МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

3

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1951

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 3

МАЙ —ИЮНЬ 1951 г.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ШКОЛЕ

Г. П. БОЕВ (Саратов)

I. Сущность теории вероятностей

Теория вероятностей занимает в современной математике одно из видных мест. Выросши из потребностей практики, теория вероятностей развилась в обширную и глубокую теорию, имеющую многочисленные приложения к точному естествознанию, биологии, технике и экономике.

Теория вероятностей отражает в абстрактной форме закономерности, присущие случайным событиям массового характера. Каждое такое событие можно охарактеризовать, подсчитав его частоту, т. е. отношение числа случаев появления события к числу испытаний (наблюдений). Как показывают наблюдения, некоторые из случайных массовых событий обладают устойчивой, т. е. колеблющейся в узких границах, частотой. Такова, например, частота солнечных дней, мало меняющаяся от года к году для каждого данного места, такова частота попадания в цель при массовых стрельбах из определенного орудия при одном и том же прицеле и т. п.

Массовые случайные события, обладающие устойчивой частотой, как раз и составляют тот предмет, абстракция свойств которого вырастает в теорию вероятностей.

Количественной характеристикой устойчивой частоты служит вероятность. Вероятность — это то число, около которого колеблется частота случайного события при массовых наблюдениях. Разумеется, для того чтобы вероятность могла служить предметом математической теории, этому понятию следует дать строгое определение, перечислив его основные формальные свойства. Эти свойства образуют систему аксиом теории вероятностей. Как только рассматриваемым событиям приписаны определенные числа, называемые вероятностями и подчиненные определенным аксиомам, к этим числам можно применять обычные математические рассуждения: вычислять вероятности одних событий, зная вероятности других, находить между ними те или иные соотношения, словом, строить теорию вероятностей.

Одна из возможных систем аксиом, формально определяющих понятие вероятности, выглядит следующим образом:

Аксиома I. Каждому событию А соответствует число Р(А), могущее иметь значения от 0 до 1 и называемое его вероятностью.

Аксиома II. Если событие А достоверно, то Р(А)=1.

Аксиома III. Если события, образующие конечное или бесконечное множество, друг с другом несовместны, то вероятность сложного события — их объединения, т. е. того, что произойдет какое-либо из этих событий, — равна сумме их вероятностей.

В частности, если события А и В несовместны, то

Далее для построения теории вводится понятие условной, или относительной, вероятности при помощи следующего определения: вероятностью А при условии В называется частное от деления вероятности совмещения А и В на вероятность В:

События А и В называются независимыми, если Р (А I В) = Р (A)f иначе говоря,

На основе упомянутых трех аксиом и последних двух определений, как и некоторых других, строится чисто логически вся дальнейшая теория. Так, например, из аксиом II и III легко выводится теорема: если вероятность данного события есть р9 то вероятность противоположного события есть 1—р.

Построенная таким образом теория вероятностей в логическом отношении вполне аналогична всякой другой математической теории. Вспомним для сравнения, что представляет собой элементарная геометрия. В строгом изложении геометрия открывается перечнем системы аксиом, которым должны подчиняться объекты, называемые «точками», «прямыми» и «плоскостями». Система аксиом геометрии, как известно, не является плодом чистой фантазии, ко служит абстракцией тех свойств, которыми обладают реальные предметы, сведенной к минимуму путем применения законов логики, в свою очередь являющейся отражением взаимоотношений между материальными предметами. Подобно этому, и аксиомы теории вероятностей, определяя формально понятие вероятности, служат отражением некоторых., закономерностей, проявляющихся в объективно существующем мире.

Но, помимо аксиоматического, существуют и другие подходы к понятию вероятности. Укажем два таких подхода: классический, характерный для математики XVIII—XIX столетие и эмпирический, предложенный немецким математиком Р. Мизесом.

В классической теории вероятностей вероятность события определялась как отношение числа «благоприятствующих» данному событию случаев к общему числу равновозможных и притом единственно возможных и несовместных случаев. Так, например, если урна содержит 30 белых и 50 черных шаров, то при вынимании одного шара «наугад» в предположении, что выход любого из этих 80 шаров равновозможен, за вероятность того, что вынутый шар окажется белым, принимается число 3/8.

Классическое определение вероятности, как видим, опирается на понятие равновозможности, оставляемое без определения. В этом заключается логический дефект классического определения. Другим его дефектом является невозможность применения понятия вероятности к чисто статистическим событиям. Так, владея лишь классическим определением вероятности, мы не имеем права говорить о вероятности выпадения той или иной грани неправильного шестигранника, поскольку в этом случае результат бросания нельзя разложить на равновероятные случаи. Наконец, третьим дефектом классического понимания вероятности является то, что определение теряет непосредственный смысл, если испытание приводит к бесконечному числу возможных случаев.

Желая избавиться от недостатков, присущих классическому пониманию вероятности, и желая сделать понятие вероятности инструментом реальной статистики, Р. Мизес принял следующее определение: если при большом количестве испытаний п событие происходит с частотой ~ р m то предел величины — при л, стремящемся к сю, называется вероятностью этого события. На первый взгляд может показаться, что определение Мизеса материалистично и естественнонаучно. На самом же деле оно логически несостоятельно и идеалистично. В самом деле, в нем слово «предел» не имеет обычного, принятого в математике смысла. Чтобы утверждать, что

есть предел частоты появления герба при бросании монеты, следует убедиться в том,что, начиная с некоторого л, будет выполняться неравенство J — — -g- l^8, Однако найти такое п нам не помогут никакие теоретические соображения и никакой конечный опыт, а потому утверждение о существовании предела частоты оказывается априорным, предваряющим опыт и теорию, и все определение — идеалистическим. Единственно правильным, соответствующим диалектическому материализму определением математического понятия вероятности является аксиоматическое, в котором сами аксиомы, разумеется, рассматриваются как результат абстракции свойств реального мира.

II. Из истории теории вероятностей

Теория вероятностей, как и прочие математические дисциплины, зародилась из практических потребностей, обусловленных развитием общества. В XVI в. ее развитию в известкой мере способствовали попытки дать теорию распространенных в ту эпоху азартных игр. Тарталья и Кардан производили подсчет вероятности, с которой может появиться та или иная комбинация очков при игре в кости. Теми же вопросами занимались впоследствии Галилей, Паскаль, Ферма, Гюйгенс и Декарт. Существенно новый результат был получен в начале XVIII в. Я. Бернулли, названный им «законом больших чисел». Бернулли оценил вероятность того, что в большом числе испытаний частота появления событий будет мало отличаться от вероятности самого события. Теорема Бернулли послужила началом целого ряда тео-

рем, получивших название предельных и развитых математиками XVIII и XIX вв.: Муавром, Лапласом, Пуассоном, П. Л. Чебышевым, А. А. Марковым.

В конце XVIII и начале XIX в. Лаплас и Гаусс стали применять теорию вероятностей к теории ошибок наблюдений. На этом пути Лаплас пришел к теореме, являющейся непосредственным углублением теоремы Бернулли.

Во второй половине XIX и в XX в. в теории вероятностей были получены существенные результаты благодаря трудам русских и советских математиков. Чебышевым было найдено неравенство, позволившее с поразительной простотой доказать теорему Бернулли. Он же дал одно из первых обобщений теоремы Бернулли: теорему о вероятности того, что среднее арифметическое нескольких независимых случайных величин сколь угодно мало отличается от их математического ожидания, в предположении, что число этих величин бесконечно возрастает, а их дисперсии равномерно ограничены. Чебышев же сформулировал так называемую «центральную предельную теорему» и сделал набросок ее доказательства на основе метода моментов. Идеи Чебышева были восприняты его учеником и последователем А. А. Марковым, который не только довел доказательство Чебышева до конца, но и доказал более общую теорему. В новой формулировке и новым методом эта теорема была высказана и доказана в начале XX в. А. М. Ляпуновым.

А. А. Марков же ввел в теорию вероятностей новое понятие — понятие цепи случайных событий. Впоследствии это понятие привело к созданию более глубокого понятия — вероятностного процесса, имеющего важное значение для естествознания и техники.

В настоящем кратком очерке истории теории вероятностей нет возможности изложить хоть сколько-нибудь подробно сущность идей и отдельных открытий последнего времени в теории вероятностей. Можно указать лишь на главные направления исследований и упомянуть об отдельных ученых, сыгравших в них основную роль. Такими главными направлениями в современной теории вероятностей служат следующие:

1. Исследования логической сущности теории вероятностей. К идее установить формальную основу теории вероятностей около 35 лет назад пришел С. Н. Бернштейн. Аксиоматика Бернштейна положена в основу его известной книги «Теория вероятностей». Другой подход к аксиоматическому построению теории вероятностей был развит А. Н. Колмогоровым. Аксиоматика А. Н. Колмогорова получила широкую известность и всеобщее признание.

2. Углубление закона больших чисел. Сюда относятся многочисленные и глубокие исследования С. Н. Бернштейна, А. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина, Б. В. Гнеденко и других советских ученых. Из зарубежных математиков, внесших значительные вклады в это направление, следует упомянуть Кантелли, Бореля, Леви, Фреше, Феллера.

3. Теория вероятностных или стохастических процессов. К началу XX столетия физика привела к необходимости рассматривать вероятностные процессы, т. е. такие величины, которые с течением времени претерпевают случайные изменения, зависящие как от самого времени, так и от уже принятых численных значений. Ряд физиков, как, например, Планк, Фоккер, Смолуховский, Эйнштейн и др., стали создавать теорию такого рода процессов. Полное систематическое обоснование и исследование теории «стохастически определенных процессов без последействия» было опубликовано в 1931 г. акад. А. Н. Колмогоровым. Другой важный класс процессов (стационарных) одновременно был исследован А. Я. Хинчиным. Теория вероятностных процессов вызвала к жизни многочисленные исследования, в особенности советских математиков: А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского, С. Н. Бернштейна, Е. Е. Слуцкого, А. М. Обухова, физика М. А. Леонтовича и др. Она имеет непосредственное применение к физике: к теории диффузии, теории броуновского движения, к теории турбулентного протока и другим вопросам.

4. Математическая статистика. Математическая статистика издавна служила одним из источников развития теории вероятностей, объектом ее применений. Но в дореволюционной России теоретические исследования по специфическим вопросам математической статистики почти отсутствовали. Иную картину мы наблюдаем в настоящее время. Многочисленные и разнообразные исследования по вопросам математической статистики в течение последних 30 лет вышли из рук ташкентского математика проф. В. И. Романовского и его учеников. Другим центром математической статистики стала Москва. Около 20 лет назад московский математик В. И. Гливенко доказал замечательную теорему о поведении эмпирической функции распределения случайной величины, имеющей непрерывную функцию распределения. Другое важное свойство эмпирической функции распределения было найдено акад. А. Н. Колмогоровым, позволившее построить новый критерий согласованности эмпирического и теоретического распределений. Многочисленные исследования в том же направлении были даны Н. В. Смирновым.

В настоящее время советскими математиками разрабатываются важные для народного хозяйства схемы контроля производств, основанные на данных математической статистики и теории вероятностей.

III. Изложение элементов теории вероятностей в школе

Как всякое крупное течение современной научной мысли и как один из инструментов естествознания и техники, теория вероятностей, говоря по существу, должна быть в том или ином объеме частью общего среднего образования.

Между тем программа школьного курса математики элементов теории вероятностей не предусматривает. Такое установившееся в силу традиций и совершенно, по моему мнению, неправильное положение может быть до известной степени исправлено путем занятий элементами теории вероятностей в школьном математическом кружке. Но изложение в школьном кружке элементов теории вероятностей имеет ряд методически трудных моментов.

Прежде всего возникает вопрос: как далеко, говоря в принципе, можно развить теорию вероятностей на основе элементарной математики, не прибегая к аналитической геометрии и математическому анализу? Используя школьный курс алгебры и представление о функциях и графиках, можно дать понятие о вероятности, изложить принципы сложения и умножения вероятностей, ввести понятие случайной величины, дать понятие о функции распределения; ввести для простейшего случая понятие математического ожидания, вывести неравенство Чебышева, доказать теорему Бернулли, теорему Чебышева, теорему Бейеса и дать применение этих теорем к обработке результатов наблюдений. В заключение можно дать понятие о кривой распределения и о нормальном распределении и его значении в статистике.

Примерно в таком объеме изложена теория вероятностей в книге Б. В. Гнеденко и А. Я. Хинчина «Элементарное введение в теорию вероятностей» (ГТТИ, 1946).

На выполнение программы такого объема требуется не менее 24 часов занятий. Если же преподаватель располагает временем порядка 8 часов, ему придется ограничиться лишь первыми 3—4 вопросами из числа перечисленных.

Перейдем теперь к освещению основного методического вопроса: как вводить понятие вероятности и строить первоначальную теорию?

При формально-аксиоматическом изложении теории вероятностей понятие вероятности строится как некая величина (точнее: функция элементов, называемых событиями), подчиняющаяся определенным аксиомам. Ясно, что такой порядок изложения в школе совершенно недопустим. Вот почему авторы руководств, рассчитанных даже на студентов университетов, предпочитают либо начинать с классического определения вероятности и по выяснении его свойств и недостатков приводить систему аксиом теории вероятностей, являющихся логическим определением вероятности (в таком духе построен курс теории вероятностей В. И. Гливенко), либо исходить из рассмотрения частоты массовых событий и вводить аксиомы теории вероятностей постепенно, подчеркивая их абстрагирующий смысл (так написано пособие по теории вероятностей автором этих строк).

Некоторые авторы популярных изложений теории вероятностей (как, например, Б. В. Гнеденко и А. Я. Хинчин), учитывая логические трудности первоначальных шагов в теории вероятностей, предпочитают вообще не давать строгого определения вероятности.

Мне представляется целесообразным за образец изложения элементов теории вероятностей в школе принять тот методический порядок, в котором излагается обычный курс элементарной геометрии. Этот курс, как известно, не строится ни исторически (например, по Евклиду, затем по Даламберу, Лобачевскому и т. д.), ни формально-логически (например, по Гильберту). В процессе развертывания этого курса ученик знакомится с системой, именуемой геометрией, развиваемой из нескольких аксиом и определений, появляющихся но мере необходимости и являющихся результатом абстракции повседневного опыта. Но строгость этой системы далека от абсолютной: многие понятия (например, понятия «между», «движение» и т. д.) считаются непосредственно ясными, не требующими специальных определений. Основная цель курса состоит в том, чтобы ознакомить учащегося с геометрическими фактами и приучить к математическому рассуждению.

Такой же порядок можно принять и при изложении основ теории вероятностей.

Сделаем набросок такого изложения в виде следующих тезисов.

I. Многие физические события отличаются тем свойством, что при известных условиях (испытаниях) они могут происходить или не происходить. Такие события называются случайными.

Примеры: появление метеора за определенное время наблюдения, выигрыш облигации при тираже, выпадение герба при произвольном бросании монеты, выпадение того или иного числа очков при бросании «игральной кости» и т. д.

II. Если произведено п испытаний и из них m привели к появлению события Л, то — называется частотой события А. Многие физические события обладают устойчивой частотой, т. е. мало меняющейся при большом числе испытаний.

Примеры: данные о метеорологических явлениях в данном месте (например, число дождливых дней за июль — август каждого года), количество мальчиков и девочек, приходящихся на большое число новорожденных, процент годной продукции, выпускаемой определенным производством, частота выпадения одного очка при многочисленных бросаниях игральной кости или выпадения герба при бросании монеты (проделать опыты).

III. Число, около которого колеблется частота случайного события А при массовых испытаниях, называется его вероятностью и обозначается Р(А). Целесообразно считать, что вероятность, как и частота, может иметь значение от 0 до 1. За вероятность достоверного события согласимся принимать 1, а за вероятность невозможного 0.

Для некоторых событий, отличных от достоверных и невозможных, вероятность может быть вычислена заранее, до производства испытаний.

Примеры: вероятность появления данной стороны металлического жетона при его бросании равна 1/2, вероятность выпадения той или иной грани при бросании куба равна 1/в. Вероятность того, что «буквенный замок», содержащий 4 диска, каждый из которых содержит 8 букв, может быть открыт, если диски будут поставлены наугад, равна = “Jogg“ > вероятность того, что данная облигация выиграет, если известно, что из 1000 облигаций в результате тиража выиграет одна, равна 0,001.

В этих примерах предполагается, что испытание может привести к несовместным случаям, из которых только один соответствует ожидаемому событию. Если при этом видно, что при многочисленных повторениях опыта каждый из этих случаев будет происходить приблизительно одинаково часто, то за величину вероятности ожидаемого события можно принять число Р(А).

IV. Если два события несовместны, то частота сложного события, состоящего в том, что появляется то или другое событие, и называемого их объединением, равна сумме их частот. Это свойство легко доказывается в общем виде и иллюстрируется примерами. По аналогии с этим будем считать, если А и В несовместные события, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей. Назовем это свойство аксиомой сложения вероятностей.

Здесь возникает серьезный методический вопрос: как преподносить ученику предложение о сложении вероятностей? В классических руководствах по теории вероятностей предложение о сложении вероятностей было теоремой, вытекавшей из классического определения вероятности. В современном строгом изложении принцип сложения вероятностей есть одна из аксиом, определяющих само понятие вероятности. Некоторые авторы популярных книг по теории вероятностей (например, Б. В. Гнеденко и А. Я. Хинчин в книге «Элементарное введение в теорию вероятностей», ГТТИ, 1948) предпочитают вообще не раскрывать перед читателем логической сущности этого принципа и называть его правилом сложения вероятностей.

Мне представляется отнюдь не страшным назвать разбираемый принцип аксиомой или, еще лучше, постулатом и подчеркнуть, что он вводится для того, чтобы вероятность вела себя аналогично частоте.

Примерами применения постулата сложения вероятностей могут служить следующие задачи и теоремы:

1. При стрельбе из винтовки стрелок может попасть в круг А с вероятностью 0,8, а в кольцо В—с вероятностью 0,15. Тогда за вероятность попадания в область А+В в силу нашего постулата следует принять 0,95.

2. Пешеход, подойдя к трамвайно-автобусной остановке, может употребить 5 минут на ожидание того или иного вида транспорта. Вероятность появления за это время трамвая равна а/2, а автобуса 1/3. С какой вероятностью пешеход сможет воспользоваться тем или другим транспортом? Ответ: xj2+*/з — б/б-

3. Бросается игральная кость. Вероятность выпадения грани с тремя очками, точно так же как и с шестью очками, равна Ye- Следовательно, вероятность выпадения числа очков, кратного трем, равна А/6-[-1/б = 1/3.

4. Теорема: если вероятность данного события А есть р, то вероятность противоположного события (не—А) есть 1—р. Для доказательства достаточно применить постулат сложения вероятностей к объединению событий А и не—Л, являющемуся, очевидно, достоверным событием.

5. Теорема: если в результате может появиться N несовместных и равновероятных случаев, из которых M соответствуют ожидаемому событию Л, то вероятность этого события А есть

Для доказательства этой теоремы следует предварительно распространить постулат о сложении вероятностей на любое конечное число несовместных событий, доказательство чего может быть дано методом полной индукции. После этого наша теорема доказывается так: вероятность каждого из возможных случаев, вследствие равенства их вероятностей, есть , следовательно, вероятность нашего события А есть сумма M вероятностей, каждая из которых равна ^, т. е. .

После этой теоремы, заменяющей классическое определение вероятности, можно перейти к примерам вычисления вероятностей, основанным на непосредственном применении комбинаторики, но пока без применения формулы вероятности совмещения событий. Таковы, например, задачи:

1. Из 6 карточек с буквами ТНОРЕМ кладутся наугад четыре. Какова вероятность, что получится слово море? Ответ:

2. Шарики падают в ящик, разделенный перегородкой на две половины, причем каждый шарик с одинаковой вероятностью может попасть в ту или другую половину. С какой вероятностью из Л' шариков M штук окажутся в первой половине, а остальные во второй?

3. Каждая из N молекул газа с одинаковой вероятностью может оказаться в любой из п ячеек, на которые можно мысленно разделить сосуд, заключающий газ. С какой вероятностью в первой ячейке окажется тх молекул, во второй т2 и т. д., наконец, в л-ой тп, причем

Ответ:

где в случае обращения чисел в нуль символ 0! обозначает 1.

V. Определив совмещение событий Л-В как сложное событие в том, что происходит и Л, и Л, и дав понятие об условной (относительной) частоте А | £, можно доказать, что частота А-В равна частоте ß, умноженной на частоту АI В. В самом деле, если при п испытаниях В произошло в m случаях, среди которых k случаев приводили также и к Л, то тождество

как раз и выражает нашу теорему.

Теперь следует ввести понятие условной вероятности. Выше мы видели, подлинным логическим определением этого понятия является равенство

Между тем исторически это понятие складывалось иначе, а именно как вероятность события А9 вычисляемая в предположении, что событие В уже произошло. Мне представляется методически целесообразным исходить именно из этого последнего представления, как более наглядного и непосредственно связанного с повседневными представлениями.

Итак, вводим величину Р(А\В), выражающую вероятность события А при условии, что имеет место В.

Пример:

Пусть вероятность встретить доброкачественную лампочку в партии 40-ваттных лампочек есть 0,95, а в партии 60-ваттных 0,91. Если обозначить через А доброкачественность лампочки, а через В—40-ваттную мощность, то

После этого следующим образом вводим формулу вероятности совмещения:

в случае, когда испытание приводит к конечному числу равновероятных и несовместных исходов, т. е. в классическом случае, формула вероятности совмещения оказывается выполненной, что нетрудно доказать; для остальных же случаев вводим эту формулу как постулат.

Далее изложение теории вероятностей можно вести обычным порядком и в первую очередь выделить случай независимых событий.

Та и другая формулы в комбинации с формулой сложения вероятностей допускают многочисленные иллюстрации, основанные на применении формул комбинаторики. Множество таких примеров читатель может найти в задачнике по теории вероятностей Н. Д. Гиленко, (Учпедгиз, 1943), а также в сборнике задач пр высшей математике Гюнтера-Кузьмина, ч. III.

Вот несколько задач такого типа:

1. При игре в фишки бросаются две игральные кости. Какова вероятность, что ни на той, ни на другой не выпадет шестерки? Ответ:

2. При игре в крокет вероятность попадания шара в ворота при определенных условиях равна 0,4. Какова вероятность попадания в ворота, если пускать одновременно два шара?

Ответ: 1 — 0,63 = 0,784.

3. В продукции завода вероятность встретить дефект равна 0,15. Какова вероятность, что среди 10 экземпляров этой продукции дефект А будет обнаружен в 2 случаях?

Эта задача является частным случаем более общего важного для теории вероятностей вопроса: если вероятность события А есть ру то какова вероятность, что при п испытаниях событие А произойдет m раз? Ответом служит «биномиальная формула»

В настоящей статье, разумеется, нет возможности дать подробный список вопросов и задач, подходящих для пропедевтического изложения теории вероятностей. Вопрос об объеме как самого материала, включаемого в такое изложение, так и о месте его в программе школьной математики требует специального методического обсуждения. Настоящая статья преследует лишь две цели: привлечь внимание к теории вероятностей в средней школе и предложить в порядке дискуссии один из методически возможных приемов изложения элементов теории вероятностей.

Литература, рекомендуемая учителю

1. В. Л. Гончаров, Теория вероятностей, М., Оборонгиз, 1939.

2. В. И. Гливенко, Курс теории вероятностей, М.-Л., ГТТИ, 1946.

3. Б. В. Гнеденко и А. Я. Хинчин, Элементарное введение в теорию вероятностей, Гостехиздат, 1946.

4. Б. В. Гнеденко, Как математика изучает случайные явления, изд. АН УССР, 1947.

5. Г. П. Боев, Теория вероятностей, М.—Л, ГТТИ, 1950.

МЕТОДИКА

О КОММУНИСТИЧЕСКОМ ВОСПИТАНИИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ*

С. А. ПОНОМАРЕВ (Москва)

I

Развитие советской общеобразовательной школы в ближайшие годы определяется особенностями социалистического строительства в период перехода нашей страны от социализма к коммунизму. Этот период характеризуется непрерывным ростом производительных сил, направленных к созданию изобилия предметов потребления.

Переход от социализма к коммунизму предполагает всестороннее развитие советских людей, воспитание их в духе коммунизма.

Исключительная роль в осуществлении задач коммунистического воспитания трудящихся принадлежит нашей общеобразовательной школе.

В. И. Ленин говорил, что коммунизму нужно учиться, «только связывая каждый шаг деятельности в школе, каждый шаг воспитания, образования и учения неразрывно с борьбой всех трудящихся против эксплуататоров» (В. И. Ленин, Соч., т. 31, изд. 4-е, стр. 271).

«...Мы не верили бы учению, воспитанию и образованию, если бы оно было загнано только в школу и оторвано от бурной жизни» (В. И. Ленин, Соч., т. 31, изд. 4-е, стр.270).

«Коммунистом стать можно лишь тогда, когда обогатишь свою память знанием всех тех богатств, которые выработало человечество» (В. И. Ленин, Соч., т. 31, изд. 4-е, стр. 262).

«Советский строй не может терпеть воспитания молодежи в духе безразличия к советской политике, в духе наплевизма и безыдейности» (из постановления ЦК ВКП (б) от 14 августа 1946 г. о журналах «Звезда» и «Ленинград»).

Следовательно, основной принцип, каким должно руководствоваться учителю при выборе тех или иных методов коммунистического воспитания, — это воспитание молодежи в духе беззаветной преданности и служения интересам советского народа, великому делу Ленина— Сталина, тесная связь воспитания с борьбой трудящихся за коммунизм.

Борьба за отличную успеваемость, за прочное овладение основами наук является решающим звеном в деле коммунистического воспитания учащихся.

Первейшей обязанностью школьника является его отличная учеба. Товарищ Сталин в своей речи на VIII Всесоюзном съезде ВЛКСМ 16 мая 1928 г. сказал:

«... Чтобы строить, надо знать, надо овладеть наукой. А чтобы знать, надо учиться. Учиться упорно, терпеливо. . . Перед нами стоит крепость. Называется она, эта крепость, наукой с ее многочисленными отраслями знаний. Эту крепость мы должны взять во что бы то ни стало. Эту крепость должна взять молодежь, если она хочет быть строителем новой

* Доклад, прочитанный на «Педагогических чтениях» при Академии педагогических наук РСФСР в 1951 г.

жизни, если она хочет стать действительной сменой старой гвардии» (И. В. Сталин, О молодежи, издательство «Молодая гвардия», 1939, стр. 43).

Основная роль в деле коммунистического воспитания учащихся принадлежит учителю.

Учитель математики в борьбе за прочное овладение основами наук должен вести преподавание предмета так, чтобы у учащихся.

1) воспитывалось материалистическое мировоззрение;

2) развивалось логическое мышление;

3) воспитывалось чувство советского патриотизма и национальной гордости;

4) развивались волевые качества (смелость, настойчивость, самостоятельность, инициативность, ответственность, аккуратность и т. д.); развивалось критическое отношение к себе и к окружающей действительности.

II

Вся история развития математических понятий показывает ложность положения идеализма о математике как «о продукте свободного творчества мышления математиков».

Энгельс так говорит о зарождении математики и о взаимосвязи отдельных наук и их развитии: «Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей; из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики» (Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, Госполитиздат, 1950, стр. 37).

«Сперва астрономия, которая уже из-за времен года абсолютно необходима для пастушеских и земледельческих народов. Астрономия может развиваться только при помощи математики. Следовательно, приходилось заниматься и последней. —Далее на известной ступени развития земледелия и в известных странах (поднимание воды для орошения в Египте), а в особенности вместе с возникновением городов, крупных построек и развитием ремесла, развилась и механика. Вскоре она становится необходимой для судоходства и военного дела. — Она также нуждается в помощи математики и таким образом способствует ее развитию. Итак, уже с самого начала возникновение и развитие наук обусловлено производством» (Ф. Энгельс, Диалектика природы, Госполитиздат, 1950, стр. 145).

На уроках математики при обзорах отдельных тем учитель должен показать условия и причины, вызвавшие те или другие понятия или давшие толчок тому или другому разделу. Приведем несколько примеров.

1. Современная история математики с достаточной полнотой освещает уровень математических знаний народов древнего Вавилона и древнего Египта. Она показывает, что древние вавилоняне и египтяне под влиянием практических потребностей (торговля, измерение земельных участков, измерение объемов житниц, постройка пирамид, расчеты на содержание войска и т. д.) создали свою математику. Вавилоняне создали совершенную для своего времени позиционную систему счисления, в основе которой лежит число 60. Они умели решать уравнения второй степени и некоторые виды уравнений третьей степени. Вавилоняне положили начало астрономическим исследованиям. Египтяне умели вычислять объем усеченной пирамиды. И вавилоняне, и египтяне знали так называемую теорему Пифагора, следовательно, Пифагор не открыл, а в лучшем случае доказал теорему, названную его именем. В частности, египетские землемеры для построения прямого угла применяли веревочный треугольник со сторонами 3, 4 и 5.

2. Письменные памятники математических знаний русского народа мы имеем, начиная примерно с тысячного года нашего летосчисления. Эти знания — результат долгого развития, основанного на практических нуждах человека. Сохранились сведения о школах при Владимире Святославиче (978—1015), при Ярославе Мудром (1036—1054). Произведение новгородского монаха Кирика «Учение им же ведати человеку числа всех лет», написанное в XII в., показывает, что наши предки могли производить действия с дробными числами («дробные часы»).

Исконно русское руководство, излагающее приемы измерения площадей, «Книга сошного письма», а также книга «Устав ратных дел» одними своими названиями указывают причины, вызвавшие развитие математики у нас в России.

3. Прекрасным примером, подтверждающим тезис В. И. Ленина «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике», является научная деятельность нашего великого математика Пафнутия Львовича Чебышева. Его самые оригинальные, совершенно новые для математики того времени идеи возникли из изучения работы ветряных мельниц, разных заводских установок, из решения чисто практических задач. Подробно о жизни и деятельности великого русского математика можно ознакомиться по книгам: В. Е. Прудников, Чебышев—ученый и педагог и Стеклов, Теория и практика в исследованиях Чебышева.

Можно было бы привести еще десятки примеров из истории математики, подтверждающих основное положение диалектического материализма, что «материя, природа, бытие представляет объективную реальность, существующую вне и независимо от сознания, что материя

первична, так как она является источником ощущений, представлений, сознания, а сознание вторично, производно, так как оно является отображением материи, отображением бытия...» («Краткий курс истории ВКП (б)», стр. 106—107).

Это основное положение диалектического материализма необходимо разъяснять учащимся на уроках математики. Ученики должны понять, что математика, как и всякая другая наука, имеет предметом изучения объективную реальность. Отличие математики от других наук состоит в том, что она изучает только количественные и пространственные формы реального мира, абстрагируется от их материального содержания.

Заслуживает подражания опыт учителей, которые при повторении курса математики в X классе проводят обзорную двухчасовую лекцию-беседу. В этой лекции-беседе они вкратце освещают основные этапы развития математики, уделяя особенное внимание истории развития математики в дореволюционной России и в СССР, останавливаются на школьных математических дисциплинах и их связи с другими дисциплинами.

III

Чтобы познать внутреннюю связь вещей, сущность вещей, законы, по которым совершается процесс их развития и изменения, человек дополняет деятельность органов чувств деятельностью мышления. Мышление, или логическое познание, дает возможность человеку познать то, что он непосредственно чувствами не воспринимает. Практика показывает, что не всякое мышление способно открывать сущность вещей, законы, которым подчиняется развитие внешнего мира; не всякое мышление дает человеку возможность научно предвидеть, уловить новое.

«Вопрос о том, обладает ли человеческое мышление предметною истинностью, — вовсе не вопрос теории, а практический вопрос. В практике должен доказать человек истинность, т. е. действительность, мощь, посюсторонность своего мышления» (В. И. Ленин, Соч., т. 14, изд. 3-е, стр. 92).

Если практика не подтверждает тех выводов, к которым мы пришли с помощью рассуждений, это значит, что мы где-то допустили ошибку. С другой стороны, надо показать, что иногда выводы, построенные на основании ряда опытов, не могут обладать достоверностью. В качестве примера можно привести существовавшее до Эйлера суждение, что выражение XI + X 4- 41 при л;, равном натуральному числу, дает простое число. Действительно, при х = 0, 1, 2,...,39 получается простое число, но при X = 40 получается составное число.

Для того чтобы мышление явилось силой, облегчающей разрешение задач, поставленных развитием общества, необходимо, чтобы оно было правильным, т. е. верно отражало действительность.

Какое мышление является правильным?

Правильным является то мышление, которое исходит из следующих положений:

1) что источником всех наших ощущений, восприятий, представлений, мыслей, сознания является материя, природа, бытие;

2) что мир и его закономерности вполне познаваемы;

3) что природа есть единое целое, где предметы, явления органически связаны друг с другом, зависят друг от друга и обусловливают друг друга.

Товарищ Сталин говорит, что «ни одно явление в природе не может быть понято, если взять его в изолированном виде, вне связи с окружающими явлениями» (И. В. Сталин, Вопросы ленинизма, изд. 11-е, стр. 536).

Энгельс считал правильным только такое мышление, которое рассматривает «вещи и их умственные отражения главным образом в их взаимной связи, в их сцеплении, в их движении, в их возникновении и исчезновении» (К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., т. XIV, стр. 23).

Из основных признаков правильного мышления вытекают его три черты, являющиеся совершенно необходимыми качествами каждого правильного рассуждения в любой области знания. Эти черты: определенность, т. е. ясность, четкость и точность; последовательность, т. е. связность и непротиворечивость; обоснованность, т. е. доказательность и убедительность.

Воспитание борца за коммунизм требует от учителя, чтобы он способствовал своим воспитанникам развивать правильное мышление.

Математика своим построением, методами изложения постоянно соприкасается с категориями логики, причем эти категории в математике выступают в чистом, не завуалированном виде.

Взять черты правильного мышления — определенность, последовательность и обоснованность. Есть ли какое-либо математическое доказательство, где эти черты не наблюдались совершенно отчетливо?

Мы знаем, что человек достигает познания сущности вещей, закономерностей природы и общества в результате сложной мыслительной деятельности по обработке чувственных данных из внешнего мира, прибегая к различным логическим приемам познания.

Эти логические приемы познания — сравнение, анализ и синтез, абстракция и обобще-

ние—являются характерными для методов всякой науки и в том числе для математики.

Используя логический прием сравнения, учитель математики должен помнить, что сравнивать величины или операции надо по таким признакам, которые имеют важное существенное значение для них. На одном из уроков в московской школе учитель П. поставил вопрос перед учащимся: «В чем сходство между действиями -у- и а ?» Ни один учащийся не мог дать ожидаемого учителем ответа. Надо признаться, что и присутствующие на уроке учителя, в том числе и пишущий эти строки, не могли дать ответа. Оказывается, учитель ожидал ответа: «Сходство в том, что оба действия только обозначены, а не выполнены» (?!).

Логические приемы — анализ и синтез—в школьном курсе математики, особенно в арифметике и геометрии, играют исключительную роль. Анализ и синтез — две стороны единого познавательного процесса.

Анализ мысленно расчленяет изучаемый объект, а синтез по-новому мысленно объединяет части объекта. В изложении решения задач, доказательства математических положений мы всегда используем и анализ и синтез.

Но для познания объекта мало его расчленить на составные части, а затем мысленно соединить в целое. Необходимо уметь выделить в изучаемом объекте главное, существенное, отделить от второстепенного. Этот прием-абстракцию необходимо внедрить в большей мере в решение не только геометрических задач, но и арифметических, и алгебраических.

Каждому учителю известно значение наглядных пособий при обучении математике. Правильное применение принципа наглядности обеспечивает в процессе обучения переход от живого созерцания к абстрактному мышлению. Математические понятия, с которыми знакомится учащийся, будут ярко осознаны им тогда, когда они возникнут на основе наблюдения и непосредственного опыта. Например, при изучении в VII классе темы «Четырехугольники» как не обратить внимание учащихся на те предметы из окружающей обстановки, контурами которых являются четырехугольники?!

Однако необходимо помнить, что роль наглядных пособий различна в начальной и средней школе.

Чем старше ученики, тем больше должна быть у них способность к абстракции, поэтому в начальной школе наглядные пособия являются источником математического вывода, а в средней школе — лишь иллюстрацией вывода, полученного логическим путем. Так, например, в пропедевтическом курсе геометрии в V классе достаточно показать для определения боковой поверхности цилиндра его развертку, но в X классе эта развертка никого не удовлетворит. Следует помнить, что не всякое наглядное пособие полезно показывать учащимся, например, графическая иллюстрация формулы произведения суммы двух чисел на их разность весьма трудна для понимания, а потому ее не следует давать. Надо помнить, что в средней школе наглядность является лишь средством, необходимой ступенью для развития отвлеченного мышления. Излишнее увлечение наглядностью, применение ее там, где нет в этом необходимости, может привести к отрицательным последствиям.

Решение геометрических задач требует от учащегося самостоятельного мышления для отыскивания необходимых данных. Все же упражнения по алгебре и арифметике составлены так, что в условие входят все необходимые данные, и ученик идет по линии необходимости использования всех данных. Это серьезный недостаток содержания существующих задачников. Между прочим, интересно отметить, что вышедший в 1949 г. «Методический сборник задач по арифметике» Игнатьева и др. вызвал ряд писем учителей, в которых они выражали недоумение: «Зачем даются излишние данные в ряде задач? Они только путают учеников».

Мы считаем, что крайне желательно предлагать учащемуся задачи, при решении которых он мог бы выбрать из данных то, что нужно для решения. Ведь в окружающей жизни самому же человеку приходится отделять существенное от несущественного.

Приведем пример такой задачи: «Районную электростанцию, обслуживающую 5 сел, перевели с дровяного отопления на торфяное. Определить месячный расход торфа, если за месяц сжигали 75 куб. м дров, а теплотворные способности дров и торфа относятся, как 32:35 (вес 1 куб. м дров 0,6 /я)».

Полезно также иногда предлагать учащимся самим составить задачу по определенной теме, например: 1) «Составьте несколько задач, решение которых приводило бы к системе:

или: 2) «Воспроизведите текст задачи о нахождении площади участка, решение которой привело бы к числовой формуле:

Логический прием, посредством которого совершается переход от единичного к общему, прием, называемый обобщением, играет боль-

шую роль при изложении вопросов математики. Одна из важных задач нашей средней школы заключается в том, чтобы всесторонне развить навыки самостоятельного мышления учащихся.

