МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

2

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1952

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 2

МАРТ—АПРЕЛЬ 1952 г.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ИДЕИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО В ОБЛАСТИ МЕТОДИКИ МАТЕМАТИКИ

Б. В. БОЛГАРСКИЙ (Казань)

Изучая многочисленные методические высказывания Лобачевского и его чисто методические работы, а также его деятельность как педагога, мы видим, что глубокие идеи Лобачевского в области методики и методологии математики значительно опережали идеи его современников. Эти идеи зачастую являлись для своего времени настолько новаторскими, что они не утратили своего значения и в наше время.

Насколько мы можем судить, смелые и оригинальные методические идеи Н. И. Лобачевского зарождались у него уже с самого начала его педагогической деятельности, т. е. с того времени, как он приступил к чтению курса элементарной математики в Казанском университете и одновременно стал вести занятия по элементарной математике с готовящимися к своему званию чиновниками. В это время у Лобачевского возникают первые сомнения в том, что изложение элементарной математики, в особенности геометрии, проводится правильно. Эти свои сомнения Лобачевский высказывает в работе «О началах геометрии»: «Евклидовы начала, таким образом, — пишет он там,—несмотря на глубокую древность их, несмотря на все блистательные успехи наши в математике, сохранили до сих пор первобытные свои недостатки. В самом деле, кто не согласится, что никакая Математическая наука не должна бы начинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем мы Геометрию, и что нигде в Математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельных линий... О прочих недостатках Геометрии, менее важных по затруднению, не почитаю нужным говорить подробно. Ограничусь одним только замечанием, что они относятся к способу преподавания»*. В «Геометрических исследованиях по теории параллельных линий» Лобачевский замечает: «К этим несовершенствам я отношу неясность в первых понятиях о геометрических величинах, способы, которыми мы себе представляем измерение этих величин, и, наконец, важный пробел в теории параллельных линий, к восполнению которого все усилия математиков до настоящего времени были тщетными»**. Еще более определенно Лобачевский высказывается о недостатках основ геометрии в своих «Обозрениях преподавания чистой математики» за 1824/25 и 1825/26 учебные годы: «Начальные понятия,—говорит он,—применяются прямо в природе и тем самым отличаются от составных, которые необходимо требуют существования других, откуда бы они происходили. Поверхности и линии не существуют в природе, а только в воображении: они предполагают, следовательно, свойство тел, познание которых должно родить в нас понятия о поверхностях и линиях. Никто до сих пор не предпринимал труда восходить к сим источникам, и основания геометрии остаются темными, а после этого не мудрено, что в ней многое не выдержит строгого разбора»***. Таким

* Н. И. Лобачевский, Полн. собр. соч., т. I, 1946, стр. 185 — 186.

** Там же, стр. 79.

*** Л. Б. Модзалевский, Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, 1948, стр. 177.

образом, Лобачевский считал, что нельзя начинать изучение геометрии с таких понятий, как «поверхность», «линия» и пр., так как эти понятия не являются первичными, а мы познаем их лишь при ознакомлении с понятием «тело». Но и понятие о теле, обычно связываемое с понятием о трех измерениях, представляет большие трудности для начального изучения. «В чем же заключаются отличительные качества тел от прочих величин, познаваемых нами в природе, чтоб отсюда могло проистекать учение о линиях и поверхностях?»,—задает вопрос Лобачевский и сам тут же отвечает: «Этого еще нет ни в одной Геометрии»*. Лобачевский пытается разрешить этот вопрос, вводя как основное свойство соприкосновения, или касания, геометрических тел. Это основное свойство Лобачевский вводит и в свой элементарный курс геометрии, на нем же он строит и всю систему своей «воображаемой» геометрии.

Другими недостатками построения геометрии Лобачевский считает еще «темноты, которых причина бывает двоякая: 1-е, что не следуют правилу определить все в мере; 2-е, что хотят сохранить идеальность, тогда как истинная цель геометрии этого не требует»**.

В «Наставлениях учителям математики в гимназиях» Лобачевский определенно указывает, что главной целью обучения геометрии является ознакомление с измерениями пространственных форм, причем изучение геометрии должно начинаться с весьма конкретных элементов и сопровождаться стремлением максимально использовать чувства обучающегося для восприятия изучаемых объектов. «При вступлении в геометрию надобно довольствоваться теми понятиями, которые получаем о них прямо помощью чувств без всяких дальнейших исследований и постороннего пособия. Эти понятия просты и на них основанные истины ощутительны»***.

Написанный Лобачевским в 1829 г. учебник элементарной геометрии хотя и не рассчитан на гимназический курс, но в основном является попыткой провести в жизнь главные принципы изложения геометрии на новых, созданных самим Лобачевским, началах. Основная идея построения учебника выражена Лобачевским в самом определении геометрии, данном в первой фразе учебника: «Часть чистой Математики, в которой предписываются способы измерять пространство, называется Геометриею»****. В соответствии с таким пониманием задач геометрии Лобачевский в своих методических указаниях для преподавателей математики говорит: «Главная цель, которую надобно предположить в преподавании Геометрии, будет та, чтобы дать общие правила для измерения. Давая общие правила для измерения, надобно согласовать их с той целью, для которой они должны служить, т. е. для измерения на самом деле»*****.

Такое толкование основных целей преподавания геометрии в школе, конечно, нас удовлетворить не может. Оно носит чересчур узкий и утилитарный характер. Мы предъявляем школьному преподаванию геометрии значительно более широкие требования, и уменье применять геометрические знания к измерениям пространственных форм является лишь отдельной, хотя и важной, деталью всего комплекса этих требований. Мы считаем, что преподавание геометрии в школе имеет своей целью развитие у учащихся пространственного воображения и логического мышления параллельно с развитием уменья прилагать геометрические знания к практическим измерениям, построениям и вычислениям. Для достижения указанных целей необходимо систематическое изучение свойств фигур на плоскости и в пространстве и постоянное упражнение учащихся в рассуждениях дедуктивного характера. Решение практических задач, связанных с измерением, должно быть лишь естественным развитием конкретного мышления учащихся. При преподавании нельзя полагать правильным отрыв мышления от практического приложения, т. е. отрыв теории от практики.

Лобачевский весь курс элементарной геометрии строит в полном подчинении основной своей идее, т. е. излагает в нем вопросы, связанные только с измерением пространственных величин, сопровождая свое изложение лишь самыми необходимыми определениями и допущениями, играющими роль аксиом. Этой же основной идее подчиняется и порядок изложения в учебнике геометрии Лобачевского. В книге Лобачевского нет привычного для учебника геометрии построения с наличием аксиом, теорем, лемм и пр. Изложение курса элементарной геометрии Лобачевский начинает с вопроса об измерении прямых линий и разъяснения того, что надо понимать под этим процессом. Непосредственно с измерением прямых

* Л. Б. Модзалевский, Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, 1948, стр. 204.

** Там же, стр. 205.

*** В. М. Нагаева, О педагогическом наследии Н. И. Лобачевского, «Математика в школе», 1948, № 6, стр. 23.

**** Н. И. Лобачевский, Полн. собр. соч., т. II, 1949, стр. 43.

***** В. М. Нагаева, О педагогическом наследии Н. И. Лобачевского, «Математика в школе», 1948, № 6, стр. 25.

линий Лобачевский связывает и измерение кривых и тут же вводит за единицы измерений метрические меры. (Этот смелый новаторский почин Лобачевского не мог получить поддержки в дореволюционной России, так как метрические меры считались плодом французской революции и употребление их приравнивалось чуть ли не к революционным актам. Лишь после Великой Октябрьской революции метрические меры вытеснили в нашей стране старую громоздкую систему мер.) Развивая вопрос об измерении кривых линий, Лобачевский проводит идею представления кривой как совокупности большого числа очень малых прямолинейных отрезков, опираясь при этом на практиковавшийся в его время прием измерения окружностей колес при помощи цепи, состоящей из отдельных прямолинейных звеньев. Такой подход к измерению облегчал в будущем понимание методов измерения, основанных на применении бесконечно малых величин, т. е. являлся преддверием к изучению математического анализа. Уже здесь, при измерении длины окружности, Лобачевский намечает те методы вычислений, которые приближаются к методу интегрального исчисления; при дальнейшем развитии изложения своего курса Лобачевский этот метод применяет и для определения площади круга, объема пирамид и круглых тел.

На протяжении всего курса геометрии Лобачевский проводит изложение вопросов планиметрии параллельно с изложением вопросов стереометрии, т. е. он придерживается принципа, который впоследствии получил наименование фузионизма. Таким образом, Лобачевский впервые подходит к идее фузионизма, которым очень увлекались многие методисты в конце XIX и в начале XX в. В наше время мы уже редко встречаем убежденных сторонников фузионизма, так как проведение этого метода изложения в школьной практике показало его отрицательные стороны, но у Лобачевского фузионизм был вполне естествен, так как он вытекал из желания обобщить, объединить однородные по своему характеру измерения на плоскости и в пространстве. В этом смысле идеи Лобачевского являлись передовыми для его времени и имели гораздо больше внутреннего содержания, чем идеи методистов, воскресивших фузионизм в позднейшие времена. С первого же раздела своей работы Лобачевский объединяет измерение прямых и кривых линий; во втором разделе «Об углах» он разбирает параллельно и линейные, и двугранные, и телесные углы и тут же одновременно рассматривает окружность и шаровую поверхность; далее разъясняет вопрос о перпендикулярности прямых и плоскостей и пр. В то же время Лобачевский новые понятия вносит лишь тогда, когда строгое изложение теории какого-либо измерения вынуждает введение этого понятия. Поэтому, например, в курсе геометрии Лобачевского понятие о подобии появляется после вычисления объема пирамиды, а понятие о шаре и многогранных углах дается ранее рассмотрения случаев равенства треугольников и пр.

Такой непривычный, отступающий от шаблона, порядок изложения геометрии вызывал недоумение у современников Лобачевского, и, например, акад. Фусс находил, что автор этого курса геометрии «не имеет точного понятия о логическом порядке и методическом расположении предметов». Акад. Фусс был прав в том отношении, что порядок изложения у Лобачевского был недостаточно методичен, так как он требовал иногда более сложных рассуждений, но отнюдь нельзя отрицать в изложении Лобачевского своеобразной логики — при следовании к цели вводить новые понятия только тогда, когда без них дальнейшее изложение невозможно.

Одним из больших достоинств «Геометрии» Лобачевского является включение в курс простейших задач на построение в пространстве, на что редко обращают внимание даже современные методисты. А между тем подобного рода построения способствуют наибольшему развитию у учащихся пространственных представлений и имеют чрезвычайно важное значение при выработке уменья конструировать не только в области абстрактных математических конфигураций, но и в области чисто практической, производственной работы по моделированию и сооружению сложных технических объектов.

Положительным в «Геометрии» Лобачевского является также и то, что во многих случаях автор, при ознакомлении с новыми понятиями, не дает сразу формального, сухого определения, а предварительно разъясняет возможность практического создания нового образа. Так, например, при подходе к понятию прямоугольника он говорит: «Отсюда следует, во-первых, то, что когда одна линия перпендикулярна к другой, эта к третьей, третья к четвертой и когда все четыре линии лежат в одной плоскости, а прямые углы по одну сторону линий, то первая будет перпендикулярна к четвертой, так что составится четыреугольник с прямыми углами, который посему и называется прямоугольник»*. Правда, этот принцип выдержан Лобачевским не всегда. Например, при ознакомлении с пирамидой сразу

* Н. И. Лобачевский, Полн. собр. соч., т. II, 1949, стр. 71.

дается определение: «Пирамида есть тело, которого одна из ограничивающих плоскостей может быть треугольник или многоугольник и называется основанием, прочие плоскости — треугольники, выходящие из одной точки, вершины пирамиды»*. Что касается учения о параллельных, то в учебнике геометрии Лобачевский отказывается от своих прежних попыток доказать постулат о параллельных, признает, что все попытки подобного рода не дали строгого доказательства, а потому сопровождает постулат лишь разъяснением его.

Развивая свои методические идеи в области преподавания геометрии, Лобачевский не менее внимания уделял преподаванию и других дисциплин математики. В своих методических указаниях для учителей гимназий и других школ, а также в письме к попечителю Казанского учебного округа, Мусину-Пушкину Лобачевский высказывает свои соображения о преподавании арифметики и алгебры. Признавая, что все первоначальные понятия человек получает из окружающего мира посредством чувств, Лобачевский считал необходимым, чтобы при начальном ознакомлении ребенка с математическими идеями все преподавание имело в основе развитие чувств, поощряло всякие возможности восприятия внешних явлений посредством чувств. «Все должно быть у ученика под пальцами и перед глазами», — говорит Лобачевский, — чтобы для него «чувства заменяли суждение и чтобы он от этих непосредственных впечатлений сам собой перешел к тому кругу отвлеченных понятий, где ум начинает уже свои действия»**. В приведенных высказываниях Лобачевский вполне справедливо обращает внимание педагогов на то значение, которое имеет развитие чувств для расширения кругозора, для широты восприятия у учащихся, приступающих к начальному обучению.

Мы знаем, что разум человека неразрывно связан с практикой, с чувственным познанием материальной действительности и с деятельностью человека и развивается вместе с развитием этой деятельности. Поэтому во всяком опытном познании всегда имеются элементы мышления, суждения. Следовательно, можно говорить лишь о преобладании чувственного элемента у лиц, еще мало имевших дело с систематическим обучением, и о подчинении чувств разуму у лиц, достигших известной степени умственного развития. При таком понимании соотношения чувств и разума для нас становятся совершенно ясными ценные указания Лобачевского о применении при преподавании синтетического и аналитического методов. В своем письме к Мусину-Пушкину Лобачевский говорит: «Вообще надобно развивать способ синтетический, как необходимый в началах Математики и такой способ оставлять преимущественно для младшего возраста, тогда как способ аналитический годится только в высших классах, где даже не должно заменять его синтетическим, который хотя всегда более ощутителен, но является сложным и никогда не может быть общим и прочным способом, следовательно, не в состоянии приготовлять к переходу в высший анализ»***. Всякого рода обобщения, правила будут доступны учащемуся на более высокой ступени обучения, когда в его сознании накопится уже достаточный запас фактов, т. е. когда невольно создадутся предпосылки для обобщений накопленных фактов. «Покуда ученик учится счету на числах, до тех пор он нуждается в одних объяснениях прямо на каждый случай»,—говорит Лобачевский в письме к директору Пензенского дворянского института****, а в «Наставлениях учителям математики в гимназиях» он добавляет: «Напрасно было бы заботиться об определениях, присоединять пояснения правил»*****.

Лобачевский рекомендовал при первоначальном обучении проводить совместное, нераздельное обучение арифметике и геометрии; в этом случае геометрические образы как более легко воспринимаемые во многих отношениях помогают усвоению и арифметических понятий, в особенности при изучении раздела дробей. «В учении дробей»,—говорит Лобачевский,— можно для наглядности прибегать к черчению, показывая разделение целого на линиях и площадях. Лучше, по моему мнению, когда за Арифметикой следуют начала Геометрии, как такой части, которая по своей ощутительности в истинах с пособием чертежей легко приспособляется к понятию первого возраста»******.

Первые абстракции, в виде обобщений и правил, по мнению Лобачевского, должны войти в преподавание математики лишь с началом преподавания алгебры. «Теория — значит суждение в общем виде, следовательно, всегда отвлеченное, к которому ученик, начиная ариф-

* Н. И. Лобачевский, Полн. собр. соч., т. II, 1949, стр. 90.

** Н. И. Лобачевский, Наставления учителям математики в гимназиях. Труды Института истории естествознания, т. II, 1948.

*** Центр. Гос. Архив ТАССР, № 5186, фонд 92, лист 34.

**** Центр. Гос. Архив ТАССР, № 5620, фонд 92, лист 155.

***** Н. И. Лобачевский, Наставления учителям математики в гимназиях. Труды Института истории естествознания, т. II, 1948.

****** Гос. Архив ТАССР, № 5186, фонд 92, лист 34.

метику, совсем не способен»*. «Только с алгеброй начинается строгое математическое учение, которое возвращается также к первым правилам арифметики, а утверждается верность их строгим суждением, выражаясь всегда буквами и знаками»**.

Высказанное здесь суждение Лобачевского требует некоторых коррективов. Мы совершенно согласны с тем, что абстрактное мышление затруднительно для начинающего обучаться математике. Но категорическое утверждение о том, что ученик, начиная арифметику, совсем не способен к отвлеченному мышлению, не может быть нами признано вполне правильным, так как операции над числами включают в себя уже значительный элемент абстракции, поскольку само число — понятие абстрактное. Мы можем признать лишь то, что переход к алгебре является переходом на более высокую ступень абстракции.

В своих методических указаниях Лобачевский много внимания уделяет тому, чтобы изучение математики было не формальное, а давало бы учащимся реальное знание, базирующееся на понимании изученного и, следовательно, позволяющее обучающемуся применять полученные знания на практике, что, по мнению Лобачевского, и является главной целью обучения. Поэтому Лобачевский предостерегает от форсирования обучения математике, от желания во что бы то ни стало вложить в головы учащихся обобщенные понятия, не считаясь с тем, что эти понятия будут восприниматься учащимися механически, без освоения их сущности. «Способность составлять отвлеченные понятия, — говорит Лобачевский, — которые позволяют множество различных предметов соединить в одном представлении, приобретается постепенно и может совершенствоваться непрестанно для развития ума, а в постепенном развитии понятий и в умении не допускать, чтобы одно изучение на память общих правил и механическое исчисление заменили суждение, заключается искусство преподавания и успех его»***.

В 1834 г. Лобачевский печатает работу «Алгебра или вычисление конечных»; этот труд Лобачевский создавал сначала как учебник для гимназий, но после написания первых глав он переменил намерение и значительно расширил и углубил материал. Уже в предисловии к этому руководству Лобачевский намечает основные установки для своей работы. Он находит, что в алгебре, как и в геометрии, недостаточно разработаны самые основные дисциплины. Он пишет: «Алгебру и Геометрию постигла одинаковая участь. За быстрыми успехами в начале следовали весьма медленные и оставили науку в такой степени, где она еще далека до совершенства. Это произошло, вероятно, от того, что математики все свое внимание обратили на высшие части Аналитики, пренебрегая началами и не желая трудиться над обрабатыванием такого поля, которое они уже раз прошли и оставили за собой»****. Лобачевский полагает, что нужно особое внимание обращать на самые начальные понятия в науке, так как потом уже трудно исправить те недочеты в строгости понятий, которые вначале были допущены. «Первые понятия, — говорит Лобачевский, — во всех отраслях Математических наук приобретаются легко, но всегда соединены с недостатками, которые пополнить даже и впоследствии бывает весьма трудно. Если писатели для начинающих опускают это из виду, то они предполагают другую цель, опасаясь бесполезно затруднить читателей. Где-нибудь, однакож, надобно воротиться снова к началам и теперь уже всю строгость почитать у места. По мнению моему Алгебра первая начинает Математику со всею точностью понятий и со всею обширностью взгляда»*****.

Таким образом, мы видим, что Лобачевский одним из главных принципов изложения алгебры, как и геометрии, считает строгость математического изложения. Указанная строгость при изложении математических дисциплин является характерной особенностью всех математических работ Лобачевского. Проф. П. И. Котельников, говоря о необходимости строгости при изложении математических вопросов, указывал на Лобачевского как на автора именно таких строго обоснованных математических трудов и при этом особо подчеркивал строгость изложения его «Алгебры»******. В своей «Алгебре» Лобачевский подводит к аналитическим разделам математики такие же твердые основы, какие считались в его время в геометрии, и, таким образом, на 53 года ранее Гельмгольца осуществляет практически те требования, которые Гельмгольц высказывал в своем сочинении «Счет и измерение»*******.

* Гос. Архив ТАССР, № 5620, фонд 92, лист 155.

** Н. И. Лобачевский, Наставления учителям математики в гимназиях. Труды Института истории естествознания, т. II, 1948.

*** Там же.

**** Н. И. Лобачевский, Полн. собр. соч., т. IV, 1948, стр. 24.

***** Там же.

****** Центр. Гос. Архив ТАССР, № 4995, фонд 92, лист. 68.

******* Гельмгольц, Счет и измерение. Сборник научно-популярных статей Пуанкаре, Гельмгольца, Кронекера и др. по основаниям арифметики, Казань, 1906.

Если Гельмгольц создает своего рода аксиоматику как фундамент для построения всего здания счета, то это же самое делает и Лобачевский, причем основания, построенные Лобачевским, гораздо естественнее и имеют более широкое значение, чем аксиомы Гельмгольца, так как Гельмгольц мыслит число лишь как порядковое, а Лобачевский в своих теоремах подобного ограничения для чисел не делает. Если мы просмотрим самые начальные георемы «Алгебры» Лобачевского, то увидим всю строгость, которую он применяет для доказательства истин, на первый взгляд как бы очевидных. Уже в главе I («Сложение и вычитание чисел») Лобачевский строго доказывает закон переместительности, а затем и такие теоремы: «Разность равна уменьшаемому, когда вычитаемое нуль», «Разность двух чисел может быть только одно число», «Число не переменится, когда к нему будет придано другое, а затем оно же вычтено», «Когда из суммы двух чисел вычтется одно, то в остатке будет другое»*. Созданный Лобачевским курс алгебры нельзя еще признать за строго аксиоматический, но, во всяком случае, в нем сильно заметно стремление к аксиоматическому методу изложения.

Главу IX своего труда Лобачевский посвящает решению систем линейных уравнений. В этой главе особо следует отметить статью 113. Про эту статью сам Лобачевский в предисловии замечает: «В отношении к уравнениям первой степени, казалось, ничего уже не оставалось прибавить после того, когда были найдены общие выражения, которые назвал я здесь представительными, для всякого числа неизвестных. Однакож мне удалось такие выражения заменить собственными значениями. Ожидаю, что открытие не останется без пользы»**. И, действительно, в этой статье Лобачевский дает способ получения окончательного решения системы в том виде, который мы теперь можем истолковать как систему решений, представленных через развернутые детерминанты. В главе XIV Лобачевский вносит в свою «Алгебру» рассмотрение тригонометрических функций. Он мотивирует это так: «О тригонометрических функциях я также захотел поговорить, не выходя, впрочем, из пределов Алгебры... потому что не только решение уравнений требует такого пособия, но даже и учение о степенях осталось бы иначе неполным»***. Интересно то, что изложение тригонометрических функций имеет у Лобачевского в основе понятие о показательных функциях, т. е. он исходит из формул Эйлера, откуда затем аналитическим путем получаются и все основные тригонометрические соотношения.

XV глава «Алгебры» тоже является необычной для шаблонных курсов алгебры, а именно: она содержит некоторые сведения из области теории конечных разностей. Здесь Лобачевский, исходя из понятия о приращении функции, развивает теорию конечных разностей, завершив ее «суммованием», т. е. переходом от приращения функции к самой функции.

Большой интерес представляет для нас также и последняя статья «Алгебры», в которой Лобачевский дает метод приближенного решения уравнений, обычно именуемый методом Греффе, хотя последний и подошел к таковому решению позднее Лобачевского.

Строгость понятий, в особенности понятий, лежащих в основе той или иной науки, которую проводил Лобачевский, в своих курсах по средней математике, не в меньшей мере сопутствует ему и в его трудах по математическому анализу. В трудах «Об исчезании тригонометрических строк» и «Способ увериться в исчезновении бесконечных строк и приближаться к значению функции от весьма больших чисел» Лобачевский обращает внимание на кардианальные понятия математического анализа и, уточняя эти понятия, дает им такие толкования, которые далеко опережают идеи его западных современников. Именно, в упомянутых нами трудах Лобачевский уточняет понятие о функции, ее дифференцируемости и непрерывности.

Лобачевский первый дал то расширенное понятие о функции, которое весьма близко подходит к ее современному пониманию. Он говорит: «Это общее понятие требует, чтобы функцией от X называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной... Кажется нельзя сомневаться в истине того, что все в мире может быть представлено числом, ни в справедливости того, что всякая в нем перемена и отношение выражается аналитическою функциею. Между

* Н. И. Лобачевский, Полн. собр. соч., т. IV, 1948, стр. 36.

** См. Н. Г. Чеботарев, Обзор сочинения «Алгебра или вычисление конечных»; помещено в IV томе Полн. собр. соч. Лобачевского.

*** Н. И. Лобачевский, Полн. собр. соч., т. IV, 1948, стр. 26.

тем обширный вид теории допускает существование зависимости только в том смысле, что числа, одно с другим в связи, принимать как бы данными вместе*. Таким образом, Лобачевский дал то определение функции, которое обычно приписывается Дирихле, несмотря на то, что Дирихле дал свое определение функции на три года позднее Лобачевского**.

В вопросе непрерывности и дифференцируемости функций Лобачевский высказал глубокие соображения, которые опережают идеи его современников на десятилетия и по своему существу вполне приемлемы и в наше время. Так, именуя «постепенностью» непрерывность и «непрерывностью» — дифференцируемость, Лобачевский первый строго разграничил эти понятия и дал им правильное толкование. Он говорит: «Во всякой аналитической функции обращать должно внимание на постепенность и непрерывность. В сочинении моем «Об исчезании тригонометрических строк» я доказывал необходимость этого различения, называя функцию постепенною, когда приращения в ней уменьшаются до нуля вместе с приращениями

переменного х\ — непрерывной — когда содержание (т. е. отношение. — Б. Б.) двух этих приращений с их уменьшением переходит нечувствительно в новую функцию, которая будет, следовательно, дифференциальным множителем. Интегралы должны быть всегда разделяемы так на промежутки, чтобы элементы под знаком каждого интеграла сохранили постепенность и непрерывность»***.

Если мы примем во внимание даже лишь только что указанные факты, то и этих фактов достаточно для того, чтобы признать, что идеи Лобачевского имеют весьма большое значение для методологии и для разработки методики преподавания основ высшей математики.

Заканчивая на этом краткий обзор методических идей Лобачевского, мы должны высказать пожелание, чтобы наши преподаватели математики и наши студенты педагогических институтов побольше ознакомлялись с методическими работами Лобачевского, так как мы уверены в том, что они почерпнут в них много ценных методических указаний, которые облегчат работу педагога.

* Н. И. Лобачевский, Об исчезании тригонометрических строк. «Ученые записки Казанского университета», 1834. кн. 2.

** Дирихле дал свое определение функции, аналогичное определению Лобачевского, в 1837 г.

*** Н. И. Лобачевский, Способ увериться в исчезании бесконечных строк и приближаться к значению функции от весьма больших чисел. «Ученые записки Казанского университета», 1835, стр. 89.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

СЛАВЯНСКАЯ НУМЕРАЦИЯ

К. И. ШВЕЦОВ (г. Станислав)

Вопрос о славянской нумерации в нашей литературе освещен недостаточно. Это объясняется тем, что сведения о ней приходится извлекать из общих источников по истории Киевского государства. Трудность исследования этого вопроса заключается в отрывочности и случайности данных, сообщаемых древнерусскими документами.

Известно, что древние греческая и латинская нумерации пользовались буквами для обозначения чисел. Неудобство пользования этими буквами для славян заключалось в том, что в греческих и латинских алфавитах нехватало многих знаков для обозначения славянских звуков, отсутствующих в греческом и латинском языках.

Братья Константин (в монашестве Кирилл, ум. в 869 т.) и Мефодий (ум. в 855 г.) создали славянскую азбуку. Создание славянской азбуки имело большое значение для развития культуры Руси и оказало огромное влияние на развитие математики в Киевском государстве.

Созданный алфавит, так называемая кириллица, в известной мере использовал греческие буквенные символы.

Греческая алфавитная система нумерации содержит 27 символов: 24 буквы греческого алфавита и 3 вышедшие из употребления старинные буквы, называемые episem

именующиеся соответственно:

Таблица единиц десятков и сотен имела вид (табл. I).

Таблица I

Тысячи обозначались теми же буквами, что единицы, но с добавлением значка в виде запятой, который ставился налево от цифр, выражающих количество тысяч. Например:

Для отличия чисел от букв над последними проводилась черта. Иногда тысячи изображались без помощи вспомогательных символов, например:

Десять тысяч (мириада) обозначалась посредством или просто М: числовый коэф-

фициент мог принимать троякое положение: либо слева перед М, либо справа, либо наверху, например:

Если коэффициент ставится слева, то знак M заменяется иногда точкой, например :

Система вспомогательных символов в алфавитной греческой нумерации мало развита и при изображении многозначных чисел неудобна.

Славянская кирилловская нумерация имела 27 основных символов для обозначения единиц, десятков и сотен.

Числа от 1 до 9, затем десятки и сотни обозначались в ней следующими по порядку славянскими буквами, с некоторыми исключениями. Для числа 2 взята была буква «веди», а не «буки», так как в греческом языке не было отдельных букв «б» и «в», и за а следует ß.

«Фита», стоящая в конце славянского алфавита, означала десять, греческая «тэта». Наконец «черв» для девяносто был взят вместо архаического знака «коппа» (в настоящем греческом алфавите отсутствует). Таблица единиц, десятков и сотен имела вид (табл. II).

Таблица II

Относительно обозначения чисел 6, 90 и 900 заметим следующие: 1) В древнейших памятниках употреблялся знак № 1 табл. V, для обозначения 6 (Изборник Святослава 1073 г. например: л. 264 и 265; Савина книга XI в., например, л. 52; Остромирово Евангелие 1057 г.; позже всего этого знак встречался в Апостоле 1220 г.).

Обыкновенно в русских памятниках до конца XIV в. для обозначения 6 употребляется знак № 2 табл. V (встречается два раза в Остромировом Евангелии, Туров Ев. XI в. и даже в памятниках XV в.—Евангелие 1401 г., или летописный сборник XV в. Виленской публичной библиотеки, именуемый литописью Авраалоки, где этот знак № 2 табл. V употребляется постоянно).

У южных славян с древнейших времен употребляется знак № 2 табл. V, о чем свидетельствует надпись Саммуила 993 г. (см. копию этой надписи из сочинения Е. Ф. Карского, стр. 107)*.

Копия надписи Самуила

В XIII в. получает преобладание знак № 1 табл. V. С распространением южнославянского влияния знака № 1 табл. V встречается в русских рукописях, и после он вошел в печать.

Интересно употребление буквы № 7 табл. V вместо S=»£, что мы встречаем в одной кормчей XIII в., где число 6296 изображается так:

Число 90 обозначалось двумя символами: знаком № 3, табл. V (Остромирово Евангелие и другие древнейшие рукописи) и знаком № 4 табл. V (Луцкое Евангелие XIV в., л. 249, Румянц. муз., № 112).

В некоторых памятниках (например, в Евангелии 1393 г. и в Остромировом) вместо знака № 3 табл. V встречаем нечто среднее между ним и знаком № 4 табл. V, это знак № 5 табл. V.

* Е. Ф. Карский, Очерк славянской кирилловской палеографии, Варшава, 1901, стр. 193.

Для изображения числа 900 в древнейших рукописях употребляется А «Таковой числительный знак,—говорит Востоков,—встречается наиболее в рукописях первой половины XV в. и в древнейших памятниках*.

В глаголицкой азбуке для обозначения 900 употребляется знак № 6 табл. V, который со временем проникаете кириллицу, вытесняя Д. Отсюда можно предположить, пришли к обозначению 900 через Ц . Это обозначение встречается впервые в южнорусском Евангелии 1427 г. Последнее обозначение вошло в печать.

В некоторых рукописях югославского происхождения изредка встречаем употребление букв для обозначения цифр по-глаголически (см. табл. III).

Таблица III

Тысячи обозначались теми же буквами, что единицы, но с добавлением значка, который ставился налево от цифр, выражающих количество тысяч.

Для записи составных чисел писали знаки подряд, выражающие числа тысяч, сотен, десятков и единиц. Исключение составляют двузначные числа, так как единицы второго десятка пишутся после единиц.

Приведем примеры записи чисел в славянском начертании:

Относительно записи составных чисел заметим следующее.

По свидетельству И. Срезневского**, в Ефремовной кормчей XII в. в нумерации оглавлений, зачал и месецеслова единицы нередко предшествуют десяткам и, кроме того, пишутся связно. Подобное изображение составных чисел считается обычным в западнорусских договорах, где единицы, вероятно, ставились перед 20, 30 и т. д. (например, договорная

грамота смоленского князя Мстислава с Ригой 1229 г.).

В одном храбровом сказании о письменах употребляются следующие начертания для 24: «Это письмена славянские их подобает писать, а,В,Б даже Д°'А| и от этих всех есть четыре междометия подобных греческим письменам»***,

Это счисление формулой можно записать так: 10 -|— 4 + 10. Подобное счисление существует только в чешском языке.

Несколько необычное выражение счисления находим на одном Евангелии XIII — XIV вв. Румянцевского музея, № 108: «а это евангелие положили лета после сем тысячи второго надесят» (7012); подобное имеем в западнорусской грамоте 1513 г.: «в лето осмое тысячи двадцать первого году» (8021).

Кроме основных алфавитных символов, славянская нумерация имела весьма оригинальную систему вспомогательных символов для обозначения единиц высших разрядов (табл. IV).

Эта система вырабатывалась постепенно и окончательное ее развитие принадлежит к сравнительно поздним эпохам.

(Проф. Карский считает, что символы высших разрядов изобретены в конце XV в., так как эти символы не встречаются в рукописях древнее 1494 г. В. В. Бобынин придерживается того же мнения). Для обозначения тысяч употребляется значок,

Таблица IV

не имеющий сам по себе численного значения. Для обозначения единиц высших разрядов употреблялись знаки вспомогательные, также не имеющие численного значения (табл. V).

Таблица V

* Востоков, Описание русских и славянских рукописей Румянцевского музеума, С-П, 1842.

** И. Срезневский, Обозрение древнерусских списков Кормчей книги, стр. 17.

*** О. Бодянский, О времени происхождения славянского письма, стр. 56.

Проф. Ягнич* приводит интересные рассуждения старинного автора о славянской нумерации.

Иные числа установлены для сокращения. С помощью одной и той же буквы может быть выражено разное число, а именно: та же буква с хвостиком (хвостима) обозначает тысячу, а та же буква в кругу будет уже обозначать тьму, а в точечном (из точек) кругу та же буква уже обозначает легион, а в палочном (из черточек) кругу уже будет обозначать леодры. Если ту же самую букву поставить между двумя H, то эта же буква будет иметь значение ворона.

Самое большое число — колода, больше этого числа нет. Тысяча, десять тысяч — тьма, десять тем — легион, десять легионов — леодр, десять леодров — ворон, десять воронов— колода обозначаются, как показано в таблице IV.

В прописи писаний в 1643 г. в Вологде (Румянц. муз., ССС XXVI) даны другие символы.

Вот отрывки описаний нумерации:

В рукописи XVI в., описанной Востоковым** (под XII) и озаглавленной:

«Сия книга глаголема по славянски и по гречески арифметика»... читаем «тьма есть десять тысяч, а легион есть десять тем, а леодр десять легионов».

Для отличия символов, выражающих числа, от букв над ними ставили различные титла:

Иногда с той же целью буквы помещались между точками, например:

Обычно ставились и точки и титла. Если число обозначалось сложным символом, то весь символ заключался в точках. Чаще точки ставятся перед и после каждого символа, но единицы и десятки не разделяются.

Вышеописанные символы можно видеть в различных рукописях. Так, например, в учении о числах Кирика имеется запись: «Рождение моего до сюда бо я лет

Во многих случаях символы для изображения единиц высших разрядов заменялись словами. Так, например, в сборнике Xvl в. в статье «О широте и долготе земли» находим:

«Отстоит небо от земли T.Z-ß. f в (376 тем) поприща: земли расстояния от востока до запада стадий TîC.T6.(25 тем) от севера же до полудения FT. и полтмы ^12-^- тем^ двоицею бо долгота широка есть, нежели широта».

Числа до тысячи назывались почти так же, как и в настоящее время, была только небольшая разница в произношении. Так, например, один называется «един», двадцать — «два-десять» и т. д. Десять тысяч называлось «тьма», и это число считалось столь огромным, что тем же словом обозначалось всякое неподдающееся счету множество.

Кроме описанной системы счисления, которая называлась «малым числом» и не распространялась далее тысяч миллионов (Ю9), употреблялась вторая система, называемая обыкновенно «великим числом», иногда также «великим словенским», куда входили числа до 1048, а иногда даже 1049. После этого прибавляли «и более сего несть человеческому уму разумети».

Вот отрывок из рукописи Румянцевского музея, описанной Востоковым под № XII***:

«Смотри же и другие большие (великое) число, когда тебе нужно выразить большое числовое понятие, начинается большое (великое) число так: десятью десять — сто, десять сто — тысяча и тысяча тысяч — тьма, а тьма тем — легион, а легион легионов будет леодр, а леодр леодров — ворон. Числа больше этого непостижимы для человеческого разума».

* А. И. Филиппов, О славянской нумерации, М„ 1913 (журн. «Математическое образование», 1913, № 3, стр. 9).

** А. И. Филиппов, Указ. соч., стр. 12.

*** А. И. Филиппов, Указ. соч., стр. 10.

Отсюда видно, что при великом счете тьма есть 106, легион — 1012, леодр — 1034, ворон (вран) —1048.

Приведем полную таблицу «числа великого словенского»:

Для полной стройности системы, наименованной колодой, следовало бы назвать не 1049, а 1096.

В. В. Бобынин говорит: «Единица 49-го разряда, или ворон, не всегда составляла крайний предел употребляемого нашими предками счисления». В подтверждение сего он указывает на рукописную грамматику XVII в. Румянц. муз. в собрании рукописей В. М. Ундольского под № 953, в которой шли дальше, доходя до единицы 50-го разряда, т. е. до десяти воронов.

Названия, употреблявшиеся в малом числе, переносились на великий счет, но с другим смыслом.

Написание знаков в славянской нумерации и система записи чисел в течение столетий подвергалась изменениям и усовершенствованиям.

Кроме основных алфавитных символов, славянская нумерация имела весьма оригинальную систему вспомогательных символов для обозначения единиц высших разрядов.

Кроме системы счисления, которая называлась «малым числом» и не шла далее тысячи миллионов (109), употреблялась вторая система, называемая обыкновенно «великим числом», иногда также «числом великим славянским», в котором крайним пределом была единица 48-го разряда или единица 49-го разряда.

Славянской нумерацией пользовались продолжительный период в истории русского народа. Источники XV в. подтверждают знание индийской нумерации.

Однако славянские цифры встречаются до конца XVII в. Так, одна половина «Юрнала об осаде Петербурга», изданного в Москве в 1702 году, была напечатана «с цифирными числами», а другая — «с русскими» (славянскими)*.

* В. В. Бобынин, Очерки истории развития физико-математических знаний в России, вып. I, Москва, 1856, стр. 193.

МЕТОДИКА

О РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ

Г. М. ОЛИФЕР (Пятигорск)

Формально все этапы общепринятой схемы решения задач на построение представлены в учебнике Киселева. По существу же, за редким исключением, «анализ» в образцах решений дается без анализа. В этих образцах превалирует дедукция и совершенно отсутствуют какие бы то ни было указания общего характера. Это часто приводит учителей к убеждению, что установление каких бы то ни было общеметодических принципов отыскания решений на построение, пригодных если не ко всем задачам, то хотя бы к значительным классам задач, вообще невозможно.

Рассмотрим несколько образцов проведения анализа из учебника геометрии Киселева.

1. На странице 36 приведен образец решения «более сложной» задачи — построение треугольника по основанию, углу при основании и сумме боковых сторон. Анализ в этом образце изложен так: «Продолжив AB, отложим отрезок AD, равный S» (черт. 1). Это ли не показ «готового решения»? Такие вопросы, как: почему для достижения цели нужно делать те или иные построения, почему, в частности, нужно продолжить сторону AB и отложить на ней AD а не продолжить ВС?,— в этом образце не затрагиваются.

2. На странице 54 суть метода параллельного перенесения выясняется на задаче построения четырехугольника по четырем его сторонам и отрезку, соединяющему середины двух противоположных сторон.

Вот как выглядит анализ в этом образце: с Чтобы сблизить между собой данные линии, перенесем параллельно самим себе стороны AD и ВС в положение ED1 и ЕСгъ (черт. 2).

