МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

4

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1951

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 4

ИОЛЬ-АВГУСТ 1951 г.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

СУММИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КОНЕЧНЫХ РЯДОВ

С. Е. ЛЯПИН (Ленинград)

Если внимательно просмотреть курс элементарной алгебры, то легко заметить, что некоторые главы, как-то: прогрессии, теории соединений и т. д.—не связаны со всем остальным материалом. Естественно возникает мысль, а нельзя ли все эти вопросы вовсе исключить из программы.

Довод, что прогрессии служат прекрасным материалом для составления и решения уравнений, не убедителен, ибо можно указать много вопросов, которые не уступают в этом отношении прогрессиям и в то же время не излагаются в средней школе. Утверждение, что прогрессии необходимы для изучения логарифмов, несколько устарело, ибо в настоящее время логарифмы излагаются с функциональной точки зрения.

Ранее прогрессии составляли часть учения о рядах. Когда ряды были исключены из программы, то прогрессии потеряли свое значение.

Вопросу о рядах русские математики в XVIII и XIX вв. уделяли много внимания и достигли значительных результатов. Нам кажется, что следует учащихся, особенно интересующихся математикой, познакомить с тем, что было сделано нашими математиками.

Укажем еще на одно обстоятельство. Внеклассная работа по математике в средней школе приняла несколько односторонний характер.

Излюбленными формами ее являются задачи-загадки, популярные доклады (история развития числа, знаменитые задачи древности и т. д.), биографии отдельных математиков и т. д. Мы ни в коем случае не отрицаем значения всех перечисленных вопросов, но все же считаем, что ограничиться только таким материалом нельзя. Нам кажется, что следует предлагать отдельным учащимся для самостоятельного изучения некоторые вопросы. Предлагаемый материал должен быть по силам учащимся, интересен и давать возможность самостоятельно открывать некоторые истины, хотя уже открытые ранее. Поэтому мы позволили себе привести краткую теорию суммирования рядов, ибо, по нашему мнению, она удовлетворяет всем вышеперечисленным требованиям. Мы думаем, что учащихся следует познакомить только с основными идеями, а часть вопросов предложить «открыть» им самим. Весь ниже приводимый материал вполне по силам ученикам, которые питают особую склонность к математике.

Познакомимся с фигурными и многоугольными числами.

§ 1. Многоугольные числа

Рассмотрим арифметические прогрессии, у которых первый член равен единице, а разность— какое-либо натуральное число.

При d= \ будем иметь прогрессию:

1,2,3,4,5..., (1)

т. е. натуральный ряд. Общий член этой прогрессии ап = п.

Сумма п первых членов равна:

Давая здесь п значения 1, 2, 3..., получим ряд:

1,3,6,10,15... (2)

Числам ряда (2) можно дать геометрическое истолкование. Построим правильный треуголь-

ник со стороной, равной 1. Примем одну из его вершин за центр подобия и будем строить треугольники со сторонами, равными 2, 3, 4..., перспективно подобные данному. Во всех вершинах полученных треугольников и на их сторонах, на расстояниях, равных 1, разместим какие-либо предметы, например шишки или просто кружки (черт. 1).

Легко видеть, что на первом из этих треугольников разместится 3 кружка, на втором 6, иа третьем 10 и т. д. Подсчет кружков, расположенных на этих треугольниках, дает последовательно числа ряда (2). Поэтому эти числа и называются треугольными числами.

В дальнейшем будем обозначать /г-ое число ряда (2) через Р^. Таким образом:

Общий /г-ый член ряда тогда будет:

(3)

Пусть d = 2. Тогда имеем прогрессию:

(4)

Общий член этой прогрессии

Сумма п первых членов равна:

При п=\9 2, 3... получаем ряд:

1, 4, 9, 16, 25... (5)

Аналогично предыдущему построим перспективно подобные квадраты со сторонами, равными 1, 2, 3..., расположим кружки в их вершинах и на сторонах, иа расстояниях, равных 1 (черт. 2). Подсчет кружков в каждом квадрате дает последовательно числа ряда (5). Они и называются четырехугольными, или квадратными числами. Согласно нашему обозначению будем иметь:

Вообще:

(6)

Совершенно таким же путем при d = 3 мы из прогрессии

1,4,7,10... (7)

получим пятиугольные числа (черт. 3):

1,5,12,22... (8)

При rf = 4, 5, 6... получим шестиугольные, семиугольные и т. д. числа. Все они носят общее название многоугольных чисел. Каждое из А-угольных чисел может быть изображено с помощью кружков, расположенных на сторонах и внутри соответствующего А-угольника.

Многоугольные числа были известны еще в глубокой древности. Есть основания предполагать, что простейшие из них — треугольные— были известны еще пифагорейцам (V—IV вв. до нашей эры). Евклид (III—II вв. до нашей эры) в 8-й книге своих «Начал» рассматривает «квадратные» числа. Общее определение А-угольного числа дано во II в. до нашей эры Гипсиклом Александрийским. Он определяет ^-угольное число как сумму членов арифметической прогрессии, первый член которой равен 1, а разность равна k — 2. Как видим, оно полностью совпадает с современным определением этих чисел.

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

В 1637 г. Фермат открыл замечательную теорему: «Всякое натуральное число есть или треугольное, или сумма двух или трех треугольных чисел; всякое натуральное число есть или квадрат, или сумма двух, трех или четырех квадратных чисел; всякое натуральное число есть или пятиугольное, или сумма двух, трех, четырех или пяти пятиугольных чисел и т. д.; вообще, всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы не более чем k Ä-угольных чисел».

Для некоторых частных значений k эта теорема была доказана Эйлером и Лагранжем. Общее доказательство было дано Коши в 1815 г.

На математическом кружке можно предложить учащимся доказать относительно многоугольных чисел ряд положений, вроде следующих:

1. Всякое утроенное пятиугольное число равно треугольному, номер которого равен утроенному номеру пятиугольного, уменьшенному на 1, т. е.

Так, в частности:

2. Всякое увосьмеренное треугольное число, увеличенное на 1 дает точный квадрат:

3. Никакое треугольное число не может оканчиваться цифрами 2, 4f 7, 9 (так как тогда число 8P(f)+ 1 оканчивалось бы на 3 или 7, чего быть не может — см. предыдущую задачу).

4. Если к пятиугольному числу, умноженному на 24, прибавить единицу, то получится квадрат числа, равного ушестеренному номеру пятиугольного, уменьшенному на 1 :

Так, в частности:

5. Никакое пятиугольное число не может оканчиваться цифрами 3, 4, 8, 9.

6. Всякое шестиугольное число есть треугольное с нечетным номером.

2. Фигурные числа

Напишем бесконечный ряд, состоящий только из единиц

1,1,1,1,1... (1)

Сумма п первых членов этого ряда будет

очевидно:

При n=\t 2, 3... получим:

1,2,3,4,5..., (2)

т. е. натуральный ряд чисел.

Будем суммировать числа этого ряда. Получим ряд:

1,3,6,10... (3)

т. е. известные уже нам треугольные числа. Суммируя члены ряда (3), получим:

1, 4, 10, 20. . . (4)

Возьмем таблицу:

(5)

Все числа рядов (5) носят название фигурных чисел: числа натурального ряда 1, 2, 3... называются фигурными числами первого порядка (в соответствии с этим числа ряда, состоящего из единиц, можно условиться назвать фигурными числами нулевого порядка).

Числа 1, 3, 6, 10..., т. е. треугольные числа, будут тогда фигурными числами 2-го порядка, числа 1, 4, 10.. .—фигурными числами 3-го порядка и т. д.

Дадим фигурным числам 2-го порядка геометрическое истолкование, немного иное, чем в § 1. Возьмем шары одинакового радиуса и будем располагать их в виде треугольника так, что наверху будет лежать 1 шар, поа ним 2, затем 3, 4 и т. д. (черт. 4).

Подсчет шаров в каждом треугольнике будет давать последовательно треугольные числа, т. е. фигурные числа 2-го порядка.

Будем теперь располагать шары в виде правильной треугольной пирамиды (тетраэдра) так, что наверху будет 1 шар, нод ним 3 шара, затем 6, 10 и т. д. (черт. 5). Подсчет числа

Черт. 4

шаров в каждой пирамиде будет давать последовательно фигурные числа 4-го порядка. Поэтому фигурные числа 4-го порядка называются также пирамидальными, или тетраэдрическими.

Будем обозначать /г-ое фигурное число £-го порядка символом F\^\ так что, например:

Выведем формулу для п-то члена £-го порядка, т. е. для

Рассматривая ряды (5), получим:

(6)

Докажем, что вообще:

(7)

Доказательство проведем методом полной индукции.

Пусть формула (7) верна. Докажем, что в таком случае она будет верна и для k+\, т. е. будем иметь:

(8)

Из самого закона составления фигурных чисел видим, что л-ый член любого ряда равен сумме п первых членов предыдущего ряда.

Следовательно, мы можем написать:

(9)

или, так как для порядка k по предположению имеет место (7):

(10)

Но в теории сочетаний известно соотношение:

(11)

и значит:

Но формула (7) верна для я = 1, k = 2. Следовательно, она верна и для k = 3y затем для k = 4 и т. д., т. е. верна для любого натурального k.

Примечание. Основываясь на тождестве С^ = Сл~т, можно формулу (11) представить и в таком виде:

Таким образом, я-ое фигурное число k-ro порядка равно числу сочетаний из п+ k— 1 по ft.

Легко видеть, что если таблицу (5) повернем по движению часовой стрелки на 45°, то получим известный треугольник Паскаля:

и т. д.

Фигурные числа тоже известны очень давно. Так, треугольные пирамидальные числа рассматривал Никомах (около 100 года до нашей эры) в своем сочинении «Введение в изучение арифметики».

Легко вывести формулу для суммы п первых фигурных чисел к-го порядка. Действительно, согласно закону составления фигурных чисел, сумма п членов чисел k-ro порядка будет я-ым числом k+ 1 -порядка, значит:

(12)

Докажем для фигурных чисел следующее соотношение:

(13)

т. е. л+1-ое число k-vo порядка равно 1-му числу л-го порядка (в выражении f*^. буквы кип могут меняться местами). Действительно, по формуле (7) имеем:

но как известно,

что и доказывает соотношение (13).

§ 3. Арифметические ряды высших порядков

Возьмем последовательность чисел:

вычтем из каждого следующего числа ему предшествующее и обозначим эти разности через:

Числа #i, #2, #з, я4,... называются разностями первого порядка.

Возьмем разности первого порядка и вычтем снова из каждого числа ему предшествующее:

Вновь полученные числа называются разностями второго порядка.

Аналогично можно получить разности третьего и т. д. порядка.

Определение. Если первые разности равны между собой, то говорят, что числа

образуют арифметический ряд первого порядка, т. е. арифметическую прогрессию. Если вторые разности равны между собою, то данные числа составляют арифметический ряд второго порядка, и вообще арифметическим рядом т-го порядка называется ряд чисел, для которого разности /я-го порядка равны между собою. Ряд чисел

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...

есть арифметический ряд 1-го порядка, ибо первые разности равны между собою:

1, 1, 1, 1, 1, п...

Числа

1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50,... составляют арифметический ряд 2-го порядка, ибо вторые разности равны между собою:

Числа 1,4, 10, 20, 35, 56, 84,... составляют арифметический ряд 3-го порядка, ибо только третьи разности равны между собою. Действительно:

Заметим, что многоугольные числа суть арифметические ряды 2-го порядка.

Для треугольных чисел имеем:

разности 1-го порядка,

разности 2-го порядка.

Для квадратных чисел:

разности 1-го порядка,

разности 2-го порядка

Нетрудно показать, что фигурные числа А-го порядка представляют собой арифметический ряд k-TQ порядка.

Выведем теперь формулу для я-го члена арифметического ряда £-го порядка (мы приведем вывод, данный в алгебре Эйлера).

Возьмем арифметический ряд &-го порядка:

Обозначим первые разности через

вторые разности через третьи разности через

£-ые разности через

Согласно определению имеем:

Следовательно,

Ряд, находящийся в правой части равенства, будет конечный, ибо по условию разности k-то порядка будут постоянны, и, следовательно, все следующие разности будут равны 0.

Выведем теперь формулу для суммы п членов арифметического ряда k-ro порядка.

Мы имеем:

и вообще:

Приведем несколько примеров.

1. Найти и-й член и сумму п членов натурального ряда:

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

В данном случае А} = 1, = 1, af] = 0 , следовательно,

2. Найти сумму п треугольных чисел:

1, 3, 6, 10, 15, 21,... В данном случае имеем:

Следовательно, я-ый член будет равняться:

а сумма

3. Найти сумму п квадратов натуральных чисел, т. е. квадратных чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36,...

В данном случае имеем:

Al=\; а?> = 3; af> = 2; af>=0. Следовательно,

§ 4. Сумма m-х степеней п первых натуральных чисел

Возьмем п членов натурального ряда. Обозначим сумму их через

Напишем эти числа в обратном порядке:

Сложим почленно эти выражения:

Отсюда:

Приведем другой способ нахождения данной суммы, который будем применять для нахождения суммы квадратов, кубов и т. д. натуральных чисел.

Возьмем формулу и положим X равным Тогда получим:

Сложив данные равенства и опустив в обеих частях одинаковые члены, получим:

откуда:

(1)

Найдем сумму квадратов п натуральных чисел:

* Применить метод полной индукции.

Возьмем формулу

и будем последовательно давать х значения 1, 2, 3,...,».

Тогда получим:

Сложив эти равенства, получим:

но

Сделав подстановку, после упрощений, получим:

(2)

Выведем сумму кубов п первых натуральных чисел:

В данном случае воспользуемся формулой:

Поступая так же, как и в предыдущих случаях, найдем:

откуда:

Но

После подстановки и упрощений получим:

(3)

т. е. сумма кубов п первых натуральных чисел равна квадрату суммы п первых натуральных чисел.

Рассмотренный прием может быть применен и для нахождения суммы четвертых, пятых и т. д. степеней натуральных чисел. Выведем общую формулу для нахождения х степеней первых натуральных чисел:

где m и п — натуральные числа.

По формуле бинома Ньютона имеем:

Подставим вместо х последовательно числа 0, 1, 2,... л.

Сложим почленно эти равенства:

и введем сокращенные обозначения: Тогда получим:

(4)

Эта формула дает возможность последовательно вычислять Ът. При я = 1, 2, 3 получим формулы (1), (2), (3).

§ 5. Сумма т-х степеней членов арифметической прогрессии

Найдем сумму квадратов п членов арифметической прогрессии:

Мы имеем:

Возведем данные равенства в третью степень:

Сложим полученные равенства:

Введем сокращенные обозначения:

Тогда:

или:

Выразим сумму S2 через первый член, разность и число членов прогрессии. По определению имеем:

Следовательно,

Откуда:

Далее:

Подставляя эти значения в формулу для S2„ после несложных преобразований получим:

Если положить d — 1, а=1, то получим:

(формула уже известная).

Аналогично выводится формула

Выведем теперь формулу для суммы m степеней п членов арифметической прогрессии.

Мы имеем:

Складывая эти равенства, получим:

или: где

§ 6. Геометрические ряды

Определение. Геометрическим рядом называется ряд чисел, получаемых от почленного перемножения геометрической прогрессии на арифметический ряд определенного порядка.

Рассмотрим ряд:

(1)

Этот ряд получается от умножения геометрической прогрессии:

на арифметический ряд 1-го порядка, т. е. иа арифметическую прогрессию 1, 2, 3, 4,...

Найдем сумму п членов данного ряда

Помножим ряд (1) на а:

(2)

и вычтем из ряда (2) ряд (1):

или:

(1)

Возьмем теперь ряд:

(3)

Этот ряд составлен из геометрической прогрессии:

и ряда 2-го порядка:

Умножим ряд третий на а:

(4)

и вычтем из (4) ряда третий ряд:

(5)

Сумма в квадратных скобках известна, она равняется

следовательно,

Откуда :

Положим а = — 1, тогда получим ряд:

Сумма его равняется

Аналогичным способом находится и сумма п членов ряда:

который получается от почленного умножения членов следующих двух рядов:

Обозначим сумму п членов данного ряда через 5, тогда:

Следовательно,

(III)

члены которого получаются от почленного умножения членов следующих двух рядов:

Обозначим сумму искомого ряда через S. После простых преобразований получим:

(IV)

В заключение рассмотрим следующий ряд:

который получается от умножения членов следующих арифметических прогрессий:

Обозначим сумму п членов ряда через Sn, тогда :

т. е.

(V)

Пример 1. Найти сумму:

Решение. По формуле первой имеем:

Пример 2. Найти сумму:

Решение. В данном случае а = 2, п = 5. По формуле II имеем:

Пример 3. Найти сумму:

Решение. Для нахождения данной суммы применим формулу (III). В данном случае а =»1, rf —2, 0 = 3, д = 4.

Следовательно,

Пример 4. Найти сумму:

Решение. Применим формулу IV: а = 1, d = 3y л = 6

Пример 5. Найти сумму:

Решение. Члены данного ряда получаются от перемножения соответственных членов двух арифметических прогрессий:

Следовательно, для получения суммы 5 в формуле (V) необходимо положить я = 1, р = 2, b = 2y q = 3 и я = 6 получим:

Se = 447.

§ 7. Суммирование некоторых конечных рядов

I. Сумма ряда

где а — определенная цифра.

Напишем каждый член данного ряда в следующем виде:

1 член = а-1

2 член = а -10 -[- а

Сложим данные равенства почленно:

В каждой скобке мы имеем сумму членов геометрической прогрессии с знаменателем, равным 10, следовательно:

Пример. Найти сумму следующего ряда:

Решение. В данном случае а = 3, /1 = 6, следовательно:

II. Определить сумму п членов ряда

Решение.

Данная сумма может быть представлена как сумма квадратов и сумма кубов натуральных чисел :

III. Найти сумму всех парных произведений, какие можно составить из чисел 1, 2, 3,.. .т.

Решение. Известно, что

Возведем в квадрат данное равенство:

Но

отсюда :

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ НА НАИМЕНЬШИЕ МАКСИМУМЫ

(Элементы чебышевской проблематики как тема для школьного математического кружка)

С. А. ДАХИЯ (Харьков)

В решении задачи ознакомления учащихся средней школы с важнейшими достижениями отечественных творцов математической науки большая роль должна принадлежать школьному математическому кружку*.

Именно на кружковых занятиях можно достичь содержательного раскрытия научного вклада того или иного выдающегося русского ученого, которое является лучшим средством прочного закрепления в памяти и сознании учащихся роли русской науки. Правда, отсутствие у учащихся средней школы специальных математических знаний (особенно из области «высшей математики») иногда представляется непреодолимым препятствием к реализации последней цели. В таких случаях можно, однако, не стремясь к сообщению учащимся точной формулировки содержания математических открытий данного ученого, ограничиться ознакомлением их с направлением его творческой активности, с внесенной им в науку проблематикой. Нужно только, чтобы это ознакомление носило доступный для учащихся и в то же время содержательный характер и давало пищу математической самодеятельности учащихся.

В настоящей статье мы хотим конкретизировать эти общие положения на примере темы «Простейшие задачи на наименьшие максимумы», темы, входящей в чебышевскую проблематику и вместе с тем ближайшим образом связанной с программным материалом средней школы.

Изучение этой темы имеет целью подвести учащихся к основным понятиям теории наименее уклоняющихся от нуля полиномов Чебышева (и, вообще, познакомить их с чебышевской идеей наилучшего приближения функций).

Две задачи о погрешностях

Изучение темы можно начать с рассмотрения следующей простой задачи:

Задача 1. Пусть переменная величина х изменяется между постоянными границами а и Ь:

Всякое фиксированное число р., заключенное между теми же границами:

можно, вообще, считать средним значением величины X. Наибольшее значение абсолютной величины разности х — ц (при данном ja):

назовем уклонением переменной х от ее среднего значения**.

Спрашивается: как нужно выбрать число чтобы соответствующее ему уклонение L^. оказалось возможно меньшим?

Поставленная задача решается просто, если истолковать ее геометрически — с помощью числовой прямой (координатной оси). Наметив на числовой прямой ОХ точки а и b и некоторую лежащую между ними точку ц (черт. 1),

Черт. 1.

заметим, что величина выражения \х — изображает длину отрезка прямой с концами в точках \i и X (первая точка фиксируется, вторая занимает произвольное положение на отрезке [а, Ь]).

Поэтому наибольшее значение \х — ja | совпадает с длиной неменьшего из двух отрезков, на которые точка \i разбивает данный отрезок [а, Ь\ (на нашем чертеже это будет отрезок [[а, Ь\). Очевидно, далее, что неменьший из двух отрезков, получающихся разбиением данного отрезка с помощью «точки деления»:

x = \i

будет наименьшим тогда, когда точка it лежит в геометрическом центре отрезка [а, Ь], т. е. когда координата

* Сказанным мы отнюдь не хотим утверждать, что можно ограничиться одной кружковой работой в деле сообщения учащимся сведений из истории отечественной математики. Напротив, мы полагаем, что эти сведения должны составить органический элемент программ и учебников средней школы.

** Индекс X при символе max напоминает, что L\i есть наибольшее значение выражения \х— ц\ из всех его значений, получающихся при постановке всех возможных числовых значений х (число (х при этом считается постоянным). Индекс при L указывает на зависимость уклонения от того, каким выбрано число р..

Таким образом, среднее арифметическое чисел а и Ъ будет тем средним значением величины х, при котором получается минимальное уклонение переменной х от ее среднего значения*,

Величина этого минимального уклонения будет равна половине длины отрезка [а, Ь\,

Заметим, что в рассмотренной задаче можно было бы считать величину х не переменной, изменяющейся в границах от а до ô, а неизвестной, заключенной в тех же пределах. В этом случае число ja служит приближенным значением этой неизвестной, а уклонение L\i есть не что иное, как наибольшее значение абсолютной погрешности, совершаемой при замене X ее приближенным значением ja. Среднее арифметическое границ а и b будет, следовательно, тем приближенным значением величины X, которому соответствует минимальное значение максимума абсолютной погрешности.

Последнее истолкование задачи 1 подсказывает постановку следующей задачи:

Задача 2. Пусть х и ja имеют тот же смысл, что и в задаче 1, и пусть а>0. Вместо требования обратить в минимум максимум абсолютной погрешности \х — ц\ выставим аналогичное требование для максимума относительной погрешности, совершаемой при замене величины х ее приближенным значением [X.

Так как эта относительная погрешность изображается выражением , то задача сводится к нахождению такого значения ja, при котором max J-S-i имеет наименьшее значение.

Считая ц фиксированным, изучим изменение функции F(x) = ! х~-I при изменении х от х = а до х—Ь. Пока х не превосходит ja:

имеем:

Когда X превосходит ц:«

имеем:

Функция --1 на отрезке [a, ja] убывает, функция 1--— на отрезке [ja, b] возрастает.

Отсюда следует, что функция F(x) должна принимать наибольшее значение в одном из концов отрезка [а, Ь], т. е. либо при лг = а, либо при х = Ь (возможность принятия функцией F(x) своего наибольшего значения в обоих концах: а и b — при этом не исключаются). Так как

то

(1)

где символ

обозначает наибольшее из чисел Далее имеем:

(2) (3)

Умножая обе части (2) на —г-г-, а обе части (3) на а^_ь и складывая почленно полученные неравенства, находим:

так что

причем знак равенства в последнем соотношении имеет место только в том случае, когда он осуществляется в каждом из соотношений (2) и (3), т. е. только в случае равенства чисел

Вспоминая (1), таким образом, имеем:

* Полезным упражнением для учащихся может явиться перевод приведенного рассмотрения на чисто алгебраический язык.

причем

(4)

и

(5)

т. е. если

Число

называется, как известно, средним гармоническим чисел а и b (оно, очевидно, заключено между числами а и Ь).

Сопоставление (4) и (5) показывает, что если взять в качестве значения jx среднее гармоническое чисел а и by то в этом случае максимум относительной погрешности при замене х его средним значением ц будет наименьшим. Этот минимальный максимум относительной погрешности равен ^ ^ . Он достигается ^т. е. принимается как значение функции -!--- . где ix =-- в каждом из концов отрезка [а, Ь], как это легко проверить непосредственным вычислением.

Пример. Пусть а = 99; 0=101. Тогда за приближенное значение х, которому соответствует минимум относительной погрешности, нужно взять

Понятие о наилучшем приближении функции

Содержание предыдущих задач можно объединить более общей точкой зрения, познакомив учащихся-кружковцев с принадлежащим П. Л. Чебышеву принципом наилучшего приближения функций.

Предварительно следует сообщить учащимся общую постановку вопроса о приближении («аппроксимации») функции с помощью функций заданной системы «приближающих» функций.

(Вопрос этот целесообразно поставить в связь с применяемыми в элементарной математике приближенными формулами, например, с формулами типа —\гх^)- При этом нужно указать на наличие различных принципов, которыми можно руководствоваться при решении задачи аппроксимации. Один из этих принципов — принцип (линейной и квадратической) интерполяции — достаточно освещен в существующей методической литературе, и было бы полезно познакомить с ним участников кружка до изучения с ними рассматриваемой нами темы.

В настоящей статье мы обратимся к изложению собственно идеи наилучшего приближения функции и ее связи с рассмотренными выше задачами.

Пусть f(x) — аппроксимируемая функция, и пусть имеется некоторый «набор» M функций ср (*), которые могут служить для ее приближенного представления. (Предполагается, что функция/(л:) и все функции ср(лг) заданы в одном и том же промежутке [ab]). Принцип равномерного или наилучшего приближения состоит в том, чтобы оценивать «качество» приближения функции/(л:) функцией <р (лг) по величине наибольшего значения (максимума) |ср (л:)—f(x)\, — считая приближение тем лучшим, чем этот максимум меньше — так что наилучшим признается приближение, доставляемое той функцией ср (л:), для которой упомянутый максимум обращается в минимум* (т. е. имеет наименьшее возможное значение).

Удобно назвать тах|<р(л;)—/О*)! ^ уклонением** приближающей функции <р (л:) от функции f{x). Задача наилучшего приближения функции f(x) состоит, таким образом> ь том, чтобы выбрать (из множества М) такую функцию <р0, уклонение которой от функции / не превосходит уклонений от f всех остальных функций <р:

При изображении функций графиками в прямоугольной системе координат уклонение функции ср от функции / имеет простое геометрическое значение: уклонение Е9 равняется наибольшему «вертикальному» отрезку, который можно «вставить» между графиками функций/ и ср (предполагаем, что ось ординат — вертикальна).

Покажем теперь, что рассмотренные нами выше задачи о погрешностях являются простыми частными случаями общей задачи наилучшего приближения.

Действительно, в случае задачи 1 можно рассматривать f(x) = X как аппроксимируемую (подлежащую приближенному представлению)

* Вопрос о существовании этого минимума (а следовательно, об осуществимости наилучшего приближения) в общем случае не предрешается. Наличие максимумов |<р (х) — f(x)\ предполагается, (в случае непрерывности всех рассматриваемых функций эти максимумы, наверное, существуют).

** Величина этого уклонения вообще зависит от взятой функции ср (л:), что мы и отмечаем постановкой индекса ср при букве Е.

функцию, а (je) = [i — как общее выражение аппроксимирующей (приближающей) функции (частную аппроксимирующую функцию ср мы получим, фиксируя в этой формуле определенное числовое значение «параметра» Тогда постановка задачи 1 требует, очевидно, нахождения наилучшего приближения константами = У“ Функции f(x) = x на промежутке [а, Ь]. Это наилучшее приближение, как мы видели доставляется функцией

В случае задачи 2 требуется искать минимум выражения

(6)

при условии, что 0 а a^Lp^ib.

Записывая выражение (6) в виде

мы замечаем, что эту задачу можно трактовать как задачу нахождения наилучшего приближения при аппроксимировании функции f(x) j^j 1

с помощью функции ср (л:) =(ji—переменный параметр)*.

Отметим, что хотя в последнем истолковании задача 2 звучит несколько искусственно (аппроксимация прямолинейного отрезка дугами гипербол), она имеет вполне естественный содержательный смысл в силу своей первоначальной формулировки в терминах теории погрешностей.

Наименее уклоняющийся от нуля квадратный трехчлен

Раздел школьного курса алгебры, посвященный исследованию трехчлена второй степени, представляет собой один из наиболее «выигрышных» моментов этого курса для закрепления в сознании учащихся идеи функциональной зависимости. В математическом кружке естественно дополнить программное содержание этого раздела, в частности, рассмотрением квадратного трехчлена х2 -j~ рх -f q, наименее уклоняющегося от нуля в заданном промежутке. Тем самым кружковцы познакомятся с замечательной задачей Чебышева о наименее уклоняющихся от нуля многочленах в ее частном случае, допускающем исследование с помощью элементарных математических средств.

Формулируем постановку задачи:

Задача 3. Среди всех квадратных трехчленов вида

(7)

(различающихся между собой числовыми значениями параметров — коэффициентов р и q) требуется выделить тот, который в промежутке — 1 л:<+ 1 «наименее уклоняется от нуля*, т. е. для которого наибольшее значение абсолютной величины трехчлена (на указанном промежутке) будет наименьшим:

(8)

Очевидно, что сформулированная так задача включается в общую задачу о наилучшем приближении функций в качестве особенно простого частного ее случая. Приближаемой функцией/^) является здесь функция, тождественно, равная нулю, приближающими функциями ср (х) служат всевозможные трехчлены вида

Решение поставленной задачи нужно начать с напоминания учащимся знакомого им преобразования трехчлена х2 + рх + q с помощью выделения полного квадрата.

(9)

Соотношение (9) непосредственно обнаруживает, что трехчлен х2 + Рх Я имеет наименьшее значение; это наименьшее значение, равное

принимается трехчленом в точке

Заметим теперь, что в зависимости от положения «точки минимума» х0=--£- относительно рассматриваемого промежутка—1 <лг<Л все трехчлены x2+px+q можно разделить иа три класса.

К первому из этих классов мы отнесем все те трехчлены x2+px+qy у которых точка минимума х0 лежит слева от промежутка [— 1, + 1 ], т. е. для которых х0>^—1 или, что равносильно, р^2.

Каждый из многочленов этого класса монотонно возрастает справа от точки х = х0 и, в частности, в интересующем нас промежутке [— 1, +1]***.

* Учащимся следует предложить построить в задачах 1 и 2 (каждый раз на одном и том же чертеже) графики функций f(x) и <?q(x).

** Возможно, конечно, и другое истолкование условия (8). Записав последнее в виде max IX2— ( — рх — q) \ = minimum, видим, что наша задача равносильна задаче наилучшего приближения функции f(x) = x2 посредством линейных функций tW = PX + q.

*** Алгебраически этот графически очевидный факт можно доказать так. Пусть х2> х\> х0; требуется убедиться, что в случае трехчлена первого класса *2 + Рх2 + Я > *î + Рх\ + Я- Для этого достаточно преобразовать доказываемое неравенство в эквивалентное ему неравенство (х2 — хх) (хх -t- х2 + р) J> О, которое очевидно справедливо, так как обе скобки в его левой части положительны.

Ко второму классу мы отнесем те трехчлены х2+рх^с, у которых точка минимума х0 лежит справа от промежутка [ — 1, +Ц, так что х0 > +1 или р < — 2.

Каждый трехчлен этого класса монотонно убывает слева от точки х = х0 и, в частности, в промежутке [— 1, +Ц.

Наконец, к третьему классу мы отнесем трехчлены, у которых точка минимума х0 лежит внутри промежутка [—1, +1]:

так что для них

Эти трехчлены изменяются в рассматриваемом промежутке немонотонно: убывают между точками х= —1 и x — Xq и возрастают между точками х = х0 и х=\. Графики трехчленов всех трех типов — на чертежах 2, 3 и 4.

Сделаем теперь одно простое замечание, которым нам представится случай воспользоваться ниже: изменение свободного члена q трехчлена X2 + рх q (при постоянстве коэффициента р) не изменяет класса этого трехчлена (т. е. при таком изменении данный трехчлен переходит в трехчлен того же класса)*.

Установив классификацию трехчленов х2++px+q, целесообразно решать рассматриваемую нами задачу отдельно для трехчленов каждого из трех классов, т. е. искать в каждом из этих классов свой наименее уклоняющийся от нуля трехчлен. Сопоставление полученных таким образом результатов приведет также (как мы увидим) к решению задачи в ее первоначальной редакции.

Начнем с трехчленов первого класса. Наша задача состоит сейчас, следовательно, в том, чтобы выяснить, какой из монотонно возрастающих в промежутке [ — 1, +1] трехчленов x2+px+q уклоняется в этом промежутке наименее от нуля (сравнительно со всеми другими трехчленами того же класса).

Обозначив для краткости искомый трехчлен через у0(х)у заметим, что <р0 ( — 1) — значение этого трехчлена в точке х——1—не может быть положительным: действительно, в противном случае квадратный трехчлен ср0 (л:)—ср0 (—1), отличающийся от трехчлена ср0 (л:) только значением своего свободного члена, принадлежал бы к тому же классу, что и <р (хп)9 и в то же время (что противоречит условию) уклонялся бы от

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

* Это с очевидностью следует из того, что определяющая класс трехчлена сточка минимума» х0 =--2~ вовсе не зависит от того значения, которое имеет свободный член q.

нуля меньше, чем трехчлен у0(х)у так как при всяком X в рассматриваемом промежутке мы имели бы:

Аналогичным образом можно убедиться в том, что значение ?0(~Ь^) искомого трехчлена не может быть отрицательным.

Учитывая эти замечания, мы видим, что трехчлен ср0 (х) нужно искать среди тех трехчленов f(x) = X' + рх + Я рассматриваемого класса, для которых

(10)

(11)

Среди этих, т. е. удовлетворяющих условиям (10) и (11), трехчленов данного класса трехчлен Чо(х) также, разумеется, будет наименее уклоняющимся от нуля.

Обратимся к оценке уклонений от нуля рассматриваемых сейчас трехчленов. Для всякого монотонно изменяющегося в промежутке [ — 1, + 1] трехчлена f(x) уклонение от нуля Е^ (т. е. наибольшее значение |<р (х) \ на этом промежутке), очевидно, равно наибольшему из двух чисел:

(абсолютных величин значений у(х) на концах данного промежутка), т. е.

(12)

В силу условий (10) и (11), выполняющихся для рассматриваемых сейчас трехчленов, имеем:

и, следовательно,

Поскольку для трехчленов изучаемого класса, как мы знаем, р!>2, то для уклонений от нуля E<ç рассматриваемых трехчленов получаем:

Таким образом, уклонения от нуля этих трехчленов не могут быть меньше числа 2. Наименьшее, равное 2, уклонение получается для них только в случае, когда р = 2, а 1-[-^ = 0 (так что q= — 1); соответствующий этому случаю трехчлен поэтому будет

(13)

Найденный трехчлен (13) и будет наименее уклоняющимся от нуля (в промежутке — 1 1) среди всех монотонно возрастающих (в этом промежутке) квадратных трехчленов х2+ px+q.

Решая аналогичным образом* нашу задачу для трехчленов второго класса, легко найдем, что наименее уклоняющийся от нуля в промежутке — 1 <С! X ^ 1 монотонно убывающий (в этом промежутке) трехчлен должен иметь вид:

(13')

причем соответствующее ему уклонение от нуля, ка« и в предыдущем случае, будет равно числу 2.

Обратимся, наконец, к трехчленам третьего класса («колеблющимся» в промежутке [—lf+lj). Для этих трехчленов, как легко понять, уклонением от нуля Еу в промежутке [ — 1, -[-1] служит наибольшее из трех чисел: абсолютной величины значения трехчлена ср (х) в левом конце промежутка (точнее, х= —1), абсолютной величины его значения в правом конце (точке лг = -|-1), абсолютной величины наименьшего значения трехчлена в данном промежутке.

Таким образом, употребляя прежние обозначения для коэффициентов квадратного трехчлена ср(лг), в этом случае имеем:

(14)

Наша задача приводится, таким образом, к исследованию на минимум выражения (14) при условии:

(15)

гарантирующем принадлежность трехчлена X2 + Рх “f“ Я к рассматриваемому сейчас классу.

