое и «недостаток» суммы его углов до 2d увеличился вдвое (2 а вместо а). Это наводит на мысль, что площадь треугольника пропорциональна «недостатку» суммы его внутренних углов (если постулат Евклида несправедлив); последнее и имеет место в геометрии Лобачевского.

IX класс

1. После изучения программной темы «Построение правильных вписанных и описанных многоугольников» следует доказать равносильность постулата Евклида и такого положения:

Сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу (доказательство см. в уже упоминавшейся книге Б. В. Кутузова, стр. 28).

2. В IX классе после изучения числовых последовательностей можно рассмотреть попытку доказать постулат Евклида, данную Л. Бертраном, которая связана с понятием бесконечной последовательности полос. Доказательство изложено в книге Н. М. Бескина «Методика геометрии», Учпедгиз, 1947.

3. Теперь мы считаем, что имеется возможность рассмотреть на математическом кружке учеников IX и X классов приложение к стабильному учебнику геометрии «Об аксиомах геометрии» и познакомить их с некоторыми понятиями геометрии Лобачевского. К таким понятиям можно отнести следующие:

1) Исходное положение Лобачевского при рассмотрении аксиомы параллельных.

2) Угол параллельности.

3) Монотонность угла параллельности.

4) Модели реализации геометрии Лобачевского.

5) В геометрии Лобачевского сумма углов в треугольнике меньше 2d.

Напомним читателю, что в данной статье мы решали вопрос только о том, как практически

построить работу учителя геометрии по подготовке учащихся к правильному пониманию его «указаний» о существовании неевклидовой геометрии Лобачевского. Естественно, что мы не могли остановиться на не менее важном методическом вопросе: как ознакомить учащихся с перечисленными выше фактами геометрии Лобачевского? Большие трудности происходят здесь от того, что свойства пространства Лобачевского прямо противоположны наиболее «очевидным» свойствам пространства Евклида. А так как мы учим учащихся связывать выводы школьной геометрии только с теми представлениями о точках, прямых и плоскостях, какие даны Евклидом в его определениях, то рассмотрение с учащимися моделей реализации геометрии Лобачевского кажется им вначале просто математическими фокусами. Отсюда причины возникновения недоуменных вопросов учащихся о том, какая же из геометрий описывает свойства реального пространства.

Все эти вопросы требуют методически правильного решения и, следовательно, могут быть предметом отдельной статьи.

Выводы

Решая весьма сложный методический вопрос, поставленный перед учителем программой, об указании на существование неевклидовых геометрий, мы далеки от мысли, что изложенные нами пути являются единственными или что они не имеют недостатков,—далеко нет. Но мы считаем, что:

1) указать на существование неевклидовых геометрий, как того требует программа по математике для средней школы, ограничиваясь рамками VI класса, нельзя;

2) при любом решении этого вопроса нужно исходить из геометрических положений, рассматриваемых в школьной программе по геометрии, проводя в каждом отдельном случае необходимую подготовку учащихся с тем, чтобы не стать на путь упрощения или, еще хуже, вульгаризации идей неевклидовых геометрий, в частности геометрии Лобачевского.

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ

Б. Э. МИРАУ (Алма-Атинская обл., с. Узун-Агач)

В журнале «Математика в школе» № 4 за 1951 г, помещена статья М. Н. Голайдо «Математический кружок в семилетней школе». В этой статье автор приводит пример арифметического фокуса: «Задумайте каждый какое-либо трехзначное число, но такое, чтобы цифра сотен не равнялась цифре единиц. Напишите обращенное для него число, т. е. число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке, и найдите разность этих чисел (от большего отнимите меньшее). Напишите опять обращенное число для этой разности и сложите последние два числа. Я берусь угадать, сколько у вас получится».

Далее автор утверждает, что всегда (курсив мой.— Б. М.) получается одно и то же число 1089.

Но это утверждение неверно для всех трехзначных чисел, у которых цифра сотен на единицу больше или на единицу меньше цифры единиц. Действительно, пусть abc — произвольное трехзначное число, где аф с, обращенное сЬа. Найдем их разность:

I. д>с, тогда 100 а+ 10 & + с — (100 с+ 10 b А-+Д)=100 д + Ю Ь + с- 100с — 106 — а = 99а — —99 с = 99 (а — с) при д— с = 1 или fl = c+l эта разность равна 99, а число обращенное тоже 99, а сумма последних двух чисел:

99 + 99= 198, т. е. вовсе не 1089.

II. я<с; тогда:

100 с + 10 b + а — (100 а + 10 b + с) = 100 с + 10 Ь + а— 100 д — 10 6- с = 99с — 99 а ^ 99(с - а) при с — а = 1 или с = а + 1, эта разность равна опять 99 и в сумме с обращенным числом 99 + 99 = 198.

Нет нужды приводить числовые примеры. Что задача (фокус) допускает такое исключение, было обнаружено учащимися, членами математического кружка VIII — X классов школы, где я работаю учителем.

Автор утверждает, что доказательство этого фокуса он в литературе не встречал. Но в книге «Живая математика» Я. И. Перельмана, изд. 1948 г., на стр. 28 это доказательство есть. К сожалению, там прямо утверждается: «Каковы бы ни были цифры а,Ь,с, в итоге выкладок всегда получается одно и то же число: 1089». Очевидно, следует указать, что цифра сотен не равна цифре единиц, что сделано в статье тов. Голайдо и указать исключительные случаи, когда цифры сотен и единиц составляют разность, равную единице.

ИЗ ОПЫТА

ПЕРВЫЕ УРОКИ ПО АРИФМЕТИКЕ В V КЛАССЕ

С. А. ПОНОМАРЕВ (Москва)

I. ОСОБЕННОСТИ РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ПО АРИФМЕТИКЕ В V КЛАССЕ

Во многих семилетних и средних школах в 1-й четверти можно наблюдать одну и ту же картину: учащиеся V класса, имевшие удовлетворительные и даже хорошие оценки в течение всего четвертого года обучения, получают неудовлетворительные оценки как при устном опросе, так и за контрольные работы. В чем причины этого явления? Одни учителя средней школы считают, что начальная школа не обеспечивает должных знаний учащихся, другие говорят о различных требованиях в средней и в начальной школе и т. д.

Исходя из опыта работы, мы считаем, что существует несколько основных причин, вызывающих это явление.

Вначале остановимся на причинах, зависящих от учителя V класса.

Прежде всего каждый учитель должен хорошо представлять психологию учащегося V класса. Ученик, перешедший из IV класса в V, с первых же дней сознает, что он ученик средней школы, что он является «старшим», «большим» по отношению к своим товарищам из начальной школы. С другой стороны, переход к систематическому изучению наук вызывает у ученика некоторое смущение, в ряде случаев переходящее в растерянность.

Неуспеваемость отдельных учащихся начинается с первых же уроков. Некоторые ученики, привыкнув к одному учителю, не могут сразу понимать учителей V класса, понимать содержание изучаемого материала по книге. Если учитель не проявит должной чуткости и внимательности к отдельным ученикам, не окажет им помощи, то неуспевающие тотчас появятся в классе.

Индивидуальный подход к учащемуся, являющийся существенным дидактическим требованием успешного обучения, приобретает особое значение на первых уроках в V классе. Работая с классом, как с коллективом, учитель должен в то же время наблюдать за каждым отдельным учеником, должен изучать индивидуальные особенности каждого ученика.

Учитель должен помнить, что вначале у учащихся V класса быстро наступает утомляемость. Быстрой утомляемости способствует и то, что в результате неудачной организации урока в классе бывает шум, а иногда у детей недостаточно возбужден интерес к рассматриваемому вопросу. Особое внимание учитель должен уделять установлению учебной дисциплины. Если учитель поторопится и, не установив должной дисциплины, не подготовив учеников к проведению урока (например, некоторые ученики еще не приготовили на столе учебные принадлежности и т. д.), не привлекши внимания всего класса, начинает изложение, то его станут слушать (а следовательно, и понимать) далеко не все ученики. Не включившиеся в работу, не услышав начала объяснения, нервничают, начинают вести себя беспокойно, отвлекают других учеников и способствуют их утомляемости.

Следовательно, условия работы ученика в V

классе резко отличаются от условий его работы в начальной школе, а поэтому учитель должен проявить особую чуткость и внимательность к каждому ученику класса и помочь ему в первые же недели учебы быстрее ознакомиться с новыми для него условиями.

Успеваемость учеников V класса зависит и от отношения учителя к проведению первых уроков арифметики. Каждый учитель, V класса должен понимать, что от его поведения, от его изложения материала, от его требований зависит отношение ученика к предмету в последующие годы. Если ученики будут слушать скучное, путаное изложение учителя на первых уроках арифметики, если при всем своем желании они не смогут заинтересоваться изложением учителя, то у них создается предубеждение в отношении доступности математики, т. е. создаются благоприятные условия для появления неуспеваемости. Поэтому, тщательная подготовка к каждому уроку, продуманность методических приемов, подбор такого практического материала, который смог бы заинтересовать учеников, играют особую роль в работе учителя V класса и особенно это важно для первых уроков арифметики.

Учитывая, что учитель впервые встречается с учениками и не знает индивидуальных особенностей отдельных учащихся, что они в начальной школе привыкли к приему ведения урока в вопросо-ответной форме, он при прохождении раздела «Повторение пройденного в начальной школе» должен основным методом проведения уроков принять форму активной беседы.

Учитель предлагает учащимся целый ряд соответственно подобранных задач и примеров и далее, в процессе решения или по окончании решения их, ставит вопросы, последовательно связанные между собой, помогающие обобщению каких-либо признаков, например свойства суммы, умножения и т. д., или закреплению пройденного ранее материала. Но иногда, на первых уроках, учитель должен применять и 10 — 15-минутный рассказ. Так, например, повторив устную и письменную нумерацию многозначных чисел, учитель в виде 10—15-минутной лекции рассказывает исторические сведения о числе и счете.

Учитель должен избегать таких вопросов, в которых ответы учащихся сводятся к произношению слов «да», «нет», «верно» и «неверно».

Известно, что одним из основных принципов дидактики является принцип наглядности. Принцип наглядности означает требование, чтобы знания учащихся базировались на живом и непосредственном восприятии ими самими изучаемых явлений. При повторении арифметики в V классе могут быть использованы те же наглядные пособия, которые использовались в начальной школе, а именно: арифметический ящик, разрядная сетка, абак, русские счеты и, кроме того, изданные Учпедгизом таблицы действий над числами.

Применение на уроках арифметики принципа наглядности возбуждает интерес учащихся и помогает глубокому уяснению изучаемого вопроса.

Учитель должен помнить, что:

1) в первом классе ученик изучает весь систематический курс арифметики в классной обстановке; дома он только закрепляет пройденное;

2) основной формой организации учебной работы в нашей школе является урок, а потому тщательная подготовка к уроку и умелое его проведение являются залогом прочного усвоения арифметики.

При подготовке к уроку учитель должен учесть следующие недостатки, которые иногда можно наблюдать даже у опытных учителей:

а) неуменье сразу захватить внимание учеников всего класса и установить надлежащую дисциплину;

б) непродуманная и неправильная организация опроса учащихся, неумелая постановка вопросов, перебивание ответов учеников, оставление без исправления неверных ответов учащихся;

в) дидактические ошибки в процессе сообщения нового материала: скучное изложение, неумелое использование наглядных пособий, сообщение нового материала без воспроизведения в памяти имеющихся у учеников представлений, необходимых для усвоения новых положений; каждому учителю V класса надо помнить, что переход от незнания к знанию может произойти только в результате активной познавательной деятельности учащегося;

г) неумелое задание урока для домашней работы: урок на дом дается после звонка, отсутствуют указания, как выполнять данный урок; этот недостаток резко усиливается тем, что ученики впервые начинают изучать систематический курс арифметики по далеко не легкому для восприятия учебнику арифметики Киселева.

Нельзя примириться с таким положением, при котором работа школьника сводится к заучиванию ряда правил без сознательного их обоснования, и тем самым нарушается единство теории и практики. Естественно, что изложение систематического курса должно вестись так, чтобы у учащихся воспитывался взгляд, что абстрактные понятия, с которыми они встречаются в арифметике, являются отражением действитель-

ности и их изучение вызвано потребностями общества и что получаемые в школе знания служат человеку оружием для познания и покорения природы.

Кроме рассмотренных причин, устранение которых зависит от учителя, имеются и другие, не зависящие от учителя V класса.

Одной из причин недостаточной подготовки учащихся по арифметике является то, что в IV классе один учитель ведет преподавание всех учебных дисциплин, не являясь специалистом по математике.

Другой причиной, способствующей искажению истинной картины подготовки учащихся IV класса, является расхождение в нормах оценок контрольных работ в IV и в V классах. Нормы оценок, принятые в начальной школе, утверждают, что за две грубые ошибки контрольная работа подлежит оценке баллом 3, а при первой же контрольной работе в V классе эта же работа будет оценена баллом 2. Но и в этом случае учитель должен найти постепенный переход от ранее применявшихся норм оценок к новым.

Одним из мероприятий, способствующих предупреждению неуспеваемости в V классе, является повседневная связь учителей пятых классов с работой учителей четвертых классов. Это мероприятие проводится в ряде школ, например: с 1949 г. учителя математики средней школы № 352 г. Москвы посещают в течение года уроки учителей четвертых классов, анализируют их, указывают учителям начальной школы особенности требований в средней школе и проводят совместные методические совещания.

II. ПРОХОЖДЕНИЕ РАЗДЕЛА «ПОВТОРЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ»

Рассмотрев кратко основные причины, вызывающие неуспеваемость учащихся V класса, остановимся на прохождении первой темы курса арифметики «Повторение пройденного в начальной школе» и попытаемся, на основании обобщения опыта ряда учителей, наметить примерные планы уроков по наиболее важным вопросам первой темы курса арифметики V класса.

Программой средней школы по математике так определяется задача раздела по повторению пройденного в начальной школе: «При повторении и систематизации арифметики целых чисел учащиеся должны достигнуть отчетливого и сознательного овладения соответствующей терминологией и умением обосновывать свои выводы, например, связно объяснить выполнение действий со ссылкой на определения и установленные свойства действий». Прежде всего учитель V класса при составлении плана работы ставит перед собой вопросы:

Что же повторять из пройденного в начальной школе? Нужно ли повторять пройденные в начальной школе понятия об обыкновенных дробях, о процентах? Решать ли все типовые задачи, проходимые в начальной школе, или остановиться на рассмотрении некоторых типов?

Программа по математике отвечает, что повторять и углублять надо только арифметику целых чисел, а что касается решения задач, то определение числа типов задач оставляется на усмотрение учителя.

При повторении пройденного в начальной школе мы рекомендуем исходить из следующих положений.

Учащиеся начальной школы умеют писать заданные числа и читать их, но основные идеи десятичной нумерации, как устной, так и письменной, некоторыми (если не большинством) из них не осознаны, а поэтому основными вопросами при повторении нумерации должны явиться: понятие целого числа, процесс счета, натуральный ряд чисел, основная идея десятичной нумерации, сущность устной нумерации, письменная нумерация, позиционный принцип нашей нумерации. Здесь же полезно познакомить учащихся и с другими способами записей чисел: словами (что в некоторых случаях употребляется и ныне, например, при записи сумм денег), картинками (иероглифы), буквами алфавита (в древнеславянской нумерации), римскими цифрами.

При повторении вопросов о действиях над целыми числами учитель, кроме безупречного выполнения четырех действий над многозначными числами, должен добиться того, чтобы каждый учащийся представлял себе смысл каждого действия, знал свойства действий, умел обосновать правила сложения, вычитания и умножения, знал особые случаи при действиях с нулем и единицей, знал изменение результатов действий при изменении компонентов, умел проверять результат действия.

При прохождении действий над многозначными числами учитель ежедневно должен уделять 5 — 7 минут устному счету. Устному счету начальная школа уделяет много внимания, но в средней школе некоторые учителя математики недооценивают его значения, ученики не тренируются, и в старших классах нередко можно видеть, как ученик умножает двузначное или трехзначное число на однозначное в письменной форме. Программа средней школы, учитывая большое воспитывающее значение устного счета, требует его повседневного применения.

Устный счет способствует преодолению формализма в знаниях, ибо устные вычисления не ведутся по строго установленным правилам, как действия в письменном виде,

а каждый раз используется особенность данного случая. Но надо помнить, что устный счет требует большого напряжения от учащихся, и поэтому учитель должен обладать чувством меры.

Уменью решать задачи наша школа отводит исключительное внимание. Учителю V класса, впервые встречающемуся с учениками своего класса, надо хорошо представлять, что и как ученики проходили ранее, в начальной школе. Если учитель не имел связи с начальной школой, не посещал уроков в IV классе, то оценке знаний учеников в некоторой мере поможет знакомство с принятым в IV классе задачником по арифметике. Конечно, все задачи «нетиповые» на четыре действия учитель повторяет при прохождении теории того или другого действия.

Опыт работы в V классе показывает целесообразность повторения при прохождении первой темы, кроме задач на четыре действия, из так называемых «типовых» только двух типов задач—задачи на нахождение двух чисел: 1) по их сумме и разности и 2) по их отношению и сумме или разности.

При решении задач должна соблюдаться последовательность, а потому учителю необходимо тщательно изучить задачник и систематизировать задачи.

Надо всячески поощрять решение задач несколькими способами. Требование учителя к учащимся о решении задач несколькими способами (конечно, там, где это возможно) бесспорно повышает и квалификацию самого учителя, обязывая его анализировать домашние задания.

В объяснительной записке подчеркивается, что «Особо рекомендуется решать задачи, в которых находят отражение вопросы социалистического хозяйства».

Учитывая, что в принятом в средней школе задачнике по арифметике недостаточно задач, отражающих нашу советскую действительность, рекомендуется учителю самому составлять для классной работы задачи, беря данные из окружающей жизни, данные о стройках коммунизма, данные о преобразовании природы.

Рекомендуемое ниже в этой статье расположение материала, его дозировка являются лишь примерными; в зависимости от своего опыта учитель может использовать в работе или планы приводимых уроков, или только планы тех уроков, которые удовлетворяют его.

Для одних классов один и тот же план урока окажется перегруженным, а для других — недостаточно загруженным. Учитель сам, в зависимости от условий работы, или сокращает планы уроков, или увеличивает загруженность урока.

Предполагается, что учитель должен составить свой план урока, в котором будут учтены особенности класса и уделено внимание методике опроса (этого нет в прилагаемых планах), а также будет конкретизирована методика изложения.

III. ПЛАНЫ ОТДЕЛЬНЫХ УРОКОВ ПО РАЗДЕЛУ «ПОВТОРЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ»

1. Нумерация...............2 часа

2. Сложение................1 час

3. Вычитание...............1 час

4. Зависимость между данными и результатами сложения и вычитания.......1 час

5. Изменение результатов сложения и вычитания при изменении компонентов .... 1 час

6. Умножение...............2 часа

7. Деление................3 часа

8. Зависимость между данными и результатами умножения и деления.......1

9. Изменение результатов умножения и деления при изменении компонентов.....1 час

10. Контрольная работа...........1 час

11. Порядок действий............1 час

12. Приемы устного счета (обобщение) ... 1 час

13. Решение задач геометрического содержания .................. 2 часа

14. Итоговые занятия по всей теме.....2 часа

15. Контрольная работа...........1 час

Решение задач, в том числе и типовых, проводится систематически, начиная с первых уроков.

Некоторые учителя изложение этой темы проводят двумя концентрами: вначале, на первых 4 — 5 уроках повторяют в том же объеме, что пройдено в IV классе, проводят контрольную работу и только после этого приступают к изучению систематического курса арифметики.

Полагаем, что рекомендуемая нами последовательность прохождения более удовлетворяет задаче изучения систематического курса арифметики.

Примечание. Задачи, указанные в планах номерами, взяты из задачника по арифметике Е. С. Березанской, а теоретический материал, указываемый параграфами, взят из учебника А. П. Киселева «Арифметика».

Рекомендуем следующую последовательность и дозировку во времени при изложении данной темы:

1-й урок. Содержание урока: знакомство с учениками класса. Нумерация чисел.

В первые 15 — 20 минут проводится беседа с учащимися о задачах нового учебного года, об учебной дисциплине, которую они должны выполнять, о ведении тетрадей (3 тетради—для домашней, для классной и для контрольных работ). Так как учащиеся впервые будут учить теорию арифметики по учебнику Киселева, учитель должен рассказать, как работать с учебником. Ученики должны понять, что

проработать материал по учебнику, значит понять все то, о чем написано в указанном параграфе, знать наизусть данные в нем определения, уметь изложить обоснование правила или свойства и, наконец, уметь применять правила к решению задач. Полезно уже на первом уроке, например на тексте § 2 (натуральный ряд), показать, как ученики должны читать, что дословно запоминать и что уметь излагать своими словами.

В оставшиеся 25 — 30 минут надо изложить понятие о счете, о натуральном числе, об устной нумерации, а также решить некоторые задачи, позволяющие проверить конкретные представления учащихся о больших числах: миллионе и миллиарде. На первом же уроке учителю придется пояснить идентичность слов: собрание единиц, совокупность единиц и множество.

Необходимо подчеркнуть, что натуральным числом называется каждое из целых чисел: один, два, три, четыре и т. д., а все натуральные числа, взятые по порядку, составляют натуральный ряд. Ученики, составляя натуральный ряд, впервые знакомятся с понятием «бесконечность» (натуральный ряд бесконечен).

Надо выяснить с учащимися основные свойства ряда натуральных чисел: 1) он имеет начало (единица); 2) он не имеет конца (натуральный ряд бесконечен); 3) в нем можно найти сколь угодно большое число (если продолжать ряд); 4) в нем нет никаких двух равных чисел. Возможна и графическая иллюстрация натурального ряда с помощью точек числовой оси.

Вспомнив названия чисел и их запись, необходимо познакомить учащихся с конкретным представлением о величине миллиона и миллиарда, решив следующие задачи:

1) Может ли человек прожить миллион часов? Миллион минут?

2) Сколько лет составит миллиард секунд?

3) Сколько времени потребуется для написания миллиона букв, если в 1 минуту писать 100 букв?

При решении этих задач надо вначале предложить учащимся ответить на эти вопросы без предварительных вычислений. Расхождение между оценкой «на глаз» и полученным результатом вызывает интерес у учащихся и помогает им прочнее и яснее представлять эти величины.

Домашнее задание: из учебника § 1, 2, 3, 6, 7, из задачника № 1—4, 21.

2-й урок. Содержание урока: нумерация чисел (продолжение).

Урок следует начать с проверки выполнения домашней работы. Так как основным в домашнем задании было изучение теории, то надо тщательно ознакомиться с первым самостоятельным изучением учениками теории по учебнику. Опросив несколько человек, надо снова напомнить классу, что значит проработать материал по учебнику и как надо его прорабатывать.

Учитывая, что в учебнике нет достаточного объяснения, почему наша система счисления называется десятичной, учитель должен восполнить этот недостаток. Ученики должны понять, что, ведя счет, мы оперируем десятками (десять единиц, десять десятков, десять сотен и т. д.), а отсюда и вся система счисления называется десятичной. Далее надо поставить вопрос: «Чисел у нас бесконечное множество, а сколько же требуется слов для названия чисел?» Учащиеся убеждаются, что для названия множества чисел практически требуется ограниченное число особых слов. Надо выяснить, сколько особых слов мы употребляем при счете до миллиарда (14 слов). Учащиеся устанавливают, что если для наименования всех разрядных чисел первого класса требуется 11 особых слов, то для наименования всех разрядных чисел каждого нового класса — класса тысяч, класса миллионов и т. д.—требуется введение в каждом классе только одного нового слова.

При повторении письменной десятичной нумерации надо особо остановиться на принципе поместного значения цифр. Учащиеся выясняют, что для написания любого натурального числа требуется всего 10 цифр. Надо отметить, что в математике цифрой называют любой из десяти знаков: от 0 до 9, но в разговорной речи употребляют цифру в смысле числа, например, «контрольная цифра плана». Надо следить за тем, чтобы в будущем учащиеся всегда точно применяли слово «цифра».