И здесь также цель анализа не установлена; необходимость сближения на чертеже линий, данных в условии задачи, не оправдана и даже не объяснена, что превращает данный образец в показ готового решения.

3. На странице 71 дан образец решения задачи, являющейся средством для решения весьма многих других задач, — построить на данном отрезке сегмент, вмещающий данный угол.

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Вот как выглядит анализ в этом образце: «Проведем вспомогательную прямую ЛЕ (черт.З), касательную к окружности в точке А. Тогда.. . ».

Ни цели анализа, ни обоснования необходимости проведения именно этой вспомогательной линии в этом образце нет.

Нам неоднократно приходилось слышать на уроках такой вопрос, задаваемый учащимися: «А как вы догадались, что нужно в точке А провести касательную At ?». Ясно, что касательная при таком «анализе» введена часто дедуктивно, а не «всплыла» в результате настоящего анализа. Подкупающая простота решения, приведенного в учебнике, и отсутствие указаний о возможности иных решений часто являются причиной того, что учитель, не задумываясь, прибегает к пересказу учебника, т. е. к сообщению учащимся «готового решения».

Из сказанного мы делаем следующие выводы:

1. Для улучшения школьной практики решения задач на построение необходима разработка методики обучения решению задач и, в первую очередь, методики проведения анализа.

2. Правильное и последовательное применение чисто аналитического метода при отыскании решений задач на построение должно начинаться в VI классе с «основных» задач на построение.

3. Принятая в специальных пособиях по теории и практике геометрических построений классификация задач исключительно по методам решения для целей школьного преподавания, в частности для разработки методики проведения анализа, мало пригодна: приемы построения в школьном преподавании должны вытекать из анализа, а не обусловливать его.

4. Наиболее приемлемой для методических целей может являться классификация задач на построение по видам геометрических фигур.

5. Такая классификация обеспечивает возможность установления общих для всего класса задач методических принципов отыскания решений, не зависящих от основных методов геометрических построений, и в силу этого применимых еще на первой ступени обучения геометрии в школе.

Ниже делается попытка установления единого методического принципа и приемов отыскания решений (задач) на построение в семилетней школе.

Отнесем к числу основных задач на построение как все элементарные геометрические построения, так и те задачи, решения которых очевидны и сводятся к построениям в определенном порядке сторон и углов многоугольника, данных в условии.

Мы будем рассматривать задачи на построение многоугольников, решение которых требует применения общепринятой схемы: анализ, построение, доказательство, исследование.

При этом нас будет интересовать только первая часть этой схемы — анализ.

Очевидно, что всякая задача на построение многоугольников сводится к определению всех вершин многоугольника.

Условимся о следующем.

а) При решении задачи будем считать известными элементы искомого многоугольника, явно или неявно данные в условии задачи, а также и те, которые могут быть получены из них с помощью элементарных построений.

б) Чертеж, сделанный в предположении, что задача решена, будем называть чертежом-наброском и выполнять его жирными линиями, а все дополнительные построения — пунктирными.

Условимся считать задачу простой, если для проведения анализа достаточно чертежа-наброска, и сложной, если для проведения анализа в дополнение к чертежу-наброску необходимо проводить те или иные вспомогательные линии.

Наш опыт подсказывает, что решение всякой задачи на построение многоугольников в семилетней школе может быть найдено путем образования на чертеже треугольника, способ построения которого уже известен. Такой треугольник мы в дальнейшем будем называть вспомогательным треугольником, а метод отыскания решений с его помощью — методом вспомогательного треугольника.

Таким образом, ближайшей целью при проведении анализа в задачах на построение многоугольников можно выдвинуть образование на чертеже треугольника, построение которого известно. Оказывается, что в случае простых задач такой треугольник образуется «сам по себе» на чертеже-наброске, а в случае задач сложных — для его образования необходимо в дополнение к чертежу-наброску проводить те или иные вспомогательные линии.

Простые задачи

Для простых задач анализ всегда можно свести к выяснению таких вопросов:

1. Имеется ли на чертеже-наброске треугольник, построение которого известно?

2. Как осуществить построение этого треугольника?

3. Сколько вершин искомого многоугольника будет определено построением вспомогательного треугольника?

4. Как с помощью данных условий определить остальные вершины искомого многоугольника, предположив вспомогательный треугольник построенным?

Из ответов на второй и четвертый вопросы естественно получится план решения, составлением которого завершится анализ.

На чертеже-наброске может оказаться не один, а несколько треугольников, построение которых известно. Вообще говоря, любой из них может быть взят в качестве вспомогательного, однако предпочтение должно быть отдано тому из них, который с искомым многоугольником имеет наибольшее число общих вершин. При таком выборе вспомогательного треугольника будут значительно облегчены выводы по четвертому пункту намеченной схемы анализа.

Примеры простых задач*

1. Построить равнобедренный треугольник по основанию и боковой высоте (черт. 4).

Задача простая, так как на чертеже-наброске имеется треугольник BDC, который можно построить по катету и гипотенузе. Предположив выполненным построение Д BDC, определим две вершины В и С искомого треугольника. Третья вершина А искомого треугольника после этого может быть определена различно: а) либо как точка пересечения продолжения CD с перпендикуляром к ВС через ее середину, б) либо как точка пересечения продолжения CD с прямой ВА, проведенной под углом С к ВС.

2. Построить параллелограм по двум его смежным сторонам и одной диагонали (черт. 5).

Задача простая, так как на чертеже-наброске имеются треугольники ACD и ABC, которые можно построить по трем сторонам. Оба они имеют по три общие вершины с искомым параллелограмом, поэтому в качестве вспомогательного берем любой из них, например t\ACD.

Предположив ДЛСО построенным, определим три вершины искомого параллелограма. Четвертая вершина может быть определена как точка пересечения прямых, проведенных из С параллельно AD и из А—параллельно DC.

3. Построить четырехугольник по трем его сторонам и двум диагоналям (черт. 6).

Задача простая, так как на чертеже-наброске имеется два треугольника: Д ABC и Д ABDt которые можно построить по трем сторонам. Взяв в качестве вспомогательного один из них, например Д ABD, и предположив его построенным, определим три вершины Л, В, D искомого четырехугольника. Четвертая вершина может быть определена как точка пересечения окружностей с центрами в А и В и радиусами, равными тис.

4. Построить трапецию по ее основанию, высоте и двум диагоналям (черт. 7).

Задача простая, так как на чертеже-наброске имеется два треугольника: Д ABD и ДЛСО, которые можно построить по двум сторонам и высоте на одну из них. Взяв один из них, например Д ABDy в качестве вспомогательного и предположив его построенным, определим три вершины А, В, D искомой трапеции. Четвертая ее вершина определится как точка пересечения окружности с центром в Л и радиусом m с прямой, проведенной из В параллельно AD.

5. Построить треугольник по его основанию и двум медианам, исходящим из концов основания (черт. 8).

Задача простая, так как на чертеже-наброске имеется треугольник BDC, который можно построить по трем сторонам. Взяв Д BDC в качестве вспомогательного, определим две вер-

Черт. 4

Черт. 5 Черт. 6 Черт. 7

* Все задачи, приведенные ниже в качестве примеров, взяты из школьного учебника Киселева.

шины В и С искомого треугольника. Третья его вершина А может быть определена как точка пересечения прямых BE и СЕ. Точки Е и Е находятся на продолжениях отрезков BD и CD на расстояниях от точки D.

6. Построить параллелограм по его высоте и двум диагоналям (черт. 9).

Задача простая, так как на чертеже-наброске имеется треугольник AOD, который можно построить по двум сторонам и высоте на третью сторону. Взяв Л AOD в качестве вспомогательного, определим две вершины А и D искомого параллелограма.

Остальные две его вершины после этого могут быть определены продолжениями АО и DO.

7. Построить четырехугольник по двум диагоналям, двум соседним сторонам и углу, образованному двумя другими сторонами (черт. 10).

Задача простая, так как на чертеже-наброске имеется треугольник ABD, который можно построить по трем сторонам. Построив его в качестве вспомогательного, определим три вершины A, Bf D искомого четырехугольника. Четвертая вершина искомого четырехугольника сможет быть определена как точка пересечения дуги сегмента, построенного на BD и вмещающего данный угол ос, с окружностью с центром в А и радиусом dx.

8. Построить четырехугольник, который можно было бы вписать в круг, по трем его сторонам и одной диагонали (черт. 11).

Задача простая, так как на чертеже-наброске имеется треугольник АБС, который можно построить по трем сторонам. Построив его в качестве вспомогательного, определим три вершины А, В, С искомого четырехугольника и один его угол — угол В. Так как искомый четырехугольник должен быть вписуем в окружность, то угол при вершине D должен являться дополнением угла В до 180°. Четвертую вершину D искомого четырехугольника можно определить как точку пересечения дуги сегмента, построенного на АС и вмещающего угол 180° — В с окружностью с центром в А и радиусом а.

Сложные задачи

Для сложных задач вопросом, подлежащим решению до проведения анализа, всегда будет являться вопрос о том, с помощью каких дополнительных построений к чертежу-наброску можно образовать вспомогательный треугольник.

Характер дополнительных построений различен в различных задачах. Это делает всякую задачу на построение маленьким, посильным для учащихся исследованием, при выполнении которого учащиеся мобилизуют свои теоретические сведения. Сделать эти исследования целенаправленными, т. е. указать решающему задачу некоторую руководящую идею в этих исследованиях, нужно и возможно.

Создав на чертеже вспомогательный треугольник, можно приступать к проведению анализа по той же схеме, что и в случае простых задач. В большинстве задач, подлежащих решению в семилетней школе, необходимость дополнительных построений к чертежу-наброску вызывается следующими двумя причинами:

1) отсутствием на чертеже-наброске тех или иных линейных элементов из числа данных в условии задачи;

2) разобщенностью на чертеже-наброске данных условия задачи.

В таких случаях характер дополнительных построений для образования на чертеже вспомогательного треугольника определяется легко.

В первом случае, убедившись, что на чер-

Черт. 8

Черт. 9 Черт. 10 Черт. 11

теже-наброске нет вспомогательного треугольника и что на нем отсутствуют изображения тех или иных данных условия задачи, нужно выяснить следующие вопросы: каких элементов из числа данных в условии нет на чертеже-наброске? какими способами их можно на чертеже образовать? как образовать треугольник, в который вошли бы эти элементы? Проверить, что образованный треугольник может быть построен.

Во втором случае, убедившись, что все данные условия изображены на чертеже-наброске, но вспомогательного треугольника на нем все же нет, нужно прибегнуть к сближению на чертеже разрозненных данных условия путем перемещения некоторых из них.

Примеры сложных задач

1. Построить прямоугольный треугольник по его гипотенузе и сумме катетов (черт. 12).

Задача сложная, так как на чертеже-наброске нет вспомогательного треугольника. На чертеже-наброске нет отрезка, равного сумме катетов. Очевидно, что сумму катетов на чертеже можно образовать двояким образом:

1) либо приложив катет АС к катету ВС в виде отрезка ВАг; тогда для образования треугольника, имеющего в качестве стороны отрезок BAl9 достаточно соединить точки Ах и Л. Убеждаемся, что Д АХВА можно построить по двум сторонам и углу Alf равному 45°;

2) либо приложив катет ВС к катету АС в виде отрезка АВХ; тогда для образования треугольника, содержащего стороной отрезок АВХ, достаточно соединить точки Вх и В; убеждаемся, что и Д ВХВС также может быть построен.

Так как оба эти треугольника имеют по две общие вершины с искомым треугольником, то совершенно безразлично, какой из них взять в качестве вспомогательного для проведения анализа.

2. Построить треугольник по его основанию, углу при основании и сумме боковых сторон (черт. 13).

Задача сложная, так как на чертеже-наброске нет ни вспомогательного треугольника, ни отрезка-суммы двух боковых сторон. Выясняем, что сумму сторон можно образовать на чертеже двояко:

1) приложим сторону CA к стороне ВА в виде отрезка ВСХ\ в этом случае для создания на чертеже треугольника со стороной ВСХ достаточно соединить Сх и С; треугольник ВСХС можно построить по двум сторонам и углу между ними; он может быть взят в качестве вспомогательного для проведения анализа;

2) приложим сторону ВА к стороне CA в виде отрезка СВХ, в этом случае для создания на чертеже треугольника со стороной СВХ достаточно соединить точки Вх и В. Однако Д ВХВС не будет вспомогательным, так как в нем известны только две стороны; угол а элементом этого треугольника не является.

Таким образом, из двух возможных способов образования на чертеже отрезка суммы боковых сторон к вспомогательному треугольнику приводит только первый.

3. Построить треугольник по двум углам и периметру (черт. 14).

Задача сложная, так как на чертеже-наброске вспомогательного треугольника нет, нет и отрезка-периметра.

Прикладыванием сторон ВА и ВС к стороне АС получаем изображение периметра в виде отрезка ВХВ2. Чтобы образовать на чертеже треугольник, содержащий своей стороной отрезок ВХВ2, достаточно точки ВХВ2 соединить с точкой В. Треугольник ВХВВ2 может быть построен по основанию ВХВ2 и углам Вх и В2, составляющим соответственно половины данных углов аир.

Значит, Д ВХВВ2 может быть взят в качестве вспомогательного для проведения анализа.

Примечание. В рассмотренных примерах для образования на чертеже вспомогательного треугольника приходилось спрямлять ломаные чертежа-наброска в прямые, в силу чего можно ввести название «прием спрямления».

4. Построить трапецию по разности оснований, боковым сторонам и одной диагонали (черт. 15).

Черт. 12 Черт. 13

Черт. 14

Задача сложная, так как на чертеже-наброске нет вспомогательного треугольника, нет и изображения отрезка — разности оснований. Выясним, как такой отрезок можно образовать на чертеже. Оба возможные варианта:

1) наложение меньшего основания ВС на большее AD или 2) наложение большего основания AD на меньшее ВС приводят к «равноценным» вспомогательным треугольникам.

Остановившись, например, на первом из них, получим изображение данной разности оснований в виде отрезка CXD. Чтобы образовать на чертеже треугольник, стороной которого был бы отрезок CXD, достаточно соединить Сх и С.

Треугольник СгСО можно построить по трем сторонам; он может быть взят в качестве вспомогательного для проведения анализа.

5. Построить трапецию по ее основаниям и диагоналям (черт. 16).

Задача сложная, так как на чертеже-наброске нет вспомогательного треугольника. На чертеже-наброске изображены все данные элементы. Для образования на чертеже вспомогательного треугольника нужно сделать попытку переноса тех или иных линий чертежа-наброска, являющихся изображениями данных в условии отрезков.

1) Приложим основание AD к основанию ВС; тогда, соединив точки Сг и D, получим треугольник BDCl9 который можно построить по трем сторонам, так как при таком сближении оснований диагональ АС будет перемещена в положение ПСг; 2) приложим основание ВС к основанию АО (черт. 17), соединив точки Dx и С, получим новый вспомогательный треугольник ACDV

Оба эти варианта приводят к равноценным вспомогательным треугольникам (каждый из них имеет по две общие вершины с искомой трапецией), поэтому безразлично, какой из них взять для проведения анализа.

6. Построить трапецию по одному ее углу, двум диагоналям и средней линии (черт. 18).

Задача сложная, так как на чертеже-наброске нет вспомогательного треугольника. Задание средней линии трапеции равносильно заданию полусуммы (а значит, и суммы) ее оснований; так как на чертеже-наброске нет отрезка — суммы оснований, то прежде всего образуем его одним из двух возможных способов: например, перенесением ВС в положение DDi (что равносильно перенесению диагонали BD в положение CDX).

Треугольник ACDX может быть взят в качестве вспомогательного для проведения анализа.

7. Построить четырехугольник по трем его сторонам и двум углам, прилежащим к неизвестной стороне.

Задача сложная, так как на чертеже-наброске вообще никакого треугольника нет, в то же время задача не является основной.

Так как на чертеже-наброске изображены все данные условия, то образование на чертеже вспомогательного треугольника нужно пытаться достигнуть перемещением тех или иных известных линий чертежа-наброска.

Рассмотрим два возможные способа образования вспомогательных треугольников:

1) Перенесем AD параллельно самой себе в положение BDV Тогда Д ВСЕ может быть построен по стороне ВС, углу С и углу ВЕС=$ (черт. 19).

2) Если переместить ВС в положение DB1 (черт. 20) и соединить точки В и Вх, то на чертеже образуется треугольник DFBX, который можно построить по стороне и двум углам.

Черт. 15 Черт. 16 Черт. 17

Черт. 18

Черт. 19

Так как в первом варианте вспомогательный треугольник имеет две общие вершины с искомым четырехугольником, а во втором варианте— только одну, то для проведения анализа предпочтительнее выбрать первый вариант.

8. Построить четырехугольник по четырем его сторонам и углу, образованному продолжением двух его противоположных сторон.

Задача сложная, так как на чертеже-наброске вспомогательного треугольника нет. Так как на чертеже изображены все данные условия и задача не является основной, то образование вспомогательных треугольников нужно пытаться осуществить с помощью перемещения известных линий чертежа-наброска. Все четыре стороны искомого четырехугольника известны, поэтому возможных перемещений можно осуществить несколько. Рассмотрим следующие четыре способа образования вспомогательных треугольников:

1) Перемещая ВС параллельно самой себе в положение АСХ (черт. 21) и соединяя точку Сх с D, получаем треугольник ACXD, который можно построить по двум сторонам и углу между ними, имеющий с искомым четырехугольником две общие вершины.

2) Перемещая ту же сторону ВС в положение DBX (черт. 22) и соединяя Вх и Л, получаем треугольник ABXD (который можно построить по двум сторонам и углу между ними), также имеющий две общие вершины с искомым четырехугольником.

3) Перемещая AD в положение BDX (черт. 23) и соединяя точку Dx с С, получаем треугольник BDXC (который можно построить по двум сторонам и углу между ними), также имеющий две общие вершины с искомым четырехугольником.

4) Перемещая сторону AD в положение СЛХ (черт. 24) и соединяя Ах и В, получаем также треугольник АХВС (который можно построить по двум сторонам и углу между ними), тоже имеющий две вершины, совпадающие с вершинами искомого четырехугольника.

Во всех четырех возможных вариантах образования вспомогательных треугольников получились треугольники равноценные и любой из них может быть взят для проведения анализа. Предпочтение целесообразно отдать тому из них, образование которого осуществимо на более компактном чертеже.

Примечание. На двух последних задачах легко усмотреть следующую особенность: если среди данных элементов имеются и угловые, то к образованию на чертеже вспомогательных треугольников всегда приводят перемещения тех линий, которые образуют данные углы, так как только такие перемещения обеспечивают возможность включить в образуемый треугольник и угловые данные.

9. Построить четырехугольник по четырем его сторонам и отрезку, соединяющему середины двух противоположных сторон.

Задача сложная, так как на чертеже-наброске вообще никаких треугольников нет. Так как все данные условия представлены на чертеже-наброске и задача не является основной, то для образования вспомогательного треугольника

Черт. 20 Черт. 21 Черт. 23

Черт. 22

Черт. 24

нужно добиваться перемещением линий чертежа-наброска.

Подвергать параллельному перемещению можно все пять известных линий чертежа-наброска и притом не единственным образом, в силу чего число возможных перемещений, вообще говоря, довольно велико.

Учитывая, что вспомогательный треугольник тем эффективнее, чем больше у него общих вершин с искомым четырехугольником, и что перемещение одной из боковых сторон обязательно влечет за собой и перемещение одного из оснований (и наоборот), а также и отрезка, соединяющего середины противоположных сторон,— приходим к выводу о целесообразности только следующих четырех вариантов перемещений:

а) Сторону AB переместим в положение САХ (черт. 25). Соединяя Аг с D, получаем Д CAXD. Легко убедиться, что медиана CFX этого треугольника равна данному отрезку EF. В самом деле, соединив F и Fl9 имеем FFX \\ ААХ \\ ВС^

= ЕС, значит, четырехугольник FECFX— параллелограм и CFX= EF. Следовательно, A CAXD можно построить по двум сторонам и медиане третьей стороны; он может быть взят в качестве вспомогательного для проведения анализа.

б) Переместим ту же боковую сторону AB в положение ОВг (черт. 26). Соединяя точки С и Въ получим Д DCBX. Аналогично случаю (а) можно убедиться, что медиана этого треугольника DEX равна EF, а значит, Д DCBX также может быть взят в качестве вспомогательного для проведения анализа.

в) Перемещая боковую сторону CD в положение BDX (черт. 27) и соединяя точки Dx и А, получим Д ABDU медиана которого BFX равна EF. (Доказательство аналогичное.) Значит, Д ABDX может быть взят в качестве вспомогательного для проведения анализа.

г) Перемещая ту же сторону DC в положение АСХ (черт. 28) и соединяя точки Сх и В, получим треугольник АСХВ9 который тоже может быть взят в качестве вспомогательного. Так как во всех четырех вариантах образуются равноценные вспомогательные треугольники (все они имеют по две общие с искомым четырехугольником вершины), для анализа можно взять любой из них.

Возможные перемещения линий чертежа-наброска не к вершинам искомого четырехугольника, а к точкам Е или F (как это осуществлено в учебнике Киселева) нельзя признать рациональными по двум причинам: 1) образуемые таким образом вспомогательные треугольники не будут иметь с искомым четырехугольником ни одной общей вершины, что осложнит проведение анализа; 2) доказательство, что фигура EDXFCX есть треугольник, в учебнике Киселева сложнее, нежели доказательство равенства данному отрезку медиан во вспомогательных треугольниках, получаемых в каждом из четырех рассмотренных нами вариантов.

Скажем кратко о применимости рекомендуемого нами приема отыскания решений с помощью образования на чертеже вспомогательного треугольника к задачам на построение других фигур.

Ограничимся рассмотрением нескольких примеров:

1. На данном отрезке построить сегмент, вмещающий данный угол. Так как для определения центра сегмента нужно знать три какие-нибудь точки его дуги, а две точки дуги сегмента даны в условиях задачи (концы данного отрезка), то ближайшей целью анализа будет являться отыскание какой-нибудь третьей точки дуги искомого сегмента.

Предполагаем задачу решенной и обращаемся к чертежу-наброску (черт. 29). На чертеже

Черт. 25

Черт. 26

Черт. 27

Черт. 28 Черт. 29

наброске, естественно, изобразится некоторый треугольник, например Д АСВ\ если бы этот треугольник можно было построить, то ближайшая цель анализа была бы достигнута. Очевидно, при произвольном положении точки С на дуге сегмента Д АС В нельзя взять за основной, так как в нем известны только два элемента: основание и угол при вершине. Однако третью точку на дуге искомого сегмента можно взять частным образом как вершину равнобедренного треугольника АСХВ, который можно построить по основанию и прилегающим к нему углам.

План решения задачи будет выглядеть так: 1) на произвольной прямой откладываем данный отрезок; 2) через середину отложенного отрезка проводим к нему перпендикуляр;

3) у одного из концов построенного отрезка, под углом 180°—а к нему (лучше под углом а к его продолжению), проводим луч; 4) строим биссектрису угла 180° — а до пересечения с построенным перпендикуляром; 5) через середину образовавшегося отрезка биссектрисы проводим к нему перпендикуляр до пересечения с перпендикуляром к данному отрезку; точка пересечения этих перпендикуляров будет искомым центром; 6) из найденного центра радиусом, равным расстоянию от него до одного из концов данного отрезка, описываем сегмент.

С чисто технической точки зрения, изложенный способ решения является более громоздким, чем приведенный в учебнике Киселева, так как требует выполнения шести операций, в то время как последний — только пяти. С педагогической же точки зрения, как нам кажется, ему все же нужно отдать предпочтение, так как он обеспечивает возможность обучения отысканию решения, в то время как привлечение касательной в качестве средства решения задачи осуществимо только в дедуктивной форме.

Учитывая все же большую простоту способа решения задачи с помощью касательной, мы считаем целесообразным ознакомление учащихся и с ним, но рекомендуем получить этот способ решения как своеобразное следствие из предложенного нами способа.

Выполнив построение по нашему плану, будем иметь на чертеже луч AL (черт. 30). Достаточно поставить вопрос: чем является луч AL по отношению к сегменту? Чтобы касательная «законно» вошла в качестве средства, упрощающего план построения.

2. В данном треугольнике провести прямую параллельно основанию так, чтобы при пересечении этой параллели с боковыми сторонами треугольника нижний отрезок одной боковой стороны равнялся верхнему отрезку другой.

Задача будет решена, если найдем какую-нибудь точку искомой прямой (черт. 31).

Учитывая, что равные по условию отрезки на чертеже-наброске разъединены, переносим AD параллельно самому себе в положение ЕАг чтобы образовать на чертеже треугольник, содержащий BE и ЕА сторонами, достаточно соединить Аг и В. Легко убедиться, что /\АХВЕ можно построить, так как:

а) вершина В его известна; б) вершина Аг определяется как пересечение основания данного треугольника с биссектрисой угла при его вершине, так как ^ 1 = ^/ 2 и </3 = ^/2; в) третья вершина Е может быть определена пересечением стороны данного треугольника ВС с прямой, проведенной из Аг параллельно АС.

Так как построением Д АХВЕ определяется точка Е на искомой прямой, то цель анализа достигнута.

3. Данным радиусом описать окружность, центр которой лежал бы на стороне данного угла и которая от другой стороны угла отсекала бы отрезок данной длины.

Так как радиус искомой окружности дан, то конечной целью анализа является определение центра искомой окружности (черт. 32). Поставив вопрос, чем отличается центр искомой окружности от остальных точек стороны AM данного угла, естественно, получим ответ: расстоянием до другой стороны данного

Черт. 30 Черт. 31 Черт. 32

угла. Отсюда ближайшая цель анализа — определить, на каком расстоянии от другой стороны данного угла должен находиться центр искомой окружности.

Изобразив это расстояние на чертеже (отрезком OD), ставим вопрос, как образовать на чертеже вспомогательный треугольник, содержащий нужный нам отрезок своей стороной. Таким треугольником будет Д ООС. Составляем план решения задачи: 1) строим (где угодно) прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной данному радиусу, и катетом, равным половине данного отрезка; 2) на расстоянии, равном второму катету построенного треугольника, проводим прямую, параллельную одной из сторон данного угла, до пересечения с другой его стороной; 3) из полученной точки, как из центра, данным радиусом описываем окружность, которая и будет искомой.

Некоторые методические замечания

В каждом отделе школьного курса геометрии можно выделить так называемые основные задачи на построение, решения которых базируются на непосредственном применении основных геометрических понятий данного раздела в конструктивной форме.

От того, как поняты и усвоены основные задачи на построение, в значительной степени зависит успех в обучении решению задач на построение вообще.

При правильном подходе к задачам на построение в семилетней школе положение может быть коренным образом улучшено, и они перестанут быть для учащихся «камнем преткновения».

Для этого, по нашему мнению, необходимо:

1. Начинать заниматься элементарными геометрическими построениями с помощью циркуля и линейки буквально с первых уроков по геометрии, чтобы к началу изучения задач на построение учащиеся приобрели необходимые навыки в производстве элементарных построительных операций.

Материалом для таких занятий могут и должны стать упражнения по претворению в конструктивную форму буквально каждого геометрического понятия, связанного с прямой и окружностью.

Конкретно, мы рекомендуем следующие упражнения на начальной стадии обучения геометрии: 1) наложение с помощью циркуля одного отрезка на другой с целью их сравнения; 2) построения различными способами сумм и разностей данных отрезков,, причем уже на этом этапе полезно приучать учащихся к четкости оформления решения: «дано», «требуется», «первый вариант решения», «второй вариант решения» и т. п.; 3) учитывая, что определение окружности в учебнике дается конструктивно, использовать это для таких упражнений, как: построение в заданной окружности хорд заданных размеров,, построение из внешней точки секущих с заданной внешней частью; построение (отыскание) на плоскости точек, удаленных от данной точки на данное расстояние; построение точек плоскости,, отстоящих от двух данных точек на заданных расстояниях; 4) сравнение при помощи циркуля величины дуг одной и той же или равных окружностей; 5) построение с помощью циркуля сумм и разностей данных дуг данного круга; 6) сравнение с помощью циркуля относительной величины нескольких данных углов, в частности и углов треугольника, и т. п.

2. Хотя для решения основных задач нет нужды вводить в обиход общепринятую схему решения задач на построение, однако это отнюдь не освобождает учителя от необходимости уже на этих простейших задачах обучать учащихся поискам решений (быть может, не вводя названия «анализ»), завершая эти поиски составлением плана решения.

3. Иметь в виду, что в тексте учебника Киселева содержатся лишь способы построений для каждой из основных задач и отсутствуют не только поиски путей решения, но даже и обоснования рекомендуемых способов. Не отрицая необходимости твердого усвоения способов решения основных задач и твердых навыков в выполнении указанных в них построительных операций, предостерегаем учителей от широко распространенных тенденций свести свою роль при изучении основных задач к простому пересказу учебника, что превращает уроки геометрии в уроки черчения.

4. При решении каждой из основных задач строго придерживаться четкого оформления на доске и в тетрадях условия и решения. В качестве примерной схемы мы рекомендуем следующую: а) дано; б) требуется; в) нахождение решения; г) построение; д) проверка и примечания.

5. Способы решений каждой из основных задач закреплять путем применения их к решению других не сложных задач на построение, решения которых сводятся к однократному применению уже известных основных задач.

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ В ЗАДАЧАХ НА ПОСТРОЕНИЕ (в планиметрии)*

Г. П. СЕННИКОВ (Горький)

Задачам на построение в школе посвящены обширные методические разработки, авторы которых, однако, более подробно останавливаются на первых двух этапах в решении таких задач—на «анализе» и «построении», редко — на «доказательстве» и опускают (для краткости) этап «исследования».

Как известно, решение задачи на построение в общем случае проводится по следующей схеме:

а) Устанавливаются свойства данных и искомых элементов, отыскивается связь данных и искомых элементов, благодаря чему удается наметить путь решения. Здесь главным является уменье свести данную задачу к другой, более простой, или к группе простых задач, решение которых известно.

Приемы отыскания пути решения определяются специальными методами решения задач на построение. Уменье для каждой задачи подобрать нужный метод также очень важно. Формальным приемом, облегчающим отыскание пути решения, является предположение, что задача уже решена.

Весь этот этап носит название анализа. Это — важный и трудный этап в решении задачи на построение.

б) Сообразно плану построения выполняется само построение при помощи инструментов (мы имеем в виду циркуль и линейку).

в) Устанавливается, что построенная фигура есть искомая, т. е. доказывается, что она удовлетворяет условию задачи. Иногда это доказательство проводится как ссылка на анализ и построение. Но есть задачи, в которых этап доказательства имеет свои трудности.

г) Проводится исследование задачи, которое заключается в выяснении того, при каком расположении данных элементов или при каких соотношениях между ними «разрешимая», вообще говоря, задача не имеет или имеет решения (и сколько).

Примечание. В задачах, решаемых алгебраическим методом, исследование проводится как второй этап.

В этой статье мы будем иметь в виду, главным образом, исследование, — этот необходимый и притом очень важный этап в решении задачи на построение. Отметим попутно, что исследование, опираясь на анализ, помогает лучшему его уяснению, закреплению и даже совершенствованию выводов анализа.

Чем же особенно важен этот этап?

Само по себе условие задачи на построение (как и задач «на вычисление», «на доказательство» в геометрии) создает определенную статическую («неподвижную») базу, на которой учащиеся, используя весь запас теоретических сведений, проводят определенные рассуждения, доискиваясь решения задачи.

Однако, если ограничиться только анализом и построением, то можно быстро приучить учащихся видеть конечную цель задачи лишь в достижении некоего нового, статического же положения заданных элементов, сформированных в искомую фигуру. Доказательство лишь подчеркнет этот момент: все найдено правильно, больше нечем интересоваться. Так учащийся устанавливает только одну внешнюю связь данных: они должны в некоторой ситуации составить некоторую фигуру.

Однако советского учителя математики должна интересовать, главным образом, проблема воспитания диалектического способа мышления учащихся.

Исследование в любых вопросах и задачах в школе, а особенно (в силу их специфики) в задачах на построение, является чрезвычайно эффективным средством в формировании диалектического способа мышления учащихся. Именно в процессе исследования вскрываются глубокие взаимосвязи заданных элементов, их взаимная обусловленность, именно здесь полностью нарушается «статичность», сказывается влияние движения, изменения элементов на окончательный результат. Здесь учащиеся впервые приучаются рассматривать данные задачи и искомые фигуры не как «закостенелые» геометрические образы, а как нечто изменяющееся, пребывающее в различных состояниях. А как только мышление становится на диалектическую основу, не остается ни малейших возможностей для формализма в знаниях. Вот почему правильный подход к исследованию есть один из конкретных приемов борьбы с формализмом в знаниях учащихся.

Учитель может уже на опыте первых задач на построение привести учащихся к осознанию необходимости исследования. Так, при построении разности двух отрезков, при построении треугольника по трем сторонам и в других

* Настоящая статья является кратким изложением доклада, прочитанного автором на «Педагогических чтениях» при АПН РСФСР в апреле 1951 г.

первых задачах часто оказывается, что у одних учащихся задача «выходит», у других «не выходит», в зависимости от того, какие по величине отрезки (или другие элементы) взяты учащимися в качестве данных. Этот момент и надо использовать. Надо показать учащимся, что задача «выходит» или «не выходит» в зависимости от того, какими брались заданные элементы, подчеркнуть, что важно не только решить задачу, но и установить условия, при которых она «выходит» (имеет решение) или «не выходит» (не имеет решения). В дальнейшем постепенно эти рассуждения выливаются в этап исследования.

Наблюдения показывают, однако, что некоторая часть учителей математики не проводит на должном уровне исследований при решении задач на построение. Причина такого невнимания к столь важному моменту в обучении математике — в отсутствии достаточно четких, методически пригодных и теоретически правильных принципов исследования. Естественно, что учитель следует тем авторам разработок, которые по неизвестным причинам очень мало говорят об исследовании задач.

Попытаемся установить основные принципы исследования в задачах на построение.

Эти принципы можно сформулировать следующим образом.

А. Цель исследования

Установить, какие могут существовать для данных элементов соотношения или взаимные положения, при которых разрешимая, вообще говоря, задача: а) не имеет ни одного решения; б) имеет одно или несколько решений; в) неопределенна.

Б. Основные моменты исследования

а) Используя результаты анализа и построение, нужно установить такие элементы (точки, отрезки или углы), сравнивая с которыми данные в задаче элементы, можно судить об отсутствии или наличии (и о числе) решений задачи. Упомянутые элементы (точки, отрезки, углы и т. д.) назовем критическими.

Критическими в некоторых задачах могут служить также и положения данных в задаче элементов (см. ниже о «позиционных» задачах).

Выбор того или иного элемента (или взаимного положения элементов) в качестве критического определяется всецело удобством исследования. При различных способах решения одной и той же задачи различные элементы будут служить в качестве критических. Важно научить учащихся отыскивать критические элементы (быть может, не называя их так для учащихся). Критических элементов может быть и несколько.

Поясним на примере содержание этого момента исследования.

В VI классе рассматривается следующая задача:

Задача № 1. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с и катету Ь.

Если в некоторой точке С прямой M\J восставить перпендикуляр и отложить на нем отрезок CA = b, то далее построение заключается в том, что проводится дуга окружности с центром в точке А радиуса с. Короче это будем записывать так: окружность (или дуга) А (с).

Чертеж 1 показывает все возможные случаи взаимного расположения дуги А (с) и прямой ММ. Именно на чертеже, выполненном специально для исследования, повторяя только прием построения (а не все построение), мы выясняем, что если гипотенуза с задана так, что с < АС, то треугольник «не получается» (нет решения), то же в случае, если с = АС9 а когда с>АС, то решение существует. С чем мы сравниваем здесь данный элемент с? — С отрезком АС. Этот отрезок и будет критическим элементом. Эту же задачу в VII классе можно решить и иначе. На АВ = с, как на диаметре, строим окружность, а затем проводим дугу А (Ь). Чертеж 2 показывает, что критическим здесь будет уже отрезок AB. Для наглядности критические элементы желательно отмечать цветным мелком.

Черт. 1

Черт. 2

б) На основании сравнения (с помощью чертежа) некоторых из данных элементов с критическими устанавливаются случаи отсутствия или наличия решений.

Следующий момент исследования:

в) Аналитическое выражение критических элементов только через данные в задаче элементы. В рассматриваемой задаче № 1 сделать это просто: при первом способе решения критический элемент есть отрезок АС=Ь, при втором способе AB — с.

Однако в большинстве школьных задач на построение аналитическое выражение критических элементов через данные далеко не всегда посильно для учащихся, особенно в младших классах. Если такое выражение на данном этапе обучения невозможно, следует ограничиться только обозначением критических элементов.

Рассмотрим следующий важный момент исследования.

В. Число решений

Единой точки зрения на то, какие из построенных фигур считать за различные решения и какие за одно решение, пока не существует. Поэтому, например, задача о построении треугольника по трем сторонам при одной точке зрения имеет 12 решений (на каждом из отрезков— по две симметричные пары фигур), при другой — четыре (за основание выбран один какой-нибудь отрезок), а при третьей точке зрения — только одно решение (все построенные треугольники «равны» —в школьном смысле слова).

Нам кажется, что эти три точки зрения не учитывают двух обстоятельств:

1) в большинстве задач на построение в планиметрии решение отыскивается с точностью до положения на плоскости, т. е. независимо от положения на плоскости чертежа;

2) поскольку мы рассматриваем построения на плоскости, то единственным критерием «одинаковости» фигур может быть лишь их совмещаемость путем перемещения, не выходя из плоскости, т. е. без «переворачивания».

Здесь нам могут возразить: ведь известные признаки равенства треугольников доказываются в школе без учета второго обстоятельства, почему же в задачах на построение равные (в школьном смысле) треугольники не следует считать за одинаковые решения (т. е. за одно решение)?

Мы полагаем, что это возражение должно отпасть и вот почему.

Во-первых, понятие равенства фигур в школьном смысле не совпадает с принятым в науке понятием равенства фигур в геометрии (см., например, Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии).

Во-вторых, признавая целесообразным для школы существующее в школьной геометрии понятие равенства фигур, мы вводим, скажем, признаки равенства треугольников вовсе не для треугольников, лежащих в плоскости, мы говорим лишь о плоских фигурах. В построениях же на плоскости мы получаем фигуры, лежащие в плоскости, и было бы неестественным, выполняя построения только в плоскости, судить о построенном, допуская переход в пространство трех измерений («переворачивание» фигуры).

Исходя из сказанного, будем придерживаться следующего соглашения о числе решений.

Различными решениями будем считать такие фигуры, которые удовлетворяют условию задачи, но не могут быть совмещены перемещением в плоскости*.

Поясним введенное соглашение на примерах. В рассмотренной задаче № 1 в обоих способах построения: в случае (3) получаем два симметричные (относительно одной из сторон) прямоугольные треугольника, удовлетворяющие условию задачи. Перемещая один из них в плоскости чертежа (целесообразно сделать модель одного из треугольников и перемещать ее по доске), убеждаемся, что совместить фигуры, вообще говоря, нельзя**. Следовательно, задача имеет два решения.

Так как в данном случае треугольники симметричны (относительно АС или AB), то и решения называем «симметричными».

В общем случае, если построенные фигуры симметричны относительно оси, то они несовместимы перемещением в одной плоскости и, вообще говоря, считаются различными решениями (фигуры «зеркально-равные»). Поэтому, в частности, задача о построении треугольника по трем отрезкам имеет, согласно введенному соглашению, максимум два (симметричные) решения.

Теперь мы имеем возможность записать результат исследования в решении задачи № 1 так:

1) с<Ь — нет решений;

2) с ~ b — нет решений;

3) с>Ь — вообще говоря, два (симметричные) решения.

Учитель, вставший на предлагаемый путь, имеет прекрасную возможность углубить эти

* или вследствие несовместимости фигур, или потому, что само перемещение невозможно по смыслу задачи; см., например, задачу .№ 7.