Из формулы (14) выводим прежде всего такую систему неравенств:

Из этой системы, в силу элементарных свойств абсолютной величины**, получаем следующую систему неравенств,, которым также должно удовлетворять уклонение Е9 :

* Еще проще можно исчерпать этот случай, заменив, что изменение знака у коэффициента р переводит трехчлен х2 + рх -t- g из первого класса во второй (и обратно), причем величина уклонения трехчлена при этом не изменяется (если q и | р I остаются постоянными).

** я < I я | и — я < | я |.

(16)

(17) (18)

Складывая почленно неравенства (16) и (17), находим:

(19)

Исключая теперь q из неравенств (18) и (19), найдем:

откуда:

или:

Таким образом, уклонение от нуля всякого трехчлена в рассматриваемом случае не может быть меньше

(20)

Если число будет наименьшим уклонением от нуля квадратного трехчлена рассматриваемого вида, то соответствующий трехчлен, в силу (20), должен иметь коэффициент р = 0. Для того чтобы выяснить, какое значение должен иметь свободный член q этого трехчлена, полагаем в (16) и (18)

Соответственно находим:

Сопоставление этих последних неравенств показывает, что q =--Итак, искомым трехчленом может быть только трехчлен

(21)

Соответствующее этому квадратному трехчлену значение р (/7 = 0) удовлетворяет условию (15). Так как уклонение от нуля (в промежутке — l-^^^ + l) трехчлена (21) равно , а уклонения от нуля трехчленов (13) и (13') равны 2, то трехчлен (21) будет вообще наименее уклоняющимся от нуля в промежутке [ — 1, + 1], трехчленом вида х2 + рх + q (черт. 5). Тем самым наша задача решена.

Найденный трехчлен л:2--будем называть многочленом Чебышева второй степени. Получим для него удобное в некоторых вопросах «тригонометрическое» выражение.

С этой целью, считая —1^*^-}-1, положим X = cos t. Тогда:

(22)

Формула (22) для многочлена Чебышева подсказывает нижеследующую любопытную связь графика того многочлена с графиком функции -i-cos2x, т. е. с «вдвое учащенной» синусоидой (с вдвое уменьшенными ординатами).

Вырезав бумажную прямоугольную полосу ABCD (черт. 6), содержащую график функции т] =■ -g- cos 2 S на отрезке 0 ; <; 2 тг, склеиваем ее краями AB и CD так, чтобы в результате получился цилиндр с некоторой пространственной кривой (образующейся из кашей синусоидальной кривой). Проведя плоскость о через ось этого цилиндра и его образующую АВ, спроектируем полученную пространственную линию Л на эту плоскость (черт. 7). Взяв в плоскости о прямоугольную систему координат Оху

Черт. 5

Черт. 6.

(ось Oy совпадает с осью цилиндра, точка О— центр окружности в среднем сечении цилиндра), найдем уравнение проекции А' линии А. Взяв произвольную точку М' на кривой А' с координатами X и уу мы находим на кривой А ее «прообраз» М. Пусть (до сворачивания в цилиндр) точка M имела координаты S и rj. Тогда, очевидно, г\=у. С другой стороны, координата X должна равняться (рис. 8) проекции ОгМ на ось лс-ов, т. е.

Отсюда:

Подставляя в уравнение г\ = -^- cos 2£ найденные выражения для т; и £, находим уравнение кривой А' в плоскости а:

которое показывает, что линия А будет графиком многочлена Чебышева второй степени (точнее: частью этого графика, лежащей над промежутком — l<;#^+l).

Понятие о многочленах Чебышева высших степеней

Формула (22), которую мы получили для многочлена Чебышева второй степени, является частным случаем (при п = 2) общего выражения

(23)

задающего многочлен /z-ой степени (с коэффициентом при хп, равным 1), наименее уклоняющийся от нуля в промежутке —l^*^-}“!-Отметим, что при п=\ получаем в качестве линейного многочлена Чебышева:

(Пусть учащийся непосредственно убедится, что «многочлен» Г, (х) = х наименее уклоняется от нуля в рассматриваемом промежутке сравнительно со всеми многочленами вида х+а.)

При п = 3, /1 = 4,... легко (с помощью формул сложения для тригонометрических функций) получаем из (23):

То обстоятельство, что «тригонометрическая» формула (23) при всяком целом п изображает (в промежутке — l^-^^H-l) многочлен степени п относительно л:, легко доказывается*. Несколько труднее с идейной, а не с «выкладочной» стороны провести общее доказательство специального экстремального свойства многочленов Чебышева (их наименьшей уклоняемости от нуля). За таким доказательством мы отошлем читателя к «Дополнению 1» в книге С. И. Новоселова «Обратные тригонометрические функции»**. Вообще содержание указанного «дополнения» представляет хорошо обработанный материал, который мы рекомендовали бы использовать для второго занятия в кружке по рассматриваемой нами теме. В этой статьэ нами сделана попытка доставить (более элементарный) материал для первого, вводного, занятия по данной теме.

В заключение укажем, что проблема наилучшего приближения функций была впервые раз-

Черт. 7

Черт. 8

* См., напр., § 12 в рекомендуемой ниже книге С. И. Новоселова.

** 3-е издание, Учпедгиз, 1950.

работана П. Л. Чебышевым в его мемуаре* «Теория механизмов, известных под названием параллелограмов» (1854). Как свидетельствует уже название данного мемуара, к постановке вопроса о наилучшем приближении Чебышева привели некоторые конкретные задачи практической механики своего времени**. Именно от мемуара «Теория механизмов» датируется то стремление Чебышева к тесному объединению теоретических изысканий в области математики с их практическими применениями, которое становится затем одним из ведущих стимулов в творчестве великого русского математика.

Как и другие основоположные идеи, внесенные Чебышевым в науку, идея наилучшего приближения оказалась чрезвычайно плодотворной,

В наше время многостороннее развитие этой идеи советскими математиками (С. Н. Бернштейн и его школа) привело к созданию новой важной ветви математического анализа, т. н. конструктивной теории функций.

Академик С. Н. Бернштейн, характеризуя общее значение этой новой математической дисциплины, указывает:*** «Область мыслимых математических функций неизмеримо обширнее конкретных функций, встречающихся в действительности, и одной из труднейших и важнейших задач теории функции является выбор путеводной нити, обеспечивающей прочную связь между абстрактным миром математики и естествознанием».— Конструктивная теория функций и доставляет такого рода путеводную нить.

* См. Полное собрание сочинений П. Л. Чебышева, том II, стр. 23 (изд-во АН СССР, 1947). — Систематическое развитие теории наилучшего приближения функций осуществлено П. Л, Чебышевым в позднейшем мемуаре (1859): «Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближенным представлением функций».

** Подробности относительно характера этих задач (и, в частности, относительно параллелограмов Уатта, послуживших ближайшей отправной точкой для исследования Чебышева в этом вопросе) можно найти в указанном мемуаре. Чебышева, а также в книге: Радемахер и Теплиц, Числа и фигуры (§ 18).

*** См. доклад акад. С. Н. Бернштейна на юбилейной сессии Академии наук СССР (Известия Академии наук СССР, серия математическая, т. 9, № 3, 1945).

МЕТОДИКА

О ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЕ УЧАЩИХСЯ

В настоящем номере редакция помещает серию статей, посвященных внеклассной работе по математике.

На данную тему в журнале «Математика в школе» в номерах 3 и 4 за 1940 год был помещен ряд статей, эти статьи не утратили интереса и до настоящего времени.

Однако развертывание внеклассной работы в широком масштабе, имеющее место в советской школе, на основе творческой инициативы всего коллектива советских учителей обусловливает необходимость обмена богатым опытом, накопившимся за последнее время.

Помещаемые в настоящем номере статьи показывают те пути, по которым идет работа прогрессивного учительства в направлении совершенствования и выработки новых методов и видов внеклассной работы.

Особое внимание уделяется авторами статей (см. статьи П. Ю. Германовича и М. Н. Голайдо) организации математических кружков в V—VII классах, так как это представляет наибольшие методические трудности.

Как известно, элемент занимательности (занимательные задачи, математические игры, головоломки и т. п.) играет большую роль в работе школьных кружков любых классов, и в особенности кружков младших классов.

Однако, как справедливо отмечают авторы статей, внеклассная работа не может быть сведена к одной лишь занимательности.

Одной из важных задач школьного кружка является привитие учащимся навыков серьезной и самостоятельной творческой работы, знакомство (в посильной мере) с современной научной проблематикой, с элементами современных научных методов исследования.

Изданное за последнее время большое число научно-популярных книг различной степени трудности открывает перед учителем широкие возможности в выборе соответствующих тем.

Помещаемая в настоящем номере статья С. А. Дахии «Простейшие задачи на наименьшие максимумы» на конкретном примере показывает возможность знакомства учащихся в доступной форме с рядом идей современной науки.

Ряд статей, помещенных в научно-популярном отделе журнала «Математика в школе» за ближайшие предшествующие годы, с успехом может быть использован учителем для кружковой работы.

Таковы, например, статьи: А. Д. Александрова «Что такое топология» (1946, № 1), Б. Н. Делоне «Неевклидова геометрия Лобачевского» (1947, № 6), П. С. Моденова «Геометрические преобразования» (1948, № 6 и 1950, № 4), Ю. М. Гайдука «Алгебра логики и ее метаморфозы» (1949, № 4), Г. П. Боева «Элементы теории вероятностей в школе» (1951, № 3).

В предыдущих номерах журнала было помещено значительное число небольших статей по отдельным вопросам элементарной математики, специально предназначенных для занятий школьных кружков. Эти статьи сопровождались специальными примечаниями от редакции. В настоящем номере редакция помещает одну такую статью, а именно статью С. И. Зетеля «О решении некоторых задач на построение». Редакция предполагает такого типа статьи помещать и в последующих номерах.

К сожалению, среди некоторой части учителей не изжита тенденция, выражающаяся в том, что под видом популяризации и занимательности, допускается вульгаризация науки. Эти тенденции к сожалению, находят иногда место и в научно-популярной литературе.

Такая «занимательность» нашла справедливое осуждение со стороны советской педагогической общественности в рецензиях на книгу Сергея Боброва «Волшебный Двурог», изданную Детгизом в 1949 году.

Помещаемые в настоящем номере небольшие статьи «Из работ учащихся», а также заметка тов. В. Г. Разумова показывают, какой интерес проявляют учащиеся к «усовершенствованию» доказательств, которые им приходится изучать в учебнике, к отысканию «новых» доказательств и способов решения задач.

Не случайно учащиеся интересуются вопросом о «чертовой лестнице» и о том, нельзя ли ее как-нибудь избежать.

Приведем еще один пример. В письме в редакцию учитель А. П. Поляков (школа № 10, ст. Кусково, Московско-Курской ж. д.) рассказывает о работе ученицы VII класса В. Тарасовой. В этой работе ученица на основании наблюдения над числами установила, что для последовательности квадратов натурального ряда чисел вторые разности постоянны, и отсюда получила способ вычисления квадратов натуральных чисел путем последовательного сложения.

Как известно, способ, найденный, ученицей, является весьма частным случаем метода вычисления членов арифметического ряда, однако выполненная ею работа и проявленная инициатива заслуживают самого серьезного внимания со стороны учителя. Поощряя отыскание учащимися новых доказательств, новых способов решения задач и обобщение результатов своих наблюдений, учитель воспитывает в учащихся творческую инициативу, характерную для советских людей— строителей коммунистического общества.

ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ В V—VII КЛАССАХ ШКОЛЫ

П. Ю. ГЕРМАНОВИЧ (Ленинград)

В настоящей статье под «внеклассной работой по математике» будут пониматься занятия, проводимые во внеурочное время и имеющие целью содействовать углублению работы по идейно-политическому воспитанию учащихся и поднятию уровня их математического развития и знаний.

Внеклассные занятия по математике могут быть построены как на материале, лишь косвенно связанном с школьной программой, так и на материале, непосредственно примыкающем к работе в классе, но не дублирующем эту работу в рамках общеобязательного минимума, предусмотренного государственной программой. Поэтому такие формы внеурочных занятий, как дополнительные занятия с отстающими учениками и т. д., не могут рассматриваться как вид внеклассной работы.

Элементы идейно-политического воспитания в процессе внеклассной работы, прежде всего, могут заключаться:

Во-первых, в воспитании советского патриотизма и советской национальной гордости путем привлечения исторического и биографического материала, характеризующего славное прошлое русской математики и ведущую роль советской математической школы в развитии математической науки.

Во-вторых, в более подробных, чем это можно сделать на уроке, разъяснениях о происхождении и развитии основных математических понятий.

Раскрытие связей этих понятий с объективной действительностью, а также выяснение в доступной для учащихся V—VII классов форме индуктивного характера математического творчества, несомненно, может заложить фундамент для формирования научного материалистического мировоззрения.

В-третьих, в привитии практических навыков на базе общественно-полезной работы, выполняемой участниками математического кружка для нужд школы, колхоза и т. д.

Такая общественно-полезная работа, с одной стороны, развивает общественное самосознание, а с другой стороны, в осязаемой форме вскрывает взаимосвязь теории с практикой.

Сюда относятся выполнение различных измерений в школе, на пришкольном участке и в колхозе (расстояний, площадей, кубатуры), из-

готовление наглядных пособий, диаграмм, статистических таблиц, моделирование, процентные расчеты по данным, взятым из практики работы районных организаций, и т. д.

Наконец, победоносное строительство социализма в СССР дает обильный материал (содержащийся в газетах и журналах), на базе которого можно развернуть в кружке интересную работу по составлению арифметических задач, отражающих социалистическое строительство нашей родины.

Удачная задача, возникшая благодаря коллективным усилиям кружковцев, затем может быть с очевидным педагогическим эффектом «перенесена» в класс.

Аналогичная работа с успехом может быть организована и на базе материала в связи с общей работой школы по изучению своего края и района.

Все сказанное здесь не исчерпывает, конечно, средств и объектов, на которых может быть развернута работа по идейно-политическому воспитанию в порядке внеклассных занятий по математике.

Вместе с тем, намеченные линии этой работы должны быть постоянно в поле зрения руководителя с тем, чтобы тактично и естественно сочетаться с чисто математическим содержанием внеклассной работы.

Важное значение внеклассной работы заключается прежде всего в том, что школа приобретает здесь особые возможности для углубления работы по идейно-политическому воспитанию, возбуждения и развития подлинного интереса к предмету, расширения научного кругозора учащихся, привития навыков и вкуса к самостоятельной работе, умения работать с математической книгой и т. д.

Все это облеченное в форму добровольных занятий вне класса, но тесно связанное (хотя бы и косвенно) с классной работой должно принести школе неоценимую услугу в главном — содействовать прочному и неуклонному повышению математической культуры и успеваемости учащихся.

Опыт внеклассной работы по математике в старших классах несравненно богаче опыта внеклассной работы по математике в V—VII классах. Сложность задачи усиливается и тем, что здесь в V—VII классах, исходная база для развертывания внеклассной работы, ограниченная арифметикой и самыми начатками алгебры и геометрии, значительно уже, чем в старших классах.

Кроме того, при всей отзывчивости учеников младших классов на внеклассные мероприятия, значительные трудности возникают перед руководством при формировании стойкого ядра участников внеклассной работы в связи с тем, что интересы и склонности учеников этого возраста, как правило, не бывают достаточно выявленными.

Для того чтобы внеклассная работа по математике оказалась одним из действенных средств для достижения основной цели — повышения успеваемости (понимаемой широко, а не только в виде ликвидации неуспеваемости), необходимо, чтобы она привлекала значительные кадры учеников. Поэтому, особенно учитывая специфику V—VII классов, необходимо уделить достаточное внимание культивированию массовых форм внеклассной работы.

Внеклассная работа, рассчитанная на массовый охват учащихся (особенно V класса), может быть облечена в разнообразные формы, но всегда должна быть живой, увлекательной, с привнесением в нее иногда элементов спортивности и развлекательности.

Нередки случаи, когда посетитель математического вечера или участник школьной математической олимпиады, «клуба веселых математиков» и т. д., интерес которого к математике далеко еще не выявился, здесь, на этих занятиях, постепенно «находит» себя, по-настоящему заинтересовывается предметом. У него возникает стремление лучше усвоить содержание предмета, он начинает тщательнее работать в классе и дома. Часть учащихся почувствует в дальнейшем потребность и в более углубленной работе и, тем самым, создадутся естественные предпосылки для более специальных форм внеклассной работы в виде математических кружков.

Внеклассная работа по математике в V—VII классах организуется, конечно, с учетом фактических условий, имеющихся в данной школе. Поэтому нецелесообразно рекомендовать для организации ее какой-либо единый стандарт. Но при любых условиях внеклассная работа по математике может быть сведена к тому или иному сочетанию следующих основных ее форм:

А. Внеклассные занятия периодического характера

(проводимые регулярно в течение всего года):

1. «Клуб веселых математиков» (основной контингент — ученики V класса).

2. Арифметический кружок

(основной контингент — ученики VI класса).

3. Математический кружок

(основной контингент — ученики VII класса).

Эти внеклассные занятия являются основными формами внеклассной работы по математи-

ке. Частота собраний кружков зависит от того, как развернута в школе внеклассная работа по другим предметам, и может колебаться от одного до двух раз в месяц по каждому классу.

Б. Внеклассные занятия эпизодического характера

(проводимые нерегулярно):

1. Математические викторины.

2. Командные соревнования в решении задач между параллелями одного класса.

3. Школьная математическая олимпиада.

4. Математические вечера.

5. Математическая стенная газета.

Рассмотрим прежде всего математические викторины.

Математические викторины являются непосредственным развитием и углублением «устных упражнений», проводимых большинством учителей на уроках. Отличаются они от «работы в уме» на уроке, во-первых, организационными формами, рассчитанными на усиление элементов спортивности, что делает эту работу особо увлекательной, и, во-вторых, подбором упражнений, требующих проявления большей находчивости и оригинальности мышления, чем те упражнения, которые учитель, имея в виду всех учеников класса, обычно предлагает на уроке.

Так же как и «устные упражнения» на уроке, математические викторины содержат не только устные вычисления, но и коротенькие задачи, в том числе и задачи на доказательство, допускающие решение «в уме» а также нешаблонные вопросы по теории, требующие от ученика путем 2—3 умозаключений прийти к ответу на поставленный вопрос. Подобного рода упражнения, приучая ученика применять свои знания, являются одним из эффективных и в то же время экономных средств преодоления формализма в знаниях.

Педагогическая ценность викторин неоспорима: помимо привития навыков работы «в уме» и возбуждения интереса к предмету, они способствуют развитию таких качеств, как наблюдательность, воля, воображение, сосредоточение внимания, умение критически оценить условия или постановку вопроса и т. д.

Упражнения, отбираемые для викторины, должны быть различной трудности (оцениваемые различным числом очков), но с обязательным включением 2—3 сравнительно легких упражнений, рассчитанных на то, что с ними справится большинство участников.

Последнее необходимо, чтобы предупредить появление у ученика чувства неверия в свои силы и связанное с ним ослабление интереса.

Вот несколько викторин, в которых каждое упражнение, будучи вполне посильно пытливому ученику V класса, в то же время с успехом и пользой может быть предложено и ученикам старших классов.

Викторина 1-я

1. Что больше:

2. Что больше:

3. Что больше:

Легко видеть, что сравнение величины двух дробей путем шаблонного приведения их к общему знаменателю в порядке устной работы будет трудно. Ученик должен проявить находчивость, чтобы усмотреть, что 2-я дробь ближе к единице, чем 1-я дробь (в 1-м вопросе), что

во 2-м вопросе 1-я дробь меньше а вторая дробь больше -i- и что дроби

в 3-м вопросе легко сравнить путем приведения их к общему числителю.

4. Можно ли 50 орехов разложить на 5 кучек так, чтобы число орехов в каждой кучке было нечетным?

5. Вода, обращаясь в лед, увеличивается на -^Y часть своего объема. На какую часть своего объема уменьшится лед при обратном переходе в воду?

6. Можно ли утверждать, что если произведение двух целых чисел есть число нечетное, то сумма их — число четное?

7. Как изменится частное, если из делителя

вычесть -g- его?

8. Произведено общее снижение розничных, цен в среднем на 20%. На сколько процентов вследствие этого поднялась реальная заработная плата рабочих и служащих?

Викторина 2-я

1. Что больше:

2. Сколько последних цифр произведения

можете вы назвать?

3. В 5 ящиках лежит по одинаковому числу яблок. Когда из каждого ящика вынули по 60 яблок, то во всех ящиках осталось столько

яблок, сколько раньше было в двух ящиках. Сколько было яблок в каждом ящике?

4. (Из старинного русского задачника Леонтия Магницкого.)

Един человек выпивает кадь пития в 14 дней, а со женою выпивает тое же кадь в 10 дней. И ведательно есть, а в колико дней жена его особно выпивает тое же кадь?

5. Чему равен наибольший общий делитель двух чисел, если известно, что наименьшее общее кратное этих чисел равно их произведению?

6. Число, выраженное в десятичной системе счисления, оканчивается цифрой 5. Будет ли это число кратно пяти, если его записать в восьмиричной системе?

7. Вычислить:

99 — 97 + 95—93+91 — 89. . .+ 7—5-f 3—1.

8. Можно ли утверждать, что если сумма трех последовательных целых чисел есть число нечетное, то произведение их делится на 8?

Если математическая викторина составляется для общешкольного математического вечера, то применительно к специфике его отбираются и упражнения: здесь должны быть вопросы, требующие критического отношения к условиям или к сразу напрашивающемуся ответу; вопросы и задачи с элементами развлекательности; вопросы, привлекающие внимание оригинальностью или необычностью содержания, полушутливой формой подачи, и т. д.

Вот 12 примерных упражнений для викторины математического вечера, из которых можно отобрать 6—10 вопросов:

1. Чему равно 5 X 5, если известно, что 4X^ = 20?

2. Какой знак надо поставить между числами 2 и 3, чтобы получилось число, большее 2, но меньшее 3?

3. Из верхнего угла комнаты поползли вниз по стене 2 мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одинаковой скоростью, а вторая, хотя поднималась вдвое медленнее первой мухи, но зато спускалась вдвое быстрее ее. Какая из мух раньше приползет обратно?

4. Автомобиль прошел путь из Л в Б со скоростью 20 км\час, а обратно из Б в А со скоростью 30 км\час. Какова средняя скорость автомобиля за весь рейс?

5. Кирпич весит 1 кг и полкирпича. Сколько весит кирпич?

6. 10 насосов в 10 минут выкачивают 10 тонн воды. Во сколько минут 25 насосов выкачают 25 тонн воды?

7. 12 разделили пополам, получилось 7. Как это могло случиться?

8. Как изменится объем бруска, если длину его увеличить на 50%, ширину оставить без изменения, а высоту уменьшить в 1 раза?

9. Двое рабочих вышли одновременно из одного и того же дома и пошли на свой завод. У одного из них шаг был на 20% короче, чем у товарища, но зато он успевал за одно и то же время делать шагов на 20% больше. Кто из них раньше пришел на завод?

10. При переоборудовании котельной установки, потреблявшей 100 кг топлива в час, были применены два усовершенствования: одно, дающее 40% экономии топлива, и другое, дающее 25% экономии. Сколько килограммов топлива в час потребляет установка после ее переоборудования ?

11. Автомобиль прошел часть пути, причем оказалось, что он прошел столько километров, сколько минут ему придется идти оставшуюся часть пути. Но когда он прошел и эту часть пути, то выяснилось, что он опять прошел столько километров, сколько минут затратил на первую часть пути. Сколько километров в час проходил автомобиль?

12. К Мише пришли 5 товарищей. Отец Миши хотел угостить всех шестерых мальчиков яблоками. Но яблок оказалось всего 5 штук. Как быть? Обидеть никого не хочется, нужно наделить всех поровну. Придется, конечно, яблоки резать. Но разрезать их на очень уж мелкие кусочки не годится — отец не хотел резать ни одно яблоко больше чем на 3 части. Как отец Миши справился с этой задачей?

Организация викторины, предусматривающая привнесение при проведении ее элементов спортивности, может быть предложена в таком виде.

Заготавливается 6—8 вопросов-задачек. Против каждой задачи указывается предельное время, даваемое на обдумывание, и число оч:.ов (зависящее от степени трудности предложенного упражнения), зачитываемое первому, кто поднятием руки подаст сигнал, что у него готов ответ и пояснение к нему. До истечения предельного срока записываются также в порядке поднятия рук фамилии еще 3—4 учеников.

Срок истек. 1-й по списку ученик (поднявший первым руку) дает ответ. Остальные из включенных в список учеников сообщают, согласны ли они с оглашенным ответом или предлагают другой ответ. Если ответ, сообщенный 1-м учеником, верен, то он же дает пояснение к ответу, а остальным предлагается дополнить объяснение, возразить, дать другой способ решения и т. д.

Если ответ 1-го ученика был верен, а пояснение, данное им, вполне удовлетворительно, то ему засчитывается то число очков, которое

было намечено за это упражнение. В зависимости от правильности ответа, качества дополнений и очередности в списке, остальным ученикам (в целях поощрения) также засчитывается некоторое число очков (например: 1-му— 10 очков, 2-му — 5, 3-му — 2 и 4-му — 1).

Если же ответ 1-го не верен, то право на полное число очков получает 2-й по списку и т. д.

Некоторые упражнения викторины целесообразно цать как чисто слуховые — они лишь читаются (один или два раза), другие же задачи подкрепляются зрительными образами — числовые данные таких упражнений записываются на доске.

«Клуб веселых математиков»—первичная массовая форма внеклассной работы, рассчитанная на возможно более широкий охват учеников V класса и отчасти VI класса. Со второго полугодия желательно привлечение в клуб и лучших учеников IV класса.

Цель клуба —пробудить и в дальнейшем развить интерес и любовь к предмету, побудить к лучшей работе по предмету в классе и дома.

Занятия в клубе, путем использования увлекательного материала, призваны развить у учеников наблюдательность, настойчивость, мышление, инициативу, воображение, аналитические способности и т. д.

Ряд задач и вопросов подбирается при этом так, что возникшие при решении интересной задачи затруднения естественно возбуждают потребность рассмотреть некоторые вопросы теории, расширяющие или углубляющие учебную программу и в то же время вполне доступные ученику V класса.

Таким образом, создаются предпосылки для постепенного переключения клубно-развлекательной работы на «высшую ступень» и выращивания кадров для более узких форм внеклассной работы в виде математических кружков VI и VII классов.

Так, например, числовой ребус: «восстановить все цифры числа ;ог234л;, зная, что оно делится на 792»—приведет ученика к необходимости рассмотреть признак делимости на 11, а викторинный вопрос: «чему равно 5Х^, если 4 X 4 = 20 » — побудит ученика углубить свои знания в вопросах, связанных с различными системами счисления.

С другой стороны, включение в программу клуба работы по составлению задач, отражающих социалистическое строительство нашей родины, будет содействовать идейно-политическому воспитанию учащихся. Кроме того, устав клуба должен предусмотреть, что действительные члены клуба выполняют доступные им практические работы, основанные на математике, для школы или иной общественной организации.

Программа работы клуба

1. Числовые ребусы.

2. Математические фокусы и загадки.

3. Вопросы и задачи логического характера.

4. Арифметические викторины.

5. Составление и решение задач, отражающих социалистическое строительство в СССР.

Числовые ребусы всегда увлекают учеников и решаются ими с большим рвением.

Ребусы могут быть двух родов: либо это будут «следы» произведенного умножения, деления и т. д., в которых большинство или даже почти все цифры стерты и требуется их восстановить, либо это будет задача на расшифрование числа, сопровождаемая занимательным текстом.

Вот образец задачи первого рода:

Требуется найти делимое, делитель и частное.

Достаточно рассмотреть решение этой задачи, чтобы убедиться, как, казалось бы, такая «пустяшная» числовая забава может развить аналитические способности ученика, его наблюдательность, находчивость и настойчивость.

А вот два ребуса другого рода:

1. Некий досужий математик написал такое выражение:

Каждой букве здесь соответствует определенная цифра. Требуется расшифровать это сложение, т. е. найти цифры, соответствующие буквам.

2. Если двузначное число прочесть справа налево, то оно увеличится в 4-^- раза. Что это за число?

Вторая задача примыкает к задачам «логического характера» (о них подробнее будет сказано ниже), так как логический элемент, присущий, конечно, в той или иной степени всякой задаче, здесь является решающим, своеобразен и позволяет решить задачу устно тонкими и в то же время доступными ученику V класса средствами. Насколько подобные за-

дачи «на рассуждение» способствуют развитию логического мышления, можно судить по следующему решению ее:

1. Искомое число больше 10 (так как оно — двузначное).

2. Искомое число меньше 25 (так как 25 X 4-^--число трехзначное).

3. Искомое число — четное (так как при умножении его на 4— получается число целое).

4. Обращенное число кратно 9 (так как оно содержит 9 половин искомого четного числа).

5. Искомое число также кратно 9 (так как оно состоит из тех же цифр, что и обращенное, а сумма цифр обращенного числа делится на 9).

6. Искомое число кратно 18 (так как оно делится на 2 и на 9).

7. Искомое число —18 (так, между 10 и 25 число 18 — единственное число, делящееся на 18).

Решение задачи полезно, конечно, закончить проверкой.

Обращенное число — 81—разделить на 18. Частное, действительно, 4-i-.

Математические фокусы и загадки — интересный развлекательный материал, имеющий и немалое образовательное значение; так, например, увлекательный фокус с отгадыванием задуманного имени, основанный на двоичной системе счисления, несомненно, возбудит самое напряженное внимание членов клуба, когда руководитель будет объяснять математическую основу фокуса. Известный фокус, когда к трехзначному числу приписывается такое же число и затем полученное шестизначное число делится последовательно на 7, 11 и 13, подведет учащихся к вопросам делимости чисел. Чтобы повысить напряжение внимания при объяснении математической сущности фокуса, руководитель должен быть немного и режиссером: фокус надо «обыграть», надо подать его так, чтобы он максимально заинтриговал, в частности, следует показ фокуса провести с вовлечением нескольких учеников. Последний фокус, например, можно провести так:

«Иванов, задумайте трехзначное число. Запишите его. Передайте листок Петрову».

«Петров, припишите к числу, которое вы видите, такое же число. Передайте листок Соколову».

«Соколов, разделите полученное от Петрова шестизначное число на 13. Перепишите частное на отдельный листок и передайте его Федорову».

«Федоров, разделите это число на 11. Частное перепишите на отдельный листок и передайте его Аксенову».

«Аксенов, разделите полученное вами число на 7. Запишите частное и передайте его мне».

«Внимание! Я сейчас назову число, задуманное Ивановым. Иванов, вы задумали...

Ну, а теперь подумайте, как могло случиться, что я узнал число, задуманное Ивановым».

Фокусы с отгадыванием чисел, календарных дат рождения, имен, взятых предметов, описанные в существующей литературе, всегда возбуждают самое настороженное внимание. Показ таких фокусов лучше начать с простых фокусов, приведенных в брошюрке «Задумай число» (из серии изданий Ленинградского Дома занимательной науки).

Тщательное разъяснение математической основы фокусов — главное в этой работе, так как конечная цель любых математических развлечений — возбудить интерес к вопросам теории.

Ко второму разделу работы «клуба веселых математиков» относятся и специфические задачи из серии «Составь число», развивающие наблюдательность и конструктивные способности и ближе вводящие ученика в своеобразный «мир чисел». Сюда относятся разнообразные упражнения такого рода.

1. Составьте последовательно все числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, используя цифру «7» четыре раза, причем можно пользоваться знаками арифметических действий.

2. Составьте число 100, используя цифру 5, сперва 6 раз, потом 5 раз и, наконец, 4 раза.

3. Напишите подряд 1 2 3 4 5 6 7 8 9и затем, не меняя порядка цифр, поставьте знаки -[-и — так, чтобы получилось 100, а затем сделайте то же самое, пользуясь лишь знаками сложения и умножения.

Упражнения подобного рода (например, составьте 30, используя цифру «3» три раза: 33 — 3 или З3 —J— 3) полезно вводить для устного решения и в математические викторины.

Вопросы и задачи «логического характера», составляющие третий раздел работы клуба, оставаясь попрежнему, как и все занятия, проводимые в клубе, интересными и увлекательными, призваны привить ученику вкус «к рассуждению», научить его «думать», развить способности мышления.

Задачи и вопросы логического характера (их можно назвать и задачами «на рассуждение») не требуют знаний, превышающих программу V класса. Некоторые из них даже не являются математическими в строгом смысле

слова, а в других — вычислительный процесс сведен к минимуму и решение их связано с наличием способности к нешаблонному мышлению, наблюдательности, умению провести логический анализ условий задачи и т. д. Нередко с подобной задачей справляется пытливый и настойчивый ученик V класса, в то время как не обладающий такими качествами ученик старшего класса (даже X) оказывается не в состоянии решить ее.

Хотя мы говорим о задачах «на рассуждение» применительно к работе «клуба веселых математиков», но уже сейчас следует отметить, что значение этих задач для развития логического мышления и интерес, который они всегда возбуждают, делают их полезными для работы в математическом кружке любого типа и класса и для включения в число задач общешкольной математической олимпиады.

Вот некоторые из таких задач, которые уместно предложить на занятиях в «клубе веселых математиков».

1. 8 монет внешне совершенно одинаковы, но одна из них фальшивая — несколько легче остальных. Требуется при помощи не более чем двух взвешиваний на чашечных весах найти фальшивую монету.

(В VII классе можно 8 монет заменить 25 монетами и 2 взвешивания — тремя.)

2. Двое одновременно вышли из А в Б. Первый половину всего времени, затраченного им на переход, шел со скоростью 5 км в час, а затем пошел со скоростью 4 км в час. Второй же путешественник первую половину пути прошел со скоростью 4 км в час, а вторую — со скоростью 5 км в час. Кто из них раньше пришел в Б?

3. Директор завода приезжает ежедневно поездом на вокзал в 8 час. утра. К этому моменту к вокзалу подъезжает автомобиль и отвозит директора на завод. Однажды директор приехал на вокзал в 7 час. утра и пошел навстречу машине, встретил ее и приехал на завод на 20 минут раньше, чем обычно. Определить показание часов в момент встречи директора с автомобилем.

4. Какое трехзначное число увеличивается в раза, если его прочесть справа налево?

5. Произведение четырех последовательных целых чисел равно 3024. Найти эти числа.

Покажем, для примера, решение последней задачи, которое позволяет оценить, с одной стороны, доступность предложенных задач для ученика V класса, а с другой стороны, обнаружит характерный стиль рассуждений при решении задач логического характера:

1. Если бы все искомые числа были больше 10, то произведение их было бы больше ЮЛО-Ю-Ю, т. е. больше 10 000. Значит, среди искомых чисел должны быть числа меньше 10.

2. Среди искомых чисел нет числа 10, так как иначе произведение их оканчивалось бы нулем. Значит, все искомые числа меньше 10, т. е. однозначны.

3. Среди искомых однозначных чисел нет числа 5, так как иначе произведение их оканчивалось бы нулем.

4. Среди однозначных чисел имеются только 2 группы четырех последовательных чисел, не включающих 5: 1, 2, 3, 4 и 6, 7, 8, 9.

5. Произведение 1 -2-3-4 г= 24; следовательно, если задача имеет решение, то искомыми числами могут быть только 6, 7, 8 и 9.

Проверка: 6-7-8.9 = 3024.

О работе клуба по 4-му и 5-му разделам было сказано выше.

Необходимо, чтобы члены клуба не только «развлекались» на собраниях клуба, но и выполняли в порядке самостоятельной работы все те задания, которые им предлагаются. Поэтому независимо от содержания работы на собрании клуба, можно наметить определенный порядок проведения клубного занятия.

1. Рассматриваются результаты самостоятельной работы: материал к задачам с современной тематикой, подобранный членами клуба; решения задач, предложенных на предыдущем собрании; отчеты о выполненных практических работах и т. д.

2. Решаются новые задачи, проводятся викторины, рассматриваются возникшие в связи с задачами теоретические вопросы, составляются задачи, отражающие социалистическое строительство, на основе материала, подобранного членами клуба, и т. д.

3. Дается инструктаж к собиранию нового материала для задач с современной тематикой и оформляется новое задание для самостоятельной работы к следующему собранию клуба.

Арифметический кружок организуется для учеников VI класса и вполне успевающих учеников V класса. Вместе с тем членами кружка, конечно, могут быть и ученики VII класса.

Как ни узка база в области теории у учащихся VI класса, теоретические вопросы составляют существенную часть в работе кружка, причем докладчиками, в основном, должны быть сами ученики.