Для составления упражнений надо использовать материал великих строек коммунизма и Сталинский план преобразования природы; например, для записи чисел можно предложить такое упражнение:

Каховская гидроэлектростанция будет иметь мощность двести пятьдесят тысяч киловатт и вырабатывать в год около одного миллиарда двухсот миллионов киловатт-часов энергии. Емкость Каховского водохранилища будет равна четырнадцати миллиардам кубических метров.

На уроке непременно надо кратко остановиться на разных способах записи чисел и показать образцы этих записей: словами (при записях сумм денег), рисунками (иероглифами), буквами алфавита (старославянский), римскими цифрами. Надо коротко рассказать о старославянской нумерации, которая употреблялась у нас до XVII в. В ней употреблялось

27 знаков-букв, снабженных для отличия особым знаком («титло») сверху. Указать, что так как она была менее совершенна, чем десятичная система, то она и была вытеснена последней. Это было впервые осуществлено Магницким в его учебнике «Арифметика».

Римская нумерация, иногда применяемая в жизни, имеет для изображения 7 цифр, но отсутствие в ней принципа поместного значения цифр делает записи больших чисел весьма громоздкими. Далее надо остановиться на записи и чтении чисел, изображаемых с помощью римской нумерации.

Домашнее задание: из учебника § 10, 11, 12, 13, 18, из задачника № 11, 23, 45,46.

3-й урок. Содержание урока: сложение. Основные свойства суммы.

После проверки выполнения домашней работы с опросом 2 — 3 учеников у доски следует приступить к изложению нового материала.

В начальной школе учащиеся научились складывать многозначные “числа, а также получили понятие и о переместительном законе (свойстве) суммы. Поэтому, основное внимание на уроке надо уделить вопросу уяснения учащимися законов (свойств) суммы и применения их при практических действиях.

Так как нет точного определения действия сложения, то не следует и требовать это определение от учащихся. Надо подчеркнуть, что действие сложения натуральных чисел всегда выполнимо.

Изучение законов сложения надо строить так: на частных примерах подмечают закономерность и обобщают ее.

Переместительный закон ученики знают еще из начальной школы. Поэтому необходимо только, чтобы ученики знали его точную формулировку, а также научились давать буквенную запись этого закона.

Сочетательный закон надо рассмотреть предварительно на примерах, а затем его сформулировать. Возможность записи его на буквах зависит от подготовки класса.

Эти законы надо использовать для практики в устном счете, например, как проще выполнить: 300 -f 900 +- 700; 900 -f 750 -f 100 и т. п.

Далее надо кратко остановиться на том, как прибавить сумму и как прибавить к сумме. В качестве применения законов сложения разобрать пример на сложение двух многозначных чисел.

В классе следует решить такие примеры: 1. Найти сумму данных чисел, пользуясь переместительным и сочетательным законами:

2. Произвести действие двумя способами:

Кроме примеров, решить задачи: С 1949 г. по 1965 г. будет посажено в СССР:

а) силами колхозов 3 592 500 га лесонасаждений;

б) силами Министерства лесного хозяйства 1 536 500 га лесонасаждений ;

в) совхозами Министерства совхозов СССР 580 000 га лесонасаждений.

Определить всю площадь защитных лесонасаждений в 1949 —1965 гг. (по плану).

2. Александр Сергеевич Пушкин родился 26 мая 1799 г. и жил 37 лет 8 мес. 3 дня. Когда он умер?

Домашнее задание: из учебника § 19—21, из задачника № 52, 53, 59, 60.

4-й урок. Содержание урока: вычитание. Свойства вычитания. Особые случаи сложения и вычитания. Проверка сложения и вычитания.

После проверки выполнения домашней работы и опроса 3—4 учеников по нумерации и сложению приступить к изложению нового материала.

Изложение вычитания надо начать с рассмотрения задач с конкретным содержанием. Определение вычитания следует дать как действия, обратного сложению. Так как в учебнике дано другое определение, плохо усваиваемое учащимися, то следует записать определение в тетрадях: вычитанием называется действие, состоящее в нахождении одного из слагаемых по данным значениям суммы и другого слагаемого.

Далее ученики убеждаются, что действие вычитание не всегда выполнимо и что переместительный закон не имеет места при вычитании.

Свойства вычитания следует рассматривать на конкретных примерах. Например, свойство вычитания суммы можно разобрать, решив следующую задачу: Из 35 учеников за контрольную работу по арифметике оценку 5 получили 8 учеников, оценку 4—10, а остальные оценку 3. Сколько учеников получили оценку 3? (Решить двумя способами.)

Учитель обобщает и формулирует правило.

Указать на примерах применение этих свойств, например:

Необходимо остановиться на особых случаях сложения и вычитания.

Вначале рассмотреть на примере случай появления 0: а — а = 0. Условиться считать 0 целым числом.

Далее рассмотреть случаи:

а +0 = а; 0+а = а; а — 0 = а.

В заключение урока повторить проверку сложения двумя способами и проверку вычитания.

В классе решить примеры и задачи, подобные приводимым:

1. 1451 - (325+ 177 + 251) (двумя способами).

2. 40531— (13087 + 17688 + 8009) (двумя способами).

3. 1862 —(540 —38) (двумя способами).

4. Промышленность СССР ежегодно в среднем увеличивала выпуск продукции: в первой пятилетке на 5500 млн. руб., во второй — на 10 500 млн. руб. и в третьей — на 14 300 млн. руб. На сколько увеличился выпуск продукции за каждую последующую пятилетку по сравнению с предыдущей?

5. Знаменитая русская женщина-математик С. В. Ковалевская родилась 15 января 1850 г. и умерла 10 февраля 1891 г. Сколько времени жила С. В. Ковалевская?

Домашнее задание: из учебника § 29, 33, 34, 35, из задачника № 76, 83, 85, 144, 157.

5-й урок. Содержание урока: зависимость между данными и результатами при сложении и вычитании. Разбор решения типовой задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

После проверки выполнения домашнего задания и опроса 3—4 учеников по ранее пройденному поставить задачу, условие которой выражается формулой х+ а = с, например:

Петя за первый час нашел 8 белых грибов, за второй—еще несколько штук, а всего за два часа он нашел 21 белый гриб. Сколько грибов нашел он за второй час? Условие задачи записывается в виде:

8-+-* = 21; откуда х = 2\— 8.

Ученики, на основании переместительного свойства, легко решат и такую задачу:

X 4-8 = 21,

Из решения этих задач ученики выводят свойство: каждое слагаемое равно разности суммы и другого слагаемого.

Аналогично, из рассмотрения задач, условия которых выражаются х — а = с и а — х = с, учащиеся приходят к выводам:

1) уменьшаемое равно сумме вычитаемого и разности и

2) вычитаемое равно разности уменьшаемого и данной разности.

Эти правила надо записать в тетрадях учащихся. Закрепив полученные выводы несколькими устными и письменными примерами и задачами, перейти к рассмотрению решения типовой задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

Решение задач указанного типа не встречает затруднений у учащихся, так как этот тип они начинают решать еще со II класса начальной школы, но постановка первого вопроса в так называемых задачах «на излишки» встречает затруднения. Учитель должен избегать постановки вопросов, противоречащих жизненному опыту учеников и здравому смыслу, например, 1) при нахождении возраста отца и сына: «Сколько лет будет отцу и сыну вместе, если возраст сына будет равен возрасту отца (или наоборот)?»; 2) при нахождении двух чисел: «Чему равна сумма двух чисел, если большее число будет равно меньшему?» и т. д. Конечно, надо избегать и постановки первого вопроса со словом «поровну».

Разобрав, вначале устно, 2 — 3 задачи, а затем и письменно одну задачу, делая особое ударение на формулировке первого вопроса, указать целесообразность следующего приема: если по условию задачи надо определить большее, то лучше прибавлять «излишек», а если — меньшее, то целесообразнее отнять «излишек».

Домашнее задание: из задачника № 109, 112, 114, 120 (1, 3), 121 (3, 4), 402, 404.

6-й урок. Содержание урока: изменение результатов сложения и вычитания при изменении компонентов.

Эти вопросы дают богатый материал для развития функционального мышления. Функциональное мышление не может быть привито только рассмотрением упражнений на этом уроке. Задачи на зависимость между результатами действий и компонентами надо давать в течение всего года, постепенно усложняя условия.

Надо предложить учащимся задачи, аналогичные задачам № 89 и 90, поставив условие «решить двумя способами», а затем, по рассмотрении, указать наиболее рациональный способ.

Полезно предложить такие примеры:

Найти наиболее простым путем:

1) разность 2505—783, если известно, что 2500 — 790= 1710;

2) сумму 737-[-1256, если известно, что 740+1250= 1990.

В домашнее задание включить также решение задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

7-й урок. Содержание урока: умножение. Законы умножения.

После проверки и опроса 2—3 учеников по ранее пройденному изложение нового материала следует начать с рассмотрения задач конкретного содержания, решение которых приводит к умножению. Рассмотреть два рода задач: 1) когда по смыслу задачи требуется одно число повторить слагаемым несколько раз и 2) когда по смыслу задачи надо найти число в несколько раз большее данного.

После определения умножения надо приступить к ознакомлению с законами умножения: переместительным, сочетательным и распределительным. Эти законы умножения не самоочевидны и должны быть пояснены учащимся наглядными примерами и обобщены в результате рассмотрения частных случаев. При пояснении переместительного закона, кроме приема, указанного в учебнике, можно привести такой пример:

Пионеры построились в две шеренги, по 12 человек в каждой. Сколько всего было пионеров? (Решить двумя способами.)

Ученики скажут, что вычисление можно производить двумя способами: 8X2 или 2 X 8. Далее сказать, что переместительным законом обладает произведение не только двух, но и любого числа сомножителей.

Сочетательный закон можно пояснить, рассмотрев задачу: Шагающий экскаватор за день вынимает и переносит до 5000 куб. м земли. Сколько земли вынет он за 2 месяца, считая 25 рабочих дней в месяце? (Решить двумя способами.)

Ученики с помощью учителя дадут решение двумя способами: 1) (5000 куб. м X 25) X 2 или 2) 5000 куб. м X (25 X 2). Обобщая, учитель говорит, что сочетательный закон справедлив и для любого числа сомножителей.

Распределительный закон можно пояснить следующей задачей: 5 пионеров разделили пойманную рыбу так, что каждому досталось по 6 окуней, по 10 плотичек и по 12 пескарей. Сколько всего рыб они поймали? (Решить двумя способами.)

Ученики легко найдут оба способа решения.

1-й способ: 6.54-10.5+12.5=140 рыб.

2-й способ: (6 +10 + 12). 5 = 140 рыб.

Отсюда, обобщая, получим:

(a+b+c)-e = a-e+b-c+c*e.

Далее, надо показать значение законов умножения для вычислений.

Переместительный закон:

1) для проверки действия умножения;

2) для упрощения и запоминания таблицы умножения, например 5-3 = 3.5;

3) при умножении, например 36-6509 = 6509-36 и т. п.

Сочетательный закон: например, при умножении:

1) 6-200 = 6.(2-100) = (6.2)-100= 1200 или

2) 587.25-4 = 587.100 = 58 700.

Распределительный закон:

1) умножение любого многозначного числа на однозначное, например 532 • 6 = (500 + 30 + 2)-6 = и т. д.;

2) при умножении некоторых двузначных чисел, например 58-60 = (60 — 2)-б0 и т. д.;

3) 560-7 +140-7 = (560+140)-7 = 4900.

Домашнее задание: из учебника § 42,45, 56, 57, 59, из задачника № 168, 406, 412.

8-й урок. Содержание урока: рассмотрение правил умножения натуральных чисел.

При рассмотрении случая умножения многозначного числа на однозначное запись умножения рекомендуется располагать всегда в строку, а не в столбик. Это выполнение требует от учеников расчета места (прикидка) для записи произведения.

Вывод правила умножения многозначного числа на многозначное можно показать на примере:

Особое внимание надо уделить случаям умножения чисел, когда в записи сомножителей имеются нули. Случай, когда нули стоят в середине записи множителя, часто вызывает ошибки, происходящие из-за того, что учащиеся неправильно подписывают частные произведения под соответствующими разрядами. В заключение надо остановиться на рассмотрении особых случаев умножения.

9-й урок. Содержание урока: деление. Задачи, решаемые делением. Свойства деления.

Урок следует начать с вызова трех учеников к доске: двум из них предложить примеры на умножение многозначных чисел, а третьему — решение задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

Изложение нового материала надо начать с решения нескольких устных задач, которые приводят к действию деления (см. учебник § 67).

На разборе одной из задач показать, что деление можно выполнить посредством умножения, сложения и вычитания, и на этом же примере ученики убеждаются в громоздкости выполнения деления этими действиями.

Далее перейти к ознакомлению со свойствами деления. Прежде всего ученики должны твердо понять, что деление в множестве натуральных чисел не всегда выполнимо.

Повторив с учениками формулировки законов умножения, поставить перед ними вопрос, какие из этих законов имеют место для действия деления.

Ученики на примерах покажут, что переместительный закон не имеет места.

Справедливость распределительного закона можно показать, решив задачу, сводящуюся к выполнению действий:

а : с -j- Ь : с = (a + b) : с\

например, предложив такую задачу:

Автомобилю-самосвалу грузоподъемностью 25 т надо перевезти из одного карьера 1000 т песку и из другого 750 т. За сколько рейсов он вывезет этот песок? (Решить двумя способами.)

Можно показать справедливость распределительного закона на примерах:

1) 368:4 = (300 + 60+8):4 = 75 + 15+I 2 — 92;

2) 485:5 = (500—15):5 = Ю0 —3 = 97.

Этот закон можно записать в тетрадях с помощью букв:

(a -j- b) : с = а : с -\~ b :с; (а — Ь):с = а: с — b : с.

Сочетательный закон можно пояснить на примерах:

360.(5-4.3) = (360:5):4:3 = (360:4):5:3.

Домашнее задание: из учебника § 60, 67, 68, из задачника № 257, 260, 414.

10-й и 11-й уроки. Содержание уроков: правило деления натуральных чисел, особые случаи деления, деление с остатком. Проверка умножения и проверка деления. Повторение решения задач на нахождение двух чисел по их сумме и кратному отношению.

Рассмотрение вопроса «деление без остатка» рекомендуем пройти в такой последовательности: 1) деление однозначных чисел; 2) деление двузначных чисел на однозначное при однозначном и двузначном частном; 3) деление многозначных чисел на однозначное; 4) деление многозначного числа на многозначное при однозначном частном; 5) деление многозначных чисел; 6) деление многозначных чисел, когда в записи частного получаются нули в середине.

Деление с остатком рассматривается в следующей последовательности: 1) делимое записывается цифрами с нулями на конце; 2) деление многозначного числа на 10, 100, 1000,...; 3) деление многозначного числа на круглые десятки; 4) общий случай деления с остатком.

Рассмотрение задачи на нахождение двух чисел по их сумме и кратному отношению не представляет затруднений, так как основной вопрос — «предположение» о принятии меньшей части за условную единицу—для психологии учащихся естественно и решению задач на этот тип в начальной школе уделялось много внимания.

12-й и 13-й уроки. Содержание уроков: зависимость между данными и результатом при умножении и делении; изменение произведения и частного в зависимости от изменения данных. Решение задачи на нахождение двух чисел по их разности и кратному отношению.

Изучение изменения произведения в зависимости от изменения компонентов представляет для учеников известные трудности, а поэтому учителю на примерах надо убедиться, что ученики ясно представляют, почему и как произошло изменение произведения.

Примерная последовательность при изучении изменения произведения такова: 1) изменение произведения в зависимости от изменения множителя в несколько раз; 2) от изменения множимого в несколько раз и 3) от изменения обоих сомножителей.

Рассмотрение случая изменения произведения при изменении сомножителя на несколько единиц в силу сложности вопроса обычно опускается.

Полезно закрепление материала проводить с помощью такой таблицы, нарисованной на доске: «Укажите, какие изменения произойдут с первым сомножителем, вторым сомножителем или произведением». (Вместо слов «увеличить в» перед числом стоит знак умножения, вместо слов «уменьшить в» стоит знак деления.)

Изучение изменения частного при изменении делимого и делителя представляет значительные трудности. Это вызывается тем, что изучение изменения частного в множестве натуральных чисел возможно в том случае, когда делимое делится на делитель без остатка. Поэтому в V классе вопрос об изменении частного не может быть рассмотрен в полном объеме. Изложение изменения частного проводится примерно так, как (в смысле методики изложения) и при рассмотрении изменения произведения.

Если учитель будет рассматривать изменение частного при делении с остатком, то на ряде примеров надо показать, что при увеличении делимого в несколько раз частное не обязательно увеличится во столько же раз.

Разбор задачи на нахождение двух чисел по их разности и кратному отношению не представит затруднений для учащихся.

14-й урок. Содержание урока: контрольная работа.

Приводим один из возможных вариантов контрольной работы:

1. Вычислить (786 000:450 —3865:37). 101 — — 475 475:1001.

2. Вычислить 38 650:370 и сделать проверку двумя способами.

3. В двух колхозных амбарах 4980 ц зерна. Если из первого амбара переложить во второй 180 ц, то в первом окажется зерна втрое больше, чем во втором. Сколько зерна было в каждом амбаре?

Контрольную работу надо дать не менее, чем в двух вариантах. Во втором варианте надо дать задачу на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

15-й урок. Содержанием урока являются следующие вопросы:

1) анализ контрольной работы,

2) порядок действий,

3) запись наименований.

Анализ первой контрольной работы должен быть продуман учителем особенно тщательно, так как его проведение оказывает большое влияние и на выполнение последующих контрольных работ.

В дополнение к положениям о порядке действий, изложенным в учебнике (§ 80), следует записать, что в формулах со скобками вначале находят результаты действий над числами, находящимися внутри круглых скобок, затем внутри прямоугольных и, наконец, внутри фигурных. Надо также указать, что в целях уменьшения громоздкости формул иногда применяется горизонтальная черта, которая одновременно служит и знаком деления, и заменой скобок. Порядок действий в формулах надо закрепить рядом подобранных примеров.

Из первой контрольной работы учителю станет ясно, как учащиеся производят запись наименований при решении задач. Напоминаем принятые формы записи наименований:

1. Наименования метрических мер, как, например: грамм, метр, литр, ар, тонна, сокращенно записываются одной буквой: г, м, л, а, m, a килограмм, километр, дециметр, сантиметр, гектар, гектолитр записываются двумя буквами: кг, км, дм, см, га, гл. Что касается других наименований, то здесь нет общеустановленных сокращенных обозначений, но в практике принято сокращенно обозначать наименования не менее, чем двумя буквами.

Часто встречающиеся наименования «рублей», «копеек», «минут», «секунд» сокращенно записываются «руб.», «кои.», «мин.», «сек.»,

2. При выполнении действий сложения и вычитания над именованными числами можно пользоваться одной из двух следующих форм записи:

1-я форма записи. Наименования именованных чисел ставятся при каждом компоненте (компонентами называются числа, над которыми производится действие). Приведем примеры верной и неверной записи решений.

Верная запись: 1) 2 км+3 км = 5 км; 2) 6 руб. 20 коп.—3 руб. 70 коп. = 2 руб. 50 коп.

Неверная запись: 1) 2 км+Ъ = Ъ км; 2) 6 руб. 20 коп.—370 = 2 руб. 50 коп.

2-я форма записи. Наименования именованных чисел ставятся только в результате действий, причем ставятся обязательно в скобках. Например:

Верная запись: 1) 2+3 = 5 (км); 2) 5 — — 4=1 (м).

Неверная запись: 1) 2 —j- 3 = 5 км; 2) 5 — —4=1 м.

3. При выполнении действий умножения и деления:

1-я форма записи. 1)8 дм 5 = 40 дм; 2) 10 км:5 = 2 км.

2-я форма записи. 1) 8-5 = 40 (дм); 2) 10:5 = 2 (км).

16-й урок. Содержание урока: приемы устного счета.

После опроса 3—4 учеников у доски приступить к изложению нового материала — приемов устного счета.

Учащиеся при прохождении действий знакомились с тем или другим приемом, а потому изложение ряда приемов не потребует особого напряжения от учеников.

Считаем, что следующие приемы должны

быть сообщены учащимся (покажем на примерах).

1. Перестановка слагаемых:

2. Прибавление числа к сумме:

3. Прием округления:

4. Вычитание из суммы числа:

5. Вычитание суммы из числа:

6. Округление:

7. Уравнивание единиц в уменьшаемом и вычитаемом:

8. Умножение на 11, 101, 1001:

9. Умножение на 9, 99, 999 и т. д.

10. Умножение на 5:

Этот прием особенно удобен, если множимое кратно 2. Тогда

11. Умножение на 25:

Этот прием особенно удобен, если множимое кратно 4.

Например:

12. Умножение на 15:

13. Округление делимого:

14. Последовательное деление:

Домашнее задание: из задачника решить устно № 127, 169, 220, 366 и письменно № 447.

17-й урок. Содержание урока: решение задач геометрического содержания.

Проверка домашней работы. Содержанием проверки выполнения домашней работы по устному счету должно явиться, главным образом, обоснование приемов счета.

В начальной школе ученики познакомились с простейшими геометрическими фигурами (квадрат, прямоугольник, куб, прямоугольный параллелепипед). В V классе повторение этого материала желательно дополнить рассмотрением разверток куба и параллелепипеда, а также ввести запись буквенных формул для периметров прямоугольника, поверхностей и объемов куба и параллелепипеда.

Желательно решить в классе следующие задачи:

1) Надо сделать грядку шириной в 120 см и площадью в 15 кв. м. Какой длины будет грядка?

2) Два участка: прямоугольной формы, длина которого 25 м, и квадратной, сторона которого 10 м, имеют равные площади и обнесены изгородью. У какого участка изгородь имеет большую длину?

После решения второй задачи некоторые ученики могут подметить, что при данной площади наименьший периметр имеет квадрат. На этом же уроке надо повторить таблицу квадратных мер, а также познакомить учеников со старыми русскими мерами: аршином, саженью и десятиной (2400 кв. саж.).

Домашнее задание: из задачника № 193, 194, 450.

18-й урок. На восемнадцатом уроке повторяются сведения учащихся о кубе и прямоугольном параллелепипеде и решаются задачи на определение величины объема.

19-й и 20-й уроки. Девятнадцатый и двадцатый уроки являются итоговыми занятиями. Основное внимание на этих уроках должно

быть обращено на решение задач и на повторение обоснования свойств действий.

21-й урок. Содержание урока: контрольная работа.

Приводим один из возможных вариантов контрольной работы.

1. Найти х: (JC+ 2958):87 ^ 134

2. Определить объем дождевой воды, выпавшей на поле площадью 1 га, если толщина слоя воды 15 мм.

3. В трех гаражах 175 автомашин. Во втором гараже на 5 машин больше, чем в первом, а в третьем вдвое больше, чем во втором. Сколько машин в каждом гараже?

О ПОСТРОЕНИИ ГРАФИКОВ В VI КЛАССЕ

В. П. ПЕТРОВ (Ленинград)

Тема «Графики» в VI классе естественно увязывается с вычислением длины окружности. Эта связь дает возможность рассматриваемые в теме вопросы расположить по степени нарастающих трудностей.

Начинаем с повторения темы «Вычисление длины окружности». Решаем несколько примеров и задач. Сообщаем, что в науке и технике вместо того, чтобы каждый раз производить вычисления, требующие большой затраты времени, часто пользуются готовыми таблицами, где вычисления произведены заранее. Предлагаем коллективно составить таблицу длин окружностей с диаметром в 1, 2, 3, 4 и т. д. сантиметров. Каждый учащийся вычисляет длину одной окружности. Результаты вычислений заносятся в таблицу на классной доске. Получается таблица приблизительных длин окружностей различных диаметров (таблица 1).

