МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

2

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1951

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 2

МАРТ —АПРЕЛЬ 1951 г.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

О ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

П. М. КОТЕЛЬНИКОВ (Москва)

Введение

Известно, что в школьных учебниках тригонометрии основные тригонометрические функции определяются геометрически. Это геометрическое определение может быть различным. Например, рассматривая число а как меру некоторого угла, можно определить тригонометрические функции числа а либо как отношение сторон соответствующего прямоугольного треугольника, либо как отношение проекций радиуса вектора соответствующей точки к длине этого радиуса, либо как отношение координат этой точки к расстоянию этой точки от начала координат и т. д.

Определяя тригонометрические функции геометрически, мы вынуждены при выводе свойств этих функций опираться на геометрию. Но школьный курс геометрии, как известно, не удовлетворяет требованиям строгости, а поэтому ряд доказательств, применяемых в тригонометрии, также является недостаточно строгим. Впрочем, если основывать определение тригонометрических функций на геометрических рассмотрениях и применять только такие предложения, которые получены при помощи строгих рассуждений и основаны на точно определенных понятиях, то и учение о тригонометрических функциях может быть изложено вполне строго.

Вместе с тем является желательным (особенно для применения в анализе) определить тригонометрические функции так, чтобы это определение не было связано с геометрией. Такого рода аналитическое определение может быть сделано с помощью дифференциального уравнения. Возьмем линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

Его решение yv удовлетворяющее начальным условиям:

мы называем синусом и обозначаем символом sin де; решение этого уравнения у2, удовлетворяющее начальным условиям:

мы называем косинусом и обозначаем символом cos X.

Исходя из этого определения тригонометрических функций, можно установить все их свойства, а также показать, что если рассматривать число X как меру некоторого угла, то sin X и cos X имеют тот же геометрический смысл, о котором идет речь при геометрическом определении sin х и cos л:.

Все это сделано в книге проф. М. К. Гребенчи «Обыкновенные дифференциальные уравнения» (см. § 131 «Изучение функций, определяемых дифференциальными уравнениями»; см. также статью Ф. В. Доброхотова «Очерк аналитической теории тригонометрических функций» в журнале «Математическое просвещение» за 1936 г.).

В основу определения тригонометрических функций можно положить также степенные ряды.

В этом случае синусом числа х мы называем сумму сходящегося при всех значениях х ряда

а косинусом числа х мы называем сумму сходящегося при всех значениях х ряда

Это определение эквивалентно предыдущему (см. «Курс математического анализа» М. К. Гребенча и С И. Новоселов).

Само собой разумеется, что такого рода определения не могут найти себе применение в школьном курсе тригонометрии.

Существуют и другие способы аналитического определения функций sin х и cos х. Рассмотрим, например, определение этих функций с помощью функциональных уравнений.

В этом случае за исходный пункт определения тригонометрических функций принимают некоторые характерные и не зависимые друг от друга свойства тригонометрических функций, рассматриваемые как своего рода аксиомы тригонометрии. Все остальные свойства функций sin л: и cosa: вытекают из этих аксиом.

Если мы выразим эти аксиомы с помощью уравнений, то речь будет идти об определенных функциях, удовлетворяющих этим уравнениям, т. е. о решении системы функциональных уравнений. Можно исходить из различного рода функциональных уравнений. Так, например, в книге Ф. Франклина «Математический анализ», т. I, это делается следующим образом.

Рассматриваются две функции S(x) и C(jc), определенные для всех действительных значений X и удовлетворяющие соотношениям:

(1)

(2) (3)

(4)

Из этих соотношений вытекает, что 5(лг)Е: ЕЕ sin л: и С(х) ЕЕ cos х, где sin х и cos х определены обычным способом.

Система функциональных уравнений, предлагаемая Франклином, носит достаточно сложный характер (см. соотношения (2) и (3)).

В предлагаемой статье приведен еще один из возможных вариантов определения тригонометрических функций с помощью функциональных уравнений. Ввиду того, что в этом определении существенную роль играет число тс, начнем с аналитического определения этого числа.

Определение числа гс

Рассмотрим последовательность

Общий член этой последовательности обозначим через zn. Эта последовательность монотонно возрастает, так как, очевидно, что гг <

Покажем, что эта последовательность ограничена. В самом деле, при любом натуральном // имеем:

Допустим, что

Тогда

Но zl < 2. Следовательно, z2 < 2, z3 < 2 и т. д.

Отсюда следует, что последовательность чисел zn имеет предел. Положим

Рассмотрим теперь еще такую последовательность:

Общий член этой последовательности равен (zn)2. В то же время общий член этой последовательности равен zn — 1 + 2. Следовательно,

Имеем:

С другой стороны,

Таким образом,

Отсюда :

Так как последовательность (я) монотонно возрастающая и ее члены положительные числа, то t — 2. Итак,

Возьмем теперь последовательность

Общий член этой последовательности обозначим через ип:

(число радикалов равно п). Отсюда :

(число радикалов в числителе равно п + 1 ; число радикалов в знаменателе равно ri).

Умножим числитель и знаменатель в правой части этого равенства на число

(число радикалов равно п+ 1); получим:

так как выше было доказано, что

каково бы ни было число радикалов. Числа ип положительны, следовательно, ап + \>ип. Таким образом, последовательность ип монотонно возрастает.

Рассмотрим далее последовательность:

Общий член этой последовательности обозначим через ту

(в числителе п радикалов; в знаменателе тоже п радикалов).

Подобно тому как это было сделано для отношения

доказываем, что

Так как

то

Числа vn положительны. Следовательно, vn ±\<vnj и последовательность чисел vn монотонно убывает.

Докажем, что при любом п un<vn. В самом деле

(число радикалов в числителе равно п). Так как

то будем иметь:

Таким образом, при увеличении п ип возрастает, но остается меньшим некоторого числа, например, меньше числа

Следовательно, ап имеет предел. Этот предел обозначим буквой тс.

Итак,

(число радикалов равно ri).

С другой стороны, при увеличении п vn убывает, но остается больше некоторого числа, например, больше числа

так как

Следовательно, vn имеет предел. Далее:

Следовательно,

Заметим, что с геометрической точки зрения ип и vn СУТЬ соответственно полупериметры правильных вписанного и описанного в окружность радиуса R = 1 я-угольников. Следовательно, тс— отношение длины полуокружности к диаметру.

Исходная система функциональных уравнений

Будем теперь исходить из следующей системы функциональных уравнений:

(1)

(2)

Дополняя эту систему соотношениями: /(jc)>0 в интервале

(3) (4)

предположим, что функции S (х) и С (jc), удовлетворяющие соотношениям (1) — (4), существуют.

Из соотношений (1) — (4) вытекают следующие свойства функций 5 (х) и С (х).

Полагая х = у в соотношении (1), будем иметь:

5(0)=0. (5)

Полагая х — -^-, у = 0 в соотношении (1) и принимая во внимание (5), будем иметь: С(0)= 1.

Полагая х=у в равенстве (2), получим

(6)

Из соотношения (6) получаем:

(7) (7')

Далее, полагая х = в равенстве (6), получим:

Следовательно,

(8)

Покажем, что функция S (х) нечетная, а функция С (х) четная. В самом деле, полагая в равенстве (1) л: = 0, получим:

Отсюда следует, что

(9)

Полагая jc = 0 в равенстве (2), получим:

Итак,

(10)

Теперь легко вывести формулы сложения для функций S (х) и С (х). Действительно, заменяя у через—у в соотношениях (1) и (2), получим:

(11)

(12)

Из соотношений (11) и (12) вытекают также при у = -г- следующие формулы :

(13) (14)

Эти две формулы вместе с формулами (9) и (10) позволяют выразить значение функций S (х) и С (х) для любого действительного значения X через значения этих функций для значения X, принадлежащего интервалу ^0, .

В частности, будем иметь:

Периодичность функций .S (л:) и С (х)

Легко теперь установить периодичность функций 5 (х) и С (х). В самом деле, имеют место следующие теоремы.

Теорема. Функция S (х) является периодической и число 2tz есть наименьший положительный период этой функции.

Доказательство. Имеем :

Итак, при всяком х имеем:

Допустим, что существует число k, О < k < 2 гс, такое, что при всяком х имеет место равенство:

(х)

Число k не может быть равно числу гс. В самом деле, если бы k = те, то

(х).

Но Отсюда : или

Это противоречит условию (3).

Число k не может быть равно числу

В самом деле, если бы

то

Это дает нам

чего не может быть.

Число k не может быть равно числу

В самом деле, если бы k = -5- , то

С другой стороны,

Это дает нам:

чего не может быть. Положим х = 0 в равенстве (*). Тогда получим:

5 (k) = S (0). Число k не может принадлежать интервалу ^0, -5-^1 так как в противном случае мы пришли бы в противоречие с условием (3).

Число k не может принадлежать интервалу 9 7С)' так как в противном случае число к—k принадлежало бы интервалу ^0, —^ и мы имели бы:

что противоречит условию (3).

Число k не может принадлежать интервалу (тг, 2тг), так как в противном случае число 2 гс— k принадлежало бы интервалу (0, тг), и мы имели бы:

что противоречит только что доказанному.

Итак, число 2тг является наименьшим положительным периодом для функции 5 (х).

Теорема. Функция С (х) является периодической функцией и число 2 тг есть наименьший положительный период этой функции.

Доказательство.

Итак, при всяком х имеем:

Допустим, что существует число k> 0 < k < 2 тг, такое, что при всяком С имеет место равенство:

(хх)

Число k не может быть равно числу В самом деле, если бы k — то

Это дает нам С (х) = —5 (л:), чего не может быть. Число k не может быть равно числу тс. В самом деле, если бы k = тг, то

Это дает нам:

Или С (х) — 0, чего не может быть (например, С (0) = 1).

Число k не может быть равно числу Д^- . В самом деле, если бы k = то

Но

Это дает нам:

чего не может быть. Например,

С (0) = 1, S (0) = 0.

Итак,

Положим в равенстве (хх)

Тогда получим:

Следовательно, S (&) = 0, но выше было доказано, что этого не может быть.

Итак, число 2 тс является наименьшим положительным периодом функции С (х).

Основные свойства функций S (х) и С (х)

Для дальнейшего нам понадобятся следующие формулы:

Эти формулы вытекают из соотношений (1) и (2) или формул сложения. Например, первая формула получается следующим образом:

Далее имеем:

Наконец, установим следующие формулы:

В самом деле,

Итак,

Далее:

Итак,

Теорема. Функция С (х) положительна в интервале

Доказательство.

Итак,

Теорема. Функция S (х) возрастает, а функция С (х) убывает на сегменте |о, ~j.

Доказательство. Пусть числа хг и хь принадлежат сегменту

Тогда будем иметь:

Следовательно,

Вместе с тем имеем:

Таким образом,

т. е. S (х) возрастает. Далее:

Таким образом, С (хх) — С (х2)<0 и С (х±)< <С (л;2), т. е. С (х) убывает.

Теорема. При любом натуральном п имеет место равенство:

(X)

(число радикалов равно п—1). Действительно :

Допустим, что равенство (х) справедливо при n = k.

Имеем, стало быть:

(число радикалов равно k — 1). Имеем далее:

Следовательно,

(число радикалов равно k).

Итак, равенство (х) справедливо и при п = k+\. Так как это равенство верно при п = 2, то, следовательно, оно верно при любом натуральном я.

Теорема. При любом натуральном п имеет место равенство:

(число радикалов равно п — 1). Действительно,

Теорема. Если п — натуральное число, то

Доказательство. Выше мы ввели обозначение:

(число радикалов равно п). Следовательно,

Отсюда имеем:

так как

Теорема. Если п натуральное число, то

Действительно, сохраняя обозначение предыдущего пункта, будем иметь:

Следовательно,

Теорема

Доказательство: lim С (х) существует в силу монотонности функции С (х)у в интервале ^0, ~ \ . Чтобы найти lim С (х), достаточно найти lim С (л:) по какой-либо последовательности, сходящейся к нулю. Имеем:

Далее: Итак,

Аналогично доказывается, что:

Теорема. Функция С (х) непрерывна. Доказательство. Имеем:

Вместе с тем: Следовательно,

Теорема. Функция S (х) непрерывна. Действительно, имеем:

Но и

Следовательно,

Основные неравенства

Теорема. Если число х принадлежит интервалу (о, , то / (х)<х.

Докажем сначала справедливость этого неравенства для того случая, когда х = од, где п некоторое натуральное число. Выше мы имели:

(число радикалов равно п — 1). Отсюда следует:

(в левой части п — 1 радикалов). Таким образом,

при любом натуральном п. Докажем справедливость неравенства

S(x)<x

для того случая, когда число х, принадлежащее интервалу ^0, , имеет вид:

Если m = 1 или m = 2, то неравенство f(x) < <х справедливо по доказанному выше.

Допустим, что неравенство f(x)<x имеет место при X = -^jr, где k — некоторое натуральное число (k<2n~l). Докажем, что неравенство будет справедливо и в том случае, если X =

В самом деле имеем:

Так как и

то

Так как неравенство S(x)<xf где х = -^г > справедливо при m = 2, то оно справедливо и

при m = 3 и т. д., а следовательно, справедливо при любом натуральном т>\.

Обозначим через rm, п числа вида Докажем, что

если

В самом деле, имеем:

Если числа rm> п и г^, / принадлежат интервалу f 0, -у ], то число -~2- также принадлежит этому интервалу

Далее:

где положено:

Так как гт> п > rÄ, /, то > ^- и /7 — целое положительное число. По доказанному выше будем иметь:

Таким образом,

Отсюда следует, что если

то

Пусть имеем некоторое число х из интервала V ' ““3 / и пусть при некотором натуральном k и некотором натуральном /

По доказанному выше имеем:

Всегда можно выбрать такое натуральное m и такое натуральное п, чтобы выполнялись следующие неравенства:

С другой стороны имеем:

Далее

Так как

а

то

Рассмотрим функцию:

Эта функция определена на множестве всех действительных чисел за исключением чисел вида -J (2£+1), где k—любое целое число.

Имеем:

где где

Допустив, что ни одно из двух чисел х, у не равно (2 /тг 1), где m — некоторое целое число, разделим числитель и знаменатель на

получим:

Формулы приведения дают:

Покажем, что те есть наименьший положительный период функции Т(х). В самом деле имеем:

Допустим теперь, что существует такое число k, 0<£<те, для которого при всех х имеет место равенство:

Положим X = 0. Тогда

Г(£) = Г(0) = 0.

Так как

Следовательно,

а это неверно. Имеем далее:

Если л: принадлежит интервалу ^0, -g- J , то Дх) принадлежит интервалу (0,+oo). Пусть

Тогда получим:

так как

Итак, функция Т(х) монотонна в интервале

Далее:

В самом деле, имеем:

Итак, функция Т(х) непрерывна на интервале (о, -^Л. На основании периодичности функции Т(х) это свойство ее распространяется на все интервалы вида

где k — любое целое число.

Теорема. Если х принадлежит интервалу

Доказательство. Докажем сначала, что

это неравенство справедливо при х = , где п — любое натуральное число (п ф 1). Имеем:

(в числителе п — 1 радикалов; в знаменателе п—1 радикалов). Как известно,

(число радикалов в числителе равно п — 1 ; число радикалов в знаменателе тоже равно я-1).

Отсюда вытекает:

Пусть число Ху принадлежащее интервалу

имеет вид х = где m и п — натуральные числа. Следовательно, я>1 и

Неравенство х<Т(х) справедливо в том случае, если х = -щ- или х = —^г * т. е. в том случае, если т—\ или m = 2.

Допустим, что неравенство х<Т(х) справедливо при л: = ~ (я>1, £<2Л~1). Докажем, что это неравенство будет справедливо и при

если только

В самом деле, имеем:

Так как

ибо и, значит,

Это дает в свою очередь:

Отсюда и вытекает справедливость неравенства

Обозначим, как и выше, через тт>п числа вида

и допустим, что

Тогда получим:

В самом деле,

Следовательно,

Но, как было показано выше,

Так как число гт>п — Tk,i принадлежит интервалу ^0, J , то р<2Л + /-1. В силу этого

Итак, если гт, п и Ги, принадлежат интервалу (о, и если Гт> п > Гк> 1> то

или

Пусть имеем некоторое число х из интервала (о, ~\ и пусть при некотором натуральном k и некотором натуральном /

Имеем:

Всегда можно выбрать такое натуральное m и такое натуральное п, чтобы выполнялись неравенства:

Далее :

Отсюда :

Но m и п всегда можно выбрать так, что

С другой стороны,

Следовательно,

Теорема, lim —существует.

В самом деле, пусть х принадлежит интервалу

(о, f ).

В силу того что

можем заключить, что

Заключение

Теорема.

5 (*) = sin X и С (*) = cos X.

Докажем, что для любого действительного числа X имеют место равенства:

S (*) = sin X и C(*) = cos*. Это справедливо для того случая, когда х = 27г, гДе п — некоторое целое положительное число. В самом деле, для любого х имеют место следующие равенства:

Аналогично тому, как это было сделано выше, мы доказываем, что

(л — 1 радикалов). Сравнивая эти формулы с формулами

будем иметь:

Пусть теперь х имеет вид:

где m — некоторое целое число и п — некоторое целое положительное число. С помощью теоремы сложения можно выразить sin*

Подставим вместо

а вместо

В результате получим:

Таким же образом получим:

Пусть X — произвольное действительное число. Всегда можно выбрать два числа —и

Отсюда в силу монотонности синуса имеем:

Это дает:

Но в силу монотонности функции S(x):

Предположим, что S (х) ф sin х. Тогда имеем:

Но в силу непрерывности функции S(x) мы можем сделать разность

сколь угодно малой. Отсюда и следует, что S(*) = sin*. Аналогично доказываем, что C(*) = cos*.

Это приводит нас к следующему утверждению: если рассматривать х как меру некоторого угла и определить sin* и cos* геометрически, то sin* и cos* и являются теми функциями, которые удовлетворяют условиям (1) —(4).

Других функций, удовлетворяющих этим условиям, не существует. Это и позволяет в основу определения тригонометрических функций положить систему соотношений (1) — (4). Пусть S(x) и С(*) — функции, удовлетворяющие соотношениям (1) — (4).

Полагая, по определению,

мы и получим определение тригонометрических функций с помощью функциональных уравнений. В этом случае любое геометрическое определение sin* и cos* дает геометрическую интерпретацию в геометрии Евклида тригонометрических функций, определенных аналитически.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО

И. А. МАРОН (Москва)

Педагогическая деятельность выдающегося русского математика М. В. Остроградского (1801—1861) была исключительно разносторонней. Много ученых, профессоров и преподавателей воспитал М. В. Остроградский за долгие годы своей деятельности.

Но педагогическая деятельность Остроградского не ограничивалась только преподаванием. Значительное место в ней занимает его работа в качестве научного и методического руководителя преподавания математики во всех военно-учебных заведениях России. Пятнадцать лет (1847—1861) Остроградский состоял на службе в штабе главного начальника военно-учебных заведений в качестве главного наблюдателя за преподаванием математики, неся полную ответственность за научную и методическую постановку преподавания. Почти столько же лет он являлся членом Учебного комитета и главным наблюдателем при Главном управлении путей сообщения.

Выдающиеся русские математики всегда живо интересовались вопросами преподавания, в том числе и преподавания элементарного курса математики. Известно, как близко стояли к интересам школьной математики и как много сделали для нее С. Я. Румовский, С. Е. Гурьев, Т. Ф. Осиповский, Н. И. Лобачевский, И. И. Сомов, А. Н. Тихомандрицкий, Д. М. Перевощиков, П. Л. Чебышев и др. Участием этих крупных представителей математической мысли и обусловлено было в значительной мере то обстоятельство, что учебный курс математики в России сформировался быстрее, чем во многих странах Запада, и воплотил в себе наиболее прогрессивные научные и дидактические черты.

К сожалению, в нашей историко-математической и историко-педагогической литературе очень мало отражены педагогические взгляды и деятельность крупнейших русских математиков и в особенности М. В. Остроградского.

В последнее время автором настоящей статьи обнаружен в различных архивах Москвы и Ленинграда новый документальный материал, дающий возможность подробнее охарактеризовать Остроградского как выдающегося педагогического деятеля.

Будучи в течение 15 лет главным наблюдателем за преподаванием математики в военно-учебных заведениях России, Остроградский провел огромную организационную и методическую работу, направленную на повышение общего уровня преподавания математики.

Ему как главному наблюдателю вменялось в обязанность:

1. Руководить составлением программ по математическим дисциплинам. Следить за ходом преподавания по ним.

2. Систематически посещать занятия в столичных военно-учебных заведениях и периодически выезжать в губернские кадетские корпуса для проверки постановки преподавания математических предметов.

3. Систематически собирать методические совещания преподавателей математики военно-учебных заведений столицы.

4. Присутствовать на выпускных экзаменах по математическим дисциплинам в военно-учебных заведениях.

5. Следить за научной и методической подготовленностью преподавателей математических дисциплин во всех военно-учебных заведениях; руководить работой комиссий по испытанию кандидатов на преподавательские должности.

6. Руководить составлением учебных руководств и пособий по всем математическим дисциплинам.

7. Руководить работой наставников-наблюдателей*.

8. Следить за пополнением библиотек математической литературой; составлять рецензии на математические сочинения, предназначенные для библиотек.

9. Следить за обеспечением лабораторий и кабинетов необходимыми приборами и пособиями.

Как видим, круг обязанностей главного наблюдателя был чрезвычайно большой. Остроградский, как свидетельствуют об этом документы, до конца своей жизни успешно исполнял свои обширные обязанности.

Особенно большую работу Остроградский провел по подбору и воспитанию преподавательского состава для военно-учебных заведений. Каждый преподаватель математики любой военной школы России в той или иной форме подвергался испытанию у Остроградского. Эти испытания состояли из устных экзаменов по специальным дисциплинам и так называемой «пробной лекции».

Темы пробных лекций по математике, механике и математической географии составлялись неизменно самим Остроградским. Эти темы хотя и не выходили за рамки обычного математического курса, скажем, Института корпуса путей сообщения, не были слишком трудны, но принадлежали всегда к основным в соответствующих разделах, и по пробным лекциям можно было судить о подготовке экзаменующихся и об их математическом развитии. Так, например, по дифференциальному и интегральному исчислениям задавались такие вопросы: интегрирование системы дифференциальных уравнений и в особенности линейных. Измерение криволинейных площадей и объемов тел. Разложение произвольных функций в ряды, теорема Фурье и ее приложение к интегрированию линейных дифференциальных уравнений. Вариационное исчисление. Отличие вариации от дифференциала. Вариация интегралов и функций, данных дифференциальными уравнениями. Вариация двойных интегралов относительно различных переменных. Приложение вариационного исчисления к нахождению наибольших и наименьших величин интегральных функций.

На Остроградского как на главного наблюдателя ложились следующие обязанности:

1) Просматривать все протоколы устных экзаменов при губернских комиссиях и докладывать о них в заседаниях Учебного комитета.

2) Составлять темы для «пробных лекций».

3) Проверять письменное изложение «пробных лекций», которые представлялись ему из провинции, составлять на каждую из них рецензию и докладывать Учебному комитету.

4) Неизменно председательствовать в комиссии при штабе по приему устных экзаменов по математическим предметам.

5) Неизменно представительствовать в комиссии по заслушиванию чтения «пробных лекций» лицами, изъявившими желание держать испытание при штабе.

Сохранившиеся документы свидетельствуют, что Остроградский выполнял эти обязанности энергично и с увлечением.

Прогрессивное значение деятельности Остроградского по подбору и воспитанию преподавателей состояло в том, что в ходе испытаний происходило постоянное общение знаменитого математика с молодыми преподавателями, В комиссии под председательством Остроградского держали испытания многие молодые люди, получившие впоследствии известность как ученые и методисты. Так, в комиссии читали свои пробные лекции А. Н. Коркин, И. А. Вышнеградский, В. А. Евтушевский, Ф. И. Симашко, А. И. Гольденберг, В. П. Воленс и др. Эти люди пользовались затем всяческой поддержкой со стороны Остроградского.

Остроградский активно пользовался и другими возможностями для изучения квалификации преподавателей. Он систематически посещал занятия в столичных корпусах, собирал совещания преподавателей столицы. Он лично объездил почти все губернские кадетские корпуса, где широко общался с рядовыми преподавателями**. Эта связь питала его творческую методическую мысль. Эта же связь самым благоприятным образом действовала на постановку

* В каждом кадетском корпусе назначался руководитель коллектива преподавателей данного предмета. Он именовался «наставник-наблюдатель». Наставники-наблюдатели официально считались помощниками главного наблюдателя соответствующего предмета.

** Так, например, в. 1852 г. Остроградский в течение трех месяцев проверял постановку преподавания математики и механики в кадетских корпусах.

математического образования в военно-учебных заведениях.

Резюмируем в немногих пунктах самое главное в деятельности Остроградского по воспитанию преподавательских кадров военно-учебных заведений: Остроградский—1) неизменно стремился к повышению математического и методического уровня знаний преподавателей военной школы; 2) предъявлял высокие требования к познаниям преподавателей в областях, составляющих основное содержание их предмета, будучи снисходительным в прочих случаях; 3) глубоко уважал и ценил трудолюбие, старательность и настойчивость преподавателей, стремившихся к повышению своей квалификации; 4) отмечал наиболее способных и достойных преподавателей, оказывая им всемерную помощь и поддержку; многие из них затем сами приобрели известность и стали во главе математического образования в России (Коркин, Сабинин, Евтушевский, Симашко, Рощин, Острогорский и др.); 5) уделял очень много времени и труда делу подбора преподавателей математики для военно-учебных заведений.

Под руководством Остроградского и при его непосредственном участии была создана серия учебников по математике, механике и математической географии с грифом «учебные руководства для военно-учебных заведений». Эти учебники оставили глубокий след в истории развития учебных руководств в России. Так, были изданы или переизданы в переработанном виде: «Арифметика» В. Я. Буняковского, «Руководство начальной геометрии в трех частях» М. В. Остроградского, «Первые начала приложения алгебры к геометрии» С. Сухонина, «Аналитическая геометрия» И. И. Сомова, «Математическая география» Н. Ф. Ястржембского, «Элементарная механика» И. А. Вышнеградского, «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление» В. И. Беренса и др.

Роль Остроградского в создании этой серии учебников была велика. Сохранившиеся документы свидетельствуют, что Остроградский был вдохновителем и организатором создания этого целого комплекса учебных руководств. Он подбирал авторов, тщательно руководил их работой, прочитывал и исправлял рукописи. Каждая рукопись затем передавалась Остроградским на рецензию другим известным математикам — В. Я. Буняковскому, И. И. Сомову, Д. И. Перевощикову и др. По инициативе и под председательством Остроградского была создана Особая математическая комиссия для окончательного суждения о научных и педагогических достоинствах рукописей учебников. В состав этой комиссии входили: В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышев, Д. И. Перевощиков, И. И. Сомов, П. Л. Лавров и др.

Под руководством Остроградского и при его ближайшем участии были составлены «Конспекты по всем разделам математики и механики», представлявшие собой подробные и чрезвычайно интересные методические руководства для преподавателей. Так, были написаны и изданы «Программа и конспект по арифметике», «Программа и конспект по геометрии» В. Я. Рутковского, «Программа и конспект по тригонометрии» М. В. Остроградского. Сохранившиеся документы не оставляют сомнения в том, что Остроградский написал также аналогичное методическое руководство по алгебре, но нам не удалось его обнаружить.

Обычно в историко-педагогической литературе и в отдельных статьях, посвященных Остроградскому, отмечается, что он был автором двух учебных руководств для средней школы: «Руководство начальной геометрии» и «Программа и конспект по тригонометрии» и одного руководства для высшей школы — «Лекции по алгебраическому и трансцендентному анализу» (СПБ 1837). Это не совсем точно. В действительности Остроградский составил больше руководств. Так, он написал и издал в 1841 г. учебник по дифференциальному исчислению для Морского кадетского корпуса. Затем, в 1860 г. он издал совместно с А. Блумом конспекты: «Начальная арифметика» и «Начальная геометрия» (СПБ 1860). Кроме того, сохранившиеся документы не оставляют сомнения в том, что Остроградский составлял учебник по элементарной алгебре и по дифференциальному исчислению с элементами высшей алгебры для военно-учебных заведений.

В архиве Академии наук СССР сохранилась подлинная рукопись Остроградского*. Судя по характеру изложения, а также по пометкам и записям относительно преподавания алгебры в кадетских корпусах, сделанным между параграфами рукописи, можно предположить, что эти листы представляют часть рукописи учебника по алгебре для военно-учебных заведений**. Эта рукопись посвящена уравнениям второй степени и извлечению квадратных корней из чисел.

Изложение теории квадратного уравнения

Москвы, Тулы, Орла и Полтавы. В 1853 г. он провел аналогичную проверку в Полоцком и Брестском кадетских корпусах.

* Протокол заседания физико-математического отделения от 15 марта 1912 г., § 263.

** Архив АН СССР, разряд V, ОП. 1—0, № 11, лл. 1—17.

у Остроградского столь оригинально и изящно, что мы приведем его довольно подробно.

Пусть а будет корнем квадратного уравнения

(1)

(2)

вычтя, получим:

Отсюда следует, что если существует один корень квадратного уравнения а, то существует и другой корень ß = — а--^-. Отсюда же видно, что квадратный трехчлен, стоящий в левой части уравнения (1), разлагается на множители следующим образом:

(3)

С другой стороны, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях буквы х в равенстве (3), мы получим так называемую теорему Виета:

(4)

Далее Остроградский выводит условия существования кратного корня квадратного уравнения. Пусть

тогда

откуда

Следовательно, условие — 4 ас = 0, является необходимым условием существования кратного корня уравнения (1), причем этот корень будет a = ß=--

Это условие и достаточное, ибо при

и очевидно, что

Соотношение (3) мы получили, рассуждает далее автор рукописи, в предположении, что уравнение (1) имеет два различных вещественных корня.

При каком условии это имеет место? Из соотношений (4) получаем:

вычитая получим:

Кроме того,

Значит,

Значит, оба корня определятся из формулы:

(5)

Последние формулы имеют смысл при Ь2 — — 4а£>-0, следовательно, при Ь2 — 4ас>0 получим два различных вещественных корня.

Остроградский дает и другой вывод формулы (5), основанный на равенствах (4) и введении вспомогательного неизвестного, определяемого равенством а — ß=2/?.

Предложенный Остроградским прием исследования квадратных уравнений представляет на наш взгляд и сейчас методический интерес.

В следующем разделе рукописи Остроградский излагает метод извлечения квадратного корня из чисел. Этот метод удобен для извлечения корней из больших чисел, так как сокращает число действий.

Сохранившаяся рукопись интересна для нас и с другой стороны. Из нее видно, что даже при изложении столь давно и подробно разработанных в учебной литературе вопросов, как теория квадратного уравнения, Остроградский находил новые методические пути, новые оригинальные приемы. Эта черта характерна для всего творчества Остроградского.

В 1855 г. Остроградский издал «Руководство начальной геометрии» — курс второго общего класса кадетских корпусов (140 стр.), в 1857г. — курс третьего общего класса (406 стр.) и в 1860 г. — курс пятого общего класса (201 стр.).

Этот учебник коренным образом отличается от других учебников, вышедших до него, как

содержанием, так и порядком расположения материала, а также методом доказательств геометрических предложений. В «Предуведомлении» к «Руководству» Остроградский сам писал об этом: «Сочинение это отличается от других руководств по той же науке развитием основных начал, порядком теорем и способом доказательств».

Уже в первой книге имеется заметное расхождение с общепринятым тогда порядком расположения материала: изложение треугольников дается после рассмотрения общей теории выпуклых многоугольников, параллелограмы изучаются после трапеции и т. п.

«Руководство» Остроградского являлось в то время наиболее полным и подробным учебником геометрии. Характерная черта «Руководства» — общность изложения геометрического материала. Значительное число самостоятельных геометрических предложений, выясняющих свойства геометрических образов того или иного вида, получаются у Остроградского как частный случай из рассмотренных свойств более общих геометрических образов. Так, например, Остроградский прежде всего исследует общие свойства выпуклых многоугольников, а затем уже выводит свойства частных видов—треугольников, четырехугольников и др. Многие свойства окружности автор получает как частный случай из общих свойств плоских кривых. Большой общностью отличаются также и определения. Доказательства теорем отличаются оригинальностью. Вот, например, доказательство теоремы о том, что сторона вписанного в круг правильного шестиугольника равна радиусу.

Пусть имеем хорду AB дуги /г-й части окружности; соединив концы дуги с центром, мы получим равнобедренный треугольник с углом при центре, равным —, каждый из углов А и В будет равен п - - d; условием того,чтобы хорда AB равнялась радиусу, будет равенство всех углов, т. е.

отсюда

п — 2 = 4; п = 6, что и требовалось доказать.

Остроградский более смело, чем другие авторы, прибегнул к алгебре, к аналитическим выводам геометрических предложений. Больше того, он даже высказывался в пользу применения дифференциального исчисления к изложению элементарной геометрии. Так, он писал: «...исчисление это (дифференциальное исчисление.—И. М.) могло бы в геометрии заменить и упростить суждения, посредством которых

Евклид распространяет предложения, доказанные для величин соизмеримых, на величины несоизмеримые. Но, конечно, найдут неуместным вводить дифференциальное исчисление в начальную геометрию»*.

Однако учебник Остроградского, несмотря на ряд научных достоинств, не нашел широкого распространения в школьной практике.

Чем это объясняется?

В первую очередь тем, что Остроградский преследовал две существенно различные цели. С одной стороны, перед автором стояла задача составить учебник для учащихся вторых пятых общих классов в возрасте 12—15 лет. С другой стороны, Остроградский стремился вооружить преподавателей математики в России руководством для построения строго логического курса элементарной геометрии. Составляя учебник, автор должен был иметь в виду детей школьного возраста, впервые изучающих геометрию; в поле же зрения Остроградского попали прежде всего не ученики, а учителя, которые, по его замыслу, должны будут, руководствуясь этой книгой, совершить реформу в преподавании геометрии. Такая двойственность целей и определила характер изложения учебника. Руководство начальной геометрии оказалось трудным и малодоступным для школьников. В нем много абстрактных суждений, полезных для преподавателей, но недоступных для детей школьного возраста. Тем самым Остроградский сам пришел в противоречие со своим дидактическим требованием учета возрастных особенностей учащихся, о чем речь будет идти ниже. Руководствуясь тем, что «чертеж не нужен для геометрии, он принимается лишь как средство вспомогательное, по причине слабости нашей в умственных соображениях», Остроградский умышленно избегал чертежей и свел их использование до минимума. Но это приводило к длинным, трудно усвояемым словесным толкованиям.

Сохранились отзывы преподавателей кадетских корпусов, ведших преподавание по учебнику Остроградского. Все они отмечали научную ценность «Руководства», но указывали на трудность преподавания по учебнику в связи с его абстрактностью. Не следует, однако, умалять значения «Руководства». Оно явилось ценным пособием для учителей математики и для авторов более поздних учебников по геометрии**.

* Разбор сочинения проф. Соколова «Динамика» в XXX присуждении Демидовской премии 28 мая 1861 г., стр. 443.

** Укажем, например, что учебник Е. Пржевальского «Начальная геометрия» (Москва 1876) составлен на основании «Руководства» Остроградского.

H. Г. Чернышевский восторженно отзывался об учебнике геометрии Остроградского*. Этот отзыв интересен для нас и в том отношении, что характеризует отношение великого русского демократа-революционера к Остроградскому как ученому и педагогу.

В 1851 г. вышла книга Остроградского «Программа и конспект тригонометрии» Эта книга предназначалась для преподавателей военно-учебных заведений в качестве методического руководства.

Точно сообразуясь с методологическими и методическими установками «Конспекта», была написана затем «Тригонометрия» Ф. И. Симашко, получившая, как известно, распространение в средней школе России.

В «Программе и конспекте тригонометрии» Остроградский указал совершенно новое построение курса тригонометрии для военно-учебных заведений. Основная идея Остроградского, касающаяся построения курса тригонометрии, сводилась кратко к следующему. Тригонометрия подчинена единственной задаче — решению треугольников. Прямоугольные треугольники решаются непосредственно с помощью особо построенных им таблиц и самых простых правил пропорции. Для вывода всех необходимых соотношений для решения косоугольных треугольников Остроградский предложил весьма остроумный прием, заключающийся в рассмотрении данного и вспомогательных треугольников, те или иные стороны которых, в зависимости от задачи, равны или сумме, или разности сторон данного треугольника.

Пользуясь одной исходной фигурой, состоящей из данного косоугольного треугольника и двух вспомогательных линий, Остроградский легко получил теорему синусов, тангенсов, так называемые формулы Мольвейде, формулы для выражения тангенсов половинных углов треугольника через его стороны и т. п. Другие соотношения между тригонометрическими функциями: формулы сложения, вычитания, формулы преобразования сумм и разностей тригонометрических функций к виду удобному для логарифмирования и т. д. — вытекают почти непосредственно.

И здесь, в тригонометрии, как и везде, Остроградский пошел своим собственным самостоятельным путем. План построения курса, структура его и, наконец, выводы самих формул принадлежат Остроградскому. Известное доказательство теоремы синусов путем выражения величины диаметра описанной около треугольника окружности — доказательство, сохранившееся до наших дней, исходит, повидимому, от Остроградского. По крайней мере, мы не встретили такого доказательства ни в одном русском и переводном учебнике по тригонометрии, вышедшем до появления «Конспекта» Остроградского. Остроградский, повидимому, придавал большое значение своему «Конспекту», так как поместил основные результаты в мемуарах Академии наук.

* *

Сохранились записи лекций по различным разделам высшей математики, читанных Остроградским как публично, так и в стенах высших военно-учебных заведений Петербурга и в Главном педагогическом институте.

Руководства «Начальная арифметика» и «Начальная геометрия», составленные Остроградским совместно с А. Блумом, вошли в серию «Политехнические таблицы — собрание, представляющее сокращенное изложение наук математических, физических и их применений». Издание этих таблиц было предпринято Остроградским совместно с А. Блумом с целью распространения физико-математических и технических знаний среди широких кругов интеллигенции России. «Таблицы» эти по замыслу их редакторов и издателей должны были представлять своеобразную энциклопедию политехнических наук.

К составлению таблиц были привлечены крупные ученые различных специальностей. Таблицы стали выходить в 1860 г. на трех языках. К сожалению, Остроградский не успел завершить это ислючительно интересное мероприятие: вышло всего 11 таблиц, а предполагалось их выпустить 380. Выпущенные таблицы были посвящены: арифметике, начальной геометрии, физике и начертательной геометрии**.

«Начальная геометрия» и «Начальная арифметика», вышедшие в таблицах, представляют собой конспективное изложение основ арифметики и элементарной геометрии. Материал в них изложен ясно, а в некоторых случаях весьма оригинально.

Таким образом, М. В. Остроградский сыграл в 30—50-е годы XIX в. исключительно крупную роль в создании отечественной учебной литературы по математическим наукам — от синоптических таблиц по арифметике и учебников элементарной геометрии до оригинальных руководств по высшей алгебре и аналитической механике. Многие из этих сочинений написаны были им лично или записаны по его лекциям, другие были составлены, под его на-

* Н. Г. Чернышевский, Полное собрание сочинений, т. II, стр. 739—741.

** Отзывы о «Политехнических таблицах» см. в «Московских Ведомостях», 1861, № 16, и в журнале «Строитель», 1861, т. 3, кн. 5.

блюдением и по его инициативе, рядом учеников знаменитого математика. Эта учебная литература оказала существенное влияние на развитие русского математического просвещения, а некоторые из руководств самого Остроградского, так же как и его лекции, имели большое значение для научного творчества русских математиков.

* * *

Руководящими дидактическими принципами в педагогической деятельности Остроградского были: стремление к развитию строгого математического мышления и самостоятельности в работе учащихся, стремление к выяснению учащимися научных основ математики, развитию у них навыков и уменья практически прилагать теоретические знания и т. п.

Указанные дидактические принципы Остроградского сказались прежде всего на характере программ по математике и механике, составленных и неоднократно пересмотренных им как главным наблюдателем.

В алгебре, в отличие от предыдущих программ, обращено было большое внимание на обоснование действий, на составление уравнений из условий задачи и на выяснение функциональной зависимости между переменными, на составление и изучение графиков. Из геометрии были удалены непринципиальные пункты: упражнения по топографии и др., и усилены разделы, имеющие значение для более строгого изложения систематического курса геометрии. Обращено большое внимание на решение задач по геометрии. В арифметике усилены разделы, выясняющие теоретические основы этой науки. Был также усилен раздел «Приложения алгебры к геометрии», причем было обращено большое внимание на составление уравнений геометрических мест, на выяснение функциональной зависимости.

