МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

1

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1952

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 1

ЯНВАРЬ—ФЕВРАЛЬ 1952 г.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

СВОЙСТВА ЧИСЕЛ, АНАЛОГИЧНЫЕ ТЕОРЕМЕ БЕЗУ

М. В. ЯКОВКИН (Москва)

В настоящей статье устанавливается взаимосвязь между двумя, казалось бы, отдаленными разделами школьной математики: теорией делимости целых чисел (V кл.) и теоремой Безу (X кл.). В статье изложен общий способ для нахождения признаков делимости, применимый к любым целым числам. Многие признаки делимости, найденные этим способом, не могут быть получены обычными путями (с помощью сравнений или выделения остатков). Мы приведем только некоторые важнейшие признаки делимости, но читатель, ознакомившись с этим способом, сможет сам получать бесконечное множество других признаков и, возможно, некоторые из них окажутся также относительно простыми.

Кроме того, свойство целых чисел, аналогичное теореме Безу, строго выведенное в настоящей статье, должно представлять также и известный теоретический интерес.

§ 1. Числа как значения многочленов

Прежде всего заметим, что всякое натуральное число

(1)

можно рассматривать как значение при л: =10 некоторой целочисленной функции:

(2)

у которой коэффициенты — однозначные (одноциферные) числа, совпадающие с соответствующими цифрами этого числа. Например, число 175893 782 можно рассматривать как значение при х =10 следующей целочисленной функции:

Но всякое натуральное число (1) можно рассматривать и как значение при *=100 некоторой целочисленной функции

(3)

у которой коэффициенты Bt совпадают с двузначными (двуциферными) гранями этого числа. Например, предыдущее же число 175 893 782 можно рассматривать и как значение /2(102) следующей целочисленной функции:

Вообще всякое натуральное число (1) можно рассматривать как значение при х = \0т некоторой целочисленной функции /т(х) с неотрицательными коэффициентами, совпадающими с соответствующими гранями этого числа, взятыми по m цифр справа налево.

Например, число 1002 309 810 можно рассматривать как значения следующих функций:

§ 2. Частный случай теоремы Безу

По теореме Безу имеет место следующее тождество относительно аргумента х:

f(x) = <?(x)(x-y)+f(y), (4)

где f(x)— любой многочлен.

Отсюда вытекает, что выражение

(5)

при любом значении у является целой рациональной функцией от аргумента х, а при любом значении х — целой рациональной функцией от аргумента у.

Если аргументам х и у даны значения хх и у19 принадлежащие тому же числовому полю (кольцу), которому принадлежат коэффициенты функции f(x) (или f(y))f то число:

(6)

все коэффициенты функций f(x), принадлежит одно из двух чисел:

также принадлежит этому числовому полю (кольцу).

Из этого утверждения, в свою очередь, вытекает, что если числовому полю (кольцу), содержащему числа:

(7)

(8)

то тому же числовому полю обязано принадлежать также и второе из этих чисел. Если же одно из двух чисел (8) не принадлежит рассматриваемому числовому полю (кольцу), то этому полю (кольцу) заведомо не будет принадлежать и другое из этих двух чисел.

В частности, в том случае, когда f(x) — целочисленная функция и kv к2 — целые числа, т. е. когда числа ku к2 и все коэффициенты f(x) являются элементами кольца целых чисел, тогда и число:

(9)

также является целым.

Отсюда, если одно из значений f(kx) и f(k2) целочисленной функции f(x) при некоторых целых значениях аргумента х = кх и х = к2 делится на кх—к2, то и другое из них делится на кх— кш. Если же нам удалось каким-нибудь путем установить, что одно из значений f(kx) и j (k2) не делится на кх— к2, то и другое из этих двух значений также не делится на кг— k2.

Таким образом, делимость одного из значений f (kx) и /(/?,) на кг—к2 является условием, необходимым и достаточным для делимости на kx— k2 другого из этих чисел. Но это же утверждение имеет место не только для самого числа кх—к2, но и для любого делителя q этого числа.

Сформулируем полученный результат в виде следующей леммы:

Лемма 1. Делимость одного из значений f(kx) и f(k2) любой целочисленной функции f(x) на любой делитель q целого числа кх— k2 является условием, необходимым и достаточным для делимости на q другого из этих значений f(x).

§ 3. Нахождение некоторых признаков делимости

Полученный вывод как справедливый для значений любой целочисленной функции, в частности, будет верен и для тех функций, у которых коэффициенты — однозначные (одноциферные) числа, т. е. для целочисленных функции следующего вида:

Полагая в лемме 1 kx = \0, a к2 = k (0<А<10), на основании замечаний, изложенных в § 1, мы легко приходим к простейшим признакам делимости на небольшие числа.

В самом деле, для того чтобы некоторое натуральное число:

(10)

было кратно любому делителю q числа 10 — /?, необходимо и достаточно, чтобы было кратно q следующее число:

Это вытекает из того, что число

(11)

должно быть целым при любом целом значении к, и, значит, должны быть целыми или дробными одновременно оба числа:

(12)

Точно таким же образом, рассматривая всякое натуральное число как значение /т(10ш) некоторой целочисленной функции fm (х), коэффициенты которой совпадают с соответствующими гранями по m цифр, мы можем положить в лемме 1 кх=\0т и k2 = k (Ö<A< < 10m). Тогда мы получаем возможность находить признаки делимости на большие числа.

Именно, для того чтобы некоторое натуральное число fm (10m) было кратно любому делителю g числа 10т — А(0<; k<C Wm), необходимо и достаточно, чтобы число fm{k) было кратно д.

§ 4. Признаки делимости на 2, 5 и 10

Рассматривая всякое натуральное число как значение /i (10) некоторой целочисленной функции fi(x), мы должны в лемме 1 положить /^ = 10. Тогда естественно, самые простые признаки мы получим, если положим k2 = 0, т. е. признаки делимости на число 10 — 0=10 и его делители.

Для того чтобы некоторое натуральное число:

(13)

было кратно любому делителю g числа 10 — 0, необходимо и достаточно, чтобы /1(0)=а0 было кратно рассматриваемому делителю g числа 10 — 0. Но так как число 10 — 0=10 имеет только три* различных делителя: 2, 5 и 10, то мы получаем:

на 2, 5 и 10 делятся такие, и только такие, числа, у которых последняя цифра делится соответственно на 2, 5 и lu.

§ 4а. Признаки делимости на 3, 9 и 11

Попрежнему, рассматривая всякое натуральное число как значение fx (10), положим теперь в лемме 1 k% = -h 1.

Полагая k% = \9 мы получим признаки делимости на 10—1 и на делители этого числа. Для того чтобы некоторое натуральное число (13) было кратно любому делителю g числа 10—1, необходимо и достаточно, чтобы

(14)

было кратно рассматриваемому делителю g числа 10 — 1. Но число 10—1 имеет своими делителями числа 3 и 9. Отсюда следует:

на 3 и 9 делятся такие, и только такие, числа, у которых сумма цифр делится соответственно на 3 и У.

Полагая kt = — 1, мы получим признаки делимости на число 10 +\ и на делители этого числа.

Некоторое натуральное число f (10) будет кратно любому делителю числа 10+l тогда, и только тогда, когда будет кратно этому делителю следующее число:

Но число 10 + 1 = 11 имеет своим делителем только само число 11, поэтому получаем:

на 11 делятся такие, и только такие, числа, у которых разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11,

§ 5. Признаки делимости на 4 и 8

Полагая в лемме 1 рапным попрежнему 10, а Ä2 = 2 и рассматривая всякое натуральное число как значение/, (10) целочисленной функции f(x), у которой коэффициенты совпадают с соответствующими цифрами этого числа, мы можем получить признаки делимости на число 10 — 2 и его делители.

Для того чтобы некоторое натуральное число:

было кратно некоторому произвольному делителю g числа 10 — 2, необходимо и достаточно, чтобы было кратно этому делителю g следующее число:

(15)

Но число 10 — 2 имеет только делители 2, 22 = 4 и 23 = 8.

Отсюда следует, что на 2, 4 и 8 делится число (10) тогда, и только тогда, когда делится соответственно на 2, 4 и 8 число (15).

Но число (15) может делиться на 2 тогда, и только тогда, когда а0 делится на 2.

Таким образом, мы пришли к тому же признаку делимости на 2, которое указывалось выше.

Число (15) будет делиться на 4 = 22 в том, и только в том, случае, когда делится на 4 следующее число:

(16)

Итак, на 4 делятся такие, и только такие, числа, у которых сумма цифры единиц и удвоенной цифры десятков делится на 4,

Признак делимости на 4 в такой формулировке требует операции умножения одно# цифры на 2.

Значительно удобнее сформулировать этот же признак делимости через операцию деления одной цифры на 2. Действительно, для делимости выражения (16) на 4 необходимо

* О тривиальном делителе—единице, содержащемся во всех целых числах, мы вообще упоминать не будем.

чтобы а0 делилось на 2. Пусть а0 = 2 а0, тогда для делимости рассматриваемого числа на 4 будет необходима и достаточна делимость на 2 числа а0+а1.

Итак, чтобы решить вопрос о делимости некоторого числа на 4, следует разделить на 2 цифру единиц, к полученному частному прибавить цифру десятков и опять разделить на 2. Тогда для делимости рассматриваемого числа на 4 необходимо и достаточно, чтобы оба указанные деления на 2 совершались нацело.

Переходим к признаку делимости на 8. Число (15) будет делиться на 8 тогда, и только тогда, когда делится на 8 = 23 число:

(17)

Следовательно, на 8 делятся такие, и только такие, числа, у которых сумма цифры единиц, удвоенной цифры десятков и учетверенной цифры сотен делится на 8.

Этот признак также удобнее сформулировать не через операцию умножения двух цифр рассматриваемого числа на 2 и на 4, а через три операции деления на 2. В самом деле, выражение (17) будет делиться на 8 только в том случае, если а0 делится на 2. Пусть а0 = 2яо тогда для делимости рассматриваемого числа на 8 необходима и достаточна делимость на 4 следующего числа:

(18)

Но это число будет делиться на 4 только в том случае, если а0-^-ах делится на 2. Пусть

тогда для делимости числа (18) на 4 необходимо и достаточно, чтобы

делилось на 2.

Итак, чтобы решить вопрос о делимости некоторого числа на 8, следует разделить на 2 цифру единиц этого числа, к полученному частному прибавить цифру десятков. Затем снова разделить на 2 и к полученному частному прибавить цифру сотен и еще разделить на 2. Для делимости рассматриваемого числа на 8 необходимо и достаточно, чтобы указанные три деления совершались нацело.

Как известно, обычные признаки делимости на 4 и 8 сводят вопрос о делимости заданного числа к вопросу о делимости двузначного окончания этого числа на 4 и к вопросу о делимости трехзначного окончания этого числа на 8, что заставляет в большинстве случаев прибегать к операции непосредственного деления (особенно трехзначного окончания рассматриваемого числа на 8).

По признакам же делимости, приведенным в настоящей статье, даже по первой формулировке максимальное число, к делимости которого сводится решение вопроса, равно 9 • 2 + 9 = 27 (в случае делимости на 4) и 9 • 22 -]— 9 • 2 + 9 = 63 (в случае делимости на 8).

Самое же большое число, с делимостью которого можно встретиться при пользовании второй формулировкой (через деление), равно 13 (в признаке делимости на 4) и равно 15 (в признаке делимости на 8).

Ясно, что вопрос о делимости таких чисел ни на 2, ни на 4 и 8 не выходит за рамки, запоминаемой наизусть таблицы умножения.

Кроме того, в таком виде сформулированные признаки делимости на 4 и 8 возможно применять к одному и тому же числу неоднократно и тем самым свести вопрос о делимости этого числа на 4 и 8 к вопросу о делимости на 4 и 8 лишь некоторой одной цифры. Так, например, чтобы определить, делится ли число 7 893 984 на 8, мы можем многократно применить указанный признак делимости и тогда будем иметь:

Мы получили цифру 8, делящуюся на 8, следовательно, и число 7 893984 делится на 8.

Еще удобнее и проще пользоваться вторыми формулировками (через деления на 2) этих признаков делимости.

В рассмотренном примере будем иметь:

Первое деление совершается нацело, это означает, что число 7 893984 делится на 2. Два первых деления совершаются нацело, это означает, что рассматриваемое число делится на 22 = 4. Все три деления совершаются нацело, это означает, что данное число делится на 23 = 8.

§ 6. Признаки делимости на 7 и 13

Для получения признаков делимости отдельно на 7 и на 13 мы можем поступить, как обычно, полагая в лемме 1 kx = 10 и k2 = ±3 и рассматривая натуральные числа-делимые как значения /г (10) функций Д (х).

Тогда сразу же находим, что для делимости числа ft (10) на 7=10 — 3 необходима и достаточна делимость на 7 следующего числа:

Аналогично, для делимости числа fx (10) на l3=10+3 необходима и достаточна делимость на 13 следующего числа:

Отделяя остатки от деления различных степеней 3 на 7, мы получим известный признак делимости на 7.

На 7 делится число fx (10) в том, и только в том, случае, когда делится на 7 число:

При практическом пользовании этим признаком удобно цифры испытуемого натурального числа, начиная справа, переписать в виде столбцов по три цифры в каждом столбце. Тогда все цифры данного числа расположатся в три строки. Для каждой из этих трех строк находим разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах. И, наконец, находим алгебраическую сумму первого, утроенного второго и удвоенного третьего из полученных чисел. Если в результате получится число, делящееся на 7, то делится на 7 и первоначально заданное число и не делится в противном случае.

Поясним сказанное на примере. Нужно узнать, делится ли на 7 число 83 201453972. Записываем цифры этого числа в три строки следующим образом:

Находим затем для каждой из трех строк разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах:

И, наконец, находим алгебраическую сумму результата первой строки (—3), утроенного результата второй строки (—6-3 = — 18) и удвоенного результата третьей строки (+ 7 X Х2 = 14):

— 3—18+14 = — 7.

Поскольку мы получили число (—7), делящееся на 7, то первоначально заданное число 83 201453972 делится на 7.

Признак делимости на 13, приведенный в этом параграфе, существенному упрощению не поддается.

§ 7. Признаки делимости на 20, 25, 50, 100 и 101

До сих пор мы полагали в лемме 1 ^=10 и рассматривали всякое натуральное число как значение /i(10) целочисленной функции f\(x). Положим теперь в лемме 1 kx — 103 и будем рассматривать всякое натуральное число а7Уап__\. . ,аха0 как значение /2(102) следующей целочисленной функции:

Тогда мы можем получить признаки делимости на некоторые большие числа. Так, полагая в лемме 1 k2 = 0, мы получаем признаки делимости на любой из делителей числа 102 —0.

Для того чтобы некоторое натуральное число /о (100) делилось на любой делитель g числа 100 — 0, необходимо и достаточно, чтобы делилось на g двузначное окончание/2(0) = аха0 рассматриваемого числа /2(100). Но число 100 — 0 имеет следующие делители: 2, 4, 10, 20, 25, 50, 100, поэтому мы получаем:

на 2, 4, 10, 20, 25, 50 и 100 делятся такие, и только такие, числа, у которых двузначное окончание делится соответственно на 2, 4У 10, 20, 25, 50 и 100.

Чтобы получить признак делимости на простое число 101, достаточно в лемме 1 положить kx = 100 и &2 — — 1 и рассматривать всякое натуральное число как значение /2 (100) целочисленной функции /2(^). Тогда мы получаем, что для делимости натурального числа /2 ( 100) = ап ап _ 1. . . ах а0 на 101 необходима и достаточна делимость на 101 числа:

Итак, на 101 делятся такие, и только такие, числа, у которых разность между суммой граней (взятых по две цифры справа налево), стоящих на нечетных местах, и суммой таких же граней, стоящих на четных местах, делится на 101.

§ 8. Признаки делимости на 7, 11, 13, 77, 91, 143 и 1001

Чтобы решить вопрос о делимости некоторого натурального числа /3 (108) =ап ап аха0 на любой делитель g числа 1001, надобно разбить цифры заданного числа /3 (1000) на грани справа налево, взяв в каждой грани уже по три цифры. Тогда для делимости данного числа на любой делитель g числа 1001 необходима и достаточна делимость на g разности между суммой указанных граней, стоя-

щих на четных местах, и суммой граней, стоящих на нечетных местах. Но так как число 10(4 имеет следующие делители: 7, 11, 13, 77, 91, 143 и 1001, то мы получаем:

на 7, 11, 13, 77, 91, 143 и 1001 делятся такие, и только такие, числа, у которых разность между суммой граней (взятых по три цифры справа налево), стоящих на четных местах, и суммой таких же граней, стоящих на нечетных местах, делится соответственно на 7, 11, 13, 77, 91, 143 и 1001.

Признак делимости на 11, изложенный в § 4, несомненно, намного проще, чем признак, приведенный в настоящем параграфе. Поэтому, когда требуется решать вопрос о делимости некоторого числа отдельно на 11, конечно, следует пользоваться признаком из § 4.

Но признак делимости, изложенный в настоящем (8) параграфе, имеет и одну преимущественную особенность. Именно, этот признак является общим для трех простых чисел: 7, 11 и 13.

Эта особенность ощутительна при разложении чисел на множители. В этом случае некоторая трудность вычисления разности между суммами указанных граней оправдывается тем, что мы по этой вычисленной разности можем решить вопрос о делимости рассматриваемого числа сразу на три простые числа.

§ 9. Общий случай теоремы Безу

До сих пор мы пользовались тем частным случаем теоремы Безу, когда старший коэффициент двучлена равен единице. Покажем теперь, что целые числа подчинены закону, совершенно аналогичному теореме Безу в ее самой общей формулировке, т. е. когда старший коэффициент двучлена отличен от единицы.

Как известно, для делимости любого многочлена:

(19)

на линейный двучлен общего вида

bxx — bQ (20)

по теореме Безу необходима и достаточна справедливость следующего равенства:

(21)

Чтобы доказать, что аналогичному закону подчинены целые числа, будем вести рассуждения и в этом общем случае, исходя из частного случая теоремы Безу, рассмотренного уже выше. Как указывалось, если f(x) — целочисленная функция я-й степени, то

(22)

при любом целом значении у представляет собой целочисленную функцию (п — 1)-й степени относительно аргумента х.

Положив в соотношении (22) х равным некоторой несократимой дроби а у равным некоторой целой положительной степени 10, мы получим:

(23)

Поскольку <р(*) есть целочисленный многочлен (я—1)-й степени, то число

представляет собой алгебраическую сумму рациональных дробей с знаменателями, равными целым положительным степеням числа Ь\. Наивысшая степень этого числа Ьх в знаменателях дробей, естественно, не может превышать п — 1 степени функции <р (х).

Если умножить все слагаемые — рациональные дроби, входящие в ср на то в результате получится некоторое целое число Ь"~1 ср По тем же мотивам будет целый числом и

Умножив теперь обе части равенства (23) на b\~l, мы получим:

Поскольку в правой части полученного стоит целое число, то целое число

должно делиться на

Отсюда вытекает, что делимость одного из чисел bif(\0k)nbîf(^-^ на Ьх Wk — b0 является условием, необходимым и достаточным для делимости на bx\Qk — b0 другого из этих двух чисел.

Но так как числа Ьх и Ь0, по условию, взаимно простые, то, очевидно, должны быть взаимно простыми и числа Ь\ и Ьх\№— Ь0. Это

обстоятельство усиливает полученный результат. В самом деле, если числа Ь\ и Ьх 10* — Ь0 взаимно простые, то число о?/(10*) будет делиться на Ьх 10* — Ь0 в том, и только в том случае, когда /(10*) делится на Ьх 10*—Ь0.

Обозначим, для простоты, грани некоторого натурального числа (взятые по k цифр справа налево) соответственно через В0, Ви В2>... уВп, тогда выведенный, более общиЗ, результат мы сможем сформулировать следующим образом.

Для того чтобы натуральное число:

(24)

делилось на число Ьх 10* — 60, необходимо и достаточно, чтобы делилось на bx\0k — b0 следующее число:

(25)

Такое же утверждение справедливо и о делимости рассматриваемых чисел не только на само число Ьх 10*—ô0, но и о делимости на любой из делителей этого числа Ьх 10*—Ь0.

Сформулируем полученный результат в виде следующей леммы:

Лемма 2. Для делимости некоторого натурального числа (24) на произвольный делитель q числа Ьх 10*—Ь0 необходима и достаточна делимость на q числа (25).

Опираясь на этот более общий результат, можно вывести относительно простые признаки делимости чисел, и притом такие, которые уже не могут быть непосредственно получены обычными приемами, основанными на известных теоремах теории сравнений.

Кроме того, указанная закономерность для чисел, аналогичная теореме Безу, должна представлять также и некоторый самостоятельный теоретический интерес.

§ 10. Признаки делимости на 19, 29, 31, 97 и 199

Число 19 можно представить в форме 19 = 2-10—1. Рассматривая всякое натуральное число как значение

(26)

некоторой целочисленной функции f\(x), мы вправе утверждать, что это натуральное число /х (10) делится на 19 = 2-10 — 1 в том, и только в том случае, когда делится на 19 число:

Число 29 можно представить в виде 29 = 3-10—1. Записывая всякое натуральное число в форме (26), найдем, что для делимости числа /, (10) на 29 = 3-10 — 1 необходима и достаточна делимость на 29 следующего числа:

Таким же образом выводим, что для делимости натурального числа (26) на число 31= 3« 10 —}— 1 необходима и достаточна делимость на 31 числа:

Например, число 85405 делится на 19, 29 и на 31, так как

Аналогичные признаки делимости можно указать и для простых чисел: 41, 59, 61, 79, 89 и т. д.

Число 97 можно представить в виде 97 = Ы02 — 3. Рассматривая всякое натуральное число как значение

(27)

некоторой целочисленной функции /, (х), мы находим, что для делимости его на 97 необходима и достаточна делимость на 97 числа:

Таким же образом находим, что число (27) делится на 199 = 2-103— 1 в том, и только в том случае, когда делится на 199 следующее число:

Похожие и тоже относительно простые признаки делимости можно указать и для простых чисел: 103, 107, 109, 401, 499, 599, 601, 701 и др.

§ 11. Частное замечание

Указанным путем признаки делимости получаются тем проще, чем ближе лежит рассматриваемое число к кратному 10. Так, например, признаки делимости очень просты для 9= 10—1, 11 = 10+ 1, 99 = 1-102— 1, 101=1-102 + 1 и т. д., или относительно простые признаки мы получили для чисел bx\0k — bQ, в которых либо ô0, либо о, равны ± 1.

Но, когда рассматриваемое число невозможно представить в форме bx\0k — bQ с небольшими

по абсолютной величине числами Ь0 и Ьх, иногда возможно свести вопрос о делимости на это число к вопросу о делимости на некоторое другое число, кратное данному. Таким путем иногда удается упрощать некоторые из трудных признаков делимости.

Так, мы выше уже заменяли признаки делимости на 7 и на 13 признаком делимости на число 1001, кратное 7 и 13. Ниже, согласно этой же идее, мы заменим признак делимости на 37 признаком делимости на число 999, кратное 37.

Наконец, комбинируя несколько различных признаков делимости (складывая и вычитая), можно получить новые необходимые или достаточные условия делимости или неделимости на заданное число.

§ 12. Признаки делимости на 7, 37

Для числа 7 можно указать относительно простой признак делимости, воспользуясь тем, что 21 кратно 7.

На 7 делится число.

в том, и только в том случае, когда делится на 7 число:

Для числа 37 можно указать признак делимости, рассматривая признак делимости на число 999= ЫО8—1, кратное 37.

Отсюда находим, что на 37 делятся такие, и только такие числа, у которых сумма граней, отсчитываемых по три цифры справа налево, делится на 37.

При пользовании этим признаком выгодно предварительно из каждой грани данного числа вычитать числа 111, 222, 333, 444, 555 и т. д., так как все эти числа кратны 37. В результате в каждой грани появится по крайней мере одна цифра, равная нулю, что существенно упростит нахождение суммы граней.

Например, чтобы решить вопрос о делимости числа 1 232 567 999889 на 37, мы разбиваем цифры этого числа на грани (по три справа налево). Этими гранями будут:

Вычитая из второй грани 222, из третьей грани 555, из четвертой 999 и из последней 888, мы легко находим искомую сумму граней:

Но так как 24 не делится на 37, то и данное число не может делиться на 37.

§ 13. Дополнительные примеры

1. Замечая, что 99= ЫО3—1 имеет делители 3, 9, 11, 33 и 99, и рассматривая всякое натуральное число как значение /а(Ю3) некоторой целочисленной функции, мы находим, что для делимости /2 (10*) на произвольный делитель q числа Ь103— 1 необходима и достаточна делимость на q числа /2(1).

Следовательно, на 3, 9, 11, 33 и 99 делятся такие, и только такие числа, у которых сумма двузначных граней делится соответственно на 3, 9, 11, 33 и 99.

2. Замечая, что 201 = 2.102 + 1 делится на 67, мы для простого числа 67 можем указать следующий признак делимости:

на 67 делится число

тогда, и только тогда, когда делится на 67 следующее число:

3. Замечая, что 299 =3-102—1 делится на 13 и 23, мы для чисел 13, 23 и 299 можем указать следующий общий признак делимости: на 13, 23 и 299 делится число я?л 02/1-1 ... ..,аха0 тогда, и только тогда, когда делится соответственно на 13, 23 и 299 следующее число:

Точно так же, поскольку число 3 • 103 + Î имеет делители 7, 43 и 301, мы находим, что

для делимости числа я2ля2л- i ... Яг До на ^, 43 и 301 необходима и достаточна делимость соответственно на 7, 43 и 301 следующего числа:

§ 14. Обобщение теоремы Безу

В предыдущих параграфах мы показали, что все целые числа подобно многочленам подчиняются закону, аналогичному теореме Безу.

Вопрос о делимости произвольного многочлена на линейный двучлен (теорема Безу) довольно подробно рассматривается в курсах элементарной и высшей алгебры. Между тем такие же простые, необходимые и достаточные условия имеют место для делимости произвольного многочлена на двучлен не только первой, но и любой степени. Рассмотрению

* В такой форме можно представить любое натуральное число, полагая а2п = 0 для чисел с четным количеством цифр.

таких условий посвящены настоящий и следующие параграфы.

Сначала рассмотрим вопрос о делимости многочленов на двучлен хт — b частного вида (когда старший коэффициент равен единице), после этого легко будет уже решить вопрос о делимости многочленов на двучлен Ьтхт — Ь0 самого общего вида.

Теорема 1. Для того чтобы двучлен хт — b был делителем целей рациональной функции

(28)

где n = mq~\-r(0<r^.m — 1), необходимо и достаточно, чтобы число b было корнем общего наибольшего делителя DmQ(x) следующих m многочленов:

(29)

Доказательство. Если г<т—1, то, приписав для простоты рассуждений к многочлену ß0)(x) еще m — 1—г следующих после апхп членов ап+\Хп + 1, ап + 2Хп + 2,..., с коэффициентами 0я + |(/=1, 2,..., m—1—г), равными нулю, мы можем считать, таким образом, что произвольно заданный многочлен имеет следующий вид:

(30)

После этого разобьем все члены полинома (30) на группы по m членов в каждой и вынесем из каждой группы за скобки х наинизшей степени. Тогда, очевидно, этот многочлен (30) можно будет переписать в следующей форме:

(31)

Далее, припишем к многочлену /(°) (л:) выражение — R{x)+R(x), равное нулю, где

(32)

отчего, конечно, свойства делимости этого многочлена (30), (31) не изменятся

(33)

Нетрудно видеть, что все члены первого слагаемого правой части равенства (33), равного

(34)

как содержащие в качестве сомножителей (хт)1 — Ь1, всегда делятся на хт — Ь, и, следовательно, для делимости /1°) (х) на двучлен хт — b необходима и достаточна делимость на этот двучлен второго слагаемого правой части равенства (33), т. е. полинома R(x). Но полином R (л:) степени не выше (т—1)-й тогда, и только тогда, может делиться на двучлен хт — Ь, когда этот полином R(x) тождественно равен нулю.

Отсюда, приравнивая к нулю

(35)

все m коэффициентов /0к(х) полинома R (х) мы находим, что для делимости ß°) х на двучлен хт — b необходимо и достаточно, чтобы число b было корнем одновременно следующих m функций:

(36)

или, что то же самое, корнем их общего наибольшего делителя ит0(х).

Из доказанной теоремы легко получить весьма простые, необходимые и достаточные условия для делимости многочленов на произвольный двучлен самого общего вида:

Теорема 2. Для того чтобы двучлен Ьтхт — Ь0 общего вида был делителем произвольно заданной целой рациональней функции

(37)

необходимо и достаточно, чтобы имели место следующие m равенств:

(38)

или, что то же самое, чтобы общий наи-

больший делитель Dm0(x) многочленов

(39)

Следствие. Для того чтобы двучлен Ьтхт— Ь0 был делителем произвольно заданной целой рациональной функции f&) (х), необходимо, чтобы число Ь0 (число Ьт) было делителем крайних m коэффициентов этой функции, начиная от свободного члена (от старшего коэффициента), или, что то же самое, делителем их общего наибольшего делителя.

Над полем рациональных чисел это следствие позволяет весьма просто находить все двучленные делители любой целой рациональной функции, поскольку любая целая рациональная функция над полем рациональных чисел с точностью до постоянного сомножителя всегда определяется некоторым единственным многочленом над кольцом целых чисел и поскольку всякое целое число имеет лишь конечное количество целых делителей.

Из только что доказанной теоремы при m = 1 вытекает известная теорема Безу.

§ 15. О кратности двучленных делителей

В дальнейших наших рассуждениях мы будем обозначать через А^р систему производных s-го порядка от m многочленов flk (х) типа (39), составленных для /-й производной f^(x) рассматриваемой функции fW (х).

Таким образом, в обозначении А№ нижний индекс / указывает на порядок производной f№(x) от первоначально заданной функции fî0)(x), а верхний индекс 5 указывает на порядок производных от системы многочленов вида (29), составленных для функции /(0)(л:).

Например, система m многочленов (39) тогда будет обозначаться просто А^; систему мы получим, если составим таким же образом m полиномов для производной ßl)(x) 1-го порядка от первоначально заданной функции, а систему А$ мы получим, если продифференцируем s раз каждый многочлен системы А§\ т. е. системы (39).

Лемма 3. Если число Ь является корнем двух любых из следующих систем

то это число является корнем также и третьей системы.

Доказательство. Полиномы /$(х) системы AW самой функции /(0)(лг) и полиномы ffj}(x) системы Af) первой производной /(,)(а:) от этой функции имеют соответственно следующий вид:

Дифференцируя все m полиномов fj$(x) системы А§\ мы найдем все полиномы f£l(x), т. е. систему А§)\

Выражая полиномы f$(x) системы А(°) в виде двух сумм и преобразуя эти суммы, мы получим:

Нетрудно видеть, что под знаком первой суммы в правой части полученного соотношения (13) стоит полином f§lb+\)(x) системы а под знаком второй суммы — полином /о(*+ !)(*) системы А§).

Таким образом, для полиномов рассматриваемых трех систем имеет место следующее равенство (k = 0, 1, 2,.., m — 1):

Из найденного равенства (41) вытекает справедливость доказываемой леммы.

Эта лемма справедлива и для более общего случая, а именно для систем A<f\ Л^) и А^\ но для дальнейшего изложения нам достаточно ее иметь в доказанной выше частной формулировке.

Рассмотрим теперь вопрос о кратности двучленных делителей произвольно заданной целой рациональной функции.

Теорема 3. Кратность двучленного делителя хт— b произвольно заданной целой рациональной функции

(42)

совпадает с кратностью корня х=Ь общего наибольшего делителя Dm0(x) следующих m полиномов:

Доказательство. Оговоримся с самого начала, что иногда для простоты рассуждений мы будем считать рассматриваемую функцию f^(x) содержащей некоторое, нужное нам количество, следующих после старшего и равных нулю, членов.

Пусть двучлен хт—b является делителем 5-й кратности целой рациональной функции /(°)(л;). Но тогда по теореме 1 настоящей статьи число b должно быть корнем следующих s систем:

соответствующих функциям

Применяя только что доказанную лемму последовательно к каждой паре систем, рядом стоящих в ряду (В0), мы найдем, что число b является также корнем систем:

Аналогично, применяя эту лемму последовательно к каждой паре систем, стоящих рядом в (В1)1 мы найдем, что число b является корнем следующих 5 — 2 систем:

Наконец, применяя эту же лемму 3 к парам систем ряда

мы найдем, что число b должно быть корнем следующих двух систем А^~2) и А^~2\ из которых, в свою очередь, по этой же лемме следует, что число b является корнем системы

Итак, мы нашли, что х = b является корнем систем Аф, Л*/), Л(2),А<$~1) или, что то же самое, число b является корнем всех производных до (5—1)-го порядка от многочленов (42). Можно доказать методом от противного, что число b уже не может быть корнем производных 5-го порядка всех этих m многочленов. Но это и означает, что число b является корнем 5-й кратности общего наибольшего делителя От0(х) многочленов (42).

Пусть теперь х=Ь является корнем 5-й кратности общего наибольшего делителя Dm0 (х) многочленов fott(x) (& = О, 1,2,..., m — 1). Нетрудно доказать, что в этом случае двучлен хт — b является делителем 5-й кратности рассматриваемой функции (jc).

В самом деле, в этом случае, число b должно быть корнем следующих систем многочленов:

Применяя последовательно к каждой паре систем, стоящих рядом в (С0), лемму 3, мы получим, что число b должно быть корнем следующих (5 — 1) систем m многочленов:

Совершенно таким же образом мы найдем, что число b является корнем следующей цепочки систем многочленов:

Таким образом, мы нашли, что х = Ь является одновременно корнем для следующих систем:

Но тогда по первой теореме настоящей статьи мы вправе считать, что двучлен хт — b является делителем всех производных до (s— 1)-го порядка рассматриваемой функции fî°)(x). Легко доказать, также методом от противного, что двучлен хт — b не может быть уже делителем 5-й производной /№) (;с). Это и означает, что двучлен хт—b является делителем 5-й кратности рассматриваемой функции /(°) (х).

Из доказанной теоремы непосредственно получаем следующие аналогичные необходимые и достаточные условия для кратности двучленных делителей самого общего вида.

Теорема 4. Для того чтобы двучлен Ьтхт— Ь0 общего вида был делителем кратности s произвольно заданной целой рациональней функции ß0)(x), необходимо и достаточно, чтобы число -у- было корнем кратности общего наибольшего делителя DmQ(x) многочленов (42).

Иногда эти теоремы позволяют обнаруживать не только двучленных делителей целых рациональных функций, но и многочленных делителей вида

(43)

Для этого достаточно первоначально заданную функцию предварительно умножить на соответствующий линейный множитель х — а, тогда произведение этого линейного двучлена X — а на многочленный делитель (43) даст нам двучленный делитель хп+1 — ап+1.

§ 16. Некоторые теоремы о сравнениях

Приведенные выше теоремы дают возможность вывести некоторые предложения и для теории сравнений.

Из теории сравнений хорошо известно, что если X = a (mod m), то f(x) ЕЕ/(я) (mod m), где t(x)—любой целочисленный многочлен. Отсюда при т — х — а получается утверждение, эквивалентное теореме Безу:

Пользуясь теоремами настоящей статьи, можно указать аналогичные свойства для сравнений и по модулям, являющимся делителями двучленов общего вида.

Теорема 5. Если ЬЛх— Ь0^0(modm), то f(x) = h? fy-j^-J (mod m)> где f(x) — любой целочисленный многочлен степени п.

Следствие 1.

(44)

Следствие 2. Справедливость одного из сравнений

является условием, необходимым и достаточным для справедливости другого из этих сравнений, где m — произвольный делитель Ьгх — Ь0 и (b0i bx)=\.

Теорема 6а. Если Ьтхт — Ь0 — О (mod m), то для справедливости сравнения

(45)

необходимо и достаточно, чтобы имели место следующие m сравнений:

(46)

где /(0) (х) — любой целочисленный многочлен.

Теорема 66. Если Ътхт—Ь0 ЕЕ 0(mod m), то для справедливости сравнения (45) необходимо и достаточно, чтобы имело место следующее сравнение:

(47)

(48)

a ß0)(x)—многочлен из предыдущей теоремы.

Из теорем 6а и 66 вытекают следствия, аналогичные следствиям теоремы 5.

Указанные свойства сравнений в математической литературе приводятся, повидимому, впервые. С помощью их можно было бы легко получить все существующие, а также и новые признаки делимости чисел, но мы пошли несколько иным путем, доступным для более широкого круга читателей, исходя непосредственно из лемм 1 и 2, доказанных вначале этой статьи, и вовсе не прибегая к теории сравнений.

В заключении отметим, что все теоремы последних параграфов также распространяются и на целые числа. При этом все рассуждения будут аналогичны тем, которые мы делали выше при распространении теоремы Безу, на свойства делимости целых чиеел. В рамках настоящей статьи писать об этом более подробно мы уже не имеем места.

МЕТОДИКА

О РЕШЕНИИ И ИССЛЕДОВАНИИ УРАВНЕНИЙ

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

Учение об уравнениях по праву всегда являлось и является одним из ведущих разделов элементарной математики. С уравнениями учащиеся встречаются во всех классах средней школы, начиная от примеров с «иксом» в V классе и кончая системами уравнений, содержащими неизвестные и параметры, — в старших классах. Неуклонный рост научно-идейного уровня преподавания математики в советской школе отразился, в частности, и на преподавании уравнений.

Современная функциональная трактовка уравнений несовместима со старыми формалистическими концепциями, сводившими решение уравнений к технике применения формул и к упражнениям в отыскании различных «искусственных» приемов, вне зависимости от осмысливания полученных результатов. Необходимость пересмотра ряда старых традиционных установок и методических приемов, относящихся к преподаванию уравнений, в той или иной степени коснулась всех классов средней школы. Здесь возник и продолжает возникать ряд методических проблем различной степени сложности, над решением которых успешно работает многочисленный коллектив советских педагогов-математиков. Об этом свидетельствуют многочисленные работы, посвященные преподаванию уравнений, появившиеся в учебной и методической литературе (книгах и статьях) последних лет. Некоторые из этих проблем получили решение, а некоторые находятся в стадии разработки.

В журнале «Математика в школе» было помещено значительное число статей, посвященных вопросам преподавания уравнений. Перечислим (в хронологическом порядке) статьи, помещенные в журнале за 1946—1931 гг.

Г. Л. Невяжский и С. И.Новоселов, Об исследовании уравнений, 1946, № 2.

И. А. Гибш, Источники приобретения и потери корней при решении уравнений, 1947, № 6.

Н. И. Кашин, О неудачных задачах на составление уравнений, 1948, № 1.

A. Л. Бондарев, Несобственные корни уравнений, 1949, № 1.

О. П. Ермашова, Задачи прикладного характера на составление уравнений, 1950, № 1.

Л. М. Фридман, О решении уравнений в VIII классе, 1950, № 3.

B. К. Матышук, О решении и исследовании задач на составление уравнений в VII и VIII классах, 1950, № 4.

Кроме перечисленных статей, посвященных специально вопросам преподавания уравнений, эти вопросы рассматривались во многих других статьях.

В настоящем номере редакция помещает серию статей, посвященных преподаванию уравнений.

Остановимся кратко на основных выводах, которые можно сделать из рассмотрения работ, опубликованных за последнее время.

Задачу решения уравнения нельзя ставить безотносительно от того числового множества, которому должно принадлежать значение неизвестного (или система значений неизвестных).

Так, в средней школе частные виды алгебраических уравнений (линейные, квадратные

и т. д.) рассматриваются над полем рациональных чисел (VI—VII кл.), над полем действительных чисел (VIII—IX кл.), над полем комплексных чисел (X кл.). Значения неизвестных ищутся в том поле, над которым рассматривается уравнение. С этой точки зрения вполне правильно указание, включенное в объяснительную записку к программе, о необходимости отказаться от рассмотрения мнимых корней квадратного уравнения в VIII классе, ибо в поле действительных чисел квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом корней не имеет (см. статью Л. М. Фридмана).

Установление множества допустимых значений для неизвестного (неизвестных) и параметров есть составная часть решения уравнения {или системы).

Решениями уравнения:

/(*)=?(*)

могут служить лишь те значения х — допустимые значения — из данного числового поля, при которых обе части уравнения имеют смысл.

Учащиеся должны уметь указывать те значения неизвестного, при которых каждая из частей уравнения в отдельности теряет смысл, такие значения допустимыми не являются и решениями уравнения служить не могут.

«Исследование» уравнения нельзя отрывать от его решения. Так, нельзя мыслить решение уравнения вне связи с исследованием вопроса о существовании решений.

При решении конкретных задач нередко на допустимые значения неизвестных и параметров налагаются дополнительные условия, вытекающие из конкретного смысла задачи. Эти дополнительные условия могут быть самыми разнообразными; например, по смыслу вопроса неизвестное может быть положительным, рациональным, целым числом, удовлетворять некоторому неравенству и т. п. В данном вопросе учебник Киселева стоит на устаревших позициях. В этом учебнике «исследование» сводится к рассмотрению случаев «положительных», «отрицательных» и «нулевых» решений (как будто других условий и не бывает!). При этом ясно чувствуется архаическое недоверие к «отрицательному» решению и дается совет изменять условие задачи, чтобы как-либо избежать такого решения. Однако здесь дело вовсе не в изменении условия задачи, а в множестве допустимых значений для неизвестного, согласно его конкретному смыслу (подробнее см. статью Г. Л. Невяжского и С. И. Новоселова). Современное толкование этого вопроса (в рамках программы VII класса) дано в известной книге «Алгебра» П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова, а также в недавно вышедшей книге «Алгебра», часть 1, Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского. Старым установкам учебника Киселева отдается дань в статье В. К. Матышука, помещенной в настоящем номере, поскольку автор предназначает свою статью для учителя, работающего по учебнику.