Вычисления производятся при тг^3,14, причем нарушение точности от умножения на целое число пока во внимание не принимаем.

Таблица 1

d см

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

с см

3,14

6,28

9,42

12,56

15,70

18,84

21,98

25,12

28,26

31,40

Обозначения: d— длина диаметра; с — длина окружности.

Таблицу рассматриваем и устанавливаем, что она дает понятие о зависимости между длиной диаметра и длиной окружности: при увеличении длины диаметра длина окружности также увеличивается; при уменьшении длины диаметра и длина окружности уменьшается. Обратно: при окружности большей длины и диаметр имеет большую длину; при окружности меньшей длины и длина диаметра меньше.

При этом каждому определенному значению длины диаметра соответствует только одно значение длины окружности, и обратно: каждому определенному значению длины окружности соответствует только одно значение длины диаметра.

Далее сообщаем, что зависимость между длинами диаметров и соответствующих им окружностей может быть показана наглядно при помощи чертежей.

Вывешиваем чертеж 1, который уже был показан в V классе при изучении темы «Вычисление длины окружности» (если этот чертеж раньше показан не был, его необходимо приготовить и показать в VI классе).

Сначала показываем чертеж так, как он изображен на чертеже 1; даем к нему пояснения. Затем чертеж повертываем и показываем его в виде чертежа 2.

Сообщаем, что этот чертеж может быть назван диаграммой длин окружностей, имеющих диаметры различной длины. Этот чертеж наглядно показывает, как при увеличении длины диаметра увеличивается и длина окружности и т. д.

На диаграмме 2 окружности начерчены отдельно одна от другой, но диаграмму можно

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4 Черт. 5

начертить и так, что концы диаметров окружностей и самые диаметры будут совпадать. Показываем чертеж 3 и даем к нему пояснения.

Затем сообщаем, что на диаграмме самые окружности можно и не чертить, и предлагаем учащимся самим начертить на розданных им листочках миллиметровой бумаги такие диаграммы (за отсутствием миллиметровой бумаги построение можно провести в обыкновенных тетрадях в клетку).

1. Берем точку О и строим луч ОХ.

2. На луче ОХ от точки О откладываем отрезок прямой, равный по длине диаметру первой окружности.

3. В конце полученного отрезка (точку О считаем за его начало) строим к ОХ перпендикуляр и на нем, от его основания вверх, откладываем отрезок прямой, равный по длине первой окружности.

4. Таким же образом поступаем с диаметрами и длинами остальных окружностей. Получаем чертеж 4.

При рассмотрении чертежа 4 устанавливаем, что для суждении об изменении длины окружности в зависимости от изменений длины ее диаметра важно видеть, где находятся верхние концы отрезков, соответствующих длинам окружностей. Поэтому на чертеже можно не чертить самые эти отрезки, а достаточно отметить только их концы Строим новый чертеж 5.

Обращаем внимание учащихся на то, что на чертеже 5 точки расположились, повидимому, по прямой линии. Проверяем это линейкой, а

затем через точки проводим и самую прямую линию (черт. 6).

Ставим вопрос: если на чертеже 6 построить отрезки, равные по длине окружностям, имеющим диаметры иной длины, — не такой, какие были взяты нами, — то будут ли концы отрезков, равных по длине новым окружностям, также лежать на построенной нами прямой MN?

Для решения этого вопроса берем в качестве примера диаметры длиной I1/., см, 21/2 см, 3*/2 см; вычисляем длины соответствующих окружностей; строим на чертеже 6 отрезки прямой, соответственно равные по длине этим окружностям, и убеждаемся, что концы и этих отрезков прямой располагаются на проведенной нами линии MN (черт. 6). Делаем вывод о следующем важном свойстве построенной нами линии MN.

Если взять любую окружность, измерить ее диаметр, вычислить ее длину и отрезок прямой, равный по длине взятой окружности, построить известным нам способом на чертеже б, то верхний конец этого отрезка будет лежать на нашей прямой MN.

Сообщаем название этой прямой MN: «график зависимости между длинами диаметров и соответствующих им окружностей».

Указываем, что график, как и таблица или диаграмма, отражает зависимость между длинами диаметров и соответствующих им окружностей: по графику ясно видно, что при увеличении длины диаметра увеличивается и длина окружности и т. д. (Это свойство графика поясняем на чертеже 6.)

Но, кроме этого, график обладает и другим свойством, а именно: по графику на чертеже 6 можно находить (графически, без вычислений) приблизительную длину любой окружности, если известна длина ее диаметра. Поясняем это на примере. Пусть требуется по графику на чертеже 6 найти приблизительную длину окружности, диаметр которой равен 41/2 см. Поступаем так:

Откладываем на луче ОХ от точки О отрезок прямой, равный по длине диаметру окружности (41/2 см); в правой конечной точке полученного отрезка прямой восставляем к лучу ОХ перпендикуляр. Длина отрезка перпендикуляра от его основания до точки пересечения его с графиком и будет приблизительно равна длине окружности, диаметр которой равен 4х/2 см. Измерив длину этого отрезка перпендикуляра, мы получим приблизительную искомую длину окружности (черт. 7).

Решаем несколько примеров по графикам, начерченным учащимися: найти графически длины окружностей, диаметры которых равны г1%см, 23/4 см, 3J/4 см, Г/4 см и т. д.

Переходим к обратному вопросу: выясняем, что график на чертеже 6 дает возможность решать и обратный вопрос — по заданной длине окружности находить длину ее диаметра.

Сообщаем, что на чертеже 6 через точку О можно построить второй луч OY, перпендикулярный лучу ОХ (черт. 8).

Если из верхних концов отрезков, равных по длине окружностям, опустить перпендикуляры на луч OY, то на этом луче от точки О до оснований опущенных на него перпендикуляров отсекутся отрезки прямой, соответственно равные по длине окружностям (выяснить, почему).

Если же поступить так. на луче OK от точки О отложить отрезок прямой, равный по длине какой-либо окружности, например 5,5 см; в полученном на луче OY конце этого отрезка восставить к лучу OY перпендикуляр, то этот перпендикуляр

Черт. 6 Черт. 7

Черт. 8

Черт. 9

пересечет график в некоторой точке Р, которая будет верхним концом отрезка прямой, перпендикулярного к лучу ОХ и равного по длине данной окружности.

Опустив из точки Р перпендикуляр на луч ОХ, мы можем найти и приблизительную длину диаметра окружности, имеющей длину 5,5 см: искомая длина диаметра будет равна длине отрезка на луче ОХ от точки О до основания построенного перпендикуляра (черт. 9).

Предлагаем учащимся самостоятельно решить по графику несколько подобных примеров, например: найти приблизительную длину диаметров окружностей, длины которых равны 11 см\ 7,7 см; 43/4 см и т. д. Обобщаем проведенную работу. Чтобы построить график зависимости между длинами диаметров и соответствующих им окружностей, нам пришлось сделать следующее:

1. Составить таблицу некоторых значений длин диаметров и соответствующих им окружностей.

2. Взять на чертеже точку О, построить луч ОХ и перпендикулярный к нему луч ОК.

3. На луче ОХ от точки О отложить отрезки прямой, равные по длине диаметрам, указанным в таблице.

4. В концах отложенных отрезков (за начало их считаем точку О) восставить перпендикуляры к лучу ОХ.

5. На полученных перпендикулярах от их оснований отложить вверх отрезки прямой, равные длинам соответствующих диаметрам окружностей.

6. Через верхние концы отрезков, отложенных на перпендикулярах к лучу ОХ, провести прямую линию.

Полученная прямая — график зависимости между длинами диаметров и соответствующих им окружностей.

Зависимость между ними следующая: 1. При изменении длины диаметра длина окружности также изменяется.

2. Каждому определенному значению длины диаметра соответствует одно, и только одно, значение длины окружности.

Построенный график дает возможность графически (без вычислений) решать такие два вопроса:

1. По заданной длине диаметра найти приблизительную длину соответствующей окружности.

2. По заданной длине окружности найти приблизительную длину ее диаметра.

Упражнение. Построить график зависимости между длинами радиусов и соответствующих им окружностей, беря радиусы в */2 см; в 1 см; 1*/2 см; 2 см.

Даем краткие указания и предлагаем выполнить работу самостоятельно.

Переходим к построению графиков, где приходится пользоваться масштабом.

Берем задачу: построить график зависимости между длинами диаметров и соответствующих им окружностей при длинах диаметра в 1 м; 2 м; 3 м; 4 м.

Выясняем, что график может быть построен и в этом случае, только придется прибегнуть к помощи масштаба: примем, например, 1 см за 1 т и будем на чертеже длины диаметров и окружностей откладывать по этому масштабу.

Строим график и проводим упражнения, пользуясь масштабом: а) по заданной длине диаметра определяем приблизительную длину соответствующей окружности; б) по заданной длине окружности находим приблизительную длину ее диаметра.

Рассматриваем новую задачу, где для построения графика приходится пользоваться не только масштабом, но и условными обозначениями.

Задача. Построить график зависимости между временем, затраченным на прохождение пути, и длиной пройденного пути (при одной и той же скорости).

Пусть затраченное время равно t час. (t > 0); скорость 3 км\час; s — пройденный путь. Формула решения задачи: s = 3-t.

Составляем таблицу некоторых значений tus.

t час.

0

I

2

3

4

5 км

0

3

6

9

12

Берем на чертеже точку О, строим взаимно перпендикулярные лучи ОХ и ОК. Указываем, что откладывать на луче ОХ часы нельзя, но можно условиться, что длительности одного

часа на нашем чертеже будет соответствовать некоторый отрезок прямой линии, например в 1/2 СМ; для откладывания километров выбираем масштаб, причем такой же отрезок в 1/2 см можем принять за 1 км.

Строим график, обращаем внимание учащихся на его характер и сообщаем, что он также дает возможность графически решать два вопроса: а) по заданному числу часов определять приблизительно число пройденных километров; б) по заданной длине пути (в километрах) определять приблизительно затраченное число часов.

По графику проводятся соответствующие упражнения.

Далее учащиеся знакомятся с построением графиков перевода одних мер в другие: аршинов в метры (1 арш.^0,71 м), фунтов в килограммы (1 фунт ^ 0,41 кг) и т. д.

При построении этих графиков необходима миллиметровая бумага, так как на тетрадях в клетку мелкие доли масштаба откладывать трудно.

Переходим к построению графиков, не являющихся прямыми линиями и когда в таблицах встречаются не только положительные, но и отрицательные числа.

Пусть 1 марта было произведено наблюдение за изменением температуры воздуха в промежуток времени от 9 до 21 часа, с отметкой температур через каждый час, и в результате наблюдений составлена следующая таблица.

Время (в часах)

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

Температура

-2°

-1,5°

—0,5е

+1°

42°

+5°

-+1,5°

—0,5°

-1°

—2е

-2,5°

—3°

Требуется построить график зависимости между моментами времени и соответствующими этим моментам температурами воздуха за промежуток времени от 9 до 21 часа 1 марта.

Поясняем, что для построения графика мы можем за промежуток времени в 1 час условно принять некоторый отрезок прямой, например в 1 см, и изменение температуры на 1° также обозначать отрезком прямой, причем и здесь можно взять отрезок в 1 см.

Приступаем к построению графика. Указываем, что луч OY можно продолжить вниз за точку О. За начало отсчета часов на луче ОХ принимаем точку О (хотя можно было бы взять и любую точку, например точку О можно бы считать соответствующей 0 часов).

Напоминаем учащимся правило построения на вертикальной числовой оси отрезков прямой, соответствующих положительным и отрицательным числам.

Устанавливаем, что для построения отрезков, соответствующих отрицательным температурам, перпендикуляры придется строить вниз от луча ОХ.

Получаем чертеж 10. Этот чертеж рассматриваем и устанавливаем, что полученные на перпендикулярах к ОХ точки — концы отрезков, отражающих величину температур, — наглядно показывают, как с изменением времени изменялась температура воздуха: до 14 час. она постепенно повышалась, затем начала понижаться.

Если бы измерение температуры воздуха производить не через час, а через более короткие промежутки времени, то за промежуток времени от 9 до 21 часа измерений было бы произведено больше; на нашем чертеже точек, изображающих величину температуры воздуха, получилось бы больше, расположились бы они более близко одна от другой. Все эти точки лежали бы тоже на некоторой линии, но не на прямой. Начертить точно эту линию трудно, но приблизительно ее можно начертить так: соединим на чертеже 10 точки, изображающие температуры воздуха, отрезками прямой. Полученная ломаная линия (черт. 11) называется графиком изменений температуры воздуха за некоторый промежуток времени (9 — 21 час 1 марта), хотя она и не вполне точно, а только приблизительно характеризует изменения температуры воздуха за этот промежуток времени.

Чем меньше промежутки времени, через которые измеряется температура воздуха, тем график будет ближе подходить к точному.

График на чертеже 11 внимательно рассматриваем, разбираем весь ход изменений температуры воздуха: а) в котором часу начато измерение температуры воздуха; б) когда температура воздуха равнялась 0°; в) в течение какого промежутка времени она была положительной, отрицательной; г) когда она была самая низкая, самая высокая.

При этом сообщаем учащимся, что график

изменений температуры воздуха, так же как и другие графики, дает возможность решать два вопроса:

1) для каждого заданного момента времени в промежутке от девятого до двадцать первого часа определять приблизительную температуру воздуха;

2) для каждой заданной температуры в пределах от —3 до +5° находить момент времени, когда приблизительно такую температуру имел воздух (в промежутке времени 9 — 21 час).

На оба вопроса по графику (черт. 11) решаем несколько примеров.

Дальше следуют упражнения на построение графиков зависимости между другими величинами: графики выпуска продукции, роста урожайности, роста успеваемости в школе или классе и т. д.

Для развития у учащихся интереса к построению графиков и для лучшего уяснения их значения особенно полезно данные для построения графиков получать путем собственных наблюдений учащихся и собственной их работы на уроках математики, физики, химии и др.

Упражнения на построение графиков целесообразно связывать с составлением формул, формул решения задач, с нахождением числового значения алгебраических выражений (при составлении таблиц значений величин).

Для большей отчетливости чертежей следует рекомендовать учащимся пользоваться цветными карандашами и миллиметровой бумагой.

При работе с графиками необходимо систематически обращать внимание учащихся на отражаемую графиками зависимость между величинами и упражняться в нахождении значений одной из величин по заданному соответствующему значению другой.

Примерные упражнения:

1. Написать формулу общего вида четного числа. Ответ: у = 2п (п — целое число).

Составить таблицу значений у при некоторых значениях п.

Построить график изменений у в зависимости от изменений п.

2. То же — для нечетного числа. Ответ: у = 2 п+\ (п — целое число).

3. Задача. Один килограмм товара стоит 1,5 руб. Сколько стоят х кг этого товара? (x^iQ). Составить формулу решения задачи, обозначив искомое число через у.

Составить таблицу значений у при некоторых значениях х.

Построить график зависимости между X и у.

4. Задача. Определить площадь прямоугольника (в кв. см), основание которого равно 3 см, а высота h см.

Составить формулу решения задачи.

Составить таблицу значений S при некоторых значениях h.

Построить график изменений S в зависимости от изменений h.

Могут также быть использованы упражнения в «Сборнике задач по алгебре» П. А. Ларичева, часть I, стр. 39, № 86 — 90; стр. 90, № 341 —343, и в «Сборнике упражнений и задач по алгебре» H. Н. Полозовой, стр. 60, № 594 — 595.

Изучение графиков простейших функций в VI классе полезно связать с повторением темы о пропорциональности величин.

При составлении таблиц и построении графиков следует отмечать, какие из взятых

Черт. 10

Черт. 11

величин находятся в прямо пропорциональной зависимости и у каких зависимость иная, а также указывать на особенности графиков, отражающих зависимости тех и других величин.

Внимание учащихся может быть обращено и на то, как изменяется положение графика зависимости прямо пропорциональных величин при изменении коэффициента пропорциональности.

Связь вопросов о графиках и пропорциональности величин вполне естественно выдвигает вопрос о том, какого вида график отражает зависимость обратно пропорциональных величин?

Ответ и на этот вопрос ь VI классе может быть дан.

Берем задачу: «Во сколько часов можно совершить путь В 12 км при скорости v км/час»?

Искомое число часов обозначаем через t.

Формула решения задачи: t= —уО>0).

Составляем таблицу некоторых значений v и t.

v км/час

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

t час.

12

6

4

3

2,4

2

«1,7

1,5

^1,3

1,2

^1,1

1

Выбираем условные обозначения и строим график (черт. 12).

Устанавливаем, что на полученном чертеже 12 верхние концы отрезков прямой, отражающих число часов, расположились по некоторой кривой, которую можно построить только приблизительно.

Строим эту линию (черт. 13) и сообщаем ее название: «график зависимости между временем и скоростью при данном пути».

Отмечаем особенности и свойства построенного графика.

Дальнейшие сведения о графиках и функциях, а также сведения о системе прямоугольных координат мы относим к курсу VII класса.

Черт. 12

Черт. 13

ОСНОВНЫЕ ОШИБКИ ПО АРИФМЕТИКЕ УЧАЩИХСЯ V—VII КЛАССОВ И ИХ ПРИЧИНЫ

А. И. БУРЫЙ (Сумская обл.)

Я хочу остановиться на некоторых ошибках по арифметике, допускаемых учащимися VI—VII классов, на причинах этих ошибок и мерах их устранения.

I. Обыкновенные дроби

1. Неуменье обращать неправильную дробь в смешанное число, и наоборот: обращать смешанное число в неправильную дробь.

Так, например, при обращении неправильной дроби -g- в смешанное число ученик записал ответ -о-. Он не написал целое число, а взял только остаток, под которым подписал знаменатель. Данный случай говорит о непонимании употребления знака равенства.

При обращении смешанного числа 9-у в неправильную дробь учащиеся VI класса делали следующие ошибки:

а) умножали целое число на знаменатель, и, не прибавляя числителя, под данным результатом ставили знаменатель — в ответе получалось -у;

б) умножали целое число на числитель, к произведению прибавляли знаменатель и подписывали под результатом числитель—в ответе получалось -g-;

в) умножали целое число на числитель, к произведению прибавляли знаменатель и под суммой подписывали знаменатель — в ответе получалось -у-.

Данные ошибки говорят о том, что учащиеся не понимают того, что обращение смешанного числа в неправильную дробь является обратным действием относительно обращения неправильной дроби в смешанное число.

Я полагаю, что в учебнике арифметики Киселева дана неправильная последовательность в изучении этих вопросов, а потому не показано обращение смешанного числа в неправильную дробь, как обратная задача относительно обращения неправильной дроби в смешанное число. Для избежания подобных ошибок данный материал я объяснял учащимся V класса в такой последовательности:

1) Дроби правильные и неправильные (примеры и определения).

2) Исключение целого числа из неправильной дроби, в которой числитель делится на знаменатель без остатка. Например:

3) Обратная задача: обращение целого числа в неправильную дробь с определенным знаменателем. Например:

4) Обращение неправильной дроби в смешанное число. Вначале, на первых уроках (в дальнейшем это делалось сразу), я требовал от учащихся следующей формы записи:

5) Обратная задача: обращение смешанного числа в неправильную дробь. Вначале, на первых уроках, я требовал от учащихся такой формы записи:

В дальнейшем требовал все делать устно и писать результат:

Вывод правил я делал с участием учащихся на основании анализа ряда примеров.

2. Непонимание вопроса об увеличении и уменьшении дроби в несколько раз и основного свойства дробей.

При решении примера: дробь увеличить в 3 раза—учащиеся увеличили одновременно и числитель, и знаменатель дроби и получили ответ

Некоторые учащиеся не применяли рациональных способов сокращения. Так, например, задачу «уменьшить дробь в 4 раза» учащиеся решали: «будет

Некоторые учащиеся применяли неправильную форму записи увеличения и уменьшения дроби в несколько раз. Например, увеличивая дробь ^у- в 5 раз, записывали так:

Некоторые учащиеся не смогли ответить на вопрос: «Какое основное свойство дроби?»

Были случаи, когда учащиеся не могли ответить на вопрос: «Как изменится дробь -g-, если числитель увеличить в 10 раз, а знаменатель увеличить в 20 раз?»

Эти ошибки говорят о недостаточном понимании учащимися V—VII классов увеличения и уменьшения дроби в несколько раз и основного свойства дроби. Недостаточное усвоение этого материала в основном зависит от недостаточного внимания учителей математики к данным важным вопросам, а также от неправильной методики их изучения.

В целях прочного усвоения материала я объяснял учащимся V класса данный вопрос, исходя из изменения частного с увеличением или уменьшением делимого и делителя в несколько раз, соблюдая следующую последовательность:

1) Изменение величины дроби с увеличением или уменьшением числителя в несколько раз.

При изложении я применял следующую форму записи:

а) Как изменится величина дроби -ур если числитель увеличить в три раза?

б) Как изменится величина дроби -у^-, если числитель ее уменьшить в три раза?

2) Изменение величины дроби с увеличением или уменьшением знаменателя в несколько раз.

Мною применялась следующая форма записи:

а) Как изменится величина дроби если знаменатель увеличить в 2 раза?

б) Как изменится величина дроби -j^-, если знаменатель ее уменьшить в 2 раза?

3) Увеличение или уменьшение дроби в несколько раз.

Учащиеся решали задачи первого и второго типов:

I. Как изменится дробь -^-у если:

а) числитель ее увеличить в три раза?

б) знаменатель ее уменьшить в три раза?

В том и другом случае дробь увеличилась в три раза.

II. Как изменится дробь -yg-, если:

а) Числитель ее уменьшить в 4 раза?

б) Знаменатель ее увеличить в 4 раза?

В том и другом случае дробь уменьшилась в 4 раза.

После решения подобных задач первого и второго типа делались общие выводы об изменении дроби (§ 27 «Арифметики» Киселева).

4) Основное свойство дроби.

Основное свойство дроби выводилось из основного свойства частного.

5) Решение задач, подобных задаче 963 из задачника Березанской.

3. Неуменье сокращать дробь и приводить дроби к наименьшему общему знаменателю и числителю.

На указание сократить дробь ученик VI класса записал ответ:

При приведении дробей к общему знаменателю многие учащиеся находят не наименьший общий знаменатель, а вообще общий знаменатель.

Например, при приведении дробей к общему знаменателю пишут:

На вопрос: «Какая из двух дробей ^g- и больше?»—ученик VI класса начал вести громоздкие вычисления, приводя дроби к наименьшему общему знаменателю. На мой вопрос: «Как иначе можно поступить?»—не смог ответить ни один ученик VII класса.

Данные ошибки зависят от следующих причин:

1) Незнание учащимися основного свойства дроби.

2) Неуменье находить: а) наименьшее общее кратное знаменателей или числителей дробей, б) наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби.

В целях предупреждения данных ошибок я при объяснении учащимся V класса сокращения дроби и приведения дробей к наименьшему общему числителю или знаменателю исходил из основного свойства дроби, а именно:

а) Правило величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель разделить на одно и то же целое число используется для сокращения дроби.

б) Правило величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же целое число используется для приведения дробей к наименьшему общему знаменателю или числителю.

Приступая к сокращению дробей, я вначале повторил признаки делимости чисел, после этого применял последовательное сокращение, пользуясь этими признаками.

Форма записи была следующая:

После этого я повторил нахождение наибольшего общего делителя данных чисел и применял полное сокращение, пользуясь нахождением наибольшего общего делителя числителя и знаменателя.

Форма записи была следующая.

Приступая к приведению дробей к общему знаменателю или числителю, я вначале повторил нахождение наименьшего общего кратного данных чисел. После этого объяснил приведение дробей к общему знаменателю.

Форма записи была следующая.

Привести дроби ^ и j^g к наименьшему общему знаменателю:

После ознакомления учащихся с общим способом приведения дробей к общему знаменателю я объяснил особые случаи приведения дробей к наименьшему общему знаменателю (учебник Киселева, § 133).

