МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

3

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1952

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 3

МАЙ —ИЮНЬ 1952 г.

МЕТОДИКА

КАК ПОВЫСИТЬ КАЧЕСТВО ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО АРИФМЕТИКЕ В V И VI КЛАССАХ

П. В. СТРАТИЛАТОВ (Москва)

Задачи в курсе арифметики имеют исключительно важное значение: они повышают уровень общего и математического развития учащихся, являются одним из способов закрепления вычислительных навыков в действиях с целыми и дробными числами, а также играют большую роль в деле сообщения учащимся практически полезных сведений.

Вполне понятно поэтому то внимание, которое в нашей советской школе уделяется вопросу овладения учащимися навыками в решении задач. В задачниках по арифметике начальной школы, а также V и VI классов задачи занимают почетное место. Однако, в практике обучения решению задач учитель встречается с большими трудностями. К сожалению, методики преподавания арифметики, которые имеются сейчас в широком обращении (Е. С. Березанская, В. Г. Чичигин и В. М. Брадис), мало чем помогают учителю в его практической работе. Так, в методике Березанской дается классификация задач по степени сложности уравнения, к решению которого эта задача сводится. Знакомство с такой классификацией необходимо и весьма полезно учителю. Но классификация задач — это не есть методика обучения решению задач, А учитель нуждается именно в такой конкретной, практически ценной методике, которую он мог бы использовать непосредственно на уроке, в работе с учащимися.

Настоящая статья ставит своей задачей помочь учителю в повышении качества обучения решению арифметических задач.

Остановимся на основных затруднениях, которые возникают у учащегося при решении задач, и укажем способы их преодоления.

I. Первой трудностью, как показывает опыт, является то, что ученики недостаточно хорошо знают основные, простейшие задачи, решаемые каждым действием. Между тем основные задачи, решаемые каждым действием, составляют азбуку при обучении решению задач, усвоение которой есть необходимое условие успешности дальнейшей работы. В этом отношении и учебник арифметики Киселева ни в какой мере не помогает учителю. Недостаточно помогают в этом отношении и задачники Березанской и Чекмарева и Филичева. Вспомним, как решается в учебнике Киселева вопрос о простейших задачах. При повторении целых чисел в самом начале V класса в учебнике рассматриваются основные задачи, решаемые действием сложения, вычитания и т. д. Но сделано это нечетко, в разных местах и не подведено итога. Например, в отношении сложения в § 19 говорится о сложении как о действии, состоящем в образовании суммы нескольких чисел, в § 26 говорится об увеличении числа на несколько единиц, но нигде не указывается, что это две основные задачи, решаемые действием сложения.

Больше к вопросу об основных задачах, решаемых действием сложения, автор не возвращается. Аналогично обстоит дело с вычитанием (§§ 29, 36; 37) и с умножением.

Только в отношении действия деления сделано исключение: § 67 озаглавлен: «Задачи, которые решаются при помощи деления», хотя в тексте указаны три задачи и подчеркнуто, что даются «несколько типичных задач».

Именно потому, что в учебнике нет четкости в постановке этого вопроса, ученики наших

школ путают «увеличение в» и «увеличение на» вплоть до X класса.

Что же нужно сделать для того, чтобы ученик знал основные задачи, решаемые каждым действием? В V классе при повторении темы «Целые числа и действия с ними» в начале учебного года учитель должен подвести итог всему опыту ученика, накопленному им при обучении в начальной школе. При повторении каждого действия учитель должен не только проверить, умеет ли ученик производить это действие с многозначными числами, помнит ли он законы действий сложения и умножения, владеет ли он особыми случаями при выполнении действия и т. д., но должен также выяснить, знает ли ученик основные задачи, решаемые этим действием. Учитель должен добиться, чтобы ученик умел перечислить, какие простейшие задачи решаются каждым действием, на каждую задачу умел привести пример (т. е. придумать задачу) и умел распознать по данному условию, какая из основных задач ему предложена.

В тетрадях учащихся должны быть записаны основные задачи, решаемые каждым действием; в процессе работы над этой темой учитель должен предлагать учащимся вопросы: «какие основные задачи решаются действием сложения» и т. д. В конце темы должен подводиться итог, чтобы ученики знали все основные задачи, решаемые четырьмя действиями: сложением (найти сумму двух или нескольких чисел и увеличить число на несколько единиц), вычитанием (по сумме двух чисел и одному из них найти другое; уменьшить число на несколько единиц и узнать, на сколько единиц одно число больше или меньше другого), умножением (найти сумму нескольких одинаковых слагаемых и увеличить число в несколько раз) и делением (по произведению двух чисел и одному из сомножителей найти другой сомножитель; уменьшить число в несколько раз; разделить число на несколько равных частей и узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого).

В последующем курсе арифметики V класса число основных задач, решаемых каждым действием, будет увеличиваться в связи с расширением понятия о числе. Так, при рассмотрении вопроса об измерении величин учащиеся будут оперировать с так называемыми составными именованными числами и познакомятся с раздроблением и превращением.

Полезно подчеркнуть и после нескольких примеров подвести итог: раздробление какого-нибудь именованного числа в единицы низшего разряда производится при помощи умножения, а превращение именованного числа в единицы высших разрядов производится при помощи деления.

Обе задачи представляют частные случаи основных задач, решаемых умножением и делением: превращение сводится к делению по содержанию (во сколько раз одно число больше или меньше другого), а раздробление к увеличению числа в несколько раз.

Особенно важное значение имеет введение дробного числа и установление смысла умножения и деления на дробь. В связи с введением этих двух действий расширяется круг основных задач, решаемых действиями умножения и деления: умножением можно найти: а) дробь числа и б) число по данной одной какой-нибудь доле этого числа, а делением можно найти: а) число по данной его дроби и б) одну какую-нибудь долю данного числа. Частный случай этих двух задач, практически важный и часто применяемый,— это нахождение одного или нескольких процентов числа, а также числа по данному числу его процентов (или по одному его проценту). В дальнейшем, при ознакомлении учащихся с понятием отношения, учащиеся дополнят основные задачи, решаемые действием деления, еще одной — нахождением отношения двух чисел и как частным случаем ее — нахождением процентного отношения двух чисел.

Важно отметить одну характерную особенность в формулировке основных задач, решаемых каждым действием в множестве целых и в множестве рациональных положительных чисел (дополненных нулем). Так, например, при сложении, в множестве целых чисел мы говорим: «увеличить число на несколько единиц»; при сложении в множестве рациональных положительных чисел, мы скажем: «увеличить число на некоторое другое число». Аналогично и для других действий. От учащихся в V классе добиваться такой точности не стоит, но сам учитель должен иметь в виду различие формулировок и большую общность второй из них.

Таким образом, по мере прохождения курса арифметики в V классе учитель все время возвращается к основным задачам, решаемым каждым действием, повторяет ранее изученные и дополняет их новыми. После прохождения темы «Дробные числа» в конце пятого класса необходимо подвести итоги вопросу «Расширение понятия о числе» и повторить еще раз основные задачи, решаемые каждым действием.

Именно так и сделано во вновь вышедшем задачнике по арифметике для V—VI классов С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева под редакцией проф. М. А. Знаменского. Опыт показывает, что так проведенная работа дает хорошие результаты и закладывает необходимые

основы математического развития на простом и вполне доступном учащимся материале, помогает ученикам выбирать то или иное действие при разложении составной задачи на простейшие. К сожалению, многие учителя указанной работы с учащимися не проводят и не добиваются от учащихся твердых навыков и прочных знаний в этом основном вопросе, затрудняя себе всю дальнейшую работу по обучению учащихся решению задач.

II. Второй трудностью при решении задачи является непонимание учеником условия задачи.

Чтобы понять условие задачи ученик должен: 1) понимать смысл каждого слова в условии задачи; 2) правильно прочитать условие; 3) выявить, какие величины фигурируют в условии задачи, какова между ними функциональная зависимость и как результат этого — уметь кратко пересказать и записать условие задачи. Понимание смысла каждого слова необходимо, это должен обеспечить учитель при решении любой задачи. Редко, но в условиях задач в задачниках встречаются такие термины и слова, смысл которых непонятен учащимся (пятиалтынный, двугривенный, иногда даже совершенно неожиданно для учителя — прирост населения и др.). Учитель должен обратить большое внимание на уменье ученика правильно прочитать текст условия задачи, обращая внимание на знаки препинания, четко выделяя все окончания слов, и т. д. Правильное чтение условия задачи обеспечит ученику правильное понимание смысла условия. Приучая учеников анализировать условие задачи, учитель должен обратить внимание учеников на данные в условии задачи числа, приучить учеников выделять те величины, которые характеризуются этими числами, и развивать уменье установить по смыслу, на основе жизненного опыта, функциональную зависимость между величинами. В этом отношении целесообразно иногда условие задачи излагать в так называемой «приведенной форме», т. е. так, чтобы само изложение наталкивало ученика на сопоставление данных в условии задачи чисел и этим облегчало решение задачи.

Так, например, задачу: «Для варки варенья купила 2 кг сахарного песка и 3 кг ягод. Песок стоит по 10 руб. 80 коп. килограмм, ягоды — по 8 руб. килограмм. Сколько рублей истратили на покупку?» — можно формулировать в приведенной форме:

«Для варки варенья купили 2 кг сахарного песка по 10 руб. 80 коп. килограмм и 3 кг ягод по 8 руб. килограмм. Сколько рублей истратили на всю покупку?».

Приведенная форма помогает ученику осознать условие, выделить величины и кратко записать условие задачи. Большую роль для понимания и осознания условия задачи играют графические схемы, наглядно изображающие это условие. Уменье начертить схему к задаче по ее условию показывает уменье ученика проанализировать условие задачи, поэтому весьма целесообразно обучать ученика графической интерпретации условия задачи и требовать составления такой графической схемы с краткой записью данных перед решением задачи. Составление схемы заставляет ученика более глубоко осознать условие задачи и проанализировать его. Схема, составленная к задаче по ее условию, является в некоторой степени наглядным пособием, с одной стороны, а с другой стороны — заменяет анализ условия и помогает ученику решить задачу. По этому вопросу весьма полезные статьи опубликованы в журнале «Математика в школе» (см. № 3 за 1948 г. и № 1 за 1951 г.).

Для закрепления в сознании учащихся функциональной зависимости между теми или иными величинами целесообразно составление с учащимися таблиц. Если учитель хочет закрепить зависимость между производительностью труда рабочего, рабочим временем и количеством выработанных изделий, то он составляет такого рода таблицу:

Количество деталей, вырабатываемых рабочим в час (производительность труда)

Число часов работы

Количество выработанных деталей за время работы

Задавая две величины в этой таблице, учитель предлагает учащимся вычислить значение третьей величины. Например: пусть производительность труда рабочего 5 деталей в час, пусть до обеда он работал 4 часа. Сколько деталей он выработал? Или: за восьмичасовой рабочий день стахановец выработал 56 таких же деталей. Какова производительность его работы в час? И т. д.

В этом отношении при повторении основных задач на 4 арифметические действия учитель может использовать различные величины и выяснением зависимости между ними облегчить ученикам в дальнейшем работу над правильным пониманием условия задачи. Исключительно большое значение при этом имеет самостоятельное придумывание задач учащимися по заданию учителя. Так, например, учитель дает задание учащимся: скорость поезда 40 км в час; придумайте какую-нибудь основную задачу на умножение с данным числом; или еще пример: скорость самолета 300 км в час, а скорость пешехода 5 км в час. Придумайте какие-нибудь

основные задачи на вычитание с этими числами. Аналогично — на деление. Еще пример.

Мальчик катает обруч, окружность которого имеет длину 75 см. Длина квартала, где играет мальчик с обручем 150 м. Какую основную задачу на деление можно придумать с данными числами? И т. д.

III. Третья трудность в обучении решению задач заключается в том, чтобы обеспечить ученику самостоятельное решение задачи.

Каждый учитель по собственному опыту знает, что ученик испытывает большое удовольствие, удовлетворение, больше того, радость, если он самостоятельно преодолел трудность решения задачи. Эта радость творчества является стимулом в повышении интереса ученика к математике. К сожалению, обычно учитель показывает ученику решение новой задачи, ученик запоминает и по аналогии решает остальные задачи, вспоминая «шаблон», данный учителем. Обеспечить ученику если и не самостоятельное решение задачи, то активное участие в поисках решения вместе с учителем, может быть, с помощью наводящих (но не подсказывающих) вопросов— такова одна из основных трудностей при решении задач; если учитель ее правильно преодолеет, то это значит, что учитель втягивает ученика в активный мыслительный процесс, развивает ученика,—заставляет его рассуждать, искать путей и способов, анализировать те или иные намечаемые пути решения и т. д., т. е. активно работать. На первое место здесь нужно поставить последовательный порядок решаемых задач. Он в известной степени осуществляется, хотя и не всегда, авторами задачников.

Наряду с этим, если ученик не может решить какую-нибудь составную задачу, то учителю следует разложить ее на простые задачи и, прежде чем перейти к решению данной составной задачи, рассмотреть с учеником решение, может быть, нескольких простых задач, которые входят в данную составную задачу. Наконец, для самостоятельного решения задач учеником и для повышения его математического развития играют большую роль различные способы решения одной и той же задачи. Весьма полезно поэтому одну и ту же задачу решать различными способами; в связи с этим задачу, которую ученик решал с помощью целых чисел, после ознакомления ученика с дробными числами очень рекомендуем решить еще раз с помощью дробных чисел, если это решение возможно. Дальше будет показано, как это сделать для некоторых задач.

IV. Четвертой трудностью является недостаточное математическое развитие ученика. Объясняется это тем, что учитель обращает недостаточное внимание на каждого отдельного ученика, а иногда не обеспечивает его активного участия в работе, о чем было сказано выше. Поэтому на уроках следует проводить больше самостоятельных работ по решению задач под руководством самого учителя, чаще устраивать контрольные письменные работы, обеспечивая самостоятельное выполнение работы каждым учащимся.

Большое значение для повышения математического развития ученика играет самостоятельное придумывание учащимися задач. Для самостоятельного придумывания задач учеником нужно дать ученику некоторые руководящие указания. На первом этапе можно решенную учеником задачу предложить переделать в другую задачу, в которой бы искомое число было данным, а требовалось бы найти одно из известных чисел в условии задачи (по указанию учителя). Это, конечно, может быть сделано не в каждой задаче. Такое видоизменение условия данной задачи является своеобразной проверкой правильности ее решения. Вторым этапом в работе над составлением задач самим учеником являются задания учителя придумать задачу, аналогичную только что решенной (например, задачу на нахождение двух чисел по их сумме и разности или др.).

Особенно важна для повышения общего и математического развития ученика работа над выработкой математически и грамматически правильной и логически обоснованной речи ученика; ясность понимания и глубина усвоения достигаются только при условии, если между мышлением ученика и уменьем правильно изложить свои мысли имеется полное соответствие. Если ученик понимает сам и может объяснить правильно и обоснованно (по требованию учителя) решение задачи, то это и значит, что он ее знает. Учить ученика правильно выражать свои мысли должен учитель и на уроках арифметики. Это одна из важнейших задач образования, которую школа должна разрешать в свете труда товарища Сталина «Марксизм и вопросы языкознания». В этом отношении весьма важно устное и письменное объяснение решения задачи учеником. Обычная форма объяснения к решению задачи — это постановка вопросов к отдельным действиям. Каждый вопрос, который ставит ученик, должен быть точным, полно вскрывать, понимает ли ученик соответствующий этап решения задачи, правильно грамматически оформлен. Иногда учитель сокращает вопрос в ущерб точности и ясности; этого делать не следует. Иногда в ряде случаев постановка вопроса к каждому действию бывает вовсе нецелесообразна и от нее нужно отказаться, оставив один вопрос задачи, а решение дать сразу без вопросов или в несколько действий, как обычно,

или формулой. Так, например, следует поступить с задачей: «Отцу и сыну вместе 40 лет. Отец старше сына на 28 лет. Сколько лет тому и другому?».

Иногда при решении задачи следует практиковать текстовые объяснения в краткой форме. В этом отношении представляют интерес статьи в журнале «Математика в школе», в № 6 за 1951 год, посвященные этому вопросу. Но нужно обязательно прорешать с учеником хотя бы несколько задач (10—12) аналитическим методом с тем, чтобы ученик имел представление о схеме решения задачи аналитическим методом и мог им воспользоваться при решении задачи, которую он непосредственно решить не сможет. Это мы покажем в заключение настоящей статьи.

Разберем теперь несколько конкретных примеров методики решения задач в V классе.

Пусть, например, учитель закрепляет с учениками решение задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности. Рассмотрим из задачника Березанской задачу № 402.

«Кусок полотна в 104 м надо разрезать на 2 такие части, чтобы в первой было на 16 м больше, чем во второй. По скольку метров полотна будет в каждой части?»

Запишем условие задачи схемой (черт. 1).

Черт. 1

Можно записать условие задачи и таким образом: Кусок 104 м. 1-я часть на 16 м больше 2-й части. Сколько метров в каждой части?

Анализ задачи сводится к рассуждению, что каждую из частей по их сумме было бы легко найти, если бы части были равными. Тогда каждая из них оказалась бы равной 104:2= 52 (л*). Тогда бы пришлось и 16 м разделить пополам (16:2 = 8) и 8 м от 1-й части добавить ко 2-й части. Показываем это на схеме (черт. 2). Найти 2-ю часть нужно так: 52—8= 44 (м), а найти 1-ю часть можно так: или 52-(-8 = б0 (м), или 104 — 44 = 60 (м). Здесь важно целесообразно подобранными вопросами показать, что: 1) 2-я часть меньше 52 м, а 1-я

больше 52 (м) и 2) что разность в каждом случае равняется 8 м.

Это 1-й способ решения задачи (в 4 действия), и он весьма важен, так как более естественен, чем остальные: число делится на две равные части. Учащиеся его легко воспринимают. Это решение удобно давать без вопросов, но сопровождать кратким текстовым пояснением. После этого можно перейти к другому способу решения задачи, показав, что рассмотренный способ не удобен, так как числа могут быть нечетными и деление на 2 нацело будет невозможно (вместо 104 взять, например, 103 м, а вместо 16 взять 17 м).

Для решения задачи опять будем считать обе части равными, именно: если бы 2-я часть оказалась равной 1-й части, то ко 2-й части для этого нужно бы было добавить еще сколько метров? Ответ 16 м. Но тогда 2-я часть стала бы на 16 м больше, чем она была. Что можно сказать в этом случае о сумме обеих частей вместе? Как изменилась бы сумма обеих частей, если 2-ю часть увеличили бы на 16 м? Как же поставить вопрос? Что будем сначала подсчитывать? «Какова была бы сумма обеих частей, если бы 2-я часть содержала столько же метров, сколько содержит 1-я?»

Или: «Сколько метров должен бы содержать весь кусок, если бы 2-я часть содержала столько же метров, сколько содержит 1-я часть?» 104 + 16 = 120 (м). Аналогично ставятся следующие вопросы: «Сколько метров содержит 1-я часть?», «Сколько метров содержит 2-я часть?». Ученики сразу видят, что задача решается этим способом проще (три действия).

3-й способ решения задачи — это 1-ю часть уравнивать со 2-й частью — аналогичен только что рассмотренному.

Есть еще и 4-й способ решения этой же задачи. Это — способ ложного положения. Он хорошо описан в статье Соминского «Математика в школе», № 5 за 1948 год в применении к задачам, решаемым исключением одного из неизвестных способом его замены. Мы считаем способ ложного положения весьма эффективным для повышения активного участия ученика в обсуждении способов решения предложенной задачи и для отыскания наиболее простого из них. Покажем его применение на задаче № 402.

Пусть для 2-й части мы выберем произвольное значение, например 30 м. Тогда 1-я часть, на 16 м большая, будет содержать 46 м и обе вместе составят 76 м, против 104 м, имеющихся в куске, т. е. кусок в этом случае будет короче данного на 104 — 76 = 28 (м). Очевидно, мы не угадали значение 2-й части куска. Исправим

Черт. 2

взятое нами значение; для этого исследуем, как изменится положение, если мы длину 2-й части увеличим на 1 м? Пусть длина 2-й части будет 31 м, тогда 1 часть будет содержать 47 м и весь кусок составит 78 м, т. е. на 104 — 78 = 26 (м) короче данного, при этом 28 — 26 — 2 (м). Значит, увеличив длину 2-й части на 1 м, мы уменьшим разницу в длинах куска на 2 ле. А так как эта разница 28 м, то уменьшать ее на 2 м придется 28:2 = 14 (раз), т. е. 14 раз придется добавить по 1 м ко 2-й части куска, которая, следовательно, равна 30 +14 = 44 (м). Дальше проводится проверка. Особенно эффектен этот способ ложного положения в решении задач на исключение одного из неизвестных способом замены его. Мы рекомендуем статью Соминского для широкого применения в практике работы учителя при решении задач указанного типа. Ее можно использовать целиком в практике работы учителя и выработать на ней прием для решения задач № 454, 455, 456 и др. из задачника Березанской.

Укажем для некоторых задач различные приемы решения в связи с расширением и углублением знаний учащихся по мере прохождения курса V класса. К таким задачам, например, относится задача № 429 и аналогичные ей № 426, 427, 430.

№ 429. «На одну чашку весов поставлены гира весом по 5 кг, на другую—по 3 кг, всего 24 гири. Весы находятся в равновесии. Сколько поставлено тех и других гирь?»

Первый способ их решения в целых числах — это исключение одного из неизвестных способом его замены. Именно на задаче № 429 лучше всего начинать рассмотрение задач этого тина, так как при ее решении более естественно исследовать, сколько следует взять гирь того или другого достоинства. Можно исходить из того, что все гири по 3 кг, или из того, что все гири по 5 кг, или из того, что тех и других гирь поровну, и т. д.

После того как учащиеся в теме «Делимость чисел» познакомятся с общим наименьшим кратным двух и нескольких чисел, следует вернуться к решению этой же задачи и решить ее с помощью вновь изученного понятия, устанавливая, в каких случаях весы будут в равновесии (15 кг, 30 кг, 45 кг). Наименьший одинаковый вес 15 кг, причем трехкилограммовых гирь при этом будет 5, а пятикилограммовых гирь 3, всего 8 гирь. Так как мы имеем 24 гири, то эту комбинацию можно повторить 24:8 = 3 (раза), т. е. трехкилограммовых гирь 5-3 = 15 (штук), а пятикилограммовых гирь 3-3 = 9 (штук).

Наконец, к этой же задаче следует вернуться в VI классе после изучения прямой и обратной пропорциональности, причем рассматривая решение задачи новым способом, каждый раз целесообразно вспоминать, какими способами она решалась раньше.

Наоборот, в теме «Делимость» есть задачи, которые могут быть решены способом замены путем исключения одного из неизвестных. Такова, например, задача № 536 из задачника Березанской.

Покажем еще несколько таких случаев для курса V класса. Рассмотрим, например, задачу № 397 из задачника Березанской.

«Аэроплан летит из Л в Б со скоростью 180 км в час; если он полетит со скоростью 200 км в час, то на тот же путь затратит на 30 мин. меньше. Найти расстояние между А и Б.

(Можно решать задачу в целых числах, заменить только 30 мин. через ~ часа.^

Если аэроплан летел бы за пункт Б второй раз еще часа, то он перелетел бы за Б расстояние 100 км. Но каждый час во 2-й раз он пролетал бы на 200—180 = 20 (км в час) больше, чем в 1-й раз. Значит, чтобы пролететь лишних 100 км он должен был лететь 100:20 = 5 (часов); все расстояние от А до Б равняется 180-5 = 900 (км) или 200-5 — 100 = 900 (км). Но эту же задачу можно решить и в дробных числах.

Если в час аэроплан пролетает 180 км в час, то, значит, чтобы пролететь 1 км пути, он затрачивает часа; во втором случае часа. Значит, на каждом километре пути он во второй раз экономит:

А на всем пути он экономит часа; поэтому от А до Б столько километров, сколько раз jgÔQ часа содержится в часа, т. е.

Рассмотрим еще задачу.

№ 481. «960 книг надо было переплести в кратчайший срок. Одна переплетная мастерская бралась выполнить эту работу за 16 дней, другая—за 24 дня и третья потребовала для выполнения работы 48 дней. Работа была распределена между тремя мастерскими. Сколько книг переплела каждая мастерская и в какой срок была выполнена вся работа?»

Легко ее решать в целых числах. Для этого придется выполнить 8 действий. Однако ее можно решить в дробных числах. Рассмотрим этот 2-й способ решения. Обозначим всю работу за единицу. Тогда 1-я мастерская в 1 день выполнит -^г всей работы, 2-я мастерская в 1 день выполнит ~ всей работы, 3-я мастерская в 1 день выполнит всей работы и, следовательно, все три мастерские вместе вывыполнят в 1 день

Сколько книг переплетет 1-я мастерская? 8 дней составляют от 16 дней; следовательно, за 8 дней 1-я мастерская выполнит заказа, т. е. 960:2 = 480 (книг). Аналогично — вторая -j- (т. е. 320 книг) и третья заказа (т. е. 160 книг). Рассмотрим задачу № 493 из того же задачника.

«Садовник рассчитал, что если садить на грядку по 3 куста, то придется сделать еще 6 грядок, а если садить на грядку по 5 кустов, то свободными останутся 4 грядки. Сколько кустов имеет садовник и на скольких грядках он хочет рассадить кусты?»

Решение задачи с помощью целых чисел общеизвестно.

Приведем решение этой же задачи с помощью дробных чисел.

Высаживая на гряду по 3 куста, садовник занимает под один куст — грядки. Во 2-м случае под каждый куст занимается только -g-грядки. Таким образом, на каждый куст отводится во 2-м случае меньше, чем в 1-м случае, на ~з---g- = -yg- = jjr (грядки). С другой стороны, известно, что в 1-м случае ему нехватило 6 грядок, а во втором случае у него осталось еще 4 грядки свободными, т. е. разница 6 + 4 = 10 (грядок). Эта разница в 10 грядок между 1-ми 2-м способами рассаживания получилась потому, что при 2-м способе на каждом кусте экономились -rg- грядки. Следовательно, кустов всего было столько, во сколько раз 10 больше -jg-, т. е. 10:^- = —2— = 75 (кустов). Отсюда число грядок рассчитывается с помощью 1-го способа рассаживания кустов: 75:3 = 25 (грядок); 25 — 6=19 (грядок).

Покажем возможное оформление решения задачи аналитическим методом.

Задача № 1023 из того же сборника.

«Пионеротряд должен быть через 2 часа к обеду в лагере. Рассчитали, что если отряд будет проходить по 4-^ км в час, то опоздает к обеду на -j- часа. По скольку километров в час должен проходить отряд, чтобы прийти в лагерь за 12 минут до обеда?»

Приводим оформление решения этой задачи.

1. Запись условия задачи (черт. 3)

Черт. 3

2) ? » » » 2 часа, приходит на 12 минут раньше.

По скольку километров в час должен проходить отряд, чтобы прийти в лагерь за 12 минут до обеда?

II. Решение:

Такой вид будет иметь запись решения этой задачи в тетради ученика.

Какова последовательность работы ученика при решении этой задачи?

1. Ученик, прочитав условие задачи, должен кратко записать его, составив соответствующую схему; вопрос задачи выписывается полностью.

2. Ученик составляет схему решения задачи аналитическим методом; для этого, выписан вопрос задачи, он делит страницу пополам вертикальной чертой и выписывает те два вопроса, ответы на которые предварительно необходимо узнать; каждая половина страницы делится снова вертикальной чертой и снова выписываются вопросы, необходимые для решения задачи, и т. д. Это продолжается до тех пор, пока ученик не дойдет до вопросов, ответы на которые содержатся в условии задачи.

3. В составленной схеме вопросов, ученик нумерует те из них, для получения ответа на которые необходимо произвести те или иные вычисления; нумерация производится «снизу вверх» так, чтобы вопрос задачи имел самый высокий номер, т. е. ученик нумерует вопросы, необходимые для решения задачи синтетическим методом, не выписывая их еще раз, а используя составленную схему.

4. Ученик выполняет все действия, нумеруя их в соответствии с нумерацией вопросов, и выписывает ответ к задаче.

Весьма целесообразно приучить ученика проводить проверку полученного ответа.

Перед решением этой задачи следует устно решить с учащимися такие задачи:

1) Пароход должен был пройти расстояние между двумя пристанями за 4 часа. Но из-за встречного ветра пароход опоздал на 15 минут. За какое время пароход прошел расстояние между этими пристанями?

2) Поезд должен был пройти расстояние между станциями А и Б за часа. Машинист увеличил скорость поезда, и поезд пришел на станцию Б на 10 минут раньше срока. За сколько часов поезд прошел расстояние между Л и Б?

Следует рекомендовать перед решением задачи, которая может вызвать ошибки у учащихся, предварительно прорешать с учащимися те простые задачи, решение которых является для учащихся трудным, и этим облегчить учащимся понимание составной задачи и разложение ее на простые задачи.

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КОМБИНИРОВАННЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ПРИМЕРОВ

А. В. ДРОКИН (Нальчик)

В течение нескольких последних лет вопрос о том, как обучать учащихся решению сложных арифметических примеров — отдельно по действиям или последовательными преобразованиями — приобрел большую остроту.

На первый взгляд кажется, что вопрос о способах решения сложных арифметических примеров не должен был вызвать дискуссии, что на него авторитетные работники должны были дать определенные и непротиворечивые ответы, однако мнения методистов о способах решения сложных арифметических примеров разделились.

В журнале «Народное образование» (№ 1—2 за 1946 г.) П. А. Ларичев в статье «О письменных работах по математике на аттестат зрелости» писал, что «было бы целесообразно предъявить учащимся требования выполнять записи решения арифметических примеров в виде последовательно расположенных тождественных преобразований, причем действия, требующие громоздких выкладок, записывать в стороне от основных записей, а все остальные действия выполнять в порядке устного счета».

Так как это было первое авторитетное высказывание в печати на интересующую учителя тему, то в течение более чем года учительство, ориентируясь на это указание, стало строить свою педагогическую работу.

Но П. А. Ларичев ничем не мотивировал своей точки зрения, поэтому вопрос о способах решения примеров полностью разрешен не был.

В журнале «Математика в школе» (№ 3 за 1947 г.) была помещена в порядке обсуждения статья Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева «Арифметические записи в средней школе». В этой статье они писали: «Нередко приходится встречать запись решения примеров «цепочкой». Такая запись нерациональна; ее следует избегать, особенно в примерах, содержащих большое число промежуточных вычислений».

Появление этой статьи, хотя и предложенной редакцией в порядке обсуждения, было принято сторонниками решения примера «по частям», как показатель того, что восторжествовала их точка зрения.

Но так как Ю. О. Гурвиц и С В. Филичев не мотивировали своей точки зрения, то дискуссия все же продолжалась.

В журнале «Математика в школе» (№ 4 за 1948 г.) С. М. Чуканцов в статье «Больше внимания технике арифметических вычислений» возражает против мнения П. А. Ларичева относительно решения примеров способом последовательных преобразований, соглашаясь с ним только в вопросе о выполнении части действия в порядке устного счета.

Далее С. М. Чуканцов пишет: «Наши наблюдения показывают, что школы, в которых учащиеся решение арифметического примера разделяли на отдельные вопросы, имели более высокий процент правильных решений, чем школы, в которых применялась запись «цепочкой»...».

И С. М. Чуканцов не мотивирует своей точки зрения.

Не будем продолжать выписок из статей, так как они повторяют или одну, или другую точку зрения и вместе с этим не приводят аргументов в пользу одного или другого способа.

Казалось бы, что после появления статей Ю. О. Гурвица и С. В. Филичева, а затем С. М. Чуканцова и других можно было бы ожидать, что учителей больше не будет волновать этот вопрос, но он волнует их попрежнему— дискуссия продолжается. В этой дискуссии принимают участие даже учащиеся.

Из всею этого следует, что учительство ждет осознанного, обоснованного решения вопроса. Цель настоящей статьи и заключается в том, чтобы установить как, по нашему мнению, должен быть разрешен вопрос о способах решения арифметических примеров.

Обратимся к тому, как в начальной школе, вплоть до четвертого класса, решаются сложные арифметические примеры.

В наследство от дореволюционной школы нам достались традиционные способы арифметических вычислений, характеризующиеся отрывом навыков в вычислениях от задач преподавания математики в V—X классах средней школы. Многие учителя нашей начальной школы, слепо следуя традициям, тоже не имеют в виду тех задач математического обучения, которые должны разрешать преподаватели математики в средних и старших классах, и не подчиняют этим целям изложение арифметики в начальных классах. В этом, говоря между прочим, заключается одна из причин так называемой «проблемы пятых классов», в которых показатели успеваемости учащихся по арифметике ниже, чем в предыдущем классе.

Но массовая дореволюционная начальная школа не ставила перед собой цели подготовки учащихся к обучению их в средней школе. Образование в начальной школе заканчивалось, самое большее, четвертым годом обучения.

По этим и другим причинам, на которых я здесь останавливаться не буду, старая школа ставила перед собой узко практические цели арифметического обучения, причем идейно-теоретический уровень курса арифметики в ней был очень низким.

Поэтому ясно, что опыт старой школы в преподавании арифметики не должен переноситься без критического к нему отношения в нашу советскую школу.

В старой школе, а во многих младших классах начальных школ и у нас, сложные примеры, например, вида:

решались и решаются так:

в то время как надписанные сверху числа можно было бы записать справа от знака равенства:

В чем же, по мнению учителей, преимущество первой записи перед второй? Ведь первая запись не только неряшлива и громоздка, но и математически неграмотна. Разве нельзя с первых шагов обучения арифметике приучать учащихся ко второму способу записи? В четвертом классе решение примеров таким способом еще более закрепляется.

В пятом классе окончательно закрепляется способ решения примеров «по частям» как единственно возможный. Закрепленный на первых пяти годах обучения способ решения при-

меров расчленением на отдельные действия затем остается для учащихся единственным, а потому и очень привычным. Неудивительно, что решение примера этим способом дает более высокий процент правильных решений, но является ли это аргументом в пользу этого способа, исходя из принципиальных, идейных целей обучения в нашей школе, еще неизвестно.

Проследим далее за учащимися, которые, перейдя в шестой класс, приступают к изучению алгебры. Первые же примеры на определение числовых значений алгебраических выражений ставят учеников в тупик, а у учителей вызывают большие затруднения при обучении учащихся решению этих примеров.

Пусть надо найти числовое значение алгебраического выражения:

Учащиеся пытаются решать пример так:

Но учитель требует естественного для алгебры способа решения полученного числового примера последовательными преобразованиями. И здесь начинаются муки и для ученика, и для учителя. Ученики не понимают, чего от них требуют, но стараются писать «в строчку», «цепочкой»:

Долго еще в шестом классе учитель добивается, чтобы ученики усвоили прием решения числовых примеров способом последовательных преобразований. Но те же затруднения ученики потом испытывают и при преобразовании алгебраических выражений.

В 1947 г. на выпускных экзаменах в седьмых классах в нескольких школах различных районов Краснодарского края учащиеся сложный пример на действия с алгебраическими дробями решали «по частям». И это в алгебре! Когда я спросил затем на летних курсах у учителей этих школ о причинах такого явления, то оказалось, что учащихся не учили решать алгебраические примеры этим способом и что учащиеся, боясь ошибок, сами обратились к этому привычному с раннего детства, испытанному приему решения арифметических примеров. Учителя сами были поражены проявлением такого «атавизма» в навыках учащихся.

В книге Журавлева Б. В. «Логическое развитие учащихся», Ленинград, 1946 г., читаем: «При просмотре письменных работ 1945 г. мы были удивлены, увидев в одной из работ VII класса по алгебре грубейшую ошибку такого содержания:

После сокращения дроби был получен верный результат, поддерживавший уровень хорошей отметки; но ошибка остается чрезвычайно грубой по отношению к логике записи.

И тогда же, при просмотре работ по арифметике IV класса той же школы, мы увидели в одной из работ, получивших самую высокую оценку, запись примерно такого содержания:

Не ясно ли, что обе записи имеют общий источник и что учителя IV и VII классов не так отделены в своей работе друг от друга, как это часто им кажется?» (стр. 12).

Не лишена основания та точка зрения, что решение сложных арифметических примеров представляет собой подготовку к вычислениям в алгебре (и других учебных математических предметах).

В шестом и седьмом классах ошибки вида:

представляют собой достаточно частое явление и хорошо известны преподавателям математики, а поэтому нет необходимости дальше задерживаться на доказательствах того, что отсутствие навыков в тождественных преобразованиях арифметических выражений затрудняет прохождение алгебры.

Укажу еще, что этот недостаток в подготовке учащихся сказывается и в последующих классах: в восьмых — при тождественных преобразованиях иррациональных выражений, в девятых — при логарифмировании алгебраических

выражений и даже в десятых классах. Так, например, при нахождении общего члена разложения бинома учащиеся часто пишут:

Я. С. Дубнов в заметке в журнале «Математика в школе», № 6 за 1947 г., законно недоумевает: «Из каких соображений заставляют ученика писать... при каждом шаге преобразования

вместо общепринятого в математике:

Я считал бы здесь более уместным вопрос не «зачем», а «почему» так пишут. Отвечаю: потому, что понятие о тождестве и навык в тождественных преобразованиях в школе не находятся в поле зрения всего учительства. Пренебрежение к своевременному обучению учащихся тождественным преобразованиям нарушает один из принципов методики, который заключается в том, что новый материал не только должен опираться на пройденный, но и обеспечивать нормальное прохождение следующего за ним материала.

Следовательно, сторонники решения примеров «по частям» не учитывают значения навыков в решении сложных арифметических примеров способом последовательных тождественных преобразований для нормального изучения в алгебре тождественных преобразований.

Они не видят связи между культивированием способа решения примеров «по частям» и затруднениями учащихся в тождественных преобразованиях в алгебре. Оставаясь в рамках узкой точки зрения «легкости» обучения способу решения примеров «по частям», они не отдают себе отчета в том, что при систематическом обучении способу последовательных преобразований он тоже станет легким и будет давать высокий процент правильных решений.

Но в нашей учебно-воспитательной работе мы руководствуемся не только критерием легкости, а и другими критериями, и прежде всего — критерием идейности излагаемого материала.

Привитие учащимся идеи тождественного преобразования, как, например, и идеи функциональной зависимости, может и должно начаться в начальной школе, хотя это и не означает ни систематического изучения там этих понятий, ни употребления соответствующей терминологии. Идеи можно прививать и не называя их, и начиная работу с посильных для учащихся упражнений, как, например: 42 + 19 + 8=50+19 = 69.

Идея тождественных арифметических преобразований связана и с идеей равенства. Указанные выше примеры ученических ошибок показывают безответственное употребление учащимися знака равенства и неполное понимание его смысла.

Привитие навыков в тождественных арифметических преобразованиях, привитие идеи преобразования будет частично способствовать и сознательному употреблению знака равенства.

Если перед нами возникает альтернатива выбора между критерием легкости и критерием идейности, то мы всегда решаем вопрос в пользу второго. Наиболее известным примером такого выбора может служить вопрос о правиле умножения целого числа на дробь, которое очень легко дать перестановкой сомножителей, на что мы не идем, выбирая более трудный путь раскрытия смысла (идеи) нового действия. Отказываться от решения сложных арифметических примеров способом последовательных тождественных преобразований означает решать вопрос не в пользу критерия идейности математического обучения.

Необходимость обучения учащихся решению примеров способом последовательных преобразований определяется не только требованием привития учащимся идеи тождественного преобразования и навыков в этих преобразованиях, но и другими соображениями.

а) Так, учитель Псебайского района А. Г. Дашко в своем письме указывает на то, что пунктуальное выписывание всех действий при решении примера «по частям» приучает учащихся к письменному выполнению и таких действий, как например:

а поэтому не стимулирует учащихся к устным вычислениям там, где они могут быть выполнены. Тов. Дашко полагает, что способ последовательных преобразований является одним из средств включения устных вычислений в текущий материал, что необходимо для систематического привития учащимся навыков устных вычислений, так как «минутки устного счета», выделяемые на уроке в отрыве от проходимого учебного материала, не могут полностью обеспечить достижение цели в привитии навыков в устных вычислениях. Того же взгляда придерживается ленинградская учительница М. Н. Власова, которая практикует устное решение упражнений способом последователь-

ных преобразований такой, например, степени трудности:

и даже более высокой и достигает очень хороших результатов.

б) В связи с этим решается вопрос и о навыках в рациональных (сокращенных) способах вычислений, так как решение каждого примера производится не механическим разложением примера на отдельные действия, а отысканием наиболее короткого и легкого пути достижения цели. Так, например, при способе последовательных преобразований могут в числителе и знаменателе основной дроби выделиться множители, которые сокращаются или целиком, или частично. При способе решения «по частям» числитель и знаменатель вычисляются отдельно, а потому несокращенные делители сохраняются до конца вычисления, усложняя решение.

в) Далее, в связи с применением устных и письменных сокращенных вычислений учащиеся начинают понимать и ценить те законы и свойства арифметических действий, которые они раньше изучали в отрыве от их приложения.

В 1946/47 учебном году полугодовая контрольная работа для VII кл. школ Краснодарского края содержала арифметический пример, который начинался так:

Учащиеся очень многих школ не решили этого примера, так как, обозначив первым действием вычитание:

сочли, что вычитание выполнить нельзя, а потому ... «пример не решается!». Этот случай вскрыл, по крайней мере, два недостатка в подготовке учащихся, а следовательно, и в работе учителей:

1) учащиеся не были приучены к приложению законов и свойств арифметических действий к арифметическим вычислениям;

2) учащиеся, проходившие в течение полутора лет алгебру, не видели связи арифметики с алгеброй и не могли использовать последнюю.

г) Но приложение законов и свойств арифметических действий к устным и письменным рациональным вычислениям требует от учащихся сообразительности, «числовой наблюдательности», уменья использовать свойства данных чисел для рационального решения вопроса, уменья комбинировать числа и действия так, чтобы цель достигалась скорее и легче. Учащиеся получают навыки не только в приложении универсальных, но и специальных приемов (правил) действий, а это значит, что и решение примеров, и вычислительная работа могут способствовать математическому развитию учащихся.

Решением примеров способом последовательных преобразований это достигается, конечно, с большим успехом.

д) Большое количество ошибок учащихся в порядке арифметических действий при решении сложных арифметических примеров также частично объясняется распространением способа решения арифметических примеров «по частям». Учащиеся «выхватывают» из арифметического выражения комбинацию чисел, не отдавая себе отчета о характере арифметического примера, о его структуре.

е) В связи с этим следует отметить, что понятие арифметического выражения в арифметике в течение 6 лет (с I по VI классы) в обучении не фигурирует. О нем вскользь говорится только при введении понятия алгебраического выражения в курсе алгебры VI класса. Совсем не говорится в арифметике V и VI классов об арифметическом тождестве, а между тем впоследствии, в VII классе, опираются на это понятие при введении понятия уравнения. Вследствие этого дальнейшее развитие понятия алгебраического выражения, развитие понятия функциональной зависимости в средней школе затрудняется.

Обратимся теперь к характеристике решения примеров способом отдельных действии.

Прежде всего следует отметить, что все сказанное выше о пользе решения примеров способом последовательных преобразований не исключает положительного отношения к способу решения примера по частям.

Большим достоинством второго способа является его практичность, особенно тогда, когда все или большая часть действий требуют вспомогательных письменных вычислений вследствие трудности выполнить их устно. В этом случае второму способу следует отдавать предпочтение перед первым. Техника вычислений по второму способу отвечает требованиям вычислительной практики.

Объясняется это тем, что в вычислительной практике нас интересует не процесс вычислений, имеющий только учебно-воспитательное значение, а результат вычислений.

Если при способе решения примера по частям выполнять легкие действия устно, а трудные— письменно, причем, где это возможно, посредством сокращенных вычислений, то в математическом обучении обязательно должен

применяться и этот способ, как прививающий учащимся практические вычислительные навыки.

Принимая во внимание, что методика должна рассматривать навыки с двух точек зрения: с практической—для подготовки учащихся к деятельности после окончания школы, и с учебной—для привития навыков и умений, необходимых для дальнейшего плодотворного обучения, следует прийти к выводам:

а) Если сложный пример содержит действия, которые могут быть произведены устно, хотя бы и с некоторыми затруднениями, вызываемыми новизной требования, то пример должен быть решен способом последовательных преобразований.

Пример:

№ 968 (7) из сборника Березанской Е. С

В зависимости от навыков, учащиеся могут решать пример этим способом или более подробно (при слабых навыках), или сокращенно (при сильных навыках).