Мы полагаем, что разработка системы текстовых задач и примеров, в которых приходилось бы решать уравнения при самых разнообразных дополнительных условиях, является актуальной методической проблемой, ждущей своего решения в ближайшее время. В этом отношении интересные задачи содержатся в двух статьях В. К. Матышука, одна из которых помещена в № 4 за 1950 г., а другая, являющаяся ее продолжением, печатается в настоящем номере. В двух указанных статьях содержится большое количество задач, посильных для учащихся, при решении которых приходится устанавливать допустимые значения для неизвестного и параметров в соответствии с конкретным условием задачи. Недостатком системы упражнений, разработанной т. Матышуком, является несколько одностороннее увлечение случаями, когда допустимыми значениями неизвестных и параметров являются лишь целые числа. Такие упражнения, безусловно, необходимы, однако учитель должен соблюдать чувство меры и не допускать крайностей.

Решение уравнения при дополнительных условиях (вытекающих из смысла задачи или заранее заданных) в общем случае протекает следующим образом. Уравнение сначала решается в данном числовом поле без учета дополнительных условий, а затем из найденного множества всех его решений выбираются решения, удовлетворяющие дополнительным условиям. В практике решения уравнений обычно так и поступают: составив «общую формулу» решения уравнения, производят исследование с целью выделения из общей формулы решений, удовлетворяющих условиям задачи. Однако учитель должен помнить, что это лишь общая схема и что в различных конкретных примерах целесообразно уже в процессе решения исключать из рассмотрения случаи, явно не удовлетворяющие поставленным дополнительным условиям. Приведем несколько примеров.

1. Пусть, например, требуется найти положительный корень квадратного уравнения. Пусть, далее, на основании зависимости между корнями и коэффициентами (формулы Виета) известно, что корни данного уравнения противоположны по знаку. Целесообразно

взять больший корень уравнения и на этом закончить все исследования. Однако такое естественное решение вопроса не всегда удовлетворяет ревнителей «проверок» и «обоснований». Нередко, вопреки здравому смыслу, учащихся все же заставляют писать общую формулу и посредством неравенств устанавливать, что один из корней является положительным. Но, что всего печальнее, такие бесцельные «исследования» нередко поощряются повышенным баллом.

2. Пусть, например, из данного тригонометрического уравнения требуется определить острый угол х. Допустим, что найдено sin;c = а, тогда достаточно написать: х = arc sin а, и нет никакой надобности составлять общую формулу, чтобы найти из нее то же самое решение.

3. Из условия задачи составлено уравнение:

ах2= о(д:4-с)2,

где все параметры и значение неизвестного положительны. В этом случае х находится из уравнения

В самом деле, при данных условиях Y а х и Vb(x+ с) не могут быть числами, противоположными по знаку, и постановка двойного знака при извлечении корня может быть оправдана не какими-либо разумными доводами, а разве лишь погоней за призраком математической строгости.

Иногда различные условия, которым должны удовлетворять неизвестные по смыслу текстовой задачи, не являются независимыми, а именно: одни условия выполняются при соблюдении других. Во избежание бесполезных «исследований», которые могут оказаться достаточно трудоемкими, следует избегать исследования выполнимости явно зависимых условий.

Пусть, например, при решении текстовой задачи получилась система уравнений:

где параметры а, Ь, с, d — положительны, a неизвестные должны удовлетворять дополнительному условию:

Исключая у, получим квадратное уравнение относительно х. Если найдено положительное решение этого уравнения, то в силу второго уравнения системы условие 0<С^у<х будет выполняться само собой, а потому проверка этого условия посредством неравенств явится напрасной затратой труда.

В публикуемой в настоящем номере статье т. Буданцева вполне справедливо уделяется надлежащее внимание практической разработке вопроса о решении уравнений, содержащих параметры (т. н. буквенных уравнений). Этот вопрос является давно назревшим, ибо многие старые учебные руководства ограничивались лишь составлением формулы решения в «общем случае», не касаясь вопроса, когда пригодна эта формула. Здесь важно, чтобы учитель ясно усвоил точную постановку вопроса: требуется для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения (или системы). Поэтому неотъемлемой частью решения уравнения с параметрами является исследование, при каких условиях «общая формула» (разумеется, если такая формула может быть получена) дает общее решение уравнения (или системы), а при каких условиях множество всех решений не получается по общей формуле и нахождение этого множества требует «дополнительного решения» («дорешить» уравнение см. статью т. Буданцева).

Здесь надо иметь в виду, что полное решение уравнения (или системы) с большим числом параметров может представить значительные трудности, преодоление которых окажется непосильным для учащихся. Поэтому следует признать целесообразным (в особенности в младших классах) отказаться от решения «буквенных» уравнений с большим числом параметров, входящих в коэффициенты, и разработать тщательно продуманную систему упражнений (по всем классам), в которых полное решение (разумеется, с исследованием) может быть выполнено силами учащихся. В новых руководствах алгебры П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова, а также Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского проводятся (для VII кл.) соответствующие примеры решения буквенных уравнений. Для VII класса примерный подбор таких упражнении дан в статье т. Буданцева, отражающей опыт коллектива учителей г. Чкалова. Некоторое число примеров дано в статье т. Фридмана (№ 3 за 1950 г.) и в статье т. Барыбина «Арифметический корень в курсе VIII класса» (№ 5 за 1951 г.). Однако здесь мы имеем лишь первые попытки решения указанной проблемы, а потому необходима дальнейшая работа в этом направлении.

Из всего сказанного следует, что традиционные «методические споры» о том, «что есть решение», а «что есть исследование»

и где граница между ними, не имеют под собой серьезного основания и являются в большинстве случаев упражнениями в схоластике. Строго говоря, задача исследования уравнения не имеет определенного содержания, так как, помимо обычных вопросов о существовании и числе решений, могут ставиться самые разнообразные вопросы, относящиеся как к самому уравнению, так и к его решениям (например, различные дополнительные условия, заданные заранее или вытекающие из смысла задачи). Задача исследования в каждом данном случае становится определенной, лишь когда будет указано, какие свойства уравнений и их решений подлежат исследованию.

Понятие о равносильности уравнений в школе продолжает вызывать живой интерес учительства в связи с наличием ряда методических вопросов, не получивших окончательного решения. Изложение общей теории равносильности уравнений и систем учитель найдет в существующих учебниках элементарной алгебры для педагогических и учительских институтов, ряд теоретических вопросов рассмотрен в напечатанных в настоящем номере статьях т. Шуваева и т. Беляева, поэтому мы ограничимся лишь отдельными замечаниями.

Два равносильные уравнения (системы) имеют одно и то же множество всех решений. В частности, уравнения, не имеющие решений, равносильны, для них множество всех решений пусто.

Понятие равносильности уравнений (систем) является относительным.

Два уравнения, равносильные над одним числовым полем, могут не быть равносильными над другим полем. Так, например, уравнения:

равносильны над полем действительных чисел как не имеющие решений (действительных). Эти же уравнения не равносильны над полем комплексных чисел, так как первое уравнение имеет два, а второе — четыре решения.

При преобразовании уравнений нарушение равносильности влечет за собой потерю решений, либо появление посторонних решений (быть может, и то и другое). Причины нарушения равносильности могут быть самыми разнообразными, и не следует думать, что они кроются лишь в умножении и делении обеих частей уравнения на выражение содержащее неизвестное, и в возведении обеих частей в степень. К нарушению равносильности может привести всякая операция над обеими частями, для которой обратная операция не является однозначной и, в частности, возведение в степень, выполнение над обеими частями тригонометрической операции и т. д. Преобразования, связанные с изменением области определения (в частности, извлечение корня четной степени, логарифмирование и т. д.) правой и левой частей уравнения, также могут повлечь за собой нарушение равносильности (см. статью т. Шуваева в настоящем номере и статью т. Гибша в № 6 за 1947 г.). Напомним решение одного примера из задачника Шапошникова и Вальцова:

(1)

(2) (3) (4)

Корень хх = О — посторонний, он появится при переходе от уравнения (1) к уравнению (2): левая часть (1) имеет смысл при х>2, а левая часть (2) при х< \ и х>2.

Сознательное решение уравнений требует от учащихся понимания, при каких преобразованиях множество решений у равнения остается неизменны и, а при каких — оно меняется. Отсюда понятна установка программы — знакомить учащихся с элементами теории равносильности уравнений в V11 классе. Здесь мы укажем на две крайние точки зрения, неприемлемые в равной мере. Первая крайность заключается в попытке давать в младших классах доказательства теорем о равносильности в общем виде. Эта попытка обречена на неудачу по той простой причине, что соответствующие общие рассуждения не соответствуют ни образу мышления, ни уровню математического развития учащихся семилетней школы. Вторая крайность заключается в полном отказе от понятия равносильности уравнений и от изучения «свойств» уравнений в младших классах. Нельзя не согласиться с доводами, приведенными в статье т. Буданцева, что отказ от осмысливания процесса решения уравнений в младших классах повлечет за собой впоследствии необходимость переубеждать учащихся в том, что они привыкли считать очевидным. Различного рода «педагогические» приемы, основанные на переучивании того, что было пройдено «не строго» на искусственном создавании всякого рода «пропедевтикальных» концентров и т. п., чужды принципам обучения в советской школе.

Следует признать правильной точку зрения, которой придерживается большинство учителей,

методистов и авторов учебных пособий, а именно: в семилетней школе понятие равносильности и свойства уравнений разъясняются на конкретных примерах. Главное здесь не в общности доказательств, а в уяснении смысла понятия равносильности и свойств уравнений; этого можно вполне достичь рассмотрением конкретных примеров. За подробностями мы отсылаем к пособиям П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова и Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского. Нам представляется вполне правильным предложение требовать от учащихся уменья сопровождать решение уравнения краткими указаниями (в скобках) свойств, на основании которых был совершен переход от одного уравнения к другому (см. статью т. Буданцева). При таком решении свойства уравнений оказываются «рабочим аппаратом» и не остаются без применения. Разумеется, нет необходимости все без исключения примеры решать с объяснением. Вопрос о том, в какой мере реально выдвинутое в статье т. Буданцева предложение решать с таким же объяснением и системы уравнений, является дисскуссионным, это предложение нельзя считать бесспорной рекомендацией.

Дальнейшее изучение комплекса вопросов, связанных с равносильностью уравнений, относится к старшим классам. Решение различного вида уравнений должно органически связываться с исследованием равносильности при выполнении преобразований одних уравнений в другие. Таким образом, элементы теории равносильности уравнений не должны проходиться эпизодически лишь для того, чтобы формально удовлетворить требованиям программы. Напротив, при решении алгебраических и иррациональных уравнений в VIII классе, показательных и логарифмических— в IX. классе, тригонометрических — в X классе известные учащимся сведения должны постоянно применяться, углубляться и обогащаться новыми фактами. В X классе, как это рекомендует объяснительная записка в программе, должен быть дан систематизирующий, обзор пройденного.

Остановимся на следующем, хотя и мелком, но вызывающем споры вопросе: следует или нет считать равносильными два алгебраические уравнения, имеющие одни и те же корни, но различной кратности? Возможна как одна, так и другая точка зрения. Так например, если не учитывать кратности корней, то уравнения:

следует считать равносильными. Если учитывать кратности корней, то эти же уравнения не следует считать равносильными, ибо число 1 для первого является простым, а для второго двукратным корнем. Мы полагаем, что возможно придерживаться как той, так и другой точки зрения, и не считаем этот вопрос принципиальным. Однако, во избежание неясностей (там, где они могут возникнуть), следует указывать, какая из этих точек зрения принята.

В школьном курсе под названиями тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений рассматриваются отдельные виды уравнении, содержащих неизвестные нод знаками элементарных трансцендентных функций и допускающих решение элементарными средствами. Мы полагаем, что в школе следует отказаться от общих определений тригонометрического, показательного и т. п. уравнений.

В самом деле, в школьном курсе речь идет о рассмотрении лишь отдельных весьма частных видов трансцендентных уравнений и частных (а не общих) приемах их решения, а потому общие определения оказываются мало полезными*.

Формалистический подход к трансцендентным уравнениям, имевший место в дореволюционной школе, выразился в том, что решение этих уравнений сводилось к формальным преобразованиям и к отысканию искусственных способов решения, граничащих с трюкачеством. Справедливый протест против этого породил и крайние точки зрения, согласно которым трансцендентные уравнения в школе являются чем-то безидейным, мало ценным, пережитком старого. Такие крайние взгляды основаны, как мы полагаем, на недопонимании сущности дела. Сознательное решение и исследование трансцендентных уравнений требует от учащихся хорошего знания областей определения и свойств элементарных трансцендентных функций и понимания сущности математических (элементарных) операций. Здесь возникает много содержательных вопросов, связанных с потерей и приобретением корней в результате выполнения различных операций (один из примеров был приведен выше). При помощи трансцендентных уравнений можно успешно иллюстрировать многие общие теоретические положения. Нельзя отрицать также и пользу навыков в уменье находить и применять различные частные приемы решения (хотя это и не главное). Таким образом,

* Эта точка зрения проведена автором в его книгах «Обратные тригонометрические функции», изд. 1950 г., «Алгебра и элементарные функции», изд. 1950 г. и «Специальный курс элементарной алгебры», 1951 г.

задача состоит в том, чтобы наполнить изучение трансцендентных уравнений идейным содержанием, а не объявлять эти уравнения чем-то безидейным.

Ряд дискуссионных вопросов имеется в связи с толкованием так называемых особых случаев решения уравнений. Рассмотрим известный пример: уравнение

после сокращения левой части примет вид х = 0; однако при подстановке х = 0 в левую часть исходного уравнения получится выражение, лишенное смысла. Следовательно, х = О не есть корень данного уравнения. Такая точка зрения вполне законна. Однако по отношению к рациональным уравнениям можно встать на другую точку зрения. Пусть R(x)— дробная рациональная функция, как известно, посредством действий над алгебраическими дробями и сокращения дробей, функция R(x) может быть представлена в виде несократимой алгебраической дроби

так что равенство

справедливо при всех значениях аргумента, при которых R (х) имеет смысл. Возможно, что при некотором значении л; = а выражение Ria) теряет смысл, а - \ \ смысл не теряет, тогда по определению считают :

Это соглашение позволяет беспрепятственно выполнять сокращение алгебраических дробей. Если R(a) при непосредственной подстановке х = а не имеет смысла, а

то будем считать, в соответствии с изложенным выше, число а корнем уравнения R (х) = 0. С этой (второй) точки зрения х = 0 есть корень уравнения:

Из сказанного видно, что здесь речь идет о расширении понятия корня уравнения. Это расширение можно делать, а можно не делать, в этом, собственно говоря, и заключается «дискуссионность» данного вопроса. Мы полагаем, что наиболее естественным является следующее его решение: в VI и VII классах изучаются преимущественно линейные уравнения, для которых таких особых случаев не может представиться, а потому здесь в расширении понятия корня и нет надобности. Для отдельных конкретных дробных уравнений, решаемых в VII классе, следует придерживаться первой точки зрения, а подбирать специальных примеров не надо. В старших классах возможно расширить понятие корня (мы пишем «возможно», воздерживаясь от категорических рекомендаций).

К трансцендентным уравнениям изложенный принцип расширения понятия корня неприменим, здесь возможно применение принципа предельного перехода, а именно: число а считается корнем уравнения f(x) = 0 в особом случае, если при непосредственной подстановке х=а теряет смысл (подробнее см. статью т. Бондарева, № 1 за 1949 г.). Мы сомневаемся в целесообразности применения принципа предельного перехода в курсе средней школы.

Большинство учителей вполне справедливо считает решение текстовых задач на составление уравнений одним из наиболее трудных вопросов школьного курса алгебры. Среди некоторой части учителей распространено желание получить в методической литературе такие общие указания, которые позволили бы решать задачи на составление уравнений единообразно по известному стандарту. Эти тенденции надо признать неправильными по существу и с методологической и с педагогической точек зрения. На текстовых задачах учащиеся приобретают навыки применять полученные знания к изучению соотношений, имеющих место в реальной действительности. Всякая осмысленная задача, хотя и в абстрактном виде, отражает некоторые соотношения, существующие в действительности. Многообразие этих соотношений, изучающихся методами математики, не может быть уложено в рамки раз и навсегда установленных правил. Различные задачи, возникающие при решении практических и теоретических вопросов, имеют, каждая, свои индивидуальные особенности, которые вносят самые разнообразные моменты в их решение и исследование.

Наконец, нам представляются вредными бесплодные споры о том, какие задачи на составление уравнений являются «арифметическими», какие—«алгебраическими», и следует ли «арифметические» задачи решать «алгебраически» и наоборот. Каждый метод решения имеет свои ценности, и нет ничего порочного в том, что одна и та же задача

может решаться и тем и другим способом (подробнее см. статью т. И. Н. Голайдо, О методах решения задач, №3 за 1949 г.).

С большим удовлетворением следует отметить, что вопрос о решении простейших линейных уравнений в самом начале изучения алгебры (VI кл.) получил полное решение в книгах А. Н. Барсукова «Уравнения первой степени в средней школе» и П. А. Ларичева «Сборник алгебраических задач», пользующихся заслуженной известностью среди учительства.

Помещенные в настоящем номере статьи посвящены следующим вопросам теории уравнений и методики их преподавания.

Статья т. Беляева содержит изложение в методическом плане основных вопросов теории равносильности уравнений. Статья т. Шуваева содержит богатый подбор примеров, иллюстрирующих общие положения теории равносильности уравнений. Статьи т. Матышука и т. Круликовского посвящены вопросам решения и исследования текстовых задач на составление линейных и квадратных уравнений. В статье т. Буданцева описан опыт работы учителей г. Чкалова по изучению уравнений в VII классе. В заметке т. Рупейка описывается опыт применения определителей 2-го порядка к решению системы линейных уравнений в Х классе.

О ПРЕПОДАВАНИИ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ

В. Н. БЕЛЯЕВ (Бугуруслан)

Учение об уравнениях занимает значительное место в алгебре, а между тем практика преподавания математики в средней школе показывает, что учащиеся выходят из школы с недостаточными познаниями в этом разделе алгебры.

Наиболее типичными недочетами в знаниях учащихся можно считать следующие:

а) учащиеся запоминают определение уравнения большей частью механически;

б) учащиеся недостаточно усваивают теоремы о равносильности уравнений и их значение для решения уравнений;

в) вследствие формального знания теории равносильности уравнений учащиеся делают ошибки при перенесении членов уравнения из одной части уравнения в другую, умножают и делят обе части уравнения на выражения, содержащие неизвестные, и т. п.;

г) учащиеся, решив уравнение, механически, большей частью не могут обосновать операции, произведенные в процессе решения;

д) учащиеся затрудняются в решении уравнений, в которых неизвестные обозначены не привычными им буквами, х, у, z, а какими-либо другими: V, t, Р (с этим чаще всего встречаются преподаватели физики).

Определение уравнения, приведенное в учебнике алгебры Киселева (как и некоторые другие формулировки и определения этого учебника), страдает целым рядом существенных недостатков.

Здесь же уместно обратить внимание преподавателей и на некоторые отдельные неточности, допущенные в первой части учебника алгебры Киселева.

1. В параграфе 85 следствие 2 сформулировано так: «Уравнение можно освободить от дробных членов». Лучше было бы сказать иначе: «Уравнение с дробными коэффициентами можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами».

2. В параграфе 90 уравнения с буквенными коэффициентами названы просто буквенными уравнениями. Такое название не отражает особенностей уравнений с буквенными коэффициентами, так как во всяком уравнении имеются буквы, и равенства, не содержащие букв, уравнениями не являются.

3. На странице 65 учебника в § 83 следствие 1 сформулировано так: «Члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, переменив перед этими членами знаки на обратные». Лучше знаки + и —называть противоположными, а не обратными.

Недооценка и учебником и преподавателями увязки теории равносильности уравнений с практикой решения уравнений является главнейшей причиной недостатков в усвоении учащимися целого ряда вопросов, связанных с решением и исследованием уравнений.

Обратимся к определению уравнения, данному в учебнике алгебры Киселева. В § 80 первой части учебника дается следующее определение: «Если обе части равенства, содержащего одну или несколько букв, имеют одинаковую численную величину не при всяких численных значениях этих букв, то данное равенство называется уравнением».

Как отмечает А. Н. Барсуков, приведенное выше определение уравнения имеет более чем

столетнюю давность, содержит принципиальные недостатки и только вследствие какой-то привычки оно сохранилось до наших дней. Основные его недостатки следующие:

1. Это определение исключает из класса уравнений две большие их группы:

а) уравнения, не имеющие корней, например:

х = х + \;

б) уравнения, удовлетворяющиеся любыми значениями букв, в них входящих, например:

X2 — а2 = (х 4~ à) (х — а).

2. В этом определении совершенно напрасно численные значения противопоставляются буквенным. Всегда необходимо иметь в виду, что буквы суть те же числа, только записанные в общем виде.

Заметим, что в учебнике это определение уравнений даже не выделено из основного текста, что является существенным недостатком во внешнем оформлении учебника.

В своей книге «Алгебра» (ч. 1) П. С. Александров и А. Н. Колмогоров дают следующее определение уравнения с одним неизвестным: «Равенство, в котором одно число, выраженное буквой, считается неизвестным, а значения остальных букв (если они имеются) считаются известными, называется уравнением с одним неизвестным». Это определение является наиболее подходящим для учащихся младших классов средней школы: оно доступно пониманию учащихся и свободно от указанных выше недостатков. Первое знакомство учащихся с уравнениями происходит в VI классе при изучении темы «Буквенные выражения». При этом надо решать простейшие уравнения первой степени с одним неизвестным исключительно на основании известных ученикам свойств арифметических действий.

Сделать это можно примерно так. Возьмем, например, уравнение:

2х — 5= 10.

С точки зрения арифметики, имеем разность двух чисел. Неизвестное входит в уменьшаемое. Уменьшаемое равно сумме разности и вычитаемого. Отсюда:

Злг = 15.

Полученное выражение представляет собой произведение двух сомножителей, из которых один неизвестен. Неизвестный сомножитель равен произведению, разделенному на известный сомножитель, поэтому: х = Ъ.

Проверка убеждает нас в правильности найденного решения. Подставив в данное уравнение X = 5, получаем: 15 — 5=10, верное равенство.

Систематическое изучение уравнений начинается в VII классе. Мы полагаем, что положения теории равносильных уравнений следует вывести сразу после рассмотрения конкретных уравнений с численными коэффициентами, в старших классах средней школы к общей теории равносильности уравнений необходимо вернуться снова и провести изложение более строго.

Как в семилетней школе, так и в старших классах следует подчеркнуть, что вывод правил решения уравнений основан на свойствах равносильных уравнений. При этом следует обратить внимание учащихся на то, что обычно процесс решения данного уравнения состоит в приведении его к уравнениям более простого вида, но равносильных данному. Это необходимо сделать, так как школьнику всегда легче решать уравнения, чем объяснять, на основании каких правил производится решение.

Было бы полезно также на нескольких ярких примерах, на так называемых математических парадоксах показать, к какому абсурду может привести пренебрежение к теории равносильности уравнений. Довольно удачные примеры таких парадоксов имеются в работе В. М. Брадиса и А. Н. Харчевой «Ошибки в математических рассуждениях».

В общей теории уравнений, изучаемой в старших классах средней школы, особое внимание следует обратить на строгость доказательств. В десятом классе это сделать вполне возможно, так как учащиеся X класса обладают значительно возросшей, по сравнению с учащимися семилетней школы, способностью к абстрактному мышлению.

Вопросы общей теории уравнений наиболее уместно разобрать перед прохождением темы «Исследование уравнений».

Сказанное выше не означает, конечно, что в VIII—IX классах нет необходимости напоминать учащимся об определении уравнения и свойствах равносильных уравнений. Эта необходимо делать как можно чаще и при выводе формул решения квадратных уравнений, при решении систем и, особенно, при решении иррациональных уравнений, когда разбирается вопрос о посторонних корнях и о потере корней. Свойства равносильных уравнений имеют большое значение также и при решении логарифмических и показательных уравнений, их следует применять и при решении тригонометрических уравнений.

Схематический план изложения общей теории уравнений в старших классах средней школы (учителя неполной средней школы сумеют выбрать для себя то, что они найдут полезным) предлагается ниже вниманию читателей.

Предлагаемое изложение отличается от обычного тем, что оно исходит из определения

уравнения, данного П. С. Александровым и А. Н. Колмогоровым, вследствие чего план темы несколько отличается от обычного.

Равенства и уравнения. Два алгебраические выражения, соединенных знаком =, составляют равенство.

Все равенства разделим на две группы: верные равенства и неверные равенства, например:

3 + 5 = 8 — верное равенство; a+b = b+a » »

2 + 7 = 10 — неверное равенство, a+l = a — » »

Замечание. Обычно равенства, которые мы назвали неверными, не включаются в класс равенств, но коль скоро мы дали определение равенства, позволяющее считать равенством любые два алгебраические выражения, соединенные знаком =, то неверные равенства не исключаются из рассмотрения.

Буквенные равенства могут быть верными при одних значениях букв, в них входящих, и неверными при других их значениях; например, равенство а+Ь = с верно при а = 10, b = 2, с = 12, но оно неверно при а = 1, b = 2, с = 10 и т. д.

Равенства, верные при любых значениях букв, в них входящих, называются тождествами. Например:

Все верные числовые равенства также относятся к тождествам.

Верные числовые равенства обладают целым рядом свойств, из которых нам понадобятся следующие:

1) а = а. Всякое число равно самому себе.

2)Если а = Ь и c = d, то а+с = b+d.

Верные равенства можно почленно складывать и вычитать.

3) Если а — b и с= d, то ас = bd.

Верные равенства можно почленно перемножить.

Деление равных чисел на равные дает равные частные лишь при условии, что делители отличны от нуля.

Уравнением назовем равенство, в котором одно или несколько чисел, выраженных буквами, считаются неизвестными, а значения остальных букв (если они имеются) считаются известными.

Решением уравнения называется система чисел, при подстановке которых вместо неизвестных уравнение обращается в верное равенство.

Значения неизвестного (или система значений неизвестных для уравнения с несколькими неизвестными), при котором рассматривается данное уравнение и при котором обе его части имеют смысл, называются допустимыми.

Решить уравнение в данном числовом множестве— это значит найти все его решения, принадлежащие рассматриваемому множеству. Когда данное число (система чисел) является решением уравнения, т. е. когда подстановка его в уравнение вместо неизвестного обращает уравнение в верное равенство, то будем говорить, что это число (система чисел) удовлетворяет уравнению.

Замечание. При новом определении уравнения новое определение тождества совпадает со старым, но разница между ними состоит в том, что при новой точке зрения на уравнение тождество не противопоставляется уравнению, а является частным его случаем.

Замечание. О преимуществе нашего определения уравнения перед обычным говорит такой факт: в старой трактовке далеко не всегда можно заранее установить, является ли данное равенство уравнением или тождеством.

В дальнейшем без ограничения общности рассуждений можно ограничиться рассмотрением уравнений только с одним неизвестным; все полученные выводы будут справедливы для уравнений с любым числом неизвестных.

Тождество можно рассматривать как частный случай уравнения, корнем которого является любое допустимое значение неизвестного.

Число решений одного и того же уравнения может быть различным в зависимости от того, какое числовое множество берется в качестве множества допустимых значений. Например, уравнение:

(*+1)(*'+1) = 0

в множестве натуральных чисел не имеет корней, в множестве рациональных чисел имеет один корень и в множестве действительных чисел имеет три корня.

Далее необходимо рассмотреть связь уравнений с функциями и подвести учащихся к такому определению уравнения: уравнением называется равенство двух функций.

Сделать это можно примерно так.

Рассмотрим какое-либо уравнение с одним неизвестным х:

(1)

Левая часть уравнения содержит х, правая часть его также содержит х. Каждому допустимому значению х, взятому из рассматриваемого числового множества, соответствуют определенные значения левой и правой частей урав-

нения. Если каждому значению одной переменной величины соответствует одно (или несколько) значение другой переменной величины, то говорят, что вторая переменная величина есть функция первой, называемой аргументом. Это записывается так:

У = /(*)•

Замечание. На наш взгляд, не следует бояться общепринятого в математике обозначения функции: y = f(x), так как оно не может представлять трудности для учащихся, но в то же время введение этого обозначения уменьшает разрыв между терминами и обозначениями средней и высшей школ.

Чтобы отличить одну функцию от другой, для их обозначения применяют различные буквы, например у = F(x)-

При таких обозначениях уравнение (1) и, следовательно, всякое уравнение с одним неизвестным может быть записано в таком виде:

/(*)=?(*)•

Если же мы имеем уравнение с несколькими неизвестными, например:

X—у +z = 4x+y — z+A,

то аналогично такое уравнение можно записать в виде равенства двух функций:

f(x,y,z) ^<?(x,y,z).

Учащимся может показаться, что такая запись уравнений неприменима в случае, когда одна из частей уравнения представляет собой число; пусть, например:

4х + Х'= 2.

В данном случае правую часть следует рассматривать как функцию (постоянную), имеющую одно и то же значение 2 при всех допустимых значениях неизвестного.

Итак, всякое уравнение есть равенство двух функций: решение уравнения есть значение аргумента, при котором значения данных функция равны.

Равносильные уравнения. Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если все решения одного уравнения служат решениями другого, и, обратно,— все решения второго уравнения служат решениями первого уравнения.

Например:

— равносильные уравнения, но уравнения:

— неравносильны, так как корень первого уравнения х = 3 является корнем второго, но второе уравнение имеет корень х=2, не являющийся корнем первого уравнения.

Понятие эквивалентности уравнений имеет относительный характер, ибо одна пара уравнений при одном множестве допустимых значений неизвестных может быть, а при другой не быть эквивалентной. Например, уравнения:

эквивалентны над полем действительных чисел, но не эквивалентны над полем рациональных чисел, у/2 не имеет смысла в последнем поле.

Решение уравнений обычно сводится к преобразованию данного уравнения, к уравнениям более простого вида, но равносильных данному, поэтому важно установить, какие же операции над уравнениями не нарушают их равносильности.

Теорема 1. (О транзитивности равносильности.)

Если уравнение:

Л = (1)

равносильно уравнению:

/,(*) = ?,(*). (2)

уравнение (2) равносильно уравнению (3):

/а (*)=?»(*)» (3)

то и уравнение (1) равносильно уравнению (3).

Иначе: два уравнения, порознь равносильные третьему, равносильны между собой.

Доказательство. Пусть х = а — какой-либо корень уравнения (1). Так как уравнение (1) равносильно уравнению (2), то х = а, в то же время корень уравнения (2), но уравнение (2) равносильно уравнению (3), следовательно, X = а является корнем уравнения (3). Итак, произвольный корень уравнения (1) является корнем уравнения (3). Значит, и все корни уравнения (1) являются корнями уравнения (3). Точно так же легко показать обратное, что все корни уравнения (3) являются корнями уравнения (1), следовательно, эти два уравнения равносильны.

Теорема 2. Если к обеим частям уравнения прибавить (или от обеих частей уравнений вычесть) одно и то же число или выражение, содержащее неизвестное, но не теряющее смысла ни при каких значениях неизвестного, являющихся корнями данного уравнения, то получим новое уравнение, равносильное первоначальному.

Дано:

(1)

и Ф (л:) — некоторое выражение, содержащее х, но не теряющее смысла ни при одном из значений X, являющихся корнями уравнения (1).

Требуется доказать:

f(x) = F(x) (1)

равносильно уравнению

/(*)+Ф(*)=Г(*) + Ф(*). (2)

Доказательство. Пусть х = а — произвольный корень уравнения (1). Тогда (3)

f(a) = F(a)

—верное равенство, и Ф (а) есть некоторое число. Известно, что верные равенства можно почленно складывать и вычитать. Рассмотрим равенства:

/(a) = F(a) (3)

и

Ф(а) = Ф(а). (4)

Сложив (или вычтя) почленно равенства (3) и (4), имеем:

Да)±Ф(а)=/Ча)±Ф(«) (5)

— верное равенство. Равенство (5) означает, что л:— а, будучи корнем уравнения (1), является корнем уравнения (2). Точно так же можно доказать, что всякий корень уравнения (2) является корнем уравнения (1), значит, уравнения (1) и (2) равносильны.

Замечание. Доказательства следствий из этой теоремы и из последующих теорем мы здесь не приводим, так как они известны всем преподавателям математики.

Следствие 1. Слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив их знаки на противоположные, отчего получается уравнение, равносильное первоначальному.

Следствие 2. Если в обеих частях уравнения содержатся одинаковые слагаемые, то они взаимно уничтожаются, при этом равносильность уравнений не нарушается, если уничтожаемые выражения не теряют смысла при значениях неизвестного, являющихся корнями вновь полученного уравнения. Например:

х*Агх = х+1 (1)

и

*' = 1 (2)

равносильны, но уравнения:

(3) (4)

неравносильны в множестве действительных чисел, так как "|/—1—мнимое число.

Теорема 3. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число, то получится уравнение, равносильное данному.

Замечание. Доказательства этой теоремы мы не приводим, так как ее можно доказать точно так же, как и предыдущую, применив только не первое и второе свойства, а первое, третье и четвертое их свойства.

Следствие 1. Если обе части уравнения содержат общий числовой множитель (не равный нулю), то на него можно сократить обе части уравнения.

Следствие 2. В частности, от перемены знаков перед каждым членом данного уравнения на противоположные получается уравнение, равносильное данному.

Следствие 3. Если уравнение содержит члены с дробными коэффициентами, то, умножив обе части его на общее наименьшее кратное знаменателей всех дробных коэффициентов, получим уравнение с целыми коэффициентами, равносильное данному.

Теорема 4. От умножения обеих частей уравнения на выражения, содержащее неизвестное, вообще говоря, получается уравнение, неравносильное данному.

Доказательство. Для доказательства достаточно привести хотя бы один конкретный пример. Уравнение х—2 = 0 имеет единственный корень: х = 2. Умножив обе части уравнения на X, получим уравнение: х(х — 2), неравносильное данному, имеющее два корня:

хх = 2 и х2 = 0.

Пример. Возьмем уравнение:

л:3 — 7л:-f 12 = 0.

Его корни: хх = 3, х2 = А. Разделив обе части уравнения на х—3, получим уравнение: л:—4=0, неравносильное данному.

Замечание 1. Заметим, что при умножении уравнения

/(*) = ?(*) (1)

на выражение F (л:), содержащее неизвестное, мы можем приобрести лишь те корни, которые являются корнями уравнения

F(x) = 0.

Поэтому дополнительно решив последнее уравнение, можно решить первоначальное уравнение.

Замечание 2. В связи с этой теоремой необходимо рассмотреть вопрос о посторонних корнях и потере корней при решении уравнений.

Возьмем уравнение:

/(*)•?(*)=о,

обычно говорят, что произведение двух или нескольких сомножителей равно нулю тогда, и только тогда, когда по крайней мере один

из них равен нулю. Исходя из этого заключения, приравнивают к нулю каждый из сомножителей. Однако если мы имеем произведение нескольких функций одних и тех же аргументов, то может случиться так, что при тех значениях аргумента, при которых один из сомножителей обращается в нуль, другой теряет смысл. В этом случае приведенное решение неприменимо. Поэтому важно подчеркнуть, что если левая часть данного уравнения есть произведение двух или нескольких выражений, содержащих одни и те же неизвестные, а правая часть есть нуль:

Л (*).../»(*).../»(*) = о,

то этому уравнению удовлетворяют все значения неизвестного, при которых обращается в нуль хотя бы и один из сомножителей, но другие сомножители не теряют смысла.

Замечание. После рассмотрения всех этих теорем необходимо решить какое-нибудь уравнение, например 1-й степени, и каждую операцию при решении объяснить, пользуясь теоремами о равносильности уравнений. Такое подробное решение уравнений полезно проводить не только на первых занятиях по этой теме, но время от времени и при дальнейшем изучении свойств уравнений и, особенно, при повторении перед экзаменами. Например, возьмем уравнение:

(I)

На основании следствия 3 из теоремы 3 приведем его к уравнению с целыми коэффициентами. Получим:

2xJr3x= 18* — 12. (II)

На основании следствия 1 из теоремы 2 переносим члены, содержащие неизвестное, в одну часть уравнения, а члены, его не содержащие, в другую:

2* + 3* — 18* = — 12. (III)

Приводим подобные члены:

— 13*= 12. (IV)

На основании следствия 2 из теоремы 3 умножаем обе части уравнения на —1:

13* =12, (V)

откуда:

Теперь, применяя теорему 1, можем утверждать, что уравнение (VI) равносильно уравнению (1), следовательно, х = является корнем уравнения (1), причем единственным, так как уравнение (VI) имеет только один корень.

Замечание. В заключение темы полезно показать, к какому абсурду приводит пренебрежение к теории равносильности уравнений. Для этого можно показать учащимся один из так называемых математических парадоксов, например:

«Покажем», что всякое число равно своей удвоенной величине.

Возьмем уравнение:

Преобразуем его:

Разделим обе части на х — х. Получим: х = х+х или* =2л:. Получается абсурд, так как X—произвольное число. Это произошло вследствии того, что мы разделили обе части нашего уравнения на выражение, равное нулю. Вновь полученное уравнение имеет единственный корень: * = 0, в то время как исходное уравнение имеет бесконечное множество корней (оно является тождеством). Эти уравнения неравносильны.

Изложенные рассуждения обладают достаточной строгостью и логической последовательностью и доступны для понимания учащихся X класса, а некоторые из вышеизложенных положений будут более понятны учащимся VII класса, чем традиционное изложение теории уравнений.

Без осмысленного усвоения теорем о равносильности уравнений учащиеся не смогут получить твердых навыков и в исследовании уравнений.

О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ

А. ШУВАЕВ (Ставрополь)

Как известно, равенство вида:

Fi У, - - - , z) = Ft (х, y,...t z), (I)

где F, (х, у,..., г) и F% (х9 у,..., л:) —некоторые функции от аргументов х, у9..., z— называется уравнением с неизвестными х,у,..Z.

В элементарной математике рассматриваются частные виды уравнений, для которых функции Fx и F2 задаются при помощи некоторых аналитических выражений, т. е. при помощи формул. Этим случаем мы в дальнейшем и ограничимся.

Системы значений неизвестных, при которых левая часть уравнения равна правой, называются решениями уравнения.

Так, уравнение:

1) jc2 = 4 имеет решения:

Xi = 2; лг2 = 2.

2) х+у = \2 имеет бесконечное множество решений:

х= 12— у,

где у — произвольное число, например (12,0); (10,2); (11,5, 0,5)... .

3) sin3A:+cos2* имеет решением произвольное действительное число х.

Определение. Множество всех систем значений x,y,...,z (или только заданная его часть) из данного числового поля, при которых обе часта уравнения (J) имеют смысл, называется множеством допустимых систем значений неизвестных уравнения (I).

Это множество сокращенно будем обозначать буквой М.

Определение. Уравнение

F (х, у,..., z) = f(x,y,..., z),

решением которого является произвольная допустимая система значений аргументов X, у,. .., z, называется тождеством (на множестве M допустимых систем значений аргументов).

Так, например, уравнения:

где задано: 0<;л:<;1;

и х+у — тождественные выражения, так как уравнение:

суть тождества, так как они верны при всех допустимых значениях неизвестных (системах значений неизвестных).

Выражения F (х, у,.. ., z) с областью определения Dx и / (х, у,.. ,,z) с областью определения D2, называются тождественными, если уравнение:

F (х, y,...,z)=f (х, y,...,z)

есть тождество, т. е. удовлетворяется при всех системах значений xty,...,z, общих множествам Ог и D2.

Пример 1.

есть тождество.

Пример 2.

— тождественные выражения на сегменте — 1<С-*^0, так как

при всех значениях, удовлетворяющих неравенствам — 1 * < 0.

Пример 3.

— нетождественные выражения, так как уравнение:

не является тождеством. Действительно, M есть сегмент—l^jc^l, а решениями уравнений являются все значения х, удовлетворяющие условию

Замена математического выражения другим, ему тождественным, называется тождественным преобразованием.

Так, заменяя sec2;c через l+tg2*, мы производим тождественное преобразование.

Заметим, что согласно принятой точке зрения при выполнении тождественного преобразования область определения данного выражения может измениться. Так, например, выражение lg*3 имеет областью определения множество всех действительных чисел, отличных от нуля, а выражение 21gjc—множество

всех положительных чисел. Эти выражения тождественны, так как равенство:

lg X2 = 2 lg X

выполняется в общей части областей определения, т. е. в интервале 0<л;<оо.

Определение. Два уравнения называются равносильными, если множество всех решений первого уравнения и множество всех решений второго уравнения совпадают.

Два уравнения равносильны, если каждое решение первого является решением второго уравнения и, обратно, каждое решение второго уравнения является решением первого.

Пример 1.

Уравнения:

равносильны, так как решениями обоих являются числа:

х х — 2 и Хсу •— — 2,

и никаких других решений эти уравнения не имеют.

Пример 2.

Тождества:

равносильны над полем действительных чисел, так как множеством всех решений для обоих тождеств является множество всех действительных чисел.

Пример 3.

Тождества:

неравносильны. В самом деле, первое тождество верно при всех комплексных значениях х, а второе при всех хф—2.

Пример 4. Тождества, рассмотренные в примере 2, неравносильны над полем комплексных чисел.

Теорема 1. Если над частями уравнения: F (х, У,..., z)=/(*, .у,..., г)... произведено тождественное преобразование, в результате которого получилось уравнение:

Ft (х, y,...,z)=fx (xf у,..., z)...

с тем же множеством M допустимых систем значений неизвестных, то второе уравнение равносильно первому.

Предложение очевидно.

Пример. Уравнения:

равносильны, так как части уравнений соответственно тождественны и множество M допустимых систем значений х и у для обоих уравнений одинаково.

