МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

5

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1951

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 5

СЕНТЯБРЬ—ОКТЯБРЬ 1951 г.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ЧТО ТАКОЕ ЛИНИЯ?

А. С. ПАРХОМЕНКО (Москва)

Линия является одним из основных объектов геометрического исследования. Причина этого лежит прежде всего в том, что понятие линии возникло из практической деятельности человека, связанной с изготовлением чертежей, определением границ земельных участков, изучением траекторий движения тел. Возникнув из практики, понятие линии находит в свою очередь широкое применение для математического описания явлений природы и производственно-технических процессов.

Вот почему понятие линии привлекало к себе внимание математиков с древних времен до наших дней. Ученые стремились точно определить, что такое линия как математическое понятие, т. е. выяснить, что же общего есть у всех тех вещей, которые на практике мы называем линиями?

Эти попытки лишь в недавнее время нашли свое завершение в работах советского математика П. С. Урысона (1898 — 1924), который в 20-х годах текущего столетия сумел дать наиболее общее определение линии, позволяющее до конца исследовать сущность этого понятия. Но работы П. С. Урысона могли появиться лишь как результат глубокого и критического освоения всего того огромного научного материала, который был накоплен человечеством за весь предшествующий период времени. Поэтому, чтобы понять всю естественность и необходимость современного определения линии, мы должны будем проследить, как развивалось это понятие в связи с общим развивитием математики.

Евклид в своих «Началах» определяет линию как длину без ширины («Начала», определение 2) или как границу поверхности (определение 5). Такие определения, отражая в известной мере свойства линий, не могут тем не менее служить для математического изучения понятия линии, так как определяются через другие понятия, которые сами в свою очередь нуждаются в определении. Для математического же изучения какого-либо объекта надо, как говорят, задать его аксиоматически, т. е. указать ряд свойств этого объекта, из которых можно было бы логически выводить другие его свойства.

При тогдашнем уровне развития науки и характере требований, предъявляемых к ней практикой, Евклид не мог в сколько-нибудь общей мере справиться с определением понятия линии и, ограничившись вышеприведенными на этот счет общими высказываниями, он в «Началах» останавливает свое внимание на изучении двух простейших и наиболее употребительных линий: прямой и окружности.

Это не значит, конечно, что древние не знали никаких других линий, кроме прямой и окружности. Еще задолго до Евклида была известна такая кривая, как квадратриса Динострата, а сто лет спустя Аполлоний подробно разработал теорию конических сечений: эллипса, гиперболы, параболы (Аполлонию же принадлежат и эти названия линий), — линий, получающихся в сечении плоскостью боковой поверхности конуса с круговым основанием. Механика также приводила к необходимости изучения кривых (спираль Архимеда). Однако все это были лишь отдельные разрозненные факты и не существовало ни сколько-нибудь общего определения линий, ни методов их

изучения. Решительный шаг в этом отношении принадлежит Декарту (1596— 1651).

Бурный рост торговли и промышленности в эпоху первоначального накопления способствовал быстрому развитию техники, что в свою очередь привело к небывалому дотоле развитию естествознания и особенно механики. Это развитие нуждалось в математическом аппарате, который был необходим механике для точного выражения ее законов. Огромная роль в развитии этого математического аппарата принадлежит Декарту.

Идеи Декарта вообще имели огромное влияние на развитие всей математики; его координатный метод, в частности, впервые позволил определить понятие линии в очень общей для того времени форме. Поэтому мы остановимся на нем несколько подробнее.

Выбрав на плоскости систему координат, мы можем поставить в соответствие каждой точке плоскости пару действительных чисел-координат этой точки. При этом оказывается, что разным точкам соответствуют разные пары чисел и что каждой паре чисел соответствует вполне определенная точка плоскости, имеющая эти числа своими координатами. Таким образом, устанавливается, как говорят, взаимооднозначное соответствие между множеством точек плоскости, с одной стороны, и множеством пар действительных чисел — с другой. Это соответствие позволяет для каждой линии составить ее уравнение, т. е. найти такую зависимость между координатами ее точек, которая справедлива для всех точек этой линии и не имеет места ни для каких других точек. Так, например, окружность с центром в начале координат и радиусом г имеет уравнение:

биссектриса угла между осями координат имеет уравнение х — у = 0 и т. д.

Возможность составить для каждой линии ее уравнение дает нам в руки очень общий и очень сильный метод изучения уже известных линий; но в вопросе об общем определении понятия линии мы не получим ничего нового, пока не «обернем», так сказать, постановку вопроса следующим образом.

Пусть нам дано одно уравнение с двумя неизвестными, которое, перенеся все его члены в левую часть, мы запишем в виде F(x,y) = О, обозначив через F(x,y) выражение (функцию), стоящее в левой части уравнения. Предположим далее, что это уравнение имеет бесконечное множество действительных решений, т. е. что существует бесконечное множество пар действительных чисел х, у, удовлетворяющих этому уравнению. Будем рассматривать числа X и у как координаты точки относительно некоторой системы координат на плоскости и назовем линией, заданной уравнением F (х,у) = О, множество всех тех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Принципиальное значение такой постановки вопроса состоит в том, что теперь мы можем дать общее определение линий, охватывающее все известные до сих пор частные примеры линий и позволяющее, вообще говоря, построить столько же линий, сколько имеется различных уравнений. Сформулируем еще раз это определение: линией, заданной уравнением F(x, у) = 0 называется множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Открытие Декарта имело решающее значение для всей математики, потому что, с одной стороны, оно позволило изучать геометрические объекты методами алгебры и анализа, а с другой стороны — позволило применить терминологию и методы геометрии к алгебре и анализу, что сообщило изучению этих дисциплин большую простоту и наглядность. В этом взаимопроникающем влиянии двух противоположных тенденций в развитии математики — тенденций геометрической и аналитической — сказывается диалектический характер математики. Определение линии, данное Декартом, является для того времени чрезвычайно общим. Оно охватывает все так называемые алгебраические кривые — линии, уравнения которых являются алгебраическими, т. е. имеют вид t (х, у) = О, где F{x,y) — многочлен с двумя переменными х и у. Степень многочлена F(x,y) называется порядком алгебраической линии. Алгебраические линии первого порядка суть прямые, поскольку всякая прямая на плоскости выражается в декартовых координатах уравнением первой степени вида Ах+By+С = О и всякое такое уравнение всегда выражает прямую. Алгебраические линии второго порядка— это эллипс, гипербола, парабола (и еще линии, распадающиеся на две прямые), так как всякая такая линия выражается уравнением второй степени и всякое уравнение 2-й степени, если оно допускает бесконечное множество решений, всегда выражает одну из этих линий*. Эти факты составляют содержание аналитической геометрии и в основном были уже известны Декарту. Изучение кривых более высокого порядка составляет предмет алгебраической геометрии.

* Мы ограничиваемся рассмотрением лишь действительных линий и исключаем из рассмотрения случай, когда уравнение не имеет действительных решений.

Однако уже в то время были известны кривые, которые или вовсе нельзя было задать уравнением вида F(xf у) = 0, где функция F(xf у) была бы достаточно простой, т. е. представляла бы из себя комбинацию конечного числа элементарных функций, или же такое задание хотя и было возможно, но ничего не могло дать для изучения линии. Это, прежде всего, кривые, являющиеся траекториями движущейся точки. Такова спираль Архимеда — линия, описываемая точкой, равномерно перемещающейся по лучу, который в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью около неподвижной точки. Если обозначить через г расстояние движущейся точки от начала координат, а через <р — угол вращающегося луча с положительным направлением оси Ох декартовой системы координат, то для спирали Архимеда получим очень простую зависимость г(у):

г = аср,

где а — данное число. Если М(х, у) — какая-нибудь точка спирали Архимеда, то

Подставляя эти значения г и <р в равенство Г — ау, мы получим уравнение спирали Архимеда в декартовых координатах:

Однако это уравнение ничего не дает для изучения спирали Архимеда, так как каждому значению х здесь соответствует бесконечное множество значений у и наоборот.

Для изучения линий, являющихся траекториями движущейся точки, наиболее естественным оказывается задание координат точки в зависимости от времени. Это приводит к так называемому параметрическому заданию линий, при котором координаты ее точек выражаются как функции некоторой третьей переменной величины t (обычно времени), называемой параметром:

*=<?('), y = 'Ht).

Так, если точка M движется равномерно со скоростью V по прямой, проходящей через начало координат и образующей с осью Ох угол а, то координаты движущейся точки выражаются в зависимости от времени следующими формулами:

Эти равенства и являются параметрическими уравнениями прямой.

Если точка M равномерно движется по окружности радиуса г с центром О в начале координат, то координаты движущейся точки выражаются в зависимости от времени, функциями:

где со — угловая скорость вращения радиуса ОМ. Это и будут параметрические уравнения окружности.

Параметрические уравнения спирали Архимеда имеют вид:

где V — скорость движения точки по вращающемуся лучу, а со — угловая скорость вращения луча около начала координат.

Задание линии параметрическими уравнениями вполне отвечало всем требованиям: все известные линии как алгебраические, так и трансцендентные, могли быть заданы в такой форме; такой способ задания линий наилучшим образом соответствовал основному способу задания линии как траектории движущейся точки.

Определение линии как траектории движущейся точки и параметрический способ задания уже известных линий послужили основой для нового обобщения определения понятия линии: линией стали называть совокупность точек плоскости, координаты которых х и у даны как функции некоторой третьей переменной величины t, которая обычно понималась как время, но могла иметь и другой характер: угол, длина дуги и т. п.

При этом на функции ср и ф налагались, конечно, некоторые ограничения, которые становились тем более общими, чем более общим делалось само понятие функции. Таким путем, отправляясь от частных примеров, пришли во второй половине XIX века к следующему общему определению линии, сформулированному в наиболее отчетливой форме французским математиком Жорданом: линией называется совокупность точек плоскости, координаты которых суть непрерывны: функции

x = <f(t), y = *t(t)

параметра t, заданные на отрезке 0 ^ 1*.

* Напомним, что функция /(*), заданная на отрезке от 0 до 1, называется непрерывной на этом отрезке, когда она обладает следующим свойством: если достаточно сблизить значения независимого переменного t\ и t«, беря их в пределах от 0 до 1, то всегда можно добиться того, что значение функции будут отличаться при этом как угодно мало. Более точно эту мысль следует выразить так: как бы ни было мало наперед заданное положительное число е, всегда можно найти такое достаточно малое положительное число 6, что если только два значения аргумента tx и t2, взятые на отрезке от О до 1, отличаются друг от друга меньше чем на Ь, то соответствующие им значения функции отличаются меньше чем на е;

Но вскоре оказалось, что жорданово определение линии является уже черезчур общим: в 1890 году итальянский математик Пеано попоказал, что можно так подобрать функции tf(t) и ф (t), заданные на отрезке 0 < t ^ 1 и непрерывные на этом отрезке, что совокупность точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям: х = <р (t)y у = ф (^) (0 <1 t ^ ^ 1) — заполняет целый квадрат (считая внутренние и граничные точки), т. е. какую бы точку М(ху у) на этом квадрате мы ни взяли, всегда найдется такое значение параметра t (0<*<1), что

лг = <р(0, У =*(*).

Этот пример целиком ниспровергает определение линии, данное Жорданом, если взять это определение во всей его общности: множество точек, являющееся «линией» в смысле этого определения, заполняет целый кусок плоскости, что никак не согласуется с нашим представлением о линии, сформировавшимся на базе рассмотрения ряда конкретных линий, которые никогда не заполняют целого куска плоскости.

Чтобы понять, как строится «кривая Пеано», мы должны показать, что отрезок Т можно непрерывно отобразить на квадрат Q. Объясним подробнее, что это значит. Пусть нам дан произвольный отрезок Т и произвольный квадрат Q. Задача состоит в том, чтобы поставить в соответствие каждой точке отрезка некоторую точку квадрата и притом так, чтобы каждая точка квадрата соответствовала некоторой точке отрезка. Интересующее нас отображение отрезка должно быть, кроме того, и непрерывным, т. е. удовлетворять тому условию, чтобы достаточным сближением точек отрезка можно было добиться того, чтобы соответствующие им точки квадрата были сколько угодно близки.

Вот как строится это отображение. Разобьем отрезок Т на четыре равные части и обозначим частичные отрезки в порядке их следования слева направо буквами Т\у Т2у 7^, т\. Точно так же разобьем квадрат Q на четыре равные квадрата и обозначим эти квадраты через Qh Q2, Qa, Qa (черт. 1).

Отрезки Т\9 Т2у 7з, Та и соответствующие им квадраты Qi, Q2, Q3, Qa будем называть отрезками и квадратами первого ранга. Разобьем далее каждый из отрезков Т%9 Т2у Тз, Т4 снова на четыре равные части и обозначим частичные отрезки, получающиеся разбиением отрезка Т\у последовательно через Т\у Г|, Т%у Т\\ отрезки на которые разбивается Т2у обозначим последовательно через Т\у т\, T?t Ts ; разбиение отрезка Г3 обозначим через Tly 7'io, 7 и, Т\2', разбиение отрезка Г4—через Т\з, 7м, Г?5, Г?б; шестнадцать отрезков Т\ — 7^16, получающихся при этом втором разбиении, будем называть отрезками второго ранга. Разобьем далее каждый из четырех квадратов Qi, Q2, Q3, Qa на четыре равные квадрата. Мы получим 16 квадратов второго ранга. Квадраты, на которые разобьется квадрат Q\f обозначим через Q?, Q2, Q3, Qa, разбиение квадрата Q2 обозначим через Qi, (Д Q?, Q|. Разбиение Q3 — через Q9, Q?0, Qu, Q12 и разбиение Q4 —через Q?3, Qh, QÏs, Qie- При этом мы должны так выбирать обозначения, чтобы квадраты, у которых нижние указатели отличаются на 1, непременно имели, по крайней мере, одну общую точку. Но так как 4 квадрата, получающиеся разбиением одного квадрата первого ранга всегда имеют общую точку — центр этого квадрата, то при выборе обозначений надо следить только за тем, чтобы имели общие точки каждые два квадрата Q| и Qîy Qs и Q9, Qu и Q?3, т. е. последний и первый квадраты второго ранга, являющиеся разбиением соседних квадратов первого ранга (черт. 2).

Пунктирная линия на чертеже указывает, в каком порядке проходятся квадраты, когда отрезки проходятся последовательно слева направо.

Разобьем теперь каждый из отрезков 2-го ранга на четыре равные отрезка. Мы получим таким образом 64 отрезка 3-го ранга, которые будем обозначать последовательно (слева на-

Черт. 1

Черт. 2

право) через 7^... 7^; точно так же разобьем каждый из 16 квадратов второго ранга на 4 равных квадрата. Мы получим 64 квадрата третьего ранга. Обозначим эти квадраты через QJ, Qj*,... ч Q|4 так, чтобы квадраты Q?> QJL Q3» ^4 были разбиением квадрата Q2U квадраты Q|, Qg, Q| — разбиением квадрата и т. д.

При обозначении мы должны также следить за тем, чтобы каждые два соседние квадрата третьего ранга (нижние указатели которых отличаются на 1) имели общую точку. Но так как каждые четыре квадрата третьего ранга, являющиеся разбиением одного и того же квадрата второго ранга, всегда имеют общую точку (центр этого квадрата), то надо следить лишь за тем, чтобы каждый квадрат третьего ранга, являющийся последним в разбиении некоторого квадрата второго ранга, имел общую точку с первым квадратом третьего ранга, входящим в разбиение соседнего квадрата второго ранга (черт. 3).

Пунктирная линия указывает порядок прохождения квадратов, соответствующий прохождению отрезков слева направо.

Описанный процесс разбиения отрезков и квадратов мы можем продолжать беспредельно; при этом с возрастанием номера ранга разбиения как длины отрезков, так и стороны квадратов будут стремиться к нулю, так как для разбиения ранга п длины отрезков будут равны —, а длины сторон квадрата будут — .

Поставим теперь в соответствие каждому отрезку Tk ранга п квадрат Qnk того же ранга, имеющий тот же номер k, что и данный отрезок. Мы получим тогда для каждого ранга п взаимооднозначные соответствия между отрезками и квадратами разбиения этого ранга. Это соответствие между отрезками и квадратами и позволит построить интересующее нас непрерывное отображение отрезка Т на квадрат Q. Пусть t0 — какая-нибудь точка отрезка. Эта точка принадлежит по крайней мере одному (и не более чем двум) отрезку первого ранга, по крайней мере одному отрезку второго ранга, по крайней мере одному отрезку третьего ранга и т. д. Возьмем квадраты, соответствующие отрезкам, содержащим точку t0. Мы получим бесконечную последовательность квадратов. Так как каждый квадрат ранга п содержится в некотором квадрате предыдущего ранга и так как с возрастанием номера ранга п длина стороны квадрата стремится к нулю, то все эти квадраты имеют только одну общую точку М0, которую мы и поставим в соответствие точке tQ.

Итак, мы показали, что каждой точке отрезка соответствует одна вполне определенная точка квадрата*.

Нам нужно теперь показать, что при таком соответствии каждая точка квадрата соответствует по крайней мере одной точке отрезка. Пусть М0 — произвольная точка квадрата Q. Она принадлежит по крайней мере одному квадрату Q\ первого ранга, по крайней мере одному квадрату Q| второго ранга, содержащемуся в квадрате Q!, по крайней мере одному квадрату третьего ранга, содержащемуся в квадрате Q2, и т. д.

Рассмотрим отрезки, соответствующие этим квадратам. Пусть это будут отрезки: Г|, Т\УТ\ й т. д. Каждый из этих отрезков содержится в предыдущем, причем длина отрезка с ростом номера ранга разбиения стремится к нулю. Следовательно, все эти отрезки имеют лишь одну общую точку tQ. Этой точке t0 отрезка Т и соответствует точка М0 квадрата Q.

Нам остается доказать непрерывность построенного отображения. Но если tQ — какая-нибудь точка отрезка, то при любом п всякая точка t этого отрезка, достаточно близкая к точке tQ, будет лежать с нею на одном и том же отрезке ранга п или на соседнем отрезке того же ранга. Но тогда и соответствующие точкам t0 и t отрезка Т точки М0 и M квадрата Q будут принадлежать одному или соседним квадратам того же ранга. Поэтому, если брать точки t достаточно близкими к точке t0,

Черт. 3

* Однако одна и та же точка квадрата может соответствовать нескольким различным точкам отрезка, т. е. наше соответствие не является взаимнооднозначным. Такими точками квадрата, каждая из которых соответствует нескольким точкам отрезка, являются вершины квадратов разбиений всех рангов: каждая такая вершина соответствует четырем различным точкам отрезка, за исключением центра квадрата Q, который соответствует лишь трем различным точкам отрезка. Тем же свойством — соответствовать нескольким точкам отрезка — обладает каждая точка стороны квадрата разбиения любого ранга, и только те точки, которые являются внутренним для квадратов всех рангов, обладают тем свойством, что каждая из них соответствует лишь одной точке отрезка.

то соответствующие им точки M можно сделать как угодно близкими к точке Ж0, что и доказывает непрерывность отображения.

Полученное нами отображение отрезка на квадрат позволит построить «кривую» Пеано, В самом деле, если за отрезок Т взять отрезок числовой оси 0^£<1, а за квадрат Q — единичный квадрат плоскости XOY, координаты точек которого определяются неравенствами О ^ Ô^^y^l, то построенное только что отображение отрезка на квадрат порождает две непрерывные функции л;=ср(£), y = ty(t), которые получаются, если каждому значению t поставить в соответствие координаты той точки Ж, которая соответствует этому значению Т при данном непрерывном отображении. Непрерывность функции ср и ф следует из того, что если взять точки t0 и t отрезка Т достаточно близкими, то и соответствующие им точки Ж0 и M будут как угодно близки, из чего в свою очередь следует, что как их абсциссы, так и их ординаты будут сколь угодно мало отличаться друг от друга.

Так получается пример «кривой», заданной параметрическими уравнениями, которая «проходит» через все точки квадрата.

Как мы уже говорили в сноске на стр. 5, рассмотренное нами непрерывное отображение отрезка на квадрат не является взаимооднозначным: существует бесконечное множество точек квадрата, каждая из которых соответствует нескольким (двум, трем или четырем) точкам отрезка. Можно было бы показать, что это не зависит от способа, которым осуществляется непрерывное отображение отрезка на квадрат: при каждом таком отображении всегда найдутся тонки квадрата, каждая из которых соответствует нескольким точкам отрезка*.

Назовем простой дугой множество точек плоскости или пространства, на которое можно взаимооднозначно и непрерывно отобразить прямолинейный отрезок. На плоскости простая дуга всегда может быть задана параметрическими уравнениями:

*=*('), у=Ш о<г<1,

если за прямолинейный отрезок взять отрезок O^tf^l, числовой прямой, а за функции <р и ^ — абсциссу X и ординату у точки Ж, соответствующей данному значению t. При этом обе функции ср и ф окажутся непрерывными и будут удовлетворять тому условию, что для двух различных значений t\ и t% имеет место по крайней мере одно из двух неравенств: либо

(могут, конечно, выполняться и оба неравенства).

Примером простой дуги может служить дуга любой из известных нам кривых: окружности, эллипса, гиперболы, параболы, синусоиды, винтовой линии и т. д. Приведем еще один пример простой дуги в пространстве, который покажет нам, насколько прихотливо может вести себя эта «простая» линия. С этой целью прибавим к уравнениям:

задающим кривую Пеано, третье уравнение: Z = t.

Множество точек пространства, координаты которых удовлетворяют этим уравнениям, есть простая дуга, так как все три координата точки этого множества непрерывно зависят от t и разным значениям t всегда соответствуют разные точки множества (они отличаются третьей координатой) (черт. 4).

Эта кривая имеет ту особенность, что ее проекция на плоскость XOY есть квадрат. Таким образом, под каждой тачкой квадрата находится точка кривой, а над некоторыми точками квадрата даже по несколько точек (2, 3 и 4). Образно говоря, этот квадратный участок сплошь покрыт крышей, сделанной из проволоки и представляющей собой все же линию, а не поверхность.

Класс линий, охватывающий только простые дуги, является очень узким; уже окружность, например, не является простой дугой. Однако можно рассматривать линии, состоящие из конечного числа простых дуг, не имеющих попарно других общих точек, кроме своих концов. Этим путем получается уже довольно широкий класс линий, содержащий в себе, в частности, все алгебраические кривые. Но существуют линии, которые не могут быть

Черт. 4

* См. напр., Лузин, Теория функций действительного переменного, Москва 1940, стр. 205.

представлены в виде суммы конечного числа простых дуг, не имеющих попарно никаких других точек, кроме своих концов. Такова, например, линия, задаваемая следующим образом: берется график функции:

и к нему присоединяется «предельный отрезок» оси ординат (черт. 5). Эта линия не может быть представлена как соединение конечного числа простых дуг. Не останавливаясь на доказательстве этого факта, заметим, что эта линия не может быть представлена и как непрерывный образ отрезка (т. е. не является линией в смысле Жордана).

Мы видим, что класс линии Жордана, являясь слишком широким, если не накладывать на функции ср(£) и ty(t) никаких других ограничений, кроме непрерывности, не охватывает тем не менее всех линий, встречающихся при рассмотрении ряда вопросов механики и физики. Кроме указанной уже линии, сюда относятся, например, линии, состоящие из окружности и навивающейся на нее спирали (черт. 6).

Таким образом, все рассмотренные нами до сих пор способы определения линии всегда оказывались недостаточными, так как каждый раз находились линии, не подходящие под эти определения.

К концу XIX века в математику все глубже и глубже начинает проникать так называемая теоретико-множественная точка зрения, заключающаяся в том, что всякий математический объект рассматривается как множество тех или иных элементов. При этом само понятие «множество» уже никак не определяется и относится к числу элементарных понятий. Слово «множество» равнозначно словам: «совокупность», «система», «собрание», «геометрическое место», В частности, геометрическая фигура рассматривается как множество точек, обладающих тем или иным свойством. Так, окружность есть множество (геометрическое место) точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Заменяя в геометрических теоремах выражение «геометрическое место» словом «множество», мы на первых порах лучше всего освоимся с этим понятием, являющимся основным для всей современной математики.

Наиболее отчетливо сформулировал теоретико-множественную точку зрения Г. Кантор (1845—1918) в ряде своих работ, относящихся к 70-м и началу 80-х гг. XIX века. Ему принадлежат все основные понятия теории множеств. Теоретико-множественная трактовка вопросов математики вообще была серьезным прогрессом науки. Она, в частности, позволила Кантору продвинуть далеко вперед вопрос об определении понятия линии. К изучению Канторова определения линии мы теперь и переходим. Но прежде чем это сделать нам придется ввести ряд понятий теории точечных множеств, потому что без этого мы не сможем даже сформулировать само определение канторовой линии. Эти понятия понадобятся нам и дальше при изучении общего определения линии, данного П. С. Урысоном. Знать их, вообще, необходимо каждому, какой бы отраслью современной математики он ни занимался, так как основные понятия теории точечных множеств применяются теперь во всех областях современной математики.

Пусть г — произвольное положительное число. е-окрестностью точки х, принадлежащей прямой плоскости или пространству, называется множество всех точек (прямой, плоскости или пространства), удаленных от точки х на расстояние, меньшее, чем е.

г-окрестность точки х на прямой состоит из всех внутренних точек отрезка длины 2 е, имеющего точку X своей серединой;

е-окрестностью точки х на плоскости будет внутренность круга с центром в точке х и радиусом е;

Черт. 5

Черт. 6

е-окрестностью точки х в пространстве будет внутренность шара с центром в точке х и радиусом е*;

е-окрестность точки х мы будем иногда называть сферической окрестностью и обозначать через S (х, е).

Мы говорим, что точка х является предельней для множества М, если в любой ^-окрестности точки х найдется точка у множества М, отличная cm точки х. Точка х может как принадлежать, так и не принадлежать множеству М. Так для множества точек прямой с абсциссами 1, "у > > > • • • > -i-,... единственной предельной точкой будет точка 0, однако она этому множеству не принадлежит. Если за множество M мы возьмем множество всех рациональных точек прямой (так мы будем называть точки, имеющие рациональные координаты), то как рациональные точки, так и иррациональные точки прямой будут предельными для множества М. Но в то время, как рациональные точки принадлежат множеству М, иррациональные ему не принадлежат.

Множество M называется замкнутым, если каждая точка х, являющаяся предельней для множества М, принадлежит этому множеству. Другими словами, если точка х не принадлежит замкнутому множеству М, то она и не будет в этом случае его предельной точкой. Уже упоминавшееся множество «рациональных точек» прямой не является замкнутым (также, как и множество ее «иррациональных точек»), в то время как, например, отрезок прямой будет замкнутым множеством; замкнутым будет и множество точек прямой с целочисленными координатами.

Множество M называется открытым, если всякая его точка х при некотором, достаточно малом положительном е имеет е-окрестность, все точки которой принадлежат множеству М. Примером открытого множества может служить всякая е-окрестность.

Границей открытого множества M называется совокупность всех его предельных точек, не принадлежащих самому множеству М. Граница всякого открытого множества есть множество замкнутое. Заметим, что если множество M открыто, то все точки, не принадлежащие множеству М, образуют замкнутое множество и наоборот (доказательство опускаем).

Точка X называется внутренней для множества М, если при достаточно малом ег ^-окрестность точки X целиком содержится в множестве М. Заметим, что всякая точка открытого множества является внутренней. Множество M рациональных точек прямой не имеет ни одной внутренней точки, так как в любую е-окрестность произвольной рациональной точки всегда попадут иррациональные точки, не принадлежащие множеству М. Если множество M— квадрат, то оно содержит в себе как внутренние , так и невнутренние точки.

Множество M называется связным, если при всяком его разбиении на два подмножества по крайней мере в одном из них найдется точка предельная для другого.

Примеры связных множеств: отрезок прямой, вся прямая, окружность, квадрат, вся плоскость, все пространство. Напротив, множество рациональных точек прямой уже не связно, так как его можно разбить на два подмножества без общих точек, так что никакая точка одного подмножества не будет предельной для точек другого подмножества. Для этого достаточно, например, отнести к одному подмножеству все числа меньше |/2, а к другому все числа больше ]/2.

Множество М, являющееся одновременно связным и открытым, называется областью. Для того чтобы множество M точек плоскости или пространства было областью, необходимо и достаточно, чтобы всякие две его точки можно было соединить ломаной линией с конечным числом звеньев, все точки которой принадлежат множеству М. Примерами областей являются как совокупность внутренних, так и совокупность внешних точек по отношению к окружности.

Множество M называется компактным, если всякое его бесконечное подмножество А имеет по крайней мере одну предельную точку и эта предельная точка принадлежит множеству М. Отрезок прямой, квадрат (с границей), окружность — все это примеры компактных множеств. Множество точек 1, -у-, у + ... не является компактным, так как хотя оно и имеет предельную точку 0, но она ему не принадлежит. Прямая линия также не является компактным множеством, так как бесконечное подмножество ее целочисленных точек вообще не имеет ни одной предельной, точки.

Из многочисленных теорем о компактных множествах отметим следующую: для того чтобы множество точек прямой, плоскости

* Мы могли бы определить е-окрестность точки х по отношению к любому множеству AI, лежащему на прямой в плоскости или пространстве, понимая под этим совокупность всех точек множества Al, удаленных от точки х на расстояние меньшее, чем е.

или пространства было компактно, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнуто и ограничено. (Множество называется ограниченным, если расстояние между всякими двумя его точками меньше одного и того же числа. Отрезок — множество ограниченное, прямая— нет.)

Введем, наконец, понятие, которое будет основным во всем последующем изложении.

Множество С называется континуумом, если оно одновременно связано и компактно.

После этих многочисленных определений, разбираться в которых, как хорошо понимает автор, трудно и утомительно, мы снова переходим к предмету нашего очерка, рекомендуя читателю, по мере надобности, заглядывать в эту скучную часть статьи, в которой мы сосредоточили все необходимые формулировки, чтобы их легче было отыскивать во время последующего чтения.

Напомним, что мы остановились перед определением линии, введенным Кантором.

Континуум С, лежащий на плоскости, называется канторовой (плоской) линией, если он не содержит ни одной внутренней точки. Все те (плоские) линии (прямая, окружность и т. д.), которые мы рассматривали до сих пор, подходят под это определение.

Вот еще один замечательный пример канторовой линии, построенной польским математиком Серпинским и получившей впоследствии название «ковра Серпинского».

Квадрат Q делится на 9 равных квадратов, и из него удаляется внутренность центрального квадрата. Каждый из оставшихся 8 квадратов первого ранга снова делится на 9 равных квадратов, и в каждом из них удаляется внутренность центрального квадрата. Таким образом, мы получаем 82 = б4 квадрата второго ранга. С каждым из них поступаем, как и выше, и получаем 83 = 512 квадратов третьего ранга и так далее для любого натурального числа п (черт. 7).

Оставшееся после выполнения всех этих операций множество и есть ковер Серпинского. Это множество является линией в смысле канторовского определения. Прежде всего это множество является континуумом, так как оно представляет собой общую часть последовательности континуумов* (первый континуум — состоит из 8 квадратов первого ранга, второй — из 64 квадратов второго ранга и т. д.), причем в этой последовательности каждый следующий континуум содержится в предыдущем.

Далее, ни одна из точек этого континуума не является внутренней, так как в любой близости от нее найдется точка какого-нибудь из выброшенных квадратов.

Таким образом, ковер Серпинского в самом деле — канторова линия. Эта линия обладает одним замечательным свойством содержать в себе любую плоскую линию.

Чтобы понять смысл этого утверждения, мы должны уяснить себе одно понятие, а именно понятие топологического отображения. Говоря описательно, можно сказать, что топологическое отображение — это такое преобразование одного множества в другое, при котором никакие две точки одного множества не сливаются в одну точку другого множества и достаточно близким точкам одного множества соответствуют сколь угодно близкие точки другого. Говоря совсем коротко, топологическое отображение переводит одно множество в другое без склеивания и разрывов. Точный смысл этих высказываний сводится к тому, что топологическое отображение является взаимно однозначным и взаимно непрерывным. Разъясним это несколько подробнее.

Пусть нам даны два точечные множества А и В. Мы говорим, что множество А отображается на множество В, если каждой точке множества А поставлена в соответствие некоторая точка множества В, и притом так, что каждая точка множества В соответствует по крайней мере одной точке множества А. Отображение множества А на множество В называется взаимно-однозначным, если, сверх того, разным точкам множества А соответствуют разные точки множества В, т. е. если всякая точка множества В соответствует лишь одной точке множества А. Таким образом, при взаимно однозначном отображении множества А на множество В каждой

Черт. 7

* Доказательство этого опускаем; см. П. С. Александров, Введение в общую теорию множеств и функций, глава VII, § 2.

точке множества А соответствует некоторая точка множества В; каждой точке множества В соответствует некоторая точка множества Л; разным точкам множества А соответствуют разные точки множества В; разным точкам множества В соответствуют разные точки множества А. Так как при взаимно однозначном отображении одного множества на другое оба множества совершенно равноправны, то в этом случае можно говорить просто о взаимно однозначном соответствии между этими множествами.

Напомним еще понятие непрерывности отображения. Пусть при отображении множества А на множество В точки х0 множества В соответствует точка у0 множества В. Мы говорим, что отображение множества А на множество В непрерывно в точке х0, если для любого (сколько угодно малого) положительного числа е, можно найти такое (достаточно малое) положительное число 8, что каждая точка X, принадлежащая Ъ-окрестности точки х0 отображается в точку у, принадлежащую е-окрестности точки у0. В этом утверждении и заключается точный смысл того, что при непрерывном отображении достаточно близкие точки переходят в точки, сколь угодно близкие.

Если отображение множества А на множество В непрерывно в каждой своей точке, то мы просто говорим, что одно множество непрерывно отображается на другое.

Если два множества А и В находятся во взаимно однозначном соответствии, то можно говорить, как об отображении множества А на В, так и об отображении множества В на А, если оба эти отображения являются и, сверх того, непрерывными, то мы говорим, что между множеством А и В имеет место взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие. В этом случае говорят также, что множество А топологически отображается на множество В или что множество А и В между собой гомеоморфны.

С гомеоморфными отображениями нам уже приходилось иметь дело, когда мы говорили о понятии простой дуги. Теперь мы можем сказать, что простая дуга есть гомеоморфный образ прямолинейного отрезка. Приведем несколько примеров различных гомеоморфных и негомеоморфных множеств.

Круг, квадрат, треугольник гомеоморфны между собой, гомеоморфными будут и такие множества, как боковая поверхность цилиндра и круговое кольцо, т. е. множество точек, заключенных между двумя концентрическими окружностями (включая и сами окружности); гомеоморфны будут вся прямая и интервал (отрезок без концов); гомеоморфны между собой окружность, эллипс, контур квадрата и т. п.; напротив, такие множества, как отрезок и квадрат или отрезок и окружность, между собой не гомеоморфны. Негомеоморфными являются также отрезок и вся прямая.

Можно доказать, что некоторые свойства множеств, такие, как связность, компактность, число измерений, сохраняются при гомеоморфных отображениях; другие же, как расстояние между двумя точками, принадлежность точек одной прямой или плоскости, при гомеоморфизме не сохраняются (это можно проследить на вышеприведенных примерах).

Математическая дисциплина, изучающая те свойства множеств, которые сохраняются при всяком гомеоморфном отображении, называется топологией. Эта наука особенно бурно развивалась в первой половине текущего столетия и привела к созданию ряда фундаментальных понятий современной математики и в частности понятия линии.

Советский Союз занимает ведущее место в развитии топологии в лице крупнейших представителей этой науки: П. С. Урысона, П. С. Александрова и Л. С. Понтрягина.

Свойство (плоского) множества быть канторовой линией сохраняется при топологическом отображении. Это значит, что если канторова линия С отображается топологически на плоское множество С, то множество С также является канторовой линией. Это непосредственно вытекает из сохранения при гомеоморфизме (и даже при любом непрерывном отображении) свойств связности и компактности и, следовательно, свойства множества быть континуумом, а также из того обстоятельства, что при топологическом отображении одного плоского множества на другое, внутренние точки множества переходят во внутренние же, а невнутренние — в невнутренние.

После этого несколько затянувшегося отступления постараемся разъяснить точный смысл сделанного выше утверждения о том, что ковер Серпинского содержит в себе любую канторову линию. Дело заключается в следующем : какова бы ни была канторова линия С, в ковре Серпинского всегда найдется подмножество С\ гомеоморфное множеству С.

Доказательство этой теоремы основывается на том, что мы заключаем данную канторову линию С в более широкое множество S, гомеоморфное ковру Серпинского. Предположим, что мы уже заключили множество С в множество S. Тогда при гомеоморфном отображении множества 5 на ковер Серпинского S' канторова линия С гомеоморфно отобразится на канторову

линию С, составляющую часть (подмножество) ковра Серпинского S'.

Перейдем к построению множества S, содержащего в себе данную линию С и устроенного в топологическом отношении так же, как и ковер Серпинского. Так как С — континуум и, следовательно, компактное множество, то оно является ограниченным, следовательно, существует квадрат Q0, содержащий внутри себя линию С (черт. 8).

Разделим квадрат Q0 на 9 равных квадратов. Если центральный квадрат не содержит точек множества С, то выбросим его внутренние точки. Если же С проникает внутрь центрального квадрата, то все же, в силу того что С — замкнутое множество без внутренних точек, в центральном квадрате найдется прямоугольник R со сторонами, параллельными сторонам данного квадрата Q0, не содержащий точек множества С. Продолжая стороны прямоугольника R до пересечения со сторонами квадрата Q0, мы разобьем этот последний на 9 прямоугольников. Выбросим из квадрата Q0 внутренние точки прямоугольника R и поступим с каждым из оставшихся восьми прямоугольников первого ранга точно так же, как мы только что поступили с квадратом Q0, т. е. разобьем каждый из этих прямоугольников на 9 равных прямоугольников. Если центральный прямоугольник не содержит точек множества С, то выбросим его внутренние точки. Если же С имеет точки внутри этого прямоугольника, то по предыдущему в этом центральном прямоугольнике найдется меньший прямоугольник /?' со сторонами, параллельными сторонам квадрата Q0, уже не содержащий точек множества С. Выбросим внутренние точки этого прямоугольника и продолжим его стороны до пересечения со сторонами содержащего его прямоугольника первого ранга. Поступая так с каждым из восьми прямоугольников первого ранга, мы получим (после выбрасывания внутренних точек соответствующих прямоугольников R' и продолжения их сторон) 64 прямоугольника второго ранга.

Точно так же поступим с каждым из прямоугольников второго ранга, что приведет нас к 512 прямоугольникам третьего ранга, и так далее для всех натуральных чисел п. То, что останется после этого процесса, и есть искомое множество S.

Прежде всего множество S — континуум, потому что S есть общая часть последовательности континуумов, из которых каждый следующий содержится в предыдущем, первый из этих континуумов состоит из 8 прямоугольников первого ранга, второй—из 64 прямоугольников второго ранга. Континуум S не содержит внутренних точек, так как в любой близости от каждой его точки находятся точки выкинутых прямоугольников. Линия С целиком содержится в континууме S. Наконец, множесто S гомеоморфно ковру Серпинского S'.

Соответствие между множествами S и S' устанавливается следующим образом. Пусть х0—какая-нибудь точка множества S. Она принадлежит некоторому прямоугольнику первого ранга; некоторому содержащемуся в нем прямоугольнику второго ранга, некоторому содержащемуся в этом последнем прямоугольнику третьего ранга и т. д. Каждому из этих прямоугольников поставим в соответствие тот квадрат, фигурирующий в образовании ковра Серпинского, который имеет такой же ранг, как и рассматриваемый нами прямоугольник, и занимает по отношению к основному квадрату Q'0, на котором лежит ковер Серпинского S', такое же положение, какое прямоугольник занимает по отношению к квадрату Q0. Мы получим последовательность квадратов, из которых каждый следующий содержится в предыдущем, причем длины сторон этих квадратов стремятся к нулю с возрастанием номера ранга. Следовательно, все эти квадраты имеют одну единственную общую точку j/0, принадлежащую ковру Серпинского которую мы и поставим в соответствие точке х0, построенного нами континуума S. Мы предоставляем читателю доказать, что установленное нами соответствие является топологическим отображением множества 5 на множество S'.

Черт. 8

Мы уже видели, что не всякая канторова линия может быть задана параметрически. Однако существует ряд условий, при которых она допускает такое представление или, что то же самое, является непрерывным образом отрезка. Одно из таких условий состоит в том, чтобы континуум мог быть разбит на конечное число сколь угодно мелких континуумов. Ковер Серпинского, в частности, допускает такое разбиение. Мы получим его, если возьмем квадраты достаточно высокого ранга: часть ковра Серпинского, заключенная в каждом таком квадрате, представляет собой также ковер Серпинского, только построенный для этого квадрата.

Ввиду большой общности определения канторовых линий они могут иметь очень сложное строение. Мы разберем этот вопрос в связи с границами плоских областей.

Как мы знаем еще из элементарной геометрии, окружность делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю — и является общей границей этих областей.

Оказывается, что этим свойством разбивать плоскость на две области обладают не только окружность, но и всякая линия ей гомеоморфная. Это утверждение составляет содержание известной теоремы Жордана, которая, несмотря на свою кажущуюся очевидность, доказывается довольно трудно. Лемниската Бернулли разбивает плоскость уже на три области, причем точка S самопересечения этой линии принадлежит границе всех трех областей (черт. 9).

Однако все остальные ее точки являются граничными лишь для двух каких-нибудь областей. На первый взгляд может показаться, что принадлежать границе более чем двух областей могут лишь отдельные точки линии. В самом деле, трудно представить себе, что бы по какой-нибудь линии на карте граничило сразу три или более государств, и тем не менее существуют такие линии, которые являются границами трех и более областей в том смысле, что в любой близости от каждой точки этой линии есть точки всех областей.

Чтобы понять, как это возможно, представим себе остров в открытом море и на нем три озера и вообразим себе следующую программу работ. В первый час ведется канал от моря и от каждого из трех озер таким образом, чтобы каждый из этих каналов был «слепым» (т. е. был в действительности заливом соответвующего водоема), чтобы эти каналы нигде не соприкасались между собой и чтобы в результате часовой работы расстояние от каждой точки суши до морской воды, а также до воды каждого из трех озер было меньше 1 км. В следующие полчаса каждый из проведенных четырех каналов продолжается так, что попрежнему все каналы остаются «слепыми» и не соприкасаются между собой и что расстояние от каждой точки суши до воды каждого из четырех водоемов становится меньше, чем */2 км. В следующие затем четверть часа каналы продолжаются дальше так, чтобы попрежнему, не сообщаясь между собой, они с такой «плотностью» проникали бы внутрь острова, чтобы расстояние от каждой точки суши до воды каждого из четырех водоемов сделалось меньше 1/8 км., и т. д. Через два часа такой деятельности от острова останется лишь некоторый, не имеющий внутренних точек континуум Су в любой близости от каждой точки которого будет находиться вода каждого из четырех водоемов, причем все эти водоемы (море и три озера) попрежнему будут оставаться разобщенными: воды никаких двух из них не будут смешиваться. Эти водоемы (продолженные проведенными из них каналами) и являются теми четырьмя областями, общую границу которых образует континуум С; одна из этих областей («море») не ограничена, остальные три ограничены (черт. 10, для простоты взяты два озера)*.

Черт. 9

Черт. 10

* Настоящее изложение заимствовано мною из книги П. С. Александрова «Введение в общую теорию множеств и функций», Москва 1948.

Мы потому так подробно остановились на канторовых линиях, что если бы мы ограничились только плоскими линиями, то канторово определение с полной общностью выражало бы то, что в нашей математической практике связано с понятием линии. Но мы хотим дать общее определение линии, охватывающее не только плоские, но и пространственные линии*.

