МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

1

УЧПЕДГИЗ МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

1951

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ОРГАН МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

№ 1

ЯНВАРЬ—ФЕВРАЛЬ 1951г.

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ МАТЕРИАЛИСТИЧЕСКОЙ ДИАЛЕКТИКИ В МАТЕМАТИКЕ

Н. П. ШАРОВАТОВ (Москва)

Учитель советской школы призван воспитывать учащихся в духе коммунистических идей и постепенно формировать у них научное коммунистическое мировоззрение, учитывая при этом возраст учащихся, степень их теоретической подготовки и правильно оценивая возможность понимания ими вопросов теории различной трудности. Основой всей нашей воспитательной работы является учение Ленина — Сталина.

Политическое просвещение учащихся в духе их постепенного ознакомления с важнейшими положениями и выводами марксистско-ленинской теории, в духе постепенного привития им мировоззрения большевистской партии— диалектического материализма — является важнейшей частью воспитания, осуществляемого в процессе обучения.

Для выполнения этой задачи недостаточно ограничиваться учителю простым текстовым абстрактным пересказом учащимся отдельных положений марксистско-ленинской теории из трудов классиков марксистско-ленинской науки.

Настоящее, творческое выполнение задачи привития учащимся в процессе обучения мировоззрения большевистской партии — диалектического материализма—мыслимо лишь на базе умелой связи важнейших положений марксистского диалектического метода и материалистической теории с отдельными положениями наук, изучаемых в школе. Эта связь должна выражаться в оживлении и расширении научных понятий и определений путем их объяснения з свете требований основных черт марксистского диалектического метода.

Классики марксистско-ленинской науки в своих трудах показали исключительное значение марксистского диалектического метода как сильнейшего и незаменимого средства научного познания.

Энгельс от своего имени и от имени Маркса назвал марксистскую диалектику своим лучшим орудием труда и острейшим оружием (Ф. Энгельс, Людвиг Фейербах, изд. 1945г., стр. 32).

Ленин отметил, что гениальный шаг вперед Маркса и Энгельса в истории революционной мысли заключается в том, что они применили материалистическую диалектику к переработке всей политической экономии, к истории, к естествознанию, к философии, к политике и тактике рабочего класса.

В своих гениальных «Философских тетрадях», в знаменитом фрагменте «К вопросу о диалектике» Ленин разъясняет и утверждает, что «...всему познанию человека вообще свойственна диалектика». «Диалектика и есть теория познания марксизма...» (Ленин, Философские тетради, изд. 1947 г., стр. 329). В этом же фрагменте Ленин указывает, что основная беда «метафизического» материализма заключается в неумении применять диалектику к теории отражения, к процессу и развитию познания.

Сталин в своем гениальном труде «О диалектическом и историческом материализме» с исчерпывающей ясностью и предельной четкостью определил основные черты марксистского диалектического метода и марксистского философского материализма и показал всесильное значение материалистической диалектики как орудия научного познания и перестройки мира.

Успешная работа учителей советской школы по повышению своей научной квалификации

и педагогического мастерства по воспитанию учащихся в духе коммунистических идей немыслима без тщательного и систематического изучения учителями трудов Маркса, Энгельса, Ленина, Сталина, в которых раскрывается творческое значение для практической деятельности партии пролетариата и для развития науки различных положений диалектического материализма.

В этой статье поставлена задача — привести некоторые примеры применения положений диалектического материализма к объяснению отдельных вопросов математики. По своему характеру эта статья предназначена для преподавателей, но она не является методической разработкой в обычном смысле этого слова. По содержанию рассматриваемых вопросов статья почти не выходит за рамки программы по математике в средней школе, только в одном примере — о дифференциальных уравнениях — трактуемый вопрос не входит в программу средней школы, но знакомство с этим вопросом может быть полезно для преподавателя в смысле расширения его общего научного кругозора.

Материал статьи, по мнению автора, предназначен, по выбору в каждом отдельном случае самим преподавателем, для бесед с учащимися старших классов (VIII, IX, X) и для изучения математики в кружках.

I. Диалектика в некоторых вопросах истории развития математики

§ 1

Древнегреческий философ Аристотель разбивал величины на две, качественно отличные друг от друга, категории. К одной из этих категорий относились числа, которые назывались величинами раздельными, а к другой — протяжение времени, длины линий, объемы тел и т. п., т. е. величины, наблюдаемые в природе; эти величины назывались сплошными. Различие этих двух категорий величин усматривалось в их свойстве якобы неодинаковой изменяемости. Считалось, что число может изменяться только скачками. Представление о скачкообразном изменении числа появилось как следствие изучения изменения ряда натуральных чисел, в котором переход от одного числа к другому скачкообразен. Это представление у древних было так непоколебимо, что оно не было изменено даже при расширении понятия о числе путем введения дробных и иррациональных чисел. Сплошным же величинам придавалось свойство непрерывной (постепенной, нескачкообразной) изменяемости.

Законы, относимые к одной категории величин, считались неприменимыми к другой категории величин (геометрия Евклида почти не имеет числовых соотношений, она развивается чисто конструктивно).

При таком противопоставлении числа величине математика древних, конечно, не могла быть серьезным орудием изучения явлений природы и глубокого изучения свойств вещей. Ввиду отрыва свойств изменения числа от свойств изменения величин, наука о свойствах чисел не могла значительно способствовать уяснению природных процессов и, в свою очередь, наука о природных явлениях (физика) не могла значительно способствовать развитию науки о числе. Эта изоляция между понятием числа и понятием сплошной величины была пробита в XVIII веке путем введения учения о бесконечно малых величинах. Скачкообразный процесс изменения числа может стать копией изменения сплошной величины, если приращения изменений числа назначать бесконечно малыми. При этом число лишается грубого скачкообразного свойства, оно становится тонким и гибким; при помощи такого числа становится возможным изобразить его изменением процесс изменения величины, наблюдаемой в природе, т. е. сплошной величины.

Анализ бесконечно малых величин, пробив изоляцию между понятиями числа и сплошной величины, разрешил тем самым серьезное затруднение древней математической науки и послужил отправным моментом в новом быстром развитии математики, ставшей в наши дни серьезнейшим орудием изучения природы и технического прогресса. Идея непрерывности, позволившая придать числу свойства гибкости, благодаря чему стало возможным путем его (числа) изменения изображать изменение величин, появилась не из самой математики.

Эта идея не была результатом какого-либо дедуктивного математического вывода, эта идея — методологическая, она появилась как результат изучения явлений природы, техники, в порядке распространения свойств изменяемости, присущих реальным природным величинам, на свойства чисел.

Капитализм, начавший свое развитие в европейских странах еще в первой половине XVII в., характеризующийся, между прочим, переходом от ремесла и ручного мануфактурного производства к производству с машинной техникой, ставил перед механикой и математикой вопросы об использовании науки для развития техники, которые могли решаться лишь в порядке сближения математических и механических проблем с задачами развития производства, техники. Таковы общественно-экономические условия, способствовавшие внедрению в математику идеи непрерывности.

Итак, идея непрерывности, положившая конец укоренившемуся в древности понятию о скачкообразном свойстве изменения числа и завершившаяся появлением учения о бесконечно-малых величинах (которое стало отправным моментом в новой стадии развития математики), эта идея абстрагирована из природы. В абстрагировании идей из природы заключается один из существенных приемов диалектического метода. « .. .история природы и человеческого общества — вот откуда абстрагируются законы диалектики» (Ф. Энгельс, Диалектика природы, изд. 1946 г., стр. 40).

§ 2

Трудно переоценить значение аналитической геометрии в развитии всей математики. Она дает способы алгебраического решения различных геометрических задач, главным образом таких, в которых числовыми соотношениями выражается положение (а не только размеры) геометрических фигур. Наоборот, по геометрическому свойству фигуры можно написать уравнение, представляющее эту фигуру.

С появлением аналитической геометрии математика вышла на широкую дорогу своего развития и вскоре превратилась в мощное орудие исследования многих явлений природы и технического прогресса. Это обращение математики к изучению явлений природы и вопросам техники чрезвычайно оживило ее тяжелый, абстрактный, символический язык; вопросы математики стали приобретать животрепещущий характер. Тяжеловесный формализм потерял право своего исключительного господства в математике, в ней стал иметь значимость метод геометрической наглядности и убедительности аналогов природных явлений и технических процессов. Все это способствовало быстрому прогрессу математики.

Аналитическая геометрия основана на применении координат. Координаты — это переменные величины, определяющие положение точки на плоскости или в пространстве. Таким образом, введение в математику переменной величины явилось событием исключительной важности. Благодаря идее переменной величины стала возможной аналитическая геометрия, внесшая оживление во всю старую математику, направившая ее на сближение с природой и техникой. Вот что по этому вопросу писал Энгельс: «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем» (Ф. Энгельс, Диалектика природы, изд. 1946 г., стр. 208).

В своей знаменитой книге «Геометрия» (1637 г.) основатель аналитической геометрик Декарт писал: «Мимоходом попрошу вас заметить, что воздержание древних от употребления понятий арифметики в геометрии могло происходить только от неясного понимания отношения между ними; это воздержание производило много неясности и затруднений» (цитата взята из книги Шереметьевского «Элементы высшей математики», изд. 1919 г., стр. 313),

Из этого видно, что Декарт совершенно игнорирует те логические основания, которые в античной математике привели к разделению чисел (раздельных величин) и величин сплошных. Такое разделение чисел и величин противоречило основам аналитической геометрии к поэтому признавалось Декартом несостоятельным. Декарт видел свойство непрерывной изменяемости числа; противопоставление же понятия о числе понятию о сплошных величинах (с которыми имеет дело геометрия) он отбросил как совершенно несостоятельное, несогласное с жизнью, с опытом.

Игнорирование Декартом давнего, но ненаучного методологического принципа, выражающегося в «воздержании древних от употребления понятий арифметики в геометрии», не вытекало, конечно, из математических определений, аксиом и теорем в порядке выводов по законам дедукции или индукции. Истинно научный, смелый шаг Декарта, выразившийся в применении арифметики и алгебры к геометрии, объясняется отчасти критическим методом Декарта, а главным образом его стихийным обращением в данном случае к практике в деле: установления истинности своих заключений.

Научная деятельность времён Декарта (времён зарождающегося капитализма на основе перехода от ручного производства к машинному) испытывала сильное влияние потребностей использования науки для развития техники. При таких условиях, сближавших математику с механикой и техникой, несостоятельность противопоставления понятия числа понятию сплошных величин становилась особо заметной. Таким образом, это противопоставление было отброшено Декартом в силу данных практики, т. е. в силу данных общественно-исторической деятельности людей, в которую как составная часть входит и научная деятельность.

Роль практики как основы познания и критерия истинности открыта и научно разработана лишь классиками марксизма-ленинизма. Рассмотрение познания в его неразрывной связи с

практикой, т. е. с общественно-исторической деятельностью людей, является важнейшим требованием диалектического материализма, требованием марксистско-ленинской науки. Неразрывная связь теории с практикой является основой всякой передовой науки, что в наше время с особой силой и убедительностью доказано товарищем Сталиным.

«Данные науки всегда проверялись практикой, опытом. Наука, порвавшая связь с практикой, с опытом, — какая же это наука?... Наука потому и называется наукой, что она не признает фетишей, не боится поднять руку на отживающее, старое и чутко прислушивается к голосу опыта, практики.

Если бы дело обстояло иначе, у нас не было бы вообще науки, не было бы, скажем, астрономии и мы все еще пробавлялись бы обветшалой системой Птоломея, у нас не было бы биологии и мы все еще утешались бы легендой о сотворении человека, у нас не было бы химии и мы все еще пробавлялись бы прорицаниями алхимиков» (И. Сталин, Вопросы ленинизма, изд. 11-е, стр. 502).

§ 3

Практикой, как критерием математических понятий, мастерски пользовался гениальный русский ученый Н. И. Лобачевский, тонко понимавший сложнейшие вопросы математики.

«Всем известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времен Евклида в продолжение двух тысяч лет заставило подозревать, что в самых понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения» (Н. И. Лобачевский, том 2-й, стр. 147, М.—Л. 1949 г.)

Итак, по Лобачевскому, истина еще не заключается в самих понятиях, истина нуждается в проверке опытом. Читаем далее Н. И. Лобачевского:

«Первые данные без сомнения будут всегда те понятия, которые мы приобретаем в природе посредством наших чувств. Ум может и должен приводить их к самому меньшему числу, чтобы они служили потом твердым основанием науке». (Цитировано по книге Гнеденко, стр. 95.)

Н. И. Лобачевский был исключительно тонким и глубоким мыслителем. Он показал гениальные примеры абстрактного мышления. Его ум с необыкновенной силой проникал в глубины различных областей математики. Созданием неевклидовой геометрии Лобачевский сделал крупнейший и принципиальный вклад в науку и стяжал себе неувядаемую мировую славу.

После создания новой геометрии Лобачевского наглядную несостоятельность получило реакционное учение рационалистов о врожденных идеях и реакционное учение Канта об априорных истинах.

Новая геометрия Лобачевского нанесла удар тысячелетней математической косности и подготовила почву для современной теории относительности. Гениальный Лобачевский, утверждавший, что истина еще не заключается в самих понятиях, истина нуждается в проверке опытом, первые данные — это те понятия, которые мы приобретаем в природе посредством наших чувств,—содержание науки видел в том, «что на самом деле существует». В своей работе «О важнейших предметах воспитания» он уже тогда ставил перед университетом задачу — учить «тому, что на самом деле существует, а не тому, что известно одним праздным умам».

Заключение Лобачевского о том, что истина еще не заключается в самих понятиях математики, что истина — это то, что на самом деле (т. е. в действительности, в реальности) существует, положенное в основу создания новой геометрии, имело принципиальное значение для дальнейшего развития математики как науки потому, что оно направляло ум ученых, работавших над различными «неразрешимыми» вопросами, не на формальные логические категории старой математики, а на аналоги живой жизни, природы, техники.

В наше время марксистско-ленинская наука доказала полную несостоятельность метафизики, склонности к формалистической ограниченности понятий и провозгласила в науке принцип всестороннего исследования явлений, предметов и понятий. Вот гениальные указания по этому вопросу великого Ленина: «Логика формальная, которой ограничиваются в школах (и должны ограничиваться — с поправками — для низших классов школы), берет формальные определения, руководясь тем, что наиболее обычно или что чаще всего бросается в глаза, и ограничивается этим. Если при этом берутся два или более различных определения и соединяются вместе совершенно случайно..., то мы получаем эклектическое определение, указывающее на разные стороны предмета и только.

Логика диалектическая требует того, чтобы мы шли дальше. Чтобы действительно знать предмет, надо охватить, изучить все его стороны, все связи и «опосредствования». Мы никогда не достигнем этого полностью, но требование всесторонности предостережет нас от ошибок и от омертвения. Это во 1-х. Во 2-х, диалек-

тическая логика требует, чтобы брать предмет в его развитии, «самодвижении» (как говорит иногда Гегель), изменении... В 3-х, вся человеческая практика должна войти в полное «определение» предмета и как критерий истины и как практический определитель связи предмета с тем, что нужно человеку. В 4-х, диалектическая логика учит, что «абстрактной истины нет, истина всегда конкретна»... (Ленин, т. 32, изд. 1950 г., стр. 72).

II. Об освещении Энгельсом некоторых вопросов математики в свете требований марксистского диалектического метода

§ 1

Виднейший немецкий физик Гельмгольц (заметим, не знавший диалектики и потому часто допускавший грубые ошибки в теории познания) однажды написал, что он «всегда находил, что основные физические понятия работы и ее неизменности с большим трудом даются тем лицам, которые не прошли через школу математической механики, несмотря на все усердие с их стороны, на все их способности...»,

По поводу приведенного замечания Гельмгольца Энгельс высказался не без иронии: «...мы вступаем теперь в очень опасную область, тем более, что у нас нет возможности провести читателя «через школу математической механики». Но, может быть, удастся показать, что гам, где дело идет о понятиях, диалектическое мышление приводит по меньшей мере к столь же плодотворным результатам, как и математические выкладки» (Ф. Энгельс, Диалектика природы, изд. 1946 г., стр. 62).