Теорема 2. Если над частями уравнения:

F\ (х, у,..., z)=fx (х, у,..., z) (1)

произведено тождественное преобразование, в результате которого получилось уравнение:

F2 (х, у,..., z) =f2 (х, у,. .., z), (2)

причем множества Мх и М2 допустимых систем значений неизвестных для данного и преобразованного уравнений различны, и если системы значений х, у, z, не принадлежащие одновременно Мх и М2, не являются решениями ни одного из уравнений (1) и (2), то уравнения (1) и (2) равносильны.

Доказательство. Так как все системы значений х, у,. .., z, не принадлежащие одновременно Мх и М2, не являются решениями уравнений, то за множество допустимых систем значений неизвестных для обоих уравнений можно принять множества М, составленные из систем значений x,y,...,z, общих множествам Мх и М2. Тогда по теореме 1 уравнения равносильны.

Пример 1.

Части уравнений:

(1)

(2)

соответственно тождественны. Значения х = ±\/8, не принадлежащие множеству Мх, не являются решениями второго уравнения, следовательно, уравнения равносильны.

Пример 2.

Части уравнений тождественны. Значения х= 1 и X = 3, не принадлежащие одновременно множествам Мг и М2, не являются решениями данных уравнений, значит, уравнения равносильны.

Примечание.

Очевидно, если хоть одна из систем значений X, у,.. .Z, не входящая в Мх или в Мг^

есть решение второго или первого уравнения, то уравнения неравносильны.

Пример 1,

(1)

(2)

Части уравнений тождественны. Значение х=\9 не входящее в Mif есть решение второго уравнения; следоватально, уравнения неравносильны. Второе уравнение имеет решение лг=1, не являющееся решением первого. Пример 2.

Части уравнений тождественны. Из систем (л:, 1), где хфЗ, не принадлежащих М19 но входящих в M29 система (1,1 J есть решение второго уравнения.

Из систем (3,з>), где уф\, не принадлежащих М29 но входящих в Mv система (3,0) — решение первого уравнения; следовательно, уравнения неравносильны: второе уравнение содержит все решения первого, кроме (3,0), и еще решение (1,1).

Очевидно, что тождественное преобразование может привести к посторонним решениям (без потери решений данного уравнения), если произойдет расширение множества М1 допустимых систем значений неизвестных, т. е. М1С^М29 и к потере решений (без приобретения новых решений), если произойдет сужение этого множества, т. е. M2^MV

Тождественное преобразование может привести как к посторонним решениям, так и к их потере, если множества Мг и М2 различны и ни одно из них не является частью другого; иначе говоря, если при тождественном преобразовании множество допустимых систем значений неизвестных, с одной стороны, обогащается новыми системами, а с другой стороны, теряет некоторые из них.

Тождественные преобразования частей уравнения выполняются обычно с тем расчетом, чтобы заменить данное уравнение более простым, из которого легче найти решения, чем из первого.

Пример. Решить уравнение:

(1)

так как

то

Ответ. Уравнение (1) не имеет решения, ибо при л: = —h 7глг левая часть данного уравнения теряет смысл, а при преобразованиях множество допустимых значений неизвестного подверглось расширению.

Теорема 3. Если к обеим частям уравнения:

F(x, y,...,z) = f (х, у,..., г) (1)

прибавить выражение R (*, у,. ,., z), имеющее смысл при всех допустимых системах значений неизвестных, то получим уравнение: F (*, у,..., z) + R (*, у>..., z) =f(x, у,..., z) + R(x, у,...9 z), (2)

равносильное первому.

Доказательство общеизвестно; приводим примеры, иллюстрирующие теорему.

Пример 1.

или после сокращения

откуда:

(1)

Прибавим к обеим частям уравнения тогда получим уравнение:

(2)

равносильное данному над полем действительных чисел.

В самом деле; ^2^_ ^ имеет смысл при всех допустимых значениях х для данного уравнения; поэтому уравнения равносильны.

Пример 2.

Прибавим к обеим частям уравнения тогда получим уравнение:

Функция ctg* имеет смысл при хфъп; но х = кп не есть решение первого уравнения; поэтому за множество допустимых значений * первого уравнения можно принять все значения хфкп; х ф +кк, тогда по теореме 3 уравнения равносильны.

Пример 3.

Прибавим к частям уравнения

Выражение — | имеет смысл при хф\.

Поэтому X = 1 не может быть решением второго уравнения; однако х=\—решение первого уравнения; следовательно, уравнения неравносильны.

В этом случае условие теоремы 3 не соблюдается, так как х__| теряет смысл при значении X, являющимся решением первого уравнения.

Примечание. Очевидно, если к частям уравнения (1) прибавить выражение R (х, y...,z), теряющее смысл при некоторых его решениях, то уравнение (2) не будет равносильно первому. Оно будет содержать все решения (1), за исключением тех, при которых R (x,y,...,z) теряет смысл.

Теорема 4. Если обе части уравнения:

F {х, y9...9z) = f(x, у,..., z) (1)

умножить на выражение R (х, у,.. ., z), то получим уравнение:

R (х, У f..., z) F (х, у,..., z) =R(x9y9...,z)f(x, y,...,z), (2) равносильное первому, если:

1) R (х, у9..г) имеет смысл при всех допустимых системах значений неизвестных первого уравнения.

2) R (х, у,..., z) ф О при всех допустимых системах значений неизвестных, не являющихся решениями (1).

Доказательство общеизвестно. Приводим примеры, иллюстрирующие теорему.

Пример 1.

Умножим обе части уравнения тогда получим уравнение:

Множитель —Η имеет смысл при всех действительных значениях х =f= + тгя и не равен нулю. Так как для первого уравнения множество допустимых значений состоит из чисел X ф +тс/1, то по теореме 4 уравнения равносильны.

Пример 2.

Умножим обе части уравнения на

Множитель — при х ф О имеет смысл и не равен нулю. Так как х=0 не есть решение первого уравнения, то допустимым значением для данного уравнения можно считать все значения хфО. По теореме 4 уравнения равносильны.

Пример 3.

(х—\у = х—\.

Умножим обе части уравнения на х—1: (х—\)* = (х—\у.

Множитель (х—1) имеет смысл при всех значениях х и отличен от нуля при всех значениях X, не являющихся решениями данного уравнения.

Значение х=\, при котором множитель обращается в нуль, есть решение данного уравнения. По теореме 4 уравнения равносильны (кратность корня не учитываем).

Примечание. Очевидно, что если:

1) R (х, y,...,z) имеет смысл при всех допустимых системах значений х, у,..., Z, но обращается в нуль при некоторых из них, не являющихся решениями первого уравнения, то второе уравнение неравносильно первому: оно содержит все решения первого и еще посторонние решения, которыми являются допустимые системы значений неизвестных М, обращающие R (х, у,. . ., z) в нуль.

2) R (х, у,. .., z) ф 0 при всех допустимых системах значений х, у,. .,z, но теряет смысл при некоторых решениях первого уравнения, то уравнения (1) и (2) неравносильны: второе уравнение содержит все решения первого, кроме тех, при которых R (х, у,..., z) теряет смысл. В этом случае имеет место потеря решений.

3) R (х, у,..., z) теряет смысл при некоторых решениях первого уравнения и обращается в нуль при некоторых допустимых системах, не являющихся решениями первого уравнения, то уравнения неравносильны. В этом случае уравнение (2) имеет все решения (1), за исключением тех, при которых R (х, у,..z) теряет смысл и, кроме того, посторонние для (1) решения. Последними являются системы, обращающие R (х, у,.. ., z) в нуль.

Пример 1.

Умножим части уравнения на

Множитель \+x2 имеет смысл при всех значениях х и обращается в нуль при х = + i, но эти значения не являются решв-

ниями первого уравнения; значит, над полем

комплексных чисел уравнения неравносильны. Над полем действительных чисел эти же уравнения равносильны, так как х2+\фО при всех действительных х.

Пример 2.

(1)

(2)

Множитель теряет смысл при д:=2, а при всех хф2 не равен нулю, но лг=2, есть решение (1); следовательно, уравнения неравносильны; первое уравнение имеет решение X = 2, не являющееся решением второго.

Пример 3.

Умножим части уравнений на

Выражение теряет смысл при х=\ и равно нулю при лг = 0. Уравнения неравносильны: второе уравнение содержит все решения первого, кроме х=\, и еще одно решение х = 0, постороннее для первого. Пусть дано уравнение:

R У,...,*) F (л:, у,..., г) =

= /?(*, y,...,z)f(x, y,...,z). (1)

Опустив общий множитель обеих частей, получим уравнение:

F(x, У,..., *)=/(*, у,..., z). (2) Исследование производится согласно теореме 4; достаточно «поменять местами» уравнения (1) и (2).

Пример 1.

Опустив множитель

получим уравнение:

равносильное первому над полем действительных чисел. В самом деле,

и имеет смысл при всех системах значений X, у, не являющихся решением второго уравнения.

Над полем комплексных чисел эти уравнения неравносильны; всякое число вида:

(где х—произвольное комплексное число) удовлетворяет первому уравнению, но не всякое из этих чисел удовлетворяет второму уравнению (например, х = 0, у = /).

Пример 2.

Опустив множитель

имеющий смысл при всех допустимых значениях X, получим уравнение:

равносильное первому.

Пример 3.

Опустим общий множитель

тогда получим:

Выражение

теряет смысл при х = + 2i и обращается в нуль при л: = 0; но X = 2 L и х = 0 не являются решениями второго уравнения; значит, первое уравнение имеет решение х = 0, не являющееся решением второго; в результате опускания множителя произошла потеря решения.

Пример 4. Решить уравнение:

(1)

Опуская общий множитель, получим:

(2)

откуда:

Но х = 0 есть решение второго уравнения, следовательно, в результате опускания множителя появился посторонний корень * = 0.

Таким образом, решения первого уравнения суть:

где п ф 0.

Пример 5. Решить уравнение:

(1)

Опустив общий множитель

получим:

(2)

откуда:

Множитель

теряет смысл при х = 2 и обращается в нуль при x = z±:if но x=zïzi не является решениями уравнения (2), а X =2 есть решение (2).

Следовательно, решения уравнения суть: X\t2 = z±ii и х = —2, при переходе к (2) решения x = ztzi были потеряны, а решение х=2 появилось в качестве постороннего.

Опустив общий знаменатель в обеих частях уравнения:

(1)

получим уравнение:

(2)

равносильное первому, если R(х,у,.. .9г)^Ь09 и имеет смысл при всех допустимых системах значений неизвестных для второго уравнения.

В самом деле, множитель

при всех указанных системах значений неизвестных имеет смысл и не равен нулю, а поэтому уравнения равносильны.

Множество всех решений уравнения (2) состоит из всех решений (1) и из решений посторонних для первого, если R (х, у,..., Z) теряет смысл или обращается в нуль при некоторых решениях уравнения (2).

Замечание. Так как

при всех допустимых системах значений Ху у у..., z, то отбрасывание знаменателя не может привести к потере решений.

Пример 1. Решить уравнение:

(1)

Приводим обе части уравнения к общему знаменателю:

Отбросив общий знаменатель, получим:

(2)

откуда

при этом значении х2 — 4 ф 0.

Следовательно, уравнения (1) и (2) равносильны. Ответ:

Пример 2. Решить уравнение:

(1)

Опускаем общий знаменатель:

(2)

Решения второго уравнения суть: хг = 2; х2 = — 2; х3 = 0.

Знаменатель

равен нулю при х = 2 и х = — 1 и теряет смысл при х = 0; но х = 0их = 2 — решения второго уравнения. Следовательно, они посторонние для первого. Ответ: х = — 2.

Пример 3. Решить уравнения:

Отбрасывая знаменатель, получим:

откуда

Знаменатель обращается в нуль при

и теряет смысл при

Числа вида 2я+1 состоят из чисел вида. 4п+\ и 4 я— 1, поэтому формулу общего решения второго уравнения можно заменить двумя формулами:

Следовательно, общее решение первого уравнения есть

Решения

отбрасываем как посторонние.

Определение. Уравнение:

F(x, .У,..., z)=f (X, y,...,z) (1) будем называть равносильным п уравнениям:

(2)

если каждое решение уравнения (7) есть решение по крайней мере одного из уравнений (2) и каждое решение любого из уравнений (2) является решением уравнения (1).

Теорема 5. Уравнение:

(1)

равносильно п уравнениям:

(2)

если при всех допустимых системах значений неизвестных каждого из них левые части остальных имеют смысл.

Доказательство, основанное на свойствах умножения, общеизвестно.

Замечание. Если левая часть хотя бы одного из уравнений (2) теряет смысл при решении какого-либо другого из них, то множество всех решений уравнений (2) содержит все решения (1) и еще решения, посторонние для (1), при которых левые части некоторых уравнений (2) теряют смысл.

Пример 1. Уравнение:

(1)

равносильно трем уравнениям:

ЛГ = 0, лг—2 = 0, л;4-3 = 0, (2)

так как левые части уравнений (2) имеют смысл при всех значениях х.

Решая эти уравнения, найдем корни (1):

Пример 2. Решить уравнение:

(1)

Приравнивая нулю каждый из сомножителей:

(2)

Допустимые значения неизвестного второго уравнения:

так как х= ~^~п не является решением первого и третьего уравнений (2), то за допустимые значения неизвестного в этих уравнениях можно принять произвольное значение хф-^-+ п, тогда по теореме 5 уравнение (1) и уравнения (2) равносильны. Решая эти уравнения, найдем:

Так как решения х= + (2 k + 1) входят в множество решений х = -у п, то полученные серии решений можно объединить в следующие две формулы:

Заметим, что при m = 5k решения второй серии содержатся в первой, а потому будем считать m ф 5 k.

Пример 3. Решить уравнение:

(1)

Приравниваем нулю множители левой части:

(2)

Решая уравнения (2), получим:

При X = + ъп функция tg X теряет смысл, следовательно, х = — + тгя— посторонние решения для уравнения (1). Таким образом, общим решением уравнения (1) будет х = пп. Теорема 6. Уравнение:

У,..., z)=P (х, у,..., х) (1) равносильно уравнениям:

(2)

Доказательство общеизвестно. Достаточно разложить на множители левую часть равносильного уравнения:

F2 (х, у,..., z)-f(x, у,..., г) = 0.

Теорема 7. Если обе части уравнения:

F(x, У,..., *)=/(*, г) (1)

положительны при всех допустимых системах значений неизвестных, то, возведя обе части уравнений (1) в квадрат, получим уравнение:

F4*> >*)=/*(*, -V.....Z), (2)

равносильное первому.

Доказательство. На основании теоремы 6 уравнение равносильно уравнениям:

(1)

(3)

Так как F и / положительны, то уравнение (3) не имеет решения: следовательно, уравнение (2) равносильно уравнению (1).

Во всех приведенных ниже примерах решения иррациональных уравнений эти уравнения решаются в поле действительных чисел.

Пример 1. Решить уравнение:

(1)

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение:

(2)

равносильное первому (по теореме 7). Откуда:

X* = 16.

Решения последнего уравнения в поле действительных чисел суть:

atj = 2 ; лг2 = 2. Эти же числа служат решениями уравнения (1).

Пример 2. Решить уравнение:

(1)

Возводим обе части (1) в квадрат:

(2)

По теореме 7 уравнение (2) равносильно (1); после тождественного преобразования получим: ах + Ь = с\ (3)

откуда:

Таким образом, тождественное преобразование, связанное с возведением в квадрат частей уравнения (1), всегда приводит к уравнению, равносильному данному, а поэтому проверка с целью установления посторонних решений является лишней.

Пример 3. Решить уравнение

(1)

Возведем в квадрат обе части:

(2)

Откуда:

(3)

Уравнение (3) имеет:

1) действительные решения, если

2) мнимые решения, если

В первом случае уравнение (1) равносильно (3) и

есть решение данного уравнения.

Во втором случае уравнение (1) в поле действительных чисел не имеет решений.

Проверка с целью установления посторонних решений является лишней.

Рассмотрим два уравнения:

F {х, у,..., z) =f (х, у,..., z), (1) log F (х, у,..., z) = log/ (х, у,..., z) (2)

(логарифмы берутся при произвольном основании).

Теорема 8. Множество всех решений уравнения (2) состоит из всех действительных решений уравнения (/), при которых значения F и / положительны.

Доказательство. Если (xl9 уг,..., Zx) — какое-либо действительное решение уравнения (1), при котором F и f положительны, то

F(xl9 у,..., zx)=f(xv yv...9 zx)>0.

Но равные положительные числа имеют равные логарифмы, поэтому:

log F(x, yv...,zx) = log (xv Ух..., zx).

Следовательно, (xlt yv..., zx) — решение уравнения (2).

Если (х2, у2у.-> Z2)— решение уравнения (2), то

log F (х2, у2,..., z2) = log/ (х2, у,,..., zj9

но равным логарифмам соответствуют равные положительные числа, т. е.

F (х2,у2,..., Z2) = f(x29 y2,...,Z2).

Следовательно, (х2, y2...,z^) есть решение уравнения (1).

Примечание. Из теоремы 8 следует, что: 1) логарифмирование обеих частей уравнения приводит к потере мнимых решений и решений, при которых обе части уравнения имеют неположительные значения.

2) Потенцирование уравнения может привести к посторонним решениям, при которых части полученного уравнения имеют не положительные значения.

Пример 1.

х*-]-2х* = х+2.

Решения уравнения:

Х\ = 1 ; х2 = 1 ; х2 = — 2.

Логарифмируя, получим уравнение:

которое согласно теореме 8 имеет решение

Хх = 1 и Х2 = — 1.

Решение х = — 2 не принадлежит второму уравнению, ибо при х = — 2 части первого уравнения равны нулю.

Пример 2. Решить в поле действительных чисел уравнение:

Потенцируя, получим уравнение:

Решая последнее уравнение, найдем:

Ответ: хх = 3; х2 = —3.

х3 и л:4 не принадлежат полю действительных чисел, в котором решается первое уравнение.

Пример 3. Решить уравнение:

(1)

Производя тождественное преобразование, получим:

(1')

или после потенцирования:

X (х<1 — Ъ) = 2 (х —3), (2)

или

(лг + З) (*—1) (лг — 2) = 0,

откуда:

х^ — 3, — 1, х^ — 2.

Так как при всех решениях уравнения (2) его части — неположительные числа, то уравнение (1'), а следовательно, и (1) решений не имеет.

Пример 4. Решить уравнение:

(1)

После тождественного преобразования получим:

или после потенцирования:

X* (*4-4) = 6 — X, (3)

откуда:

(* + 3) (* + 2) (*-1) = 0

и-

х\ — — 3 ; х2 = — 2 ; лг8 = 1.

Так как при х = — 3 и х = —2 левая часть первого уравнения теряет смысл, то эти числа суть посторонние решения. Решением первого уравнения будет х=\.

Источником появления посторонних решений в данном примере было тождественное преобразование, а именно — переход от (1) к (2). Действительно, обе части первого уравнения имеют смысл при 0<л:<6, а второго— при — 4<л;<6, следовательно, при тождественном преобразовании мы расширили множество допустимых значений неизвестных,

(2)

в результате чего появились решения, входящие в интервал —4<л;<[6, но не принадлежащие интервалу 0О<6.

Следствие 1. Уравнения:

где а и b— положительны и не равны 0 и 1 и

F (х, у,..., z) \oga = f(x, у,..., z) logo

равносильны (обе части первого уравнения положительны).

Следствие 2. Уравнения:

где а)>0 и не равно 0 и 1 и

F (х, у,..., z)=f (х, у,..., Z)

равносильны.

Действительно, уравнение:

или

F (х, у,..., z) = f(x, у,..., z) равносильно первому уравнению.

Пример 1. Решить уравнение:

(1)

Производя тождественное преобразование частей, получим уравнение:

(2)

равносильное данному. Уравнение (2) равносильно уравнению:

откуда:

л; = 35.

Пример 2. Решить уравнение:

После тождественного преобразования будем иметь уравнение, равносильное первому:

Логарифмируя, получим уравнение:

(лг^-0) равносильное второму, а следовательно, и первому. Откуда:

Ниже в качестве образцов приводится несколько примеров на решение уравнений.

Пример 1. Решить уравнение:

Решение.

Откуда: х = 1 и х= — 3. х=\— посторонний корень. Ответ.

х = — 3.

Пример 2. Решить уравнение:

Откуда:

Произведя проверку, получим ответ: х = 4.

Пример 3. Решить уравнение:

Левая часть уравнения теряет смысл при

а также при и при

Объединяя эти формулы, получим:

Решение уравнения.

Откуда:

Первое уравнение не имеет решения, а из второго найдем:

X = пк.

Данное уравнение не имеет решений.

Пример 4. Решить уравнение:

Левая часть уравнения теряет смысл при

Последнее уравнение не имеет решений. Решение.

Решениями последнего уравнения служат все действительные значения х, отличные от чисел вида

Пример 5. Решить уравнение:

(1)

Левая часть имеет смысл при — l<!x-^l, а правая часть при

откуда:

Множество допустимых значений есть сегмент— 1 1.

* Знак J обозначает равносильность. Знак | обозначает, что последующее уравнение содержит все решения предыдущего.

Решение.

(1)

(2)

(3) (4)

Решениями уравнения (4), а также и (2) являются все значения х, удовлетворяющие условию—1<л;<1; для отыскания решения уравнения (1) исследуем полученное решение.

I. Если 0<;л;^1, то 2 arc cosх — угол либо I, либо И четверти. В тех же четвертях содержится

Так как косинусы этих углов равны (2х2— 1), то эти углы также равны.

II. Если — 1 <л;<0,то 2 arc cos л;— угол III, либо IV четверти, a arc cos (2 л:2—1), содержится в I или II четвертях. Значит, в этом случае эти углы не могут быть равными, т. е. — 1^л;<0 суть постороннее решение для уравнения (1). Множество решений данного уравнения образует сегмент:

0<л:<1.

О РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ В X КЛАССЕ

В. К. МАТЫШУК (Архангельск)

При прохождении темы «Исследование уравнений» учащиеся должны научиться решать соответствующие задачи, давать полное исследование полученного решения и сопровождать его толковыми объяснениями. Решению задач должно предшествовать изучение элементов теории, разъясняющее смысл исследования и дающее некоторые правила его осуществления. В учебнике по алгебре Киселева имеется соответствующая глава, однако эта глава имеет следующие существенные недостатки: 1) определение термина «исследование уравнения» неясно; 2) неясно выражена мысль, что решение уравнения должно связываться с соответствующим числовым множеством; 3) схема исследования представлена разбором лишь пяти шаблонных случаев; не разбирается случай, когда решение уравнения должно принадлежать лишь множеству натуральных чисел, множеству целых чисел и т. д.

Уравнения первой степени

Изучение темы «Исследование уравнений первой степени» следует начинать с решения конкретной задачи, на которой должна быть показана цель изучения данной темы. В качестве такой задачи, решаемой самим учителем, может быть взята задача из учебника Киселева (ч. II, § 125), но соответствующим образом дополненная и прокомментированная. Вот ее условие:

«Рабочий кружок, состоящий из 20 человек (взрослых и подростков), устроил сбор на покупку книг для библиотеки, причем каждый взрослый внес по 3 рубля, а каждый подросток по 1 рублю. Сколько было в этом кружке взрослых и сколько подростков, если весь сбор составил 35 рублей?»

Обозначив число взрослых буквой х, получим уравнение:

откуда

Это число удовлетворяет уравнению, но с точки зрения конкретного смысла величин, которые даны в условии задачи, приводит к нелепости. Таким образом, уравнение, составленное по условию задачи, имеет решение, но сама задача не имеет решения. Дело в том, что текстовая задача, помимо условия, выраженного непосредственно словами, имеет еще и подразумеваемые условия, связанные с тем, что в тексте задачи даны не отвлеченные числа, а величины с конкретным, реальным содержанием. Для значений каждой из таких величин допустимы не любые числа, а лишь числа, принадлежащие к определенному множеству. Текст задачи составляется так, что значения данных в ее условии величин принадлежат соответствующим числовым множествам. Иначе задача вызвала бы у учащихся законное недоумение. Однако значение неизвестного, найденное из уравнения, может не принадлежать множеству его допустимых значений. Тогда задача не имеет решения, что и имело место в рассмотренном выше примере.

Возвратимся к приведенному выше примеру: учитель говорит, что задача не имела реше-

ния, так как ее числовые данные были неправильно подобраны. «Давайте, — говорит учитель, — подумаем над тем, каким числом надо заменить число 20 (количество людей), чтобы задача имела решение». Для этого ее текст формулируется так:

«Рабочий кружок, состящий из а человек (взрослых и подростков), устроил сбор на покупку книг для библиотеки, причем взрослые вносили по 3 рубля, а подростки по 1 рублю. Сколько было в этом кружке взрослых и подростков, если сбор составил 35 рублей?

Найти для а такие значения, чтобы задача имела решение».

Если буквой X обозначить количество взрослых, то получим уравнение:

Откуда:

По смыслу задачи х может быть натуральным числом. То же самое относится к числу а. Следовательно, а должно быть нечетное число, меньшее чем 35, так как х>0. С другой стороны, а — х>0 (число подростков).

Поэтому а > -g- .

Таким образом, для а (количество рабочих) допустимы следующие значения: это — нечетные числа, удовлетворяющие неравенству 11 <а<35.

Таким образом, а может иметь 11 различных значений, и, соответственно этому, можно составить 11 вариантов одной и той же задачи с разным количеством рабочих. Все эти варианты имеют решения. Вот ответы на эти задачи:

В задачнике Шапошникова и Вальцова приведены только две задачи, не имеющие решения (№ 15 и № 16 в главе XXIII). Сами задачи составлены так, что остается лишь констатировать отсутствие у них решения. Разберем решение задачи № 15:

«Две бригады рабочих получили вместе 120 рублей. Каждый рабочий первой бригады получил 7 рублей, а второй 5 рублей. Во второй бригаде тремя рабочими больше, чем в первой. Сколько было рабочих в каждой бригаде?»

Если обозначить количество рабочих первой бригады буквой X, то найдем, что х = 8-^-.

Задача не имеет решения. Констатировав это, учитель ставит перед учащимися такой вопрос: «Каким числом следует заменить в условии задачи число 3, показывающее, насколько больше было людей во второй бригаде, чем в первой, чтобы задача имела решение?» Обозначим это число буквой а, тогда уравнение задачи принимает вид:

Отсюда количество людей первой бригады определяется формулой:

второй бригады формулой:

По смыслу задачи а — целое, неотрицательное число их — натуральное число. Отсюда делаются такие выводы: а кратно 12 и

Существуют только два значения а, удовлетворяющие этим условиям: аг = 0 и а2 = 12. Задача имеет два варианта. В первом случае а = 0: обе бригады имеют по одинаковому числу людей (л: = 10). Во втором случае а =12, и первая бригада состоит из 5 человек, а вторая из 17.

Разобрав с учащимися эти две задачи, учитель переходит к изучению того материала, который изложен в учебнике Киселева в главе «Исследование уравнений первой степени с одним неизвестным». В содержание этой главы надо внести ряд изменений.

Первое изменение надо внести в определение термина «исследовать уравнение» (§ 123 учебника). «Что значит исследовать уравнение?»— спрашивается в учебнике и дается ответ: «Исследовать уравнение — значит рассмотреть все особые случаи, которые могут представиться при его решении, и уяснить значение этих случаев для той задачи, из условия которой уравнение составлено». Это опре-

деление неясно, так как не установлен точный смысл понятия «особого случая». К тому же при исследовании уравнения не всегда приходится иметь дело с какими-то особыми случаями.

Желая дать учащимся правильное определение этого термина, учитель возвращается к разобранным двум задачам и обращает внимание учащихся на то, что в каждой из этих задач одна величина была выражена не числом, а буквой, называемой параметром, благодаря чему соответствующие уравнения имели буквенные коэффициенты. Выяснилось, что хотя эти уравнения и имели решения, но не при всяком значении параметра сама задача имела решение. Приходилось вести специальные рассуждения, чтобы найти допустимые для задачи численные значения параметра. Совокупность подобных рассуждений и составляет то, что мы называем исследованием уравнения. Таким образом, исследовать уравнение — это значит найти множество всех тех значений параметров, при которых решение уравнения принадлежит множеству допустимых его значений. Множество допустимых значений для неизвестного устанавливается смыслом задачи.

Переходим непосредственно к рассмотрению общих вопросов исследования уравнении первой степени с одним неизвестным.

В учебнике алгебры Киселева специально выделены пять известных основных случаев. Мы в нашем дальнейшем изложении будем оставаться на базе этого учебника, но внесем в него некоторые дополнения и изменения.

Первый случай, разбираемый в учебнике Киселева, рассматривает условия, при которых уравнение

ax = b (1)

имеет положительное решение. Мы предлагаем рассмотреть также случай, когда уравнение (1) имеет целое положительное решение. Разберем подробно несколько таких задач. На них учащиеся будут предварительно знакомиться со смыслом и целями исследования.

Задача 1. «Сумма цифр двузначного числа а. Если в этом числе переставить цифры, то новое число будет больше искомого на 63. Найти это число, определив все допустимые значения величины а*.

Решение. Обозначим буквой х цифру десятков. Тогда:

Отсюда цифра десятков числа выражается формулой:

и цифра единиц формулой:

Исследование. Перед исследованием надо уяснить, каковы допустимые значения величин обозначенных буквами, как данных, так и искомой. Имеем: а — натуральное число, меньшее 19, х — натуральное число, меньшее 10. Из выражения для х усматриваем, что, во-первых, а>7 во-вторых, а—нечетное число. Так как

и, следовательно, а<13. Таким образом, допустимые значения для а следующие: это — нечетные числа, удовлетворяющие неравенству 7<#<13. Следовательно, а может иметь только два значения:

Задача имеет два решения: 18 и 29—искомые числа.

Задача 2, В двузначном числе цифра единиц на а больше цифры десятков. Если увеличить в 7 раз число, выраженное цифрой его десятков, и то же самое сделать с цифрой его единиц, а затем к первому произведению приписать справа второе, то получится четырехзначное число, в 61 раз большее искомого. Найти это число\ определив все допустимые значения а.

Решение. Обозначив цифру десятков буквой X, получим уравнение:

Отсюда цифра десятков искомого числа выражается формулой:

и цифра единиц формулой:

Исследование. По смыслу условия задачи X — целое положительное число, меньшее 10, а и х+а — тоже положительные однозначные числа. Легко усмотреть, что а — четное число, меньшее четырех ^-^-д<М0 J.

Допустимых значений для а только одно: а = 2.

Соответственно этому существует только одно искомое число — 35.

Задача 3. Для погрузки 185 одинаковых машин на завод было подано 30 вагонов двух типов. Вагоны одного типа вмещают по а машин каждый, другого типа по 4 машины,

Сколько вагонов каждого типа было подано на завод? Определить допустимые значения а найти все решения задачи, если известно, что никакой вагон не может вместить больше 20 машин каждый.

Решение. Обозначим через х количество вагонов первого типа. Тогда

ах+ 4(30 — х)= 185,

отсюда

а число вагонов второго типа равно:

Исследование. По смыслу задачи а и X — натуральные числа, причем а<20 (по условию) и л;<30. Рассматривая выражение для Ху устанавливаем следующее: 1) д>4; 2) а—4 равно одному из следующих четырех чисел: 1, 5, 13 и 65. Следовательно, а может иметь одно из следующих четырех значений: 5, 9, 17 и 69. Наконец, 3) а>6; так как л:<30. Сопоставив все эти условия, найдем, что существуют только два допустимых значения для а:

а у— 9 и а2 = 17.

Таким образом, задача имеет два решения. В одном решении вагонов первого типа 13 (вмещают по 9 машин каждый) и второго типа 17. Во втором решении — 5 вагонов первого типа (вмещают по 17 машин) и второго типа вагонов — 25.

Задача 4. Две бригады рабочих заработали вместе 900 рублей. Каждый рабочий одной бригады получил по 35 рублей, а другой по 25 рублей. Сколько рабочих было в каждой бригаде, если в одной из них было на а человек больше, чем в другой? Определить допустимые значения величины а и найти все решения задачи.

Решение. Обозначим через х количество рабочих той бригады, члены которой получили по 35 рублей. Тогда количество рабочих второй бригады равно лг+a. Следовательно: 35л; + 25 (* + а) = 900.

и количество рабочих в каждой из бригад соответственно равно:

Исследование. По смыслу задачи х и х+а — натуральные числа (количество людей в бригаде), а — целое число, которое может быть и положительным, и отрицательным, и нулем (не сказано, в какой именно бригаде больше людей). Из рассмотрения полученных формул следует, во-первых, что а кратно 12 и, во-вторых, что

Решая совместно эту систему неравенства, найдем, что

Таким образом, для а допустимы пять значений:

Соответственно этому задача имеет пять решений:

1) В первой бригаде было 25 чел., во второй 1 чел.

2) в первой бригаде было 20 чел., во второй 8 чел.

3) В первой бригаде было 15 чел., во второй 15 чел.

4) В первой бригаде было 10 чел., во второй 22 чел.

5) В первой бригаде было 5 чел., во второй 29 чел.

Задача 5, Разность цифр двузначного числа равна а. Если между цифрами этого числа вставить цифру 7, то получившееся трехзначное число будет в 11 раз больше искомого. Найти допустимые значения величины а и все искомые числа.

Решение, х — цифра единиц, х + а — цифра десятков.

Следовательно:

Отсюда:

Исследование, х и х+а — однозначные числа \а\ — тоже однозначное число, но а может быть положительным, отрицательным и нулем (неизвестно, какая цифра искомого числа больше). Из рассмотрения полученных двух формул для искомых цифр следует, во-первых, что а — нечетное число и, во-вторых, что

7 —а>0; 7 + а>0.

Решая эту систему неравенств, найдем, что для а возможны семь значений, а именно:

Таким образом, задача имеет семь решений:

1) а = —5, искомое число 16; 2) а =—3, искомое число 25; 3) а = — 1, искомое чис-

ло 34; 4) а=1, искомое число 43; 5) а = 3, искомое число 52; 6) а = 5, искомое число 61 ; 7) а = 7, искомое число 70.

Второй случай, рассматриваемый в учебнике Киселева, связан с отрицательным решением уравнения:

ax = b (1)

и разбирается односторонне, а именно: уравнение имеет отрицательное решение, не отвечающее прямому смыслу требования задачи, но, если в ее условие внести изменение, трактующее одну из заданных величин в противоположном смысле, то задача будет иметь решение.

Этот случай, рассмотренный в учебнике, следует дополнить еще двумя:

1) отрицательное решение никак не может быть решением задачи и

2) задача может иметь как положительное, так и отрицательное решение.

Приведем пример задачи, не допускающей никаких изменений ее условия в указанном выше смысле.

«Если на каждую скамью в классе посадить по пять учеников, то четверо останутся без места. А если на каждую скамью посадить по три человека, то останутся два свободные места. Сколько было в классе скамеек и сколько учеников?»

Эта задача не имеет решения, так как, обозначив через х количество скамеек в классе, найдем, что х = —3. Ясно, что количество скамеек нельзя трактовать в «противоположном направлении» и, следовательно, соответствующих коррективов в условие здесь внести нельзя. Заметим, что несообразность условия видна и непосредственно из текста задачи.

Рассмотрим теперь примеры исследования задач, когда искомая величина может быть по своей природе как положительной, так и отрицательной.

Задача 6. Отцу 45 лет, сын моложе его на а лет. Сколько лет назад отец был или через сколько лет он будет в 8 раз старше сына, если известно, что каждый год день своего рождения они празднуют одновременно.

Определить допустимые значения величины а и найти все решения задачи, если искомое число целое и а>18.

Решение. Условимся время, отсчитываемое от данного момента в будущее, считать положительным, в прошлое — отрицательным. Если обозначим буквой х то количество лет, через которое отец будет старше сына в 8 раз, то получим:

Исследование, а — целое положительное число (отец и сын празднуют день рождения одновременно). Кроме того, 18<а<45. X — целое число (по условию задачи), положительное или отрицательное. Из формулы для X имеем, что л:>0, если а>39, и X <0, если а<39. Кроме того, а кратно 7. Таким образом, для величины а допустимы следующие значения: 21, 28, 35 и 42. Соответственно этому задача имеет четыре решения:

1) а = 21. Сыну 24 года. 21 год назад отец был в 8 раз старше сына.

2) а = 28. Сыну 17 лет. 13 лет назад отец был в 8 раз старше сына.

3) а = 35. Сыну 10 лет. 5 лет назад отец был в 8 раз старше сына.

4) а = 42. Сыну 3 года. Через 3 года отец будет в 8 раз старше сына.

Задача 7. Брат и сестра сберегали деньги на покупку книг. Один из них ежедневно откладывал в копилку на m гривенников больше другого. Известно, что таким путем брат откладывал в день по одному рублю. К первому июля в копилке брата было 7 рублей, а в копилке сестры 6 т гривенников. К какому числу брат собрал или соберет вдвое больше, чем сестра?

Определить допустимые значения величины m и найти все решения задачи.

Решение, х — число дней, считая от 1 июля. Следовательно:

Исследование, m — целое число, может быть положительным и отрицательным, но /я]> — 10. X — целое число, положительное или отрицательное.

Исследуем сперва, при каких значениях m неизвестное х>0 и когда х<0. Для этого решим в отдельности каждое из неравенств:

Найдем:

2) что л;<0. если 5<m<5-g-. Так как m — целое число, то последнее неравенство не может иметь места. Задача имеет только положительные решения.

Отыщем допустимые значения величины т. Для этого преобразуем выражение для х:

X — целое число. Следовательно, мы имеем четыре равенства:

Таким образом, для m допустимы четыре значения; 4, 0, 6 и 10.

Соответствующие решения задачи следующие:

1) m = 4, X =11. Сестра откладывала ежедневно по 60 коп. К 12 июля брат накопил денег вдвое больше сестры.

2) т = 0, х = 7. Сестра тоже откладывала ежедневно по рублю. Брат накопил денег вдвое больше сестры к 8 июля.

3) m = 6, х=\. Сестра откладывала в день по 40 коп. Брат накопит вдвое больше сестры ко 2 июля.

4) m =10, а: = 5. Сестра ничего не откладывает, но имела 6 рублей. Брат накопит денег вдвое больше сестры к 6 июля.

Перейдем теперь к рассмотрению остальных трех случаев исследования уравнения, разбираемых в учебнике Киселева. Третий случай, когда уравнение ах=Ь имеет нулевое решение, не представляет большого интереса и на нем мы останавливаться не будем.

Четвертый случай, когда уравнение ах = Ъ не имеет решения (а = 0, b ф 0), должен быть предметом особого внимания учителя. Учащиеся в прошлом уже встречались с уравнениями, не имеющими решения, но примеры тогда носили отвлеченный характер. Теперь же уравнения стали получаться при решении задач с конкретным содержанием. Понятно, что такие задачи тоже не имеют решения, но тем не менее это г факт может получить свое конкретное истолкование. Рассмотрим пример.

«По какому одинаковому числу надо прибавить к числителю и знаменателю дроби — , чтоб ы она стала равней числу k?*

Если искомое число равно х, то мы приходим к уравнению:

(k — 1)лг = 3 — 4Ä.

Если кф\, то уравнение имеет решение. При k = 1 уравнение не имеет решения. В самом деле, нет такого числа, чтобы, прибавив его к трем и четырем, получить равные суммы.

Рассмотрим еще один пример.

Задача 8. На прямой AB даны две точки Р и Q, расстояние между которыми d (d>0). В этих точках по одну сторону прямой восстановлены перпендикуляры длиной соответственно р и q и через их концы проведена прямая CD. Найти на прямой AB расстояние точки M ее пересечения с CD от точки Р. Рассмотреть случай, когда задача не имеет решения, и истолковать его.

Решение. Считая точку Q расположенной между точками Р и М, положим РМ = х. Тогда из подобия соответствующих треугольников найдем, что

(p — q)x = pd.

Как видно, задача не имеет решения, если p = q и рфО. В этом случае нет пересечения прямых AB и CD, т. е. нет точки М, так как эти прямые параллельны.

Изучение случая, когда уравнение ах = b не имеет решения, не следует связывать с понятием о бесконечности, как это делается в учебнике Киселева, так как, во-первых, такая связь вовсе не нужна, а, во-вторых, введение и использование в школе понятия о бесконечности требует весьма осторожного отношения. В самом деле, во всех предлагаемых в школе задачах на составление уравнения факт отсутствия у уравнения решения истолковывается сам по себе в соответствии со смыслом текста. Таким образом, нет никакой необходимости при решении подобных задач рассматривать коэффициент а в уравнении ах = Ь, находящимся в стадии какого-то неограниченного приближения к нулю. Поэтому надо решительно возражать против помещения в учебнике Киселева особого параграфа, § 129, озаглавленного «Как понимать равенство — = zt оо».

Пятый случай, когда в уравнении ах — b коэффициенты а к b равны нулю каждый (а — Ь = 0), представляет собой большой интерес. Такому уравнению, как легко видеть, удовлетворяет любое допустимое значение неизвестного. Решение уравнения в этом случае носит, как говорят, неопределенный характер. Смысл этой неопределенности следует разъяснить на решении соответствующим образом составленной задачи.

Задача 9. Условие то же, что и в предыдущей задаче.

Рассмотреть случай, когда решение задачи имеет неопределенный характер, и истолковать его.

Решение. Рассматривая уравнение, относящееся к предыдущей задаче, видим, что его решение неопределенно, если p = q и р = 0. В этом случае уравнению удовлетворяет любое действительное число. В самом деле: из геометрического содержания задачи вытекает, что прямые AB и CD совпадают (p = q — 0). Любая их точка есть общая их точка. Следовательно, X — любое действительное число.

Задача 10. Для погрузки m одинаковых машин на завод был подан подвижный состав в 30 товарных вагонов двух типов. Вагоны одного типа вмещают по а машин, вагоны второго типа — по 4 машины каждый. Сколько вагонов каждого типа было подано под погрузку машин? Найти для величин m u a такие числовые значения, при которых задача имеет решение неопределенного характера, и истолковать это.