** Другое дело, если «перевернуть» один из треугольников, но это исключается смыслом соглашения.

рассуждения, например, в сильных классах или в кружковой работе. Можно строго доказать (а в школьных условиях достаточно ограничиться показом этого), что фигуры, симметричные относительно оси и обладающие осевой симметрией, могут быть совмещены перемещением в одной плоскости. Так, два симметричных относительно оси равнобедренных треугольника совместимы (их достаточно повернуть на некоторый угол вокруг точки пересечения осей симметрии). Симметричные относительно оси ромбы, дельтоиды и т. д. также совместимы при перемещении в одной плоскости. Исходя из сказанного, исследование задачи № 1 можно бы еще углубить. В самом деле, если построенные симметричные треугольники окажутся равнобедренными, мы будем иметь и в случае (3) одно решение. Если учитель будет иметь возможность, он сможет получить условие, при котором построенные треугольники будут равнобедренными. В задаче № 1 таким условием является равенство с=\/2Ь. Теперь для задачи № 1 исследование можно считать выполненным в полном объеме:

1) и 2) с <С b— нет решения;

3) с— вообще говоря, два (симметричные) решения (одно решение, если с = \^2Ь).

Заметим, что результат исследования не зависит от способа решения, от выбора в качестве критических тех или иных элементов.

Наконец, сформулируем еще один принцип исследования.

Г. Приемы исследования

В школьной практике могут быть использованы в основном два приема исследования:

а) Графическое исследование, при котором сравнение данных элементов с критическими производится графически, на чертеже. Суть этого приема ясна из рассмотренного примера исследования в задаче № 1. Особенно эффективен графический прием исследования при решении задач методом геометрических мест.

б) Алгебраическое исследование, когда установление того или иного случая в решении задачи производится на основании исследования формул, выражающих искомые элементы. Особенно эффективен этот прием при алгебраическом методе решения задачи на построение.

И тот и другой прием могут применяться совместно.

Заканчивая обзор общих положений об исследовании в школьных задачах на построение, сделаем следующее замечание.

Несмотря на полное понимание всей важности этапа исследования в задачах на построение, все же нельзя утверждать, что во всех случаях работы с классом над конструктивными задачами учитель должен проводить исследование полностью в каждой задаче. Это привело бы к резкому сокращению числа задач, которые должен рассмотреть учитель, т. е. к снижению навыков и к соответствующему понижению уровня знаний учащихся.

Как нельзя совсем отбрасывать этап исследования, стремясь решить побольше задач, так же невозможно практически выполнить решение всех задач по полной схеме. Учитель должен иметь подбор таких задач, которые ставятся для совершенствования навыка учащихся в проведении анализа (в этих задачах доказательство и исследование должны быть возможно простыми или намеренно ограниченными), а также задач, на которых можно приучить учащихся к исследованию (в таких задачах анализ, построение и доказательство должны быть по возможности простыми). Должны быть решены и задачи, в которых трудности распределяются одинаково во всех четырех этапах решения.

Рассмотрим несколько задач, решаемых специальными методами*. Наибольший интерес представляют задачи, при решении которых применяется метод геометрических мест. Будем придерживаться общепринятых обозначений. В тех случаях, где анализ прост, не будем особо останавливаться на нем, построение и доказательство опускаем.

Следующая задача имеет важное значение при решении многих других задач на построение (особенно на построение четырехугольников) как в VII, так и в VIII классах, а также в курсе тригонометрии X класса.

Задача № 2. Построить треугольник по основанию а прилежащему острому углу В и стороне b (черт. 3).

Эта задача может быть с достаточной полнотой решена в VI, а тем более в VII классе. Иногда она разбивается на две: построить треугольник по двум сторонам и углу, лежащему

Черт. 3

* Мы уже отмечали, что и в первых задачах на построение вполне возможны рассуждения «исследовательского» характера.

против большей (соответственно — меньшей) из них.

Мы проведем рассуждения примерно так, как это можно сделать на уроке в среднем по успеваемости VII классе.

Задачу № 2 надо решать методом геометрических мест, например, так. Искомой является вершина А. Точка А отыскивается по ее свойствам. Одно из свойств точки А очевидно: она принадлежит лучу ВА, который можно построить. Но отыскать точку А по одному этому ее свойству нельзя: лучу ВА принадлежит бесконечно много точек. Выясняем еще одно свойство точки А: она удалена от точки С на данное расстояние, т. е. принадлежит окружности С(Ь). Следовательно, точка А может быть найдена как общая точка луча ВА и окружности С(р).

Обратимся к исследованию. Проведем его графическим путем. Целесообразно для таких задач, где впервые исследование приводится достаточно полно, заготовить таблицы с заранее вычерченными чертежами, а еще лучше сделать модели одной-двух задач. В крайнем случае придется выполнить отдельные чертежи на каждый случай исследования на доске. В дальнейшем все исследование можно проводить на одном чертеже.

Перед учащимися ставится вопрос, который должен сделаться для них обычным: в данном случае при построении дуга С(Ь) пересеклась с лучом ВА. Всегда ли возможно такое пересечение? Могут ли известные элементы быть так заданными, что окружность С (Ь) не будет иметь общей точки с лучом Вл? (В данном случае полезно, если у кого-нибудь из учащихся случилась именно такая «неприятность»: задача «не вышла»). От чего же зависит наличие или отсутствие пересечения С(р) и ВА'? Здесь могут последовать различные ответы. Тот, у кого задача «не вышла», сразу заявит: отрезок Ъ мал, окружность С(Ь) «не задевает» луча ВА. Сама последовательность построения [основание а, луч ВА, окружность С (&)] заставляет сделать такой вывод. Ничего, что сначала этот «вывод» формулируется не совсем «математически». Найдутся и более догадливые учащиеся. Дело не только в отрезке Ь. Если угол В будет дан «поменьше» или отрезок а «покороче», тогда и при «небольшом» отрезке b пересечение возможно. Основная цель таких рассуждений — приучить учащихся к мысли, что задаваемые элементы могут быть самыми различными, и в зависимости от этого задача может иметь, а может и не иметь решения.

Затем учитель указывает примерно на следующее: каким бы ни был задан отрезок а, построить его всегда можно. То же можно сказать и о луче ВА. Поэтому удобно считать, что отрезок а и луч ВА уже построены и дальше все дело в том, каков отрезок Ь. Будем его менять.

1) Если отрезок Ь невелик, окружность С(Ь) не будет иметь общих точек с лучом ВА, задача не имеет решения (черт. 4).

2) Может оказаться, что отрезок b задан таким, что окружность С(Ь) будет иметь одну общую точку с лучом ВА — точку Ах (черт. 5);

это будет в том случае, если b = САг — расстоянию точки С до луча ВА (САХ ±_ ВА). Прямоугольный треугольник ВАгС есть одно решение, а симметричный ему относительно ВС треугольник ВСА'{—второе решение. (Теперь отрезок b удобно сравнивать с отрезком САг, который и будет критическим.)

3) Если b больше САг, но меньше, чем а, то окружность С(р) перасечет луч ВА в двух точках: А2 и А'2, а симметричный ему (относи-

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

тельно ВС) луч — в точках А"2 и А™. Задача будет иметь, вообще говоря, четыре (попарно симметричные) решения (черт. 6).

Вторым критическим элементом является отрезок ВС — а.

4) Когда b = а> САг, то окружность С{Ь) пересекает луч ВА в двух точках, но лишь точка А3 дает решение. Задача имеет одно и только одно решение: равнобедренный треугольник ВАЬС и симметричный ему треугольник ВСА™ могут быть совмещены перемещением в одной плоскости (черт. 7).

5) Наконец, если b > а > САЪ задача имеет два симметричные решения (черт. 8).

Все исследование могло быть проведено и на одном чертеже (черт. 9). Для полноты исследования следовало бы выразить критические элементы через данные, однако в VII классе это можно осуществить только для одного из критических отрезков.

Отрезок САг учащиеся смогут выразить через данные в VIII классе: САХ = a sin В.

В порядке домашнего задания учащиеся могут решить эту же задачу при условии, что угол В — прямой или тупой.

Примечание (для учителя). Условия, при которых в случаях 2, 3 и 5 построенные треугольники будут равнобедренными, следующие:

Случай 2 — при £ = 45° (одно решение).

Случай 3 — при a = 2b cos В — только один треугольник ВА2С равнобедренный, при b = 2a sin только ВА%С разнобедренный (три решения). Может оказаться, что оба треугольника равнобедренные. Это будет лишь в случае, когда В = 36°; в этом случае (два решения).

Случай 5 — при а = 2 Ъ cos В или b = 2а sin -g-треугольник BAfi равнобедренный (одно решение).

В учебнике Киселева (ч. I, § 134) решена задача:

Задача № 3. Построить треугольник по а, А и S = b+c.

Метод геометрических мест в сочетании с методом спрямления быстро приводит к решению (черт. 10). Проведем исследование, полагая А < 90°. Пусть отрезок а и угол А неизменны, и отрезок 5 изменяется (черт. 11).

ВКС—дуга сегмента, вмещающего угол .

Уже выяснено, как отыскать точку D, кото-

Черт. 7

Черт. 8

Черт. 9

Черт. 10

Черт. 11

рая решает построение: она есть точка пересечения двух дуг, построение которых нам известно. Однако всегда ли эти дуги пересекутся? Это будет зависеть, например, от длины S радиуса дуги, центр которой — точка В.

Предположим, что отрезок 5 задан нам таким, что пересечения дуг не произойдет. Задача не имеет решения (случай 1, черт. 11). Теперь предположим, что отрезок S таков, что дуги имеют общую точку К (случай 2). В этом случае задача будет иметь одно решение (не учитывая симметричного). Легко показать, что ВО К — отрезок прямой. Отрезок ВК и есть критический, с которым можно сравнивать отрезок S. Рассматриваем третий случай, здесь S<BK, но S>a. Задача имеет два решения. Особо останавливаемся на случае четвертом: S = а. Точка пересечения двух дуг существует (это равносильно тому, что вспомогательный треугольник BD2C существует), однако, эта точка D2 не приводит к решению: треугольника, у которого а = Ь~\~с не существует.

Если от вспомогательного треугольника переходить к искомому (как рекомендует учебник), то перпендикуляр к D2C через его середину в этом случае пройдет через точку В: вершины А и В искомого треугольника совпадут, треугольник выродится в отрезок. Аналогично, и в случае 5 точка DB не приводит к решению. Здесь мы убеждаемся, что из построяемости вспомогательной фигуры еще не следует построяемость искомой.

Далее можно перейти к итогам исследования:

1) S>BK—нет решений;

2) S = BK — одно решение;

3) a<S <1ВК — два решения;

4) и 5) — нет решения.

(Не учтены симметричные решения.) Отрезок ВК выражается через данные так:

(См. случай 2, треугольник ВКС — прямоугольный.)

В порядке домашнего задания учащиеся могут решить эту же задачу в случае, когда А — тупой угол.

Задача № 4. Построить треугольник по b, тс и R (черт. 12).

Построить хорду СА = b ^C2R не представляет затруднений. Тогда две вершины искомого треугольника—С и А определены, искомая вершина—В. Эта точка принадлежит окружности 0(R). Второе ее свойство — принадлежность лучу AD, положение которого определяется точкой D (так как А уже найдена). Чтобы отыскать точку D, изучаем ее свойства: а) она удалена от точки С на данное расстояние тс, т. е. принадлежит окружности С (pic)\ она является серединой хорды (окружности О), проходящей через тачку А.

Значит, D принадлежит окружности Ох ^Д/ '

Можно и не упоминать о геометрическом месте середин хорд, а выяснить то свойство точки D, что из нее отрезок OA виден под прямым углом (OD — отрезок, соединяющий центр окружности О с серединой хорды AB). На основании этого свойства учащиеся сразу сообразят, что точка D принадлежит окружности, диаметром которой является OA = R. Теперь известно, что точка D принадлежит двум окружностям, остается найти точки их пересечения, если таковые окажутся. Попутно заметим, что точка Е — тоже середина хорды.

Исследование проводим графически на отдельном чертеже, где изображены: отрезок CA, окружность Ох ^-т^ > причем совсем не обязательно придерживаться величин заданных элементов, лишь бы примерное расположение соответствовало построению (черт. 13).

Выяснение всех возможных здесь девяти случаев— яркий пример целесообразности графического приема исследования.

Мы имеем четыре критические отрезка: СК, CN, CA, СЕ. На основании графического исследования пишем (симметричные решения не учтены):

Черт. 12

Черт. 13

Обращаем внимание на случай (7): его легко пропустить, если радиус окружности Ох невелик.

В VIII классе критические отрезки CK и CN могут быть выражены через данные на основании свойства секущих, проведенных из точки С, взятой вне окружности Ог. Имеем (тот же черт. 13):

(1)

подставляя в (1) имеем:

(2)

Решая уравнение (2) и учитывая, что СК>0,

имеем:

а затем

Интересен случай:

b=2R.

Рассмотренные задачи могут быть отнесены к так называемым «метрическим» задачам на построение. Особый характер исследование имеет в задачах, которые можно назвать «позиционными», где заданы не только величина, но и положение тех или иных элементов. Приведем простой пример чисто «позиционной» задачи.

Задача № 5. Найти точку, равноотстоящую от сторон данного угла А и от конца данного отрезка ВС (черт. 14, 15, 16).

Критическим здесь может считаться такое взаимное расположение данных элементов (угол А и отрезок ВС), которое изображено, например, на чертеже 15. Задача в этом случае не имеет решения. Сравнивая с критическим любое другое расположение данных, мы делаем заключение о числе решений.

Аналогична задача:

Задача № 6. Найти точку, лежащую на прямой AB и удаленную на расстояние а от другой прямой CD.

Мы не приводим примеров исследования задач, решаемых методами преобразований. Они исследуются почти аналогично рассмотренным задачам. Не останавливаемся и на задачах, где исследование проводится по отношению к некоторым вспомогательным фигурам. Характерно, что, как это мы заметили, из возможности построения вспомогательной фигуры не всегда следует построение искомой и, наоборот, искомая фигура может быть построена, хотя вспомогательная не построяема. Конечно, все это необходимо учитывать в исследовании. Мы рассмотрим далее лишь одну задачу из числа решаемых методом подобия, относящуюся к классу задач на вписание фигур в фигуры. В более узкой формулировке задача такова:

Задача № 7. В данный треугольник ABC вписать ромб с острым углом <х так, чтобы одна из сторон ромба лежала на стороне треугольника, а две вершины ромба — по одной на двух остальных сторонах треугольника (решение — см. Киселев, ч. 1, § 181).

Черт. 14 Черт. 15 Черт. 16

Черт. 17

Если потребовать вписать ромб так, чтобы он опирался на AB, то крайняя возможность вписания определяется условием си=А (черт. 17).

Если а<А(А<В), то вписание невозможно.

Рассмотрим только случай, когда в треугольнике все углы (ß, 7, 8) — острые, причем ß>Y>^ (черт. 18), хотя и другие случаи весьма интересны.

а) cc>ß. При стороне AB ромб можно вписать двумя способами (выбирая за центр подобия вершину Л или В треугольника), т. е. ромб можно вписать шестью способами. Задача имеет шесть решений.

Следует помнить, что данный треугольник ABC как бы «неподвижен», и о совмещении построенных фигур здесь речи быть не может, кроме случаев, когда само построение приводит к их совмещению, вернее — совпадению.

При каждой из сторон AB и ВС ромб можно вписать одним способом. На CA — двумя способами. Задача имеет четыре решения.

в) 8<а< у.

При стороне AB ромб вписать нельзя. При стороне ВС он вписуем одним способом, при стороне CA также одним способом. Задача имеет два решения (в случае а = 8— одно решение, так как ромбы на ВС и CA совпадут).

г) а<8, т. е. острый угол ромба меньше наименьшего из углов остроугольного треугольника. Задача не имеет решения.

Интересна в решении и проста в исследовании

Задача № 8. В квадрат вписать правильный треугольник (бесконечное множество решений).

Несколько слов об алгебраическом приеме исследования. Как уже отмечалось, этот прием применяется в задачах, решаемых алгебраическим методом. Формально исследование решения сводится здесь к исследованию формулы, что достаточно хорошо известно учащимся VIII класса. Однако следует подчеркнуть одно весьма важное обстоятельство. В задачах на построение, решаемых методом алгебры, даже в исследовании надо придерживаться геометрической точки зрения. Пусть требуется построить отрезок

Как известно, для построения отрезка х мы вводим замену: y = Yab, z =\/cd, после чего л;=|/у2 — z1. Задача имеет решение, если y>Z. Что это значит? Сказать только так и не выяснить геометрический смысл у и z—значит решить задачу формально.

Между тем, у и z — вполне определенные отрезки: это средние пропорциональные, соответственно, пар отрезков а и Ь, с и d. Построение у и z известно.

Построив у и z как отрезки, мы можем судить о разрешимости данной задачи. Итак, здесь в исследовании важно устанавливать геометрический смысл соотношений, определяющих разрешимость или неразрешимость задачи.

Все сказанное относительно алгебраического приема исследования целиком относится к исследованию корней квадратного уравнения, если задача на построение привелась к нему.

Мы видим, что заключительный момент исследования алгебраическим приемом как бы противоположен аналогичному моменту графического исследования: последнее завершается аналитическим выражением соотношений между геометрическими элементами, а в алгебраическом исследовании, наоборот, аналитическое представление результатов должно быть истолковано с геометрической точки зрения.

Подводя итоги, следует сказать:

1. Исследование школьных задач на построение вполне можно проводить по единым принципам с помощью единых приемов.

2. Основной идеей исследования является: установление некоторых «критических» элементов (положений элементов) и рассмотрение переменных элементов в сравнении с критическими. Это сравнение нагляднее всего проводить графически. Оно вносит в школьную геометрию идею функциональной зависимости геометрических величин.

3. Существенным является критерий числа решений. Построенные фигуры «сосчитываются» по их совмещаемости при перемещении в одной плоскости. Это дает возможность приблизить школьную геометрию к идеям движения, преобразования фигур. Представляется также возможным более глубоко охарактеризовать свойства найденных фигур в зависимости от соотношений между данными элементами.

Взятое в целом, такое исследование должно служить одним из средств воспитания на уроках математики диалектического способа мышления учащихся.

Черт. 18

О НЕКОТОРЫХ НЕДОСТАТКАХ В ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКАХ ПО АРИФМЕТИКЕ

С. М. ЧУКАНЦОВ (Калуга)

Сейчас, когда проводится интенсивная работа по созданию учебной литературы для средней школы, было бы ценно, если бы учителя-практики, научные работники и методисты обсудили положительные и отрицательные стороны существующих школьных учебников в печати, организовав широкий обмен мнений.

Здесь имеется ввиду отметить некоторые недостатки следующих учебников:

1) А. П. Киселев, Арифметика. Учебник для V и VI классов семилетней и средней школы, Учпедгиз, 1950 (в дальнейшем в тексте — арифметика А. П. Киселева);

2) Е. С. Березанская, Сборник задач и упражнений по арифметике для V и VI классов семилетней и средней школы, Учпедгиз, 1950 (в тексте — задачник Е. С. Березанской);

3)С. В. Филичев и Я. Ф. Чекмарев, Сборник задач и упражнений по арифметике для V и VI классов неполной средней и средней школы, Учпедгиз, 1949 (в тексте — задачник С. В. Филичева и Я. Ф. Чекмарева).

Эти недостатки выявлены в связи с анализом письменных и устных ответов учащихся на испытаниях, а также в связи с изучением практики преподавания арифметики в школах города Калуги и ответов абитуриентов на приемных экзаменах в Калужский государственный педагогический и учительский институт.

Отмеченные ниже недостатки в школьном учебнике и задачниках по арифметике не говорят о том, что в них нет положительных сторон. Наоборот, в каждом из них есть и много положительного, но это может служить предметом особого обсуждения.

О рациональных приемах вычислений

Важность высокой культуры арифметических вычислений еще недооценивается школой. На письменных экзаменах по математике в Калужском учительском институте неоднократно предлагались арифметические примеры, решение которых легко выполняется, если применить соответствующие законы арифметических действий, хорошо известные (как показывают устные экзамены) оканчивающим среднюю школу. Например:

В решении подобных примеров только очень немногие абитуриенты применяли переместительный закон сложения или делили 10 на 5, не обращая делимое в неправильную дробь. Большинство абитуриентов не пользовались рациональными приемами вычислений, не применяли полуписьменных и устных вычислений, а производили действия над дробями с многозначными знаменателями и числителями, отчего допускали ошибки, а получив нелепый ответ, не замечали этого.

Вина в этом не только учителей, но в значительной степени учебника арифметики и задачников. В учебнике арифметики А. П. Киселева умножение целого числа на смешанное произведено в неправильных дробях (7-5 4-= стр. 105, 4-е правило) вместо того, чтобы произвести это умножение так:

примеров же на умножение и деление смешанного числа на целое число и вовсе нет. Вопросу применения основных свойств арифметических действий к дробям в учебнике арифметики посвящены § 135 и 147, но в них ничего не сказано о целесообразности использования этих свойств для упрощения вычислений. Рациональные указания по этому вопросу преподаватель может найти в руководствах по методике арифметики*, а также в книге Б. А. Тулинова и Я. Ф. Чекмарева «Арифметика (для педагогических училищ)», Учпедгиз, 1946. Непонятно только, почему в последней книге подобные разъяснения напечатаны мелким шрифтом, почему вместо настойчивой рекомендации производить умножение на целое число в смешанных числах, а не в неправильных дробях, об этом говорится как бы между прочим (стр. 174), почему при делении смешанных чисел на целое число делимое можно не обращать в неправильную дробь только тогда, «если целая часть смешанного числа без остатка делится на целое число»? Так, например,

* Е. С. Березанская, Методика арифметики, Учпедгиз, 1947; В. Г. Чичигин, Методика преподавания арифметики, Учпедгиз, 1949.

150 -j^r- разделить на 7 проще в неправильных дробях, именно:

В задачнике Е. С. Березанской имеется интересная попытка обратить внимание учащихся на целесообразность применения в отдельных случаях переместительного и сочетательного законов при сложении обыкновенных дробей (№ 695 и 696). Но эта правильная идея в дальнейших упражнениях задачника надлежащего развития не получила.

Не лучше решается эта проблема и в новом задачнике по арифметике С. В. Филичева и Я. Ф. Чекмарева. Это тем более кажется странным, что в 1947 году Учпедгизом был издан «Сборник задач и упражнений по устному счету для средней школы» одного из соавторов (Я. Ф. Чекмарева); в этом сборнике можно найти много прекрасных примеров, помогающих учащимся убедиться в полезности применения законов арифметических действий к упрощению вычислений и выработать навыки применения рациональных приемов вычислений.

В § 152 учебника арифметики А. П. Киселева говорится о возможности замены деления умножением. Это указание поясняется на таких примерах, в которых нельзя заметить пользы от такой замены, например:

Полезнее было бы дать здесь такие примеры:

Следует также указать, что иногда полезно заменить умножение делением, например:

Вопросу совместных вычислений с обыкновенными и десятичными дробями в учебнике А. П. Киселева совсем не уделено внимания, если не считать подстрочного примечания к § 174 на странице 133, в котором дано следующее, очень полезное, замечание: «если, например, требуется 0,567 умножить на -у- , то нет надобности обращать в десятичную дробь, можно 0,567 умножить на 3 и результат разделить на 7». Не удивительно поэтому, что именно совместные вычисления с обыкновенными и десятичными дробями больше всего затрудняют учащихся. Правильнее было бы посвятить этому вопросу специальный параграф учебника, как это было сделано в свое время в книге «Математика для ФЗС и ШКМ», 5-й год, выпуск 2, Учпедгиз, 1932, стр. 33 — 34. Здесь же полезно возвратиться к вопросу целесообразности иногда заменять деление на десятичную дробь умножением на обратное число, например:

и наоборот, например:

То же самое и по отношению к десятичным дробям, например:

Большое затруднение для учащихся представляет случай деления десятичных дробей и целых чисел на десятичную дробь (и наоборот), когда частное не может быть выражено конечной десятичной дробью. Например, при делении 4 на 0,2625, имевшем место в одном примере письменной работы по арифметике, предложенной Министерством просвещения на испытаниях в 1949 году, более половины учащихся пытались получить частное в десятичных дробях*. Это понятно, так как в учебнике арифметики нигде не сказано, что частное от деления на десятичную дробь или десятичной дроби на целое число не всегда может быть выражено конечной десятичной дробью. В учебнике много уделяется внимания вопросу обращения обыкновенных дробей в десятичные (§ 174— 180, 5 ~y страниц), но нигде не сказано, что все это имеет такое же отношение и к частному от деления целых чисел или десятичных дробей. Нет и соответствующих упражнений в задачнике Е. С. Березанской. В разделе «Деление десятичных дробей» во всех примерах частное или точно выражается конечной десятичной дробью (№ 1359 —1378), или же к упражнениям даются указания: вычислить с такой-то степенью точности (№ 1379, 1380, 1621). Почему вдруг требуется не точный ответ, а приближенный — это от учащихся скрыто. А следовало бы предложить учащимся подумать над тем, возможно ли в том

* Просмотрено 542 работы учащихся трех школ г. Калуги.

или ином случае получение ответа в виде конечной десятичной дроби или нет. Интересная попытка решить эту проблему сделана в задачнике С. В. Филичева и Я. Ф. Чекмарева. В упражнении № 1823 этого задачника учащимся предлагается «указать, какие частные выражаются точными десятичными дробями:

37:25; 110:75; 1825:584...» и т. д. Но наличия во всем задачнике только одного примера, конечно, недостаточно. Непонятно также, почему предлагается только указать, какие частные выражаются точными десятичными дробями, но не требуется, чтобы ученик произвел это деление. Почему все данные в этом примере являются только целыми числами и нет примеров на деление десятичных дробей? Следовало бы пополнить соответствующие разделы задачников такими, например, упражнениями: «Выразить частное десятичной дробью, если это возможно, или обыкновенной дробью, если невозможно выразить частное конечной десятичной дробью:

а) 637:16; 265:15; 1000:525; 15 285:15; 678:14;

б) 7,47:39; 0,357:17; 6:19,2; 7,84:35; О 9:125*

в) 835:0,35; 717:1,5; 1326:0,52; 4:0,2625; 9*4 5*

г) 6,284:1,6; 0,4:0,225; 4,815:1,8; 0,9:0,108; 2,7:1,08».

После ознакомления с приближенными вычислениями к подобным упражнениям можно поставить такой вопрос: «Выразить частное конечной десятичной дробью точно, если это возможно, или приближенно с точностью до трех (или четырех, и т. п.) значащих цифр, если точно выразить частное в десятичных дробях невозможно». Решение подобных упражнений имело бы для учащихся большое не только практическое, но и воспитательное значение.

О порядке действий

При определении порядка действий в обычных упражнениях из задачника учащиеся не затрудняются, но в решении более сложных примеров некоторые учащиеся допускают ошибки. Наиболее часто встречаются ошибки в примерах вида:

Некоторые учащиеся решают, соответственно, так:

Изучение этого вопроса дает основание отметить три причины появления ошибок в порядке действий:

1) в некоторых школах еще мало обращается внимания на выяснение сущности нормального порядка действий;

2) недостаточно уделяется внимания разъяснению вопроса назначения скобок как математических знаков, изменяющих нормальный порядок действий;

3) недостаточное внимание уделено этому вопросу в школьных учебниках и задачниках.

В задачнике Е. С. Березанской упражнения на все действия как с целыми, так и с дробными числами однообразны. Почти все примеры имеют вид:

a»bz±zc-d или a:b+c:d.

С первых же примеров вводятся скобки, а в дальнейшем — излишнее нагромождение скобок. Нормальному порядку действий, как таковому, почти не уделяется внимания.

В ряде примеров сами компоненты предостерегают учащихся от неправильного порядка действий. Это предостережение заключается в том, что при неправильном порядке действий следующее действие становится невыполнимым, например:

Здесь ученик и не зная нормального порядка действий не допустит ошибки, так как ни из 32, ни из частного 16000:32 вычесть 1640 ученик не может. То же можно сказать и об упражнении № 9678, где предполагается вычислить

и о некоторых других упражнениях.

Имеют место подобные упражнения и в задачнике С. В. Филичева и Я. Ф. Чекмарева, например № 1181(1). В то же время упражнений вышеуказанных типов очень мало как в задачнике Е. С. Березанской, так и в задачнике С. В. Филичева и Я. Ф. Чекмарева. Неоправданным является также и то, что на такие примеры с несколько иным порядком действий, чем в других примерах, в задачнике Е. С. Березанской не дано ответов, например № 848 (7 и 9). Нет ответов на подобные примеры и в задачнике С. В. Филичева и Я. Ф. Чекмарева, например № 1179, 1180(1), 1684(1) и др.

Вопрос о порядке действий методически не прост. В начальной школе часто ставят скобки и там, где можно обойтись без них, в целях, своего рода, наглядности, например:

В задачнике С. В. Филичева и Я. Ф. Чекмарева имеются и такие упражнения, в которых скобки поставлены совершенно излишне, например в № 905 и др. В № 725 совершенно напрасно поставлены фигурные, квадратные и часть круглых скобок. Подобные примеры не могут способствовать лучшему пониманию учащимися нормального порядка действий и назначения скобок. Надо помочь учащимся понять смысл нормального порядка действий, а для этого нужны прямые упражнения на порядок действий с небольшими числами. Но тщетны будут попытки учителя найти такие упражнения в школьных задачниках.

О приближенных вычислениях

Практическая деятельность в любой области потребует от наших учащихся знания и уменья применять приближенные вычисления. Выдающийся советский математик и инженер Герой Социалистического Труда, лауреат Сталинской премии академик Алексей Николаевич Крылов (1863—1945) уделял большое внимание приближенным вычислениям, выставляя как принцип, «что вычисление должно производиться с той степенью точности, которая необходима для практики, причем всякая неверная цифра составляет ошибку, а всякая лишняя цифра — половину ошибки»**. Высказывания академика А. Н. Крылова для преподавателей математики представляют особый интерес потому, что «как математик, умеющий прилагать математику к решению важнейших практических задач, А. Н. Крылов не знал себе равного в нашей стране, а может быть, и во всем мире»***. Хотелось бы пожелать, чтобы в новых учебниках и задачниках приближенным вычислениям было уделено должное внимание, и не только в специальном разделе «Приближенные вычисления».

С. В. Филичев и Я. Ф. Чекмарев в своем задачнике не только ввели специальный раздел «Приближенные вычисления» (см. стр. 182 — 186), но и в следующих разделах дали ряд задач на приближенные вычисления. В этом вопросе следует идти дальше и смелее как в учебниках и задачниках по арифметике, так и в школьной практике. Ценные указания по этому вопросу преподаватель найдет в «Методике преподавания математики в средней школе» В. М. Брадиса (гл. V, стр. 152—165). При этом следует обратить особое внимание на указание автора «не ограничиваться готовыми формулировками требований точности, а рассмотреть ряд задач практического характера, где требование о степени точности подсказывается условиями вопроса»****.

О пропорциональной зависимости

Особенно неудовлетворительно изложение темы «Прямая и обратная пропорциональность величин». На 4^ страницах (в четырех параграфах, если не считать § 204 и 207, написанные мелким шрифтом) учебника А. П. Киселева изложены основные определения и даны примеры решения трех задач. О существовании других видов зависимости между соответствующими значениями переменных величин, кроме прямой и обратной пропорциональности, в школьном учебнике арифметики ничего не говорится. Незнакомые с другими видами функциональной зависимости учащиеся приходят к выводу, что только и существует прямая и обратная пропорциональная зависимость. Например, рост и возраст ребенка, по мнению многих не только учащихся VI класса, но и абитуриентов, поступивших в Калужский учительский институт, находятся в прямой пропорциональной зависимости, а количество лошадей в упряжке одного экипажа и время, в течение которого можно проехать определенное расстояние, — в обратной пропорциональной зависимости. На возражение экзаминатора, что между ростом ребенка и его возрастом нет прямой пропорциональной зависимости, обычно следует контрвопрос: «А какая же зависимость? Ведь не обратно же пропорциональная». Подобные «ответы» ясно указывают, в чем недостаток изучения этой темы в школе.

Прямая и обратная пропорциональная зависимость величин в учебнике (да и в программе) рассматриваются изолированно от других видов функциональной зависимости. Но диалектический материализм учит> что «ни одно явление в природе не может быть понято, если взять его в изолированном виде, вне связи с окружающими явлениями... и, наоборот, любое явление может быть понято и обосновано, если оно рассматривается в его неразрывной связи с окружающими явлениями, в его обусловленности от окружающих его явлений»*****,

* Примеры взяты из книги В. Т. Снигирева и Я. Ф. Чекмарева «Методика арифметики», пособие для педагогических училищ, Учпедгиз, 1948, стр. 35 и 171.

** Акад. А. Н. Крылов, Мои воспоминания, изд. АН СССР, 1945, стр. 116.

*** Акад. Л. С. Лейбензон, чл.-корр. АПН РСФСР А. И. Маркушевич, Алексей Николаевич Крылов, книга «Люди русской науки», Гостехиздат, 1948, стр. 231.

**** В. М. Брадис, Методика преподавания математики в средней школе, Учпедгиз, 1949, стр. 162,

***** «История ВКП(б). Краткий курс», стр. 101.

В учебнике же эта тема изучается изолированно от других видов функциональной зависимости.

В VIII классе учащиеся знакомятся с другими видами функциональной зависимости (линейная, квадратическая и другие). Но такое позднее изучение некоторых других видов функциональной зависимости не разрушает уже создавшееся ранее у ученика неправильное представление о функциональной зависимости между величинами. Между стороной квадрата и его площадью, площадью круга и его диаметром многие абитуриенты склонны видеть также прямую пропорциональную зависимость.

Во всех известных руководствах по методике арифметики (Е. С. Березанской, В. Г. Чичигина, В. М. Брадиса) в большей или меньшей степени подчеркивается, что для того, чтобы предупредить смешение учащимися прямой или обратной пропорциональной зависимости с другими видами возрастающей или убывающей функциональной зависимостей, следует рассматривать первые как частный случай последних, но ни в учебнике ни в задачниках эта идея не отражена.

В задачнике Е. С. Березанской в разделе «Прямая и обратная пропорциональность величин» только в двух задачах речь идет о величинах, не находящихся в прямой или обратной пропорциональной зависимости (№ 1788 и 1789), но и в них предлагается только проверить на примере, «во сколько раз увеличится площадь квадрата, если сторону его удвоить, утроить?» (№ 1788, то же — по отношению к увеличению объема куба в № 1789). Вывода же относительно пропорциональности или непропорциональности значений стороны квадрата и его площади в задачнике не делается и не предлагается сделать. В такой формулировке задачи теряют ценность. Более интересна следующая задача, помеш,енная в задачнике С. В. Филичева и Я. Ф. Чекмарева: За посылку весом в 2 кг, пересылаемую почтой, надо заплатить 3 руб., за посылку в 4 кг — 4 руб., за посылку в 6 кг — 5 руб. Есть ли пропорциональная зависимость между весом посылки и оплатой за ее пересылку? (№ 2407). Считая полезной вышеприведенную задачу, все же нельзя признать, что в задачнике С. В. Филичева и Я. Ф. Чекмарева тема «Пропорциональная зависимость величин» представлена вполне удовлетворительно.

Во-первых, нельзя признать, что одна задача окажет заметное влияние на всех учащихся и заставит их достаточно вдумчиво относиться к определению зависимости между величинами, а не давать нелепые опрометчивые ответы. Опыт показывает, что опрометчивые суждения в определении вида функциональной зависимости достаточно часто встречаются среди учащихся средних школ. Для выработки привычки критически относиться к даваемым определениям необходимо уделить этому вопросу достаточное внимание.

Во-вторых, в приведенной задаче не требуется от учащихся, чтобы они определили значение одной величины в зависимости от соответствующих значений другой, а предлагается только проверить: «есть ли пропорциональная зависимость между весом посылки и оплатой за ее пересылку». Было бы полезнее дать эту задачу в такой, например, формулировке: За посылку весом в 2 кг, пересылаемую почтой, заплатили 3 руб., за посылку в 4 кг — 4 руб. Сколько надо заплатить за посылку весом в 6 кг? И ученик должен уверенно ответить на поставленный вопрос примерно так: «Зависимость между весом посылки и стоимостью ее пересылки не является прямо пропорциональной, а потому решить предложенную задачу, пользуясь только данными в условии задачи, невозможно. Можно предположить, что за посылку весом в 6 кг придется заплатить более 4 руб., но менее 7 руб. (4 руб. —|- 3 руб. = 7 руб.). Чтобы ответить более точно, надо навести справку на почте, или посмотреть в справочнике, или же знать более точно вид данной зависимости». Такой ответ должен быть признан правильным и оценен положительной оценкой. Лучше, если преподаватель сам будет составлять подобные конкретные задачи применительно к местным условиям, предварительно выяснив соответствующие данные. Приведем еще два примера подобных задач.

1. Отправка телеграммы в 10 слов стоит 4 рубля. Сколько стоит отправка такой же телеграммы в 15 слов? Примерное решение:

«Мы знаем, что подепешная плата взимается по рублю за отправку любой телеграммы, следовательно, за каждое слово взимается (4 руб. — 1 руб.): 10 = 0,3 руб., значит, речь идет об отправке простой телеграммы. Отправка простой телеграммы в 15 слов будет стоить 0,3 руб.-15+1 руб. =5,5 руб.».

Если же ученик не знает, как определяется стоимость отправки телеграммы, то он и не должен браться за решение задачи, прежде чем не наведет соответствующую справку. Отказ от решения задачи, в которой вид функциональной зависимости между входящими в нее величинами ученику неизвестен, учителем не должен оцениваться отрицательной оценкой. Наоборот, ученик должен получить похвалу от учителя за то, что, взяв под сомнение возможность применения известных ему способов

решения задач к данному конкретному случаю, он избежал нелепого вывода.

2. В областной газете «Знамя» сообщалось, что рысак Кактус Колхоза им. 1 Мая, Калужской области, дистанцию в 1600 м пробежал за 2 мин. 36 сек.*. Прочитав эту выдержку из газеты, можно предложить учащимся такой вопрос: Какую дистанцию пробежит рысак Кактус за 2 часа 36 мин.?

Очевидно, что можно с уверенностью сказать, что за 2 часа 36 мин. рысак Кактус пробежит гораздо более 1600 м, но нелепо было бы делать отсюда вывод, что он пробежит 96 км.

После решения нескольких таких задач с помощью учителя учащиеся сами смогут догадаться, что нельзя применять известные нам правила к решению таких задач, в которых вид функциональной зависимости входящих в них величин не известен, и что следует вдумчиво относиться к определению зависимости между величинами, чтобы не давать нелепых ответов.

Чтобы усвоенное не забывалось, необходимо и в дальнейшем возвращаться, к подобным задачам. Было бы весьма желательным поэтому включение подобных задач в раздел «Пропорциональная зависимость величин» школьных задачников и особенно в раздел задач на повторение всего курса арифметики. К сожалению, в задачнике С. В. Филичева и Я. Ф. Чекмарева последняя глава — «Задачи на все разделы курса арифметики»—вообще очень бедно представлена (всего 26 задач).

В задачнике Е. С. Березанской «Общий отдел» представлен большим количеством (225) разнообразных задач, есть и довольно сложные и интересные задачи, но задач отмеченного выше типа в нем нет.

В определениях прямой и обратной пропорциональной зависимости, данных в учебнике А. П. Киселева (§ 202 и 205), учащиеся быстро забывают, что увеличение (или уменьшение) значений одной величины при соответствующих изменениях значений другой должно быть обязательно во столько же раз; в их памяти остается только признак простого увеличения или уменьшения.

Правильно было бы исходить здесь из более простого признака — постоянства коэффициента пропорциональности соответствующих значений переменных величин = k, где k может быть, конечно, и дробным числом") — для прямой пропорциональной зависимости и постоянства произведения любой пары соответствующих значений переменных величин (х-у = с) — для обратной пропорциональной зависимости. В учебнике А. П. Киселева эти признаки даны мелким шрифтом (§ 204 и 207) и выводятся как следствия из признаков, данных в § 202 и 205; лучше было бы поступить наоборот.

В. Г. Чичигин в «Методике преподавания арифметики» высказывает утверждение, что «изучение темы о пропорциях более целесообразно поставить после изучения темы о пропорциональной зависимости величин, как очень полезное обобщение и завершение предыдущей темы».