Сравнивая по величине обыкновенные дроби с разными числителями и знаменателями, я объяснил учащимся два способа сравнения:

путем приведения данных дробей к наименьшему общему знаменателю и

путем приведения данных дробей к наименьшему общему числителю.

Второй способ сравнения дробей с разными числителями и знаменателями многие учителя не объясняют, что совершенно неправильно. Этот вопрос надо изучать, исходя из следующих потребностей:

1) для облегчения сравнения по величине таких дробей, как

2) чтобы подготовить учащихся к изучению дальнейшего курса математики и смежных с нею дисциплин.

4. Ошибки учащихся при сложении и вычитании обыкновенных дробей.

При сложении и вычитании смешанных чисел некоторые учащиеся обращают смешанные числа в неправильную дробь. Один из учеников VII класса решил пример так:

При сложении и вычитании смешанных чисел некоторые учащиеся сначала складывают или вычитают дробные числа, а потом целые числа (или наоборот), производя неправильную запись. Например:

При вычитании из целого числа правильной дроби многие учащиеся обращают целое число в неправильную дробь. Например:

Некоторые учащиеся при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями приводят дроби не к наименьшему общему знаменателю. Например:

Часть этих ошибок появляется вследствие неправильной формы записи сложения и вычитания дробей, которой пользуются учителя, а также вследствие отсутствия особого внимания со стороны отдельных учителей к главным, основным вопросам данной темы.

При объяснении сложения и вычитания обыкновенных дробей я особое внимание уделял следующим вопросам:

1 ) Почему надо приводить дроби к наименьшему общему знаменателю, а не к общему знаменателю вообще?

2) Нахождение наименьшего общего знаменателя есть одно и то же, что и нахождение наименьшего общего кратного знаменателей.

3) Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю выполняется на основании основного свойства дроби.

4) При сложении и вычитании смешанных чисел не нужно обращать смешанные числа в неправильную дробь.

5) Я объяснил и требовал от учащихся единой формы записи сложения и вычитания дробных чисел. Например:

6) Особое внимание я уделял частным случаям сложения и вычитания дробей, придерживаясь единой формы записи.

а) Сложение целых чисел и правильной дроби, и наоборот. Например:

б) Сложение целых и смешанных чисел, и наоборот. Например:

в) Сложение смешанного числа и правильной дроби, и наоборот. Например:

г) Сложение смешанных чисел. Например:

д) Вычитание целого числа из смешанного Например:

е) Вычитание правильной дроби из целого числа. Например:

или

ж) Вычитание правильной дроби из смешанного числа. Например:

з) Вычитание смешанных чисел. Например:

5. Ошибки учащихся при умножении и делении обыкновенных дробей.

1) Одним из наиболее распространенных недочетов при умножении и делении обыкновенных дробей является отсутствие предварительного сокращения.

Многие учащиеся не упрощают промежуточный арифметический результат в процессе решения примера, а делают это обычно в конце. При таком решении получают большие числа и допускают ошибки в ответе. Например:

или

Объясняя учащимся необходимость предварительного сокращения, я заметил, что учащиеся вначале очень неохотно и даже враждебно относились к требованию производить промежуточное сокращение дроби, некоторые считали это «мазней». Для борьбы с таким консерватизмом я подбирал примеры, которые содержали достаточно большие числа, ненужное перемножение и деление которых затрудняет весь процесс вычисления. Например:

Целый ряд таких примеров убедил самых упорных учащихся в огромных преимуществах промежуточных сокращений.

При этом я требовал, чтобы все эти сокращения учащиеся производили только после того, как будут записаны все операции, требуемые тем или иным действием.

2) Наблюдалось и обратное явление, когда некоторые учащиеся делали преждевременное сокращение.

Например:

или

Такие «сокращения» дробей прежде всего нарушают основное требование ко всем записям арифметических действий, которое состоит в том, чтобы в первой основной записи действия данные числа, как целые, так и дробные, сохранялись в неприкосновенном виде.

Во-вторых, такие «сокращения» дробей при делении дробных чисел приводят к неправильному результату.

3) Еще и сейчас имеются случаи дискуссии среди учителей математики по вопросу о форме записи промежуточных сокращений. Некоторые учителя считают ненужным зачеркивание сокращаемых чисел.

Другие учителя употребляют зачеркивание сокращаемых чисел, но не показывают, что с чем сокращается.

В практике своей работы я применяю следующую форму записи сокращения:

Я считаю данную форму записи сокращений наиболее удачной.

При умножении и делении обыкновенных дробей наиболее распространенной ошибкой является неуменье умножать и делить целое число на дробь, и наоборот. Так, ученик VII класса решал пример следующим образом:

Для избежания таких ошибок я рекомендовал учащимся рассматривать всякое целое число как дробь со знаменателем единица. В таком случае все правила, выведенные при умножении дробных чисел, были объединены в одно правило— умножение дроби на дробь. Подобно этому все правила, выведенные при делении дробных чисел, были объединены в одно правило— деление дроби на дробь. Такое мероприятие очень помогло в ликвидации ошибок на умножение и деление целого числа на дробь, и наоборот.

4) Некоторые учащиеся при делении дробей (по аналогии со сложением и вычитанием) приводили данные дроби к общему знаменателю. Например:

В борьбе с подобными ошибками было достаточно моего замечания о том, что при умножении и делении обыкновенных дробей не нужно приводить их к общему знаменателю.

5) При умножении смешанного числа на единицу некоторые учащиеся превращали смешанное число в неправильную дробь. Причина этой ошибки та, что некоторые учителя не напоминают учащимся о том, что особые случаи умножения в арифметике целых чисел остаются в силе и в арифметике дробей, а именно:

и т. д.

* Перечеркивания при сокращении не показаны по техническим причинам. — Ред.

6) Неуменье применять устный счет при умножении и делении дробей.

Например, ученица VII класса при умножении 23 ~- на 4 смешанное число обращала в неправильную дробь.

Причина этой ошибки та, что в практике школ и отдельных учителей и до сих пор встречается обязательное требование при умножении смешанного числа на целое число первое из них обращать в неправильную дробь. Это требование усложняет работу, так как отдельное умножение целого числа и дроби на целое число проще и короче. Обычно все вычисления при этом способе производятся устно без всяких записей.

При делении смешанного числа на целое число в том случае, когда целая часть и числитель дроби делятся на целое число, деление можно легко рыполнить устно.

Но многие учителя не обращают внимания учащихся на данный частный случай и требуют во всех случаях обязательного обращения смешанного числа в неправильную дробь, что затрудняет вычисления. На мой вопрос, как можно устно выполнить деление 164 на 4, не мог ответить ни один ученик VII класса.

7) Ошибки при нахождении дроби от данного числа и неизвестного числа по его дроби.

К сожалению, некоторые учителя математики уделяют недостаточно внимания этому вопросу. Вследствие этого многие учащиеся не имеют твердых знаний и допускают следующие ошибки: ученик VII класса находил дробь ^ от числа 60 действием деления, ученик VI класса находил дробь -j- от числа 24 действием вычитания, ученик VII класса находил неизвестное число по его дроби действием умножения.

Основной причиной подобных ошибок является неправильная методика изучения данного вопроса.

Некоторые учителя обучают учащихся нахождению дроби от данного числа раздельно с умножением на дробь и нахождению неизвестного числа по его дроби раздельно с делением на дробь. Этому их учит и учебник арифметики.

Но такое изучение данного вопроса, по моему мнению, неправильно. В практике своей работы по обучению учащихся нахождению дроби от данного числа и неизвестного числа по его дроби я всегда объединял данные вопросы с вопросами умножения на дробь и деления на дробь.

Нахождение дроби от числа отождествлялось с умножением на дробь. Нахождение неизвестного числа по его дроби отождествлялось с делением на дробь.

Истолкование и определение умножения на дробь, а также технику выполнения этого действия я вырабатывал в процессе решения соответствующих задач с конкретным содержанием.

Например: Килограмм кофе стоит 60 руб. Сколько стоят 4 кг? 2 у кг? ~- кг?

Для развития навыков применения деления целых чисел на правильную дробь учащиеся решали в классе и дома текстовые задачи с конкретным содержанием, в которых требовалось найти число по известной его части.

Например: Как велик был запас картофеля, если — этого запаса составляли 35 кг? 15 кг? 2 кг? 1 кг? кг? ~ кг?

Условие задачи записывалось так:

Решение задачи имело такой вид:

Я приучал учащихся критически относиться к ответу задачи. При изучении умножения дробных чисел учащиеся записали и хорошо помнили следующие выводы:

1) При умножении на целое число произведение больше множимого.

2) При умножении на правильную дробь произведение меньше множимого.

3) Умножение на правильную дробь применяется, когда надо найти часть данного числа, указанную дробью.

При изучении деления дробных чисел я обращал особое внимание на следующие вопросы. Деление на правильную дробь есть действие, обратное умножению на правильную дробь. Если последнее применяется при нахождении части или дроби данного числа, то деление на правильную дробь я рассматривал как действие, применяемое для нахождения всего числа по заданной его части или дроби. Форма записи нахождения дроби от данного числа имела следующий вид:

Форма записи нахождения неизвестного числа по его дроби имела следующий вид:

Найти число, у которого равно 36.

Решение.

II. Десятичные дроби

Основная масса ошибок в арифметических примерах на десятичные дроби приходится на: 1) преобразования десятичных дробей и 2) деление десятичных дробей.

Многие учащиеся не делают сокращений десятичных дробей. Например, ученик VII класса, производя действия с десятичными дробями, получил результат 3,7400 и не выполнил сокращения. Многие учащиеся не умеют приводить десятичные дроби к общему знаменателю. Имеются случаи непонимания значения нулей справа и слева от запятой в десятичной дроби.

Все эти ошибки говорят о том, что учащиеся не знают основного свойства десятичных дробей, на основании которого производится их сокращение и приведение к общему знаменателю. Это получается потому, что некоторые преподаватели не подчеркивают то обстоятельство, что десятичные дроби ничем не отличаются от обыкновенных дробей, что все они подчиняются одним и тем же правилам. На первых уроках изучения десятичной дроби я объяснял учащимся, как записать произвольную десятичную дробь в виде обыкновенной дроби. Например:

Объясняя учащимся, что оба члена дроби можно разделить на одно и то же число (величина дроби не изменится), я на основании этого знакомлю учащихся с новым фактом: при делении обоих членов дроби на 2 и на 4 данная дробь преобразуется из десятичной в обыкновенную:

То же самое происходит и при умножении обоих членов на произвольное число.

Обращаю особое внимание на то, как при данном преобразовании можно добиться того, чтобы десятичная дробь оставалась десятичной, т. е. чтобы все время знаменатель ее записывался единицей с нулями.

Учащиеся сами догадываются, что для этого достаточно оба члена умножить на 10, 100, 1000 и т. д. Например:

Если каждую дробь записать теперь без знаменателя по известному правилу, то получатся дроби: 3,56 = 3,560 = 3,5600 = 3,56000 и т. д.

Так я объяснял основное свойство десятичной дроби (записанной без знаменателя): справа можно приписать произвольное число нулей, от этого величина дроби не меняется.

После этого я рассказал учащимся о приписывании нулей слева в записи десятичной дроби без знаменателя.

На основании основного свойства десятичной дроби учащиеся сознательно усваивали сокращение десятичной дроби путем зачеркивания нулей и приведение десятичных дробей к общему знаменателю путем приписывания нулей справа.

В тесной связи с ошибками на основные преобразования десятичных дробей находятся ошибки на деление десятичных дробей. Например, ученица VII класса решала пример так:

Ошибки при делении десятичных дробей говорят о том, что учащиеся этот вопрос усваивают механически, слабо понимают зависимость между делимым, делителем и частным, не понимают, что при делении чисел каждый разряд делимого должен дать значащую или незначащую цифру и что при делении целых чисел нули впереди частного не ставятся.

Имеются также неправильные формы записи деления десятичных дробей. При делении 0,0125:0,25 встречались у учащихся следующие записи:

Для избежания подобных ошибок мной была проделана следующая работа. Перед изучением деления десятичных дробей я повторил основное свойство частного и основное свойство десятичной дроби, что дало возможность учащимся хорошо понять и сознательно применять преобразование делителя в целое число при делении десятичных дробей. Я особенно подчеркивал необходимость обращения в целое число делителя, а не делимого, а также: на основании чего мы должны во столько же раз увеличивать делимое, во сколько раз увеличили делитель.

Форма записи деления десятичных дробей применялась единая, например:

III. Совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями

При решении примеров на все действия над обыкновенными и десятичными дробями допускались следующие ошибки:

1) Незнание, в 1 какую дробь надо обращать данные при решении примера. При решении примера 3,5 —[— 4 —^+ 5,6 ученик VI класса обращал дробь 4 в десятичную. Это говорит о том, что данный ученик не знает, какая обыкновенная дробь обращается в конечную десятичную дробь. При решении подобных примеров я требовал от учащихся, перед тем как обращать обыкновенную дробь в десятичную, сначала выяснить возможность обращения обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь.

2) Многие учащиеся при решении примеров на все действия с обыкновенными и десятичными дробями обращают десятичную дробь в обыкновенную, не считаясь с тем, что не всегда это бывает выгодно. Кроме того, учащиеся не делают сокращений при обращении десятичной дроби в обыкновенную, вследствие чего получаются большие числа. Например:

Данная ошибка говорит о том, что учащиеся избегают действий с десятичными дробями, несмотря на их простоту, потому что десятичные дроби учащиеся знают хуже, чем обыкновенные. В том, что учащиеся избегают действий с десятичными дробями, можно убедиться и на следующем примере. Ученик VII класса решал пример так:

Для избежания данной ошибки мало того, чтобы объяснить выгоду в обращении (в данном случае) обыкновенной дроби в десятичную, надо весь процесс изучения обыкновенных и десятичных дробей построить так, чтобы учащиеся одинаково хорошо владели действиями как с обыкновенными, так и с десятичными дробями. Для этого надо уделять одинаковое внимание как изучению обыкновенных, так и изучению десятичных дробей.

3) При решении примера на все действия с обыкновенными и десятичными дробями некоторые учащиеся сразу обращают одни дроби в другие, не считаясь с тем, что можно производить часть действий отдельно с обыкновенными, а потом с десятичными дробями, или наоборот.

4) Неуменье применять законы действий. Например:

Сколько лишней работы вследствие неуменья применить переместительный закон сложения! Данный пример можно решить устно, а именно:

Эта ошибка возникает вследствие того, что некоторые учителя не напоминают учащимся о применении основных свойств действий при решении примеров на совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями. Плохо то, что в задачнике по арифметике Березанской в разделе совместных действий над обыкновенными и десятичными дробями нет примеров на применение законов действий.

IV. Проценты

Практика работы в школе говорит о том, что учащиеся V — VII классов этот раздел знают слабо. Многие учащиеся не умеют выражать проценты десятичной и обыкновенной дробью и слабо ориентируются в решении трех типов задач на проценты. Кроме того, имеются различные способы решения трех типов задач на проценты, которые в большинстве случаев не соответствуют требованиям методики изучения процентов.

Например, ученица VII класса не смогла выразить числа: 2; 2 у; в процентах.

Ученик VII класса не смог выразить 50% и 75% обыкновенной или десятичной дробью.

Все учащиеся VI и VII классов были знакомы с решением трех типов задач на проценты при помощи формулы.

Например, ученица VI класса при нахождении 66 у % от 42 поступала так:

Многие учащиеся путают формулы решения трех типов задач на проценты, а потому получают неверное решение той или иной задачи. Причины слабых знаний учащихся V — VII классов данного раздела зависят:

1) от неправильной методики преподавания данного раздела;

2) от недостатков учебника арифметики Киселева.

Для избежания подобных ошибок я объяснял учащимся, что проценты — это те же десятичные дроби и ничем от них не отличаются, если не считать несколько иную форму записи. Учащиеся хорошо научились выражать проценты десятичной и обыкновенной дробью, и наоборот. Они научились устно выражать обыкновенную дробь в процентах, и наоборот.

Например:

Для учащихся было понятно, что нахождение процента от числа—то же, что нахождение дроби от числа; нахождение числа по его проценту ничем не отличается от нахождения числа по данному значению дроби; нахождение процентного отношения двух чисел сводится к нахождению их отношения, которое выражается в процентах.

При решении трех типов задач на проценты я пользовался следующей формулой записи:

1) Нахождение процента от числа:

2) Нахождение числа по его проценту:

а) Найти число, 25% которого составляют 120.

Решение.

б) Найти число, 8% от которого составляют 4. Решение.

3) Процентное отношение. Какой процент от 640. руб. составляют 32 рубля? Решение.

32 : 640 = 0,05 = 5%,

Данный раздел арифметики я изучал после изучения совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями. Для учащихся было новым только выражение процентов обыкновенной или десятичной дробью, или наоборот.

Все остальные действия с процентами были сведены к действиям с дробями. Такое изучение процентов дало положительные результаты. В учебнике арифметики Киселева проценты не выделены в отдельный раздел, а материал дан в виде отдельных параграфов при изучении обыкновенных дробей. Такая постановка вопроса неправильна.

Во-первых, проценты связаны с десятичными, а не обыкновенными дробями, а потому их ни в коем случае не следует изучать ранее десятичных дробей.

Во-вторых, изучение процентов совместно с обыкновенными дробями приводит к решению трех типов задач на проценты при помощи формул, которыми учащиеся V — VII классов пользуются механически, а потому допускают ошибки.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В V КЛАССЕ

П. М. РЫБАКОВ (Иваново)

При преподавании в V классе геометрического материала я ставил перед собой две цели: 1) связать решение геометрических задач с непосредственными измерениями и 2) дать ученикам материал для упражнений в виде «живых», интересных задач.

В настоящей статье я остановлюсь на некоторых составленных мною упражнениях, к решению которых ученики проявляли особый интерес.

После ознакомления учеников с определением длины окружности и площади круга и решения простейших задач, связанных с непосредственными измерениями, я занял два урока решением задач из специально заготовленного альбома. Альбом состоял из чертежей геометрических фигур; чертежи были выполнены на листах чертежной бумаги размером 20 см X 15 см. На каждом листке были помещены один или два чертежа, над каждым чертежом записывался текст задачи и под чертежом приводился ответ.

Чертежи были выполнены в красках (в целях придания чертежу более привлекательного вида). Альбом состоял из 35 листков с 55 задачами. Привожу для образца некоторые из этих задач (чертежи даются в уменьшенном виде) (черт. 1). Число листков альбома на 5 — 6 штук превышало число учеников в каждой из групп V класса.

В начале урока каждый ученик получал отдельное задание, записывал в своей тетради номер листка и приступал к решению задачи. Решая задачу, ученик должен был после внимательного ознакомления с чертежом составить план решения и выполнить с помощью мерной линейки все те измерения, какие нужны для решения задачи. Затем давалось подробное реше-

Черт. 1

ние. Копировки чертежа не требовалось. Успешно решив задачу, ученик сдавал листок и получал новое задание.

Интересную картину представлял класс: каждый ученик с большим увлечением занимался решением своей задачи: разбирая чертежи, разбивал сложную фигуру на ряд простейших, старательно измеряя длину отрезков, оформляя решение задачи. После проведения двух таких занятий я проверил работу учеников и дал оценку каждой работы. (Ученики решили за два урока от 5 до 12 задач.) Положительные результаты этой работы сказались немедленно.

Ученики отчетливо стали распознавать геометрические фигуры, научились сложную фигуру разбивать на ряд простейших, укрепились у учеников навыки в пользовании мерной линейкой, и, что особенно важно, ученики (во всяком случае подавляющее большинство учеников) живо заинтересовались геометрической задачей. После второго занятия ученики стали просить меня повторять еще такие занятия.

Изучение поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда и цилиндра сопровождалось решением задач с применением моделей и чертежей. Ученики были ознакомлены с принципом косоугольной проекции Кавальери, и это позволило давать задачи на чертежах. Были изготовлены чертежи (размер листка 20 смХ15 см) прямоугольного параллелепипеда и цилиндра, и на уроке, специально отведенном для этих задач, предлагалось ученикам находить объемы этих тел, пользуясь чертежом или моделью. (Поверхность и объем каждой модели прямоугольного параллелепипеда или цилиндра, выданной ученикам для практических вычислений, были мною заранее вычислены, черт. 2).

Кроме таких индивидуальных задач, разбирались в классе и общие задачи, связанные с непосредственными измерениями. Так, например, я предложил вычислить, сколько потребовалось квадратных дециметров жести для того, чтобы изготовить пионерский барабан. Ученик, вызванный для решения задачи, должен был обстоятельно рассказать, как он будет вычислять боковую поверхность барабана, выполнить необходимые измерения и найти боковую поверхность.

На школьном дворе лежало большое бревно. Я предложил двум ученикам сделать во время перемены те измерения, какие необходимы для вычисления объема бревна, затем в классе дал задачу на вычисление веса этого бревна, указав, что 1 куб. дм дерева весит 0,6 кг.

Практика работы показывает, что ученики V класса вполне успешно усваивают установленный программой геометрический материал, успешно решают комбинированные задачи при обязательном условии, чтобы разбираемые фигуры были перед глазами учеников, чтобы ученики делали возможно больше упражнений по непосредственным измерениям, чтобы сами задачи предлагались в интересной форме.

Черт. 2

ЗАПИСЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЧИСЛОВОЙ ФОРМУЛОЙ

Я. Е. ГАЛЬПЕРИН (Харьков)

Запись решения задачи числовой формулой имеет весьма важное образовательное значение, так как она в значительной мере содействует развитию логического мышления учащихся.

Решая любую составную задачу, учащийся обычно расчленяет ее на ряд простых задач и решает каждую в отдельности на основании зависимости только между данными в каждой простой задаче величинами и искомой величиной. Связи и зависимости между всеми величинами, данными в решаемой составной задаче, обычно ускользают от внимания учащегося. Это в известной мере ограничивает понимание учащимся всего хода решения составной задачи, что не может не отразиться на его уменье сознательно решать задачи. Записывая решение составной задачи числовой формулой, учащийся бывает вынужден отыскивать и держать в уме взаимозависимости между всеми данными в задаче величинами и мысленно охватить весь ход ее решения. Кроме того, числовая формула обычно составляется на основании правильного анализа всех условий задачи.

Запись решения задачи числовой формулой дает часто учащимся возможность значительно упростить вычисление окончательного результата, избежать выполнения промежуточных действий умножения и деления, если таковые имеют место в ходе решения задачи, так как входящие в числовую формулу множители и делители иногда взаимно сокращаются. Это дает возможность рационализировать процесс решения, что особенно важно в V и VI классах, когда учащиеся уже в достаточной мере владеют вычислительной техникой и преподавателю необходимо сконцентрировать главное внимание на обучении учащихся уменью сознательно решать задачи. В результате представится возможность увеличить число задач, решаемых в классе, разнообразить их, что, несомненно, будет содействовать уменью учащихся сознательно решать задачи.

Следует также принять во внимание, что уменье учащихся записывать решение задачи числовой формулой облегчит им изучение математики в последующих классах — в VI классе при решении задач на сложное тройное правило и при составлении алгебраических выражений и формул и в VII классе — при решении задач на составление уравнения из условий задачи.

Приведенные соображения убеждают нас в целесообразности научить учащихся уменью записывать решение задачи числовой формулой.

Несколько лет назад в программу IV класса по арифметике было включено требование: «Запись решения задачи числовой формулой». Но для начальной школы это требование было преждевременным и нереальным. Числовая формула не привилась в практике работы начальных школ, и это требование было вскоре совсем изъято из программы вместо того, чтобы включить его в программу V класса, где оно своевременно и целесообразно.