Решение. Задача эта представляет некоторое видоизменение задачи № 3. Обозначим через X число вагонов первого типа, тогда:

ах + 4 (30 — х) = т.

Отсюда :

(а — 4)х = т— 120.

Таким образом, если а = 4 и m =120, то полученному уравнению удовлетворяет любое действительное число. Но по смыслу задачи ее решением может быть только целое неотрицательное число, не превышающее 30. Поэтому решением задачи является любое целое число X, определяемое неравенством

0<л:<30,

что имеет место при а = 4 и m =120. Это и есть ответ на вопрос задачи. Истолкование здесь ясно: так как оба типа вагонов вмещают по одинаковому числу машин (по 4 машины), то совершенно безразлично, сколько вагонов того и другого типа входит в поданный подвижной состав. Полезно сравнить этот вывод с ответом на задачу № 3.

Собственно говоря, можно подвергнуть исследованию каждою текстовую задачу, содержащую данные, выраженные буквами. Но не всякая такая задача с точки зрения преподавания представляет интерес. Здесь прежде всего нужно, чтобы исследование не приводило к необходимости рассмотрения большого количества разных случаев, среди которых учащийся может запутаться. Нужно твердо помнить, что всякое исследование должно быть доведено до конца, т. е. должны быть выделены и подвергнуты анализу решительно все случаи. Поэтому не следует давать учащимся решать такие задачи, в условие которых входило бы более трех-четырех параметров.

Весьма важным моментом является возможность конкретного истолкования всех получающихся при исследовании случаев. Реальный смысл каждого такого случая, вытекающий из содержания текста задачи, должен быть хорошо понятен учащемуся.

Все задачи на составление уравнения с последующим истолкованием можно разбить на три типа: 1) задачи с отвлеченным содержанием (например, «какие равные числа нужно вычесть из чисел а и Ь, чтобы отношение разностей равнялось £?»); 2) геометрические задачи и 3) задачи, взятые из физики, механики или вообще с каким-нибудь жизненным характером. Самыми доходчивыми в смысле истолкования результатов исследования являются геометрические задачи.

При решении задач на исследование уравнений нужно придерживаться следующих положений:

1) В процессе решения задачи на исследование уравнения входят четыре элемента: а) составление уравнения по условию задачи, б) решение полученного уравнения, в) исследование решения уравнения и г) истолкование полученных результатов. Мы полагаем, что в записи решения первые три элемента должны быть четко отграничены постановкой соответствующих заголовков. Истолкование результатов производится параллельно с исследованием.

2) Перед началом исследования надо точно представить себе характер искомой и данных в условии задачи величин, т. е. установить множества допустимых значений данных и искомых величин.

3) Каждый отдельный случай, получившийся в процессе исследования, должен быть истолкован согласно условию задачи. В заключение нужно написать ответ, кратко, но полно выражающий итоги исследования.

В задачнике Шапошникова и Вальцова дано мало задач специально на исследование уравнений первой степени с одним неизвестным: всего лишь восемь (глава XXIII, № 17 — 24), причем некоторые из них (№ 18 и 19) представляют мало интереса в методическом отношении, а задача № 23 вследствие большого количества буквенных данных мало пригодна для наших целей.

Задача 11. Отцу а лет. Сын на п лет моложе. Через сколько лет отец был или будет в k раз старше сына?

I. Составление уравнения. Если буквой X обозначить искомое число лет, то

получится уравнение:

(1)

II. Решение уравнения.

(2)

III. Исследование. По смыслу условия задачи

Что касается искомой величины (время), то она может быть и положительной и отрицательной.

Уравнение имеет положительное решение, если

или отсюда

Учитывая, что п<а, можно написать, что задача имеет положительное решение, если

(3)

Истолкование. Событие произойдет в будущем (х>0), если величины а, п и k связаны соотношением (3).

Уравнение имеет отрицательное решение, если

(4)

Истолкование. Отец старше сына в k раз сейчас (л;=0), если имеет место эта пропорция.

Так как по смыслу условия задачи k>\, последние два случая полного исследования здесь не имеют места.

Задача 12 (дополнительная). Учитель желает дать учащимся седьмого класса задачу на составления уравнения точно такого же содержания, как предыдущая, но с числовыми данными. При этом он хочет, чтобы все данные этой задачи, а также искомая величина были целыми числами. Положив а = 40, требуется узнать, через сколько лет отец будет в пять раз старше сына. Найти соответственно этому допустимые значения п.

Решение. Так как в данном случае а = 40

Истолкование. Задача имеет отрицательное решение: событие произошло в прошлом (л:<0), если выполняется условие (4).

Уравнение имеет нулевое решение, если

и k = 5, то равенство (2) перепишется в таком виде:

Так как требуется, чтобы величина х была положительной, то пользуемся неравенством (3):

Учитывая, что величина п кратна 4 (х — целое число), найдем, что п = 36 и х = 5.

Ответ. Учитель составил такую задачу: «Отцу 40 лет, а сын на 36 лет моложе. Через сколько лет отец будет в пять раз старше сына? (Через пять лет.)

Задача 13. Содержание задачи такое же, как предыдущей, но считая, что отцу 40 лет, узнать, сколько лет назад отец был старше сына в восемь раз. Выбрать соответственно этому допустимые значения для п.

Решение. При решении задачи надлежит пользоваться неравенством (4). Следовательно, я<35. Для п имеют место два допустимые значения:

пг = 21 и п2 = 28.

Решение задач на исследование квадратного уравнения

Исследование решений квадратных уравнений, полученных в результате составления их по условию задачи, представляет собой ряд особенностей по сравнению с аналогичными задачами на уравнения первой степени.

Здесь особенно следует отличать решение уравнения от решения задачи. Конечно, каждое решение задачи есть решение соответствующего уравнения, но не всегда решение уравнения есть решение задачи. Вопрос решается соответствующим исследованием. Схема исследования квадратного уравнения должна состоять из двух частей и производиться в таком порядке:

Во-первых, устанавливаются те соотношения между буквенными данными задачи (параметрами), при которых уравнение имеет действительные корни, так как в противном случае задача не имеет решения.

Во-вторых, найдя соотношения между параметрами, при которых уравнение имеет действительные корни, надо искать дополнительные соотношения, при которых корни уравнения принадлежат множеству допустимых значений для неизвестного.

Во второй части исследования нередко приходится решать вопросы о знаках корней квадратного уравнения. Отметим два способа

исследования знаков действительных корней уравнения.

При первом способе мы сопоставляем знаки коэффициентов a, b и с уравнения:

ах2+Ьх+с = 0.

Если Ь2—ûc>0 и а>0, то при Ь<0 и и с>0 оба корня уравнения положительны, при 6>0 и с>0 оба корня отрицательны, и оба корня разных знаков, если с<0.

Нередко при пользовании этим методом учащиеся не обращают внимания на знак коэффициента а. Чтобы избежать здесь недоразумений, надо требовать от школьника определять знаки коэффидиентов приведенного уравнения, т. е. отношений — и —, 9 а а

При втором способе мы обращаемся непосредственно к выражениям корней уравнения:

(где \fВ —арифметическое значение корня). Если А — положительное число, то хх > 0, если же А—отрицательное число, то л;2<0. Вообще же, чтобы судить о знаках хх и хг, нужно знать, какое из двух положительных чисел |Л| и у В больше. Здесь можно пользоваться следующим положением.

Из двух положительных чисел то больше, квадрат которого больше.

На основании рассмотрения многих контрольных работ по алгебре мы можем утверждать, что большинство учащихся при решении вопроса о знаке корня квадратного уравнения пользуется именно вторым способом (часто в дополнение к первому). Но их рассуждения обычно громоздки, излишне многословны, иногда бессодержательны, а нередко и нелогичны. Обычная ошибка в рассуждении такая.

Надо определить знак выражения А-г-уВ (где А и В — более или менее сложные буквенные выражения). Чтобы узнать, какое выражение больше: У В или А, пишут неравенство УВ>А, почленно возводят его в квадрат, переносят все члены в одну сторону и определяют знак получившегося выражения. При таких действиях допускается следующая ошибка. Если А — отрицательное число, то всегда У~В*>А. Но здесь важно не то, что у В больше А, а больше или меньше У В абсолютной величины А. Эта мысль остается неясной учащимся, отсюда и происходят многие неграмотные записи и путаные «объяснения».

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых подготовительных упражнений, предшествующих решению задач на составление квадратных уравнений с последующим исследованием.

Задача 14. При каких значениях k уравнение:

имеет: а) действительные корни, б) оба положительные корни, в) оба отрицательные корни и г) корни разных знаков. Решение.

а) Дискриминант D = 3k. Уравнение имеет действительные корни, если À>0.

б) В приведенном уравнении коэффициент при неизвестном в первой степени равен 2 и свободный член - ^ - . Чтобы уравнение имело корни одного знака, нужно, чтобы удовлетворялось неравенство —^— > Ü, из которого находим либо k>3, либо k<0. Последнее условие отпадает.

Так как коэффициент приведенного уравнения при неизвестном в первой степени положителен, то оба корня уравнения положительными быть не могут.

в) Уравнение имеет оба отрицательные корня, если /г>3.

г) Уравнение имеет корни разных знаков, если —£— 0, что имеет место, если 0<£<3.

Задача 15. При каких значениях а уравнение:

имеет действительные корни разных знаков?

Задача 16. При каких значениях а уравнение:

имеет два положительные корня?

Задача 17. При каких значениях а уравнение:

имеет два отрицательные корня?

Учитель сам может придумать ряд таких примеров для упражнений.

Рассмотрим теперь решение задач на составление уравнений с исследованием.

Задача 18. Цифра единиц двузначного числа превышает цифру его десятков на а. Сумма квадратов цифр искомого числа равна 74. Найти это число, определив допустимые значения а.

Составление и решение уравне-

ния. Если X — число десятков, то

Исследование. Согласно условию задачи X и а — однозначные положительные числа, а<9.

Дискриминант D>-0, если

т. е. при этом условии уравнение имеет действительные корни.

Дискриминант должен быть квадратом целого числа. Так как #<9, то это имеет место лишь в том случае, если а = 2, требованию задачи удовлетворяет только

при а = 2 искомое

X = 5 и а+ х = 7.

Задача 19. Сумма цифр двузначного числа равна а. Разность между квадратом этой суммы и суммой квадратов цифр числа равна 60. Найти это число, определив допустимые значения а.

Составление и решение уравнения. Если X — цифра десятков, то отсюда:

Исследование, а — натуральное число, меньшее 19. х — однозначное натуральное число, причем х<а. Дискриминант D = a2 — 120. Он больше нуля, если а>\\. Задача может иметь решение, если 11<д<19.

Дискриминант должен быть квадратом целого числа. Это имеет место, если а =11, а = 13 или а =17. Уравнение имеет два положительные корня. Если а =11, то хг = 5, х2 = 6. В этом случае искомыми числами будут 65 и 56. Остальные два случая, как нетрудно убедиться, требованиям задачи не удовлетворяют.

Задача 20. Сумма цифр двузначного числа равна а. Если эту сумму сложить с произведением цифр числа, то получится 31. Найти это число, определив допустимые значения а.

Мы разобрали решения ряда задач, приводящих к уравнению с одним параметром. Такие задачи следует рассматривать как подготовительные к решению задач на составление и исследование квадратных уравнений с большим числом параметров. Приведем ряд примеров таких задач, причем вначале выберем такие, дискриминанты уравнений которых положительны.

Задача 21. Шофер должен б ыл вывезти на элеватор р тонн зерна. Выполнив половину задания, он приладил к своей машине прицеп, благодаря чему стал вывозить ежедневно зерна m тонн сверх плана. Таким образом, шофер выполнил положенное задание на k дней раньше срока. Во сколько дней по плану шофер должен был вывезти р тонн зерна?

Составление и решение уравнения. Если искомую величину обозначить через X, то

Исследование. По смыслу задачи р>0, /я>0 и yfe>0. Дискриминант

Уравнение имеет действительные корни при всех допустимых значениях параметров k, m и р.

Уравнение имеет корни разных знаков, так как свободный член приведенного уравнения Ç--отрицателен. Положительным является больший корень.

Следовательно, по плану шофер должен был вывезти р тонн зерна за

Задача 22. Шоферу было дано задание вывезти на сахарный завод а тонн свеклы. После того, как он выполнил 20% этого плана, он приладил к своей машине прицеп и стал вывозить в день m тонн свеклы дополнительно. В итоге шофер выполнил 120% плана и притом за k дней до срока. Сколько тонн свеклы вывозил шофер в день вначале и сколько потом?

Задача 23. Две автомашины выходят из двух городов, расстояние между которыми а км, и идут навстречу друг другу. Они встретятся на полпути, если одна из них выйдет на t часов раньше другой. Если же

они выйдут одновременно, то через t часов расстояние между ними станет на b км меньше первоначального расстояния.

Найти скорости обеих машин в час, если они движутся (каждая) равномерно?

В предложенных задачах исследование дискриминанта уравнения не представляло затруднения.

Рассмотрим более сложные случаи исследования.

Задача 24. Из пункта А на берегу озера в пункт В, расположенный на берегу реки, впадающей в это озеро, вышел катер. Катер прибыл к месту назначения через m часов, пройдя по озеру а км, а по реке половину этого расстояния. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки с км в час.

Составление и решение уравнения. Если X км\час — собственная скорость катера, то

Исследование. т>0, а>0, с)>0 и х>с.

1. Исследуем дискриминант:

D = 4 т2с2 - 4 атс -]-9а2 = (2тс — a)2 -f 8 а3.

Таким образом, £)}>0, и уравнение при любых положительных значениях параметров имеет действительные корни.

2. Так как в приведенном уравнении свободный член —, а коэффициент при неизвестном в первой степени меньше нуля, то оба корня уравнения положительны.

3. Теперь надо исследовать, удовлетворяют ли оба корня уравнения требованию: х>с. Составляем разность х — с:

Чтобы решить вопрос о знаке разности X — с, надо узнать, какое из двух чисел больше:

Возведением в квадрат этих чисел убеждаемся, что первое больше второго. Следовательно, решением задачи может быть только большее из двух полученных значений.

Задача 25. Из селения А, расположенного на берегу реки, в селение В, расположенное на притоке этой реки, вышел катер, который спустился вниз до устья притока на а км, а затем поднялся вверх по притоку на половину этого расстояния до пункта В, затратив на весь путь m часов. Определить собственную скорость катера, если скорость течения обеих рек одинакова и равна с км в час.

Примечание. Задача аналогична предыдущей.

Задача 26. Опытная станция засеяла некоторое количество пшеницы и сняла осенью урожай, на m центнеров превышающий количество засеянного весной зерна.

Все собранное зерно следующей весной было вновь засеяно и при одинаковой урожайности с прошлым годом осенью собрали п центнеров. Сколько центнеров зерна было засеяно вначале?

Примечание. Под урожайностью принимается количество зерна, снятого при уборке, приходящееся на каждую единицу количества засеянного зерна.

Составление и решение уравнения. Было засеяно вначале х ц зерна.

Урожайность составляет х - т ц на один центнер засеянного зерна. Продолжая дальше, придем к уравнению:

Отсюда :

Исследование.

1. Дискриминант

Так как п>0, то уравнение имеет действительные корни, если п^4т.

2. Уравнение имеет два положительные корня, так как его свободный член w2)>0 и коэффициент при известном в первой степени, равный —(п — 2т), меньше нуля (п>4т). Задача имеет два решения, если л>4/и, и одно решение, если п = 4т.

К ВОПРОСУ ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ЗАДАЧ НА КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Н. Н. КРУЛИКОВСКИЙ (Томск)

При решении текстовых задач в средней школе, особенно задач прикладного характера в курсах физики и геометрии, большое значение имеет выяснение смысла полученного решения. Этот заключительный этап при решении задач часто ускользает из поля зрения учащихся, что наблюдалось при экзаменах на аттестат зрелости в ряде школ Томской области и при проведении вступительных экзаменов по математике на физико-математический факультет педагогического института. Выяснение смысла полученных решений требует критического отношения к так называемым подразумеваемым условиям задачи (например, решение должно быть целым числом, положительным и т. д.). Здесь особенно наглядно выявляются значение и приемы математического метода исследования явлений природы и решения различных технических задач и научных вопросов. Подобное исследование дает возможность учащимся делать небольшие «открытия» и глубже проникать в сущность изучаемого явления природы или математической задачи, тем самым способствует математическому развитию учащихся и значительно повышает их математическую культуру.

Ниже в качестве примеров даны задачи, приводящиеся к решению и исследованию квадратных уравнений, как имеющих большое практическое значение и занимающих в курсе средней школы видное место.

При подборе задач были использованы школьные сборники задач Шапошникова и Вальцова, Рыбкина, П. А. Ларичева, «Сборник конкурсных задач по математике» П. С. Моденова (Изд.-во «Советская наука», 1950), «Избранные задачи по физике» Шаскольской и Эльцина (Гостехиздат, 1949). Очень интересные и разнообразные задачи можно найти в книге И. Ньютона «Всеобщая арифметика», имеющейся в русском переводе и доступной широкому кругу читателей (Изд. Академии наук СССР, 1948). Некоторые из приводимых задач мне были указаны преподавателем Томского педагогического института В. Н. Юдиным.

В школьном учебнике алгебры Киселева приведена классическая задача Клеро о двух источниках света (§ 136, ч. II) с подробным исследованием, но даже эта задача в школах часто не рассматривается, может быть, из-за своей громоздкости.

Достаточное число задач можно найти как в вышеупомянутых сборниках задач и статьях, так и в других задачниках по математике и физике.

1. Пример задачи, когда оба корня квадратного уравнения дают решение задачи (Шапошников и Вальцов, ч. I, гл. VIII, № 82).

Колхоз сдал ржи на 10 ц больше, чем овса. За рожь было получено 280 руб., а за овес 180 руб. Центнер ржи стоит на 1 рубль больше, чем центнер овса. Сколько центнеров ржи и овса сдано вместе^

Уравнение:

X2 — 200 X + 9100 = 0

дает два решения задачи: 130 ц или 70 ц.

Аналогичные задачи из того же сборника: гл. VIII, № 87, 88, 100, 107.

2. Пример задачи, когда только один корень дает решение, а второй явно противоречит подразумеваемым условиям задачи.

Пароход прошел по течению реки 48 км и столько же против течения и употребил на весь путь 5 часов. Определить скорость парохода в стоячей воде, считая скорость течения реки равной 4 км в час. (Ларичев, ч. II, гл. III, № 148.)

Уравнение:

5л:2 — 96 х- 125 = 0 имеет корни:

Решением задачи может быть только положительный корень

хг = 20 км в час.

Задачи такого типа затруднений не вызывают.

3. Пример задачи, не имеющей решения. Корни квадратного уравнения не удовлетворяют условиям задачи.

Несколько человек должны были заплатить 50 руб. Если бы их было двумя меньше, то каждому пришлось бы заплатить тремя рублями больше. Сколько было человека

Корни уравнения:

Зл;2 — 6а:— 100 = 0 иррациональные, что противоречит подразумеваемому условию задачи. Ответ должен быть положительным целым числом. Такие задачи также затруднений не вызывают.

4. По шоссе едут экипаж и автомобиль по одному и тому же направлению. Экипаж находится на 84 м впереди автомобиля и едет равномерно со скоростью 3 м в секунду. Автомобиль же проезжает в первую секунду 8 м, а в каждую следующую на 0,1 м меньше, чем в предыдущую. Сколько времени будет ехать автомобиль, пока не поравняется с экипажем?

(Шапошников и Вальцов, ч. II, гл. XV, № 57.)

Применяя формулу суммы членов арифметической прогрессии, получим уравнение:

*» —101 X +1680 = 0.

Оба корня:

хг = 2\ и л:я = 80

удовлетворяют условиям задачи. Смысл ответов различный. Через 21 сек. автомобиль догонит экипаж, а через 80 сек. экипаж догонит автомобиль, так как экипаж едет равномерно, а автомобиль равнозамедленно.

В дальнейших примерах задачи формулируются в общем виде. В таких задачах необходимо исследование уравнений, т. е. установление соотношений между данными в условии задачи величинами, при которых задача имеет решение.

5. Камень падает в колодец, и звук его падения наблюдатель услышал через t сек. после начала падения. Найти глубину колодца, если скорость звука v м в секунду и g— ускорение свободного падения. (Задача Ньютона.)

Задача приводит к уравнению:

Освобождаясь от радикала, получим квадратное уравнение:

Оба корня — положительны:

Неявное условие задачи требует, чтобы выполнялось неравенство:

т. е. глубина колодца меньше пути, проходимого звуком за все время t от начала падения камня.

Таким образом, только первый корень дает решение задачи.

Хорошим примером подобного же типа является задача № 128. (Шапошников и Вальцов, гл. XI, ч. II.)

6. В равностороннем треугольнике высота менее стороны на т. Определить сторону.

(Н. Рыбкин, Сборник задач по геометрии, ч. I, § 10, № 24—3.)

Сторона может быть найдена как корень уравнения:

х* — 8 хт -|— 4 т? = 0.

Корни уравнения — положительные:

Решение задачи определяется дополнительным условием задачи: разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, а поэтому:

х>2т. Задача имеет одно решение:

7. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v. Через сколько времени оно будет находиться на высоте А?

Квадратное уравнение:

имеет корни:

Возможны различные случаи:

1) V2 — 2hg<0. Корни уравнения — мнимые. Задача не имеет решения: тело не достигнет высоты А.

2) v2 — 2hg>0. Уравнение имеет один действительный корень. Тело достигает высоты Л.

3) v2 — 2hg>0. Оба корня уравнения — положительные.

Тело будет находиться на высоте А дважды: в момент времени tx и t2. Первый раз (tx), когда тело движется вверх, а второй раз (£2), когда тело падает вниз, достигнув максимальной высоты.

Часто решение задачи приводит к нахождению двух чисел по их сумме и произведению, т. е. к решению системы уравнений:

Решая каким-либо известным способом эту систему, получают два решения:

* Это неравенство следует также из условия:

(Редакция)

В конкретных задачах иногда это означает действительно два решения, иногда же только указывает на симметричность искомых величин.

8. Найти диагонали и сторону ромба, если его площадь равна 24 кв. см, а периметр на в см больше суммы диагоналей.

Для диагоналей получается две системы значений: 6 см и 8 см, 8 см и б см. Учащиеся иногда считают их как два решения задачи.

9. Найти двузначное число, если сумма его цифр равна 10, а произведение 21.

Получаемые две системы значений: 3 и 7, 7 и 3 — дают два решения задачи 37 и 73.

10. Найти отношение двух чисел, если их среднее арифметическое относится к их среднему геометрическому, как 25:24.

Для искомого отношения получаются два значения: -щ и -g- . эти числа различные, но взаимообратные значения дают два отношения двух чисел: первого ко второму или второго к первому.

11. На чашку, подвешенную к пружине с коэффициентом упругости k, падает с высоты h груз массы m и остается на чашке. Чашка начинает колебаться. Определить амплитуду колебаний чашки. Массой чашки пренебрегаем (Шаскольская и Эльцин, Избранные задачи по физике, № 63).

Для наибольшего отклонения х получаем квадратное уравнение:

kx2 — 2 mgx — 2 mgh = 0.

Корни этого уравнения — действительные, но имеют разные знаки. Положительный корень дает наибольшее отклонение вниз, а отрицательный— наибольшее отклонение чашки вверх.

Положение равновесия чашки с грузом соответствует:

Амплитуда колебания:

12. Разделить отрезок в крайнем и среднем отношении. Длина отрезка равна а.

Решение приводит к квадратному уравнению:

Положительный корень определяет точку, делящую отрезок внутренним образом, а второй корень определяет точку на продолжении отрезка, то-есть точку, делящую отрезок внешним образом.

13. В данный квадрат, стороны которого а, вписать другой квадрат, стороны которого b (Шапошников и Вальцов, ч. II, гл. XXIII, задача № 32).

Обозначая через х расстояние от вершины данного квадрата до вершины вписанного квадрата, получаем квадратное уравнение:

Корни этого уравнения:

Рассмотрим возможные случаи:

а) 2Ь2 — а3<0. Задача не имеет решения. Вписание невозможно.

б) 2 Ь2 — а2 > 0, а2—Ь2>0 или £2<а2<2 Ь2.

Корни — положительные. Различные корни дают два возможные положения вписанного квадрата. Если а2 = 2Ь2, то решение — единственное. В этом случае вершины вписанного квадрата делят пополам стороны данного квадрата.

в) а = Ь. Квадраты совпадают.

г) 2Ь2 — д2>0, а2— Ь'<0, то-есть а<Ь.

В этом случае корни уравнения имеют разные знаки и положительный корень больше стороны данного квадрата. Соответствующие точки мы можем указать на продолжениях сторон квадрата. Полученные точки определяют вершины квадрата, «внешним образом» вписанного в квадрат, то-есть квадрата с вершинами на продолжениях сторон данного квадрата. Два корня дают два возможные способа внешнего вписания квадрата в квадрат.

В задачнике Шапошникова и Вальцова случаи в) и г) считаются невозможными.

В заключение укажем примеры, выходящие за рамки курса средней школы.

Многие вопросы колебания струн, стержней и других тел приводят к квадратному уравнению:

Если корни этого уравнения — чисто мнимые, то колебание — простое гармоническое. Если корни — комплексные, то колебания или затухающие, или с возрастающей амплитудой.

Если корни действительны, то движение не периодическое.

В квантовой механике получается следующее соотношение между импульсом и энергией электрона.

где g— импульс, Е — энергия, т0 — масса электрона, с — скорость света. При данном импульсе это соотношение дает два значения

для энергии электрона: положительное и отрицательное:

Соображения квантовой механики не позволяли отбросить отрицательное значение для энергии. Было сделано предположение о существовании частиц с отрицательной энергией или с положительным зарядом. Дальнейшими экспериментальными исследованиями были обнаружены такие частицы, получившие название позитронов. Так, правильное исследование корней квадратного уравнения помогло сделать одно из крупнейших научных открытий.

Приведенные примеры показывают значение исследования уравнений и выяснения смысла полученных решений в различных задачах.

Некоторые теоретические вопросы исследования уравнений и задач разобраны в статье Г. Л. Невяжского и С. И. Новоселова «Об исследовании уравнений» (журнал «Математика в школе», № 2 за 1946 г., стр. 15—30). О квадратных уравнениях сделаны только отдельные замечания по ходу изложения общих вопросов.

Простейшим видом исследования, встречающимся в задачах, является простой отбор корней уравнения, удовлетворяющих условиям задачи (примеры 1, 2, 8). Иногда задача исследования усложняется необходимостью объяснять полученные два решения (примеры 1, 4, 8, 9, 10, 11, 12).

Несколько более сложным является отбор корней с простым исследованием неявных условий задачи (примеры 5, 6).

Следующим по сложности видом исследования задач можно считать отбор корней с исследованием возможных значений входящих в уравнение параметров (пример 7). Наконец, наиболее общий случай — отбор корней с полным исследованием возможных значений параметров и объяснением полученных решений (пример 13, задача о двух источниках света).

Такое последовательное усложнение исследования задач в школьном преподавании могло бы способствовать большему математическому развитию учащихся в средней школе.

От редакции. В № 6 журнала за 1951 год в статье В. Н. Молодшего, по техническим причинам, выпал конец фразы и новый абзац (стр. 5, строка 29 сверху, правый столбец): ее развития. Тогда возникает необходимость создания новых способов обоснования математики, нового толкования математической строгости, способных охватить расширившееся фактическое содержание математики и создать возможности его дальнейшего развития.

ИЗ ОПЫТА

О ПРЕПОДАВАНИИ СИСТЕМАТИЧЕСКОГО КУРСА УРАВНЕНИЙ В VII КЛАССЕ

П. А. БУДАНЦЕВ (Чкалов)

В этой статье изложен тот примерный план, по которому проводилось изложение темы о равносильности уравнений в нескольких школах г. Чкалова, а также даны методические указания, которые возникли при изучении и обобщении опыта.

Некоторая новизна для школы трактовки решения уравнений, в связи с рассмотрением так называемых «допустимых значений», не только не затрудняет сознательное усвоение всех вопросов теории и практики, но позволяет дать методическую обработку всей темы, способствующую приобретению более прочных знаний и навыков.

В последние два года мы давали на приемных экзаменах в Чкаловском пединституте те же примеры уравнений и систем уравнений, которые предлагались в конце 1-го полугодия и в конце 3-й четверти ученикам VII класса изучаемых школ г. Чкалова. Результаты получились более чем поучительные, — они свидетельствовали о том, что семиклассники давали решения несравненно более сознательные и грамотные, чем лучшие выпускники школ; то же подтвердил и устный опрос поступающих в пединститут.

Статья написана для учителя, поэтому не следует думать, что таким же языком надо вести объяснения учащимся, исключения представляют формулировки, которые мы рекомендуем записать учащимся в том виде, как они указаны в нашей статье, конечно, после предварительного разъяснения и иллюстрации на конкретных примерах.

Уравнения с одним неизвестным

§ 1. Общие понятия

Существенным для теории и практики решения уравнений является взгляд на математическое выражение как на функцию букв-аргументов, а именно: при построении теории и практики решения уравнений мы опираемся на понятие области определения функции (у нас — выражения).

Примеры. 1. Пусть мы имеем функцию у = 10 + 20 Ху где X — количество слов в телеграмме, 10 — стоимость квитанции в копейках, 20 — цена одного слова в копейках, а у — стоимость всей телеграммы. Если, например, установлен максимум слов для телеграммы в 30 слов, а менее 6 слов обычно телеграмма не бывает, то область определения функции ^=10-}-20 л: есть множество всех натуральных чисел от 6 до 30.

2. Пусть мы имеем функцию у = 10 —|— 20 л:, заданную независимо от конкретного условия, тогда область ее определения есть множество всех известных учащимся чисел. Применительно к VII классу — множество рациональных чисел, так как при любых рациональных значениях х выражение 10+20 л: имеет числовое значение.

3. Пусть имеем функцию:

область ее определения—множество всех рациональных чисел, кроме + 1 и — 1.

Известно, что в анализе функции:

считают тождественными и за область определения как той, так и другой принимают множество всех рациональных чисел, кроме — 1.

В VII классе мы считаем правильным стать на первую точку зрения, т. е. областью определения дробной функции считать множество всех рациональных чисел, кроме корней многочленов-знаменателей. В данном примере область определения — множество всех рациональных чисел, кроме и —1.

В дальнейшем нам придется иметь дело не с одной функцией (выражением), а с парой функций—при изучении одного уравнения или с несколькими парами функций—при изучении систем уравнений. В этих случаях область определения левой и правой частей уравнения (совместно) определяется как общая часть областей определения всех функций, входящих в уравнение или в систему. Например, область определения для обеих частей уравнения

составляют все рациональные числа, кроме zzz 1.

Введем основные понятия, связанные с понятием равенства.

Равенством называют всякие два математические выражения, соединенные знаком равенства =.

Примеры равенств:

Равенства 1—3 содержат числа, обозначенные только цифрами, они подразделяются на равенства: верные (1-е равенство), неверные (2-е равенство) и бессмысленные (3-е равенство).

Равенства 4—9 содержат числа, выраженные буквами, эти буквы обозначают любое число из множества допустимых для них значений.

Буквы, обозначающие неизвестные числа, называются неизвестными, а буквы, обозначающие известные числа, — параметрами.

Определение 1. Уравнением называется равенство, содержащее одно или большее число неизвестных.

Определение 2. Тождеством называется равенство, являющееся верным при любых допустимых значениях, входящих в него букв. Тождеством также называют и всякое верное равенство.

Следовательно, такие равенства, как 1), 7), 8), суть тождества.

Определение 3. Корнем уравнения называется каждое допустимое значение неизвестного, обращающее уравнение в тождество.

Очевидно, что число корней уравнения зависит от множества допустимых значений для неизвестных и параметров.

Пример. Уравнение

в множестве целых чисел не имеет корней, в множестве положительных чисел имеет один корень , в множестве действительных чисел имеет два корня

в множестве комплексных чисел — четыре корня

в множестве мнимых чисел — два корня

Решить уравнение, не содержащее параметров,— значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Решить уравнение, содержащее параметры,— значит н~йти все его корни или установить, что их нет, для каждой из допустимых систем значений параметров.

Пример. Решить уравнение ах= Ь, если a, b и X — любые рациональные числа.

Ответы.

2. X — любое рациональное число при а=0 и è = 0.

3. Нет корней при а = 0 и bzjbQ. Уравнение, содержащее параметры, может не иметь корней. Это ясно из следующего примера:

§ 2. О равносильности уравнений

Определение 4. Два уравнения называются равносильными, если они не имеют корней или если всякий корень первого уравнения является корнем второго и, обратно, всякий корень второго уравнения является корнем первого.

Имеемся в виду, что множество допустимых значений для обоих уравнений одно и то же.

Два уравнения в зависимости от множества допустимых значений могут быть как равносильными, так и неравносильными. Например, уравнения:

1) лг-f 3 = х и 2) Зх=. Ю

равносильные, если допустимые значения х — целые числа (нет корней), и неравносильные, если допустимые значения х — рациональные числа.

Ниже перечислены основные теоремы о равносильности уравнений в том порядке, в котором на них в дальнейшем будет делаться ссылка*.

Теорема 1. (Транзитивность понятия равносильности.) Два уравнения, порознь равносильные третьему, равносильны между собой.

Теорема 2. Если к обеим частям уравнения (исходного) прибавить выражение, имеющее числовое значение при всех допустимых значениях неизвестных и параметров, то полученное уравнение (выводное) равносильно исходному.

Теорема 3. Если обе части уравнения (исходного) умножить на выражение, имеющее числовое значение, отличное от нуля при допустимых значениях неизвестных и параметров, то полученное уравнение (выводное) равносильно исходному.

§ 3. План и методические указания к теме Уравнения с одним неизвестным»

I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (2 часа)

1. Классификация равенств. Понятие о допустимых значениях неизвестного в уравнении.

Учитель на доске, ученики в тетрадях пишут ряд равенств.

Например:

Даются объяснения и определения: 1-е равенство — верное равенство; 2-е равенство — неверное равенство; 3-е—10-е равенства — уравнения; 1-е, 8-е и 9-е равенства — тождества;

Формулируются и записываются определения уравнения и тождества (см. определения 1 и 2). Мы имеем в виду, что определения уравнения и тождества, данные нами в начале статьи, могут быть приняты в VII классе средней школы. В таком виде они изложены, например, в учебнике алгебры для VI—VII классов П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова.

Эта же точка зрения отстаивается в книге А. Н. Барсукова «Уравнения 1-й степени в средней школе». Далее, для разъяснения смысла и необходимости введения понятия «допустимые значения» может быть рассмотрено решение, например, таких задач:

Если из 30 вычтем утроенное неизвестное число, то получим 6.

Найти неизвестное число.

Определить число десятков двузначного числа по следующему условию: если из 30 вычесть утроенное число десятков двузначного числа, то получим 6.

Метеоролог одно и то же число дней в неделю наблюдал за погодой, всего он наблюдал 30 дней. После трех недель ему осталось наблюдать еще 6 дней. Сколько дней в неделю велось наблюдение?

Решая все эти задачи с помощью уравнения, приходим к одному и тому же уравнению:

30 — Злг = 6,

но учащимся должно быть разъяснено, что буква X в первом случае обозначает любое рациональное число, во втором натуральное число в промежутке от 1 до 9 и в третьем в промежутке от 1 до 7.

Эти множества чисел и будут теми допустимыми значениями неизвестного, которые определяются условиями задачи.

Следует разъяснить, что одно и то же уравнение, но при различных допустимых значениях может иметь различное число корней; так, в первых двух случаях уравнение имеет решение х = 8, а в 3-м случае уравнение и задача решений не имеют, так как не могло вестись наблюдение 8 дней в неделю.

Таким образом, разъясняется, что буква в уравнении в различных случаях может обозначать различные числа. Эти числа называют допустимыми значениями неизвестного.

Замечание. Вопрос о допустимых значениях букв-аргументов учителями отрабатывается с самого начала изучения алгебры, при первой встрече учащимися с буквами-аргументами.

Если, например, выражение \0a+b обозначает запись двузначного числа, имеющего а десятков и b единиц, то учащиеся понимают,

* От редакции. Доказательства опущены, так как учитель может их найти в учебниках элементарной алгебры для педагогических и учительских институтов.

что буква а обозначает любое натуральное число от 1 до 9, а буква b — любое натуральное число от 0 до 9.

2. Понятие о корне уравнения и задаче решения уравнения.

Формулируется и записывается учащимися в тетради определение корня уравнения (см. определение 3).

Далее находятся корни уравнений 4—10 или устанавливается, что их нет, при различных допустимых значениях неизвестного (например, целые числа, положительные числа, отрицательные числа, рациональные числа, четные числа и т. д.)

Здесь также обращается внимание учащихся, что с изменением множества допустимых значений может измениться число корней одного и того же уравнения.

Также формулируется и записывается в тетради задача решения уравнения (что значит решить уравнение?), примерно в такой редакции:

Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что их нет.

Для закрепления выполняется упражнение (см. § 4).

II. ПОНЯТИЕ О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ (1 час)

1. Выписываются на доске пары уравнений:

Разъясняется понятие о равносильных и неравносильных уравнениях.

Так, 1-я пара — равносильные уравнения;

2-я пара — равносильные уравнения;

3-я пара — неравносильные уравнения, если допустимые значения х—рациональные числа, и 3-я пара — равносильные уравнения, если допустимые значения х—положительные числа.

Таким образом, вопрос о том, будут ли два уравнения равносильными или неравносильными, связан с множеством допустимых значений.

По окончании обсуждения понятия равносильности уравнений дается определение этого понятия (см. определение 4).

Далее выполняется упражнение 2, § 4.

III. ПЕРВОЕ СВОЙСТВО УРАВНЕНИЙ (2 часа)

Взять пример уравнения, которое трудно решить известными учащимся способами, и прийти к необходимости изучить свойства уравнений, позволяющие преобразовывать сложное уравнение в простое. Примером может служить уравнение:

Записать на доске пары уравнений

Исходное Выводное

и установить равносильность каждой из четырех пар. Доказательство равносильности можно провести так:

при любых рациональных значениях неизвестного:

следовательно, числа:

а также числа:

не равны, так как если к неравным числам прибавить равные, то получим неравные числа, следовательно, пары 1) и 2) не имеют корней, поэтому они равносильные (согласно определению).

Равносильность 3-й и 4-й пар уравнений можно доказать так, как это сделано в школьном учебнике, ссылаясь на свойства верных равенств. Формулировка 1-го свойства тоже может быть дана такой, как в учебнике Киселева.

Если доказательство, приведенное в учебнике Киселева, будет непосильным, то можно ограничиться проверкой того, что корень исходного уравнения является корнем выводного и наоборот (корни можно указать самому учителю). Мы полагаем, что в теории равносильности уравнений для VII класса существенно понимание смысла свойств уравнений, а не общность доказательств этих свойств. Важно, чтобы учащиеся хорошо понимали и сознательно применяли свойства уравнений при их решении, чтобы тем самым процесс решения уравнения способствовал развитию логического мышления.

Педагогическая практика убедила нас в том, что отказ от осмысливания процесса решений уравнений в VII классе и усвоение только одной техники решения приводит к отрицательным последствиям. Учащиеся благодаря длительной практике привыкают к мысли о том, что всевозможные преобразования уравнений являются само собой очевидными и законными, поэтому многие из них внутренне протестуют против обоснования этих преобразований в старших классах, другие же есте-

ственно затрудняются в обосновании положений, для них с очевидных». Эти явления мы наблюдали не только в школе, а даже на физико-математическом факультете педагогического института. Процесс переучивания и переубеждения весьма мучителен, труден и не всегда заканчивается успешно.

Следует решить в классе и дома с помощью 1-го свойства несколько уравнений вида:

ах + b = ex + d, которые затруднительно решить только на основании зависимостей между компонентами действий.

На примерах уравнений, решенных на основании 1-го свойства, изучаются следствия из этого свойства.

Для этого примеры следует подобрать так, чтобы учащиеся могли заметить, что прибавление (или вычитание) членов уравнения к обеим частям равносильно переносу этих членов из одной части уравнения в другую с переменой перед ними знаков или уничтожению их (опусканию равных членов в обеих частях).

Замечание. Можно разъяснить на примере, что 1-е свойство не будет верным, если прибавляемое или вычитаемое выражение не имеет смысла при некоторых допустимых значениях неизвестного.

Например, уравнения:

неравносильны, если допустимые значения исходного уравнения—любые рациональные числа.

Можно разъяснить, что в формулировке 1-го свойства говорится о прибавлении или вычитании числа, поэтому если приходится прибавлять или вычитать выражение, содержащее неизвестное (а в дальнейшем и параметры), то нужно следить, чтобы это выражение имело числовой смысл при допустимых значениях неизвестного. При решении уравнений обычно прибавление и вычитание связано с переносом выражения из одной части в другую, в случае целых выражений они всегда имеют числовой смысл, а в случае дробных они тоже имеют числовой смысл при допустимых значениях неизвестных.

IV. ВТОРОЕ СВОЙСТВО УРАВНЕНИЙ (2 часа)

1. На доске записывается несколько пар уравнений.

Исходное уравнение

Выводное уравнение

Формулировка 2-го свойства может быть дана такой, как в учебнике Киселева.

2. На примерах, аналогичных нижеследующим, разбирается смысл ограничений, указанных в формулировке 2-го свойства.

Исходное уравнение

Выводные уравнения

На этих примерах разъясняется, что умножение обеих частей уравнения на нуль или выражение, содержащее неизвестное, может привести к уравнению, неравносильному данному (1-я, 2-я и 4-я пары), поэтому в формулировке 2-го свойства говорится об умножении или делении только на число, отличное от нуля.