Ясно, что постепенно решение примеров должно становиться короче, но увлекаться чрезмерным сокращением записи решения примера не следует, чтобы не нарушить фронтального усвоения материала учащимися.

6) Если в примере есть действия, которые требуют письменного вычисления, то только их надо выполнять отдельно и результаты вносить в цепь преобразований, не прерывая последних.

Пример:

№ 1639 из того же сборника задач.

в) Если все или большинство действий настолько трудны, что они могут быть выполнены только письменно, то решать примеры надо по частям. Однако действия, которые могут быть выполнены устно, и должны выполняться устно.

Пример:

№ 1465 (4) из того же сборника задач.

Цель настоящей статьи заключается не в тривиальном выводе, к которому мы иногда приходим в случае столкновения двух противоположных мнений: «Будем пользоваться и одним и другим способом», а в том, чтобы, во-первых, обратить внимание учителей и работников народного образования на необходимость привития учащимся навыков в тождественных преобразованиях арифметических выражений, начиная с обучения арифметике в начальной школе; во-вторых, показать, что и при решении таких методических вопросов, которые кажутся узко техническими, нельзя забывать о задачах идейно-теоретического воспитания учащихся, и, в-третьих, охарактеризовать два указанных способа решения сложных арифметических примеров и в соответствии с этим определить место и значение каждого из них в процессе обучения.

ИТОГИ ПОСЛЕВОЕННОЙ СТАЛИНСКОЙ ПЯТИЛЕТКИ НА УРОКАХ АРИФМЕТИКИ

Л. Г. КРУПОВЕЦКИЙ (Харьков)

С чувством законной патриотической гордости за свою социалистическую Родину советское учительство вместе со всем советским народом встретило сообщение Государственного Планового Комитета СССР и Центрального Статистического Управления СССР об итогах выполнения четвертого (первого послевоенного) пятилетнего плана СССР на 1946 —1950 годы. Из этого замечательного исторического документа советские люди узнали, что принятый Верховным Советом СССР в марте 1946 г. послевоенный пятилетний план восстановления и развития народного хозяйства СССР на 1946 — 1950 годы успешно выполнен, а важнейшие задания плана значительно перевыполнены.

Особенно благодарный материал представляют итоги, приведенные в сообщении, для учителя математики, которому открыты широкие возможности знакомить с ними учащихся путем составления задач на основе содержащихся в них ярких, насыщенных глубоким содержанием числовых показателей выполнения плана.

С опубликованием итогов истекшего пятилетия ясно, что теперь уже нельзя ограничиваться одним только школьным задачником Е. С. Березанской (а также и другими пособиями), где даны задачи, составленные на основе первоначальных заданий пятилетнего плана, имеющих, конечно, огромную историческую ценность, но уже несколько „устаревших“ в данный момент, если изучать их на уроках изолированно от результатов выполнения, так как фактические результаты выполнения важнейших заданий плана значительно превзошли их первоначальные показатели, намеченные планом.

Так, например, вместо установленного пятилетним планом на последний год пятилетки увеличения продукции всей промышленности на 48 96 по сравнению с предвоенным 1940 годом, фактически в 1950 году было произведено промышленной продукции на 73% больше, чем в 1940 году; выработка электроэнергии фактически увеличилась на 87% по сравнению с 1940 годом, вместо увеличения на 70%, предусмотренного пятилетним планом;также значительно превзойдены плановые задания в области национального дохода (увеличение на 64% вместо 38%), по производству черных металлов (на 45% вместо 35%), по добыче угля (на 57% вместо 51%), по добыче нефти (на 22% вместо 14%) и т. д.

Отсюда возникает настойчивая необходимость, наряду с использованием первоначальных показателей плановых заданий, с которыми учащиеся сталкиваются в школьном задачнике и в других пособиях по математике, разрабатывать с ними также новейшие показатели выполнения послевоенного пятилетнего плана.

Нужно учесть еще и то обстоятельство, что сами учащиеся, отличающиеся в своей массе любознательностью, пытливым умом и патриотическими устремлениями, хотят теперь, с завершением пятилетки, знать, какие же ощутительные, конкретные результаты принесли трудовые усилия советского народа в борьбе за воплощение в жизнь великих сталинских предначертаний в деле строительства коммунизма в нашей стране. Отсюда следует, что необходимо расширить кругозор учащихся новейшими, животрепещущими фактами и цифрами выполнения плана путем решения задач на разные темы, что, естественно, будет иметь огромное значение в деле воспитания будущих строителей коммунистического общества.

Исходя из сказанного, мы сочли необходимым дать в этой статье ряд разнообразных задач, разработанных нами на основе данных о выполнении послевоенного пятилетнего плана, которые могут послужить образцом при самостоятельном составлении учителем задач по этим материалам.

При составлении настоящей статьи мы пользовались материалами, опубликованными в перечисленных ниже источниках (основных и дополнительных), и мы рекомендуем учителю обращаться к ним безотносительно к тому, будет ли он пользоваться только имеющимися здесь задачами или будет делать попытки самостоятельного составления задач.

Приводим перечень использованных нами главнейших источников:

1. Сообщение Государственного планового комитета СССР и Центрального статистического управления СССР об итогах выполнения четвертого (первого послевоенного) пятилетнего плана СССР на 1946 — 1950 годы.

2. Об итогах выполнения государственного плана развития народного хозяйства СССР в 1950 году. Сообщение Центрального статистического управления при Совете Министров СССР.

3. Законы о государственном бюджете СССР за послевоенный период — 1945—1950 годы.

4. Доклады о государственном бюджете СССР за 1945 —1951 годы министра финансов СССР тов. А. Г. Зверева.

5. Статьи и разные другие материалы по вопросам послевоенной пятилетки, опубликованные

в центральных газетах („Правда“, „Известия“, „Труд“ и др.) и в журнале „Большевик“ за 1-е полугодие 1951 года.

Чтобы дать возможность учителю ориентироваться в разработанных нами здесь задачах и легко пользоваться ими как образцом при самостоятельном составлении подобных задач, мы расположили их в следующей последовательности:

I. Задачи на обыкновенные и десятичные дроби.

II. Задачи на процентные расчеты:

1. Выражение дроби в виде процентов и обратно— выражение процентов в виде дроби.

2. Нахождение процентов от числа (1-й тип задач на проценты).

3. Нахождение числа по данному его проценту (2-й тип задач на проценты).

4. Нахождение процентного отношения (3-й тип задач на проценты).

III. Задачи на отношения и пропорции.

IV. Графики и диаграммы.

V. Смешанные задачи (для повторения).

Считаем необходимым отметить, что при разработке задач на основе опубликованных материалов мы строго и точно придерживались текста источников, а в математических вычислениях ни в малейшей мере не отступали от принятых в этих источниках числовых приближений с указанной в них точностью.

I. Задачи на обыкновенные и десятичные дроби

1. В области химической промышленности послевоенным пятилетним планом было установлено задание — превзойти в 1950 году довоенный уровень производства в 1,5 раза, но фактически продукция химической промышленности превысила это задание на 0,1(9) его части. Во сколько раз производство химической промышленности превысило его довоенный уровень?

Ответ: В 1,8 раза.

2. Из общего количества 536 тыс. тракторов (в переводе на пятнадцатисильные) полученных сельским хозяйством за послевоенную пятилетку, -ygj- этого числа было поставлено в 1950 году. Сколько тракторов получило сельское хозяйство нашей страны в 1950 году?

Ответ: 180 тыс. тракторов.

3. Число учителей, занятых в начальных, семилетних и средних школах, техникумах и других средних учебных заведениях нашей страны, достигло в 1950 году 1,6 млн. человек, увеличившись на -т\г числа учителей в этих школах в 1949 году. Определить в целых тысячах увеличение числа учителей в 1950 году сравнительно с 1949 годом.

Ответ: на 80 тыс. чел.

II. Задачи на процентные расчеты

1. Выражение дроби в виде процентов и выражение процентов в виде дроби

4. Мощность сельских электростанций к концу 1950 года увеличилась против 1940 года в 2,7(9) раза. На сколько процентов возросла мощность сельских электростанций к концу 1950 года сравнительно с 1940 годом?

Ответ: на 180%.

5. Увеличение производства основных изделий легкой промышленности за истекшее пятилетие характеризуется такими данными:

Изделия легкой промышленности

Хлопчатобумажные ткани

Шерстяные ткани.....

Чулочно-носочные изделия

Кожаная обувь......

Резиновая обувь .....

Увеличение за пятилетие

во сколько раз

2,4

2,9 5,2 3,2 7,0

на сколько процентов

?

?

?

Заполнить таблицу (решить устно).

Ответ: на 140%; 190%, 420%; 220%; 600%.

2. Нахождение процентов от числа.

6. Общая сумма расходов по государственному бюджету на 1951 год составляет 451,5 млрд. руб., из них на развитие народного хозяйства ассигновано 39,53% всех расходов, а на социально-культурные мероприятия — 26,75% всех расходов. Сколько в отдельности ассигновано но государственному бюджету на развитие народного хозяйства и сколько на социально-культурные мероприятия? (Вычислить с точностью до 0,1 млрд. руб.)

Ответ: 178,5 млрд. руб.; 120,8 млрд. руб.

7. Из общей суммы расходов на социально-культурные мероприятия по государственному бюджету на 1951 год в 120,8 млрд. руб. 48,8% предназначено на просвещение. Определить в целых млрд. руб. сумму расходов, предназначенных на просвещение по государственному бюджету на 1951 г.

Ответ: 59 млрд. руб.

3. Нахождение числа по данному его проценту

8. Урожай хлопка в СССР в 1950 году превысил плановое задание на этот год на 650 тыс. тонн, что составляет превышение плана на 21 %. Определить плановое задание на 1950 год (с точностью до 0,1 млн. т.) и фактический урожай хлопка в 1950 году.

Ответ: 3,1 млн. т\ 3,75 млн. т.

9. Количество учащихся в начальных, семилетних и средних школах, техникумах и других средних учебных заведениях достигло в 1950 году 37 млн. человек, увеличившись за пятилетие на 27,6%. На сколько человек увеличилось число учащихся в этих учебных заведениях за пятилетие? (Вычислить в целых млн. чел.)

Ответ: на 8 млн. чел.

4. Нахождение процентного отношения

10. Ко времени окончания послевоенной пятилетки посадок и посевов полезащитных лесонасаждений произведено на площади 1350 тыс. га, из них в 1950 г. 760 тыс. га вместо установленных на этот год по плану 700 тыс. га. Сколько процентов от общей площади лесонасаждений выполнено в 1950 году и на сколько процентов перевыполнено плановое задание на этот год?

Ответ: 56,3%; на 8,6%.

11. В течение пятилетия сельскому хозяйству поставлено следующее количество главнейших сельскохозяйственных машин и орудий (помимо других почвообрабатывающих, посевных и уборочных машин):

Виды машин и орудий

Число машин (в тысячах)

В о/0 к общему итогу

Тракторов (в переводе на 15-сильные)......

Комбайнов зерновых . . . Плугов тракторных .... Сеялок , .... Культиваторов тракторных

536 93 341 254 249

? ? ? ? ?

Итого . .

1473

100,0

Заполнить таблицу.

12. Фактическое перевыполнение некоторых важнейших заданий послевоенного пятилетнего плана характеризуется такими данными (в процентах):

Превышение в 1950 г. уровня 1940 г.

На сколько процентов перевыполнен план 1950 г.

намечено по плану на

фактически выполнено на

Выпуск промышленной продукции . .

Производство черных металлов .....

Добыча угля ....

Добыча нефти . . .

Выработка электроэнергии .....

48%

35% 51% 14%

70%

73о/о

45% 570/с 22%

87%

?

? ? ?

?

Заполнить таблицу.

Указание. Следует находить процентное отношение 173% к 148% и т. д.

Ответ: 17%; 7,4%; 4%; 7%; 10%.

13. Рост промышленного производства СССР (по гражданской продукции) за послевоенный период характеризуется такими данными (уровень 1945 г. принимается за 100%):

Годы

в % к предыдущему году

В % к 1945 г.

1946 1947 1948 1949 1950

г........ .

г.........

г.........

г.........

г.........

120% 122% 1270/с 120% 123%

? ? ? ? ?

Заполнить таблицу.

III. Отношения и пропорции

14. Отношение ассигнований государства и средств предприятий на капитальное строительство в 1948 году к таким же ассигнованиям в 1950 году равно . Сколько в отдельности за каждый год было ассигновано, если сумма ассигнований на эти цели в 1948 году была меньше, чем в 1950 году, на 65,7 млрд. руб.? Ответ: 69,9 млрд. руб.; 135,6 млрд. руб.

15. Общее количество специалистов с высшим и средним образованием, полученных народным хозяйством СССР за пять послевоенных лет, составляет 1930 тыс. человек. Сколько тех и других специалистов в отдельности влилось в народное хозяйство за истекшее пятилетие, если числа, выражающие их количество, обратно пропорциональны числам:

Ответ: 652 тыс. чел. (с высш. образ.); 1278 тыс. чел. (со средн. образов).

16. Построить прямоугольную диаграмму, показывающую рост промышленной продукции СССР за годы послевоенной пятилетки сравнительно с 1945 г., по таким данным (в процентах):

1945 г.

1946 г.

1947 г.

1948 г.

1949 г.

1950 г.

100

120

146

186 223

274

17. Вычислить в процентах и показать наглядно круговой диаграммой распределение расходов нашего государства на социально-культурные мероприятия за истекшее пятилетие по таким данным:

Расходы по отдельным мероприятиям

Сумма (в млрд. руб.)

В % к общему итогу

На народное просвещение , здравоохранение .... . социальное обеспечение , прочие социально-культурные мероприятия . . .

258,9 94,4 102,0

69,2

? ? ?

?

Итого ..

524,5

100,0

Заполнить таблицу.

Ответ: 49,4%; 18,0%; 19,4%; 13,2%.

IV. Смешанные задачи

(для повторения)

18. Увеличение выпуска главнейших сельскохозяйственных машин и орудий в 1950 году сравнительно с довоенным 1940 годом характеризуется такими данными:

Увеличение против 1940 г.

во сколько раз

на сколько процентов

Тракторов ........

Комбайнов ........

Плугов тракторных .... Сеялок , .... Культиваторов тракторных

? ? ? ? ?

280о/в

260% 210% 450% 210%

Заполнить таблицу. (Решить устно.)

19. В техникумах и в других средних специальных учебных заведениях в 1940 году обучалось 975 тыс. человек, что на 24,9% ниже числа учащихся в этих учебных заведениях в 1950 году. В высших учебных заведениях в 1940 году обучалось 812 тыс. студентов, что на 34,9% ниже числа студентов в этих учебных заведениях в 1950 году. Сколько тех и других учащихся в отдельности насчитывалось в 1950 году? (Вычислить в целых тысячах чел.)

Ответ: 1298 тыс. чел.; 1247 тыс. чел.

20. Построить график роста промышленного производства СССР за последние три года послевоенной пятилетки по сравнению с 1940 годом по таким данным (в процентах к 1940 г.):

1940 г.

1948 г.

1949 г.

1950 г.

100%

118%

141%

173%

21. Огромный рост расходов СССР на социально-культурные мероприятия характеризуется следующими данными*:

За какой период

Сумма расходов (в млрд. руб.)

В % к предыдущему периоду

В % к 1-ой пятилетке

В первой пятилетке (1928/29— 1932 гг.)...........

Во второй пятилетке (1933— 1937 гг.)...........

За три года третьей пятилетки (1938—1940 гг.) .......

В годы Отечественной войны (второе полугодие 1941 — 1945 гг.) ........

За послевоенную пятилетку (1946-1950 гг.)........

20,2 93,7 113,6

195,8 524,5

? ?

? ?

? ?

? ?

Заполнить таблицу. Составить прямоугольную диаграмму, показывающую рост расходов на эти цели по сравнению с первой пятилеткой.

* Числовые данные за довоенные сталинские пятилетки и за годы Отечественной войны здесь взяты из книги проф. К. И. Плотникова „Бюджет социалистического государства“ (Госфиниздат, 1948, стр. 328).

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ТЕМУ „ВЕЛИКИЕ СТРОЙКИ КОММУНИЗМА“

И. С. НАРЫШКИН (Калинино, Чувашская АССР)

1. Из общего количества вырабатываемой Сталинградской ГЭС электроэнергии в средний по водности год 2/5 части получит Москва, 8/2б части — Центрально-Черноземные области страны, 7/2б частей — районы Сталинградской, Саратовской и Астраханской областей, а остальные 2 млрд. киловатт-часов пойдут для орошения и обводнения засушливых земель Заволжья и Прикаспия.

Узнать:

а) Сколько киловатт-часов энергии будет вырабатывать Сталинградская ГЭС в средний по водности год?

б) Сколько киловатт-часов энергии будут получать Москва, Центрально-Черноземные области, районы Сталинградской, Саратовской и Астраханской областей?

2. Из общего количества вырабатываемой Куйбышевской ГЭС энергии в средний по водности год 61 % будет передаваться в Москву, 24% —в районы Куйбышева и Саратова, остальное количество энергии — для орошения земель Заволжья. Сколько киловатт-часов энергии будет передаваться в Москву, в районы Куйбышева и Саратова и для орошения земель Заволжья, если ГЭС будет вырабатывать в год 10 млрд. киловатт-часов энергии?

3. Из общего количества вырабатываемой Куйбышевской и Сталинградской ГЭС электроэнергии 10,1 млрд. киловатт-часов будет передаваться в Москву, 0,26 частей — в районы Поволжья, 6%—в районы Центрально-Черноземной области, 7/4ö частей — на нужды сельского хозяйства Поволжья и Прикаспия.

Узнать:

а) Сколько киловатт-часов энергии вырабатывают обе станции вместе?

б) Сколько киловатт-часов энергии передается в районы Поволжья, в районы Центрально-Черноземной области и на нужды сельского хозяйства Поволжья и Прикаспия?

4. Выработка энергии Куйбышевской и Сталинградской ГЭС составляет 20 млрд. киловатт-часов в средний по водности год, которая распределяется так: количество энергии, передаваемое в Москву, относится к количеству энергии, передаваемому в районы Поволжья, как 25,25:13, а количество энергии, передаваемое в районы Поволжья, — к количеству энергии, передаваемому в районы Центрально-Черноземной области, как 13:3. Остальные 3,5 млрд. киловатт-часов передаются на нужды сельского хозяйства Поволжья и Прикаспия. Сколько киловатт-часов энергии передается в Москву, в районы Поволжья и Центрально-Черноземной области?

5. Мощности Куйбышевской, Сталинградской и Днепровской ГЭС относятся, как 10:8,5:3. На сколько мощность Куйбышевской и мощность Сталинградской ГЭС больше мощности Днепровской ГЭС, если мощность последней равна 600000 киловатт?

(Примечание. 1 киловатт заменяет работу 40 взрослых человек при восьмичасовом рабочем дне.)

6. По всем гидросооружениям на Волге, в Туркменистане, на Украине и в Крыму предусматривается орошение и обводнение 28,25 млн. га земли. Какая часть территории Союза ССР будет орошена и обводнена гигантскими стройками коммунизма?

(Примечание. Площадь Союза ССР 22 млн. кв. км.)

7. Новые гидростанции дадут огромную экономию топлива. Для того чтобы выработать на тепловых электростанциях 22 млрд. киловатт-часов энергии, потребовалось бы подвозить и сжигать в течение года 22 млн. тонн топлива.

Узнать, сколько железнодорожных эшелонов потребовалось бы для перевозки такого груза, если каждый эшелон состоял из 40 вагонов, а каждый вагон вместил 25 тонн груза?

ДАННЫЕ О КУЛЬТУРНОМ СТРОИТЕЛЬСТВЕ СТРАН НАРОДНОЙ ДЕМОКРАТИИ НА УРОКАХ АРИФМЕТИКИ

М. Г. БУШКАНЕЦ (Муром)

После второй мировой войны на путь социалистического строительства встали новые демократические государства Европы и Азии. Жизнь этих бурно развивающихся стран интересует советских школьников. Учащиеся знакомятся с ней на многих уроках. Свой вклад в это большое и важное дело могут и должны внести и преподаватели математики.

Статистические данные о жизни и росте стран новой демократии явятся прекрасной иллюстрацией того, что узнают школьники на уроках по истории, географии и т. д. Эти данные могут быть с успехом использованы для составления арифметических задач. Особенно удачно можно и должно использовать данные о состоянии народного образования, о заботе демократических правительств о детях и молодежи. Вот как могут выглядеть некоторые задачи по теме «Проценты», основанные на данных, опубликованных в нашей печати:

1. В школах Пекина в 1950/51 уч. году обучалось 150 тыс. чел. Из них 51% составляют дети рабочих. Определить количество детей рабочих в школах Пекина.

2. Определить число студентов в Польше до второй мировой войны, если известно, что сейчас здесь учится 120 тыс. студентов, что составляет около 260% к числу студентов в довоенной Польше.

3. В школах Венгрии в настоящее время обучается 1,2 млн. человек, что составляет 129% к числу учащихся в 1938 году. Определить количество школьников в Венгрии в 1938 году.

4. В буржуазной Венгрии было 11 тысяч студентов. В 1951 году их стало в 4 раза больше. 57% из них составляют выходцы из рабочих и крестьян. Определить количество студентов-выходцев из рабочих и крестьян в вузах Венгрии.

5. В 1951 году в Чехословакии работало 28 высших учебных заведений, что составляет 280% к их числу в 1938 году. Определить количество вузов в Чехословакии в 1938 году.

6. До второй мировой войны в Венгрии было 12 высших учебных заведений, в 1951 году их стало 22. Определить, на сколько процентов увеличилось число вузов в стране.

7. В истекшем году в вузы Болгарии было принято 5340 человек, в том числе 1300 юношей и девушек, пришедших в вузы с фабрик и заводов. Определить процент студентов, пришедших в институты с производства.

8. В одном из районов Китая в 1949 году было 221 773 неграмотных, но уже к марту 1951 года 152 247 человек ликвидировали свою неграмотность. Кроме того 51462 человека стали заниматься в школах повышенного типа. Определить процент ликвидации неграмотности и процент обучающихся в школах повышенного типа.

9. В истекшем году на нужды высшей школы в Чехословакии отпущено 1 076 млн. крон вместо 163 млн. крон в 1938 году. Определить, на сколько процентов увеличились ассигнования на нужды высшей школы.

ПО ПОВОДУ СТАТЬИ С. ПИЛЬМАНА „ОПЫТ РАБОТЫ ПО АРИФМЕТИКЕ В V КЛАССЕ“

М. Г. ПАРАФИЛО (Красногоровка)

Опубликование статей, освещающих опыт работы учителей, имеет большое значение для улучшения преподавания математики.

Большое значение имеет обсуждение таких статей, которое позволит отобрать для преподавателя все ценное, все необходимое, что можно применить в практике, и отбросить излишнее, нехарактерное для всех школ, подойти критически к субъективному, что, быть может, было удачным в руках отдельного учителя.

В статье т. Пильмана («Математика в школе», № 1 за 1951 г.), как говорит об этом само заглавие, освещен опыт работы автора по арифметике в V классе.

Конечно, трудно в рамках журнальной статьи затронуть все вопросы, связанные с обучением арифметики в V классе.

Тов. Пильман в основном удачно осветил главные вопросы преподавания арифметики в V классе.

Мы не станем останавливаться на всех положительных сторонах опыта работы т. Пильмана. Нам бы хотелось отметить некоторые спорные вопросы, поднятые т. Пильманом.

Тов. Пильман совершенно правильно указывает, что учащиеся V классов (да и старших) слабо владеют устным счетом, и он со всей последовательностью старается наверстать упущенное. Начинает он исправлять эти пробелы издалека.

Так в статье сказано: «В начале учебного года, одновременно с повторением материала предыдущих лет, я повторяю и заново обучаю учащихся ряду приемов устных и полуписьменных вычислений. Начал с того, что каждая ученица должна была научиться быстро в уме дополнять до 100 любое двузначное число».

Как видно, т. Пильман начал повторение с самого начала программы по арифметике для второго класса. Все приемы устного счета, которые перечислены в статье т. Пильмана, должны быть хорошо известны ученикам V класса. Все это относится к программе I — IV классов, и при правильном обучении арифметики в начальных классах, т. Пильману не пришлось бы «заново обучать учащихся ряду приемов устных и полуписьменных вычислений».

Мы охотно верим т. Пильману, что многие учащиеся, окончившие IV класс, не владеют устным счетом и учителю V классов приходится учить детей тому, что они должны хорошо знать еще во втором классе. Это, так сказать, вынужденное мероприятие. Если ученика начальной школы вооружить прочными навыками устного счета, то он не будет ошибаться и в X классе, а если этого своевременно не сделать, то можно ожидать, что он будет ошибаться в устном счете и в X классе. Мы не склонны ориентировать учителя V классов на «невмешательство» в пробелы в знаниях по арифметике учащихся, окончивших начальную школу. Учитель, который будет закрывать глаза на все эти недочеты и не постарается ликвидировать их хотя бы в какой-либо мере, обречет свой труд на провал.

Всем хорошо известно, что устный счет играет не только (я бы сказал даже: не столько) большую роль для экономии времени при вычислении, но он имеет, особенно на первых порах обучения, громаднейшее значение для осмысленного усвоения четырех арифметических действий над целыми числами.

Приемы устного счета где-то должны быть фундаментально заложены и прочно закреплены. Таким классом мы считаем второй класс.

Авторы задачника допускают большую ошибку, ориентируя учителя второго класса во втором полугодии на письменный счет.

Во втором классе все внимание учителя и учащегося должно быть сосредоточено на устном, а не на письменном счете.

В третьем классе учащиеся переходят к изучению чисел любой величины, а поэтому числа, которые встречаются в задачнике для III класса, в основном многозначны и учащиеся устно считать не будут. Что же остается? Те специальные пять минут для устного счета, которые не всегда и не всеми учителями выделяются? При таком положении прочные навыки устного счета не будут заложены и будет очень трудно научить детей устному счету.

Трудно это сделать и в V классе, ибо для этого надо очень много времени. А где его взять?

Всякое расходование времени на материал, не предусмотренный программой, неизбежно отразится на овладении основным курсом V класса. Обычно это идет за счет уменьшения количества решенных задач.

Можно смело сказать, что значительная доля ошибок, допускаемых учащимися при выполнении арифметических действий, есть результат преждевременного или же поспешного перехода от устной формы вычисления к письменной.

Нельзя всерьез принять мотив трудности для учащихся второго класса устно решать примеры в пределах тысячи, если только учащиеся хорошо изучили первую сотню. Можно только говорить о потере некоторого количества времени, но эта потеря с избытком будет компенсирована в дальнейшем.

Во втором классе должен быть заложен прочный фундамент устного счета, а в дальнейшем устный счет должен быть органически связан с обучением и применять его надо всегда, если только это возможно, а не превращать его во что-то искусственное, обособленное от общего процесса обучения. Только при таком положении вещей мы сможем решить проблему устного счета.

Хотелось бы сказать несколько слов о некоторых непринципиальных вопросах, затронутых т. Пильманом.

Редакция уже выразила свое мнение по поводу ненужного усложнения известных признаков делимости на 4 и 8.

Вызывает сомнение также нововведение в форму записи при нахождении наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Тов. Пильман предлагает следующую форму записи при нахождении наименьшего общего кратного:

Во-первых, в таком виде форма записи будет очень громоздкая, если взять не этот пример, а такой, в котором было бы мало общих делителей.

Во-вторых, при такой форме записи не видно делителей каждого числа, что может затруднить нахождение дополнительных множителей в случае большого общего знаменателя.

В-третьих, не будет связи между разложением на множители и нахождением наименьшего общего кратного в арифметике и алгебре.

В-четвертых, здесь чувствуется стремление к стандартизации, что так же заметно у т. Пильмана при сокращенной записи условия задачи, а излишняя стандартизация может вредно сказаться на процессе обучения.

Если говорить о разложении на множители, то в первую очередь надо говорить о том, чтобы учащиеся здесь усвоили не форму, не схему, а суть дела, а это можно сделать только тогда, когда они научатся производить разложение в строчку, чтобы было видно, что произведение сомножителей дает данное число, и только потом можно переходить к разложению в столбик.

При нахождении наибольшего общего делителя необходимо научить выполнять это как с помощью разложения на множители, так и посредством последовательного деления, причем последний способ хотя и труднее, но более важный, чем первый.

При отыскании 20% от числа т. Пильман рекомендует данное число делить на 5, а если число оканчивается нулем — делить на 10 и результат удваивать. Целесообразнее в таких случаях, начиная с V класса, всегда делить на 10 и результат удваивать.

Нам кажется, нельзя отменять черновики в V классе. Это можно сделать в III — IV классах, но не в V классе.

Сам же т. Пильман говорит, что «учащиеся пользовались чем-то вроде черновиков, однако я их никогда не забирал, они для меня не существовали».

Если мы желаем навести порядок на контрольных работах и приучить учащихся к самостоятельному выполнению контрольных работ, тогда нужно особое требование предъявить к черновикам. Черновики должны быть подписаны и представлять собой целый листок, а не какой-нибудь клочок бумаги. Учитель на контрольных работах должен строго следить, чтобы учащиеся не передавали черновики друг другу и чтобы на партах никаких других черновиков, кроме установленных, не было. В конце работы черновики должны быть отобраны и при проверке контрольных работ просмотрены.

Нельзя не сказать несколько слов по поводу «решения задач в виде изложения», как их практикует т. Пильман.

Решение это дается в следующей форме: «Сукно обоих кусков — одного сорта, т. е. одинаковой цены, а стоимость этих кусков — неодинаковая. Это потому, что количество метров в кусках разное. Действительно, согласно условию I кусок длиннее II на 17 м.» и т. д.

С одной стороны, мы говорили, что надо воспитывать культуру речи учащихся, устранять многословие, а с другой — сами это многословие культивируем, заставляем учащихся описывать очевидные истины. Стоит ли удивляться, что некоторые выпускники десятых

классов не могут выделить при объяснении в контрольных работах главного от второстепенного?

Что же если не нового, то принципиального в статье т. Пильмана?

Это перестановка программного материала, заключающаяся в ликвидации «десятичных дробей» и «процентов» как самостоятельных разделов и в прохождении этих тем одновременно с прохождением темы с Обыкновенные дроби».

С научной точки зрения и десятичные дроби и проценты — только дроби, но с точки зрения методики мы должны выделять как десятичные дроби, так и проценты в самостоятельные разделы.

Если до введения метрической системы мер еще можно было до некоторой степени говорить о ликвидации «десятичных дробей» как самостоятельного раздела арифметики, то теперь это, кроме вреда, ничего не принесет.

Действия над десятичными дробями, благодаря их позиционному принципу, отличаются от действий над обыкновенными дробями, и для того чтобы учащиеся хорошо ими овладели, чтобы процесс вычисления был доведен до автоматизма, десятичные дроби должны проходиться отдельно.

Другое дело, что при объяснении каждого действия мы должны ссылаться на обыкновенные дроби, хорошо объяснить учащимся, что действия над десятичными дробями основаны на тех же законах, что и действия над обыкновенными дробями. Но все это необходимо только на первых порах, чтобы ученик осознанно выполнял действия, и нет никакой необходимости требовать от ученика, после того как он усвоил сложение десятичных дробей, чтобы при сложении 5,62 и 0,635 он предварительно приводил эти дроби к общему знаменателю.

Исторически сложившийся принцип раздельного изучения обыкновенных и десятичных дробей вполне оправдывается, и нет никакой необходимости этот принцип нарушать.

Тов. Пильман говорит, что «...десятичные дроби и проценты не были выделены мною в особые разделы курса, а проходились параллельно с обыкновенными дробями, с постоянным подчеркиванием преимущества десятичных дробей».

Это только верно лишь в отношении вычислительной практики.

На самом же деле обыкновенные дроби играют большую роль в деле дальнейшего обучения математике, и здесь никакого преимущества десятичных дробей перед обыкновенными нет, а поэтому вредно ориентировать учащихся на изучение, главным образом, десятичных дробей и на пренебрежение обыкновенными.

В 1939 году А. Я. Хинчин в журнале «Математика в школе» № 4, заявил, что «...не существует и не может существовать никакой «задачи на проценты». То же самое заявляет теперь В. М. Брадис.

Да, с точки зрения математика здесь нет никакой новой задачи, но методист должен на первый план выдвинуть принцип преподавания. Понятие процента в быту играет исключительно важное значение, следовательно, учащиеся и должны свободно ими оперировать, уметь быстро решать сложившиеся задачи на проценты.

Мимоходом этого сделать нельзя. Для того чтобы учащийся приобрел прочные любые вычислительные навыки, он должен иметь концентрированную практику.

Если мы будем проходить проценты параллельно с прохождением дробей, то никакой концентрации упражнений не получится, внимание учащихся будет распыляться и никаких прочных навыков учащийся не приобретет, эффект будет незначительный.

Это замечание в равной степени касается и параллельного прохождения обыкновенных и десятичных дробей.

Другое дело — как построить прохождение темы «проценты».

Здесь, безусловно, лучше всего на проценты смотреть как на особую форму записи десятичных дробей и сводить решение задач на проценты к решению соответствующих задач на десятичные дроби.

Если изучение десятичных дробей и процентов параллельно с изучением обыкновенных дробей в руках отдельного преподавателя могло и не нанести вреда, то в общем масштабе это безусловно нанесет большой вред делу обучения.

ИЗ ОПЫТА

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ВЕЛИЧИН

Н. И. СЫРНЕВ (Москва)

В предлагаемой статье подробно рассмотрены те уроки, на которых учащимся даются основные понятия прямой пропорциональности и обратной пропорциональности и изучаются основные типы задач на пропорциональные величины и способы их решения.

К урокам, посвященным упражнениям и решению задач на закрепление пройденного материала, даны лишь краткие указания.

1-й урок. Цель урока — выяснить понятие прямой пропорциональности на примерах из жизни, достаточно знакомых учащимся, и дать определение прямой пропорциональности.

Урок следует начать с рассмотрения примерно такой задачи:

На пошивку костюма идет 3 м материи. Сколько материи пойдет на пошивку 2, 3, 4, 5, 8, 10 таких же костюмов?

Решение:3-2 = 6 м\ 3-3 = 9м\ 3-4 = 12л*; 3-5= 15 м; 3-8 = 24 м; 3-10 = 30 м. Результат следует записать в виде таблицы:

Количество костюмов ....

1

2

3

4

5

8

10

Количество материала .....

3

6

9

12

15

24

30

После решения задачи учитель предлагает ученикам следующие вопросы: Сколько величин рассматривается в задаче? Какие из них изменяются и какие остаются постоянными? Если одна величина увеличится, то как изменится другая величина? Если одна величина увеличится в 2, 3 и т. д. раз, то как изменится другая величина? Какой вывод можно сделать, сравнивая отношение двух любых значений одной величины и отношение соответствующих им значений другой величины?

Из ответов учеников следует установить, что в задаче рассматриваются три величины: количество материи, необходимое для пошивки одного костюма, количество костюмов и количество материи, необходимое для пошивки всех костюмов; первая величина постоянная, а две другие переменные, зависящие одна от другой; увеличение одной из них влечет за собой и увеличение другой, причем увеличение одной величины в несколько раз влечет за собой увеличение другой величины ровно во столько же раз; отношение двух любых значений одной величины равно отношению двух соответствующих значений другой величины.

Затем учитель вывешивает таблицу, на которой приведены условия подписки на одно из периодических изданий.

Условия подписки на газету с Правда»:

1 мес.— 6 руб. 4 мес. — 24 руб.

2 мес. — 12 руб. 6 мес. — 36 руб.

3 мес. — 18 руб. 12 мес. — 72 руб.

Ученики должны последовательно дать ответ на все вопросы, которые были предложены при разборе предыдущей задачи. Закончив разбор таблицы, учитель дает определение прямой пропорциональности. После этого следует предложить ученикам самостоятельно придумать задачу, в которой рассматривались бы две прямо пропорциональные величины, и представить ее решение в виде таблицы.

Очень возможно, что среди примеров, проведенных учениками, встретятся такие, где за-

висимость не будет прямо пропорциональной, а будет выражена или линейной (неоднородной) функцией, или вообще возрастающей функцией. Такой случай необходимо использовать и подробно разобрать ошибку ученика, чтобы выделить прямую пропорциональность из зависимостей, с нею сходных. Эта цель может быть окончательно достигнута при разборе такой задачи.

Задача. За пересылку телеграммы взимается следующая плата: 30 коп. за каждое слово и подепешная плата 1 рубль за телеграмму. Сколько стоит телеграмма из 10, 15, 20, 30, 40 и 50 слов?

Решение:

1) 30.10+100 = 400; 4) 38-30 + 100=1000;

2) 30-15+ЮО = 550; 5) 30-40+ 100 = 1300;

3) 30-20+100 = 700; 6) 30-50+100 = 1600.

После решения ученики заполняют таблицу

Число слов ......

10

15

20

30

40

50

Стоимость в руб. . ш .

4

5,5

7

10

13

16

Разбирая задачу, ученики видят, что увеличение одной величины влечет за собой увеличение и другой величины, но не в одинаковое число раз и, следовательно, число слов и стоимость телеграммы не являются прямо пропорциональными.

Домашнее задание: Киселев, § 202. Придумать два примера величин, находящихся в прямо пропорциональной зависимости. Заполнить таблицу:

Сторона квадрата . . .

1

2

3

4

5

6

Периметр его .....

Площадь.......

и описать, как изменяется периметр и площадь в зависимости от изменения стороны и площадь в зависимости от изменения периметра. Решить пример по арифметике на все действия с обыкновенными и десятичными дробями.

2-й урок. Цель урока: научить учащихся решать задачи на прямо пропорциональные величины способом приведения к единице.

Урок начинается с проверки домашнего задания. Следует обратить особенное внимание на те примеры прямо пропорциональных величин, которые приведут учащиеся, причем к приведенным примерам они должны дать нужные объяснения. Это позволит выяснить, насколько хорошо усвоено понятие прямо пропорциональных величин.

Новый материал следует начать с решения примерно такой задачи:

Стальной брусок объемом в 60 куб. см весит 468 г. Сколько весит стальной брусок объемом 25 куб. см?

Следует сразу же научить учащихся записывать условия задачи на пропорциональные величины в виде таблички:

60 куб. см — 468 г 25 куб. см — X г.

План решения задачи вытекает из следующего рассуждения: объем и вес куска стали — прямо пропорциональны; если известен вес 60 куб. см стали, то можно узнать вес 1 куб. см (привед. к единице), а если известен вес 1 куб. см, то можно узнать вес 25 куб. см стали. Задача решается в два действия:

1) Сколько весит 1 куб. см стали?

468:60 = 7,8 (г).

2) Сколько весит 25 куб. см стали?

7,8-25= 195 (г).

Ответ: второй брусок весит 195 г.

При решении первых задач и задач более трудных вопросы следует записывать в тетрадь. После того как ученики освоятся с методом решения, можно ограничиться устной постановкой вопросов.

В качестве следующей задачи можно предложить учащимся заполнить следующую таблицу:

Месяц

Янв.

Февр.

Март

Апр.

Май

Июнь

Расход эл. эн. в квт.

55

60

45

35

24

16

Плата в руб.

22

Учащиеся устанавливают характер зависимости в задаче, находят в первом действии стоимость 1 киловатта и т. д.

Оставшуюся часть урока можно посвятить решению задач из стабильного задачника на прямо пропорциональные величины способом приведения к единице.

Домашнее задание: Киселев, § 203, 3—4 задачи на пройденный материал и пример по арифметике.

3-й урок. Цель урока — научить учащихся решать задачи на прямо пропорциональные величины способом пропорций.

Для уяснения применения способа пропорций к решению задач нужно напомнить учащимся, что если две величины находятся в прямо пропорциональной зависимости, то отношение двух любых значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины. При этом можно воспроизвести одну из таблиц, рассмотренных на первом уроке.

Ученикам нужно предложить составить несколько пропорций, исходя из данных таблицы, а затем поставить вопрос, нельзя ли найти одно из четырех рассматриваемых значений, если оно окажется неизвестным? Таблица дополняется каким-нибудь значением одной величины, а соответствующее значение другой величины обозначают буквой х. Ученики составляют и решают пропорции для определения значения х. При этом пропорции будут различные, но значение х получится одно и то же. После этого можно рассмотреть задачу, решенную уже на 2-м уроке приведением к единице:

После этого можно сформулировать сущность решения задач способом пропорций.

Ряд последующих задач, взятых из стабильного или других задачников, нужно решить двумя способами, вызывая к доске сразу двух учащихся. Это даст возможность сравнить оба способа.

Домашнее задание: Киселев, § 203, и 3—4 задачи на прямую пропорциональность, причем все задачи нужно решить двумя способами.

4-й урок. Цель урока — выяснить понятие обратной пропорциональности на примерах, знакомых учащимся, и дать определение обратной пропорциональности.

Урок следует начать с рассмотрения примерно такой задачи.

Площадь прямоугольника 12 кв. см. Чему равна высота прямоугольника, если основание его 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, 5 см., 6 см, 8 см, 10 см, 12 см?

Решение:

Полученные результаты нужно записать в виде таблицы:

После решения задачи учитель предлагает ученикам следующие вопросы: Сколько величин рассматривается в задаче? Какие из них изменяются и какие остаются постоянными? Если одна величина увеличивается, то как изменяется другая величина? Если одна величина увеличится в 2, 3 и т. д. раз, то как изменится другая величина? Какой вывод можно сделать, если сравнить отношение двух любых значений одной величины с отношением соответствующих значений другой величины?

Из ответов учеников следует установить, что в задаче рассматриваются три величины: площадь прямоугольника, его основание и высота; первая величина постоянная, а две другие переменные, зависят одна от другой; увеличение одной из них влечет за собой уменьшение другой, причем увеличение одной величины в несколько раз влечет за собой уменьшение другой величины во столько же раз; отношение двух любых значений одной величины равно обратному отношению двух соответствующих значений другой величины. Затем следует дать определение обратно пропорциональных величин и предложить учащимся привести примеры таких величин. Каждый приведенный пример нужно тщательно разобрать, а особенно ошибочно приведенные примеры, и вскрыть ошибки учащихся.

Чтобы учащиеся не смешивали обратно пропорциональную зависимость с убывающей функцией вообще, следует рассмотреть, например, такую задачу: Из колхоза в город вышел пешеход со скоростью 4 км в час. На каком расстоянии от города будет пешеход через 1, 2, 3 и 4 часа после своего выхода, если от колхоза до города 20 км?

Решение: 1) 20—4-1 = 16; 2) 20 — 4.2=12; 3) 20—4-3 = 8; 4) 20 — 4-4 = 4.

1

2

3

4

Расстояние ......

16

12

8

4

Подробный разбор этой задачи заставит учеников более вдумчиво подходить к определению характера зависимости и предохранит их от многих ошибок.

После этого учитель предлагает учащимся ряд упражнений на определение характера зависимости между двумя величинами. Среди упражнений, помимо случаев прямой и обратной пропорциональности, должны встречаться и случаи более сложных зависимостей и даже величины независимые. Ученики должны суметь выделить знакомые им прямо и обратно пропорциональные величины. Упражнения эти примерно таковы.

В какой зависимости находятся следующие величины: 1) скорость движения и пройденный путь за определенный промежуток времени; 2) скорость движения и время, необходимое для прохождения определенного пути; 3) количество книг и количество читателей в библиотеке; 4) вес муки и вес выпеченного из нее хлеба; 5) количество оборотов ведущего колеса паровоза и его скорость; 6) рост человека и его вес; 7) количество проданных в метро билетов и выручка кассы; 8) расстояние по железной дороге и стоимость билета; 9) количество оборотов колеса на данном расстоянии и его диаметр; 10) количество телеграфных столбов на данном расстоянии и расстояние между двумя столбами; 11) номер этажа и количество ступенек, ведущих на этот этаж; 12) диаметр окружности и ее длина.

Количество таких упражнений можно и увеличить, но главное — это подробное объяснение.

Домашнее задание: Киселев, § 205; придумать пример обратно пропорциональных величин; определить характер зависимости между двумя величинами (см. привел, выше примеры). Заполнить таблицы, если известно, что х и у находятся в пропорциональной зависимости.

5-й урок. Цель урока — научить учащихся решать задачи на обратно пропорциональные величины способом приведения к единице и способом пропорций.

Так как оба способа решения задач уже знакомы учащимся, можно показать применение того и другого способа на одном уроке.

Задача. Для перевозки некоторого груза нужно 15 трехтонных машин. Сколько пятитонных машин смогут перевезти тот же груз?