На это высказывание Энгельса всем математикам следует обратить серьезное внимание. Надо упорно учиться пользоваться диалектическим методом в разъяснении различных вопросов математики. Энгельс в двух своих важнейших трудах — «Анти-Дюринг» и «Диалектика природы» —уделил немалое внимание вопросам математики. В «Анти-Дюринге», вследствие полемического характера этого труда, глубокие, истинно диалектические, чрезвычайно яркие суждения Энгельса по вопросам математики расположены в разных местах книги, но их нетрудно при желании собрать воедино для большего удобства изучения. В «Диалектике природы» в различных статьях и заметках встречаются также исключительно ценнейшие высказывания по вопросам математики, а в заметке «Математика» на 14 страницах Энгельс дал систематическое рассмотрение различных математических вопросов. Суждения Энгельса по вопросам математики кратки, но они свежи и новы, глубина их диалектической разносторонности вносит исключительную ясность в существо математических абстракций. Замечания Энгельса по вопросам математики представляют собой неоценимый вклад в математическую науку и являются замечательными образцами применения творческого диалектического метода к исследованию понятий, неверно трактуемых многими математиками-идеалистами, невежественными в области материалистической диалектики. Нельзя глубоко понять математику, не изучив всего того, что оставил нам Энгельс по этому вопросу.

Математическим аксиомам, с которых обычно начинаются школьные геометрия и алгебра, Энгельс не придавал большого значения. Относительно главнейших из этих аксиом — «целое больше части» и «если две величины порознь равны третьей, то они равны между собой» — Энгельс высказал следующее: «Этими тощими положениями ни в математике, ни где-либо вообще никого не соблазнишь. Чтобы подвинуться дальше, мы должны привлечь реальные отношения, отношения и пространственные формы, отвлеченные от действительных тел» (Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, изд. 1945 г., стр. 38).

Основное, на что обращает внимание Энгельс при трактовке вопросов математики, — это тождество противоположностей. Это основное Энгельс подчеркивает даже и в низшей математике (см. «Анти Дюринг», изд. 1945 г., стр. 114). В высшей же математике тождество противоположностей подчеркивается Энгельсом буквально на каждом шагу. Энгельс считает, что диалектическое мышление пронизывает весь метод высшей математики, занимающейся переменными величинами. «Как математика переменных относится к математике постоянных величин, так вообще диалектическое мышление относится к метафизическому» (см. «Анти-Дюринг», стр. 115).

Энгельс отдает должное самим математическим методам и способам доказательств, обращая внимание на то, что диалектика не является «каким-то инструментом простого доказывания, подобно тому, как при ограниченном понимании можно было бы считать подобным инструментом формальную логику или элементарную математику» (см. «Анти-Дюринг», стр. 126—127). Конкретное знание предмета, вопроса расценивается Энгельсом как первейшее условие изучения. Только при солидном конкретном знании предмета, вопроса, явления диалектический метод поможет раскрыть глубокую сущность этого предмета, вопроса, явления.

Это особенно ясно сказано Энгельсом при пояснении одного из законов диалектики (отрицание

отрицания). «Для каждого вида предметов, как и для каждого вида представлений и понятий, существует, следовательно, свой особый вид отрицания, такого именно отрицания, что при этом получается развитие. В исчислении бесконечно малых отрицание происходит иначе, чем при по 1учении положительных степеней из отрицательных корней. Этому приходится учиться, как и всему прочему. С одним знанием того, что ячменный колос и исчисление бесконечно малых охватываются понятием «отрицание отрицания», я не смогу ни успешно выращивать ячмень, ни дифференцировать и интегрировать, точно так же, как знание одних только законов зависимости тонов от размеров струн не дает еще мне умения играть на скрипке» (см. «Анти-Дюринг», стр. 133— 134).

Диалектику Энгельс рассматривает, прежде всего, как метод для отыскивания новых результатов для переходов от известного к неизвестному (см. «Анти-Дюринг», стр. 126).

Вот важнейшие высказывания Энгельса о математике переменных величин и ее методе: «Математика переменных величин, самый значительный отдел которой составляет исчисление бесконечно малых, есть по своей сущности не что иное, как применение диалектики к математическим отношениям. Простое доказывание отступает здесь решительно на второй план в сравнении с многообразным применением этого метода к новым областям исследования» (см. «Анти-Дюринг», стр. 127).

В немногих, но ярких словах Энгельс раскрывает глубокое и вместе с этим простое существо важнейших математических понятий. Подчеркивая разносторонность этих понятий, их проникновение друг в друга, их противоположности и развитие на основе противоречий, Энгельс тем самым срывает с них заскорузлую формалистическую завесу, препятствующую творческой человеческой мысли проникнуть в глубь математических идей.

Теперь, после общих замечаний относительно применения диалектического метода в математике, приведем некоторые примеры конкретного применения диалектического метода к трактовке отдельных математических вопросов.

Обратим внимание только на некоторые вопросы, которых Энгельс коснулся в своих замечаниях «Математика», в «Диалектике природы». Постараемся к трактовке этих вопросов подобрать соответствующие примеры, поясняя их на основе высказываний Энгельса.

§ 2

Первоначальные понятия об отрицательных числах даются в курсе школьной алгебры (см., например, учебник по алгебре А. Киселева)

обычно таким образом: приводится несколько примеров величин, которые могут иметь прямо противоположные направления, и зитем говорится, что числа, изучаемые в арифметике, служат для выражения таких величин, направление которых не рассматривается, а числа, рассматриваемые в алгебре, служат для выражения размера величин и их направления. Величину, принимаемую в каком-нибудь одном смысле, выражают числом со знаком плюс, а ту же величину, понимаемую в противоположном смысле, выражают числом со знаком минус.

Недостаточность сведений об отрицательных числах в разделах средней алгебры, изучаемых в младших классах школы, не может считаться дефектом: на первых ступенях изучения предмета излишняя широта понятий вредна, на первых ступенях подчеркивается наглядность и конкретность предметов. Однако в старших классах средней школы такому вопросу, как отрицательные числа, необходимо давать более широкое и многостороннее истолкование, углубляя тем самым существо этого вопроса.

Укажем, что характерное подмечает Энгельс в понятии отрицательной величины. «Отрицательные величины алгебры реальны лишь постольку, поскольку они соотносятся с положительными величинами, реальны лишь в рамках своего отношения к последним; взятые вне этого отношения, сами по себе, они носят чисто воображаемый характер» (Ф. Энгельс, Диалектика природы, изд. 1946 г., стр. 212). И далее: «Но алгебраическая абстракция рассматривает их (отрицательные величины) как действительные, самостоятельные величины (имеющие значение) также и вне отношения к некоторой большей, положительной величине» (Там же, стр. 213).

Эти замечания Энгельса особо ценны тем, что они исключают возможности всяких кривотолков и мистификации в понятии отрицательного числа.

Итак, реальность отрицательных величин алгебры имеет место только при существовании соответствующих положительных величин, только в связи с положительными величинами. Отбросьте положительные величины, и вы увидите, что отрицательные величины не будут нуждаться в знаке минус. Например, возьмем ось AB и выберем на ней точку О начала отсчета положительных и отрицательных чисел, выражающих меру каких-либо положительных и отрицательных величин. Числа, находящиеся вправо от точки О,—положительные и влево — отрицательные. Отбросив всю часть оси, находящуюся вправо от точки О, мы получим ось АО, содержащую отрицательные числа —1, — 2, —3, но при отсутствии положительных

чисел мы видим, что знак минус при числах 1,2, 3 на оси АО уже не имеет никакого смысла, он ничего не выражает. Ясно, что отрицательные числа имели реальный характер, т. е. выражали обратное направление при их сопоставлении с положительными числами, выражающими прямое направление.

Можно условиться: расстояние от Москвы в сторону Архангельска считать положительным, а расстояние в сторону Харькова — отрицательным. Это будет иметь смысл и может представить удобства хотя бы в том, чтобы говорить или писать кратко «расстояние от Москвы с минусом» вместо того, чтобы говорить или писать «расстояние от Москвы в сторону Харькова». Но если придется считать расстояние от Москвы только в сторону Харькова, то будет бессмысленно говорить о расстоянии со знаком минус, так как в этом случае минусовым расстояниям никакое противоположное расстояние не противопоставляется.

Заключение Энгельса о том, что отрицательные величины алгебры реальны лишь в соотношении с положительными величинами, является прекрасным примером, подтверждающим научно-познавательную ценность такой основной черты марксистского диалектического метода, которая констатирует органическую связь предметов друг с другом и их взаимную обусловленность. В силу этой черты диалектический метод считает, что «любое явление может быть понято и обосновано, если оно рассматривается в его неразрывной связи с окружающими явлениями, в его обусловленности от окружающих его явлений» (И. Сталин, Вопросы ленинизма, изд. 11, 1945 г., стр. 356).

Итак, отрицательные числа могут быть правильно поняты, и их приложимость к пояснению реальных предметов и явлений может быть правильно уяснена в свете всестороннего подчеркивания и выяснения связи отрицательных чисел с числами положительными. Без этой связи само понятие об отрицательных числах невозможно.

Глубокий смысл существа указанной одной из основных черт диалектического метода, устанавливающей неразрывную связь явлений, предметов, понятий друг с другом и их взаимную обусловленность и требующей поэтому рассматривать и изучать явления, предметы, понятия только в неразрывной связи друг с другом и в их взаимной обусловленности, дает возможность нам живо и всесторонне объяснять многие математические понятия, освобождая их от формалистической однобокости, закостенелости и кажущейся, с первого взгляда, их изолированности от других понятий.

Вот некоторые примеры на этот счет. Какое-нибудь число из натурального ряда чисел, например, хотя бы число 5, на первый взгляд может казаться абсолютно самостоятельным, ничем не связанным с другими числами. Но при первой же попытке дать числу 5 какое-нибудь расширенное толкование мы неизбежно наталкиваемся на связь числа 5 с другими числами и на их взаимную обусловленность. Для того чтобы знать число 5, надо раньше знать числа меньше пяти (4, 3, 2 и т. д.) и больше пяти (6, 7, 8 и т. д.), без понятия о которых невозможно и понятие о числе 5. Кроме того, каждому известно, что число 5 (так же как и любое другое число) может быть представлено как сумма или разность многих других чисел. Не говоря о многих других возможностях представления любого числа, мы видим, что уже и приведенных примеров раскрытия понятия числа вполне достаточно для подтверждения неосновательности поверхностного мнения о кажущейся с первого взгляда абсолютной самостоятельности и изолированности понятия о числе.

Глубокие суждения о причинах разделения на части многосложных исследуемых предметов высказал великий русский революционер-демократ Н. Г. Чернышевский. В своем великолепном труде «Антропологический принцип в философии» он привел прекрасный пример из математики по вопросу о необходимости при научных исследованиях всегда помнить о связи отдельных, частных понятий с более широкими понятиями об исследуемом предмете, без которых частные понятия могут стать совершенно бессодержательными.

«Когда исследуемый предмет очень многосложен, то для удобства исследования полезно делить его на части... Но тут опять надо помнить, что... разные стороны его разделяются только теориею, чтобы облегчить теоретический анализ, а в действительности составляют одно неразрывное целое. Так, геометрия разлагает круг на окружность, радиусы и центр, но в сущности радиуса нет без центра и окружности, центра нет без радиуса и окружности, да и окружности нет без радиуса и центра — эти три понятия, эти три части геометрического исследования о круге составляют все

Черт. 1

вместе одно целое» (Н. Г. Чернышевский, Антропологический принцип в философии, ОГИЗ, 1948, стр. 71).

§ 3

Для буржуазной математической литературы характерны формалистические и даже мистические высказывания, например, о комплексных и мнимых числах в таком духе: « Комплексное число — это тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием» (Лейбниц).

Такой эпиграф к главе «Комплексное представление периодических явлений» выбрали буржуазные математики Карман и Био в своей книге «Математические методы в инженерном деле» (Гостехиздат, 1946, перевод с английского).

Конечно, понятие комплексного числа представляет собой тончайшее творение человеческого ума, но приведенная характеристика комплексного числа Лейбницем насквозь идеалистична и не поясняет, а искажает существо комплексного числа. Интересно противопоставить приведенному, по существу мистическому, понятию комплексного числа ясное и четкое высказывание Энгельса о мнимых числах. «Обыкновенные математики метафизического пошиба горделиво кичатся абсолютной непреложностью результатов их науки. Но к этим результатам принадлежат также и мнимые величины, которым тем самым тоже присуща известного рода реальность. Однако, если только мы привыкнем приписывать корню квадратному из минус единицы или четвертому измерению какую-либо реальность вне нашей головы, то уже не имеет особенно большого значения — сделаем ли мы еще один шаг дальше, признав также и спиритический мир медиумов» (Ф. Энгельс, Диалектика природы, изд. 1946 г., стр. 38).

Итак, по Энгельсу, мнимые величины имеют известного рода реальность как результат математической науки, как результат ее выводов, но никакой реальности вне нашей головы мнимые величины не имеют. Следовательно, они имеют чисто воображаемый характер, если их трактовать в свете формально логических определений алгебры, не прибегая к геометрическому их представлению, заключающемуся, например, в том, что комплексному числу z =* = X -f yl сопоставляется точка плоскости с координатами х, у.

Несмотря на то, что мнимые числа в свете алгебраических формально логических определений имеют воображаемый характер, Энгельс подчеркивает их большое значение в математике (см. Анти-Дюринг, изд. 1945 г., стр. 114).

При стремлении извлечь из отрицательных чисел квадратный корень мы получаем так называемые мнимые числа, которые могут оправдать цель их введения хотя бы тем, что при их применении многие труднейшие математические действия и задачи получают упрощенное (а иногда, может быть, и единственно возможное при настоящем уровне математической науки) решение. Представление об отрицательных числах и стремление извлекать из них квадратный корень, приведшее к понятию мнимых чисел, не является каким-то случайным или необоснованным взлетом фантазии, — это вытекает из математической практики, из попыток распространить на отрицательные числа правила действий над обыкновенными числами.

Многие задачи школьной алгебры приводят к представлению об отрицательных числах как о самостоятельных, существующих вне их отношения к положительным числам. Вот, например, одна из таких задач из учебника по алгебре Киселева: «Моторная лодка спустилась по течению реки на расстояние 28 км и тотчас же вернулась назад; на это ей потребовалось 7 часов. Найти скорость движения лодки в стоячей воде, если известно, что вода в реке движется со скоростью 3 км в час».

Решая эту задачу, получим уравнение:

(через X обозначена скорость движения лодки в стоячей воде), которое можно написать в следующем виде:

или, по разделении всех членов на 7, в таком виде:

Решая последнее уравнение по известной формуле:

найдем,что

Оба найденных значения х удовлетворят уравнению х1 — Sx — 9 = 0, но для задачи, из которой выведено это уравнение, отрицательное значение х = — 1 не годится, так как оно ничего не выражает из реальных условий задачи (в задаче отрицательная скорость движения лодки не может быть допущена).

Обратим внимание на то, что при решении рассмотренной задачи отрицательное значение

скорости получилось не как мера реальной скорости движения, а в результате схематики математических операций. Значение скорости, равное-—1, нельзя противопоставить скорости положительной, так как отрицательное значение скорости ничего не выражает из реальных условий задачи.

Отрицательные числа, получающиеся в результате схематики математических операций и ничего не выражающие из реальных условий задачи, есть чисто воображаемые числа.

Практика решений квадратных уравнений приводит нас к мнимым числам. Как известно, при решении уравнения x2+px+q = О, в случае соотношения (^г) —Я^^у мы по“ лучаем мнимые корни уравнения. Например, решая уравнение:

мы получим:

Мнимые числа в данном случае не выражают меры какой-либо реально существующей величины, они — чисто воображаемые числа. Но замечательно, что математическая абстракция с помощью понятия мнимого числа расширяет понятие о числе вообще и создает возможность решения многих труднейших вопросов в физике, в гидро- и аэродинамике, в теории упругости и других отраслях и в различных отделах самой математики. Применение мнимых чисел к решениям задач различных отраслей физики приводит, в свою очередь, к большему уяснению существа понятия мнимого числа. На примере развития понятия мнимых и так называемых комплексных чисел мы можем усмотреть применение диалектического метода к этому важнейшему и труднейшему вопросу математики и исключительную плодотворность этого применения.

Практика решения квадратных уравнений привела к задаче извлечения корней четных степеней (в частности, квадратных корней) из отрицательных чисел. На пути разрешения этой задачи встретилось противоречие — невозможность найти такое число (отрицательное или положительное), которое будучи умноженным само на себя, давало бы отрицательное число. Противоречие движет вперед. Неразрешенное противоречие, стремление раскрыть это противоречие продолжало быть движущей силой развития понятия мнимого числа.

Рассмотрение мнимого числа самого по себе в его изолированности от обыкновенных, вещественных чисел ни к чему хорошему не приводило и не могло привести, так как такое изолированное рассмотрение не соответствует важнейшему требованию диалектического метода.