Жизнь показывает, что простое заучивание правил, теорем, отдельных фактов и т. п., без развития умственной активности и приемов логического мышления учащихся, всегда имеет своим результатом формализм и скольжение по поверхности изучаемого вопроса. Учитель, который ограничивает свою роль только тем, что требует от учащихся заучивания сообщаемых знаний, правил, обобщений, отбивает у учеников желание самостоятельно приходить к тем или другим выводам, критически проверять сведения, получаемые из учебников и практической жизни.

Изучение первых теорем геометрии вызывает у учащихся серьезные затруднения. Эти затруднения обусловливаются в основном следующими моментами:

1) учащийся не всегда осознает, что надо считать доказанным и что еще не доказано; 2) учащийся с трудом различает условие теоремы от заключения; 3) учащийся затрудняется в применении уже известных положений, используемых при доказательстве. Поэтому крайне полезно перед сообщением первых теорем геометрии познакомить учащихся VI класса с элементами логических рассуждений путем решения ряда упражнений, которые, постепенно усложняясь и оставаясь все время посильными для учащихся, охватили бы по своему содержанию круг вопросов, возникающих при изучении первых теорем геометрии.

Приведем примеры, заимствованные из статьи Соминского «О работе учащихся VI класса в связи с изучением первых теорем геометрии» (журнал «Математика в школе», 1947, № 4).

Простейшие доказательства

Указать верное и неверное утверждение.

1) Все квадраты имеют одинаковую площадь.

2) Если число оканчивается нулем, то оно делится на 5.

3) Если число делится на 5, то оно оканчивается нулем.

Более сложные доказательства

1) В классе 40 учеников. Найдутся ли среди них хоть два, фамилии которых начинаются с одной и той же буквы?

2) На заводе 500 рабочих. Можно ли утверждать, что хоть два из них имеют один и тот же день рождения?

Логическая связь между утверждениями

Даны четыре утверждения: 1) Брат на 6 кг тяжелее сестры. 2) Брат и сестра вместе весят 64 кг. 3) Вес брата 35 кг. 4) Вес сестры 29 кг.

Показать, что утверждения 1 и 2 вытекают из утверждений 3 и 4. Составить задачу, в условие которой входят утверждения 3 и 4, а в вопросы — утверждения 1 и 2.

IV

«Патриотизм — одно из наиболее глубоких чувств, закрепленных веками и тысячелетиями обособленных отечеств» (В. И. Ленин, Соч., т. 28, изд. 4-е, стр. 167).

Советский патриотизм — это любовь к социалистической родине, к своему народу и к великой партии Ленина — Сталина.

Патриотическое чувство в историческом развитии народов играло весьма важную и прогрессивную роль, воодушевляя народ к борьбе за свою национальную независимость против иноземных захватчиков. История нашей страны богата фактами борьбы, которую вел русский народ с различными иноземными захватчиками и завоевателями, стремившимися поработить нашу родину. Чувства патриотизма воодушевляли и воодушевляют наш советский народ на самоотверженный труд и на подвиги для блага социалистического отечества.

В трудах классиков марксизма-ленинизма идея патриотизма находится в неразрывной связи с борьбой трудящихся против капитализма.

«Чуждо ли нам, великорусским сознательным пролетариям, чувство национальной гордости? Конечно, нет! Мы любим свой язык и свою родину, мы больше всего работаем над тем, чтобы ее трудящиеся массы (т. е. 9/10 ее населения) поднять до сознательной жизни демократов и социалистов. Нам больнее всего видеть и чувствовать, каким насилиям, гнету и издевательствам подвергают нашу прекрасную родину царские палачи, дворяне и капиталисты. Мы гордимся тем, что эти насилия вызывали отпор из нашей среды, из среды великорусов, что эта среда выдвинула Радищева, декабристов, революционеров— разночинцев 70-х годов, что великорусский рабочий класс создал в 1905 году могучую революционную партию масс, что великорусский мужик начал в то же время становиться демократом, начал свергать попа и помещика» (В. И. Ленин, Соч., т. 21, изд. 4-е, стр. 85).

Основы и сущность советского патриотизма с предельной четкостью и ясностью раскрыты товарищем Сталиным в докладе, посвященном

27-й годовщине Великой Октябрьской социалистической революции: «Сила советского патриотизма состоит в том, что он имеет своей основой не расовые или националистические предрассудки, а глубокую преданность и верность народа своей Советской Родине, братское содружество трудящихся всех наций нашей страны. В советском патриотизме гармонически сочетаются национальные традиции народов и общие жизненные интересы всех трудящихся Советского Союза. Советский патриотизм не разъединяет а, наоборот, сплачивает все нации и народности нашей страны в единую братскую семью» (И. В. Сталин, О Великой Отечественной войне Советского Союза, 1950, стр. 160).

Задача воспитания советского патриотизма включает в себя развитие советских патриотических чувств, воспитание советских патриотических взглядов и убеждений и воспитание действенной воли и характера.

Патриотические чувства школьников обычно связываются с именами исторических деятелей, возглавлявших борьбу народа с иноземными захватчиками, а также с именами деятелей науки и особенно с именами борцов за свободу и счастье трудящихся.

Рассказать о замечательных и великих людях нашей страны можно не только на уроках истории, географии и литературы, но и на уроках математики. Надо признать, что наши школьные учебники почти ничего не сообщают из истории математики и о роли ученых нашей страны в развитии науки. Однако необходимо, чтобы учащиеся знали не только величайших русских математиков — творца новой геометрии Николая Ивановича Лобачевского; основоположника первой русской математической школы Пафнутия Львовича Чебышева, создавшего целый ряд новых областей в математике; Героя Социалистического Труда академика Ивана Матвеевича Виноградова, обогатившего науку новыми методами и решившего задачу, над которой безрезультатно трудились виднейшие математики всех народов, — но знали и других великих людей нашей страны, сделавших тот или иной вклад в развитие математической науки.

Конечно, нельзя все эти сведения изложить с надлежащей полнотой для учащихся во время уроков, но в часы внеклассной работы каждый учитель имеет возможность это сделать.

Крайне полезно остановиться (хотя бы в часы внеклассной работы) на истории развития математики в нашей стране.

Среди народов нашей страны по древности математической культуры стоят армяне. У армян в VII в. был замечательный ученый Анания из Ширака, труды которого сохранились и до настоящего времени.

Анания из Ширака в своих сочинениях, кроме чисто арифметических задач, разбирает вопросы шарообразности Земли, о затмениях Луны и Солнца, о применении нуля в математике, о многоугольных числах, о календаре, о солнечных часах — и это рассматривает тогда, когда у европейских народов никто этими вопросами не занимался.

Анания из Ширака написал учебник по арифметике и задачник. Он приводит решения задач, требующих сложения восьми дробей, среди знаменателей которых имеются числа 14, 16 и 20. В его книгах приводятся таблицы сложения, вычитания, умножения и деления.

Уровень знаний Анания становится ясным, если указать, что современник его, считавшийся самым ученым человеком своего времени, английский монах Бэда «Достопочтенный», так говорил: «В мире есть много трудных вещей, но нет ничего такого трудного, как четыре действия арифметики».

Полезно также отметить, что «Начала» Евклида были переведены с греческого на армянский в 1051 г. Грегором Магистром, между тем как в Европе на латинский язык были переведены с арабского в 1120 г., а с греческого был сделан перевод лишь в 1533 г., т. е. почти на 5 веков позднее, чем на армянский язык. Эти сведения об Анании из Ширака можно сообщить при прохождении дробей в V классе, а также привести для характеристики задачу из его задачника, например: «В городе Афинах был водоем, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоем в один час, другая, более тонкая, — в два чача, третья, еще более тонкая, — в три часа. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполняют бассейн».

При прохождении начал алгебры в VI классе необходимо остановиться на ученой деятельности творца первого учебника по алгебре таджика Мухаммеда Ал-Хорезми. Надо указать, что Мухаммед Ал-Хорезми, как никто до него, понимал единство теории и практики. В предисловии к своей книге он пишет: «Я составил это небольшое сочинение из наиболее легкого и полезного в науке счисления и притом такого, что требуется постоянно людям в делах о наследовании, наследственных пошлинах, при разделах имущества, в судебных процессах, в торговле и во всех их деловых взаимоотношениях, в случае измерения земель, проведения каналов, в геометрических вычислениях и других предметах различного рода и сорта». Надо указать, что по имени этого ученого происходит термин «алгорифм» (алгоритм).

Кроме Мухаммеда Ал-Хорезми, необходимо остановиться на другом таджикском математике— Омаре Хайами (1040—1123). Им впервые дано определение предмета алгебры в его произведении «Трактат по алгебре». Он пишет: «... алгебра есть научный метод. Ее предмет есть числа или величины, которые, будучи неизвестными, поставлены в такие соотношения с чем-нибудь известным, что их можно определить». Омар Хайами продолжил работу Мухаммеда Ал-Хорезми в области решения квадратных уравнений, открыл способы решения кубических уравнений (частные случаи).

Крайне полезно было бы сообщение учащимся хотя бы кратких сведений о математическом труде «числолюбца» древней Руси монаха Кирика (XII в.), о математических статьях в знаменитом правовом памятнике древней Руси «Русской Правде», о книге «Устав ратных, пушечных и других дел, касающихся до воинской науки» (XVII в).

Непременно надо сообщить учащимся о нервом печатном учебнике по арифметике Леонтия Филипповича Магницкого (1703).

Учебник арифметики Л. Ф. Магницкого содержит начала математических знаний того времени: арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. В течение полустолетия книга Л. Ф. Магницкого была основным учебником по математике, и недаром М. В. Ломоносов назвал «Арифметику» Магницкого «вратами своей учености».

Для своего учебника Л. Ф. Магницкий широко использовал всю русскую рукописную литературу, добавляя к ней достижения мировой научной мысли, но переработанные и откристаллизованные так, что в целом был создан первый оригинальный русский учебник математики.

«Разум весь собрал и чин Природно русский, а не немчин».

При сообщении об учебнике Магницкого полезно обратить внимание учащихся на тематику задач. Содержанием задач являются вопросы торговли, перевозки товаров, калькуляции товаров, вопросы на военные темы, т. е. взяты вопросы, отражающие политику Петра I. Полезно было бы на уроках арифметики (V—VI классы) решить несколько задач, составленных Л. Ф. Магницким.

С большим интересом учащиеся слушают то немногое, что мы знаем из биографии Магницкого. Уместно также заметить, что в том же 1703 г. Л. Ф. Магницкий совместно со своими коллегами по работе в навигацкой школе издал «Таблицы логарифмов и синусов, тангенсов и секансов к научению мудролюбивых тщалей» — первых таблиц на русском языке.

Особого внимания требует к себе вопрос освещения роли советских математиков в развитии современной математики. Необходимо, чтобы учащиеся на примерах увидели, что в капиталистическом обществе наука была и есть служанка правящих классов, недоступная для трудящихся; показать, что во имя наживы величайшее открытие XX в. — атомную энергию— империалисты обращают в средство уничтожения трудящихся. В нашей стране иная картина развития науки. Перед советской властью стояла задача создать науку народную, передовую, «которая не отгораживается от народа, не держит себя вдали от народа, а готова служить народу, готова передать народу все завоевания науки, которая обслуживает народ не по принуждению, а добровольно, с охотой» (И. В. Сталин, Сборник «Ленин и Сталин о труде», стр. 619).

С этой задачей наша страна справилась, и наука Советской страны является самой передовой, самой прогрессивной наукой, служащей делу трудящихся, а не кучке империалистов.

Русская математика с начала XIX в. занимает одно из первых мест в мировой науке, но никогда не достигала она такой широты, разнообразия и глубины, как за годы советской власти.

V

Воспитание воли ученика является одной из важных задач школы.

ЦК ВКП(б) в своем постановлении «О журналах „Звезда“ и „Ленинград“» указывает, что надо «воспитать новое поколение бодрым, верящим в свое дело, не боящимся препятствий, готовым преодолеть всякие препятствия».

Прежде всего ученик должен проникнуться мыслью, что для того чтобы стать сознательным борцом за коммунизм, он должен овладеть основами наук. Прочное овладение основами наук требует от ученика преодоления различных препятствий на этом пути, умения воздерживаться от побуждений, мешающих достижению поставленной цели. Процесс обучения математике, методы ее изучения прививают ученикам необходимые волевые качества.

Овладение содержанием математики воспитывает у ученика упорство и настойчивость в преодолении трудностей.

Ведь учащийся понимает, что если он не решит задачу, предложенную для домашней работы, то от него учитель потребует подтверждения его труда в форме записей по решению задачи. Каждый учащийся отчетливо представляет, что незнание теории какого-либо вопроса не позволит ему решать относящейся к этому задачи, а потому ему надо заставить себя изу-

чить и понять теорию вопроса, т. е. проявить настойчивость и упорство в преодолении встретившейся трудности.

Учащийся знает, что хорошую оценку учителя, а также и признание товарищей получит предложенное им решение какой-либо задачи, в том случае, если это решение безошибочно и обоснованно. Кроме этих обязательных требований, он знает, что решение должно быть по возможности простым и надлежащим образом оформленным (запись решения). Эти требования воспитывают критическое отношение учащегося как к своей работе, так и к работе своих товарищей.

Слушая ответы и решения других учеников, ученик критически оценивает их. Всякий урок опытного учителя является примером выработки у учащихся чувства самоконтроля и критического отношения к ответам товарищей.

Надо привить ученику критическое отношение к получаемым ответам, т. е. привить ему уверенность в безошибочности решения.

Ученик X класса, решая несложную задачу: «Угол между радиусами, проведенными к двум точкам поверхности шара, равен 60°, а кратчайшее расстояние между этими точками по поверхности шара 5 см. Определить радиус шара», получил ответ R ^ 48 см. Полученный ответ не вызвал у ученика сомнения, и только при постановке вопроса: «Что больше, длина дуги в 60° или радиус той же окружности?» — ученик понял, что ответ неверен, и нашел допущенную им ошибку.

К сожалению, у многих учеников единственное средство проверить себя — это заглянуть в ответ, данный в конце книги, а если там нет ответа, то обычно на вопрос учителя о выполнении работы ученик отвечает: «Задачу я решил, но не знаю, правильно ли». Конечно, ответы в задачниках необходимы, и их надо использовать, но задача учителя — приучить учащегося к самопроверке. Ведь окружающая жизнь, ставя перед человеком задачу, не дает ему готового ответа.

От учащегося надо требовать знания и применения приемов проверки решения (соответствие ответа условиям арифметической задачи, подстановка найденного корня в данное уравнение, графическая проверка, повторное решение другим приемом и т. д.). Приучать к самопроверке надо начинать в начальной школе и особенно в V—VI классах, с тем чтобы самопроверка стала необходимостью для учащихся.

Сознание того, что каждый товарищ по классу может его проверить, найти допущенную им ошибку, заставляет ученика ответственно относиться к выполняемым им заданиям, т. е. математика развивает чувство ответственности.

Учитель должен поощрять инициативу учащихся в поисках нового решения, поисках новых путей в доказательстве теорем; этот прием развивает самостоятельность ученика, прививает веру в свои силы. Какое удовлетворение испытывает ученик, когда его путь решения задачи или доказательство, отличное от помещенного в учебнике, отмечается учителем! Это надо помнить каждому учителю и создавать в классе условия, необходимые для такой творческой работы учащихся.

Обычно при проверке выполнения домашней работы учитель сталкивается с тем, что ученики решили ту или другую задачу разными способами. Отсюда вытекает требование к учителю: из нескольких возможных решений указать то, которое скорее и проще ведет к цели. Особенно ценны так называемые «изящные» решения, т. е. решения более сложных задач исключительно простыми средствами.

Приведем примеры таких «изящных» решений.

1. В V классе до повторения зависимостей между компонентами действий была предложена задача' «Колхоз имел два сада. В одном саду росло 150 яблоневых и 270 вишневых деревьев, а в другом яблоневых деревьев было на 80 больше, а вишневых на 70 меньше, чем в первом. В каком саду было больше плодовых деревьев и на сколько?» Почти все ученики класса, за исключением двух учеников, решили задачу громоздким путем, без учета изменения результата действий в зависимости от изменения компонентов, и только два ученика решили эту задачу в одно действие (80 — 70= 10). Естественно, что разбор этого решения помог учителю в деле привития ученикам поисков простых решений.

2. В X классе для домашней работы была предложена несложная для составления уравнения задача: «Найти четыре последовательных целых числа, произведение которых равно 120». Абсолютное большинство учащихся составило уравнение х(х+\) (лг-f 2) (д: + 3)=120, и только один ученик составил так уравнение:

(je — 1,5) (х — 0,5) (х + 0,5) (X + 1,5) = 120,

т. е. принял за неизвестное среднее арифметическое искомых чисел, что позволило ему получить биквадратное уравнение.

С такого рода простыми решениями задач учитель встречается ежедневно в своей практике; выделение таких решений дает ученикам стимулы к новаторству.

Создание обстановки, благоприятствующей творчеству учащихся в их самостоятельной работе, может выражаться еще и в других формах, например:

1. Предложить учащимся составить задачу или пример по определенному учебному материалу.

2. Представить иное доказательство (отличное от помещенных в учебнике) теоремы.

3. Разобрать какой-либо вопрос, недостаточно отраженный в учебнике, например, об иррациональных числах, о последовательностях, об обратных функциях и т. д., и сделать сообщение в классе или в кружке.

Весьма полезно предложить учащимся V—VI классов составить задачу по рисунку или по диаграмме.

Например, показав им диаграмму о сборе хлопка в СССР (рис. 1), предложить составить задачу, которая решалась бы применением действий сложения, вычитания и деления. Можно предложить составить задачу по данным рисунка о длине каналов и сроках их строительства (рис. 2), поставив условием, чтобы для решения составленной ими задачи потребовалось применение всех арифметических действий (результат округлить с точностью до 0,1).

Учителю необходимо помнить, что от его интереса к самостоятельному творчеству учеников, от его тактичного поведения в оценке самостоятельных суждений ученика зависит многое в формировании советского человека. Надо вовремя одобрить ученика, оценить его труд, с тем чтобы он мог судить, что его усилия были необходимы и замечены учителем.

VI

Одной из постоянных форм коммунистического воспитания учащихся является воспитание их на материале содержания задач. Здесь надо различать две стороны:

1) использование материала социалистического строительства в упражнениях и задачах;

2) объяснения и дополнения учителя к тексту и решениям задач.

Язык цифр весьма убедителен, и необходимо, чтобы учитель математики, так же как и учителя истории и географии, использовал числовые данные социалистического строительства. Каждый учитель может составить несколько задач, взяв материал для них из данных социалистического строительства своего города или района, ставя одной из целей пропаганду достижений передовых людей своего района, города, области.

Много задач, построенных по материалам пятилетнего плана, давалось в статьях Круповецкого, опубликованных журналом «Математика в школе» за 1946 и за 1948 гг.

Но содержание этих задач довольно быстро требует обновления, а потому для фабулы задач в сборниках надо брать те вопросы социалистического строительства, эффективность освещения которых в задачах сохранялась бы достаточно долгое время.

К таким вопросам следует отнести вопросы строительства полезащитных полос, вопросы сопоставления производительности капиталистического и социалистического обществ, вопросы борьбы с вредителями сельского хозяйства и т. д., т. е. брать такие данные, которые сохраняют свою значимость продолжительное время.

Образцом такого рода задач могут служить задачи, приводимые в статье т. Пескова,

Рис. 1

Рис. 2

помещенной в журнале «Математика в школе», № 3 за 1949 г.

Но воспитание на материале задач не может быть сведено только к решению задач, фабулой которых являются вопросы социалистического строительства.

Не меньшее, если не большее значение имеют комментарии учителя к тексту той или другой задачи, разъяснения, замечания, сопоставления с существующим, дополнительные условия и т. д.

Учитель А. И. Волхонский (Можайск, средняя школа № 1) на уроках арифметики исключительное внимание уделяет этой форме воспитания. Приведем несколько примеров,поясняющих его воспитательную работу.

Решив задачу из задачника Березанской № 1315 б (задача о 100-пудовых урожаях пшеницы с 1 га и 1000 пудов свеклы), А. И. Волхонский говорит, что эти урожаи не являются уже рекордом: в настоящее время передовые колхозы дают урожаи до 250 пудов пшеницы с 1 га и по 5000 пудов свеклы.

К задаче № 1315 в (задача о поставках хлеба государству) Волхонский добавляет, что в 1950 г. урожай зерновых в СССР составляет около 127 млн. т, и далее ставит дополнительную задачу: «Если хлеб урожая 1950 г. ссыпать в один амбар в 20 м шириной и в 7 м высотой, то какой длины получился бы этот амбар?» (Удельный вес зерна 1,4.)

Решая задачу № 1663 (задача о пешеходе), А. И. Волхонский объясняет и дополняет ее содержание: «Таких пешеходов, которые месяцами плетутся по бесконечным дорогам, у нас уже не стало. Зато их много в «стране автомобилей»— в Америке; каждое лето от одного до двух миллионов безработных кочует по США в поисках заработка, делая иногда за сезон полторы-две тысячи километров».

Укажем еще два примера уместного дополнения к задачам № 2228 (о течи корабля) и № 283 (о велосипеде).

При решении задачи № 2228 А. И. Волхонский спросил. „А что станет с кораблем, если течь велика и насосы не успевают выкачивать воду? Потонет? — Нет. Этим моряки обязаны нашему советскому ученому — математику Крылову (умер в 1945 г.), давшему простой способ добиться устойчивости корабля и создавшего таблицы непотопляемости“. Далее Волхонский рассказывает об изобретении академика Крылова.

При решении задачи № 283 учащимся было сообщено, что первый велосипед был построен 150 лет назад крепостным Артамоновым, который не только придумал и построил велосипед, но и выполнил приказ помещика, желавшего «удивить» царя, проехал 5000 км пути.

Приведенные примеры использования содержания задач на уроках учителем Волхонским показывают, как содержание тривиальных задач может быть использовано в целях коммунистического воспитания.

Не следует делать вывод, что надо стараться почти каждую задачу комментировать. Изредка, уместно и умело примененное комментирование отдельной задачи дает больше, чем искусственное и ненужное комментирование почти каждой задачи.

VII

Значение учителя как центральной фигуры в школе, как организатора и руководителя педагогического процесса является основным в деле коммунистического воспитания. Учительству принадлежит решающая роль в воспитании, обучении и подготовке десятков миллионов строителей коммунизма, преданных борцов за дело Ленина — Сталина, патриотов нашей великой родины. «Фаланга народных учителей составляет одну из самых необходимых частей великой армии трудящихся нашей страны, строящих новую жизнь на основе социализма». И. В. Сталин, Соч., т. 7, стр. 3.

Партия и правительство прилагали все усилия к тому, чтобы «всемерно обеспечить учителю в его работе необходимые условия для успешного выполнения им ответственных и почетных обязанностей по обучению и воспитанию молодого поколения». (Постановление ЦК ВКП (б) от 25 августа 1932 г. об учебных программах и режиме в начальной и средней школе.)

Чтобы воспитать будущих героев и энтузиастов — строителей коммунистического общества, учитель сам должен быть таким энтузиастом, так как нельзя воспитывать в детях того, чем сам не обладаешь. Учитель советской школы прежде всего сам должен быть вооружен коммунистическим мировоззрением.

Учитель должен вооружить учащихся знанием основ наук, а это возможно только в том случае, если учитель владеет в совершенстве теми науками, которые он преподает. Советской школе нужен специалист, обладающий глубокими знаниями в своей области, всесторонним общим образованием и высокой культурой. Наш учитель не просто передает знание детям, он их воспитывает на основе и в связи с этими знаниями, увязывая теорию с практикой социалистического строительства. Следовательно, чтобы учить и воспитывать, учителю не только надо знать свой предмет, не только хорошо владеть эффективными методами учеб-

ного процесса, но надо быть вооруженным марксистско-ленинской теорией и непрерывно повышать свой идейно-политический уровень.

Имеется еще одна особенность в педагогической профессии. От учителя требуются не только научные знания и опыт, не только коммунистическое мировоззрение,—он должен обладать соответствующим характером.

«Конечно, преподавание соответствующей дисциплины — это основная работа, но помимо всего учителя копируют ученики. Вот почему мировоззрение учителя, его поведение, его жизнь, его подход к каждому явлению так или иначе влияют на всех учеников.. . Можно смело сказать, что если учитель авторитетен, то у некоторых людей на всю жизнь остаются следы влияния этого учителя.

Вот почему и важно, чтобы учитель смотрел за собой, чтобы он чувствовал, что его поведение и его действия находятся под сильнейшим контролем, под каким не находится ни один человек в мире» (М. И. Калинин, О коммунистическом воспитании и обучении, 1948, стр. 157).

Значение личных качеств характера и личности учителя в целом также хорошо подчеркнуто Ушинским. «В воспитании все должно основываться на личности воспитателя, потому что воспитательная сила изливается только из живого источника человеческой личности...

Без личного непосредственного влияния воспитателя на воспитанника истинное воспитание, проникающее в характер, невозможно. Только личность может действовать на развитие и определение личности, только характером можно образовать характер» (К. Д. Ушинский, Избранные педагогические сочинения, т. I, 1930, стр. 125).

Для того чтобы быть мастером педагогического труда, ранее приобретенных знаний и природных дарований недостаточно. Необходимо систематически и серьезно трудиться и работать над собой, приобретая все новые и новые знания, анализировать свой опыт и опыт товарищей. Таковы те качества, какие требуются от учителя советской школы.

Одним из важных условий, способствующих формированию воли учащихся, является личный пример учителя. Учитель должен быть образцом настойчивости, ответственности и исполнительности своей работы. Требовательность учителя не только к ученикам, а в первую очередь к себе является необходимым условием успешной деятельности его в воспитании воли учащихся.

Учащиеся уважают и любят в первую очередь того учителя, который знает и любит свое дело, а знание дела не дается без упорной работы над собой.

О ПОНЯТИИ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В КУРСЕ IX КЛАССА

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

Как известно, в 1949 г. в программу по математике были внесены изменения, согласно которым в курсе IX класса была выделена специальная тема «Последовательности чисел». В эту тему, естественно, вошли основные сведения по теории пределов, значившиеся ранее в программе по геометрии. Указанные изменения потребовали от учителей самостоятельной практической разработки темы о числовых последовательностях. Это оказалось необходимым, так как материал о числовых последовательностях в учебнике алгебры А. П. Киселева не содержится, а основы теории пределов изложены в этом учебнике в ином плане по сравнению с тем, как это предусмотрено программой. В № 4 журнала «Математика в школе» за 1948 г. были помещены две статьи: С. И. Новоселова, Понятие предела в курсе IX класса и В. М. Шепелева, О преподавании пределов в средней школе. В этих статьях не была дана детальная методическая разработка темы о последовательностях, поскольку авторы данных статей ставили своей целью определить лишь основное содержание темы и сформулировать те принципы, которые, по их мнению, должны быть приняты за основу при практической реализации указаний программы.

С момента изменения программы и опубликования указанных двух статей накопился значительный педагогический опыт. Поэтому теперь естественно возникает вопрос о необходимости надлежащей методической детализации темы о числовых последовательностях на основе обмена накопившимся опытом.

В соответствии с многочисленными пожеланиями учителей редакция в настоящем номере

помещает серию статей, посвященных вопросам преподавания в школе теории числовых последовательностей.

Две статьи — Г. М. Карпенко и П. А. Муравьева,— помещенные в отделе «Методика», содержат материал о последовательностях в несколько более подробном изложении по сравнению с программными требованиями. При этом изложение ведется в тех направлениях, в которых требования программы могут быть практически осуществлены на уроках алгебры в IX классе. В указанных двух статьях даны: примерное расположение материала, формулировки определений и теорем, подбор примеров, иллюстрирующих основные понятия и теоремы, геометрические интерпретации. Авторы по-разному освещают различные детали темы, это далеко небесполезно для учителя, так как некоторая трудность теоретического материала обязывает учителя всесторонне продумать тему вплоть до мельчайших подробностей. Учитель должен быть готовым дать ответ на возможные «недоуменные» вопросы со стороны учащихся, а такие вопросы, как показывает опыт, возникают при изучении теории пределов не только у школьников, но и у студентов вузов.

В статье Г. М. Карпенко изложены доказательства ряда теорем о пределах: теоремы о пределе суммы, произведения и частного (этот материал, во избежание излишних повторений, исключен редакцией из статьи П. А. Муравьева). Учитель должен помнить, что, согласно установкам программы, от учащихся требуется отчетливое усвоение основных понятий, и что полное обоснование теории пределов совершенно нереально в рамках школьной программы. В свете этих положений при изучении теории главное заключается не в разучивании формальных доказательств различных теорем, а в уяснении тонного смысла основных понятий. Как известно, программа и не требует изучения доказательств теорем о пределах, однако самому учителю эти доказательства должны быть известны, так как они могут с пользой для дела разбираться на кружковых занятиях, а также возможны вопросы со стороны наиболее сильных учеников. Доказательства теорем о пределах в общем виде содержится в курсах математического анализа, однако, идя навстречу пожеланиям ряда учителей, редакция сочла полезным привести эти доказательства (см. статью Г. М. Карпенко) специально для последовательностей.

Заметим, что при установлении единственности предела достаточно ограничиться (в классе) геометрической иллюстрацией (см. статью Ф. А. Белецкого), не прибегая к аналитическому доказательству при помощи неравенств.

В статьях Г. М. Карпенко и П. А. Муравьева имеется некоторое расхождение, касающееся определения понятия последовательности. В статье Г. М. Карпенко последовательность определяется как функция натурального аргумента (в дальнейшем это определение будем называть первым). П. А. Муравьев возражает против такого определения и предлагает определять последовательность как «множество чисел аъ д2,. . ., аП1. .., элементы которого пронумерованы натуральными числами и расположены в порядке возрастания их номеров» (это определение будем называть вторым определением).

Многие полагают, что определение связанное с понятием расположенного множества, значительно лучше согласуется с наглядным представлением о последовательности как о множестве элементов, выписанных друг за другом в некотором вполне определенном порядке, а потому считают, что в школе следует отдать предпочтение именно второму определению. Однако нетрудно заметить следующую слабую сторону второго определения: когда говорят о расположенном множестве, то подразумевают, что речь идет о множестве различных между собой элементов, заданных в определенном порядке. Таким образом, строго говоря, второе определение исключает те последовательности, в которых на различных местах находятся равные элементы. Так, например, для последовательности

множество элементов состоит из одного числа 1 и разумно спросить: «Каков смысл утверждения, что 1 следует за 1?»

Обратимся к известной книге акад. Н. Н. Лузина, Теория функций действительного переменного (Учпедгиз, 1948). В § 25 (стр. 100) дано такое определение понятия последовательности:

«Упорядоченное множество М, M = \е) называется последовательностью, если оно не имеет самого последнего элемента...»

Под это определение подходят весьма различные упорядоченные множества. Последовательность в смысле данного определения может даже и не быть счетным множеством. В § 26 (стр. 102) автор, обращаясь к «простым счетным» числовым последовательностям, вынужден делать специальные разъяснения, касающиеся случая, когда последовательность имеет «некоторые элементы равными друг другу» (стр. 102). В результате этих разъяснений автор приходит к следующему заключению (стр. 102).

«Таким образом, понятие числовой последовательности собственно совпадает с понятием функции... ». Изложенные соображения достаточно убедительно говорят в пользу первого определения. Опасение, высказанное в статье П. А. Муравьева, что «определение последовательности с помощью понятия функции учащиеся плохо понимают. . . », вряд ли можно считать обоснованным. Если понятие функции хорошо усвоено в предыдущих классах, то едва ли могут встретиться затруднения при рассмотрении (в частности) функции от натурального аргумента. Эти затруднения действительно могут возникнуть, если, следуя предложению П. А. Муравьева, первые определения, относящиеся к понятию функции, отодвинуть в IX класс из VIII. Это предложение расходится с точкой зрения, к которой склоняется большинство современных методистов, о необходимости по возможности более раннего введения понятия функции и установления соответствующей терминологии.

Следует признать вполне своевременной постановку вопроса в статье П. А. Муравьева о необходимости внедрения простейших теоретико-множественных понятий в школьный курс математики. Вопрос о том, как, когда и в какой последовательности следует знакомить учащихся с теоретико-множественными понятиями, должен явиться предметом специального обсуждения — здесь возможны различные точки зрения.

Даже в школьной математике приходится встречаться не только с числовыми последовательностями, но с последовательностями, например, многоугольников, точек, отрезков и т. п. С точки зрения общего понятия о функции, такие последовательности также являются функциями от натурального аргумента, для которых значениями аргумента служат натуральные числа, а значениями функции—элементы некоторого данного множества (точки, отрезки, многоугольники и т. п.). Эти примеры могут служить для иллюстрации общего понятия функции, а также теоретико-множественных понятий.

Отметим одну из распространенных ошибок, которая, как показывают наблюдения, допускается даже некоторыми учителями, а именно: иногда понятие неограниченной последовательности отождествляется с понятием последовательности, для которой lim | ип \ = оо.

Как известно, последовательность [ип) ограничена, если существует такое число М, что \ип\<М при всех значениях п; последовательность неограничена, если числа Ж, обладающего указанным свойством, не существует. Если последовательность неограничена, то это еще не значит, что при достаточно большом п все ее члены по абсолютной величине будут больше, чем произвольно заданное число М. Примером может служить неограниченная последовательность

для которой ни конечный, ни бесконечный предел Нт|яя| не существует.

Как известно, при оперировании с неравенствами (при непосредственном отыскании пределов) часто приходится пользоваться известными соотношениями (см. статью П. А. Муравьева):

Распространено мнение, что необходимость «доказывать» эти соотношения создает дополнительные трудности. Однако непонятно, о каких специальных доказательствах идет речь. Ведь эти соотношения являются прямыми следствиями, вытекающими из определений сложения и умножения положительных и отрицательных чисел. Таким образом, на самом деле достаточно учащимся лишь напомнить материал, пройденный в VI классе.

Программой предлагается прогрессии рассматривать как частные виды последовательностей. Принципиальных затруднений это не вызывает; отметим лишь следующее. В ряде писем, полученных редакцией, указывается на несоответствие, имеющее место между современной научной терминологией и старой терминологией, принятой в учебнике Киселева. Приводим выдержку из письма от группы учителей Ленинграда:

«В нашей учебной литературе установились термины «возрастающая геометрическая прогрессия», «бесконечно убывающая геометрическая прогрессия» и т. д. Определение этих понятий не совпадает с определением возрастающей и убывающей последовательности, а потому возникает ряд противоречий, которые «бросаются в глаза» учащимся.

1) Последовательность

возрастающая, но она же бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

2) Последовательность — 2, — 4, — 8, — 16,... убывающая, но она же возрастающая геометрическая прогрессия (по определению Киселева)» .

Термины, о которых идет речь, являются типичными «школьными» терминами, в науке не применяющимися, поэтому законно поставить вопрос об их исключении из школьного обихода и о приведении школьной терминологии в соответствие с терминологией, принятой в современной литературе по математическому анализу.

Термин «бесконечно убывающая геометрическая прогрессия» появляется обычно в связи с суммированием бесконечного ряда

Как известно, при | q | < 1 данный ряд сходится, а при I q I ^ 1 расходится, поэтому естественно при I q J < 1 называть этот ряд сходящейся, а при I q I >- 1 расходящейся прогрессией. Следует еще заметить, что в учебной литературе по элементарной математике укоренился по меньшей мере странный термин; именно: число YZZ~4 называется «пределом суммы бесконечно убывающей прогрессии». Однако предел последовательности частных сумм ряда называется суммой, а не пределом суммы ряда, поэтому

и в данном случае число — следовало бы называть суммой сходящейся прогрессии.

В разделе «Из опыта» в настоящем номере журнала редакция поместила две статьи о числовых последовательностях, Ф. А. Белецкого и Н. Г. Токарчука. В статье Ф. А. Белецкого дан один из возможных вариантов распределения программного материала по урокам. Изложение опыта практического построения уроков будет полезным в особенности для начинающих учителей. Надо полагать, что нет большой беды в том, что в статье Ф. А. Белецкого в некоторой мере имеет место повторение сказанного в предыдущих статьях, это оправдывается тем, что последняя статья посвящена описанию конкретного содержания уроков и домашних заданий.

Многочисленные чертежи, приводимые в тексте статей, могут служить образцами для изготовления (силами учащихся) больших настенных таблиц.

Теме «Числовые последовательности» рекомендуется посвятить специальные занятия математического кружка, на которых можно рассмотреть, например: суммирование конечных рядов (в частности, суммирование степеней чисел натурального ряда;, арифметические ряды, рекуррентные последовательности, простейшие случаи суммирования бесконечных рядов и т. д.

Наконец, небольшая статья Н. Г. Токарчука содержит описание интересного наглядного пособия для иллюстрации понятия предела последовательности. Школа может изготовить это пособие силами учеников.

Приложения теории пределов к геометрии достаточно подробно с методической точки зрения рассмотрены в статье А. Столяра в журнале «Математика в школе», 1949, № 4.

ИЗУЧЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Г. М. КАРПЕНКО (Москва)

Настоящая статья преследует цель — дать учителю математики средней школы примерную разработку изучения темы о последовательностях в том плане, как она должна излагаться в школе.

Последовательности должны рассматриваться как функции от натурального аргумента. Для этого необходимо повторить те основные сведения о функциях, которые учащиеся получили в VIII классе.

Имеется в виду, что определение функции дано учащимся VIII класса примерно в следующей формулировке:

у есть функция, от аргумента х, если каждому допустимому численному значению аргумента х соответствует некоторое вполне определенное численное значение у.

Заданное множество значений х называется множеством допустимых значений аргумента или областью определения функции, а множество соответствующих значений у называется множеством значений функции.

Для того чтобы задать функцию, надо задать множество допустимых значений аргумента и закон соответствия, в силу которого по каждому заданному значению аргумента определяется единственное значение функции.

Учащиеся должны хорошо представлять себе, что в основу определения функции положены понятия множества и соответствия, которые являются первичными, т. е. понятиями, не определяемыми при помощи других более простых понятий.