15 маш. — 3 т X маш. — 5 m

Решение приведением к единице.

Грузоподъемность машины и количество машин, необходимых для перевозки определенного груза, находятся в обратно пропорциональной зависимости.

1) Сколько однотонных машин понадобится для перевозки груза? 15-3 = 45 (маш.).

2) Сколько пятитонных машин понадобится для перевозки груза? 45:5 = 9 (маш.).

Решение способом пропорций.

Так как грузоподъемность и число машин обратно пропорциональны, то отношение значений одной пары величин равно обратному отношению значений другой величины:

\Ъ:х = 5:3;

откуда:

Вслед за этим нужно решить обоими способами несколько задач на обратно пропорциональные величины, вызывая для этого к доске двух учеников. При решении задач ученики должны дать подробное объяснение решения.

Домашнее задание: Киселев, § 206.

1) Решить двумя способами 2—3 задачи на обратно пропорциональные величины.

2) Решить пример на все действия с обыкновенными и десятичными дробями.

Уроки 6 и 7 следует посвятить решению различных задач на пропорциональные величины. При решении этих задач следует убедиться в уменье учащихся определять вид пропорциональной зависимости, правильно составлять пропорции, правильно выполнять приведение к единице. Нужно обращать внимание и на выбор более рационального способа решения.

Характер пропорциональной зависимости в каждой задаче можно отмечать надписью «прямая пропорциональность» или «обратная пропорциональность» возле условий задачи, но удобнее характер зависимости отмечать при помощи стрелок, направленных от меньшей величины к большей.

Например, характер зависимости в задачах 2-го урока и 5-го урока можно выразить такой записью:

Для величин, прямо пропорциональных, характерно направление стрелок в одну сторону, а для величин, обратно пропорциональных,— в противоположные стороны. Эта наглядная символика вполне себя оправдывает.

На 8-м уроке следует провести контрольную работу, а 9-й урок посвятить ее разбору.

Примерный вариант контрольной работы.

1) В 800 г раствора содержится 50 г соли. Сколько соли содержится в 240 г того же раствора? Решить двумя способами.

2) Переднее колесо экипажа, имеющее окружность 1,5 м, сделало на некотором расстоянии 96 оборотов. Сколько оборотов на том же расстоянии сделает заднее колесо экипажа, если окружность его равна 2,4 м? Решить приведением к единице и при помощи пропорции.

3) Решить пропорцию:

10-й урок. Цель урока — научить учащихся решать задачи на пропорциональные величины, когда этих величин более двух (сложное тройное правило).

Урок следует начать с разбора задачи, содержащей три величины, связанные пропорциональной зависимостью.

Задача. Для 16 голов скота на 35 дней требуется 6,72 т сена. Сколько сена потребуется для 20 голов скота на 40 дней?

Условия задачи записываются в виде таблицы:

Учитель задает учащимся вопросы: Сколько величин рассматривается в задаче? Каковы эти величины? Численное значение какой величины нужно найти? В какой зависимости находится эта величина с другими величинами задачи?

Из ответов учащихся должно быть установлено, что в задаче рассматриваются три величины: количество голов скота, время, в течение которого кормили скот, и количество сена; по условию задачи требуется определить количество сена, которое прямо пропорционально числу голов скота и прямо пропорционально числу дней кормления. Дальше последовательно ставятся следующие вопросы:

1) Сколько сена потребуется для одной головы скота на 35 дней?

2) Сколько сена потребуется для 20 голов скота на 35 дней?

3) Сколько сена потребуется для 20 голов скота на 1 день?

4) Сколько сена потребуется для 20 голов скота на 40 дней?

После этого необходимо разобрать задачу, в которой были бы величины, находящиеся в обратно пропорциональной зависимости.

Задача. На пошивку 6 палаток нужно 120 м брезента шириной 1,2 м. Сколько метров брезента шириной в 1,5 м нужно на пошивку 4 таких же палаток?

При анализе этой задачи выясняется, что количество брезента прямо пропорционально числу палаток, но обратно пропорционально его ширине:

Решение: 1) Сколько брезента шириной в 1,2 л нужно для одной палатки?

т. е. в 6 раз меньше.

2) Сколько брезента шириной в 1,2 ле нужно для 4 палаток?

т. е. в 4 раза больше. 3) Сколько брезента шириной в 1 м нужно для 4 палаток?

т. е. в 1,2 раза больше. 4) Сколько брезента шириной в 1,5 м нужно для 4 палаток?

Решение первых задач нужно записать так, как показано выше, чтобы весь процесс решения был виден учащимся.

В дальнейшем запись решения можно сокращать, ограничиваясь устной постановкой вопросов, и в самом конце, когда ученики вполне овладеют методом решения задач, свести все записи к формуле, выражающей численное значение искомой величины, но устное объяснение не следует ни сокращать, ни упрощать.

Домашнее задание: Киселев, § 208, и 2—3 задачи, содержащие три пропорциональные величины.

11-й — 13-й уроки. Цель уроков — упражнения в решении задач на сложное тройное правило.

На этих уроках можно перейти к решению задач, содержащих 4 и даже 5 пропорциональных величин. Одновременно следует переходить к более экономной записи решения. В качестве примера разберем задачу. Груз, предназначенный для экспедиции, был перевезен 4 автомашинами на расстояние 280 км за 35 часов. За сколько часов доставят этот груз 12 вьючных лошадей на расстояние 60 км, если грузоподъемность автомашины 2 т, скорость 20 км в час, а вьючная лошадь поднимает 80 кг и движется со скоростью 5 км в час? 4 авт. — 280 км — 35 час. — 2 т — 20 км в час 12 лош.— 60 км — X —80 кг — 5 км в час.

При разборе устанавливаем, что время перевозки прямо пропорционально расстоянию и обратно пропорционально скорости, грузоподъемности и числу автомашин (лошадей).

1) За какое время будет перевезен груз, если расстояние будет равно не 280 км, а 60 км?

2^ (оно уменьшится в 280 раз и увеличится в 60 раз).

2) За какое время будет перевезен груз на расстояние 60 км, если на машину грузить 80 кг вместо 2000 кг?

3) За какое время будет перевезен груз на расстояние в 60 км при погрузке 80 кг на машину, если скорость уменьшить с 20 о в час до 5 км в час?

- (оно увеличится в 20 раз и уменьшится в 5 раз).

4) За какое время 12 лошадей перевезут весь груз на расстояние в 60 км?

(результат предыдущего действия нужно увеличить в 4 раза и уменьшить в 12 раз).

Задачи на сложное тройное правило по своему содержанию очень разнообразны и тесно связаны с жизнью. В заключение приводим два примера:

1) В классе, где имеется 6 лампочек, ученики, уходя, забыли погасить свет, и он был погашен только через 15 мин. Эта небрежность обошлась школе в 18 коп. Какой перерасход получится за месяц, если в школе 210 таких лампочек и каждая будет гореть ежедневно без надобности 5 минут?

2) Колхозники предполагали вырыть пруд в течение 15 дней при ежедневной восьмичасовой работе 50 человек. За сколько дней выполнят эту работу два экскаватора, работая по 12 час. в день, если за час экскаватор вынимает 25 куб. м земли, а землекоп 0,8 куб. м?

Вопросы пропорционального деления уже знакомы учащимся. Они никогда не вызывают затруднений ни у учителя, ни у учеников, и нет необходимости дать особую разработку этого материала.

От редакции. Настоящая статья помещена редакцией в порядке помощи начинающему учителю по наиболее трудным в методическом отношении темам арифметики.

О РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

А. И. ЛЕНИЧКИН (Новочеркасск)

Рассмотрим задачу: «Сумма двух чисел равна 180; первого числа равны -g- второго. Найти эти числа».

Задачи этого типа представляют немалые трудности как для учащихся в отношении осмысленного и прочного усвоения способа решения, так нередко и для некоторых учителей в методическом отношении.

Как показывает практика работы ряда учителей, с освоением учащимися этого материала в ряде случаев дело обстоит далеко не благополучно. Так, отдельные преподаватели, проявляя в прохождении программного материала по арифметике по курсу V класса излишнюю спешку, оставляют этот раздел (решение задач указанного типа) недоработанным, в результате чего учащиеся такого типа задачи считают «труднейшими». Другие преподаватели дают учащимся один лишь «шаблон», причем в отдельных случаях и этот «шаблон» бывает неправильный. Как пример неправильного решения данной задачи приведем следующий «способ»:

«Если первого числа равны второго, то надо предварительно данные дроби заменить по примеру замены отношений дробных чисел отношением целых чисел, а именно:

Отсюда: первое число должно иметь 15 частей, а второе 12 таких же частей. Поэтому: 15 + 12 = 27 (частей), 180:27 = 6 +; первое число = • 15 = 100; второе число = 6• 12 = 80».

Очевидно, что полученные ответы при таком «способе» решения задачи противоречат условию, так как -j- первого числа (в данном случае 100--^- =75 ) отнюдь не равны -g- второго числа ^в данном случае 80 • = 48^ #

Мы не говорим о том, что ответы в результате указанного способа решения переставлены (первое число должно быть 80, а второе 100, тогда 80.+ = 60 и Ю0.+ = 60), само «обоснование» этого «способа» ничем не может быть оправдано.

Между тем, не только в методической литературе, но даже в самом сборнике арифметических задач Е. С. Березанской имеются указания, как решать такого типа задачи.

Я укажу основные, сходные между собой, два способа решения разбираемого типа задач.

Оба способа, излагаемые ниже, основаны на одном и том же принципе — на приведении данной в задаче дробной зависимости обоих искомых чисел ^напр., -i-I=~- II или к другой, в которой одно из искомых чисел бралось бы все (целое), а не в его некоторой дроби (части), например: I = -J- II или I = 1 -g- II, и таким образом решаемая задача нового типа приводилась бы к известному уже учащимся типу задачи.

1-й способ.

Предварительно следует решить в порядке повторения пройденного, примерно, такую задачу:

Задача. «Сумма двух чисел равна 70; первое число составляет (или равно) -^второго числа. Найти эти числа».

Хотя данная задача — типа, уже известного учащимся, тем не менее учитель вновь подвергает ее анализу. Путем постановки соответствующих вопросов необходимо обратить внимание учащихся, что в этой задаче устанавливается зависимость между всем (целым) первым числом и дробью (частью) второго числа, а именно: все первое число равно второго числа. Этому последнему обстоятельству, характеризующему как тип задачи, так и способ ее решения, учитель придает подчеркнутое значение. Затем, при решении задачи следует обратить внимание учащихся также на то, почему целесообразнее обозначать второе число через I часть, а не первое число? ^Потому что тогда первое число удобнее выразить в тех же частях, что и второе, путем нахождения от I части.^

Примерное решение:

После этого следует провести с учащимися предварительные упражнения в выражении дроби одного числа через дробь другого на основе данной зависимости, например:

Затем следует проделать упражнения по переводу дробной части одного из искомых чисел к его целому виду, например:

Следует обратить внимание учащихся на то обстоятельство, что во всех этих случаях:

1) речь идет об искомых числах, не равных между собой;

2) чтобы установленное условием задачи соотношение, в данном случае равенство дробей (частей) первого и второго чисел, не нарушилось, надо с увеличением (или уменьшением) в несколько раз одного из чисел или его данной части во столько же раз увеличить (или уменьшить) второе число или его данную часть, т. е. необходимо применять свойства равных величин.

Целесообразно проиллюстрировать это:

а) на числах, взяв например: 1 = 30, а 11 = 40.

б) на чертежах (черт. 1).

Черт. 1

После такой предварительной подготовки учитель переходит к решению нового типа задачи. Учитель объясняет, что до сих пор решались задачи на части такого содержания, где одно из искомых чисел бралось все (целое), например, как в задаче № 1; теперь мы приступим к решению таких задач, в которых оба искомые числа даются в дробях (частях) от них.

В порядке постепенности сначала решаются задачи следующего вида:

Задача 2. «Сумма двух чисел равна 50; -i- первого числа равна ~ второго. Найти эти числа».

Учитель ставит учащимся вопрос, чем отличается условие этой задачи от ранее решавшихся (например, задача № 1) задач на части? Добившись ответа и понимания учащимися того обстоятельства, что в прежних задачах (например, задача № 1) давалось все (целое) первое число, а здесь только -i- его, учитель спрашивает учащихся, нельзя ли и как привести эту задачу к знакомому типу. На основе проделанных предварительных упражнений учащиеся сделают вывод, что если “2~*==~з~“, то все (целое) первое число или I будут равны

В результате задача получает знакомый учащимся вид: «Сумма двух чисел равна 50, первое число равно ~ второго.

Найти эти числа». Решение ее проводится учащимися уже ранее известным приемом по типу задачи № 1. После решения следует проверка.

Примерная запись:

Проверка:

Для закрепления дается еще 2—3 аналогичные задачи, не только на сумму двух чисел, а и на их разность.

Наконец, перед тем, как приступить к решению задачи, сформулированной в начале статьи, следует также проделать подготовительные упражнения, а именно:

Задача 3. «Сумма двух чисел равна 180, первого числа равны второго. Найти эти числа».

Учащиеся так же, как и при решении задачи № 2, должны без особых затруднений найти и решение этой задачи путем приведения ее к типу задачи № 1:

Следует проверка и закрепление решением других аналогичных задач.

2-й способ.

Предварительно повторяется нахождение числа по его данной дроби, например, «-^- (числа) равна найти неизвестное число»; «-^- (числа) равны -^-; найти неизвестное число». Вновь обращается внимание учащихся на то, каким действием находится все число по его данной дроби, а именно: действием деления известной (данной) его части на дробь от всего неизвестного числа (в первом примере делением на -g- , во втором—делением -g- на -j-).

Затем так же, как и при подготовке к первому способу, решается задача № 1. Так же при решении задачи № 1 подчеркиваются моменты: 1) одно (первое) из неизвестных чисел задано все (целое); 2) целесообразность выбора второго числа за 1 часть.

Упражнения же по переводу заданной дроби (части) первого в целое проводятся в следующем виде:

4- I числа равна -g-И. Как выразить все первое число через второе? Решение этого вопроса должно сводиться к нахождению всего числа (в данном случае первого) по его данной дроби, принимая второе число за известное, за 1 часть. В этом случае записи могут быть двух вариантов:

Что в дальнейшем можно упростить:

Добившись от учащихся понимания, что во всех подобного рода примерах мы считаем первое число за неизвестное, а второе (условно) за известное (принимаемое за 1 часть), учитель переходит к решению задач № 2 и 3. Решение их будет иметь примерно следующий вид:

Решение задачи № 2:

Решение задачи № 3

Оба из изложенных способов в сущности представляют собой один и тот же прием, с той лишь разницей, что при 1-м способе применяется устный прием нахождения числа по его данной дроби

а при 2-м способе — письменный прием

При этом следует ука-

зать, что при решении данного типа задач не обязательно только первое число выражать через второе, а можно и наоборот: « -J- 1 = -у II» ; примем первое число за 1 часть и выразим второе число через I:

Отметим ошибки учащихся, которые характеризуют некоторого рода невнимательность, а отчасти и «механичность» при решении разбираемого типа задач изложенных способов решения, а именно:

1) Ошибки при решении задач не на сумму, а на разность двух чисел, например: «Разность двух чисел 20; -~ I равна II. Найти эти числа».

Учащиеся находят второе число правильно:

20:-^- = 60 (II), а первое число находят неправильно: 60 +20 = 80, т. е. считают первое число большим числом, в то время как надо: 60 — 20= 40.

2) Ошибки, приводящие к перестановке ответов, например, в той же задаче: 1 = — II в результате получается, что II число равно 40, а I равно 60 вместо: 11 = 60, а 1 = 40.

Аналогичными способами решаются задачи данного типа и в том случае, когда даются не обыкновенные, а десятичные дроби, например:

Задача № 3. «Сумма двух чисел 180; 0,75 первого числа равны 0,6 второго. Найти эти числа».

От редакции. Печатая интересный в методическом отношении опыт т. Леничкина, в том виде как он изложен автором, редакция решительно возражает против употребляемой автором (а также и многими учителями) формы записи: — I = : 3 = -g- II. Можно допустить только -J- I = -g- II, где I и II по существу заменяют буквы X и у, но промежуточная запись недопустима.

ПРОЦЕНТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ШКОЛАХ РАБОЧЕЙ МОЛОДЕЖИ

И. М. БОГДАНОВ и В. А. ЛЕКТОРСКИЙ (Москва)

В капиталистическом обществе интересами господствующего класса определяется практическое применение науки и ее развитие. Характерным примером может служить развитие процентных вычислений.

Процентные расчеты появились в коммерческих расчетах. Вот почему в дореволюционное время в школах и в учебниках процентные расчеты рассматривались только с коммерческой точки зрения. Определение процента давалось с точки зрения «интереса», т. е. с точки зрения платы за занятую в долг сумму денег. В задачах фигурировали такие слова: «должник», или «дебитор», «заимодавец», или «кредитор», «капитал», «процентные деньги», «торговец», «ростовщик» и т. п. Решались задачи на сложные проценты, на правило учета векселей, на вычисление «интересов» от нескольких разных капиталов и т. д., и поэтому процент определялся как «условная плата за каждые сто рублей»; плата же за всю занятую сумму называлась «интересами», или процентными деньгами.

Яркую характеристику цели обучения процентным вычислениям дает последний дореволюционный задачник по арифметике для мужских и женских гимназий, составленный И. Верещагиным (23-е издание). Гимназии, как известно, были далеко не коммерческими учебными заведениями, однако в этом задачнике из 147 задач на «правило простых процентов» (т. е. без задач на правило учета векселей) имеется 117 задач, или 80%, в которых говорится о процентных деньгах с капитала, отданного в рост; с денег, отданных в долг; с доходов от дома; с доходов барышников, торговцев, помещиков и ростовщиков и т. п.

Только после Октябрьской революции советская власть создала широкие перспективы расцвета наук. Особенно широкое применение

процентных расчетов в нашей стране началось с момента развития социалистического строительства. Процентные вычисления советская школа выделила в особый отдел систематического курса арифметики, и они нашли широкое применение в связи с социалистическим строительством в городе и деревне, с науками — физикой, химией, метеорологией, техникой, статистикой и др.; проценты стали широко применяться в жизни нашего советского человека, а поэтому каждый считает необходимым научиться правилам процентных вычислений.

Знание правил процентных вычислений, уменье выполнять и проверять расчеты на проценты имеет большое значение для рабочего и колхозника. В процентах вычисляются количественные и качественные показатели их работы: выполнение задания, экономия материалов, времени, топлива и электроэнергии, сорта выработанной продукции, брак и другие показатели их работы. По этим показателям судят о производственных навыках рабочего и колхозника, об их отношении к работе.

Интерес советских людей к процентным вычислениям не ограничивается желанием усвоить основные правила процентных вычислений: эти правила многие практически усваивают при проверке правильности показателей, выведенных учетчиком; их интересуют более сложные задачи на процентные вычисления, с которыми они нередко встречаются при подведении итогов работы. Например, зная, что первый цех выполнил 120% задания, а второй цех—135% задания, можно ли узнать, на сколько процентов первый цех выработал меньше продукции, чем второй? Верно ли, что первый цех выработал на 135% — 120% = 15% меньше продукции, чем второй? Если брак был снижен с 1,2% до 0,3%, то верно ли, что снижение брака составляет 1,2% —0,3% = 0,9%? Особенный интерес к таким задачам проявляют молодые рабочие и колхозники, которые учились в V, а иногда и в VI классе, но, по их словам, «что-то не помнят, чтобы им приходилось в школе решать подобные задачи». Поступив в школу рабочей молодежи, рабочие вспоминают эти задачи тем более, что на производстве они не всегда могут получить исчерпывающие объяснения приемов решения таких задач, и на уроках арифметики просят учителя решать эти задачи.

Уменье решать задачи на процентные вычисления зависит от того, насколько учащиеся усвоили сущность каждой из трех основных задач на процентные вычисления: на нахождение процента от числа, на нахождение числа по его проценту, на нахождение процентного отношения двух чисел. Эти основные задачи являются фактически задачами на нахождение части числа (нахождение нескольких процентов числа), нахождение числа по его части (нахождение числа по его процентам) и нахождение отношения двух чисел (нахождение процентного отношения двух чисел). Но способ решения этих задач в процентах значительно отличается от способа их решения, когда части выражены (или нужно выразить) в дробях; решение их в процентах легко может быть объяснено и более доступно пониманию учащихся, чем решение в дробях.

При изучении каждой основной задачи на процентные вычисления необходимо строить занятия так, чтобы учащиеся научились правильно определять, какое число в каждой из них составляет 100%. Поэтому при решении каждой задачи учащиеся должны прежде всего ответить на два вопроса: а) какое число в данной задаче составляет 100%; б) почему именно это число, а не другое, составляет 100%.

Как ответить на эти вопросы, покажем на примерах.

Задача 1. По плану рабочий должен за смену выработать 560 изделий. Сколько изделий он выработал сверх плана, если план был им перевыполнен на 15%?

В этой задаче 100% составляет то число изделий, которое рабочий должен был выработать по плану (560), так как данные в задаче 15% должны быть вычислены от числа изделий по плану. На это указывают слова: «если план был перевыполнен на 15%». После этого устанавливаем, что искомое число составляет 15% плана, так как нужно определить количество изделий, выработанных сверх плана. Решение задачи на первых порах выполняется двумя действиями:

Постепенно следует приучать учащихся к записи решения задачи числовой формулой:

Задача 2. Бригада отремонтировала машину за 36 часов, уменьшив на 25% время, которое было установлено по норме. Сколько часов было установлено по норме на ремонт машины?

В этой задаче 100% составляет число часов, которое было установлено на ремонт машины по норме. На это указывают слова: «уменьшив на 25% время, которое было установлено

по норме». Это время неизвестно, и его нужно найти. Данное в задаче число часов (36) на 25% меньше числа, составляющего 100%. Поэтому 36 часов составляют 100% —25% =75% числа часов по норме.

Двумя действиями решение задачи выполняется так:

а) Чему равен 1% нормы?

б) Сколько часов было установлено по норме?

Запись решения этой задачи формулой выполняют так:

Задача 3. На заводе работают 5025 мужчин и 3350 женщин. Сколько процентов составляют мужчины и сколько процентов составляют женщины? На сколько процентов мужчин больше, чем женщин? На сколько процентов женщин меньше, чем мужчин?

В этой задаче поставлены три вопроса с той целью, чтобы научить учащихся определять, какое число в задаче на процентные отношения составляет 100%.

Отвечая на каждый вопрос задачи, учащиеся убеждаются, что в зависимости от того, как сформулирован вопрос, 100% будет составлять или все число рабочих, или число женщин, или число мужчин. Поэтому такие задачи имеют наибольшее значение для усвоения учащимися способа определения числа, составляющего 100%.

Чтобы ответить на первый вопрос (сколько процентов составляют мужчины и сколько процентов составляют женщины?), за 100% нужно принять все число рабочих, хотя указаний на это в вопросе задачи не имеется. Это наиболее сложный случай, и поэтому рассмотрим его подробнее. Решение задачи с таким вопросом возможно лишь в том случае, если нет сомнения, что данные числа нужно выразить в процентах от их суммы. В данной задаче это не может вызвать сомнения, так как число рабочих состоит только из женщин и мужчин. Но в других задачах в этом нельзя быть уверенным.

Например: а) На заводе 325 токарных станков и 455 фрезерных станков. Сколько процентов составляют токарные станки? Эта задача может быть решена лишь в том случае, если будет дополнительное указание, что кроме токарных и фрезерных станков нет других станков (в противном случае вопрос должен быть дополнен словами: «от всего числа токарных и фрезерных станков»); б) Из рабочих предприятия 248 чел. учатся в школе рабочей молодежи, 118 чел. — в техникумах, 45 чел.—в институте, 156 чел.—на вечерних курсах и 398 чел.—в политкружках. Сколько процентов составляют рабочие, учащиеся в школе рабочей молодежи? Эта задача может быть решена лишь в том случае, если будет в вопросе дополнительно указано: «от всего числа учащихся рабочих». Если бы надо было узнать, сколько процентов составляют учащиеся школы рабочей молодежи от всего числа рабочих на заводе, то в задаче должно быть дополнительно указано все число рабочих.

Как видно, в задаче на нахождение процентного отношения чисел должно быть дано в прямой или косвенной форме то число, в процентах от которого выражается другое число (или числа). Если этого числа нет, или оно не может быть найдено путем вычислений над другими числами, то задача не имеет смысла.

Вернемся к задаче 3. Чтобы ответить на первый вопрос, нужно сложить данные числа (5025 + 3350) и полученную сумму принять за 100%.

Решение этой задачи двумя действиями следующее:

а) Чему равен 1 % всего числа рабочих на заводе?

8375:100 = 83,75.

б) Сколько процентов мужчин на заводе?

5025:83,75 = 60 (%).

Ответ: мужчин 60%.

Запись решения этой задачи может быть и такой:

Ответ на вторую часть первого вопроса (сколько процентов женщин на заводе?) можно получить вычитанием числа процентов мужчин (60%) от 100%. При этом полезно предложить учащимся проверить правильность этого решения задачи вычислением:

Чтобы ответить на второй вопрос задачи (на сколько процентов мужчин больше, чем женщин?), за 100% должно быть принято число женщин, так как в вопросе указано, что мы сравниваем число мужчин с числом женщин. Следует обратить внимание учащихся на то, что в задачах на процентные вычисления слова: «чем», «по сравнению», «по отношению», «от», «к» указывают, какие величины задачи составляют 100%. Итак, отвечая на второй вопрос

задачи, мы принимаем за 100% число женщин.

Решение этой задачи может быть проведено одним из следующих двух способов:

I. а) Узнаем, на сколько мужчин больше, чем женщин:

5025 — 3350= 1675 (чел.).

б) Полученную разность (1675) выражаем в процентах от числа женщин:

II. а) Узнаем, сколько процентов составляет число мужчин по отношению к числу женщин:

б) От полученного числа процентов вычитаем 100%:

150% —100% =50%.

Чтобы ответить на третий вопрос задачи (на сколько процентов женщин меньше, чем мужчин?), за 100% нужно принять число мужчин, так как сравнение проводится с числом мужчин.

Как и в предыдущей задаче, решение может быть выполнено двумя способами:

I. а) Узнаем, на сколько женщин меньше, чем мужчин:

5025 — 3350= 1675 (чел.).

б) Полученную разность выражаем в процентах от числа мужчин:

II. а) Узнаем, сколько процентов составляет число женщин от числа мужчин:

б) Вычитаем полученное число процентов от 100%:

После решения этой задачи необходимо обратить внимание учащихся, что на вопросы: а) на сколько процентов первое число больше второго числа и б) на сколько процентов второе число меньше первого числа — мы получили разные ответы. Для понимания процентных вычислений это имеет большое значение. Учащиеся привыкли к тому, что при разностном и при кратном сравнении двух чисел ответ не зависит от того, имеется ли в вопросе задачи слово «больше» или слово «меньше». Например: «Один рабочий выработал 485 изделий, а другой рабочий выработал 532 изделия. На сколько изделий первый рабочий выработал меньше, чем второй? На сколько изделий второй рабочий выработал больше изделий, чем первый?».

На оба эти вопроса числа ответов будут одинаковые: первый рабочий выработал на 47 изделий меньше, чем второй, и второй рабочий выработал на 47 изделий больше, чем первый. То же будет и в задаче на кратное сравнение чисел: «Рабочий обтачивал за смену 86 колец. Перейдя на скоростную обточку колец, он стал обтачивать 1204 кольца. Во сколько раз больше колец стал обтачивать рабочий после перехода на скоростную обточку? Во сколько раз меньше колец обтачивал рабочий до перехода на скоростную обработку? На оба вопроса числа ответов будут одинаковые: в 14 раз больше, в 14 раз меньше.

Чтобы учащиеся поняли, почему при процентных вычислениях ответы не могут получиться одинаковые, нужно обратить их внимание на то, что в данном случае вопросы «на сколько процентов больше» и «на сколько процентов меньше» требуют сравнения одного и того же числа с разными числами.

Так, в нашей задаче мы сначала сравнивали число 1675 с числом 3350, потом, изменив вопрос, мы это же число 1675 сравнивали с числом 5025, так как в обеих задачах разные числа составляли 100%, а потому и ответы получились разные.

При решении задач, в которых требуется узнать, на сколько процентов одно число больше другого числа, предпочтительнее первый способ (нахождение разности данных чисел и выражение ее в процентах к тому числу, которое составляет 100%), так как этот способ требует четкого определения числа, которое сравниваем, и числа, с которым сравниваем, что делает ход решения задачи последовательным и выбор вычислений ясным и целесообразным. Этого нельзя сказать о втором способе. Решая задачу вторым способом, учащиеся с трудом осознают, почему в одном случае нужно выразить число женщин в процентах от числа мужчин, а в другом случае нужно выразить в процентах число мужчин от числа женщин. Другим недостатком второго способа является необходимость в объяснении учащимся, в каких случаях на вопрос задачи «на сколько процентов одно число больше или меньше другого числа?» можно ответить вычитанием процентных данных.

Этот вопрос требует дополнительных серьезных разъяснений на задачах, в которых имеются лишь процентные данные. Эти задачи требуют более сложного логического рассуждения, и поэтому, вероятно, они почти и не встречаются в существующих задачниках по арифметике, хотя в практической жизни они встречаются сплошь и рядом. Речь о таких задачах будет ниже.

Мы рассмотрели три основные задачи на процентные вычисления. Четкое усвоение хода

решения каждой из этих задач, уменье отличать одну задачу от другой, уменье определять, какое число в каждой из них составляет 100°/о,—необходимые условия для усвоения учащимися способов решения сложных задач на процентные вычисления и, главное, для уменья отличить, когда имеется достаточно данных для решения задач и когда этих данных недостаточно, а также каких данных нехватает.

Примером сложной задачи, на решении которой выявляется, как учащиеся усвоили три основные задачи на процентные вычисления, может служить следующая задача:

«На заводе имеются три вида станков: фрезерные, токарные и шлифовальные. Фрезерных станков 280, что составляет 32% всего числа станков на заводе; шлифовальных станков на 20% меньше, чем фрезерных. На сколько процентов токарных станков больше, чем шлифовальных?».

Прежде чем приступить к решению задачи, следует выяснить, достаточно ли данных для ее решения. Это тем более полезно, что попутно с выяснением вопроса о достаточности данных составляется план решения. Начинаем с вопроса задачи.

Чтобы ответить на вопрос задачи (на сколько процентов токарных станков больше, чем шлифовальных?), нужно знать две величины: а) на сколько штук токарных станков больше, чем шлифовальных, и б) сколько шлифовальных станков на заводе. Эти величины в задаче не указаны, поэтому рассмотрим, что можно узнать по тем данным, которые приведены в задаче. Читаем условие задачи. Первое предложение условия задачи (на заводе имеются три вида станков: фрезерные, токарные и шлифовальные) никаких числовых данных не содержит, но оно имеет большое значение для решения задачи, так как указывает, что для решения придется определять количество только этих трех видов станков. Второе предложение задачи (фрезерных станков 280, что составляет 32% всего числа станков на заводе) содержит два числовые данные (280 станков и 32%) и указание, как эти данные зависят друг от друга. Это указание выражено словами «что составляет». По этим данным можно узнать, сколько всего станков имеется на заводе (полезно напомнить, что это есть количество фрезерных, токарных и шлифовальных станков, взятых вместе). Итак, мы знаем, сколько на заводе фрезерных станков (280), и можем узнать, сколько на заводе всех станков. Читаем следующее предложение задачи (шлифовальных станков на 20% меньше, чем фрезерных). Количество фрезерных станков известно (280), а зная, что шлифовальных станков было на 20% меньше, чем фрезерных, мы можем узнать, сколько имеется шлифовальных станков. Теперь у нас будут следующие три данные: а) количество всех станков, б) количество фрезерных станков и в) количество шлифовальных станков. Остается неизвестным количество токарных станков. Но узнать это количество можно по указанным выше трем данным. А если будем знать, сколько имеется токарных и сколько шлифовальных станков, то нетрудно узнать, на сколько процентов токарных станков больше, чем шлифовальных. Теперь план решения задачи ясен:

а) Сколько всего станков на заводе?

б) Сколько на заводе шлифовальных станков?

в) Сколько токарных станков?

г) На сколько больше токарных станков, чем шлифовальных?

д) На сколько процентов токарных станков больше, чем шлифовальных?

Записываем решение задачи (если план решения был записан в процессе разбора, то решение задачи записывается без вопросов, если план решения задачи был составлен устно, то решение задачи записывается с вопросами):

Ответ: токарных станков на 65 -g- % больше, чем шлифовальных.

После решения задачи полезно предложить учащимся ответить на вопрос: «На сколько процентов шлифовальных станков меньше, чем токарных?», чтобы учащиеся убедились, что на этот вопрос получится другой ответ (^39— %).

Особое значение для учащихся школ рабочей молодежи имеют задачи, данные которых выражены в процентах.

Как было указано в начале статьи, эти задачи вызывают интерес учащихся к процентным вычислениям, так как с такими задачами они встречаются на производстве.

Кроме того, учащимся в наше время приходится нередко слышать такие выражения: «удельный вес» тяжелого машиностроения в промышленности СССР; «удельный вес» социалистического сектора сельского хозяйства в той или иной демократической стране и т. п., где

под выражением «удельный вес» подразумевается «процентное содержание».

Так, вместо того чтобы сказать, что комсомольцы составляют 23,5% всего числа рабочих завода, говорят, что удельный вес комсомольцев составляет 23,5% от всего числа рабочих. В этом же смысле говорят об удельном весе квалифицированных рабочих, об удельном весе брака, об удельном весе какого-нибудь вида изделий и т. п. Число, от которого вычислен «удельный вес», должно быть указано, если могут возникнуть на этот счет сомнения. Например, говоря об удельном весе комсомольцев на предприятии, следует указать, вычислен ли этот удельный вес от всего числа рабочих или только от числа молодых рабочих. В большинстве случаев это число подразумевается вполне определенно. Так «удельный вес» женщин на предприятии вычисляется от всего числа рабочих, «удельный вес» брака — от всей выработки, «удельный вес» каких-нибудь изделий—от всего количества изделий в штуках или от их стоимости.

Наиболее актуальными для учащихся школ рабочей молодежи являются задачи, связанные с повышением качества работы, с борьбой за снижение брака и отходов производства, например: «Б марте рабочий выпустил 0,15% изделий второго сорта, а в апреле 0,12% изделий второго сорта. На сколько процентов рабочий уменьшил выпуск изделий второго сорта?»

Задача в такой формулировке обычно предполагает определение процента снижения «удельного веса» изделий второго сорта, а не процента уменьшения количества изделий второго сорта. Поэтому формулировку вопроса такой задачи следует заменить следующей: «на сколько процентов уменьшился удельный вес изделий второго сорта?».

Решение задачи будет таким:

1. На сколько уменьшился показатель изделий второго сорта?

2. На сколько процентов уменьшился удельный вес изделий второго сорта?

Ответ: удельный вес изделий второго сорта уменьшился на 20%.

Объяснение решения задачи проводим на конкретных числах (лучше их сделать целыми числами). В марте на каждую сотню выработанных изделий было 0,15 изделий второго сорта, или 15 изделий на каждые десять тысяч выработанных изделий. В апреле второй сорт составлял 12 изделий на каждые десять тысяч.

Узнаем, на сколько штук уменьшилось количество изделий второго сорта на каждые десять тысяч выработанных изделий? 15 —12 = 3 (изделия). Выражаем число 3 в процентах к числу 15, с которым его сравниваем:

Можно ли считать, что найденный процент уменьшения удельного веса изделий второго сорта является также ответом на вопрос «на сколько процентов рабочий уменьшил выпуск этих изделий?». Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим несколько вариантов этой задачи с разными конкретными числовыми данными, но с сохранением тех же процентных данных.

Вариант 1. «В марте рабочий выработал 250 ООО изделий, из них 375 изделий второго сорта. В апреле из такого же количества выработанных изделий было 300 изделий второго сорта. На сколько процентов снизился выпуск изделий второго сорта?». Вопрос этой задачи может быть истолкован двояко: а) на сколько процентов снизился удельный вес изделий второго сорта? и б) на сколько процентов уменьшилось количество выпущенных изделий второго сорта? Чтобы ответить на первый вопрос, нужно выразить количество изделий второго сорта в процентах от выработки за каждый месяц:

найти разность полученных процентных данных (0,15 — 0,12 = 0,03) и эту разность выразить в процентах от удельного веса изделий второго сорта в марте (0,15). Ответ: 20%.

Чтобы ответить на второй вопрос, нужно сначала определить разность между количеством изделий второго сорта в марте и количеством их в апреле: 375 — 300 = 75 (изд.), потом эту разность выразить в процентах от количества изделий второго сорта, выпущенных в марте: —g—— = 20(%). Ответ получился тот же.

Вариант 2. «В марте рабочий выработал 250 000 изделий, из которых 375 изделий второго сорта. В апреле он выработал 300 000 изделий, из которых 360 изделий второго сорта. На сколько процентов снизился выпуск изделий второго сорта?».

Если вопрос этой задачи понимать в том смысле, что нужно узнать снижение удельного веса изделий второго сорта, то ответ задачи остается тот же, так как удельный вес этих изделий в марте составлял:

а в апреле удельный вес их составлял:

, и поэтому процент уменьшения удельного веса будет равен 20%.

Неправильным было бы понимать вопрос задачи как требование узнать, на сколько процентов число изделий второго сорта, выпущенных в апреле, было меньше числа изделий этого сорта, выпущенных в марте, т. е. сравнивать число 375 с числом 360. Если мы сравнили бы эти числа, то получили бы следующее: 1. 375 — 360 = 15 (число изделий второго сорта в апреле было на 15 шт. меньше).

(число изделий второго сорта в апреле было на 4% меньше числа их в марте).

В том, что подобное сравнение количеств изделий второго сорта при разных количествах выработки неправильно и что оно неверно характеризует работу на предприятии, учащиеся могут убедиться при решении следующих задач.

Вариант 3. «Фабрика выпустила за год 35 млн. метров материи, из которых 52,5 тыс. метров составлял второй сорт. Цех фабрики выпустил за это же время 1200 тыс. метров, из которых 7,2 тыс. метров составлял второй сорт». Имеет ли смысл вопрос: на сколько процентов цех выпустил меньше материала второго сорта, чем фабрика?

Если бы, отвечая на этот вопрос, мы узнали, на сколько процентов число 7,2 тыс. меньше числа 52,5 тыс., то получили бы:

Можно ли на этом основании сказать, что цех работал лучше, чем вся фабрика? Нет. В этом можно убедиться, если сравним удельный вес материи второго сорта, выпущенной цехом, с удельным весом этой материи, выпущенной всей фабрикой. Процент ее составляет в цехе:

Сравнивая эти числа процентов (удельные веса) материала второго сорта, находим, что разность между удельными весами составляет 0,6% —0,15% = 0,45% и что удельный вес этой материи в цехе был на q ß— = 300(%) больше, чем удельный вес ее на фабрике в целом.

Этот ответ характеризует работу цеха. Поэтому к этой задаче может быть поставлен только один вопрос: «На сколько процентов удельный вес материи второго сорта в цехе был больше удельного веса ее на фабрике?». На этот вопрос мы нашли ответ: удельный вес был на 300% больше.

процент ее на фабрике составляет

Мы убедились, что в задачах на сравнение выпуска изделий второго сорта сравнивать нужно не количества этих изделий, а числа процентов изделий второго сорта от всей выработки, т. е. их удельные веса. Так же решаются задачи на экономию материалов, инструментов, горючего и т. п. Например, нужно сравнить, на сколько экономнее расходует резцы для обточки металлических изделий один рабочий, чем другой. Достаточно ли для этого знать только количества резцов, израсходованных каждым из этих рабочих? Имеет ли значение, например, такая задача: «Один рабочий израсходовал за неделю 12 резцов, а другой 10 резцов. На сколько процентов второй рабочий экономнее расходовал резцы, чем первый?».

Чтобы убедиться в неправильности такой формулировки задачи, рассмотрим следующую задачу:

«Один рабочий обточил за неделю 960 изделий и израсходовал на это 12 резцов, другой рабочий на обточку 640 таких же изделий израсходовал 10 резцов. Кто из этих рабочих и на сколько процентов экономнее расходовал резцы?».

Решим эту задачу.

1. Какая часть резца приходилась в среднем на обточку 1 изделия первым рабочим?

2. Какая часть резца приходилась в среднем на обточку 1 изделия вторым рабочим?

3. На сколько меньше часть резца, израсходованная первым рабочим на обточку одного изделия, чем вторым?

4. На сколько процентов экономнее расходовал резцы первый рабочий, чем второй?

Ответ: первый рабочий на 20% экономнее расходовал резцы, чем второй.

При решении этой задачи мы сравниваем не процентные числа, а отношения количества резцов к количествам изделий, что не меняет сущности задачи. Решим другую задачу:

«Один водитель тралевого трактора вывез за сезон 11200 кубометров леса и сэкономил 8960 кг горючего, а другой водитель вывез за сезон 10800 кубометров леса и сэкономил 7980 кг горючего. Будет ли показательным, если мы узнаем, на сколько процентов первый

водитель больше сэкономил горючего за сезон, чем второй?».

Нет, так как можно сравнивать или экономию горючего с планом расхода его для выполнения определенной работы, или же экономию горючего, полученную при выполнении единицы работы одним водителем, с экономией, полученной при выполнении такой же единицы работы другим водителем. В данной задаче сравнивать можно лишь числа экономии горючего при перевозке 1 кубометра леса. Поэтому к этой задаче может быть дан следующий вопрос: «Кто из водителей и на сколько процентов экономил больше горючего на перевозку 1 кубометра леса?».

Решение задачи с таким вопросом следующее: 1. Сколько горючего экономил при перевозке 1 кубометра леса первый водитель?

2. Сколько горючего экономил при перевозке 1 кубометра леса второй водитель?

3. На сколько килограммов первый водитель экономил больше горючего на перевозку 1 кубометра леса, чем второй?

4. На сколько процентов первый водитель экономил больше горючего на перевозку 1 кубометра леса, чем второй?

Ответ: первый водитель экономил на 8,27% больше горючего, чем второй.

Следует отметить, что сравнение количеств сэкономленных материалов, горючего и т. п. показательно лишь в том случае, если планы расхода его или работ, выполненных при этом (количества выработанных изделий, количества пройденных километров и т. п.), одинаковы. Например, если бы в последней задаче количества перевезенного леса обоими водителями были одинаковые, то сравнение количеств сэкономленного горючего было бы ответом на вопрос задачи.

Большой интерес учащихся ШРМ вызывает вопрос о возможности сравнения данных о выполнении плана, выраженных в процентах. На производстве учащиеся ежемесячно, а в цехе иногда и ежедневно, рассматривают таблицы показателей выполнения плана цехами, отдельными стахановцами и бригадами и поневоле у них возникают вопросы: можно ли эти данные сравнивать, в каких случаях и как?

Например:

1. «Стахановец 18 jXI выполнил 250% сменного задания, a 27\XÏ он выполнил 400% этого задания». Что можно узнать по этим данным? Установив, что 250% и 400% вычислены от одного и того же числа (от сменного задания), можем условно принять процентные данные за количество изделий, выработанных стахановцем: 18/XI — выработал 250 изделий, 27/XI—400 изделий, при этом сменное задание в данном случае должно равняться 100 изделиям. Сравнивая эти условные данные, мы получим тот же ответ, какой получили бы при сравнении чисел фактической выработки стахановца за оба дня. Учащиеся могут в этом убедиться, если задачу решить на конкретных числах, приняв за 100% (сменное задание) любое число, например, 1500 изделий. Тогда 18/XI— стахановец выработал a 27/XI — он выработал

Сравнивая 3750 с 6000, получим:

Результаты сравнений одинаковы.

Поэтому задача может быть сформулирована так:

«Стахановец 18jXI выполнил 250% сменного задания, а 27\Х\— 400% этого задания. На сколько процентов его выработка 27/XI была больше выработки 18\XI?»

Решение этой задачи:

Ответ: 27/XI стахановец выработал на 60% больше, чем 18/XI.

2. «Стахановец выполнил 21 \Н—180% сменного задания, 22\1\—195%; 23/11—204%; 24\П — 216%;25\11 — 238% и 26 \II — 269%». Что можно узнать по этим данным?

Как было указано при разборе предыдущей задачи, мы можем сравнивать любые два из приведенных здесь процентных данных, так как все они вычислены от одного и того же сменного задания (мы можем узнать, на сколько процентов стахановец выработал 22/II больше, чем 21/II; 23/II больше, чем 22/II или чем 26/11 и т. д.), но можем также узнать, сколько процентов недельного задания выработал стахановец за неделю с 21/II по 27/11.