Бесплодность уяснения природы мнимого числа в порядке рассмотрения его самого по себе, т. е. в рамках его полной изолированности от вещественных чисел, противоречит самому математическому выражению мнимого числа, записываемому формулой \/ — 1 • у—1 = — 1, говорящей о том, что только через вещественное число (в данном случае через—1), т. е. в свете выражения через вещественное число, в связи с вещественным числом, может быть понятно существо мнимого числа.

Сознательно или несознательно (стихийно), пришлось стать на путь исследования мнимого числа, вытекавший из требования диалектического метода, пришлось рассматривать мнимое число в связи с обыкновенным вещественным числом, т. е. пришлось рассматривать так называемые комплексные числа. И только при таком неизолированном рассмотрении мнимых чисел математики смогли научиться извлекать квадратные корни из отрицательных чисел (конечно, этим корнем не оказывается обыкновенное вещественное число, а — мнимое число), удовлетворив формальную любознательность, а главное, получив теорию комплексных чисел, математика обогатила свой арсенал сильнейшим и гибким оружием исследования сложных и трудных вопросов.

Развитие теории комплексных чисел, превратившейся в наши дни в широкую отрасль математики— теорию функций комплексного переменного, конечно, не научило математиков находить квадратный корень в виде вещественного числа из отрицательных чисел. Такую задачу ни один из виднейших математиков и не ставил перед собой, и не в процессе разрешения этой задачи развивалась теория комплексных чисел. Недаром Энгельс высмеял вздорность приписывания мнимым числам реальности вне нашей головы еще тогда, когда теория комплексных чисел находилась в стадии зарождения и эффект ее применения к различным вопросам физики и самой математики был еще в потенции.

Знаменитый русский ученый Н. Е. Жуковский, создатель аэрогидродинамической науки, давший базу и направление самолетостроению во всем мире применением функций комплексного переменного к вопросам гидравлики и аэродинамики, пришел к замечательным результатам: он получил возможность теоретически, вычислением находить некоторые важнейшие величины, ранее определявшиеся опытным путем.

Видные советские ученые Н. И. Мусхелишвили, Г. В. Колосов и другие применением теории функций комплексного переменного к трудной науке — теории упругости показали эффективность методов комплексного переменного в решении сложнейших задач, связанных со строительной и машиностроительной практикой. Теория функции комплексного переменного проливает свет и на многие чисто математические задачи.

На примере развития теории комплексных чисел во всей полноте видна и в математике ведущая роль одной из основных черт диалектического метода, утверждающего, «что процесс развития следует понимать не как движение по кругу, не как простое повторение пройденного, а как движение поступательное, как движение по восходящей линии, как переход от старого качественного состояния к новому качественному состоянию, как развитие от простого к сложному, от низшего к высшему» (И. Сталин, Вопросы ленинизма, 1945, изд. 11, стр. 537).

Теория комплексных чисел, зародившаяся в элементарной математике вещественных чисел, в настоящее время разрослась и развилась в сложную и обширную математическую область, достижения которой немало способствуют развитию теории вещественных чисел. Так идет развитие от простого к сложному, от низшего к высшему.

Современное понятие о комплексном числе прошло сложный путь диалектического развития, который должен быть вскрыт советскими историками математики на основе методов диалектического материализма.

§ 4

Марксистский диалектический метод, требующий всегда искать общие свойства в единичных явлениях, дает возможность обнаружить глубокую, закономерную связь между предметами, понятиями и тем самым проникнуть в их существо.

Крайне поучительно познакомиться всем математикам с тем, как Энгельс широко трактует понятие единицы, той самой единицы, которая, быть может, с первого взгляда кажется такой простой, не нуждающейся ни в каком пояснении. Единица и множественность — это две противоположности, но диалектика требует находить в единичном общее и в общем единичное. Диалектика учит познавать вещи, явления, понятия путем уяснения проникновения друг в друга противоположностей. Исходя из существа и требований диалектического метода, Энгельс пишет: «Ничто не выглядит проще, чем количественная единица, и ничто не оказывается многообразнее, чем эта единица, коль скоро мы начнем изучать ее в связи с соответственной множественностью, с точки зрения различных способов происхождения ее из этой множественности. Единица — это, прежде всего, основное число всей системы положительных и отрицательных чисел, благодаря последовательному прибавлению которого к самому себе возникают все другие числа. Единица—есть выражение всех положительных, отрицательных и дробных степеней единицы: I2, \f \ , 1 “~2 все равны единице» (Ф. Энгельс, Диалектика природы, изд. 1946 г., стр. 209).

С другими примерами раскрытия существа понятия единицы рекомендуем ознакомиться непосредственно по книге Энгельса.

«Таким образом, — пишет Энгельс, — если всякое число содержит в себе единицу, поскольку оно составляется из одних лишь сложенных друг с другом единиц, то единица, в свою очередь, содержит в себе все другие числа. Не только в возможности, поскольку мы любое число можем построить из одних только единиц, но и в действительности, поскольку единица является определенной степенью любого числа» (там же, стр. 210). (Примечание: последнее утверждение уясняется из примера х°= 1. — Н. Ш.).

Примеры Энгельса, относящиеся к раскрытию множественности в понятии единицы, показывают силу и результативность диалектического метода в развитии и оживлении математических понятий. Энгельс показывает, что в этом случае, когда математик пишет, например, х°=\ или = 1—2 = 1, то он применяет диалектический метод, применяет не только случайно, несознательно, стихийно, но и, может быть, даже против своей воли, если он (математик) не признает диалектического метода.

Если быть принципиальным метафизиком и отрицать тождество противоположностей, если не научиться в единице находить множественности, а в множественности единицу, если игнорировать связь предметов, понятий, то нельзя даже уяснить, почему, например, sin2 a ++cos2a = 1.

Задача математиков состоит в том, чтобы учиться применять диалектический метод к исследованию математических понятий и к решению задач математики. Диалектическое превращение числа из одной формы в другую, противоположную, Энгельс считает одним из самых могучих рычагов математической науки, без которого в настоящее время нельзя произвести ни одного сколько-нибудь сложного вычисления (см. «Диалектику природы», стр. 208).

§ 5

Во многих учебниках математики понятию «нуль» отводится несколько сухих формальных строк или же о нуле говорится мимоходом при сравнении его с другими числами. Вот, например, что иногда говорится о нуле: нуль не причисляется ни к классу положительных чисел, ни к классу отрицательных. Он называется нейтральным числом. Нуль относится к классу нейтральных чисел, но класс нейтральных чисел заключает в себе только одно число — нуль.

Гениальный мастер диалектического метода Энгельс вскрывает в понятии «нуль» глубокое и разностороннее содержание, показывая на ярких примерах важность для многих серьезнейших математических операций понятия о нуле, как о числе, которое «богаче содержанием, чем всякое иное число» (Ф. Энгельс, Диалектика природы, изд. 1946 г., стр. 210, 211, 212).

Приведем пример того, как богатством содержания нуля пользуются для трактовки некоторых вопросов в математике.

На странице 211 «Диалектики природы» (изд. 1946 г.) Энгельс замечает: «Действительное содержание какого-нибудь уравнения обнаруживается со всей ясностью лишь тогда, когда все члены его перенесены на одну сторону и уравнение тем самым приравнено к нулю, как это имеет место уже в квадратных уравнениях и как это является почти общим правилом в высшей алгебре».

Приравнивание уравнения к нулю, на что Энгельс обратил внимание, применяется также и в теории дифференциальных уравнений. Благодаря этому приему, основанному на представлении о нуле, как о содержательной величине, решаются некоторые дифференциальные уравнения.

Решить дифференциальное уравнение — это значит найти такое выражение зависимой переменной (функции) через независимую переменную (через аргумент), которое, будучи подставлено в заданное дифференциальное уравнение, обращает его в тождество. Иными словами, решить дифференциальное уравнение, выражающее зависимость не между самим х и y, а между их дифференциалами, — это значит найти уравнение, выражающее прямую зависимость между самими х и у, дифференцирование которого приводит к заданному дифференциальному уравнению.

При решении простейшего дифференциального уравнения -^ = 0 нуль рассматривается не как ничего не выражающее число, а как функция (т. е. производная), тождественно равная нулю. Основываясь на этом, находится решение указанного дифференциального уравнения в виде у = С (при всех значениях аргумента функция имеет постоянное значение С).

При решении дифференциального уравнения в полных дифференциалах, т. е. уравнения вида:

нуль в правой части рассматривается как символ, имеющий «весьма определенное содержание», т. е. как дифференциал функции, имеющей постоянное значение. Если замечают, что левая часть последнего уравнения представляет собою полный дифференциал dy(xf у) некоторой функции ср(л, у) от двух переменных, то сразу же заключают, что сама функция ср [х, у) сводится к постоянной величине С.

Представлением о нуле как о содержательной величине пользуются в математике при решении и других важных вопросов; на этом представлении, например, основан метод так называемых неопределенных коэффициентов.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ДРОБИ, ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И p-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

Ю. М. ГАЙДУК (Харьков)

1. Аппарат систематических (особенно — десятичных) дробей является настолько привычным для нас средством изображения действительных чисел, что мы невольно почти отождествляем в своем сознании понятие действительного числа с понятием (бесконечной) систематической дроби. Более того: в одном из вариантов теории действительного числа (признаваемом к тому же наиболее «элементарным» по своей форме) такое отождествление лежит в основе самого определения понятия действительного числа. Правда, в лучших изложениях названной теории такого рода определение сопровождается оговорками, намекающими на известную условность, ограниченность отождествления действительных чисел с систематическими дробями*. Однако подобные оговорки, несмотря на их важность, не встречают достаточного понимания со стороны читателей, если они не знакомы с новейшими алгебраическими теориями и не знают, что систематические дроби могут служить для представления не только действительных чисел, но и чисел существенно другой природы—так называемых p-адических чисел.

Познакомить читателя журнала с p-адическими числами в их отношении к числам действительным и к аппарату систематических разложений и составляет задачу настоящей статьи.

2. Мы начнем с того, что напомним читателю некоторые, вероятно, известные ему общие понятия.

Когда относительно некоторой совокупности чисел хотят подчеркнуть, что над числами этой совокупности можно «беспрепятственно» выполнять все четыре арифметических действия (исключая деление на нуль), такую совокупность называют (числовым) полем. Беспрепятственная (или, как принято говорить, неограниченная) выполнимость арифметических действий в поле означает при этом, что каждое арифметическое действие** выполнимо над любыми двумя числами поля, причем (однозначный) результат этого действия представляет собой число, принадлежащее этому же полю.

Наиболее обширным числовым полем, известным читателю из элементарной алгебры, является совокупность всех комплексных чисел: всякие два комплексные числа можно складывать, вычитать, перемножать, делить друг на друга (лишь бы в последнем случае делитель не был нулем), причем в результате в качестве суммы, разности, произведения и частного будут снова получаться комплексные числа.

Часть поля комплексных чисел — совокупность всех действительных чисел — составляет поле действительных чисел: арифметические действия над действительными числами приводят нас снова к действительным числам.

* Так, в «Алгебре» (для учительских институтов) С. И. Новоселова после определения, ставящего знак равенства между действительным числом и выражением десятичной дроби, следует такое, вполне уместное, предостережение читателю: «Сформулированное определение само по себе, в отрыве от определений, устанавливающих соотношения взаимного расположения и действия над действительными числами, не может рассматриваться как характеризующее понятие действительного числа. Это определение является составной частью целой системы определений, ...полностью характеризующей действительное число».

** За упомянутым исключением деления на нуль.

Из поля действительных чисел, в свою очередь, можно выделить различные совокупности, также являющиеся полями. Такова, например, совокупность всех чисел вида a+b]/ m , где a, b — рациональные числа, a m — фиксированное положительное рациональное число*. Действительно, сумма, разность, произведение и частное двух чисел вида a+b Y m сами будут числами того же вида; так, скажем:

где числа аг и Ьд рациональны вместе с числами alf öl9 а2, b9.

Этим примерам числовых совокупностей полей нетрудно противопоставить примеры числовых совокупностей, не являющихся полями. Так, не будет полем совокупность всех иррациональных чисел (ибо арифметические действия над иррациональными числами могут приводить также к числам рациональным). Не будет полем и совокупность всех целых чисел: внутри этой совокупности только первые три арифметические действия выполняются беспрепятственно, тогда как четвертое действие — деление, вообще говоря, не выполняется нацело и, таким образом, приводит к результату, который может не принадлежать к рассматриваемой совокупности.

Важнейшим примером числового поля является поле рациональных чисел, образуемое совокупностью всех обыкновенных дробей. Это поле отличается той особенностью, что оно, как легко сообразить, содержится внутри всякого числового поля** и, значит, само уже не содержит других числовых полей. Это последнее свойство выражают, говоря, что поле рациональных чисел — простое.

3. Представляя выше читателю примеры различных числовых полей, мы считали последние наперед заданными, «готовыми» совокупностями, относительно которых оставалось только проверить, обладают ли они свойствами поля. Придерживаясь этой точки зрения, мы могли не смущаться тем, что принятый нами там порядок рассмотрения — «нисхождение от объемлющих полей к объемлемым» — находится в противоречии с логикой генетических отношений между полями комплексных действительных и рациональных чисел (известно, ведь, что понятия комплексного числа определяются через понятие числа действительного, а последнее, в свою очередь, обосновывается на понятии числа рационального)***.

Переходя теперь от иллюстрации самого понятия числового поля к рассмотрению некоторых вопросов построения полей, мы должны, прежде всего, восстановить естественную последовательность изложения, начав его «с начала»— с поля рациональных чисел, которое является в отмеченном выше смысле простейшей составной частью всякого числового поля.

Считая поле рациональных чисел данным известным****, остановимся на вопросе о том, как из его элементов могут быть построены элементы поля действительных чисел, иными словами, каким образом поле рациональных чисел можно «расширить» до поля чисел действительных. Решение этого вопроса составляет, как известно, одну из основных задач (генетической) теории действительного числа. Существует, однако, несколько форм, или «вариантов», этой теории, приводящих, разумеется, к алгебраически тождественным («изоморфным») результатам, но отличающихся теми конструкциями, которые в каждом из этих вариантов кладутся в основу определения понятия действительного числа. Так, в варианте Дедекинда (сохраняющем преимущественное право гражданства в наших учебниках математического анализа) такой основной конструкцией служит сечение в поле рациональных чисел, а в упомянутом в 1 варианте теории эту роль играет выражение бесконечной десятичной дроби.

Для наших целей будет нужно (почему, мы покажем в дальнейшем) ознакомиться ближе не с этими, возможно лучше известными читателю, вариантами рассматриваемой теории, а с другим ее вариантом. Речь идет о варианте, принадлежащим Кантору,—варианте, который реже освещается в элементарно-учебной литературе*****, хотя несомненно заслуживает особого внимания также с педагогической точки зрения******.

* отличное от полного квадрата (т. е. неравное квадрату какого-либо рационального числа). Например: т — 2.

** Действительно, всякое числовое поле содержит нуль и единицу (как результаты действий а—а и а значит, все целые числа и их отношения (дроби).

*** или, минуя промежуточный этап рационального числа, непосредственно на понятии числа натурального, как это предложил акад. А. Н. Колмогоров (см. статью последнего в «Успехах математических наук», 1946, вып. 1: «К обоснованию теории действительных чисел»).

**** притом вместе с известными свойствами порядка (расположения) его элементов.

***** Из учебников анализа обстоятельное изложение теории Кантора можно найти в курсе, вышедшем под редакцией проф. В. В. Немыцкого (т. 1).

****** относящиеся сюда замечания проф. А. И. Маркушевича в предисловии к его книжке «Действительные числа и основные принципы теории пределов», издание АПН, 1948 г.

4. Конструктивной основой теории Кантора служит понятие фундаментальной (или сходящейся) последовательности рациональных чисел. Так называется в этой теории всякая бесконечная последовательность

рациональных чисел ап(п=\, 2, 3,...), если она обладает тем свойством, что «стоящие в хвосте» этой последовательности члены сколь угодно мало отличаются друг от друга (при этом «мерилом различия» двух чисел считается, как обычно в анализе, абсолютная величина их разности). Переходя от образного описания к строго математическому определению, мы скажем, что последовательность [ап)—фундаментальная, если для всякого (сколь угодно малого) рационального числа е>0 существует такое натуральное число Л/, что при i^N и N будет всегда (т. е. при любых указанных ink) выполняться неравенство | а.— öft|<e. (Число N может зависеть от е и от самой рассматриваемой последовательности.)