Понятие последовательности. Учащиеся, начиная с V класса, встречались с некоторыми числовыми последовательностями. К таким последовательностям можно отнести следующие:

1. Последовательность натуральных чисел:

2. Последовательность четных чисел:

3. Последовательность нечетных чисел:

4. Последовательность простых чисел:

5. Последовательность чисел, обратных числам натурального ряда:

6. Последовательность квадратов чисел натурального ряда:

7. Последовательность кубов чисел натурального ряда:

8. Последовательность чисел, обратных квадратам чисел натурального ряда:

9. Последовательность дробей, знаменатель которых на 1 больше числителя:

10. Последовательность дробей, числитель которых на 1 больше знаменателя:

Каждая из приведенных бесконечных числовых последовательностей представляет собою бесконечное множество чисел, которые расположены одно за другим так, что их возможно перенумеровать. При этом каждое из чисел любой из приведенных последовательностей получает свой порядковый номер в зависимости от того, на каком месте от начала находится рассматриваемое число последовательности. Таким образом, последовательности обладают одним общим для них свойством: каждый член последовательности имеет свой порядковый номер. Например, в последовательности нечетных чисел число 7 находится на четвертом месте, оно имеет номер 4. В последовательности простых чисел четвертый номер будет иметь число 5. Таким образом, каждому натуральному числу (номеру) будет соответствовать определенное число (член) данной последовательности.

В качестве примера рассмотрим последовательность четных чисел; установим соответствие между четными числами и числами натурального ряда, поставив в соответствие натуральному числу п четное число 2 я (черт. 1).

Черт. 1

В нашем примере числа натурального ряда являются значениями аргумента, а четные числа — значениями функции, последовательность четных чисел можно рассматривать как функцию от натурального аргумента.

Определение. Последовательностью называется функция от натуральнее аргумента. Значит, каждому натуральному числу соответствует единственное вполне определенное значение функции.

Каждое число, входящее в последовательность, называют членом последовательности, т. е. члены последовательности являются значениями функции.

При наличии в классе таблицы приведенных выше 10 последовательностей, учитель легко и быстро может произвести упражнения с учащимися на указание того или иного члена каждой из приведенных в таблице последовательностей. Такие упражнения подведут учащихся к осмысливанию того, что они имеют дело с функциями от натурального аргумента.

Для записи членов последовательности в общем виде введем какую-либо букву, например у:

(1)

отмечая значками внизу (индексы) порядковые номера членов. Иными словами, индекс означает то натуральное число, которому соответствует данный член последовательности.

Значение уп, соответствующее произвольному натуральному числу я, называется общим членом последовательности.

При записи последовательности обычно выписывают несколько ее первых членов и общий член, как это указано в записи последовательности в общем виде (1).

Например:

1. Последовательность натуральных чисел:

2. Последовательность четных чисел:

3. Последовательность нечетных чисел:

4. Последовательность чисел, обратных числам натурального ряда:

5. Последовательность квадратов чисел натурального ряда:

6. Последовательность чисел, обратных квадратам чисел натурального ряда:

Если известна формула для общего члена последовательности, то можно вычислить любой данный ее член, если задан его номер. Например, пользуясь формулой общего члена последовательности четных чисел

найдем её 101-й член:

j/101 = 2.101 =202;

пользуясь формулой общего члена последовательности дробей, знаменатель которых на 1 больше числителя:

найдем ее 1245-й член:

Но не всегда общий член последовательности задается при помощи формулы. Например для последовательности простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... формула для общего члена неизвестна, но всякий заданный ее член может быть вычислен посредством ряда определенных операций, выполняемых в некотором установленном порядке (например, «решето Эратосфена»).

Иногда последовательность обозначают одним общим ее членом, заключая его в фигурные скобки:

Так, для последовательности нечетных чисел вместо

пишут кратко:

Для последовательности чисел, обратных квадратам чисел натурального ряда, вместо

пишут:

Учащиеся должны уметь по заданной формуле общего члена последовательности написать несколько первых ее членов.

Кроме упражнений указанного характера в классе, учащиеся должны по заданию учителя выполнять соответствующие самостоятельные домашние работы.

Примерами таких упражнений могут служить следующие.

Дана формула общего члена:

Написать шесть первых членов последовательности.

Давая аргументу п значения л = 1, 2, 3, 4, 5, 6, получим:

В следующих примерах выписать пять первых членов последовательности.

1. Дано: уп=2п. Ответ: 3, 6, 9, 12, 15,. ..

2. Дано: у=2л—1. Ответ: 1, 3, 5,7, 9,...

3. Дано

4. Дано:

5. Дано:

6. Дано:

7. Дано:

Необходимо также производить упражнения на составление формул для общего члена последовательности по заданным первым ее членам. Но надо иметь в виду, что, имея несколько первых членов последовательности, можно продолжить их всевозможными способами. Но среди этих всевозможных способов нередко можно обнаружить наиболее «есте-

ственный» способ, которым и следует воспользоваться. Поясним это на примере.

Пусть даны следующие первые 5 членов последовательности:

1, 4, 7, 10, 13,...

Зная эти члены последовательности, мы можем увеличить их число каким угодно способом. Например, положить их равными 1. Тогда получится такая последовательность:

1, 4, 7, 10, 13, 1, 1, 1,...

В полученной последовательности «потеряна» та закономерность, которая намечалась первыми пятью ее членами. Эта закономерность заключается в том, что каждый последующий член последовательности на 3 больше своего предыдущего. Пользуясь этой закономерностью, можно найти формулу, при помощи которой последовательность может быть продолжена наиболее «естественным» способом из всех возможных способов. Тогда формулой для общего члена будет:

При /1=1, 2, 3, 4, 5 мы получим первые пять членов последовательности, которые были заданы для составления формулы общего ее члена.

Приведем примеры для составления общих членов последовательностей по заданным нескольким их первым членам.

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Желательно иметь в классе таблицы последовательностей заданных:

1) только общим членом,

2) только первыми их членами.

Числовые последовательности можно изображать графически, путем построения на числовой оси ОХ точек, соответствующих членам последовательности. В качестве примера построим на оси ОХ изображение последовательности нечетных чисел:

(2)

За единицу масштаба примем 1 а и на координатной оси (черт. 2) построим точки, соответствующие членам последовательности (2).

В данном случае из чертежа видно, что с увеличением номера п точки, изображающие члены последовательности, все дальше и дальше «уходят» вправо от начала координат и могут отстоять как угодно далеко от этого начала, т. е. расстояние между началом координат и точками, соответствующими членам последовательности, неограниченно возрастает по мере увеличения номера п. Каждый последующий член последовательности больше предыдущего ее члена и величина членов последовательности неограниченно возрастает по мере увеличения номера п.

Изобразим геометрически последовательность дробей, для каждой из которых знаменатель на единицу больше числителя:

(3)

За единицу масштаба примем 12 см и на координатной оси ОХ (черт. 3) отложим точки, соответствующие членам последовательности (3).

В последовательности (3), как и в последовательности (2), каждый последующий член больше предыдущего.

Определение. Последовательность

у которой каждый последующий член больше предыдущего, называется возрастающей. Для возрастающей последовательности большему номеру соответствует больший член последовательности :

т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Черт. 2

Черт. 3

Далее рассмотрим последовательность четных отрицательных чисел:

(4)

и на оси координат ОХ построим точки, соответствующие членам этой последовательности (черт. 4).

Черт. 4

Из чертежа видно, что точки расположены слева от начала координат и по мере увеличения номера п могут отстоять как угодно далеко влево от этого начала, т. е. расстояние между началом координат и точками, соответствующими членам последовательно, неограниченно возрастает по мере увеличения номера п.

Для данной последовательности каждый последующий член меньше своего предыдущего.

Построим на числовой оси ОХ точки, изображающие последовательность чисел, обратных числам натурального ряда (черт. 5):

(5)

В последовательности (5) так же, как и в последовательности (4), каждый последующий член меньше предыдущего.

Определение. Последовательность

у которой каждый последующий член меньше предыдущего, называется убывающей.

Для убывающих последовательностей по мере увеличения номера п соответствующие ему значения членов последовательности уменьшаются :

т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Существуют последовательности, которые не являются ни возрастающими, ни убывающими.

Определение. Последовательность, которая не является ни возрастающей, ни убывающей, называется колеблющейся.

Примерами колеблющихся последовательностей могут служить следующие:

Определение. Последовательность, все члены которой имеют одно и то же значение, называется постоянной.

Таковы например, последовательности:

Существует другой способ геометрического изображения числовых последовательностей, который заключается в том, что ее члены изображают точками на плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Натуральный ряд чисел геометрически изображается на плоскости в виде точек, расположенных на биссектрисе координатного угла (черт. 6).

Последовательность чисел, обратных числам натурального ряда, геометрически изображается точками, которые по мере возрастания аргумента асимптотически приближаются к оси абсцисс (черт. 7).

Эти точки расположены на гиперболе

Для последовательности чисел:

по мере возрастания абсциссы ордината также возрастает, причем концы ординат неограниченно приближаются к прямой у = 1 (черт. 8).

Второй способ геометрического изображения последовательностей наиболее удобен для таких последовательностей, геометрическое изо-

Черт. 5

Черт. 6

бражение которых первым способом не достигает цели. Например, рассмотрим колеблющуюся последовательность чисел:

При геометрическом изображении этой последовательности на координатной оси получим только две точки: —1 и 1, так как точки, соответствующие последующим за первыми двумя членами, будут совпадать с этими двумя точками, что не дает никакой наглядности. Второй же способ (черт. 9) дает более наглядное геометрическое изображение рассматриваемой последовательности.

Всякая постоянная последовательность на координатной оси будет изображаться только одной точкой. На плоскости она изобразится точками, расположенными на прямой, параллельной оси абсцисс. Например, последовательность:

-1. -1, -1,..., -и---

изобразится точками на прямой у = — \у параллельной оси абсцисс (черт. 10).

Рассмотрим возрастающую последовательность:

Ее члены положительны и не превышают 1 :

Все члены убывающей последовательности:

также положительны и не превышают 1:

Члены колеблющейся последовательности:

по абсолютной величине не превосходят числа 2.

Приведенные последовательности обладают следующим общим свойством: можно указать такое положительное число Л, что любой член последовательности по абсолютной величине не больше этого числа А. Такие последовательности называются ограниченными.

Определение. Последовательность

называется ограниченной, если существует такое положительное число А, чту любой член этой последовательности по абсолютной величине не больше этого числа А:

Примерами ограниченных последовательностей являются следующие:

Черт. 7

Черт. 8

Черт. 9

Черт. 10

Как показывают рассмотренные примеры, ограниченными последовательностями могут быть как возрастающие, так и убывающие, а также колеблющиеся последовательности. Всякая постоянная последовательность ограничена.

Если последовательность ограничена:

то она изображается на координатной оси точками, расположенными на отрезке с концами в точках — Л и Л, а на плоскости—вершинами ломаной линии, лежащей между прямыми у = +А и у = —Л.

Для возрастающей последовательности {я3} нельзя найти такое число Л, чтобы любой член этой последовательности был меньше Л. Действительно, среди членов последовательности {rû} всегда найдется такой член, который будет больше, например, Л = 39894.

Найдем такой номер я, при котором будет п2 > 39894. Для этого вычислим несколько членов последовательности:

Таким образом, уже двухсотый член последовательности превосходит заданное число Л.

Такая последовательность не является ограниченной. Рассмотренная ранее убывающая последовательность {—п) также не является ограниченной, так как среди ее членов найдутся такие, абсолютная величина которых будет больше любого заданного положительного числа Л.

Колеблющаяся последовательность

не является ограниченной, так как среди ее членов найдутся такие, которые по абсолютной величине будут больше любого заданного положительного числа Л.

Определение. Последовательность

называется неограниченной, если для любого заданного положительного числа А существуют члены последовательности по абсолютной величине больше чем Л.

Примеры неограниченных последовательностей:

Учащиеся должны уметь различать понятия: «неограниченная последовательность» и «бесконечная последовательность».

Прогрессии естественно рассматривать как частный вид последовательностей. В таком случае соответствующие определения несколько отличаются от определений, данных в учебнике алгебры Киселева.

/. Арифметической прогрессией называется последовательность, любой член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же (для данной последовательности) числом.

2. Геометрически й прогрессией называется последовательность, любой член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же (для данной последовательности) число.

Формулы общего члена и формулы суммы п членов как арифметической, так и геометрической прогрессий можно вывести методом математической индукции.

Приведем вывод формулы любого члена геометрической прогрессии методом математической индукции.

Пусть дана геометрическая прогрессия

со знаменателем прогрессии q.

Докажем, что любой член геометрической прогрессии равен произведению первого члена на знаменатель прогрессии, взятый в степени, показатель которой равен числу членов, предшествующих определяемому:

Доказательство. Согласно определению геометрической прогрессии имеем:

Как второй, так и третий члены геометрической прогрессии равны первому ее члену, умноженному на знаменатель прогрессии, взятый в степени, показатель которой равен числу членов, предшествующих определяемому.

Допустим, что полученная формула будет верна для т-го члена, геометрической прогрессии:

и докажем, что она верна и для (/я+1) го ее члена. Действительно :

Таким образом, формула любого члена геометрической прогрессии сохраняется при переходе от /я-го к (m+l)-му члену прогрессии, где m есть любое натуральное число.

Теперь мы можем утверждать, что если формула верна для третьего члена прогрессии, как это было установлено выше, то она остается верной и для четвертого ее члена. Если же она верна для четвертого члена прогрессии, то она остается верной и для пятого ее члена. Это и дает нам право утверждать, что формула

верна при любом я, что и требовалось доказать.

Предел последовательности. Наиболее трудным и ответственным разделом в изучении функций в средней школе является понятие предела функции. В IX классе средней школы надо изучить понятие предела последовательности и на основе этого понятия дать учащимся представление о длине окружности, площади круга, сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии и т. д.

Изучение же предела функций (в общем виде) не следует вводить в среднюю школу в силу того, что возрастные особенности учащихся не позволяют это сделать. Да и программой средней школы это не предусмотрено.

К определению понятия предела последовательности можно перейти после того, как учащиеся усвоят понятия возрастающей, убывающей, колеблющейся, постоянной, ограниченной и неограниченной последовательностей. К формулировке предела последовательности надо подвести учащихся на примерах, широко используя геометрическую интерпретацию.

Рассмотрим пример. Пусть дана последовательность:

На координатной оси ОХ отложим точки, соответствующие членам нашей последовательности (черт. 11).

Из чертежа 11 видно, что по мере увеличения номера п соответствующие точки «неограниченно приближаются» к точке с координатой, равной 1, что наша последовательность возрастающая и ограниченная, так как каждый ее последующий член больше предыдущего и все они (члены) расположены на отрезке от 0 до 1.

Расстояние между точками, изображающими члены последовательности, и точкой 1 может быть сделано как угодно малым при достаточно большом п и точки «сгущаются» по мере их приближения к точке с координатой, равной 1.

Нужно довести до сознания учащихся, что как бы мал ни был интервал, заключающий точку с координатой 1, он содержит в себе бесконечное множество точек, нашей последовательности, а вне этого интервала находится только конечное множество точек.

Вычислим абсолютную величину разности

между я-м членом последовательности и 1:

Рассматривая полученный результат, мы видим, что по мере увеличения номера п абсолютная величина разности между я-м членом и 1 уменьшается. Это же самое мы установили, рассматривая чертеж 11.

Возьмем на чертеже 11 точку, достаточно близкую к точке 1, и расстояние между этой точкой и точкой 1 обозначим буквой е (эпсилон). Оказывается, каким бы малым ни было задано положительное число е, разность между членами последовательности |-~р| | и 1 по абсолютной величине будет меньше числа £ при всех достаточно больших значениях номера п.

Действительно, пусть е = Покажем, что при всех достаточно больших значениях номера п абсолютная величина разности между членами последовательности и 1 будет меньше

Из двух неравных дробей, имеющих одинаковые числители, у меньшей дроби знаменатель больше, т. е.

Черт. 11

Это значит, что для всех членов последовательности, начиная с 100-го, абсолютная величина разности между ними и 1 меньше J_ 100я

Таким образом, расстояние между точкой, соответствующей, например, сотому члену, и точкой, соответствующей 1, меньше т.е.

меньше наперед заданного положительного числа е.

Пусть далее е= тщр Покажем, что при всех достаточно больших значениях номера я абсолютная величина разности между членами последовательности и 1 будет меньше -що,

т. е.

Откуда находим:

Это значит, что, начиная с 1000-го члена последовательности, абсолютная величина разности между членами последовательности и 1 меньше -ддд , т. е- расстояние между точками, соответствующими этим членам, и точкой, соответствующей 1, меньше £—“т^щ-.

Рассуждая таким образом, мы можем брать число е все меньше и меньше, и всегда, каким бы малым ни было задано положительное число е, абсолютная величина разности между 1 и членами последовательности будет меньше этого числа е при всех достаточно больших значениях номера я.

В таком случае говорят, что число 1 является пределом последовательности j^pyj.

Рассмотрим второй пример. Пусть дана числовая последовательность

Изобразим ее графически на координатной оси ОХ (черт. 12).

Из чертежа 12 видно, что эта последовательность — убывающая, так как каждый последующий ее член меньше предыдущего.

Последовательность также ограниченная, так как любой ее член больше нуля и меньше единиды.

Черт. 12

Расстояние между точками уменьшается по мере возрастания номера я, и точки «сгущаются» по мере их приближения к началу координат.

Сделаем предположение, что число 0 является пределом для нашей последовательности, и установим, чему будет равна абсолютная величина разности между я-м членом последовательности и нулем:

Зададим число е:

и покажем, что для всех достаточно больших значений номера я абсолютная величина разности между членами последовательности и нулем будет меньше

Из полученного неравенства имеем:

Путем подбора найдем такое я чтобы было

Итак, при я = 10 наше условие выполняется, т. е. абсолютная величина разности между величиной десятого члена последовательности

и нулем меньше е = -щ^. Ясно, что для членов последовательности с номером, большим 10, разность и подавно будет меньше

Взяв число г еще меньшим, можно показать, что —г будет меньше е при всех достаточно больших значениях номера я. После рассмотрения ряда подобных примеров можно дать определение предела в следующей формулировке: Число А называется пределом последовательности

если, каким бы малым ни было задано положительное число г, абсолютная величина разности между членами последовательности

и числом А будет меньше е при всех достаточно больших значених п:

(6)

Утверждение, что неравенство (6) выполняется при всех достаточно больших значениях п, означает, что для всякого заданного как угодно малого числа £ > 0 можно указать такое число N, что неравенство будет выполняться для всех членов последовательности, номер которых больше Ni

n>N,

Кратко основное определение нередко формулируют так:

Число А есть предел последовательности {уп}, если значения членов последовательности, начиная с некоторого номера п, отличаются cm А как угодно мало.

Неравенство

учащиеся должны уметь записывать в развернутом виде:

и понимать его геометрический смысл, чего можно добиться, рассматривая примеры геометрического изображения последовательностей, имеющих предел. Пусть, например, дана последовательность:

Из чертежа 13 видно, что точки, соответствующие членам нашей последовательности, располагаются то слева, то справа от точки О и с увеличением номера п «сгущаются» к точке О, которая является пределом нашей последовательности.

Отрезок длины 2 е с центром в точке А = 0 содержит в себе «почти все» точки последовательности {--— |. Вне этого отрезка может остаться только лишь конечное число точек.

Возвращаясь к нашим примерам (черт. 3 и 5), мы можем наблюдать ту же картину «сгущения» точек к пределу или слева, или справа так, что «почти все» они будут заключены в отрезке 2 г при любом как угодно малом заданном числе е>0.

Чтобы указать на то, что число А является пределом последовательности {уп), пишут:

(7)

Часто вместо записи (7) пишут:

и говорят, что уп стремится к Л, или что последовательность {уп) сходится к Л. Ранее рассмотренные нами последовательности

имеют следующие пределы:

В качестве иллюстрации важности понятия предела в решении технических задач можно привести следующий пример на вычисление предела. При построении плотины инженеры заранее должны знать, какое будет давление воды на эту плотину. В противном случае сильный напор воды может ее разрушить. Если давление воды на горизонтальную площадку вычислить сравнительно легко, то о давлении на вертикальную площадку этого сказать нельзя, так как в разных точках площадки давление различно (черт. 14).

Вычислим давление воды на стенку аквариума, длина которой а = 50 см, а высота А = 20 см.

Разделим боковую сторону пополам. Так как давление на вертикальную стенку мы вычислять не умеем, то половинки нашей стенки приведем в горизонтальное положение и вычислим на них давление (черт. 15)

Итак, при условии, что половинки горизонтальны, давление воды на них будет равно 15 000 граммам.

Для более точного подсчета давления воды на стенку разделим ее на 3 части и, приведя

Черт. 13

Черт. 14

их в горизонтальное положение (черт. 16), вычислим на них давление воды.

(черт. 16).

Таким же образом можно вычислить D3f D4 н т. д.

Составим формулу для общего члена последовательности {Dn} (высота делится на п частей)

Итак,

Вычислим, например, D19:

Вычисления показывают, что с увеличением я давление на стенку уменьшается. Но высоту h мы можем делить на какое угодно число частей и чем больше частей, тем меньше будут эти части.

Мы получили убывающую и ограниченную последовательность:

которая имеет предел

В нашем примере А = 10 000.

Число А и рассматривается как давление воды на вертикальную стенку.

Теоремы о пределах

1. Теорема о единственности предела. Всякая последовательность нг может иметь двух различных пределов.

Для доказательства предположим, что последовательность

имеет два предела:

пред уп = А и пред уп = В.

Пусть для определенности В>Ау положим

Тогда при достаточно большом п будут выполняться следующие два неравенства:

Составим разность пределов А и В:

Таким образом, мы получили, что

т. е. пришли к противоречию. Это и доказывает, что не может существовать двух пределов для одной и той же последовательности.

Из доказанной теоремы вытекает, что всякая последовательность или имеет только один предел, или вовсе его не имеет.

2. Теорема о существовании предела возрастающей или убывающей ограниченной последовательности.

Всякая возрастающая или убывающая ограниченная последовательность имеет предел.

Теорема доказана в учебнике геометрии Киселева А. П., часть 1, § 230. Доказательство этой теоремы для учащихся программой не предусмотрено. В силу важности ее значения необходимо смысл теоремы довести до сознания учащихся на примерах возрастающих и убывающих ограниченных последовательностей.

Не всякая последовательность имеет предел. В первую очередь учащиеся должны усвоить, что неограниченные последовательности преде-

Черт. 15.

ла не имеют. К таким последовательностям можно отнести последовательности четных чисел, нечетных чисел, простых чисел и т. д.

Нужно довести до сознания учащихся, что не всякая ограниченная последовательность имеет предел. Это легко можно показать учащимся на примерах, подобных следующему.

Пусть дана последовательность

1, о, 1, о, 1,...,

у которой общий член уп равен или 1, или 0, в зависимости от нечетности или четности аргумента п. Несмотря на то, что эта последовательность ограничена, она предела не имеет. В самом деле, предположим, что эта последовательность имеет предел Л, и докажем, что наше предположение неверно, откуда и будет следовать, что последовательность предела не имеет.

По нашему предположению, должно иметь место неравенство:

(6')

при достаточно больших значениях п. Пусть £ = 0,1. Тогда из (6') имеем:

В частности, для всякого достаточно большого четного числа п:

а для всякого нечетного числа п:

Но если

Итак, в одном случае:

а в другом случае:

Из этого противоречия и следует, что данная последовательность не имеет предела.

Доказательство теорем о пределах суммы, произведения и частного программой не предусмотрено. Учитель сам должен сделать выбор, следует ли ему доказывать в классе хотя бы одну из теорем о действиях над пределами или нет. Во всяком случае учитель сам должен уметь их доказывать и предлагать доказательство на математическом кружке.

Теорема 1. Предел суммы двух последовательностей равен сумме их пределов.

Пусть дано:

1) последовательность

и ее предел:

пред ап = А и 2) последовательность

и ее предел:

Сложив соответствующие члены данных последовательностей, составим последовательность-сумму:

Докажем, что

пред (ап -f bn) = пред ап -f пред Ьп. Доказательство.

Составим разность между суммой я-ных членов последовательности { ап + bn } и суммой их пределов А+В:

и докажем, что при достаточно большом п абсолютная величина этой разности будет меньше всякого заданного положительного числа е, т. е.

Так как по условию теоремы:

пред ап — А и пред Ьп = Bf то при достаточно большом п будем иметь:

(6“)

Выберем п настолько большим, чтобы одновременно выполнялись оба неравенства (6“).

Далее, на основании того, что абсолютная величина суммы меньше или равна сумме абсолютных величин, имеем:

Но в силу выбора числа п имеем:

Следовательно:

А это означает, что

пред (ап -f bn) = А+В = пред ап -f пред bnt что и требовалось доказать*.

* Теорема верна для любого числа слагаемых.

При вычислении предела суммы последовательностей достаточно вычислить предел каждой из этих последовательностей и найденные пределы сложить.

Теорема о пределе разности двух последовательностей доказывается также.

Для доказательства теорем о пределе произведения и частного сначала докажем следующую лемму: всякая последовательность, имеющая предел, ограничена.

Это значит, что если последовательность \Уп\ имеет предел, то существует такое положительное число /И, что при всех п абсолютная величина членов последовательности меньше М:

Доказательство. Пусть пред уп = А; для определенности положим е = j-^ . Тогда :

при всех достаточно больших п.

Пользуясь этим неравенством, находим:

для всех достаточно больших п.

Рассмотрим, далее, числа уп для остальных п и число [Л!-}--^; абсолютную величину наибольшего из этих чисел обозначим через М. Тогда для каждого п (п = 1, 2, 3,. . . ) будет выполняться неравенство:

что и требовалось доказать.

Теорема 2. Предел произведения двух последовательностей равен произведению их пределов.

Даны две последовательности:

Каждая из них имеет предел:

пред ап = Л, пред Ьп = В.

Взяв произведения соответствующих членов данных последовательностей, составим последовательность произведение:

и докажем, что

Доказательство. Так как последовательность {ап} имеет предел, то на основании леммы существует такое положительное число Ж, что

где N — любое число, большее, чем M и \В\.

При достаточно больших значениях п будем иметь:

Тогда

А это значит, что

пред (ая*л)==пред ая-пред Ьп, что и требовалось доказать.

Следствие. Числовой множитель можно выносить за знак предела, т. е.

пред (суп) = с-прел уп.

Теорема 3. Предел частного двух последовательностей равен частному от пределов этих последовательностей, если предел знаменателя не равен нулю.

Пусть даны две последовательности:

причем Ьп отлично от нуля при любом п и каждая из данных последовательностей имеет предел:

пред ап = А и пред Ьп = В.

По предположению, пред Ъп отличен от нуля.

Надо доказать, что предел последовательности

равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, т. е. что

Доказательство:

Отсюда :

(8)

Произведем оценку первого слагаемого правой части неравенства (8). Так как последовательность { ап } имеет предел, то на основании леммы существует такое положительное число М, что

(9)

Далее, так как пред Ьп = В, то можно подобрать такое число е0“>0, что

при достаточно большом п. Но

Следовательно, и подавно

при достаточно большом л. Пусть

тогда :

и следовательно:

(10)

Далее, так как предел последовательности { Ьп } существует, то можно подобрать такое число г' > 0, что

Пусть

где В есть предел последовательности { Ьп } , а M—выбранное нами ранее такое число, что \ап\<М. Тогда:

(11)

Таким образом, принимая во внимание оценки (9), (10) и (11) для первого слагаемого правой части неравенства (8), имеем:

(12)

Далее произведем оценку второго слагаемого правой части неравенства (8). Так как предел последовательности { ап } существует и равен Ач то можно подобрать такое положительное число е“, что будет иметь место неравенство:

Пусть

Тогда :

и

(13)

Подставляя (12) и (13) в (8), получим:

для всех п, что и требовалось доказать.

Пусть дана бесконечно-убывающая геометрическая прогрессия:

Докажем, что предел л-й суммы равен

Для доказательства сложим п первых членов прогрессии :

Тогда:

Предел же второго выражения ^ZT равен

нулю, так как при л->оо числитель дроби aqn-+0. И, следовательно, дробь стремится к нулю. Итак,

что и требовалось доказать.

Теория обращения десятичной периодической дроби в обыкновенную в доступной форме изложена в учебнике арифметики А. П. Киселева, изд. 1948 г., отдел 5, 185 —194.

Доказанные в этом учебнике теоремы о пределах десятичных периодических дробей на частных примерах легко доказать в общем виде. В качестве примера такое доказательство приведено в разделе писем и заметок читателей журнала «Математика в школе», № 6, 1950.

ПОНЯТИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ЕЕ ПРЕДЕЛА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

П. А. МУРАВЬЕВ (Иваново)

I. Понятие множества и последовательности в IX классе средней школы

1. Всем известно, какое фундаментальное значение имеет понятие множества в современной математике. С этим понятием постоянно приходится встречаться и в средней школе в разных отделах элементарной математики, но своим настоящим именем оно обычно там не называется. Некоторые учителя старательно избегают употребления даже термина «множество» вместо того, чтобы разъяснить смысл понятия множества на конкретных примерах и в дальнейшем пользоваться им на равных правах с другими основными понятиями математики.

Нам кажется, что это происходит по двум основным причинам:

1. В программе по математике и в учебниках для средней школы термин «множество» не употребляется.

2. Методика введения этого понятия в среднюю школу все еще не разработана.

Конкретные примеры различных множеств можно приводить учащимся, начиная с V класса, не боясь термина «множество». Понятие множества должно предшествовать понятию функции, которое подробно изучается в VIII классе. Однако нам кажется наиболее целесообразным первые определения, относящиеся к этому понятию, дать в начале 9-то года обучения по следующим соображениям:

1. Возрастные особенности учащихся IX класса в большей мере соответствуют усвоению такого абстрактного понятия, как «множество».

2. В программе IX класса это понятие становится особенно необходимым в таких разделах, как, например, «Последовательность чисел», «Понятие предела» «Показательная и логарифмическая функции», «Тригонометрические функции» и т. д.

Мы предлагаем в тему «Последовательность чисел» ввести специальный раздел под заголовком «Понятие множества», рассчитанный на 2 часа, и изучение данной темы начать с этого раздела.

Как известно, понятие множества принадлежит к числу первоначальных понятий и не определяется при помощи более простых понятий.

Поэтому следует обратиться к примерам, разъясняющим смысл понятия «множество».

1. Множество всех учащихся в классе.

2. Множество всех учащихся в данной школе.

3. Множество всех букв на данной странице указанной книги.

Предметы, из которых состоит данное множество, называются элементами этого множества.

В примерах (1) и (2) элементами множества являются учащиеся; в примере (3) элементами множества являются буквы. Символ М=[е\ означает математическую запись следующей фразы: множество M состоит из элементов е.

Элементы множества обладают некоторым определенным характеристическим свойством, которое и объединяет все эти элементы именно в данное множество.

В примере (1) характеристическим свойством элементов является принадлежность ученика к данному классу; в примере (2) характеристическим свойством элементов является его принадлежность к учащимся данной школы; в примере (3) таким свойством является принадлежность букв данной странице книги.

Очевидно, элементы каждого множества в примерах (1), (2) и (3) легко пересчитать и сказать, сколько элементов содержится в данном множестве. Такие множества называются конечными. Понятие конечного множества можно разъяснить следующим образом:

Множество M является конечным, если все его элементы можно пронумеровать числами натурального ряда 1, 2, 3... и среди них обязательно найдется элемент с последним номером.

Конечные множества иногда еще записываются в следующем виде:

М=(еи <?а, е3,..., еп)

(см.: Н. Н. Лузин, Теория функций действительного переменного, Учпедгиз, 1948). Приведем еще примеры конечных множеств.

4. Множество всех людей на земле в данный момент времени.

5. Множество всех молекул, из которых состоит данная чернильница.

6. Множество корней данного алгебраического уравнения.

Примерами множеств, не являющихся конечными, могут служить:

7. Натуральный ряд чисел:

1, 2, 3, 4, 5,..., л,...

8. Множество всех четных положительных чисел:

2, 4, 6, 8,..., 2 л,...

9. Множество всех нечетных положительных чисел:

1, 3, 5,..., 2/1-1,...

В примерах (7), (8), (9) нельзя ответить на вопрос о том, сколько элементов в каждом из этих множеств, так как при попытке нумерации элементов не окажется элемента, имеющего последний номер.

Всякое не пустое, не конечное множество называется бесконечным. Говорят также, что оно состоит из бесконечного числа элементов.

В примерах (7), (8) и (9) мы имеем бесконечные множества.

Замечание. Множество может быть пустым, т. е. оно не будет содержать ни одного элемента. Например, множество всех действительных корней уравнения х2+\=0.

Можно ли пересчитать элементы множеств в примерах (7), (8) и (9)?

Разъясним, что мы будем понимать под термином «пересчитать» или «сосчитать».

Если элементы данного множества можно пронумеровать числами натурального ряда, т. е. каждому элементу можно поставить в соответствие определенное натуральное число, причем номера различных элементов будут различными, то мы будем говорить, что элементы дачного множества можно пересчитать.

В примере (7) каждый элемент уже имеет свой номер, значит, его элементы можно пересчитать.

В примере (8) каждый элемент можно разделить на 2 и частное от деления на 2 рассматривать как его номер.

Значит, здесь тоже элементы могут быть пересчитаны.

В примере (9) над каждым числом ап = 2 п—1 надписываем его номер, равный п. Следовательно, и здесь элементы множества можно пересчитать.

Такие бесконечные множества, элементы которых можно пересчитать, называют счетными.

Необходимо остановиться на одном важном математическом понятии, а именно: понятии взаимно однозначного соответствия.

Приведем примеры.

Множество всех учащихся, выдержавших экзамены на аттестат зрелости, и множество всех выданных им аттестатов находятся во взаимно однозначном соответствии.

Множество всех точек на числовой прямой и множество всех действительных чисел находятся во взаимно одназначном соответствии.

Множество всех учащихся данного класса и множество всех парт в этом классе не находятся во взаимно однозначном соответствии. На самом деле, каждому учащемуся соответствует определенная парта, однако за каждой партой сидит не один ученик.

Говорят, что между элементами двух множеств существует взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу первого множества поставлен в соответствие один определенный элемент второго множества и, наоборот, каждому элементу второго множества поставлен в соответствие один определенный элемент первого множества, так что элементы данных множеств могут быть объединены в пары взаимно соответственных элементов.

Определение. Множество называется счетным, если между его элементами и числами натурального ряда можно установить взаимно однозначное соответствие.

Множества (7), (8) и (9) являются счетными. Необходимо подчеркнуть, что всякое конечное множество не может быть счетным, так как каждому элементу этого множества можно поставить в соответствие натуральное число (номер), но взаимно однозначного соответствия не будет.

В примерах (7), (8) и (9), как мы видим, каждому элементу множества можно поставить в соответствие натуральное число (номер) и, наоборот, для каждого натурального числа найдется свой элемент, отличный от других.

Заметим, что два счетных множества всегда можно привести во взаимно однозначное соответствие. Например, каждому четному числу соответствует натуральное число (номер) и каждому нечетному числу соответствует определенное натуральное число. Значит, между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие, а именно: элементы, имеющие один и тот же номер, считаются соответственными. Рассмотрим еще один пример.

10. Множество всех точек отрезка [0,1] числовой прямой.

Можно доказать, что во-первых, это множество бесконечное и, во-вторых, это множество несчетное. Значит, существуют такие бесконечные множества, которые не являются счетными.

Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным множеством.

Примером несчетного множества является множество всех точек числовой прямой.

Поясним еще одно понятие — части множества. Мы рассматриваем множество всех натуральных чисел и множество всех четных чисел. Множество четных чисел является частью множества натуральных чисел.

Множество М1 является правильной частью множества Af, если множество Мх составлено из элементов множества Ж, но не содержит их всех. Говорят также, что множество Aîj есть подмножество множества М.

Множество всех нечетных чисел является правильной частью множества натуральных чисел.

Множество учеников данного класса есть подмножество множества всех учеников данной школы.

Важно отметить следующее: между множеством всех четных чисел и множеством натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие, и в то же время множество всех четных чисел есть правильная часть множества натуральных чисел.

Для конечного множества невозможно установить взаимно однозначное соответствие между множеством и его правильной частью.

Мы полагаем, что указанных теоретико-множественных понятий для нужд средней школы вполне достаточно. Можно было бы дать определение упорядоченного и вполне упорядоченного множества, но эти понятия не являются существенно необходимыми в средней школе, и поэтому мы не рекомендуем их давать.

Теперь перейдем к изучению понятия числовой последовательности.

Пример. Рассмотрим счетное множество, элементы которого расположены друг за другом в определенном порядке:

Как легко видеть, знаменатель каждой дроби и является номером элемента данного числового множества. О таких множествах говорят, что они образуют числовую последовательность.

В основе понятия последовательности, как показывает и само это слово, лежит понятие следования одного элемента за другим.

О любых двух элементах такого множества можно сказать, какой элемент является следующим и какой элемент предшествующим.

Например, берем элементы и следует за -g-, а -у предшествует причем за каждым элементом непосредственно следует один и только один элемент и каждому элементу, за исключением первого, непосредственно ему предшествует только один элемент. Первым элементом последовательности именно и называется тот элемент, для которого нет предшествующего.

Например, элемент нашего множества непосредственно следует за элементом элемент непосредственно предшествует элементу

Для элемента 1 нет предшествующего;

1 есть первый элемент последовательности.

Определение. Числовой последовательностью называется множество чисел:

(1)

элементы которого пронумерованы натуральными числами и расположены в порядке возрастания их номеров. Последовательность считается заданной, если известно правило, по которому можно найти любой элемент последовательности, зная его номер.

Элементы последовательности обычно называются ее членами.

Часто дают другое определение последовательности, а именно: последовательностью называется функция натурального аргумента.

Мы отказались от этого определения, подкупающего своей краткостью по следующим соображениям:

1. В основе понятия функции лежит понятие соответствия между элементами двух множеств, а в основе понятия последовательности лежит понятие следования. Если каждому натуральному числу будет соответствовать другое число— значение функции, то здесь просто будет множество значений этой функции. Если мы скажем: последовательностью называется функция натурального аргумента, значения которой расположены в порядке возрастания аргумента, то здесь действительно будет последовательность.