Остроградский развивал идею о необходимости введения элементов высшей математики в курс средней школы. Он не только развивал эту мысль, но и добился осуществления ее.

В 1850 г. во всех четвертых общих классах кадетских корпусов по инициативе Остроградского были введены элементы высшей математики. Сохранившиеся материалы свидетельствуют, что Остроградскому приходилось при этом преодолевать рутину и доказывать необходимость и пользу введения элементов высшей математики в курс военно-учебных заведений. Для этой цели он собирал совещания преподавателей математики и механики военно-учебных заведений, на которых выступал в защиту своих нововведений.

Мы видели выше, что Остроградский высказывался в пользу введения элементов дифференциального исчисления в курс элементарной геометрии. Остроградский шел еще дальше и утверждал, что основные понятия высшей математики должны стать достоянием широких кругов грамотных людей. В статье «Погрешности при вычислении процентов»*, написанной в популярной форме для широкого круга читателей, Остроградский писал: «Рассмотрим же, какими формулами должно руководствоваться при вычислении сложных процентов. Вопрос этот можно решить на основании самых элементарных правил алгебры, но мы употребим дифференциальное исчисление, во-первых, для большей простоты, а во-вторых, чтобы оно мало-помалу распространялось на все классы читателей. Фраза «дифференциальное исчисление есть трансцендентный, или высший анализ и доступный весьма немногим», повторяемая со времени Лейбница, должна же, наконец, устареть! Что может быть проще дифференциального исчисления для читателей, хотя бы несколько знакомых с математическими науками!»

С другой стороны, Остроградский подчеркивал необходимость приблизить изложение элементарной математики к методам высшей математики. К этому он стремился при составлении своих учебных руководств, эту же мысль он высказывал на методических совещаниях преподавателей.

Остроградский, далее, настойчиво добивался, чтобы преподавание математики и механики в кадетских корпусах было увязано с физикой и естествознанием. По инициативе Остроградского созывались объединенные совещания математической комиссии с комиссией по физике для совместного обсуждения программ по математике, механике, физике и космографии**.

Остроградский настаивал на усилении наглядности в преподавании математических дисциплин. Сохранившиеся материалы свидетельствуют, что он принял деятельное участие в организации и оборудовании кабинетов по математическим наукам в кадетских корпусах.

Борясь за научную строгость в преподавании математики, Остроградский в то же время подчеркивал, что изложение этого предмета не должно быть сухим, оно должно быть наглядным, конкретным, интересным, учитывающим возрастные особенности учеников. Для оживления урока, для привлечения внимания воспитанников он рекомендовал преподавателю де-

* «Северное обозрение», 1848, № 1. См. также «Журнал Министерства народного просвещения , 1848, ч. 59, отд. VI, стр. 117.

** Главным наблюдателем за преподаванием физики в военно-учебных заведениях был акад. Ленц

лать исторические экскурсы, рассказывать эпизоды из истории математики и из биографий ученых.

Остроградский боролся за то, чтобы военная школа давала своим воспитанникам твердые, основательные знания и навыки по математике. Составленные им программы предусматривали основательное повторение всего пройденного, а в IV общем классе предусматривалось повторение материала всех предыдущих трех классов. Остроградский рекомендовал преподавателям начинать урок с краткого обзора пройденного, на текущих опросах предлагать ученикам вопросы из предыдущих глав.

Таким образом, есть все основания заключить, что в таких основных вопросах, как развитие функционального мышления, установление связи математики с вопросами физики и естествознания, в вопросе о наглядности преподавания и об учете возрастных особенностей учеников, Остроградский еще за 50 лет до Клейна высказывал и частично осуществил идеи, которые затем легли в основу известного международного движения за реформу преподавания математики. Многие из этих идей были развиты и в более законченной форме высказаны в 1865 г. учеником Остроградского, артиллерийским офицером В. Н. Шкларевичем в статье «Некоторые соображения о методе преподавания начальной математики»*.

Педагогические интересы Остроградского не ограничивались вопросами частной методики математики. Его глубоко интересовали и общие проблемы воспитания и образования. Мы здесь приведем лишь некоторые отдельные суждения Остроградского, высказанные им в написанной совместно с А. Блумом** брошюре «Размышления о преподавании» («Considérations sur L'enseignement», Paris 1860). Сочинение это представляет собой призыв к пересмотру и изменению всей системы школьного образования.

Остроградского и Блума не удовлетворяла постановка обучения детей в современной им школе. «Обучение, — утверждали они, — ведется слишком сухо, абстрактно, оторванно от потребностей жизни, без учета наклонностей и интересов детей».

«Для обучения детей, — писали авторы,— используют те же приемы, которыми пользовались Сократ и Платон для преподавания высших истин морали людям уже сформировавшимся, влюбленным в занятия логикой и философией и привыкшим пользоваться речью... . Кто из нас не видел, что из 50 соучеников, по крайней мере, 40 отвращены и обескуражены навсегда абстрактными идеями, которые нам вначале преподносили, прежде чем сделать их понятными с помощью примеров, взятых из практической жизни.... Действительно, на уроках арифметики, алгебры, геометрии ничто не напоминало необходимости их изучения для практической жизни. Ничего не было рассказано об истории наук. Глубокие теории, сухие, непонятные определения были изложены, повторены и, осмелимся сказать, пережеваны, не давая никакого другого результата, чем образование небольшого количества учеников. Кажется, что жрецы древнего Египта еще руководят тайнами наук».

Остроградский и Блум были убеждены в необходимости и возможности усовершенствования методов обучения. Изменить всю систему начального обучения, сделать его, не упрощая науку, интересным, доступным и увлекательным— такова была, по их мнению, важная и неотложная проблема русской общественной жизни.

«Нам достаточно сказать несколько слов для уточнения того, что мы хотим сказать, — писали авторы,—мы претендуем на то, чтобы дать понять, что пришел момент вспомнить об этой громадной проблеме — проблеме образования, избавить его от первоначальных трудностей, сделать его более простым, ясным, блестящим...» и далее: «Заинтересовать ум ребенка— вот что является одним из главных пунктов нашей доктрины, и мы не пренебрегаем ничем, чтобы привить ученику вкус — мы бы сказали даже страсть к учебе».

Что же предлагали Остроградский и Блум для того, чтобы «сделать обучение простым, ясным, блестящим, чтобы заинтересовать ум ребенка»? Суть их предложений в основном сводится к тому, что обучение, особенно на первых его ступенях, должно быть максимально активным, творческим и наглядным. Первоначальные понятия о буквах, о счете, о геометрических фигурах, о механических и физических свойствах окружающих предметов и т. п. ребенок должен почерпнуть не из слов учителя, не из книги, а в процессе самостоятельного труда в мастерской, под руководством учителя. Ребенок, по замыслу Остроградского и Блума, начинает обучение с шести лет. Большую часть учебного времени он проводит в мастерской, созданной при каждой школе. Занимаясь там лепкой, вырезыванием из картона и дереза букв, цифр, геометрических образов и т. д., он создает в своем воображении твердые представления о них.

* «Педагогический сборник», издаваемый Главным управлением военно-учебных заведений, кн. 1, 1865.

** Исаак-Август Блум (1812—1877) — французский математик. Участник революционных событий 1848 г. Входил в редакцию «Рабочего журнала».

В этих элементарных трудовых операциях состоит, по замыслу авторов, первоначальная ступень обучения.

Содержанием следующей ступени обучения является отвлечение от этих конкретных овеществленных образов — изображение их на бумаге и рассмотрение их в различных сочетаниях. Ребенок за партой в классе рисует по моделям, созданным им самим, буквы, цифры, геометрические образы и др., рассматривает и изучает их в различных комбинациях, учится письму, чтению, счету и т. д. На основе конкретных восприятий, полученных в процессе труда, ребенок ближе и глубже здесь знакомится с первоначальными положениями геометрии, физики, космографии и др.

В результате первых двух ступеней обучения ребенок должен, как указывают Остроградский и Блум, получить определенную сумму конкретных восприятий, знаний и политехнических навыков. Он должен иметь представление о геометрических образах и об их измерении, уметь чертить эти образы с помощью линейки и циркуля, уметь изобразить план местности и т. п. Он должен иметь некоторую сумму предварительных физических сведений, знать, что такое рычаг первого, второго и третьего рода, что такое блок, лебедка, клин и т. п., иметь представление о ковкости, вязкости и текучести материалов. Он должен иметь понятие об основных и простейших явлениях электричества, света, тепла и пр.

А главное, подчеркивают авторы, он должен получить навыки наблюдения. «Дети не привыкли наблюдать, они смотрят не видя, слушают не воспринимая, говорят не зная. Скажем откровенно: зло воспитания детей состоит в том, что не вырабатывают их волю, их не приучают наблюдать, как не учат направлять свое внимание. Следует поэтому научить ребенка вниманию. Ребенок должен овладеть двумя основными моментами наблюдения — уметь измерять и взвешивать».

Дальнейшая задача обучения будет заключаться в систематизации полученных ребенком понятий, представлений и навыков, в углублении и закреплении их — это составит содержание следующей ступени обучения. И здесь, на этой ступени обучения, авторы предлагали широко прибегнуть к наглядности. Для систематизации и закрепления знаний детей они рекомендуют пользоваться так называемыми синоптическими таблицами — таблицами, в которых в систематизированном виде приведены основные сведения и положения определенного раздела науки. Вот как, например, мыслит Остроградский проведение систематизации и повторения геометрического материала с помощью синоптических таблиц. Ученику, который уже имеет определенную сумму геометрических сведений в результате двух первых ступеней обучения, предлагают синоптические таблицы по геометрии. В них изображены в классифицированном виде геометрические фигуры и простейшие тела. Около каждого геометрического образа изложены основные его свойства и указан способ измерения его элементов, площади, объема, поверхности и т. д. Такую таблицу ученик тщательно изучает, делает различные сопоставления, проводит различные упражнения, копирует ее несколько раз, а затем самостоятельно по памяти составляет ее заново. Хорошо изготовленные синоптические таблицы по различным разделам науки должны быть развешены в классе и всегда быть перед глазами учеников. «Ребенок, у которого перед глазами первая таблица, которую он скопировал два или три раза, потом сделал заново на память, навсегда запечатлеет то, что он узнал».

Кроме общих и довольно полных указаний относительно характера и направления преобразований в постановке школьного обучения, авторы останавливаются на ряде учебно-организационных моментов, связанных с осуществлением их проекта устройства школы.

Будучи убежденными в необходимости немедленного осуществления реформы школы и придавая большое общественное значение этой реформе, Остроградский и Блум заявляли о своей готовности отдаться ей целиком и призывали передовую интеллигенцию России последовать их примеру. «Мы готовы,— писали авторы, — отдать все наши заботы этой новой организации обучения. . . », и далее: «Мы хотим, чтобы активные деятели присоединились к нашим усилиям и разделили с нами счастье делать полезное дело. Мы уверены, что наш призыв будет услышан... Люди науки, преданные родине, займутся с энтузиазмом жизненным вопросом обучения...».

Как свидетельствуют Остроградский и Блум, метод их был проверен на опыте в школьной практике и с успехом себя оправдал. Остроградский и Блум высказали в своей брошюре также ряд интересных мыслей по поводу отдельных педагогических вопросов. Интересны, например, их соображения о роли и значении для общественного развития педагогической науки и о необходимости ее изучения.

Весьма интересны высказывания Остроградского об учителе. Мы уже выше видели, какое большое значение Остроградский придавал личности преподавателя, с какой тщательностью и заботой он отбирал преподавателей для военно-учебных заведений. В рассматриваемой брошюре Остроградский формулирует свои взгля-

ды на роль учителя в деле воспитания и образования подрастающего поколения следующими словами: «Хорошие учителя создают хороших учеников». Профессия педагога, указывает он, необыкновенная профессия. Она требует от человека, посвятившего себя ей, особых качеств. Учитель прежде всего должен любить свое дело, любить его несравненно больше, чем любит любой другой специалист свою профессию. «Прежде всего, — пишут авторы,— учитель должен любить свое дело. Каждый как для личного счастья, так и для пользы других должен иметь любовь к своему делу, но учитель больше, чем кто-либо другой, должен быть привязан к своей профессии, она должна быть целью его жизни». Нельзя требовать от учителя, указывают далее авторы, универсальных познаний во всех областях науки, но тот предмет, который непосредственно составляет содержание его преподавания, он должен знать в совершенстве. «Никто в мире не должен знать об этом больше, чем он (учитель.— И. М.), говорить об этом лучше него, спрашивать с большей заботой и писать с большей точностью, чем он!»

Актуально и по-современному звучат высказывания авторов о необходимости оживлять и обогащать содержание урока примерами из истории народов и особенно из истории развития науки и техники: «Скажем мимоходом, что никто не входит в эти исторические экскурсы, столь подходящие для того, чтобы привлечь внимание класса к урокам учителя».

Все это показывает, что Остроградский придерживался весьма передовых для своего времени педагогических взглядов. Его критика методов преподавания в современной ему школе, его высказывания о пользе наглядности, конкретности обучения перекликались со взглядами А. Н. Добролюбова, также обрушившегося на школы за то, что там нет конкретности в преподавании, а имеется отвлеченность и соединенная с ней сухость, мертвенность, формализм, и требовавшего внедрения принципа наглядности в обучение.

Его мысли о методах обучения, о создании при школах мастерских и о политехническом воспитании не потеряли интереса и в наши дни.

Остроградский оказал неоценимую услугу русской армии и русской науке тем, что воспитал целую плеяду талантливых учеников, ставших впоследствии выдающимися представителями русской технической и военной мысли. Можно с уверенностью сказать, что значительная часть крупнейших военных инженеров и деятелей армии второй половины XIX в. была воспитана Остроградским и находилась под его идейным влиянием.

Из вышесказанного ясно, как много энергии и времени Остроградский уделил делу руководства математическим образованием в военно-учебных заведениях и делу воспитания научно-технических кадров для армии и флота. Работа в Главном штабе отнимала у него массу труда, поглощала его силы и заметно отвлекала от научного творчества. Остроградский не мог не понимать этого. Однако он не только не ослаблял своей деятельности в качестве главного наблюдателя, но, наоборот, со временем все больше и больше отдавался ей.

Спрашивается, что привлекало его к этой работе, что заставляло его отдавать драгоценное время и энергию в ущерб своему математическому творчеству?

Ответ может быть только один: глубокие патриотические чувства, благородное стремление служить русской культуре. Остроградский всемерно стремился содействовать широкому развитию математической и общетехнической культуры в России. Должность главного наблюдателя предоставляла ему большие возможности для влияния на общий уровень математического преподавания в военной школе, а через нее и на все математическое образование в России. Остроградский выступает перед нами не только как крупнейший математик своего времени, но и как замечательный деятель, отдавший много труда и творческой энергии делу отечественного математического просвещения и развитию технических наук в России.

От редакции: Настоящая статья представляет собой извлечение из работы И. А. Марона «Академик М. В. Остроградский как организатор преподавания математических наук в военно-учебных заведениях в России», опубликованной в сборнике «Историко-математические исследования», выпуск III, Гостехиздат 1950 г.

ОБ ОДНОЙ РУССКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ РУКОПИСИ XVII В.

В. Е. ПРУДНИКОВ (Москва)

Одним из первых у нас собирателей памятников древнерусской письменности был Федор Григорьевич Баузе (1752 — 1812), профессор юридического факультета Московского университета. Ему удалось составить одну из первых по времени и одну из богатейших коллекций рукописей, старопечатных книг, древних монет и вещей*. Во время пожара Москвы в 1812 г. вся эта коллекция погибла.

В числе погибших были следующие 11 математических рукописей:

1. Геометрия (теоретическая и практическая) Дмитрия Лопухина, написана в начале XVIII в.

2. Пасхалия, самая полная, с астрономическими вычислениями, составлена в 1541 г. для Московского Успенского собора.

3. Арифметика практика или деятельная, написана во второй половине XVII в.

4. Арифметика под заглавием: «Сия книга рекома по гречески Арифметика, а по-немецки альгоризма, а по русски цифирная счетная мудрость», написана в XVI в.

5. Геометрия или землемерие, написана в XVII в.

6. О сошном и вытном письме; рукопись содержала начала геодезии в том виде, в каком они существовали у нас в XVII в.

7. Круг церковный или пасхалии, с объяснениями и многими астрономическими таблицами; написана известным Новгородским архиепископом Геннадием в XVI в.

8. Арифметика (половина XVII в.).

9. Геометрические записки конца XVII или начала XVIII в.

10. Геометрия и другие разделы математики, включая сферическую тригонометрию и астрономические вычисления; написана в начале петровской эпохи.

11. Цифирная счетная мудрость; написана в 1647 г.

Кроме перечисленных, в коллекции Ф. Г. Баузе была и еще одна математическая рукопись начала XVII в., наиболее любопытная и ценная, так как представляла собой своеобразные таблицы.

Эта рукопись, повидимому, погибла. Но удалось найти два ее описания. По одному из них указанная рукопись—«отрывки одной из вспомогательных таблиц для астрономических исчислений». Автором этого краткого описания является «сочинитель об Астрологии», фамилия которого неизвестна**.

По другому описанию, указанная рукопись — «таблицы логарифмов». Это описание дано было в 1811 г. Константином Федоровичем Калайдовичем (1722—1832), впоследствии известным профессором-археологом и знатоком русских древностей.

Как большой любитель и собиратель памятников русской старины К. Ф. Калайдович знал хорошо коллекцию древностей Ф. Г. Баузе и описал ее частично в небольшой книге: «Известия о древностях славяно-русских» (Москва 1811).

Здесь мы читаем об интересующей нас математической рукописи следующее: «Она написана в лист и содержит их более 1000; судя по бумаге и литерам, можно смело положить, что ей, ежели не более, то наверно около 200 лет; но — что всего для нас приятнее, то вся она есть ничто иное, как логарифмы, которые и в просвещенной Европе появились не ранее, ибо они только в 1618 г. изобретены шотландцем Непером.

Начальные пять строк здесь представлены так:

* Коллекция Ф. Г. Баузе после его смерти в 1812 г. была оценена огромной для того времени суммой денег в 10 000 рублей.

** Это описание мы заимствуем из книги проф И. М. Снегирева «Русская старина в памятниках церковного и гражданского зодчества» (Москва 1859). В этой книге И. М. Снегирев делает ссылку на газету «Северная пчела» за 1849 г., где, по его мнению, помещено указанное в тексте мнение «сочинителя об Астрологии». Но, повидимому, И. М. Снегирев ошибся в дате, так как в «Северной пчеле» за указанный год этого мнения мы не нашли.

Здесь отличие против подлинника только то, что в нем вместо буквы ю стоит юс и вместо курсива написаны цифры красными чернилами».

Как известно, в славянской нумерации буквы алфавита служили одновременно и числовыми знаками, только при этом над буквами ставился знак ~ (титло). Буквы от «а» до «i» обозначали единицы, от «1» до «п»—десятки, от «п» до «ю»—сотни.

Хотя над этими буквами в приведенном отрывке математической рукописи и не стоит титло, но они выражают собой, несомненно, числа: 1, 2, 3. . .

Затем выделены красными чернилами новые разряды: 21 (КА) и 201 (CA). Это и лает некоторое основание утверждать, что у автора разбираемой рукописи было, повидимому, представление о логарифмической шкале. Остается невыясненным, что в приведенном отрывке из математической рукописи выражали собой начальные буквы «ЮЫ»*. Очень возможно, что они выражали собою знак некоторого действия над числами: Л = 1, В = 3, Г=3 и т. д., подобного логарифмированию.

Несомненно одно, что такой серьезный исследователь, как К. Ф. Калайдович, не мог без достаточных оснований утверждать, что разбираемая математическая рукопись — логарифмы, а не что-либо иное**. Это утверждение стимулирует нас к дальнейшим поискам документов, которые могли бы дать достаточное основание говорить о том, что логарифмы были у нас известны до изобретения их Непером.

С другой стороны, это утверждение необходимо иметь в виду советским учителям математики тогда, когда им приходится говорить своим ученикам о рождении логарифмов.

* Заметим, что буквы «ю» и «ы» числового значения в славянской нумерации не имели.

** К. Ф. Калайдович в приведенной в тексте книге, между прочим, говорит: «Но кто мне докажет, что и физические науки в XI и XII веках не были известны Россиянам? Иоанн Смер, родом половчанин, Петр Сириянин и неизвестный по имени армянин были весьма искусные врачи тогдашнего времени».

Общий вывод К. Ф. Калайдовича — наши далекие предки «были знакомы с науками и немало ими занимались».

ПИСЬМО В РЕДАКЦИЮ

В 3-й главе моей книги «Пафнутий Львович Чебышев», изданной Учпедгизом в 1951 г., я обнаружил неточности выражений и ошибки, исправить которые прошу через посредство Вашего журнала.

1. В § 1 («Асимптотический закон распределения простых чисел П. Л. Чебышева») указанной главы вместо: «Последнее равенство и выражает асимптотический закон распределения простых чисел Чебышева. Так как равенство (6) приближённое, то весьма существенно было указать предел погрешности этого равенства. Это и сделал Чебышев во втором своем мемуаре «О простых числах». Он установил там, между прочим; границы колебания п (х) около -rj^ —- следует читать: «Во втором своём мемуаре «О простых числах» Чебышев установил границы колебания я (х) около

2. В § 2 («Закон больших чисел П. Л. Чебышева») той же главы вместо:

где Х{ — одно из возможных значений случайной величины х> щ — ее математическое ожидание, Pj — ее вероятность» следует читать:

где Xf — одно из возможных значений случайной величины ху Pt — вероятность этого значения, а — математическое ожидание случайной величины».

В последующем изложении § 2, связанном с только что приведенным равенством, следует вместо 9af читать „я\

3. В § 4 («Полиномы П. Л. Чебышева») вместо: «наименее уклоняющиеся от нуля при —/г<*<Л» следует читать: «наименее уклоняющиеся от нуля при —1<л“^Ь.

Все дальнейшее изложение § 4 надо понимать, исходя из указанных только что значений аргумента л: от — 1 до 1.

В. Прудников

ИТОГИ ОСЕННИХ ИСПЫТАНИЙ В ВУЗЫ И ТЕХНИКУМЫ

О ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ В ВЫСШИЕ УЧЕБНЫЕ ЗАВЕДЕНИЯ

Н. О. РЕШОВ (Москва)

В отношении организации и методики проведения приемных испытаний в вузы имеется целый ряд неразрешенных вопросов. До сих пор не разработаны такие вопросы, как критерии оценок, методика ведения испытаний, количество письменных работ, дозировка времени, типы письменных работ, сочетание устного опроса с анализом письменных работ, характер билетов и многие другие вопросы.

В силу этого каждый институт в деле проведения испытаний предоставлен самому себе.

Для характеристики существующего разнобоя в таком, например, вопросе, как критерии оценок, приведем несколько вариантов решения этого вопроса на местах.

В Иркутском горнометаллургическом институте руководствовались следующими критериями оценок по письменной работе*:

1. «Отлично» — ставилось тем, кто верно решил все задачи и примеры, делая необходимые текстовые объяснения и располагая решение последовательно и ясно; после решения ответ проверялся; работа выполнялась чисто и вполне грамотно; «хорошо» — кто выполнил все предложенные задачи и примеры, но ограничился лишь вычислительными действиями, без достаточного текстового объяснения, расположение материала не было достаточно последовательно и ясно; «удовлетворительно» — тем, кто давал правильный ход решения всем задачам, но допускал ошибки (не грубые) в вычислительных действиях, в результате чего ответы получились неверные; текстового объяснения решению не давал; проверка решения не производилась, в то же время чувствовалось, что абитуриент задание понимает и основные формулы для решения задач знает; «неуд» — тем, кто ответил только на ряд вопросов, притом отмечалась (при анализе черновиков) неуверенность абитуриентов в своих действиях, текстового объяснения которым не давалось, в вычислительных действиях допускались ошибки, притом не случайного характера.

2) Критерии оценок устных испытаний по математике следующие: «отлично» ставилось тем, кто отвечал на все вопросы (как билета, так и дополнительные) отчетливо и исчерпывающе, формулировки определений и теорем давались точно и коротко, при этом было выявлено логическое мышление абитуриента; «хорошо»—тем, кто справился со всеми основными вопросами, ответы давал правильные, но не всегда вполне исчерпывающие; формулировки точны, но недостаточно коротки; выявленное в результате опроса логическое мышление давало основание считать, что абитуриент способен усваивать дисциплины, проходимые в институте; «посред.»—тем, кто не мог дать ответы на все предлагаемые вопросы, но основные знания имел; определения давал правильно, но плохо сформулированными; задаваемые вопросы понимал и, выявляя данные к логическому мышлению, чувствовалось, что абитуриент работать может и будет; «неуд.»—тем, кто не давал ответа на основные вопросы отношение к дисциплине формальное, поверхностное, отсутствие глубины знаний по основным разделам; формулировки зазубренные, без необходимого понимания их.

В Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова были приняты следующие принципы и нормы оценок письменных работ на физическом факультете: правильное решение всех трех задач оценивалось «отлично » ; двух задач при отсутствии грубых ошибок в третьей — «хорошо». Наличие таких ошибок снижало оценку до «посредственно»; за одну правильно решенную задачу, при отсутствии грубых ошибок в остальных, ставилось «посредственно ».

Если, наконец, ни одна задача не была правильно решена или при правильном решении одной задачи в остальных имелись грубые ошибки, ответ оценивался как неудовлетворительный.

* «Критерии оценок» взяты дословно из отчетов институтов. Нельзя не отметить небрежное, стилистически неудовлетворительное изложение этих «критериев».

В Горьковском университете оценка работ производилась следующим образом: оценка «посредственно» ставилась тогда, когда были правильно решены две задачи из трех предложенных, оценка «хорошо» или «отлично» ставилась за все решенные задачи, но в зависимости от качества их решения.

Заслуживают быть отмеченными и такие «критерии» оценок (Московский финансовый институт — взято из отчета):

«По математике «отлично» получили те, которые прекрасно оперируют алгебраическими выражениями, умеют составлять уравнение и в работах показали также прекрасные представления о геометрических образах и понятиях и быстро решили задачи.

Хорошие оценки поставлены за те работы, по которым видно, что экзаменующийся проявил хорошую ориентировку в математике, но не вполне овладел всеми разделами средней математики.

Отметка «посредственно» поставлена за ответы, где абитуриент удовлетворительно разбирается в алгебраических преобразованиях и имеет ясное представление о геометрических образах и понятиях.

Как неудовлетворительные оценены те работы, по которым видно, что экзаменующийся не имеет ясных и определенных представлений по основным вопросам математики».

Имел место и такой случай (Московский автомеханический институт):

«Каждый вариант оценивался в 100%. 1-я и 2-я задачи считались по 35%, а 3-я и 4-я — по 15%. В зависимости от сделанных ошибок эти проценты снижались. Для каждой задачи был вычислен ее «процент выполнения», т. е. какой процент составляет сумма процентов, набранных всеми решавшими эту задачу, по отношению к максимальной сумме процентов, которая могла получиться при безошибочном решении данной задачи».

Приведенные примеры показывают, сколь необходимы соответствующие указания о единых нормах в оценках знаний поступающих в вузы.

Весьма неблагополучно обстоит дело и с таким важнейшим вопросом, как содержание письменных работ. Задачи, предлагаемые на приемных испытаниях, имеют недопустимо широкий диапазон по степени трудности.

Наряду с очень трудными задачами встречаются задачи, не требующие никакого напряжения.

Приведем задачи повышенной трудности и дадим их решение.

Задача 1. Вычислить площадь криволинейного треугольника, образованного дугами трех окружностей радиуса г, которые попарно пересекаются под прямыми углами (черт. 1).

Решение.

следовательно

и, значит,

поэтому АС — сторона правильного выпуклого двенадцатиугольника (вписанного в окружность радиуса г).

Отсюда находим площадь криволинейного треугольника ABC:

где Су> — сторона правильного выпуклого двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса г:

а —апофема этого многоугольника:

После подстановки С12 и ац в приведенное выше выражение для S и упрощений, получим:

Задача 2. На плоское зеркало под углом а падает световой луч (угол а — это угол, который образует падающий луч с перпендикуляром к зеркалу). Пусть I — отраженный луч. Затем зеркало поворачивают на угол (J вокруг проекции падающего луча в плоскость первоначального положения зеркала.

На какой угол отклонится отраженный луч I (черт. 2)?

Решение. Пусть АО — падающий луч, OB — отраженный, OD — нормаль к плоскости зеркала; угол падения: L AOD = *\ угол отражения: L DOB = а.

Черт. 1.

Повернем зеркало вокруг проекции OL луча OA в плоскости зеркала на угол ß; тогда нормаль OD к зеркалу перейдет в нормаль ОС к новому положению зеркала; LDOC = $ — угол поворота.

Пусть LAOC = x; тогда ОЕ (где LAOE — 2x) будет новым отраженным лучом, и, таким образом, дело сводится к нахождению угла ЕОВ.

Пусть AD и АС — перпендикуляры к лучу ОЛ, лежащие соответственно в плоскостях падения. Тогда, считая АО— \, имеем:

и, полагая еще L DAC = 6, имеем:

так что из треугольника OCD:

откуда

Такова формула, выражающая двугранный угол 6 в трехгранном угле OACD через плоские углы этого трехгранного угла.

Если применить эту формулу для двугранного угла с ребром OD, то замечая, что этот двугранный угол равен 90°, получим:

откуда

Наконец, применяя выведенную формулу для двугранного угла 6 в трехгранном угле ОАВЕ% получим:

где о) = L ЕОВ — искомый угол. Теперь имеем:

Задача 3. На поверхности полусферы радиуса г расположены три окружности, радиусы которых равны а, причем каждая окружность внешним образом касается двух других. Найти радиус окружности, также расположенный на данной полусфере и касающейся трех данных окружностей внутренним образом.

Решение. Проведем плоскости, содержащие данные окружности и искомую; получим правильную треугольную пирамиду, причем данные окружности будут вписаны в ее боковые грани, а искомая окружность будет окружностью, вписанной в основание (черт. 3).

откуда

заменяя здесь cosa* на cos a cos ß, находим:

Если Ö — двугранный угол между смежными боковыми гранями этой пирамиды, то

где £ — половина стороны основания, а Л — высота боковой грани. Далее

где а — плоский угол в основании боковой грани пирамиды.

Черт. 2.

Черт. 3.

Черт. 4.

Теперь находим:

Так как радиус окружности, вписанный в боковую грань, равен я, то

поэтому,

Отсюда уже находим радиус окружности, вписанной в основание (черт. 6):

Наряду с такими сложными задачами в письменные работы включаются примеры такого типа:

1. Упростить выражение:

2. Решить уравнение:

3. Привести к виду, удобному для логарифмирования:

4. Боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат со стороною а. Найти объем цилиндра.

Отмеченные расхождения в трудности вариантов письменных работ выдвигают, тем не менее, вопрос не о стандартизации тем по всем вузам, но о каком-то определенном уровне работ для вузов одного типа.

Этот разнобой и неупорядоченность в лучшем случае обсуждаются ведомственным порядком. В печати эти вопросы затрагиваются лишь эпизодически. За последние 2—3 года по приемным испытаниям в вузы было напечатано несколько заметок и статей в «Учительской газете», в «Вестнике высшей школы» и в журнале «Математика в школе». Наиболее ценный материал находим в книге П. С. Моденова «Сборник конкурсных задач с анализом ошибок», изд. «Советская наука», 1950. Имеется диссертация Н. А. Троицкой «Качество математических знаний учащихся, окончивших среднюю школу и поступающих во втузы», 1950.

Этими материалами в основном и исчерпывается литература, касающаяся приемных испытаний в вузы.

* * *

Правильное выявление знаний и навыков поступающих в вуз является самым ответственным моментом. От умелого проведения экзаменов всецело зависит правильный и безошибочный отбор необходимых кадров учащихся.

Приемные испытания производятся в отпускное время, когда трудно обеспечить экзаменационные комиссии высококвалифицированными научными работниками из числа профессоров и преподавателей данного института. В ряде ведущих вузов в экзаменационные комиссии входят профессора и доценты, работающие в этих вузах (например, МГУ, Московский инженерно-экономический институт и др.). В большинстве вузов приемные испытания проводят лица, в дальнейшем либо не работающие с новым набором, либо лица, вовсе не имеющие отношения к данному институту. В результате получается, что в целом ряде случаев знания поступающих оцениваются неправильно, поспешно, субъективно.

В одних случаях экзаминаторы решающее значение придают устному опросу, в других — письменной работе. Иногда после неудовлетворительной оценки по письменной работе поступающие не допускаются к устным ответам, а иногда дается возможность исправить ошибки на устном экзамене.

Если хорошо составленная письменная работа даже малоопытному экзаминатору дает доста-

Черт. 5.

Черт. 6.

точный материал для правильной ее оценки, то проведение устного опроса требует большого методического опыта и такта. Иногда один-два наводящих (не подсказывающих) вопроса выводят поступающего из тупика, и дальнейший опрос его протекает нормально. При подборе малоопытных экзаминаторов случается, что оценка ставится поспешно за два-три ответа да еще по таким разделам программы, которые не будут иметь существенного значения при изучении математики в данном вузе.

Особенно большое методическое уменье нужно проявить при задавании дополнительных вопросов (в зависимости от условий конкурса). Ответственность экзаминаторов повышается в тех случаях, когда имеются сомнения в выводе окончательной оценки, и, стало быть, дополнительные вопросы имеют решающее значение.

Все указанные выше недостатки во многом объясняются тем, что методика проведения экзаменов не разработана и недооценивается по существу. Мы не имеем даже методических указаний, сколько-нибудь направляющих работу экзаминатора.

Существующее положение настоятельно требует издания инструкции с методическими указаниями о проведении приемных испытаний.

В этой инструкции, помимо организационных вопросов и вопросов методики проведения приемных испытаний, должны получить разрешение и следующие вопросы: число письменных работ и примерные образны их по типам высших учебных заведений, требования к билетам и образцы их, наглядно показывающие достаточно полный охват программы, критерии оценок не только в описательной форме, но и конкретизированные на примерах.

В наши высшие учебные заведения отбор поступающих производится по конкурсу, причем требования к поступающим повышаются с каждым годом. Эти требования специфичны для вузов определенного типа.

Так, для поступающих в университет предъявляются высокие требования к логической подготовке и знанию наиболее необходимых для последующей успешной учебы разделов: поступающий должен разбираться в таких понятиях, как необходимый и достаточный признак, уметь пользоваться в доказательствах методом полной индукции, решать задачи на доказательства, иметь представление о теоремах существования и единственности, иметь хорошее пространственное представление, находить в простейших случаях области определения элементарных функций и производить простейшие исследования этих функций, четко знать определения и операции над обратными тригонометрическими функциями, иметь высокую вычислительную технику и т. д.

В качестве конкретных примеров приведем несколько вариантов письменных работ, предложенных в 1950 г. на испытаниях МГУ (механико-математический факультет). Некоторые задачи (наиболее типичные в смысле указанных требований) приведены с решениями.

Вариант I.

1. Расстояние по железной дороге от А до В 150 км и от В до С 60 км. Пассажирский поезд выходит из С в то самое время, когда скорый выходит ему навстречу из А. Пассажирский поезд останавливается в В на 30 минут и, выйдя из В, через 10 минут встречает скорый. По приходе поездов: пассажирского в А и скорого в С, они идут обратно, выйдя опять из этих мест одновременно и идя с теми же скоростями, как и прежде. Скорый поезд был задержан на 6 минут в В и приходит к тому месту, где поезда встретились в первый раз, в то время, когда пассажирский поезд прошел только -g- расстояния от А до этого места. Найти скорости поездов.

2. Решить систему уравнений:

3. Решить уравнение:

Решение задачи 1.

Время, затраченное пассажирским поездом до момента встречи со скорым (черт. 7), а пройденное за это время расстояние скорым:

Расстояние от В до места встречи:

Отсюда:

(1)

2 л

Далее, ~ег расстояния от А до места встречи:

Черт. 7.

и время, затраченное пассажирским поездом на прохождение этого расстояния:

(2)

Решая систему (1), (2), найдем:

Решение задачи 2.

а так как заведомо х ф О, у ф 0. z ф 0, то делением находим:

и из любого уравнения находим:

Решение задачи 3.

отсюда

Кроме того, ясно, что хг = 1 также является корнем (в процессе решения мы считаем х ф I и потому утеряли этот корень). Вариант 2.

1. Сосуд снабжен двумя кранами; через первый кран вода вливается, через второй—выливается. Если оба крана открыты одновременно, то каждый час в сосуде убывает а литров воды. Во сколько часов через первый кран пройдет b литров воды, если известно, что через второй кран выливается на с литров больше, чем вливается через первый, при условии, что второй кран будет открыт на d часов дольше первого, а первый будет открыт е часов.

2. Решить систему уравнений:

3. Найти все действительные значения х, при которых выражение

есть действительное число.

Решение задачи 3.

Данное выражение будет действительным числом, если выражение, стоящее под знаком корня, будет числом не отрицательным, а это в свою очередь будет тогда и только тогда, когда

ибо основанием логарифма является число, меньшее 1. Решая последнее неравенство, получим:

Вариант 3.

1. Через точку О плоскости проведены 4 луча (т. е. полупрямых) OA, OB, ОС и OD. Проведена произвольная прямая I, пересекающая эти лучи соответственно в точках Аь Bh С\% D\. Доказать, что при любом положении прямой I следующее выражение:

имеет одно и то же числовое значение.

2. Боковая {т. е. сферическая) поверхность сферического сегмента (не являющегося полушаром) равна боковой (сферической) поверхности некоторого полушара. Доказать, что объем полушара больше объема сферического сегмента.

3. Доказать, что, если х>0 и .у>0, то

Решение задачи 1. (Черт. 8.)

Черт. 8.

Таким образом, величина

зависит только от углов, образуемых данными прямыми, а потому и не зависит от положения прямой /. Решение задачи 2.

Отсюда:

Находим разность объемов:

Решение задачи 3. Если X > 0 и у > 0, то

откуда

Далее находим:

откуда в силу предыдущего неравенства:

Высшие педагогические учебные заведения охватывают огромный контингент учащихся, от качества подготовки которых всецело зависит укрепление самой средней школы.

К поступающим в педагогические высшие учебные заведения должны быть предъявлены строгие требования, обеспечивающие высокие качества советского учителя.

В первую очередь требуется: хорошее знание наиболее важных разделов школьного курса математики, как, например: свойства арифметических операций, понятие о функции, об элементарных функциях и их простейших исследованиях; уменье производить наиболее рационально тождественные преобразования; решать задачи на доказательства и на построения в геометрии; отчетливо формулировать основные определения и теоремы. Учащиеся должны знать такие вопросы как: обратные тригонометрические функции, понятие предела, понятие об иррациональных числах, вопрос об измерениях длин, площадей и объемов и т. д., обладать хорошими навыками в устных вычислениях.

Поступающий в педагогический институт должен обладать достаточно высокой общей культурой, что может быть проверено и на экзаменах по математике.

Экзаминатор должен отмечать четкость формулировок, краткость изложения, логичность рассуждения и доказательств — эти качества очень важны для будущей педагогической деятельности.

При общей оценке необходимо учитывать не только правильность устных ответов и письменных работ по существу, но и по форме: работа должна быть написана аккуратно, чертежи должны быть выполнены тщательно и математически грамотно, все построения к чертежам обоснованы, простейшие промежуточные выкладки опущены.

Будущий учитель уже при поступлении в институт должен иметь представление о развитии и достижениях отечественной математики .

Приведем несколько вариантов письменных работ, предложенных МПИ имени Ленина на физико-математическом факультете в 1950 г.

Вариант 1.

1. Бригада № 1 выполняет некоторую работу в срок на а дней больший, чем бригада .№ 2, и на Ь дней больший, чем бригада № 3. Бригады № 1 и 2, работая вместе, выполняют эту работу в срок, равный сроку бригады № 3. Найти время, в которое выполняет эту работу каждая бригада отдельно.

2. Решить уравнение.

3. В конус, радиус основания которого г и образующая которого составляет с основанием угол у, вписана пирамида, в основании которой прямоугольный треугольник с острым углом а. Найти объем пирамиды.

4. Решить уравнение.

Вариант 2.

1. После двух последовательных снижений на одинаковое число процентов цена костюма снизилась с m рублей до п рублей.

На сколько процентов производилось снижение каждый раз?

2. Решить уравнение.

3. Около правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно b и наклонено к основанию под углом а, описан шар.

Найти расстояние от центра шара до основания пирамиды.

Исследовать формулу решения в зависимости от угла а.

4. Доказать:

Высшие технические учебные заведения при приемных испытаниях предъявляют весьма различные требования в рамках утвержденной

Черт. 9.