К сожалению, в большинстве школ работа по ознакомлению учащихся с записью решения задачи числовой формулой не проводится. Это можно объяснить тем, что методика работы по привитию учащимся уменья составлять числовую формулу не освещена в нашей методической литературе. Однако некоторые учителя, практикующие такую работу с учащимися, добились хороших результатов. Среди учителей математики Харьковщины такую работу проводят т. Ставинский (Харьковская 133-я средняя школа), т. Троян (Орельская семилетняя школа Лозовского района) и некоторые другие. Надо сказать, что они сумели заинтересовать учащихся уменьем составлять числовую формулу. Учащимся нравится записать в одной строчке решение задачи в 5 — 6 действий.

Ниже изложены практикуемые названными учителями приемы работы с учащимися по составлению числовой формулы.

Работу с учащимися V класса по составлению числовой формулы целесообразно начать лишь тогда, когда они овладели прочными навыками вычислительной техники и умеют решать задачи средней трудности в 4 — 5 действий.

Прежде всего полезно ознакомить учащихся с таким понятием, как «арифметическое выражение», и упражняться в составлении таких выражений.

Всякое соединение двух или нескольких чисел при помощи знаков арифметических действий называется «арифметическим выражением». Так, например, 378-f 126; (456 —267)-3; 85*7 —р^— и т. п. суть арифметические выражения.

Далее учитель выполняет с учащимися несколько упражнений на составление арифметических выражений. Для примера приводим некоторые упражнения:

1) Не производя действия:

а) обозначить сумму чисел 138 и 345;

б) написать разность чисел 194 и 112;

в) написать произведение чисел 125 и 13;

г) обозначить частное от деления числа 729 на 81.

2) Выразить при помощи знаков действий, не выполняя самих действий:

а) сумму произведения чисел 16 и 6 с частным от деления 84 на 28;

б) разность чисел 238 и 123, сложенную с произведением чисел 17 и 5;

в) произведение частного от деления 104 на 13 на разность чисел 66 и 11.

3) Обозначить знаками действий, не производя самих действий:

а) произведение суммы чисел 16 и 5 на их разность;

б) частное от деления суммы чисел 24 и 16 на их разность;

в) частное от деления разности чисел 260 и 80 на сумму чисел 27 и 18.

Далее следует на конкретных числовых примерах убедить учащихся в том, что всегда можно заменить результат, полученный от выполнения действий, указанных в данном арифметическом выражении, самим этим арифметическим выражением.

Так, например, если мы, выполнив действия, указанные в арифметическом выражении -j^-, получили в результате 35, то мы этот результат можем заменить этим самым арифметическим выражением Точно так же вместо результата 104, который получится от выполнения действий, указанных в арифметическом выражении -—^2 у можно оставить это самое выражение ——. ^ . Иными словами, вместо вычисления конкретного результата мы можем ограничиваться только обозначением чисел и действий, которые нужно выполнить для получения результата, не выполняя этих действий на самом деле.

Полезно выполнить с учащимися несколько упражнений на замену результата соответствующим арифметическим выражением. Приведем для примера несколько таких упражнений.

Заменить:

а) число 128 произведением суммы чисел 24 и 8 на 4;

б) число 16 суммой чисел 8 и 6 и их разности;

в) число 64 частным от деления числа 256 на 4 и т. п.

Следует подчеркнуть, что такая замена результата вычисления самим арифметическим выражением бывает иногда полезна при решении задач в тех случаях, когда нас интересует, какие действия и в какой последовательности надо выполнить над данными числами, чтобы получить искомый результат.

Для показа учащимся, как записывать решение задачи числовой формулой, целесообразно вначале брать легкие, «прозрачные» задачи, решение которых не представляет для учащихся какой-либо трудности, и лишь постепенно переходить к записи решения более сложных задач числовой формулой. Целесообразно также, особенно вначале, решить намеченные задачи раньше обычным путем, расчленяя их на ряд простых задач и определяя результат каждой из них, и потом уже показать учащимся, как записать решение числовой формулой. Учащиеся тогда легко убедятся в преимуществе такой записи.

Решим для примера с учащимися следующую несложную заначу.

Порожний товарный вагон весит 7200 кг; паровоз с тендером—120 т. Сколько тонн весит поезд в составе 40 вагонов, если каждый вагон везет 16000 кг груза?

Решая эту задачу, учащиеся обычно расчленяют ее на такие три простые задачи:

1. Товарный вагон весит 7200 кг и везет 16 500 кг груза. Сколько весит вагон с грузом?

Решение. 7200+16 500= 23 700 (кг).

2. В поезде 40 вагонов. Каждый вагон с грузом весит 23 700 кг. Сколько весят все 40 вагонов?

Решение. 23 700X40=948000 *гг=948 (т).

3. Паровоз с тендером весит 120 т. Все 40 груженых вагонов весят 948 т. Сколько весит весь состав?

Решение. 948+ 120= 1068 (т).

Правда, учащиеся обычно не формулируют этих простых задач полностью, ограничиваясь лишь формулировкой вопроса, но в сущности они решают приведенные выше простые задачи.

Обращается внимание учащихся, что в вышеприведенной составной задаче совсем не требуется узнать, сколько весит каждый вагон с грузом; не требуется также узнать вес всех 40 вагонов. В задаче поставлен вопрос, сколько весит весь состав поезда. Однако для определения его веса нам необходимо раньше решить первые две задачи. Если бы нас не интересовал конкретный результат, т. е. вес поезда, выраженный в тоннах, можно было бы первых двух задач не решать. Можно было бы ограничиться соответствующими арифметическими выражениями, показывающими ход решения задачи, какие действия над какими числами и

в какой последовательности надо производить, но не выполняя этих действий на деле, т. е. записать решение задачи числовой формулой (термин «формула» должен быть известен учащимся).

Чтобы составить такую формулу, начнем решение с основного вопроса, поставленного в задаче: сколько весит весь поезд?

Искомый вес поезда, как всякое неизвестное число, обозначим буквой х. Это неизвестное равно какому-то определенному числу, которое мы должны найти. Поэтому справа от х поставим знак равенства и запишем: х=.

Далее, искомый вес поезда складывается из веса 40 груженых вагонов и веса паровоза с тендером. Запишем это арифметическим выражением. Для этого запишем сначала арифметическим выражением вес одного груженого вагона (7200-(-16 500), а затем вес всех 40 груженых вагонов (7200+16 500) X 40 (кг), затем вес всего поезда:

(7200 лгг + 16 500 кг)-40+120 т.

Полученное арифметическое выражение равно искомому неизвестному числу, т. е. х. Поэтому мы это выражение запишем справа от знака равенства и получим:

л; = (7200 16500 кг)• 40 + 120 т,

т. е. мы записали весь ход решения задачи числовой формулой. Правда, мы не получили определенного результата, но для записи хода решения задачи нас результат не интересует. Однако, если бы мы захотели узнать результат (вес поезда), то стоит только выполнить действия, указанные в арифметическом выражении справа от знака равенства.

Полезно сообщить учащимся, что для удобства мы будем в дальнейшем называть букву X, стоящую слева от знака равенства, левой частью числовой формулы, а арифметическое выражение, стоящее справа от знака равенства, правой частью формулы.

Запишем числовой формулой решение более сложной задачи с именованными числами на четыре действия.

Для детского дома купили фланели на 2866 руб. 50 коп., по 15 руб. 75 коп за 1 м. Из всей купленной материи пошили 64 платья и 56 халатов. На пошив каждого платья пошло 1 м 75 см фланели. Сколько материи пошло на каждый халат?

После устного анализа условий задачи для учащихся ясно, что для ответа на вопрос задачи необходимо от количества всей купленной фланели отнять количество метров, которое пошло на пошив 64 платьев, и полученный остаток разделить на количество сшитых халатов (56).

Учащиеся составляют соответствующие арифметические выражения.

1. Количество купленной фланели:

2866 р. 50 к.: 15 р. 75 к.

2. На пошив 64 платьев по 1 м 75 см пошло 1 м 75 сл*Х64.

3. На пошив 56 халатов пошло:

2866 р. 50 к. : 15 р. 75 к. — 1 м 75 сл*Х64-

4. На каждый халат пошло в 56 раз меньше, т. е.

(2866 р. 50 к. : 15 р. 75 к. —1 м 75сл*Х X 64) : 56.

Обозначив искомое число метров на пошив одного халата через х, получим:

X = (2866 р. 50 к. : 15 р. 75 к.— — 1 м 75 см X 64) : 56.

Следует указать, что составление заранее отдельных арифметических выражений для каждого действия задачи вовсе не обязательно, что это терпимо только вначале, в дальнейшем же необходимо будет уметь записывать решение задачи формулой сразу, составляя заранее арифметические выражения для каждого отдельного действия в уме.

Числовые формулы для записи решения приведенных выше задач составлялись учащимися после решения этих задач обычным путем. Надо, однако, обратить внимание учащихся на то, что для составления числовой формулы совсем не обязательно решить раньше задачу и что, наоборот, можно и нужно уметь записывать числовой формулой ход решения любой задачи, не решая ее предварительно. Но к этому следует приступить только после того, как учащиеся приобрели некоторый навык в составлении формулы к уже решенной задаче.

Часто встречаются задачи, в которых вопрос формулируется так, что требуется найти два неизвестные числа. В таких случаях приходится составлять две числовые формулы, для каждого неизвестного отдельно. Чтобы учащиеся не путали этих формул, целесообразно в одной формуле отметить X внизу справа индексом 1, а в другой индексом 2(хх и х2).

Запишем числовой формулой решение такой задачи.

В кооператив привезли партию ботинок по 124 руб. 70 коп. за пару и партию галош по 37 руб. 50 коп. за пару, всего на 16787 руб. 50 коп. Галош было на 45 пар больше, чем ботинок. Сколько доставлено в кооператив пар ботинок и сколько пар галош?

Обозначив искомое число пар ботинок через хг, а искомое число пар галош через х2, составим две формулы:

Таким образом, чтобы привить учащимся уменье записывать ход решения любой задачи числовой формулой, целесообразно проводить такую последовательную работу:

1. Ознакомить учащихся с понятием «арифметическое выражение».

2. Выполнить несколько упражнений на составление арифметических выражений, аналогичных приведенным выше.

3. Выполнить несколько упражнений на замену конкретных результатов отдельных действий соответствующими арифметическими выражениями.

4. Решить 1—2 нетрудные задачи на 3 — 4 действия, расчленяя их на ряд простых задач, причем ответ на вопрос каждой отдельной задачи выразить соответствующим арифметическим выражением, не выполняя самого действия.

5. Повторить с учащимися определение формулы, левой и правой частей формулы, равенства левой и правой частей.

6. Проводить упражнения в записи числовой формулой хода решения нетрудных задач (на 2—3 действия), в которых требуется найти только одно искомое число, причем эти задачи предварительно решаются обычным путем, а потом ход решения записывается числовой формулой.

7. Показать учащимся, как вычисляется формула.

8. Записывать числовой формулой ход решения нескольких задач без предварительного их решения.

9. Записывать числовой формулой ход решения задач, в которых требуется найти два или более искомых чисел.

10. В дальнейшем время от времени решение задач в классе на уроке ограничивается только их анализом и записью хода решения числовой формулой.

Полезно приучить учащихся при составлении числовой формулы начинать с основного вопроса задачи, обозначая искомое число буквой х. Прежде всего записывается левая часть формулы (х=). Далее выясняются зависимости между данными в задаче величинами, и эти зависимости записываются соответствующими арифметическими выражениями. Из полученных арифметических выражений на основании выяснения их взаимосвязи и составляется правая часть формулы, к которой приравнивается левая ее часть. В результате получается запись решения задачи числовой формулой.

Следует приучить учащихся, особенно вначале, проверять правильность записи формулы путем ее вычисления, в результате чего они должны получить ответ на основной вопрос задачи.

Основную работу по обучению учащихся записи решения задачи числовой формулой следует проводить в V классе, но и в VI классе следует продолжать эту работу, записывая формулами решение более сложных задач.

Практика показывает, что в тех школах, где проводится работа по записи решения задачи числовой формулой, учащиеся легко усваивают технику такой записи и очень интересуются возможностью записывать ход решения составной задачи на много действий одной строчкой.

От редакции. Как правильно указывает автор данной статьи, навык в составлении формул решения арифметических задач, несомненно, имеет образовательное и методическое значение. В частности, он является хорошей подготовительной ступенью к составлению алгебраических выражений в начальном курсе алгебры и в особенности при решении задач методом уравнений.

Статья излагает опыт изучения данной темы в школе. Здесь обращает на себя внимание правильная методическая разработка последовательных этапов в ее преподавании. Считая, что материал в предлагаемом здесь объеме может быть предложен учащимся и усвоен ими, редакция все же полагает, что в соответствии с конкретными условиями работы в том или ином классе этот материал может быть несколько снижен в отношении объема и степени трудности. Так, в упражнениях второго этапа (составление арифметических выражений) можно ограничиться упражнениями типа 1 и 2. При составлении формул решения задач можно ограничиться задачами не более чем в 4 действия и т. п. Но во всяком случае в том или ином объеме дать навык в составлении формул обязан каждый учитель.

* От редакции. В числовых формулах лучше наименований не ставить и писать эти формулы так, как они даны в настоящем, а не в предыдущих примерах.

МЕТОД ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ В VII КЛАССЕ

Г. А. ПТАХИН (Сталинградская обл.)

Понятие о методе геометрических мест целесообразно дать учащимся в самом начале прохождения материала «Окружность», при изучении теоремы:

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и притом только одну.

Эта теорема представляет собой задачу на доказательство существования точки, одинаково удаленной от трех данных точек А, В к С (черт. 1), и это доказательство проводится методом геометрических мест.

Нужно разъяснить учащимся, что искомая точка О должна удовлетворять двум условиям:

1) быть одинаково удаленной от точек А и В',

2) быть одинаково удаленной от точек В и С.

В самом деле, если OA = OB и OB = ОС, то отсюда следует, что OA = ОС, а это значит, что искомая точка О одинаково удалена от трех данных точек А, В и С.

После этого центр искомой окружности найдется методом геометрических мест: берем одно условие и отбрасываем другое; ищем точку, удовлетворяющую только одному условию, и т. д.

После разбора и усвоения этой теоремы учащиеся легко усваивают решение задачи: найти центр данной окружности. Эта задача приведена в учебнике вслед за теоремой (§ 108) и является типичной задачей на построение методом геометрических мест.

Пройдя материал § 104, 133 и 108, целесообразно дать учащимся понятие об окружности, вписанной в треугольник, и перейти к теореме:

Во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну (§ 137). И эту теорему можно рассматривать как задачу на доказательство методом геометрических мест. Центр искомой окружности — точка О (черт. 2) должна удовлетворять двум условиям: быть одинаково удаленной от сторон AB и АС треугольника и быть одинаково удаленной от сторон AB и ВС того же треугольника. Если ОР = OQ и OP = OR, то следствием этого является равенство OQ = OR.

Рассуждения при решении этой задачи-теоремы аналогичны рассуждениям при доказательстве теоремы о существовании описанной около треугольника окружности и также типичны для решения задач методом геометрических мест. Усваивая без особого труда приведенные две задачи-теоремы, учащиеся VII класса вместе с тем усваивают сущность метода геометрических мест лучше, чем в том случае, когда учитель, следуя учебнику, пытается дать понятие о методе геометрических мест на решении трудной задачи: построить треугольник по основанию а, углу при вершине А и сумме s боковых сторон (§ 134).

Указанное расположение материала не только не нарушает системы изложения в учебнике, но делает ее более стройной и методически более рациональной, так как в некоторой мере устраняет разрыв во времени между прохождением темы «геометрическое место точек» (§ 58—60 учебника) и решением задач на построение методом геометрических мест (§ 133—135).

После усвоения доказательств двух указанных теорем следует закрепить применение метода геометрических мест на решении несложных задач. Начать нужно с задачи № 33 § 3 задачника Рыбкина:

Даны угол и точка т внутри угла. Найти такую точку, которая была бы одинаково удалена от обеих сторон угла и отстояла бы от точки т на данное расстояние а.

Черт. 1

Черт. 2

Ценность этой задачи заключается в простоте исследования ее решения. При затруднениях достаточно выполнить на доске чертежи 3, 4, 5, чтобы учащиеся могли сформулировать, при каком а задача имеет одно, два или ни одного решения.

Учащиеся после этого начинают понимать сущность исследования решения задачи на построение. Понятие же об этом дается учебником гораздо раньше — в VI классе на примере трудной для учащихся задачи:

Построить треугольник, зная его основание Ь, угол а, прилегающий к основанию, и сумму s двух боковых сторон (§ 68—69).

Для домашней работы рекомендуется задача № 36 из сборника Рыбкина:

Дан угол А и точки В и С, расположенные одна на одной стороне угла, другая на другой. Найти точку М, равноотстоящую от сторон угла и удовлетворяющую условию: МС=МВ.

После решения некоторого числа задач на построение методом геометрических мест становится доступной для учащихся предусмотренная программой задача:

На данном отрезке AB построить сегмент, вмещающий данный угол а.

Эта задача сводится к определению положения центра искомой окружности, т. е. построению точки, удовлетворяющей двум условиям : 1) эта точка одинаково удалена от концов А и В данного отрезка AB (черт. 6);

2) она лежит на перпендикуляре к касательной АЕ, проведенной к искомой окружности через один из концов данного отрезка AB, с которым она образует угол а. Анализ решения задачи должен это выяснить.

Для решения задачи учащиеся должны знать, что перпендикуляр к касательной в точке касания есть геометрическое место центров окружностей, касающихся данной прямой в данной на ней точке. Упоминания об этом нет в учебнике, и ознакомить с этим учащихся следует при прохождении свойства касательной (§ 133 учебника).

После этой задачи в учебнике (§ 133) дается понятие о методе геометрических мест и приведены решения двух сложных задач, которые должны пояснять сущность метода геометрических мест. Если принять приведенный выше порядок изложения темы, то отпадает необходимость разбора решений этих задач и при недостатке времени их можно опустить.

Изучение решения задач на построение методом геометрических мест следует дополнить примерами новых геометрических мест (см., например, статью «Изучение геометрических мест в VI и VII классах» в № 5 журнала «Математика в школе» за 1950 г.) и решать задачи на их применение.

В сборнике Рыбкина имеются следующие задачи на построение методом геометрических мест.

Задача

№ необходимых геометрических мест

Задача

№ необходимых геометрических мест

§

§

36(3)

3

I,

I

39

6

I, IV

32

5

II,

IV

53(2)

6

II, VII

33

5

IV,

IV

54(2)

6

IV, VII

34

6

IV,

V

57

6

VI, VII

35

6

II,

V

59

7

IV, VIII

36

6

III,

V

60

7

I, VIII

37

6

I,

VI

61

7

IX, VIII

38

6

IV,

VI

62

7

I, VIII

Здесь номера геометрических мест означают:

I. Окружность.

II. Перпендикуляр, проведенный к отрезку через его середину.

III. Биссектриса угла.

IV. Прямая, параллельная данной и отстоящая от нее на заданном расстоянии.

V. Перпендикуляр к касательной в точке ее касания с окружностью.

VI. Прямая, параллельная двум данным параллельным прямым и проходящая посередине между ними.

VII. Прямая — линия центров двух окруж-

Черт. 3 Черт. 4 Черт. 5

Черт. 6

ностей. (При прохождении § 120 учебника.)

VIII. Дуги двух сегментов, вмещающих заданный угол и построенных на данном отрезке по разные его стороны.

Вышеуказанных задач вполне достаточно для закрепления уменья решать задачи на построение методом геометрических мест. Эти задачи ценны еще тем, что решение каждой из них позволяет выполнить посильное для учащихся VII класса исследование.

В задачнике Рыбкина имеется еще ряд задач, требующих построения точки пересечения заданной прямой и некоторого геометрического места. Такие задачи весьма полезны, их следует решать на уроках, начиная с VII класса. Примерами могут служить задачи:

1. Найти на стороне треугольника точку, одинаково отстоящую от дгух других сторон (№ 34, § 3).

2. Дан угол А и точки В и С, расположенные одна на одной стороне угла, другая — на другой. Найти точку N, расположенную на одной стороне угла, причем так, чтобы NC = NB (Ко 35 (2), § 3).

3. Провести окружность, которая проходила бы через две данные точки и центр которой находился бы на данной прямой (№ 3^ § 6).

4. № 31, § 3 (следует продумать чертеж).

5. № 37, § 3 (задача трудная для VII класса).

6. № 31, § 5.

7. № 35, § 5.

8. № 4, § 6.

9. № 58, § 7.

Простейшие задачи на применение метода геометрических мест следует задавать учащимся при устном опросе у доски. Учитель может составлять эти задачи самостоятельно.

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ НА СОВРЕМЕННЫЕ ТЕМЫ

Л. М. ЛОПОВОК (Проскуров)

Задача 1. За три года послевоенной пятилетки число врачей в Закарпатье увеличилось в Б1/2 раз, а других медработников в 4 раза. Зная, что общее число медработников (включая врачей) за это время увеличилось с 626 до 2690, определить, сколько стало врачей в Закарпатье.

Задача 2. В 1940 г. в Литве издавалось 27 журналов и газет, а в 1948 г. 50, причем газет стало вдвое больше, а журналов в V/2 раза больше, чем в 1940 г. Определить, сколько журналов и сколько газет выходило в Литве в 1948 г.

Задача 3. На Украине было 26 400 колхозов. В результате укрупнения число колхозов уменьшилось на 12 Ö00, но количество пахотной земли в колхозе (в среднем) увеличилось на 750 га. Определить количество пахотной земли в украинском колхозе (в среднем) после укрупнения.

Задача 4. Шахтеры обязались в 1948 г. дать 150 млн. рублей сверхплановых накоплений. В действительности же они перевыполнили свое обязательство на столько миллионов рублей, число которых на 35 превышает число процентов, на которое шахтеры перевыполнили свое обязательство.

Сколько миллионов рублей сверхплановой экономии дали шахтеры в 1948 г.?

Задача 5. За три года послевоенной пятилетки промышленность Москвы перевыполнила план на 7,5 млрд. рублей, причем в 1947 г. перевыполнение было на 800 млн. рублей больше, чем в 1946 г., но на 1,1 млрд. рублей меньше, чем в 1948 г. На сколько был перевыполнен план в каждом году?

Задача 6. Для выполнения плана полезащитных лесонасаждений организованы лесозащитные станции, степные лесхозы и лесопитомники. Зная, что всех перечисленных объектов 410, причем третьих на 10 больше вторых, а первых в 2 j-y раза больше, чем вторых и третьих вместе, определить, сколько создано ЛЗС, лесхозов и лесопитомников.

Задача 7. Повысив скорость резания чугуна на 1690 м/сек, лауреат Сталинской премии Быков сократил время на обработку детали с 35 мин. до 2*/2 мин. Какой скорости резания он добился?

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О «СПРАВОЧНИКЕ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ» М. Я. ВЫГОДСКОГО*

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

Под справочником (речь идет о математических справочниках) обычно подразумевается такая книга (или брошюра), в которой в строгой системе приводятся математические таблицы, формулы, правила, условные обозначения и т. п. по данному разделу математики; пояснительный текст обычно бывает предельно кратким и лаконичным. Основное качество, характеризующее хорошо составленный справочник,— это его удобообозримости дающая возможность быстро навести требуемую справку. Справочник не есть ни учебник, ни дополнение к учебнику, ни методическое пособие и не может служить их заменой. Многословие, пространные повествования, «вольные отступления», бессистемность изложения весьма вредно отражаются на качестве учебной литературы, и тем более эти паразитизмы не должны иметь места в справочнике, так как их наличие несовместимо с основными качествами, характеризующими справочник. В справочнике не может помещаться случайный материал по личному благоусмотрению автора, напротив, непременным условием является тщательная продуманность в подборе материала и системе его расположения.

Заметим, впрочем, что под справочником иногда подразумевают книгу, в которой дается исчерпывающее по полноте изложение той или иной дисциплины, но к такой категории рецензируемая книга не относится.

