МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

6

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1951

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 6

НОЯБРЬ-ДЕКАБРЬ 1951 г.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

О НЕКОТОРЫХ ГНОСЕОЛОГИЧЕСКИХ ВОПРОСАХ МАТЕМАТИКИ

В. Н. МОЛОДШИЙ (Москва)

В этой статье рассматриваются три вопроса:

1. Предмет математики.

2. Природа математической абстракции. Обоснование математики.

3. Содержание и значение математической символики.

Первый вопрос рассматривается постольку, поскольку он необходим для анализа других вопросов. Последним уделено больше внимания по двум причинам. В нашей литературе они обсуждались недостаточно. Вместе с тем их диалектико-материалистическое истолкование важно для правильного понимания структуры математики, ее истории и методики.

Все сказанное я рассматриваю как попытку дать первое приближение к решению этих вопросов. Надеюсь, они заинтересуют и других товарищей, и они выскажут свои точки зрения.

§1. Предмет математики

Каждая естественно-научная теория изучает «отдельную форму движения или ряд связанных между собой и переходящих друг в друга форм движения материи»*. Естествознание изучает формы движения материи, учитывая качественные особенности предметов и явлений действительного мира. Так, например, химия изучает состав, строение и превращения веществ, из которых состоят тела природы.

И математика изучает действительный мир.

Но в противоположность всем естественно-научным теориям — в этом ее специфическая особенность— математика абстрагируется от качественной стороны предметов и явлений реального мира, не анализирует определенные формы движения материи. «Чистая математика, — указывал Энгельс, — имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал»**.

Между основными понятиями математики понятия о целом (количественном и порядковом) числе, величине и геометрической фигуре занимают первое место с исторической и логической точек зрения. Естественно поэтому обратиться сначала к этим понятиям и выяснить, какие отношения и формы действительности находят в них свое отражение.

Каждый человек знает, что может быть пять спичек, пять стульев, пять предметов, из коих два — книги, три — тетради. Предметы, составляющие названные множества, качественно различны, однако их количественная характеристика «пять» одна и та же. Следовательно, понятие «пять» выражает что-то общее у всех названных и им подобных множеств предметов. Это общее состоит в том, что между предметами двух таких множеств можно установить взаимно-однозначное соответствие. Например, множества букв в словах «лютик» и «театр» могут быть поставлены во взаимно-однознач-

* Ф. Энгельс, Диалектика природы, 1949, стр. 198.

** Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1948, стр. 37.

ное соответствие* так, как показано в табличке:

Пополнение рассматриваемых множеств новыми предметами или изъятие у одного из них каких-либо предметов такое соответствие нарушает. Таким образом, понятие о числе «пять», равно как и понятие каждого количественного натурального числа, есть количественная характеристика некоторого класса равномощных между собой конечных множеств. Количественное число есть «чистейшее количественное определение» (Энгельс), которое отражает лишь внешние, безразличные к качественному составу множеств, отношения принадлежности к некоторому классу равномощных множеств.

Наряду с понятием количественного натурального числа, практика неоднократно требует применения понятия порядкового натурального числа. В действительном мире мы часто встречаемся с множествами вещей, о которых математики говорят, что они «линейно упорядочены» так, как упорядочено множество количественных натуральных чисел. Если мы желаем отсчитать посаженные нами вдоль дороги деревья, то начинаем отсчет с начала дороги, называем деревья первым, вторым и т. д. Точно так же пересчитывают и другие, подобным же образом устроенные множества предметов. Следовательно, когда мы применяем понятие порядкового натурального числа, нам совершенно безразлично, о каких предметах идет речь, важно только, чтобы эти предметы были линейно упорядочены. Во всех случаях порядковое число выступает здесь как характеристика места в таком линейно упорядоченном множестве.

Длина, площадь, объем, количество теплоты — все это величины, с которыми постоянно приходится иметь дело в разнообразных областях знания и жизни. В обычном употреблении понятие величины выступает в математике как все то, что может быть больше, равно или меньше. Иначе говоря, и в понятии величины мы имеем дело с чистейшим количественным определением.

Что касается пространственных форм, то их безразличие к качественному содержанию вещей еще более очевидно. Куску железа можно придать форму шара или куба. Шар можно сделать из дерева, глины и хрусталя. Еще Аристотель указывал: «Ни медь, ни камень не имеют никакого отношения к сущности круга, так как круг отделим от них»**.

Таким образом, понятия натурального числа, величины и геометрической фигуры в принципе имеют бесчисленное множество реальных прообразов с различным материальным содержанием. Легко, конечно, показать, что этим свойством обладает любое математическое понятие. Например, количественная характеристика вещей может меняться в зависимости от изменения различных обстоятельств, которые в свою очередь могут быть охарактеризованы чисто количественным путем. Простейший тому пример — изменение пройденного телом пути в зависимости от времени. При этом оказывается, что характер изменения одной величины от другой может быть одним и тем же у весьма различных явлений природы. При равномерном движении путь прямо пропорционален времени; если производительность труда и число рабочих постоянны, количество вырабатываемой заводом продукции также прямо пропорционально времени. Все это является объективной основой понятия функциональной зависимости, которая, таким образом, отражает только количественную сторону явлений и процессов природы. Естественно, что в общем определении функции выделяют на первый план идею соответствия элементов двух множеств, природа же элементов и форма (закон) их связи оставляются без внимания. Точно так же понятие производной является отражением скорости различных процессов, понятие интеграла может дать выражение площади, объема, работы силы и т. п.

Если любое математическое понятие отражает количественные отношения или пространственные формы различных реальных объектов, то что же изучают в математических теориях, скажем, в арифметике натуральных или комплексных чисел, в различных геометриях и т. п.? Те же количественные отношения и пространственные формы реального мира, но не изолированно друг от друга, а в их взаимных связях. Однако с какой степенью общности они изучаются — ответ на этот вопрос менялся с течением времени. Это мы отчасти подтвердим в следующем параграфе на примере развития геометрии Евклида.

Проверенные в практике истины математики являются объективными истинами; они не зависят ни от отдельных людей, ни от классов, ни от человечества; следовательно, так или иначе представляют собой абсолютную истину или подход к ней. «Что чистая математика

* Если элементы двух множеств могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие, то множества называются эквивалентными или равномощными.

** Аристотель, Метафизика, Соцэкгиз, стр. 122.

имеет значение, независимое от сссбсго опыта каждой отдельной личности, это, — писал Ф. Энгельс, — конечно, верно, но то же самое можно сказать о всех твердо установленных фактах любой науки и даже о всех фактах вообще»*.

Нельзя отрицать истинность арифметики натуральных чисел, так как многовековая практика людей подтвердила, что в природе существуют (и могут быть сконструированы) объекты, количественные отношения между которыми совершенно точно описываются этой арифметикой. Энгельс указывал, что математическим действиям присуща положительная достоверность, так как они допускают материальное доказательство, проверку**. По тем же соображениям нельзя отвергнуть геометрии Евклида и Лобачевского и т. п. Учитывая все это, Энгельс и относил математику к разряду точных наук.

§ 2. Природа математической абстракции. Построение математических теорий

Какова природа математической абстракции и ее основных посылок?

Как осуществляется и какую цель преследует построение математических теорий на их основных посылках? Иначе говоря, как осуществляется и какую цель преследует обоснование математики?

Руководствуются ли ученые при обосновании математики неизменным пониманием математической строгости, или последнее развивается вместе с развитием математики?

Математики начинают обоснование своих теорий с абстракций от материального содержания изучаемых пространственных форм и количественных отношений объектов реального мира. Энгельс подчеркивал: «Чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а к b, х и у, постоянные и переменные. ..»***.

Абстрагируются математики и от конкретного смысла отношений, в которых могут выступать числа, фигуры и т. п. В алгебре говорят об арифметических действиях над а, Ь,... и т. д., но конкретный смысл ни тех, ни других, как правило, не раскрывают. В геометрии рассматривают точки пересечения линий, подобие фигур и т. п. Но так как речь идет не о каких-либо конкретных линиях и фигурах, а о линиях и фигурах вообще, то и их взаимные отношения рассматриваются в чистом, абстрактном виде. После этого в каждой математической теории выделяют общие законы (аксиомы, принципы), которые лежат в основе связи их наличного запаса фактов. Эти общие законы также даются в абстрактной форме. И. В. Сталин подчеркнул, что геометрия «даёт свои законы, абстрагируясь от конкретных предметов, рассматривая предметы, как тела, лишённые конкретности, и определяя отношения между ними не как конкретные отношения таких-то конкретных предметов, а как отношения тел вообще, лишённые всякой конкретности»****. Аналогично поступают в алгебре и других математических теориях. Наконец, на построенном так фундаменте доказывают соответствующие теоремы, т. е. представляют фактическое содержание каждой математической теории в его взаимных связях, иначе — в его логической необходимости. Тем самым дают объективное, для данного периода развития математики, наиболее правильное, описание изучаемых количественных отношений и пространственных форм реального мира в их чистом виде.

Учитывая подобные факты, Ф. Энгельс подчеркнул, что «выведение математических величин друг из друга, кажущееся априорным, доказывает не их априорное происхождение, а только их рациональную взаимную связь»*****.

И. В. Сталин писал о грамматике: «...абстрагируясь от частного и конкретного, как в словах, так и в предложениях, грамматика берёт то общее, что лежит в основе изменений слов и сочетании слов в предложениях, и строит из него грамматические правила, грамматические законы»******. Абстрагируясь от материального содержания изучаемых количественных отношений и пространственных форм реального мира, математика выделяет в них в чистом виде то общее, что лежит в основе их взаимных связей, и на этом фундаменте строит свои теории. Грамматика придает словарному составу языка «стройный, осмысленный характер»*******. Способы обоснования математики позволяют наилучшим образом описать во взаимосвязях фактическое содержание математики. Таким образом, способы обоснования

* Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1948, стр. 36.

** Там же, стр. 38.

*** Там же, стр. 37.

***** И. Сталин, Марксизм и вопросы языкознания, Госполитиздат, 1951, стр. 24.

****** Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1948, стр. 37.

****** И. Сталин, Марксизм и вопросы языкознания, Госполитиздат, 1951, стр. 24.

******* Там же, стр. 23.

математики играют в ней роль, подобную той, какая принадлежит грамматике в языке.

Сказанное выше, быть может, покажется читателю недостаточно убедительным по следующим соображениям. Истина — «две точки определяют одну прямую» — проще большинства других истин геометрии. Люди, конечно, узнали ее одной из первых. Как после этого можно говорить, что указанная истина была выделена впоследствии как аксиома, на базе ранее установленных фактов?

Дело в том, что, когда люди впервые осознали указанную истину, она не была аксиомой, была таким же отдельным геометрическим фактом, как и все другие факты, в то время известные. Но когда число геометрических фактов стало значительным (в древней Греции это имело место в IV — III вв. до н. э.), возникла задача привести их в связь. Для этого было необходимо выделить посылки, описывающие основные отношения, в которых могут выступать прямые, треугольники, окружности и т. п. Вот тогда-то и заметили, что к числу таких посылок надо отнести истину: «Две точки определяют единственную прямую»; с этого времени она и стала аксиомой.

Точно таким же путем отыскивали основные посылки арифметики комплексных чисел, анализа бесконечно малых, неевклидовых геометрий и т. п. Например, Н. И. Лобачевский сделал свое великое открытие не потому, что по собственному желанию заменил в посылках геометрии Евклида V постулат иной аксиомой параллельности и на полученной системе аксиом развил новую геометрию. Напротив, Лобачевский боролся против произвольных допущений в математике, считал необходимым избирать в качестве посылок истины, наиболее полно отражающие основные свойства объектов, изучаемых в математических теориях. Именно руководствуясь этими соображениями, Лобачевский и открыл свою геометрию. Судя по работам Н. И. Лобачевского, ход его мысли, в основном, был таким*. Допустим, что из точки А, лежащей вне прямой а, проведены два луча Арх и Ар2, пересекающие эту прямую в точках рх и р2 (черт. 1). Будем вращать эти лучи около точки А (как показано стрелками) так, чтобы точки рх и р2 оставались на прямой а. Евклид полагал, что лучи Арх и Ар% будут стремиться к одному предельному положению — к прямой CD, не пересекающей прямую а. Но логически не исключено, что лучи Арх И Ар2 будут стремиться к двум различным предельным положениям — к лучам AM и AN, не пересекающим прямую а и симметричным относительно ABJ^a. Бесплодность многих попыток доказать V постулат Евклида говорит, что вторую возможность исключать нельзя, что, повидимому, она может иметь место в действительности. Следовательно, Евклид ограничился изучением одной возможности и в этом смысле сделал произвольный выбор аксиомы параллельности. Надо учитывать вторую возможность и соответственно ей строить новую (как нетрудно убедиться— более общую) геометрию.

Сторонники идеалистического миропонимания порой говорят, что если Лобачевский сумел показать существование геометрий, базирующихся на различных системах аксиом, то кто теперь может нам помешать свободно выбирать аксиомы и строить на них новые математические теории?

Это возражение идеалистов не обладает доказательной силой.

В выборе и комбинировании основных посылок математических теорий современные математики свободнее математиков предшествующих столетий. Но не потому, что математики «совершенно свободны» в своих действиях. Современная математика глубоко проникла в природу предмета своих исследований, охватила широкие области его проявлений. Благодаря этому математики могут делать более разнообразные обобщения, исследовать их в разнообразных связях. Наконец, хотя в принципе каждый математик действительно может комбинировать основные посылки, как ему заблагорассудится, он придет к положительному результату только тогда, когда докажет существование объектов, основные отношения которых описываются избранными им посылками. Иначе говоря, в конечном счете дело не в том, как выбирают основные посылки, а в том, отражают ли они что-либо в реальном мире или не отражают. Учитывая этот бесспорный факт, передовые математики всегда выби-

Черт 1.

* С. А. Яновская, Передовые идеи Н. И. Лобачевского — орудие борьбы против идеализма в математике, изд. АН СССР, 1950.

рали основные посылки своих теорий, опираясь на ранее доказанные и вновь установленные математические истины.

Исследования вопросов обоснования математических теорий, как правило, требовали от математиков огромных усилий и затраты большого количества времени. Таким образом, способы обоснования математики схожи с грамматикой еще и в том, что они являются результатом «длительной, абстрагирующей работы человеческого мышления, показателем громадных успехов мышления»*.

Итак, абстрактность истин математики не отрывает и не удаляет ее от реального мира. Напротив, она способствует математикам изучать количественные отношения и пространственные формы реального мира в их чистом виде, во всей их общности и благодаря этому обеспечивает выводам математики широкую приложимость.

Аксиомы математики — не условные соглашения, а общие, объективные истины, которые лежат в основе связей наличного содержания ее теорий.

Постановка проблемы, доказательство, метод исследования — все, совершаемое в математике, считается строгим, если удовлетворяет требованиям, предъявляемым в соответствующий период времени к обоснованию математики. Следовательно, понятие математической строгости не является первоначальным. Но, возникнув, понятие строгости служит критерием выполнения требований, предъявляемых к обоснованию математики и, следовательно, играет в математике хотя и вспомогательную, но действенную роль.

«Настоящая, законная научная теория,— писал И. П. Павлов, — должна не только охватывать весь существующий материал, но и открывать широкую возможность дальнейшего изучения»**.

И в математике создание фундамента и представление ее фактического содержания в его взаимных связях преследует действенную цель — обосновать в связи с этим новые, более сильные методы исследований. Именно поэтому математики судят о ценности научных приемов обоснования своих теорий в первую очередь по значимости получаемых с их помощью результатов. Например, арифметика натуральных чисел может быть обоснована на различных, равносильных системах аксиом. Однако отдают предпочтение той из них, в которой сразу дана аксиома индукции, необходимая при всех основных заключениях и изысканиях, касающихся свойств целых чисел. Когда удалось разработать непротиворечивую, полную систему взаимно независимых аксиом геометрии Евклида, этим было сделано многое в логической разработке ее основ. Однако именно благодаря этому удалось глубже проникнуть в конкретное содержание различных геометрий, развить неархимедову, недезаргову и непаскалеву геометрии, в новом направлении развить учение о площадях и объемах.

Достигнув определенного уровня, фактическое содержание математики обычно перерастает как существующие способы его обоснования, так и отвечающее им понимание математической строгости. Поскольку математика связана с развитием промышленности, сельского хозяйства, торговли и т. п., фактическое содержание математики непрерывно пополняется, и притом не только за счет фактов, которые можно объяснить с помощью существующих принципов. Когда такое несоответствие достаточно усилится, тогда фактическое содержание математики приходит в противоречие с существующими способами его обоснования, с существующим пониманием математической строгости; последние из фактора роста математики все более превращаются в тормоз.

Существенно подчеркнуть, что старые способы обоснования и соответствующее им понимание математической строгости, как правило, при этом не отбрасываются: в своем положительном содержании они удерживаются в новой их трактовке.

При разработке новых способов обоснования математики решающую роль играет то, как математики трактуют предмет и критерий истинности своих теорий, научно, материалистически, или антинаучно, идеалистически.

Сказанное о развитии способов обоснования математики и понятия математической строгости подтверждается всем ходом истории математики.

Евклид строил геометрию в своих «Началах» на базе определений, аксиом и постулатов. Он требовал, чтобы при доказательствах теорем геометрии понятия числа, бесконечности и движения не использовались. Всякое доказательство математической истины, не удовлетворяющее хотя бы одному из этих принципов, современники Евклида считали не строгим и старались заменить иным, строгим в его понимании***.

* И. Сталин, Марксизм и вопросы языкознания, Госполитиздат, 1951, стр. 24,

** И. П. Павлов, Двадцатилетний опыт, 1938, стр. 566.

*** См. «Начала» Евклида, перевод и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского; кн. 1 —VI, 1848; кн. VII—IX, 1949; кн. X—XV, 1950, изд. ГТТИ.

В течение многих веков ученые считали «Начала» Евклида образцом безупречно строгого построения математической теории*. В стиле «Начал» Ньютон написал «Принципы натуральной философии», Спиноза—«Этику». Но уже в XVII— XVIII вв. ученые были вынуждены на деле отказаться от второго требования Евклида, а значит, и от его толкования математическое строгости. В это время, под давлением запросов практики и точных наук (механика, астрономия, оптика)**, математики стали развивать алгебру, аналитическую геометрию и анализ бесконечно малых. В связи с этим понадобилось ввести в математику идеи движения и бесконечности, расширить понятие числа (вплоть до комплексного). Только на этом пути оказалось возможным построить математику переменных величин, без которой современная техника и точные науки существовать не могут.

В XIX веке критическая переработка методологии геометрии Евклида привела к еще большим результатам. Разработка проективной и неевклидовых геометрии, изучение свойств непрерывных линий и другие вопросы показали математикам, что для строго логического доказательства теорем геометрии система аксиом и постулатов самого Евклида недостаточна. Возникла проблема разработки полной системы аксиом геометрии Евклида. Оказалось также целесообразным выяснить значение каждой аксиомы в геометрии Евклида; это помогало представить то общее и те различия, которые она имеет с геометрией Лобачевского, Римана и др. В «Началах» теоремы допускают только одно реальное истолкование: они выражают истины, относящиеся к фигурам, описанным Евклидом в его определениях. Выяснилось, однако, что и истины геометрии, как и истины арифметики, допускают различные истолкования. Чтобы придать утверждениям геометрии общность, отвечающую расширившемуся пониманию ее предмета, оказалось необходимым строить ее на основных посылках, отражающих только общее во всех их возможных истолкованиях. Развернувшаяся в этом направлении работа (Гильберт Д., Каган В. и др.) привела к современному аксиоматическому обоснованию геометрии Евклида (и других геометрий), благодаря которому можно значительно лучше, чем во время Евклида, дать точное и всеобъемлющее описание пространственных форм и их свойств***. Как отмечалось выше, это имело не малое значение и для дальнейшего развития геометрии.

Итак, способы обоснования математики и понятие математической строгости меняются во времени, развиваются вместе с ростом фактического содержания математики.

Новые научные способы обоснования математики и отвечающее им новое понимание математической строгости потому и возникают, что без их объединяющей, систематизирующей и преобразующей силы невозможно решать новые задачи математики.

§ 3. Содержание и значение математической символики

История точных наук показывает, что развитие математики существенно зависит от «языка» математических символов и его усовершенствования.

Когда индусы ввели нуль, стало возможным перейти от поразрядных форм нумерации к десятичной позиционной системе, превосходство которой при счете если и не осознают, то повседневно используют сотни миллионов людей. Алгебра во многом обязана успехами тому, что Виета и Декарт разработали основы алгебраического исчисления. Введенные Лейбницем обозначения производной и интеграла позволили развить дифференциальное и интегральное исчисления; задачи на вычисление площадей, объемов, работы силы, решение которых раньше было доступно только первоклассным математикам, стали решаться почти автоматически.

В чем заключено объективное содержание математической символики? Как объяснить значение символики математики, опираясь на правильное истолкование ее содержания?

Мне представляется правильным решать эти вопросы на базе сопоставления «языка» математических символов с обычным языком.

Математические символы могут быть использованы в математике только тогда, когда они отражают определенные количественные отношения и пространственные формы реального мира. Поэтому, прежде чем использовать в рассуждениях те или иные символы, математик должен сказать, что они обозначают. В противном случае его не поймут. Н. И. Лобачевский писал: «... как мнения могут казаться ложно от того, что разумеют

* См. В. Ф. Каган, Лобачевский, изд. АН СССР, 1944, стр. 87 и следующие.

** См. об этом «Анти-Дюринг» и «Диалектику природы» Ф. Энгельса.

*** По этому вопросу см. Сборник статей по философии математики, под редакцией С. А. Яновской, Учпедгиз, 1936. См. также А. Колмогоров, Математика, БСЭ, т. 38.

иначе слова, так всякое суждение в математике останавливается, как скоро перестаем понимать под знаком то, что оно собственно представляет»*. Однако, когда значение символов точно установлено, каждый человек получает возможность понимать под математическими соотношениями только то, что они выражают.

«... язык, — указывает И. В. Сталин, — обслуживает общество, как средство общения людей, как средство обмена мыслями в обществе, как средство, дающее людям возможность понять друг друга и наладить совместную работу во всех сферах человеческой деятельности...»**. Подобно этому «язык» символов позволяет математикам обмениваться друг с другом и другими людьми установленными математическими истинами, налаживать контакт в совместной научной работе.

Но содержание обычного языка богаче содержания «языка» математических символов. Каждое предложение математики, выражаемое на «языке» ее символов, может быть выражено на обычном языке. Обратное неверно: предложение, выраженное на обычном языке, далеко не всегда может быть выражено на «языке» символов математики. В биологии и исторических науках «язык» символов, как правило, ни к чему не ведет, а потому и не используется. Кроме того, — и это главное, — «язык» математических символов без обычного языка существовать не может; он только вспомогательное средство обычного языка, используемое в математике и отчасти там, где она применяется.

Почему математики не довольствуются только обычным языком? Чем обусловлена возможность и целесообразность использования символики в математике и некоторых других науках?

Возможность использования «языка» символов в математике обусловлена особенностями предмета ее исследований, тем, что математика изучает формы реального мира, безразличные к их материальному содержанию. Целесообразность и даже необходимость использования символики в математике обусловлены тем, что с ее помощью математика может наиболее совершенным образом достигнуть того, что с большим трудом она могла бы сделать с помощью только обычного языка.

Математическая символика важна для математики в первую очередь потому, что с ее помощью удается, вообще говоря, наилучшим образом представить изучаемые количественные отношения и пространственные формы и относящиеся к ним законы в чистом, абстрактном виде. Как мы видели, это имеет огромное значение как для обоснования, так и для развития математических теории.

Математическая символика обеспечивает выводам математики максимальную возможность приложений. Зная, что xy = R, где х и у— переменные, a R — постоянное, мы знаем только, в каком функциональном соотношении выступают эти величины и ничего не знаем о их природе. Поэтому сделанные нами выводы о соотношении xy=R будут верны для любых реальных величин, связанных тем же соотношением.

И внутри математики математическая символика позволяет формулировать законы в общем виде. Примером этому может служить алгебра, с ее формулами:

и т. п. Математическая символика позволяет в компактной и сжатой форме записать математические предложения, выражения которых на обычном язы.се были бы крайне громоздкими. Это облегчает их запоминание и способствует более глубокому осознанию их содержания.

Для математики символика важна еще и потому, что с ее помощью часто удается дать точную модель основных количественных отношений, в которых могут выступать различного рода объекты. Пусть, например, нашей системой символов будут числа вида a + Ы, с установленными для них правилами сложения и умножения.

Рассмотрим, вместе с тем, множество векторов плоскости, начало которых отнесено к началу координат. Гак как между элементами множества этих векторов и элементами множества чисел вида а+Ы можно установить взаимно-однозначное соответствие, то представителем вектора [координаты конца которого (а, Ь)\% символом, его замещающим, может быть избрано число а+Ы. При этом, как известно, сложение чисел a+bi и c+di будет описывать геометрическое сложение соответствующих им векторов b) и (с, d), а их сумма (а + с) +(b-f d)l — вектор (а+с, b+d), полученный в результате этого геометрического

* Н. И. Лобачевский, Наставления учителям математики в гимназиях. Труды института истории естествознания, т. II, 1948, стр. 556.

** И. Сталин, Марксизм и вопросы языкознания, Госполитиздат, 1951, стр. 36.

сложения. Вместе с тем сложение чисел a + Ы и с-\ di характеризует параллельное смещение всей плоскости вдоль вектора а+ Ы. Умножение числа а+Ы на число c+di> т. е. число описывает вращение всей плоскости вокруг точки О на угол ср, с одновременным удлинением всех размеров, в том числе и вектора (а, Ь), в отношении 1 : р. Комбинированные действия над комплексными числами описывают указанные основные переходы от одних векторов к другим, в соответствующей последовательности.

Короче, арифметика комплексных чисел является точной моделью указанного множества векторов, с указанными выше их взаимными переходами*.

Учитывая подобные факты, Н. И. Лобачевский писал: «Подобно тому, как дар слова обогащает нас мнениями других, так язык математических знаков служит средством еще более совершенным, более точным и ясным (в математике и математических науках, конечно— В. УМ.), чтобы один передавал другому понятия, которые он приобрел, истину, которую он открыл»**.

Где такая модель имеется, изучение количественных соотношений вещей проще и точнее выполняется с помощью символов этой модели. По мнению П. Л. Чебышева, указывает акад. С. Н. Бернштейн, «всякое соотношение между математическими символами отображает соответствующее соотношение между реальными вещами; математическое рассуждение равнозначно эксперименту безукоризненной точности, повторенному неограниченное число раз, и должно приводить к логически и материально безошибочным выводам»***.

Преимущества такой модели становятся особо заметными, если на ее основе удается разработать алгоритм решения рассматриваемых в теории задач. Считают при этом, что если решение любой задачи теории может быть приведено к решению некоторых разрешимых задач этой же теории, то теория содержит алгоритм решения своих задач. Например, если расширить множество натуральных чисел за счет присоединения к нему числа нуль, то только тогда всякое натуральное число можно единственным образом представить в виде многочлена, расположенного по убывающим степеням некоторого числа. Если это число равно 10, то каждое натуральное число А может быть единственным образом представлено в виде

где каждое ос,-, i = 0,1, ... , п может принять одно из десяти значений: 0, 1, 2,..., 9. Так как и после указанного присоединения нуля законы счета остаются в силе, то сложение чисел А и В сводится к цепочке сложений однозначных чисел otj и , а умножение — к цепочке перемножений однозначных чисел ос,- и ßy, т. е. к разрешимым задачам арифметики натуральных чисел. Таким образом, налицо алгоритм производства арифметических действий.

Точно так же мы говорим об алгоритме интегрирования рациональных функций, поскольку последнее сводится к интегрированию конечного числа «элементарных» рациональных функций и т. п.

Сказанное не исчерпывает того, что можно сказать о содержании и значении математической символики. Здесь исключительное значение имеют математические работы К. Маркса, в которых он рассматривает диалектику развития основных понятий математического анализа.

Математика изучает количественные отношения и пространственные формы объектов реального мира, т. е. то, что безразлично к их материальному содержанию. Благодаря этому рассматриваемые в математике объекты (числа, фигуры и т. п.) и их отношения (больше, следует за) и связи (сложить, умножить и т. п.) могут быть без искажения и упрощения смысла представлены замещающими и отмечающими их символами. В связи с этим удается выделить в чистом виде и дать точную модель количественных отношений, изучаемых в математических теориях, и создать аппараты исчислений, существенно необходимые для развития математики и ее приложений.

* В терминах математики множество комплексных чисел изоморфно указанному множеству векторов плоскости.

** Н. И. Лобачевский, там же, стр. 555.

*** С. Н. Бернштейн, Чебышев, его влияние на развитие математики. Ученые записки МГУ имени М. В. Ломоносова, выи. 91, М. 1947, стр. 37.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

РУССКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЖУРНАЛЫ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

I.

Журналы и повременные издания, предназначенные для учителей математики или содержащие наряду с другими отделами специальный раздел, посвященный математике и ее преподаванию в школе, играли и играют очень большую роль в деле развития методики математики. Все эти издания ставили себе две основные цели: поднятие теоретического уровня учителя и передачу опыта широким учительским массам.

На русском языке издавался целый ряд таких журналов на протяжении более чем ста лет. Одни из них равномерно уделяли внимание обеим названным задачам, другие ставили главное ударение на одну из этих двух целей. И те и другие заслуживают того, чтобы советский учитель математики знал о них и время от времени в них заглядывал. Не только центральные книгохранилища, но нередко и школьные библиотеки имеют комплекты таких журналов. К сожалению, молодое поколение учителей мало знакомо с математическими журналами прошлого века. Настоящий обзор ставит задачей напомнить учителю об этих журналах.

Мы ограничимся перечнем и краткой характеристикой русских повременных изданий, посвященных элементарной математике и ее преподаванию. Размеры статьи не позволяют дать указатели, помещенных в них статей. Думается, что опубликование в дальнейшем такого указателя было бы чрезвычайно нужно для аспирантов, методистов, работников институтов усовершенствования учителей и всех, работающих в области методики математики. В настоящем обзоре будут даны сведения о времени издания того или другого журнала, краткие сведения о редакторах и главных сотрудниках, чьи труды незаслуженно забыты. Для некоторых изданий советского периода, мало известных более широкому кругу читателей, даны и перечни главных статей. Кроме того, указаны существующие указатели к некоторым из рассматриваемых изданий или посвященные им обзорные статьи.

II.

Первым по времени журналом по элементарной математике и ее преподаванию был «Учебный математический журнал», издаваемый К. Купфером, 1833—1834 гг.

Выходил он в 1833 и 1834 годах в Ревеле (Таллин, Эстонская ССР).

Редактором и почти единственным автором статей был Карл Генрих Купфер (1790—1838), доктор Дерптского (Юрьевского) университета, учитель Ревельской гимназии, а с 1835 года профессор математики в Лицее князя Безбородко в Нежине, где он оставил о себе самую лучшую память после непродолжительной службы в лицее (сведения о нем имеются в книге «Гимназия высших наук и Лицей князя Безбородко в Нежине», СПБ, изд. II, 1881). Кроме дис-

сертации (на латинском языке) о суммировании рядов (1813) и исследования «Опыт метода для определения числа мнимых корней уравнения произвольной степени» (1819), к которой примыкает напечатанная в журнале статья «Издателев способ, как определять число и приближенную величину действительных корней численных уравнений», Купфер издал еще «Начала буквенного исчисления и алгебры, включая комбинаторику и неопределенный анализ с упражнениями» (1832).

«Учебный математический журнал» печатал статьи, задачи по арифметике, алгебре, геометрии и тригонометрии для учащихся различных ступеней школы и рецензии на книги, представлявшие интерес для учителя.

В предисловии к последней книге журнала за первый год издания редактор указывает, что только три лица со стороны прислали статьи для журнала, среди них полевой инженерный капитан Петр Игнатьевич Татаринов из Петербурга, приславший статью «Теория параллельных линий». Речь идет о П. И. Татаринове, авторе книги «Начальные основания геометрии», СПБ 1842, удостоенной демидовской премии Академией наук по рецензии академиков В. Я. Буняковского и П. Н. Фусса, и книги «Взгляд на математику, основанную на философии», СПБ 1836.

О Татаринове и его аксиоме в нашем журнале была статья В. Л. Минковского (1941, №3). Пишущему настоящие строки удалось найти дальнейшие сведения об этом русском геометре и, в частности, установить, что он родился в 1790 году, умер в чине инженерного подполковника в 1844 году. Этот вдумчивый методист заслуживает особой статьи на страницах «Математики в школе».

«Учебный математический журнал» нашел достаточно хороший для того времени прием у читателя: число подписчиков дошло в первом году издания до 300. Последовавший в 1835 году переезд редактора-издателя в Нежин прекратил издание. Более подробные сведения о нем можно найти в журнале В. В. Бобынина «Физико-математические науки в ходе их развития», том I, 1899—1904, стр. 35—54, 71—75 (статья осталась незаконченной).

III.

«Вестник математических наук», издававшийся М. М. Гусевым в Вильне в 1869—1863 гг.

Этот журнал, наряду со статьями по вопросам высшей математики, печатал и статьи по элементарной математике и представлял издание, в известной мере напоминающее «Математическое просвещение» недавнего прошлого.

Издатель его, астроном Матвей Матвеевич Гусев (1826—1866), уроженец г. Вятки (ны-

не Киров), по окончании Казанского университета некоторое время состоял в нем доцентом, затем работал в Пулковской обсерватории и в 1852 году был назначен помощником директора Виленской обсерватории, находившейся в ведении Пулковской обсерватории.

Журнал «Вестник математических наук» ставил себе основной целью информировать читателя, любителя математики, о новостях в области физико-математических наук и популяризировать эти науки, поэтому, кроме статей, в нем печаталось очень много рецензий о новых книгах, давался богатый обзор журнальных статей, помещались задачи для решения. Этот журнал в разделе научных статей имел очень многих сотрудников со стороны, среди которых находились многие известные впоследствии профессора: Бугаев (ряд статей), Ващенко-Захарченко, Попов (преемник Лобачевского по кафедре), Ромер (проф. Киевского университета), Рощин, Сабинин, Савич (академик), Тиме (проф. Горного института), Н. Д. Брашман, И. И. Рахманинов (проф. Киевского университета) и педагоги Жбиковский, Износков и др.

Хотя большинство статей журнала и относилось к вопросам высшей математики или к пограничной области между элементарной и высшей математикой, но в нем печатались и статьи по элементарной математике, непосредственно адресованные учителю и учащимся. Поэтому в списке русских математических журналов для учителя самоотверженная попытка энтузиаста математического просвещения страны М. М. Гусева, предпринятая в провинциальном городе, должна быть отмечена.

При достаточном количестве сотрудников, журнал, к сожалению, не нашел необходимого числа подписчиков. Он прекратился в середине второго года издания на сороковом номере, считая с начала издания.

Некоторые подробности о журнале М. М. Гусева можно также найти в журнале В. В. Бобынина «Физико-математические науки в ходе их развития», том I, 1899—1904, стр. 100—111, 133—147, 161—166.

IV.

«Педагогический сборник» (1864—1917)

Главное управление военно-учебных заведений с 1836 по 1863 год издавало «Журнал для чтения воспитанникам военно-учебных заведений». В 1864 году управление нашло, что этот журнал не удовлетворяет уже возросшим потребностям, он был прекращен, и одновременно тогдашний начальник Главного управления Н. В. Исаков поднял вопрос о создании специального органа главного управления, неофициальный отдел которого должен был являться педагогическим журналом. Разработка плана была поручена известному педагогу того времени Н. X. Весселю, соредактору существовавшего тогда журнала «Учитель». План издания был одобрен военным министром Д. А. Милютиным, и с 1 октября 1864 года стал выходить журнал «Педагогический сборник» под редакцией H. X. Весселя, с 1882 года под редакцией известного методиста математики А. Н. Острогорского, которого в 1910 году сменил И. С. Симонов. Журнал выходил сначала ежемесячно. В 1880 году не вышло ни одного номера, в годы 1881 и 1882—по 4 номера, с 1883 года — по 12 номеров в год.

«Педагогический сборник», наряду со статьями по всем предметам преподавания, печатал

очень много статей по преподаванию математики. Это, несомненно, самый солидный из всех чисто методических журналов по математике до революции. В 1915 году, в связи с 50-летием журнала, был издан указатель всех статей, напечатанных в нем за 50 лет, в виде книги: «Систематический указатель статей, напечатанных в неофициальной части «Педагогического сборника» за 50 лет (1864—1914 гг.). Составил С. А. Переселенков». Трудно указать какой-нибудь вопрос элементарной математики, преподавание которого не рассматривалось на страницах «Педагогического сборника». Сотрудничали в журнале все живые силы русской методики математики. Назовем следующих ученых: Ермакова, Долбню, Шапошниковых (отца и сына), С. Н. Бернштейна, Бобынина, Фан-дер-Флита, Цингера, Е. Ф. Литвинову (доктор математики, подруга С. В. Ковалевской); методистов: Латышева, Гольденберга, Евтушевского, Киселева, Шохор-Троцкого, Острогорского, Вулиха, Попруженко, Розенберга, Слетова, Долгушина; преподавателей: Будаевского, Герна, Гейлера, Мазинга, Томаса, Матковского, Григорьева, Свешникова, Шидловского.

«Педагогический сборник» является самым долголетним русским методическим журналом. История его изложена в книге последнего его редактора И. С. Симонова «Педагогический сборник» за 50 лет, Петроград, 1914.

Мимо этого журнала не может пройти никто из серьезно занимающихся вопросами преподавания математики.

V.

«Математический сборник», издаваемый Московским математическим обществом.

Отдел второй (1867—1878)

С 1866 года выходит главный русский математический журнал, орган старейшего математического общества в России, созданного при Московском университете виднейшими математиками Москвы того времени. Посвященный оригинальным достижениям науки, «Математический сборник», начиная со II тома, датированного 1867 годом, присоединил к основному первому своему разделу оригинальных исследований отдел второй (с отдельным счетом страниц), где печатались статьи по элементарной математике и рецензии на учебники. Этот раздел в пяти очередных томах «Сборника» имеет весьма солидный объем (в отдельных томах от 200 до 250 страниц); начиная с VII тома, он значительно сокращается и заменяется приложением, в котором печатался перевод «Истории геометрии» Шаля, представляющий в отдельном оттиске солидный том в 740 страниц*. Печатание второго отдела «Математического сборника» прекратилось в 1883 году.