программы. Это и понятно, так как программа технических вузов по высшей математике и необходимый комплекс знаний по объему и содержанию весьма различны для каждого профиля специалиста. Как яркий пример можно привести обязательный для студентов, специализирующихся по электротехнике в электротехнических вузах, курс «Операционного исчисления», который не является обязательным даже для студентов механико-математического факультета университета.

Напротив, в сельскохозяйственных вузах курс высшей математики сведен к минимуму. И это различие в программах является закономерным.

Отсюда вытекает, что и в конкурсных испытаниях неизбежны дифференцированные требования (в рамках программы) к широте и глубине знаний поступающих. Поэтому не могут существовать единые требования к поступающим в технические вузы.

Разрешение этого вопроса могло бы быть осуществлено при наличии соответствующих методических указаний и документаций по типам, объединяющим родственные учебные заведения.

* * *

Приемные испытания показали, что средняя школа из года в год неизменно повышает качество подготовки учащихся. Основная масса учащихся, кончающих среднюю школу, обладает твердыми знаниями и навыками, предусмотренными программой. Грубые ошибки и глубокие пробелы в знаниях программного материала являются единичными случаями. Повысилось знание фактического материала (знание теорем, определений, основных понятий), учащиеся обладают твердыми навыками в выполнении преобразований, глубже внедрилась в сознание учащихся идея функциональной зависимости, развернувшаяся борьба с формализмом повысила сознательность и значительно подняла логический уровень учащихся, в развитии пространственного представления имеются несомненные достижения.

Как было сказано, требования к поступающим повышаются из года в год. В настоящее время от поступающих требуется уже не только знание фактического материала (доказательства теорем, знание определений, техника преобразования и т. п.), но и уменье выполнить исследование решения задач, понимать, при каких условиях применимо данное суждение и при каких оно теряет смысл. Например, теперь являются вполне закономерными такого типа вопросы: 1) при каких значениях х имеет смысл равенство:

или

2) при каких значениях х в первой четверти выражение

имеет действительное значение;

3) по геометрии: всегда ли проекция прямой линии на плоскости есть прямая линия и т. д.

Таких требований дореволюционная школа не предъявляла; она довольствовалась требованиями формального порядка—«мундиром науки», а не самой наукой, отражающей закономерности природы и развития общества.

Не во всех еще школах отчетливо выделяются принципиальные вопросы математики: что можно доказать, что принимается за определение или аксиому, не всегда отделяются важные принципиальные вопросы от второстепенных. Так, например, много внимания уделяется нахождению общего члена бинома Ньютона, излишним преобразованиям к удобному виду для логарифмирования тригонометрических выражений, «заумным» задачам на прогрессии, вычислению объемов тел вращения, ограниченных цилиндрическими и коническими поверхностями, и т. п. В известной мере эти упражнения необходимы в школе, но нельзя преувеличивать их значения, нельзя прививать учащимся сознание, что эти упражнения, по существу имеющие преимущественно тренировочное значение, составляют основу элементарной математики.

Заметим кстати, что в письменных работах на приемных испытаниях в вузы во многих случаях именно эти разделы и требуются. Отсюда понятно, какой плохой ориентир дает высшая школа для средней. А между тем такие вопросы, как развитие понятия числа, законы действий над числами, понятие функции, последовательности, предела, понятие геометрического преобразования и т. п., не получают должного развития в школьном курсе.

Укажем кратко, но последовательно те недостатки в подготовке учащихся, которые продолжают оставаться неизжитыми.

Не впадая в преувеличение, можно сказать, что наиболее слабым местом поступающих в вузы являются неудовлетворительные знания по арифметике. Поступающие в вузы не вла-

деют навыками устного счета и приемами быстрых вычислений, вычислительная техника слаба, законы действия для упрощения вычислений не используются, при производстве действий с обыкновенными и десятичными дробями, при различных процентных расчетах допускаются грубые ошибки. Конкретные примеры неоднократно приводились на страницах журнала «Математика в школе».

Выходит, таким образом, что арифметические навыки, приобретенные учащимися в V и VI классах, не закрепляются и не совершенствуются, а, наоборот, утрачиваются в старших классах. А между тем математические дисциплины, изучаемые в старших классах, представляют учителю неисчерпаемые возможности усовершенствования вычислительных навыков в таких, скажем, случаях, как вычисление значений алгебраических выражений, определение значений элементарных трансцендентных функций, нахождение элементов геометрических фигур, несложные приближенные вычисления с данной степенью точности, пользование различными (а не только логарифмическими) математическими таблицами и счетными приборами (русские счеты, логарифмическая линейка, арифмометр) и т. д.

В целях изжития указанных (и неуказанных) недостатков абсолютно необходимо проводить специальные тренировочные упражнения по арифметике, включая упражнения в устном счете, во всех классах, не отказывая в этом даже учащимся десятых классов.

Изучение алгебры проходит в отрыве от арифметики и порождает многие, известные всем учителям «типичные» ошибки в тождественных преобразованиях, особенно часто встречающихся в VI и VII классах. Эти ошибки, не изжитые своевременно, влекут за собой тяжелые последствия в старших классах.

Правильный путь предупреждения ошибок указанного типа лежит в изучении алгебры в тесной связи с арифметикой: учащиеся должны видеть в буквах числа, должны находить численные значения алгебраических выражений, уметь понимать и объяснять каждый шаг при выполнении тождественных преобразований на основании известных из арифметики законов действий.

Как показывают результаты приемных испытаний, многие поступающие недостаточно владеют основными общими понятиями учения об уравнениях: понятие о равносильности уравнений, об операциях, приводящих к потере и приобретению корней, о допустимых значениях неизвестных и параметров. Особенно часто эти недостатки сказываются при решении тригонометрических уравнений — здесь учащийся должен не только уметь применять в конкретных случаях общие понятия, но и находить общее решение уравнения.

Недостаточное усвоение понятия допустимого значения для неизвестного в сочетании с некритическим отношением к полученному результату порождает иногда «ответы», противоречащие здравому смыслу; так, например, число людей выражается дробным числом, высота дома получается в 500 метров и т. д.

Большое число ошибок падает на решение и исследование текстовых задач. Пытаясь следовать усвоенному в школе стандарту, поступающие в вузы пускаются в ненужные запутанные «исследования», тогда как в данном конкретном случае, исходя из смысла задачи, это исследование особых затруднений не представляет.

Не отрицая необходимости ряда ориентирующих общих указаний, следует подчеркивать, что решение и исследование текстовых задач по самой сути дела не могут быть уложены в рамки правил, пригодных для «всех случаев». Именно на задачах, отражающих все многообразие действительности, учащиеся должны научиться рассматривать вещи и явления в их взаимосвязи и взаимообусловленности, научиться правильно мыслить, делать правильные выводы и заключения. Это важно не только в целях выработки качеств, необходимых советскому человеку, — настойчивости, находчивости, сообразительности, но и в методологическом смысле.

Не лишне отметить, что учащиеся, как правило, лучше оперируют с равенствами (уравнениями, тождествами), чем с неравенствами.

Известно, что в школе о неравенствах говорят лишь в тех местах курса, где это специально указано программой. Между тем ими следует пользоваться во всех разделах математики. Уже в младших классах естественно ставить такие вопросы—что больше: х или je3? когда а>2а? когда

и т. д.

Одним из распространенных недостатков в знаниях по геометрии продолжает оставаться слабое развитие пространственного представления. Нередки случаи, когда поступающие хорошо выполняют чертежи, но затрудняются показать в пространстве соответствующие конфигурации, пользуясь предметами, находящимися под рукой (лист бумаги, книга, карандаш, плоскость стола и т. п.).

В последнее время в школьном курсе геометрии уделяется большое внимание задачам на построение. Это и правильно, так как зна-

чеиие этих задач общеизвестно. Однако задачи на построение в VI и VII классах не должны вытеснять другие виды геометрических задач (на вычисление, на доказательство). В старших классах, напротив, задачи на построение в пространстве явно обходятся.

Наиболее уязвимым местом продолжают оставаться обратные тригонометрические функции. Конечно, изучение этого раздела сопряжено со значительной концентрацией целого ряда трудностей: понятие обратной функции, монотонной функции, нахождение значений функции по данному значению аргумента. А между тем фактически с этими общими понятиями учащиеся встречаются раньше и притом на более простых примерах линейной, степенной, показательной и логарифмической функций. Ясно, что если на общие понятия учения о функциях будет своевременно обращаться внимание учащихся, то и трудности, связанные с прохождением обратных тригонометрических функций, в значительной степени будут облегчены.

Нельзя обойти молчанием того факта, что в ряде высших учебных заведений даются для решения примеры и задачи безидейные по своему математическому содержанию, в которых механически нагромождаются одни трудности на другие.

Таковы, например, «замысловатые» примеры по алгебре, в которых требуется выполнить преобразования над радикалами с дробными и отрицательными показателями. Ни в науке, ни в практике такие «сложные» радикалы не встречаются. Спрашивается, какова цель таких требований? Такие нарочито изобретенные задачи и упражнения являются пережитком формалистических тенденций дореволюционной школы. Предлагая «хитроумные» задачи (а некоторые лица называют их конкурсными), вузы подают дурной пример школе тем, что порождают стремление «набить руку» в таких упражнениях, которые ни в коей мере не могут служить мерилом уровня математического развития учащихся.

Как показывают результаты письменных работ, в отдельных школах все еще имеет место погоня за показной успеваемостью, в результате чего в аттестатах выставляются завышенные оценки. Подобные факты (хотя и единичные) заслуживают сурового осуждения со стороны органов народного образования и всей педагогической общественности.

В заключение необходимо отметить два решающих обстоятельства:

1. Школьные программы по своему объему и содержанию отвечают вузовским требованиям. Указанные недостатки в знаниях поступающих в основном порождаются не содержанием программ, а тем, что в процессе обучения недостаточно раскрывается перед учащимися богатое идейное содержание школьного курса элементарной математики. Твердое и глубокое усвоение существующего школьного курса может и должно обеспечить прочную базу для успешного обучения в вузах. Вот почему «модернизация» программы с помощью включения в нее элементов дифференциального и интегрального исчислений едва ли найдет общее признание. Учащиеся, поверхностно коснувшись элементов высшей математики, при переходе в вузы все равно будут «переучивать» высшую математику.

2. Вопрос о приемных испытаниях чрезвычайно сложный. В проведении испытаний так много субъективных моментов и так мало чего-либо определенного. Заботливый ученик, сдав один экзамен на аттестат зрелости, все лето отдает на подготовку к приемным испытаниям в вуз, в конце июля он «срывается» с родных мест и едет в какой-то город N (а больше всего, конечно, в Москву или Ленинград) — держать другой экзамен—в вуз. Чем отличается первый экзамен от последнего? Экзамен на аттестат зрелости является заключительным этапом длительного изучения учащегося. Ведь обыкновенно учитель X класса воспитывает и обучает своих учеников в течение целого ряда лет, начиная по меньшей мере с VIII класса. И вот один и тот же молодой человек экзаменуется — получает разные оценки. Экзаминатор, видящий молодого человека в первый раз, за 10 —15 минут определяет его судьбу.

Нам нет необходимости развивать эти мысли и другие им подобные соображения, но радикальные выводы напрашиваются сами собой.

О ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЯХ В ЯРОСЛАВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ К. Д. УШИНСКОГО

Н. А. КУРИЦЫН (Ярославль)

Приемные испытания по математике в Ярославский педагогический институт имени К. Д. Ушинского в настоящем 1950/51 учебном году показали некоторый рост в знаниях учащихся по математике по сравнению с предыдущими годами.

О характере письменных испытаний можно судить по следующим вариантам:

А

1. На ремонте отопления в школе слесарь работал в течение р дней, а водопроводчик в течение q дней, а заработали они оба вместе а руб. Выполняя ремонт здесь же в другой раз на прежних условиях, слесарь за m дней, а водопроводчик за п дней заработали вместе b руб.

Определить дневной заработок каждого. Исследовать решение.

2. Определить объем правильной треугольной пирамиды, если плоский угол при вершине ее равен a, a радиус окружности, описанной около боковой грани, равен R.

3. Доказать тождество:

Б

1. В бассейн, вмещающий g мв воды, проведены две трубы; через первую бассейн наполняется в а часов, через вторую вода из полного бассейна выливается в b часов. Если первую трубу открыть на с часов раньше второй, то через сколько часов после открытия первой трубы в бассейне будет р м* воды.

Исследовать решение, предполагая с>0; причем: 1) Р = Ч\ 2) р=0; 3) р<д.

2. Полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна S. Угол наклона плоскости боковой грани к основанию равен а. Определить объем пирамиды.

3. Доказать тождество:

В

1. В мастерской комбинируют платья из шерсти по m руб. за метр и шелка по п руб. за метр, так что один метр материала в платьях обходится в k руб.

Сколько метров шерсти и шелка взято отдельно, если всего материала израсходовано а метров? Исследовать решение.

2. Сечение, проходящее через ось конуса, представляет треугольник, угол которого, содержащийся между равными сторонами, равен а. Радиус круга, описанного около этого треугольника, равен R. Определить объем конуса.

3. Произвести указанные действия и найти х\

Г

1. Двое имели вместе k руб. Первый израсходовал jt часть своих денег, а второй -g- часть своих. Общий расход выразился в сумме а рублей. Сколько денег было у каждого? Исследовать решение.

2. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен V, а угол наклона плоскости боковой грани к плоскости основания пирамиды равен а. Определить полную поверхность пирамиды.

3. Произвести указанные действия и найти х:

Какие же разделы и вопросы программы абитуриенты знают лучше и какие хуже?

Естественно, что такие вопросы, как задачи на вычисление (по геометрии), решение квадратных и биквадратных уравнений, действия с радикалами и т. п., не вызывали у поступающих затруднений.

Причина ясна, в школе эти вопросы изучают лучше и глубже, чем некоторые другие. Сами учителя хорошо, свободно владеют этим материалом.

Приятно было слышать хорошие ответы двух учениц школы № 43 г. Ярославля — В. и Б. — как по алгебре, так и по геометрии с тригонометрией.

Прочные и сознательные знания показали выпускники школ Ярославля: № 43, 33, 54, 37, 34, 44; некоторых школ г. Щербакова (например, № 1, 36), Ростова (школы № 1, 2).

Выпускники этих школ умеют последовательно, логически рассуждать, выражать свои мысли правильно построенными фразами. Записи их в письменной работе и на доске чисты и рациональны.

Теперь остановимся на недостатках в знаниях державших приемные испытания.

В письменном испытании абитуриентов больше всего затруднило исследование уравнения и системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, получившихся из условий задач.

Затем следует сказать о том, что многие абитуриенты не справились с арифметическими примерами.

Многие не доказали тождество

Геометрическую задачу некоторые не смогли довести до конца, т. е. получить наиболее приемлемый ответ, так как решали ее не рациональным приемом.

На устных испытаниях выяснились следующие недостатки в знаниях учащихся.

Арифметика. Приемами устного счета абитуриенты владеют (почти все) недостаточно.

Абитуриент П. (школа № 44 г. Ярославля) не мог в уме умножить 37-76= ?; 47-43 = ?

Абитуриент М. (г. Середа) не мог в уме умножить 5 -А- на 4 -i . Абитуриент М. (Некрасовский район, школа имени Карла Маркса) не знает приемов устного счета для случаев 41-6; 45-35 и т. д.

Приемы для случаев 753, 352 поступающие знали.

Выводы ясны: учителям с V по X класс следует больше тренировать учащихся в устном счете.

Поступающие плохо знают проценты чисел.

Алгебра. Из курса VIII класса по алгебре абитуриенты недостаточно знают раздел «Понятие об иррациональном числе».

Например П. (школа № 2, ШРМ г. Ярославля) на вопрос «Какое число называется иррациональным» отвечала: «...такое число, которое не дает точного отношения к единице, оно всегда берется приближенно».

Абитуриент С. (школа № 39, г. Щербаков) на тот же вопрос отвечала так: «.. .это корень, не извлекающийся точно». Абитуриент П. (школа № 13 Ярославской ж. д. г. Ярославля) на этот же вопрос отвечала так: «иррациональное число — это число, находящееся под корнем, из которого не извлекается». Абитуриент Ш. (средняя школа, Гаврилов-Ям), имеющая оценку по алгебре «5», по геометрии «4», по тригонометрии «4» (в аттестате), на тот же вопрос отвечала так: «...иррациональным числом называется число, находящееся под знаком радикала, и не извлекается точно, или бесконечная периодическая дробь».

Примеры с использованием теоремы Виета, как, например:

«Не решая уравнения

вычислить разность кубов его корней», учащиеся решают слабо (с наводящими вопросами).

Раздел курса VIII класса «преобразования, приводящие уравнение в равносильное данному», «Случаи потери корней и появления посторонних корней» абитуриенты знают недостаточно.

Из курса IX класса абитуриенты плохо знают следующие разделы программы: «Общий член числовой последовательности», «Понятие о пределе числовой последовательности».

Например, абитуриент С. (ШРМ автозавода г. Ярославля) на вопрос «...что называется пределом бесконечной числовой последовательности?» отвечала: «Пределом бесконечной числовой последовательности называется число, к которому стремится данная последовательность».

На тот же вопрос П. (средняя школа № 44 г. Ярославля) дает ответ: «Предел — это то, к чему всегда стремится иррациональное число».

Абитуриент К. (средняя школа № 36 г. Щербакова) на этот же вопрос отвечала так: «Это такая величина, к которой стремится данное число и отличается от него на какую угодно малую величину».

Эти примеры говорят о том, что данный раздел программы в школах проходят поверхностно.

Слабо усвоены разделы «Показательная функция и логарифмическая», «Основные свойства логарифмов».

По курсу X класса плохо усвоены абитуриентами такие разделы:

1) Сочетания. Число сочетаний из m элементов по п.

2) Тригонометрическая форма комплексного числа. Многие абитуриенты не могли представить в тригонометрической форме мнимое число — 1 — /.

3) Не все абитуриенты справились с исследованием нижеприведенных уравнений, которые получились из условий задач, данных на письменных испытаниях:

вследствие чего редкие абитуриенты получили оценку «5» за письменную работу.

Это самый крупный недостаток, обнаруженный нами на испытаниях, по числу неточных и неверных решений.

Очевидно, не во всех школах уделяют должное внимание разделу «Решение неравенства второй степени с одним неизвестным».

Например, П. (ж. д. средняя школа № 13 г. Ярославля) не могла самостоятельно решить неравенство х2 — Зх+2>0. Решала его с трудом, с наводящими вопросами, и получила только один интервал.

Абитуриент 3. (ж. д. школа № 16 г. Ярославля) не могла провести исследование системы

Плохо знают абитуриенты метод полной математической индукции.

На предложение рассказать, в чем заключается метод полной математической индукции, абитуриент М. (Некрасовский район, средняя школа имени Карла Маркса) говорит: «Метод полной математической индукции ... это при нескольких слагаемых, когда надо найти сумму двух и дальше будет на одно слагаемое меньше» ?!

Недоработан также в некоторых школах и раздел программы X класса «Нахождение целых корней уравнения с целыми коэффициентами».

Многие абитуриенты долго и плохо решали уравнение:

Геометрия. Недостаточно усвоен раздел программы X класса «Понятие о правильных многогранниках».

Абитуриент М. (средняя школа № 31, г. Кострома) ничего не могла сказать об икосаэдре, додекаэдре.

Абитуриент П. (средняя школа № 1, г. Борисоглебск) ничего не знает о Лобачевском.

Многие абитуриенты плохо решали задачи на построение не только в пространстве, но и на плоскости.

Серьезный вопрос возникает в связи с изучением чертежей абитуриентов в их письменных работах.

Например, приводим чертеж (черт. 1) к задаче № 2 абитуриента В. (средняя школа № 2, г. Ростов). Этот чертеж и небрежен и неверен.

Можно привести и другие примеры, которые говорят о том, что некоторые учителя не работают над выполнением геометрического чертежа.

Тригонометрия. Самым крупным недостатком в знаниях по тригонометрии является незнание темы «Обратные тригонометрические функции».

Например, абитуриент П. (ШРМ г. Ярославля) утверждал, что arcctgл: берется в интервале от 0 до 90°.

Абитуриент М. (средняя школа, г. Середа) не знает, в какой четверти лежит дуга

Абитуриент К. (средняя школа № 36, г. Щербаков) не могла доказать известную формулу:

Абитуриент М. (средняя заочная школа г. Ярославля) не могла решить уравнение:

Формализм в знаниях выпускников средних школ еще не изжит. Налицо отрыв теории от практики. Например, абитуриенту известна формула

но если ему надо выполнить умножение:

он пишет:

Некоторые абитуриенты не могли исследовать систему:

хотя материал учебника по этому вопросу (теорию) знали.

Абитуриент А. (средняя школа № 2 г. Ростова), зная материал учебника о двучленных уравнениях, не могла решить уравнение:

Многие абитуриенты для выполнения умножения

Черт. 1.

делали так: 8-577 = ..., а затем результат умножали на 125. Налицо формальное усвоение коммутативности умножения.

Если говорилось: «Напишите квадратный трехчлен

то абитуриент часто пишет:

хотя и знает (как потом выяснилось), что это не так.

В чем же причина этих фактов?

Причина, нам кажется, в том, что некоторые учителя математики мало обращают внимания на такие темы, как «Понятие о пределе числовой последовательности!, «Понятие об иррациональном числе», «Обратные тригонометрические функции» и т. д., и надо добавить, что иногда сами слабо владеют методикой преподавания вышеуказанных тем.

Другая причина заключается в малом количестве, в недостатке хороших методических разработок по этим темам.

О РЕЗУЛЬТАТАХ ПРИЕМНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В ГОРЬКОВСКОМ ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ИНСТИТУТЕ ИМЕНИ А. М. ГОРЬКОГО

Г. СЕННИКОВ (Горький)

Неуклонно повышается уровень математической подготовки учащихся советской школы. Однако с каждым годом повышаются и требования, предъявляемые к знаниям выпускников школ — молодых советских граждан, строителей коммунизма. Повышается и уровень требований по математике к поступающим в вузы.

Особенно пристально должны изучать недочеты в математической подготовке выпускников школ работники педагогических вузов. Ведь приемные испытания вскрывают не только некоторые недостатки в школьном обучении математике, но и в подготовке учительских кадров. Несомненно также, что молодые люди, готовящиеся стать учителями советской школы, не должны иметь пробелов в своем образовании и воспитании.

В 1950 г. вступительные экзамены по математике на физико-математическом факультете Горьковского педагогического института держали 327 человек, в основном выпускники школ г. Горького и области.

В целях большей объективности были подвергнуты специальному изучению письменные и устные ответы 113 человек, экзаменовавшихся в первом потоке.

О расхождении результатов оценки знаний по математике в школе и на приемных испытаниях в вузах говорится не впервые. Завышение отметок в некоторых школах — неоспоримый факт. К сожалению, борьба с этими нездоровыми явлениями по-настоящему еще не ведется. Особенно справедливо это замечание в отношении выпускников сельских школ.

Приводим варианты заданий на письменных экзаменах. Как видно, они средней трудности.

Вариант 1.

Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания а см; грани наклонены к основанию под углом а. Найти: 1) площадь сечения, проведенного через сторону основания перпендикулярно боковой грани; 2) объем верхней отсеченной части пирамиды. Исследовать, как изменяется вид и площадь сечения с изменением угла а, рассмотрев случаи: * = 0, а<45°, 0 = 45°, а>45°.

Задача 2. При одинаковом пробеге в S км трехтонная машина тратит на а литров бензина более полуторатонной. Сколько литров бензина расходует каждая автомашина на пробег 5 км, если на одном литре бензина полуторатонка проходит на b км более, чем трехтонка?

Задача 3. Решить уравнение:

Задача 4. Трое подписались на заем. Сумма подписки первого составляет 45% суммы подписки второго; второй подписался на 80у» суммы подписки третьего. Третий подписался на 640 руб. больше, чем первый. На сколько рублей подписался каждый?

Вариант 2.

Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро составляет с плоскостью основания угол а. Сторона основания равна а см. Найти: 1) площадь сечения, проведенного через диагональ основания перпендикулярно боковому ребру; 2) двугранный угол ср между боковыми гранями. Исследовать, как изменяется этот угол с изменением угла «, показать, что ср — тупой при любом а.

Задача 2. В колхозе с одного участка собрано а центнеров пшеницы. На другом участке то же количество зерна было собрано с площади, которая на m га меньше первого участка. Сколько центнеров пшеницы собрано с одного га каждого участка, если урожай на втором участке был на b центнеров с га выше, чем на первом?

Задача 3. Решить уравнение:

Задача 4. После снижения оптовых цен магазину было отпущено 81,6 м ткани с уценкой 3,(9)%; после этого, вследствие снижения розничных цен, цена ткани была снижена на 15%, и магазин, продав куска, выручил 707 рубля. Узнать первоначальную (до обоих снижений) и продажную цены одного метра ткани.

Билеты для устных экзаменов и «беглые вопросы» полностью соответствовали программе экзаменов. Вот содержание «наугад» взятых трех билетов: Билет № 5.

1) Вывод формулы для решения уравнения

2) Формулы для площадей прямолинейных фигур (прямоугольника, параллелограма, треугольника, трапеции и правильного многоугольника).

3) Решить уравнение:

Билет № 29.

1) Решение неравенств первой степени с одним неизвестным.

2) Функция у — cos X и ее график. Построение угла по заданному значению его косинуса. Общий вид углов, соответствующих данному значению косинуса.

3) Решить уравнение:

Рассмотрим характер основных ошибок, допущенных поступающими отдельно по каждому из разделов.

Алгебра. Рационально решили задачу, удовлетворительно исследовали решение (хотя и без проверки) только 25 человек. Почти четвертая часть писавших работу допустила тривиальную ошибку: вместо обозначения с помощью неизвестного величины, отыскание которой требуется задачей (например, во втором варианте число центнеров с га на первом участке), вводилось обозначение другой величины (например, площади первого участка). Такое косвенное определение искомой величины приводило к ненужным усложнениям, а затем и к ошибкам.

Второй недочет носит принципиальный характер. Исследование решения квадратного уравнения пользуется в школе очень большим вниманием, а на деле получается, что почти 20% экзаменуемых или не сделали отбора корня, или мотивировали отбор неверно, столько же, сделав отбор, не мотивировали его, а все остальные провели исследования с недостатками. Вот примеры:

Абитуриент Л. (школа № 77 Сормовского района, отметки в аттестате «4», «5», «4») пишет в исследовании:

« Yb2m2 + 4 abm > 0. Так как дискриминант (?!) положителен, то корни разных знаков хг >0, х2<0. По условию задачи л^^О».

Характерно, что в 13 работах под дискриминантом понимается радикал.

Абитуриент Р. (школа № 117 Сормовского района, отметки в аттестате «4», «4», «4»), нецелесообразно обозначив неизвестным величину площади 1-го участка (вариант 2), весьма громоздко показывает, что

«число положительное и оно удовлетворяет (проверки нет!) условию задачи». Далее она пытается показать, что второй корень отрицателен. При этом совершенно не используется ни условие задачи, ни простейшие свойства неравенств. Длинное рассуждение относительно знака числителя и знаменателя так и не доведено до конца.

Абитуриент С. (Шиморская школа Выксунского района, отметки «3», «4», «4») допустила ошибку при решении уравнения; в исследовании пишет: «Решение этого уравнения окажется следующим: 1. Если Ьт<0 (?) и ат<0, то при решении величина Ьт возводится в квадрат, а так как перед 4 amb будет стоять плюс, то значит к величине Ь7т2 прибавится еще какая-то величина 4 amb, и тогда из-под радикала извлечется величина большая, чем Ьт9 и несмотря на то, какой знак будет стоять перед Ьт, корни будут различные». Ясно, что такое «исследование» ничего не дало.

Из этих примеров (а их число можно увеличить) видна первая причина недостатков в исследовании: учащиеся не умеют проводить доказательства таких неравенств, как, например, , если из условия задачи видно, что a, by m — положительные числа. А ведь в этом случае все дело сводится к непосредственному применению простейших свойств неравенств. Вторая причина —формализм в исследовании. Усвоив аппарат исследования, но не понимая его смысла, экзаменующиеся пишут:

« Исследование дискриминанта D > 0 — корни вещественные, различные; D = 0 — корни вещественные, равные; D<0 — корни мнимые». Какой же случай имеет место, остается загадкой.

(Абитуриент К. школа № 117 Сормовского района, отметки в аттестате «3», «4», «4»). Далее: «Исследование на знак (?):

Значит, один из корней число отрицательное, а именно... ».

Вот другой пример формального исследования. Выяснив с помощью теоремы Виета, что больший корень положителен (т. е. удовлетворяет смыслу задачи), абитуриент затем устанавливает, который же корень положительный.

Видно, что все старания учащегося сводятся к тому, чтобы честно соблюсти форму.

Учитель, очевидно, должен разъяснить учащимся, что подлинное назначение исследования заключается в том, чтобы простейшим путем отобрать корни, отвечающие смыслу задачи.

Устный экзамен, а также решение тригонометрического уравнения свидетельствуют, что одним из больших пробелов в изучении алгебры в школе является слабое знание равносильности уравнений. На случаях потери и приобретения корней учащиеся совершенно не останавливают своего внимания, поэтому преобразования проводятся без учета того, что они могут привести к уравнению, не равносильному данному.

Устные экзамены показывают также, что многие выпускники слабо усвоили понятия логарифма и логарифмической функции. Некоторые абитуриенты определяют логарифмическую функцию так: «логарифмической функцией называется такая функция, в которой неизвестное называется степенью».

Из числовых последовательностей учащиеся сравнительно хорошо представляют себе арифметическую и геометрическую прогрессии. Однако представление о суммировании членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии, исходя из понятия предела последовательности, у многих отсутствует. Так, абитуриент М. (школа № 29 Ждановского района, отметки в аттестате «4», «4», «4») с трудом представляет себе, к чему стремится qn (q < 1), если п -* оо, в связи с чем не смогла ответить на вопрос, чему равна сумма

Она утверждала, что эта сумма равна нулю.

Геометрия. Стереометрические задачи обоих вариантов, несмотря на их простоту, решили полностью (хотя и с недостатками в построении сечения или в исследовании) только 31 абитуриент (27,5%). Лишь 4 из них провели исследование. Из работ, в которых стереометрическая задача решена, следует отметить работу Р. (школа № 13 Свердловского района, отметки «5», «4», «4»), которая хорошо обосновала построение сечения, его форму, но выбрала не совсем рациональный путь решения и сбилась в простых тригонометрических преобразованиях.

Абитуриент Б. (школа № 2 Автозаводского района, отметки в аттестате «3», «3», «4»), не в пример многим отличникам, просто и правильно построила и обосновала построение сечения (вариант 2).

В задаче первого варианта хорошо провела исследование абитуриент М. (школа № 68 Сталинского района, отметки «5», «4», «4»).

Остановимся на конкретных примерах недостатков в работах по геометрии. Вот примеры грубых ошибок:

Абитуриент К. (школа № 123, г. Горький, отметки в аттестате «4», «4», «3») «доказывает» равенство двух отрезков ссылкой на то, что «они заключены между параллельными прямыми».

Абитуриент С. (школа № 13 Свердловского района, отметки «5», «5», «5») доказывает перпендикулярность двух плоскостей, исходя из того, что одна из них проходит через перпендикуляр к прямой, лежащей в другой плоскости.

Абитуриенты Т. (школа № 10 Железнодорожного района, отметки «5», «5», «4») и Б. (из той же школы, отметки «5», «4», «4») доказывают, что плоскость сечения перпендикулярна к ребру пирамиды, потому что плоскость проходит через перпендикуляр к этому ребру. Эти последние два примера ярко иллюстрируют формальное усвоение известных теорем стереометрии.

Абитуриент Т. (школа № 29 Ждановского района, отметки «4», «5», «4») усмотрела в плоскости сечения и непараллельной ей плоскости основания пары соответственно параллельных и пересекающихся прямых; сечение, конечно, оказалось прямоугольником.

Многие из экзаменовавшихся проявили беспомощность в вопросах исследования в предложенных задачах. Это видно из следующих примеров:

Абитуриент С. (школа № 13 Свердловского района, отметки «4», «4», «4») в исследовании утверждает, что в случае а = 45° сечение построить невозможно, a когда а<45° или а>45°, то можно.

Абитуриент Ш. (школа № 77 Сормовского района, отметки «4», «4», «5») считает, что угол ср «остается тупым, так как он в два раза (?) больше угла а». Она же, получив

пишет

Многие другие считают, что треугольник в сечении пирамиды (вариант 2) прямоугольный (?!), поэтому «двугранный угол всегда прямой при любом а».

Все это свидетельствует о недостаточно высоком уровне математического мышления, несмотря на высокие оценки в аттестате.

Отметим еще один характерный штрих.

Формула объема пирамиды (вариант 1) в окончательном виде такова:

знак минус для абитуриентов, получивших эту формулу, был камнем преткновения: ведь объем всегда положительная величина! Этот «зага-

дочный» минус пытались обойти за счет несовершенства результата. Писали формулу объема так:

пусть лучше недочет, чем «сомнительный» минус. Объяснить же этот злополучный минус на основании результатов исследования (45°<а< <90°) никто не догадался.

Нужно отметить еще один важный недочете-неуменье сопровождать решение краткими пояснениями. Учащиеся тратят много времени на пространные (порой никчемные) рассуждения вплоть до пересказа теорем. Черновые записи свидетельствуют о слабой тренировке и отсутствии навыка к напряженной целенаправленной работе над материалом.

Таким образом, основные недочеты в работе по геометрии можно объяснить следующими причинами: 1) неуменьем строить и обосновывать построение сечения, проводить доказательство относительно его формы (81 работа, 71,6%); 2) недостаточностью пространственных представлений, формальным знанием основных теорем стереометрии (25 работ, 22%); 3) слабой подготовкой по тригонометрии (22 работы, 19,5%); 4) отсутствием навыков исследования стереометрических задач (78 работ, 69%); 5) неуменьем кратко и вместе с тем полно объяснять решение задачи.

Первоначально устные испытания по геометрии оставляют впечатление, что в целом знания учащихся вполне удовлетворительные: доказательства основных теорем проводились хорошо, простые задачи школьного типа решались успешно. Заметно, что материал IX—X классов излагается лучше, полнее, чем материал младших классов. Но когда начинаешь интересоваться степенью осознанности того, что излагает экзаменуемый, то снова убеждаешься, что иногда геометрическое содержание не усвоено, вопрос решается лишь формально. Вот простой вопрос билета № 19: «Угол между прямой и плоскостью». Экзаменующийся дает определение и приводит пример. Дополнительный вопрос: «Для какого случая взаимного расположения прямой и плоскости приведенное определение угла между прямой и плоскостью не подходит?»—Томительное молчание. Пробуем разобраться на «модели». Поверхность стола — плоскость, карандаш — отрезок прямой. Видно, что абитуриент непривычен четко разграничивать случай, когда прямая лежит в плоскости, прямая параллельна плоскости, прямая наклонена к плоскости под углом, отличным от прямого, прямая перпендикулярна плоскости. Этот последний случай взаимного расположения не подходит под определение. Лишь после длительного раздумья экзаменуемый соображает: прямая проектируется в точку, угол между прямой и ее проекцией в этом случае «не существует».

Вот вопросы, которые, по нашему мнению, следовало бы глубже и более принципиально изучать в школе, возвращаясь к ним в старших классах: 1) Понятие длины, площади, объема. 2) Геометрические места точек, обладающих данным свойством (на плоскости и в пространстве). 3) Задачи на построение в планиметрии и в стереометрии (здесь хотя бы элементарные), с исследованием. 4) Понятие о правильных многогранниках и их построении. 5) Понятие о предельном переходе при введении понятий длины окружности, поверхности конуса, шара и т. д.

Тригонометрия. На экзаменах выявились недостатки в знаниях поступающих по тригонометрии. Некоторые из поступающих не получили никакого результата (даже неверного) при решении несложных уравнений:

Между тем, в аттестатах из 113 человек имеют по тригонометрии отметки «три» только 13 человек, отличную отметку 20 человек, остальные 90 человек имеют хорошую отметку. Законен вопрос: не снизился ли в тех школах, чьи выпускники экзаменовались у нас, уровень требований к знаниям по тригонометрии, в связи с отменой устных экзаменов по тригонометрии в X классе?

Недочеты в изучении программы по алгебре сказываются и в тригонометрии: 64 человека (53%) делят или множат обе части уравнения на выражение, содержащее функции от неизвестного, совершенно не считаясь со свойствами уравнений. Тождественные преобразования проводятся зачастую нецелесообразно. Создается впечатление, что, скажем, преобразование суммы в произведение должно производиться только в случае, когда речь идет о приведении выражения к логарифмическому виду, а в случае решения тригонометрических уравнений применения не имеет.

Только в одной из работ удалось встретить сравнительно хорошее начало в решении уравнения (2). Абитуриент Ч. (школа рабочей молодежи № 4, г. Дзержинск, отметки «5», «5», «5») пишет:

Но далее демонстрирует свое незнание основ тригонометрии: «Функции равны, следовательно, аргументы также равны; если

(?)

Эту грубую ошибку: «функции равны, значит аргументы также равны»—допустили многие. 16 человек, записав первое уравнение так:

«сокращают» на cos х—sin* и получают cos X+ sin л: = 0 (?!).

В записи общего решения уравнения допускаются самые различные ошибки, что свидетельствует о формализме в изучении этого вопроса в школе. Проанализируем характер ошибок в записи общего решения. Ошибки первого типа происходят потому, что учащийся механически старается воспроизвести общие формулы решения простейших уравнений s\nx = m, cosa: = л, igx — pt ит. д., совершенно забывая о том, что под аргументом тригонометрической функции надо понимать не обязательно только х, а какое угодно выражение, содержащее неизвестное. Например, К. (школа № 6, г. Балахна, отметки «5», «5», «5»), получив

cos (45° — х) =-тр пишет: 45° — jt = 60°.

Видимо, здесь аргументом тригонометрической функции считается только лг, поэтому сначала вычисляется, чему он равен: х = — 15°, а затем формально записывается:

Стоило, однако, уравнение

переписать так:

как без всяких ошибок большинство абитуриентов выписывало и частное, и общее решение. Лучший способ приучить учащихся мыслить в качестве аргумента не только х> а все выражение под знаком функции — это замена переменного.

Второй тип ошибок — это бессмысленное воспроизведение не понятых в школе формул общих решений. Так, Ш. (школа № 77 Сормовского района, отметки по тригонометрии «5») пишет:

Видно, как учащиеся стремятся воспроизвести внешний вид формулы для случая cos х = л, запомнив характерный в ней знак (ztz), но не представляя себе его места и значения. Особенно часты ошибки при выражении общего вида дуг, удовлетворяющих уравнению sin х=т. «Двойная» формула общего вида дуг никак не запоминается учащимися. Бороться с этой ошибкой можно только одним способом: добиться понимания сути формулы общего вида дуг, исходя из свойства соответствующей тригонометрической функции. Первый шаг здесь— определение частных значений (в пределах первого круга). Второй шаг — обобщение, исходя из свойства периодичности. Третьего шага—объединения двух формул в одну (особенно в случае sinX = m) — можно и не делать: если учащиеся до него сами не додумаются, то это будет меньшим злом, чем бессмысленное употребление неправильных формул.

Остановимся на грубых ошибках по тригонометрии.

Абитуриент К. (школа № 4 г. Бор, отметки «4», «4», «4») решает уравнение

так:

Абитуриенты П. (школа № 1, г. Павлово, отметки «3», «4», «4»), С. (та же школа, отметки «4» «3», «3»), С. (школа № 4, г. Бор, отметки «4», «5», «4»), получив уравнение

пишут:

Абитуриент X. (школа № 6, г. Балахна, отметки «4», «4», «4») из уравнения

получила tgx = 0 (?), а далее пишет: «tg* не может быть равен нулю».

Этот список можно бы и продолжить, но ясно, что все эти ошибки — результат слабого усвоения тригонометрии в школе.

На устных экзаменах Т. (школа № 66, ст. Контоурово Борского района, отметки «4», «4», «4»), неплохо отвечавшая на другие вопросы, утверждала, что—cos х = cos (— л:) = cos х, что равенство sin х : sin у = 10 не может иметь места. Относительно последнего вопроса примерно 20 человек сделали аналогичный вывод, ссылаясь на то, что |sin*|^l.

Камнем преткновения оказался вопрос программы: «Обратные тригонометрические функции и их главные значения». Один из абитуриентов, вычисляя

пишет:

Ссылаться на недостатки изложения в школьном учебнике этого раздела теперь не приходится. Сейчас имеется вполне исчерпывающая литература по этому вопросу (например, С. И. Новоселов, «Обратные тригонометрические функции», учебник по тригонометрии Берманта и Люстерника), тем не менее, выступления по этому вопросу методистов на страницах журнала «Математика в школе» были бы желательны.