Для пар 6 и 7 выражения, на которые умножаются или делятся части уравнения, имеют числовое, отличное от нуля значение при всех допустимых значениях х. Для пары 1 выражение х_ ^ не при всех допустимых значениях имеет числовое значение, что и привело к неравносильному уравнению.

3. Решается несколько уравнений на основании 2-го и 1-го свойств (в классе и дома).

Пример решения уравнения.

2. 3 (х — 3) = 5 (х — 4) (2-е свойство: обе части уравнения умножили на 15 и тождественные преобразования: сокращение дробей).

3. Зл:—9z=5x—20 (тождественные преобразования);

4. Зх — 5л: = 9 — 20 (1-е свойство);

5.—2х =— 11 (преобразования);

6. je = 5,5 (2-е свойство: обе части уравнения разделили на — 2).

Попутно можно пояснить транзитивность понятия равносильности уравнений и объяснить равносильность 1-го и 6-го уравнений. Далее выполняется упражнение II б, § 4.

V. УПРАЖНЕНИЯ НА РЕШЕНИЕ ЦЕЛЫХ УРАВНЕНИЙ (13 часов)

1. Упражнения подбираются из стабильного задачника, из числа приведенных нами в § 4, и могут быть составлены самим учителем.

Привожу примеры решения уравнений, содержащих параметры.

Пример 1.

(а—2) х = а*—4 — исходное уравнение.

Допустимые значения а и х — любые рациональные числа.

1-й ответ:

jc = a-)-2

при аф2. 2-й ответ:

X — любое рациональное число при а = 2.

Объяснение ко 2-му ответу. При а = 2 исходное уравнение:

{а—2) х = а2 — 4

примет вид 0-л: = 0, и ясно, что корнем будет любое допустимое значение х> в данном случае любое рациональное число.

Учащиеся должны понимать, что уравнение х = а+2 равносильно исходному лишь при условии, что аф2у поэтому при а = 2 рассматривалось не выводное уравнение х=а+2, а исходное; если подставить вместо а число 2 в уравнение х = а+2, то получим уравнение л; = 4, которое неравносильно уравнению 0д; = 0, и поэтому нельзя (в данном случае) судить о корнях исходного уравнения по корням выводного.

Пример 2.

Ответы.

2. при т = — 2, X — любое рациональное число;

3. при m = 2 — корней нет.

Возможна такая запись 2-го и 3-го ответов:

2. При т = —2 уравнение 4 примет вид 0-л:=0, следовательно, х—любое рациональное число.

3. При m = 2 уравнение 4 примет вид О 'X = 4, следовательно, корней нет.

Учащиеся должны понимать, что исходное уравнение равносильно 2-му, 3-му и 4-му при любых допустимых значениях т, в том числе и для т=2 и m =—2, поэтому ради удобства при m = 2 и т = — 2 решалось 4-е уравнение. Указания на свойства уравнений являются свидетельством сознательности решения и наличия привычки обосновывать логически каждый шаг, что, по нашему мнению, имеет большое значение в деле развития логического мышления и критического подхода к изучаемым вопросам.

После решения нескольких примеров следует сформулировать задачу решения уравнения, содержащего параметры, так, как это сделано в § 2.

Учащиеся обычно объясняют смысл решения уравнения с параметрами следующим образом (применительно ко 2-му примеру). Когда найдено решение х = т ^ — 2) П^И тФ^ и m ф — 2, то ученик говорит: «Мы еще должны дорешить уравнение при остальных допустимых значениях m, а именно: при /я = 2 и т = — 2».

Хорошим контрольным вопросом со стороны учителя может быть такой: «Скажите, какой из трех ответов надо взять:

1) при /я=10; 5; —3 и т. п.; 2) при m = 2; 3) при т = — 2 и 4) при m = О?»

На последний вопрос ответ дается примерно такой: «При т = 0 мы уравнения не решали и не можем решать». Параллельно с примерами следует решать и задачи (элементарные навыки в составлении уравнений по условию задачи должны быть усвоены еще в VI классе), где надлежащее внимание уделяется допустимым значениям неизвестного.

VI. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА (2 часа)

Ниже приводится примерное содержание контрольной работы.

1. Задача. В трех квартирах живет 14 человек. Во второй квартире живет на 2 человека меньше, чем в первой, а в третьей на 1-го человека меньше, чем во второй. Сколько человек живет в каждой квартире? Ответ: задача решения не имеет.

2. Решить уравнение:

3. Решить уравнение:

VII. УСЛОВНЫЕ И БЕЗУСЛОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА (4 часа)

1. Понятие об условном и безусловном неравенстве.

2. Свойства безусловных неравенств. Если то

Все эти свойства поясняются на частных примерах. Например, если 5>2, то 5(—3)< <2-(— 3), так как — 15 < — 6.

3. Свойства условных неравенств.

Исходное неравенство

Выводное неравенство

Объясняется, что все 4 пары неравенств равносильные.

Примеры для решения простейших неравенств с одним неизвестным можно брать из раздела «Уравнения», заменяя знак равенства знаками неравенства.

Мы перечислили только содержание материала, которое, полагаем, необходимо изучить в VII классе.

Определения и свойства неравенств могут быть сформулированы и изложены по аналогии с соответствующими вопросами для уравнений.

Исключением здесь будет лишь то, что, вместо одного 2-го свойства уравнений, будет два свойства: 2-е и 3-е.

Методическая разработка теории неравенства может быть аналогична той, которая дана для уравнений, только в более сжатой форме. Следует ограничиться лишь простейшими примерами.

VIII. РЕШЕНИЕ ДРОБНЫХ УРАВНЕНИЙ (4 часа)

1. На примере дробного уравнения учащимся разъясняется, что всякое дробное уравнение на основании второго и третьего свойств и тождественных преобразований может быть преобразовано в равносильное ему целое уравнение.

В качестве примера рассмотрим решение дробного уравнения, содержащего параметры:

Допустимые значения

Ответы. 1. При Ьф2 нет корней.

2. Если 0 = 2, то X—любое допустимое значение, т. е. хфdzl (оба ответа даны при с любом рациональном).

IX. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ЗА ПОЛУГОДИЕ (2 часа)

§ 4. Дополнительные упражнения к задачнику Шапошникова и Вальцова

I. Указать, какие из ниженаписанных равенств — уравнения

Указать решения уравнений 3 — 14 в упражнении, если множество допустимых значений соответственно: 1) множество целых положительных чисел; 2) множество целых отрицательных чисел; 3) множество положительных чисел; 4) множество отрица-

тельных чисел; 5) множество четных чисел и 6) множество всех рациональных чисел.

II. Понятие равносильности и свойства уравнений

Рассматривая упражнения 1, указать, равносильны ли следующие уравнения:

1) Уравнения 3-е и 4-е, 3-е и 5-е, 3-е и 6-е, 4-е и 6-е, если множество допустимых значений х есть множество всех рациональных чисел.

2) Уравнения 3-е и 7-е, если множество допустимых значений х есть множество всех: а) рациональных чисел, б) отрицательных чисел, в) нечетных чисел.

3) Уравнения 10-е и 14-е, если множество допустимых значений х есть множество: а) рациональных чисел, б) положительных чисел.

4) Уравнения 11-е и 13-е, если множество допустимых значений х есть множество рациональных чисел.

5) Уравнения 10-е и 11-е, если множество допустимых значений х есть множество: а) целых чисел, удовлетворяющих условию: 1<*<2, б) рациональных чисел.

6) Равносильны ли следующие пары уравнений:

III. Решить уравнения, не содержащие параметров

IV. Решить уравнения, содержащие параметры

Начинать следует с самых простейших уравнений типа:

и далее более сложные:

Системы линейных уравнений

§ 5. Уравнение со многими неизвестными

Определения. Решением уравнения с несколькими неизвестными называется система допустимых значений неизвестных, обращающая уравнение в тождество.

Задача решения одного уравнения со многими неизвестными та же, что и для одного уравнения с одним неизвестным.

Число решений уравнения со многими неизвестными зависит от множества допустимых значений неизвестных и параметров.

Например, уравнение

имеет различные решения в зависимости от множества допустимых значений для неизвестных.

Существуют уравнения со многими неизвестными, не имеющие решений, имеющие одно или конечное число решений и имеющие бесконечное множество решений.

Примеры: 1) Уравнение

не имеет решений.

2) Уравнение

не имеет решений.

3) Уравнение

не имеет решений в множестве действительных чисел.

4) Уравнение

имеет решением любую систему значений х и у.

5) Уравнение

а;3 4-У = 0

имеет одно решение в множестве действительных чисел.

§ 6. Системы уравнений

Пусть мы имеем систему п уравнений, которые запишем так:

где m и п — любые натуральные числа.

Определение. Решением системы уравнений называется всякое общее решение для всех уравнений системы.

Система уравнений либо не имеет решений, либо имеет конечное число решений, либо бесконечное множество решений.

Примеры.

§ 7. О равносильности систем уравнений

Определение. Две системы называются равносильными, если они не имеют решений или если всякое решение одной системы является решением другой и наоборот.

Понятие равносильности систем является понятием относительным. Например, две системы:

являются равносильными, если допустимые значения для неизвестных — положительные числа (нет решений), и неравносильными, если множество допустимых значений для неизвестных есть, например, множество рациональных чисел.

Теорема 1. (Теорема о транзитивности равносильности систем.) Две системы уравнений, порознь равносильные третьей, равносильны между собой.

Теорема 2. Если уравнения /г(х,у) = 0 и /2 (л:, у) = 0, а также уравнения со, (л:, у) = 0 и ъ(х> У) = Q равносильны между собой, то и системы уравнений:

равносильны.

Теорема 3 (служащая обоснованием способа подстановки). Системы:

Исходная система

и

выводная система

равносильны.

Теорема 4 (служащая обоснованием способа «алгебраического сложения»). Если Ь ф0, то системы: исходная система

выводная система

равносильны.

Мы считаем, что существующая традиция разучивать пять случаев исследования системы двух линейных уравнений и ее перенесение в школу (X кл.) есть остаток тенденции к разучиванию определенной схемы для автоматического решения систем. Следует практиковать решение каждой системы на основании теоремы 3 или 4 и не заучивать никаких готовых схем даже в X классе.

Насколько вредны схемы и особенно неосознанные, можно проиллюстрировать на примерах решения систем поступающими на физико-математический факультет Чкаловского государственного педагогического института в 1948—1950 годах.

Привожу типичные и весьма распространенные ошибки в решении систем у поступающих на физико-математический факультет.

К великому сожалению, многие ученики приводят следующие «исследования», которые вовсе и не требовались в задании:

1. При т = 0 система имеет одно конечное решение, другое — бесконечное (?!)

2. Значение х— неопределенное; если 2=0(??) и 1 = 0(!?); значение у — неопределенное, у = — , если 1 = 0(1?) и m = 0 ^причем для исследования значения х решение х = 2 было переписано так: jc = -^-^.

3. Те ученики, которые составляли определитель системы Д = —т(3+т), исследование при т — 0 и т =—3 провели так: при т = 0 так, как в п. 1, а при т = —3 писали решение: х = 2\ у= —т- и поясняли, что при m = —3 система имеет одно определенное решение: х = 2; у =.--— .

Поучительно то, что, во-первых, ученики не понимают, когда выводная система (III) равносильна исходной (I) и когда нет, и что, во-вторых, исследование исходной системы ведут по выводной. Наблюдения показали, что если учитель больше внимания обращает на осознание процесса решения и меньше занимается с учащимися заучиванием готовых схем„ то такие несуразные решения не приходится наблюдать не только у десятиклассников, но и у семиклассников.

§ 8. План изучения систем линейных уравнений в VII классе

I. ОДНО УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ И ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ у = ах + b и ах + by т с = 0 С ЧИСЛОВЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (2 — 3 часа)

Задача 1. Найти два однозначные числа, такие, чтобы сумма произведений первого на 10, а второго на 15 равнялась 1у0. Ответ: 1-е число x —7, 2-е число у = 8.

Задача 2. Имеются в неограниченном количестве монеты 10-копеечные и 15-копеечные. Сколько нужно взять тех и других, чтобы уплатить 1 руб. 90 коп.?

Ответ.

Задача 3. Найти два такие числа, чтобы сумма произведений первого на 10, а второго на 15 равнялась 190.

Ответ. Любая пара рациональных чисел, удовлетворяющая уравнению:

10jc+ 15^ = 190.

Задача 4. Найти два двузначные числа, такие, чтобы сумма произведений первого на 10, а второго на 15 равнялась 190.

Ответ. Решений нет.

Решение всех задач приводит к одному и тому же уравнению:

10*4-15^ = 190,

но допустимые значения- различные (числа однозначные, натуральные, рациональные и, наконец, двузначные).

При решении этих задач дается понятие о решении уравнения с двумя неизвестными, о зависимости числа решений уравнения от множества допустимых значений неизвестных.

Учащиеся должны усвоить, что:

1. Решением уравнения с двумя неизвестными называется такая система (пара) допустимых значений неизвестных, которая обращает уравнение в тождество (верное равенство).

2. Число решений зависит от множества допустимых значений неизвестных.

3. Задача решения заключается в нахождении всех решений уравнения или установлении факта, что их нет.

Следует привести примеры уравнений с двумя неизвестными, как не имеющих решений, так и имеющих конечное и бесконечное множество решений (см. приведенные в § 5 примеры).

Далее следует выполнять упражнения из «Сборника задач по алгебре», ч. 1, П. А. Ларичева, гл. VIII, § 1, № 1—7.

В результате выполнения упражнений учащиеся должны усвоить, что координаты точек, принадлежащих графику уравнения, суть решения этого уравнения.

II. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМЕ УРАВНЕНИЙ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ — МЕТОДОМ ПОДБОРА И ГРАФИЧЕСКИ (2 часа)

Задача 1. Найти два числа такие, чтобы их сумма равнялась 10, а разность 2.

Решая эту задачу методом уравнений, приходим к решению двух уравнений:

je —f- jv = 10 и X—у = 2.

Разъясняется, что значения х и у, удовлетворяющие условию задачи, должны удовлетворять одновременно обоим уравнениям.

Далее, решая каждое из уравнений, следует составлять таблицы значений х и у, удовлетворяющих каждому из уравнений, и одновременно строить графики уравнений: х+у = 10 и X—у = 2 (здесь еще раз должно быть подчеркнуто, что координаты графиков уравнений: х4-у=\0 и х—у = 2 суть решения соответствующих уравнений).

Для решения задачи надо найти такую пару (систему) значений х и у, которая бы удовлетворяла одновременно обоим уравнениям.

Рассматривая таблицы и графики, приходим к выводу, что такой системой значений является только система : х = б и у = 4, а на чертеже — координаты точки пересечения графиков, т. е. координаты точки M (6; 4) (точка, одновременно лежащая на обоих графиках).

Далее учащимся разъясняется, что решить систему уравнений — значит найти все решения, удовлетворяющие одновременно обоим уравнениям, или установить, что общих решений нет. Говорят, что уравнения составляют систему уравнений, и разъясняется, что уравнения связаны между собой тем, что разыскиваются общие решения.

Решением системы является общее решение уравнений системы, или, иначе, такая система допустимых значений неизвестных, которая обращает одновременно все уравнения системы в верные равенства.

Далее, на примерах следует разъяснить, что система уравнений так же, как и одно уравнение, либо не имеет решений, либо имеет конечное число решений, либо бесконечное множество решений.

Упражнения (Ларичев, гл. VIII, § 1, № 8—9).

III. СВОЙСТВА СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ (1 час)

1) На примерах разъясняется понятие о равносильности систем уравнений.

1-я пара систем уравнений

2-я пара систем уравнений 3-я пара систем уравнений

Системы 1-й и 2-й пары — равносильные, а системы 3-й пары — неравносильные.

После рассмотрения этих примеров можно дать определение равносильных систем уравнений.

Две системы уравнений называются равносильными, если они не имеют решений ила если любое решение одной системы является решением другой и наоборот.

2) Первое свойство систем уравнений (см. теорему 2).

Если уравнения двух систем—попарно равносильные, то и системы — равносильные.

Это свойство разъясняется на примерах систем уравнений, содержащих попарно равносильные уравнения, например следующие системы:

Исходная система

Выводная система

равносильные.

Во-первых, можно ограничиться проверкой того, что единственное решение системы 1 je = 1 ; у = 1 является единственным решением системы 2, после чего считаем, что равносильность установлена.

Во-вторых, равносильность систем можно разъяснить на графиках. Так как графики уравнений: х+у = 2 и х = 2—у — одинаковые, то координаты точек пересечения графиков уравнений 1-й и 2-й систем одни и те же, следовательно, и решения этих систем одни и те же.

В-третьих (доказательство): а) любое решение системы 1 будет и решением системы 2, так как уравнения систем попарно равносильные; Ь) любое решение системы 2 будет решением системы 1—по той же причине; с) если система 1 решений не имеет, то и система 2 также решений не имеет, ибо если допустить противное, что система 2 имеет решение, то имела бы решение и система 1, что противоречит условию.

Вывод. Системы 1 и 2 — равносильны.

Первые два приема установления 1-го свойства, конечно, не являются доказательством, но могут быть применяемы в том случае, когда доказательство покажется непосильным для учащихся.

3) Второе свойство систем уравнений (см. теорему 3).

Исходная система

Выводная система

Также можно провести доказательство на этих примерах систем или ограничиться проверкой того, что решение системы (I) X =^ 1,^=1 является решением системы (II).

IV. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ СПОСОБОМ ПОДСТАНОВКИ (2 часа)

После изучения двух свойств систем уравнений следует перейти к решению систем уравнений способом подстановки.

Поясняется, что все 5 систем — равносильные (свойство транзитивности), поэтому решение системы 5 является решением системы 1.

Необходимо также объяснить, что основная идея решения системы заключается в последовательной замене данной системы новыми системами, равносильными данной до тех пор, пока не получим систему вида: jc = a, у = Ь9 которая и дает решение данной системы. Существенным моментом в процессе решения является переход к такой системе, где одно из уравнений системы содержит только одно из неизвестных.

В нашем примере переход от системы 2 к системе 3, основанный на применении 2-го свойства, и является как раз существенным моментом во всем процессе решения. Этот переход (прием, способ) носит название способа подстановки.

V. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ СПОСОБОМ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ (2 часа)

Изучается 3-е свойство систем уравнений.

Исходная система

Выводная систем а

На примере этих систем дается доказательство 3-го свойства или только проверяется равносильность. Причем проверку здесь могут выполнить сами учащиеся, решив каждую из систем способом подстановки.

Отсюда вытекает соответствующая техника решения систем:

Далее на примерах систем:

объяснить, что число, на которое умножают обе части заменяемого уравнения, должно быть отлично от нуля, в противном случае может получиться выводная система, не равносильная исходной.

Так, в данном случае система I имеет только одно решение: jc=l, дг=1, а система II имеет, кроме этого, бесконечное множество других решений, удовлетворяющих уравнению:

х + у — 2 = 0.

VI. ПРАКТИКА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДВУХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ СПОСОБАМИ (5 часов)

В числе примеров систем, не содержащих параметров, должны быть системы как не имеющие решений, так и системы, имеющие бесконечное множество решений.

а) Пример системы, не имеющей решений:

Во-первых, учащиеся сразу могут сообразить, что система не имеет решений, так как одни и те же два числа х и у не могут в сумме давать одновременно и 3 и 5.

Во-вторых, решая способом подстановки, приходим к системе х+у = 3, 0«лг+O«^ = 2, второе уравнение которой решений не имеет, следовательно, выводная система и ей равносильная исходная также решений не имеют.

Наконец, решая способом алгебраического сложения, приходим к системе

{х+у = 3, 0.у = 29

равносильной исходной и, очевидно, не имеющей решений.

б) Пример системы, равносильной одному уравнению с двумя неизвестными:

Учащиеся непосредственно могут усмотреть, что система равносильна уравнению х+у =3, и, следовательно, решение системы сводится к решению одного уравнения х+у = 3, которое имеет бесконечное множество решений.

Решая способом подстановки, получаем систему

х=3 — у, 0 . jy = 0,

которая равносильна уравнению х = 3— у или уравнению х+у = 3, т. е. приходим к тому же выводу.

Решая способом алгебраического сложения, получаем систему

х+у = 3, О-лг + О.^О, также равносильную уравнению х + у = 3.

Следует иллюстрировать на графиках случаи, когда система не имеет решений или имеет бесконечное множество решений.

Рекомендуем выполнить упражнения № 58—65 в задачнике П. А. Ларичева.

При решении систем уравнений, содержащих параметры, необходимо соблюдать строгую последовательность в нарастании трудности решения, а также соблюдать чувство меры в выборе сложных примеров.

Наша точка зрения такова, что число параметров, как правило, в системе не должно превышать двух.

Примеры должны подбираться так, чтобы были случаи как несовместных, так и неопределенных систем при некоторых значениях параметров.

Привожу несколько примеров решения систем, содержащих параметры.

Пример 1.

Ответы.

Пример 2.

2) При а = —2 решение сводится к уравнению 2х-[-у =— 2, так как получаем систему — 2х — у = 2; Q.x = 0, равносильную уравнению 2x-f у = — 2.

Замечание. Рекомендуем иллюстрировать графически решения при а = — 2 и аф — 2. Аналогично и в других примерах.

Примеры более сложных систем помещены в § 5. Мы рекомендуем также задачник по алгебре А. И. Погорелова для учительских институтов.

VII. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРЕХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ (4 часа)

Одно уравнение с тремя неизвестными.

Изучается с учащимися: а) понятие о решении уравнения с тремя неизвестными; б) понятие о задаче решения уравнения с тремя неизвестными, в) вопрос о числе решений одного уравнения с тремя неизвестными.

На конкретных примерах и задачах эти вопросы изучаются аналогично тому, как это было указано выше для одного уравнения с двумя неизвестными.

Система двух уравнений стремя неизвестными.

Изучаются те же три вопроса, что и для одного уравнения, только применительно к системе двух уравнений. Для иллюстрации того, что система двух уравнений с тремя неизвестными может не иметь решений или иметь определенное число решений, можно решить задачи, аналогичные такой: сколько куплено цыплят, утят и гусят по цене соответственно 50 коп., 2 руб. и 3 руб., если всего куплено 100 штук на сумму 100 рублей?

Система трех уравнений с тремя неизвестными.

а) Повторяются те же три вопроса применительно к системе трех уравнений с тремя неизвестными.

б) На примере решения системы трех уравнений с тремя неизвестными разъясняется способ подстановки и способ алгебраического сложения.

Способ подстановки

Первое и второе свойства были доказаны для системы двух уравнений, теперь можно провести доказательство равносильности систем 1-й и 2-й и 2-й и 3-й и тем самым будут доказаны эти свойства для данной системы уравнений, но можно только проверить пригодность решения системы 6 для исходной системы и принять это свойство без доказательства.

Способ алгебраического сложения.

Доказав равносильность 2-й, 3-й и 5-й систем, мы тем самым докажем 3-е свойство для системы трех уравнений. Это доказательство нетрудно провести с учащимися на рассматриваемом примере, где для удобства доказательства свободные члены перенесены в левые части уравнений.

В дальнейшем техника решения системы трех уравнений способом алгебраического сложения должна быть такой:

Форма записи при решении систем уравнений нами всюду соблюдалась такая, что она напоминала сущность процесса решения системы, а именно: всюду система заменялась новой системой, равносильной предыдущей. Мы считаем, что предлагаемая форма записи, безусловно, предпочтительнее той, которая по традиции культивировалась в учебниках и в педагогической практике, там форма не только не напоминала об основной идее решения системы, а скорее способствовала забвению этой идеи, способствовала усвоению одной лишь формы без содержания.

VIII. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ (6 часов)

Методику этого вопроса мы не рассматриваем, но сделаем замечание, что задачи на составление систем уравнений могут решаться как параллельно с практикой решения систем уравнений, так и в специально отведенные в этом разделе часы.

При решении задач методом уравнений следует брать и такие, которые имеют бесконечное множество решений или совсем не имеют решений (см. задачи в конце статьи).

При решении задач следует отработать вопрос о решении систем уравнений, когда допустимые значения представляют некоторую часть множества рациональных чисел.

Так же, параллельно с решением задач, следует решать и примеры систем двух уравнений, содержащих параметры.

IX. ПРИМЕРНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ВСЕЙ ТЕМЕ 2 (часа)

Задача. Разность цифр двузначного числа равна 5. Обращенное число более первоначального на 45. Найти это число. Пример. Решить систему уравнений:

§ 9. Дополнительные упражнения к задачникам Шапошникова и Вальцова и Ларичева

I. Построить график функции у = 2 — х, если допустимые значения х и у соответственно: а) х я у — любые числа: б) х и у — положительные числа;

в)0Ои.у<0; 0<*<10 и 0<О<5;

г) X и .у— целые числа, д) х и у — целые числа, удовлетворяющие условиям 0 х ^ 10, 0 у :< 10.

II. Решить систему

аналитически

и графически, где допустимые значения х и у см. в упражнении 1.

III. Решить системы уравнений, содержащие параметры:

Упражнения, аналогичные приведенным, может составить сам учитель, а более сложные есть в лю-

бом сборнике задач по алгебре, в том числе у Шапошникова и Вальцова и у Ларичева.

IV. Задачи на составление уравнений и систем уравнений

1. Из числа всех учеников класса ходили на экскурсию 36 человек; число учеников, не ходивших на экскурсию, составляет 10% от полного состава класса. Сколько всего учеников было в классе?

2. В двузначном числе цифра десятков на 3 более цифры единиц, разность же квадратов цифр данного числа равна 6J. Найти это число.

3. Известно, что на термометре Цельсия температура таяния льда и кипения воды обозначены 0° и 100°, на термометре же Фаренгейта эти температуры обозначены соответственно 32° и 212°. При какой температуре оба эти термометра доказывают одинаковое число градусов.

4. Младшему брату 5 лет, а старшему 19 лет. Через сколько лет старший будет в 4 раза старше младшего?

5. Длина прямоугольника 8 см, ширина 6 см. Если длину увеличить на 2 см, то на сколько нужно увеличить ширину, чтобы площадь нового прямоугольника была на 2 кв. см более площади прежнего?

6. Население одного города 120 тысяч человек, а другого 150 тысяч. В первом городе население возрастает ежегодно на 10 тысяч человек, а во втором на 5 тысяч. Через сколько лет в первом городе населения будет вдвое более, чем во втором?

7. Из ящика разложили сахар в 20 пачек, после чего в нем осталось еще 20 кг. Если бы в каждую пачку положили на 2 кг меньше, то в ящике осталось бы 60 кг сахару. Сколько было килограммов в каждой пачке?

8. Площадь квадратного участка земли на 25 000 кв. м больше, чем площадь другого прямоугольного участка. Длина этого второго участка на 200 м больше стороны квадратного, а ширина на 150 м меньше стороны квадратного участка. Найти площадь квадратного участка.

9. Коллектив из 12 лиц внес на покупку книг 45 рублей, при этом каждый взрослый внес по 5 рублей, а каждый подросток по 3 рубля. Сколько было взрослых и подростков?

10. Велосипедист от города А до города В ехал 3 дня, проезжая каждый день по 8 часов, а от В до С 4 дня, причем всего был в дороге 124 часа. Сколько часов ежедневно ехал он между В и С?

11. Два поезда идут равномерно в одном и том же направлении к станции, отстоящей от места выхода первого поезда на 200 км, а от места выхода второго на 90 км. Первый поезд проходит 25 км в час, второй 14 км. Определить расстояние точки встречи поездов от станции, полагая, что оба поезда выходят в одно время.

12. Одна библиотека имеет 3000 книг и получает ежегодно 450 новых книг, другая имеет 1500 книг и получает ежегодно 225 книг. Через сколько лет первая будет иметь книг вдвое более второй?

13. Поезд шел 12 часов, сначала со скоростью 50 км\час, потом со скоростью 40 км; час и прошел за все время 450 км. Сколько часов шел он с первой и сколько со второй скоростью?

14. Если на странице книги увеличить число строк на 4, а число букв в строке на 3, то на всей странице поместится 212 буквами более прежнего. Если же увеличить первоначальное число строк на 3, а число букв в строке на 5, то число букв на каждой странице увеличится на 165. Сколько строк на странице и букв в строке?

15. На две большие тетради и 8 малых пошло 34 листа бумаги, в другой раз изготовили 5 таких же больших тетрадей и 20 малых, и на это пошло 80 листов. Сколько листов шло на тетрадь каждого сорта?

16. Если одну сторону прямоугольника увеличить на 12 м, а другую на 9 м, то площадь нового прямоугольника будет на 150 кв. м больше площади прежнего. Если же первую сторону уменьшить на 4 м, а вторую на 3 м, то площадь прямоугольника уменьшится на 20 кв. м (2 кв.м). Найти стороны прямоугольника.

17. Разность цифр двузначного числа а. Обращенное число на 9 а более (менее) первоначального. Найти это число. (Давая а значения от 1 до 8, получим несколько задач, приводящих к неопределенным уравнениям или системам уравнений.)

18. Разность между числом сотен и единиц трехзначного числа а. Обращенное число на 99 а менее первоначального. Найти это число. (Как и в задаче № 17, давая а значения от 1 до 8, получим ряд интересных задач.)

19. Если некоторое двузначное число сложить с его обращенным числом, то в сумме получится 11а; если же из искомого числа вычесть его обращенное число и полученный результат разделить на разность между цифрами десятков и единиц искомого числа, то в частном получится 9. Найти это число. (Давая а значения от 1 до 18, получим ряд интересных задач.)

О ПРИМЕНЕНИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ В СТАРШИХ КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

З. РУПЕЙКА (Каунас)

В программу старших классов средней школы входит исследование систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Прежде чем приступить к систематическому исследованию такой системы в общем виде, следует припомнить самое решение одним из ранее изученных способов.

Таким образом, для системы:

(1)

находятся формулы, выражающие (в общем случае) значения неизвестных х и у через коэффициенты и свободные члены:

(2)

В дальнейшем, при исследовании системы уравнений, этими формулами приходится пользоваться как известными. Точно так же при решении целого ряда конкретных задач применение формул (2) дает на уроках большую экономию времени, так как внимание учащихся не отвлекается длительным процессом решения системы по способу «подстановки» или по способу «алгебраического сложения».

Таким образом, возникает потребность в запоминании формул (2).

Несколько лет назад, приступая в старших классах к исследованию системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, мы одним из ранее изученных способов повторили ее решение и вывели формулы (2). А затем, чтобы в дальнейшем не приходилось заново выводить эти формулы и в то же время избежать «слепой» их зубрежки, мы попробовали ознакомить учащихся с решением системы (1) при помощи определителей и посвятили этому часть урока (учащиеся заранее были предупреждены, что предлагаемый им «новый» способ решения системы является необязательным).

Из коэффициентов при неизвестных и свободных членах мы составили табличку (матрицу):

Затем мы рассказали, как находится общий знаменатель в формулах для х и у:

а также соответствующие числители:

После этого мы решали несколько примеров.

На следующих уроках при проверке знаний учащихся оказалось, что даже наиболее неуспевающие прекрасно запомнили показанный им «новый способ» решения системы. Учащиеся сразу подметили, что для нахождения определителей нет необходимости выписывать матрицу, что вычисление определителей в некоторых случаях можно быстро производить в уме, и продемонстрировали это на несложных примерах.

Следующие годы нас убедили, что в старших классах введение определителей второго порядка для решения линейных уравнений с двумя неизвестными является целесообразным, вполне доступным для учащихся и не только не обременяющим «новшеством», но значительно облегчающим работу.

Другой результат получился, когда эта тема, в виде опыта, подобным же образом была разработана в двух параллельных седьмых классах. Ученики к новому способу решения системы уравнений отнеслись без интереса. Для них, видимо, интерес представлял осознаваемый процесс самого решения, а не более отвлеченное решение системы уравнений в общем виде. Значение формул, полученных на основании решения системы в общем виде, не так быстро проникает в сознание учащихся. Это, по нашему мнению, вполне согласовывается с присущим семиклассникам образным и конкретным мышлением.

Изложенное выше привело нас к убеждению что было бы полезно главу учебника алгебры, посвященную исследованию систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными, пополнить кратким и элементарным изложением способа решения этих систем при помощи определителей второго порядка.

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

ДМИТРИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ ГРАВЕ

И. Ф. ТЕСЛЕНКО (Львов)

Дмитрий Александрович Граве был одним из самых разносторонних русских математиков, автор многочисленных важных исследований в различных областях математики, большого количества книг и монографий; он был создателем одной из крупнейших в Союзе математических школ — Киевской алгебраической школы, большинство учеников которой в настоящее время являются самостоятельными учеными и уже имеют собственных учеников.

В числе учеников Граве имеются члены-корреспонденты АН СССР—Б. Н. Делоне, Н. Г. Чеботарев, такие крупные ученые, как профессора Е. Т. Жилинский, А. М. Островский и др.

Математические вкусы Дмитрия Александровича определились под влиянием «Петербургской школы» и выявились в решении ряда вопросов прикладной математики, которая не удовлетворяется доказательствами существования решения, а всегда ищет алгоритмов.

Доминирующими положениями во всей работе «Петербургской школы», организатором и руководителем которой был знаменитый русский математик П. Л. Чебышев, были: конкретность, четкость в постановке проблем и доведение их решений до конца.

Ученик П. Л. Чебышева—Д. А. Граве, постоянно руководствуясь в своей работе мыслью, что «надо заниматься не тем, что интересно и любопытно, а тем, что важно и необходимо», посвящал свой талант всегда важнейшим и актуальнейшим проблемам науки. При этом он обладал широкими математическими интересами. Так, наряду с первыми в России работами, посвященными трудным и абстрактным вопросам алгебры, теории чисел и теории групп (теории Галуа), Дмитрий Александрович написал ряд работ по математическим основам картографии, по интегрированию дифференциальных уравнений в частных производных и другим вопросам.

Д. А. Граве родился в 1863 году в городе Кириллове, Новгородской губернии. Десяти лет поступил в петербургскую частную гимна-

зию О. Бычкова, автора известного сборника алгебраических задач, и окончил ее в 1881 году с золотой медалью. Осенью того же года Граве поступил на физико-математический факультет Петербургского университета и успешно закончил его в 1885 году. В университете учителями Д. А. были П. Л. Чебышев, А. Н. Коркин, Е. Н. Золотарев, А. А. Марков.

Уже на студенческой скамье Д. А. начал научную работу, участвуя в издававшихся кружками студентов физико-математического факультета сборниках*.

По окончании университета Д. А. был оставлен при университете «для приготовления к профессорскому званию». Одновременно с прохождением, как мы сказали бы теперь, аспирантуры он работал преподавателем Института путей сообщения, а затем — Высших женских курсов (Бестужевских).

26 лет он защитил магистерскую диссертацию «Об интегрировании частных дифференциальных уравнений первого порядка» (1889). В этой диссертации были обобщены и существенно изменены известные до него методы решения уравнений подобного типа и решена задача о нахождении всех интегралов системы дифференциальных уравнений в проблеме трех гел, не зависящих от закона действия сил. При этом пришлось решать систему из четырех уравнений в частных производных, интегрирование которых представляло значительные трудности. При решении этой задачи Граве проявил необычайное искусство в алгебраических выкладках.

Через семь лет после защиты магистерской диссертации Д. А. защитил докторскую диссертацию «Об основных задачах математической теории построения географических карт». В ней был решен вопрос, которому неоднократно уделял свое внимание П. Л. Чебышев.

Д. А. Граве в своей диссертации дал решение ряда общих проблем дифференциальной геометрии, хотя по заглавию ее можно было бы подумать, что она посвящена узкому конкретному вопросу.

Д. А. Граве поставил себе задачу, предложенную А. Н. Коркиным, — найти всевозможные сохраняющие площади проекции шара на плоскость, при которых меридианы и параллели изображаются прямыми или кругами.

Лагранж дал решение этой задачи, но лишь для случая, когда проекция одновременно и конформная.

Дмитрий Александрович дал полное решение задачи. Оказалось, что имеется 11 единственно возможных таких проекций, из которых наивыгоднейшими автор считает те, для которых меридианы и параллели взаимно ортогональны; все понадобившиеся при этом исследовании трудные вычисления проведены Д. А. с необычайным алгебраическим мастерством. Практическое значение решений Д. А. задачи связано, в частности, с тем, что вычерчивание карт, где меридианы и параллели имеют форму кривых, отличных от прямых и окружностей, технически весьма сложно.

Эта работа произвела громадное впечатление на ученых.

Вторая часть диссертации решала вопрос, поставленный Чебышевым, о нахождении наивыгоднейших из всех проекций, сохраняющих подобие в бесконечно малых частях.

П. Л. Чебышев дал ответ на свой вопрос в 1853 году в виде теоремы без доказательства, полученной из приложения теории функций, наименее уклоняющихся от нуля, к уравнениям с частными производными, в следующем виде:

«Окончательное решение задачи о наивыгоднейшей проекции карт очень просто: наивыгоднейшая проекция для изображения какой-нибудь части земной поверхности на карте есть та, в которой на границе изображения масштаб сохраняет одну и ту же величину»**.

Д. А. в диссертации доказал эту замечательную теорему. В 1911 году он снова вернулся к этой задаче и обобщил свое доказательство на любые поверхности, имеющие гауссову кривизну постоянного знака, и значительно упростил его.

Кроме решения этих двух больших задач, Дмитрий Александрович дал в своей докторской диссертации новый способ решения задачи Дирихле для алгебраических контуров и решил ряд частных задач по картографии.

Подобное изложение содержания обеих диссертаций и их оценку можно найти в статье Н. Г. Чеботарева («Успехи математических наук», вып. III, 1937, стр. 222—228).

После нескольких лет преподавания математики в Петербурге Д. А. Граве получил кафедру в Харьковском университете. Там он напечатал свою, написанную также в духе чебышевской школы, работу «Об основных предложениях теории функций двух вещественных переменных», в которой, между прочим, развил теорию особых «полиэдральных» функций,

* Записки физико-математического общества студентов С.-Петербургского университета, т. I, 1884— 1885 гг.

** См. статью П. Л. Чебышева «Черчение географических карт» (1856) в книге П. Л. Чебышева «Избранные труды» (ГТИ, 1946).

предвосхитив некоторые методы Лебега. Понятие об этих функциях Д. А. Граве позднее сумел включить даже в свою популярную книгу «Энциклопедия математики».

В первые годы двадцатого века Д. А. почти ничего не писал. Продолжительная болезнь (туберкулез) оторвала его от работы. Переборов болезнь, с 1908 года, когда он был уже профессором Киевского университета, Д. А. вступил во второй период подъема творческой деятельности. В этот период Д. А. направляет свои исследовательские интересы на вопросы алгебры и теории чисел, писательские — на составление большого числа учебников, организационные— на создание школы алгебраистов. По всем этим линиям он достиг чрезвычайных результатов.

К этому периоду относится написание Д. А. большого количества курсов: «Теория групп», «Элементарный курс теории чисел», Элементы теории эллиптических функций», «Основы аналитической геометрии», «Энциклопедия математики», «Математика страхового дела», «Элементы высшей алгебры» и др.

Как «Элементарный курс теории чисел», так и «Элементы высшей алгебры» являлись самыми богатыми по содержанию и самыми свежими по своим идеям курсами, выходившими далеко за пределы дореволюционных университетских программ.

Выход в свет общих курсов Д. А. Граве был событием в русской математической литературе; событием исключительного значения был выход его специальных курсов «Теория групп», «Математика страхового дела» и др. Эти книги пользовались большой популярностью среди учащейся молодежи, так как они всегда отличались свежестью и новизной материала. Ученик Д. А. Граве, крупный математик нашего времени Е. Г. Чеботарев выразил это такими словами: «А мой учитель Граве! Как он упорно и самоотверженно боролся с академическим средневековьем» («Успехи математических наук», 1948). В свои книги Д. А. умел вложить тот научный энтузиазм, которым он сам обладал в высокой степени. Можно без особого преувеличения сказать, что книги Д. А. воспитали и привили вкус к математике большинству современных математиков нашей страны.

Укажем на «Начала алгебры» (классное руководство для гимназий и других средних учебных заведений, Петербург, 1915) как на единственный русский учебник алгебры для средней школы, стоящий на высоте современных научных требований. Изложенные в этом руководстве вопросы теории рациональных и иррациональных чисел весьма близки к их изложению в нашей средней школе, поэтому «Начала алгебры» могут быть полезны преподавателям математики средних школ и теперь.

В дополнение к этому учебнику Д. А. ь 1915 году выпустил брошюру, рассылавшуюся им преподавателям бесплатно : « Проф. Дмитрий Граве, О преподавании алгебры. Методические указания к книге того же автора «Начала алгебры» Д. Граве, изд. К. Л. Риккера. 1915 г.». С этим дополнением также было бы полезно ознакомиться нашим учителям математики.

Особо нам хотелось отметить весьма интересно написанную «Энциклопедию математики» (изд. 1912 г., Киев, стр. 600). Она выгодно отличается по содержанию от раньше изданных сочинений такого же рода в русской и иностранной литературе. В ней помещены краткие обзоры всех отделов современной математики, причем обращено особое внимание на идейную сторону дела, указаны цели и основные методы математического исследования. А живое, увлекательное и связное изложение книги делают ее доступной и полезной широким кругам нашей советской интеллигенции. Здесь читатель может довольно обстоятельно познакомиться и с аналитической геометрией, и с дифференциальным и интегральным исчислением, и с теорией чисел, получить понятие о невозможных задачах в математике, о наименее уклоняющихся от нуля полиномах, о черчении географических карт, о математической физике, о теории вероятностей и т. д.

В предисловии к «Энциклопедии математики» Д. А. пишет: «Посвящаю свою книгу, главным образом, истинным любителям математики, особенно живущим в провинции, вдали от университетских центров, я также хотел бы, чтобы она помогла ученикам старших классов средних учебных заведений, имеющим склонность к математике, при окончательном выборе жизненной деятельности».