Примерная тематика докладов:

Различные системы счисления, число и история его, принцип ложного положения, алгоритм Евклида, признаки делимости на 7, 11 и 13,

отдельные вопросы теоретической арифметики, биографические и исторические очерки и т. д.

Развлекательность, присущая работе «клуба веселых математиков», в арифметическом кружке сведена к минимуму. Вместе с тем повышается удельный вес самостоятельной работы членов кружка, значительное внимание уделяется идейно-политической направленности в работе кружка.

Так, например, при выборе тем для исторических и биографических очерков в первую очередь в доступной форме рассматривается деятельность выдающихся русских и советских математиков (Лобачевский, Чебышев, Ковалевская, Виноградов и др.) и их приоритет в развитии ряда отраслей математики.

С другой стороны, при рассмотрении отдельных теоретических вопросов окажется возможным вскрыть связи математических понятий с материальной действительностью и, таким образом, содействовать формированию научного материалистического мировоззрения.

Программа работы кружка

1. Теоретические доклады.

2. Решение арифметических задач повышенной трудности.

3. Собирание материала, составление и решение задач, отражающих социалистическое строительство в СССР.

4. Решение задач логического характера и задач на доказательство.

5. Изучение приемов быстрого счета.

6. Арифметические викторины.

Первые три раздела плана арифметического кружка VI класса обеспечивают необходимое сочетание теоретической и практической работы и идейную направленность ее. Поэтому им должно быть уделено преимущественное внимание. Остальные три раздела имеют вспомогательное значение: назначение их — внести и работу кружка большое разнообразие, сделать ее более интересной и тем самым найти дополнительные источники для более массового охвата кружком учащихся.

Необходимо указать, что, говоря об арифметических задачах повышенной трудности, мы отнюдь не имеем в виду задачи, посильные лишь отдельным, самым одаренным ученикам из числа «именитых математиков» : это повредило бы работе, охладило бы учеников. Чтобы предупредить чувство разочарования и возможный в связи с ним отсев, отбор задач следует производить тактично: следует выбирать задачи, хотя и более трудные, чем те, которые ученики решают в классе, но все же доступные значительному числу кружковцев при условии лишь достаточного упорства и усидчивости с их стороны.

Вот несколько задач такого рода:

1. Самолет летел сначала со скоростью 180 км в час. Когда ему оставалось пролететь на 320 км меньше, чем он пролетел, он изменил скорость и закончил рейс со скоростью 250 км в час, причем средняя скорость его на всем пути оказалась равной 200 км в час. Какое расстояние пролетел самолет?

2. Найти наименьшее число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4 и при делении на 6 дает в остатке 5.

3. У двух товарищей было 184 руб. После того как один истратил -уу- своих денег, а второй своих, у обоих вместе осталось 137 руб. Сколько денег было у каждого.

4. Пассажир едет в поезде, который идет со скоростью 40 км в час, и видит, что мимо окна в противоположном направлении в течение 3 секунд проходит встречный поезд, имеющий длину 75 м. Какова скорость встречного поезда?

Как уже указывалось, задачи логического характера полезно включать во все звенья системы внеклассной работы, развернутой в школе. И хотя номер класса при этом не имеет существенного значения (одну и ту же задачу можно предложить и пятикласснику и семикласнику), но все же некоторая дифференциация в смысле степени трудности в отдельных случаях будет уместна. В частности, в кружке VI класса (а тем более VII класса) возможно включение таких задач, которые предполагают использование самых начатков алгебры (главным образом буквенной символики).

Например:

1. Доказать, что четырехзначное число видал асас не может быть точным квадратом.

2. а и b — числа взаимно простые. Можно ли утверждать, что числа ab и a+ô также взаимно простые?

3. Положенная в сберкассу на срочны л вклад сумма такова, что если к числу сотен ее прибавить число, составленное двумя последними цифрами, то получится как раз годовой доход с этой суммы, считая по 5% в год. Как велик сделанный вклад?

К этой же категории следует отнести и те арифметические задачи, в которых логический момент оказывается решающим; такова например, известная задача о гребце.

Гребец плывет вверх против течения Невы. Под Кировским мостом он потерял пустую флягу. Проплыв против течения еще 10 минут, он заметил потерю и сейчас же повернул, чтобы догнать флягу; гребя с тем же мускульным усилием, что и ранее, он догнал флягу под Республиканским мостом. Какова скорость течения Невы, если расстояние между мостами равно 1 км?

Содержание остальных разделов плана не требует особых пояснений, частично же о них было сказано в своем месте ранее.

Если условия в школе (например, один учитель на V, VI и VII классы) не позволяют организовать специальный математический кружок для учеников VII класса, то кружок VI класса может обслужить и учеников VII класса. В этом случае, начиная со 2-го полугодия, в план работы арифметического кружка следует более интенсивно включать доступный ученикам VI класса материал по алгебре.

И в том случае, когда оказывается возможным организовать специальный математический кружок для VII класса, работа его в существенной части должна рассматриваться как естественное продолжение и развитие (в порядке преемственности) работы кружка VI класса.

Таким образом, в плане работы математического кружка окажутся, прежде всего, первые три раздела плана арифметического кружка (вопросы теории, арифметические задачи повышенной трудности и составление задач, отражающих социалистическое строительство).

Сохраняются также, но наполняются несколько иным содержанием по сравнению с кружком VI класса следующие два раздела: задачи логического характера и математические викторины.

Задачи и вопросы двух этих разделов во многих случаях потребуют от кружковцев применения начальных знаний по алгебре и, отчасти, по геометрии.

Вот примерное содержание работы по этим разделам плана, применительно к VII классу.

Задачи логического характера

1. Некто на вопрос, каков номер доставшегося ему лотерейного билета, ответил так:

«Если все 6 двузначных чисел, которые можно составить из цифр номера моего билета сложить, то половина полученной суммы составит как раз номер моего билета». Определить номер билета.

2. Существуют ли 3 такие последовательные нечетные числа, что сумма квадратов их есть четырехзначное число, состоящее из одинаковых цифр.

3. Найти такие два числа, чтобы их сумма, произведение и частное были бы равны между собой.

4. Наборщик опрокинул набор числа, представлявшего шестую степень некоторого целого числа. Рассыпавшиеся цифры расположились в таком порядке: 0, 2, 3, 4, 4, 7, 8, 8, 9. Не поможете ли вы наборщику при восстановлении набора?

Приведем для примера решение 3-й задачи:

Произведение двух чисел: а и b — может быть равно частному от деления a m b в трех случаях: 1) когда ft = -|-l, 2) когда Ь = —1, 3) когда а = 0. Действительно:

Допущение, что b = 0 необходимо отбросить, так как оно приводит к делению на 0, что невозможно.

Первое и третье предположения (Ь = + 1 и а = 0) сразу отпадают, так как прибавление к любому числу единицы или нуля и умножение того же числа на единицу или на нуль не может дать одинакового результата: a+—f- ( —(— 1) = а —]— 1, а-(+\) = а и при любом а а+\фа\ а+ b—b, 0-b = 0 и при любом b ф 0 сумма b не равна произведению 0. Значит, если задача допускает решение, то 2-м числом может быть только — 1: Ь = — 1.

По условию: а+(—1) = я-(—1) или а—1 = — а, откуда, по свойству вычитания (уменьшаемое без разности равно вычитаемому) имеем: а — (—а) = 1 или а+а—\3 или 2а = 1, или а = -i- .

Проверка:

Ответ: Искомые числа

Образец викторины применительно к VI классу

1. Написать четырехзначное число, которое окажется точным кубом в любой системе счисления.

2. Дан выпуклый многоугольник с произвольным числом сторон.

Назвать наибольшее число острых углов в этом многоугольнике.

3. Чему равна разность \а\ — а?

4. Задача начинается так: «Известно, что одно из чисел a, b и с равно нулю...» Выразить это условие кратчайшим образом с помощью символов, принятых в математике.

5. Могут ли последовательные стороны четырехугольника быть равными 2 м, 3 м, 4 м и 9 л.

6. Какая из двух дробей: — и --ближе к единице, если известно, что а меньше Ь?

7. Вычислить выражение а2 — 86 а+113, если а = 87.

8. Вы знаете теорему : «прямые углы равны». Сформулируйте теорему, противоположную обратной и докажите ее справедливость.

Выбор вопросов для викторины VII класса не следует ограничивать вопросами, требующими применения начальных сведений по алгебре и геометрии. Арифметические вопросы, в том числе и те, которые были приведены в образцах викторины для V класса, будут полезны и интересны и ученикам VII класса.

Среди задач логического характера (а отчасти и среди вопросов викторины) встречаются такие, которые, несомненно, затруднят большинство членов кружка и, может быть, даже никем не будут решены. Такова, например, задача про опрокинутый набор девятизначного числа.

Это вполне естественно: логические задачи «на рассуждение», как правило, очень интересны и очень трудны, нередко даже самый пытливый и настойчивый ученик просто не видит путей, как приступить к ней. Спрашивается, стоит ли давать такие задачи. Довольно распространена точка зрения, что такие задачи вообще не следует предлагать. С этой точкой зрения согласиться нельзя. Во-первых, отказ от таких задач фактически привел бы к почти полному изъятию из внеклассной работы логических задач на «рассуждение», так как большинство этих задач всегда затрудняют даже самых сильных учеников, и тем самым была бы обеднена работа но развитию логического мышления учащихся. Но главное возражение — в другом. Конечно, очень ценно, когда ученик, решая трудную задачу, решит ее. Но разве ученик, упорно размышлявший над задачей, настойчиво добивавшийся ее решения и все же ее не решивший, бесплодно потратил свои усилия и время? Нет, затраченные усилия, длительное размышление над задачей, попытки решить ее — отнюдь ке пустая трата времени, они имеют немалое развивающее и воспитывающее значение.

А когда затем на ближайшем собрании кружка ученик узнает решение так заинтересовавшей его трудной задачи, он испытает чувство высокого интеллектуального удовлетворения. И, может быть, одна из следующих трудных задач будет им решена.

С другой стороны, конечно, нельзя злоупотреблять трудными задачами; вводить в работу их следует осторожно, обязательно перемежая трудные задачи, как это уже не раз было указано, с задачами, посильными большинству кружковцев.

Помимо перечисленных пяти разделов, заимствованных из плана для VI класса, в план кружка VII класса, следует внести 2 новых раздела:

1) Задачи по алгебре и геометрии (задачи на построение и доказательство по геометрии и разного рода задачи и, в частности, задачи на доказательство по алгебре).

2) Математические софизмы и ошибки в математических рассуждениях.

Задачи по алгебре и геометрии целесообразно, в основном, предлагать членам кружка в порядке домашнего задания для самостоятельной работы с последующим разбором решений иа ближайшем собрании кружка. Математические же софизмы и ошибки в математических рассуждениях следует рассматривать на кружке, главным образом в виде доклада руководителя.

Таким образом, полный план работы математического кружка VII класса будет таким:

1. Теоретические доклады (докладчиками являются преимущественно ученики).

2. Решение арифметических задач повышенной трудности.

3. Собирание материала и составление задач, отражающих социалистическое строительство.

4. Решение задач по алгебре и геометрии.

5. Решение задач логического характера.

6. Математические софизмы и ошибки в математических рассуждениях.

(Отбирается доступный для учащихся VII класса материал из книг: Брадис и Харчева, Ошибки в математических рассуждениях и Литцман и Трир, Где ошибка?).

7. Математические викторины.

В заключение приводим в качестве образца несколько задач для самостоятельной работы кружковцев по алгебре и геометрии (к 4-му разделу плана).

1. Доказать: квадрат простого любого числа, большего 3, уменьшенный на единицу, делится на 24.

2. Доказать: любое нечетное число и половина следующего за ним четного числа — суть числа взаимно простые.

3. Доказать, что при любом значении а (а—1) (а —3) (а —4) (а— 6)+ 10

есть число положительное.

4. Доказать, что наименьшее значение

равно 1.

5. При каком значении с дробь

будет иметь наименьшее значение?

6. Что больше:

7. Решить систему:

8. Упростить:

9. Доказать, что число

m — любое целое число, всегда то же целое число.

10. Можно ли утверждать, что если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то эти треугольники равны?

Ответ на вопрос пояснить чертежом.

11. Дана прямая и по одну сторону ее две точки.

Найти на данной прямой точку, сумма расстояний от которой до двух данных точек будет наименьшая.

12. Допустим, что теорема «если есть Л, то есть и Въ справедлива. Будет ли всегда справедливой теорема, обратная противоположной?

Командные соревнования в решении задач между параллельными классами — вспомогательная форма внеклассной работы, назначение которой — подготовить почву для других видов внеклассной работы.

Элемент спортивности, характерный для этого вида внеклассной работы, увлекает учащихся, и при этом не только непосредственных участников «поединка».

В связи с этим в школе образуется своего рода «математическая атмосфера», которую затем можно использовать для других внеклассных мероприятий по математике.

На основе имеющегося опыта можно наметить такую организацию командных соревнований по решению задач:

Соревнования проводятся преимущественно в 1-й четверти учебного года. Параллельные классы выставляют одинаковую по численности команду — в 8 — 10 человек, причем лучший математик каждого класса (по оценке учителя и с учетом общественного мнения класса) значится в списке своей команды под № 1, следующий под № 2 и т. д.

Заготавливается 4 — 5 вариантов условий неодинаковой трудности: 1-й вариант — самый трудный, последний — самый легкий.

В назначенное послеурочное время команды занимают места друг против друга в порядке номеров по списку. 1-му и 2-му ученикам каждой параллели дается одинаковый вариант — № 1, 3-му и 4-му —вариант № 2 и т. д.

Соревнование проходит в виде письменной работы, на которую отводится 50 минут— 1 час.

Если варианты состоят из трех упражнений, то за каждое правильно решенное упражнение засчитывается 2 очка, при наличии дефектов — 1 очко, а за неверное решение или отсутствие его—0 очков: таким образом, каждый участник команды может выработать максимально 6 очков. Победителем соревнования считается тот класс, команда которого набрала большее число очков.

Желательно, чтобы проверка работ была произведена сразу но истечении времени, отведенного на письменную работу. В этом случае не только участники соревнования, но и их товарищи по классу обычно остаются в школе в ожидании, когда жюри объявит результат.

В V и VI классах упражнения по необходимости будут только арифметическими, а в VII классах—2 арифметических и 1 алгебраическое.

Вот примерный набор упражнений для VII класса.

Вариант № 1 (самый трудный)

1. Отцу 45 лет, а сыну 10 лет. Через сколько лет отец будет в 2-^— раза старше сына?

2. Магазин приобрел двое часов на 220 руб., а затем продал их: одни с 10% прибыли, а другие — с 10% убытка, причем всего получил 5% прибыли. Сколько заплачено порознь за часы магазином при их покупке?

3. Доказать, что сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть точным квадратом.

Вариант № 4 (самый легкий)

1. Из железного прута хотят сделать цепь либо из 80 звеньев, либо из 100. Во втором случае каждое звено будет на 5 г легче. Сколько весит прут?

2. Жители одного города на Украине разговаривают либо на украинском, либо на рус-

ском языке, либо на том и другом. По-украински разговаривают 84,2%, по-русски 78,8% жителей. Сколько процентов всего населения этого города разговаривают на обоих языках?

3. Доказать: квадрат любого нечетного числа, уменьшенный на 1, делится на 8.

Как видно, из приведенных образцов, задачи вполне доступны (нецелесообразно давать задачи, которые вызовут лишь чувство разочарования участников) для большинства успевающих учеников и позволят сделать и эту форму внеклассной работы достаточно массовой. Вместе с тем следует твердо потребовать уложиться в указанный срок (50 м. — 1 час), культурно оформить работы и дать, где необходимо, краткие грамотные пояснения.

Общешкольную математическую олимпиаду лучше всего проводить во II полугодии, полагая, что внеклассная работа по математике в I полугодии (командные соревнования, кружки и т. д.) создаст предпосылки, обеспечивающие достаточно массовый охват учеников. Поэтому лучшее время для олимпиады— период 15 января—15 марта, причем на всю олимпиаду отводится примерно 1 -i- месяца (например, с 25 января по 10 марта).

Можно наметить следующий порядок проведения олимпиады применительно к V —VII классам школы.

1) Олимпиада проводится в 2 тура.

2) Перед первым туром по классам, в кружках, через школьное радио, стенную газету и т. д. проводится разъяснительная и пропагандистская работа.

3) Вывешивается тщательно оформленный, по возможности, яркий и привлекающий внимание плакат с 5 — 6 интересными и трудными задачами «необычного» содержания (преимущественно из серии «логических задач»).

Для решения этих задач предоставляется все время вплоть до II тура. Сданные в письменном виде решения этих задач идут в зачет для выявления победителей олимпиады.

Вот примерный набор 6 таких задач:

1. На столе стоит полный кипящий самовар, продолжающий кипеть во все время чаепития. 5 человек могут выпить весь самовар в 1 -i- часа, а 8 человек — в 1 час. Во сколько часов выпьют самовар 11 человек?

2. (Задача, приписываемая Эйлеру):

Отец, умирая и решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, оставил такое завещание: «Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб. и часть остатка; следующий сын — 2000 руб. и -g- часть нового остатка; третий — 3000 руб. и -i- часть третьего остатка и т. д.». Требуется определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

3. Четырехзначное число, будучи умножено на 4, дает в произведении число, состоящее из тех же цифр, что и множимое, но лишь расположенных в обратном порядке. Найти это число.

4. В 8 часов вечера я зажег 2 свечи одинаковой длины: одну потолще (из тех, что сгорают за 5 часов), а другую — потоньше (из тех, что сгорают за 4 часа). Через некоторое время я потушил их, причем оказалось, что от толстой свечи остался огарок, в 4 раза более длинный, чем от тонкой свечи. Определить показание часов в тот момент, когда были погашены свечи.

5. Один брат говорит другому: «Когда тете Кате было столько лет, сколько теперь нам с тобою вместе, то тебе было столько лет, сколько мне теперь. А вот когда тете Кате было столько лет, сколько тебе сейчас, то тогда тебе было...». Может быть, вы скажете, сколько?

6. Поезд идет из Москвы в Ленинград. В поезде едут пассажиры Иванов, Петров и Сидоров. В поездной бригаде такие же фамилии имеют машинист, кочегар и кондуктор.

Известно:

Пассажир Иванов живет в Москве.

Кондуктор живет на полпути между Ленинградом и Москвой.

Пассажир, однофамилец кондуктора, живет в Ленинграде.

Ближайший по месту проживания сосед кондуктора (пассажир) зарабатывает в год ровно втрое больше кондуктора.

Пассажир Петров зарабатывает в год 20 000 руб.

Сидоров (из бригады) выиграл у кочегара партию на биллиарде.

Как фамилия машиниста?

4) Одновременно с плакатом, содержащим задачи «логической серии», во всех классах вывешиваются списки обычных, не особенно трудных тренировочных упражнений (15 — 20 упражнений). Решение тренировочных упражнений в течение 1 —-месяцев (между I и II турами) должно подготовить учеников к письменной работе II тура и в зачет при выявлении победителей олимпиады не принимается. Тренировочные упражнения для V и VI классов содержат лишь арифметические задачи, а для VII класса, помимо арифметических задач, и задачи по алгебре и геометрии.

5) Разъяснительная и пропагандистская работа, конструирование жюри олимпиады (с представительством ученических организаций), выдача заданий для самостоятельной работы — открывает I тур олимпиады. В течение 1 -^-месяцев, от начала олимпиады до заключительного II тура, примерно 1 раз в две недели проводятся специальные консультации, на которых разбираются предложенные учениками решения тренировочных задач.

6) К участию во II туре олимпиады допускаются ученики, проявившие в той или иной мере активность, о чем ученикам должно быть своевременно объявлено.

7) II заключительный тур олимпиады состоит из письменной работы, для решения которой предоставляется 1 --2 часа.

B V — VI классах работу можно дать из трех арифметических задач : одну — повышенной трудности, вторую такого же рода, как и задачи тренировочного набора (т. е. трудности, несколько выше средней), и третью задачу из наиболее простых задач «логической серии».

В VII классе можно дать одну задачу арифметическую (повышенной трудности), одну задачу из «логической серии» (эти две задачи могут быть те же, что и в V — VI классах, при условии одновременного проведения II тура во всех трех классах) и третью задачу — алгебраическую или геометрическую.

8) На основе результатов II тура и с некоторым учетом представленных решений задач I тура жюри присуждает звание «лучшего математика V класса», «лучшего математика VI класса» и т. д.

9) Оглашение результатов олимпиады и торжественное премирование победителей производится на специальном торжественном математическом вечере.

Математический вечер — одна из наиболее массовых форм внеклассной работы.

Разнообразие программы вечера, построенной так, чтобы внимание участников не утомлялось, некоторая праздничность и даже торжественность при проведении вечера — все это может возбудить интерес и привлечь на вечер даже инертных учеников и тем самым усилить «математическую атмосферу» в школе.

Как бы удачно ни проходили математические вечера, вряд ли целесообразно давать в течение года более двух вечеров, так как все же математический вечер является лишь полезным вспомогательным мероприятием и чрезмерное увлечение ими может пойти за счет основных форм внеклассной работы по математике.

Если в школе проводилась математическая олимпиада, то один из математических вечеров следует целиком посвятить закончившейся олимпиаде.

Так, например, если принять содержание олимпиады, описанной в предыдущем параграфе, то вечер может быть проведен по следующей программе:

I отделение—показ решений задач «логической серии» I тура и задач II тура, причем желательно показать решение одной и той же задачи разными способами, что, весьма вероятно, и фактически будет иметь место на олимпиаде.

II отделение — торжественная часть вечера:

а) Доклад жюри об итогах олимпиады. Доклад лучше предоставить члену учкома (с предварительным просмотром его на заседании жюри). В докладе должны быть приведены: ход олимпиады, статистические данные, фамилии наиболее активных участников, фамилии 2— 3 наиболее отличившихся учеников и, наконец, тех учеников, которым присваивается звание «лучшего математика» такого-то класса в текущем учебном году.

б) Торжественное премирование победителей (если, конечно, школа имеет возможность выделить некоторые средства на премирование).

Проведение математического вечера, не связанного с олимпиадой, следует приурочить к периоду, предшествующему олимпиаде. Поскольку вечер должен быть общешкольным и массовым, программу его лучше всего построить на базе работы арифметического кружка VI класса и «клуба веселых математиков» V класса и сделать I отделение вечера «деловым», а II отделение — развлекательным. Вот возможная примерная программа такого вечера.

I отделение

Доклад ученика «Правило ложного положения» (если, конечно, этот доклад в кружке был удачен) или доклад ученика «Двоичная система счисления», или шире—«Различные системы счисления» (тоже проверенный на кружке), или историко-биографический очерк, посвященный, например, Лобачевскому, и т. д.

Если можно предвидеть, что доклады не займут больше 20 минут каждый, то в I отделении можно поставить два доклада.

Кроме того, в I отделении может выступить и учитель, например, с сообщением: «Существует ли самое большое простое число?», в котором он популярно расскажет о распределении простых чисел и законности предположения, что в натуральном ряде есть последнее простое число, после чего приведет классическое

доказательство бесконечности множества простых чисел. Беседа о простых числах, естественно, может завершиться указаниями учителя на наличие ряда проблем в теории простых чисел, веками остававшихся неразрешенными, и на выдающуюся роль великих русских и советских математиков в разрешении этих проблем. В частности, следует рассказать о гениальном русском математике П. Л. Чебышеве и выведенной им формуле, характеризующей число простых чисел, заключенных между 1 и любым числом N, которую безуспешно долгое время искали самые выдающиеся математики мира.

В отдельных случаях окажется уместной и такая тема (конечно, для доклада учителя), как «История проблемы Гольбаха», где будет указано и о выдающихся достижениях советского академика И. М. Виноградова.

II отделение

Имея в виду аудиторию, в которой большую часть составляют ученики V и VI классов, придется исключить из программы с большим успехом проводившийся на математических вечерах старших классов такой эффектный и полезный номер, как демонстрация, с последующим разъяснением, различных математических софизмов и парадоксов. Поэтому, имея в виду аудиторию V — VII классов и целесообразность придать второму отделению яркий и увлекательный характер, программу этого отделения можно построить так:

а) Математические фокусы.

Желательно разъяснение математической основы показанных фокусов провести тут же на вечере; если же почему-либо это окажется затруднительным, то перенести разъяснение на ближайшее собрание кружка или «клуба веселых математиков».

б) Математическая викторина.

Для розыгрыша викторины следует подготовить жюри. По окончании викторины жюри объявляет: «По решению жюри победителями викторины являются ученики...» (называются 3 — 4 ученика).

Очень желательно победителям выдать маленькие подарки.

Если в школе налажена внеклассная работа и образовалась группа учеников-активистов, то достаточно даже вскользь брошенной мысли, чтобы возбудить инициативу по изданию математической стенной газеты. Это начинание окажется педагогически ценным, если редколлегию и авторский коллектив составят сами ученики.

Преимущественное содержание газеты — хроника текущей математической жизни школы.

Наряду с самокритическими заметками о неполадках в школьной работе по математике, газета дает репортерские статьи и заметки о математических кружках, о командных соревнованиях по решению задач, школьной олимпиаде, математических вечерах и т. д.; помещает решения наиболее интересных задач и вопросов викторины, рассмотренных незадолго до выпуска газеты; в отделе объявлений и информации полезно поместить те задачи, которые предложены ученикам на кружке и в проводящейся школьной математической олимпиаде. С успехом могут быть помещены в газете выдержки из наиболее интересных и удачных докладов, состоявшихся на математическом вечере или кружке, если, конечно, они укладываются в рамки небольшой газетной статьи.

Стенная газета должна быть красочна, художественно оформлена, удачно повешена, легко читаема. Среди рисунков в газете следует поместить и фотопортреты учеников, завоевавших первенство на олимпиаде, викторине или отличившихся каким-либо иным образом.

Математическая газета в школе не может быть жизненной, если она является чуть ли ни единственным внеклассным мероприятием. Прочный успех газеты возможен лишь тогда, когда она является естественным результатом полнокровной математической жизни в школе, наличия развернутой внеклассной работы и дружно работающего актива учеников-математиков.

Поскольку главное значение математической газеты — поднять «математическое настроение» в школе и тем самым привлечь широкие массы учеников к участию в основных формах внеклассной работы, не следует растрачивать время и энергию учеников на чрезмерно частый выпуск газет: 3 — 4 выпуска газеты за год, думается, будет вполне достаточным.

УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ:

1. «Живая математика» и другие книги Я. И. Перельмана из серии «Занимательная математика».

2. Перельман, Быстрый счет.

3. «Угадай число» и другие издания по занимательной математике Дома занимательной науки (в Ленинграде).

4. Игнатьев, В царстве смекалки (три тома).

5. Горячев и Воронец, Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики (изд. г903 г.).

6. Лямин, Математические досуги (изд. 1915 г.).

7. Лянченков, Математическая хрестоматия в двух частях (изд. 1913 г.).

8. Брадис и Харчева, Ошибки в математических рассуждениях (издание 1938 г.).

9. Литцман и Трир, Где ошибка? (изд. 1920 г.).

10. Берман Г. Н„ Приемы быстрого счета (изд. 1947 г.).

11. Берман Г. Н., Число и наука о нем (изд. 1949 г.).

12. Александров П. С, Н. И. Лобачевский — великий русский математик (изд. «Молодая гвардия», 1946 г.).

13. Радемахер и Теплиц, Числа и фигуры.

Н.Каменский и Либерман. Сборник задач и упражнений по арифметике. Пособие для учителей (изд. 1939 г.).

Статьи в журнале «Математика в школе»

1939 г., № 1 — Круповецкий «Задачи из современной жизни на уроках арифметики».

1939 г., № 6 —Чуканцов «К вопросу о политическом воспитании учащихся».

1940 г., № 3 —В разделе «Из опыта» помещены 6 статей о работе математических кружков.

1940 г., № 4 — В разделе «Из опыта» помещены 5 статей, посвященных опыту внеклассной работы.

1940 г., № 4 и 5 — Чуканцов «Ближе к практике».

1946 г., № 2 — Зарецкий «Кружок математической смекалки».

1948 г., № 5 — Соминский «Решение арифметических задач способом ложного положения».

1948 г., № б — Чуканцов «О воспитании у учащихся чувства советского патриотизма и советской национальной гордости в связи с изучением математики».

1949 г., № 3 — Песков «К вопросу о содержании арифметических задач».

Там же в разделе «Хроника» помещены две статьи о математических олимпиадах.

Задачи, построенные по материалам пятилетних планов, можно найти в следующих номерах журнала «Математика в школе»: 1938 г., N° 4; 1939 г., № 1; 1946 г., N° 5—6 и 1948 г., № 3.

Материал по истории математики помещен во всех номерах журнала «Математика в школе» за 1947 г. и 1948 г. (окончание в № 3 за 1949 г.) в виде работы проф. Юшкевича «Математика и ее преподавание в России XVII—XIX вв».

Кроме того, рекомендуется к использованию: Гнеденко В. В. — «Очерки по истории математико в России» (изд. 1946 г.).

Статьи в различных изданиях:

П. Ю. Германович — Повышение успеваемости и внеклассная работа» (доклад, напечатанный в «Трудах 1-ой научно-педагогической конференции в Ленинграде», изд. 1940 г.).

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК В СЕМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ

М. Н. ГОЛАЙДО (с. Первомайское, Брянской обл.)

Школьные кружки создаются на базе общих интересов определенной группы учащихся и призваны удовлетворить их (учащихся) запросы. Мы не собираемся игнорировать интересы школьников, однако считаем, что нельзя их и фетишизировать, ставить в центре всей работы, слепо следовать за ними. Интересы школьников следует учитывать и воспитывать.

Школьные кружки, организуемые учителями на основе выявления общих интересов учащихся, должны целенаправленно развивать инициативу, запросы и интересы школьников в определенной педагогической системе.

В предыдущие годы мы недооценивали организационную сторону работы, и потому имела место текучесть состава кружка, хотя и сохранялась постоянная группа актива.

Н. И. Алпатов* говорит, что «запись в кружок не следует обставлять какими-либо формальностями», но здесь же подчеркивает необходимость предварительных разъяснений о значении кружковой работы, чтобы способствовать «возбуждению интереса учащихся к занятию в кружке».

Если ученик не видел работы кружка, не знаком с ее содержанием, то вряд ли у него сразу выработается прочный интерес к кружку даже после такой «агитации» учителя.

Опыт организации предметных кружков с уставами, или ученических обществ, введенный в практику 110-й школы г. Москвы, показал, что эти общества являются высшим видом внеклассной работы. Ученические общества облекают эту работу в занимательную форму, предъявляют повышенные требования к своим членам, удовлетворяют их запросы и приучают к творческой работе.

Именно структура общества и была положена в основу организации нашего кружка. Правда, термин «общество» не привился в нашей школе и сохранилось название «кружок». Мы вполне разделяем мнение проф. А. Астряба**, который говорит: «На наш взгляд не следовало бы, однако, при организации кружковой работы излишне увлекаться внешней, декоративной стороной— кружок величать «обществом», а его руководителей «президентами», избирать в члены общества только одних отличников».

* Н. И. Алпатов, Внеклассная работа в средней школе, стр. 77.

** «Учительская газета» от 10 июня 1948 г.

В начале учебного года мы избрали организационную комиссию из бывших кружковцев и с их помощью опубликовали в кружковой газете «Эврика!» ряд задач с указанием числа очков, начисляемых за решение каждой задачи. Было объявлено, что в члены кружка будут зачислены те учащиеся, которые наберут большее число очков.

Кружок был популярен среди учащихся, и желающих попасть в него было много, а наличие некоторого препятствия раззадоривало, учащихся и вызывало спортивный азарт: кто наберет больше очков? Такая система комплектования состава кружка позволяет отобрать в кружок лучших и наиболее инициативных учащихся. По результатам вступительного конкурса было отобрано 30 постоянных членов из числа учащихся VI и VII классов. На первом занятии был избран совет кружка в составе 5 человек: председатель (учитель), заместитель председателя, секретарь, редактор газеты и библиотекарь, принят устав и название кружка, намечен план работы на I полугодие.

В «Пионерской правде» от 27 января 1950 г. члены нашего кружка писали:

«Золотой ключик» —так называется наш кружок. Назвали мы его так потому, что кружок этот математический. Ведь математика—это ключ, без которого не откроешь дверей ни в физику, ни в химию, ни в технику». Добавим, что в самом названии кружка есть что-то привлекательное.

В уставе были определены задачи кружка, организационная структура, права и обязанности его членов. Основными задачами кружка являются: углубление знаний учащихся в области математики, развитие математического мышления и интереса к изучению математики, знакомство с историей математики, с жизнью и деятельностью выдающихся математиков (преимущественно русских), развитие навыков самостоятельной творческой работы, изготовление наглядных пособий по математике и проведение практических работ.

Каждый член кружка обязан активно участвовать в занятиях кружка и в проводимом кружком конкурсе на решение задач, должен изготовить за год 1—2 наглядные пособия по математике. Общее собрание кружковцев имеет право исключать из состава кружка нерадивых членов и принимать новых членов, хорошо проявивших себя во внеклассной работе по математике. Члены кружка имеют единый членский билет и нагрудный металлический значок, платят членские взносы (2 рубля в год). На эти средства покупаются научно-популярные книжки (которые поступают в библиотеку кружка) и материалы для изготовления наглядных пособий.

Указанные организационные формальности могут показаться лишними, но нужно не забывать, что учащиеся семилетней школы еще подростки и эти моменты своего рода игры импонируют их характерам.

С другой стороны, такая организация позволила нам иметь крепкий по составу кружок, а широкая популяризация работы кружка среди других учащихся школы привлекала в кружок массу желающих. Многие руководители кружков допускают в свои кружки только тех учащихся, которые хорошо успевают по данному предмету. Мы тоже в основном выдерживали этот принцип, но мы допускали к участию в работе кружка всех учащихся, и часто именно кружок способствовал привитию учащимся интереса к изучению математики и повышению успеваемости.

Мы не собираемся переоценивать кружковую работу и ставить ее в центре всей учебной работы, но считаем, что наличие предметных кружков по ведущим учебным предметам должно быть обязательным в школе.

Занятия кружка проводились еженедельно в определенный день. Они были открытыми и закрытыми. На открытые занятия приглашаются все желающие, и часто собиралось до 60—80 учащихся. На закрытых занятиях члены кружка знакомятся с различными математическими загадками и фокусами, с оригинальными решениями задач, с математическими играми, а затем распространяют их среди других учащихся. Преимущество кружковцев в том, что они знают секрет всех этих загадок и фокусов и могут «щегольнуть» своими познаниями перед некружковцами. Интерес учащихся к кружку надо время от времени «подогревать», и указанная практика работы сильно способствует этому. Ученик хочет присутствовать на занятиях кружка, но ему не разрешают. Конечно, он постарается быстрее стать полноправным членом кружка.

Переходим к содержанию работы кружка. Руководитель математического кружка старших классов средней школы располагает большими возможностями в выборе материала для занятий кружка — здесь и познания учащихся в математике достаточно обширны и математическая литература содержит достаточно материала для внеклассной работы. В младших же классах подбор материала для кружковых занятий значительно труднее прежде всего ввиду ограниченности познаний учащихся, а также почти полного отсутствия специальной литературы.

Учащихся V—VII классов в значительной мере привлекает элемент занимательности, поэтому

примерно половина занятий нашего кружка была посвящена разбору и решению оригинальных задач. Занимательные задачи имеют большую давность и представляют собой большую ценность для преподавателя математики. Мы поэтому считаем, что такие задачи должны включаться в стабильные сборники задач и время от времени разбираться на уроках.

На своих уроках мы всячески поощряем учащихся, отыскивающих оригинальные решения задач (где это возможно), приветствуем и разбираем найденные учащимися различные варианты решения одной и той же задачи.

Мы полностью согласны с С. И. Новоселовым* по вопросу: «Нужны ли задачи с яркой красочной фабулой, задачи с занимательным условием, задачи, оперирующие с конкретными, взятыми из жизни данными? Здесь не может быть двух мнений: такие задачи нужны..., вопрос должен быть поставлен о количестве и о месте этих не стандартных по содержанию задач».