Если учесть все вышеизложенное об изучении пропорциональной зависимости в школе, то нужно признать, что такая перестановка тем в школьном учебнике и в задачниках по арифметике была бы весьма желательна.

О задачах с геометрическим содержанием

Программа по арифметике и особенно объяснительная записка уделяют большое внимание решению задач с геометрическим содержанием, однако в задачнике Е. С. Березанской почти отсутствуют такие задачи. В задачнике С. В. Филичева и Я. Ф. Чекмарева задачам с геометрическим содержанием посвящены целые специальные главы: глава IV—«Задачи на вычисление площадей и объемов» (задачи № 197 — 229), § 8 главы IX — «Задачи геометрического содержания» (№ 1106—1178) и глава XVII — «Задачи геометрического содержания» (№ 1878— 1953). Отмечая это как положительный факт, не следует все-таки забывать, что решение хотя бы и большого количества задач с геометрическим содержанием не может заменить тех непосредственных практических измерений учащимися, которые так настойчиво рекомендуются в объяснительной записке к программе.

С этой точки зрения было бы полезно помещение в задачнике разнообразных конкретных фигур без указания их размеров, для определения площадей которых ученик должен сам решить, какие элементы данных фигур нужно измерить, и произвел бы самостоятельно эти измерения и вычисления с определенной степенью точности. Конечно, это не исключает, а наоборот, подчеркивает необходимость пользования «моделями, предметами обихода», а также измерения «площади земельных участков в связи с прикладными задачами»*.

* «Бега колхозных рысаков», газета «Знамя», № 209 от 23 октября 1949 года.

* Программа средней школы. Математика. Учпедгиз, 1950, стр. 9.

О несоответствии программе и других недочетах

Многих учителей затрудняет несоответствующее программе расположение материала отдельных тем в учебнике А. П. Киселева (проценты) и в задачнике Е. С. Березанской (отношения, проценты и пропорции) и особенно несоответствие в расположении этих тем в учебнике и задачнике между собой.

Затрудняет также некоторых учителей и особенно учащихся недостаточная методическая последовательность в расположении упражнений в отдельных случаях в задачнике Е. С. Березанской.

Например, в № 686 сразу даны упражнения на все случаи сложения обыкновенных дробей, но перед этим не было соответствующих упражнений для достаточной тренировки учащихся в каждом из отдельных случаев такого сложения, за исключением дробей с равными знаменателями. В задачнике С. В. Филичева и Я. Ф. Чекмарева этот раздел дробей представлен в большой методической последовательности и более полно (см. № 644 — 652).

Затрудняет иногда работу учителя слишком большое число упражнений, даваемых под одним номером, и отсутствие подобных же упражнений под другими номерами. Например, в задачнике Е. С. Березанской в № 608 — двадцать семь упражнений, в № 618 — семнадцать, в задачнике С. В. Филичева и Я. Ф. Чекмарева в № 526 — одиннадцать упражнений, в № 589(1) — пятнадцать. Задать учащимся на дом все 27 однообразных упражнений было бы нелепостью. Выделить же часть из них — затруднительно: некоторые учащиеся путают упражнения и выполняют не те, которые были заданы на дом. Все это затрудняет нормальную самостоятельную работу учащихся, а также организацию повторения пройденного материала в конце учебной четверти или учебного года. Некоторые учителя в таких случаях решают в классе часть упражнений соответствующего номера (обычно первые), а на дом задают оставшиеся не решенными в классе (обычно последние). В результате получается большое несоответствие в трудности упражнений, задаваемых на дом и решаемых в классе. Это также отрицательно отражается на самостоятельной работе учащихся.

Следовало бы упражнения в таких номерах разделить на части, давая по 4 — 5 упражнений в каждом номере, и распределить их в определенной методической последовательности. Это дало бы возможность лучше обеспечить нормальную работу учащихся в классе и дома, а также и возможность обращаться к данным вопросам при повторении учебного материала.

К МЕТОДИКЕ ПОВТОРЕНИЯ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ В V КЛАССЕ

Д. М. МАЕРГОЙЗ (Киев)

С повторения целых чисел начинается систематический курс арифметики в V классе. Цель повторения состоит прежде всего в систематизации материала, пройденного в начальной школе, в его уточнении и углублении.

Опыт школ свидетельствует о больших затруднениях, с которыми встречаются учителя при прохождении данного раздела. Неверно будет отнести все эти затруднения за счет одной только слабой подготовки учащихся по курсу начальной школы.

Часть затруднений обусловлена самим повторением. При повторении меньше возможностей возбудить у учащихся интерес к материалу, давно известному.

Чтобы преодолеть специфические трудности, связанные с повторением, обычно рекомендуется старый, известный материал, по возможности подать в новом освещении. На это частично ориентирует и объяснительная записка в программе.

Опыт школ показывает, что рядовой учитель нуждается больше всего в конкретных указаниях по данному вопросу. Оказание посильной помощи учителю и является целью данной статьи.

ПОВТОРЕНИЕ НУМЕРАЦИИ

При повторении нумерации в V классе наблюдаются в отдельных школах две крайности.

В одних школах все повторение сводится к одной тренировке в чтении и записи многозначных чисел. Причем нередко эти упражнения однообразны и примитивны, что вызывает у учащихся ослабление интереса к занятиям.

В других школах, наоборот, отдают должное идейной стороне. Но, к сожалению, учителя, руководствуясь благими намерениями, пускаются в пространные исторические экскурсии о зарождении счета и его эволюции у разных народов, о происхождении нашей системы цифр и об эволюции самих значков (цифр), об истории абака и т. п. Такие уроки невольно превращаются в лекции. При этом совершенно упускается из виду, что пятиклассники, в силу возрастных особенностей, не в состоянии сосредоточенно слушать на протяжении целого урока.

Для эффективного повторения нумерации в V классе необходимо умело сочетать подчеркивание идейной принципиальной стороны с должной тренировкой в соответственно подобранных упражнениях.

Вопрос этот следует решать в зависимости от конкретной обстановки. Если класс слабо подготовлен, то целесообразнее в первую очередь вооружить его надлежащими прочными навыками и лишь под конец остановиться на принципиальной стороне вопроса.

Если же учащиеся перешли в V класс с нормальной подготовкой по предыдущему курсу, то, разумеется, начать следует с выяснения принципиальной стороны дела.

Обычно в школьной практике главное внимание обращается на разъяснение, почему наша нумерация является десятичной. То, что наша система счисления является в первую очередь позиционной, обычно остается в тени. Между тем именно выяснение сути позиционного принципа нашей нумерации дает возможность учащимся увидеть старое в новом освещении.

Например, учитель, приступая к повторению нумерации, может предложить одному из учащихся написать на доске, скажем, число: 2222. При этом он обращается к классу: «Я не сомневаюсь в том, что любой из вас умеет написать такое число; это сделано с совершенно другой целью». Такое замечание вызывает у учащихся обостренное состояние ожидания. Тогда обращается внимание на то, что по начертанию все написанные цифры одинаковы, и затем следует вопрос: «А по значению они также одинаковы?» Обычно все учащиеся активно реагируют на поставленный вопрос. «Нет,— утверждают они: — первая (слева) цифра означает две тысячи, вторая — две сотни, третья — два десятка, а последняя— две простые единицы».

Так выясняется, что значение цифры еще зависит и от занимаемого ею места.

После этого можно дать краткую историческую справку, указав, что много тысячелетий прошло, пока люди додумались до простой мысли приписывать цифре двоякое значение: одно — в зависимости от ее начертания, другое в зависимости от занимаемого ею места. Здесь же подчеркивается, что такой способ записи чисел, когда значение цифры (значка) меняется в зависимости от ее места, называется позиционным (от слова позиция, что значит место) и поэтому наша нумерация является позиционной.

Затем следует остановиться и на том, почему наша нумерация является еще десятичной. Долго задерживаться на последнем не целесообразно, так как это обычно подробно излагается учащимися в начальной школе.

Чтобы учащиеся ярко восприняли важность позиционного принципа, следует подчеркнуть, что целых чисел бесчисленное множество, а различных знаков (цифр) всего только десять. Благодаря позиционному принципу имеется возможность с помощью небольшого числа знаков написать любое число. Если бы каждое число обозначалось в письме особым знаком, то запомнить эти знаки было бы не под силу.

Чтобы еще больше оттенить суть позиционного принципа нашей нумерации, следует потом сопоставить ее с римской нумерацией. Удобно это сделать на сопоставлении таких двух записей одного числа: МММ CCC XXXIII и 3333. Учащиеся наглядно убеждаются, что в римской нумерации значение значка не зависит от занимаемого им места и это влечет за собой громоздкость самой записи.

Что касается позиционной системы с основанием, отличным от десяти, то пятиклассникам она непосильна. С этим можно познакомить учащихся в VI классе на уроке алгебры после изучения расположенных многочленов.

В заключение отметим, что в позиционном принципе в одном понятии числа, по сути, сочетаются два различные понятия: количество и размер. Количество единиц определяется начертанием цифры, а их размер — ее позицией. Чем дальше влево расположена цифра в написанном числе, тем крупнее размер соответствующих единиц. С аналогичным явлением учащиеся в дальнейшем встретятся при ознакомлении с понятием дробного числа: числитель определяет количество долей, а знаменатель их размер. Легко отличить оба члена дроби друг от друга благодаря разным позициям, занимаемым ими: числитель сверху, а знаменатель снизу.

Переходя к рассмотрению тренировочных упражнений, следует прежде всего указать на опасность «переучивания легкого и недоучивания трудного».

Например, не следует много упражняться в записи, скажем, таких чисел: 3 628 417 или 75 629 413 806. Основное внимание следует уделять более трудным случаям, когда отсут-

ствуют не только разряды, но и целые классы. Практика показывает, что наибольшее количество ошибок в нумерации многозначных чисел падает на эти случаи.

Не следует также увлекаться упражнениями, наподобие таких: «написать число, составленное из шести единиц второго разряда третьего класса, двух единиц третьего разряда второго класса и пяти единиц второго разряда первого класса». На такие упражнения частично ориентирует учителя задачник для V класса Е. С. Березанской. Их полезно дополнить еще и такими: «какие действия производим над числом, приписывая к нему справа цифру 4?». Аналогичные вопросы следует задавать на зачеркивание в числе последней цифры.

Особое внимание при повторении следует уделять устным упражнениям на усвоение соотношений между единицами различных разрядов. Например, такие вопросы, как «сколько в миллионе десятков, сотен» или «сколько в миллиарде десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч» и т. п., должны часто задаваться пятиклассникам. Опыт показывает, что такие вопросы вызывают затруднения даже на вступительных экзаменах в техникумы и институты.

Чтобы проверить, какие конкретные представления у учащихся о миллионе, миллиарде, можно задать им такие вопросы: может ли человеческая жизнь длиться миллион секунд, минут, часов? Большое изумление вызывает у учащихся, когда им демонстрируют квадратный метр миллиметровой бумаги и указывают, что в нем содержится миллион клеточек (миллиметровых). При отсутствии миллиметровой бумаги можно аналогичное показать на обычных школьных тетрадях в клетку. Достаточно собрать у всех учащихся в классе по одной арифметической тетради и спросить: больше или меньше миллиона клеточек во всех собранных тетрадях? Под руководством учителя учащиеся сами производят подсчет клеточек и к своему большому удивлению узнают, что количество клеточек превышает миллион, если учащихся в классе около 40.

Немалый интерес вызывает у учащихся и такая задача: «Уложится ли между школой и стадионом миллион спичек, расположенных в ряд как рельсы на железной дороге, если расстояние между школой и стадионом равно 5 км?».

Следует учесть, что за два-три урока, обычно отведенные на повторение нумерации, нельзя полностью исчерпать данную тему. Поэтому следует вкрапливать отдельные вопросы в последующие темы. Это способствует закреплению и углублению соответствующих знаний учащихся. Например, при изучении делимости чисел полезно задать учащимся вопрос: почему от приписывания к любому трехзначному числу такого же числа полученное шестизначное число обязательно разделится на 7, 11 и 13? Целесообразно при этом дать указание: подумайте сначала, во сколько раз от этого увеличится трехзначное число.

ПОВТОРЕНИЕ ЧЕТЫРЕХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

При повторении сложения не следует останавливаться много на самой технике этого действия во избежание переучивания легкого.

После краткой проверки, насколько учащиеся прочно усвоили соответствующие термины, следует должное внимание уделять основным законам действия сложения, переместительному и сочетательному. Опыт показывает, что учащиеся усваивают эти законы формально. Причины этого такие: обычно в школьной практике все внимание обращается лишь на многократное словесное формулирование этих законов и на их символическую запись с помощью букв. Отдельные учителя немало энергии еще тратят на разъяснение этих законов с помощью тех или иных наглядных иллюстраций.

Вот обращается учитель к классу: «В правой руке у меня 3 ореха, а в левой 2. Перекладываю 2 ореха из левой руки в правую. Сколько всех орехов?».

Потом он перекладывает уже 3 ореха из правой руки в левую и снова торжествующим тоном спрашивает: «Ну, а теперь сколько всего орехов получилось?».

Учитель при этом считает, что он не «сухо» подал переместительный закон, а на непосредственном эксперименте «убедил» учащихся в верности этого закона. К сожалению, вовсе не учитывается, что никто из учащихся V класса уже не сомневается в верности этого закона и поэтому все такие попытки «убедить» их совершенно напрасны. Фактически, дело обстоит как раз наоборот. Учащимся V класса абсолютно невдомек, зачем учитель так много останавливается на таких очевидных, давно им известных истинах. Ведь никто же не требует от них многократного повторения других тривиальных истин, вроде того, что летом тепло, а зимой холодно и т. п.

Изучение основных законов действий в V классе должно вестись в ином направлении. Здесь следует в первую очередь акцентировать многообразное применение этих законов.

При изложении законов сложения учитель должен в беседе с учащимися откровенно сказать им: «Я ничуть не сомневаюсь в том, что истина, о которых утверждается в этих законах, давно вам известна. Я останавливаюсь на

этих законах специально потому, что они чрезвычайно важны; на них основывается весь дальнейший курс школьной математики. Эти законы применяются довольно часто. С некоторыми из этих применений мы сейчас же и познакомимся».

Здесь уместно перейти к проверке действия сложения и указать, что эта проверка и сводится к непосредственному применению переместительного закона. Дальше следует остановиться и на применении законов сложения к устным (сокращенным) вычислениям. Например, предлагается вычислить сумму: 992+769++8. Обычно учащиеся производят сложение этих чисел в том порядке, в каком они записаны, и это отнимает у них некоторое время. Тогда учитель указывает, что данную сумму следует вычислить устно и притом довольно быстро. Для этого следует лишь поменять местами третье слагаемое со вторым. Действительно, 992 + 769 + 8 = 992 -f 8 + 769= 1000+769 =1769. Учитель подчеркивает, что упрощения вычислений мы добились лишь благодаря применению закона сложения.

Можно также остановиться и на применении законов сложения к обоснованию самой техники сложения многозначных чисел. Для этого достаточно ограничиться простейшим случаем сложения двух трехзначных чисел (без перехода через десяток). Например, чтобы сложить два числа 615 и 372, мы сперва представляем каждое из них в виде суммы разрядных чисел:

Переставляя потом некоторые слагаемые и соединяя их в отдельные группы, имеем:

Следует указать учащимся, что когда мы обычно при сложении многозначных чисел складываем сперва единицы с единицами, затем десятки с десятками и т. п., то мы, по сути, применяем оба закона сложения: переместительный и сочетательный. При рассмотрении данного упражнения уместно указать учащимся, что можно начинать сложение и с единиц высших разрядов, но в более сложных случаях этот способ оказывается менее удобным.

Целесообразно отметить, что обычная техника письменного сложения многозначных чисел сводится к сложению в уме только однозначных чисел (единиц отдельных разрядов). Благодаря этому значительно упрощается сама техника сложения многозначных чисел. Если бы мы, например, стали к числу 615 присчитывать все простые единицы числа 372, то такое «сложение» было бы довольно утомительно.

В дальнейшем при устном опросе учащихся по основным законам действий не следует ограничиться одной лишь их словесной формулировкой, а обязательно надо требовать показать, где они применяются.

Завершить повторение действия сложения следует рассмотрением изменения суммы при изменении слагаемых.

При повторении действия вычитания следует в первую очередь указать на его связь с действием сложения. Что касается самой техники этого действия, то следует остановиться лишь на более трудном случае. Например, можно рассмотреть вычитание, скажем, таких чисел:

Должное внимание следует уделять нахождению неизвестного компонента по результату и другому компоненту и применению этого к проверке действия вычитания. Учащиеся должны твердо усвоить, что при проверке вычитания сложением мы применяем нахождение уменьшаемого по разности и вычитаемому, а при проверке вычитания вычитанием мы применяем нахождение вычитаемого по уменьшаемому и разности. Хотя на практике применяется первый способ проверки, но учащиеся должны знать о принципиальной возможности двух способов проверки.

Особого внимания заслуживает повторение случаев изменения разности при изменении вычитаемого, так как на эти случаи падает наибольшее количество ошибок учащихся. Этот же материал следует применять к устным вычислениям, где применяется «округление» вычитаемого. Например, предлагается учащимся вычислить разность: 3543 — 998 и указывается, что результат можно вычислить в уме, и притом быстро. Для этого достаточно сперва округлить вычитаемое до тысячи и вычислить в уме новую разность:

Но от этого округления вычитаемое увеличилось на 2 единицы, и, стало быть, разность уменьшилась на две единицы.

Поэтому для «исправления» ответа надо к 2543 прибавить 2. Кратко это записывается так:

Закончить повторение следует рассмотрением вычитания разности, что также целесообразно применить к предыдущему случаю устного вычитания.

При повторении умножения следует после рассмотрения обычного определения этого действия специально остановиться на двух особых случаях, когда множитель единица или нуль. Здесь уместно подчеркнуть, что в этих случаях умножение не сводится к сложению, и в связи с этим важно отметить специфические свойства единицы и нуля.

Что касается основных законов умножения, то их следует пройти в таком же плане, как и соответствующие законы сложения, всемерно подчеркивая их многообразные приложения. Здесь же можно отметить целесообразность определений умножения на единицу и нуль, так как при этом сохраняется переместительный закон умножения и в данных случаях.

Что касается самой техники умножения, то при повторении следует лишь остановиться на тех случаях, когда среди цифр множителя встречаются нули в середине или когда каждый из сомножителей оканчивается нулями. При этом следует решительно бороться с нерациональными навыками (писанием нулей понапрасну) и требовать строго придерживаться в этих случаях образцов, имеющихся в учебнике арифметики Киселева.

Должное внимание следует уделять повторению изменения произведения при одновременном кратном увеличении (уменьшении) обоих сомножителей.

При повторении деления следует учесть, что часть учащихся испытывает затруднения в самой технике этого действия. Эти затруднения связаны преимущественно с подысканием первой цифры частного, когда вторая цифра делителя больше 5. Значительно облегчает это подыскание уменье быстро устно вычислить произведение двузначного числа на однозначное. Эти навыки и следует прививать до повторения действия деления. Их уместно закреплять при изучении распределительного закона умножения.

Особого внимания заслуживают те случаи деления, когда среди цифр частного имеются в середине нули. Наибольшее количество ошибок в делении падает на эти случаи. Упражнений на эти случаи мало в стабильном задачнике, следовательно, учителю надо самому составлять дополнительные аналогичные упражнения. Методика их составления такова. Сначала подбираем упражнения на случай однозначного делителя*.

Допустим, что делитель 9. Тогда делимое подбираем парами чисел, где каждая пара представляет собой двузначное число, кратное 9. Например, вычислить частное:

726354:9 или 81364 527:9.

Аналогично поступаем при другом делителе, например:

72 643 256:8 или 63495 642:7.

Та же методика пригодна и при двузначном или трехзначном делителе, например:

724 896:24 или 936 624 ..312.

При делении с остатком еще чаще встречаются аналогичные ошибки. Например, при делении 96 724 819:24 учащиеся обычно пропускают нули в частном в его конце даже тогда, когда они их уже не пропускают в середине. Причина в том, что учащимся бросается в глаза, что 19 можно сразу «снести» в остаток, так как оно меньше 24. Поэтому искоренению этих ошибок при повторении действия деления надо уделять особое внимание. Для борьбы с данным видом ошибок можно применить разные приемы. Очень полезно обращать внимание на порядок величины частного. Например, в вышеприведенном упражнении легко установить a priori, что частное содержит миллионы, так как от деления 96 миллионов на 24 непременно получаются миллионы в частном. А этот факт уже указывает, что в частном должно быть 7 цифр. Это предохраняет от ошибок в пропуске нулей и помогает учащимся легко их самим обнаружить. Помогает в борьбе с данными ошибками и формальное уменье определить значность результата. Например, в данном примере делимое содержит 8 цифр, делитель— 2 цифры, и первая цифра делимого больше первой цифры делителя, поэтому значность частного равна (8 — 2) + 1 = 7.

Для борьбы с данными ошибками полезно также постоянно подчеркивать, что при делении надо всегда «сносить» только по одной цифре делимого.

Кроме повторения техники деления надо специально остановиться и на нахождении неизвестного компонента этого действия. Сначала надо это основательно рассмотреть для случая деления без остатка, а затем и при наличии остатка. И все это надо обязательно связать с соответствующими способами проверки действия деления.

Особого внимания заслуживает при повторении рассмотрение изменения частного при изменении делителя, так как часто учащиеся испытывают затруднения в этих вопросах.

Специально следует остановиться на невозмож-

* Кстати, в случае однозначного делителя учащиеся допускают ошибки в пропуске нулей в частном значительно чаще, чем при многозначном делителе.

нсти деления на нуль и показать учащимся связь этого с определением умножения и а нуль.

Завершить повторение деления можно рассмотрением деления суммы (разности) на какое-нибудь число. Это все надо применять к специально подобранным упражнениям на устные вычисления. Например:

Заканчивается повторение всех четырех действий обычно комбинированными упражнениями на порядок действий и отступления от него при наличии скобок. Естественно связать это с рассмотрением соответствующих числовых формул, полученных при решении специально подобранных задач.

УСТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

В начальной школе уделяется много времени и внимания элементарным навыкам в устных вычислениях. Естественно проверить состояние этих навыков на первых уроках в V классе и затем добиваться их дальнейшего усовершенствования.

Здесь мы хотим показать, как можно добиться в V классе усовершенствования некоторых частных приемов устных вычислений, известных уже учащимся по курсу начальной школы.

Пусть, например, повторяется с учащимися прием устного умножения на 25. Если только ограничиться одним воспроизведением в памяти учащихся этого приема, то он им скоро надоест. Учитывая, что в начальной школе этот прием обычно преподносится рецептурно («сначала дели на 4 и потом умножь на сто»), следует при повторении его непременно остановиться на том, «почему именно так надо делать». Обоснование этого приема в доступной пятиклассникам форме можно дать в двух вариантах:

1) с помощью рассмотрения изменения произведения при кратном увеличении одного из сомножителей;

2) на основании свойства умножения на частное.

Для применения первого варианта целесообразно сопоставить на доске два произведения, например 32 X МО и 32X25.

Обращается внимание учащихся, что во втором произведении множитель 25 в 4 раза меньше множителя 100 в первом произведении и поэтому второе произведение должно быть в 4 раза меньше (учитывая, что множимое в обоих произведениях одно и то же — 32). Так как первое произведение легко вычислить в уме (32 сотни), то и второе произведение легко вычислить устно; для этого достаточно первое произведение уменьшить в 4 раза.

Для применения второго способа надо предварительно представить 25 как частное (100:4). Затем пользуемся правилом: чтобы умножить какое-нибудь число на частное, можно данное число разделить на делитель* и полученный результат умножить на делимое.

Поэтому, когда мы, например, множим устно 32 на 25, то сначала делим 32 на 4 (делитель) и результат 8 множим на 100 (делимое).

Здесь уместно указать учащимся, что иногда имеет смысл заменить одно действие двумя действиями, когда эти два действия легко выполнить в уме. Разумеется, вовсе не обязательно показать учащимся оба варианта обоснования умножения на 25. Второй способ короче, зато первый больше будит мысль учащихся, развивая их функциональное мышление.

Обоснование приемов устных вычислений в V классе очень важно, так как благодаря установлению связи между ними и теоретическим материалом обеспечивается сознательное усвоение самой техники и надлежащая действенность соответствующих теоретических знаний учащихся.

Однако свести все усовершенствование приемов устных вычислений к одному лишь их теоретическому обоснованию было бы большой педагогической ошибкой. Основная задача — подбирать специально все более сложные упражнения, но непременно такие, в которых применяются предыдущие приемы. Это обеспечивает их прочное усвоение.

После рассмотрения умножения на 25, когда множимое кратно 4, можно перейти к устному умножению на 75. Множимое для этой цели подбираем также, чтобы оно было кратно 4. Например:

Методика устного умножения на 75 проста: сначала умножаем данное число на 25 и затем полученный результат увеличиваем в 3 раза**. Обосновать этот способ целесообразно с помощью сочетательного закона умножения. Например:

* В множестве натуральных чисел это можно сделать только тогда, когда данное число кратно делителю.

** О другом способе умножения на 75 не следует сначала говорить учащимся, его следует позже показать.

Но учитель, по желанию, может применить и другой способ обоснования, например, сопоставляя два произведения: 28 X 25 и 28 X 75.

Дальнейшее усложнение упражнений может быть проведено уже путем применения распределительного закона умножения. Например, чтобы устно умножить 29 на 25, делаем так:

Таким образом, на данном этапе уже отпадает следующее ограничение: множимое должно быть непременно кратно 4.

Этими упражнениями следует добиться безупречного устного умножения любого двузначного числа на 25. Но ими далеко не исчерпываются все возможности дальнейшего усовершенствования данного приема. На следующем этапе надо специально подбирать упражнения для устного умножения на 26, 27, 28, 24, 23 и т. д.

Предлагаем учащимся устно умножить 36 на 26, используя известный им прием умножения на 25. Обычно, более сильные из них сами додумываются предварительно представить 26 в виде суммы 25+l и затем применить распределительный закон:

Аналогично:

В таком же плане можно выполнять и устное умножение на 125.

Сначала подбираем множимое, чтобы оно было кратно 8. Например:

Затем переходим к умножению на 375, 625, 875. Например:

Последнее упражнение целесообразнее потом выполнить по такому образцу:

Потом можно перейти к устному умножению на 126, 127, 128 или 124 и 123. Например:

После закрепления навыков в устном делении трехзначного числа на 8 можно давать упражнения на умножение даже трехзначного числа на 125, 375 и т. д.

Например:

Из приведенных упражнений видно, какие широкие возможности имеются для варьирования в разных направлениях обычных частных приемов устных вычислений. Во всех этих упражнениях мы отправлялись только от одних и тех же двух чисел: 25 и 125.

Таким образом, мы не видим надобности в том, чтобы прибегать к специальным таблицам для подбора упражнений на устные вычисления, как это рекомендуют некоторые авторы*.

ПОВТОРЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Как известно, около 50% всего времени, отводимого на курс арифметики, рекомендуется уделять решению задач. Стало быть, при повторении в V классе материала начальной школы надо уделить время и повторению задач. Но здесь у малоопытных учителей и возникают трудности в смысле планирования этого повторения. Некоторые учителя наивно полагают, что за время, отведенное повторению в начале года в V классе, следует непременно «все» повторить, т. е. все типы задач, изученные в начальной школе. Естественно, что при таком планировании получается неизбежно «галоп» по всему материалу.

Следует учесть, что за ограниченное время, отведенное повторению, можно доброкачественно повторить лишь небольшое число «типов» задач, принимая еще во внимание необходимость краткого повторения отдельных «нетиповых» задач в связи с повторением отдельных действий (для конкретизации случаев, когда применяется то или иное действие).

Опыт школ подсказывает, что целесообразно планировать на указанное время повторение

* См., например, Н. Н. Никитин, Устные вычисления на уроках арифметики, изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1950, стр. 10.

не больше двух-трех типов задач, а именно: задачи на нахождение двух чисел: 1) по их сумме и отношению, 2) по их сумме и разности.

Первый тип обычно известен учащимся под названием «задачи на части» и не вызывает затруднений у них, так как «предположение», применяемое там, вполне естественное с точки зрения психологии учащихся. Не то со вторым типом (известным учащимся под названием «задачи на излишки»). Этот тип довольно трудно воспринимается при первом ознакомлении с ним в III классе и нелегко усваивается даже при повторении в V классе. Причин этому немало. Во-первых, само « предположение», применяемое при решении задач второго типа, совершенно неестественное с точки зрения пятиклассника. Все такие «предположения» явно противоречат жизненному опыту учащихся. Например, «предположим, что учебник стоил столько, сколько тетрадь», или «предположим, что большая часть равна меньшей» и т. п. Учащимся хорошо известно, что такие предположения нереальны; учебник не может стоить столько, сколько тетрадь, или большая часть не может равняться меньшей. В отдельных задачах такие «предположения» доходят до курьезов. Например, в задаче: Количество лет отца и сына равно 60; отец старше сына на 20 лет. Определить возраст сына. Здесь приходится делать довольно странное предположение, что «отцу столько лет, сколько сыну».

Во-вторых, значительная трудность при решении задач этого типа состоит в том, что формулировка первого вопроса крайне затруднительна для учащихся вследствие своей громоздкости. Стремления учащихся «укоротить» формулировку вопроса обычно приводят к известным массовым ошибкам, вроде такой: «Сколько стоили бы вместе учебник и тетрадь, если бы цена их была одинакова?». В-третьих, сам термин «деление на части, разностно неравные», нередко вводит учащихся в заблуждение, толкающее их на обычную ошибку: «сначала разделить на 2, а потом уже отнять.. . ».

При повторении этого типа задач в V классе необходима кропотливая работа по разъяснению учащимся всех явных и «неявных» недоразумений, возникающих у них при решении таких задач. Здесь следует разъяснить, что вовсе не обязательно всегда отнять «излишек», как к этому они привыкли в начальной школе.

В результате этого повторения типа задач учащиеся должны твердо усвоить, что когда по сумме и разности двух чисел требуется определить только большее из них, то целесообразнее прибавить «излишек». Когда же требуется определить меньшее из двух данных чисел, то тогда целесообразнее отнять «излишек». Если же в задаче требуется определить оба числа, тогда уже безразлично, отнять или прибавить «излишек».

Решение задач этого типа надо непременно связать с соответствующим теоретическим материалом — изменением суммы при разностном изменении слагаемого. Это значительно облегчает учащимся осмысленно усвоить решение задач данного типа.

Затем надо давать задачи на оба типа «вперемежку» и комбинированные задачи на сочетание обоих типов, памятуя, что «сопоставление» двух типов очень благотворно отражается на их четком усвоении.

Что же касается остальных типов задач, прорабатываемых в начальной школе, то их следует повторять в строгой последовательности, но уже при изучении следующих разделов программы. Тем более, что при изучении следующей темы — «Делимость чисел» —совсем мало задач, которые естественно увязываются с материалом данной темы. Это же относится к первым темам раздела «Простые дроби».

О РАЦИОНАЛИЗАЦИИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Н. А. ТРОИЦКАЯ (Томск)

Опыт работы последних лет во втузах показывает, что вопросу рационализации вычислений со стороны средней школы уделяется все более и более серьезное внимание. Студенты первых курсов втузов при выполнении самостоятельных работ по различным разделам высшей математики ставят себе целью не только решить ту или иную задачу, но решить ее, по возможности, наиболее рациональным способом. Немалая заслуга в этом принадлежит средней школе.

Но для того чтобы навыки в нахождении рациональных способов решения различного рода задач и вычислительная техника неуклонна совершенствовались, необходимо борьбу за рационализацию вычислений сделать еще более настойчивой, еще более систематичной.

Обращает на себя внимание то обстоятельство, что учащиеся догматически усваивают некоторые рецепты рационализации вычислений.

Запомнив, например, что дроби при умножении и делении следует сокращать, они производят сокращение и тогда, когда это явно не выгодно.

Пример:

и т. д.

Дробь здесь совсем не следует сокращать на 3, так как 45 является общим знаменателем дробей, которые в следующем действии придется складывать.

Усвоив правило, что при сложении и вычитании дробей не следует смешанные числа превращать в неправильные дроби, учащиеся не признают никаких исключений из этого правила.

Если, например, требуется вычислить:

то, произведя деление

и записав:

учащиеся исключают целое число из чтобы произвести сложение, а потом полученный результат снова превращают в неправильную дробь, чтобы выполнить умножение. Здесь выгоднее, конечно, было выполнить сложение в неправильных дробях, так как при этом сокращается одно действие.

Таких примеров можно привести много. Нужно добиваться того, чтобы правила, облегчающие арифметические вычисления, учащиеся не только знали, но и пользовались ими с полным пониманием дела. Нужно настойчиво вырабатывать у учащихся привычку, прежде чем решать тот или иной пример, «прикидывать», что им выгодно делать и что невыгодно.

Если, например, при вычислении

выгодно раскрыть скобки, то в примере

раскрывать скобки не следует, а нужно произвести действие в скобках и т. д.

Формулы сокращенного умножения и деления учащиеся знают хорошо, но, как правило, не пользуются ими при арифметических вычислениях. Они просто не узнают эти формулы на числах.

На приемных экзаменах в Томский электромеханический институт инженеров железнодорожного транспорта в арифметическом примере после ряда действий получилась разность:

Почти никто при вычислении этой разности не использовал формулы разности квадратов:

Рядом удачных примеров учащиеся должны быть убеждены в том, что формулы сокращенного умножения важны не сами по себе, а как средство для упрощения различных алгебраических выражений и арифметических вычислений. Подобного рода работа должна вестись не только в VI классе, когда изучаются формулы сокращенного умножения, а, по возможности, на протяжении всего курса обучения. И в старших классах полезно предлагать такие арифметические примеры, как:

При изучении алгебры борьба за хорошую вычислительную технику не должна ослабляться.

Следует добиваться, чтобы у учащихся развивалась настоятельная потребность упрощать вычисления. Если, например, решается уравнение:

то следует требовать такой записи:

При прохождении геометрии техника вычислений также должна быть все время в поле зрения учителя. Допустим, решается задача:

Определить по трем сторонам a, b и с треугольника ABC его медиану тс, проведенную к стороне AB. Вычислить медиану при а = 24, 0 = 40 и с = 48 (VIII класс).

При решении задачи в общем виде получается формула:

подстановка числовых значений дает:

Решение нужно требовать в виде:

Забота о наиболее экономных и удобных приемах тождественных преобразований, о наиболее выгодных способах решения задач должна пронизывать изучение любого программного вопроса.

В VII классе при изучении алгебраических дробей нужно обращать внимание учащихся на то, что один и тот же результат промежуточных вычислений может быть записан по-разному, в зависимости от характера дальнейших преобразований.

Постоянная фиксация внимания учащихся на необходимости обдумывать способы решения примеров и задач предостерегает учащихся от механической работы. Борьбу за рационализацию вычислений нужно связать с борьбой за разумную экономию времени.

С первых же шагов изучения уравнений нужно следить за записью; нельзя допускать, чтобы учащиеся по нескольку раз переносили одни и те же члены уравнения из одной части в другую, производили лишнюю смену знаков и т. д. Нужно добиваться, чтобы учащиеся сразу видели решение несложных уравнений

и записывали ответ, не производя никаких письменных вычислений. Например, для уравнения: 7 = 5х — 6л: — 3 сразу должен быть записан ответ: х = —10. Нужно больше тренировать учащихся в устном решении уравнений.

Устное решение, например, таких уравнений, как:

и т. д., в VII классе не должно вызывать особых затруднений.

Всякое нерациональное действие учащегося должно вызывать порицание со стороны учителя. Если, например, решая уравнение

ученик пишет

нужно указать ему, что он сделал лишнюю запись. Следовало одновременно умножать первую скобку на 7, а вторую на (—4), т. е. сразу писать:

За невыполнение подобных указаний в дальнейшем следует снижать оценку. Уже в VII классе нужно давать уравнения, в которых неизвестные обозначены не через х и у, а другими буквами. Буквенные уравнения учащиеся должны уметь решать относительно любой буквы, входящей в уравнение. Так же, как при изучении числовых уравнений, нужно практиковать устное решение несложных буквенных уравнений, например:

и т. д.

Устные вычисления приучают к сосредоточенности и внимательности, при выполнении более сложной работы они дают возможность часть работы выполнять в уме и избавляют от лишней писанины.

При решении системы уравнений с двумя неизвестными нужно предлагать системы, записанные в виде равенства трех отношений, потому что с такого рода записью уравнений учащиеся часто будут иметь дело при изучении аналитической геометрии в вузе.

Пример:

Учащиеся должны уметь легко заменять эту систему эквивалентной ей системой:

сокращая, если возможно, знаменатели и числители на общий множитель.

В VIII классе уменье выбирать наиболее простые методы решения задач приобретает особо важное значение, так как с введением иррациональных чисел вычисления усложняются.

При действиях с иррациональными выражениями нужно приучать учащихся к тому, чтобы они отдавали себе отчет в том, с какой целью делается то или иное преобразование и к чему оно должно привести.

Преподаватель всегда должен иметь наготове достаточное количество таких примеров, на которых можно продемонстрировать экономию сил и времени при удачно выбранном способе решения.

Определение числового значения выражения:

непосредственной подстановкой привело бы к необычайно громоздким вычислениям и потребовало бы много времени. Если же учащиеся сообразили бы разложить на множители алгебраическую сумму первых четырех членов (а не всех пяти), то вычисление значительно упростилось бы.

Систематическая тренировка в сравнительной оценке способов решения, в отыскании наиболее выгодных путей решения развивает сообразительность учащихся и их находчивость.

При анализе типичных ошибок студентов втузов как по элементарной, так и высшей математике, который систематически проводится кафедрой математики Томского электромеханического института инженеров железнодорожного транспорта, установлено, что учащиеся очень нерациональным способом решают квадратное уравнение вида:

относительно х или у: раскрывают скобки, переносят все члены в одну часть и т. д. Очевидно, этот недостаток можно в значительной мере уменьшить, если бы разнообразить упражнения и поощрять решение задач оригинальными способами.

С решением уравнения вида:

относительно х или у полезно специально познакомить учащихся:

Этот прием следует закрепить рядом упражнений: Например:

Наблюдается также, что при решении уравнений, содержащих дробные члены, не производится сокращение дробей, если общий множитель содержится в скобке, которая возводится в степень.

Например, в уравнении:

вторая дробь не сокращается на 4, и поэтому дальнейшее решение усложняется.

Очевидно, не будет бесполезным, если наряду с типами уравнений, которые обычно решаются в школе, будут предлагаться и такие, как:

и т. д.

В IX и X классах работа по рационализации вычислений и различных математических преобразований принимает чрезвычайно разнообразный характер. Учащиеся уже накопили значительное количество математических знаний, и преподаватель имеет возможность привести большее количество задач, решаемых оригинальными способами, продемонстрировать больше изящных решений. Если учащиеся сами не могут найти оригинальное решение, можно навести их на него соответствующими указаниями. Например, при решении задачи № 101 из задачника Шапошникова и Вальцова:

Три числа, составляющие геометрическую прогрессию, дают в сумме 25, если к этим числам прибавить соответственно 1,6 и 3, то и получатся 3 числа, составляющие арифметическую прогрессию. Найти эти числа — можно указать на целесообразность использовать свойство арифметической прогрессии: из каждых трех последовательных членов арифметической прогрессии средний есть среднее арифметическое двух других. Тогда вместо системы четырех уравнений, которую обычно составляют учащиеся, получается система двух уравнений:

которая решается довольно просто.

При решении задач при помощи составления уравнений нужно показать учащимся, что часто

успех решения задачи зависит от удачного выбора неизвестного. На уменье выбирать неизвестное при составлении уравнений следует обращать внимание с первых шагов изучения уравнений.

Полезно продемонстрировать изящные решения, являющиеся следствием удачного выбора неизвестного.

Нужно практиковать решение одной и той же задачи различными способами и давать сравнительную оценку этих способов, характеризуя преимущества или недостатки того или иного метода.

При изучении геометрии вопрос о выборе наиболее рациональных методов решения задач и доказательства теорем так же, как и при изучении алгебры, должен быть все время в поле зрения учителя. Нужно приучать учеников, чтобы они, решив задачу или доказав теорему, ставили перед собой вопрос: нельзя ли это решение или доказательство провести проще, вычисление сделать экономнее?