Учитель математики средней школы найдет в гл. XV, посвященной вопросам преподавания математики, ценные советы и положения, относящиеся к методике обучения элементарной математике.

Ученик Граве, крупный советский математик, член-корреспондент А. Н. СССР Б. Н. Делоне, пишет:

«Д. А. Граве был замечательным профессором, лекции его отличались глубиной мысли и необыкновенным блеском изложения. Д. А. считал, что и общеобразовательные курсы (аналитическая геометрия, высшая алгебра, теория чисел) должны давать широкую картину предмета, причем надо подчеркивать связи

между отдельными математическими предметами»*.

Д. А. чуть ли не первым в России ввел специальные курсы и семинары по математике, участниками которых были почти все алгебраисты старшего поколения нашей страны. Такие семинары проводились по теории групп, теории идеалов, теории Галуа, квадратичному полю, числам Бернулли, эллиптическим функциям и т. д. и привлекали молодежь с самых первых курсов университета. Все участники семинаров тщательно работали над современными трудами и реферировали всю текущую литературу по интересующим их вопросам и одновременно постоянно изучали работы классиков математики.

В 1918 году в Киеве была основана Украинская Академия наук, в которую Д. А. был приглашен как лучший математик Украины в качестве одного из первых действительных членов. С Академией наук УССР связан большой период деятельности Граве.

Далекий от революционного движения в прошлом, Д. А. с первых дней революции встал на путь сотрудничества с советской властью, на путь создания советской науки. С этих пор начался третий период деятельности Д. А. Он характеризуется переключением интересов Д. А. и его энергии на механику и вообще на прикладную математику. В чисто методических работах, близких к математической физике, Д. А. решает весьма общую задачу нахождения линейных дифференциальных выражений, инвариантных относительно преобразований линейной группы. Задача решается посредством громадных выкладок, весьма остроумно расположенных. В другой работе Д. А. предложил изящный алгорифм для решения задачи покрытия шара сеткой, пользуясь формулами, выведенными при помощи сферической тригонометрии. Кроме того, Д. А. написал несколько работ по технической и небесной механике, где, вводя в рассмотрение электромагнитные силы, он дал качественное объяснение неравенства движения перигелиев планет, получив для них величины, пропорциональные наблюдаемым; по магнитным возмущениям; по коррозии металлов и т. д.

С последним периодом жизни Д. А. связано также составление его «Трактата по алгебраическому анализу», три тома которого Д. А. успел написать до смерти. Это сочинение вводит читателя при помощи элементарных средств в круг современных идей алгебры.

Отдавая научной работе много времени и энергии, Д. А. Граве всегда находил время для общественной работы. Так, в 1928 году он был избран членом Киевского горсовета.

За научные заслуги Граве в 1929 году был избран почетным членом Академии наук СССР. В 1935 году математический мир и широкая советская общественность организовали торжественное празднование 50-летнего юбилея его научно-педагогической деятельности. Правительство наградило его орденом Трудового Красного Знамени.

Д. А. Граве скончался 19 декабря 1939 г. в возрасте 76 лет.

До конца жизни Д. А. не переставал работать на пользу нашей отечественной, советской науки.

Его жизнь будет долго служить примером для новых поколений советских ученых.

* «Известия АН СССР», 1940, т. 4, стр. 349—356.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

НОВИНКИ УКРАИНСКОЙ МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

(О КНИГАХ: «МЕТОДИКА СТЕРЕОМЕТРИИ» ПОД РЕД. ПРОФ. А. М. АСТРЯБА И ДОЦ. В. П. БЕЛОУСОВОЙ; «ЛОГАРИФМЫ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ВОПРОСЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ» ПРОФ. Е. Я. РЕМЕЗА И Д. М. МАЕРГОЙЗА; «МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ», ВЫП. III, КИЕВ, 1949, «РАДЯНСЬКА ШКОЛА»)

Ю. М. ГАЙДУК (Харьков)

В настоящем обзоре мы имеем в виду проанализировать три книги по методике математики из числа изданных в последнее время Украинским научно-исследовательским институтом педагогики*.

Первые две из этих книг представляют собой монографии, посвященные, каждая, отдельной методической проблеме; третья является очередным выпуском сборника «Математика в школе», один-два раза в год издаваемого УНИИПом.

Стереометрия принадлежит к тем частям школьного курса математики, которые еще не получили достаточного освещения в существующих руководствах по методике. Действительно, в «Методике геометрии» Н. М. Бескина вопросам стереометрии посвящено всего несколько — далеко не исчерпывающих предмета — страниц; не более «повезло» этому разделу и в общем курсе методики В. М. Брадиса. Между тем не может быть сомнения в том, что такое положение находится в резком несоответствии с тем большим местом, которое принадлежит стереометрии в школьном преподавании, и с тем разнообразием серьезных научно-методических проблем, которое так характерно для этого предмета.

Рецензируемая «Методика стереометрии», составленная группой сотрудников УНИИПа под обшей редакцией, и при авторском участии проф. А. М. Астряба и доц. В. П. Белоусовой, представляет поэтому значительный интерес как попытка заполнить существенный пробел в нашей методической литературе.

Глава I книги трактует о месте стереометрии в систематическом курсе геометрии. После классификации пространственных форм, изучаемых в школьном курсе геометрии, и краткого разбора понятия геометрической величины, автор (А. М. Астряб) останавливается на вопросе о взаимоотношении между изучением пространственных форм и изучением геометрических величин, аргументируя в пользу органического единства в изучении геометрической формы и связанных с нею величин. Затем автор анализирует вопрос о фузионизме в преподавании планиметрии и стереометрии, выступая при этом строгим защитником раздельного изучения этих частей курса геометрии. К сожалению, автор ограничивается оценкой одного педагогического аспекта принципа фузионизма: научное значение этого принципа (способствующего, по справедливому выражению проф. Богомолова**, «более глубокому проникновению в строение геометрии») остается вне поля внимания автора. Разделяя, в силу известных педагогических соображений, позицию автора в отношении необходимости сохранения деления курса геометрии на планиметрию и стереометрию, мы полагаем вместе с тем, что учитель должен быть осведомлен и о всех положительных сторонах фузионистского построения геометрии, элемент которого (через посредство идеи движения в трехмерном пространстве) содержится и в традиционном изложении планиметрии. Укажем также, что «фузионистские моменты» в элементарной и в проективной геометрии могут доставить весьма ценный в познавательном отношении материал для школьного кружка.

Нельзя не отметить следующей неточности в изложении автором истории принципа фузионизма: возникновение такового автор связывает исключительно «с движением в конце XIX и начале XX столетия за кардинальную реорганизацию преподавания математики в средней школе». Между тем фузионистское построение курса элементарной геометрии было осуществлено задолго до указанной эпохи Н. И. Лобачевским в его геометрическом учебнике (правда, не опубликованном, но явившимся отражением прочитанного Лобачевским лекционного курса для начинающих студентов Казанского университета).

* Все они изданы на украинском языке. Приводимые в соответствующих местах статьи цитаты даем з переводе.

** Богомолов, Геометрия (систематический курс), 1949, Учпедгиз. (Предисловие)

Глава I заключается характеристикой содержания современного курса стереометрии в нашей школе и кратким очерком его исторического происхождения.

Глава II книги (составленная К. О. Хлебниковым, Р. М. Шингаревой и А. М. Астрябом) несколько неожиданно с точки зрения тематической последовательности посвящена решению стереометрических задач. Основное внимание в этой главе уделено методике устранения трудностей, связанных с употреблением или построением в задаче 'Стереометрического чертежа. Рассмотрены также методические трудности, связанные с вопросом о выборе необходимых теорем и с выполнением алгебраических вычислений. К сожалению, в главе не нашли отражения более специальные вопросы методики решения стереометрических задач на проекционном чертеже. (Вопросы, связанные с решением стереометрических задач на построение, рассмотрены в конце следующей главы.)

Глава III (автор Д. М. Маергойз), посвящённая прямым и плоскостям в пространстве, т. е. методически одной из самых трудных тем курса, представляет собой, в целом, одну из наиболее удачных глав книги: автору ее удалось дать педагогически здоровое и в то же время достаточно «свежее» развитие темы. После общего анализа трудностей данной темы и путей их преодоления автор подробнее останавливается на методике изложения «узловых» теорем этого раздела — теорем о двух и трех перпендикулярах (предлагая, в частности, «аналитическое» доказательство теоремы о двух перпендикулярах — по Лежандру — для изучения в кружке), а затем подчеркивает главнейшие моменты в изложении раздела «Параллельные прямые и плоскости в пространстве». После этого автор, вводя понятие линий наибольшего склонения, дает интересное методическое решение раздела о двугранных углах. В параграфе, посвященном проекциям, автор, используя тригонометрические средства, исследует не затрагиваемый нашей учебной литературой вопрос о проекциях углов на плоскость. Глава оканчивается сравнительно детальным анализом простейших стереометрических задач на построение.

Следующая, IV глава (написанная Б. И. Малиновой) трактует о призме. В начале главы дается критика различных определений призмы и указывается точное и с педагогической точки зрения наилучшее определение этого тела. Затем, отчасти на задачах из стабильного задачника, изучаются различные формы сечений призм плоскостями. Все остальное содержание главы относится к установлению теоретических принципов измерения поверхностей и объемов многогранников вообще и к освещению методики измерения объема прямоугольного параллелепипеда и призмы.

Глава V (В. П. Белоусова) дает неплохую методическую разработку раздела «Пирамида».

После кратких вступительных рассмотрений автор обращается к основному методическому содержанию этого, раздела — к вопросу об объеме пирамиды. Здесь анализируются различные способы применения к этому вопросу теории пределов (считая в том числе и такой «неявный» способ применения этой теории, как способ, основанный на принципе Кавальери). В отличие, например, от индифферентной позиции Н. М. Бескина, допускающего в своей «Методике геометрии» принцип Кавальери на равных правах с «традиционным» методом*, В. П. Белоусова (совершенно справедливо на наш взгляд!) высказывается против замены принципом Кавальери последнего метода. Правда, выставляемая при этом автором аргументация (наибольшая близость этого метода к идее интегрирования) не представляется нам вполне удачной**: мы склонны видеть основную ценность указанного метода не столько в том, что он доставляет какую-то «пропедевтику интегрального исчисления», сколько в том, что на нем учащиеся знакомятся с одним из наиболее поучительных примеров плодотворного 'применения понятия предела в элементарной математике. (Обеспечение четкого усвоения учащимися понятия предела и понимания ими фундаментального значения этого понятия мы считаем одной из самых важных методических задач.)

Отметим еще два частных момента в изложении В. П. Белоусовой, по поводу которых возможны возражения.

На странице 107, оканчивая вывод формулы для объема пирамиды, автор говорит: «Принимая объем пирамиды за предел суммы объемов рассмотренных призм, имеем...». И в грамматическом и, главное, в логическом отношении предпочтительнее обычная формулировка: «Принимая за объем пирамиды предел суммы объемов...».

Далее, нам представляется недостаточной слишком мягкая критика автором вывода (излагаемого на странице 115 книги) формулы объема пирамиды, основанного на свойствах подобных тел. Дело в том, что этот вывод (по крайней мере в той форме, в которой он изложен в книге) дефектен в научном отношении с самого начала, поскольку он исходит из приближенного равенства, характер погрешности которого точно не оценивается.

VI глава книги (составленная О. П. Сергуновой) посвящена правильным многогранникам. Здесь приводится доказательство (по методу математической индукции) теоремы Эйлера о выпуклых многогранниках и ее приложение к классификации травильных многогранников. Глава содержит далее изложение нескольких способов построения икосаэдра и додекаэдра, а также вывод зависимости между площадями граней и двугранными углами в тетраэдре. Материал данной главы представляет преимущественный интерес с точки зрения использования в математическом кружке.

В последних двух главах книги, принадлежащих А. М. Астрябу, рассмотрены круглые тела: цилиндр и конус (гл. VII) и шар (гл. VIII).

Основное содержание главы VII составляет анализ вопроса о поверхности и объеме изучаемых в ней тел. Автор, в частности, довольно подробно останавливается на критике попыток «упрощенного» изложения вопросов об измерении длины круга, поверхностей и объемов цилиндра и конуса, справедливо отмечая ненаучность этих попыток (основанных на идее истолкования, например окружности как «многоугольника с бесконечно большим числом сторон» и т. п.). Хотя можно считать, что попытки, о кото-

* С еще более поощрительным отношением к внедрению принципа Кавальери в нормальное преподавание встречаемся мы в недавно изданном учебнике методики В. М. Брадиса.

** Отметим, кстати, что тот же критерий «близости» к интегральному исчислению лежит в основе соображений Н. М. Бескина (хотя это и не помешало последнему прийти к иному выводу). Подчеркнем также значительную условность этой претенциозной близости между методом исчерпывания (в рассматриваемой здесь его форме) и методами интегрального исчисления; сущность последних — не в одной идее определенного интеграла, а (главным образом) в той связи, которая существует между понятием интеграла и понятием производной.

рых здесь идет речь, в настоящее время уже окончательно сданы в архив,— с их критикой будет небесполезно ознакомиться молодому педагогу, который может встретиться с ними в старой учебно-методической литературе.

Нужно пожалеть, что в VII главе, в отличие от других глав книги, читатель не найдет указаний относительно материала для изучения в школьном кружке. Между тем данный раздел курса может доставить ряд благодарных тем для кружка: достаточно назвать хотя бы элементарную теорию конических сечений («сферы Данделена»).

Значительно разнообразнее круг вопросов, рассмотренных А. М. Астрябом в главе VIII. Здесь, после сообщения исторических сведений, относящихся к изучению шара, автор останавливается на сравнении того места, которое отводится учению о шаре авторами различных прежних и новых учебников геометрии. Автор с сожалением констатирует, что в современных учебниках изучение фигур на сфере сведено к крайнему минимуму, что неблагоприятно отражается на развитии пространственного воображения учащихся, препятствуя, в частности, выработке у них предпосылок неевклидовой геометрической интуиции. Имея в виду этот недостаток современных учебников, автор дает далее некоторый материал, который может быть использован отчасти как прямое дополнение к содержанию учебника, отчасти же как тематический и библиографический указатель (по данному разделу) для работы школьного кружка.

Все остальное содержание главы посвящено методическому анализу различных способов вычисления поверхности и объема шара и его частей, а также выводу общей формулы Симпсона для объема призматоида* и ее приложению к телам, изучаемым в школьном курсе. Возражая, по понятным педагогическим соображениям, против предложений некоторых методистов заменить обычные способы вычисления объемов отдельных тел выводом общей формулы Симпсона (с получением из нее формул для отдельных тел в качестве частных случаев), автор в то же время справедливо подчеркивает ее значение для воспитания у учащихся обобщающего математического мышления, предлагая использовать вывод этой формулы в качестве специальной задачи при повторении или в качестве темы кружкового занятия. (Нам хотелось бы заметить, что в этом последнем случае полезно не ограничиваться «поверкой» формулы Симпсона на телах, объемы которых изучаются в школьном курсе; целесообразно разобрать также примеры ее (применения для вычисления объемов некоторых других «нетрадиционных» тел, таких, например, как наклонный круговой конус.)

Содержательная VIII глава книги будет, несомненно, полезна каждому читателю данного пособия. Сделаем, однако, одно-два указания на отдельные шероховатости изложения.

На страницах 157—158, излагая один из «старинных» способов вычисления поверхности шара, автор говорит: «Будем рассматривать поверхность шара как объем чрезвычайно тонкого слоя, состоящего из разности объемов двух шаров...». Здесь явно неудачное смешение «физического» и математического понимания термина «поверхность».

На странице 153 автором недостаточно точно раскрыт смысл и границы аналогии между плоскостью, сферой и поверхностями постоянной отрицательной кривизны. Указав, что «как на плоскости можно передвигать плоские треугольники, накладывать их и пр., точно так же можно это делать и с сферическими треугольниками, служащими частью поверхности данной сферы...», автор ставит вопрос: «Нет ли еще каких-либо поверхностей, имеющих то же свойство»? Ответ гласит: «Образцом такой поверхности может быть псевдосфера, имеющая тоже постоянную кривизну, только у псевдосферы эта кривизна отрицательна». Во избежание недоразумений со стороны читателя, необходимо было, конечно, оговорить, что в случае псевдосферы (о котором идет речь) допускается движение с изгибанием!**. Кстати, изображенная на рисунке 146 книги поверхность, названная там псевдосферой, обычно не носит этого имени (там изображена часть «конической» поверхности постоянной отрицательной кривизны, тогда как псевдосферой чаще принято называть апериодическую поверхность этого рода)***.

Оценивая «Методику стереометрии» в целом, нужно признать ее, несомненно, полезным пособием для учителя. Если методический анализ в этой книге и не везде проведен с желательной полнотой (в этом отношении книгу при дальнейших переизданиях следует подвергнуть необходимой доработке), то, во всяком случае, предлагаемые в ней решения основных методических проблем курса отмечены здравым педагогическим смыслом и свидетельствуют о конкретном понимании ее авторами нужд и возможностей школы.

Хорошо известно, что одним из самых слабых мест школьного курса алгебры (как с теоретической, так и с методической точки зрения) является раздел о логарифмах. Думается, мы не ошибемся, отнеся основную причину неудовлетворительного характера школьного изложения учения о логарифмах (и проистекающих отсюда трудностей усвоения этого материала учащимися) к тому обстоятельству, что в этом изложении исходное «теоретическое» определение логарифма (как «показателя степени, в которую нужно возвести данное основание» и т. д.) не смыкается достаточно убедительным для учащегося образом с его «практическим определением» (как десятичного числа, механически отыскиваемого по известным правилам в «готовых» логарифмических таблицах). Вследствие этого, поскольку в школе логарифмы изучаются преимущественно .как средство производства вычислений****, в сознании учащихся в конечном счете происходит подмена «бесполезного»

* Сам этот термин А. М. Астрябом не применяется. Указанная формула выводится в книге исключительно для тел, дающих в сечении, параллельном основанию, площадь, выражающуюся квадратной функцией высоты сечения (а не общей целой рациональной функцией третьей степени, для которой также справедлива эта формула).

** Поэтому более тесную аналогию с характером передвижения куска псевдосферы по самой этой поверхности могут дать (из известных учащимся поверхностей) такие поверхности, как цилиндр или конус.

*** Оговоримся, впрочем, что и в статье Б. Н. Делоне («Математика в школе», 1947, № 6) термин «псевдосфера» прилагается в «конической» форме поверхности вращения постоянной отрицательной Кривизны. Такой терминологический разнобой (у разных авторов) может смутить тех читателей, которые не знают о существовании различных форм псевдосферических поверхностей.

**** И нам кажется, что эта функция логарифмов, имеющая большое культурно-историческое значение, не должна затушевываться в школьном преподавании, какова бы ни была реформа этого раздела алгебры, справедливо требуемая многими методистами.

(с их точки зрения) теоретического определения логарифма простым и «практически полезным» правилом нахождения такового (по таблицам). Устранение этого крайне ненормального положения, резко противоречащего требованию познавательной ценности материала обучения, упирается в задачу раскрытия учащимся «тайны» составления логарифмических таблиц — хотя бы в форме сообщения им элементарных (но доведенных до удовлетворительного предела погрешности) способов вычисления логарифмов.

В свете сказанного большой интерес представляет рецензируемая книга «Логарифмы и связанные с ними вопросы школьной математики», написанная Е. Я. Ремезом в сотрудничестве с Д. М. Маергойзом. Это сочинение является опытом «углубленного освещения узловых вопросов теории и методики преподавания логарифмов и логарифмических вычислений, поставленных здесь в связь с такими общетеоретическими вопросами, как начала теории элементарных приближенных вычислений (включая линейную интерполяцию) и основания теории иррациональных чисел..., а также с историей логарифмов».

Руководствуясь тем, что «логарифмические вычисления — прежде всего вычисления приближенные», авторы разрабатывают в своей книге теорию и технику логарифмических вычислений «на базе обшей системы приближенных вычислений». Для того чтобы полнее раскрыть перед нашим читателем характер реализации авторами их замысла, познакомимся ближе с содержанием рецензируемой книги.

Глава I книги посвящена основным понятиям и методам элементарной теории приближенных вычислений. После вводных рассмотрений и изложения метода границ и метода относительных погрешностей здесь выясняется педагогическое значение приближенных вычислений, формулируется характеристическая для всей книги концепция «системы совместных приближений» и намечается применение этой концепции к построению строгой теории иррациональных чисел и к так называемому «прямому» определению логарифма.

Глава II трактует о показательной и логарифмической функциях и о сущности линейной интерполяции в применении к вычислению значений этих функций. «Алгебраический акцент» изложению в этой главе сообщается авторами введением понятий группы и изоморфизма: функция а* «рекомендуется» как функция, устанавливающая изоморфное отображение аддитивной группы действительных чисел на мультипликативную группу действительных положительных чисел. Здесь же дается «функциональная» характеристика показательной функции (как функции с равномерным относительным изменением).

Нельзя не выразить сожаления, что многообразное содержание первых двух глав книги, насыщенное новыми для ее рядового читателя и принципиально важными идеями, дается авторами в весьма сжатом, а местами — в прямо конспективном изложении, которое может затруднить не только читателя-учащегося (а читателя этого рода явно предполагают авторы, судя по соответствующему заявлению в предисловии к книге), но и иного читателя-учителя*.

Наиболее оригинальную и значительную часть книги составляют главы III—V, излагающие с достаточной обстоятельностью и строгостью элементарные способы построения «самодельных» (трехзначных) таблиц логарифмов, теорию и практику логарифмических и логарифмо-тригонометрических вычислений. В особом приложении к книге дается доказательство одной используемой в этой части книги теоремы**, гарантирующей при соответствующих условиях необходимое «качество» интерполяционного процесса; доказательство это, в отличие от других рассмотрений в книге более элементарного характера, использует элементы теории бесконечных рядов.

Основное содержание этих глав книги было использовано одним из ее авторов (Д. М. Маергойзом) в качестве материала для систематических занятий в математическом кружке (десятиклассников) при одной из киевских средних школ; построение самодельных логарифмических таблиц явилось интересной формой коллективной работы кружковцев.

В главе VI книги дается понятие о натуральных логарифмах. Здесь (с помощью обычного «замечательного» предела) вводится число е и выясняется, почему в высшей математике это число удобно брать в качестве основания системы логарифмов. Особо авторы останавливаются на том, в чем проявляется преимущество натуральных логарифмов «даже в сфере элементарной математики». Далее изложен важный вопрос о связи между натуральными логарифмами и квадратурой гиперболы. Глава заключается кратким рассмотрением вопроса о касательной к логарифмике y=\ogax; показав, что при а = е касательная к логарифмике в точке ее пересечения с осью *-ов имеет угловой коэффициент, равный единице, авторы усматривают в этом факте лишнее подтверждение «натуральности» натуральных логарифмов (признаемся, что на наш взгляд вопрос о касательной к логарифмике, производящей в данном контексте впечатление случайного, едва ли заслуживал здесь рассмотрения — даже с точки зрения подыскания новых доводов для определения названия натуральных логарифмов)***.

В последней, VII главе книги авторы сообщают исторические сведения об открытии логарифмов, дают описание таблиц Бюрги и Непера, рассказывают о первых логарифмических таблицах в России (Фарварсона — Гвина — Магницкого). Упомянув в логарифмическом ряде Меркатора (степенном ряде для функции ln(l+*))» «приведшем к перевороту в технике вычисления логарифмов», и остановившись на истории логарифмической линейки, авторы посвящают конец главы характеристике развития теории логарифмов в XVIII и XIX столетиях, выделяя в качестве основных моментов этого развития: установление Эйлером нынешнего (школьного) определения логарифма, обобщение понятия логарифма на комплексную числовую область, установление трансцендентной природы логарифмов (в связи с открытиями советского ученого А. О. Гельфонда).

Мы хотели бы отметить (кроме указанных выше) еще два частных недостатка рассматриваемой книги:

1) Вопреки всей установке книги, трактующей логарифмы прежде всего как вычислительный аппарат математики, мы не находим здесь сколько-нибудь содержательного освещения методов вычисления логарифмов с помощью средств высшей математики: авторы ограничиваются простым упоминанием о том, что в основе последних лежит ряд

* Можно думать, что этот чрезмерный лаконизм в указанных главах явился следствием слишком решительного сокращения неопубликованного полностью труда Е. Я. Ремеза («Теория и практика логарифмических вычислений в школе»), положенного в основу рассматриваемой книги.

** Впрочем, интуитивно достаточно «очевидной».

*** Иное дело, если бы авторы имели в виду (чего однако, мы здесь не находим) дать понятие о связи между задачей о касательной и задачей о квадратуре.

Меркатора:

Нам думается, что было бы (полезно указать (или даже «формально» вывести из ряда Меркатора) те ряды, которые служат для фактического вычисления логарифмов, и было бы неплохо провести сравнение эффективности современных методов вычисления и методов, развиваемых в главах III—V книги.

2) В книге совершенно отсутствуют приложения логарифмов к теоретическим вопросам математики и естествознания. Между тем ознакомление учащихся с примерами такого рода приложений (даже если их приходится давать без вывода) чрезвычайно стимулирует интерес учащихся к логарифмам (и, притом, к их функциональному, так сказать, аспекту). Как на один из многих (пригодных для сообщения учащимся) примеров подобного типа можно указать хотя бы на асимптотический закон распределения простых чисел*, могущий доставить благодарный материал и для чисто вычислительных упражнений с логарифмами.

Отмеченные нами недостатки книги проф. Ремеза и Маергойза, свидетельствующие отчасти о некоторой узости угла зрения, под которым авторами рассматривается их (широко сформулированная в заглавии книги) тема, не лишают ее, однако, значительной образовательной и методической ценности. Правда, на методику собственно «классного» преподавания эта книга при существующих программных условиях сможет оказать, повидимому, лишь косвенное влияние. Зато ее с пользой для своего математического развития прочитает каждый учитель, который найдет в ней также материал для серьезной постановки работы математического кружка учащихся старших классов.

3) В заключение нашего обзора рассмотрим четвертый выпуск украинского методического сборника «Математика в школе», вышедший под редакцией доц. М. Б. Гельфанда. Сборник содержит одиннадцать статей, охватывающих своей тематикой обширный круг вопросов: идейно-политическое воспитание на уроках арифметики; приближенные вычисления; функциональная пропедевтика; уравнения высших степеней; отдельные вопросы преподавания тригонометрии; метод математической индукции; методы решения планиметрических задач на доказательство.

Принимая во внимание небольшой объем сборника (менее 9 печатных листов), нельзя не констатировать его тематической перегруженности. Последняя отразилась отрицательным образом на полноте разработки ряда тем в сборнике.

Теме идейно-политического воспитания посвящена в сборнике статья учителя В. М. Бурого «Как я составляю задачи по материалам социалистического строительства» и методическая заметка Д. М. Маергойза. В своей статье т. Бурый делится поучительным опытом составления арифметических задач, отражающих в своей фабуле работу местных предприятий, достижения Героев Социалистического Труда, стахановцев и пионеров своего района. В заметке т. Маергойза подводятся «первые итоги» работы украинских учителей по самостоятельному составлению арифметических задач на материалах социалистической действительности; автор показывает на примерах, как можно «при продуманной работе удачно сочетать полноценное математическое содержание задачи с насыщенностью ее фабулы современным материалом». В то же время автор правильно предостерегает против попыток отдельных учителей всецело подчинить уроки арифметики вопросам экономики, что могло бы угрожать возрождением тенденций, имевших место при обучении по комплексному методу.

Тема приближенных вычислений на уроках математики в V классе разработана в статье киевской учительницы М. П. Салум. Статья систематизирует многолетний опыт работы ее автора по внедрению элементов приближенных вычислений в школьное преподавание. Актуальность темы, удачное методическое ее решение, органически увязанное с программным материалом, наконец, живое изложение — все это делает статью т. Салум весьма ценной для читателя сборника.

Функциональная пропедевтика в семилетней школе составляет тему одноименной статьи В. И. Севбо, дублирующей, к сожалению, статью того же автора, помещенную в журнале «Математика в школе» (№ 3, 1950). Нужно пожалеть, что редакция сборника ограничилась дублированием этой уже известной многим читателям статьи, не посвятив этой важной теме оригинальной разработки.

Тема «Алгебраические уравнения высших степеней» освещена в сборнике в трех дополняющих друг друга статьях (В. А. Зморовича, Ф. А. Белецкого и П. А. Горбатого). В первой из них (к сожалению, очень конспективно изложенной) дается теоретический анализ тех принципиальных моментов теории алгебраических уравнений, которые в той или иной форме должны быть закреплены в сознании учащихся. Кстати: говоря об основной теореме алгебры, автор отмечает, что «...было бы очень полезно рассмотреть какой-нибудь (разве безразлично какой?— Ю. Г.) вариант доказательства этой теоремы на занятиях математического кружка». Справедливый, но, к несчастью, «дешевый» совет** — автор не только не приводит в статье подходящего варианта такого доказательства, но даже не дает своему читателю никаких литературных указаний на этот счет.

Статья учителя Ф. А. Белецкого подробно излагает принятую им методику изучения в X классе раздела «Нахождение рациональных корней многочленов» (с использованием схемы Горнера).

Последняя статья рассматриваемого цикла, принадлежащая заслуженному учителю т. Горбатому, представляет собой тщательную методическую разработку темы «Уравнения высших степеней». Автор статьи с полным правом трактует данную тему как «обобщения учения об уравнениях в курсе средней школы».

Тригонометрическая тематика представлена в сборнике статьей В. В. Котека «Радианное измерение» и статьей М. Б Гельфанда «Графический метод изучения тригонометрических функций».

К этой последней статье сделаем несколько замечаний.

Отметим прежде всего, что название статьи не совсем точно передает ее содержание, так как в ней не излагается какой-то отдельный графический метод изучения гониометрических функций, а лишь проводится мысль о необходимости более системати-

* Кстати сказать, недавно было получено чисто элементарное доказательство этого закона (т. е. не требующее использования средств анализа или теории аналитических функций). (Здесь — число простых чисел, не превосходящих числа х.)

** Такого рода «дешевые советы», к сожалению, есть и в других статьях сборника.

ческого использования графиков для иллюстрации их (аналитически установленных) свойств; графики предлагаются в качестве отправной точки изучения лишь для обратных тригонометрических функций.

Пропагандируя графический метод, автор, однако, справедливо подчеркивает основное значение аналитическою метода, рекомендуя в преподавании органически сочетать оба метода.

В одном вопросе мы расходимся с автором статьи. Последний разделяет распространенное представление, по которому «.в школе нельзя дать строго математического (аналитического? — Ю. Г.) определения непрерывной функции». Это традиционное представление, как мы полагаем, нуждается в пересмотре. Понятие непрерывности, этого важнейшего свойства элементарных функций, имеющего своим источником характер многообразных процессов материального мира, должно и может быть закреплено в сознании учащихся своим точным определением.

Методу полной математической индукции и его использованию в школьном преподавании посвящена в сборнике статья В. Барановского. В статье рассмотрены примеры применения метода полной индукции в элементарной алгебре, геометрии (теорема Эйлера) и в теоретической арифметике (теорема о единственности канонического разложения) и обсуждены некоторые методические затруднения, с которыми связано изучение этого метода в школе. Интересная в целом статья В. Барановского не лишена, однако, немаловажных дефектов, из которых отметим два следующих:

1) Хотя автор и формулирует в начале статьи аксиому математической индукции и заявляет, что методом математической индукции называют доказательство, основанное на этой аксиоме, он в дальнейшем молчаливо отказывается от явного использования этой аксиомы, заменяя таковое известным рассуждением (которое можно назвать «бесконечным силлогизмом»), содержащим оборот «и т. д. без конца». Поэтому читатель статьи В. Барановского остается в недоумении — рекомендует ли ему автор использовать в преподавании самое аксиому полной индукции или же ее логически дефектный (но педагогически, пожалуй, допустимый) суррогат — «бесконечный силлогизм»?

Так, показав на страницах 125—126, что из допущения правильности формулы

(а)

вытекает и правильность формулы

автор вместо прямого заключения на основании аксиомы полной индукции о справедливости формулы (а) для всякого п рассуждает следующим образом: «...но формула (а) правильна для п = 1, 2, 3, поэтому, по доказанному ..., она правильна и для п = 4, а если она правильна для п = 4, то правильна и для п = 5 и т. д. без конца (курсив наш. — Ю. Г.), для всех чисел натурального ряда».

2) Автор совершенно неправомерно называет «видоизменениями» метода математической индукции некоторые методы вывода, основанные на применении арифметических действий к известным индуктивным формулам.

Таков, например, вывод формулы

из принятой в качестве известной формулы

путем положения в последней k = 0, 1, 2, ..., m — ! и последующего перемножения полученных формул. В методах, о которых идет речь, идея полной математической индукции не находит какого-либо использования, и если полученные этими методами формулы допускают также действительно индуктивные доказательства, то это еще не является основанием для того, чтобы сами эти методы считать видоизменением метода полной индукции (ведь никто не станет считать, например, метод доказательства от противного видоизменением метода полной индукции, хотя эти два метода зачастую могут заменять друг друга).

Геометрическая тематика представлена в рассматриваемом выпуске сборника всего одной статьей — статьей проф. А. Смогоржевского и А. Каримова «О решении геометрических задач». В статье содержатся ценные методические указания по вопросу о нахождении решений геометрических задач на доказательство. На удачно выбранных (и нетривиальных, хотя и не особенно сложных) примерах авторы учат искать различные пути решения такого рода задач и выбирать среди этих путей наиболее эффективные. Статья проф. А. Смогоржевского и Каримова задумана в качестве материала для занятий школьного математического кружка. Добавим, что ее с пользой для своего научного развития могли бы проштудировать все читатели сборника.

Заканчивая на этом наш критический обзор содержания последнего выпуска сборника «Математика в школi», отметим один важный недостаток, общий для всех вышедших до сих пор выпусков сборника. Мы имеем в виду отсутствие в сборнике критико-библиографического отдела. Едва ли нужно доказывать, что украинская методическая, учебная и научная литература по математике, выпуск которой расширяется с каждым годом, должна найти свое отражение и критический разбор на страницах сборника «Математика в школi».

О КНИГЕ Н. М. БЕСКИНА «ВОПРОСЫ ТРИГОНОМЕТРИИ И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЯ»

(Учпедгиз, 1950)

Б. А. ЛУРЬЕ (Ленинград)

Книга Н. М. Бескина «Вопросы тригонометрии и ее преподавания» представляет собой первый опыт освещения методических приемов преподавания тригонометрии с точки зрения научного значения изучаемого материала; появление такого рода книги нужно считать весьма своевременным и актуальным.

По заявлению автора, в основу этой книги положены те идеи, которые были высказаны им три года назад в «Методике геометрии», в главе, специально посвященной преподаванию тригонометрии.

В этой главе автор изложил целый ряд ценных соображений о том направлении, в котором должен быть переработан школьный курс тригонометрии, чтобы преподаватель мог привить учащимся знания и навыки, отвечающие требованиям науки и потребностям практики. В книге «Вопросы тригонометрии и ее преподавания» эти соображения повторяются, причем в некоторых случаях аргументация усили-

вается (например, по вопросу о месте пропедевтического курса тригонометрии). Текст дополнен историческими сведениями о деятельности Эйлера в области тригонометрии и характеристикой русских учебников тригонометрии второй половины XVIII столетия.

В вопросе о самом построении курса тригонометрии Н. М. Бескин отходит от той позиции, которую он занимал в своей «Методике геометрии». В «Методике геометрии» он пользуется «классическим» определением тригонометрических функций (с помощью тригонометрического круга) и вводит понятие о векторе и проекции вектора на ось только перед выводом теоремы сложения не столько для нужд тригонометрии, как он сам об этом говорит, сколько для того, чтобы демонстрировать на подходящем примере (общем выводе теоремы сложения) значение этих сведений, которыми учащиеся будут широко пользоваться в дальнейшем своем математическом образовании.

В книге «Вопросы тригонометрии и ее преподавания» сведениям о векторе и его проекции на ось придается исключительно важное значение именно для полноценного с теоретической точки зрения изложения самой тригонометрии, ибо эти сведения и создают тог, по выражению автора, «аппарат», с помощью которого можно обеспечить самую важную характерную черту тригонометрии как науки,— общность ее выводов. Чрезвычайно ценным является указание автора, что изучающий тригонометрию должен видеть общность ее формул в самом их выводе.

«Если вывод дается для частного случая, а затем мы избавляемся от ограничений (обычно несколькими шагами), то при этом остается непонятным глубокое основание того факта, что формулы справедливы при всех условиях»,— читаем мы на странице 57.

«Не лучше ли сразу дать доказательство, где бы в самом доказательстве не участвовали ограничения, которые оказываются 'Несущественными» (та же стр.).

Необходимость построить весь курс тригонометрии с помощью понятия «вектор» и «проекция вектора на ось» заставляет автора изменить и свое отношение к определению тригонометрических функций. Автор уже не ссылается на мнение методистов, не признающих других определений, кроме «классического», не отсылает к «Методике тригонометрии» Репьева (см. «Методика геометрии» Н. М. Бескина, стр. 234), а подвергает сравнительной характеристике все существующие точки зрения на геометрические определения тригонометрических функций и приходит к выводу о необходимости отказаться от этого «классического» определения.

О векторах и их проекциях на ось говорится уже в самом начале курса тригонометрии и значительно подробнее, чем это делается в «Методике геометрии». К сожалению, при этом проводится нигде в литературе не встречающееся резкое разграничение понятий «вектор» и «направленный отрезок» (гл. II, § 31). Вместо того чтобы пользоваться общепринятым понятием о векторе, отнесенном к оси, автор без всякой необходимости усложняет вопрос тем, что вводит совершенно различные определения для равенства направленных отрезков и для равенства векторов, рассматривая различные теоремы о проекции вектора на ось и проекции направленного отрезка на ось и делая совершенно бесцельные оговорки при доказательстве теоремы о проекции ломаной на ось. Вместе с тем в этом месте книги вводятся и нужные указания: например, выясняется смысл теоремы Шаля для углов и выделяется тот случай, когда формулу можно писать без слагаемого 2А:т1 в правой части, что в учебной литературе встречается впервые.

С помощью понятий «вектор» и «проекция вектора на ось» строится определение тригонометрических функций. Это дает автору возможность так построить вывод формул приведения, чтобы общность этих формул была видна в процессе доказательства. В книге даны три основные теоремы, с помощью которых можно вывести любую из формул приведения аналитически, не пользуясь чертежом, т. е. не рассматривая какое-нибудь частное значение угла.

С помощью того же «аппарата» (т. е. с помощью понятия о векторе и его проекции на ось) дан вывод и теоремы сложения, который обеспечивает общность полученных формул.

Автор считает, что определение тригонометрических функций, вывод формул приведения и теорем сложения являются самыми важными методическими проблемами при построении курса тригонометрии и правильное разрешение этих проблем вполне обеспечивает его полноценность.

Помимо широкого теоретического освещения вышеупомянутых трех основных проблем, книга Н. М. Бескина дает ценные указания и по ряду других вопросов преподавания тригонометрии.

Нужно считать весьма важными все соображения автора о построении графиков тригонометрических функций, изложенные им еще в его «Методике геометрии» и повторенные в более распространенном виде в книге «Вопросы тригонометрии и ее преподавания».

В связи с теоремами сложения подробно и своеобразно освещается вопрос о двойном знаке в формулах половинного угла, указывается на необходимость уделять больше внимания методу вспомогательного угла, с помощью которого можно решать задачи на максимум и минимум, указывается на обязательность введения в курс тригонометрии понятия о функции.

В разных местах книги читатель найдет указания о характере тригонометрических вычислений. Тригонометрические вычисления должны внести свой вклад в общую работу школы по привитию учащимся культуры вычислений, и школьники должны уметь пользоваться разнообразными таблицами в зависимости от характера решаемой задачи. Основным же средством тригонометрических вычислений в школе должны быть натуральные тригонометрические таблицы; при этом следует внедрять и такие тригонометрические таблицы, в которых аргумент задан в радианах.

Автор является противником господствующего в школе «логарифмического фанатизма» при решении треугольников и рекомендует пользоваться только теоремой синусов и теоремой косинусов, не загромождая этот отдел легко логарифмируемыми формулами, ибо цель изучения этой темы в школе заключается только в том, чтобы показать значение методов тригонометрии при определении всех элементов треугольника по заданным трем основным независимым элементам.

Рекомендуя практиковать в школе и самостоятельное составление учащимися тригонометрических таблиц, Н. М. Бескин считает ненужным выводить известные неравенства, которыми пользовались для составления тригонометрических таблиц лет 200 назад. Для тех кустарных приемов составления таблиц, которые и можно только практиковать в школе, совершенно достаточно формул половинного угла, формул сумм и разностей углов, которые учащимся уже известны. Все указания по этому

вопросу даются при разборе учебника тригонометрии Головина, изданного в конце XVIII столетия.

Последние главы книги посвящены тригонометрическим уравнениям и обратным тригонометрическим функциям.

Впервые в методической литературе встречается указание, что обычное определение тригонометрического уравнения является в одно время и недостаточным и избыточным, ибо, с одной стороны, оно не охватывает всех уравнений, которые школьник может разрешить, а с другой стороны, под это определение подходят и неразрешимые уравнения. При этом автор настоятельно рекомендует знакомить школьников с приближенным решением тригонометрических уравнений методом проб, ввиду большого воспитательного значения такого приема для их общего математического развития.

Чрезвычайно ценным является проводящийся в книге взгляд, что тригонометрические уравнения не следует выделять в особую главу курса. Они должны вводиться постепенно; при этом первое появление тригонометрических уравнений следует приурочить к моменту ознакомления учащихся с тригонометрическими функциями.