Нет нужды доказывать, что в семилетней школе кружковая работа в значительной степени должна базироваться на таких задачах. Практика нашей работы показала исключительный интерес учащихся к оригинальным задачам.

Учитывая то, что познания учащихся в алгебре и геометрии еще незначительны, а арифметикой учащиеся овладели почти полностью, мы рассматривали главным образом арифметические задачи.

Содержание задач доводилось до сведения кружковцев и других учащихся школы или через газету «Эврика!» и бюллетень «Давайте поспорим!» или сообщалось на занятиях кружка. В конце занятия руководитель сообщает задачу и предлагает приготовить ее решение к следующему занятию кружка.

Вот пример такой задачи:

Через сколько минут?** Я иду от дома до школы 30 минут, а мой брат 40 минут. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 минут раньше меня?

На следующем занятии разбираются решения этой задачи. Большинство кружковцев дают такое решение (такое же решение прислали кружку и ученики 5-6 класса 206-й школы гор. Москвы):

Принимаем расстояние от дома до школы за 1.

1. Какую часть расстояния от дома до школы прохожу я в 1 минуту?

2. Какую часть этого расстояния проходит в 1 минуту мой брат?

3. Какую часть всего расстояния составляет разность наших скоростей?

4. Какую часть пути пройдет мой брат за 5 минут?

5. Через сколько минут я догоню брата?

Но вот кто-то сообщает, что ученик М. нашел другое решение. Тот поднимается и спокойно говорит:

«Да тут же совсем просто. Брат тратит на всю дорогу на 10 минут больше, чем я. Но он вышел из дому на 5 минут раньше меня, поэтому придет в школу на 5 минут позже меня. Следовательно, я догоню брата на середине пути, т. е. через 15 минут».

Минутное молчание — учащиеся вдумываются в решение, потом — широкие улыбки на лицах и бурное выражение восторга:

— Смотри, как просто! Как же это мы не додумались до этого?

А назавтра многие кружковцы будут «приставать» к своим товарищам, не бывшим на занятии кружка:

«А ну, Петя, реши в 2 минуты задачу... И к концу дня эта задача и ее оригинальное решение будет известно почти всем учащимся школы (а иногда и родителям учащихся).

На этом же занятии руководитель кружка предлагает еще 2—3 подобных задачи.

Пешком и на машине. Инженер, работающий за городом, ежедневно приезжает поездом на одну станцию в 8 часов утра. В это время за ним приезжает машина, и он попадает на завод во-время. Однажды инженер приехал на станцию на полчаса раньше обычного и, не дожидаясь машины, пошел пешком к заводу. Встретив на пути машину, он сел в нее и приехал на завод на 10 минут раньше обычного. Во сколько раз скорость машины больше скорости пешехода?

* Журнал «Математика в школе», 1946, № 2.

** Для удобной ориентировки в рассматриваемых задачах мы даем заголовок к каждой задаче.

Решение. Машина вернулась на завод на 10 минут раньше обычного, потому что она не доезжала до станции. Эти 10 минут она затратила бы на путь от места встречи с инженером до станции и обратно. Следовательно, чтобы проехать этот путь в один конец, например, от станции до места встречи с инженером, машине потребовалось бы 5 минут. А чтобы пройти это расстояние пешком, инженер затратил 30 — 5= 25 минут, значит, скорость машины больше скорости пешехода в 5 раз.

Мотоциклист и верховой. На аэродром к прибытию самолета был выслан мотоциклист из почтового отделения. Самолет прибыл раньше установленного срока, и привезенная почта была направлена в город с верховым. Проехав полчаса, верховой встретил мотоциклиста, который принял почту и, не задерживаясь, повернул обратно. В почтовое отделение мотоциклист прибыл на 20 минут раньше чем следовало. На сколько минут раньше назначенного срока самолет прибыл на аэродром?

Ответ: на 40 минут.

Следует отметить, что эти задачи оказались по силам не всем учащимся, даже кружковцы-семиклассники не все дали приведенное выше короткое решение первой задачи. Это и не удивительно. Обычно в решениях задач преобладает вычислительная сторона, решение всякой задачи учащиеся стараются свести к знакомому типу. Здесь же вычисления сокращены до минимума, а главное место занимают логические рассуждения. Однако это не пугало учащихся, наоборот, они просили еще и еще подобных задач. Они рассказывали, что над задачами они размышляли по дороге из школы домой или во время всевозможных работ дома. И в школе до уроков и на переменах очень часто можно было видеть учащихся, занятых обсуждением задач, предложенных кружком. Иногда кружковцы давали такие решения, которые не приходили в голову и руководителю кружка. Однажды им была предложена задача.

От Гомеля до Брянска. Ежедневно в 4 часа утра из Гомеля отправляется товарный поезд, который встречается в 5 часов вечера в Брянске с пассажирским поездом, идущим из Москвы и прибывающим в Гомель в 11 час. 30 мин. ночи.

Однажды товарный поезд вышел из Гомеля часом позже и встреча с московским поездом произошла в 16 км от Брянска. Узнать расстояние от Гомеля до Брянска.

Предполагалось определить сначала, какую часть искомого расстояния составляют 16 км. Ученица VII класса X. дала такое решение:

Товарный поезд проходит расстояние от Гомеля до Брянска за 13 часов, а пассажирский поезд проходит это же расстояние за 6,5 час. Следовательно, пассажирский поезд идет в 2 раза быстрее товарного. В день опоздания товарного поезда в 5 часов вечера пассажирский поезд был в Брянске, а товарный — на расстоянии одного часа езды от Брянска. Это расстояние проехали два поезда навстречу друг другу, причем до встречи пассажирский поезд прошел две части этого пути (или 16 км), а товарный одну часть.

Отсюда скорость товарного поезда будет 16 + 8 = 24 (км в час), а искомое расстояние от Гомеля до Брянска 24X13 = 312 (км).

Такие оригинальные решения мы стремились сделать достоянием всех кружковцев, а через них — и всех учащихся школы.

Ясно, что и в кружковой работе задачи нужно предлагать в определенной системе, чтобы приобретаемые навыки закреплялись в сознании учащихся. Вот пример такой системы в работе нашего кружка. Однажды в бюллетене «Давайте поспорим!» совет кружка предложил задачу:

День леса. В «день леса» двум пионерским отрядам—учащимся IV и VI классов нашей школы — было поручено посадить деревья по обе стороны улицы села по равному числу на каждой стороне. Чтобы «не ударить лицом в грязь» перед шестиклассниками, пионеры IV класса вышли пораньше и успели посадить 5 деревьев, пока пришли шестиклассники, но оказалось, что они сажали деревья не на своей стороне.

Пришлось идти на свою сторону и вновь начинать работу. Шестиклассники, конечно, закончили свою работу раньше, и Володя, председатель совета отряда, предложил:

— Пойдем ребята, поможем команде IV класа!

Пришли, посадили 5 деревьев, отдали, значит, долг и еще успели посадить 5 деревьев, и вся работа была закончена. И тут Володя сказал:

— Хоть вы пришли и раньше нас, но все-таки мы вас обогнали.

— Подумаешь, обогнали! На 5 деревьев только,—возразил Гриша из IV класса.

— Нет, не на 5, а на 10 — зашумели шестиклассники.

В спор вступили все. Одни кричат «на 5», другие— «на 10», да так и не переспорили друг друга. И в спор вовлекаются почти все учащиеся школы, от VII до II—III классов. Спорят у бюллетеня, спорят в классах, на школьном дворе, на улице. И это очень хорошо. С одной стороны, эта работа способствует развитию логического мышления, так как каждый

спорящий пытается как-то доказать свое утверждение, а с другой стороны, способствует разумному проведению учащимися свободного от уроков времени в школе.

Учащиеся скоро добираются до истины, и тогда спор затихает. Это вынуждает часто (например, еженедельно) выпускать бюллетень. Зато не очень обременительно, если внешнее оформление бюллетеня делать через специально изготовленный из плотной бумаги или картона трафарет с помощью пульверизатора. Материал же для споров всегда можно найти, и не только в арифметике, но и в алгебре и геометрии. Вот примеры:

Что больше: —х или 2х? х или je2? X или X3? х+\ или 1? Может ли произведение ab быть меньше частного -г- ?

Может ли сектор быть сегментом?

Сколько получится углов, если из одной точки плоскости провести 3 луча? 5 лучей? п лучей?

Сколько получится углов, если внутри данного угла АРБ из его вершины проведем 3 луча ? 5 лучей? п лучей? и т. д.

Вернемся, однако, к задаче о «дне леса». Смысл ее весьма прост. Прежде всего ясно, что шестиклассники перевыполнили свое задание на 5 деревьев, а потому четвероклассники недовыполнили свое задание на 5 деревьев. И следовательно, первые посадили на 10 деревьев больше, чем вторые.

Не нужно удивляться простоте этой задачи. То, что для нас, знающих, просто и ясно, в такой же степени сложно и подчас трагически непонятно для учащихся. Более того, эту задачу мы предлагали и взрослым учителям, студентам вузов, и от них далеко не сразу получали правильный ответ.

Делясь впечатлениями о вступительных экзаменах в Московское педучилище им. Ушинского, Я. А. Шор* говорит: «Мы многократно предлагали учащимся такую задачу: «У Вани и Пети тетрадей было поровну. Ваня дал Пете 2 тетради. На сколько тетрадей стало больше у Пети?— и неизменно получали ответ: «на 2 тетради».

На следующем занятии кружка мы подводим итоги дискуссии (правильный ответ печатается затем и в бюллетене) и разбираем еще ряд аналогичных вопросов. Вот еще задача из сборника Е. С. Березанской № 1062: «В двух ящиках всего 381/4 кг гвоздей; если из одного ящика переложить в другой 48/4 кг гвоздей, то в обоих ящиках гвоздей станет поровну. Сколько килограммов гвоздей было в каждом ящике первоначально?»

Предложите вопрос: На сколько килограммов гвоздей было больше в одном ящике, чем в другом?— и не сразу получите правильный ответ. Решают ученики эти задачи обычно «с конца»: узнают сначала, сколько гвоздей в каждом ящике после перекладывания 48/4 кг гвоздей из одного ящика в другой, а потом, сколько килограммов гвоздей было в каждом ящике первоначально. Редко кто сведет задачу к типовой разности.

На этом же занятии кружка мы ставим и такой вопрос:

Скорость течения реки 1,5 о в час. На сколько километров в час больше будет скорость движения катера по течению, чем против, течения?

Семиклассница X. дала обобщение вопроса и его «доказательство»: если собственная скорость катера (в стоячей воде) будет х км\час, а скорость течения реки у км\час, то скорость катера по течению будет (х+ у) км\час, против течения (л; — у) км/час, а разность их составит: (х+у) — (х—у) = 2у, т. е. будет вдвое больше скорости течения реки.

После этого учащиеся легко справились с задачей № 1076 из сб. Березанской: «Лодка, идя по течению реки, прошла расстояние между двумя пунктами за 41/2 часа; обратно она прошла это же расстояние за 6 часов. За сколько часов пройдет это расстояние плот, увлекаемый только силой течения?» А к следующему занятию им было предложено решить задачу:

От Горького до Астрахани. Пароход идет от Горького до Астрахани 5 суток, а от Астрахани до Горького 7 суток. Сколько времени плывут по течению плоты от Горького до Астрахани?

Указание, что эта задача разбиралась математическим кружком при МГУ, помещалась в журнале «Математика в школе», содержится в сборнике задач по физике для старших классов, сильно повысило интерес к ней.

Вскоре пришла «Пионерская правда» от 15 ноября 1949 г. с задачей:

«Помогает ли ветер? Самолет летел из Москвы в Ленинград. Пассажиры заспорили, в какую погоду самолет долетит быстрее до Ленинграда и вернется обратно в Москву: в безветреную или при ветре, который все время дует в одном направлении и с одинаковой силой.

Попробуйте разрешить их спор».

Какие только мнения не высказывались учащимися? Как курьез, отметим утверждение

* Журнал «Математика в школе», 1949, № 2, стр. 29.

трех учеников: против ветра самолет будет лететь быстрее. Объясняли они это тем, что в этом случае пропеллер самолета будет вертеться быстрее. Это «обоснование» ученики, очевидно, почерпнули из личного опыта по устройству ветряных вертушек.

Постепенно возбуждение улеглось, стали поступать правильные решения. Шестиклассник К. заявил, что в тихую погоду самолет быстрее слетает в Ленинград, и дал такое объяснение. В тихую погоду самолет летит туда и обратно с одинаковой скоростью и одинаковое время. Если же ветер дует попутный в одну сторону, например от Москвы к Ленинграду, то скорость самолета по ветру увеличится, а против ветра уменьшится на такую же величину, а так как полет против ветра займет значительно больше времени, чем по ветру, то проигрыш во времени будет больше выигрыша. Если же ветер дует не вдоль пути, то он тоже будет задерживать полет самолета.

Эти рассуждения многим кружковцам показались неубедительными, и они опять заспорили. Конец спору положил семиклассник М. :

— Пусть собственная скорость самолета будет хкм\часу а скорость ветра (вдоль пути полета) укм\час. Тогда скорость самолета при попутном ветре будет (х+у) км\час, а при встречном (х—у) км\час. Если расстояние в одну сторону будет а км, то при ветре самолет слетает в Ленинград за часов, а при тихой погоде — за часов.

Сравнивая полученные дроби, видим, что у них числители одинаковы, а знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй, поэтому первая дробь больше второй, т. е. в ветреную погоду самолету нужно больше времени на полет, чем в тихую.

Это — уже глубокое исследование вопроса.

Приобретенные в результате решения задач этой группы навыки оказались прочными. Учащиеся легко справились с решением задачи, предложенной спустя 4 месяца в 1-м туре районной математической олимпиады :

Узнать скорость лодки. Лодка проходит расстояние между двумя пунктами по течению вдвое быстрее, чем против течения. Известно, что скорость течения реки 2,5 км в час. Определить скорость лодки в стоячей воде.

Не вызывало затруднений для семиклассников и решение таких задач на составление уравнений, как № 456, 457, 491, 492 из сборника Шапошникова и Вальцова, ч. I. Нередко они давали и арифметические решения задач наряду с решением методом уравнений.

Четыре занятия кружка мы посвятили работе над материалами статьи И. С. Соминского*. Как указывает сам автор, специально подобранные упражнения в проведении логических рассуждений позволяют «не только значительно облегчать изучение первых теорем, но и устранить бессмысленную зубрежку, к которой в это время так часто прибегают ученики». Практика нашей работы подтвердила этот вывод. Даже семиклассники с большим интересом решали задачи из указанной статьи.

На занятиях кружка предлагались и небольшие задачи, вроде следующих:

1. Кирпич весит 1 кг и полкирпича. Сколько весит кирпич?

2. Книга с переплетом стоит 7 руб. 50 коп., причем книга дороже переплета на 7 руб. Сколько стоит переплет?

3. Два ученика живут в многоэтажном доме: Ваня — на втором этаже, а Петя—на шестом. Во сколько раз квартира Пети выше от земли, чем квартира Вани?

4. 5 землекопов в 5 часов выкапывают 5 м канавы. Сколько нужно землекопов, чтобы в 100 часов выкопать 100 м канавы?

Такие задачи тут же и разбирались до конца. Обычно сначала ученики давали неправильный ответ. Но мы не торопились, давали возможность высказаться каждому и самим прийти к правильному ответу.

Мы всегда стремились направить учащихся на путь самостоятельных исследований, и иногда они сами делали «открытия».

После решения задачи — Какое числа задано?

У меня есть пятизначное число. К этому числу надо прибавить 200000 и сумму умножить на 3. Вместо этого я приписываю к заданному числу справа цифру 2 и получаю правильный результат. Отгадайте, какое число было мне задано**?

мы нашли число 85714. Действительно, прибавив к нему 200 000, получаем 285714, а умножив на 3 — 857142.

Кто-то из кружковцев заметил, что вместо умножения числа 285714 на 3 достаточно цифру 2 этого числа перенести из начала в ко-

* Журнал «Математика в школе», 1947, №4.

** «Пионерская правда» от 15 ноября 1949 г.

нец числа. Это побудило нас предложить кружковцам следующую задачу*.

Удивительная цифра. Найти целое число, оканчивающееся цифрой 2 и такое, что если эту цифру 2 переставить из конца в начало, то новое число будет в 2 раза больше первоначального.

Сами учащиеся не смогли найти решения этой задачи, а показанное нами простое арифметическое решение** им очень понравилось. Тогда мы предложили учащимся составить и решить аналогичные задачи для других цифр. К следующему занятию были найдены решения почти для всех цифр. Никак не получалось решение задачи с цифрой 5. Семиклассник Д. попытался доказать, что здесь и не может быть решения.

Вот ход его рассуждений. Искомое число должно начинаться цифрами 10..., а произведение цифрами 510... Цифры же 10... нельзя получить при умножении на 5. При умножении на 5 мы получаем число, оканчивающееся нулем или пятью. В случае нуля мы не получим цифр 10... в произведении, в случае цифры 5, мы тоже не получим этих цифр, так как для этого нужно к некоторому произведению прибавлять 5 «замеченных» единиц предыдущего разряда, чего не бывает при умножении на 5.

К этой группе задач нужно отнести и задачу***:

Одними восьмерками. На какое число нужно умножить 333667, чтобы получить в произведении число, изображенное одними восьмерками.

Предлагалась также задача.

Тремя цифрами. Написать тремя цифрами самое большое число.

Сначала кружковцы дали число 999, затем после указания руководителя об использовании математических действий — числа 99* и 9“. Но тут заспорили, какое число будет больше. Нашли и решение скоро.

9“ содержит 99 множителей 9, а 999 = 99• 119 только 18 множителей, близких к 10. Ясно, что 99'>999 на много. Руководитель кружка предлагает попытаться увеличить еще показатель степени, и тогда было предложено число 999-Но тут опять заспорили, в каком порядке производить действие: (99)9 или 9(99)-

Проверяют: (99)9, ==99'9 = 981. Это число меньше даже числа 9“. Наибольшим числом будет 9(э9), так как это число есть произведение 99 девяток.

Учащиеся не представляли грандиозности этого числа, а когда руководитель зачитал выдержку из книги Литцмана «Великаны и карлики в мире чисел», учащиеся ахнули и... не поверили.

Учителя часто жалуются на отсутствие в сборниках хороших задач на такие разделы, как зависимость между компонентами и результатами арифметических действий и делимость чисел. Вот примеры таких задач.

Найти верную сумму. При сложении нескольких чисел ученик допустил следующие ошибки: цифру единиц 2 он принял за 9, а цифру десятков 4 принял за 7. В результате у него получилось 52750. Найти верную сумму.

Каждый учитель может составить целый ряд таких задач, даже на материале работ своих учеников и кстати поговорить о необходимости четкого написания цифр.

Сообразительный мальчик. Мальчик купил в магазине 6 перьев, несколько тетрадей по 30 копеек и 3 карандаша. Продавец выписал ему чек на 2 руб. 20 коп.

— Вы ошиблись, — сказал ему мальчик, как только взглянул на чек.

Продавец удивился, как мог мальчик так быстро, даже не посчитав денег, заметить ошибку, но все же он проверил сумму, и оказалось, что мальчик был прав.

Подумайте, как мог мальчик сразу заметить ошибку.

Рассматриваемые на занятиях кружка арифметические вопросы часто принимали характер исследований с помощью алгебры, как это видно из изложенного. Кроме того, на занятиях кружка ставились и специальные алгебраические вопросы.

Из геометрии рассматривались различные головоломки, задачи на доказательство, оригинальные решения задач на построение. С удовлетворением отмечаем, что для некоторых задач на доказательство и на построение учащиеся давали до 5 различных вариантов решений. Отыскивались новые доказательства теорем, изучаемых на уроках. Так было найдено доказательство 3-го признака равенства треугольников методом наложения, доказательство теоремы о сумме углов треугольника проведением через одну из его вершин прямой, параллельной противоположной стороне, новые доказательства теорем о средней линии треугольника и трапеции и некоторых других.

* Журнал «Математика в школе». 1946, № 1, задача № 4.

** См. журнал «Математика в школе», 1946, № 4.

*** Журнал «Математика в школе», 1947, № 3, задача № 57.

Найденные доказательства рассматривались затем на уроках. Это способствовало поднятию общего уровня знаний учащихся. Исключительный интерес кружковцев вызвали построения на ограниченном куске бумаги, на котором не помещаются строящаяся фигура или нужные построения, и так называемые задачи «с препятствием», или с ограничением чертежных инструментов. Поскольку такие задачи достаточно общеизвестны, мы не будем их приводить.

На закрытых занятиях, на которых имели право присутствовать только члены кружка, рассматривались, как уже было указано, математические загадки и фокусы, софизмы и игры.

Хороший арифметический фокус, основанный на свойстве числа 1001, описан в книге Я. И. Перельмана «Живая математика», 1949 г., стр. 15.

Вот еще аналогичные примеры.

1. Ведущий говорит присутствующим:

— Задумайте каждый какое-либо трехзначное число, но такое, чтобы цифра сотен не равнялась цифре единиц. Напишите обращенное для него число, т. е. число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке, и найдите разность этих чисел (от большего отнимите меньшее). Напишите опять обращенное число для этой разности и сложите последние два числа. Я берусь угадать, сколько у вас получится.

Когда учащиеся сообщат, что вычисления закончены, ведущий подает каждому кусочек бумаги с написанным числом, и все они заявляют, что результат угадан верно.

Скоро учащиеся узнают, что тут и угадывать нечего, так как всегда получается одно и то же число 1089, но доказать, почему это так, никто из кружковцев не смог. И в литературе мы не встречали такого доказательства.

Пусть для определенности в задуманном числе abc, будет а>с. Обращенное число напишите так: сЬа, а разность их даст:

Написав обращенное число:

производим сложение:

Примечание. Скобки в этих записях обозначают соответствующую цифру сотен или единиц.

2. Ведущий предлагает написать любое многозначное число и обещает быстро приписать к этому числу справа или слева одну цифру, такую, что новое число разделится на 11. Например, к числу 273683 справа приписать цифру 3 или слева — цифру 8. «Секрет» этого фокуса основан на известном признаке делимости на 11.

3. Любое заданное, не более чем трехзначное число ведущий берется дополнить до шестизначного числа так, что это новое число разделится на 37, без остатка. Причем обещает сделать это быстро, не задумываясь. Например, к числу 321 можно приписать 012, 123, 234 и т. д. Более того, можно к полученному шестизначному числу приписать еще 6 цифр, и новое число будет делиться на 37.

Учащиеся поражены такой способностью устного счета (шутка ли, многозначное число делить на 37!), тем более, что здесь «секрет» открыть не легко, а приписываемые числа имеют много вариантов.

Сущность же способа заключается в следующем:

а) Если имеются два трехзначные числа, из которых каждое в отдельности не делится на 37, а сумма их делится на 37, то шестизначное число, составленное из этих двух чисел, делится на 37. Действительно, пусть трехзначные числа а и ft не делятся каждое на 37, а сумма а+Ь делится на 37. Тогда составленное из этих чисел шестизначное число

будет делиться на 37.

б) Всякое трехзначное число, написанное одинаковыми цифрами, всегда делится на 37, так как 111 =37-3.

Этими двумя особенностями мы и пользуемся. Ко всякому данному трехзначному числу мы приписываем дополнение его до какого-либо (не обязательно ближайшего) трехзначного числа, выраженного одинаковыми цифрами. Приведенные выше числа дополняют число 321 до 333, 444, 555 и т. д.

Если дается двузначное или однозначное число, то к нему сначала приписываются одна или соответственно две произвольные цифры, а потом поступают, как выше.

Чтобы больше скрыть «секрет», можно к приписываемому дополнению прибавлять или от него отнимать числа, кратные 37. Так

к упомянутому числу 321 можно еще приписывать 049, 086, 160, 197 и т. д. Эффект этого фокуса поразительный.

Члены кружка научились заполнять так называемые «магические квадраты» с любым числом клеток, угадывать задуманные числа по числовым таблицам (пример серии таких таблиц есть в книге Г. Б. Поляка «Занимательные задачи», стр. 71).

На занятиях кружка разбирались и игры, имеющие в основе своей математическое содержание.

Игра в монеты. Два игрока по очереди кладут на прямоугольный стол или лист бумаги одинаковые монеты. Монеты можно класть только на свободные места, чтобы они не закрывали друг друга даже отчасти, сдвигать монеты с мест, на которые они положены, нельзя. Каждый игрок имеет достаточное количество монет.

Выигравшим считается тот, кто положит монету последним. Как должен положить монету начинающий игру, чтобы обеспечить себе выигрыш?

Игра имеет геометрическое содержание: центр первой монеты нужно совместить с центром (точкой пересечения диагоналей) прямоугольника и в дальнейшем класть монеты симметрично монетам партнера относительно этого центра.

Долгое время среди учащихся имела распространение «игра в 15», перекладывание монет, тайная переписка с помощью квадратной решетки (см. «Живая математика» Я. И. Перельмана).

В работу кружка мы вводили и разбор математических софизмов, доступных пониманию наших учащихся. Останавливаться на этом вопросе здесь мы не будем, а отошлем читателя к статье В. Л. Минковского «Математические софизмы и их педагогическая роль»*, содержащей соответствующие методические указания.

Кружковцы активно распространяли. приобретенные знания и навыки среди других учащихся. Пятиклассник, побывавший на закрытом занятии кружка, назавтра уже «атакует» товарища:

— Какая твоя любимая цифра? Пять? Хорошо! Умножь ее на 9... Умножил? Теперь умножь число 12345679 на 45.

Тот умножает и получает в произведении одни пятерки.

— Ну, а ты, Ваня, с двойками не расстаешься. Проделай-ка то же самое со своей двойкой, может получше цифра улыбнется... Ну что? Девять двоек получил! Придется, видно, тебе поднажать на учебу.

Значительную долю в проведении работы кружка несли сами кружковцы. Заранее подготовившись, они выступали с решениями задач, с сообщениями по истории математики, были ведущими в математических играх и фокусах. Выступления кружковцев увязывались друг с другом руководителем кружка и по своему содержанию объединялись общей темой.

Вот как прошло у нас, например, изучение темы «Некоторые свойства натурального ряда чисел». Сначала руководитель рассказал, что понимают под названием «натуральный ряд чисел», указал на бесконечность этого ряда. Затем один кружковец рассказал о славянском счислении, употреблявшем такие разрядные единицы, как «тьма», «легион» и др., другой — о счислении, введенном Архимедом в его книге «Исчисление песчинок», третий — о современной4 позиционной десятичной системе счисления. В частности, здесь учащиеся с большим удовлетворением узнали названия классов десятичной системы вплоть до 15-го, ведь они часто спрашивали учителей: «Как прочитать вот это (показывают 20—30-значное) число?»

Этим была подготовлена почва для изучения под руководством учителя недесятичных систем счисления. Здесь место и для объяснения таких парадоксов, как 2X2 = 100 или «загадочной биографии» из книги Я. И. Перельмана «Занимательная арифметика». Одно из занятий было посвящено знакомству с великими проблемами теории чисел: проблемой Гольдбаха и проблемой Варинга, великой теоремой Ферма. Учащимся стали известны простые «числа-близнецы», «совершенные» числа, наибольшее известное простое число, теорема П. Л. Чебышева о распределении простых чисел в ряду натуральных.

В своих небольших докладах учащиеся отмечали исключительную роль русских и, в частности, советских ученых в развитии математики.

Вот краткий конспект одного такого доклада.

«Проблема Гольдбаха

В 1742 г. русский академик Христиан Гольдбах в письме к другому русскому академику Леонарду Эйлеру высказал предположение, что каждое целое число, большее 3, может быть разложено на сумму не более чем трех простых чисел. Например: 8 = 5-{“3, 18=11-1-7, 21 = 11+7+3; 39=17+17 + 5 и т. д.

Многочисленные попытки доказать эту теорему Гольдбаха оканчивались неудачей. Стали искать примеры, противоречащие ей. Проверили все числа до 9 000 000, но таких примеров не нашли. Вместе с тем в деле доказательства

* Журнал «Математика в школе», 1946, № 5—6.

этого предложения никаких продвижений не получилось: ведь проверено было только конечное число чисел, а бесконечное множество их осталось нерассмотренным. Попытки дать общие доказательства ни к чему не приводили, и в 1912 году один из лучших математиков сказал: «Проблема Гольдбаха превосходит силы современной математики».

Первый крупный успех в решении этой проблемы был достигнут в 1930 году советским математиком Л. Шнирельманом. Он доказал, что всякое целое число может быть представлено в виде суммы не более чем 800 000 простых слагаемых. Конечно, это очень далеко от полного решения проблемы: 800 000 слагаемых вместо трех, но к 1937 году методом Шнирельмана число слагаемых было понижено до 67. Очевидно, можно было и дальше понижать границу числа слагаемых, но это требовало больших усилий.

Выдающихся результатов в решении проблемы Гольдбаха достиг в 1937 году другой советский математик И. М. Виноградов, который доказывал теорему своим методом. Он доказал, что всякое достаточно большое нечетное число может быть представлено в виде суммы трех простых слагаемых, что почти полностью решало проблему Гольдбаха.

Так советскими математиками была решена одна из великих проблем математики, над которой ученые всего мира трудились почти 200 лет».

В конце занятия по этой теме учащиеся сделали вывод, что и в математике еще не все открыто и доказано, а руководитель шутя добавил, что это, очевидно, придется сделать в будущем кому-нибудь из членов нашего кружка.

Рассказом о школьных годах Гаусса было положено начало изучению в доступной форме арифметической и геометрической прогрессий. Существует рассказ о том, как однажды в начальной школе, где учился Гаусс, учитель, желая выиграть время для занятий с другим классом, дал детям очень громоздкое задание — найти сумму всех чисел от 1 до 100. Однако выгадать время не удалось: маленький Гаусс моментально написал ответ задания: 101-50 = 5050.

Какой неподдельный восторг был написан на лицах кружковцев, когда они услышали этот рассказ!

Разобрав несколько задач на прогрессии, чтением «Рассказов о числах-великанах» из книги Я. И. Перельмана «Живая математика» мы закончили изучение темы о натуральном ряде чисел.

Примерно в таком же плане проводилось изучение и других тем.

Особо отметим два школьных вечера, посвященных С. В. Ковалевской и Н. И. Лобачевскому.

Первый был проведен 15 января — в день столетия со дня рождения С. В. Ковалевской. Программа вечера:

1. Жизнь и научная деятельность С. В. Ковалевской — доклад учителя.

2. Математическая викторина — ведущий учитель.

3. Математические фокусы:

а) Отгадывание по таблицам задуманных чисел — ведущий ученик К.

б) Фокус с карандашом — отгадывание, кто взял у ведущего и в какой карман положил себе карандаш — ведущий ученик Д.

Для викторины подбиралось 10 несложных вопросов и задач, например:

1) Почему передняя ось телеги стирается быстрее, чем задняя?

2) Какой знак надо поставить между цифрами 2 и 3, чтобы получить число, большее 2 и меньшее 3? и т. п.

Ведущий читает вопросы, делая после каждого из них 3 — 5-минутную паузу. Участники викторины записывают ответы на листках и в конце подают эти листки жюри.

Победитель викторины премируется.

Второй вечер по аналогичной программе был проведен после изучения в VI классе аксиомы параллельных.

Члены кружка провели ряд практических работ на местности. Исключительный интерес вызвали различные способы определения расстояний, недоступных для непосредственного измерения.

Каковы результаты работы кружка? Прежде всего отметим, что работа кружка в значительной степени способствовала привитию интереса, к изучению математики не только у членов кружка, но и у остальных учащихся школы и повышению успеваемости по математике. В своих отзывах о работе кружка учащиеся единодушно отмечают, что занятия в кружке помогли им лучше овладеть математикой.

«Занимаясь в математическом кружке, я повысил свои знания по математике: я научился быстро вести вычисления в уме», — пишет шестиклассник X.

Семиклассник Д. пишет: « На занятиях кружка нам предлагались интересные задачи, решение которых позволяло лучше усваивать математику. Многие из них не требовали для своего решения карандаша и бумаги, но поддавались не сразу, и я подолгу носил их в голове. Кон-

курсные задачи я старался решать все. Это приучало меня к настойчивости».

О росте успеваемости говорят и результаты весенних экзаменов: более 3/4 семиклассников получили хорошие и отличные оценки, обнаружив глубокие и прочные знания по алгебре и геометрии.

Учащиеся ознакомились с некоторыми вопросами из истории развития математики, им стали известны имена выдающихся русских математиков: Н. И. Лобачевского, С. В. Ковалевской. П. Л. Чебышева, И. М. Виноградова, Л. С. Понтрягина.

Отрадно было слушать ответы семиклассников на экзамене по Конституции СССР, в которых они подкрепляли свои суждения биографиями русских математиков.

Кружковцы получили по отдельным вопросам знания, выходящие за пределы программы семилетней школы, приобрели ряд ценных практических навыков.

Силами учащихся изготовлено много пособий по математике: таблицы алгебраических формул, графики прямой пропорциональной и линейной зависимости и другие, диаграммы, модели геометрических фигур, серия таблиц: «Не верь глазам своим!» (оптические иллюзии на геометрическом материале), таблицы геометрических мест, классификации четырехугольников, таблицы «Пиши правильно!» (содержащие математические термины) и т. п.

В своих отзывах кружковцы дали ценные предложения, направленные на улучшение работы кружка, и выразили пожелание, чтобы кружок работал и в дальнейшем.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК В ШКОЛЕ

Л. М. ЛОПОВОК (Проскуров)

1. В нашей школе существуют три математических кружка: один в V — VI классах, другой в VII — VIII классах и третий в IX — X классах. Кружками руководят учителя математики. Занятия проходят два раза в месяц по расписанию, включенному в план работы школы. Вопрос о работе кружков периодически рассматривается на заседаниях предметной комиссии учителей математики и физики нашей школы. С целью обмена опытом и устранения имеющихся недостатков практикуется посещение учителями математики занятий того или иного кружка.

Три кружка охватывают около 70 учащихся. Однако, помимо членов кружка, в работе принимают участие и другие учащиеся. На каждом занятии присутствуют 10 —15 нечленов кружка, а иногда число «гостей» доходит до 30.

К членам кружка мы предъявляем несколько требований. Во-первых, после двух пропусков занятий кружка без уважительных причин ученик исключается из числа членов кружка без права поступления в кружок до начала нового полугодия. Во-вторых, члены кружка должны не иметь «двоек», а по математике должны учиться только на «4» и «5». Естественно, что интересующиеся математическим кружком стараются иметь по математике как можно лучшие оценки. Кроме того, поведение кружковцев должно быть образцовым.

Каждый кружок избирает бюро. Кроме бюро, работает редколлегия математического бюллетеня. При проведении эпизодических мероприятий (например, математический вечер) в каждом случае избирается оргкомитет.

План работы каждого кружка на полугодие известен учащимся. Он включает заслушивание ряда докладов учащихся (иногда — руководителей кружков), решение занимательных задач и задач повышенной трудности, выпуск бюллетеня «Юный математик», а также ряд мероприятий, выходящих за пределы кружка (проведение математических олимпиад, организация математических вечеров и т. п.).

Большую роль в деле популяризации работы математических кружков сыграл организованный в Проскурове в 1949/50 учебном году радиоклуб юных математиков. 1—2 раза в месяц в получасовой беседе по радио я рассказывал ученикам о великих математиках нашей родины (состоялись беседы о С. В. Ковалевской, Н. И. Лобачевском, П. Л. Чебышеве, И. М. Виноградове), об отдельных занимательных вопросах элементарной математики (простые числа, геометрия на местности, наука о случае, приемы быстрого счета и др), о новых книгах по математике (доступных школьникам).

В конце каждой беседы учащимся предлагались 3 — 4 задачи для самостоятельного решения. На следующей беседе разбирались решения этих задач и сообщались фамилии решивших правильно. После каждой беседы мы получали десятки писем с решениями задач, вопросами (часто не по теме беседы, а по поводу прочитанной популярной книги или какого-либо математического вопроса) и пожеланиями услышать беседу на определенную тему.. Работа клуба юных математиков стала весьма популярной среди школьников города.

Математические вечера обычно привлекают учащихся не только нашей школы. Нередко гостями оказываются учителя других районов нашей области. Многие учителя просят нас сообщить программу вечера, некоторые задачи и литературу. Такие письма мы получаем из Городского района, Теофиполя, Полонного и др. мест.