Уже в VI классе следует знакомить учащихся с применением уравнений к решению геометрических задач. Такие задачи, как № 22 § 4 и многие другие из задачника Рыбкина, могут быть решены двумя способами: арифметическим и при помощи уравнений.

Учащиеся должны привыкнуть видеть в формулах алгебры и, в частности, в уравнениях аппарат для решения различного рода задач, в том числе и геометрических, и научиться им пользоваться. Следует так же, как и по алгебре, снижать оценку за нерациональные методы решения. Если, например, ученик IX класса задачу из задачника Рыбкина: Две трубы с диаметрами в 6 и 8 см требуется заменить одной трубой той же пропускной способности. Найти диаметр этой трубы — будет решать в 4 действия, определяя сначала площадь поперечного сечения первой трубы, потом второй, затем третьей и, наконец, диаметр сечения третьей трубы, вместо того чтобы составить уравнение:

где dx, d2 и d%— соответственно диаметры 1-й, 2-й и 3-й труб, то несмотря на знание формул и полученный правильный ответ, ему нельзя ставить оценку «5», так как задача решена нерациональным методом.

Из практики работы многих школ наблюдается, что планиметрические задачи очень редко решаются в общем виде. Как правило, в VI — IX классах задачи в общем виде решаются только в тех случаях, когда в самом условии нет числовых данных. Но таких задач в задачнике Рыбкина и в учебнике геометрии Киселева недостаточно. Этим отчасти объясняется то обстоятельство, что на приемных экзаменах учащиеся нередко обнаруживают склонность производить вычисления, не получив общей формулы решения задачи.

Тренировка в решении задач в общем виде только в X классе оказывается недостаточной. Решение задач в общем виде нужно начинать с VII класса — и в некоторых простых случаях даже с VI класса. Но если в VI и VII классах решение задач в общем виде должно носить характер обобщения ряда одинаковых решений с числовыми данными, то в старших классах нужно добиваться уменья получать сразу общее решение, а затем, пользуясь им, производить вычисления результата при тех или иных числовых данных.

Преподаватель всегда имеет возможность подобрать достаточное количество задач, требующих решений в общем виде, пользуясь тем же стабильным задачником Рыбкина. После того как будет решена, например, задача № 8 § 5 (VII класс): Одна из сторон параллелограма равна 5 м. Могут ли его диагонали выражаться следующими числами: 1) 4 м и 6 м, 2) 4 м и 3 м, 3) 6 м и 7 м?— преподаватель может поставить перед учащимися такую задачу: Какая зависимость должна быть между числами а, b и с, если а — длина одной из сторон параллелограма, а b и с — длины его диагоналей? Или после того, как будет решена задача: Основания трапеции относятся, как 7:3 и разнятся на 3,2 м. Найти длину средней линии этой трапеции (Рыбкин, ч. 1, § 5, № 66), учащимся можно предложить решить эту задачу в общем виде: Основания трапеции относятся, как m : п, и разнятся на а метров. Найти длину средней линии. В VII же классе следует начинать решение некоторых задач сразу в общем виде, т. е. без предварительного решения на числовых данных. Например: Определить среднюю линию трапеции, описанной около круга, если ее периметр равен р. Постепенно характер таких задач должен усложняться и число их увеличиваться.

Так же как и по алгебре, нужно подбирать такие задачи, на которых удобно показать различные методы решения и сделать сравнительную их оценку. Такие задачи можно в достаточном количестве найти в журнале «Математика в школе».

В задачах по стереометрии с применением тригонометрии выбор нерациональных методов решения обычно является причиной того, что задача не доводится до конца. На экзаменах

в вузы часты случаи, когда учащиеся, наметив правильный путь решения, запутываются в тригонометрических преобразованиях, избрав неудобный способ и, не получив общей формулы решения, оказываются не в состоянии найти правильный числовой результат. Большое количество письменных экзаменационных работ свидетельствует о том, что при решении геометрических задач с применением тригонометрии учащиеся имеют склонность сразу же вводить в действие тригонометрические формулы, чем очень осложняют преобразования. Пример:

Определить объем тела, полученного от вращения квадрата со стороной а вокруг оси, проходящей через одну из его вершин и составляющей с одной из его сторон угол а (черт. 1).

Черт. 1

Записав формулу для объема искомого тела вращения в виде:

где vx— объем усеченного конуса, образованного вращением трапеции ССХВ^В, v.2 — объем усеченного конуса, образованного вращением трапеции UDXCXC, a v9 и v4 — соответственно объемы конусов, образованных вращением треугольников ВЛЬг и ЬОхА, они начинают определять элементы, необходимые для вычисления этих объемов при помощи тригонометрических формул и подставляют их в формулу для общего объема. Однако даже сильные учащиеся оказываются подчас не в состоянии справиться с упрощением полученного выражения. Совершенно очевидно, что этот прием решения нерационален.

Учащихся следует приучать производить всевозможные алгебраические преобразования до подстановки тригонометрических формул. Так, в данном случае, заметив, что

выражение (1) можно переписать в виде:

или после раскрытия скобок и приведения подобных:

Подставляя теперь вместо гг и г2 их значения, получим :

При изучении тригонометрии вопросы рационализации методов тождественных преобразований также должны быть поставлены во главу угла.

В сборнике задач по тригонометрии Рыбкина значительное место отводится доказательству тригонометрических тождеств, и преподаватели этому доказательству также уделяют серьезное внимание. Но не всегда перед учащимися ставится вопрос о том, что важно не только доказать тождество, но доказать его наиболее быстро и наиболее простым способом.

Часто ученик исписывает почти страницу тригонометрическими преобразованиями в то время, как результат может быть получен почти сразу, и учитель не снижает оценки за нерациональные приемы решения. Это отсутствие дифференциации оценок в зависимости от способов решения не побуждает учащихся при самостоятельной работе искать более рациональных путей решения.

Нельзя, например, оценить одним и тем же баллом два такие доказательства тождества:

в первом случае действия производятся механически в расчете на то, что «авось, что-нибудь выйдет», во втором — чувствуется уменье с пользой применять изученные фор-

мулы. Лозунг «ни одного лишнего действия, ни одной лишней строчки» должен быть прочно внедрен в сознание учащихся. Вполне понятно, что когда учащийся ищет решение, то у него будут и лишние действия и лишние строчки, но когда решение найдено, все лишнее должно быть устранено.

Учащиеся зачастую не справляются с решением тригонометрических уравнений не потому, что они не знают тригонометрических формул, а потому, что не умеют находить нужные пути преобразований тригонометрических выражений. Трудно указать готовые рецепты, которые помогли бы научить находить эти пути. Бесспорно только одно, что перед решением каждого примера и каждой задачи нужно сначала на глаз прикинуть, что выгодно и что невыгодно делать. Требуется, например, доказать тождество:

учащиеся должны заметить, что то или иное преобразование членов второго отношения ведет к их усложнению, следовательно, здесь удобно преобразовывать только левую часть; чтобы преобразовать к виду, удобному для логарифмирования выражение sinz а — sin- ß, невыгодно разность квадратов представлять в виде произведения суммы на разность (так обычно делают учащиеся), а выгодно сразу писать:

В уравнении

невыгодно cosa: выражать через sin л:, так как получается иррациональное уравнение; в уравнении

невыгодно в правой части пытаться получить такие же углы, как в левой путем представления ее в виде:

(обычный прием учащихся), а полезно произведения косинусов правой и левой частей записать в виде суммы по формуле:

Подводя итоги всему сказанному, мы приходим к выводу, что уменье находить рациональные методы математических преобразований приобретается в результате постоянных поисков этих методов учащимися и систематического наблюдения учителя за способами ре пения задач и выполнением математических преобразований и арифметических вычислений; путем настойчивого воспитания привычки делать работу точно и красиво, экономить рабочее время и доводить начатое дело до конца.

ИЗ ОПЫТА

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

И. М. КИПНИС (Кировоград)

Тригонометрические уравнения имеют значительные применения в геометрии, физике, а также в ряде математических и технических дисциплин высшей школы.

В данной статье я приведу ряд геометрических и физических задач на составление тригонометрических уравнений. Все эти задачи предназначены для десятого класса и, как показал мне личный опыт, их решение оживляет и углубляет изучение темы «Тригонометрические уравнения» и, кроме того, содействует углубленному повторению ряда вопросов геометрии и алгебры.

Большая часть тех задач, которые приводят к простейшим тригонометрическим уравнениям вида

рекомендуется решать во второй половине первой четверти десятого класса, после усвоения учащимися техники пользования тригонометрическими таблицами для нахождения угла по данному значению его тригонометрической функции или ее логарифма.

Задачи, требующие составления тригонометрических уравнений более сложных типов, следует решать в третьей четверти в связи с прохождением темы «Тригонометрические уравнения», а также в течение последней четверти при повторении.

Учитель математики обязан уделять на уроках должное внимание применениям математики к естествознанию и прежде всего — к физике. С этой целью следует разобрать с учащимися небольшое количество тщательно подобранных математически содержательных физических задач (преимущественно из механики и оптики) и, в частности, таких, которые требуют составления тригонометрических уравнений.

В задачнике по тригонометрии Рыбкина отсутствуют задачи с физическим содержанием, что следует отнести к числу его недостатков.

Опыт работы X класса показал, что разбор таких физических задач с точки зрения их математического содержания вполне возможен, желателен и уместен, так как на десятом году обучения учащиеся обладают достаточной подготовкой по математике и физике и соответствующим общим развитием.

Все физические задачи, которые я включил в качестве дополнения к геометрическим, проверены мной на личном педагогическом опыте. Они решались частично во время уроков, частично задавались на дом.

Эти задачи вызывали среди учащихся большой интерес и послужили дополнительным стимулом для углубленного усвоения математики и соответствующих разделов физики; кроме того, они содействовали преодолению формалистических тенденций в преподавании.

В качестве образца ниже приводится решение двух задач.

Задача 1. Вокруг конуса описан шар. Через центр этого шара проведена плоскость, перпендикулярная высоте конуса. Определить угол между образующей конуса и его основанием так, чтобы отношение объема конуса, отсекаемого от данного конуса этой плоскостью,

к объему данного конуса равнялась — (черт. 1).

Черт. 1

Решение. Объемы подобных конусов относятся, как кубы высот, а потому (черт. 1):

(1)

Обозначим X = ^BADy соединим центр О описанного шара с А и В и проведем ОЕ_[_АВ. Имеем:

и, следовательно,

Принимая во внимание, что

получим:

(2)

Из равенств (1) и (2) находим уравнение:

(3)

Откуда

Для контроля положим X равным одному из углов 30°, 45°, 60° и найдем геометрически соответствующее значение т. Так, при х — 60°:

(/\АВС — правильный). Подставив эти выражения в формулу (1), получим:

Из формулы 0°<лг<90° вытекает, что а поэтому

и, следовательно, т<8. Итак, задача имеет решение при 0</7Z<8.

Это можно установить и геометрически. В самом деле, 0<ßD<2/? (где R — радиус описанного шара) (черт. 1), а ВО = /?, поэтому

и следовательно,

Геометрическая интерпретация случаев, когда отношение ~- объемов конусов больше, меньше или равно 1, очевидна. Действительно, при jc]>450 центр шара, описанного вокруг данного конуса, расположен внутри этого конуса, и поэтому секущая плоскость, проведенная через этот центр, перпендикулярна оси конуса, отсекает от него меньший конус (черт. 2), имеем т> 1.

При X = 45° этот центр является одновременно и центром основания данного вписанного конуса, и в этом случае секущая плоскость совпадает с его основанием, вследствие чего отсекаемый конус равен данному (черт. 3), имеем т=\.

Черт. 2 Черт. 3 Черт. 4

Наконец, при х <Г 45° центр описанного шара расположен вне вписанного конуса, и тогда секущая плоскость, пересекая продолжение боковой поверхности этого конуса, отсекает конус, больший данного (черт. 4), имеем #и< 1.

Задача 2. Человек, прилагая силу F, тянет при помощи веревки тело веса Р, находящееся на горизонтальной плоскости. Направление веревки проходит через центр тяжести О этого тела. Какой угол с горизонтом должна образовать сила р, чтобы тело двигалось равномерно по этой плоскости, если коэффициент трения равен k (черт. 5).

Черт. 5

Решение. Разложим силу F на горизонтальную составляющую H и вертикальную V и обозначим искомый угол между F и H через X. Из прямоугольных треугольников получим:

Сила трения Q между телом и горизонтальной плоскостью выражается формулой Q= kN, где N—перпендикулярное давление тела на эту плоскость.

В данном случае

и поэтому

Для равномерного движения тела по горизонтальной поверхности необходимо и достаточно, чтобы силы Ц и H взаимно уравновешивались, т. е. чтобы

H = Q.

Заменив H и Q их выражениями, получим тригонометрическое уравнение:

(1)

Это — уравнение вида

Как известно, tg находится из квадратного уравнения:

или, полагая:

Разделив на F и обозначив получим:

(2)

Корни этого уравнения действительны, если

Откуда:

Будем считать это условие выполненным.

Из физических соображений ясно, что угол между F и горизонталью, отсчитываемый против часовой стрелки, может изменяться от 0° до 180°. Замена х на 180°—х, не нарушая равномерности движения тела, приведет только к изменению направления этого движения на противоположное (черт. 6 и 7).

Черт. 6 Черт. 7

Поэтому достаточно считать 0° <; х ^ 90°, откуда:

Следовательно, условию задачи удовлетворяют положительные, меньшие 1 корни уравнения (2). Так как

то больший корень z2 — всегда положителен. Подставив в левую часть (2) 2=1, получим число:

При -р- < 1 результат подстановки отрицателен, в этом случае число 1 лежит в интервале корней.

Так как

то в данном случае ZxZ2<0 и, значит, меньший корень—отрицателен, итак, мы имеем

Zl<0<l<Z2.

Задача не имеет решений.

Пусть -р > 1, тогда 1 лежит вне интервала корней будучи большей большего корня. В самом деле:

а потому случай 1 <%1<2ъ исключается.

При -^-=1 имеем z2 = 1. Если

то оба корня—неотрицательны (так как zxz2 ^ 0) и

В этом случае задача имеет два решения.

Если 1 ^ -рг <С -г- 9 то один из корней положителен (или равен нулю), а другой — отрицателен: zx <0^z2<i 1, задача имеет одно решение.

Сопоставляя изложенное, приходим к следующему выводу: Если

то задача не имеет решений. Если

тогда и подавно

в этом случае задача имеет одно решение:

Если

то задача имеет два решения:

Если

то задача имеет одно решение:

Выполнение исследования в общем виде не обязательно, можно ограничиться частными случаями при определенных значениях параметров.

Ниже приводится набор задач на составление тригонометрических уравнений.

I. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПРОСТЕЙШИМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ

Геометрические задачи

1. Каждая из непараллельных сторон равнобочной трапеции равна ее меньшему основанию. Большее основание относится к меньшему, как т:п. Определить углы трапеции.

Исследовать решение.

2. Стороны А В и АС треугольника ABC соответственно равны с и Ъ% а его площадь равна .9. Определить угол А. Решение исследовать.

3. Площадь четырехугольника ABCD равна S, а его диагонали АС и BD соответственно равны рис. Определить углы между диагоналями.

4. Отрезок AB параллелен плоскости. Из его концов проведены к плоскости две наклонные: АС — с и BD = d. Наклонная АС составляет с плоскостью угол а. Определить угол наклонной BD с этой плоскостью.

5. Наклонная образует с плоскостью угол а. Через вершину этого угла проведена в данной плоскости вторая прямая под углом ß к проекции наклонной на плоскость. Определить угол между этими прямыми.

6. Концы отрезка AB, равного я, отстоят от данной плоскости на расстояния тип. Определить угол между отрезком и плоскостью.

7. Дан трехгранный угол S ABC, в котором плоские углы CSA CSB = а, а плоский угол AS В = ß. Определить угол наклона ребра SC к плоскости грани ASB.

8. Прямоугольный треугольник ABC расположен так, что его гипотенуза AB лежит на плоскости Р, а катеты образуют с плоскостью Р углы аир. Определить угол между плоскостью треугольника и плоскостью Р.

9. Параллелограм и плоскость Р расположены так, что одна из меньших сторон параллелограма находится на плоскости Р, а противоположная ей удалена от плоскости на расстояние, равное расстоянию между большими сторонами параллелограма.

Определить угол между плоскостью Р и плоскостью параллелограма, если стороны параллелограма относятся, как 3 :5.

10. Прямая AB параллельна плоскости Р. Прямая CD пересекает AB под углом а и образует с плоскостью Р угол ср. Определить угол плоскости Р с плоскостью прямых AB и CD.

11. Основанием пирамиды служит правильный треугольник, из трех боковых граней этой пирамиды одна перпендикулярна к основанию, а две другие наклонены к нему под углом а. Под какими углами наклонены к основанию боковые ребра?

12. Ребра параллелепипеда, исходящие из общей вершины, соответственно равны a, b и с. Ребра ci и b — взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них по углу, равному а. Определить угол наклона ребра с к плоскости ребер а и Ь.

13. В правильной четырехугольной призме проведена плоскость через середину оси и середину двух последовательных сторон основания. Сторона основания равна я, а боковое ребро равно Ь. Найти угол между проведенной плоскостью и основанием.

14. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая две боковые грани по прямым, угол между которыми равен а. Определить угол между этой плоскостью и основанием призмы.

15. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, которая в сечении с призмой дает треугольник, периметр которого в п раз больше периметра основания призмы. Найти угол между секущей плоскостью и основанием призмы.

16. В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к основанию так, что ее площадь равна Сторона основания равна а. Определить:

1) угол между сечением и основанием;

2) углы многоугольника, полученного в сечении.

17. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания относится к боковому ребру, как —. Через диагональ основания проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Определить наклон этой плоскости к основанию. Задачу исследовать.

18. В правильной л-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен о. Определить двугранный угол при основании этой пирамиды.

19. Высота правильной треугольной пирамиды SABC равна радиусу окружности, описанной около основания. Через вершину А основания проведена плоскость, параллельная стороне ВС основания и перпендикулярная боковой грани BSC. Определить угол между этой плоскостью и основанием.

20. В предыдущей задаче заменить перпендикулярность сечения в боковой грани другим )словием, а именно: сечение делит объем пирамиды, считая от вершины S, в отношении т: п.

21. Площадь большего и меньшего оснований усеченного конуса и его боковая поверхность относятся, как гп:п:р. Определить угол между образующей и большим основанием.

Ответ:

22. Внутри конуса, у которого угол при вершине осевого сечения равен а, находится другой конус, имеющий с первым общее основание; боковая поверхность внутреннего конуса есть среднее арифметическое площади основания и боковой поверхности внешнего конуса. Определить угол между высотой и образующей внутреннего конуса.

23. В конус вписан шар. Линия касания шара к боковой поверхности конуса делит последнюю в отношении —.

Определить угол между образующей и основанием конуса.

24. В усеченный конус вписан шар. Радиусы оснований конуса г\ и г2. Определить угол наклона образующей конуса к основанию.

25. Около шара описан прямой параллелепипед, объем которого в m раз больше объема шара. Определить углы в основании параллелепипеда.

Физические задачи

26. Поезд движется равномерно со скоростью v\y а капли дождя, падающие вертикально со скоростью #2, оставляют следы на стеклах окон вагонов. Определить угол, образованный следом капли с вертикалью.

Решить при vx = 36 км\час и t>2 — 8 м\сек.

27. Самолет, обладающий в безветрии скоростью vlt летит при ветре, дующем с востока со скоростью v2. Каково должно быть направление продольной оси самолета, чтобы он летел строго на север.

28. Высота башни h. Камень, брошенный с вершины этой башни вверх со скоростью с0 под некоторым углом к горизонту, упал на землю через t сек. Под каким углом к горизонту был брошен камень?

Решить при v0 — 10 м\сек, h = 20 м, t — \ сек.

29. Велосипедист едет по закруглению трека со скоростью V м\сек. Радиус закругления равен R. Найти поперечный наклон, который следует придать дорожке трека, чтобы велосипед не подвергался смещению поперек дорожки.

Решить при €/ = 10 м/сек, R — 2Q м.

30. Люстра, вес которой р = 2Ъ кг, подвешена на цепи, могущей выдержать натяжение, не превышающее / = 50 кг. Люстра отклоняется от вертикального положения на некоторый угол и выпускается из рук, вследствие чего она начинает раскачиваться на цепи. Определить, на какой наибольший угол можно отклонить люстру, чтобы не оборвалась цепь.

Указание. Выразив через искомый угол х приращение потенциальной энергии люстры в положении ее наибольшего отклонения и ее кинетическую энергию, когда она проходит через положение равновесия, приравнять первое выражение второму (на основании закона сохранения энергии).

31. Пучок параллельных лучей, падая на плоский экран под углом а =30°, создает освещенность, равную Ei = 40 люксам. Под каким углом следует направить этот пучок к этому экрану, чтобы сообщить ему освещенность, равную /=2=30 люксам.

32. Лучи солнца падают на поверхность воды под углом а 74°. Когда водолаз погружался под поверхность воды, ему показалось, «что солнце прыгнуло вверх».

На какой угол изменилось для водолаза направление лучей солнца?

II. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЯМ ВИДА sin (ах + Ь) = с

33. В правильной четырехугольной пирамиде высота относится к стороне основания, как m : п. Через диагональ основания проведена наклонная плоскость так, что полученное сечение равновелико диагональному сечению.

Определить угол между проведенной плоскостью и основанием пирамиды.

34. Площадь поверхности шара, вписанного в конус, равна площади основания конуса. Определить угол при вершине осевого сечения конуса.

Обобщить задачу, полагая, что отношение площади поверхности шара к площади основания конуса равно т.

35. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с его основанием угол а. Боковая поверхность этого параллелепипеда равна S-

Определить угол между диагональю и стороной основания.

Физические задачи

36. Под каким углом к горизонту следует выпустить пулю в безвоздушном пространстве, чтобы она при начальной скорости #0=360^- пала на землю на расстоянии H = 11,4 км от стрелка?

37. Световой луч SA падает на зеркальце ВС, а отраженный луч AD — на перпендикулярную к нему шкалу EF и образует на ней световое пятнышко «зайчик». Расстояние шкалы EF от точки А равно /= 5 м. На какой угол следует повернуть зеркальце, чтобы «зайчик» на шкале EF сместился на расстояние d = 32 мм!

III. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЯМ, АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ОТНОСИТЕЛЬНО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Геометрические задачи

38. В треугольнике ABC сторона AB и АС соответственно равны 6 см и 5 см. Вычислить угол А, если площадь треугольника ABC на 1 см} больше площади квадрата, сторона которого равна расстоянию от вершины В до стороны АС.

39. Через точку А окружности проведены хорда АС и диаметр AB. Отношение объема, образованного вращением фигуры АСтВ около диаметра AB, к объему, полученному вращением сегмента АпС вокруг той же оси, равно р. Определить угол между АС и AB.

40. Около шара описан усеченный конус, боковая поверхность которого относится к поверхности шара, как т:п. Определить угол между образующей и большим основанием.

41. Поперечное сечение конуса, делящее его объем так, что часть этого объема, расположенная между сечением и вершиной конуса, составляет — всего объема этого конуса, проходит через центр описанного шара. Найти наклон образующей к основанию.

42. Центры шаров, описанных около правильной 4-угольной пирамиды и вписанных в нее, совпадают. Определить плоский угол при вершине этой пирамиды.

Физические задачи

43. К стержню AB, весящему Р кг и вращающемуся около шарнира А подвешены в точках В и С с помощью веревок, перекинутых через блоки Е и К% гири Q = Q кг и F—10 кг, причем веревки перпендикулярны к стержню, а расстояние АК равно проекции стержня на горизонталь. Найти величину угла ВАМ (черт. 8), при которой стержень будет в равновесии. Трения не учитывать.

IV. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЯМ ВИДА asinx + bcosx = с

Геометрические задачи

44. В прямоугольном треугольнике отношение суммы (разности) катетов к гипотенузе равно т. Определить острые углы.

45. В равнобедренной трапеции каждая из боковых сторон равна меньшему основанию, а отношение большего основания к высоте трапеции равно т. Определить углы трапеции.

46. Через сторону ВС основания правильной треугольной призмы АВСАф^С^ проведена плоскость, проходящая через вершину второго основания. Найти угол между этой плоскостью и основанием призмы для каждого из следующих трех случаев:

1) Отношение боковой поверхности призмы к полной поверхности отсеченной от нее треугольной пирамиды АХАВС равно т.

2) Отношение боковой поверхности призмы к полной поверхности четырехугольной пирамиды AiBCByC] равно т.

3) Отношение полной поверхности четырехугольной пирамиды АХВСВХС\ к полной поверхности треугольной А\АВС равно т.

47. Пирамида имеет основанием ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют между собой острый угол, а две другие равно наклонены к основанию. Определить угол между этими двумя гранями и основанием, если боковая поверхность пирамиды в m раз больше площади основания.

Физические задачи

48. Тело скользит вниз по наклонной плоскости под действием собственного веса. Коэффициент трения равен k* Каков должен быть угол, образованный наклонной плоскостью с горизонтом, чтобы ускорение тела было в п раз меньше ускорениям свободного падения?

49. Скорость течения реки равна v м\сек, а скорость пловца в стоячей воде равна V\ м\сек. Под каким углом X к направлению, перпендикулярному к течению, должен плыть пловец, чтобы пристать к точке В противоположного берега, расположенной на h метров ниже по течению, считая от ближайшей к пловцу точки С. Ширина реки равна / м (черт. 9).

V. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЯМ. СОДЕРЖАЩИМ РАЗЛИЧНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА Геометрические задачи

50. Площадь поверхности шарового пояса, основания которого равны между собой, равна сумме площадей оснований. Определить величину дуги в осевом сечении шарового пояса.

51. Отношение площади поверхности шарового

Черт. 8

Черт. 9

сегмента к боковой поверхности конуса, имеющего вершину на поверхности шара, а основание, общее с основанием сегмента, равно т. Определить угол между образующей конуса и его осью. Разобрать два случая: 1) конус расположен вне сегмента, 2) конус вписан в сегмент.

52. Перпендикуляр, опущенный из центра основания конуса на образующую, вращается вокруг оси конуса. Часть конуса, от вершины до поверхности вращения перпендикуляра, составляет — часть объема конуса. Определить угол между образующей конуса и его основанием.

Физические задачи

53. Тело привязано к шнуру длиной / м. Шнур описывает коническую поверхность и при этом совершает п оборотов в минуту. Какой угол шнур образует с горизонтом?

Указание. Разложить вес тела на две составляющие: направленную по шнуру и на горизонтальную; горизонтальную составляющую приравнять центробежной силе.

VI. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЯМ, ПРЕДСТАВЛЯЮЩИМ РАВЕНСТВО ДВУХ ОДНОИМЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Физические задачи

54. Две силы Р и Q приложены к материальной точке. Найти угол между этими силами, зная, что если, не изменяя величины сил, увеличить вдвое угол между ними, то величина равнодействующей останется без изменения.

55. К стержню AB, вращающемуся около шарнира А, подвешена в точке В на веревке гиря R весом в 1 кг. От конца стержня В идет веревка, перекинутая через блок и поддерживающая гирю Q, весящую 2 кг.

Найти величину угла BAD, при которой стержень будет находиться в положении равновесия (черт. 10), если вес стержня р равен 2 кг.

Черт. 10

Указание. Приравнять сумму моментов, вращающих стержень ab вокруг шарнира а против часовой стрелки, моменту, вращающему его по часовой стрелке.

VII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЯМ, СОДЕРЖАЩИМ ОДНОИМЕННЫЕ ФУНКЦИИ РАЗНЫХ АРГУМЕНТОВ

Геометрические задачи

56. В четырехугольнике abcd дано, что 1) qB = 4) расстояние от вершины А до ВС вдвое больше расстояния от середины стороны ВС до AD. Определить углы четырехугольника ABCD.

57. Отрезки двух прямых линий, заключенные между двумя параллельными плоскостями, относятся, как 2:3, а их углы с плоскостью, как 2:1. Определить эти углы.

58. В равнобедренном треугольнике отношение одной из равных сторон к расстоянию от вершины угла при основании до центра вписанной окружности равно —. Определить углы треугольника.

59. Определить двугранный угол при основании правильной пирамиды, если центр вписанного шара делит ее высоту в среднем и крайнем отношении.

60. Определить двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды, если радиус шара, описанного около нее, в m раз больше радиуса вписанного шара.

Физические задачи

61. Равнодействующая двух сил, приложенных к материальной точке под углом а друг к другу, образует с одной из них некоторый угол. Найти этот угол, если известно, что с увеличением второй силы в 3 раза искомый угол увеличится в два раза.

62. При равновесии ломаного рычага ВАС (черт. 11) на концы его отрезков AB и АС действуют силы R и Q. Длина AB =- р, а длина АС = I.

Черт. 11

Определить углы, образованные отрезками рычага с горизонтальной плоскостью, если один из этих углов в п раз больше другого. Вес рычага не учитывается.

63. Два однородные стержня AB и ВС одинакового сечения, из которых AB вдвое короче ВС, соединены своими концами под углом 60° и подвешены в точке А на нити AD. Определить угол х, образуемый стержнем ВС с горизонтом (черт. 12).

Указание. Приравнять нулю сумму моментов относительно точки А.

64. Стержень AB, расположенный параллельно по экрану, освещается источником света, который находится на перпендикуляре к стержню, проведенному через его середину. Расстояние от источника света до стержня равно d. Стержень удаляем от экрана настолько, что его тень удлиняется на /, а угол между крайними лучами возрастает на 90°. Определить первоначальный угол между крайними лучами.

Черт. 12

VIII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЯМ, СОДЕРЖАЩИМ РАЗНОИМЕННЫЕ ФУНКЦИИ РАЗНЫХ АРГУМЕНТОВ

Геометрические задачи

65. Определить центральный угол осевого сечения сферического сектора 1-го рода (т. е. не имеющего полости), если объемы его сферической и конической частей равны между собой.

66. Из вершины конуса, как из центра, описана сферическая поверхность, касающаяся основания этого конуса. Часть конуса, заключенная между его вершиной и этой поверхностью, составляет по объему — часть объема конуса. Определить угол при вершине осевого сечения конуса.

67. Определить в конусе угол между образующей и плоскостью основания, если площадь основания равна поверхности вписанного шара и площадь боковой поверхности конуса составляет арифметическую прогрессию.

68. Площадь осевого сечения конуса относится к площади полной поверхности этого конуса, как т:п. Определить угол между образующей и основанием конуса.

IX. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К СИСТЕМАМ УРАВНЕНИЙ

69. В четырехугольнике ABCD АВ—ВС=а\ AD = Ь\ CD=c; CD J_ AD. Определить углы х и у, образуемые стороной AD со сторонами AB и ВС.

70. Через ребро правильного тетраэдра проведена плоскость, делящая его объем в отношении 3:5. На какие части она делит двугранный угол.

71. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен а. Через боковое ребро проведена плоскость, делящая объем пирамиды в отношении т:п. На какие части эта плоскость делит двугранный угол между боковыми гранями?

Физические задачи

72. При равновесии на ломаном рычаге его отрезки AB и ВС образуют с горизонтальной плоскостью углы X и у. На точку А действует сила Р = 10 кг, на точку£ — сила Р = Ъ кг. Если повернуть рычаг вокруг оси, перпендикулярной к плоскости чертежа и проходящей через точку опоры, на угол, равный у (по часовой стрелке), и в то же время удвоить силу Р, то равновесие на рычаге не нарушится. Найти углы X и у, если AB 5 дм, ВС - 12 дм. Рычаг считать невесомым.

73. Кольца А, В, Стрех пружинных весов укреплены неподвижно на горизонтальной доске. К крючкам весов привязаны три веревки, которые натянуты и связаны в один узел, D. Показания весов: 8 кг, 7 кг и 13 кг. Определить углы х и уу образуемые направлением веревок AD и BD с продолжением CD (черт. 13).

Черт. 13

ОПЫТ ПРЕПОДАВАНИЯ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Заслуженный учитель школ УССР П. А. ГОРБАТЫЙ (Киев)

Изучение темы «Обратные тригонометрические функции», а в связи с ней и темы «Тригонометрические уравнения» по традиции переносятся на самый конец курса тригонометрии. На протяжении полутора лет учащиеся изучают примеры функциональных зависимостей в тригонометрии односторонне, на объектах прямых тригонометрических функций, а обратные тригонометрические функции неправомерно выделяются в самостоятельный раздел, который в конце десятого года обучения проходится концентрированно за 14 часов. Таким образом, вопросы, органически связанные между собой, искусственно разрываются. Само собой разумеется, что это не обеспечивает возможности глубокого и всестороннего изучения тригонометрических функций, а также лишает возможности использования знания аркфункций при решении многих вопросов теории тригонометрических функций.

Так, например, на первых уроках тригонометрии, где идет речь о построении угла по данному значению тригонометрической функции, было бы очень кстати использовать понятие обратной тригонометрической функции. Что касается разделов «Общий вид углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции» или «Периодичность тригонометрических функций», то они органически связаны с аркфункциями. В зависимости от места аркфункций и тригонометрические уравнения отнесены на самый конец курса, хотя

с большим успехом они могли бы решаться с самого начала, параллельно с прохождением курса тригонометрии и могли бы служить прекрасным материалом для упражнений. Так, собственно, и построен стабильный задачник по тригонометрии Рыбкина. Предварительные сведения об аркфункциях даются на первых уроках тригонометрии (см. § 2, № 33 — 36), а в § 2, 3, 5, 9, 10, 11 после упражнений на преобразования есть достаточное количество упражнений на тригонометрические уравнения.

Анализируя причины трудностей в преподавании тригонометрии, мы пришли к заключению, что основная из них заключается в фронтальном изучении всех тригонометрических функций, сразу, не останавливаясь детально на свойствах каждой из них отдельно. Кроме тою, введение лишних концентров вносит путаницу в сознание учащихся тем более, что это совершенно лишнее, так как пропедевтические сведения по тригонометрии учащиеся получили в VIII классе.

Быстрый переход к тригонометрическим преобразованиям тотчас же после поверхностного ознакомления с тригонометрическими функциями острого угла, еще до того, как учащиеся поймут суть функциональной зависимости в тригонометрии, приводит к формальному пользованию формулами. Графики тригонометрических функций, будучи оторванными от теории тригонометрических функций, не играют той иллюстрирующей роли, которую они должны выполнять.

Для учителей трудность преподавания обратных тригонометрических функций заключается еще и в том, что в программах объем этой темы установлен недостаточно четко, а в учебнике он изложен плохо. Учебник ограничивается только определением аркфункций и их обозначением, в то время как упражнения в задачнике выходят далеко за пределы теоретических сведений, изложенных в учебнике. Работы, посвященные этому вопросу, прекрасно освещают отдельные моменты теории обратных тригонометрических функций, например работы С. И. Новоселова, но мало останавливаются на методике их преподавания.

На протяжении пяти последних лет в одном из двух параллельных IX и X классов мы вели преподавание тригонометрии по обычному плану, а в другом мы несколько отступили от плана расположения программного материала. Во-первых, мы с самого начала отвели три часа на тему «Расширение понятия об углах». Мы познакомили учащихся с разными системами измерения углов, объясняли, что величина угла может принимать все действительные числовые значения от —оо до -[-оо. Более подробно мы остановились на радианном измерении углов, на формулах перехода от градусной системы измерения углов к радианной и на уменье пользоваться таблицами Брадиса при переходе от градусной к радианной мере, и наоборот. Мы добивались понимания учащимися того, что между множеством всех действительных чисел (— оо, оо) и мерой угла (в какой бы системе она ни бралась) существует однозначное соответствие, в силу которого любому углу или дуге в произвольной системе измерений соответствует число интервала (—оо, оо).

После этого мы переходили к изучению тригонометрических функций, причем тригонометрические функции мы изучаем не все сразу, а по одной прямой и обратной ей (y = sinx и у = arc sin х), отводя на изучение каждой из основных тригонометрических функций 1 — 2 часа и 1 — 2 часа для обратной.

Для конкретизации свойств тригонометрических функций мы пользуемся тригонометрическим кругом. Кроме того, сознательному усвоению свойств тригонометрических функций много содействуют графики, которые мы строим при изучении той или иной тригонометрической функции, для иллюстрации ее свойств.

На графике учащиеся ясно видят границы изменения тригонометрической функции, интервал,, на котором она монотонна, ее период. Например, для функции y = sinx по графику мы устанавливаем:

1) что она монотонна в интервалах:

2) что ее период равен 2 т:;

3) что множество значений функции у =z sin х есть промежуток —1-СУ>1;

4) что функция y = sinx однозначна. Попутно с черчением графика функции ^y = sinx мы предлагаем нарисовать графики функций:

При этом добиваемся понимания, что х может быть угол, дуга или любое действительное число. На это мы отводим два урока.

После усвоения функции y = s'mx мы переходим к функции у = Arc sin х, при этом предварительно предлагаем вспомнить, какие взаимнообратные функции учащимся известны из алгебры. Мы предлагаем написать две взаимнообратные функции, связывающие, например, такие переменные величины: пройденный путь и время при постоянной скорости:

площадь квадрата и длина стороны:

стоимость товара и количество его при постоянной цене:

После этого предлагается учащимся сформулировать, какие функции мы будем называть взаимнообратными.

Далее переходим к функции у = sin х. Обычно учащиеся без затруднений отвечают, что та функция, в которой независимой переменной станет синус, а зависимой — угол, будет обратной функцией. После этого четко формулируем определение обратной тригонометрической функции и показываем учащимся, что эта функция обозначается символом: у = Arc sin X. Мы приучаем учащихся читать этот символ так: у — это все углы, синус каждого из которых равен х. Так, например, функцию у = Arc sin X мы предлагаем читать так: у — это углы или дуги, синус которых равен И, т. е. 30°, 150°, 390°, 510°,.... Или же, пользуясь известной уже учащимся формулой общего выражения углов, можно записать это так:

Конкретизируем это на тригонометре и на графике. Вначале мы пользуемся графиком прямой тригонометрической функции — синусоидой. Учащиеся убеждаются, что функция у = Arc sin X — многозначна. Показываем учащимся символ arc sin ху обозначающий дугу, взятую в промежутке --^-, -~j , синус которой равен X, и сообщаем, что значения однозначной функции у = arc sin х называются главными значениями многозначной функции Arc sin л:. Отмечаем, что символ имеет смысл только при условии —l^jc^l.

На указанную тему мы отводим два урока. В таком же плане мы изучаем остальные тригонометрические и обратные им функции:

Что касается арксеканса и арккосеканса, то мы их вовсе не рассматриваем. Так как на первых четырех уроках учащиеся, изучая синус и арксинус, познакомились с методом исследования тригонометрических функций, с некоторыми специфическими понятиями и терминами, то изучение последующих функций идет значительно легче и быстрее, в течение 6 — 8 уроков.

С помощью тригонометра и графиков учащиеся эмпирически усваивают такие свойства тригонометрических функций:

I. Функция y = cosx:

а) однозначна;

б) монотонна в интервалах:

(10, u), (it, 2я), (2it, 3«)...;

в) множество значений есть промежуток

г) период: 2 тт.

II. Функция >j = Arc cosx:

а) многозначна;

б) главное значение берется в интервале (0, тс), главное значение есть однозначная функция;

в) формула:

г) множество значений аргумента есть промежуток — 1 ^ X ^ 1.

III. Функция y = tgx:

а) однозначна;

б) возрастает в интервалах:

в) множество значений функции есть интервал (— оо, со);

г) период: тс.

IV. Функция ^y^ArctgA::

а) многозначна;

б) главное значение берется в интервале

в) формула:

г) множество значений аргумента есть интервал (— оо, оо).

V. Функция у = ctg л::

а) однозначна;

б) монотонна в интервалах:

в) множество значений функции — интервал (—оо, оо);

г) период: тс.

VI. Функция y = Arcctgx:

а) многозначна;

б) главное значение берется на интервале

(о, *);

в) формула:

г) область изменения аргумента: (—оо, оо).

Упражнения к этому разделу берем из задачника Рыбкина и составляем сами.