2. Опыт показывает, что это определение последовательности с помощью понятия функции учащиеся плохо понимают и склонны заучивать без достаточного понимания.

Приведем примеры числовых последовательностей :

Члены этой последовательности можно получить по формуле

где п — номер члена последовательности.

Выражение

называется общим членом этой последовательности.

В данной последовательности общий член

Этот пример показывает, что члены последовательности не обязательно должны быть все различными, некоторые из них, а иногда и все, могут быть равны между собой.

Если число членов последовательности — конечное, то говорят о конечной последовательности.

Например: 15, 12, 9, 6, 3. В этой последовательности всего 5 членов, последний из них равен 3,

ал=15 — 3(п — 1).

В большинстве случаев рассматриваются бесконечные последовательности, т. е. такие, которые не имеют последнего члена.

Особого внимания заслуживают последовательности трех типов: 1) возрастающие, 2) убывающие и 3) ограниченные.

Определение. Последовательность

называется возрастающей, если каждый ее член меньше следующего за ним, т. е.

Примерами возрастающих последовательностей могут служить:

Определение. Последовательность

называется убывав щей, если каждый ее член больше следующего за ним, т. е.

Примеры:

Существуют последовательности, которые не являются ни возрастающими, ни убывающими. Приведем примеры.

Итак, все последовательности нельзя разбить на два класса: последовательности убывающие и последовательности возрастающие.

Среди приведенных нами примеров различных последовательностей были такие, все члены которых по абсолютной величине оставались не большими некоторого числа М.

Например, в последовательности

поэтому можно положить M = 1. Для последовательности

это условие не соблюдается. В самом деле, зададим какое-либо как угодно большое число Ж>0. Положим для определенности M = 108. Будем искать такое л, чтобы аЛ>108; имеем: л3>108 при л>104= 10 000.

Итак, I ри п> 10 000 будем иметь ап> 108.

То же самое имело место в последовательности

-1, -3, -5, -7, -9,...

Зададим, например, M = 1000000 = 106, тогда неравенство

имеет место при

Итак, при л>500 001 имеем: | ап | > 1 000 000.

Определение. Последовательность называется ограниченной, если существует число М, такое, что любой член данной последовательности не превосходит M по абсолютной величине: \ап\<.М.

Убывающие, возрастающие и ограниченные последовательности играют особую роль в приложениях теории пределов к изучению различных вопросов элементарной математики.

Отметим еще одно обстоятельство, относящееся к определению последовательности. Правило, по которому могут быть получены члены последовательности, может быть простым, а иногда и очень сложным. Проще всего это правило получается в тех случаях, когда общий член можно записать в виде простой формулы. Но не всегда общий член последовательности задается формулой.

Например, если мы будем извлекать ^, с недостатком и с избытком, то получим две последовательности соответственно:

1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;... 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143;...

В этом случае не задаются формулы для общих членов этих последовательностей, но для каждой из них любой член может быть получен при помощи известного правила извлечения квадратного корня.

После изучения этого материала естественно сразу же перейти к изучению прогрессий.

Определения арифметической и геометрической прогрессий следует дать так:

Определение. Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом.

Определение. Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на число, одно и то же для данной последовательности.

Дальше прогрессии изучаются обычным путем. Подчеркивается, что пока будут изучаться только конечные прогрессии, состоящие из п членов. Формулы для суммы членов прогрессии имеют смысл только в этом случае.

II. Понятие предела в средней школе

В программе по математике средней школы в 1949,50 уч. году значится тема «Последовательность чисел». Разделами этой темы являются: 1) понятие последовательности; 2) арифметическая и геометрическая прогрессии; 3) понятие предела.

Эта тема является первой в курсе алгебры IX класса, ранее «понятие предела» изучалось в курсе геометрии IX класса. Новые принципиальные установки по этому вопросу сводятся к следующему:

1. Надо строго ограничиться лишь теми понятиями, которые необходимы для надобностей элементарной математики, и отказаться cm попытки изложить теорию пределов в общем виде.

2. Точный смысл новых понятий должен быть до конца осознан учащимися.

3. Следует дать лишь самые необходимые теоремы о пределах, причем некоторые из них следует дать без доказательства, но с обязательной иллюстрацией на примерах. Программа не предусматривает изучение таких понятий: как: «переменная величина», «предел переменной», «бесконечно малая».

Речь идет только о числовой последовательности и пределе числовой последовательности. Есть сторонники и противники такой точки зрения. Практика работы в средней школе покажет, верна ли эта новая точка зрения, сторонники которой считают, что в средней школе надо изучать только предел числовой последовательности и ничего не следует говорить о переменной величине, пределе переменной величины, бесконечно малой. Следует отметить, что понятие предела числовой последовательности с трудом усваивается учащимися.

В настоящей статье мы сделаем попытку изложить этот вопрос для учителей с тем, чтобы последние могли воспользоваться этим материалом в своей практической работе.

Будем предполагать, что учащиеся знакомы с понятием числовой последовательности.

Для дальнейшего изложения потребуются две теоремы о свойствах абсолютных величин. Если время позволит учителю, то эти теоремы могут вполне быть доказаны в IX классе. В противном случае их следует сформулировать и пояснить на числовых примерах.

Теорема 1. Модуль суммы (любого числа слагаемых) меньше или равен сумме модулей слагаемых.

Примеры:

(1)

Левая часть равенства:

правая часть равенства:

(2)

Левая часть равенства:

правая часть равенства:

(3)

Левая часть неравенства:

правая часть неравенства:

(4)

Левая часть неравенства:

правая часть неравенства:

В общем виде:

Теорема 2. Модуль произведения {любого числа множителей) равен произведению модулей.

Примеры:

(1)

Левая часть равенства:

правая часть равенства:

(2)

Левая часть равенства:

правая часть равенства:

(3)

Левая часть равенства:

правая часть равенства:

(4)

Левая часть равенства:

правая часть равенства:

В общем виде:

Примечание. Полное доказательство этих теорем учитель найдет в разных руководствах, например в книге Невяжского «Неравенства».

Теперь перейдем к вопросу о понятии предела числовой последовательности.

Пример 1. Будем вычислять приближенные значения дроби -g- с точностью до 0,1; 0,01; 0,001 и т. д.

0,3 = аь 0,33= а.,, 0,333 = а3 и т. д.

Получим числовую последовательность

0,3; 0,33; 0,333;.. .,<хл,... (1)

Нам нужно оценить величину ошибки, которую мы допускаем при этом вычислении.

После скольких шагов ошибка будет меньше е = 0,001?

Имеем:

Итак, начиная с 3-го шага, ошибка будет меньше 0,001, т. е. имеет место неравенство

Пусть € = 0,000001. Начиная с какого шага, ошибка будет меньше чем е? Имеем:

Итак, начиная с 6-го шага, ошибка будет меньше 0,000001, т. е. имеем:

Здесь M есть номер последнего шага при вычислении ошибки, совершая который мы еще имеем ошибку, большую чем 0,000001. Для всех шагов, больших Л/, т. е. начиная с 6-го шага, ошибка будет меньше 0,000001.

Очевидно, что как бы мало ни было число г, можно (в данном примере) найти такой номер шага Му что величина ошибки будет меньше £ для всех значений п>М.

В этом примере мы рассмотрели 2 случая:

1) е = 0,001, имеем M = 2, если п > 2, тогда справедливо неравенство: --ая<г;

2) е = 0,000001, имеем M = 5, если л>5, тогда справедливо неравенство: --ап < е.

Важно отметить, что номер шага M зависит от величины числа е. Для каждого числа в будет свой номер М.

Пример 2. На числовой прямой от точки О отложен отрезок ОВ=\ (черт. 1).

Разделим его пополам и левую половину мысленно окрасим в фиолетовый цвет. Затем делим пополам оставшуюся правую половину отрезка и левую его половину опять окрасим в фиолетовый цвет. Потом снова делим пополам оставшуюся часть и т. д. неограниченно. Каждый раз после деления отрезка пополам будем окрашивать в фиолетовый цвет его левую часть. Очевидно неокрашенный отрезок будет все время уменьшаться. После скольких шагов (делений отрезка пополам) он будет меньше 0,01? Для рассмотрения этого вопроса составим числовую последовательность длин окрашенных отрезков:

(2)

Будем составлять разности, дающие длины неокрашенных отрезков.

Согласно требованию:

Черт. 1

Если п = 6, то 26 = 64; если я = 7, то 27= 128.

Итак, 1—а7 <0,01.

Выполняя 6-й шаг, мы еще имеем: 1 — а6 > > 0,01. Для всех п > Ж = 6 будет справедливо неравенство: 1 — ал<е = 0,01.

После скольких шагов длина неокрашенного отрезка будет меньше s = 0,0001?

Подбираем п. Если п= 13, то213 = 8192; если л = 14, то 2й = 16384. Итак, при п =14 будем иметь <С 0,0001.

Для всех п>M = \3 будет иметь место неравенство 1—ап<е.

Зададим е = 0,000001. Для данного числа г найдем номер шага Ж, после которого будет справедливо неравенство: 1—ял<С£ Для всех л>Ж.

При л =19 имеем: 219 = 524288; при л = 20 имеем: 230= 1048576.

Значит, 1—а20< 0,000001. Итак, в этом случае имеем: Ж = 19; для всех Ж = 19 справедливо неравенство

Очевидно, если мы будем задавать число в как угодно малым, для него найдется такой номер шага Ж, что для всех п>M будет иметь место неравенство 1 — ап<г.

В этом примере мы рассмотрели три случая:

1. в = 0,01; для него Ж = 6, #j>6, тогда 1-ал<г.

2. е = 0,0001; для него Ж = 13, л>13, тогда 1—аЛ<е.

3. £ = 0,000001; для него Ж = 19, л>19, тогда 1 — ап<г.

В примере (1) мы видим, что приближенные знания дроби после каждого шага увеличиваются и стремятся к В этом случае говорят, что -i- есть предел последовательности (1).

В примере (2) мы видим, что длины окрашенных отрезков увеличиваются и стремятся к 1. В этом случае говорят, что 1 есть предел последовательности (2).

Определение. Число I называется пределом последовательности

(А)

если для каждого заданного положительного числа е существует такой номер Ж члена последовательности, что для всех п>М имеет место неравенство

В этом определении необходимо подчеркнуть и разъяснить следующие существенные моменты:

1) Число г мы задаем сами. Оно положительно и может быть задано как угодно малым.

2) Число Ж зависит от выбора числа £. Для различных £ номер Ж следует выбирать (вообще говоря) различно.

3) л — любое натуральное число (номер члена нашей последовательности).

Фразу: «число / является пределом последовательности (Л)»—символически будем записывать так:

(1)

или при помощи неравенства:

(2)

для л>Ж.

Обе эти записи выражают один и тот же факт. Очень важно разъяснить учащимся геометрический смысл неравенства \ип — 1\<е.

Мы не можем считать это обязательным, так как учитываем трудности, с которыми учитель встретится здесь вследствие того, что тема «Неравенства» изучается только в X классе.

Наметим, как это можно сделать.

Одну и ту же абсолютную величину (модуль) имеют два противоположных числа. Например, числа -|-5 и —5 имеют абсолютную величину 5. Если lim ип= /, то (ип — I) и противоположное ему число (/—ип) будут иметь одну и ту же абсолютную величину, которая должна быть меньше числа £, т. е. должны выполняться два неравенства:

(1) (2)

Из 1-го неравенства находим, что ип<е+1; из 2-го находим, что ип> I — е. Объединяя последние два неравенства, можно записать:

(черт. 2).

Черт. 2

На числовой оси х отмечены три числа:

Последнее неравенство показывает, что все члены ип, номера которых больше Ж, принадлежат промежутку (/— £, / + £) (черт. 2). Каждое число будет больше, чем / — £, и меньше, чем Z+e. Лишь M членов последовательности могут не принадлежать этому промежутку. Чле-

ны последовательности «накапливаются» около числа /.

В примерах, которые мы рассмотрели выше, имеем: пример (1):

пример (2):

Рассмотрим пример (3).

Возьмем приближенные значения j/2, по недостатку:

и т. д. Имеем последовательность

(1)

Возьмем приближенные значения |/2, по избытку:

и т. д. Имеем последовательность

(2)

Зададим

Имеем:

Следовательно, должны выполняться неравенства:

Для всех п>М = 6 имеем:

Нам пришлось в одном случае вычитать у2 из s+, а в другом случае из |/2 вычитать Обыкновенно этого не делают и пишут короче:

рассматривая абсолютную величину разности.

Итак, имеем:

Необходимо привести примеры числовых последовательностей, не имеющих пределов. В противном случае у учащихся сложится неверное представление о том, что всякая последовательность имеет предел. Приведем такие примеры:

и т. д.

Рассмотрим некоторые теоремы о пределах.

Теорема 3. Если последовательность имеет предел, то этот предел является единственным.

Доказательство. Пусть дана последовательность

(1)

имеющая предел. Это означает, что имеет место I ап — /1 < -g- для п > М. Предположим, что она имеет предел qy отличный от /. Тогда справедливо \ап — q\<i'2 для Числа M и Мх могут быть различны. Тогда мы возьмем большее из них. Если М>Жь то неравенство (1) справедливо, а \ап — q | < для п>М и подавно справедливо. Оценим выражение:

Имеем:

Итак, выражение \ {ап — q) — (ап — /)| равно числу I / — q I, а с другой стороны, меньше как угодно малого числа е>0. Это противоречие показывает неправильность нашего предположения о том, что последовательность (1) может иметь два предела.

Теорема 4. Всякая возрастающая (или убывающая) ограниченная последовательность имеет предел.

Эта теорема в средней школе приводится без доказательства, но с обязательной иллюстрацией на примерах.

Пример 1.

(1)

убывающая ограниченная последовательность, так как

имеем:

Дадим следующую графическую иллюстрацию. Условимся номер члена последовательно-

сти отмечать точкой на оси ху а значение члена а„ последовательности—точкой плоскости с абсциссой п и с ординатой, равной ап. Полученные точки плоскости соединим ломаной, которая и даст представление о характере данной последовательности (черт. 3).

Пример 2.

(2)

возрастающая ограниченная последовательность, так как

имеем:

(черт. 4).

При наличии времени следует показать, что

Покажем, как это сделать.

В первом случае надо показать, что найдется такой номер M члена последовательности (1), что для любого заданного как угодно малого числа е будет справедливо

В самом деле,

Пусть е, например, равняется 0,000001. Найдем М. Очевидно, M = 1000000, ибо — < е для всех

Во втором случае надо оценить модуль разности

Пусть, например, е = 0,00001, найдется такой номер M члена последовательности (2), что будет иметь место неравенство:

В самом деле, по условию должно быть:

Последнее неравенство выполняется, если

Итак, M = 99999. Для всех п>М будет справедливо неравенство

Теорема 4. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство. Пусть дана последовательность чисел:

(1)

и дано, что

Требуется доказать, что последовательность (1) ограничена. По условию имеем:

Как мы видели выше, последнее неравенство может быть переписано в таком виде:

Это означает, что бесконечное множество членов последовательности (1) меньше числа /+s и больше числа /—б, лишь не больше, чем M членов последовательности, не удовлетворяют этому условию. Из конечного множества чисел (состоящего не более чем из M чисел) и числа |/|+е выберем наибольшее по абсолютной величине число и обозначим модуль его через k.

Тогда |дя|^& Для всех л, что и означает ограниченность последовательности (1).

Замечание. Эта теорема нужна для доказательства теоремы о пределе произведения двух последовательностей. Если последнюю

Черт. 3

Черт. 4

дать без доказательства, что мы считаем возможным, то эта теорема совсем не нужна в курсе элементарной математики*.

В заключение этого раздела поясним, чему равен предел последовательности, все члены которой имеют одно и то же значение.

Например, имеем последовательность:

2, 2, 2, 2,..., 2,...

Здесь ип = 2. Покажем, что предел этой последовательности равен 2. В самом деле:

Но для любого заданного s > 0 будет справедливо 0<е. Значит, \ап — 2|<e для любого п.

Пусть в общем случае:

где

Тогда :

Итак, предел последовательности, все члены которой равны одному и тому же числу, также равен этому числу.

III. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Одним из применений теории пределов является вопрос о сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

До сих пор рассматривались только такие прогрессии, которые имели конечное число членов. Если члены прогрессии составляют бесконечное множество, то прогрессия будет бесконечной.

Нельзя смешивать два понятия: «бесконечный» и «ограниченный».

Последовательность называется ограниченной, если любой ее член удовлетворяет условию 1ал'^^ где ^ есть некоторое положительное число. Прогрессия может быть бесконечной и ограниченной.

Например:

Прогрессия может быть бесконечной и неограниченной.

Например:

Условие 12п~1 I ^ k не выполняется. Всякая конечная прогрессия есть ограниченная.

Определение. Бесконечная геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше 1.

Для бесконечно убывающей прогрессии

соблюдается условие

Последнее означает, что —1 q<CA~^ î значит, q может быть любым числом в промежутке

Примеры:

Как найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии? Для того чтобы ответить на этот вопрос, надо прежде всего условиться, что мы будем принимать за сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пусть дана последовательность:

Символ

(1)

называют бесконечным рядом. Суммы

называются частными суммами ряда (1). Составим последовательность частных сумм ряда(1):

(2)

Если существует предел последовательности (2),

то его и принимают за сумму ряда (1).

Определение. Суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии a, aqy aq2, aqn. .. называется предел А последовательности частных сумм ряда

Очевидно, если последовательность

* От редакции. Следующие далее доказательства теорем о действиях над пределами исключены редакцией, так как эти доказательства даны в статье Г. М. Карпенко.

имеет предел, то прогрессия имеет сумму. В противном случае прогрессия суммы не имеет. Покажем, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия всегда имеет сумму, и найдем формулу суммы.

Предварительно докажем лемму.

Лемма. При а > 1 имеем lim ап = оо.

Доказательство. Рассмотрим геометрическую прогрессию:

Составим последовательные разности смежных членов:

и т. д.

Так как а> 1, то

и т. д., т. е. эти разности возрастают, и все они больше, чем первая разность (а — 1). Для получения а надо к 1 прибавить первую разность и получим

1+(а— 1)-а;

для получения а2 надо к результату а прибавить вторую разность а (а—1) и получим:

и т. д., для получения а“ .надо к 1 прибавить первую разность, потом к результату—вторую разность и т. д., всего надо прибавить п разностей. Так как разности возрастают, то все они, начиная со второй, будут больше, чем

(а-1).

Тогда будем иметь очевидное неравенство

ибо каждую разность мы заменили меньшей (а — 1), значит, число

1 +п(а— 1)

будет меньше числа ап. Так как

Теперь переходим к вопросу о сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Напишем сумму п первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Эта сумма конечная и для нее верна формула:

Найдем предел sm

Покажем, что

Так как то можно положить, что

Знаменатель дроби | q \п = у^—рг стремится к оо, следовательно, будет справедливо неравенство

но тогда

Итак, получаем:

обозначаем

Необходимо рассмотреть обычные примеры обращения периодической дроби в обыкновенную. Пусть

Найдем сумму членов прогрессии:

откуда:

Покажем применение теории пределов к изучению вопроса о площади круга.

Уместно сообщить учащимся краткие исторические сведения о решении знаменитой задачи, которая получила название «квадратура круга». Возникает вопрос о том, что следует принимать за площадь круга?

Определение. Площадью круга называется предгл последовательности площадей правильных многоугольников, полученных путем неограниченного удвоения числа сторон правильного вписанного в данный круг многоугольника.

Пока это определение является чисто формальным. Оно имеет смысл лишь тогда, когда будет доказано, что такой предел действительно существует. Сейчас мы выполним это дока-

зательство и получим формулу для вычисления площади круга. При этом мы будем предполагать, что вопрос о длине окружности уже изучен.

Напишем формулу площади правильного л-угольника:

(1)

где Рп—периметр, a kn—апофема вписанного я-угольника.

Впишем в данный круг радиуса R этот я-угольник, например шестиугольник, и будем неограниченно удваивать число его сторон. Получим последовательность площадей правильных вписанных многоугольников:

(А) (2)

Итак, нужно найти На чертеже:

AO = Ry АВ=^аПУ ОС = кп\

так как любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон, то можно написать (черт. 5):

Черт. 5

(3)

Покажем, что имеет место неравенство I kn — /? Ке Для п > М% а для этого надо доказать, что

(4)

Найдем предел последовательности сторон правильных вписанных я-угольников

Так как

следовательно, при п> M будем иметь дл<е, а следовательно, и подавно

Обращаемся к равенству (2):

По определению площади круга

Итак,

Другие приложения теории пределов к вопросам геометрии читатель найдет в журнале «Математика в школе», № 4 за 1949 г., в статье т. Столяр.

О ВОСПИТАНИИ КУЛЬТУРЫ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ

И. КРЫЛОВ (Ростов-на-Дону)

Учителю математики необходимо добиваться, чтобы учащиеся излагали свои мысли правильным языком и чтобы слова соответствовали выражаемым ими понятиям. Специфическая особенность математики состоит в широком употреблении символики, вследствие чего математические записи требуют меньше слов, чем записи в других предметах. В математике каждое слово — «на особом учете», и поэтому воспитание у учащихся культуры математической речи является чрезвычайно ответственной задачей учителя. Учитель математики должен внимательно следить за своей речью и настойчиво исправлять ошибки в речи учащихся.

Иногда приходится слышать на уроке неправильное произношение слов, например: плоскостя, равноделящая, приведенный. Неправильно употребляются предлоги; например, учащиеся говорят «из 5 отнять 3» или «от 5 вычесть 4». Неправильно строятся фразы, как, например: «рубли, приходимые на первую покупку», «примем кусок материи за 100%», «найдем разницу частей воды третьей трубы» и т. д.

Довольно распространенными являются такие

ошибки: «увеличить на 5 раз» или «в 5 единиц», «10 : 2 будет по 5». Приводя дроби к одному знаменателю, учащиеся иногда говорят «прибавим к одному знаменателю тройку, а к другому пятерку» и т. п.

Есть учителя, которые не оставляют без исправления ни одной ошибки как в устной, так и в письменной речи учащихся, но нередки случаи, когда учитель примиряется с ошибками и не исправляет их.

Приведем такой пример. Ученик VII класса неправильно решил задачу. Учитель перечеркнул всю работу без исправления орфографических ошибок, хотя ученик несколько раз написал манофактура.

Надо не допускать образования у учащихся вредной привычки небрежного отношения к языку. Учитель должен неоднократно напоминать учащимся, что культура речи — это культура мысли и что уважение к языку — это прежде всего есть уважение к своему народу. Совершенно недопустимы такие факты (с которыми нам пришлось встретиться), когда учитель пишет в рецензии «премер» или когда кандидат на получение медали написал в экзаменационной работе еденица. Между тем ни ассистент, ни председатель экзаменационной комиссии, ставя свои подписи, не обратили внимания на допущенную ошибку. Учителя и дирекция школ должны не забывать о необходимости тщательного просмотра письменных работ по математике и исправления всех орфографических и стилистических ошибок.

Математическая речь требует предельной точности. Например, на вопрос, при каких значениях переменной величины квадрат ее больше 4, учащиеся отвечают: «При значениях, больших +2 или меньших —2». Вместо разделительного союза «или» надо поставить соединительный союз «и», так как нам необходимо указать все множество допустимых значений аргумента. Если бы мы рассматривали множество тех значений переменной, при которых квадрат ее меньше 4, то следует употребить союз «но», т. е. сказать: «при значениях меньших -|-2, но больших —2».

Большое значение для математической речи имеет краткость формулировок. В учебнике геометрии Киселева имеется теорема: «Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме». Между тем для теоремы о средней линии треугольника дана весьма громоздкая формулировка, которую следовало бы заменить столь же краткой: «Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине».

Казалось бы, нет особой беды в том, что учащиеся сформулируют ту или иную теорему в одной или другой форме. Однако запоминание формулировок в строго стандартной форме имеет большой смысл. В самом деле, запоминая, например, таблицу умножения, мы говорим: «пятью семь — тридцать пять», а не «семь, умноженное на пять, будет тридцать пять». Твердо заученные краткие стандартные формулировки легко восстанавливаются в нашей памяти и являются путеводными вехами для логических рассуждений.

Приучая учащихся к предельной краткости математической речи, необходимо вести самую непримиримую борьбу с многословием. Приведем пример. На полугодовой контрольной работе в VII классе одна из учениц, поясняя составление уравнения, написала: «В задаче два неизвестных: число книг на верхней полке и число книг на нижней полке. Через х обозначу число книг на верхней полке, а так как на нижней полке было столько же книг, сколько и на верхней, то число книг на Нижней полке обозначу через х. Число книг на верхней полке обозначу через х, число книг на нижней полке обозначу через л:». Учительница обратила внимание только на пропущенную запятую. Между тем надо было указать ученице, что, согласно условию, книг на обеих полках было поровну, а следовательно, в задаче только одно неизвестное, а не два. Решение задачи заняло три страницы, и не удивительно, что к концу работы внимание ученицы притупилось, и она допустила ошибку в сложении дробей.

Иногда многословие учащихся достигает совершенно исключительных размеров. В работе по геометрии на экзаменах на аттестат зрелости требовалось определить объем пирамиды. Один из кандидатов на получение медали, приступая к пояснениям, указал, что пирамида является геометрическим телом, и дал определение геометрического тела. Затем перечислил другие тела, дал определения диагонали, ребра, вершины и т. д. Все эти рассуждения не на тему заняли в работе около трех страниц. Следовало в рецензии отметить, что такие, не относящиеся к делу определения являются дефектом в работе. Между тем учитель написал: «Учащийся обнаружил большую эрудицию (?) и глубокие знания».

Учитель должен иметь в виду, что важнейшим достоинством всякой речи (не только математической) является краткость. Устная и письменная речь должна строиться по такому принципу, чтобы «словам было тесно, а мыслям просторно». Нагромождение излишних подробностей — большой недостаток, делающий речь бесцветной.

Для воспитания у учащихся культуры мате-

матической речи полезно предлагать в качестве домашних заданий письменные доказательства и объяснения к задачам. При этом надо приучать учащихся к тщательной обработке черновиков, устранять все лишнее и улучшать изложение.

Требуя от учителя простого, понятного, правильного, точного, краткого и выразительного языка, мы должны в еще большей степени предъявить эти требования к учебникам. К сожалению, язык учебников часто страдает недостатками. Правильное математическое мышление невозможно без ясного понимания каждого слова речи. В этом отношении в учебниках имеются дефекты. Например, первая глава учебника алгебры для VI класса называется «Алгебраическое знакоположение». Является вопрос, в состоянии ли учащиеся, только приступающие к изучению алгебры, прочтя этот заголовок, понять, о чем будет идти речь; тем более, что подобного выражения ни один учитель в своей речи никогда не употребляет. Второй параграф первой главы учебника геометрии Киселева, часть I, озаглавлен «Математические предложения». В этом параграфе говорится: «Все истины, которые устанавливаются в геометрии, выражаются в форме предложений». Учащиеся VI класса поймут слово «предложение» как предложение грамматическое и останутся в недоумении, потому что в любой науке все истины и не-истины могут быть выражены только в форме предложений. Учебник не поясняет, что в данном случае слово «предложение» надо понимать в смысле « суждение ».

Далее в учебнике говорится, что теоремами называются предложения, истинность которых обнаруживается только после некоторого рассуждения. Отсюда учащиеся заключают, что все теоремы представляют истины. Между тем на следующей странице учебника указывается, что «верность прямой теоремы еще не служит доказательством верности противоположной». Надо было или в определении теоремы после слова «истинность» добавить «или ложность», или же не говорить о верности и неверности теорем, а лишь об их существовании.

Из сказанного видно, что учитель должен очень внимательно изучить язык учебника и в необходимых случаях, как это, например, указано выше, вносить исправления в определения и формулировки.

В некоторых случаях следует разъяснять учащимся происхождение встречающихся в математике терминов. Так, например, полезно указать, что многочлен часто называется «полином» от греческого слова «полис», что обозначает «многий». Это разъяснение полезно в образовательном отношении, так как в языке имеются слова — политехнизация, поликлиника, полиморфизм и другие, смысл которых станет понятен учащимся.

С другой стороны, вряд ли имеет смысл указывать учащимся, что в переводе на русский язык слово «аксиома» значит «признание», а слово «теорема» обозначает «рассмотрение», или переводить слова — катет, гипотенуза, призма и другие. Такие сведения не имеют никакого ни образовательного, ни воспитательного значения и только обременяют память учащихся.

История некоторых слов имеет воспитательное значение. Например, учащимся следует рассказать, что вторая часть слова «параллелепипед» происходит от греческого слова «эпипедон», т. е. «плоскость». Дословно «эпипедон» обозначает в переводе «то, поверх чего мы ходим ногами». История этого слова показывает происхождение математических терминов из опыта практической жизни.

Последний вопрос относится к оформлению учащимися письменных работ по математике. Хотя этот вопрос представляет внешнюю сторону культуры письменной речи, все же он не лишен большого значения. Если учащийся в работе по русскому языку напишет стихотворение в строчку, то учитель сочтет это за некоторый дефект. Тем больший дефект имеет работа по математике, в которой и словесный текст и формулы пишутся в одной строчке.

Исходные формулы и результаты следует писать в отдельных строчках, вводя нумерацию формул. При записи логарифмов в столбик рекомендуется придерживаться правила: каждой цифре — отдельную клетку. Нецелесообразно писать: угол А равен углу Б; следует пользоваться общепринятым символом для угла.

Необходимо постоянно указывать учащимся, что прогресс математики в значительной степени был облегчен введением символики, намного упрощающей работу. Поэтому и учащиеся должны приучаться к широкому применению символов. Можно привести такой убедительный пример: в работе по алгебре получилось уравнение, состоящее из четырех членов, перед тремя из которых стоял коэффициент 100. У некоторых из учащихся этот коэффициент встречался 160 раз, тогда как можно было с самого начала разделить все уравнение на 100, а получаемый при четвертом члене коэффициент обозначить буквой. Подобных дефектов в оформлении работ по математике легко избежать, если на эти дефекты своевременно обратить внимание учащихся.

К ВОПРОСУ О СОДЕРЖАНИИ ПРОГРАММЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ*

Я. Л. ТРАЙНИН (Новосибирск)

Эпоха перехода нашей страны от социализма к коммунизму связана с невиданным расцветом науки и культуры советского народа и с грандиозной задачей коммунистического воспитания многомиллионных масс трудящихся. Совершенно ясно, насколько в этих условиях вырастает роль советской школы и насколько возрастает ее ответственность в удовлетворении требований, которые к ней предъявляются задачами коммунистического воспитания подрастающего поколения и выработки у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения в процессе преподавания основ науки.

Следует признать, что в некоторых отношениях преподавание математики в школе отстает от этих требований современности. Проблема повышения идейно-теоретического уровня преподавания математики в средней школе приобретает в настоящее время весьма актуальный характер. Она выдвинута давно самой жизнью и требует очень серьезного, тщательного и всестороннего обсуждения. Поэтому следует всемерно приветствовать ту дискуссию, которая открыта на страницах журнала «Математика в школе» статьями А. И. Маркушевича и Н. Ф. Четверухина (№ 1 за 1950 г.).

Обе эти статьи содержат совершенно справедливые критические замечания, относящиеся к существующему состоянию преподавания математики в школе, и вносят много ценных предложений по переработке программы математики, направленных к радикальному улучшению преподавания. В известной части эти предложения носят бесспорный характер. Имеются, однако, среди них и такие, которые вызывают сильное, сомнение в их целесообразности и реальной осуществимости.

Мы имеем здесь ввиду рекомендацию А. И. Маркушевича включить в программу по математике такие темы, как разложение рациональных функций на простейшие дррби (в IX классе), элементы дифференциального и интегрального исчислений и теория вероятностей (в X классе).

Отрицательное отношение к введению в программу по математике элементов дифференциального и интегрального исчислений прекрасно и глубоко аргументировано в статье С. И. Новоселова, помещенной в № 2 за 1950 г. журнала «Математика в школе». Мы полностью согласны со всеми положениями этой статьи и считаем небесполезным развить подробнее некоторые соображения, вполне отвечающие основной мысли С. И. Новоселова.

Некоторое отставание школьного преподавания математики от задач, стоящих перед школой, особенно ясно выражается в существующем разрыве между математическим образованием оканчивающих среднюю школу и теми требованиями, которые предъявляются к абитуриентам высшей школой. Несмотря на значительное повышение в целом общего уровня и качества подготовки лиц, оканчивающих школу, ежегодные приемные испытания в вузы систематически сигнализируют и о целом ряде недостатков в этой подготовке, носящих не только случайный характер. Указанный разрыв неустраним до тех пор, пока не изменится содержание программы, содержание и стиль учебников по математике в средней школе в сторону сближения с требованиями современной математической науки, с требованиями вузовского математического преподавания.

В чем заключается этот разрыв? В том ли, что абитуриенты не знают элементов дифференциального и интегрального исчислений, или что они не имеют представления об основных понятиях и теоремах теории вероятностей? Конечно, не в этом, ибо всему этому их научит так, как этого не в состоянии сделать средняя школа, соответствующий вуз.

Сущность разрыва заключается в том, что обычный традиционный материал школьной программы по математике многими абитуриентами усваивается формально, что этот материал в школьном преподавании недостаточно осмысливается с современных научных точек зрения, что он в школе недостаточно обобщается и систематизируется. Абитуриенты часто выходят из школы с отрывочными, не оформленными в систему знаниями и устарелыми математическими представлениями.

Достаточно указать на распространенные еще до сих пор неправильные определения таких понятий, как «аксиома», «абсолютная величина», на бедность и неразвитость функциональных представлений, на искаженность понимания природы иррационального числа, на слабое

* От редакции. Настоящая статья Я. Л. Трайнина помещается редакцией в порядке обсуждения вопроса о повышении научно-идейного уровня преподавания математики в школе и связанного с ним вопроса о содержании школьного курса.

По мере поступления материалов редакция предполагает поместить статьи и заметки, отражающие различные точки зрения по данному вопросу.

знание логарифмической функции и обратных тригонометрических функций и т. д.

Из сказанного следует, что первоочередная задача в деле перестройки программы по математике для средней школы состоит вовсе не в расширении ее такими новыми разделами, как элементы дифференциального и интегрального исчислений и теория вероятностей. Изложить этот материал в достаточно обоснованной и безупречной форме в школе не позволит ни общий запас знаний школьника, ни бюджет времени. Такое расширение нисколько не будет содействовать сближению школьной математики с вузовскими требованиями, а лишь напрасно сократит драгоценное время, необходимое для изучения действительно необходимого материала.

Задача заключается в таком изменении содержания преподавания математики, чтобы школа давала более прочные а глубокие знания «традиционного» материала, в полном соответствии с современней научней трактовкой всех разделов программы, чтобы эти знания были в досаточной степени обобщены, приведены в систему и пронизаны идеями принципиального значения.

Постараемся кратко наметить наиболее существенные недостатки школьной математической подготовки учащихся. Эти недостатки в своей совокупности и определяют разрыв между школой и вузом. Оговоримся при этом, что в основе этих недостатков часто лежат не только пробелы и устарелые тенденции школьной программы и учебников по математике, но также неудовлетворительная практика преподавания отдельных учителей.

1. Школа не всегда обеспечивает приобретение учащимися достаточно ясных представлений и в должной мере систематизированных знаний о развитии понятия числа и о природе различных категорий чисел.

Это выражается в следующем: а) многие учащиеся по окончании школы не обладают прочной и глубоко осознанной идеей о взаимно однозначном соответствии между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой, эта идея не вошла в их плоть и кровь;

б) многие учащиеся расплывчато представляют себе различие рациональных и иррациональных чисел и различие в их десятичном изображении; не имеют понятия о свойстве плотности рациональных и действительных чисел, часто отождествляют иррациональные числа с корнями из рациональных чисел;

в) многие оканчивающие не обладают упорядоченными знаниями основных свойств операций сложения и умножения и законов монотонности, не имеют представления о так называемом принципе перманентности при расширении понятия числа;

г) комплексные числа, как правило, в сознании учащихся противопоставлены действительным числам;

д) общее распространение имеет термин «относительные числа», а понятие «абсолютной величины» для многих сводится к понятию «числа без знака».

2. Школьная программа по математике недостаточно обеспечивает логически связанных, обобщенных и приведенных в систему знаний из области арифметики целых чисел,

В этой области знания учащихся до конца школы остаются в объеме программы по арифметике V и VI классов, т. е. не завершаются в виде стройной теории, а остаются на уровне неоформленной экспериментальной науки. Школа должна дать систематическое учение о делимости, о признаках делимости, об общем наибольшем делителе и общем наименьшем кратном, об алгоритме Евклида, о каноническом разложении составного числа. Необходимо также дать понятие о законах распределения простых чисел (теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел, решето Эратосфена, плотность, теоремы Чебышева, проблема Гольдбаха в работах И. М. Виноградова).

3. Школьная программа по математике не обеспечивает достаточных знаний и навыков в теории неравенств, остро необходимых для успешного усвоения математического анализа в вузе.

Необходимо программу дополнить сведениями о неравенствах, связанных с переходом от данных выражений к их абсолютным величинам, с введением понятий интервала и сегмента, а также с преобразованиями неравенств вида \х — а|<А к эквивалентным формам и с рассмотрением системы неравенства типа х<я и X >Ь. Все это должно прочно связываться с соответствующими иллюстрациями на прямой. Очень важно было бы дать в школе навыки по усилению неравенства, столь существенные для теории пределов. Общеизвестно, что именно непривычка к такого рода вопросам и преобразованиям составляет главную трудность для начинающих при изучении математического анализа и приводит к значительному проценту неуспеваемости.

4. В школе понятие функции не получает оформления в современной общей трактовке на основе понятий множества и соответствия.

Связывание понятия функции с формулой, с аппаратом ее аналитического выражения остается господствующим недостатком в этой

области. Здесь мы можем лишь повторить те пожелания, которые высказаны в статье С. И. Новоселова. Понятия области существования, ограниченности, монотонности, четности, нечетности и периодичности функции, понятие обратной функции должны стать прочным достоянием окончившего среднюю школу. Должно быть приведено в надлежащий порядок преподнесение сведений о степенной, показательной , логарифмической, тригонометрических и обратных тригонометрических функциях. В частности, следует обратить внимание на трактовку аргумента тригонометрических функций как числа.