Простое перенесение Канторова определения линии на пространство невозможно, так как в пространстве континуумом без внутренних точек является, например, квадрат. Значит, мы снова становимся перед необходимостью ответить на вопрос: Что же такое линия? Мы переходим к определению понятия линии, данное Урысоном.

Посмотрим, прежде всего, какими общими свойствами обладают те множества, которые мы называем линиями? Каждое такое множество является компактным; оно должно быть, далее, связано, следовательно, все те множества, которые мы называем линиями, являются континуумами. Но такие множества, как квадрат, как квадрат и куб, также являются континуумами. Почему же мы их не называем линиями? Потому что они имеют два или три измерения. Линиями же являются лишь такие континуумы, которые имеют «одно измерение». Но что это значит «имеют одно измерение»? Дадим точно определение этого понятия.

Пусть С—континуум (на плоскости или в пространстве) и х—какая-нибудь его точка. Мы говорим, что континуум С в точке х имеет размерность** 1, если для любого, сколь угодно малого положительного числа г найдется открытое множество, содержащее точку х и содержащееся само в е-окрестности этой точки, и притом такое, что граница этого открытого множества пересекает континуум С, по множеству, не содержащему никакого континуума. Мы говорим, далее, что континуум С имеет размерность 1, если он будет размерности 1 в каждой своей точке.

Теперь мы можем сказать, что линией называется континуум размерности*** 1. В этом и состоит определение линии, данное Урысоном. Простейшим примером одномерного континуума, т. е. линии в смысле Урысона, является отрезок. В самом деле, какую бы точку х на отрезке мы ни взяли и каким бы малым радиусом е ни описали из нее как из центра

окружность, она пересечет отрезок в одной или двух точках (в одной, если точка х—конец, и в двух, если точка х—внутренняя точка отрезка). Значит, здесь открытое множество, о котором идет речь, в определении размерности 1 в данной точке совпадает с е-окрестностью этой точки.

Совершенно так же убедимся, что и окружность имеет в каждой своей точке размерность 1, т. е. является линией в смысле Урысона.

Вообще, всякая линия в смысле Кантора является линией в смысле Урысона. В самом деле, всякая канторова линия гомеоморфна подмножеству ковра Серпинского. Сам же ковер Серпинского является линией в смысле Урысона, так как для всякой его точки можно найти открытое множество, содержащее эту точку и содержащееся в сколь угодно малой е-окрестности, причем граница этого открытого множества состоит не более чем из 6 диагональных отрезков квадратов достаточно высокого ранга и потому в пересечении с самим ковром Серпинского дает множество, не содержащее никакого континуума.

Отметим два факта, которые доказываются довольно просто:

1°. Если континуум К является подмножеством линии (в смысле Урысона), то он сам является линией.

2°. При топологическом отображении линия переходит в линию (в смысле Урысона).

Но мы показали, что ковер Серпинского является линией в смысле Урысона. Значит, и всякий континуум, содержащийся в ковре Серпинского, есть также линия в смысле Урысона; так как всякая линия в смысле Кантора гомеоморфна такому континууму, то она является линией в смысле Урысона.

Мы видим, таким образом, что всякая канторова линия является линией и в смысле Урысона. Верно и обратное утверждение, а именно: что всякая плоская линия в смысле Урысона есть канторова линия. Доказательство этого утверждения сводится к тому, что никакая плоская линия в смысле Урысона не содержит в себе в качестве подмножества куска плоскости с внутренними точками. В самом деле, если плоский континуум С содержит внутреннюю точку х, то при достаточно малом е>0, е-окрестность точки х целиком принадлежит континууму С. Но тогда граница всякого открытого множества, содержащегося в е-окрестности точки х, содержит в себе континуум и, следовательно, размерность континуума С в точке X не равна 1. Другими словами, всякая точка х, в которой континуум С имеет размерность, равную 1, не может быть его внутренней точкой. Следовательно, конти-

* И даже линии, лежащие в пространстве более высокого числа измерений.

** Это слово часто употребляется вместо слова «измерение».

*** Измерения.

нуум, являющийся линией в смысле Урысона, вообще не содержит внутренних точек, т. е. является линией в смысле Кантора.

Определение линии, данное Урысоном, не только до конца раскрывает сущность этого понятия во всей его общности, но и указывает путь, которому надо следовать при изучении общих свойств линий. Центральным пунктом определения Урысона является одномерность континуума, называемого в этом случае линией, т. е. то его свойство, что в любой г-окрестности произвольной точки континуума содержится открытое множество, содержащее данную точку, и такое, что пересечение его границы и данного континуума не содержит никакого континуума. Будем теперь интересоваться лишь такими из этих открытых множеств, границы которых содержат минимальное количество точек. Это минимальное количество* точек границ интересующих нас открытых множеств, содержащих данную точку, называется индексом ветвления линии в данной точке. Индекс ветвления может быть как конечным, так и бесконечным**.

Поясним это важное понятие рядом примеров.

1. Отрезок имеет в каждой своей внутренней точке индекс ветвления, равный 2; индекс ветвления концевых точек отрезка равен 1. Индекс ветвления окружности в каждой ее точке равен 2.

2. Рассмотрим линию, состоящую из п прямолинейных отрезков длины 1, выходящих из одной точки О (черт. 11).

В точке О эта линия имеет индекс ветвления, равный п\ во внутренних точках отрезков ее индекс ветвления равен 2, а в концевых—1.

3. Рассмотрим теперь линию, состоящую из бесконечного множества отрезков выходящих из одной точки О, имеющих соответственно длины:

и образующих с осью ОХ углы***:

. (черт. 12).

Как длины отрезков, так и их углы с направлением ОХ стремятся к 0 при возрастании п. Точка О этой линии обладает тем интересным свойством, что хотя при любом, сколь угодно малом положительном е граница е-окрестности точки О пересекает линию лишь в конечном числе точек, но это число беспредельно возрастает, когда е—»0. В этом случае говорят, что линия имеет в точке О конечный, но неограниченный индекс ветвления.

4. Предположим, что линия состоит из отрезка ОА0 длины 1 и бесконечного множества отрезков ОАг, ОА2, . . . , ОАп. . . , имеющих длину 1 и образующих с отрезком ОА0 углы, соответственно равные 1, —, . . . , — • . • •

В этом случае граница каждого открытого множества, содержащего какую-нибудь точку отрезка ОА0 пересекает данную линию в бесконечном числе точек (черт. 13). Мы будем говорить, что во всех точках отрезка ОА0 индекс ветвления линии является бесконечным****:

5. Линия, состоящая из точек кривой (см. черт. 5) и предельного отрезка оси ординат х = О, — 1^.У^1, имеет во всех точках этого отрезка бесконечный индекс ветвления; в прочих точках линии индекс ветвления равен 2 [кроме точки (1,1), где индекс ветвления равен 1].

Черт. 11 Черт. 12

Черт. 13

* В смысле мощности множества точек границы.

** Урысон более детально классифицирует точки по их индексу ветвления; но мы на этом останавливаться не будем.

*** В смысле радианной меры.

**** Счетным.

6. Примером континуума, все точки которого имеют бесконечный* индекс ветвления, может служить ковер Серпинского.

Сопоставляя три последних примера, мы видим, что точки, имеющие бесконечный индекс ветвления, не встречаются изолированно, и это не случайно. Как показал Урысон, их всегда бывает так много, что в любой е-окрестности каждой такой точки содержится континуум, сплошь состоящий из точек бесконечного индекса ветвления.

7. Если на отрезке 0<д;<С1 взять последовательность точек на каждом из отрезков anan+i ,п=\, 2, 3. . . как на диаметре построить окружность, то линия, состоящая из всех этих окружностей и точки О, имеет в точке О индекс ветвления, равный 1 ; в точках прикосновения окружностей индекс 4, в прочих точках индекс 2 (черт. 14).

8, Рассмотрим линию, состоящую из отрезка оси абсцисс 0<л:<;1 и перпендикуляров к этому отрезку, восстановленных в его рациональных точках; при этом, если —--несократимая дробь, являющаяся абсциссой рациональной точки, то длина перпендикулярного отрезка берется равной —(черт. 15).

Всякая точка этой линии имеет индекс ветвления 1,2 или 3, причем индекс 3 имеют те точки отрезка 0>^л;<1, абсциссы которых рациональны.

9. Линия С строится следующим образом: в равностороннем треугольнике проводятся средние линии, и из него выбрасываются внутренние точки треугольника, ограниченного средними линиями. С каждым из оставшихся треугольников (первого ранга) проделывается та же операция: в нем проводятся средние линии и выбрасывается внутренность, ограниченного ими треугольника. Подобным же образом поступаем с каждым из 9 получившихся треугольников второго ранга и приходим к 27 треугольникам 3-го ранга и так далее для всякого натурального п (черт. 16). Оставшееся после выполнения всех этих операций множество есть континуум, так как его можно представить как общую часть континуумов, состоящих из трех треугольников первого ранга, 9 треугольников второго ранга,..., Зп треугольников я-го ранга и т. д., из которых каждый последующий входит в предыдущий. Этот континуум есть линия, так как он имеет размерность 1 в каждой своей точке. В самом деле, все его точки имеют индекс ветвления 2, 3 или 4, а именно: вершины а, Ь, с основного треугольника имеют индекс 2. Вершины всех других треугольников имеют индекс 4; наконец, остальные точки имеют индекс 3.

Небольшим видоизменением предыдущего примера можно добиться того, что линия С будет иметь только точки с индексом ветвления 2 или 3.

Для этого достаточно брать не средние линии треугольников, а, например, отрезки соединяющие точки, отстоящие от вершин треугольников на 1/3 длины их сторон, и выбрасывать внутренние точки получающихся при этом правильных шестиугольников (черт. 17).

Черт. 14

Черт. 15

Черт. 16

* Континуальный.

Те точки, линии индекс ветвления которых больше 2 (в том числе и точки с бесконечным индексом ветвления), будем называть точками ветвления данной линии, а те точки, индекс ветвления которых равен 1, — концевыми точками линии.

Предыдущие примеры показывают, насколько разнообразным может быть строение линии в зависимости от наличия у них тех или иных точек ветвления. Не имея возможности остановиться на всем многообразии свойств линии, связанных с их ветвлением, упомянем без доказательства лишь один факт, который покажет нам, насколько глубоко характеризует линию понятие индекса ветвления.

Оказывается, что если у линии совсем нет точек ветвления, т. е. если в каждой точке линии индекс ветвления равен 1 или 2, то эта линия есть либо простая дуга — топологический образ отрезка, либо простая замкнутая линия — топологический образ окружности. При этом, если индекс ветвления линии во всех точках равен 2, то линия является топологическим образом окружности (простая замкнутая линия); если же у линии есть концевые точки (при этом доказывается, что их непременно должно быть две), то линия будет простой дугой.

Если линия имеет лишь конечное число точек ветвления, причем индекс ветвления каждой из них также конечен*, то такая линия может быть разбита на конечное число простых дуг, не имеющих попарно никаких других общих точек, кроме своих концов.

Мы видели, что окружность (как и вообще всякая простая замкнутая линия) обладает тем свойством, что во всех ее точках индекс ветвления принимает одно и то же значение (равное 2). Возникает вопрос, существуют ли другие линии, у которых индекс ветвления во всех точках принимал бы одно и то же значение (неравное 2). Оказывается, ни для какого конечного п, это не имеет места, так как, если индекс ветвления во всех точках линии ^п, то на линии найдется по крайней мере одна точка, индекс ветвления которой^ 2 п—2. Например, если индекс ветвления каждой точки линии ^3, то на ней непременно найдется точка, индекс ветвления которой 4. Линию, состоящую только из точек с индексом ветвления 3 и 4, мы получим, взяв два экземпляра линии примера 9 и склеив их по вершинам основных треугольников, при этом оба экземпляра надо немного деформировать, чтобы они перестали быть плоскими линиями.

Однако, как мы видели на примере ковра Серпинского, существуют линии, имеющие во всех точках бесконечный индекс ветвления.

Как мы уже говорили, определение линии, данное Урысоном, охватывает не только плоские, но и пространственные линии. Более того: оно дословно может быть перенесено и на пространство п измерений**.

Но тут обнаруживается следующий замечательный факт: оказывается, что в каком бы пространстве мы ни построили линию С, в обыкновенном трехмерном пространстве всегда найдется линия С гомеоморфная (т. е. с топологической точки зрения тождественная) линии С. Более того, все эти линии С следует искать среди подмножеств не всего трехмерного пространства, но среди подмножеств некоторого континуума трехмерного пространства, который сам является линией. Другими словами, в трехмерном пространстве есть такая ^универсальная* линия, которая содержит в себе не только топологический образ всякой линии трехмерного пространства, но и топологический образ всякой линии любого п-мерного пространства***.

Не имея возможности привести доказательство этого факта, ввиду его трудности, мы ограничимся лишь описанием построения универсальной линии, которое было дано австрийским математиком К. Менгером.

Куб V0 делится на 27 равных кубиков и из него выбрасывается «центральный кубик» и шесть кубиков, примыкающих к нему по граням. Мы получаем в результате этой опе-

Черт. 17

* И ограничен (см. пример 3).

** И вообще на любое множество, в котором определено понятие расстояния, т. е. на любое метрическое пространство.

*** И даже любого метрического пространства

рации множество Vu состоящее из 20 замкнутых кубиков первого ранга. С каждым из оставшихся 20 кубиков первого ранга, мы проделываем ту же операцию, т. е. делим каждый такой кубик на 27 равных кубиков и выбрасываем из каждого кубика первого ранга как центральный кубик, так и примыкающие к нему по граням шесть кубиков. Оставшееся множество V2 состоит из 400 кубиков второго ранга. С каждым из них мы поступим так же, как и выше, в результате чего получим замкнутое множество Vz, состоящее из 203 = 8000 кубиков третьего ранга. Этот процесс можно продолжать беспредельно для любого натурального числа п (черт. 18). Множество точек куба оставшееся после выполнения всех этих операций, и есть искомая «универсальная линия». Как общая часть бесконечной последовательности убывающих континуумов, она сама является континуумом.

Значительно труднее установить, что этот континуум будет размерность 1, т. е. действительно явится линией.

Как мы видели, для плоских линий роль «универсальной линии» играет ковер Серпинского. Возникает вопрос: Почему он не будет универсальной линией и для всех вообще пространственных кривых? Дело в том, что в пространстве есть линии, которые нельзя отобразить топологически ни на какую плоскую линию. Простейший пример такой линии мы получим, если рассмотрим линию, состоящую из б ребер тетраэдра и 4 отрезков, соединяющих какую-нибудь точку пространства с 4 вершинами этого тетраэдра (черт. 19). Но уже всякую линию, например, четырехмерного пространства можно топологически отобразить на некоторую линию трехмерного пространства. Отсюда, конечно, не следует, что эта линия трехмерного пространства обладает всеми вообще свойствами линии, данной в четырехмерном пространстве. Однако все те свойства которые не разрушаются топологическим отображением, являются общими обеим линиям.

Общность, с которой мы определили понятие линии, может вызвать естественный вопрос, не является ли слишком широким тот класс объектов, которые мы определили как линии? Приведем два свойства линий, которые показывают, насколько близко соответствует тот класс множеств, которые мы назвали линиями, нашему обычному представлению о линиях, связанному, прежде всего, с прямой и окружностью.

1. Отрезок прямой может быть представлен как сумма конечного числа сколь угодно малых отрезков, причем никакая точка отрезка не принадлежит более чем двум частичным отрезкам. Аналогичным свойством обладает и любая линия и даже характеризуется этим свойством. А именно: для того чтобы континуум С был линией, необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить при любом, сколько угодно малом положительном s в виде суммы конечного числа замкнутых множеств, каждое из которых имеет диаметр* меньше е и таких, что никакая точка континуума не принадлежит более чем двум из этих замкнутых множеств. Эта теорема, доказанная П. С. Урысоном в гораздо более общей форме, утверждает, в частности, что никакой континуум, не являющийся линией, уже этим свойством не обладает. Если взять, например, квадрат и сделать его разбиение на замкнутые множества достаточно мелким, то всегда найдется точка квадрата, принадлежащая по крайней мере, трем из этих замкнутых множеств. (Однако всегда можно найти сколь угодно мелкое разбиение

Черт. 18

Черт. 19

* Диаметр компактного множества можно определить как наибольшее из расстояний между всевозможными парами его точек.

квадрата на замкнутые множества, обладающие тем свойством, что никакая точка квадрата не принадлежит более чем трем из этих множеств.) (Черт. 20).

Возвращаясь снова к линиям, заметим, что в указанном для них в теореме разбиении замкнутые множества могут и не быть связны. Для того чтобы они были континуумами, необходимо и достаточно, чтобы линия была непрерывным образом отрезка.

2. Другое свойство, сближающее введенное нами понятие линии с обычным представлением об этом предмете, состоит в том, что всякую линию, сколь угодно малым сдвигом ее точек можно перевести в ломаную линию. Более точно этот факт, открытый советским математиком П. С. Александровым, опять в гораздо более общих предположениях, можно сформулировать так: для того чтобы компактное множество С было линией, необходимо и достаточно, чтобы при любом, сколь угодно малом, положительном е его можно было отобразить на ломаную линию L так, чтобы каждая точка этой ломаной отстояла от соответствующей точки множества С менее чем на е.

Для окружности такое отображение осуществляется проще всего тем, что мы вписываем в эту окружность правильный многоугольник с достаточно большим числом сторон и проектируем (ортогонально) каждую дугу окружности на соответствующую сторону многоугольника. Аналогично решается вопрос и в общем случае. На основании предыдущей теоремы кривая разбивается на конечное число достаточно малых кусков так, чтобы никакая точка линии не принадлежала более чем двум» кускам. В каждом из этих кусков берется по точке. Каждые две такие точки соединяются прямолинейным отрезком в том случае, когда куски, в которых они содержатся, имеют общие точки. Мы получаем, таким образом, ломаную линию. На эту-то ломаную и отображается наша кривая, причем, взяв разбиение кривой достаточно мелким, можно добиться того, что каждая точка кривой будет переводиться в соответствующую точку ломаной линии малым сдвигом.

Указанием этих двух свойств мы и заканчиваем наш очерк. Цель его — возбудить у читателя интерес к такому важному общему математическому понятию, как понятие линии, разъяснить сущность этого понятия и очертить, хотя бы очень кратко, круг вопросов, связанных с понятием линии. Мы почти везде ограничивались лишь формулировками теорем и старались разъяснить их сущность и значение и только в редких случаях наметить контуры доказательства.

Изложение некоторых из затронутых здесь вопросов можно найти в отдельных книгах. Укажем некоторые из них:

1. П. С. Александров, Введение в общую теорию множеств и функций, Москва 1948. Читатель найдет материал, относящийся к вопросу о линиях, в § 10 главы VI и § 2 и § 3 главы VII. В этой же книге читатель найдет все необходимые сведения по теории точечных множеств, изложенные с исчерпывающей полнотой.

2. Н. Н. Лузин, Теория функций действительного переменного, Москва 1940. Здесь понятию линии посвящена глава V. В ней, кроме разобранного в этой статье материала, дано изложение и других вопросов, которых мы совершенно не касались.

3. Готовится к печати полное собрание сочинений П. С. Урысона, куда, в частности, войдет и его работа по теории кривых под названием «Канторовы линии», являющаяся второй частью его большой работы по теории размерности, изданной под общим названием. «Канторовы многообразия».

Черт. 20

МЕТОДИКА

ЗАДАЧИ К ПЕРВЫМ РАЗДЕЛАМ СТЕРЕОМЕТРИИ

Х. Б. АБУГОВА (Ленинград)

Наша школа много и успешно работает над повышением качества знаний учащихся. В частности, можно отметить большие достижения в области подготовки учащихся по геометрии. Однако как показывают итоги приемных экзаменов в вузы (см. журнал «Математика в школе», № 2 за 1950 г.), а также наблюдения за работой школ, некоторые главы геометрии усваиваются учащимися недостаточно. Одной из таких глав является глава «Прямые и плоскости». Именно в вопросах, связанных с этой главой, учащиеся чаще всего обнаруживают недочеты в общем математическом развитии и поверхностное знание фактического материала. Подтвердим сказанное примерами.

1. У отдельных учащихся существует неправильное представление, что задачи о взаимных положениях геометрических объектов, изучавшиеся в планиметрии, имеют те же решения и в стереометрии.

Так например, на вопрос: «Сколько можно провести в пространстве прямых, параллельных данной и удаленных от данной прямой на данное расстояние?», некоторые учащиеся отвечают: «Две».

2. Учащиеся нередко судят о свойствах геометрических образов только на основании зрительных впечатлений, полученных из рассмотрения чертежа, и не понимают необходимости доказать справедливость сделанных наблюдений.

Например, предложение: «Плоскость, проведенная через сторону DC параллелограма ABCD и не совпадающая с плоскостью ABCD, параллельна стороне АВъ (черт. 1) — учащиеся обычно не доказывают, а ограничиваются ссылкой на чертеж.

3. Учащиеся часто по изображению геометрических объектов неверно устанавливают их взаимное положение.

Например, на вопрос: «Каково взаимное положение прямых AB и CD, лежащих в пересекающихся плоскостях Р и Q, образующих равные углы ВАС и ACD с линией пересечения?» (черт. 2)—отвечают: «Прямая AB параллельна прямой СО».

4. Выполняя дополнительное построение, учащиеся иногда допускают формулировки, подобные следующей: «Проведем в правильной треугольной пирамиде сечение через ребро, высоту и середину противоположной ребру стороны основания», т. е. задают лишние условия для построения плоскости.

5. Решая задачу: «Два равнобедренные треугольника ABC и ABS (черт. 3) имеют общее основание AB, а плоскости их образуют угол 60°. Определить расстояние SO вершины S от плоскости треугольника ABC, если высота

Черт. 1 Черт. 2

SK треугольника ABS равна h», учащиеся нередко делают ошибки при обосновании дополнительного построения. Эти ошибки вызваны недостаточным пониманием того, что последовательность рассуждений при доказательстве зависит от того, какие элементы были построены и в каком порядке:

а) если соединялись точки О и /С, то надо доказать, что угол SKO — линейный угол двугранного угла SABC;

б) если была построена в плоскости треугольника ABC прямая LK, перпендикулярная стороне AB, то надо доказать, что прямая LK пересекает прямую SO.

6. Решая задачу № 16 § 3 стабильного задачника: «AB и CD — параллельные отрезки, лежащие в двух пересекающихся плоскостях; АЕ и DF—перпендикуляры на линию пересечения плоскостей. Расстояние AD = 5 см и отрезок EF = 4 см. Найти расстояние между прямыми AB и CD» (черт. 4), учащиеся правильно считают отрезки AB и CD параллельными линии пересечения плоскостей, а отрезок ЕК, соединяющий основание К перпендикуляра, опущенного из точки А на отрезок CD, с точкой Е — перпендикуляром к линии пересечения плоскостей; однако не все учащиеся могут обосновать эти утверждения.

7. Из двух следующих однотипных задач учащиеся лучше справляются с первой, чем со второй:

а) «Из вершины А тупого угла ромба ABCD восставлен к его плоскости перпендикуляр AS. Треугольник SBC наклонен к плоскости ABCD под углом в 45°. Определить площадь треугольника SBC, если сторона ромба а и острый угол ромба равен 60°»;

б) «Из вершины а острого угла ромба ABCD восставлен к его плоскости перпендикуляр AS. Треугольник SBC наклонен к плоскости ABCD под углом в 45°. Определить площадь треугольника SBC, если сторона ромба а и острый угол ромба равен 60°».

Затруднение в решении второй задачи объясняется тем, что высота треугольника SBC проходит вне его.

8. Некоторые учащиеся неправильно формулируют признаки параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. «Прямая параллельна плоскости, если она параллельна всем прямым, лежащим на плоскости», или «Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна одной прямой, проведенной на плоскости».

9. Сформулировав прямую и обратную теоремы о параллельности прямой и плоскости, учащиеся иногда затрудняются в применении этих теорем к решению несложных задач. Например, у отдельных учащихся вызывает затруднение задача: «Доказать, что сечение, проведенное в правильной четырехугольной пирамиде, параллельно боковой грани, есть трапеция».

Перечисленные недостатки объясняются несколькими причинами. Одной из них является отсутствие системы упражнений, которая способствовала бы глубокому изучению указанной главы. Задач в сборнике Рыбкина здесь явно недостаточно. Действительно:

1. Содержание первых разделов задачника и учебника не совпадает. Поэтому первые 23 параграфа по учебнику не сопровождаются упражнениями.

2. Во всех чертежах, приведенных в стабильном задачнике, даются одни и те же изображения некоторых частных случаев взаимных положений геометрических объектов. Например, прямая, параллельная плоскости, изображается как на чертеже 5, а прямая, перпендикулярная к плоскости, — как на чертеже 6. У учащихся вырабатывается привычка каждому образу соотносить одно определенное изображение.

Отсюда — неумение прочесть чертеж, если он отличается от знакомых, часто встречающихся изображений.

3. В условии разных задач повторяются одни и те же свойства (для данного вопроса) геометрических образов и не рассматриваются другие, например:

а) в задачах, где задается точка, лежащая вне плоскости треугольника и равноудаленная от его вершин, треугольник берется остроугольный (задачи №№ 18 и 20 § 1);

Черт. 3 Черт. 4

Черт. 5 Черт. 6

б) в задачах на применение теоремы о трех перпендикулярах, где один из трех перпендикуляров является высотой треугольника или параллелограма, эта высота не бывает вне фигуры [задачи №№ 22 и 23 § 1; 7 и 10 (1) § 4]*.

Ясно, что учащиеся, свободно справляясь с задачами, в которых рассматриваются одни свойства фигуры, затрудняются при решении аналогичных задач, где указаны другие свойства.

4. Подавляющее большинство упражнений к теме «Прямые и плоскости» являются задачами на вычисление. Главная цель решения этих задач—получить правильный числовой ответ.

Все сказанное свидетельствует о необходимости выработать систему упражнений, обеспечивающую лучшую подготовку учащихся по материалу первой главы стереометрии.

Настоящая статья и представляет собою попытку изложить те основные требования, которым должна удовлетворять такая система упражнений, и привести ряд упражнений к отдельным разделам данной главы.

Перед системой упражнений к главе «Прямые и плоскости» нужно поставить следующие требования:

1. Глава «Прямые и плоскости» является первой темой стереометрии. Здесь учащиеся знакомятся с новыми для них геометрическими образами (пространственными образами). Поэтому необходимо выработать у учащихся правильные пространственные представления и развить их пространственное воображение.

2. В главе «Прямые и плоскости» учащиеся впервые встречаются с тем обстоятельством, что геометрические объекты искажаются при их изображении на чертежах. Поэтому необходимо научить их правильно изображать пространственные образы на плоскости и читать чертежи.

3. В теме «Прямые и плоскости» вводится новый неопределяемый объект — плоскость и новые аксиомы. Здесь встречается много новых определений теорем, выражающих необходимые и достаточные условия, задач на геометрические места и т. п.

Здесь существенно необходимо провести ряд упражнений, имеющих целью вновь поставить перед учащимися вопросы о логической структуре курса геометрии, о прямой и обратной теоремах, о необходимых и достаточных условиях и т. п.

4. Глава «Прямые и плоскости» является основой курса стереометрии. Поэтому особенно важно дать прочные знания фактического материала этой главы и научить применять эти знания в последующих разделах курса.

5. Упражнения должны быть подобраны так. чтобы учащиеся могли применить полученные знания к решению вопросов практическое жизни.

6. При изучении стереометрии приходится постоянно обращаться к различным предложениям планиметрии, поэтому необходима дальнейшая работа над закреплением знаний планиметрии.

Установим теперь, каким должно быть содержание упражнений и какие виды их следует выбрать, чтобы обеспечить выполнение поставленной цели.

1. По своему содержанию упражнения к главе «Прямые и плоскости» должны состоять из вопросов о всевозможных взаимных положениях прямых и плоскостей.

Чтобы воспитать у учащихся умение свободно ориентироваться в геометрическом материале, обогатить их пространственные представления, дать материал для развития логического мышления и т. п., надо расширить круг изучаемых фактов. С этой целью следует рассмотреть взаимные положения прямых и плоскостей, не представленные в учебнике, и включить в систему упражнений ряд дополнительных предложений и следствий изученных теорем.

Надо, например, предложить ряд задач, подобных следующей: «Прямая параллельна плоскости. Как расположена прямая относительно прямых; а) лежащих в плоскости, б) параллельных плоскости, в) пересекающих плоскость?» Или доказать такие предложения: а) «Плоскость, параллельная другой, плоскости, параллельна всем прямым, лежащим в этой плоскости; б) если две плоскости взаимно перпендикулярны и в одной из них проведен перпендикуляр к линии пересечения плоскостей, то он является перпендикуляром к другой плоскости».

2. Некоторые понятия, встречающиеся в данной теме новы и непривычны учащимся (угол двух скрещивающихся прямых, угол между наклонной прямой и плоскостью и др.), а потому плохо усваиваются и быстро забываются. Чтобы обеспечить прочные знания, надо к каждому трудному вопросу постоянно возвращаться. С этой целью нужно в упражнения к последующим разделам включить задачи, где вновь встречаются эти понятия. Например, вопрос об определении угла двух скрещивающихся прямых может быть рассмотрен в зада-

* Исключение составляет задача № 10 (2) § 4, но в ней высоту обычно находят, пользуясь формулой Герона; если даже она изображается на чертеже неверно, это не влияет на решение.

чах к разделам: «Перпендикуляр и наклонные к плоскости», «Двугранные углы» и т. д.

В разделе «Перпендикуляр и наклонные к плоскости» можно решить такие задачи: а) «Дан куб ABCDÄB'CD' (черт. 7). Определить углы, образуемые отрезками D'C и ВС, D'C и В'С. б) Прямая KL перпендикулярна плоскости Р. Определить углы, которые она образует со сторонами треугольника ABC, лежащего на плоскости Р» (черт. 8). в) «Дан квадрат ABCD. Из точки О пересечения диагоналей восставлен к его плоскости перпендикуляр ОЕ0 Доказать, что отрезок АЕ перпендикулярен диагонали /3D».

В разделе «Двугранные углы» можно предложить такую задачу: «Отрезок прямой упирается в грани прямого двугранного угла и образует с каждой гранью угол в 30°. Найти угол между этим отрезком и ребром двугранного угла».

3. Для закрепления знаний по планиметрии надо подбирать к главе «Прямые и плоскости» такие задачи, в которых содержатся разнообразные вопросы планиметрии.

4. Одним из средств хорошо подготовить учащихся к X классу является решение простых задач, входящих в доказательства теорем и в задачи курса X класса. Такие задачи должны в большом числе встречаться в упражнениях в главе «Прямые и плоскости». Например, при доказательстве теоремы об объеме наклонного параллелепипеда (см. Киселев, Геометрия, ч. 2, § 87) требуется доказать, что высота перпендикулярного сечения является высотой параллелепипеда. Это предложение может быть содержанием несложной задачи на доказательство в соответствующем разделе главы «Прямые и плоскости». Вот пример такой задачи.

«Через сторону АС параллелограма ААГС'С проведена перпендикулярно к его плоскости плоскость Р. Доказать, что высота параллелограма, опущенная на линию пересечения плоскостей, перпендикулярна плоскости Р».

Решение задачи № 15 § 7 стабильного задачника: «Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD, в котором угол BAD = 60°, боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в 60° и плоскость ААГС'С перпендикулярна к плоскости основания. Доказать, что площади сечений BB'D'D и АА'СС относятся как 2:3» (черт. 9), — составляется из решения следующих простых задач курса геометрии IX класса:

а) задача, приведенная выше в качестве примера;

б) «Доказать, что если через вершину угла ABD проведена наклонная ААГ к плоскости угла и ее проекция на эту плоскость является биссектрисой заданного угла, то наклонная составляет одинаковые углы со сторонами AB и AD заданного угла»;

в) «AAf — наклонная к плоскости равнобедренного треугольника ABD (АВ = AD). Проекция наклонной ААГ на плоскость треугольника ABD является биссектрисой угла BAD. Определить угол между ААГ и BD» и т. п.

5. Чтобы воспитать у учащихся умение применять полученные знания в жизни, надо уделить внимание к задачам с практическим содержанием, в которых используются предложения этой главы.

6. Задача расширения пространственных представлений и развития пространственного воображения учащихся настолько важна в этой теме, что требует большого числа специальных упражнений. Нужно, например, показать, что многим понятиям, известным из планиметрии, в стереометрии соответствуют образы, более богатые содержанием. Для этого следует на первых же уроках привести упражнения, в которых требуется сравнить решение одних и тех же задач на плоскости и в пространстве. Нужно также практиковать задачи, где предлагается создать некоторый образ мысленно, не пользуясь ни чертежом, ни моделью, например: «Две плоскости взаимно перпендикулярны. Как расположены прямые, лежащие в одной из них относительно другой?»

Черт. 7 Черт. 8

Черт. 9 Черт. 10

7. Для выработки навыков изображения пространственных образов на плоских чертежах и чтения чертежей необходимы также специальные упражнения, а именно:

а) задачи, в которых требуется изобразить определенное взаимное положение объектов, например: «Изобразить часть плоскости, проходящей через ребро CD (черт. 10) и точку Е и ограниченную гранями куба»;

б) задачи, в которых требуется по чертежу установить взаимное положение изображаемых объектов. Например : « Четырехугольник ABCD— прямоугольник, стороны треугольника DCE равны: DC = 4, СЕ = 3, DE = 5 (черт. 11). Каково взаимное положение отрезка DC и плоскости треугольника ВСЕ?»;

в) задачи, в которых одно и то же взаимное положение изображается различно на различных чертежах.

Вот примеры задач на изображение прямой, перпендикулярной к плоскости:

а) «Дан треугольник ABC. Через сторону ВС проведена плоскость Р, перпендикулярная стороне AB (черт. 12). Определить вид треугольника относительно углов»;

б) «Даны две плоскости Р и Q, пересекающиеся по прямой ВС так, что перпендикуляр из точки А, взятой на одной из них (черт. 13), к другой, пересекает другую плоскость в точке, находящейся вне ВС. Перпендикуляр же OK, опущенный из точки О на первую плоскость, пересекает ВС. Верно ли формулировано условие задачи? Если неверно, то объясните, почему»;

в) «Чергз сторону M'N' (черт. 14) параллелограма MNN'M' проведена плоскость Р, перпендикулярная к стороне NN'. Наклонная NK к плоскости Р перпендикулярна к стороне MN. Доказать, что MN перпендикулярна к плоскости треугольника NN'К». (При каком условии построение, данное в условии задачи, возможно?)

8. Для развития логического мышления учащихся полезны: а) задачи на составление и доказательство теорем, обратных данным; б) задачи, в которых требуется установить необходимые и достаточные признаки, характеризующие определенный объект; в) задачи, основная цель которых — воспитать умение делать обоснованные выводы и отучить от ссылок на очевидность. Следует, в частности, обратить внимание учащихся на доказательство справедливости предложений, обычно принимаемых ими без доказательства; например: «Доказать, что все перпендикуляры к данной плоскости, опущенные из точек отрезка, лежащего вне данной плоскости, находятся в одной плоскости».

9. Большое значение в этой теме имеют устные задачи. Действительно, упражнения на чтение чертежей, на развитие пространственного воображения и т. д. представляют собой чаще всего устные задачи, небольшие, «летучие» вопросы.

Запас пространственных представлений у учащихся вначале очень мал. Вследствие этого они не всегда достаточно осмысливают формулировки новых предложений. Новые формулировки, особенно на первых порах, необходимо тщательно разбирать, выясняя смысл каждого слова. При этом следует ставить ряд устных вопросов; так, например, при изучении признака параллельности двух плоскостей можно предложить следующие вопросы: «Почему нельзя признак параллельности двух плоскостей формулировать так: а) если пря~ мая одной плоскости параллельна прямой другой плоскости, то плоскости параллельны; б) если две прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны?» и т. п.

Каждую новую теорему следует сначала применять в несложных упражнениях, содержащих одно-два умозаключения; такие упражнения можно предлагать в качестве устных. Например, после знакомства с признаком параллельности прямой и плоскости можно решать такие устные задачи:

а) «Дан параллелограм ABCD (черт. 15). Через его сторону AB проведена плоскость Q, не совпадающая с плоскостью ABCD. Доказать, что сторона CD параллельна плоскости Q»;

Черт. 11 Черт. 12

Черт. 13 Черт. 14

б) «Дана трапеция ABCD (AB \\ CD); через сторону AB (черт. 16) проведена плоскость Р, не совпадающая с плоскостью трапеции. Каково взаимное положение стороны CD и плоскости Р?»;

в) «Через середины К и L сторон AS и AD треугольника ASD проведена плоскость, не совпадающая с плоскостью ASD (черт. 17). Каково взаимное положение SD и проведенной плоскости?».

Заметим, что при помощи устных упражнений осуществляются и другие цели воспитательного и образовательного характера: привитие навыка самоконтроля, развитие устной речи и др.

10. Глава «Прямые и плоскости» посвящена вопросам геометрии положения. Это определяет место и удельный вес в ней задач на вычисление, построение и доказательство. Так как вопросы метрических зависимостей в этой главе не затрагиваются, то главное значение приобретают задачи на доказательство и построение.

В процессе решения задач на доказательство учащиеся могут рассмотреть различные формулировки одной и той же теоремы. Например, другую формулировку признака параллельности прямой и плоскости можно получить в результате решения следующей задачи на доказательство: Доказать, что любая плоскость, преходящая только через одну из двух параллельных прямых, параллельна другой».

Задачи на доказательство можно решать в качестве упражнений к каждому предложению главы; сказанное о задачах на доказательство относится и к задачам на построение. Решение задач на построение особенно способствует развитию пространственного воображения учащихся. Постановка задач на построение в этой теме является новой для учащихся. Известно, что задачи на построение в пространстве могут быть двух видов: задачи на «воображаемые» построения и задачи, в которых выполняется фактическое построение на проекционном чертеже. В систему упражнений к главе «Прямые и плоскости» следует включить оба вида задач на построение.

Первые имеют большое значение как задачи на доказательство существования, как материал для развития навыков исследования, с помощью вторых учащиеся обучаются практическому построению. Задачи на «воображаемые» построения могут быть включены в систему упражнений сразу же после изучения аксиом плоскости. Для выполнения построений на проекционном чертеже нужен некоторый запас знаний по стереометрии. Поэтому их можно ввести после изучения теорем о зависимости между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей.

Чтобы воспитать у учащихся умение делать обоснованные выводы, следует каждой задаче на вычисление элементов заданного геометрического образа предпослать задачи на построение этого образа и доказательство его свойств; например, прежде чем решить задачу: «В равнобедренном треугольнике основание и высота содержат по 4 см. Данная точка находится на расстоянии 6 см от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин; найти это расстояние», — можно решить следующие задачи:

а) «Из точки О плоскости Р восставлен к ней перпендикуляр ОК. Построить из точки К этого перпендикуляра три наклонные КА, KB и КС, длины d каждая»;

б) «Дан треугольник ABC. Точка К—вне его плоскости; КА = KB = КС. Доказать, что проекция точки К на плоскость треугольника равноудалена от его вершин»;

в) «Дан треугольник ABC. Угол А = 90°, ВС = а. Точка К—вне плоскости треугольника ABC; КА = KB = КС. Определить проекцию АК на плоскость треугольника. Как изменится положение проекции точки К на плоскость треугольника, если треугольник ABC будет остроугольным, тупоугольным? Может ли проекция точки К совпасть с одной из вершин треугольника ABC?».

Постепенно следует уменьшать количество этих предварительных упражнений; в конце темы их можно совсем опустить.

11. Значительно повышает общее математическое развитие учащихся и закрепляет знание

Черт. 15 Черт. 16

Черт. 17

фактического материала постановка различных задач общего характера, требующих исследования, критического пересмотра денных и т. п.

К таким задачам относятся: 1) задачи, в которых требуется самостоятельно сделать общий вывод из рассмотренных фактов. Например: «Рассмотреть взаимные положения прямой, перпендикулярной к плоскости и а) прямых данной плоскости, б) прямых, параллельных данной плоскости».

2) Задачи, где надо исследовать условия существования различных взаимных положений данных образов. Например: «Дан треугольник ABC. Из точки А проведен перпендикуляр AD к его плоскости, из точки D проведен перпендикуляр к ВС. Какие условия должны быть выполнены, чтобы этот перпендикуляр:

а) пересекал отрезок ВС в точке внутри его,

б) проходил через един из его концов,

в) пересекал его продолжение?»

3) Задачи, в которых надо подвергнуть критическому анализу условие задачи, содержание, лишние данные, задачи неопределенные, задачи с противоречивыми данными и т. п. например:

а) «Даны две взаимно перпендикулярные плоскости Р и Q, пересекающиеся по MN. Из точки А плоскости Р опущен перпендикуляр AB к MN так, что AB перпендикулярна плоскости Q. Может ли это быть? Нет ли в условии задачи лишних требований?»

б) «Через точку вне данной плоскости провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости. Определенна ли задача? Какое условие надо добавить, чтобы задача стала определенной?»

в) «Два четырехугольника ABCD и АВЕН, плоскости которых не совпадают, перпендикулярны к плоскости Р, проходящей через стороны ВС и BE. AB наклонена к плоскости Р под углом а<90°. Указать противоречие в условии задачи».

Остановимся также на порядке расположения задач к главе «Прямые и плоскости».

Частично мы затронули этот вопрос, когда говорили о месте в системе упражнений, задач на построение, вычисление и доказательство.

Последовательность расположения упражнений определяется в основном системой расположения теоретического материала.

По отношению к теоретическому материалу упражнения можно разделить на:

а) задачи на доказательство существования определяемых объектов;

б) задачи, подготовительные к теоремам;

в) задачи на закрепление теоретического материала;

г) задачи, расширяющие круг изученных в теории вопросов.

В упражнениях должны быть представлены все указанные виды задач.

Задачи на доказательство существования отдельных взаимных положений геометрических объектов должны предварять соответствующие определения во всех случаях, где это возможно.

При решении некоторых задач бывает необходимо провести анализ. В анализе приходится опираться на теорему, обратную применяемой при решении. Например, в несложной задаче, приведенной ниже, при анализе решения применяется теорема обратная теореме о трех перпендикулярах, в то время как при синтезе — сама теорема о трех перпендикулярах. «Из вершины А квадрата ABCD, сторона которого равна 3, восставлен перпендикулярно его плоскости отрезок АК. Конец К соединен с вершинами В и С. Если отрезок KB = 4, то отрезок КС = 5. Проверить.

Анализ. Заданные отрезки являются сторонами треугольника КВС. Так как квадрат большей из заданных сторон этого треугольника равен сумме квадратов двух меньших сторон, то угол КВС треугольника КВС должен быть прямым, следовательно, угол ABC должен быть так же прямым (теорема обратная теореме о трех перпендикулярах), что выполняется согласно условию задачи.

Синтез. 1) угол ABC равен 90° — по условию; 2) угол КВС равен 90°—по теореме о трех перпендикулярах; 3) следовательно, КС* = KB* + DC*.

Значит, заданные отрезки могут иметь длины, указанные в условии.

Учитывая сделанное замечание, следует сложные задачи на закрепление теорем, к которым даны в учебнике обратные, поместить после изучения последних. Это обеспечит возможность проведения (в случае необходимости) анализа. Лишь простейшие задачи, решение которых не требует анализа, можно поместить сразу после доказательства прямых теорем.