На первых порах мы несколько отстаем от других школ, но к концу первого полугодия мы оказываемся с ними наравне, с тем преимуществом, что наши учащиеся знают несколько глубже тригонометрические функции и умеют решать простейшие тригонометрические уравнения. В дальнейшем, при изучении каждого из последующих разделов из теории тригонометрических функций мы используем некоторые сведения об обратных функциях, что, на наш взгляд, способствует более прочному запоминанию и ясному усвоению этого сложного раздела. Так, при изучении формул зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же угла мы добиваемся понимания того, что, зная величину одной какой-нибудь тригонометрической функции данного угла, можно найти все остальные. После усвоения всех этих формул и уменья ими пользоваться, мы пишем на доске такую табличку тригонометрических функций для одного и того же угла х, пусть sin = а, тогда

Задаю вопрос: «Можно ли сказать, что

т. е. можно ли утверждать, что углы равны, если их тригонометрические функции находятся в такой зависимости, как показано в таблице?» Мы рассматриваем выражение значений одной аркфункций через значения остальных на примерах.

Далее я предлагаю выразить arc sin (--g-^ через значения прочих аркфункций. Учащиеся замечают, что ни arc cos I— 2" у, ни arccos 2 не равняется aresin ^--i-J.

После нескольких примеров делаем вывод, что главное значение любой аркфункций положительного аргумента может быть выражено через все остальные с помощью формул зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же угла. Что касается аркфункций отрицательного аргумента, то они могут быть выражены только через те аркфункций отрицательного аргумента, с которыми у них общие интервалы монотонности.

Так, например, арксинус может быть выражен через арктангенс, арккосинус — через арккотангенс. Формулы зависимости между аркфункциями с отрицательными аргументами значительно труднее, и их мы изучаем в X классе.

При решении задач по теме «Выражение синуса, косинуса и тангенса суммы двух углов, их разности, двойного и половинного аргумента» полезно решить несколько примеров с использованием символов обратных тригонометрических функций. Например, № 7, § 9: «Найти sin(a+ß), если sin а — 0,6, a sin ß =rU,8». Мы предлагаем записать решение с помощью символов обратных тригонометрических функций:

Тригонометрические уравнения, которые даны в задачнике Рыбкина в § 2, 3, 8, 9 10, 11, мы решаем как упражнения к соответствующим разделам программы, выражая углы с помощью символов обратных тригонометрических функций. Решение этих тригонометрических уравнений не только не вызывает никаких затруднении, а наоборот, помогает осознанию и закреплению материала данного раздела.

В а классе тему «Обратные тригонометрические функции» мы проходим в таком плане:

1) функции: = Arc sin л; j; = ArccosA:; у = Arc tg х\ у = Arc ctg X и их свойства;

2) главные значения: arc sin л:, arc cos х, arctg*, arc ctg л:;

3) соотношения между аркфункциями:

а) соотношения, вытекающие из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных углов;

б) соотношения, вытекающие из свойств четности и нечетности тригонометрических функций;

в) соотношения, вытекающие из зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

4) операции над аркфункциями:

а) вычисление величины тригонометрической функции от аркфункции;

б) вычисление величины тригонометрической функции суммы и разности аркфункций;

в) формулы:

5) теоремы сложения аркфункций;

6) решение уравнений, содержащих неизвестное под знаком аркфункций.

Первые три темы мы проходим в порядке повторения. Упражнения § 15, № 1—8. Четвертую тему мы проходим так: предлагается учащимся вспомнить, как нужно понимать выражения:

sin (arc sin a), cos (arc cos b), tg (arctg >). Например, tg (arc tg 5) = 5, так как это тангенс угла, тангенс которого 5 и т. п. На этом основывается нахождение тригонометрической функции одноименной аркфункций.

Для того чтобы найти тригонометрическую функцию аркфункций иного наименования, необходимо данную аркфункцию выразить через аркфункцию, одноименную с определяемой тригонометрической функцией. Например:

В IX классе мы рассматриваем, как выражается одна аркфункция через другие, если аргумент положителен, л классе возникает потребность обобщить этот вопрос, т. е. рассмотреть и тот случал, когда аргумент аркфункций— отрицательный. Рассматриваем это на конкретных примерах.

Пусть требуется arc sin ^--^-^ выразить через другие аркфункций:

Арктангенс отрицательного аргумента мы выражаем через другие аркфункции, так же как и арксинус, арккотангенс — как арккосинус. Полезно решить несколько примеров на вычисление тригонометрических функций от суммы аркфункции, на них учащиеся повторяют тригонометрические формулы по курсу IX класса на более углубленном материале X класса. Например:

Мы требуем от учащихся прежде всего сформулировать своими словами, как они понимают запись в символах, а тогда производить вычисления. Например, как нужно понимать запись:

Добиваемся ответа: «cos (arc sin а + arc sin b) — это косинус суммы двух луг: одна,—синус которой а, другая, — синус которой о». Вычисление ведем непосредственно над аркфункциями, не заменяя их буквами ос, ß и т. п. Например: № 12, § 15, Рыбкин:

Такое непосредственное развертывание выражения по формуле соответствует логическому ходу мысли и не требует от учащихся каких-то вспомогательных средств для обозначения данных аркфункций. Таким же приемом мы решаем все задачи № 9—16, § 15 задачника Рыбкина.

Доказательство тождеств имеет огромное значение в воспитании исследовательских навыков у учащихся, если решать соответствующие примеры не механически, а с исследованием результатов. Прежде чем приступить к доказательству равенств, содержащих аркфункции, мы решаем ряд примеров на вычисление суммы, разности аркфункций, удвоенной аркфункции. При этом необходимо приучать учащихся предварительно исследовать результат, прежде чем выбрать ту аркфункцию, через которую они намерены его выразить. Учащиеся должны ясно понимать, что если, например, сумма

аркфункций больше -g-, то ее нельзя выразить через арксинус или арктангенс, а если она меньше нуля, то ее нельзя выразить через арккосинус или арккотангенс. Так, если

то в зависимости от х и у может быть:

Ясно одно: сумма arc sin х+ arc sin у не может быть больше тс и меньше—тг, так как каждое из слагаемых arc sin х и arc sin у находится в промежутке £---^-j . Однако этого нельзя сказать о сумме arc cos х ++asccosj/. Если х и у — отрицательные числа, то arc cos л: и arc cos у находятся в промежутке [О, и], а сумма может выйти за границы промежутка [0, тс]. На конкретных примерах приучаем учащихся к исследованию результатов.

Примеры. 1.

Здесь так как

Следовательно, сумма не выходит за границы интервала ^0, и мы вправе выразить ее через любую аркфункцию. Выражаем через арксинус:

2. (Рыбкин, § 15, № 18.)

Числа -jg- и --положительные, причем каждое из них меньше единицы. С уверенностью мы можем сказать лишь, что сумма данных двух аркусов меньше тс и поэтому сумму arc sin -yg- 4- arc sin -yg- удобно выразить через арккосинус, значение которого содержится в промежутке [0; 7г]:

3. (Рыбкин, № 19, § 15.)

выразим через арккосинус, так как без таблиц мы не можем сказать, будет ли эта сумма меньше :

4. (Рыбкин, № 20, § 15.)

Данная разность отрицательна и находится в интервале Ç--g-, 0^, и поэтому разность arc sin 0,6 — arc sin 0,8 удобно выразить через арксинус или арктангенс, т. е. через такие аркфункций, главные значения которых берутся в интервале

5. (Рыбкин, № 28, § 15.)

Без предварительного исследования трудно сказать, будет ли эта сумма больше или меньше Однако ясно, что эта сумма больше нуля и меньше тс, и поэтому ее лучше выразить через аркфункцию, главные значения которой берутся в промежутке от 0 до тс, т. е. через арккосинус или арккотангенс:

8. (Рыбкин, № 21, § 15.)

Имеем:

значит, сумма arc tg 4- arc tg + < -^- и может быть выражена через любую аркфункцию. В данном случае выгоднее всего эту сумму выразить через арктангенс:

Что касается уравнений, в которых неизвестные находятся под знаком обратной тригонометрической функции, то мы ограничиваемся решением простейших, которые приведены в стабильном задачнике. Предварительно мы рассматриваем основные уравнения с неизвестными под знаком аркфункции:

1. Группа основных уравнений, в которых неизвестное является аргументом аркфункции:

2. Группа уравнений, в которых аргумент аркфункции есть линейная функция от неизвестного:

На примерах показываем учащимся, в каких случаях подобные уравнения имеют решения и когда не имеют, например:

Имеют решения потому, что в них правая часть не выходит за границы соответствующего промежутка, в котором берется значение аркфункций.

Уравнения:

не имеют решения. Так, например, arc sin х не может быть больше a arc cos х не может быть отрицательным, arctg;c берется только в интервале ^--^-, и не может быть равным — 2. После этого переходим крещению более сложных уравнений.

Примеры.

Имеем:

Имеем:

3. (Рыбкин, № 40, § 15.)

Такое равенство возможно, так как сумма двух арксинусов содержится в промежутке [—тг, тс]. Имеем:

откуда:

Проверка:

Этот корень удовлетворяет уравнению.

Этот корень посторонний.

4. (Рыбкин, № 43, § 15.)

где а ф 0, при а = 0 уравнение не имеет решений.

Пятилетний опыт преподавания в таком плане убеждает нас в значительных его преимуществах по сравнению с традиционным.

Во-первых, в сознании учащихся более отчетливо укладываются тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Во-вторых, пропедевтика обратных тригонометрических функций и тригонометрических уравнений надолго фиксирует на них внимание учащихся, что благоприятствует запоминанию и осознанию наиболее сложных разделов тригонометрии.

Наконец, благодаря такому планированию мы экономим много времени в X классе, а это дает нам возможность основательнее остановиться на данном разделе и на тригонометрических уравнениях. Вместе с тем предлагаемый план не требует увеличения времени в IX классе.

От редакции. Настоящая статья П. А. Горбатого содержит ряд предложений, интересных для обсуждения и проверки на практике. К числу таких предложений относится вопрос о более раннем (чем обычно) введении символов arc sin a, arc cos а и т. д.

Полезными, особенно для начинающего учителя, являются образцы решения задач из школьного задачника, данные в конце статьи.

К числу дискуссионных вопросов относится целесообразность введения понятия многозначной функции и рассмотрения символов Arc sin х, Arc cos X и т. д. Далеко не очевидна необходимость этих символов в школьной практике.

Трудно согласиться с рекомендацией автора, устанавливать монотонность тригонометрических функций посредством тригонометра. Польза этого «наглядного пособия», естественно, подвергается сомнению; как известно, монотонность тригонометрических функций непосредственно следует из известных теорем планиметрии.

О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ НА ПРОЦЕНТНЫЕ РАСЧЕТЫ

Л. Г. КРУПОВЕЦКИЙ (Харьков)

Настоящая статья является продолжением нашей статьи «К методике преподавания процентных расчетов», опубликованной в № 5 журнала «Математика в школе» за 1950 г., и предназначается в помощь учителю математики, особенно начинающему, при повторении раздела «Проценты» в VI классе, а также в старших классах.

Давая подробную методическую разработку задач на проценты, мы делаем попытку, на основании опыта своей работы, привести в систему различные типы этих задач, объединив в отдельные группы однородные задачи, схожие по своей математической сущности и по методам их решения.

Разработку методов решения задач учитель ведет в порядке нарастающей трудности и в такой последовательности по отдельным группам:

I. Учитель подбирает для начала не особенно сложные задачи, наподобие приведенных нами ниже, о покупке и продаже книг с прибылью или со скидкой с номинальной цены, где в промежуточных действиях приходится брать за 100% числа, меньшие основной величины, уже принятой в самом начале за 100%.

Задача 1. Книжный магазин приобрёл книги со скидкой 25% с номинальной цены, обозначенной на обложке, а продает их по номинальной цене. Сколько процентов составила наценка магазина при продаже.

Эту задачу и подобные ей другие задачи можно решать разными способами.

1-й способ. Приняв номинальную стоимость книги за 100%, найдем, что магазин уплатил издательству 100%—25% = 75% номинальной стоимости. Продавая по номинальной цене, магазин сверх затраченной им суммы в 75% получает еще 25% номинальной стоимости. Взяв теперь за основное число (за 100%) затраченную сумму в 75%, узнаем процентное отношение 25 к 75, что покажет, какой процент составляет 25 от 75*. Имеем:

2-й способ. Эту задачу, как и другие, подобные ей, можно решать также способом пропорций, пользуясь известное схемой решения (причем величины здесь прямо пропорциональны) и приняв, как уже указано в предыдущем способе, 75% за 100%:

3-й способ. Можно еще на первых порах в подобных задачах конкретизировать 100% номинала определенной суммой, например в 100 руб. Тогда в данной задаче при скидке в 25%, т. е. 25 руб., магазин фактически уплатил 100 руб. — 25 руб. = 75 руб. Чтобы найти процент наценки на затраченную сумму, узнаем процентное отношение этих двух чисел; имеем:

Однако мы считаем, что постоянное пользование этим способом нельзя признать целесообразным, так как при его применении понятие процента хотя и упрощается, но сущность процесса процентных вычислений и более четкое понимание различных моментов этого процесса ускользают от учащихся и делают решение более сложных задач затруднительным. Мы находим более удобным решать подобные задачи по первому способу.

В дальнейшем изложении, помимо способов процентных отношений, пропорций и приведения к единице, будем пользоваться там, где это будет удобней, также способом замены процентов дробью, особенно при нахождении нескольких процентов от данного числа процентов. Например, для нахождения 30% от 80% будем от 80% находить 0,3, т. е. 80% X0,3 = 24%.

Задача 2. Книжный магазин купил книги со скидкой 25% с номинальной цены, а продает их со скидкой 10% с той же цены. Сколько процентов составляет наценка магазина?

В данной задаче находим, что магазин затратил на покупку книг 100%—25% =75%, номинала, а продает их за 100%—10% =90% номинала. Таким образом, наценка магазина составляет 90% — 75% = \Ъ% номинала.

* Здесь уместно и целесообразно уточнить правило применения процентных отношений, напомнив в то же время учащимся, что при применении этого способа число, процент которого требуется определить, пишем всегда в числителе дроби, выражающей процентное отношение данных двух чисел (умножив ею на 100), а число, с которым сравниваем, принятое за основное число, равное 100%, пишем в знаменателе этой дроби.

Следовательно, наценку к затраченной сумме (т. е. к 75%, которые мы теперь принимаем за основное число) находим аналогично предыдущей задаче: 75 =20%, т. е. наценка магазина составляет 20%.

Задача 3. Книжный магазин купил книги «а складе со скидкой 20% с номинала, а потом при продаже сделал наценку 20% на стоимость книги после скидки. На сколько процентов ниже номинала продавались книги?

Здесь за книги уплачено было 100%—20% = 80% номинала.

Сделав наценку 20% на затраченные 80%, найдем, что магазин получил наценку ^ = 16%, т. е. он выручил за книги 80% +16% = 96% номинала, иными словами, книги продавались ниже номинала на 100%—96% =4%.

Учитель предлагает учащимся решить задачу в обратном порядке: сначала стоимость какого-либо товара повысить на 20%, а затем новую стоимость снизить на 20%. Результат тот же: снижение на 4%.

Задача 4*. Букинистический магазин продал книгу со скидкой 10% с назначенной цены, при этом получилась наценка 8%. Какой процент наценки первоначально полагал сделать магазин?

Пусть назначенная первоначально цена книги вместе с наценкой составляла 100%. Тогда после скидки в 10% новая продажная цена ее выразилась в 100% —10% = 90% ее первоначальной цены, в которую входит себестоимость книги, оставшаяся после скидки без изменений, и еще 8% наценки. Если мы себестоимость примем теперь за 100%, то продажная цена (составляющая 90% первоначальной стоимости) составляется из 100% себестоимости плюс наценка 8%, т.е. 100%++8% = 108%. Если, таким образом, сниженная цена (90%) выражается в 108%, то первоначальная цена (принятая с самого начала за 100%) будет в новом выражении во столько раз больше своего прежнего обозначения, во сколько 108 больше 90, т. е. в 1,2 раза, что составляет 120%. Таким образом, в конечном результате, вычтя из этого числа себестоимость, принятую за 100%, получим, что магазин первоначально полагал сделать наценку 120%—100% =20%.

Ввиду нагромождения здесь процентных выражений, задачу эту удобнее и понятнее решить, обозначив первоначально назначенную цену книги через условную «единицу». Тогда после скидки в 10%, т. е. 0,1 ее стоимости, новая продажная цена ее будет равна 1—0,1 = 0,9 первоначальной цены. В остальном ведем рассуждение по предыдущему и решаем пропорцией:

II. Учитель, далее, приступает к задачам, тесно примыкающим по методам решения к предыдущей группе задач, с той разницей, что здесь .в промежуточных действиях за основное число (за 100%) принимаются не только числа ниже основного 100-прочентного числа, но и выше его. Таковы преимущественно задачи, встречающиеся в торговой практике, о последовательных изменениях стоимости товаров в процентном отношении, а также в некоторых очень важных по своему содержанию актуальных вопросах нашего социалистического строительства, например о нарастающих в процентном отношении высоких темпах развития нашей экономики за определенный период и т. п.

Задача 5. Стоимость товара снизили сначала на 12%, а затем новую стоимость снизили еще на 5%. Сколько процентов от первоначальной стоимости составляет окончательная стоимость товара после двух последовательных снижений и на сколько процентов в общем снижена стоимость товара?

Первоначальная стоимость товара составляет 100%; после первого снижения она стала равной 100%—12% =88%.

Принимая новую стоимость за основное число (за 100%), найдем от него 5%. Имеем: — = 4,4%. (Можно также решать: 88% X 0,05 = 4,4%.) Таким образом, окончательная стоимость товара после второго снижения составляет 88%—4,4% =83,6% первоначальной стоимости, следовательно, первоначальная стоимость в общем снижена на 100%— 83,6% = 16,4%.

Учитель обращает внимание учащихся на то, что если бы оба снижения были сделаны сразу, то общее снижение составило бы не 16,4%, а 12%+5% = 17%.

Задача 6. На себестоимость товара сначала сделали 10% наценки, а потом еще Ъ% наценки на новую стоимость. Сколько процентов по отношению к первоначальной стоимости составляет окончательная стоимость после двух последовательных наценок?

* Задача эта была предложена на математических олимпиадах в г. Омске и в г. Халтурине.

После первой наценки стоимость товара составила 100% 4-10% = 110%. Приняв теперь эту новую стоимость (110%) за основное число—100%, найдем 5% от нее: ^щг = 5,5%.

Таким образом, окончательная стоимость выразится в 110% +5,5% = 115,5% первоначальной стоимости, что дает общее повышение на 115,5%—100% = 15,5% вместо 15%, которые получились бы, если бы обе наценки были сделаны одновременно.

Задача 7. Стоимость товара сначала увеличил и на 15%, а потом новую сумму снизили на 15%. Сколько процентов первоначальной стоимости составляет окончательная стоимость товара?

После повышения на 15% стоимость товара составляла 100% + 15% = 115%. От этой новой стоимости (принимаемой теперь за 100%) находим 15% снижения: 115%Х°,15 = 17,25%, т. е. окончательная стоимость товара составляет: 115% —17,25% =97,75% первоначальной стоимости.

Задача 8. В 1948 г. производительность труда рабочих в промышленности СССР увеличилась сравнительно с 1947 г. на 15%, в 1949 г. она возросла против 1948 г. на 13%, а в 1950 г. увеличилась по сравнению с 1949 г. на 12%. На сколько процентов возросла производительность труда рабочих в промышленности СССР за три года? (Вычислить с точностью до 1 %.)

Принимая производительность труда в 1947 г. за 100%, найдем, что в 1948 г. она стала равной 100% + 15% = 115% прежней производительности (в 1947 г.). Следовательно, при нахождении 13% за 1949 г. надо за основное число (за 100%) брать новое число (115%) и от него находить 13% ; имеем 115%Х^» 13 = 14,95%. Таким образом, производительность труда за два года выразится в 115%-)- 14,95% = 129,95%. Таким же путем найдем, что производительность труда за 1950 г. равна 129,95% Х0,12= 15,59%, а за все три года: 129,95% + 15,59% = 145,54% % 146%. В результате имеем повышение производительности труда против 1947 г. на 46% (а не на 15% + 13% + 12%=40%, как часто, не подумав, сразу отвечают учащиеся).

Задача 9. Развитие промышленности СССР в послевоенные годы характеризуется такими фактическими данными: в 1946 г. выпуск гражданской продукции увеличился по сравнению с 1945 г. на 20%. В 1947 г. валовая продукция промышленности увеличилась по сравнению с 1946 г. — на 22%. В 1948 г. по сравнению с 1947 г.—на 27%. В 1949 г. по сравнению с 1948 г.—на 20%. В 1950 г. по сравнению с 1949 г. — на 23%. На сколько процентов возросла выработка промышленности СССР за пять послевоенных лет и во сколько раз?

Принимая выпуск продукции в 1945 г. за 100%, найдем, что в 1946 г. выработка составила 100%+20% = 120%.

В 1947 г., возросши на 22%, выработка выразилась в 120% + 120% X0,22 = 120% + 26,4% = 146,4%.

В 1948 г. имеем: 146,4% + 146,4% X0,27 = 146,4% + 39,53% = 185,93%.

В 1949 г. выработка продукции равна:

185,93%+ 185,93% Х0,2= 185,93% + 37,19% =223,12%.

В 1950 г. выпуск продукции, возросши еще на 12%, равнялся: 223,12% + 223,12% X0,23= 223,12% +51,32% =274,44%.

Таким образом, прирост промышленной продукции за пятилетие (1946—1950 гг.) составляет 274,44%—100% = 174,44%, или, иначе говоря, выработка промышленной продукции за эти годы возросла почти втрое.

Учитель здесь, как и в предыдущей задаче, подчеркивает абсурдность возможного со стороны учащихся ответа, если сказать, что прирост за пять лет выражается не в 174,44%, как было выведено нами, а в 112% (20% -h 22% + 27% +20% -I- 23% = 112%), так как каждый год сравнивался не с 1945 г., а с каждым предшествующим годом, как это фактически имело место.

III. Большие затруднения учащиеся встречают при решении таких задач, где даются для сравнения различные величины в процентном отношении и требуется определить в процентах же, на сколько процентов одна величина больше или меньше другой, какой процент составляют несколько процентов по отношению к другой величине, выраженной также в процентах, и т. п. Такие задачи представляют собой важный материал для четкого уяснения учащимися понятия о процентах, и учителю необходимо обратить на них внимание учащихся, предложив им задачи по приведенным ниже образцам.

Задача 10. В колхозе насчитывается 60% мужчин и 40% женщин. На сколько процентов мужчин в колхозе больше, чем женщин?

Учитель объясняет, что если исходить из общего числа членов колхоза, составляющих 100%, то мужчин будет больше на 20% от общего числа. В данном же случае, независимо от общего числа членов, берутся для сравнения две величины, из которых одна величина, т. е. число

женщин, принимается за основное число, т. е. за 100%, и с ним сравнивают число мужчин.

Находим их процентное отношение. —^— = 150%, т. е. мужчин больше женщин на 50%.

Здесь же учитель указывает, что если бы нам потребовалось узнать, на сколько процентов женщин меньше, чем мужчин, то следовало бы за основное число (за 100%) взять 60% мужчин и найти процентное отношение этих чисел таким образом: ^ =66,7%, т. е. женщины составляют 66,7% числа мужчин, откуда получаем, что женщин меньше, чем мужчин, на 100% —66,7% =33,3%.

Задача 11. Число учащихся в высших учебных заведениях и техникумах Советского Союза в 1950 г. увеличилось против 1940 г. на 42,4%, а в 1931 г. увеличилось на 52,2% по сравнению с тем же годом. На сколько процентов возросло общее число учащихся в этих учебных заведениях в 1951 г. по сравнению с 1950 г.? (Вычислить с точностью до 1%.)

Учитель обращает внимание учащихся на то, что в данной задаче дается только процент прироста (не включая числа учащихся в 1940 г., принимаемого за 100%), а требуется определить процентное отношение общего числа учащихся в 1931 г. к их числу в 1930 г. Поэтому нельзя находить процентное отношение чисел, выражающих только прирост, т. е. 52,2% к 42,4%, а следует брать прирост вместе с основным числом учащихся, т. е. прибавив процент прироста к 100% (100% + 52,2% = 152,2%; 100% ++42,4% =142,4%). Сравнивая число учащихся за эти годы, берем теперь за основное число (за 100%) количество учащихся в 1930 г., т. е. 142,4%, и находим процентное отношение 1931 г. к 1950 г. Имеем: 1о^^°° ^ 107%, т. е. число учащихся в вузах и техникумах нашей страны в 1951 г. превышает их число в 1950 г. на 7%.

Для проверки следует использовать фактические данные о числе учащихся в вузах и техникумах: в 1940 г.—1787 тыс. чел.; в 1950 г.— 2545 тыс. чел.; в 1951 г. —2720 тыс. чел.

Задача 12. По годовому плану завода предусмотрено снижение себестоимости продукции на 14,4%, а фактически себестоимость снизилась на 17,28%. На сколько процентов перевыполнен план снижения себестоимости продукции?

Для решения этой задачи принимаем плановое снижение себестоимости за основное число (за 100%) и находим процентное отношение числа, обозначающего фактическое снижение к числу, выражающему плановое снижение, т. е., как обычно, находим процентное отношение выполнения плана к плановому заданию.

Имеем: ' -100 = 120%, т. е. план снижения себестоимости перевыполнен на 20%.

Задача 13. После составления годового плана выпуска продукции на заводе был выдвинут встречный план, превышающий на 20% первоначальный план. В результате десяти месяцев работы было выполнено 95% встречного плана. На сколько процентов был перевыполнен первоначальный план по прошествии десяти месяцев?

Приняв первоначальный план завода за 100%, найдем, что встречный план составляет 100% ++20% = 120% первоначального плана. Принимая теперь 120% за основное число, найдем от него 95%, или 0,95. Имеем: 120% х0,95= — 114%. Таким образом, через десять месяцев первоначальный годовой план был перевыполнен на 114%— 100% = 14%.

IV. Почти все разбираемые в этой статье задачи можно решать также с помощью пропорций на основании существующей между величинами, данными в тексте задач, прямо пропорциональной зависимости. Теперь же учитель обращает внимание учащихся на интересную и важную группу задач, где между величинами существует обратно пропорциональная зависимость. Задачи эти примерно следующего содержания:

Задача 14. Производительность труда при выполнении определенной работы повысилась на 40%. На сколько процентов сократилось время для выполнения этой работы?

В данной задаче имеет место обратно пропорциональная зависимость между величинами: во сколько раз увеличивается производительность труда, во столько же раз уменьшится время для выполнения этой работы.

Приняв теперь первоначальную производительность труда за 100%, найдем, что после повышения производительности труда на 40% она стала равной 100% 40% = 140% и, таким образом, увеличилась в отношении 140:100 = 7:5, т. е. в -g- раза. Так как в таком же отношении уменьшилось время для выполнения работы, т. е. оно уменьшилось в -g- раза, то можно сказать, что оно теперь составляет -у- первоначального времени, или, выразив эту дробь в процентах, найдем: 71,4%.

Отсюда находим, что после повышения производительности труда на 40% время, необходимое для выполнения этой работы, сократилось на 100%—71,4% =28,6%.

Эту задачу можно также решить способом пропорций. Принимая первоначальную производительность труда за 100%, а первоначальное время, необходимое для выполнения работы, также за 100%, решаем способом пропорций, расположив решение известным образом (величины здесь, как указано, обратно пропорциональны).

Вычтя полученное число от 100%, получаем: 100%—71,4% =28,6%.

Задача 15. В связи с повышением производительности труда время, необходимое для выполнения некоторой работы, сократилось на 28-у-%. На сколько процентов повысилась производительность труда?

Аналогично предыдущей задаче решаем сначала по первому способу. Считая время до его сокращения за 100%, найдем, что после его сокращения оно составляло

оно уменьшилось против прежнего времени в -g- раза. Так как одновременно с этим производительность труда увеличилась во столько же раз, т. е. в — раза, или, иначе говоря, увеличилась на — прежней величины, то, выразив эту дробь в процентах, найдем, что производительность труда увеличилась на

Решим эту задачу также способом пропорций:

Следовательно, производительность труда повысилась на 40%.

Задача 16. Цены на товары в общем снизились на 25%. На сколько процентов повысилась реальная заработная плата?*

Приняв первоначальную стоимость товаров за'100%, найдем, что после снижения цен стоимость их составляла 100%—25% =75% первоначальной стоимости. Следовательно, после снижения цен можно приобрести за ту же сумму, что и раньше, товаров во столько раз больше, во сколько раз 100 больше 75, т. е. в отношении 100:75, или в 1,33 раза больше прежнего количества. Иначе говоря, теперь можно приобрести 133% прежнего количества товаров, вместо прежних 100%. Следовательно, реальная заработная плата увеличилась на 133% —100% =33%.

Задача 17. Номинальная заработная плата увеличилась на 20%, а цены на товары снизились одновременно с этим на 20%. На сколько процентов увеличилась реальная заработная плата?

После увеличения заработной платы на 20% она будет составлять 100% 4-20% = 120% прежней зарплаты; после снижения цен на 20% стоимость товаров равна 100% — 20% =80% первоначальной стоимости. Следовательно, на новую зарплату можно приобрести товаров во столько раз больше, во сколько 120 больше 80. Имеем: 120:80=1,5, или 150% прежнего количества, т. е. реальная зарплата увеличилась на 150% — 100% =50% (или, как говорят еще, покупательная способность увеличилась на 50%).

Эту сложную задачу, важную по своей актуальности, можно решить еще и другим способом.

От увеличения зарплаты на 20% зарплата увеличилась в 1,2 раза (120:100= 1,2). От снижения цен на 20% стоимость товаров уменьшилась в 1,25 раза (100:80= 1,25), и, следовательно, заработная плата увеличилась еще в 1,25 раза. Таким образом, реальная заработная плата в результате этих двух процессов увеличится в 1,2 X 1,25= 1,5 раза против первоначальной заработной платы, что составляет 150% прежней зарплаты, т. е. она увеличилась на 150% — 100% =50%.

Учитель здесь отмечает, что результат двукратного увеличения заработной платы мы вывели на основании закона изменения произведения в зависимости от изменения каждого из сомножителей. Этот закон мы будем часто применять и в дальнейшем изложении.

* Здесь учитель разъясняет значение терминов: «номинальная зарплата» и «реальная зарплата» и указывает, что под «номинальной зарплатой» подразумевается зарплата, выраженная в деньгах, тогда как «реальная зарплата» означает количество товаров, которые можно приобрести за деньги, получаемые в виде зарплаты.

V. Переходим к следующей группе задач, которые решаются способом пропорционального деления.

Задача 18. Длина морских границ СССР на 161% больше сухопутных границ нашей страны. Сколько процентов от общей государственной границы СССР приходится на морские и сухопутные границы в отдельности? (Вычислить с точностью до 0,1%.)

Приняв длину сухопутных границ за 100%, найдем, что морские границы равны 100% + 161 % = 261 % по отношению к сухопутным границам. Следовательно, эти границы находятся в отношении 261:100. Принимая теперь общую границу СССР за 100% и разделив это число пропорционально указанным в отношении числам, получаем:

Длина морских границ составляет:

Длина сухопутных границ составляет:

Для проверки результата следует взять действительную длину морских границ СССР, равную 47 тыс. км, сухопутных—18 тыс. км, а всего — 65 тыс. км.

Задача 19. Колхоз засеял пшеницей 67% всей посевной площади колхоза, а остальная площадь была засеяна рожью и овсом. Сколько процентов от всей площади было засеяно рожью и сколько овсом, если площадь, занятая рожью, больше площади, засеянной овсом, на 20%?

Всю посевную площадь принимаем 100%, следовательно, площадь, занятая рожью и овсом вместе, составляет 100% —67% =33% всей площади. Если примем теперь площадь, засеянную овсом, за основное число (за 100%), то площадь, занятая рожью, выразится в 100% + 20% = 120%. Остаток площади в 33% от обшей посевной площади следует разделить пропорционально числам 120 и 100, т. е. в отношении 120:100 = 6:5. Итак, площадь, занятая рожью, составляет

а площадь, засеянная овсом,

VI. Особенный интерес представляет для учащихся группа еще более сложных задач, где приходится узнавать проценты от последующих остатков, выраженных процентами, а также таких задач, где при сравнении нескольких величин одни из них увеличены, другие уменьшены в процентном отношении к той или другой величине, также выраженной в процентах. На эти задачи следует обратить особое внимание, так как учащиеся при их решении часто испытывают большие затруднения.

Задача 20. Магазин продал одному покупателю 25% имевшегося в куске сукна, второму покупателю —30% остатка, а третьему —40% нового остатка. Сколько процентов сукна осталось непроданным?

Перед решением этой задачи учитель указывает, что в подобных задачах, где требуется находить несколько раз проценты от процентов, удобнее и понятнее те несколько процентов, которые нужно находить от другого числа процентов, заменить десятичной дробью и, таким образом, вместо процентов от числа, находить часть числа, что видно будет из дальнейшего.

После продажи сукна первому покупателю остаток сукна составлял 100%—25% =75%. Принимая теперь этот остаток за основное число (за 100%), найдем от него 30%, или 0,3 его: 75% X 0,3 » 22,5%. После этой продажи новый остаток составляет 75% — 22,5% =52,5%. Принимая теперь этот новый остаток за основное число (за 100%), возьмем от него 40%, или 0,4 части: 52,5% X X 0,4 = 21%. Следовательно, в результате осталось непроданным 52,5%—21% =31,5% всего сукна.

Окончательный остаток можно узнать и другим путем: 100%—(25%+22,5%+21%) = Ю0% —68,5% =31,5%.

Задача 21. Из общей суммы средств, израсходованных нашим государством на социально-культурные мероприятия за пять истекших послевоенных лет, 49,4% приходится на народное просвещение, 35,5% от остальной суммы — на здравоохранение, 59,6% от нового остатка — на социальное обеспечение, а остальные средства — на прочие социально-культурные мероприятия. Определить в процентах каждый вид из этих расходов к общей сумме расходов на социально-культурные цели.

Принимая общую сумму расходов на социально-культурные мероприятия за пятилетие за 100%, найдем, что остальные виды расходов на эти цели, без расходов на народное просвещение, составляют 100%—49,4% =50,6%. Взяв от этого остатка, принимаемого теперь за основное число (за 100%) 35,5%, или 0,355 его, найдем, что расходы на здравоохранение составляют: 50,6% Х°,355 = 17,96% ^18% от общей суммы расходов. Отняв теперь от прежнего остатка (50,6%) полученные нами 18%, найдем новый остаток: 50,6% — 18% =32,6%, от которого мы долкны найти теперь 59,6%, или 0,596 его. Имеем: 32,6% Х°,596~ 19,4%, что составляет процент расходов на социальное обеспечение. Таким образом, на прочие социально-культурные мероприятия приходится 100% — (49,4 % +18% + 19,4%)= 100%—86,8 % = 13,2%.

Для проверки берем следующие фактические данные: на социально-культурные мероприятия

за пять истекших лет государством было израсходовано 524,5 млрд. руб., в том числе на народное просвещение — 258,9 млрд. руб.; на здравоохранение — 94,4 млрд. руб. и на социальное обеспечение—102,0 млрд. руб.

Задача 22. Магазин выручил денег за 2-й квартал на 20% меньше, чем за 1-й квартал, за 3-й квартал на 10% меньше, чем за 2-й квартал, а за 4-й квартал на 50% больше, чем за 3-й квартал. На сколько процентов выручка магазина за 4-й квартал превышает выручку за 1-й квартал?

Для решения задачи будем выручку за каждый квартал в отдельности сравнивать с выручкой 1-го квартала, которую примем за 100%. Тогда выручка за 2-й квартал составляет 100% — — 20% = 80%. Так как выручка за 3-й квартал была на 10% меньше, чем за 2-й квартал, т. е. составляла 90% этой выручки, то взяв теперь 90%, или, 0,9 от выручки за 2-й квартал (от 80%), принимаемой теперь за основное число, получим: 80% Х0>9=72%, т. е. выручка за 3-й квартал составляет 72% по отношению к 1-му кварталу. Выручка за 4-й квартал больше, чем за 3-й квартал, на 50%, следовательно, находим 50%, или 0,5 от 72 % (которые мы теперь для расчетов принимаем за 100%), и получаем: 72% Х°>5 = 36%> т- е- выручка за 4-й квартал составляет 72%+36% = 108% по отношению к выручке за 1-й квартал. Отсюда узнаем, что за 4-й квартал было выручено больше, чем за 1-й квартал, на 108% — 100% = 8%.

Задача 23. Скорый поезд идет со скоростью, которая на 100% больше скорости товарного поезда, а скорость товарного поезда на 25% меньше скорости почтового поезда. На сколько процентов почтовый поезд идет медленнее скорого?

Приняв скорость почтового поезда за 100%, найдем, что скорость товарного поезда составляет 100% —25% = 75%. Скорый поезд, который идет вдвое быстрее товарного (его скорость на 100% превышает скорость товарного), имеет скорость 75% X 2 = 150% по отношению к скорости почтового поезда, которую мы в самом начале приняли за 100%. Чтобы узнать, на сколько процентов почтовый поезд идет медленнее скорого, найдем сначала процентное отношение этих скоростей, приняв скорость скорого поезда за основное число: —— = 66,7%, т. е. скорость почтового поезда меньше скорости скорого на 100% — 66,7% = 33,3%.

Учитель поясняет, что если потребовалось бы узнать, на сколько процентов скорый поезд идет быстрее почтового, мы получили бы, что скорость его больше на 150%—100% =50%.

VII. Переходя к последней группе задач, построенных на геометрическом материале, учитель прежде всего обращает внимание учащихся на то, что при увеличении или уменьшении сторон прямоугольника или квадрата на несколько процентов на столько же процентов увеличивается или уменьшается периметр.

При увеличении или уменьшении диаметра на несколько процентов на столько же процентов увеличивается или уменьшается радиус.

Учитель показывает на примерах верность этого положения и в обратном порядке. Это вытекает из того закона, что при увеличении или уменьшении каждого слагаемого на какую-либо одинаковую (для всех) часть его на такую же часть увеличивается или уменьшается сумма. Так, например, если в сложении 15+ 20 = 35 увеличим каждое слагаемое примерно на 20%, т. е. на то получим 18 -[-24 = 42 ^сумма также увеличилась на 20%, или на -g- прежней суммы^.

После этого учитель переходит к решению задач геометрического содержания по приведенным ниже образцам.

Задача 24. На сколько процентов увеличится площадь квадрата, если периметр его увеличить на 10%?

На основании указанного выше правила, при увеличении периметра квадрата на 10% каждая сторона его также увеличивается на 10%, т. е. сторона, принимаемая нами за 100%, сделается равной 100% -f 10% = 110% прежней величины и, таким образом, увеличится в отношении: 110:100, т. е. в 1,1 раза против прежней величины. Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то с увеличением стороны в 1,1 раза площадь его (на основании закона об изменении произведения в зависимости от изменения сомножителей) увеличится в 1,1 X X 1,1 = 1,21 раза, т. е. по отношению к прежней величине площадь квадрата составляет теперь 121%, что дало увеличение площади квадрата против прежнего на 21%.

Аналогично площадь прямоугольника, у которого длина и ширина увеличилась примерно на 10%, также увеличится в 1,1 X M = 1,21 раза, или на 21%.

Далее, если длина прямоугольника увеличится, например, на 20%, а ширина увеличится на 10%, то, подобно предыдущему, найдем, что площадь увеличится в 1,2 X M = 1,32 раза, или, иначе говоря, составит 132% прежней площади, что даст увеличение на 32%.

Если длину прямоугольника увеличить примерно на 30%, а ширину уменьшить на 30%, то, согласно указаниям в предыдущих

задачах, длина увеличится в 1,3 раза, а ширина будет составлять 0,7 прежней величины. Следовательно, площадь прямоугольника составляет 1,3 X 0,7 = 0,91, или 91 % прежней, уменьшившись, таким образом, против прежнего на 100%—91% =9%.