Попутно заметим, что необходимо подвергнуть обсуждению вопрос о том, не целесообразно ли вновь вернуться к обязательному употреблению в школе пятизначных таблиц логарифмов Пржевальского, ибо это важно, с одной стороны, для многих вузов, а с другой стороны, благотворно повлияет на усовершенствование вычислительных навыков.

5. Школьная программа по математике не вполне обеспечивает минимума знаний по вопросу об аксиоматике, о дедуктивном строении математики и о важнейших методах математических доказательств.

Это выражается в том, что в программе по математике в выпускном классе не содержится такой темы, как аксиоматическое, дедуктивное построение геометрии и арифметики. Необходимо, чтобы в порядке подведения итогов всему ранее пройденному школьник получил ясные представления о происхождении и роли первоначальных предпосылок — аксиом и основных понятий, чтобы он понимал сущность и роль математического доказательства как могущественного метода познания и установления связей в деле изучения количественных отношений реального мира и осознал его преимущества перед непосредственным экспериментальным изучением. Учащийся должен получить ясные представления о математических определениях и теоремах существования, об эквивалентности предложений. Весь этот материал должен обильно иллюстрироваться примерами из ранее пройденного курса, сопровождаться подробным разбором и анализом различных теорем и определений из области геометрии, арифметики и алгебры и должен быть тесно связан с курсом логики, что будет весьма полезно и для усвоения курса логики.

Отметим, что именно здесь будет уместным, доступным и своевременным дать правильные представления о попытках доказательства V постулата и о геометрии Лобачевского.

Далее, в этом же разделе необходимо дать подробные разъяснения по вопросу о соотношениях справедливости прямых, обратных и противоположных теорем, об употреблении терминов «необходимо и достаточно», «тогда и только тогда» и особенно остановиться на доказательстве от противного и на принципе математической индукции.

Излишне подчеркивать, насколько знакомство со всеми этими вопросами будет содействовать созданию материалистических взглядов, расширению математического кругозора учащихся, их математическому и логическому развитию, а также устранению неверных представлений, имеющих распространение среди некоторой части учащихся. Как известно, большинство абитуриентов выносят из школы ничем не омраченную уверенность, что аксиомы — это истины, принимаемые без доказательства вследствие своей очевидности, что аксиомы абсолютно недоказуемы и что очевидные предложения не нуждаются в доказательстве. Понятно, что такие представления создают некоторый тормоз для правильного понимания строгого изложения математических дисциплин в высших учебных заведениях.

Сформулируем основной вывод: кроме включения в программу математики многих из перечисленных выше вопросов в том или ином классе, необходимо в старшем, выпускном классе ввести заключительный обзорный курс математики, который бы завершал, осмысливал, обобщал и приводил в систему знания, накопленные за все предыдущие годы обучения, и вместе с тем существ:нным образом приближал бы школьный курс математики к уровню требований математического образования в вузах; отсутствие такого курса является одним из важнейших недостатков школьной программы по математике. В этот курс должны войти такие темы, как обзор развития понятия числа, основные законы операций с числами, учение о делимости и о простых числах, учение о функции, элементы учения об аксиоматическом построении математики, о математическом доказательстве, понятие об истории пятого постулата и о геометрии Лобачевского.

А. И. Маркушевич утверждает, что нужно «теснить» традиционный материал и включать новый материал, имея в виду главным образом элементы дифференциального и интегрального исчислений и теории вероятностей. Но традиционный материал не содержит лишних вопросов, выбрасывать из программы здесь нечего. Задача заключается не в сокращении этого совершенно необходимого традиционного материала, а в его дополнении, углублении, завершении систематизации и повышении идейно-теоретического уровня его преподавания.

Необходимо еще остановиться на следующем высказывании Н. Ф. Четверухина: «В связи с изучением теории параллельных обыкновенно дают краткий исторический очерк попыток доказательства V постулата Евклида и открытия неевклидовой геометрии нашим великим соотечественником Н. И. Лобачевским». Создается впечатление, что здесь предлагается излагать все эти вещи в VI классе. Если это так, то согласиться с таким предложением ни в коем случае нельзя. Изложение этих вопросов в VI классе было бы верным средством, чтобы сбить с толку неискушенных в геометрии 12-летних подростков, посеять еще в не окрепших математически умах недоумение и недоверие к геометрии Евклида и геометрическим доказательствам, создать искаженные представления о сущности вопроса.

Несомненно, что исторические сведения о попытках доказательства V постулата и понятие о геометрии Лобачевского можно и должно дать только в X классе при прохождении темы об аксиоматическом построении геометрии, причем и здесь содержание и методика преподнесения этого вопроса должны быть тщательно продуманы.

*

В заключение коснемся вопроса о математическом образовании в педагогических институтах. Ясно, что реформа программы по математике в средней школе должна оказать определенное влияние на учебные планы физико-математических факультетов педагогических институтов.

Прежде всего, необходимо ликвидировать неправильные тенденции, получившие развитие в последние годы, заключающиеся в стремлении оттеснить на задний план, максимально сократить и сузить по содержанию дисциплины, относящиеся к так называемой высшей математике, особенно математический анализ и высшую алгебру. Эти тенденции находят время от времени свое выражение в «Учительской газете», а также явно реализованы в ныне действующем учебном плане физико-математических факультетов.

Иначе никак нельзя истолковать сокращение на 50 часов лекционного курса по математическому анализу и изъятие из числа обязательных дисциплин теории функций комплексного переменного и основ современной алгебры.

Помимо восстановления в учебном плане этих дисциплин в прежнем объеме, необходимо включить в учебный план обеих специальностей (математики и физики) такие дисциплины, как теория вероятностей, векторный анализ и — для математиков — историю математики.

Далее необходимо в учебный план для студентов-физиков ввести курс оснований геометрии, поскольку им по окончании института предоставляется право преподавания математики в старших классах средней школы.

Желательно увеличить число часов по методике математики и пересмотреть ее программу.

Давно назрела необходимость создания при Академии педагогических наук долгосрочных курсов по подготовке преподавателей методики и истории математики для педагогических институтов, ибо научных работников в этих областях все еще недостаточно.

ИЗ ОПЫТА

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА В КУРСЕ IX КЛАССА

Ф. А. БЕЛЕЦКИЙ (Киев)

Изложение материала проводилось мною в плане статьи С. И. Новоселова (журнал «Математика в школе», 1948, № 4). Ниже приводится содержание семи уроков, отведенных программой на данную тему.

Урок I

В начале урока были восстановлены в памяти учащихся определения понятия функции и символическая запись у =f(x), известные из курса VIII класса.

Если функцию можно задать формулой, тогда знак / обозначает совокупность операций, которые нужно выполнить над числовым значением аргумента ху чтобы получить соответствующее числовое значение функции у.

Затем ученики самостоятельно припомнили некоторые известные им функции:

a) прямую пропорциональную зависимость: у = кх\

b) обратную пропорциональную зависимость: у = т>

c) квадратную функцию: j/ = jt?;

d) линейную функцию: у = кх+ Ь,

ученики кратко рассказывали об особенностях расположения графиков этих функций на координатной плоскости.

При этом я обращаю внимание учащихся на то, что в VIII классе, особенно при графическом решении квадратных уравнений, мы, по возможности, старались брать «близкие» друг к другу значения аргумента х, чтобы точнее построить параболу и точнее определить корни уравнения. Также напоминаю, что множеством допустимых значений для аргумента в приведенных примерах функций служило все множество действительных чисел, кроме случая Ь), где исключалось значение х = 0.

Теперь же мы будем по преимуществу рассматривать такие функции, для которых значениями аргумента являются целые положительные числа.

Так, например, значением аргумента *=1, 2, 3, 4, 5,. .., л,. . . соответствуют значения функций:

2, 4, 6, 8, 10,..., 2л,...

для функции у = Ъх\ (1)

(2)

для функции у = X2. (3)

Можно привести примеры функций, для которых аргумент может принимать только натуральные значения.

Для примера рассмотрим задачу.

Один землекоп выкапывает в час 2 погонных метра канавы. Сколько метров канавы в час выроют х землекопов (при одинаковой производительности труда)?

Если обозначили искомое число через у, то получаем: у = 2х. В этой задаче аргумент х не может принимать никаких других значений, кроме целых положительных: 1, 2, 3, 4, 5,... .

Если для функции множеством допустимых значений аргумента является натуральный ряд чисел:

1, 2, 3, 4, 5,.. . ,я,.. то функцию называют последовательностью.

Или, короче: последовательностью называется функция от натурального аргумента (С. И. Новоселов, «Математика в школе», 1948, № 4, стр. 18).

Привожу еще примеры числовых последовательностей:

(4) (5) (6)

(7) (8)

Числа — значения функции, входящие в состав числовой последовательности, называются ее членами и часто обозначаются какой-нибудь буквой с индексом, справа внизу, указывающим, какое место в последовательности занимает этот член, например:

аъ а2, а9, а4, а6,.. .,ая,... .

Так, первое место в последовательности занимает аъ пятое аь, п-г место — член ал и т. д.

В такой записи индекс члена указывает, какому значению натурального аргумента (номеру) соответствует этот член. В этом смысле иногда говорят, что член последовательности есть функция его номера.

Член ап называют я-м или общим членом последовательности. Так, в приведенных примерах:

(1)

(2) (3) (4) (5) (6)

(7)

(8)

подставляя в эти формулы вместо п последовательно натуральные числа 1, 2, 3, 4..., получим в каждом отдельном случае соответствующую числовую последовательность. Формула общего члена выражает закон соответствия последовательности. Это не что иное, как разновидность употреблявшейся ранее записи у =/(л:). В этом случае говорят, что последовательность задана формулой общего члена.

Далее вызываю к доске двух учеников, один из которых записывает первые шесть членов последовательности, заданной формулой ап= 2 п— 1 ' другой — последовательности, у которой. ап = z^+l. При этом я еще раз обращаю внимание учащихся на то, что п может принимать только натуральные значения.

Затем я на доске, а ученики в своих тетрадях записываем такие последовательности:

I. а) Приближенных значений]/2 и \/*7 по недостатку

и приближенных значений тех же иррациональных чисел по избытку

II. Приближенных значений длины отрезка AB, получаемых в результате десятичного измерения его единичным отрезком CD, несоизмеримым с ним.

Пусть CD уложится на AB 4 раза, 0,1 CD — в первом остатке 3 раза, 0,01 CD — во втором остатке 7 раз, 0,001 CD — в третьем остатке 6 раз. В силу несоизмеримости AB и CD процесс десятичного измерения отрезка AB можно продолжать неограниченно. В результате получаем две числовые последовательности:

4,3; 4,37; 4,375,...

4,4; 4,38; 4,376,...

приближенных значений длины отрезка AB по недостатку и по избытку.

В последних примерах не задаются формулы общих членов последовательностей. Однако нам известны те операции (извлечение квадратного корня из положительных чисел, или десятичное измерение отрезков), которые позволяют вычислить любой данный член последовательности.

Говорят, что в этом случае последовательность задается не формулой общего члена (как ранее), а описанием процесса, позволяющего для каждого данного значения п найти соответствующий член последовательности.

Если числовая последовательность задана только несколькими своими первыми членами, то часто бывает полезно написать формулу ее общего члена. В некоторых случаях эта задача решается просто.

Пример. Найти формулу общего члена последовательности:

При этом обращаю внимание учеников на то, что в такой постановке, как известно, задача

остается неопределенной. Если дано несколько членов последовательности, то ее можно продлить как угодно. В нашем случае, например, на седьмом и всех дальнейших нечетных местах можно поставить число 1, а на всех четных местах 0. Тогда получим:

Одним из способов продолжения, причем «наиболее естественным», будет подыскание такой формулы, пользуясь которой можно получить также и уже заданные ее члены. В таком смысле эту задачу мы и будем понимать в дальнейшем.

Чтобы решить предложенную задачу, нетрудно заметить, что в заданной последовательности числитель каждого члена есть порядковый его номер, а знаменатель — число, на единицу большее.

Таким образом, л-й член последовательности будет а = —^—:.

В качестве домашних заданий предложено: I. По формулам общих членов написать последовательности :

II. Найти формулы общих членов последовательностей:

III. Вычислить по четыре первых члена последовательностей приближенных значений ]/^3 по недостатку и по избытку.

IV. Привести по два примера числовых последовательностей.

Урок 2

При проверке заданий оказалось, что подавляющее большинство учеников класса без особых затруднений справилось с решением предложенных вопросов. Были правильно определены формулы общих членов последовательностей 1—6 задания II.

Разногласия возникли лишь при решении 7-гр примера. Большинство учеников для последовательности

установило формулу ап = Ученик X. дал для этого случая формулу

Действительно, оказывается, что обе формулы продолжают последовательность в «наиболее естественном» смысле.

Последний факт еще раз подтвердил приведенное на 1-м уроке замечание о неопределенности задачи продолжения последовательности, заданной несколькими ее первыми членами. Оказывается, что и «наиболее естественных» продолжений может быть не одно.

Возрастающие и убывающие последовательности

Рассмотрим последовательности:

Нетрудно заметить, что все эти последовательности обладают одним общим свойством: для каждой из них имеет место соотношение:

т. е. любой последующий член больше предыдущего. Такие последовательности называются возрастающими.

Последовательности:

у которых любой последующий член меньше предыдущего, т. е. для которых выполняется условие ап>ап+\ для произвольного л, называются убывающими.

Но есть последовательности, которые нельзя отнести ни к одному из двух указанных типов, например:

Такие последовательности называют колеблющимися.

Кроме того, если известно, что имеет место соотношение ап^ап^.\ для любого л, то такие последовательности называют неубывающими^ например: 1, 1, 2, 2, 3, 3,. я,...

Если же ал^ал_}_1, то последовательность — не возрастающая, например: 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1, О, 0, -1, -1, -2,...

В качестве домашних заданий предложено:

I. Составить:

1) две возрастающие последовательности;

2) » убывающие »

3) » колеблющиеся »

4) последовательности приближенных значений иррационального числа 2, 3030030003,... по недостатку и по избытку (выписать шесть первых членов).

II. Написать формулы общих членов последовательностей:

4) состоящей из четных чисел;

5) » » нечетных »

6) чисел, кратных 7.

Урок 3

Геометрическое изображение последовательностей

Отмеченные выше особенности последовательностей ярче обнаруживаются, если изобразить члены их точками (отрезками) на числовой прямой. (Черт. 1—8, для каждой из последовательностей выбирается соответственно масштаб).

Черт. 1

Черт. 2

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

черт. 5

Черт. 7

Черт. 8

Из рассмотрения приведенных иллюстраций заключаем, что среди точек, изображающих члены последовательностей: {2я}, { — п?}^ {10 /г(—1)“} (черт. 1 — 3, 7, 8), будут такие, которые расположены на каком угодно большом расстоянии от точки О.

Указанные последовательности обладают следующим общим свойством: каким бы ни было большим заданное число iV>0f существует бесконечное множество членов последовательности,, превосходящих по абсолютной величине число /V. Иными словами, каким бы большим ки был интервал (—N, Л/), вне этого интервала расположено бесконечное множество членов последовательности.

Такие последовательности называются неограниченными.

Что касается последовательностей:

(черт. 4—6), то все члены их изображаются точками, расположенными на конечных отрезках числовой оси.

То же можно сказать и о последовательностях:

Все они обладают следующим общим свойством: для каждой последовательности можно указать такое число ЛГ>0, что любой член ее по абсолютной величине не превосходит Л/, т. е. имеет место соотношение | ап | N для любого п.

Такие последовательности называются ограниченными.

При этом замечаю учащимся, что не следует смешивать понятия возрастающей и неограниченной последовательностей; так, последовательность - _^ j — возрастающая и ограниченная.

Для домашней работы предложено привести примеры и дать графическую иллюстрацию:

1) двух возрастающих неограниченных последовательностей;

2) двух возрастающих ограниченных последовательностей;

3) двух убывающих неограниченных последовательностей;

4) двух убывающих ограниченных последовательностей;

5) одной колеблющейся неограниченной последовательности ;

6) одной колеблющейся ограниченной последовательности.

Далее уроки 4—12 были посвящены изучению арифметической и геометрической прогрессий, за исключением бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Урок 13

Предел последовательности

К понятию предела мы подошли из рассмотрения частных примеров и их геометрической интерпретации.

1. Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1 (черт. 8).

Прямолинейным отрезком разделим его пополам; одну из равных его частей вновь разделим пополам и т. д., как показано на чертеже 9; обозначим площадь заштрихованной части квадрата после первого деления через aif после второго — через а2 и т. д., а площадь незаштрихованной части квадрата после первого деления — через Ьи после второго—через Ь2 и т. д.

Очевидно, что

Каждый раз сумма площадей соответствующих частей дает 1 (площадь квадрата), т. е. ап+ Ья=\. Ясно, что при неограниченном продолжении описанного процесса образуется две последовательности: [ап] и [Ьп]. Из закона образования этих последовательностей заключаем, что обе они ограничены, причем последовательность \ап) возрастающая, а последовательность [Ьп) — убывающая.

Изобразим члены последовательности {ап} на числовой оси (черт. 10). Из чертежа 10 усматриваем, что возрастающая ограниченная последовательность \ап) обладает следующим свойством: чем больше номер члена последовательности, тем меньше он отличается по величине от 1 (площадь заштрихованной части квадрата каждый раз увеличивается). В данном случае какой бы малый интервал СВ с правым концом в точке / мы ни взяли, начиная с некоторого значения л, точки, изображающие все последующие члены последовательности, с большим номером будут расположены в интервале СВ.

Черт. 9

Черт. 10

При помощи неравенств это запишется так:

Отсюда видно, что, чем больше л, тем разность 1—ап меньше. Легко определить, при каком значении п эта разность будет меньше 0,01, так как

следовательно, 1—я7<0,01. Все же члены с номером п>7 и подавно отличаются от 1 меньше, чем на 0,01. Если вместо 0,01 взять 0,001, то легко установить, что 1—ял<] 0,001 будет выполняться при л>10. В самом деле,

2“ > 1000, поэтому i <

Таким образом, каким бы малым ни было задано число е>0, для него можно указать такое число TV, что разность

будет меньше, чем г, для всех значений n>Nf т. е. будет выполняться условие 1—ап<е-

В частности, если е = 0,01, то /V = 7; для £ = 0,001 будет 7V = 10 (для рассматриваемой последовательности).

Последовательность [ап) называют сходящейся к 1, а число 1—ее пределом.

Рассмотрим теперь убывающую ограниченную последовательность оп = т^г.

Легко видеть, что с увеличением п разность между числом 0 и ft по абсолютной величине |0 — ол| = — убывает (площадь незаштрихованной части квадрата все уменьшается), и можно указать такое значение номера N4 что для всех n^N будет

для любого заданного сколь угодно малого е>0. Если воспользоваться геометрической интерпретацией, то получим чертеж 11.

Черт. 11

Каким бы ни был взят малым интервал длиной е>0 с концом (левым) в точке 0, лишь некоторое конечное множество членов последовательности изображается точками, расположенными вне этого интервала, все же остальное бесконечное множество их изображается точками, расположенными внутри него.

При возрастании п точки Ьп все плотнее «накопляются» у точки 0.

Начиная с какого номера точка, изображающая члены последовательности, попадет в указанный интервал? Этот вопрос решается каждый раз в зависимости от длины интервала s. Так, если £ = 0,01, то это будет при л>>7, для е=0,001 будет при л>10 и т.д.

Мы выражаем это свойство данной последовательности, говоря, что последовательность сходится к нулю, или она имеет своим пределом число нуль.

2. Рассмотрим ограниченную колеблющуюся последовательность

Ее члены то больше, то меньше нуля. Рассмотрим абсолютную величину разности между нулем и ап.

Пусть £>0 — произвольно заданное сколь угодно малое число, тогда неравенство

будет выполняться при всех значениях д>-~.

Так, если взять £ = 0,01, то — < 0,01 при л>100; если взять £ = 0,0001, то будет — <0,0001 при л>10 000 и т.д.

Представив последовательность графически (черт. 12), заметим, что точки, изображающие члены этой последовательности при увеличении п все плотнее группируются у точки 0. При этом, каким бы малым мы ни взяли интервал (—£, +£)t с Центром в точке 0, лишь некоторое конечное множество точек, изображающих члены последовательности

может быть расположено вне интервала (—£, +е), бесконечное же множество прочих точек последовательности расположено внутри него.

Последовательность

— сходящаяся, и пределом ее служит число 0.

Черт. 12

3. Рассматриваем еще знакомую ученикам возрастающую последовательность

При любом значении п члены последовательности остаются меньшими 1. Однако чем больший номер члена, тем меньше он отличается от 1. В самом деле, разность 1

тем меньше, чем больше п.

Какое бы ни было задано малое число е>0, эта разность становится меньше е, т. е.

Так, если взять г = 0,001, то неравенство

будет выполняться при

Все члены последовательности с большими номерами отличаются от 1 на число, меньшее 0,001. Геометрически это значит^ что точки, изображающие члены последовательности ап г= - ^_ I , «концентрируются» около точки 1, при этом каким бы малым ни был взят интервал с центром в точке 1, все члены последовательности, начиная с некоторого значения п> N (/V зависит от характера последовательности и величины е), попадают внутрь этого интервала (черт. 13).

В силу отмеченного свойства говорят, что последовательность

сходится к 1, или что она имеет своим пределом число 1.

После рассмотрения приведенных примеров формулируем определение предела.

Число / называется пределом последовательности

если каким бы малым ни было взято положительное число е при всех достаточно больших значениях я, абсолютная величина разности между ап и числом / становится меньше s, т. е. выполняется неравенство

То обстоятельство, что число / есть предел последовательности аПУ записывается так:

В рассмотренных нами примерах имеем:

Для закрепления определения предела решаем примеры:

1) Найти предел последовательности с общим членом ап Имеем:

Мы видим, что абсолютная величина разности \ап — 2 | = — при неограниченном возрастании п может стать меньше любого сколь угодно малого числа е>0, следовательно:

2) Найти предел последовательности а„ = -X-=- . Здесь выгодно сначала взять несколько членов последовательности с большим номером. Имеем:

Ученики замечают, что, чем большее я, тем член последовательности меньше отличается от + (стремится к -q-).

Докажем, что -у- есть предел этой последовательности. Мы должны показать, что для любого сколь угодно малого с>0 будет выполняться условие

при всех достаточно больших значениях п. Имеем:

Отсюда:

Так, например, если е = 0,0001, то все члены последовательности с номером п > 11110 отличаются от ~ меньше чем на 0,0001. Таким образом:

Домашнее задание. I. Киселев, Геометрия, ч. I, § 227. II. Найти пределы последовательностей:

Урок 14

С целью более прочного закрепления понятия предела я отвожу урок упражнениям на нахождение пределов последовательностей. При этом я уделяю много времени тщательной проверке выполнения домашних заданий, чтобы убедиться в том, что учащимися вопрос понят по существу.

1. В качестве первого примера определяем предел последовательности дл=-^-pj-(ученик у доски выполняет решение и графическую часть работы).

2. Рассмотрим последовательности приближенных значений \J2 по недостатку и по избытку.

Из курса VIII класса учащиеся знают, что

при любом значении п и

(равенство, вытекающее из правила образования последовательностей ат и а).

Если взять е — 0,00001, то после пятого шага процесса извлечения корня будем иметь:

поэтому

или при п = Ъ

При я>5 эти неравенства и подавно выполняются. Если взять е = -jpf» то будем иметь неравенства:

а для л>10 они выполняются и подавно; так как е может быть выбрано произвольно, то

Таким образом, иррациональное число \j2 можно рассматривать как общий предел последовательностей его приближенных значений по недостатку и по избытку.

К тому же результату мы пришли бы, рассматривая любое другое иррациональное число.

Приведем примеры последовательностей, не имеющих предела.

Во-первых, все неограниченные последовательности не имеют предела (что вытекает из определения предела). Примеры:

Существуют и ограниченные последовательности не имеющие предела, например: 1, 0,1, о, 1, о,...

Рассмотрим две сходящиеся последовательности :

(1)

(2)

Образуем новую последовательность следующим образом: на нечетных местах поставим члены последовательности (1), а на четных— члены последовательности (2).

Эта последовательность ограничена, но предела не имеет. Точки, изображающие ее члены, группируются около двух точек 0 и 1.

Докажем теорему:

Всякая бесконечная последовательность может иметь только один предел.

Доказываем теорему методом от противного. Пусть последовательность

имеет два различных предела А и В9 т. е. lim ап = А и \\тап = В.

Тогда, по определению предела, будем иметь \ап— А\<ег и \ап — £|<е2, где вх и е2 — сколь угодно малые, наперед заданные положительные числа.

Составим разность

если е1 и е2 выбрать меньшими е.

Мы пришли к тому, что \А — ß|<2e — абсолютная величина разности между неравными числами может стать как угодно малой, что невозможно. Полученное противоречие доказывает, теорему. В заключение приводим геометрическую иллюстрацию (черт. 14).

Черт. 14

Так как А ф Bf то мы можем заключить точки А и В внутрь достаточно малых интервалов (Л — е, A-ft) и (В — s, £+е), не имеющих (при достаточно малом е) общих точек. Ясно, что точка ап не может одновременно попасть в оба такие интервала.

На основании доказанной теоремы приходим к выводу, что всякая последовательность либо имеет один предел, либо не имеет предела*).

Далее сообщаю (без доказательства) основную теорему: Всякая возрастающая (или убывающая) ограниченная последовательность имеет предел.

Теорема справедлива для невозрастающих и неубывающих последовательностей.

Все рассмотренные выше примеры подтверждают справедливость теоремы.

При этом обращаю внимание учащихся, что не только последовательности указанного класса имеют пределы.

Здесь приводим пример такой последовательности:

Она не удовлетворяет условию теоремы, тем не менее имеет предел. Сформулированная теорема дает достаточное, но не необходимое условие существования предела последовательности.

Нетрудно показать, что последовательность имеет предел, равный нулю.

При любом сколь угодно малом е>0 будем иметь:

Так, если взять е = 0,0001, то все члены последовательности с номером, большим 20000, будут отличаться от нуля меньше чем на 0 0001 и т. д.

Таким образом

Обращаю внимание учеников на тот факт, что в данном примере бесконечное множество членов последовательности (с нечетными номерами) оказалось равным ее пределу, чего не наблюдалось в рассмотренных выше примерах возрастающих и убывающих последовательностей. Несущественно, будут ли по своей величине члены последовательности при различных значениях п то больше, то меньше ее предела (колеблющиеся последовательности), несущественно также, приближаются ли монотонно или нет члены последовательности с возрастанием их номера к пределу; несущественно, наконец, имеются ли среди членов последовательности, равные ее пределу или нет. Существенно лишь то, о чем говорится в определении: последовательность ап имеет своим пределом число /, если для всех достаточно больших значений п абсолютная величина разности \ап — /1 <С е, где е — любое сколь угодно малое положительное число.

Мы обращаем внимание преимущественно на изучение последовательностей, удовлетворяющих условию основной теоремы, так как в школьном курсе математики мы встречаемся с такими последовательностями при изучении вопросов о длине окружности, о площади круга, о поверхностях и объемах круглых тел, об объеме пирамиды.

Домашнее задание

I. Киселев, Геометрия, ч. I, §§ 228 и 229.

II. Найти пределы последовательностей:

3) Привести два примера ограниченных последовательностей, не имеющих предела.

Урок 15

Теоремы о действиях над пределами.

*) От редакции. При недостатке времени можно ограничиться лишь формулировкой и геометрической иллюстрацией теоремы.

Рассмотрим последовательности:

каждая из которых имеет предел, причем lim ап = 1 и lim Ьп=\.

Образуем новую последовательность, члены которой представляют собой суммы соответствующих членов данных последовательностей

Образованная последовательность сп= ап+Ь называется последовательностью-суммой данных двух последовательностей-слагаемых ап и Ь„.

Нетрудно видеть, что последовательность-сумма [сп\ имеет предел, равный сумме пределов последовательностей-слагаемых. В самом деле, абсолютная величина разности

сходится к нулю, следовательно,

Докажем теперь теорему: Если последовательности ап и Ьп имеют своими пределами соответственно числа А и В, то последовательность-сумма сп = ап+ Ьп также имеет предел, равный сумме пределов слагаемых А+В.

Доказательство. Так как \[тап = А и lim оп =z Ву то при достаточно больших значениях п будем иметь Ьп — В\<-^-. Рассмотрим абсолютную величину разности сп — (А-^-В). Имеем:

(здесь, как и раньше, ссылаемся на то обстоятельство, что абсолютная величина суммы не превышает суммы абсолютных величин слагаемых, известное учащимся из правила сложения относительных чисел), следовательно: \[тсп = А+В ч. т. д.

Без доказательства указываю, что теорема справедлива и для случая трех, четырех и вообще любого количества слагаемых. Потребность образования последовательностей-сумм показываю на примере сложения иррациональных чисел. Рассматриваем последовательности-суммы, образованные из приближений по недостатку и по избытку двух иррациональных чисел:

Имеем:

Суммируя соответственные приближения, получим:

Последовательность-сумма сп — возрастающая, ограниченная (ни один ее член не превышает любого числа с'п)у следовательно, она имеет предел, равный сумме пределов слагаемых:

То же можно сказать и об убывающей ограниченной последовательности с'п.

В заключение сообщаю (без доказательства) теоремы о пределе произведения и частного:

Иллюстрируем применение последней теоремы на отыскании предела более сложной последовательности

Имеем:

так как предел числителя равен 2, а предел знаменателя 5.

Домашнее задание

I. Шапошников и Вальцов, гл. XXIV, № 11 — 14.

II. Найти пределы последовательностей:

Урок 16

С целью дальнейшего разъяснения смысла формулированных на предыдущем уроке теорем, воспользуемся последовательностями приближенных значений тех же иррациональных чисел У 2 и у/3 (записи имеются у учащихся в тетрадях) и составим две последовательности-произведения: первую — из произведений соответствующих приближений по недостатку yj2 и \/3\ вторую — из произведений соответствующих приближений по избытку.

Имеем:

Очевидно, последовательность dn—возрастающая (так как с возрастанием п увеличиваются оба сомножителя: ап и Ьп) и ограниченная (ибо ни один ее член не превышает любого из чисел rf'Y следовательно (основная теорема), она имеет предел. Аналогичными рассуждениями устанавливаем, что последовательность d'n — убывающая, ограниченная и также имеет предел.

Общим пределом этих последовательностей является произведение j/2 - J/3.

После этого переходим к изучению бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Вначале обращаю внимание учеников на то, что:

1°. Если бесконечная последовательность является арифметической прогрессией, то при любом значении d (ее разности) она — расходящаяся.

2°. То же можно сказать о бесконечной последовательности, являющейся геометрической прогрессией при |<7|>1.

Символически записываем это так:

эта запись означает, что, каким бы большим ни было задано число во всякой расходящейся прогрессии при |^|>1 имеется лишь некоторое конечное количество членов по абсолютной величине, меньших к, все же остальное бесконечное их количество превышает по величине число к.

3°. Бесконечно убывающие геометрические прогрессии, т. е. прогрессии, для которых

I q К 1 суть сходящиеся последовательности, каждая из которых имеет своим пределом число 0. Например:

4°. Выписываем частные суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Последовательность

образованная частными суммами членов рассматриваемой прогрессии, оказалась сходящейся, причем

Нетрудно убедиться, что для всякой бесконечно убывающей геометрической прогрессии последовательность частных сумм является сходящейся, причем пределом ее служит число Y~f * где а — п^рвыи член, a q—знаменатель прогрессии.

В самом деле, для каждой из таких последовательностей имеем:

Отсюда :

так как qn (при \q\<C^) имеет предел, равный нулю.

В этом месте, во избежание неправильных интерпретаций со стороны учащихся понятия суммы с бесконечным количеством слагаемых, рекомендуем руководствоваться следующим указанием, данным в статье С. И. Новоселова.

«В связи с изучением суммы «бесконечно убывающей» прогрессии необходимо подчеркнуть следующее. Арифметика изучает действия с конечным числом компонентов. Всякое выражение, содержащее указание на необходимость выполнения некоторых действий в бесконечном количестве, как, например,

с точки зрения обычной арифметики не имеет смысла.

Придать этому выражению смысл можно лишь по определению. Таким образом, нельзя доказать, что сумма бесконечно убывающей прогрессии есть предел последовательности ее частных сумм; здесь мы имеем дело не с теоремой, а с определением».

«Полезно привести известный пример суммирования ряда

(s).

Можно рассуждать так. Само по себе (оставаясь на базе арифметических определений) это выражение не имеет смысла, так как мы не знаем, что значит сложить бесконечно много слагаемых.

Сложим п первых членов:

Как нетрудно видеть, lim 5Л = 1 = 1.

Этот предел мы условимся рассматривать как сумму (s)». (Журнал «Математика в школе» 1948, № 4).

НАГЛЯДНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ИСТОЛКОВАНИЯ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Н. Г. ТОКАРЧУК (Черкассы)

Цель настоящей заметки — показать, как при помощи простого самодельного математического прибора можно весьма наглядно и в доступной форме пояснить понятие предела числовой последовательности. Мы предполагаем, что учащиеся уже знакомы с изображением чисел на числовой оси, с понятием числовой последовательности и с понятием числового интервала.

Общий вид прибора изображен на чертеже 1. Прибор состоит из трех частей. Первая часть — это покрашенная белой краской доска размерами 116 см X 20 см и толщиной в 1—1,5 см, в которой на расстоянии 4 — 5 см от верхнего края сделан прорез шириной в 1 — 2 мм и длиной в 100 см так, чтобы с обоих концов ее оставалось по 8 см неразрезанной доски. В верхнем крае доски вделаны два кольца для подвешивания доски во время демонстрации в классе.

Вторая часть прибора — это два вырезанные из жести ползуна «Г-образной» формы с заостренными концами, которые в своей горизонтальной части снабжены деревянными прямоугольными подкладками толщиной в 0,5 см, прибитыми гвоздиками к жести. В точке пересечения диагоналей этих прямоугольников в ползуны вбиваются тонкие гвозди длиной в 2 см. На левом ползуне делается наклейка из бумаги с надписью «а—е», на правом — с надписью «a+е». Гвозди ползунов вставляются в прорез доски. Размеры ползунов показаны на чертеже 2.

Третья часть прибора — линейки размерами 110 сму^\0 см, толщиной не более 0,5 см, покрашенные белой краской или оклеенные белой бумагой, на которых дано геометрическое изображение нужных нам последовательностей. На чертеже 1 показана линейка с геометрическим изображением последовательности:

В верхней части линейки влево и вправо от точки а, изображающей предел последовательности, наносится небольшая шкала в десятых долях масштабной единицы, принятой при геометрическом изображении рассматриваемой последовательности. Эта шкала предназначена для отсчета длины интервала (а — е, a+e). Линейки подвешиваются на доске под концами ползунов на специально забитых гвоздиках. Эгот же прибор можно сделать из плотного картона.

Покажем, как при помощи нашего прибора можно иллюстрировать понятие предела числовой последовательности. Рассмотрим последовательность:

геометрическое изображение которой дано на линейке (черт. 1). Повесив прибор возле доски, обратим внимание учащихся на то, что с возрастанием номера п точки нашей последовательности «сгущаются» возле точки а = 1. Выясним характер этого сгущения. Зададим число г = ~ . Передвинув левый ползун от точки а = 1 влево на , а правый вправо на у , образуем интервал (а—г, а-ре) длиной в

Черт. 1

Черт. 2

Внутри этого интервала будут лежать все точки аю начиная с номера n=6, а вне его — первые пять точек:

Далее, зададим

и образуем интервал

Внутри этого интервала будут лежать все точки аю начиная с номера п= 11, а вне его—первые десять точек: аи ai»-*«. aio* Повторим этот эксперимент несколько раз, выбирая каждый раз число е все меньше и меньше, сделаем следующий вывод: как бы ни был мал интервал (а — е, а-|-е), всегда существует такой номер начиная с которого все точки ап лежат внутри этого интервала, а вне его лежат не больше N— 1 точек ап. В этом случае и говорят, что последовательность \ап) имеет своим пределом число а = 1. Такие объяснения следует повторить еще для двух примеров. Для этого можно рекомендовать такие примеры:

После рассмотренных примеров дается определение предела последовательности.

Теперь иллюстрируем понятие бесконечного предела последовательности. Рассмотрим последовательность:

^ = 2,02 = 4, û8 = 6,..., <*я = 2п9...,

геометрическое изображение которой дано на чертеже 3. Начало координат в этом случае надо помещать по середине линейки. Так как в этом случае мы будем образовывать интервал (—Ж,-|-Ж), то потребность в верхней дополнительной шкале отпадает. Перед демонстрацией надписи на ползунах надо заменить соответственно на —M и + Ж. Зададим число М— 11 и образуем интервал (—Ж, +Ж) длиной в 22. Вне этого интервала правее точки Ж =11 лежат все точки ап> начиная с номера п = 6, а внутри него — первые пять точек ап. Далее, зададим Ж = 21 и образуем интервал ( — Ж, ~\-Щ шириной в 42. Вне этого интервала правее точки Ж = 21 лежат все точки ал, начиная с номера п= 11, а внутри него первые 10 точек ап. Повторив этот эксперимент несколько раз, выбирая каждый раз число Ж все больше и больше, сделаем следующий вывод: как бы велик ни был интервал ( — Ж, +Ж), всегда существует такой номер N, начиная с которого все точки ап лежат вне этого интервала правее точки 4-Ж, а внутри него могут лежать первые N—1 точек ап.

Аналогично следует рассмотреть еще два таких примера:

В первом из этих примеров все точки аПУ начиная с номера .V, располагаются левее точки — Ж, в этом случае

Во втором примере все точки ая, начиная с номера Л/, располагаются вне интервала ( — Ж, + Ж) таким образом, что как левее — Ж, так и правее-)-Ж лежит бесконечное множество точек ап; в этом случае

Во всех трех примерах |ал|=2л, т. е. последовательность {\ап\\ неограниченно возрастает. После рассмотренных примеров формулируется определение.