Задачам, в которых предлагается установить некоторые свойства, общие определенному множеству объектов, иногда следует предпослать ряд задач, где эти свойства наблюдаются на отдельных объектах рассматриваемого множества. Например, прежде чем решить задачу: «Для

Черт. 18

любого ли плоского многоугольника можно найти в пространстве точки, равноудаленные от всех сторон? Если нет, то для каких возможно?» — полезно решить такие задачи:

1) «Расстояния от некоторой точки О, находящейся вне плоскости треугольника, до сторон треугольника одинаковы. Доказать, что точка О проектируется в центр вписанной в треугольник окружности»;

2) «Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием а = 6 см и боковой стороной Ь = 5 см. К плоскости треугольника в центре О вписанного в него круга проведен перпендикуляр OK = 2 см. Найти расстояние точки К от сторон треугольника и от вершины В». (Рыбкин, ч. 2, § 1, № 21);

3) «Расстояния точки Р, находящейся вне плоскости равнобедренной трапеции, до сторон трапеции одинаковы. Доказать, что высота трапеции КН вдвое больше проекции на плоскость трапеции отрезка РМ, принимаемого за расстояние от точки Р до сторон трапеции» (черт. 19).

Устные упражнения должны находиться в органической связи с письменными задачами. Часто устные упражнения, как более простые, должны предшествовать письменным. Иногда в устных задачах обобщается материал, рассмотренный в письменных задачах.

Если в процессе решения задачи устанавливается какой-нибудь важный факт, нужно закрепить его на ряде последующих упражнений. Например, в результате решения задачи: «Через две параллельные прямые проведены две пересекающиеся плоскости. Доказать, что линия пересечения параллельна заданным прямым. Формулировать обратное предложение и заменить эти два предложения одним» — получается предложение: «Для того чтобы две прямые, лежащие в пересекающихся плоскостях, были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы они были параллельны линии пересечения плоскостей». Это предложение можно использовать в следующих задачах:

1) «В двух пересекающихся плоскостях Р и Q через данные в этих плоскостях две точки А и В провести прямые а и Ъ, принадлежащие соответственно этим плоскостям и параллельные между собой»;

2) «На двух пересекающихся плоскостях взято по точке. Через эти две точки провести плоскость, параллельную общей прямой данных плоскостей».

3) «Даны две пересекающиеся плоскости Р и Q. Построить линии пересечения данных плоскостей с плоскостью R. Плоскость R проходит через точки А и В плоскости Р и через точку С плоскости Q ».

Ниже приведены упражнения к следующим разделам главы «Прямые и плоскости» : 1) «Аксиомы прямой и плоскости»; 2) «Взаимные положения прямых в пространстве»; 3) «Прямая и плоскость, параллельные между собой»; 4) «Угол двух скрещивающихся прямых»; 5) Перпендикуляр и наклонные к плоскости»*.

Прежде чем перейти к упражнениям, сделаем несколько методических указаний.

1. На первых уроках содержание устных задач необходимо иллюстрировать на наглядных пособиях, которые должны быть у каждого ученика. В дальнейшем, начиная, примерно, с теоремы о прямой, параллельной плоскости, содержание устных задач надо иллюстрировать на чертеже, приготовленном заранее или выполненном на доске во время чтения условия задачи. К помощи наглядных пособий здесь следует прибегать лишь в случае затруднений при усвоении условия или в процессе решения задачи. На этом этапе начинается и работа по обучению чтению чертежей. Поэтому, сообщая содержание устной задачи, надо предлагать учащимся самые разнообразные изображения одного и того же взаимного положения геометрических образов (см. чертежи, приведенные ниже к задачам).

Некоторые устные задачи (по усмотрению учителя) следует решать без чертежей и наглядных пособий. Если в тексте устной задачи ставится несколько вопросов, нужно сначала предложить учащимся первый вопрос и после того, как он будет разрешен,— второй.

2. Решение письменных задач следует сопровождать чертежами.

3. При решении задач (как письменных так и устных) надо требовать обоснование каждого выдвинутого положения.

4. При решении сложных задач надо добиваться от учащихся самостоятельного проведения анализа. Вначале следует привести несколько примеров аналитического способа рассуждений при доказательстве теорем или при решении

Черт. 19

* Задачи частично заимствованы из ряда книг, частично составлены автором.

задач, а затем предложить самостоятельно доказать теорему или решить задачу аналитическим способом.

5. При решении задач на построение должны быть представлены все этапы решения: анализ, построение, доказательство и исследование.

6. Следует обращать внимание учащихся на то обстоятельство, что в зависимости от различной последовательности рассуждений в одной и той же задаче на построение, планы построения получаются разные, а отсюда — и различные структуры доказательства.

7. Необходимо приводить учащимся различные способы решения одной и той же задачи и учить их выбирать наиболее рациональные.

8. В отдельных задачах рассматриваются куб, цилиндрическая и шаровая поверхности. Определение этих образов не дается в IX классе. Учащимся придется пользоваться представлениями, имеющимися у них из опыта; для решения задач, в которых задается куб, достаточно напомнить, что все грани куба суть квадраты.

1. Упражнения к разделу «Аксиомы плоскости»

В начале приводится несколько упражнений на повторение аксиом прямой, причем прямая рассматривается в пространстве.

Аксиомы плоскости излагаются в другом порядке, чем в стабильном учебнике. Первой поставлена аксиома, аналогичная первой аксиоме прямой. Почти все нижеприведенные задачи представляют собою несложные задачи на доказательство. При решении их каждое утверждение должно быть обосновано ссылкой на соответствующую аксиому или на следствие из аксиомы. Например, задача: « Доказать, что все прямые, пересекающие прямую AB и проходящие через точку С, не лежащую на AB, лежат в одной плоскости» (черт. 20) — решается так:

1) точка С и прямая AB определяют плоскость Р (следствие из аксиомы плоскости);

2) прямая CK принадлежит плоскости Р (вторая аксиома плоскости).

Задачи №№ 2, 5, 8, 12, 26 приведены с целью показать учащимся, что в аксиомах прямой и плоскости формулированы такие, установленные из опыта свойства, которые дают возможность отличать прямую и плоскость соответственно от других линий и поверхностей.

В задачах №№ 3, 4, 24, 25 рассматривается вопрос о необходимых и достаточных данных для построения прямой и плоскости.

Задачи №№ 14, 27, 30 посвящены обучению чтению чертежей, а в задачах №№ 31, 32 предлагается начертить некоторую часть плоскости, пользуясь соответствующими правилами изображения и установленными аксиомами. Задачи №№ 7, 15 являются задачами на доказательство существования определяемых, взаимных положений.

Первая аксиома прямой. Через две точки можно провести прямую, и притом только одну.

1) (Устно.) Можно ли сказать, что две любые точки всегда лежат на одной прямой? Можно ли сказать то же о трех точках?

2) (Устно.) Какой геометрический образ вполне определяют любые две заданные его точки? Можно ли сказать, что любые две заданные точки определяют окружность? Знаете ли вы другие линии, к которым применимо утверждение, высказанное в первой аксиоме прямой?

3) (Устно.) Верно ли (в общем случае) условие такой задачи: «Провести в треугольнике медиану через центр описанной окружности»?

4) (Устно.) Можно ли решить такую задачу: «Провести в параллелограме прямую через середины противоположных сторон и точку пересечения диагоналей»? Все ли данные необходимы для построения указанной прямой? Сформулируйте задачу так, чтобы в ней были изложены необходимые и достаточные данные.

Вторая аксиома прямой. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то каждая точка прямой принадлежит плоскости*.

5) (Устно.) Окружность имеет с плоскостью две общие точки. Можно ли утверждать, что все точки окружности обязательно принадлежат плоскости? Рассмотрите различные случаи.

Первая аксиома плоскости. Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом, только одну.

6) (Устно.) Какое наименьшее количество точек определяет плоскость?

7) (Устно.) Как расположены две плоскости, имеющие три общие точки, не лежащие на одной прямой?

8) (Устно.) Через три точки, не лежащие на одной прямой, проведена шаровая поверхность. Можно ли утверждать, что заданные три точки определяют шаровую поверхность? Выяснить то же для цилиндрической поверхности.

9) (Устно.) Выберите в классе любые три точки, не лежащие на одной прямой, и движением руки укажите плоскость, которую они определяют. Проведите мысленно плоскость через три точки А, В

Черт. 20

* «Первая» и «вторая» аксиомы прямой приводятся в соответствии с известными учащимся из планиметрии свойствами прямых линий и имеют целью указанные автором повторение этих свойств. — Редакция.

и С, расположенные так, как указано на чертеже 21.

10) (Устно.) Могут ли вершины замкнутой ломаной, состоящей из 4-х звеньев, не лежать на одной плоскости? (Дается название этого образа: «косой» четырехугольник.)

11) (Устно.) Могут ли вершины замкнутой ломаной, состоящей из 3-х звеньев, не лежать на одной плоскости?

Вторая аксиома плоскости. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то каждая точка прямой принадлежит плоскости.

12) (Устно.) Шаровая поверхность имеет с прямой две общие точки. Принадлежат ли другие точки прямой шаровой поверхности?

13) (Устно.) Прямая имеет с цилиндрической поверхностью две общие точки. Принадлежат ли другие точки цилиндрической поверхности прямой? Рассмотрите разные положения двух общих точек заданных объектов.

14) (Устно.) Прямая и плоскость параллелограма KLMN имеют две общие точки А и В. Как расположена точка С прямой AB относительно плоскости, которой принадлежит параллелограм KLMN (черт. 22).

15) (Устно.) Если плоскость и не лежащая в ней прямая имеют общую точку, то эта точка единственна. Доказать.

Замечание. После решения этой задачи дается определение прямой, пересекающей плоскость.

Следствия из 1 и 2 аксиом плоскости (Киселев, ч. 2, § 3).

16) (Устно.) Сколько плоскостей можно провести через одну прямую?

17) (Устно.) В пространстве даны четыре точки. Сколько плоскостей определяется этими четырьмя точками? Разобрать разные случаи.

18) (Устно.) Из некоторой точки пространства проведены три луча. Сколько плоскостей можно провести через эти лучи? Рассмотреть различные случаи.

19) Доказать, что все прямые, пересекающие прямую AB и проходящие через точку С, не лежащую на AB, лежат в одной плоскости.

20) Прямые а и Ь имеют общую точку М. Какому геометрическому объекту принадлежат все прямые, пересекающие каждую из заданных прямых и не проходящие через точку М"? Как изменится ответ, если допустить, что прямые проходят через точку М?

21) Доказать, что если каждые две из нескольких данных прямых пересекаются, то все эти прямые либо проходят через одну и ту же точку, либо принадлежат одной и той же плоскости.

22) (Устно.) Могут ли две противоположные стороны косого четырехугольника быть параллельны?

23) Доказать, что прямая, пересекающая две параллельные прямые, лежит в плоскости, которой принадлежат эти прямые.

24) (Устно.) Можно ли провести плоскость через прямую и две точки? В каком случае задача возможна? Необходимы ли все указанные в задаче условия?

25) (Устно.) Дан равносторонний треугольник ABC. Точка S—вне его плоскости (черт. 23). Точка 5 соединена с центром О треугольника и вершиной В. Можно ли провести плоскость через SB, SO и середину стороны АС? Содержатся ли в задаче лишние данные?

Третья аксиома плоскости. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

26) (Устно.) Две шаровые поверхности имеют общую точку. Каково их взаимное положение? Рассмотреть разные случаи.

Каково взаимное положение двух цилиндрических поверхностей, имеющих общую точку? Рассмотреть разные случаи. Можно ли свойство, формулированное в 3-й аксиоме плоскости, распространить на эти поверхности?

27) (Устно.) Как расположены плоскости, которым принадлежат четырехугольники (чертеж 24), имеющие общую точку К?

28) (Устно.) Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?

29) (Устно.) Как могут быть расположены две плоскости, имеющие две общие точки?

30) (Устно.) Плоскостям каких фигур, изображенных на чертеже 25, принадлежит точка А плоскости Q?

31) Изобразите часть плоскости, проходящей через концы трех ребер, выходящих из точки D, и ограниченной гранями куба (черт. 26).

32) Изобразите часть плоскости, проходящей через ребро CD куба и точку Е (черт. 10) и ограниченную гранями куба.

2. Упражнения к разделу «Взаимные положения двух прямых в пространстве»

Первые разделы главы «Прямые и плоскости», следующие за аксиомами плоскости, в стабильном задачнике расположены в таком порядке: а) «Параллельные прямые и плоскости», б) «Перпендикуляр и наклонные к плоскости», в) «За-

Черт. 21 Черт. 22

Черт. 23 Черт. 24

Черт. 25 Черт. 26

висимость между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей» и т. д. Если придерживаться этого порядка расположения материала, то естественно вопрос о перпендикулярности прямых в пространстве рассмотреть перед вторым разделом.

В приведенных ниже упражнениях задачи, аналогичные решенным в планиметрии, предлагаются, в основном, в качестве задач на «воображаемые» построения: результаты исследования в каждом случае сравниваются с результатами решения соответствующих задач в планиметрии.

Совпадающие прямые.

1) (Устно.) Дана прямая я. Сколько точек, и как расположенных относительно прямой а, необходимо и достаточно задать, чтобы построить прямую, совпадающую с прямой а?

Параллельные прямые.

2) Через точку Л, лежащую вне данной прямой а, построить прямую, параллельную данной. Сравнить решение этой задачи с решением соответствующей задачи в планиметрии.

3) (Устно.) Можно ли построить прямую, параллельную данной прямой и проходящую через две данные точки в пространстве? Сколько точек достаточно задать для построения определенной прямой, параллельной данной?

4) Построить прямую Ь, параллельную данной прямой а, на расстоянии d от а. Сравнить решение этой задачи с решением соответствующей задачи в планиметрии.

Пересекающиеся прямые.

5) (Устно.) Дана прямая а и точка А вне ее. Можно ли построить прямую, пересекающую данную и проходящую через точку Л? Как построить? Определенна ли задача? Какое условие надо добавить, чтобы сделать задачу определенной?

6) Сколько прямых можно провести через одну точку? Сравнить решение этой задачи с решением соответствующей задачи в планиметрии.

Замечание. После решения этой задачи можно дать определение пучка прямых и связки прямых.

7) Через точку Л, лежащую вне данной прямой а, провести прямую, образующую с данной прямой данный угол. Сравнить решение этой задачи с решением соответствующей задачи в планиметрии.

8) Через точку Л, лежащую на данной прямой а, провести прямую, образующую с данной прямой данный угол. Сравнить решение этой задачи с решением соответствующей задачи в планиметрии.

9) (Устно.) Указать данные, достаточные для построения прямой, пересекающей данную.

Перпендикулярные прямые.

10) Из точки Л, не лежащей на данной прямой, опустить на нее перпендикуляр. Сравнить решение этой задачи с решением соответствующей задачи в планиметрии.

Замечание: После решения этой задачи дать определение расстояния от точки до прямой в пространстве.

11) Даны прямая а и точка Л, вне ее. Построить отрезок, являющийся расстоянием от Л до прямой а.

12) Из точки Л, взятой на прямой а, восставить перпендикуляр к этой прямой. Сравнить решение этой задачи с решением соответствующей задачи в планиметрии.

Скрещивающиеся прямые.

13) Даны плоскость Р и прямая а в плоскости Р. Через точку Л плоскости Я, лежащую вне прямой а, провести прямую, не лежащую в этой плоскости.

Замечание. После решения этой задачи дать определение скрещивающихся прямых.

14) Даны две прямые а и Ь, расположенные на плоскости Я, и точка M вне этой плоскости. Через точку M провести прямую т, скрещивающуюся с прямыми а и Ь. Сколько решений имеет задача?

Указание. Искомые прямые не должны лежать в плоскости Q, проходящей через прямую а и точку М, а также в плоскости R, проходящей через точку M и прямую b (черт. 27).

15) (Устно.) Через две различные точки прямой проведены два перпендикуляра к этой прямой. Каково (в общем случае) взаимное положение этих перпендикуляров? Сравнить решение этой задачи с решением соответствующей задачи в планиметрии.

16) (Устно.) Треугольник ABC расположен вне плоскости Р. Стороны AB и ВС продолжены до пересечения с плоскостью в точках К и L. Можно ли утверждать, что отрезок KL и медиана ЛЕ — отрезки скрещивающихся прямых? Почему? (черт 28).

17) (Устно.) Как расположены линия пересечения двух плоскостей: Р и Q, изображенных на чертеже 2^, и прямая, пересекающая эти плоскости в точках Л и В, не лежащих на линии пересечения плоскостей Р и Q?

18) (Устно.) Как расположены в косом четырехугольнике ABCD, изображенном на чертеже 30, диагональ DB и отрезок EF, соединяющий середины сторон AB и ВС? Начертите ABCD так, чтобы отрезки DB и EF на чертеже не пересекались.

19) (Устно.) Укажите какие из изображенных на чертеже 31 отрезков скрещивающиеся?

20) (Устно.) Две прямые пересечены третьей. Сколько плоскостей можно провести через эти пря-

Черт. 27 Черт. 28

Черт. 29 Черт. 30

Черт. 31

мые так, чтобы каждая плоскость определялась двумя прямыми из числа данных?

3. Упражнения к разделу «Прямая и плоскость, параллельные между собой»

Приведенные ниже упражнения представляют собой упражнения на закрепление прямой и обратной теорем о прямой и плоскости параллельных между собою, и на следствия из этих теорем. Третье следствие (см. стр. 31) не рассматривается в учебнике; его можно получить в результате решения первой части задачи № 32. Это предложение используется при построении сечений в многогранниках, поэтому его следует рассмотреть в IX классе.

Задачи №№ 1 и 18 подводят к формулировкам соответствующих предложений.

Задачи №№ 2 и 6 дают другие формулировки доказанных теорем; нужно обратить внимание учащихся на эти предложения.

Задачи №№ 13, 20 и 32 — упражнения на замену прямой и обратной теоремы одним предложением. Основная цель задачи № 37 — научить различать прямую и обратную теорему. Задачи №№ 3, 4, 5, 7, и др. приведены в качестве упражнений в чтении чертежей.

Ряд задач представляют собой упражнения на развитие пространственного воображения, например задачи №№ 40, 41 и др. Ответ на каждый вопрос, поставленный в задачах №№ 24— 28 надо дать в виде отдельной задачи на доказательство или на построение. Например: 1) «Если прямая параллельна плоскости, то любая прямая, параллельная данной прямой, параллельна данной плоскости или лежит в ней»; 2) «Дана прямая а, параллельная плоскости Р. Построить прямую, скрещивающуюся с а».

Определение. Признак параллельности прямой и плоскости

1) Через точку, данную вне плоскости, провести прямую, не имеющую с плоскостью общих точек.

Замечание. После решения этой задачи дается определение прямой, параллельной плоскости.

2) (Устно.) Доказать, что любая плоскость, проходящая только через одну из двух параллельных прямых, параллельна другой. Какой смысл в формулировке задачи имеет слово «только»?

3) (Устно.) «Дан параллелограм ABCD (черт. 15); через сторону AB проведена плоскость Q, не совпадающая с плоскостью ABCD. Доказать, что сторона CP параллельна плоскости Q.

4) (Устно.) Дана трапеция ABCD (AB || CD); через сторону А В (черт. 16) проведена плоскость Р, не совпадающая с плоскостью трапеции. Каково взаимное положение стороны CD и плоскости Р?

5) (Устно.) Через середины К и L сторон треугольника ASD (К на AS, L на AD) проведена плоскость, не совпадающая с ASD (черт. 17). Каково взаимное положение SD и проведенной плоскости?

Теорема, обратная теореме о признаке параллельности прямой и плоскости

6) (Устно.) Если две плоскости пересекаются (черт. 32) и в одной из них проведена прямая, параллельная другой, то эта прямая и линия пересечения плоскостей параллельны. Доказать. Сравнить это предложение с теоремой, обратной теореме о признаке параллельности прямой и плоскости.

7) (Устно.) Даны плоскость Р и треугольник ABC. Сторона AB параллельна плоскости Р, а продолжения сторон АС и ВС пересекают плоскость Р в точках D и Е. Доказать, что /\АВС сх> /\DCE (черт. 33).

8) Рыбкин, «Сборник задач по геометрии», ч. 2, § 3, задача 14.

9) Рыбкин, § 3, № 15.

10) (Устно.) Через сторону АС треугольника ABC проведена плоскость Р, пересекающая плоскость треугольника ABC (черт. 34). Прямая KL пересекает стороны AB и ВС. При каком условии прямая KL параллельна плоскости Р?

11) (Устно.) Решить не пользуясь чертежом, следующую задачу. Плоскость косоугольного параллелограма ABCD пересекает плоскость Р, причем сторона AB параллельна плоскости Р; линией пересечения является высота параллелограма. Последнее утверждение неверно. Почему? При каком условии плоскость Р, параллельная AB, проходит через высоту параллелограма?

12) (Устно.) Даны два четырехугольника ABCD и CDEF, плоскости которых пересекаются (черт. 35). Можно ли и в каких случаях провести через AB плоскость, пересекающую CDEF по прямой, параллельной ABl Какого вида должны быть при этом заданные четырехугольники?

13) (Устно.) Каковы необходимые и достаточные условия параллельности прямой и плоскости?

14) Предложение о необходимых и достаточных условиях параллельности прямой и плоскости связывает три объекта: плоскость, прямую на ней и прямую вне плоскости, ей параллельную. Задав два из них, можно построить третий. Составить и решить все возможные в этом случае задачи на построение. Определенны ли они? Какие условия

Черт. 32 Черт. 33

Черт. 34 Черт. 35

можно добавить, чтобы задачи стали определенными?

15) (Устно.) Даны две скрещивающиеся прямые. Через одну из них провести плоскость, параллельную другой.

16) (Устно.) Между экраном и источником света поставлена прямоугольная рама так, что ее верхний край AB параллелен экрану (черт. 36). Тень падает на экран. Как расположены верхняя граница тени и край рамы?

Следствие 1 (Киселев, Геометрия, ч. 2, § 12).

17) (Устно.) Как расположена прямая, паралельная линии пересечения двух плоскостей, относительно каждой из этих плоскостей?

18) Составить и доказать предложение, обратное полученному, в результате решения задачи 17.

19) Через точку А провести прямую, параллельную двум пересекающимся плоскостям.

20) Предложения, сформулированные в задачах № 17 и 18, заменить одним предложением, содержащим слова «необходимо» и «достаточно».

Следствие 2 (Киселев, Геометрия, ч. 2, § 13).

21) (Устно.) Сколько можно провести в пространстве прямых, параллельных данной? Как расположены все прямые, удовлетворяющие данному условию?

22) (Устно.) Две прямые порознь параллельны третьей. Сколько различных плоскостей (в общем случае) можно провести через эти прямые так, чтобы по крайней мере две из них лежали в искомой плоскости? Рассмотреть все возможные случаи.

23) Доказать, что в косом четырехугольнике ABCD отрезки, соединяющие середины смежных сторон, образуют параллелограм.

24) Две прямые параллельны. Как может быть расположена одна из них относительно прямой: а) параллельной другой, б) пересекающей другую, в) скрещивающейся с другой?

25) Две прямые пересекаются. Как может быть расположена одна из них относительно прямой: а) параллельной другой, б) пересекающей другую, в) скрещивающейся с другой?

26) Две прямые скрещиваются. Как может быть расположена одна из них относительно прямой: а) параллельной другой, б) пересекающей другую, в) скрещивающейся с другой?

27) Прямая а параллельна плоскости Я. Как расположена прямая а относительно прямых: а) лежащих в плоскости Я, б) параллельных плоскости Я, в) пересекающих плоскость Я?

28) Прямая а параллельна плоскости Р. Как расположена плоскость Р относительно прямых: а) параллельных прямой а, б) пересекающих прямую а, в) скрещивающихся с прямой a?

29) Через данную точку А провести плоскость, параллельную двум данным прямым а и Ь.

Указание. Исследование: точка Л—вне прямых а и Ь: 1) прямая а пересекает прямую Ь — одно решение; исключение составляет случай, когда точка А лежит в плоскости, определяемой заданными прямыми, — тогда нет решения; 2) а параллельна Ь — бесконечное множество решений; 3) а скрещивается с b — одно решение.

Если точка А находится хотя бы на одной из прямых—нет решения.

30) Даны две прямые: а и Ь. Доказать, что прямые, параллельные b и пересекающие а, лежат в одной плоскости Я. При любых ли взаимных положениях прямых а и b задача имеет решение' Каковы взаимные положения прямой b и плоскости Я в случаях, когда задача имеет решение?

31) (Устно.) Каково взаимное положение двух прямых, лежащих вне плоскости, параллельных: а) пересекающимся прямым плоскости, б) параллельным прямым плоскости. Решить задачу без чертежа и пособий.

Следствие 3. Если через две параллельные прямые проведены две пересекающиеся плоскости, то линия пересечения плоскостей параллельна данным прямым.

32) Через две параллельные прямые проведены две пересекающиеся плоскости. Доказать, что линия пересечения плоскостей параллельна заданным прямым. Формулировать обратное предложение, заменить эти два предложения одним.

33) В двух пересекающихся плоскостях Я и Q через данные в этих плоскостях точки А и В провести прямые а и Ь, принадлежащие соответственно этим плоскостям и параллельные между собой.

34) На двух пересекающихся плоскостях взято по точке. Через эти две точки провести плоскость, параллельную линии пересечения данных плоскостей.

35) Даны две пересекающиеся плоскости Я и Q. Построить линии пересечения данных плоскостей с плоскостью Я. Плоскость R проходит через точки А и В плоскости Я и через точку С плоскости Q.

36) Через прямую AB, которая пересекает плоскости Я и Q, имеющие общую точку С, провести плоскость так, чтобы прямые, по которым она пересечется с плоскостями Я и Q, были взаимно параллельны.

37) (Устно.) Ученику была предложена следующая задача: «Даны два параллельные отрезка, лежащие в двух пересекающихся плоскостях. Доказать, что они параллельны линии пересечения плоскостей». Ученик решил задачу так: «Отрезки параллельны линии пересечения, так как если они параллельны линии пересечения, то по следствию 2 они параллельны между собой». Верно ли такое решение?

38) (Устно.) Каково ваимное положение прямых AB и CD, лежащих в пересекающихся плоскостях Я и Q, образующих равные углы ВАС и ACD с линией пересечения?

39) Построить прямую, проходящую через данную точку А и пересекающую две данные прямые.

Указание. Провести плоскости через точку А и каждую из заданных прямых.

40) (Устно.) В кубе ABCDA'B'C'D' (черт. 37) провести мысленно плоскость через ребро D'C и точку Е и указать взаимное положение ребра D'C и линии пересечения проведенной плоскости с гранью ABB'А1.

Черт. 36

41) (Устно.) В кубе ABCDA'B'C'D' (черт. 38) проведено сечение ADCB'. Провести мысленно плоскость через точку M на этом сечении и ребро A'D'. Указать взаимное положение линии пересечения проведенной плоскости с плоскостью ADCB' и ребра ВС.

4. Упражнения к разделу «Угол двух скрещивающихся прямых» (Киселев, Геометрия, ч. 2, § 46)

Задачи к данному разделу представляют собою упражнения на закрепление понятия об угле двух скрещивающихся прямых. Содержание задач №№ 1 — 3 следует иллюстрировать на наглядном пособии, если в этом имеется необходимость. К задачам №№5 — 7 необходимо дать чертежи. Учащиеся должны решить эти задачи устно, пользуясь готовыми чертежами. При решении задачи № 1 следует указать, что вершину искомого угла часто удобно бывает выбрать на одной из скрещивающихся прямых.

1) (Устно.) Прямые а и Ь параллельны. Прямая с пересекает прямую а (черт. 39). Угол между прямыми a и с равен 45°. Определить (в общем случае) взаимное положение прямых b и с и угол, образованный ими.

2) (Устно.) Прямые а и b параллельны. Прямые с и а — взаимно перпендикулярны. Определить (в общем случае) взаимное положение прямых с и b и угол между ними.

Замечание. После решения этой задачи указывается, что скрещивающиеся прямые, образующие прямой угол, тоже называются взаимно перпендикулярными. Таким образом, понятие перпендикулярности двух прямых расширяется.

3) (Устно.) Сколько прямых, перпендикулярных данной прямой, можно построить из точки вне данной прямой? Сравнить результат с результатом решения соответствующей задачи в планиметрии.

4) (Устно.) Достаточно ли для построения определенной прямой, скрещивающейся с данной, задать точку вне данной прямой и угол, образуемый двумя прямыми? Составить задачи, в которых указываются достаточные условия построения прямой, скрещивающейся с данной.

5) (Устно.) Дан куб ABCDA'B'C'D' (черт. 40). Определить углы, образуемые: а)ЛЛ' и В'С',б) АА9 и CD'у в) BD и А'С.

6) В грани ABCD и A'B'C'D' куба ABCDA'B'C'D' (черт. 40) вписаны окружности с центрами О и О'. Определить: а) углы, образуемые радиусами OK и О'К' (проведенными в точки касания окружностей с ребрами DC и A'D')t б) углы, образуемые диагональю BD и радиусом О'К'.

7) (Устно.) Концы отрезка AB лежат на двух плоскостях Р и Q; пересекающихся по прямой MN (рис. 41). В плоскости Q проведен отрезок ВС параллельно плоскости Р. Отрезок С В образует с прямой AB угол в 30°. Определить углы, образуемые прямыми AB и MN.

8) Через точку А провести прямую, параллельную плоскости и перпендикулярную прямой, лежащей на плоскости Р-

5. Упражнения к разделу «Перпендикуляр и наклонные к плоскости»

Указанные ниже задачи предназначены для закрепления материала §§ 23 — 29 стабильного учебника. Отметим некоторые особенности отдельных задач. В задачах №№ 1, 2, 3 показано использование теоремы о двух перпендикулярах в случае, когда прямые, лежащие на плоскости, скрещиваются с прямой, пересекающей плоскость. В задачах №№ 12, 13 ставится вопрос о расширении определения перпендикуляра к плоскости. В задачах №№1, 16 обращено внимание на тот факт, что для перпендикулярности прямой и плоскости недостаточно перпендикулярности прямой только к одной прямой плоскости. В задачах №№ 20, 25 единственность построенного образа следует доказать независимо от способа построения (см. указания к задачам №№ 20, 25). Большое значение имеют задачи №№ 23, 24, 36, 37.

Черт. 37 Черт. 38

Черт. 39

Черт. 40

Черт. 41

В них рассматриваются различные геометрические места точек в пространстве. Задачи на отыскание геометрических мест, как было указано выше, являются хорошими упражнениями на составление прямой и обратной (или противоположной) теорем. Некоторые из приведенных здесь геометрических мест используются в X классе при решении задач на комбинации круглых тел с многогранниками. Ряд нижеследующих задач также служит подготовкой к изучению свойств тел; например: а) в задаче № 35 ставятся вопросы, которые часто приходится решать в теоремах и задачах о свойствах сечений шара, о свойствах круглых тел и т. д.; б) вопросы, поставленные в задачах №№ 38, 39, 41, 42 рассматриваются при изучении свойств некоторых пирамид, например, пирамид с равными боковыми ребрами и др.; в) задача № 43 входит в состав многих задач о пирамидах, описанных около шара, полушара и т. д.

Задачи №№ 44, 45 приведены с целью обратить внимание учащихся на зависимость между проекциями равных наклонных, проведенных из различных точек вне плоскости.

Задачи №№ 46 и 47 подводят к формулировке теоремы о трех перпендикулярах. Решение этих задач представляет собой другое доказательство теоремы о трех перпендикулярах.

Задача № 61 является обобщением теоремы о трех перпендикулярах. Она используется при изучении свойств некоторых многогранников, например таких, у которых боковое ребро одинаково наклонено к сторонам основания, выходящим из той же вершины, что и данное боковое ребро.

В задачах №№ 63 и 64 показано применение теоремы о трех перпендикулярах к построению правильных изображений некоторых геометрических фигур.

Вопросы, подобные поставленным в задачах №№ 64 — 66, нередко приходится решать при построении высот боковых граней или сторон линейных углов наклона боковых граней пирамид к плоскости основания.

Задача № 71 приведена с целью обратить внимание учащихся на то обстоятельство, что из множества свойств, характеризующих объект, лишь часть представляет собой независимые свойства, остальные же — следствия независимых свойств.

Задачи типа №№ 69 — 71 применяются при изучении свойств пирамид, вершины которых равноудалены от стороны основания.

В задачах №№ 75 — 79 теорема о трех перпендикулярах распространяется на случай скрещивающихся наклонной к плоскости и прямой, лежащей на плоскости. С вопросами, поставленными в этих задачах, приходится встречаться при выяснении вида некоторых сечений пирамиды, при определении величины угла между боковым ребром правильной треугольной пирамиды и непересекающей его стороной основания и т. д.

Теорема о двух перпендикулярах (Киселев, Геометрия, ч. 2, § 23)

1) (Устно.) Два прямоугольные треугольника ABC и DBC, плоскости которых не совпадают, имеют общий катет, а через два другие катета AB и BD проведена плоскость Р (черт. 42). Доказать, что общий катет перпендикулярен любой прямой КН плоскости Р, проведенной через точку В. Можно ли утверждать то же, опустив условие о несовпадении плоскостей треугольников? Можно ли опустить условие, что КН проходит через точку В?

2) (Устно.) Дан куб ABCDA'B'C'D1 (черт. 7). Определить углы, образуемые отрезками D'C и ВС1, D'C и В'С.

3) (Устно.) Сторона AB квадрата, лежащего в плоскости Р, является стороной треугольника ABE, вершина которого Е — вне плоскости Р (черт. 43) Сторона ВС перпендикулярна к АЕ. Высоты треугольника ABE перпендикулярны к сторонам квадрата. К каким именно?

Определение перпендикуляра и наклонной к плоскости. Определение проекции наклонной (Киселев, Геометрия, ч. 2, § 24 — 25)

4) (Устно.) Дан треугольник ABC. Через сторону ВС проведена плоскость Р, перпендикулярная стороне AB (черт. 12). Определить вид треугольника относительно углов.

5) Рыбкин, § 1, № 16.

6) К плоскости треугольника ABC (угол В = 90е) восставлен перпендикуляр ВК, длиною в 8 см, КА = 10 см, КС = 13 -g- см. Определить площадь треугольника ABC.

7. (Устно.) Через стороны ВС и BD равнобедренного треугольника ABC (AB « ВС) и параллелограма ABDE, плоскости которых не совпадают, проведена плоскость Р, перпендикулярная стороне AB (черт. 44). Определить площадь параллелограма.

Черт. 42 Черт. 43

Черт. 44

8) Гипотенуза ВС прямоугольного равнобедренного треугольника АБС равна 7,2. Из вершины А восставлен к его плоскости перпендикуляр AM, длиной в 2,7. Вычислить расстояние точки M от гипотенузы.

9) Рыбкин, § 1, № 17.

10) Через сторону AD параллелограма ABCD проведена плоскость Р, не совпадающая с плоскостью параллелограма (черт. 45). В ней построен треугольник ADE так, что сторона DE перпендикулярна плоскости ABCD; AD = a, CD=b,DE = Yb2 — д3 . Определить BE, если известно, что угол ABE равен 45°.

11) (Устно.) Даны две плоскости Р и Q, пересекающиеся по прямой ВС так, что перпендикуляр из точки А, взятой на одной из них (черт. 13) к другой, пересекает другую плоскость в точке, находящейся вне ВС. Перпендикуляр же OK, опущенный из точки О на первую плоскость, пересекает ВС. Верно ли сформулировано условие задачи?

12) (Устно.) Прямая перпендикулярна плоскости Р. Какой угол составляет она с каждой прямой, проведенной на плоскости Р? Как можно расширить определение перпендикуляра к плоскости?

13) (Устно.) Прямая KL перпендикулярна плоскости Р. Определить углы, которые она образует со сторонами треугольника ABC, лежащего на плоскости Р (черт. 8).

14) (Устно.) Как расположена прямая, перпендикулярная плоскости, относительно прямых, параллельных плоскости?

Признак перпендикулярности прямой и плоскости (Киселев, Геометрия, ч. 2, § 24)

15) (Устно.) Дан параллелограм ABCD, О— точка пересечения его диагоналей. Точка К — вне плоскости ABCD; К А = КС, KB = KD. Доказать, что КО — перпендикуляр к плоскости ABCD.

16) (Устно.) Даны четырехугольник ABCD и треугольник DCE, плоскости которых не совпадают (черт. 46); DC = 4, СЕ = 3, DE =5. DC — перпендикуляр к плоскости ВСЕ. Верно ли последнее утверждение? В каком случае оно верно?

17) (Устно.) Через сторону ВС треугольника ABC проведена плоскость Р, перпендикулярная стороне АВ. В плоскости Р построен прямоугольный треугольник BDC (угол В равен 90°). Как расположена сторона BD относительно плоскости ABC и сторона СВ относительно плоскости DBA? (черт. 47).

18) (Устно.) Через сторону M'N1 (черт. 14) параллелограма MNM'M1 проведена плоскость Р, перпендикулярная к стороне ММ'. Наклонная МК к плоскости Р перпендикулярна к стороне MN. Доказать, что MN — перпендикуляр к плоскости треугольника NN'K.

19) AB и CD — параллельные отрезки, расположенные в двух пересекающихся плоскостях; АЕ — перпендикуляр к линии пересечения, AF—перпендикуляр к CD. Доказать, что АВ — перпендикуляр к плоскости AEF.

20) Через данную точку в пространстве провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой AB (см. Киселев, Геометрия, ч. 2, § 35).

21) (Устно.) Сколько прямых и как надо начертить на поверхности четырехугольной деревянной балки, чтобы, направив по ним пилу, получить плоскую поверхность распила, перпендикулярную ребру балки?

22) Доказать, что все перпендикуляры к прямой, восставленные из данной точки прямой, лежат в плоскости, перпендикулярной к данной прямой, проходящей через данную точку.

23) Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек.

24) Даны прямая AB и две точки С и D. Найти на AB точку, равноудаленную от данных точек.

25) Из точки на плоскости восставить перпендикуляр к плоскости (Киселев, Геометрия, ч. 2, § 36 (1)).

Доказать единственность этого перпендикуляра.

26) (Устно.) Рассмотреть взаимные положения прямой, перпендикулярной плоскости, и прямых, лежащих в данной плоскости, прямых, параллельных данной плоскости. К скольким и как расположенным в пространстве прямым должна быть перпендикулярна данная прямая, чтобы можно было формулировать достаточное условие перпендикулярности этой прямой и плоскости.

27) (Устно.) Как должны быть расположены две скрещивающиеся прямые, чтобы через одну из них можно было провести плоскость, перпендикулярную другой?

28) Доказать, что если прямая AB лежит в плоскости, перпендикулярной к прямой CD, то прямая CD лежит в плоскости, перпендикулярной к AB.

Сравнительная длина перпендикуляра и наклонных. Расстояние от точки до плоскости (Киселев, Геометрия, ч. 2, § 26 «Замечание»)

29) Рыбкин, § 1, № 14.

30) Пусть А — точка вне плоскости Р. Точка О — проекция точки Л на плоскость Р, AB — наклонная. Через AB проведена плоскость Q, не проходящая через АО. Можно ли расстоянием от точки О до плоскости Q считать отрезок OB? Найти проекцию OB на плоскость Q, зная, что расстояние от точки О до плоскости Q равно а, а отрезок OB равен Ь.

Теорема о наклонных, проведенных из точки вне плоскости, и их проекциях (Киселев, Геометрия, ч. 2, § 26)

31) (Устно.) Как из точки вне плоскости Р провести три наклонные, проекции которых на плоскость Р равнялись бы данному отрезку а?

Черт. 45

Черт. 46 Черт. 47

32) Рыбкин, § 1, задача № 19.

33) (Устно.) Из точки О пересечения диагоналей прямоугольника восставлен к плоскости прямоугольника перпендикуляр АО. Доказать, что любая точка этого перпендикуляра равноудалена от вершин прямоугольника.

34) Из точки О плоскости Р восставлен к ней перпендикуляр OK- Построить из точки К этого перпендикуляра три наклонные КА, KB, КС, длины d каждая. На какой линии лежат точки А, В и С?

35) (Устно.) Из точки А вне плоскости круга опущен на эту плоскость перпендикуляр АО. Точка А равноудалена от точек окружности, ограничивающей заданный круг. Доказать, что АО проходит через центр данного круга.

36) Найти геометрическое место оснований наклонных данной длины, проведенных из одной и той же точки вне данной плоскости.

37) Рыбкин, § 1, № 10.

38) (Устно.) Дан треугольник ABC. Точка К— вне его плоскости; КА = К В = КС. Доказать, что проекция точки К на плоскость треугольника равноудалена от его вершин.

39) Рыбкин, § 1, задача № 18.

40) (Устно.) Дан треугольник ABC. Угол Л = 90°, ВС = а. Точка К — вне плоскости треугольника ABC; КА = КВ = КС

Определить проекцию АК на плоскость треугольника. Как изменится положение проекции точки К на плоскость треугольника, если треугольник ABC будет остроугольным, тупоугольным? Может ли проекция точки К совпадать с одной из вершин треугольника АВС1

41) Рыбкин, § 1, задача № 20.

42) (Устно.) Для любого ли плоского многоугольника можно найти в пространстве точки, равноудаленные от всех его вершин? Если нет, то для каких можно?

43) АО—перпендикуляр к плоскости Р (О—основание перпендикуляра). Равнобедренный треугольник АВС(АВ = АС) расположен так, что его вершина лежит в точке А, а основание — на плоскости Р. Точка О — вне прямой ВС. Доказать: 1) что проекция точки О на плоскость треугольника ABC равноудалена от точек В и С, 2) что перпендикуляр, опущенный из точки О на плоскость треугольника ABC, пересекает эту плоскость в точке, лежащей на высоте треугольника, опущенной из вершины А.

44) (Устно.) Ученику была задана задача: «Из точек А и В, удаленных от плоскости на расстояния а и Ь, проведены наклонные, имеющие равные проекции. Сравнить длины наклонных». Ученик решил задачу так: «Наклонные равны потому, что их проекции равны». Верно ли такое решение?. При каком условии наклонные, проведенные из различных точек и имеющие равные проекции, равны? Формулируйте и докажите обратное предложение. Как можно расширить формулировку теоремы о наклонных, имеющих равные проекции?

45) (Устно). Доказать, что если из двух различных точек, находящихся на различных расстояниях от плоскости, провести две равные наклонные, то проекция той наклонной больше, которая проведена из ближайшей к плоскости точки.

Теорема о трех перпендикулярах (Киселев, Геометрия, ч. 2, §§ 28, 29).

46) (Устно.) АО — перпендикуляр к плоскости Р; АС — наклонная к плоскости Р\ ОС — проекция АС на плоскость Р; DO — прямая плоскости Р, перпендикулярная ОС. Определить взаимное положение прямой DO и плоскости треугольника АОС.

47) АО — перпендикуляр к плоскости Р; АС — наклонная к плоскости Р; ОС— проекция АС на плоскость; DCE— прямая плоскости Р, перпендикулярная ОС. Как расположена DE относительно плоскости треугольника АОС1 Какой угол образуют прямые DE и АС?

48) (Устно.) Из вершины А остроугольного треугольника АБС проведен перпендикуляр AD к его плоскости. В треугольнике проведена высота АЕ. Точки Е и D соединены. Как расположен отрезок DE относительно стороны ВС?

49) (Устно.) Через сторону AB треугольника ABC проведена плоскость Р. Точка С —вне плоскости Р. Проекция стороны АС на плоскость Р — перпендикулярна AB. Определить вид треугольника ABC (относительно углов).

50) Общая сторона AB треугольников АМВ и ANB лежит на данной плоскости. Проекции сторон AM и AN на эту плоскость перпендикулярны AB. Вычислить AM и BN, зная, что /N=8, ВМ =25, AB =15.

51) Рыбкин, § 1, № 22 (3).

52) Из вершины прямого угла треугольника восставлен к его плоскости перпендикуляр, равный 1 м. Конечная точка перпендикуляра удалена на 3 м от гипотенузы и на 5 м от середины гипотенузы. Вычислить площадь данного прямоугольного треугольника.

53) Катеты прямоугольного треугольника 18 см и 32 см. Из середины гипотенузы восставлен перпендикуляр длиною 12 см к плоскости треугольника. Найти расстояния концов перпендикуляра от катетов.