В главе «Обратные тригонометрические функции» Н. М. Бескин уже не является новатором. Книга С. И. Новоселова излагает те же мысли, притом полнее и яснее. В отличие от С. И. Новоселова, Н. М. Бескин полагает, что в школе следует знакомить с обратными тригонометрическими функциями как функциями многозначными, так как эта идея является осязательной и яркой и не противоречит «тому, что предполагается изучать дальше» (стр. 115). Н. М. Бескин считает даже, что в школе следует отказаться от научного определения функции, основанного на идее соответствия, и что в школьной пропедевтике учения о функциях можно считать, как это было в XVIII столетии, что функция определяется действиями, которые надо произвести над значениями аргумента, чтобы получить соответствующие значения функции.

Надо сказать, что этот последний вывод автора находится в резком противоречии с им же высказанным утверждением на странице 36, что «правильная точка зрения всегда яснее неправильной», и вообще со всем тоном его книги, стремящейся рассматривать любой вопрос школьного курса тригонометрии с общенаучной точки зрения.

Разделяя в основном вышеизложенные общие положения Н. М. Бескина о построении школьного курса тригонометрии, мы не можем, однако, согласиться с целым рядом его методических приемов.

Автор, так убедительно доказывающий вред традиций в преподавании тригонометрии, сам подпадает под влияние этих традиций, как только дело касается проведения в жизнь тою или иного общего положения.

Чем, как не влиянием традиции, можно объяснить такую твердую убежденность автора, что тригонометрический круг является исключительным, непревзойденным наглядным пособием для изучающих тригонометрию, убежденность, заставляющую его отказываться от определения тригонометрических функций под номером III с, которое он сам признает единственно последовательным, строго проводящим новые точки зрения.

Книга H. M Бескина совершенно не учитывает, что учащиеся старших классов могут совершенно ясно представить себе вектор и его проекцию на произвольную ось при любом положении вектора на плоскости и что всякое связывание этих геометрических образов с тригонометрическим кругом только осложняет работу пространственного воображения школьника, вводя совершенно ненужные ограничения в виде «горизонтальной» и «вертикальной» оси*. Как мешают эти ограничения сколько-нибудь ясным геометрическим представлениям учащихся при выводе так называемой «третьей теоремы приведения», в котором фигурируют и «новые» и «старые», «вертикальные» и «горизонтальные» оси, а «старая вертикальная ось» становится «новой горизонтальной осью».

Книга H. М. Бескина не учитывает также, что при преподавании тригонометрии, в особенности тригонометрии нового направления, т. е. тригонометрии как учения о тригонометрических функциях, не только можно, но и должно пользоваться всем тем, что учащиеся усвоили о функциях из школьною курса алгебры.

Учащимся IX класса не так уж трудно выяснить характер изменения дроби, числитель которой ограничен, а знаменатель неограниченно возрастает. Нужно ли избегать эту трудность, преодоление которой является одним из этапов на пути математического развития учащихся, и применять предлагаемое автором сложное определение тангенса и котангенса с введением линии тангенса и котангенса?

Для этого определения вводятся специальные, искусственно созданные, в дальнейшем неупотребляющиеся термины, как «первая» касательная», «вторая касательная», и такие громоздкие и мало вразумительные фразы, как «радиус-вектор, продолженный до первой касательной» или «радиус-вектор, продолженный до второй касательной».

Какое напряжение и памяти и пространственною воображения должен затратить учащийся, чтобы усвоить этот совершенно ненужный ему в будущем термин и твердо знать, в каких случаях этот «радиус-вектор, продолженный до первой касательной», представляет собой «удлиненный радиус-вектор» и в каких случаях «его направление противоположно направлению радиуса-вектора»!

Стремление объединить новую точку зрения на тангенс с понятием о линии тангенса заставляет автора доказывать при определении тангенса особую теорему: «Проекция на первую касательную радиуса-вектора, продолженною до первой касательной изображает тангенс». Эту проекцию автор называет линией тангенса. Доказательство этой теоремы совершенно напоминает имеющееся в стабильном учебнике доказательство общности формул соотношения между функциями одного и того же угла с той только разницей, что при помощи системы единообразных обозначений учащиеся имеют возможность следить за объяснением учителя по своим чертежам при отсутствии чертежа на доске.

Мы думаем, что наглядность, создаваемая введением линии тангенса, достигается слишком дорогой ценой: излишне большим количеством энергии, которую затратит и преподаватель и учащиеся для усвоения этой придуманной автором сложной конструкции.

Властью традиций нужно, конечно, объяснить и то обстоятельство, что автору так тяжело отказаться от записи tg 90° = ±оо, хотя всякий более или менее опытный преподаватель знает, как далеко уводит эта запись учащихся от правильного понимания того важнейшего факта, что tg 90° не имеет числового смысла. Надо всячески приветствовать, что от этой записи отказались не только С. И. Новоселов, «автор курса тригонометрии,

* Вопрос о тригонометрическом круге является дискуссионным, высказанные соображения отражают личную точку зрения автора рецензии. (Редакция.)

поставивший себе целью полную строгость» («Вопросы тригонометрии и ее преподавания», стр. 51), но и авторы пробного учебника по тригонометрии для средней школы А. Ф. Бермант и Л. А. Люстерник.

H. М. Бескин идет дальше А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника в смысле приверженности к старине. А. Ф. Бермант и Л. А. Люстерник уже с первого издания своего учебника, т. е. 10 лет назад, отказались от изучения секанса и косеканса и только в последнее издание ввели эти функции, очевидно, под влиянием некоторых рецензентов, и то в очень скромных размерах, ограничившись только определением и не подвергая их отдельному изучению. Н. М. Бескин считает необходимым изучать эти функции в школе так же, как и все остальные, вплоть до вычерчивания их графиков. Из того, что эти функции имеют очень незначительное применение в математике, Н. М. Бескин делает один вы вод: «Их следует реже применять в задачах» («Вопросы тригонометрии и ее преподавания», стр. 49). Но ведь все значение этих функций и заключается в тех удобствах, которые они доставляют при решении задач: в вычислениях и в преобразованиях. Для чего же их изучать, если не применять при решении задач?

Только в силу установившейся традиции?

Вообще рассмотрение отдельных методических приемов является слабой стороной книги «Вопросы тригонометрии и ее преподавания».

Можно привести многочисленные примеры нерациональных приемов, непродуманных указаний, свидетельствующих о недостаточном внимании автора к этим вопросам.

I. Обобщая понятие об угле, автор исходит из совершенно правильной установки, что в тригонометрии рассматривается угол между двумя направлениями, но не использует ее в полной мере, привлекая для изучения угла с кинематической точки зрения все тот же тригонометрический круг. Тригонометрический круг может только иллюстрировать вращение, но никак не может содействовать тому, чтобы учащийся правильно отсчитывал угол от начальной оси, руководствуясь положением стрелок на осях. Это требует упражнений, совершенно не связанных с тригонометрическим кругом. Я скажу больше: длительное пользование тригонометрическим кругом может только затуманить эту идею, и те ошибки в указании углов, которые приводятся на странице 50, «являются обычными» только потому, что учащиеся изучают обобщение понятия об угле только на тригонометрическом круге без достаточного количества специально подобранных упражнений. Некоторые указания о том, как следовало бы изучать угол между двумя осями, имеются в § 3 на странице 41. Но это сказано в связи с понятием о векторе и не имеет, конечно, того удельного веса, как те соображения об обобщении понятия об угле, которые высказаны на страницах 32 и 33.

2. Построение угла по заданному значению его тригонометрической функции рассматривается в книге как одна из «самых первых задач»..., «решаемых учениками, как только они ознакомились с понятием тригонометрических функций» («Вопросы тригонометрии и ее преподавания», стр. 49). Но такую задачу естественно решать в полном объеме, со всеми вытекающими из нее выводами, о которых подробно говорится на странице 50,— только при условии если учащийся хорошо знаком со всеми свойствами тригонометрических функций (с периодичностью, например). А книга Н. М. Бескина предлагает решать эту задачу в самом начале, до изучения хода изменения тригонометрических функций!

3. Три основные теоремы, из которых исходит автор при выводе формул приведения, являются, собственно говоря, свойствами тригонаметрических функций; при этом автор пользуется только двумя теоремами: третьей и второй. Все формулы приведения выводятся из соотношения

(третья теорема) с помощью четности косинуса и нечетности синуса (вторая теорема). Перед читателем прежде всего встает вопрос: какое же значение для вывода формул приведения имеет первая теорема, выражающая свойства периодичности? В книге не упоминается о формулах приведения углов 360° —а и 360° + а. Повидимому, и эти формулы, которые так легко и естественно можно было бы получить с помощью свойства периодичности, выводятся из той же формулы

Самый вывод формул приведения производится путем замены в формуле

угла а углом а — 90° или а -+ 90° последовательными шагами, — прием в такой же мере исскуственный, как и доказательство общности формул приведения.

На странице 63 под заголовком «Изменение направления радиуса-вектора на противоположное» автор дает иное объяснение для формул приведения тригонометрических функций углов вида 180° + а и 180° — а, основываясь на том, как отражается на значениях синуса и косинуса поворот радиуса-вектора на 180°. Но опереться на это свойство синуса и косинуса для доказательства вышеуказанных формул приведения, как это делает С. И. Новоселов, автор все же почему-то не считает возможным, чему приходится только удивляться.

В изложении Н. М. Бескина приходится выводить все 42 формулы приведения, и усвоение их, конечно, невозможно без так называемого мнемонического правила. Формулировка этого правила не приводится; очевидно, имеется в виду традиционная. Если к этому прибавить имеющееся в книге указание о желательности привлечения в качестве иллюстрации формул приведения традиционных чертежей, то вся столь важная принципиальная установка автора о характере изучения формул приведения совершенно обесценивается. Учащийся будет связывать формулы приведения с частными значениями угла а; геометрическая иллюстрация будет отвлекать его очень далеко от понимания существа дела; создадутся нежелательные ассоциации, и примененный в книге общий вывод формул приведения не создает у учащихся внутренней убежденности в их общности.

Но роль свойств тригонометрических функций гораздо шире: они не только являются базой для теоретического вывода формул приведения в общем виде, — они являются источником тех практических приемов, которые следует применять в каждом отдельном случае для приведения любой тригонометрической функции к простейшему виду угла, и с большим успехом и пользой для дела могут заменить пресловутое «мнемоническое правило». Нужно только прибавить к трем свойствам, указанным в книге Н. М. Бескина, еще одно свойство, связанное с поворотом вектора на 180°. Это свойство, которое мы назовем свойством половины периода, выражается формулами:

Приведу примеры:

1) sin (3öJ° — а) = sin (— а) [свойство периодичности синуса] = — sin а [свойство нечетности синуса].

2) cos (270° + а) = — cos (JÜ° + <*) [свойство половины периода] = — sin (— а) [зависимость между синусом и косинусом дополнительных углов — иная формулировка теоремы третьей] = sin а (нечетность синуса).

Свойства тригонометрических функций запоминаются легко. При достаточном упражнении учащиеся одновременно применяют два и три свойства и сразу говорят ответ.

4. Автор совершенно справедливо полагает, что идея уравнения в школьном курсе математики должна связываться с идеей функции и что особенности решаемых уравнений определяются характером изучаемых функций. Тригонометрические уравнения не составляют, конечно, исключения. И вот этот совершенно правильный взгляд автора на уравнения совсем не вяжется с темп приемами решения простейших тригонометрических уравнений, которые он рекомендует в своей книге.

Бедь основная особенность тригонометрического уравнения, резко отличающая это уравнение от алгебраического, заключается в том, что тригонометрическое уравнение либо вовсе не имеет корней, лиоо имеет их бесконечное множество. Это обстоятельство может быть и должно быть сразу выяснено учащимся, как только они ознакомятся со свойствами тригонометрических функций; а до этого момента тригонометрическими уравнениями незачем и заниматься.

Конечно, решению тригонометрических уравнений должно предшествовать построение угла по заданному значению его тригонометрической функции. Решение этой задачи в том объеме, в котором рекомендуется это сделать на страницах 49 и 50, непосредственно приводит учащихся к правильному пониманию отличительных свойств тригонометрического уравнения и идеи его решения.

Концентризм, к которому прибегает Н. М. Бескин для выяснения задачи решения уравнения sin л; = я, не вызывается поэтому никакой необходимостью, это и не согласуется с его высказываниями на странице 97 о постановке вопроса о решении тригонометрического уравнения.

«В некоторых случаях требуется найти общий ответ, т. е. указать все значения неизвестного, удовлетворяющие данному уравнению. В других случаях требуется найти значения неизвестного, удовлетворяющие некоторым неравенствам, например заключенные между 0 и 2 п или между 0 и я, или наименьшее по абсолютной величине и т. д.».

«Для тренировки иногда можно предлагать и необычные постановки вопроса, например: найти все решения уравнения sin де = -тг, удовлетворяющие неравенству: — 10< jc< — 7». Из этих слов, казалось бы, можно сделать только такой вывод: значения неизвестного, удовлетворяющие некоторым условиям, выделяются из общего ответа, т. е. решение простейшего тригонометрического уравнения должно прежде всего заключаться в нахождении этого общего ответа. Между тем в примечании 2 на странице У9 автор почему-то считает нужным применять этот прием только к «необычным» постановкам, т. е. когда требуется «найти угол, имеющий данный синус и заключенный не в пределах от 0 до 2 тс, а в каких-либо других пределах».

Но какие же логические и методические основания к условию 0 <х <2л подходить иначе, чем ко всякому другому аналогичному условию?

Формулировка «найти общий ответ, т. е. указать все значения неизвестного, удовлетворяющие данному уравнению», не вскрывает смысла решения тригонометрического уравнения, ибо всех углов, удовлетворяющих данному тригонометрическому уравнению, найти невозможно. Два различные положения вектора, к которым приводит построение угла по заданному значению тригонометрической функции, и то обобщенное понимание угла, которым учащиеся должны к этому времени владеть, совершенно ясно указывают учащимся, что корни тригонометрического уравнения образуют бесконечное множество углов, соответствующих каждому положению вектора. Отсюда и вытекают непосредственно те две формулы — «две серии ответов», — из которых можно получить сколько угодно углов, удовлетворяющих данному уравнению. Этот прием решения простейших тригонометрических уравнений, который автор называет «геометрическим», является, с нашей точки зрения, единственным способом решения тригонометрического уравнения, ибо он приводит к формулам общего вида углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции.

Рекомендуемый в книге Н. М. Бескина «аналитический» способ решения простейшего тригонометрического уравнения базируется на формулах общего вида углов, удовлетворяющих уравнениям sinx = ÜH cosjt = 0, которые, очевидно, должны быть уже известны учащемуся. Откуда? Очевидно, из того же геометрического приема, т. е. из чертежа. Логично ли этот «аналитический» способ противопоставлять «геометрическому»?

Пользование «аналитическим» способом еще и потому нерационально, что требует уменья преобразовывать суммы тригонометрических функций в произведения; следовательно, решение простейших тригонометрических уравнений придется отнести на довольно поздний срок, когда учащиеся овладеют почти всем курсом тригонометрии, что значительно ослабит значение тригонометрических уравнений для прочного усвоения самого понятия о тригонометрических функциях.

В связи с решением простейших тригонометрических уравнений автор высказывается против записи ответа с помощью символа «аркус», так как употребление такого символа заставляет откладывать решение тригонометрического уравнения до полного ознакомления учащихся с обратными тригонометрическими функциями. Автор совершенно правильно рассуждает, что для решения тригонометрических уравнений не требуется знакомства с обратными тригонометрическими функциями. Скорее даже наоборот: изучение обратных тригонометрических функций очень удобно построить на решении простейших тригонометрических уравнений.

Но введение символа «аркус» для обозначения главного значения угла не является же изучением обратных тригонометрических функций! А между тем введение такого символа чрезвычайно удобно, когда этот угол почему-либо не находится точно.

Если стать на ту точку зрения, что уравнение cos* = -ß- должно решаться исключительно с помощью таблиц, то, чтобы быть последовальным, надо требовать такого же решения, т. е. также с помощью таблиц и для уравнения jc3 = 2. Однако, решая такое уравнение, мы пишем х = ± -/"2. Если мы пользуемся символом у^2 для обозначения точного значения квадратного корня, почему же нельзя пользоваться символом

для обозначения точного значения наименьшего положительного угла, соответствующего данному значению косинуса?

5. Много неясного и путаного в приведенной в книге небольшой классификации типов тригонометрических уравнений. Трудно уловить, что является основанием для этой классификации: типы уравнений или способы их решения.

Если основанием является первое — типы уравнений, — то какие уравнения охватываются пунктом первым, ибо замена всех тригонометрических функций, участвующих в уравнении, через одну есть общий прием, применяющийся к самым разнообразным уравнениям — к любому уравнению типа В (см. разделение тригонометрических уравнений на странице 95), как на это указывает автор.

Если основанием классификации является способ решения, то автор не указал тех уравнений, которые решаются разложением на множители, заменой произведения суммой, на основании условий равенства одноименных функций.

В частности, уравнение:

нерационально относить к типу уравнений, приводящихся к однородным, ибо при этом приеме решения уравнение преобразуется в неравносильное ему.

Совершенно соглашаясь с автором, что учащимся не следует навязывать приемов решения тригонометрических уравнений, а, наоборот, предоставить полную свободу их изобретательности и инициативе, мы, однако, полагаем, что их следует удерживать от таких способов решения, которые не обеспечивают равносильности уравнений.

6. Наряду с неправильными методическими указаниями в книге имеются просто мало содержательные методические высказывания. В пример можно привести пункт «Методика доказательства тригонометрических тождеств» на странице 55. Какой вывод может сделать для себя учитель из совета «использовать метод обучения плаванию путем сталкивания в воду»? «Надо предоставить ученикам возможность барахтаться, приходя в случае необходимости им на помощь в каждом отдельном тождестве», — говорит далее автор.

А вот как и в какой мере эта помощь должна оказываться, об этом (самом нужном и важном для учителя) автор умалчивает.

7. Нельзя не отметить, что в книге, «посвященной обсуждению принципиальных вопросов» (см. предисловие), допущены неосторожные выражения, неправильные формулировки, затемняющие смысл излагаемого.

Привожу примеры:

1) На странице 32, где рассматривается угол как результат вращения, автор неосторожно определяет угол как «путь, пройденный подвижным радиусом... от начального положения до конечного».

2) На странице 40 дается нижеследующее определение вектора: «вектор — отрезок, в котором начало различается от конца и при рассмотрении которого принимается во внимание направление прямой, на которой он расположен».

Можно ли вообще говорить о направлении прямой, если оно не выбрано и не указано? Но ведь прямая указанного направления будет осью! Можно ли тогда считать, что вышеизложенное определение относится к любому вектору, в том числе и свободному?

Путаница произошла оттого, что автор не удовлетворился обычным определением вектора, совершенно точно устанавливающим понятие о направлении вектора, и счел нужным прибавить излишнее и неясное указание о направлении прямой, являющейся основанием вектора.

3) На странице 66 — вновь неосторожная фраза: «...любая тригонометрическая функция в различных четвертях принимает одни и те же значения».

В подтверждение приводится формула:

Такое утверждение, совершенно игнорирующее вопрос о знаке тригонометрической функции и порядок ее изменения в различных четвертях, не должно было бы иметь места в методическом руководстве для учителей.

4) На странице 129 мы читаем:

«Все, что вполне определено, может быть вычислено».

Эта неосторожная фраза суживает содержание слов «вполне определено». Речь может идти не только об определении треугольника по трем независимым основным элементам, но и об определении, предположим, равенства треугольников или их подобия, т. е. какого-нибудь свойства. Какое же отношение имеет такое определение к вычислениям?

5) На той же странице допускается даже некоторая вульгаризация обычного математического языка: говорится о каком-то «философском значении» решения треугольников вместо того, чтобы указать, что этот отдел изучается в школе для повышения общего математического развития учащихся.

6) Автор склонен переоценивать возможности школы в смысле объема школьного курса тригонометрии. Тот «необходимый минимум», который определяется автором для темы «Обратные тригонометрические функции», является для школы трудно достижимым максимумом. В школе следует ограничиться тригонометрическими операциями над аркфункциями и рассматривать соотношения между аркфункциями только на числовых примерах. Вывод формул соотношения между аркфункциями в общем виде, требующий подробного и кропотливого исследования, мало доступен для школы. То же нужно сказать и об обратных тригонометрических операциях над аркфункциями.

Несколько осторожнее рекомендации автора по вопросу о предельных корнях тригонометрических уравнений, сопровождающиеся фразой «если учитель найдет время и возможность для раскрытия неопределенностей». В этом вопросе мы всецело разделяем точку зрения С И. Новоселова и полагаем, что в школе не следует заниматься «раскрытием неопределенностей» как темой, которая может быть удовлетворительно поставлена только в курсе математического анализа.

Какой же вывод можно сделать из чтения этой все же интересной и в своих принципиальных установках полезной книги?

Вывод может быть только один: новое содержание школьного курса тригонометрии нуждается в создании новых, продуманных и проверенных практики методов преподавания.

Вот эта-то новая методика преподавания тригонометрии, ростки которой уже имеются в работах учителей-новаторов, не была учтена автором при составлении его книги.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 4 ЗА 1951 год

№ 49

Решить уравнение:

Решение. Сделаем подстановку:

Упростив, получим:

Это дает нам:

Таким образом, значения х определятся из следующих соотношений:

Окончательно имеем:

№ 50

Найти четыре различные дроби вида

такие, чтобы их сумма равнялась целому числу.

Решение. Обозначим искомые дроби через

Не нарушая общности решения, можем положить: x<y<*<t.

Имеем:

Для того чтобы выполнялось требование задачи, необходимо и достаточно, чтобы сумма:

была равна единице. Так как при *>1 эта сумма меньше единицы, то должно иметь место равенство:

Х= 1.

Итак, для решения задачи необходимо найти целые и положительные решения уравнения:

Так как при _у>-5 наибольшее значение левой части равно:

то имеет место неравенство:

2^y<S. Пусть у = 2. Тогда

Отсюда следует, что 2-+1>6, т. е. 2>5. Но

z < tf и, следовательно,

значит,

т. е. 2<11. При 2=10 t не может быть целым числом. Допустимы следующие пары: 2 = 6, * = 41; 2=7, *=23; 2 = 8, *= 17; 2 = 9, * = 14. Аналогично исследуем случаи: у = 3 и у = 4, причем при у~ 4 решений нет. Таким образом, имеем следующие решения:

№ 51

Числа а, р, y удовлетворяют условиям:

Доказать справедливость неравенства:

Решение. Докажем прежде всего, что

В самом деле, так как

то

откуда и получаем треэуемое. Так как

то

Аналогично и

Складывая последние три неравенства, будем иметь:

Так как сумма чисел:

при всех (допустимых по условию задачи) значениях 1, т — постоянна (она равна 1), то произведение чисел:

достигает наибольшего значения при их равенстве, т. е. в том случае, если

и

Но

и, следовательно,

Это дает нам:

В результате получим:

№ 52

Если R и г — соответственно радиусы описанной и вписанной в треугольник ABC окружности, то имеет место зависимость:

где О— центр вписанной в треугольник окружности. Доказать.

Решение. Имеем (черт. 1):

Черт. 1.

Перемножив эти равенства, будем иметь:

Выражая

через стороны а, Ь, с треугольника, получим:

Так как

то

№ 53

Определить целое число л, удовлетворяющее равенству:

Решение. Имеем:

Итак,

Так как при п = 0 и sin а = О, левая часть исходного равенства теряет смысл, то надо положить:

п ф О и sin а ф 0. Отсюда следует, что п = 15.

№ 54

В условии этой задачи был неразборчиво напечатан показатель степени буквы х в левой части. Одна часть читателей решала эту задачу в следующем варианте:

Решить уравнение-.

Другая часть читателей эту же задачу решала в таком варианте: Решить уравнение'.

Рассмотрим решение обоих вариантов. 1.

Решим это уравнение в поле комплексных чисел. С этой целью положим:

Остается теперь решить следующую систему уравнений:

Эту систему заменяем системой эквивалентной:

Решая эту последнюю систему уравнений, находим все значения х, удовлетворяющие данному уравнению:

Решим и это уравнение в поле комплексных чисел. Полагая:

приходим к следующей системе уравнений: Это дает нам:

Эта система уравнений распадается на следующие две системы:

Первая из этих последних дает возможность найти следующие три решения данного уравнения:

Вторая система приводит к уравнению 6-й степени относительно л\ и вопрос о ее решении выходит за рамки элементарной алгебры. Отметим, что многие читатели при решении данного уравнения исходили из понятия арифметического корня, получая в итоге следующий результат: в поле действительных чисел данное уравнение решений не имеет.

№ 55

Решить уравнение:

Решение. Будем решать данное уравнение в поле комплексных чисел. Замечая, что функции:

являются взаимно обратными, мы можем найти действительные корни данного уравнения, решив уравнение:

(Графики двух взаимно обратных функций симметричны относительно прямол у = х, а поэтому точки пересечения этих графиков совпадают с точками пересечения каждого из них с прямой у = х.) Имеем:

Как легко видеть, корнями этого уравнения являются числа:

*1= 1, х2=2, х3 = 3.

Перепишем теперь данное уравнение в следующем виде:

Отделяя найденные корни, приходим к уравнению:

Отсюда находим еще два корня данного в условии задачи уравнения:

№ 56

Пусть р —простое число. Найти значения р, при которых частное on деления 2Р~Х — 1 на р будет точным квадратом.

Решение. Очевидно, что рф 2. Имеем:

При j0>2 числа:

— целые. Эти числа — взаимно простые, так как в противном случае каждое из них было бы четным числом (разность их делится только на 2 и, следовательно, их общим делителем могло бы быть только число 2), чего не может быть, так как /?>2.

Допустим, что число

делится на число р.

Согласно требованию задачи

где а — целое число. Так как числа:

— взаимно простые, то каждое из них должно быть точным квадратом.

Пусть

Это дает нам

Отсюда следует, что

так как в противном случае левая часть делилась бы на 4, в то время как правая часть на 4 не делится. Так как

/?>2, то р=3. В этом случае

и требование задачи выполнено.

Допустим, что число

делится на р.

Как и выше, полагаем:

где

Это дает нам:

При k >1 правая часть имеет своим делителем нечетное число, а левая часть такого делителя иметь не может. Следовательно, Л? = 1. В этом случае:

откуда следует, что р=7.

№ 57

Дан треугольник ABC. Точка D лежит на стороне AB, точка Е — на стороне АС, точка F — на стороне ВС, причем

AD:DB = BF: FC = СЕ:ЕА = т:п.

Зная, что площадь треугольника ABC равна S определить площадь треугольника, образованного прямыми АР, BE, CD.

Решение. Пусть прямые AF, BE, CD, пересекаясь, образуют треугольник PMN (черт. 2). Проведем FK II BE.

Черт. 2.

оудем иметь:

Отсюда следует, что

Далее,

Так как площадь

то

Аналогично получаем:

Теперь можно найти площадь треугольника MNP. Имеем:

№ 53

Если какое-нибудь п-значное число делится на множитель числа, состоящего из п девяток, то на тот же множитель разделятся все числа, полученные из делимого путем круговой перестановка его цифр. Доказать это.

Решение. Пусть d — общий делитель чисел:

и

V = 999...9(n девяток). Число у можно записать так:

Число d будет являться делителем числа:

Так как d, будучи делителем числа 10л — 1, не может делиться ни на один из делителей числа 10 (включая и само число 10), то число, стоящее в скобках, делится на d. Но число, стоящее в скобках, получено из числа х перестановкой его последней цифры на первое место. Дальнейшее ясно.

№ 59

На плоскости проведены m параллельных между собой прямых. Кроме того, на этой же плоскости проведены п прямых, не параллельных ни между собой, ни уже ранее проведенным. Ни одна из прямых не проходит через точку пересечения двух других прямых. На сколько областей делится плоскость проведенными прямыми?

Решение, m параллельных прямых делят плоскость на (т + 1) областей. Проведем прямую, пересекающую одну, а следовательно, и все остальные из проведенных ранее прямых. Это новая прямая разделит каждую из (m -h 1) областей на две части, и число областей увеличится на (т 4- 1) область. Проведем еще одну прямую так, чтобы она пересекла все ранее проведенные прямые (но не проходила ни через одну из их точек пересечения). Так как этих прямых m + 1, то число областей увеличится на (т + 2) области. Аналогично убеждаемся, что проведя п-ю прямую (соблюдая условие задачи), мы увеличим число областей на m + п.

Итак, искомое число равно:

Для решения этой задачи многие из читателей использовали решение задачи № 38 из № 3 журнала «Математика в школе» за 1951 г.

Пусть t — число точек пересечения, Ъ — число частей прямых, а /? —число областей. Имеем:

В данном случае легко показать, что

№ 60

В треугольнике со сторонами а, Ь, с через точку пересечения биссектрис проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Вычислить длину заключенных внутри треугольника отрезков этих прямых.

Черт. 3.

Решение. Пусть в треугольнике ABC (черт. 3) точка О есть точка пересечения биссектрис, MN || H АС, RS H ВС, РЦ H AB.

Проведем ВН J_ АС.

Имеем:

Обозначая ВН и KS соответственно через къ и г и замечая, что г — радиус вписанного в треугольники круга, будем иметь:

Аналогично найдем:

№ 61

В основании ABC треугольной пирамиды S А ВС взята точка AI и через нее проведены прямые, параллельные ребрам SA, SB, SC, до встреча с гранями S ВС, SC А и SAB соответственно в точках Р, Q, R. Полагая:

SA —a, SB=b, SC = c, МР = х, MQ = y, MR = z, найти сумму:

Черт. 4.

Решение. Соединим точку M с вершинами треугольника ABC и продолжим отрезки AM, ВМ и СМ до пересечения со сторонами треугольника (черт. 4). Обозначим точки пересечения соответственно через /f. L и N. Очевидно, что точки К, L н N будут являться точками встречи прямых SP, SK, SR соответственно со сторонами ВС, АС, AB треугольника ABC. Так как

Аналогично получаем:

Итак,

Но

Следовательно,

№ 62

На плоскость нанесена квадратная сетка, причем сторона наименьшего квадрата равна 1 см. Дана плоская ограниченная фигура, площадь которой меньше 1 см2. Доказать, что какова бы ни была форма этой фигуры, ее можно наложить на сетку так, что ни одна из вершин квадратов сетки не попадет на фигуру.

Решение. Наложим произвольным образом данную фигуру на сетку. Так как фигура ограниченная, то всегда существует такой прямоугольник, образованный линиями сетки, внутри которого фигура помещается целиком. Обозначим вершины этого прямоугольника буквами А, В, С, D (черт. 5).

Разрежем прямоугольник ABCD по линиям сетки на отдельное квадраты со сторонами по 1 см. Отберем из них те, которые содержат хотя бы по одной точке фигуры, и наложим с помощью параллельного переноса все эти квадраты на один из них. Точки фигуры не могут заполнить целиком этого последнего квадрата, ибо в противном случае площадь данной фигуры была бы не меньше 1 кв.см.

Возьмем внутри квадрата точку, не являющуюся точкой фигуры, и будем рассматривать ее как точ-

Черт. 5.

ку, принадлежащую всем «надвинутым» друг на друга квадратам (иными словами, сделаем «прокол» всех совмещенных квадратов в точке, не принадлежащей фигуре). Теперь возвратим все сдвинутые квадраты в прежнее положение и примем отмеченные точки («проколы») за вершины квадратов новой сетки. Ни одна из этих вершин не попадает, очевидно, на фигуру. Остается теперь параллельным переносом совместить новую сетку с наложенной на нее фигурой со старой сеткой (черт. 5).

№ 63

В треугольнике ABC (b <с) дано: а = 78, # = 65, /-=28, где R — радиус описанной около треугольника окружности, а г — радиус вписанной окружности. Вычислить без таблиц bue

Решение. Имеем:

Найдем cos Л.

Его значением может служить

Если А < 90°, то

В этом случае:

Но

и, следовательно,

—д = 84, /7=162, 2/7 = 324. Это дает нам:

6 + с = 246. С другой стороны:

Таким образом, значения b к с удовлетворяют системе уравнений:

Принимая во внимание, что Ь<с, будем иметь: b = 120, с = 126.

Если А > 90°, то, рассуждая аналогично, получим систему уравнений, не имеющую действительных решений.

№ 64

Найти такое натуральное число л, чтобы сумма:

1 + 2 + 3+ ... + «

являлась квадратом некоторого натурального числа.

Решение. Так как

то задача будет решена, если мы найдем такие натуральные а и Ь, для которое n(n + l) = 2a°-b*. пф2, ибо равенство 3=~ а2Ь2 не может быть выполнено ни при каких натуральных а и Ь. Так как п и п -н 1 — взаимно простые числа, то можем положить:

В первом случае получаем уравнение:

(1)

а во втором:

(2)

Решение обоих уравнений можно найти разложением числа У7! в непрерывную дробь. Можно поступить и так:

уравнение (1) имеет ошвидное решение: а =2, £ = 3 (в этом случае п = 8). Имеем:

(3)

Возведем обе части этого равенства в квадрат, будем иметь:

Следовательно, чи:ла 17 и 12 также являются решениями уравнения (1). Отсюда получаем еще одно значение числа п: л = 288.

Возводя обе части равенства в куб, получим:

Следовательно, можем положить:

л = 70, 6 = 99. В этом случае л =9800.

Далее возводим обе части равенства (3) в четвертую, пятую и т. д. степень. Используя уравнение (2) и поступая ана;югично, получим значения чи^ла п вида л2. Здесь мы исходим из решений а=. 1,6=2 и возводим в степень (с нечетным показателем) обе части равенства:

Например, возводя обе части этого равенства в куб, получим:

я = 7, 6 = 5. Следовательно, п = 49 и т. д.

№ 65

Доказать справедливость неравенства:

Решение. Имеем:

Перемножив эти неравенства, получим:

Умножив обе части этого последнего неравенства на произведение:

получим:

это дает нам:

Имеем далее:

Отсюда следует, что

Умножая на произведение:

получим:

Это дает нам:

№ 66

Если тонка Аь Ви С\ лежат соответственно на сторонах ВС, АС и AB треугольника ABC, то необходимым и достаточным условием пересечения в одной точке трех перпендикуляров к сторонам треугольника, восставленных в точках А\, В\, Сь является равенство:

АС\ + ВА\ + СВ\ = ВгА* + СгВ* + АХС*.

Доказать это.

Решение, а) Необходимость условия. Пусть перпендикуляры к сторонам треугольника ЛВС, восставленные в точках А\, В\, Сх, пересекаются в точке О (черт. 6). Соединим точку О с точками Аи Bit Cv Имеем:

Сложив почленно эти равенства, получим:

Черт. 6.

б) Достаточность условия.

Пусть для некоторых точек Ai В\ Ci имеет место равенство

(1)

Из точек Ai и В\ восставим перпендикуляры соответственно к сторонам ВС и АС треугольника ABC. Точку пересечения этих перпендикуляров обозначим через О. Опустим из точки О перпендикуляр ОХ на сторону AB. Имеем по пункту (а)

(2)

Вычитая из равенств (2) равенство (1), будем иметь: АХ*— АС\ = ВХ* — СХВ.

Это дает нам Так как

Это возможно лишь при совпадении точек X и С\.

ЗАДАЧИ

(Срок присылки решений 15/III 1952)

1. Доказать, что если

то

Б. Григоривкер (Херсон)

2. Дан треугольник ABC. На его сторонах АС и ВС построить соответственно точки D и Е так, чтобы отрезок DE был параллелен стороне AB и чтобы имело место равенство AD + BE = n-DE (п — натуральное число, п > 1).

Ю. Изосимов (Астрахань)

3. Дана последовательность треугольников, в которой каждый последующий треугольник имеет своими вершинами точки касания со сторонами предыдущего треугольника окружности, вписанной в этот последний. Найти предел суммы отношений площадей треугольников к радиусам описанных около них окружностей, если площадь первого из треугольников последовательности равна S, а радиус описанной около него окружности равен R.

Ю. Изосимов

4. Число, кратное 35, в системе счисления с двузначным основанием, записано в виде 1234. Найти это число.

Л. Лоповок (Проскуров)

5. На основании ABC тетраэдра MАВС выбрана точка О так. что пл. /\ АО В: пл. Д ЯОС: пл.ДЛОС = — т:п: р.

Через середину А\, ребра MA проведено сечение АХВХС\ так, что прямая МО проходит через центр тяжести сечения. В каком отношении плоскость AiBxCx делит ребра \лВ и MCt Л. Лоповок

6. Решить уравнение

А. Мостовой (Алма-Атинская обл).

7. Дан квадрат ABCD со стороной 10 см. На стороне СЬ взята точка М. Точка N есть точка пересечения прямых AM и DC. Определить длину отрезка ВМ, зная, что длина отрезка MN равна 12 см.

И. Перцель (М§лекес).

8. Решить уравнение

М. Кекелия (Грузинская ССР) 9. Найти область определения функции

10. Если основания перпендикуляров, опущенных из точки M плоскости треугольника ABC на его стороны, лежат на одной прямой, то точка M лежит на окружности, описанной около треугольника ABC. Доказать.

К. Рябенко (Ворошиловск)

11. Из вершины С треугольника ABC проведены высота CA биссектриса СЕ и медиана CF. Определить углы треугольника, зная, что углы ACD, DCE, ЕС/* и FCB равны между собой.

В. Сиротинин (Красноярск)

12 Экскурсанты заняли 8 одинаковых четырехместных кают на пароходе. Все места в каждой из кают равноценны. Сколькими способами могут экскурсанты разместиться в каютах, если их было всего 32 человека?

Э. Стрелецкий (Гродно)

13. Доказать, что

14. На сторонах AB, ВС, CD, DA параллелограма АВСО взяты соответственно точки Dlt Аи Ви Сх, так что, отрезки AAXBBXCCXDDX пересекаясь, образуют четырехугольник MNEF. Зная, что площадь параллелограма ABCD равна Q, определить площадь четырехугольника M NEF.

П. Эрдниев (Алтайский край)

15. Дано уравнение

составить уравнение, корнями которого служат квадраты корней данного уравнения.