Названный второй отдел «Сборника» подходит в полной мере под понятие журнала по элементарной математике, предназначенного для учителя и любителя математики. Мы находим в нем статьи, совершенно аналогичные с появившимися в других подобных журналах прошлого века. Назовем для примера следующие:

А. Ю. Давидов, Элементарный вывод формулы

H. В. Бугаев, Теорема Эйлера о многогранниках;

А. Д. Летников, Общее доказательство основных формул тригонометрии;

Ф. А. Слудский, Предмет теории чисел;

А. Ю. Давидов, Распространение формулы бинома на дробные и отрицательные показатели (все статьи из т. II «Мат. сб.»);

A. Д. Летников, О теории параллельных линий Н. И. Лобачевского. (Первая попытка популярного изложения идей Лобачевского на русском языке, 1868);

Н. В. Бугаев, Математика как орудие научное и педагогическое (том III «Мат. сб.»);

B. Я. Цингер, Об основной теореме высшей геометрии;

Д. М. Делярю, Несколько слов о системе изложения чистой математики;

A. Ю. Давидов, Единство мер и весов (пропаганда метрической системы);

Ф. А. Слудский, О свойствах степеней двух и трех (задача Баше) (том IV «Мат. сб.»);

Гоуэль, Алгебра мнимых количеств;

B. Е. Сердобинский, Теорема Менелая.

Кроме того, отдел содержит задачи (в том числе предложенные академиком Буняковским), их решения и длинный ряд рецензий на книги по элементарной математике.

Из приведенных сведений видно, что редакция журнала (Московское математическое общество) не смотрела на второй отдел своего органа как на второразрядный. Статьи для него писали самые авторитетные деятели общества, начиная с председателя А. Ю. Давидова. Авторы всех перечисленных статей, исключая двух последних,

* «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов». — Сочинение Шаля, Москва 1871 и 1872.

были профессорами математических наук. Такими же авторитетными лицами писались рецензии и предлагались задачи для решения.

VI.

«Семья и школа» («Математический отдел»)

(1871—1888)

За годы 1871—1888 в Петербурге выходил педагогический журнал «Семья и школа», издававшийся известным физиком Константином Дмитриевичем Краевичем (1833—1892), профессором Горного института и Морской академии, автором популярнейшего в дореволюционной школе учебника физики. К. Д. Краевич является вместе с тем автором учебника алгебры и сборника задач по алгебре, выдержавших ряд изданий.

В № 5 за 1877 год редакция журнала «Семья и школа» заявила, что по желанию читателей математические статьи, печатавшиеся все время в журнале среди прочих, будут выделены в особое приложение под названием «Математический отдел», что с сентября месяца 1877 г. и было осуществлено (впоследствии математические статьи вновь были включены в общее содержание журнала).

«Математический отдел» является в полном смысле журналом для учителя. По заявлению редакции редактором его был приглашен «талантливый и трудолюбивый Константин Матвеевич Гаркем», неожиданная смерть которого задержала открытие математического отдела. Никаких сведений о К. М. Гаркеме найти не удалось.

Круг сотрудников «Математического отдела» весьма широк. Здесь мы находим имена А. И. Гольденберга, В. А. Евтушевского, А. Кронеберга (автор одной из первых книг на русском языке но высшей синтетической геометрии — «Элементарные начала геометрического анализа, или так называемой новой геометрии», изд. журнала «Семья и школа», СПБ 1880), С. И. Шохор-Троцкого, 3. Б. Вулиха, К. Мазинга, Ф. Чеканского, Н. А. Страннолюбского, И. И. Иванова (ученика Петербургского учительского института, позднее известного профессора университета и Политехнического института), М. С. Волкова, Н. И. Билибина и др.

Из всех русских журналов по элементарной математике и ее преподаванию математический отдел «Семьи и школы» является менее всего известным. Однако он содержит целый ряд статей, представляющих интерес для учителя. Только мимоходом упоминает о нем В. В. Бобынин, хотя в этом журнале появлялись и статьи по истории математики; назову, например, статью «Фермат».

В журнале «Семья и школа», кроме того, печатались подробные отчеты о заседаниях Петербургского педагогического общества, из которых представляют интерес прения об «Арифметике» Л. Н. Толстого, о приготовительном курсе геометрии (по поводу книг Фальке и статьи Вулиха) и ряд других отчетов.

VII.

«Математический листок» А. И. Гольденберга (1879—1882)

Этот журнал, посвященный исключительно вопросам элементарной математики и ее истории, издавался известным методистом А. И. Гольденбергом.

Александр Иванович Гольденберг (1837—1902), ученик по гимназии П. Н. Погорельского (учителя П. Л. Чебышева), затем в Московском университете профессоров Брашмана, Зёрнова и Давидова, по окончании университета прошел еще курс Артиллерийской академии. С 1865 г. Гольденберг состоял учителем сначала московских, а с 1884 года петербургских учебных заведений, главным образом общественных и частных, и руководителем земских учительских курсов в разных местах России. Его «Методика арифметики» выдержала 25 изданий.

Пламенный ревнитель математического просвещения, сотрудничавший во всех существовавших журналах, в которых можно было помещать статьи по математике, Гольденберг в 1879 г. начал издавать «Математический листок», журнал элементарной математики, который главным образом назначался для учеников старших классов средних учебных заведений. Журнал предполагался ежемесячным, однако первые 12 номеров вышли только в течение двух лет, и 9 номеров второго тома также растянулись на два года, и журнал на этом в 1882 году прекратил свое существование.

В вышедших номерах помещены статьи по весьма различным вопросам всех разделов элементарной математики и ее истории. Почти все статьи сопровождались тщательными историческими справками, принадлежащими самому редактору, который был большим любителем истории математики. Кроме того, печатались большие статьи по истории В. В. Бобынина: «Происхождение и первоначальное развитие письменного счисления», «Математика древних египтян» (диссертация) и переводные большие обзоры М. Кантора «Евклид и его век» и Бретшнейдера «Геометрия и геометры до Евклида». Перу самого Гольденберга принадлежат исторические статьи: «Как древние извлекали квадратный корень из чисел», «Ложное правило арабских математиков» и др. Для читателей было предложено до 250 задач. По числу присланных решений выделился студент Петербургского университета П. Долгушин, известный впоследствии автор учебников.

Сотрудничали в журнале, кроме уже названных лиц, К. Мазинг, Ив. Шенрок, С. П. Фролов, И. П. Долбня, Ев. Гутор, Д. Извеков. Большинство статей было написано самим Гольденбергом.

Как и журнал другого энтузиаста математического просвещения М. М. Гусева, «Математический листок» Гольденберга прекратил свое существование из-за отсутствия материальной базы. О дальнейших подробностях смотрите работу В. В. Бобынина «Физико-математические науки в ходе их развития», том I, 1899—1904, стр. 28Э—302.

VIII.

«Журнал элементарной математики», издаваемый проф. В. П. Ермаковым в 1884—1886 гг.

Этот журнал издавался в Киеве профессором Василием Петровичем Ермаковым (1845—1922), проявившим в первый период своей ученой деятельности большой интерес к преподаванию математики в школе. Внешним показателем этого интереса являются многочисленные статьи его по вопросам преподавания элементарной математики, печатавшиеся в «Педагогическом сборнике», позднее в «Вестнике опытной физики и элементарной математики» и отдельными брошюрами.

Главной заслугой проф. Ермакова в истории математического образования в России является создание им серьезного «Журнала элементарной математики», выпущенного в течение двух лет в количестве 40 номеров.

В статье «От редакции» в первом номере проф. Ермаков высказывает свой взгляд на преподавание математики в школе и вытекающие отсюда задачи журнала.

Журнал предназначался для преподавателей, учеников старших классов и вообще для любителей математики. В центре внимания, по мнению редакции, должна быть геометрия, а в ней— решение задач на построение, затем те вопросы математики, которые не входят явным образом в программы средних школ, но могут быть излагаемы элементарно (решение уравнений третьей и четвертой степени, отдельные вопросы теории чисел и неопределенного анализа, теории вероятностей, вопросы страхования и т. д.). Статьи, помещаемые в журнале, должны быть интересны для большинства любителей математики. Редактор заявляет: «Конечно, можно придумать множество излишних теорем и особенно удивительных формул, которые будут интересны разве только для самого автора. Есть такие любители математики, которые, придумав двадцать одну формулу для логарифмического модуля, воображают, что они сделали необыкновенное открытие. Предупреждаем, что подобного рода статьи не будут приняты к печатанию.. . ».

Редакция вначале предполагала не помещать «прений о методах и приемах преподавания», полагая, что основной педагогический прием состоит в краткости и ясности изложения: поменьше теории и побольше упражнений и задач. .. главные педагогические приемы уже установились, а на мелочах едва ли можно сойтись».

Однако в предисловии ко второму году издания это мнение редактора изменилось. Он пишет: «Мы желали бы ввести отдел педагогический. Чтобы быть хорошим учителем, недостаточно иметь хорошие учебники и задачники, нужно еще уменье преподавать, что достигается только более или менее продолжительным опытом. Просим опытных педагогов поделиться своими замечаниями с лицами, готовящимися к педагогическому поприщу». Считая, что по методике арифметики имеется достаточно руководств, редактор призывает присылать статьи о преподавании математики в старших классах.

Далее проф. Ермаков заявляет, что из статей по истории математики будут помещаться лишь такие, которые рисуют развитие того или иного математического понятия, а не являются только историей для истории.

Основная цель журнала — популяризация математических знаний элементарными средствами.

«Мы желаем показать, что объем элементарной математики далеко выходит из пределов гимназического курса, что есть много интересных вопросов, которые не входят в курсы преподавания ни средних, ни высших учебных заведений. . .

Мы будем обращать главное внимание на простоту, краткость и ясность изложения. Сущность математики заключается не в сложных формулах и не в обилии теорем, а в решении трудных вопросов возможно простыми приемами ».

Эти здоровые взгляды В. П. Ермаков осуществлял как в своей преподавательской деятельности (об этом пишет в кратком некрологе его ученик проф. А. Пшеборский, сборник «Наука на Украине»), так и по возможности претворял их в жизнь и в своем журнале.

За два года в журнале было помещено около 250 статей и заметок, из которых львиная доля принадлежит перу редактора. Из сотрудников можно назвать профессоров и будущих профессоров: Ващенко-Захарченко, Шиллера, Авенариуса, Рахманинова, Фогеля, Коркина, Грузинцева, Граве, Бидимовича, Мириманова и учителей: Шпачинского, Никульцева, Извекова, Флоринского, Мацона, Верещагина и др.

Во втором томе напечатана статья «Разложение многочленов на множители, основанное на

свойстве корней квадратного уравнения», ученика прилукской гимназии Г. Вороного. Это, сколько известно, первое печатное выступление знаменитейшего русского математика Георгия Феодосьевича Вороного.

Как уже сказано, журнал проф. Ермакова является самым серьезным из всех дореволюционных журналов по элементарной математике. Многие и многие статьи его заслуживают внимания и в настоящее время. Отметим, что в качестве приложения к первому тому журнала был дан перевод книги Е. Коссака «Основы арифметики», которая представляет запись лекций Вейерштрасса по этому вопросу. Это было первое изложение в печати идей Вейерштрасса об учении о числе (сам Вейерштрасс своего учения никогда не публиковал), и хотя Вейерштрасс и не остался доволен изложением его идей учеником, однако другого изложения лекций Вейерштрасса не было и нет до сих пор.

IX.

«Вестник опытной физики и элементарной математики» (1887—1917).

Этот журнал, как заявляет редактор Э. К. Шпачинский в первом номере, вышедшем 21 августа 1886 г., является продолжением «Журнала элементарной математики» проф. Ермакова и выходил сначала в Киеве, позднее (с 1891 г.) в Одессе. В названии журнала, и притом на первом месте, появились слова «опытной физики», поэтому естественно, что половину места, а часто и более, в журнале занимают вопросы физики и ее преподавания (в журнале проф. Ермакова также помещалось немало статей по физике, притом первоклассными физиками — профессора Авенариус и Шиллер, — но все же значительно больше внимания уделялось математике). Заканчивая 50-й семестр издания, редакция «Вестника» заявляет, что программа «Журнала элементарной математики» проф. Ермакова, если не во всем осуществлялась «Вестником», то была для него путеводной звездой.

Проф. Ермаков в первые годы существования «Вестника» продолжал оставаться идейным руководителем журнала, передав техническую часть издания учителю Эразму Корнелиевичу Шпачинскому (1848—1912), работавшему и в редакции «Журнала элементарной математики».

Надежды на то, что «Вестник», наконец, при некоторой субсидии от правительства, которую он действительно получал, может оплатить труд редактора, не оправдались. Число подписчиков дошло только до 500, и Шпачинский вынужден был искать себе службу. Получив в 1891 г. место столоначальника в канцелярии попечителя в Одессе, Шпачинский перенес в Одессу же и журнал. В помощники себе он привлек молодого студента В. А. Гернета, который с 21-го семестра (12 номеров журнала составляли семестр) становится издателем, а официальным и только официальным редактором становится профессор математики Новороссийского университета В. А. Циммерман; в 1902 году вторым редактором, а с 1904 года единственным редактором становится В. Ф. Каган.

Последний номер журнала — 673—674 (двойной), на обложке его стоит год 1916, вышел в середине 1917 года, так как еще в № 669 — 670 редакция приветствует «совершившийся величайший переворот в истории России. Пали цепи, веками сковывавшие ее население, народную волю, народную совесть, народную мысль». Эти строки, очевидно, писались после февральской революции. Следовательно, после февраля 1917 года вышли три двойных номера «Вестника».

В 674 номерах «Вестника» помещено несколько тысяч статей, заметок, задач и их решений. Авторами их являются, с одной стороны, большинство наших ученых конца прошлого и начала нынешнего столетия, с другой стороны—все без исключения методисты, авторы учебников и громадное число учителей.

Все вопросы элементарной математики и методики ее преподавания находили в той или иной мере освещение на страницах «Вестника». Выделить из многих статей какие-нибудь, заслуживающие особенного внимания в настоящее время, трудно. Комплект «Вестника» является необходимым пособием каждого методиста, несмотря на то, что в нем чисто методические статьи и не занимают доминирующего положения. «Педагогический сборник» по сравнению с «Вестником» является в значительно большей мере методическим журналом.

X

«Физико-математические науки в их настоящем и прошлом» томы V—XIII. «Физико-математические науки в ходе их развития». «Журнал истории, философии и библиографии физико-математических наук», том I, издаваемый В. В. Бобыниным в 1885—19Э4 гг.

Эти журналы издавались на личные средства Виктором Викторовичем Бобыниным (1849 — 1919), скромным учителем кадетского корпуса (приват-доцентство в университете в дореволюционное время никакого вознаграждения, кроме грошевого студенческого гонорара, не давало). Кроме того, за исключением трех статей, все остальные написаны самим редактором, большим специалистом по истории математики, единственным в то время в России, в особенности по вопросам истории отечественной математики. 14 томов журнала, содержащие много тысяч страниц, являются беспримерным подвигом этого энтузиаста математического образования и не имеют себе равного в мировой литературе.

Учитель и методист найдет в этих томах неисчерпаемый источник материалов, особенно в серии исследований автора — «Очерки истории развития физико-математических знаний в России» и в «Русской физико-математической библиографии», печатавшихся в ряде томов журнала.

Полная библиография статей В. В. Бобынина, получившего лишь после революции признание и ставшего профессором Московского университета, дана в III выпуске «Историко-математических исследований», М. 1950, и занимает 33 страниц мелкого, убористого текста. Систематический указатель содержания 13 томов первой серии журнала дан в заключительном выпуске второго журнала В. В. Бобынина («Физико-математические науки в ходе их развития»), стр. 363—377.

XI.

«Математическое образование», журнал Московского математического кружка (1912—1917 и 1923—1930)

Журнал этот редактировался Иоасафом Ивановичем Чистяковым (1870—1942). Всего вышло 48 +24 номера.

В первой серии номеров (1912—1917) журнал печатал в значительное части доклады, читавшиеся в Московском математическом кружке, работавшем весьма активно под идейным руководством проф. Б. К. Млодзеевского и объединявшем все живые силы московского учительства в предреволюционные годы.

Статьи журнала, четко ориентированные на учителя средней школы, написаны на весьма высоком научном и методическом уровне. Кроме редактора, ß журнале активно участвовали: профессора: Б. К. Млодзеевский, А. К. Власов, С. П. Виноградов, К. А. Поссе, В. Б. Струве, Д. М. Синцов, В. В. Бобынин, Н. А. Умов, Руссьян, Н. Н. Салтыков, А. Б. Васильев, С. Н. Бернштейн, Д. Д. Мордухай-Болтовский; методисты: П. А. Баранов, А. Ф. Гатлих, И. И. Александров, В. И. Соллертинский, Ф. А. Эрн, Н. А. Извольский, Д. Д. Волковский, Н. А. Агрономов, К. Ф. Лебединцев, А. П. Киселев, А. П. Поляков, С. Н. Поляков, П. С. Фролов, С. П. Слугинов, Е. И. Григорьев и др.

Возобновленный в 1928 году журнал объединил всех оставшихся в живых старых сотрудников с целой плеядой ученых и методистов советского времени.

Комплекты журнала «Математическое образование» могут считаться ценнейшей принадлежностью библиотеки учителя и методиста.

XII.

«Математический вестник», журнал, посвященный вопросам преподавания арифметики и начал алгебры и геометрии (1914—1917)

Журнал этот издавал Николай Александрович Извольский (1870—1938), состоявший после революции профессором Ярославского педагогического института. Всего вышло 24 номера. Журнал назначался для учителей начальных и высших начальных училищ (по прежней терминологии), что соответствует в нынешних понятиях приблизительно первым 7 классам средней школы. Это единственный из издававшихся в России математических журналов с такой целевой установкой.

Больше половины всех статей принадлежит перу редактора. В числе сотрудников фигурируют те же методисты и учителя, которые названы в очерке о предыдущем журнале. Характерной чертой журнала являются методические полемики, которые редактор вел с разными авторами, иногда страстно, но с ярко выраженным стремлением выяснить истину.

Среди небольших статей этого скромного журнала имеется много таких, которые заслуживают внимания учителей младших классов средней школы, да и не только их (статьи Н. А. Извольского: «Переоценка значения графиков для курса алгебры»; «Мой взгляд на преподавание геометрии»; «Элементы алгебры в курсе арифметики» и т. п.).

XIII.

«Математический листок», издававшийся Н. А. Агрономовым в 1915—1917 гг.

Последний журнал по элементарной математике, возникший до революции, выходил в том же городе Ревеле, где в 1833 году вышел первый такой журнал на русском языке. Издавал его Николай Александрович Агрономов (1886—1929), бывший в последние годы жизни профессором Дальневосточного университета во Владивостоке, где развил очень оживленную методическую работу среди учителей.

«Математического листка» вышло всего 22 номера небольшого объема. Журнал ставил себе целью расширение математического кругозора учителей средней школы, учащихся средней и высшей школы. В нем печатались задачи и вопросы и затем решения и ответы в виде небольших статей. Самостоятельные статьи принадлежат почти исключительно ре-

дактору, который внимательно следил за аналогичными зарубежными журналами.

Журнал, издававшийся на окраине России, сумел привлечь к себе внимание учащихся всех концов родины, как показывают предложения и решения задач, помещенные в журнале. Учитель математики наших дней найдет в нем много материала для занятий школьного математического кружка.

XIV.

Математические приложения к циркулярам учебных округов.

В качестве приложений к циркулярам учебные округа дореволюционной России нередко печатали математические брошюры, представляющие интерес для учителя. Так, например, в Киевском учебном округе была распространена упомянутая выше брошюра Коссака «Основания арифметики» и проект программ математики, разработанный физико-математическим обществом при Киевском университете. К циркулярам попечителя Московского учебного округа была приложена ценная брошюра Е. Шпитальского об арифметических задачах и две брошюры Б. А. Герна (впоследствии профессора Смоленского университета) «Изложение логики, основанное на курсах элементарной математики и физики».

Особенно следует отметить деятельность в этом направлении Кавказского учебного округа, который выпустил два сборника «Физико-математическое приложение к циркулярам по Кавказскому учебному округу» (Тифлис, 1909) и в качестве продолжения их «Физико-математический сборник» № 3 (1910) и № 4 (1913), представляющие довольно солидные выпуски; к последнему было дано «Приложение. Отдел для учащихся».

Названные 4 выпуска представляют в полном смысле слова журнал элементарной математики для учителя и учащихся, в которых печатались статьи учителей школ округа, известных и помимо этих сборников (Б. Крамаренко, С. Цатуров, И. Пламеневский и др.).

XV.

Журналы-однодневки первых годов после революции.

В первые годы после революции выходило несколько журналов для учителя математики,

не переживших в тогдашних трудных условиях печатания двух-трех номеров. Отметим несколько из таких «однодневок».

«Математика в школе», том I, издание отдела по реформе школы при Наркомпросе, 1918. Вышло 2 выпуска, соединенные №№ 1—2 и 3—4. Содержание: «Цели и методы преподавания математики в новой школе, программы, учебники». Статьи И. И. Чистякова, О. А. Вольберга, И. К. Андронова, К. Ф. Лебединцева; «Теорема Лемуса»—Э. Лейнека; «Графический метод в школе»—В. В. Добровольского; «Математические заметки» —Я.Дубнова, Е. Томашевича, Кутузова.

«Физико-математический сборник» под ред. Д. А. Бем, В. И. Котовича, Г. Н. Попова и др., Москва, 1924.

Содержание: Г. Н. Попов—«О вычислении те в японской математике» ; Н. Ф. Четверухин — «О спрямлении дуг окружности»; А. А. Дмитровский— «Формула Герона и площадь вписанного четырехугольника»; Г. Н. Попов — «Обзор математической литературы за 1922 — 1923 гг.».

«Сборник статей по вопросам физико-математических наук и их преподавания» под ред.

A. И. Бачинского и А. А. Михайлова, том I (единственный), Москва 1924.

Содержание: Г. Н. Попов—«В. В. Бобынин»; В. В. Бобынин—«По поводу древних и новых нападок на чистую математику»; Его же— «Древнейшая из женщин-математиков (Ипатия)»; А. Н. Шапошников — «Вариант учебной тригонометрии».

«Математические науки пролетарским кадрам», под ред. Э. Кольмана, B. И. Хотимского и С. А. Яновской, т. I (единственный), 1931. Содержание: Бурстин и Граммер—«Поправка к одной теореме о бесконечно малых»; Андронов и Брадис — «Вычисление радиуса круга по сторонам вписанного в него неправильного многоугольника»; А. Гельфонд — «Элементарный вывод формулы Эйлера»; Л. Люстерник — «Вывод формулы суммы геометрической прогрессии»; П. Сапунов—«О пределе х - при лг->0».

«Вопросы преподавания математики», под ред. И. А. Сигова и И. С. Симонова, Ленинград, 1925. Из содержания: С. А. Богомолов—«Эстетические элементы в математике»; В. Н. Комаров— «Абак и принцип поместного значения цифр»; В, С. Софронов—«Эксперимент в школьном курсе алгебры»; Б. Б. Пиотровский— «Изучение тригонометрических функций».

XVI.

«Математика в школе», сборники научно-методического совета губОНО, Ленинград (1924 — 1926)

Шесть сборников, изданных под ред. Ивана Ивановича Грацианского (1881 — 1937).

Содержание: 1-й сборник: «Вопросы преподавания математики в школе 1-й ступени» — статьи Грацианского, Кавуна и др.

Сборник 2-й: Б. Б. Пиотровский—«Изучение простейших функций»; С. А. Богомолов — «Возможен ли логический курс геометрии в школе?»; И. А. Сигов— «Методы изображения при изучении геометрии»; В. Софронов— «Об использовании в школьном курсе «приложений» геометрии»; А. А. Чебышев-Дмитриев—«О преподавании тригонометрии».

Сборник 3-й: Б. Б. Пиотровский—«Тождественные преобразования и уравнения»; И. Н. Кавун — «Курс геометрии I класса 2-й ступени»; Е. И. Фогельсон—«Упражнения производственного характера»; С. А. Богомолов— «Факультативный курс геометрии в

школе»; В. А. Крогиус—«Литература по геометрии ».

Сборник 4-й: П. А. Долгушин — «Вычисление по приближению»; И. А. Пинчуков — «Теория вероятностей в школе»; В. Н. Комаров— «Об основных законах арифметики»; Е. И. Фогельсон — «Программа производственных упражнений»; Б. М. Коялович— «Математика в древнем Египте»; Н. Е. Степанов— «Принцип Кавальери».

Сборник 5-й: А. М. Астряб—«К. Ф. Лебединцев»; В. А. Крогиус—«Изучение пропорциональных величин»; П. А. Долгушин — «Вычисления с десятичными числами»; П. А. Компанийц — «Семь арифметических действий».

Сборник 6-й: В. М. Брадис — «Разыскание наивыгоднейших значений»; Б. Б. Пиотровский— «Понятие интеграла в школе 2-й ступени»; П. А. Компанийц — «Система результатов арифметических действий над тремя числами».

Во всех выпусках содержится очень богатый отдел критики и библиографии.

«Вопросы математики и её преподавания» Сборник статей под ред. И. Чистякова и Н. Соловьева, Госиздат, 1923.

И. И. Чистяков, Значение истории математики для преподавания алгебры; Н. М. Соловьев, Метод симметрии в вопросе о точке наименьшего расстояния; В. М. Брадис, Приближенные вычисления в школьном курсе математики; Я. С. Дубнов, О разложении на множители некоторых тригонометрических выражений; В. В. Добровольский, Решение задач при помощи клетчатой бумаги.

«На путях к педагогическому самообразованию» На путях математики, Сборник статей, вып. II, Москва, 1926

Д. Л. Волковский, Об основных тенденциях в современной литературе по математике для школ I ступени; И. И. Чистяков, Исторические элементы в преподавании математики, Развитие понятия о числе, Элементы движения в преподавании геометрии, Математические

развлечения; А. В. Казаков, Элементы алгебры в начальном преподавании. Графический метод в преподавании математики. Геометрия в приложении к измерению на местности; Д. Л. Волковский, Круг познания 8-летних детей в области числа; В. М. Брадис, Приближенные вычисления, счетные приборы, математические таблицы, введение в изучение счетной линейки; Н. М. Соловьев, Об основаниях геометрии.

XVII.

Журнал «Математика в школе» и его предшественники.

Существующий в настоящее время журнал «Математика в школе» является повседневным пособием каждого учителя, поэтому характеризовать его нет надобности.

Ограничимся указанием момента его зарождения и этапов эволюции и перечислением комплекта номеров по годам, так как, вероятно, многие читатели заинтересованы собиранием его полного комплекта.

Родоначальником журнала является сборник «Физика, химия, математика, техника в трудовой школе», 1927, вышедший под редакцией П. П. Лебедева. Как продолжение сборника с 1928 года выходит журнал «Физика и математика в трудовой школе», методический журнал Главсоцвоса и Института методов школьной работы под ред. П. П. Лебедева. Преемственность с предыдущим сборником указывается нумерацией выпусков 1 (2). С 1929 года издание получает название «Физика, химия, математика, техника в трудовой школе». С№3 за 1931 год редактором журнала становится Александр Николаевич Барсуков, остающийся на этом посту до настоящего времени. За 1933 год журнал не выходил, а возобновленный в 1934 году вновь выходит под ред. А. Н. Барсукова под названием «Математика и физика в средней школе», с 1936 года под названием «Математика и физика в школе», и с 1937 года под названием «Математика в школе».

На четвертом номере за 1941 г. выход журнала временно приостановился. В 1943 году вышел сборник статей под заглавием «Математика в школе», выпуск 1-й.

Продолжения не последовало, а с 1946 года «Математика в школе» выходит в увеличенном формате и объёме.

Приведем перечень вышедших номеров за отдельные годы, повидимому, полный: 1927 — 1 сборник, 1928 — 5 номеров, 1929 — 8 номеров, 1930 — 6 номеров, 1931—8 номеров, 1932 — 4 номера, 1933 — не выходил, 1934 — 4 номера, 1935 — 6 номеров, 1936 — 6 номеров, 1937 — 6 номеров, 1938 — 6 номеров, 1939 — 6 номеров, 1941 — 4 номера, 1943 — 1 сборник, с 1946 года выходит по 6 номеров в год.

В числе указанных выпусков были двойные номера, поэтому общее число выпусков несколько меньше.

XVIII.

«Математическое просвещение», сборник статей по элементарной и началам высшей математики (1934 — 1938)

Сборников «Математическое просвещение» вышло всего 13 книг, под редакцией сначала Р. Н. Бончковского и И. И. Чистякова, а с IV выпуска под редакцией первого из названных лиц. Каждый выпуск содержит статьи по элементарной и по высшей математике. С выпуска IV в сборник был включен раздел методики, хотя методические статьи вначале не стояли в плане издания.

Отсутствие рядом с методическим журналом «Математика в школе» в настоящее время

журнала «Математическое просвещение», в который могли бы отойти из «Математики в школе» статьи по различным специальным вопросам элементарной и началам высшей математики, чувствуется всеми читателями «Математики в школе». Возобновление «Математического просвещения», вероятно, приветствовали бы все читатели «Математики в школе».

XIX.

Наш обзор, естественно, не исчерпывающий всех изданий, показывает, что русская журнальная литература для учителя математики весьма богата. В создании ее принимало участие подавляющее большинство представителей русской математической науки, которые никогда не чуждались ни популяризации науки, ни писания учебников для школы. Учебники по элементарной математике писали первые наши академики (Я. Герман — «Сокращение математическое ко употреблению его величества императора всея России» (Петра II), СПБ 1723; Г. В. Крафт—«Краткое руководство к теоретической геометрии», СПБ 1748). Учебники Л. Эйлера — «Руководство к арифметике для употребления гимназии при Академии наук», 1740 и 1760, и «Алгебра» являются новым этапом в эволюции учебников в мировой литературе; ученики Эйлера академики Котельников, Румовский, Головин писали оригинальные руководства для школы. Эту славную традицию продолжают и советские ученые математики.

На страницах перечисленных выше журналов разрабатывалась русская методика математики, почти на всех этапах шедшая впереди методической мысли западноевропейских стран. В этом убедится читатель, который будет заглядывать в названные выше журналы прошедших десятилетий. Оказать некоторую помощь «доброохотному» читателю, к которому неоднократно обращались эти старые издания, и составляло цель настоящего обзора.

Было бы полезно издать упомянутый в начале статьи указатель журнальных статей по методике математики, в котором можно было бы более подробно охарактеризовать каждое издание. Такой указатель значительно сократил бы трату времени на поиски источников тысячам лиц, в первую очередь аспирантам по методике математики. В указатель вошли бы и статьи, печатавшиеся в многочисленных «Ученых записках» педагогических институтов, институтов усовершенствования учителей, исследовательских институтов и других учреждений, оставшиеся вне поля зрения настоящего обзора.

К ИСТОРИИ ВОПРОСА О РЕФОРМЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Б. П. БЫЧКОВ (Бельцы, Молдавская ССР)

Известно, что движение за реформу преподавания математики в средней школе, которое приняло особенно широкий размах, как у нас в России, так и на Западе в начале XX в., выдвинуло на первый план идею функциональной зависимости в школьном курсе элементарной математики.

Инициатором включения понятия функции в среднешкольный курс математики обычно принято было считать Ф. Клейна.

В действительности, как это и было указано в статье А. В. Ланкова «К истории вопроса о реформе преподавания математики» («Математика в школе», 1949, № 6), приоритет в

постановке вопроса о реформе преподавания математики в школе на основе идеи функциональной зависимости принадлежит нашим русским методистам-математикам конца XIX века.

А. В. Ланков указывает, что в 1893 г. с рефератом на тему о реформе преподавания математики выступил Сердобинский в Петербурге, а в 1895 г. вопрос уже приобретает общественный интерес, ему уделяет внимание журнал «Русская мысль» (1895, № 5); очевидно, имеется в виду статья В. Шереметевского «Математика как наука и ее школьные суррогаты»*.

Нам хотелось бы указать, что вопрос о введении понятия функции в курс школьной математики приобрел общественный интерес в России еще раньше 1895 г. На протяжении 1891 г. в журнале «Русская школа» (,№№2, 3, 9 и 10) печаталась большая работа одного из крупнейших русских методистов-математиков дореволюционного периода С. И. Шохор-Троцкого (1853— 1923)—«Цель и средства преподавания низшей математики».

В этой работе содержится ряд мыслей, не потерявших актуальности и в настоящее время: о введении начального курса геометрии, о введении в арифметику более или менее закругленного курса приближенных вычислений, о введении в курс алгебры понятия функции и теории пределов.

Приводим цитату из гл. II «Отдельные статьи курса низшей математики с общеобразовательной точки зрения» («Русская школа», 1891, №3, стр. 126—127):

«Цель изучения низшей алгебры в среднем учебном заведении заключается, как об этом уже было упомянуто выше, в привитии уму учащегося навыков и методов правильного отвлечения, обобщения и анализа числовых вопросов. Средства для достижения этой цели будут рассмотрены в следующей статье; здесь же считаем уместным сказать несколько слов также еще об одном дополнении курса алгебры, нами проектируемого для среднеучебного заведения; мы говорим о геометрическом истолковании разного рода алгебраических количеств: положительного и отрицательного, целого и дробного, рационального, иррационального и даже комплексного; кроме того, желательно внесение в алгебру термина «функция» и идеи, связанной с этим термином, а равно первоначальное учение о Декартовых координатах и даже (horribile dictu) о кривой, которой ординаты изображаются данною функциею. Вот эта последняя идея особенно важна в образовательном отношении, и в настоящее время идея кривой, олицетворяющей ход изменения какой-либо функции, можно сказать, сделалась идеею, без которой почти невозможно обойтись образованному человеку вообще и ни в одной отрасли знания в частности».

Итак, С. И. Шохор-Троцкий поднял публично вопрос о включении идеи функциональной зависимости в школьную математику еще в 1891 г., т. е. на четыре года раньше В. И. Шереметевского и на 14 лет раньше Ф. Клейна.

В указанной статье А. В. Ланков утверждает, что вопрос о реформе возник в Московском обществе распространения технических знаний в 1892 г., ссылаясь на примечания 27 и 29 к указанной статье В. П. Шереметевского (1895 г.).

Мы имеем основание утверждать, что вопрос о реформе возник в том же Московском обществе распространения технических знаний по крайней мере в 1891 г., а то, пожалуй, и раньше. В журнале «Педагогический сборник» за январь 1892 г., в разделе «Из записной книжки редакции», мы находим указание на то, что в декабре 1891 г. предполагался съезд, русских естествоиспытателей и врачей, который был затем отложен. Во время этого съезда Учебный отдел общества в Москве предполагал устроить несколько заседаний, посвященных специально обсуждению вопросов, относящихся к преподаванию математики в средних учебных заведениях. С этой целью Особой комиссией преподавателей математики было выработано для докладов 45 вопросов, среди которых шестым вопросом был поставлен следующий: «Не следует ли в течение всего курса математики знакомить учеников с понятием о функции? Какие отделы и статьи курса представляют для этого наиболее пригодный материал? («Педагогический сборник», январь 1892, стр. 94— 95).

г1аким образом, можно с полной достоверностью утверждать, что вопрос о реформе преподавания математики в школе возник у нас в России еще в 1890— 1891 гг., причем, в это же время он был вынесен на обсуждение общественности. Если считать, что на Западе вопрос о реформе преподавания математики начал широко пропагандироваться с 1905 года, т. е. с момента опубликования Меранских программ, то у нас в России он обсуждался широкими кругами передовой математической общественности на 14—15 лет раньше.

* См. также А. В. Ланков, К истории развития передовых идей в русской методике математики, Учпедгиз, 1951, стр. 106.

МЕТОДИКА

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК В ПРОСТРАНСТВЕ

М. А. ЩУКИНА (Ленинград)

Одна из задач изучения стереометрии — развитие пространственного представления. Большую помощь в решении этой задачи может оказать изучение геометрических объектов как геометрических мест точек, обладающих определенными свойствами.

Целью настоящей работы является изложить некоторые соображения относительно решения задач на отыскание геометрических мест точек в пространстве. При этом предполагается, что все изложенное будет проходиться не концентрированно, как один из разделов, но будет вставляться в виде упражнений в соответствующие главы курса.

Понятие о геометрическом месте точек, обладающих определенным свойством, известно учащимся из планиметрии.

На плоскости геометрические места точек представляли собою в большинстве случаев линии — прямые или кривые, иногда вырождающиеся в одну или несколько точек. В пространстве точки, обладающие определенным свойством, могут (в частности) располагаться на линиях или поверхностях, как плоских, так и кривых.

Следует обратить внимание учащихся, что необходимо доказать два утверждения (прямое и обратное, либо противоположное ему), прежде чем сделать заключение о том, что данная линия (поверхность) представляет собою геометрическое место точек. Такими утверждениями, будут например:

а) если точка M лежит на линии (поверхности) /, то она обладает свойством х\

б) если точка M обладает свойством х, то она лежит на линии /; утверждение б) обратно утверждению а). Или:

а) если точка M обладает свойством х, то она лежит на линии /;

б) если точка M не обладает свойством ху то она не лежит на линии /; утверждение б) противоположно а).

Обе формулировки понятия о геометрическом месте точек эквивалентны, так как из справедливости первых двух утверждений следует справедливость вторых и наоборот. Поэтому безразлично, какие два из них доказывать. В каждом конкретном случае выбирают те, которые легче доказать.

В ряде случаев можно получать геометрические места в пространстве как обобщение известных геометрических мест на плоскости или как результат движения плоскости (вращение, параллельный перенос и т. д.).

Некоторые задачи на отыскание геометрических мест, представление о которых получить трудно, могут быть формулированы, как задачи на доказательство, ибо слишком сложные построения и приемы для «облегчения» понимания не приводят к желательной цели.

Задачи на отыскание геометрических мест точек пространства

I.

В ряде простейших случаев геометрическими местами точек пространства являются прямые линии.

С некоторыми из таких геометрических мест можно познакомить учащихся после прохождения теорем о наклонных и их проекциях, о прямой, перпендикулярной к плоскости. Приведем несколько примеров:

1. Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от всех точек окружности.

Предварительно можно провести следующее рассуждение: пусть точки М, /V, .. . находятся (каждая) на одинаковом расстоянии от всех точек окружности (черт. 1), т. е.

МЛ =МВ = МС=... NAX = NB, =NCy... MA, MB, MC,.. . — равные наклонные и должны иметь равные проекции.

Тогда перпендикуляры, опущенные из Ж и N на плоскость Р, в которой лежит окружность, должны пройти через центр О окружности, так как на плоскости это единственная точка, равноудаленная от оснований А, В, ..., и Ах, Вх,. .. наклонных. Но в точке О плоскости Р можно восставить к Р только один перпендикуляр, следовательно, M, N, ... лежат на этом перпендикуляре.

После этого делаем вывод:

а) Если точка равноудалена от всех точек окружности, то она лежит на прямой, перпендикулярной к плоскости окружности и проходящей через ее центр.

Для окончательного вывода об искомом геометрическом месте точек необходимо доказать утверждение, обратное (либо противоположное) первому, например:

б) Если точка лежит на прямой, проходящей через центр окружности и перпендикулярной к ее плоскости, то она равноудалена от всех точек окружности (черт. 2). Дано KL_\_P, точка О — центр окружности, А, В, С, ... — точки окружности. Точка О — на KL, точка M — на KL. Требуется доказать, что

Доказательство. Так как ОА = ОВ — = ОС— . .., то MA = MB = MC как наклонные, имеющие равные проекции. Теперь на основании а) и б) можно утверждать, что «геометрическим местом точек, равноудаленных от всех точек окружности, является прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная к ее плоскости».

Полезно заметить, что на плоскости существует только одна точка, одинаково удаленная от всех точек окружности (центр окружности), в пространстве же существует бесконечное множество точек, обладающих этим свойством. Аналогично этой задаче, с использованием тех же теорем, решаются задачи:

2. Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от всех вершин квадрата (прямоугольника).