Задачу можно бы решить так:

а) узнать, сколько процентов дневного задания выполнил рабочий за всю неделю, для чего сложить числа процентов:

б) по дневному заданию узнать, сколько процентов составляет недельное задание от дневного задания, для чего 100% (дневное задание) умножить на 6, получим 600%;

в) выразить в процентах первое число от второго:

Такой же ответ получим, если найдем среднее арифметическое указанных в задаче процентных данных:

1302% :6 = 217%.

Число 217% является ответом на поставленный вопрос: стахановец выполнил 217% недельного задания, что легко проверить на конкретных данных, если принять какое-нибудь число в качестве сменного задания, узнать выработку за каждый день по указанным процентам, найти выработку за неделю и выразить ее в процентах от недельного (шестидневного) плана.

3. «В феврале цех выполнил 99,7% месячного плана, а в марте 102,3% его». Можно ли по этим данным ответить на вопрос: «Сколько процентов двухмесячного плана выполнил цех?» или на вопрос: «На сколько процентов в марте месяце цех выработал больше изделий, чем в феврале?».

Если месячные планы выработки в феврале и марте были одинаковые, то, как мы видели выше при решении предыдущей задачи, ответить на этот вопрос можно нахождением среднего арифметического процентных данных за оба месяца:

(99,7% +102,3%):2 = 202%:2= 101%.

Можно убедиться, что примерно такой же ответ получим, если разница в месячных планах будет невелика. Например, февральский план составляет 150000 изделий, а мартовский— 156000 изделий. Найдем по этим данным и данным задачи, сколько процентов двухмесячного плана выполнил цех:

а) Сколько изделий выработал цех в феврале?

б) Сколько изделий выработал цех в марте?

в) Сколько изделий надо было выработать по плану за оба месяца?

г) Сколько изделий выработал цех за оба месяца?

1495504- 159588 = 309138 (изделий).

д) Сколько процентов двухмесячного плана выполнил цех?

Как видим, разница небольшая и составляет: 101,02 % — 101 % = 0,02 %. Совершенно иная картина получится, если между месячными планами и между процентами выполнения их имеется значительное расхождение. Например, в феврале месячный план цеха равнялся 150000 изделий, а выполнение его составляло 90%, в марте план равнялся 200000 изделий, а выполнение его—135%. Если бы мы определили выполнение цехом двухмесячного плана нахождением среднего арифметического процентных чисел, то получили бы: (90% + 135%):2 = 225% :2 = 112,5%.

Если же решим эту задачу на конкретных числах, то получим:

а) в феврале цех выпустил:

б) в марте цех выпустил:

в) двухмесячный план: 150000 + 200000 = 350000 (изделий);

г) выработка за два месяца: 135000 270000 = 405000 (изделий);

д) процент выполнения двухмесячного плана:

Нетрудно догадаться, что чем больше будет расхождение между месячными планами и процентами их выполнения за каждый месяц, тем менее точным будет ответ, полученный при решении задачи по одним лишь процентным данным. Однако в практике эти расхождения, обычно, невелики, поэтому указанный способ решения задачи может быть применим для получения ответа, близкого к точному.

Рассмотрим, какие получим ответы на второй вопрос: «На сколько процентов в марте месяце цех выработал больше изделий, чем в феврале?». Сначала решим задачу с конкретными данными (февральский план —150000 изделий и мартовский—156000 изделий). Мы уже узнали, что в феврале цех выпустил 149550 изделий, а в марте—159588 изделий. Остается лишь узнать, на сколько процентов в марте было выпущено больше изделий, чем в феврале. Для этого разность 159588—149550= 10038 выразим в про-

центах от февральской выработки (149550 изделий). Получим:

Выработка в марте была на 6,7% (приблизительно) больше выработки в феврале.

Если решить эту задачу только по процентным данным, т. е. принять 99,7% за 99,7 изделия, а 102,3% за 102,3 изделия, то получим:

Как видно, разница в ответе очень велика: 6,71% и 2,61%.

Поэтому можно сделать вывод, что сравнение процентных данных от разных чисел невозможно, если только процентные данные не выражают «удельные веса», о чем уже говорилось выше.

4. «Инструментальный цех снизил себестоимость продукции на 8,4%, а литейный цех снизил ее на 10,5%». Можно ли по этим данным условия задачи узнать, на сколько процентов больше литейный цех снизил себестоимость продукции, чем инструментальный цех?

Этот вопрос нужно понимать так: «на сколько процентов снижение себестоимости с каждых 100 рублей выпущенной продукции литейным цехом больше снижения ее на каждые 100 рублей продукции, выпущенной инструментальным цехом?». Мы сравниваем «удельные веса» снижения себестоимости. Получим:

Ответ: снижение себестоимости продукции литейным цехом было на 25% больше, чем снижение себестоимости инструментальным цехом.

5. «Один стахановец выполнил в феврале 232% месячного задания; а в марте — 254% месячного задания; другой стахановец выполнил в феврале 194% задания, а в марте — 263%».

Мы уже знаем, что по этим данным можно сравнить выработку каждого из обоих стахановцев в марте с их выработкой в феврале, полагая, что февральское и мартовское задания каждого из них в отдельности были одинаковы. Первый стахановец выработал в марте на 9,48% больше, чем в феврале (^254%—232% =22%; второй стахановец выработал в марте на 35,57% больше, чем в феврале

Мы узнали, что второй стахановец значительно больше увеличил в марте февральские показатели выработки, чем это сделал первый стахановец.

Однако сравнение данных об увеличении в марте февральской выработки нецелесообразно, если задания обоих стахановцев количественно неравны. Если же эти задания равны, то, сравнивая перевыполнение февральской выработки в марте, мы узнаем, на сколько процентов второй стахановец в марте больше увеличил февральскую выработку, чем первый, т. е. сравниваем количество изделий, выработанных сверх февральской выработки вторым стахановцем, с количеством их, выработанным первым стахановцем. Мы сравниваем «темпы» увеличения февральских показателей в марте и узнаем, что это увеличение, достигнутое вторым стахановцем, было на 275,2% (приблизительно) больше, чем увеличение, достигнутое первым стахановцем.

В заключение разберем решение следующей задачи:

6. «Заработок рабочего повысился на 20%, а цены на продукты и товары снижены на 15 %. На сколько процентов повысился реальный заработок рабочего?».

Решение этой задачи нужно начать с выяснения, что следует понимать под «повышением реального заработка»? Это выяснение можно провести примерно так: рабочий, получавший в месяц 800 руб., после повышения заработка на 20% стал получать 960 руб. В результате снижения цен на 15% рабочий при покупке товаров вместо 1 руб. платил 0,85 руб.

На 960 руб. после снижения цен он мог купить товаров, за которые до снижения он должен был уплатить 960:0,85 ^1129,4 (руб.), т. е. на 329,4 руб. больше, чем он мог купить раньше за 800 руб. Реальный заработок рабочего увеличился на 329,4 рубля или на

Этот же ответ получим, если сложим 20% надбавки заработка и 15% снижения цен (заметим, что процент надбавки и снижения вычисляем от того же заработка) и полученное число выразим в процентах от разности между числом 100 и числом процентов снижения цен (15), т. е. от 85:

Задач, подобных решенным нами, учащиеся ШРМ выдвигают так много, что решение их в урочное время невозможно. Полезно некоторые из них разобрать на уроках, а остальные— в часы консультаций. Решать нужно лишь те задачи, которые представляют наибольший интерес для учащихся и выдвинуты или самостоятельно учащимися, или же выдвинуты учащимися при содействии учителя.

РАЗВИТИЕ МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

М. Д. БРЕЙТЕРМАН (Москва)

Развитие интеллекта и познавательных сил учащихся составляет одну из основных задач процесса обучения. Советская школа воспитывает прежде всего мыслящих людей, сознательных строителей коммунистического общества, «...на место старой учебы, старой зубрежки, старой муштры мы должны поставить уменье взять себе всю сумму человеческих знаний, и взять так, чтобы коммунизм не был бы у вас чем-то таким, что заучено, а был бы тем, что вами самими продумано, был бы теми выводами, которые являются неизбежными с точки зрения современного образования»*.

Обучение без соответствующего развития мыслительной активности учащихся неизбежно ведет к формализму в знаниях, к загрузке их памяти собранием неясных, мало связанных, а порою и искаженных представлений.

В воспитании мышления школьника особую и весьма важную роль играет обучение его математике. Развитие математического мышления представляет собой одну из труднейших задач дидактики: оно особенно связано со способностью к абстрагированию и к обобщению.

Сознательное усвоение любого математического материала прежде всего связано со способностью учащихся активно осознавать его обобщения, с уменьем находить общее в частных случаях, различать существенные связи частных случаев между собой. Особенно важно, с точки зрения развития мышления, уменье своими словами, но максимально точно, по существу, формулировать найденное общее правило, закон, вопрос задачи.

Как же воспитать живую, бойкую мысль у ученика, приучить его активно анализировать учебный материал, вдумываться в сущность выполняемых преобразований, внимательно следить за ходом рассуждения при решении задачи? Как, наконец, воспитывать элементы творческого мышления и на уроке и вне школы.

Не имея в виду исчерпывающее решение поставленной проблемы, мы хотим здесь поделиться конкретным опытом развития мышления учащихся при решении арифметических задач.

1. Развитие способности обобщать

Одной из существенных трудностей, с которой встречаются многие учащиеся при решении типовых задач, является неуменье видеть за разнообразным внешним оформлением внутреннюю логическую структуру задачи. Почти каждая новая задача кажется им особенной и исключительной, не связанной с другими, а в пределах данной задачи они не видят сущности и связи ее основных частей. Успех в решении задачи в значительной мере обусловлен способностью находить каждый раз за различными фактическими деталями ту скрытую в них общность, которая характеризует целую группу задач. Воспитание у учащихся этой способности обобщения является, безусловно, одной из главных задач учителя математики.

Попытку исследовать эту дидактическую проблему сделала в книге «Очерки психологии обучения арифметике» Н. А. Менчинская, выдвинув следующее положение: «Для того, чтобы ученик сделал правильное обобщение, нужно варьировать все несущественные признаки предметов или явлений, сохраняя постоянными только те признаки, которые должны были быть положены в основу обобщения» (стр. 31). Это психолого-педагогическое соображение было применено в указанной работе главным образом при анализе ошибок, возникающих в процессе вычисления. Мы же использовали его при решении с учащимися арифметических задач.

Практическим осуществлением этого приема развития обобщающей способности явилось в нашей практике последовательное решение с учащимися ряда задач, совершенно различных по своему сюжету (в данном случае по несущественному признаку), но объединенных одной и той же схемой решения (существенным признаком), обобщение которой, а следовательно, и ее осознание и усвоение явилось ближайшей целью, поставленной перед учащимися.

Вот, к примеру, серия задач, имеющих общую схему решения. Таких различных по характеру серий было составлено и решено с учащимися несколько (например на сумму и кратное отношение, на замену, на предположение и другие).

1-я задача

Поезд двигался на первом участке пути а часов со скоростью b км в час. На втором участке он двигался в течение с часов с большей (или меньшей) скоростью. Всего поезд прошел d км. Какова была скорость поезда на втором участке пути?

* В. И. Ленин, Задачи союзов молодежи, Соч., т. 31, стр. 264, 1950 г.

2-я задача

До снижения цен было куплено а кг товаров по цене b рублей за килограмм. После снижения цен было куплено еще с кг того же товара. За все было уплачено d рублей. Сколько стоил один килограмм товара после снижения цен?

3-я задача

Рабочий проработал а часов, изготавливая за каждый час по b деталей. Подняв затем производительность труда, он изготовил еще с деталей. Всего им было сделано d деталей. По скольку деталей в час он делал с повышенной производительностью труда?

Все эти задачи имеют одну и ту же числовую формулу решения:

Решая (разумеется, в числах, в целых или дробных) последовательно ряд таких задач, составляя каждый раз числовую формулу решения и сравнивая их между собой, мы раскрываем перед учащимися имеющуюся общность в решении этих с виду различных задач. Учащиеся подводятся к пониманию типа задачи, к нахождению ключа для ее решения.

После решения нескольких таких задач на доске следуют упражнения в самостоятельном решении аналогичных задач и самостоятельное составление их учащимися по заданным числовым данным. Такие упражнения призваны закреплять у учащихся способность самостоятельного обобщения.

Однако варьирование одних лишь несущественных признаков, т. е. повторение одного и того же приема решения задач с различным сюжетом и числовыми данными, характеризует собой лишь первоначальную ступень обобщения. В дальнейшем варьированию подвергались также и существенные признаки, существенные условия задачи.

2. Развитие функционального мышления

Важнейшим средством воспитания у учащихся диалектического мышления является рассмотрение связи и взаимозависимости между явлениями объективного мира в его движении и развитии, обнаружение многосторонности связей и функциональной зависимости между величинами, характеризующими количественно эти явления.

Развитие функционального мышления на различном математическом материале представляет собой специальную тему. В данной статье мы показываем лишь один из моментов развития функционального мышления, примененный нами на основе обобщения типовых задач.

Это обобщение осуществляется путем решения нескольких задач, совершенно различных по схеме решения, но объединенных одним и тем же содержанием. В сущности, перед нами здесь одна задача. Меняя в ней местами данные и искомые величины, варьируя различным образом связи и зависимости между числовыми данными, мы получаем задачи различного типа, измененные по своей структуре и решаемые, следовательно, по различным схемам.

Возьмем в качестве примера задачу на движение.

1. Пионерский отряд за два дня похода пешком и на велосипедах прошел 78 км. В первый день отряд сделал на 26 км больше, чем во второй. По скольку километров отряд продвигался каждый день?

Это типичная задача на «сумму и разность».

2. В первый день похода пионеры сделали на 26 км больше, чем во второй. Во второй день — в два раза меньше, чем в первый день. По скольку километров отряд продвигался отдельно каждый день?

Тип этой задачи «по разности и кратному отношению». Аналогично можно составить задачу на сумму и кратные отношения.

Далее задача несколько усложняется, сохраняя прежнее содержание.

3. Пионерский отряд сделал в походе 78 км за 14 часов. Часть пути пионеры ехали на велосипедах со скоростью 9 км в час, а часть — пешком со скоростью 3 км в час. Сколько километров отряд сделал на велосипедах и пешком отдельно?

Это задача «на предположение».

4. Пионерский отряд сделал в походе 78 км. 8 часов пионеры шли пешком, а 6 часов ехали на велосипедах. Сколько километров они проехали на велосипедах и сколько прошли пешком, если на велосипедах двигались быстрее на 6 км, чем шли пешком?.

Это задача «на замену данных».

На соответствующем этапе обучения целые числовые данные задач заменяются дробными. В ходе решения эти данные записываются в сжатой форме в виде таблицы, позволяющей рельефней обнаруживать их сходство и связь между собой. Разумеется, степень сложности задач, решаемых таким образом, постепенно усложняется.

Повторяющийся сюжет задачи здесь отходит на задний план. На его фоне отчетливо выступают лишь меняющиеся своими местами величины, выявляется связь и функциональная зависимость между ними. Перед учащимися демонстрируется механизм образования задачи: ее конструкция и ее тип. Такое разоблачение «тайны» создания задачи, ее осознание и уяс-

нение всегда вызывают у учащихся большое оживление и интерес.

Подобные упражнения подготавливают учащихся к пониманию связи между различными типами задач, воспитывают у них навык более широкого обобщения.

Эта часть работы завершается, как всегда, самостоятельным упражнением в решении задач различных типов, когда учащиеся сами определяют тип задачи и прием ее решения. Затем учащиеся упражняются в составлении задач, в придумывании на основании одной задачи нескольких путем варьирования искомых и данных величин.

Следующим интересным и важным приемом раскрытия функциональной связи между величинами и, следовательно, внедрения в сознание учащихся понимания этой связи является решение нетрудных задач по схеме одного уравнения с двумя неизвестными. Это может быть нахождение ряда возможных значений длины и ширины прямоугольного участка земли при заданном значении ее площади или, скажем, выявление и запись в виде таблицы зависимости изменения времени, необходимого на выполнение определенного объема работы данной бригадой рабочих при увеличении производительности их труда, и др. Здесь уместно и полезно вычерчивание диаграммы обнаруживаемой зависимости.

3. Анализ самостоятельных работ учащихся

О необходимости и важности проверки в классе некоторых характерных решений, выполненных учащимися, говорить не приходится. В процессе проверки проводится сравнительный анализ путей и приемов решения одной и той же задачи, к которым самостоятельно пришли учащиеся при выполнении домашних заданий и контрольных работ.

Сравнение и сопоставление различных подходов к решению одной и той же задачи имеет целью ознакомить учащихся с приемами анализа задач, активизировать их мышление. Это также поощряет их стремление к отысканию в дальнейшем индивидуальных путей в решении задач.

Такой анализ часто приводит к весьма поучительным и интересным для учащихся обобщениям. Покажем это на простом примере.

Учащиеся решали самостоятельно следующую задачу:

Два поезда вышла одновременно из двух городов навстречу друг другу. Скорость первого а равна 45 км в час, скорость второго b равна 60 км в час. Их встреча произошла через время с, равное 3 часам. Найти расстояние между двумя городами.

Одни учащиеся при решении этой задачи умножали сначала отдельно заданное время на величину каждой скорости и затем полученные таким образом расстояния складывали. Получалась формула:

X = ас + be; х — 45 • 3 + 60 • 3.

Другие учащиеся сложили сначала скорости и найденную сумму умножили на величину времени. Получилась другая формула решения:

x = (a + b)-c; X = (45 + 60). 3.

Преимущество второго пути очевидно. Это легко отмечают сами учащиеся. Но главное — в другом. Анализируя эти два пути решения и сравнивая между собой полученные формулы, мы устанавливаем их тождественность:

(а+Ь)-с = ас +be; (45 + 60). с = 45.3 + 60-3.

Получилась иллюстрация ранее изученного важного арифметического закона распределительности умножения относительно суммы. На таких примерах и в подобных случаях учащиеся убеждаются в тесной зависимости различных разделов курса арифметики, видят их органическую связь и преемственность, что также является важным моментом развития математического мышления школьника, условием более глубокого осознания и понимания им учебного материала.

4. Выработка уменья формулировать вопросы к задачам

Крупным недостатком, отмечаемым у учащихся V — VI классов при решении задач, является неуменье формулировать вопросы к задачам. Постоянно приходится наблюдать, что далеко не все учащиеся удовлетворительно формулируют в логическом отношении вопросы к задачам и хотя бы в минимальной степени объясняют ход решения, несмотря на то, что они в некоторых случаях находят правильный путь решения и производят все необходимые для него действия. Эти же учащиеся в другой раз теряются при решении однотипной задачи.

Осознание математической операции, необходимое для полного и активного овладения ею, неразрывно связано с развитием способности к речевой формулировке ее существа.

Но как научить учащихся V — VI классов формулировать вопросы? Каждый навык, как известно, для своего развития требует упражнения. Учащиеся должны чаще упражняться в самостоятельном и уверенном формулировании

вопросов к решаемой задаче. Между тем многие учащиеся склонны пассивно повторять и записывать к себе в тетрадь формулировки вопросов, предложенные учителем. Даже после в некотором роде коллективного обсуждения смысла и формы вопроса они не отваживаются самостоятельно облекать его в словесную связную форму, предпочитая писать под диктовку учителя.

Наблюдения показывают, что здесь имеют место иногда и известная робость, боязнь ошибок и нежелание испортить тетрадь «неверной» записью.

Для постепенного преодоления перечисленных недостатков мы практиковали с учащимися V — VI классов, в частности, такой прием. Каждому учащемуся предлагалось в классе попытаться придумать самостоятельный вариант вопроса или плана ко всей несложной задаче и записать на отдельный листок бумаги. Затем зачитывались различные варианты, обсуждалась их ценность и своеобразие. В ходе такого сравнительного анализа выявлялся наиболее удачный вариант, который учащиеся и записывали в «чистовую» тетрадь.

На первых порах этот вариант приходилось диктовать учащимся, так как многие из них не справлялись самостоятельно с формулированием уже найденного вопроса или плана. Постепенно надобность в этом диктанте отпадала.

Нередко отмечалась не одна, а несколько формулировок одного и того же вопроса, и на более поздней стадии учащиеся уже сами, выбирая ту, которую считали наилучшей, заносили ее к себе в тетрадь и излагали ее своими словами.

5. Приучение к оценке результатов действий

Для воспитания критического мышления учащихся весьма существенным является упражнение их способности оценивать результаты действий.

Правильная оценка результатов действий (в задаче— с точки зрения вопросов задачи и соотношения данных, в примере — исходя из значений компонентов и законов действий) является надежным критерием осознанности решения.

Наиболее целесообразны упражнения в приближенной оценке результатов действий в случаях возникновения ошибочных решений. Ошибку важно осмыслить с точки зрения того, почему такой ошибочный результат невозможен. Ответ на этот вопрос требует логического анализа содержания задачи или осмысливания законов действий. Такой анализ и самопроверка развивают критическое отношение учащегося к выполняемым вычислениям. Упражнения в оценке получаемых результатов в задаче, в примере и любом вычислении проводились нами с учащимися систематически.

Развитие способности оценивать получаемый результат является хорошей подготовкой к пониманию в дальнейшем смысла нахождения множества допустимых значений аргументов и функций при решении алгебраических примеров и задач. Нечего и говорить, что овладение таким навыком имеет большое значение в жизненной практике и является одним из условий борьбы с формализмом в знаниях.

6. Мышление и речь учащихся

Задача развития мышления учащихся на уроках математики до сих пор решалась, исходя лишь из учета и анализа логической природы учебного материала. В методической литературе по математике в подавляющем большинстве случаев рассматриваются лишь вопросы содержания и последовательность его изложения учителем. Главное внимание здесь обращается только на раскрытие логики предмета и на современную научную трактовку математических понятий и операций.

Трезво оценивая результаты изложенного выше собственного опыта (как и данные опыта других учителей), нельзя их признать сколько-нибудь достаточными. Невозможно пройти мимо такого факта, что, несмотря на усилия учителя в систематическом демонстрировании перед учениками образцов логического рассуждения и умозаключения, сами учащиеся этими приемами мышления овладевают все же в такой слабой степени, которая отнюдь не соответствует ни планам учителя, ни тем требованиям, которые предъявляются школе.

Последнее обстоятельство неоднократно отмечалось в периодической литературе и при подведении итогов экзаменов в самих школах.

Какова та основная закономерность мышления, которая должна быть учтена в научно-исследовательской и практической работе в области дидактики общей и частной?

Гениальные труды товарища Сталина по вопросам языкознания содержат прямой и ясный ответ на поставленный вопрос.

Психологический закон единства и связи мышления и речи предельно четко сформулирован в следующем тезисе:

«Говорят, что мысли возникают в голове человека до того, как они будут высказаны в речи, возникают без языкового материала, без языковой оболочки... Но это совершенно неверно. Какие бы мысли ни возникли в голове человека.. . они могут возникнуть и суще-

ствовать лишь на базе языкового материала, на базе языковых терминов и фраз. Оголённых мыслей, свободных от языкового материала, свободных от языковой «природной материи» — не существует. «Язык есть непосредственная действительность мысли» (Маркс). Реальность мысли проявляется в языке. Только идеалисты могут говорить о мышлении, не связанном с «природной материей» языка, о мышлении без языка» (И. В. Сталин, Марксизм и вопросы языкознания, Госполитиздат, 1951, стр. 39).

Таким образом, мысли не только формулируются в словах, но осуществляются в речи. Это методологическое положение марксизма является, несомненно, той плодотворной базой, на основе которой только и возможны как теоретическое исследование проблемы мышления и речи, так и практическая педагогическая работа в области развития мышления и речи учащегося.

В свете этой закономерности мышления понятно, почему подчас безупречные логические построения, развертываемые учителем перед учащимися, становятся лишь в ничтожной мере их достоянием. Учащиеся выслушивают и воспринимают строй мыслей учителя молчаливо. Это приводит безусловно и довольно часто к образованию только общих, весьма нестойких впечатлений, к невозможности для самого учащегося овладеть наблюдаемыми (даже если допустить, что внимание учащегося все время бодрствовало) приемами мышления. Правильные и до конца сделанные последовательные выводы из учения товарища Сталина о единстве мышления и речи заставляют признать, что для выработки собственной мысли, для развития своего мышления учащемуся весьма полезно, и даже необходимо, проводить рождающуюся у него мысль, так сказать, через горнило собственной речи.

Вот почему напрашивается вывод, что развитие активного, именно самостоятельного мышления ученика наталкивается еще пока в нашей практике на непреодолимую, в пределах бытующей методики, трудность. Эта преграда заключается в попытке развития мышления учащегося в отрыве от его живой устной речи.

Справедливость такого вывода станет ясной, если мы примем во внимание, что распространенное объяснение принадлежит, главным образом, учителю и крайне немногочисленному, обычно постоянному кругу более успевающих учеников, оказывающих помощь отстающим товарищам во внеучебное время.

По адресу учителей постоянно раздаются упреки в этой монополизации права продолжительной речи в классе, обрекающей класс на пассивное слушание.

Это происходит, конечно, не по злой воле учителя, но лишь вследствие неразработанности этого весьма сложного и ответственного момента учебного процесса.

Другой важной стороной педагогического процесса, обеспечивающей возможность развития мышления учащихся, является известная самодеятельность их, проявляющаяся в выполнении упражнений, в разучивании учебного материала.

Значение самодеятельности учащихся в процессе обучения достаточно аргументировано в советской дидактике. В данной связи мы лишь отметим как недостаток, что в методической литературе, как и в практике обучения, принято рассматривать раздельно (изолированно, оторванно друг от друга) вопросы развития мышления учащихся (главным образом пока с позиций логики), привитие навыков самостоятельного учебного труда и развития речи.

Наши методические искания должны поэтому быть направлены в сторону практического решения задачи оптимального включения речи учащегося в процесс учения в тесном сочетании с наиболее рациональной формой самостоятельного учебного труда. Это должно, несомненно, явиться надежной основой действительного и высокого развития интеллектуальных сил учащихся, их способности содержательно, логически строго и творчески мыслить.

О РАБОТЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КОМИССИИ ШКОЛЫ № 29 г. МОСКВЫ

М. Х. КЕКЧЕЕВА (Москва)

Предметные комиссии призваны помочь учителям в повышении своего научно-методического уровня, в обмене опытом своей работы, в разработке форм, приемов и методов работы.

Работа математической комиссии уже целый ряд лет проходит в 29-й школе г. Москвы в строгой системе.

В начале учебного года председателем комиссии составляется годовой план работы, который обсуждается на первом заседании математической комиссии в новом учебном году.

При обсуждении плана принимаются во внимание те методические установки, которые получены учителями на городских и районных совещаниях, те математические вопросы, которые получили новое научное освещение или новую методическую трактовку на страницах журнала «Математика в школе» и в новой математической литературе.

Работа математической комиссии протекает согласно утвержденному плану и охватывает следующие вопросы и мероприятия:

1. Материалы совещаний, конференций и семинаров.

На заседаниях математической комиссии обсуждается вопрос, что из материалов городских и районных совещаний и конференций каждый преподаватель может взять и как может применить в практике своей работы.

2. Преемственность в работе преподавателей IV и V классов.

Преподаватели V классов посещают уроки преподавателей IV классов, анализируют уроки, указывают, что необходимо преподавателям IV классов иметь в поле зрения своей работы с точки зрения материала V класса, проводят и проверяют контрольные работы в IV классах совместно с преподавателями этих классов, присутствуют на экзаменах в IV классах по арифметике в качестве ассистентов.

На заседании математической комиссии был поставлен доклад преподавательницы т. Рожковой в присутствии преподавателей начальной школы на тему «Преемственность в работе преподавателей IV и V классов».

Материал о преемственности в работе преподавателей VII и VIII классов в настоящее время собирается и обобщается.

3. Целевые контрольные работы.

В начале текущего учебного года были проведены контрольные письменные работы в V и VIII классах по курсу IV и VII классов.

После проверки работ был проведен анализ ошибок, и итоги были обсуждены на заседании математической комиссии.

Были отмечены характерные ошибки: на порядок действий, на деление с остатком, пропуск нуля в частном, сокращение дробей на слагаемые, несвоевременное сокращение дробей и исключение целого числа из неправильной дроби, выбор для общего знаменателя общего кратного не наименьшего.

4. Знакомство с новой литературой.

На заседаниях математической комиссии обсуждаются отзывы о новых книгах, которыми преподаватели пользуются в своей работе.

Так, преподаватели т. Рожкова по VI классам и т. Барашкова по VII классам дали отзывы о сборнике задач по алгебре Ларичева, часть I.

Преподаватели Мулярчик и Кекчеева, работающие в VIII классах по сборнику алгебраических задач Ларичева, часть II, посещают методический семинар при Институте усовершенствования учителей под руководством П. А. Ларичева. Их отзывы о задачнике Ларичева будут поставлены на обсуждение математической комиссии в конце учебного года.

Предложено преподавателям Барашковой и Кекчеевой отобрать материал из книги Гнеденко «Краткие беседы по истории математики» для работы с учащимися.

Преподавателям Барбалат по VI классу и Рожковой по VII классу предложено дать отзывы о книге Фадеева и Соминского «Алгебра».

5. Открытые уроки.

Преподавателями 29-й школы даются подробные разработки отдельных разделов по урокам, из которых один или два урока даются открытыми.

Преподавателями были даны следующие открытые уроки:

«Внешний угол треугольника» (преп. Барашкова).

«Измерение углов с вершиной вне и внутри круга» (преп. Рожкова).

« Обобщенный признак перпендикулярности прямой и плоскости и расширенная теорема о трех перпендикулярах» (преп. Кекчеева).

«Исследование уравнений по условию задач» (преп. Мулярчик).

Подробные конспекты уроков представлены на постоянной выставке в методическом кабинете школы.

6. Взаимное посещение уроков.

В целях обмена опытом организовано взаимное посещение уроков как открытых, так и рядовых. Надо признаться, что эта работа пока еще недостаточно активизирована. На заседаниях математической комиссии проводится критический разбор уроков.

7. Доклады учителей.

В начале учебного года каждому преподавателю предлагается подготовить и прочитать один доклад на тему общего характера или по вопросам частной методики.

На каждом заседании математической комиссии ставится доклад одного из преподавателей.

За последние годы прочитан целый ряд докладов, из которых укажем следующие:

«Исследование тождественных преобразований иррациональных выражений» (преп. Мулярчик).

«Решение арифметических задач при помощи формул» (преп. Барбалат).

«Из опыта работы по геометрии в курсе VI кл.» (преп. Барашкова).

«Графики в курсе VII кл.» (преп. Рожкова).

«Теория пределов в связи с числовыми последовательностями» (преп. Кекчеева).

«Организация домашних заданий и методика их проведения» (преп. Кекчеева).

«Решение неравенств II степени с буквенными коэффициентами» (преп. Мулярчик).

«Первые уроки геометрии» (преп. Рожкова).

«Геометрические задачи на построение в курсе VI и VII классов» (преп. Барашкова).

«Требования к решению задач по геометрии с применением тригонометрии на аттестат зрелости» (преп. Кекчеева).

«Геометрические места точек в пространстве» (преп. Мулярчик). И т. п.

8. Разработки методического характера.

Каждый преподаватель представляет на обсуждение математической комиссии разработку какого-нибудь раздела или темы.

Представлены следующие разработки: «Формулы сокращенного умножения» (преп. Рожкова).

«Система двух уравнений II степени с двумя неизвестными» (преп. Кекчеева).

Первые уроки на тему «Десятичные дроби» (преп. Барбалат).

« Обратные тригонометрические функции » (преп. Мулярчик).

9. Выступления на конференциях и в печати.

Перед тем как выступить на конференциях с докладом или со статьей в печати, преподаватель обязан зачитать свое выступление на заседании математической комиссии.

Преподавательница Кекчеева выступала на районном объединении преподавателей математики с сообщением:

«Некоторые вопросы методики преподавания темы иррациональных чисел».

Преподаватель Мулярчик выступал на районной научно-практической конференции на тему «Геометрические места точек в пространстве».

Преподавательница Барбалат приготовила к печати статью «Решение арифметических задач при помощи формул».

Преподавательница Кекчеева выступала на городской научно-практической конференции на тему «Воспитание воли и характера на уроках математики».

10. Сообщения преподавателей черчения, физики и логики.

Для связи со смежными дисциплинами на заседаниях математической комиссии ставятся доклады преподавателей черчения, физики и логики.

Преподаватель физики т. Смирнов рассказал о расхождениях в программах физики и математики и о возможности увязки математики и физики. Он указал на встречающихся у учащихся затруднениях в математических вычислениях при прохождении физики.

Преподаватель черчения т. Гуров рассказал о работе по черчению, демонстрировал работы учащихся.

Математическая комиссия обсудила возможность сближения программ черчения и геометрии.

В январе текущего года преподавательница логики т. Фридман сделала доклад на тему «Учение логики о понятии». Этот доклад был иллюстрирован примерами из математики, предложенными преподавателями математики и докладчиком.

Следующий доклад будет поставлен на тему «Умозаключения».

11. Внеклассная работа.

В начале учебного года на заседании математической комиссии утверждается план внеклассной работы, организуемой каждым преподавателем.

Внеклассная работа в школе проводится уже много лет. В этом году работа идет по линии кружков, предметных сборов и подготовки к районным и городским олимпиадам.

В X классах идет работа по углублению материала программы. Так, например, были поставлены сообщения двух учениц на тему

«Особые случаи решения косоугольных треугольников».

Три ученицы сделали доклады на тему «Простые числа и работы русских и советских математиков в теории простых чисел». Доклады на последнюю тему были подготовлены ученицами под руководством студентов-практикантов IV курса Педагогического института имени В. И. Ленина.

На этих заседаниях учащиеся решали трудные задачи.

В VII классе был проведен предметный сбор, посвященный геометрии.

Пионеры участвовали в постановке сцен из пьесы «Живая геометрия», взятой из журнала «Затейник». Кроме этого, решались занимательные задачи, и по окончании сбора были выданы 3 премии в виде книг.

Учащиеся V классов (по арифметике), VI и VII классов (по алгебре и геометрии) готовятся к участию в районных и городских олимпиадах.

12. Обогащение математического кабинета пособиями.

В связи с прохождением отдельных тем программы учащиеся составляют различные альбомы, таблицы, модели, графики и т. п.

Учащиеся VI классов под руководством преп. Барашковой готовят альбом на тему «Решение задач на построение», учащимися VII классов (преп. Рожкова) готовится альбом на тему « Решение задач на доказательство».

В VIII кл. А составляется альбом «Решение задач на построение методом подобия» (преп. Кекчеева).

Учащиеся IX классов (преп. Мулярчик) составляют альбом на тему «Геометрические места точек в пространстве».

В кабинете математики имеется много работ, изготовленных самими учащимися под руководством преподавателей.

Имеются таблицы:

«Классификация чисел, функций, уравнений».

«Графическое решение уравнения первой степени системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными» и т. п.

Имеются модели:

«Правильные и полуправильные многогранники» и т. п.

13. Вопросы успеваемости учащихся.

На заседаниях математической комиссии часто ставится вопрос об успеваемости учащихся, выясняется, как следил учитель за общим развитием и успеваемостью каждого учащегося, во-время ли предупреждал отставание отдельных учащихся, какие меры принимал учитель к ликвидации этого отставания.

Преподавательница Кекчеева прочла доклад на заседании математической комиссии на тему «Меры предупреждения неуспеваемости учащихся по математике». С этим материалом она выступала на «Педагогических чтениях» в АПН и на секции Всероссийского совещания учителей.

14. Подготовка к экзаменам.

На заседаниях математической комиссии ставится вопрос об организации повторения, о проведении итоговых контрольных работ и о просмотре упражнений к билетам.

15. Выпуск педагогического журнала «Математика» (орган математической комиссии школы № 29. Третий год издания).

Журнал выходит четыре раза в год в конце каждой четверти.

Журнал имеет целью отразить всю многогранную работу учителя математики, направленную на достижение полной успеваемости учащихся, на приобретение ими прочных и глубоких знаний.

Учитель имеет возможность освещать на страницах журнала новое как в программе, так и в выходящей в свет научной и методической литературе, разрабатывать как отдельные разделы, так и целые темы, проводить анализ уроков своих товарищей, помещать результаты проведенных контрольных работ, опубликовывать свои доклады, сделанные на заседаниях комиссии или на конференциях, рассказывать о мерах предупреждения и устранения пробелов в знаниях учащихся.

Вся работа математической комиссии получает свое отражение в номерах этого журнала. Таким образом, журнал представляет собою документацию всего материала по работе математической комиссии.

Так поставленный широкий обмен опытом дает возможность учителю все более и более совершенствовать свое мастерство, прикладывать все усилия для достижения высоких показателей успеваемости учащихся.

Члены математической комиссии в своей работе стремятся к тому, чтобы деятельность комиссии была эффективной, чтобы она отражала всю многогранную работу учителя.

ИЗ ОПЫТА ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ПРАКТИКИ СТУДЕНТОВ

М. Ф. ЩИНОВА (Глазов)

Вопросы организации, содержания и методики проведения педагогической практики студентов педагогических и учительских институтов почти совсем не освещаются в нашей печати. Между тем совершенно ясна ее огромная роль в деле подготовки будущего педагога. Обмен опытом этой работы мог бы содействовать значительному улучшению постановки педпрактики как в отношении ее организационных форм, так и в отношении содержания и методики.

Именно в целях обмена опытом мы даем в настоящей статье описание внеклассного занятия, проведенного студенткой Глазовского учительского института.

Занятие было проведено в VII классе. Содержание занятия составляло чтение (в извлечении) рассказа Л. Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» и беседа по поводу прочитанного.

При подготовке к занятию нами вначале были намечены цели его:

1. Приучить детей к чтению популярной математической литературы.

2. Возбудить и закрепить интерес к математике.

3. Пополнить у учащихся запас математических знаний (не входящих в учебную программу).

4. Содействовать привитию ученикам высоких моральных качеств.

5. Показать практическую ценность математики.

Эти цели и определили содержание нашего занятия. Выбранный нами текст из сочинения Л. Н. Толстого сам по себе не содержит каких-либо математических сведений, не показывает он также практической ценности математики. В этих последних целях мы использовали добавления к тексту, сделанные Я. Перельманом в книге «Занимательная геометрия», переработав их.

Занятие состояло из трех частей. Вначале студентка сделала некоторые пояснения к сочинению Л. Н. Толстого и предпослала ему небольшой свой рассказ, затем при чтении художественного отрывка она делала нужные пояснения и демонстрации чертежом. Наконец, прочитав отрывок, она предложила ученикам математическую задачу, вытекающую из прочитанного.

При подготовке к занятию студентка составила следующий план его проведения:

1. Предварительная беседа о положении крестьян до и после Октябрьской революции.

2. Чтение отрывка из рассказа «Много ли человеку земли нужно». Рассказ иллюстрировать чертежом, выполняемым на доске, используя данные рассказа.

3. Вычислить площадь участка земли, который «приобрел» герой рассказа, крестьянин Пахом.

4. Вывесить заранее приготовленный чертеж (трапеция, по сторонам которой бежал Пахом).

5. Измерить площадь трапеции. Выразить площадь в гектарах.

6. Повесить другой чертеж (та же трапеция и квадрат со стороной, равной 9 единицам длины).

7. Вычислить площадь квадрата и сравнить величину этой площади с величиной площади трапеции.

8. Сравнить периметры квадрата и трапеции. Сделать вывод, по какому контуру лучше было бы бежать Пахому.

9. Пояснить, что из всех четырехугольников с равной площадью наименьший периметр имеет квадрат.

10. Привести примеры, как ученики могут использовать полученные сведения.

Подробный конспект занятия.

«Ребята, все вы, конечно, знаете, что положение большинства крестьян в России до Октябрьской революции было очень тяжелое. Это вы хорошо знаете из книг, кинофильмов и рассказов взрослых. Большинство крестьян имело небольшой клочок земли, да и ту землю, которую имели бедняки, не все могли обработать: у них не было лошадей, хороших семян, удобрений.

Кучка богачей-кулаков, пользуясь нуждой бедняков, заставляла их работать на себя за крайне низкую оплату труда. Теперь, при советской власти, земля принадлежит государству и передана колхозам в вечное пользование, и советское крестьянство, объединенное в колхозы, обрабатывает землю новейшими сельскохозяйственными машинами. Жизнь колхозников стала зажиточной, веселой. И люди стали другими.

Чтобы представить себе ту жажду легкой наживы, которая была свойственна кулакам, я прочитаю вам рассказ Л. Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно», где говорится о кулаке Пахоме.

Жадность привела его, как вы увидите, к смерти. Заметим, что в рассказе встретится слово «верста».

Верста — это мера длины, которую употребляли в России до революции. Одна верста приблизительно равна одному километру.

Затем студентка читает рассказ до слов: «Снял старшина шапку лисью, поставил на землю. — Вот, — говорит, — метка будет».

Студентка делает отметку мелом на классной доске, обозначая эту отметку-точку буквой А. Читает далее: «Отсюда поди, сюда приходи, что обойдешь, все твое будет. Только брызнуло из-за края солнце, вскинул Пахом скребку на плечо и пошел в степь. Отошел с версту, остановился, вырыл ямку».

Студентка проводит из точки А прямую линию, поясняя ученикам, что эта прямая указывает направление, по которому пошел Пахом. Затем она откладывает на прямой отрезок AB = 1 см и обращается к учащимся с вопросами:

— Какой буквой обозначена точка, изображающая ямку, которую вырыл Пахом? (Ответ: буквой В.)

— Какому расстоянию соответствует длина отрезка AB? (Ответ: отрезок AB соответствует одной версте.)

Студентка читает: «Пошел дальше. Отошел еще, вырыл еще другую ямку. Верст пять прошел».

Студентка предлагает одному из учащихся отметить на прямой точку С (черт. 1), которая должна изобразить вторую ямку. Выясняется, что от точки В нужно отложить вправо отрезок ВС = 4 AB, тогда длина отрезка АС соответствует расстоянию в 5 верст.

Читает: «Взглянул на солнышко, — уже время об завтраке. «Одна упряжка прошла,—думает Пахом. — А их четыре во дню, рано еще заворачивать. Дай пройду еще верст пяток, тогда влево загибать начну». Пошел еще напрямик. «Ну,—думает, — в эту сторону довольно забрал; надо загибать». Остановился, вырыл ямку побольше и загнул круто влево».

Учащиеся по предложению студентки отмечают буквой D третью ямку, которая находится от предыдущей на расстоянии 5 верст. («Дай пройду еще верст пяток».) Далее проводится (с помощью угольника) прямая, указывающая направление, в котором пошел Пахом после поворота (черт. 2). («Загнул круто влево».)

Читает: «Прошел еще и по этой стороне много; загнул второй угол».

Студентка обращает внимание учеников на то, что о расстоянии, пройденном Пахомом по второму направлению, нет прямых указаний в рассказе, и поясняет, что все же это расстояние можно вычислить на основании всех тех данных, которые имеются в рассказе. Однако, так как ученики еще не имеют тех знаний, которые позволили бы им произвести нужные вычисления, им и сообщается, что по второму направлению Пахом пробежал 13 верст.

После этого на чертеже откладывается по второму направлению отрезок DE, соответствующий расстоянию в 13 верст, и проводится под прямым углом прямая, указывающая третье направление, по которому пошел Пахом.

Читает: «Пошел третью сторону. Посмотрел на солнце — уже оно к полднику подходит, а по третьей стороне всего версты две прошел. И до места все те же верст 15. «Нет, — думает, — хоть кривая дача будет, а надо прямиком поспевать». Вырыл Пахом поскорее ямку и повернул прямиком к шихану».

На чертеже отмечается отрезок EF, изображающий расстояние в две версты, пройденное Пахомом в третьем направлении («по третьей стороне всего версты две прошел»). Проводится затем прямая F А, указывающая четвертое направление, по которому бежал Пахом. Студентка указывает, что отрезок FA соответствует расстоянию в 15 верст. («И до места все те же верст 15».)

После этих объяснений студентка заканчивает чтение рассказа.

Далее совершается переход к собственно математической части занятия. Учащимся предлагается назвать получившуюся на доске фигуру и вычислить ее площадь. Выясняется, что учащиеся не знают формулы площади трапеции. Тогда студентка, заметив, что эту формулу учащиеся будут выводить в VIII клас-

Черт. 1

Черт. 2

се, предлагает им использовать палетку для нахождения площади трапеции. На трапецию накладывается палетка.