Обратимся к справочнику М. Я. Выгодского. Эта книга — сравнительно небольшая по величине (может быть уложена в карман), однако ее объем выражается цифрой 24,87 («полезная площадь» с точки зрения авторского листажа) учетно-издательских листов. Объем достаточно внушительный для учебника, а не только для справочника. Этот эффект достигнут издательством тем, что весь текст набран мелким шрифтом. При столь щедром объеме авторского листажа можно подумать, что книга содержит весьма богатый справочный материал по математике, однако на самом деле это не так, справочного материала в книге не больше, чем в издававшихся в различное время справочниках (гораздо менее объемистых) по элементарной математике.

Один из основных пороков книги М. Я. Выгодского заключается в том, что в ней справочный материал буквально тонет в материале, никакого отношения к справочнику не имеющему. Такая структура книги находится в резком противоречии с качествами, которые должны быть присущи справочнику. Приведем несколько примеров.

Как отмечает автор в предисловии, в ряде случаев в справочнике даются выводы: «Это сделано в тех случаях, когда в школьных учебниках соответствующие вопросы либо вовсе не рассмотрены, либо неудовлетворительно изложены». В исполнение этой установки автор излагает достаточно полно теорию комплексного числа. Однако дополнениям к стабильному учебнику место не в справочнике, а в специально издаваемых учебниках и методических пособиях для заочников, для учителей и т. п.

Справочник не должен дублировать теоретические рассуждения и выводы, которые содержатся в любом учебнике, однако, по совершенно непонятным причинам, на стр. 175 автор решил дать общеизвестный вывод формулы корней приведенного квадратного уравнения.

Справочник не есть научно-популярная брошюра, знакомящая в доступной форме с теми или иными математическими (научными или учебными) дисциплинами, однако в главу VI автор включил параграф «Понятие о предмете аналитической геометрии», в котором вообще не содержится никакого справочного материала.

Справочник не есть методическое пособие, в котором дается анализ типичных ошибок и указываются пути их преодоления, а потому в справочнике вряд ли уместны такие поучения, как (стр. 136):

* Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951, изд. 5, стереотипное.

«Предостерегаем от часто делаемой ошибки: (а + Ь) 2 не равно а2 + Ь2»*.

Никто не оспаривает пользы исторических сведений, однако излишние пространные исторические повествования в справочнике вряд ли уместны. Трудно оправдать, например, наличие в книге Выгодского подробного изложения вавилонской нумерации; едва ли очень часто понадобится массовому потребителю справочника наводить справки по вавилонской клинописи.

Одним из самых существенных пороков рецензируемой книги является ничем не оправданное, переходящее все допустимые границы, многословие. Подчас мало содержательные пространные разговоры о вещах, которые даже и не нужны в справочнике, занимают целые страницы. Вот, например, рассуждения, приведенные в гл. III, § 61 «Отрицательные, нулевой и дробные показатели степеней».

«Здесь происходит то же обобщение понятия математического действия, какое совершается в математике постоянно; простейшим и самым ранним обобщением такого рода было обобщение действия умножения на случай дробного множителя. Можно было бы вовсе не вводить ни дробных, ни отрицательных степеней. Но только тогда пришлось бы задачи одного и того же рода решать не по одному правилу, а с помощью множества различных правил. Задачи, о которых мы говорим, принадлежат почти все к высшей математике, поэтому многих конкретных примеров мы привести здесь не можем. Но одна из этих задач подробно изучается в элементарной математике — это логарифмирование. Заметим, что теория логарифмов, которая сейчас неразрывно связана с обобщением понятия степени, в течение целого столетия после ее открытия (на рубеже XVI и XVII веков) обходилась без дробного и отрицательного показателей степени; так же обстояло дело и с задачами высшей математики, о которых мы упоминали».

К чему, например, здесь приплетены задачи высшей математики, о которых автор не имеет возможности говорить? Весь этот текст — образец никчемной (в справочнике!) словоохотливости.

Однако в некоторых случаях многословие перестает носить характер безобидной словоохотливости. Вот что пишет автор на стр. 80 и 81 по поводу деления на нуль в арифметике.

«2. Частное от деления нуля на нуль неопределенно. В этом случае любое число удовлетворяет определению частного. Например, можно положить 0:0=5, ибо 5- 0=0; но с равным правом 0:0=3^» ибо 3-у-0 = 0. Можно сказать, что задача деления нуля на нуль имеет бесчисленное множество решений, и без указания дополнительных данных действие 0 : 0 не имеет смысла. Дополнительные данные должны состоять в указании того, каким образом изменялись величины делимого и делителя до того, как они стали нулями. Если это известно, то в большинстве случаев можно выражению 0:0 придать смысл». Далее следует рассмотрение примера, а затем: «В подобных случаях говорят о „раскрытии неопределенности 0 : 0“. Для раскрытия неопределенности 0 :0 существует ряд общих приемов, изучаемых высшей математикой, но во многих случаях удается обойтись и средствами элементарной математики.

3. Частное от деления какого-либо числа, отличного от нуля, на нуль не существует, так как в этом случае никакое число не может удовлетворить определению частного...

Однако число, отличное от нуля, можно разделить на число, как угодно близкое к нулю, и чем ближе делитель к нулю, тем больше будет частное. Так, если будем делить 7 на ïo> 1ÖÖ> ШЮ' ШЮО и т. д., то получим частные 70, 700, 7000, 70 000 и т. д., которые неограниченно возрастают. Поэтому часто говорят, что частное от деления 7 на 0 «бесконечно велико», или «равно бесконечности», и пишут 7 : о = go . Смысл этого выражения состоит в том, что если делитель приближается к нулю, а делимое остается равным 7 (или приближается к 7), то частное неограниченно увеличивается».

Вместо того чтобы кратко объяснить, почему в арифметике во всех случаях деление на нуль рассматривается как невыполнимое действие (если уж автор решил дать эти не относящиеся к справочнику объяснения), автор приплел в «нестрогом изложении» совершенно не относящийся к делу вопрос математического анализа о пределе отношения двух функций в точке, в которой числитель и знаменатель имеют предел, равный нулю. Известно, что этот предел (если он существует) может быть равен любому числу в зависимости от вида функций f (х) и у (х). Но какое отношение это имеет к вопросу о делении на нуль в арифметике? Причем здесь изменение числителя и знаменателя «до того, как они стали нулями»? Этими «разъяснениями» автор способен лишь дезориентировать читателя, привить неправильные, наивные представления о выражении 0 : 0, как о неопределенности, которую «надо раскрыть». Всем известно, что наивные представления о «раскрытии неопределенности», о «равенстве бесконечности», кроме вреда математическому развитию учащихся ничего принести не могут.

Справочник не является полемической статьей, в которой автор делится своими соображениями по различным вопросам, поэтому в справочнике вряд ли уместны (хотя бы и в сносках) рассуждения по различным дискуссионным вопросам. Примером может служить обсуждение (стр. 74) термина «расширение дроби», самопроизвольно введенного автором. Следует заметить также, что автор справочника не вправе по своему усмотрению вводить новые термины, не получившие всеобщего признания. Обсуждение терминологических вопросов — дело важное, это не есть задача справочника.

Вряд ли нужно доказывать неосуществимость такого предприятия, как создание «универсального руководства», которое явилось бы и справочником, и дополнением к учебнику, и указателем ошибок, и руководством по истории, и статьей, где автор мог бы поделиться своими соображениями по разным вопросам, высказать методические поучения, и которое вместе с тем достаточно систематически решало бы все эти многообразные задачи. Отсюда понятен один из главных пороков книги Выгодского — ее бессистемность. Обратимся к приведенным выше примерам.

Если автор решил в дополнение к учебнику изложить теорию комплексного числа, то, естественно, он должен был бы изложить и все другие вопросы, входящие в ныне действующую программу, но не вошедшие в учебники или изложенные в них неудовлетворительно. Однако всем ясно, что решение такой задачи в рамках справочника совершенно нереально.

* Ввиду небрежной редакции текста трудно сказать, от чего предостерегает автор, не от того ли, что (a + b)2 t cP + b2?

Если автор решил дать вывод формулы корней квадратного уравнения, быть может, потому, что эта формула является основной, то чтобы быть последовательным, он должен был дать выводы и прочих основных формул. Почему бы не вывести, например, формулы сложения для тригонометрических функций; всем известно, что в учебнике Рыбкина эти основные формулы доказаны далеко не наилучшим способом.

Однако автор этого не делает.

Если автор решил, быть может, в целях повышения математического кругозора учащихся, дать понятие об аналитической геометрии, то почему он не дает понятие о прочих дисциплинах «высшей» математики? Почему бы, например, не рассказать любознательному читателю об идеях дифференциального и интегрального исчислений?

Если автор решил предостеречь читателя от неправильного употребления формул сокращенного умножения, то было бы логично сделать соответствующие поучения, касающиеся многих других типичных ошибок. Почему бы, например, не предостеречь учащихся от распространенных ошибок по арифметике, по тригонометрии и т. п.?

Если автор решил познакомить читателя с древневавилонскими клинописными арифметическими записями, то ему следовало бы познакомить читателя с аналогичными записями многих других народов. Так, например, для советского читателя было бы небезынтересно познакомиться с древними арифметическими записями братских народов Советского Союза. Однако о древних нумерациях народов Советского Союза автор ограничивается лишь краткими упоминаниями.

Подобного рода вопросы, естественно, возникнут у всякого, кто возьмет на себя труд хотя бы бегло просмотреть «справочник» Выгодского. Все это показывает, что подбор материала в «справочнике» во многом носит случайный характер и не является плодом кропотливой, трудоемкой работы. Естественно предположить, что во многом автор шел по «проторенной дорожке», использовав все то, что ему было наиболее удобно использовать. Так, например, не секрет, что М. Я. Выгодский имеет публикации по вопросам древневавилонской математики, этим, возможно, и объясняется столь привилегированное положение, в котором оказалась в «справочнике» вавилонская клинопись.

В «справочнике» М. Я. Выгодского содержится ряд ошибочных утверждений, способных дезориентировать читателя и привить ему лишь неправильные понятия и идеалистические представления о развитии науки. Ниже мы приводим примеры некоторых таких утверждений, отвлекаясь от того, уместен ли сам этот материал в справочнике.

На странице 121 автор пишет:

«Предметом алгебры является изучение уравнений и всех тех вопросов, которые связаны с теорией уравнений. В настоящее время, когда математика разделилась на ряд специальных областей, к области алгебры относят лишь уравнения определенного типа, так называемые алгебраические уравнения».

В настоящее время всем известно, что хотя учение об уравнениях входит в алгебру, однако ни предметом современной алгебры-науки, ни предметом алгебры — учебного предмета отнюдь не является лишь изучение уравнений. Архаическое утверждение автора ни в коей мере не дает правильного понятия о предмете алгебры в настоящее время.

На стр. 129, § 4 (глава III), о происхождении отрицательных чисел, начинается следующим «методическим» экскурсом:

«Едва ли не самым темным для учащихся местом в алгебре является учение о действиях с отрицательными числами. И это не потому, что устанавливаемые правила действий сложны. Напротив, они очень просты. Но темными остаются два вопроса: 1) Зачем вводятся отрицательные числа? 2) Почему над ними совершаются действия по таким-то правилам, а не по иным? В частности, очень плохо понимается, почему при умножении и делении отрицательного числа на отрицательное результат есть положительное число».

Далее (на той же странице) автор пишет.

«Долгое время уравнения изучались без помощи отрицательных чисел; при этом возникали многие неудобства; для устранения этих неудобств и были введены отрицательные числа».

Никто не отрицает, что устранение «неудобств», возникавших при решении уравнений, сыграло важную роль в развитии понятия числа. Однако главное все же не в этом. Новые числа (в данном случае отрицательные) вызваны к жизни потребностями практической деятельности человека и оказались жизнеспособными, поскольку они способны отражать соотношения, имеющие место в реальной действительности. Ведь по меньшей мере странно считать, что некие математики, ощутив неудобства при решении уравнений, надумали «ввести» новые числа, чтобы впредь устранить эти неудобства. Такие «картины» развития науки могут рисоваться лишь взорам идеалиста.

На стр. 183 написано:

«В связи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Они называются комплексными. В противоположность комплексным числам, прежде известные числа стали называть действительными или вещественными».

Эта фраза способна лишь дезориентировать учащихся. Прогрессивная методика ведет решительную борьбу с антинаучным противопоставлением действительных чисел комплексным, так как действительное число есть не «противоположность», а частный случай комплексного числа.

В «справочнике» Выгодского встречаются (кстати сказать, совершенно неуместные) утверждения, точный смысл которых автором не устанавливается, но которые, опираясь на наивные представления, подкупают начинающего читателя своей иллюзорной доходчивостью. Сюда относятся наивные инфинитезимальные представления, способные нанести вред правильному математическому развитию учащихся. Приведем один пример. На стр. 304 автор пишет:

«Призма есть частный вид цилиндра (образующие параллельны боковым ребрам; направляющая — многоугольник, лежащий в основании). С другой стороны, произвольный цилиндр можно рассматривать как выродившуюся («сглаженную») призму с очень большим числом очень узких граней».

Утверждение, что призма есть частный вид цилиндра, не может вызвать никаких неясностей. Второе же утверждение, что цилиндр можно рассматривать как выродившуюся призму с очень большим числом узких граней, просто неверно, если его понимать в буквальном смысле. Прогрессивная советская методика, наряду с прочими антипедагогическими «методическими» извращениями, решительно отвергла попытки строить математику (школьную и вузовскую) на столь «прочном» логическом фундаменте, как, например, наивные представления о кривой линии как ломаной «с бесконечно большим» числом звеньев, о криволинейной трапеции как о фигуре, состоящей из «бесконечно большого» количества прямоугольников, и т. д.

Эти представления имеют историческое значение, что вовсе не служит основанием для протаскивания их в современных руководствах в качестве учебного материала.

Из всего изложенного выше видно, что «справочник» М. Я. Выгодского на самом деле вовсе не является справочником. Автор и издательство подали пример, как не надо составлять и издавать справочники.

В справочниках (различной степени полноты) по элементарной математике ощущается острая необходимость. Подготовка и издание справочника является серьезным и ответственным делом, во многом это обусловлено тем, что справочниками пользуется весьма обширный круг лиц (учителя, ученики, студенты, инженеры, практические работники). Однако Гостехиздат упорно в течение ряда лет большими тиражами вместо настоящих справочников выпускает под этим названием весьма и весьма неопределенного характера книгу М. Я. Выгодского. В этом Гостехиздат допускает крупную ошибку.

НОВАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

Второе полугодие 1951 г.

I. Методология математики, советские математики, классики

Александров А. Д., Об идеализме в математике. («Природа», 1951, № 7, стр. 3—11; № 8, стр. 3-9.)

Андреев К., Математика и жизнь. («Огонек», 1951, № 29, стр. 23—24.) Научная и общественная работа П. Я- Полубариновой-Кочиной.

Гнеденко Б. В., Михаил Васильевич Остроградский (1801 — 1861). («Успехи математических наук», 1951, вып. 5, стр. 3—25.)

Делоне Б. Н., К шестидесятилетию Ивана Матвеевича Виноградова. («Известия Академии наук СССР». Серия математическая, 1951, № 5, стр. 385— 390.)

Приложен список трудов И. М. Виноградова (стр. 390-394).

Колмогоров А. Н., Иван Георгиевич Петровский. К 50-летию со дня рождения. («Успехи математических наук», 1951, вып. 3, стр. 160—164.)

Лаптев Б. Л., Жизнь и деятельность Н. И. Лобачевского. («Успехи математических наук», 1951, вып. 3, стр. 10—17.)

Марджанишвили К. К., Иван Матвеевич Виноградов. К 60-летию со дня рождения. («Успехи математических наук», 1951, вып. 5, стр, 190—196.)

Марков Н. В., Геометрия Н.И.Лобачевского и ее философское значение. {«Вопросы философии», 1951, № 5, стр. 77—89.)

Михаил Васильевич Остроградский. К 150-летию со дня рождения. («Украинский математический журнал», 1951, № 3, стр. 235—239.)

Николай Иванович Мусхелишвили. К 60-летию со дня рождения. («Прикладная математика и механика», 1951, вып. 3, стр. 265—278.)

Норден А. П„ 125 лет неевклидовой геометрии. («Успехи математических наук», 1951, вып. 3, стр. 3—9.)

Памяти С. В. Ковалевской. Сборник статей, ответ, ред. П. Я. Полубаринова-Кочина, М., изд. Академии наук СССР, 1951, 156 стр. с портр. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 8 руб.

Рыбкин Г. Ф., О мировоззрении Н. И. Лобачевского («Успехи математических наук», 1951, вып. 3, стр, 18—30.)

Чебышев П. Л., Полное собрание сочинений, том 5, М.—Л., изд. Академии наук СССР, 1951, 475 стр. с илл. и 3 л. илл. Тираж 4000 экв. Цена в перепл. 30 руб.

II. Учебники и учебные пособия

Брадис В. М., Методика преподавания математики в средней школе. Учебное пособие для педагогических институтов, под ред. А. И. Маркушевича, изд. 2, М., Учпедгиз, 1951, 504 стр. с черт. Тираж 40 000 экз. Цена в перепл. 14 р. 90 к.

Бермант А. Ф., Курс математического анализа. Учебное пособие для высших учебных заведений, изд. 6, переработанное и дополненное, часть 1, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 564 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 16 р. 30 к.

Гребенча М. К. и Новоселов С. И., Курс математического анализа. Учебное пособие для физико-математических факультетов педагогических институтов, том 1, изд. 3, М., Учпедгиз, 1951, 544 стр. с черт. Тираж 15 000 экз. Цена 13 р. 15 к.

Гюнтер H. М. и Кузьмин Р. О., Сборник задач по высшей математике, том 3, изд. 4, исправленное, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 268 стр. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 7 р. 70 к.

Ефремов В. А., Сборник задач по геометрии (для педагогических училищ), изд. 3, М., Учпедгиз, 1951, 100 стр. с черт. Тираж 50 000 экз. Цена 1 р. 55 к.

Новоселов С. И., Специальный курс элементарной алгебры. Учебник для педагогических институтов. М., изд-во «Советская наука», 1951, 548 стр. с черт. Тираж 40 000 экз. Цена в перепл. 13 руб.

Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных уравнений. Учебник для физико-математических факультетов гос. университетов, изд. 2, переработанное, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 128 стр. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 4 р. 50 к.

Смирнов В. И., Курс высшей математики. Учебник для физико-математических факультетов гос. университетов с расширенной программой, том 2, изд. 10, стереотипное, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 628 стр. с черт. Тираж 15 000 экз. Цена в перепл. 20 руб.

Смирнов В. И., Курс высшей математики (для физико-математических факультетов гос. университетов), том 3, часть 1, изд. 5, М.—Л., Гостехиздат,

1951, 340 стр. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 11 р. 30 к.

Смирнов В. И., Курс высшей математики. Учебное пособие для физико-математических факультетов гос. университетов, том 3, часть 2, изд. 5, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 676 стр. с черт. Тираж 50 000 экз. Цена в перепл. 20 р. 65 к.

Тулинов Б. А. и Чекмарев Я. Ф., Арифметика (для педагогических училищ), изд. 3, М., Учпедгиз, 1951, 288 стр. Тираж 50 000 экз. Цена 5 р. 40 к.

Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления (для математических отделений гос. университетов), изд. 3, исправленное, том 1, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 696 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 17 руб.

Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учебное пособие для математических отделений гос. университетов, изд. 3, исправленное, том 2, М.— Л., Гостехиздат, 1951, 864 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 23 р. 30 к.

III. Методика преподавания математики, пособия для учителей

Александров П. С, Введение в теорию групп. Пособие для учителей средней школы, изд. 2, М., Учпедгиз, 1951, 126 стр. с черт. Тираж 15 000 экз. Цена 1 р. 75 к.

Брадис В. М., Средства и способы элементарных вычислений. Пособие для учителей математики и физики семилетней и средней школы, изд. 2, М., изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1951, 195 стр. с черт. Тираж 15 000 экз. Цена в перепл. 5 р. 30 к.

Боголюбов А. Н., О профессионально-педагогической направленности преподавания арифметики в педагогических училищах, под ред. А. С. Пчелко, М., изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1951, 24 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 55 коп.

Делоне Б. Н., Житомирский О. К. и Фетисов А. И., Сборник геометрических задач. Пособие для учителей средней школы, изд. 2, М., Учпедгиз, 1951, 96 стр. с черт. Тираж 30 000 экз. Цена в перепл. 2 р. 90 к.

Из опыта преподавания математики и физики в школах рабочей молодежи. Сборник статей, под ред. Н. П. Суворова, М., изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1951, 152 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена 2 р. 70 к.

Три статьи посвящены вопросам преподавания математики, в частности вопросам о самостоятельной работе учащихся.

Кривлева Л. В., Приложение тригонометрии к решению и исследованию геометрических задач, под ред. И. Л. Цветкова, М., изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1951, 40 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена 80 коп.

Опыт работы учителей по преподаванию математики в I—X классах. Сборник статей, под ред. М. В. Антонова и Н. Н. Лобанова, Калуга, изд. отдела учебн. заведений Московско-Киевской ж. д., 1951, 150 стр. с черт. Тираж 2300 экз.

Пономарев С. А. и Стратилатов П. В., Геометрические сведения в курсе арифметики пятых классов семилетней и средней школы. Методическое письмо, М., Учпедгиз, 1951, 32 стр. с черт. Тираж 50 000 экз. Цена 45 коп.

Решение задач на построение методом геометрических мест. Сборник статей, Ставрополь, Крайиздат, 1951, 65 стр. с черт. Тираж 1750 экз.

Репьев В. В., Аналитический и синтетический методы и их применение при обучении математике в школе. Труды Горьковского гос. педагогического института им. Горького, вып. XIV, физико-математический факультет, 1951, стр. 87—166.

Шахно К. У., Сборник конкурсных задач по математике с решениями, М., изд. Ленинградского гос. университета, 1951, 218 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена 10 руб.

Шор Я. А., О решении арифметических задач в педагогических училищах, под ред. А. С. Пчелко, М., изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1951, 63 стр. Тираж 10 000 экз. Цена 1 р. 30 к.

IV. Научно-популярная литература, пособия для кружков

Маркушевич А. И., Возвратные последовательности, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 48 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 80 коп. (Популярные лекции по математике, вып. 1.)

Натансон И. П., Простейшие задачи на максимум и минимум, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 32 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена 50 коп.

Семендяев К. А., Счетная линейка. Краткое руководство, изд. 4, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 47 стр. с илл. Тираж 100 000 экз. Цена 1 руб.

Яглом И. М. и Болтянский В. Р., Выпуклые фигуры, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 344 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 6 р. 50 к. (Библиотека математического кружка, вып. 4.)

V. Монографии по отдельным вопросам математики

Адамар Ж., Неевклидова геометрия в теории автоморфных функций, перев. с франц., М.—Л., Гостехиздат, 1951, 134 стр. с черт. Тираж 4000 экз. Цена в перепл. 4 р. 95 к.

Бохнер С. и Мартин У. Т., Функции многих комплексных переменных, перев. с англ. Б. А. Фукса, М., изд-во иностранной литературы, 1951, 300 стр. Цена в перепл. 13 р. 90 к.

Гильберт Д. и Кон-Фоссен С, Наглядная геометрия, перев. с нем. С. А. Каменецкого, изд. 2, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 342 стр. с черт. Тираж 8000 экз. Цена 15 р. 60 к.

Мышкис А. Д., Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 256 стр. с черт. Тираж 4000 экз. Цена 8 р. 80 к. (Современные проблемы математики.)

Погорелов А. В., Изгибание выпуклых поверхностей, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 184 стр. с черт. Тираж 4000 экз. Цена 6 р. 75 к. (Серия «Современные проблемы математики».)

Смогоржевский А. С, Геометрические построения в плоскости Лобачевского, М.— Л., Гостехиздат, 1951, 191 стр. с черт. Тираж 6000 экз. Цена 6 р. 50 к.

Титчмарш Е., Теория функций, перев. с англ. В. А. Рохлина, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 507 стр. Тираж 5000 экз. Цена в перепл. 22 р. 90 к.