Для формулировки понятия действительного числа с помощью фундаментальных последовательностей вводят вспомогательное понятие конфинальных* последовательностей. Две числовые последовательности [ап] и [Ьп] называют конфинальными, если для всякого рационального числа б>0 существует такое натуральное число К (зависящее от е и от самих рассматриваемых последовательностей), что при всяком К выполняется неравенство:

(Соответствующие члены конфинальных последовательностей, таким образом, «в конце концов» сколь угодно мало отличаются друг от друга.)

После этих определений в теории Кантора принимается, что каждая фундаментальная последовательность рациональных чисел определяет некоторое действительное число, причем действительные числа, определяемые конфинальными последовательностями, считаются равными.

Одним из достоинств канторовской теории является та простота (и естественность), с которой в ней устанавливаются действия над действительными числами. Так, например, действие сложения основано на следующем определении суммы: «суммой действительных чисел аир называется действительное число а + р, определяемое фундаментальной последовательностью:

называемой «суммой» каких-либо двух фундаментальных последовательностей:

определяющих, соответственно, действительные числа а и ß». Убедимся в том, что в силу этого определения сумма двух чисел всегда существует и однозначно определяется своими слагаемыми. Первая часть утверждения следует из того, что сумма двух фундаментальных последовательностей будет всегда также последовательностью фундаментальной (и, значит, будет определять некоторое действительное число). Действительно, если последовательности [ап) и {Ьп} — фундаментальные, то, задав наперед произвольное рациональное е}>0, мы сможем найти такие натуральные числа Nt и /V2, что

Взяв в качестве числа N наибольшее из чисел Nx и Nt, получим при /, k^N:

что и доказывает «фундаментальность» последовательности {ап+Ьп}. Для доказательства второй части нашего утверждения покажем, что сумма действительных чисел не зависит от специального выбора фундаментальных последовательностей {ап} и {Ьп}у фигурирующих в определении суммы. В самом деле, пусть [а'п) и [Ь'п) — две другие фундаментальные последовательности, определяющие те же действительные числа а и (соответственно) ß, что и последовательности {ап} и [Ьп]. Образовав последовательность {ап+ Ь'п], покажем,что она определяет то же действительное число а + ß, какое определяется последовательностью [ап-\ Ьп). Для этого нужно убедиться, что последовательности [ап+Ьп] и {и'п+Ь'п)—конфинальны.

Заметив, что последовательность [а'п)—конфинальна с последовательностью {ап)у а {6'л} конфинальна с последовательностью [Ьп)у зададим произвольное рациональное число е > О

* Вместо этого термина в только что названной книжке проф. Маркушевича употребляется термин «эквивалентные последовательности». Мы предпочитаем первый термин, так как он точнее и непосредственнее передает существо дела («совпадение концами» этих последовательностей).

и определим натуральные числа Кг и К2 так, чтобы

Тогда при п>К, где К—наибольшее из чисел Кг и К2:

что и доказывает конфинальность последовательностей:

Рассмотрим еще второе основное действие над действительными числами в канторовской теории — действие умножения, поскольку относящиеся к нему доказательства несколько сложнее таковых для действия сложения.

Докажем предварительно нижеследующее предложение, в котором явится необходимость при установлении умножения:

Лемма. Всякая фундаментальная последовательность {ап} рациональных чисел ограничена, т. е. для нее существует такое рациональное число М, что \ ап | < M при всех значениях п(п = 1, 2, 3>.. .).

Для доказательства зафиксируем некоторое рациональное положительное число е0 и определим соответствующее ему натуральное число N0 так, чтобы \at—aÄ|<e при i9 k^N0.

Тогда, считая J\[0} имеем:

Обозначая теперь через M наибольшее из N0 чисел:

мы видим, что неравенство \ап\^М будет выполняться при всех значениях п.

Действие умножения базируется на следующем определении произведения. Пусть а и р — действительные числа, определяемые, соответственно, фундаментальными последовательностями:

Произведением a-ß называется действительное число у, определяемое фундаментальной последовательностью

«произведением» данных последовательностей.

Докажем, что произведение всегда существует и однозначно определяется своими множителями. Для этого нужно прежде всего показать, что произведение двух фундаментальных последовательностей будет также фундаментальной последовательностью.

Зададим произвольное рациональное s > О и, используя лемму, определим для фундаментальных последовательностей [ап] и {Ьп} числа Мх и М2 так, чтобы

и после этого натуральные числа l\ft и N2 так, чтобы

Тогда при i, k>N, где N — наибольшее из чисел и N2:

чем и доказана первая половина нашего утверждения. Вторая половина его устанавливается с помощью совершенно аналогичных выкладок.

Нетрудно видеть, что определенные здесь действия сложения и умножения действительных чисел подчиняются тем же законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, которым подчиняются одноименные действия над рациональными числами.

Действия вычитания и деления для действительных чисел могут быть определены как действия, обратные сложению и, соответственно, умножению, т. е. как операции решения уравнений а+х = ф и cue = ß. Из рассмотрения соответствующих последовательностей — «разностей» (в первом случае) и последовательностей— «частных» (во втором) легко устанавливается неограниченная и однозначная выполнимость обратных действий (исключая случай деления на нуль*).

Совокупность перечисленных здесь свойств арифметических действий над действительными числами показывает, что последние образуют числовое поле. Убедимся еще, что на это поле— мы будем обозначать его буквой D — можно смотреть как на расширение поля R рациональных чисел.

С этой целью рассмотрим элементы поля D, определяемые фундаментальными последова-

* Нулем при этом называется действительное число, определяемое фундаментальной последовательностью, все члены которой равны „рациональному“ нулю (нулю из поля рациональных чисел).

тельностями рациональных чисел вида (а, а,..., а,...), т. е. последовательностями, все члены которых равны одному и тому же (для данной последовательности) рациональному числу. Производя над этими элементами (а это будут некоторые действительные числа, как и все прочие элементы поля D) арифметические действия, установленные в поле D, мы легко усмотрим, что их результаты будут снова действительными числами, определяемыми фундаментальными последовательностями рассматриваемого здесь вида. Это доказывает, что совокупность R* рассматриваемых элементов ноля D сама будет числовым полем, для которого поле D служит расширением. Поле R* в алгебраическом смысле, однако, тождественно с полем рациональных чисел (или, как принято говорить, «изоморфно»* с ним): в самом деле, если условиться обозначать элемент поля R*t определяемый последовательностью (а, а,..., ..) рациональным числом а, то все соотношения между такими элементами превратятся в соответствующие соотношения между рациональными числами (и, обратно, соотношения между рациональными числами можно толковать как соотношения между соответствующими элементами рассматриваемого поля). Так как предметом алгебры является не изучение частной природы элементов, являющихся компонентами алгебраических действий, а изучение общих свойств этих действий, то отсюда ясно, что с алгебраической точки зрения можно не делать различия между полем рациональных чисел R и «копирующим» его полем действительных рациональных чисел R*. В этом смысле поле рациональных чисел оказывается частью поля всех действительных чисел, или, что то же, это последнее является расширением поля рациональных чисел.

5. Мы ограничились в предыдущем п° рассмотрением части канторовской теории, которая завершается доказательством того, что действительные числа образуют поле. Дальнейшее развитие теории действительного числа выходит за поставленные в этой статье цели.

Теперь для нас важно обратить внимание читателя на следующее обстоятельство. Уже сами формулировки основных понятий канторовской теории явственно показывают ту большую роль, которая в этой теории принадлежит функции IXI — абсолютной величине рационального числа X. Но если разобраться в «механизме» доказательств рассматриваемых здесь результатов этой теории, легко заметить, что они основаны на использовании только следующих четырех свойств абсолютной величины: 1) при рациональном а число \а\—рациональное;

тогда как само определение \х\ (как наибольшего из двух чисел х и —л:) в этих доказательствах нигде явным образом (т. е. не через посредство свойств 1)—4)) не применяется**.

Отмеченное обстоятельство подсказывает идею попытаться использовать метод фундаментальных последовательностей, лежащий в основе канторовской теории, для построения других, отличных от поля действительных чисел, расширений поля рациональных чисел.

Действительно, если мы заменим в основных определениях канторовской теории функцию \х\ какой-либо другой функцией ср (лг) со свойствами:

1) функция ср (л:) принимает рациональные*** значения,

(1)

(2) (3)

аналогичными указанным свойствам функции |;с|, то эти определения, в силу вышесказанного, должны будут привести нас к некоторому полю Р, которое, как и поле D, необходимо будет расширением поля рациональных чисел.

Функция <?(х) называется нормой (или метризатором) поля рациональных чисел. Из основных свойств 1) — 4) нормы легко вывести следующие два ее производные свойства:

(4) (5)

* Точное определение изоморфизма полей таково: два поля изоморфны, если между их элементами может быть установлено взаимно однозначное соответствие, не нарушающееся при производстве над соответствующими элементами обоих полей одноименных арифметических действий. Если а — элемент одного поля, а /(а) — соответствующий элемент изоморфного поля, то это означает, что

** Пусть читатель проверит это, хотя бы на доказательствах, приведенных в п°4.

*** Это требование не является необходимым и может быть заменено более широким условием (например, чтобы значения <$(х) были действительными числами). Ниже оно, однако, будет всегда соблюдено.

Действительно, полагая в формуле (2) 0=1, а ф 0 и сокращая обе части получающегося равенства на (р(а)фОу получим (4).

Для доказательства (5) полагаем в (2) а = b = — 1, откуда находим, используя (4) и неотрицательность значений ср: ср (— 1) = 1. После этого имеем в силу (2):

Характер поля Р существенно зависит от вида функции ср(л). Так, если при ср(*) = |л;| поле Р совпадает с полем D действительных чисел, то при так называемой «тривиальной» норме, определяемой условиями*:

каждая фундаментальная (относительно этой нормы) последовательность рациональных чисел будет, как легко видеть, конфинальна с последовательностью вида (а, а,..., а,. . .)**, так что в этом случае поле окажется изоморфным с полем рациональных чисел.

Нормы, не реализующие фактического расширения поля рациональных чисел или приводящие к уже известному нам полю действительных чисел, для нас здесь мало интересны. Ценность намеченного метода образования полей обусловлена тем, что существуют нормы, приводящие к существенно иным числовым полям.

Этими нормами являются так называемые p-адические нормы (которых существует бесконечно много, так как каждое простое число р = 2, 3, 5, 7, 11,... «порождает», как увидим, свою р-адическую норму).

Чтобы задать определенную p-адическую норму, фиксируем простое число ру а все рациональные числа а представляем в виде:

(6)

где целые числа г и s не делятся на число ру а п — некоторое (зависящее от числа а) целое число (положительное, отрицательное или нуль). Представление (6) для каждого рационального числа а, отличного от нуля, очевидно, всегда возможно и однозначно определяет соответствующее число п (равное разности показателей, с которыми множитель р входит в числитель

и знаменатель дроби, изображающей рациональное число а).

Имея представление (6) для рационального числа афОу назовем его ^-адической нормой число р~п. Назовем р-адической нормой числа нуль, которое не допускает однозначного представления в форме (6), само число нуль. Условимся обозначать р-адическую норму числа а символом ||а||.

Примеры***. Пусть р = 5. Тогда:

Убедимся однако, что р-адическая норма по праву носит название нормы, т. е. что она обладает свойствами (1)—(3).

Заметим, что выполнение этих свойств нужно проверить лишь для случая, когда ни одно из чисел а, b не равно нулю (в противном случае устанавливаемые свойства выполняются «автоматически»). Свойство (1) непосредственно очевидно. Для доказательства остальных представляем произвольно взятые рациональные числа афОу ЬфО в форме (6):

Тогда ab = ——~<рп^п^, причем целые числа гхгч и sxs2 не будут делиться на простое число ру так как на последнее, по условию, не делятся составляющие эти числа сомножители. Поэтому: ы

Для доказательства свойства (3) так называемого «неравенства треугольника» примем, что пх^п2 (чем не нарушается, конечно, общность рассуждения). Тогда:

(7)

* Пусть читатель проверит, что определенная этими условиями функция будет действительно нормой, т. е. будет обладать свойствами 1 — 4.

** Действительно, если последовательность (öl, а2.....ап%... ) - фундаментальная, то при /, k >- N должно быть — ак)<е. Взяв е = 1, получим (по свойству тривиальной нормы) <р(а/— ak) = 0 и я/ ~ ak = a(i, N). Таким образом, все члены последовательности, начиная с некоторого, будут равны между собой, а такая последовательность конфинальна с указанной.

*** Эти примеры в своей совокупности иллюстрируют замечательную особенность p-адической нормы: в то время как «обыкновенная» или «аналитическая» норма (абсолютная величина числа) обладает тем известным свойством, что близкие числа имеют и близкие нормы (правда, не наоборот!), то р-адические нормы двух близких в обычном смысле чисел могут оказаться числами, совсем не близкими (в том же смысле) друг к Другу. Объясняется это тем, что близкие по величине рациональные числа могут иметь совершенно различную арифметическую природу.

Причем в этом выражении знаменатель дроби не будет делиться на простое число р. Числитель дроби в (7), вообще говоря, содержит простой множитель р в некоторой неотрицательной степени рк (&;>0), так что представление (6) для а+Ь будет иметь вид:

где г и s — некоторые целые числа, не делящиеся на р. Отсюда:

и требуемое свойство установлено.

6. С помощью р-адической нормы поля рациональных чисел мы строим поле р-адических чисел совершенно тем же способом, каким строится поле действительных чисел с помощью обыкновенной «канторовской» нормы (абсолютной величины).

В целях большей связности изложения мы сформулируем все же основные определения, хотя они и «копируют» соответствующие определения канторовской теории.

Фундаментальной («в р-адическом смысле» или «относительно р-адической нормы») последовательностью называется всякая такая последовательность рациональных чисел

которая обладает тем свойством, что для каждого рационального е>0 существует такое натуральное число Аг, что при /, k >- N:

Примеры.

Последовательность

будет фундаментальной относительно р-адической нормы, так как:

при k>i>>N% где N—наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию

Напротив, последовательность

не будет фундаментальной в р-адическом смысле, ибо для нее:

при всех натуральных /, £(&>/).

Отметим, что относительно канторовской нормы, напротив, последовательность

будет фундаментальной, а последовательность

(1, Л А2,..., — нет.

Две последовательности (аг, а2,..., ап,...) и (Z?b fi2>'--> *!!»•••) рациональных чисел называются конфинальными (опять-таки «в р-адическом смысле»), если для всякого рационального е > 0 существует такое натуральное число К, что И ап — оя||<е при /г>/С.

Так, например, последовательности

о, р, р\ р\--.)

и (0, 0, 0, 0,...) конфинальны.

Важно отметить, что всякая последовательность, конфинальная с некоторой фундаментальной последовательностью, сама будет фундаментальной и что всякая (бесконечная) последовательность, получающаяся из некоторой фундаментальной последовательности удалением части ее членов, будет конфинальна с нею.

После этих определений мы принимаем, что каждая фундаментальная (в р-адическом смысле) последовательность определяет некоторое р-адическое число, причем р-адические числа, определяемые конфинальными фундаментальными последовательностями, считаем равными.

Определив затем арифметические действия над р-адическими числами с помощью определений, совершенно аналогичных тем, которые были приняты для действительных чисел, мы, в силу сказанного выше, можем быть уверены, что относительно этих действий совокупность Qp всех р-адических чисел (при данном фиксированном простом числе р) будет полем.

Таким образом, существует бесконечное множество р-адических полей: поле ii2 (поле «диадических» чисел), поле 23 (поле «триадических» чисел), поле 2. (поле «пентадических» чисел) и т. д. Каждое из этих полей следует мыслить совершенно изолированно от каждого другого: все действия над р-адическими числами производятся внутри соответствующего поля (нельзя, скажем, сложить или перемножить диадическое и триадическое числа).

Все поля &2, ид, 25,... не изоморфны между собою. Ни одно из них не будет изоморфно и с полем D действительных чисел. Не давая здесь общего доказательства отсутствия такового изоморфизма, мы обращаем внимание читателя на те различия в алгебраических свойствах р-адических и действительного полей, о которых будет идти речь в п° 9. Этих различий, конечно, не было бы, будь упомянутые поля изоморфными.

Поле Qp р-адических чисел является расширением поля рациональных чисел в том смысле, что оно содержит подполе, изоморфное с полем рациональных чисел. Это подполе («поле рациональных р-адических чисел») образуется

теми p-адическими числами, которые могут быть определены с помощью фундаментальных последовательностей вида (а, а, а,...) (последовательностей равных рациональных чисел). В силу указанного изоморфизма можно отождествлять (когда это не вызывает логических неудобств) понятия рационального р-адического и «просто» рационального числа.

7. Обратимся к вопросу о представлении р-адических чисел в форме, аналогичной десятичному (или, вообще, системному) разложению действительных чисел, т. е. к вопросу, затронутому в самом начале статьи.