ADEF—прямоугольная трапеция (черт. 3), прямая FG II DE разбивает трапецию на прямоугольник GDEF и прямоугольный треугольник AFG. Площадь прямоугольника равна: 2-13 = 26 кв. м.

Площадь прямоугольного треугольника равна:

13-8 ко —-— = 52 кв. м.

Площадь трапеции равна 26 кв. м+ 52 кв. м = 78 кв. м.

Студентка указывает, что палеткой трапеция разбивается на ряд квадратов со стороной, равной одному сантиметру. Выясняется, что площадь такого квадрата, равная одному квадратному сантиметру, соответствует на местности площади, равной одной квадратной версте или приблизительно одному квадратному километру. Затем ученики подводятся к мысли, что для нахождения площади трапеции нужно подсчитать число квадратов, на которые разбилась трапеция.

Один из вызванных к доске учащихся подсчитывает число полных квадратов. Их оказывается 69. Второй насчитывает 4 неполных квадрата. Третий — 6 половинок; четвертый — 7 частичек, меньших половины квадрата. Затем учащиеся подсчитывают: из 6 половинок можно составить 3 полных квадрата, 7 же частичек составляют (будем считать) примерно 2 полных квадрата, и всего получится:

69 + 4 + 3-1-2 = 78 квадратов.

Итак, площадь трапеции равна 78 кв. см., и, следовательно, площадь земли, которой «завладел» Пахом, равна 78 кв. верстам или приблизительно 78 кв. км.

Затем, студентка, указывая, что при измерении площадей земельных участков наиболее употребительной единицей меры является гектар, предлагает учащимся выразить найденную площадь в гектарах. Когда выяснилось, что не все учащиеся умеют это сделать, были заданы вопросы:

1) Сколько квадратных метров содержится в одном квадратном километре?

2) Сколько квадратных метров содержится в одном гектаре?

3) Во сколько раз квадратный километр больше гектара?

4) Сколько гектаров в одном квадратном километре?

5) Сколько гектаров в 78 кв. км?

Таким образом было выяснено, что площадь, которой «завладел» Пахом, равна 7800 га.

Студентка спрашивает: «А какой путь прошел Пахом, чтобы сделаться владельцем такой площади земли?»

Выясняется, что для ответа на вопрос нужно вычислить периметр трапеции ADEF. Учащиеся вычисляют длину периметра трапеции, она равна 40 км.

Студентка говорит: «Итак, путь в 40 км оказался для Пахома непосильным. Если бы не его жадность, то он мог бы повернуть влево раньше, чем он это сделал. Возникает вопрос, по какому же пути лучше было бы бежать Пахому? Предположим, что Пахом бежал бы по сторонам квадрата AMNK (черт. 4), каждая сторона которого была бы равна 9 км. Какое расстояние пробежал бы в этом случае Пахом?».

Студентка вычерчивает в том же масштабе квадрат со стороною в 9 см, как указано на чертеже, или вывешивает заранее приготовленный чертеж.

Ответ: Пахом пробежал бы 36 км.

Итак, Пахом пробежал бы не 40 км, а меньшее расстояние.

Вопрос: Но сколько земли приобрел бы тогда Пахом? Вычислим площадь квадрата.

Получив правильный ответ (81 кв. км), студентка предлагает сравнить площадь квадрата с площадью трапеции; учащиеся отмечают, что площадь квадрата на 3 кв. км больше площади трапеции.

Черт. 3

Черт. 4

Вопрос: «По какому же пути лучше было бы бежать Пахому?»

Учащиеся убеждаются, что разумнее было бы бежать по контуру квадрата, так как Пахом пробежал бы меньшее расстояние, а площадь получил бы большую.

Вместе с тем студентка сообщает учащимся, что из всех четырехугольников с одинаковой площадью квадрат имеет наименьший периметр.

Затем студентка переходит к заключительной части занятия и говорит:

«В нашем государстве нет таких «Пахомов», да и самая постановка вопроса о «приобретении» земли каким бы то ни было способом невозможна. Поэтому рассуждения о большей или меньшей выгодности того или иного пути, который мог бы быть выбран Пахомом, кажутся смешными».

Однако те вычисления, которые мы сегодня выполнили, могут нам пригодиться.

Предположим, что правлением колхоза решено выделить для опытного огорода школы участок площадью в 0,64 га и нужно обнести этот участок изгородью, потратив на нее наименьшее количество материала, причем выбрать форму участка предоставляется нам самим. Выясним, какой же формы участок следует выбрать? Вы уже знаете, что из всех четырехугольников с равной площадью наименьший периметр имеет квадрат. Убедимся в этом.

— Скажите, сколько квадратных метров должна содержать площадь участка, выделенного колхозом для школы?

Ответ: 6400 кв. м.

Вопрос: Какова сторона квадрата, если его площадь равна 6400 кв. м? (черт. 5)

Ответ: 80 метров.

Вопрос: Каков периметр такого квадрата? Ответ: 320 метров.

Вопрос: А если мы обнесем изгородью участок с той же площадью, но имеющей форму прямоугольника со стороной в 320 м, то какова должна быть длина другой стороны прямоугольника?

Ответ: 20 метров.

Вопрос: Чему равен периметр такого прямоугольника?

Ответ: 680 метров.

Вопрос: На какой же участок потребуется больше материала для изгороди?

Ответ: Для участка, имеющего форму прямоугольника со сторонами в 320 м и 20 м.

Вопрос: Возьмем еще прямоугольник со стороной в 160 м, какова должна быть длина другой его стороны, если площадь участка будет также равна 6400 кв. м?

Ответ: 40 метров.

Вопрос: Чему равен периметр этого прямоугольника?

Ответ: 400 метрам.

Составим теперь таблицу.

Площадь прямоугольника

Длина

Ширина

Периметр прямоугольника

1

2 3 4 5 6

6400 м* 6400 м* 6400 м* 6400 ла 6400 6400 м*

320 м 160 м 100 м 80 м 64 м 40 m

20 т 40 т 64 т 80 т 100 т 160 m

680 м 400 т 328 т 320 т 328 т 400 m

Из рассмотрения таблицы вы замечаете, что чем меньше смежные стороны прямоугольника отличаются одна от другой, тем меньше периметр прямоугольника при одной и той же площади. Итак, мы опытным путем убедились в справедливости сделанного нами заключения, что из всех четырехугольников, имеющих одинаковую площадь, квадрат имеет наименьший периметр.

Черт. 5

О РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ВВЕДЕНИЕМ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО УГЛА

(Из опыта работ в X классах)

С. А. ВОКАЧ (Москва)

Методом введения вспомогательного угла решаются задачи, по условию которых данный линейный элемент и данный угол не изображаются на чертеже как элементы одного и того же треугольника.

Рассмотрим две задачи, решаемые этим методом.

Задача 1. В шар радиуса R вписана, правильная четырехугольная пирамида, у которой двугранный угол при боковом ребре равен 2 а. Найти сторону основания пирамиды.

I. Объяснение к чертежу (чертеж 1).

Черт. 1

1) ABCD—квадрат. SSX—перпендикуляр к основанию, Sx— точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. SSX — геометрическое место точек, равноудаленных от вершин основания пирамиды, следовательно, центр шара лежит на высоте SS^. Геометрическое место точек, равноудаленных от точек S и D, есть плоскость, перпендикулярная к боковому ребру SD и проходящая через его середину F; эта плоскость пересечется с плоскостью треугольника SDSX по перпендикуляру OF. Следовательно, центр шара будет лежать в точке пересечения высоты с перпендикуляром, восстановленным из середины бокового ребра: SO = R.

следовательно, </АЕС—линейный угол двугранного угла ABSC;

</АЕС = 2а;

SE— перпендикуляр к плоскости Д АЕС (по теореме о двух перпендикулярах); OK II ESi (в плоскости Д SBS^;

OK A-SB, так как SlE±SB.

II. Решение задачи. Пусть УSBSX = <f: имеем: ^SOK = ^SBS1 = y (как острые углы с перпендикулярными сторонами).

Из находим:

Из £\SSXB находим:

Обозначим искомую сторону основания через X, тогда

Имеем: BSX±_AC, следовательно, ESX J_ AC (по теореме о трех перпендикулярах). Из треугольника ESXA найдем:

(1)

Из треугольника BESX имеем:

(2)

Из равенств (1) и (2) следует:

откуда:

Подставляя полученные выражения в формулу:

получим:

Рассмотрим еще одну задачу, в которой переход от функции вспомогательного угла к функции данного несколько сложнее, чем в первой задаче.

Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол между боковыми гранями равен а. В пирамиду вписан шар радиуса /?. Найти объем пирамиды, вершинами которой является центр шара и точки касания шара с боковыми гранями данной пирамиды.

I. Объяснение к чертежу (черт. 2):

Черт. 2

1 ) ABCD — квадрат, SOx — перпендикуляр к плоскости основания этого квадрата.

ОгЕ J_ CD, следовательно, SE _]_ CD (по теореме о трех перпендикулярах); SEOx— линейный угол двугранного угла SCDO.

SOx — линия пересечения биссекторных плоскостей двугранных углов при боковых ребрах пирамиды, следовательно, SOx—геометрическое место точек, равноудаленных от боковых граней пирамиды.

Геометрическое место точек, равноудаленных от боковой грани (SCD) и плоскости основания (ABCD), есть биссекторная плоскость двугранного угла SCDOx, которая пересекается с плоскостью треугольника SO{E по биссектрисе угла SEOv Центр шара лежит в точке О пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла при боковой грани (SCD); OF—радиус вписанного шара, равный R. Вписав в треугольник SOxE полукруг радиуса R и вращая его около высоты, получим шар, вписанный в пирамиду SABCD; точка F, вращаясь около высоты ЬОи опишет окружность малого круга, которая коснется апофем в точках N, M, L.

Следовательно: ^ DKB— линейный угол двугранного угла при боковом ребре (SC);

</DKB=ol.

3) В пирамиде OFLMN OF=OL= ОМ = ON=R.

Плоскость окружности малого круга вписанного шара параллельна основанию, следовательно, FLMN — квадрат (по теореме о сечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию); так как ЕЕ1Е2Е8 — квадрат ÇeEx =

Итак, OFLMN—правильная четырехугольная пирамида. Надо найти ее объем.

II. Решение задачи.

1) Пусть Z_SEOx=y, тогда ^SOF = ^SEOx = ^ (как острые углы с перпендикулярными сторонами).

Из треугольника 02OF имеем: 02F = Rsin ср, откуда:

следовательно,

2) Из треугольника ООхЕ:

Из треугольника SOxE имеем:

Из треугольника ЕОхС получим:

из треугольника SOxC:

(по теореме Пифагора);

/\SOxKoo /\SOxC (как прямоугольные с общим острым углом OxSC), откуда следует:

или, подставив найденные значения, будем иметь:

откуда:

Из треугольника OxKD:

откуда:

следовательно,

Подставив найденные значения в формулу:

будем иметь:

ИЗ ПИСЕМ И ЗАМЕТОК ЧИТАТЕЛЕЙ

К. С. БОГУШЕВСКИЙ (Москва)

В настоящей статье помещается обзор писем и заметок, поступивших от читателей журнала по различным вопросам арифметики и элементарной алгебры и методики их преподавания.

Методические заметки по арифметике

1. В заметке «О порядке прохождения темы о наибольшем общем делителе и о наименьшем общем кратном нескольких чисел» Н. С. Тихомиров (Курская область, Поныровский район) указывает, что общепринятый порядок прохождения темы, при котором все ее разделы изучаются непосредственно один за другим, затрудняет учащихся. Степень развития логического мышления учащихся V класса, по мнению автора, еще недостаточна, чтобы они могли сознательно разобраться в причинах различия приемов нахождения НОД и НОК, а между тем «навык нахождения НОД разрушается,— говорит автор, — а не подкрепляется навыком нахождения НОК». В результате в сознании учащихся возникает путаница; они смешивают приемы нахождения НОД и НОК.

Поэтому Н. С. Тихомиров рекомендует такой порядок прохождения темы.

Изучив первый раздел темы «Разложение чисел на простые множители», перейти к изучению обыкновенных дробей.

Подойдя к разделу «Сокращение дробей», изучить наибольший общий делитель и применить его к решению примеров на сокращение дробей.

Только после прочного усвоения этих разделов, проверенного контрольной работой, перейти к изучению наименьшего общего кратного нескольких чисел.

Это предложение Н. С. Тихомирова заслуживает обсуждения тем более, что известная часть преподавателей придерживается примерно такой же схемы прохождения курса обыкновенных дробей в V классе. Слабой стороной предложения т. Тихомирова является то обстоятельство, что при данном порядке расположения материала может нарушиться целостность изучения дробей.

2. Н. К. Козин (г. Вязники, Владимир ской обл.) в заметке «К решению арифметических задач» предлагает приучать учащихся к схематической записи условий арифметических задач, используя буквенные обозначения неизвестных чисел.

Так, условие задачи «Сумма двух чисел равна одно из них в 5 раз больше другого. Найти эти числа» автор предлагает записывать следующим образом:

Подобную же схематическую запись условия автор предлагает и для более сложной задачи:

«Отцу 40 лет, сыну 12 лет. Через сколько лет отец будет старше сына в 3 раза?». 40 лет-]-Л лет = £ лет (3 части) 12 лет-)-Л лет = В лет (1 часть)

Эта запись, по мысли автора, должна помочь учащимся понять предлагаемый им способ решения задач, но для этого автор считает необходимым предварительно с помощью ряда при-

меров подвести учащихся к такому выводу: «в двух арифметических выражениях при равных последующих членах с одинаковыми знаками (4) разность предыдущих членов равна разности результатов».

На основании этого «свойства арифметических выражений» задача решается так:

40 лет —12 лет =28 лет; 3 части — 1 часть = 2 части.

Отсюда на одну часть приходится 28 лет:2 = 14 лет.

Следовательно, сыну будет 14 лет, отцу 42 года и произойдет это через 2 года.

Вполне соглашаясь с Н. К. Козиным, что предложенный им способ решения подобных задач имеет очевидное преимущество перед способом «подбора», предложенным тов. Лайковым в № 1 журнала за 1951 г., полагаем, что лучше было бы не выводить какого-то нового «свойства арифметических выражений» (следует заметить, что это свойство изложено автором неясно и крайне неудачно), а просто основываться на известном свойстве суммы: «если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то и сумма увеличится на столько же единиц». Тогда объяснение к решению задачи будет иметь такой вид:

Если в сумме 12-[-Л первое слагаемое 12 заменить числом 40, т. е. увеличить на 28, то и сумма увеличится на 28; отсюда 2 части составляют 28 лет и т. д. Этот метод рассуждения можно использовать для решения целого ряда задач.

3. П. М. Рыбаков (г. Иваново) в своей заметке «О развитии логического мышления при преподавании арифметики» приводит примеры упражнений по развитию у учащихся ряда полезных навыков и приемов логического мышления.

а) Так, для развития навыка давать прямой ответ на заданный вопрос автор рекомендует разбирать параллельно задачи, подобные следующим: 1) найти, во сколько раз число 3-g-меньше числа 10 и 2) найти во сколько раз число 20 больше числа l-^-?, добиваясь непременно прямых ответов на вопросы задач, т. е. для 1-й задачи ответа: «число 3~ меньше числа 10 в 3 раза», а для 2-й задачи ответа: «число 20 больше числа 1-^- в 16 раз».

б) Для развития у учащихся навыка давать последовательное обоснование каждой выполняемой ими операции автор предлагает использовать решение примеров на нахождение того или иного неизвестного компонента различных действий.

в) В целях подготовки к установлению понятия достаточности и необходимости данных условий автор рекомендует использовать изучение признаков делимости чисел. Так, например, при изучении признака делимости на 5 — «на 5 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются нулем или цифрой 5» — следует особенно тщательно выяснить смысл вставки слов «и только те...».

г) В дальнейшем автор считает возможным познакомить учащихся с делением понятий. (Множество натуральных чисел больших 1 делится на виды: простые числа и числа составные. Или: множество целых чисел делится на виды: числа четные и нечетные и т. д.)

д) С идеей ограничения понятия учащихся можно ознакомить на задачах такого вида: найти НОД чисел 18 и 48.

1. Делители числа 18: 2, 3, 6, 9 и 18.

2. , числа 48: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 и 48.

3. Общие делители чисел 18 и 48 (1-е ограничение): 2, 3 и 6.

4. Наибольший общий делитель чисел 18 и 48 (добавочное ограничение): 6.

Возможно также в качестве примера использовать выделение понятия десятичной дроби из общего понятия дроби. Полезно также, по мысли автора, чтобы учащиеся на основании примеров установили положение, что «при ограничении понятия, новое понятие, сохраняя все свойства более общего (родового) понятия, приобретает ряд новых свойств». Ознакомление (на примерах) с подобными элементами логического мышления, конечно, желательно и, вообще говоря, возможно, причем на достаточно ранних ступенях обучения, но ни в коем случае нельзя при этом обременять учащихся терминологией, всякого рода формулировками и формальными выводами. Вся эта работа должна мыслиться только в порядке накопления навыков.

4. При составлении задач для математических олимпиад школьников и во внеклассной работе можно использовать один вычислительный прием, о котором, по словам заметки Н. Кувыркина (г. Москва) «Сложение произведений без производства умножения», сделал сообщение на заседании математической секции Казанского общества естествоиспытателей профессор В. В. Преображенский в 1886 году. В заметке Н. Кувыркина приводится ряд примеров, содержащих довольно громоздкие

вычисления, но идею приема легко уяснить на следующем простом примере.

Пример. Требуется найти сумму 13-9 4-4-17.3-f 27.5 +32-8-f 41 -1 4-33.5+74-9-f + 36 • 8 -|— 39 - 9, не производя вычисления произведений (являющихся слагаемыми).

Для решения примера выписываем в строчку однозначные множители от 1 до 9, а под ними соответствующие множимые:

Вычисление начинаем с множителя 9:

Записываем 126 под множителем 8 и под множителем 1.

Переходим к множителю 8. Имеем:

Записываем 194 под множителями 7 и 1 и получаем 194-7 = 194-6+ 194-1.

Записываем 194 под множителями 6 и 1 и т. д. В конце концов под множителем 1 получим сумму всех данных произведений, которая оказывается равной 2070.

Методические заметки по алгебре

5. В заметке «Об одном приеме извлечения корня из двучлена вида A±\jB* Б. Вайнман (г. Киев) указывает, что преобразование так называемого сложного радикала YА+\/~В можно выполнять, не пользуясь формулой, а представляя двучлен AzlzyjB в виде квадрата суммы или разности двух чисел, исходя из того, что \JВ должен являться удвоенным произведением этих чисел. Как показывает автор, во всех примерах, приведенных в задачнике Шапошникова и Вальцова (глава IX, § 10), это преобразование выполнить нетрудно, причем вычисления в большинстве случаев оказываются более простыми, чем при преобразованиях с помощью формулы. Точно так же нетрудно выполнить эти преобразования и в геометрических задачах, в которых встречается сложный радикал.

В своей заметке Б. Вайнман дает подробное решение очень большого числа примеров, но, чтобы познакомить с приемами рассуждений, достаточно разобрать три примера.

Пример 1.

Пример 2.

Автор почему-то не упрощает решения примера вынесением с самого начала общего множителя 2 за знак внутреннего радикала, что значительно упростило бы решение.

Автор приводит также решение ряда примеров более сложного вида (из задачника Ларичева и из сборника Бляшева и Чичигина, ч. II).

Пример 3.

Ввиду того, что формула преобразования сложного радикала из программы исключена, а в ряде случаев решение задач (алгебраических, геометрических и тригонометрических) приводит к такому радикалу, ознакомление учащихся с приемом, разобранным Б. Вайнман, является очень желательным. Однако этот прием все-

таки требует в ряде случаев выполнения нескольких «проб» и не указывает критерия выполнимости преобразования. Поэтому учащиеся могут иногда оставаться в недоумении, стоит ли им продолжать трудиться или следует отказаться от попыток преобразовать радикал. С таким положением они, естественно, встретятся в геометрии при вычислении сторон правильного вписанного двенадцатиугольника и восьмиугольника:

подобному преобразованию не поддается.

Этот недостаток представляется весьма существенным.

6. В заметке «Быстрый способ проверки корней уравнения» А. Д. Истинский (г. Вышний Волочек) предлагает любопытный прием проверки корней уравнения.

Пример. Дано уравнение х2 — 3828 х + 3 662 171 =0; корни его 1879 и 1949.

Для проверки, например, корня хх = 1879 А. Д. Истинский делит обе части уравнения на X = 1879, причем первые два члена на х, а свободный член на 1879 и получает:

X — 3828 + 1949.

Полагая затем х= 1879, получим нуль. На ряде примеров автор показывает, как этот прием проверки корней можно последовательно применять для случая уравнения высшей степени.

7. Свою заметку «По поводу статьи Л. М. Фридмана «О решении уравнений в VIII классе» (№ 3 журнала «Математика в школе» за 1950 г.) Н. И. Коновнин-Щербак (ст. Сарапташ, Чкаловской обл.) начинает с указания, что после преобразования уравнения:

возникает вопрос: «почему при извлечении квадратного корня из обеих частей этого уравнения перед выражением х + ~- ставится знак только (+), а в правой части уравнения (-+-)?», т. е. почему пишем:

Автор считает, что этот вопрос является источником частых недоумений учащихся и потому предпочитает применять вывод формулы решения, основанный на разложении левой части уравнения на множители.

Известно, что часть преподавателей по тем или иным причинам тоже предпочитает идти таким же путем, и принципиальных возражений против этого нет; но если все дело только в недоумении учащихся по поводу постановки знаков перед левой и правой частями уравнения, то, конечно, это недоумение не может служить достаточной причиной для отказа от приема вывода формулы квадратного уравнения, изложенного в стабильном учебнике. В этом случае вопрос о постановке знаков следует разъяснить учащимся тем более, что с подобным же вопросом они могут встретиться и в IX и в X классах, и в высшей школе.

Можно указать, что учащиеся хорошо воспринимают, например, такой прием разъяснения.

При извлечении корня из обеих частей уравнения Çx-\—~J = ~--q мы получаем 4 ответа, и все они удовлетворяют первоначальному уравнению, однако, сравнивая эти ответы, мы выясняем, что различными оказываются только два. Таким образом приходим к выводу:

Однако, если все-таки остановиться на приеме разложения левой части уравнения

на множители для вывода формулы решения уравнения, то следует признать целесообразным предложение автора, чтобы выводу формулы предшествовали упражнения в решении уравнений вида

(ax+b) (cx + d) = 0

и доказательство теоремы о равносильности уравнения

(ax+b)(cx + d) = 0

двум уравнениям:

ax+b = 0, cx+d=0.

В дальнейшем автор останавливается на вопросе о допустимых значениях неизвестного, указывая, что даже в напечатанной статье Л. М. Фридмана имеются в этом отношении пробелы.

Этот вопрос автор считает необходимым выяснять каждый раз еще до решения уравнения,

причем для этого применяет решение неравенств. Так, например, при решении уравнения:

автор предварительно составляет целую серию условий:

и на этом основании настаивает на необходимости значительно расширить тему неравенств в VII и VIII классах.

Здесь автор, повидимому, увлекается и не замечает, что для учащихся будет гораздо понятнее и легче, если два последние условия заменить уравнениями:

а для этого достаточно только перефразировать вопрос, т. е. вместо того, чтобы потребовать нахождения допустимых значений неизвестного, поставить вопрос о нахождении недопустимых его значений.

Увлечением представляется также и требование обязательно во всех случаях решать вопрос о допустимых значениях неизвестного до решения уравнения: даже тогда, когда это приводит к необходимости выполнять сложные преобразования и подсчеты, тогда как проверка предполагаемых корней уравнения выполняется гораздо легче.

Лучше обратить больше внимания на то, чтобы учащиеся приучились замечать и тщательно отмечать все случаи возможного в результате преобразований перехода к неравносильному уравнению (об этом автор заметки тоже упоминает, но недостаточно отчетливо). Если учащиеся к этому будут приучены, то они никогда не пропустят необходимости в том или ином месте своего решения уравнения выяснить вопрос о допустимых значениях неизвестного.

8. В связи с выводом формулы квадратного уравнения представляет интерес предложение Н. Ованесова (г. Астрахань), высказанное им в заметке «О применении понятия арифметического корня». Автор заметки придерживается общепринятого толкования действительного радикала VА как неотрицательного числа (арифметический корень). В связи с этим выводу формулы корней квадратного уравнения (в VIII кл.) естественно придать следующий вид:

Если

Откуда:

Последнее вытекает из определения абсолютной величины: если

9. В заметке «Формулы общих членов арифметической и геометрической прогрессий» М. И. Гозман (г. Кагановичи, Киевской обл.) предлагает такой прием вывода формулы общего члена прогрессий.

На основании определения прогрессий записываем ряд равенств.

Складывая (в случае арифметической прогрессии) или перемножая (в случае геометрической прогрессии) эти равенства почленно, получаем:

an = al+d(n— 1) (для арифм. прогрессии) ип~ uxqn — 1 (для геом. прогрессии).

Подобный прием вывода формул, вообще говоря, общеизвестен и имеет довольно широкое применение в различных преобразованиях, но в школьном курсе он почти не используется, хотя знакомство с ним вполне возможно и целесообразно.

10. В своем письме в редакцию К. П. Сикорский (г. Москва) поднимает вопрос о целесообразности рассмотрения показательной функции у = ах не только для значений 0<а<[1 и #>1, но и для значения а = 1.

«При таком рассмотрении, —говорит автор, — графики функции представляют семейство кривых, имеющих одну общую точку и переходящих (при переходе а от 0<а<М к #]>1) через прямую линию, являющуюся графиком показательной функции при а = 1».

Аналогично с показательной функцией К. П. Сикорский предлагает и логарифмическую функ-

цию рассматривать не только для значений 0<(а<1 и а>1, но и для значения а=1.

Это последнее предложение автора представляется в значительной мере спорным. Если изучение показательной функции у = ах при а = 1 естественно и не вызовет особых затруднений, то изучение логарифмической функции у = log х приа=1 приведет к необходимости рассматривать следующую «необычную» функцию: y=\ogxx\ областью ее определения является единственное значение аргумента х = 1, и для этого значения аргумента функция бесконечно-значна. Вряд ли уместно знакомить учащихся школы с такого рода функциями.

Не лучше ли условие а ф 1 при рассмотрении логарифмической функции мотивировать невозможностью перехода к обратной (однозначной) функции для показательной функции \х.

11. В статье «Приближенная рациональная формула извлечения корня квадратного» доктор технических наук проф. М. М. Филоненко-Бородич (г. Москва) приводит вывод приближенной формулы для извлечения квадратного корня, дающей значительно лучшие приближения, чем общеизвестная приближенная формула:

где

Полагая получаем

Выражение преобразуется так:

Таким образом получается следующая приближенная формула:

Приведем два примера применения этой формулы.

Пример 1.

Четыре цифры после запятой оказываются верными.

Пример 2.

Все записанные цифры верны.

Общеизвестная формула дает значительно менее точные ответы (2,25 для 1-го примера и 1,1 для 2-го примера).

В своей статье проф. Филоненко-Бородич указывает также метод оценки ошибки, получающейся при применении выведенной формулы. Произвести эту оценку при малом ß>0 предлагаем читателям в виде упражнения.

12. В заметке «О прямой и обратной пропорциональности» Б. IO. Коган (г. Москва) указывает на желательность введения в курс алгебры VIII класса понятия о величине z, прямо пропорциональной величине х и обратно пропорциональной величине у, обосновывая целесообразность введения такого понятия потребностями физики (закон всемирного тяготения, закон Ома, уравнение Клапейрона и т. д.).

Определение величины z автор дает в таком виде: «Величина z называется прямо пропорциональной величине х и обратно пропорциональной величине у, если:

1. При постоянном значении у она прямо пропорциональна х.

2. При постоянном значении х она обратно пропорциональна у*.

Затем автор указывает, что на основании этого определения следует вывести формулу:

Жалко только, что автор не показывает, в каком виде этот вывод предполагается излагать.

13. В заметке «К вопросу о знаке биномиальных коэффициентов» Т. П. Ситников (г. Коломна, Московской обл.) указывает на неясности в вопросе о знаке биномиальных коэффициентов.

Тов. Ситников полагает, что в стабильном учебнике алгебры Киселева биномиальным коэффициентом (п + 1)-го члена разложения (х — а)т называется выражение (—1)“С^, т- е- значение Сп, взятое со знаком 4- или —. Поэтому он видит противоречие между точкой зрения, принятой в учебнике, и точкой зрения, принятой в задачнике Ларичева, в котором задачи и ответы к ним составлены в расчете на то, что под коэффициентом разложения подразумевается выражение С^, взятое всегда со знаком -[-. Автор указывает еще, что и в Большой Советской Энциклопедии коэффициенты разложения бинома Ньютона считаются всегда положительными.

Отмечая это противоречие, т. Ситников указывает, что по его мнению, чтобы быть последовательным, необходимо остановиться на той точке зрения, что коэффициенты разложения бинома Ньютона, как и всякие вообще коэффициенты многочлена, могут быть положительными и отрицательными. Поэтому он предлагает, чтобы редакция задач в задачнике Ларичева и в ряде других задачников была соответствующим образом изменена.

Следует отметить, что эта ошибочная точка зрения т. Ситникова на знак биномиального коэффициента имеет довольно значительное распространение среди учителей средней школы, а потому на разъяснении ее ошибочности полезно остановиться.

Во-первых, эта точка зрения противоречит установкам таких авторитетных источников, как «Специальный курс алгебры» С. И. Новоселова, ряд курсов анализа и статья в Б. С. Э.

Во-вторых, и в самом учебнике алгебры Киселева, на который ссылается т. Ситников, нигде не говорится, что знаки биномиальных коэффициентов чередуются, а просто приводится формула:

и указывается: «следовательно, знаки -|~ и — чередуются». Точно так же по поводу формулы:

на которую т. Ситников специально ссылается, не говорится, что сумма биномиальных коэффициентов равна нулю, а делается вывод: «Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах равна (просто равна, а не «равна по абсолютной величине») сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах». Наконец, в п. 4 § 165 учебника дается такая формулировка свойства биномиальных коэффициентов: «Коэффициенты членов, одинаково удаленных от концов разложения, равны между собой». Именно просто «равны между собой», а не равны по абсолютной величине.

Все эти цитаты из учебника Киселева достаточно определенно указывают на то, что и автор стабильного учебника стоит на такой же точке зрения, что и тт. Ларичев, Новоселов и другие авторы учебных руководств и задачников, именно на той точке зрения, что биномиальными коэффициентами считаются положительные числа. Одновременно приходится признать, что четкого определения понятия биномиального коэффициента в учебнике Киселева не дается, а потому прав т. Ситников, говоря, что в вопросе о знаке биномиальных коэффициентов не установилось полной определенности.

СОВЕТСКИЕ ПЕДАГОГИ МАТЕМАТИКИ

ПАВЕЛ АФАНАСЬЕВИЧ ЛАРИЧЕВ

(К шестидесятилетию со дня рождения и сорокалетию педагогической деятельности).

16 февраля 1952 г. исполнилось 60 лет со дня рождения известного советского педагога-математика Павла Афанасьевича Ларичева.

Павел Афанасьевич родился 16 февраля 1892 г. в уездном городе Грязовце, Вологодской губ. (по прежнему административному делению).

Детство Павла Афанасьевича протекало в тяжелых материальных условиях: его родители, мещане г. Грязовца занимались земледелием и ремеслом, в семье было пятеро детей, на содержание которых тратились все средства семьи. Окончив городское училище, П. А. поступил казеннокоштным воспитанником в Тотемскую учительскую семинарию для подготовки к званию народного учителя. Уже в этот период П. А. начал проявлять любовь к педагогической деятельности и глубокий интерес к педагогической науке — качества, характерные для всей его последующей деятельности. В 1911 г. по окончании учительской семинарии П. А. получил назначение в село Новленское (Вологодского уезда), где в течение двух лет работал учителем сельской начальной школы. В 1913 г. П. А. для продолжения педагогического образования поступил в Вологодский учительский институт, который окончил в 1916 г.

После окончания учительского института П. А. был назначен преподавателем математики во вновь открытую Скопинскую учительскую семинарию (Рязанской губ.). В это время П. А. начал серьезное самостоятельное изучение математики и методики ее преподавания.

Великая Октябрьская социалистическая революция, открывшая перед трудящимися нашей родины невиданные до того времени перспективы творческой, созидательной работы, открыла и перед П. А. возможности к широкой научно-педагогической деятельности на любимом им поприще народного образования.

В 1918 г. П. А. поступил на физико-математический факультет Вологодского педагогического института, где он получил специальное высшее педагогическое образование. В то же время П. А. продолжал педагогическую деятельность в качестве учителя математики средней школы в г. Вологде.

В 1922 г., окончив педагогический институт, П. А. возвратился в г. Грязовец, где стал преподавать математику в учительской семинарии, преобразованной впоследствии в педагогический техникум.

В 1923 г. П. А. для продолжения педагогического образования поступил на Высшие научно-педагогические курсы в г. Москве, которые окончил в 1925 г. В этот период П. А. входит в курс научно-педагогических проблем, стоявших в то время перед советской школой.

Одновременно с занятиями на курсах П. А. продолжал преподавание математики в ряде средних школ г. Москвы.

В 1927 г. П. А. был выдвинут учителями школ Сокольнического р-на г. Москвы на должность районного методиста по математике. С этого времени П. А. вступает на путь самостоятельной научной работы в области методики математики.

В 1932 г. П. А. был приглашен в только что организованный Программно-методический институт в качестве старшего научного сотрудника, где принимал непосредственное участие в разработке школьных программ по математике.

С 1935 г. П. А. начал преподавательскую деятельность в высших педагогических учебных заведениях: он был приглашен в вечерний Московский городской педагогический институт на кафедру математики, возглавлявшуюся проф. М. К. Гребенча. Перед вечерним городским педагогическим институтом стояла ответственная задача — дать возможность многочисленной группе учителей Москвы получить законченное высшее педагогическое образование без отрыва от работы в школе. П. А. принял живое участие в этом важном мероприятии. Он преподавал в вечернем институте методику математики, аналитическую геометрию и руководил педагогической практикой студентов.

Среди учителей г. Москвы воспитанники вечернего педагогического института составляют немалую часть. Многие из учеников П. А. по вечернему институту являются в настоящее время высококвалифицированными преподавателями математики.

С 1937 г. по 1941 г. П. А. работал в Московском педагогическом институте им. Ленина в качестве руководителя педагогической практикой.

Одновременно с преподаванием в высших учебных заведениях П. А. не прекращал непосредственную педагогическую работу в школе. С 1932 г. и до настоящего дня П. А. является учителем школы № 43 Фрунзенского района г. Москвы.

В течение ряда лет П. А. руководил коллективом учителей математики Фрунзенского района в качестве районного методиста.

В 1944 г. П. А. был приглашен на должность консультанта-методиста по математике при Управлении школ Министерства просвещения РСФСР, эту должность он занимает и в настоящее время.

В качестве высококвалифицированного методиста П. А. в течение ряда лет принимал и принимает в настоящее время участие в различных мероприятиях Министерства просвещения: работа над программами, составление и аппробация методических документов, рассмотрение рукописей учебников и методических пособий. П. А. неизменно принимает участие в деятельности Учебно-методического совета при Министерстве просвещения.

П. А. является одним из старейших сотрудников Московского городского института усовершенствования учителей. Среди многочисленного коллектива московских учителей институт усовершенствования пользуется заслуженными авторитетом и любовью, в настоящее время этот институт является центром всей научно-методической работы, которая ведется в Москве в области методики математики.

П. А. принимал активное участие в различных мероприятиях института усовершенствования: он участвовал в совещаниях методистов, читал лекции на годичных курсах усовершенствования учителей, делал доклады, руководил семинарами, давал консультации.

В настоящее время П. А. руководит семинаром по методике алгебры. Этот семинар привлекает большое количество участников из среды московских учителей.

Литературную работу П. А. начал с 1927 г. Вначале он выступает в качестве соавтора в коллективном труде, посвященном методической разработке программного материала по различным классам (1927 и 1932 гг.).

В 1929 г. П. А. помещает в журнале «Математика и физика в средней школе» статьи, посвященные методике преподавания уравнений. Начиная с 1946 г. в журналах «Народное образование» и «Математика в школе» помещаются статьи П. А. по ряду ответственных тем: «О письменных работах на аттестат зрелости» («Народное образование», 1946, № 1—2), «О критериях оценки письменных работ учащихся» («Математика в школе», 1948, № 2), «К изменениям в программе по математике» («Математика в школе», 1949, № 6), «О преподавании математики» («Математика в школе», 1950, № 2).

Многолетняя личная работа в качестве учителя, преподавателя педагогического института, руководителя педагогической практики, непо-

средственное живое общение с учителями на посту методиста, посещение уроков, глубокое изучение опыта лучших учителей привели П. А. к мысли о создании труда капитального значения, в котором должен быть обобщен не только личный опыт, но и опыт обширного учительского коллектива, с которым П. А. соприкасался.

Так возникла мысль о составлении сборника задач по алгебре, потребность в котором давно назрела. Постепенно П. А. начал упорную, кропотливую работу по подбору материала и его проверке на практике.

В 1948 г. пробным тиражом вышла в свет первая часть «Сборника задач по алгебре» (для VI — VII классов), а в 1949 г. вышла вторая часть сборника (для VIII — X классов). Управление школ Министерства просвещения РСФСР и Учпедгиз организовали широкое обсуждение вновь изданного задачника. Ряд крупных институтов усовершенствования учителей (Смоленский областной, Воронежский, Саратовский областной, Московский городской, Ивановский и др.) произвели экспериментальную проверку «Сборника».

В многочисленных отзывах от институтов усовершенствования, от групп учителей, от отдельных лиц «Сборник» П. А. Ларичева единодушно получил высокую оценку. В 1950 г. П. А. за «Сборник задач по алгебре» Академией педагогических наук РСФСР была присуждена первая премия. В 1951 г. «Сборник» был издан массовым тиражом.

Уместно вспомнить, что в различное время различными лицами делались попытки составления нового сборника задач по алгебре для средней школы. Однако авторам все же не удалось создать учебник, удовлетворяющий растущим требованиям советской школы.

Из сказанного видно, что П. А. решена педагогическая проблема фундаментальной важности, выход в свет его книги произвел важный сдвиг в преподавании алгебры в советской школе.

Успех «Сборника» обусловлен не только тем, что его автор проявил себя как смелый новатор педагогической мысли. П. А. упорно изучал наследие, оставленное лучшими представителями нашей отечественной педагогической науки. П. А. Ларичев сохранил в своей книге высокие достоинства, которыми всегда обладали самобытные произведения русской учебной литературы. К числу таких достоинств относятся: строгая систематичность в подборе материала и в изложении, ясность, краткость, доступность учащимся, отсутствие бесполезного многословия.

Советское правительство высоко оценило общественно-педагогическую деятельность П. А. В 1944 г. он был награжден орденом Трудового Красного Знамени, а в 1948 г. орденом Ленина. В 1945 г. П. А. был награжден медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941—1945 гг.» и в 1947 г.— медалью в «Память 800-летия Москвы».

В 1947 г. П. А. было присвоено почетное звание заслуженного учителя школы РСФСР.

В 1950 г. П. А. был избран членом-корреспондентом Академии педагогических наук РСФСР.

Большой путь от учителя сельской школы до известного ученого-педагога, пройденный П. А., является одним из многочисленных примеров того, что в нашей стране сбылись слова В. И. Ленина: «Народный учитель должен у нас быть поставлен на такую высоту, на которой он никогда не стоял, не стоит и не может стоять в буржуазном обществе» (В. И. Ленин, Соч., т. 33, стр. 424).

Пожелаем Павлу Афанасьевичу многих лет плодотворной деятельности на любимом им поприще народного образования на благо нашей великой родины.

С. И. Новоселов (Москва)

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ОБ «ЭНЦИКЛОПЕДИИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ»

М. В. ЯКОВКИН (Москва)

«Никакая наука не может развиваться и преуспевать без борьбы мнений, без свободы критики».

И. В. Сталин.

I. В нашей стране выпускается уже вторым изданием «Большая советская энциклопедия». Наряду с ней завершено опубликование «Малой советской энциклопедии». Работники медицины создали капитальную медицинскую энциклопедию; геодезисты выпустили в свет весьма полное руководство по геодезии; физиками составлен многотомный физический словарь; работниками технических наук — техническая энциклопедия, справочное руководство по машиностроению и т. д.

Вместе с этим, как ни странно, у нас нет до сих пор современного математического словаря, у час нет более или менее подробного справочного руководства по математике, не говоря уже о весьма полной энциклопедии математических наук.

Поэтому не случайно идея Академии педагогических наук РСФСР о создании семитомной «Энциклопедии элементарной математики» была встречена горячим одобрением широкими кругами советских читателей различных профессий и особенно учителями и студентами физико-математических специальностей.

Но хорошая идея — это еще не все, это только хорошее начало, главное же — в претворении этой идеи в реальную действительность. Окончательное суждение о всей «Энциклопедии» делать еще рано — из всех семи книг пока вышли только две. Однако уже и вышедшие первые две книги этой «Энциклопедии» заставляют бить тревогу о серьезных недостатках реального осуществления хорошего замысла.

Хотя «Издание «Энциклопедии элементарной математики» задумано Академией педагогических наук РСФСР как пособие для учителей математики средней школы и студентов физико-математических факультетов педагогических и учительских институтов»*, однако даже сама структура «Энциклопедии», самый план и наименование разделов, а также и их взаимное расположение ни в какой степени не соответствуют программе школьного курса математики и тем самым ни в какой степени не отвечают насущным потребностям учителя средней школы.

Уже в первых двух томах «Энциклопедии элементарной математики» почти все статьи построены по образу и подобию университетских курсов, но никак не на базе школьного курса математики.

Книга первая, «Арифметика», содержит следующие статьи: «Происхождение систем счисления» (И. Г. Башмакова и А. П. Юшкевич), «Понятие множества, группы, кольца и поля. Теоретические основы арифметики» (И. В. Проскуряков), «Элементы теории чисел» (А. Я- Хинчин), «Устный и письменный счет. Вспомогательные средства вычислений» (В. М. Брадис).

Во вторую же книгу, «Алгебру», включены статьи: «Векторные пространства и линейные преобразования» (А. И. Узков), «Кольцо многочленов и поле рациональных функций» (Л. Я. Окунев), «Численные и графические методы решения уравнений» (А. П. Доморяд).

II. Изучая содержание первых двух томов «Энциклопедии элементарной математики», прежде всего невольно возникает законное сомнение: можно ли эти книги называть книгами энциклопедии и книгами элементарной математики.

Правда, термин «элементарная математика» в последнее время трактуется различными математиками довольно по-разному. В начале же самой «Энциклопедии элементарной математики» раскрытие сущности этого понятия просто опущено, как опущено раскрытие сущности и других основных фундаментальных понятий математики (число, величина, счет, измерение величин и др.)- Определения математики, ее методологии и ее задач, возможно, будут даны в «Энциклопедии», к великому удивлению, только лишь в самом последнем (?) томе (см. предисловие к первому тому).

Но исходя из самого замысла «Энциклопедии»,

* Из предисловия к рецензируемой «Энциклопедии элементарной математики» (т I, стр. 6).

под основным содержанием элементарной математики в данном случае естественно было понимать не что иное, как школьный курс математики, или же по крайней мере новый специальный курс элементарной математики, который в XX в. все более отчетливо оформляется как новый самостоятельный предмет в педагогических вузах.

В действительности содержание даже наиболее элементарной по названию «арифметической» статьи В. М. Брадиса оказалось в ряде её разделов уже довольно далеким от школьного курса математики. Еще более далекой от школьного курса математики оказалась и вторая статья по вычислительной математике — статья А. П. Доморяда, а также большинство разделов из других статей «Энциклопедии».

Опуская подробное рассмотрение всех статей с этой точки зрения, сошлемся еще на статью И. В. Проскурякова. В этой статье излагаются такие разделы математики, которые или совсем исключены даже из программ пединститутов или только частично содержатся в программах старших курсов.

Нельзя сказать также, что все статьи изложены «по возможности просто и доступно» как об этом пишет редакция «Энциклопедии» в своем предисловии.

Совсем недавно в постановлении Совета Министров СССР о втором издании Большой Советской Энциклопедии указывалось, что второе издание БСЭ «должно явиться систематизированным сводом знаний и стать универсальным справочником для широкого круга советской интеллигенции».