Арифметика. Сравнительно простую арифметическую задачу, как задача варианта 1, 10 из 66 экзаменуемых не пытались решать. Трое не могли решить, так как не усвоили ее смысла. Не могли дать арифметического решения и решили задачу алгебраическим путем только 13 человек, из них трое — с проверкой. Еще хуже результат в варианте 2. Подавляющее большинство ее решавших не поняли смысла. А задача также элементарна. Дело не в том, что учащиеся не умеют обращать периодическую дробь в обыкновенную. Причина — в отсутствии твердых знаний процентов и полное неуменье применить понятие процента к решению элементарных задач. У всех, решавших задачу варианта 2 и не добившихся результата, одна характерная ошибка: если, например, продажная цена ткани 20 руб. (это почти все нашли быстро), а было перед этим два

снижения цен; первое на 4%, второе на 15%, то значит, заключают решающие задачу, что до обоих снижений ткань стоила на 4+15 = 19(%) дороже.

Нет понимания простой вещи: если, например, цена снижена на 15%, то старая цена по отношению к новой составляет не

Нет элементарного навыка: если 20 руб. составляют 85%, л: руб. составляют 100%, то

Печально, если выпускники средней школы не смогут помочь, скажем, работнику прилавка в решении таких простых вопросов.

Требование программы средней школы по математике о необходимости поддерживать и совершенствовать арифметические навыки и в старших классах еще не выполняется по-настоящему.

Повседневная забота органов народного образования, школы и самих учителей о повышении идейно-политического уровня и деловой квалификации учительства; повышение ответственности в работе школ и учителя; улучшение качества подготовки учителей в стенах педагогических вузов; совместная творческая работа школы и вузов, основанная на здоровой критике и самокритике, — вот меры, диктуемые самой жизнью, осуществление которых приведет к дальнейшим успехам нашей советской школы.

О ПРИЕМНЫХ ЭКЗАМЕНАХ В СТАЛИНОГОРСКИЙ ГОРНЫЙ ТЕХНИКУМ

П. М. САВЧУК (Сталиногорск)

В 1950 году 1 700 учащихся, окончивших семилетние школы, держали конкурсные экзамены по математике в Сталиногорский горный техникум. Юноши и девушки приехали из самых различных областей и республик нашего Союза.

Задачи, которые были предложены на письменных экзаменах по математике в горный техникум, состояли из одного примера по арифметике, двух примеров по алгебре, одной задачи на составление уравнений и одной геометрической задачи.

Приведем некоторые из вариантов.

Вариант 1.

Произвести указанные действия:

Вычислить:

Произвести действия:

Задача. В двух колхозах имеется 250 коров. Если второй колхоз продаст первому 13 коров, то в стаде первого будет в И/а раза меньше коров, чем в стаде второго колхоза. Сколько коров было первоначально в каждом стаде?

Задача. Определить внутренние углы треугольника, если z. Л:z. £ = 7:8, а внешний угол, смежный с углом Су равен -g- d. Вариант 2. Произвести указанные действия:

Вычислить:

Упростить:

Задача. Два тела начинают двигаться одновременно навстречу друг другу из А в В. Первое двигается со скоростью вдвое большей, чем второе, и приходит в В на 5 часов раньше, чем второе в А. Найти скорость каждого тела, если расстояние между А я В равно 100 км.

Задача. Вершина угла лежит вне окружности, а стороны пересекают ее; дуги, содержащиеся между его сторонами, относятся, как 3:10; большая дуга содержит 40°. Сколько градусов содержит угол?

На решение задач учащимся дано было четыре академических часа.

Рассмотрим характерные ошибки, которые допускали учащиеся в своих работах по математике.

Ученица И., окончившая 7 классов в 1950г. (Дмитровская СШ Курской области), решая из первого варианта задачу на составление уравнений, пишет:

и далее

Решая эту систему, получает:

И далее, не замечая явной бессмыслицы, находит значение для у:

Можно с уверенностью сказать, что в том классе, где училась ученица И., преподаватель мало решал на уроках текстовых задач на составление уравнений.

Та же ученица неправильно решила и пример по арифметике из варианта 1. В примере, где нужно вычислить:

она пишет после подстановки:

Как и у многих других учащихся, здесь мы отмечаем незнание относительных чисел и законов сложения обыкновенных дробей.

Ученик Р., окончивший 7 классов в 1950 г. (с. Кубинка Звенигородского района Московской области), решает задачу из варианта 2 на составление уравнений так:

Пусть

А = X, В=у, и далее пишет, что мы составляем уравнения

Не говоря уже о том, что система уравнений составлена неправильно, ученик Р. даже не написал, какие именованные величины он получил в результате решения.

Он не решил примера по арифметике и отказался решать задачу по геометрии.

Как ни странно, задачу по геометрии из варианта 2 не решило более половины учащихся из группы в 32 человека.

Из другого варианта была предложена на экзаменах задача по геометрии следующего содержания:

Окружность разделена точками А, В и С в отношении 11:13:16. Через точки деления проведены касательные. Определить наименьший угол в треугольнике, полученном от пересечения касательных.

Из группы в 30 человек эту задачу решили 8 человек.

Группе учащихся из 32 человек была дана задача:

В равнобедренном треугольнике внешний угол при основании равен 120°. Найти углы, образованные биссектрисой смежного внутреннего угла с противолежащей стороной (черт. 1).

Многие учащиеся не решили эту задачу лишь потому, что не поняли ее смысла. Они определяли углы не при точке D, а при точке С.

У преподавателей техникума складывается впечатление, что в семилетних школах мало

Черт. 1.

уделяют времени на решение геометрических задач на вычисление.

На устных экзаменах многие учащиеся заявляют, что они в школах задач по геометрии на вычисление не решали.

Присутствуя на выпускных экзаменах по геометрии в одной из семилетних школ г. Сталиногорска, автор был удивлен ответами учащихся. Эти учащиеся хорошо заучили задачи по геометрии на построение по учебнику Киселева, но когда одному из лучших учеников группы была дана легкая задача на вычисление, он, сколько ни думал, решить ее не смог. Задача была следующего содержания:

Средняя линия трапеции равна 12 дм; одно основание трапеции на 4 дм больше другого. Найти основания трапеции.

На мой вопрос учителю, почему учащийся так слабо решает задачи на вычисление, он ответил: «Такова программа по геометрии, ничего не поделаешь. Более 70% времени мы расходуем на решение задач на построение и почти нет времени решать задачи на вычисление».

Такие ответы дают многие учителя семилетних школ. В одной из школ г. Сталиногорска учащиеся VII класса «Б» за весь 1949/50 учебный год не решили даже 6 задач на вычисление.

Ссылка на программу явно несостоятельна. Здесь вина лежит на самом учителе. Надо приучать учащихся VI—VII классов решать задачи на вычисление, а не только на построение.

Следует еще добавить, что на экзаменах в седьмых классах многие учащиеся, в силу своей недостаточной математической зрелости, автоматически, без понятия заучивают наизусть задачи на построение и бессознательно отвечают учителю. На вопрос учителя, почему так, а не иначе, они отвечают: «Так сказано в учебнике Киселева».

Это еще раз подтверждает, что возраст семиклассника и его математическое развитие мало подготовлены для усвоения геометрических задач на построение.

Слабым местом в развитии геометрических познаний учащихся является то, что они при доказательствах теорем не умеют математически посредством символа записать то, что доказывают.

Геометрические рассуждения и объяснения учащиеся не умеют еще переводить на язык символики.

Многие учащиеся на устных экзаменах правильно ведут рассуждения, но почти никто из них не умеет записать символически свои мысли.

Как показала проверка контрольных письменных работ по математике, учащиеся седьмых классов лучше решают задачи на составление уравнений, чем задачи по геометрии. Гораздо слабее они оперируют с алгебраическими дробями, слабо владеют техникой их преобразования. Так, например, ряд учащихся допускает неправильное сокращение членов. Например:

Многие учащиеся не понимают, что

Слабое знание формул сокращенного умножения и деления приводит к тому, что учащиеся не могут упростить полученный в задаче ответ:

Один из поступающих складывает дроби так:

Он считает, что написал правильно, и объясняет тем, что

Другой учащийся после сложения алгебраических дробей делает такое сокращение:

Складывая алгебраические дроби, учащиеся писали:

Приемные экзамены показали, что в ряде школ сельской местности учащимися не изучалась тема «Извлечение квадратного корня из чисел».

Недостаточное знание арифметики приводит некоторых учащихся к тому, что они арифметические задачи решают алгебраическим методом.

На устных экзаменах из всех поступающих учащихся ни один не мог решить арифметическим методом задачу, взятую из задачника Березанской:

«Разделить 472 на такие три части, чтобы 50% первой части равнялось 60% второй и 80% третьей части».

Большим затруднением для многих поступающих была задача на сложное тройное правило.

«Для освещения девяти комнат в 24 дня затрачено 60 рублей, причем в каждой комнате горело по 2 электролампы. Сколько требуется израсходовать денег, если освещать 10 комнат в течение 30 дней и в каждой комнате будет гореть по 3 электролампы.

Ряд учащихся слабо владеет техникой устных вычислений. На устных экзаменах некоторые учащиеся вместо того чтобы устно дать ответ, полученный от деления

84:3 или 174:3,

часто делают вычисление на бумаге или на доске, затрачивая на это 3—4 минуты.

При сложении и вычитании смешанных чисел учащиеся допускают такие ошибки:

Такие неправильные и ненужные вычисления часто приводят многих учащихся к случайным ошибкам. В результате решения одного примера необходимо было разделить:

Многие учащиеся записывали так:

Не проверив предварительно, что числа 29 и 696 могут быть сокращены, учащиеся в итоге решения примера приходят к громоздким числам. Следует отметить, что ряд учащихся не упрощает промежуточный арифметический результат в процессе решения задачи, а делает это обычно в конце.

У некоторых учащихся в письменных работах в результате промежуточных действий получилось смешанное число 7щ. Это число учащиеся далее так и записывали на четырех-пяти строках, повторив его шесть-семь раз, а затем в итоге был записан окончательный ответ:

Несколько слов об отличниках. В этом учебном году в техникум было принято 72 человека отличников. Наблюдая за работой этих учащихся, преподаватели техникума не довольны их успеваемостью. Из 72 человек, принятых в техникум без экзаменов, ни один из них не является отличником учебы.

К нашему сожалению, некоторые отличники за два месяца учебы получили за текущие работы по три и четыре «двойки» по математике, столько же «двоек» по физике и другим предметам.

Следует указать на семилетнюю школу села Новые-Савины Черемисинского района Курской области, затем на Березовскую семилетнюю школу Голосновского района Воронежской области, на Михайловскую семилетнюю школу Чернского района Тульской области, которые выпустили учащихся-отличников, не подготовленных для занятий в техникуме. Учащиеся этих школ, обучаясь в техникуме, имеют плохие отметки по математике, русскому языку, физике и химии. Можно было бы указать еще на ряд семилетних школ, которые не строго подошли к оценке знаний своих выпускников, выдав им свидетельства об окончании школы с отметками «пять».

Во многих семилетних школах черчение в седьмых классах ведет преподаватель математики. Некоторые из них считают, что один час в неделю, который отводится на эту дисциплину в VII классе, ничего не даст ученикам, поэтому учителя незаконно используют этот час на занятия по математике. Такое грубое нарушение программы приводит к тому, что учащиеся, поступившие в техникум, испытывают по черчению большие трудности.

Так, по итогам успеваемости за сентябрь и октябрь месяцы по первому курсу в Сталиногорском горном техникуме 50% учащихся не успевают только по черчению. Многие учащиеся, прибывшие из семилетних школ, заявляют, что у них в школах черчения не изучали.

Желательно в седьмых классах не только закрепить прочно тот один час в неделю по черчению, который отводится по программе, но и предусмотреть в новых программах на следующий учебный год еще один час дополнительно.

О НЕДОСТАТКАХ В ЗНАНИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ ОКОНЧИВШИХ СЕМИЛЕТНИЕ ШКОЛЫ

М. Г. ПАРАФИЛО (г. Красногоровка)

В 1950 г. поступающим в Донецкий сельскохозяйственный техникум на письменных испытаниях по математике были предложены следующие варианты письменных работ:

I

1. Несколько рабочих получили вместе 120 рублей; если бы их было четырьмя меньше, то каждый из них получил бы втрое больше. Сколько было рабочих?

2. На заводе работают 144 женщины, а остальные мужчины. Определить общее число рабочих на заводе, если известно, что мужчины составляют 92,5% общего числа рабочих.

3. Выполнить указанные действия:

4. Вычислить:

II

1. Двое рабочих вместе кончают работу в 3 часа 36 минут; первый может ее выполнить в 6 часов. Во сколько времени сделает ту же работу второй?

2. Яблоки при сушке теряют 84% своего веса. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы приготовить 10 кг сушеных?

3. Выполнить указанные действия:

4. Вычислить:

Остановимся более подробно на каждом из четырех вопросов контрольной работы. Большинство задач на составление уравнений нами было взято из задачника Шапошникова и Вальцова (причем наиболее легкие). Остальные задачи взяты из «Сборника задач и упражнений по арифметике» Е. С. Березанской, главным образом из раздела «Целые числа». Все эти задачи решались в школе.

Державшие испытания в техникум обнаружили слабое уменье решать задачи с помощью составления уравнений. Большинство не справилось с задачей потому, что не смогло правильно выбрать неизвестное и выразить через него остальные величины, входящие в условие.

Примером того, как можно усложнить решение простой задачи, может служить следующее «решение», данное одним из поступающих.

«В трех ящиках было поровну яблок. Когда из каждого ящика вынули 8 кг яблок, то во всех ящиках осталось столько яблок, сколько первоначально было в каждом ящике. Сколько всего было яблок?»

Приводим дословно объяснение и «решение».

«Количество яблок I ящике — х {кг) Количество яблок II ящике—у {кг) Количество яблок III ящике—z (кг)

X — 8 (кг) — оставшееся количество яблок

I ящике

у — 8 (кг) — оставшееся количество яблок

II ящике

z — 8 (кг) — оставшееся количество яблок

III ящике

На этом «решение» кончается.

На письменных испытаниях мы никаких ограничений в способах решения задач не ставили. Поступающим было сказано, что задачу они могут решить либо арифметически, либо алгебраически при помощи составления уравнения или системы уравнений. Несмотря на то что ряд задач легче было бы решить арифметически, только два человека решили задачу арифметически, хотя попытку в этом направлении делали 18 человек.

Здесь, очевидно, сказывается вредный трафарет в работе некоторых учителей: раз задачи даны в разделе на составление уравнений, то их ни в коем случае нельзя решать иначе.

Чтобы показать характер ошибок, допущенных некоторыми абитуриентами в задаче на проценты, мы приведем дословное решение задачи варианта II, данное одним из поступающих.

«Предположим, что свежих яблок было х, а так как они теряют 84%, то значит

Ск. нужно взять свежих яблок, чтобы приготовить 1 кг сушеных?

Ск. нужно взять свежих яблок, чтобы приготовить 10 кг сушеных яблок?

Совершенно «простое» решение, без каких-либо объяснений этой задачи, дает другой абитуриент.

А вот еще одно из «решений»:

Надо сказать, что этой задаче «повезло»: ответов было столько же, сколько было попыток в ее решении.

Такая же участь постигла следующую задачу: «Продукция, выпущенная заводом, оценивается в 16,4 млн. рублей, причем завод перевыполнил свой план на 2,5%. Определить стоимость продукции по плану». Только границы ответов здесь шире: от 12,3 рубля до 656 млн. рублей!

Бросается в глаза не только слабое знание процентов, но и то, что у многих выпускников семилетних школ нет критического отношения к ответу задачи, какая-то удаленность от жизненной практики; создается впечатление, что ученики почти никогда не делают примерной оценки ответа с точки зрения здравого смысла. Мы понимаем, что ученик может ошибиться, может забыть правило, забыть формулу, но нельзя допускать, чтобы он был абсолютно равнодушен к полученному ответу.

Приведем решение примера на все действия с алгебраическими дробями выпускницей М. (Б. Новоселковской С. Ш. № 1).

Некоторые выпускники слабо знают формулы сокращенного умножения.

Это решение имеет ошибки, присущие ряду других работ.

Почти все поступающие выполнили примеры на преобразование дробей, расчленяя их на ряд отдельных этапов; в этом сказывается слабая культура труда, неуменье ставить скобки там, где они нужны, отбрасывание знаменателя при сложении или вычитании алгебраических дробей. Эта ошибка появляется после прохождения уравнений.

Часто можно встретить такие «сокращения» дробей:

причем последний ответ чаще встречается, чем первый.

Ошибка, когда учащийся сокращает отдельные слагаемые числителя и знаменателя вида

остается все еще распространенной.

Корни этой ошибки заключаются в том, что учащийся не понимает, что значит разделить алгебраическую сумму на какое-нибудь число, он не подготовлен к этому в V классе при нахождении обыкновенных дробей: там нет ни одного примера, где бы был случай сокращения суммы в числителе или знаменателе на какой-нибудь делитель.

При умножении и делении дробей с многочленными знаменателями действия обычно сразу же выполняются.

Например:

Потом учащиеся пытаются разложить числитель и знаменатель на множители, запутываются и, как правило, не могут решить пример. Эту ошибку учащиеся переносят из арифметики; при неправильном обучении умножению и делению обыкновенных дробей некоторые учителя не обращают внимания на то, что ученики сразу же перемножают числа, а потом уже сокращают.

Поступающие часто ошибались при необходимости изменения знака знаменателя на противоположный; не все понимают смысл этой операции.

Пожалуй, самой распространенной ошибкой надо считать ошибку такого вида:

Для избежания этой ошибки надо, чтобы учащийся ясно себе представил, что здесь выполняются одновременно два действия: умножение одночлена на многочлен и вычитание многочлена.

Основная масса ошибок в арифметических примерах приходится на деление десятичных

дробей. Приведем типичный пример ошибки. Надо разделить:

0,00364 :0,26.

Выпускник VII класса С. Ш. № 1 Макеевского района П. пишет:

Что касается формы, то надо отметить отрадное явление, что абсолютное большинство поступающих делает целым числом только делителя, и только немногие уравнивают число десятичных знаков в делимом и делителе и все случаи деления сводят к делению целых чисел. Однако ошибки при делении десятичных дробей говорят о том, что учащиеся этот раздел арифметики усваивают механически, слабо понимают зависимость между делимым, делителем и частным, не понимают, что при делении чисел каждый разряд делимого должен дать значащую или незначащую цифру и что при делении целых чисел нули впереди частного не ставятся.

Другие ошибки, которые встречались в решении арифметического примера, — это неуменье делить обыкновенные дроби на целое число; в некоторых работах, правда, очень редко, встречалось незнание порядка действий.

Предлагая контрольные работы, мы просили поступающих все вычисления и тождественные преобразования, за исключением тех, которые они производят в уме, писать на основном листе контрольной работы, независимо от того, есть эти вычисления в черновике или нет, и, несмотря на это, мы не найдем и десяти работ, в которых наше требование было выполнено.

Объяснение решения алгебраических задач, за исключением 12 работ, слишком примитивно и схематично.

Пример на все действия с алгебраическими дробями выполнялся по частям, каждое действие отдельно, как это делается в арифметике.

Задачи на проценты, большинство которых можно было бы решить в одно действие, многие решали в два, три и даже четыре действия.

При делении на десятичную дробь вида 0,0125:0,25 мы ни разу не видели такой записи: 1,25 125, а главным образом такую: 0, 01,25 J0,257 реже 0 01 25 (02500, и иногда и такую:

Устные испытания показали следующие недостатки в знаниях поступающих.

Прежде всего нет четкости в определениях геометрических понятий и в формулировках теорем. При доказательстве теорем некоторые из поступающих не придерживаются логической последовательности, не понимают, что теорему нельзя доказать без полного использования всех данных, которые заключаются в условии, часто ссылаются на то, что требуется доказать. Такое «доказательство» не только не приносит пользы, а даже наносит величайший вред умственному развитию ребенка.

Абитуриенты, которым предлагалось доказать теорему, выражающую свойство сумм противоположных сторон описанного четырехугольника, рисовали вписанный четырехугольник и доказывали свойство суммы противоположных углов; когда же мы их поправили, то они не смогли сформулировать эту довольно простую теорему.

Устные испытания подтвердили, что наиболее слабыми являются знания по следующим разделам арифметики: деление десятичных дробей, нахождение числа по его части и части от числа, решение текстовых задач, проценты.

Учащиеся недостаточно знают тождественные преобразования с алгебраическими дробями. Учащиеся неплохо решают уравнения с одним неизвестным с числовыми коэффициентами, но не умеют решать уравнения с буквенными коэффициентами. Поступающие удовлетворительно решают систему уравнений с двумя неизвестными, но при этом почти никто не решает способом подстановки, а только способом алгебраического сложения. Оказывается, что многие школы решают систему уравнений только способом алгебраического сложения, а способ подстановки только демонстрируется.

Оценивая знания тех выпускников, которые держали у нас испытания, мы делаем вывод, что в области математики еще не изжит разрыв между программой и фактическими знаниями части выпускников седьмых классов.

Между алгеброй и арифметикой в представлении многих учащихся существует какая-то искусственно созданная стена, и знания по алгебре не базируются на знаниях по арифметике.

Геометрия для некоторой части выпускников, благодаря механическому заучиванию, из живой и интересной науки превратилась в какое-то непосильное бремя.

О НЕКОТОРЫХ НЕДОСТАТКАХ В ЗНАНИИ АРИФМЕТИКИ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ

Г. С. КИЛЬДИШЕВ (Москва)

В течение трех последних лет я принимал вступительные экзамены по математике в Московском финансовом институте. За эти годы мною было проэкзаменовано 1024 человека. Большинство из них перед экзаменом в вуз сдало экзамены на аттестат зрелости в средней школе. Лишь небольшая часть (2%) всех экзаменующихся училась в техникумах или окончила школу раньше года поступления в институт. Нельзя сказать, что абитуриенты финансового института имели в средней школе очень высокую аттестацию по математике. 18% абитуриентов имели отличные оценки, 48% — хорошие и 34%—посредственные (по всем математическим дисциплинам). Данные говорят, что мы имели дело с «середняками», не лучшими и не худшими учениками средней школы. Однако подготовка по арифметике этого контингента имеет ряд недостатков, на которые учительству следует обратить внимание.

Эти недостатки главным образом сводятся к следующему:

1. У абитуриентов недостаточны пространственные представления. Элементарные вопросы, связанные с непосредственными измерениями, либо оставались совсем без ответа, либо на них давались совершенно неправильные ответы. Например, спрашиваю: «Что больше—квадратный километр или гектар?» Из 82 человек, которым был предложен этот вопрос, лишь 21 человек ответил правильно, а из этого количества лишь 14 человек ответили на вопрос, во сколько раз квадратный километр больше гектара. На вопрос: «Какова, приблизительно, высота 26-этажного дома, строящегося на Смоленской площади?», из 34 человек лишь семь ответили правильно. Трое определили эту высоту в 500 м (!!). На вопрос «Как широка эта улица?» (около 80 м), из 15 человек лишь один дал правильный ответ, два абитуриента определили ее ширину в 500 му а три — от 15 до 25 м. На вопрос: «Что тяжелее: килограмм железа или килограмм масла?» из 64 опрошенных ответили правильно и объяснили лишь 19 человек.

2. Абитуриенты плохо считают устно. Когда дается устная задача, даже очень простая, все тянутся к бумаге и карандашу. Устное рассуждение ученика очень длинно и лишено правильной математической логики. Задан вопрос: «3/4 некоторого числа составляют 12; что это за число?» Из 38 опрашиваемых лишь 12 ответили правильно и быстро, 10 человек дали правильный ответ после длительных устных расчетов, а 16 человек дали неправильный ответ.

3. Особенно слабо знание раздела «Проценты». Из 725 человек экзаменующихся лишь 26% дали правильные и быстрые ответы на устные примеры на нахождение процентов. 28% опрашиваемых дали правильные ответы после довольно длительных расчетов. Для представления о характере примеров приведем некоторые из них.

«Какое число будет составлять 15% от 200?» «20% некоторого числа = 40. Что это за число?» «Сколько процентов составляет */2 от 74».

Приведенные примеры говорят о еще неизжитых недостатках в математической подготовке учащихся средней школы. Эти недостатки необходимо устранить.

МЕТОДИКА

ВЕЛИЧИНА И ЕЕ ЗНАЧЕНИЕ

И. К. АНДРОНОВ (Москва) и В. М. БРАДИС (Калинин)

Настоящая статья представляет собой одну из глав учебника арифметики для V и VI классов, подготовляемого к печати авторами.

ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

Работая над настоящей книгой, авторы исходили из следующих соображений:

а) Изучение любого раздела школьного курса математики только тогда является полноценным, если в нем обеспечено единство теории и практики. Недопустимо сведение работы школьника к механическому заучиванию ряда правил без сознательного усвоения той теории, на которой эти правила основаны, недопустимо и ограничение одной теорией без выяснения практических ее корней и ее приложений на практике. Руководство по арифметике должно начинать изложение каждого вопроса с рассмотрения близкой интересам школьника задачи и возвращаться к более сложным задачам на основе построенной теории.

б) Понимание учащимися теоретической стороны школьного курса математики не может быть обеспечено, если не подчеркивать на каждом шагу материальной базы тех абстрактных понятий и предложений, из которых слагается теория. Наука отражает материальный мир, дает людям возможность познать и покорить его, и школьник, изучая арифметику, должен понимать и чувствовать это на протяжении всего курса. Натуральные числа выражают важнейшее свойство конечных множеств — их численность (мощность), дроби — аналогичное свойство величин, допускающих деление на равные части. При недостаточном понимании учащимися этих фактов неизбежно формальное, бесплодное усвоение материала науки. Учебник надо построить так, чтобы это стало невозможным.

в) Изложение теоретического материала должно быть соответствующим возрасту. Раскрывать содержание абстрактных арифметических понятий и предложений в V и VI классах надо на живых примерах, но с точными формулировками окончательных выводов, доказательства проводить на простых частных случаях, но обязательно выясняя их общность. Как показывает опыт, уже в V классе возможно и полезно приучать к употреблению букв для записи искомых и данных чисел, рассматривая это как удобное сокращение словесных формулировок.

г) Руководство по арифметике, предназначенное для школьников, имеет целью помочь им основательно и просто усвоить теоретический материал, предусмотренный программой и изложенный на уроке учителем. Оно излагает материал кратко, с меньшим количеством пояснений и примеров, чем книга, предназначенная для самостоятельного изучения. Включая весь материал, установленный программой, руководство должно содержать и некоторые дополнительные сведения, посильные учащимся данного класса и рекомендуемые им, особенно при повторении. Ввиду этого в книгу включены, например, некоторые сведения о русских математиках, о механических средствах вычисления, о периодических дробях, о приближенных вычислениях и др.

д) Вместе с руководством на руках учащихся имеется арифметический задачник, а потому руководство не содержит материала для тренировочных упражнений.

Создать новое руководство по арифметике, лучше удовлетворяющее запросам советской школы, чем применяемый сейчас переработанный учебник А. П. Киселева, — дело огромной трудности. Авторы хорошо понимают, что их книга имеет много недостатков, но решаются на ее опубликование, во-первых, потому, что надеются с помощью товарищеской критики исправить их в дальнейшем, а во-вторых, потому, что она поможет другим авторам написать лучше.

Основное содержание книги является результатом совместной работы обоих авторов, но окончательная редакция, сопряженная с большим сокращением первоначального текста, выполнена одним В. М. Брадисом.

Введение для учащихся

Арифметика — наука о числах. Курс арифметики в V и VI классах занимается сперва более глубоким изучением тех целых чисел 0, 1, 2, 3, 4,с которыми учащиеся имели дело, начиная с I класса, а затем рассматривает дробные числа (дроби). Дальнейшее изучение чисел ведется в школьном курсе алгебры.

Прочное усвоение арифметики необходимо каждому потому, что устанавливаемые в ней правила постоянно применяются в жизни, а также потому, что на школьном курсе арифметики основаны все другие разделы школьной математики и математики вообще.

Хорошо усвоить какой-нибудь раздел математики— значит, во-первых, полностью понять все то, о чем в нем говорится; во-вторых, запомнить данные в нем определения, разъясняющие смысл каждого нового понятия; предложения, говорящие о свойствах этих понятий; вытекающие отсюда правила; в-третьих, научиться применять эти правила к решению различных задач.

После каждого урока, на котором учитель объяснял новый материал, надо самым внимательным образом прочесть относящиеся к нему параграфы книги, обязательно выполняя устно или письменно все расчеты, о которых в них говорится. Материал можно считать усвоенным только тогда, когда учащийся в состоянии изложить его правильно и полно, не заглядывая в книгу. Очень полезно самостоятельно подыскивать примеры того, о чем идет речь. После этого идет решение задач.

Все напечатанное в книге жирным шрифтом предназначено для запоминания, хотя дословного заучивания вовсе не требуется. Все эти определения, свойства, правила можно излагать иначе, своими словами, но непременно правильно и полно. Мелким шрифтом напечатано то, что можно при недостатке времени пропустить без вреда для понимания дальнейшего. Но изучение этого дополнительного материала очень рекомендуется, особенно при повторении.

Во всякой математической науке, в том числе и в арифметике, каждый шаг вперед основан на том, что было усвоено ранее. Изучая новый вопрос, надо все время возвращаться к старому, либо просто вспоминая это старое, либо наводя справки по книге. Чтобы облегчить такие справки, в книге часто делаются ссылки (в скобках) на те параграфы, которые рекомендуется вспомнить. Такие возвращения к раньше пройденному очень полезны, обеспечивая и более полное понимание, и более прочное усвоение.

Приводим содержание предшествующих глав.

Глава I. Нумерация

Счет и натуральные числа: множества и их элементы (§ 1), натуральные числа и натуральный ряд (§ 2), независимость натурального числа от порядка счета (§ 3), бесконечность натурального ряда (§ 4), нуль (§ 5), упражнения.

Устная десятичная нумерация: счет десятками (§ 6), устная нумерация (§ 7), упражнения.

Письменная десятичная нумерация: цифры (§8), поместное значение цифр (§ 9), запись и чтение больших чисел (§ 10), круглые числа (§ 11), упражнения.

Различные нумерации, отличные от десятичной: римская нумерация (§ 12), старославянская нумерация (§ 13), различные позиционные системы счисления (§ 14), упражнения.

Глава II. Сложение и вычитание

Сложение: соединение множеств (§ 15), сумма натуральных чисел (§ 16), запись суммы буквами (§17), переместительное свойство суммы (§ 18), сочетательное свойство суммы (§ 19), сложение с нулем (§ 20), упражнения.

Техника устного и письменного сложения: сложение однозначных чисел (§ 21), сложение круглых чисел (§ 22), сложение многозначных чисел (§ 23), устное сложение (§ 24), проверка сложения (§ 25), упражнения.

Вычитание: удаление части множества (§ 26), разность натуральных чисел (§ 27), связь вычитания со сложением (§ 28), другое определение разности (§ 29), вычитание суммы и от суммы (§ 30), прибавление и вычитание разности (§ 31), упражнения.

Техника устного и письменного вычитания: табличное вычитание (§ 32), вычитание многозначных чисел (§ 33), устное вычитание (§ 34), вычитание по способу дополнения (§ 35), проверка вычитания (§ 36), упражнения.

Сложение и вычитание на приборах: русские счеты (§ 37), арифмометр «Феликс» (§ 38), упражнения.

Глава III. Умножение и деление

Произведение натуральных чисел и его свойства: соединение множеств одинаковой численности (§ 33), произведение натуральных чисел (§ 40), переместительное свойство произведения (§ 41), сочетательное свойство произведения (§42), распределительное свойство произведения (§ 43), умножение с нулем (§ 44), упражнения.

Техника устного и письменного умножения: табличное умножение (§ 45), умножение круглых чисел (§ 46), умножение многозначного числа на однозначное (§ 47), умножение многозначных чисел (§ 48), устное умножение (§ 49), проверка умножения (§ 50), упражнения.

Частное натуральных чисел и его свойства: две задачи на деление множеств (§ 51), частное натуральных чисел (§ 52), особые случаи деления (§ 53), деление суммы и разности (§ 54), деление произведения и на произведение (§ 55), неполное частное и остаток (§ 56), деление в широком смысле (§ 57), упражнения.

Техника устного и письменного деления: табличное деление (§ 58), деление на 10, 100, 1000 и т. д. (§ 59), деление круглых чисел (§ 60), деление на однозначное число (§ 61), деление многозначных чисел в случае однозначного частного (§ 62), деление произвольных многозначных чисел (§ 63), устное деление (§ 64), проверка деления (§ 65), упражнения.

Умножение и деление с помощью таблиц и приборов: таблицы произведений (§ 66), русские счеты (§ 67), арифмометр «Феликс» (§ 68), упражнения.

Глава IV. Совместные действия

Взаимная связь данных и результатов: сложение и вычитание (§ 69), умножение и деление (§ 70), деление с остатком (§ 71), упражнения.

Изменение результатjв действий в зависимости от изменения данных: зависимость результатов от данных (§ 72), изменение суммы (§ 73), изменение разности (§ 74), изменение произведения (§ 75), изменение частного (§ 76), упражнения.

Задачи и запись их решений посредством формул: задачи простые и сложные (§ 77), план решения сложной задачи (§ 78), вычисление согласно плану (§ 79), числовая формула (§ 80), порядок действий и скобки (§ 81), горизонтальная черта (§ 82), запись наименований (§ 83), поиски плана решения (§ 84), упражнения.

Глава V. Делимость натуральных чисел

Делители и кратные: делители натурального числа (§ 85), дополнительные делители (§ 86), делимость суммы (§ 87), делимость разности (§ 88), делимость произведения (§ 89), разыскание делителей (§ 90), числа, кратные данному (§ 91), упражнения.

Числа простые и составные: три вида натуральных чисел (§ 92), простые делители составного числа (§ 93), распознавание простых и составных чисел (§ 94), составление таблицы простых чисел (§ 95), множество простых чисел (§ 96), П. Л. Чебышев и И. М. Виноградов (§ 97), упражнения.

Признаки делимости: что называется признаком делимости (§ 98), признаки делимости на 2, 5, 10 (§ 99), признаки делимости на 4, 25, 100 (§ 100),

признаки делимости на 8, 125, 1000 (§ 101), признаки делимости на 3, 9 (§ 102), признаки делимости на 6, 12, 15 (§ 103), упражнения.

Разложение чисел на простые множители: каноническое разложение (§ 104), техника разложения (§ 105), общий признак делимости (§ 106), упражнения.

Глава VI. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Общие делители и наибольший общий делитель: что называется ОД? (§ 107), что называется НОД? (§ 108), взаимно-простые и взаимно-составные числа (§ 109), некоторые свойства НОД (§ ПО), упражнения.

Техника разыскания НОД: способ разложения на множители (§ 111), разыскание всех ОД с помощью НОД (§ 112), способ последовательного деления (§ ИЗ), упражнения.

Общее кратное и наименьшее общее кратное: что называется OK (§ 114), что называется НОК (§ 115), некоторые свойства НОК (§ 116), упражнения.

Техника разыскания НОК: способ разложения на множители (§ 117), способ последовательного деления (§ 118).

Глава VII. Величина и ее значение

ОТРЕЗОК И ЕГО ДЛИНА

§ 119. Счет и измерение. До сих пор мы имели дело с натуральными числами и нулем, которые служат для выражения численности различных множеств. Но есть еще и другое применение чисел: они служат для выражения значений таких величин, как длина прямолинейного отрезка, как вес различных предметов, как время и многое другое. Арифметика изучает не только натуральные числа, которые применяются при счете элементов множества, но и дробные числа, какими пользуются, кроме натуральных чисел, при измерении величин. Этими дробными числами мы и будем заниматься в настоящей, второй части книги.

Предварительно рассмотрим некоторые величины и способы их измерения.

§ 120. Прямая линия. Если аккуратно сложить вдвое лист бумаги, получим в сгибе прямую линию AB. Для проведения прямых линий на бумаге пользуются линейкой, предварительно убедившись, что ее ребро действительно прямолинейно.

Для проверки линейку кладут на бумагу и проводят по ребру линию, на которой отмечают какие-нибудь две точки А и Bt а затем переворачивают линейку и по этому же ребру снова проводят линию через те же точки А и В. Если проверяемое ребро правильно, вторая линия сольется с первой; если они не слились, это ребро не прямое, а кривое; линейку надо заменить или исправить (приводится чертеж, поясняющий проверку линейки).

Иногда приходится проводить более длинные

отрезки прямых, например, на доске. Тогда вместо линейки берут тонкую бечевку, натирают ее мелом, прижимают к доске в двух данных точках А и В, туго натянув ее, а затем оттягивают в какой-нибудь внутренней точке и резко отпускают. Ударившись о доску, бечевка дает на ней отпечаток в виде прямой линии.

Когда требуется провести прямую на местности, применяется провешивание: поставив в двух данных точках А и В вехи, устанавливают третью веху С так, чтобы ее закрывала веха В, если смотреть от вехи А. Затем то же делают с вехами В и С и устанавливают четвертую веху D и т. д. (приводятся рисунки, поясняющие эти способы проведения прямых).

§ 121. Отрезок и единицы длины. Прямолинейным отрезком или просто отрезком называется часть прямой линии, заключенная между какими-нибудь двумя ее точками. На рисунке изображены три отрезка, называемые единицами длины, или мерами длины, а именно миллиметр, сокращенно обозначаемый буквами мм (или латинскими буквами mm), сантиметр (сокращенно см или cm), содержащий 10 мм, и дециметр (сокращенно дм или dm), содержащий 10 см, или 10 • 10 = 100 мм. Кроме мм, см и дм употребляются более крупные единицы длины, а именно метр (сокращенно м), содержащий 10 дм, или 100 см, или 1 000 мм, и километр (км), содержащий 1 000 м. Существуют еще единицы длины: декаметр, содержащий \0 м, н гектометр, содержащий 100 M, но эти меры на практике почти никогда не применяются.

Для измерения очень малых отрезков употребляется единица длины микрон. В 1 мм содержится 1 000 микронов. Лист бумаги, на которой напечатана эта книга, имеет толщину около 100 микронов, тончайшая паутинка — около 10 микронов.

Единицы длины иначе называются линейными единицами.

§ 122. Измерение длины. Измерить длину отрезка — значит узнать, сколько раз в нем укладывается какая-нибудь единица длины. Для измерения небольших отрезков пользуются масштабней линейкой, вдоль ребра которой нанесены миллиметровые и сантиметровые деления, как показано на рисунке (дается рисунок).

Чтобы измерить длину отрезка с помощью масштабной линейки, ее прикладывают к измеряемому отрезку так, чтобы начальная точка, обозначенная цифрой 0, совпала с одним концом отрезка, и смотрят, против какого деления линейки оказался другой его конец. На рисунке изображено измерение длины спички, показывающее, что ее длина 48 мм.

Более длинные отрезки измеряются с помощью рулетки (рисунок); её лента обычно 10 или 20 м длиной, с делением на метры и дециметры.

Длина отрезка AB иначе называется расстоянием между его концами А и В.

§ 123. Метрические меры длины. У нас в СССР и почти во всех других странах мира употребляются указанные выше меры длины, именуемые метрическими. Основной мерой является метр; длина этого отрезка была взята не произвольно, а из измерения земного шара, о чем речь будет идти дальше (в § 131). Названия других единиц длины получились с помощью латинских слов дгци (одна десятая), санти (одна сотая), милли (одна тысячная) и греческих слов дека (десять), гекто (сто), кило (тысяча).

Каждая метрическая единица длины содержит 10 или 100, или 1 000 и т. д. более мелких единиц. Так, например, 1 км=\0 гектометров — 100 декаметров = 1 000 м= 10 000 дм = 100 000 см= 1 000 000 мм. Так как умножение и деление на 10, 100, 1 000 и т. д. производится в нашей десятичной нумерации особенно просто, то переход от одних метрических мер длины к другим выполняется всегда устно. Такой переход от более крупных мер к более мелким называется раздроблением и выполняется с помощью умножения на 10, 100, 1 000 и т. д., а обратный переход от более мелких к более крупным называется превращением и требует деления на 10, 100, 1 000 и т. д. Примеры: 35 м = 350 дм = 3500 см = 35 000 мм; 8 000 см = 800 дм = 80 м.