54) (Устно.) В вершине А квадрата ABCD восставлен к его плоскости перпендикуляр АК, конец которого К соединен с вершинами В и С. Определить вид треугольника КЬС относительно углов.

55) Рыбкин, § 1, № 24.

56) Рыбкин, § 1, № 26.

57) (Устно.) Вне плоскости параллелограма ABCD дана точка S, расстояние которой до сторон AB и CD параллелограма — отрезки SK и SL. Доказать, что проекции отрезков SK и SL составляют высоту параллелограма.

58) Рыбкин, § 1, задача № 27.

59) Через точку А, данную на плоскости Р, провести на этой плоскости прямую, находящуюся на данном расстоянии / от точки В, данной вне плоскости.

Указание. Из точки А провести на плоскости Р касательную к окружности, центр которой в точке О (О — проекция точки В на плоскость Р), а радиус — проекция наклонной к плоскости Р, равной /.

60) Дана плоскость Р и к ней наклонная ОМ (О — точка на плоскости Р). Доказать, что если проекция наклонной ОМ на плоскость Р образует равные углы с двумя прямыми OA и OB, лежащими в плоскости Р и проходящими через основание наклонной О, то и сама наклонная ОМ образует с прямыми OA и OB равные углы. Составить и доказать обратную теорему. Показать, что теорема о трех перпендикулярах — частный случай указанной теоремы.

61) Дан куб ABCDA'B'C'D' (черт. 48). Отрезок ОЕ соединяет точку О пересечения диагоналей четырехугольника ЛССМ' и середину ребра АА1. Из точки О опущен перпендикуляр OK на грань

ABB9А*. Определить угол между ребром ААГ и проекцией отрезка ЕО на грань ABB0А'.

62) (Устно.) АО — перпендикуляр к плоскости Р (О—основание перпендикуляра); точки В и С этого перпендикуляра удалены от прямой MN, лежащей на плоскости Р и не проходящей через точку О, на расстояния ВМ и CN. На чертеже 49 допущена ошибка, указать ее.

63) (Устно.) Из вершины А правильного шестиугольника ABCDEF восставлен перпендикуляр АК к его плоскости (черт. 50). Точка К соединена с вершинами D и Е. Высота треугольника К DE, опущенная из вершины К, делит сторону DE на два неравные отрезка EL и LD. В чем ошибка на чертеже 50?

64) (Устно.) Дан треугольник ABC. Из точки А проведен перпендикуляр DA к его плоскости. Из точки D проведен перпендикуляр к ВС. Какие условия должны быть выполнены, чтобы этот перпендикуляр: а) пересекал отрезок ВС в точке внутри его, б) проходил через один из его концов, в) пересекал его продолжение?

65) (Устно.) Дан квадрат ABCD. Из некоторой точки О его плоскости восставлен к ней перпендикуляр ОЕ. Точка Е соединена с точкой В. Какое положение должна занимать точка О на плоскости квадрата, чтобы угол ABE был тупым, прямым, острым? (черт. 51).

66) (Устно.) Через сторону АС треугольника ABC проведена плоскость Р. Точка В — вне плоскости, ВО — расстояние от точки В до плоскости Р, АВ=9, ВС=§, ЛС=5. Из точки опущен перпендикуляр OD на ЛС Сравнить отрезки АС и AD.

67) Рыбкин, § 1, № 22 (1).

68) (Устно.) Расстояния от некоторой точки О, находящейся вне плоскости треугольника, до сторон треугольника одинаковы. Доказать, что точка О проектируется в центр вписанной в треугольник окружности.

69) Рыбкин, §1, № 21.

70) В треугольник ABC вписана окружность с центром О. Из точки О восставлен перпендикуляр OS к плоскости треугольника ABC, /(—точка касания вписанной окружности и стороны AB, SK—перпендикуляр к А В, OK — радиус вписанной окружности, OK — перпендикуляр к стороне AB. Все ли данные задачи независимы? Указать, какие условия достаточно задать, чтобы остальные получить как следствия. Привести разные варианты решения.

71) Расстояния от точки Я, находящейся вне плоскости равнобедренной трапеции, до сторон трапеции одинаковы. Доказать, что высота трапеции КН вдое больше проекции на плоскость трапеции отрезка РМ, принимаемого за расстояние от точки Р до сторон трапеции (черт. 19)

72) (Устно.) Для любого ли плоского многоугольника можно найти в пространстве точки, равноудаленные от всех его сторон? Если нет, то для каких возможно?

73) (Устно.) Можно ли на перпендикуляре, восставленном из точки пересечения биссектрис к плоскости треугольника, найти точку, равноудаленную от вершин?

74) (Устно.) Даны: АО — перпендикуляр к плоскости Р, AB — наклонная к плоскости Р, OB—проекция AB на плоскость Р. Как расположена AB относительно любой прямой плоскости Р, перпендикулярной к OB?

75) Через данную точку А плоскости Р провести на этой плоскости прямую, перпендикулярную данной прямой а, не лежащей на плоскости Р.

76) АА1 — наклонная к плоскости равнобедренного треугольника ABC (АВ = АС) Проекция наклонной ААГ на плоскость треугольника ABC является биссектрисой угла ВАС. Определить угол между АА' и ВС.

77) (Устно.) Дан квадрат ABCD. Из точки О пересечения его диагоналей восставлен к его плоскости перпендикуляр ОЕ. Доказать, что отрезок АЕ перпендикулярен диагонали BD.

78) Дан куб ABCDA'B'C'D'. Из точки О пересечения диагоналей грани ABCD восставлен перпендикуляр к этой грани до пересечения в точке О' С противоположной гранью. Точка О' соединена с точками А, В, С и D. Определить угол между АО* и BD.

Материал, изложенный в настоящей статье, в течение двух лет проходился в нескольких школах города Ленинграда.

Контрольные работы и экзамены по геометрии дали хорошие результаты.

Черт. 48 Черт. 49

Черт. 50 Черт. 51

О РАЗВИТИИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ*

Г. А. НАЗАРЕВСКИЙ (Москва)

Изображение пространственных фигур при доказательстве теорем и при решении задач должно способствовать развитию у учащихся пространственного представления.

Для этого нужно, чтобы изображение было: 1) правильным, 2) наглядным и 3) легко выполнимым. Все эти требования сочетать невозможно. Так, например, изображение, выполненное методами технического черчения, отвечает первому требованию, но оно не вызывает наглядного представления и, кроме того, в педагогической практике трудно выполнимо. Произвольный рисунок-чертеж на доске бывает наглядным, но часто неверным. Кроме того, произвольный чертеж-рисунок не дает возможности по чертежу найти истинные размеры оригинала.

Учебно-методическая литература рекомендует выполнять чертежи в какой-либо определенной проекции, а в учебно-методических пособиях чаще всего встречается параллельная ортогональная или косоугольная проекция. Выбор параллельной косоугольной проекции, действительно, удачен, как наиболее отвечающий требованиям школьной практики, но для проведения его в жизнь сделано еще недостаточно. Этот метод применяется почти в каждом учебнике или задачнике, но, кажется, нигде не проведен от начала и до конца. Обычно совершается, или переход к другому методу, или умалчивается, как следует передать изображение в принятой проекции. Такое освещение вопроса дезориентирует как учителей, так и учащихся.

При изображении в геометрии пространственных фигур должна быть сперва дана одна наиболее доступная система изображения, помогающая усвоить курс стереометрии, а не самодовлеющая (как в курсе черчения).

Некоторые авторы считают, что параллельная косоугольная проекция трудна, и приводят примеры действительно трудных построений, однако стоит лишь ввести право свободного выбора положения оригинала, как все трудности отпадут и многие задачи получат легкие и изящные решения.

Параллельная косоугольная проекция

Способ параллельного косоугольного проектирования изложен во многих учебно-методических пособиях, поэтому напомним его здесь вкратце. Построение проекции тела по этому методу обычно связывают с системой трех взаимно перпендикулярных прямых (осей) (черт. 1).

Этот способ проектирования для учащихся не является новым, так как на уроках черчения с ним знакомят гораздо раньше, чем начинается стереометрия. Все же лучше указать свойства параллельной косоугольной проекции, на которые можно смотреть как на практические правила, облегчающие построение изображений пространственных фигур на плоскости:

а) проекция прямой — тоже прямая (кроме случая, когда прямая перпендикулярна плоскости проекции);

б) параллельные прямые проектируются в параллельные прямые;

в) сохраняются отношения отрезков на одной и той же прямой или на параллельных прямых;

г) если плоскость проектируемой фигуры параллельна плоскости проекции, то фигура проектируется без искажения.

Все эти положения легко доказываются в порядке упражнений после прохождения теорем о параллельности.

В дальнейшем плоскости: УOZ, XOY и XOZ будут называться координатными плоскостями, первая — фронтальной, вторая — горизонтальной и третья — профильной.

Черт. 1

* Настоящая работа была доложена на научно-практической конференции при московском Институте Усовершенствования учителей 27 марта 1951 г.

Изображение плоских фигур на горизонтальной плоскости

Горизонтальная плоскость обычно изображается в виде параллелограма с острым углом в 45°. Иногда стороны этого параллелограма заменяются волнообразной кривой (черт. 2 и 3). Реже встречается произвольная обрисовка плоскости.

Перед изображением фигур, расположенных в горизонтальной плоскости, надо познакомить учащихся с изображением отрезка, перпендикулярного к фронтальной плоскости, а именно угол отклонения ср = 45* и коэффициент сокращения к = -у (или ср = 60°, £ = — ; или if = 30°, k = -i- ; или <f = ос, k — m)j .

Выбор этих данных продиктован исключительно соображениями удобства применения их в школьной практике и не является обязательным.

Задача 1. Изобразить квадрат ABCD на горизонтальной плоскости Р (черт. 4). Отрезок AB переносится на горизонтальную плоскость Р в натуральную величину. Отрезки AD и ВС переносятся под углом в 45° к отрезку AB и с уменьшением в два раза (черт. 5).

Задача 2. Изобразить правильный треугольник ABC на горизонтальной плоскости Р (черт. 6).

1) В данном треугольнике ABC проводим высоту CD; 2) отрезок AB переносится на горизонтальную плоскость Р в натуральную величину; 3) из точки D проводится прямая под углом 45° к отрезку AB; 4) на этой прямой от точки D откладывается -g-.

Точки А, В и С (черт. 7) — вершины искомого треугольника.

Задача 3. Изобразить треугольник ABC на горизонтальной плоскости Р (черт. 8).

1) В данном треугольнике ABC строим высоту CD; 2) отрезок AB переносим на плоскость Р в натуральную величину; 3) на перенесенном отрезке AB откладываем отрезок BD в натуральную величину; 4) из точки D проводим прямую под углом 45° к отрезку AB; 5) на этой прямой откладываем — DC.

Точки А, В и С (черт. 9) — вершины искомого треугольника.

Задача 4. Изобразить произвольный четырехугольник ABCD на горизонтальной плоскости Р (черт. 10).

1) Проводим в данном четырехугольнике через точку А горизонтальную прямую МN; 2) из вершин D, С и В проводим перпендикуляры на МЫ (DE, С F и ВК); 3) на горизонтальной плоскости Р проводим горизонтальную прямую MN; 4) на прямой МЫ выбираем произвольную точку А и откладываем отрезок АК; 5) откладываем на АК отрезки АЕ, EF и FK; 6) из точек Е, F и К проводим прямые под углом 45° к ММ; 7) на этих прямых откладываем соответственно

ABCD — искомый треугольник (черт. 11).

Задача 5. Построить данную окружность на горизонтальной плоскости Р (черт. 12 и 13).

Черт. 2 Черт. 3

Черт. 4 Черт. 5

Черт. 6 Черт. 7

Черт, 8 Черт. 9

Черт. 10 Черт. 11

1) На данной окружности проводим горизонтальный диаметр В А; 2) разделим этот диаметр на п равных частей (на черт, я = 8); 3) через точки деления проведем перпендикуляры к ВА до пересечения с окружностью; 4) перенесем на горизонтальную плоскость Р диаметр ВА и разделим его на п равных частей (я = 8); 5) через точки деления проведем прямые под углом 45° к ВА; 6) на этих прямых отложим хорды, уменьшив их в два раза; 7) полученные точки и точки А и В соединим плавной кривой.

Полученный эллипс — изображение данной окружности на горизонтальной плоскости Р.

Второй способ построения окружности на горизонтальной плоскости Р

Если в квадрате ABCD (черт. 12а) провести средние линии МЫ и EF, а затем прямые СМ и NK, причем ЕК = КС, то Д CNM оо Д CKN, так как

Следовательно, CMN = KMC, откуда _/ КММ = 90° — CMN и, следовательно, Л/(?Л4 = 90°. Отрезок MN есть гипотенуза прямоугольного Д NQM, и точка Q лежит на окружности, вписанной в квадрат. Таким же путем можно найти 8 точек, принадлежащих окружности, вписанной в квадрат, кроме того, имеются 4 точки — середины сторон квадрата, принадлежащие окружности.

Для простоты построения можно ограничиться построением 8 точек, т. е. использовать в построении только ММ. При изэбражзн ли квадрата на горизонтальной плоскости все эти точки можно получить аналогичным построением и, соединив их плавной кривой, получить изображение окружности на горизонтальной плоскости в виде эллипса (черт. 13а).

Преимущество этого способа заключается в том, что изображение окружности в горизонтальной плоскости, т. е. эллипс, строится без построений во фронтальной плоскости.

На чертеже 13а показано построение 8 точек F, N, Е, M и Qu Q2, Q„ Q4.

Построение во фронтальной плоскости геометрических фигур, изображенных на горизонтальной плоскости.

Построение геометрических фигур во фронтальной плоскости, изображенных на горизонтальной плоскости, является обратным показанному в задачах 1—5.

Задача 6. Построить ДЛБС во фронтальной плоскости по заданному его изображению на горизонтальной плоскости Р (черт. 14).

1. На плоскости Р из вершины С проводим отрезок CD под углом 45° к AB.

2. Строим во фронтальной плоскости отрезок AB в натуральную величину.

3. На отрезке AB откладываем отрезок AD в натуральную величину.

4. Из точки D проводим перпендикуляр к AB.

5. На этом перпендикуляре от точки D откладываем отрезок, равный 2 DC.

6. Полученную точку С соединяем отрезками прямых с А и В.

Построенный /\АВС—искомый (черт. 15).

Задача 7. Построить /\АВС по заданному его изображению на горизонтальной плоскости Р (черт. 16).

1. На горизонтальной плоскости Р из вершины С Д ABC подводим отрезок CD под углом 45° к продолжению AB.

Черт. 12 Черт. 13

Черт. 12а Черт. 13а

Черт. 14 Черт. 15

Черт. 16 Черт. 17

2. Строим отрезок AB в натуральную величину и продолжаем его за точку А (на фронтальной плоскости).

3. На продолжении AN откладываем отрезок, равный AD.

4. Из точки D проводим перпендикуляр к прямой BN.

5. На этом перпендикуляре откладываем от точки D отрезок, равный 2 DC.

6. Полученную точку С соединим отрезками прямых с точками А и В (черт. 17).

Задача 8. Построить четырехугольник ABCD по заданному его изображению (в виде квадрата) на горизонтальной плоскости Р (черт. 18).

1. На плоскости Р из вершины D и С проводим отрезки DE и CA под углом 45° к стороне AB.

2. Во фронтальной плоскости строим отрезок AB в натуральную величину и продолжаем его за точку А.

3. На продолжении AB откладываем отрезок, равный АЕ.

4. Из точек А и Е проводим перпендикуляры к прямой ВМ.

5. На этих перпендикулярах откладываем- от точки Е и А отрезки, равные двум отрезкам DE (черт. 18).

6. Полученные точки D и С и ранее построенные А и В последовательно соединяем прямыми (черт. 19).

Задача 9. Построить четырехугольник ABCD по заданному его изображению на горизонтальной плоскости Р.

Решение задачи представлено на чертежах 20 и 21.

Изображение геометрических тел

При изображении геометрических тел полезно ввести правило: видимые линии изображаются сплошной линией, невидимые и подсобные — пунктирной, это помогает зрительному восприятию. Чертежи на доске можно выполнять от руки, строго придерживаясь правил принятого проектирования, иначе получится произвольный рисунок, который даст неверное изображение. Такое изображение может быть наглядным, но оно может быть вредным с точки зрения развития пространственных представлений.

Приведем два примера:

Пример 1. На доске изображена усеченная четырехугольная пирамида примерно так, как показано на чертеже 22. Если же продолжить на этом «чертеже» боковые ребра, то они не пересекутся в одной точке.

Пример 2. Изображение многогранника SABFCDE на чертеже 23 — неверно, так как грани SFCD и SABF пересекутся не по прямой SF, а по прямой SK. Эта ошибка произошла из-за того, что SF нельзя выбирать произвольно, так как эта прямая определена положением плоскостей SAB и SDC.

Известно, что в параллельной косоугольной проекции плоскостью изображений служит фронтальная плоскость (передний вид), параллельно

Черт. 18 Черт. 19

Черт. 20 Черт. 21

Черт. 22 Черт. 23

Черт. 24

которой располагаются оси OY и OZ натуральной системы осей OXYZ в пространстве. Отрезки, лежащие на этих осях, и все отрезки фронтальной плоскости OZY и плоскостей параллельной ей изображаются без искажения. Третья ось ОХ изображается биссектрисой прямого угла между двумя другими осями О У и OZ. Отрезки оси ОХ и параллельные им при проектировании сокращаются в два раза, при условии, когда ср = 45° и К=

На чертежах 24 и 25 показано изображение куба в этой проекции.

На чертежах 26—29 в той же проекции даны изображения правильных треугольных призм. На чертежах 30 и 31 — правильных четырехугольных пирамид; на чертежах 32 и 33 — правильных треугольных пирамид. На чертежах 26—33 аксонометрические оси не изображены, так как в педагогической практике их опускают.

На этих чертежах повторяются одни и те же тела, но в различном положении, так как в дальнейшем выдвигается требование о свободе выбора расположения оригинала. Например, если известен угол наклона боковой грани к плоскости основания в четырехугольной правильной пирамиде, то следует использовать чертеж 30. Если известен угол наклона бокового ребра к плоскости основания, то следует использовать чертеж 31. В правильной треугольной пирамиде всегда удобнее пользоваться положением, указанным на чертеже 32, а не на чертеже 33, так как на чертеже 32 без искажения передан угол наклона и грани, и ребра к плоскости основания (см. ^ а и У ß).

Для изображения геометрического тела надо:

1) иметь оригинал или ряд условий, определяющих его;

2) выбрать масштаб и

3) пользоваться свободным выбором положения оригинала.

Последнее условие особенно важно, так как умелый подход к изображению дает возможность легко преодолеть встречающиеся трудности. Кроме того, необходимо пользоваться вспомогательными планиметрическими построениями.

Применим изложенное к решению следующей задачи.

Задача 10. Построить правильную треугольную пирамиду^ боковое ребро которой вдвое более стороны основания, и построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания перпендикулярно боковому ребру.

1-й шаг. Строим правильный Д ЛВС, выбирая положение треугольника, «удобное» для предстоящего построения и находим его центр (черт. 34).

2-й шаг. Строим изображение Д ЛВС в горизонтальной плоскости Р (черт. 35).

Черт. 25 Черт. 26

Черт. 27 Черт. 28 Черт. 29

Черт. 30 Черт. 31

Черт. 32 Черт. 33

Из точки О проводим OZf _L Р. Радиусом, равным 2АВу из центра О (черт. 34) проводим дугу до пересечения с OZ' в точке 5 и соединяем S прямыми с точками Л, В и С.

Пирамида SABC отвечает поставленному условию, кроме того, осевое сечение SCD находится во фронтальной плоскости, т. е. передано без искажения.

3-й шаг. Строим DF_L SC и соединяем прямыми точку F с точками А и В.

Искомое сечение — Д AFB.

В этой задаче собственно две задачи: 1) построение заданной пирамиды и 2) построение сечения. Построение сечения получилось просто только благодаря рациональному выбору положения оригинала.

В книге Н. Ф. Четверухина «Чертежи пространственных фигур», изд. 1946 г. (черт. 7б), это же сечение получается более сложным путем и требует сложного доказательства из-за того, что не использовано условие о свободе выбора положения оригинала.

К этой задаче можно добавить еще одну: построить истинную величину ^ AFB, что при таком решении чрезвычайно просто, а именно: построим равнобедренный Д ABF по его основанию AB и высоте DF, истинная величина которых дана: AB на чертеже 34 и DF на чертеже 35. ^ AFB — искомый (черт. 36).

Соблюдены ли здесь выдвинутые требования: верности, наглядности и легкости построения? Нет, здесь есть погрешность в наглядности: глаз, видящий горизонтальную плоскость наклонной, требует некоторого наклона перпендикуляра к этой видимой плоскости. Если это мало заметно при построении многогранников, то весьма ощущается при изображении шара. Этот недостаток скрывать нельзя, но приходится с ним мириться, иначе будет нарушено условие простоты построения.

Задачи на сечения геометрических тел плоскостью

Задачи на сечения следует начинать с куба, располагая их в степени нарастающей трудности и избегая, в первый период обучения, построения параллельных прямых.

Задача 11. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки, лежащие на ребрах, имеющих общую вершину. Даны точки А, В и С (черт. 37). Точки А и В лежат на ребрах лицевой грани, и, следовательно, отрезок AB лежит всеми своими точками в плоскости лицевой (передней) грани. Аналогично отрезок ВС лежит в верхней грани и CA — в левой боковой грани Д ABC — искомое сечение.

Задача 12. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки А, В и С, заданные на чертеже 38.

1-й шаг. Прямые СВ к КМ лежат в одной плоскости (задней грани куба). Находим их пересечение в точке N.

2-й шаг. Точка А и прямая KN принадлежат плоскости правой боковой грани. Соединив прямой точки А и N, получим прямую AN, которая лежит всеми своими точками в правой боковой грани, и, следовательно, AN пере-

Черт. 34 Черт. 35 Черт. 36

Черт. 37

Черт. 38

сечет ЕМ, лежащую в той же грани, в точке D.

3-й шаг. Точки А и D, D и В, В и С, С и А попарно лежат в гранях куба. Соединив их, получим искомое сечение ADBC.

В сечении—четырехугольник ADBC.

Контроль. АС должна быть параллельна DB, как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей.

Задача 13. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки Л, В и С, заданные на чертеже 39.

1-й шаг. Точки А и В лежат в нижней грани куба, и прямая AB будет пересекать прямые A7V и KL, лежащие в той же грани, в точках F и Q.

2-й шаг. Точки F и С лежат в плоскости задней грани куба, и, следовательно, прямая FC принадлежит этой плоскости и пересекает ребро NNt в точке D.

3-й шаг. Точки С и Q лежат в плоскости левой боковой грани куба, поэтому прямая CQ пересекает ребро LLX, лежащее в этой же плоскости, в точке Е.

4-й шаг. Точки А и В, В и D, D и С, С и £, Е и А попарно лежат в гранях куба. Соединив их, получим искомое сечение—пятиугольник АВОСЕ.

Контроль. BD должна быть параллельна ЕС ЕА 9 CD

Задача 14. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки А, В и С, заданные на чертеже 40.

1-й шаг. Точки В и С лежат в верхней грани куба; поэтому прямая СВ пересечет прямые LM и LK, лежащие в этой же плоскости, в точках Р и S.

2-й шаг. Точки S и А лежат в плоскости лицевой грани куба; поэтому прямая SA пересечет ККх и LLU лежащие в той же плоскости, в точках D и Q.

3-й шаг. Точки Q и Я лежат в плоскости правой боковой грани куба, поэтому прямая QP пересечет ЬгМх и МХМ, лежащие в этой же плоскости, в точках Е и F.

4-й шаг. Точки А и Е, Е и F, F и В, В и С, С и D, D и А попарно лежат в гранях куба. Соединив их прямыми, получим в сечении шестиугольник AEFBCD.

Контроль. АЕ должна быть параллельна СВ EF „ п DC FB „ AD

Для облегчения построения сечений полезно указать следующее положение.

Прямая, лежащая в плоскости я-угольника и не параллельная ни одной из его сторон, пересекает все его стороны или их продолжения.

Пример 1. Дано: прямая ММ, не параллельная сторонам четырехугольника ABCD (черт. 41).

Черт. 39

Черт. 40

Черт. 41 Черт. 42

Черт. 43

E, F, К и L — точки пересечения прямой MN со сторонами или их продолжениями четырехугольника ABCD.

Пример 2. Дано: прямая MN9 не параллельная сторонам квадрата ABCD (черт. 42).

EyF^Kn L—точки пересечения прямой MN с продолжениями сторон квадрата ABCD.

Пример 3. Дано: прямая MN, не параллельная сторонам Д ABC.

D, Е и F—точки пересечения прямой MN с продолжениями сторон А ABC (черт. 43).

Это предложение можно было применить в задачах 12—14 применим его в следующей задаче.

Задача 15. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки А, В и С, заданные на чертеже 44.

1-й шаг. Прямая СВ не параллельна сторонам квадрата LLXKXK. M, С, В и Мх — точки пересечения прямой CD и сторон квадрата.

2-й шаг. Прямая AB не параллельна сторонам квадрата FFXKXK и пересекает его стороны в точках N, А, В и N.

3-й шаг. Прямая MXNX лежит в плоскости квадрата EXFXKXLX, не параллельна его сторонам и пересекает продолжение сторон квадрата в точках Mu PXi Nx и Qx.

4-й шаг. Прямая QXC лежит в плоскости квадрата EEXLXL, не параллельна его сторонам и пересекает стороны квадрата в точках Qlf D, С и Q.

5-й шаг. Точки А и В, В и С, С и D, D и А попарно лежат в гранях куба. Соединив их прямыми, получим в сечении четырехугольник ABCD.

В этой задаче продемонстрировано изложенное выше положение. Решить же ее следовало значительно проще, применив теорему о пересечении параллельных плоскостей третьей.

Через точку А проводим в лицевой грани куба прямую, параллельную ВС, которая пересечет ребро куба ЕЕХ в точке D, и сечение найдено.

Задача 16. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки А, В и С, которые лежат на трех попарно скрещивающихся ребрах куба (черт. 45).

1-й шаг. В задней грани куба через точку А проведем АА1 \\ NNX.

2-й шаг. Через ККХ \\ ААХ проведем плоскость до пересечения с плоскостью правой боковой грани LLXMXM. Линия их пересечения РРХ.

3-й шаг. Продолжим изображение плоскости ККХРХР за прямую KP и назовем плоскость КХРХР2К2 вспомогательной плоскостью /?.

4-й шаг. Во вспомогательной плоскости R проведем прямую через точки В и А до пересечения с прямой РХР2 в точке Я3.

5-й шаг. Точки Р3 и С лежат в плоскости правой боковой грани куба. Через эти точки проведем прямую, которая пересечет ребра куба ММХ и LLX соответственно в точках Е и L2.

6-й шаг. Точки L2 и В лежат в плоскости лицевой грани куба. Через эти точки проведем прямую, которая пересечет ребра куба KXLX и KL в точках D и Q.

7-й шаг. Точки Q и Л лежат в плоскости верхней грани куба. Через эти точки проведем прямую, которая пересечет ребро куба KN в точке F.

Черт. 44

Черт. 45

8-й шаг. Точки А и F, F и В, В и D, ОиС, СиЕ, ЕиА попарно соединим прямыми и получим в сечении шестиугольник AFBDCE.

Контроль. AF должна быть параллельна CD FB „ . ЕС BD „ „ . ЛЕ

Прямые FA и СЕ должны иметь пересечение на продолжении ребра LMy на чертеже — точка Т.

В процессе решения задач на сечение куба после теоремы о трех перпендикулярах нужно перейти к задачам следующего типа.

Задача 17. В сечении куба плоскостью получился ДЛБС. Построить в этом треугольнике высоту, проведенную из вершины С (черт. 46).

1-й шаг. Искомая высота /\АВС из вершины С будет по отношению к плоскости основания куба наклонной; СМ — перпендикуляр к той же плоскости. На основании теоремы о трех перпендикулярах искомая наклонная (высота треугольника) будет перпендикулярна АВ9 если ее проекция будет перпендикулярна АВу следовательно, в Д АВМ надо провести из точки M перпендикуляр к AB.

2-й шаг. Строим во фронтальной плоскости квадрат KLMN.

3-й шаг. На стороне квадрата NM откладываем отрезок NA. На стороне квадрата LM откладываем отрезок LB, увеличив его в два раза. Соединив прямой точки А и В, получим Д АВМ.

4-й шаг. В /\АВМ проводим MD±AB.

5-й шаг. Из точки D проводим DE J_ NM.

6-й шаг. На чертеже 46 на ребре куба MN отложим ME в натуральную величину.

7-й шаг. На чертеже 46 из точки Е проводим прямую, параллельную ML, до пересечения с AB в искомой точке D.

8-й шаг. Соединив точки С и D, получим искомую высоту CD.

Начиная с 4 шага, можно построение продолжать так: в /\АВМ проводим MD J_AB и продолжаем до пересечения со стороной квадрата NK. Полученную точку пересечения находим на стороне квадрата KN на чертеже 46, и соединив ее с Ж, найдем точку D. Дальнейшее построение остается без изменения.

В дополнение можно построить отрезок CD (высоту Д ABC) в натуральную величину. Для чего нужно построить во фронтальной плоскости прямоугольный Д CDM по двум катетам MC и MD (черт. 48). Истинную величину MC взять на чертеже 46, истинную величину MD взять на чертеже 47. Высота Д АВС\ отрезок CD, показана на чертеже 48 истинной величиной.

Аналогичные построения можно проделать на сечениях куба, разобранных ранее.

После прохождения двугранных углов в курсе X класса на таких задачах можно строить в натуральную величину линейные углы двугранных углов наклона плоскостей (подобно ^.CDM в разобранной задаче № 17).

Задача 18. Построить сечение правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки Л, В и С, заданные на чертеже 49.

1-й шаг. Точки В и А принадлежат плоскости Д SKM. Проведем через эти точки прямую, которая пересечет продолжение ребра МК в точке F.

2-й шаг. Точки F и С принадлежат плоскости искомого сечения. Проведем через эти точки прямую, которая пересечет продолжение ребра MN в точке Q и ребро LK в точке Е.

3-й шаг. Точки Q и В принадлежат плоскости Д SNM. Проведем через эти точки прямую, которая пересечет ребро пирамиды SN в точке D.

4-й шаг. Точки А и £, В и D, D и С, С и Е, Е и А попарно лежат в гранях пирамиды. Соединив их последовательно прямыми, получим искомое сечение — пятиугольник ABDCE.

Черт. 46 Черт. 47 Черт. 48

Черт. 49

Задача 19. Построить сечение правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки Л, В и С, заданные на чертеже 50.

1-й шаг. Точки В и С лежат в плоскости Д SLM. Прямая, проходящая через точки В и С, пересечет ребро LS в точке D.

2-й шаг. Точки А и С лежат в плоскости Прямая, проходящая через точки А и С, пересечет ребро пирамиды SN в точке Е.

3-й шаг. Точки А и В, В и Е, Е и D, D и А попарно лежат в гранях пирамиды. Соединив их прямыми, получим в сечении четырехугольник ABED.

Задача 20. Построить сечение правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки Л, В и С, заданные на чертеже 51.

1-й шаг. Точки В и С лежат в плоскости Д SLM. Прямая, проходящая через эти точки, пересечет ребро пирамиды SL и продолжение диагонали основания соответственно в точках D и Р.

2-й шаг. Точки Р и А лежат в плоскости основания пирамиды. Прямая, проходящая через эти точки, пересечет стороны основания пирамиды LK и КМ соответственно в точках F и Q.

3-й шаг. Точки А и С лежат в плоскости /\SNK. Прямая, проходящая через эти точки, пересечет ребро пирамиды SN в точке Е.

4-й шаг. Точки В и Е, Е и D, D и F, F и Q, Q и В попарно лежат в гранях пирамиды. Соединив их последовательно прямыми, получим в сечении пятиугольник BEDFQ.

Задача 21. Построить сечение правильной четырехугольной усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через точки Л, В и С, заданные на чертеже 52.

1-й шаг. Точки А и В лежат в грани NXNMMX. Прямая, проведенная через эти точки, пересекает продолжения ребер MN и ММг соответственно в точках Р и М2.

2-й шаг. Точки Р и С лежат в плоскости нижнего основания. Прямая, проведенная через эти точки, пересекает ребро АХ и продолжение ребра МК соответственно в точках D и Q.

3-й шаг. Точки Q и М2 лежат в плоскости грани ММХКХК. Прямая, проведенная через эти точки, пересекает ребра КХК и KxMt соответственно в точках Ей/7.

4-й шаг. Точки А и В, В и С, С и D, D и Е, Е и F, F и А попарно лежат в гранях пирамиды. Соединив их последовательно прямыми, получим в сечении шестиугольник ABDCEF.

Контроль. Прямая DC должна быть параллельна AF.

Задача 22. Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки Л, В и С, заданные на чертеже 53.

Черт. 50 Черт. 51 Черт. 52

Черт. 53

1-й шаг. Точки А и В лежат в плоскости грани KLLXKX. Прямая, проведенная через эти точки, пересекает продолжение ребра KXLX в точке Q.

2-й шаг. Точки Q и С лежат в плоскости нижнего основания. Прямая, проведенная через эти точки, пересекает ребра призмы LlM1 и M1N1 и продолжения ребер PXNX и КхРг соответственно в точках D, С, R и S.

3-й шаг. Точки А и S лежат в плоскости грани призмы КХРХРК. Прямая, проведенная через эти точки, пересекает ребро призмы РРг в точке F.

4-й шаг. Точки F и R лежат в плоскости грани призмы NNXPXP. Прямая, проведенная через эти точки, пересекает ребро призмы NNX в точке Е.

5-й шаг. Точки А и Я, В и D, D и С, С и Е, Е и F4 F и Л попарно лежат в гранях призмы, соединив их последовательно прямыми, получим в сечении шестиугольник ABDCEF.

Задача 23. Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки Л, В и С, заданные на чертеже 54.

1-й шаг. Прямая, проведенная через точки А и В, лежит в плоскости шестиугольника KLMNPQ и не параллельна его сторонам. Эта прямая пересекает стороны или продолжения их в точках В2у Blf Bf Л, Аг и Л2.

2-й шаг. Прямая, проведенная через точки Л1 и С, лежит в плоскости прямоугольника PPxNxNf не параллельна его сторонам и пересекает его стороны или продолжения их в точках Л, 5 и С (четвертая точка не потребуется для построения).

3-й шаг. Прямая, проведенная через точки Л j и С лежит в плоскости прямоугольника MMxh\N, не параллельна его сторонам и пересекает его стороны или продолжения их в точках Л2, С и F (четвертая точка не потребуется для построения).

4-й шаг. Прямая, проведенная через точки В2 и F% лежит в плоскости прямоугольника LLxMxMy не параллельна его сторонам и пересекает его стороны или продолжения их в точках £о, Е и F (четвертая точка не потребуется для построения).

5-й шаг. Прямая, проведенная через точки Вх и Е, лежит в плоскости прямоугольника KKXLXL, не параллельна его сторонам и пересекает его стороны или продолжения их в точках Въ D и Е (четвертая точка не потребуется).

6-й шаг. Точки Л и Ву В и D, D и £, Е и F, F w С, С w S, S и А попарно лежат в гранях призмы. Соединив последовательно эти точки, получим в сечении семиугольник ABDEFCS.

Контроль.

Прямая BD должна быть параллельна CF

DE „ „ . SC

EF AS

Задачи на вычисление и построения к ним

При решении задач на вычисление необходимо, чтобы чертеж к задаче был выполнен, хотя бы на глаз, по принципам построения, указанным выше, и с соблюдением примерного масштаба. Полезно часть из этих задач, помимо вычисления, решать построением. Чтобы не терять время, можно, разделив доску пополам, решать задачу одновременно вычислением и построением. Этот прием приучит к хорошим чертежам, даст наглядное представление о фигуре и уменьшит ряд грубых ошибок, допускаемых учащимися.

Задача 24 (Рыбкин, § 1, № 18). Сторона равностороннего треугольника равна 3 см. Определить расстояние от его плоскости до точки, которая отстоит от каждой из его вершин на 2 см.

1-й шаг. Выбираем масштаб в данной задаче 1:1.

2-й шаг. Строим данный треугольник во фронтальной плоскости в выбранном масштабе.

Черт. 54

Черт. 55 Черт. 56

При построении используем право свободного выбора положения оригинала (черт. 55).

3-й шаг. Проекция искомой точки на плоскость треугольника равноудалена от его вершин, следовательно, является центром описанной окружности около данного треугольника. Строим вторую высоту СЕ Д ABC и находим центр окружности, точку О (черт. 56).

4-й шаг. Строим /\АВС в горизонтальной плоскости, по правилу, принятому ранее.

5-й шаг. Во фронтальной плоскости строим в точке О перпендикуляр DB (прямую ОМ).

6-й шаг. Радиусом, равным двум единицам масштаба, из точки В проводим дугу, пересекающую ОМ в точке К.

Искомое расстояние есть отрезок ОК.

Задача 25 (Рыбкин, § 1, №20). В равнобедренном треугольнике основание и высота содержат по 4 см. Данная точка находится на расстоянии 6 см от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найти это расстояние.

1-й шаг. Масштаб 1:2.

2-й шаг. Строим во фронтальной плоскости данный треугольник, используя право свободного выбора положения оригинала (черт. 57).

AC = DB = 4 см.

3-й шаг. В Д ABC строим центр описанной окружности (радиусы этой окружности ОС, OA и OB есть проекции искомых наклонных). AB делим попалам в точке Е и проводим из точки Е перпендикуляр к AB до пересечения DB в точке О.

4-й шаг. Строим Д ABC в горизонтальной плоскости, по правилу построения фигур в горизонтальной плоскости (черт. 58).

5-й шаг. Во фронтальной плоскости строим в точке О перпендикуляр к DB (прямую ОМ) и на нем откладываем шесть единиц масштаба (черт. 58, отрезок OK).

6-й шаг. Соединяем прямой точки К а В.

Отрезок KB — искомое расстояние.

Задача 26 (Рыбкин, § 1 № 22 (2)). Катеты прямоугольного Д ABC равны 15 л* и 20 л*. Из вершины прямого угла С проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр CD = 35 м. Найти расстояние от точки D до гипотенузы AB.

1-й шаг. Масштаб 1:5Э0.

2-й шаг. Строим во фронтальной плоскости данный /\АВС в выбранном масштабе, используя право свободного выбора положения оригинала (черт. 59) (АС=\Ъм и СВ = 20 м.)

3-й шаг. CD — перпендикуляр к плоскости треугольника. Расстояние от точки D до гипотенузы— наклонная. Эта наклонная перпендикулярна AB, следовательно, ее проекция перпендикулярна AB на основании теоремы о трех перпендикулярах. Из точки С проводим CF _L AB (черт. 59).

4-й шаг. Строим /\АВС в горизонтальной плоскости, по правилу, указанному ранее (черт. 60).

5-й шаг. Чтобы найти точку F на чертеже в горизонтальной плоскости, возвращаемся к чертежу № 59 и на нем из точки F опускаем перпендикуляр на СВ (отрезок FE).

6-й шаг. На чертеже 60 на стороне треугольника СВ откладываем в натуральную величину отрезок СЕ и из точки Е проводим прямую, параллельную CA, до пересечения с AB. Это пересечение дает точку F.

7-й шаг. Во фронтальной плоскости строим CM J_ СВ. На прямой СМ откладываем в принятом масштабе отрезок CD = 35 м и соединяем прямой точки F и D.

FD — изображение искомого расстояния. Истинную величину этого расстояния в заданном масштабе получим, если построим прямоугольный Д FCD, у которого катет CD —

Черт. 57 Черт. 58

Черт. 59 Черт. 60 Черт. 61

данная величина 35 м и катет CF на чертеже 59 имеет истинную величину.

Строим Д FCD по указанным данным. Отрезок FD — искомое расстояние (черт. 61).

Задача 27. Ребро куба а = 4 см. Найти расстояние от вершины куба до его диагоналей.

1-й шаг. Масштаб 1:1.

2-й шаг. Строим куб в выбранном масштабе, учитывая право свободного выбора положения оригинала (черт. 62). Диагональное сечение куба лежит во фронтальной плоскости.

3-й шаг. Строим диагонали куба ЛС^ и САг в натуральную величину.

4-й шаг. Проводим перпендикуляр из точки А на CAU отрезок AF.

Отрезок AF—искомое расстояние от вершины куба А до диагонали САг.

Расстояние от вершины куба А до диагонали СХА равно нулю; расстояния А до диагоналей DBt и BDi находятся аналогичным путем.

Такое же построение можно проделать в правильной шестиугольной призме.

Задача 28 (Рыбкин § 9, № 1). По данной стороне основания а и боковому ребру b построить высоту правильной треугольной пирамиды.

Дано: отрезки а и Ь.

1-й шаг. Масштаб 1:1.

2-й шаг. Строим во фронтальной плоскости правильный треугольник по данной стороне а в выбранном масштабе, пользуясь правом свободного выбора расположения оригинала (черт. 63). Находим центр правильного треугольника (точка О).

3-й шаг. Строим /\АВС в горизонтальной плоскости по указанному ранее правилу.

4-й шаг. Из центра О во фронтальной плоскости проводим ОМ _1_ CD и радиусом, равным отрезку Ь, проводим из точки С дугу, пересекающую прямую ОМ в точке S (черт. 64).

Отрезок SO — искомая высота пирамиды.

Соединив точку S с вершинами треугольника ABC прямыми, получим пирамиду SABC.

Задача 29 (Рыбкин, § 9, № 6). Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12 см, а боковая сторона 10 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Построить высоту этой пирамиды.

1-й шаг. Масштаб 2:5.

2-й шаг. Во фронтальной плоскости строим данный равнобедренный треугольник в выбранном масштабе, используя право свободного выбора расположения оригинала (черт. 65).

3-й шаг. Построением находим центр вписанной окружности О (пересечение биссектрис).

4-й шаг. Строим ДЛЙС в горизонтальной плоскости (черт. 66).

5-й шаг. Во фронтальной плоскости строим ОМ _L BD.

6-й шаг. В этой же плоскости через точку D проводим прямую под углом 45° к прямой BD до пересечения с прямой ОМ в точке S.

Искомая высота — отрезок SO. (Пирамида SABC)

Задача 30 (Рыбкин, § 9, № 8). В правильную четырехугольную пирамиду вписать куб так, чтобы четыре его вершины находились на боковых ребрах пирамиды, а остальные четыре — в плоскости её основания, если в пи-

Черт. 62

Черт. 63 Черт. 64

Черт. 65 Черт. 66

рамиде даны стороны основания а и высота А. Дано: отрезки а и h.

1-й шаг. Масштаб 1:1.

2-й шаг. Строим во фронтальной плоскости квадрат по данной стороне а в выбранном масштабе, используя право свободного выбора расположения оригинала (черт. 67).

3-й шаг. Строим квадрат ABCD в горизонтальной плоскости по указанному ранее правилу (черт. 68).

4-й шаг. Во фронтальной плоскости на чертеже 68 проводим OS = h перпендикулярно диагонали CA и строим пирамиду SABCD.

5-й шаг. Диагональное сечение куба лежит в плоскости диагонального сечения пирамиды SCA. Диагональное сечение куба — прямоугольник, стороны которого относятся как сторона квадрата к своей диагонали, т. е. 1:}/2. Этот прямоугольник должен быть вписан в Д SCA так, чтобы две его вершины лежали на сторонах треугольника SC и SA, а две другие — на стороне CA. Строим прямоугольник с отношением сторон 1:^2 в плоскости треугольника SAC. Выбираем произвольную точку M на ребре SA. Проводим MNJ_0A. Принимаем отрезок ММ за единицу. Откладываем отрезок NXN=^MN на отрезке ДО, тогда NlM=Ycl. Откладываем на прямой N0 отрезок NL = N\M = \/2 и строим прямоугольник MNLK. Методом подобия вписываем в Д SCA прямоугольник, подобный прямоугольнику MNLK. Построенный прямоугольник FFXEXE есть диагональное сечение искомого куба, вписанного в пирамиду. Отрезки ЕЕХ и FFX— ребра искомого куба (черт. 69).