Подойдем к оценке «Энциклопедии элементарной математики» в свете этого постановления правительства. Можем ли мы сказать, что «Энциклопедия элементарной математики» явится систематизированным сводом знаний по элементарной математике и станет универсальным справочником для советского учителя?

О систематическом изложении школьного курса математики дважды упоминается и в «Предисловии» к самой «Энциклопедии элементарной математики». Но нельзя признать изложение в этой энциклопедии систематическим ни в смысле истории развития математической науки вообще и элементарной в частности, ни в смысле последовательного расположения самого содержания элементарной математики, ни в смысле согласованности различных разделов и статей «Энциклопедии» между собой.

III. Невыдержанный историзм изложения следует считать одним из крупнейших принципиальных недостатков рецензируемых книг «Энциклопедии элементарной математики». Об историзме в преподавании, об историзме в изложении учебников и учебных пособий неоднократно указывалось в постановлениях партии и правительства.

Академии педагогических наук РСФСР, под грифом которой выпускается «Энциклопедия элементарной математики», равно как и Гостехиздату, издающему эту энциклопедию, следует напомнить, что историзм изложения никогда не переставал быть важнейшим дидактическим принципом советской педагогики. Вопрос об изложении не в отрыве, а в связи с историей развития науки еще в большей степени относится к энциклопедической литературе и к пособиям энциклопедического характера.

В первом томе рецензируемой «Энциклопедии» дважды повторяется (стр. 16 и 17) известное определение сущности математической науки с точки зрения материалистической диалектики, данное Ф. Энгельсом, причем русский перевод этой цитаты в обоих случаях сделан по-разному. Который из этих двух переводов одной и той же цитаты Ф. Энгельса ближе к подлиннику, предоставляем решать самой редакции «Энциклопедии элементарной математики».

Вот это классическое высказывание Ф. Энгельса: «Но совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать, т. е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творчества разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития»*.

Между тем в самой «Энциклопедии элементарной математики» абстракция, как результат долгого, опирающегося на опыт исторического развития, отражена чрезвычайно слабо.

Статья В. И. Проскурякова, как самая абстрактная из всех статей рецензируемых книг, особенно нуждается в изложении ее содержания в связи с историческим развитием данных в ней абстрактных теорий. Однако в статье И. В. Проскурякова на всех 178 страницах только в трех местах можно встретить несколько коротеньких строк слабого упоминания об истории развития науки.

Читая энциклопедическую статью И. В. Проскурякова, мы должны были бы узнать: когда и кем, где и зачем создавались такие абстрактные теории, в связи с какими практическими жизненными потребностями получила развитие в таком направлении современная алгебра? Между тем в статье читатель не найдет ответа ни на один из указанных вопросов.

На странице 121 автор статьи приводит еще следующее высказывание Ф. Энгельса, относящееся к математике: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира»**.

Тем не менее в содержании самой статьи история происхождения этой абстракции из внешнего мира почти не нашла никакого отражения.

В статье А. П. Доморяда изложение истории вопроса дается лишь в одной небольшой подстрочной сноске. Кроме того, в отрыве от основного текста (в качестве «Добавления» к статье) еще на двух страницах излагаются «Краткие исторические сведения».

Почти совсем никаких упоминаний об истории развития математической науки не содержится в статье А. И. Узкова.

В статье Л. Я. Окунева на всех 184 страницах только в четырех местах можно встретить коротенькие упоминания об отдельных моментах исторического развития алгебры. Причем вместо одного из них (о трансцендентных числах) можно было бы ограничиться уже только подстрочной ссылкой на более полное изложение этой же исторической справки, сделанное А. Я. Хинчиным еще в первом томе «Энциклопедии» (т. I, стр. 351—352).

Приведем один пример, относящийся к статье Л. Я. Окунева. Вот уже с 1937 г. автор из одного

* Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1951, стр. 36—37.

** Там же, стр. 37

издания «Высшей алгебры» в другое без особых изменений переносит признак неприводимости Эйзенштейна, а теперь после 4-го издания учебника автор перенес этот признак неприводимости многочленов в таком же виде и в «Энциклопедию элементарной математики».

Неужели этот раздел алгебры после работы немецкого математика Эйзенштейна сто лет тому назад (с 1845 г.) застыл и встал на мертвую точку?

Ведь после Эйзенштейна было получено очень много различных других критериев неприводимости. Почему же нельзя было освежить статью «Энциклопедии» новейшими результатами в этом направлении, тем более, что нисколько не сложнее, а в известном смысле даже интереснее опубликовывались работы в изданиях Академии наук СССР.

Таких примеров в рецензируемых книгах «Энциклопедии элементарной математики» очень много. Элементарная математика во многих местах изложена в ней безжизненной, застывшей так, как она излагалась на Западе еще во времена Клейна.

В начале «Энциклопедии» (т. 1, стр. 15) приводится известное изречение Кронекера: «Целые числа создал бог, все остальное — дело рук человеческих». Однако невыдержанный историзм в изложении «Энциклопедии» весьма слабо опровергает этс идеалистическое утверждение немецкого математика прошлого века.

IV. Еще более недопустимым следует признать изложение рецензируемых книг в отрыве от истории русской и советской науки. За 34 года своего существования наша советская страна обогатилась обилием ярчайших фактов, связанных с открытиями в науке, дающих возможность во всю широту показать превосходство наших достижений в математике перед современным состоянием науки в капиталистических странах.

В постановлении Совета Министров СССР о 2-м издании БСЭ особенно подчеркивалась необходимость широкого освещения достижений СССР в области науки. Там говорилось: «С исчерпывающей полнотой следует показать превосходство социалистической культуры над культурой капиталистического мира».

Создание советской «Энциклопедии элементарной математики» должно было явиться новой важнейшей вехой в истории советской педагогики, в истории советской математики и при этом несомненно следовало руководствоваться единственно правильной методологией изложения науки — методологией диалектического материализма.

Больше того, в «Энциклопедии элементарной математики» следовало с неоспоримой убедительностью показать превосходство нашей передовой марксистско-ленинской методологии изложения науки перед всякими другими буржуазными методологиями. На такое изложение элементарной математики теперь предъявляют спрос не только советские читатели, но и многомиллионные читатели братских стран народной демократии.

В смысле изложения науки в связи с историей ее развития сравнительно удачной является статья А. Я. Хинчина. Здесь мы читаем близкие нам правдивые исторические факты: «В этих исследованиях русские, а позднее советские научные школы всегда занимали и до сих пор занимают одно из ведущих мест» (т. I, стр. 255). Здесь одни за другими отмечаются важнейшие исторические истины о славе русских и советских открытий в математической науке.

Автор говорит о «петербургской школе, созданной великим Чебышевым, равной которой за последнее столетие не было и нет в мире» (т. I, стр. 256). Он говорит о «советской школе теории чисел, руководимой акад. И. М. Виноградовым, одним из величайших творцов арифметической науки нашей эпохи» (т. I, стр. 269). Он не упускает случая упомянуть и о тех прикладных задачах, продиктованных потребностями самой жизни, в связи с решением которых возникла в свое время теория цепных дробей (т. I, стр. 305).

Правда, в статье А. Я. Хинчина в отступлениях исторического характера можно указать и на некоторые не совсем удачные места. Так, например, автор утверждает, что «все исследование Шнирельмана проведено настолько элементарными методами, что могло бы быть в точности в том же виде выполнено 100 лет назад, в эпоху Чебышева» (т. I, стр. 270). Здесь слова «в эпоху Чебышева» являются неудачно лишними. В сопоставлении «эпохи «Чебышева» с «исследованием Шнирельмана» можно подразумевать сравнение Шнирельмана с Чебышевым.

Подобного рода исторические параллели и сравнивания личностей различных эпох неуместны, а иногда и бессмысленны.

V. Сама история математической науки расположена в «Энциклопедии элементарной математики» тоже по какому-то странно непонятному принципу. В первом томе имеется статья, занимающая 61 страницу и посвященная специально истории математики. Затем имеется один параграф «Краткие исторические сведения», введенный в качестве добавления к одной из статей в конце второго тома; возможно, аналогичные параграфы появятся еще и в последующих томах. Кроме того, предполагается более полное изложение очерков по истории математики в последнем томе «Энциклопедии» (см. предисловие).

Возникает недоумение, почему в томе «Арифметика» дана статья, посвященная истории происхождения систем счисления, а не вообще истории числа или истории аксиоматического обоснования арифметики, или, наконец, не истории арифметики? Чем объясняется привилегированное выделение истории систем счисления от истории других разделов «Арифметики», от истории всех разделов математики?

Если уж помещать в начале тома «Арифметика» статью по истории математики, то следовало посвятить ее истории всей арифметики или же ее более крупного и более важного раздела, чем история слишком частного вопроса о происхождении систем счисления. И тогда аналогичные статьи должны были быть помещены и в остальных томах «Энциклопедии».

Если же историю различных разделов математической науки предполагается выделить в отдельный том, то тогда и эта статья о происхождении систем счисления должна была быть помещена в томе по истории математики, поскольку она не имеет никаких особых оснований на отличительное выделение ее от истории других разделов.

Точно так же вызывает недоумение, почему «Краткие исторические сведения» выделены только в одной статье А. П. Доморяда? Если давать такие краткие сведения истории различных разделов математики, то, конечно, следовало давать их после каждого раздела или хотя бы после каждой статьи.

Такое совершенно неунифицированное, беспорядочное изложение истории науки противоречит даже элементарным законам печатания энциклопедических сборников, не говоря уже о том, что оно в корне противоречит самой методологии изложения истории науки.

VI. Если бы в «Энциклопедии» изложение повсюду было выдержано с точки зрения историзма,

тогда неминуемо пришлось бы указывать, что такая-то задача в науке решалась тогда-то и так-то, что ее решение доведено до такой-то стадии или, что такая-то часть этой задачи еще до сих пор ожидает своего решения. Иначе говоря, излагая элементарную математику не в покое, а в ее развитии, преподнося основы школьного курса математики читателю не в мертвом, а в живом виде, неминуемо пришлось бы говорить не только о далеком прошлом различных разделов элементарной математики, но и о ее настоящем, о ее будущем, о ее проблематике.

Элементарные вопросы проблематического характера в «Энциклопедии элементарной математики» отражены чрезвычайно слабо. Между тем советскому учителю небезинтересно знать, в каком направлении пойдет дальнейшее развитие той или иной ветви элементарной математики. Больше того, советский учитель сам стремится принимать участие в разрешении тех или иных задач элементарной математики, не говоря уже о передовой части учителей, интересующихся вопросами математики далеко не элементарного характера.

Армия учителей — это одна из самых больших и и высококвалифицированных армий советской интеллигенции. Вовлечь и втянуть эту армию к разрешению тех или иных научных проблем — это весьма благородная и важная задача, прежде всего Академии педагогических наук РСФСР.

В нашу эпоху, «...новые пути науки и техники прокладывают иногда не общеизвестные в науке люди, а совершенно неизвестные з научном мире люди, простые люди, практики, новаторы дела»*.

Известно, что хорошо и умело поставленная проблема является половиной ее решения. От кого же нашему советскому учителю ждать такую хорошую и умелую постановку научных проблем, как не от наших академий, как не от наших передовых ученых.

VII. Следующим крупнейшим принципиальным недостатком «Энциклопедии элементарной математики» является недостаточно систематическое и недостаточно последовательное изложение элементарной математики с точки зрения самого ее содержания, принципиальный отказ составителей энциклопедии от систематического изложения основ элементарной математики в том плане, в той последовательности, как она преподается в средней школе.

В рецензируемой «Арифметике» вовсе ничего не сказано о таких крупных разделах элементарной арифметики, как о признаках делимости чисел, о способах разложения чисел на множители, о пропорциях и пропорциональном делении, о решении задач на проценты и др.

В рамках настоящей статьи, опуская детальное рассмотрение всех недостатков этого рода, имеющихся в «Арифметике», остановимся несколько подробнее на таком большом и важном разделе арифметики, как признаки делимости чисел и способы разложения чисел на множители. Можно ли было брезговать этим разделом из-за его элементарности при составлении энциклопедии элементарной математики? Каковы были к тому основания?

Разложение чисел на множители пронизывает почти всю программу школьной математики. К разложению чисел на множители сводится и задача о разложении на множители целых рациональных функций. Вопрос о разложении больших чисел на множители и по сегодняшний день ожидает своего практически удобного решения.

Изыскания отдельных частных приемов разложения больших чисел на множители и различных признаков разложимости и неразложимости (простоты) целых чисел имеют большую историю в арифметической науке и в то же время слишком скудно излагаются в существующей литературе для учителя, поэтому этим вопросам должно было быть отведено значительное место в «Энциклопедии элементарной математики» (в статье А. Я. Хинчина).

Наконец, нельзя было ничего не упоминать и о разложении чисел на иррациональные и комплексные множители. Краткое изложение этого вопроса диктовалось даже хотя бы и тем, что этот вопрос все же ближе к школьному курсу математики, чем трансцендентные, гиперкомплексные числа и кватернионы, которым в «Арифметике» отведено значительное место.

Наряду с отсутствием в «Арифметике» важнейших разделов элементарной математики, в «Энциклопедии элементарной математики» фигурируют под именем «Арифметики» общая теория множеств, групп, полей и колец, равно, как и алгебра иррациональных и алгебра комплексных чисел, хотя «построение действительных чисел входит в курс математического анализа, а комплексных чисел — в курс высшей алгебры физико-математических факультетов университетов»**.

В рецензируемую «Алгебру» совершенно не включена операция логарифмирования, а сами логарифмы вовсе исключены из рассмотрения в «Алгебре» и переведены в «Анализ», для рассмотрения, повидимому, только их функциональных свойств. То же самое сделано и с прогрессиями, с показательными, с дробными рациональными, иррациональными и другими функциями.

Вообще элементарная алгебра составителями энциклопедии подверглась в некотором смысле полному «разгрому». Новейшие ее разделы (группы, поля и кольца) и алгебра комплексных чисел целиком отнесены к арифметике, логарифмы и прогрессии — к анализу, комбинаторика — к теории вероятностей, а теория элементарных неравенств — вообще неведомо куда.

Порочно разделив алгебраический материал на «собственно алгебраический» и «неалгебраический»***, составители энциклопедии лишились возможности полного рассмотрения в энциклопедии важнейшего вопроса элементарной математики — общей теории уравнений.

Поскольку в «Алгебре» оставлены только единственные функции — целые рациональные, то естественно, что вопрос о решении уравнений мог быть рассмотрен там только применительно к уравнениям многочленного вида. Общая же теория уравнений (вопрос о равносильности уравнений, вопрос о приобретении и потере корней, вопрос о преобразовании уравнений и др.) в энциклопедии вовсе отсутствует.

Не рассмотрены в ней также многие важнейшие конкретные классы уравнений из школьного курса математики: показательные, логарифмические, тригонометрические, уравнения комбинаторного характера, а также уравнения, содержащие неизвестные в знаменателе, и др. Несколько страниц о способах приближенного решения трансцендентных уравнений в

* И. В. Сталин, Речь на приеме в Кремле работников высшей школы 17 мая 1938 г., Госполитиздат, 1938, стр. 6.

** Из «Введения» к статье И. В. Проскурякова (т. I, стр. 78).

*** Термины взяты из предисловия редакции ко второму тому (т. II, стр. 6).

статье А. П. Доморяда ни в какой степени не могут заменить такого рассмотрения упомянутого вопроса, в каком особенно нуждается учитель средней школы и какое имеет место в школьной математике. Нельзя отрицать, что полное рассмотрение этих тонких для школьной математики вопросов в общем виде является весьма важным и нужным для учителя математики.

Необходимо особо подчеркнуть отсутствие в «Энциклопедии элементарной математики» теории алгебраических иррациональностей, теории иррациональных уравнений, тождественные преобразования иррациональных (да и не только иррациональных) выражений, освобождение от иррациональностей в знаменателе и другие связанные с ним вопросы. Все эти вопросы составляют один из крупнейших и серьезнейших разделов школьного курса алгебры, и обходить их молчанием в «Энциклопедии элементарной математики» как пособии для учителей средней школы, конечно, было недопустимо.

Не менее тонкого подхода требует для своего рассмотрения раздел элементарной алгебры, относящийся к общей теории неравенств, к решению неравенств, к связи алгебраических уравнений с неравенствами; то же самое относится и к системам неравенств. Между тем этому весьма интересному и важному для учителей математики разделу школьного курса в «Энциклопедии элементарной математики» пока не отведено ни одной страницы.

Вместе с тем в «Алгебру» включена статья А. П. Доморяда, посвященная методам численного и графического решения алгебраических и трансцендентных уравнений, из которой «строго говоря, к алгебре относится лишь первая глава, включающая общий способ Н. И. Лобачевского для решения алгебраических уравнений любой степени с численными коэффициентами»*.

VIII. Мы остановились довольно подробно на недостаточной систематичности изложения содержания «Энциклопедии элементарной математики» совсем не случайно.

При той системе изложения, которое взято в рецензируемой «Энциклопедии», учитель не получит цельного и отчетливого представления об объеме и содержании того или иного раздела школьного курса математики. Схема изложения в «Энциклопедии элементарной математики», принципиально отличающаяся от твердо укоренившихся уже существующих схем изложения школьного и педвузовского курсов элементарной математики, дезориентирует учителей математики во многих отношениях.

Уже одна только такая схема расположения излагаемого материала слишком далеко увела «Энциклопедию элементарной математики» от той ее главной цели, которая была обещана читателю в «Предисловии» редакцией: дать систематическое изложение научных основ школьного предмета математики.

Непонятно, что же заставило составителей «Энциклопедии элементарной математики» пойти на такое не очень обоснованное «нововведение» в изложении и тем самым слишком далеко отклониться от намеченной ими весьма большой и важной первоначальной цели?

Можно полагать, что новой схемой изложения составители энциклопедии стремились избежать взаимных перекрытий некоторых разделов элементарной математики. Но такие перекрытия так или иначе неизбежны. Сказанное подтверждается содержанием самой же рецензируемой «Энциклопедии».

Так, например, теория полей и колец наряду со статьей И. В. Проскурякова рассматривается еще и в статье Л. Я. Окунева (применительно к многочленам); решение алгебраических уравнений наряду со статьей Л. Я. Окунева рассматривается еще и в статье А. П. Доморяда (численные решения); некоторые разделы статьи В. М. Брадиса перекрываются с разделами статьи А. П. Доморяда (графические методы) и т. д.

За последнее время среди некоторой части математиков проявляются стремления проводить разделение объектов, изучаемых в математике по неперекрывающимся множествам (не повторяющимся разделам). Таковы стремления к разделению тригонометрии на две части: между геометрией и алгеброй. Таковы стремления к переводу некоторых объектов из алгебры в теорию множеств и теорию функций.

Перечисленные выше примеры из рецензируемых двух книг подтверждают, что аналогичные стремления нашли довольно отчетливое отражение и в «Энциклопедии элементарной математики».

Однако никакие доводы коренной ломки и ревизии существующих схем изложения основ школьного курса математики в учебной, а также в энциклопедической литературе нельзя признать обоснованными.

IX. Особо следует остановиться на изложении в «Энциклопедии элементарной математики» одной из самых давних ветвей математической науки, исключительно бурное развитие которой было продиктовано практическими потребностями последнего времени на вычислительной математике.

Вопросы вычислительной математики в «Энциклопедии» изложены сыровато, не в энциклопедическом стиле и по неудовлетворительной схеме. По вычислительной математике имеется большой раздел как в первом, так и во втором томе «Энциклопедии», и, возможно, появятся аналогичные разделы (или параграфы) и в некоторых из последующих томов.

Некоторые разделы вычислительной математики излагаются и в статье В. М. Брадиса, и в статье А. П. Доморяда (например, «Графические методы» и др.), в то время как некоторые разделы совсем не изложены ни в той, ни в другой из этих статей.

В обеих из помещенных статей по вычислительной математике изложение не очень строгое, местами расплывчатое; главное содержание иногда тонет в загромождающем его второстепенном или даже лишнем материале.

Сошлемся на некоторые конкретные примеры.

В статье М. В. Брадиса недопустимо слабо освещена теория и принципы построения вычислительных таблиц и практические возможности их использования.

Известно, что таблицы имеют право на сосуществование и на одновременное развитие, со всеми другими вычислительными инструментами: каждый из них имеет свои специфические преимущества и области применения и каждый из них способствует взаимному развитию.

Более подробное изложение теории и практики вычислительных таблиц, наряду со всеми прочими вычислительными инструментами, в «Энциклопедии элементарной математики» диктовалось еще и тем, что таблицами, как орудием вычислительной техники, издавна пользуются в средней школе. Однако в статье В. М. Брадиса математическим таблицам отведено всего лишь полторы страницы.

Коротеньким упоминанием ограничился автор статьи и об одной из наиболее распространенных возможностей увеличения практической мощности вычислительных таблиц «о чтении между строк таб-

* Из предисловия ко второму тому «Энциклопедии элементарной математики».“

лицы», т. е. о линейной интерполяции. Вопрос о линейной интерполяции является очень важным в вычислительной математике, довольно тонким при преподавании в средней школе и в то же время совершенно слабо освещенным как в учебной литературе для учащихся, так и в методической литературе для учителя.

В «Энциклопедии элементарной математики» мы находим следующие глубоко содержательные строки: «Только ясное понимание существа линейной интерполяции и условия ее допустимости обеспечивают сознательное, а не механическое использование таких весьма полезных и широко используемых вспомогательных средств линейной интерполяции, как «пропорциональные части (РР) и готовые поправки» (т. I, стр. 428).

Возникает законный вопрос, почему же эти «ясное понимание существа линейной интерполяции и условия ее допустимости», точно так же как и теория «пропорциональных частей» и «готовых поправок», совершенно не даны в рецензируемой «Энциклопедии». Правда, В. М. Брадис сообщает читателю, что «наибольшее затруднение при пользовании любой таблицей доставляет «интерполяция» (т. I, стр. 428). Однако от одного этого сообщения читателю не будет легче.

Если учесть, что теория пропорций и пропорционального деления в «Энциклопедии» также вовсе не изложена, то станет ясно, что изложение в «Энциклопедии элементарной математики» не обеспечивает сознательного, а не механического, использования таких весьма полезных и широко используемых средств линейной интерполяции, как «пропорциональные части» и «готовые поправки».

Наряду с отсутствием изложения некоторых важных вопросов элементарной вычислительной математики в статье В. М. Брадиса довольно пространно излагаются совсем второстепенные, не имеющие особого практического значения вопросы. Для подтверждения сказанного сошлемся хотя бы на палочки Непера.

Весьма характерно, что палочкам Непера в статье В. М. Брадиса отводится в одном месте полная страница (т. I, стр. 366—367) и еще по нескольку строк в других местах, а об арифмометре Чебышева автор ограничивается лишь коротким упоминанием (т. I, стр. 372) и отсылает читателя к полному собранию сочинений П. Л. Чебышева.

Справедливее и благоразумнее следовало бы поступить в известном смысле наоборот: арифмометру Чебышева отвести не менее страницы, а о палочках Непера сослаться на опубликованные книги В. М. Брадиса. Тем более, что книги В. М. Брадиса (с палочками Непера) печатались многократно и большими тиражами, а полное же собрание сочинений П. Л. Чебышева имеется далеко не во всех библиотеках, поскольку оно было выпущено небольшим тиражом (4 тыс. экз.).

Напрасно также сожалеет автор на страницах «Энциклопедии» (т. I, стр. 438), что нет упоминания о палочках Непера в действующей программе средней школы.

Одним из важнейших вопросов вычислительной математики, непосредственно связанных с программой школьного предмета математики и совершенно не освещенных в «Энциклопедии элементарной математики», является также раздел о численных решениях систем линейных уравнений и вычислении определителей. Речь идет, конечно, не о машинных подходах к решению этой задачи, упоминающихся в статье В. т Брадиса (т. I, стр. 376).

Численное решение систем линейных уравнений нашло большие приложения в различных прикладных задачах технического характера. Вместе с тем эта задача является одной из самых громоздких и трудно выполнимых на практике (при относительно большом числе уравнений и неизвестных). К тому же, теория систем линейных уравнений (А. И. Узков) рассмотрена в самом общем виде относительно числа уравнений и неизвестных и не рассмотрены частные случаи: когда система состоит только из двух-трех и четырех уравнений — случаи, наиболее важные для средней школы.

Сошлемся еще на один пример, относящийся к статье А. П. Доморяда. Если уж излагать способы определения границ, вещественных корней алгебраических уравнений, то следовало бы упомянуть и о способах определения границ вещественных частей всех корней. Тем более, что вторая задача является более общей, поскольку всякий вещественный корень алгебраического уравнения можно рассматривать как вещественную часть комплексного корня с мнимой частью, равной нулю.

X. Мы уже отмечали о несогласованности статей в смысле отражения в них истории возникновения и развития математической науки. Нельзя не отметить еще также несогласованность различных статей «Энциклопедии» и в других отношениях.

Ни в одной из статей «Энциклопедии» изложение не сопровождается примерами для упражнений, а в статье А. П. Доморяда им отводится значительное место. Составители «Энциклопедии» нам возразят тем, что статья А. П. Доморяда посвящена вычислительной математике, но тогда такие же упражнения должны были бы содержаться и в статье В. М. Брадиса, посвященной также вычислительной математике. Если же составители при этом исходили из соображений усвоения и закрепления излагаемого материала, то тогда такие упражнения должны были содержаться во всех остальных статьях.

Такое необъяснимое несогласование статей в энциклопедической литературе, конечно, является недопустимым.

В статье А. П. Доморяда в конце «Добавлений» даются краткие исторические сведения, советы преподавателям (кстати, не очень содержательные) и рекомендуется литература. Во всех остальных статьях такие исторические справки, советы преподавателям не выделяются в качестве «Добавлений» или «Приложений». Что же, остальные авторы не смогли ничего посоветовать преподавателям? Что же, они не могли дать историческую справку по излагаемому ими разделу? Почему статья А. П. Доморяда и в этом отношении оказалась несогласованной со всеми остальными статьями?

Или, наконец, на одном полюсе — статья В. М. Брадиса, обильно насыщенная методическими указаниями (не всюду верными и существенными), при чем некоторые ее страницы носят декларативный, пропагандистский, а не научно-энциклопедический характер, на другом полюсе — совершенно без методики, целиком научная, сугубо абстрактная «академическая» статья И. В. Проскурякова.

О несогласованности статей «Энциклопедии» между собой говорят также и упоминавшиеся выше лишние повторения некоторых вопросов в различных статьях.

Наблюдается также разнобой в различных статьях и при изложении библиографии. В самой первой статье (И. Г. Башмакова и А. П. Юшкевич) цитируемая литература дается в виде сносок на соответствующих страницах, а в конце статьи нет никакого списка рекомендуемой литературы. Остальные

авторы, кроме подстрочных примечаний, списки литературы приводят еще и в конце статьи, а в статье А. П. Доморяда, как мы уже указывали, рекомендуемой литературе отведен специальный параграф «Добавлений» в конце статьи.

Все эти примеры несогласованности различных статей между собой можно было бы не считать большими их недостатками, если бы каждая из них была опубликована отдельной книжкой, независимо от остальных. Но поскольку каждая из этих статей является лишь разделом одной общей многотомной энциклопедии, то естественно, что при их изложении необходимо было придерживаться некоторых общих для всей «Энциклопедии» требований.

Перечисленные примеры несогласованности между собой различных статей «Энциклопедии элементарной математики» неоспоримо доказывают отсутствие согласованности и творческой спаянности также и коллектива самих ее авторов и составителей.

Создание многотомной «Энциклопедии элементарной математики» — задача не простая и не легкая. Разрешение этой задачи не под силу одному или нескольким индивидуальным авторам.

Разрешение этой труднейшей и ответственной задачи требовало не только индивидуального кропотливого труда каждого автора в отдельности, для ее разрешения не менее важным было проявление творческой спаянности и согласованности всего коллектива составителей «Энциклопедии».

Однако в вышедших первых двух томах «Энциклопедии элементарной математики» творческая спаянность и согласованность всего коллектива создателей «Энциклопедии» не нашла никакого отражения Существует полный разнобой между различными статьями в смысле отбора излагаемого материала (главного и второстепенного), в смысле научного уровня содержания, в смысле изложения в связи с историей возникновения и развития науки, а также в смысле изложения самой истории науки.

Расположение самих статей по томам и внутри томов сделано также по какому-то странному загадочному принципу, а возможно и вообще без всякого принципа.

XI. Во всякой энциклопедической литературе очень важным также является вопрос о научной и языковой грамотности, о культуре изложения содержания. Не вдаваясь в подробности рецензируемой «Энциклопедии» с этой точки зрения, остановимся коротко только на упорядочении словарного состава языка математики.

В рецензируемых книгах составители «Энциклопедии» вовсе пренебрегли вопросом упорядочения математической терминологии и языковой строгости элементарной математики.

Здесь следует руководствоваться указаниями И. В. Сталина: «Изменился в известной мере словарный состав русского языка, изменился в том смысле, что пополнился значительным количеством новых слов и выражений... изменился смысл ряда слов и выражений, получивших новое смысловое значение; выпало из словаря некоторое количество устаревших слов»*.

Еще совсем недавно многие математики (Граве, Чеботарев и др.) употребляли в одинаковом смысле три эквивалентные термины: поле, корпус и тело. Позднее первое из этих слов вытеснило из математического употребления остальные. Точно так же слово «множество» почти уже полностью вытеснило из математического употребления другие эквивалентные ему термины («ансамбль», «комплекс», «совокупность» и др.).

И. В. Проскуряков называет по-разному понятие поля в случае, когда оно коммутативно («поле») и когда некоммутативно («тело»), в то время как для кольца автор сохраняет одинаковое наименование независимо от его коммутативности или некоммутативности.

Л. Я. Окунев отмалчивается, почему он предпочитает употреблять выражение «многочлены в поле», а не «многочлены над полем».

A. Я. Хинчин не объясняет читателю, почему он предпочитает термин «цепные дроби» термину «непрерывные дроби».

B. М. Брадис теперь предпочел «алгорифм», в то время как прежде** употреблял «алгоритм».

А. П. Доморяд без особой на то надобности вводит в «Энциклопедию» термин «почти кратный корень».

Подобных примеров в «Энциклопедии элементарной математики» довольно много. Некоторые авторы, повидимому, сочли вопросы терминологии мелкими и несущественными. Красота и величие математической науки — в ее стройной строгости и точности, поэтому всякий разнобой в грамматическом строе, равно как и в словарном составе языка математики, вообще говоря, нежелателен, а иногда даже совершенно недопустим.

Нельзя давать новые наименования и определения математическим объектам, понятиям и выражениям как попало; следует руководствоваться тем, чтобы эти новые наименования точнее отражали реальную сущность названных объектов и их взаимосвязь с окружающей действительностью.

В таком же направлении требуют серьезных улучшений и уточнений очень большое количество различных весьма важных понятий, терминов и выражений, находящихся уже издавна в употреблении в элементарной математике.

Со временем дошли до туманной расплывчатости и разнобоя определения не только таких крупнейших понятий математики, как «алгебра» и «элементарная математика» (что нашло яркое отражение даже в самой рецензируемой «Энциклопедии»), но и многих самых простейших обиходных терминов.

Одно из наиболее распространенных понятий элементарной алгебры — понятие одночлена—дошло до запутанного тупика даже в стабильных учебниках для учащихся только благодаря тому, что авторы учебной литературы, а также и Академия педагогических наук до сих пор мало уделяют внимания вопросам упорядочения математического языка.

Ведь доходит до того, что, например, слово «параллелограмм» Гостехиздат в пособиях для средней школы печатает то с одним, то с двумя «м». Учитель в недоумении: в «Энциклопедии элементарной математики» читает «параллелограм», а в недавно выпущенном тем же Гостехиздатом задачнике под редакцией М. Я. Выгодского — «параллелограмм».

Такой же разнобой наблюдается в печати и во многих других математических терминах (коэффициент и коэфициент, тетраэдр и тетраедр, компонент и компонента, двухчлен и двучлен, двухкратный и двукратный, взаимнопростое, взаимно однозначное и др.).

Наконец, то же самое следует сказать и о написании фамилий некоторых известных математиков (Эвклид и Евклид, ал-Хварезми и ал-Хорезми, Горнер и Хорнер, Виетт, Виет и Вьет, Дюамель и

* И. В. Сталин, Марксизм и вопросы языкознания, Госполитиздат, 1951, стр. 6.

** В. М. Брадис, Теория и практика вычислений, Учпедгиз, 1937.

Дюгамель, Мавр, Моавр и Муавр, Д'Аламбер и Даламбер, Эйзенштейн и Айзенштейн и т. д.).

Или, разве так уже ясны и бесспорны определения терминов математической логики? Разве каждый учитель может легко и просто раскрыть учащимся взаимосвязь между необходимыми и достаточными условиями, между прямой, обратной и противоположной теоремами? Не все учителя отчетливо понимают также сходство и различие между терминами «теорема», «лемма» и «следствие».

В такой хотя бы относительной унификации или в некоторых высказываниях в этом направлении нуждаются также многие передовые учителя и начинающие авторы.

Вместо упорядочения существующей терминологии некоторые авторы (например, В. М. Брадис) при изложении в «Энциклопедии элементарной математики» без нужды пользуются не общепринятыми и даже чуждыми для математики торгашескими терминами («очковтирательство», «в обрез», «прикидка», «буквально все» и т. п.).

В направлении упорядочения языка математики и его словарного состава, в направлении улучшения математической научной терминологии не только должна была быть выдержана сама «Энциклопедия элементарной математики», но она должна была сказать свое слово, дать свои авторитетные установки, в каком смысле и в каких случаях употреблять те или иные существующие сомнительные или спорные математические термины и выражения («нуль» и «корень», «корень» и «радикал» и т. п.).

Между тем о культуре языка математики в рецензируемой энциклопедии читатель не найдет никаких советов и указаний. В «Энциклопедии элементарной математики» нельзя было обойти молчанием вопрос об улучшении грамматического строя и упорядочения словарного состава русского языка применительно к элементарной математике.

XII. Нельзя не указать, что некоторые авторы рецензируемых томов «Энциклопедии элементарной математики» за основу своих статей взяли содержание ранее опубликованных ими же книг, находящихся в продаже и в настоящее время.

Помещение в «Энциклопедии элементарной математики» той или иной, ранее опубликованной уже работы, вообще говоря, еще можно было бы не считать большой бедой, если бы эта работа была написана в стиле энциклопедии для учителя. Но, к великому сожалению, в рецензируемую «Энциклопедию элементарной математики» включены в совершенно недостаточной переработке неэнциклопедические работы, писавшиеся в свое время вовсе не для учительской энциклопедии и по своему содержанию очень далекие от элементарной математики, от насущных потребностей учителя средней школы.

Перед нами книга И. В. Проскурякова «Числа и многочлены», выпущенная издательством Академии педагогических наук РСФСР в 1949 г., и перед нами статья И. В. Проскурякова «Понятия множества, группы, кольца и поля. Теоретические основы арифметики», опубликованная Гостехиздатом в первом томе «Энциклопедии элементарной математики» в 1951 г.

Содержание одной из них настолько совпадает с содержанием другой, что возникает даже вопрос: может ли одна и та же работа быть опубликована почти в одно и то же время под разными названиями в различных издательствах? К тому же следует заметить, что речь идет не о какой-нибудь маленькой статье, а о статье в 11 печатных листов, изданной тиражом 50 ООО экземпляров.

Если теперь учесть, что книга «Числа и многочлены» автором писалась вовсе не для «Энциклопедии элементарной математики», то станет ясным, что «заслуга» составителей этой «Энциклопедии», равно как и Гостехиздата, в данном случае состоит лишь в том, что они вложили в переплет «Энциклопедии» статью вовсе не энциклопедическую, в переплет «Элементарной математики» — статью совсем не элементарную и в переплет «Арифметики» — статью далеко не арифметическую.

Еще в 1937 г. Учпедгиз опубликовал пятым изданием книгу В. М. Брадиса «Теория и практика вычислений»; в 1948 г. издательство Академии педагогических наук РСФСР опубликовало книгу В. М. Брадиса «Средства и способы элементарных вычислений», а в 1951 г. эта книга вышла вторым изданием, и, наконец, в том же 1951 г. Гостехиздат опубликовал статью В. М. Брадиса «Устный и письменный счет. Вспомогательные средства вычислений» в первом томе «Энциклопедии элементарной математики».

Текст статьи В. М. Брадиса в «Энциклопедии элементарной математики» целыми страницами совпадает с текстом его прежней книги.

Так, на стр. 367 первого тома «Энциклопедии элементарной математики» читаем следующие слова В. М. Брадиса: «Приводим заимствованное из книги автора описание устройства арифмометра «Феликс» и работы на нем». После этого следуют пять страниц (!) текста, точь-в-точь совпадающего с текстом книги В. М. Брадиса, опубликованной той же Академией педагогических наук РСФСР и в 1948 г., и в том же 1951 г.

Аналогично на стр. 432 первого тома «Энциклопедии» читаем: «Приводим начало главы «Счетная логарифмическая линейка» из книги автора». После чего следует в «Энциклопедии» опять-таки более 4-х страниц (!) текста, взятого из той же неэнциклопедической книги В. М. Брадиса.

Поскольку книга В. М. Брадиса «Средства и способы элементарных вычислений» некогда писалась вовсе не для энциклопедии, то ясно, что для включения ее в «Энциклопедию элементарной математики» требовалась серьезная и глубокая ее переработка, обусловленная требованиями энциклопедичности.

Кроме того, В. М. Брадисом заимствованы длинные, для энциклопедии совершенно не лаконичные, отрывки из книг и других авторов. Там, где мысль этих длинных цитат очень важна, автор мог бы передать ее своим, сжатым, энциклопедическим языком.

Несколько сильнее отличается статья Л. Я. Окунева от соответствующих разделов его многократно переиздававшегося учебника по высшей алгебре, однако это отличие больше языковое или, грубо говоря, формальное, чем по существу.

Некоторые разделы статьи А. Я. Хинчина в изложении, доступном для учителей средней школы, автором также неоднократно опубликовывались ранее («Великая теорема Ферма», «Цепные дроби», «Три жемчужины теории чисел» и др.).

Наконец, остальные три статьи (И. Г. Башмаковой и А. П. Юшкевича, А. И. Узкова и А. П. Доморяда) публикуются, повидимому, впервые, но и здесь, судя по их содержанию, приходится тоже сильно сомневаться: писались ли эти статьи действительно для энциклопедии и для энциклопедии элементарной математики.

XIII. В настоящей рецензии мы не ставили своей целью перечисление всех мелких недочетов, ошибок, неточностей различных разделов рецензируемой «Энциклопедии». Для этого следовало бы писать довольно большие рецензии отдельно на каждую статью «Энциклопедии».

С самого начала мы ставили своей целью указать лишь на наиболее крупные, наиболее важные пороки «Энциклопедии элементарной математики», имеющие глубокое принципиальное значение.

Выводы

1. Создание советской «Энциклопедии элементарной математики» следует считать весьма серьезной, имеющей государственное значение задачей.

Составители «Энциклопедии элементарной математики» недооценили всей важности рассматриваемой весьма благородной задачи, имеющей историческое значение как для советской педагогики, так и для советской математики, и выбрали порочный, легкий путь ее решения.

Этот легкий путь выражается хотя бы в том, что в «Энциклопедию» включены или совсем без переработки, или в совершенно недостаточной для энциклопедии переработке готовые, публиковавшиеся уже неэнциклопедические книги тех же авторов.

2. Несомненно, «Энциклопедия элементарной математики» должна была открываться статьей, посвященной не истории развития весьма узкого и не первостепенного раздела математики («Происхождение систем счисления»), а принципиально важной, руководящей для всей «Энциклопедии» статьей, определяющей с точки зрения диалектического материализма как самую математическую науку и ее место среди других наук, так и ее метод.

Уже одной этой статьей Академия педагогических наук РСФСР должна была указать главные, отчетливые направления для методологического построения преподавания школьной математики нашего времени.

Изложение в «Энциклопедии» должно было быть строго последовательным в смысле научного содержания излагаемого материала и без далеких отклонений от школьного курса элементарной математики.

О группах, полях и кольцах в «Арифметике» должно было быть упомянуто очень сжато — лишь в том объеме, без которого было бы невозможно аксиоматическое обоснование арифметики. В «Алгебре» же следовало дать строгое, более полное и цельное и в то же время доступное для учителя изложение этого раздела.

Логарифмы, комбинаторику и другие разделы элементарной алгебры, конечно, из книги «Алгебра» исключать было нельзя. Ведь в анализе или в теории вероятностей эти разделы рассматриваются с одной точки зрения, а в элементарной алгебре с другой.

Для всех разделов по элементарной вычислительной математике следовало отвести одну цельную статью или даже отдельный том.

3. Рецензируемые книги нельзя назвать книгами энциклопедии нашей эпохи, нельзя назвать их книгами элементарной математики, нельзя назвать их также и пособиями для учителей средней школы.

Все изложенное дает основание со всей определенностью поставить вопрос о целесообразности дальнейшего продолжения издания рецензируемой «Энциклопедии».

ИЗДАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ГОСУДАРСТВЕННЫМ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИМ ИЗДАТЕЛЬСТВОМ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

С. А. ПОНОМАРЕВ (Москва)

Построенная на принципах марксизма-ленинизма советская школа является самой передовой, прогрессивной школой мира. Она воспитывает учащихся в духе беззаветной любви к социалистической родине, подготовляет всесторонне развитых членов коммунистического общества.

Борьба за отличную успеваемость, за прочное овладение основами наук является решающим звеном в деле коммунистического воспитания учащихся. С каждым годом растет число учителей, не имеющих неуспевающих учеников. В прошлом учебном году только в Москве было 3240 учителей, не имеющих неуспевающих учеников. Тысячи таких учителей имеются и в других городах и областях Российской Федерации.

Школа успешно выполняет задачу подготовки учащихся для изучения наук в техникумах и в высшей школе. Знания учащихся становятся прочнее, всестороннее и глубже.

Нельзя, однако, успокаиваться на достигнутом. Жизнь идет вперед, и она властно предъявляет к школе новые требования.

В некоторых школах все еще имеются неуспевающие ученики. Наибольшее число неуспевающих учеников приходится на IV, V и VI классы, а из предметов — на русский язык и математику.

Учитель является центральной фигурой в школе. Ему принадлежит решающая роль в осуществлении основной задачи школы в данный момент — вооружении учащихся глубокими и прочными знаниями, преодолении неуспеваемости и второгодничества.

Наша партия и правительство прилагали и прилагают все усилия к тому, чтобы «всемерно обеспечить учителю в его работе необходимые условия для успешного выполнения им ответственных и почетных обязанностей по обучению и воспитанию молодого поколения» (постановление ЦК ВКП (б) от 25 августа 1932 г. «Об учебных программах и режиме в начальной и средней школе»).

Главное условие в работе школы — обеспечение учащихся стабильными учебниками. Над выполнением этой задачи и работает Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР. За годы послевоенной пятилетки Учпедгизом только для массовой школы РСФСР издано 430 млн. учебников, а за последние 20 лет — 1672 млн. учебников. Если бы все эти учебники (изданные за 20 лет) сложить в одну стопку, то высота такой стопки была бы около 46 000 км.

К числу необходимых условий поднятия качества работы учителя относится обеспечение его идейно-теоретической и методической литературой. Эту задачу выполняют многие издательства и, в первую очередь, Учебно-педагогическое издательство.

Цель настоящей статьи — ознакомление с изданной Учебно-педагогическим издательством за послед-

ние два года математической литературой в помощь учителю средней школы и с перспективным планом издания на ближайшие три года (1953—1955 гг.).

Каждому ясно, что подготовка специалиста и, в частности, учителя не заканчивается вместе с окончанием им высшего учебного заведения, так как вуз обязан дать студенту основные познания, основные принципы, некоторые главные навыки будущей специальности и уменье прилагать полученные знания к делу.

Поэтому потребности учителя средней школы в математической литературе весьма широки и многообразны.

Учебно-педагогическое издательство, исходя из своих возможностей, стремится удовлетворить учителя средней школы, в основном, пособиями двух родов: пособия, содержащие изложение конкретных вопросов методики преподавания предметов (методики преподавания предметов, дополнительные сборники задач, обмен опытом преподавания и др.), и пособия, дающие более подробное и глубокое изложение элементарного курса математики.

Укажем кратко ту научно-методическую математическую литературу, которая была издана Учпедгизом в 1950—1951 гг.