§ 124. Старые русские и некоторые зарубежные меры длины. До Великой Октябрьской социалистической революции в России употреблялись другие меры длины, несравненно менее удобные, чем общепринятые в настоящее время метрические: аршин, равный приближенно 71 см (точнее 71 см 1 мм 200 микронов); сажень, содержавшая три аршина; верста, содержавшая 500 саженей; аршин подразделялся на 16 вершков. Мера аршин имела то удобство, что выражала приближенно длину шага взрослого человека среднего роста. Наряду с этими старыми русскими мерами в России применялись также столь же неудобные старые английские меры, до сих пор употребляемые в Англии и Соединенных Штатах Америки, а раньше употреблявшиеся в некоторых других странах, в том числе в Голландии, откуда они попали и в Россию. Упорно держась за старину, правительства Англии и США не желают перейти на международные метрические меры. Важнейшие старые английские меры длины: дюйм, равный приближенно 25 мм (точнее 25 мм 400 микронов), и фут, равный 12 дюймам. Русская сажень содержала ровно 7 футов. Для измерения более длинных отрезков в Англии пользуются милей (английской), содержащей 1 609 м, и морской милей, содержащей 1 852 м.

§ 125. Простые и составные именованные числа. Раздробление и превращение.

Значение величины иногда выражается с помощью какой-нибудь одной единицы, а иногда с помощью двух и более единиц. Например, измерение длины спички дало число 48 мм, или, что то же, 4 см 8 мм. Говорят, что в первом случае мы имеем простое именованное число, во втором — составное именованное число.

Всякое составное именованное число можно заменить простым именованным числом, выражающим то же значение величины, применяя раздробление более крупных единиц в более мелкие. Составные именованные числа, выраженные в метрических мерах, заменяются простыми именованными числами особенно легко — весь расчет делается в уме, сразу пишется окончательный результат; например, 6 м 8 дм 7см = 687 см, 4 дм 5 мм = 405 мм, 2 км 453 м = 2 453 м, 2 км 72 м = 2 072 м. Обратно, простое именованное число можно во многих случах выразить составным именованным числом, применяя превращение мелких мер в более крупные. В метрических мерах эта замена простого именованного числа составным требует только деления на 10, 100, 1 000 и выполняется в уме. Например,

3 018 734 мм составляют 3 км 18 м 734 мм, или 3 км 18 м 7 дм 3 см 4 мм.

§ 126, Измерения по плану и карте. На плане комнаты, здания, города, а также -на всякой карте, изображающей более или менее значительный кусок поверхности земли, все отрезки представляют собой уменьшенные изображения соответствующих отрезков на местности, причем мера этого уменьшения называется масштабом плана или карты. Масштаб указывают двумя способами — либо делают (на плане и карте) пометку вроде следующей: «в 1 см 200 м», либо пишут, например: «масштаб 1:20000». В первом случае мы имеем указание, что каждый отрезок длиной в 1 см на карте соответствует отрезку длиной в 200 м на местности. Во втором случае число, записанное после цифры 1 и двоеточия, показывает, во сколько раз каждый отрезок на местности больше своего изображения на плане. При масштабе 1:20 000 отрезок длиной в \ см на плане изображает отрезок в 20 000 см = .= 200 м на местности. Возьмем, например, карту Европейской части СССР с пометкой «масштаб 1:5000000» и измерим по ней расстояние от Москвы до Ленинграда. Получив 130 мм, легко находим действительное расстояние между этими двумя городами, равное 130-5 000 000 = 650 000 000 мм = 650 000 м = 650 км.

Упражнения

1. Измерьте в мм длину и ширину почтовой карточки; длину и ширину листа тетради; расстояние между двумя соседними прямыми, какими разлинована тетрадь.

2. Как выразить в м, дм, см, мм отрезок в 3 км?

3. Представьте в виде составного именованного числа 84 500 000 мм.

4. Каково в действительности расстояние, изображаемое на карте отрезком в 52 мм, если на карте имеется пометка «масштаб 1:2 500»?

5. Покажите, что старая русская мера верста равна почти 1 067 м (точнее 1 Обо м 80 см).

6. Покажите, пользуясь приведенными в тексте выражениями аршина и дюйма в метрических мерах, что русская сажень содержала ровно 7 футов.

ОКРУЖНОСТЬ

§ 127. Определение окружности. Окружающие нас предметы ограничены поверхностями, среди которых различают плоские поверхности, или плоскости, и крывые поверхности. Например, вода, налитая в чашку, ограничена сверху плоскостью, а снизу и с боков кривой поверхностью. Плоскую поверхность имеет гладко оструганная доска, ровно уложенный на столе лчст бумаги, классная доска, оштукатуренная стена и т. д. Особый вид кривой поверхности, а именно круглую цилиндрическую поверхность, образует боковая стенка консервной банки. Другой особый взд кривой поверхности представляет собой поверхность мяча — это так называемая шаровая поверхность.

Возьмем на какой-нибудь плоскости произвольную точку О и какой-нибудь отрезок АО. На этой плоскости имеется бесконечное множество точек, отстоящих от точки О на таком же расстоянии, как и точка А, например точки В, С, D, Е и т. д. Все эти точки образуют линию, которая называется окружностью. Точка О называется ее центром, равные друг другу отрезки АО, ВО, СО, DO, ЕО и т. д. — ее радиусами (приводится чертеж). Итак, окружностью называется такая проведенная на плоскости линия, все точки которой одинаково отстоят от некоторой точки этой плоскости. Два радиуса, расположенные на одной прямой, как, например, радиусы АО и DO, составляют диаметр, или поперечник, окружности.

Часть плоскости, находящаяся внутри окружности, называется кругом. Но следует заметить, что термин «круг» часто употребляют в том же смысле, как и «окружность».

§ 128. Циркуль. Для проведения прямых употребляется линейка, а для проведения окружностей— особый инструмент, носящий название циркуль (приводится рисунок). Рядом показаны некоторые замены чертежного циркуля: циркульная ножка, надеваемая на карандаш;

полоска плотной бумаги с отверстиями, в одно из которых вставляется булавка, в другое карандаш; бечевка с двумя колышками, которой пользуются для проведения окружностей большого радиуса на земле.

§ 129. Дуга и дуговой градус. Дугой окружности называется любая ее часть, заключенная между двумя ее точками. Два конца одного диаметра определяют на окружности две равные дуги, называемые полуокружностями; они совпадают, если перегнуть чертеж по этому диаметру. Две точки А и В, лежащие на одной окружности, но не на одном ее диаметре, делят окружность на две дуги, из которых одна меньше, другая больше полуокружности. Говоря о дуге AB, обычно имеют в виду дугу, меньшую полуокружности.

Окружность принято делить на 360 равных частей; каждую такую часть называют дуговым градусом или просто градусом. Итак, дуговым градусом называется такая дуга окружности, которая укладывается в ней ровно 360 раз. Дуговые градусы обозначают маленьким кружком, поставленным справа и выше числа; вся окружность содержит 360°, полуокружность 180°. Число, показывающее, сколько дуговых градусов содержит данная дуга, называют градусной ее мерой. Градусную меру узнают с помощью инструмента, имеющего название транспортир (дается рисунок).

§ 130. Длина окружности и дуги окружности. Хордой окружности называется отрезок, соединяющий две ее точки, например, на чертеже показаны хорды AB, CD, EF. Можно сказать, что диаметром окружности называется всякая ее хорда, проходящая через ее центр.

Если хорда очень мала по сравнению с радиусом, то она почти сливается с дугой. Отложив такую малую хорду последовательно несколько раз по дуге окружности, мы получаем ломаную линию, имеющую почти ту же длину, что и соответствующая дуга. На чертеже изображена дуга АС окружности радиуса 20 см, содержащая 15°. Откладывая хорду длиной в 1 см по этой дуге, придем после пяти откладываний в точку В, а проводя хорду ВС, убеждаемся, что ВС = 2 мм. Итак, вся дуга АС имеет длину почти 52 мм.

Откладывая такие малые (по сравнению с радиусом) хорды, можно приближенно измерить длину всякой дуги окружности и всей окружности. В главе XII мы рассмотрим другой, более удобный способ измерения длины окружности.

§ 131. Происхождение метра. Раньше каждое государство имело свои меры, и это создавало большие неудобства, да и сами по себе эти меры были во многом неудобны. В конце XVIII в. передовые ученые революционной Франции провели большую работу по созданию новой весьма совершенной системы мер, предназначенной «для всех времен, для всех народов». Единицу длины было решено взять из природы. Планета Земля, на которой мы живем, представляет собой почти шар, вращающийся около оси. Если через эту ось мысленно провести плоскость, она пересечет земной шар по окружности, называемой меридианом. Ученые сумели измерить длину меридиана в старинных французских мерах и приняли за новую единицу длины отрезок, укладывающийся в меридиане 40 млн. раз. Эту новую единицу назвали метром и изготовили точный ее образец, или эталон метра, b дальнейшем более точные измерения показали, что этот эталон укладывается в земном меридиане не 40 млн. раз, а несколько больше (по новейшим измерениям 40 009 153 раза). Однако изготовленный эталон решили не менять, отступив от первоначального замысла. Таким образом, метром в настоящее время считается точная длина эталона, хранящегося в Международном бюро мер и весов в Севре близ Парижа. Однако полезно помнить, что дуга, составляющая одну четверть земного меридиана, содержит приблизительно 10 млн. м, или 10 000 км, а весь меридиан содержит 4t млн. м, или 40 000 км (дается рисунок).

Метрические меры оказались настолько удобными, что их постепенно приняли все государства мира, кроме Англии и Соединенных Штатов Америки. В России еще давно была проведена большая работа по введению метрической системы в научные измерения и по подготовке ее введения в торговле, в быту, в промышленности. Особенно много сделал в этом направлении знаменитый русский химик Дмитрий Иванович Менделеев, живший с 1Ь34 по 1907 г. (приводится портрет Д. И. Менделеева). Но царское правительство противилось переходу к метрической системе, боясь нового, как в наше время нового боятся правительства Англии и США. Только после Великой Октябрьской социалистической революции метрическая система была введена у нас во всеобщее употребление. Закон о ней был издан за подписью Владимира Ильича Ленина 14 сентября 1918 г.

Упражнения

1. Начертите окружности с радиусом 5 см и 8 см на бумаге (циркулем или с помощью полоски бумаги); дугу окружности с радиусом в 1 м на классной доске (посредством бечевки); окружность с радиусом в 3 м на земле (посредством бечевки).

2. Измерьте в мм и запишите диаметр разменных монет разного достоинства, находящихся в обращении в СССР, а именно монет в 1, 2, 3, 5 копеек, изготовляемых из бронзы, но обычно называемых медными, и монет в 10, 15,20 копеек, изготовляемых из никелевого сплава, но называемых обычно серебряными.

УГОЛ И ЕГО ИЗМЕРЕНИЕ

§ 132. Луч. Часть прямей, идущей только в одну сторсну оm каксй-нибудь ее точки, называется лучом, а эта точка—начальной точкой или началом луча. На чертеже изображены прямая AB, луч CD, отрезок EF; возможность неограниченного продолжения обозначена пунктиром.

§ 133. Угол. Фигура, образованная двумя лучами, которые имеют общую начальную точку, называется углом. Эти лучи носят название сторон угла, а их общая начальная точка — вершина угла. Угол обозначают тремя буквами, из которых первая указывает какую-нибуль точку на одной стороне угла, вторая — его вершину, третья — какую-нибудь точку на другой его стороне. На чертеже изображены четыре угла, а именно АОВ, АхОхВь А202В2, АьОгВг (дается чертеж).

Всякий угол разделяет плоскость на две части. Об одной из них говорят, что она находится внутри угла, о другой — вне его. На чертеже часть плоскости, находящаяся внутри каждого из изображенных на ней углов, отмечена штриховкой. Вырезав ее, например, из бумаги, получаем модель угла.

Если один угол можно наложить на другой так, чтобы совпали их вершины и стороны, то эти два угла считаются равными. Если при совмещении вершин и одной пары сторон две другие стороны совместить нельзя, углы считаются неравными, причем меньшим считается тот угол, у которого вторая сторона оказывается расположенной внутри другого угла. На чертеже показано сравнение углов АОВ и AlOlBl и установлено, что первый из них меньше второго.

§ 134. Развернутый и прямой углы. Если два луча расположены на одной и той же прямой, являясь продолжениями друг друга, то они образуют угол особого рода, называемый развернутым. Развернутый угол есть не что иное, как прямая линия, продолженная без конца в обе стороны, с одной отмеченной на ней точкой — вершиной угла. Развернутый угол делит плоскость на две полуплоскости.

Сложив вдвое кусок бумаги, получаем модель пол) плоскости. Сложив его вдвое еще раз, как показано на чертеже 1, получим угол, составляющий половину развернутого и называемый прямым. Всякий угол, меньший прямого, называется острым, больший прямого — тупым (дается чертеж с изображением разных углов).

§ 135. Угольник. Прямой угол строится на бумаге и на классной доске с помощью угольника. Угольники разного вида изображены на чертеже (дается чертеж); первые три из них употребляются чертежниками, четвертый — в столярном и слесарном деле. Отрезки АО и ВО, расположенные на сторонах прямого угла, называются катетами угольника, отрезок AB — его гипотенузой.

Прежде чем применять купленный или самодельный угольник, его надо проверить. Для этого угольник кладут на бумагу, располагая один из его катетов, например АО, по ребру линейки, и проводят луч ОВх по другому катету OB, а затем переворачивают угольник другой стороной, опять-таки помещая вершину в точку О и располагая катет АО по ребру линейки, и проводят луч ОВ% по катету OB вторично. Если эти два луча ОВх и ОВ% совпали, угольник правилен. Если же они не совпали, угольник неправилен, так как угол АОВ меньше половины развернутого или больше ее.

§ 136. Эккер. Если прямой угол приходится строить не на бумаге, а на земле, пользоваться угольником неудобно или даже невозможно. Вместо угольника тогда применяют особый инструмент, называемый эккером. Эккер простейшей конструкции изображен на рисунке (дается изображение крестообразного эккера), Булавки А, В, С, D расположены так, что прямые AB и CD образуют 4 прямых угла. Чтобы через данную на земле точку О провести луч, образующий прямой угол с проведенным на земле лучом ОЕ, втыкают колышек, на котором укреплен эккер, в этой точке О и направляют прямую Ab по лучу ОЕ. Тогда прямая CD определяет два луча, образующих прямые углы с лучом ОЕ, и остается только отметить на местности какую-нибудь точку одного из этих лучей.

Эккер тоже нуждается в проверке. Для этого достаточно направить по данному лучу ОЕ вместо прямой AB другую прямую CD и определить искомый луч с помощью булавок А и В (вместо С и D). Если получится тот же луч, что и первый раз* эккер правилен. Получение другого луча показывает, что эккер нуждается в исправлении.

§ 137. Измерение углов в градусах.

Если, приняв за центр вершину угла, провести окружность, то некоторая ее дуга окажется внутри угла. В случае развернутого угла внутри него окажется полуокружность, т. е. дуга в 180°, в случае прямого — дуга в 90°, в случае острого —дута меньше, чем в 90°, в случае тупого — дуга, большая 90°, но меньшая 180°. Если внутри угла окажется дуга в один дуговой градус (1°), то такой угол называют угловым градусом; его обозначают тем же знаком, что и дуговой градус. Таким образом, измерение углов в угловых градусах сводится к измерению дуг дуговыми градусами и производится с помощью транспортира, о котором была речь в § 129. На чертеже показано, как

Черт. 1.

надо положить транспортир, чтобы измерить данный угол ЛВС; в нем оказалось 55° (дается чертеж).

Упражнения

1. Вырежьте из бумаги модель прямого угла, а затем сложите ее вдвое так, чтобы сгиб шел по лучу, выходящему из вершины. Получаются два равных острых угла, каждый из которых содержит 45°. Проверьте это транспортиром.

2. Сгибанием бумаги получите модели углов в 135°, 30°, 60°, 120°.

3. Изготовьте из куска картона эккер и проверьте его.

4. Взяв на плоскости три произвольные точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проведите отрезки AB, ВС, CA и измерьте транспортиром углы ABC, ВСА, CAB с точностью до ближайшего целого градуса. Убедитесь, что сумма этих трех чисел равна 180°.

ПЛОЩАДИ

§ 138. Прямоугольник и квадрат. Прямоугольником называется фигура, которая строится следующим образом. Взяв отрезок AB, проводят к нему под прямыми углами два равных отрезка AD и ВС, направляя их в одну и ту же сторону от AB, затем соединяют точки С и D (дается чертеж). Оказывается, что углы ADC и BCD при этом получаются прямыми, а отрезок DC — равным отрезку AB. Четыре точки А, В, С, D называются вершинами прямоугольника, отрезки AB, ВС, CD, DA — его сторонами. Таким образом, в прямоугольнике имеются две пары соответственно равных сторон (одна пара AB и CD, другая пара ВС и AD) и четыре прямых угла. Две стороны, сходящиеся в одну вершину, называются измерениями прямоугольника; большую из них часто называют длиной прямоугольника, меньшую —его шириной.

Прямоугольник, два измерения которого одинаковы, называется квадрат м (дается чертеж). Всякий квадрат, следовательно, является в то же время прямоугольником, но не всякий прямоугольник — квадратом.

Чтобы проверить, является ли данная четырехугольная фигура прямоугольником, надо проверить, прямые ли у нее углы и равны ли противоположные стороны, а для проверки квадрата надо, кроме того, убедиться в равенстве двух измерений.

Прямоугольники и квадраты приходится строить очень часто, притом как на бумаге, так и на земле, например, при подготовке спорт-площадки (для игры в городки, в волейбол, в футбол), при планировании огорода или цветника и т. д. Понятно, что при построении этих фигур на бумаге или классной доске применяются линейка и угольник, а при построении на местности — рулетка и эккер.

§ 139. Квадратные единицы. Квадратной единицей, или единицей площади, называют всякий такой квадрат, стороны которого равны единице длины. На чертеже мы видим квадратный дециметр, т. е. квадрат со стороной в 1 дм, или 10 см (дается чертеж). В левом верхнем его углу изображен квадратный сантиметр, а в левом верхнем углу квадратного сантиметра—квадратный миллиметр. На классной доске или на полу комнаты нетрудно изобразить квадратный метр, т. е. квадрат, каждая сторона которого равна 1 м, а на дворе— квадратный декаметр, т. е. квадрат, каждая сторона которого равна 1 декаметру (или 10 м). Для квадратного декаметра существует удобное краткое название ар*. Квадратный гектометр, т е. квадрат со стороной в 1 гектометр (или 100 м), иначе называется гектар. Квадратный километр есть квадрат, каждая сторона которого имеет длину в 1 км. Все эти названия квадратных единиц записываются сокращенно следующим образом: квадратный дециметр — кв. дм, или дм2, квадратный сантиметр — кв. см, или см2, квадратный миллиметр— кв. мм, или мм2, гектар — га, квадратный километр — кв. км, или км1. Говорят, что каждая квадратная единица соответствует той линейной единице, которой равна ее сторона.

§ 140. Площадь прямоугольника. Площадью фигуры, начерченной на плоскости, называется число квадратных единиц, на которые можно разрезать эту фигуру. Так, прямоугольник, изображенный на чертеже 2 (а), имеет площадь 4 кв. см, а на чертеже 2 (б) — 12 кв. см.

Чтобы найти площадь прямоугольника со сторонами 3 см и 4 см, изображенного на чер-

Черт. 2.

* В повседневной жизни ар называют соткой, так как в одном га сто аров.

теже 2 (б), нет необходимости пересчитывать все квадратные сантиметры, на которые он разрезан. Достаточно заметить, что его можно разрезать на три одинаковые полоски, каждая длиной в 4 см и шириной в 1 см, и что каждая полоска разрезается на 4 кв. см; следовательно, весь прямоугольник разрезается на 4-3=12 кв. см.

Если прямоугольник имеет в длину а каких-нибудь единиц, а в ширину b таких же единиц, его можно мысленно разрезать на b одинаковых полосок, каждая из которых имеет в длину а единиц и в ширину одну единицу и разрезается, следовательно, на а квадратных единиц, соответствующих этим линейным. Весь же прямоугольник разрезается на а-Ь квадратных единиц. Отсюда правило: чтобы найти площадь прямоугольника, измерения которого выражены числами в каких-нибудь одинаковых единицах, надо перемножить эти числа; полученное произведение показывает, сколько соответствующих квадратных единиц имеет площадь прямоугольника.

Обозначая длины сторон прямоугольника буквами а и b, а его площадь буквой s, выражаем это правило формулой:

s = a-b.

Например, классная комната, имеющая в плане вид прямоугольника со сторонами 6 м и 9 м, имеет площадь 6-9 = 54 кв. м.

Важно помнить, что это правило применяется только тогда, когда стороны прямоугольника выражены в одинаковых линейных единицах. Если же они выражены в разных единицах, надо предварительно перейти к одинаковым единицам. Например, желая узнать площадь, какую занимает дорога шириной 12 м и длиной в 50 км, мы должны сперва выразить длину в тех же мерах, что и ширину (50 км = 50 000 м ), а затем умножением 12 на 50 000 найти, что дорога занимает всего 600 000 кв. м.

Отметим, что измерение длины отрезка производится непосредственным сравнением этого отрезка с теми, длины которых указаны на масштабной линейке. Измерение же площади прямоугольника производится согласно только что рассмотренному правилу косвенным путем: непосредственно измеряются только стороны прямоугольника, площадь его находится по расчету, без новых измерений.

§ 141. Площадь квадрата. Всякий квадрат есть прямоугольник с одинаковыми сторонами. Только что установленное правило измерения площади прямоугольника применимо поэтому и к квадрату. Вспоминая, что произведение двух равных чисел, например 135-135, читается как «135 с показателем 2» и записывается в виде 1352, приходим к правилу: чтобы найти площадь квадрата со стороной, длина которой выражается каким-нибудь числом, надо взять это число с показателем 2.

Итак, для площади квадрата имеем формулу:

где а выражает длину стороны квадрата, a s его площадь в соответствующих единицах.

Теперь становится понятным, почему вместо выражения «а с показателем 2» употребляется выражение «а в квадрате».

Легко убедиться в правильности следующей таблички, показывающей, сколько более мелких квадратных единиц содержит каждая более крупная квадратная единица.

Найдя в § 140, что дорога занимает 600 000 кв. M, делением этого числа на 10 000 устанавливаем, что эта площадь составляет 60 га.

§ 142. Задачи на площадь прямоугольника. Чаще всего приходится решать следующие две задачи на площадь прямоугольника:

1) зная стороны прямоугольника, найти его площадь; 2) зная площадь прямоугольника и одну из его сторон, найти другую его сторону.

Первая задача решается умножением, вторая, ей обратная,—делением. Приводим примеры.

1. Школе дали участок, имеющий форму прямоугольника со сторонами 45 м и 62 м. Какова его площадь?

Ответ. 45-62=2 790 кв. м, или почти 28 соток (точнее, 28 соток без 10 кв. м).

2. Имеется поле в виде длинного прямоугольника шириной 32 M, и надо отделить от него участок площадью в 2 га, тоже прямоугольной формы. Какой длины должен быть этот участок?

Здесь одна сторона прямоугольника известна (32 м), другая нет, но зато известна площадь (2 га, или 20 000 кв. м). Искомая длина участка составляет 20 000:32=625 м.

Первая задача всегда решается без всяких затруднений, вторая же не вызывает затруднений только тогда, когда деление не дает остатка. Иногда помогает переход к более мелким единицам. Например, желая найти сторону прямоугольника площадью в 1 200 кв. см, другая сторона которого имеет длину в 125 см, мы получаем при делении 1 200 на 125 в частном 9 и в остатке 75; прямоугольник со сторонами 125 см и 9 см имеет площадь только 1125 кв. см, т. е. меньше, чем надо, на 75 кв. см, а пря-

моугольник со сторонами 125 см и 10 см— уже 1 250 кв. см, т. е. больше, чем надо, на 50 кв. см. Переход от см к мм позволяет решить эту задачу точно: 1 200 кв. см= 120000 кв. мм; 125 см— 1 250 мм; 120 000:1 250 =96 мм. Искомая сторона прямоугольника имеет длину 96 мм (проверка: 1 250-96=120 000 кв. мм = 1 200 кв. см).

Изучив дроби, мы будем в состоянии решать вторую задачу при любых данных.

§ 143. Задачи на площадь квадрата. Задача 1. Зная сторону квадрата, например а — 12 см, найти его площадь.

Эта задача, как мы уже знаем, решается одним умножением: 14.14=196 кв. см.

Задача 2. Зная площадь квадрата, например 5 = 676 кв. м, найти его сторону а.

Эта задача, обратная к задаче 1, представляет значительно большую трудность, так как ее решение требует действия, не рассматриваемого в настоящем курсе арифметики. Однако мы все же можем решить ее, пользуясь подбором (систематическими пробами). Надо подобрать число а, которое при умножении на себя давало бы 676. Взяв а = 10, находим, что это число слишком мало: 10-10=100. Далее берем а = 20, s = 20 20 = 400, а = 30, 5= 30-30 = 900 и убеждаемся, что искомое значение а заключено между 20 и 30. Пробуя а = 25, имеем 5 = 625, а потому искомое значение больше 25, но меньше 30. Взяв а = 26, находим 5 = 26-26=676. Задача следовательно, решена: данную площадь 676 кв. м имеет квадрат со стороной в 26 м (и никакой другой).

Такой подбор не всегда приводит к цели так хорошо, как в рассмотренном примере. Пусть, например, надо найти сторону квадрата с площадью в 12 кв. км, или 12 млн. м. Систематическими пробами находим, что она больше 3 464 м и меньше 3 465 м, так как 34642= 11 999 296, что меньше 12 млн. на 704, а 3 465j = 12 006225, что больше, чем надо, на 6 225. Мы нашли приближенные значения искомой стороны с точностью до метра по недостатку (3 464) и по избытку (3 465), причем оказалось, что первое число значительно ближе к искомому, чем второе. Продолжая пробы, можно получить точность до дм, см и т. д.

§ 144, Старые русские меры площади. Старым русским мерам длины (§ 124) соответствовали свои меры площади. Отметим из них квадратный аршин, т. е. квадрат со стороной в 1 аршин, и квадратную сажень, т. е. квадрат со стороной в 1 сажень. Для измерения земельных участков до Великой Октябрьской социалистической революции пользовались десятиной, содержащей 2 400 кв. сажен. Нетрудно подсчитать, что десятина немного больше, чем га: она содержит 109 соток и 25 кв. м.

§ 145. Площади параллелограма и треугольника. На чертеже 3 изображен прямоугольник AXBXC,D, от которого справа отрезан кусок ВВХС, где угол ВВХС прямой; этот кусок приставлен затем слева в положение AAXD. Получилась фигура ABCD, имеющая название параллелограм. Отрезки AB и DC называются основаниями параллелограма, отрезки Л]0 и ВгС — его высотами, отрезки AD и ВС—его боковыми сторонами. Разрезая прямоугольник и превращая его перекладыванием в параллелограм, мы не меняем площади. Отсюда правило: чтобы узнать площадь параллелограма, надо измерить в одинаковых мерах его основание и его высоту и перемножить полученные числа.

Отрезок, соединяющий две противоположные вершины прямоугольника, как, например, отрезок АС на черт. 4 (а), называется диагональю прямоугольника. Диагональ делит прямоугольник на две одинаковые части, каждая из которых называется прямоугольным треугольником. В прямоугольном треугольнике имеются три стороны; две из них, а именно те, которые образуют прямой угол (AB и ВС), получили название катеты, третья (АС) — гипотенуза. Чтобы узнать площадь прямоугольного треугольника, надо измерить в одинаковых мерах его катеты и взять произведение полученных чисел, деленное на 2. Действительно, произведение катетов дает площадь прямоугольника ABCD, т. е. площадь двух одинаковых прямоугольных треугольников, а потому площадь каждого из них равна половине этого произведения.

Чтобы найти площадь остроугольного треугольника ABC, изображенного на чертеже 4 (б), его надо разрезать на два прямоугольных треугольника ACD и BCD отрезком CD, который проводится под прямым углом к стороне AB и называется высотой треугольника. Площадь треугольника ABC получим как сумму площадей прямоугольных треугольников ACD и BCD, а для этого надо взять поло-

Черт. 3.

вину произведения длины AD на CD и половину произведения длины DB на CD, а затем сложить результаты. Вспоминая распределительное свойство произведения и частного (§43, §54), убеждаемся, что можно сперва сложить длины отрезков AD и DB, что даст основание AB, а затем умножить на CD и делить на 2. Отсюда правило: чтобы найти площадь треугольника, надо измерить в одинаковых мерах его основание и его высоту, а затем взять произведение полученных чисел, разделенное на 2.

Это правило справедливо не только для остроугольного треугольника, но и для тупоугольного, изображенного на чертеже 4 (в). Здесь высота CD берется до продолжения основания AB. Найдя площадь большого прямоугольного треугольника ACD, равную произведению длин отрезков AD и CD, деленному на 2, вычитаем из нее площадь малого прямоугольного треугольника BCD, равную произведению длин отрезков ВС и CD, тоже деленному на 2. Но распределительное свойство произведения и частного имеет место не только для суммы, а и для разности (§ 43, § 54), а потому можно сперва сделать вычитание отрезка BD из AD, получая отрезок AB, а потом уже умножать AB на CD и делить произведение на 2. Тем самым приходим к тому же правилу, что и выше.

Упражнения

1. Начертите прямоугольник со сторонами 8 см и 12 см, разграфите его на кв. см и найдите его площадь:

а) непосредственным подсчетом квадратных сантиметров и

б) по указанному выше правилу.

2. Поле имеет форму прямоугольника со сторонами 230 м и 864 м. Найдите его площадь в квадратных метрах, а также в виде составного именованного числа (га, а, кв. м).

3. Надо сделать гряду шириной в 120 см и площадью в 30 кв. м. Какой длины она будет?

4. Укажите, сколько более мелких квадратных единиц, а именно кв. дм, кв. см, кв. мм, кв. микронов содержит 1 кв. м.

5. Считая, что старая русская мера аршин равна 71 см (точнее 711 мм), покажите, что 2 кв. аршина немного больше 1 кв. метра.

6. Найдите сторону квадрата площадью: а) в 144 кв. м, б) в 16 а, в) в 30 кв. см (до мм), г) в 2 га (до м).

БРУС И КУБ

§ 146. Брус. Такие предметы, как спичечная коробка, обыкновенный кирпич, сундук, комната и многие другие, имеют форму бруса. Его научное название прямоугольный параллелепипед. Брус ограничен шестью плоскими гранями, каждая из которых представляет собой прямоугольник. Представляя себе брус поставленным на стол перед нами, как на чертеже 5, будем различать в нем грани нижнюю (ABCD), верхнюю (Ах Вх Сг Dt), переднюю (АВВХАХ), заднюю (DCC^), правую боковую (ВССХВХ), левую боковую (ADDiAx). Грани нижняя и верхняя, противоположные друг другу, равны. Точно так же равны противоположные грани передняя и задняя, а также левая и правая боковые. Итак, брус есть тело, ограниченное шестью попарно равными прямоугольниками.

Каждый отрезок, принадлежащий каким-нибудь двум граням бруса, называют его ребром. Всего брус имеет 12 ребер: четыре нижних (AB, ВС, CD, DA), четыре верхних (АхВи ВХСХ, CXDX, DXAX), четыре боковых (ААи

Черт. 4,

Черт. 5.

BBU CCU DDl9). Ребра AB, AXBU CD, CXDX имеют одну и ту же длину; ребра ВС, ВХС\, DA, DXAX тоже равны друг другу; равны и боковые ребра.

Ребра сходятся по три в одну вершину. Всего брус имеет 8 вершин; это точки А, В, С, D, Аи Ви Си Dt.

Длины трех ребер, сходящихся в одну вершину, называются измерениями бруса. Самое большое из этих трех чисел называют длиной бруса, два других — его шириной и высотой.

§ 147. Изготовление модели бруса. Изготовить модель бруса проще всего при помощи его развертки (или выкройки). На чертеже показана развертка бруса с измерениями 2 см, 3 СМ', 4 сМ/ (дается чертеж). Вычертив ее на плотной бумаге, вырезают по сплошным линиям, слегка надрезают по пунктирам, надлежащим образом сгибают и склеивают, причем заштрихованные части желательно приклеить изнутри. Чтобы получить хорошую модель, надо очень аккуратно вычертить развертку и столь же аккуратно вырезывать и склеивать.

Другой способ изготовления модели бруса требует предварительного изготовления 12 палочек, по 4 одной длины, например кусочков жесткой проволоки, и 8 шариков из пробки или мягкого дерева. Заострив концы палочек, втыкаем их по 3 разной длины в один шарик, заботясь о том, чтобы каждые две палочки были сторонами прямого угла. Получается модель бруса, изображенная на чертеже 6.

Черт. 6.

Третий способ изготовления бруса — вырезывание его из сплошного куска какого-нибудь материала, например дерева, металла, большой картофелины или брюквы. Этим способом можно изготовить хорошую модель, если для проверки правильности взаимного расположения граней пользоваться угольником.

§ 148. Куб. Если у бруса два измерения равны, а третье больше или меньше, то говорят, что это брус с квадратным сечением или квадратным основанием. Таковы, например, брусы с измерениями 4 см, 1 см, 1 см и 4 см, 4 см, 1 см. Если же равны все три измерения, брус называют кубом. Итак кубом называется такой брус, у которого все три измерения равны. У куба все шесть граней представляют собой равные квадраты.

§ 149. Кубические единицы. Кубической единицей, или единицей объема, называется всякий куб, ребром которого является единица длины. На чертеже изображены кубический сантиметр и кубический миллиметр (дается чертеж). Понятно, что такое кубический дециметр, кубический метр, кубический километр. Употребительны следующие сокращенные обозначения этих кубических единиц:

куб. мм, куб. см, куб. дм, куб. м, куб. км, или мм3, смъ, дм8, м3, км3.

Говорят, что всякая кубическая единица соответствует той линейной единице, которой равно ее ребро, и той квадратной единице, которую представляет собой ее грань.

§ 150. Объем бруса. Объемом какого-нибудь тела называется число кубических единиц, на которые можно разрезать это тело. Возьмем, например, брус с измерениями 5 см, 4 см, 3 см, изображенный на чертеже 7. Его можно разрезать на 3 бруса размерами 5 см, 4 см, 1 см (один из них изображен отдельно ниже), а каждый из них, в свою очередь, на 4 бру-

Черт. 7.

са размерами 5 см, 1 см, 1 см (один из них показан ниже). Но каждый такой брус можно мысленно разрезать на 5 куб. см, и легко видеть, что данный брус содержит всего 5-4'3 =60 куб. см. Имея брус с ребрами в а см, Ь см, с см, можем разрезать его на с брусов с ребрами а см, b см, 1 см, а каждый из них на b брусов с ребрами а см, 1 см, 1 см в каждом из них а куб. см; всего, таким образом, получим abc куб. см. Итак, чтобы найти объем бруса, измерения которого выражены числами в каких-нибудь одинаковых линейных единицах, надо перемножить эти числа; полученное произведение показывает, сколько соответствующих кубических единиц имеет объем бруса.

Обозначая длины ребер буквами а, Ь, с, а объем бруса буквой v, запишем это правило формулой:

v = abc.

Произведение двух ребер бруса, например а и Ь, выражает площадь 5 той грани бруса, сторонами которой служат эти ребра. Называя эту грань основанием бруса, называют его высотой третье ребро с. Получается правило: чтобы найти объем бруса, берут площадь его основания в каких-нибудь квадратных единицах и умножают ее на его высоту, выраженную в соответствующих линейных единицах. Вот краткая запись этого правила:

v = sc.

Если измерения бруса выражены в разных единицах, их предварительно надо выразить в одинаковых, а затем уже перемножать.

Измерение объема бруса, как и измерение площади прямоугольника, производится, таким образом, не непосредственно, а косвенно. Непосредственно измеряются ребра, а объем находят расчетом.

§ 151. Объем куба. Всякий куб есть в то же время брус, а именно брус с тремя равными измерениями. Только что установленное правило измерения объема бруса применимо поэтому и к кубу. Вспоминая, что произведение трех равных сомножителей, например 5-5-5, читается как «5 с показателем 3» и записывается как 53, приходим к правилу: чтобы найти объем куба, надо взять с показателем 3 число, выражающее длину его ребра в каких-нибудь линейных единицах; в результате получится число, выражающее объем куба в соответствующих кубических единицах.

Итак, объем куба с ребром а выражается формулой:

Теперь становится понятным, почему вместо «а с показателем 3» говорят «а в кубе».

Легко убедиться в правильности следующей таблицы, показывающей, сколько более мелких кубических единиц содержит каждая из более крупных кубических единиц.

1 куб. км = 1 000 000 000 куб. м

1 куб. м=\ 000 куб. дм=\000 000 куб. см = 1 000 000 000 куб. мм

1 куб. дм = 1000 куб. см = 1 000 000 куб. мм 1 куб. см = 1000 куб. мм

§ 152. Задачи на объем бруса. Чаще всего приходится решать три следующие задачи на объем бруса.

Задача 1. Зная три измерения бруса, например а =12 см, Ь = Ъсм, с = 4 см, найти его объем v.

Эта задача решается умножением чисел а, Ь, с; в данном случае v = 12-5-4 = 240 куб. см. Напоминаем, что измерения бруса должны быть выражены в одинаковых единицах длины.

Задача 2. Зная объем бруса v и площадь одной из его граней s, например v = 600 куб. м и s = 120 кв. м, найти длину с того ребра бруса, которое не лежит в этой грани.

Здесь вопрос сводится к нахождению одного из сомножителей (с) по данному произведению г; = 600 и другому сомножителю 5=120 и решается, следовательно, делением : 600:120 = 5, с = 5 м.

Числа vus должны быть выражены в кубических и квадратных единицах, соответствующих одной и той же единице длины. Например, желая узнать глубину слоя воды, какой получится, если налить 45 куб. дм воды в аквариум, имеющий форму бруса с площадью дна в 30-50= 1 500 кв.см, мы должны сперва выразить данный объем в куб. см, а затем уже произвести деление: 45 000:1 500 = 30 см.

Задача 3. Зная объем бруса v и длину одного из его ребер с, например v = 175 куб. м и с = Ъ м, найти площадь грани, в которой не лежит с.

Здесь опять-таки дело сводится к получению сомножителя по данному произведению и другому сомножителю, т. е. к делению: 175:5 = 35 кв. м. И тут нельзя забывать о необходимости выражения данных в соответствующих мерах.

Задачи 2 и 3 разрешимы при помощи натуральных чисел далеко не всегда. Иногда помогает переход к более мелким единицам, как, например, в случае, когда ищут с по данным v = 20 куб. см и s — S кв. см. Здесь можно найти с, перейдя к миллиметрам : 20 000 куб. см: : 800 кв. мм = 25 мм. Чтобы решать эти задачи при любых данных, нужны дроби.

§ 153. Задачи на объем бруса с квадратным сечением и на объем куба. Задача 1. Брус с квадратным сечением имеет объем V = 5120 куб. см, а ребро, не лежащее в квадратной грани, имеет длину с = 20 см. Найти сторону квадратной грани.

Найдя площадь квадратной грани 5 120:20 = 256 кв. см, пробуем разные значения для длины стороны этой грани: 10• 10= 100 (мало), 20 ■ 20 = 400 (много), 15 • 15=225 (мало), 16 -16 = 256 (как раз). Итак, мы нашли (пробами), что искомая сторона квадратной грани равна \6см.

Задача 2. Куб имеет объем 13824 куб. см. Какова длина его ребра?

Эта задача решается тоже пробами :103 = 1 000 (мало), 203 = 8 000 (мало), 303 = 27 000 (много), 253= 15 625 (много), 243 = 13 824 (как раз). Итак, куб объема v = 13824 куб. см имеет ребро 24 см.

Задачи 1 и 2 далеко не всегда удается решить точно, даже применяя дроби. Часто приходится довольствоваться приближенным ретлением этих задач, находя два числа, мало отличающиеся одно от другого, одно из которых меньше искомого, другое больше его. Так, чтобы найти ребро куба объемом в 100 куб. см, пробуем числа 108 = 1 000 (много), 53= 125 (много), 43 = 64 (мало) и убеждаемся, что искомый куб имеет ребро больше 4, но меньше 5 см, ближе к 5 см, так как 125 меньше отличается от 100, чем 64. Переходя к миллиметрам, можно решить задачу точнее, а именно установить, что искомое ребро больше 46 мм и меньше 47 мм, ближе к 46.

Упражнения

1. Укажите предметы, имеющие форму бруса и куба. На каждом покажите грани, ребра, вершины.

2. Приготовьте одним из указанных выше трех способов модель куба по возможности больших размеров.

3. Возьмите 3 палки длиной по 1 м и расположите их в углу комнаты так, чтобы, обозначив остальные 9 ребер мелом, получить модель куба.