Задачи на изменение объемов кубов или вообще прямоугольных параллелепипедов в зависимости от изменения в процентном выражении трех его измерений решаются таким же методом. Если, например, ребро куба или каждое из трех измерений параллелепипеда увеличивается на 10%, то и объем этих тел, подобно предыдущему, увеличится в 1,1 X 1,1 X 1,1 = 1,331 раза, т. е. составит 133,1% прежнего объема, что дает увеличение против прежнего на 33,1%.

Задача 25. На сколько процентов увеличится площадь круга, если диаметр его увеличить на 10%?

При увеличении диаметра на 10% на столько же процентов увеличится, как указано выше, и радиус. Следовательно, в данном случае радиус, первоначальную величину которого принимаем за 100%, будет теперь составлять 100% 10% = 110%, увеличившись, таким образом, в 1,1 раза.

Так как площадь круга S=?r/?2, то увеличение площади зависит только от увеличения множителя R2 (тг — число постоянное и остается без изменения), и площадь круга, следовательно, увеличится в 1,1 X 1,1 = 1,21 раза, т. е. она составит 121% прежней" ее величины, увеличившись против прежнего на 21%.

На столько же процентов увеличится и объем цилиндра, если увеличить только диаметр (или радиус) на 10% без изменения высоты его. Если же и высоту его увеличить на 10%, то тогда объем цилиндра увеличится в 1,1 X M X X 1,1 = 1*331 раза, что составляет 133,1% прежнего объема, т. е. объем цилиндра увеличился на 33,1%.

Задача 26. На сколько процентов увеличится объем прямоугольного параллелепипеда, если длину и ширину увеличить на 10%, а высоту уменьшить на 10%?

Как мы видели в предыдущих задачах, длина и ширина увеличатся в 1,1 раза, следовательно, площадь прямоугольника, лежащего в основании, увеличится в 1,1X1,1 = 1,21 раза. От уменьшения высоты на 10% она станет равной 0,9 прежней высоты. Объем, таким образом, увеличится в 1,21 X 0,9 = 1,039 раза, т. е. он будет составлять 103,9% прежнего объема, что дает увеличение против прежнего объема на 8,9%.

Аналогично этому можно вывести, что если в цилиндре диаметр основания увеличить на 10%, а высоту уменьшить на 10%, то объем цилиндра увеличится против прежнего объема на 8,9%.

О СОСТАВЛЕНИИ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО АРИФМЕТИКЕ

У. С. МАМЛЕЕВ (Месягутово, БССР)

Принципы составления целесообразных примеров по арифметике для контрольных работ и для обобщающего повторения материала (в V — VII классах)

В существующих, а также в дореволюционных сборниках упражнений по арифметике почти не имеется целесообразно составленных примеров для письменных контрольных работ и для обобщающего повторения арифметики в семилетней школе.

Под целесообразными примерами для письменных контрольных работ (и для обобщающего повторения) по арифметике я понимаю такие примеры, в которых содержатся все основные случаи, которые могут встретиться при выполнении того или иного действия.

Составление для контрольных работ таких примеров на четыре действия с целыми и дробными числами представляет некоторую трудность с педагогической и с технической стороны, так как контрольные работы обычно проводятся после окончания какого-нибудь целого раздела программы. Поэтому пример должен содержать числовые данные и действия с ними в таком количестве и в таких комбинациях, чтобы он в наибольшей степени позволял выявить качество усвоения всего раздела.

Как следует составить пример на все четыре действия над обыкновенными дробями, отвечающий этому требованию? Разберем способ

составления нижеприведенного примера:

Решение (в сокращенной записи).

Из решения видим, что в пример вошли: 1) сложения трех дробей, общий наименьший знаменатель которых находится путем разложения знаменателей на простые множители (при достаточном упражнении не трудно найти его в уме, умножая 42 на 5); 2) три случая вычитания: дроби из целого, дроби из дроби, когда числитель уменьшаемого меньше числителя вычитаемого, и простой случай вычитания дроби из дроби, когда остаток — целое число; 3) все три основных случая деления дробей: дроби на дробь, целого на дробь и дроби на целое; 4) два случая умножения дробей: дроби на целое и дроби на дробь.

Пример дает возможность проверить знание порядка действий со скобками и без скобок. Почти во всех действиях приходится совершать то или иное преобразование над дробями: сокращение, исключение целого числа из неправильной дроби, обращение смешанного числа в неправильную дробь и т. п. Таким образом, все основное из темы «Четыре действия над обыкновенными дробями» вошло в этот пример. Составление этого примера можно начать со сложения (обратить внимание на правильный подбор знаменателей), причем мы могли бы вместо одного из сложений дать вычитание, например:

Затем можно взять действие вычитания, когда числитель уменьшаемого меньше числителя вычитаемого. Если первое действие (сложение) расположим в числителе составляемой сложной дроби, то второе (вычитание) удобнее расположить в знаменателе, чтобы в дальнейшем было легче сочетать их оба с другими действиями. Числовые данные и действия для остальной части числителя можно взять до некоторой степени произвольно, предусматривая наличие сокращений и т. п. при производстве действий.

Затем знаменатель примера дополняем теми действиями, какие не вошли в числитель; например, в приведенном выше примере — вычитанием дробей, делением целого на дробь, умножением дробей; наконец, выбираем желаемый ответ и регулируем его в данном примере числом 28. Если бы мы хоте;:и получить в ответе целое число, то числитель всего примера надо перенести в знаменатель и знаменатель в числитель или можно было произвести замену чисел 28 и 5. Рассуждая аналогично, можно составить столько подобных примеров, сколько потребуется при проведении контрольных работ по многовариантной системе и при повторении материала.

После изучения раздела обыкновенных дробей можно на одну часовую контрольную работу дать одну задачу средней трудности и один такой пример.

В том случае, если учитель хочет быстро выявить усвоение учащимися только более трудных случаев действий над обыкновенными дробями, можно провести 10—12-минутную письменную контрольную работу. Для этой цели можно рекомендовать ниже приведенные примеры: составить такие примеры не представляет большой трудности. Эти же примеры можно использовать и на часовую контрольную работу, совместно с задачами или примерами на другую тему при повторении обыкновенных дробей.

Разберем способ составления примера на четыре действия с десятичными дробями, выясним, в какой степени этот пример отвечает вышеуказанным требованиям и как составить такой пример:

Сюда вошли основные случаи деления десятичных дробей: в пятом действии число десятичных знаков в делителе больше, чем в делимом; в шестом — десятичных знаков в делимом больше, чем в делителе; в восьмом—деление целого числа на десятичную дробь (что касается деления на целое число, к этому случаю сводится все предыдущие случаи) и в восьмом же действии в частном в середине получается нуль, причем запятая около нуля. В пример вошли два случая умножения десятичных дробей: в первом действии умножение десятичной дроби на десятичную, причем в середине множителя нуль, во втором действии умножение целого числа на десятичную дробь, причем нулями являются цифры высших разделов делителя.

На вычитание вошло два случая: в третьем действии в результате получаются нули в конце и в седьмом действии в вычитаемом больше разрядов, чем в уменьшаемом.

Этот пример выявляет знание порядка действий и включает разнообразные случаи действий с десятичными дробями, поэтому при решении его можно всесторонне проверить знания и навыки учащихся в решении примеров на действия с десятичными дробями. Самым существенным в этом примере являются случаи деления десятичных дробей, поэтому удобнее при составлении примера начать с этих действий. Здесь придется пользоваться свойством деления: делимое равно делителю, умноженному на частное. В пятом действии в делимом десятичных знаков меньше чем в делителе; поэтому, чтобы получить такое делимое (11,4), но с несколькими десятичными знаками, нужно умножить на такое число (например, 4,8), чтобы в произведении (в будущем делимом) в конце получилось одно или несколько нулей: взяв это произведение (11,4) делимым, множимое (2,375) делителем, получим деление (11,4:2,375). Чтобы получить второй случай деления (38,6605:9,26), умножаем любые два числа с различным числом десятичных знаков (например, 9,26 на 4,175). Взяв произведение делимым, делителем возьмем один из сомножителей. Затем, отнимая из первого частного (4,8) второе частное (4,175), получим число 0,625. Эти три действия можно взять или числителем или знаменателем искомого примера. Пусть это будет знаменатель. Если я желаю в окончательном ответе получить, например, число 20,8, то, чтобы определить результат числителя искомого примера, нужно 20,8 умножить на 0,625. Так мы получим результат числителя (20,8-0,625) — число 13. Получился третий случай деления десятичных дробей (деление целого на десятичную дробь). Теперь возьмем два характерных случая умножения, например: 7,08-3,425 и 384-0,025. Из большего произведения отнимаем меньшее (24,249 — 9,6), получим 14,649. Дальше, чтобы получить в результате 13, или из 14,649 отнимаем 1,649, или из другого числа отнимаем 14,649, чтобы остаток был равен 13.

Возьмем второй вариант, если к 14,649 прибавим 13, то получим 27,649. Следовательно, из 27,649 нужно отнять 14,649, в результате

получим 13; в числителе получается: 27,649 — — (7,08-3,425-3,84.0,025) или без скобки: 27,649—7,08:3,425 + 3,84-0,25; таким образом, при составлении этого примера число 27,649 явилось регулирующим числом.

Рассуждая аналогично, можно составить ряд подобных примеров на все четыре действия над десятичными дробями.

Примеры.

Разберем еще способ составления примера на все четыре действия с обыкновенными и десятичными дробями:

Этот пример включает самый общий случав нахождения общего наименьшего знаменателя при сложении и вычитании обыкновенных дробей; два важных случая вычитания; три основных случая деления обыкновенных дробей; умножение обыкновенных дробей; два случая деления десятичных дробей и вычитание десятичных дробей; обращение десятичных дробей в обыкновенные, и обратно; случаи сокращения дробей; порядок действий как без скобок, так и со скобками.

Таким образом, в этот пример включены все основные случаи четырех действий с обыкновенными и десятичными дробями.

Этот пример составляется совершенно аналогично предыдущему. Здесь удобнее начать с действий:

и тогда регулирующим числом является число 33,948.

Примеры.

СОВЕТСКИЕ ПЕДАГОГИ МАТЕМАТИКИ

НИКОЛАЙ ФЕДОРОВИЧ ЧЕТВЕРУХИН

(К шестидесятилетию со дня рождения и тридцатипятилетию научно-педагогической деятельности)

Николай Федорович Четверухин родился в 1891 году в г. Ярославле, в семье военного врача Федора Александровича Четверухина. Отец Николая Федоровича вскоре умер, и семья Четверухиных существовала на пенсию. До 1906 года Николай Федорович учился в Ярославской мужской гимназии, а затем семья Четверухиных переехала в Москву. Н. Ф. продолжал свое образование в Московской 7-й гимназии, которую и окончил в 1910 году. В том же году Н. Ф. поступил на физико-математический факультет Московского университета.

Здесь Н. Ф. проявил недюжинные способности. В 1915 году блестяще кончив университет, он был оставлен при университете для подготовки к профессорскому званию. Большое влияние на формирование Н. Ф. как ученого, наряду с другими, оказали такие видные математики своего времени, как проф. А. К. Власов, проф. Б. К. Млодзеевский и проф. Н. И. Мерцалов. Именно они и определили развитие геометрических вкусов Н. Ф., с увлечением слушавшего курс начертательной геометрии, читавшийся в университете Н. И. Мерцаловым, и геометрические курсы профессоров Власова и Млодзеевского.

В том же 1915 году Н. Ф. начал свою педагогическую деятельность в качестве преподавателя математики в старших классах Московского 3-го реального училища, преобразованного позднее в показательную школу Наркомпроса. Здесь Н. Ф. работал до 1919 года.

В этот период Н. Ф. начал заниматься проблемой приближенного решения геометрических задач на построение. Результатом этой работы явилась статья, опубликованная в журнале «Математическое образование», 1917, № 5 — 8, под названием «Способ конструктивных алгорифмов и Делийская задача». В этой статье на основе новых методов сходящихся геометрических построений, аналогичных бесконечным сходящимся рядам, давалось приближенное решение классической геометрической задачи об удвоении куба.

Статья привлекла к себе внимание русских математиков того времени новизной и смелостью постановки проблемы.

Прошло тридцать пять лет. И вот недавно научно-педагогическая и инженерная общественность нашей страны в связи с шестидесятилетием Николая Федоровича отметила 24 ноября 1951 года 35-летие научно-педагогической деятельности члена-корреспондента Академии педагогических наук РСФСР, доктора физико-математических наук, профессора Николая Федоровича Четверухина.

Все прошедшие тридцать пять лет научные интересы Н. Ф. были связаны с геометрией и концентрировались вокруг следующих четырех проблем:

1. Геометрические построения и геометрические приближения.

2. Основания геометрии (вопросы аксиоматики).

3. Начертательная и проективная геометрия.

4. Вопросы методологии и истории геометрии и ее преподавания в средней и высшей школе.

Первая из них— «Геометрические построения и геометрические приближения»—разрабатывалась Н. Ф. в течение длительного времени и посвящена методу геометрических (бесконечных) приближений, сходящихся к решению, которое не может быть получено конечным числом операций циркулем и линейкой.

Первой в этом цикле работ была упоминавшаяся уже ранее работа 1917 года, второй — работа «О спрямлении дуги окружности», опубликованная в «Физико-математическом сборнике», № 1 за 1924 год. В этой работе решение задачи дается построением последовательности архимедовых периметров.

Таким образом, здесь Н. Ф. удалось реализовать при помощи геометрических построений классический метод вычисления числа тг, что обеспечивает выполнение построений с заранее заданной степенью точности.

В 1928 году Н. Ф. еще раз возвратился к проблеме геометрических приближений, и в печати появились три его статьи «Методы геометрических приближений», опубликованные в «Математическом образовании», № 2, 5, 7 за 1928 г.

Наконец, в 1935 году вышла из печати книга «Геометрические построения и приближения», Учпедгиз, 1935, в которой дается полное изложение основ теории сходящихся рядов геометрических приближений, с многочисленными приложениями к решению конструктивных задач.

В последнее время теория геометрических приближений получила дальнейшее свое развитие в ряде работ других авторов, что говорит об актуальности этой теории, впервые построенной и развитой Н. Ф.

Наряду с созданием приближенных геометрических методов Н. Ф. занимался также разработкой системы постулатов, обосновывающих геометрические построения. Н. Ф. распространил систему конструктивных постулатов на построения, выполняемые двусторонней линейкой, прямым и острым углом (угольником), т. е. заложил теоретические основы построений, выполняемых более широким кругом инструментов, применяемых в чертежной практике.

Нужно заметить, что все эти вопросы имеют весьма актуальное значение и для преподавания черчения в средней школе.

Указанные выше вопросы нашли свое решение в книге «Методы геометрических построений», 1938. Аналогичные методологические вопросы для геометрических построений в пространстве и вытекающие отсюда практические выводы для школьного преподавания геометрии были подробно исследованы Н. Ф. в работе «Вопросы методологии и методики геометрических построений в школьном курсе геометрии», «Известия Академии педагогических наук РСФСР», 1946, вып. 6.

Перейдем теперь к рассмотрению работ Н. Ф., относящихся к аксиоматическому методу в геометрии.

Работая в области оснований геометрии, Н. Ф. усиленно занимался исследованиями, ставящими своей целью уточнение системы аксиом Евклидовой геометрии (построение системы независимых аксиом) и установление связей как между отдельными группами аксиом, так и между аксиомами внутри отдельной группы.

К числу работ на эту тему относится работа «Зависимость между понятиями конгруентности отрезков и конгруентности углов», опубликованная в «Математическом сборнике», т. XXXI, вып. 2, 1923.

Одна из работ этого цикла называется «Значение аксиомы Паша для линейной аксиоматики порядка» («Математический сборник», т. XXXI, 1924).

Вот что говорится о ней в издании «Математика в СССР за 30 лет», вышедшем в свет в 1950 году, на странице 9+1:

«Еще сам Гильберт указывал на желательность построения такой системы независимых аксиом, чтобы аксиомы, относящиеся к порядку расположения точек на прямой (линейные аксиомы), сами по себе были достаточны для доказательства общего предложения 5 (о возможности упорядочить всякую конечную группу точек на прямой).

Н. Ф. Четверухин решил эту задачу и доказал, что, выделяя из аксиомы Паша ее линейные части, мы придем к системе пяти независимых линейных аксиом порядка».

Сам Паш в письме к Н. Ф., отдавая должное его работе, писал: «Наконец-то я вижу полное решение этой проблемы».

Исследования Н. Ф. по аксиоматике Евклидовой геометрии и геометрическим построениям естественным образом связаны с его многочисленными работами в области начертательной геометрии.

Непосредственно вопросами начертательной геометрии Н. Ф. стал заниматься с 1930 года. За это время им написано свыше двадцати печатных работ, которые делятся на три группы:

1) Работы по основной теореме аксонометрии.

2) Позиционная и метрическая полнота изображения. Точечный базис

3) Многомерная начертательная геометрия.

Впервые вопросами, связанными с основной теоремой аксонометрии, у нас в России начал заниматься профессор Московского университета А. К. Власов. Являясь одним из его учеников, Н. Ф. продолжил исследования своего учителя. Нужно сказать, что интерес к основной теореме аксонометрии не является случайным. По существу, именно эта теорема дает ответ на вопрос о том, в какой степени инженерная графика может использовать метод аксонометрических проекций не только для изображения пространственных объектов, но и для решения всякого рода пространственных задач.

В исследованиях Н. Ф. по основной теореме аксонометрии следует выделить три наиболее важных результата.

В своей книге «Введение в высшую геометрию» (1934), представлявшей собой курс лекций, читанных им в Московском педагогическом институте имени В. И. Ленина, Н. Ф. удалось сформулировать и доказать новый вариант теоремы Польке-Шварца, как теоремы существования, и показать ее исключительное значение для практики построения изображений на уроках математики в средней школе.

Вместе с тем значительно расширилась область практического использования основной теоремы в инженерной графике.

В 1933 году в «Математическом сборнике», т. 40, появилась статья Н. Ф. «Тройки прямых как проекции прямоугольных систем осей в пространстве».

Введя в рассмотрение новое понятие «области проектируемости», Николай Федорович использовал его для проведения простого и изящного доказательства теоремы о необходимых и достаточных условиях, при выполнении которых любые две тройки прямых чертежа могут рассматриваться как изображение двух ортогональных систем координат в пространстве.

Не имея возможности более подробно останавливаться на значении этой теоремы, заметим только, что опубликование этой работы привело к окончательному признанию авторитета Николая Федоровича в области начертательной геометрии далеко за пределами нашей страны.

Если в перечисленных нами ранее направлениях своей научной деятельности Н. Ф., следуя по уже сложившемуся пути научной мысли, получал новые теоретические результаты и методы, превосходящие достижения иностранных ученых, то в одном из направлений своей деятельности он, безусловно, является новатором, ученым Сталинской эпохи, претворяющим в жизнь указания нашего вождя великого Сталина о необходимости превзойти достижения капиталистической науки.

Речь идет о разработанной Николаем Федоровичем теории позиционной и метрической полноты изображения, открывшей новую страницу в истории начертательной геометрии. Здесь все: и понятие полноты изображения и коэффициента неполноты, понятие параметрического числа изображения и точечного базиса и метода вскрытия взаимосвязей между этими понятиями и результаты, сформулированные в виде ряда теорем и приложения этих результатов к инженерной графике и преподаванию геометрии в школе,—все от начала до конца является новым словом в нашей науке.

Содержание этой теории раскрыто Н. Ф. в ряде работ последнего десятилетия. Назову наиболее важные из них.

1) Докторская диссертация, защищенная в 1943 году.

2) Две статьи: «Полные и неполные изображения» и «Условные изображения и параметрический метод их построения» в сборнике «Вопросы современной начертательной геометрии», Гостехиздат, 1947.

3) Книга под названием «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии», 1947.

4) «Точечный базис и его применение к проекционным чертежам». («Инженерный сборник Академии наук СССР», т. 5, вып. 1, 1948.)

Развитая Н. Ф. теория позиционной и метрической полноты изображений важна своей практической значимостью как для инженерной графики, так и для развития методов построения геометрических чертежей в школьном преподавании и для дальнейшего улучшения методики преподавания стереометрии в средней школе.

Освобождая от необходимости связывать решение позиционных и метрических задач с конкретным расположением элементов проек-

тирующего аппарата и объекта проектирования в пространстве, теория Н. Ф. дает возможность получать решение этих задач при выполнении определенных условий непосредственно на одном проекционном изображении. Рассматривая методы решения задач на проекционном чертеже, теория Н. Ф. формулирует критерии возможности осуществления этих решений и, что весьма важно, указывает пути преобразований чертежа, обеспечивающие возможность решения на нем позиционных и метрических задач.

Занимаясь решением научно-методической проблемы, связанной с разработкой методики построения иллюстративных чертежей на уроках математики, Николай Федорович, естественно, обратился сначала к начертательной геометрии, как науке, изучающей теоретические основы изображения. Однако вскоре было обнаружено, что, отвечая на запросы инженерно-технической практики, начертательная геометрия на ее современном уровне не может удовлетворить насущные нужды педагогической практики. Таким образом, из запросов конкретной практики появилась необходимость разработки теории начертательной геометрии в новом направлении. Проведенные Николаем Федоровичем изыскания привели к открытию «неполных изображений в начертательной геометрии», которые оказались наиболее отвечающими задачам педагогического процесса.

Так, запросы педагогической практики поставили интересную теоретическую проблему в начертательной геометрии, которая, как оказалось в дальнейшем, получила большое значение и для технической практики.

Нил Александрович Глаголев писал о книге Николая Федоровича «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии»: «Работа Н. Ф. Четверухина является первым трудом, содержащим полный научный анализ и всестороннее освещение вопроса о правильности тех изображений пространственных фигур, которыми пользуется преподаватель геометрии в практике своей работы».

Идеи, развитые Николаем Федоровичем, нашли широкий отклик у передового советского учительства. Многие из наших учителей занимаются дальнейшей разработкой этих идей и претворением их в учительскую практику.

Последние исследования в этой области показали, что теория полноты изображений тесно связана с начертательной геометрией многомерных пространств.

Современное развитие физико-химического анализа, теории сплавов и растворов привело к тому, что весьма абстрактный аппарат начертательной геометрии многомерных пространств стал рабочим аппаратом этих исследований. Сейчас все труднее становится продвигать дальше науку физико-химического анализа без хорошо разработанной начертательной геометрии многомерных пространств.

В ряде докладов на научных семинарах и в подготовленных к печати работах Н. Ф. подверг анализу операцию проектирования в многомерных пространствах и формулировал многомерный вариант основной теоремы параллельного проектирования. Все эти исследования имеют своей целью создание простого, удобною для его использования рабочего аппарата, столь необходимого химикам.

Мы дали краткий обзор научной деятельности Н. Ф.; обратимся теперь к его педагогической деятельности.

Большую роль в уменье правильно поставить методическую проблему и найти ее наиболее эффективное решение играет многолетний педагогический опыт Николая Федоровича.

В 1918 году он был приглашен на должность профессора в Институт народного образования в г. Иваново-Вознесенск, где работал в течение четырех с лишним лет. Одновременно с 1919 года Н. Ф. был избран преподавателем-ассистентом Московского государственного университета. Работая в нем по 1931 год, Николай Федорович совершенствовал свое педагогическое мастерство под руководством опытнейших профессоров Московского университета, ведя самостоятельное преподавание начертательной геометрии на механическом отделении, упражнения по аналитической и дифференциальной геометрии, работая помощником проф. Власова по преподаванию «Геометрических основ изобразительного искусства».

В 1929 году Николай Федорович был приглашен на физико-математический факультет Московского государственного педагогического института имени В. И. Ленина. Здесь вскоре ему было поручено заведывание кафедрой матемаматики и методики математики.

Еще до Великой Отечественной войны 1941—1945 гг. Н. Ф. начал принимать активное участие в работе Наркомпроса РСФСР в отделе педвузов, а также в научно-исследовательском институте школ.

Многолетняя работа Н. Ф. в высших учебных заведениях, готовящих учителей средней школы, шла в сочетании с педагогической деятельностью в высшей технической школе. Так, в 1919 году он начал работать в Московском институте инженеров транспорта в кафедре проф. Финикова; с 1922 г. по 1926 г. работал в кафедре акад. С. А. Чаплыгина (Московский лесотехнический институт); с 1936 года по 1941 год заведует кафедрой начертательной гео-

метрии и инженерной графики в Московском электротехническом институте связи.

Во время Отечественной войны Николай Федорович начал работать в Московском авиационном институте им. Серго Орджоникидзе, где с 1941 года по настоящее время заведует кафедрой начертательной геометрии.

Возвратившись в 1943 году из эвакуации, Николай Федорович начал работать в качестве профессора художественно-графического факультета Московского городского педагогического института им. Потемкина.

Большую педагогическую и научную работу Н. Ф. всегда умело сочетал с общественной работой.

В 1928—1930 гг. он был избран членом Московского Совета рабочих и красноармейских депутатов.

Во время работы в Московском педагогическом институте имени В. И. Ленина в течение четырех лет Н. Ф. был председателем бюро секции научных работников.

В последние годы Н. Ф. принимает активное участие в организации объединения преподавателей инженеров графики и начертательной геометрии Москвы, являясь в настоящее время председателем президиума этого объединения при Областном комитете профсоюза работников высшей школы и НИИ.

Обладая большой эрудицией в области геометрии, являясь последовательным материалистом и хорошо владея теорией марксизма-ленинизма, Н. Ф. на всем протяжении своей научной деятельности неоднократно обращался к исследованиям в области методологии и истории геометрии, а также к исследованию вопросов преподавания ее как в высшей, так и в средней школе.

Основная направленность этих работ может быть охарактеризована как стремление поднять теоретический уровень преподавания геометрии в различных видах школы. При этом имеется в виду не только борьба за более высокий уровень узко специальных знаний, но и борьба за правильную, научную, марксистско-ленинскую методологию преподавания.

К числу важнейших работ в этой области можно отнести следующие:

1) Вопросы элементарной геометрии и ее преподавания («Математика и физика в школе», вып. 4, 1935).

2) Проблема изображения пространственных фигур в условиях преподавания («Известия АПН РСФСР», вып. IV, 1946).

3) Вопросы методологии и методика геометрических построений в школьном курсе геометрии («Известия АПН РСФСР», вып. 6, 1946).

4) О научных принципах преподавания геометрии в советской школе («Математика в школе», 1950, № 1).

5) Очерки по истории начертательной геометрии и ее преподавания в России и Советском Союзе (Гостехиздат, в производстве).

Работы Николая Федоровича в области педагогики получили всеобщее признание, выразившееся в избрании его в 1945 году в члены-корреспонденты АПН РСФСР.

«За достижения в разрешении практических вопросов методики преподавания математики в школе и создание методических пособий для учителей» приказом министра просвещения РСФСР Николай Федорович 24 ноября 1951 г. награжден медалью Ушинского.

Свой 35-летний юбилей научно-педагогической деятельности и 60-летие жизненного пути Николай Федорович встречает полный творческой активности и больших планов.

Совсем недавно им сдана в печать написанная в соавторстве с С. Ю. Калецким и И. И. Котовым книга по истории начертательной геометрии и ее преподавания в России и СССР. Закончена подготовкой к печати в соавторстве с профессором Е. А. Глазуновым большая монография по аксонометрии, которая, безусловно, будет способствовать дальнейшему подъему нашей науки. Николай Федорович много и успешно работает над дальнейшим развитием своей теории полноты изображений, успешно руководит созданными им семинарами по начертательной геометрии и пространственным представлениям.

Николай Федорович продолжает вести большую работу в Министерстве просвещения РСФСР, где он в течение последних лет является председателем секции математики Учебно-методического совета Министерства, членом Ученой комиссии ГУВУЗа и членом президиума Учебно-методического совета Министерства.

С большой энергией работает Николай Федорович на посту председателя экспертной комиссии по начертательной геометрии и инженерной графики ВАК при Министерстве высшего образования СССР.

Вся деятельность Николая Федоровича, ученого, педагога и большевика, служит примером беззаветной борьбы за процветание советской науки. Наше советское правительство высоко оценило героизм труда Николая Федоровича, наградив его орденом Красной звезды, орденом Трудового Красного Знамени и орденом Ленина.

И. И. КОТОВ (Москва)

СТЕФАН ВАСИЛЬЕВИЧ ФИЛИЧЕВ

(К сорокалетию педагогической деятельности и шестидесятилетию со дня рождения)

Столица нашей родины Москва имеет десятки передовых средних школ, тысячи учителей-мастеров, дающих высокую успеваемость и образцы коммунистического воспитания учащихся.

Многочисленный коллектив математиков вместе с другими учителями г. Москвы ведет активную работу по улучшению качества учебно-воспитательного процесса в школе, участвует в мероприятиях по разработке и совершенствованию программ; на методических совещаниях по отдельным школам, а также по районам и в городском масштабе математики работают над методикой преподавания, над вопросами поднятия успеваемости учащихся.

Одним из организаторов и руководителей всей этой работы московского учительства является Стефан Васильевич Филичев, работающий с 1942 г. и до настоящего времени методистом по математике Московского городского отдела народного образования.

Стефан Васильевич Филичев родился 19 ноября 1891 г. в Тульской губ., Крапивенского уезда, д. Николаевка (по прежнему административному делению), в семье крестьянина-бедняка; трех лет он лишился отца, мать вынуждена была уйти на работу в Тулу и отдать мальчика на воспитание к деду.

В дореволюционное время в царской России, как и многие другие выходцы из бедной рабочей семьи, С. В. мог получить образование, преодолевая огромные препятствия. Девяти лет мать взяла сына к себе в Тулу. В Туле С. В. окончил высшее начальное училище и двухгодичные педагогические курсы. Получив звание учителя начальных училищ, С. В. с 1911 г. по 1915 г. был народным учителем в Каширском уезде. В это время С. В. начал самостоятельно готовиться к экзамену на аттестат зрелости.

В 1915 г. С. В. сдал экзамен на аттестат зрелости при Тульской мужской гимназии и в том же году поступил в Московский университет на физико-математический факультет, который и окончил в 1922 г. Вместе с тем С. В. в 1918/19 учебном году состоял слушателем Высшего педагогического института им. Шелапутина. С первых дней студенчества С. В. начал преподавательскую деятельность в различных учебных заведениях г. Москвы и с 1911 г. по настоящее время работает на ниве народного просвещения в течение 40 лет.

Параллельно с педагогической деятельностью С. В. около пяти лет работал редактором по математике в Учебно-педагогическом издательстве Министерства просвещения.

В тяжелые годы Великой Отечественной войны С. В. возглавил многочисленный коллектив учителей математики Москвы, приступив в 1942 г. к работе в качестве методиста по математике Московского городского отдела народного образования. Стефан Васильевич явился одним из тех деятелей народного образования, чей труд обеспечил нормальную работу московских школ как в годы Великой Отечественной войны, так и в ближайшие послевоенные годы. На посту городского методиста С. В. продолжает успешно работать до настоящего времени.

Будучи методистом по математике, С. В. многократно посещал уроки учителей; был неоднократным докладчиком на районных и городских конференциях по вопросам преподавания математики в средней школе..

С. В. оказывает помощь многим московским учителям в их повседневной работе. К Стефану Васильевичу постоянно обращаются многие учителя: начинающие педагоги обращаются к

нему как к старшему товарищу за советом и методической помощью, более старшие коллеги делятся с ним опытом своей работы.

В течение многих лет С. В. активно работает в Московском городском институте усовершенствования учителей, который по справедливости считается центром научно-методической и экспериментальной работы, ведущейся в Москве в области методики преподавания математики.

В институте усовершенствования С. В. читает систематические курсы, эпизодические и цикловые лекции, руководит работой методических семинаров, дает консультации учителям. Сотни учителей математики средних школ Москвы являются учениками Стефана Васильевича.

Но учителя математики знают С. В. не только как передового учителя и организатора методической работы. Огромный коллектив учителей Советского Союза знает Стефана Васильевича как автора ряда методических статей в журнале «Математика в школе», учебников и учебных пособий по математике.

Из этих работ отметим следующие:

1) С. В. Филичев и Я. Ф. Чекмарев, Сборник арифметических задач для педагогических училищ.

2) С. В. Филичев и Я. Ф. Чекмарев, Сборник задач и упражнений по арифметике для V и VI классов средней школы.

3) С. В. Филичев и Я. Ф. Чекмарев, Руководство к решению арифметических задач.

4) С. В. Филичев, Сборник упражнений по теоретической арифметике для студентов-заочников учительских институтов.

5) С. В. Филичев, Методические указания к самостоятельным занятиям по арифметике и алгебре. Сборник для заочников учительских институтов.

6) С. В. Филичев, Приближенные вычисления в курсе арифметики V класса, журнал «Математика в школе», 1947.

В печатных работах научные и методические интересы С. В. сосредоточиваются, главным образом, на проблемах преподавания арифметики и алгебры, методике решения арифметических задач.

В своих работах С. В. исходит из следующих положений:

1) При изучении элементарной арифметики в школе теоретическая часть арифметики и задачи должны составлять органически одно целое, причем большая часть времени должна падать на задачи, в особенности в начальной школе.

2) Задачи — это лучшее средство для развития математического мышления у учащихся и возбуждения живого и творческого интереса к математике.

3) Всякая арифметическая задача требует в первую очередь решения логической задачи — разложения сложного процесса, предложенного задачей, на более простые, найти связь между данным и искомым числами. При этом естественно учащимися приобретаются очень важные навыки не только для решения задач, но и для всей деятельности.

4) С. В. рекомендует различные формы объяснения и записи решения задачи, — подчеркивается значимость трех моментов при решении задач: а) анализа (рассуждения), б) плана и решения, в) проверки решения.

В соответствии с этим С. В. составил задачник по арифметике, в котором много задач и упражнений для формирования логического мышления и возбуждения творческого живого интереса к математике.

Педагогическая деятельность С. В. не ограничивается средней школой. Начиная с 1934 г. С. В. преподавал математику в различных высших учебных заведениях Москвы: в Академии внешней торговли, в Правовой академии, в Московском учительском институте. С 1943 г. и до настоящего времени С. В. является преподавателем кафедры высшей математики Московского инженерно-экономического института.

Советское правительство высоко оценило выдающиеся заслуги Стефана Васильевича в деле народного образования. В 1947 году С. В. Президиумом Верховного Совета СССР был награжден орденом Трудового Красного Знамени, а в 1948 г. за безупречный долголетний педагогический труд — орденом Ленина. Министерство Просвещения РСФСР наградило С. В. Значком отличника. В 1947 г. в связи с 800-летием г. Москвы Московский Совет наградил С. В. почетной грамотой.

Пожелаем Стефану Васильевичу дальнейшей многолетней плодотворной творческой работы на ниве народного просвещения.

А. С. ИЛЬИН (Москва)

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О НОВОМ ИЗДАНИИ СБОРНИКА ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ П. С. МОДЕНОВА

Л. М. ЛОПОВОК (Проскуров)

Изданный в 1950 г. задачник П. С. Моденова привлек внимание учителей математики. О характере требований, предъявляемых к поступающим в вузы, можно было только судить по статьям, публиковавшимся журналом «Математика в школе». Но статьи эти, понятно, хотя и сыграли положительную роль, все же не смогли заменить собой задачника, объединившего результаты испытаний за ряд лет. Мы говорим не об издании решебников, каковыми являлись до революции книги Шмулевича, Алмоева и др. Иметь под руками набор упражнений, которые предлагаются поступающим в вузы, означает для учителя иметь возможность еще раз заблаговременно проверить подготовленность учащихся, обогатить запас упражнений для работы в классе и дома и т. д. Эти обстоятельства в некоторой мере предопределили успех рецензируемой книги, но только в некоторой степени. Если бы задачник не обладал рядом других достоинств, он был бы отвергнут учительской общественностью. Однако он выдержал испытание и сейчас речь идет о втором издании («Советская наука», М., 1951, редактор С. И. Новоселов).

Достоинством задачника, несомненно, является его полнота. Хотя он и не ставит своей целью охватить все разделы школьного курса, но упражнения подобраны так, что при решении помещенных в книге задач и примеров требуются знания всех основных разделов курса. Сборник правильно уделяет внимание слабым местам в подготовке школьников, дает упражнения к темам, недостаточно освещенным в стабильных задачниках (действия с отрицательными и дробными показателями, степенные и логарифмические уравнения, геометрические задачи на доказательство, действия с аркфункциями, тригонометрические уравнения и т. п.). Среди более чем тысячи двухсот упражнений немало оригинальных.

Для удобства работы во втором издании при помощи звездочек даны указания о степени трудности задачи.

К ряду задач даны указания, иногда довольно обширные. По этим указаниям можно ознакомиться и с целым рядом интересных идей и приемов. Во втором издании книги П. С. Моденов прибавил пять небольших глав, содержащих материал принципиального значения: «Задачи на метод полной индукции», «Задачи на исследование элементарных функций», «Необходимость и достаточность», «Системы линейных уравнений», «Обратные тригонометрические функции». Эти дополнения весьма ценны. Они дают материал как для классной, так и для кружковой работы.

В истекшем учебном году я широко использовал книгу Моденова в IX—X классах,частично в VII—VIII. В качестве дополнительного пособия она себя прекрасно оправдала.

Второе издание, как уже указывалось, имеет ряд дополнений и улучшений по сравнению с первым. Поэтому мы вправе рассчитывать, что второе издание окажет еще более эффективную помощь учителю в работе.

Но вместе с тем, учитывая крупные тиражи издания (50 000 и 100 000), следует сразу поставить вопрос и о недостатках книги. Устранение этих недостатков в дальнейшем должно способствовать увеличению «коэффициента полезного действия» задачника.

Прежде всего необходимо привести задачник в соответствие с программой. Каков бы ни был конкурс, экзаменовать по разделам, не входящим в школьную программу, нельзя*. Упражнения, выходящие за пределы школьного курса, необходимо как-то выделить из основного текста.

Задачи на сложные проценты, как известно, исключены из школьного курса. Поэтому такие задачи, как 1, 4, 7, 10, 13, 28, 73 и т. п., по нашему мнению, не на месте.

В программу не входят также соотношения, связанные с модулем перехода от одной системы логарифмов к другой.

Между тем целый ряд примеров задачников связан с этими соотношениями. Отметим ряд задач, которые, по нашему мнению, выходят за рамки школьного курса.

Задача № 58 приводит к симметрическому уравнению 4-й степени:

не имеющему целых корней. Но и симметричные уравнения и приемы отделения дробных корней уравне-

* Этот упрек следует адресовать не автору сборника, а экзаменационным комиссиям вузов. — Редакция.

нии выше второй лежат вне школьного курса. За пределами программы находятся упражнения: № 141, 142, 178, 714, 1214 и др. Пример № 130, кроме указанных в ответе решений, имеет еще следующие, найти которые нужно из систем уравнений:

Условия многих упражнений нужно уточнить. Так, в № 71* вместо \gaxlgb с (I -\ \gca) следовало бы написать яснее: (1 -t- lgc a) \ga x-lgb с.

Пример № 1243: требуется доказать, что

однако здесь вкралась ошибка. В примере 1124 требуется найти известный член пропорции. В условии примера № 81 напечатано:

В задаче № 622 не играет роли, параллельна ли хорда диаметру, лишь бы она не пересекала его. Требует исправления и условие задачи № 585. Исправить нужно и условие задачи № 429 (в нынешней редакции получается, что каждый круг касается остальных, а это не соответствует авторскому замыслу).

Многие алгебраические задачи содержат лишние данные. Таковы задачи № 97 (где второе или третье условие - излишние: 13=2з г З3 и 8J = 93 + 2- = б2 -I- 73), 107 (где последнее условие не нужно), 653, 864 и др.

Едва ли целесообразно дублирование упражнений (19 и 78, 417 и 512, 283 и 469, 244 и 487, 40о и 411 и т. д.). Хотя автор и ссылается на то, что он дает варианты в таком виде, в каком они предлагались на экзамене, но ясно, что от замены этих примеров другими примерно той же трудности (может быть, даже в результате комбинирования вариантов) сборник только выиграет.