Размеры настоящей статьи не позволяют, однако, осветить этот вопрос со всей необходимой полнотой. Мы вынуждены будем поэтому предложить читателю принять некоторые положения без доказательства. Указание на аналогию с соответствующими фактами для действительных чисел послужит нам некоторым оправданием такого образа действий.

Начнем с напоминания читателю, что выражение (положительного) действительного числа а в виде бесконечной десятичной дроби:

(8)

(здесь / с индексами — цифры десятичной системы счисления, т. е. числа 0, 1, 2, 3,..., 9) является не чем иным, как краткой записью факта, что число а будет суммой бесконечного ряда

(9)

С точки зрения канторовской теории действительного числа, этот последний факт (сходимость ряда (9) к сумме а) можно понимать в том смысле, что последовательность «частных сумм» ряда (9):

(10)

т. е. последовательность десятичных приближений (по недостатку) числа а будет фундаментальной последовательностью, определяющей (именно это!) число а.

Рассмотрим теперь — по аналогии с указанной последовательностью — р-адическую последовательностью вида:

(11)

В (11) / с индексами суть «р-адические цифры», т. е. неотрицательные целые числа, меньшие числа р\ m—какое угодно целое число.

Убедимся, что последовательность (11) будет всегда фундаментальной в p-адическом смысле, подобно тому, как последовательность (10) будет всегда фундаментальной в канторовском смысле. Действительно, обозначая через а% и ак соответственно /-тый и Ä-тый члены этой последовательности (пусть i>k), находим:

(12)

(здесь знак равенства будет в случае /_m + Ä-^0, знак неравенства — в противном случае, так как тогда за круглую скобку можно вынести большую чем pk~m степень числа р). При достаточно большом k (число m — фиксировано!) число pm~k может быть сделано сколь угодно малым (точнее: меньшим произвольного положительного е), что влечет за собой, в силу установленного неравенства (12), аналогичное заключение о величине нормы У а. — ак\\ и тем самым доказывает фундаментальность последовательности (11 ).

Фундаментальная р-адическая последовательность (11) всегда (т. е. при всех возможных для них значениях коэффициентов / и показателя т) определяет некоторое p-адическое число. Легко видеть, что две различные p-адические последовательности вида (11) не могут определять одно и то же /г-адическое число (простое доказательство этого — его легко провести методом «рассуждения от противного» — может быть предоставлено читателю). Таким образом, если некоторое р-адическое число вообще определяется последовательностью вида1 (11), то оно само однозначно определяет такую последовательность.

Приведенные соображения сами по себе еще не гарантируют, что всякое р-адическое число может быть определено некоторой последовательностью вида (11). Последнее, однако, как оказывается, действительно имеет место. Несколько длинное доказательство этого фундаментального факта (обратного к установленному выше) мы здесь вынуждены опустить.

Пусть теперь а — некоторое р-адическое число. В силу сказанного в двух последних абзацах ему соответствует некоторая вполне определенная фундаментальная последовательность вида (11), определяющая это р-адическое число. Условимся тогда обозначать число а «р-адическим рядом»:

(13)

или, сокращенно, записью:

(14)

Представления (13) и (14) р-адического числа подобны выражениям (9) и (8) для действительного числа*.

При изображении р-адического числа рядом (13) читателя не должно смущать то обстоятельство, что этот ряд, с точки зрения анализа действительных чисел (иными словами, «относительно канторовской нормы»), представляет собой ряд расходящийся, не имеющий конечной суммы**. Нужно иметь в виду, что, когда ряд (13) выступает в роли «изобразителя» p-адического числа, для нас имеет значение только форма этого ряда, вопрос же о его сумме (в обычном понимании этого слова) утрачивает смысл.

(Вообще нужно добавить, что с понятием р-адического числа не связывается никакого представления о «допускающей степени сравнения» величине: в этом отношении р-адические числа сходны с комплексными числами.)

Изображение p-адического числа в виде ряда (13) удобно в том отношении, что позволяет вести действия над p-адическими числами как над многочленами, расположенными по целым возрастающим степеням буквы р (не забывая, однако, о бесконечности числа членов «многочлена», изображающего р-адическое число)***. Ниже мы увидим примеры такого рода употребления р-адических рядов.

Изображение р-адического числа систематической «дробью» (14) представляет собой по существу лишь сокращенную запись его изображения рядом (13), подобно тому как десятичная дробь (8) служит сокращенным представлением ряда (9). Отсюда ясно, что действия над p-адическими числами, представленными символами вида (14), можно производить на этих последних с помощью правил, сходных с правилами действий над десятичными числами****. При этом надо только помнить, что в то время как в обычных десятичных числах разряды возрастают справа налево, в символах, изображающих р-адические числа, возрастание разрядов происходит в обратном направлении — слева направо (как это показывает сравнение вида рядов (9) и (13)). В связи с этим, при сложении, например, перенос единицы высшего разряда здесь производится не к соседней левой цифре, как в обыкновенном сложении, а к соседней цифре справа (аналогичное видоизменение правила имеет место при вычитании по отношению к операции «занимания» единицы высшего разряда). Проиллюстрируем на одном-двух примерах технику арифметических действий над р-адическими числами, заданными в форме (14).

Ограничимся более простыми действиями сложения и вычитания. Пусть требуется сложить два пентадических числа (р-адических числа при /7 = 5), заданных в виде: 4,123123123... и 2,313131313... (Мы намеренно берем числа «с периодами», чтобы результаты действий были легче обозримы). Подписываем заданные числа одно под другим и складываем соответствующие цифры, начиная сложение с крайней левой цифры и перенося единицы высшего разряда направо. (Нужно помнить, что здесь единица каждого разряда состоит из пяти единиц предыдущего разряда.)

Имеем:

Для проверки этого результата вычтем из полученной суммы второе слагаемое:

* Менее формальное истолкование равенства (13) требует введения понятия предела последовательности р-адических чисел и в рамках этого элементарного очерка не может быть проведено.

** Что это действительно так, явствует уже из того, что общий член lkpk ряда (22), очевидно, не стремится к нулю при £—»оо.

*** В строгой теории р-адических чисел это утверждение может быть обосновано.

**** Аналогия станет теснее, если рассматривать не десятичные числа, а числа изображенные в системе счисления с основанием р.

(При вычитании, так как 1 < 2, а на первом после запятой разряде стоит нуль, нам пришлось «занять» единицу второго разряда, т. е. по существу расписать уменьшаемое в виде 1 -4- 5,43. . ., после чего мы могли начать вычитание, идя, как всегда для p-адических чисел, слева направо.)

То обстоятельство, что при этом вычитании уменьшаемое «кажется меньшим» вычитаемого (если смотреть на них как на обычные числа), как мы видим, нисколько не препятствует вычитанию, хотя среди p-адических чисел и нет отрицательных (как, впрочем, и положительных, что связано с тем, что p-адические числа, как мы уже отмечали, не допускают сравнения).

Не останавливаясь больше на технике действий над p-адическими числами, заданными в форме (14), упомянем лишь, что при вычитании какого-либо p-адического числа из p-адического нуля последний нужно предварительно из канонической формы 0,000... перевести в специальную форму

(Пусть читатель проверит переходом к соответствующей фундаментальной последовательности, что p-адический нуль действительно допускает такое представление*).

Укажем еще, что если при разложении p-адического числа в p-адический ряд (13) в последнем отсутствуют члены, содержащие отрицательные степени числа р (так что все / с отрицательными индексами равны нулю), то такое p-адическое число называется целым (приведенные выше примеры с действиями относились, таким образом, к целым p-адическим числам). Целое p-адическое число изображается, следовательно, рядом:

(15)

Так как ряд (13), изображающий произвольное р-адическое число, представляет собой сумму рационального числа:

и ряда (15), то всякое p-адическое число равно сумме некоторого рационального числа и некоторого целого p-адического числа. Можно установить и другую связь между нецелым и целым p-адическим числом. Для этого вынесем в ряде (13) за скобку наинизшую имеющуюся в нем степень числа ру т. е. р~т. Тогда

так что произвольное p-адическое число равно произведению некоторой целой степени числа р на некоторое целое p-адическое число. Заметим, что все последние заключения, полученные нами формальным путем (т. е. оперированием с p-адическими рядами как с обычными сходящимися рядами действительных чисел), легко могут быть оправданы переходом к рассмотрению соответствующих p-адическим рядам фундаментальных последовательностей.

8. Особенно тесная аналогия существует между свойствами p-адических и действительных чисел в вопросе о представлении рациональных чисел. Отметим следующие два сближения:

А) Рациональное число, заданное несократимой обыкновенной дробью , может быть представлено конечной десятичной дробью, как известно, тогда и только тогда, когда в разложении b на простые множители нет множителей, отличных от чисел 2 и 5.

Аналогично, положительное рациональное число со взаимно простыми а и о может быть представлено конечным p-адическим рядом тогда и только тогда, когда Ь будет степенью простого числа р.

Эта аналогия стала бы, очевидно, еще точнее, если бы мы сравнивали не десятичное разложение дроби -г-, а систематическое разложение

с основанием, равным р.

Б) Десятичная дробь будет, как известно, периодической** тогда и только тогда, когда она изображает рациональное число. Подобно этому, p-адический ряд будет периодическим тогда и только тогда, когда он изображает рациональное число.

Займемся здесь установлением этого последнего утверждения. Докажем сперва, что всякий периодический p-адический ряд является представлением рационального числа.

* Поступая формально, это можно показать и так: исходя из выражения р% (р—\) (/7—1) (р — 1)..., переносим р единиц нулевого разряда как единицу первого разряда к уже имеющимся р—1 единице этого разряда; получаем выражение

Поступая с ним аналогично, приходим к выражению 0, 0р (р—1)... Продолжив этот процесс неограниченно, придем к выражению 0,000..., «отодвинув цифру р в бесконечность».

** Конечную десятичную дробь следует рассматривать как периодическую с цифрой нуль в периоде. Аналогичное замечание относится к p-адическому ряду.

Пусть задан некоторый периодический р-адический ряд:

Выражение

есть период этого ряда. Положив еще имеем:

число же

рациональное. В этом выводе мы воспользовались формулой:

(16)

конечно, известной читателю из курса элементарной алгебры (сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем р), но, пожалуй, способной вызвать в нем сомнения в данном случае — ведь у нас р (как простое число) больше 1, законность же формулы (16) в элементарной алгебре требует, чтобы | р\ < 1.

Для того чтобы устранить эти сомнения, дадим вывод формулы (16) для нашего случая. Заметим, что на языке фундаментальных p-адических последовательностей формула (16) означает не что иное, как утверждение о конфинальности двух последовательностей:

Для того чтобы убедиться в конфинальности последних, вычислим р-адическую норму разности их общих членов:

Так как число p~kn может быть сделано при достаточно большом k сколь угодно малым, то тем самым наше утверждение доказано.

Нам остается еще убедиться в обратном обстоятельстве: в том, что всякое рациональное число разлагается в периодический р-адический ряд.

При доказательстве будем исходить из того известного, конечно, читателю факта, что в любой системе счисления рациональное число изображается периодической дробью.

Рассмотрим сначала случай, когда -г--отрицательная правильная дробь.

Представим положительное рациональное число--г- систематической дробью в системе счисления с основанием р. Для простоты выкладок предположим (что не вносит существенного ограничения), что получающаяся при этом дробь будет чисто периодической. Тогда:

(17)

где 1Ь /2,1п — последовательность цифр, составляющая период данной дроби.

Найдем выражение для правой части равенства (17). Переписывая (17) в виде:

получаем:

Тем самым мы нашли представление числа -^-<0 в виде периодического р-адического ряда, который может быть сокращенно записан символом:

В случае + > 0 число ~ можно представить суммой некоторого многочлена относительно р и отрицательной правильной дроби (этот многочлен будет равен увеличенной на единицу целой части положительного числа -V-, а указанная дробь — уменьшенной на единицу дробной его части). Таким образом, этот случай приводится к предыдущему, так как при сложении периодического p-адического ряда с конечным многочленом (с аргументом р) периодичность сохраняется.

Наконец, если заданное рациональное число — целое отрицательное, ~- = —N<0t соответ-

ствующий ему p-адический ряд можно получить вычитанием из периодического ряда:

конечного p-адического ряда, изображающего положительное целое число N; разность этих рядов будет снова периодическим рядом.

Тем самым периодичность p-адического ряда, изображающего рациональное число, доказана для всех случаев.

Развитые здесь приемы могут быть применены для фактического разложения рациональных чисел в p-адические ряды (и для решения обратной задачи). Предлагаем читателю в качестве упражнения проверить этим способом следующие «пентадические» равенства:

9. До еих пор нас интересовали преимущественно те моменты теории p-адических чисел, в которых последняя обнаруживает сравнительно далеко идущие аналогии с теорией действительных чисел. Правда, попутно мы отметили и такую своеобразную, не находящую параллели в свойствах чисел действительных, черту новых чисел, как их взаимную несравнимость (происходящую от отсутствия для этих чисел понятий «больше» или «меньше»).

Характерно, что отмеченные аналогии между р-адическими и действительными числами относятся к тем свойствам тех и других, которые основаны в конечном счете только на общих для этих двух видов чисел законах основных алгебраических действий (действий сложения, умножения и обратных к ним). Действительно, когда мы переходим к тем свойствам p-адических чисел, которые связаны с более специальными алгебраическими действиями (например, с извлечением корня какой-либо степени или, вообще, с решением определенного нелинейного алгебраического уравнения), сходство между числами действительными и числами p-адическими, как правило, исчезает.

Так, например, алгебраическое уравнение

(18)

не имеет решений в поле действительных чисел, но имеет таковые в поле пентадических чисел*. В поле триадических чисел уравнение (18) снова оказывается неразрешимым. Напротив, уравнение:

разрешимое в поле действительных чисел, не имеет решений в пентадическом поле, где, следовательно, символ у 2 оказывается лишенным смысла.

Общая теория алгебраических уравнений в p-адических полях требует знания специальных разделов теории чисел (элементов теории сравнений) и потому не может быть здесь затронута. Мы ограничимся тем, что ознакомим читателя с самым примитивным приемом решения уравнения (18) в пентадических числах.

Заметим, прежде всего, что если уравнение (18) имеет некоторое решение х = хх, то число х2 = 0— х19 очевидно, также будет его решением, причем никаких других решений уравнение (18) иметь не будет. Поэтому мы можем ниже ограничиться нахождением какого-либо одного решения (корня) уравнения (18).

С этой целью воспользуемся часто применяемым в математике методом неопределенных коэффициентов: будем искать решение уравнения (18) в виде пентадического ряда.

(19)

с неизвестными целыми рациональными коэффициентами ak(0 <<аА<5). Помножая ряд (19) сам на себя (по правилу перемножения многочленов или степенных рядов), получаем (после приведения подобных):

(20)

Задача сводится к нахождению таких значений (в целых рациональных числах — неотрицательных и<5) коэффициентов я0, аь а2, 03, при которых ряд (20) после сложения с единицей равнялся бы (5-адическом смысле) нулю:

(21)

Равенство (21) представляет собой пентадическое уравнение с бесконечным числом неизвестных д0, аи а2, а3,..., которое нам нужно решить в целых рациональных числах, удовлетворяющих неравенствам 0^а/г<5.

Для того чтобы наметить прием решения уравнения (21), рассмотрим, как можно рассуждать, если требуется установить, например, нижеследующее пентадическое тождество**:

* Подобно тому как оно имеет решения (+/ = + 1) в поле комплексных чисел. Разумеется, решения уравнения (18) в поле пентадических чисел принадлежат самому этому полю, т. е. являются числами пентадическими (а не комплексными!).

** По существу здесь мы повторяем сказанное в подстрочном примечании на стр. 21.

Складывая первые два члена ряда, мы избавляемся в ряде от свободного члена (содержащего 5°):

Подсчитывая второй член полученного ряда, мы замечаем, что он равен 5'; «соединяя» его с третьим членом, мы избавляемся в ряде от члена, содержащего 5 в первой степени:

Продолжая поступать аналогичным образом, будем иметь:

и т. д. Представив себе этот процесс законченным (после бесконечного числа шагов), мы получим очевидное равенство:

Применим этот прием к решению уравнения (21). Ищем такое значение коэффициента а0, чтобы первый член в левой части (21) превратился в число 5 или, вообще, в некоторую кратность числа 5 и, таким образом, «соединился» со вторым членом. Для этого решаем уравнение ао+\ =5 к. Оно решается уже при к=\ и (при этом к) дает* а0 =■ 2 (берем, в силу условий, наложенных на коэффициенты a,k, положительное решение). После этого уравнение (21) перепишется так:

Аналогично поступаем (в новом уравнении) с коэффициентом при 5: ищем ах, так, чтобы 2а0аг-+- 1 = 5/. Эти дает при 1-Х (принимая во внимание уже найденное значение а0 = 2) д1=1. Уравнение (21) примет теперь вид:

что приводит нас к решению уравнения 2а0а2 +-f- а\ + 1 = 5 m относительно неизвестного а2 при уже найденных значениях а0 и аг. Это дает уже при m = 2, так как при т=\ оно» не имеет целого рационального решения, а2 = 2. Продолжение этого процесса позволяет последовательно определить значения неизвестных коэффициентов а,, а4, яб,... Обозначая найденное нами решение уравнения (18) через хи таким образом, имеем: лг1 = 2,121... Второе решение, х2) будет:х2 = 0 —хх = 0—2,121. .. =5,444. . .—2,121. . .=3,323. ..