Таким геометрическим местом будет прямая, перпендикулярная к плоскости квадрата (прямоугольника), проходящая через точку пересечения диагоналей (единственную точку плоскости, обладающую этим свойством).

3. Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой (прямая, перпендикулярная к плоскости и проведенная через центр окружности, проходящей через эти три точки).

4. Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от всех вершин равнобедренной трапеции.

Таким геометрическим местом будет прямая, перпендикулярная плоскости трапеции, проходящая через центр описанной около нее окружности.

Усложнением этих будут задачи, требующие применения теорем о прямой, проведенной в плоскости перпендикулярно наклонной или ее проекции.

Черт. 1. Черт. 2.

5. Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от сторон треугольника.

На плоскости существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника,— центр вписанного круга.

Если точка M пространства находится на одинаковых расстояниях MD = ME = MF от сторон треугольника ABC (черт. 3), то MD, ME, MF—суть равные наклонные и имеют равные проекции. Перпендикуляр, опущенный из точки M на плоскость треугольника, должен прояти через центр вписанного в треугольник круга.

Докажем, что геометрическое место точек пространства, равноудаленных от сторон треугольника, есть прямая, перпендикулярная к плоскости треугольника и проходящая через центр вписанного в треугольник круга.

а) Если точка M лежит на перпендикуляре, проведенном к плоскости Д ABC через центр О вписанного в него круга, то она равноудалена от всех сторон треугольника.

В самом деле, если Р — плоскость Д ABC, О — центр вписанной в Д AB J окружности, О/С JL Р и точка M лежит на OK (черт. 4), то, опустив из M перпендикуляры на стороны MF _L AB, MD _L ВС, ME ± AC и соединив D, Е и F с точкой О, получим:

как проекции наклонных, перпендикулярных к сторонам. Но OF = OD = ОЕ, как радиусы вписанной окружности, следовательно, MF = MD = ME, как наклонные, имеющие равные проекции.

б) Если точка M равноудалена от стороны Д ЛВС, то она лежит на перпендикуляре, проведенном к плоскости Д ABC через центр О вписанного в Д ABC круга.

Пусть

Опустим из M перпендикуляр МО на плоскость Д ABC (черт. 5). Тогда OD = OE = OF, как проекции равных наклонных. Кроме того:

OD _L AB, ОЕ _I_ ВС, OF _L AC, как проекции наклонных, перпендикулярных к AB, ВС и АС. Поэтому точка О равноудалена от сторон Д ABC, т. е. есть центр вписанного круга.

Таким образом, точка M лежит на перпен дикуляре к плоскости Д ABC, проходящем через центр вписанного в Д ABC круга.

Из а) и б) следует справедливость высказанного выше предложения.

6. Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от всех сторон квадрата.

(Перпендикуляр к плоскости квадрата, проведенный через его центр.)

7. Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от всех сторон ромба (черт. 6).

(Прямая, перпендикулярная плоскости ромба и проходящая через точку пересечения диагоналей.)

8. Найти геометрическое место оснований равных наклонных, проведенных из одной и той же точки вне данной плоскости.

Необходимо решить вопрос о расположении оснований А, В, С... равных наклонных МА=

Черт. 3.

Черт. 4.

Черт. 5.

= MB = MC = . . ., проведенных из точки M к плоскости Р.

Опустив перпендикуляр МО J_ Р (черт. 7), заключаем, что АО = ВО = СО=. .. (как проекции равных наклонных), т. е. основания равных наклонных одинаково удалены от основания перпендикуляра МО к плоскости Р.

Поэтому искомое геометрическое место — окружность с центром в точке О — основании перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость, и с радиусом, равным проекции наклонных.

Эта задача не нуждается в более подробном доказательстве, так как сводится к известному из планиметрии геометрическому месту.

9. Найти геометрическое место точек плоскости Р, удаленных от данной точки M (вне пл. Р) на данное расстояние а.

Эта задача аналогична предыдущей.

Необходимо лишь оговорить, что при условии: а> МО, МО _L Р — получится окружность; а = МО — одна точка; а < МО—задача не имеет решения (черт. 8).

10. Построить геометрическое место проекций точки M пространства на прямые, лежащие в плоскости Р и проходящие через данную точку N, взятую на той же плоскосmu.

Пусть a, b, с...—прямые в плоскости Р, проходящие через точку N\MA _]_ a, MB J_ b,...

где А, В, С,. . . — проекции точки M на прямые a, b, с... (черт. 9). Опустив МО \_Р, будем иметь OA _[_ a, OßJ_6,..., откуда заключаем, что отрезок ON из точек А, Ву..„ виден под прямым углом; следовательно, искомое геометрическое место — окружность, построенная на ON как на диаметре.

Заключение не меняется, если точка M будет расположена на плоскости Р.

Решение задач такого рода даст возможность повторить свойства многих плоских фигур.

II.

Переход к плоскостям, представляющим собою геометрические места точек, в большинстве случаев может быть осуществлен как обобщение уже известных геометрических мест точек плоскости (во многих случаях представлявших собою прямые линии).

В представлении таких геометрических мест может оказать помощь показ образования их движением плоскости — вращением или параллельным переносом.

1. Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух данных точек.

На плоскости геометрическим местом точек, обладающих указанным свойством, является прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину.

В плоскости Р геометрическое место точек, равноудаленных от А и В есть ОМ _]_ AB, причем АО = ОВ (черт. 10). Если вращать плоскость Р вокруг AB, то ОМ также будет вращаться и образует плоскость R, перпендикулярную AB.

Таким образом, докажем, что геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от двух данных точек, является плоскость, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через середину его.

а) Дано: пл. R _L ЛВ, АО = ОВ, тогда О на пл. R, точка M на пл. R (черт. 11,а).

Черт. 6.

Черт. 7. Черт. 8

Черт. 9.

Доказать: АМ = МВ.

Доказательство. Проведем плоскость Р через AB и M (черт. 11,&). ОМ— линия пересечения Р и R, так как точки О и Ж лежат в этих плоскостях.

В плоскости Р имеем: ОМ _]_ AB (так как ОМ — в пл. R и R ± AB) АО = OB, следовательно, AM = MB. б) Дано: АМ = МВ.

Доказать, что точка M лежит на плоскости, перпендикулярной к AB и проходящей через середину AB.

Доказательство. Проведем плоскость R через точку M перпендикулярно отрезку AB, пусть О — точка пересечения R и AB (черт. 12).

Тогда для доказательства утверждения достаточно показать, что О — середина AB.

Если Р — плоскость, проходящая через AB и М, то ОМ — линия пересечения R и Р и ОМ _L AB. Но MA = MB, следовательно, M должна лежать на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка AB, следовательно, точка О—середина AB, что и требовалось доказать.

Из а) и б) следует справедливость высказанного утверждения.

2. Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от вершин данного треугольника.

Эта задача может быть решена применением предыдущего геометрического места точек.

Точки, равноудаленные от А и В, лежат в плоскости Q, перпендикулярной AB и проходящей через его середину D (черт. 13). Точки, равноудаленные от В и С, лежат в пл. Р, перпендикулярной ВС и проходящей через середину Е отрезка ВС.

На линии MN пересечения плоскостей Р и Q лежат точки, равноудаленные от А, В и С.

3. Та же задача № 2 может быть дана в другом варианте:

Доказать, что три плоскости, перпендикулярные к сторонам треугольника и проходящие через середины сторон, пересекаются по одной прямей.

Третья плоскость, перпендикулярная к АС и проходящая через середину АС, должна содержать все точки, равноудаленные от Л и С, следовательно, и прямую MN пересечения первых двух плоскостей, все точки которой обладают этим свойством.

4. Найти геометрическое место точек, разность квадратов расстояний которых от двух данных точек А и В равна данному числу (а2).

На плоскости геометрическое место точек, обладающих этим свойством, есть прямая, перпендикулярная отрезку AB и проходящая через точку С — конец отрезка

где m — длина AB (черт. 14).

Черт. 10.

Черт. 11.

Черт. 12.

Черт. 13.

Черт. 14.

В пространстве искомым геометрическим местом будет плоскость, перпендикулярная к отрезку AB и проходящая через точку С — конец отрезка

так как перпендикуляр MC при вращении плоскости вокруг AB опишет указанную плоскость.

5. Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух параллельных прямых.

На плоскости геометрическим местом точек, равноудаленных от двух параллельных прямых, является прямая, параллельная им и проведенная на равных расстояниях от них.

В пространстве ей соответствует плоскость Я, содержащая вышеуказанную прямую AB (черт. 15).

Выбрав произвольно точку M на плоскости Я и проведя MD _L а и МК J_ b, заключаем, что наклонные MD и МК равны, следовательно, должны быть равны и их проекции, т. е. если МО J_ а, то О попадет на прямую AB.

Докажем, что геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от двух параллельных прямых, является плоскость, перпендикулярная к плоскости, определяемой данными прямыми, и содержащая прямую этой плоскости, равноотстоящую от данных прямых.

Доказательство.

а) Пусть точка M—на пл. Я, докажем, что она равноудалена от а и о.

Опустим МО_\_АВ в пл. Я, тогда МО _j_ а (перпендикуляр к ребру прямого двугранного угла).

Кроме того, в плоскости а через точку О проведем DKA-AB, тогда DKA_a и DKj_à.

Соединим M с D и К, очевидно, это и будут расстояния от M до прямых а и Ь.

В самом деле, МК± b(b±DK, d OK — проекция МК, следовательно, b J_ МК), MD _]_ а (по предыдущему).

Но DOM — МОК = d (линейные углы прямого двугранного угла), откуда Д DOM = Д МОК, поэтому MD = МК, что и требовалось доказать.

б) Докажем обратное утверждение.

Пусть точка M равноудалена от прямых а и Ь. Докажем, что она лежит тогда в плоскости Р.

Пусть

Заметим, что тогда плоскость ß, проходящая через MD и МК, перпендикулярна плоскости а, проходящей через прямые а к b (доказательство этого утверждения не представляет затруднений).

Проведем плоскость Рх через M и прямую AB, параллельную данным и расположенную посередине между ними, докажем, что Рг J_ а (черт. 16,&).

Опустим из точки M MO±_DK, тогда МО _1_ а (перпендикуляр к ребру прямого двугранного угла). Кроме того, так как наклонные MD и МК равны, то равны и их проекции, т. е. МО упадет в середину DK, следовательно, на AB. Таким образом, точка О лежит на AB, следовательно, МО лежит и в плоскости Рх.

Таким образом, плоскость Рг совпадает с Я, так как она перпендикулярна а и содержит AB. Значит, точка M лежит на Я.

6. Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от трех парал-

Черт. 15.

Черт. 16.

лельных прямых, не лежащих в одной плоскости.

Этим геометрическим местом будет прямая MN (черт. 17) — линия пересечения двух плоскостей Р и Q, перпендикулярных соответственно к плоскостям а и ß; а (а, с); ß(c, b) и содержащих прямые CD (параллельную а и с) и AB (параллельную с и Ь), равноудаленные от а, с и с, Ь.

Третья плоскость, перпендикулярная плоскости т(д, Ь), проведенная через среднюю прямую, пройдет через ту же прямую MN, так как должна содержать все точки, равноудаленные от прямых а и Ь. Этим свойством обладают все точки MN.

7. Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух пересекающихся прямых.

На плоскости геометрическим местом таких точек является пара биссектрис угла, образованного данными прямыми.

Геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, состоит из двух плоскостей, перпендикулярных плоскости, определяемой этими прямыми и содержащих биссектрисы углов, образованных ими.

Доказательство.

а) Пусть a (OA, OB), ОС—биссектриса </АОВ, пл. Р±а, ОС —в пл. Р, точка M— на пл. Р, MD А_ОВ; МЕ±ОА.

Докажем, что MD = ME.

Опустим из точки M перпендикуляр МК на плоскость а (черт. 18), он будет расположен в плоскости Р, и основание его упадет на линию пересечения плоскостей, т. е. на биссектрису ОС угла АОВ.

Соединив D и Е с точкой К, будем иметь:

OB ± DK, OA ± КЕ, следовательно, DK=KE.

Отсюда MD = ME как наклонные, имеющие равные проекции.

б) Обратно, пусть

Докажем, что M лежит на пл. Р, Pia и содержащей ОС (черт. \9,а).

Опустим из точки M перпендикуляр к плоскости a, MK_Lol, и соединим точку К с О, D и Е (черт. 19,ft).

Тогда КЕ _]_ OA и KD _L OB (проекции наклонных, перпендикулярных к OA и OB).

Проведем плоскость Р через МК и OK (черт. 19,с).

Р_[_а, так как содержит Л1/С_1_а.

Очевидно, OK — биссектриса угла АОВ, так как DK=KE — проекции равных наклонных.

Таким образом, точка M действительно лежит на плоскости, перпендикулярной плоскости угла a и содержащей биссектрису OK этого угла.

Важно проследить, чтобы доказательство обратных утверждений не велось на том же чертеже, а выполнение построения велось последовательно, ибо только в этом случае учащиеся приучаются точно различать данные положения от доказываемых.

Список этих задач можно продолжить и дальше, но уже на этих примерах ясна идея сравнения геометрического места в пространстве с соответствующим геометрическим местом точек на плоскости.

Черт. 17.

Черт. 18.

Черт. 19.

III.

Рассмотрим теперь геометрические места точек, обладающих определенными свойствами по отношению к пространственной фигуре, например к граням двугранного угла, и т. п.

Геометрические места такого рода могут быть связаны с геометрическими местами на плоскости путем проведения сечений пространственных фигур какими-либо плоскостями.

1. Найти геомгтрическое место точек пространства, равноудаленных от граней двугранного угла.

Пусть (Р, AB, Q)—двугранный угол; если пересечь двугранный угол (Р, AB, Q) плоскостью öl, перпендикулярной к ребру AB (черт. 20), то в плоскости сечения точки, лежащие на биссектрисе МЧ линейного угла СМО, будут равноудалены от сторон этого угла, а следовательно, и от граней (так как перпендикуляр к линии M J или MD пересечения перпендикулярных плоскостей, лежащий в плоскости а, будет перпендикуляром и к другой плоскости—Р или Q). При движении плоскости а вдоль ребра биссектриса MV образует плоскость R (черт. 20), делящую двугранный угол пополам (биссекторная плоскость). Точки этой плоскости равноудалены от граней двугранного угла.

1а. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей, состоит из двух плоскостей, делящих пополам пары двугранных углов, образованных данными плоскостями. Эти биссекторные плоскости перпендикулярны, так как являются биссекторными плоскостями смежных двугранных углов.

Доказательство.

а) Пусть дан двугранный угол (Р, AB, Q) и точка M на биссекторной плоскости R.

Опустим МС±Р, MO±Q (черт. 21).

Требуется доказать, что MC = MD.

Проведем плоскость 6* через MC и МО. Тогда S±P, S±Q, а потому AB±S.

Если КМ — линия пересечения плоскостей/? и S, то КМ — биссектриса линейного угла CKD. Точка M лежит на биссектрисе ^ CKD, поэтому СМ = МО.

б) Обратно, пусть (Р, AB, Q)—двугранный угол, точка M равноудалена от его граней, т. е. МС± Р,МО ±QhMC = MO (черт. 22,а).

Докажем, что точка M лежит на биссекторной плоскости.

Проведем плоскость R через AB и M (черт. 22,6). Тогда рассуждением, аналогичным предыдущему, получим, что AB _J_ S, где .S — плоскость, проведенная через MC и МО. Углы СКО, СКМ и МКО — линейные углы соответствующих двугранных углов.

Но точка M равноудалена от сторон угла СКО, следовательно, лежит на его биссектрисе.

Таким образом, линия МК—биссектриса Z.CKO.

Отсюда следует, что плоскость R делит двугранный угол (Р, AB, Q) пополам, что и требовалось доказать.

2. Найти геометрическое место точек пространства, находящихся на данном расстоянии от данной плоскости.

Очевидно, таким геометрическим местом точек будет пара плоскостей, параллельных данной и удаленных от нее на данное расстояние.

Если данную плоскость Р пересечь перпендикулярной ей плоскостью а (черт. 23), то в этой плоскости точки, находящиеся на данном расстоянии от Р, расположатся на двух прямых ААХ и СС1, параллельных линии пересечения ВВХ, плоскостей а и Р.

Черт. 20.

Черт. 21.

Черт. 22.

При вращении плоскости ос вокруг AB _L Р прямая ВВ1 опишет пл. Р, а прямые ААХ (АА2,...) и ССг (СС2,.. .)—соответственно две плоскости, параллельные Р и отстоящие от нее на данное расстояние.

Далее следует дать построение этих плоскостей: пусть Р — данная плоскость, а — данное расстояние.

1) DE _L Я, В — точка пересечения DE с Р.

2) ВА = ВС = а (черт. 24).

3) Пл. Q J_ AB через точку А.

4) Пл. Qx _L AB через точку С.

I и находятся от Р на расстоянии а. \\ Р )

Легко доказать, что любая точка плоскостей Q и находится на расстоянии а от плоскости Р, а также и противоположное: точки, лежащие вне плоскостей Q и Ql, этим свойством не обладают.

3. Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух параллельных плоскостей.

Это геометрическое место соответствует геометрическому месту точек плоскости, равноудаленных от двух параллельных прямых, и представляет собою плоскость, параллельную данным и находящуюся посредине между ними.

Доказательство этого утверждения не представляет затруднений.

4. Найти геометрическое место середин отрезков лучей, проведенных из данной точки вне данной плоскости ко всем точкам этой плоскости.

Пусть дана плоскость Р и точка А вне ее (черт. 25). Если через прямую AB J_ Р проведем плоскость а, то геометрическое место середин О, Ми Nu. . . отрезков лучей AB, АМ, AN, лежащих в этой плоскости, будет прямая ОК\ II ВК—линии пересечения плоскостей Р и а.

При вращении плоскости а вокруг AB прямая OK опишет плоскость Q, параллельную Р. Таким образом, искомым геометрическим местом середин отрезков лучей AM, AN,. .. является плоскость, параллельная данной и содержащая середину перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость (провести подробное доказательство не представляет затруднений).

Большой интерес вызывают у учащихся геометрические места точек пространства, представляющие собою поверхности. К сожалению, таких геометрических мест можно привести лишь весьма ограниченное количество, ввиду небольшого числа поверхностей, известных учащимся.

5. Найти геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой.

Пусть AB—данная прямая, а—данное расстояние. В каждой из плоскостей, проходящих через AB, геометрическим местом точек, находящихся на расстоянии а от AB, будет пара прямых, параллельных AB и отстоящих от нее на расстоянии, равном а. Если вращать плоскость Р вокруг AB, (черт. 26), то вышеуказанные прямые CD \сх Du . . .) и EF(EX Е1У...) опишут цилиндрическую поверхность прямого

Черт. 23.

Черт. 24.

Черт. 35.

круглого цилиндра, которая и будет геометрическим местом точек, удаленных от AB на расстоянии а.

Доказательство.

а) Любая точка указанной цилиндрической поверхности лежит на окружности, плоскость которой перпендикулярна AB, поэтому находится на данном расстоянии от AB.

б) Точка М, не лежащая на этой цилиндрической поверхности, не может находиться на расстоянии а от AB. Точка M и прямая AB определяют плоскость ос, которая пересекает цилиндрическую поверхность по двум прямым (черт. 27) CD и EF, на которых в этой плоскости только и могут лежать точки, находящиеся на данном расстоянии от AB. Следовательно, точка M удалена от AB дальше (либо ближе), чем на а.

6. К этим геометрическим местам следует присоединить общеизвестное геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной точки,—сферическая поверхность с центром в данной точке и радиусом, равным данному расстоянию.

7. Найти геометрическое место точек пространства, из которых данный отрезок виден под данным углом.

На плоскости геометрическое место точек, из которых данный отрезок AB = а виден под данным углом а, состоит из двух дуг симметрических сегментов, построенных на данном отрезке и вмещающих данный угол.

Вращая плоскость Р вокруг AB, получим геометрическое место точек пространства, обладающих этим свойством, — поверхность, образованную вращением вокруг AB дуги сегмента АтВ, построенного на данном отрезке и вмещающего данный угол а (черт. 28) (доказательство аналогично доказательству в задаче № 5).

В частном случае, когда а = 90°, получим сферу, диаметром которой служит отрезок AB.

На применение этих геометрических мест приведем следующие задачи:

8. Найти геометрическое место центров сфер данного радиуса, касающихся боковой поверхности данного цилиндра.

Центры таких сфер удалены от оси цилиндра на расстояние, равное сумме или разности радиусов цилиндра и сфер (черт. 29). Поэтому геометрическим местом их будут боковые поверхности двух цилиндров с той же осью, что у данного и радиусами основания, равными сумме или разности радиусов цилиндра и сфер.

9. Найти геометрическое место центров сфер данного радиуса, пересекающих данную плоскость по окружностям данного радиуса.

Пара плоскостей, параллельных данной плоскости Р и отстоящих от нее на расстоянии равном УН2—г2, где R — радиус сфер, г — радиус окружностей, по которым сферы пересекают плоскость Р. В самом деле, центр сферы О отстоит от плоскости Р на расстоянии

а геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной плоскости, — пара плоскостей, параллельных данной (черт. 30).

Черт. 26.

Черт. 27.

Черт. 28.

Черт. 29.

10. Найти геометрическое место центров сфер данного радиуса, проходящих через данную точку.

Сфера данного радиуса с центром в данной точке.

Задачи на построение и доказательство, решаемые методом геометрических мест

Геометрические места точек пространства, так же как и на плоскости находят применение при решении задач на построение и доказательство.

IV.

Методом геометрических мест строятся в пространстве точки (линии), которые по условию задачи должны обладать двумя свойствами. Такие точки (линии) отыскивают на пересечении двух линий или поверхностей, представляющих собою геометрические места точек, обладающих каждым из свойств (в отдельности), указанных в условии задачи.

Простейшие в этом цикле — задачи, в которых достаточно построить геометрическое место согласно лишь одному условию задачи. Приведем несколько примеров.

1. На плоскости M построить точку, равно отстоящую от трех данных в пространстве точек А, В, С, не лежащих на одной прямой.

Анализ: 1) Искомая точка должна принадлежать данной плоскости.

2) Искомая точка должна быть равноудаленной от точек А, В, С;

3) Геометрическое место точек, равноудаленных от А, В, С, есть прямая, проходящая через центр описанного около /\АВС круга и перпендикулярная к его плоскости.

Опуская построение и доказательство, проведем исследование задачи. Искомые точки находятся на пересечении плоскости и прямой, поэтому число решений зависит от взаимного расположения их. Прямая и плоскость могут находиться в трех взаимных положениях, отсюда и три возможных варианта решения:

1) Одна точка, если плоскость Д ABC не перпендикулярна данной плоскости M (черт. 31,а).

В этом случае перпендикуляр OD к плоскости Д ЛВС пересекает плоскость M в одной точке К.

2) Нет решения, если плоскость Д ЛВС перпендикулярна пл. М, но центр О описанного около Д ABC круга не лежит на линии пересечения EF плоскостей Д ABC и M (черт. 31,й). В этом случае OD \\ М.

3) Бесконечное множество точек, если плоскость Д ABC перпендикулярна плоскости M и центр О описанной около Д ABC окружности лежит на линии EF пересечения плоскостей /\АВС и пл. M (черт. 31,с).

В этом случае OD лежит в плоскости М, и любая точка этой прямой удовлетворяет условию задачи.

2. На данной прямой построить точку, равноудаленную от двух данных точек пространства.

Искомые точки должны находиться на данной прямой и на плоскости, перпендикулярной отрезку, соединяющему данные точки, и проходящей через его середину.

Решений может быть: одно (данная прямая пересекает плоскость), бесконечное множество (данная прямая лежит в плоскости), ни одного (данная прямая параллельна плоскости).

3. Построить геометрическое место точек плоскости Р, из которых данный вне плоскости отрезок AB виден под прямым углом.

Анализ: 1) Точки искомого геометрического места должны лежать на плоскости Р.

2) Из точек искомого геометрического места данный отрезок виден под прямым углом, следовательно, оно должно быть частью геометрического места точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом, т. е. сферы, диаметром которой является отрезок AB.

Черт. 30.

Черт. 31.

Таким образом, заключаем, что искомое геометрическое место точек надо искать на пересечении плоскости Р со сферой. От их взаимного положения будет зависеть вид искомого геометрического места, это будет:

1) Окружность, если расстояние от середины AB (центра сферы) до пл. Р меньше ~- AB (черт. 32,а).

2) Одна точка, если ОС= \-АВ (черт. 32, Ь), в этом случае сфера касается плоскости Р в точке С.

3) Ни одной точки, если ОС> AB, сфера не имеет общих точек с плоскостью (черт. 32,с.)

4. На плоскости Р найти точки, удаленные Gm данной точки M на данное расстояние а.

Искомые точки получатся в пересечении плоскости Р со сферой, радиус которой а, а центр — в точке М. Получится окружность, если расстояние d точки M от плоскости Р меньше а; одна точка, если d = a и ни одной точки при d>a.

5. На данной плоскости Р построить точки, разность квадратов расстояний которых от двух данных точек А и В, не лежащих в плоскости Р, равна данной величине (а2).

Анализ: 1) Искомые точки должны лежать на плоскости Р.

2) Искомые точки должны лежать на геометрическом месте точек, разность квадратов расстояний которых от точек А и В равна а2. Это есть плоскость, перпендикулярная AB и проходящая через точку С, — конец отрезка

Точки, удовлетворяющие условиям задачи, будут находиться на пересечении двух плоскостей. Исследуя взаимное расположение их, находим, что искомые точки могут располагаться:

1) На прямой пересечения плоскостей (если AB не перпендикулярна Р).

2) На плоскости, если АВ±_Р и точка С лежит в плоскости Р, так как тогда обе плоскости совпадают.

3) Не будет решения при AB J_ Я, если точка С не принадлежит Р, так как тогда плоскости окажутся параллельными.

6. На поверхности шара найти точки, равноудаленные от двух данных точек.

Искомые точки находятся на пересечении шаровой поверхности с плоскостью, перпендикулярной отрезку, соединяющему данные точки, и проходящей через его середину (окружность, одна точка или ни одной).

Несколько более сложными являются задачи, в которых оба условия требуют построения соответствующих геометрических мест.

7. Построить точки, находящиеся на данном расстоянии а от данной плоскости M и на расстоянии b от прямой I, 1±_М.

Анализ: 1) Искомые точки должны лежать на геометрическом месте точек, находящихся на расстоянии а от плоскости M (пара плоскостей, параллельных М).

2) Искомые точки должны лежать на геометрическом месте точек, удаленных от прямой / на расстояние b (цилиндрическая поверхность, осью которой является прямая /).

Оставляя в стороне построение и доказательство, отметим, что цилиндрическая поверхность, ось которой (/) перпендикулярна плоскости, пересекает ее по окружности (черт. 33);

поэтому искомые точки будут лежать на окружностях [kx и &2], расположенных в параллельных плоскостях. Радиусы их равны Ь, центры — в точках пересечения / с плоскостями Р и Q.

8. Найти геометрическое место точек, находящихся на расстоянии а от данной плоскости M и на расстоянии b от точки А.

Искомые точки будут находиться на пересечении пары плоскостей Р и Q, параллельных M и удаленных от нее на расстоянии а, со сферой радиуса Ь, центр которой в точке А.

Черт. 32.

Черт. 33.

В исследовании задачи следует разобрать отдельно случаи:

b>a, b = a, Ь<а.

В случае Ь>а решением может быть:

1) Две окружности [kx] и [k2] (сфера пересекает обе плоскости Р и Q), d<b — а.

2) Окружность [kx] и точка К (сфера пересекает одну из плоскостей, касается другой), d = b — а.

3) Окружность [AfJ (сфера пересекают только одну плоскость), b — я <d<ô-|-a.

4) Одна точка К (сфера касается только одной из пары плоскостей), d = b + а.

5) Ни одной точки, d>b+a, где через d обозначено расстояние А от M (черт. 34).

Если b = а, то искомым геометрическим местом точек могут быть:

1) Окружность (k)— сфера пересекает лишь одну плоскость, 0<d<2a.

2) Две точки kXy k2—сфера касается обеих плоскостей, d = 0, т. е. точка на плоскости М.

3) Одна точка — сфера касается только одной плоскости, d = 2a.

Ни одной точки, d>2a. При Ь<а геометрическим местом может быть :

1) Окружность, если

а — b<C,d<a+ b.

2) Одна точка, если

d — a — b

или

d = a+b.

3) Ни одной точки, если

d<a — b

или

d>a + b.

9. Дана плоскость Р и прямая AB \\ Р. Найти точки, находящиеся на расстоянии m от Р и AB.

Искомые точки расположены на пересечении геометрических мест точек, находящихся на расстоянии m от Р (пара плоскостей параллельных Р) и от AB (цилиндрическая поверхность с осью AB). Так как диаметр цилиндрической поверхности равен расстоянию между параллельными плоскостями, то в пересечении могут быть либо две прямые, либо одна прямая, либо ни одной. Это зависит от расстояния а прямой AB до плоскости (черт. 35).

10. Построить геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных плоскостей, а также равноудаленных от двух данных точек.

Анализ: 1) Точки должны быть равноудалены от двух плоскостей, следовательно, они лежат на геометрическом месте точек, равноудаленных от двух плоскостей (пара плоскостей, либо плоскость).

2) Точки должны быть равноудалены от двух данных точек (плоскость).

Исследование. Количество решений зависит от пересечения двух или трех плоскостей, поэтому может быть решений:

1) одна прямая,

2) две прямых,

3) плоскость,

4) ни одной точки.

Черт. 34.

Черт. 35.

I. Данные плоскости параллельны. Различные случаи представлены на чертеже 36 (а и Р — данные плоскости; А и В — данные точки; Р — плоскость, параллельная а и ß и проходящая посредине между ними; Q — плоскость, перпендикулярная AB и проходящая через его середину).

Данные плоскости а и ß пересекаются.

Возможные случаи представлены на чертеже 37 (Р и Рг — биссекторные плоскости угла, образованного данными плоскостями).

Особое внимание при решении этих задач следует уделить исследованию полученных решений. Оно дает богатый материал для изучения взаимных положений различных линий и поверхностей в пространстве. Здесь также полезно привлечь идею движения. Например, в задаче № 8, разбирая взаимное положение двух параллельных плоскостей и шаровой поверхности, исследование можно начать с последнего положения, когда центр «слишком далеко» и нет общих точек. «Опуская» затем центр постепенно к плоскостям, получим все возможные случаи пересечения.

Также можно применить вращение плоскости, которая становится в то или другое положение относительно других, как в задаче № 10.

V.

Геометрические места точек, обладающие определенными свойствами, с успехом могут применяться для доказательства ряда теорем-задач. Таковы, прежде всего, задачи на доказательство единственности пересечения трех плоскостей. Идея решения такова: устанавливаем свойство точек линии пересечения двух из них; затем, пользуясь положением, что геометрическое место точек содержит все точки, обладающие этим свойством, заключаем о принадлежности ее (линии) третьей плоскости. Важно проследить правильность хода мысли учащихся. Устанавливая свойство линии пересечения двух плоскостей, мы пользуемся положением, что «каждая точка геометрического места обладает определенным свойством». При окончательном выводе о принадлежности этой линии третьей плоскости, используется обратное положение: «геометрическое место содержит все точки, обладающие этим свойством».

1. Доказать, что в трехгранном углу биссекторные плоскости трех двугранных углов пересекаются по одной прямой.

Пусть SABC — трехгранный угол, а, ß, ^ — это биссекторные плоскости (при SA, SB, SC). Рассмотрим SD — линию пересечения плоскостей а и ß и покажем, что она лежит также в плоскости т.

Плоскость а есть геометрическое место точек, равноудаленных от граней SAC и SAB (черт. 38).

Поэтому каждая точка прямой SD, как лежащая на а, находится на равных расстояниях от граней SAC и ЧАВ.

Прямая SD лежит и в пл. ß, поэтому каждая ее точка находится на равных расстояниях от граней SAB и SBC. Отсюда следует, что каждая точка прямой SD находится на равных расстояниях от граней SAC и SBC, а тогда она должна лежать на геометрическом месте точек, равноудаленных от этих граней, каковым и является третья биссекторная плоскость f при ребре SC.

Черт. 36.

Черт. 37.

Черт. 38.

Таким образом, линия SD пересечения а и ß лежит и в плоскости y, следовательно, эти три плоскости пересекаются по одной прямой.

Аналогично решается задача:

2. Доказать, что в трехгранном углу три плоскости, перпендикулярные к его граням и проходящие через биссектрисы его плоских углов, пересекаются по одной прямой.

Геометрические места точек пространства, обладающих определенными свойствами, могут быть применены к задачам на доказательство некоторых свойств многогранников.

3. Доказать, что около любой прямой треугольной призмы можно описать шаровую поверхность.

Для доказательства надо найти точку, равноудаленную от всех вершин призмы.

Геометрическое место точек, равноудаленных от вершин А, Ву С (Аи Ви Сх) есть перпендикуляр OJx к основаниям, проходящий через центры описанных окружностей (черт. ЗЭ).

Геометрическое место точек, равноудаленных от Л и Аи есть плоскость Р, перпендикулярная ААХ и проходящая через середину D ребра ААХ.

Точка M пересечения 00\ с Я — центр шаровой поверхности, описанной около призмы, так как точка M одинаково удалена от всех ее вершин.

4. Доказать, что в прямую треугольную призму, высота которой равна диаметру окружности, вписанной в основание призмы, можно вписать шар.

Центр вписанного шара должен быть точкой, равноудаленной от всех граней призмы.

Геометрическое место точек, равноудаленных от трех боковых граней, есть прямая ООх (черт. 40), перпендикулярная основанию и проходящая через центр вписанной в основание окружности (пересечение двух биссекторных плоскостей двух двугранных углов).

Каждая точка прямой О0{ удалена от боковой грани на расстояние ОЕ, равное радиусу вписанной в основание окружности.

Геометрическое место точек, равноудаленных от плоскостей оснований,—плоскость Рх, параллельная им и проходящая через D — середину ребра ААХ.

Точка M пересечения ООх и Р отстоит на расстояние МЕХ = ОЕ от боковых граней и на расстояние ОМ = 0L И = ОЕ от тэссостей оснований (так ка< высота призмы ОЭх =2 ОЕ). Поэтому точка M — центр вписанного в призму шара.

5. Доказать, что около любой правильной пирамиды можно описать шаровую поверхность.

Пусть SABC... Е — правильная пирамида (черт. 41), О—центр ее основания.

Геометрическое место точек, равноудаленных от вершин основания, есть прямая SO, перпендикулярная основанию.

Геометрическое место точек, равноудаленных от S и С — плоскость Р, перпендикулярная SC и проходящая через середину k ребра SC.

Точка M — пересечения плоскости Р с прямой SO будет равноудаленной о г всех вершин, следовательно, будет центром описанного шара.

Черт. 39.

Черт. 40.

Черт. 41.

Аналогично решаются задачи:

6. Доказать, что в правильную пирамиду можно вписать шар.

7. Доказать, что около усеченней пирамиды можно описать шаровую поверхность, если около оснований ее можно описать окружности, центры которых лежат на одном перпендикуляре к основаниям.

8. Доказать, что около любой треугольной пирамиды можно описать шар.

9. Доказать, что около прямей четырехугольной призмы, у которой сумма противоположных углов основания равна 2d, можно описать шаровую поверхность.

10. Доказать, что около прямого конуса можно описать шарсвую поверхность и в прямой конус можно вписать шаровую поверхность.

Задачи такого рода учитель может найти в дополнительном сборнике задач по стереометрии Б. В. Романовского, в учебнике «Элементарная геометрия», ч. II, Глаголева.

Решение их значительно облегчит дальнейшую работу над задачами на комбинацию тел.

Задачи на геометрические места точек в пространстве развивают мышление учащихся, пространственные представления о расположении различных геометрических объектов. Учащиеся видят связь между свойствами точек (линий) на плоскости и линий (поверхностей) в пространстве. Решение задач на построение методом геометрических мест дает дополнительный материал для изучения взаимного положения прямых и поверхностей в пространстве.

ОБ ОРГАНИЗАЦИИ УРОКА ПО МАТЕМАТИКЕ

К. С. БОГУШЕВСКИЙ (Москва)

Поместив в шестом номере журнала «Математика в школе» за 1950 г. статью Я. А. Шора «Вопросы организации урока по математике», редакция поставила на обсуждение вопрос о наиболее целесообразной организации урока.

На предложение редакции откликнулись одиннадцать учителей. Следует отметить, что только в двух из одиннадцати присланных статей вопрос об организации урока ставится и рассматривается всесторонне, т. е. обсуждаются все основные этапы урока. Это статьи П. Кривлевой (Абакан) и И. Н. Голайдо (Брянская обл.), во всех же остальных статьях говорится либо только об организации проверки домашних заданий и опроса учащихся— это статьи А. В. Корнилова (Ростовская обл.), Н. С. Лихачевой, И. А. Цехановича (Барановическая обл.), Р. Б. Срода-Сродзинского (Астраханская обл.), т. Ураевского (Пензенская обл.), И. Ф. Гапонова (Воронежская обл.), A. М. Ефимова (Краснодарский край), либо обсуждение этих двух вопросов дополняется рассматриванием вопроса о проведении контрольных письменных работ — это статьи B. И. Васильева (Орша) и Н. И. Кадниковой (Москва).

Такое сужение темы об организации урока произошло, вероятно, по следующим причинам: во-первых, опрос учащихся и проверка домашних заданий — наиболее трудное место в работе большинства учителей; во-вторых, статья Я. А. Шора, которой было открыто обсуждение темы, посвящена в основном только организации опроса. Если первая причина вполне естественна, то вторая причина является недоразумением и искусственно выключает из обсуждения вопросы организации всех остальных форм работы на уроке.

Таким образом, в настоящее время по той либо иной причине развернутому обсуждению подверглись, строго говоря, только вопросы организации проверки домашних письменных заданий и опроса учащихся.

В некоторых статьях (И. А. Цехановича, И. Ф. Гапонова и др.) эти вопросы объединяются одним заголовком «Проверка домашнего задания», под которым авторы подразумевают как проверку выполнения учащимися письменных заданий, так и проверку подготовки устного задания, а также и проверку овладения навыками в решении задач и примеров.

Конечно, эти проблемы связаны между собой, но объединять их и рассматривать как одну все же неправильно, так как приемы разрешения этих проблем и трудности, встречающиеся при этом, в значительной мере различны. Поэтому в дальнейшем изложении эти вопросы будут расчленяться и рассматриваться как самостоятельные.

Итак, перейдем к рассмотрению тех приемов, которые предлагаются авторами присланных статей, для решения проблем:

1) организации проверки домашних письменных заданий и

2) организации опроса учащихся по устному заданию.

Проверка домашних письменных заданий

Проверка домашних письменных работ, как указывается в ряде статей, должна складываться из проверки: 1) факта выполнения работы, 2) правильности выполнения работы, 3) самостоятельности выполнения работы.