1. П. С. Александров, Введение в теорию групп. Книга члена-корреспондента Академии наук СССР П. С. Александрова впервые вышла в 1939 г. Книга знакомит с одним из основных понятий современной алгебры — с элементами теории групп. Изложение теории сопровождается достаточным числом конкретных примеров, заимствованных главным образом из геометрии. Содержание книги не только служит для повышения теоретического уровня учителя, но она может быть использована в работе математических кружков для старших классов.

2. Д. К. Фаддеев и И. С. Соминский, Алгебра, ч. I. Книга представляет собой курс алгебры, охватывающий все вопросы программы средней школы. Издание книги имеет целью ознакомление учителей с принципиальными установками одного из возможных вариантов будущего учебника алгебры. Высокий научный уровень (конечно, не абсолютная научная строгость изложения, а обоснование суждений средствами, доступными для возраста учеников VI—VII классов), вскрытие смысла математических понятий, достаточное число разобранных примеров — таковы положительные качества книги Фадеева и Соминского

3. Е. С. Березанская и Ф. Ф. Нагибин, Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии. Книга содержит вопросы и упражнения, применение которых в практике учителя, несомненно будет содействовать более глубокому усвоению основ математики. Значительная часть упражнений может быть использована как материал для устных занятий.

Книга содержит и некоторый дополнительный материал, не предусмотренный программой средней школы. Эти дополнения, а также и упражнения повышенной трудности могут быть использованы учителем для внеклассной работы.

4. Ж- Адамар, Курс элементарной геометрии, ч. II, с дополнением «Решение геометрических задач», составленным проф. Д. И. Перепелкиным. Учпедгиз в 1948 г. издал I часть книги Адамара с приложением полных решений всех задач, помещенных в I части. Учителя и научные работники с удовлетворением отметили выход I части элементарной геометрии. Вторая часть книги является вторым изданием книги, но отличается от первого издания двумя основными положениями. Прежде всего, из материала первого издания сохранены лишь разделы, посвященные непосредственно стереометрии с ее дополнительными главами (инверсия, теорема Эйлера, правильные многогранники и группы вращений); вопросы проективной геометрии, а также синтетической теории конических сечений, содержащиеся в первом издании, в этом, втором, издании опущены. Это вызвано стремлением дать учителю то, что ему требуется в практике работы школы. В книге даны решения всех имеющихся в ней задач. Задачи содержат большой и интересный материал, дополняющий содержание книги.

5. Б. В. Кутузов, Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии. Содержание книги представляет особый интерес для учителя средней школы. Первая половина книги содержит своеобразное в некоторых отношениях изложение геометрии Лобачевского. Вначале автор более подробно, чем это делается обычно, рассматривает различные предложения, эквивалентные постулату Евклида. В результате этого читатель оказывается подготовленным к восприятию ряда парадоксальных на первый взгляд предложений геометрии Лобачевского. Автор ставил себе цель — изложить в доступной форме великое творение Лобачевского. Нам кажется, что это удалось автору. Вторая часть книги знакомит читателя с основами аксиоматического метода в геометрии. И в этой части автор сохраняет тот же живой стиль изложения; уделяется особое внимание тому, чтобы тщательно разъяснить читателю трудные идеи, лежащие в основе построения логически строгой геометрической системы. Книга рекомендована Министерством просвещения и как учебное пособие для студентов педагогических учебных заведений.

6. И. И. Александров, Сборник геометрических задач на построение. Книга И. И. Александрова является классическим трудом, завоевавшим признание широких математических кругов всего мира. В 1936 г. Учпедгиз переиздал (17-м изданием) этот классический труд. Книга, подвергшись переработке С. Ю. Калецким, потеряла ту значимость, которую она имела до переработки. Поэтому книга в 18-м издании выпущена в том виде, в каком она была издана при жизни автора. Учитывая пожелания учителей, к книге приложены дополнительные указания к решению некоторых задач. Эти указания, а также и редактирование книги выполнены Е. Н. Наумович.

7. Н. Ф. Четверухин, Стереометрические задачи на проекционном чертеже. Книга состоит из двух частей: I часть — позиционные задачи и II часть — метрические задачи. Автор ставит своей целью помочь учителю в развитии пространственных представлений у учащихся. Для решения этой цели автор дает возможные методы применения проекционных чертежей при решении стереометрических задач. Каждый учитель математики должен ознакомиться с содержанием книги Н. Ф. Четверухина.

8. Л. М. Лоповок, Сборник стереометрических задач на построение. Данный сборник является одним из первых откликов на содержание книг Н. Ф. Четверухина «Стереометрические задачи на проекционном чертеже» и «Чертежи пространственных фигур». Сборник содержит довольно обширный материал по стереометрическим построениям, подобранный с соблюдением постепенного нарастания сложности задач.

9. Б. Н. Делоне, Е. К. Житомирский и А И. Фетисов, Сборник геометрических задач. Сборник содержит около 100 задач с тщательно составленными их решениями. Хороший подбор задач, имеющий красивые и интересные решения,

бесспорно окажет помощь в повышении педагогического мастерства учителя математики.

10. С. И. Новоселов, Обратные тригонометрические функции. Книга дает изложение одного из труднейших разделов тригонометрии. Точный и ясный стиль изложения материала делает доступной книгу даже учащемуся X класса. Учпедгиз издал ее третьим изданием.

11. К. С. Барыбин и А. К. Исаков, Сборник задач по математике. Сборник содержит большое число упражнений и задач по математике (алгебре, геометрии и тригонометрии) для VIII—X классов. Задачи и упражнения в подавляющем большинстве так называемой «средней и выше средней трудности». Сборник можно рассматривать как дополнительный к тем задачам, которые имеются в стабильном задачнике.

12. И. Г. Попов, Приемы устных вычислений. Одной из причин слабой техники устных вычислений в школе является отсутствие методической литературы для учителя по вопросам устных вычислений. Книга Попова и направлена в основном на повышение квалификации самого учителя.

13. В. Е. Прудников, П. Л. Чебышев — ученый и педагог. В книге излагаются биографические сведения о Чебышеве, его главнейшие открытия в теории чисел, теории вероятностей и других областях математики, его важнейшие изобретения в теории механизмов и машин, педагогическая деятельность в университете и б. Александровском лицее, деятельность в артиллерийском ведомстве. Особое внимание автор уделил анализу педагогической деятельности П. А. Чебышева в области народного просвещения, его взглядам на преподавание элементарной математики.

14.A. В. Ланков, К истории развития передовых идей в русской методике математики. Книга посвящена характеристике дореволюционного периода в развитии русской методики математики. Основное содержание книги посвящено XIX веку. Книга, несмотря на наличие некоторых недостатков, отмеченных в статье, помещенной в журнале «Математика в школе», № 6 за 1951 г. «способствует уяснению основной линии развития нашей передовой математики, ее самобытных творческих истоков и неограниченных возможностей дальнейшего прогресса».

В целях популяризации опыта лучших учителей математики и оказания помощи начинающим учителям Учпедгиз в 1951 г. издал брошюры.

1) «Опыт работы учителей математики, не имеющих второгодников».

2) Н. В. Каверин, Методы решения арифметических задач в средней школе.

3) А. Н. Барсуков, Первые уроки алгебры.

4) Н. Н. Шоластер, Первые уроки геометрии.

Особое значение имеет издание пробных учебников. В 1950—1951 гг. Учпедгиз издал в качестве некоторых возможных вариантов учебников следующие книги:

1) А. Ф. Бермант и Л. А. Люстерник, Тригонометрия (1950 г.).

2) Р. И. Позойский, Сборник задач по тригонометрии (1950 г.).

3) С. А. Пономарев и Н. И. Сырнев, Сборник задач по арифметике для V—VI классов (1951 г.).

Эти книги должны пройти тщательную проверку, которая позволит определить их качество.

Кроме перечисленных книг, направленных непосредственно в адрес учителя средней школы, для учителя средней школы представляют интерес следующие учебники и пособия для педучилищ, учительских и педагогических институтов, изданные Учпедгизом в 1950—1951 гг.:

1) В. М. Брадис, Методика преподавания математики.

2) С. И. Новоселов, Алгебра и элементарные функции.

3) Б. А. Тулинов и Я. Ф. Чекмарев, Арифметика.

4) В. П. Ефремов, Сборник задач по геометрии.

Из указанных четырех книг особый интерес для учителя представляют первые две книги.

Книга В. М. Брадиса «Методика преподавания математики», впервые изданная Учпедгизом в 1943 г., содержит общую часть и методику преподавания арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. Высокий идейно-теоретический уровень изложения, полное соответствие содержания существующей школьной программе позволяет рекомендовать ее не только студенту, но и учителю средней школы.

Книга С. И. Новоселова «Алгебра и элементарные функции» представляет переработку книги «Алгебра» того же автора, вышедшей в свет еще в 1947 г. и получившей заслуженное признание как работников учительских институтов, так и учителей средней школы. Автор добавил к прежнему содержанию книги раздел «Элементарные функции». Класс элементарных функций является единственным классом функций, которые изучаются в средней школе. Изучение свойств элементарных функций элементарными средствами и построение их графиков изложено в книге в простой для понимания форме, которая может служить образцом принципа исследования элементарных функций и построения их графиков в VIII—X классах средней школы.

Остановимся на научно-методической литературе для учителя, издаваемой Учпедгизом в 1952 г.

1. И. К. Андронов и В. М. Брадис, Арифметика — пособие для учителей. Создание этой книги следует рассматривать как отрадный факт, свидетельствующий о наличии серьезной попытки решить актуальную проблему преподавания арифметики в средней школе в соответствии с современными требованиями науки и методическими принципами. В книге изложен курс арифметики, не только полностью охватывающий программу семилетней школы, но изложены еще некоторые вопросы, например «приближенное значение величин и действий над ними», не входящие в программу средней школы. Идея единства теории и практики, связь абстрактных понятий с явлениями материального мира достаточно последовательно и убедительно проведена во всех разделах курса арифметики. Эта книга может быть положена в основу создания стабильного учебника для учащихся V—VI классов семилетней школы.

2. Т. А. Песков, Сборник арифметических задач. Автор в небольшой по объему книге дает образцы задач, фабула которых не только возбуждает интерес у учащихся, но и служит делу идейно-политического воспитания.

3. А. Н. Барсуков, Уравнения первой степени в средней школе, издание 3-е. Книга А. Н. Барсукова посвящена одному из наиболее трудных разделов школьного курса алгебры — методике составления и решения уравнений первой степени.

Автор обстоятельно изложил методику составления уравнений, использовал и обобщил опыт передового учительства. В книге дается критический обзор существующей литературы по излагаемому вопросу, начиная с XVIII века. Книга А. Н. Барсу-

кова является нужным учителю пособием, способствующим улучшению преподавания математики в средней школе.

4. В. А. Игнатьев, С. А. Пономарев, Е. Н. Обуховская, Сборник задач и упражнений для устных занятий по математике, 2-е издание. Книга содержит задачи и упражнения по арифметике, алгебре, геометрии и тригонометрии.

Кроме упражнений на выполнение преобразований, что важно для укрепления надлежащих вычислительных навыков, сборник содержит большое количество вопросов, особенно в разделах алгебры, геометрии и тригонометрии, способствующих повышению уровня математического развития учащихся. Отличие от 1-го издания заключается в том, что авторы внесли необходимые исправления, коренным образом переработали раздел геометрии и дополнили сборник упражнениями по тригонометрии.

5. М. В. Яковкин, Таблицы умножения и деления многозначных чисел на двузначные. С помощью таблиц, составленных т. Яковкиным, результаты от умножения или деления любых многозначных чисел на двузначные находятся без всяких арифметических действий на одном развороте книги. Кроме того, по этим таблицам легко находятся решения различных задач на проценты и арифметические прогрессии.

6. И. Г. Попов, Математические таблицы. Книга содержит 20 таблиц. Таблицы, помещенные в книге, несколько отличаются от обычных вычислительных таблиц. Основные таблицы сборника даны с четырьмя знаками. Таблицы квадратов, кубов и высших степеней даны с точными результатами. Таблицы квадратных и кубических корней, длин окружностей и площадей кругов даны с шестью знаками. В книге помещены таблицы, не всегда помещаемые в обычных справочниках.

7. К. У. Шахно, Сборник задач по математике. В сборник помещено свыше 500 задач и вопросов по алгебре, геометрии и тригонометрии. Подавляющее большинство задач — задачи повышенной трудности и интересные своими решениями. В сборнике приводятся решения задач. В ряде случаев эти решения не доводятся до конца, чем предоставляется возможность для самостоятельных занятий. Учителя математики могут с пользой использовать содержание сборника в своей практической работе.

8. Р. С. Черкасов, Сборник стереометрических задач. Сборник содержит свыше 300 задач, преимущественно задач на геометрические места точек в пространстве и задач конструктивного характера. Задачи перечисленных выше типов встречаются в незначительном количестве в задачнике Рыбкина, а потому использование учителем задачника Р. С. Черкасова на уроках геометрии будет способствовать развитию пространственных представлений у учащихся.

9. К. С. Барыбин, Сборник геометрических задач на доказательство. Автор книги ставит целью дать в помощь учителю материал, способствующий развитию логического мышления и особенно дать материал для обучения геометрии в VI классе. Книга содержит 450 задач, из них 306 задач на планиметрию. В книге даны доказательства всех сложных теорем, а к подавляющему большинству остальных упражнений даны указания.

Для оказания помощи начинающим учителям в 1952 г. будут изданы книги:

1. Н. Я. Зайцева, Планы уроков по арифметике в V классе.

2. Н. С. Истомина, Планы уроков по геометрии в VI классе, под редакцией проф. В. М. Брадиса.

Кроме перечисленных книг, назовем еще некоторые книги, издаваемые в 1952 г. по плану учительских институтов и педучилищ, представляющие интерес для учителя.

1. М. К. Гребенча, С. Е. Ляпин, Арифметика. Книга проф. М. К. Гребенчи «Арифметика» — пособие для учительских институтов, изданная Учпедгизом в 1949 г., в настоящее время переработана С. Е. Ляпиным, и ее содержание представляет интерес для учителей средней школы.

2. С. Е. Ляпин и др. Методика преподавания математики в семилетней школе. Пособие для учительских институтов. Книга состоит из четырех частей: I. Общая методика. II. Методика преподавания арифметики. III. Методика преподавания алгебры и IV. Методика преподавания геометрии.

3. В. А. Игнатьев, Н. И. Игнатьев, и Я. А. Шор, Сборник задач по арифметике. Пособие для учащихся педагогических училищ. Сборник содержит большое количество задач (2335 задач), интересных по математическому содержанию, и в тематике задач отражает нашу советскую действительность. Бесспорно, что учитель V—VI классов с успехом может «использовать этот задачник как в классной (материал для закрепления и для контрольных работ), так и во внеклассной работе.

Перейдем к характеристике перспективного плана издания в 1953—1955 гг. математической литературы в помощь учителю средней школы.

Этот перспективный план сложился на основании пожеланий учителей, обобщенных редакцией математики, и в результате последующих обсуждений его на совещаниях в секторе методики -математики Института методов АПН РСФСР, в Московском городском институте усовершенствования учителей и на заседании математической секции Учебно-методического совета Министерства просвещения РСФСР.

Всю математическую литературу, предполагаемую к изданию в 1953—1955 гг., можно, в основном, подразделить на литературу, дающую углубленное изложение курса элементарной математики, и литературу, излагающую методику преподавания отдельных математических дисциплин или разделов дисциплины. Как тот, так и другой виды литературы должны повышать идейно-теоретический уровень учителя, а следовательно, повышать уровень его производственной работы, выражающейся в повышении успеваемости учащихся и в прочном овладении учащимися средней школы основами наук.

Рассмотрим перспективный план издания по видам литературы:

1. Учитывая, что школьный курс математики расходится с курсами математических дисциплин, изучаемых в педагогических и учительских институтах, что даже специальный курс элементарной математики, введенный в учебный план институтов, за исключением алгебры, еще не обеспечен учебными пособиями, возникает проблема создания таких курсов арифметики, алгебры и геометрии, которые дали бы в руки учителя исчерпывающее, систематическое и построенное на современной научной основе изложение элементарной математики.

Институт методов АПН предпринял попытку решить эту проблему, издав два тома энциклопедии элементарной математики, но эта попытка не увенчалась успехом: созданы книги, далекие от школьного курса, от потребности учителя. Таким образом, вопрос о создании энциклопедии элементарной математики остается нерешенным.

Учпедгиз, не ставя перед собой задачи создания энциклопедии элементарной математики, но стремясь дать в руки учителя систематические и постро-

енные на современной научной основе курсы элементарной математики, издал или издает в 1952 г. (как было уже указано) следующие курсы:

1 ) И. К. Андронов и В. М. Брадис, Арифметика (1952 г.).

2) М. К- Гребенча и Е. С. Ляпин, Арифметика (1952 г.).

3) Д. К- Фадеев и И. С. Соминский, Алгебра (1951 г.).

4) Адамар, Геометрия, ч. I и ч. II с дополнениями проф. Д. И. Перепелкина (1948 г. и 1951 г.)

Предполагается издать:

1 ) Д. К- Фадеев и И. С. Соминский, Алгебра ч. II (1953 г.)

2) M. М. Плужников и С. В. Филичев, Алгебра, ч. I (1954 т.).

3) Н. А. Глаголев, Геометрия ч. I и ч. II (1954 г.).

4) Н. В. Синакевич, Тригонометрия (1953 г.).

Надо полагать, что издание перечисленных книг удовлетворит в некоторой степени потребности учителя.

2. Вторым важным разделом математической литературы для учителя является издание методик преподавания отдельных предметов.

Кроме изданной в 1951 г. книги В. М. Брадиса «Методики преподавания математики» и издаваемых в 1952 г. книг: С. Е. Ляпина и др. «Методика преподавания математики в V—VII классах», В. Г. Чичигина «Методика преподавания арифметики», предполагается издание следующих книг:

1) Е. С. Березанская, Методика преподавания арифметики (1954 г.).

2) А. Н. Барсуков, Методика преподавания алгебры в VI—VII кл. (1954 ir.).

3) П. А. Ларичев, Руководство по преподаванию алгебры (1955 г.).

4) Ю. О. Гурвиц, Методика преподавания геометрии в VI—VII классах (1954 г.).

5) H. М. Бескин, Методика преподавания геометрии (1953 г.).

6) В. Г. Чичигин, Методика преподавания тригонометрии (1953 г.).

3. В 1953—1955 гг. предполагается к изданию ряд книг, излагающих в доступной форме некоторые основные идеи и факты и отдельные вопросы современной математической науки с тем, чтобы учитель мог применить их в своей работе.

Перечислим эти книги (там, где не указан автор, тема остается свободной).

1) В. Н. Молодший, Вопросы обоснования понятия числа в XVIII и в начале XIX века, ч. I (1953 г.) и ч. II (1954 г.).

2) Н. Ф. Ч етверухин, Чертежи и решения задач (1954 г.).

3) С. И. Зетель, Метод математической индукции и геометрические построения (1953 г.).

4) Д. И. Перепелкин, Задачи на построение (1953 г.).

5) Б. В. Кутузов, Геометрия Лобачевского и основание геометрии (1954 г.).

6) Тема. Элементарные функции (1954 г.).

7) Тема. Геометрические преобразования (1965 .г.).

8) Тема. Исследование уравнений (1955 г.)

9) Тема. Методы геометрических доказательств (1955 г.).

10) Тема. Уравнения 2-й степени (1955 г.)

4. Для непосредственной помощи учителю в его повседневной работе издаются следующие книги:

1) И. И. Александров, Методы решения арифметических задач. Эта книга, впервые вышедшая в 1877 г., оказала большое влияние на методику преподавания арифметики и по настоящее время не утратила интереса для учителя. После некоторой переработки книги, выполненной под руководством проф. И. К. Андронова, книга намечена к изданию в 1954 г.

2) В. А. Игнатьев и др., Методический сборник задач по арифметике (1954 г.).

3) Тема. Сборник задач по арифметике (1955 г.).

4) К- С. Богушевский и К. П. Сикорский, Сборник задач по математике для V—VII кл. (1953 г.). Сборник содержит задачи и упражнения по арифметике, алгебре и геометрии для самостоятельных и контрольных работ.

5) H. Н. Полозова, Сборник задач по алгебре» ч. I (1954 г.).

6) Л. М. Лоповок, Сборник стереометрических задач на (построение (1954 г.).

7) И. И. Александров, Сборник геометрических задач на построение (1954 г.).

8) 3. С. Костина, Практические задачи по математике (1954 г.).

9) П. Я. Дорф, Наглядные пособия в семилетней школе и методики их применения (1953 г.).

10) И. Н. Шевченко, Терминологический справочник по математике (1954 г.).

В помощь начинающему учителю в 1953 г. будут изданы:

1) Н. И. Сырнев, Планы уроков по арифметике в V и VI классах.

2) Тема. Планы уроков по геометрии в VII классе.

3) Н. С. Истомина, Планы уроков по алгебре в VI классе.

5. Из литературы по истории и математике, по жизнеописанию отдельных выдающихся русских математиков и по организации внеклассной работы предполагается к изданию:

1) В. Е. Прудников, Выдающиеся русские педагоги-математики XVII—XIX вв. (1954 г.).

2) Тема. Остроградский (1954 г.)

3) Тема. Лобачевский (1954 г.).

4) Тема. Ковалевская (1955 г.).

5) А. В. Ланков, Очерки по истории развития передовых идей в русской методике математики, ч. II (1955 г.).

6) И. Я- Депман, Внеклассная работа по математике в средней школе (1954 г.).

6. Укажем книги, намеченные Учпедгизом к изданию в 1953—1955 тт. для учительских и педагогических институтов, содержание которых представляет интерес для учителя средней школы.

1) И. К. Андронов и В. М. Брадис, Арифметика. Учебник для педагогических институтов (1953 г.).

2) Тема. Сборник задач по элементарной математике. Пособие для пединститутов (1955 г.).

3) Д. Д. Мордухай-Болтовский, Элементарная геометрия. Учебник для педагогических институтов (1954 г.).

4) Д. И. Перепелкин, Основания геометрии (1964 г.).

5) П. С. Моденов, Сборник задач по элементарной математике. Пособие для учительских институтов (1954 г.).

6) А. К. Давыдов, Сборник задач по элементарной алгебре. Пособие для учительских институтов (1953 г.).

Кроме перечисленной математической литературы, Учпедгиз предполагает переиздать в 1953—1955 гг. те книги, издания 1949—1951 гг., которые получат одобрение учителей и их переиздание явится потребностью широкого круга учителей.

Вполне вероятно, что, кроме указанных выше книг, Учпедгизом будут изданы и другие книги, так как в Учпедгиз поступают рукописи от учителей и научных работников на темы, не предусмотренные планом издания, но качество рукописей таково, что опубликование их принесет пользу учителю.

Редакция математики обращается с просьбой к учителям и научным работникам не только присылать отзывы и замечания на изданную литературу, на приведенный проект плана изданий в ближайшие годы, но и принять участие в создании нужных для учителя книг.

Примечание. По независящим от редакции математики причинам, выход в свет трех книг плана 1951 г.: Н. Ф. Четверухина «Стереометрические задачи на проекционном чертеже», Н. В. Каверина «Методы решения арифметических задач в средней школе» и сборника «Опыт работы учителей математики, не имеющих второгодников», перенесен в план 1952 г.

От редакции. Все замечания, пожелания и вопросы, касающиеся проекта плана издания книг для учителей, следует направлять по адресу: Москва, Чистые пруды, б, Учпедгиз, на имя заведующего редакцией математики.

В связи с многочисленными запросами читателей редакция журнала «Математика в школе» сообщает, что выполнение заказов и поручений по приобретению каких бы то ни было книг редакция журнала на себя принять не может. Заказы на высылку книг следует направлять в «Книгу почтой» по адресу: Москва, Куйбышевский проезд, д. 8.

ОБ ОДНОЙ ГРУБОЙ ОШИБКЕ

В. С. АЛЕКСАНДРОВ (Бельск)

Как известно, теорема о бесконечности ряда простых чисел обычно излагается по Евклиду примерно так: предположив, что есть наибольшее простое число р, составляют выражение:

2 -3-5-7.../7+1.

Затем доказывается: это число не можег делиться ни на одно из простых чисел 2, 3, 5, р. Следовательно, оно или само простое, или делится на простое число, большее р (например

2 - 3-5 • 7 • 11- 13+ 1 =30 031 =59.509).

Совсем не так обстоит дело в книге Г. Н. Бермана «Число и наука о нем» (Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1949, редактор И. И. Бронштейн). На стр. 134-й автор берет то же число (1) и заявляет: «докажем, что оно не может быть составным» (курсив наш.— В. А.).

В доказательстве автор справедливо утверждает, что число 2 г 3 • 5 • 7 • 11 ...р + 1 сравнимо с единицей по любому простому модулю (подразумевая, согласно предположению, только до р) и что, не делясь ни на одно из простых чисел до р, оно не делится и ни на одно составное число, представляющее собою произведение упомянутых простых чисел. Отсюда он делает вывод, что число 2 • 3 • 5 • 7 • 11... р + 1 обязательно будет простым.

Несостоятельность такого «доказательства» очевидна, и остается только удивляться, как автор и редактор могли допустить такую грубую логическую ошибку.

Это «доказательство» может сбить с толку студента и учителя математики, не говоря уже о школьниках старших классов и учащихся педагогических училищ, на которых, как упоминает в своем предисловии автор, его книга в значительной степени рассчитана.

Так, например, и случилось со студенткой Вельского учительского ин-та Ш., которая, блестяще ответив на все остальные вопросы билета, данную теорему «доказала» в формулировке Бермана, по книге которого, как оказалось, она ее и изучала.

От редакции. В дополнение к заметке т. Александрова можно указать и еще на одну грубую ошибку, допущенную в книге. На стр. 120—121 доказывается, что выражение m2 — 1 делится на 8 при любом нечетном т. Затем автор говорит: «Пусть читатель сам докажет, что при т четном разность т2 — 1 делится на 3». Конечно, доказать это положение невозможно просто потому, что это неверно: m2 — 1 делится на 3 при т = 6k ± 2 и не делится при т = 6k.

ХРОНИКА

АСТРАХАНСКАЯ ОБЛАСТНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

А. М. ФРЕНКЕЛЬ (Астрахань)

В конце 1951 г. в Астрахани ОблОНО и Институтом усовершенствования учителей была проведена первая областная научно-практическая конференция.

На пленуме и в секциях конференции были заслушаны и обсуждены доклады учителей различных предметов. Свыше 500 учителей приняло участие в этой конференции. Наиболее многочисленной (84 чел.) была секция преподавателей физики и математики. На этой секции, наряду с докладами по физике, были прочитаны три доклада по математике. Преподаватель математики — директор Мумринской средней школы Икрянинского района т. Срода в своем докладе «Пути повышения качества знаний учащихся по математике» поделился своим многолетним опытом преподавания математики. Путями повышения качества знаний учащихся по математике докладчик считает: 1) подготовку учащихся к восприятию нового материала, 2) правильно поставленную самостоятельную работу учащихся, 3) наглядность в преподавании и 4) связь теории с практикой.

Вопросы, которые рассмотрел докладчик, освещены им, главным образом, с практической стороны. Приводим пример подготовки учащихся к восприятию нового материала использованием имеющихся у учащихся знаний (терминология т. Срода): «Изучение относительных чисел было начато с постановки задачи, содержание которой понятно учащимся, но вопрос, поставленный в задаче, требует от них размышления.

«Баркас отвалил от плота рыбозавода. Где находится баркас после того, как он был в пути полчаса» ?

Вопрос вызывает недоумение. Наконец, учащиеся спрашивают: «Куда пошел баркас?». Устанавливаем, что для ответа надо знать направление движения баркаса.

После тщательного разбора задачи были предложены еще две задачи, для решения которых надо знать «направление» и начальную точку.

Так привлекалось внимание учащихся к изучению «нового».

Опыт работы т. Сроды показывает, что сознательное и прочное усвоение учащимися математического материала —- дело вполне выполнимое. Тов. Срода ставит перед учителями математики следующие задачи:

«1. Тщательно изучать основы марксизма-ленинизма, классиков марксизма. Марксизм-ленинизм — это ключ к пониманию стоящих перед нами задач в области обучения и воспитания молодого подрастающего поколения.

2. Повседневно повышать свою деловую квалификацию не только в области своего предмета, но и в области других наук, в первую очередь смежных.

3. Изучать новую литературу по вопросам методики как общей, так и частной.

4. Критически пересматривать методы своей работы, смелее заниматься поисками новых методов работы, смелее ставить опыты».

Преподаватель П. И. Сорокин рассказал в своем докладе об опыте работы математического кружка V класса семилетней школы.

Кружок зародился на основе интереса учащихся к большим числам. «Сколько времени потребуется, чтобы сосчитать до миллиона», — спросил Петр Иванович своих учащихся при повторении нумерации.

Некоторые из них ответили, что для этого потребуется целый день, но такие ответы другими учащимися были восприняты с насмешкой. Ребята заспорили. Вопрос «пришлось» разрешать во внеурочное время. При помощи учителя вечером учащиеся подсчитали, что для того чтобы пересчитать 1 000000 банок при непрерывном счете (без отдыха) один человек должен затратить 11 суток 13 часов, при восьмичасовом рабочем дне — 35 суток (при условии, что в одну минуту будет сосчитано 60 банок).

Так родился математический кружок, который состоял почти из всех учащихся V класса. В организационных вопросах учащиеся сами произвели всю предварительную работу.

Кружок за год провел 25 занятий и 3 экскурсии за город. На занятиях кружка рассматривались различные вопросы.

Тов. Сорокин предлагает следующий план работы математического кружка V класса.

План занятий математического кружка

V класс

1. Числа-великаны (миллион, миллиард, объемы):

1) Вычисление времени, потребного для счета по единице до миллиона, а затем до миллиарда.

2) Решение всевозможных задач, связанных с миллионом и миллиардом шагов, метров, километров.

3) Понятие о длине линии, составленной всеми куб. сантиметрами одного куб. метра, поставленными в один ряд.

4) Вес воды или другой жидкости в объеме куб. километра и т. п.

2. Числа-карлики (Ю-6; Ю-9 и т. д.).

3. Десятичная система счисления.

4. Недесятичные системы счислений.

5. Техника устных и письменных арифметических вычислений: общие и частные приемы устных и письменных вычислений.

6. Глазомерные измерения и связанные с ними экскурсии.

7. Конкурс на лучшего математика по устному счету.

Научный сотрудник областного института усовершенствования учителей А. М. Френкель в своем докладе поделился опытом введения элементов истории математики на уроках в V и VI классах. Многие учителя считают, что действующая программа не позволяет давать элементы истории математики на уроках. Опыт показывает, что они не правы. Небольшие исторические экскурсы, замечания по поводу отдельных, часто специально подобранных задач, помогают учителю дать в общих чертах исторический материал. В V и VI классах есть много таких возможностей (см. статью автора в журнале «Математика в школе», № 4 за 1950 год).

Доклады вызвали оживленный обмен мнениями.

РАБОТА СЕКЦИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ V—VII КЛАССОВ НА VI КОНФЕРЕНЦИИ г. СТАЛИНГРАДА И СТАЛИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ

П. В. КОЧКИН (Сталинград)

С 23 по 25 ноября 1951 г. проходила VI научно-практическая конференция учителей г. Сталинграда и Сталинградской области.

С 15 августа 1950 г. по 23 ноября 1951 г. кабинетом математики Областного института усовершенствования учителей была проделана большая подготовительная работа.

В помощь учителям в обобщении опыта своей работы кабинетом была составлена примерная тематика докладов учителей, которая обсуждалась на секциях преподавателей математики августовских районных учительских совещаний в 1950 г. и в начале учебного года на педагогических советах школ.

Большую помощь в выявлении преподавателей, имеющих .положительный опыт работы, оказали списки преподавателей, не имеющих второгодников. Эти списки преподавателей были составлены на основе отчетов райОНО «и средних школ, каждому из них было послано индивидуальное приглашение принять участие в работе VI конференции.

Кабинет математики оказывал помощь преподавателям в обработке докладов. Доклады рецензировались преподавателями Сталинградского педагогического института и кабинетом математики ИУУ.

Учителям оказывалась письменная помощь в методике обобщения опыта работы, в подборе необходимой литературы и т. д. Консультации и беседы с преподавателями проводились при выездах в районы области методистов института и инспекторов облОНО. В отдельных случаях преподавателям предоставлялась консультация по подготовке доклада с выездом преподавателя в областной институт.

Большую помощь в подготовке докладов оказали районные «Педагогические чтения», которые проводились в некоторых районах области (Урюпинском. Михайловском, Средне-Ахтубинском и др.). Лучшие доклады преподавателей на районных «Педагогических чтениях» были отработаны и приняты к слушанию на VI областной конференции.

Помощь в подготовке VI конференции оказал методический сборник института, в котором был издан доклад преподавателя Куличковской семилетней школы на V областной конференции А. А. Агеева на тему «О работе с отстающими по математике».

По секции преподавателей математики были подготовлены 23 доклада, поэтому из-за недостатка времени пришлось организовать параллельно работу секции преподавателей V—VII классов и преподавателей VIII—X классов. Я остановлюсь подробнее на итогах работы секции преподавателей V—VII классов.

С интересным и содержательным докладом на тему «Идеи и методы современной математики в школьном курсе» выступил профессор Сталинградского педагогического института В. С. Потапов.

Активный обмен мнениями вызвал доклад преподавательницы Панфиловской средней школы Калининского района М. А. Верченко о методике развития логического мышления учащихся при изучении арифметики в V классах.

Наиболее эффективными средствами развития логического мышления учащихся М. А. Верченко считает выполнение в практической работе следующих положений:

1. Система в изложении учебного материала 2. Система в решении задач и примеров. 3. Установление логических связей между отдельными разделами курса арифметики. 4. Широкое использование методов синтеза, индукции и дедукции и приемов: сопоставление, сравнение, аналогия и пр.

Особое внимание в своем докладе т. Верченко уделила показу системы в изучении курса арифметики в VI классе.

Так изучение темы «Пропорции» т. Верченко ведет по следующему плану:

1. Понятие о переменных и постоянных величинах. 2. Повторение отношений. 3. Понятие о пропорции. 4. Главное свойство пропорции. 5. Переместительное свойство членов пропорции. 6. Сокращение членов пропорции. 7. Замена дробных членов пропорции целыми числами. 8. Решение пропорций (с проверкой).

M. A. Верченко широко практикует самостоятельнее составление задач учащимися. Так, например, при изучении темы «Прямая и обратная пропорциональная зависимости» учащиеся сначала под руководством учителя, а затем самостоятельно составляют 6 различных видов задач на зависимости между тремя данными величинами. Например, на зависимость между количеством тетрадей, их стоимостью и ценой учащиеся составляют следующие задачи:

а) Прямая пропорциональная зависимость.

1. 3 тетради стоят 48 коп. 2 тетради стоят х коп.

2. На 48 коп. купили 3 тетради. На 32 коп. купили х тетрадей.

3. За несколько тетрадей ценой по 16 коп. заплатили по 48 коп. За столько же тетрадей ценою по 20 коп. заплатили х коп.

4. За несколько тетрадей ценою по 16 коп. заплачено 48 коп. За столько же тетрадей ценою по X коп. заплачено 60 коп.

б) Обратная пропорциональная зависимость.

1. Куплено 3 тетради по 16 коп. за некоторую сумму.

Куплено X тетрадей по 12 коп. за ту же сумму.

2. Куплено 3 тетради по 16 коп. за некоторую сумму. Куплено 4 тетради по х коп. за ту же сумму.

Эти упражнения способствуют более углубленному и всестороннему изучению арифметики, знания учащихся становятся более сознательными и навыки более прочными.

Решение задач на сложное тройное правило т. Верченко проводит с постепенным нарастанием трудности. Она придерживается следующего плана:

1. Задачи, в которых содержится 4 величины, связанные прямо пропорциональной зависимостью (сб. задач по арифметике Е. С. Березанской, № 1890).

2. Задачи, содержащие 4 величины, из которых одна пара находится в прямо пропорциональной зависимости, а другая — в обратной пропорциональней зависимости (Е. С. Березанская, № 1893).

3. Задачи, содержащие 4 величины, связанные обратной пропорциональной зависимостью (Е. С. Березанская, № 1898).

4. Задачи, в которых имеются 6 величин, находящихся в смешанной пропорциональной зависимости.

Результатом такой продуманной системы работы преподавательница М. А. Верченко из года в год добивается высокой успеваемости своих учащихся. В 1950/51 учебном году из 165 учащихся второгодников было только 2 человека. В первой учебной четверти 1951/52 учебного года неуспевающих учащихся т. Верченко не имеет.

Оживленно обсуждался доклад преподавателя Даниловской средней школы М. И. Ротенко, в котором он поделился опытом своей работы в изучении геометрического материала в V классе. В изучении геометрического материала т. Ротенко исключительно большое значение придает практическим работам учащихся. Практическая работа используется не только как средство закрепления изученного материала и выработки прочных навыков в практическом применении полученных знаний, но как исходный момент изучения новой темы. Этим достигается большая активность учащихся на уроке, проявление самодеятельности учащихся, разнообразие методических приемов. Не менее важно и то, что изучаемый материал увязывается с кругом жизненных интересов учащихся.

«Я вырабатываю у учащихся навыки в измерении длин, углов, в вычислении площадей фигур, поверхности и объемов тел с применением простейших измерительных инструментов, —пишет т. Ротенко, — добиваюсь у учащихся реальных представлений о единицах мер длины, площадей и объемов...»

Дома каждому ученику М. И. Ротенко поручает изготовить образцы метра, дециметра и сантиметра с делениями, для чего учащимся рекомендуется использовать планки или ровную лозу. Эти материалы хранятся в школе и используются затем для практических работ.

При изучении площадей фигур учащиеся самостоятельно проводят нужные измерения и вычисляют площадь пола, классной комнаты, площади окон, столов и т. д.

Путем непосредственных наблюдений и измерений М. И. Ротенко изучает с учащимися нахождение поверхностей и объемов тел.

В результате такой работы М. И. Ротенко из года в год добивается высокой успеваемости учащихся. Так в 1950/51 учебном году из 130 учащихся оставлено на второй год только два ученика. Из общего числа учащихся VII классов успешно закончили учебный год все 60 человек.

С большим интересом был прослушан доклад учителя Урюпинской средней школы № I И. П. Балахнина «Устные упражнения как метод преподавания математики», в котором был обобщен опыт изучения с учащимися разнообразных приемов устных и ускоренных полуписьменных приемов вычислений. Перед изучением каждого приема счета И. П. Балахнин давал учащимся его обоснование в виде доказательства некоторого тождества. Например, перед изучением возведения в квадрат двузначного числа, оканчивающегося пятью, им проводилось следующее рассуждение:

Далее выводилось правило: «Чтобы возвести а квадрат двузначное число, оканчиваюшеся пятью, нужно число десятков данного числа умножить на это число, увеличенное на единицу и к полученному произведению справа приписать 25». После закрепления этого приема он распространился на случаи трехзначных и многозначных чисел, окончивающихся пятью. И. П. Балахнин на всех уроках математики практикует устные вопросы, выясняющие сознательность, глубину знаний и прочность навыков учащихся. Приведем несколько таких вопросов:

1. Что надо сделать с делимым, частным и остат ком, чтобы получить делитель?

2. В записи:

ставится вопрос: какое произведение больше 432 или 96? 3. В записи:

ставится вопрос: откуда на месте нулей в уменьшаемом берутся полные десятки?

4. Что больше: 8 или куб этого числа?

5. Что больше: -jg“ или квадрат этого числа?

6. Верно ли равенство: — а2 = (—а)2?

7. Когда возможно равенство: а1 + Ь2 = {а + Ь)1, и т. д.

И. П. Балахнин добивается высокой успеваемости и глубоких прочных знаний учащихся. Так, два седьмые класса в 1950/51 учебном году закончили учебный год без второгодников, причем лишь одна пятая часть учащихся получила оценки «3», а остальная, большая часть учащихся получила оценки «4» и «5».

Об изучении разнообразных приемов устных вычислений при прохождении всего курса математики интересно рассказала преподаватель Михайловской средней школы В. А. Попова. Особенный интерес вызвал опыт ее работы по развитию навыков в устных расчетах на проценты. При изучении этой темы учащиеся запоминают таблицу выражения долей единицы в процентах, например:

На основе этих соотношений учащиеся устно решают любую не слишком сложную задачу на проценты. Упражнения на процентные расчеты т. Попова проводила с учащимися на протяжении всего учебного года в X классе и периодически в VI классе. В. А. Попова систематически использует для составления задач краеведческий материал, газетные и журнальные статьи (сводки о ходе пахоты, уборки урожая в колхозах района, выполнение и перевыполнение дневных, годовых норм выработки рабочими местной промышленности) и материалы осуществления сталинских строек коммунизма, комплексного плана преобразования природы и т. д. Это позволяет В. А. Поповой добиваться хорошей успеваемости и достаточно глубоких знаний учащихся.

С большим интересом был прослушан доклад преподавателя Камышинской средней школы Б. Д. Фокина на тему «Наглядность в преподавании геометрии в VI классе». Заслуживает внимания то, что перед доказательством большинства теорем Б. Д. Фокин использует специально приготовленные чертежи, на анализе которых учащиеся знакомятся с соотношениями, которые необходимо доказать в дальнейшем.

Для большей активности учащихся при доказательстве теорем и решении задач Б. Д. Фокин использует индивидуальные ученические конструкторы по геометрии. Конструкторы представляют собой наборы узких полосок плотной бумаги различных длин и цветов для обозначения линий, секторов, содержащих различное число градусов, для обозначения углов, различных видов треугольников и других фигур, вырезанных из обыкновенной бумаги, и т. д. Конструкторы изготовляются каждым учеником самостоятельно в порядке домашнего задания. На уроке учащиеся самостоятельно складывают необходимую конфигурацию. Все это позволяет Б. Д. Фокину добиваться высокой успеваемости я глубоких и прочных знаний своих учащихся.

Большой успех имел доклад преподавателя Ср.-Ахтубинской средней школы Н. С. Овчинниковой, которая рассказала о проведении измерительных работ с учащимися на местности, в связи с преподаванием геометрии в VI классе. Н. С. Овчинникова ежегодно проводит с учащимися провешивание прямых линий на местности в заданном и произвольном направлении, измерение расстояний между объектами на местности (доступными), определение широты реки с использованием признаков равенства треугольников, глазомерную съемку, съемку плана несложного участка и приближенное вычисление его площади, построение на местности участка прямоугольной формы с заданной площадью и одним измерением, построение участков в 1 га и 1 а и т. д. Учащиеся под руководством учителя изготовили все необходимые измерительные инструменты, так как школьный математический кабинет ими не располагал.

Об опыте внеклассной работы по арифметике в VI классе был прослушан интересный доклад преподавателя средней школы № 9 г. Сталинграда A. А. Некрасовой.

Исключительный интерес проявляли преподаватели к выставке лучшего педагогического опыта, которая была организована одновременно с секционной работой.

На отдельном стенде был представлен опыт работы преподавателя М. А. Верченко. Были показаны планы учебно-воспитательной и внеклассной работы на 1 четверть 1951/52 учебного года, наглядные пособия, схемы и диаграммы, изготовленные учителем и учащимися, методические разработки: «Решение задач по стереометрии» и «Изучение темы нахождения числа по данной его дроби» и доклады на V областной научно-практической конференции на тему «Развитие логического мышления учащихся при изучении арифметики в V классе» и текст доклада на VI конференции. Особое место нa выставке было отведено освещению опыта в проведении измерительных работ с учащимися, в связи с изучением геометрии. Преподаватель М. И. Ротенко представил отчеты учащихся VI класса о практических работах, проведенных за 1950/51 учебный год. За этот период М. И. Ротенко провел с учащимися 5 работ: 1. Вычерчивание профиля обрыва к озеру. 2. Построение плана школьного двора методом обхода и вычисление его площади. 3. Определение высоты дерева при помощи равно-бедренного прямоугольного треугольника. 4. Построение плана школьной спортивной площадки (полярная съемка). 5. Вычерчивание поперечного сечения высохшего озера.

Преподавателем Ср.-Ахтубинской средней школы Н. С. Овчинниковой были представлены отчеты учащихся о проведенных измерительных работах и изготовленные учащимися VI и VII классов измерительные инструменты: эккер, астролябия, эклиметр, ватерпас и др.

Был показан опыт ш изготовлению учащимися наглядных пособий. На выставке были представлены модели геометрических тел: картонные (препод. Е. А. Петров), проволочные модели, смонтированные на фанерных подставках (В. И. Трунин), деревянные и проволочные (М. С. Чикалов), фанерные модели геометрических фигур (Н. С. Овчинникова) и другие.