Каждый математический вечер длится 3 — 3,5 часа. Начинается он вступительной беседой, в которой объявляется программа вечера. Иногда учащиеся сначала слушают получасовой доклад о великих математиках России или успехах советской математики. Но чаще на вечере проводятся доклады.

Стены зала украшаются высказываниями классиков марксизма-ленинизма о математике, очередным номером бюллетеня «Юный математик», таблицами по истории математики (история цифр, счета), портретами ученых, большим монтажем «Великие математики нашей Родины» (крупные фото и биографии) и т. п.

Начинает работу киоск математических развлечений. Здесь приготовлены лабиринты (20 вариантов по 5 экз.), фигуры, которые требуется начертить одним росчерком, задания по составлению магических квадратов, кроссворды и чайнворды математического содержания, набор треугольников и других фигур, из которых надо составить один или два квадрата, математические ребусы разнообразного вида (описанные Перельманом примеры деления в буквах, разгадка сложения, умножения, выполненного в картинках, восстановление пропущенных цифр и т. п.), задачи логического содержания, односторонние поверхности (для разрезания), комбинаторные задачи на шахматной доске. На особом щите был изготовлен рельефный план лабиринта, в котором требовалось добраться указкой до центра. Трудность заключалась в том, что «путешественнику» завязывали предварительно глаза. Были и другие виды упражнений (например, найти ошибку в рассуждениях, произвести подсчет числа треугольников или квадратов на данном чертеже и т. д.).

Разумеется, здесь нет возможности привести все упражнения. Ограничимся несколькими задачами, менее известными читателям.

1. В финальном шахматном турнире воинского соединения встретились 8 шахматистов, имевших следующие звания: полковник, майор, капитан, лейтенант, старшина, сержант, ефрейтор и рядовой. Среди них были: пехотинец, летчик, танкист, артиллерист, минометчик, сапер, связист и кавалерист.

В первом туре полковник играл с летчиком, майор — с танкистом, сержант — с пехотинцем и старшина — с кавалеристом. После первого тура рядовой выбыл из турнира. Из-за этого выходными оказались: во II туре — минометчик, в III туре—капитан, в IV туре — сапер, в V туре— лейтенант, в VI туре — танкист, в VII туре — связист.

Во втором туре полковник играл с артиллеристом, пехотинец— с танкистом, лейтенант — с сержантом.

В третьем туре ефрейтор выиграл у кавалериста, а партии полковника с сапером и майора с минометчиком окончились вничью.

Какую воинскую специальность имел каждый?

2. В купе одного из вагонов поезда Москва— Одесса ехали москвич, ленинградец, туляк, киевлянин, харьковчанин и одессит. Их фамилии начинались буквами А, Б, В, Г, Д и Е. В дороге выяснилось, что А. и москвич—врачи, Д. и ленинградец — учителя, а туляк и В.— инженеры. Киевлянин, Б и Е—участники Отечественной войны, а туляк в армии совсем не служил.

Харьковчанин старше А., одессит старше В., а Е. — самый молодой. Б. и москвич сошли в Киеве, а В. и харьковчанин — в Виннице.

Определить начальную букву фамилии и профессию каждого из этих пассажиров.

3. Восстановить запись деления:

4. Восстановить запись умножения:

Наплыв к киоску математических развлечений очень велик, и приходится выделять для работы в нем не менее трех человек. В ходе работы киоска мы проводили и короткие конкурсы. Например, давали задание по игре в «15» и предлагали выполнить его минимальным числом передвижек.

Одновременно с киоском начинает свою работу и математическая лотерея. Каждый ученик по предъявлению входного билета мог вытащить лотерейный билет, в котором заключалась задача. Билеты помещались в разных ящиках (отдельно для разных классов). На решение задачи предоставлялось 10—15 Минут. Решивший задачу получал премию — научно-популярную книгу. Обычно за вечер выдавалось 40—50 премий.

На сцене в это время демонстрировались математические фокусы (отгадывание числа, даты, предугадывание суммы и т. п.) и быстрые вычисления.

После 2—2lj2 часов киоск математических развлечений и математическая лотерея прекращали работу и начиналась художественная часть вечера. Показывали две инсценировки математического содержания (например: «Репетитор», по Чехову; «Мужицкая арифметика», по Васильченко; «Что видел поэт», по Чапеку; «Три воскресенья на одной неделе», по Э. По), читали рассказы математического содержания и т. д.

Такие вечера нам пришлось проводить не только в своей школе. Дважды по просьбе областного дома пионеров мы повторяли программу полностью для школьников города.

Вечера неизменно проходили с успехом, и труднее всего оказывалось... заканчивать их. Учащиеся не хотели расходиться...

Должен здесь же отметить, что подготовка к проведению такого вечера отнимает много времени. Подготовка материалов киоска и лотереи— дело кропотливое. На вечере, как показала практика, далеко не все материалы возвращаются (особенно — в киоск). Часто посетители, не решив задачу,захватывают ее условие, чтобы решить дома. Так что пользоваться одними и теми же текстами по несколько раз нечего и думать (да это и нецелесообразно).

Кроме математических вечеров, мы широко привлекали учащихся, не являющихся членами кружков, к участию в математических олимпиадах. В Проскурове принято проводить математические олимпиады в три тура. На первом этапе учащимся предлагаются 10 задач, которые должны быть решены дома за срок не более 2 недель. Правильное и полное решение каждой задачи (они различны для каждого класса) обеспечивает 3 очка. Для того чтобы попасть во второй тур, нужно набрать не менее 16 очков. В этом учебном году мы уже провели первый тур, в нем участвовало 86 учеников V—X классов, из которых допущены ко второму туру 62 человека.

Во втором туре, который проводится во всех школах одновременно, учащимся предлагают 5 задач, которые требуется решить за 3 часа. К третьему туру допускаются учащиеся, набравшие не менее 8 очков.

Третий тур — общегородской. Условия такие же, как и во втором туре. Его мы обычно проводим во Дворце пионеров.

После каждого тура участники собираются (по школам): учителя разбирают решения задач от имени оргкомитета объявляют, кто допущен к следующему туру. Все участники третьего тура после проверки работ собираются и в торжественной обстановке получают справки об участии в олимпиаде и премии.

В нашей школе один раз была проведена олимпиада другого вида: по составлению задач. Учащимся было предложено составить по 3 задачи: алгебраическую, геометрическую и одну по их желанию. К каждому классу были даны указания (например: «Задача о движении; в условии использовать две прогрессии»). Основное же требование было: задача должна решаться несколькими способами, причем один из них должен быть изящным. Учащиеся, две задачи которых удовлетворяли условиям, были допущены ко второму туру; в аналогичных условиях за три часа они составляли по две задачи. В олимпиаде участвовали 28 учащихся VIII—X классов. Среди составленных ими задач были такие, в условия которых входили данные о социалистическом строительстве. Эти задачи мы впоследствии использовали в соответствующих классах. Вот несколько таких задач.

1. Немецкий пресс «Шпенглер» и американский пресс «Бойд», работая совместно, дают в час 3800 кирпичей. Станок советского инженера Мелия работает в 4 раза быстрее немецкого и в 3,6 раза быстрее американского пресса.

Определить часовую производительность пресса инженера Мелия.

2. Звено Героя Социалистического Труда Харитоновой собрало с S га столько центнеров кукурузы, что четырехзначное число, выражающее урожай, имеет сумму цифр 14, произведение цифр 0, а цифра десятков на 2 больше цифры единиц. Какой урожайности добилось звено? (Решить устно!)

3. Для выполнения плана полезащитных лесонасаждений организуются ЛЗС, степные лесхозы и государственные лесопитомники, всего 410 объектов. Зная, что питомников на 10 больше лесхозов, а ЛЗС в 10 раз меньше произведения числа лесопитомников на число лесхозов, найти, сколько лесозащитных станций, лесопитомников и лесхозов создается.

Были составлены несколько оригинальных стереометрических задач и задач логического содержания.

Но проведение такого рода олимпиад — дело новое. Предстоит подумать еще раз, как провести в этом году олимпиаду составления задач, чтобы в ней приняли участие побольше школьников и чтобы в результате ее мы получили новые доброкачественные задачи.

Составление задач увлекает наиболее сильных учащихся, в основном, однако, IX—X классов.

Наконец, кружковцы следят за тем, чтобы в классных стенгазетах были уголки занимательных задач. Это также способствует повышению интереса к математике и работе математических кружков со стороны большинства учащихся V—X классов.

На каждом занятии математического кружка, заслушивается один доклад. Кружковцы задают вопросы и, если желают, могут выступить с замечаниями или дополнениями. Составляя план работы, мы использовали тематику докладов, предложенную т. Езрилем в его книге «Математические кружки в школе» (на украинском языке). В прошлом году мы заслушали и обсудили в каждом кружке 13—18 докладов.

Вторая часть занятия у нас посвящается разбору отдельных интересных задач. Источниками являются книги Пржевальского (по алгебре и тригонометрии), Мирлеса (по алгебре), Попруженко и Дзыка (по геометрии), Широкова (по арифметике), Кречмара (по алгебре), журнал «Математика в школе» и др. Особым вниманием пользовались на кружках задачи на построение (планиметрические и стереометрические).

На занятиях, раз в месяц, организовывались информационные сообщения о новых книгах по математике. Дважды мы проводили обсуждение новых книг.

Помимо занятий, кружковцы принимают активное участие в изготовлении наглядных пособий по математике. В настоящее время подготовлены крупные монтажи: «Математики — лауреаты Сталинской премии», «Лобачевский», «Ньютон». Все тексты и фотографии изготовлены кружковцами.

О работе нашего кружка мы судим не только по приведенным материалам, но и главным образом по тому, что из года в год растет интерес учащихся школы к изучению математики, углубляются их знания, а также по тому, что выпускники нашей школы в основном идут в крупные технические вузы и успешно учатся в них. В этом деле есть вклад и наших математических кружков.

К ТЕОРЕМЕ ОБ ОПИСАННОМ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКЕ

И. Я. ТАНАТАР (Москва)

В программу геометрии VII класса входят вопросы: «Свойства вписанного четырехугольника (прямая и обратная теоремы и следствия) и свойство описанного четырехугольника». Таким образом, согласно программе должны быть установлены необходимые и достаточные условия, которым должен удовлетворять выпуклый четырехугольник, для того чтобы вокруг него можно было описать окружность. Что касается описанного четырехугольника, то программой предусмотрено установление только необходимых условий. В стабильном учебнике Киселева приведены, в соответствии с программой, три теоремы: прямая и обратная для вписанного четырехугольника и только прямая теорема для описанного. Отсутствие «обратной теоремы» об описанном четырехугольнике надо признать существенным пробелом в курсе геометрии. Между тем доказательства обратной теоремы помещались в некоторых старых учебниках (например, Давыдова, Киселева изд. 1918 г.) и в современных (например, Н. А. Глаголева, А. Н. Перепелкиной и др.). Все доказательства в перечисленных учебниках одинаковы и проведе-

ны способом «от противного». Мы не будем их повторять здесь; интересующийся читатель найдет их в указанных выше книгах. Однако эти доказательства содержат серьезный логический дефект (см. Глаголев, Элементарная геометрия, ч. I, изд. 2-е, стр. 134; линии ADl и CD могут не пересечься). Свободное от погрешностей, доказательство имеется в книге Богомолова «Геометрия», систематический курс изд. 1949 г., но это доказательство недоступно для учеников.

Изложенное ниже доказательство имеет целью заполнить пробел учебника геометрии; это доказательство вполне доступно учащимся VII кл.

Теорема: Если, в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных сторон равна, то в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Заметим, что сформулированное предложение равносильно утверждению, что биссектрисы трех внутренних углов четырехугольника пересекаются в одной точке (из последнего утверждения следует, что биссектриса четвертого внутреннего угла также проходит через эту точку).

В удовлетворяющем условию теоремы четырехугольнике две какие-нибудь соседние стороны (стороны, имеющие общую точку) либо равны, либо нет. В первом случае четырехугольник является так называемым ромбоидом и пересечение биссектрис в одной точке вытекает из свойств осевой симметрии. Во втором случае, если АВ>ВС (черт. 1), то AD должно быть больше DC и поэтому можно от точки В на стороне В А отложить отрезок ВК=ВС, а от точки D на стороне DA отложить отрезок DL = DC. В силу условия теоремы AK=AL. Биссектрисы углов А, В и D нашего четырехугольника служат перпендикулярами к сторонам треугольника KLC, проходящими через их середины, а поэтому они пересекаются в одной точке. Тем самым теорема доказана.

Представляет интерес применение идеи доказательства этой теоремы для решения одной из задач XII математической олимпиады при МГУ.

Задача: Вокруг сферы описан пространственный четырехугольник. Доказать, что 4 точки касания лежат в одной плоскости.

Доказательство: Пусть ABCD — данный пространственный четырехугольник (черт. 2), а точки Е, F, К и L — точки касания шара. Легко установить, что AB + DC = ВС -)- AD, поэтому если AB = ВС, то AD = DC, а стало быть KL II BD II EF и в этом случае теорема доказана.

Если же АВ>ВС, то AD>DC и можно выполнить построение, аналогичное построению, примененному нами для доказательства обратной теоремы об описанном четырехугольнике.

На чертеже 3 сохранены те же обозначения, что и на чертеже 2, кроме того СМ = СВ и AN = AB. Очевидно, MD = DN. Рассмотрим плоскость, проходящую через 3 точки касания L, Е и F. Так так FE \\ ВМ, a EL \\ MN, то эта плоскость параллельна плоскости треугольника BMN.

Таким же образом устанавливается, что плоскость, проходящая через точки касания Е, L и К, также параллельна плоскости треугольника BMN. Но через прямую (EF) можно провести только одну плоскость, параллельную

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

заданной плоскости, поэтому все 4 точки касания лежат в одной плоскости.

К сожалению в формулировке этой задачи нет существенной оговорки, без которой предлагаемая теорема может оказаться неверной.

Пусть на чертеже 4 две точки касания пространственного четырехугольника ABCD с шаром Е и F лежат на сторонах ВС и DC, а две другие точки касания К и L лежат на продолжениях сторон AB и AD.

Построим прямые ВН || LE и ВМ \\ KL. Через прямые ВМ и ВН проходит некоторая плоскость Р.

Построим также прямую BN \\ FE. Через прямые ВН и BN проходит плоскость Q. Нетрудно показать что эти плоскости пересекаются и таким образом четыре точки касания Е, F, К и L не лежат в одной плоскости. Исключением1 является тот случай, в котором AB = AD, тогда EF \\BD\\KL.

Черт. 4

К МЕТОДИКЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ

В. С. КАРНАЦЕВИЧ (Тюмень)

Окончившие среднюю школу лица, как правило, не обладают достаточно развитыми пространственными представлениями. Студенты первых курсов различных вузов, в том числе и педагогических институтов, помнят формулировки стереометрических теорем, иногда доказательства последних, но некоторые предложения геометрии в пространстве, не отмеченные явно в заученных теоремах, оказываются не усвоенными. Так, например, многие студенты педагогического института на занятиях по начертательной геометрии и по элементарной математике выражают уверенность в том, что если прямая перпендикулярна другой прямой, лежащей в плоскости, то она перпендикулярна и всей плоскости.

Одной из причин создавшегося положения является неудовлетворительная методика преподавания стереометрии в школе, и в частности, методика решения стереометрических задач.

Дело в том, что в девятых и десятых классах средних школ стереометрические задачи на вычисление предлагаются учителями несравненно чаще задач на доказательство и построение.

Но было бы ошибкой полагать, что этот односторонний подбор задач объясняется всеобщей симпатией нашего учительства к вычислениям и враждебным отношением, например, к построениям. Дело в том, что учителя математики не имеют соответствующих сборников задач и методических пособий. Никаких указаний по поводу решения стереометрических задач на 9 страницах «Методики геометрии» Бескина, посвященных преподаванию стереометрии, учитель не найдет. Школьные учебники почти не содержат задач на построение. Задачник Рыбкина прежде носил название «Сборник задач на вычисление» и задачами другого рода после переработки был пополнен незначительно. В учебнике Киселева задач на построение только 9 (не вошедших в теоретический курс), и не с них надо начинать. Методических пособий но решению стереометрических задач на построение нет, если не считать книги Романовского «Задачи на построение в стереометрии» (Учпедгиз, 1936). Однако эта книга является по существу сборником задач, а небольшая вступительная часть относится к изображению пространственных фигур на плоскости.

Как известно, построение в пространстве является часто доказательством возможности и единственности существования соответствующего геометрического образа. Именно с этой точки зрения предлагает рассматривать основные задачи на построение в пространстве

последняя объяснительная записка к программам по математике в средней школе (изд. 1949 г.). Однако выяснение существования решений, их числа называется, как известно, исследованием задач на построение.

Исследование стереометрической конструктивной задачи в практике школьного преподавания, как правило, не доводится до конца. В лучшем случае указываются несколько особых случаев. Этим культивируется поверхностное отношение к разрешению поставленной проблемы с одной стороны, а с другой — не используется представляющийся случай проведения учеником посильной самостоятельной работы, развивающей его геометрическое воображение.

Исследование стереометрической задачи на построение представляет часто большую трудность если не по существу вопроса, то во всяком случае в силу многочисленности вариантов взаимного расположения данных элементов. Чтобы лучше уяснить себе особенности такого исследования, обратимся сначала к исследованию планиметрической задачи. Как известно, в ее условии речь может идти:

1) либо только о форме и размерах искомой фигуры, 2) либо не только о форме и размерах, но также и о положении фигуры по отношению к другим фигурам.

Примером задачи первого типа может служить задача «Построить треугольник по А, а, к».

Примером задачи второго типа — задача «Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся каждой из двух параллельных прямых».

При подсчете числа возможных решений задачи первого типа равные фигуры считаются за одну. При подсчете числа возможных решений задачи второго типа равные фигуры, но расположенные на плоскости различным образом, считаются за различные.

Исследование задачи первого типа ведется по ходу построения.

«Желая исследовать задачу, надо в последодовательном порядке перебрать еще раз те операции, из которых слагается построение, и для каждой из этих операций определить, всегда ли она возможна, какое число точек, отрезков и т. д. эта операция допускает»*.

Так, например, при исследовании задачи на построение треугольника по ^Л, а и ha достаточно выяснить, при каких условиях возможно найти точки пересечения прямой с окружностью, для чего сопоставляются длины двух отрезков ha и ctg . Исследование же задачи второго типа не может быть сведено исключительно к сопоставлению двух отрезков или углов. Самый ход решения может измениться при другом взаимном расположении данных элементов.

Так, например, в приведенной задаче второго типа точка может лежать между параллельными прямыми, и тогда ход решения будет одним, но может лежать и на одной из прямых, и тогда ход решения будет другим.

В стереометрических задачах на построение (во всяком случае более интересных) речь идет, как правило, именно о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей, тогда как метрические условия отходят на второй план.

Некоторые задачи имеют и чисто проективный характер, как, например: Через каждую из данных прямых провести по плоскости так, чтобы линия их пересечения принадлежала данной плоскости.

Естественно, что это обстоятельство является одной из причин, обусловливающих сравнительно большую трудность исследования. Другой причиной является, конечно, то обстоятельство, что пространство богаче случаями взаимного расположения двух элементов, чем плоскость.

Наконец, иногда трудно представить себе в воображении «что получится, если ...».

Чтобы получить уверенность в полноте исследования, учет всех возможных случаев соотношений между данными элементами должен проводиться в известном порядке, исключающем возможность пропуска особых случаев.

Решению более сложных задач на построение, требующих иногда весьма обстоятельного исследования, должно предшествовать:

1) Решение основных стереометрических задач на построение, как-то: построение прямой, параллельной другой данной прямой, прямой перпендикулярной плоскости и т. д. (Е. С. Кочеткова, журнал «Математика в школе», 1949, № 2, рассматривает 10 таких задач и дает подробное их решение).

2) Рассмотрение всех возможных взаимных положений точки, прямой и плоскости попарно взятых.

Учащиеся должны знать, что прямая может принадлежать плоскости, пересекать ее или быть параллельной ей, что случаев взаимного расположения двух различных прямых в пространстве 3 и т. д.

3) Ознакомление учащихся с символикой, ко-

* Д. И. Перепелкин, Геометрические построения в средней школе, АПН, 1947, стр. 28.

торую если и нельзя назвать пока общепринятой, то тем не менее распространенной.

Именно: х —знак пересечения с —знак принадлежности // — знак параллельности = —знак совпадения л —знак, обозначающий скрещивающиеся прямые.

(akb — прямые, а и Ъ скрещиваются).

Точки обозначаются буквами Ау Ву С,... , прямые—буквами а, Ь9 с9... (иногда двумя буквами, если они определяются двумя точками), плоскости — буквами а, ß, Y,... .

Личный опыт преподавания геометрии в школе показал, что приведенная символика быстро осваивается и сознательно применяется учащимися.

Ниже приводится решение и исследование двух задач на построение.

Задача 1. Дана плоскость а а прямые а и Ьу не принадлежащие ей. Через каждую из прямых провести по плоскости так, чтобы линия их пересечения лежала в плоскости а.

Прежде чем выполнить чертеж, иллюстрирующий решение, учитель должен еще раз напомнить учащимся, что наиболее общим случаем взаимного расположения двух прямых, является тот, когда эти прямые не принадлежат одной плоскости. Наиболее общим случаем взаимного расположения прямой и плоскости является их пересечение.

Под наиболее общим случаем мы понимаем то взаимное положение, которое «вероятнее всего» примут два наудачу взятые элемента. При таких предположениях и выполняется рисунок (черт. 1).

Черт. 1

Очевидно, что линия пересечения искомых плоскостей и будет AB. Попарно взятые пряные а и AB и Ъ и AB и определят две искомые плоскости. Решение найдено. Доказательство излишне.

Исследование. От наиболее общего случая мы должны перейти к частным. Но это возможно сделать как по отношению к прямым а и Ьу так и по отношению к каждой прямой и плоскости.

Мы рекомендуем составление и заполнение нижеследующей таблицы:

Символом оо мы заменяем слова: «бесконечное множество решений».

Дадим пояснение к таблице.

Заполнение первых двух строк проводится полуавтоматически и пояснений не требует. Третья строка в крайней правой полосе, озаглавленной а у Ь, не заполнена по той причине, что положение прямой а относительно плоскости а вполне определяет собой положение параллельной ей прямой Ь.

Наиболее полезной и интересной частью является заполнение последней итоговой строки. Оно равносильно устному решению ряда особых задач на построение; некоторые из них однотипны по методу решения, другие оказываются совершенно одинаковыми. Эта часть работы требует большой вдумчивости, осторожности и уменья обобщать на первый взгляд различные вещи. Действительно, случаи № 6 и № 7 приводят к одной и той же задаче. То же можно сказать о случаях № 2 и № 3. Далее надлежит сделать выводы из таблицы. Проще всего установить, в каких случаях задача не имеет решений. Таких случаев дваг. № 1 и № 5, общими для них и только для них в первых 9 случаях являются соотношения: а II а и b И а. Эти соотношения имеют место и в случае № 10, но тогда задача имеет бесконечное множество решений.

Вывод 1: задача не имеет решений, если прямые а и b параллельны плоскости, но не параллельны друг другу.

Особые случаи № 8 и № 10 не имеют между собой ничего общего в положении данных элементов; поэтому вывод 2 не является обобщающим, но сделать его лучше сразу, так как это позволит короче сформулировать вывод 3.

Итак, вывод 2: задача имеет бесконечное множество решений, если прямые параллельны плоскости и между собой; или если

они пересекаются в точке, лежащей на плоскости а.

Вывод 3: во всех остальных случаях задача имеет единственное решение {искомые плоскости могут и совпадать, как, например, в случае № 9).

Задача 2. «Даны две прямые b и с; провести прямую, пересекающую каждую из данных прямых и параллельную прямой а».

Эта задача выбрана нами, с одной стороны, потому, что исследование ее не просто, а во-вторых, потому, что она помещена почти во всех сборниках (в сборнике Делоне, Житомирского и Фетисова № 49; в сборнике Романовского № 76; в учебнике Киселева № 14; в сборнике Пржевальского № 70 и т. д.). К сожалению, в ее условие во многих случаях авторы ввели ограничения и полного исследования не дано нигде.

Решение (черт. 2.).

Черт. 2

Наиболее общий случай: прямые попарно скрещиваются. На каждой из прямых b и с выбираем по произвольной точке В и С. Проводим через них прямые ах и аъ параллельные a, a затем плоскости аир, определяемые соответственно прямыми а1 и b и а2 и с.

а X ß ЕЕ. g есть искомая прямая. Исследование (см. таблицу 2).

Обобщающие выводы.

1) Задача имеет единственное решение, если одна из прямых с пересекает плоскость, определяемую другой из них и прямой а или а'(а'\\а).

2) Задача имеет бесконечное множество решений, если прямая а, не будучи параллельной ни одной из прямых bt с9 параллельна плоскости, определяемой этими прямыми, или принадлежит этой плоскости.

3) Во всех остальных случаях задача решений не имеет.

Заметим, что лишние колонки, появившиеся вследствие того, что заполнение таблицы идет вначале с единственной целью: ничего не пропустить— могут быть и сразу исключены. Это потребует только большего напряжения мысли в начале работы.

Желая сократить слишком хлопотливое исследование, можно вводить ограничения в условия задач. Такие ограничения, вводимые составителями сборников или преподавателями, упрощают исследование, помогают избежать рассмотрения тривиальных случаев.

Правильно поставленное исследование заменяет собой решение ряда однотипных задач, но обладает преимуществом целенаправленности.

Рекомендуемое исследование задачи на построение, выполненное учащимися, является, по нашему мнению, одним из звеньев в системе воспитания навыков научно-исследовательской работы.

О РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ

С. И. ЗЕТЕЛЬ (Москва)

При решении задач на построение методом подобия обычно рассматривается следующая задача (И. И. Александров, Сборник геометрических задач на построение, Учпедгиз, 1950, стр. 66, задача 268):

«В данный треугольник ABC вписать параллелограм, имеющий определенный вид, например, имеющий данный угол а и отношение сторон, его заключающих, равное т:п».

И. И. Александров совершенно справедливо указывает, что «весьма важно заметить, что способ решения этой задачи может быть распространен на бесчисленное множество задач. Так, например, полагая т = п, а = 90°, получим решение следующей задачи: «вписать квадрат в данный треугольник», полагая т = п, получим решение следующей задачи: «вписать в данный треугольник ромб с данным углом»; полагая а = 90°, получим решение следующей задачи: «вписать в данный треугольник прямоугольник известного вида» ; далее, так как вместо параллелограмов можно брать их половины, то в решении этой задачи заключено решение следующей задачи: «в данный треугольник вписать треугольник определенного вида так, чтобы одна сторона искомого треугольника была известного направления».

Приведенная выдержка из книги И. И. Александрова показывает общность рассматриваемой задачи, но вместе с тем задача ограничена, так как вид вписываемой фигуры определяется единственным образом: «данным углом и отношением двух сторон».

В настоящей статье мы решим задачи, о которых говорит И. И. Александров, задав вид вписываемой фигуры углом и одним из следующих трех условий:

1) суммой двух сторон, 2) разностью двух сторон, 3) суммой квадратов двух сторон*.

При этих условиях решать задачи методом подобия, вообще говоря, невозможно. Начнем с простейших вспомогательных задач.

1. В данный прямоугольный треугольник вписать квадрат так, чтобы его вершина совпадала с вершиной прямого угла (черт. 1).

Решение очевидно.

2. В данный треугольник вписать ромб с общим острым углом (черт. 2).

Решение очевидно.

3. В данный прямоугольный треугольник вписать прямоугольник с прямым углом в вершине треугольника и с данной разностью двух сторон (черт. 3).

Решение. На одном из катетов от вершины прямого угла С откладываем отрезок CD, равный данной разности d. В прямоугольный треугольник ADE вписываем квадрат. Прямоугольник CPMN—искомый.

Задача допускает два решения, если d<\ где а — меньший катет; одно решение, если b>d>af где b — больший катет. Задача не имеет решения, если d> Ь.

Построение можно упростить. Продолжим

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

* Могут быть даны и другие условия, но они в настоящей статье не рассматриваются.

диагональ MD за точку D до пересечения с продолжением ВС в точку F. Треугольник FCD — равнобедренный. Итак, приходим с следующему построению. На одном из катетов и на продолжении другого откладываем от вершины С прямого угла отрезки CD = CF=d, где d—данная разность двух сторон. Прямая FD пересекает гипотенузу AB в точке М. Прямоугольник PMNC — искомый.

4. В данный треугольник вписать параллелограм с общим углом и данной разностью сторон (черт. 4).

На стороне ВС или ВА откладываем отрезок, равный данной разности d(BD = d). В треугольник DEC вписываем ромб.

Параллелограм BPMN— искомый. Число решений и возможность решения задачи определяются так же, как в задаче 3.

Построение можно упростить. Продолжим диагональ MD за точку D до пересечения с продолжением AB в точке F. Треугольник FBD — равнобедренный. Итак, приходим к следующему построению. На одной из сторон и на продолжении другой откладываем от вершины В отрезки BD = BF=d, где а — данная разность сторон. Проводим FD до пересечения в точке M со стороной АС. Параллелограм BPMN— искомый.

5. В данный прямоугольный треугольник вписать прямоугольник данного периметра 2р с общим прямым углом (черт. 5). Отложив от точки С на каждом из катетов отрезок CD = СЕ = р (/?—полупериметр), проводим прямую ED до пересечения в точке M с гипотенузой AB. Прямоугольник MNCP — искомый.

Действительно, РМ—РЕ (треугольник ЕРМ— равнобедренный). Задача допускает единственное решение, если Ь>р>а9 при р>Ь и при р<а задача невозможна.

6. В данный треугольник вписать параллелограм данного периметра с общим углом» (черт. 6).

Откладываем отрезки BD = BE = р. Проводим прямую DE, пересекающую АС в точке Ж. Параллелограм BPMN—искомый.

7. В данный прямоугольный треугольник вписать прямоугольник с общим прямым углом, если сумма квадратов двух его соседних сторон равна d2 (иначе, вписать прямоугольник с данной диагональю d) (черт. 7).

Из вершины С прямого угла радиусом, равным df засекаем гипотенузу в точках M и М'. Прямоугольники CPMN и CPrM' N' — искомые.

8. В данный прямоугольный треугольник вписать прямоугольник с общим прямым углом и с наименьшей диагональю.

9. В данный треугольник вписать параллело-

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

грам с общим углом и данной суммой квадратов двух его соседних сторон.

Эта задача сложнее предыдущих. Предположим, что задача решена и параллелограм BMNP— искомый (черт. 8).

(1)

(2)

Итак, искомые отрезки MN и NP определяются системой уравнений (1) и (2).

Следовательно, MN и NP зависят только от двух сторон треугольника (не зависят от стороны АС) и от данного отрезка. Это заключение приводит нас к следующему построению.

Построим вспомогательный прямоугольный треугольник А'В'С', у которого катет ÄBf = АВ, а катет В'С = ВС (черт. 9), и впишем в него прямоугольники M'N'P'B и M“N“P“B\ удовлетворяющие условию задачи. Затем отложим отрезок BM = BfM' и из точки M проведем прямую MN, параллельную ВС. Параллелограм BMNP — искомый. Возможно еще построить параллелограм BMyN^P^

10. В данный треугольник вписать параллелограм с общим углом и с наименьшей суммой квадратов двух его соседних сторон.

Решение рассмотренных задач показывает, что возможно вписать в данный треугольник четырехугольник определенного вида так, чтобы он имел с данным треугольником общий угол. Теперь откажемся от последнего условия.

11. Вписать в данный треугольник АБС прямоугольник с данной разностью двух его сторон (черт. 10) так, чтобы две его вершины лежали на основании, а две другие — на боковых сторонах.

Произведя сдвиг относительно оси ВС, мы преобразуем данный треугольник в прямоугольный А'ВС, в который легко впишем прямоугольник, удовлетворяющий данному условию. На чертеже 10 изображен один такой прямоугольник BM'N'P'. Прямоугольник QMNP— искомый.

Если читатель не знаком с преобразованием «сдвиг относительно оси», то можно привести следующие рассуждения:

Построим прямоугольный треугольник АГВС (черт. 10) и впишем в него прямоугольник А'ВСУ удовлетворяющий условию задачи. Покажем, что прямоугольник QMNP—искомый.

Действительно, QM = ВМ'. Остается показать, что MN=M'N'. MN rrMN' + N'N. Из подобия треугольников А'АС и N'NC имеем:

(так как сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам).

Из подобия треугольников ÄAB и M'MB имеем:

Следовательно,

Читатель аналогично решит следующие задачи, не пользуясь методом подобия.

12. Вписать в данный треугольник квадрат

Черт. 8

Черт. 9

Черт. 10

так, чтобы две его вершины лежали на основании, а две другие — на боковых сторонах.

13. Вписать в данный треугольник ромб с данным острым углом.

14. Вписать в данный треугольник прямоугольник данного периметра так, чтобы две его вершины лежали на основании, а две другие на боковых сторонах.

Теперь перейдем к задачам, по содержанию близким к рассмотренным.

15. Найти на стороне АС треугольника ABC такую точку D, чтобы имело место отношение

DE*+DF2 = a\

где* а — данный отрезок, DE A-AB, DF ±_ВС (черт. 11).

(Эта задача была предложена В. Кованько в 1915 г. в журнале «Математическое образование», № 6, задача № 228.)

Приводимое ниже решение принадлежит К. Верещагину и помещено в № 1 — 2 за 1917 г. того же журнала.

Пусть на стороне АС треугольника ABC взята точка D, удовлетворяющая условию:

(1)

Проводя ССХ _[_ AB и ААХ±_ВС, получим:

(2)

Из системы уравнений (1) и (2) можно определить DE и DF.

Итак, DE и DF зависят только от двух высот данного треугольника (сравнить с задачей 9) и от данного отрезка а, а потому построим вспомогательный прямоугольный треугольник ААХС (черт. 12), где катет ААХ равен высоте ААХ на чертеже 11, а катет АХС равен высоте ССХ. Для этого треугольника задача решается очень просто: надо лишь из вершины прямого угла как из центра провести радиусом а окружность. Точки пересечения ее с гипотенузой будут теми точками, перпендикуляры из которых на ССХ и ААХ будут иметь искомые длины.

Следующие задачи представляют развитие и обобщение задачи В. Кованько.

16. Найти на стороне АС треугольника ABC такую точку D, чтобы DE2 +DF1 было наименьшим, где DE J_ DF, a DF J_ ВС.

17. Из вершин А и С треугольника ABC проведены прямые AN и СМ. Найти на стороне АС (черт. 13) такую точку D, чтобы

(2)

Черт. 11

Черт. 12

Черт. 13

В прямоугольном треугольнике ANC (черт. 14) катет AN равен отрезку AN на чертеже 13, катет NC равен отрезку MC, на гипотенузе DC, пользуясь методом подобия, находим точку D, так чтобы ~ • На прямой AN на чертеже 13 отрезок ML равен DF на чертеже 14.

Прямая LD, параллельная ВС, определит в треугольнике ABC искомую точку D.

18. В треугольнике ABC проведены прямые AN и СМ. Вписать в треугольник ABC равнобедренный треугольник DEF, где точка D лежит на стороне АС, а прямые DE и DF параллельны AN и СМ.

Указание. Построить вспомогательный прямоугольный треугольник по катетам AN и СМ и вписать в него квадрат.

19. В треугольнике ABC проведены прямые AN и СМ. Вписать в треугольник ABC треугольник EDF, где D — точка на стороне АС и DE — DF равно данному отрезку d. DE\\AC, DF\\AN.

Мы полагаем, что рассмотренные задачи могут найти место в школьном преподавании и в работе математических кружков. Задачи эти способствуют развитию у учащихся идеи функциональной зависимости. При решении задач устанавливается зависимость искомых величин от данных и эта зависимость используется для простого решения задачи.

Черт. 14

ИЗ ОПЫТА

О ПРОВЕДЕНИИ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО МАТЕМАТИКЕ НА МЕСТНОСТИ

В. П. АНИСИМОВ (Борисоглебск)

С первых же дней учебного года надо приступить к изготовлению необходимого инвентаря. В школе и дома учащиеся изготовляют различные простейшие приборы: вехи, эккеры, экламетры и т. д. На каждой вещи ставится фамилия учащегося или группы учащихся, принимавших участие в ее изготовлении. Лучшие приборы весною фигурируют на школьной выставке.