4. Найдите общую площадь всех 6 граней куба с ребром в 5 см («поверхность» куба). Как записать, чему равна поверхность куба с ребром в а см?

5. Окрашенный деревянный куб с ребром в 6 см разрезан на 6 брусков с измерениями 6 см, 6 см, 1 см; каждый такой брус разрезан на 6 брусов с измерениями 6 см, 1 см, 1 см; каждый брус разрезан на кубики с ребром в 1 см. Сколько при этом получилось кубиков с одинаковым числом окрашенных граней?

6. Расскажите, как надо разрезать брус размерами 6 см, 4 см, 3 см, чтобы получить кубические сантиметры. Укажите размеры каждого бруса, который получается в процессе этой работы, а также число брусов одинакового размера. Сколько куб. см в конце концов получится? Как иначе выразить этот вопрос?

7. Сколько куб. см надо взять, чтобы получить куб с ребром в 5 см? Как выразить иначе этот вопрос? Покажите на чертеже, что куб с ребром в 5 см действительно содержит столько куб. см.

8. Яма для фундамента должна иметь форму бруса размерами 12 м, 150 см, 80 см. Сколько автомашин грунта надо вывезти, если за один раз машина берет 500 куб. дм грунта?

9. Дорогу длиной в 10 км и шириной в 5 м покрывают ровным слоем асфальта. Какой толщины вышел этот слой, если всего уложено 20 куб. м асфальта?

10. Для яровизации картофеля его рассыпают слоем в 8 см. Какая площадь нужна для яровизации 6 куб. м картофеля? Какой длины должен быть прямоугольник с такой площадью, если его ширина 5 м?

ОБЪЕМ ЖИДКИХ И СЫПУЧИХ ТЕЛ

§ 154. Литр. Наряду с кубическими единицами употребляются другие меры объема, называемые «мерами жидких и сыпучих тел», а также «мерами емкости» или «мерами вместимости». У нас основная мера емкости литр, равная (с достаточной для практических целей точностью) 1 куб. дм, т. е. 1 000 куб. см; сокращенное ее обозначение л. Об очень незначительной разнице между литром и куб. дм сказано ниже (§ 156). Образец литра изготовляется в виде кружки (дается рисунок с указанием размера). Если поперечник дна этой кружки 100 мм, то высота ее должна быть почти 127 мм. Более крупные меры емкости — декалитр, т. е. 10 л (сокращенное обозначение дл), и гектолитр, т. е. 100 л (сокращенное обозначение гл). В торговле часто применяется мера в 20 л. Каждый литр содержит 1 000 миллилитров (мл); 1 мл практически равен 1 куб. см.

§ 155. Старые русские меры емкости. До Великой Октябрьской социалистической революции в России применялись старинные меры емкости: для сыпучих тел, как, например, зерна,— четверик или мера, содержавшая немного больше 26 л (точнее 26240 куб. см), для жидкостей— в:дро, содержавшее немного больше 12 л (точнее 12 300 куб. см). Каждые 8 четвериков составляли четверть, в каждом четверике содержалось 8 гарнцев. Ведро разделялось на 20 бутылок, вмещавших каждая 615 куб. см. В употреблении были также более крупные бутылки, которых в ведре было только 16. В настоящее время бутылки у нас изготовляются емкостью в 1 л, 750 куб. см, 500 куб. см, 250 куб. см и др.

Литр как мера емкости применяется во всем мире, за исключением Англии и Соединенных Штатов Америки, до сих пор упорно сохраняющих свои старинные неудобные меры емкости.

Упражнения

1. Сколько воды должен подать за год водопровод в городе с населением в 250 000 человек при норме 150 л на человека в сутки?

2. Прибор, называемый дождемером, показал, что на 500 кв. см выпало 320 мл дождя. Сколько воды получил при этом дожде сад площадью в 6 га!

3. Справочная книга рекомендует сажать картофель одного определенного сорта в количестве 114 четвериков на десятину. Сколько декалитров картофеля этого сорта надо посадить на опытном участке площадью в 9 аров? Для расчета можно считать 1 четверик равным 26 л, 1 кв. м равным 2 кв. аршинам.

ВЕС

§ 156. Грамм, килограмм, тонна. Грамм есть вес 1 куб. см чистой холодной воды. На письме слово «грамм» заменяется буквой г (или латинской g). В куб. дм содержится 1 000 куб. см, а потому 1 куб. дм воды весит 1 000 г, или килограмм (сокращенно кг или Kg). В 1 куб. м содержится 1 000 куб дм, а потому 1 куб. м воды весит 1 000 кг, или одну тончу. Сокращенное обозначение тонны — русская буква m или латинская t. Итак,

1 куб. см воды весит 1 г,

1 куб. дм воды весит 1 кг (или 1 000 г),

1 куб. м воды весит 1 m (или 1 000 кг, или 1 000 000 г).

Эти определения были установлены в конце XVIII в., когда создавалась метрическая система мер. Была изготовлена с наибольшей возможной точностью гиря, имеющая вес в 1 кг («эталон килограмма»). Как показали дальнейшие более точные измерения, оказалось, что эта гиря не вполне соответствует своему определению. Чтобы не заменять ее другой, решили считать ее вес за килограмм, отказавшись от первоначального определения. Вес 1 куб. дм воды в силу этого оказывается чуть меньше 1 кг, вес 1 куб. м воды чуть меньше 1 т: 1 куб. м воды весит не 1 000 000 г, а 999 972 г. Литр определяется как объем одного килограмма воды и чуть-чуть превосходит 1 куб. дм: 1 кг воды содержит 1 000 028 куб. см. Это расхождение между первоначальными определениями грамма, литра и других мер и точными современными их определениями столь незначительно, что его принимают во внимание только при таких научных расчетах, когда требуется наивысшая точность. При обычных расчетах пользуются указанной выше таблицей.

Вес предмета есть та сила, с какой этот предмет притягивается Землей. Но эта сила меняется в зависимости от того, где предмет находится; например, чем ближе к полюсу, тем она больше; чем выше над поверхностью Земли, тем она меньше. Поэтому наряду с весом предмета рассматривают его массу, которая остается одной и той же, куда бы мы этот предмет ни перенесли, и выражается в единицах, имеющих те же названия (грамм, килограмм, тонна), что и вес.

§ 157. Другие метрические меры веса.

Наряду с тремя указанными выше единицами веса (г, кг, т) употребляются также следующие единицы: центнер (сокращенное обозначение— русская буква ц или латинская с), содержащий 100 кг; миллиграмм (мг или mg), выражающий вес 1 куб. мм воды; сантиграмм (сг или eg), равный 10 мг. Для измерения веса драгоценных камней применяется особая единица — карат, равный 200 мг. При самых точных измерениях веса пользуются мельчайшей единицей — микрограммом; в 1 грамме 1000 000 микрограммов; в 1 миллиграмме 1 000 микрограммов.

§ 153. Старые русские меры веса. В дореволюционной России основными мерами веса были пуд, и фунт, изредка применяемые и теперь. Пуд содержал 40 фунтов, фунт 32 лота, лот 3 золотника, золотник 96 долей. Фунт равен приблизительно 400 г, точнее 409 г 512 мг 410 микрограммов, а пуд несколько больше 16 кг (точнее 16 кг 380 г).

Наименование «фунт» за границей носят много различных мер веса. Английский торговый фунт, применяемый также и в Америке, содержит около 450 г и подразделяется на 16 унций, так что 1 унция— 28 г 35 сг. Меры «центнер» и «тонна» в Англии означают также не то, что во всем остальном мире: английский центнер содержит 50 кг 800 г, английская тонна 1016 кг.

Упражнения

1. Сколько весит вода в объеме куба с ребром в 4 мм, 4 см, 4 дм, 4 м!

2. Кирпич имеет форму бруса с ребрами 250 мм, 120 мм, 65 мм. Сколько он весит, если вес 1 куб. дм кирпича колеблется от 1 420 до 1 700 г!

3. Считая, что 1 пуд равен 16 кг 380 г, найдите, как выражается в метрических мерах вес 8 млрд. пудов.

4. Чтобы уяснить, насколько принятые у нас меры веса удобнее старых русских, превратите в меры высших наименований 1000000 г и 1000 000 золотников.

ВРЕМЯ

§ 159. Сутки и части суток. Промежуток времени от восхода солнца до его заката образует день, а от заката до восхода — ночь. Продолжительность дня и ночи в разных местах земного шара различна, да и в одном и том же месте не остается неизменной, а потому для измерения времени день и ночь непригодны. Более пригоден промежуток времени от одного восхода солнца до следующего его восхода в том же месте, мало отличающийся от суток. Сутки — продолжительность одного оборота земного шара около своей оси*. В обыденной жизни вместо слова с сутки» часто говорят «день»: вместо того чтобы сказать «прошло трое суток», говорят «прошло три дня».

Сутки принято делить на 24 равные части, каждая из которых составляет час, час — на

* В науке различают «звездные сутки» и «солнечные сутки»; здесь и в дальнейшем речь идет о солнечных сутках.

60 минут, минуту — на 60 секунд. Часовая стрелка правильно идущих часов делает за сутки два полных оборота, а минутная — 24 полных оборота. За начало суток принимают некоторый момент, называемый полночью и обозначаемый как 0 часов 00 минут, или, что то же самое, 24 часа 00 минут. В этот момент обе стрелки сходятся на метке, обозначенной на циферблате часов числом 12 (или XII). Время суток определяется по показаниям часовой и минутной стрелок. Например, говоря, что сейчас «одиннадцать двадцать пять», имеют в виду, что от полуночи прошло 11 часов 25 минут. Часовая стрелка находится в этот момент почти посредине между метками с числами 11 и 12 (или XI и XII), а минутная на метке с числом 5 (или V). Употребительна сокращенная запись показаний часов (11—25 или И25) без приведения слов «часов», «минут».

В обыденной жизни счет часов ведут от полуночи до 12—00; этот момент называется полуднем; к показаниям часов при этом добавляют слова «ночи», «утра», «после полуночи» или «пополуночи». После 12—00 счет часов начинают снова и ведут его от 0—01 до 12—00, добавляя теперь уже слова «дня», «вечера», «после полудня», «пополудни». Но на железных дорогах и в предприятиях связи (почта, телеграф, радио), а также в некоторых других учреждениях пользуются более удобным 24-часовым счетом времени, прибавляя во второй половине суток, т. е. в промежуток времени от полудня до полуночи, к показанию часовой стрелки еще 12 часов: вместо «1 час дня» говорят «13 часов», вместо «6 часов вечера»,— «18 часов», вместо «12 часов ночи» — «24 часа» и т. д. При этом 24-часовом счете надобность в добавлении слов «пополуночи», «пополудни», «утра», «дня», «вечера», «ночи» отпадает.

Правильность хода часов надо постоянно проверять, пользуясь особыми сигналами времени, какие передаются из Москвы по радио ежедневно в 1—00, 7—00, 12—00, 19—00, московского времени или по бою часов Спасской башни московского Кремля в 6—00 и 24—00 (рис. 8). За правильностью хода этих часов следит Московская астрономическая обсерватория имени ученого-революционера П. К. Штернберга; она же дает и сигналы времени.

§ 160. Неделя. Каждые 7 суток составляют неделю. Каждый день недели имеет свое название. Один день недели является у нас в СССР днем отдыха; его называют по-русски «воскресеньем», по-украински просто неделей («недiля»), т. е. днем, когда не работают, не делают. Первый день, следующий за этим «днем недели», называют «понедельником», второй — «вторником»,третий, занимающий в неделе среднее место, называют «средой»; четвертый — «четвергом»; пятый—«пятницей»; для шестого принято особое название «суббота».

Имея определенную продолжительность (7 суток), неделя вполне пригодна для измерения более значительных промежутков времени. Например, в неделях выражают срок карантина, в течение которого заболевший ученик не может посещать школу.

§ 161. Год и век. Смена дня и ночи вызывается вращением Земли около оси, смена времен года — ее движением вокруг Солнца. Полный оборот около Солнца Земля совершает в промежуток времени, называемый годом и равный почти 365 суткам 6 часам (точнее, с точностью до секунд, 365 суток 5 часов 48 минут 46 секунд).

Чтобы начало каждого нового года не приходилось на разные часы, принято считать три года подряд по 365 суток (эти годы называются «простыми»), четвертый же год (называемый «високосным») за 366 суток. Таким образом, в високосный год почти исправляется ошибка, накопившаяся за три предшествующих простых года. Началом года условно считается момент 0—00 1 января («Новый год»). Каждому году присвоен некоторый порядковый номер. Великая Октябрьская социалистическая революция произошла в год, имевший номер 1917. В СССР часто считают номера лет от этого года. Так, 7 ноября 1950 г. советские люди праздновали 33-ю годовщину Великой Октябрьской социалистической революции. В этот день начался новый, 34-й год существования первого в мире социалистического государства.

Високосными годами считаются те, номера которых делятся на 4, как, например, 1940, 1944, 1948, 1952 и т. д.; применяя признак делимости на 4 (§ 100), замечаем, что високосными являются все годы, у которых число из последних двух цифр номера кратно 4. Особое правило

Рис. 8,

установлено для вековых годов: 1800, 1900, 2000, 2100 и т. д.; они считаются високосными только тогда, когда первые две цифры образуют число, кратное 4.

Каждые 100 лет составляют один век. Века обозначаются порядковыми номерами. Чтобы получить номер века, которому принадлежит какой-нибудь год, надо отбросить последние две цифры в порядковом номере этого года и прибавить 1 к полученному числу. Так, 1950 год принадлежит к XX веку, 1812—к XIX веку, 1789 —к XVIII веку и т. д.

§ 162. Месяц и квартал. Во многих случаях сутки и неделя оказываются слишком малыми мерами времени, год же — слишком большой. Поэтому люди издавна стали пользоваться еще одной единицей времени — месяцем, первоначально связанным с изменением вида Луны. Теперь считают что год имеет 12 месяцев, но так как числа 365 и 366 на 12 не делятся, то разные месяцы имеют разную продолжительность. На русском языке до сих пор употребляются старинные названия месяцев, данные им еще около 2000 лет назад. Надо знать эти названия, а также номера месяцев и число суток в каждом. Все это дано в следующей табличке, содержащей также и украинские названия; они указывают на те явления природы, какие в этом месяце происходят.

Месяцы года

Порядковый номер

Число суток

Название на русском языке

Название на украинском языке

I

31

Январь

Січень

II

28 или 29

Февраль

Лютый

III

31

Март

Березень

IV

30

Апрель

Травень

V

31

Май

Квітень

VI

30

Июнь

Червень

VII

31

Июль

Липень

VIII

31

Август

Серпень

IX

30

Сентябрь

Вересень

X

31

Октябрь

Жовтень

XI

30

Ноябрь

Листопад

XII

31

Декабрь

Грудень

Февраль простого года содержит 28 суток, високосного 29. Четыре месяца, а именно апрель, июнь, сентябрь, ноябрь содержат по 30 суток. Остальные 7 месяцев имеют по 31 суток.

Каждые три месяца составляют квартал. Первый квартал охватывает январь, февраль, март и имеет 90 (если год простой) или 91 сутки (если високосный); второй квартал — месяцы апрель, май, июнь (91 сутки); третий квартал — месяцы июль, август, сентябрь (92 суток); четвертый квартал — месяцы октябрь, ноябрь, декабрь (92 суток).

§ 163. Датирование. Сутки каждого месяца нумеруются, получая номера от 1 до 30 или 31 (в феврале от 1 до 28 или 29), именуемые «числами месяца». Обозначение числа месяца, названия месяца (или номера месяца) и номера года образуют дату. Иногда в дату входит также указание часов и минут. Указание даты называется датированием. Так, дата дня рождения М. В. Ломоносова записывается как 19 ноября 1711 г. или, короче, как 19.XI.1711.

Датирование применяется очень часто. Так, например, на каждом письме, отправляемом но почте, ставятся штемпеля, содержащие даты поступления письма в почтовое отделение места отправления и места назначения. На рисунке 9 из цифр, хорошо видных на оборотной стороне билета и означающих номер поезда, число месяца, порядковый номер месяца, последнюю цифру порядкового номера года. Например, на рисунке 10 изображен билет, на котором компостер выбил цифры 82 10 XII 5, означающие

изображен почтовый штемпель на письме, поступившем в 98-е почтовое отделение г. Москвы в 19 часов 28 ноября 1950 г. Дату имеет и всякий железнодорожный билет; она выбивается на билете при помощи «компостера» и состоит

Рис. 9.

Рис. 10.

что этот билет годен для проезда в поезде № 82 10 декабря 1950 г.

Несколько иначе производится датирование на телеграммах. Каждая вручаемая адресату телеграмма имеет ниже адреса, но выше текста, служебную пометку вроде той, что изображена на рисунке 11. Она говорит, что телеграмма отправлена из Киева за № 4009, содержит 17 слов, подана 26 числа в 22 часа 21 минуту. Ни месяц, ни год на телеграмме не указываются.

§ 164. Календарь. Старый и новый стиль.

Правила счета дней, месяцев, годов составляют так называемый календарь. В дореволюционное время принятый в России календарь несколько отличался от того, каким мы пользуемся теперь. Тогда применялся так называемый «старый стиль», отстававший от общепринятого международного «нового стиля» в XX в. на 13 суток, в XIX на 12, в XVIII на 11. Так, когда 1 мая 1890 г. впервые был проведен международный праздник трудящихся, в России считалось еще 19 апреля; начиная с 1900 г., первое мая нового стиля приходилось на 18 апреля старого стиля. Только при советской власти это различие было уничтожено: по постановлению Совета Народных Комиссаров день, следующий за 31 января 1918 г., был объявлен днем 14 февраля. Таким образом, события, происходившие до этого числа, имели две даты. Например, в главе VII «История ВКП(б). Краткий курс» читаем: «II Всероссийский съезд Советов открылся в Смольном в 10 часов 45 минут вечера 25 октября (7 ноября) 1917 года». Дата по старому стилю (25 октября) переводится в дату по новому стилю (7 ноября) путем прибавления 13 суток: 25 + 13 = 38, в октябре 31 сутки, поэтому вместо «38 октября» имеем, отнимая от 38 число 31, дату по новому стилю — 7 ноября. Великий русский поэт Александр Сергеевич Пушкин родился 26 мая 1799 г. по старому стилю, что дает по новому стилю 6 июня, так как в XVIII в. разница составляла 11 суток, а в мае 31 сутки. Поэтому 150-летие со дня рождения Пушкина мы праздновали 6 июня 1949 г. Для перехода от нового стиля к старому разницу приходится вычитать, предварительно добавляя к числу месяца, если оно меньше этой разницы, число суток в предшествующем месяце. Например, зная, что Максим Горький родился по новому стилю 28 марта 1868 г. легко установить, что по старому стилю это было 16 марта. Годовщину дня смерти Софьи Васильевны Ковалевской, первой среди женщин всего мира получившей ученую степень доктора математических наук, мы отмечаем 10 февраля каждого года; она умерла в 1891 г., и дата дня ее смерти по старому стилю 10 + 31—12 = 29 января.

§ 165. Поясное время. Видимое движение Солнца, обусловленное вращением Земли, происходит с востока на запад. В разных точках земного шара Солнце восходит не одновременно, а чем западнее, тем позже, чем восточнее, тем раньше. Поэтому когда в Москве, например, полночь, то на мысе Дежнева (крайняя восточная точка территории СССР) уже больше 10 часов утра. Если бы часы показывали время точно по солнцу, то во всяком пункте земного шара было бы свое «местное» время. Одинаковое время показывали бы только часы в пунктах, расположенных к северу или югу друг от друга (на одном меридиане); переход на каждую минуту дуги (на широте Москвы это соответствует расстоянию около километра) к востоку вызывает увеличение местного времени на 4 секунды. Чтобы не переводить часы при каждом перемещении на восток или на запад, введено так называемое поясное время-. весь земной шар разделен на 24 пояса, в пределах одного пояса все часы показывают одно и то же; при путешествии с запада на восток, пересекая границу пояса, переводят стрелки часов на час вперед, а с востока на запад — на час назад. СССР простирается с запада на восток более чем на 9 тысяч км и расположен в 10 поясах, показанных на карте (карта). По этой карте видно, какое время должны показывать все правильно идущие часы данного пояса в тот момент, когда часы в Москве показывают 0—00. (Дается карта поясного времени).

§ 166. Задачи на время. Рассмотрим несколько таких задач на время, какие встречаются в жизни особенно часто.

Задача 1. Солнце взошло в Москве 15.11. 1950 в 7 час. 57 мин. утра, закатилось в 5 «ас. 33 мин. вечера. Сколько времени продолжался в Москве этот день?

От начала суток (0—00) до восхода солнца прошло 7 час. 57 мин., а до его заката 12 час.+5 час. 33 мин., всего 17 час. 33 мин., день продолжался 17 час. 33 мин.—7 час. 57 мин. =9 час. 36 мин.

Здесь мы должны были найти продолжительность некоторого промежутка времени, зная даты его начала и конца. Нам пришлось взять за начало счета полночь (0—00), найти промежуток времени от полуночи до начала иско-

Рис. 11.

мого промежутка, затем промежуток времени от той же полуночи до конца искомого промежутка и от второго числа отнять первое.

Задача 2. Солнце зашло в 5 час. 33 мин., на следующий день взошло в 7 час. 54 мин. Сколько времени продолжалась ночь?

Здесь за начало счета удобнее взять полдень первых суток. От этого полудня до заката прошло 5 час. 33 мин., от этого же полудня до восхода 12 час. -f- 7 час. 54 мин. == 19 час. 54 мин., ночь длилась 19 час. 54 мин. — 5 час. 33 мин. = 14 час. 21 мин.

Задача 3. Ученик уехал из города в деревню вечером 28 мая, вернулся утром 24 августа. Сколько дней он был вне города?

За начало счета примем I.V (точнее начало этих суток, т. е. О—00). До отъезда прошло в мае 28 дней (28.V он провел в городе), а до возвращения за май, июнь, июль и август прошло 31+30 + 31+23 = 115 дней (23.VIII прошло вне города). >Вне города ученик провел 115 — 28 = 87 дней.

Здесь в искомый промежуток не вошли ни день отъезда (28.V), ни день приезда (24.VIII). Если бы отъезд был утром 28.V, а приезд вечером 24.VIII, эти дни пришлось бы тоже добавить, и ответ был бы 89 дней.

В подобных задачах надо всегда точно указывать, включаются ли в искомый промежуток дни его начала и конца или нет.

Задача 4. Путевка в санаторий действительна с 16 июня в течение 48 дней. Надо узнать дату последнего дня.

Считая с 1 .VI, имеем до первого дня действия путевки 15 дней, а до последнего дня 15 + 48 = 63 дня, из которых 30 пройдут в июне, 31 в июле, остальные 63 — 30 — 31 =2 в августе. Следовательно, последний день действия путевки 2 августа.

Задача 5. Служащий вернулся из командировки 17.III.1948, пробыв в ней 89 дней. Указать дату начала командировки, считая 17.III последним ее днем.

Командировка продолжалась в марте 17 дней, в феврале 29 дней (год високосный), в январе 31 день, всего в 1948 г. было 17 + 29+31 = 77 дней командировки. Следовательно, первые 89 — 77= 12 дней командировки были в 1947 г. В декабре до начала командировки прошло 31—12=19 дней, она началась 20.XII.1947 г.

Упражнения

1. Сколько дней остается до начала экзаменов, т. е. до 20 мая, с 14 февраля? День 14.11 считается, день 20.V не считается. Учтите разницу между простым и високосным годом.

2. Путевка в пионерский лагерь выдана на 36 дней, начиная с 10.VI. Укажите последний день путевки.

3. Сколько времени продолжалось путешествие, начатое в 0 час. 30 мин. во вторник (т. е. в ночь с понедельника на вторник) и закончившееся в 15 час. 10 мин. пятницы той же недели.

4. Знаменитый русский математик Николай Иванович Лобачевский родился 20.XI.1792, сделал первый доклад о своих открытиях по геометрии 11.11. 1826, умер 12.11. 1856. Переведите на новый стиль эти даты, указанные по старому стилю.

После главы VII «Величина и ее значение», напечатанной выше полностью, книга содержит следующие главы.

Глава VIII. Множества долей и дроби.

Глава IX. Сложение и вычитание дробей.

Глава X. Умножение и деление дробей.

Глава XI. Десятичные дроби.

Глава XII. Приближенные значения величин и действия над ними.

Глава XIII. Прямая и обратная пропорциональность.

Глава XIV. Простейшие зависимости между величинами, отличные от пропорциональности.

Глава XV. Некоторые дополнительные сведения о процентах.

ИЗ ОПЫТА

О ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ТРАКТОВКЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

А. А. БУДАНЦЕВ (Чкалов)

Настоящая статья посвящается краткому описанию опыта изучения в школе тождественных преобразований выражений, содержащих параметры и решения уравнений и неравенств, также содержащих параметры*.

Речь будет идти о таких тождественных преобразованиях выражений и таком решении уравнений и неравенств, когда как тождественные преобразования, так и решение уравнений и неравенств проводятся не безотносительно от того, какое множество чисел означают буквы, а в зависимости от множества допустимых значений этих букв.

Такую трактовку при изучении уравнений, неравенств и тождественных преобразований будем называть функциональной. Функциональная трактовка является математическим выражением материалистического метода изучаемых явлений и тем самым должна быть основой при изучении математики. Однако она (функциональная трактовка) все еще далеко не достаточно пронизывает изучение математики в средней школе.

При функциональной трактовке устраняются ошибки, которые в течение многих лет повторялись в школьной практике при изучении уравнений, неравенств и тождественных преобразований. Еще одно исключительно важное значение имеет функциональная трактовка при изучении математики — это воспитание у учащихся диалектического мышления.

Учителя математики, пронизывая преподавание алгебры и тригонометрии идеей функциональной зависимости, ясно сознают всю важность этого мероприятия в деле формирования марксистского мировоззрения у учащейся молодежи.

Наша задача — коротко осветить интересный опыт изложения уравнений, неравенств и тождественных преобразований в условиях, когда этот материал в стабильных учебниках и задачниках не излагается с функциональной точки зрения.

Литературными источниками, где рассматриваемые нами вопросы излагаются с функциональной точки зрения, были следующие:

1) Журнал «Математика в школе», 1936, № 2, где рассматриваются ошибки авторов задачников по алгебре, допускаемые при выполнении тождественных преобразований с радикалами при отсутствии функциональной трактовки.

2) П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, Учебник алгебры для VI—VII классов, изд. 1939 г. Здесь заимствовалась функциональная трактовка при решении уравнений с параметрами.

3) Задачники по алгебре: Кречмара, Обер и Папелье, Барсукова (для педа-

* Статья написана на основании изучения и обобщения опыта преподавания следующих учителей математики г. Чкалова:

1. Школа №2, учителя: Иоффе А. X. (VIII—X классы), Самойлова А. Ф. (VII и IX классы).

2. Школа № 8: заслуженная учительница Велихова А. Ф. (VIII—X классы).

3. Школа № 12, учителя: Криволенко К. В. (VII класс), Смелова С. Т. (VIII—X классы).

4. Школа № 24, учительница Рослякова М. А.

5. Школа № 30; учительница Курбатова А. Н. (VII класс).

6. Школа № 33, учителя: Егорова A. M. (VII класс), Ветрова Е. А. (VIII—X классы) и Николаева Т. И.

гогических училищ), Полозовой, Погорелова.

4) Журнал «Математика в школе», 1946, № 2, статья Г. Л. Невяжского и С. И. Новоселова «Об исследовании уравнений».

5) С. И. Новоселов, Алгебра. Учебник для учительских институтов. Здесь особенно четко изложена функциональная трактовка тождественных преобразований иррациональных выражений.

Помимо изучения указанных источников, с учителями математики г. Чкалова были проведены длительные семинары по вопросам тождественных преобразований, решения уравнений и неравенств, организованные кабинетом математики Института усовершенствования учителей.

Заметим, что на семинарах ошибки в тождественных преобразованиях и решении уравнений трактовались как ошибки методологические. Например, тенденция стабильных учебников решать вопрос о тождественности двух выражений только по схеме «да» либо «нет» без учета области значений букв аргументов, входящих в эти выражения, расценивалась как метафизическая.

По поводу выражений а и Va? (Va2 имеется в виду арифметический) нельзя утверждать тождественны они или нет, не указав числовой области.

Иной метод изучения тождественных преобразований приводит к грубым ошибкам типа:

Такие «тождественные преобразования» мы наблюдаем в школьной практике. Тогда как функциональный подход к тождественным преобразованиям, при котором они ведутся небезотносительно от числовых значений букв аргументов, а именно в зависимости от этих числовых значений, приводит к верному решению вопроса.

Переходя непосредственно к описанию опыта изложения вышеуказанных разделов алгебры и тригонометрии, коротко изложим содержание и схему как тождественных преобразований, так и решения уравнений и неравенств, отражающие функциональную трактовку этих вопросов.

Теория тождественных преобразований иррациональных выражений учителями излагается примерно так, как это сделано в учебнике алгебры С. И. Новоселова; опыт показал, что это вполне доступно для учащихся VII и IX классов.

При первом же знакомстве устанавливается однозначность радикалов, а именно корень четной степени рассматривается только из неотрицательного числа (выражение вида ]/а при а<]0 рассматривается как не имеющее числового смысла для ученика VIII класса) и значение корня только одно — арифметическое, значение корня нечетной степени только одно — действительное.

Ниже привожу решение упражнений в том виде, как они примерно проводятся учащимися.

I. Извлечение корня:

В связи с функциональной трактовкой извлечения корня и последующих преобразований учителя считают совершенно необходимым проходить в VII классе решение неравенств первой степени, а также высказывают пожелание включить в программу VIII класса решение неравенств высших степеней и дробных, так как очень часто приходится встречаться с установлением условий, при которых данная целая или дробная функция положительна или отрицательна. Мнение учителей таково, что методы решения простейших неравенств высших степеней доступны для учащихся VIII класса. Выигрыш же от введения неравенств в VIII классе огромный, так как многие вопросы могут быть изучены осмысленнее и основательнее, многие упражнения приобретут большую привлекательность благодаря включению элементов исследования в те преобразования, которые без этого должны выполняться лишь механически.

В рассматриваемом примере и ему аналогичных знак выражения (3 — à) (1 —àf ученики определяют на основании элементарных рассуждений о знаке произведения нескольких сомножителей.

II. Вынесение рационального множителя из-под знака радикала и обратное преобразование:

Здесь одновременно проведено и сокращение показателей корня и подкоренного выражения. III. Действия с радикалами.

1)

Как в этом примере, так и в других нужных случаях учащиеся перед выполнением действий указывают допустимые значения для букв-аргу-

ментов. В данном примере допустимые значения определяются условиями: ô>>0 и а — любое действительное число.

Учащиеся при выполнении таких упражнений не только привыкают мыслить функционально — производить преобразования в зависимости от значений букв аргументов, но и воспитывают в себе большую осмотрительность при выполнении преобразований; они редко допускали ошибки вида:

На уроках тригонометрии приходилось убеждаться, что такое выполнение тождественных преобразований не только приучает к функциональному мышлению, но, как легко видеть, требует осознания очень многих свойств тригонометрических функций, обычное же получение одного из четырех ответов для любых значений а является, во-первых, ошибочным и, во-вторых не требует размышлений над свойствами функций, а поэтому дело сводится лишь к упражнениям в «проворстве рук».

IV. Приведем пример преобразования радикала, встречающийся при проверке равенств, содержащих аркфункций.

Проверить справедливость равенства:

(Рыбкин, § 15, № 23).

Устанавливаются допустимые значения а:

Для проверки равенства нужно установить: 1) равенство одноименных тригонометрических функций дуг

2) что дуги 2 arc cos а и arc cos (2 а2—1) расположены в одних и тех же промежутках монотонности найденных тригонометрических функций (попутно заметим, что о втором условии часто забывают, что приводит к ошибочным выводам относительно справедливости равенств).

В этом примере если учащийся станет находить синусы от обеих частей, то встретится с тождественными преобразованиями радикалов в таком виде:

тогда как

Таким образом, ученик, правильно выполнивший тождественные преобразования, обнаруживает, что данное равенство является неверным при — 1 ^ а < 0, так как в этом случае синусы различные, дальнейшее изучение дуг 2 arc cos а и arc cos а (2 а3 — 1) при 0<1а<;1 приводит к заключению о их равенстве при всех а на сегменте [0,1].

Замечание. Мы привели начало решения примера так, как оно протекало на уроке, но следует заметить, что этот путь в данном случае не был рациональным. В самом деле, вглядевшись в условие примера, легко заметить, что равенство

может существовать только при условии, что

откуда

и, следовательно,

А так как обе дуги

находятся в промежутке от 0 до тг, то удобнее найти не синусы, а косинусы этих дуг, так как из равенства косинусов двух дуг, принадлежащих интервалу монотонности изменения косинуса, следует и равенство самих дуг при

0<а<1.

Этих примеров достаточно, чтобы понять ©шибки в тождественных преобразованиях, часто повторяемые и, к сожалению, имеющие место и в наше время.

Тождественные преобразования с логарифмами также производились в зависимости от допустимых значений аргументов.

Пример

Равенство

имеет место как при л;>5, так и при л;<2.

V. Пои изучении уравнений и неравенств не только проводится функциональная трактовка, но весь процесс решения уравнений, систем уравнений и неравенств осмысливается учащимися на основании теории равносильности.

Таким образом, практика решения уравнений не превращается в неосознанную технику преобразований, а служит прекрасным материалом для развития логического мышления. Мы считаем важным и то, что основные понятия: уравнение, тождество, допустимые значения, корень уравнения и задача решения уравнения — устанавливаются совершенно четко.

Так, корнем уравнения учащиеся считают любое значение неизвестного из множества допустимых значений, которое обращает уравнение в тождество (числовое).

Решить уравнение, не содержащее параметров, значит найти все его корни или установить, что их нет, а решить уравнение, содержащее параметры, значит для каждой допустимой системы значений параметров найти все его корни или установить, что их (корней) нет.

Если в процессе решения уравнения, содержащего параметры, делаются те или иные ограничения относительно параметров, то учащиеся понимают необходимость найти решения первоначального уравнения и при тех значениях параметров, которые были исключены в процессе решения, но принадлежат множеству допустимых значений (или, как они говорят, «дорешить уравнение при таких-то остальных допустимых значениях параметров»).

Привожу примерные решения уравнений и неравенств учащимися. Эти решения свидетельствуют об образовательном значении такого обстоятельного решения как в деле развития функционального мышления, так и в развитии навыков исследования и логического мышления.

VII класс

Ниже приводятся решения в том виде, как они выполнялись на контрольных работах в изучаемых нами школах.

I. Решить уравнение:

Вначале ученики указывают допустимые значения для неизвестного и параметра; так, х — любое рациональное число; афО*. Далее привожу схему решения:

Ответы. 1. х = Ъ — а при аФЗ.

2. х - юбое рациональное число при а = 3. Справа указываются те свойства (теоремы), которые обусловливают равносильность данного уравнения и предыдущего.

Второе решение при а = 3 обосновывается при подстановке а = 3 в 3-е уравнение, но не в 4-е, конечно.

II. Решить систему:

исходная

Ответы.

* Ограничение «любое рациональное» число в VII классе важно тем, что никакие другие числа в данном классе учащимся неизвестны. (Редакция.)

решений нет (соответствующие краткие пояснения).

При а = — 1 получим

Решение системы при а = — 1 сводится к решению одного уравнения х—у = 2.

(Также даются краткие пояснения и иногда указания на бесконечное множество решений, но ученики знают, что иногда одно уравнение с двумя неизвестными может не иметь решений вообще или в множестве тех или иных чисел.)

Нельзя не отметить, что такая методика изучения систем приводит к тому, что учащиеся седьмых классов усваивают материал гораздо основательнее, чем те учащиеся десятых классов, которые обучаются в духе догматического изложения стабильного учебника Киселева. Об этом убедительно свидетельствуют результаты приемных экзаменов в педагогический институт, где была предложена та же система уравнений.

VIII класс

I. Решить уравнение:

Допустимые значения:

т. е. л: и а одновременно не равны 0. Решение.

(2-е свойство).

(1-е свойство).

(тождественное преобразование).

Ответ.

3. л:— любое допустимое значение при а = 0, т. е. X ф 0 при а = 0.

Пояснения. Учащиеся знают, что, начиная с 4-го уравнения, все последующие могут быть неравносильными данному, так как при переходе от 3-го уравнения к 4-му обе части уравнения умножены на выражение

которое при допустимых значениях может принять нулевое значение и тем самым преобразование не удовлетворяет условию второго свойства. Но учащимся известно, что такое преобразование приводит к уравнению, содержащему все корни первоначального (принцип решения).

Совокупность уравнений под № 7 равносильна одному уравнению 6.

Уравнение

равносильно совокупности уравнений

Таким образом, полученные решения являются решениями уравнений 4-го и всех последующих, но могут не быть решениями уравнения 1-го. Далее учащиеся проводят проверку полученных решений в зависимости от значений a, a именно проверяют 1-е и 2-е решения при а>0 и при а<0.

После проверки устанавливают, что данное уравнение имеет следующие решения в зависимости от значений а.

Первое решение:

Второе решение

Третье решение:

Посторонние решения:

обращают введенный множитель

в нуль; таким образом, ясно, что причина посторонних корней в данном случае в умножении обеих частей третьего уравнения на

Имеется единодушное мнение учителей о том, что решение первых примеров и объяснение причин появления и непоявления посторонних корней при решении иррациональных уравнений удобнее проводить не при возвышении обеих частей в степень, а при умножении обеих частей уравнения на сопряженное выражение.

При таком изучении иррациональных уравнений у учащихся не остается темных, непонятных мест, они легко усматривают ошибочные ответы в задачнике Шапошникова и Вальцова, где редко можно встретить верный ответ на иррациональные уравнения с параметрами. Это и понятно, так как в те времена, когда составлялся этот задачник, диалектика еще не проникла в элементарную математику. Однако в настоящее время ничем нельзя оправдать наличие в школе методологически не выдержанных учебников.

Мы, ради краткости, рассмотрели решение только иррационального уравнения, но та же функциональная трактовка проводилась учителями и при решении квадратных и биквадратных уравнений и систем уравнений высших степеней. Например, при решении квадратного уравнения

вычисляется сначала дискриминант D, так как ученикам VIII класса известно из теории решения квадратного уравнения, что если D < О, то квадратное уравнение корней не имеет, и потому не существует для него никакой формулы корней. В данном случае D = 4—а2; далее выясняется, когда Z)>-0 (здесь налицо вышеупомянутая необходимость в уменье решать простейшие неравенства в VIII классе), в данном случае

поэтому решение записывается так:

при — 2<а<2; опять решение, как видим, ведется в зависимости от допустимых значений параметра а.

X класс

1) Решить уравнение:

Решение. 1) Допустимые значения неизвестного и параметров х ф а и пФО.

(2-е свойство). i (1-е свойство).

(2-е свойство)

откуда am — an фат и an=fi=Ot следовательно, афО (так как л=^0). Ответы.

2) При т = 0, афО корней нет. При т = 0 и а = 0 X — любое допустимое значение, т. е. X — любое число кроме 0.

Конечно, решение при т = 0 учащиеся получают не сразу, а постепенно, подставляя значение m = 0 в 3-е уравнение. Учащиеся понимают, что выражение v ——- является корнем не при всех допустимых значениях параметров, а только при m ф 0 и при а ф 0. Последнее ограничение особенно важно понимать, так как все еще массовым является заблуждение, будто бы нулевое решение данное уравнение имеет при а = 0 и тфО и при афО и п = m ф 0.

Однако выражение 4 —-- при а = 0 не является вообще корнем, значит, и в частности нулевым. Так называемое «неопределенное решение» здесь не входит в задачу исследования решения уравнений, а входит в задачу решения уравнения. Причем нередко неопределенное решение в этом примере ошибочно считают: при т = п = 0, тогда как в данном уравнении п не может принимать значения, равного нулю. При т = 0 и а = 0 «неопределенное решение» понимается как совершенно произвольное, однако мы видим, что х в этом случае не может равняться 0.

То, что выражение v —-- при решении данного уравнения многие учителя и ученики X класса считают корнем, независимо от значений а, свидетельствует о еще слабом проникновении функциональной трактовки при изучении этого вопроса в школах и педагогических институтах.

2. Решить неравенство ах>Ь; допустимые значения для неизвестного и параметров — любые действительные числа.

Ответы.

На этом простейшем примере решения неравенства с параметрами видно, как зависит его решение от различных значений параметров.

Не менее поучительной является функциональная трактовка решения задач, содержащих параметры (как в алгебре, так и в геометрии).