Особенно оживленно обсуждали преподаватели представленные на выставке тетради и письменные работы учащихся, планы и конспекты уроков.

При обсуждении докладов преподаватели дали им высокую оценку и просили институт усовершенствования учителей довести опыт лучших учителей нашей области до каждого учителя. Идя навстречу пожеланиям учителей, институт отпечатал доклад В. А. Поповой, вручил его участникам конференции и послал в каждый районный педкабинет. После конференции кабинет математики разработал план внедрения передового опыта в практику работы учителей области. По этому плану намечено издать в методических сборниках института доклады проф.

B. С. Потапова, М. И. Ротенко, И. П. Балахнина, М. А. Верченко и обеспечить ими каждого учителя математики средней и семилетней школы. Осталь-

ные доклады будут размножены на ротаторе и посланы в каждый районный педкабинет. В настоящее время доклады М. И. Ротенко и И. П. Балахнина вошли в очередной сборник института и приняты областным книгоиздательством к изданию. Вопрос о внедрении передового опыта в практику школ обсуждался на секциях преподавателей математик» январских учительских совещаний и включен в план работы межрайонных кустовых совещаний по обмену опытом работы руководителей предметных комиссий районов и средних школ совместно с учителями, добивающимися высокой успеваемости.

В СЕКЦИИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА

П. Я. ДОРФ (Москва)

Московское математическое общество, одно из старейших научных обществ нашей страны, было организовано в 1864 г.

В создании и последующей деятельности общества принимали участие известные русские ученые Н. Д. Брашман, А. Ю. Давидов, Н. Е. Жуковский, Н. В. Бугаев, С. А. Чаплыгин, Д. Ф. Егоров и другие. Регулярные заседания Московского математического общества происходят при Московском государственном ордена Ленина университете им. Ломоносова.

В 1948 г. Правление Московского математического общества организовало «секцию средней школы», перед которой были поставлены задачи: содействие Математического общества повышению культуры преподавания математики в общеобразовательной школе, обмен педагогическим опытом, установление живой и постоянной связи между преподавателями средней и высшей школы. Заседания секции происходят один раз в месяц, по третьим четвергам (в 19 час. 30 мин., в здании механико-математического факультета Московского университета).

Осенний семестр 1951 года был посвящен следующим вопросам:

в сентябре Ю. О. Гурвиц сделал доклад о требованиях к оформлению письменных работ по геометрии;

в октябре А. И. Маркушевич сделал доклад на тему о преподавании комплексных чисел в школе;

в ноябре Г. Ф. Рыбкин прочел доклад о мировоззрении Остроградского;

в декабре Н. Ф. Четверухин сделал доклад о чертежах в курсе стереометрии.

Первый доклад разрешал чисто методический вопрос; тем не менее вузовские работники активно обсуждали доклад наряду с практическими работниками школы. В 1947 г. в журнале «Математика в школе» была развернута дискуссия по поводу оформления письменных работ по математике.

В № 2 журнала за 1948 год П. А. Ларичев дал общий обзор различных взглядов на этот вопрос и привел конкретные указания в инструкциях Министерства просвещения.

Однако в практике школы все еще имеет место разнобой в требованиях. Докладчик утверждал, что дело должно сводиться к правильному чертежу, к последовательным и рациональным выкладкам в краткому тексту, сопровождающему отдельные принципиальные и важные моменты. Ю. О. Гурвиц решительно осудил излишнюю «словесность», формулирование теорем (тем более их обоснование) и другие подобные длинноты. В прениях возник вопрос о том, что же такое «правильный чертеж»? Было решено просить Н. Ф. Четверухина прочесть доклад на эту тему, что он и выполнил в декабрьский четверг.

H. Ф. Четверухин различает чертежи-картинки в проекционные чертежи, чертежи-модели.

Чертежи-картинки играют иллюстративную роль, вызывают наглядное пространственное представление.

Чертежи-модели позволяют находить решение стереометрических задач фактическим построением. Они не допускают произвола, а строятся по определенным правилам.

В зависимости от цели, которая стоит перед учителем, он выберет метод построения: если надо иллюстрировать доказательство теоремы, то можно ограничиться чертежом-картинкой, если решается конструктивная задача, то на чертеже будут проводиться непосредственные построения, — здесь место чертежу-модели, выполненному по установленным правилам. Вредным следует признать в этом вопросе однобокость: все чертежи выполняются по правилам фронтальной проекции или только в изометрии и т. п.

Октябрьское заседание было посвящено докладу А. И. Маркушевича на тему «Комплексные числа в курсе средней школы».

А. И. Маркушевич не поддерживает предложения начинать изучение темы с оговорок: «плюс — это не плюс...», «умножение — не умножение...», «так условились...», «по определению...» и предлагает вводить комплексные числа не аксиоматически, а конструктивно.

Докладчик предложил такой план:

1. Краткая характеристика этапов обобщения понятия числа, в связи с решением уравнений.

2. Геометрическое истолкование двух действий (сложения, умножения), как действий над направленными отрезками и распространение на плоскость.

3. Затем докладчик подробно, с помощью векторов, изложил систему изучения теории комплексных чисел.

4. Только после этого (в конце, р не в начале темы) излагаются некоторые исторические сведения:

а) Магомет сын Мусы из Хорезма (820 г. н. э., узбекский ученый).

«Альджебр» — в этом труде находим решение общего квадратного уравнения (без символов) в словесной форме. В случае отрицательного дискриминанта решение отсутствует.

б) Европейские ученые знали работы азиатских математиков.

в) Кардано при решении кубических уравнений пользовался мнимыми числами, но символика его была крайне архаична.

г) Подлинное развитие комплексные числа получили не в алгебре, а в анализе, начиная с XVIII в.

д) Были разработаны приложения комплексных чисел к решению задач гидродинамики.

В конце XVIII и в начале XIX в. вводится геометрическое изображение комплексных чисел и действий над ними.

5. Далее докладчик в качестве примера приложений теории комплексных чисел рассмотрел функцию Н. Е. Жуковского w =-^[^ +— J, с помощью которой можно строить форму крыла самолета (профиль Жуковского — Чаплыгина), а также указал на другие применения функций комплексного переменного.

Ноябрьский четверг был посвящен докладу Г. Ф. Рыбкина о жизни и деятельности Михаила Васильевича Остроградского в связи с 150-летним юбилеем со дня его рождения»

Докладчик рассказал о трудах М. В. Остроградского (р. 1801 г.) по анализу, математической физике и механике. Кроме того, М. В. Остроградский написал много педагогических статей, ибо всю свою жизнь он интересовался преподаванием математики и был блестящим педагогом. По своему мировоззрению Остроградский твердо стоял на позициях естественно-научного материализма.

Во взглядах Остроградского отражалась прогрессивная мысль того времени. Вместо «математика — продукт свободного творчества ума» Остроградский утверждал, что необходимость, запросы реальной действительности — единственный повод к математическим открытиям. В частности, Остроградский признавал чрезвычайную роль приближенных вычислений в процессе овладения природой. Он решительно возражал против деления математики на «чистую» и «прикладную», он был против всяких перегородок между теорией и практикой. Остроградский считал, что величина—это то, что состоит из частей и объективно существует вне нас, подобно пространству и времени; материя (по Остроградскому) не определяется, но она существует, она движется. По характеру служебной деятельности Остроградский занимался составлением программ по математике для военных средних учебных заведений, куда он внес в качестве обязательного раздела приближенные вычисления.

Темами ближайших последующих собраний секции явились: в январе — доклад А. И. Фетисова о месте и роли геометрических преобразований в курсе элементарной геометрии; в феврале рассмотрение трех сборников задач, предлагавшихся на конкурсных экзаменах при поступлении в вуз: П. С. Моденова, К. У. Шахно и группы авторов под редакцией М. Я. Выгодского.

От редакции. В № 1 1952 г. в статье Ю. М. Гайдука «Новинки Украинской методической литературы по математике» (стр. 71) вкралась опечатка.

В заголовке напечатано: Следует читать:

Вып. 111 Киев, 1949 Вып. IV, Киев 1949—1951

ЗАДАЧИ

О РАЗДЕЛЕ ЖУРНАЛА «ЗАДАЧИ»*

В. А. КУНАХОВИЧ (Красноярский край)

Читателям журнала «Математика в школе» регулярно предлагается небольшое количество задач с указанием срока присылки решений их.

Задачи предлагаются из различных разделов математики, различной отвлеченности и с довольно большим диапазоном трудности, но в большей своей части не очень сложных для преподавателя средней школы. Задачи требуют весьма разнообразных методов решения их, являясь таким образом прекрасной тренировкой для читателя в той области, которая обслуживается журналом.

Помещение решений предлагаемых задач, подчеркивание простых и изящных решений служит читателю объективной проверкой своих решений, знакомит в некоторых случаях с иными способами решений, побуждает и помогает самокритически относиться к своей работе и обнаруживать свои пробелы и слабые места.

Работая в школе, предъявляя требования к ученикам в отношении изложения и оформления работ, содержания тетрадей, выполнения чертежей и проч., преподаватель, посылающий свои решения задач в редакцию журнала, сам должен строго соблюдать все требования, которые он предъявляет своим ученикам. Видно, что в этой области не все обстоит благополучно.

Редакция неоднократно напоминала о необходимости соблюдать правила оформления и писать разборчиво. «Не меньше половины решений оформляются неудовлетворительно: небрежно, грязно, неразборчиво, вычисления расположены как попало — трудно проследить ход решения...» («Математика в школе», 1949, № 1).

Правда, прошло с тех пор три года, и, может быть, теперь это изжито, но все-таки всякий посылающий решения должен иметь это перед собой, так как небрежное выполнение своей работы учителем школы — недопустимое явление.

Просмотр сводок решений за ряд лет показывает, что число присылающих решения возрастает. Решении поступают и с Крайнего Севера, и из Закавказья и Алтая, и с Сахалина, и из Стран народной демократии. Это указывает, что отделу задач придается большое значение и что редакция правильно и хорошо поставила этот отдел. Это — заслуга журнала. Но, с другой стороны, следует отметить, что при широком территориальном охвате, процент работников школы, присылающих решения, весьма мал, что надо поставить в вину школьным коллективам. Причиной этого является отчасти инертность, отчасти недооценка отдела задач, отчасти иные причины, не более серьезные и не более удовлетворительные, чем указанные. Надо встряхнуться — это общая забота работников школы. Следует признать желательным:

1. Чтобы каждый преподаватель стал участником решения задач. Не следует гнаться за количеством, а обращать больше внимания на тщательность в работе как с внешней стороны, так и с внутренней. Учитель не должен забывать самовоспитания.

2. Желательно, чтобы предметные комиссии каждой школы приняли участие в решении задач, что нам рисуется в следующем виде. Решение предложенных в журнале задач должно быть индивидуальным. После наступления срока присылки решений, когда прием последних уже прекращен, на заседании предметной комиссии преподаватели, решавшие задачи, сообщают решения. Здесь могут встретиться разные способы решений, обсуждаться затруднения в решении, подниматься ряд интересных вопросов в связи с рассмотрением решений, рождаться темы для более глубокого обсуждения и т. д. Все это должно еще более оживлять и углублять работу предметных комиссий, углубляя тем самым и работу каждого ее члена.

3. Желательно, чтобы в конкурсе на решение задач принималось во внимание и качество выполнения решений путем установления процента снижения с числа представленных задач за небрежное (в широком смысле этого слова) выполнение решений.

4. В целях большей эффективности премирования целесообразно премированных за последние 2—3 года не включать в конкурс, печатая их имена в итогах конкурса за год, как лиц, стоящих по решению задач «вне конкурса».

Каждому работнику школы надо твердо помнить древнюю истину: «без упражнений нет знаний».

* Помещая статью т. Кунаховича в порядке обсуждения, редакция просит читателей высказать своя пожелания по затронутым в статье вопросам.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 6 за 1951 г.

№ 84

Исключить 6 и <р из уравнений:

X cos 6 + у sin б = X cos <р + у sin <р = 2 а.

В условии этой задачи было пропущено еще одно уравнение, связывающее 0 и ср. Автор задачи это дополнительное условие формулировал так:

Некоторые из участников конкурса сами дополнили задачу недостающим уравнением. Ряд других ограничились указанием на неопределенность задачи. Все это расценивалось как правильное решение задачи.

Ввиду того, что условие задачи содержало ошибку, задача эта исключается из числа конкурсных задач.

№ 85

Решить уравнение:

Решение. Путем несложных преобразований получаем:

Это, в свою очередь, дает нам:

Отсюда следует, что

Дальнейшее ясно.

№ 86

На сторонах АС СВ, В А треугольника ABC отложены соответственно отрезки АК = АС, CL=-^-CB, ВМ=-^-ВА.

Точки пересечения прямых ALf ВК, СМ служат вершинами треугольника, площадь которого равна 10 кв. ед. Найти площадь треугольника ABC

Решение. Воспользуемся результатом решения задачи № 57 из № 3 журнала «Математика в школе» за 1951 год: если стороны треугольника разделены в отношении т:п и точки деления соединены с вершинами противолежащих сторонам углов, то отношение площади треугольника, о котором идет речь в условии задачи, к площади треугольника ABC выражается числом ^з — тЪ . В данном случае т:/1=1:2. Следовательно, SABC = 70 кв. ед.

№ 87

Решить в поле действительных чисел систему уравнений:

(а и Ъ — действительные числа).

Решение. Беря только действительные значения корней, заменяем данную систему уравнений следующей системой:

Это дает нам:

№ 88

Решить систему уравнений:

Решение. Имеем:

Таким образом, первое из уравнений системы распадается на два уравнения:

Все решение данной системы уравнений найдем, решая следующие две системы:

Дальнейшее ясно.

№ 89

Все цифры четырехзначного числа различны и значащи; число это кратно числу 3 и вдвое больше суммы всех двузначных чисел, которые могут быть составлены из его цифр (при этом цифры могут повторяться). Найти это число.

Рещение. По условию имеем:

Искомое число кратно числу 3, следовательно, оно кратно числу 264. Так как

то

Так как xyzt кратно 11, то х + z = у +1 или X + Z — у +1 — 11. Пусть х — \. Тогда

или

Так как число 1 4- у z 4- f кратно 3, то число у + z t при делении на 3 дает в остатке 2. Следовательно, число у + z 1 равно одному из следующих трех чисел:

14, 17, 20.

Если бы

.у + 2 + * = 14,

то равенство 1 + z=-у -\~ t и \ + z =у +1 — 11 не могло бы быть выполнено ни при каких значениях z, 1<*<10.

Аналогичным образом убеждаемся, что у 4- ^ -+-+ t ф 20. Пусть .у -H * -h *= 17. В этом случае зг = 8, a ey+f = 9. Следовательно, число „vyj/ может быть равно одному из чисел:

1782, 1683, 1584, 1485, 1386, 1287.

Но число ху it должно быть кратно 8 и, следовательно, может быть равно только числу 1584. Пусть х-=2. Тогда:

или Но

Число у + z +1 при делении на 3 должно давать в остатке 1, следовательно, рассматриваемый случай отпадает.

№ 90

Найти три цифры: х, у, z, такие, чтобы числа X, ух и zyx составляли геометрическую прогрессию.

Решение. По условию задачи имеем: X (100 z + 10у 4- X) =. (10jf + ху*. Это дает нам:

10** = у(10у+х).

Так как х ф 0, то ху кратно 10. Одна из этих цифр четна, а другая равна 5. Если

у = Ъ, то л* (2 z — 1)=-50,

чего не может быть, так как х — четное число, не кратное 5, а 2 зг — 1 нечетное число.

Пусть X — 5. Тогда значением у может быть одно из следующих чисел: 2, 4, 6, 8. В этом случае имеем:

Ю(5г — у^) — Ъ у или 10*^(2^4-1).

Число у(2у+\) кратно 10 только при у =2. Тогда z=r- I и условиям задачи удовлетворяют цифры: 1, 2, 5.

№ 91

Если одна из вершин треугольной пирамиды проектируется в ортоцентр противоположной грани, то и другие вершины этой пирамиды обладают этим свойством. Доказать.

Решение. Докажем, прежде всего, что если вершина D пирамиды A BCD проектируется в ортоцентр грани ЛВС, то имеют место равенства:

(1)

Обозначим через О ортоцентр треугольника ABC (черт. 1). Имеем: DM J_ АС. Следовательно,

Аналогично доказывается и справедливость равенства:

Черт. 1

Пусть теперь имеют место равенства (1). Пусть далее точка т — проекция вершины D на ребро АС, N - проекция вершины D на ребро ВС, L — проекция вершины D на ребро AB. Имеем:

Следовательно, ВМ - высота треугольника ABC.

Аналогично докажем, что AV и CL- высоты этого треугольника. Обозначим ортоцентр треугольника ABC через О. Допустим, что вершина D проектируется не в точку О, а в точку 0\. Тогда 0\М _|_ _|_ АС, а так как ОМ _]_ АС, то предположение наше оказывается неверным. Итак, если справедливы равенства (1), то вершина D проектируется в ортоцентр грани ABC. Очевидно, что все наши рассуждения остаются справедливыми, если вместо вершины D взять люэую другую из вершин пирамиды. Дальнейшее ясно.

№ 92

Доказать, что при h = \ ас , где а и с — положительные числа (каждое из чисел а, с и ас отлично от единицы), для всякого положительного числа N имеет место равенство:

Решение. Имеем:

Это дает нам:

№ 93

Через точку В, в которой пересекаются две противоположные стороны четырехугольника, вписанного в окружность, проведена к окружности касательная ВТ (Т - точка касания). Доказать, что если одна диагональ четырехугольника параллельна касательной, то другая диагональ делит отрезок ВТ пополам.

Решение. Пусть диагональ .SC? вписанного четырехугольника PSQR (черт. 2) параллельна касательной ВТ, а диагональ PR пересекает касательную в точке С.

Имеем:

Отсюда следует, что

Следовательно,

Так как

№ 94

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка Р так, что АР = т, PB ев п, PC = d. Доказать, что

где a и b — катеты, ас - гипотенуза данного прямоугольного треугольника.

Черт. 3

Решение. Проведем (черт. 3). Имеем:

Это дает нам: Далее:

Окончательно будем иметь:

№ 95

На касательной к окружности даны две тон ки В и С, симметрично расположенные относительно точки касания А. Через эти две точки проведены две произвольные секущие, из которых одна встречает окружность в точках т и N. а другая в точках Р и Q.

Доказать, что прямые MQ и PN пересекают касательную в точках Е и F, симметрично рас положенных относительно точки А.

Решение. Пусть прямая KT касается окружности в точке А (черт. 4) и пусть точки В и С— симметрично расположены на прямой KT относительно точки А.

Имеем:

Далее:

где Ни — высота треугольника BNF, проведенная ws вершины N, hg — высота треугольника EQC, проведенная из вершины Q. Аналогично:

это дает нам: Так как

то

Это дает нам:

Черт. 2

Черт. 4

№ 96

Через вершины А и В равностороннего треугольника ABC проведена окружность. Через вершины А и С этого же треугольника проведена другая окружность, пересекающая первую в точке Р под прямым углом. Доказать, что можно построить прямоугольный треугольник, катеты которого равны отрезкам ВР — п и CP = р, а ах гипотенуза — от резку АР = m.

Решение. Обозначим центры окружностей через О и О] (черт. 5). Имеем:

ОА±01А.

Введем обозначения:

Z. ОАВ = а, ОАР= ср, AB = АС=:ВС=а>

OA = R, OxA^Rb

Имеем:

Далее:

Это дает нам:

Подставляя значения R и Rb получим:

Далее:

Имеем:

Отсюда следует, что

Выражая а через т и а и раскрывая в правой части скобки, получим:

Дальнейшее ясно.

№ 97

На отрезке AB и на его продолжении взяты точка Р и Q, такие, что

Доказать, что середина H отрезка PQ лежит вне отрезка AB.

Решение. На отрезке PQ, как на диаметре, построим окружность (черт. 6). Центр H этой окружности — середина отрезка PQ. Если т — любая точка окружности, то AM : т В = АР : PB. Пусть т — точка прикосновения касательной, проведенной из точки А к построенной окружности. И в этом случае имеет место равенство:

AM : MB = АР: PB.

Следовательно, MP — биссектриса угла АМВ. Пусть S— вторая точка пересечения прямой MB с окружностью. Из равенства углов AMP и РМВ следует, что AIP = PS. Отсюда вытекает, что MB]_AQ и точка В есть проекция точки т прикосновения касательной, проведенной из точки А к окружности. Ясно, что точка В лежит ближе к точке А, нежели центр H окружности.

№ 93

Найти условие, которому должны удовлетворять стороны а, Ь, с некоторого треугольника для тою, чтобы длины радиусов вневписанных кругов составляли геометрическую прогрессию.

Решение. Обозначим радиусы вневписанных кругов соответственно через ra, rbi гс (га — радиус круга, касающегося стороны а, и т. д.). Имеем:

По условию имеем:

Черт. 5

Черт. 6

Отсюда следует, что

После несложных преобразований получим:

Если то

№ 99

Дана окружность. Даны также две непересекающиеся хорды этой окружности AB и CD. Найти на дуге AB точку Ху такую, чтобы прямые ХС и XD отсекали на хорде AB отрезок, данной длины.

Решение. Через точку С (черт. 7) проведем прямую, параллельную AB, и на ней отложим отрезок CK, равный данному отрезку. Точку К соединим с точкой D и на отрезке DK строим сегмент, вмещающий угол, равный углу а, вписанному в данную окружность и опирающемуся на дугу CD этой окружности (стороны угла « пересекают хорду AB). Обозначим точки пересечения дуги построенного на DK сегмента и хорды А В (если они существуют) через F и h\. Проводя прямые DF и DFX и продолжая их до пересечения с данной окружностью, получим точки X и хь которые и будут искомыми.

№ 100

В окружность вписан четырехугольник ABCD, причем ВС —CD. Отрезки AB, АС и AD удалены от центра окружности соответственно на 8 см, 5 см, 1 см. Определить CD.

Решение. Хорды АС и CD могут лежать либо по одну сторону от центра данной окружности, либо по разные стороны. Рассмотрим первый случай (черт. 8). Введем обозначения:

Тогда

Имеем далее:

Воспользуемся тождеством:

Подставляя значения

получим:

Это дает нам:

Если хорды АС и CD лежат по разные стороны от центра окружности, то

Черт. 7

Черт. 8

ЗАДАЧИ

Срок присылки решений 15 августа.

33. Решить систему уравнений:

М. Гозман (Киевская обл.).

34. Построить треугольник по радиусу описанной окружности, сумме углов при основании и медиане одной из боковых сторон.

Г. Многолетний (Брянская обл.).

35. Доказать тождество:

Г. Многолетний.

36. Доказать тождество:

Г. Многолетний.

37. Построить треугольник по биссектрисе и радиусам окружностей, описанных около треугольников, на которые данная биссектриса разбивает искомый треугольник.

Л. Пирожков (Ялта).

38. Построить квадрат, если заданы расстояния трех вершин его от данной точки.

Л. Израилевич (Омск).

39. Решить уравнение:

Г. Ахвердов (Ленинград).

40. Доказать, что в треугольнике со сторонами 3 см, 8 см, 10 см наибольший угол в три раза больше среднего по величине угла.

Г. Ахвердов.

41. В круге с центром в точке О проведен радиус OA = R, и на нем отложен отрезок OB=za. Определить наибольший из вписанных в этот круг углов опирающихся на отрезок OB, (л</?).

И. Альтшуллер (Ленинград)

42. Боковое ребро правильной /z-угольной пирамиды равно а. Определить наибольшую возможную величину объема пирамиды.

Л. Лоповок (Проскуров).

43. Из данного деревянного куба вытесана правильная шестиугольная призма наибольшего объема. Какой процент материала использован?

Л. Лоповок.

44. Сумма квадрата двузначного простого числа и цифр этого числа есть также простое число. Найти его.

Л. Лоповок.

45. Четырехзначное число xyzt (х, у, г, t — различные цифры) представляет из себя куб некоторого числа. Зная, что 2х=у — s и y = t2, найти это число.

М. Лейбман (Свердловская обл.)

46. Построить треугольник по его периметру 2 ру одной из высот ha и радиусу вписанного круга г.

М. Лейбман.

47. Установить, в какой системе счисления справедливо равенство:

371.11=4181

М. Лейбман.

48. Если а, Ъ, с -— стороны треугольника ABC, ka> kc — биссектрисы углов этого треугольника. тип, рид, sut — отрезки, на которые биссектрисы делят соответственно стороны а, Ъ, с, то

Доказать.

М. Лейбман.

49. Найти п последовательных натуральных чисел, таких, чтобы сумма квадратов первых —s— чисел равнялась сумме квадратов последующих чисел.

Ш. Савинов (Коми АССР).

50. Определить объем треугольной пирамиды по трем ее боковым ребрам а, Ь, с и двугранным углам Рь Рз> при этих ребрах.

Э. Ясиновый (Куйбышев).

ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

1.

3. Уничтожить иррациональность в знаменателе:

2. Доказать, что выражение ~ сумма трех квадратов.

3. Найти все значения k, при которых уравнение

имеет решение.

4. Упростить:

5. Поверхность шара, вписанного в конус, равна площади основания конуса. Определить угол при вершине конуса.

А. М. Микиша и В. С. Михельсон (Москва).

II.

6. Даны 12 точек, из которых 5 лежат на одной прямой. Кроме них никакие три не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки.

7. Даны 11 точек, из которых 5 лежат на одной окружности. Кроме них никакие 4 не лежат на одной окружности. Сколько окружностей можно провести через эти точки так, чтобы каждая проходила по крайней мере через 3 точки из числа данных.

8. Доказать тождество:

9. Плоскость отсекает на ребрах прямого трехгранного угла отрезки, составляющие арифметическую прогрессию с разностью 4 см. Найти размеры отрезков, если объем образовавшейся пирамиды равен 140 см?.

10. Плоскость разделила объем шара на части, равные 252 тс см? и 720 тс см*. Найти высоту большего сегмента.

Л. М. Лоповок (Проскуров).

III.

11. Два курьера вышли одновременно один из А в В, другой — из В в А. Каждый шел с постоянной скоростью и, придя в конечный пункт, немедленно поворачивал обратно. Первый раз они встретились в 40 м от В, второй раз — в 20 м от А через 40 секунд после первой встречи. Найти расстояние между Л и Л и скорости обоих курьеров.

12. Решить уравнение:

после раскрытия скобок и приведения подобных членов не останется членов, содержащих х в нечетных степенях.

14. Показать, что если д, Ь, с соответственно т-ъШу /z-ый и /7-ый члены одновременно как арифметической прогрессии, так и геометрической прогрессии, то аь-с,Ьс-а,са-ь = 1.

М. Балк, И. Раухвергер «Смоленская математическая олимпиада>

От редакции. Задачи для учащихся помещаются в качестве материала для занятий кружков, для подготовки к олимпиадам и т. п. Так как задачи для учащихся помещаются не в порядке конкурса, их решения в редакцию присылать не следует.

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 6 за 1951 г.

К. Агринский (Москва) 85—90, 94, 98; В. Азаров (Воронежская обл.) 86, 88, 89, 92, 94, 97, 98; А. Айсин (Мордовская АССР) 88, 90, 97; Я. Алешко (Резекне) 87—90, 100; А. Алиманов (Баку) 85, 87, 88, 94, 97; Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 90, 92,94,97; Я. Альтшуллер (Ленинград) 85—90,92,94, 97—99; А. Андреасян (Армянская ССР) 85, 88; Б. Андрусенко (Ю. Сахалинск) 87—89, 92; А. Архипенко (Сталинградская обл.) 85, 86, 88, 90, 94, 100; Г Ахвердов (Ленинград) 85—95, 97—100; А. Багарян (Абхазская АССР) 85, 88, 90, 98; И. Байков (Московская обл.) 85—90, 92, 94, 97, 98, 100; Я. Баластаева и О. Токарева (Марийская АССР) 87, 88, 94; И. Балахнин (Урюпинск) 87, 88, 92, 94; Я. Бартош (Чехословакия) 85—100; А. Бауэр (Мариинск) 85—88, 90—100; А. Белогуров (Дзауджикау) 85—90, 92, 94, 97, 98; В. Белых (Курская обл.) 87, 88, 90; И. Берман (Городок) 87, 88, 97; С. Бернштейн (Киев) 85, 87—90, 92, 94, 97; В. Бешкарев (Горький) 85—100; Е. Боков (Краснодарский край) 85, 86,88— 90, 94, 97; А. Бородин (Киевская обл.) 85, 88, 92,94; Я. Будков (Рязанская обл.) 85—92, 94, 97, 98; Б. Букин (Тбилиси) 94; Б. Вайнман (Киев) 85, 86, 88—90, 92, 94, 98; Е. Ванновская (Тамбов) 85, 87, 88, 90, 92, 94, 97, 100; В. Варганов (Москва) 85, 86, 88, 92—94, 97, 98; С. Вашакмадзе (Тбилиси) 85, 87, 88, 90; А. Владимиров (Ялта) 85—100; А. Волков (Чувашская АССР) 86—88, 94, 97, 98, 100; А. Гаас (Караганда) 85—98; В. Ганюшин (Кимры) 85, 87, 88, 90 92, 94, 97, 98, 100; М. Гогичадзе (Грузинская ССР) 85, 88—92, 94, 100; Г. Гогосашвили (Тбилиси) 88, 94, 95; Е. Головачев (Курская обл.) 85—90, 92—94, 97, 98, 100; Г. Голянд (Брянск) 85, 87—90, 92, 94, 97, 100; М. Готлер (Вильнюс) 85—90, 92, 95, 97, 98, 100; А. Григорян (Ереван) 87, 88; Я. Грунской (Курская обл.) 86, 88, 97; А. Гурдзибеев (Сев. Осетинская АССР) 87, 88; Ю. Герасимов (Абакан) 85, 87—90, 92, 94, 98; Я. Гуревич (Воронеж) 85, 86, 88—98, 100; Ф. Гутковский (Польша) 82, 85—88, 90, 94, 97—99; И. Гурфинкель (Ногинск) 85, 86, 88, 92—95, 97, 99; Б. Давыдкин (Уфа) 87, 88; У. Давыдов (Гомель) 85—88, 90—100; А. Дейнега (Винницкая обл.) 85—100; В. Демчинский (Ровно) 85—100; Б Джумагазин (Алма-Ата) 85, 87, 88; Б. Дудолькевич (Киевская обл.) 85—90, 92, 94, 97, 98, 100; Г. Жигану ров (Башкирская АССР), 86, 88, 90, 94, 97, 99; Б. Жиенбаев (Кзыл-Орда) 88; М. Зайденман (Белицы) 85, 86, 88, 89, 90, 94, 98; Я. Зайцев (Чувашская АССР) 87, 88, 94, 95; Я. Зинченко (Черниговская обл.) 85, 88; Щ. Зискинд (Винница) 85, 86, 88—96, 98; В. Иножарский 85—100; Г. Кандаян (Красноярский край) 85, 88, 90, 92, 94, 97; А. Карпов (Владимирская обл.) 85—100; Я. Кизилов (Махач-Кала) 85, 87, 88, 94; В. Киндефатер (Кемеровская обл.) 85—100; А. Киреев (Абакан) 85, 88—94, 97, 98; Я. Китайгородский (Москва) 85, 87—90, 92, 94, 98; В. Козмодемьянский (Сызрань) 85, 86, 88—90, 92 —94, 98, 100; С. Клавченко (Витебская обл.) 88; Ф. Кравченков (Можайск) 87, 88, 90, 94; М. Крайзман (Львов) 85, 86, 88, 90—94, 98, 100; И. Кожухар (Винницкая обл.) 88, 90, 93; Я. Козлов (Рыльск) 88, 93; Г. Копылов (Днепродзержинск) 85—100; А. Крюков (Чистополь) 85, 87—90, 92, 94, 97, 100; В. Кунахович (Красноярский край) 85—95, 97, 98; А. Кутепов (Ворошиловск) 85—94, 97—100; Н. Лебедев (Обоянь) 85, 88—90; С. Лебензон (Московская обл.) 85—95, 97—100; М. Лейбман (Свердловская обл.) 85--94, 97—99; Л. Лоповок (Проскуров) 85—92, 94, 96—100; Л. Лордкипанидзе (Тбилиси) 85—99; Э. Магарам (Южно-Сахалинск) 87—90; М. Манукян (Казахская ССР) 85, 88, 98; Д. Маркарян (Баку) 85, 87, 88; Я. Мартьянов (Алтайский край) 87, 93; Математические кружки: Головичицкой средней школы (Полесская обл.) 85, 87—89; Казанского суворовского военного училища 85, 87—92, 94, 97, 98; Чашниковской русской средней школы (Витебская обл.) 86, 92, 97; Гродненского педучилища 85— 100; Л. Медведев (Себряково) 85—90, 92—94, 96-99; В. Меладзе (Тбилиси) 85, 87, 88, 94; X. Меликов (Беслан) 85, 87—90, 92; Б. Меньших (Филоново) 85, 87—90, 92, 94, 97, 98, 100; Г. Михальков (Уфа) 85 87, 88, 90, 92, 97; И. Молибога (Верхний) 85—90, 92, 94, 97, 98; А. Мурклинский (Дагестанская АССР), 85,86,88,92,94, 97; Я. Муртазина (Бугульма) 86—88, 92; Л. Муталипов (Андижанская обл.) 87, 88, 90, 94; Т. Мышакова (Одесса) 85—100; К Нардов (Ленинград) 85—95, 97, 98, 100; К. Нелюбин (Кировская обл.) 85—92, 94, 97, 98; Я. Носков (Омская обл.) 85, 87, 88; Б. Острогорский (Калинин) 85, 87— 90, 92, 94, 97, 98; Е. Павлов (Чувашская АССР) 85—95, 97—100; М. Павлов (Чувашская АССР) 93, 94, 100; Ф. Певишев (Шилово) 85—92, 94, 97, 98; С. Петров (Гайсин) 85, 86, 88, 90, 92, 94, 97, 98. 1С0; Л. Печерский (Орск) 85—100; М\ Пилютик (Московская обл.) 85—100; Я. Писаренко (Молдавская ССР) 85—92, 94, 96—100; М. Пышный (Барешовичская обл.) 85, 86, 88, 90—92, 98; Е. Радченко (Курская обл.) 87—90, 92, 94, 97; Л. Рейзиньш (Рига) 85—100; Я. Романчук (Харьковская обл.) 88, 90; Б. Рубенчик (Минск) 86—90; /С Рябенко (Ворошиловск) 85—90, 92, 94, 96—98, 100; Я. Рубинштейн (Москва) 87—90, 92, 94; С. Садихов (Баку) 85, 87, 88, 90, 94; Я. Рубцов (Спирово) 85—88, 90, 92, 98; Г. Сакович (Киев) 85—95, 97, 98, 100; Д. Салангин (Киевская обл.) 85—100; 3. Сафарилиева (Агдам) 85, 88, 90, 92, 94; Я. Сергачев (Малоярославец) 84, 87—90, 92, 94, 97; Я. Синдюков (Калининград) 85, 87—90, 92, 94, 95, 97, 100; Я. Скворцов (Ленинградская обл.) 93; Я. Скоропад (Ровенская обл.) 88; С. Смоляк (Москва) 85—90, 92, 94—100; Я. Старченко (Боково-Антрацит) 86, 88, 90, 92, 100; Стрелецкий Э. (Гродно) 85—100; Я. Строгальщиков (Вологодская обл.) 85—89, 92—95, 97, 98, 100; Б. Тарасов (Кирсанов) 88—90, 92, 94, 97; Я. Титов (Тюмень) 85—92, 94, 95, 97—100; М. Торбик (Брянская обл.) 85—94, 97, 98, 100; А. Тохтарбаев (Алма-Ата) 92; А. Тралмак (Ленинград) 85—100; А. Уляшев (Коми АССР) 86— 90, 92—97, 100; В. Утемов (Красноуфимск) 85— 100; Е. Ушакова (Харьков). 87, 88, 94, 97; Ю. Фараджов (Баку) 85, 88, 92, 94; М. Федорюк (Проскуров) 85—92, 94, 96—100; Я. Феоктистов (Томская обл.) 87, 88, 92; М. Фрайман (Омск) 88; М. Ханин (Прилуки) 87, 88, 92, 97; А. Хачикян (Баку), 86, 87, 88, 92, 94; К Хоменко (Смела) 88— 90; В. Цыганск (Калинин) 85—88, 92, 94, 98; Г. Чепкасов (Красноярский край) 85, 87—90, 94; Я. Чернов (Измаильская обл.) 85—100; М. Шатохин (Орел) 85—100; А. Шахназарян (Азербайджанская ССР) 85, 86, 88, 90, 98; Л. Шевелев (Орел) 85— 100; В. Шевченко (Алтайский край) 85—88, 92, 94, 97; Я. Шевченко (Запорожье) 87, 88; Я. Шерман (Астрахань) 85, 87, 88, 90, 92, 94, 96—98, 100; И. Шилин (Таджикская ССР), 87, 88, 92; Е. Шнайдер (Приморский край) 85, 87, 88, 92, 94, 98; В. Шушин (Горьковская обл.) 85, 87, 88, 90, 92, 94, 99, 100; Я. Эрдниев (Алтайский край) 85—92, 94—100; Ф. Яремчук (Дрогобыч) 85—90, 92, 94, 97, 99; Э. Ясиновый (Куйбышев) 85—100.

Дополнительная сводка по № 6—51 г. Ш. Алиев (Баку) 85—88, 90, 92, 94; К. Горев (Лукоянов) 85—90, 92, 94, 97, 98, 100; С. Джаббаров (Куйбышевская обл.) 85, 87, 88, 92; А. Злобина (Самарканд) 85, 87, 88, 98; М. Ляпин (Казань) 85—91, 93, 94, 96, 99, 100; Математический кружок средней школы т 15 (Львов) 85, 88, 90—94, 98, 100; Математический кружок Житомирского пединститута 85, 88—90, 92, 94, 98, 99; Г. Многолетний (Мглин) 85, 86, 88—90, 94, 99; С. Рабинович (Килич) 86—88, 90, 92—94, 97, 100; В. Стасюк (Стрый) 85, 88—90, 92, 94, 97, 98, 100; Е. Шерсткин (Брянская обл.) 85, 86, 88—90, 92, 94, 97, 98, 100.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ СВОДКА ПО № 6—51 г.

Г. Биринбаум (Макеевка) 85, 87, 88, 92, 93, 97; С. Джаббаров (Куйбышевская обл.) 85, 87, 88, 89, 90, 92, 94; Н. Доброгай (Мелитополь) 87, 88; Р. Елохина (Коми АССР) 87—90, 93; Д. Изаак (Орск) 85,87—90, 92-94,96 98; Г. Капралов (Горький) 85—92,94,97,98,100; С. Колесник (Харьков) 85-100; С. Рабинович (Измаильская обл.) 85—88, 90—97, 99, 100; И. Терехов (Рязанская обл.) 87 88, 90, 93, 94, 97; Н. Титов (Казань) 85—100; И. Федотов (Казань) 85 — 100; А. Фильщинский (Кременчуг) 85, 86, 88—90, 92, 94, 97, 100; П. Балев (Болгария) 85—94, 97, 98; П. Чучукин (Галич) 85-100; Н. Лукашевич (Киев) 85, 88, 90, 92—94, 98; И. Фиоктистов (Томская обл.) 94, 96; С. Скрылев (Красноярский край) 88; М. Мебзевишвили (Грузинская ССР) 85, 88; Л. Малюгин (Горький) 84—92, 94, 97, 98, Ф. Сергиенко (Запорожье) 85—92, 94, 97-100.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ СВОДКА ПО № 5—51 г.

Р. Реннерт (Польша) 68—70, 72, 73, 75, 76, 78, 82, 83; Р. Беляцкина (Аягуз)67—78, 82, 83; И. Петров (Татарская АССР) 67—77, 80, 82; П. Чучукин (Галич) 67—79, 81—83; Б. Кеглин (Днепропетровск) 67—70, 72, 73, 75; А. Гурдзибеев (Дзауджикау) 68, 74, 75; Хуторян (Одесса) 67—83; А. Топорков (Москва) 68, 69, 72, 73, 74, 82

От редакции

Ввиду того что число участников конкурса по решению задач значительно возросло и продолжает расти от номера к номеру, редакция журнала «Математика в школе» не имеет возможности в сводках помещать фамилии всех читателей, приславших решения. Начиная с № 4, редакция будет помещать фамилии участников конкурса, решивших не менее 50% задач, помещенных в журнале. Вместе с тем редакция просит читателей, присылающих решение задач, .придерживаться следующих правил, выполнение которых является обязательным для всех участников конкурса:

1. Решения задачи присылаются отдельно от всякой другой корреспонденции.

2. Решение каждой задачи дается на отдельном листочке и подписывается автором решения с указанием местожительства (город, район, область).

3. К решениям прилагается на отдельном листе список номеров присылаемых задач и точный адрес.

4. Решения должны быть написаны четко и разборчиво, а номер каждой из решенных задач дол жен быть крупно выделен.

5. Если решаемая задача не является оригинальной и решавший эту задачу отыскал решение в каком-либо руководстве, то необходимо давать изложение решения, а не ограничиваться только ссылкой на источник.

Редакция напоминает всем лицам, предлагающим задачи, в «Отдел задач», что не принятые к напечатанию задачи уничтожаются, и по поводу них редакция в переписку не вступает.

При подведении итогов конкурса при прочих равных условиях, будет учитываться качество решения (полнота решения, исследование, оригинальность, оформление).

СОДЕРЖАНИЕ

МЕТОДИКА

Стр.

П. В. Стратилатов — Как повысить качество обучения решению задач по арифметике в V и VI классах....................... 1

А. В. Дрокин — Способы решения комбинированных арифметических примеров 8

Л. Г. Круповецкий — Итоги послевоенной сталинской пятилетки на уроках арифметики................................ 14

И. С. Нарышкин — Арифметические задачи на тему «Великие стройки коммунизма» ................................. 18

М. Г. Бушканец — Данные о культурном строительстве стран народной демократии на уроках арифметики....................... 19

М. Г. Парафило — По поводу статьи С. Пильмана «Опыт работы по арифметике в V классе»............................. 20

ИЗ ОПЫТА

Н. И. Сырнев — Прямая и обратная пропорциональность величин....... 23

A. И. Леничкин — О решении некоторых арифметических задач....... 29

И. М. Богданов и В. А. Лекторский — Процентные вычисления в школах рабочей молодежи............................... 32

М. Д. Брейтерман — Развитие мышления учащихся при решении задач ... 42

M. X. Кекчеева — О работе математической комиссии школы № 29 г. Москвы 47

М. Ф. Щинова — Из опыта педагогической практики студентов........ 50

С. А, Вокач — О решении геометрических задач введением вспомогательного угла.................................... 54

К. С. Богушевский — Из писем и заметок читателей............. 56

СОВЕТСКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

Павел Афанасьевич Ларичев.......................... 63

КРИТИКА и БИБЛИОГРАФИЯ

М. В. Яковкин—05 «Энциклопедии элементарной математики»........ 66

С. А. Пономарев — Издание математической литературы Государственным учебно-педагогическим издательством для учителя средней школы....... 74

B. С. Александров — Об одной грубой ошибке................ 79

ХРОНИКА

A. М. Френкель — Астраханская областная научно-практическая конференция 80

П. В. Конкин — Работа секции преподавателей математики V — VII классов на VI конференции г. Сталинграда и Сталинградской области........ 81

П. Я- Дорф —В Секции средней школы Московского математического общества .................................... 84

ЗАДАЧИ

B. А. Кунахович — О разделе журнала «Задачи»............... 86

Решения задач, помещенных в № 6 за 1951 г.................. 87

Задачи.................................... 92

Задачи для учащихся............................ 93

Сводка решений по № 6 за 1951 г....................... 94

Редакционная коллегия Редактор А. Н. Барсуков. Зам. редактора С. И. Новоселов, Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин. Зав. редакцией Ф. М. Мидлер.

Технический редактор В. С. Якунина. Корректоры 3. Ф. Федорова и В. А. Гречишникова

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6. Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР.

Сдано в производство 28/11 1952 г. Подписано в печати 17/IV 1952 г. Учетно-изд. л. 12,15

А03046. Заказ 965. Тираж 52 000 экз.

Печ. зн. в п. л. 86 000. Цена 4 р. 50 к. Бумага 84X 1087i6 = 3 бумажн. л.—9,84 п. л.

13-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Москва, Гарднеровский пер.. 1а.