Факт выполнения работы проверяется, как указывают тт. Лихачева и Цеханович, довольно легко путем обхода «по рядам» и просмотра раскрытых ученических тетрадей. Проверить правильность работ труднее, и в этом вопросе у учителей нет единого мнения.

Некоторые, как тт. Васильев и Лихачева, делают упор на проверку учителем ученических домашних тетрадей. Учитель должен ежедневно или во всяком случае периодически отбирать у учащихся их домашние тетради и проверять их у себя дома. Поэтому, как рекомендует т. Васильев, у учащихся должны иметься две тетради для домашних письменных заданий: одна тетрадь находится в определенный момент у учителя, а в другой учащийся в это время выполняет текущее домашнее задание; учитель, проверив тетрадь, возвращает ее учащемуся и одновременно забирает у него вторую, ученик же новое задание пишет в возвращенной учителем тетради.

Практика показывает, что в младших классах школы именно этот прием проверки домашних заданий имеет наиболее широкое применение. Однако в некоторых из откликов на статью Я. А. Шора об этом приеме проверки домашних заданий не упоминается, в статье же Н. И. Кадниковой прямо подчеркивается невозможность (в старших классах) выполнять эту проверку с достаточной тщательностью.

Приходится признать, что вопрос о проверке домашних тетрадей учащихся старших классов практически остается нерешенным сколько-нибудь единообразно. Впрочем, можно отметить, что значительная часть учителей старших классов практикует еженедельную проверку домашних тетрадей у всех недостаточно «устойчивых» учащихся и спорадическую проверку тетрадей прочих учащихся. Эта проверка, выполняемая учителем дома, дополняется проверкой тетрадей учащихся, вызываемых к доске.

Учителя тт. Васильев, Лихачева и Гапонов рекомендуют проводить проверку домашних работ путем устного, фронтального опроса. В основном эта проверка проводится так: один ученик с места читает по домашней тетради план решения задачи или примера, сопровождая его указанием результатов промежуточных вычислений или преобразований; прочие ученики следят по своим тетрадям. Предполагается, что при этом все ошибки и недочеты, встречающиеся у отвечающего или у отдельных учащихся, исправляются. Тов. Васильев подчеркивает, что чтение решения задачи или примера учащиеся должны дополнять достаточно развернутым объяснением, так как только это объяснение может удостоверить сознательность решения.

В одной статье (т. Цехановича) этот метод проверки домашнего письменного задания решительно отвергается на том основании, что он не дает возможности выявить самостоятельность решения упражнений отвечающим учеником, поскольку прочесть по тетради (и даже гладко) можно и тогда, когда решение списано у товарища. Это возражение т. Цехановича вряд ли является обоснованным ввиду того, что главной целью данного приема проверки домашнего письменного задания ставится не проверка самостоятельности выполнения задания, а то, чтобы все учащиеся класса исправили возможные в их работах ошибки. В целом же ряде случаев, как показывает практика, эта цель легко достигается применением предлагаемого метода устного фронтального опроса.

Однако данный метод нельзя считать универсальным. Так, его применение становится затруднительным и даже нецелесообразным в тех случаях, когда задача или пример решаются учащимися различными способами, а также тогда, когда задание не выполнено значительным числом учащихся.

Значительные затруднения могут возникнуть при применении этого метода для проверки решения задач по геометрии. В самом деле, для проверки геометрических задач требуется сделать чертеж на доске, и здесь может оказаться, что у учащихся в тетрадях имеются различия в обозначениях и в расположении линий и плоскостей на чертежах. В этом случае чтение одним из учащихся решения задачи по тетради окажется бесполезным для многих учащихся класса.

Вообще, прежде чем принять решение о применении данного метода, следует тщательно обдумать, не встретятся ли при проверке домашних письменных заданий этим приемом такие затруднения, которые сделают его нецелесообразным.

Вопрос об организации проверки самостоятельности выполнения учащимися домашних работ привлекает внимание многих авторов статей, и не только с точки зрения контроля, но и с точки зрения его воспитательного значения. Наиболее обстоятельно этот вопрос разбирается в статьях тт. Цехановича и Гапонова.

Тов. Цеханович для проверки самостоятельности работы вызывает двух-трех учащихся к доске и предлагает им решить те или иные из заданных на дом задач. (Свои домашние тетради эти ученики сдают учителю.) Пока вызванные ученики выполняют работу на доске, учитель проводит с классом устную беседу по домашнему заданию, дает устные упражнения, разбирает отдельные теоретические вопросы и т. п.

Тов. Гапонов в качестве дополнения к такому опросу по домашнему заданию, производимому у доски, предлагает еще и письменный опрос «за партой», когда нескольким (3 — 4) учащимся, посаженным за отдельные парты, предлагается решение тех или иных задач, бывших в домашнем задании, или же задач, весьма близких к ним. На эту работу дается 10 — 15 минут.

Вот основное, что содержится в присланных статьях по вопросу о проверке домашних письменных заданий. Следует отметить, что в статьях тт. Цехановича и Срода-Сродзинского содержатся высказывания о том, какими должны быть домашние задания; основные указания авторов по данному вопросу сводятся к следующему: 1) задание не должно быть громоздким; 2) задание должно быть посильным по трудности; 3) задание не должно содержать большого числа однотипных упражнений, так как это понижает интерес к его выполнению.

Подводя итоги, можно прийти к заключению, что большинством авторов рекомендуется для проверки письменных домашних заданий сочетать три приема: регулярный просмотр и исправление домашних тетрадей (наиболее частые в младших классах); устный фронтальный опрос учащихся с места для проверки правильности решения задач и примеров, заданных на дом; наконец, вызов отдельных учащихся к доске для решения (именно решения, а не списывания с тетради) некоторых задач, из числа заданных на дом. Этот последний прием целесообразно использовать для исправления учащимися ошибок и недочетов, сделанных при выполнении задания дома. На этой возможности авторы статей почему-то совершенно не останавливаются. Нам представляется незаслуживающим одобрения рекомендуемый некоторыми авторами, и в том числе Я. А. Шором, беглый просмотр учителем записей, сделанных на доске, без привлечения внимания класса к этим записям. Эти записи необходимо показать классу; ученик, сделавший их, должен обосновать и объяснить их, другие учащиеся могут внести к ним дополнения и исправления. В этом случае можно надееться, что многие учащиеся используют эти записи для исправления допущенных ошибок и недочетов.

Целесообразно также демонстрировать классу приемом вызова к доске оригинальные, интересные и поучительные приемы решения или обоснования решения домашних задач и примеров. Это поощряет учащихся на поиски наиболее рациональных приемов решения и объяснений и полезно для всего класса. В целях контроля за самостоятельностью домашних работ целесообразно, как об этом пишет т. Гапонов, предлагать время от времени письменные задания трем-четырем учащимся по решению заданных на дом или сходных с ними задач.

Организация опроса учащихся

К вопросу об организации проверки домашнего письменного задания непосредственно примыкает вопрос об организации текущего опроса учащихся с целью учета их успеваемости. Ввиду того, что почти во всех статьях выводы авторов по этому вопросу сопоставляются с выводами, сделанными Я. А. Шором в его статье (журнал «Математика в школе» 1950, № 6), представляется целесообразным вкратце напомнить эти выводы.

Я. А. Шор, собственно говоря, ставит только одну проблему — как рационализировать опрос учащихся, чтобы при затрате возможно меньшего времени опросить на данном уроке возможно большее число учащихся? Я. А. Шор приходит к выводу, что форма так называемого параллельного опроса (лучше бы сказать уплотненного опроса) является наиболее рациональной. Существенными чертами этой формы опроса являются: 1) одновременный вызов к доске нескольких учащихся (2—3 человека); 2) предоставление им времени (10—15 мин.) на выполнение полученного задания или на подготовку к устному ответу; 3) использование этого времени на беседу с классом, содержащую либо проверку домашнего задания, либо повторение пройденного, либо устный счет, либо устное решение или составление задач.

Здесь автор высказывает следующее соображение, вызывающее наибольшее число возражений со стороны участников дискуссии: «Во многих случаях достаточно посмотреть на чертеж, на записи, на метод решения, чтобы

получить ясное представление о качестве ответа. Можно поставить какой-нибудь беглый вопрос, и в этом случае достаточно (в дополнение к записям) одной минуты, чтобы оценить ответ».

По указанию автора, этот прием целесообразно применять и на уроках, посвященных самостоятельной работе учащихся, и на уроках повторения.

Перейдем теперь к рассмотрению внесенных авторами статей конкретных предложений по вопросу об организации текущего опроса учащихся для учета их успеваемости. Довольно детально этот вопрос рассматривается в статье т. Васильева.

Тов. Васильев прежде всего возражает против так называемого «беглого опроса», когда учитель ограничивается или одним просмотром записей, сделанных учеником на доске, или, наоборот, не требуя никаких записей, довольствуется формулировкой правил, теорем и определений. Каждый ответ, по мнению т. Васильева, должен сопровождаться объяснением с обоснованием приемов решения и делаемых учеником заключений, так как только такой ответ может показать, что ученик усвоил материал сознательно и умеет применять его для решения задач.

Учитывая, что такой развернутый опрос потребует довольно много времени, а потому может создаться опасность недостаточного учета успеваемости (т. е. в журнале может оказаться мало отметок), т. Васильев указывает на возможность поставить оценки не только тем ученикам, которые были вызваны к доске, но и тем трем-четырем учащимся, которые первыми (ранее отвечающего у доски) решили предложенный пример или задачу. Здесь автор впадает в некоторое противоречие со своим указанием, что при опросе надо требовать от ученика подробных объяснений, чтобы можно было оценить ответ. Точно также не вяжется указание автора об оценке учащихся за быстрое решение задачи с требованием, чтобы весь класс следил за работой учащегося у доски и чтобы каждый учащийся в любой момент был готов исправить ошибку, сделанную отвечающим, или дополнить его объяснение и т. п. В самом деле, как же можно следить за работой учеников у доски и одновременно совершенно самостоятельно, опережая его, решать задачу? Одновременный вызов к доске нескольких учащихся т. Васильев, повидимому, применяет только на уроках геометрии, на уроках же арифметики и алгебры вызывает к доске по одному учащемуся, считая, что в этом случае нет необходимости давать время на подготовку к ответу.

Тов. А. В. Корнилов внешне организует опрос так же, как это описывается в статье Я. А. Шора, т. е. применяет одновременно вызов нескольких учащихся. Однако т. Корнилов, как и т. Васильев, подчеркивает необходимость каждый раз требовать от вызванных учащихся подробного объяснения своих записей или развернутого изложения доказательства теорем. Автор указывает, что в целях накопления в журнале оценок можно ставить оценки ученикам, которые сделают исправления или дополнения к ответу ученика, вызванного к доске. Точно также можно, по мнению автора, увеличить количество оценок, оценивая повторение учащимися объяснений учителя.

А. М. Ефимов, как и т. Корнилов, указывает на возможность выявлять знания учащихся не только во время специального опроса в начале урока, но и в процессе объяснения учителем нового материала. Это свое мнение автор достаточно обосновывает на образцах предлагаемых им вопросов. Эти вопросы требуют от учащихся только изложения ранее приобретенных знаний, а потому учитель вправе оценивать их отметкой.

Приводим один из примеров автора (в несколько сокращенном виде).

При объяснении действий с дробными степенями возможно проверить знание учащимися следующих разделов ранее пройденного материала:

1) замена радикалами степеней с дробными показателями;

2) умножение радикалов;

3) замена радикалов степенями с дробными показателями;

4) возможно также включение и вопросов, относящихся к степеням с отрицательными показателями.

Так как на уроке, вероятно, будет объяснено, кроме умножения, еще и возвышение в степень или деление, то можно будет, по мнению автора, оценить таким способом знания двух-трех учащихся.

В статье т. Гапонова предлагалось для проверки домашних работ (в качестве дополнительного приема) давать трем-четырем учащимся письменные задания на решение задач. Этот же прием т. Гапонов рекомендует применять параллельно с вызовом нескольких учащихся к доске и при опросе учащихся по теории и по решению новых задач.

Соглашаясь в общем с формой организации параллельного опроса, описанной Я. А. Шором, автор пишет: «В своей статье Я. А. Шор не упоминает о такой форме опроса учащихся, как дача письменных заданий-«карточек». Обычно, я устный опрос учащихся сочетаю с оп-

росом остальных учащихся, устным и письменным, причем письменное задание получают 3 — 4 человека. Эти задания рассчитаны на 10 — 15 минут, по содержанию они напоминают домашнее задание или то, что проходилось на уроке со включением повторения».

Учащиеся, работающие по этим карточкам, не отвлекаются от своей работы для слушания ответов учащихся, вызванных к доске. Конечно, вследствие этого 3 — 4 учащихся не участвуют в работе класса, но с этим можно мириться тем более, что они работают в основном над тем же материалом, по которому производится опрос. Автор приводит образцы разработанных им карточек.

Например, для VIII класса:

1) а) Вычислить:

б) Вычислить:

в) Вычислить:

с точностью до 0,1

2) Упростить:

Или для X класса.

1. Изменится ли площадь треугольника, если угол С заменить на 180° — С? Показать вычислением и построением.

2. При заданной длине а и b сторон треугольника при каком значении угла С площадь будет наибольшей?

3. Что произойдет с площадью треугольника, если сторону а увеличить в 2 раза, а сторону b уменьшить в 2 раза, не изменяя угла между ними?

По содержанию карточки вполне удовлетворительные, хотя для X класса слишком легки и однообразны.

Тов. Ураевский в своей заметке соглашается с настоятельной необходимостью, в интересах учета успеваемости, применять метод параллельного опроса нескольких учащихся, однако он подчеркивает трудность применения этого приема опроса и указывает, что весьма часто он не удается. Причину затруднений и неудач автор видит в необходимости при использовании этого метода переключать время от времени внимание учащихся от самостоятельного решения задач к слушанию ответа ученика, вызванного к доске. «К моменту переключения,— говорит автор,— обычно бывают готовы лучшие учащиеся, которые уже окончили задание, и худшие, которые... еще не нашли пути к решению; этим последним не жаль бросить трудную для них работу и начать слушать ответы учащихся у доски. А вот «средних» учениц, которые напали на путь решения задачи, приходится отрывать от интересной им работы».

Действительно, подобное «насильственное» переключение внимания учащихся трудно выполнимо, и не только трудно выполнимо, а и антипедагогично. Но имеет ли в виду Я. А. Шор подобное переключение? Если тщательнее вдуматься в статью Я. А. Шора, то станет очевидным, что имеется в виду переключение внимания на совершенно иной базе. В самом деле, описав начало урока (вызов 2—3 учащихся к доске и дачу им задания), Я. А. Шор говорит буквально следующее: «Пока вызванные готовятся к ответу, учитель может по-разному организовать работу с классом: он либо проверяет другую часть домашнего задания, либо повторяет пройденное, либо проводит устный счет, устное решение или составление задач». И далее: «Закончив свою работу с классом, не обрывая ее, даже если кто-либо из вызванных уже успел подготовиться к ответу, учитель переключает внимание класса на доску, приступая к опросу».

Где же здесь то насильственное переключение внимания от незаконченной самостоятельной работы к слушанию ответа вызванного ученика, которое так смущает т. Ураевского и некоторых других авторов? Его и в помине нет.

Поэтому все трудности, на которые указывает т. Ураевский, являются мнимыми, так как переключение внимания с тех видов работы, которые имеет в виду т. Шор, нетрудно организовать и оно проходит без каких-либо затруднений. Несколько ниже Я. А. Шор говорит о «других видах параллельной работы», именно о применении метода параллельной работы в процессе самостоятельной работы класса.

«Нередко преподаватели отводят часть урока или целый урок на самостоятельную работу учащихся. Можно в таких случаях параллельно с работой класса вызвать к доске 2 — 3 учеников и дать им задание (над тем же или другим материалом), не отвлекая внимания класса (курсив мой.—К. Б.), можно будет проверить их работу, поставить дополнительные вопросы и выставить им оценки».

О чем же говорит этот последний абзац? О том, что в случае дачи классу самостоятельной работы ни о каком переключении внимания с этой работы не может быть и речи.

Таким образом, сопоставляя оба приведенных положения, можно вывести такое «правило».

В тех случаях, когда классу задается самостоятельная работа по решению задач, нельзя эту работу прерывать и переключать внимание класса на слушание ответа у доски; в тех же случаях, когда переключение внимания учащихся к предстоящему опросу у доски является необходимым, нельзя давать классу самостоятельную работу по заданию.

Неправильное истолкование т. Ураевским положений статьи т. Шора непонятно, но еще более непонятно то, что сам автор т. Шор тоже как будто запутался в своих собственных положениях, к тому же еще весьма четко сформулированных. В самом деле, чем иным можно объяснить многословную полемику т. Шора со статьей М. Н. Покровской. М. Н. Покровская в своей статье (журнал «Математика в школе», №5 за 1947 г.) говорит, что переключение внимания учащихся, самостоятельно решающих задачи, на слушание ответа вызванного ученика не удается и что поэтому она от этого приема отказалась. Но ведь и сам т. Шор утверждает недопустимость подобного переключения!

В результате почти треть статьи оказалась заполненной этой беспредметной полемикой и в процессе ее автору пришлось апеллировать к какой-то «особой тренировке» переключения внимания. Самое же печальное состоит в том, что эта полемика может подать повод думать, что автор, опираясь на эту тренировку, спорит против признания недопустимости насильственного переключения внимания учащихся от самостоятельной работы к слушанию ответа учащегося, вызванного к доске. Вряд ли автор стремился к такому пониманию его статьи.

И. Н. Голайдо в своей весьма обстоятельной статье доказывает необходимость концентрировать внимание на проблеме рационального использования учебного времени, каждой минуты урока.

С этой точки зрения он вполне поддерживает рекомендуемый т. Шором «одновременный вызов нескольких учащихся к доске для подготовки к ответу и проведение в это время проверки домашнего задания и других видов работы с классом», указывая, что подобная форма организации опроса уже ряд лет применяется как лично им, так и другими учителями. «Но, — совершенно справедливо замечает автор,—нельзя ограничивать обсуждаемый вопрос только рассмотрением одного этапа урока. Немало теряется времени и на других этапах урока». Следует отметить, что т. Голайдо один из немногих подчеркивает мысль о необходимости расширить рамки опроса и не ограничиваться обсуждением одной проблемы рационализации постановки опроса, как это делается в статье т. Шора и почти во всех статьях, поступивших в редакцию. Однако, увлекшись доказательствами высказанного им положения о нерациональном расходовании времени на всех вообще этапах урока, автор сам не жалеет ни времени, ни места на показ того, как утрированно плохой учитель утрированно плохо дает урок и даром растрачивает учебное время. В самом деле, разве о реальном учителе, а не об учителе-«монстре», отжившем свой век, можно сказать то, что говорит автор. «Не сразу после звонка учитель уходит из учительской. Придя в класс, долго раскладывает принесенные принадлежности, перелистывая классный журнал взад и вперед, отыскивает нужную страничку, затем обращает взор на класс...» и далее: «наконец, дело доходит до опроса. Учитель вперяется в классный журнал: — Отвечать пойдет... (ищет по журналу, кого бы вызвать...). Не продумав системы опроса, учитель временами думает (пауза!) — что бы еще спросить, спрашивать ли еще или достаточно?» и т. д. Впрочем, это сатирическое изображение работы плохих учителей автор перемежает рядом интересных соображений, например, о так называемом моменте закрепления изложенного материала и т. п., но об этом речь впереди. В отношении собственно организации опроса автор обращает прежде всего внимание на то, что многие учителя считают опрос учащихся делом очень простым и легким, не готовятся к нему, а потому проводят его трафаретно, неинтересно и заставляют класс томиться скукой. Затем, соглашаясь с целесообразностью применения параллельного (уплотненного) опроса, предлагает ряд «поправок» к рекомендуемому т. Шором способу его проведения:

1) не вызывать сразу несколько учеников, а вызывать последовательно, с учетом времени, необходимого на подготовку к ответу, чтобы ученики не стояли у доски без дела в ожидании своей очереди отвечать;

2) не ограничиваться просмотром записей на доске и минутным беглым опросом, чтобы оценить ответ, а требовать всякий раз более ли менее развернутого объяснения. (В этом месте автор упоминает и об «обучающем» значении опроса как для отвечающего, так и для слушающих.)

В заключение автор вносит интересное предложение учителям — вести в своей записной книжке учет ответов с мест: «Поправки и дополнения к ответу товарища, ответы в беседе при изложении нового материала, оригинальные решения задач или доказательства теорем, о которых ученик сообщает на уроке или даже во внеурочное время...». «Такая практи-

ка,—подчеркивает автор, — позволяет учителю ставить оценку в классный журнал после накопления 3 — 4 таких отметок (в записной книжке), а с другой стороны — приучает учащихся внимательно слушать и критически воспринимать ответ товарища».

Л. Кривлева прислала обширную статью, в которой тоже, как и т. Голайдо, не ограничивается обсуждением проблемы организации опроса, а затрагивает также и проблему объяснения нового материала и проведения контрольных письменных работ.

Остановимся на том, как т. Кривлева решает проблему организации опроса для учета успеваемости учащихся. Обсуждение этой проблемы т. Кривлева проводит, исходя из того, что опрос проводится по всей теме и отводится на него целый специальный урок учета. Таким образом, т. Кривлева имеет в виду не текущий учет успеваемости, а учет типа репетиций или зачетов, т. е. совсем не то, что имеют в виду все остальные учителя, приславшие свои статьи и отклики на выступление т. Шора; но поскольку и такая система учета успеваемости не исключается в практике школы (особенно при повторении в VIII — X классах), целесообразно познакомиться и с высказываниями т. Кривлевой. Свой опрос т. Кривлева организует так: четырех человек вызывает к доске, четырех на освобожденные передние парты, все эти 8 человек получают билеты. Кроме них вызывается еще один ученик к столу, ему задаются вопросы, требующие краткого устного ответа. Когда кто-нибудь из вызванных к доске будет готов к ответу, опрос у стола заканчивается и начинается опрос у доски.

«Быстро, — пишет т. Кривлева, — просматриваю записи, задаю один-два вопроса по поводу этих записей, один-два вопроса по теме, ставлю оценку, отпускаю на место и тотчас же вызываю следующего ученика».

Автор уверяет, что таким образом ей удавалось опросить за урок двенадцать и более человек и поставить шестнадцать оценок.

Конечно, такая быстрота опроса чрезмерна, но некоторым учителям, страдающим медлительностью, небесполезно узнать о возможности подобных рекордов.

Статья т. Кривлевой (автор — методист, работник института усовершенствования учителей) рекомендует известное проникновение методов высшей школы в педагогическую практику средней школы. Об этом говорит и распределение уроков на уроки объяснения нового материала (лекции), уроки учета (зачеты) и уроки контрольных работ.

Такое просачивание методов высшей школы в практику (конечно, старших классов) средней школы в известных рамках допустимо и целесообразно, но только в разумной мере. Основной формой урока в средней школе должен являться урок «интегрального» типа, т. е. заключающий в себе все или почти все основные формы классной работы. Поэтому-то все без исключения учителя, если не считать т. Кривлевой, говоря об опросе как виде учета, имеют в виду в основном текущий учет, т. е. опрос, производящийся, как правило, на каждом уроке.

Поскольку в статье т. Кривлевой ни словом не упоминается о текущем ежедневном опросе учащихся, приходится сделать вывод, что такой опрос или не производится вовсе, или ему не придается серьезного значения. С этим ни в коем случае нельзя согласиться. Текущий опрос должен оставаться в практике каждого учителя и занимать в ней виднейшее место, а методика организации такого опроса должна интересовать учителя потому, что это один из труднейших вопросов методики, а также и потому, что вопрос этот в педагогической литературе разработан недостаточно.

Подведем теперь итоги высказываний авторов по вопросу об организации текущего опроса учащихся.

I. Опрос производится: а) с целью проверки выполнения учащимися домашнего задания по изучаемой теме; б) с целью выявления знаний учащихся по ранее пройденному материалу; в) с целью определения, приобрели ли учащиеся достаточные навыки в решении, задач и примеров по изучаемой теме и, наконец, г) с целью накопления оценок, выставляемых в журнал.

II. Опрос должен понудить учащихся к регулярному и самостоятельному выполнению домашних заданий, поэтому он должен быть возможно частым и достаточно глубоким.

III. Опрос должен производиться, как правило, на каждом уроке и должен занимать, примерно 10 —15 минут времени.

IV. В целях наиболее рационального расходования времени рекомендуется при опросе:

а) Вызывать к доске нескольких учеников (3—4 человека) или одновременно, или с некоторым разрывом во времени и каждому из них дать отдельное задание (вопрос теории, задачу, домашнее задание и т. п.).

б) Нескольким ученикам (3—4), посаженным на передние парты, дать письменное задание.

Время, необходимое вызванным учащимся для подготовки к ответу, использовать для устного фронтального опроса остальных уча-

щихся или для какой-либо иной работы, не забывая об условиях возможности переключения внимания класса на опрос, производящийся у доски.

V. По вопросу о характере ответа учащихся, вызванных к доске, мнения разделяются: некоторые (меньшинство) считают возможным ограничиться в большинстве случаев самым беглым устным опросом этих учеников, т. е. выставить оценку в основном за произведенные учащимися записи на доске, другие же (большинство) считают обязательным требовать всякий раз развернутого объяснения выполненной работы и задать ряд вопросов, выясняющих знания учащегося и глубину понимания им разбираемых вопросов.

VI. Некоторыми авторами указываются дополнительные источники для увеличения числа оценок, выставляемых в классном журнале, а именно:

а) можно оценивать ответы учащихся, дополняющие или исправляющие ответы учеников, вызванных к доске;

б) можно оценивать ответы на вопросы, задаваемые учителем во время объяснения нового материала, и за повторение этого объяснения;

в) можно выставлять оценки за ряд ответов на беглые вопросы учителя, для чего учитель должен вести учет этих ответов в записной книжке, выставляя оценку в журнал после накопления в записной книжке известного числа отметок за эти ответы.

Авторы, упоминающие об этих ресурсах для накопления отметок, подчеркивают, что выставление оценок за все эти виды ответов стимулирует активность внимания учащихся на уроках, лучшую домашнюю подготовку к урокам и т. п.

Авторы в общем с большим вниманием и с большой заботливостью разобрали проблему организации текущего опроса учащихся, дали много практически ценных предложений, над которыми полезно задуматься, но все же приходится отметить один серьезный пробел, общий для всех статей, а именно: только в одной статье — статье т. Голайдо — упоминается, да и то вскользь, об образовательном, познавательном значении опроса для учащихся. Все же остальные учителя смотрят на опрос как на средство в основном контроля и накопления оценок и отчасти как на прием воспитательного воздействия на учащихся. Образовательное же значение опроса выпало из поля их зрения. Такое игнорирование образовательного значения опроса весьма досадно. Оно ведет к тому, что содержание опроса обедняется, опрос перестает служить средством борьбы с формализмом усвоения материала, средством углубления изучаемого материала, уточнения формулировок,, выработки культуры речи и т. п.

В чем причина такого серьезного упущения во всех статьях? Надо полагать, что эта причина лежит в узко практическом, несколько деляческом подходе к проблеме опроса. Встречаясь в своей повседневной работе с чисто практическим требованием накопления возможно большего числа оценок, учителя стремятся разрешить эту проблему самым «естественным» приемом — ускорением процесса опроса. При этом педагогическая сущность и теоретические основы процесса опроса забываются, а с ними вместе забывается и одна из важнейших функций опроса — функция познавательная. Опрос перестает быть обучающим.

Поэтому приходится склониться на сторону тех учителей, которые возражают против «опроса без опроса», ограничивающегося по существу беглым просмотром записей, сделанных на доске или в тетради. На этом же основании следует рекомендовать учителям заготовлять заранее вопросы, имеющие в виду углубление изучаемого материала, борьбу с формализмом и т. п. Например, при опросе ученика по теме о квадрате стороны треугольника следует подумать о таких вопросах:

1. Какой отрезок войдет в формулу, если будем выражать сторону тупоугольного треугольника, лежащую против острого угла, принимая за основание другую сторону, лежащую против острого угла?

2. Какие другие задачи, помимо задачи нахождения стороны треугольника, можно решить с помощью непосредственного применения формулы?

3. Как можно было бы сформулировать теоремы, обратные изученным?

4. Каким свойством должны обладать три числа, чтобы они могли выражать длины сторон тупоугольного треугольника и т. д.?

Даже к опросу по такой, на первый взгляд чисто описательной теме, как «Понятие о многогранниках», можно составить набор вопросов, требующих от учащихся работы мысли и пространственного воображения. Например:

1) Возможна ли призма, у которой только одно боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания?

2) Возможна ли призма, у которой боковое ребро перпендикулярно только к одной из сторон основания?

3) Возможна ли призма, у которой только одна боковая грань является прямоугольником? только две боковые грани являются прямоугольниками?

4) Возможен ли параллелепипед, у которого только одна боковая грань является прямо-

угольником? Такой же вопрос о двух боковых гранях, о трех боковых гранях и т. д.

Подобный углубленный опрос, не отнимая много времени, проходит, обычно, интересно и плодотворно, нужно только его хорошо и тщательно подготовить.

Таким образом, отнюдь не переставая заботиться о накоплении оценок в классном журнале, стремясь поэтому к возможной рационализации опроса, ускорению его, учителя не должны гнаться за рекордами в этой области. Опрос должен быть достаточно глубоким и заключать в себе познавательные моменты, быть обучающим, а не только контролирующим.

Вопросы организации других этапов урока затрагиваются в очень немногих статьях. Так, только в статьях тт. Васильева, Кадниковой и Кривлевой обсуждается вопрос о проведении контрольных письменных работ.

Названные авторы прежде всего подчеркивают, что для контроля и проверки знаний «совершенно, неэффективными оказываются письменные работы, проводимые по рядам», т. е. по двум вариантам, условия которых диктуются преподавателем. Авторы рекомендуют проводить контрольные письменные работы по карточкам, которые заранее заготовляются преподавателем и выдаются каждому учащемуся на уроке, посвященном контрольной работе. Тов. Кривлева настаивает на составлении отдельного варианта для каждого ученика. «Тридцать учеников, — говорит она,— тридцать вариантов». Надо полагать, что это уже крайность и вряд ли осуществимо на практике. Помимо большой затраты времени на составление такого числа вариантов и на исправление написанных работ, следует учесть и чрезвычайную затруднительность при большом числе вариантов добиться того, чтобы трудность вариантов оказалась примерно одинаковой, а для справедливой оценки успеваемости учащихся это совершенно необходимо. Тт. Васильев и Кадникова с полным основанием считают, что 4—6 вариантов совершенно достаточно для обеспечения как всестороннего охвата заданиями всей темы, так и для обеспечения самостоятельности работы учащихся.

Тов. Кадникова располагает упражнения в карточке в порядке возрастающей трудности и в конце задания оказываются упражнения повышенной трудности. Предполагается, что хорошо и отлично успевающие учащиеся выполнят основную часть работы быстрее средних учащихся и будут иметь достаточно времени для решения дополнительных упражнений. Решение основной части упражнений обеспечивает получение учащимся удовлетворительной оценки. Исправляя работы, т. Кадникова не только подчеркивает ошибки, но и исправляет их и записывает свои замечания. Для себя она выписывает все замечания, сделанные на работах, и затем анализирует на уроке все ошибки учащихся, как общие для всего класса, так и индивидуальные. (Последнее, может быть, излишне.) Учащимся, написавшим работу плохо или пропустившим ее, дается повторная работа во внеурочное время. Частые контрольные работы т. Кадникова рассматривает не только как средство контроля и проверки знаний, но и как прием, активизирующий домашнюю работу учащихся.

Вопросам изучения в классе нового материала и закрепления его посвящают часть своих статей тт. Кривлева и Голайдо. Непосредственно о методике подачи нового материала авторы почти не говорят, хотя вряд ли здесь все ясно. Во всяком случае в этом вопросе наблюдается и различие в воззрениях, и разнобой в практике. Одни преподаватели в своей манере подачи нового материала обнаруживаю большой крен в сторону лекционной манеры изложения, другие, наоборот, находятся всецело в плену вопросо-ответной системы обучения. Вопросам методики подачи нового материала уделяется очень мало внимания на страницах журналов и методических пособий. Тт. Кривлева и Голайдо в основном останавливаются на моменте, следующем за объяснением нового материала, именно на моменте, который они называют закреплением объясненного материала, хотя правильнее этот момент было бы назвать проверкой того, насколько и как поняли учащиеся это объяснение. Интересно отметить, что этот вопрос тт. Васильев и Кривлева разрешают совершенно по-разному. Тов. Кривлева после своего объяснения вызывает учащихся и предлагает повторить объяснение. К числу положительных сторон этого приема автор относит то, что многие учащиеся начинают к такому ответу готовиться заранее, т. е. дома по учебнику самостоятельно разбирают вопрос.

Тов. Голайдо высказывается решительно против проведения закрепления в форме учета усвоения только что изложенного материала. «Какую теорему мы сегодня доказали? Сформулируй. Докажи. Какое правило вывели? Скажи» и т. п. Такая система угнетающе действует на учащихся. Практикуемая изо дня в день на многих уроках, она заставляет учащихся стараться запомнить то, что говорит учитель, и не приучает думать и рассуждать.

По мнению т. Голайдо, закрепление объясненного нового материала производится на

уроке путем упражнений на использование этого материала, а также дома при выполнении домашнего задания. Закреплению материала будет содействовать также активное творческое участие класса в процессе объяснения учителем нового материала.

Приведенный здесь обзор высказываний преподавателей Васильева, Кадниковой, Голайдо и Кривлевой по вопросам организации таких этапов урока, как подача нового материала, закрепление его и проведение контрольных работ, показывает, что в этих вопросах есть много неясного, а в разрешении их много разнообразия.

Поскольку эти вопросы затронуты только в отдельных немногих статьях, следует признать, что сколько-нибудь широкого обсуждения их (вопросов) еще не состоялось.

Совершенно не затронутыми обсуждением остались такие важные вопросы, как, например, организация повторения пройденного материала; характер и приемы подготовки учителя к различным этапам урока; организация так называемой самостоятельной работы учащихся на уроке. В этом деле особенно много разнобоя и путаницы. Что давать для самостоятельной работы? Давать ли общее задание или индивидуальные? Разрешать ли пользование учебниками и записями в тетрадях? Как проверять и как оценивать работы? и т. п.

Следует высказать сожаление, что почти все учителя, откликнувшиеся на предложение редакции подвергнуть обсуждению проблему организации урока по математике, очень сузили эту проблему и по тем или иным причинам не затронули ряд весьма актуальных вопросов. Таким образом, надо пожелать, чтобы редакция продолжила обсуждение выдвинутой проблемы, и притом на более широкой основе.

После того как настоящая обзорная статья была уже написана, в редакцию журнала поступили еще шесть статей, в той или иной мере связанные с проблемой организации урока. Это статьи:

1) Ерещенко В. А. (г. Алма-Ата)—«Закрепление знаний, контроль знаний и повторение»; 2) Смолянского Я. А. (Черновицы)—«Как рационально быстро приготовить урок»; 3) П. Сулакова (Куйбышев, Новосибирской обл.)—«О вопросах организации урока по математике» и 4) Китаенко В. Ф.* (Рига)—«Устный опрос (к вопросу организации урока по математике)»; 5) П. Рыбакова (Иваново) — «Об организации контрольных работ»; 6) С. Робаковского— «Об организации урока».

В своей статье т. Ерещенко описывает в основном, как он проводит проверку выполнения учащимися их домашнего письменного задания по арифметике.

Высказывания т. Ерещенко в общем совпадают с высказываниями, содержащимися в ряде разобранных выше статей.

Тов. Сулаков, присоединяясь в основном к положениям статьи Я. А. Шора, предостерегает все же от вызова к доске учащихся (для опроса) во время выполнения классом самостоятельной работы. Свое мнение т. Сулаков мотивирует тем, что преподаватель не должен отвлекаться от наблюдения за самостоятельной работой класса, так как, с одной стороны, необходимо обеспечить действительную самостоятельность работы учащихся, а с другой стороны— преподаватель должен быть готовым в любой момент оказать ту или иную помощь отдельным учащимся, дать то или иное разъяснение, наконец, учитель должен на основании своих наблюдений за работой учащихся сделать вывод о качестве усвоения классом в целом и отдельными учащимися изученного материала.

Это соображение автора надо иметь в виду при организации самостоятельной работы учащихся в классе.

Для опроса учащихся т. Сулаков тоже практикует одновременный вызов 2—3 учащихся, кроме того, двум-трем учащимся он дает билеты с определенными заданиями для письменного ответа по ним за партой; при этом автор особо подчеркивает, что в эти билеты включается материал, по которому проводился опрос на предыдущем занятии. По мнению автора, это заставляет учащихся внимательнее следить за устными ответами товарищей.

Статья т. Смолянского в основном представляет собой своеобразный «путеводитель» по задачнику Березанской. В этом «путеводителе» указываются номера задач и примеров, в которых встречается тот или иной вид упражнений. Например, в одном из пунктов указывается, что упражнения на нахождение неизвестного сомножителя содержатся в задачах на целые числа №№ 288—292; на обыкновенные дроби №№ 957—959, 966 (1), 911—916, 1133; на десятичные дроби №№ 2208, 1365, 1441 (2), 1451, 1420, 1424—1427, 2142, 1133 и т. д.

Всего в этом своеобразном справочнике перечисляется 137 видов упражнений, к каждому из которых указываются номера соответствующих задач и примеров.

Статья т. Китаенко, как и большинство рассмотренных выше статей, посвящена одной проблеме — организации опроса учащихся. Опрос учащихся т. Китаенко рассматривает, в первую очередь, как процесс обучающий. Поэ-

* Статья т. Китаенко помещена в разделе «Из опыта».

тому т. Китаенко весьма подробно останавливается как на форме, так и на содержании опроса, делясь своим опытом и основанными на нем выводами и суждениями.

В частности, автор приводит конкретные примеры того, как им используется спрос учащихся для проверки понимания ими изучаемого материала.

Например, в VIII классе, в связи с прохождением теории уравнений, т. Китаенко диктует левую часть уравнения 2 л2— 5 л: и предлагает вызванному учащемуся: «Напишите в правой части число так, чтобы это уравнение имело корень, равный единице».

Или еще пример (тоже в VIII классе). Вызванному ученику предлагается чертеж пары прямоугольников, на котором указаны размеры некоторых линий, и предлагается ответить, подобны ли данные прямоугольники.

П. Рыбаков (г. Иваново) в своей статье «Об организации контрольных работ» делится опытом проведения контрольных работ по геометрии по теме «Площади прямолинейных фигур».

Ставя перед собой цель — проверить усвоение учащимися всех разделов темы, т. Рыбаков составляет 24 задачи на применение различных теорем о площадях прямолинейных фигур: 3 задачи на площадь прямоугольника, 11 задач на площадь треугольника, 4 задачи на площадь параллелограма и ромба и 6 задач на площадь трапеции. В каждое задание включаются 2 задачи. К этим основным заданиям составляются варианты с таким расчетом, чтобы каждый ученик имел свой особый вариант. 24 основных задачи оказывается достаточно для проведения работы в 3 параллельных классах.

Автор приводит условия всех основных задач. Нужно заметить, что все эти задачи преимущественно алгебраического и вычислительного характера и слишком бедны геометрическим: содержанием.