Подчеркнем, что мы рассмотрели здесь вопрос о решении уравнения х2 + 1 = 0 в пентадических числах лишь с технической стороны, не вдаваясь в теоретическое доказательство его разрешимости. Последнее (иными словами то, что в приведенном процессе решения мы никогда не встретимся с уравнением, которое не дает требуемого значения для какого-нибудь из коэффициентов а^) мы предоставим в качестве упражнения читателю.

Заканчивая на этом наш элементарный очерк о р-адических числах, упомянем еще, что эти числа были введены в науку около сорока лет назад немецким математиком К. Гензелем, не давшим, однако, их строгой теории. Последняя (на основе понятия р-адической нормы) была развита несколько позднее венгерским математиком Кюршаком, р-адическим числам принадлежит роль важного аппарата в современной алгебре и, в частности, в той ее области («алгебраической арифметике»), в которой наша отечественная наука представлена рядом замечательных оригинальных вкладов** (работы Е. И. Золотарева, Г. Ф. Вороного и др.).

Новый способ построения теории р адических чисел в последнее время предложен советским математиком проф. А. К. Сушкевичем***.

* Надо помнить, что нам достаточно найти одно решение уравнения (поэтому мы ограничиваемся решением уравнения а^+1 = 5^при одном значении k).

** С последними читатель может познакомиться по книге: Б. Н. Делоне, Петербургская школа теории чисел (изд. АН СССР, 1947). Пользуемся случаем рекомендовать читателю эту книгу в качестве ценного пособия при изучении истории русской математики.

*** Работы проф. Сушкевича по р-адическим числам находятся в печати.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА КАК ЭКВИВАЛЕНТ ПОСТУЛАТА ЕВКЛИДА

(К методике изучения геометрии Лобачевского в школьном кружке)

С. А. ДАХИЯ (Харьков)

При изучении в школьном математическом кружке элементов геометрии Лобачевского принято уделять много внимания рассмотрению различных эквивалентов постулата Евклида. Это полезно, и притом с двух точек зрения: 1) устанавливаемая на этом пути «двухсторонняя» связь многих геометрических предложений с постулатом Евклида (а следовательно, и между собой) выставляет в более ярком свете дедуктивную структуру самой евклидовой геометрии, 2) вместе с тем, при этом достигается предварительная демаркация «спорной области» между геометрией евклидовой и неевклидовой (в смысле установления определенного геометрического материала, требующего пересмотра в неевклидовой геометрии).

Нельзя сказать, чтобы в распространенной популярной и учебной литературе по геометрии Лобачевского вопросу о предложениях, эквивалентных постулату Евклида, было уделено мало места: так, в недавно изданной в качестве пособия для учителя книге Б. В. Кутузова* этому вопросу посвящена вся первая глава книги, причем автор устанавливает в ней эквивалентность постулата Евклида не только с более или менее «очевидными» (с точки зрения евклидовской геометрической интуиции) фактами евклидовой геометрии, но с некоторыми более специальными предложениями последней. Много предложений, эквивалентных постулату Евклида, рассмотрено в учебнике В. И. Костина «Основания геометрии».

При большом внимании, справедливо уделяемом эквивалентам постулата Евклида авторами упомянутых книг, остается непонятным то обстоятельство, что среди рассматриваемых ими эквивалентов либо вовсе отсутствует теорема Пифагора, либо об эквивалентности последней постулату Евклида упоминается без (во всяком случае — сколько-нибудь конкретного) доказательства. Например, в названной книге Б. В. Кутузова вопрос об эквивалентности теоремы Пифагора постулату Евклида затронут автором лишь в мелком шрифте VII главы и притом в тести связи с выводом «неевклидовой теоремы Пифагора»:

Показав, что из этой последней теоремы вытекает для бесконечно малого прямоугольного треугольника обычная теорема Пифагора

автор книги считает, что отсюда «легко понять», что теорема Пифагора эквивалентна постулату Евклида.

Разумеется, такое рассуждение лишено непосредственной доказательной силы и представляет собой трудно преодолимое для начинающего логическое «сальто».

Мы считаем необходимым указать на этот пробел в упомянутой литературе, который нельзя считать слишком мелким уже потому, что здесь речь идет о полном выяснении в сознании учащихся взаимоотношения двух важнейших по своему значению предложений элементарной геометрии — постулата Евклида и теоремы Пифагора. Следует добавить также, что на занятиях кружка вопрос об отношении теоремы Пифагора к постулату Евклида неизбежно возникает «сам собой» (уж во всяком случае в связи с неевклидовой формой этой теоремы, а обычно и гораздо раньше).

Мы полагаем, что вопрос об эквивалентности теоремы Пифагора постулату Евклида должен быть выяснен возможно раньше — наряду с другими замечательными эквивалентами этого постулата. При этом обращение к неевклидовой форме пифагоровской теоремы, вывод которой лежит в существенно иной плоскости, представляется совершенно излишним.

Укажем один из возможных простых путей, ведущих к установлению эквивалентности теоремы Пифагора и постулата Евклида. Заметим, что для достижения нашей цели нам достаточно показать, что из теоремы Пифагора может быть получен как следствие какой-либо известный эквивалент постулата Евклида. В качестве такого эквивалента мы используем предложение о равенстве двум прямым суммы углов треугольника. Отметим еще, что нам достаточно будет доказать равенство 2d суммы углов в каком-нибудь одном треугольнике, так как в этом случае, как известно, это равенство будет иметь место и для суммы углов всякого треугольника**.

* «Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии», Учпедгиз, 1950 г.

** Вторая теорема Лежандра-Саккери (Б. В. Кутузов, стр. 11).

С этой целью рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АСВ с катетом а и с гипотенузой с (черт. 1) и докажем, что в нем сумма углов равна двум прямым. Заметим, что в этом треугольнике ^/АСВ— прямой, а углы А и В— острые. Для доказательства нашего утверждения достаточно показать, что

С этой целью опустим перпендикуляр из вершины прямого угля на гипотенузу. По известной теореме «абсолютной геометрии» (о высоте и медиане в равнобедренном треугольнике) имеем:

С другой стороны, применяя теорему Пифагора к прямоугольному /\АСВ, находим:

так что

Применяя теорему Пифагора к Д ADC, вычисляем

Таким образом, треугольник ADC— равнобедренный, и значит (в силу известной теоремы абсолютной геометрии об углах при основании равнобедренного треугольника):

Но /^ACD = J/mDCB (по теореме о высоте и биссектрисе в равнобедренном треугольнике АСВ), откуда, так как 2l АСВ прямой,

и, следовательно,

Для завершения доказательства остается заметить, что ZmA = ^/mB (по теор°ме об углах при основании равнобедренного треугольника).

Покажем еще, как можно доказать эквивалентность постулата Евклида и теоремы, обратной теореме Пифагора. Для этого нам, как и выше, достаточно убедиться, что эквивалентное постулату Евклида предложение о сумме углов треугольника может быть получено как следствие теоремы обратной теореме Пифагора (и некоторых теорем абсолютной геометрии).

Для доказательства исходим из равнобедренного треугольника А^В (черт. 2) с АС= СВ = а и АН = а |/2.

В силу обратной теоремы Пифагора заключаем, что этот треугольник — прямоугольный, так как

/АСВ (как угол, лежащий против большой стороны) будет прямым, углы А и В — острыми. Проведя медиану CD, рассмотрим Д ADC. В этом треугольнике

(последние два равенства в силу свойств медианы CD равнобедренного Д АСВ, которая будет одновременно и бессектрисой и высотой). Рассмотрим еще некоторый

откуда на основании обратной теоремы Пифагора заключаем, что £\AXDXCX—прямоугольный, причем ^AyDiC— прямой. Но прямоугольные треугольники ADC и AxDyCx как имеющие по равной гипотенузе (АС = АХСХ = а) и по равному катету

равны (по одной из теорем абсолютной геометрии!). Отсюда следует, что у этих треугольников равны и два других катета, т. е.

Но так как и

то AD = DC,

так что Д ADC—равнобедренный. Отсюда получается, что

что и

требовалось, в сущности, доказать.

Полагаем, что самостоятельное нахождение доказательства эквивалентности (прямой и обратной) теоремы Пифагора постулату Евклида может послужить нетрудным, но вместе с тем довольно поучительным упражнением для участников математического кружка.

Черт. 1

Черт. 2

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

К ИСТОРИИ УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО ГЕОМЕТРИИ

С. В. НАЗАРЬЕВ (Орехово)

Как известно, «Начала» Евклида, представляющие систематическое изложение геометрии-науки, являлись вместе с тем и учебником на протяжении почти двух тысячелетий. Вторая половина XVIII века и XIX век характеризуются попытками изменить стиль и структуру этого учебника, не касаясь, однако, его фактического материала. Большую роль в этом отношении сыграли русские ученые — педагоги Д. С. Аничков, С. Я. Румовский, Т. Ф. Осиповский, С. Е. Гурьев, М. В. Остроградский, Ващенко-Захарченко и др., благодаря усилиям которых были созданы оригинальные отечественные специальные учебники по геометрии для средней школы, во многом превосходящие зарубежные учебники.

Учебники геометрии русской средней школы прошлого прошли в своем развитии два основных этапа.

Первый этап, охватывающий вторую половину XVIII века и первую половину XIX века, характеризуется тем, что в этот период еще находит применение в средней школе переводная учебная литература, а также и тем, что создаются первые отечественные учебники Аничкова, Румовского, Осиповского, Гурьева и др. Об интересе к Евклиду в этот период, особенно со стороны преподавателей военных учебных заведений, свидетельствуют переводы на русский язык «Начал» Евклида, выполненные Кургановым в 1769 г., Никитиным и Суворовым в 1784— 1789 гг. и Петрушевским в 1819 г. Любопытно отметить, что в отличие от Западной Европы (особенно Англии и Германии) в России не было школьных изданий Евклида. Во всяком случае, имевшиеся переводы Евклида не служили этой цели. Русские ученые и педагоги сразу стали на путь создания оригинального, отечественного учебника геометрии. В учебниках этого периода по Евклидову образцу определяются основные понятия (точка, прямая, плоскость); в большинстве учебников отсутствует предварительная система аксиом, а если и указываются аксиомы (например, Фуссом), то эти аксиомы являются недостаточными. При изложении вопросов метрики случай несоизмеримости обходится; отношение двух отрезков определяется как число (целое или дробное), показывающее, сколько раз один отрезок или его кратная часть содержится в другом (Гурьев). Причины этого лежат в том, что вопрос об измерении несоизмеримых отрезков был решен только во второй половине XIX века. Лишь после этого стала ясной необходимость аксиоматизировать непрерывность прямой, что дало возможность приписать в качестве меры каждому отрезку число. Здесь Гурьев делает шаг вперед по пути развития теории пропорций, так как Евклид не рассматривал отношение двух отрезков как число.

Довольно широко авторы учебников этого периода применяют принцип Кавальери и рассмотрение кривых линий как многоугольников с бесконечно малыми сторонами. В отличие от «Начал» Евклида, в учебниках этого периода применяется движение, однако, без попыток его аксиоматизировать. Любопытно отметить, что некоторые из учебников того времени содержат доказательство V постулата Евклида (Бобилье, Фусс, Лежандр). Многие учебники рассматриваемой группы содержат большое количество задач прикладного харак-

тера, что объясняется отсутствием в то время задачников.

Второй этап в эволюции учебников (со второй половины XIX века до советского периода) характеризуется стремлением отойти от Евклидова образца и создать оригинальный отечественный учебник геометрии, лишенный недостатков «Начал» Евклида (как учебника) и отражающий новейшие педагогические требования и достижения науки.

По количеству и разнообразию учебной литературы по геометрии второй период был самый богатый. Было издано свыше 60 учебников геометрии. В их числе учебники, которые пользовались большой популярностью не только в прошлом столетии (учебники Остроградского, Ващенко-Захарченко, Малинина, Егорова, Глаголева А. Н., Буренина, Билибина, Давидова, но и учебники, которые имели широкое распространение в дореволюционной средней школе XX века (учебники Давидова, Глаголева А. Н., Буренина, Извольского, Киселева и др.). Нужно отметить, что особой популярностью пользовался учебник А. П. Киселева (первое издание вышло в 1892 г.), дошедший с некоторыми изменениями до наших дней.

В учебниках этого периода более четко выступают неопределяемые понятия и предварительная система аксиом (Остроградский, Ващенко-Захарченко, Давидов, Глаголев). V постулат Евклида заменяется аксиомой, эквивалентной ему. Так, Остроградский вводит следующую аксиому параллельности: «Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой»; Гика и Муромцев—«Больший угол не может заключаться внутри меньшего»; «Через точку вне прямой можно провести только одну параллельную к этой прямой» (Глаголев А., Билибин, Киселев и др.).

При изложении главы о пропорциональных отрезках в этот период арифметическая точка зрения проводится более решительно: используется аксиома Архимеда и вводится с помощью двойной последовательности иррациональное число. Разрешив проблему изложения вопроса о пропорциональных отрезках в соответствии с научным его освещением, авторы учебников этой группы, однако, не разрешили ее с педагогической точки зрения, так как в силу возрастных особенностей учащихся учение об иррациональном числе не может быть дано сколько-нибудь обстоятельно.

Следует признать педагогически правильной точку зрения Глаголева А. Н., предложившего принять постулат, согласно которому каждому отрезку в качестве меры соответствует число рациональное или иррациональное.

Длина окружности (площадь круга) в учебниках рассматриваемой группы определяется как предел периметров (площадей) многоугольников, известным образом построенных. Интересно отметить, что некоторые авторы приводят доказательство существования этого предела, основанное на применяемой в скрытом виде теореме о пределе ограниченной монотонной последовательности.

Особого внимания заслуживает определение длины (окружности), принятое составителем учебника геометрии Дудышкиным, согласно которому окружность есть число, равное длине периметра наибольшего (или наименьшего) из всех вписанных в нее (или описанных) многоугольников. Здесь автором допускается ошибка. Дудышкин принял ошибочное утверждение, что ограниченное сверху (снизу) бесконечное числовое множество содержит наибольший (наименьший) элемент.

Наличие разнообразных точек зрения составителей учебников XIX века на изложение вопросов измерения объясняется, по нашему мнению, двумя причинами. Во-первых, отсутствием общей теории измерения площадей, разработанной только на рубеже XX столетия. Во вторых, тем, что математический анализ в этот период не был достаточно подготовлен для рассмотрения указанных вопросов, ибо теорема о пределе ограниченной монотонной последовательности была доказана только в конце XIX века.

Несмотря на обоснованное стремление школьной математики отражать в учебниках достижения математической науки, все же возникает вопрос, является ли педагогически необходимым определять в учебнике геометрии длину окружности и площадь круга. Не будет ли более целесообразным постулировать факт существования длины окружности и площади круга и перенести центр тяжести на отыскание этих величин методом пределов, который будет служить средством вычисления этих величин, а не определения их.

Учебники второй половины XIX века и начала XX века представляли наибольшую научную и педагогическую ценность. Работы в области математического анализа, аксиоматики геометрии и педагогики более смело и решительно отразились в учебниках этого периода.

Интересно отметить, что почти за целое столетие до наших дней Остроградский М. В. решительно выступал против абстрагирования преподавания геометрии в первых классах средней школы. Он совершенно правильно считал, что недооценка этого вопроса со стороны преподавателей может вызвать у учащихся отвращение к предмету.