Харди Г., Расходящиеся ряды, перев. с англ. Д. А. Райкова, с предисловием и обзорной статьей C. Б. Стечкина, М., изда-во иностранной литературы, 1951, 504 стр. с черт. Цена в перепл. 29 р. 50 к.

От редакции. Стоимость книг указана по ценам 1951 года.

ХРОНИКА

СОВЕЩАНИЕ ПО ОБМЕНУ ОПЫТОМ РАБОТЫ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ БРЯНСКОЙ ОБЛАСТИ

Ф. Ф. ШАПОВАЛОВ (Брянск)

В конце первого полугодия 1951/52 учебного года Брянский институт усовершенствования учителей провел двухдневное совещание преподавателей математики по обмену опытом работы. В работе совещания приняли участие 50 лучших учителей математики семилетних и средних школ области. На совещании был заслушан доклад на тему: «Состояние преподавания и качество знаний учащихся по математике и задачи дальнейшего улучшения преподавания математики в школах области». В докладе было отмечено, что в период великих строек коммунизма в нашей стране имеются все возможности к тому, чтобы продолжать дальнейшее продвижение математических знаний в широчайшие массы трудящихся, чтобы содержание школьного математического образования вплотную и возможно быстрее приблизить к задачам социалистического строительства нашей страны и развития самой математической науки.

Изучение состояния преподавания математики и качества знаний учащихся показывает, что в работе передовых учителей математики имеются значительные достижения. Не снижая программных требований, высокой успеваемости учащихся по математике в 1950/51 учебном году добились коллективы преподавателей, а также отдельные учителя.

Высокой успеваемости учащихся по математике эти учителя добились благодаря тому, что, повседневно работая над повышением своего идейно-политического уровня и педагогической квалификации, они смогли правильно поставить учебно-воспитательный процесс. Разнообразя приемы и методы работы на уроке, передовые учителя добиваются предельно ясного объяснения изучаемого материала, прочного закрепления изученного, умело сочетают изучение нового с повторением ранее пройденного, систематически контролируют знания учащихся, после чего немедленно принимают меры к устранению недостатков в знаниях учащихся. Принцип индивидуального подхода к учащимся стал для этих учителей сильным орудием в их практической работе по предупреждению неуспеваемости и ликвидации второгодничества. Докладчик рассказал о работе лучших учителей области.

Дальше в докладе было отмечено, что в борьбе за поднятие научно-идейного уровня преподавания математики, за улучшение качества знаний учащихся еще не все учителя успевают за быстро растущими требованиями нашей школы. Нередко не учитывается, что тот уровень математической подготовки учащихся, который считался высоким 3—4 года назад, теперь является уже недостаточным. Это особенно наблюдается в V—VI классах, где учащиеся, зачастую верно формулируя правила и законы арифметических действий, не могут применить их в практике, выполняют устные и письменные вычисления нерационально, не справляются с решением задач средней трудности и особенно типовых задач, недостаточно знают геометрический материал. Это является результатом того, что многие преподаватели математики не учитывают возрастных возможностей учащихся, переоценивая их силы. Наиболее распространенная форма закрепления материала — выполнение упражнений совместно со всем классом с вызовом одного ученика к доске — для многих преподавателей, к сожалению, является единственным приемом, вытеснившим самостоятельную работу учащихся. Подобные же недостатки полностью или частично можно отнести и к постановке преподавания алгебры, геометрии и тригонометрии в VI—X классах.

Первые уроки алгебры в VI классе некоторыми преподавателями проводятся так, что учащиеся механически запоминают объяснение учителя, не понимая сущности буквенной символики. Это в свою очередь отрицательно отражается на выработке у учащихся навыков в выполнении тождественных преобразований.

Одним из недостатков в знаниях учащихся по математике является неправильное представление учения о числе. Даже некоторые выпускники средних школ все рациональные числа представляют себе отличными от тех, которые знакомы им еще из начальной школы; об иррациональных числах имеют

ошибочные представления, как о неточных числах, стоящих под знаком радикала, смешивают иррациональные числа с иррациональными выражениями и т. п., противопоставляют комплексные числа вещественным. Получается это потому, что преподаватели математики при изучении соответствующих тем в курсе V, VIII и X классов мало останавливают внимание учащихся на природе новых для них чисел, недостаточно разъясняют, как протекало в науке расширение понятия числа.

Одна из ведущих идей в математике — идея функциональной зависимости — у некоторых учителей математики недостаточно прочно вошла в практику преподавания. Поэтому нередко учащиеся затрудняются вскрыть зависимость между величинами, слабо справляются с построением графиков функций, не умеют «читать» графиков и т. п. Встречаются случаи, когда учащиеся средних школ дают неправильное определение функции.

Если учащиеся неплохо справляются с техникой решения уравнений, потому что этому уделяется большое внимание со стороны преподавателей, то исследование уравнений, вследствие недостаточного внимания к этому вопросу со стороны преподавателей математики, является одним из слабых мест.

В преподавании геометрии некоторые учителя недостаточно используют наглядные пособия. Наблюдаются отдельные случаи, когда даже первые уроки планиметрии в VI классе и стереометрии в IX классе проводятся без применения наглядных пособий. В результате этого трудные положения систематического курса геометрии усваиваются учащимися формально. Это в свою очередь отрицательно сказывается на развитии пространственного представления. Нередко учащиеся VII—X классов на экзаменах по геометрии затрудняются построить геометрическое место точек, обладающее данным свойством, определить вид сечения пространственной фигуры, решить устно простую задачу, неправильно выполняют чертежи и т. д.

Одним из недостатков в знаниях учащихся по геометрии является неясное представление сущности логической структуры геометрии. Не все учащиеся ясно представляют себе смысл математических предложений, состав теорем, их виды, не выдерживают принципа необходимости и достаточности при доказательствах теорем.

Не все учащиеся справляются с решением задач на доказательство и построение, так как некоторые преподаватели математики предпочитают задачи на вычисление, играющие меньшую роль в развитии пространственного представления и логического мышления учащихся.

Несмотря на возможности, имеющиеся в школах, еще не все преподаватели проводят практические работы по измерению на местности, в результате чего учащиеся не получают практических навыков, необходимых им в жизни.

Доклад закончился перечнем мероприятий по улучшению постановки преподавания и качества знаний учащихся по математике.

С содокладом на тему «Анализ письменных работ учащихся по математике за три последние года, представленных в облОНО для награждения медалями» выступил преподаватель Брянской средней школы № 10 П. М. Бронштейн.

После этого состоялись выступления учителей с докладами, посвященными обмену опытом.

Преподаватель Локотской средней школы Брасовского района М. П. Никитин рассказал: «Готовясь в этом году к работе в VII классах, я задолго до начала занятий тщательно продумал всю систему своей работы. Я критически взвесил свой многолетний опыт работы, предусмотрел все новое в научно методической литературе и в опыте работы передовых учителей, и, оценив знания своих будущих семиклассников, спланировал учебно-воспитательную работу с ними. Готовясь к уроку, я продумываю все его стороны до деталей, стремясь к тому, чтобы построение урока было полностью оправдано педагогической целесообразностью и максимальной эффективностью. Чтобы достичь этого, я полностью использую все 45 минут урока, уплотняя умственную и техническую работу учащихся. Проверку домашней работы часто сочетаю с опросом учащихся, стараясь активизировать их внимание; объяснение нового материала провожу большей частью методом беседы строя ее так, чтобы учащиеся сознательно усваивали новый материал. Научив учащихся применять полученные знания, я немедленно перехожу от коллективной формы закрепления к самостоятельной работе, чтобы превратить уменья учащихся в навыки, сделав их прочными путем выполнения соответствующего задания домашней работы. Поэтому к подбору домашнего задания я подхожу чрезвычайно строго, оценивая, какие упражнения домашней работы будут в большей мере способствовать закреплению изученного материала. Вместе с тем я уделяю большое внимание повторению ранее изученного материала, не допуская почти ни одного домашнего задания, в котором не содержались бы вопросы повторения. Повторение я строю таким образом, что оно выступает не как простое средство воспроизведения в памяти учащихся того, что они знали когда-то, а как средство прочного закрепления ранее изученного, углубления знаний, обобщения разрозненных знаний по отдельным годам обучения, приведения их в стройную систему. Например, признаки конгруентности треугольников я повторяю параллельно с изучением признаков параллелограмов, где выясняются необходимые и достаточные условия для построения тех и других фигур. Решая задачи на построение в курсе VII класса, я подбираю такие группы задач, в которые входили бы основные задачи на построение за курс VI класса, и т. п.

Не только после письменной контрольной работы, но и после других видов самостоятельной работы учащихся я обязательно провожу работу над ошибками, даю индивидуальные задания учащимся, выполнение которых проверяю в ближайшее время. Таким образом, организованная работа с учащимися не вызывает у меня нужды в систематическом проведении дополнительных занятий, которые я отношу к «заплаткам», поставленным на плохо организованных уроках».

Затем выступил преподаватель Гута-Корецкой семилетней школы Клинцовского района Д. М. Побожий, который сказал: «Высокой успеваемости учащихся по математике я добиваюсь благодаря тому, что обучение всегда увязываю с воспитанием у учащихся трудолюбия, аккуратности в работе, настойчивости в достижении поставленной цели. Особое внимание уделяю воспитанию учащихся в духе советского патриотизма и советской национальной гордости. Для этого я, используя данные статистики, примеры задач из журнала «Математика в школе», составляю задачи, отражающие в цифровых данных успехи нашего социалистического строительства, строек коммунизма. Решая такие задачи, учащиеся с гордостью противопоставляют темпы и размах строительства наших грандиозных каналов, гидроэлектростанций, протяженность лесозащитных полос,

железных дорог с тем, что было при царской России и есть в настоящее время в капиталистических странах. Часто составляю задачи, отражающие рост материального и культурного уровня своего колхоза, колхозов и предприятий Клинцовокого района. Устаревшие задачи сборника Березанской я переделываю, изменяя фабулу задачи и цифровые данные на соответствующие нашей современности. Стараюсь найти такой момент, чтобы познакомить учащихся с нашими выдающимися отечественными математиками. Так, например, при ознакомлении учащихся VI класса с историей зарождения алгебры я рассказываю, что многое в этой области сделано нашим отечественным ученым Альхваризми, чем уточняю туманные строки старых изданий учебника Киселева. При изучении аксиомы о параллельных знакомлю учащихся с великим русским ученым Н. И. Лобачевским, противопоставляя его величественную личность революционера в науке ученым Запада. Используя даты, указанные в календаре, знакомлю учащихся с другими отечественными учеными: Ковалевской, Чебышевым, советскими математиками — лауреатами Сталинских премий».

Преподаватель Дубровской средней школы Л. В. Глебченков рассказал, как он добивается высокой успеваемости учащихся пятых классов:

«В этом году я обучаю 136 учащихся пятых классов. В итоге первого полугодия у меня только четыре ученика оказались неуспевающими, с которыми я усилю индивидуальную работу по ликвидации пробелов в их знаниях и добьюсь их успеваемости во втором полугодии. Такой высокой успеваемости в первом полугодии я достиг прежде всего благодаря преемственности в работе с учителями начальных классов. Еще в прошлом году, зная, что в этом году буду работать с пятыми классами, я держал тесную связь с учителями, ведущими четвертые классы. Посещая их уроки, я знакомился с уровнем знаний будущих пятиклассников, советовался с учителями, как лучше построить изложение той или другой темы, присутствовал на экзаменах по арифметике. Поэтому, приступая к работе в пятых классах, я уже знал хорошо сильные и слабые стороны в знаниях учащихся и имел возможность сразу же приступить к ликвидации имеющихся пробелов.

Учитывая возрастные особенности детей, я стараюсь изложить им материал с максимальной ясностью, опираясь на их запас знаний и применение наглядных пособий. Очень большое внимание я уделяю решению задач. Решая новый для учащихся тип задачи, я провожу надлежащий анализ, стремясь к тому, чтобы дети сами нашли зависимости между данными и искомыми величинами. Первую задачу нового типа беру с небольшими числовыми данными и такую, которая по своему содержанию понятна всем учащимся.

При решении сложных задач нередко прибегаю к наглядности. Задачи на движение, на нахождение неизвестных по их сумме и разности и многие другие поясняю с помощью их геометрического изображения. Наряду с этим, я уделяю большое внимание выработке у учащихся навыков правильной устной и письменной речи. До тех пор, пока дети не научатся правильно читать арифметические действия, верно произносить и писать математические термины, правильно производить арифметические записи, я не только исправляю их ошибки, но и тренирую их в правильном написании или произношении. Должен сказать, что в настоящее время учащиеся уже мало допускают в этом ошибок».

Опытом проведения измерительных работ на местности при изучении математики в V—VII классах поделилась учительница Бежицкой средней школы № 12 А. И. Геращенкова:

«Привлекая силы учащихся, а иногда и родителей, я изготовила все необходимые инструменты для этой работы: вехи, колышки, мерную цепь, эккеры, угломеры, мензулы и даже астролябию. Практические работы, рекомендуемые программой, я распределяю по классам обучения на осенний и весенний периоды времени. В V классе делаю 6 выходов на местность для выполнения следующих работ: 1. Провешивание прямых линий и их измерение. 2. Измерение расстояний шагами. 3. Измерение расстояний на глаз. 4. Построение и измерение участков, имеющих форму прямоугольника, параллелограма и треугольника. 5. Снятие планов участков простейшей формы.

В VII классе на местности решаем интересные задачи на определение недоступных расстояний — ширины реки, оврага, на определение высот предметов, усложняем работу по съемке плана местности, решаем задачи с теоретическим обоснованием построения перпендикулярных и параллельных прямых линий и пр. В VII классе я уделяю максимум внимания мензульной съемке плана местности полярным способом и способом обхода; решаем с учащимися более сложные задачи на определение недоступных расстояний, на провешивание прямых через местные препятствия.

В порядке выполнения практических работ ученики принимают активное участие в планировании опытного пришкольного участка, цветника, площадок спортивного городка и т. д. Следует сказать, что проведение практических работ с учащимися оправдывает себя: знания учащихся, подтвержденные практикой, лишаются формальности и становятся более прочными».

С большим интересом участники совещания прослушали выступления преподавателей Навлинской средней школы К. П. Михнева и Первомайской школы Почепского района И. Н. Голайдо.

К. П. Михнев изложил свой многолетний опыт по решению арифметических задач с помощью графиков и геометрических изображений. И. Н. Голайдо поделился опытом внеклассной работы по математике.

В порядке обмена опытом работы выступили также другие учителя.

Преподаватель Брянского лесохозяйственного института П. Г. Берфин в своем выступлении отметил недостатки в знаниях абитуриентов, выпускников школ Брянской области, державших экзамены по математике при поступлении в институт в течение ряда последних лет.

Совещание закончилось подведением итогов работы. Материалы совещания его участниками будут использованы в работе районных январских учительских совещаний и в дальнейшей методической работе с преподавателями математики.

О ПРОВЕДЕНИИ «ДНЯ МОЛОДОГО УЧИТЕЛЯ»

П. В. КОЧКИН (Сталинград)

2 марта при Сталинградском областном институте усовершенствования учителей был проведен «день молодого учителя». Ввиду того что такую форму работы институт организует впервые, были приглашены молодые учителя только ближайших 10—12 районов области.

В проведении «дня учителя» принимал участие Сталинградский педагогический институт, в том числе и кафедра математики.

Учителями был заслушан доклад кандидата педагогических наук тов. Т. Н. Анастасьевой на тему: «Выполнение приказа Министра просвещения РСФСР о повышении дисциплины в школе». Доклад был прослушан с большим интересом и вызвал активный обмен мнениями.

Участники совещания высказали мнение, что педагогический институт их в основном вооружил необходимыми знаниями и уменьями для педагогической работы. Однако они указали на ряд недостатков в подготовке педагогических кадров. Как на самые основные недостатки они указали на недостаточную подготовленность выпускников института к классному руководству и ведению комсомольской и пионерской работы в школе.

Заместитель директора по научной части Сталинградского пединститута тов. Б. Ф. Райский в своем выступлении поблагодарил учителей за справедливые замечания и просил преподавателей чаще обращаться в пединститут со всеми затрудняющими их вопросами.

Затем была организована работа секций. Работа секции математики была организована в порядке ответов на интересующие преподавателей вопросы.

Большинство вопросов учителей были по методике работы в V—VII классах.

Молодые учителя просили рассказать о методике изучения графиков в V и VII классах, так как в стабильном учебнике этот материал не освещен.

С большими затруднениями встретились учителя в преподавании геометрии в VI и VII классах. Учителя просили рассказать о ведении записей учащимися на уроках геометрии, о решении задач на построение и доказательство, об изготовлении моделей учащимися.

Учителя встречаются с затруднениями при проведении измерительных работ на местности в связи с изучением геометрии в VI и VII классах: съемка плана, виды измерительных работ на местности и др. Учителя также интересовались, как изготовить измерительные инструменты.

По алгебре и арифметике учителя интересовались вопросом применения норм оценки письменных работ учащихся и особенно требованиями к объяснению решения задач. Обсуждая этот вопрос, преподаватели познакомились с письменными работами учащихся других школ. Такой прием внес оживление в работу секции, обсуждение приняло конкретный характер.

Были обсуждены требования к проверке решения задач в письменных работах учащихся по алгебре.

На секции были даны ответы на вопросы по организации повторения во втором полугодии, по методике проведения устного счета на уроках математики, по работе с математическим кружком, об объеме домашних заданий по математике, в связи с приказом Министра просвещения РСФСР о борьбе с перегрузкой учащихся домашними заданиями.

При Областном институте усовершенствования учителей была организована выставка лучшего педагогического опыта учителей школ области.

В заключительной беседе учителя одобрили инициативу по организации «дня молодого учителя» Учителя просили институт и в дальнейшем проводить «дни молодого учителя» не реже одного раза в учебную четверть.

Идя навстречу пожеланиям учителей, институт вынес решение провести следующий «день молодого учителя» в весенние каникулы. На этот «день учителя» приглашены молодые учителя всех районов области. Для выступления с докладами об опыте своей работы институт пригласил передовых учителей школ области и города. Основным вопросом поставлен вопрос подготовки и проведения экзаменов.

ОБОБЩЕНИЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОПЫТА

(пленум по вопросам преподавания геометрии)

М. Б. ГЕЛЬФАНД (Киев)

Практика широкого привлечения передовых учителей к разработке и исследованию ряда методических проблем — важнейшая форма обобщения передового опыта.

Такую форму обобщения передового опыта практикует отдел методики математики Украинского научно-исследовательского института педагогики.

Уже второй раз отдел организует широкое обсуждение вопросов преподавания математики с привлечением большого актива передовых учителей и методистов. В 1950 г. была проведена сессия, посвященная вопросам преподавания арифметики. В конце 1951 г. отдел организовал выездной расширенный пленум в г. Виннице по вопросам преподавания геометрии. Предварительно в течение длительного времени была организована тщательная подготовка к проведению пленума.

К пленуму готовились областные институты усовершенствования учителей, передовые учителя, методисты, ряд педагогических и учительских институтов. В начале года отдел методики математики института разработал проспект предстоящего пленума, выдвинул отдельные проблемы и вопросы преподавания геометрии для их исследования и изучения в школе. Эти проспекты были направлены областным и городским институтам усовершенствования

учителей, педагогическим и учительским институтам, отдельным передовым учителям математики. Отдел получил от 120 учителей и методистов заявки на подготовку докладов по отдельным вопросам, которые выдвигались для широкого их обсуждения.

Научные сотрудники отдела методики математики института руководили разработкой отдельных проблем, вели переписку с учителями, которые собирали материалы и готовились к выступлениям по конкретным вопросам. Тезисы основных докладов и выступлений учителей обсуждались на заседаниях отдела и были предварительно изданы и разосланы участникам пленума.

Пленум состоялся 20—22 октября 1951 г. в городе Виннице. В работе пленума приняли участие около 200 представителей 23 институтов усовершенствования учителей, ряда педагогических и учительских институтов и передовые учителя школ Украины. Пленум заслушал доклад проф. А. М. Астряба на тему: «Выдающийся отечественный ученый и педагог Остроградский». Осветив роль М. В. Остроградского в развитии отечественной математики, докладчик подробно остановился, на характеристике работ крупнейшего математика в области методики преподавания математики и показал значение педагогического наследия М. В. Остроградского для развития методической мысли.

На пленуме были рассмотрены следующие вопросы: «Содержание и задачи преподавания геометрии» (доц. М. Б. Гельфанд), «Преподавание элементов геометрии в I—IV классах» (научный сотрудник М. Д. Дегтярева), «Доказательство теорем в школьном курсе геометрии и подбор соответствующих задач» (доц. Д. М. Маергойз), «Методика преподавания наглядной геометрии» (канд. пед. наук Т. Я. Нестеренко), «Методика решения геометрических задач на вычисления» (заслуж. учитель школы УССР П. А. Горбатый), «Конгруентные фигуры и признаки равенства треугольников» (проф. А. М. Астряб), «Гомотетия и подобие фигур» (доц. О. П. Сергунова), «Понятие площади многоугольника в средней школе» (доц. И. Е. Шиманский), «Практическая подготовка учащихся на уроках геометрии» (доц. М. Б. Гельфанд и аспирант Б. Н. Белый), «Популяризация идей М. И. Лобачевского на уроках геометрии» (канд. пед. наук И. Ф. Тесленко и доц. Роговой), «Роль наглядности в преподавании геометрии» (ст. преподаватель Винницкого педагогического института М. Е. Сокирянский). Доклады вызвали оживленные прения, в которых приняло участие 42 человека.

Анализ содержания выступлений показывает, что в основном они концентрировались вокруг таких вопросов:

1. Повышение идейно-теоретического уровня преподавания.

2. Усовершенствование методов преподавания геометрии.

3. Практическая подготовка учащихся на уроках геометрии.

4. Популяризация идей отечественных математиков на уроках геометрии.

По первому вопросу выступающие подчеркнули необходимость повышения теоретического уровня преподавания геометрии. Отмечалось, что некоторые важные вопросы геометрии, например конгруентность фигур, измерение величин, геометрические преобразования и др., еще не во всех школах проходятся на соответствующем теоретическом уровне. Участники пленума не ограничились критикой недостатков преподавания, а поделились своим опытом.

Интересно отметить, что только по одному вопросу, а именно по преподаванию темы «Измерение площади многоугольника в средней школе», было представлено три варианта преподавания этой темы, причем все варианты проверены на опыте.

Большое место на пленуме занял вопрос об овладении учащимися методом геометрических доказательств.

Как уже неоднократно отмечалось в нашей методической литературе, основным недочетом преподавания геометрии является недостаточное раскрытие некоторыми учителями предмета и логической структуры школьного курса геометрии в целом. Учащиеся в большинстве случаев хорошо усваивают отдельные теоремы и их доказательства, однако они не всегда видят связи между отдельными теоремами, у них отсутствует целостное представление о предмете и методах доказательства. Геометрический материал учащиеся иногда воспринимают в виде отдельных, изолированных друг от друга фактов, предложений. Выступавшие учителя Ф. М. Больсен (Кировоградская область), Н. Г. Чебуркина (город Львов), О. П. Волошанивский (г. Винница) и др. внесли ряд ценных предложений, указывающих как организовать работу, чтобы учащиеся в необходимой мере научились самостоятельно строить новые умозаключения на основе уже известных теорем, конструировать доказательства. Ученики должны осознать, что каждая доказанная теорема становится ключом для новых теорем, для установления новых геометрических соотношений.

Значительное внимание на пленуме было уделено правильному применению наглядности в преподавании геометрии, правильной постановке преподавания пропедевтического курса геометрии (элементов геометрии в IV и V классах).