При прохождении программного материала учащиеся знакомятся с темами практических работ, с приборами для их выполнения, рисуют топографические знаки.

Весною они выходят за город. Для выхода надо брать два последние часа. Предварительно преподаватель должен сам ознакомиться с местностью, наметить объекты, подлежащие измерению, составить план работы. Накануне перед выходом на место, учащимся дается инструктаж. В поле учащиеся сначала делают зарисовки, потом они производят измерения, данные записывают в протокол и после обрабатывают их дома.

Велико бывает удивление учащихся, когда план, нанесенный ими на бумагу по данным измерений, совсем не похож на то, что они зарисовали на месте до измерений. Здесь сказывается и положение учащегося на снимаемом участке и его умение ориентироваться на месте.

Оформление работ производится или индивидуально, отдельными учащимися, или звеньями. Работы потом разбираются в классе, получают оценки и лучшие из них вывешиваются в классе (а весною на школьной выставке).

На каждый выход надо брать одну-две задачи, но при достаточном количестве оборудования все работы проводятся фронтально и не отнимают много времени. Еще до выхода учащиеся класса разбиваются на звенья по 5 — 6 человек.

Практические работы на местности обычно не могут быть проведены одним лицом, требуется совместная работа нескольких лиц. Оценку работы получает этот рабочий коллектив, от слаженности и дисциплины которого зависит качество работы. Поэтому практические работы имеют также большое воспитательное значение: при помощи их мы прививаем учащимся навыки коллективного труда, ответственность перед коллективом за свою работу. Сама подготовка к практическим работам дает богатый материал для кружковой работы (изготовление оборудования и приборов).

Оборудование

Для производства практических работ на местности надо иметь следующие предметы: 1) вехи, 2) бирки, 3) рулетку или мерную веревку, 4) линейки, 5) эккеры, 6) мензулы, 7) транспортиры, 8) эклиметр, 9) буссоль, 10) астролябию, 11) планшет, 12) компасы, 13) ватерпас, 14) уровень, 15) нивелир, 16) рейки.

Для вычерчивания планов надо иметь: 1) масштабные линейки, 2) лекала, 3) угольники, 4) транспортиры, 5) циркули, 6) делительный циркуль, 7) пропорциональный циркуль, 8) поперечный масштаб, 9) пантограф.

1. Вехи — это гладкие колья в 1,5 м длиною, с заостренным концом, на который надет железный наконечник. Вехи окрашиваются в два цвета: красный и белый, чередующиеся через 10 см. Вех надо иметь до 15 штук (черт. 1).

2. Бирки — короткие, деревянные колышки-стержни, длиной 0,5 м, снабженные петлями из толстой проволоки или кольцами для нанизывания на веревку при переноске. Бирок надо иметь 15 —10 штук.

3. Эккер представляет собою квадратную дощечку или крест из двух пересекающихся под прямым углом линеек.

Эккер устанавливается горизонтально на штативе. По углам дощечки или на концах креста втыкают булавки, определяющие направление перпендикулярных прямых (черт. 2).

4. Мензула — это квадратная доска со стороною в 50 см. Мензула устанавливается на штативе и служит столиком; на мензулу к ее боковым краям наклеивается или прикрепляется кнопками лист бумаги.

Мензула снабжается линейкой с двумя вбитыми в нее булавками. Можно булавки на линейке заменить диоптрами. Чтобы мензулу установить над данною точкою земли, применяется мензульная вилка с отвесом (черт. 3).

Можно в качестве мензулы использовать табурет.

5. Транспортир можно применять для измерения горизонтальных и вертикальных углов. Для этого берется большой классный транспортир. В конце основного диаметра в точках 0° и 180° втыкают две булавки или приделывают диоптры, а в центре транспортира прикрепляется вращающаяся линейка, тоже снабженная двумя булавками или диоптрами.

Такой транспортир можно использовать вместо эккера.

6. Эклиметр. Для измерения углов в вертикальной плоскости можно приспособить тот же классный транспортир, прикрепив его в центре к вертикальному шесту и снабдив отвесом и двумя булавками или диоптрами на концах диаметра (черт. 4).

7. Буссоль — это круг, разделенный на градусы и снабженный линейкой. Линейка укреплена и может вращаться около центра круга; на концах, по диаметру круга, она снабжена двумя булавками или диоптрами. На оси круга укрепляется неподвижно компас, чтобы направление севера совпадало с нулевой точкой круга (черт. 5).

Буссоль устанавливается на штативе и служит для измерения азимутов и румбов.

Черт. 1 Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

Азимутом называется угол между направлением на данную точку и магнитной стрелкой. Азимут отсчитывается от северного конца магнитной стрелки к востоку (по ходу часовой стрелки) от 0° до 360°.

Румбом называется угол между данным направлением и направлением магнитной стрелки, но отсчитывается этот угол как от северного, так и от южного конца стрелки в обе стороны с таким расчетом, что его величина не должна превышать 90°. Румбы бывают СВ, СЗ, ЮВ и ЮЗ.

Так как буссоль имеет компас, то она не должна содержать железных частей, булавки для подвижной линейки надо брать медные.

Буссоль можно применить и для измерения угла между двумя данными направлениями.

8. Астролябия состоит из лимба, алидады и двух пар диоптров.

Лимбом называется круг, разделенный на градусы. Два диоптра, прикрепленные к лимбу на концах его диаметра, называются неподвижными.

Алидадой называется линейка, могущая вращаться по лимбу около его центра. Алидада на концах имеет пару подвижных диоптров. Для ориентировки относительно стран света астролябия снабжается магнитной стрелкой (черт. 6).

Астролябия может применяться для измерения углов и в горизонтальной и вертикальной плоскостях.

9. Планшет представляет собою круг из фанеры диаметром 40 — 50 см, снабженный линейкой и компасом. На планшет прикрепляется лист бумаги, на котором проводят несколько параллельных прямых линий, которые потом, при работе, совмещают с магнитным меридианом. К линейке, длина которой должна равняться диаметру планшета, на одном конце прикреплено зеркало с чертой под углом в 45° к плоскости линейки (черт. 7). Черта на зеркале проводится через середину зеркала, которая совпадает с краем линейки, по которому прочерчивается требуемое направление.

Под компас надо подклеить листок картона, на котором прочертить линию магнитного меридиана (черт. 8).

10. Нивелир легко приготовить из стеклянной трубки с внутренним диаметром 8 — 10 см.

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

Черт. 8

Черт. 9

Трубку согнуть в форме буквы П и укрепить на бруске концами вверх. В трубку наливается вода, слегка подкрашенная, которая в обоих концах трубки будет стоять на одном горизонтальном уровне (черт. 9).

11. Рейка —это длинная, в 2,5— 3 метра, легкая планка с делениями. Цифры делений пишутся крупно и четко. По рейке движется рамка, одна половина которой окрашивается в черный, а другая в белый цвет. В середине рамки сделано отверстие для отсчетов (черт. 10). Реек надо иметь две.

12. Пантограф. Пантограф можно применить, чтобы вычертить какую-либо фигуру в уменьшенном или увеличенном виде. Устройство и действие пантографа основано на свойстве подобных многоугольников.

Модель пантографа может быть построена различно. На чертеже 11 изображена модель, сделанная из четырех планок. В точках Л и С укрепляются карандаши. Точка В— неподвижная, она является центром подобия (А. Киселев, Геометрия, ч. 1, § 175).

Под карандаш Л подкладывают чертеж-оригинал и этим карандашом ведут по контуру чертежа. Карандаш С вычертит на подложенном под него листе бумаги подобную фигуру. Требуемая пропорциональность осуществляется перестановкой винтов D и Е.

13. Для демонстраций в классе следует иметь делительный, и пропорциональный циркули.

Делительный циркуль состоит из двух одинаковых ножек, концы которых заострены. Вдоль этих ножек имеются прорезы, по которым можно передвигать винт, скрепляющий ножки (черт. 12).

Пропорциональный циркуль состоит из двух линеек, которые скреплены шарниром. Обе линейки имеют одинаковые деления. При помощи этого циркуля можно отыскивать отрезок прямой, находящийся в данном отношении к известному отрезку (черт. 13).

Топографические знаки

При составлении плана местности учащиеся должны отразить на плане все детали снимаемого участка. Для этого служат условные топографические знаки, поэтому главнейшие из этих знаков надо сообщить учащимся (черт. 14).

Масштаб

Изобразить на бумаге местность в ее натуральную величину нельзя, поэтому все размеры уменьшают в 100, 1000, 10 000 и т. д. раз.

Черт. 10

Черт. 11

Черт. 12

Черт. 13

Число, показывающее, во сколько раз изображаемая на карте или на плане местность меньше действительной, называется масштабом.

В учебнике геометрии это число называется коэффициентом подобия (Киселев Геометрия, ч. 1, § 173).

Примеры практических работ по математике

1. Определить размеры классной комнаты или своей комнаты, начертить план ее. На чертеже отразить расположение дверей, окон, печи, расположение мебели.

2. Начертить план школьного двора.

3. Провешить прямую линию между двумя доступными точками, если из одной точки видна другая.

Решение. В данных точках А и В поставить вехи, между ними расставить ряд новых вех так, чтобы все они скрывались друг за другом и за первой вехой и скрывали последнюю веху (черт. 15).

Для измерения расстояния применяется рулетка или мерная веревка. В начальной точке ставится веха; ученик, стоящий у первой вехи, держит в руке рулетку или один конец веревки, второй ученик идет вперед и тянет за собой ленту рулетки. Натянув ленту, второй ученик ставит веху. Первый ученик, ориентируясь на веху, корректирует товарища, и, когда веха станет на прямой AB, последний на место своей вехи ставит бирку и идет вперед. Первый, захватив свою веху, следует за вторым; дойдя до бирки, он вынимает ее и ставит на ее место веху и т. д.

К концу работы у первого будут все бирки, которые ставил второй. По числу бирок определяем, сколько раз на данном отрезке уложилась лента рулетки.

4. Провешить прямую линию, перпендикулярную к данной прямой.

Задача может быть решена помощью эккера, астролябий или транспортира.

Решение понятно из чертежа 16. Можно решить эту задачу, но с грубым приближением и не применяя инструментов. Стать лицом по направлению данной прямой, руки опустить по швам, потом сразу поднять их до уровня плеч и, повернув голову вправо и влево, заметить предметы, находящиеся на направлении рук. На эти предметы и провешить прямую из данной точки.

Черт. 14

Черт. 15

Черт. 16

5. Опустить перпендикуляр из данной точки С на данную прямую.

Решение. Двигаются вдоль AB с эккером до тех пор, пока не найдут точку D, из которой точка С видна под прямым углом к линии AB.

6. Измерить угол между двумя данными прямыми.

Решение, а) Астролябией. Направляют диоптры лимба по одной прямой, диоптры алидады — по другой. По лимбу определяют угол, б) Транспортиром. Булавки на диаметре совмещают с первой прямой, булавки подвижной линейки — со второй прямой и по транспортиру определяют угол. Если же транспортир не снабжен линейкой, то совмещают диаметр транспортира с первым направлением, смотрят через конец диаметра по другому направлению и пальцем отмечают на транспортире точку, совпадающую с этим последним направлением. При этом ученик должен помнить, что в последнем случае измеряется вписанный угол, почему для определения угла надо брать половину дуги АС (черт. 17).

7. Определить угол наклона прямой к плоскости горизонта.

Задача решается с помощью эклиметра (см. описание эклиметра). На основании теоремы об углах с перпендикулярными сторонами или путем вычитания из угла между вертикальным и данным направлением угла в 90°.

8. Определить расстояние между двумя точками А и В, между которыми пройти нельзя, но к которым можно подойти со стороны.

Задача решается или на основании равенства треугольников или на основании подобия треугольников.

Из точек А и В провешиваем прямые АС и ВС и, если позволяет место, продолжаем их на то же расстояние за точку С. Отрезок АХВХ—АВ (черт. 18). Если же мы ограничены местом, то можно применить подобие треугольников. Построение почти такое же, как и в первом случае. Длина AB определится из пропорции X :А1В1 = АС :САг (черт. 19).

9. Определить расстояние до недоступной точки (например, измерить ширину реки, озера и т. п.).

Задача может быть решена различными способами и с помощью различных инструментов. Можно задачу решать методом построения равных прямоугольных или косоугольных треугольников. Можно решать методом построения подобных прямоугольных или косоугольных треугольников, можно решать с помощью тригонометрии. Для построения углов можно воспользоваться эккером, астролябией, транспортиром, буссолью. Поэтому эта задача может быть предложена и шестикласснику и десятикласснику.

Приведем два способа решения. 1°, С помощью эккера.

Направляем эккер на точку Б и из точки А провешиваем прямую, перпендикулярную к AB. На этой прямой откладываем два равные произвольной длины отрезка АО и ОС и из точки С провешиваем перпендикуляр к АС, затем из точки О провешиваем прямую OB и продолжаем ее до пересечения с последним перпендикуляром CD. Отрезок CD равен AB (черт. 20).

2°. Тригонометрическим путем с помощью астролябии, буссоли или транспортира.

Пусть точка А недоступна из точки В. От точки В откладываем отрезок прямой ВС — базис и измеряем его. Потом каким-либо угломерным прибором измеряем углы ABC и АСВ.

Черт. 17

Черт. 18 Черт. 19

Черт. 20

Задача решается по теореме синусов (черт. 21).

10. Определить высоту предмета, расстояние до которого можно измерить.

Решение. 1°. По тени.

Пусть ВС— тень измеряемого предмета AB.

Ставим вертикально кол, высота которого нами предварительно определена, измеряем его тень В1С1 и из подобия треугольников ABC и А1В1С1 определяем высоту AB (черт. 22).

2°. С помощью двух кольев.

Перед измеряемым предметом вбивают в землю кол так, чтобы, его верхний конец был на уровне глаза. Между этим колом и измеренным предметом ставят другой кол или веху. Расстояния от первого кола до предмета и между колом и вехой CD и cd измеряют, потом из точки С визируют точки А и В и отмечают на вехе точки а и bt расстояние между которыми измеряют. Далее задача решается на основании подобия треугольников ABC и аЬС (черт. 23).

3°. С помощью эклиметра (астролябии).

Измеряется расстояние от угломерного снаряда по горизонтали до предмета, измеряется угол а между направлением на вершину предмета и горизонталью. Из треугольника АаС определяется катет АС. Высоту AB получим, прибавив к АС высоту угломерного снаряда ВС (черт. 24).

11. Определить высоту предмета, к основанию которого нельзя подойти. Решим эту задачу:

1) На основании подобия фигур, по тени (черт. 25). В землю вбиваем кол АгВг данной длины и замечаем положение тени кола и положение тени предмета AB. Через некоторое время отмечаем новое положение сместившихся теней кола и предмета. Отрезки DC и DXCX изме-

Черт. 21

Черт. 22

Черт. 23

Черт. 24

Черт. 25

Черт. 26

ряем, и высота AB определяется из соотношения

2) Тригонометрическим способом. Измеряем базис MN, продолжение которого упирается в основание предмета. Из точек С и Е определяем углы между направлениями на точку А и плоскостью горизонта. Далее задача решается на основании формул тригонометрии. Надо учесть высоту угломерного снаряда (астролябии, эклиметра). (См. задачу № 3 из $ 7 задачника по тригонометрии Рыбкина, черт. 26.)

Съемка плана

Если участок, план которого требуется снять, представляет собою прямоугольник или треугольник, все точки которого доступны, то работа не будет представлять затруднения. Такую задачу можно предложить в любом классе.

Если же участок имеет неправильную форму или не все его элементы поддаются непосредственному измерению, то задача усложняется и требуется уже наличие определенного оборудования.

Приведу несколько примеров.

Примечание. 1. В начале работы обязательно предлагается учащимся сделать зарисовку участка на глаз, а потом уже они допускаются к инструментальной съемке.

2. Участок можно задать любой формы, расставив на месте соответствующим образом вехи, которые должны ограничивать участок.

3. Для работы надо выбирать такой объект, чтобы не было риска повредить насаждения или посевы.

1. Эккерная съемка

Задача. Снять план и измерить площадь неправильного многоугольного участка (черт. 27).

Решение. Выбираем наиболее удобное для работы направление и провешиваем главную магистраль AB между двумя вершинами многоугольника и измеряем ее. Потом, идя вдоль этой магистрали, с помощью эккера восстанавливаем к магистрали перпендикуляры Ни fl2l h9t...A, выбирая для этого такие точки на магистрали, чтобы перпендикуляры прошли через вершины многоугольника. Попутно измеряем расстояние slf s2f ss... между основаниями перпендикуляров и длины самих перпендикуляров. Дальнейший ход работы понятен из чертежа.

Площадь определяется сложением площадей треугольников и трапеции, на которые разбиваем участок.

Предварительное измерение всей магистрали требуется для контроля: AB = s1 +^“h 5з~Г • • •

На плане надо указать направление линии магнитного меридиана, для чего измерить угол между магистралью и магнитным меридианом.

2. Мензульная съемка

Задача 1. Снять план многоугольного участка, все углы и стороны которого доступны для измерения.

Решение. Задачу решаем обходом. Ставим мензулу, например, в вершине Л и на листе бумаги из точки, совмещенной при помощи мензульной вилки с данной точкой участка, проводим две линии по направлению сторон угла (черт. 28). Сторону AB участка измеряем по масштабу, откладываем отрезок на мензуле; переходим с мензулой в вершину В, совмещаем конец отрезка с точкою В и проводим линию в направлении стороны ВС и откладываем на ней по масштабу отрезок, соответствующего длине ВС. Так обходим участок: кругом, вычерчивая углы, измеряя стороны и по масштабу откладывая их на мензуле.

Черт. 27

Черт. 28

Может случиться, что начальная и конечная точки плана не совпадут между собою, получится, как говорят, невязка. Такая невязка может получиться в результате ошибки при измерении сторон или при вычерчивании углов. Поэтому измерение сторон надо делать возможно точнее, тогда невязка уничтожается уменьшением или увеличением углов.

По компасу надо прочертить линию магнитного меридиана.

Задача 2. Снять план участка открытого, но который нельзя обмерить обходом и внутри которого тоже нельзя произвести измерения.

Решаем с помощью мензулы методом засечек.

Берем какую-либо сторону за базис, например AB, если длину ее можно промерить.

Ставим вехи в вершинах В, С, D, Е. Мензулу помешаем в вершине А, прочерчиваем направления АЕ, AD, АС и AB, промериваем длину базиса AB и по масштабу откладываем ее на мензуле. Ставим веху в вершине А и переходим с мензулой в точку В. Ориентируем мензулу на веху в точке А, а потом прочерчиваем направления BE, BD, ВС. Остается соединить прямыми точками пересечения линий, направленных к одному и тому же пункту (черт. 29).

Площадь определяется путем разбивания участка на части и измерением по масштабу необходимых элементов.

3. Буссольная съемка. Приведем два простейшие способа решения задачи.

1) Обходом. Ставим вехи в вершинах участка и предлагаем учащимся зарисовать участок,

Потом, обходя участок, измеряем углы и стороны. По данным измерений вычерчиваем план. На плане надо указать направление магнитного меридиана, для чего измеряется угол между меридианом и одной из сторон участка.

Правильность измерения углов проверяется на основании теоремы о сумме внутренних углов многоугольника.

При нанесении участка на план по данным измерений, вследствие неизбежных погрешностей при измерении углов и сторон, концы границы участка не сойдутся, получится невязка контура. Если невязка не очень большая, то она уничтожается путем исправления сторон или углов участка.

2) Полярным способом. Ставим вехи в вершины участка. Учащиеся делают предварительную зарисовку участка. Ставим угломерный прибор в одну из вершин многоугольника или в любую точку внутри участка. Из этой точки провешиваем прямые во все вершины многоугольника, измеряем их и измеряем углы между этими направлениями. Выполнение чертежа понятно. При помощи транспортира построить измеренные на местности углы, на лучах отложить по масштабу соответствующие отрезки и концы их соединить отрезками прямых (черт. 30 и 31).

Из точки А или из точки О (центра подобия, полюса) определяется направление магнитного меридиана.

Маршрутная съемка

Маршрутную съемку можно сочетать с экскурсией по естествознанию, по географии, с пионерским походом.

При маршрутной съемке особая точность не требуется, поэтому в работе можно обойтись одним планшетом. Расстояния измеряются шагами, для чего учащийся должен знать размер своего шага. Предварительно, до выхода на работу, проводятся занятия по установлению размера шагов. Для этого провешиваем прямую и откладываем на ней точно измеренный отрезок в 20—30 метров. Учащиеся не-

Черт. 29 Черт. 30 Черт. 31

сколько раз проходят по этому отрезку, стараясь ступать равномерно. Движение начинать с левой ноги, счет вести парами шагов, считать по правой ноге. Измеренное расстояние делится на число шагов. Получим несколько результатов (по числу прохождений по отрезку), из них берем среднее арифметическое. Выполнение работы:

1. Рассчитываем масштаб, например, 10 шагов берем за 1 мм на чертеже.

2. К планшету прикрепляем лист бумаги и прочерчиваем на нем несколько параллельных прямых, которые мы потом будем совмещать с магнитным меридианом.

3. Намечаем на бумаге точку, которую будем считать исходным пунктом, из которого мы отправляемся в путь. Держа горизонтально в левой руке планшет, кладем на него компас и совмещаем линию NS с одной из взятых на планшете параллельных прямых, поворачиваемся лицом в направлении движения и устанавливаем планшет так, чтобы стрелка компаса совпала с направлением NS. В дальнейшем компас все время держим на планшете, обязательно совмещая направление NS с одной из параллельных прямых на планшете.

Компас можно переносить в любое место планшета.

4. Вколоть булавку на планшете в точку отправления, придвинуть к булавке линейку и, не изменяя положения планшета, вращать линейку до тех пор, пока изображения в зеркале булавки и предмета, находящегося на повороте дороги, не совпадут с чертой на зеркале. Прочертить от булавки в направлении дороги прямую (черт. 32).

Обращаем внимание: конец линейки с зеркалом надо держать к себе, в зеркало смотреть сверху.

5. Идем по дороге до намеченного пункта, считаем число шагов. По масштабу откладываем на прочерченной на планшете от отправного пункта линии отрезок, ставим в конечную точку булавку и далее работу продолжаем в том же порядке.

6. По дороге надо замечать подробности пути по сторонам: деревья, постройки, озеро, болото, их приблизительное расстояние от дороги, и наносить их на план, обозначая условными топографическими знаками.

Можно произвести маршрутную съемку и с линейкой без зеркала (черт. 33).

Ориентируем планшет относительно магнитного меридиана, ставим булавку в начальную точку пункта отправления А и ставим вертикально острием вниз карандаш на расстоянии 10 см от булавки. Визируем через булавку и острие карандаша намеченный впереди на дороге предмет, для чего передвигаем по бумаге острие карандаша. Когда булавка, карандаш и предмет будут на одной прямой, нажимаем на карандаш и делаем на бумаге точку, которую соединяем прямой с отправной точкой. Дальше работу продолжаем в том же порядке, как и в первом случае (с зеркалом) (черт. 34).

Черт. 32

Черт. 33

Черт. 34

Нивелирование

Горизонтальная съемка дает возможность определить положение проекции точки местности на плоскости. Но иногда требуется знать относительную высоту точек местности, разность их уровней. Определение относительного положения точек местности по вертикали и называется нивелированием.

Применяются три способа нивелирования: I) геометрическое нивелирование, когда непосредственно определяют разность уровней точек: 2) тригонометрическое нивелирование, когда измеряют расстояние между точками местности и угол наклона к горизонту линии, соединяющей три точки; 3) барометрическое нивелирование — на основании показаний барометра, помещаемого в этих точках.

Мы рассмотрим первый способ нивелирования. Для работы надо иметь: одну-две рейки, ватерпас, уровень, нивелир, вехи, рулетку.

Примеры.

Задача 1. Определить разность уровней двух точек, а) Пусть точки А и В находятся друг от друга на близком расстоянии (2—3 м). Задачу решаем с помощью ватерпаса (уровня). В нижнюю точку А ставим вертикально рейку, другую рейку концом кладем в точку В и с помощью ватерпаса придаем ей горизонтальное положение. Отрезок АС на первой рейке равен искомой разности уровней точек А и В (черт. 35).

б) Точки А и В расположены на значительном расстоянии друг от друга.

Задача решается с помощью двух реек и водяного нивелира. Ставим нивелир между точками А и В, а в точках А и В помещаем две вертикально поставленные рейки (черт. 36). Ученик, находящийся у нивелира, смотрит вдоль уровней воды в трубках на первую рейку и знаками руководит перемещением на ней указателя (рамки), пока указатель не расположится на одной прямой с уровнями воды в трубках. Затем этот ученик поворачивается в сторону второй рейки и проделывает то же и в этом направлении. Измеренное расстояние между рейками и высоты каждой рейки записываются.

Разность высот реек дает нам повышение или понижение местности на данном отрезке длины.

Теперь перейдем к решению более сложной задачи.

Задача 2. Определить высоту горы и ее профиль. Работу выполняем с помощью двух реек, ватерпаса (или уровня) тем же способом, как в пункте а) предыдущей задачи, переносом реек с места на место, как показано на чертеже 37; горизонтальные и вертикальные отсчеты по рейкам записываем. Записи эти надо вести по определенной форме; например, таблица 1.

Эта запись дает прямо нам ответ на то, какой путь пройден при работе по горизонтали и высоту подъема.

Теперь надо по полученным результатам построить профиль горы на чертеже. Для этого на горизонтальной прямой намечаем точки, расположенные на расстояниях, указанных в таблице 1, из этих точек восстанавливаем перпендикуляры к горизонтали и на них откладываем отрезки, указанные в последней графе

Черт. 35

Черт. 36

Черт. 37

Таблица 1

пунктов

Горизонт, отсчет

Вертикал, отсчет

Расстояние от первого пункта

Высота над первым пунктом

1-2 2-3 3-4 4-5 5-6

2,2 2,4 2,4 2,6 2,7

1,4 1.0 1,5 1,4 1.«

2,2 4,6 7,0 9,6 12,3

1,4 2,4 3,9 5,3 6,9

таблицы. Соединив концы перпендикуляров, получим профиль горы (черт. 38).

Задача 3. Определить профиль местности в данном направлении и разность уровней крайних точек.

Задача решается с помощью реек, нивелира и рулетки.

Решение. Провешиваем прямую в заданном направлении, вехи ставим не далее 40.—30 метров друг от друга, стараясь поместить их в точках перегибов местности. Расстояние между вехами вымеряются, и вехи нумеруются (черт. 39).

На место вех № 1 и № 2 ставим рейки, и между ними помещается нивелир, определим высоты реек, как это делалось в пункте в) задачи № 1. Результаты записываем. Первую рейку переносим на место вехи № 3, нивелир помещаем между вехами № 2 и № 3 и т. д. до конца.

Результаты всех измерений должны быть записаны в таблицу примерно такой формы:

Таблица 2

№№ вех

Расстояние

Высота реек

Положение между соседними вехами

Положение на участке

от вехи до вехи

от 1-й вехи

предыдущей

последующей

подъем

уклон

повышение

понижение

1-2 2-3 3-4 4-5 5-6

15 37 26 24 36

15 52 78 102 138

1,6 0,7 1,8 1,5 1,0

0,8 2,2 0,4 1,1 1,4

0,8

M

0,4

hS 0,4

0,8

ОД 0,1 0,7

0,7

Теперь остается нанести записанный профиль на бумагу. Для этого проводим горизонтальную прямую, намечаем на ней точки, соответствующие положениям всех вех на местности, и восстанавливаем из этих точек перпендикуляры к горизонтали, на которых по масштабу откладываем данные двух последних граф таблицы 2. Подъемы откладываем вверх от горизонтали, а понижения вниз от нее. Соединяем вершины перпендикуляров и получаем профиль данного направления (черт. 40).

Примечание. Для получения большей наглядности профиля масштаб по вертикали берется более крупный, чем для горизонтальных расстояний.

Черт. 38

Черт. 39

Черт. 40

ОПЫТ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ

З. К. КРАСНОВА (Москва)

Внеклассная работа может проводиться разными путями: математические кружки, моделирование, знакомство с историей изучаемого предмета, доклады учащихся на отдельные темы, выполнение чертежей, решение занимательных задач и задач повышенной трудности и, наконец, проведение математических вечеров.

Все виды этой внеклассной работы я применяла в мужской школе № 622 Ждановского района г. Москвы.

На протяжении целого ряда лет я вела математические кружки, начиная с V и по X классы.

Учащиеся охотно в них занимались, сетуя иногда на то, что занятия в них проходят редко (один раз в две недели).

В математических кружках с V по VII классы разбирались следующие вопросы.

1. Приемы устного счета.

2. Различные виды счисления.

3. Признак делимости на 11.

4. Числа-великаны и числа-лилипуты.

5. Совершенные числа и числа-близнецы.

6. Квадраты со спичками.

7. Биография А. П. Киселева.

8. Решение занимательных задач.

9. Стихи в математике.

В результате 2-летней работы математического кружка был проведен силами учащихся VII класса вечер «занимательной математики».

Программа вечера

1. «Первые уроки алгебры», стихотворение ученика VI класса г. Одессы Фишмана 1928 г.

2. «Чеховская головоломка».

3. «Куб», стихотворение по книге Литцмана.

4. Квадраты со спичками.

5. Стихотворение «Круг».

6. Любимая цифра.

7. Отгадывание чисел.

8. Курьезы и неожиданности.

9. Угадывание даты рождения. 10. Живой календарь.

11. Стихотворение «Мечта».

На вечер были приглашены учителя нашей школы, а также учителя и ученицы VII класса 422-й школы.

Вечер прошел с большим успехом. Нужно было видеть, с какой ответственностью выступали учащиеся, отлично подготовившие свои номера, и как их слушали гости.

После окончания программы были организованы математические игры. Гости и хозяева не отходили от досок, предлагая друг другу занимательные задачи и вопросы.

После окончания вечера присутствующие высказывали единодушное мнение о том, что вечер им очень понравился, и просили меня устраивать еще такие вечера.

На следующий год, при встрече осенью со своими учениками, я услышала от них первый вопрос о том, «когда начнет работать математический кружок?» В этом году в кружке мы занимались изучением следующих вопросов:

1. Разбирали задачи на построение и доказательства.

2. Разбирали математические софизмы.

3. Изучили биографию С. В. Ковалевской. Познакомились с краткими сведениями, дошедшими до нас, о первой женщине-математике Ипатии.

4. Разобрали различные доказательства теоремы Пифагора.

Провели доклад на тему «Пифагор и его школа».

В результате был проведен математический вечер с программой:

1. Числовые суеверия. Магический квадрат,

2. Математические софизмы.

а) Вступительное слово о софизмах ученика VIII класса.

б) Разобраны следующие софизмы:

1) 2 = 3; 5 = 7.

2) Из одной точки можно опустить на прямую два перпендикуляра.

3) Внешний угол треугольника равен внутреннему, с ним не смежному.

4) Окружность имеет два центра.

5) Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру.

Черт. 1

Особенно интересным показался учащимся следующий софизм:

Катет прямоугольного треугольника равен гипотенузе.

1. Проведем через середину отрезка АС прямую ОК±_АС (черт. 1).

2. Проведем биссектрису угла В до пересечения в точке О с ОК.

3. Соединим точку О с Л и С.

4. Из точки О проведем

Где ошибка?

Большое внимание было уделено разбору софизмов потому, что умение находить ошибки в неправильных рассуждениях столь же необходимы учащимся, как и умение доказывать правильные положения. На вечер вновь были приглашены ученицы VIII класса 422-й школы.

Интересно заметить, что после проведения математической части должны были начаться танцы, но долгое время можно было наблюдать, как в одиночестве играет баянист, а юноши и девушки толпятся у доски и с увлечением разбирают тот или другой интересующий их вопрос.

В IX и X классах математический кружок продолжал свою работу.

Разобраны были следующие вопросы:

1. Построение правильных многоугольников.

2. Теорема Птоломея.

3. История логарифмов.

4. Число те.

5. Правильные многогранники.

6. П. Л. Чебышев.

7. Н. И. Лобачевский.

8. Решение задач повышенной трудности и другие вопросы.

В прошлом учебном году я предложила учащимся IX класса организовать вечер вопросов и ответов по тригонометрии, мотивируя это тем, что экзамена по тригонометрии у них не будет, а подвести итоги проделанной работе надо.

Учащиеся охотно согласились на мое предложение, и мы начали готовиться. Мы пригласили принять участие в этом вечере учениц IX класса 457-й школы.

Было выбрано жюри из наиболее подготовленных учащихся, которые должны были оценивать правильность ответов учащихся.

В один из апрельских вечеров в нашей школе собрались учащиеся IX—X классов 622-й и 457-й школ.

Порядок проведения этого вечера был такой.

Первый вопрос задавала ученица 457-й школы ученикам 622-й шк^олы. Кто мог ответить, поднимал руку. Член жюри называл фамилию этого ученика, названный давал ответ; если ответ был правильный, то учащимся 622-й школы засчитывалось одно очко; далее ученики 622-й школы задавали вопрос ученицам 457-й школы и т. д. Если же ответ был неправильный и за него отвечал другой ученик, то очко школе уже не засчитывалось.

Учащиеся задавали друг другу очень интересные вопросы, например:

1) Чему равен tg-^j-? .

2) Какой знак имеет sin2?

3) Определить угол х, если lg sin х = 1,2445.

4) Имеют ли общие точки графики функций:

5) Что больше sin 1,57 или cos О?

6) В каких четвертях smx и cosec* имеют разные знаки?

7) Что больше cos (45° + а) или sin (45° — а)?

8) Выразить sin а через tg

9) В каких четвертях sin je и cos X имеют одинаковые знаки?

10) В каких четвертях sinx и cos л; одновременно убывают? И т. д.

Проведение такого вида вечера принесло учащимся большую пользу, так как они:

1) повторили весь курс тригонометрии; 2) выбирали самостоятельно наиболее интересный материал для вопросов; 3) проявили знания и находчивость при ответах.

В этом году учащиеся X класса 17 марта также провели математический вечер, на который были приглашены ученицы X классов 457-й, 477-й школ и ученики IX и VIII классов нашей школы.

Программа вечера состояла из двух отделений.

В I отделении учениками IX класса 622-й школы были прочитаны два доклада: 1) «Эвклид»;

2) «Н. И. Лобачевский».

Во II отделении всем присутствующим было предложено для решения десять примеров и задач.

Набравшие наибольшее количество очков получили премию.

Предложены были следующие задачи и примеры.

1. В прямоугольном треугольнике с углом в 15° найти катеты, если гипотенуза равна а (не прибегая к тригонометрии) (2 очка).

2. Найти объем правильной четырехугольной призмы со стороной основания а, если сумма углов, образованных диагональю призмы со стороной и с диагональю основания, выходящими из той же вершины, равна 135° (3 очка).

3. Вершина А квадрата ABCD соединена с некоторой точкой M на CDy причем АМ = d. Биссектрисса ^ВАМ пересекает сторону ВС в точке N. Определить величину суммы DM 4- BN (2 очка).

4. Решить уравнение:

5. Определить х, если

6. Определить ху если

7. Определить х, если

8. Упростить:

10. Доказать:

На выполнение данной работы было дано 3 часа, после чего начался разбор предложенных примеров и задач на доске.

Выступили по предложению жюри те учащиеся, которые дали наиболее рациональное решение задачи или примера.

Не были решены только задача № 2 и пример № 10, которые были разобраны на доске членами жюри.

За наилучшее решение примеров и задач трое учащихся получили премии (книги).

Большую работу проделали учащиеся по оборудованию математического кабинета.

В математическом кабинете имеются:

1. Портреты математиков.

2. Модели, изготовленные учащимися (60 штук).

3. Доклады учащихся.

4. Работы учащихся на аттестат зрелости и экзаменационные работы учащихся VII, VIII, IX классов.

5. Альбомы, немые чертежи для повторения.

6. Наборы геометрических тел.

7. Таблицы и графики.

8. Логарифмическая линейка.

Математический кабинет является местом, в котором собираются все творческие работы учащихся, а учитель использует материалы, находящиеся в кабинете, на своих уроках, чтобы дать более глубокие и прочные знания учащимся.