Статья Робаковского С. П. (г. Каганович, Киевской обл.) затрагивает ряд вопросов организации урока.

Соглашаясь в принципе с целесообразностью одновременного вызова для опроса нескольких учеников, т. Робаковский указывает, что не всегда это возможно по техническим условиям (малый размер доски, теснота класса), а также и потому, что не всегда можно быть уверенным, что ученики, готовящиеся у доски к ответу, не будут совещаться друг с другом или пользоваться пособиями во время работы учителя с классом.

Поэтому т. Робаковский обращает внимание на дополнительные источники для учета успеваемости учащихся — фронтальный устный опрос, письменные задания отдельным (преимущественно сильным учащимся), оценку (при соблюдении известной осторожности) домашних работ и т. п.

Тов. Робаковский подчеркивает необходимость время от времени применять и продолжительный опрос учащихся у доски с целью приучить их давать развернутый ответ по той или иной теме, или по тому или иному ее разделу.

Продолжающееся поступление откликов на статью Я. И. Шора об организации урока показывает, что редакция журнала поставила на обсуждение действительно важную и актуальную проблему.

О ПОСТРОЕНИИ НЕКОТОРЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

С. И. ЗЕТЕЛЬ (Москва)

В. М. Шлыгин* поместил в 1913 г. в журнале «Математическое образование», № 2, интересную статью «Соотношения между произведениями диагоналей и противоположных сторон четырехугольника». В статье В. М. Шлыгин устанавливает любопытные метрические зависимости в четырехугольнике, среди которых наиболее интересной является следующая:

(1)

где е и / — диагонали четырехугольника, а и с — одна пара противоположных сторон, b и d — другая пара противоположных сторон, В и С — противоположные углы четырехугольника. Так как

то выражению (1) можно придать следующий вид:

(2)

* Василий Михайлович Шлыгин (1881 — 1949) — профессор Уральского индустриального института. Среди работ проф. Шлыгина имеется ряд интересных статей по геометрии.

В. M. Шлыгин получил свои результаты довольно сложным путем. В. Соллертинским равенства (1) и (2) были получены значительно проще. В своей статье «Две заметки» (Математическое образование, 1913, № 4) В. Соллертинский показал, что статья В. М. Шлыгина имела в виду доказать существование треугольника, стороны которого пропорциональны произведениям противоположных сторон и диагоналей четырехугольника. Приведем простое и наглядное геометрическое доказательство этого предложения, данное В. Соллертинским.

Заметим, что для четырехугольника, вписанного в круг, треугольник вырождается в отрезок (теорема Птолемея).

Пусть дан четырехугольник ABCD (черт. 1), около которого нельзя описать окружность. Опишем окружность около треугольника ЛВС; независимо от положения точки D, внутри или вне круга, имеем из подобия треугольников DAB и DA'В' :

т. е. отношение любой стороны треугольника А'В'С к произведению одноименной с нею стороны треугольника ABC на расстояние противолежащей вершины от точки D есть величина постоянная, ибо по известным теоремам о хордах и секущих, проходящих через одну точку, произведение DA' DA зависит только от положения точки D относительно круга. Стало быть:

(3)

Итак, окружность, проходящая через три вершины четырехугольника, встречает прямые, соединяющие их с четвертою, в вершинах треугольника, стороны которого пропорциональны произведениям противоположных сторон и диагоналей данного четырехугольника. При этом:

где С и В — углы четырехугольника.

Доказанное предложение можно формулировать иначе.

Для всякой точки D, лежащей в плоскости треугольника ABC, существует другой треугольник А'В'С, стороны которого пропорциональны произведениям каждой стороны треугольника ABC на расстояние от данной точки до вершины противолежащей стороны; для точек, лежащих на окружности, описанной около треугольника ABC, треугольник А'В'С вырождается в отрезок.

Интересно отметить (в работах В. Шлыгина и В. Соллертинского этот вопрос не рассматривается), что треугольник А'В'С, о котором говорится в теореме, подобен треугольнику проекций для точки D.

Если из точки D в плоскости треугольника опустить перпендикуляры DAX, DBX, DCX (соответственно) на стороны ВС, CA, AB, то треугольник A1BiCx есть треугольник проекций для точки D.

Покажем, что стороны ах, Ьх, сх (черт. 2) треугольника проекций соответственно пропорциональны a-AD, b-BD, с-CD. Около четырехугольника ABXDCX можно описать окружность, а потому

Аналогично:

(4)

Сравнивая равенства (3) и (4), замечаем подобие треугольников А'В'С и AXBXCV

Применим теорему Шлыгина — Соллертинского к решению некоторых задач.

Задача 1. Из точки А окружности прове-

Черт. 1.

Черт. 2.

дены хорды AB и АС. Провести хорды А'В' и А'С (черт. 3) так, чтобы

Из точек С и В проводим прямые СС и ВВ\ соответственно параллельные AB и AC; D — точка пересечения этих прямых; AD пересекает окружность в точке Ä \

Задача 2. Из точки А окружности проведены хорды AB и АС. Провести хорды А"В" и А" С" так, чтобы

Задача 3. Построить четырехугольник, у которого квадрат произведения диагоналей равен сумме квадратов произведений противоположных сторон. Из формулы

следует, что в искомом четырехугольнике В~\-С= Проведем окружность и впишем в круг прямоугольный треугольник В' А'С (черт. 4). Из точки А' проводим произвольную прямую Л'Д.

Далее проводим произвольную прямую B'DB, а затем прямую CfDC. Четырехугольник ABDC — искомый. Действительно:

Задача 4. Построить четырехугольник, произведения противоположных сторон которого и произведения диагоналей равны между собой.

Указание. Вписать в круг равносторонний треугольник.

Задача 5. Построить четырехугольник, у которого

Задача 6. Построить четырехугольник, у которого

Приведем еще одно доказательство равенства (1). Это доказательство принадлежит Г. К. Брусиловскому* и восстановлено проф. Я. С. Дубновым.

Пусть ABCD — произвольный четырехугольник (черт. 5). Строим Д ADM со Д DBC и

Д CDNoo Д DBA. Так как

то прямые AM и CN параллельны. Кроме того, AM = CN, как видно из пропорций:

Следовательно, ACMN — параллелограм: MN = AC Отсюда:

(5)

Черт. 3.

Черт. 4.

Черт- 5.

* См. стр. 53 — Г. К. Брусиловский.

Но

где А, Б, С, D — внутренние углы четырехугольника. Далее из подобия треугольников:

Подставляя получаемые отсюда выражения для MD и CN в равенство (5), имеем:

Интересно отметить, что известная в геометрии треугольника теорема румынского математика Помпейю является частным случаем рассматриваемой нами теоремы.

Теорема Помпейю формулируется следующим образом. Из трех отрезков, соединяющих вершины равностороннего треугольника с произвольной точкой в его плоскости, или можно построить треугольник, или один из трех отрезков равен сумме двух других.

Легко видеть, что если треугольник ABC, о котором говорится в рассматриваемой теореме, обращается в равносторонний, то в этом частном случае теорема, которой посвящена данная статья, превращается в теорему Помпейю.

Существуют различные доказательства теоремы Помпейю. Среди них следует отметить доказательство, принадлежащее Г. К. Брусиловскому. Приведем это доказательство.

Пусть ABC — равносторонний треугольник и D — точка в его плоскости (черт. 6).

Повернем AD на угол в 60° вокруг точки D так, чтобы отрезок AF'= AD = DF оказался вне треугольника. Тогда AF = AD = DF; из равенства треугольников ADC и AFB (АВ = АС; AF = AD и /_BAF=7DAC) следует, что BF—DC, треугольник DBF есть треугольник, о котором говорится в теореме Помпейю.

От редакции — статья С. И. Зетеля печатается в качестве материала для занятий школьных кружков.

Черт. 6.

ГРИГОРИЙ КОНСТАНТИНОВИЧ БРУСИЛОВСКИЙ

Григорий Константинович Брусиловский родился 3 февраля 1883 г. в Мариуполе. В 1901 г. он окончил с золотой медалью гимназию и поступил в Новороссийский* университет. За участие в студенческих волнениях он вскоре был исключен и не мог поступить ни в какой другой университет. Наконец, в 1910 году ему удалось поступить на математическое отделение Петербургского университета, которое он и окончил в 1915 году.

С 1927 г. Г. К. начал публиковать учебник «Заочная школа второй ступени для взрослых». Учебник этот выходил отдельными частями, называвшимися «уроками». С 1927 по 1930 г. полностью вышли арифметика и алгебра. Г. К. всю жизнь продолжал заниматься вопросами заочного образования. В 1940 г. он выпустил «Задания для учащихся средних школ X класса», переиздававшиеся несколько раз (последний раз — в 1949 г.).

Упомянутая выше «Заочная школа» содержит самостоятельное (т. е. не опирающееся на другую литературу) изложение арифметики и алгебры. «Задания» же, напротив, предполагают использование стабильных учебников и задачников. «Заочная школа» в настоящее время может быть полезной учителю школы для взрослых, не имеющему еще достаточного

* Новороссийский университет (основанный в 1865 г.) находился в Одессе. Его название объясняется тем, что Одесса по тогдашнему административному делению входила в Новороссийский край (Екатеринославская, Херсонская и Таврическая губернии).

опыта. Из этой книги можно черпать материал для уроков. «Задания» жз можно рекомендовать каждому учителю средней школы.

Из других учебников Г. К. по элементарной математике назовем, не входя в подробности, «Начала алгебры,— руководство для ремесленных и железнодорожных училищ» (М. — Л. 1944).

Г. К. Брусиловский известен как автор двухтомного «Курса математики для индустриальных техникумов», представляющий опыт параллельного изложения элементарной и высшей математики.

В настоящем очерке мы освещаем лишь те стороны деятельности Г. К., которые имеют отношение к школе, и поэтому не будем перечислять его работы, относящиеся к втузовскому курсу математики. Скажем лишь, что Г. К. достиг ряда усовершенствований в изложении неопределенных интегралов, линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и вопроса о дифференцировании вектора.

Григорий Константинович проявлял интерес к вопросам приложения математики к технике. Наиболее важным результатом занятий Г. К. техникой явилась работа «Зависимость индуктированной ЭДС от шага скрещивания в двухпроводной телефонной цепи» (изд. Моск. ин-та инж. связи, 1932).

В области элементарной математики Г. К. принадлежат интересные доказательства теоремы Помпейю и обобщенной теоремы Птолемея. Подробности об этом сообщаются в публикуемой в этом же номере статье С. И. Зетеля.

Есть еще одна, важнейшая, линия деятельности Г. К., о которой труднее всего написать, потому что нельзя привести ни цитат, ни. литературных ссылок. Это — живая преподавательская работа. Г. К. ставил ее выше всего. Он считал, что не следует жалеть никаких сил для достижения цели и всегда был примером следования этому принципу.

Г. К. Брусиловский после продолжительной болезни скончался 17 августа 1930 г.

ИЗ ОПЫТА

УСТНЫЙ ОПРОС

К вопросу об организации урока по математике

В. Ф. КИТАЕНКО (Рига)

В настоящей статье я остановлюсь на практике организации опроса на уроках алгебры и геометрии в VIII классе.

Различают следующие виды опроса: а) устные опрос, б) письменный опрос, в) итоговые (или специального назначения) контрольные письменные работы.

Речь будет идти только об устном опросе.

Исходные положения:

1) Значительное количество учащихся, пришедших в VIII класс, не обладает хоро по развитым логическим мышлением. Его развитию должно способствовать изучение математики и, в частности, организация опроса.

2) Учащиеся разных школ имеют неодинаковые навыки к внешнему порядку и поведению. Необходимо их приучить к определенному порядку при опросе.

3) Многие вопросы из курса семилетней школы рядом учащихся усвоены слабо. Опрос должен оказывать помощь в ликвидации подобных пробелов.

4) Опрос не только служит целям контроля, но является важным фактором в работе над изучением программного материала, служит средством повторения, способствует развитию сообразительности и математического мышления, вскрывает пробелы, уточняет понимание теории, создает навык концентрации внимания и умения мобилизовать силы, включает элементы самостоятельной работы.

5) Опрос не должен отнимать много времени. Ни в коем случае не следует превращать опрос в подобие экзамена, когда один ученик опрашивается на протяжении 20 минут, а потом не тревожится свыше месяца. Опрос нельзя проводить торопливо, но он должен быть не медлительным, а интенсивным, живым, бодрым.

6) Следует применять разнообразные формы опроса как в отношении закрепления и углубления программного материала, так и в постановке необычных, занимательных и трудных вопросов, причем опросом следует охватывать возможно большее количество учеников. Более трудные вопросы теории и практики должны чаще фигурировать.

7) При опросе следует избегать распространенного недостатка, когда упор ставится на память, а не на раскрытие, развитие и применение действенных знаний.

8) Проводить опрос следует не только в специально отводимое для него время, но и при других видах работы, например, при решении задач, при разборе контрольных работ, при проверке домашних заданий. Следует внедрять в опрос элементы самостоятельной работы. Приучить себя и учеников к оценке всякой работы ученика и ликвидировать практику ответов «на оценку» и «не на оценку».

9) К каждой пройденной программной теме надо составлять список узловых и принципиальных вопросов, знание которых учащимися должно быть обязательным.

10) Создать удобную систему регистрации ошибок, пробелов и недочетов в знаниях учащихся, обнаруженных при их ответах и в ра-

ботах. Установить правило для ликвидации указанных недостатков и порядок контроля.

Перечисленные положения были мною приняты за основу при организации опроса учащихся в VIII классах.

В начале учебного года сообщаю учащимся следующие требования и установки.

1. Я буду формулировать вопрос только один раз. Его должны все слышать и уметь повторить. Переспрашивать можно только в виде исключения, когда вопрос длинный или трудный. Дополнительно ученик обязан спрашивать, если ему в вопросе что-нибудь непонятно или для него необходимо уточнение.

2. Как правило, я не буду помогать отвечающему подсказами. Поэтому свой ответ нужно самостоятельно доводить до конца. Указания ошибок в ответе, исправления, дополнения, улучшения или повторный полный ответ должен уметь произвести каждый ученик класса по моему требованию. Каждый, желающий принять участие в этой работе, поднимает руку без напоминания.

3. При подготовке ответа на доске следует аккуратно сделать чертеж, если он нужен, записать только самые необходимые формулы и преобразования и продумать устное изложение. То, что будет излагаться устно, писать не нужно. При подготовке ответа у доски нельзя оборачиваться к классу, как бы спрашивая глазами, «все ли в порядке».

4. Требования к ответу.

Ответ должен быть: а) правильным, б) полным, в) кратким, г) конкретным.

Неправильный ответ всегда связан с незнанием или непониманием. Но и при наличии знания и понимания ответ может быть лучше или хуже. Пункты «б» — «в» — «г» и характеризуют качество ответа.

Полнота ответа заключается не в том, что ученик привлечет много материала, а в том, что он охватит основные факты, относящиеся к вопросу, объяснит их и покажет практическое значение.

Краткость ответа не в том, что выбирается для изложения только часть материала, относящегося к данному вопросу. Речь идет о форме изложения. По возможности следует избегать отступлений, лишних слов, повторений одного и того же разными словами или в разных местах.

Требование конкретности. Не говори общими фразами, не рассуждай «вообще». Связывай изложение с опорными фактами, с иллюстрирующими примерами. В случае надобности давай самостоятельные примеры, и не только для иллюстрации, но и для облегчения самому себе конкретности изложения.

Требования к ответу нужно иллюстрировать разбором конкретных примеров. Разбор можно провести так. Дается вопрос из пройденного средней трудности. Заслушиваются ответы нескольких учеников. Ответы уточняются, дополняются и, наконец, создается окончательная редакция. К работе нужно привлекать, по возможности, больше учащихся. Короче говоря, учить учеников отвечать нужно активными методами.

Пример.

Предложенный вопрос:

«Отношение двух чисел. Замена отношения дробных чисел отношением целых чисел».

Окончательная редакция ответа может быть, примерно, следующая.

Отношением двух чисел называется частное от деления первого числа на второе. Отсюда вытекает, что отношение двух чисел обладает всеми свойствами дроби.

Названия:

а — предыдущий член отношения, b — последующий член отношения, k — величина отношения.

Так как деление на нуль невозможно, то последующий член отношения не должен равняться нулю.

Пример.

Основное свойство дроби следующее: Величина дроби не изменится, если одновременно числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Такую же операцию можно производить и над членами отношения. Это дает возможность заменять отношение дробных чисел отношением целых чисел.

Пример.

Дано:

Найти отношение а:Ь. Выразить его отношением целых чисел. Решение. 1-й способ.

Ответ: а:Ь = 2:21. 2-й способ.

Учитывая, что общий знаменатель 15, умножаем предыдущий и последующий члены на 15, получаем:

а:6 = 2:21

Результат таков, как если бы мы отбросили общий знаменатель.

Для двух чисел 1-й способ короче. Но для цепочки отношений нескольких чисел он не пригоден; 2-й способ пригоден всегда:

Ответ:

а:Ь:с = 30:4:21.

5. Отдельно по алгебре и геометрии нужно иметь двойной лист (из тетради) с заголовком:

АЛГЕБРА. Лист, уч......(класс, фамилия, имя).

Что мне нужно повторить.

В него будут вписываться отдельными пунктами по моему указанию вопросы, по которым у вас обнаружатся пробелы. Желательно, чтобы вы и самостоятельно вписывали в этот лист замеченные у себя недочеты. При вызове для ответа каждый ученик должен мне подавать домашнюю тетрадь и указанный лист для того, чтобы я мог проверить вашу самостоятельную работу.

6. Знать урок — это значит:

а) понимать все его содержание;

б) помнить необходимое; что нужно твердо запомнить по указанию учителя;

в) уметь практически применять материал урока: решать задачи, примеры, выполнять упражнения, чертить схемы, диаграммы, составлять вопросы и т. п. (практический материал указывает учитель).

Некоторым из вас трудно хорошо излагать свои мысли. Такой недостаток очень скоро обнаруживается, и я на него буду указывать. У кого он есть, рекомендую сразу приступить к его ликвидации. Лучший способ — это рассказать урок вслух себе или другому. По этому поводу наш великий педагог К. Д. Ушинский сказал:

«Можно прочесть десять раз страницу без внимания и не помнить, но нельзя ни разу проговорить эту страницу, не сосредоточив внимание на том, что говорить».

7. Проверку решенных задач дома мы будем производить так. Вызванный ученик подает свою домашнюю тетрадь мне, условие задачи или примера читает по задачнику и устно рассказывает свое решение. Трудные или громоздкие вычисления и преобразования устно производить не требуется; но нужно уметь указать, как и на основании чего они производятся.

Для каждой задачи, теоремы или формулы нужно продумать ответ на возможный с моей стороны вопрос: «Укажите, какие математические факты (теоремы, следствия, определения, аксиомы, формулы) вы здесь использовали». Для каждой задачи и теоремы нужно уметь произвести расчленение условия на две части: что дано и что нужно сделать: доказать, вычислить, построить. Такое расчленение рекомендуется производить и при самостоятельной работе. Оно помогает вскрыть неполное или неправильное понимание условия.

8. Каждую теорему можно сформулировать, начиная словом «если». Я часто буду требовать такую формулировку. Здесь сразу вскрывается неправильное или неточное понимание ее содержания. К геометрическим теоремам не следует механически запоминать чертежи, приведенные в учебнике. Нужно разобраться в сущности чертежа и уметь дать свой вариант его построения. Нужно также упражняться в проведении доказательств устно, без чертежа.

Примечание. Задание на дом я всегда диктую учащимся по пунктам. К отдельным пунктам даю конкретные указания. Ученики должны точно знать, что делать, как делать, каких результатов достичь, как работу оформить и как отвечать. Задания записываются в домашних тетрадях. Относительно задач, решаемых дома, ввожу требование: если какая-либо задача не получилась, можно ее заменить другой задачей на тот же материал; можно обратиться за помощью к другим, в частности, ко мне. Но на уроке уже задачу нужно знать и уметь объяснить ее решение. Ученики должны твердо знать, что признание в личной неудаче с задачей не снижает оценку за ответ. Тогда они будут говорить правду. Ученик сообщает: «Я эту задачу сам решить не смог, но сейчас решение знаю». Ученик должен видеть, что преподаватель относится к нему доброжелательно: несмотря на свою неудачу, ученик работал и к уроку готов. Требование уметь рассказать решение задачи устно осуществляет на деле ликвидацию механического списывания заданий из чужих тетрадей.

Организация опроса на уроке обычного типа

Чаще всего урок начинается проверкой домашнего задания и опросом. Следующая часть урока — теоретическое и практическое изучение нового материала. В этом случае нельзя перегружать первую часть урока. Я поставил перед собой задачу: опрос должен занимать не больше 15 минут, за это время нужно опрашивать 3—5 учеников.

Приведу примеры возможных вариантов устного опроса.

1. Доска делится на 3—4 полосы. Сверху я сам или при помощи вызванного ученика пишу задания, относящиеся как к теории, так и к практике (решение задач, примеров). Ученики видят предложенные вопросы. Дальше вызываю по очереди учеников и даю указания к оформлению записей. Левая полоса доски (со стороны учителя) остается свободной. Вызываю теперь следующих, обычно двух, учеников. Они отвечают по теории или объясняют решения задач. Объяснение ведется устно, ученик пользуется задачником, а домашнюю тетрадь подает мне. Ученики класса следят за объяснением по задачникам и только при потребности в сверке обращаются к тетради. Если устный разбор без доски затруднителен или нежелателен, или когда полезна иллюстрация, мы пользуемся свободной полосой доски. При выполнении этой работы часто привлекаются ученики класса. Учеников, готовившихся у доски, прошу отойти в сторону и вместе с классом осматриваю их работу. У каждого из них спрашиваю что-либо, относящееся к написанному на доске: формулировку, пояснение, ссылку, «почему», «как», «зачем», «откуда», «как сделать иначе», и даю необходимые указания к улучшению записей и преобразований. В этой работе принимают участие и ученики класса.

Описанный опрос носит форму контроля за работой учеников, а потому проходит быстро.

2. Распределив задание на всех полосах доски, произвожу фронтальный просмотр выполнения письменного домашнего задания. Такой просмотр нужно делать не реже одного раза в неделю по каждому предмету. При этом, конечно, нет возможности детально просмотреть работу каждого ученика, но некоторые недочеты ученикам указываются, а главное, ученик, зная, что его работу смотрят, более добросовестно и аккуратно ее выполняет. Для просмотра обхожу учеников «по рядам». В это время вызванные готовятся у доски. Классу сообщаю, какие вопросы из ранее пройденного я сегодня буду предлагать. Класс занимается этими вопросами. По окончании обхода произвожу беглый опрос «с места». Дальше рассматривается работа учеников на доске, как в пункте 1.

Организация урока опроса

После окончания каждой программной темы назначается специальный урок (или два урока) опроса. Цель его — повторить материал темы в целом и проверить усвоение темы учащимися. К такому уроку ученики, обычно, получают список основных вопросов, которые записываются в тетрадь для повторения. В этом случае урок проходит более организованно и ученики к нему лучше готовятся. Например, по окончании темы «Измерение отрезков» в VIII классе ученики получили следующие вопросы:

Измерение отрезков

1. Что значит измерить отрезок; что получается в результате измерения?

2. Определение общей меры и наибольшей общей меры двух отрезков. Формулировка и объяснение смысла двух теорем о нахождении НОМ двух отрезков способом последовательных отложений. Аксиома измерения Архимеда.

3. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки, примеры тех и других.

4. Доказательство несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной.

5. Измерение отрезка а, соизмеримого с единичным отрезком. Указать, какое число может получиться в результате измерения. Разобрать все возможные случаи: целое число, число вида , конечная десятичная дробь, бесконечная периодическая десятичная дробь.

6. Измерение отрезка а, несоизмеримого с единичным отрезком. Указать, какое число получится в результате измерения. Объяснить, почему получается бесконечная непериодическая десятичная дробь. Знать определение иррационального числа и его характеристику (отличие иррационального числа от рационального). Уметь «составлять» иррациональные числа и указывать их приближенные значения с любой степенью точности.

7. Отношение двух отрезков. Как его найти? Какое число представляет отношение двух отрезков и что оно показывает? Отношение двух соизмеримых и двух несоизмеримых отрезков.

По окончании темы «Степени и корни» в VIII классе составление вопросов происходило на уроке. В этой работе принимали участие и ученики. Общими силами были составлены и записаны такие вопросы:

Степени и корни

1. Определение степени. Шесть правил действий над степенями (учебник, § 89).

2. Определение корня 2-й степени. Определение алгебраического и арифметического корня. Корень четной и нечетной степени из положительного и из отрицательного числа.

3. Основное свойство арифметического корня с доказательством на примерах.

4. Три теоремы с доказательством в общем виде и на примерах об извлечении арифметического корня из произведения, из дроби, из степени.

5. Нормальный вид корня, какие преобразования выполняются при приведении корня к нормальному виду (задачник, § 4, пояснительный текст).

6. Подобные корни, сложение и вычитание корней.

7. Четыре теоремы с доказательством о действиях над арифметическими корнями (умножение корней, деление, возведение корня в степень, извлечение корня из корня).

8. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе дроби. Сопряженный множитель, умение его подбирать для различных случаев.

9. Сведения о числе «нуль».

10. Иррациональные числа, получающиеся при извлечении корней. Теорема об арифметическом корне из целого числа (с доказательством на примерах). Определение рационального, иррационального действительного числа. Изображение действительных чисел при помощи точек на числовой оси.

Мной введен такой порядок: ученик зачитывает вопрос, отвечает на него и каждое положение иллюстрирует самостоятельным примером. После полного ответа ученики класса делают свои замечания. 3—4 ученика выполняют задания на доске. Для устного ответа вызываются одновременно 2—3 ученика. Они имеют вопросы и задачники; кроме устных ответов, ученики рассказывают о решении задач или производят устное решение. За урок можно опросить 8—12 учеников.

Работы, выполняемые на доске, примерно, следующие:

1. Доказать, что

2. Выполнить действия:

3. Упростить:

4. Составить иррациональное число, заключенное между числами 5,3 и 5,4 и написать его приближенные значения с точностью до 0,001 по недостатку и по избытку. (В задании на доске записано только 5,3; 5,4; с точностью до 0,001. Что сделать, сообщается устно.)

5. Доказать, что j/5 —число иррациональное.

6. Доказать, что

7. Доказать в общем виде правило возведения арифметического корня в степень.

8. Выполнить действия:

9. Упростить:

10. Найти значение выражения:

и т. д.

Ученикам предлагаются также дополнительные вопросы, заранее продуманные преподавателем. Вот несколько вопросов к теме « Степени и корни».

1) Чему равно выражение (если его упростить):

2) Что больше:

3) Между какими целыми числами заключены следующие иррациональные числа:

4) Возведите в квадрат:

5) Сложите иррациональные числа:

6) Произведите вычитание иррациональных чисел :

7) Беря иррациональные числа с точностью до 0,1 по недостатку и по избытку, найдите значение суммы, разности, произведения, частного чисел:

ol= 2,3147. . . ß= 1,9235. . .

по недостатку и по избытку.

8) Назовите сопряженный множитель для выражения:

9) На числовой оси, при масштабе 1 = 1 дм, между точками, соответствующими числам 2 и 3, отмечена точка а. Что можно установить относительно числа а при помощи измерения масштабной линейкой? (Линейка — миллиметровая.)

Примечание. Письменного решения требуют вопросы 5, 6, 7. К вопросу 9 на доске делается чертеж и должна быть миллиметровая линейка. Остальные вопросы — устные. Для некоторых из них условие записывается.

Опрос при изучении нового материала

У учеников должна быть ответственность за понимание нового материала. Они обязаны тщательно следить, все ли ими понято. О непонятом ученики должны спрашивать. Преподавателю следует показывать, насколько важно критически подходить к восприятию нового материала. Приведу пример. В VIII классе сформулировано определение корня уравнения. Учащиеся это определение повторили словесно. Преподаватель спрашивает, всем ли понятно это определение. Оказывается, что все поняли и все могут повторить. Нужно подчеркнуть, что в подобных случаях преподавателю успокаиваться рано. Подростки обладают прекрасной памятью. Они склонны смешивать знание с запоминанием. Я говорю: «Сейчас мы обнаружим, действительно ли вы поняли, что такое корень уравнения». Один из учеников вызывается к доске. Диктую:

2х* — Ьх=.

«Напишите в правой части число так, чтобы это уравнение имело корень, равный единице». Бывает, что вызванный ученик и несколько других учеников не могут справиться с предложенным заданием. Подобные случаи должны использоваться преподавателем не для укора, а для того, что понимается под знанием. Знать — это значит: 1) понимать, 2) помнить, 3) уметь.

Если в случаях, аналогичных примеру с уравнением, ученик справляется с работой,— это отмечается преподавателем, а ученику может быть выставлен повышенный балл.

Несколько слов об опросе в процессе проведения тренировочных упражнений. Решаются задачи на закрепление некоторого правила. При выполнении подобной работы ученикам часто не ставят оценок. Это неправильно. Как уже указывалось, ученики должны быть приучены к тому, что преподаватель может оценивать любую работу ученика. Вполне достаточно задать ученику один-два вопроса, связанных с обоснованием произведенной им работы. Сюда можно включать и вопросы из давно пройденного, например, о законах арифметических действий в их применении к данному случаю, о происхождении формулы, которой воспользовался ученик, потребовать перечислить все использованные математические факты и т. п. К сожалению, такую форму работы преподаватели мало практикуют. О пользе ее говорить не приходится.

Примеры.

Следует систематически ставить вопросы, выраженные чертежом, или связанные с необходимостью самостоятельной графической иллюстрации. Под графической грамотностью будем понимать умение сделать чертеж, умение разобраться в данном чертеже, создать задачу к чертежу, уметь дать самостоятельную иллюстрацию к тому или иному положению или примеру.

Нужно также обращать всемерное внимание на практическую сторону каждого вопроса, так как часто именно она и свидетельствует о правильном понимании. Выше уже отмечалось, что словесное выражение ответа может быть безукоризненным, а действенное понимание отсутствует или недостаточно.

Подобные вопросы должны быть на большинстве уроков. Вот несколько примеров.

1) Пройдена теорема о биссектрисе угла треугольника. На одном из следующих уроков ставится вопрос: «Дан неравнобедренный треугольник. Укажите середину основания; соедините вершину треугольника с полученной точкой; представьте теперь, что проводится биссектриса угла при вершине. Нужно сказать, как она пойдет: по медиане, левее или правее ее?»

2) Введено определение подобных многоугольников. «Подобны ли следующие пары многоугольников?» (черт. 1.)

3) Установить признак подобия двух прямоугольников; двух ромбов; двух параллелограмов.

4) Пройдены все пять метрических соотношений для прямоугольного треугольника.

а) Дан египетский треугольник (катеты 3, 4, гипотенуза 5); проведена медиана гипотенузы, найти ее длину.

б) Дан египетский треугольник, найти длины трех его высот.

в) Дан прямоугольный треугольник. Можно ли, изменяя катеты, получить другие прямоугольные треугольники с той же гипотенузой?

г) Дан прямоугольный треугольник. Можно ли продолжить один из его катетов так, чтобы после соединения нового его конца с концом прежней гипотенузы получился прямоугольный треугольник?

Перечисленные вопросы о прямоугольных треугольниках являются устными, задаваемыми без чертежа. Учащиеся должны мысленно найти ответ и проиллюстрировать его на чертеже. Иллюстрация обязательна, так как не все учащиеся справляются с подобной работой.

5) В результате действий над корнями получен ответ. Следует чаще ставить вопрос об оценке ответа, например, указать его приближенное значение или установить, между какими целыми числами заключено полученное иррациональное число. Нередко эту оценку можно произвести устно или полуписьменно. Так, № 129 (задачник, ч. II, гл. IX).

Ответ.

№ 187. Ответ.

6) Решаются задачи на составление квадратных уравнений. После введения неизвестного требуется записать словами, какие числовые значения для него могут подходить по смыслу задачи. Если это требование ввести как обязательное, преподаватель увидит, как быстро учащиеся научатся правильно производить анализ. Здесь мы имеем дело с элементами исследования задачи. Неправильно откладывать эту работу до прохождения темы «Исследование уравнений» в X классе. Элементы исследования должны фигурировать во всех классах, а в VIII классе простейшие исследования должны вводится как обязательные.

7) В задачнике довольно много примеров дробных уравнений, сводящихся к квадратным. Дробные уравнения получаются часто и при составлении уравнений по условию задачи.

Учащиеся предварительно должны установить, какие значения неизвестного не являются допустимыми.

Например для уравнения:

рассуждение такое: корень уравнения должен обращать уравнение в справедливое численное равенство; так как деление на нуль невозможно, то допустимые значения для х следующие:

Итак, для X не являются допустимыми значениями 5 и — 3.

8) При решении задач на нахождение числового значения буквенных выражений при заданных числовых значениях букв, обязательно нужно ставить вопрос о том, какие, вообще, значения могут принимать буквы и какие не могут. Например, в выражении:

букве X нельзя давать значение х = — 1, а у значения, большие 1. Вопрос о допустимых числовых значениях х и у для получения действительного результата связывается с решениями простейших неравенств.

Ограничимся приведенными примерами. Цель их — показать, сколь богатым материалом располагает учитель при желании практически развивать математическое мышление учащихся.

Черт. 1.

ОБ УСТНОМ И ПИСЬМЕННОМ ИЗЛОЖЕНИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

Э. А. ЯСИНОВЫЙ (Куйбышев)

Безупречного оформления письменной работы по математике нельзя добиться за один только последний год обучения в средней школе, т. е. в X классе.

В этом деле, как и во всяком другом, нужен навык. Хорошего оформления письменных работ по математике, логичного изложения мыслей (как устно, так и письменно) можно добиться только путем долгой кропотливой работы, начиная с младших классов.

Ниже я излагаю те методы и приемы, которые я применял для воспитания у учащихся логичного изложения решения задач, начиная с V класса.

V и VI классы

Обычно до IV класса включительно учащиеся излагают решение задачи в вопросо-ответной форме. Поставив вопрос, учащийся здесь же дает ответ в виде того или иного действия, без всякого обоснования (обоснование, очевидно, в уме у учащегося). Такая форма изложения в V классе не может быть принята как основная. Но вместе с тем сразу «встать на новые рельсы» с пятиклассниками тоже не представляется возможным. Надо учащихся к этому подготавливать. Первое время пусть они решают задачи так, как они решали до IV класса, т. е. в вопросо-ответной форме. Первое время я добиваюсь только того, чтобы действие, являющееся ответом на вопрос, было обоснованным. Например, ученик решает задачу:

Из резервуара надо было выкачать веду. Для этого поставали 5 больших насосов и 3 малых. Большой насос выкачивает в 1 час 125 ведер, а малый 90 ведер. Через 5 часов вся вода была выкачана. Сколько ведер воды было в резервуаре до установки насосов?

«Первым вопросом я узнаю, сколько ведер воды выкачивают 5 больших нососов в 1 час. Для этого я 125 ведер воды умножаю на 5. Получится 625 ведер воды».

Прежде чем учащийся сформулирует второй вопрос, я сообщаю учащимся, что недостаточно сказать: «для этого я 125 ведер воды умножаю на 5». Надо обосновать это действие, т. е. объяснить, почему мы множим 125 на 5.

Ученик, отвечающий у доски, безусловно, оправдает примененное им действие умножения.

«Вторым вопросом, — продолжает ученик, — я узнаю, сколько ведер воды выкачивают эти 5 насосов за 5 часов. Для этого я 625 ведер воды умножаю на 5; получится 3125 ведер воды»,

По привычке ученик снова не дает обоснования примененному действию. Я напоминаю еще раз и показываю учащимся, как надо обосновать действие: так как 5 насосов в 1 час выкачивают 625 ведер воды, то за 5 часов они выкачивают в 5 раз больше.

Я объясняю учащимся, что пора вообще переходить к другой форме изложения решения задач (как устно, так и письменно), что они стали старше и могут, и должны излагать решение в виде связного мотивированного рассказа с полным обоснованием применяемых действий, а не так, как дети до IV класса. Для примера я решаю задачу в классе, излагая решение в виде связного мотивированного рассказа. Нельзя, конечно, думать, что на следующий день все или почти все решат задачи, заданные на дом, путем изложения своих мыслей в виде связного мотивированного рассказа. Большинство еще решит в вопросо-ответной форме, но нет сомнения, что некоторые учащиеся попытаются излагать ход решения в виде связного рассказа. Похвала и одобрение учителя окрыляют пятиклассника, подавшего такое решение, и заставляет задуматься других учащихся о переходе от вопросо-ответной формы решения задач на повествовательную.

Это, однако, не значит, что против вопросо-ответной формы должна вестись непримиримая борьба, что за применение ее нужно снижать балл и совсем ее не употреблять. Совсем нет. Решение задачи в вопросо-ответной форме может быть также оценено высшим баллом.

Другая форма имеет своей целью научить учащихся логично рассуждать и излагать свои мысли в виде связного рассказа, поэтому я стараюсь прививать эту форму не путем принуждения, а путем разъяснения того, что применение ее в большей степени характеризует развитие ученика. Наконец, я также зачитываю учащимся выдержку из «объяснительной записки к «билетам для переводных испытаний за V класс» :

«По первому вопросу учащийся должен изложить данный материал в виде связного и мотивированного рассказа, показать уменье делать выводы...»

В старших классах я говорю учащимся:

«Многие из вас в скором будущем будут инженерами, врачами, научными работниками и т. д. Жизнь, работа или научная деятельность поставит перед вами для решения какие-то вопросы, задачи, проблемы. Надо будет уметь излагать свои исследования в виде связного мотивированного рассказа. Поэтому, ребята, учитесь излагать свои мысли правильно, логично сейчас, в школе. Вам будет легче потом». В своей практике я также несколько раз диктовал решения задач в виде изложения. Причем, чтобы у учащихся не составилось мнение, что форма изложения — единственная; для того чтобы учащиеся знали, что излагать мысли можно по-разному, применяя разные обороты речи, разные термины, понятия и слова, — я в некоторых местах изложения диктую каждому ряду учеников по-разному.

После контрольной работы я зачитываю учащимся самые лучшие работы и обращаю внимание на изложение, а также на работы, которые страдают многословием, либо нелогичностью. Логические ошибки, которые учащиеся допускают при решении задач, разнообразны. Рассмотрим логические ошибки, которые учащиеся допускают при решении арифметических задач, где некоторая неизвестная величина принимается за единицу.

Задача №418. (Сборник задач и упражнений по арифметике Е. С. Березанской.)

В поезде было 672 пассажира, в том числе мужчин вчетверо, а женщин вдвое более, нежели детей. Сколько было в поезде мужчин, сколько женщин и сколько детей?

Такого типа задачи учащиеся часто начинают решать с вопроса: «Сколько было частей?» или: «Первым вопросом я узнаю, сколько было единиц. Для этого я к единице прибавлю четыре и прибавлю 2, получится 7».

Я тут же объясняю учащимся, что мы ведь еще не знаем, что собой представляет одна часть, что она собой заменяет. «Надо раньше сообщить, — обращаюсь я к ученику, — что ты принял за единицу или за одну часть, а то вдруг «сколько было частей?», и никто не знает, что ты мыслишь под одной частью».