6-й шаг. По диагональному сечению FFXEXE строим искомый куб EPFQE^xF^^

Второе решение этой же задачи.

Возьмем другое положение оригинала, как указано на чертеже 69, и проделаем эту задачу аналогичным путем.

Построение показано на чертеже 70.

Оба приема надо показать учащимся, так как выбор положения оригинала может зависеть от данных задачи. Если бы была дана сторона основания и угол наклона бокового ребра к плоскости основания, то выбор отпадает и надо брать положение оригинала, указанное на чертежах 67 и 68.

Задача 31. Построить правильную усеченную треугольную пирамиду и ее высоту, если даны апофема k и стороны оснований а и

Дано: отрезки k, а и Ь.

1-й шаг. Масштаб 1:1.

2-й шаг. Строим во фронтальной плоскости правильные треугольники со сторонами а и b в выбранном масштабе, используя право свободного расположения оригинала (черт. 71).

Правильные ДАВС и /\кА1В1С1 можно построить на общем основании, чтобы получить разность между -~-И-+h (отрезок OlO), нужную для дальнейшего построения.

3-й шаг. Строим Д ABC в горизонтальной плоскости по принятому правилу (черт. 72).

4-й шаг. В Д ABC на высоте DB (черт. 72) откладываем от точки D отрезок DD2 = ОхО.

5-й шаг. Во фронтальной плоскости (черт. 72) из точки D2 проводим перпендикуляр D^M и радиусом, равным отрезку ky из точки D про-

Черт. 67 Черт. 68

Черт. 69 Черт. 70

Черт. 71 Черт. 72

водим дугу до пересечения с прямой D2M в точке Di.

6-й шаг. При точке Dx строим в горизонтальной плоскости Д АХВХСХ по данной стороне Ъ.

7-й шаг. Вершины Д ABC и /\АгВ1С1 соединяем прямыми и получаем искомую пирамиду АХВХСХАВС.

Искомая высота есть отрезок DXD2 = 00 х (на черт. 72).

Задача 32. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды а и Ь. Ребра наклонены к основанию под углом 60°. Построить пирамиду и апофему.

Дано: отрезки а и Ь.

1-й шаг. Масштаб 1:1.

2-й шаг. Строим во фронтальной плоскости правильные треугольники со сторонами а и b в выбранном масштабе, используя право свободного выбора расположения оригинала (черт. 73).

Правильные треугольники ABC и АХВХСХ можно построить с общей вершиной В, чтобы на одном чертеже получить разность отрезков — А) (отрезок ОхО).

3-й шаг. Строим в горизонтальной плоскости Д ABC по принятому правилу (черт. 74).

4-й шаг. В Д ABC (черт. 74) на высоте BD откладываем от точки В отрезок BF = ОхО =

5-й шаг. Во фронтальной плоскости на чертеже 74 из точки F проводим FM BD и из точки В проводим прямую под углом 60° к BD до пересечения с прямой FM в точке Вх.

6-й шаг. В этой же плоскости из точки Вх проводим BxDXl параллельно BD и строим в горизонтальной плоскости Д AlBlCl по данной стороне Ь.

7-й шаг. Соединив прямыми вершины треугольников ABC и АхВгСи получим искомую пирамиду АХВХСХАВС\ соединив прямой точки Dx и Z), получим искомую апофему DXD.

Решение задач построением нужно включать в письменные работы. Задачи такого типа не требуется составлять самим или искать особый задачник, так как большинство задач на вычисление в задачнике Рыбкина можно решать построением. При опросе по чертежу на доске к задаче на вычисление всегда можно предложить вопрос, сводящийся к изложенным построениям. По ответу учащегося можно судить о развитии его пространственного представления.

Полезно предлагать задачи следующего типа. Задача 33. По заданному чертежу правильной треугольной усеченной пирамиды построить линейный угол двугранного угла между боковыми гранями (черт. 75).

Покажем только ход решения.

Все боковые грани — равные равнобедренные трапеции.

На чертеже имеются: истинные величины высот правильных треугольников, лежащих в основаниях данной пирамиды, DB и DXBU и истинная величина апофемы DDX. Во фронтальной плоскости имеется трапеция DBBXDX. Проводим DE _1_ ВХВ и точку Е соединяем прямыми с точками Л и С. На основании теоремы о двух перпендикулярах ВХВ перпендикулярно плоскости Д АСЕ и. следовательно, ^ АЕС — линейный угол двугранного угла ВХВ.

Для построения ^/Л£С строим равнобедренный Д АЕС, основание которого АС в два раза больше, чем на чертеже 75. а высота ED построена в натуральную величину (черт. 76).

Заканчивая этот раздел, надо сказать, что все чертежи выполнены в кабинетной проекции, т. е. частном случае параллельной косоугольной проекции. Чтобы у учащихся не создалось впечатления, что условие (у = 45° и £=-g-) неизбежно, полезно в процессе обучения изменять это условие, в особенности в тех случаях, когда это способствует зрительному восприятию. Например, на чертеже 24 показано изображение куба, где две диагонали куба сливаются друг с другом и с ребрами куба, если же взять ср == 60° и k = +, этого не произойдет. Такой прием развивает комбинационные способности учащихся.

Черт. 73 Черт. 74

Черт. 75 Черт. 76

ОБ ИЗУЧЕНИИ ФУНКЦИЙ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Т. А. ПЕСКОВ (Уфа)

В методической литературе неоднократно подчеркивалась необходимость более раннего ознакомления учащихся средней школы с понятием функциональной зависимости.

В настоящее время делаются попытки разрешить этот вопрос с практической стороны. В большинстве журнальных статей, а также в объяснительной записке к программе средней школы рекомендуется знакомить учащихся V, VI и VII классов с идеей функциональной зависимости на конкретных примерах, без употребления функциональной терминологии.

В статьях С. И. Новоселова и В. Севбо дано дастаточное количество таких примеров из арифметики, алгебры и геометрии («Математика в школе» №5—6 за 1946 г., №3 за 1950 г.).

С своей стороны мы считаем нужным рассматривать примеры из геометрии в V классе. Упражнения на установление зависимости площади прямоугольника, параллелограма и треугольника от основания высоты этих фигур; поверхности и объема куба и прямоугольного параллелепипеда от их измерений; длины окружности и площади круга от радиуса; поверхности и объема цилиндра — от радиуса основания и высоты являются прекрасным средством для развития функционального мышления учащихся.

Таким образом вопрос о так называемой функциональной пропедевтике можно считать решенным.

Рассмотрим теперь вопрос об изучении программного материала по теме «Функции». Решить этот вопрос — это значит:

1) установить, в каком классе нужно знакомить учащихся с функциональной терминологией и как это делать, в традиционном ли порядке, пользуясь понятием переменной величины, или давать учащимся новую трактовку вопроса о функциях на основе понятий множества и соответствия;

2) установить объем этой темы.

Кроме того, необходимо остановиться на некоторых методических указаниях практического характера.

Вполне естественно, что в первую очередь нужно решить вопрос о времени ознакомления учащихся с функциональной теорминологией. Авторы большинства журнальных статей относят этот вопрос, в соответствии с программой, к VIII классу. В статье Г. М. Карпенко («Математика в школе», № 6 за 1949 г.) рекомендуется давать учащимся понятие об аргументе и функции в VI классе.

То и другое решение нельзя признать приемлемым. Вводить функциональную терминологию в VI классе преждевременно, а откладывать ее до VIII класса нельзя, так как в настоящее время в программу VII класса включено черчение графиков прямой пропорциональности и графиков вида: у = ах+Ь; ах + by + с = 0, а сознательное вычерчивание указанных графиков затруднительно без применения функциональной терминологии.

Министерство просвещения РСФСР внесло в программу VII класса черчение различных графиков, но не дало методических указаний по этому вопросу. Отсутствие четкости и ясности в программе по вопросу о черчении графиков крайне затрудняет преподавателей VII класса.

Некоторые преподаватели при черчении графиков пользуются терминами «независимая величина» и «зависимая величина». Некоторые дают учащимся понятие об аргументе и функции и оперируют с этими понятиями при вычерчивании графиков, т. е. фактически выполняют часть программы VIII класса.

Мы считаем, что правильное решение вопроса заключается именно в концентрическом изложении учения о функциях с отнесением к VII классу первого концентра, в который следует включить понятие об аргументе и функции, понятие о способах выражения функциональной зависимости, линейные функции и их графики.

В этом случае методика изложения названного вопроса становится вполне определенной и учителю не придется ломать голову над вопросом, как научить учеников чертить графики функций по их аналитическому выражению, не вводя соответствующую терминологию, а ученикам не придется заниматься такой работой, сущность которой они совершенно не понимают.

При концентрическом изучении вопроса о функциях отпадут затруднения и с коэффициентом пропорциональности, который можно будет определить в соответствии с требованиями логики, как это сделано во второй части учебника Киселева.

При концентрическом изложении вопроса о функциональной зависимости ученикам, прекратившим свое образование по окончании VII класса, не будет чужда имеющая огромное практическое значение идея функциональной зависимости между величинами.

Переходим к вопросу о характере изложения темы «функции» в VII и VIII классах.

В настоящее время в методической литературе настойчиво рекомендуется разработка этой темы на основе понятий множества и соответствия. В этом случае учащиеся средней школы получат более широкое понятие о функции. Новое определение функции дано в нескольких статьях в журнале «Математика в школе».

В частности, в статье Г. М. Карпенко аргумент и функция определяются так: «Если каждому значению из заданного множества (в данном случае t) поставлено в соответствие некоторое определенное значение из другого множества (в данном случае s), то говорят, что задана функция.

Заданное множество значений называется множеством значений аргумента или областью определения функции. Полученное же множество значений называется множеством значений функций».

Мы думаем, что при самом первом ознакомлении учащихся с функциональной терминологией нельзя пользоваться приведенным выше определением и аналогичными определениями других авторов, так как из этих определений учащиеся не могут уяснить, что же такое аргумент и что такое функция. Для учеников, впервые слышащих термин «функция», будут совершенно непонятны слова: «говорят, что задана функция».

При рассмотрении конкретных примеров, из которых вытекает приведенное выше определение, Г. М. Карпенко не акцентирует внимание учащихся на изменяемости одних величин в зависимости от изменения других, и таким образом для учащихся остается неизвестной основная причина возникновения соответствия между элементами двух множеств. Игнорирование факта изменяемости величин нельзя считать допустимым ни с какой точки зрения.

Образовательное, практическое и воспитательное значение изучения функций заключается именно в том, что оно дает возможность устанавливать законы изменения различных величин окружающей нас действительности в зависимости от других величин.

Изложенные соображения приводят нас к выводу, что в VII классе должна быть сохранена традиционная трактовка вопроса о функциях, построенная на понятии переменной величины.

В VIII классе в связи с повторением материала, пройденного в VII классе, следует дать учащимся более широкое понятие о функции на основе понятий множества и соответствия.

Для учеников VIII класса, знающих, что такое аргумент и функция, новая трактовка вопроса будет понятной и фигурирующие во всех новых определениях функции слова: «говорят, что задана функция» или «говорят, что на множестве AI задана функция»—не будут оставлять впечатление какой-то неясности и туманности и поэтому не будут заучиваться формально. Разумеется, что при подготовке определения функции в VIII классе преподаватель должен рассматривать самые разнообразные примеры соответствия между элементами двух множеств, уделяя достаточное внимание и таким примерам, которые говорят об изменяемости величин.

Рассмотрим подробнее вопрос о выяснении понятия «аргумент» и «функция» в VIII классе.

Некоторые методисты, давая новую трактовку вопроса о функциях, не вводят в определение термин «множество», а сохраняют термин «величина», так, например, С. И. Новоселов рекомендует следующее определение: «Величина у есть функция от х, если каждому допустимому численному значению х соответствует некоторое вполне определенное значение у («Математика в школе», №5 — 6 за 1946 г.).

В автореферате к диссертационной работе В. И. Севбо на тему «Функциональная зависимость в школьной математике» дано такое определение функции: «Если каждому допустимому при данных условиях значению одной величины поставлено каким-нибудь образом в соответствие вполне определенное (единственное) значение другой величины, то первая величина называется аргументом, а вторая функцией».

В приведенных определениях объем понятия «функция» лимитируется понятием «величина» и, следовательно, остается таким же, как и в старых определениях.

В частности, под эти определения не подходит соответствие между элементами нечисловых множеств, как, например, между точками. Таким образом, названные авторы не дают более широкого понятия о функции.

В определениях, данных в статьях Г. М. Карпенко и А. И. Маркушевича («Математика в школе», №6 за 1949 г. и №4 за 1947 г.), фигурируют и множество и соответствие, и, если делать выбор из этих определений, то нужно остановиться на определении, сформулированном А. И. Маркушевичем: «Если каждому элементу х множества M поставлен в соответствие некоторый элемент множества /V, то говорят, что на множестве M задана функция и пишут: y = f(x). При этом отдельные элементы х называют значениями аргумента, а элементы у — значениями функций.

По отношению к VIII классу может быть поставлен вопрос об объеме темы «Функции».

В большинстве журнальных статей в эту тему включаются сверх программы вопросы об области определения функции, о выражении закона соответствия различными формулами в различных промежутках и о возможности выразить закон соответствия описанием вместо формулы. Не может быть никаких возражений против рассмотрения в средней школе вопроса об области определения функции на конкретных примерах, но следует тщательно подбирать такие примеры.

С своей стороны укажем в качестве примера площадь прямоугольника. Если основание прямоугольника равно 8, то формула принимает такой вид: S = Sx, или у = 8х. Ученики легко поймут, что данная функция может существовать только при х>0.

Нужно согласиться со всеми примерами, приведенными в статье С. И. Новоселова, на нахождение области определения функции, кроме 2-го примера, который может быть рассмотрен только в X классе.

Вопрос об области определения функции нужно затрагивать в IX и X классах при ознакомлении учащихся с показательной, логарифмической и тригонометрическими функциями, после вывода формул площади круга, поверхностей и объемов многогранников и круглых тел, а также при изучении прогрессий (см. статью С. И. Новоселова).

Возникает сомнение в полезности ознакомления учащихся с функциями, заданными различными формулами в разных промежутках, а также с функциями, заданными не формулой, а описанием закона соответствия. По нашему мнению, эти вопросы носят слишком специальный характер и не должны иметь места в общеобразовательной школе тем более, что нет доступного для учащихся примера на описание соответствия между аргументом и функцией, что признает и С. И. Новоселов. Знакомить учащихся с функцией Дирихле и говорить по поводу этой функции, что путем соглашения установлено считать^ = 1, если х— рациональное число и у = 0, если х—иррациональное число, — это значит вызывать в сознании учащихся неразрешимое недоумение, когда и зачем нужно так делать.

Считаем нужным остановиться на некоторых методических вопросах практического характера.

Вполне приемлемое изложение темы «Функции» дано во второй части учебника Киселева, поэтому в настоящей статье будут затронуты с методической точки зрения только некоторые отдельные вопросы по этой теме.

Мы полагаем, что в VII классе функции нужно изучать в два срока. Понятие о функции и способах выражения функциональной зависимости нужно включить в тему «Пропорция и пропорциональная зависимость», увеличив число часов на эту тему с 6 до 10, а графики функций: у = ах+ b и ах+Ьу+—[— с = 0 проходить в соответствии с программой в конце учебного года.

В целях сознательного усвоения учащимися новых понятий, необходимо иллюстрировать их большим количеством разнообразных примеров, которые указываются как учащимися, так и преподавателем. Полезно записать примеры так:

Аргумент

время скорость

количество товара цена товара основания прямоугольника

высота прямоугольника

температура

числитель дроби знаменатель дроби радиус радиус

радиус основания цилиндра

высота цилиндра сторона квадрата сторона треугольника

Функция

расстояние расстояние стоимость стоимость

площадь

площадь

длина металлического прута

величина дроби величина дроби длина окружности площадь круга

боковая поверхность

боковая поверхность площадь

противолежащий угол

В методической литературе известно утверждение о необходимости объяснения учащимся цели изучения различных разделов программы. Мы считаем вполне возможным объяснить учащимся в доступной для них форме цель ознакомления их с прямоугольной системой координат.

Мы предлагаем начать с рассмотрения следующего примера.

В цехе завода нужно повесить электрические лампочки в строго определенных местах потолка. Какие измерения нужно сделать, чтобы записать положение каждой лампочки и по этой записи можно было бы точно установить, где нужно развесить лампочки для нормального освещения станков?

Полезно сначала выслушать предложения учеников, после чего разъяснить, что достаточно измерить расстояния каждой лампочки от двух смежных стен и записать эти расстояния. Нужно иллюстрировать достаточность двух измерений для определения положения каждой лампочки и перейти к ознакомлению учащихся с координатами и соответствующим упражнениям. В первую очередь ученики должны упражняться в записи посредством координат точек, отмеченных преподавателем на классной доске.

Эту работу выполняют также вызванные к доске ученики, а остальные их контролируют.

В связи с этим упражнением полезно установить аналогию между записью точек на плоскости и записью положения различных пунктов земной поверхности при помощи географических координат.

Второе упражнение заключается в нахождении на плоскости точек по их координатам. Преподаватель диктует координаты точек, а учащиеся на классной доске и своих тетрадях отмечают эти точки. Нужно проделать не менее 8 таких упражнений, давая самые разнообразные координаты как, например (3;4) (2;—3) (-1 ; 5), (-2; -3), (3; 0), (-5; 0), (0; 2), (0;-4).

После этих упражнений следует перейти к черчению графика прямой пропорциональности, взяв для первого раза график у=2х.

При черчении этого графика нужно отметить на плоскости 4—5 точек и провести прямую линию. Ученикам следует подчеркнуть три обстоятельства: 1) график представляет прямую линию, 2) график проходит через начало координат, 3) у любой точки графика ордината в 2 раза больше абсциссы. Ученики должны проверить правильность третьего утверждения непосредственным измерением координат двух-трех точек, не записанных в таблице.

При самостоятельном черчении графиков прямой пропорциональности учащимся полезно убеждаться в том, что координаты точек вычерченной прямой удовлетворяют той формуле, по которой вычерчен график. Доказать, почему график прямой пропорциональности выражается прямой линией, в VII классе нельзя. Это нужно сделать в VIII классе при повторении материала 1-го концентра.

На этом изучение функций в VII классе временно прекращается, но отсюда не следует, что в течение довольно значительного промежутка времени слова «аргумент» и «функция» не должны произноситься в VII классе. При каждом удобном случае нужно подчеркивать функциональную зависимость на конкретных примерах, как, например, зависимость длины средней линии трапеции от оснований трапеции, зависимость между дугами и хордами, между хордами и их расстояниями от центра.

Весьма полезно рассматривать уравнение как равенство двух функций или равенство функции определенному числу, истолковывая решение уравнений как нахождение таких значений аргумента, при которых значения функций делаются равными, например, в уравнении 5х—1 = 2 х+ 8 учащиеся должны усматривать функции от л: в каждой части уравнения и считать решением уравнения нахождение такого значения л:, при котором левая часть будет равна правой части.

После решения задач на составление систем уравнений в программе значится вычерчивание графиков: у = ах+Ь\ ах+Ъу+с = 0.

При черчении этих графиков следует обратить внимание учащихся на то обстоятельство, что аналитическое выражение таких функций задается уравнением с двумя неизвестными и что график в этих случаях представляет тоже прямую линию, но, в отличие от графика прямой пропорциональности, график не проходит через начало координат, а отсекает от ординаты отрезок, равный Ь. Нужно проверить на нескольких графиках это свойство функции:

у = ах Ь.

Необходимо также установить, что координаты каждой точки графика удовлетворяют тому уравнению, по которому вычерчен график.

Переходя к геометрическому истолкованию решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными, нужно заинтересовать учащихся вопросом, сообщив им, что они научатся решать систему уравнений с двумя неизвестными при помощи чертежа, не применяя известные им уже способы.

Затем взяв, какую нибудь конкретную систему следует составить таблицы значений х и у по тому и другому уравнениям, вычертить график по первому уравнению и подчеркнуть, что координаты каждой точки полученной прямой удовлетворяют первому уравнению.

После этого вычерчивается график по второму уравнению и подчеркивается, что координаты каждой точки полученной прямой удовлетворяют второму уравнению.

Затем преподаватель обращает внимание на точку пересечения прямых и объясняет, что координаты этой точки удовлетворяют и первому и второму уравнениям, т. е. являются решением данной системы (л: = 5, у = 2). Ученики обязательно должны решить систему аналитическим способом и убедиться в правильности графического решения.

В порядке упражнений учащиеся должны решить графическим методом в классе и дома не менее четырех систем уравнений.

Приступая к изучению квадратной функции, преподаватель пользуется формулой пути, проходимого свободно падающим телом: S = -^-gt2, устанавливает соответствие между значениями времени и значениями пути и дает определение квадратной функции. Вторым примером может служить площадь квадрата у = х2.

Учащиеся должны вычерчивать большое количество графиков квадратных функций при постепенном усложнении формулы.

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ В КУРСЕ VIII КЛАССА*

К. С. БАРЫБИН (Москва)

Вопрос об арифметическом корне неоднократно обсуждался в журнале «Математика в школе», и все-таки этот вопрос остается больным местом при прохождении действий с корнями.

Действия с корнями производятся в VIII классе в множестве действительных чисел. В этом случае, рассматривая у = \^х2 как функцию от ху нужно для |/X2 взять единственное значение, а именно—неотрицательное. При этом X может быть числом и положительным, и отрицательным, а поэтому

Что касается (\/х)2у то здесь по определению корня (Ух)2 = ху где х>0.

Рассмотрим несколько преобразований с корнями.

Пример I,

Пример II.

Пример III.

Пример IV.

Пример V. Упростить:

Пример VI. Упростить:

где я>0. Имеем :

Рассмотрим более сложные примеры.

Пример VII. Упростить:

Здесь представятся три случая:

Пример VIII. Упростить:

* Доклад, прочитанный на научно-практической конференции Московского городского Института Усовершенствования учителей 27 марта 1951 г.

Арифметический корень часто встречается при решении иррациональных уравнений.

Пример IX. Решить уравнение:

Положим,

тогда

откуда

Второе значение z2 =--g" непригодно, так как радикал арифметический, находим, что

Пример X. Решить уравнение:

Решив уравнение обычным путем, найдем три корня:

Произведем проверку: 1) хх = 0. Левая часть

как сумма арифметических корней, а правая равна 0, следовательно, хг корень посторонний.

2) х2 = 2 |Лго. Левая часть

Правая часть равна:

Значит,

есть корень уравнения при условии а ^ Ь.

Левая часть

(корни арифметические) а правая часть —

Окончательно: уравнение имеет корень

Пример XI. Решить уравнение:

Вынесем yjx за скобку:

тогда уравнение распадется на два:

*1 = 0 (1)

и

или

(2)

Рассмотрим два случая:

1) 2-|-а>0, или а> —2.

Здесь в левой части уравнения сумма положительных чисел (у/*>0), а в правой 0, что невозможно, следовательно, в этом случае уравнение (2) корней не имеет.

2) 2 + а<0, или а< — 2.

Здесь левая часть есть сумма разных по знаку чисел и может быть равна нулю. Отсюда решение:

Окончательно данное уравнение имеет два корня 0 и —\—г,, если а< — 2 и только один корень 0, если а> — 2.

Пример XII. Решить уравнение:

Радикал yj 6х— 9 действителен при X >> следовательно, при л:^-^- уравнение не может иметь решений. Неравенство

выполняется при всех значениях

так как

Следовательно, при радикал

действителен.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Рассматриваем два случая:

Следовательно, х может быть любым действительным числом, не большим, чем 3, но не меньшим .

Пример XIII. Решить уравнение:

Приводим уравнение к виду:

по условию а>0, следовательно,--^- <Т), и при этом значении х левая часть данного уравнения отрицательна, а правая положительна, следовательно,--5- посторонний корень.

По условию, а < 0, следовательно, —2а > 0.

Таким образом, — 2а будет корнем уравнения при условии а<0.

Результат работы в VIII классе показывает, что учащиеся могут этот материал хорошо усвоить, только сложные преобразования лучше ученикам дать после того, как они приобретут твердые навыки в действиях с корнями, примерно в III и IV четвертях.

ИЗ ОПЫТА

ОБ ОДНОМ СЧЕТНОМ ПРИБОРЕ

Н. И. КАШИН (В. Волочек)

В настоящей заметке дается описание счетного прибора, простого и по устройству и по способу пользования. В упрощенном виде он может быть с успехом применен в качестве наглядного пособия (при начальном изучении дробей) даже в начальной школе.

Идея устройства прибора следующая. Пусть имеется отрезок AB. Разделим его на несколько (например, на 14) равных частей (черт. 1). (Так как отрезок AB — произволен, то дело можно представлять себе проще: отложим от точки А вправо 14 равных отрезков и последнюю точку обозначим через В). Через точки деления проведем параллельные прямые а0, аи а2у • • ан перпендикулярно к AB. Теперь, если приложить отрезок KL (KL >- AB) к полученной «сетке» так, чтобы точка К лежала на а0, a L — на а14, то параллельными прямыми отрезок KL будет разделен на 14 равных частей. Точно так же отрезок МN, как видно из чертежа, будет разделен на 5 равных частей.

Доказательство этих положений элементарно, оно основано на следующей теореме: «Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через точки деления провести параллельные прямые, то отрезки другой стороны угла, заключенные между этими параллельными, равны между собой».

Таким образом, если имеется готовая сетка и отрезки различной длины, то их можно делить этой сеткой на то или иное число равных частей.

Кроме того, можно, пользуясь положением, указанным на чертеже 1, найти +, -g- и -g- отрезка MN и -у , , -?- , и т. д. отрезка KL и т. п.

Теперь представим себе, что вместо KL и MN у нас имеются линейки с делениями, отмеченными числами. Тогда мы можем находить, пользуясь сеткой, соответствующие доли уже чисел. Например, пусть линейка KL имеет 35 равных делений. Тогда, пользуясь сеткой и указанным на чертеже 1 положением KLy можно найти-^ от 35, -i- от 35 и т. п. Передвинув линейку в другое положение, например в положение К' //, можно найти , и т. д. от 35.

Следует заметить, что, пользуясь сеткой, можно находить и «неправильные» части данного числа или данного отрезка. Пусть, например, нужно найти -у- некоторого отрезка (на чертеже—PQ). Естественно, что линейку придется взять большей длины, чем данный отрезок. Тогда концы данного отрезка (PQ) располагаем соответственно на а0 и на а7, и решением поставленной задачи будет отрезок (PR) между а0 и а10.

Из изложенного следует, что описанный прибор (сетка и линейка с делениями) дает возможность находить дробь данного числа, т. е. решать задачи, связанные с умножением на дробь. Правда, на первый взгляд кажется, что для его практического применения нужно несколько сеток с различным числом параллельных прямых и, кроме того, набор линеек с различным числом делений. Но эти препятствия только кажущиеся и, при некоторой находчивости, легко преодолимы. Дело в том, что мы можем по своему усмотрению считать каждое деление и «базиса» сетки (AB) и линейки увеличенными или уменьшенными в нужное число

раз. Например, пусть нужно найти щ от 54, пользуясь сеткой, изображенной на чертеже 1 и линейкой в 35 см с миллиметровыми делениями. Тогда будем считать каждое деление базиса AB за два, т. е. будем считать, что AB разделено на 28 равных частей точками Ь0 = а0, Ьи Ь2 = а>\,.. . Ь2Н = аи (деление пополам легко сделать «на глаз»). Решение вопроса будет следующее: устанавливаем нулевое деление линейки на &0(=û0), а деление 27 на b2S (средина между аи и а12). Ищем пересечение Ь8 (= а4) с линейкой. На миллиметровой линейке получаем 9,4, т. е. от 27 =^ 9,4, а следовательно, -^g- от 54 =^ 18,8. Более точные расчеты дают -54 « 18,75. Что касается набора линеек с различным числом делений, то следует учесть, что на одной плоской прямоугольной линейке можно сделать четыре различных вида делений, по два на каждой стороне. Кроме нахождения дроби данного числа, прибор может быть использован для решения и других задач. Например, пользуясь сеткой чертежа 1, можно решить задачу: найти число, если -~ его равны т. Нуль линейки устанавливаем на д0, деление m на аб, ответ получаем на аь.

Пользуясь той же сеткой, можно решить и такую задачу: число m разделить в отношении 5:7. Нуль линейки устанавливаем на а0, a m на д12, тогда ответы получим в точках пересечения линейки с аь и ач. Если бы число m нужно было разделить в отношении 2:3:8, решение было бы аналогично предыдущему.

Таким образом, рассмотренный прибор может быть применен и для приближенного умножения и деления на дробь и для приближенного деления числа пропорционально данным числам.

Перейдем теперь к описанию счетного прибора в его законченной форме, удобной для практического применения. Базис AB (черт. 1) разделим на 100 равных частей, а делений на линейке, длиной приблизительно -у AB, возьмем соответственно 17; 29; 50 и 100.

Чтобы избежать многословного объяснения и чтобы дальнейшее изложение было наглядным, мы будем сразу формулировать те задачи, которые могут быть решены при помощи счетного прибора, а само решение будем приводить в виде чертежа. Ответ будет указан на чертежах острием стрелки.

Задача 1. Найти р% от числа m (черт. 2).

Задача 2. Найти число л, если р% его составляют число m (черт. 3).

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

Задача 3. Найти процентное отношение чисел тип (черт. 4).

Задача 4. Число m разделить пропорционально числам а, Ъ и с (черт. 5).

Берем сумму а+Ь+с и умножаем ее на k так, чтобы q = k (а + b + с) было близко к 100 (и не больше 100).

Задача 5. р% числа п равны т. Найти q% числа п.

Задача является комбинацией задач 2 и 1. Решается одним положением линейки. Сначала находим число п (задача 2), затем, не снимая линейку, находим q% от числа п (задача 1). Решение ясно из чертеже 6.

Задача 6. Найти произведение двух чисел тип.

Находим т% от числа л, или, что то же, п% от числа m (задача 1), и результат умножаем на 100.

Задача 7. Найти частное от деления m на п.

Находим процентное отношение m к п (задача 3) и результат уменьшаем в 100 раз.

Число задач можно было бы увеличить, но, думается, и приведенных достаточно, чтобы быть уверенным, что все задачи обычного школьного типа, решение которых основано на умножении и делении чисел, могут быть быстро (приближенно) решены при помощи рекомендуемого счетного прибора.

Правда, при решении задач со всевозможными числовыми данными придется проявлять некоторую находчивость, чтобы применить для их решения счетный прибор, но в школьной практике это может быть использовано для развития сообразительности учащихся. Пусть, например, нужно найти 2,3% от числа 1560. Задачу, ориентируясь на деления базиса и линейки прибора, можно решить, например, так: или 1) найти 23% от 15,6 и результат умножить на 10, или 2) найти 78% от 46 и результат разделить на 10. Во всяком случае, пользуясь соответствующими множителями (главным образом вида 10*, где k — целое число), можно при помощи счетного прибора решать задачи рассмотренных типов с различными числовыми данными.

При соответствующих изменениях обозначений делений базиса и линейки (и числа этих делений) счетный прибор может быть использован и для производства действий в различных системах счисления.

Прибором можно пользоваться даже в том случае, когда на линейке нет никаких делений, но только в этом случае число наложений линейки на сетку увеличится. Пусть нужно умножить 35 на 47. Сначала концы линейки наложим на края сетки (а0 и а100); затем отметим точку линейки, соответствующую параллели а36, и концы линейки наложим на а0 и а47; смотрим, какая параллель соответствует отмеченному делению линейки; результат умножаем на 100 (при первом наложении линейка была разделена в отношении 35:100, при втором, если номер параллели обозначать через xt будет иметь место пропорция

откуда X =

В данном случае

получим 35-47= 16,5.100 = 1650.

Устройство счетного прибора настолько просто, что каждая школа своими силами может сделать его демонстрационную модель размером хотя бы 100X75 (см) и линейку длиной 100 — 120 см. При практическом ознакомлении учащихся со счетным прибором нужно, чтобы у каждого из них была индивидуальная модель его, хотя бы в виде развернутого листка клетчатой бумаги из тетради, и линейка (в крайнем случае — бумажная) длиной 30—35 см.

Точность, даваемая прибором при тщательном его устройстве, 2—3 знака.

Черт. 5

Черт. 6

СЕГМЕНТ, ВМЕЩАЮЩИЙ ДАННЫЙ УГОЛ

И. Г. АЛЬТШУЛЕР (Ленинград)

Вопрос о сегменте, вмещающем данный угол, изложен в стабильном учебнике не вполне удовлетворительно. Недостатки изложения сводятся главным образом к следующему.

1. Не освещен вопрос об угле зрения. В замечании к § 132, говоря о геометрическом месте точек, автор впервые, притом без каких бы то ни было пояснений, употребляет выражение «данный отрезок виден под данным углом». В старых учебниках дело обстояло еще хуже, — они вовсе обходились без понятия об угле зрения (см., напр., учебники Давидова, Малинина). Но и Н. А. Глаголев в своей «Элементарной геометрии» умалчивает о геометрическом месте точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, хотя в отделе упражнений пользуется выражением «отрезок виден под углом» (см. напр., стр. 121, №№ 16 и 18). Мы полагаем, что в этот вопрос надо внести ясность.

2. Неэкономно построено доказательство теоремы об угле, составленном касательной и хордой. Метод доказательства, принятый Киселевым, вынуждает его рассматривать два случая: случай прямого угла и случай общий; но в этом нет надобности.

3. В чертежах 150 и 151 (см. стабильный учебник), иллюстрирующих вышеупомянутое доказательство, отсутствует органическая связь с чертежом 152, поясняющим построение сегмента, вмещающего данный угол, вследствие чего нельзя ожидать, чтобы учащиеся сами додумались до способа построения.

Настоящая заметка имеет своей целью исправить все вышеуказанные дефекты.

1. Вслед за теоремой о вписанном угле (§ 124) целесообразно дать учащимся понятие оо угле зрения. Пусть дан отрезок AB и пусть наблюдатель находится в точке С (черт. 1). Проведем к концам отрезка лучи зрения CA и СВ. Точка С, в которой помещен наблюдатель, называется точкой зрения, а угол АСВ = а называется углом зрения. При этом говорят, что отрезок лВ виден из точки С под углом а. Легко видеть, что с удалением*) наблюдателя от AB угол зрения уменьшается, т. е. угол, АСХВ меньше угла АСВ. Физическое свойство глаза таково, что с уменьшением угла зрения и сам предмет кажется меньше. Теперь можно следствия из теоремы о вписанном угле перефразировать так: 1) из всех точек дуги АтВ (сами точки А и В исключаются). Хорда AB видна под одним и тем же углом а (следовательно, все зрители, расположенные на дуге АтВу находятся в одинаково выгодных оптических условиях по отношению к отрезку AB); дуга (или сегмент) АтВ вмещает в себя угол, равный а; 2) из всех точек полуокружности диаметр виден под прямым углом.

Здесь возникает вопрос: исчерпывает ли дуга АтВ все точки, из которых хорда AB видна под одним и тем же углом а, — иначе говоря: можно ли считать эту дугу геометрическим местом точек? Предлагаем учащимся следующее упражнение. Приняв хорду AB за ось симметрии, построить дугу, симметричную с данной дугой АтВ. Учащиеся легко убедятся в том, что обе эти дуги, вместе взятые, составляют геометрическое место точек, из которых отрезок AB виден под углом а.

2. Теорема об угле, составленном касательной и хордой, доказывается проще так. Пусть ^ВАЕ — острый угол, образованный касательной АЕ и хордой AB (черт. 2). Соединим точку касания А с центром О и, кроме того, проведем ODF±AB. ^l+^2 = rf, + +^2 = flf, следовательно: / 1 +/2 = ^3-f^/2, откуда: ^1 = ^3; но ^3 измеряется дугой AF = ~ w AFB, следовательно, и ^ 1 измеряется половиною дуги AFB. Рассмотрение случаев, когда У ВАЕ ^S0° не представляет затруднений.

Здесь же заметим, что если ^ 1 = а, то и ^АСВ = а, т. е. дуга АСВ вмещает угол, равный а.

Затем предлагаем учащимся следующий вопрос: каким путем можно было бы отыскать центр окружности (черт. 2), если бы чертеж оказался стертым и от него остались бы вид-

Черт. 1 Черт. 2

*) Удаление мы понимаем в смысле перемещения по прямой, перпендикулярной к AB или параллельной AB.

ны лишь хорда AB и касательная АЕ? Учащиеся легко догадаются, что для восстановления стертой окружности, т. е. для нахождения ее центра, необходимо провести два перпендикуляра: АО ±_ АЕ и DO ±_АВ через середину AB. Точка их пересечения О и будет искомым центром.

3. После этого легко перейти к задаче построения сегмента, вмещающего данный угол (предполагается, что отрезок AB дан по величине и по положению). Из точки А проведем луч АЕ так. чтобы ^ВАЕ = а (черт. 3), и мы таким образом возвращаемся к уже разобранному вопросу — учащиеся сами смогут найти центр искомой дуги.

Здесь необходимо напомнить о геометрическом месте точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, вновь подчеркнув то обстоятельство, что это геометрическое место состоит из двух дуг.

Черт. 3

ПРОСТЕЙШИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ В КУРСЕ СЕМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ

М. Г. ВАСИЛЬЕВ (Петровск)

Некоторые учителя V классов считают, что ознакомление учащихся с правилами простейших приближенных вычислений непосильно для учеников V классов, что прохождение этого раздела пойдет в ущерб прохождению остального материала. На личном опыте я убедился в неосновательности этих доводов. По моему мнению, прохождение этого раздела поможет ученикам лучше усвоить курс арифметики, так как, благодаря упрощению вычислений, учащиеся будут экономить время и могут решать большое количество задач.

Обычно в задачниках авторы подбирают данные, приводящие в ответах к «круглым» числам. В жизни, в практике при измерении величин обычно этого не бывает, а поэтому надо приучить ученика не теряться при вычислениях с любыми числами.

Не обязательно весь материал надо проходить в V классе, арифметика изучается и в IV классе, причем во втором полугодии по арифметике теоретического материала нет. Поэтому часть материала можно перенести на VI класс.

Ознакомление учащихся с правилами простейших приближенных вычислений я проводил в виде кратких (15 — 20 минутных) бесед, с закреплением сообщенного материала в течение ряда последующих уроков.

Первая беседа: «Округление чисел».

Учитель предлагает учащимся ответить на следующий вопрос: Сколько следует считать в километре шагов, если первый раз насчитали 1327, второй раз —1338. третий раз — 1335 шагов. После попыток учащихся дать правильный ответ учитель сообщает им, что точного количества шагов в километре установить невозможно. (Объясняет, почему.) Расхождение цифр в разряде десятков и единиц показывает, что только число сотен и тысяч будут совпадать с действительным количеством шагов в километре. Указывает, что вместо неизвестных нам цифр часто ставят нули и число шагов в километре считают равным приблизительно 1300.

Такая замена в числе сомнительных цифр нулями называется его округлением.

Иногда приходится округлять и десятичную дробь. Например, при делении 3 на 7 получено частное 0,42857 ... Если поставленная перед вычислителем задача требует сохранения лишь десятых и сотых долей, то остальные цифры уже не заменяются нулями, а просто отбрасываются, так как нули, написанные в конце десятичной дроби, не изменяют ее величины.

Для получения большей точности результата пользуются при округлении чисел следующим правилом: если первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5, то увеличивают последнюю из оставленных цифр на единицу, прибавления единицы не делают, если первая из отбрасываемых цифр меньше 5 (надо объяснить учащимся на частных примерах, почему при применении правила мы достигаем большей точности).

Далее решаются в классе такие примеры:

1. Число 1382567 округлить до тысяч, до сотен, до десятков.

2. Дробь 3,141592653... округлить до сотых

долей, тысячных долей и т. д. Если число оканчивается цифрой 5, которую хотят отбросить, то прибавление единицы делается только в том случае, если перед 5 стоит нечетная цифра.

Например: 158,35 = 158,4 726,45 = 726,4

Работа на дом.

1. Округлить число 1,0668 до десятых, до сотых, до тысячных долей.

2. Округлить число 6356 до сотен, до десятков, до тысяч.

Вторая беседа: «О точности измерений».

Наглядные пособия: метр без делений, метр с дециметровыми делениями и метр, разделенный на сантиметры. Измеряется длина и ширина класса каждым из указанных метров.

Получаются данные:

Указывается, что первый раз измерение производилось с точностью до 1 метра, во второй раз — до 0,1 метра, в третий раз с точностью до 0,01 метра.

Совершенно точно выполнить измерение нельзя, всегда получается большая или меньшая ошибка.

В результате измерения мы получаем, следовательно, приближенные числа.

В первом случае мы измерили длину с двумя значащими цифрами, а ширину с одной значащей цифрой.

Во втором случае длину измерили с тремя значащими цифрами, а ширину с двумя, в третьем случае длина измерена с четырьмя значащими цифрами, а ширина с тремя. Нули в начале числа, полученного в результате измерения, не считаются значащими цифрами. Например, 0,24 м считается двузначным числом, 0,03 м считается однозначным числом. Нули между другими цифрами считаются значащими цифрами, например, 30,6 м — трехзначное число.

Если при измерении с точностью до 1 см длина предмета окажется равной 800 см, то в дециметрах следует записать 80,0, а в метрах—8,00.

В этом случае нули считаются также значащими цифрами.

Нули, поставленные в конце числа вместо неизвестных цифр, не считаются значащими цифрами. Если, например, население города подсчитано только с точностью до сотен и получено число 32800, то это число считается трехзначным.

Нули, написанные в конце числа при его округлении, значащими цифрами не считаются.

Сообщается домашнее задание:

предлагается измерить дома длину и ширину комнаты метром без делений, метром с дециметровыми делениями и метром с сантиметровыми делениями; в полученных результатах указать, сколько будет значащих цифр и точность измерения.

Третья беседа: «Умножение приближенных чисел» (приводится вскоре после первой).

Учитель предлагает одному из учеников записать на доске результаты его измерений. Допустим, что это будут числа:

Вычисляется площадь комнаты:

Более точные данные измерения дают более точный результат; сравнивая их между собой, мы видим, что при перемножении однозначного числа на однозначное только первая значащая цифра совпадает с более точным результатом, при умножении двухзначного числа на двухзначное первая и вторая цифры совпадают.

Чтобы проверить, какие цифры слева направо надо считать верными при умножении трехзначного числа на трехзначное, поставим вместо неизвестных нам более мелких долей (миллиметров) знаки вопроса и перемножим:

В результате перемножения только первые три цифры можно считать верными. Цифра четвертая (4) — ненадежна, так как при сложении ? —f— 1 —[— 6 —(- ? мы не знаем, сколько единиц перейдет в десятые доли.

Указывается, что при перемножении приближенных чисел только часть цифр (считая слева) будет надежной, остальные следует или отбросить, если они являются цифрами дробной части десятичной дроби, или заменить нулями, если они являются цифрами в целом числе.

Упражнения на дом.

Предлагается учащимся, пользуясь знаками вопросов в конце приближенных чисел, установить число верных цифр при вычислении площади прямоугольного участка:

а) длина 9,2 м, ширина 6,3 м

в) длина 27,3 м, ширина 13,7 м

Четвертая беседа: «Умножение приближенных чисел»

(проводится вскоре после предыдущей).

Учитель предлагает проверить, пользуясь вопросительными знаками, поставленными вместо первой неизвестной цифры, сколько значащих цифр надо взять в том случае, когда множитель и множимое берутся с различным количеством цифр. После нескольких проделанных примеров ученики приходят к выводу, что число верных цифр совпадает с числом значащих цифр того из сомножителей, у которого меньше значащих цифр.