Черт. 3

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ТЕМУ: «СТАЛИНСКИЙ ПЛАН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИРОДЫ И ВЕЛИКИЕ СТРОЙКИ КОММУНИЗМА»

В. В. ЛАНШИН (Харьков)

1. Государственная полезащитная лесная полоса от Саратова до Астрахани (длиною) расположена по обоим берегам реки Волги длиной в 900 км и шириной 100 м.

1) Вычислить площадь государственной защитной полосы в км2, га, а.

2) Вычислить ее периметр.

2. Государственная полезащитная лесная полоса Воронеж—Ростов-на-Дону расположена по обоим берегам реки Дона, имеет длину 920 км и ширину 60 м.

1) Вычислить площадь ее в км2, га, а.

2) Вычислить ее периметр.

3. Государственная полезащитная лесная полоса от г. Белгорода до реки Дон имеет длину 500 км и ширину 30 м.

1) Вычислить площадь ее в км2, га, а.

2) Вычислить ее периметр.

4. Территория по проведению мероприятий по Сталинскому плану преобразования, природы (постановление Совета Министров СССР и ЦК ВКП(б) от 1948 г.) равна площади квадрата со стороной в 1100 км.

1) Вычислить ее площадь в км2, га, а.

5. Постановлением Совета Министров СССР от августа 1950 г. будут построены на Волге и пущены в работу на полную мощность Куйбышевская ГЭС мощностью в 2 млн. киловатт и Сталинградская ГЭС мощностью в 1 700 000 киловатт.

1) На сколько мощность обеих ГЭС больше мощности Днепровской ГЭС?

2) Во сколько раз мощность обеих ГЭС больше Днепровской ГЭС?

Примечание. Мощность Днепровской ГЭС равна 600 000 киловатт.

1 киловатт заменяет работу 40 взрослых человек при 8-часовом рабочем дне.

6. 2500 000 га земли будут орошены с помощью ГЭС (Куйбышевской и Сталинградской).

Поливная земля даст урожай пшеницы 50 ц с 1 га.

Сколько будет добываться ежегодно с орошаемой земли пшеницы в центнерах, тоннах, пудах (тонна = 61 пуду)?

7. Постановлением Совета Министров СССР от 21/IX 1950 г. в районе г. Каховка будет построено огромное водохранилище емкостью в 14 миллиардов м3. Это объем четырехгранной призмы, в основании которой находится квадрат со стороной 37 км 500 м и глубиной в 10 м.

Вычислить площадь Каховского моря в км7, га, а и найти его объем в км3.

8. Канал-великан.

Длина Главного Туркменского канала 1100 км, длина Панамского канала 75 км (строился 35 лет). Главный Туркменский канал будет построен за 7 лет.

Во сколько раз больше темпы строительства Главного Туркменского канала по сравнению с Панамским каналом, который в свое время считался шедевром строительного искусства?

(Решить в целых числах.)

9. По Сталинскому плану преобразования природы будет засажено 6 000 000 га лесонасаждений, восьмую часть этих лесонасаждений составят фруктовые деревья и кустарники. 1 га сада приносит в год 12 m фруктов.

На сколько прибавится сбор фруктов в СССР от претворения в жизнь Сталинского плана преобразования природы (в центнерах, тоннах, пудах)?

10. По сталинскому плану преобразования природы будет построено 44 228 прудов и водоемов. В среднем площадь пруда равна 10 га. С 1 га зеркальной поверхности воды получают 150 кг рыбы.

Вычислить количество добавочного продукта, рыбы, который будет получаться из прудов и водоемов (в центнерах, тоннах).

ИЗ ОПЫТА ИЗУЧЕНИЯ В ШКОЛЕ БИОГРАФИЙ ВЕЛИКИХ РУССКИХ УЧЕНЫХ

О. ГИНЦБУРГ (Ленинград)

В объяснительной записке к программе по математике за 1949 г. на странице 5 сказано: «... Следует уделять достаточное внимание сообщению сведений по истории математики, разъясняя в особенности значение и роль математиков нашей Родины (Н. И. Лобачевский, П. Л. Чебышев, С. В. Ковалевская и др.; советская математическая школа)».

В этой заметке я намерен поделиться некоторым опытом но изучению в школе биографий великих русских математиков.

Так как в школьных учебниках но математике этого материала пока нет, то я обычно даю заранее план изложения биографии того или иного ученого. Ученикам легче тогда следить за моим рассказом и фиксировать подробности. Для закрепления я требую умения кратко пересказать материал или ограничиваюсь вопросами, исчерпывающими тот или иной абзац.

Для примера приведу биографию П. Л. Чебышева в том виде, как она была изучена на уроках математики в ленинградской средней школе № 202.

Пафнутий Львович Чебышев (1821—1894) вставил неизгладимый след в истории мировой науки и в развитии русской культуры. Многочисленные труды в различных областях математики и прикладной механики создали Чебышеву славу одного из величайших представителей математической мысли. Бурный рост капитализма в России в 60-х годах способствовал формированию Чебышева как ученого-практика, как стихийного материалиста, который обогатил своими изобретениями машинную технику того времени и расширил рамки ряда разделов математики, имевших важное практическое значение.

Биографические сведения. Чебышев родился 14 (26) мая 1821 г. в бывшей Калужской губернии в семье помещика. Грамоте его обучала мать, а арифметике и французскому языку — его двоюродная сестра Сухарева, девушка образованная и, повидимому, сыгравшая значительную роль в воспитании будущего великого математика.

В детстве Чебышев с увлечением занимался постройкой различных заводных игрушек и заинтересовался геометрией, заметив связь между этой наукой и его игрушками.

В 1832 г. семейство Чебышевых переехало в Москву для подготовки Пафнутия и его старшего брата к поступлению в университет.

Шестнадцатилетним юношей Пафнутий Львович стал студентом физико-математического факультета. Занятия Чебышева шли успешно. Особенно чутко руководил развитием математических способностей Чебышева известный тогда профессор Н. Д. Брашман, к которому Пафнутий Львович неизменно сохранял глубочайшее уважение. Для расширения своих знаний Чебышев, кроме усвоения лекционного материала, самостоятельно знакомился с трудами классиков математики. Уже через год после поступления в университет Чебышев получает серебряную медаль за математическое сочинение.

Когда Чебышеву было 19 лет, материальное положение семьи пошатнулось по причине неурожая 1840 г. и Пафнутию Львовичу приходилось жить на собственный заработок. Он стал очень расчетливым и бережливым. Впоследствии, когда он уже не испытывал недостатка в средствах, он не соблюдал экономии в их расходовании только при изготовлении моделей различных приборов и механизмов.

Двадцатилетним юношей Пафнутий Львович кончает курс в университете, пишет ряд работ, которые обнаруживают в нем крупного исследователя. В 26 лет он был приглашен профессором в Петербургский университет, где проработал около 35 лет. Впоследствии Чебышев возглавил Петербургскую математическую школу, основной чертой которой было стремление тесно связать вопросы математики с вопросами естествознания и техники.

В 38 лет Чебышев заслуживает звание ординарного академика, а в 53 года он получает звание иностранного сочлена Парижской академии наук.

Без особенных потрясений Чебышев дожил до 73 лет. 8 декабря 1894 г. (по н. с.) Пафнутий Львович, сидя за работой у своего письменного стола, скончался от паралича сердца.

Педагогическая деятельность Чебышева. Чебышев читал лекции в Петербургском университете (как было указано) почти 35 лет. Он умел возбуждать интерес к науке у своих учеников, делясь с ними своими разнообразными знаниями. Раз в неделю Чебышев принимал всех, кто искал у него научного совета.

Ученики в своих воспоминаниях характеризуют Пафнутия Львовича как человека требовательного к себе, в высшей степени аккурат-

«лого: он никогда не опаздывал на лекции и никогда не задерживал ни на одну минуту студентов во время перерыва.

Кроме профессорской деятельности, Чебышев уделял много внимания вопросам преподавания математики в разных учебных заведениях того времени (гимназиях, уездных и приходских училищах, воскресных школах, военных школах).

Чебышев занимался также разработкой уставов школ, составлением программ для них, рецензированием учебников и пособий и т. д.

Такая многосторонняя деятельность не мешала Пафнутию Львовичу оставаться в высшей степени скромным человеком: он самым решительным образом отклонял попытки друзей отметить 25- и 50-летний юбилей его педагогической деятельности.

Характеристика научного творчества Чебышева. Чебышева иногда называли «кочующим» математиком. Это надо понимать в том смысле, что он интересовался разными отраслями математики. Разработав основные вопросы в той или иной области, Чебышев часто представлял завершение в деталях своим талантливым ученикам. Так, питомец его школы Александр Михайлович Ляпунов в течение 20 с лишком лет работал над своей магистерской диссертацией, темой которой служил вопрос, поставленный ему Чебышевым (о фигурах равновесия вращающейся однородной жидкости при разных скоростях).

Одной из заслуг Чебышева как учителя русских математиков является то, что он своими работами и указаниями в ученых беседах наводил своих учеников на плодотворные темы для самостоятельных изысканий и обращал их внимание на такие вопросы, занятия которыми всегда приводили к ценным результатам.

Большая часть лучших математических открытий Чебышева навеяна прикладными работами, в частности его исследованиями по теории механизмов. Он пишет по этому поводу в своей статье «О черчении географических карт»: «Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее...».

В решении практических вопросов он искал самого выгодного разрешения, которое могло дать современное ему состояние науки. Он писал прикладные работы: «О зубчатых колесах», «О центробежном уравнении», «О построении географических карт» и даже «О кройке платьев».

Глубокий интерес Чебышева к прикладным вопросам нашел замечательное отражение в его кратком отчете о полугодовой заграничной командировке в 1852 г. Поразительно, как много успел сделать Чебышев за это время! Утренние и дневные часы он посвящал осмотру ветряных мельниц, паровых машин и передаточных механизмов, многочисленных фабрик, музеев. Рассказывая об этом в отчете, Чебышев выдвигал ряд соображений технического характера. Вечера уделялись беседам с учеными, инженерами. Чтение этого документа вызывает в равной мере восхищение и исключительной работоспособностью его автора и его гениальным теоретическим проникновением в самую суть, казалось бы, сугубо практических задач.

Работы в области прикладной механики. Чебышев построил много шарнирных механизмов (он их называл «суставчатыми»), он уделял большое внимание усовершенствованию параллелограма Уатта, превращающего круговое движение в прямолинейное. Первоначально замена одного вида движения другим вызывала вредное сопротивление и портила машину. Чебышев создал такие механизмы, в которых криволинейное движение возможно меньше отклонялось бы от прямолинейных, и определил при этом наивыгоднейшие размеры частей машины.

Чебышев создал ряд так называемых механизмов с остановками. В этих механизмах, широко применяемых в современном машиностроении, важное значение имеет соотношение между временем покоя и движения его разных звеньев, что зависит от технологических требований, предъявляемых к машине.

Чебышеву принадлежит приоритет в создании выпрямителей движения и знаменитая формула так называемых плоских механизмов, которая, по недоразумению носит название «формулы Грюблера», немецкого ученого, открывшего ее на 14 лет позже Чебышева.

Чебышев построил переступающую машину, воспроизводящую своим движением движение животного. Он построил так называемый гребной механизм, который воспроизводит движение весел лодки, самокатное кресло и многие другие механизмы. До сих пор наблюдая за движением этих механизмов, мы поражаемся богатством идей Чебышева в области техники.

В истории развития науки о машинах нельзя указать ни одного ученого, творчеству которого принадлежало столь значительное количество оригинальных механизмов, — их было свыше 40 и около 80 их модификаций. Чебышева можно назвать подлинным новатором техники.

Теория наилучшего приближения функций. Конструирование механизмов и разработка их теории послужили Чебышеву исходным моментом для создания нового раздела математики — «теории наилучшего приближения функций многочленами».

Пусть дан многочлен:

Чебышев поставил и решил следующую задачу : из всех многочленов я-й степени при а0 = 1 найти тот, который на сегменте — 1 ^ х < 1 имеет наименьшее отклонение от нуля*.

(Предлагаю в виде домашней работы вычислить величину отклонения приведенного квадратного трехчлена или кубического четырехчлена при указанных условиях и дать график.)

Эти многочлены носят название «полиномы Чебышева». Они обладают замечательными свойствами и находят применение во многих вопросах математики, физики и техники.

Работы Чебышева в области теории чисел. Много веков математики всего мира безуспешно пытались найти закон расположения простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11 и т. д. в натуральном ряду. Древнегреческий математик Евклид доказал, что последовательность простых чисел бесконечна. Другой греческий математик Эратосфен за неимением формул, выражающих все простые числа, составил таблицу простых чисел при помощи приема известного под названием эратосфенова решета.

Но вопросы распределения простых чисел в натуральном ряду оказались настолько сложными, что все попытки найти к ним подход оставались без успеха в течение более двух тысяч лет, хотя ими занимались многие великие математики.

И вот за эту труднейшую задачу взялся никому не известный еще тогда молодой русский ученый П. Л. Чебышев.

Исключительно остроумными средствами он достиг таких результатов, которые сразу выдвинули его в число крупнейших математиков мира. Чебышев нашел пределы, между которыми должно заключаться количество простых чисел, не превосходящих данной величины.

Один английский математик того времени сказал, что для получения дальнейших сдвигов в вопросе распределения простых чисел требуется ум, на столько превосходящий ум Чебышева, на сколько ум Чебышева превосходил ум обыкновенного человека. Разумеется, это образное выражение надо понимать не в том смысле, что ученые, продвинувшие после Чебышева проблему распределения простых чисел, превосходили его дарованием, а что они применили разработанные впоследствии более сильные методы. Одним из следствий открытого Чебышевым закона расположения простых чисел является утверждение французского математика Бертрана, что между п и 2п (где л>0 и целое число) содержится хотя бы одно простое число.

Работы по теории вероятностей. Эта наука занимается изучением случайных явлений, течение которых нельзя предсказать заранее и осуществление которых казалось бы при одинаковых условиях может протекать совершенно различно, в зависимости от случая.

Практика требовала знания закономерностей в массовых явлениях, из которых каждое в отдельности является случайным.

Классические сочинения по теории вероятностей, принадлежащие перу французских ученых Лапласа и Пуассона, были с трудом доступны даже специалистам.

Построить курс теории вероятностей, не предполагающей сведений по высшей математике, взялся Чебышев, едва достигший 23 лет. Всю жизнь он не упускал из виду этой науки и достиг в ней таких результатов, которые обеспечили за основанной им русской школой теории вероятностей ведущее место.

Почти все практические приложения теории вероятностей Чебышев установил на основании так называемого «закона больших чисел». Он применяется в синоптике, страховом деле и др.

До Чебышева теория вероятностей переживала младенческий возраст, и только Чебышев научил своих современников относиться к этой науке с той же строгостью и требовательностью, как ко всякой другой математической дисциплине.

Теория вероятностей нашла большое приложение и в военном деле. Методы Пафнутия Львовича позволили, в частности, решать многие задачи баллистики, науки, изучающей законы полета артиллерийских снарядов.

Заключение

Советская общественность достойно отмечала память великого русского ученого. В связи с 50-й годовщиной смерти П. Л. Чебышева в 1944 г. было подготовлено издание его сочинений в 5 томах. Это новое издание значительно полнее издания 1907 г., ставшего теперь библиографической редкостью. В связи с 125-летием со дня рождения Чебышева в 1946 г. была выпущена почтовая марка с его портретом. Постановлением Совнаркома СССР в 1944 г. установлены премии имени Чебышева за лучшие работы в области математики и теории механизмов. Установлена стипендия имени Чебышева для аспирантов и докторантов в Московском и Ленинградском университетах и в Академии наук.

Перед зданием Ленинградского университета установлен бронзовый бюст П. Л. Чебышева.

* От редакции. Уклонением от нуля функции непрерывной на сегменте называется максимум \f(x) \ на этом сегменте.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О КНИГЕ В. М. БРАДИСА «МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ»

(Учебное пособие для педагогических институтов, Учпедгиз, 1949)

Н. И. БЛАГОВЕЩЕНСКИЙ (Владивосток)

Выход в свет книги В. М. Брадиса встречен с удовлетворением как студентами педагогического института, так и молодыми учителями. Впервые в руках у студента и учителя имеется одна книга по всему курсу методики преподавания математики, книга, охватывающая почти все содержание школьной программы. До сего времени, при лекционном курсе методики математики в 60—80 часов, студенты вынуждены были обращаться минимум к четырем курсам «частных методик», общим объемом свыше 1000 страниц. По общей же части методики преподавания вообще нет ни одного современного руководства.

К сожалению, приходится отметить, что и книга В. М. Брадиса вышла только как пособие, а не учебник.

Рецензируя книгу В. М. Брадиса, мы исходим из следующих требований:

1. Автор книги должен на высоком идейно-теоретическом уровне с марксистско-ленинских позиций осветить основные идеи программного материала курса математики средней школы, показать учителю перспективы его работы, дать критику буржуазного подхода к определению содержания курса школьной математики.

2. Автор должен определить предмет методики преподавания математики, показать, наряду с развитием математики вообще, развитие методов преподавания, в частности показать вклад в это дело русских и советских педагогов-математиков. Книга не является учебником истории методики математики, но в то же время она не в праве обойти и эти вопросы. Современная подготовка учителя требует широкого кругозора в области его специальности.

3. Книга должна быть рассчитана в первую очередь на студентов, т. е. молодых начинающих педагогов, поэтому она должна быть «букварем» в их первых педагогических шагах. К ней в первую очередь они должны обращаться, в ней они должны найти ответ на вопрос о том, как преодолеть свои первые затруднения.

4. Автор должен указать учителю на трудные места в курсе школьной математики, установленные на основе обобщения опыта массовой школы, и показать пути преодоления этих трудностей. Рекомендуя различные варианты изучения с учащимися трудных мест, надо дать их развернутый анализ и иллюстрации из практики опытных учителей.

5. От обобщающих теоретических положений автор должен «провести» молодого учителя к вопросам практической реализации этих общих положений на конкретном учебном материале, вплоть до указания мер, способствующих закреплению изученного учебного материала.

Книга не должна быть сборником методических разработок по всем темам школьной программы, но должна осветить последовательно курс школьной программы по математике, детальнее в начале, а по мере продвижения — выделять только особые места, специфические для данной темы.

6. Автор должен показать молодому учителю на конкретных примерах, как сочетать обучение и воспитание коммунистического мировоззрения в процессе самого обучения.

7. Само собой разумеется, что содержание книги должно быть согласовано с существующей программой по методике преподавания математики в педагогическом институте, со школьной программой по математике и с принятым для школы учебником и задачником.

В свете этих требований мы попытаемся рассмотреть книгу В. М. Брадиса «Методика преподавания математики».

Начало книги автор посвящает краткому историческому обзору развития математики как науки. Всю историю математики автор делит на три этапа, следуя схеме А. Н. Колмогорова. Детально рассмотрев два первых этапа (до XIX в.), третий, «столь богатый крупнейшими открытиями», автор, по сути дела, не рассматривает.

«...Мы не можем в рамках этой книги даже пытаться охарактеризовать их хотя бы в самом сжатом виде» (стр. 11),— так пишет автор. Таким образом, использовав исторический материал для некоторого показа связи его с материалом школь-

ной программы, автор исключил перспективу развития, столь важную для более широкого кругозора молодого учителя, для его идейно-теоретического роста. Исторические обзоры, даваемые автором в начале каждой «частной методики», несколько исправляют положение, но не решают вопроса.

Совершенно недостаточно показана борьба материалистического марксистско-ленинского направления против идеализма в математике. Сами факты, проводимые автором по этому вопросу, не затрагивают современного положения.

Неоправданно скромно показаны заслуги наших советских математиков (см. стр. 11).

Рассматривая отдельные школьные дисциплины (арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию), автор старается определить основные понятия и идеи, лежащие в основе каждой дисциплины, указывает цели изучения этой дисциплины в школе. Однако автор не показал настоящей связи математики-науки с математикой — школьным предметом, не показал, как и по какому принципу производится отбор материала для школьной программы, не показал «идейной связи» (если можно так выразиться) между «средней» и «высшей» математикой.

Нет ни одного критического замечания о буржуазном подходе к отбору программного материала, хотя бы на примере отдельных современных капиталистических стран.

В вопросе о самообразовании учителя математики автор правильно поставил целью расширение кругозора учителя и требование систематического повышения его теоретического уровня, но этот вопрос осветил с узко «математической» стороны. Автор ни одним словом не упоминает об изучении политической литературы, высказываний классиков марксизма-ленинизма, хотя бы по математическим вопросам и по теории познания. Если не будет изучаться эта литература, действительно учитель станет «ремесленником».

Таким образом, автор сужает задачу подготовки учителя математики.

Определения предмета методики преподавания математики автор не дает, но раскрывает его через описание содержания (стр. 37). Содержание и задачи методики математики автором даны удачно, но, перечисляя некоторые методы преподавания (§ 17), автор почему-то обошел молчанием такие методы, как лабораторный и экскурсионный.

Автор исключительно верно пишет:

«Каждый учитель математики должен интересоваться тем, как постепенно складывались современные методы преподавания математики» (стр. 38), но указаний по данному вопросу не дает. В параграфе 11 дан лишь небольшой перечень имен и крупиц замечаний о методах, но нет никакой истории «складывания» методов. Да и перечень имен весьма ограниченный, а в части заслуг Ф. Клейна и неверный. Не Клейн впервые выступил за реформу преподавания математики, а наш русский методист В. П. Шереметьевский (см. журнал «Математика в школе», 1949, № б, статья А. В. Ланкова).

Автор часто обращается к историческим обзорам (в начале книги, в начале каждой частной методики), но как-то не чувствуется органической связи учебного материала с вопросами истории, нет комментариев к историческому материалу с точки зрения его методической ценности. Все это предоставляется делать начинающему учителю самостоятельно.

Только о роли Н. И. Лобачевского сделано хотя и краткое, но существенное замечание о том, что и как следует сообщить ученикам VI класса.

Вообще говоря, вклад русских математиков-методистов в методику преподавания математики автором показан весьма и весьма бледно.

В какой мере книга помогает начинающему учителю? Первые организационные шаги начинающего учителя (будем считать студента-практиканта) автор обеспечивает указаниями на составление календарного плана и указаниями, как готовиться к уроку, приведя примерный конспект (пожалуй, чрезмерно подробный).

Далее автор решил важную задачу, указав на трудные места в школьном курсе математики. Не секрет, что для многих начинающих учителей содержание школьной программы кажется более или менее однородным, и только в практике преподавания они, столкнувшись с трудностями, начинают искать выход из положения.

Указав на трудные места, автор сделал только первый шаг; дальше следовало бы показать причины затруднений и пути их преодоления. К сожалению, это сделано только в редких случаях. Поэтому молодой учитель вынужден сам искать выход иэ положения, так как методика здесь ему не помогает.

В некоторых случаях автор помогает уточнить объем программного материала (приближенные вычисления, неравенства в VII классах и др.), помогает разобраться в таких вопросах, как «формализм в преподавании математики», дает убедительные советы, касающиеся широкого внедрения задач на доказательство и решения геометрических задач с самого начала курса геометрии в VI классе.

С большей степенью приближения к практическим потребностям начинающего учителя автор рассматривает немного тем («Учение о натуральном числе», «Первые теоремы стереометрии», «Тригонометрические функции в VIII классе» и др).

Заключая главу о логарифмах, автор призывает шире использовать счетную линейку (логарифмическую); он пишет:

«Можно думать, что счетная линейка в соединении с обычными (русскими) счетами (а в дальнейшем и с арифмометром) в значительной мере вытеснит из школ логарифмические таблицы и станет основным средством школьных вычислений» (стр. 282).

Надо полагать, что эти слова серьезно заставят многих учителей задуматься над предложением автора о внедрении счетной линейки в школу.

Очень хорошо рассмотрены понятия «равенство», «равновеликость» и «равносоставленность» (стр. 339).

Красной нитью через все содержание книги проходят указания автора учителям на один из важнейших принципов советской дидактики — на сознательность усвоения учащимися изучаемого материала, на поднятие заинтересованности учащихся математикой путем широкого привлечения графических иллюстраций; указания на систематическую связь учебного материала разных разделов и разных дисциплин и на этой основе развитие логического мышления; указания на заблаговременную подготовку учащихся к восприятию нового понятия.

К сожалению, все эти рекомендации, за небольшим исключением, представляют только отдельные советы, может быть, полезные среднеподготовленному учителю. Начинающего учителя автор не ведет от основных общих теоретических указаний к практической реализации этих указаний в определенной системе работы, не показывает последовательного хода его работы — до завершения ее в виде системы закрепляющих упражнений.

В некоторых случаях сам автор создает затруднение для молодого учителя тем, что, приведя несколько вариантов решения вопроса (что совершенно правильно), не дает никакого анализа и характеристики каждого варианта, ставя втупик учителя. Каким путем следовать?— Неизвестно. В этом случае, если можно так выразиться, «объективизм автора» неуместен (ч. V, гл. IV, § 17).

В параграфе 20 о наглядности преподавания кроме общих рассуждений ничего не сказано. Нет даже перечня основных наглядных пособий.

Параграф 26 «Контрольные работы». В нем говорится только о том, как давать работы, но нет ни образцов работ, ни указаний о том, как их составлять, нет даже простого перечня видов контрольных работ.

В параграфе 28 (гл. III) «Учет успеваемости». Больше говорится по поводу учета успеваемости; правда, ряд положений, выдвинутых автором, существенны. Однако нет ни инструкции об оценке знаний учащихся, ни краткого изложения норм оценки знаний по математике.

Автор заканчивает предупреждением «о той величайшей ответственности», которую несет учитель за правильную оценку. К чему тут превосходная степень «величайшая»? Не в оценке величайшая ответственность учителя, а в хорошем обучении.

Автор вводит новую классификацию задач как по арифметике, так и по алгебре, а именно: задачами он считает «любой математический вопрос, для ответа на который недостаточно воспроизведение одною какого-нибудь результата, теоремы или определения из пройденного курса» (стр. 57). И далее автор подразделяет задачи на следующие виды (ч. II, § 4):

а) задачи-примеры;

б) задачи-расчеты;

в) задачи развивающие.

Классификация не выдерживает критики даже самого автора. Так, говоря о задачах-примерах, т. е. о тех задачах, которые требуют только твердого знания некоторых правил и которые даются с целью выработки прочного навыка их применения (стр. 113), автор говорит, что эти задачи «представляют собой весьма примитивное малоразвивающее упражнение» (стр. 113). А ниже несколькими строчками уже говорит:

«Упражнения в решении задач-примеров возрастающей сложности воспитывает в детях полезнейшее умение выполнить большую работу, разбивая ее на ряд последовательных шагов, вырабатывая терпенье и внимание, приучая к аккуратности, к самоконтролю, воспитывая столь важное чувство ответственности за свою работу» (стр. 113).

Разбирая вопрос об алгебраических задачах, автор пишет:

«...задачи-примеры незаметно переходят в задачи развивающие» (стр. 190).

Почему-то автор не осветил вопрос о классификации арифметических задач И. И. Александровым и методе целесообразных задач Шохор-Троцкого,

Пропагандируя более широкое употребление эвристического метода, в некоторых случаях автор преувеличивает его значение.

Так, например, в теме «Параллельные» автор рекомендует для самостоятельного вывода учащимися предварительное измерение суммы углов треугольника «...пользуясь любыми средствами...» (стр. 321—322). Ученики к этому времени еще недостаточно крепки в логических доказательствах и едва ли «после сладкого захотят горького», т. е. после опытной проверки (хотя бы простым отрыванием углов бумажного треугольника и суммированием их при одной вершине) начинать доказывать то, что «ясно и без всякого доказательства»

Другое дело, если логичное доказательство завершить опытной проверкой.

О воспитании в процессе обучения математике. Всем известно, какое значение в последнее время приобрели вопросы идеологического воспитания. Ясно, что ни один учитель не может стоять в стороне от воспитания коммунистического мировоззрения учащихся.

Тем более важно было дать соответствующие указания учителям математики.

Однако в книге В. М. Брадиса реализация этого вопроса является, пожалуй, самым слабым местом.

Общие установки автором даны правильно:

«Вся работа учителя математики должна быть построена так, чтобы эти две цели преподавания математики, образовательная и воспитательная, гармонически сочетались: надо, обучая, воспитывать» (стр. 35).

Далее в § 15 указывается четыре направления политико-воспитательной работы с учащимися:

1. Показ роли математики вообще.

2. Практическое применение математики.

3. Показ деятелей математики.

4. Показ великих достижений нашей родины.

К сожалению, автор ограничился кратким изложением статьи С. М. Чуканцова «О воспитании у учащихся чувства советского патриотизма и советской национальной гордости в связи с изучением математики в средней школе», напечатанной в журнале «Математика в школе» за 1948 г., № 6, а сам не развернул этого вопроса и не показал на конкретном материале гармонического сочетания образовательной и воспитательной цели. В тексте имеются отдельными редкими вкрапинами краткие общие замечания в стиле «...имеет воспитательное значение...» к некоторым разделам программы. Ясно,, что от таких замечаний помощи начинающим учителям немного.

Заключая 1-ую часть, автор дает ряд полезных советов начинающему учителю, но и тут забыл упомянуть об использовании материала математики в воспитательных целях.

О согласованности указаний со стороны методиста с указаниями программ. По самому своему характеру книга по методике преподавания специальной дисциплины является настольным руководством для учителя, особенно начинающего. Она должна быть первым советчиком ему в том, как начать изучать предмет, как продолжать изучение, как преодолеть те или иные трудности. А так как учитель обязан строго руководствоваться государственной программой, то методика должна давать свои указания в точном соответствии с требованиями программы,— в случае расхождения школьного учебника математики с программой автор методики должен дать совет, как поступить в таком случае учителю.

В общем книга В. М. Брадиса соответствует этим требованиям, но в отдельных частных случаях есть досадные расхождения, которые ставят втупик учителя. Например:

1. Автор рекомендует параллельное изучение обыкновенных и десятичных дробей (стр. 148—149), программа же ясно требует раздельного изучения.

2. Автор весьма категорически выступает против тех, кто желает видеть в процентах нечто большее, чем только «частный случай дробей».

Вопреки программе и практике, автор, говоря словами проф. Хинчина, заявляет:

«Поэтому не существует и не может существовать никаких задач на проценты» (стр. 152).

В программе последнего года издания значатся задачи на проценты, а уважаемые профессора говорят: «никаких задач на проценты».

3. Рекомендуется отложить изучение свойств (законов) арифметических действий до изучения алгебры из-за невозможности найти им практическое применение (стр. 121); правда, уже на странице 123 автор использует эти самые свойства.

4. Автор против рассмотрения приема проверки с помощью «девятки» (стр. 120), а программа это рекомендует (стр. 6, 1949 г.).

5. Вводится определение одночлена так: «Одночленом называется произведение, состоящее из множителя, выраженного цифрами (коэффициента), и одной или нескольких букв, взятых каждая в определенной степени;...» (стр. 210).

Определение современное, но противоречащее определению, данному в учебнике Киселева. Как же быть учителю? Этого автор не сказал.

6. Автор пишет: «В учебной литературе распространен устаревший взгляд на логарифмирование как на одну из двух обратных операций по отношению к возведению в степень (другой обратной операцией является извлечение корня). Взгляд этот в настоящее время должен быть совершенно оставлен, так как он приводит к неправильному представлению о логарифмировании как об одной из алгебраических операций...» (стр. 270), а в учебнике Киселева, изданном в 1949 г., на странице 103 § 101 написано:

«Два действия, обратные возвышению в степень». Как же в таком случае быть учителю? Ответа на это автор не дает.

7. Программа по тригонометрии требует изучения тригонометрического круга единичного радиуса, а автор в основу кладет радиус произвольной величины.

Вот такие указания автора методики расходящиеся с программой и учебником средней школы вредны, и не своим существом (так как они большей частью правильны), а тем, что автор не делает вывода и не договаривает того, как же в таком случае поступить учителю. Перед учителем встает вопрос: «Чему же верить?».

Автор вправе помещать новое толкование отдельных понятий, но тогда он должен указать выход из создающегося противоречия.

Вообще же говоря, вопросам дискуссионным место не в методике, а в журнальных статьях.

Структура учебника и стиль изложения материала. Автор решил трудную задачу конструирования книги, связав единым стилем и характером изложения существовавшие до сего времени раздельно «частные методики» преподавания арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии, и решил ее удовлетворительно.

Особую трудность составляла связь раздела общей части с частными методиками, так как здесь неизбежно напрашивались повторения. Эта трудность также решена в основном удовлетворительно.

Раздельное написание глав для семилетней и средней школ облегчает работу учителя с книгой.

Распределение материала и количество страниц на каждую часть сделаны правильно, правда, чувствуется какая-то недоработанность материала по разделу стереометрии.

Хороши приводимые перечни литературы.

Какое-то недоразумение произошло в связи с выходом новой программы по методике преподавания математики для педагогических институтов и планом новой книги по методике.

Книга составлена для студентов педагогического института и составлена в строгом соответствии с программой, но уже смененной.

Программа 1950 года по содержанию коренным образом расходится с программой 1949 года.

Общий вывод: несмотря на существенные недочеты, книга может быть рекомендована в качестве пособия для студентов педагогических вузов и для начинающих учителей.

О КНИГЕ И. С. ГРАДШТЕЙНА «ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЫ»

П. С. ИСАКОВ (Москва)

Вопросы логического построения математики вызывают обычно большие затруднения не только у учащихся средней школы, но даже и у студентов вузов. Вышедшая недавно книга И. С. Градштейна «Прямая и обратная теоремы»* как раз и имеет своей целью помочь преодолению этих затруднений. Рассчитанная на «учащихся старших классов средней школы, студентов педвузов, а также на преподавателей средней школы и техникумов», книга рассматривает целый ряд понятий, являющихся основой математических рассуждений. Приводя в качестве иллюстраций много примеров, автор показывает существующую между этими понятиями связь. В конце каждого параграфа помещено достаточное количество задач. Все это могло бы сделать книгу интересной и весьма полезной для круга читателей, на которых она рассчитана.

Однако не без сожаления приходится отметить, что книга содержит целый ряд недочетов, свидетельствующих о том, что она не была достаточно хорошо обдумана автором, отдельные же недочеты явились просто следствием небрежного отношения автора к работе.

Прежде всего необходимо отметить, что книга написана излишне многословно. Все то, о чем говорится в ней, можно было бы изложить значительно короче, не причинив никакого ущерба основному содержанию. Более того, сжатое изложение отчетливее выделило бы основные мысли, придав им в целом большую стройность и большую доступность.

Так, например, книга (как показывает само ее название) рассказывает об основных математических предложениях — аксиомах, прямой, обратной и противоположной теоремах — и раскрывает существующую между этими предложениями связь. Всему этому автор посвящает 19 страниц. В то же время в учебнике Киселева раздел II «Математические предложения» занимает всего лишь три страницы (в переводе на страницы одинакового формата), а в учебнике Глаголева § 33 «Понятие о теореме» и раздел V «Расширение понятия о теореме» в общей сложности занимают 6 страниц, причем как в одном, так и в другом учебнике сказано, в сущности, ничуть не

* И. С. Градштейн, Прямая и обратная теоремы, издание второе, Гостехиздат, 1950, стр. 80.

меньше того, что говорится в рецензируемой книге.

Три параграфа (тринадцать страниц) посвящает автор ознакомлению читателя с понятием множества и изучению некоторых соотношений между множествами и свойствами. Следует заметить, что именно эта часть книги и является наиболее слабой.

Во-первых, использование в данной книге понятия множества вряд ли целесообразно. Ничуть ни удобнее, ни яснее вместо, например, такого выражения: «Если верно Л, то верно и Z?»— употреблять выражение: «Если элементы множества M обладают свойством а, то они обладают также и свойством Первое более просто и потому более доходчиво. Сам автор, неожиданно отказавшись от принятой им символики и терминологии, на странице 44 пишет: «Мы исходим из предложения А и доказываем теорему: «если предложение А верно, то верно и предложение В (короче, если А, то В)».

Однако если и можно согласиться с введением понятия множества, то никак нельзя считать оправданным употребление в книге (что делается главным образом при построении фигурных схем) таких понятий, как сумма и пересечение множеств, сумма и произведение свойств, тождественность множеств. Это не вызывается особой необходимостью и только загромождает книгу. Все то, о чем говорит автор, используя терминологию теории множеств и математической логики, можно было рассказать простым и более доступным для учащегося средней школы языком. Это вполне подтверждается некоторой непоследовательностью автора, выразившейся, например, в следующем. Говоря об изображении соотношений между множествами с помощью схем (стр.21, §6), автор использует понятия суммы и пересечения множеств, суммы и произведения свойств, включения множеств и т. п. Однако, переходя к основной теме и строя в качестве иллюстраций фигурные схемы, он почти обходится без этих понятий, даже не проводя в достаточной степени аналогии с тем, что было сказано выше (см., например, стр. 34—36). Таким образом, построенный аппарат используется далеко не в полной мере, а это ставит под сомнение и целесообразность его введения.

Во-вторых, не имея возможности (в силу вполне понятных причин) изложить вспомогательный материал (§§ 4—6) со всей строгостью и полнотой, автор прибегает к некоторым упрощениям, которые всегда чреваты опасностью создать у читателя неверные представления. Примером могут служить следующие пояснения, которые даются автором на странице 23: «Пусть прямоугольник ABCD представляет собою план склада, куда сложены все четырехугольники. У читателя может возникнуть вопрос, как поместить в такой склад очень большие четырехугольники. Такие четырехугольники перед тем, как положить в склад, можно сложить в несколько раз» (курсив наш.— П. И.). Читая о том, что прямоугольник ABCD есть план склада (т. е. план какого-то помещения), что четырехугольники можно укладывать в этом складе (штабелями или еще как-нибудь?), что их разрешается складывать вдвое, втрое и т. д., невольно можно представить себе, что четырехугольники — это какие-то предметы. Здесь автором допущена ничем не оправдываемая вульгаризация. Кроме того, сразу же возникает вопрос: как сложить в некоторое помещение бесконечное множество таких предметов?