Второй логический дефект в изложении решения задач данного типа заключается в том, что, осознав уже необходимость в сообщении того, какую неизвестную величину приняли за единицу, учащийся формулирует предложение так:

«Число детей примем за единицу, а число женщин за 4 единицы и число мужчин за 2 единицы».

Я объясняю, что логично будет, если мы скажем так: «Число детей примем за единицу, тогда число женщин будет 4 единицы, а число мужчин — 2 единицы». (Я делаю ударение на слове «тогда».)

Практика показывает, что и против этого дефекта приходится бороться долго и упорно. Он часто встречается у некоторых учащихся в VI классе (и даже в старших классах). Но как отрадно видеть на лицах учащихся отражение неудовлетворения, если они от отвечающего ученика слышат, например, такую фразу: «Первое число примем за единицу, а второе...» Ребята тут же поправляют: «тогда второе».

Следующий логический дефект, имеющий место у учащихся при решении задач рассматриваемого типа, поясним на следующей задаче.

Задача № 2145 (там же).

Отцу 45 лет, сыну 15 лет. Сколько лет назад отец был в 11 раз старше сына?

Чувствуя, что здесь имеется отношение двух величин, учащиеся, не подозревая нелогичности своей мысли, формулируют ее так:

«Возраст сына примем за единицу, тогда возраст отца будет 11 единиц».

«Из условия задачи, — объясняю я ученикам, — следует, что если возраст сына (15 лет) принять за единицу, то тогда возраст отца (45 лет), очевидно, будет 3 единицы, но не 11 единиц.

Значит, чего-то нехватает в вашем предложении. Надо его исправить, чем-то дополнить». Попытки учащихся улучшить предложение в конечном итоге остаются тщетными.

После детального, глубокого разбора и указания, что «разность между возрастами двух лиц всегда остается неизменной», большинство учащихся излагают решение хорошо. Задачи такого типа мы решали с пятиклассниками в конце учебного года (из «общего отдела» сборника задач Березанской, с целью проверки я предложил задачу № 2154), в VI классе — в январе месяце. Поднялись несколько рук. Ниже я привожу решение, данное учеником М.

Задача № 2154.

Дочери теперь 8 лет, а матери 88 лет. Через сколько лет мать будет втрое старше дочери?

Решение ученика М. «Возраст дочери в то время, когда мать будет втрое старше ее, примем за единицу, тогда возраст матери выразится 3 единицами. Разность единиц будет 2 (3 — 1 = 2), а разность лет — 30 (38 — 8 = 30 ;

разность их годов всегда будет 30). Значит, на одну единицу приходится 15 лет. Итак, в то время, когда мать будет втрое старше дочери, последней будет 15 лет. Но теперь ей 8 лет. Следовательно, мать будет втрое старше дочери через 7 лет.

Действительно, матери будет 38-}-7 = 45 лет, а 45 лет больше 15 лет в три раза».

При решении задач рассматриваемого типа учащиеся долгое время допускают логические ошибки, заключающиеся также в том, что за единицу они принимают не величину, а предмет. Например: «первый ящик примем за единицу», «второй амбар примем за единицу», «третий участок примем за единицу» и т. д.

При решении задач типа «Сумма двух чисел равна 524, а их разность 124. Найти эти числа» учащиеся часто допускают логические ошибки в постановке вопроса. Например, ученик ставит вопрос так:

«Какова была бы сумма этих чисел, если бы они были разны между собой?»

Я объясняю учащимся, что постановка вопроса нелогична. «Вдумайтесь хорошенько, ребята, в поставленный вопрос. Какова была бы сумма этих чисел, если бы они были равны между собой? (Я делаю ударение на слова «этих» и «они».) В этом предложении речь идет о двух пока неизвестных но конкретных числах; это отражается в местоимении «этих» («Какова была бы сумма «этих»...) Предполагать, что эти числа равны мы не можем, потому что разность этих чисел не равна нулю, а равна 124. Поэтому не логично ставить вопрос так: «Какова была бы сумма этих двух чисел, если бы они...» и т. д. Вопрос можно сформулировать так: «Какова была бы сумма двух чисел... (заметьте, ребята, я говорю здесь просто о двух числах, я не употребляю местоимения «этих»). Еще раз: «Какова была бы сумма двух чисел, каждое из которых равнялось бы меньшему из искомых? Ясно, что для того чтобы узнать сумму двух чисел, каждое из которых равнялось бы меньшему из неизвестных, надо от данной суммы (524) отбросить, т. е. вычесть, излишек большего числа над меньшим (т. е. 124)». Далее учащиеся излагают свои мысли правильно.

Путем разнообразных методов объяснений, в том числе и геометрических (с помощью отрезков), я добиваюсь полного понимания учащимися двух способов решения задач такого типа. Первый способ заключается в определении суммы двух чисел, каждое из которых равно меньшему из искомых. Второй способ заключается в определении суммы двух чисел, каждое из которых равно большему из искомых чисел. Учащиеся легко решают тогда в VI классе такую геометрическую задачу: По данным сумме и разности двух углов построить эти углы. (Рыбкин, ч. 1, § 2, задача № 10) и подобную ей задачу на построение отрезков.

Добиться успехов в устном и письменном изложении решения задач можно только путем разбора всех логических дефектов, вплоть до мельчайших, допускаемых учащимися при решении задач, не жалея на это времени. Пусть все указания дефектов с подробным разбором их займет время, за которое можно было бы решить лишних одну или две задачи (без разбора дефектов), все же это не будет, как кажется некоторым учителям, лишней тратой времени.

В заключение покажем решения задач учащимися V и VI классов.

В трех корзинах 120 яблок; во второй корзине втрое больше, чем в первой, и в третьей— вдвое больше, чем во второй.

Сколько яблок в каждой корзине?

Решение ученика Т. « Количество яблок в первой корзине примем за единицу, тогда количество яблок во второй корзине выразится 3 единицами, а в третьей — 6 единицами. Всего единиц—10. Значит, чтобы узнать, сколько яблок приходится на единицу, или сколько яблок было в 1-й корзине, мы количество яблок в 3 корзинах, т. е. 120, разделим на 10. Получится 12.

Следовательно, во второй корзине—36 яблок, а в третьей — 72 яблока».

Трое ребят имели поровну орехов; когда каждый из них съел по 8 орехов, то у всех вместе осталось столько орехов, сколько было вначале у каждого из них. Сколько орехов было у каждого из них?

Решение ученика Б. «Количество орехов у каждого мальчика примем за единицу, тогда общее количество орехов составляет 3 единицы. Из условия задачи получается, что если из общего количества орехов, составляющих 3 единицы, вычесть 24 ореха, то останется как раз такое количество орехов, которое составляет 1 единицу (ибо в задаче сказано: «... то у всех вместе осталось столько орехов, сколько было вначале у каждого из них...»). Отсюда следует, что 24 ореха составляют 2 единицы, значит, одна единица составляет 12 орехов.

Итак, у каждого мальчика было 12 орехов.

Действительно, если каждый съест по 8 орехов, то у каждого останется 4 ореха, а у всех вместе 12, т. е. столько, сколько было вначале у каждого».

В трех зернохранилищах колхоза находилось 2310 ц зерна.

Количество центнеров зерна первого и второго относились между собой как : 0,25.

Количество зерна в третьем зернохранилище было больше, чем во втором на 440 ц. Сколько зерна находилось в каждом зернохранилище? Решение ученика М. « Отношение -j^r- : 0,25 заменим отношением целых чисел: i : 0,25 = 4 : 15. Значит, количества центнеров зерна первого и второго зернохранилища относятся между собой как 4 : 15. В задаче сказано, что количество центнеров зерна в третьем зернохранилище больше, чем во втором на 440 ц, значит, если мы возьмем из третьего зернохранилища 440 ц зерна, то количества центнеров в трех зернохранилищах будут относиться между собой как 4:15:15. Сумма центнеров зерна во всех зернохранилищах будет тогда 1870 (2310 ц—440 ц). Сумма в частях будет 34(4+15-|-15). Узнаем, сколько центнеров зерна будет приходиться на одну часть. 1870:34 = 55 ц. Количество центнеров зерна в первом зернохранилище будет 220 ц (55 ц X 4), количество центнеров зерна во втором и третьем зернохранилищах отдельно будет 825 и, (55 X 15). Но количество центнеров зерна в третьем зернохранилище на самом деле на 440 ц больше, т. е. 1265 ц».

Решение ученика К. « Предположим, что количество зерна в 3-м зернохранилище равнялось количеству зерна во 2-м зернохранилище. Тогда общее количество зерна было бы 2310 ц — 440 ц = 1870 ц, а количество зерна в 1-м зернохранилище относилось бы к количеству зерна во 2-м и относилось бы к количеству зерна в о-м так, как : — : + .

Умножим каждый член этого отношения на 60 (от этого отношение не изменится). Получим 4:15:15. После этого находим количество зерна в 1-м зернохранилище: 1870 ц : (4+15 + 15) X 4 = 220 Ч> затем во втором: 1870 ц: (4 + 15+ 15)Х 15 = 825 ц и в третьем — 1825 ц 4- 440 .и, = 2265 ц*.

Завод отпустил на культурные нужды определенную сумму денег. 15% отпущенных денег было израсходовано на пионерский лагерь, a -g- остатка — на детский сад. После этого оказалось, что всего было израсходовано денег на 18000 руб. меньше, чем осталось на другие культрасходы. Сколько всего денег было отпущено на культурные нужды?

Среди многих хороших решений заслуживает внимания решение ученика Б. VI класса, отличающееся краткостью изложения. Вот оно:

«После того как израсходовали на пионерский лагерь 15% отпущенных на культурные нужды денег, осталось 100% — 15% =85% всей суммы денег. После израсходования остатка на детский сад осталось 85 % — 85% Х-|- = 68% всей суммы денег. А по условию задачи сумма денег, израсходованных на лагерь и детский сад, меньше суммы денег, израсходованных на другие культурные нужды, на 18000 руб. Значит, 18000 руб. составляют 68%—15% —17% =36% всей отпущенной суммы. Следовательно, вся отпущенная на культурные нужды сумма равна

VII—X классы

То же самое, что было сказано об устном и письменном изложении решения задач по математике в V и VI классах можно повторить и относительно изложения решения задач по математике в VII—X классах. Во всех этих классах я добиваюсь от учеников, чтобы изложение мыслей в письменной работе не носило схематичного характера, как например: «je — количество метров 1-го сорта ткани, 30 — X — количество метров 2-го сорта, 18 — X руб. стоимость 1-го сорта...» и т. д. или так:

«л:—1-й сорт, 30 — X — 2-й сорт...».

Я объясняю учащимся нелепость и нелогичность такого изложения мыслей, как последнее. «С первым видом изложения, — обращаюсь я к учащимся, — можно примириться, оно не страдает нелогичностью; оно только является схематичным, не видно в этом изложении связного мотивированного рассказа. Такой вид изложения как бы урывками отражает ход рассуждений, но не является полным изложением хода рассуждений. В таком виде можно решить задачу «для себя», т. е. на черновике, с той целью, чтобы скоро решить ее. Но подать контрольную работу, в которой вы должны показать уменье не только решать задачи, но и уменье излагать хорошо свои мысли, нельзя».

В IX и X классах я прививаю учащимся навык в оформлении письменной работы, при котором формулы, получающиеся в ходе рассуждений, на которые в дальнейшем придется ссылаться, нумеруются цифрами (1), (2) и т. д. Причем я приучаю учащихся пронумерованные соотношения записывать отдельной строкой. Такая форма изложения принята в математической литературе.

Ниже я привожу примеры решения задач по алгебре и геометрии.

Задача № 398 (Шапошников и Вальцов, ч. 1).

Из кооператива было продано 38 кг товара двух сортов, ценою по 18 руб. за 1 кг первого сорта и по 9 руб. 60 коп. за 1 кг второго сорта, и выручено при этом за весь первый сорт на 132 руб. больше, чем за второй. Сколько продано товара того и другого сорта?

Решение. Пусть первого товара продано X кг, тогда второго сорта продано (38 — х) кг (ибо всего было 38 кг). Так как 1 кг первого сорта стоит 18 руб., то за весь этот сорт, т. е. за X кг, выручат 18 л: руб. А так как 1 кг второго сорта стоит 9,6 руб., то за весь второй сорт, т. е. за (38—л;) кг, выручат 9,6 (38 — л:) руб.

По условию задачи, за весь первый сорт выручено на 132 руб. больше, чем за второй, поэтому:

18 л: — 9,6(38 — л;) = 132. Решим это уравнение. 18л: + 9,6л: = 132-f 9,6-38; 27,6л; = 364,8, откуда

Итак, первого сорта товара продано 18 кг, а второго, значит, — 20 кг.

Проверка. За весь первый сорт выручат 18 -18 = 324 руб. За весь второй сорт — 9,6-20 = 192 руб. А 324 руб. больше, чем 192 руб. на 132 руб.

Задача №80 (Шапошников и Вальцев, гл. VIII).

Долг в 820 руб. уплачен банку в два годичных срока, причем в конце каждого года платили по 441 руб. По скольку процентов был сделан заем?

Решение.

Пусть заем был сделан по х процентов годовых, тогда в течение 1-го года долг увеличится на iqq-* руб., т. е. на 8,2-л: руб., и станет равным (820 -}- 8,2 л:) руб. После уплаты (в конце года) 441 рубля долг в рублях будет составлять:

820 + 8,2 X — 441 = 379 + 8,2 х. Но эта сумма денег остается еще на один год, значит, на нее нарастает

и долг в рублях становится к концу второго года равным:

Но, с другой стороны, в конце второго года, как следует из условия задачи, долг погашается 441 рублем. Следовательно, имеем уравнение:

откуда:

Решив это уравнение, найдем после вычислений, что хх=Ъу а лг2<0. лг2 условию задачи не удовлетворяет.

Итак, заем был сделан по 5 процентов.

Действительно, 5% от 820 руб. составляет 8,2 руб..5 = 41 руб.

К концу первого года долг вырастает до (820 + 41) руб., т. е. до 861 руб. Отдав 441 руб., остается отдать 420 руб, на которые за второй год нарастает 4,2-5 руб. = 21 руб., и поэтому в конце второго года приходится выплачивать (420+21) руб., т. е. 441 руб., что и совпадает с условием задачи.

Задача № 57 (Шапошников и Вальцов, ч. 2, гл. XV).

По шоссе едут экипаж и автомобиль по одному и тому же направлению. Экипаж находится на 84 м впереди автомобиля и едет равномерно со скоростью 3 м в секунду. Автомобиль же проезжает в первую секунду 8 м, а в каждую следующую на 0,1 м меньше, чем в предыдущую. Сколько времени будет ехать автомобиль, пока не поравняется с экипажем?

Решение.

Пусть автомобиль и экипаж находятся соответственно в точках А и В. По условию задачи имеем: AB = 84 м. Предположим, что автомобиль поравняется с экипажем в точке С через t секунд. За эти t секунд экипаж пройдет путь

БС = 3-£, (1)

а так как автомобиль в первую секунду проходит 8 м и в каждую следующую на 0,1 л меньше, то путь АС, пройденный автомобилем за эти t секунд найдем по формуле суммы членов арифметической прогрессии:

(2)

где 5 — путь АС, ах = 8, d =— 0,1 а я по нашему обозначению это — t. Сделав подстановку в (2), получим:

(3)

Но

АС —ВС = AB = 84.

Сделав в это равенство подстановку из равенств (1) и (3), получим:

или после преобразований:

Решив это уравнение, найдем:

Автомобиль поравнялся с экипажем через 21 секунду.

Продолжая свой путь, автомобиль проходит в каждую следующую секунду на 0,1 л меньше, чем в предыдущую, и экипаж его догонит через 80 секунд, считая со времени нахождения автомобиля в точке А. Итак, автомобиль и экипаж поравняются дважды: первый раз через 21 секунду, второй раз через 80 секунд, считая с того момента, когда экипаж находился впереди автомобиля на 84 м.

Задача № 101 (Шапошников и Вальцов, ч. 2).

Три числа, составляющие геометрическую прогрессию, дают в сумме 26; если к этим числам прибавить соответственно 1,6 и 3, то получатся числа, составляющие арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

Решение: Пусть искомые числа будут: a, aq и aq2, так как они составляют геометрическую прогрессию.

Из условия задачи имеем:

(1)

После изменения чисел (согласно условию задачи) мы получим новые числа:

которые, согласно условию задачи, составляют арифметическую прогрессию. На основании свойства любого члена (кроме крайних) арифметической прогрессии, получим:

откуда

(2)

Из этого равенства находим

(3)

Решим совместно уравнения (1) и (2), для чего разделим почленно (1) на (2). Получим:

откуда

Решив уравнение, найдем:

Сделав подстановку значений q в равенство (3), получим соответственно: аг = 2, а2= 18.

Итак, искомые числа будут 2, 6 и 18 или 18, 6 и 2. Действительно,

2 + 6+18 = 26,

а числа

2+1, 6 + 6 и 18 + 3, т. е. 3, 12 и 21,

составляют арифметическую прогрессию. Далее:

18 + 6 + 2 = 26,

а числа

18+1 = 19, 6 + 6=12 и 2 + 3 = 5

составляют арифметическую прогрессию. Задача.

Основанием прямей призмы служит равнобедренный треугольник ЛВС (ЛВ = АС), периметр которого равен 2 р и угол при вершине А равен а. Через сторону ВС нижнего основания и противолежащую вершину Л1 верхнего основания проведена плоскость, составляющая с плоскостью нижнего основания угол ß.

Определить объем призмы.

Решение. Пусть АВСАхВхСг — данная призма (черт. 1). В треугольнике АХВС проведем AXD J_ ВС. Соединим D с Л. На основании теоремы о трех перпендикулярах имеем: ADA. ВС. Значит, ^/Л1ОЛ = р. Обозначим АВ = АС = х.

По формуле объема призмы имеем:

V=B-H, (1)

где V, В и H — соответственно объем, площадь основания и высота призмы.

Из прямоугольного треугольника ADC имеем:

(2) (3)

ибо высота в равнобедренном треугольнике является и биссектрисой. По формуле площади треугольника имеем:

(4)

Черт. I.

Из прямоугольного треугольника AtAD находим:

Сделав сюда подстановку из равенства (2), получим:

(5)

Подстановка из равенств (4) и (5) в равенство (1) дает:

(6)

Из условия задачи:

AC+CD = p, (7)

так как АС = AB (по условию) и CD = DB (ибо AD является также медианой). Согласно принятому обозначению и равенству (3), равенство (7) примет вид:

откуда:

Подставив найденное значение х в равенство (6), получим:

Задача.

В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом а, и площадь основания равна S, вписан шар. Определить объем конуса, отсекаемого от данного плоскостью круга, по окружности которого поверхность шара касается боковой поверхности конуса.

Решение. Пусть SAB — данный конус, в который вписан шар (черт. 2). К—центр основания конуса, F — центр окружности, по которой поверхность шара касается боковой поверхности конуса.

Так как центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис внутренних углов этого треугольника:

(Е — точка касания образующей SB с шаровой поверхностью). OE_\_SB, так как ОЕ — радиус, проведенный к касательной в точку касания.

ибо и

Введем обозначения:

По формуле объема конуса имеем:

(1)

Из прямоугольных треугольников FEO и ОВК находим соответственно:

Откуда:

(2)

Из прямоугольного треугольника SFE находим:

(3)

так как

(как соответственные при параллельных EF и ВК секущей SB).

Сделав подстановку из (2) в (3) получим:

(4)

Подстановка из (2) и (4) в (1) дает:

(5)

Но принимая во внимание, что izRz = S, находим

равенство (5) примет вид:

Черт. 2.

О ПИСЬМЕННОМ ОБЪЯСНЕНИИ РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

А. И. ВОЛХОНСКИЙ (Можайск)

Общепринятой формой письменных объяснений при решении арифметических задач является в настоящее время «решение с вопросами» без дополнительных пояснений. Эта форма очень часто оказывается слишком краткой и явно не удовлетворяет учителя.

Пусть при решении задачи: За 1 минуту кран наполняет ~ бассейна. За сколько времени он наполнит весь бассейн?—поставлен вопрос, выполнено деление и дан верный ответ. Есть ли у нас основание ручаться, что ученик сознательно, а не случайно нашел этот ответ? Конечно, нет.

Но самое главное, слишком краткая форма записи объяснения не заставила ученика дать себе ясный словесный отчет, почему ему нужно было делить 1 на

Очень часто ученик приходит к решению, недостаточно ясно представляя себе, что он делает и почему; небольшим усилием он мог бы заставить себя дать словесную мотивировку каждому своему шагу, и тогда бы наступила полная ясность. Однако вопросная форма объяснений не принуждает его сделать это, обучающая роль задачи снижается. И если учитель не исправляет этот недостаток каким-либо другим методическим приемом, то мы становимся свидетелями интересного явления: весь задачник «прорешен», а ученики решать задачи не научились.

Это может произойти еще и потому, что краткая вопросная форма объяснений не заставляет ученика осмыслить, каким путем производил он поиски решения (отсутствует анализ условия задачи), не заставляет даже назвать тип задачи, не учит его, как искать это решение в другой раз*.

Поэтому понятно стремление многих учителей расширить письменные объяснения при решении арифметических задач. С этой точки зрения опубликование статьи А. А. Могильницкого и А. И. Цвинтарной (1951, № 3) было вполне целесообразным.

К сожалению, то, что предложено авторами этой статьи, едва ли может быть принято за образец объяснений.

Собственно говоря, трудно даже назвать объяснениями почти все из тех строчек, которыми авторы попытались расширить обычную вопросную форму. Объяснение должно что-то объяснять. Но что объясняет, например, фраза: «Для того, чтобы узнать, на какую сумму продано меда за первый и второй месяцы вместе, нужно к 4227 руб. 40 коп. прибавить 9600 руб. 20 коп.», предшествующая действию: 4227 руб. 40 коп.-(--+- 9600 руб. 20 коп. = 13 827 руб. 60 коп.? Может быть, она объясняет, почему нужно прибавить, а не отнять, не разделить? Нет, она просто констатирует: «нужно прибавить». Может быть, она высказывает какое-то общее правило, следствием которого является производимое ниже действие? Опять, нет. Фраза эта и следующая за нею арифметическая запись выражают одну и ту же мысль.

Фраза эта ничего не объясняет. Да и что здесь объяснять? Такими же ненужными словесными упражнениями являются «объяснения» к вопросам 1, 2, 4 первой задачи и к вопросам 3, 4, 6 второй задачи.

Наверное, и сами авторы этой статьи сознают, что только некоторые из приведенных ими пояснений действительно нужны (деление по содержанию, нахождение дроби от числа), но их смущает необходимость оставить часть вопросов без пояснений, смущает возникающая отсюда возможность пропуска учащимися и тех пояснений, которые должны быть даны. Чтобы устранить эту возможность, они заставляют объяснять и то, что объяснений не требует.

Мне кажется, что более разумным было бы разрешить учащимся оставлять некоторые вопросы без пояснений, но зато перечислить им, что они должны объяснять, дать стандарты этих объяснений.

Еще лучше — постепенно приучать учащихся к объяснению задачи в форме связного рассказа, содержащего в себе краткий анализ условия или указание на тип задачи, рассуждения по ходу вычислений и пояснения к выбору действий, где этот выбор должен быть обоснован**.

Письменное решение задачи, рассматриваемой в статье А. А. Могильницкого и А. И. Цвинтарной выглядело бы при этом примерно так.

* Коррективы возможны, конечно, и здесь. Поэтому многие учителя и при краткой вопросной форме объяснений дают своим учащимся вполне твердые навыки в решении задач.

** В V классе в это время я не требую обоснования простых случаев сложения, вычитания, увеличения и уменьшения в несколько раз.

Задача: Железнодорожной кассой было продано 146 балетов, всего на сумму 1815 руб. 40 коп. Балет до станции А стоит 14 руб. 50 коп., а стоимость билета до станции Б составляет -g- стоимости билета до станции А. Сколько билетов до каждой станции было предано?

Решение. Узнаем стоимость билета до станции Б. Она «составляет стоимости билета до станции Л», т. е. -=- от 14 руб. 50 коп.

Чтобы найти дробь от числа, надо это число умножить на величину дроби. Значит, билет до станции Б стоил:

14 руб. 50 коп. X -g- = И Руб. 60 коп.

Известна цена каждого сорта билетов, общая стоимость и число всех билетов, а требуется узнать число билетов каждого сорта в отдельности. Такие задачи решают предположением.

Предположим, что все билеты были ценою по 14 руб. 50 коп.

Тогда бы они стоили:

14 руб. 50 коп. X И6 = 14,5 руб. X 146= 2117 руб.*.

За все билеты пришлось бы заплатить лишних денег:

2117 руб. — 1815 руб. 40 коп. = 301 руб. 60 коп.

Это получилось бы потому, что за каждый билет до станции Б теперь платили бы дороже на 14 руб. 50 коп. — 11 руб. 60 коп. = 2 руб. 90 коп. За два билета до станции Б пришлось бы уплатить лишних денег два раза по 2 руб. 90 коп., за три — три раза по 2 руб. 90 коп. и т. д. Всего бы набралось 301 руб. 60 коп. Значит билетов до станции Б было столько, сколько раз в 301 руб. 60 коп. содержится по 2 руб. 90 коп. Это узнают делением:

301 руб. 60 коп. : 2 руб. 90 коп. = 301,6 руб. : 2,9 руб. = 104*

и т. д.

Я не считаю, что эта форма письменных объяснений таит в себе какие-то особые трудности, но переход к ней должен быть постепенным. Поэтому, знакомя с нею учащихся, я предлагаю пользоваться ею только желающим. Новую форму объяснений поощряю оценками. При разборе с классом результатов контрольных работ зачитываю лучшие объяснения. Лишь изредка требую объяснять решение той или иной задачи в форме рассказа.

К концу года уже очень многие учащиеся V класса довольно свободно пользуются новой формой объяснений, но обязательной я не делаю ее и в VI классе; решение с вопросами и дополнительными пояснениями к ним (включая указание типа задачи или краткий анализ) меня вполне удовлетворяет.

Я не считаю нужным отказываться от вопросной формы объяснений еще и потому, что применяю ее при решении тренировочных задач. Дополнительные письменные пояснения к вопросам, о которых шла речь выше, при этом не делаются, а заменяются устными пояснениями, пояснениями «про себя». При устной фронтальной проверке выполненной работы и при ответах у доски я проверяю вопросами по ходу самостоятельной работы, делают ли учащиеся эти устные пояснения. Главным же стимулом к этим устным пояснениям являются развернутые письменные объяснения в контрольных работах.

Кстати, я считаю уместным проводить иной раз и решение задач вовсе без письменных пояснений. Так, при повторении я провожу решение «на скорость», «кто больше» (с оценкой за число решенных задач) несложных задач пройденных уже разделов задачника, например задач № 881—894. Записываются только действия и номер задачи. За час учащиеся решают 12—15 задач.

Итак, по моему мнению, развернутые пояснения при решении арифметических задач совершенно необходимы, но они ни в коей мере не должны сводиться к словесной риторике. Число работ с развернутыми пояснениями не должно превышать той нормы, которая требуется, чтобы заставить учащихся делать устные пояснения «про себя». Неизбежная при введении таких объяснений потеря времени должна компенсироваться увеличением числа задач, решаемых с очень краткими пояснениями или даже вовсе без пояснений. Форма письменных объяснений может быть и такой, какая предложена А. А. Могильницким и А. И. Цвинтарной (вопрос, пояснение, действие), с дополнительным указанием типа задачи или анализа условия, но лучше в форме рассказа.

* Вычисления производятся под чертой внизу страницы.

О ЗАПИСЯХ ПРИ РЕШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Н. А. ПРИНЦЕВ (г. Россошь)

К математическим записям следует предъявить такие требования:

1) запись должна быть целенаправленной;

2) она должна быть осуществимой в условиях развития и подготовки учащихся данного класса;

3) запись должна быть рациональной.

Текстовая запись позволяет оформить внешне более подробно самый процесс решения задачи, что в свою очередь дает возможность другому лицу (например, учителю) уяснить процесс решения задачи и выяснить, насколько сознательно выполнено решение, если последнее не сопровождалось устным объяснением. Для этого часто достаточно привести краткую текстовую запись, так как преподаватель, очевидно, может при помощи этой краткой записи проверить и оценить работу учащегося.

Краткая текстовая запись выработана практикой для вычислительных математических задач. Обычно для задач, решаемых арифметическим способом, она представляет собою запись при помощи вопросов к отдельным арифметическим действиям, а для задач, решаемых алгебраическим способом, эта запись состоит в кратком пояснении букв и буквенных выражений, которые необходимы для составления уравнения. Для геометрических задач на построение и на доказательство краткая запись еще не вполне установилась, отчасти, по той причине, что эти задачи в школе решаются в меньшем количестве и пояснения к ним даются устно или с помощью подробной текстовой записи. Однако и краткая запись может и должна иметь место при записи решения таких задач, она состоит в основном из чертежа и перечня отдельных построений или этапов доказательства, подобно тем вопросам или утвердительным предложениям, какие даются при записи решения арифметических задач.

Очевидно, что в школе при решении математических задач должны употребляться как символическая, так и краткая текстовая записи.

Большое внимание сейчас (а иногда, с нашей точки зрения, чрезмерное внимание) уделяют подробной текстовой записи решения математических задач. Эта запись представляет собою подробное текстовое объяснение и обоснование отдельных моментов решения задачи. Основная цель такой записи — научить учащихся писать небольшие сочинения математического характера, проверить их умение изложить обстоятельно, но точно и кратко, всю ту цепь логических умозаключений, которая приводит к решению поставленных вопросов. Эта запись предполагает наличие у учащихся достаточных знаний грамматики родного языка для внешнего оформления записи, а также наличие умения излагать свои мысли в письменной форме. Кроме этого надо отметить еще трудности в изложении этих объяснений, которые объясняются спецификой самого математического материала.

Обладают ли соответствующими навыками учащиеся V — VII классов? Следует ли требовать от них подробного текстового объяснения к решению задач?

Чтобы ответить на первый вопрос достаточно заглянуть в учебную программу школы, после чего мы убедимся, что только учащиеся VII класса к концу учебного года заканчивают изучение грамматики родного языка, причем при окончании VII класса требуется на экзамене умение написать изложение, а не сочинение. Таким образом, ответ должен быть отрицательным: учащиеся V—VII классов (а тем более IV класса) не имеют достаточных навыков для того, чтобы написать небольшое сочинение.

При изучении математики в старших классах средней школы безусловно следует практиковать сочинения на отвлеченные темы с преобладанием в них логических элементов, в частности, надо развивать уменье писать небольшие математические сочинения, используя математические задачи. Часто пытаются тем или иным способом регламентировать подробные текстовые объяснения, втиснуть их в определенные рамки, создать шаблон. Если это необходимо для символической записи и для краткой текстовой записи, так как эти записи являются условными, то для подробной записи решения задачи такой шаблон часто оказывается вредным, так как стесняет инициативу учащихся и ведет иногда к излишнему удлинению самого объяснения.

Надо предъявить требования не к форме, а к содержанию такого объяснения: оно должно быть кратким, последовательным и понятным для человека, который знает тот курс математики, какой известен учащемуся. Не следует забывать, что подобные объяснения нужны как для общего развития учащихся, так и для развития уменья изложить математические соображения так, как они излагаются в мате-

матических книгах. Надо допустить свободу в изложении объяснения, практиковать изложения по различным планам. Так, например, было бы желательно не только описывать решение задачи, но описывать и анализ решения, поэтому можно предложить учащимся X класса при объяснении решения, например геометрической задачи с применением тригонометрии, в некоторых случаях начинать с того рассуждения, при помощи которого они нашли ход решения, т. е. с анализа, а затем переходить к объяснению самого решения.

К оценке письменного подробного объяснения решения задачи надо подойти с точки зрения определенных требований к сущности объяснения: есть ли там стилистические и математические ошибки или недостатки, сумели ли учащиеся кратко, но последовательно и доступно объяснить отдельные моменты решения. В нашей учебной и методической литературе есть много прекрасных образцов объяснения тех или иных математических задач, но они не написаны по какому-либо плану, каждый автор излагает решение по-своему. Наши учащиеся знакомятся с образцами разнообразных литературных и критических произведений и учатся на них писать сочинения, аналогично следует поступать и на занятиях по математике в старших классах.

Если считать, что учащиеся V — VII классов не имеют возможности писать подробные объяснения к решению задач, так как они не обладают еще достаточными знаниями и навыками, то означает ли это, что учителю следует отказаться от всякой работы в данном направлении?

Нет, учитель должен вести определенную работу в этом отношении. Прежде всего можно расширить краткую текстовую запись. Например, при формулировке вопросов к арифметической задаче можно добавлять те значения величин, при помощи которых делается соответствующее вычисление. Форма вопроса будет такова: «Сколько..., если известно, что ...»

Например, при вычислении стоимости 2,5 кг товара по цене 12,35 руб. за 1 кг вопрос будет сформулирован так: «Сколько стоит товар, если цена его 12,35 руб. за 1 кг, а купили 2,5 кг этого товара?» (Подробно такая запись рассмотрена в книге Поляк Г. Б. «Обучение решению задач в начальной школе» на стр. 88, и 89.)

Большое значение для подготовки к подробной текстовой записи имеют устные объяснения учителя или учащихся. Эти устные объяснения должны по содержанию соответствовать письменному объяснению, только в этом случае они будут постепенно подготовлять учащихся к подробной текстовой записи решения задачи.

С учащимися VII класса полезной формой работы в этом направлении может быть письменное изложение решения задачи. Это изложение учащиеся делают после того, как задача уже была решена, ее решение записано в символической форме и учитель прочитал тщательно подготовленное им самим письменное объяснение. Особенно ценна такая форма работы для геометрических задач. Подобные изложения образцов объяснения решения задач, составленных самим учителем, дадут возможность учащимся изучить эти образцы. Кроме того, такая работа поможет учащимся еще раз сознательно рассмотреть ход решения задачи, а учителю выяснить, насколько решение задачи понято и усвоено.

В заключение сформулируем основные выводы по вопросу о записи решения учащимися математических задач.

1. Нельзя отрывать вопрос о записи решения математических задач от вопроса о подготовке учащихся по родному языку и не учитывать общей подготовки и уровня учащихся данного класса.

2. Наиболее рациональной записью решения математических задач является символическая запись, которую желательно сопровождать устным объяснением учащихся.

3. В V —VII классах следует рекомендовать только символическую и краткую текстовую запись, так как учащиеся еще не имеют достаточных навыков по родному языку для составления подробных объяснений.

4. Учащихся VI класса, а особенно VII и VIII классов, следует обучать образцам подробной текстовой записи путем изложения объяснений, составленных самим учителем.

5. В VII — X классах следует рекомендовать решение некоторых задач сопровождать подробным текстовым объяснением, которое по существу является сочинением на математическую тему ; особенно важны такие объяснения к решению различных геометрических задач; форма объяснения должна быть достаточно гибкой и разнообразной, не следует использовать только один какой-либо шаблон.

6. Не следует перегружать уроки и домашние задания такими подробными объяснениями, так как учащимся не будет достаточно времени на непосредственные занятия по решению математических задач, большинство задач и в старших классах следует решать, используя символическую и краткую текстовую записи.

От редакции: Вопросы, связанные с письменным объяснением решений задач, с оформлением письменных и контрольных работ учащихся, с математическими записями, неоднократно ставились и обсуждались на страницах журнала «Математика в школе». Статьи и заметки, поступающие в редакцию показывают, что здесь еще имеется ряд нерешенных и дискуссионных вопросов, а потому редакция сочла целесообразным продолжить обсуждение данной темы.

Нет сомнения, что средняя школа должна дать учащимся навыки в умении правильно и понятно для другого лица передавать свою мысль.

В целях развития устной и письменной речи (и в частности математической) вполне естественно требование к учащимся, чтобы они могли давать объяснение решения задачи или проводить теоретическое рассуждение в виде связного, мотивированного рассказа. Применение математической символики обусловливает специфику математического «рассказа», которая должна быть освоена учащимися.

Чрезмерное увлечение подробными рассуждениями нередко приводит к нелепым крайностям, когда учеников заставляют предпринимать нужные и ненужные «анализы», «исследования», «обоснования», «проверки» и т. п. Для примера укажем на уродливое требование формулировать все теоремы (а не только ссылаться на них), на которых основывается решение задачи. Если быть последовательным, то почему бы не потребовать доказательств этих теорем? Подобные фантастические требования могут привести лишь к вырастанию обычных ученических работ в объемистые, но мало содержательные «трактаты».

Передовая педагогическая мысль вполне справедливо ставит вопрос о необходимости вести решительную борьбу с излишним многословием, с засорением речи всякого рода «риторическими украшениями» и бесцельными повторениями одного и того же.

Школа должна постепенно, путем длительной и упорной работы приучать учащихся излагать свои мысли так, как это принято в современной математической литературе.

С этой точки зрения вполне целесообразным является пользование нумерацией формул, что к сожалению еще не получило достаточного распространения в школьной практике.

Требования, предъявляемые к письменному объяснению, в разных классах должны быть различными, разработка этих требований является одной из важных методических проблем.

Было бы неправильным решать каждую задачу с подробным письменным объяснением; вопрос о количестве задач, решаемых с объяснением, также является дискуссионным.

В настоящем номере помещаются три статьи Э. А. Ясинового, А. И. Волхонского и Н. А. Принцева в порядке обсуждения поставленных вопросов.

ОБЪЕДИНЕННЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО ЧЕРЧЕНИЮ И МАТЕМАТИКЕ

И. С. БЛИНОВ (Москва)

Не ставя своей целью критику программы по черчению в целом, укажем лишь отдельные пожелания к ее переработке.

Например, тема «Построение лекальных кривых» проходится на уроках черчения в IX классе, в то время как построение графиков функций достаточно глубоко изучается уже в VIII классе.

Естественно возникает вопрос: нельзя ли на уроках черчения в VIII классе своевременно ознакомить учащихся со способами построения некоторых лекальных кривых (парабола, гипербола, циклоида), уже знакомых учащимся из алгебры и физики?

Опыт работы в 19-й школе г. Москвы показывает, что это возможно осуществить в VIII классе за счет сокращения числа часов, отведенных на изучение различных случаев сопряжений (10 часов), частично пройденных в VII классе.

Далее: в IX классе учащиеся приступают к систематическому изучению пространственных форм. Соответственно, на уроках черчения изучаются элементы начертательной геометрии. Казалось бы, все приведено в согласование. Однако учитель математики только тогда будет ощущать действительную связь и помощь упражнений по черчению, когда эти упражнения основной целью своей будут преследовать развитие пространственных представлений учащихся.

Опишем наш опыт проведения объединенных индивидуальных домашних заданий по черчению и математике в 19-й женской средней школе г. Москвы.