Э. Ясиновый (Куйбышев)

16. Доказать тождество

Э. Ясиновый

17. Доказать тождество:

Э. Ясиновый

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 3-4 за 1951 год

И. Абакумов (Чкаловская обл.) Э4, 44; Р. Абдульманов (Уральск) 32—36, 38, 42, 44, 48; К. Агринский (Москва) 34, 35, 37, 41—47; Г. Адамчук 34, 41, 46; /. Александрова (Марийская АССР) 41, 44—46; Н. Алешко (Латвийская ССР) 32, 33, 38, 39, 48; Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 35, Э8, 41, 43, 44, 46; Г. Ахвердов (Ленинград) 32—39, 41—48; А. Багарян (Абхазская АССР) 37, 41, 44—46; И. Байков (Московская обл.) 32—38, 41—46, 48; Ш. Бакурадзе (Грузинская ССР) 33, 35, 36, 38, 41, 44—47; П. Балев (Болгария) 32—39, 41—48; А. Бауэр (Мариинск) 32—Э5, 37—46, 48; Беккер (Таллин) 32—39, 41—44, 46—48; А. Белогуров (Дзауджикау) 34, 36, 41, 43—46; Г. Беляцкина (Аягуз) 32—34, 36—39, 41—41, 46—48; С. Берколайко и В. Гелеревич (Харьков) 32, Э8, 41, 43, 44, 46; И. Берман (Витебская обл ) 35, 36, 38, 45, 46; С. Бернштейн (Киев) 32—35, 37, 41, 43—46; В Бешкарев (Горький) 32—48; А. Боголюбов (Коми АССР) 32—41, 44, 46—48; Е. Боков (Краснодарский край) 32—35, 38, 39, 41—44, 46; А. Бородин (Киевская обл.) 33, 34, 36, 41, 44; Ю. Брудный (Днепропетровск) 33-38, 41, 43, 44, 46; И. Будков (Рязанская обл.) Э2, 34—38, 42—44, 46; Р. Брилиант (Винница) 36, 41, 45, 46; Б. Вайнман (Киев) 32, 36—38, 41, 43, 44, 46; С. Вашакмадзе (Тбилиси) 37, 41, 44, 45, 46; Г. Велибоб (Тула) 34, 41, 43—45; И. Вилявин (Астрахань) 36, 38, 39, 43, 44, 46; П. Вишняков (Витебская обл.) 34, 44, 46; А. Владимиров (Ялта) 32—35, 37—39, 41—48; Н. Воскапян (Баку) 35, 41; А. Гаас (Караганда) 33, 41, 42, 44—46, 48; А. Гаранин (Казань) Э2—34, 36, 39, 41—46, 48; .9. Гескин (Днепропетровск) 48; Ю. Герасимов (Абакан) 32-37, 41—48; Е. Глейбман (Молдавская ССР) 32—38, 41—43; Я. Гопп (Казань) 32—34, 36—48; И. Глотов (Мордовская АССР) 34, 35, 37, 41, 44, 48; //. Говоров (Краснодарский край) 32—35, 37—46, 48; Г. Голянд (Калужская обл.) 34, 35, 37, 41, 44, 46; Е. Головачев (Курская обл.) 32—37, Э9, 41—44, 46, 47; В. Голубева (Львов) 32—34, 36, 38, 39, 41—46; К. Горев (Горьковская обл.) 32—48; Т. Горчинский (Кам.-Под обл.) 32, Э4, 37, 41, 42, 46; М. Готлер (Вильнюс) 32, 33, 35—39, 41, 43—46, 48; А. Григорян

(Ереван) 34, 37, 41, 44—46; Б. Давыдкин (Уфа) 41, 46; А. Дейнега (Винницкая обл.) Э2—34, 36—39, 41—44, 46, 48; В. Демчинский (Ровно) 32—34, 36, 38, 39, 41—48; 3. Джанкеров (Киргизская ССР) 46; М. Джеманулов (Кисловодск) 35, 41, 46; И. Димовский (Болгария) 32, 34, 36—Э9, 41—44, 46; Е. Дикер (Киев) 44, 46; //. Доброгай (Мелитополь) 36, 37, 44, 46; Ф. Дрезинь (Латвийская ССР) 33. 34, 36, 37, 39, 41—48; Я. Донченко (Ворошиловград) 32—39, 41—48; В. Дуболарь (Молдавская ССР) 34, 37, 41, 43, 44, 46; Б. Дудолькевич (Киевская обл.) 44, 46; Р. Елохина (Коми АССР) 34, 35, 39, 42; Я. Епимашко (Гродно) 32, 33, 35, 38—41, 43, 44, 46, 48; Б. Жимбаев (Казахская ССР) 41; Л. Загорулько и Ханин (Прилуки) Э5, 44; А. Зац (Курская обл.) 34, 36—38, 41, 43—46; М. Зайденман (Молдавская ССР) 33, 38, 41, 44—47; Т. Зауэрвейн (Алтайский край) 32, 35, 41, 46; М. Зискинд (Винница) 32—39, 41—44, 48; Я. Зубилин (Орловская обл.) 33, 34, 41—44, 46, 48; Л. Израилевич (Омск) 34—37, 39, 41—48; 3. Икрамов (Казахская ССР) 34, 35, 37, 41, 43, 44, 46, 48; В. Иножарский (Орел) 32—46, 48; М. Кабинетов (Тула) 32—39, 41—48; А. Камышев (Московская обл.) 32—34, 36—48; И. Каплан (Пушкин) 34, 35, Э7, 41, 45, 46; Г. Капралов (Горький) 32—48; А.Карпов (Владимирская обл.) 32—48; Ф. Карпиловский (Киевская обл.) 35, 41, 43, 45; Я. Килимник (Винница) 32—48; Н. Кириллов (Ярославль) 34, 37, 41, 44—47; А. Киселев (Ленинград) 32, 44, 46; П. Китайгородский (Москва) 32—34, 36, 38, 39, 41, 43—47; В. Кобрисенко (Сталино) 46; П. Ковалев (Алтайский край) 39; И. Кожухар (Винницкая обл.) 33, 34, 44—48; С. Колесник (Харьков) 32—39, 41—48; Г. Копылов (Днепродзержинск) 32—45, 47, 48; М. Крайзман (Львов) 34, 36, 41—44, 46; П. Краснов (Полоцкая обл.) 32—39, 41—48; А. Крюков (Чистополь) 32, Э4, 35, 36, 37, 41, 45, 46, 48; В. Кузнецов (Архангельск) Э2—46, 48; В. Кунахович (Красноярский край) 32, 34. 36, 37, 39, 42, 44—46; Н. Курочкин (Куйбышевская ж. д.) 33. 39, 42, 43. 46; А. Кутепов (Ворошиловск) 32—34, 36, 38, 40—46; Ф. Ландер (Одесса) 32—34, 36, 38, 41, 43, 44; Г. Лебедев (Обоянь) 32, 33, 35—38, 42—44, 46, 47; С. Лебензон (Московская обл.) 32—48; А. Левин (Таллин) 46; А. Левкович (Бобруйская обл.) 32, 41, 42, 44, 45, 48; Л. Лоповок (Кам.-Под. обл.) 32—48; Л. Лордкипанидзе (Тбилиси) 32—35, 37—40, 42—44, 46—48; М. Ляпин (Ростов на Дону) 32—39, 41—46, 48; Э. Магарам (Южно-Сахалинск) 37, 44, 46; А. Магеро (Витебская обл.) 34, 35, 41, 44—47; Е. Майданник (Конотоп) 34, 41, 46; Л. Малюгин (Горький) 32—45, 47, 48; М. Манукян (Казахская ССР) 34, 36, 41, 43, 44; М. Маркелов (Брянская обл.) 35, 46; М. Марченко (Харьковская обл.) 34—36, 39, 41, 45, 46; Математический кружок Гродненского педагогического училища 42, 47; Математический кружок Житомирского педагогического института 32—34, 37—39, 41—48; Математический кружок СБУ (Казань) 32, 35, 42—46; Л. Медведев (Себряково) 32, 33, 44, 46, 48; X. Мелихов (Северо-Осетинская АССР) 34, 35, 38, 41, 43, 46; Ш. Михельсон (Латвийская ССР) 32—48; А. Михайлов (Тамбовская обл.) 46; Г. Михальков (Уфа) 32, 35, 36, 39, 41, 44, 46, 48; Г. Многолетний (Брянская обл.) 32—34, 38, 39, 41—44, 46; И. Молибога (Верхний) 32—48; Г. Муравьев (Иваново) 32—34, 41, 43—46, 48; А. Мурклинский (Буйнакси) 39, 46, 48; Т. Мышакова (Одесса) 32—48; Я. Найдин (Инза) ЭЗ, 34, 43, 44, 46; К. Наджафова (Баку) 34, 36, 43, 46; К. Нелюбин (Кировская обл.) 32, 35, 36, 38, 39, 42—46; Н. Оликов (Москва) 32, 46; Ф. Певишев (Шилово) 34, 35, 39, 41, 44, 46; А. Пеляинский (Варшава) 32, 34, 36, 38, 41, 45, 46, 48; М. Пелютик (Московская обл.) 32—48; И. Писаренко (Молдавская ССР) 32—37, 39, 41—47; О. Пищик (Львовская обл.) 32—39, 42—48; И. Половый (Ворошиловградская обл.) 35, 41, 44, 45; Д. Польшин (Москва) 36, 39, 46; О. Помельцова (Энгельс) 32, 33, 35—39, 42, 44, 46, 48; Я. Постников (Ряжск) 32, 34—36, 38, 41—48; А. Постников (Краснодарский кряй) 41—46; Г. Пушкаревский (Башкирская АССР) 41, 46; Е. Радченко (Курская обл.) 34—36,41,44—48; Л. Рейзиньш (Рига) 32—40, 42—48; В. Розентуллер (Ленинград) 34, 44, 46; Я. Романчук (Харьковская обл.) 34, 37, 38, 41, 43, 44, 46; Я. Рубинштейн (Москва) 36, 37, 44—46; Я. Рубцов (Спирово) 33, 35, 44; /С. Рябенко (Ворошиловск) 34, 38, 39, 41, 43—48; С. Садихов (Баку) 34, 41, 44, 46; В. Салей (Сумы) 32, 35—37, 41, 42, 44, 46, 48; И. Сакаев (Чкаловская обл.) 32, 34, 36, 38—45, 47, 48; Г. Сакович (Киев) 32—40, 42—44, 46—48; Г. Саркисьян (Москва) 32—36, 38—48; И. Сергачев (Малоярославец) 46; Ф. Сергиенко (Запорожье) 34—39, 41 — 48; М. Сиверивер (Молдавская ССР) 32, 34, 37, 43—46, 48; В. Скворцов (Ленинградская обл.) 32; С. Скрылев (Красноярский край) 39, 45; И. Слепухин (Ворошиловград); //. Случанко (Ленинград) 32—34, 36—39, 41—48; А. Сошников (Клайпеда) 34; Г. Стамболцян (Армянская ССР) 34—36, 41, 48; И. Старченко (Боково-Антрацит) 33,34,37,39,41,43,44,46; В. Стасюк (Стрый) 32—48; Э. Стрелецкий (Гродно) 32—48; П. Строгальщиков (Вологодская обл.) 32—34, 41, 46, 48; В. Строканев (Грозненская обл.) 32, 34, 41, 45, 46; В. Студеновский (Мордовская АССР) 32, 42—44; В. Тейтельбаум (Баку) 32—44, 46—48; Fi. Титов (Казань) 32—48; П. Титов (Тюмень) 32—39, 41—48; А. Тралмак (Ленингоад) 32—48, М. Торбин (Брянская обл.) 32—48; С. Тубин (Омск) 32, 34, 35, 41, 43—46; К. Тур (Полтавская обл.) 32, 37, 38, 44—46; В. Ураевский (Кузнецк) 44, 46; В. Утемов (Красноуфимск) 32, 33, 35—39, 41—48; Ф. Фасулаки (Грозный) 34, 41, 46; М. Федорюк (Проскуров) 32—41, 43—48; И. Федотов (Казань) 32—48; О. Филипюк (Татарская АССР) 32—34, 48; А. Фильшинский (Кременчуг) 34—36, 41—47; И. Худяков (Воронежская обл.) 32, 33, 36, 39, 40, 42, 43, 46, 48; М. Хуторян (Одесса) 32—34, 36, 37, 39, 41—48; Б. Цакоев (Рязанская обл.) 32—34, 36, 37, 39, 41— 48; Е. Цыгуля (Молдавская ССР) 32, 34, 39, 41—43, 45, 46; А. Цимбалов (Москва) 34, 41, 43, 44, 46; Чайкин (Сталинградская обл.) 44, 46; И. Чемисов (Дмитровск) 32—44, 46—48; К. Чесноков (Проскуров) 32—39, 41-45, 48; М. Шатохин (Орел) 32—48; Л. Шевелев (Орел) 32—48; М. Шевченко (Воронежская обл.) 32—46, 48, Я. Шроман (Астрахань 32, 33, 35, 41, 42, 44, 46—48; Е. Шерсткин (Брянская обл.) 32—35, 37—40, 42—46, 48; А. Шик (Москва) 36; Я. Шинкарев (Москва) 41, 44, 46; Б. Шлотгауэр (Казахская ССР) 44; Е. Шнайдер (Приморский край) 34, 42—44, 46; В Шнейдер (Алтайский'край) 32. 34 , 36—38; 3. Штутман (Винница) 32—39, 41—48; П. Эрдниев (Алтай) 32—34, 36—41, 43—48; Э. Ясиновый (Куйбышев) 32—36, 38—41, 43, 44, 46—48. А. Абасов (ст. Дивичи) 54; Г. Абдуллеев (Габи — Дагестанская АССР) 50, 60, 64; К. Агринский (Москва) 49, 51—53, 55, 60, 63; В. Азаров (Воронежская обл.) 49, 52, 60, 63; Я. Алешко (Резекне) 50, 54, 55, 56, 59, 63, 64; Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 49, 50, 52, 53, 64; И. 'Альтшуллер (Ленинград) 49, 52, 55, 58, 60, 64, 65; А. Архипенко (Сталинградская обл.) 52, 60; Г. Ахвердов (Ленинград) 49—61, 63—66; М. Ахундова (Азербайджанская ССР) 52, 53, 55; И. Байков (Московская обл.) 49—61, 63—66; Ш. Бакурадзе (Грузинская ССР) 49, 52, 53, 58, 59, 60,

63, 64; П. Балев (Болгария) 49, 51—53, 55, 57—61, 63—66; В. Барановский (Гомель) 64; А. Бауер (Мариинск) 49—66; А. Белогуров (Дзауджикау) 49, 53, 55, 57, 60, 63; И. Бердичевский (Шахты) 59, 66; М. Беккер (Таллин) 49, 51—53, 55, 60, 63; С. Берколайко (Харьков) 49—53, 55—57, 59—61, 64-66; С. Бернштейн (Киев) 49, 51—53, 55, 60, 63—66; В. Бешкарев (Горький) 40 —62, 64—66; А.Бородин (Киевская обл.) 52, 49; Е. Боков (Краснодарский край) 50—53, 58—60, 63—66; Е. Бугулов (Дзауджикау) 49—61, 63—66; Н. Будков (Спасск) 49—56, 58—61, 63—66; Б. Вайнман (Киев) 49—52, 55—58, 60, 61, 64—66; Е. Ванновская (Тамбов) 42, 52, 60, 63; В. Варганов (Москва) 49, 51— 5Э, 57, 60, 65, 66; С. Вашакмадзе (Тбилиси) 55; И. Вилявин (Астрахань) 49, 51—53, 55, 65; А. Владимиров (Ялта) 40—61, 63—66; Н. Восканян (Баку) 52; А. Гаас (Караганда) 49—56, 58—60, 64 -66; А. Гаранин (Казань) 49, 50, 52, 53, 55, 59, 60, 64, 66; А. Гемуев (Киргизская ССР) 49—53, 55, 59, 60, 63—65; Ю. Герасимов (Абакан) 49, 51—53, 55, 57, 58, 60, 61, 63, 64—66; И. Глотов (Мордовская АССР) 65; В. Голубева (Львов) 49—53, 57—61, 63—64; Г. Голянд (Брянск) 52, 50, 63, 54; И. Гопп (Казань) 49—53, 58—66; К. Горев (Лукоянов) 49—53, 55—61, 63—66; М. Готлер (Вильнюс) 49—61, 63—66; А. Григорян (Ереван) 49, 55, 66, 60; Д. Груданов (Башкирская АССР) 50—53, 59—61, 63, 64, 66; А. Дейнега (Бершадь) 49—61, 63—66; В. Демчинский (Ровно) 49—66; Ш. Джабраилов (Нуха) 49, 51—53, 55, 57, 60, 63; И. Димовский (Болгария) 49, 51—53, 55, 57—61, 63—66; Н. Добротам (Мелитополь) 53, 65; Ф. Дрезинь (Салдус) 49, 50, 52, 5Э, 56, 57, 60, 63, 64, 66; Б. Дудолькевич (Киевская обл.) 49, 52, 58, 60, 63, 66; И. Евланов (Павелец) 50, 52—55, 60, 61, 63, 64; Р. Елохина (Коми АССР) 52, 53, 60, 63; П. Епимашко (Гродно) 49—61, 63—66; Л. Загорулько (Прилуки) 52, 53; М. Зайденман (Бельцы) 52, 60, 63; П. Зайцев (Чувашская АССР) 55, 56; А. Зац (Валуйки) 49, 50, 53, 55, 56, 59, 60, 64; Л. Зискинд (Винница) 49, 50, 52, 53, 55, 57—59, 63; Р. Ибрагимов (Татарская АССР) 49, 52, 53, 56, 60, 63; Д. Изаак (Орск) 49, 59-61, 66; Ю. Изосимов (Астрахань) 49—53, 56—66; Л. Израилевич (Омск) 49, 52, 53, 55, 57, 61, 63, 66; В. Иножарский (Орел) 49—66; М. Кабинетов (Тула) 49, 50, 52, 53, 55, 60, 63; А. Какауридзе (Тбилиси) 51, 53, 60; А. Камышев (Люберцы) 49—53, 55, 57—63, 65, 66; Г. Капралов (Горький) 49—53, 55—61, 63—66; Б. Кеглин (Днепропетровск) 49, 52, 53; В. Киндефатер (Кемеровская обл.) 49—53, 56—61, 63—66; А. Киселев (Ленинград) 50, 64; П. Китайгородский (Москва) 51—56, 49, 60, 61, 63, 64, 65; С Колесник (Харьков) 49—61, 63—66; Г. Копылов (Днепродзержинск) 49—55, 57—61, 63—66; В. Конопленко (Измаильская обл.) 49; М. Крайзман (Львов) 49, 51—53, 55, 57, 60, 66; Е. Краснобрыжая (Благовещенск) 49, 55, 60, 66; П. Краснов (Полоцкая обл.) 49. 53, 59, 60, 64—66; Е. Круглов (Муйнак) 53; А. Крюков (Чистополь) 49—51, 53, 55, 56, 58, 60, 63, 64, 60, В. Кунахович (Красноярский край) 49—53, 56—61, 63, 66; В. Куничкин (Челябинск) 49, 51, 53, 65; В. Куничкин и И. Русаков (Челябинск) 50, 52, 54—59, 63, 64, 66; Н. Курочкин (ст. Новосергиевская) 49, 51, 55, 60, 61; А. Кутепов (Ворошилове^ 49, 52, 53, 55, 58—60, 63, 66; Р. Левинзон (Кировоград) 49, 60, 63; С Лебензон (Малаховка) 49—66; М. Лейбман (Свердловская обл.) 49—55, 57—61, 63—66; Л. Лоповок (Проскуров) 49—66; Л. Лордкипанидзе (Тбилиси) 49—56, 58—62, 64—66; И. Лындаев (Рязанская обл.) 50, 52, 64; М. Ляпин (Казань) 49—55, 57—61, 63—66; Э. Магарам (Южно-Сахалинск) 49, 50, 52, 64; Л. Макаревич (Прилуки) 53; Л.Малюгин (Горький) 49—51, 53, 55—61, 63—66; М. Маркелов (Брянская обл.) 49, 52; Математич. кружок Лукояновского педучилища 58, 60, 61, 65; Математический кружок Казанского Суворовского военного училища 49, 51—55, 60, 61, 63; Математический кружок Спасской средней школы M 1 53, 58, 60; Математический кружок Слободо-Туринской средней школы 60, 66; Математический кружок Житомирского пединститута 49—53, 55, 57—63, 65, 66; Л. Медведев (Себряково) 51, 61; X. Мелихов (Северо-Осетинская АССР) 52, 53, 59, 65; Б. Меньших (Сталинградская обл.) 50, 52, 5Э, 59, 60, 61, 64; С. Мильграм (Одесса) 49, 50, 52, 53, 55, 60, 64—66; Г. Мизальков (Уфа) 49, 52—55, 60, 63, 66; Г. Многолетний (Брянская обл.) 49, 51—53, 55, 57, 60, 63; И.Моисеев (Горький) 49, 53, 60, 65, 66; И. Молибога (Верхний) 49, 50, 52, 53, 55—57, 59—61, 63—66; А. Мостовой (Алма-Атинская обл.) 49—56, 58—60, 63, 64, 66; Г.Муравьева (Иваново) 49, 50, 52, 53, 59—61, 63, 66; A. Мурклинский (Геленжик) 53, 64; Т. Мышакова (Одесса) 49—61, 63, 64—66; Н. Найдин (Инза) 49, 50, 52, 53, 56, 60; И. Нестеренко (Конотоп) 50, 52, 53, 59—61, 66; Я. Носков (Омская обл.) 49; И. Параско (Киев) 49, 50, 52, 54, 55, 57, 59, 60, 63, 64, 66; B. Пащенко (Москва) 52—54; Ф. Певишев (Шилово) 49—53, 55, 57—61, 63, 65, 66; А. Пельчинский (Варшава) 49, 51, 52, 55, 57—61, 63, 66; Б. Пескарев (Калининская обл.) 52, 59, 60; Н. Петров (Татарская АССР) 49, 50, 52, 53, 59—61, 63, 64; С. Петров (Гайсин) 49, 52, 53, 63, 65? 66; Н. Пилютик (Московская обл.) 49—66; И. Писаренко (Молдавская ССР) 49, 50, 52, 53, 55, 57—61, 63, 66; О. Пищик (Львовская обл.) 49, 50, 52, 53, 55, 58—61, 63, 65; И. Половый (Ворошиловградская обл.) 49, 50, 54, 55; О. Помельцова (Энгельс) 50, 52, 60; П. Постников (Ряжск) 49—55, 57—61, 63—65; Г. Пушкаревский (Уфа) 50; Е. Радченко (Курская обл.) 49, 52, 53, 55, 60, 63, 64—66; С. Рапопорт (Фастов) 49, 52, 53, 60, 61, 63; Н. Ратников (Москва) 49, 66; М. Рейзиньш (Рига) 49—66; Б. Рубенчик (Минск) 52, 53, 57, 60; Н. Рубинштейн (Москва) 49, 50, 52, 53, 60, 61, 63; П. Рубцов (Спирово) 51—53, 60, 64, 65; К. Рябенко (Ворошиловск) 49—53, 55—61, 63—66; Г. Сакович (Киев) 49—61, 63—66; И. Сахаев (Чкаловская обл.) 49, 53, 54, 58—60, 64; Л. Селютина (Ростов на Дону) 49, 52, 63; Г. Саркисьян (Москва) 49—53, 55,57—60, 63—66; Ф. Сергиенко (Запорожье) 49—53, 59—61, 64—66, 54; В. Скворцов (Ленинградская обл.) 60; С. Смоляк (Москва) 49, 52, 53, 58—60, 64—66; Г. Стамболцян (Ленинакан) 49—56, 58—60, 63—66; И. Старченко (Ворошиловградская обл.) 53; В. Стасюк (Стрый) 49—66; Э. Стрелецкий (Гродно) 49—61, 63—66; П. Строгальщиков (Вологодская обл.) 49, 52—56, 60, 63, 64; А. Ташметов (Казахская ССР) 49, 60, 63; А. Тер-Минасян (Ереван) 49, 64; Н. Титов (Казань) 49—61, 63—66; /7. Титов (Тюмень) 49—61, 6Э—66; Ю. Ткаченко (Винницкая обл.) 49—52, 53, 60, 63, 66, 50; М. Торбик (Боянская обл.) 49—53, 55, 57—66; А. Тралмак (Ленинград) 49—61, 63—66; С Тубин (Омск) 49,52,53, 57, 60; Б. Уразбаев (Алма-Ата) 64; В. Ураевский (Кузнецк) 54; В. Утемов (Красноуфимск) 49—61, 63—66; Е. Файнштейн (Кишинев) 49—53, 57—61, 63, 65, 66; И. Фараджев (Баку) 49; М. Федорюк (Проскуров) 49—54, 56—61. 63—66; И. Федотов (Казань) 49—61, 63—66; А. Фильщинский (Кременчуг) 49, 50, 52—55, 58, 60, 61, 63, 65; Р. Хачатурян (Армянская ССР) 49, 52—55, 64, 66; А. Хачикян (Баку) 49, 55, 57; И. Худяков (Воронежская обл.) 50—53, 55—60, 63—64; М. Хуторян (Одесса) 49—53, 56, 58—60, 63—66; И. Чемисов (Орловская обл.) 49, 50, 52, 53, 57, 59, 60; В. Чепижный (Днепро-

петровск) 49—53, 58—61, 63, 65, 66; П. Черепанов (Курганская обл.) 55, 60; Н. Чернов (Измаильская обл.) 50—53, 55, 57—60, 63—65; Ш. Шарафутдинов (Чкаловская обл.) 49; Г. Шаров (Казахская ССР) 53, 55, 49; М. Шатохин (Орел) 49—61, 63—66; А. Шахназарян (Азербайджанская ССР) 49, 53; Л. Шевелев (Орел) 49—61, 63—66; В. Шевченко (Алтайский край) 52, 54, 60, 63; И. Шевченко (Запорожье) 52; Е. Шерсткин (Брянская обл.) 49—61, 63—66; Е. Шнайдер (Приморский край) 49, 51—53, 60, 65; П. Эрдниев (Алтайский край) 50—53, 55—61, 63—66; А. Южаков (Шадринск) 49—51, 5Э; Э. Ясиновый (Куйбышев) 49—66; А. Ищенко (Ростов на Дону) 52, 60, 61.

В ПОМОЩЬ ЧИТАТЕЛЮ

(Тематический указатель статей, помещенных в журнале «Математика в школе» за 1950—1951 гг.)

ПЕРЕДОВЫЕ

Опыт передовых учителей в массы, 1950, № 6, стр. 1—6.

Шароватов Н. П., О некоторых вопросах материалистической диалектики в математике, 1951, № 1, стр. 1—11.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Боев Г. П., Элементы теории вероятностей в школе, 1951, № 3, стр. 1—7.

Гайдук Ю. М., Принцип полной индукции, его эквиваленты и обобщения, 1950, № 2, стр. 1—9.

Гайдук Ю. М., Систематические дроби, действительные и р-адические числа, 1951, № 1, стр. 12—24.

Дахия С. А., Теорема Пифагора как эквивалент постулата Евклида, 1951, № 1, стр. 25—26.

Дахия С. А., Простейшие задачи на наименьшие максимумы, 1951, № 4, стр. 12—20.

Дубнов Я. С, К истории постулата о параллельности в связи с практикой современного преподавания, 1950, № 5, стр. 1—8.

Котельников П. М., О функциональных уравнениях, определяющих тригонометрические функции, 1951, № 2, стр. 1—12.

Ляпин С. Е., Суммирование некоторых конечных рядов, 1951, № 4, стр. 1 — 11.

Моденов П. С, Проективные преобразования, 1950, № 4, стр. 1—18.

Молодший В. Н., О некоторых гносеологических вопросах математики, 1951, № 6, стр. 1—8.

Пархоменко А. С, Что такое линия?, 1951, № 5, стр. 1—18.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Бычков Б. П., К истории вопроса о реформе преподавания математики, 1951, № 6, стр. 23—24.

Депман И. Я., Русские математические журналы для учителя, 1951, № 6, стр. 9—23.

Марон И. А., Педагогическое наследие М. В. Остроградского, 1951, № 2, стр. 13—22.

Мирзоев А. М., Страница из истории алгебры, 1950, № 1, стр. 13—14.

Назарьев С. В., К истории учебной литературы по геометрии, 1951, № 1, стр. 27—30.

Прудников В. Е., Александр Николаевич! Страннолюбский — педагог и математик, 1950, № 5, стр. 9—13.

Прудников В. Е., Об одной русской математической рукописи XVII века, 1951, N° 2, стр.23—24.

МЕТОДИКА

Вопросы общей методики математики

Богушевский К. С, Об организации урока по математике, 1951, № 6, стр. 40—52.

Зарецкий М., Предупреждение неуспеваемости по математике в средней школе, 1950, № 6, стр. 6—17.

Гальперин Я. Е., К вопросу о требованиях к -письменным работам учащихся, 1950, № 2, стр. 42—43.

Германович П. Ю., Внеклассная работа по математике в V—VII классах школы, 1951, № 4, стр. 22—36.

Голайдо И. Н., Математический кружок в семилетней школе, 1951, № 4, стр. 36—46.

Крылов И., О воспитании культуры речи учащихся, 1951, № 3, стр. 46—48.

Ланков А. В., Научные работы по методике математики, 1950, № 5, стр. 14—20.

Ларичев П. А., К вопросу о преподавании математики в школе, 1950, № 2, стр. 30—34.

Лоповок Л. М., Математический кружок в школе, 1951, № 4, стр. 46—49.

Маергойз Д. М, К изучению математических ошибок учащихся, 1950, № 1, стр. 15—24.

Маркушевич А. И., О повышении идейно-теоретического уровня преподавания математики в средней школе, 1950, № 1, стр. 1—4.

Нагибин Ф. Ф., Выяснение вопроса о предмете математики в курсе средней школы, 1951, № 1, стр. 31—36.

Новоселов С. И., К вопросу о введении элементов дифференциального и интегрального исчислений в курс средней школы, 1950, № 2, стр. 35—38.

О внеклассной работе учащихся, 1951, № 4, стр. 21—22.

Пономарев С. А., О коммунистическом воспитании на уроках математики, 1951, № 3, стр. 8—18.

Севбо В. И., Функциональная пропедевтика в семилетней школе, 1950, № 3, стр. 3—9.

Трайнин Я. Л., К вопросу о содержании программы по математике для средней школы, 1951, № 3, стр. 49—52.

Френкель А. М., Элементы историзма в преподавании математики, 1950, № 6, стр. 34—36.

Четверухин Н. Ф., О научных принципах преподавания геометрии в советской школе, 1950, № 1, стр. 5—12.

Методика арифметики

Андронов И. К. и Брадис В. М., Величина и ее значение, 1951, № 2, стр. 51—70.

Барсуков А., К вопросу о наименованиях, 1950, № 3, стр. 21—23.

Барыбин К., Арифметический корень в курсе VIII класса, 1951, № 5, сгр. 56—58.

Волхонский А. И., О графическом решении арифметических задач, 1951, № 1, стр. 44—46.

Горбушин Ф. А., К вопросу о постановке наименований при решении текстовых задач, 1950, № 3, стр. 17—19.

Голайдо И. Н., По поводу статьи А. А. Могильницкого и А. И. Цвинтарной «Наш опыт по решению арифметических задач с письменным объяснением», 1951, № 1, -стр. 51—52.

Кирнарский И. А., Упрощенное умножение и возведение в квадрат, 1950, № 1, стр. 25—29; 1950, № 2, стр. 39—41.

Кирюнов В., О планировании и развернутом объяснении решения арифметических задач, 1950, № 5, стр. 36—37.

Круповецкий Л. Г., К методике преподавания процентных расчетов, 1950, № 5, стр. 29—35.

Краповецкий Л. Г., Об идейно-политическом воспитании учащихся на уроках арифметики, 1950, № 3, стр. 23—25.

Ланков А. В., Классификация задач в арифметике, 1951, № 1, стр. 47—50.

Макаров И. П., Школьный арифмометр, 1950, № 4, стр. 33—36.

Песков Т. А., О постановке наименований при решении текстовых арифметических задач, 1950, № 3, стр. 19—21.

Принцев Н. А., О наименовании чисел при решении арифметических задач, 1950, № 3, стр. 15—17.

Скаткин Л. Н., Простые задачи повышенной трудности, Î 950, № 4, стр. 30—32.

Ш о р Я. А., Развитие функционального мышления на обобщении типовых задач, 1950, № 4, стр. 27—30.

Щинова М. Ф., По поводу статей об умножении и делении на дроби, 1950, № 6, стр. 28—34.

Методика алгебры

Карпенко Г. М., Изучение последовательностей в средней школе, 1951, № 3, сгр. 21—34.

Матышук В. К., О решении задач на исследование уравнений, 1950, № 4, стр. 19—26.

Мельников И. Г., Метод неопределенных коэффициентов, 1950, № 5, стр. 27—29.

Муравьев П. А., Понятия последовательности и ее предела в средней школе, 1951, №3, стр.35—46.

Новоселов С. И. О понятии числовой последовательности в курсе IX класса, 1951, № 3, стр. 18—21.

Песков Т. А., Об изучении функций в средней школе, 1951, № 5, стр. 52—55.

Фридман Л. М., О решении уравнений в VIII классе, 1950, № 3, стр. 10—14.

Методика геометрии и тригонометрии

Абугова X. В., Задачи к первым разделам стереометрии, 1951, № 5, стр. 19—36.

Арсеньев Н. А., Приемы решения задач на доказательства метрических соотношений, 1950, № 5, стр. 20—26.

Зетель С. И., О решении некоторых задач на построение, Ï951, № 4, стр. 55—59.

Зетель С. И., О построении некоторых формул, 1950, № 3, стр. 26—29.

Лоповок Л. М., О составлении геометрических задач, 1951, № 1, стр. 36—43.

Назаревский Г. А., О развитии пространственного представления на уроках геометрии, 1951, № 5, стр. 37—51.

Танатар И. Я., К теореме об описанном четырехугольнике, 1951, № 4, стр. 49—54.

Шоластер Н. Н., Об определении длины окружности и о неравенствах, связывающих sin тх и sin х, 1951, № 1, стр. 52—53.

Щукина M А., Геометрические места точек в пространстве, 1951, № 6, стр. 25—40.

Методика черчения

Андреев С. Н., Техническое рисование и проекционное черчение в VII классе, 1950, №6, стр. 18—24.

Лошаков Н. И., О преподавании черчения в школе, 1950, № 6, стр. 17—18.

Пичугин И., О выполнении диаграмм на уроках черчения, 1950, № 6, стр. 25—27.

Итоги приемных испытаний в вузы и техникумы

Кильдишев Г. С, О некоторых недостатках в знании арифметики, поступающих в вузы, 1951, № 2, стр. 50.

Курицын Н.. А., О приемных испытаниях в Ярославский педагогический институт имени К. Д. Ушинского, 1951, № 2, стр. 35—38.

Моденов П. С, О приемных испытаниях по математике в Московский государственный университет в 1949 году, 1950, № 2, стр. 10—21.

Назарьев С. В. и Игнатенков И. Р., О приемных испытаниях по математике в Орехово-Зуевский учительский институт, 1950, № 2, стр. 22—26,

Парафило М. Г., О недостатках в знаниях по математике, окончивших семилетние школы, 1951. № 2, стр. 47—49.

Решов Н. О., О приемных испытаниях по математике в высшие учебные заведения, 1951, № 2. стр. 25—34.

Савчук П. М., О приемных экзаменах в Сталиногорский горный техникум, 1951, № 2, стр. 43—46.

Сенников Г., О результатах приемных экзаменов в Горьковский педагогический институт имени А. М. Горького, 1951, № 2, стр. 38—43.

Троицкая Н. А., О подготовке учащихся по элементарной математике с точки зрения втузов, 1950, № 2, стр. 26—29.

Из опыта

Александровский М. И., Стереометрические задачи на построение, 1950, № 1, стр. 30—38.

Альтшулер И. Г., Сегмент, вмещающий данный угол, 1951, № 5, стр. 62—63.

Анисимов В. П., О проведении практических работ по математике на местности, 1951, № 4, стр. 50—71.

Арутюнян Гайк, Сумма квадратов чисел натурального ряда, 1951, № 4, стр. 80—81.

Белецкий Ф. А., Понятие предела в курсе IX класса, 1951, № 3, стр. 53—64.

Блинов И. С, Объединенные домашние задания по черчению и математике, 1951, № 6, стр. 73—76.

Больсен Ф. М., О доказательстве тригонометрических неравенств, 1950, № 3, стр. 30—35.

Буданцев А. А., О функциональной трактовка уравнений, неравенств и тождественных преобразований, 1951, № 2, стр. 70—71.

Васильев М. Г., Графики в курсе VI и VII классов, 1950, № 4, стр. 37—41.

Васильев М. Г., Простейшие вычисления с приближенными величинами в курсе семилетней школы, 1951, № 5, стр. 63—67.

Волхонский А. И., О письменном объяснении решения арифметических задач, 1951, № 6, стр. 69—70.

Гинзбург О., Из опыта изучения в школе биографий великих русских ученых, 1951, № 3, стр. 68—70.

Гозман М. И., Теорема о биссектрисе внешнего угла треугольника, 1951, № 4, стр. 80—81.

Гопп И. Е., Из опыта обучения учащихся геометрическому черчению круглых тел, 1950, № 6, стр. 37—42.

Григорьев А., Самодельная школьная астролябия, 1951, № 1, стр. 75—76.

Ермашова О. П., Задачи прикладного характера на составление уравнений, 1950, № 1, стр. 39—41.

Житомирская Б. И., Задачи на вписанные и описанные шары, 1951, № 1, етр. 68—71.

Из писем и заметок читателей, 1950, № 3, стр. 39—45.

Из писем и заметок читателей, 1950, № 6, стр. 45—51.

Кашин Н. И., Об одном счетном приборе, 1951, Кя 5, стр. 59—61.

Китаенко В. Ф., Устный опрос, 1951, № 6, стр. 55—61.

Кордемский Б. А., О некоторых задачах на многогранники для X класса, 1951, № 1, стр. 72—74.

Краснова 3. К., Опыт внеклассной работы, 1951, № 4, стр. 71—75.

Кусаков А. П., Другой вариант доказательства формулы объема пирамиды, 1951, № 4, стр. 81—82.

Ланшин В. В., Арифметические задачи на тему «Сталинский план преобразования природы и великие стройки коммунизма», 1951, № 3, стр. 67.

Маергойз Д. М., О книге Н. А. Менчинской «Очерки психологии обучения арифметике», 1951, № 4, стр. 83—84.

Могильницкий А. А. и Цвинтарная А. И., Наш опыт по решению арифметических задач с письменным объяснением, 1950, № 3, стр. 35—38.

Пильман С, Опыт работы по арифметике в V классе, 1951, № 1, стр. 54—61.

Принцев Н. А., О записях при решении математических задач, 1951, № 6, стр. 71—73.

Птахин Г. А., Изучение геометрических мест в VI и VII классах, 1950, № 5, стр. 38—42.

Симоненок О. Н., Из опыта работы учителя Н. Р. Аксенова, 1950, № 1, стр. 41—43.

Смирнов И. И., К методике решения задач на комбинацию шара с другими телами, 1951, № 1, стр. 61—68.

Терсков Е. Я., Математический кружок и внеклассная работа по математике, 1951, № 4, стр. 75—79.

Токарчук Н. Г., Наглядное пособие для истолкования понятия предела числовой последовательности, 1951, № 3, стр. 65—66.

Тульчинский М., Из опыта преподавания математики в 1948/49 учебном году, 1950, № 2, стр. 44—46.

Шевелев Н. И., Дополнительные упражнения по разделу «Тригонометрические уравнения», 1950, № 5, стр. 43—45.

Шор Я. А., Вопросы организации урока по математике, 1950, № 6, стр. 43—44.

Ясиновый Э. А., Об устном и письменном изложении решения задач по математике, 1951, № 6, стр. 62—68.

Русские педагоги-математики

Депман И. Я., Дмитрий Матвеевич Синцов, 1951, № 1, стр. 77—78.

Минковский В. Л., Василий Иванович Обреимов, 1951, № 5, стр. 68—71.

Шидловская M. М., Борис Брониславович Пиотровский, 1950, № 3, стр. 46—48.

Критика и библиография

Агринский К. Е., О «Сборнике задач по математике» П. С. Моденова, 1951, № 5, стр. 78.

Альтшулер И. Г., Поправки к книге Г. Л. Невяжского «Неравенства», 1951, № 2, стр. 82.

Благовещенский Н. И., О книге В. М. Брадиса «Методика преподавания математики в средней школе», 1951, № 3, стр. 71—74.

Гайдук Ю. М., О двух новых книгах по геометрии Лобачевского, 1951, № 3, стр. 78—80.

Давыдов У. С, О книге И. В. Мисюркеева «Геометрические построения», 1951, № 6, стр. 82—85.

Дахия С. А., О книге С. А. Богомолова «Геометрия» (систематический курс), 1950, № 4, стр. 47—49.

Дахия С. А., Обзор научно-популярной литературы по математике, 1951, № 5, стр. 79—81.

Исаков П. С, О книге И. С. Градштейна «Прямая и обратная теоремы», 1951, № 3, стр. 74—76.

Карпенко Г. М., О книге Б. В. Кутузова «Геометрия», 1951, № 5, стр. 72—74.

Ланков А. В., О книгах М. Симона и Дж. В. А. Юнга, 1950, № 2, стр. 48—50.

Ланков А. В., Пропаганда передового опыта учителей, Сборник статей под редакцией H. Н. Никитина, 1951, № 6, стр. 80—82.

Минковский В. Л., К вопросу о создании руководства по истории методики математики в России, 1951, № 6, стр. 77—79.

Моденов П. С, О книге Б. В. Кутузова «Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии», 1950, № 6, стр. 52—53.

Молодший В. Н., О книге С. А. Яновской «Передовые идеи Н. И. Лобачевского — орудие борьбы против идеализма в математике», 1951, № 3, стр. 76—78.

Невский В. А., Новая литература по математике (второе полугодие 1950 г.), 1951, № 3, стр. 80—81.

Невский В. А., Новая литература по математике (первое полугодие 1950 г.), 1951, № 1, стр. 79—82.

Невский В. А., Новая литература по математике (второе полугодие 1949 г.), 1950, № 4, стр. 52—54.

Невский В. А., Новая литература по математике (первое полугодие 1949 г.), 1950, № 1, стр. 46—50.

Невский В. А., Новая литература по математике (первое полугодие 1951 г.), 1951, № 6, стр. 86—87.

Новоселов С. И., О книге В. Л. Гончарова «Вычислительные и графические упражнения с функциональным содержанием», 1950, № 1, стр. 44—46.

Песков Т. А., Об учебнике геометрии Н. А. Глаголева «Элементарная геометрия», 1951, № 1, стр. 78—80.

Песков Т. А., О книге H. М. Бескина «Методика геометрии», 1950, № 3, стр. 49—51.

Пономарев С. А, Неудачная книга для школьника (о книге С. Боброва «Волшебный двурог»), 1950, № 2, стр. 50—51.

Пономарев С. А., О пробном учебнике по тригонометрии, 1950, № 4, стр. 49—51.

Сикорский К. П., К вопросу о структуре учебника геометрии, 1951, № 2, стр. 81—82.

Скобелев Г. Н., К выходу книги «О преподавании математики в V—X классах», 1950, № 5, стр. 46—47.

Срода Р. Б., О книге «Сборник задач по алгебре», часть 2-я, П. А. Ларичева, 1950, № 5, стр. 47—48.

Шебаршин М., Средняя школа и вузы (о книге П. С. Моденова «Сборник задач по математике»), 1951, № 5, стр. 74—77.

Агринский К. Е., О «Сборнике конкурсных задач по математике» П. С. Моденова, 1951, № 5, стр. 78.

Некрологи

Академик Николай Николаевич Лузин, 1950, № 3, стр. 1—3.

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Стр.

М. В. Яковкин — Свойства чисел, аналогичные теореме Безу............... 1

МЕТОДИКА

С. И. Новоселов — О решении и исследовании уравнений................. 13

В. Н. Беляев — О преподавании общей теории уравнений................. 19

A. Шуваев — О равносильности уравнений......................... 25

B. К. Матышук — О решении задач на исследование уравнений в X классе........ 35

Н. Н. Круликовский — К вопросу об исследовании задач на квадратные уравнения .... 46

ИЗ ОПЫТА

П. А. Буданцев — О преподавании систематического курса уравнений в VII классе .... 50

3. Рупейка — О применении определителей в старших классах средней школы ...... 66

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

И. Ф. Тесленко — Дмитрий Александрович Граве..................... 67

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Ю. М. Гайдук — Новинки украинской методической литературы по математике...... 71

Б. А. Лурье —О книге Н. М. Бескина .Вопросы тригонометрии и ее преподавания" .... 76

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 4 за 1951 год...................... 82

Задачи.................................... 89

Сводка решений по № 3—4 за 1951 год.......................... 90

В помощь читателю.................................... 93

Редакционная коллегия:

Редактор А. Н. Барсуков. Зам. редактора С. И. Новоселов, Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Ф. М. Мидлер

Технический редактор В. С. Якунина. Корректор А. Г. Мареева

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6. Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР.

Сдано в производство 9/XI 1951 г. Подписано к печати 10/1 1952 г. Учетно-изд. л. 11,59.

А01607. Заказ 720 Тираж 51000 экз.

Печ. зн. в п. л. 72 000. Цена 4 р. 50 к. Бумага 82X108Vie=3 бумажн. л—9,84 п. л.

13-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Москва, Гарднеровский пер., 1а.