Как уже указывалось, во втором издании введены обозначения степени трудности задач. Однако, по нашему мнению, в ряде случаев степень трудности завышена (121, 167, 170, 200, 250, 286, 329, 410 и т. д.), есть и «недооцененные» упражнения. Идея автора вполне правильна, но необходимо тщательно проверить расстановку звездочек.

Думается, что «Сборник» выиграет, если его освободить от чрезвычайно примитивных примеров (543, 555, 609, 613, 614, 620, 623 и т. п.), которые к тому же не являются характерными для вступительных экзаменов. Утратив небольшую часть объема, «Сборник» выиграет в качестве.

Приведенные автором указания и решения в целом свидетельствуют о тщательной работе. Однако и здесь следовало бы ввести некоторые поправки.

В ответе к № 872 оставлены скорости велосипедистов км/час, 4-jj- км/час, что, разумеется, не соответствует действительности. Исследование примера на стр. 194 (№ 12) излишне усложнено. Доступнее и проще было бы такое преобразование:

Теперь ясно, что наименьшее значение у будет при наименьшем значении л*, т. е. при х=Ь.

Решение задачи № 8о можно провести совсем иным путем. Легко установить, что

Вывод формулы бинома можно было сократить, если использовать соотношение + С£~[ = (стр. 174—177), если использовать свойства разностных рядов, обоснование которых просто. Из этого свойства вытекало бы, что

Из тождественности обеих частей следует, что коэффициенты при kn~~l, kn~2, kn~~3,... равны нулю, а

что и требовалось доказать.

Исследование системы уравнений 1-й степени с двумя неизвестными проведено 11. С. Моденовым весьма подробно. Однако оно едва ли приемлемо для школы. Мне думается, что изложение этого вопроса следует провести по совершенно иному плану, основанному на использовании графиков линейной функции. Опыт работы в школе подсказывает такой порядок изложения.

1) Докажем, что график y = kx— прямая линия. Для этого достаточно показать (с помощью подобия треугольников или использования тангенсов), что при je = 0, х - а, х = b (а и b— любые числа) получаются коллинеарные точки. Затем выясняется смысл коэффициента k.

2) Показываем, что график у — kx+m параллелен графику у = кх. Устанавливаем смысл коэффициента /я.

3) Так как от уравнения ах 4- by = с всегда можно перейти (при b ф 0) к соотношению у = kx + /и, то делается вывод, что этому уравнению соответствует прямая линия.

Все это известно учащимся из курса VIII класса. В X классе только остается повторить и уточнить эти положения.

4) Напомнив графическое решение системы уравнений 1-й степени с двумя неизвестными, устанавливается, что система уравнений — определенная, если

* Если он останется после пересмотра состава упражнений.

прямые пересекаются (k\ ф k2); неопределенна, если прямые совпадают (k\ = k*, mL — /я?); противоречива, если прямые параллельны (ki = k2t

Систему уравнений:

приводим к виду:

Здесь

Теперь очень просто получить результат.

Система определенная

Система неопределенная

Система несовместна

В таком виде результат легко сформулировать. Изложенный здесь план не связан с применением (явно или неявно) определителей, доступнее школьникам и удобнее с методической точки зрения*.

Хотелось бы остановиться на вопросе полноты задачника. Безусловно, нельзя мириться с тем,что из почти 1300 упражнений только 4 связаны с пространственными геометрическими местами и то -только точек, еще меньшее количество задач на сечения многогранников. Задача развития пространственных представлений учащихся требует включения в «Сборник» ряда стереометрических задач на построение. Одинока задача № 930 (применение теоремы Безу для доказательства тождеств). Задача № 183 относится к почему-то забытому, но весьма полезному типу упражнений. Таких примеров много в сборнике Безиковича. Думаю, что включение таких упражнений желательно.

Повторяю, отмеченные недостатки отнюдь не умаляют общих достоинств книги П. С. Моденова. Она и в таком виде является ценным пособием для учителя, принесет пользу выпускникам средней школы. Но после устранения ряда недочетов книга выиграет в своей значимости.

* Соображения по вопросу об исследовании линейных систем отражают, разумеется, личную точку зрения автора рецензии, с которой невозможно согласиться, так как, во-первых, нельзя подменять алгебраический вопрос его геометрической интерпретацией; во-вторых, такое исследование не охватывает всех возможных случаев. — Редакция.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 5 ЗА 1951 ГОД

№ 67

Из двух углов треугольника один в два раза больше другого. Найти стороны треугольника, зная, что они выражены целыми числами.

Решение. Пусть в треугольнике ABC угол С в два раза больше угла А. Проведем биссектрису CD угла С (черт. 1).

Черт. 1

Имеем:

Отсюда следует, что

Далее:

Следовательно,

Полагая:

будем иметь:

Отсюда следует, что

Положим с = а+ kb (k — положительное рациональное число). Тогда:

Это дает нам:

Отсюда вытекает, что

Пусть k= —, где m и п — натуральные числа. Тогда:

Итак:

Дальнейшее ясно.

№ 68

Уничтожить иррациональность в знаменатели дроби:

Решение.

№ 69

Плоские угли трехгранного угла равны соответственно а. р и т. Найти линейные углы двугранных углов.

Решение. Пусть о, ß и у — плоские углы трехгранного угла SKLM (черт. 2), ах, у, z — линейные углы двугранных углов данного трехгранного угла.

Черт. 2

Имеем:

Тогда:

Аналогичным образом находим cos у и cos z.

№ 70

Найти четырехзначное число xyzt. которое является точным квадратом, если известно, что

x = y+z, x + z=\0 t.

Решение. Из второго равенства следует, что *= 1. Следовательно, x-r-z= №. Принимая во внимание первое из равенств, содержащихся в условии задачи, получим:

у = 10 — 2*.

Отсюда следует, что 2<!5. Но дг= 10 — zt следовательно,

Таким образом, число, удовлетворяющее условиям задачи, надо искать среди следующих чисел: 5061, 6241, 7431, 8621, 9811. Из этих чисел только число 6241 является точным квадратом.

№ 71

Три меньшие угла выпуклого многоугольника равны соответственно 60°, 70°, 80°, а остальные образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной 2°. Сколько вершин имеет многоугольник?

Решение. Трем данным внутренним углам соответствуют внешние, из которых один содержит 120°, другой содержит 110°, а третий содержит 100°. Следовательно, сумма остальных внешних углов равна 30°. Обозначим наименьший из неизвестных внешних углов через х, а число их через п.

Имеем:

*-Hx + 2) + (* + 4)+... + [* +2 (п - 1)] = 30

Это даёт:

пх + п{п— 1) = 30.

Отсюда следует, что

п(п — 1) < 30.

Таким образом, 3<!/i<6 и искомое число вершин может быть равно одному из следующих трех чисел: 6, 7, 8.

№ 72

Стороны основания прямой треугольной призмы равны соответственно 6 см, 8 см, 4 см Через вершину большего угла основания проведено сечение призмы, имеющее форму равностороннего треугольника. Найти периметр сечения.

Решение. Ограничимся (как это и делала большая часть решивших задачу) тем случаем, когда плоскость сечения пересекает все боковые ребра призмы. Пусть AC — \Jb см, АВ = 8 см, ВС =6 см (черт. 3). Обозначим длину отрезка AD через х% а длину отрезка СЕ через у. Так как BD = BE = DE, то числа хау удовлетворяют следующим уравнениям:

Черт. 3

Полагая х=*уп, приходим к следующему уравнению:

Это дает нам:

Остается теперь решить следующие системы уравнений:

Так как х и у — действительные числа, то первая система отпадает. Принимая во внимание, что *>0 и _у>0, получим: *~6, у~ 8. Следовательно, BD =10 см, а искомый периметр равен 30 см.

№ 73

Построить треугольник по медиане и радиусам окружностей, описанных около треугольников, на которые данная медиана разбивает искомый треугольник.

Решение. Пусть отрезок CD — данная медиана (черт. 4). Построим окружность радиуса Г\ (через г\ обозначим радиус одной из окружностей, о которых идет речь в условии задачи, через г2 —радиус другой из этих окружностей) так, чтобы она прошла через точки С и D. Построим еще одну окружность (назовем ее вспомогательной окружностью) радиуса г%, касающуюся ранее построенной окружности в точке D. Построим, наконец, окружность радиуса гг, проходящую через точки С и D. Через А обозначим точку пересечения этой последней окружности с вспомогательной окружностью. Вторая точка пересечения прямой AD с окружностью радиуса Г\% проходящей через точки С и D, и будет вместе с точками А и С определять искомый треугольник.

№ 74

Построить треугольник по стороне, противоположному углу и медиане одной из двух других сторон.

Решение. На отрезке DK (черт. 5), равном данной медиане, строим сегмент, вмещающий данный угол. Продолжим отрезок DK за точку D и отложим AD—DK- Из точки А радиусом, равным данной стороне, опишем дугу так, чтобы она пересекла дугу сегмента. Дальнейшее ясно.

№ 75

Доказать, что число р2 — 1 имеет своим делителем число 24, если р — простое число и р^5.

Решение. Имеем: р2—1 — (/> - \)(р+!). Из трех последовательных натуральных чисел:/?—1, р, р+1 числа р — 1 и р 1 — четные (ибо р—нечетное). Из двух последовательных четных чисел одно делится на 4, а другое на 2. Следовательно, число р2 _ 1 делится на 8.

Из трех последовательных натуральных чисел одно делится на 3. Так как />>3 (ибо />]>5), то на 3 может делиться либо р—1, либо Следовательно, число р2 — 1 делится на 3. Отсюда и следует, что число р2—1 делится на 24.

№ 76

Для того чтобы треугольник со сторонами a, h, с был прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы имело место соотношение:

где $А и ßß — соответственно биссектрисы углов А и В.

Решение. В условии задачи речь идет о разностороннем треугольнике (а, Ь, с — различные числа).

Имеем:

Пусть в треугольнике ABC (черт. 6)

Далее:

Это дает нам:

Если треугольник ABC — прямоугольный,

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

Отсюда следует, что

Если имеет место соотношение:

Сопоставляя это равенство с равенством:

будем иметь:

Отсюда легко получаем равенство:

Следовательно, z. С = 90°.

№ 77

Найти трехзначное число, обладающее следующим свойством: любая циклическая перестановка цифр этого числа dad m простое число.

Решение. Ни одна из цифр искомого числа не может быть четной или равной 5. Допустим сначала, что все три цифры искомого числа различны. Возможны случаи:

137, 139, 379, 173, 193, 397, 179, 197.

Но число 371 кратно 7, число 913 кратно 11, число 79З кратно 13, число 731 кратно 17, число 931 кратно 7, число 973 кратно 7, число 791 кратно 7. Условию задачи удовлетворяет число 197.

Числа с тремя одинаковыми цифрами отпадают, ибо каждое из таких чисел — составное, остается рассмотреть числа с двумя одинаковыми цифрами.

Из этих чисел только числа 113, 337 и 199 удовлетворяют условию задачи.

№ 78

При каких значениях х функция:

принимает наибольшее и наименьшее значение?

Решение. Имеем:

Это дает нам:

положено:

Решим уравнение:

относительно cos 2 а. Получим:

Дальнейшее ясно.

№ 79

Решить уравнение:

Решение. Имеем:

Данное уравнение можно переписать так:

Это дает нам:

Отсюда следует, что

где k — целое число. Дальнейшее ясно.

№ 80

Если треугольник АХВХС\ является ортогональной проекцией на основание правильной четырехугольной пирамиды треугольника ABC, расположенного на одной из боковых граней этой пирамиды, а треугольник A2B.fi2 является ортогональной проекцией треугольника А{В\СХ на другую боковую грань, то Д AîBfi200 Д ABC. Доказать.

Решение. Допустим сначала, что треугольники ABC и AzBfiï лежат в смежных боковых гранях пирамиды. Изобразим треугольники ABC, AiBfii и a2Bfi2 на развертке пирамиды, не изменяя их положения относительно ребер пирамиды (черт. 7). Обозначим линейный угол двугранного угла при основании пирамиды через а.

Как видно из чертежа:

Отсюда следует, что прямоугольные треугольники СКМ и MLC2 подобны и коэффициент подобия их равен cosa.

Черт. 7

Поэтому

Далее:

Следовательно, точки С, М, С2 лежат на одной прямой. Аналогично можно доказать, что точки А.М,А2 лежат на одной прямой и точки В, М, В2 лежат на одной прямой, а также, что имеют место равенства:

МА2 = МЛ cos a и МВ2 = MB cos a.

Итак,

Д ABC<S) &А2В2С2.

Если предположить, что треугольник АБС и А^В2С2 лежат на противоположных гранях пирамиды, то теорема в общем случае не будет верна.

№ 81

Сколько существует уравнений вида х*— рх— — q =г 0 (р и q — натуральные числа), положительный корень которых меньше данного натурального числа п?

Решение. Имеем:

Отсюда следует, что х\ 4- х2 = р < п. Итак,

Р<п. (1)

Число п больше большего корня уравнения X2 — рх — q = О,

а поэтому

л3 — рп — q > 0. (2)

Покажем, что если р и q удовлетворяют неравенствам (1) и (2), то положительный корень уравнения X* — рх — q = 0 меньше числа п.

В самом деле:

Таким образом, число всех уравнений требуемого вида равно числу систем чисел р a q, удовлетворяющих неравенствам (1) и (2). При каждом фиксированном значении р имеем п2 — пр — 1 значений q, удовлетворяющие неравенству (2). Эти значения таковы:

q = l, 2, 3,..., ri* — пр — 1.

Изменяя теперь р от 1 до п — 1, найдем, что искомое число уравнений равно:

№ 82

Дан угол и на одной из его сторон даны две точки А и В. На другой сто гоне угла найти такую точку С, чтобы угол АС В достигал максимума.

Решение. Искомая точка С есть точка касания со стороной данного угла окружности, проходящей через точки А и В. В самом деле, проведем через точки А. В, С окружность и предположим, что эта окружность пересекает сторону угла в точке С Обозначим вторую точку пересечения через D и возьмем какую-либо точку Сх на хорде CD. Имеем:

^АСгВ>^АСВ.

С другой стороны, если С есть точка касания окружности, проходящей через точки Au В, со стороной данного угла, то для любой точки С|, лежащей на той же стороне угла, на которой лежит точка С, будем иметь:

Л АС1В<4/АСВ. Дальнейшее ясно.

№ 83

Для функции:

показать, что:

Решение. Имеем:

Составляя разность:

и используя соотношение

получим требуемое.

ЗАДАЧИ

Срок присылки решений 15/VI

18. Решить уравнение:

(l+*)4 = 2(14-**).

M, Крайзман (Львов)

19. Определить углы В и С треугольника ABC, если его стороны связаны соотношением:

Известно также, что А= 72°.

М. Крайзман

20. В сегмент с высотой h круга радиуса R вписать круг радиуса г. Исследовать решение.

Г. Голянд (Брянск)

21. Определить площадь каждого из п последовательно касающихся друг друга кругов, вписанных з угол «, если радиус наименьшего из кругов равен г.

Б. Дюбуа (Ростов-на-Дону)

22. Числа я, Ь% с удовлетворяют условиям:

1<д<&+с<д + 1, fc<c.

Доказать, что

а — Ь>0.

Н. Чернов (Измаильская обл.)

23. Для того чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы имело место соотношение:

a-b = hc-c,

где д, Ь, с — стороны треугольника, hc—высота, проведенная к стороне с.

Г. Саркисьян (Москва)

24. В какой системе счисления при делении числа 4634 на число 555 получаем в частном 5, а в остатке 530?

Г. Саркисьян

25. Дано: /« — действительное число, п — натуральное число, не делящееся на квадрат натурального числа, большего 1, причем |/л<! т. Доказать, что существует единственное натуральное число х, являющееся точным квадратом и удовлетворяющее условию:

m — уПГ < у/~ X ^ т.

Н. Чернов (Измаильская обл.)

26. Решить систему уравнений:

Л. Рейзиньш (Рига)

27. Решить уравнение:

Л. Рейзиньш

28. Доказать, что если А и В — углы остроугольного треугольника, то имеет место неравенство:

tg>4.tg£>l.

Г. Пискарев (Ярославская обл.)

29. Около шара, радиус которого равен г, описав конус (прямой, круговой) наименьшего объема. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.

С. Синакевич (Ленинград)

30. Отношение радиуса описанной около равнобедренного треугольника окружности к радиусу вписанной в этот треугольник окружности равно X.

Определить угол при вершине треугольника?

С. Синакевич (Ленинград)

31. Найти общий вид целых положительных чисел, удовлетворяющих уравнению:

х + у = (х— у)*.

Эрдниев (Алтайский край)

32. Дана функция:

Исследовать и построить график.

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 5 ЗА 1951 год

Г. Абдулаев (Дагестанская АССР) 67, 68, 70, 72, 74, 75, 78, 79, 81; К. Агринский (Москва) S7—72, 75—77, 79, 82, 83; Ш. Адигамов (Халкабад) 67, 68, 70, 72, 75—81, 83; В Азаров (Вороаежская обл.) 68, 70—73, 76, 77; 3. Акишев (Курганская обл.) 68, 72; Г. Акопджанян (Армянская ССР) 70, 72—75, 77, 82; Н. Алешко (Резекне) 67—83; М. Алипов (Ленинградская обл.) 68; Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 68—72, 75, 77; И. Альтшулер (Ленинград) 67—83; А. Ананич (Красноярск) 67—77, 79—83; Я. Андреев (Чувашская АССР) 73, 74; Б. Андрусенко (Южно-Сахалинск) 57, 73, 74, 82; А. Антонюк (Житомирская обл.) 68, 72; С. Арсамаков (Алма-Ата) 68—70, 72, 74 75, 77; А. Арутюнян (Ереван) 67, 68, 70, 72, 75. 76; А. Архипенко (Сталинградская обл.), 68—73, 76; Г. Ахвердов (Ленинград) 67—83; М. Ахматов (Свердловская обл.) 67—75, 78—83; А. Багарян (Абхазская АССР) 68, 70, 72, 82, 83; Р. Багдасаров (Туркменская ССР) 67, 68, 70, 76; М. Базарбаев (Алма-Ата) 68; И. Байков (Московская обл.) 67—78, 81—83; М. Байтальский (Одесса) 68, 69, 72; И. Балахнин (Сталинградская обл.) 68, 72—76; П. Балев (Болгария) 67—83; Ф. Банное (Сталинградская обл.) 68, 7S, 73, 75; А. Бауэр (Мариинск) 67—83; Я. Бартош (Чехословакия) 67—69, 71—83;

Т. Беккер (Таллин) 67—70, 72—76, 78; А. Белогуров (Дзауджикау) 68—70, 72, 74, 75, 82, 63; В. Белых (Курская обл.) 68,70,74, 75; И. Бердичевский (Шахты) 68, 70, 83; И. Берман (Витебская обл.) 72, 68; С. Бернштейн (Киев) 67—70, 73—78, 81, 82; Я. Бециан (Тюменская обл.) 68, 70—76, 78; В. Бешкарев (Горький) 67—83; Е. Боков (Краснодарский край) 67—78, 82; А. Бородин (Киевская обл.) 67, 68, 76; Н. Будков (Спасск) 67—79, 81, 83; Б. Вайнман (Киев) 67—78; Е. Ванновская (Тамбов) 68, 69, 71, 72, 76, 78, 82; Е Васильев, (Курск) 68, 72, 74; С. Вашакмадзе (Тбилиси) 68, 70, 77; И. Вилявин (Астрахань) 67—70, 72, 74, 76, 79, 82, 83; А. Вихман (Таллин) 67, 68, 70, 72—75; А. Владимиров (Ялта) 67—83; И. Войнов (Орловская обл.) 67—83; А. Волков (Чувашская АССР) 68, 69, 72—74, 82; А. Гаас (Караганда) 67—78, 80—82; В. Ганюшин (Кимры) 68—70, 72, 75, 76, 83; А. Гаранин (Казань) 68—73, 75; А. Гемуев (Фрунзенская обл.) 67—70, 72—75, 81, 82; Ю Герасимов (Абакан) 67—73, 75—79, 81; Э. Гескин (Днепропетровск) 67—77; И. Г лотов (Мордовская АССР) 75; Н. Глыбин (Гомельская обл.) 68, 70, 72—77, 82, 83; В. Голубева (Львов) 67—70, 75, 76, 78, 83; Г. Голянд (Брянск) 68—72, 75, 77; И. Гопп (Казань) 67—83; К. Горев (Горловская обл.) 67—83; М. Готлер (Вильнюс) 67—73, 75, 77—81; А. Грамзин (Красноярский край) 68, 71—74; А. Григорян (Ереван) 68, 70, 72, 76; Р. Григорян (Ленинакан) 68, 72, 73, 75, 81, 83; Н. Грунской (Курская обл.) 68, 72; В. Гурарий (Харьков) 67—76, 81—83; Я. Гуревич (Воронеж) 67—70, 72—83; Ф. Гутковский (Варшава) 68, 70, 72—74, 82; В. Давыдов (Гомель) 67—83; А. Дейнега (Винницкая обл.) 67—70, 72—83; В. Демчинский (Ровно) 67—83; М. Джемакулов (Ставропольский край) 68, 72—74, 82; Б. Джумагазин (Алма-Ата) 58, 72; Н. Доброгай (Мелитополь) 67, 68, 70, 77, 81; В. Драгун (Томская обл.) 68, 69, 72, 73, 81; Ф. Дрезинь (Салдус) 67—72, 75, 76, 78, 79, 83; Б. Дудолькевич (Киевская обл.) 67—70, 72—77,80; Р. Елохина (Коми АССР) 67, 68, 70, 72—74; A. Живаев (Саранск) 73, 74; Г. Жигану ров (Башкирская АССР) 68, 73, 74; Б. Жиенбаев (Кзыл-Орда) 68; Л. Загорулько (Прилуки) 67, 68, 71; М. Зайденман (Бельцы) 67—70, 72—74,76; П. Зайцев (Чувашская АССР) 68, 70, 72; А. Зац (Валуйки) 67, 68, 70, 75, 77, 81, 83; Г. Зиннатов (Елабуга) 67, 68, 70, 72, 82; Л. Зискинд (Винница) 67—69, 72—79, 82, 83; И. Зоров (Брянская обл.) 70; Р. Ибрагимов (Татарская АССР) 68—72, 76; Д. Изаак (Чкаловская обл.) 68—75, 81—83; Ю. Изосимов (Астрахань) 67—74, 76—79, 81—83; Л. Израилевич (Омск) 67—75, 77—79, 81, 82; B. Иножарский (Орел) 67—70; 72—83; В. Камнев (Каменец-Подольск) 67, 68, 72—76, 81—83; А. Камышев (Московская обл.) 67—83; Г. Кандоян (Красноярский край) 68—70, 71, 72, 76, 77, 83; Ц. Кандаян (Ереван) 68, 71, 79; Г. Капралов (Горький) 67—77, 79—83; В. Караулов (Рязанская обл.) 74; 68; А. Карпов (Собинка) 67—70, 72—83; А. Картушин (Красноярский край) 68, 70, 77; Д. Кашенков (Куйбышев) 68, 72, 75; В. Киндерфатер (Кемеровская обл.) 67—83; Н. Кириллов (Ярославль) 67, 68, 70—72, 77, 83; А. Киселев (Ленинград) 68, 70, 72—75, 82; П Китайгородский (Москва) 67—72; 74—76, 79; Д. Клименченко (Каменец-Подольская обл.), 67—70, 72, 73, 77; Ш. Ковнер (Гомель) 68, 72, 74, 75; И. Кожухар (Винницкая обл.) 67—70, 72—78, 81, 82; В. Козмодемьянский (Сызрань) 67, 68, 70—73, 75—77, 79, 81; C. Колесник (Харьков) 67—83; А. Коллаев (Махач-Кала) 68; С. Колоколов (Ярославль) 67—70, 72—83; В. Конопленко (Измаильская обл.) 67, 68, 74; А. Коньков (Конобеево) 68; И. Копылов (Днепродзержинск) 67—83; И. Костоянский (Смо ленская обл.) 70; Ф. Кравченко (Можайск) 68, 72; М. Крайзман (Львов) 68—79, 82, 83; Е. Краснобрыжая (Благовещенск) 68, 72, 83; П. Краснов (Полоцкая обл.) 67—74, 76, 77, 81—83; Е. Круглов (Муйнак) 76; С. Круковский (Узбекская ССР) 68, 70—75, 82; А Крюков (Чистополь) 67—75, 77, 78; Е. Кулаго (Бобруйская обл.) 68, 70, 72, 73,77; В. Кунахович (Красноярский край) 67—83; Н. Курочкин (Но.'.о-Сергиевская) 68, 70—72, 75—77; А. Кутепов (Ворошиловск) 67—78, 81—83; Н. Кухарев (Уфа) 67—70, 72, 73, 75, 76, 79, 82; Лебедев (Обоянь) 67, 68, 70, 73, 77; Н. Лебедев (Горьков екая обл.) 68, 70, 73—75, 77; С. Лебензон (Московская обл.) 67—83; М. Лейбман (Свердловска» обл.) 67—83; Н. Леонова (Архангельская обл.) 68, 70, 72. 75; Ф Личмаирнко (Полтавская обл.) 68, 70, 76, 77; Л. Лоповок (Проскуров) 67—83; Л. Лордкипаниддзе (Тбилиси) 67—70, 72—78, 80—83; М. Ляпин (Казань) 67—69, 72, 74—79, 81—83; Н. Лындаев (Рязанская обл.) 68, 72; Э. Магарам (Южно-Сахалинск) 68—70, 72, 75—77; А. Магеро (Витебская обл.) 68, 70—76, 82; Л. Макаревич (Прилуки) 73; А. Макашев (Алма-Ата) 68; Л. Малюгин (Горький) 67—83; Д. Маркарян (Баку) 68, 72; Н. Мартьянов (Алтайский край) 70, 75, 77; /7. Марченко (Харьков) 69, 70, 72, 75; Математический кружок Суворовского военного училища (Казань) 67—70, 73—76, 78, 79, 82, 83; Математический кружок Житомирского педагогического института 67—83; Математический кружок Гродненского педагогического училища 67—80; 82„ 83; Математический кружок Мелитопольского педагогического института 70, 68; Математические кружки: Здолбуновской средней школы № 5 68, 73, 74, 81; Слободо-Туринской средней школы 68, 73, 80; Коровинской средней школы 67—75, 77, 81, 83, Юрьевской средней школы 68, 70, 72; Прилукской средней школы № 1 70, 72; Львовской средней школы № 15 68—75, 78, 79, 83; Спасской средней, школы № 1 68, 70, 73, 75, 77; Чашкинской русской средней школы 68, 70, 73—75; Математический кружок среднего мужского училища г. Лом (Болгария) 68, 74; Л. Медведев (Себряково) 67—75, 77, 82; X. Меликов (Беслан) 68, 70, 72—7о; 77, 82, И. Мельников (Новогородская обл.) 67—70, 73—75, 77, 82; Н. Мельников (Белев) 68, 74, 75, 81; Б. Меньших (Филоново) 67—75, 77, 80—83; Э. Миллер (Москва) 67—83; Г. Михайлов (Уфа) 67—70, 72—78, 81—83; Г. Многолетний (Мглин) 67—74, 76, 77, 79, 82; И. Молибога (Верхний) 67—78, 80—83; А. Мостовой (Алма-Атинская обл.) 67—79, 81—83; Г. Муравьева (Иваново) 67—77, 82, 83; А. Мурклинский (Буйнакск) 68, 72, 83; Н. Муртазина (Бугульма) 67, 68, 70, 72, 74—76, 79, 83; Б. Мусатов (Благовещенск) 67—70, 72; Л. Муталинов (Узбекская ССР) 72; Т. Мышакова (Одесса) 67—83; В. Найдин (Инза) 68, 70, 72, 75; К. Нардов (Ленинград) 67—70, 72—83; Н. Недзельский (Ваннярка) 71, 82; В. Ни (Самаркандская обл.) 68, 69, 75; Я. Носков (Омская обл.) 68, 72; Д. Омаров (Махач-Кала) 68, 76; Э. Павелкс (Молдавская ССР) 68—70, 72; Е. Павлов (Чувашская АССР) 67—77, 79—83; В. Паевский (Сталинградская обл.) 68, 70, 72, 83; Ю. Палант (Харьков) 67—77, 81, 82; И Параско (Киев) 67—70, 72—77, 79, 80, 83; Ф. Певишев (Шилово) 67—78, 81, 83; В. Первушов (Нежин) 68, 74; С. Петров (Гайсин) 68—70, 72—74, 76, 77, 8?—83; Я. Петрусев (Смоленская обл.) 67—70, 72—76, 81—83;

Л. Печерский (Орск) 67—70, 72—74, 77—79, 81— 83; М. Пилютик (Московская обл.) 67—83; Л. Пирожков (Ялта) 68, 70, 73, 74, 76, 82; Я. Писаренко (Молдавская ССР) 67—83; О. Пищик (Львовская обл.) 67—78, 80, 81, 83; С. Пономарев (Куйбышев) 67, 68, 70, 71, 73—75, 77, 82; А. Португалии (Ереван) 68, 70; А. Пругло (Алма-Ата) 73, 74, 82; Г. Пушкаревский (Башкирская АССР) 68, 70, 75, 77; М. Пышный (Молчадь) 69—73, 75, 78, 82; О. Помельцова (Энгельс) 68—72, 74; В. Рабинович (Марьевка) 67—78, 80—83; Е. Радченко (Курская обл.) 67—73, 75, 77, 83; Л. Рейзиньш (Рига) 67—83; В. Реуцкий (Харьков) 68, 70, 74, 75; Н. Романчук (Харьковская обл.) 67, 68, 70, 72, 77, 81, 83; И. Росляков (Рязанская обл.) 68, 70—75, 82; Б. Рубенчик (Минск) 68, 6ч. 72, 75—77, 81—83; П. Рубинштейн (Москва) 67—70, 72, 73, 75—77; П. Рубцов (Спирово) 68, 70, 72, 73, 74, 76, 77, 82; 3. Рудштейн (Бобруйская обл.) 68, 70, 71, 73—75; Н. Рытов (Каменка) 68, 70, 75, 82; К. Рябенко (Ворошиловск) 67—70, 72—78, 81—83; А. Савельев (Мурманск) 68, 70, 75, 76; Ш. Савинов (Коми АССР) 68—70, 72—77, 82; А. Сайкевич (Курская обл.) 68; Г. Сакович (Киев) 67—83; [. Салангин (Кировская обл.) 67—70, 72—83; Г. Саркисьян 67—70, 72—83; 3. Сафаралиев (Аграм) 67, 68, 76, 79; И. Сергачев (Малоярославец) 67—70, 73, 74, 76, 77, 81; Ф. Сергиенко (Запорожье) 67—83; С. Серкебаев (Кокчетавская обл.) 68; В. Серов (Воронеж) 67, 68, 70, 72—76; Н. Синдюков (Калининград) 67, 68, 70—76, 78, 82, 83; В. Скворцов (Ленинградская обл.) 68, 73. 74, 82; П. Скобеев (Пенза) 68; Скрылев (Красноярский край) 67, 68, 71, 72; M. Слобоиский (Грозненская обл.) 68,75, 77; С. Смоляк (Москва) 67—76, 78, 81—83; А. Соколов (Ярославская обл.) 68; Г. Стамболцян (Ленинакан) 67—83; И. Старченко (Боков-Антрацит) 68, 70—75; В. Стасюк (Стрый) 67—83; Э. Стрелецкий (Гродно) 67—83; Я. Строгальщиков (Вологодская обл.) 67—70, 72— 76, 79—83; В. Студеновский (Мордовская АССР) 68, 70, 77; Б. Тарасов (Кирсанов) 67, 70, 72, 75, 76, 81, 83; Д. Тарминян (Армянская ССР) 68, 72; И. Терехов (Рязанская обл.) 67, 70, 72—76, 82; А. Тер-Минасян (Ереван) 68, 70, 72; Я. Титов (Казань) 67—83; П. Титов (Тюмень) 67—83; . Ткаченко (Винницкая обл.) 67—83; М. Торбик (Брянская обл.) 67—79, 81—83; А. Тралмак (Ленинград) 67—83; Л. Трофимов (Башкирская АССР) 67—74, 82, 83; И. Труш (Сталинская обл.) 67, 68, 70, 73—75, 82; А. Уляшев (Коми АССР) 68, 72, 74, 75, 77, 82; Б. Уразбаев (Алма-Ата) 67, 70, 75, 77, 81; В. Устиновский (Москва) 68, 75; В. Утемов (Красноуфимск) 67—83; Е. Файнштейн (Котовск) 68—78, 81—83; И. Федорюк (Проскуров) 68—77, 79,80,82, 83; И. Федотов (Казань) 67, 68, 70—79, 81—83; И. Феоктистов (Томская обл.) 68, 73—75, 82; А. Фильшинский (Полтавская обл.) 67—79, 81—83; Н. Фокин (Смоленская обл.) 67—70, 72—78, 81, 82; А. Хавтаси (Батуми) 68, 72, 74, 77, 82; А. Хачатрян (Ереван) 68, 70, 75, 76, 78; А. Хачикян (Баку) 70, 83; К. Хоменко (Смела) 68, 70; И. Худяков (Воронежская обл.) 67—70, 75, 76, 81—8Э; Н. Цисарь (Житомирская обл). 68; Е. Цыгуля (Дубосары) 68, 70, 72—74. Ц. Чачибая (Сухуми) 68, 71; Н. Чемисов (Орловская обл.) 67—83; Г. Чепкасов (Красноярский край) 67—77, 79, 81—83; М. Червонный (Геленджик) 67—76, 78, 81, 82; Н. Чернов (Молдавская ССР) 67—70, 72-83; А. Шагинян (Ереван) 68, 72, 74, 82; А. Шалтаев (Ульяновская обл.) 68, 70, 72; М. Шатохин (Орел) 67—83; А. Шахназарян (Азербайджанская ССР) 68, 71, 74; 3. Шаюбов (Азербайджанская ССР) 68; Л. Шевелев (Орел) 67—83; В. Шевченко (Алтайский край) 68—70, 72, 75; И. Шевченко (Запорожье) 68, 71—73; М. Шевченко (Воронежская обл.) 67—83; Н. Шерман (Астрахань) 67, 68, 70, 72—77, 79; Е. Шерсткин (Брянская обл.) 67— 79, 81—83; X. Шехтов (Болгария) 67, 68, 72, 74, 76; И. Шилин (Таджикская ССР) 68; В. Широков (Кировская обл.) 68, 69, 73, 74, 76, 78, 79, 72, 82, 83; Е. Шнайдер (Приморский край) 68, 70, 73, 76; М. Штер (Проскуров) 67—70, 75; 3. Штутман (Ленинград) 67—76, 78, 79, 81—83; Я. Эрдниев (Алтайский край) 67—70, 72—83; А. Южаков (Шадринск) 67, 68, 70, 72—76; Ф. Яремчук (Дро гобыч) 67—79, 81—83; Э. Ясиновый (Куйбышев) 67—83.

Дополнительная сводка

А. Гурдзибеев (Дзауджикау) 68, 74, 75; Я. Димовский (Болгария) 67—83; Л. Долина-Медальный (Днепропетровск) 67—71, 73, 75—78; Б. Кеглин (Днепропетровск) 67—70, 72, 73, 75; Я. Мармекштейн (Одесса) 67, 68, 70, 72, 75; Я. Петров (Татарская АССР) 67—77, 80, 82, Р. Реннерт (Польша) 68—70, 72, 73, 75, 76, 78, 82, 83; М. Хуторян (Одесса) 67—83.

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Б. В. Болгарский — Идеи Лобачевского в области методики математики .... 1

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ К. И. Швецов — Славянская нумерация.................... 8

МЕТОДИКА

Г. М. Олифер — О решении геометрических задач на построение....... 13

Г. П. Сенников — Об исследовании в задачах на построение.......... 23

С. М. Чуканцов — О некоторых недостатках в школьных учебника: по арифметике ................................... 32

Д. М. Маергойз — К методике повторения целых чисел в V классе...... 38

Н. А. Троицкая—О рационализации вычислений............... 46

ИЗ ОПЫТА

И. М. Кипнис — Геометрические и физические задачи на составление тригонометрических уравнений.......................... 52

П. А. Горбатий — Опыт преподавания обратных тригонометрических функций . 59

Л. Г. Круповецкий — О некоторых задачах на процентные расчеты...... 67

У. С. Мамлеев — О составлении контрольных работ по арифметике...... 74

СОВЕТСКИЕ ПЕДАГОГИ МАТЕМАТИКИ

И, И. Котов—Н. Ф. Четверухин (К шестидесятилетию со дня рождения и тридцатипятилетию научно-педагогической деятельности)........ 78

А. С. Ильин — С. В. Филичев (К сорокалетию педагогической деятельности и шестидесятилетию со дня рождения).................. 83

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Л. М. Лоповок — О новом издании сборника задач по математике П. С. Моденова ................................... 85

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 5 за 1951 год................ 88

Задачи.................................... 93

Сводка решений по № 5 за 1951 год..................... 93

Редакционная коллегия: Редактор А. Н. Барсуков. Зам. редактора С. И. Новоселов, Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф Четверухин Зав. редакцией Ф. М. Мидлер. Технический редактор С. Н. Шахов. Корректор А. Г. Мареева.

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6. Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР.

Сдано в производство 3/1 1952 г. Подписано к печати 18/111 1952 г. Учетно-изд. л. 11,23

А01662. Тир. 52 000 экз. Бумага 84X108Vi6=3 б. л.—9,84 п. л. Цена 4 р 50 х.

Печ. зн. в 1 п. л. 80 000. Зак. 853.

13-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Москва, Гарднеровский пер., 1а

Цена 4 p. 50 к.

ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ СЛЕДУЮЩИЕ КНИГИ:

АЛЕКСАНДРОВ П. С. Введение в общую теорию множеств и функций. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебного пособия для вузов. Гостехиздат. 1948. 412 стр. Цена 9 р. 50 к.

ГЕЛЬФАНД И. М. Лекции по линейной алгебре. Изд. 2-е, перераб. и доп Гостехиздат. 1951. 252 стр. Цена 10 р. 30 к.

ГНЕДЕНКО Б. В. Курс теории вероятностей. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебника для университетов. Гостехиздат. 1950. 388 стр. Цена 11 р. 55 к.

ДЕЛОНЕ Б. Н., РАЙКОВ Д. А. Аналитическая геометрия. T. II. Гостехиздат. 1949. 516 стр. Цена 15 р. 50 к.

Историко-математические исследования. Вып. II. Под ред. Г. Ф. Рыбкина и А.П. Юшкевича. (Труды семинара МГУ по истории математики). Гостехиздат. 1949. 506 стр. Цена 18 р. 45 к.

Историко-математические исследования. Вып. III. Под ред. Г. Ф. Рыбкина и А. П. Юшкевича. Гостехиздат. 1950. 508 стр. Цена 18 р. 40 к.

Историко-математические исследования. Вып. IV. Под ред. Г. Ф. Рыбкина и А. П. Юшкевича. Гостехиздат. 1951. 512 стр. Цена 17 р. 90 к.

КУДРЯВЦЕВ В. А., ДЕМИДОВИЧ Б. П. Краткий курс высшей математики. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебного пособия для биолого-почвенных, геологических и географических факультетов государственных университетов. Гостехиздат. 1949. 406 стр. Цена 9 р. 15 к.

ЛАВРЕНТЬЕВ М. А. и ЛЮСТЕРНИК Л. А. Курс вариационного исчисления. Изд. 2-е, перераб. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебника для государственных университетов. Гостехиздат. 1950. 296 стр. Цена 7 р. 95 к.

ЛАВРЕНТЬЕВ М. А., ШАБАТ Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. Гостехиздат. 1951. 606 стр. Цена 17 р. 70 к.

ЛЮСТЕРНИК Л. А., СОБОЛЕВ В. И. Элементы функционального анализа. Гостехиздат. 1951. 360 стр. Цена 14 р. 10 к.

ПЕТРОВСКИЙ И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебника для государственных университетов. Гостехиздат. 1950. 304 стр. Цена 7 р. 95 к.

Продажа производится в магазинах книготоргов

В случае отсутствия указанных книг в магазинах на местах, заказы направлять по адресу: Москва, Арбат 36, магазину № 69 Москниготорга.

Союзопткниготорг Главполиграфиздата