На странице 24 автор проводит некоторую аналогию между схемами, на которых показывается разбиение бесконечных множеств на бесконечные же подмножества, и обычными диаграммами. Он пишет: «Схемы, о которых идет здесь речь, очень похожи на диаграммы». Не тождественны, а похожи, и именно потому (так, видимо, нужно понимать), что в данном случае «мы упрощаем вопрос», интересуясь «лишь вопросом о том, на какие подмножества можно разбить данное множество, а не вопросом о количественном соотношении между этими подмножествами». Это место может навести на мысль, что если бы мы не упрощали вопроса, то могли бы, изменив соответствующим образом размеры частей фигурной схемы, показать и количественную сторону. Читатель, не знакомый с понятиями взаимно однозначного соответствия и мощности множества, может сделать вывод, что количественные соотношения между множествами вполне определяются относительными размерами фигур, изображающих эти множества. Так, например, если множество всех действительных чисел изображается некоторым отрезком, то множество отрицательных чисел обязательно должно быть изображено половиной этого отрезка.

В-третьих, как раз в обозначениях множеств и свойств автором допущено наибольшее число описок (об этом см. ниже).

Из сказанного выше следует, что краткий экскурс в теорию множеств и математическую логику является несколько неудачной попыткой автора познакомить учащегося средней школы с вопросами, выходящими за пределы школьной программы, и показать, что известные ему понятия могут быть освещены и с других точек зрения.

В книге встречаются недочеты и иного рода. Так, на странице 30 записано: MA ЕЕ MB. И тут же в скобках сделана оговорка: «сократить» на «множитель» M нельзя». Но выше было указано, что А ОМ и В СМ. В этом случае из соотношения МЛЕ MB, конечно, следует А ЕЕ В. Так что «сокращение» на M оказывается возможным. Очевидно, автор неудачно выразил свою мысль, и поэтому приведенное замечание лишь поставит в тупик неискушенного читателя.

Все это относится и к следующему далее замечанию относительно невозможности «сокращения» на слагаемое «принадлежать к множеству М».

На страницах 18 и 19 вместо слов «по крайней мере одно из двух» автор несколько раз употребляет двусмысленные (что он и сам подчеркивает в сноске) выражения, содержащие союз «или». Так, вместо «...входит по крайней мере в одно из множеств А или В» записано: «входит в множество А или множество В». Подобная замена никак не ведет к большей ясности.

В конце § 9 приводится несколько примеров, цель которых состоит, несомненно, в том, чтобы проиллюстрировать те выводы, к которым автор подводит читателя. Однако автор не показывает связи, существующей между этими выводами и рассуждениями, проводимыми в примерах. Относится это замечание главным образом к примеру 2 (решение уравнения).

Выше были затронуты более или менее дискуссионные вопросы.

Остановимся теперь на тех явных недочетах, которые могли появиться в книге только в результате некоторой неаккуратности. Отметим здесь же, что хотя эти недочеты и незначительны (как правило, простые описки), однако, встречаясь в большом количестве, они существенно затрудняют чтение. В отдельных же случаях эти описки прямо граничат с ошибками.

Говоря об «изображении соотношений между множествами с помощью схем», автор на странице 21 дает такой чертеж (черт. 1).

Здесь прямоугольник KLPR представляет собою множество В элементов, обладающих свойством ß; прямоугольник KLMN — множество Л элементов, обладающих свойством а. Из чертежа следует, что В С Л (это, собственно, и дано по условию). В книге же сказано: «Очевидно (из чертежа), что ß Ca». Во-первых, из чертежа непосредственно не вытекает, какое именно соотношение существует между двумя свойствами; во-вторых, само соотношение ßCa неверно. Так как В С Л, то должно быть <.

На странице 28 идет речь о множестве элементов Л, обладающих некоторым свойством а. Предполагается, что Л С М, где M — некоторое данное множество. Автор пишет:

«Далее мы убеждались в том, что это подмножество Л кроме свойства а обладает еще и некоторым другим свойством, скажем, ß». Это означает, что свойство а включает в себя свойство ß. т. е. а О 3. Отсюда следует, что если В есть множество, определяемое свойством ß, то Л С В. Автор же уверяет, «что множество В С М, определяемое свойством 6, является частью множества Л С ЛЬ. Все это ведет к путанице, продолжающейся и на странице 29.

В решении задачи 35 на странице 72 записано: «Что означает утверждение, что теорема: «Если объект R обладает свойством а, то он обладает свойством ß з>— не верна? Это утверждение означает, что некоторые (или все) объекты R, обладающие свойством а, не обладают свойством ß. Поэтому, предположив, что некоторый объект R, не обладая свойством *, обладает свойством ß, мы в этом случае никак не сможем прийти к противоречию». Все это справедливо, однако не является решением задачи 35 (стр. 44), в которой спрашивается, можно ли при доказательстве явно неверной теоремы методом от противного прийти к противоречию. Из первых двух фраз, приведенных здесь, следует, что противным предложением должно быть предложение: объект R, не обладающий свойством ß, обладает свойством а, т. е. как раз обратное тому, что указано в книге.

Подобная путаница при употреблении обозначений А, В, а и ß встречается также и на страницах 22 и 29.

Следует отметить, что решение указанной задачи 35 излишне многословно и дано в трудно воспринимаемых выражениях. Оно вполне могло быть сделано проще и понятней. Действительно, если мы говорим, что теорема — явно неверная, то это значит, что неверно ее заключение. Сделав противное предположение, мы выскажем тем самым верное утверждение. А из верного путем правильных рассуждений мы никогда не придем к неверному, т. е. к противоречию.

На странице 73 в решении задачи 38 при отыскании пар целых чисел, удовлетворяющих уравнению т2 — /2=16, записано:

«Отсюда следует, что либо

m — t=±\ и m+ /=±16,

либо

m — / = + 2 и m -г / = ± 4».

Эта неточная запись сопровождается не относящейся к ней оговоркой: «так как \т\ > Kj».

Отметим, наконец, что в книге встречаются и неудачно построенные фразы. Так, на странице 48 сказано: «Затронутые здесь вопросы полностью разбираются в высшей математике в теоремах о существовании обратной функции и неявно заданных функциях». Эту фразу невольно хочется прочитать так: «Вопросы... разбираются... в теоремах... и... функциях». Подобных примеров можно привести довольно мною.

Отдельные недочеты, кроме названных выше, можно указать также на страницах 32, 38, 50, 72, 73, 74. Для книги в 80 страниц — это, конечно, очень много, и потому качество ее сильно снижается. При этом надо помнить, что книга рассчитана в первую очередь на учащихся средней школы и затрагивает вопросы, особенно трудные для них. Уже поэтому автор и издательство должны были бы при подготовке книги ко второму изданию просмотреть ее особенно тщательно, помня, что обилие неточностей может привести к совсем нежелательному результату.

О КНИГЕ С. А. ЯНОВСКОЙ «ПЕРЕДОВЫЕ ИДЕИ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО — ОРУДИЕ БОРЬБЫ ПРОТИВ ИДЕАЛИЗМА В МАТЕМАТИКЕ»

Изд. АН СССР, 1950 г., 82 стр., цена 4 руб.

В. Н. МОЛОДШИЙ (Москва)

Работа С. А. Яновской состоит из двух, тесно связанных частей:

I. Борьба Лобачевского с произвольными допущениями в науке.

II. Математическая строгость в понимании Лобачевского.

Современный философский идеализм — идеологическое оружие империалистов, в первую очередь американских — неустанно твердит, что в развитии своих теорий математик должен быть совершенно «свободен». Требование истинности исходных посылок (аксиом, например) не должно его стеснять; он вправе выбирать их как хочет, строить на них что хочет. Математика — игра, система условных соглашений. Идеалисты любят при этом клеветнически ссылаться на Лобачевского, который, создал свою неевклидову геометрию якобы благодаря такому «свободному» выбору новой аксиомы параллельности.

В работе автор подчеркивает, что классовый смысл этих антинаучных и реакционных идеалистических бредней совершенно ясен: «Борьба за передовое, материалистическое мировоззрение в науке неотделима в наши дни от борьбы за уничтожение капитализ-

ма» (4)*. Поэтому философы-идеалисты — эти дипломированные лакеи империализма — всеми им доступными средствами пытаются изгнать материализм из «ауки, в том числе и из математики, стараются ошельмовать, запугать прогрессивных ученых. Кроме этого, философы-идеалисты пытаются создать у буржуазных математиков иллюзии «свободы» и «независимости» (33), отвлечь их от «проклятых» социальных вопросов.

В противовес всем этим идеалистическим, реакционным бредням, автор показывает, что Лобачевский смог открыть свою геометрию не только потому, что был гениальным математиком, но и потому, что активно боролся против идеализма (особенно против кантианства), защищал материалистическое понимание принципов математических теорий, отрицал произвол в их выборе. Лобачевский считал, что посылки каждой математической теории должны давать точное описание основных свойств изучаемых в ней количественных отношений и пространственных форм реального мира. «В чистой математике, — писал Лобачевский,— они (т. е. посылки. — В. М.) должны быть несомнительные для нас истины, первые наши понятия о природе вещей... таковы-то должны быть и основания геометрии»**.

Автор приводит ряд примеров, показывающих, как Лобачевский боролся за реализацию своих установок в геометрии и алгебре, подчеркивает, что сделанное здесь Лобачевским и в наше время имеет актуальное значение. Автор подчеркнул также, что эта борьба Лобачевского сыграла большую роль в ею творческих достижениях.

«В отличие от всех его предшственников,—указывает автор,—-...великий русский математик (т. е. Лобачевский.— В. М.) исходил из того, что для решения трудного вопроса о параллельности отнюдь не достаточно средств логики. По Лобачевскому, вопрос может быть окончательно решен только опытно, путем обращения к материальной действительности, к природе, и притом при помощи наук, более близких к ней или располагающих более мощными средствами и методами, чем элементарная геометрия» (8—9)***. Именно следуя по этому пути, Лобачевский открыл свою геометрию. Благодаря этому же Лобачевский не сомневался в непротиворечивости своей геометрии, подчеркивал, что «не может быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие своей особой геометрии»****. Лобачевский предполагал, что его геометрии «может быть следуют молекулярные силы»*****. Пусть последнее предположение Лобачевского и в наше время остается не подтвержденным. Но на других путях истинность геометрии Лобачевского доказана. Показано также, что не только геометрия Евклида, но и другие геометрии дают описание реальных пространственных форм.

Благодаря научному, материалистическому пониманию посылок математических теорий, благодаря правильной трактовке цели их обоснования, Лобачевский первым развил «элементы современного аксиоматического метода, и притом в материалистической их трактовке» (60). Автор доказал это на хорошо подобранном фактическом материале, показывающем, как Лобачевский подходил к доказательству непротиворечивости (совместности) исходных посылок различных математических теорий (гиперболическая геометрия, арифметика положительных и отрицательных величин, арифметика мнимых величин).

«Для отвлеченных и общих понятий о величине,— писал Лобачевский,— также и для других действий, которые величины должны соединять между собою, изобретены знаки. Подобно тому, как дар слова обогащает нас мнениями других, так язык математических знаков служит средством еще более совершенным, более точным и ясным, чтобы один передавал другому понятия, которые он приобрел, истину, которую он постигнул, и зависимость между всеми частями, которую он открыл. Но так же, как мнения могут казаться ложно от того, что разумеют иначе слова, так всякое суждение в математике останавливается, как скоро перестаем понимать под знаком то, что оно собственно представляет»*. Поэтому Лобачевский требовал и от учителя, чтобы он «с употреблением знаков давал понятия совершенно определенные и строгие; наконец, не довольствуясь еще и этим, присоединял сюда примеры, которые столько же поясняют правила, сколько предупреждают механическое их употребление»**.

Во всех своих исследованиях Лобачевский решительно боролся против пустой формализации математики. Ограничимся одним примером, который покажет, что эти указания Лобачевского не потеряли значения и в наше время и могут способствовать повышению уровня преподавания математики в нашей школе.

В учебниках алгебры XVII—XVIII вв. понятие степени определялось только для натурального показателя. Определять нулевой и отрицательный показатели считалось излишним. Это было обусловлено тем, что по ряду причин (о них мы здесь говорить не можем) математики XVIII в. трактовали предмет своих исследований и принципы их обоснования узко, метафизически. Доказав, что при натуральных m и п они считали очевидным, что эти законы верны, когда m и п не натуральные числа. Часто истинность этих законов для любых действительных тип «доказывали» указанием на их истинность для m и п натуральных. По традиции такие «доказательства» сохранились во многих учебниках алгебры XIX в. (см., например, старые издания учебника алгебры Киселева). Потом, когда антинаучность таких «доказательств» стала ясна, избрали иной (в основе правильный) путь: д° и аГп » по определению, стали принимать равными 1 и ^тг. Однако очень часто обходили вопрос, почему а0 принимается равным 1, а не 5 или 10 и т. п., почему полагают а“п ==“^Я, а не -Irr и т. д. Иначе говоря, обоснование этих основных определений обходили молчанием, по су-

* Цифра в скобке здесь и в дальнейшем указывает страницы рецензируемой работы.— В. М.

** Материалы для биографии Н. И Лобачевского. Собрал и редактировал Л. Б. Модзалевский, 1948 г., стр. 177.

*** Автор справедливо указывает, что, утверждая это, Лобачевский не отрицал активную роль логики в научном исследовании.

**** Н. И. Лобачевский, Сочинения, т. II, стр. 158—159.

***** Там же.

* Н. И. Лобачевский, Наставления учителям математики и гимназий. Труды Института истории естествознания АН СССР, т. II, 1948 г., стр. 556.

** Там же, стр. 555.

ществу представляли их как совершенно условные соглашения. Так же «условно» стали полагать — X — ~ + и т. п.

Лобачевский, напротив, считал необходимым обосновывать эти основные определения. Он, например, указывал, что по сути дела можно принять я° равным любому действительному числу. Однако, учитывая требования алгебры и анализа, мы должны принять так как если х->0, то ах-**\ и, кроме того, если то

т. е. правило: ат\ап = а 1 , верное для /и>я, будет верным и при т = п (ради простоты, тип предполагаются мною натуральными числами.— В. М.).

Во второй части работы С. А. Яновская рассказывает, как «великий русский математик Н. И. Лобачевский неустанно боролся за математическую строгость, понимаемую им материалистически» (66), как, благодаря этому «в его руках математическая строгость оказалась одним из орудий осуществленного им революционного переворота в науке, а подход его к требованиям строгости в математике и сейчас может быть использован как оружие в борьбе против формализма и схоластики» (66).

В буржуазной литературе по истории математики принято трактовать математическую строгость как неизменную систему формальных норм и правил, наложенных на математику извне. Эта идеалистическая и метафизическая трактовка математической строгости ведет к отрыву математики от реальной действительности, тормозит ее развитие. Эти взгляды не были чужды и многим математикам XIX в.

Например, Лежандр утверждал, что «теорема о сумме трех углов треугольника (евклидовой геометрии.—В. М.) должна быть рассматриваема как одна из тех фундаментальных истин, оспаривать которые невозможно и которые представляют пример неизменно пребывающей достоверности математических истин; эту достоверность мы постоянно обнаруживаем при наших изысканиях, и подобия такой точности нельзя найти ни в какой другой области человеческого знания»*. В связи с таким метафизическим толкованием точности, Лежандр всю жизнь безуспешно искал доказательство 5-го постулата и не раз попадал в порочный круг. По такому же пути шел Л. Бертран и др. Автор указывает, что и в наше время развитие математики задерживалось «боязнью нарушить формальные требования к математической «строгости», канонизированные в школе Вейерштрасса» (65).

Автор подчеркивает, что Лобачевский не абсолютизировал понятие математической строгости. Напротив, он понимал, что «решающие перевороты в науке сопряжены именно с критическим пересмотром ее начал: ее исходных понятий, методов и принципов; что, наоборот, пренебрежение к началам чревато •скудением творческих сил ученого» (77). Лобачевский критиковал Лежандра и Бертрана, развивал содержание и принципы своей геометрии в связи с этой критикой. Так же действовал Лобачевский при разработке вопросов алгебры и ее принципов.

«На примере борьбы Лобачевского с произвольными допущениями в геометрии мы имеем полную возможность убедиться в том, какое значение имеет наследство этого великого русского ученого для разоблачения идеалистических извращений математики и ее истории» (63). Это верно. Но верно и то, что изучение борьбы Лобачевского против произвольных допущений в математике может способствовать улучшению преподавания математики в наших школах. Именно в связи с этим и нужно рекомендовать преподавателям математики рецензируемую работу С. А. Яновской о Н. И. Лобачевском.

* Вступительная статья В. Ф. Кагана к «Геометрическим исследованиям теории параллельных линий» Н. И. Лобачевского, 1945 г., стр. 27. Курсив С. А. Яновской.

О ДВУХ НОВЫХ КНИГАХ ПО ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Ю. М. ГАЙДУК (Харьков)

П. А. Широков, В. Ф. Каган, Строение неевклидовой геометрии, Госуд. изд-во технико-теоретической литературы, М.—Л. 1950, 182 стр., тираж 4000 экз, цена 6 р. 50 к.

А. П. Котельников, В. А. Фок, Некоторые применения идей Лобачевского в механике и физике, Госуд. изд-во технико-теоретической литературы, М.—Л. 1950, 80 стр., тираж 4000 экз., цена 3 р. 25 к.

Поток литературы — научной, учебной и популярной— по геометрии Лобачевского, наблюдающийся у нас особенно в последние годы, может служить показателем глубокого и любовного интереса, который проявляют к личности великого русского геометра и к его творению широкие круги советского общества.

В значительной мере эта литература вызвана к жизни и тем обстоятельством, что в нашем специальном математическом преподавании неевклидова геометрия как учебная дисциплина занимает прочное и все более видное место.

Рецензируемые книги привлекают к себе наше внимание прежде всего тем, что они представляют собой первые выпуски серии «Геометрия Лобачевского и развитие ее идей», серии, начавшей выходить (под обшей редакцией проф. В. Ф. Кагана) в издательстве технико-теоретической литературы. Насколько можно судить по материалам первых двух выпусков и по объявленному издательством содержанию выпусков, готовящихся к печати, названная серия должна явиться собранием очерков, посвященных в отдельности той или другой группе вопросов неевклидовой (гиперболической) геометрии или ее приложений. (Работы, помещенные в книжках серии, носят именно характер очерков, а не обзоров или монографий, так как им явно недостает той полноты освещения предмета, которая необходима для последних.) Нужно отметить, что рассматриваемая серия отнюдь не представляет собой самодовлеющего целого: она рассчитана на читателя, уже несколько владеющего предметом. Серия составилась из сочинений весьма различного назначения и происхождения (ни одно из них не написано специально для этой серии), в связи с чем нельзя не пожалеть, что в книжках серии отсутствует достаточная редакционная обработка, которая могла бы решить задачу объединения разнородных материалов

серии в более или менее связное целое (имеющиеся в книжках краткие предисловия редактора не идут дальше самой общей характеристики — аннотации содержания соответствующих статей).

Первая из рецензируемых книг состоит из «Краткого очерка основ геометрии Лобачевского», принадлежащего перу покойного проф. П. А. Широкова, и из статьи проф. В. Ф. Кагана «Строение неевклидовой геометрии у Лобачевского, Гаусса и Больаи», сокращенное название которой послужило общим названием книги. Ни очерк проф. П. А. Широкова, ни статья проф. В. Ф. Кагана не являются новыми; они уже были опубликованы: первый — в сборнике статей казанских математиков, изданном Академией наук Союза ССР к стопятидесятилетию со дня рождения Н. И. Лобачевского; вторая — в «Трудах Института истории естествознания» (том II, 1948 г.). Изданием этих работ в публикациях серии «Геометрия Лобачевского и развитие ее идей» преследовалась, очевидно, двоякая цель: с одной стороны, сделать эти (безусловно ценные) материалы достоянием более широкого круга читателей, с другой (это относится преимущественно к статье Широкова)—заставить читателя серии — прежде чем он перейдет к изучению других выпусков серии, посвященных более специальным вещам, — повторить по краткому, но мастерскому изложению самые основы геометрии Лобачевского.

Очерк проф. П. А. Широкова, наша оценка которого, собственно, уже дана в последних словах, представляет собой в своей основной части элементарное синтетическое изложение основных фактов гиперболической геометрии — «элементарное» в том смысле, что в нем автор отказывается от строго аксиоматического построения (или, лучше сказать, «анатомирования») предмета, давая место —там, где это педагогически допустимо, — интуитивному элементу. В конце очерка автором намечены принципы аналитической геометрии в плоскости Лобачевского и кратко разобраны различные интерпретации гиперболической плоскости.

Основная задача статьи проф. В. Ф. Кагана — раскрыть черты сходства и различия в методологических принципах построения гиперболической геометрии у Лобачевского, у Больаи и у Гаусса. Как указывает автор, главную общую черту в теориях Лобачевского в Больаи нужно видеть в осуществляемом тем и другим «восстановлении евклидовой геометрии в недрах новой геометрии» (как геометрии на предельной поверхности гиперболического пространства). Основным пунктом различия этих теорий автор считает свойственное Больаи (и «совершенно чуждое Лобачевскому») стремление к построению «абсолютно истинной геометрии, не зависящей от истинности или ложности XI аксиомы Евклида».

В связи с сравнительной характеристикой результатов, полученных в новой геометрии Лобачевским и Больаи, нужно указать на одно- противоречие между статьей проф. В. Ф. Кагана и предшествующей ей статьей проф. П. А. Широкова. Оно обнаруживается путем сопоставления следующих двух цитат из обоих авторов (курсив наш.—Ю. Г.): В. Ф. Каган (стр. 143)—«Уравнения сферической тригонометрии, имеющие место в евклидовом пространстве, остаются... в силе и в гиперболическом пространстве. Этот факт большой важности ускользнул от Гаусса и Больаи».

П. А. Широков (стр. 64) — «Особенно интересным фактом... является тот полученный Лобачевским и Больаи вывод, что формулы сферической тригонометрии имеют одинаковый вид в системах как евклидовой, так и неевклидовой».

Наша претензия по поводу этого расхождения адресована, разумеется, не В. Ф. Кагану — автору, а В. Ф. Кагану — редактору рассматриваемого сборника.

Нельзя не возразить также по поводу слишком лаконичного и, главное, расплывчатого замечания в данной статье, касающегося отношения работ Лобачевского к работам таких геометров, как Саккери, Ламберт, Швейкарт и Тауринус. Автор говорит (стр. 177): «...после Лежандра... возникает сознание... что... правильный ответ на вопрос о возможности доказательства постулата о параллельных линиях — коренится в построении новой своеобразной «неевклидовой», «воображаемой» геометрии. Некоторые предпосылки этой идеи можно усмотреть уже в работах Саккери, Ламберта, Швейкарта и Тауринуса. Но опубликована была новая геометрия впервые Н. И. Лобачевским». В данном контексте слова автора о «предпосылках» (при всей неопределенности этого термина) легко могут вызвать у читателя статьи, не знакомого хорошо с историей предмета, несоответствующие представления. Мысль автора тем более нуждалась здесь в уточнении, что в некоторых распространенных изложениях (в том числе и в книгах В. Ф. Кагана*) Саккери и др. прямо называются «предшественниками» или «предтечами» создателей неевклидовой геометрии, «предвосхитившими» ее основные идеи. В подобного рода эпитетах**, безусловно не заслуженных, скажем, Саккери (который фактически установил несколько «неевклидовых» теорем лишь с поставленной им себе целью опровергнуть возможность геометрии, отличной от евклидовой), содержится неуместный оттенок умаления научно-исторической роли подлинных творцов неевклидовой геометрии.

В целом статья проф. В. Ф. Кагана, дополняя во многом также в фактическом отношении очерк проф. Широкова, представит интерес для читателей серии и послужит необходимым введением к «Аппендиксу» Я. Больаи, перевод которого (выполненный под редакцией проф. Кагана) недавно издан Гостехиздатом.

Обратимся ко второй из рецензируемых нами книг. В отличие от первой, она составилась из ранее не публиковавшихся материалов, первоначально задуманных в качестве статей, которые должны были сопровождать недавно осуществленное собрание сочинения Лобачевского. Последнее обстоятельство, вероятно, обусловило чрезмерную сжатость, почти конспективность, этих статей.

Рассматриваемая небольшая книга содержит статью ныне покойного проф. А. П. Котельникова, названную им «Теория векторов и комплексные числа (Начала механики в неевклидовом пространстве)», и статью «Некоторые применения идей неевклидовой геометрии Лобачевского к физике» проф. В. А. Фока. В статье проф. Котельникова намечено построение математического аппарата (проективная теория векторов, специальные комплексные числа с двумя единицами), лежащего в основе

* Ср., напр., § 16 гл. II «Оснований геометрии» В. Ф. Кагана (ч. 1, 1950), озаглавленный «Предвосхищение неевклидовой геометрии» (в тексте §-а, правда, оговаривается, что речь идет об «отдаленном, неосознанном предвосхищении начал неевклидовой геометрии»).

** восходящих к традиционной схеме, созданной западноевропейскими историками предмета и иногда некритически принимаемой нашими авторами.

механики в неевклидовых пространствах (гиперболическом и эллиптическом). Как известно, большая и во многом инициативная роль в этой области принадлежит автору рецензируемой статьи. Статья проф. Котельникова заслуживает внимания не только интересующихся «неевклидовой механикой». Освещенный в ней круг вопросов может служить прекрасным «примером того значения, которое неевклидова геометрия имеет для геометрии Евклида» (позволяя установить интересные и внутри евклидовой геометрии порой неожиданные связи между различными образами последней), и потому представит интерес для каждого читателя настоящей серии.

Очень интересна (но требует от читателя основательного знакомства с современными физическими теориями и с понятиями общей римановой геометрии) статья В. А. Фока.

Статья представляет собой краткое изложение ряда собственных специальных работ ее автора (по квантовой механике и по теории тяготения Эйнштейна), в которых используются в той или иной форме идеи неевклидовой геометрии. Нужно заметить, что различные пути приложения неевклидовой геометрии к изучению физических явлений были (в своей принципиальной части) гениально предугаданы еще Лобачевским, и нельзя не пожалеть, что ни автор статьи, ни редактор выпуска не обратили на это внимания читателя.

Резюмируя наши впечатления от первых двух выпусков серии «Геометрия Лобачевского и развитие ее идей», мы констатируем, что они являются ценным вкладом в нашу литературу по неевклидовой геометрии, хотя и не реализуют, повидимому вследствие несколько разнородного первоначального назначения их частей, всех тех требований, которые можно было бы к ним предъявить.

НОВАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

(Август — декабрь 1950 г.)

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

I. Из истории математики

Больаи, Янош, Appendix. Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может), с прибавлением, к случаю ложности, геометрической квадратуры круга, перевод с латинского, вступительная статья и примечание В. Ф. Кагана, М.— Л., Гос. изд-во Научно-теоретической литературы, 1950, 236 стр. с черт, и 5 л. илл., тираж 4000 экз., цена в переплете 9 р. 20 к.

Полубаринова-Кочина П. Я., Жизнь и деятельность С. В. Ковалевской (К 100-летию со дня рождения), М.—Л., изд. Академии наук СССР, 1950, 52 стр. с портретом, тираж 25 000 экз., цена 2 р.

Полубаринова-Кочина П. Я., Научные работы С. В. Ковалевской («Успехи математических наук», 1950, вып. 4, стр. 3—14).

Яновская С. А., Передовые идеи Н. И. Лобачевского— орудие борьбы против идеализма в математике, М.—Л., изд. Академии наук СССР, 1950, 84 стр. с черт., тираж 10 000 экз., цена 4 р.

II. Методическая литература, пособия для учителей

Александров И. И., Сборник геометрических задач на построение с решениями, пособие для учителей средней школы, изд. 18-е, под ред. и с дополнением Н. В. Наумович, М., Учпедгиз, 1950, 176 стр. с черт., цена в переплете 4 р. 25 к.

Бескин Н. М., Вопросы тригонометрии и ее преподавания, учебное пособие для педагогических институтов, М., Учпедгиз, 1950, 140 стр. с черт., цена в переплете 3 р. 50 к.

Из опыта работы передовых учителей математики, сборник статей под редакцией Н. Н. Никитина, М., изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1950, 280 стр. с черт., тираж 10 000 экз., цена в переплете 6 р. 10 к.

В книге помещено 15 статей, отражающих опыт работы передовых преподавателей математики в школах РСФСР.

Лоповок Л. М., Сборник стереометрических задач на построение, пособие для учителей средней школы, под редакцией А. Д. Посвянского, М., Учпедгиз, 1950, 72 стр. с черт., тираж 25 000 экз., цена 1 р. 30 к.

Новоселов С. И., Обратные тригонометрические функции, пособие для учителей, изд. 3-е, Учпедгиз, 1950, 128 стр. с илл., цена в переплете 2 р. 55 к.

О преподавании математики в V—X классах, методическое письмо, М., Учпедгиз, 1950, 92 стр., тираж 65 000 экз., цена 1 р. 35 к.

Буртаев В., О некоторых вопросах решения и исследования квадратных уравнений в X классе, сборник «Опыт лучших учителей», вып. 1, Иркутск, 1949, стр. 83—106.

Воронин С. В., Первое знакомство с радикалами в школе, «Ученые записки Калужского Гос. педагогич. и учительского института», выл. 1, 1950, стр. 201—210.

Чуканцов С. М., Из опыта преподавания темы «Тригонометрические функции острого угла» в VIII классе, «Ученые записки Калужского Госпедагогич. и учительского института», вып. I, 1950, стр. 73—200.

III. Учебники математики для вузов

Берман Г. Н., Сборник задач по курсу математического анализа, учебное пособие для высших учебных заведений, под. ред. А. Ф. Берманта, изд. 2-е, переработ, и дополн., М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 528 стр. с черт., тираж 25 000 экз., цена в переплете 9 р. 90 к.

Бермант А. Ф., Курс математического анализа, учебное пособие для вузов, часть I, изд. 6-е, переработ, и дополн., М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 504 стр. с черт., тираж 25 000 экз., цена в переплете 16 р. 30 к.

Бермант А. Ф., Курс математического анализа, учебное пособие для высших учебных заведений,

часть 2, над. 4-е, переработ, и дополн., М.—Л., Гос.

изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 443 стр. с черт., тираж 50.000 экз., цена в переплете 13 р. 30 к.

Боев Г. П., Теория вероятностей, учебное пособие для высших учебных заведений, при редакционном участии Б. В. Гнеденко, М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 368 стр. с черт., тираж 15 000 экз., цена 9 р. 45 к. в переплете.

Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, учебное пособие для гос. университетов, изд. 2-е, М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 436 стр. с черт., тираж 10 000 экз., цена в переплете 12 р. 20 к.

Клетеник Д. В., Сборник задач по аналитической геометрии, учебное пособие для высших учебных заведений, под ред. Н. В. Ефимова, М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 220 стр. с черт., тираж 25 000 экз., цена в переплете 5 р. 45 к.

Крылов А. Н., Лекции о приближенных вычислениях, учебное пособие для высших учебных заведений, изд. 5-е, М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 400 стр. с черт, и 1 табл., тираж 15 000 экз., цена в переплете 15 р. 15 к.

Лаврентьев М. А. и Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, учебник для гос. университетов, изд. 2-е, переработ., М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 296 стр. с черт., тираж 10 000 экз., цена 7 р. 95 к. в переплете.

Михельсон Н. С, Краткий курс высшей математики, учебное пособие для высших учебных заведений, М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 511 стр. с черт., тираж 15 000 экз., цена в переплете 14 р. 30 к.

Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, учебник для гос. университетов, М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 303 стр. с черт., тираж 15 000 экз., цена в переплете 7 р. 95 к.

Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, учебник для гос. университетов, изд. 5-е, М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 468 стр. с черт., тираж 15 000 экз., цена в переплете 14 р. 40 к.

Филипс Г., Дифференциальные уравнения, под ред. А. Я. Хинчина, изд. 3-е, М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 104 стр. с черт., тираж 10 000 экз., цена 2 р.

IV. Монографии по отдельным вопросам математики

Ахиезер Н. И. и Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 483 стр., тираж 4000 экз., цена в переплете 16 р. 60 к.

Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, перев. с англ. Ю. К. Солнцева, под ред. и с пред. Л. Э. Эльстгольца, М., изд-во иностранной литературы, 1950, 348 стр. с черт., тираж не указ. Цена в переплете 18 р. 75 к.

Вейль А., Интегрирование в топологических группах и его применения, перевод с франц. Г. М. Адельсон-Вельского и М. И. Вишина, под ред. с примеч. и предислов. Н. Я. Виленкина, М., изд-во иностранной литературы, 1950, 223 стр., тираж не указ., цена в переплете 11 р. 85 к.

Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, под ред. А. И. Маркушевича, изд. 2-е, значительно переработ, и дополн., М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 386 стр. с черт., тираж 5000 экз., цена в переплете 11 р. 85 к.

Франклин Ф., Математический анализ, перев. с англ. И. Д. Айзенштат и С. А. Гальперн, под ред. С. А. Гальперн, часть 2, М., изд-во иностранной литературы, 1950, 344 стр. с черт., тираж не указ., цена в переплете 20 р. 25 к.

Чаплыгин С. А., Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 103 стр. с черт., тираж 4000 экз., цена 4 р. 50 к.

V. Популярная литература

Александров П. С, Что такое неевклидова геометрия? М., изд. Академии педагогич. наук РСФСР, 1950, 7*2 стр. с черт., тираж 15 000 экз., цена 1 р. 25 к.

Депман И., Из истории математики, М.—Л., Детгиз, 1950, 116 стр. с илл., тираж 45 000 экз., цена 3 р. 60 к.

Зарождение математики у древнейших народов. Математические познания у народов нашей родины до XVIII в. Отдельные вопросы из истории арифметики, начало алгебры и геометрии.

Маркушевич А. И., Возвратные последовательности, М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 49 стр., тираж 15 000 экз., цена 90 к. (Популярные лекции по математике.)

Натансон И. П., Простейшие задачи на максимум и минимум, М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 32 стр. с черт., тираж 10 000 экз., цена 50 к.

Перельман Я. И., Занимательная алгебра, под ред. Д. А. Райкова, изд. 5-е, стереотип., М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 184 стр. с илл., тираж 100 000 экз., цена 3 р. 10 к.

Семендяев К. А., Счетная линейка, краткое руководство, изд. 3-е, стереотип., М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 47 стр. с черт., тираж 75 000 экз., цена 1 р.

VI. Математические справочники

Андреев П. П., Таблицы для процентных вычислений, М., Госстатиздат, 1950, 28 стр. с черт., тираж 15 000 экз., цена 1 р.

Выгодский М. Я., Справочник по элементарной математике. Таблицы, арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, функции и графики, изд. 4-е, исправл. и дополн., М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 412 стр. с черт., тираж 100 000 экз., цена в переплете 9 р. 60 к.

ХРОНИКА

РАБОТА СЕКЦИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ ПРИ ОДЕССКОМ ГОРМЕТОДКАБИНЕТЕ ЗА 1949 И 1950 гг.

Д. С. ГОНЧАРОВ (Одесса)

Общение преподавателей математики и обмен опытом в работе, как известно, имеет большое значение в повышении квалификаци и методического мастерства каждого преподавателя в отдельности и всего коллектива преподавателей в целом. Вместе с тем это обстоятельство является одним из непременных условий поднятия качества преподавания математики в школе и повышения успеваемости учащихся. Еженедельные заседания секции преподавателей (по понедельникам) стали традиционными и охотно посещаются преподавателями без всякого оповещения, ибо на протяжении более чем десятка лет они привыкли к тому, что заседание секции не может не состояться, что на заседании при всяких условиях будут разбираться методические вопросы.

В 1949 г. на заседаниях секции преподавателей математики были заслушаны следующие доклады:

1. И. О. Гольденблат — «Наглядный курс геометрии в V классе».

2. В. Г. Рубинштейн — «Задачи на вычисление, решаемые при помощи проведения окружности».

3. Н. И. Гридин — «Нумерация и различные системы счисления».

4. В. Г. Рубинштейн — «К вопросу об исследовании уравнений».

5. Д. С. Гончаров — «О тождественных преобразованиях в курсе алгебры».

6. Совещание преподавателей математики и физики средней школы совместно с преподавателями высшей школы по вопросу «О состоянии преподавания математики и физики в средней школе и о недочетах в подготовке учащихся средней школы по наблюдениям преподавателей высшей школы».

7. К. Ф. Филиппович — «О наглядном курсе геометрии».

8. В. Г. Рубинштейн — «Повторение на уроках математики».

9. Д. С. Гончаров — «Процентные вычисления».

10. А. В. Колот—«Целая рациональная функция»

11. «О насыщении программ данными о заслугах русских и советских ученых в области математики». Эта интересная и заслуживающая пристального внимания тема была разработана коллективом преподавателей: а) по V классу — Е. И. Пелишенко и Б. Л. Кремер; б) по VI классу — Д. С Гончаров; в) по VII классу — К. Ф. Филиппович; г) по VIII классу — В. Близнюк; д) по IX и X классам — А. В. Колот.

12. Конец полугодия (апрель—май 1949 года) был посвящен разбору экзаменационных билетов, рассмотрению образцов задач к экзаменационным билетам по разным классам и разным предметам. Эти вопросы были разработаны группой преподавателей в составе: Н. М. Шапошникова, т. Щербатого, С. М. Фрайберга, Е. А. Звездиной, А. В. Колот.

13. Два заседания в мае 1949 г. были проведены на темы «Первые впечатления от экзаменов» и «Экзамены по математике в X классах». Эти заседания происходили в присутствии проф. А. М. Астряба, руководителя сектора математики Украинского научно-исследовательского института педагогики.

14. Новый учебный 1949/50 год начался докладами по вопросам преподавания арифметики:

М. Д. Каменецкий — «Делимость чисел в V классе».

15. А. В. Колот — «Признаки делимости в старших классах».

16. Н. М. Шапошников — «Задачи по арифметике, возбуждающие активность и интерес учащихся».

17. А. В. Колот —«Теория пределов в IX классе».

18. Н. М. Шапошников — «Уравнения в VI классе».

19. А. В. Колот—«Отрицательные числа».

20. Д. В. Хазанджи — «Успехи математических наук в СССР за 32 года».

21. Б. Н. Косюра — «Исследование уравнений».

22. Д. С. Гончаров — «Обзор методических статей в журнале «Математика в школе» за 1949 год».