Модели. Модели готовят учащиеся с VII по IX класс по заданию учителя. Модели делаются к той или иной теореме, к трудной задаче (V—X кл.). Модели применяются учителем особенно успешно при повторении материала.

Немые чертежи. Учащиеся VIII класса приготовили немые чертежи для повторения по курсу VI и VII классов. Эта работа имела большое воспитательное значение. Ученики VIII класса, выполняя эту работу, сознавали, что они помогают учащимся младших классов лучше усвоить проходимый материал, кроме того, сами восьмиклассники повторили материал прошлых лет обучения.

Графики. Большое внимание было уделено изучению темы «Функции и графики». При подведении итогов учащиеся должны были сдать зачетную работу в виде графика, вычерченного на отдельном листе бумаги. Лучшие работы были отобраны для математического кабинета.

В IX классе учащиеся вычертили на большом листе графики показательной и логарифмической функций. В X классе учащиеся вычертили графики прямых и обратных тригонометрических функций.

На больших листах бумаги активом математического кружка были приготовлены отдельные задания, например:

1. Тела вращения.

2. Лемма об объеме пирамиды.

3. Шар, вписанный в многогранники.

4. Шар, описанный около многогранников.

5. Правильные многогранники.

6. Дан чертеж и решение одной из задач по геометрии с применением тригонометрии.

7. Дана схема правильной записи при логарифмировании.

Этот материал находится все время перед учениками IX класса, помогает им в усвоении отдельных вопросов, учит правильному

распределению материала при оформлении работ.

Внеклассная работа с учащимися по математике очень интересна и многогранна; она приносит большую пользу учителю в его повседневной работе.

Посредством внеклассной работы мы создаем в классе актив учащихся, который увеличивается и в конечном итоге является основным помощником учителя в его работе с классом.

Организовать работу кружка очень легко. Наши замечательные ребята любознательны, любят работать, а когда они заняты делом, то им меньше остается времени на посторонние, мешающие занятия.

В этом году у меня были математические кружки для V и IX классов. Ученики же VIII класса, по собственной инициативе, составили список желающих работать в математическом кружке (причем отобрали учеников действительно интересующихся математикой). Пришли ко мне и просили с ними заниматься, в любой день, когда мне будет возможно.

Многие учителя ссылаются на то, что нет соответствующей литературы для занятий в кружке.

Этот довод теперь отпадает, так как в последние годы, особенно за 1950—51 год, вышло очень много литературы, которую можно использовать для работы в кружках.

Плановая разносторонняя внеклассная работа поможет учителю дать учащимся глубокие прочные знания и, следовательно, выполнить те требования, которые предъявляют партия и правительство учительству.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК И ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

Е. Я. ТЕРСКОВ

(Из опыта работы в 553-й школе г. Москвы)

Школьный математический кружок призван удовлетворить повышенную любознательность тех учащихся, которые расположены к математике, любят ее, склонность которых заставляет их выйти за пределы школьного курса.

Внеклассная работа по математике, развернутая вокруг кружка, способствует пробуждению, развитию и углублению интереса к изучению математики широкого круга учащихся школы, расширяет их математический кругозор, повышает их математическую культуру.

Наличие в классе одного-двух кружковцев оказывает заметное влияние на ход урока в классе, на настроенность коллектива учащихся класса на уроках математики.

Наконец, наличие кружка и внеклассной работы в школе дает преподавателю — руководителю кружка — возможность апробации любого методического вопроса, а это последнее уже может строиться известным образом на работе объединения преподавателей математики школы.

Организовать кружок и развернуть вокруг него внеклассную работу со значительным числом учащихся школы—дело весьма простое и легкое.

Заведем в школе час «математических чтений». В определенный день, час, в определенном месте пусть учащиеся знают, что преподаватель будет читать книгу (в дальнейшем эти чтения надлежит передать членам математического кружка). Начать можно, например, с книжечки Попова «Дети и юноши математики» или со «Случая с Плятнером»—рассказ в книге Игнатьева «В царстве смекалки»; затем перейти к книгам «Ипатия» Квингели, «Кагорта славных» Фролова и т. п. Само собою, разумеется, читать надо вкрапливая в чтение комментарии.

Вот другой путь, идущий параллельно с первым: на уроке, после решения учащимися примеров, задач, пусть преподаватель сам возьмет в руки мел и покажет своим ученикам, какие мысли он лелеет о них, как он хочет, чтобы они «вот так» решали примеры, задачи, «вот так» понимали бы и знали дело. Разумеется, такое выступление должно быть весьма продуманным, эффектным. Нельзя забывать— дети любят своего учителя, гордятся им, доверчиво следуют за ним, и надо, чтобы они видели те цели, к которым он ведет их. В дальнейшем—ответ у доски кружковца пусть будет также захватывающим для класса.

Вот еще путь, параллельный указанным двум: В каждой школе, в каждом классе иногда бывают «окна», надо заместить этот урок. Пусть его заместит руководитель математического кружка, об этом всегда можно дого-

вориться с учебной частью. На таком уроке, сказав немного о кружке, руководитель его расскажет ученикам, над чем работают некоторые его члены, покажет некоторые результаты этих работ, укажет вакантные темы. Конечно, это замещение должно быть таким, что впечатление о нем у класса останется надолго.

Наконец, общение с учащимися может быть не только на уроках. Учащиеся готовы и любят быть вместе с учителем везде и всегда. Будем и на переменах вместе с ними. Гуляя по коридору, с ними можно говорить и о внешкольной математике, только эти разговоры не должны носить даже тени принужденности, напряженности. На этих переменах не мы, а дети должны подходить к нам; дети должны ожидать нашего выхода к ним и любить проводить перемены с нами.

Итак, в школе всегда находится более чем достаточное число учащихся, стремящихся работать в математическом кружке. Как наладить их работу, какую форму ей придать? Решение этого вопроса в значительной мере зависит от условий работы школы в целом. Наша школа (№ 553, г. Москва) работает в три смены. Здание школы занято с 8 часов утра и до 11 часов вечера ежедневно, кроме среды и субботы,— в эти дни оно свободно от третьей смены с 7 часов вечера. Сказанное придало работе математического кружка определенные формы.

В кружке 13 членов-активисток; 2 ученицы VI классов; 3 ученицы VII классов; 8 учениц IX классов. Каждый член кружка имеет определенную тему, над которой и работает дома. Вот перечень некоторых тем, над которыми работали кружковцы в текущем учебном году.

1. Приемы беглого устного счета и рациональных письменных вычислений.

2. Приближенные вычисления без строгого учета погрешностей.

3. Методы решения геометрических задач на построение.

4. Методы решения арифметических задач.

5. Геометрические софизмы.

6. Решения наиболее трудных задач из задачника Е. С. Березанской.

7. Решение наиболее трудных задач из задачника Шапошникова и Вальцова.

8. Решение наиболее трудных задач из учебника геометрии Киселева.

9. История действия умножения.

10. Кто изобрел алгебру.

11. Золотое сечение.

12. Некоторые задачи из книг Перельмана.

13. Плоские изображения стереометрических тел.

14. Теория пределов.

15. Детерминанты.

16. Сложный радикал.

17. Неопределенные уравнения.

18. Пифагорейские задачи.

Имея каждая свою тему (выбранные по собственному желанию), ученицы работают над ней дома. Никто их не торопит, но руководитель кружка всегда в курсе работы. С руководителем кружка может говорить и получить от него консультацию каждый кружковец в любой день, в любое время, в любом месте. Иногда это пятиминутные разговоры во время перемен, иногда это консультация в течение 10—20 минут в школьной библиотеке, в пионерской комнате или в школьной столовой. Бывают и более длительные консультации—до часу; после уроков, между сменами. Эти беседы и эти консультации всегда насыщены и напряжены. Содержанием их являются или вопросы о книгах, в которых можно прочитать о том или ином вопросе, или о том или ином месте читаемой книги, или просьба подтолкнуть решение той или иной задачи, получить отзыв о решении какой-нибудь задачи и т. п. Общение кружковца с руководителем осуществляется также сдачей руководителю письменных работ и вопросов в письменной форме. Эти работы просматриваются руководителем, корректируются им, снабжаются письменными указаниями. Эти письменные консультации даются в краткие сроки: сегодня сдано — завтра получено.

Окончание работы над темой завершается сначала выступлением кружковца с подробным отчетом о своей работе перед своими товарищами на закрытом собрании кружка, специально для этого созываемом, и затем представлением в кружок реферата.

Случилось так, что некоторые члены кружка стали просить разрешения привести с собой на эти закрытые собрания гостя-подружку, так что собрания начали проходить с «гостями». Постепенно «гостей» стало набираться все больше. Так закрытые собрания превратились в открытые и выступление кружковца превратилось в доклад перед значительной аудиторией в 50—60 человек. Родился математический «лекторий» при кружке. Этим лекторием было положено начало внеклассной работы по математике с учащимися школы — не членами математического кружка. В связи с лекторием несколько видоизменяется и работа членов кружка. Кружковец начинает работать с перспективой представить реферат и выступить

с лекцией в математическом лектории. Закрытые собрания членов кружка, посвященные знакомству с работой одного или нескольких своих товарищей, заменяются беседой кружковца с руководителем, во время которой вырабатывается план соответствующей лекции в лектории и проводится соответствующая репетиция. Иногда лишь к этой беседе привлекается самим руководителем кружка один или два члена кружка, именно те, текущая работа которых имеет связь с данной работой.

Интересно отметить, что с организацией математического лектория некоторые члены кружка стали брать темы из области для них «далекого прошлого» и разрабатывать эти темы специально для некоторых классов. Так, например, ученица IX класса Н. Тимофеева разработала тему «О решении арифметических задач методом проверяемого допущения» и прочитала соответствующую лекцию специально для учениц V и VI классов. Ученица IX класса Г. Сахарова разработала вопрос о «решении геометрических задач» на построение методами постепенного построения и построения целого по частям и прочитала лекцию по этому вопросу ученицам VI и VII классов. Ученица VII класса Т. Сальникова, работа которой—«беглый устный счет и рациональные письменные вычисления», заинтересовала многих учениц школы (рефераты, представленные кружковцами, оформляются отдельными брошюрами и читаются всеми желающими), была приглашена ученицами IV В класса с просьбой познакомить их с некоторыми приемами вычислений. Разумеется, план ее занятия составлялся ею совместно с руководителем кружка и преподавателем IV В класса, после чего Сальникова провела часовое занятие с классом (в присутствии и руководителя кружка и руководителя класса). Для проведения этого занятия класс в полном составе остается после уроков.

О предстоящей лекции математический лекторий оповещает учащихся школы заблаговременно вывешенным плакатом: на целом чертежном листе бумаги с эмблемами кружка пишется время, место, тема лекции и имя лектора. Остается сказать, что ни одна лекция не проходила без гостей-взрослых. Присутствуют и преподаватели математики школы, иногда заведующий педагогической выставкой Института усовершенствования учителей В. М. Горбачевский, иногда преподаватели других школ и всегда районный методист Н. Т. Зерченинов. Все сказанное очень импонирует лектору, как и то, что каждый член кружка имеет членский билет, в который вносится руководителем каждая выполненная кружковцем работа.

Для учениц IV, V и VI классов кружок организовал доску, на которой еженедельно вывешивается новая арифметическая задача «олимпиадного» характера. Все желающие ученицы могут ее решать; решения опускаются в приделанный к этой доске почтовый ящик. Кружком выделен член, следящий за этим видом работы, разбирающий решения, докладывающий о них руководителю, получающий от него соответствующие указания, оповещающий решавших о полученных ими результатах и вывешивающий на указанной доске фамилии тех, решения которых выделяются чем-либо.

К видам внеклассной работы по математике, развернутой вокруг кружка, относится проведение 20 экскурсий на выставку «Социалистический учет» при институте им. Плеханова, где свыше 300 учениц школы познакомились с историей счетных машин, начиная с греческого и римского абаков и кончая современными счетными машинами. Характер этих экскурсий был заранее согласован с администрацией выставки. Директор выставки и его сотрудники были очень отзывчивы, так что посещения выставки вылились в уроки с практическими занятиями на абаках и арифмометрах. Излишне говорить, какое значение это имело для учащихся в смысле расширения их кругозора.

Издает кружок и стенную газету. Стенгазеты или тематические (посвященные памяти Лобачевского, Ковалевской, комплексам задач туров математических олимпиад при Московском университете им. Ломоносова), или эпизодические, перед предстоящими лекциями членов кружка в лектории; в этих номерах газеты в сжатой форме публикуются содержания предстоящих лекций. В газетах помещаются преимущественно статьи самих членов кружка, но иногда в них встречаются и статьи преподавателей математики школы. Газеты издаются на длинных полотнах бумаги, для удобства чтения их сразу несколькими лицами, газеты художественно оформлены, с эмблемами кружка.

При кружке работают два практикума по решению арифметических задач повышенной трудности; один—из учениц V классов, другой— из учениц VI классов. Цель этих практикумов— подготовить учащихся к городской математической олимпиаде. Ведут занятия в практикумах преподаватели, но учащиеся широко пользуются и помощью членов математического кружка.

Некоторые ученицы X и IX классов составили группу, занимающуюся моделированием геометрических задач по стереометрии из за-

дачника Рыбкина. Модели делаются ими дома, снабжаются текстом задачи и ее решением. Все делается чрезвычайно тщательно, заключается модель в особую коробку и служит дидактическим пособием для преподавателя математики.

Кружок выступал по радио. В Институте усовершенствования учителей был поставлен доклад руководителя кружка с показом достижений некоторых членов кружка. На педагогической выставке этого института имеются, или в подлинниках, или в копиях, почти все работы кружка. Члены кружка посещают эту выставку, интересуются имеющимися на ней работами других кружков.

Члены кружка — это очень «деятельная публика», они стали самостоятельно читать книги по математике, стали часто бывать на квартире районного методиста Н. Т. Зерченинова, который любезно представляет им свою библиотеку, стали посещать математический кружок при библиотеке им. Ленина; все чаще и чаще сами учащиеся являются инициаторами новых мероприятий в своем кружке.

ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ ШКОЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

В. Г. РАЗУМОВ (г. Балашиха, Московской обл.)

Кружок для учащихся VII классов начал свою работу с решения «хитрых» и «веселых» задач.

На кружке учащиеся решали задачи и доказывали теоремы различными способами.

Так, например, ученик VII класса И. Новиков предложил на кружке иное, чем в учебнике, доказательство теоремы об измерении угла с вершиной вне круга.

Привожу это доказательство.

Дано: AÛ и СЕ — секущие, которые пересекаются в точке В (черт. 1). Требуется доказать, что ^АВС измеряется -2-•

Доказательство.

Проведя прямую EF \\ AD, получим вписанный угол FEC9 который измеряется -w-v^FC.

w AF= w DE — дуги, заключенные между параллельными хордами. У ABC = /_ EEC—соответственные при параллельных AB и ЕЕ. Kj FC= w АС - ^ AF= w АС— w DE ^ ABC измеряется ^ FC, или /_АВС измеряется

После этого участники кружка предлагали мне различные доказательства отдельных теорем, что вызвало большой интерес учащихся к математике.

Так, например, аналогичным способом были доказаны теоремы об измерении угла между касательной и секущей и угла между двумя касательными (черт. 2 и 3).

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Один из участников кружка предложил следующее решение известной задачи:

Через данную точку виз прямой провести прямую, параллельную данной прямой.

Дано: MN—прямая, С — точка вне прямой (черт. 4).

Решение задачи.

На прямой MN берем две произвольные точки А и В.

Через три точки А, В и С проводим окружность. Затем засечем окружность дугой радиуса ВС с центром в точке А.

Через точку пересечения D окружности и дуги и данную точку С проводим прямую DC. Прямая DC будет параллельна MN.

Доказательство основывается на теореме о дугах, заключенных между параллельными хордами.

После того, как я объяснил решение задачи: На данном отрезке построить сегмент, вмещающий данный угол», ученики заявили, что нужно искать более простое решение этой задачи.

И вот на кружке учащиеся пришли к выводу, что эту задачу можно решить следующими способами.

Первый способ.

Дано: а — отрезок, а — данный угол.

1. Строим угол, равный данному (черт. 5).

2. Из произвольной точки В на одной стороне угла проводим прямую под углом большим, чем угол а.

3. На этой прямой строим отрезок ВС = а.

4. Через точку С проводим прямую, параллельную другой стороне угла.

5. Через точки Аи В и С проводим окружность.

6. Полученный сегмент ВАХС и есть искомый.

Второй способ.

1. Строим угол, равный данному (черт. 6).

2. На стороне угла берем точку В так., чтобы радиусом а можно было сделать засечку на другой стороне угла, и получим точку С.

3. Через точки А, В и С проводим окружность.

4. Полученный сегмент ВАС и есть искомый.

Черт. 4

Черт. 5

Черт. 6

ИЗ РАБОТ УЧАЩИХСЯ

Теорема о биссектрисе внешнего угла треугольника

М. И. ГОЗМАН (ученик X кл. Кагановичи, Киевской области)

Вторую часть теоремы о биссектрисе угла треугольника можно доказать и так: Дано (черт. 1):

ZmCBD = /uDBF. (1)

Требуется доказать:

AD:DC = AB:BC. (2)

Доказательство. На продолжении стороны AB отложим

BF = BC. (3)

Соединим F и D. Тогда /\BCD = /\BFD (по двум сторонам и углу между ними), значит:

DC—DF, (4)

/_CDB = /_BDF. (5)

Следовательно, DB — биссектриса угла ADF в треугольнике ADF. Применив доказанную теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника получим:

AD:DF=AB:BF. Сделав замену из (4) и (3), получим: AD:DC = AB:BC.

Такое доказательство очень просто и дает возможность сразу применить и, следовательно, повторить еще раз теорему о биссектрисе внутреннего угла.

Черт. 1

Сумма квадратов чисел натурального ряда

ГАЙК АРУТЮНЯН (Эреван)

Известную формулу для суммы квадратов п первых чисел натурального ряда можно вывести так:

Возьмем две взаимно перпендикулярные прямые OA и OB. Выберем произвольный отрезок за единицу и от точки О на горизонтальной оси OA отложим последовательно отрезки: 1, 2, 3, 4..., п (черт. 1).

На вертикальной оси OB отложим отрезок, равный 1, а затем п — 1 отрезков, равных -у- каждый. Через точки деления проведем прямые, параллельные осям, до их взаимного пересечения. Получим квадрат со стороной 1 и п — 1 шестиугольников (гномонов). Площади этих шестиугольников выражаются последовательно квадратами первых натуральных чисел.

От редакции. Последнее утверждение легко доказать. Пусть сторона МЫ шестиугольника МЫР1) равна k. Проведя RS \\ OB, получим: пл. МЫРС = пл. MNPS + пл. RSPQ. Но пл. МЫРС равна

Черт. 1

а площадь RSPQ равна:

Сумма этих площадей, т. е. площадь шестиугольника MNPQ равна:

Значит, сумма площадей квадрата и всех шестиугольников равна:

(1)

Но в то же время эта сумма представляет собой площадь прямоугольника с основанием

и высотой

Таким образом площадь прямоугольника QACB равна

(2)

Из (1) и (2) заключаем:

Другой вариант доказательства формулы объема пирамиды

А. П. КУСАКОВ (Москва, ученик шк. № 151)

Дана пирамида SABC. Определить ее объем, не применяя леммы о равновеликости пирамид с равновеликими основаниями и равными высотами.

Допускаем, что пирамида SABC прямоугольная, т. е. AB A. BS, ВС±, BS (черт. П.

Высоту пирамиды SB делим пополам и через точку деления В1 проводим плоскость, параллельную основанию ABC. В сечении получается треугольник АХВХСХ, площадь которого равна —--г—. Через сторону АХСХ треугольника AlBlCl проводим плоскость AXKFCX, параллельную высоте BS, фигура AXBXCXFKB— прямая призма.

Через прямую CXF проводим плоскость NCXF параллельную плоскости ABS, фигура AA1KFNCl — призма, объем которой равен -i^-Sakfn-AiK (эту призму можно достроить до параллелепипеда, половину объема которого она будет составлять).

Помимо этих призм мы получили две равные пирамиды SAXBXCX и CXNCF (двугранные углы при вершинах S и Сх равны, боковые соответственные ребра равны). Каждую из этих двух пирамид можно, аналогично предыдущей SABC, разбить на две призмы и две равные пирамиды и так далее, число которых с каждым разом будет увеличиваться вдвое. Подсчитываем общий объем призм, прилегающих к грани ASC.

На 2 умножаем потому, что число пирамид, прилегающих к ребру SC, с каждым делением удваивается.

Черт. 1

Итак получилась бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Находим ее сумму:

Теперь подсчитаем объемы прочих призм:

(Имеем две призмы, первая с основанием на ДМ?/7, другая на /\АХСХВХ; площадь основания равна

Находим сумму полученной прогрессии:

Предел суммы объемов призм при неограниченном делении высоты пополам равен объему пирамиды SABC.

Следовательно,

Так как всякую пирамиду можно разбить на ряд прямоугольных пирамид, сумма объемов которых будет равна объему данной, либо дополнить данную пирамиду прямоугольной пирамидой до прямоугольной, то теорема верна для произвольной пирамиды.

Следствие, пирамиды, имеющие равные высоты и равновеликие основания: равновелики

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О КНИГЕ Н. А. МЕНЧИНСКОЙ «ОЧЕРКИ ПСИХОЛОГИИ ОБУЧЕНИЯ АРИФМЕТИКЕ»

Д. М. МАЕРГОЙЗ (Киев)

Учпедгиз хорошо поступил, переиздав в 1950 г. книжку Н. А. Менчинской*.

Автор книги Н. А. Менчинская свыше двадцати лет занимается вопросами психологии обучения арифметике. Некоторые результаты своих исследований, а также исследований 3. И. Калмыковой автор и пытается изложить в этой книге.

Рецензируемая книга содержит, кроме краткого введения, три главы: I. К психологии вычислительных операций; II. Вопросы психологии решения арифметических задач; III. К методике исследования счета и решения арифметических задач.

Содержание книги в основном касается вопросов преподавания арифметики в начальной школе, тем не менее учитель математики в средних и старших классах найдет для себя немало общих ценных указаний и интересных мыслей. Это в первую очередь относится к предпоследнему разделу первой главы— «Процессы обобщения и автоматизации при обучении счету».

В этом разделе правильно отмечается, что в школьной практике нередки случаи, когда учащиеся, вопреки замыслу учителя, кладут в основу обобщения случайные, несущественные признаки, если последние оказались постоянными в ряде упражнений.

Большую ценность для учителя представляет соответствующий вывод автора: «Для того, чтобы ученик сделал правильное обобщение, нужно варьировать все несущественные признаки предметов или явлений, сохраняя постоянными только те признаки, которые должны быть положены в основу обобщения». Правильно подчеркивается дальше, что принцип варьирования важен не только при объяснении нового материала, но и для последующих упражнений.

Полезным для учителя является также указание о том, что в процессе обобщения следует обращать внимание учащихся не только на объединение фактов по их сходным признакам, но и на отграничение от целого ряда других фактов, внешне сходных, но по существу различных.

При рассмотрении процессов автоматизации вычислительных навыков указывается, что вследствие многократных упражнений вычислительные операции меняют резко свой характер, так как осуществляется почти непосредственный переход от восприятия чисел, данных в примере, к результату, «при этом вычисляющий часто даже не может сказать, как он вычислял: ему кажется, что никакой операции он не совершал и результат к нему как бы сам пришел».

Безусловно ценны для учителя замечания автора, что при выработке автоматизированных вычислительных навыков следует вначале соблюдать постепенное сокращение промежуточных звеньев, постепенное сокращение процесса рассуждения вплоть до его полного выключения. Но даже тогда, когда рассуждение выключено полностью, оно продолжает лежать в основе выполняемой операции. Обращается внимание на неправильное применение процесса автоматизации, когда арифметическая операция с самого начала строится по типу ассоциативной связи, когда промежуточное звено, рассуждение сразу выпадает. Поэтому в случае разрыва этой ассоциативной связи учащийся оказывается беспомощным получить правильный ответ иным путем.

В последнем разделе первой главы — «Ошибки в вычислениях» — автор правильно указывает, на вредность распространенного в школьной практике шаблонного подхода к ошибкам: «раз есть ошибка, значит, нужно дополнительное упражнение»,

В этом разделе преимущественно рассматриваются ошибки характера описок. Немного внимания уделяется особой группе этого рода ошибок, так называемым «персеверативным» ошибкам, широко распространенным среди учащихся.

Кратко затрагивается вопрос о разборе ошибок и их фиксации на доске. Правильно указывается, в каких случаях фиксация ошибок на доске с их детальным анализом полезна. Автор ссылается на свои личные наблюдения, когда в результате ана-

* Н. А. Менчинская, Очерки психологии обучения арифметике, издание второе переработанное, Учпедгиз, 1950.

Первое издание было выпущено изд-вом Академии педагогических наук РСФСР в 1947 г. небольшим тиражом (10 000 экз.).

лиза у учащихся получался своего рода «умственный ожог» и в дальнейшем они остерегались данной ошибки.

Во второй главе рассматривается решение простых, составных и типовых задач. Раздел, посвященный решению простых задач, представляет большой интерес для учителей первых классов. Автор убедительно показывает на ряде приведенных фактов, что дети в первом классе придумывают задачи без вопроса, не чувствуя необходимости в постановке вопроса.

Вполне резонно подчеркивается, что применяемые иногда в школьной практике наглядные пособия, в которых показаны не только данные условия задачи, но также и результат, вместо пользы приносят вред. Школьники воспринимают в готовом виде полученный результат, и тем самым отпадает необходимость в постановке вопроса и выборе соответствующего действия.

В разделе «Решение составных задач» рассматриваются затруднения учащихся, возникающие при вычленении промежуточного вопроса. Автор правильно указывает, что скрытый вопрос задачи вычленяется учащимися тем труднее, чем более он сходен с имеющимся в задаче основным вопросом.

Немало места уделяется разногласиям среди методистов по поводу посильности и сравнительной ценности аналитического и синтетического метода решения задачи. Особый интерес для учителя математики представляет подробное описание протекания мыслительных процессов при решении арифметической задачи. Из этого описания явствует, что у одной ученицы IX класса процесс мышления движется от вопроса к данным («это нужно узнать, но это нельзя узнать») и от данных к вопросу («это можно узнать, но это ничего нам не дает»). Тем самым подтверждается, что в процессе решения задач тесно переплетается анализ с синтезом.

Весьма ценным для учителя является краткое изложение исследования 3. И. Калмыковой, посвященного изучению некоторых видов и приемов анализа, применяемых при решении арифметических задач.

Многих методистов и учителей математики заставят призадуматься некоторые выводы из специального исследования 3. И. Калмыковой: 1) Анализ в его традиционной форме не пригоден как путь нахождения решения.

2) метод разбора задачи-проблемы «от конца» отвлекает учащихся от подлинного анализа конкретного условия данной задачи.

При рассмотрении решения типовых задач немало места автор уделяет особым приемам, которые сводятся к временному изменению условия задачи с помощью того или иного «предположения» («Допустим, что яблок и груш было поровну», и т. д.).

Можно вполне согласиться с автором, что вопрос о системе варьирования типовых задач — это центральный вопрос, над правильным решением которого еще надо много поработать.

На ряде примеров автор показывает, какую опасность таит в себе типовая задача, когда она используется только как средство выработки некоторых готовых шаблонов решения, применяемых в самых различных случаях.

Добавим от себя, что эта опасность толкнула многих методистов на «нигилистическую» позицию в вопросе о размещении задач по определенным типам и сообщении учащимся названий этих типов («это, мол, только для учителя»). В связи с этим представляет исключительный интерес описание опыта 3. И. Калмыковой. Она сообщала учащимся названия типов, при помощи слова-названия уточняла и закрепляла формирующееся понятие о типе задачи и добилась хороших результатов.

Безусловно, верен вывод автора: «нельзя формирование понятий о типе задач предоставлять на волю его стихийного течения (вопреки учителю учащиеся будут обобщать, но обобщать ошибочно)... Отсюда необходимо также, чтобы существующие задачники давали типовые задачи в определенной системе. В настоящее время этого нет. Даже больше того, авторы часто избегают указывать, какие задачи являются типовыми. Они растворяют их в общей массе арифметических задач».

Наряду с отмеченными бесспорными достоинствами книги, в ней имеются существенные пробелы и отдельные досадные промахи.

Во втором издании автор значительно шире привлек опыт наших передовых учителей, что, бесспорно, хорошо. Но плохо то, что в отдельных случаях автор недостаточно критически подошел к опыту отдельных учителей. Например, в книге рекламируется рукопись Л. М. Федорова, в которой предлагаются недопустимые с математической точки зрения записи вроде

и т. п. Ведь нельзя же ради мнимого облегчения допускать вульгаризацию понятия знаменателя. Тем более, что вместо облегчения в голове учащихся останется одна только невероятная путаница. Это тем более досадно, что наличие этих рекомендуемых автором грубо ошибочных записей в начале книги (стр. 26) может совсем оттолкнуть учителя математики от дальнейшего чтения этой полезной для него книги. Следует отметить, что в первом издании этого недостатка не было.

Можно упрекнуть автора в поверхностном освещении усвоения операций с дробями. В этом важнейшем разделе школьного курса арифметики автором даже не затронуты принципиальные, узловые вопросы. Еще слабее освещена проблема нуля. Совершенно излишне цитирование неверной трактовки нуля покойным К. М. Щербиной. Неверно утверждение автора, что понимание нуля как отправной точки при измерении необходимо при изучении дробей. Фактически эта излишняя деталь отвлечет только внимание детей от важных специфических свойств нуля как числа.

В разделе об ошибках многие утверждения автора слишком общи, мало конкретны. Совершенно недостаточно освещены ошибки мышления и не вскрыты в должной мере их причины. Анализ ошибок при решении задач скорее похож на констатацию или простое описание фактов, чем на глубокое исследование их причин.

Сильно преувеличивается значение зрительных образов при решении арифметических задач; описанные там случаи не типичны.

Крайне бедна содержанием третья глава, ее удельный вес в книге ничтожно мал.

Список использованной литературы свидетельствует о явной недооценке автором наших выдающихся отечественных дореволюционных методистов или о незнакомстве с ними. Единственная ссылка (в сноске на стр. 90) на В. Латышева может просто дезориентировать читателя книги.

Все же следует отметить, что достоинства книги значительно превалируют над ее пробелами. Учителю математики она, безусловно, принесет немалую пользу.

ХРОНИКА

О РАБОТЕ МЕТОДИЧЕСКОЙ КОМИССИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ № 2 СТ. ЧЕЛЯБИНСК

В. Г. МАЛКОВ (Челябинск)

Работа школьных предметных комиссий является одним из основных звеньев в общей системе методической работы школы. Осмысленность, глубина и прочность знаний учащихся обычно достигается разнообразием форм, приемов и методов работы учителя.

В настоящей заметке в общих чертах рассказано о работе математической комиссии средней школы № 2 станции Челябинск Южно-Уральской железной дороги.

В начале учебного года председателем комиссии был составлен ориентировочно годовой план работы, который и был предметом активного обсуждения на первом же заседании методической комиссии.

При обсуждении составленного плана принимались во внимание в первую очередь те методические установки, которые можно было найти в последних номерах «Учительской газеты», журнала «Математика в школе» или на страницах различных методических сборников и брошюр.

Приходилось серьезно продумывать и разбирать буквально каждую строку составленного плана. Так, например, в объяснительной записке к программам по математике указывается на необходимость знакомить учащихся (в 1-ую очередь старших классов) с именами великих русских математиков, с их значением в развитии мировой науки, поэтому в плане методического объединения большое внимание было уделено изучению преподавателями математики истории развития математики в России и СССР и более глубокому знакомству с деятельностью выдающихся математиков нашей родины (Лобачевским, Чебышевым, Крыловым, Ковалевской и другими).

Ввиду того, что в объяснительной записке к программам указывается на большое значение внеклассных занятий в деле развития интереса учащихся к изучению математики, в плане комиссии большое внимание было уделено:

а) работе математических кружков, б) проведению математических олимпиад, в) выпуску стенных газет и журналов, г) организации математических вечеров и утренников и т. п.

В целях повышения общего уровня математического развития учащихся, а также развития их логического мышления большое внимание при составлении плана было уделено анализу и объяснению решаемых задач, а также решению задач на построение в пространстве, доказательству теорем учащимися и т. п.

При составлении плана из поля зрения работы комиссии не ускользают и такие вопросы, которые может выдвинуть сама жизнь.

Работа над изучением на уроках математики данных о сталинских пятилетках, о великих стройках коммунизма (Сталинградская, Куйбышевская, Каховская ГЭС, строительства каналов и т. д.) занимает первостепенное место в работе комиссии.

В итоге обсуждения годового плана работы предметной комиссии были намечены в этом году в первую очередь нижеследующие мероприятия:

1) проведение внутришкольных математических олимпиад, сначала заочных, а в начале 2-го полугодия — очных.

2) Организация работы предметных математических кружков.

3) Организация выпуска стенных газет, посвященных работе математических кружков, проведение общешкольной и узловой олимпиад, составление биографий великих русских ученых математиков.

4) Подготовка к участию в узловой и городской олимпиадах. Подготовку учащихся к олимпиадам вести в первую очередь в кружках.

5) Организация внутришкольной математической выставки работ учащихся.

6) Организация и проведение математических вечеров и утренников.

7) Организация изготовления приборов и методических пособий по математике силами учащихся и преподавателей.

8) Изготовление силами учащихся (по классам) альбомов, графиков, диаграмм, таблиц и т, п.

9) В целях обмена опытом работы организовать плановое взаимное посещение уроков преподавателями.

10) Каждому преподавателю была поручена разработка методического характера.

11) Вести постоянное наблюдение за выходом в свет методической литературы и обсуждать ее на очередных заседаниях комиссии.

На совещаниях комиссии, которые систематически собираются не реже одного раза в месяц, было решено заслушать доклады преподавателей на следующие темы:

1) Данные о великих стройках коммунизма на уроках математики.

2) Математика в борьбе за мир

3) Педагогическое наследие Н. И. Лобачевского.

4) П. Л. Чебышев и его педагогическое наследие.

5) О формализме в преподавании математики и о борьбе с ним.

6) Изучение функций в V, VI классах на основе множества и соответствия.

7) Элементы воспитания на уроках математики.

8) Методика преподавания умножения я деления дробей.

9) Организация и методика повторения.

10) Исследование уравнений.

11) Метод использования чертежа в преподавании геометрии.

После рассмотрения и утверждения плана был составлен календарный план работы комиссии на 1-е полугодие учебного года.

В итоге работы методической комиссии на основе годового и календарного планов работы в 1-м полугодии было выполнено следующее:

1) Была организована и велась в плановом порядке работа математических кружков (по классам).

2) Учащимися старших классов был проведен математический вечер, посвященный великим русским математикам — Лобачевскому и Чебышеву. На вечерах были поставлены два доклада о творчестве, жизни и деятельности Лобачевского и Чебышева и о значении их для науки.

Вторая половина вечера была посвящена вопросам «Занимательной математики».

На вечере принимало участие около 250 учащихся старших классов школ узла ст. Челябинск.

3) Были выпущены два номера стенной газеты по математике.

4) Проведена по классам заочная математическая олимпиада, в которой живое участие принимали учащиеся старших классов.

Вопросы, задачи олимпиады были вывешены в коридорах школы с указанием срока подачи ответов.

В олимпиаде принимало участие около 70°/о учащихся старших классов.

5) На совещаниях комиссии, которые проводились ежемесячно, были заслушаны сообщения преподавателей об их работе, о взаимном посещении уроков, о работе кружков, о проведении математической олимпиады и т. п.

Большой интерес вызвали доклады учителей математики и физики на тему «Великие стройки коммунизма на уроках физики и математики».

В итоге были выработаны конкретные мероприятия использования на уроках цифровых данных о великих стройках.

На второе полугодие методическое объединение физиков и математиков снова имеет полугодовой план, составленный на основе общегодового плана, с учетом недоработок, имевших место за первое полугодие.

С началом второго полугодия на первом же совещании предметной комиссии были поставлены вопросы о подготовке преподавателей к испытаниям и экзаменам и об организации повторения учебного материала. Обсуждение вопросов методики повторения вызвали активное участие всех членов комиссии; комиссией были указаны методы, которые необходимо применять учителю при повторении.