Можно считать бесспорным высокий научный уровень многих учебников XIX столетия. Некоторые из них стояли выше лучших зарубежных учебников. Интересны в этом отношении замечания Д. Перевощикова— переводчика на русский язык известного французского учебника геометрии Лакруа, сделанные им по поводу определения криволинейной поверхности, данного автором учебника. Кривой поверхностью Лакруа называет поверхность, которая не является плоскостью или которая состоит из многих плоскостей. Это определение не считает строгим даже и сам автор, а переводчик идет дальше, рекомендуя учителям заимствовать определение кривой поверхности из работы Гурьева. В своих замечаниях к переводу Д. Перевощиков пишет (1835 г.): «Определения кривой линии и поверхности еще более, нежели определение прямой линии, погрешают против геометрической строгости. Посему учащие должны изложить сей предмет с большей точностью и надлежащими подробностями, заимствуя их из геометрии Гурьева. .. ».

Отдавая должное французской математической школе в развитии математической мысли, следует особо подчеркнуть ту самостоятельную роль, которую играла русская математическая наука XIX века, и значение того вклада, который внесли в учебную литературу русские педагоги.

Нельзя считать высоким научный уровень учебной литературы XIX века по геометрии в Западной Европе. Этот вывод подтверждается высказыванием известного историка математики Кэджори, который считает, что распространенные в середине XIX столетия учебные руководства по элементарной геометрии являются в научном отношении неудовлетворительными (Кэджори, История элементарной геометрии). Подтверждением этого вывода служит и тот факт, что, спустя четыре десятилетия после опубликования гениальной работы Лобачевского по геометрии, известный немецкий педагог Любзен включает в свой учебник по элементарной геометрии «доказательство» Евклидова постулата параллельности («Lübsen, Elementar geometri», 1870 г.).

Каковы общие основные особенности русской учебной литературы по геометрии, изданной для средней школы в XIX столетии? Прежде всего, авторы наиболее оригинальных учебников геометрии (особенно первой половины XIX столетия) уделяли исключительно большое внимание вопросам истории геометрии, которые излагались в особой главе (Ващенко-Захарченко) или рассматривались на протяжении всего курса в качестве примечаний или приложений к отдельным главам. Если учесть необходимость повышения подготовки по истории математики студентов, оканчивающих наши учительские и педагогические институты, и недостаток на рынке литературы но истории математики и прежде всего советской, то особенно актуальной становится проблема включения в современный учебник геометрии исторического материала.

Второй особенностью учебников геометрии XIX века является стремление их составителей, при соблюдении требования строгости, сделать изложение школьного курса геометрии более ясным для понимания учащихся. Успешному решению этого вопроса в значительной степени способствовали тщательно подобранные и указанные в тексте конструктивные и вычислительные задачи, а также задачи прикладного характера. В учебниках XIX века (особенно первой половины) имеются самостоятельные главы (учебники Гурьева, Остроградского и др.), посвященные решению отдельных задач из области строительной, землемерной и морской техники.

В связи с этим хочется высказать сожаление, что авторы современных учебников не используют опыт своих предшественников в вопросах приложения геометрии к практике. Нужно отметить, что недооценка со стороны отдельных преподавателей геометрии исторического материала и вопросов приложения тео рии к практике социалистического строительства служит серьезным препятствием к сознательному и прочному усвоению учащимися школьного курса геометрии и является одним из источников формализма в преподавании геометрии.

Третьей особеностью большинства учебников XIX века является наличие в них так называемого общего отдела, содержащего наиболее интересные обобщающие задачи на построение и вычисление (Давидов, Киселев и др.). Не решая здесь вопроса о целесообразности выделения в учебнике такой главы, следует, однако, указать, что обобщающим задачам при изучении школьного курса геометрии, несомненно, следует отвести специальное место, если не в учебнике, то, во всяком случае, в сборнике задач по геометрии. Как известно, задачи такого рода (особенно на построение) способствуют развитию у учащихся пространственных представлений и закрепляют знания основных положений курса.

Далее следует указать еще на одну особенность учебников XIX века, кстати, присущую и современному стабильному учебнику Киселева, заключающуюся в стремлении их авторов к единству стиля изложения первых разделов планиметрии и стереометрии без учета возрастных особенностей учащихся. Большинство составителей учебников не учитывало, что уро-

вень развития учащихся резко меняется от класса к классу и что это обстоятельство должно было найти отражение как в стиле изложения, так и во взаимоотношении между логикой и интуицией. Если при изложении первых разделов планиметрии значительное место занимают интуиция и аппеляция к опыту, то при изложении стереометрии в большей степени должен преобладать логический момент. Следует подчеркнуть, что наиболее удачной попыткой такого подхода к изложению школьного курса геометрии является учебник Глаголева Н. А., написанный для средней школы.

Вопросы повышения квалификации учителей математики советской школы и вопросы улучшения подготовки студентов педагогических вузов по методике математики тесно связаны с проблемой более глубокого изучения наследства, оставленного школой прошлого. Поэтому следует признать своевременным более широкое ознакомление с учебной литературой дореволюционной школы нашей учительской общественности. Переиздание, лучших учебников геометрии и их внимательное изучение и анализ, способствовали бы достижению этой цели.

ПИСЬМО В РЕДАКЦИЮ

В мою статью «Научные работы по методике математики» (№ 5 журнала «Математика в школе», 1950 г.) вкрались неточности:

1. Работа тов. Шидловской (стр. 17) не является диссертационной.

2. Тов. Крельштейн (стр. 17) изменил тему диссертации.

3. Тов. Рибачевский (стр. 18) свою диссертацию еще не защищал.

Профессор А. Ланков.

МЕТОДИКА

ВЫЯСНЕНИЕ ВОПРОСА О ПРЕДМЕТЕ МАТЕМАТИКИ В КУРСЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Ф. Ф. НАГИБИН (Киров)

Исторические постановления ЦК ВКП(б) по идеологическим вопросам мобилизуют нас на борьбу за повышение идейного уровня всей работы советской средней школы. Из этих постановлений вытекает, в частности, необходимость поднятия методологического уровня преподавания математики. Без этого школьный курс математики не в состоянии внести свой вклад в дело вооружения учащихся основами диалектико-материалистического мировоззрения.

К числу основных вопросов философского характера в школьном курсе математики следует отнести вопрос о предмете математики. Вокруг этого вопроса, как известно, в прошлом велась ожесточенная борьба. Идеалистической философией предпринимались многочисленные, но безуспешные попытки использовать математику для «опровержения» материализма, для доказательства возможности внеопытного, не зависящего от материального мира познания. Эти попытки не прекращаются и в наши дни. «... важно подчеркнуть, — пишет например, шведский математик Г. Крамер,— что никакое предложение любой математической теории не доказывает ничего относительно явлений, имеющих место в действительности». «Математические рассуждения,— говорит он, — принципиально непригодны для доказательства физических фактов»*. Подобные высказывания имеют своей целью защиту идеализма. Философствующие ученые лакеи англо-американского империализма в наше время особенно настойчиво отрицают связь мышления с материальным миром, воздействие этого мира на сознание человека. Наша советская наука с неослабной энергией ведет упорную борьбу с идеалистическим мракобесием и всеми его проявлениями в любой области.

Советская школа не может стоять и не стоит в стороне от этой борьбы. Имея своей методологической основой диалектический материализм, единственное научное мировоззрение, все учебные предметы среднешкольного курса, в том числе и математика, призваны разоблачать разнообразные проявления идеализма. Разоблачены должны быть также и идеалистические взгляды на предмет математики.

А. А. Жданов в выступлении на дискуссии по книге Г. Ф. Александрова «История западноевропейской философии» говорил: «Нужно, чтобы в учебнике был точно определен предмет истории философии как науки». Это указание А. А. Жданова применимо и к математике. Нужно, чтобы в курсе математики средней школы с должной обстоятельностью был рассмотрен вопрос о предмете математики.

Чтобы выяснить, какие представления имеют наши учащиеся о предмете математики, мы опросили в марте 1950 г. учащихся десятых классов двух школ г. Кирова. Ответы на наш вопрос «Что изучает математика?» были такими: 1) математика изучает законы правиль-

* Г. Крамер, Математические методы статистики, Гос. изд. иностранной литературы, 1948, стр. 166.

ного, точного математического мышления; 2) это наука о числах и действиях над ними; 3) математика изучает взаимосвязи между величинами; 4) изучает зависимости между числами; 5) наука о свойствах чисел; 6) изучает основные математические законы; 7) занимается решением алгебраических, геометрических и тригонометрических задач; 8) изучает законы и методы вычислений и измерений; 9) изучает все изменения буквенных и числовых величин. Были и такие ответы, которые показывают, что некоторые учащиеся имеют совсем смутное представление о предмете математики. Например 10) математика — точная наука; 11) она изучает взаимосвязи между арифметикой, алгеброй, геометрией и тригонометрией; 12) изучает явления, происходящие с величинами в материалистическом мире и т. п.

Возникает вопрос: почему представления учащихся средней школы по вопросу о предмете математики иногда так поверхностны и сбивчивы? В процессе обучения учащиеся получают достаточный материал для правильных выводов о предмете математики, однако этих выводов многие не делают. Нам думается, что это объясняется отсутствием специальной обобщающей работы на уроках математики.

Беседы с учителями школ г. Кирова действительно показывают, что вопросу о выяснении предмета математики должного внимания не уделяется. Мы слышали и откровенные признания в этом, и попытки оправдать себя. Некоторые учителя говорили, например, о том, что само изучение математики в средней школе формирует представления учащихся о предмете математики, а поэтому нет необходимости вести какую-либо специальную работу. Другие говорили о том, что вопрос о предмете математики выходит за рамки школьного курса. Конечно, такие высказывания не выдерживают критики.

Не подлежит сомнению необходимость формирования у учащихся средней школы правильных представлений о предмете математики. Разумеется, с исчерпывающей полнотой в средней школе это невозможно сделать, но то, что можно сделать, должно быть сделано. Что же можно сделать?

На протяжении всего школьного курса математики надо давать учащимся полноценный материал для ответа на вопрос: что изучает математика? Это означает, прежде всего, глубокое, прочное и действенное усвоение учащимися основных, ведущих понятий школьной математики. Имеющиеся в нашем распоряжении материалы по школам г. Кирова заставляют нас утверждать, что учащиеся часто не отдают себе отчета в том, какие понятия школьного курса следует считать основными. Десятиклассники, например, к числу основных понятий относят и такие понятия, как простые числа, сложение, математический знак, числовая ось, абсолютная величина числа, радикал, логарифм, сложные проценты, соединения, угол, окружность, радиус, квадрат, куб, пирамида, синус угла и т. п.

Объясняется это, надо думать, тем, что внимание учащихся не сосредоточивается на главных, ведущих понятиях школьного курса математики. Получается так, что за частностями учащиеся не видят главного. Мириться с этим, конечно, нельзя. Основные понятия, рассматриваемые на уроках, должны выделяться, подчеркиваться, изучать их нужно с особой тщательностью и большой серьезностью. Без этого нам не поднять на необходимую высоту идейный уровень школьного курса математики.

Основой усвоения ведущих понятий математики должно быть известное положение Ф. Энгельса о том, что понятия— «результаты, в которых обобщаются данные опыта»*. Следовательно, при рассмотрении на уроках математики понятий: числа, алгебраической операции, уравнения, неравенства, функции, предела, геометрической фигуры, геометрического преобразования, длины, площади, объема и других основных понятий, необходимо настойчиво показывать, что понятия математики являются отражениями материальной действительности, что абстракции в математике, как и в других науках, создаются путем отвлечения их от действительного мира, от реальных вещей и реально существующих связей между ними. Особенно важными при этом представляются три момента: 1) предварение введения понятия рассмотрением конкретных задач, моделей, чертежей, таблиц и т. д. ; 2) привлечение материала из истории математики; 3) рассмотрение практических применений введенных понятий. При введении понятия функции, например, представляется необходимым вдумчивое рассмотрение конкретных зависимостей между отдельными реально существующими величинами, т. е. конкретных задач, приводящих к различным функциям. Иначе понятие функции не будет воспринято как отражение зависимостей между величинами действительного мира. Точно так же при изучении комплексных чисел мы обязаны особенно настойчиво выдвигать вперед не формальную точку зрения, а реальную. Наши учащиеся должны знать, какого рода величины могут выражаться комплексными числами. В против-

* Ф. Энгельс, Диалектика природы, 1948, стр. 14.

ном случае понятие комплексного числа войдет в сознание ученика как «свободное творение чистого разума».

При выяснении основных понятий в школьном курсе математики нельзя не использовать многочисленные высказывания Ф. Энгельса по поводу этих понятий. В «Анти-Дюринге», например, Энгельс говорит: «Представления о линиях, поверхностях, углах, многоугольниках, кубах, шарах и т. д. — все они отвлечены от действительности...», «Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления»*. В этих и других высказываниях Энгельс настойчиво подчеркивает материальную основу понятий математики.

На уроках математики очень часто приходится пользоваться логикой для выведения одних понятий из других. В связи с этим должно подчеркиваться, что «.. . выведение математических величин друг из друга, кажущееся априорным, доказывает не их априорное происхождение, а только их рациональную взаимную связь»**, что «... практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом***». Если об этом не говорить, то учащиеся получат ошибочные представления об основах логических рассуждений в математике, а значит, и о самой математике. Вот почему, пользуясь логикой на уроках математики, мы должны показывать, что эта логика своей основой имеет человеческую практику и что логические выводы в математике являются отражениями реальных связей в ней.

При изучении отдельных математических дисциплин: арифметики, алгебры, геометрии, тригонометрии—должен выясняться предмет каждой из них. Обычно это и делается, но делается мимоходом, в результате чего у учащихся остаются довольно смутные представления о том, что изучает каждая из этих дисциплин. Вот несколько харатерных высказываний десятиклассников, подтверждающих сделанный нами вывод: арифметика «изучает четыре закона действий с математическими числами, она изучает численные величины между отдельными явлениями нашей жизни в частном виде», это—«наука о простых числах»; алгебра «изучает приемы действия над буквенными выражениями и их преобразования», это—«наука о числах в общем виде», «наука о математических законах», она «изучает вообще все числа», «изучает движение, вращение тел», геометрия занимается «измерением тел, их объемов, поверхностей, площадей», это—«наука, занимающаяся измерением физических тел», тригонометрия «изучает зависимости между углами треугольников и всех тел, а также свойства окружностей», «изучает способы решения треугольников», «изучает законы соотношения углов или градусных величин в геометрических фигурах».

Как же добиться того, чтобы представления учащихся об изучаемых в средней школе математических дисциплинах были достаточно отчетливыми и правильными?

а) По вопросу о предмете арифметики с учащимися целесообразно говорить на первых уроках арифметики в V классе, на последних уроках в VI и в X классах. За основу может быть взято определение арифметики как науки о числах, их свойствах и действиях над ними. При этом нельзя не подчеркнуть, что понятие числа «заимствовано исключительно из внешнего мира» (Ф. Энгельс). Уточнение представлений учащихся об арифметике должно быть проведено в X классе, в обобщающей беседе о математике. Именно здесь представляется удобным отметить, что школьная арифметика и арифметика-наука (теория чисел) существенно отличаются одна от другой. Если школьная арифметика много внимания уделяет арифметическим операциям, то теория чисел, изучающая свойства целых чисел, этого не делает, так как арифметические операции с общей точки зрения изучаются в алгебре. В школьную арифметику входят лишь отдельные вопросы теории чисел, причем излагаются эти вопросы упрощенно. Кроме того, школьная арифметика включает в себя многие вопросы других разделов математики,

б) Еще больше различий между элементарной алгеброй и алгеброй-наукой. Принято считать, что основная задача современной алгебры— изучение операций, заданных в множествах произвольной природы. Школьная же алгебра объединяет несколько разнородных частей. Это своеобразная аналитическая энциклопедия элементарной математики, объединяющая такие вопросы, как развитие понятия числа, тождественные преобразования, элементы теории уравнений, элементы учения о функциях и некоторые другие вопросы. Такая энциклопедичность школьного курса алгебры не позволяет дать единого определения этого курса, которое характеризовало бы все его содержание. Поэтому не может быть и речи о раскрытии содержания школьной алгебры на первых ее уроках. Очевидно, предмет школьной алгебры должен вы-

* Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1948, стр. 38 и 37.

** Там же, стр. 37.

*** В. И. Ленин, Философские тетради, 1947, стр. 164.

ясняться последовательно, по мере ее изучения. В VI классе может быть указано, что алгебра занимается изучением расширенных числовых множеств и операций над новыми числами, а также тождественными преобразованиями буквенных выражений. В VII классе к двум указанным задачам школьной алгебры добавляется третья — изучение простейших уравнений, а в VIII классе — четвертая — изучение простейших функций. В X классе в обобщающей беседе о предмете математики об этих четырех задачах школьной алгебры следует говорить еще раз, причем стоит, пожалуй, подчеркнуть, что одной из важнейших задач этого учебного предмета является изучение различных операций над числами, последовательностями чисел, многочленами и некоторыми другими функциями (дробными рациональными, иррациональными, показательными, логарифмическими). Конечно, было бы желательно сопоставление школьной алгебры и алгебры-науки. Наконец, так же, как и при выяснении предмета арифметики, в беседе об алгебре должно быть указано, что и алгебра изучает количественные соотношения реального мира.