Индивидуальные домашние задания для учащихся VIII класса

В VIII классе учащиеся систематизируют сведения о функциях, полученные на уроках физики и математики в младших классах. По календарному плану занятий на эту тему обычно отводится, примерно, 10 часов, в течение которых развиваются общие идеи функциональной зависимости, пополняется запас изучаемых

функций, вырабатываются навыки построения графиков функций в прямоугольной системе координат и т. д. Учащиеся VIII класса повторяют способы построения графиков зависимости между X и у, выражаемой уравнениями

и вновь изучают график функции

знакомятся с графическим выражением зависимости

На эти же часы приходится и изучение графических приемов решения как квадратного уравнения, так и систем уравнений степени выше первой. Недостаток времени очень часто не позволяет учителю математики подробно останавливаться на важных вопросах практического характера. Например, при построении графиков функций существенным моментом является выбор рациональных масштабов осей координат, выбор положения самих осей на чертеже, привитие учащимся навыка использования математических таблиц и т. п.

Эффективных результатов можно добиться, если посвятить несколько уроков черчения показу способов обводки лекальных кривых тушью, показу приемов оформления графиков и наилучшего использования поля чертежа.

Совместно с учителями математики А. И. Головиной и И. Ф. Мухиной мы разработали индивидуальные задания для всех учащихся. Темой первой самостоятельной работы являлось решение квадратного уравнения графическими приемами.

Приводим несколько примеров заданий:

и т. п.

Каждая из учениц решала одно уравнение. Такое домашнее задание выполнялось на форматке а4 (288 X 203) с обводкой разноцветной тушью. Срок исполнения был установлен в три недели.

Работа с учащимися протекала следующим образом.

На первом уроке черчения весь класс занимался графическим решением уравнения 2 х2 — — 3jc=0. Графики функций вычерчивались в тетрадях и на классной доске. Никаких указаний относительно расположения осей координат и масштабов по ним вначале не давалось.

Ход решения представлялся учащимися в таком виде:

заданное уравнение:

3) обозначим

4) строим графики функций ух = х2— параболу и у2 =-~- X — прямую линию (черт. 1);

5) находим общие точки построенных линий (у1=у^) и определяем по масштабу численную величину абсцисс этих точек (лгх и х2);

6) 2-й способ решения: построение графика функции

и т. д.

Мы не приводим в статье дальнейших известных рассуждений. Цель учителя черчения заключается в показе выбора «рабочего поля» построенных графиков («рабочее поле» выделено на черт. 1 прямоугольником ABCD).

После того как была выбрана часть графика, подлежащая изображению на чертеже, мы установили масштабы осей координат, исходя из размеров поля чертежа. Так, например, вдоль оси абсцисс нам требуется разместить 3 единицы (границы прямоугольника ABCD на черт. 1 соответствуют х = — 1 и л: = 2), а ширина форматки равна примерно 180—190 мм. Выбрали масштаб по оси абсцисс: 1 единица — 5 см. Подобным же образом выбирается масштаб и по оси ординат. В дальнейшем уча-

Черт. 1.

щиеся легко справлялись с этой частью работы самостоятельно.

Второй урок черчения (через неделю) носил консультативный характер. Большая часть затруднений учащихся относилась к тем случаям, когда решение имело вид, представленный на чертеже 2. Вследствие неточности построений у некоторых учащихся прямая у = тпх —(— п или вовсе не имела общих точек с параболой ух = X2, или пересекала ее в двух точках. Вообще мы заметили, что многие учащиеся затрудняются в построении графика функции во всех частных случаях (/я = 0, п ф 0 и др.). Кроме того, наблюдалось нежелание пользоваться математическими таблицами, а приближенные значения корней вызывали недовольство учащихся «плохим» ответом.

К концу третьей недели большинство учащихся правильно выполнили задания. Качество оформления работ было достаточно высоким. Приводим образец работы ученицы 3. Кирюхиной (черт. 3). Собеседования с учащимися по выполненным работам были проведены на уроках алгебры.

Второе задание (графическое решение системы уравнений) было выполнено учащимися без особых затруднений. Ниже мы даем примеры индивидуальных заданий:

Графическое решение сводится к отысканию общих точек окружности и гиперболы, прямой линии и гиперболы, параболы и окружности. Некоторым, наиболее сильным, учащимся была дана известная система уравнений:

Черт. 2.

решение которой графическим путем сводится к построению двух парабол.

На чертеже 4 приведена копия ученической работы.

В пользе подобных объединенных заданий по черчению и математике, нам думается, не приходится сомневаться.

Объединенные задания по черчению и стереометрии для учащихся IX класса

Во многих школах большое внимание уделяется решению стереометрических задач на проекционном чертеже.

Это натолкнуло нас на мысль провести ряд объединенных работ по черчению и стереометрии в IX классе.

В середине третьей четверти было выдано задание:

«Построить сечение куба плоскостью, проходящей через заданные точки 1, 2 и 3».

Во всех вариантах индивидуальных заданий требовалось изобразить куб с ребром 90 мм

Черт. 3.

в кабинетной проекции, а инициатива выбора положения точек 1, 2 и 3 секущей плоскости была, до некоторой степени, предоставлена самим учащимся.

Например:

точка 1 лежит на ребре АА' (черт. 5),

точка 2 лежит на ребре D'C\

точка 3 лежит на ребре ВС.

3-й вариант:

4-й вариант:

Задания, предложенные в такой форме, вызвали живой интерес у учащихся. Два урока черчения были посвящены самостоятельной работе учащихся и консультациям. Чертеж 6 дает представление об оформлении заданий (мы применяли две обводки чертежей, кроме черной, и цветную тушь; площадка сечения закрашивалась легким тоном акварели или цветным карандашом).

Краткие выводы

1) При пересмотре программы по черчению желательно обдумать возможности выполнения объединенных заданий по черчению и математике.

2) Оформление решения основных позиционных и метрических задач на построение в виде чертежей прививает учащимся полезные навыки, способствует более аккуратному, вдумчивому изготовлению чертежей и в тетрадях по геометрии, и на классной доске во время устных ответов.

3) Решение стереометрических задач на «чертежах-моделях» способствует быстрому развитию пространственных представлений учащихся.

4) Учащиеся всегда проявляют большой интерес к решению задач, в которых искомые элементы фактически строятся на чертеже.

Черт. 4.

Черт. 5.

Черт. 6.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

К ВОПРОСУ О СОЗДАНИИ РУКОВОДСТВА ПО ИСТОРИИ МЕТОДИКИ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ

В. Л. МИНКОВСКИЙ (Орел)

1. Актуальность проблемы

В широких кругах советского народа непрерывно возрастает и углубляется интерес к истории развития научных знаний в нашей стране. Это явление естественно и закономерно, так как вклад, внесенный в науку народами, населяющими Советский Союз, исключительно велик и многообразен, а имевшие место в прошлом бесславные традиции раболепия перед иностранщиной не способствовали- торжеству исторической правды.

Советские историки математики и ее преподавания с большим энтузиазмом и патриотическим подъемом взялись в последние годы за изыскания и исследования в области истории русской методики. Уже первыми результатами этих исследований убедительно вскрывается процесс становления передовой материалистической отечественной методики математики в острой борьбе с чуждыми иностранными влияниями и идеалистическими реакционными течениями.

Нельзя признать нормальным, что результаты этих исследований еще не стали прочным достоянием даже историков педагогической науки. Так, например, в серьезной в целом книге Н. И. Ганелина «Очерки по истории средней школы в России» (1950 г.) содержится просто комическое утверждение, что учебные книги А. Ф. Малинина и А. Ю. Давидова сыграли отрицательную роль в истории русской школы (стр. 253—254), что, как известно, диаметрально противоположно истине.

Настало время поставить вопрос о необходимости вооружения учителей и студентов-математиков определенным кругом сведений по истории созидания отечественной методики математики. Советские учителя должны хорошо знать, как развились и оформились именно в нашей стране наиболее передовые течения педагогической мысли. Кроме того, изучение истории преподавания своего предмета, с одной стороны, предостерегает от заимствования уже отвергнутого, от методического прожектерства, а с другой — побуждает к критическому осмысливанию настоящего, к научно обоснованному новаторству.

Сказанным в достаточной степени выявляется актуальность проблемы создания руководства по истории методики математики в нашей стране. Очевидно, сознавая важность решения этой проблемы, Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР в 1951 г. выпустил в свет книгу проф. А. В. Ланкова «К истории развития передовых идей в русской методике математики».

Автор в предисловии к книге заявляет, что «наша работа — не история методики математики в России, а только ряд очерков по развитию методики математики, ставящих перед собой определенную цель» (стр. 4). Все это, конечно, так, но тем не менее книга А. В. Ланкова является подступом к созданию руководства по истории методики математики в России.

Настоящая статья посвящается критическому обзору работы А. В. Ланкова. Мы отметим сперва достоинства книги в целом, а затем перейдем к анализу ее основных недостатков. Заголовками 3, 4, 5 и б разделов статьи будут служить формулировки тех требований, которые оказались нарушенными в тех или иных местах книги.

2. Прогрессивные идеи русской методики математики

Рецензируемая книга посвящена характеристике дореволюционного периода в развитии русской методики математики. На небольшом количестве страниц (150) автор характеризует развитие прогрессивных методико-математических идей XVIII, XIX и начала XX века.

Размеры работы обязывали автора к тщательному отбору материала, к выявлению и использованию главного, определяющего. Однако с этой трудной задачей автору не во всех случаях удалось справиться, как будет видно из дальнейшего текста статьи.

Основное достоинство книги А. В. Ланкова состоит в том, что в ней, как правило, история методики математики не сводится к объективистскому, аполитичному изучению сменяющегося содержания форм и методов преподавания математики в школе, а прослеживается развитие передовой частной методики в условиях непримиримой борьбы с иностранными реакционными влияниями. Особенно

удачно написаны в этом плане страницы, посвященные возникновению и развитию непревзойденной русской школы методики преподавания начальной арифметики.

Надо отдать должное автору и за четкую, вполне убедительную постановку вопроса о русском приоритете в выяснении значения и разработке конкретных путей и средств внедрения идеи функциональной зависимости в школьный курс математики.

Следует еще отметить, что исключительно тепло и проникновенно написан очерк о замечательном русском методисте В. А. Латышеве, с именем которого автора книги связывают личные воспоминания о начале своей научно-педагогической деятельности.

Однако нельзя не поставить в серьезную вину автору, что он в книге, посвященной передовым идеям в русской методике математики, не выделил ни одной страницы, чтобы рассказать, как в 1915 году горячий патриот своей родины и крупнейший ученый математик А. А. Марков, возглавив борьбу с реакционными идеалистическими поползновениями, направленными против прогрессивных материалистических принципов отечественной методики, спас русскую школу от торжества мракобесия в преподавании математики.

Разумеется, автор в своей книге далеко не исчерпывает богатства передовых идей русской методики математики описываемого периода, в особенности относящихся к истории математического учебника, к развитию логического мышления и к организации внеклассной работы учащихся.

3. Непримиримое отношение к взглядам, враждебным марксистско-ленинской науке

Много усилий потратил А. В. Ланков, чтобы убедить своего читателя, что Д. В. Ройтман принадлежал к числу «передовых людей того времени» (стр. 121, речь идет о 1907—1910 гг.)

Если бы автор не освободил бы себя от неблагодарной, но необходимой для историка науки работы по ознакомлению с подлинными «трудами» Ройтмана, то у него вряд ли возникло бы желание называть передовым человеком воинствующего мракобеса-черносотенца, стремящегося, вопреки фактам и здравому смыслу, вознести небезызвестного Евгения Дюринга на высочайший пьедестал, как «основателя нового жизнедеятельного духовного руководительства»*.

Специальную книгу выпускает «передовой» Ройтман в защиту писаний фашистского толка Е. Дюринга от «посягательств» рецензентов «Мира божьего» и «Сына отечества» (1899 г.). В другой своей публикации, носящей название «Значение математики, как науки и как общеобразовательного предмета» (1906 г.), Ройтман все свои усилия направляет на то, чтобы всячески пропагандировать «гениальные творения» Дюринга, не имевшие в России успеха. Бессильно злобствуя по поводу блестящего успеха классического произведения марксизма — книги Энгельса «Анти-Дюринг» (выдержавшей уже в то время три русских издания), одержимый дюрингианец с пеной у рта называет ее «пасквильной и клеветнической».

Какие же особые методические заслуги Ройтмана толкнули А. В. Ланкова на безудержное восхваление этого апостола мракобесия?

«Идея Ройтмана, — говорит А. В. Ланков на стр. 120 своей книги, — заключается в связи тригонометрии с геометрией. Тригонометрические величины естественно связываются с геометрической темой «Подобие фигур».

Относительно связи тригонометрии с геометрией мы позволим себе напомнить, что в русских учебниках тригонометрии XVIII и первой половины XIX века тригонометрия и определялась как часть геометрии, посвященная измерению треугольников (Румовский, Войтяховский, Фусс и др.). В учебнике же «Тригонометрия» Ф. Симашко (СПБ, 1852 г.), составленном на основе личных указаний и «Программы и конспектора тригонометрии для руководства в военно-учебных заведениях» знаменитого математика М. В. Остроградского, изучение тригонометрических функций начинается с прямоугольного треугольника, причем устанавливается естественная связь с геометрической темой «Подобие фигур» (стр. 26—27).

Что же касается вопроса об изучении пропедевтического курса тригонометрии в курсе геометрии, то сам А. В. Ланков вынужден признать, «что в начале XX века идея включения решения треугольников в курс геометрии была исключительно популярной и одновременно развивалась различными авторами» (стр. 121).

Наконец, отметим, что изложение пропедевтического курса тригонометрии, данное самим Ройтманом, не обладает никакими достоинствами и выделяется лишь неграмотным утверждением, что если тригонометрическая функция синус равна нулю, то это означает, что «синуса нет»**.

Недостаточно глубокое изучение конкретного историко-методического материала привело автора к грубой ошибке в оценке личности Д. Ройтмана и к серьезному искажению действительного хода развития методической мысли.

4. Критическое освоение методического наследия прошлого

«Идеи Лая, как мы уже говорили, — пишет А. В. Ланков,— не имели распространения в России. Однако основание, на котором строятся выводы Лая и Вальземана, заслуживает внимания.

Эксперимент, как один из методов построения науки, должен быть оценен по достоинству. Чуткий педагог К. Ф. Лебединцев, разбирая новое направление в методике арифметики, так заканчивает свою книгу: «Русская методика арифметики трудами г.г. Гольденберга, Арженикова, Шохор-Троцкого и др. закончила эмпирический период своего развития и теперь должна вступить в новый — экспериментальный». С этим взглядом нельзя не согласиться» (стр. 136).

В приведенном отрывке содержатся две крупные ошибки.

Первая из них состоит в отождествлении понятия' эксперимента в понимании буржуазной экспериментальной педагогики, явившейся колыбелью лженауки — педологии, с понятием естественного педагогического эксперимента. Между тем в изучении учащихся следует применять не эксперимент в широком смысле слова, а лишь ту разновидность эксперимента, построенного с учетом специфических особенностей правильного применения экспериментального исследования в школе, теория и практика которого была разработана не Лаем и не Вальземаном, а известным русским психологом А. Ф. Лазурским.

* Из заглавия книги Ройтмана, выпущенной в 1911 году.

** Дм. Ройтман, Курс элементарной геометрии с включением начал тригонометрии, СПБ, 1907, стр. 195.

Вторая ошибка состоит в санкционировании надуманной, совершенно необоснованной периодизации развития русской методики математики, основанной на явной переоценке значения эксперимента в педагогике*. Не следует забывать, что естественный эксперимент, а только о нем и можно вести речь в плане научной педагогики, в основном отличается от обычного наблюдения лишь более точной организацией. Кроме того, результаты педагогического эксперимента только тогда приобретают научное и практическое значение, когда они выдерживают проверку в обычных условиях работы.

Санкционированная А. В. Ланковым периодизация объективно означает отрицание за русской методической мыслью в области арифметики какой-либо научной ценности, так как речь идет лишь о донаучном, эмпирическом периоде развития.

Любопытно отметить, что на стр. 60 А. В. Ланков не только не делает подобной ошибки, но и вполне справедливо гневно и убедительно осуждает за нее В. Мрочека.

Научное, марксистское освещение наследия прошлого в области методики математики — задача ее истории.

5. Достоверность в изложении материала

Специальную главу посвящает А. В. Ланков выдающемуся методисту С. И. Шохор-Троцкому. В основном этот раздел написан хорошо и должен быть отнесен к достижениям работы.

Однако у читателя, имеющего хотя бы поверхностное знакомство с работами Шохор-Троцкого, вызывает недоумение следующее утверждение А. В. Ланкова: «В том же докладе (речь идет о докладе на 1-м Всероссийском съезде преподавателей математики. — В. М.) С. И. Шохор-Троцкий отрицательно оценивает роль эмоций, считая, что «они неуместны при обучении математике» (стр. 72).

Выходит, по Ланкову, что Шохор-Троцкий не понимал, что чувства переживаются в связи с теми или иными познавательными процессами (ощущением, восприятием, образом памяти или воображения, мыслью и т. д.), что эмоции являются формами проявления потребности личности, что они, наконец, выступают в качестве внутренних побуждений к деятельности.

Чтобы реабилитировать Шохор-Троцкого от этих исключительно тяжелых обвинений, мы вынуждены процитировать полностью соответствующее место его доклада: «Эмоции, препятствующие нормальному ходу психической жизни учащегося (страх, уныние, смущение, чувство обиды, оскорбления, унижения и т. п.) и вредно отзывающиеся (особенно при занятиях математикой, требующих, так сказать, всего человека) даже на физиологических функциях органов человеческого тела, в обучении вообще неуместны, и в частности не уместны при обучении математике» («Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики», том I, СПБ, 1913, стр. 79).

Итак, С. И. Шохор-Троцкий считает неуместными при обучении математике не всякие эмоции, а лишь те, которые препятствуют «нормальному ходу психической жизни учащегося». А это разные вещи.

Обеспечение достоверности в изложении материала — элементарное требование к научной книге.

6. Убедительность в изложении материала

Если в двух разных местах книги автор высказывает противоположные суждения, то, очевидно, по крайней мере одно из них ложно.

Подобная ситуация создается сказанным на страницах 83 и 117.

На стр. 83 читаем: «Тот факт, что, например, учебник геометрии А. П. Киселева используется школой уже в течение 55 лет, свидетельствует о его достоинствах».

Не имея оснований не соглашаться с автором, мы, казалось бы, должны заключить, что факт использования нашей школой уже в течение 63 лет учебника тригонометрии Рыбкина свидетельствует о наличии в нем известных достоинств.

Однако учебник тригонометрии Рыбкина в книге по истории методики характеризуется только следующим абзацем: «Типичным формалистическим учебником курса тригонометрии, воплотившим в себе все отмеченные выше недостатки изложения предмета, является книга Н. Рыбкина» (стр. 117).

Здесь дело, конечно, не столько в наличии логического противоречия с ранее сказанным, хотя и это существенно, сколько в отсутствии исторического подхода в оценке книги, сыгравшей серьезную роль в истории русского математического просвещения.

А. В. Ланков дает высокую оценку «Методике алгебры» Н. Г. Лексина (стр. 111). Эта оценка находится в резком противоречии с мнением А. Н. Барсукова, высказанным им в своей широко и заслуженно известной книге «Уравнения первой степени в средней школе» (М. 1948, 2-е изд., стр. 181— 185).

Прав ли здесь А. В. Ланков, читателю судить трудно, так как изложение автора предельно лаконично, а книгу Лексина, вышедшую в провинции и небольшим тиражом, достать весьма трудно.

Ясно одно, что А. В. Ланков, утверждая свое мнение, не имел оснований уклониться от полемики с А. Н. Барсуковым.

7. Заключение

Создание полноценного руководства по истории развития методико-математических идей в России — ответственная, большая и трудная работа. Ее осуществлению будут способствовать частные публикации, посвященные истории отдельных методических проблем и наиболее выдающимся деятелям математического просвещения. Надо пожелать, чтобы подобные публикации стали регулярным явлением на страницах журнала «Математика в школе» и в «Историко-математических исследованиях».

Выход в свет работы А. В. Ланкова отвечает насущным потребностям нашего учительства. Книга, несмотря на наличие серьезных недостатков, о которых читатель должен быть предупрежден, способствует уяснению основной линии развития нашей передовой методики математики, ее самобытных творческих истоков и неограниченных возможностей дальнейшего прогресса.

* Поучительно отметить, что эта переоценка привела самого К. Ф. Лебединцева в стан представителей лженауки — педологии, в значительной степени оторвав от прославившей его имя исключительно плодотворной научной деятельности.

ПРОПАГАНДА ПЕРЕДОВОГО ОПЫТА УЧИТЕЛЕЙ

(«Из опыта работы передовых учителей математики», сборник статей под редакцией Н. Н. Никитина, изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1950, 278 стр.).

А. В. ЛАНКОВ (Молотов)

Тысячи преподавателей математики ищут новые пути, которых не знала методика; вносят новое содержание в работу, находят для него новые формы. Так создается советская методика.

Накапливается богатый опыт лучших школ, передовых учителей. Этот опыт должен быть общим достоянием. Популяризация опыта — серьезная и ответственная проблема. Большую работу в этом направлении проводит журнал «Математика в школе», но его возможности, вследствие ограниченности объема, являются тоже ограниченными. Вторым руслом, популяризирующим опыт лучших учителей, служат сборники, издаваемые институтами усовершенствования учителей. Их немного, и выпускаются они таким незначительным тиражом, что редко выходят за пределы своей области и не попадают даже в хорошие библиотеки. Одной из форм опубликования работ передовых учителей является централизованное издание специальных сборников.

Выпущенный издательством Академии педагогических наук «Сборник» содержит 15 статей с самой разнообразной тематикой.

Одни из них посвящены общим вопросам и напоминают отдельные страницы из методики (Н. А. Принцев, Некоторые методические советы начинающему учителю математики; М. X. Кекчеева, Роль математики в воспитании воли учащихся; С. А. Коршунков, Из опыта работы по математике в VIII—X классах; Е. М. Рекова, Как я обеспечиваю активное внимание и инициативу учащихся на уроке). Эти статьи не претендуют на полноту изложения и оригинальность постановки вопросов; они просты и безыскусственны; в этом как раз и заключается их достоинство. Начинающему учителю такие работы могут принести большую пользу.

Однако и между ними замечается большое различие: статьи М. X. Кекчеевой и Е. М. Рековой ставят узкие вопросы,— вторые две статьи универсальны, говорят обо всем. Возьмем статью Е. М. Рековой. В целях воспитания активного внимания автор применяет привлечение всего класса к исправлению ошибок и доказательство новых теорем самими учащимися. Первое средство нетрудно осуществить, и его роль в воспитании внимания, несомненно, является положительной. Второе проходит с большими усилиями и, конечно, не всегда достижимо. Полезность его не приходится отрицать.

Статья М. Л. Кекчеевой тоже посвящена узкой теме, но строится в ином плане. Автор берет средства воспитания воли из педагогики: четко поставленная цель, самостоятельная работа, индивидуальные задания, личный пример учителя и т. д. Личный опыт здесь менее заметен.

Статьи С. А. Коршункова и Н. А. Принцева расплывчаты по теме, что видно и из заглавия: «Из опыта работы...», «Некоторые методические советы...». Первая статья содержит 8 подзаголовков, связанных лишь именем автора: «Значение анализа опыта своей работы», «Постоянное и систематическое повышение своей квалификации», «Требования к уроку», и т. д. до «Использования исторического материала». Каждому вопросу уделяет 1—2 страницы и не раскрывает его до конца. Возьмем для примера «Требования к уроку» (стр. 13). Тов. Коршунков говорит о «значении каждого урока в общей цепи всей работы», о ясной цели урока, о подготовке к нему, о хранении конспектов и материалов урока, о формировании математических понятий. В этом плане можно добавить многое: воспитание на уроке диалектико-материалистического мировоззрения, значение наглядности и т. д. Но не в этом дело. Каждому пункту автор посвящает несколько строк, не углубляется в него, скользит по поверхности. В некоторых случаях неудачна катехизация автора. Нельзя ставить такие вопросы: «А соответственно равные стороны будут пропорциональны?», «Значит, можно ли равные треугольники назвать подобными?» (стр. 23).

Статья Н. А. Принцева построена в виде 9 тезисов, также слабо связанных между собою. Против них нельзя возражать, если не принимать во внимание тривиальности некоторых из них («Объясняйте так, чтобы вас поняли»), но их не объединяет общая мысль, они звучат догматично, за ними с трудом усматривается опыт.

Значение работ учителя, иллюстрирующих передовой опыт, очень велико, поэтому следует ясно определить, какие же работы особенно ценны. Двух мнений быть не может: наиболее ценны работы с четко поставленной узкой темой, работы, в которых передовой опыт не заслоняется общими фразами и общими рассуждениями. Из 4 разобранных нами работ этим требованиям особенно удовлетворяет работа Б. М. Рековой.

Далее идут статьи, посвященные отдельным вопросам преподавания арифметики, алгебры и геометрии (11 статей).

Здесь мы имеем два вида работ: 1) так называемые «Методические разработки» (М. В. Носов, Опыт изучения неравенств в семилетней школе; Н. Я. Зайцева, Из опыта преподавания арифметики в V классе; К. В. Чечулин, Из опыта применения графических иллюстраций при решении арифметических задач; П. Г. Пряхин, Опыт организации устных вычислений по арифметике в V—VI классах школы; Н. М. Бублик, Опыт решения и составления задач по алгебре) и 2) статьи, ставящие и разрабатывающие новые проблемы (С. И. Шварцбурд, Опыт операторного истолкования числа в школьной практике; А. А. Столяр, Первые уроки стереометрии в средней школе; Н. П. Ирошников, Из опыта обучения решению задач на построение; Н. И. Михайлов, Аналитико-синтетический метод доказательства геометрических теорем; Н. О. Юхтер, Опыт моделирования задач по стереометрии и тригонометрии; П. Д. Суриков, Творческая работа учащихся на уроках геометрии).

Остановимся на работах первой группы. Статьи этого типа являются ценными для начинающих учителей и студентов педагогических учебных заведений.

Преподаванию, арифметики посвящены статьи Н. Я. Зайцевой, К. В. Чечулина и П. Г. Пряхина. Из них особенно интересна работа П. Г. Пряхина об устных вычислениях. Автор проводит карточную

систему самостоятельных устных вычислений, образующую замкнутый круг числовых вопросов и ответов. Например:

13-0,01; 0,13+1,97; 2,1 + 1,4

и т. д. (упражнения на десятичные дроби). С помощью такого типа карточек автор строит ряд упражнений. В работу вносится интерес игры, легко осуществляется контроль.

Статья К. В. Чечулина дает методику применения арифметических иллюстраций при решении задач.

Статья Н. Я. Зайцевой охватывает ряд вопросов, связанных с работой по арифметике в V кл.: учет знаний учащихся, решение задач, устный счет. В статье приведено много упражнений и задач, схемы учета решения задач, таблицы для устного счета. Весь этот материал может быть использован учителем. При подборе задач автор увлекается формальным признаком связи задач (ответ решенной задачи служит основным данным следующей задачи). Система подбора задач, конечно, не должна основываться на таких случайных признаках. В общем статья, несомненно, интересна.

Алгебре посвящены работы тт. Н. В. Носова и Н. М. Бублик. Обе статьи актуальны, интересны н содержательны. В первой имеется изобилие упражнений, которыми обычно бедна учебная литература; во второй — большой графический материал, применение которого нередко затрудняет преподавателей.

Работы второй группы, относящиеся тоже к частным вопросам методики, выдвигают проблемы или недостаточно разработанные, или дискуссионные. Эти статьи предназначены для более широкого круга читателей: одним они помогают в текущей работе, других заставляют глубоко задумываться.

Развитие пространственных представлений учащихся освещается в статье Н. О. Юхтера. Автор с большой убедительностью рассказывает, как можно научить учащихся «видеть в пространстве». Для этой цели служит моделирование. Автор описывает изготовление моделей из самых разнообразных материалов (проволока, фанера, дерево, стекло, целлулоид и др.). Его интересует не только техника изготовления моделей, но и методика работы с ними.

Статья П. Д. Сурикова рассматривает вопрос о творческой работе учащихся на уроках геометрии узко, лишь с точки зрения поисков «своего» решения задачи (нового), или «своего» доказательства теоремы. Несомненно, это — полезная творческая работа, и ее необходимо всемерно поощрять. Нередко приходится наблюдать такое явление, что доказательства теорем «заучиваются» учениками, память преобладает над мышлением. Автор все примеры берет из геометрии, но этот метод работы в одинаковой степени относится и к другим разделам математики. И, наконец, творческая работа на уроке не ограничивается лишь поисками иного решения или доказательства.

Н. И. Михайлов в своей краткой статье ставит законный вопрос о творческом подходе к доказательству теорем. С этой целью он рекомендует к «обычному» доказательству аналитическое «добавление», перед которым ставится задача отыскания синтетического доказательства.

Мысль очень хорошая, но трудно осуществимая. Автор, взяв теорему: «Если в выпуклом четырехугольнике противоположные стороны равны, то такой четырехугольник — параллелограм», «наводит» учащихся на необходимость доказательства параллельности двух пар прямых и использования при этом теоремы о признаках параллельности.

В ряде случаев пожелания автора нетрудно реализовать, и к такой постановке дела необходима стремиться, избегая, однако, излишних рассуждений «по поводу» и многословия. Работа заставит учителей произвести переоценку «шаблонов» доказательства.

Работы Н. П. Ирошникова, А. А. Столяра и С. И. Шварцбурда являются фундаментальными (занимают более половины «Сборника»): они излагают новую методику отдельных вопросов.

Большой интерес и практическое значение представляет работа Н. П. Ирошникова о задачах на построение. Автор излагает свой опыт решения пространственных задач на построение. Этот вопрос принадлежит к числу наименее разработанных. В сборнике задач (Рыбкин, ч. II) почти отсутствует необходимый материал. В последней методике (В. М. Брадис) задачам на построение в стереометрии уделена ровно одна страница.

Работа является попыткой более детального методического оформления идей, развитых в книге Н. Ф. Четверухина «Стереометрические задачи на проекционном чертеже», ч. I. Статья содержит 25 задач и 28 чертежей. Материал развивается в строгой последовательности, дается много ценных указаний. Опыт работы автор проводил в IX кл. школы и получил хорошие результаты: «1) У учащихся повысился интерес к геометрии. 2) Развилось пространственное представление... 3) Четкие последовательные рассуждения, даваемые учащимся при решении задач, способствовали развитию логического мышления. 4) Учащиеся получили необходимую подготовку для изучения в вузе такого курса, как «Начертательная геометрия».

Можно с полным доверием отнестись к этим выводам автора. Преподаватели геометрии в IX кл. получат большое удовлетворение от этой работы.

Представляет несомненный теоретико-методический интерес работа А. А. Столяра. Автор (преподаватель одной из школ г. Саратова) дает опыт аксиоматического изложения первого раздела стереометрии «Прямые и плоскости»*. В настоящее время, когда систематический курс геометрии начинается в VI кл., нет возможности строить его на более строгом аксиоматическом основании. Но такое построение нужно признать желательным с VIII кл., если в V—VII кл. будет введен начальный курс геометрии. Автор имел основания провести свой опыт во втором полугодии IX кл., при наличии сильного состава учащихся.

Вариант автора содержит аксиомы сочетания (4), аксиомы порядка (5) и аксиому параллельности (1). Изучаемая тема не имеет метрического характера, что дает возможность автору уменьшить число аксиом, не затрагивая аксиом конгруэнтности и непрерывности. После введения группы аксиом доказываются теоремы, непосредственно вытекающие из них. Введение символики (автор вводит до 10 символов) позволяет доказывать некоторые теоремы без построения чертежа (чертеж имеет вспомогательное значение в процессе логического доказательства).

При таком изложении учащиеся шаг за шагом подготовляются к пониманию вопроса о возможности существования неевклидовых геометрий.

После введения аксиомы параллельности автор знакомит учащихся с проблемой V постулата и с решением этой проблемы, которое дает Н. И. Лобачевский. На занятиях математического кружка

* Работа является главой (VI) кандидатсхой диссертации автора на тему «Воспитание логического мышления учащихся на уроках геометрии».

учащиеся доказывают некоторые теоремы гиперболической геометрии. В статье дается схема классификации взаимных положений прямых и плоскостей в пространстве и 50 «вопросов и упражнений»

Концепция автора приближает преподавание геометрии в средней школе к современным идеям геометрии, раскрывает перед учащимися идейное содержание геометрии.

Работа А. А. Столяра представляет этюд школьного изложения геометрии в строе программ ближайшего будущего.

Работа С. И. Шварцбурда «Опыт операторного истолкования числа в школьной практике» является самой большой среди всех статей сборника (60 стр.).

Свой опыт автор начинает в VIII кл. при прохождении «действий над радикалами» и заканчивает в IX кл. в процессе работы над логарифмами.

В основу опыта т. Шварцбурд положил статью И. В. Арнольда «Операторное истолкование числа»* и его же книгу «Логарифмы в курсе элементарной алгебры»**.

Сторонники введения «операторного истолкования числа» идут по этому пути, исходя из добрых побуждений создания более конкретных представлений, истолкования трудных понятий «на более низкой ступени абстракции», «одомашнивания таблиц»— одним словом, они стремятся идти по пути упрощения изложения, создания более благоприятных условий для понимания. Однако на деле здесь встречается много «подводных» камней. Выражения: «взять число множителем 1/2 раза», «повторить сомножителем один раз и четверть раза», «повторить а сомножителем \oga Ь раз» — вряд ли способствуют созданию более четких и ясных представлений! Создание новых правил, вроде: «Для того чтобы разложить произведение двух (или нескольких) множителей на п равных между собой сомножителей, достаточно перемножить результаты разложения на п равных между собой сомножителей каждого сомножителя данного произведения» — вместо обычного правила извлечения корня из произведения — вряд ли можно назвать упрощением! Даже литературный стиль этого «правила» не располагает к нему более или менее требовательного человека.

Мы не возражаем против «постановки вопроса», но полагаем, что эксперимент должен быть продолжен и самый аппарат усовершенствован.

В статье много материала, интересного для преподавателя: способы вычисления дробных степеней числа, вычисление логарифмов, построение графика показательной функции, работа с таблицей 2п и т. д.

Часть материала статьи может быть использована в работе математического кружка.

Статья полезна и в том отношении, что заставит учителей «задуматься» над некоторыми вопросами.

Издание подобных сборников — большое и полезное дело.

Опыт передовых учителей не должен пропадать.

* Известия Академии педагогических наук РСФСР, вып. 4, 1946.

** Изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1949.

О КНИГЕ И. В. МИСЮРКЕЕВА «ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ»*

У. С. ДАВЫДОВ (Гомель)

За последнее время в нашей методической литературе появилось немало книг по геометрическим построениям, стоящих на должном научном уровне. Не было только книги для учителя, из которой последний мог бы черпать материал для повседневной работы, а также для кружковых занятий. Книга И. В. Мисюркеева, как явствует из аннотации, имеет целью восполнить этот пробел. Как сказано в той же аннотации, материал в этой книге изложен строгим и простым языком. Однако содержание, а также стиль и строгость изложения данной книги не соответствуют тому, что сказано в аннотации.

В книге совершенно отсутствует алгебраический метод решения задач на построение, который представляет большие возможности для исследования.

Язык чересчур простой, даже можно сказать — простоватый; он изобилует такими фразами, как AB «неизбежно» параллельно ВС; «решенную задачу можно решить другим способом» и др.

Но что более всего неприятно поражает^ читателя — это обилие ошибок и неправильностей; попадаются недоведенные до конца исследования, туманные и неточные формулировки.

Ниже я привожу примеры таких недочетов.

Стр. о, № 4. Через данную точку Р провести прямую ВС так, чтобы ее отрезки PB и PC, отсекаемые заданными прямыми AM и Ла, находились в данном отношении т:п.

Автор приходит к явно неверному заключению, что задача эта не всегда возможна. Ошибка вызвана неправильным толкованием отношения т:п.

Стр. 7, № 8. В равном расстоянии (?) от точек А и В провести прямую так, чтобы длины перпендикуляров, опущенных на нее из точек C и D, были в данном отношении т\п.

Автор приходит к заключению, что искомая прямая должна проходить через середину отрезка AB, упустив из виду, что прямая, одинаково удаленная от точек А и В, может быть параллельна прямой AB. Поэтому из поля зрения автора выпадает несколько решений.

Стр. 9, № 10. Через точку пересечения окружностей 0\ и 02 привести секущую ВАС так, чтобы углы ВО\А'и С02А были равны.

Автор не замечает следующего простого решения: надо угол 0\АОг (черт. 1) разделить пополам и через точку А провести прямую, перпендикулярную к биссектрисе угла ОИОг- Кроме того, автором упущено, что через точку А можно провести еще одну секущую, воспользовавшись биссектрисой внешнего угла между радиусами 0\А и 03Л.

Стр. 16, № 8. Геометрическое место точек, делящих в данном отношении равные хорды, проведенные в данной окружности, есть концентрическая окружность и т. д.

* И. В. Мисюркеев, Геометрические построения, пособие для учителей, Учпедгиз, 1950.

Автор рассматривает хорды, выходящие из одной точки, чего не следовало бы делать. Кроме того, автор опускает из О перпендикуляры на AB и ВС и усложняет доказательство. Можно сделать так (черт. 2): Д АОВ= Д /ЮС (по трем сторонам); отсюда: z.ОАМ= ^ OBN; далее: /\OAM = &ONB и т. д.

Стр. 22, п. Ь. Автор говорит, что общая хорда двух пересекающихся окружностей есть радикальная ось этих окружностей. Утверждение это не — точное; следует сказать: прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, является радикальной осью этих окружностей. Автор сужает понятие радикальной оси и ограничивается точками, находящимися внутри данных окружностей. Кроме того, доказательство, приводимое автором, несколько сложно; проще сделать так:

АМуАМ = А72; АМГАМ = АТ\ (черт. 4).

Стр. 17, № 10. Геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний которых до двух фиксированных точек А и В равна квадрату данного отрезка т, есть окружность определенного центра и радиуса.

Исследование, приведенное автором, — неубедительно. Так, если AXBX = m, то неравенство

АгС'+ ВЛС'<т/2

необходимо доказать, чего автор не делает.

Заметим, что неравенство А\В\< m 7/2 вытекает из рассмотрения треугольника А\ОВ\ (черт. 3), а именно:

AiBxKAiC' + С'Вг; Аф\ < Л,С'2 + ВС* + 2 Л,С. ВХС ;

сложив последнее неравенство с очевидным неравенством:

0<(Л1С/ - #,С')2,

найдем:

Черт. 1.

Отсюда:

ар? = л4

Стр. 23, п. d. Выражение «параллельные друг Другу дуги AB и MN» вряд ли можно считать удачным.

Стр. 34, № П. Построить четырехугольник A BCD, около которого можно было бы описать окружность, зная его стороны AB и ВС, диагональ АС и угол <р между диагоналями.

Задача имеет два решения (черт. 5), а именно: ABCD и ABCDj, что упущено автором.

Стр. 36, № 14. Найти течку, из которой два отрезка AB и CD видны под равными углами.

Черт. 2.

Задача в этой формулировке является неопределенной, вопреки утверждению автора.

Стр. 37, № 15. Построить окружность, проходящую через данную точку А и касающуюся данной окружности О в данной точке В.