Как выяснилось на пленуме, основным недостатком в преподавании наглядного курса геометрии в V классе является или чрезмерная теоретизация этого курса (иногда изложение его недоступно детям 12-летнего возраста), или его вульгаризация (сведения его исключительно к заучиванию готовых формул). Недостатки в преподавании объясняются тем, что до последнего времени отсутствовала по этому вопросу необходимая методическая литература*.

Широко обсуждался на пленуме вопрос о практической подготовке учащихся в связи с преподаванием геометрии. Задача практической подготовки учащихся в настоящее время, в период постепенного перехода от социализма к коммунизму, приобретает особенное значение. Школа должна также вооружить учащихся знаниями и уменьями, необходимыми для будущей практической деятельности.

Учителя В. О. Петрова (г. Винница) и В. М. Бурый (г. Лубны) поделились опытом удачной увязки изучения геометрии с решением задач производственного и бытового характера.

Особенно содержательны были выступления по вопросу проведения практических работ на местности (Л. М. Лоповок, г. Проскуров, М. М. Тимчук, Винницкая обл., Д. Т. Щербаков-Курочко, Станиславская обл.).

Выступления участников пленума, посвященные популяризации идей Лобачевского на уроках геометрии, показали, какие большие возможности имеет учитель в этой области. Эти вопросы требуют дальнейшей разработки, которая дала бы возможность

* После пленума вышло в свет следующее пособие: А. М. Астряб, Наглядная геометрия, изд. Радшкола, 1951.

учителям в доступной для учащихся форме осветить некоторые идеи великого ученого как на уроках геометрии, так и на занятиях математического кружка.

На пленуме была продемонстрирована интересная и содержательная выставка наглядных пособий по геометрии, организованная Винницким педагогическим институтом и областным институтом усовершенствования учителей.

В конце заседания заместитель директора УНИИП доцент Н. П. Нежинский в своем выступлении подчеркнул значение идейно-политического воспитания на уроках геометрии, а также поставил задачу научного обобщения и популяризации передового педагогического опыта.

Материалы пленума подготовлены к изданию отдельным сборником.

НА «ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ЧТЕНИЯХ»

И. Б. ВЕЙЦМАН (Москва)

Свыше 130 учителей математики представили доклады на «Педагогические чтения» Академии педагогических наук. В текущем году зачитанные доклады были посвящены в основном четырем темам:

1) Пути и методы повышения успеваемости по математике.

2) Вопросы идейно-политического воспитания учащихся.

3) Проблемы методики алгебры и арифметики.

4) Проблемы методики геометрии.

Р. Б. Срода (поселок Мумра Астраханской обл.) в докладе «Пути повышения качества знаний по математике» на материале собственного опыта подробно изложил, как правильное и повседневное соблюдение известных требований дидактики — наглядность, самостоятельные работы учащихся, связь теории с практикой, заранее обдуманная подготовка учеников к активному восприятию нового материала, — обеспечивает высокое качество знаний.

Учитель Егорлыкской школы Ростовской области А. Г. Перцев представил доклад на тему «Какими путями я добиваюсь полной успеваемости». А. Г. Перцев благодаря установке на сознательное и осмысленное усвоение излагаемого материала, индивидуальному подходу к учащимся и пробуждению интереса к математике средствами внеклассной работы за год занятий со слабо подготовленным классом достиг прочных знаний и полной успеваемости.

С большим интересом был прослушан доклад А. И. Зыкус (Калинин) «Как я добиваюсь прочных знаний по математике у учащихся VI—VII классов». На большом материале докладчица показала, как она осуществляет принцип «учить урок на уроке».

Я. А. Шор (Москва) разработал интересные задачи по теме «Материалы великих строек коммунизма на уроках арифметики».

М. Н. Покровская (Москва) в течение многих лет работала над вопросом «Воспитание внимания на уроках математики». Докладчица тесно увязала психологическую проблему внимания со всеми этапами школьного преподавания.

Н. М. Маслова (Горький) в докладе «Домашние творческие работы учащихся по математике» показала, как ей в слабом классе удалось привить интерес к математике путем домашних работ по геометрии, связанных с построением и вычислением элементов различных комбинаций из многоугольников и кругов.

Д. Н. Лускин (Школа № 1 Московско-Курской ж. д.) изложил опыт своей работы по вопросу «Решение арифметических задач с письменным объяснением». Однако выступавшие в прениях не поддержали тенденцию многословных объяснений при решении арифметических задач.

В. Я. Векслер (Горький) дал разработку материала по теме «Метод полной математической индукции» на основе практики работы в VIII— X классах.

Я. Д. Савельев (Челябинск) разработал изложение темы «Комплексные числа», при этом он исходит прежде всего из геометрической интерпретации числа.

Работа А. А. Мазаника (Могилев) «Решение задач на построение методом геометрических мест» представляет методически подобранные упражнения, выясняющие понятие «геометрическое место точек» и подбор задач на построение методом геометрических мест.

Ряд работ был представлен по вопросам, связанным с решением задач по геометрии с применением тригонометрии; из них особый интерес представляет фундаментальная рукопись (плод двенадцатилетнего труда) учителей Пензенской области братьев А. И. Худобина и Н. И. Худобина. Рукопись представляет задачник, содержащий 500 задач и упражнений. Сборнику предшествует подробное рассмотрение вопросов геометрии и тригонометрии из курса VIII и IX классов, встречающихся при решении задач по геометрии с применением тригонометрии в X классе.

Ко многим задачам приведены образцы решений, причем авторы применяют контроль решения, проверяя полученную формулу решения для предельных положений фигуры.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 1 ЗА 1952 г.

№ 1

Доказать, что если

то

Решение. Из условия задачи вытекает, что

Имеем далее:

№ 2

Дан треугольник ABC. На его сторонах АС и ВС построить соответственно точки D и Е так, чтобы отрезок DE был параллелен стороне AB и чтобы имело место равенство

AD + BE=n-DE

(п — натуральное число, я > 1).

Решение. Если обозначить DC через х, то будем иметь (черт. 1):

Черт. 1

По условию задачи

Отсюда

Построение х по данным а, Ь, с и п не вызывает затруднений. Приведем другой чисто геометрический способ решения этой задачи. Пусть отрезок DE будет искомым. Из условия задачи вытекает, что

Отложим на отрезке DE отрезок DK-тогда

Проведем через точку С прямую, параллельную стороне AB . Точки пересечения этой прямой с прямыми АК и ВК обозначим соответственно через т и N. Так как

то

так как то

Таким образом, точки N и т могут быть легко найдены. Теперь можно найти точку К. Дальнейшее ясно.

№ 3

Дана последовательность треугольников, в которой каждый последующий треугольник имеет своими вершинами точки касания со сторонами предыдущего треугольника окружности, вписанной в этот последний. Найти предел суммы отношений площадей треугольников к радиусам описанных около них окружностей, если площадь первого из треугольников^ последовательности равна S, а радиус описанной около него окружности равен R.

Решение. Пусть треугольник АпВпСп — один из треугольников последовательности, а точки An_^lf Bnxly Сп+\ являются точками касания сторон треугольника АпВпСп со вписанной в него окружностью (черт. 2).

Обозначим радиус этой окружности через гп. Так как

то

Отсюда следует, что

Имеем:

где

Rn — радиус окружности, описанной около треугольника АпВпСп.

Далее,

Отсюда следует, что

Таким образом, отношение площади какого-либо из треугольников последовательности к радиусу описанной около него окружности в два раза меньше отношения площади предыдущего треугольника к радиусу описанной около этого последнего окружности. Отсюда вытекает, что последовательности рассматриваемых отношений представляют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен -я“, а знаменатель -g-.

Предел суммы членов этой последовательности равен:

№ 4

Число, кратное 35, в системе счисления с двузначным основанием записано в виде 1234. Найти это число.

Решение, Пусть основанием системы служит число 10 X + у. Тогда будем иметь:

где N—частное от деления искомого числа на 35. Отсюда вытекает, что число у* + 2 _у3 Зу + 4 должно делиться на 5. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что это возможно только при у — 1 или при y=Q.

Пусть у= 1.

Тогда

Перепишем это равенство так:

Число Ахв+2х2—х+2 делится на 7 только при jc=1 и jc = 8.

Подобным же образом убеждаемся, что при у = 6 значением х может быть только число 4.

Итак, условию задачи удовлетворяют числа:

№ 5

На основании ABC тетраэдра МАВС выбрана точка О так, что

пл. Д АО В: пл. Д£ОС:пл. &АОС=т:п:р.

Через середину Ai ребра MA проведено сечение А^В^Сх так, что прямая МО проходит через центр тяжести сечения. В каком отношении плоскость AiBiCi делит ребра MB и MC.

Решение. Пусть N — центр тяжести сечения 4£]С2 (черт. 3). Тогда пл. /\АгЫВ{ = пл. Д A\NCi = пл. Д B\NC). При решении задачи воспользуемся теоремой, гласящей, что отношение объемов двух тетраэдров, имеющих по равному трехгранному углу, равно отношению произведений ребер, образующих этот трехгранный угол.

Черт. 2

Имеем:

Это дает нам:

Подобным же образом найдем, что

№ 6

Решить уравнение

27*4+ 18лгЗ — л:+ 1 = 0.

Решение. Проще всего можно решить эту задачу следующим образом:

Умножим все члены уравнения на 3 и положим 3 X = у.

Получим уравнение:

Перепишем это уравнение так:

Отсюда вытекает уравнение:

Полагая у2 + y=s z, получим уравнение:

Дальнейшее ясно.

Некоторые читатели прислали следующий вариант решения. Данное уравнение можно переписать так:

Это дает нам:

Полагая Зх2 + х= у, приходим к уравнению:

№ 7

Дан квадрат ABCD со стороной 10 см. На стороне ВС взята точка М. Точка N есть точка пересечения прямых AM и DC. Определить длину отрезка ВМ, зная, что длина отрезка MN равна 12 см.

Решение. Обозначим угол ВАМ через а (черт. 4), Имеем: ВМ ± МС= ВС. Это дает нам:

Так как cos а ф 0, то

Возьмем уравнение:

(оно получено возвышением обеих частей предыдущего уравнения во вторую степень). Отсюда

Легко проверить, что если положить

то будет удовлетворено и исходное уравнение. Теперь имеем:

№8

Решить уравнение

Решение. Имеем:

Данное уравнение может быть представлено в следующем виде:

Это дает нам:

Отсюда

Черт. 3 Черт. 4

№9

Найти область определения функции

Решение. Функция у = arc tg а определена при любом вещественном значении а. Таким образом, задача сводится к рассмотрению неравенства

Так как

то приходим к неравенству:

Отсюда следует, что

№ 10

Если основания перпендикуляров, опущенных из точки т плоскости треугольника ABC на его стороны, лежат на одной прямой, то точка т лежит на окружности, описанной около треугольника ABC- Доказать.

Решение. Пусть MN _[_ AB, МК ± ВС, MP ± _L АС (черт. 5).

Черт. 5

Имеем:

Z AMC + Z ABC = Z AMP + Z CMP 4- Z ABC == Z NMP + Z AMN + Z К MP — Z. KMC+Z ABC.

Так как около четырехугольников AMNP и К MPC можно описать окружности, то Z AMN = Z APN = Z CPK = Z KMC. Следовательно, Z AMC+ ZABC=ZNMP + ZKMP+ ZABC. Принимая во внимание, что

Z NMP + ZKMP = Z KMN, можем написать:

Z AMC + Z ABC = Z KMN+ z ABC.

Около четырехугольника KMNB можно описать окружность. Отсюда следует, что

ZKMN+ zABC= 180°.

Следовательно,

Z AMC±Z ЛВС =180°.

Таким образом, около четырехугольника АМСВ можно описать окружность.

№ 11

Из вершины С треугольника ABC проведены высота CD, биссектриса СЕ и медиана CF. Определить углы треугольника, зная, что углы ACD, DCE, ECF и FCB равны между собой.

Решение. Опишем около треугольника ABC окружность. Пусть точка К является точкой пересечения продолжения биссектрисы СЕ с этой окружностью (черт. 6). Так как

то KF±AB. Следовательно, Z FKE = z DCE. Но Z DCE = z ECF. Таким образом, CF= FK. Хорда KFM — диаметр и, следовательно, точка Z7—центр окружности. Отсюда следует, что Z АСВ = 90°.

Далее:

Черт. 6

№ 12

Экскурсанты заняли 8 одинаковых четырехместных кают на пароходе. Все места в каждой из кают равноценны. Сколькими способами могут экскурсанты разместиться в каютах, если их было всего 32 человека?

Решение. Допустим, что все 32 места на пароходе различны. В этом случае число способов, с помощью которых можно разместить экскурсантов на пароходе, равно Яз2 = 32! Перенумеруем каюты. Зафиксируем какое-либо из размещений, осуществляемое одним из этих способов. Сделаем теперь перестановки экскурсантов, занимающих первую каюту. Это можно выполнить числом способов, равным числу Р4. Так как места в каютах равноценны, то эти способы мы не считаем различными и общее число способов, с помощью которых можно разместить экскурсантов в восьми каютах при условии, что только места в первой каюте равноценны, равно р-^. Если теперь считать и места во второй каюте равноценными, то число способов будет равно р р .

Таким образом, при условии, что каюты перенумерованы, а места в них равноценны, число способов равно /р ч8 . Так как по условию каюты одина-

ковы, то искомое число способов равно

№ 13

Доказать, что

Решение. Пусть А = 10 ai + aQ, причем а0^0 и агф0.

Так как среднее арифметическое одиннадцати чисел не меньше их среднего геометрического, то

(1)

Пусть теперь а\ и а0 принимают всевозможные значения из следующих: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число всевозможных значений для А будет равно 81 (это есть число всевозможных двузначных чисел, записанных с помощью девяти цифр). Для каждого из этих значений напишем соответствующее неравенство вида (1).

Перемножим все эти неравенства.

Произведение левых частей обозначим через Р: И81.

Так как среди всех двузначных чисел имеется девять чисел вида 1 а0 (а0 может быть любой цифрой из девяти значащих цифр), девять чисел вида 2 #о и т. д., то в результате будем иметь:

Это дает нам:

Заметим теперь, что Р — произведение всех двузначных чисел, записанных с помощью девяти значащих цифр. Если мы умножим Р на произведение этих цифр, т. е. на 9! и на произведение 10-20Х Х30-40-50-60.70-80-90-100, то получим произведение всех натуральных чисел от 1 до 100.

Имеем, таким образом:

100!= Р.9! 10.20.30.40.50.60.70.80.90.100 = Р.(9!)2.10И.

Следовательно,

№ 14

На сторонах AB, ВС, CD, DA параллелограма ABCD взяты соответственно точки Du Ait В\, Ci, так что

Отрезки ААЬ BBit CClt DDh пересекаясь, образуют четырехугольник MNEF. Зная, что площадь параллелограма ABCD равна Q, определить площадь четырехугольника MNEF.

Решение. Замечая, что (черт. 7)

Черт. 7

полагаем:

Имеем далее: Следовательно, Так как

то

Таким образом,

Так как площадь треугольника BDC равна -gr , то площадь треугольника ВСВ\ равна

Но тогда площадь треугольника ВСЕ равна:

Легко видеть, что треугольники ABN, ВСЕ, CDF, ADM равновелики. Следовательно, искомая площадь равна

№ 15

Дано уравнение

Составить уравнение, корнями которого служат квадраты корней данного уравнения.

Решение. Обозначим корни данного уравнения через аь а2, а3, а4.

Известно, что

Имеем:

Возьмем теперь уравнение, имеющее своими корнями числа:

В этом случае

Перемножая написанные равенства, получим:

Обозначим х2 через у. Получим равенство:

Очевидно, что корнями уравнения

будут служить числа:

№ 16

Доказать тождество

Решение. Задача может быть решена применением метода полной индукции.

Очевидно, что тождество справедливо при л=1. Допустим, что оно справедливо при п = k. Обозначим левую часть тождества через /(л) и составим разность f(fc + 1) — /О)-

Производя несложные преобразования и принимая во внимание тождество задачи № 17, получим:

Следовательно, тождество справедливо и при n = k +1« Приведенный способ решения принадлежит С. Лебензону (Московская область).

Большинство читателей доказывало справедливость тождества путем преобразования левой части, рассматривая отдельно случай, когда п — четное число, и случай, когда п — нечетное число. Этот способ требовал довольно длинных выкладок.

Некоторые читатели использовали для преобразования левой части равенства тождество задачи № 17, что дало им возможность значительно сократить выкладки.

№ 17

Доказать тождество

Решение. Большая часть читателей решила эту задачу таким способом. Пусть п—четное число. Имеем:

Если п — нечетное число, то

Ряд читателей для доказательства тождества применили метод математической индукции. Замечая, что равенство справедливо при п = 1, и доказав, что из справедливости равенства при n = k вытекает справедливость его при n = k + l, мы легко убеждаемся в справедливости равенства при любых натуральных значениях п.

ЗАДАЧИ

А. Микиша и В. Михельсон (Москва)

52. Доказать, что при любых целых и положительных значениях число

целое и положительное.

А. Микиша и В. Михельсон

53. Число xyzt— точный квадрат и такое, что число tzyx и частное от деления числа xyzt на число tzyx являются точными квадратами.

Найти число xyzt.

А. Мостовой (Алма-Атинская обл.)

54. По высоте, опущенной из вершины прямого угла, и разности острых углов построить прямоугольный треугольник.

А. Мостовой

55. Решить уравнение

А. Мурклинский (Буйнакск)

56. Дана треугольная пирамида. Доказать, что

где R — радиус шара, вписанного в пирамиду, а ль Л2, h2> й4 —длины перпендикуляров, опущенных из вершин пирамиды на противоположные грани.

А. Мурклинский

57. Найти последние две цифры числа

П. Краснов (Полоцкая обл.)

58. Доказать, что трехчлен

ни при каком целом значении х не делится на число 169.

М. Лейбман

59. В магазине один покупатель купил 47~^м тесьмы, дал в кассу 25 руб. и получил сдачу. Другой покупатель вслед за первым взял 83 м такой же тесьмы, дал в кассу 100 руб. и получил сдачу. Выяснилось, что кассир допустил ошибку: первому покупателю он сдал столько рублей, сколько ему полагалось копеек, и столько копеек, сколько ему полагалось рублей; такая же ошибка была допущена и в отношении второго покупателя. Выяснилось, кроме того, что с обоих покупателей вместе кассир получил за тесьму столько денег, сколько стоила проданная им тесьма, поэтому для исправления ошибки первый покупатель передал второму 64 рубля с копейками. Сколько стоил метр тесьмы?

Ф. Прижак (Московская обл.)

60. Доказать, что число вида

есть точный квадрат.

П. Савчук (Московская обл.)

61. Доказать, что если между цифрами числа 1331 написать по равному количеству нулей, то получится точный куб.

П. Савчук

62. Все грани параллелепипеда — равные ромбы. Один из острых двугранных углов равен 2ср, ребро параллелепипеда равно а. Найти объем параллелепипеда.

Э. Стрелецкий (Гродно)

63. Вычислить плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды, если известно, что центры вписанного и описанного шаров совпадают.

Э. Стрелецкий

64. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Одна из диагоналей параллелепипеда равна/и образует с плоскостью основания угол а, a с одной из боковых граней угол ср. Найти объем параллелепипеда.

Э. Стрелецкий

65. Дан равносторонний треугольник ABC. Найти геометрическое место точек М> для которых MC2 = MA2 + MB2.

Э. Стрелецкий

66. Решить уравнение:

Э. Стрелецкий

67. Доказать, что если р — простое и л—натуральное число, то С£р при делении на /? дает в остатке п.

С. Фридман

68. Углы Л, В, С треугольника ABC удовлетворяют равенству:

Найти зависимость между сторонами a, b и с этого треугольника.

С. Фридман

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

1. Определить отношение объемов двух тел, образованных вращением равнобедренного треугольника вокруг основания и одной из боковых сторон, зная, что угол при вершине этого треугольника равен 2х.

А. Микиша и В. Михельсон (Москва)

2. Доказать, что при а + Ь + с = 0 имеют место следующие равенства:

А. Микиша и В. Михельсон

3. Разложить на множители выражение:

аЗ(Ь — с) — Ь*(а — с) + с*(а — Ь).

А. Микиша и В. Михельсон

4. Упростить выражение:

А. Микиша и В. Михельсон

5. На плоскости даны 10 попарно пересекающихся прямых. Сколько можно построить окружностей, каждая из которых касается трех прямых из числа данных десяти?

Л. Лоповок (Проскуров).

6. Доказать тождество:

Л. Лоповок

7. Плоскость отсекает на ребрах прямого трехгранного угла отрезки, составляющие арифметическую прогрессию с разностью 4 см. Найти размеры этих отрезков, зная, что объем образовавшейся пирамиды равен 140 смд.

Л. Лоповок

8. Шар радиуса 6 дм и удельного веса -^ плавает в воде. Найти высоту выступающей из воды части этого шара.

Л. Лоповок

9. Построить квадрат, три вершины которого лежат на трех данных параллельных прямых.

М. Балк и И. Раухвагер (Смоленск)

10. Решить уравнение:

М. Балк и И. Раухвагер

11. Сумма высоты и средней линии равнобедренной трапеции равна 6 м, а площадь трапеции равна 6 м2. Найти угол между диагоналями.

М. Балк и И. Раухвагер

12. Решить систему уравнений:

М. Балк и И. Раухвагер

13. Доказать, что если числа

образуют арифметическую прогрессию, то

М. Балк и И. Раухвагер

14. Доказать, что основания высот треугольника служат вершинами треугольника, для которого эти высоты являются биссектрисами.

М. Балк и И. Раухвагер

15. В разложении

по формуле бинома Ньютона второй член равен 240, третий член равен 720, четвертый член равен 1080. Найти Ху у у п.

М. Балк и И. Раухвагер

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Исторические решения................................... 1

Профессор Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской................... 4

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

И. Е. Поляков — Об общих признаках делимости ..................... 6

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Ф. Д. Крамар— Выдающийся математик и педагог Иосиф Иванович Сомов........ 10

МЕТОДИКА

М. Н. Покровская — Воспитание внимания на уроках математики.............. 20

B. У. Грибанов — Об учебной литературе по арифметике с точки зрения приближенных вычислений ...................................... 26

И. Ф. Тесленко — О неевклидовых геометриях в средней школе.............. 33

Б. Э. Мирау — Об одной задаче............................. 40

ИЗ ОПЫТА

C. А. Пономарев — Первые уроки арифметики в V классе................. 41

B. П. Петров —О построении графиков в VI классе................... 52

A. И. Бурый — Основные ошибки по арифметике учащихся V—VII классов и их причины . 59

П. М. Рыбаков — Геометрические задачи в V классе................... 68

Я- Е. Гальперин — Запись решения задачи силовой формулой............... 70

Г. А. Птахин — Метод геометрических мест в VII классе................ 74

Л. М. Лоповок — Задачи по алгебре на современные темы................ 76

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

C. И. Новоселов — О справочнике по элементарной математике.............. 77

B. А. Невский — Новая литература по математике..................... 80

ХРОНИКА

Ф. Ф. Шаповалов — Совещание по обмену опытом работы преподавателей Брянской области ........................................ 82

П. В. Кочкин — О проведении «дня молодого учителя»................... 95

М. Б. Гельфанд — Обобщение педагогического опыта................... 85

И. Б. Вейцман—На. «Педагогических чтениях»...................... 87

ЗАДАЧИ

Решения задач...................................... 88

Задачи.......................................... 94

Редакционная коллегия:

Редактор А. Н. Барсуков. Зам. редактора С. И. Новоселов, Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Ф. М. Мидлер

Технический редактор С. Н. Шахов Корректор В. А. Соловова

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6. Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР

Сдано в производство 16/1V 1952 г. Подписано к печати 5/VI 1952 г. Учетно-изд. л. 11,65 А03085 Заказ 1052 Тираж 52 000 экз.

Зн. в п. л. 72 000. Цена 4 р. 50 к. Бумага 82X108V,6=3 бумажн. л.—9,84 п. л.

13-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Москва, Гарднеровский пер., 1а.