Были установлены сроки проведения консультаций для учащихся (в первую очередь выпускных классов).

Во втором полугодии подготовка к экзаменам и испытаниям занимает первостепенное значение в работе предметной комиссии.

Во втором полугодии предметная комиссия школы: 1) проведет очные олимпиады по классам, 2) примет участие в подготовке учащихся в городской узловой и дорожной олимпиадах, 3) проведет математические вечера и утренники для учащихся V—VII классов школы, 4) в связи с подготовкой к экзаменам выпустит специальные номера стенных газет.

Деятельность методической комиссии школы только тогда может быть эффективной, когда она отражает в себе все возможное разнообразие работы, когда она строится на основе первоочередных запросов учителя школы.

От редакции. Помещая настоящую заметку, редакция имеет в виду поставить на обсуждение вопросы, связанные с тематикой и организацией работы школьных предметных комиссий по математике.

НА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ЧТЕНИЯХ

И. Б. ВЕЙЦМАН (Москва)

На педагогических чтениях, проведенных Академией педагогических наук в текущем году по секции методики математики, было прочитано шестнадцать докладов.

Чтения открылись докладами С. А. Пономарева (352-я школа, г. Москва) и Н. С. Буцько (1-я школа Западной ж. д.) на тему «Коммунистическое воспитание на уроках математики». С. А. Пономарев изложил, как в практике школьного преподавания он раскрывает перед учащимися основные математические идеи, используя богатый исторический материал и показывая зарождение и развитие основных математических понятий, связанных с человеческой практикой*.

Вопросу разработки арифметических задач на цифровом материале современности, в частности на данных великих строек коммунизма, было посвящено выступление Н. С. Буцько. В связи с этой интересной проблемой, как убедительно показали товарищи, выступившие в прениях, особенно важным является рациональный выбор материала из обилия цифровых данных, которыми насыщена наша жизнь, и, наконец, учитель должен суметь на основе решенной арифметической задачи сделать убедительные политические выводы.

Специальный доклад, связанный с проблемой идейно-политического воспитания «Внеклассная работа по математике в семилетней школе», прочла А. И. Лазарева (г. Коломна). Здесь был представлен обобщенный опыт работы школ № 24, 25 и 26 г. Коломны.

* Доклад С. А. -Пономарева помещен в предыдущем номере журнала «Математика в школе».

В этом опыте, который ведется с 1936 года, особенно ценна методическая увязка всех внеклассных мероприятий с программой каждого класса, возрастными особенностями и нагрузкой учащихся.

Накопленный учителями г. Коломны материал — образцы математических газет, конспекты докладов, .математических вечеров с описанием методики их проведения, разработанная тематика по годам обучения, многочисленные портреты математиков (их собрано около ста) и описание всего опыта внеклассной работы,—безусловно, заслуживает печатного издания.

Большой интерес вызвало выступление И. Ф. Гризодуба (Федоровская средняя школа Ростовской области).

В своем докладе «Применение наглядных пособий по геометрии в IX—X классах как методический прием, способствующий повышению качества знаний учащихся и помогающий развитию пространственных представлений», получившем премию, И. Ф. Гризодуб продемонстрировал несколько десятков моделей по стереометрии, изготовленных его учащимися из стекла и пластмассы. Большинство моделей отличается оригинальностью, динамичностью и дает зачастую весьма простые решения сложных задач.

Тов. Гризодуб стремится в процессе преподавания геометрии развить конструктивные способности учащихся. Навыки моделирования окажутся в дальнейшем полезными учащимся в любой области техники.

Мы боремся с второгодничеством, но молодого учителя-коммуниста И. Ф. Гризодуба волнует уже другая задача — добиться в старших классах таких знаний, чтобы оценки были не ниже «четверки».

В настоящем учебном году из 20 учащихся X класса 17 учеников имеют по математике «пятерки» и только трое — «четверки»; в прошлом году ни один из выпускников не имел «троек» по математике.

С успехом сдают экзамены по математике воспитанники Федоровской школы на физико-математические и технические факультеты вузов.

А. И. Волконский (г. Можайск) в своем докладе показал, как на материале самых простых теорем в VI и VII классах можно вызвать у учеников интерес и чувство необходимости доказательства теоремы даже там, где на первый взгляд утверждение кажется очевидным.

Г. И. Сенников (г. Горький) по-новому осветил некоторые вопросы, связанные с решением задач на построение, при этом безусловный интерес представляет предложение установить единую точку зрения на вопрос о количестве получаемых решений. Докладчик предлагает считать, что решение одно, если данные фигуры можно совместить любым перемещением в плоскости.

Б. А. Лурье (г. Ленинград) изложила опыт преподавания тригонометрии по системе, предложенной С. Синакевичем. Основными чертами этой системы являются:

1) введение основных тригонометрических функций и соотношений между ними на базе элементов векторного исчисления;

2) с самого начала вводится радианное измерение углов и тригонометрические функции числового аргумента;

3) приведение к наименьшему аргументу проводится без применения обычных формул приведения;

4) при изучении свойств тригонометрических функций максимально используются их графики.

Ряд докладчиков: М. П. Трунов (г. Воронеж), Н. Н. Лобанов и др. осветили вопрос о связи геометрии с измерениями на местности.

Педагогические чтения показали, с каким энтузиазмом и подлинным творческим горением работают наши учителя в поисках лучших путей в преподавании свего предмета и совершенствования педагогического мастерства.

В то же время доклады и оживленные прения по ним продемонстрировали, какая масса волнующих и зачастую неотложных проблем ждет еще своего решения.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 1 ЗА 1951-й ГОД

№ 1

Решить уравнение

Решение. Имеем:

Отсюда имеем решение:

(1)

Далее:

и второе уравнение перепишется так:

Отсюда:

(2)

Но I sin 2 л: |< 1 и, следовательно, равенство (2) невозможно для действительных значений sin 2*. Итак, имеем одно решение (1).

№ 2

Найти величину выражения:

Решение. Пусть

Тогда:

Следовательно:

Отсюда, величина данного выражения равна

№ 3

Во вписанном четырехугольнике со взаимно перпендикулярными диагоналями сумма квадратов противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности. Доказать.

Решение 1. Воспользуемся теоремой: произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, проведенной к третьей стороне на диаметр описанной окружности. Отсюда имеем (черт. 1)

(1) (2)

По возведении в квадрат и сложении получим:

(3)

и из (3) получаем:

Аналогично для другой пары сторон.

Решение 2. Из треугольников ABD и CAD имеем:

Черт. 1

По возведении в квадрат и сложении получим:

Решение 3. По теореме об измерении угла с вершиной внутри круга ВМС) имеем:

Следовательно, если хорду AB вместе с дугой передвинуть по часовой стрелке до совпадения точек А и В, то дуга DBCг= 180°, значит, Z.DBC опирается на диаметр и AD2 + ВС*= 4/?2.

№ 4

О — точка пересечения диагоналей в описанном четырехугольнике ABCD. Найти зависимость между радиусами окружностей, описанных около треугольников АО В, ВОСу COD и DO А.

Решение. Обозначив радиусы описанных окружностей соответственно Rh R2, /?2, /?4, будем иметь (черт. 2):

Черт. 2

(1) (2) (3) (4)

Сложив (1) с (3) и (2) с (4) и, учитывая, что в описанном четырехугольнике

AB + CD = BC+ AD,

получим:

№ 5

Отношение объемов двух пирамид, имеющих по равному двугранному углу при основании прямо пропорционально произведению площадей граней, образующих эти углы, и обратно пропорциональны длинам их ребер. Доказать.

Решение. Обозначим площади оснований пирамид через В и Вг и высоты через И и Нх (черт. 3).

Черт. 3

Тогда:

(1)

Из подобия треугольников SOM и SfliMi следует:

(2)

Из (1) и (2) имеем:

что и требовалось доказать.

№ 6

Решить уравнение:

Решение. Представив первый член в виде 3 х* 4--4- 4 *4 и 5 в виде 2 4-3, сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами:

Так как

то вынеся общий множитель х* — х+1, получим:

Имеем:

откуда:

Упростив выражение в прямых скобках, получим уравнение:

из которого найдем:

№ 7

Решить уравнение:

(1)

Решение 1. Из (1) имеем:

Так как cos х ф 0, то по освобождении от знаменателя и упрощений будем иметь:

(2)

Сделав замену:

получим:

Из уравнения найдем:

(3)

Уравнение sin х + cos х + 2 = 0, как легко видеть, решений не имеет:

Решение 2. Выразив sinх и cosх через тангенс половинного угла (t шл tg -ïy 1, придем к уравнению:

отсюда, представив

Из уравнения З*2 — 1=0 получим решение (3). Уравнение /34-2f-f“3 = 0 действительных корней не имеет.

№ 8

При каком наименьшем натуральном п имеет место неравенство:

Решение. Представив данное неравенство в виде:

(1)

и применив формулу бинома, получим:

Отсюда:

(2)

Очевидно, что неравенство верно при п — 50. Покажем, что оно верно и при п = 49. Действительно:

Покажем теперь, что неравенство (2) уже неверно при п = 48. Имеем:

(так как при л>5 имеем: п\ > 6я). Отсюда:

Таким образом, наименьшее значение я = 49.

№ 9

Доказать тождество:

Решение. Сложив тождества:

получим:

откуда:

(1)

Сложив тождества:

лолучим:

Отсюда:

Разделив (1) на (2), получим требуемое соотношение.

№ 10

Упростить произведение:

Решение. Перемножив тождества

найдем:

Задачи такого рода уже неоднократно помещались в журнале.

№ 11

Доказать для положительных a, b, с, d соотношение:

Решение. Приняв во внимание неравенство

можем написать:

(1)

Аналогично:

(2) (3)

Сложив (1), (2), (3), получим требуемое соотношение. Знак равенства имеет место при û»é = c = rf.

№ 12

Доказать для треугольника соотношение:

Решение. Легко получаем:

При b ф с, очевидно, имеем:

При b = с имеет место равенство. В очень многих присланных решениях этой элементарной задачи они занимают не менее страницы.

№ 13

На шахматной доске расставлены две ладьи так, что они не могут бить одна другую. Сколькими способами может быть осуществлена такая расстановка/

Решение. При любом положении ладьи под ее ударом находятся 7 горизонтальных и 7 вертикальных клеток, да одну клетку она занимает сама. Значит, вторая ладья может быть поставлена на любую из остальных 64 — 15 = 49 клеток. Всего получаем, таким образом, 49-64 = 3136 возможных расстановок (конечно, считая обмен местами белой и черной ладей за 2 различных положения. Если же эти два положения не различать, то получим 3136:2=1568 возможных расстановок).

№ 14

Могут ли цифры простого числа не превышающего 10*, представлять собой арифметическую или геометрическую прогрессию?

Решение 1. Арифметическая прогрессия. Для трехзначного числа будем иметь Цифры: х\ X + d\ x+2d. Сумма цифр 3*+3rf, а значит и самое число делится на 3. Отсюда искомое число N не может быть трехзначным.

Для четырехзначного числа сумма цифр равна:

x+(x + d) + (x + 2d) + (x + 3d) = 2(2x + 3d).

Значит, X не может быть кратно 3. Далее, так как *+3d<[9, то d может быть только 2 или 1.

Пусть d = 2. Тогда *<[3 может быть равно только 1 (jr = 3 исключено, при х =2 — число четное). Получаем числа 1357= 23-59 и 7531 =» 17-443 — оба составные.

При rf= 1 получаем возможные числа: 4321, 4567 (во всех остальных комбинациях числа N будут или четными, или оканчиваться на 5). Из них только число 4567 — простое (4321 = 29-149).

2. Геометрическая прогрессия. Для четырехзначных чисел будем иметь agz^9. Отсюда для g имеем единственное значение q = 2 и тогда а = 1. Получаем единственное число 8421, кратное 3.

Для трехзначного числа ад2 ^<9 и, значит ^<!3. Если левая Цифра 1, то дф2 (получится четное число). Получаем единственно возможное число 139. Оно простое.

Если левая пифра не 1, то g не может быть целым (в этом случае число N делилось бы на первую цифру). Пусть q==—. Легко показать, что m и п не могут быть больше трех. Тогда для g имеем возможные значения 1/3, 1/2, 2/3, 3/2. Получим числа: 469, 964, 421, 842, 931. Из них только # = 421 — число простое.

Итак, имеем всего три числа, удовлетворяющие условию задачи: 4567 (для арифметической прогрессии), 139 и 421 (для геометрической прогрессии).

№ 15

Восстановить запись:

где различные буквы заменяют различные цифры.

Решение. Из второго столбца справа (р-*- с~ =zc) сразу заключаем, что р=0. Тогда, очевидно, с = о и X, у и z — числа нечетные (так как умножение abc на три различных числа дает одно и то же число с).

Первый столбец слева показывает, что z>y. С другой стороны, у > X, так как умножение abc на у дает четырехзначное число, а на х — трехзначное. Но х ф\, так как abc-x~ ухе. И так как число 5 уже занято, то остается единственная возможность: X — 3, у = 7, z = 9. Значит, xyz = 379 и ухе = 735. А так как ухе получилось от умножения abc на X, то имеем:

Остальные цифры уже обнаруживаются из записи:

№ 16

Десять мальчиков : Александр, Борис, Василий, Георгий, Дмитрий, Евгений, Захар, Иван, Кирилл и Леонид учатся все в разных классах одной средней школы.

1. Старший брат Дмитрия оканчивает семилетку,, а младший брат Евгения учится в V классе.

Александр старше Кирилла на один класс, а Леонид старше Евгения на 2 класса.

2. Василий не оканчивает школу в этом году, Иван при окончании III класса получил похвальную грамоту, Борис — пионервожатый в V классе, а Василий в IV.

3. Александр, Кирилл и шестиклассник начали сдавать нормы на значок БГТО, а Борис, Евгений и восьмиклассник уже получили значки ГТО.

4. Александр и семиклассник живут на улице Ленина, Георгий и пятиклассник — на улице Куйбышева, Дмитрий, первоклассник и восьмиклассник— на Садовой, а Кирилл и десятиклассник— в переулке Буденного.

5. Борис помогает отстающему Евгению. Иван получает помощь от Дмитрия, Александр — от Георгия.

Кто из них в каком классе учится?

Решение. Будем находить решение путем исключения ситуаций, противоречащих какому-либо из условий задачи (для удобства эти условия разбиты на 5 пунктов). Составим таблицу из 10 X 10 клеток. По горизонтали отметим классы от 1 до 10, по вертикали (начиная сверху) — имена учеников в порядке алфавита. В соответствующей клетке будем проставлять номер условия, по которому данный ученик не может быть в том или ином классе.

Согласно 1-му пункту условия, Дмитрий не может быть в VII и старших классах, Евгений в первых пяти классах; Александр, не может быть в I классе, а Леонид в первых семи классах (так как он старше Евгения на 2 класса).

Согласно 2-му пункту, Василий не может быть в X классе, Иван — в трех, Борис в пяти и Василий в четырех первых классах.

По пункту 3 Александр, Кирилл, Борис и Евгений не могут быть в VI и VIII классах. Из последнего, между прочим, следует, что Леонид не может быть в VIII и X классах (см. п. 1).

По пункту 4 Александр, Дмитрий и Кирилл не могут быть в I, V, VII, VIII и X классах. (Некоторые из этих клеток уже были исключены по предыдущим пунктам.) Значит, Александр не может быть и во II классе (по п. 1).

Наконец, по п. 5 Борис не может быть в VII классе, Дмитрий — во II, III и IV, Георгий — во II.

В итоге получилась таблица 1. (Заметим, что нами использованы не все условия, например, из п. п. 2 и 3), но использованных уже достаточно для дальнейших выводов.

Из таблицы сразу видим, что Захар может быть только в I классе, Дмитрий — в VI, а Леонид — в IX. Отсюда непосредственно вытекает, что Борис должен быть в X, а Евгений—в VII классе. (В связи с этим зачеркиваются все свободные клетки в горизонтали 3, вертикали 9, горизонтали Д и вертикали 6 и т. д.)

Так как Иван получает помощь от Дмитрия, то он не может быть в VIII классе, а тогда в нем может быть только Василий (единственно свободной осталась только его клетка). Но тогда в V классе свободная клетка только у Ивана.

Для Александра и Георгия остались III и IV классы, но так как Александр получает помощь от Георгия, то, очевидно, Александр учится в III, а Георгий в IV классе.

Наконец, для Кирилла остается свободным только II класс. Итак, все ученики распределяются по классам следующим образом:

К сожалению, эта интересная (и для учащихся) задача была испорчена досадной опечаткой (в п. 4

вместо «десятиклассник» было напечатано «пятиклассник и восьмиклассник», что явно противоречило предыдущим строкам).

В № 2 была дана поправка, но в связи с задержкой этого номера в типографии, поправка вовремя не дошла до читателей.

Тем не менее, верных решений получено много. При этом неверное условие п. 5 большею частью просто не принималось во внимание, что не мешало найти решение, так как условий в задаче дано более, чем это необходимо.

В некоторых решениях условие принималось полностью в том виде, как оно напечатано, и тогда приходилось пятиклассника и восьмиклассника помещать в дома, выходящие на две улицы. Получались довольно остроумные комбинации (т. т. Байков, Утемов и др). При этом иногда получались возможные решения, иногда же условия приводили к противоречию, и решения не получалось.

ЗАДАЧИ

(Срок присылки решений 15/Х 1951 г.)

49. Решить уравнение:

И. Голайдо (Брянская область).

50. Найти четыре различных дроби вида

такие, чтобы их сумма равнялась целому числу.

И. Депман (Ленинград).

51. Числа д, ß, y удовлетворяют условиям:

доказать справедливость неравенства:

Ю. Изосимов (Астрахань).

52. Если R и r соответственно радиусы описанной и вписанной в треугольник ABC окружностей, то имеет место зависимость

где О — центр вписанной в треугольник окружности. Доказать.

X. Караниколав (Болгария).

53. Определить целое число п, удовлетворяющее равенству:

П. Китайгородский (Москва). 54. Решить уравнение:

Г. Копылов (Днепродзержинск). 55. Решить уравнение:

Г. Копылов.

56. Пусть /> —простое число. Найти значения р, при которых частное от деления 2Р~1 — 1 на р будет точным квадратом.

Ф. Ландер (Одесса).

57. Дан треугольник ABC. Точка D лежит на стороне AB, точка Е — на стороне АС, точка F— на стороне ВС, причем

AD.DB = BFiFC = СЕ:ЕА = т:п.

Зная, что площадь треугольника ABC равна S, определить площадь треугольника, образованного прямыми АР, BE, CD.

А. Лейман (Здолбуново).

58. Если какое-нибудь п — значное число делится на множитель числа, состоящего из п девяток, то на тот же множитель разделятся все числа, полученные из делимого круговой перестановкой его цифр.

К. Лембке (Балашов).

59. На плоскости проведены m параллельных между собой прямых. Кроме того, на этой же плоскости проведены п прямых, не параллельных ни между собой, ни уже ранее проведенным. Ни одна из прямых не проходит через точку пересечения двух других прямых. На сколько областей делится плоскость проведенными прямыми?

Т. Мышакова (Одесса).

60. В треугольнике со сторонами а, Ь, с через точку пересечения биссектрис проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Вычислить длину заключенных внутри треугольника отрезков этих прямых.

Т. Мышакова.

61. В основании ABC треугольной пирамиды SABC взята точка M и через нее проведены прямые, параллельные ребрам SA, SB, SC до встречи с гранями SBC, SCA и SAB соответственно в точках Р, Q, R. Полагая

SA=a, SB^rb, SC = c, MP - X, MQ=y, MR = z, найти сумму

П. Моденов (Москва).

62. На плоскости нанесена квадратная сетка, причем сторона наименьшего квадрата равна 1 см. Дана плоская ограниченная фигура, площадь которой меньше 1 см\ Доказать, что какова бы ни была

форма этой фигуры, ее можно наложить на сетку так, что ни одна из вершин квадратов сетки не попадет на фигуру.

П. Моденов.

63. В треугольнике ABC (b < с) дано:

а = 78, #=г65, г = 28,

где R и г — радиусы описанной около треугольника окружности, аг— радиус вписанной окружности. Вычислить без таблиц b и с.

А. Радев (Болгария).

64. Найти такое натуральное число я, чтобы сумма

l+2 + З+...+л

являлась квадратом некоторого натурального числа.

В. Стасюк (Дрогобычская обл.).

65. Доказать справедливость неравенств:

А. Тралмак (Ленинград).

66. Если точки А\% Bi и Сг лежат соответственно на сторонах ВСг АС и AB треугольника ABC, то необходимым и достаточным условием пересечения в одной точке трех перпендикуляров к сторонам треугольника, восставленных в точках А\* Вь Сь является равенство:

Доказать это.

Э. Ясиновый (Куйбышев)

СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 1 ЗА 1951 г.

Р. А. Абдульманов (Уральск) 12, 13, 15; А. Абасова (Азербайджанская АССР) 6; К. Агринский (Москва) 3, 4, 6, 7, 9—16; К. Азаров (Воронежская обл.) 3, 5, 6, 12; Я. Анохин (Пензенская обл.) 3, 4, 13, 14; С. Арсамасов (Алма-Ата) 2, 3, 12; А. Асатрян (Ереван) 2, 3, 6, 12; Г. Ахвердов (Ленинград) 1—3, 5—8, 10—16;. В. Ахметов (Татарская АССР) 1—3, 9, 12, 13; М. Багурин (Орловская обл.) 3, 12, 15; В. Базеев (Калинин) 2, 6; И. Байков (Московская обл.) 1—3, 5—16; М. Байтальский (Одесса) 1, 12; Ш. Бакурадзе (Грузинская ССР) 1—4, 6, 12; Б. Балев (Болгария) 2, 6, 7, 10, 15; А Бауэр (Мариинск) 1—16; А. Белогуров (Дзауджикау) 2, 3, 10, 12; Р. Беляцкина (Турксиб) 1—3, 5—16; С. Берколайко (Харьков) 1—3, 10—13, 15, 16; И. Бердичевский (Шахты) 2, 3, .13, 15; Е. Боков (Краснодарский край) 1—7, 10—16; И. Бородуля (Москва) 1—3, 9—12; В. Бешкарев (Горький) 1—13, 15; Ю. Брудный (Днепропетровск) 3, 6, 11—16; Е. Булгакова (Омск) 3, 12, 15; Н. Бурков (Кировская обл.) 12, 15; Б. Вайнман (Киев) 1—7, 9—11, 13, 15, 16; Е. Ванновская (Тамбов) 2, 3, 5, 7, 12; В. Варганов (Москва) 3—6, 9, 10, 12; С. Вашакмадзе (Тбилиси) 7; Вилявин (Астрахань) 2, 9, 10; И. Виноградова (Москва) 3, 12, 13, 15; П. Вишняков (Витебская обл.) 1, 9, 10; А. Владимиров (Ялта) 1—16; В. Галфаян (Ереван) 2; А. Гарания (Казань) 2—5, 9—12; Ю. Герасимов (Абакан) 3—5, 10—15; Э. Гескин (Днепропетровск) 3, 11, 15, 16; П. Гинзбург (Ленинград) 1—7, 10—16; Н. Глотов (Мордовская АССР) 3; А. Глузкатер (Азербайджанская ССР) 6, 10, 12, 15, 16; Г. Голянд (Калужская обл.) 1—3, 6, 12, 16; И. Горн (Казань) 1—7, 9—15; К. Горев (Лукоянов) 1—16; В. Горностаев (Саратовская обл.) 3; Т. Горчинский (Каменец-Подольск) 3, 4, 12; А. Григорян (Ереван) 2, 3, 7, 12; М. Гудинас (Литовская ССР) 3, 6, 10, 12, 13; Э. Гузовский (Тула) 2—4, 6—13, 15; А. Дейнега (Винницкая обл.) 1—7, 9—13, 15, 16; В. Демчинский (Ровно) 1—13, 15; Н. Дерябин (Чкалов) 1—3, 5, 12, 13, 15; Н. Десятов (Мичуринск) 1, 4, 8, 10, 12; Ш. Джабраилов (Азербайджанская ССР) 1—3, 6, 7, 9, 10, 12; Ф. Донцов (Минская обл.) 1—5, 7—15; Н. Донченко (Ворошиловград) 1—16; В. Дуболарь (Кишеневская обл.) 1, 3, 4, 6, 12, 15; В. Еременко (Рига) 12, 13, 15; А. Загорулько (Прилуки) 3, 10, 15, 16; Я. Зайцев (Чувашская АССР) 3; Н. Зенин (Рязанская обл.) 13, 15; И. Зеров (Брянская обл.) 6, 15; Л. Зискинд (Винница) 1—3, 5, 6, 12, 13; Н. Зубилин (Орловская обл.) 1—5, 7, 10—13, 15; В. Зяблицкий (Калинин) 2, 6; И. Иванковицер ('Серафимович) 1—3, 9, 10, 12—15; Ю. Изосимов (Астрахань) 1—5, 7, 9—12, 15; Г. Имас (Умань) 2, 12; В. Иножарский (Орел) 1—16, М. Кабинетов (Тула) 2—4, 6, 7, 10, 12, 13, 15, 16; Я. Каганцов (Коми АССР) 2, 8, 10, 13, 15; А. Какауридзе (Тбилиси) 1, 2, 9, 10; А. Камышов (Московская обл.) 1—7, 9—15; Г. Капралов (Горький) 1—13, 15, 16, А. Карпов (Собинка) 1, 3—12, 15, 16; М. Карпов (Ворошиловоград) 1—16; Б. Кашин (Калининская обл.) 1, 3—7, 9—16; Б. Килин (Днепропетровск) 3, 5, 13, 15; М. Кириленко (Винницкая обл.) 3, 15; A. Киселев (Ленинград) 15; Г. Киселев (Саратовская обл.) 3; Я. Китайгородский (Москва) 1—4, 6, 7, 9, 12; 15; В. Клевачев (Арзамас) 3, 12, 13, 15; Г. Копылов (Днепропетровск) 1—13, 15, 16; Я. Краснов (Полоцкая обл.) 2—4, 6, 7, 10, 12, 13, 16; А. Крюков (Чистополь) 1—3, 6, 7, 13, 15, 16; Г. Капралов (Горький 1—10. 11—16; В. Кузнецов (Архангельск) 1—16; А. Кутепов (Ворошиловградская обл.) 1—3, 5, 7, 12, 13; П. Кухаров (Уфа) 1—4, 6, 7, 9—12, 15; М. Лампе (Калининская обл.) 16; Ф. Ландер (Одесса) 2—6, 10—13, 15, 16; М. Лаут (Днепропетровск) 2—7, 10—13 15, 16; М. Лейбман (Свердловская обл.) 1—1У 10, 12—16; А. Лейман (Ровенская обл.) 1—16; B. Литвинов (Ворошиловоград) 1—16; Ф. Личманенко (Полтавская обл.) 2, 3, 6, 7, 9—13, 15; В. Логунов (Омская обл.) 1, 3, 4, 12, 13; Л. Лоповок (Каменец-Подольская обл.) 1—16; Л. Лордкипанидзе 1—7, 9—16; М. Ляпин (Казань) 1, 3—16; Э. Магарам (Сахалин) 12, 14, 15, 16; М. Манукян (Казахская ССР) 6, 10, 12; М. Маркелов (Брянская обл.) 2, 10, 13, 15; Математический кружок Гродненского Педагогического училища 12, 13; Математический кружок Житомирского педагогического института 1—15; Математический кружок Казанского Суворовского военного училища 3, 8, 12, 13, 15; Математический кружок Лукояновского педагогического училища 3, 4, 6, 13, 15, 16; Л. Медведев (Себряково) 2—6, 12, 13, 15; X. Меликов (Сев. Осетинская АССР) 10, 15; А. Мильштейн (Умань) 2, 3, 12; Г. Михальков (Уфа) 1, 2, 6, 12, 13; И. Молибога (Ворошиловградская обл.) 1—8, 10—12, 14—16; Д. Морозюк (Ровенская обл.) 3; А. Мурклинский (Буйнакск) 15; Т. Мышакова (Одесса) 1—16;

Я. Найдин (Инза) 3, 4, 6, 9, 10, 12—16; Я. Недосиалова (Челябинская обл.) 15, 16; В. Немудрый (Полтавская обл.) 1, 3, 7, 10, 12—15; К. Николаева (Чувашская АССР) 6, 15; Ф. Певишев (Шилово) 1—6, 10, 12—16; В. Первушова (Нежин) 3; М. Пилютик (Московская обл.) 1—16; Л. Пирожков (Ялта) 3; И. Писаренко (Молдавская обл.) 1, 3—6, 8, 12, 15; Г. Писарев (Ярославская обл.) 1—3, 10—12, 15, 16; О. Пищик (Львовская обл.) 1—8, 10—12, 14, 15; Г. Полознев (Томск) 12, 13; П. Постников 1—6, 10—14; Г. Пушкаревский (Башкирская АССР) 1, 3, 12, 13, 15, 16; Е Радченко (Курская обл.) 1—3, 10, 12, 13, 15; Л. Рейзиньш (Рига) 1—15; В, Розентуллер (Ленинград) 2, 12; Б. Рубенчик (Минск) 1, 3—6, 12, 13, 15; П. Рубцов (Спирово) 2—5, 9, 11—13, 15; В. Рукомичев (Клинцы) 2, 3, 12; Г. Сакович (Киев) 1—13, 15, 16; В. Саннинский (Ворошиловоград) 1—15; Л. Селютина (Ростов на Дону) 2,3,12, 15; Г. Сенников (Горький) 1, 2, 10; И. Сергачев (Калужская обл.) 1, 3, 4, 11, 14; Ф. Сергиенко (Запорожье) 1—16; С. Синакевич (Ленинград) 1—3, 5—16; В. Скворцов (Ленинградская обл.) 3, 12, 15, 16; Ф. Слепухин (Ворошиловград) 1—16; Г. Стамболцян (Армянская ССР) 1, 3; В. Стасюк (Дрогобычская обл.) 1—16; Э. Стрелецкий (Гродно) 1—16; П. Строгальщиков (Вологодская обл.) 1, 3, 4, 8; С. Сычев (Московская обл.) 6; А. Тагер (Витебская обл.) 1, 3, 6, 7; Н. Титов (Казань) 1 —16; П. Титов (Тюмень) 1 —15; М. Торбик (Брянская обл.) 1—7, 9—16; А. Тралмак (Ленинград; 1—16; К. Устинова (Ленинград) 2—7, 9, 10, 13, 15, 16; В. Утемов (Свердловская обл.) 1—16; Е. Файнштейн (Кишенев) 1—7, 9—16; Ф. Фасулки (Грозный) 3, 6; М. Федосюк (Каменец-Подольская обл.) 1,3—7,9—16; И. Федотов (Казань) 1—16; А. Фильщинский (Полтавская обл.) 2, 3, 6, 7, 9, 10, 12, 15; Н. Фокин (Смоленск) 1—3, Эг-11, 13, 15, 16; А. Хавтаси (Батулин) 11—13, 15; X. Харабаджанян (Ростовская обл.) 3, 12; М. Хуторян (Одесса) 2—5, 7, 8, 12, 14; Е. Цакоев (Молдавская ССР) 1—7, 10—16; В. Чепижный (Днепропетровск) 3, 6, 12, 13, 15, 16; М. Червонный (Краснодарский край) 1—4, 6—13, 15; Ф. Чердаков (Чувашская АССР) 1—5, 9, 11, 12, 16; В. Чередниченко (Ворошиловградская обл.) 1—3, 6, 7, 10, 12, 13, 15; Я. Чучукин (Галич). 1—16; Г. Шаров (Казахская ССР) 3, 6; М. Шатохин (Орел) 1—16; М. Шебаршин (Кемеровская обл.) 1—16; Л. Шевелев (Орел) 1—16; В. Шевченко (Алтайский край) 1—4, 6, 10, 12, 15; И. Шевченко (Запорожье) 3; Н. Шерман (Астрахань) 1, 3, 4, 6, 12, 16; Е. Шерсткин (Брянская обл.) 2—6, 9—15; 3. Штутман (Винница) 1—3, 5—7, 10, 12, 13, 15, 16; Я. Эрдниев (Алтайский край) 1—5, 11—13, 15, 16; Я. Эпельфельд (Горький) 1—3, 10, 12, 13; А. Южаков (Шадринск) 1, 3, 4, 12, 13, 15; Ю. Юсупов (Чувашская АССР) 1, 3, 12, 13; Ф. Яремчук (Дрогобыч) 2, 3, 5, 6, 8, 10, 12—16; Э. Ясиновый (Куйбышев) 1 — 16.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 1 ЗА 1951 г.

Я. Будков (Павелец) 6, 13, 15; Я. Димовский (Болгария) 1, 5, 6, 10—13, 15; Б. Дудольевич (Киевская обл.) 2, 5, 12, 13, 15; С. Лебензон (Московская обл.) 1 —16; В. Марченко Ворошиловоградская обл.) 1—15; Ф. Личманенко (Полтавская обл.) 2, 3, 6, 7, 9—12.

ОТ РЕДАКЦИИ

1. До сих пор в редакцию поступают многочисленные решения задач, оформление которых нарушает правила, неоднократно публиковавшиеся в журнале. Это крайне затрудняет их проверку и своевременное внесение в итоговую сводку. Редакция еще раз обращается с просьбой соблюдать следующие правила:

а) писать решения четко и разборчиво;

б) ни в коем случае не писать на одном листе решения задач из разных номере s журнала;

в) всякого рода вопросы к редакции посылать отдельно от решений;

г) в конце решения каждой задачи, указывать фамилию и адрес;

д) желательно также к решениям прилагать сопроводительную записку с перечислением номеров решенных задач.

В письмах (а не только на конвертах), содержащих тексты новых задач, направляемых для помещения в журнале, необходимо полностью указывать фамилию, имя, отчество и подробный адрес.

2. Редакция еще раз доводит до сведения читателей, что она не может принимать на себя выполнение многочисленных просьб и поручений но приобретению и высылке каких бы то ни было книг.

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Стр.

С. Е. Ляпин — Суммирование некоторых конечных рядов.............. 1

С. А. Дахия — Простейшие задачи на наименьшие максимумы........... 12

МЕТОДИКА

О внеклассной работе учащихся.......................... 21

П. Ю. Германович — Внеклассная работа по математике в V—VII классах школы . . 22

М. Н. Голайдо — Математический кружок в семилетней школе........... 36

Л. М. Лоповок — Математический кружок в школе................. 46

И. Я. Танатар — К теореме об описанном четырехугольнике............ 49

B.C. Карнацевич — К методике исследования стереометрических задач на построение 51

С. И. Зетель — О решении некоторых задач на построение............ 55

ИЗ ОПЫТА

В. П. Анисимов — О проведении практических работ по математике на местности . . 60

3. К. Краснова — Опыт внеклассной работы.................... 72

Е. Я- Терсков — Математический кружок и внеклассная работа по математике ... 75

В. Г. Разумов — Из опыта работы школьного математического кружка....... 78

Из работ учащихся

М. И. Гозман — Теорема о биссектрисе угла треугольника............. 80

Гайк Арутюнян — Сумма квадратов чисел натурального ряда........... 80

A. П. Кусаков — Другой вариант доказательства формулы объема пирамиды .... 81

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Д. М. Маергойз — О книге Н. А. Менчинской «Очерки психологии обучения арифметике» ...................................... 83

ХРОНИКА

B. Г. Малков — О работе методической комиссии преподавателей математики средней школы № 2 ст. Челябинск.......................... 85

И. Б. Вейцман — На педагогических чтениях.................... 86

ЗАДАЧИ

Решение задач, помещенных в № 1 за 1951 год................... 88

Задачи....................................... 93

Сводка решений задач по № 1 за 1951 г....................... 94

Редакционная коллегия Редактор А. II. Барсуков. Зам. редактора С. И. Новоселов. Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Ф. М. Мидлер.

Технический редактор В. Д. Элькинд. Корректор М. Никичич.

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6. Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР.

Сдано в производство 4/1V 1951 г. Подписано к печати 19/VI 1951 г. Учетно-изд. л. 10,73.

А05012. Заказ 330. Тираж 50 000 экз.

Печ. зн. в п. л. 72 000. Цена 4 р. 50 к. Бумага 84 X 1087ie = 3 бумажн. л. — 9,84 п. л.

13-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Москва, Гарднеровский пер., 1а.