Приводя решение, автор задает вопрос: имеет ли решение задача, если точка А лежит на окружности, касательной к окружности О, проведенной через точку В.

Черт. 3.

Черт. 4.

Черт. 5.

Вопрос совершенно тривиальный.

Стр. 38, № 17. Построить треугольник по данной стороне а, противолежащему ей углу <р и отношению т:п остальных сторон.

Задача эта проще решается методом подобия.

Стр. 43, № 22. Провести окружность через данные точки А и В так, чтобы она пересекала данную окружность 0\ диаметрально.

Эту задачу можно решить проще, а именно:

OB* __ 00\ = ОВ\ — 00\ = г\ --= const (черт. 6) и т. д.

Стр. 46, № 24. Найти геометрическое место точек, разность расстояний которых до сторон данного угла ABC равняется данному отрезку т.

Автор почему-то рассматривает только точки, находящиеся внутри данного угла. А между тем (черт. 7), проведя DE\\AB на расстоянии LK—m и отложив ВМ = BL, можно показать, что разность расстояний любой точки прямой LF от сторон угла ABC равна т.

Стр. 47, № 25. Построить треугольник ABC, если известны z.ABC=y, ВС = а, сторона АС проходит через точку М, разность расстояний которой до сторон AB и ВС равна m и отстоящей от В на данном расстоянии п.

Эта задача имеет не одно, а вообще два решения, что вытекает из предыдущей задачи. Задача не имеет решений, если

m > 2 п • cos ~2 .

Стр. 54, № 31. Доказательство, приводимое автором, является совершенно излишним, так как представляет собою обыкновенную проверку корня уравнения.

Стр. 57, № 36. Через данные точки А и В провести окружность, касательную к данной окружности О.

Построение, приведенное автором, можно упростить, если принять во внимание, что прямая AB есть радикальная ось всех пар окружностей, проходящих через точки А и В.

Далее, автор утверждает, что задача невозможна, если ось симметрии точек А и В проходит через центр О данной окружности. Утверждение это неправильное, что видно из чертежа 8.

Точки касания С\ и С2 находятся на пересечении данной окружности с осью симметрии точек А и В.

Стр. 61, № 39. Построить треугольник по основанию, углу при вершине и медиане одной из двух других сторон.

Задача эта есть лишь видоизменение № 37; не стоило ее помещать с подробным решением.

Стр. 63, № 40. На окружности даны точки А и В. Найти на ней точку X так, чтобы сумма хорд АХ и ВХ равнялась данному отрезку т.

Отметим ошибку:

в соответствии с этим последующие рассуждения требуют исправлений. Заметим, что условие АО\ < < /я +- АО\ является совершенно излишним.

Стр. 64, № 41. Построить равнобедренный треугольник по данному периметру 2 р и высоте, опущенной на основание.

Положение точки С легко найти, проведя ось симметрии точек В и К ло пересечения с прямой DK (черт. 9).

Стр. 71. Автор доказывает теорему: сОтношение произведений длины касательной на расстояние центров окружностей до центра подобия равно отношению квадратов радиусов».

Доказательство, приведенное автором, громоздкое. Можно из подобия Д 00{Г\ и Д002Г2 получить

отсюда:

Черт. 6.

Черт. 7.

Черт. 8.

Черт. 9.

(черт. 10),

Далее, равенство A\0-BzO = ОТ\-ОТ<> можно про сто доказать из подобия ДOA\Т\ и /\ОВ2Т (Z. ОТ2В2= Z. ОТфх = ^ ТХАХВХ), откуда вытекает:

Стр. 73. Автор говорит, что центр гомотетии является двойной точкой, но нигде не приводит определения термина «двойная точка».

Стр. 80, № 2. Построить треугольник, зная Z. А, а\Ь = т:п и периметр его 2 р.

Исследуя задачу, автор утверждает, что при Л<90° и /я<л, задача имеет два решения. Это не всегда правильно, так как для возможности задачи необходимо, чтобы соблюдалось условие:

Стр. 83, № 5. Провести окружность, касающуюся пересекающихся прямых AB и АС и данной окружности.

Способ «стягивания» окружности в точку вряд ли можно считать обоснованным. Задача решается методом геометрического преобразования.

Стр. 91, № 12. Автор не замечает, что при /? = '2s[n у условие + 2 sin у является совершенно очевидным.

Стр. 93, № 13. Через данную точку S провести прямую так, чтобы отрезки, образованные на ней точками пересеченая с данными пересекающимися прямыми р и q, имели данное отношение отрезков т:п.

Автор приходит к правильному заключению, что задача всегда возможна, но забывает, что эта же задача рассмотрена на стр. 5, № 4, где он пришел к иному заключению.

Между прочим, в настоящей формулировке задача вообще имеет несколько решений, если рассмотреть как внешнее, так и внутреннее деление отрезка.

Стр. 93, № 14. Построить треугольник по данным: высоте ha, биссектрисе ьй и радиусу га вневписанного круга, касающегося стороны а.

Эта задача решается весьма просто без гомотетии: надо построить прямоугольный треугольник по катету ha и гипотенузе Ьд и далее принять во внимание, что центр вневписанной окружности должен находиться на продолжении биссектрисы угла А на расстоянии га от стороны АС.

Стр. 94, № 15. Построить окружность, проходящую через две данные точки А и В и касающуюся прямой KN.

Наряду со сложным решением, основанным на гомотетии, следовало бы указать на простое решение: отрезок CD (черт. 11) есть среднее пропорциональное между отрезками С В и CA; это дает возможность построить точку касания D. Несомая окружность пройдет через три точки А, В и D.

Стр. 130, теорема III. Окружность, проходящая через две инверсно соответственные точки, инвертируется в самое себя.

Автор почему-то окружность строит на отрезке, соединяющем две инверсно соответственные точки, как на диаметре, хотя при доказательстве не пользуется этим. Кроме того, не указано, что окружность, проходящая через две инверсно соответственные точки, ортогональна к окружности инверсии.

Стр. 133, теорема VII. Если две окружности касаются третьей, то точки касания инверсно соответственные.

Формулировка крайне неясная, так как любые две точки А и В можно считать инверсно соответственными относительно любой точки О, лежащей на прямой А В, с радиусом инверсии, равным >/ ОА-ОВ*

Стр. 136. Автор строит точку, инверсно соответственную данной точке А, посредством построения четвертого пропорционального, в то время ка.с проще воспользоваться касательной к окружности инверсии.

Стр. 148, упражн. № 9. в окружность инверсии вписан угол равный ср. Под каким углом будут пересекаться соответственные сторонам угла фигуры^

То обстоятельство, что угол ср вписан в окружность инверсии, не играет никакой роли. Искомый угол будет равен ср, если данный угол образован любыми двумя прямыми.

Стр. 110. Автор пользуется выражением «произведение движений», не объясняя его смысла.

Стр. 113, № 3. Даны отрезок AB и концы повернутого отрезка А' и В'. Найти центр вращения.

Вместо того чтобы строить сегменты (как это делает автор), проще всего поступить так: построим оси симметрии точек А и А', В и В1. Точка О пересечения этих осей симметрии и будет искомым центром вращения.

Недостатки, подобные указанным выше, могут дезориентировать учителя, а также школьника, занимающегося в математическом кружке и решившего воспользоваться книгой И. В. Мисюркеева.

В настоящем виде книга не может быть рекомендована: она нуждается в исправлениях.

Черт. 10.

Черт. 11.

НОВАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

Первое полугодие 1951 г.

I. Из истории математики, советские математики, классики

Александров А. Д., Ленинская диалектика и математика, «Природа», 1951, № 1, стр. 5—15.

Войтинская Д. М., Выдающиеся отечественные математики. Рекомендательный список литературы для самообразования, М. 1951, изд. Центральной политехнической библиотеки, 15 стр. Тираж 2000 экз. Цена не указана.

Историко-математические исследования, вып. 3, под ред. Г. Ф. Рыбкина и А. П. Юшкевича, М.—Л., Гостехиздат, 1950, 508 стр. с черт, и 4 л. порт. Тираж 4000 экз. Цена в переплете 18 р. 40 к. Сборник содержит 5 статей, посвященных Н. И. Лобачевскому, 1 статью — М. В. Остроградскому, 2 статьи — о В. В. Бобынине и 6 статей по отдельным частным вопросам из истории математики.

Каган В. Ф., Архимед. Краткий очерк о жизни и творчестве. Изд. 2-е, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 56 стр. с черт, и карт, и 2 илл. Тираж 25.000 экз. Цена 80 к.

Лобачевский Н. И., Полное собрание сочинений, т. 3, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 536 стр. с черт, и 12 л. илл. Тираж 5000 экз. Цена в переплете 23 р. 20 к.

В книге помещены три работы Н. И. Лобачевского: «Воображаемая геометрия». «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам». «Пангеометрия».

Проскуряков И. В., Значение работ Энгельса для математики («Вестник Московского университета», 1950, № 11, стр. 55—65).

Прудников В. Е., П. Л. Чебышев — ученый и педагог (1821—1894). Пособие для учителей, М. 1950, Учпедгиз, 144 стр. с. илл. Тираж не указан. Цена в переплете 3 р. 60 к.

Евклид, Начала Евклида, перевод с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского. Книги i—6 (изд. 2-е, стереотипное), М.— Л., 1950. Гос. изд-во технико-теорет. литературы, 449 стр. с черт. Тираж 3000 экз. Цена в переплете 19 руб.

Книги 11—15, М.—Л. 1950, 332 стр. с черт. Тираж 5000 экз. Цена в переплете 13 р. 80 к.

II. Учебники и учебные пособия

Берман Г. Н., Сборник задач по курсу математического анализа (для высших учебных заведений) под ред. А. Ф. Берманта, изд. 2-е, перераб. к дополн., М.—Л., Гостехиздат, 1951, 528 стр. с черт. Тираж 25.000 экз. Цена в переплете 9 р. 90 к.

Выгодский М. Я., Геометрия для самообразования, М.—Л., Гостехиздат, 1950, 200 стр. с черт. Тираж 50 000 экз. Цена в переплете 5 р. 85 к.

Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, изд. 2-е, переработ, и дополн., М.—Л., Гостехиздат, 1951, 252 стр. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 10 р. 30 к.

Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей (учебник для университетов), М.—Л., Гос. изд.-во технико-теоретич. литературы, 1950, 388 стр. с черт. Тираж 15 000 экз. Цена с перепл. 11 р. 55 к.

Делоне Б. и Житомирский О., Задачник по геометрии, изд. 5-е, М.—Л., Гостехиздат, 1950, 303 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 8 р.

Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближенные методы высшего анализа, изд. 3-е, М.—Л., Гостехиздат, 1950, 696 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 20 р.

Кутузов Б. В., Геометрия, пособие для учительских и педагогических институтов, М. Учпедгиз, 1950, 284 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 8 р.

Минорский В. П. и Улановский В. П., Векторная алгебра, изд. 2-е, переработ, и допол., М.—Л., Гостехиздат, 1951, 80 стр. с черт. Тираж 15 000 экз. Цена 1 р. 40 к.

Михельсон Н. С. Краткий курс высшей математики, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 512 стр. с черт. Тираж 15 000 экз. Цена в перепл. 14 р. 30 к.

Моденов П. С, Сборник задач по математике (с анализом ошибок, допущенных поступавшими в высшие учебные заведения), М., «Советская наука», 1951, 320 стр. с черт. Тираж 100 000 экз. Цена 5 р.

Новоселов С. И., Алгебра и элементарные функции, учебник для учительских институтов, 2-е переработ, издание, М., Учпедгиз, 1950, 388 стр. с черт. Тираж 35 000 экз. Цена в перепл. 9 р. 55 к.

Рудаев А. К., Сборник задач по начертательной геометрии, изд. 6-е, М.—Л., Гостехиздат, 1951 г. 344 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 10 р. 90 к.

Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, изд. 12-е, стереотип., М.—Л., Гостехиздат, 1951, 472 стр. с черт. Тираж 20 000 экз. Цена в перепл. 15 р. 70 к.

Тарасов Н. П., Курс высшей математики, для техникумов, изд. 5-е, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 356 стр. с черт. Тираж 50 000 экз. Цена в перепл. 8 р. 75 к.

Фаддеев Д. К. и Соминский И. С, Алгебра, пособие для учителей семилетней школы, часть I, Л.—М., Учпедгиз, 1951, 228 стр. с черт. Тираж 50 000 экз. Цена в перепл. 5 р. 20 к.

Эльсгольц Л. Э., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.—Л., Гостехиздат, 1950, 220 стр. с черт. Тираж 6000 экз. Цена в перепл. 9 р. 45 к.

Акад. Пед. Наук, «Энциклопедия элементарной математики» кн. 1-я, Арифметика, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 448 стр. с илл. Тираж 50000 экз. Цена в перепл. 12 р. 55 к.

«Энциклопедия элементарной математики», книга 2-я, Алгебра, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 424 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 12 р. 40 к.

III. Методика преподавания математики

Александров П. С, Освещение работ русских и советских математиков в курсе математики высшей педагогической и средней школы, «Известия Академии педагогических наук РСФСР», вып. 31, 1951, стр. 29—35.

Гончаров В. Л., Вопросы преподавания курса алгебры в семилетней школе под углом зрения подготовки к практической деятельности (доклад на сессии АПН РСФСР 27 июня—1 июля 1949 г.). «Известия Академии педагогических наук РСФСР», вып. 32, 1950, стр. 59—64.

Горбатий А., Из опыта преподавания математики в школе, под ред. А. М. Астряба, Киев, изд-во «Радян, школа», 1950, 47 стр. с илл. Тираж

5 000 экз. на украинск. языке. Цена 2 р. 20 к. Опыт работы в IX и X классах средней школы.

Ланков А. В., К истории развития передовых идей в русской методике математики, пособие для учителей, М., Учпедгиз, 1951, 152 стр. с портр. Тираж 25 ООО экз. Цена в перепл. 4 р. 35 к.

Маркушевич А. И., О повышении идейно-теоретического уровня преподавания математики в средней школе, «Известия Академии педагогических наук РСФСР», вып. 31, 1951, стр. 7—12.

Михайлов Г. А., Комплексные числа в курсе X класса средней школы, Горький 1951, 47 стр. с черт. Тираж 1500 экз. (Горьковский обл. институт усовершенствования учителей).

Никитин Н. Н., Практическая подготовка учащихся семилетней школы в связи с преподаванием арифметики и геометрии (доклад на сессии АПН РСФСР 27 июня—1 июля 1949 г.), «Известия Академии педагогических наук РСФСР», вып. 32, 1950, стр. 65—67.

Трунов И. П., Измерительные работы на местности в курсе математики семилетней и средней школы, Воронеж, изд. Института усовершенствования учителей, 1950, 38 стр. и 9 отд. л. черт. Тираж 1500 экз.

Сухарева М. А., Лучшие письменные работы по геометрии учащихся десятых классов школ города Горького, Горький, изд. Городского института усовершенствования учителей, 1951, 32 стр. с черт. Тираж 500 экз.

Срода Р. Б., Повторение на уроках математики, Астрахань, изд. обл. отдела народного образования, 1950, 159 стр. с черт. Тираж 3500 экз. Цена 11 р. 45 к.

Фетисов А. И., Аксиоматический метод и его место в преподавании математики в средней школе, «Известия Академии педагогических наук РСФСР», вып. 31, 1951, стр. 23—29.

Четверухин Н. Ф., О научных принципах преподавания геометрии в советской школе, «Известия Академии педагогич. наук РСФСР», вып. 31, 1951, стр. 12-23.

Тема «Неравенства» в программе математики 7 класса (методические указания), Симферополь, изд. Института усовершенствования учителей, 1950, 13 стр. Тираж 600 экз.

«Привитие практических навыков на уроках математики», материалы 2-й научно-практической конференции учителей города Алма-Аты, Алма-Ата, Казучпедгиз 1951, 31 стр. Тираж 3000 экз.

«Об улучшении преподавания арифметики, ал г.ебры и геометрии в V— VII классах семилетних и средних ш к о л», Киров, изд. Института усовершенствования учителей, 1951, 24 стр. Тираж 3Ö00 экз.

«В помощь учителю математики», под ред. И. Б. Аронина, Куйбышев, обл. Институт усовершенствования учителей, 1951, 47 стр. с черт. Тираж 3000 экз. Цена не указана.

Содержание: Н. А. Сандлер, О письменном экзамене на аттестат зрелости по геометрии с тригонометрией. Задачи по геометрии с применением тригонометрии, предлагавшиеся в 1946—1950 гг. на экзаменах на аттестат зрелости, с подробным решением.

«Сборник задач и упражнений по элементарной математике», в помощь учащимся IX—X классов школ Чкаловской области по подготовке к обл. математической олимпиаде, Чкалов, обл. изд-во, 1951, 20 стр. Тираж 1000 экз. Цена не указана.

«Избранные задачи и теоремы элементарной математики» (Библиотека математического кружка), часть 1, Арифметика и алгебра, под ред. М. А. Наймарка, М.—Л., Гостехиздат, 1950, 296 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 6 р.

IV. Научно-популярная литература, пособия для кружков

Берман Г. Н., Приемы счета, под ред. А. Л. Брудно, изд 3-е, M—Л., Гостехиздат, 1950, 88 стр. Тираж 100 000 экз. Цена 1 р. 25 к.

Берман Г. Н., Счет и число (как люди научились считать), изд. 4-е, М.—Л., Гостехиздат, 1950, 32 стр. с илл. Тираж 100 000 экз. Цена 50 к.

Березин С. И., Счетная логарифмическая линейка, практическое руководство, 2-е изд. М.—Л., Машгиз, 1951, 48 стр. с илл. Тираж 100 000 экз. Цена 1 р. 40 к.

Градштейн И. С, Прямая и обратная теоремы, изд. 2-е, переработ., М.—Л., Гостехиздат, 1951, 80 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена 1 р. 50 к.

Коровкин П. П. Неравенства, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 56 стр. с черт. Тираж 25000 экз. Цена 95 к. (Популярные лекции по математике).

Маркушевич А. И., Замечательные кривые, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 32 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена 40 к. (Популярные лекции по математике, вып. 4).

Панов Д. Ю., Счетная линейка, изд. 7-е, М.—Л., Гостехиздат, 1951, 129 стр. с илл. и 3 отд. л. черт. Тираж 30 000 экз. Цена 2 р. 75 к.

Перельман Я. И., Занимательная геометрия, под ред. и с дополн. Б. А. Кордемского, изд. 8-е, стереотип., М.—Л., Гостехиздат, 1951, 236 стр. с илл. Тираж 150 000 экз. Цена 4 р. 80 к.

Соминский И. С, Метод математической индукции, М.—Л., Гостехиздат, 1950, 56 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 75 к.

Яровой С. С, Тесленко И. Ф. и Мейзлер Д. Г., Сборник задач по элементарной математике в помощь участникам школьных математических олимпиад, изд. 2-е, Львов, 1950, 88 стр. с черт. Тираж 2000 экз. Цена 4 р. 50 к. (Львовский гос. университет им. Ивана Франко, Львовский институт усовершенствования учителей).

Штейнгауз Г., Математический калейдоскоп., авторизов. перевод с польского, М.—Л., Гостехиздат, 1949 (фактически 1951), 144 стр. с илл. Тираж не указан. Цена в перепл. 4 р.

Приложение: масштабная линейка, лонгиметр, биоскоп, тор, диск, 12 стр. текста и 4 отд. л. черт.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 3 ЗА 1951 г.

№ 32

В данную окружность вписать треугольник так, чтобы две его стороны были параллельны данным прямым, а третья проходила через данную точку.

Решение. Пусть дана окружность с центром в точке О, две прямые KL и MN и точка Р. Обозначим через а тот из углов, образованных прямыми KL и MN, который не превышает 90°. Если а =90°, то для решения задачи достаточно провести через точки Р и О прямую. Пусть А и В — точки пересечения этой прямой с данной окружностью. Проводим через точку А прямую, параллельною прямой KL, а через точку В прямую, параллельною прямой MN. Образовавшийся при этом треугольник и будет искомым.

Пусть теперь а<90° (очевидно, что а>0).

Проведем радиусы данной окружности OA и OB так, чтобы z. АОВ=г 2 а. Проведем далее хорду А В и опишем из точки О, как из центра, окружность, касательную к этой хорде. Из данной точки Р проведем касательные к вспомогательной окружности. Пусть С и D — точки пересечения одной из этих касательных с данной окружностью. Через точку D проведем прямые, соответственно параллельные прямым KL и MN, через точку D также проведем прямые соответственно параллельно прямым KL и MN. Одна из вершин полученного при этом параллелограма обязательно попадет на данную окружность и вместе с точками С и D будет служить вершиной искомого треугольника. Если из точки Р можно провести к вспомогательной окружности две касательные, то задача будет иметь два решения^. Если точка Р находится внутри вспомогательной окружности, то задача не имеет решения.

№ 33

Точки пересечения сторон треугольника с биссектрисами одного внешнего угла и двух внутренних (не смежных с этим внешним) лежат на одной прямой. Доказать.

Решение. Пусть BP и СЕ — биссектрисы внутренних углов В и С треугольника ABC (черт. 1).

Проведем прямую Eh' до пересечения с продолжением стороны ВС. Точку пересечения прямых ВС и EF (если она существует) обозначим через Н. Докажем, что An является биссектрисой внешнего угла при вершине А. Для этого достаточно доказать справедливость равенства:

Проведем CK !l AB. Тогда

ВН:СН-=ВЕ:СК. (1)

Так как СЕ— биссектриса внутреннего угла С треугольника ABC, то

BE : ЕА = ВС : АС. (2)

Из подобия треугольников CFK и AEF следует:

CK : ЬА = CF : FA. (3)

Так как BF биссектриса внутреннего угла треугольника ABC, то

CF:FA= ВС :АВ. (4)

Сопоставляя равенства (3) и (4), получим:

CK :ЕА = ВС:АВ. (5)

Из равенств (2) и (5) выводим:

ВЕ:СК = АВ:АС. (6)

Наконец, сопоставляя равенства (1) и (6), получим:

ВН :СН = АВ:АС.

Если прямые EF и ВС — параллельные, то легко показать, что Z.B— ^ С и биссектриса внешнего угла при вершине А будет также параллельна ВС. Таким образом, теорема верна и в этом случае И — бесконечно удаленная точка прямой ВС).

Черт. 1.

№34. Решить уравнение:

Решение. Замечая, что

положим: х=у — 3,5, тогда данное уравнение примет следующий вид:

Это, в свою очередь, можно переписать так:

Последнее уравнение (а следовательно, и предыдущее) имеет одним из своих корней число нуль. Отсюда тотчас же следует, что одним из корней данного уравнения является число — 3,5.

Остается решить уравнение:

Имеем:

Это дает нам:

№ 35

Для того, чтобы число хОуг (написанное по десятичной системе счисления) разделить на целое число п, достаточно в делимом зачеркнуть вторую цифру (нуль). Найти число xöyz и делитель п.

Решение. Согласно условию задачи имеем:

Это уравнение можно переписать так:

(*)

Следовательно,

Пусть п = 6. Тогда из уравнения(*) будем иметь:

10 (8 je—у) = z. Так как *<10, то z = 0. Отсюда следует, что

Искомое число 1080. Пусть п = 7. Тогда

\0(5x — y)=z

и снова 2 = 0. Отсюда следует, что

ЪX — у=0 и х = \, у = 5.

Искомое число 1050. Пусть /г = 8. Тогда

200jc = 7(t 4-Wj>).

Значением х может служить только число 7, но тогда

200 = г + Юу и>10.

Следовательно, прия=8 чисел, удовлетворяющих условию задачи, не существует. Пусть п = 9. Тогда

50лг = 4(т + Юу).

Значениями х могут служить числа 2, 4, 6, 8. В первом случае у =-2, зг = 5, во втором — у = 5, z = 0, в третьем—у = 7, z = 5, в четвертом

*+10.у = 10Э

и при у< 10 и зг> 10, чего не может быть. Итак, при п =-9 числами, удовлетворяющими условиям задачи, являются числа: 2J25, 4050 и 6075.

Пусть п =10. Та.с как хфО, то 10_у Ц- 2г = 0 и _у = 0, z~0. В этом случае все числа вида *000 удовлетворяют условию задачи.

№ 36

Найти предел выражения

Решение.

то

Следовательно,

Решить в целых числах уравнение:

Решение. Имеем:

Это дает нам:

или

Но X ну — целые числа, следовательно:

где m — делитель числа 12. Подставляя вместо m числа 12, 6, 4, 3, 2, 1 и решая полученные системы, будем иметь:

Но

только в том случае, если

то-есть, если лг_у>2. Так как все найденные значения х и у удовлетворяют последнему неравенству, то они и представляют искомые решения данного уравнения.

№ 38

На плоскости даны п произвольно расположенных прямых. Пусть t — число всех точек пересечения этих прямых, Ь— число частей, на которые прямые делятся точками их пересечения, а р — число частей, на которые плоскость делится данными прямыми. Доказать что

t—b +р=\

при любом п.

Решение. Пусть на плоскости дана одна прямая. В этом случае t=0, b — l, р-=2 и равенство

t—b+p=l

имеет место. Допустим, что это равенство имеет место для п произвольно расположенных на плоскости прямых.

Проведем на плоскости п +1 прямых. Выделим из этих прямых любые п прямых и обозначим их через Lu L2,..., Ln. Пусть (п + 1)-ая прямая, которую мы обозначим через Ln^_lt пересекает k прямых из выделенных п прямых и пусть М\, ЛГ>,..., Mk — соответствующие точки пересечения. Допустим сначала, что ни одна из этих точек не является точкой пересечения прямых L\, L2,..,Ln. Для этих последних прямых равенство

t — b + p=r\

имеет место.

Мы добавили к совокупности прямых Ц, L2,..Ln прямую L„jl\* В результате число точек пересечения всех п + 1 прямых будет равно t\ = t + k, число частей, на которые прямые делятся точками их пересечения, будет равно

Ьг = b + 2 k + 1,

(каждая из прямых Lh L2,..., Ln разделится на две части, а прямая Ln_^Y разделится на k -\~ 1 частей), число частей, на которые плоскость делится всеми прямыми, будет равно

Pi = p + k + \

(каждая из k +1 частей прямой Ln_^_l является границей новой части плоскости). Имеем:

Пусть теперь какие-либо из точек Мь М2,..., Mk являются точками пересечения каких-либо двух или более прямых из совокупности Li, L2,..., Ln. Пусть, например, в точле M пересекается q прямых Ly, L2,..., Lg. Добавляя к совокупности L\,L2,..., Ln прямых прямую LniXt мы будем иметь:

(новых точек пересечения будет k — q),

(каждая из k — q прямых Lq_^v Lq_^_., L^ разделится на две части, а сама прямая разделится на k — q++1 части),

(каждая из k — q 4- 1 частей прямой Ln_^l является границей новой части плоскости. Имеем:

Итак, если рассматриваемое равенство имеет место для п прямых, то оно имеет место и для п + 1 прямых. Но равенство справедливо при п = 1, а следовательно, оно справедливо при любом п.

№ 39

Куб опирается вершиной о плоскость так, что его диагональ, выходящая из этой вершины, перпендикулярна плоскости. Он освещен пучком лу-

чей, параллельных указанной диагонали. Найти тень, отбрасываемую кубом на плоскость.

Решение. Обозначим через О вершину куба, лежащую на экране, а через S — противоположную ей вершину куба. Обозначим ребра куба, выходящие из вершины О, через OA, OB, ОС, а ребра куба, выходящие из вершины S через SK, SL, SM и пусть отрезки AK, BL, СМ также являются ребрами куба. Следовательно, KB, LC и MA также ребра куба. Обозначим проекции вершин А, В, С, К, L, M на экран соответственно через А\, Вь Ch К), Lh Мх. Угол а между диагональю OS' куба и любым из его ребер определяется соотношением:

так как каждое из реэер наклонено к экрану под углом ~2--а, то

где а — длина ребра куба. Угол ß между диагональю OS куба и люэым из отрезков OK, OL, ОМ определяется соотношением:

и, следовательно,

Таким образом, точки Аъ В\, Сг, К\, L\> Afj расположены на одной и той же окружности с центром в точке О и являются вершинами правильного шестиугольника.

№ 40

Дан тетраэдр OEiE2En, причем ОЕх — ОЕ2 = OEâ. На продолжении ребер ОЕь ОЕ2, ОЕг за точки Ei, Е2, Ев взяты точки 0\, Oif 03 на расстояниях, соответственно равных х, у, х, от точки О. Построен параллелепипед, для которого отрезки OOi, 002, OOä являются ребрами, и из точки О проведена диагональ, встречающая плоскость треугольника Ех Ег Ев в точке М. Найти

Решение. Через точку M проведем прямую, параллельную ребру 00,. Точку пересечения этой прямой с плоскостью 0020$ обозначим через N (черт. 2).

Плоскость диагонального сечения параллелепипеда, проходящая через ребро 00\, пройдет через прямую MN и пересечет плоскость треугольника Е\ЕгЕъ по прямой EXMS.

Имеем:

Но

вершина параллелепипеда, противоположная вершине О). Следовательно,

Аналогично найдем, что

В результате будем иметь:

Черт. 2.

№ 41

Решить уравнение:

Решение. Заметив, что

введем новое неизвестное, полагая:

Данное уравнение можно представить теперь в следующем виде:

или

Решая это уравнение, получим:

Следовательно,

№ 42

Вершина треугольной пирамиды проектируется в центр тяжести основания. Через середину высоты проведены четыре плоскости, параллельные основанию и боковым граням пирамиды. Площади сечения равны соответственно S1, S2, £з> S4. Найти полную поверхность пирамиды.

Решение. Пусть H — середина высоты пирамиды ABCD, а О — центр тяжести основания BDC этой пирамиды (черт. 3). Пусть BiCxD\ — сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания. Тогда SBDC = 4 S\. Пусть kPQ — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку H параллельно грани ADC. Так как

то и

Отсюда следует, что

Следовательно,

Аналогично найдем, что

Отсюда следует, что полная поверхность пирамиды равна

Черт. 3.

№ 43

Доказать, что если числа аь д2, я3,..., ип_^_2 образуют арифметическую прогрессию с разностью d,

то

Решение. Имеем:

Тогда левая часть данного равенства примет вид:

№ 44

Доказать справедливость тождества:

Решение. Имеем:

№ 45

Решить систему уравнений:

Решение. Очевидно, что решением системы служит следующая совокупность значений х, у, г:

^1 = ^1=^1 = 0.

Заметим теперь, что если значение одного из неизвестных равно нулю, то значение каждого из двух других неизвестных не может быть отличным от нуля.

Выразим из первого уравнения системы х через у и г.

Будем иметь:

* = -(х+у). Третье уравнение примет вид:

Предполагая, что

хфН,уфЪ, *ф0, а следовательно, (в силу первого уравнения) х+УфО, будем иметь:

Отсюда, либо у = 2х, либо х = 2у. В первом случае * =— Зх, и тогда второе уравнение системы даст нам:

или

(т. к. хфО) л:= — 1. Следовательно,

у= — 2, 2 = 3. Во втором случае, поступая аналогично, получим: .У = -1,3.

Отсюда

л: = — 2,6, 2 = 3,9.

№ 46

Решить уравнение

Решение. Будем решать данное уравнение в поле комплексных чисел.

Полагая ^/дг =у, то-есть у* = х, получим систему:

откуда:

Решая последнее уравнение, получим:

у* = 0, з/3=3, >/3= —4. Следовательно,

где е и е3— мнимые кубические корни из единицы.

У некоторых читателей журнала возникали затруднения при проверке решения.

Подставляя, например, в данное уравнение вместо X число

они не получили тождества. В этом случае надо помнить, что беря то или иное значение х, надо брать и соответствующее значение у. Например, беря в качестве значения х число 32 2, надо в качестве значения у взять число—!/^ 4.

В этом случае имеем: и т. д.

Ряд читателей решали данное уравнение в поле действительных чисел и получили в качестве корней данного уравнения числа 0 и 9 (в этом случае речь идет об арифметическом корне и в качестве значения у можно взять только 0 и j/^3).

№ 47

Решить уравнение

Решение. Данное уравнение можно записать так:

(1)

Имеем:

Уравнение (1) примет вид:

Последнее уравнение можно записать в таком виде:

Это дает нам:

Отсюда:

и

Так как

то, решая первое из этих уравнений, получим:

где п — любое целое число.

Решая второе уравнение, найдем:

(я — любое целое число).

№ 48

Если в выпуклом четырехугольнике отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон, равен полусумме двух других сторон, то эти последние стороны параллельны.

Решение. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, в котором

(черт. 4).

Докажем, что AD \\ ВС.

Проведем диагональ АС и обозначим через k точку пересечения прямых АС и MN. Точка k — середина диагонали АС. В самом деле, если допустить, что серединой диагонали АС служит не точка k, а какая-либо другая точка, например kx, то тогда

то-есть

чего не может быть. Таким образом Mk || ВС и kN II AD, и, следовательно, AD || ВС.

Черт. 4.

ЗАДАЧИ

Срок присылки решений

84. Исключить в и ср из уравнений

X cos 0 +у sin в ass X cos <р + у sin ср = 2 а\

И. Абакумов (Чкаловская обл.)

85. Решить уравнение

Н. Абакумов

86. На сторонах АС, С В, В А треугольника ABC отложены соответственно отрезки ЛАГ = -g- АС, CL = Д- С В, ВМ = -g- В А. Точки пересечения прямых AL, ВК, СМ служат вершинами треугольника, площадь которого равна 10 кв. ед. Найти площадь треугольника ABC.

H. Абакумов

87. Решить в поле действительных чисел систему уравнений

(а и b действительные числа).

Р. Бернштейн (Мукачево)

88. Решить систему уравнений:

М. Гогичадзе (Грузинская ССР)

89. Все цифры четырехзначного числа различны и значащи; число это кратно числу 3 и вдвое больше суммы всех двузначных чисел, которые могут быть составлены из его цифр (при этом цифры могут повторяться). Найти это число.

Л. Лоповок (Проскуров)

90. Найти три цифры х, у, z такие, чтобы числа х, ух и zyx составляли геометрическую прогрессию.

Л. Лоповок

91. Если одна из вершин треугольной пирамиды проектируется в ортоцентр противоположной грани, то и другие вершины этой пирамиды обладают этим свойством. Доказать.

Л. Лоповок

92. Доказать, что при b = У ас, где а и с положительные числа (каждое из чисел а, с и ас отлично от единицы), для всякого положительного числа N имеет место равенство

М. Карпов (Ворошиловград)

93. Через точку В, в которой пересекаются две противоположные стороны четырехугольника, вписанного в окружность, проведена к окружности касательная ВТ (Т — точка касания). Доказать, что если одна диагональ четырехугольника параллельна касательной, то другая диагональ делит отрезок ВТ пополам.

3. Скопец (Ярославль)

94. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка Р так, что АР = т, РВ = п, PC = d. Доказать, что

д3т2+ Ъ*п*=с*(Р,

где а и Ь — катеты, а с гипотенуза данного прямоугольного треугольника.

3. Скопец

95. На касательной к окружности даны две точки В и С, симметрично расположенные относительно точки касания А. Через эти две точки проведены две произвольные секущие, из которых одна встречает окружность в точках M и N, а. другая — в точках Р и Q.

Доказать, что прямые MQ и PN пересекают касательную в точках Е и F симметрично расположенных относительно точки А.

3. Скопец

96. Через вершины А и В равностороннего треугольника ABC проведена окружность. Через вершины А и С этого же треугольника проведена другая окружность, пересекающая первую в точке Р под прямым углом. Доказать, что можно построить прямоугольный треугольник, катеты которого равны отрезкам ВР = п и СР = р, а гипотенуза — отрезку АР = т.

3. Скопец

97. На отрезке AB и на его продолжении взяты точки Р и Q такие, что

Доказать, что середина H отрезка PQ лежит вне отрезка AB.

П. Моденов (Москва)

93. Найти условие, которому должны удовлетворять стороны a, Ъ, с некоторого треугольника для того, чтобы длины радиусов вневписанных кругов составляли геометрическую прогрессию.

А. Цимбалов (Москва)

99. Дана окружность. Даны также две непересекающиеся хорды этой окружности AB и CD. Найти на дуге AB точку X такую, чтобы прямые ХС и XD отсекали на хорде AB отрезок данной длины.

Эрдниев (Алтай)

100. В окружность вписан четырехугольник ABCD, причем ВС = CD. Отрезки AB, АС и AD удалены от центра окружности соответственно на 8 см 5 см, 1 см. Определить CD.

ИТОГИ КОНКУРСА ЗА 1950 ГОД

Наибольшее количество задач решили:

1. Г. Ахвердов. 12. Т. Мышакова.

2. А. Бауэр. 13. В. Стасюк.

3. А. Владимиров. 14. Н. Твердое.

4. И. Голайдо. 15. Н. Титов.

5. К. Горев. 16. А. Тралмак.

6. Г. Капралов. 17. В. Утемов.

7. В. Кузнецов. 18. И. Федотов.

8. А. Лейман. 19. М. Шатохин.

9. Л. Лоповок. 20. Л. Шевелев.

10. Л. Малюгин. 21. Э. Ясиновый.

11. В. Марченко.

Всем поименованным товарищам будет высылаться журнал за 1952 г. и будет выслана математическая литература.

От редакции.

Сводка решений по № 3 будет помещена в № 1 за 1952-й год.

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО — ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Стр.

B. Н. Молодший — О некоторых гносеологических вопросах математики. ... 1

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

И. Я- Депман — Русские математические журналы для учителя....... 9

Б. П. Бычков — К истории вопроса о реформе преподавания математики. ... 23

МЕТОДИКА

М. А. Щукина — Геометрические места точек в пространстве......... 25

К. С. Богушевский — Об организации урока по математике ......... 40

C. И. Зетель — О построении некоторых четырехугольников......... 50

Г. К. Брусиловский.............................. 53

ИЗ ОПЫТА

В. Ф. Китаенко — Устный опрос...................... 55

Э. А. Ясиновый — Об устном и письменном изложении решений задач по математике ................................. 62

A. И. Волхонский — О письменном объяснении решения арифметических задач 69

Н. А. Принцев — О записях при решении математических задач........ 71

И. С. Блинов — Объединенные домашние задания по черчению и математике. . 73

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

B. Л. Минковский — К вопросу о создании руководства по истории методики математики в России........................... 77

A. В. Ланков — Пропаганда передового опыта учителей........... 80

У. С. Давыдов — О книге И. П. Мисюркеева „Геометрические построения" . . 82

B. А. Невский — Новая литература по математике.............. 86

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 3 журнала за 1951 г............. 88

Задачи................................... 94

Редакционная коллегия: Редактор А. Н. Барсуков. Зам. редактора С. И. Новоселов. Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садыков, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Ф. М. Мидлер. Корректор 3. Ф. Федорова.

Технический редактор Е. А. Веденеев

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6. Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР.

Сдано в производство 6/IX 51 г. Подписано к печати 25/Х 1951 г. Учетно-изд. л. 11,20.

A t6755 Заказ 580. Тираж 50 000 акз.

Цена 4 р. 50 к._Печ. зн. в п. л. 72 000._Бумага 82X108'/i6=3 бумажн. л.—9,84 п. л.

13-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Москва, Гарднеровский пер., 1а