Мы осмелимся сказать, что вопрос о решении и исследовании решений задач с параметрами по настоящее время является методически не решенным, здесь многое крайне неопределенно и туманно, по крайней мере для большинства учащихся, оканчивающих среднюю школу. А происходит это потому, что не все ясно и для учителей.

Учителя, опыт которых мы описываем, считают, что очень важно научить учащихся устанавливать по смыслу задачи допустимые значения для неизвестных, параметров и для тех функций, которые составляют части уравнения.

Решениями задачи называют те допустимые значения неизвестных, которые удовлетворяют всем условиям задачи.

Решить задачу, содержащую параметры, значит найти все ее решения или установить, что их нет для всех допустимых значений параметров. Исследовать решение задачи, значит рассмотреть те особые случаи решения, которые представляют интерес применительно к условиям задачи. Таким образом, установленные основные понятия уже вносят ясность в вопрос о том, что значит решить и что значит исследовать и где кончается решение и начинается исследование, если последнее необходимо в данной задаче.

Для иллюстрации того, как протекает решение задачи и исследование решения и как при этом применяется функциональная трактовка, приведу решение следующей задачи.

Даны две окружности, радиусы которых R1 и R2, расстояние между центрами d. К этим окружностям проведена общая внешняя касательная. Найти расстояние от точки пересечения внешней касательной с линией центров до ближайшего центра окружности.

Решение. 1) Допустимые значения для неизвестного и параметров

X — искомое расстояние), допустимые значения устанавливаются на основании геометрических соображений.

#min — наименьший из радиусов окружностей.

из соответствующего чертежа составляют уравнение

откуда

из соответствующего чертежа составляют уравнение

откуда

задачд решения не имеет, этот вывод делается из геометрических соображений, а не из уравнения, так как такого уравнения составить нельзя при Rx = R2 (нет подобных треугольников).

опять по геометрическим соображениям, а не из уравнения.

Примечание. Случай Rx = R2, d = 0 может быть исключен, если ученики будут придерживаться того мнения, что совпавшие окружности не считать за две окружности.

6) При

решений нет по геометрическим соображениям (нет общей внешней касательной).

7) При

решений нет по соображениям геометрического характера (не существует общей внешней касательной к концентрическим окружностям). Случаи 6 и 7 были бы исключены, если бы ученики допустимые значения для d установили так:

Сводка решений.

Здесь функциональное мышление у решающих налицо, решение показывает, как разветвляется при решении мысль, как в зависимости от различных допустимых значений параметров получаются различные выводы о решении задач. Мы специально подчеркивали, что некоторые выводы вытекают не из уравнений, а из соображений геометрического характера, так как либо в некоторых случаях уравнение составить нельзя, а в некоторых случаях из составленного уравнения нельзя делать выводов для тех допустимых значений параметров, при которых оно не составлено.

Так, например, уравнение

составлено при условии, что

если мы решение

будем, как часто принято говорить, исследовать при Ri<C.t<2, то получим

что должно привести к выводу об отсутствии решения при

так как х не может принимать отрицательных значений (мы откидываем возможность мудрствования относительно расстояний «влево», «вправо», «вверх» «вниз» и т. д.), но этот вывод, как видим, ошибочный.

Еще иногда прибегают к таким уловкам при «исследовании»: в уравнении

заменяют х на — х и получают уравнение

решение которого:

принимают за ответ на вопрос задачи при /?х</?2» тогда как верное решение при будет:

которое получается из нового чертежа при

Но если бы даже выводы при этих «исследованиях» получились совпадающие с истинными, то логически они неправомощны и потому вредно скажутся на развитии логического мышления учащихся.

Так, в случае

мы получим X = R2 из геометрических соображений, но это же решение получится из формулы

при

Все же, несмотря на совпадение выводов, первый (геометрические соображения — внутреннее касание окружностей) из них правильный, а второй (при исследовании решений) логически не состоятельный, так как при d = Rx — /?2 нет подобных треугольников и вообще нет треугольников, из которых получилось решение

Итак, мы получили решение только при

Заканчивая на этом статью, мы хотим еще раз отметить, что функциональная трактовка при изучении математики в средней школе имеет следующее образовательно-воспитательное значение:

1) приучает учащихся мыслить диалектически;

2) предохраняет учителей и учащихся от грубых ошибок научного и методического характера, к сожалению, имеющих место и по сей день;

3) изучение математики, пронизанное идеей функциональной связи, выигрывает в доходчивости, конкретной ясности, научной выдержанности и привлекательности.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

ОБ УЧЕБНИКЕ ГЕОМЕТРИИ Н. А. ГЛАГОЛЕВА

Н. А. ГЛАГОЛЕВ, ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I. Планиметрия, для VI —VIII классов

Т. А. ПЕСКОВ (Уфа)

На учебник Н. А. Глаголева в журнале «Математика в школе» имеются три рецензии: С. И. Новоселова, Т. Н. Рядновой и Д. С. Гончарова. Отмечая некоторые недостатки книги Н. А. Глаголева, первые два рецензента считают положительной стороной почти все изменения, внесенные автором в школьный учебник, причем большинство этих изменений аргументируется необходимостью более современной трактовки различных вопросов школьной геометрии («Математика в школе», 1946, № 4; 1947, № 3). Осторожнее высказывается по этому поводу Д. С. Гончаров, который высоко оценивает попытку Н. А. Глаголева несколько обновить содержание школьной геометрии, но допускает возможность отражения современных точек зрения и при другом порядке изложения («Математика в школе», 1946, № 3).

Всякие недостатки учебников крайне тяжело отражаются на огромном количестве наших школьников и преподавателей. Исправлять учебники после издания их массовым тиражом чрезвычайно трудно, поэтому необходимо своевременно принимать все меры к выпуску вполне доброкачественных учебников. Мы думаем, что обсуждение книги Н. А. Глаголева должно быть продолжено.

Отметим прежде всего как большое достоинство нового учебника его выдержанность с методологической точки зрения. В отличие от учебника Киселева, в котором дается непонятное для учащихся и оторванное от практики определение геометрии, в книге Н. А. Глаголева геометрия определяется как наука о форме, размерах и взаимном расположении предметов.

Такое определение вполне согласуется с общим определением математики, данным Ф. Энгельсом: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало-быть — весьма реальный материал» (Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1948, стр. 37).

О соответствии учебника диалектико-материалистической методологии математики говорит и тот факт, что основные геометрические понятия в книге Н. А. Глаголева выясняются на базе конкретных предметов — физических тел.

Стремление придать школьной геометрии практический характер выражается также в указаниях о практическом применении таких разделов, как подобное преобразование, первый концентр тригонометрии, золотое деление.

Особенного внимания заслуживает в этом отношении изложение вопроса об измерении отрезков без использования общей меры. Такое изложение сближает геометрическую теорию с повседневной практикой.

Сообщать учащимся по учебнику Киселева, что для измерения отрезка нужно найти евклидовым способом общую меру измеряемого отрезка и отрезка, принятого за единицу, это значит сообщать им, что геометрия учит нас измерять отрезки так, как никто в жизни их не измеряет, и тем самым вызывать у них недоумение по поводу рекомендуемого геометрией способа измерения отрезков.

Единственное затруднение, с которым встретится преподаватель, заключается в определении несоизмеримых отрезков. В учебнике Н. А. Глаголева два отрезка называются несоизмеримыми, если результат измерения одного отрезка другим отрезком выражается иррациональным числом, но иррациональные числа проходятся позднее, чем измерение отрезков, и поэтому данным определением при существующем расположении учебного материала пользоваться нельзя.

Придется переставить эти вопросы во времени, хотя перестановка будет сопряжена с изменением в худшую сторону трактовки вопроса об иррациональных числах.

В настоящее время в учебнике алгебры Киселева в основу изучения иррациональных чисел положено измерение отрезков, что является вполне правильным с методической точки зрения.

Если же иррациональные числа проходить до измерения отрезков, неизбежен возврат к прежнему изложению этой темы, связанному с извлечением квадратных корней.

Необходимо только впоследствии указывать учащимся и другие источники получения иррациональных чисел.

П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, разрабатывая вопрос об иррациональных числах на основе измерения отрезков, сохраняют понятие общей меры двух отрезков, но не пользуются алгорифмом Евклида для ее нахождения («Математика в школе», 1941, № 3). Мы думаем, что изменять изложение вопроса об измерении отрезков, данное в учебнике Н. А. Глаголева, не следует.

Весьма ценной является историческая справка об аксиоме параллельных прямых и о роли великого русского математика Н. И. Лобачевского. Эта справка поможет преподавателям выполнить указание программы об ознакомлении учащихся с выдающимися русскими математиками.

Переходим к отрицательным сторонам учебника. Прежде всего у нас возникает сомнение по поводу расположения материала. Установившаяся в течение десятилетий последовательность в расположении материала часто нарушается в книге Н. А. Глаголева, причем далеко не всегда эти нарушения могут быть обоснованы с методической точки зрения.

В большинстве учебников геометрии теория параллельных прямых излагается после рассмотрения некоторых свойств треугольников. В книге Н. А. Глаголева эти темы даны в обратном порядке. Перестановка мотивируется теми соображениями, что в этом случае отпадает необходимость доказательства теоремы о внешнем угле треугольника и теорем о равенстве прямоугольных треугольников (см. предисловие к учебнику).

С нашей точки зрения является более приемлемым некоторое увеличение числа теорем в VI классе, чем указанная выше перестановка, так как изучение параллельных прямых в самом начале учебного года сопряжено с непреодолимыми для учащихся VI класса трудностями как с логической стороны, так и со стороны пространственного воображения. Эти трудности возникают при решении поставленного в учебнике вопроса: можно ли построить такие две прямые, которые лежали бы на одной плоскости и вовсе не пересекались.

Для решения этого вопроса учащиеся VI класса, только что приступившие к изучению систематического курса геометрии, должны усвоить довольно длинное рассуждение, построенное способом от противного.

Известно, что так называемые апагогические доказательства труднее прямых доказательств, и знакомить учеников впервые с таким доказательством при крайне сложном рассуждении, данном на странице 31 учебника Н. А. Глаголева, это значит нарушать один из основных дидактических принципов советской педагогики: принцип доступности учащимся излагаемого материала.

В лучшем случае ученики будут заучивать рассуждение, не понимая его сущности, в худшем случае вообще ничего не смогут сказать по поводу первой теоремы о параллельных прямых.

В новом учебнике параллельные прямые должны рассматриваться после треугольников, как это сделано в огромном большинстве дореволюционных и современных учебников геометрии (Киселев, Давидов, Рашевский, Гурвиц и Гангнус, Д. И. Перепелкин, А. Н. Перепелкина, Богомолов). В этом случае можно дать учащимся вполне доступное доказательство первой теоремы о параллельных прямых при условии построения хорошего чертежа и демонстрирования наглядного пособия, которое может быть изготовлено каждььм учителем.

В качестве второго примера лишней, по нашему мнению, перестановки вопросов программы нужно указать на изложение в учебнике Н. А. Глаголева вопроса о подобном преобразовании прежде вопроса о подобии фигур.

В новом учебнике дано очень длинное, с большим трудом усваиваемое описательное определение подобного преобразования фигур, тогда как Киселев дает краткое, легко запоминаемое, логическое определение такого преобразования.

Подобные фигуры в учебнике определяются так: если подобным преобразованием одной из двух данных фигур можно получить фигуру, равную другой, то данные фигуры называются подобными (без добавления слова «перспективно»).

Автор учебника считает данное им определение подобия более современным, чем сохранившееся со времени Евклида определение подобия фигур, как некоторой формальной зависимости между их элементами. Связь подобия фигур с их преобразованием выгодно отличает новое определение от прежнего, но ведь и традиционное определение не исключает возможности ознакомления учащихся с подобным преобразованием фигур, следовательно, и в этом случае ученики будут иметь возможность мыслить подобие в тесной связи с преобразованием.

Едва ли имеет смысл давать новое определение только по той причине, что в нем фигурирует термин «преобразование».

В учебнике геометрии Д. И. Перепелкина, изданном в 1948 г. для педагогических институтов, и в учебнике С. А. Богомолова, изданном в 1949 г. для учителей средней школы и студентов педагогических институтов, гомотетичные фигуры рассматриваются как частный случай подобных фигур, что нужно признать вполне правильным с логической точки зрения, так как понятие подобных фигур является родовым понятием по отношению к понятию гомотетичных фигур.

В результате указанной перестановки исчезла очень ясно формулированная лемма о прямой, проведенной в треугольнике параллельно одной из сторон. Вместо этой леммы, помещенной в учебнике Киселева перед изложением признаков подобия треугольников, в учебнике Н. А. Глаголева даются две теоремы, исчерпывающие содержание леммы.

Вторая теорема формулирована так: «Если в треугольнике провести прямую, пересекающую боковые стороны и параллельную основанию, то отношение основания к отрезку секущей, лежащему внутри треугольника, равно отношению всей боковой стороны к ее отрезку, не прилежащему к основанию».

Т. Н. Ряднова считает эту формулировку легко запоминающейся, но едва ли кто-нибудь из преподавателей математики будет разделять это мнение.

Не будем приводить другие примеры отступлений от обычного расположения материала в учебнике геометрии, так как эти отступления не имеют существенного значения.

Нельзя признать приемлемым для средней школы выяснение в новом учебнике понятий об аксиоме и теореме. Для учащихся остается неизвестной разница между аксиомой и теоремой, так как автор учебника не выясняет эту разницу, да и не мог бы выяснить ее, если бы и хотел это сделать, по той причине, что указанный в определении аксиомы признак характерен и для теоремы. Определять в школьном учебнике аксиому как утверждение, принимаемое за достоверное, и при этом не устанавливать разницу между аксиомой и теоремой— это значит культивировать формализм.

Нельзя также одобрить неодновременное изложение вопросов об аксиоме и теореме, чем затрудняется усвоение этих понятий.

Во всех советских учебниках геометрии для средней школы аксиомой считается утверждение, принимаемое без доказательства. Такое определение должно быть дано и в новом учебнике геометрии. Опасаться того, что ученикам будет непонятно слово доказательство, нет никаких оснований, так как при одновременном сообщении понятий об аксиоме и теореме смысл этого слова выясняется на конкретных примерах.

Единственным слабым местом обычного определения аксиомы является невозможность объяснить ученикам VI класса, почему аксиомы принимаются без доказательства, но это обстоятельство неизбежно.

Возникает сомнение по поводу отсутствия в учебнике Н. А. Глаголева перечня аксиом, которыми мы пользуемся при доказательстве различных теорем школьной геометрии. Н. А. Глаголев дает только три аксиомы геометрического характера, не выясняя причину игнорирования им общематематических аксиом, а также некоторых геометрических аксиом; никаких указаний о доказательстве теорем, которые в других учебниках доказываются при помощи аксиом, отсутствующих в новом учебнике, Н.А.Глаголев не дает, в результате чего преподаватели будут испытывать большие затруднения при изложении теорем указанной категории.

Возьмем, например, теорему о равенстве вертикальных углов. В учебнике Н. А. Глаголева читаем: «Вертикальные углы равны между собой. В самом деле, рассмотрим вертикальные углы ABC и EBD, углы ABC и CBD составляют вместе развернутый угол ABD. Значит, L ABC дополняет L CBD до двух прямых. Углы tBD и CBD составляют развернутый угол СВЕ. Значит, L EBD дополняет L CBD до двух прямых.

Таким образом, углы ABC и CBD дополняют до двух прямых один и тот же угол CBD, значит, 1_ АВС= ^ЕВОж

Всякий опытный в методическом отношении преподаватель знает, что в классной обстановке нельзя ограничиться буквальным воспроизведением приведенного рассуждения, что необходимо детализировать это рассуждение, выясняя каждое отдельное его звено и сопровождая все это соответствующими записями. При доказательстве этой теоремы приходится пользоваться двумя аксиомами.

Как же быть, если эту теорему излагать по учебнику Н. А. Глаголева? Ответа на этот вопрос в учебнике нет, хотя в предисловии к книге нужно было его разрешить.

Аналогичное положение создается при доказательстве некоторых других теорем; так, например, излагая теорему о зависимости между сторонами треугольника, Н. А. Глаголев пишет: «Следовательно, AB + ВС > ЛС, вычитая из обеих частей ВС, получим AB > АС — ВС».

Может быть, автор учебника полагал, что некоторые аксиомы должны фигурировать при доказательствах, как предпосылки само собой разумеющиеся и не нуждающиеся в словесном выражении? Может быть, Н. А. Глаголев изгнал из учебника геометрии некоторые аксиомы по той причине, что ими не пользуются при аксиоматическом построении геометрии?

Какими бы соображениями ни руководствовался автор учебника, не включая в него ряд аксиом, встречающихся во всех других школьных учебниках, преподаватели, работающие по этому учебнику, будут вынуждены знакомить учащихся в том или другом виде с этими аксиомами, когда в этом возникнет потребность. Таким образом, будет нарушаться одно из основных правил доказательства теорем: основания доказательства нецелесообразно сообщать в процессе доказательства.

Особенно часто приходится ссылаться при доказательствах теорем на аксиому: «Две величины, равные порознь одной и той же третьей величине, равны между собою», но и этой аксиомы нет в учебнике Н. А. Глаголева.

Вопрос об аксиомах и теоремах безусловно необходимо переработать.

Следует признать совершенно ненужным четвертый признак равенства треугольников. В учебнике четвертый признак используется два раза: при доказательстве теорем о равенстве прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе и для установления признака подобия треугольников, но первая из этих теорем может быть доказана и без ссылки на четвертый признак, а вторая вообще не нужна в школьном учебнике.

Нужно также исключить из учебника теорему: «Длина отрезка при новой единице измерения равна его длине при старой единице, умножаемой на длину старой единицы, измеренной новой единицей».

Т. Н. Ряднова пишет, что благодаря разъяснению на конкретных примерах учащиеся поняли содержание этой теоремы, но не могли усвоить ее доказательство.

Содержание этой теоремы известно ученикам еще из начальной школы, так как в теореме говорится о превращении и раздроблении именованных чисел, и любой ученик всегда правильно решит вопрос о раздроблении 5 м в дециметры или сантиметры. Вряд ли нужно усложнять курс формулировкой и доказательством этой теоремы, занимающим целую страницу. Даже преподавателям трудно запомнить формулировку и все случаи доказательства. По нашему мнению, эта теорема не нужна в школьном учебнике.

В новом учебнике геометрии должны быть даны элементарные сведения о землемерных работах, чтобы облегчить преподавателям ознакомление учащихся с простейшими землемерными работами, предусмотренными программой. В учебнике Н. А. Глаголева таких сведений нет. В некоторых старых учебниках (Вулих, Давидов, Рашевский) давались указания о простейших способах съемки планов, нивелировании и т. д., тем более такие сведения должны даваться в современных учебниках геометрии.

Все изложенные выше соображения приводят нас к выводу о необходимости перестройки учебника Н. А. Глаголева.

К ВОПРОСУ О СТРУКТУРЕ УЧЕБНИКА ГЕОМЕТРИИ

К. П. СИКОРСКИЙ (Москва)

Среди условий, которым должен удовлетворять учебник и в частности учебник геометрии для VI— VII классов средней школы, следующие условия являются основными: соответствие программе, научность изложения учебного материала, простота и доступность изложения, соответствие возрастному развитию учащихся, логически правильное и практически целесообразное развертывание программного материала.

Система изложения материала в учебнике, предназначенном для учащихся 13 — 14 лет, только начинающих изучение новой для них дисциплины, имеет громадное значение, а потому должна быть тщательно продумана и проверена на практике.

Б 1949/50 учебном году в женской средней школе № 43 г. Москвы в одном из шестых классов преподавание геометрии было начато по учебнику Н. А. Глаголева «Элементарная геометрия» (издание 2-е, под редакцией Д. И. Перепелкина).

Автор разделил учебник на следующие главы: 1) Прямая линия; 2) Треугольник; 3) Четырехугольники и многоугольники; 4) Окружность и т. д.

Ясна мысль автора: разобрав взаимное положение двух прямых, т. е. теорию углов и параллельных прямых, перейти к треугольникам, а затем уже к более сложным фигурам.

Вот к чему на практике привела эта система изложения.

После того как была пройдена тема «Введение», т. е. прямая, луч, отрезки и действия с ними, углы и действия с ними, надо было переходить к параллельным прямым. Здесь мы встретились с большими трудностями, которые заставляют меня высказаться против предложенной Н. А. Глаголевым системы изложения курса геометрии для VI класса.

Учащиеся нашей школы уже в V классе были хорошо подготовлены и (в соответствии с программой) знакомы с некоторыми геометрическими понятиями, тем не менее они не могли охватить обилия теорем, с которыми им пришлось сразу же встретиться.

Первые теоремы, как таковые, т. е. с обычным способом изложения доказательства, встречаются в § 35: «Если соответственные углы равны, то: 1) внутренние накрестлежащие углы равны; 2) внешние накрестлежащие углы равны; 3) сумма внутренних односторонних равна 2d; 4) сумма внешних односторонних равна 2d».

Таким образом, теорема, с которой учащиеся встречаются впервые, оказалась сложной. Они должны уметь ее расчленить на 4 отдельных теоремы.

Но ведь дело обстоит еще сложнее. § 35 кончается так: «Совершенно такими же рассуждениями можно доказать, что если равны внутренние или внешние накрестлежащие углы...» и т. д. Фактически в § 35 заключено 20 теорем! Хотя они достаточно просты, но учащиеся должны были держать все их в голове и доказывать любую из них по требованию учителя.

Разумеется, я старался применять наглядность в процессе изучения материала и привлекать интуицию учащихся, но все же усвоение 20 теорем, очень похожих друг на друга по своим формулировкам, было не под силу даже хорошим ученикам.

Далее в § 36 автор учебника почему-то решил изменить порядок изложения: сначала дал доказательство, затем теорему и потом уже определение.

В § 36 дан основной (в системе учебника) признак параллельности прямых. Трудность доказательства удалось преодолеть построением модели. Помимо той модели, которую построил я, каждая ученица также приготовила аналогичную модель.

Но из основного признака параллельности прямых следуют тотчас же четыре других признака, для доказательства которых как раз нужны все теоремы § 35, а затем еще два следствия: 1) о параллельности двух прямых, перпендикулярных к третьей прямой, и 2) о единственности перпендикуляра к прямой через одну точку вне этой прямой.

После этого идут задачи на построение параллельных прямых, аксиома о параллельных и теорема об углах, образованных параллельными прямыми и секущей (распадающаяся на пять отдельных теорем).

Итак, на протяжении 5 страниц текста учащийся должен овладеть и усвоить 34 теоремы и следствия. Это недоступно учащимся.

Я считаю, что в данном случае теоретическая стройность изложения вошла в серьезные противоречия с практической целесообразностью.

Помимо того, принятое Н. А. Глаголевым изложение материала не позволяет в течение первого полугодия решать хоть сколько-нибудь интересные задачи не только на построение, но и на вычисление и на доказательство, т. е. не удается выполнить требование объяснительной записки к программе: «следует систематически решать задачи на «вычисление, построение и доказательство».

В подавляющем большинстве курсов геометрии, если даже взять такой древний, как «Начала» Евклида, и современный, как «Геометрия» Д. И. Перепелкина, после учения об углах излагается учение о треугольниках. Тем более надо сохранить эту систему изложения в учебнике для средней школы. Пусть эта система даже несколько нарушает строгую последовательность изложения, однако она дает большие возможности в части наглядности, богатства материала для задач и в частности задач на построение.

Начав основную теоретическую часть курса геометрии с треугольников, автор учебника даст в руки учителя возможность значительно большей наглядности, чем в системе изложения Н. А. Глаголева. Учащиеся в VI классе достаточно хорошо представляют себе треугольники как нечто конкретное, что можно вырезать из бумаги, наложить один на другой и т. д. Теория же параллельных заставляет учащихся абстрагироваться от конкретного и с первых же шагов применять метод доказательства от противного. Все это, конечно, для учащихся мало доступно.

В заключение хочу обратить внимание на следующие недостатки изложения. На стр. 33 указан способ проведения параллельных прямых при помощи двух одинаковых чертежных треугольников. Этот способ верен при условии абсолютной точности в равенстве двух треугольников (что практически неосуществимо), но тогда непонятно, почему не указан практически целесообразный и математически правильный способ проведения параллельных прямых при помощи линейки и треугольника.

При доказательстве теоремы о сумме углов треугольника автор пользуется слишком сложными чертежами. Нет никакой надобности продолжать две стороны треугольника. На чертеже получилось обилие линий; учащийся теряется в таком чертеже.

Для доказательства надо выбирать простейший из возможных чертежей. В этом отношении я считаю очень удачным данный Н. А. Глаголевым способ доказательства свойства двух треугольников с двумя соответственно равными сторонами, но неравными углами между этими сторонами.

Я не останавливаюсь на остальной части учебника, поскольку я не провел еще преподавания по учебнику Н. А. Глаголева в других классах.

Во всяком случае для меня ясно, что при последующих изданиях этого учебника следует изменить систему изложения.

От редакции. Издание учебника геометрии выдающегося русского ученого и педагога проф. Н. А. Глаголева было встречено всей советской педагогической общественностью с большим удовлетворением. Со времени появления первых рецензий на этот учебник (в 1946 г.) прошло около пяти лет. За это время учебник вышел вторым изданием. С ним ознакомились широкие круги практических работников и накопился опыт работы. Поэтому целесообразно вновь вернуться к обсуждению учебника Н. А. Глаголева. Нет сомнения, что это обсуждение окажет существенную помощь издательству при подготовке последующих изданий книги.

ПОПРАВКИ К КНИГЕ Г. Л. НЕВЯЖСКОГО «НЕРАВЕНСТВА»

И. Г. АЛЬТШУЛЕР (Ленинград)

Дабы избавить читателей книги от излишних трудностей, возникающих при ее чтении, я привожу ниже список замеченных мною опечаток и ошибок, который, впрочем, не может претендовать на абсолютную полноту.

1) § 3, 2° d (стр. 12): «выяснить знак неравенства между выражениями Зх— 2 и * + 3», должно быть: Злг — 2 и 2.к + 3.

2) § 9, 11 (стр. 50, последи, строка):... вместо X> 9 -g- должно быть: х > 7 у.

3) § 12, 9 (стр. 67)... вместо _у < х + 3 должно быть: у < -g- X + 3.

4) § 14, 2 (стр. 81)... вместо 3 — 2 и 3 + 2 должно быть: 3 — /2“ и З-ь/2.

5) § 20, стр. 115 вместо «треть радиуса круга, вписанного в треугольник, равна среднему гармоническому радиусов /*!, г2, г3, внешне вписанных в Д (кругов)» должно быть: «утроенный радиус круга, вписанного... и т. д.».

6) § 21, 5 (стр. 124)... вместо

должно быть:

Там же дальше должно быть:

Там же (стр. 125—126) в геометрической интерпретации теоремы Бернулли совершенно спутаны обозначения, а потому остается непонятным получение уравнения

v = dx + (al — d).

7) § 23. задача 1 (стр. 133). Неравенство справедливо лишь при л>2.

Книга Г. Л. Невяжского имеет один довольно ощутительный недостаток: она изобилует опечатками, пропусками слов и ошибками, которые часто сбивают читателя с толку. Эти ошибки иногда доходят до курьеза. Так, например, в § 26, 7, приводится явно неверное неравенство:

которое автор доказывает на основании трех заведомо ошибочных неравенств:

8) § 24, стр. 149 (3-я строка)

9) § 26, 7 (стр. 162)... вместо

должно быть: <. Там же дальше должно быть:

10) § 26, 13 (стр. 164)... вместо

должно быть:

11) § 27, в конце 8° (стр. 169)... вместо: «в задаче 11 § 23» должно быть: «в задаче 13 §23».

12) § 27 (стр. 170)... вместо

должно быть:

13) § 28 (стр. 172)... вместо « функция у = ах2 +bx+c в точке хг= ~— достигает...» должно быть: «в точке х= — 2Û ъ и т. д.

14) § 28, конец задачи 3 (стр. 175). Напечатано: «Последнее же будет иметь место в случае, когда отрезок MC достигает наименьшего значения, а отрезок DM — наибольшего»; должно быть наоборот: «когда MC достигнет наибольшего, a DM — наименьшего значения».

15) § 28, IV (стр. 179): «Сумма двух величин, произведение которых равно данному положительному числу /?, имеет максимум, когда слагаемые равны между собой и положительны, и имеет минимум, когда они равны между собой и отрицательны» ; здесь надо поменять местами слова «максимум» и «минимум».

От редакции. Книга Г. Л. Невяжского «Неравенства» получила широкую известность среди учителей. Редакция полагает, что опубликование ряда опечаток, вкравшихся в эту интересную по содержанию книгу, явится небесполезным для широкого круга читателей.

ХРОНИКА

РАБОТА ЯРОСЛАВСКОГО ОБЛАСТНОГО ИНСТИТУТА УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ УЧИТЕЛЕЙ В 1949/50 УЧЕБНОМ ГОДУ

Н. А. КУРИЦЫН (Ярославль)

Работа кабинета математики Ярославского областного института усовершенствования учителей проводилась по плану, содержание которого изложено ниже.

Прежде всего кабинетом математики был создан учительский актив при Институте. В актив вошел в первую очередь ряд учителей школ города Ярославля, учителей близлежащих районов и учителей городов Щербакова, Ростова, Углича, а также отдаленных территориально районов.

Можно отметить и целые школы, которые наиболее активно включились в работу повышения квалификации учителей.

Учителя актива выступают на педагогических чтениях с докладами и рефератами. Делают сообщения на городских и районных секциях математики, делясь своим опытом с другими учителями, ведут у себя в школах методическую работу через предметные комиссии школы, поддерживают связь с кабинетом математики Института усовершенствования учителей и т. д.

Кабинет математики Ярославского областного института усовершенствования учителей помогает районным педагогическим кабинетам, методическим объединениям, предметным комиссиям в школах области и городским секциям математики. При выездах в районы сотрудниками кабинета была указана тематика работы для предметных школьных комиссий и был намечен план их работы на дальнейший период.

В Первомайском и во Владыченском районах силами кабинета математики Института усовершенствования учителей были сделаны сообщения учителям математики на темы:

1) Подготовка учителя математики к уроку.

2) Графики в курсе VI—VII классов.

3) Достижения советских математиков.

Кроме того, заведующим кабинетом математики была разработана тематика для работы районных педагогических кабинетов, кустовых методических объединений, школьных предметных комиссий и городских секций учителей.

Темы были отпечатаны на машинке и разосланы во все районы области.

Во втором полугодии было разослано по районам методическое письмо о повторении математики и о подготовке к экзаменам.

На городской секции в г. Ярославле были заслушаны и обсуждены следующие доклады и сообщения.

В августе 1949 года:

1. О повышении квалификации учителей математики (руководитель городской секции учителей О. П. Серина).

2. Теория действительного числа в курсе средней школы (зав. кабинетом математики Института усовершенствования учителей Н. А. Курицын).

3. Привитие практических навыков на уроках математики в V—X классах (учитель И. Я. Огнев).

4. Геодезические работы в школе (учитель А. Ф. Смирнов).

5. Изменения в программах (О. П. Серина, H.A. Курицын).

6. Планирование по годам обучения на первую четверть 1949/50 учебного года (учителя школ № 33 и № 34).

В сентябре:

1. Практические работы на местности (учитель А. Ф. Смирнов).

2. Понятие «предела» в курсе IX класса (учитель Эпштейн).

3. Итоги приемных экзаменов в автомеханический техникум г. Ярославля (М. И. Взорова).

4. Итоги приемных экзаменов в Ярославский педагогический и технологический институты (преподаватель ЯГПИ Доброхотова и преподаватель Технологического института Щербаков).

В октябре:

1. Исторический элемент на уроках математики (учительница П. Я. Великина).

2. Планирование учебного материала на вторую четверть (школа № 3 и школа № 4).

В ноябре:

1. Достижения советских математиков (Н. А. Курицын, Институт усовершенствования учителей).

Декабрь-январь:

1. Равносильность уравнений (Н. А. Курицын, Институт усовершенствования учителей).

2. Методика решения арифметических задач в курсе Y класса (Н. А. Курицын, Институт усовершенствования учителей).

3. Подобные преобразования фигур в курсе VIII класса (учительница М. И. Гущина).

4. Планирование материала. Февраль:

Построение графиков и геометрическое истолкование решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными в курсе VII класса (Н. А. Курицын).

Март:

1. Изготовление наглядных пособий для проведения практических работ на местности (учительница И. П. Дьяконова).

2. Планирование материала.

Апрель:

1. Анализ письменных экзаменационных работ по геометрии на аттестат зрелости в 1948/49 учебном году, удостоенных золотой и серебряной медалей (Н. А. Курицын, Институт усовершенствования учителей).

2. Анализ инструкций и экзаменационных билетов (О. П. Серина).

Институт усовершенствования учителей и кафедра методики математики Ярославского педагогического института держат тесную связь с городским объединением математиков, руководят ими в их практической работе.

В городе Ярославле преподавателям вечерних школ (ШРМ) были прочитаны следующие доклады заведующим кабинетом математики:

1. Построение графиков линейных функций с числовыми коэффициентами в курсе VI и VII классов.

2. Понятие предела в курсе IX класса.

3. Последовательности чисел.

4. Равносильность уравнений.

5. Достижения советских математиков.

Летом 1950 г. директорам вечерних школ были прочитаны 3 лекции по 2 часа из общей методики математики.

Связь с учителями области поддерживается Институтом следующим образом:

а) Организуются непосредственные выезды в районы сотрудников кабинета Института. При выездах сотрудники кабинета делают сообщения по вышеуказанной тематике, изучают работу районных педагогических кабинетов, кустовых методических объединений, школьных предметных комиссий, постановку и методику внеклассной работы. Сотрудники изучают работу учителей математики и в особенности опыт лучших учителей. Работники Института усовершенствования учителей посещают уроки, кружковые занятия и пионерские сборы в школе.

б) Организуется посещение школ города Ярославля с целью изучения постановки преподавания математики и опыта отдельных учителей. При этом мы ставили себе конкретные задачи. Например, изучить опыт работы по учету знаний учащихся и методике опроса учащихся (проверка выполнения домашнего задания).

Сотрудники Института выступали в ряде школ с докладами на следующие темы:

1) Достижения советских математиков.

2) Лобачевский и его геометрия и т. д. (школы № 36, 44).

Институт ведет переписку с учителями области. Здесь следует отметить, что характер писем весьма разнообразен.

Для распространения опыта передовых учителей в ноябре 1949 г. были организованы областные педагогические чтения. На этих чтениях были заслушаны на математической секции следующие доклады:

1. Приемы решения задач на доказательство в курсе VIII класса (Н. А. Арсеньев, Педагогический институт).

2. Опыт работы по теме «Уравнение высших степеней» (Н. А. Курицын, Институт усовершенствования учителей).

3. Подготовка учителя математики к уроку (учительница А. П. Шеина, г. Щербаков).

4. Исследование уравнений в курсе VII—X классов (учитель Ф. А- Горбушин).

5. 05 усвоении учащимися программы по математике за семилетнюю школу (М. И. Взорова, автотехникум).

6. Воспитательная работа на уроках математики (учительница В. Д. Титова, г. Ростов).

7. Подобные преобразования фигур в курсе VIII класса (учительница М. И. Гущина).

Следует отметить, что к чтениям было собрано по области 16 докладов, но жюри при Институте усовершенствования учителей выделило из этого числа 7. Остальные доклады будут готовиться к очередным педагогическим чтениям.

Институт выполняет работу по заданиям облОНО. Например, проверялась постановка преподавания математики в школах № 37, № 42 гор. Ярославля в Первомайском районе. Была составлена схема отчета для райОНО, составлены полугодовые и годо-

вые отчеты о состоянии преподавания математики в области и т. д.

Консультации в кабинете математики ведутся двух родов:

а) групповые консультации по отдельным темам для учителей города Ярославля. Так, например, консультации проводились на следующие темы: «Решение задач по геометрии с применением тригонометрии», «Равносильные уравнения» и т. д.

б) индивидуальные по различным вопросам. Консультации ведутся по расписанию.

В 1949/50 г. были организованы в помощь слушателям очно-заочных курсов годичного цикла повышения квалификации учителей математики зимние семинары, которые проводились с 23 января 1950 г. по 28 января 1950 г. На этих семинарах были замятия по алгебре, геометрии, арифметике, педагогике! основам марксизма-ленинизма и общей методике математики.

На семинарах были подведены итоги самостоятельной работы слушателей, даны задания на будущее и выделены темы для рефератов с указанием литературы.

В этот период функционировали летние семинары годичного цикла повышения квалификации учителей математики.

В промежутках между зимними и летними семинарами была оказана методическая помощь слушателям очно-заочных курсов, а именно: были посланы методические письма по отдельным вопросам и указана литература для подготовки рефератов. Были организованы устные и письменные консультации по методическим вопросам.

Следует отметить, что при работе с курсантами очно-заочных курсов повышения квалификации имеются свои трудности. РайОНО и горОНО в районах не всегда правильно выделяют на эти курсы учителей. Иногда райОНО или горОНО выделяют тех товарищей, которые и сами могут с успехом повышать свою квалификацию, но зато забывают или даже, больше того, как-то обходят тех учителей, которым явно необходима помощь Института усовершенствования учителей.

Здесь же следует указать и на затруднения с литературой. Учителя, слушатели наших курсов, высказывались за то, чтобы их как можно быстрее снабдили хорошим учебником алгебры, геометрии, тригонометрии.

За истекший 1949/50 учебный год Институт усовершенствования учителей подготовил к печати «Методический сборник», состоящий в основном из докладов на педагогических чтениях, но в пего вошли и некоторые другие статьи.

Установлена связь кабинета математики Института усовершенствования учителей с кафедрой методики математики Ярославского педагогического института. Преподаватели Института помогают в работе городских секций, на летних и зимних семинарах повышения квалификации, делают доклады на педагогических чтениях.

Библиотека Института усовершенствования учителей постоянно пополняется новой литературой.

В заключение хочется сказать о недостатках в работе: нужно помещение для Института усовершенствования учителей вообще и для кабинетов в частности. Институт усовершенствования учителей помещается пока весь в двух комнатах. Это мешает работе.

Еще следует сказать о трудностях при обмене опытом работы нашего Института с другими. Этот обмен должен проходить главным образом через какой-либо печатный орган, но, к сожалению, этот вопрос не получил удовлетворительного решения.

Нам кажется, что следует иметь математикам еще журнал, кроме журнала «Математика в школе», например, было бы желательно возобновить выпуск сборника «Математическое просвещение».

ПЕРВАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА В СТАЛИНГРАДЕ

Е. Д. ГУБА (Сталинград)

В 1949 50 учебному году впервые в Сталинграде была проведена математическая олимпиада учащихся IX—X классов. Олимпиаду проводила кафедра математики Сталинградского педагогического института совместно с горОНО. Для проведения олимпиады был создан оргкомитет, которым было выработано положение об олимпиаде, составлен и разослан по школам сборник подготовительных задач. Ввиду того что некоторые задачи оказались трудными, был составлен и разослан по школам сборник решений этих задач. Кафедрой математики проводились консультации для учителей и школьников города. Учащимся был прочитан цикл лекций. Профессор В. С. Потапов прочитал лекцию: «Задачи на максимум и минимум»; кандидат физико-математических наук И. Е. Жак — «Математические софизмы»; кандидат физико-математических наук Е. Д. Губа — «Геометрические построения в пространстве»; доцент 3. И. Козлова — «Метод полной математической индукции».

Олимпиада проводилась в два тура. Первый отборочный тур состоялся 12 февраля 1950 г. в районах города. В нем приняли участие 134 ученика, из которых 69 учеников X, 64—IX и 1 ученик VIII класса. Участникам были предложены следующие задачи:

1. Многочлен

представить в виде произведения линейных множителей.

2. А и В отправляются одновременно навстречу друг другу из Москвы и Тулы, и каждый из них идет с постоянной скоростью. А в х часов проходит расстояние от Москвы до Тулы, à В в у часов от Тулы до Москвы. В пути они встречаются за m часов до прихода А в Тулу и за л часов до прихода В в Москву. Показать, что х2:у* = т:п.

3. Из данной точки А провести касательную к данной окружности, не пользуясь ее центром.

4. В круг вписан равносторонний треугольник ABC. На дуге AB взята точка М. Вычислить хорду MC, если хорда AM = 8 см и ВМ = 7 см.

5. Доказать, что при любом целом п число N~n{n*+b) делится на 6.

6. Справедлива или нет теорема: «Если прямая проходит через середину боковой стороны треугольника и отрезок ее до пересечения с другой боковой стороной равен половине основания треугольника, то такая прямая есть средняя линия треугольника».