Затем во всех проделанных примерах берутся перемножаемые величины с одинаковым числом значащих цифр (путем округления).

Например вместо 23 4 и 7 326 берутся 23,4 и 7,33.

Верные цифры результата совпадают с ранее полученными. Ученики убеждаются, что при перемножении приближенных чисел с различным количеством значащих цифр можно вычисление упростить, округлить данные до одинакового числа значащих цифр. Предлагается учащимся, пользуясь подмеченным правилом, найти произведения следующих приближенных чисел:

23,6X21 м 17,2X3,2 см

Пятая беседа: «Умножение приближенных чисел».

Вспоминаются выводы, сделанные на предыдущей беседе: при перемножении приближенных чисел следует брать оба перемножаемые числа с одинаковым количеством значащих цифр, округляя излишние. В произведении число верных цифр совпадает с числом значащих цифр каждой из перемножаемых величин.

Следует указать учащимся, что в промежуточных вычислениях рекомендуется число верных цифр произведения считать на одну больше.

Выводы закрепляются решением задачи:

Каменный уголь погрузила на платформу, длина которой 6 4 м, ширина 2,74 м, до высоты 0,76 м. Сколько тонн угля погрузили на платформу если вес 1 куб. м угля равен 1,3 т?

Решение.

1) 2,74^2,7

2) 6,4X2,7 = 17,28 (кв. м)

3) 17X0,76= 12,92 (куб. м)

4) 13 X 1,3^16,9=^ 17 (тонн).

Задача вторая.

Вычислить объем цилиндра, диаметр основания которого равен 36 сму а высота 4 J м. Решение.

1) Находим длину окружности основания:

0,36X3,1 = 1,116 (м)

2) Вычислим площадь основания цилиндра:

0,56X0,18 = 0,101

3) Найдем объем цилиндра:

4,1 X 0,1 = 0,41 (куб. м)

Следует предупредить учащихся, что округление производится только в тех задачах, где они имеют дело с приближенными величинами.

При перемножении приближаемой величины на точную в произведении берется столько значащих цифр, сколько их в перемножаемой приближенной величине.

Для закрепления материала в последующие уроки решаются (дома и в классе) следующие задачи:

1. Вычислить длину окружности, если ее диаметр равен 32 см.

2. Вычислить площадь круга, если диаметр равен 0,76 м.

3. Лесной участок имеет форму прямоугольника, длина которого 217 м, ширина 92 м. Запас дров на гектаре равен 36 куб. м. Определить запас дров на всем участке.

4. Вычислить вес деревянного куба, если ребро его равно 12,3 см и вес одного кубического сантиметра дерева равен 0,63 грамма.

5*. Рабочие распилили 137 досок. Сколько следует уплатить им денег, если распиловка одной доски стоит 7 р. 35 коп?

Примечание. Эта задача и ниже приведенные со звездочкой решаются без округления результатов действий, так как имеем дело не с приближенными величинами, а с точными; задачи эти помещены с целью научить учеников различать, какие задачи решаются с округлением результатов действий и какие без округления.

6. Вычислить объем комнаты, если ее длина 12,3 л*, ширина 8,3 м и высота 4,3 м.

7*. Колхозник выработал 334 трудодня. Сколько он должен получить муки за работу, если за каждый трудодень ему полагается получить 4,2 кг муки?

8. Земельный участок имеет форму треугольника высота которого 112 м, а основание

343 м. Предполагаемый урожай с гектара 130 ц. Каков урожай можно ожидать со всего участка?

9. В лесном участке заготовляли в среднем по 30,6 куб. м дров с 1 га. Сколько дров при той же производительности труда заготовят с участка, длина которого равна 417 м, а ширина 0,4 длины?

10. Вычислить поверхность цилиндра, высота которого 4,3 м, а диаметр основания 24 см.

11*. На футбольном мачте присутствовало 5936 чел. Из них 1205 чел. уплатили за вход по 1 р. 25 к., 1473 чел. — по 0,5 рубля, а остальные— по 35 к. Сколько всего уплатили денег за вход?

12. Найти вес бревна цилиндрической формы, если диаметр равен 32 см, длина бревна 437 см и 1 куб. м дерева данной породы весит 0,63 т.

Шестая беседа: «Деление приближенных чисел».

Решается задача: Участок имеет форму прямоугольника, ширина которого 236 м. Площадь участка 3,62 га. Найти другую сторону участка.

Указывается, что для решения задачи приходится делить две приближенные величины.

Чтобы найти число верных цифр частного, деление производим, поставив знаки вопросов на месте неизвестных цифр:

Далее делить не имеет смысла, так как следующая цифра будет ненадежной.

Таким же способом делится двузначное число на двузначное, трехзначное на трехзначное, четырехзначное на четырехзначное. Делается вывод, что при делении приближенных чисел с одинаковым количеством значащих цифр в частном следует брать столько значащих цифр, сколько их в делимом или в делителе.

В домашнее задание преподаватель включает небольшой материал и на деление приближенных чисел:

1. Найти диаметр окружности, если ее длина равна 236 см.

2. Объем куба 1,86 дм9, Площадь одной грани 151 см2. Найти ребро куба.

Седьмая беседа: «Деление приближенных чисел».

Производится деление приближенных чисел с разным количеством значащих цифр в делимом и делителе и выясняется с помощью вопросительных знаков (вместо первых неизвестных цифр) число верных цифр результата.

Делается вывод: при делении приближенных чисел с различным количеством значащих цифр в частном количестве надежных значащих цифр совпадает с количеством их в том из компонентов, в котором значащих цифр меньше.

Затем в решениях примеров делимое и делитель округляют так, чтобы число значащих цифр совпадало с числом значащих цифр того из компонентов, в котором их меньше, и снова производят деление, пользуясь вопросительными знаками в конце чисел. Результаты совпадают с полученными ранее ответами. Делается вывод: при делении двух приближенных чисел с различным количеством значащих цифр следует уравнять число значащих цифр, округляя более точное данное (имеющее большое количество значащих цифр), а затем в частном берут столько значащих цифр, сколько их имеется в делимом (или в делителе).

Дома предлагается выполнить следующие упражнения:

1. Разделить 37,4 на 1,6?

2. Разделить:

382,6 на 36,8 7,8 на 3,62

3. Площадь прямоугольника 15,12 см*. Одна сторона 3,6 см. Найти другую сторону.

В последующие уроки материал закрепляется путем решения задач практического характера, которые задаются время от времени попутно с прохождением программного материала.

Привожу образцы таких задач.

1. Размеры комнаты 6,2 м X 8,3 м. Какой высоты должен быть (от пола) потолок, чтобы комната содержала 250 мъ воздуха.

2. Длина окружности колеса 323 см. Найти диаметр колеса.

3. С прямоугольного земельного участка с основанием 834 м и шириной 652 м получен урожай пшеницы в 834 и,. Сколько в среднем собрано с 1 га?

4*. Книжный магазин получил 117 учебников на сумму 143 р. 91 коп. Сколько стоит один учебник?

Примечание. Деление производится точно.

5. Объем цилиндра 5,00 куб. дм. Высота цилиндра 43,0 см. Определите площадь основания цилиндра.

6. Кусок меди весит 460 г. Найти его объем, если 1 куб. см меди весит 8,9 г.

7. Каков был средний урожай пшеницы, если с поля, где было засеяно 5,5 га пшеницей и 6,4 га рожью, собрано 236 ц зерна, а с поля, на котором было засеяно пшеницей 5,5 га и рожью 8,8 га, собрали урожай в 288 ц?

8. Для хранения молочных продуктов в колхозе сделан ледник. Дно ледника имеет форму квадрата со стороной 4,6 м, глубина его 2,8 м. Какую площадь льда на реке надо вырубить, чтобы набить ледник, если толщина льда 5,0 дм.

9. Сколько кирпичей потребуется для постройки стены в 8,7 м длиной, 4,4 м высотой и 0,43 м толщиной, если размеры кирпича 24 см, 16 см и 6 см? Промежутки между кирпичами заливаются известью, которая занимает 0,1 всего объема кирпича.

Восьмая беседа: «Сложение и вычитание приближенных чисел».

Преподаватель предлагает учащимся решить задачу: стеклянная бутылка весит 85,6 г, пробка весит 2,34 г. В бутылку влили 36 г воды. Найти общий вес бутылки вместе с пробкой и водой.

Учитель указывает ученикам, что бутылка взвешена с точностью до 0,1 г, пробка — с точностью до 0 01 г а вода — с точностью до 1г.

При сложении вместо первых неизвестных десятичных знаков пишутся знаки вопросов:

Объяснив учащимся, почему в полученной сумме поставлены знаки вопросов на месте десятых, сотых и тысячных долей, учитель указывает, что число верных цифр результата совпадает с их числом в наименее точном данном, в котором имеется наименьшее количество десятичных знаков.

Полученный результат проверяется на сложении еще нескольких приближенных чисел:

Преподаватель предлагает в каждом из трех примеров округлить слагаемые до десятичных знаков менее точного числа и сложить полученные числа.

Получается запись:

Делается вывод: при сложении нескольких приближенных чисел различной точности следует все слагаемые брать с точностью менее точного слагаемого.

Указывается, что этим же правилом пользуются и при вычитании приближенных чисел.

В последующие уроки решаются задачи:

1. Ширина дома 6,3 м, длина 8,2 м. При доме имеется прямоугольный земельный участок, ширина которого равна 24 м и длина 87 м. Найти всю площадь, занятую домом и земельным участком.

2. Расстояние от школы до сельсовета деревни А равно 32 м, а расстояние от сельсовета деревни А до сельсовета деревни Б равно 13,5 км. Каково расстояние от школы деревни А до сельсовета деревни Б?

3. Сплавили 64,85 кг меди, 32,75 кг цинка и 2,1 кг свинца. Угар во время плавки составил 2215 г металла. Определить вес полученного сплава.

4. В дно реки, имеющей глубину 12,2 м, отвесно вбита свая, входящая в землю на 2,26 м и возвышающаяся над водой на 1,5 м. Какова длина сваи?

Примечание. Решается без округления.

5. Объем дерева в коре равен 0,36 куб. м* Объем коры 42 куб. дм. Найти объем дерева без коры.

6. В прямоугольном садике длиной 16 м и шириной 12 м сделана круглая клумба с диаметром 5,0 м. Найти оставшуюся часть садика.

Весь теоретический материал укладывается в 8 бесед, на что потребуется около 6 часов, считая по 20 — 30 минут на каждую беседу. Что касается решения задач, то они будут проделаны за счет времени, отводимого на решение упражнений и задач, и, следовательно, не усложнят прохождение теоретического материала.

Учащихся пятых классов можно ознакомить только с умножением, остальной материал (деление, сложение и вычитание), реже встречающийся, можно перенести на VI класс.

В VII классе следует продолжить практику вычислений с приближенными величинами в тесной увязке с преподавателем физики, который также должен требовать от учащихся применения правил, сообщенных преподавателем математики.

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

ВАСИЛИЙ ИВАНОВИЧ ОБРЕИМОВ

В. Л. МИНКОВСКИЙ (Орел)

15 февраля 1950 г. исполнилось сорок лет со дня смерти В. И. Обреимова — одного из выдающихся созидателей прогрессивных основ нашей отечественной методики математики.

В. И. Обреимов родился в 1843 г. в семье небогатого купца в городе Чебоксары. Образование он получил в Ярославской гимназии, а затем на математическом факультете Казанского университета, который закончил со степенью кандидата.

В 1870 г. в Екатеринбургской мужской гимназии молодой кандидат приступил к преподаванию математики и физики. В этой деятельности он проявляет себя ярко выраженным сторонником педагогических идей Д. И. Писарева (1840—1868), непримиримым противником системы подавления и унижения личности учащегося, насаждения муштры и бессмысленной зубрежки. В. И. Обреимов успешно воспитывает у своих учеников материалистическое мировоззрение и гражданские чувства, развивает умение не только беспрекословно подчиняться, но и мыслить самостоятельно, парализует господство крайнего индивидуализма и прививает навыки коллективного поведения, пробуждает чувства любознательности и живого интереса к науке.

В. И. был убежденным сторонником естественно-научного образования. Реакционная реформа 1871 г. Д. А. Толстого была направлена на максимальное сокращение возможностей реального образования в гимназиях. По новому учебному плану свыше 41% всего учебного времени отводилось на изучение мертвых языков, а на математику с физикой, математической географией и кратким естествоведением — менее 18%. Принципиальный и строгий в вопросах общественной морали, В. И. Обреимов не считал возможным для себя молчаливо участвовать в этом своебразном педагогическом изуверстве.

Во-первых, В. И. составляет свою контрпрограмму преобразования гимназии.

Во-вторых, в своей непосредственной педагогической деятельности он осуществляет изучение с учащимися материала естественно-научных дисциплин в таком объеме, который вполне достаточен для поступления в специальные высшие учебные заведения. Этого удается достигнуть на основе пробуждения и воспитания у учащихся прочного интереса к предмету, настойчивого желания его основательно изучить и исклю-

чительной большой и самоотверженной дополнительной работы учителя с учениками, протекавшей при упорном противодействии известной части педагогического коллектива.

В-третьих, В. И. пропагандирует, и далеко не безуспешно, среди родителей учащихся мысль о том, что с большой пользой для ума и здоровья их детей можно было бы организовать приватную подготовку подрастающего поколения для жизни и дальнейшей учебы, не стесненную реакционной реформой правительства.

Политические противники Обреимова с ненавистью говорили о нем, что он «всегда был большим равнителем прав народных» и «всегда от души желал ниспровержения общественного порядка». Он разделял и высказывал мысль о том, что «владельцы заводов давят рабочих и живут на их счет, — сами же рабочие бедствуют с полными правами на дела рук своих»*. Он доказывал, что заводы и земля должны быть общественным достоянием.

Свою просветительную и воспитательную работу В. И. Обреимов не хотел ограничивать рамками гимназий (мужской, а затем и женской). Он долго и упорно добивался открытия в Екатеринбурге воскресной школы для простого народа, учреждения общества потребителей и был одним из основателей Уральского общества любителей естествознания (УОЛЕ).

Прогрессивные установки в вопросах воспитания юношества быстро начали приносить свои положительные плоды. Они не могли не привлечь к себе озлобленного внимания царских сатрапов от педагогики.

По предписанию министерства внутренних дел В. И. в конце июня 1872 г. был выслан под строгий и бессрочный полицейский надзор в Вятскую губернию. Намерения Обреимова заняться в г. Вятке частными уроками решительно пресекались. По этому поводу вятский губернатор поучает полицмейстера: «Даю Вам знать, что ему не только не могут быть дозволены занятия с учениками, а даже признается вредным всякое сношение его с учащимися»**. Особое же беспокойство губернатора вызывает возникновение тесной дружбы В. И. Обреимова с известным прогрессивным русским издателем Ф. Ф. Павленковым (1839—1900), сосланным в Вятку еще в 1868 г. за издание полного собрания сочинений Д. И. Писарева.

Не прошло и трех месяцев, как Обреимова перевели в г. Глазов. Но и это не дает успокоения полицейской администрации, так как «приверженцы Обреимова и до настоящего времени желают руководиться его советами, в особенности в педагогическом отношении» (л. 23). Дело доходит до царя, который «высочайше повелел» принять все меры к прекращению влияния ссыльного учителя на своих бывших воспитанников, осуществляемого путем переписки (л. 80).

В 1877 г. в Петербурге, благодаря неукротимой энергии Павленкова, публикуется сборник «Вятская незабудка». «По мнению министра (внутренних дел Тимашева — В. М.), все корреспонденции сборника исходят от политических ссыльных, которые недовольны вообще нашим государственным строем и пытаются произвести перемену революционным путем. Цель статей очевидна — посредством печати поселить в среде жителей Вятской губернии полнейшее недоверие к правительству, избирающему своими агентами таких возмутительных администраторов, судей, наставников юношества, охранителей государственных имуществ»***.

Деятельное участие в издательских предприятиях Павленкова принимал Обреимов****. В сборнике «Вятская незабудка» ему принадлежат (как можно судить по тематике, упоминаемым фамилиям и стилю) ряд статей, в которых автор изобличает безобразное отношение членов Управы к сельским учителям, выявляет попытки и приводит факты незаконных увольнений, оскорблений и поборов с учителей, рассказывает об исключительно тяжелых условиях их жизни. Убийственная характеристика дается чиновному и купеческому слободскому обществу. Очень ярко и образно рассказывается об издевательствах над народом в царском суде, р глупых и чванливых судьях. Наконец, исключительно проникновенно описано бесправное положение политических ссыльных.

В 1878 г. Обреимов перемещается в Нолинск, где по его инициативе и под непосредственным руководством открывается кузница для изучения, сближения и ведения пропагандистской работы среди крестьян окрестных сел и деревень. Однако кузница просуществовала только один месяц, так как кузнецы-дилетанты плохо владели кузнечным делом и не привлекали заказчиков*****.

В начале июля 1878 года «весьма важному политическому ссыльному******* В. И. Обреимову,

* Исторический архив г. Свердловска, фонд 91, опись 1, единица хранения 378, лист 7.

** Исторический архив г. Кирова, фонд 582, опись 58, единица хранения 305, лист 9.

*** Цитирую по книге П. Луппова «Политическая ссылка в Вятский край», М. 1933, стр. 65—66.

**** «Физико-математический сборник», издаваемый Управлением Кавказского учебного округа, № 3, Тифлис 1910, стр. 124.

***** Исторический архив г. Кирова, фонд 582, опись 58, единица хранения 510, лист 36—37.

****** Характеристика вятского губернатора (фонд 582, опись 58, единица хранения 510, лист 52).

перемещенному в село Даровское Котельнического уезда, удается бежать в Швейцарию.

Широкую известность среди педагогической общественности приобретает В. И. после публикации своей оригинальной книги «Математические софизмы» (1884 г.), полнота и ценность качественного своеобразия которой сделали ее первым по времени образцом для всех последующих работ в этом направлении.

Математические софизмы не случайно явились предметом особого внимания В. И. Предоставляя материал для удивления и размышления, ложные доказательства заставляли учащихся анализировать сущность тех действий, которые в системе гимназического образования преподносились, как правило, для чисто формального усвоения. Эти же доказательства давали пищу для вопросов учителю, для товарищеских элементарно научных собеседований и способствовали пробуждению интереса к генезису математических понятий.

В. И. Обреимова занимал вопрос о принципах педагогически оправданной классификации математических софизмов как опре деленной системы упражнений на опровержение ложных доказательств. Свой сборник он рассматривал «как опыт группировки подобного рода упражнений», (стр. 2).

В 1889 и в 1898 гг. вышли новые издания книги В. И., причем в каждое новое издание включались интересные дополнения.

Книга Обреимова приобрела и долго сохраняла широкую известность. В год выхода ее третьего издания В. А. Волжин утверждал, что она известна чуть ли не каждому ученику гимназии*.

В. И. Ленин в одной из своих работ, относящихся к 1903—1904 гг., в связи с характеристикой ошибок в области логического мышления своих политических противников, напоминая о тех рассуждениях, «которые математики называют математическими софизмами и в которых,— строго логичным, на первый взгляд, путем, — доказывается, что дважды два пять, что часть больше целого и т. д.», указывает, что «существуют сборники таких математических софизмов, и учащимся детям они приносят свою пользу»**.

В 1884 г. В. И. Обреимов выпускает и свою вторую интересно и богато иллюстрированную книгу «Тройная головоломка».

Первый раздел книги посвящается так называемой китайской головоломке. Игра состоит в конструировании на плоскости из семи составных элементов всевозможных симметрических фигур. Этими элементами являются семь кусков, на которые разрезан квадрат: пять треугольников, параллелограм и квадрат.

Второй раздел книги посвящен так называемой паркетной головоломке. Здесь требуется проявить инициативу в составлении возможно большого числа симметричных фигур из одноцветных и двухцветных квадратов.

В третьем и последнем разделе книги автор рассказывает о проволочных головоломках, т. е. о высвобождении колец из замкнутых проволочных цепей.

Педагогическая установка рассматриваемой книги ясна. Она направлена на развитие у учащихся элементарных конструктивных способностей на воспитание чувства симметрии и красоты геометрической формы.

Интенсивный экономический рост России второй половины 90-х годов потребовал внесения коррективов в образовательную систему. В передовых учебных заведениях того времени, как в Петербургском Тенишевском и восьмиклассном Лесном коммерческом училищах, естественно-научные знания начинают занимать прочное место. Сюда потянуло В. И. Обреимова. В 1905 году ему предоставляется возможность обосноваться в пригороде Петербурга —Лесном. На работе в Лесном коммерческом училище он с новой силой проявляет себя талантливым преподавателем, оригинально и много работающим над своим предметом.

Здесь В. И. Обреимов с большим задором и увелечением разрабатывает и претворяет в жизнь свой «метод и план преподавания математики». Его идеи в основном созвучны принципам реформы в области математического образования, но они не являются плодом простого подражания.

В 1906 г. публикуется оригинальная книга Обреимова «Элементы арифметики». В ней автор включает в предмет арифметики учение о неотрицательных действительных числах и действиях над ними. Свое изложение он подразделяет на два концентра: в первый вошли действия над отвлеченными, а во второй над именованными числами.

Изучение арифметических действий начинается с последовательного рассмотрения трех прямых операций. Умножение на целое положительное число выступает как рационализация вычислительной практики сложения равных слагаемых, а возвышение в целую положительную степень — как сокращенная запись произведения равных сомножителей.

В своем учебнике В. И. Обреимов вводит специальный термин для характеристики преобразования дроби в более мелкие доли единицы.

* В. А. Волжин, Физические парадоксы и софизмы, СПБ 1898, стр. 5.

** В. И. Ленин, Сочинения, т. 7, изд. 4-е, М. 1946, стр. 78.

По этому поводу он пишет: «Раздробление дроби состоит в том, что ее выражают в более мелких долях единицы сравнительно с теми, в которых она дана» (стр. 160).

Потребность в особом термине для рассматриваемого преобразования дроби осознается многими лицами. Однако предложение отечественного автора, сделанное еще в 1906 г., осталось совершенно незамеченным. Между тем подобные же нововведения за пределами нашей страны не только замечались некоторыми из методистов, но и способны были привести их даже в умиление. Так, например, автор одной книги писал по этому вопросу в 1941 г.: «...надо заботиться о ясности и расчлененности нашей школьной терминологии. В языках некоторых народов в этом отношении достигнуты отдельные большие успехи, например, немецкий школьный математический язык располагает совершенно особыми выражениями для операции «сократить дробь» (den Bruch verkürzen) и для обратной операции (den Bruch erweitern)*.

В книге подробно изложено извлечение корней 2, 3, 4 и 5-й степеней по способу Герона. Заметим, что этот способ в наши дни рекомендует автор «Справочника по элементарной математике»**.

Серьезное внимание уделяется В. И. Обреимовым воспитанию на материале арифметики функционального мышления учащихся.

В. И. утверждает, что преимущества того или иного учебного курса по теории элементарной арифметики, как способного отразить в своем тексте «одну лишь идею предмета», должны быть подтверждены путем «соответствующего практического приложения». Такое приложение Обреимов подготовил и сдал в печать под названием «Способы решения арифметических задач». Однако нам не удалось установить судьбу этой книги.

Обобщая свой опыт преподавания математики, В. И. опубликовал в 1908 г. две «дополнительные статьи по курсу математики в V классе»***.

Одна из этих статей посвящается методике изложения пропедевтического курса тригонометрии, а другая — геометрическому истолкованию решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

В 1909 г. В. И. Обреимов излагает свой вариант программы подготовительного курса алгебры, в объяснительной записке, в которой обращает особое внимание на уяснение сходства и отличия алгебры от арифметики, на сознательное усвоение правил алгебраических преобразований, на решение уравнений первой степени с одним неизвестным на основе определений и свойств арифметических действий, а также на составление уравнений****.

В работе «Метод и план преподавания математики в IV классе» Обреимов излагает свои интересные и глубоко содержательные взгляды на начальное преподавание геометрии в школе*****. Он считает, что в обучении геометрии следует вести учащихся по трем главным ступеням: 1) наблюдение и изложение замеченного свойства элементарной фигуры; 2) проверка этого свойства на более сложных геометрических образах; 3) обобщение, выражающееся в форме общих теорем. При этом работа по овладению теорией предмета сопровождается системой самостоятельных упражнений учащихся в доказательстве теорем, сходных с изученными; в применении научных истин к числовым вычислениям; в решении и исследовании «определенности» задач на построение фигур.

Большую работу проделал В. И. Обреимов и как переводчик математической литературы. В частности, он перевел на русский язык широко известные «Математические развлечения» Э. Люкаса (СПБ 1883).

Имя Василия Ивановича Обреимова навсегда сохранится в истории русской методики математики, как пионера в постановке и разработке проблем внеклассной работы по математике.

* В. В. Журавлев, Спрашивание учащихся в средней школе, Л. 1941, стр. 61—62.

** М. Я. Выгодский, Справочник по элементарной математике, изд. 3-е, М. 1949, стр. 64.

*** «Ежегодник Коммерческого училища в Лесном», СПБ 1908.

**** Там же, СПБ 1909, стр. 93—95.

***** Там же, стр. 95—98.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О КНИГЕ Б. В. КУТУЗОВА «ГЕОМЕТРИЯ»

ПОСОБИЕ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ И УЧИТЕЛЬСКИХ ИНСТИТУТОВ

(Издание 1950 г., Учпедгиз, Москва)

Г. М. КАРПЕНКО (Москва)

Создание учебника по элементарной математике для педагогических высших учебных заведений является делом весьма сложным и ответственным. Сложность дела заключается в том, что в дореволюционное время у нас не было высших педагогических учебных заведений, а потому не было нужды в специальном курсе элементарной математики и в специальном учебнике по этому курсу.

Необходимость создания учебника вытекает из тех задач, которые ставятся педагогическими и учительскими институтами, готовящими кадры учителей средней школы.

Арторы небольшого числа учебных книг, появившихся до настоящего времени, во многом следовали стереотипным западноевропейским образцам и потому отставали от запросов и уровня требований наших педагогических и учительских институтов.

Автору учебника по элементарной математике не остается ничего иного, как идти своим собственным путем, не рассчитывая на большую помощь, которую обычно находят авторы в изданной ранее учебной литературе.

Трудность вопроса усугубляется еще тем, что как содержание, так и построение учебника по элементарной математике до сих пор не имеет достаточной определенности. Здесь должен быть смелый почин, не останавливающийся даже перед риском неизбежных несовершенств учебника в результате работы над ним.

Такой хороший почин и сделал Б. В. Кутузов, который дал пособие, весьма близкое к учебнику.

Рецензируемая книга оригинальна как по замыслу, так и по выполнению.

Основные разделы курса геометрии средней школы нашли в книге полное и яркое освещение, соответствующее современному научному взгляду на предмет, который будет преподаваться в школе.

Книга состоит из четырех частей.

В первой части автор знакомит читателя с теоретико-множественными понятиями, которые конкретизируются на примерах, известных из школьного курса геометрии. Здесь же рассматриваются и операции над множествами.

В связи с понятием фигуры как точечного множества вводится понятие геометрического места точек. Здесь же изложены основные общие принципы теории геометрических построений и, в частности, метод геометрических мест при решении задач на построение.

Таким образом, уже первые главы книги дают преподавателю возможность организовать систему упражнений по решению задач на построение.

Первая часть завершается главой, посвященной общему понятию геометрического преобразования. В доступной форме читатель знакомится с важнейшими понятиями современной математики: отображение, непрерывность отображения, группы преобразований, общее понятие группы.

Существенно отметить, что эти понятия применяются в качестве основных во всем последующем изложении.

Вторая часть посвящена подробному изучению основных геометрических преобразований.

Здесь рассматриваются в общем случае движения плоскости и пространства, устанавливается связь движений с переносами и вращениями.

Затем, в главе VI, изучаются различные виды симметрии, устанавливается связь между симметрией и движениями и, наконец, формулируется общее определение понятия симметрии по Е. С. Федорову.

Далее, в главе VII, изучается общее преобразование подобия и его частные случаи.

Глава VIII посвящена инверсии на плоскости и в пространстве. При этом основное внимание уделяется построениям, необходимым для интерпретаций геометрии Лобачевского.

Во всех главах этой части систематически излагаются геометрические задачи на построение, решаемые при помощи соответствующих преобразований (методы переноса, вращения, подобия и т. п.).

Третья часть посвящена систематическому изложению общей задачи измерения геометрических величин.

Измерение величины трактуется как сопоставление данному геометрическому объекту числа в качестве его меры, при этом формулируются те условия, которым должна удовлетворять мера.

Далее решается вопрос об измерении фигур, являющихся предметом изучения элементарной геометрии (отрезки, многоугольники, многогранники).

Последняя, четвертая часть содержит краткое изложение оснований геометрии. После обзора «Начал» Евклида автор переходит к изложению основных фактов геометрии Лобачевского.

Этот материал служит базой для достаточно обстоятельного знакомства с проблемами современного аксиоматического построения геометрии.

Богатый геометрический материал предыдущих глав дает автору возможность широко пользоваться различными интерпретациями геометрических систем. Это делает абстрактные понятия ощутимыми и доступными для читателя.

При изложении оснований геометрии автор отправляется от характеристики геометрии, данной И. В. Сталиным (Сталин—«Относительно марксизма в языкознании»), и потому методологически правильно освещает вопросы происхождения математических понятий.

В книге хорошо показана роль знаменитых русских ученых Н. И. Лобачевского и Е. С. Федорова в развитии геометрической науки. Автор систематически приводит подлинные высказывания Лобачевского по поводу принципиальных вопросов геометрии.

Как известно, в учительских институтах такие предметы, как высшая геометрия, теория множеств, теория чисел современная алгебра, основания геометрии не изучаются в виде отдельных предметов. А между тем основные понятия этих дисциплин крайне необходимы с точки зрения общего математического образования учителя. Вот почему эти понятия нашли себе законное место в рецензируемой книге.

Автор, не в пример прочим, делает шаг в установлении органической связи между материалом школьного курса и геометрическим материалом, излагаемым в дисциплинах, обычно относимых к высшей математике. Вместо выхватывания отдельных современных идей, вносящих калейдоскопичность, и «механического смешения» устарелых и новых понятий, автор на конкретных и самых простых объектах систематически (а не эпизодически) привлекает абстрактные понятия современной науки и создает оригинальный и строго выдержанный курс элементарной геометрии. Достоинства книги повышаются тем, что современные научные понятия, являясь базой для построения курса, органически и последовательно пронизывают все изложение. Необходимо отметить, что книги по геометрии, сколько-нибудь удовлетворительно решающие эту задачу, начали появляться лишь в последнее время (см., например, «Курс элементарной геометрии» Д. И. Перепелкина). Примером того, насколько неудовлетворительно решается эта задача в иностранной литературе, может служить путаная книга В. Швана, неизвестно зачем изданная в русском переводе в 1936 году. Таким образом, в создании учебника геометрии автор должен был проявить инициативу и новаторство, и как мы полагаем, в основном удачно справился с поставленной задачей.

Автор отказался от рассмотрения проективных преобразований. Это вопрос дискуссионный, однако, мы полагаем, что в данном случае автор поступил правильно, так как без построения проективных плоскости и пространства (что, разумеется, выходит за рамки элементарного курса) введение несобственных элементов может создать лишь путаницу и поселить в учащихся наивную веру в существование бесконечно удаленных элементов как чего-то ясного «само по себе». К сожалению, бессодержательные и с научной точки зрения несостоятельные рассуждения о бесконечно удаленных элементах свойственны некоторым научно-популярным книгам (см., напр., И. М. Гуль, Геометрия Лобачевского, Педагогическая библиотека учителя, издание Академии педагогических наук, 1947).

Естественно, что книга Б. В. Кутузова не лишена ряда недостатков, — отметим некоторые из них. Дав на стр. 169 общее определение аффинного преобразования, автор, по сути дела, ограничился указанием на то, что рассмотренные ранее элементарные преобразования являются аффинными. Мы полагаем, что в качестве примеров, иллюстрирующих общее определение, следовало бы рассмотреть (хотя бы кратко) и некоторые другие (кроме рассмотренного на стр. 93 растяжения от оси) аффинные преобразования. Тогда более выпукло было бы видно, что простейшие преобразования образуют подгруппы общей группы аффинных преобразований.

Ничем нельзя оправдать того, что автор отказался от изложения учения об измерении объемов. Измерение объемов входит в программу учительских институтов, однако в книге Б. В. Кутузова этому вопросу посвящается всего лишь одна страница, на которой автор по сути дела ограничивается лишь «общими фразами».

Следовало бы остановиться на понятии площади (объема) фигуры, ограниченной кривыми линиями (поверхностями), как предела площадей (объемов) «входящих и выходящих» многоугольников (многогранников). Как известно, метод предельного перехода неоднократно применяется в школьном курсе геометрии для нахождения площадей и объемов.

Различение понятий равновеликости и равносоставленности для плоских фигур создает излишние дополнительные трудности и не вызывается в данном курсе существом дела. Следовало бы значительно упростить изложение теории измерения площадей. О возможности построения теории измерения площадей, не опираясь на аксиому Архимеда, при желании можно было бы сказать в мелком шрифте в конце главы.

Автору следовало бы с позиций диалектического материализма внести большую ясность в вопрос об отношении геометрии Лобачевского к отображению реальной действительности.

Краткость и доступность изложения в целом следует отнести за счет положительных качеств книги, однако чрезмерная конспективность, имеющая место в отдельных местах книги, вызовет затруднения у учащихся. Стремление автора представить идейно богатый геометрический материал в сжатом виде в основном правильно, но все же нельзя обходиться намеками в ряде принципиально важных вопросов. Приведем один пример: на стр. 190 после формулировки третьей аксиомы, относящейся к равенству отрезков, автор ограничивается словами: «Эта аксиома говорит о возможности складывать отрезки».

Для учащихся, чье математическое развитие находится в стадии формирования, здесь нужны более подробные пояснения (хотя они и элементарны). Вопрос о «возможности складывать отрезки» должен быть до конца осознан учителем. Нам кажется, что не следовало бы опасаться некоторого (в общем незначительного) увеличения объема книги за счет более подробных разъяснений в ряде мест.

Нам непонятен принцип использования автором мелкого шрифта. Так, например, автор часто пользуется (и вполне правильно) понятием топологического преобразования, однако определение понятия

топологического преобразования дается в мелком шрифте.

В педагогическом отношении существенно выделение из текста определений основных понятий. Несоблюдение этого принципа затрудняет пользование книгой как учебником. Приведем один пример: автор часто пользуется понятием «движения первого рода», на стр. 148 автор пользуется этим термином как знакомым. Соответствующее определение «вскользь» дано на предшествующей странице, а ссылка на § 29 не при чем и может лишь запутать читателя.

Как было отмечено, привлечение современных теоретико-множественных и топологических понятий является несомненным достоинством книги. Однако, все же, следовало бы тщательно пересмотреть первую часть книги и разгрузить ее от того, что имеет второстепенное значение, либо не найдет существенного применения в последующих главах.

В ряде мест видны следы поспешности, повлекшие за собой тяжеловесность языка. Отказавшись от тяжелых «академических» оборотов речи, можно во многих случаях без ущерба для научной строгости облегчить изложение и сделать его более доступным. Некоторая доработка книги в последующих изданиях повысит ее учебно-педагогические качества.

Для учителя средней школы книга Б. В. Кутузова представляет значительный интерес.

За последнее время много и вполне правильно говорится о необходимости органического внедрения современных научных воззрений в курс средней школы. В этом отношении книга Б. В. Кутузова дает учителю богатый материал. Книга содержит много интересного для занятий школьных кружков в старших классах.

В заключение мы должны отметить высокие достоинства, научность и стройность современной программы по элементарной математике (и в частности по геометрии) для учительских институтов. Книга Б. В. Кутузова указывает пути практической реализации этой программы.

В целом, мы полагаем, что рецензируемый учебник является ценным вкладом в нашу учебную литературу.

СРЕДНЯЯ ШКОЛА И ВУЗЫ

М. ШЕБАРШИН (Кемеровской обл.)

Перед нами книга П. С. Моденова «Сборник конкурсных задач по математике с анализом ошибок». (Издание 1950 г. «Советская наука»).

Без преувеличения можно сказать, что для учителя старших классов средней школы не найдется более нужной, своевременной и полезной книги. Ведь на протяжении ряда лет экзаминаторы высших учебных заведений предъявляют нам, учителям, свой счет, полностью оплатить который мы сплошь и рядом оказывались не в состоянии, так как нам был неведом характер требований на приемных испытаниях, а перестраивать нашу работу на базе отрывочных высказываний и замечаний было бы черезчур опрометчиво.

Понятно поэтому, с какой радостью мы (и многие из. наших учеников!) встретили новый сборник, с какой поспешностью и с какими надеждами принялись за решение помещенных в нем примеров и задач.

К сожалению, во многом наши ожидания не сбылись, и прежде всего в том, что сборник (не по вине, конечно, его автора, а по вине тех вузов, в которых давались задачи, помещенные в сборнике) не только не ориентирует, но дезориентирует учителя в его работе с будущими абитуриентами.

Утверждая этот печальный факт, мы имеем в виду несоответствие многих примеров и задач школьным программам.

Прежде всего напомним, что редакция журнала «Математика в школе», помещая на своих страницах замечания экзаминаторов, неоднократно обращала внимание на завышенность требований, предъявляемых к абитуриенту.

Содержание сборника, как покажут приводимые нами ниже примеры и как показывают признания самого автора сборника, с полной очевидностью подтверждает справедливость замечаний редакции и доказывает, что до сих пор многие экзаминаторы:

1) Не выполняют правительственные установки о характере приемных испытаний, а потому и не находят обязательным для себя считаться с объемом школьных программ и требований;

2) оторвались от школьной практики или полагают, что абитуриенты для поступления в вуз или втуз должны готовиться к экзаменам на специальных курсах.

3) не считаются с сигналами журнала «Математика в школе», а быть может, и вовсе в этот журнал не заглядывают.

Комментарии к этим пунктам излишни.

Правда, автор сборника в разделе об устных испытаниях (стр. 6) указывает, что основные вопросы не выходили за рамки программы, что оценки выставлялись только за ответы на эти вопросы, что только хорошо подготовленным абитуриентам предлагались вопросы повышенной трудности (ответы на которые, по смыслу текста автора сборника не влияли на оценку).

Какой смысл постановки подобных противозаконных вопросов? Выявить степень даровитости будущих студентов?

Но ведь это успеется сделать более полно и глубоко в процессе будущей работы в вузе!

Мы думаем, что экзаминатор, ставящий абитуриенту незаконные вопросы, забывает о главном — о состоянии абитуриентов: ведь пока хорошо подготовленный абитуриент обдумывает решение трудной задачи, десятки других ожидают своей очереди и, как водится, очень волнуются. Да и состояние сильного абитуриента, не нашедшего решения, пусть даже неоцениваемого вопроса, надо полагать, не из завидных. Следует опасаться и того, что постигшая его неудача неизбежно, снизит его уверенность в своих силах и может пагубно отразиться при сдаче последующих экзаменов.

Поэтому мы не находим никакого оправдания постановке на экзаменах трудных вопросов, не говоря уж о незаконности их.

Если на устных испытаниях трудные вопросы и задачи, выходящие (мы сказали бы просто: выпирающие) из рамок программ, предлагались не всем, то как обстояло дело с задачами для письменных работ, предлагавшихся всем без исключения?

Было ли их содержание в пределах программ?

Формально, как будто, да! А по существу?

Примеры:

№ 2. Упростить выражение:

если

№ 5. Упростить выражение: если

№ 8. Упростить выражение:

если

причем я > О, л > /я > О

и многие аналогичные, несомненно, содержат лишь программный материал — тождественные преобразования. Что же касается решения их, то-есть в данном случае существа вопроса, то мало найдется смельчаков, которые решились бы утверждать, что оно также в пределах программы средней школы.

Можно ли считать школьными примеры и задачи №№ 138, 158, 167, 333, 358, 361, 364, 367, 402, 416 и 428?

На стр. 11 программы по математике на 1950 год читаем: «Из систем уравнений, содержащих два уравнения второй степени, рассматриваются только наиболее простые и легко поддающиеся геометрической интерпретации».

Не в кричащем ли противоречии с этой установкой находятся системы №№ 242, 345, 356 и 420, из которых последняя вообще достаточно трудоемка?*

Стоило бы экзаминаторам заглянуть на стр. 15 программы, вникнуть в указания по отношению к тригонометрическим уравнениям и сопоставить с ними №№ 33, 209, 265, 450, 469**.

Задачи №№ 350, 390, 461 и, особенно, № 416 совсем не увязаны со школьными требованиями.

За отсутствием, если можно так выразиться, «чувствительного» критерия, очень трудно высказаться определенно в отношении стереометрических задач сборника. Одно бесспорно, что большинство из них по своей трудности, по сложности построений и окончательных формул, выражающих искомые величины, неизмеримо превосходят задачи, даваемые Министерством просвещения для экзамена на аттестат зрелости. Следовательно, с большой дозой вероятия позволительно утверждать, что и здесь сказывается порочность выбора задач для злополучных абитуриентов.

Закончим вопрос о завышенности требований фиксацией факта, о котором говорит сам автор сборника: задаче № 200 (293) П. С. Моденов дал неполное решение (см. стр. 118). На стр. 114 сказано, что в решении № 362 логическую ошибку допустил автор задачника по алгебре В. А. Кречмар.

Разумеется, это недоразумение — случайность, но... никак не отделаться от мысли, что, окажись оба автора задачников в роли абитуриентов, они могли бы не попасть в вуз!

Использование на экзаменах трудных задач сводится не только к тому, чтобы на пути абитуриента в вуз соорудить незаконные и вредные препятствия, оно, кроме того, увлекает учителя старших классов школы на опасный, скользкий путь занятий внепрограммными вопросами в ущерб хорошему усвоению обязательного материала. Ведь каждый учитель озабочен тем, чтобы обеспечить своим ученикам наилучшую подготовленность к приемным испытаниям, то-есть дать им такие знания, которые гарантировали бы будущих абитуриентов от всяких неожиданностей. Учитель сознает свою ответственность перед учениками, он знает, что и ученики полностью рассчитывают на него. Как же учителю удержаться от соблазна и не ознакомить учеников с требованиями приемных испытаний?

Нам могут возразить, что для подготовки к приемным испытаниям нужно использовать кружковую работу, но это — вздорное возражение: учитель-практик знает, что многие ученики, которые нуждаются в дополнительных занятиях, физически лишены возможности их посещать, особенно в сельской местности, где на плечи учащихся, помимо учебной работы, часто ложится большая и неизбежная домашняя работа.

Можно ли допустить, чтобы этим учащимся создавались непреодолимые преграды на путях к высшему образованию? Конечно, нет!

* Кстати, в ответе неверно указано, что задача имеет 64 решения.

** Приводим ответ к задаче 209:

— 6 систем решений. В тех выражениях, где встречаются радикалы, целые числа k и s должны быть подобраны так, чтобы подкоренное выражение было положительным».

Аналогичный ответ (4 системы решений) к № 265. Полагаем, что комментарии к таким «ответам» не требуются. — Редакция.

Отсюда вытекает категорическое требование безусловного соблюдения экзаминаторами правительственных указаний и, как следствие, исключения из практики всех внепрограммных вопросов.

Несколько слов о других качествах задач сборника.

Необходимо признать неприемлемой для конкурсных испытаний задачу № 721. Ответ —геометрическая прогрессия, знаменатель которой q = 1, — насмешка над абитуриентом. Сколько раз он должен будет проверить все свои выводы и вычисления, чтобы окончательно убедиться в их правильности?! И какой материал получит экзаминатор для суждения о достоинствах или недостатках абитуриента?