23. А. К. Беркович — «Получение новых теорем при помощи метода инверсии».

24. И. А. Скрылев — «О некоторых вариантах доказательства теорем планиметрии».

25. А. В. Колот — «Неравенства в средней школе».

26. В. Г. Рубинштейн — «Вопросы эквивалентности уравнений».

27. Д. С. Гончаров — «Вопросы эквивалентности систем уравнений».

28. Р. Е. Грейсер — «Сложное тройное правило».

В 1950 году были заслушаны доклады и сообщения по следующим вопросам:

1. Д. С. Гончаров — «У истоков русской методики математики» (по работе того же названия

H. H. Шемянова, напечатанной в «Ученых записках Ярославского гос. педагогич. института» за 1945 г., вып. 5).

2. А. В. Колот — «Логарифмы в средней школе».

3. Д. С. Гончаров — «Приближенные вычисления в средней школе».

4. И. О. Гольденблат — «Работа школьных объединений преподавателей математики».

5. А. В. Колот — «Квадратные неравенства».

6. В. Г. Рубинштейн — «Первые главы по стереометрии в IX классе».

7. В. Г. Рубинштейн — «Какие требования мы предъявляем к оканчивающим среднюю школу».

8. А. В. Колот — «Чертежи на уроках стереометрии».

9. Как обычно, перед экзаменами разбирались вопросы, связанные с повторением, подготовкой типичных задач к экзаменационным билетам и другие текущие вопросы. Работа в этой части была выполнена рядом преподавателей в составе: М. Д. Каменецкого, Г. П. Тертилова, С. М. Фрайберга, т. Тарнопольского и некоторых других.

10. В первом полугодии 1950/51 учебною года рассмотрены были следующие вопросы:

В. Г. Рубинштейн — «Первые уроки алгебры в VI классе» и «Первые уроки алгебры в VIII классе».

11. А. В. Колот — «Изложение теории пределов на основе понятия последовательности». Этому вопросу были посвящены два заседания.

12. И. О. Гольденблат — «Рациональные приемы вычислений при решении примеров и задач».

13. В. Г. Рубинштейн — «Задачи на построение в VI и VII классах».

14. М. Д. Каменецкий — «Решение задач по арифметике с объяснением».

15. В. Г. Рубинштейн — «Многогранники в курсе X класса».

16. С. И. Каценельсон — «Полная математическая индукция».

17. Д. С. Гончаров — «Обзор методических статей в журнале «Математика в школе» за 1950 год».

18. К. Ф. Филиппович — «Контрольные работы по математике, их виды и методика проведения».

19. В. Г. Рубинштейн сделал три доклада о преподавании в V классе дробей (обыкновенных и десятичных) и процентов.

20. Д. С. Гончаров — «Уравнения в VII классе».

21. Б. Л. Кремер — «Письменные объяснения к решению задач на составление уравнений».

Обозревая тематику докладов, заслушанных на секции математиков, хочется сделать несколько выводов и предложений.

Секция преподавателей стала постоянным и регулярно действующим методическим органом, оказывающим несомненную помощь преподавателям математики в их повседневной работе. В этом ее большая заслуга. Однако ни в каком деле нельзя успокаиваться на достигнутом, необходимо расширять и укреплять дело. Мы полагаем, что секции следует расширить и пополнить актив постоянно выступающих докладчиков и заняться вопросом выращивания новых, молодых методических кадров.

Кроме того, руководящим органам народного образования следовало бы в некоторой мере со своей стороны ^воодушевить секцию путем издания хотя бы небольшого сборника докладов и методических разработок. За 14 лет работы секции (с 1937 по 1951 год) было заслушано свыше 350 докладов, и многие из докладов, несомненно, представляют интерес и являются оригинальными.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 6 ЗА 1950-й год

№81

Треугольник вписан в окружность. Доказать, что произведение расстояний любой точки окружности до двух сторон треугольника равно произведению расстояний этой точки до третьей стороны и до касательной, проведенной через вершину, противоположную этой стороне. Решение 1. Соединим точку M с В и С (черт. 1).

Имеем: Отсюда:

Следовательно, прямоугольные треугольники МВЕ и MFC подобны и

(1)

Далее, LMBC == LMCG, так как каждый из них измеряется половиной дуги MC. Следовательно, треугольники MDB и MGC подобны и

(2)

Из (1) (2) получаем:

или

Таково подавляющее большинство решений.

Решение 2. Построим на MA и на MC как на диаметрах полуокружности (на чертеже 2 не показаны), тогда точки R и S будут лежать на первой, а Р и Q — на второй из этих полуокружностей (как вершины прямых углов, опирающихся на диаметр) (черт. 2). Тогда:

LMPQ = LMCQ (1)

как вписанные, опирающиеся на дугу MQ.

LMCQ = LMAC (2)

как измеряющиеся половиной дуги MC.

LMAC — LMSR (II)

как вписанные, опирающиеся на дугу MR. Из (1), (2) и (3) следует, что

LMPQ = LMSR. (4)

Далее:

_QMP= LQCP (5)

как опирающиеся на дугу QP.

LQCP = LBCD (6)

как вертикальные,

LBCD=--LCAB (7)

как измеряющиеся половиной дуги ВС.

иСАВ = L.RMS (8)

как опирающиеся на дугу RS. Из (5), (6), (7) и (8) следует, что

LQMP = LRMS. (9)

Из (4) и (9) заключаем, что треугольники MPQ и MSR подобны, а отсюда:

или:

Черт. 1 Черт. 2

Это решение дано т. Пилютик.

В геометрии Адамара, ч. 1, под № 147 дана задача: «Произведение расстояний любой точки окружности до двух противоположных сторон четырехугольника, вписанного в эту окружность, равно произведению расстояний этой же точки до двух других сторон или до двух диагоналей (доказать)».

Из этой теоремы, как частный случай, когда одна из сторон четырехугольника обращается в касательную, вытекает рассматриваемая задача.

№ 82

В многоугольник вписана окружность» и тонки касания последовательно соединены. Доказать, нто произведение расстояний любой тонки окружности до сторон полученного вписанного многоугольника равно произведению расстояний этой тонки до сторон описанного многоугольника.

Решение 1. Исходим из следующей теоремы: «перпендикуляр, опущенный из произвольной точки окружности на хорду, есть среднее пропорциональное перпендикуляров, опущенных из той же точки на касательные, проведенные через концы хорды». Действительно, как легко показать (черт. 3):

Черт. 3.

отсюда:

(1)

Далее: откуда:

(2)

Из (1) и (2) следует:

или:

Пусть теперь ABC..., —описанный многоугольник, a AxBiCi— вписанный. Обозначим расстояния точки M до сторон вписанного многоугольника через РьРь • • » Рп*а до сторон описанного — через qb q2f..., qn. Тогда, применяя только что доказанную теорему, будем иметь:

Перемножив, получим:

отсюда:

Такое решение дано А. Лейманом и В. Титовым. Решение 2. Применим доказательство, данное в задаче 81, последовательно к трем касательным, проведенным через вершины А, В и С. Обозначив перпендикуляры к сторонам через Р\УрьРъ> а к касательным—через Я\,ЯьЯг> будем иметь:

по перемножении и сокращении получим:

Итак, теорема доказана для многоугольника с наименьшим числом сторон—треугольника.

Дальше теорема доказывается методом математической индукции: предполагая ее справедливой для многоугольника с п сторонами, докажем, что она будет справедлива и для многоугольника с п +1 сторонами. Доказательство не приводим ввиду его простоты.

Были даны и другие решения. Так, т. Шебаршиным дано решение с помощью тригонометрии. Теорема эта известна достаточно давно. Она, например, имеется в сборнике упражнений по геометрии Ф. Ж. М., изд. 1796 г. (за № 1224).

№83

Определить наибольшее и наименьшее значения функции:

(1)

Решение 1. Преобразуем правую часть:

(2)

Положив

и подставив во (2), будем иметь:

(3)

Но

Отсюда получаем:

(4)

Эти неравенства и дают наибольшее и наименьшее значения у.

Решение 2. Можно воспользоваться неравенством

(см. в № 6 за 1950 г. решение задачи № 46). Тогда:

Прибавив ко всем частям неравенства по получим неравенство (4).

№ 84

Доказать, что при любом х

(1)

Решение 1. Преобразуем заданное выражение:

(2)

Легко видеть, что

(Последнее значение выражение принимает при sin X = —1).

Умножив эти неравенства на — 2, получим:

Наконец, прибавив по 2 g-, будем иметь:

(3)

Принимая во внимание (2), заключаем, что неравенства (3) представляют собой требуемые неравенства (1).

Решение 2. Первая часть неравенства доказывается легко. Так как

то

и, следовательно,

Найдем теперь наибольшее значение функции:

Так как сумма сомножителей 2 sin х и 3—2 sin л: равна 3 — постоянному числу, то наибольшее значение произведения получится при равенстве сомножителей, т. е. при

Отсюда:

и значение у равно:

Это решение дано т. Шебаршиным.

Решение 3. Имеем:

(1)

Очевидно, что у будет иметь наименьшее значение при наибольшем значении ( sin*— ) , а наибольшее при наименьшем. Но

Подставляя эти крайние значения в (1), получим:

№85

Если при любом X и постоянном а имеет место равенство

(1)

то /(х) — периодическая функция. Доказать.

Решение. Из (1) получим, заменив в нем х на х+а\

(2)

Произведя во (2) замену из (1), найдем:

(3)

Но тогда:

(4)

Наконец, сделав в (4) подстановку из (3), получим:

что и доказывает периодичность функции / (л:).

№ 86

Стороны треугольника ABC равны а, Ъ, с. Точка Р делит сторону с на отрезки АР и PB, находящиеся в отношении Ьк:ак, где k — действительное число. На стороне С В откладываем отрезок СМ= АР, а на стороне С А—отрезок CN=PB.

Определить отношение отрезков AQ и QB, на которые делит сторону AB прямая СО, где О — середина MN.

Решение 1. Воспользуемся известной теоремой Менелая. Имеем (черт. 4):

(1)

(2)

Соединим А с M и применим к треугольнику AMN и секущей CQ теорему Менелая:

(3)

(Пишем 1, а не — 1, так как направления отрезков для нас здесь не имеют значения.)

На основании той же теоремы имеем для треугольника AM В и секущей CQ:

(4)

Из (3) и (4), приняв во внимание (2), найдем по сокращении на :

Отсюда:

Решение 2. Проведем из А, В, M и N перпендикуляры к CQ (черт. 5). Будем иметь:

(1)

Из подобия треугольников:

Отсюда:

Но NE = MD, так как пл. NOC = пл. МОС. № 87

В окружность вписан правильный треугольник А\А*А$. Окружность 0\ касается окружности О. Отрезки касательных, проведенных из вершин треугольника к окружности О', равны аъ а2, аа. Доказать, что эти отрезки удовлетворяют соотношению:

а\ + 4 + 4 = 2 (а\а\ + а\а\ + а\а\). (1)

Решение. Приведем решение автора задачи (г. Скопец) как наиболее короткое и изящное. Заданное условие (1) можно представить в таком виде:

(ai + а2 + а3) (ах + а2 — я3) (ах — а2 + ав) X

Х(-а1 + а2 + ав) = 0. (2)

(В тождественности выражений (1) и (2) легко убедиться, выполнив в (2) умножения и приведя подобные члены.)

Таким образом для решения задачи достаточно доказать, что между аь а2 и #3 имеет место одно из соотношений:

#1 = а2 + <h\ а2 = ai + as'> aè — а\ + а2- (3)

В целях общности предполагаем, что точка касания Т окружностей не совпадает ни с одной вершиной треугольника А\ А2 Л3. Итак, пусть окружности О и Oi касаются внешне в точке Т (черт. 6). Радиусы их R и г.

Из треугольника А]ОТ имеем:

(4)

Отсюда:

(5)

Из треугольника А\ОЭ\ получим:

(6)

Черт. 4.

Черт. 5.

Черт. 6

Из треугольника АгОхВ:

Делая подстановку из (7) в (6) и из (6) в (5), получим:

По упрощении получим:

откуда:

(7)

Совершенно аналогично найдем:

(8)

Но, как известно, для любой точки Т, не совпадающей с вершиной треугольника Л}Л2Лз, имеет место одно из соотношений (простое доказательство этого положения опускаем):

Подставляя сюда найденные значения А{Г и сокращая на у # ^2' получаем, что аь аь авудовлетворяют одному из равенств (3).

Если окружности касаются внутренне, то (при /?>г) будем иметь:

и придем опять к соотношениям (3).

№ 88

На прямой даны три последовательных равных отрезка AB = ВС = CD» Через точку 6\ не лежащую на данной прямой, проведены прямые SA, SB, SC, SD. Произвольная прямая, не проходящая через S, встречает эту четверку прямых в точках Аь Blf Сь D\. Доказать, что:

(1)

Решение. Заметим, что здесь нужно принимать во внимание и направление отрезков: каждое из отношений берется со знаком плюс или минус в зависимости от того, одинаково или противоположно направлены входящие в него отрезки.

Положим сначала, что Л, В, С, D и А\, В\, Ch Z)j лежат по разные стороны от точки 5 (черт. 7).

Опустим из точек А, В, С, D и S перпендикуляры на прямую t и обозначим их длины соответственно через а, Ь, с, d, s. Тогда будем иметь:

(2)

Отсюда:

(3)

Но по свойству средней линии трапеции имеем:

откуда Ь + с= а + d. Тогда из (3) сразу получаем соотношение (1).

Пусть теперь произвольная прямая t\, параллельная t, пересекает наши прямые в точках Л2, В2, Do. Тогда, в силу параллельности t и ti, будем

Произведя замену в равенстве (1), уже доказанном для точек Ai, В2> С\, D\t получим по умножении на k:

(5)

Но

После подстановки в (5) получим:

(6)

Учитывая, что

получаем из (6) соотношение (1) для точек Л2, В2, С2, D2, т. е. теорема доказана для общего случая.

№ 89

Для треугольника имеют место соотношения:

(2)

Определить углы этого треугольника.

Черт. 7

Решение. Сложив (1) и (2), выразив a, b н с через радиус описанной окружности, получим по сокращении на 2 R:

(3)

Положим, что

Тогда

чего не может быть. Сократив (3) на

и учтя, что

получим:

или: откуда:

Но из (1) непосредственно получаем:

Отсюда:

и, значит, В = 30°.

№ 90

Для треугольника ABC упростить выражение:

Решение 1. Воспользовавшись формулами

Итак, данное выражение равно нулю.

Решение 2. Заменив в данном выражении косинусы на синусы, получим:

Решение 3. Перегруппируем члены данного выражения так:

№ 91

Решить уравнение:

Решение 1. Имеем последовательно (предполагаем, что лгф180° k, так как в этом случае уравнение теряет смысл).

Таким образом, уравнение (1) принимает вид:

Отсюда:

Решение 2. Воспользуемся соотношением

откуда:

Давая а значения , +, -g- и делая подстановку в (1), получим:

По приведении:

Отсюда:

№ 92

Если уравнение

имеет корни — , -g-, —, то эти корни или равны, или образуют арифметическую прогрессию. Доказать.

Решение. По формулам Виета имеем:

После упрощения получим (очевидно, что по условию ни одно из чисел а, Ь, с не равно нулю):

(3) (4)

Умножив (3) на с и (4) на Ь, по вычитании получим:

откуда:

(5)

Подставив из (5) в (3), после упрощений найдем:

Решив это квадратное уравнение относительно ас, получим:

Рассмотрим оба эти случая.

I. Пусть ас=№, Тогда с=— (6) и подстановка в (3) дает:

(7)

Тогда корни уравнения примут вид:

т. е. все три корня равны

(Можно было в этом убедиться и подстановкой значений спав заданное уравнение, которое тогда приняло бы вид:

II. Пусть ас~ — 2 Ь2. Тогда находим:

и корни уравнения будут:

Но числа

составляют арифметическую прогрессию с разностью

Предложение задачи доказано полностью.

В некоторых решениях выведено еще любопытное соотношение между корнями, из (3) следует:

Или:

т. е. корни составляют и геометрическую прогрессию.

Собственно, если не ставить задачу нахождения членов прогрессии и ее разности, то самый факт, что корни составляют прогрессию, устанавливается сразу из (1). Действительно, из (1) получаем:

и

это и показывает, что корень — является средним, крайними членами арифметической прогрессии.

№ 93

Доказать неравенство:

где п>,2.

Решение. Воспользуемся неравенствами, известными из элементарной тригонометрии:

Будем иметь:

По сложении получим:

Очевидно, что при п > 2 первое слагаемое числителя неотрицательно, а остальные слагаемые и знаменатель положительны. Стало быть, все выраже-

ние положительно, что и доказывает требуемое неравенство.

Большинство из присланных решений были гораздо более длинными.

№ 94

Найти цифры а, Ь, с, при которых равенство:

(1)

было бы верно для любого натурального п.

Решение. Данное равенство можно записать в виде:

(2)

Положим: Отсюда:

(3)

и равенство (2) примет вид:

Располагая многочлен по степеням т, получим:

(4)

Получили квадратное уравнение относительно т. Но этому уравнению удовлетворяет бесчисленное множество решений (из (3) следует, что всякому натуральному п соответствует некоторое значение т, которое должно удовлетворять уравнению (4)). Отсюда следует, что коэффициенты уравнения (4) должны быть равны нулю:

Отсюда:

значит, с должно быть кратным трем. Принимая во внимание, что должно быть а <; 9, с < 9, получим следующие решения:

Так, например:

и т. д.

№ 95

Квадрат со стороной а разрезать на четыре части так, чтобы из них можно было составить тетраэдр.

Определить радиус шара, вписанного в этот тетраэдр.

Решение. Разделив две смежные стороны квадрата пополам (черт, 8) и соединив точки деления друг с другом и с противоположной вершиной, разобьем квадрат на 4 части, которые и будут гранями искомого тетраэдра.

Действительно, перегнем треугольники ABE и BCF по BE и BF до совмещения точек Л и С в некоторой точке 5 (очевидно, что тогда ВА и ВС совпадут). Получившийся треугольник ESF равен треугольнику EDF (по трем сторонам), и, следовательно, тетраэдр SBEF—искомый.

Для определения радиуса г вписанного шара воспользуемся формулой для объема тетраэдра v —

где b — полная поверхность тетраэдра. Но Ь по условию равно а2, и мы имеем:

(1)

С другой стороны, ребро BS\_SE и BS\_SF (так как ВА\_АЕ и BC±CF), т. е. BS перпендикулярно к плоскости SEE, и мы можем определить объем тетраэдра так:

(2)

Подставив из (2) в (1), найдем окончательно:

Предложивший задачу т. Шебаршин включил в нее и требование — найти радиус описанного шара, который оказывается равным -^—.

№ 96

На основании ВС треугольника ABC найти точку D так, чтобы окружности, вписанные в треугольники ABD и ADC, взаимно касались.

Решение. Пусть точка D—искомая (черт. 9). Очевидно, что точка касания двух окружностей должна лежать на AD, так как в противном случае по крайней мере одна из этих окружностей должна пересекать AD, что противоречит условию. Пусть это будет точка Е. Очевидно, что она же будет точкой касания окружностей с AD.

По свойству касательных имеем:

(1)

Черт. 8

Для определения точки D достаточно выразить через данные стороны треугольника DBC отрезок BD или CD. Имеем:

CD + BD = а. (2)

Далее, принимая во внимание равенства (1), найдем:

(3)

Из (2) и (3) находим:

№ 97

Для треугольника имеет место соотношение:

а* + Ь* 4- с* = я3^2 + ЪЧ* + с*а\ (1)

Определить вид треугольника.

Решение. После подстановки в (1)

получим:

Отсюда, располагая многочлен по степеням cos С, будем иметь:

Но cos с не может быть мнимым числом. Следовательно, должно быть а2 — &2 = 0, т.е. а — Ъ. Тогда

и так как а = Ь, т. е. треугольник равнобедренный, то имеем:

Л =£ = 60°,

т. е. треугольник правильный.

Решение 2. Преобразуем данное выражение (1):

Очевидно, что это равенство может иметь место только при

т. е.

при а~Ь — с.

№ 98

Преобразовать в произведение выражение: А = 1 — cos3 а — cos3 ß — cos37 — 2 cos a cos ß cos (.

Решение. Преобразуем данное выражение:

№ 99

В треугольнике ABC вершины В и С неподвижны, а А перемещается так, что периметр треугольника остается постоянным. Определить геометрическое место центров вписанных окружностей.

Решение. Легко найдем траекторию, описываемую вершиной А треугольника. Примем (черт. 10) за начало координат середину О стороны ВС, сто-

Черт. 9

Черт. 10

рону ВС—за ось х-ов и перпендикуляр ОУ к ней— за ось у-ов. Тогда координаты вершины А будут:

х = ОН, у = АН.

Так как В и С— две данные точки и AB + АС — = const., то очевидно, что вершина А описывает эллипс, уравнение которого относительно принятой системы будет иметь вид:

(1)

Пусть Ох — центр вписанной окружности. Его координаты:

Выразим их через х и у. Из формулы s = рг имеем:

(2) (3)

Далее имеем:

(5)

Деля (5) на (4). получим:

(6)

Но из соотношения

легко найдем:

(7)

Подстановка в (6) дает:

(8)

Наконец, подставляя из (3) и (8) в (1), получим:

Отсюда следует, что геометрическим местом центров вписанных окружностей является также эллипс.

№ 100

Доказать, что числа вида:

(1)

связаны соотношением:

mi + mi + тъ = mi т$ /и3. (2)

Решение 1. Разделив первое из соотношений (1) на а, второе на с, третье на ас и положив

будем иметь:

и, следовательно, к этим углам применима известная теорема:

(при А 4- В 4- С —- 180°). Подставляя сюда найденные значения тангенсов, получим требуемое соотношение (2).

Решение 2. Проще всего, конечно, непосредственно проверить требуемое соотношение:

От редакции. Преподавателя т. Лузина В. В. редакция просит сообщить свой адрес.

ЗАДАЧИ

Срок присылки решений 15/VIII 1951 г.

32. В данную окружность вписать треугольник так, чтобы две его стороны были параллельны данным прямым, а третья проходила через данную, точку.

В. Утемов (Красноуфимск.)

33. Точки пересечения сторон треугольника с биссектрисами одного внешнего угла и двух внутренних (не смежных с этим внешним углом) лежат на одной прямой. Доказать.

С. Лебензон (Московская область.)

34, Решить уравнение:

В. Розентуллер (Ленинград.)

35. Для того чтобы число xoyz (написанное по десятичной системе счисления) разделить на целое число пу достаточно в делимом зачеркнуть вторую цифру (нуль). Найти число xoyz и делитель п.

С. Синакевич (Ленинград.)

36. Найти предел выражения

М. Карпов (Ворошиловград.)

37. Решить в целых числах уравнение:

Г. Ахвердов (Ленинград.)

38. На плоскости даны п произвольно расположенных прямых. Пусть t — число всех точек пересечения этих прямых, / — число частей, на которые прямые делятся точками их пересечения, а р— число частей, на которые плоскость делится данными прямыми. Доказать, что t — l + p~ 1 при любом п.

П. Моденов (Москва.)

39. Куб опирается вершиной о плоскость так, что его диагональ, выходящая из этой вершины, перпендикулярна к плоскости. Куб освещается пучком лучей, параллельных указанной диагонали. Найти тень, отбрасываемую кубом на плоскость.

П. Моденов.

40. Дан тетраэдр ОЕ\Ъ2Еъ. причем ОЕх = ОЕ2~ == OEfr На продолжении ребер ОЕ\, ОЕ2, ОЕг за точки Е\у t2, £3 взяты точки 0\, 02, 0? на расстояниях, соответственно равных х, yf s от точки О.

Построен параллелепипед, для которого отрезки 001, 002, 00% являются ребрами, и из точки О проведена диагональ, встречающая плоскость треугольника EiE2E2 в точке М. Найти

П. Моденов.

41. Решить уравнение:

Г. Пушкаревский (Баш. АССР.)

42. Вершина треугольной пирамиды проектируется в центр тяжести основания. Через середину высоты проведены четыре плоскости, параллельные основаниям и боковым граням пирамиды. Площади сечений равны соответственно Si, s2, s3, s4. Найти полную поверхность пирамиды.

Л. Лоповок (Проскуров.)

43. Доказать, что если числа а%, а2, я3,..ап , 2 образуют арифметическую прогрессию с разностью d, то

В. Саннинский (Ворошиловград.)

44. Доказать справедливость тождества:

М. Крайзман (Львов.)

45. Решить систему уравнений:

М. Кекелия (Груз. ССР.)

46. Решить уравнение:

П. Китайгородский (Москва.)

47. Решить уравнение:

48. Если в выпуклом четырехугольнике отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон, равен полусумме двух других сторон, то эти последние стороны параллельны.

Я. Айзенштат (Киев.)

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 6 ЗА 1950 г.

Р, Абдульманов (Западно-Казахстанская обл.) 84, 92, 94; Г. Автух (Витебская обл.) 81—85, 89, 90, 92, 94, 97—100; К. Агринский (Москва) 81, 82, 86, 88—92, 94—93, 100; Я. Айзенштат и В. Белоцерковская (Киев) 83—86, 88—91, 92—94, 96, 98, 100. Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 90, 97,100; Р. Амирханов (Петропавловск) 81, 83, 84, 86, 88—91, 94—96, 98, 100; Я. Ананченко (Ленинградская обл.) 96; Г. Ахвердов (Ленинград) 81—100; Я. Байков (Московская обл.) 81—84, 86—100; Ш. Бакурадзе (Ткибули) 89, 97, 100; Я. Балев (Болгария) 89, 90, 92, 94,97—100; М. Безбородников (Инза) 84, 85, 93, 100; А. Бауер (Мариинск) 81—100; М. Беккер (Таллин) 81, 84, 85, 89—91, 96—98, 100; И. Белоусов (Калинин) 84, 95, 100; Р. Беляцкина (Аягуз) 81—86,89, 92, 94, 97, 100; С. Берколайко (Харьков) 85—87, 89, 90, 92, 94, 95, 99, 100; С. Бернштейн (Киев) 83, 84, 89, 90, 97, 98, 100; В. Бешкарев (Горький) 81—90, 92— 94, 100; Я. Богуславский (Харьковская обл.) 89, 100; Е. Боков (Краснодарский край) 81—84, 86, 89, 90, 92, 94—98, 100; Я. Бокучава (Тбилиси) 84, 88, 89, 97, 100; t Бугулов (Дзауджикау) 81—84, 86—94, 96—100; Ю. Брудный (Днепропетровск) 83, 84, 96, 98, 100; Б. Вайнман (Киев) 83—85, 89—91, 97, 98, 100; В. Варганов (Москва) 81—83, 86, 88, 90, 92, 96—98, 100; С. Вашакмадзе (Тбилиси) 88—91, 98, 100; Я. Винников (Ленинград) 81, 89—92, 98, 100; А. Владимиров (Ялта) 81— 91, 93—100; Я. Гапонов (Воронежская обл.) 81—92, 94—100; Ю. Герасимов (Абакан) 82, 84, 89, 90, 100; Я. Голайдо (Брянская обл.) 81, 84, 86,90, 92, 94, 96, 100; Е. Головичев (Курская обл.) 81—83, 86, 89, 90, 96, 97; В. Голубева (Львов) 81—94, 96—100; Я. Гольдштейн (Шепетовка) 81, 82, 84, 89, 90, 92, 100; Г. Голянд (Калужская обл.) 84, 89, 92, 94, 97, 100; Я. Гопп (Казань) 81—92, 94—98, 100; М. Готлер (Вильнюс) 81— 87, 90—92, 94, 95, 97—100; К. Горев (Лукоянов) 81— 100; Л. Григорян (Ереван) 97, 100; В. Гузняев (Рязанская обл.) 81—100; Л. Дейнега (Винницкая обл.) 81—100; В. Демчинский (Ровно) 81—100; Я. Десятов (Мичуринск) 86, 90, 92, 96, 98, 100; Я. Дзигава (Тбилиси) 81, 82, 84, 86—92 94, 96—100; Б. Диккер (Одесская обл.) 81, 82, 84, 86, 100; Я. Доброгай (Мелитополь) 90, 98, 100; Ф. Донцов (Минская обл.) 81, 82, 84, 89—91, 94—97, 99, 100; Н. Донченко (Ворошиловоград) 81—100; Ф. Дрезинь (Латвийская ССР) 81—94, 96—100; В. Дудоларъ (Молдавская ССР) 81, 84, 89, 90, 100; Б. Дудолькевич (Киевская обл.) 81, 90, 98, 100; Л. Дупло (Каменец-Подольская обл.) 81, 83,84,90, 91, 100; Г.Железняк (Киев) 90, 94, 97, 100; Я. Зеров (Брянская обл.) 90,92, 94, 100; Л. Зискинд (Винница) 81, 83, 84, 88—90, 95—98, 100; Ю. Изосимов (Астрахань) 81, 82, 84—90, 92. 96, 98, 100; Г. И мае (Умань) 81—94, 96—100; Я. Каганцев (Воркута) 85, 89, 92, 94, 100; Л. Камышев (Московская обл.) 81-86, 88—92, 94—100; Г. Капралов (Горький) 81—100; Ф. Карпиловский (Киевская обл.) 81, 82, 85, 89, 90, 94, 98— 100; Л. Карпов (Собинка) 81—93, 95—100; Б. Кашин (Вышний-Волочек) 81—84, 86—98, 100; Б. Килин (Днепропетровск) 100; Я. Китайгородский (Москва); 84, 89—92, 96—100; Д. Клименченко (Каменец-Подольская обл.) 86, 90, 92; Я. Кожухар (Винницкая обл.) 89, 90; Я. Козлов (Минская обл.) 81—84, 86, 88—93, 95—100; С. Колесник (Харьков) 81—84, 86—95,97-100; Я. Кондев (Болгария) 94—100; Г. Копылов (Днепродзержинск) 81—98, 100; М. Крайзман (Львов) 84, 89-91, 97, 98, 100; Л. Крючков (Иркутск) 84; В. Кузнецов (Архангельск) 81 — 100; Л. Кутепов (Ворошиловоградская обл.) 81, 83, 84, 86, 88, 92—94, 96, 97, 100; Я. Кухарев (Уфа) 81, 85, 89 — У1, 97, 98, 100; М. Лейбман (Свердловская обл.) 81 — 91, 93, 94,96, 97; Л. Лейман (Здолбуново) 81 —100; Ф. Личманенко (Полтавская обл.) 89, 90, 94, 97, 100; Л. Лоповок (Проскуров) 81 - 85, 88— 10J; Л. Лордкипанидзе (Тбилиси) 81 -90, 92 — 94, 96, 98—100; М. Ляпин (Казань) 81 — 100; Л. Малюгин (Горький) 81 — 100; М. Манукян (Казахская ССР) 89, ±0, 98, 100; Л. Марголиус (Днепропетровск) 81, 100; В. Марченко (Ворошиловоградская обл.) 81 — 100; Математический кружок Казанского Суворовского военного училища 93,95, 96, 100 ; Математический кружок Житомирского педагогического института 81 —85, 87, 88, 90 — 92, 96, 98, 100; Математический кружок Туринской средней школы 81, 86; Л. Медведев (Себряково) 81, 84, 86, 91, 94, 97, 99, 100; В. Меладзе (Тбилиси) 84,88— 90, 100; Л. Мильштейн (Умань) 81 — 84, 86, 88 — 94, 96 — 98, 100; Б. Мирау (Алма-Атинская обл.) 81, 86, 90— 92, 96 — 98, 100; Г. Михальков (Уфа) 84,89, 90, 97, 98, 100; Я. Молибога (Верхний) 81—92, 94— 100; Мт Мошкович и Я. Мошкович (Москва) 81, 82, 84 — 90, 92, 94, 98, 100; Я. Мурашко (Калинковичи) 81, 84, 87 — 90,92, 98 — 100; Л. Мурклинский (Буйнакск) 84, 100; Т. Мышакова (Одесса) 81 — 100; Я- Носков (Омская обл.) 100; Я. Павлов (Яншихово-Норваши) 81, 82, 84, 89, 90, 98, 100; Ф. Певишев (Шилово) 81— 84,89, 95, 98, 100; М.Пилютик (Московская обл.) 81 — 100; Я. Писаренко (Молдавская ССР) 81 —85, 88 — 90, 97, 98,100; О.Пищик (Львовская обл.) 81 — 100;Г.Полознев (Томск) 89; П.Постников (Ряжск; 81 — 84, 87,90,92 — 100; Г. Пушкаревский (Башкирская АССР) 90, 94, 99, 100; Е. Радченко (Курская обл.) 81, 85, 89, 90, 97, 100; Я. Рубцов (Спирово) 90, 97; М. Сайд-Муродов (Самаркандская обл.) 89 — 91, 97,98; Г. Сакович (Киев) 81 — 94, 96—100; Я. Сандров (Старый Крым) 84 — 92, 96 — 100; В. Санинский (Ворошиловоград) 81—96, 98 — 100; Г. Саркисьян (Москва) 81 —85, 88 — 91, 93 — 98, 100; Я. Сахаев (Чкаловская обл.) 82 — 84, 89 — 91, 94, 96- 98,100; В.Севастьянов (Рудня-Камышинская)82 —84, 89, 90, 96, 99, 100; Я. Сергачев (Малоярославец) 94; Ф. Сергеенко (Запорожье) 84, 89 — 91, 93— 100; Синакевич (Ленинград) 83 — 85, 89—92, 94 — 98, 100; Я. Слепухин (Ворошиловоград) 81 — 100; С. Смоляк (Москва) 81, 94, 98, 100; В. Стасюк (Стрый) 81 — 100; Я. Стоянчев (Ворошиловоградская обл,) 89, 100; Я. Твердое (Воскресенск) 81 — 100; Я. У итов (Казань) 88, 99; В. Токарев (Константиновка) 81—96; П. Томразов (Киев) 81 - 84, 86, 88 -90, 92, 94, 96 - 98,100; М. Торбик (Брянская обл.) 82 — 86, 88 — 92, 94 — 98, 100; Л. Тралмак (Ленинград) 81 — 100; С. Тубин (Омск) 81, 89, 91, 98, 100; К. Тур (Полтавская обл.) 81, 84, 89, 90, 97, 98, 100; К. Устинова (Лениногорск) 81, 84, 89 — 94, 97, 100; В. Утемов (Красноуфимск) 81, 82, 84- 100; Е. Файнштейн (Кишенев) 81 -90, 92, 94, 95, 100; И.Федотов (Казань)81 — 100; Я. Фокин (Смоленск) 82 — 85, 89 - 93, 95, 98, 100; Я. Фомкин (Каменец-Подольск) 84, 90, 97, 98, 100; Я. Худяков (Воронежская обл.) 83,84, 89, 93, 100; М. Хуторян (Одесса) 81 -85, 87, 89 — 92, 94 — 96, 98,100; Б. Цакаев (Рязанская обл.) 81 — 84, 87 — 90, 92 — 94, 97, 98, 100; И. Чемисов (Орловская обл ) 81 — 94, 96, 97,100; М. Червонный (Краснодарский край) 81 —84, 87, 89 — 100; М. Черепнин (Караганда) 81 —85, 89, 90,92,94 — 97,99,100; П. Чучукин (Костромская обл.)

81 —100; Р. Шабаш (Ереван) 100; M. Шатохин (Орел) 81 — 100; M. Шебаршин (Кемеровская обл.) 81 —100; Л. Шевелев (Орел) 81 —92, 94— 100; В. Шевченко (Алтайский край) 89 -91, 94, 98, 100; И. Шерман (Астрахань) 81, 84, 87, 89, 90,92, 93, 96 — 98, 100; Е. Шнайдер (Приморский край) 81, 89, 90, 98, 100, Ю. Шустов (Ленинград) 83, 84, 86, 89, 91, 94, 95, 97, 100; Э. Ясиновый (Куйбышев) 81 — 90, 92 — 94, 95 — 100.

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Г. П. Боев — Элементы теории вероятностей в школе............. 1

МЕТОДИКА

С. А. Пономарев — О коммунистическом воспитании на уроках математики . . 8

С. И. Новоселов — О понятии числовой последовательности в курсе IX класса . 18

Г. М. Карпенко — Изучение последовательностей в средней школе...... 21

П. А. Муравьев - Понятие последовательности и ее предела в средней школе . 35

И. Крылов — О воспитании культуры речи учащихся ............. 46

Я. Л. Трайнин — К вопросу о содержании программы по математике для средней школы................................ 49

ИЗ ОПЫТА

Ф. А. Белецкий — Понятие предела в курсе IX класса............. 53

Н. Г. Токарчук — Наглядное пособие для истолкования понятия предела числовой последовательности ........................ 65

В. В. Ланшин — Арифметические задачи на тему „ Сталинский план преобразования природы и великие стройки коммунизма“............. 67

О. Гинцбург Из опыта изучения в школе биографий великих русских ученых . 68

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

Н. И. Благовещенский — О книге В. М. Брадиса «Методика преподавания математики в средней школе»....................... 71

Я. С. Исаков — О книге И. С. Градштейна «Прямая и обратная теоремы» ... 74

В. Н. Молодший — О книге С. А. Яновской «Передовые идеи Н. И. Лобачевского — орудие борьбы против идеализма в математике»......... 76

Ю. М. Гайдук — О двух новых книгах по геометрии Лобачевского...... 78

В. А. Невский — Новая литература по математике............... 80

ХРОНИКА

Д. С. Гончаров — Работа секции преподавателей математики при Одесском Горметодкабинете за 1949 и 1950 гг..................... 82

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 6 за 1950-й год............... 84

Задачи . . ............................. 94

Сводка решений задач............................ 95

Редакционная коллегия: Редактор А. И. Барсуков. Зам. редактора С. И. Новоселов Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Я. Ф. Четверухин

Зав. редакцией Ф. М. Мидлер. Технический редактор В. С. Якунина

Корректор А. Г. Мареева

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6,_Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Сдано в производство 2/LII 1951 г. Подписано к печати 3/V 1951 г. Тираж 50 000 экз. Бумага 84X108'/,«= 3 6. л.=9,84 п. л. А02737. Учетно-нзд. л. 11,34. Тип. зн. в 1 п. л. 80 000. Зак. 182. Цена 4 р. 50 к.

13-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Москва, Гарднеровский пер., 1а.