Из шести предложенных задач один ученик решил 5 задач, два ученика решили 4 задачи, 8 учеников — 3 задачи, 47 — 2 задачи и 62 — 1 задачу. Согласно положению об олимпиаде, ко второму туру были допущены 58 учеников, решивших не менее двух задач.

Анализируя данные учениками решения задач первого тура, следует отметить, что для учеников наиболее легкой оказалась задача № 1, которую правильно решили почти все участники. Задача решалась простым алгебраическим преобразованием. Следует заметить, что никто из участников не использовал (для упрощения выкладок) симметрию многочлена. Несколько более трудной оказалась задача № 4, которую решило 47 человек (из 56 решавших). Эту задачу ученики решали различными способами. Ученики девятых классов решали геометрически; ученики десятых классов применяли для решения тригонометрию, причем были громоздкие решения с помощью таблиц логарифмов. Значительно меньше было дано правильных решений задач № 2 и № 5.

Лучшее решение задачи № 2 с хорошим чертежом и ясными объяснениями дала ученица VIII класса. Приводим это решение.

А и В до встречи находились в пути одинаковое время:

X — m —у — п.

После встречи А остается пройти до Тулы путь, равный

где / — расстояние между Москвой и Тулой. В — остается пройти путь, равный

откуда

Задача № 5 может быть решена различными способами. Было довольно значительное число неправильных решений. Ученики проверяли справедливость утверждения для /1=1, 2, 3,... Убедившись в справедливости теоремы для этих чисел, они считали теорему верной вообще. Это свидетельствовало о незнании ими метода полной математической индукции.

Трудной оказалась задача № 3, которую частично решили 7 учеников (из 16 решавших).

Шесть учеников рассмотрели случай внешней точки, а один — точки, лежащей на окружности. Камнем преткновения оказалась задача № 6, которую правильно решило только 5 учеников из 87 решавших. Остальные доказывали, что данная прямая является средней линией. При доказательстве ученики использовали лишнее условие параллельности, не данное в условии задачи. Кроме того, многие ученики считают, что теорема верна в силу известной теоремы о средней линии треугольника. Например, ученица К. пишет: «эта теорема справедлива потому, что есть теорема: средняя линия треугольника равна половине основания». Таким образом, видно, что многие ученики не понимают разницы между необходимыми и достаточными условиями.

Второй тур проводился 9 апреля 1950 г. в здании педагогического института. Во втором туре приняли участие 35 учеников X и 18 учеников IX классов. Задачи предлагались отдельно для IX и отдельно для X классов.

Задачи для IX класса.

1. Найти четырехзначное число, являющееся точным квадратом, у которого цифра тысяч одинакова с цифрой десятков, а цифра сотен на единицу больше цифры единиц.

2. Доказать, что во всяком треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из одной вершины.

3. Вычислить стороны треугольника, зная, что они составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна +, где г—радиус круга, вписанного в треугольник.

Задачи для X класса.

1« Доказать, что при любом целом а выражение а1 — а делится на 42.

2. Исследовать корни уравнения

если я, Ь, с — стороны треугольника.

3. Доказать, что сумма расстояний от произвольной внутренней точки правильного тетраэдра до его граней есть величина постоянная.

4. Построить треугольник по радиусу описанной окружности, углу и медиане, проведенной к противоположной стороне.

Четвертая задача была общей для учеников IX и X классов. В качестве необязательной задачи ученикам IX и X классов предлагалась задача:

«Ладья находится в нижнем левом углу шахматной доски. Возможно ли перевести ее в верхний правый угол, проходя каждое поле по одному и только одному разу?»

По IX классу задачу № 1 с некоторыми оговорками решил один ученик. Большинство учеников, записав искомое число в виде 1010 х+101.У + 100, не нашло дальнейшего пути к решению.

Задача № 3 решена одним учеником.

По X классу задачу № 1 не решил ни один ученик.

Задача № 2 решена тремя учениками. Приводим лучшее решение этой задачи.

Так как а, Ь, с по условию стороны треугольника, то а* = Ь% + с* — 2 be cos ср. Подставляя в уравнение

вместо а2 его значение, получаем:

откуда

Уравнение имеет комплексные корни (случай вырождения треугольника отбрасываем). Эту задачу в той или иной мере решали все ученики. При просмотре решений видно, что вопрос исследования решений знаком учащимся, но многие ученики воспринимают его весьма формально, применяют рассуждения в общем виде, не рассматривая данной конкретной задачи.

Задачу № 3 решил всего один ученик. Приводим это решение. Если в правильном тетраэдре взять какую-нибудь внутреннюю точку О и соединить ее с вершинами тетраэдра, то получатся 4 пирамиды, у которых основаниями будут служить равные между собой грани тетраэдра, а вершина будет на ходиться во взятой точке.

Сумма расстояний точки О от граней тетраэдра равна сумме высот полученных пирамид. Объем тетраэдра равен сумме объемов этих пирамид:

где S — равные по величине площади граней тетраэдра, a OK, OL, ОМ и ON расстояния точки О до граней тетраэдра. Откуда

т. е. сумма расстояний от произвольной внутренней точки правильного тетраэдра до его граней есть величина постоянная для данного тетраэдра.

Общую для IX и X классов геометрическую задачу на построение решили о учеников IX класса и 10 учеников X класса, но не все ученики провели анализ, доказательство и исследование этой задачи. Среди неправильных решений было много решений с применением тригонометрии.

К решению дополнительной задачи никто не приступил. Приведем решение этой задачи.

Если бы сумели перевести ладью из нижнего левого угла шахматной доски в ее верхний угол, проходя каждое поле по одному и только одному разу, мы сделали бы 63 перехода через граничные линии, отделяющие клетки друг от друга. В самом же деле это сделать нельзя. Последняя клетка лежит на восьмой горизонтали и восьмой вертикали. Чтобы попасть из клетки, лежащей на первой горизонтали, в клетку, лежащую на восьмой горизонтали, необходимо сделать нечетное число переходов через горизонтальные граничные линии.

Чтобы попасть с первой на восьмую вертикаль, необходимо сделать нечетное число переходов через вертикальные линии. Чтобы попасть в последнюю клетку, мы должны четное число раз пересечь граничные линии. Это число не может равняться 63. Следовательно, невозможно перевести ладью из нижнего левого угла шахматной доски в верхний правый угол, проходя каждое поле по одному и только одному разу.

Следует отметить, что задачи второго тура оказались несколько трудными для учащихся.

Решением жюри победители олимпиады были премированы ценными подарками и грамотами.

Математическая олимпиада всколыхнула учителей математики и учеников школ города и области. В ряде школ были проведены свои математические олимпиады. Оживилась работа математических кружков. Усилилась связь института со школьниками города. Кроме того, олимпиада явилась своеобразной проверкой математической культуры лучших учащихся города Сталинграда. Она показала, что:

а) Ученики легче решают алгебраические задачи, чем геометрические. Из геометрических задач они легче решают задачи на вычисление, хуже на построение и еще хуже на доказательство.

б) Многие ученики не понимают разницы между необходимыми и достаточными условиями.

в) Ученики не умеют решать задачи методом полной математической индукции.

г) Большое число учеников решает задачи шаблонно, не стараясь найти более простой путь.

Итоги олимпиады обсуждены на августовском совещании учителей города и области.

В 1950/51 учебном году в Сталинграде снова организуется городская математическая олимпиада учащихся IX—X классов. В институте организован школьный математический кружок, продолжается чтение лекций для учеников.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 5 ЗА 1950 ГОД

№ 66

Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и медиане одного из катетов. Решение. Пусть треугольник АСВ — искомый (черт. 1). Проведем медиану СЕ = ~2 AB. Получим треугольник АОЕ, в котором

Таким образом, треугольник АОЕ легко строится но трем сторонам. Дальнейшее ясно.

Черт. 1.

№ 67

Решить систему уравнений:

(1)

(2) (3)

Решение. Раскрыв скобки, будем иметь:

(4) (5) (6)

Сложив (4), (5) и (6) и разделив обе части на 2, получим:

(7)

Вычитаем из (7) последовательно (4), (5) и (6):

(8) (9) (10)

Наконец, перемножив (9) и (10), (8) и (10), (8) и (9), получим:

Знаки берутся или все положительные, или один положительный и два отрицательных.

Задача является типичной для целой группы систем (многие уже помещались в журнале), приводящейся к элементарной системе вида:

К аналогичной системе можно прийти, умножив данные уравнения соответственно на х, у и * и освободившись от знаменателей.

№ 68

Пароход идет от А до В в течение а часов, а обратно 8 часов. Сколько часов проплывет плот от А до В?

Решение. По условию имеем:

где 5 — расстояние между А и В, v — скорость перехода в стоячей воде, х—скорость течения. Отсюда имеем:

Решив систему относительно х, найдем:

Отсюда искомое время равно:

№ 69

Площади верхнего и нижнего оснований усеченной пирамиды соответственно равны Sx и S«. Определить площадь среднего сечения.

Решение. Достроим пирамиду до полной. Пусть высота достроенной пирамиды х, а усеченной 2у. Тогда будем иметь:

(1) (2)

Из (2) легко получим:

(3)

Из сравнения (1) и (3) находим: Отсюда

№ 70

Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 есть тоже простое число.

Решение. Пусть простое число M = 30 g + г, где 0 < г < 30. Очевидно, что г не может делиться на 2, 3 и 5, так как тогда на это же число делилось бы и число M и оно не было бы простым. Но наименьшее составное число, не содержащее множителей 2, 3 и 5, есть число 73 = 49, которое больше г. Отсюда следует, что г — число простое.

Цель помещения этой, конечно, чрезвычайно элементарной задачи и заключалась в напоминании об этом довольно любопытном с теоретико-числовой точки зрения свойстве остатка от деления на 30 простых чисел.

№ 71

При делении шестизначного числа, состоящего из одинаковых цифр, на четырехзначное число, состоящее тоже из одинаковых цифр, получилось в частном 233 и некоторый остаток. По отбрасывании в делимом и делителе по одной цифре и новом делении частное не изменилось, а остаток уменьшился на 1 000. Найти делимое и делитель.

Решение. Если цифры делимого обозначим через а, а цифры делителя через Ь, то условия задачи можно записать в таком виде:

111111 а= 1111 6-233 + г; (1)

11111 а= 111 6-233 + г — 1000. (2)

Вычитание (2) из (1) дает:

105 а = 103 6-233+ 1000, или по сокращении:

100 а = 233 6+1- (3)

Так как а и b — натуральные однозначные числа, то из (3) очевидно, что b может равняться только трем (для делимости правой части на 10), а отсюда а =7. Искомые числа 777 777 и 3 333.

№ 72

Найти 2 п+1 последовательных целых чисел, обладающих тем свойством, что сумма квадратов п 4- 1 первых из этих чисел равняется сумме квадратов п последних чисел.

Решение. Обозначив через х наименьшее из искомых чисел, будем иметь, согласно условию:

(1)

Отсюда:

Разлагая разности квадратов на множители и вынося общий множитель л, получим:

(2)

Выражение в прямых скобках представляет собой сумму п членов арифметической прогрессии, равную

Итак, имеем квадратное уравнение:

решив которое, найдем:

Решениями будут числа:

Как видим, оба решения удовлетворяют условию задачи.

№ 73

В «Геометрии» Киселева (и многих других учебниках) теорема о третьем признаке равенства треугольников доказывается так называемым «методом приложения». Дать другое доказательство этой теоремы.

Решение. Эта задача была прислана в редакцию тов. Голайдо в виде небольшой заметки, имевшей целью напомнить о других способах доказательства данной теоремы Приведем сначала два доказательства, данных в этой заметке.

1-е доказательство. Наложим треугольник A\B\Ci на треугольник ABC так, чтобы совпали стороны АС и АгСг и треугольники оказались по одну сторону от АС. Вершина В\ может упасть вне или внутри треугольника ABC или на одну из его сторон.

а) Рассмотрим первый случай. Пусть В} упала в точку В2 (черт. 2). Соединим точки В2 и В и середину В2В соединим с Л и С

Черт. 2.

Треугольник АВ2В равнобедренный по условию (АВ2 = AiBi « AB). В нем AD является медианой, проведенной к основанию. По известной теореме, она одновременно является и высотой. Следовательно, имеем:

AD ± В2В.

Совершенно аналогично докажем, что в треугольнике СВоВ должно быть:

CD ± В2В.

Итак, имеем два различных перпендикуляра, проведенных к прямой через одну и ту же ее точку, что невозможно.

б) Пусть #i упадет в точку В2, лежащую внутри треугольника АБС. Соединив В2 с В и повторив те же рассуждения, что и в предыдущем случае, опять придем к противоречию.

в) Пусть вершина В упала на какую-либо из сторон треугольника ABC, например на ВС. Совершенно ясно, что если В2 не совпала с В, то отрезок СВ2 будет меньше СВ, что противоречит условию.

Итак, остается один вывод —точка В\ совместилась с В. Это доказательство довольно общеизвестно и приводилось в некоторых учебниках. Его особенность в том, что им можно заменить, например, существующее доказательство в учебнике Киселева, совершенно не изменяя ни содержания, ни расположения его остального материала.

2-е доказательство. Это доказательство уже требует небольших (легко осуществимых) изменений в обычном расположении материала. Именно предполагаются доказанными следующие теоремы:

1. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других.

2. Выпуклая ломаная меньше всякой другой ломаной, объемлющей первую.

Вторая теорема не входит в курс VI класса, но она легко доказывается. Для нашей цели достаточно доказать лишь частный случай теоремы, сформулировав ее хотя бы в таком виде: «Если внутри треугольника взять точку О, то АО + СО <Л£ -f--f СВ*.

Итак, предполагая доказанными теоремы 1 и 2, наложим треугольник AyB-fix на треугольник ABC так же, как и в первом доказательстве. Рассмотрим возможные случаи.

а) Точка В\ упала в точку Р2 внутри треугольника ABC (черт. 3). Тогда по теореме 2:

ЛБ-f ВС>АВ2 + СВ2,

что противоречит условию.

АВ + ВС = АВ2 + СВ2.

б) Аналогично исключается случай, когда точка Вг упадет внутри треугольника А^В^С^.

в) Как и в первом доказательстве, исключается случай, когда точка Вл упадет на одну из сторон треугольника ABC (не в точку В).

г) Рассмотрим, наконец, последний случай, показанный на чертеже 4. Тогда из треугольника AB2D имеем:

AB2<AD + B2D (1)

и из треугольника CDB:

BC<BD + DC. (2)

Сложив неравенства (1) и (2), получим:

По условию же должно быть:

АВ2 + Ж7 = ЛЯ + В2С.

Как видим, это доказательство, несмотря на его простоту, все же довольно громоздко.

3-е доказательство. Приведем теперь доказательство, дававшееся в известном учебнике геометрии Давидова. В этом учебнике также предварительно доказывались теоремы 1 и 2, приведенные в предыдущем доказательстве. На их основе доказывалась теорема 3: «Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого, а углы между ними не равны, то против большего угла лежит и большая сторона».

Теперь теоремы о равенстве треугольников по трем сторонам доказываются чрезвычайно просто.

Возьмем углы А и А\. Они заключены между соответственно равными сторонами. Если один из них, хотя бы Л, больше другого А\л то по теореме 3 и сторона ВС> BYCb что противоречит условию: BC — B^Ci. Итак, z.A = ^.Ab и теорема приведена ко 2-му признаку равенства, уже доказанному (черт. 4).

№ 74

Определить вид треугольника, в котором 4 5= с3 — d2, где 5 — площадь, с — сторона и d — разность двух других сторон.

Решение. По условию имеем:

что можно записать так:

(1)

Умножив обе части на р (р — с) и приняв во внимание формулу Герона, получим:

или:

(2)

Но

Черт. 3.

Черт. 4.

Отсюда:

№ 75

Выразить стороны треугольника через три его высоты.

Решение 1. В зависимости от того, какие формулы, выражающие зависимость между элементами треугольника, принять за исходные, можно различными путями получить выражения для сторон. Примем за исходные следующие наиболее известные формулы:

(1)

Отсюда имеем: и значит:

(2)

Отсюда по свойству равных отношений имеем:

Беря производные пропорции, получим:

По перемножении последних четырех равенств, яриняв во внимание формулу Герона, будем иметь:

Сделав замену 4 S2 = а* t сократив на а2, найдем:

Умножив числитель и знаменатель на ha и затем разделив на h2a hl h2c (подведя в знаменателе это выражение под корень), легко получим более простое выражение для а:

Можно было это выражение вывести и непосредственно.

№ 76

Найти сумму ряда:

sin а 4- sin 3 а + sin 5 а + • • • + sin (2 п — 1) <*

(где п — натуральное число и а ф kn при k целом). Решение. Легко находим:

(2)

(3)

На основании формул (1а), (2) и (3) делаем предположение, что

(4)

Доказательство проводим методом математической индукции. Для этого все преобразования, которые были сделаны при выводе формулы (3), достаточно повторить для суммы:

В итоге получим:

и формула доказана полностью.

№ 77

Доказать, что если пятизначное число кратно 271, то и все числа, получающиеся круговой перестановкой цифр этого числа, тоже кратки 271.

Решение. По условию:

(1)

Умножив (1) на 10, получим:

(2)

Здесь первое слагаемое —пятизначное число, полученное из (1) круговой перестановкой цифр, второе слагаемое а (105 — 1) = 9-41 -271 а делится на 271. Из (2) заключаем, что и первое слагаемое должно делиться на 271. Из равенства 105 —1 = 9-41-271 видно, что то же утверждение можно было высказать и относительно числа 41.

№ 78

Полная поверхность и объем правильной четырехугольной пирамиды выражаются одним и тем же числом. Определить стороны основания и высоту пирамиды, если они выражаются целыми числами.

Решение. Обозначив сторону основания через а и высоту пирамиды через Л, будем иметь:

(1)

(2)

По условию имеем:

или:

(3)

Отсюда:

(4)

Так как по условию а и h — числа целые, то можем положить:

где t — целое. Отсюда имеем:

Так как t2 и Ï1— 1 как последовательные целые числа взаимно-простые, то №—1 должно быть делителем числа 6. Очевидно, что этому требованию удовлетворяет лишь t=2. Тогда имеем: Л = 8 и из (4) а= 12.

Легко вычислить, что в этом случае

№ 79

При каких целых значениях х многочлен

делится на б для всякого целого а.

Решение. Преобразуем данное выражение:

Так как а* — а = (а — 1) а (а 4- 1) как произведение трех последовательных целых чисел всегда делится на 2 и на 3, т. е. на 6, то делимость данного выражения на 6 целиком зависит от делимости на это число первого слагаемого. Но х(х + 1) при любом целом X делится на 2. Остается установить условие делимости ах% (х 4- 1) на 3. Так как а — произвольно, то, полагая его равным единице, найдем, что условие делимости х2(х -h 1) на 3 выполняется при х = 3к и при * = 3& —1. Это и будут значения х, при которых данное выражение делится на 6.

№ 80

На чертеже 5 показаны расположение четырех селений и дороги между ними, причем OA, OB и ОС биссектрисы соответствующих углов. Нужно из селения О обойти остальные три и вернуться обратно. Найти кратчайший путь обхода.

Решение. Приведем геометрическое решение, данное т. Мышаковой. По условию задачи имеем:

а>Ь>с, (1)

и, следовательно:

(2)

Обозначив ОА = а, OB = ß, ОС = т, из (2) и из треугольников СОВ и ВОЛ, получим:

7>ß>«- (3)

Имеем всего три возможных пути обхода:

Сравним их между собой.

а) Отложим на АС отрезок AD = AB = с и на ОС отрезок ОМ= OB = ß. Точку D соединим с О и М.

Треугольники ADO и АВО равны по двум сторонам и углу между ними (черт. 5). Следовательно, DO = OB. Но тогда Д DOM равнобедренный и в нем углы D и M острые. Значит, в треугольнике CDM угол CMD — тупой и против него лежит наибольшая сторона CD = b — с. Так как CN[=. 7 — ß, то можем написать:

отсюда:

(4)

Прибавив к обеим частям этого неравенства по а + а, получим:

(5)

б) Отложим теперь на С В отрезок СЕ=СА—Ь и на OB отрезок ON = OA — а. Соединив Е с О и N, аналогично предыдущему найдем, что а — Ь> р — а9 откуда

и прибавив по с + 7, будем иметь:

(6)

Черт. 5.

Из (5) и (6) заключаем:

a + b + a + f>a + c + a + i>p + c + b + 4.

Итак, из трех возможных путей самым коротким оказался путь, в котором отсутствует наибольшая сторона (и соответствующая ей биссектриса), а самым длинным, в котором отсутствует наименьшая сторона.

Были даны и другие решения, к которым, возможно, редакция еще вернется.

ЗАДАЧИ

(Срок присылки решений 15 июня)

17. Найти наименьшее квадратное число, начинающееся шестью двойками.

Г. Ахвердов (Ленинград)

18. Решить систему уравнений:

Б. Белоцерковская (Киев)

19. Решить систему уравнений:

Б. Белоцерковская

20. Доказать, что

являются корнями уравнения:

Б. Белоцерковская

21. Найти предел суммы площадей треугольников, расположенных в бесконечный ряд таким образом, что стороны каждого последующего треугольника равны медианам предыдущего.

Р. Бернштейн (Мукачево)

22. Построить равнобедренный треугольник, основание которого лежало бы на одной стороне данного угла, вершина —на другой стороне этого угла, а боковые стороны проходили бы через данные две точки, лежащие внутри данного угла.

Е. Боков (Коноково, Краснодарский край)

23. Найти общий вид целых чисел а и b таких, чтобы число а3 + &2 делилось на а+Ь.

X. Хамзин (Стерлитамак)

24. Доказать, что число вида 14/г3 — 1 не может быть точным квадратом ни при каком целом значении п.

Е. Майданник (Конотоп)

25. Решить уравнение:

Е. Майданник

26. Доказать, что числа

48, 4 488, 444 888...

могут быть представлены в виде произведения двух смежных четных чисел.

М. Кекелия (Грузинская ССР)

27. Найти четырехзначное число, удовлетворяющее следующим условиям: 1) последние три цифры его составляют арифметическую прогрессию; 2) если искомое число написать в обратном порядке цифр, то получится число на 360 меньше искомого.

М. Кекелия

28. Доказать, что если стороны треугольника выражаются тремя последовательными числами, то между радиусом описанного и вписанного кругов

существует соотношение: R = 2 г -f- -^р.

К. Агринский (Москва)

29. Тангенсы углов треугольника относятся, как 1:2:3. Найти отношения противолежащих сторон.

Ш. Аванесян (Ашев)

30. Построить прямоугольный треугольник по данной гипотенузе и биссектрисе прямого угла.

И. Голайдо (Брянская область)

31. Даны две точки по одну сторону от данной прямой и одна точка по другую сторону от этой прямой. Найти точки пересечения данной прямой с окружностью, проходящей через данные три точки, если центр этой окружности недоступен.

Я- Айзенштат (Киев)

СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 5 ЗА 1950 Г.

Я. Абдуллабенов (Баку) 66—69, 71,78; Р. Абдульманов (Уральск) 66, 68, 69, 71, 72, 78; Г. Автух (Витебская область) 66-78, 80; К. Агринский (Москва) 66—78; М. Адигамов (Чкалов) 66—78; #. Айзенштат и Б. Белоцерковская (Киев) 66—79; Г. Акопджанян (Баку) 66-69, 71, 72, 74, 76, 78; А. Акопян (Тбилиси) 67-69, 71—75, 78, 79; Л. Алиев (Махач-Кала) 67; Ь. Алмазова (Беднодемьяновск) 66—71, 73; Я. Альтшулер (Ленинград) 66-79; И. Андриевский 70; Л. Асатрян (Ереван) 66—69, 74, 76; Г. Ахвердов (Ленинград) 66—80; Л. Ахматов (Свердловская область) 66—75, 76—80; Р. Ахметов (Казань) 67-69, 71, 72, 74, 78; Р. Багдасаров (Туркменская ССР) 67, 69, 71, 74, 75; Я. Байков (Московская область) 66—78, 80; М. Байтальский (Одесса) 72; Ш. Бакурадзе (Тквибули) 66, 67, 69, 71, 72, 74, 75, 78; Я. Балахнин (Урюпинск) 66, 68, 71, 74; Л. Бауэр (Мариинск) 66—80; М. Беккер (Черкассы) 66—80; Л. Белогуров (Дзауджикау) 66—73, 75, 76, 78; Я. Белоусов (Калинин) 66, 68—79; Р. Беляцкина (Аягуз) 66—78; С.Берколайко (Харьков) 66-78; Г.Берлин (Казань) 66—80; Я. Берман (Городок) 68, 69, 71, 74; Г. Беспальченко (Мелитополь) 66; В. Бешкарев (Горький) 66—75, 77—80; М, Богданович (Глухов) 66, 68; X. Бока (Смилятене) 73; Е. Бокоз (Краснодарский край) 66—76, 78; Н. Бокучава (Тбилиси) 67, 69, 71, 74, 75; Я. Боргер (Алма-Атинская область) 66, 67, 69—72, 74—76, 78; Е. Бугулов (Дзауджикау) 66—75, 77, 78, 80; Б. Вайнман (Киев) 66—79; Я. Вальтер (Восточно-Казахстанская область) 66— 69, 76, 78; Е. Ванновская (Тамбов) 66^69, 71, 74, 75, 78; В. Варганов (Москва) 66-69, 72—76, 78; С. Вашакмадзе (Тбилиси) 67, 69, 71, 73-76, 78; М. Веткин (Калининская область) 66—75, 77, 78; Д. Винер (Калининградская область) 66, 69, 70, 72, 73, 78; Я. Винников (Зеленогорск) 66—69, 71, 74, 76-80; /7. Вишняков (Витебская область) 66—69, 73, 75, 76; Л. Владимиров (Ялта) 66—80; Я. Волков (Алтайский край) 66—72, 74, 78; Я. Восканян (Баку) 66-71, 74, 75, 77, 78; Л. Гаас (Караганда) 66-78, 80; Я. Гальперин (Киев) 66—79; Я. Гапонов (Ворошиловградская область) 66—80; Л. Генсицкий (Станиславская область) 66, 68; Ю. Герасимов (Абакан) 66-69, 71, 72, 74—78, 80; Д. Гилевич (Грозненская область) 66, 68; Я. Гоз (Чкалов) 66—74; Я. Голайдо (Брянская область) 66—78, 80; Е. Головачев (Курская область) 66—69, 71, 74, 75; В. Голубева (Львов) 66-72, 74—78; В. Голубев (Калининская область) 66—79; Г. Голянд (Калужская область) 66, 68-74, 77, 78, 80; Я. Гопп (Казань) 66—78; К. Горев (Лукоянов) 66—80; М. Готлер (Вильнюс) 66-79; Я. Гохман (Одесса) 68, 69, 71—73, 77; Л. Григорян (Ереван) 66-69,71, 74—76, 78; Г. Гуджабидзе (Тбилиси) 67, 69, 74, 76, 78; В. Гузняев (Рязанская область) 66, 67, 69—80; Л. Гурвич (Правый берег Енисея) 66—78; Л. Дейнега (Винницкая область) 66—80; В. Демчинский (Ровно) 66—77,80; И. Десятов (Мичуринск) 66—69, 71, 74—76, 78; Ш. Джабраилов (Нуха) 67, 69, 71, 72, 74—78; Я. Дзигава (Тбилиси) 66—71,73— 78; М. Дзоценидзе (Грузинская ССР) 68, 74; Б. Диккер (Одесская область) 66—69, 71, 72, 74—76; И. Димовский (Болгария) 66, 68—71, 74; Я. Добайкин (Кемеровская область) 66—72, 74—80; Я. Доброгай (Мелитополь) 66, 70, 73, 75, 78; Я. Донченко (Ворошиловград) 66-72, 74—78, 80; Ф. Донцов (Минская область) 66—72, 74—77, 80; Б. Дудолькевич (Звенигородка) 66, 68, 69, 71, 75, 77, 78; Ф. Дрезинь (Латвийская ССР) 66-78, 80; Л. Дупло (Каменец-Подольск) 66—72, 74—78; Я. Евланов (Павелец) 67—69, 75, 78; Д. Есипович (Богородск) 66—71, 73—75, 78; Г. Железняк (Киев) 67, 69, 78. М. Жуков (Кзыл-Кич) 66, 68, 72, 73, 75; Я. Жучков (Мелитополь) 66,68—71, 74-76, 78; М. Зайденман (Бельцы) 68, 69, 74, 78; К. Зандер (Кимры) 66—68, 70—72, 74, 75, 77, 78, 79; К. Зарецкий (Курск) 66— 80; Я. Зеров (Брянская область) 66—68, 70, 71, 74, 78; Л. Зискинд (Винница) 66—75, 77, 78; Я. Зубилин (Орловская область) 66, 68, 69, 71, 73, 74, 78; Я. Иванов (Псков) 66—78, 80; И. Иванюк (Курск) 67—69, 74—76; Г. И мае (Умань) 66—78; В. Иожвиаковский (Польша) 66—72, 74, 78; М. Кабинетов (Тула) 66—69, 71, 72, 74, 75, 78, 80; Я. Каганцов (Воркута) 66—72, 74, 77; Ф. Казыдуб (Бережаны) 66—75, 77, 78, 80; Ф. Калиниченко (Синельниково) 67—69; Л. Камышев (Московская область) 66—78, 80; Г. Кандаян (Красноярский край) 67, 69—72, 74, 75, 78; Г. Капралов (Горький) 66—69, 71—78; И. Каринкин и М. Хамутдинов (Казань) 67, 68, 71, 74, 75; Ф. Карпиловский (Киевская область) 66—72, 74, 76, 78, 80; М. Карпов (Ворошиловград) 66—80; Б. Кашин (Калининская область) 66—78; Кекелия М. (Грузинская ССР) 66—80; И. Кириллов (Ярославль) 61—72, 74, 75, 78; Я. Китайгородский (Москва) 66—69, 71, 74—77; Д. Клименченко (Каменец-Подольская область) 66, 68, 69, 71,74, 78; Я. Козлов (Минская область) 66—72, 74, 75, 78; С. Колесник (Харьков) 66—80; Г. Копылов (Днепродзержинск) 66—80; Е. Коршунков (Александров) 66—69, 71—75, 77, 78, 80; М. Крайзман (Львов) 66—72, 74—78; Я. Краснов (Полоцкая область) 66—76, 78—80; Крупенюк (Винница) 66—68, 70, 74, 78; Я. Крупин (Киров) 66—71, 73—76, 78; Я. К рымов (Сумская область) 66, 67, 71, 73, 76—78; Я. Кугай (Новоград-Волынский) 66, 68, 69, 71, 74, 78; В. Кузнецов (Архангельск) 66—80; Л. Кутепов (Ворошиловск) 66—72, 74, 75, 78, 79; Е. Кутыбаев (Кзыл-Орда) 68; Я. Кухарев (Уфа) 66-78, 80; Ф. Ландер (Одесса) 66—80; Г. Лебедев (Обоянь) 66, 68, 69, 71, 74, 77; М. Лейбман (Свердловская область) 66—71, 74—79; Л. Лейман (Здолбуново) 66—77, 79, 80; Ф. Личманенко (Полтавская область) 66—80; Л. Лоповок (Проскуров) 66—77, 79, 80; Л. Лордкипанидзе (Тбилиси) 66—80; Я. Лукашевич (Киев) 66, 68, 69, 75; М. Ляндрес (Горький) 66-69, 71—75; К. Ляпин (Казань) 66—73, 75, 77—80; Л. Магеро (Витебская область) 66, 67, 71, 74—76; К. Максимов (Тамбовская область) 66—78, 80; Л. Малюгин (Горький) 66—78, 80; Af. Манукян (Казахская ССР)

67, 69, 74; В. Марченко (Ворошиловградская область) 66-80; Меладзе (Тбилиси) 67—69, 71, 74, 76, 78; Б. Мещеряков (Мичуринск) 66; Математический кружок (Туринская средняя школа) 66, 68—70, 73, 74; Математический кружок Суворовского военного училища (г. Казань) 66—80; Математический кружок педагогического училища в г. Гродно 66— 71, 74—78, 80; Математический кружок Житомирского педагогического института 66—80; Математический кружок 20 МСШ (Ворошиловград) 66; А. Мильштейн (Умань) 66—69, 71, 72, 74—78; П. Мирау (Алма-Атинская область) 66—72, 74—76, 78, 79; Б. Мирзоян (Ереван) 67, 68; В. Мишутин (Марийская АССР) 66, 67; И. Молибога (Верхний) 66—71, 73, 74, 76—78; А. Моторин 66, 68, 76; М. Мошкович (Москва) 66—80; Н. Мурашко (Калинковичи) 66 — 78, 80; А. Мурклинский (Буйнакск) 67, 68, 69, 71, 74, 78; Т. Мышакова (Одесса) 66—80; Е. Нестеренко (Наманганская область) 67—69; М. Нечепуренко (Челябинск) 66— 78, 80; В. Новиков (Пронск) 66, 70. Носков (Омская область) 66; И.Павлов (Чувашская АССР) 66—75, 78; М. Парцхаладзе (Тбилиси) 66—74, 77, 78, 80; Ф. Певишев (Шилово) 66—78, 80; П. Пеньков (Каменец-Подольская область) 66—69, 71—72; Перцель (Мелекесс) 66, 67,69, 71, 72, 74, 75, 78; М. Пилютин (Московская область) 66—78, 80; И. Писаренко (Молдавская ССР) 66—72, 74—79; С. Пищук (Золочев) 66—80; Г. Полознев (Томск) 66—68, 71, 72, 74; Ю. Попов (Ленинград) 67; П. Постников (Ряжск) 66—78; О. Потураев (Удмуртская АССР) 66-69, 71, 72; Г. Пушкаревский (Башкирская АССР) 66, 68, 74, 78; В. Рабинович (Северо-Казахстанская область) 66—74, 76—78, 80; Н. Рассанов (Башкирская АССР) 66, 68—72, 74—80; Б. Рахмель (Сталинская область) 66—79; Г. Рачинский (Изберг) 66-78,80; П. Резвое (Суздаль) 66—69,71, 73-76; В. Розентуллер (Ленинград) 66, 68, 69, 72, 74, 76—78; Н. Романчук (Харьковская область) 71, 72, 74; П. Рубцов (Спирово) 66-69, 71, 72, 74-76, 78, 80; Г. Сакович (Киев) 66-79; В. С алей (Сумы) 66-72, 74, 76, 78; Н. Сандров (Старый Крым) 66—78, 80; В. Саннинский (Ворошиловград) 66—78, 80; Г. Саркисьян (Москва) 66—80; И. Сахаев (Чкаловская область) 66—71, 74, 76, 80; В. Савостьянов (Рудня Камышинская) 66—69, 74, 75, 78; Г. Сенников (Горький) 66, 68, 70-72, 74, 76; И. Сергачев (Малоярославец) 66—69$ 71—75; Ф. Сергиенко (Запорожье) 66—71, 74—80; М. Сиверивер (Молдавская ССР) 66—67; Н. Сидоренко 68, 59, 71; С. Синакевич (Ленинград) 66—72, 74—78, 80; Н. Силантьев (Мордовская АССР) 68t 74, 75, 78; И. Слепухин (Ворошиловград) 66—78, 80; Г. Стамболцян (Ленинакан) 66—75, 78, 80; В. Стасюк (Стрый) 66—80; П. Стоянчев (Ворошиловградская область) 66, 68; Н. Твердое (Воскресенск) 66—80; Н. Терещенко (Читинская область) 67, 68, 70, 71, 74,76, 78; Я. Гитов (Казань) 66—80; М. Тихонова (Скопин) 67, 68, 75; В. Токарев (Сталинская область) 66—78, 80; П. Томразов (Киев) 66—72, 74—80; М. Торбик (Брянская область) 66—72, 74—80; А. Тралмак (Ленинград) 66—78, 80; Г. Трофименко (Красноярск) 67, 68, 71, 72, 74; А. Трофимов (Башкирская АССР) 66- 69, 71, 78; С. Тубин (Омск) 66—71, 74-77; К. Тур (Полтавская область) 66—71, 74, 78; К. Устинова (Лениногорск) 66, 67, 69, 71, 74, 76-78; В. Утемов (Красноуфимск) 66—80; Е. Файнштейн (Кишинев) 66—80; Н. Фокин (Смоленск) 66-78, 80; Я. Фомкин (Каменец-Подольск) 66—78; И. Федотов (Казань) 66-78, 80; А. Хавтаси (Батуми) 66-68, 71, 76; А. Хасянов (Горьковская область) 67, 74; Af. Хуторян (Одесса) 66—80; Б. Цакоев (Рязанская область) 66—80; Г. Чепкасов (Нефтегорск) 66- 69, 71—76; М. Червонный (Геленджик) 66—78, 80; В. Чередниченко (Ворошиловградская область) 66—72, 74— 78, 80; П. Черепанов (Курганская область) 66—68, 71, 74, 78; М. Черепнин (Караганда) 66—67, 80; К. Чесноков (Проскуров) 66—78, 80; Э. Чибисов (Молдавская ССР) 66-72, 74, 77, 79, 80; П. Чучукин (Галич) 66-72, 74-80; М. Шатохин (Орел) 66—80; М. Шебаршин (Кемеровская область) 66—78, 80; Л. Шевелев (Орел) 66-80; В.Шевченко (Алтайский край) 66—69, 72, 74, 75, 78; Н. Шерман (Астрахань) 66—71, 73-75, 77, 78; Ю. Шустов (Ленинград) 66, 69—72, 74-79; И. Эпельфельд (Горький) 66—76; Л. Южаков (Шадринск) 66-80; Я- Юновер (Кишинев) 66-68, 70, 73, 75, 77; Ф. Яремчук (Дрогобыч) 66-74, 77; Э. Ясиновый. (Куйбышев) 66—78, 80; Л. Медведев (Себряково) 66—71, 73—78, 80.

От редакции. В № 1 (1951 г.) журнала «Математика в школе» вкрались следующие погрешности:

В задаче № 11 напечатано:

следует читать:

В задаче № 16 (6-я строка снизу) напечатано: а Кирилл, пятиклассник и восьмиклассник..; следует читать: а Кирилл и десятиклассник...

Срок присылки решений задач, помещенных в № 1 1951 г., продлен до 15 апреля.

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Стр.

П. М. Котельников — О функциональных уравнениях, определяющих тригонометрические функции ....................................... 1

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

И. А. Марон — Педагогическое наследие М. В. Остроградского.............. 13

В. Е. Прудников — Об одной русской математической рукописи XVII в.......... 23

ИТОГИ ОСЕННИХ ИСПЫТАНИИ В ВУЗЫ И ТЕХНИКУМЫ

Н. о. Решов — О приемных испытаниях по математике в высшие учебные заведения ... 25

Н. А. Курицын — О приемных испытаниях в Ярославский педагогический институт имени К. Д. Ушинского................................... 35

Г. Сенников — О результатах приемных экзаменов в Горьковском педагогическом институте им А. М. Горького................................ 38

п. М. Савчук — О приемных экзаменах в Сталиногорский горный техникум........ 43

М. Г. Парафило — О недостатках в знаниях по математике окончивших семилетние школы 47

Г. С. Кильдишев — О некоторых недостатках в знании арифметики поступающих в вузы . . 50

МЕТОДИКА

И. К. Андронов и В. М. Брадис — Величина и ее значение................ 51

ИЗ ОПЫТА

а. А. Буданцев — О функциональной трактовке уравнений, неравенств и тождественных преобразований .................................... 70

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

т. а. Песков — Об учебнике геометрии Н. А. Глаголева.................. 78

К. П. Сикорский — К вопросу о структуре учебника геометрии.............. 81

И. Г. Альтшулер — Поправки к книге Г. Л. Невяжского «Неравенства».......... 82

ХРОНИКА

н. а. Курицын — Работа Ярославского областного института усовершенствования учителей 83

е. д. Губа — Первая математическая олимпиада в Сталинграде.............. 85

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 5 за 1950 год...................... 88

Задачи.........................................' . 93

Сводка решений по № 5 за 1950 г............................. 94

Редакционная коллегия Редактор А. Н. Барсуков. Зам. редактора С. И. Новоселов. Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин.

Зав. редакцией Ф. М. Мидлер.

Технический редактор В. С. Якунина. Корректор М. Никичич, _Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6. Учпедгиз, Министерство просвещения РСФСР.

Сдано в производство 12/1 1951 г. Подписано к печати 2/III 1951 г. Учетно-изд. л. 11,31.

А 02710. Заказ 73. Тираж 50 000 экз.

Печ. зн. в п. л. 72 000._Цена 4 р. 50 к._Бумага 82Xl081/i6 = 3 бумажн. л.—9,84 п. л.

13-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Москва, Гарднеровский пер., 1а.