Небрежно составлена задача № 713. По условию, тело, вышедшее из точки В, должно встретиться с другим телом дважды, не доходя до точки А. Однако через 45 секунд это тело пройдет 7-45 = 315 м, т. е. встреча произойдет за точкой А на 14 м.

Поразительно не то, что два автора — задачи и сборника — не удосужились проверить ответы, а то, что из десятков абитуриентов никто не был приучен к такому контролю, не требовал его и экзаминатор.

Контраст: с одной стороны — труднейшие задачи, с другой — отсутствие проверки элементарных навыков!

Просим наших читателей поглубже вникнуть в формулировку задачи № 316.

Переливали горячую воду, затем смесь горячей с холодной и т. д. и в результате... в обоих сосудах оказалось «одинаковое количество горячей воды». Идя таким путем, можно дойти до вопроса о проценте «раствора» горячей воды в холодной.

Несмотря на то, что раздел III сборника «Характерные ошибки поступающих» построен на анализе тех задач и вопросов, которым не должно быть места на испытаниях, этот раздел содержит ряд ценных указаний и с признательностью прочтется каждым учителем.

Бесспорно, далеко не все наши ученики в совершенстве владеют методом математической индукции или различают необходимый и достаточный признаки. Определения если и выучены, то не дошли до сознания, нет привычки к строгому доказательству. Наблюдаются туманное представление о взаимоотношениях прямой и обратной теорем, подчас беспорядочная или безграмотная запись, излишняя подробность в элементарных преобразованиях на фоне отсутствия объяснения хода решения (а не вычисления!) или хотя бы узловых моментов.

На стр. 125 автор сборника пишет о желательности простого и изящного решения, которое часто с лихвой окупает затраченное на его поиски время.

Нам думается, что П. С. Моденов напрасно сетует на редкость появления таких решений. В самом деле, нешаблонные решения хорошо отыскивать в спокойной, домашней обстановке, а не в условиях крайнего нервного напряжения во время испытаний. Нельзя забывать и то, что объективно простое решение субъективно для абитуриента может оказаться труднейшим. Кстати, и из истории математики мы знаем, что многие задачи решались сложным путем, а через десятки лет обнаруживались «простые» решения. Наконец, не следует упускать из виду, что абитуриент должен обладать большой смелостью, чтобы отказаться от проторенных путей и предпочесть изящное решение. Ведь первое гарантирует ему правильность, тогда как второе может оказаться в какой-то своей части недостаточно обоснованным. В экзаменационной горячке оценить по достоинству свое необычное решение абитуриент едва ли сумеет, а риск предъявить это решение — слишком велик, ибо для него благополучный исход испытаний часто предопределяет всю будущую жизнь.

Поэтому нам кажется, что на экзамене уместно ожидать нешаблонное решение только в случае, когда оно само напрашивается, и притом с точки зрения ученика. А если все-таки такое решение абитуриентом не найдено, из этого не следует делать никаких выводов.

Нужно же хоть немного считаться с душевным состоянием абитуриента, понять его!

Не согласится ли П. С. Моденов, что если он считает себя вправе ожидать от абитуриента изящного, простого или нешаблонного решения, то и читатель его сборника имеет право к нему, автору, предъявить аналогичные претензии?

Два примера покажут нам, что и автор не безгрешен. В решении системы № 393 получена равносильная система:

(У-г)(х + У + *) = 9; (x-y)(x+y + z) = 9; (z-x) (x+y + z) = -lS,

из которой легко убедиться, что х + У + * Ф О, после чего получим х—у=у — ». Дальше система разрешается простой подстановкой. № 230. Из уравнения

найдем:

Из уравнения

найдем:

откуда

(от этих формул легко перейти к формулам сборника).

Конечно, можно спорить о достоинствах того или иного решения, но нам авторское решение кажется громоздким и сверх меры заумным. Если же еще допустить мнимые значения а (указаний, что а — действительное число, в условии нет), то автору понадобится вывести еще и новые формулы, тогда как наши легко преобразовываются и для этого случая.

В числе задач сборника порядочное количество арифметических: №№ 71, 91, 95, 103, 107, 111, 115, 123, 170, 173, 176, 179, 338, 379, 395, 462, 693, 697, 701, 705, 709, 717, 810, 814, 829, 856, 859, 865.

Учителю крайне важно знать, давалось ли при этом задание абитуриенту или ему предоставлялось право самостоятельно выбрать метод решения.

Как оценивалось решение, если абитуриент решал задачу своим способом, а не заданным?

Мы надеемся получить от П. С. Моденова разъяснение по этому пункту.

В заключение нашего обзора сборника позволим себе сделать несколько технических замечаний.

Опечатки:

№ 141. Напечатано «возрастающую» вместо «геометрическую».

№ 230. Напечатано:

№ 299. Третий ответ показан:

Нужно:

№ 463. Пропущено в тексте указание на угол а. № 520. В тексте вместо 150 руб. нужно 156 руб. и вместо 120 руб. — 210 руб. Ошибки:

№ 754. Дан один ответ. Пропущен другой:

№ 442. Указано одно решение вместо четырех (второе симметрично приведенному, а третье и четвертое получаются при направлении шара в обе стороны по диаметру АО).

№ 856. В решении сказано, что из уравнения

2 (Юлг +у) + 3 (Ш + Ь) = 72

следует непременно а = 1, х = 2 (в противном случае при целых положительных х, у, a, b сумма не будет 72).

Неверно! Возможны значения х= 1, у = $, а — 1, b - 2, и дополнительное условие совсем не лишнее, вопреки утверждению автора решения.

Кстати отметим, что задача № 856 допускает следующее решение: большое двузначное число служит первыми двумя цифрами первого пятизначного, а меньшее — для второго пятизначного числа. Посколько частное равно 2, постольку первое двузначное число по меньшей мере в 2 раза больше второго, а удвоенное в 4 раза. Следовательно, сумма 72 содержит не меньше 7 меньших двузначных чисел, откуда ясно, что последнее равно 10, а первое

Лишние данные в условии

№ 328. Приводим решение: число тысяч больше числа единиц, следовательно, квадрат числа тысяч больше (13 :2), т. е. не меньше 9. А так как 16 > 13, то число тысяч 3 и единиц >АЗ — З2 — 2. Цифра сотен на 1 больше цифры десятков. Квадрат цифры сотен больше (85:2), т. е. не меньше 7 — самих сотен. Квадрат цифры десятков меньше (85:2), т. е цифра десятков не больше 6. Так как разность цифр 1, то эти цифры 7 и 6, а искомое число — 3762.

Дополнительное условие проверяется.

№ 338. 1. Цифры разные (из условия «297»).

2. Знаменатель прогрессии не больше 3, так как первая (последняя) цифра не может быть больше У.

3. Таких прогрессий можно построить лишь три: 4, 2, 1; 8, 4, 2; 9, 6, 4.

4. Разность между цифрой сотен и цифрой единиц равна 3 (из условия «297»).

Искомое число 421.

№ 838. Первое условие дает уравнение: (тх + у) + 4 = х*+у*, откуда:

Отсюда:

Искомое число 85.

Неполнота ответов

№ 448. Дан ответ словесный, а не в виде формул, и только на первые два вопроса. Самый же интересный, третий вопрос оставлен без ответа. Восполняем этот пробел самыми краткими указаниями.

Z. ВОС и точка А — данные (черт. 1). Проводим из О окружность радиусом OA и строим Z.COD = z. DOL = .. = z. GOH = £ ВОС, а затем точки Ai, А2, Ав,... так, чтобы любые две соседние точки были симметричными относительно той стороны угла, которая лежит между ними.

Если нам нужно, чтобы шар прошел через точку А после троекратного отражения от сторон угла, соединяем точку А с точкой Л3, и направление A As будет тем, по которому нужно пустить шар.

Аналогично выполняем построения по другую сторону прямой OB.

Рассматривая дуги ААЪ АХА2, А2А3,..., легко выразить все углы через величины углов ВОС и АОС (АОВ при построениях в противоположном направлении).

Из чертежа легко определить и наибольшее число возможных отражений.

Пожелания

1. Снабдить все задачи решениями с учетом, что сборником будут пользоваться учащиеся, которые самостоятельно не смогут преодолеть все трудности. Решения не должны быть подробными, а только намечать основные моменты, оставляя широкий простор для творческой работы будущего абитуриента.

2. Исправить отмеченные погрешности.

3. Обеспечить такое качество второго издания сборника, чтобы эта полезная книга сделалась настольной для учителя и явилась его путеводителем в ответственном деле улучшения математической подготовки молодого поколения на пользу нашей родины.

Пожелаем автору полного успеха!

О «СБОРНИКЕ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ» П. С. МОДЕНОВА

(Изд. «Советская наука» Москва 1950 г.)

К. Е. АГРИНСКИЙ (Москва)

Автор включил в сборник задачи, предложенные в 1946—1949 гг. поступающим в московские вузы, дал пояснения к решению наиболее трудных задач, указал типовые ошибки решений и недочеты в знаниях учащихся, дал ценный анализ ошибок.

Большое внимание автор уделил вопросам математики, имеющим принципиальное значение.

В предисловии автор сообщил, что он сохранил «варианты» в том виде, как они были даны на приемных испытаниях.

По поводу последнего можно выразить сожаление: автору следовало бы в текст некоторых задач внести необходимые коррективы. К этому обязывает широкое распространение сборника, очень полезного для учащихся VIII—X классов (особенно X) и преподавателей математики.

К числу таких задач, требующих исправлений, можно отнести: №47: «... часть второго круга, лежащая вне площади первого круга». Нехорошо. Слово «площади» здесь—лишнее, противоречащее математическим понятиям.

№ 79: «вырытие колодца» лучше заменить словами «рытье колодца».

В задаче № 111 говорится, что дешевое вино смешано с дорогим и что смесь продана с прибылью 50%. В условиях советской действительности такие деяния квалифицируются как незаконная фальсификация. Эту задачу в сборник помещать не следовало.

№ 119: «... в июне средняя температура ежеднеьно повышалась на 0,25°». Нереальная закономерность.

№ 168: про медиану не говорят, что она «опущена».

№ 307: «Шары уложены в виде квадрата». Неточно.

В некоторых ответах имеются опечатки: № 805: опущен знак минус. № 885: г вместо г3.

№ 909: «... вершина параллелограма соединена с серединой противоположной стороны». Таких сторон — две. Следовало указать, о какой именно стороне говорится в задаче, иначе ответ, верный для одной стороны, не будет верным для другой.

Ответы некоторых геометрических задач (каковы №№ 28, 439, 507, 653, 669, 745, 762, 774, 786) содержат сумму или разность.

Здесь возникает вопрос уже принципиального порядка: обязательно ли в геометрических задачах ответ давать в законченном виде, т. е. приводить к виду, удобному для логарифмирования?

Если судить по ответам указанных выше задач, то не обязательно. Такую же точку зрения разделяют некоторые методисты; например, на одном собрании т. Герценштейн восстал против укоренившейся традиции и заявил: «Я категорически запрещаю ученикам, вместо 1 + cosa писать 2 cos^ -от, так как вычислить 1+cosot проще, а именно: найти cos а по таблицам натуральных значений, прибавить 1 и затем логарифмировать».

С таким рецептом нельзя согласиться. Допустим ученик получил в ответе

ученик должен «видеть», что эта дробь равна 1, но его зрение парализовано выражением в категорической форме запрещением преобразовать 1 -t- cos а. Он добросовестно вычисляет числитель по предписанному рецепту и лишь после совершенно бесполезной работы и траты времени убеждается, если где-либо не напутает, что данная дробь равна 1.

Кроме того, чтобы убедиться, какой из способов вычисления наиболее рационален, ученик в более сложных выражениях все равно должен получить законченный ответ, чтобы иметь возможность для сравнения.

Наконец, имея право выбора, как распорядиться выражениями вида 1 + cosa, он может расширить это право и оставлять в окончательном ответе многочлены даже в тех случаях, когда преобразование должно дать значительное упрощение. В итоге получится пренебрежение разумным и законным требованием рационального решения.

В силу этих соображений автору сборника следовало бы изменить ответы в указанных выше задачах или указать на пользу дальнейших преобразований даже в тех случаях, когда решение ограничивается буквенной формулой без вычислений.

С многочленами в ответах можно было бы примириться, если не считать обязательным введение вспомогательного угла, как, например, в задаче № 681 ^ctg2 ß + cos3-2~ ), но в указанных выше задачах преобразования очень несложны: в ответах, задач № 439, 507, 745 и 786 имеется 1 cos <р, в остальных задачах выражения cos3 -g"—cos2a и т. п. легко преобразуются в произведения по формулам, «сумма или разность синусов или косинусов».

Требование «приводить ответ геометрической задачи к виду, удобному для логарифмирования, во всех случаях» убедительно оправдывается ответом, задачи № 774. Здесь дан ответ:

Если нахождение cos a по таблицам натуральных значений приравнять нахождению одного логарифма» то вместо трех логарифмов, получился после совершенно элементарных преобразований только один логарифм. Выгода очевидна. Ответ упрощен, независимо от того, последуют или нет вычисления по этой формуле.

ОБЗОР НАУЧНО-ПОПУЛЯРНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

С. А. ДАХИЯ (Харьков)

Научно-популярная литература по математике представляет двоякий интерес для каждого учителя математики: с одной стороны, она служит одним из важных пособий в самообразовательной работе учителя, с другой же — доставляет ему материал для организации занятий школьного математического кружка (а также и для других форм внеклассной работы с учащимися).

Основательное знакомство с новинками этой литературы необходимо поэтому всякому школьному преподавателю математики.

В настоящем обзоре мы имеем в виду ознакомить читателей «Математики в школе» с популярно-математической литературой, изданной нашими центральными издательствами в 1950 году.

Мы начнем с рассмотрения двух брошюр, посвященных классикам русской математики — С. В. Ковалевской и А. Н. Крылову.

* * *

Первая из этих брошюр — «Жизнь и деятельность С. В. Ковалевской» — принадлежит перу члена-корреспондента Академии наук СССР П. Я. Полубариновой-Кочиной; эта небольшая брошюра (50 стр.) выпущена издательством Академии наук (в издаваемой им «Научно-популярной серии») тиражом в 25 тысяч экземпляров.

В прошлом году отмечалось столетие со дня рождения С. В. Ковалевской, в нынешнем — исполняется шестьдесят лет со дня ее смерти. Эти даты должны напомнить каждому учителю математики о необходимости познакомить своих учащихся с жизнью великой русской женщины-математика, с ее выдающимся значением в истории науки и научного образования. Рассматриваемая брошюра П. Я. Полубариновой-Кочиной, представляющая собой доступно написанный, впечатляющий рассказ о жизни, о математическом и литературном творчестве Ковалевской, о ее многогранной педагогической и общественной деятельности, может быть рекомендована как хорошее пособие для составления силами самих учащихся «доклада о Софье Ковалевской».

Текст рассматриваемой брошюры очень оживляют удачно подобранные автором выдержки из эпистолярного наследия С. В. Ковалевской, в том числе из представляющей большой историко-научный интерес переписки ее с Чебышевым, Вейерштрассом и Миттаг-Леффлером. Брошюру украшают несколько фотоснимков, изображающих Ковалевскую в разные эпохи ее жизни.

Позволим себе сделать одно критическое замечание по поводу изложения автором такого значительного события (не только в личной жизни Ковалевской, но и вообще в истории отечественной науки!), каким было избрание Ковалевской членом-корреспондентом Петербургской Академии наук. Автор уделяет этому моменту всего несколько необъяснимо скупых, почти индифферентных строк (стр. 32), не раскрывающих ни культурно-исторического значение этого события, ни того большого удовлетворения, с которым оно было встречено передовыми представителями русской науки того времени. Автор, охотно документирующий другие моменты жизни Ковалевской цитатами из ее корреспонденции, здесь, к сожалению, изменяет своему обыкновению и не приводит известного приветствия Чебышева, посланного Ковалевской, в котором великий русский математик с воодушевлением поздравляет последнюю с ее беспрецедентном избранием — как с исполнением одного из своих «самых пламенных и справедливых желаний»*).

* *

*

Имя Героя Социалистического Труда, лауреата Сталинской премии академика Алексея Николаевича Крылова (сконч. в 1945 г.) принадлежит к тем славным именам классиков отечественной науки, которые должны быть известны у нас каждому образованному человеку. «Делом жизни А. Н. Крылова, на которое была направлена вся его неисчерпаемая энергия,— говорит акад. В. И. Смирнов, — было постижение закономерностей явлений окружающего нас мира как с количественной, так и с качественной стороны, и математика была для него ключом к этому постижению». К этой общей характеристике научного облика А. Н. Крылова необходимо добавить, что вся его научная жизнь была пронизана глубоким и активным патриотическим чувством, стремлением поставить весь свой творческий гений на службу самым насущным и важным практическим нуждам родины.

Жизни и деятельности А. Н. Крылова посвящен недавно изданный Гостехиздатом в серии «Люди русской науки» популярный биографический очерк, написанный С. Я. Штрайхом («Алексей Николаевич Крылов», стр. 88, тираж 25 000 экз.). Брошюра С. Я. Штрайха представляет собой в своей основной части сокращенную радакцию обстоятельной биографии академика А. Н. Крылова, изданной тем же автором в 1944 г. (Воениздат). Основное внимание автора брошюры обращено на главное в научной и служебной деятельности А. Н. Крылова — всестороннее развитие им науки о корабле. В брошюре хорошо отражена неутомимая борьба А. Н. Крылова за новое в науке и технике, за честь и достоинство русской науки. Недостатком очерка С. Я. Штрайха— особенно если иметь в виду его назначение для широкого круга читателей — является некоторая сухость, местами — почти протокольность стиля. Существенным дополнением к очерку С. Я. Штрайха служит помещенная в брошюре небольшая, но содержательная статья акад. В. И. Смирнова, дающая характеристику основных черт научного творчества А. Н. Крылова. Акад. Смирнов находит в своей памяти уместный поэтический образ, по праву перенося его на А. Н. Крылова — математика, астронома, кораблестроителя: «Была ему звездная книга ясна, и с ним говорила морская волна».

В основу биографического очерка С. Я. Штрайха положены замечательные «Мои воспоминания» А. Н. Крылова, выдержавшие в последние годы ряд изданий. Нужно пожелать, чтобы каждый учитель познакомился с мемуарами А. Н. Крылова в под-

*) Мы еще и потому останавливаемся на этом моменте в биографии Ковалевской, что он получил уже совершенно искаженное освещение в широко распространенном биографическом очерке «С. Ковалевская», написанном С. Штрайхом («Жизнь замечательных людей», 15-й выпуск, Москва 1935). С. Штрайх умудряется приписать случайности (?!) факт «внимания петербургских академиков» к Ковалевской и заявляет, что «более существенным (?!) во всех отношениях было для С. В. Ковалевской признание ее научной деятельности со стороны Шведской академии....» (Штрайх, стр. 226).

линнике: он найдет там, в частности, множество интересных мыслей, относящихся к принципам преподавания математики.

Мы хотели бы, чтобы ознакомление учащихся (и учителя!) с жизнью и творчеством А. Н. Крылова стимулировало усиление внимания в школьном преподавании к вопросам приложений математики и, в частности, к вопросам культуры вычислительной математики—к вопросам, глубоко разработанным А. Н. Крыловым и широко пропагандировавшимся им*.

* *

23 февраля текущего года исполнилось сто двадцать пять лет со дня обнародования Н. И. Лобачевским открытой им неевклидовой геометрии.

За последние годы нашими издательствами выпущен ряд книг по геометрии Лобачевского, которые могут быть использованы учителем отчасти для самообразования, отчасти в качестве чтения, доступного учащимся старших классов. Некоторые из этих книг уже были рассмотрены на страницах «Математики в школе»**. Здесь мы остановимся на самой последней из этих публикаций — брошюре проф. П. С. Александрова «Что такое неевклидова геометрия», вышедшей в 1950 г. в серии «Педагогическая библиотека учителя» (изд-во Академии педагогических наук РСФСР).

Рецензируемое сочинение представляет собой «немного видоизмененное» издание одноименной статьи того же автора, опубликованной в сборнике «Николай Иванович Лобачевский», изданном в 1943 г. Гостехиздатом***.

Характеризуя в предисловии к брошюре особенности ее содержания, проф. П. С. Александров говорит: «...статья моя не является даже и кратким учебником неевклидовой геометрии и не претендует заменить имеющиеся в русской литературе систематические изложения этой дисциплины. Моя цель совсем другая: я стремлюсь лишь ввести читателя в основные наиболее принципиальные идеи неевклидовой геометрии и представить эти идеи в возможно компактной форме и в возможно тесной связи с другими геометрическими идеями».

Реализуя намеченный план, автор начинает свое изложение с рассмотрения общепринятой в настоящее время точной аксиоматики евклидовой планиметрии, сравнительно подробнее останавливаясь при этом на связи между понятиями конгруэнтности и движения и давая отдельные примеры аксиоматического вывода теорем элементарной геометрии.

Эта первая часть брошюры (разделы I—IV) заканчивается констатацией того, что допустимы лишь две возможности дополнения абсолютной планиметрии аксиомой о параллельных (аксиомой Евклида или аксиомой Лобачевского).

Вторая часть брошюры (разделы V—VIII) посвящена идее интерпретации геометрии на «моделях». С помощью моделей Клейна и Пуанкаре автор получает ряд результатов геометрии Лобачевского и показывает ее непротиворечивость. При этом исследование моделей ведется автором с использованием основных понятий проективной геометрии (в аналитической форме) и их простейших свойств.

В последней части статьи (разделы VIII—IX) автор знакомит с «двойственной» геометрии Лобачевского — эллиптической геометрией — и с отношением последней к обыкновенной сферической геометрии. На этом пути автор подводит читателя к идее дифференциально-геометрической реализации геометрии Лобачевского, которой и посвящен последний раздел брошюры.

Уже из этого краткого обзора содержания брошюры проф. Александрова ясно видно, что она (исключая, разве, начальную ее часть, носящую более элементарный характер) не может быть рекомендована в качестве материала «для первого чтения» по геометрии Лобачевского: хотя формально книга и не предусматривает каких-либо предварительных познаний у читателя в области неевклидовой геометрии. Всем своим изложением книга ориентируется на читателя с достаточно высоким уровнем общей математической культуры (знакомство, в частности, с аналитической геометрией, с понятием группы, с понятием счетности множества и т. п.). Поэтому наиболее полезной окажется книжка П. С. Александрова для учителей, прослушавших в свое время в высшей школе курс оснований геометрии и стремящихся восстановить в памяти его основное содержание: эту категорию читателей брошюра проф. Александрова (как это и обещает автор) «прямой дорогой ведет в круг основных идей неевклидовой геометрии».

Менее оправдано, на наш взгляд, предназначение автором своей книги также «для учеников старших классов средней школы, обладающих специальным интересом и способностями к математике». Для этих читателей избранный автором «прямой путь» станет преодолимым лишь после предварительного (автор говорит — «попутного») довольно основательного изучения аналитической (и проективной) геометрии (отметим, что автор отсылает своих читателей к такому капитальному курсу аналитической геометрии, как курс Мусхелишвили).

Говоря о брошюре проф. Александрова, нельзя не высказать сожаления о том, что издательство не включило в нее и биографического очерка о Лобачевском, принадлежащего перу того же автора****,—очерка, являющегося одним из лучших в литературе, кратких жизнеописаний великого геометра.

Об этом обстоятельстве приходится сожалеть в особенности в связи с тем, что в выпущенной данным издательством в 1947 г. (в этой же серии «Педагогическая библиотека учителя») книжке И. М. Гуля «Геометрия Лобачевского» биографический очерк о Лобачевском, как известно, содержит ряд грубых идеологических и фактических ошибок. Отказавшись от включения в рассматриваемую брошюру биографического очерка, издательство АПН РСФСР тем самым «неявно» заставляет читателей издаваемой им серии обращаться к заведомо недоброкачественному очерку в книжке Гуля!

* Знакомя учащихся с жизнью А. Н. Крылова, на всех этапах тесно связанной с морскими учебными заведениями, уместно напомнить учащимся, какую роль в развитии математического преподавания в России сыграла основанная Петром I «Школа математических и навигацких наук» и выросшая из нее Морская академия. В текущем году исполняется 250 лет со дня официального указа об открытии этой школы (см. Гнеденко, Очерки по истории математики в России).

** См., в частности, рецензию П. С. Моденова на пособие «Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии» Б. В. Кутузова в № б «Математики в школе» за 1950 г.

*** Для читателей, знакомых со статьей П. С. Александрова в ее первоначальной редакции, укажем, что второе издание ее отличается от первого, главным образом, добавлением нового (девятого) параграфа, посвященного основным идеям внутренней геометрии поверхностей и реализации геометрии Лобачевского на псевдосфере.

**** Этот очерк помещен в упомянутом выше сборнике «Н. И. Лобачевский».

Украинский читатель уже давно ждет от своих издательств популярных книг о Лобачевском и его геометрии. До последнего времени эти ожидания оставались напрасными: даже республиканское издательство «Радянська школа», выпустившее в последние годы ряд учебников и научных монографий по неевклидовой геометрии, продолжало игнорировать задачу широкой популяризации геометрических идей Лобачевского.

Выход в 1950 г. в издании «Радшколы» небольшой популярной книжки В. Холодковского «Микола Иванович Лобачевський» (стр. 110, тираж 5000 экз.) был встречен поэтому с особым интересом украинским читателем. Однако, как нам придется констатировать, ожидания последнего оказались и на этот раз во многом обманутыми.

Рассматриваемое издание книжки В. Холодковского, вышедшее под редакцией И. Погребисского в издаваемой «Радшколою» «Библиотеке учащегося» представляет собой украинский перевод одноименного сочинения (впервые изданного в 1945 г.), дополненный статьей В. Бычкова «Математические труды Н. И. Лобачевского».

Против самой композиции книжки нельзя сделать каких-либо возражений: живой, интересно и доступно написанный биографический очерк Холодковского, который, однако, лишь в самых общих чертах характеризует содержание геометрической системы Лобачевского, бесспорно, следовало дополнить изложением элементов этой системы.

Эту задачу и должна была выполнить указанная статья В. Бычкова, «дающая доступное учащимся IX и X классов средней школы описание ряда ярких фактов геометрии Лобачевского».

К сожалению, выполнение издателями своих благих намерений не может не вызвать у читателя чувства досады и неудовлетворенности.

Уже сам перевод (выполненный Л. Соколовским) кое в чем досадно удивляет читателя. В самом деле, чем объяснить, например, что часть цитат из Лобачевского и из других авторов дана в книге в переводе, тогда как другая — оставлена без перевода? Чем объяснить, далее, неприятные неточности в переводе некоторых характерных выражений Лобачевского? (Так, на стр. 47 выражение «праздные умы» передано переводчиком как ...«порожш розуми».)

Явно недостаточную работу над текстом украинского издания книжки проделал его редактор И. Погребисский. В частности, он оставил в неприкосновенности ряд фактических неточностей и ошибочных утверждений в очерке Холодковского, не дав себе труда проверить указываемые автором сведения по такому авторитетному источнику, каким являются (вышедшие уже после выхода в свет русского издания очерка) «Материалы для биографии Н. И. Лобачевского», опубликованные Л. Б. Модзалевским. Как пример одной из этих неточностей, укажем сохранившееся в украинском издании упоминание о мнимом письме Гаусса к Лобачевскому (стр. 44)*. Недостаточно критическое отношение Й. Погребисского к тексту редактируемой им книги сказалось также и в том, что в ее украинском издании оказались сохраненными без всяких с его стороны оговорок и такие, совсем не подходящие к Лобачевскому (даже если иметь в виду тот период его жизни, который предшествовал его великому открытию) эпитеты как «правоверный последователь Евклида» (стр. 32), и такие «литературные» штампы (тоже совсем не вяжущиеся с подлинным характером Лобачевского), как замечание о будто бы свойственной Лобачевскому «наивности» (стр. 41). Никак не реагировал редактор и на чрезмерно «упрощенную» трактовку Холодковским отношения современников к непонятому ими великому открытию Лобачевского. (Холодковский строит свое изложение таким образом, что у его читателя невольно возникнет представление о том, что против идей Лобачевского при его жизни боролись лишь «здравомыслящие неучи»,— стр. 39.)

Плохо отвечает своему назначению статья В. Бычкова. Содержание ее состоит в формальном изложении отдельных (не без произвола выбранных) фактов геометрии Лобачевского, сообщаемых, как правило, без доказательства. Отсутствие дедукции плюс собственные — нередко логически дефектные или тавтологичные — комментарии автора — таковы те особенности статьи В. Бычкова, которые, по его мысли, должны сделать ее «доступной» для учащихся средней школы.

Приведем несколько примеров такого рода комментариев (курсив в цитатах наш):

«Напомним читателю, что в геометрии Евклида площадь треугольника бесконечно возрастает при бесконечном возрастании его сторон» (стр. 90)**.

«Те единицы измерения, которые можно логически определить и для которых не нужно изготовлять образцов, называются абсолютными единицами измерения. Итак, в геометрии Лобачевского существует абсолютная единица длины. Эта единица должна быть такой длины, что в наших земных мерах ее трудно выразить. Вероятно, она достигает длины светового года» (стр. 99)***.

«Геометрия Евклида ограничивается представлением о пространстве, в котором существуют только те соотношения, о которых она утверждает. (Тавтология! — С. Д.) Совокупность утверждений Лобачевского происходит (? — «в.дбувается».— С. Д.) в другом пространстве: в этом пространстве... существуют треугольники с суммой углов, меньшей тс (стр. 104)****.

Оценивая рассматриваемую книжку, нельзя, наконец, пройти мимо странных особенностей поме-

* Именно отсутствие подобного письма весьма характерно для Гаусса в свете известного его отношения к публичному признанию идей неевклидовой геометрии! (Как известно, в действительности упомянутое письмо было написано Гаусманом.)

** Напомним, в свою очередь, В. Бычкову формулу площади треугольника в евклидовой геометрии: S= — , где а — основание, h — высота треугольника. Рассматривая равнобедренный треугольник сh = ~~з", будем иметь S = ^t так что S-+0 при а —> оо (при этом и другие две стороны треугольника неограниченно возрастают).

*** В. Бычков спутал здесь вопрос об определении абсолютных единиц длины с совсем другим вопросом (вовсе и не затронутым здесь автором)—о радиусе кривизны, который должно иметь пространство Лобачевского, если принять, что геометрия Лобачевского реализуется в физическом пространстве. Величину логически определимой единицы длины можно, конечно, сделать и сколь угодно малой (вопреки цитируемому утверждению Бычкова).

**** Последнее утверждение сформулировано так, что читатель книжки может подумать, что в геометрии Лобачевского имеются и треугольники с суммой углов равной гс«

щенного в ней списка литературы по неевклидовой геометрии. Своему юному читателю (напомним, что она издана в серии «Библиотека учащегося») книжка рекомендует такие библиографические редкости, как монографии Бонолы и Бальдуса, — такие «доступные» для них курсы, как специальный университетский курс Ф. Клейна!

Приведенные в списке ссылки на брошюру В. Ф. Кагана и на статью П. А. Широкова относятся, к сожалению, к первым изданиям этих произведений. Ряд вышедших в последние годы ценных популярных книг и статей в списке вообще не назван. Но наибольшее недоумение вызывает у нас отсутствие в списке... работ самого Лобачевского. Между тем, ознакомление учащихся хотя бы с классическим произведением Н. И. Лобачевского «Геометрические исследования по теории параллельных* представляется (со всех точек зрения) более нужным и реальным делом, чем подсказываемое составителями книжки штудирование трактата Ф. Клейна (к тому же ложно освещающего вопрос о приоритете в открытии неевклидовой геометрии).

Высказанных нами замечаний достаточно, чтобы сделать вывод о неполноценности рассматриваемой книжки о Лобачевском. Учителю, которому, по недостатку литературы, быть может, все же придется к ней обратиться, нужно посоветовать критически отнестись к ее содержанию. Что же касается издательства «Радянська школа», то мы надеемся, что оно и само сделает вывод о необходимости более ответственного отношения к важному делу издания популярной литературы о Лобачевском.

Мы заключим наш обзор кратким рассмотрением первых двух выпусков библиотечки «Популярные лекции по математике», к изданию которой приступило Государственное издательство технико-теоретической литературы в 1950 г.

Первый из этих выпусков «Простейшие задачи на максимум и минимум» (стр. 32, тираж 15 000 экз.) принадлежит перу проф. ЛГУ И.П.Натансона, поставившего своей целью помочь учащимся старших классов средней школы «получить хотя бы общее представление о характере задач, рассматриваемых в высшей математике». В своей брошюре проф. Натансон указывает элементарные решения для двух десятков несложных экстремальных задач, обычно решаемых методами дифференциального исчисления. Самые решения осуществлены при этом с помощью простейших алгебраических средств: теоремы об экстремуме квадратного трехчлена и неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим нескольких чисел.

Упражнение учащихся в задачах на максимум и минимум является, как известно, прекрасным средством для развития их «функционального мышления».

Брошюру проф. Натансона можно рекомендовать в качестве той «первой ступеньки», с которой целесообразно начать систематическое изучение в школьном кружке экстремальных проблем. Легко овладев этой ступенькой, учащиеся с интересом и с успехом поднимутся на следующую — перейдут к проработке содержательной книжки С. И. Зетеля «Задачи на максимум и минимум»** (Гостехниздат. 1948).

Второй выпуск рассматриваемой библиотечки написан проф. А. И. Маркушевичем и посвящен «Возвратным последовательностям» (стр. 48, тираж 15 000 экз.). Брошюра проф. Маркушевича воспроизводит в расширенном изложении лекцию, прочитанную автором для школьников IX—X классов (участников Московской математической олимпиады).

Теория возвратных последовательностей (составляющая отдельный раздел специальной математической дисциплины — исчисления конечных разностей) имеет все основания на внимание к ней со стороны преподавателей средней школы и их учащихся. Достаточно указать, что понятием возвратной (или «рекуррентной») последовательности объединяются такие разрозненные в обычном школьном преподавании вещи, как арифметические и геометрические прогрессии, последовательности степеней натуральных чисел, последовательности цифр десятичного разложения рационального числа и т. п. Вместе с тем, теория возвратных последовательностей допускает вполне элементарное изложение (требующее, разве, некоторого применения элементов общей теории систем линейных уравнений), пример которого и дан проф. Маркушевичем в его брошюре.

Библиотечка «Популярные лекции по математике» получила в брошюрах проф. Натансона и проф. Маркушевича интересное начало. Остается пожелать, чтобы продолжение ее было столь же содержательным.

* Мы имеем здесь в виду особенно отдельное издание этого сочинения, осуществленное в 1945 г. издательством Академии наук СССР и содержащее обстоятельные дополнения, облегчающие чтение этого произведения.

** Дальнейшее изучение в кружке экстремальной проблематики должно ознакомить учащихся с простейшими изопериметрическими задачами и с задачами на наименьшие максимумы. (Систематическую теорию последних развил великий русский математик П. Л. Чебышев.)

ХРОНИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА В Г. ХАЛТУРИНЕ

И. И. НЕГАНОВ (Халтурин)

В феврале 1951 года состоялась математическая олимпиада в Халтуринской средней школе № 1. Олимпиада была проведена в два тура, к участию в первом туре были допущены учащиеся V — X классов независимо от их успеваемости по математике. Все учащиеся были разбиты на три группы по классам: V — VI кл., VII — VIII кл., IX — X кл.

Материал был заблаговременно подобран и после рассмотрения принят секцией преподавателей математики.

Для выполнения работы были отведены классные комнаты, учащиеся были размещены по одному человеку на парте. Оба тура проводились в вечернее время с 6 до 9 часов вечера.

I тур

Для первого тура были предложены следующие задачи и примеры.

V — VI классы

1. В трех районах города 1200 жителей. Сколько жителей в каждом районе, если известно, что -q- числа жителей первого района равны -g- числа жителей второго района и -g- числа жителей третьего.

(5 очков.)

2. Найти вес рыбы, зная, что хвост ее весит 4 кг, голова весит столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище столько, сколько голова и хвост вместе.

(3 очка.)

3. Какое число нужно вычесть из числителя дроби и прибавить к знаменателю, чтобы после сокращения получить дробь -gj .

(2 очка.)

VII —VIII классы

1. Магазин продал книгу со скидкой 10% с назначенной цены и получил " прибыли 8%. Сколько процентов прибыли первоначально полагал получить магазин?

(5 очков.)

2. Если задуманное число умножить на 3, справа приписать 2, полученное число разделить на 19 и к частному прибавить 7, то получится число втрое более задуманного. Какое это число?

(3 очка.)

3. Разделить ат — Ьт на произведение:

(а + Ь) (я2 + &2) (д4 -f. £4 ) (fl8 + £8) (ß16 + fcjfc) (fl82 + 632) (д64 + £64)

(2 очка.)

IX — X классы

1. Поезд проходит мимо наблюдателя в течение t\ секунд, а мимо моста длиною в а метров в t2 секунд. Определить скорость и длину поезда.

(4 очка.)

2. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе увеличить на 8, то прогрессия сделается арифметической. Но если после этого увеличить последнее число на 64, прогрессия снова сделается геометрической. Найти эти числа.

(4 очка.)

3. Решить систему:

(2 очка.)

Третий пример для V и VI классов — простой для решения, но необычная форма постановки вопроса смутила учеников: видимо, на уроке и во внеклассной работе вопросы подобного рода учителями не ставились. Решение примера таково: в дроби

последние три цифры дополняют друг друга до 1 высшего разряда, следовательно, от числителя следует вычесть эту часть числа, а чтобы в числителе было 17, надо от 52 отнять 35, таким образом, искомое число будет 35367, тогда дробь превратится

Первая задача IX — X классов вызвала большие затруднения. Учащиеся не поняли задачи и решили «весьма просто»: разделив длину моста на время, однако на самом деле решение этой задачи таково:

Пусть длина поезда х м, а его скорость у сек. По условию задачи можем составить систему уравнений:

Ук = х (1)

yt2=x + a, (2)

так как поезд за t% секунд проходит расстояние, равное длине моста да плюс длина самого поезда.

После проверки всех работ секция преподавателей математики на своем заседании решила вопрос о допуске учащихся к участию во втором туре олимпиады. Итоги и списки победителей были вывешены и объявлены по классам.

II тур

Через 10 дней после первого состоялся второй тур. Снова по трем группам классов были предложены задания в одном варианте.

V — VI классы

1. Цена 1 кг одного сорта конфет больше цены 1 кг другого сорта на 2 -у рубля. 50 кг первого сорта конфет стоят столько же, сколько 61 кг конфет другого сорта. Определить цену 1 кг конфет каждого сорта.

(5 очков.)

2. За -т- кг сыра и 700 г творога уплачено 17,5 руб. Когда сыр подешевел на -g- его стоимости, а творог на -у- его стоимости, то за такую же покупку было уплачено 14,7 рубля. Сколько первоначально стоил 1 кг сыра и I кг творога?

(5 очков.)

3. Ученику предложена задача, для решения которой следовало первое из данных чисел разделить на второе и полученное частное потом умножить на число, -g- которого равны 4. Однако ученик поступил так: из первого данного числа он вычел второе и к полученной разности прибавил -g- от 6. Несмотря на это, ответ 10, полученный им на вопрос задачи, был тот же самый, как и при правильном ее решении. Какие два числа были помещены в условиях задачи?

(5 очков.)

VII—VIII классы

1. Какое наибольшее число острых углов может встретиться в выпуклом многоугольнике?

(6 очков.)

2. Даны два числа а и Ь\ чему равно расстояние между соответствующими точками на числовой прямой/

(2 очка.)

3. Может ли при некоторых частных значениях а и Ь иметь место: (а -+- Ь)2= а? + £2?

(2 очка.)

4. Третья задача для V — VI классов.

(5 очков.)

IX — X классы

1. Найти X, если:

(4 очка.)

2. Внутри угла 60° расположена точка на расстояниях а и Ь от его сторон. Найти расстояние от этой точки до вершины данного угла.

(5 очков.)

3. Найти выражение cos а и sin ß через А и В, если известно, что

(6 очка.)

4. Доказать, что треугольник со сторонами а, Ь, с, будет прямоугольным, если выполняется равенство:

С2 = 02 + £2.

(3 очка.)

Наибольший интерес во втором туре представляют следующие задачи: для VII — VIII классов — первая задача, а для IX — X классов — первая и четвертая.

Задача о наибольшем числе острых углов выпуклого многоугольника давалась на олимпиаде для учащихся г. Москвы в МГУ. Ее решили 8 москвичей. Мы боялись за эту задачу, но, однако, ученик VIII-a класса С. Шамов справился с нею.

Задача на логарифмическое уравнение для IX — X классов оказалась трудной. Учащиеся IX классов только ознакомились с определением логарифма, а учащиеся X класса, видимо, недостаточно владеют преобразованиями с логарифмами.

Доказательство теоремы обратной теореме Пифагора вызвало много кривотолков. Многие учащиеся признали эту теорему «очень простой» и в своих посылках к доказательству исходили из теоремы Пифагора, допуская логическую ошибку.

При определении призовых мест мы принимали во внимание работы учащихся, выполненные ими в I и II турах.

Показали хорошую математическую подготовку и успешно закончили олимпиаду 26 учащихся, главным образом из VIII — X классов.

Итоги олимпиады были подведены на общем собрании учащихся V — X классов. С докладом о результатах выступил главный судья С. С. Черных. К вечеру был выпущен специальный бюллетень математического кружка.

Победители олимпиады были награждены ценными подарками с надписью «Победителю первой математической олимпиады учащихся Халтуринской средней школы № 1».

Олимпиада вызвала огромный интерес и прошла как одно из знаменательных школьных событий. Многие учащиеся после проведенного вечера интересовались, будет ли еще олимпиада в этом году. Многие учащиеся стали просить предлагать им «интересные» и «трудные» задачи для решения дома.

Итоги олимпиады были разобраны преподавателями, причем большое внимание было обращено на ошибки, допущенные в рассуждениях, что безусловно имело большое значение для развития логического мышления учащихся.

Итоги олимпиады оформлены красочным стендом с фотографиями учеников-победителей.

Математическая олимпиада явилась весьма важным мероприятием внеклассной работы по математике, и секция преподавателей решила проводить ее ежегодно.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА В г. ЛЬВОВЕ (1951 г.)

А. С. КОВАНЬКО (Львов)

15 апреля закончилась математическая олимпиада школьников города Львова (VII, VIII, IX, X кл.). Она была организована физико-математическим факультетом Львовского госуниверситета, Обществом по распространению политических и научных знаний, горОНО и облОНО.

В настоящем году олимпиада была организована не только для города, но впервые и для всей Львовской области. Основным руководящим ядром олимпиады был коллектив профессоров и доцентов физико-математического факультета Львовского университета и пединститута. Во главе оргкомитета стоял проф. А. С. Кованько. Также принимали участие некоторые преподаватели средних школ, например т. Крайзман (15 школа). При университете в сентябре 1950 года был организован для школьников кружок, которым руководил ст. лаборант С. С. Яровой.

Олимпиаде предшествовал цикл лекций как в городе Львове (в университете), так и в некоторых районах области. В этом мероприятии принимали участие профессора: Я. Б. Лопатинский, Л. И. Волковыский, А. С. Кованько, доценты: И. Г. Соколов, А. Н. Костовский, И. Ф. Тесленко, Г. Л. Буймола.

Олимпиада состояла из двух туров и двух секций (VII—VIII кл.) и (IX—X кл). Первый тур состоялся 1 апреля, а второй 15 апреля.

В настоящем году степени трудности задач, предлагавшихся в обоих турах, мало отличались друг от друга. Проверка работ и их оценка проводилась одновременно после окончания обоих туров. Отбор произошел естественным путем, т. е. многие участники 1-го тура отказались от участия во втором туре, ввиду трудности предлагавшихся задач. Особенно резким оказался отсев среди школьников, приехавших из области. На первом туре было свыше 40 человек, а на втором туре 8 человек (все 8 из Пустомыловского района).

Из предлагавшихся 5 задач в обязательном порядке решались две задачи, причем было запрещено решение большего числа задач, во избежание погони за количеством, а не за качеством решения задач. Каждая секция располагалась в отдельной аудитории. В каждой секции предлагалось три задачи, общие для обоих классов и по две задачи для каждого из классов, причем выбор задач устанавливался так: одна задача из общего числа трех задач и одна из числа двух задач для данного класса. Следует отметить, что в основном наблюдалось стремление к решению алгебраических задач.

К недостаткам относится то, что многие решали задачи исключительно небрежно. Иногда трудно было разобрать фамилию участника. Кроме того, многие нарушали дисциплину, занимались подсказыванием, переписыванием.

Несмотря на недостатки, свыше 20 человек были отмечены как победители специальными грамотами, причем лучшие еще были награждены подарками трех степеней. Два подарка первой степени получили ученики: В. Голубева (X кл., школа № 13) и В. Савранский (X кл., школа № 14). Наибольшее количество участников олимпиады пришлось на школу № 6, благодаря большой активности преподавателя математики т. Нерославской.

Приводим образцы наиболее интересных задач, предлагавшихся в обоих турах олимпиады.

Задачи VII — VIII классов

1. В ящике имеются яблоки. Сначала из них взяли половину и пол-яблока, затем половину остатка и еще пол-яблока и, наконец, половину остатка и пол-яблока. После этого осталось 31 яблоко. Сколько яблок было вначале?

2. Даны две точки А и В. Доказать, что геометрическое место таких точек С, что -ç]$ = постоянному, есть окружность (или прямая, если АС = СВ).

3. Из двух мест А и В вышли одновременно два пешехода навстречу друг другу. При встрече оказалось, что первый прошел на а км больше второго. Если они будут продолжать путь, то, идя с прежней скоростью, первый придет в В через m часов, а второй придет в А через п часов после встречи. Найти скорость каждого пешехода.

4. Построить треугольник по стороне а, высоте ha, опущенной на эту сторону, и медиане одной из боковых сторон.

5. Решить систему:

6. Построить треугольник по стороне, медиане этой стороны и высоте одной из боковых сторон.

Для IX—X классов

1. Три неизвестные числа х, у и z удовлетворяют следующим уравнениям:

Определить величину:

2. На шаре диаметра d дана точка А. Через нее проведены хорды AB, АС,..., на продолжении которых определены соответственно точки В\, С\,... так, что: АВАВХ = АС-АСг = ... = №. Найти геометрическое место точек В\, С\,...

3. На прямом берегу реки отгорожено забором место с трех сторон в форме прямоугольника. Длина всего забора 100 м. Каких размеров должен быть участок, чтобы его площадь была наибольшая.

4. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и медиане боковой стороны.

5. Найти формулу для л-го члена ряда чисел

Х$, Х\, Хч,..., хп,...,

если х0 = а, хх = b и каждое х.ь, начиная с хъ есть среднее арифметическое двух предшествующих, т. е.

6. Дан круг и касательная к нему АР в точке А. Проведен диаметр AB и две хорды ВС и BD по одну сторону от диаметра AB. В точках С и D проведены касательные к кругу, и пусть Е — точка их пересечения. Хорды ВС и BD продолжены до пересечения с АР в точках M и Н. Доказать, что медиана стороны МН треугольника. ВМН проходит через Е.

ВТОРАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО АРИФМЕТИКЕ

С. В. ФИЛИЧЕВ (Москва)

Вторая арифметическая олимпиада по арифметике для учащихся V—VI классов школ г. Москвы в 1950,51 учебном году проводилась два раза.

Первый тур проводился 25 марта 1951 г. в районах, а второй тур — 15 апреля при Институте усовершенствования учителей.

Участники второй арифметической олимпиады были разделены на две группы: учащихся V класса и учащихся VI класса.

Для каждой группы были предложены задачи с учетом возрастных особенностей участников олимпиады.

В первом туре участвовало в районах 4322 учащихся.

Учащиеся, успешно прошедшие первый тур в районах, участвовали во втором, заключительном туре. Во втором туре участвовали 326 учащихся V класса и 345 учащихся VI класса, всего 671 человек, т. е. около 15% от общего числа участников первого тура.

В итоге второго тура вторую арифметическую олимпиаду успешно прошли 247 учащихся (113 — учащихся V класса и 132 — учащихся VI класса).

Первую премию получили 12 человек, вторую — 77, третью 124.

Анализ работ участников второго тура показывает, что учащиеся V и VI классов в массе еще несовершенно решают примеры на доказательство. Например, ученики V класса при решении вопроса: «При делении данного числа на 225 в остатке получилось 150. Разделится ли данное число без остатка на 75 и почему?»—обыкновенно отвечали утвердительно, но без обоснования, хотя в задаче и спрашивалось, почему?

Точно так же ученики VI класса при решении вопроса: «Докажите, что число 4343—1717 делится без остатка на 10» —утверждали, что делится, но ответ не обосновали, или обосновывали неудачно.

Вообще ученики V и VI классов не справились должным образом с задачами, где требовалось провести строго логическое обоснование хода решения.

В целом вторая арифметическая олимпиада прошла вполне удовлетворительно.

При подготовке к этой олимпиаде в школах оживалась внеклассная работа по арифметике.

Учащиеся с интересом готовились к олимпиаде и приняли самое живое участие как в первом туре, так и во втором.

Учителя в массе считают организацию такого рода олимпиад нужным и полезным мероприятием для поднятия интереса к арифметике и повышению арифметической культуры учащихся.

Ниже даны тексты задач, предложенные на олимпиаде.

Первый тур для 5-х классов (в районах)

№ 1

1. Если грузить ежемесячно по 1500 вагонов, то через несколько месяцев годовой план окажется недовыполненным на 6000 вагонов, но так как грузили по 1800 вагонов в месяц, то к концу этого же времени план остался недовыполненным на 3600 вагонов.

Сколько вагонов погружено сверх плана за год?

2. 7/i2 расстояния между городами А и В равны 75 V4 км' В 5 час. 36 мин. утра один велосипедист выехал из города А по направлению к городу В; в 7 час. 15 мин. утра выехал по той же дороге из В по направлению к А другой велосипедист, который проезжал в час на 3/4 км более первого. Зная, что велосипедисты встретились ровно в полдень того же дня, вычислить, по скольку километров в среднем проезжал каждый из них в час.

3. Доказать, что, если сумма двух чисел есть число нечетное, то произведение этих чисел всегда будет четным числом.

4. При перемножении шестизначного числа на четырехзначное были стерты некоторые цифры. Места стертых цифр обозначены звездочками. Восстановить их.

Первый тур для 5-х классов (в районах)

№ 2

1. Мотоциклист выехал из города А в город В. Если он будет ехать по 35 км в час, то опоздает на 2 часа; если же он будет ехать по 50 км в час, то приедет на 1 час раньше срока. Каково расстояние между городами А и В и сколько часов он должен был затратить на этот путь?

2. По плану нужно было заготовить в течение 18 дней некоторое количество дров. Работа была выполнена за два дня до срока, и при этом было заготовлено сверх плана 160 куб. метров дров. Сколько куб. метров дров было заготовлено, если известно что ежедневно сверх плана заготовляли по 85 куб. метров дров?

3. Доказать, что если произведение двух чисел есть число нечетное, то сумма этих чисел всегда будет четным числом.

4. При перемножении пятизначного числа на трехзначное были стерты некоторые цифры. Места стертых цифр обозначены звездочками. Восстановить их.

Первый тур для 6-х классов (в районах)

№ 3

Найти быстро результат.

2. Найти несократимую дробь, зная, что произведение ее числителя и знаменателя равно 550 и что эта дробь может быть выражена конечной десятичной дробью.

3. Из города А в город В, расстояние между которыми 750 км, выехали по одному и тому же пути два автомобиля: легковой, идущий со скоростью 50 км в час, и грузовой — со скоростью 30 км в час. Грузовой автомобиль выехал на 2 часа позже легкового. Через сколько часов после выезда грузовой машины остаток пути для нее до города В будет в 3 раза больше, чем остаток пути до города В для легковой машины?

4. Участок под клубнику прямоугольной формы, длина которого в 3 раза больше ширины, окружен оградой, отстоящей от сторон участка на 2 м. Площадь, ограниченная оградой, на 128 кв. м больше площади самого участка.

Определить длину всей ограды.

Первый тур для 6-х классов (в районах)

№ 4

1. Дано: д2.(я + &з).(д4_$ю).{а*—Ь), где я = 5; *> = 25. Найти быстро результат.

2. Уменьшить дробь ?щ- на "24 ее величины, умножая только знаменатель.

3. Из города А в город В выехал всадник со скоростью 10 км в час. Через 5/6 часа после выезда всадника вслед за ним выехал велосипедист и ехал со скоростью 12 км в час. В город В велосипедист приехал на 5 минут позже всадника. Определить расстояние между этими городами.

4. Для оклейки верхнего края всех четырех стен комнаты понадобилось 34 м бордюра. Найти объем этой комнаты, если известно, что длина комнаты в 2,4 раза более ширины и высота составляет 80% от ширины.

Второй тур для 5-х классов (при Институте усовершенствования учителей)

№ 1

1. При делении некоторого числа на 72 получилось в остатке 68. Как изменится частное и сколько получится в остатке, если то же число разделить на 24?

2. Увеличится или уменьшится правильная дробь, если к ее числителю и ее знаменателю прибавить одно и то же натуральное число? Почему?

3. Для выполнения некоторой работы наняты трое рабочих. Во сколько дней, работая вместе, выполнят они работу, если один первый рабочий может выполнить работу в 12 дня, один второй в 17 -у- дня, а одному третьему потребуется в 2 -g- раза больше дней, чем первым двум рабочим при их одновременной работе?

4. Поезд идет х/4 минуты мимо телеграфного столба и за 50 секунд проходит мост длиной 0,7 км.

Вычислить среднюю скорость и длину поезда.

Второй тур для 5-х классов (при Институте усовершенствования учителей)

№ 2

1. При делении данного числа на 225 в остатке получилось 150. Разделится ли данное число нацело на 75 и почему?

2. Увеличится или уменьшится неправильная дробь, если к ее числителю и ее знаменателю прибавить одно и то же натуральное число? Почему?

3. Для наполнения водного бассейна устроено два водопроводных крана, из которых первый, действуя один, мог бы наполнить бассейн в 4 часа 30 минут, а второй в 6 часов 45 минут. Сначала был открыт только первый кран на то время, в течение которого оба крана могли бы наполнить бассейн. После этого начал работать второй кран. Через сколько времени после открытия второго крана бассейн наполнился?

4. Я еду в поезде, который идет со скоростью 40 км в час, и вижу, как в течение трех секунд мимо моего окна в противоположном направлении проходит скорый поезд, имеющий в длину 75 м. С какой скоростью шел встречный поезд?

Второй тур для 6-х классов (при Институте усовершенствования учителей)

№ 3

1. Найти быстро, что больше А или В:

2. Докажите, что число 4343—1717 делится без остатка на 10.

3. По двум параллельным железнодорожным путям едут навстречу один другому два поезда, каждый равномерно, но с различными скоростями. Длина первого поезда равна 130,75 м, длина второго 117,75 м. Промежуток времени, в течение которого оба поезда при встрече шли один мимо другого, был равен 6^g- секунды. Если бы поезда шли в одну и ту же сторону, и если бы первый поезд нагнал второй, то они шли бы один возле другого в течение 56,8 секунды. По скольку километров в час проходил каждый поезд?

4. Когда 40 рабочих цеха перешли на стахановский метод работы, продукция цеха увеличилась на 20%; когда же 60% всех рабочих цеха стали работать по-стахановски, продукция цеха увеличилась в 2-^- раза. Сколько рабочих в цеху и во сколько раз увеличится продукция цеха, когда все рабочие станут стахановцами?

Второй тур для 6-х классов (при Институте усовершенствования учителей)

№ 4

1. Быстро установить, что дроби 23/99, 2323/9999, 232323/999999 равны между собой.

2. Указать такое целое положительное число, начиная с которого восемь последующих целых чисел являются составными.

3. Две машинистки получили за работу всего 250 руб., причем одна переписала текст, а другая таблицы. Страниц текста было в 2,5 раза больше, чем страниц таблиц, но страница таблиц была оплачена на 66-g-% дороже страницы текста. Сколько денег должна получить каждая машинистка?

4. Велосипедист ехал с дачи в город со скоростью 8^- км в час и должен был прибыть в город в 9 час. 40 мин. утра. Не доезжая 15 км до города, велосипедист встретил своего знакомого, ехавшего по той же дороге, и чтобы переговорить с ним поехал обратно со скоростью этого знакомого. Проехав так вместе 3,75 км, он оставил знакомого, и повернул по направлению к городу со своею прежней скоростью и прибыл в город в 10 час. 37 мин. утра. С какой скоростью ехал знакомый велосипедист и в котором часу он выехал из города?

НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ МОСКОВСКИХ УЧИТЕЛЕЙ

27 марта 1951 г. состоялась научно-практическая конференция преподавателей математики школ г. Москвы при Московском городском институте усовершенствования учителей.

Конференция проходила по следующей программе:

1. Вступительное слово проф. И. К. Андронова, зав. кафедрой математики ИУУ.

2. Из опыта изучения темы «Функции и графики в VIII классе» — И. Б. Вейцман, преподаватель 416-й школы.

3. К вопросу об изображении пространственных фигур (из опыта работы) Г. А. Назаревский — преподаватель 58-й школы.

4. Арифметический корень в курсе алгебры VIII класса — К. С. Барыбин — преподаватель 255-й школы.

5. Логарифмическая линейка в курсе средней школы — Н. И. Сырнев, преподаватель 352-й школы.

6. Опыт проведения измерительных работ на местности с учащимися VI—VII классов — В. А. Раевский, преподаватель 494-й школы.

7. Повторение арифметики в курсе V—VII классов—А. И. Леночкин, преподаватель 270-й школы.

8. Обсуждение докладов.

9. Показ работы школьных математических кружков.

Доклад Г. А. Назаревского представляет собой систематическое изложение вопроса о построении стереометрических чертежей и является отражением неоднократно проведенного в школе практического опыта.

Доклад К. С. Барыбина посвящен вопросам, связанным с установлением области определения иррациональных функций в курсе алгебры VIII класса.

Доклад В. А. Раевского посвящен постановке измерительных работ в курсе геометрии. Автор поделился своим опытом, который показал, что измерительные работы могут быть успешно проведены в условиях московской школы при помощи самодельных приборов.

В прениях возникла оживленная дискуссия по поводу доклада И. Б. Вейцмана, Были высказаны различные мнения по вопросу о возможности изучения понятия функции в школе на теоретикомножественной основе.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 2 ЗА 1951 ГОД

№ 17

Найти наименьшее квадратное число, начинающееся шестью двойками.

Решение. Так как число 222222 не является квадратным числом, то, следовательно, искомое число будет иметь вид:

где аъ а2,... ,ап — неизвестные цифры числа. Допустим, что п — четное число. Будем извлекать квадратный корень из искомого числа. Получим:

Остаток будет равен нулю, если положить: х\ = 4, л* — 7, хв = 1, #з=4, ^4 = 0, д5—2, я6 = 5. Тогда а2 = Л'з + 6 = 7 и ах — х2 + 9 — 10 = 6. Итак, п = 6, и в результате будем иметь число: 222 222 674 025.

Допустим, что п—нечетное число. Извлекая квадратный корень из искомого числа и рассуждая так же, как и выше, получим квадратное число, превышающее число 222 222 674 025. Итак, наименьшим квадратным числом, начинающимся шестью двойками, является число 222 222 674 025.

№ 18

Решить систему уравнений:

Решение. Полагаем t = х + у + z. Имеем:

Отсюда или

Таким же образом получим:

Можно показать (предоставляем сделать это самим читателям), что значения t определяются соотношениями

Это дает нам:

(Если в правой части одного из уравнений системы берутся верхние знаки, то и в правых частях остальных уравнений берутся также верхние знаки. Аналогично поступаем при выборе знаков и в других случаях.)

Решения этих систем и являются решениями данной системы.

Теперь легко можно определить значения х, у, х.

№ 19

Решать систему:

Решение. Второму уравнению придадим следующий вид:

Это дает нам:

Отсюда заключаем, что

Остается теперь решить следующие две системы:

Принимая во внимание, что ху = +, будем иметь окончательно:

Можно было бы решить данную в задаче систему уравнений, воспользовавшись подстановкой; * = rcos<p, j/ = rsin<p.

№ 20

Доказать, что tg2 20°, tg240°, tg280° являются корнями уравнения х3 — 33 х2 -h 27 х — 3 = 0.

Решение. Докажем, что tga20° является корнем данного уравнения.

Для этого достаточно доказать, что

Имеем:

Отсюда следует, что

Аналогично поступаем и в отношении tg240° и tg380°, исходя из равенств:

№ 21

Найти предел суммы площадей треугольников, расположенных в бесконечный ряд таким образом, что стороны каждого последующего равны медианам предыдущего.

Решение. Обозначим стороны первого треугольника через а, Ь, с, а его медианы — через та, ть> тс.

Имеем:

Легко установить теперь, что между площадью Sx первого треугольника и площадью S2 следующего за ним в рассматриваемом ряду треугольника существует соотношение s2 = -т- Sx.

Это приводит нас к выводу, что члены рассматриваемого ряда площадей являются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = Следовательно, искомый предел равен

Для доказательства справедливости равенства

нет необходимости выражать медианы треугольника через его стороны. Тов. Лебензон свое решение начинает доказательством предложения: площадь треугольника, составленного из медиан треугольника, равна -у площади этого треугольника.

Середины сторон AB, ВС, АС треугольника ABC обозначим соответственно через F, D, Е. Среднюю линию DE продолжим за точку Е до точки К, причем DK = AB. Тогда КС = AD и KF=. BE. Легко показать, что площадь треугольника KFC = 2 (площадь Д AFC — площадь Д Л/7Л4) = 8/4 площади Д ABC.

№ 22

Построить равнобедренный треугольник, основание которого лежало бы на одной стороне данного угла, вершина — на другой, а боковые стороны проходили бы через данные две точки внутри данного угла.

Решение. Пусть ^LKOL— данный угол, точки А и В лежат внутри этого угла. Очевидно, что задача может быть решена только в том случае, если угол KOL — острый.

Допустим, что треугольник CDF — искомый (черт. 1). Проведем высоту СЕ этого треугольника. Построим точку А\, симметричную точке А относительно прямой OK- Соединим точку Ах с точкой С и с точкой В.

Черт. 1

Имеем далее:

Таким образом, точка С является точкой пересечения дуги сегмента, построенного на отрезке АХВ и вмещающего угол 2d —2 Z.KOL. Дальнейшее ясно.

№ 23

Найти общий вид целых чисел а и Ь таких, чтобы число я3 + Ь% делилось на а+Ь.

Решение. Наиболее простым является следующее решение. Имеем:

Число

будет целым числом, если

Отсюда

Полагая Ь равным целому числу, а п — равным делителю числа 2Ь2, получим искомую пару чисел. Для а и b могут быть найдены и другие выражения. Пример неправильного ответа:

Подставляя вместо тип целые числа, мы не сможем получить все без исключения решения задачи. Например, мы не сможем получить решения а = 18 и 6=г6, так как системы

не имеют целочисленных решений.

№ 24

Доказать, что число вида 14я2 — 1 не может быть точным квадратом ни при каком целом значении п.

Решение. Любое целое число может быть представлено в одном из следующих видов:

(п — целое число). Следовательно, квадрат любого целого числа имеет один из следующих видов: 7/z+l; 7пх — 3; 7/zj + 2; 7 nt (п\ — целое число). Так как число 14м3—1 имеет вид 7azj — 1, то оно, следовательно, не может быть квадратом целого числа.

№ 25

Решить уравнение:

(6х + 5)2. (3* + 2). (х +1) в 35.

Решение. Перепишем это уравнение следующим образом:

Полагаем:

ßx + 5=y. Тогда 6jc-(-4=3/—1 и6х + 6=у+\ Данное уравнение примет вид:

у2 Q,2_ 1) = 420.

Дальнейшее ясно.

№ 26

Доказать, что числа

48, 4488, 444 888,... могут быть представлены в виде произведения двух смежных четных чисел.

Решение. Пусть п — натуральное число.

Имеем:

№ 27

Найти четырехзначное число, удовлетворяющее следующим условиям:

1) последние три цифры его составляют арифметическую прогрессию;

2) если искомое число написать в обратном порядке цифр, то получится число на 360 меньше искомого.

Решение. Пусть число xyzt = искомое. Имеем:

xyzt — /гул: =360.

Отсюда:

Это дает нам: Но тогда Далее: или

Это дает нам: Так как то

Искомое число равно 1951.

№ 28

Доказать, что если стороны треугольника выражаются тремя последовательными числами, то между радиусами описанного и вписанного кругов существует соотношение:

Решение. Пусть стороны треугольника выражены числами:

Имеем:

Отсюда:

Отсюда:

№ 29

Тангенсы углов треугольника относятся, как 1:2:3. Найти отношения противолежащих сторон.

Решение. Если А, В, С — углы треугольника, то

Отсюда легко находим, что

Тогда

Обозначая стороны треугольника соответственно через а, Ь, с, получим:

№ 30

Построить прямоугольный треугольник по данной гипотенузе и биссектрисе прямого угла.

Эта задача представляет собой частный случай задачи Паппа: «На биссекторе угла дана точка. Через эту точку провести прямую, дающую в угле отрезок определенной длины». Решение задачи Паппа и некоторые сведения об ее авторе можно найти в книге И. И. Александрова «Сборник геометрических задач на построение» (изд. XVIII стр. 126, задача 7, и стр. 173 — 174).

Решение. Данная задача может быть решена следующим образом. Пусть в треугольнике ABC угол С — прямой. Опишем около этого треугольника окружность и проведем диаметр KL перпендикулярно к гипотенузе AB (черт. 2).

Соединим точку С с точкой L и с точкой К. Обозначим через D точку пересечения отрезков КС и AB. Так как около четырехугольника DOLC можно описать окружность, то KC-KD = KL-KO.

Полагаем

КС = х% DC = m, AB — KL — а.

Отрезки m и а известны. Имеем:

Отсюда получим:

Отрезок КС можно легко построить. Теперь легко построить треугольник KCL, а затем и треугольник АСВ.

№ 31

Даны две точки А и В по одну сторону от данной прямой KL и одна точка С по другую сторону от этой прямой. Найти точки пересечения данной прямой с окружностью, проходящей через данные три точки А, В, С, если центр этой окружности недоступен.

В условии задачи предполагается, что построение надо выполнить на плане данной местности, причем центр окружности находится вне плана. Общий способ решения подобного рода задач приведен в книге И. И. Александрова «Сборник геометрических задач на построение» (изд. XVIII, Прибавление, стр. 105 — 155).

Решение. Приведем решение, принадлежащее В. Демчинскому. Пусть точки M и N— искомые

Черт. 2

(черт. 3). Обозначим через S и Т соответственно точки пересечения прямых АС ВС с прямой KL. Полагаем:

Задача будет решена, если удастся построить отрезки X и у.

Имеем:

Отсюда легко получаем следующую выводную систему:

Полагая

получим:

Черт. 3

ЗАДАЧИ

(Срок присылки решений 15 декабря)

67. Из двух углов треугольника один в два раза больше другого. Найти стороны треугольника, зная, что они выражены целыми числами.

Г. Ахвердов (Ленинград)

68. Уничтожить иррациональность в знаменателе дроби

Г. Ахвердов (Ленинград)

69. Плоские углы трехгранного угла равны соответственно а, ß, 7. Найти линейные углы двугранных углов.

А. Кусаков (Москва)

70. Найти четырехзначное число xyzt , которое является точным квадратом, если известно, что

x=y + z, x + z=\0t.

M. Лейбман (Свердловская обл.)

71. Три меньших угла выпуклого многоугольника равны соответственно 60°, 70°, 80°, остальные образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной 2°. Сколько вершин имеет многоугольник?

Л. Лоповок (Проскуров)

72. Стороны основания прямой треугольной призмы равны соответственно 6 см, 8 см, 4 Y6 см. Через вершину большего угла основания проведено сечение призмы, имеющее форму равностороннего треугольника. Найти периметр сечения.

Л. Лоповок

73. Построить треугольник по медиане и радиусам окружностей, описанных около треугольников, на которые данная медиана разбивает искомый треугольник.

П. Нечаев (Черниговская обл.)

74. Построить треугольник по стороне, противоположному углу и медиане одной из двух других сторон.

И. Поляков (Москва)

75. Доказать, что число р2 — 1 имеет своим делителем число 24, если р простое число и />>5.

В. Саннинский (Ворошиловград)

76. Для того чтобы треугольник со сторонами а, Ь, с был прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы имело место соотношение

где и — соответственно биссектрисы углов А и В.

Г. Саркисьян (Москва)

77. Найти трехзначное число, обладающее следующим свойством: любая циклическая перестановка цифр этого числа дает простое число.

С. Синакевич (Ленинград)

78. При каких значениях х функция

принимает наибольшее и наименьшее значение?

С. Синакевич

79. Решить уравнение:

С. Синакевич

80. Если треугольник А^ Вх Сх является ортогональной проекцией на основание правильной четырехугольной пирамиды треугольника ABC, расположенного на одной из боковых граней этой пирамиды,

а треугольник А2 В2 С2 является ортогональной проекцией треугольника А\ Вх С\ на другую боковую грань, то Д Л3 В2 С8 оэ /\АВС. Доказать.

X. Хамзин (Стерлитамак)

81. Сколько существует уравнений вида х2 — рх— — q = 0 (р и <7—натуральные числа), положительный корень которых меньше данного натурального числа ni X. Хамзин

82. Дан угол и на одной из его сторон даны две точки А и В. На другой стороне угла найти такую точку С, чтобы угол АСВ достигал максимума.

П. Эрдниев (Алтай)

83. Для функции

показать, что

Э. Ясиновый (Куйбышев)

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 2 ЗА 1951 г.

Р. Абдульманов (Уральск) 19, 22, 23, 25, 27, 28, 29; А. Аббасова (Азербайджанская ССР) 20, 25; A. Аббасов (Азербайджанская ССР) 19; К. Е. Агринский (Москва) 19, 26—29; В. Азаров (Воронежская обл.) 19, 21, 24, 25, 27, 28, 30, 31; Л. Акопян (Тбилиси) 19, 21, 22, 27, 28; Л. Алексеев (Сызрань) 18-22, 25, 27—31; Н. Алешко (Латвийская ССР) 17, 19, 25—27, 31; Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 19, 26, 28, 29; Я. Антонов (Ульяновская обл.) 19, 25, 30; С. Арсамаков (Алма-Ата) 19, 27, 29; Г, Ахвердов (Ленинград) 13—31; В. Ахметов (Татарская АССР) 19, 27—29; Л. Багарян (Абхазская АССР) 19, 20, 25—29; Р. Багдасаров (Туркменская ССР) 19, 20, 25, 27—29; И. Байнов (Московская обл.) 17, 19, 21, 22, 24-30; М. Байтальский (Одесса) 23, 24, 29; LU. Бакурадзе (Грузинская ССР) 19, 25-29; И. Балахнин (Сталинградская обл.) 19, 27, 28; Я. Балев (Болгария) 18—22, 25—30; Л. Бауэр (Мариинск) 17—22, 24-31; И. Белоусов (Калинин) 19, 24, 31; Р. Беляцкина (Аягуз) 17—21, 23-29, 31; И. Бердичевский (Ростовская обл.) 17, 19, 24—28; Г. Береславский (Сталинабад) 19, 25; С. Берколайко и B. Гелеревич (Харьков) 17, 19, 21, 23—28; С. Бернштейн (Киев) 18, 19, 21, 24, 25—30; В. Бешкарев (Горький) 17—31; Е. Боков (Краснодарский край) 17, 19-22, 24-31; Н. Бокучава (Тбилиси) 19, 25-—28; Е. Бугулов (Дзауджикау) 17—22, 24-31; Н. Будков (Рязанская обл.) 25,27,28,30; Б. Вайнман (Киев) 19-21, 24, 25, 27-30; Е. Ванновская (Тамбов) 19—22, 25, 27—29; В. Варганов (Москва) 19, 21—23, 25, 28, 30; С. Вашакмадзе (Тбилиси) 19, 26-—29; В. Ветров (Улан-Удэ) 19, 20, 22, 25-28, ЗЭ; И. Вилявин (Астрахань) 29; Л. Владимиров (Ялта) 18—30; Н. Васканян (Баку) 19, 24—31; Л. Гаас (Караганда) 19, 21, 22, 25—27, 29, 30; Л. Вазова (Кабардинская АССР) 27, 30; И. Гапонов (Воронежская обл.) 19—22, 24—31; Л. Гаранин (Казань) 19, 21,22,25—27, 29; Ш. Гасанзаде (Азербайджанская ССР) 18; Ю. Герасимов (Абакан) 17-21, 2^—26, 29; В. Глазков (Чернигов) 17, 19, 24—30; И. Глотов (Мордовская АССР) 19, 24, 27; Г. Голянд (Калужская обл.) 21, 26—30; Л. Горбачева (Рязанская обл.) 17, 25, 26; В. Горбушее (Тетюши) 19, 25, 28; К. Горев (Горьковская обл.) 17—31; К. Гороян (Армянская ССР) 19, 25; Т. Горчинский (Каменец-Подольская обл.) 19, 21, 25, 27—31; М. Готлер (Вильнюс) 17-21, 24-31; И. Гохман (Одесса) 27, 28; Л. Григорян (Ереван) 19, 25, 27, 28; Г. Гуджабидзе (Тбилиси) 19, 25—27; Э. Гузовский (Тула) 17, 20—22, 24, 25, 27—31 ; Л. Гьонов (Болгария) 22, 28—31 ; Б. Давыдкин (Уфа) 19, 25, 28; Л. Дейнега (Винницкая обл.) 17—20, 22—30; В. Демянинский (Ровно) 17— —3.1 ; Ш. Джабраилов (Азербайджанская ССР) 19, 20, 25, 27—29; Н. Джаноян (Пятигорск) 19, 25; М. Дже маку лов (Кисловодск) 27, 28; Ф. Дрезинь (Латвийская ССР) 18, 19, 21, 24—31; В. Дуболарь (Молдавская ССР) 19, 25, 27; Б. Дудолькевич (Киевская обл.) 19, 21, 26—28; Л. Дупло (Каменец-Подольская обл.) 19, 21, 22, 25—31; С. Ельфимов (Московская обл.) 17—22, 24—31; Б. Жиенбаев (Казахская ССР) 19; Л. Загорулько (Прилуки) 22, 27; М. Зайдеман (Молдавская ССР) 18, 19, 22, 25, 27, 30; Л. Зайкин (Грозненская обл.) 22, 30, 31; К. Зандер (Калининская обл.) 17—20, 24—29; И. Зеров (Брянская обл.) 19, 25—27; М. Зискинд (Винница) 19, 21, 22, 24—30; Д. Изаак (Чкаловская обл.) 19, 26-30; Ю. Изосимов (Астрахань) 17, 19—22, 24— —29; Л. Израилевич (Омск) 17, 19,21, 24—29; 3* Икрамов (Казахская ССР) 19; В. Иножарский (Орел) 17—22, 24-31; Ж. Кабинетов (Тула) 17—22, 25-31; Л. Камышев (Московская обл.) 17—22,24—31 ; В. Конопленко (Измаильская обл.) 22; И. Каплан (Ленинградская обл.) 18, 19, 27,29; Г. Капралов (Горький) 17—22, 24—31; В. Карнацевич (Тюмень) 19, 21, 24—31; Ф. Карпиловский (Киевская обл.) 17,19— —21, 24—30; Б. Кашин (Вышний Волочек) 17, 19— —26, 28, 29; М. Кекелия (Грузинская ССР) 17, 19— —22, 24—28, 30, 31; Я. Китайгородский (Москва) 17—19, 21, 25—30; Д. Клименченко (Каменец-Подольская обл.) 19, 20, 25, 27, 28; И. Кожухар (Винницкая обл.) 18, 19, 25—30; С. Колесник (Харьков) 17—21, 24—31; Г. Копылов (Днепродзержинск) 17— —22, 24—31; Е. Коршунов (Владимирская обл.) 28, 29; И. Костоянский (Смоленская обл.) 19, 25; М. Крайзман (Львов) 19, 21, 25, 27—30; Я. Краснов (Полоцкая обл.) 17—22, 25—31; Л. Крюков (Чистополь) 18—21, 25—29, 31; И. Кугай (Новоград-Волынский) 19, 20, 22, 25, 27, 28; В. Кузнецов (Архангельск) 17—31; В. Кунахович (Красноярский край) 17—20, 26—28, 30, 31; Л. Кутепов (Ворошиловградская обл.) 17, 19-21, 24-31; Я. Кухарев (Уфа) 19, 20, 22, 27-29; Ф. Ландер (Одесса) 19, 21, 24, 26-—29; С. Лебензон (Московская обл.) 17—22, 24—31; М. Лейбман (Свердловская обл.) 17, 19, 21—31; В. Логунов (Омская обл.) 19, 27—30; Л. Лоповок (Каменец-Подольская обл.) 17—22, 24—31; Л. Лордкипанидзе (Тбилиси) 17—22,24—31 ; М. Ляндерс (Горький) 17—19, 21, 24, 25, 27-31; М. Ляпин (Казань) 17—21, 24—31; Э. Магарам (Южно-Сахалинск) 17, 20, 21, 26-28; Л. Магеро (Витебская обл.) 19, 20, 22, 24—31; Л. Макаревич (Прилуки) 19; Л. Малюгин (Горький) 17—22, 24—31; М. Манукян (Казах-

екая ССР) 19, 25; Д. Маркарян (Баку) 19, 25, 28; Я. Мартьянов (Алтайский край) 19; Т. Марченко (Харьков) 19, 25, 27, 28; Математический кружок Суворовского военного училища (Казань) 19, 21, 25, 28—30; Математический кружок Житомирского Педагогического института 17—20, 22—31 ; Математический кружок Гродненского педагогического училища 17—22, 24—31 ; Математический кружок Лукояновского педагогического училища 19, 24—28, 31; М. Мебзевишвили (Грузинская ССР) 19, 25—29; Л.Медведев (Себряково) 19, 20, 22, 24—31; В. Меладзе 19, 25—29; X. Меликов (Северо-Осетинская АССР) 17, 19, 21, 22, 26-29; М. Месяц (Житомир) 19—21, 24—27, 29—31; Б. Мирау (Алма-Атинская обл.) 17, 19—22, 24—31 ; К. Михельсон (Москва) 26, 27; В. Мишутин (Марийская АССР) 19, 25; Г. Михальков (Уфа) 19, 20,25, 27—31 ; Г. Многолетний (Брянская обл.) 19, 20, 22, 25, 27—30; М. Моисеев (Горький) 28, 29; Е. Мокрушин (Башкирская АССР) 17, 19—22, 24, 26-31; И. Молибога (Верхний) 17, 19,22,24—31 ; Л. Мурклинский (Дагестанская АССР) 17, 19, 21, 25, 27—29; Н. Муртазина (Бугульма) 19, 20, 26; Б. Мусанов (Благовещенск) 19, 25; М. Мустафаев (Азербайджанская ССР) 19, 25; Л. Муталинов (Азербайджанская ССР) 19, 25, 27; Т. Мышакова (Одесса) 17—22, 24—31; Н. Найдин (Инза) 17, 19—22, 25—29; И. Ожаровский (Николаевская обл.) 19, 25, 27; И. Павлов (Канаш) 17, 19, 21, 25 — —31; Ф. Певишев (Шилово) 17—22, 24—31; М. Пилютик (Московская обл.) 17—31 ; И. Писаренко (Молдавская ССР) 17, 19, 25—29; Г. Пискарев (Прозорово) 17-31; О. Пищик (Злочев) 17—21, 23-31; И. Половый (Ворошиловградская обл.) 19, 25, 27,29; Г. Полознев (Томск) 30; Д. Польшин (Москва) 19, 26; Ю. Попов (Ленинград) 19, 25, 28; Я. Постников (Ряжск) 18, 19, 21, 22, 24—31; Г. Пушкаревский (Башкирская АССР) 17, 25, 27, 28; Е. Радченко (Курская обл.) 17, 19, 21, 24,26-29; П. Резвое (Суздаль) 19, 21, 25, 27—30; Л. Рейзиньш (Рига) 17-31; И. Рейхман (Кустанайская обл.) 19, 20, 25—29; В. Розентуллер (Ленинград) 19, 25,27, 28; Я. Романчук (Харьковская обл.) 25, 27, 29; Я. Рубинштейн (Московская обл.) 19, 27—29; Я. Рубцов (Смирново) 19, 21, 22, 25, 27—29, 31; Г. Рустамов (Баку) 19; В. К. Рябченко (Донбасс) 19,20,24—29; С. Садихов (Баку) 19, 25, 27, 28; Я. Саввин (Киров) 19, 25— -27; Ш. Савинов (Коми АССР) 21, 22, 26-28, 30; И. Сакоев (Чкаловская обл.) 19, 21, 24, 25, 27, 29, 30; Г. Сакович (Киев) 17—31; В. Севастьянов (Рудич-Камышинская) 17—21, 24—31; Ф. Сергиенко (Запорожье) 17—31; М. Сиверивер (Молдавская ССР) 19, 27, 31; В. Скворцов (Ленинградская обл.) 19; С. Скрылев (Красноярский край) 19; Я. Слепухин (Ворошиловград) 17, 19—22, 24-31; С. Смоляк Москва) 17, 19, 21, 24, 26—28, 31; Г. Стамболцян (Ленинакан) 17—22, 24—31; Я. Старченко (Боково-Антрацит)22, 27, 30; В. Стасюк (Стрый) 17—22,24— —31 ; Э. Стрелецкий (Гродно) 17—31 ; Я. Строгальщиков (Вологодская обл.) 19, 22, 26—28, 30, 31; В. Студеновский (Мордовская АССР) 20—24,27—29, 31; Я. Титов (Казань) 17—31; Я. Титов (Тюмень) 17, 19—21, 24—30; Ю. Ткаченко (Винницкая обл.) 19, 22, 27, 29, 30; Я. Томразов (Киев) 17, 19 21, 24—31; М. Торбик (Брянская обл.) 17—31; Л. Тралмак (Ленинград) 17—31; Б. Уразбаев (Алма-Ата) 24, 26; К. Устинова (Лениногорск) 17, 19, 21, 26— —29, 31; В. Утемов (Красноуфимск) 18-21,23—31; Е. Файнштейн (Кишенев) 17—22, 24—31; Ф. Фасу лани (Грозный) 19, 22, 25, 27, 28; М. Федорсюк (Проскуров) 17—31; М. Федотов (Казань) 17—22, 24—31; Л. Фильщинский (Кременчуг) 19, 25—29; Л. Хавтаси (Батуми) 19, 25, 27, 28, 31; Г. Хачатрян (Армянская ССР) 18, 19, 24—29; Л. Хачикян (Баку) 19, 25, 28; Я. Худяков (Воронежская обл.) 17, 19, 24-31; Т. Хуторян (Одесса) 17, 19, 21, 22, 24—27, 29; Б. Цыгуля (Молдавская ССР) 19, 21,26-—29, 31; А. Цимбалов (Москва) 25, 27; Я. Чемисов (Дмитровск) 17—21, 26—30; В. Ченижный (Днепропетровск) 17, 19, 21, 24, 27—30; Г. Чепкасов (Нефтегорск) 17, 19—22, 24—30; М. Червоный (Геленджик) 17—22, 24—31; Я. Чернов (Измаильская обл.) 17—31; К. Чесноков (Проскуров) 17, 19-21,25—31; Я. Чучукин (Костромская обл.) 17—22, 24—31; Л. Шагинян (Ереван) 19, 25, 27, 30; М. Шатохин (Орел) 17-31; Л. Шевелев (Орел) 17—22,24—31; В. Шевченко (Алтайский край) 18,19,26—31 ; Я. Шевченко (Львов) 20,25—29; Я. Шерман (Астрахань) 19, 21, 22, 26—29; Е. Шерсткин (Брянская обл.) 17, 19—22, 25-31; Я. Шилин (Таджикская ССР) 19; Е. Шнайдер (Приморский край) 19, 20, 25, 27—30; 3. Штутман (Винница) 17—31; Г. Щелоков (Ворошиловградская обл.) 17,19-21, 25, 27—230; П. Эрдниев (Алтай) 17, 19, 21, 22, 24, 26—31; Э. Ясиновый (Куйбышев) 17-20,21,24-31,

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ СВОДКА ПО № 2-51 г.

М. Ахматов (Свердловская обл.) 17, 19, 21, 25, 27, 29; М. Байтальский (Одесса) 19; Я. Вишняков (Витебская обл.) 19, 25; Ш. Джалагания (Батуми) 22, 25—28; Я. Димовский (Болгария) 19, 21, 25—29; Г. Кандаян (Красноярский край) 19, 25, 27; М. Ким (Кабардинская АССР) 17, 19, 21, 26—28; Г. Лебедев (Обоянь) 20, 26-28; Л. Липин (Горький) 28, 29; Ф. Личманенко (Полтавская обл.) 19, 24—28; Л. Мильштейн (Умань) 19, 28; К. Рябенко (Донбасс) 17, 21, 23; С. Садиков (Баку) 29; Я. Сергачев (Малоярославец) 19, 26—28, 30; Л. Сошников (Клайпеда) 19, 25; М. Куторян (Одесса) 28, 31; Я. Чернов (Горький) 28, 29; X. Шехтов (Болгария) 19, 21, 27, 28.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

A. С. Пархоменко — Что такое линия?......................... 1

МЕТОДИКА

X. В. Абугова — Задачи к первым разделам стереометрии............... 19

Г. А. Назаревский — О развитии пространственного представления на уроках геометрии . 37

Т. А. Песков — Об изучении функций в средней школе................. 52

К. С. Барыбин — Арифметический корень в курсе VIII класса............. 56

ИЗ ОПЫТА

Н. И. Кашин — Об одном счетном приборе....................... 59

И. Г. Альтшулер — Сегмент, вмещающий данный угол................. 62

М. Г. Васильев — Простейшие вычисления с приближенными величинами в курсе семилетней школы................................... 63

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ - МАТЕМАТИКИ

B. Л. Минковский — Василий Иванович Обреимов................... 68

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Г. М. Карпенко — О книге Б. В. Кутузова «Геометрия» (пособие для педагогических и учительских институтов)............................. 72

М. Шебаршин — Средняя школа и вузы (о книге П. С. Моденова «Сборник задач по математике»................................... 74

К. Е. Агринский — О «Сборнике конкурсных задач по математике» П. С. Моденова ... 78

C. А. Дахия — Обзор научно-популярной литературы по математике.......... 79

ХРОНИКА

И. И. Неганов — Математическая олимпиада в г. Халтурине.............. 83

А. С. Кованько — Математическая олимпиада в г. Львове............... 85

С. В. Филичев — Вторая городская олимпиада по арифметике............. 86

Научно-практическая конференция Московских учителей................ 88

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 2 1951 года..................... 89

Задачи........................................ 93

Сводка решений задач................................. 94

Редакционная коллегия:

Редактор А. Н. Барсуков. Зам. редактора С. И. Новоселов, Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Ф. М. Мидлер

Технический редактор В. С. Якунина. Корректор 3. Ф. Федорова.

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6. Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР.

Сдано в производство 4 VII 1951 г. Подписано к печати 25/VIII 1951 г. Учетно-изд. л. 11,73.

А05081 Заказ 445 Тираж 50 000 экз.

Печ. зн. в п. л. 72 000. Цена 4 р. 50 к. Бумага 82 X Ю8^/Зб = 3 бумажн. л.—9,84 п. л.

13-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Москва, Гарднеровский пер., 1а.