в) Вопрос о предмете элементарной геометрии рассматривается обычно на первых уроках систематического курса ее в VI классе. После выяснения понятия геометрической фигуры учащимся сообщается, что геометрия занимается изучением свойств геометрических фигур, что это—наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение твердых тел в мире действительных вещей. Такое описание содержания геометрии может быть повторено и несколько развито на первых уроках стереометрии в IX классе. В X классе должна быть подчеркнута одна из важнейших задач геометрии-науки и школьной геометрии, о которой ранее трудно было говорить, именно задача изучения разнообразных преобразований геометрических фигур (вращения, параллельного перенесения, симметрии, гомотетии, инверсии, проектирования и т. д.). Особое внимание в этой обобщающей беседе о геометрии должно быть уделено аксиоматическому методу, имеющему существенное значение для понимания предмета геометрии и для изучения ее. Должно быть подчеркнуто, что геометрия «... дает свои законы, абстрагируясь от конкретных предметов, рассматривая предметы как тела, лишенные конкретности, и определяя отношения между ними не как конкретные отношения таких-то конкретных предметов, а как отношения тел вообще, лишенные всякой конкретности»*

г) Что касается тригонометрии, то вопрос о содержании ее может быть рассмотрен в IX классе сразу же после введения тригонометрических функций. За основу при этом должно быть взято определение тригонометрии как дисциплины, изучающей тригонометрические функции и их приложения, в особенности геометрические. В X классе может быть указано, что в школьной тригонометрии сливаются две струи: алгебраическая (тождественные преобразования тригонометрических выражений, изучение тригонометрических функций, уравнений, неравенств) и геометрическая (зависимости между сторонами и углами треугольника и решение треугольников).

Описанная выше работа по выяснению содержания изучаемых в средней школе математических дисциплин в значительной степени обесценится, если при этом не будут рассмотрены наиболее важные этапы исторического развития этих дисциплин. Учащиеся должны понять, что всякая наука, а значит, и учебный предмет не остаются с течением времени неизменными, они развиваются. Из одних наук выделяются другие, в своем развитии науки взаимосвязаны. Все это вызывается в конечном счете развитием практической деятельности людей.

«До сих пор, — говорит Ф. Энгельс,— выставляют хвастливо напоказ только то, чем производство обязано науке; но наука обязана производству бесконечно большим»**.

В X классе при повторении курса математики представления учащихся о предмете математики должны быть уточнены, углублены и систематизированы. С этой целью необходимо провести двухчасовую лекцию-беседу. Можно рекомендовать следующий план такого обобщающего занятия: 1) Возникновение математики и наиболее важные моменты ее развития до начала XVII века. 2) Основные моменты развития математики в XVII и XVIII веках. 3) Развитие математики в дореволюционной России и в СССР. 4) Характерные особенности советской математики. 5) Движущие причины развития математики. 6) Изменение предмета математики в связи с развитием ее. 7) Определение математики, данное Ф. Энгельсом. Идеалистические высказывания о предмете математики и критика их. 8) Арифметика, алгебра, геометрия и тригонометрия и их связь с отдельными частями математики-науки. 9) Другие математические дисциплины. 10) Методы математики. 11) Связь математики с другими науками, с техникой. 12) Значение математики в период постепенного перехода от социализма к коммунизму.

* И. В. Сталин, Марксизм и вопросы языкознания, Госполитиздат, 1950, стр. 24.

** Ф. Энгельс, Диалектика природы, 1946, стр. 148,

Основной материал почти по всем пунктам этого плана учитель найдет в статье «Математика» академика А. Н. Колмогорова, напечатанной в БСЭ, и в «Методике преподававания математики в средней школе» В. М. Брадиса.

Чтобы обобщающая лекция-беседа о предмете математики прошла на достаточно высоком идейном уровне, можно рекомендовать учителю руководствоваться следующими соображениями:

а) Сообщаемый учащимся исторический материал должен привести к таким выводам: 1) «Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики»*. 2) Основными причинами, определяющими развитие математики, являются технические, производственные и политические интересы, выдвигаемые общественной жизнью. 3) Самостоятельное логическое развитие понятий, теорий и методов в истории математики играет подчиненную роль.

б) Краткая характеристика развития математики в России должна показать учащимся такие типичные черты русской математики, как самостоятельность и оригинальность исследований, смелость и новаторство в постановке и поразительную настойчивость в разрешении проблем, постоянное внимание практическим приложениям математических знаний, искренний демократизм и прогрессивное материалистическое мировоззрение выдающихся русских математиков и их патриотизм. Советская математика эти черты развила, обогатила и пополнила новыми. За 33 года своего быстрого развития советская математика сложилась в широко разветвленную науку, успешно решающую все более и более сложные проблемы, прокладывающую новые пути. Советская математика стала массовой. Математическим творчеством в СССР заняты большие коллективы ученых, многое делается в нашей стране для распространения математических знаний в широких массах, для поднятия уровня математического образования в наших школах. Советская математика .— передовая наука, имеющая своей философской основой диалектический материализм. Она сочетает в себе здоровый практицизм, определяемый задачами построения коммунистического общества, с внутренней логикой научного мышления. Советские математики вдохновляются нашей партией, нашим вождем и учителем И. В. Сталиным. Свои творческие силы, свои знания они отдают советской родине, строящей коммунизм. И ни в одной стране мира не создано таких замечательных условий для могучего расцвета математики, как у нас.

в) Предмет математики следует определять так, как это было сделано Ф. Энгельсом, а именно: математика «... имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира... »**. К этому определению Энгельса нет необходимости что-либо добавлять***.

г) Идеалистические высказывания о предмете математики разнообразны. Наиболее распространенная среди современных математиков-идеалистов точка зрения на математику была высказана еще Дюрингом, утверждавшим, что математика априорна, не зависит от внешнего мира, что рассудок математика занимается своими собственными творениями и фантазиями. Из других идеалистических высказываний о математике нашли известное распространение такие высказывания, которые сводят математику к чистой логике или видят в математике некий универсальный метод, науку без содержания. Эти высказывания о предмете математики, продиктованные классовыми интересами буржуазных ученых, как это было показано еще Ф. Энгельсом, опровергаются самой математикой и ее историей. Задача учителя и сводится к тому, чтобы показать это.

д) Учащимся X класса надо рассказать, хотя бы очень кратко, о некоторых математических дисциплинах, не изучаемых в средней школе, например, об аналитической геометрии, теории функций, теории вероятностей. В противном случае у учащихся может сложиться убеждение, что математика ограничивается вопросами среднешкольного курса. Мы, например, не раз встречали таких десятиклассников, которые полагали, что они изучили всю математику, что дальше им остается только учиться применять математические знания на практике.

е) По вопросу о связи математики с другими науками следует разъяснить учащимся известное замечание Гегеля, охарактеризованное В. И. Лениным в «Философских тетрадях» (1947 г. стр. 91), как меткое: «Чем богаче определенностью, а тем самым и отношениями, ста-

* Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1948, стр. 37.

** Ф.Энгельс, Анти-Дюринг, 1948, стр. 37.

*** Мы считаем неудачным определение современной математики как науки, данное академиком А. Н. Колмогоровым в статье «математика» в БСЭ: «математика как наука о количественных и пространственных формах действительного мира во всей их общности (курсив наш — Ф. Н.). Дело в том, что процесс абстрагирования в математике не имеет границ; это, можно сказать, асимптотический процесс. Пространственные и количественные формы действительного мира нельзя рассматривать во всей их общности, так как эта общность относительна.

ловятся мысли, тем с одной стороны, более запутанным, а с другой более произвольным и лишенным смысла становится их изображение в таких формах, как числа». После такого разъяснения учащиеся должны понять, что нельзя математику рассматривать как какую-то сверхнауку, по выражению Гаусса — царицу наук, предписывающую свои законы другим наукам. В действительности, математика — одна из многих наук, изучающая определенные стороны действительного мира, а именно: пространственные формы и количественные отношения.

О СОСТАВЛЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Л. М. ЛОПОВОК (Проскуров)

В каких бы условиях ни приходилось работать преподавателю геометрии, как хорошо он бы ни был обеспечен доброкачественными задачниками, все равно ему не избежать в той или иной степени самостоятельного составления задач. Наиболее простым случаем такой работы будет варьирование известных образцов.

При повторении материала в конце темы, учебной четверти или года нередко оказывается необходимым напомнить уже рассмотренные, но имеющие значение (либо для последующего изложения, либо для практики) задачи или типы задач, В таких случаях явно нецелесообразно рассматривать решенные ранее задачи. Это не даст должного результата в классе, а тем более во время домашней работы учащихся. В условия задач должны быть внесены изменения, во всяком случае должны быть введены новые числовые данные.

Стабильный задачник не всегда дает упражнения в должной пропорции по видам и но темам. Порою недостает задач на построение или на доказательство, к некоторым теоремам совсем отсутствуют упражнения. В таких случаях обычно подбирают задачи из других сборников. Но при этом выбранное приходится переделывать или упрощать, так как в большинстве случаев упражнения, взятые из нестабильных задачников, оказываются не рассчитанными на рядового школьника.

Так или иначе, педагогу приходится восполнять пробелы самостоятельно либо путем составления задач, либо путем переделки имеющихся в его распоряжении упражнений. Поэтому вполне законно желание вооружиться необходимыми знаниями, познакомиться с методами составления геометрических задач.

Настоящая статья излагает опыт работы по самостоятельному составлению учителем геометрических задач. Материал, в основном, взят из планиметрии, так как общие принципы составления задач в обоих частях геометрии одинаковы, а стереометрические задачи в большинстве случаев приводятся к планиметрическим.

Наиболее распространено варьирование числовых данных. В некоторых случаях (перевод градусов и минут в доли прямого угла, определение длины дуги по ее градусной еличинев и радиусу и т. д.) варьирование не представляет трудностей, так как данные можно подбирать произвольно. Иначе обстоит дело, когда подбираемые величины связаны определенными зависимостями или должны удовлетворять некоторым дополнительным условиям.

Примером таких величин могут быть стороны и площадь так называемых «целочисленных» треугольников, измерения и диагональ прямоугольного параллелепипеда и др.

В этом случае работа составляющего задачи распадается на две части. Во-первых, необходимо установить типы задач, которые отвечают условиям изучения. Пусть, например, мы подбираем упражнения к теореме Пифагора. Речь может идти о шести элементах: а, Ь, с, асу Ьс и hc. Для решения задачи необходимо и достаточно знать два из них. Поэтому исходные данные могут быть:

Из этих пятнадцати типов следует выбросить те, которые встречаются дважды. Останутся типы 1, 2, 4, 6, 7, 8, 13, 14. Вторым этапом будет составление таблицы сторон целочисленных прямоугольных треугольников. Пользуясь равенством:

получаем:

Таблица 1

Таблица может быть продолжена как угодно далеко. Однако для практических нужд достаточно приведенной.

Внимательное рассмотрение таблицы может натолкнуть на интересные задачи. Например, первая тройка может быть использована так:

1. Стороны прямоугольного треугольника выражены последовательными натуральными (или последовательными четными) числами. Найти их.

2. Если стороны и полупериметр треугольника выражаются числами, составляющими арифметическую прогрессию, то треугольник прямоугольный. Доказать.

3. Если стороны прямоугольного треугольника образуют непрерывную арифметическую пропорцию (или составляют арифметическую прогрессию), то он подобен египетскому треугольнику. Доказать.

В ходе пользования таблицей ее данные могут быть пропорционально увеличены или уменьшены. Возьмем, например, ту же тройку, т. е.

а = 3, ô=4, с—5, и вычислим проекции катетов:

Чтобы эти проекции выражались целыми числами, нужно стороны треугольника увеличить в пять раз. Тогда мы получим задачу: «Катеты равны 15 м и 20 м. Определить их проекции на гипотенузу».

Приведенная таблица может быть использована не только при решении прямоугольных треугольников, но и в тех случаях, когда задача может быть сведена к решению прямоугольных треугольников. Поэтому применение таблицы 1—довольно широкое.

Составление подобных таблиц — довольно трудоемкое дело. Чтобы облегчить работу преподавателя, приводим несколько важных таблиц.

Целочисленными треугольниками называются такие, у которых стороны и площадь выражаются целыми числами. Все треугольники из таблицы 1 отвечают этому условию. Из косоугольных наименьшими будут следующие:

Таблица 2

Как и в таблице 1, данные могут быть пропорционально изменены. Пусть, например, имеем задачу:

Стороны треугольника я, Ь, с. Точка M удалена от каждой из его вершин на d. Найти расстояние точки M от плоскости треугольника. Пусть мы взяли стороны треугольника равными 4, 13 и 15. Тогда:

Подбираем в таблице 1 треугольник, один из катетов которого 65. В этом случае гипотенуза будет 97, а второй катет 72. Значит, нужно принять d = -g- ; тогда ответ будет -g- = 9.

Можно было подыскивать не 65, а один из делителей 65 (например, 13). Такой треугольник будет: 13, 84,85. Если нужны стороны в пять раз больше, т. е. 65, 420 и 425, то, положив

Из целочисленных треугольников легко получить целочисленные параллелограмы. Для этого достаточно считать две стороны треугольника сторонами параллелограма, а третью— диагональю. В большинстве случаев при этом вторая диагональ будет выражена в радикалах. Из параллелограмов, у которых стороны, диагонали и площадь выражены целыми числами, можно указать следующие*:

Таблица 3

Материал для задач о диагоналях параллелограма приведен в таблице 4.

Таблица 4

* Разумеется, речь идет о косоугольных параллелограмах, а не о прямоугольниках.

Пользуясь таблицей 4, можно составить ряд задач, отсутствующих в стабильном задачнике. Например:

Стороны и диагональ параллелограма образуют арифметическую прогрессию, разность которой 13 см. Нейти стороны, зная, что вторая диагональ 23 см. (Стороны 17 и 30, диагонали 23 и 43.) Подобную же задачу можно составить, исходя из чисел: 5, 10, 9, 13; 8, 9, 11, 13; 13, 18, 19, 25 и т. п. Числа 7, 9, 8 и 14 приводят к задаче:

Одна из диагоналей параллелограма есть среднее арифметическое сторон его, а вторая вдвое больше одной из сторон. Найти стороны параллелограма, зная, что периметр его равен 32 см.

Если таблицу 4 используют для вычисления медиан треугольника, то в качестве сторон его берут стороны и одну из диагоналей параллелограма. Тогда медиана будет равна половине другой диагонали.

Таблицу 4 можно использовать и при составлении задач о диагоналях прямого параллелепипеда. Пусть, например, в основании его лежит параллелограм со сторанами 11 и 12 и диагоналями 13 и 19. Пусть диагонали параллелепипеда т и п. Тогда:

Ограничиваясь целыми числами, отбросим первое и третье разложения. Второе даст для m и п значения 49 и 47, четвертое — 26 и 22. Легко, разумеется, найти H и подобрать оформление этих данных.

Для прямоугольных параллелепипедов нужна отдельная таблица:

Таблица 5

Эта таблица может быть использована и для составления задач к теореме Фаульхабера*, если считать, что a, b и с суть площади граней-катетов, то D выразит площадь грани-гипотенузы. Пусть, например, мы хотим использовать данные: 1, 4, 8 и 9. Обозначив отрезки ребер прямого трехгранного угла через х,у и z, составим уравнения:

* Если плоскость пересекает ребра прямого трехгранного угла 5 в точках А, В и С, то треугольники SAB, SAC и SBC называются гранями-катетами, а треугольник ABC—гранью-гипотенузой. Теорема Фаульхабера гласит: «Сумма квадратов площадей граней-катетов равна квадрату площади грани-гипотенузы». С этой теоремой связана еще одна: «Площадь грани-катета есть средняя пропорциональная между площадью грани-гипотенузы и площадью ее (грани-катета) проекции на грань-гипотенузу».

Теорема Фаульхабера может быть выведена различными путями, в том числе и непосредственным вычислением площади сечения.

отсюда jc=1, у —2, и 2 = 8. Следовательно, задачу можно сформулировать так:

Плоскость отсекает на ребрах прямого трехгранного угла отрезки, равные 1 см, 2 см и 8 см. Найти площадь сечения.

Вместо отрезков можно было взять их отношение и дать величину площади сечения.

Приведенные таблицы, понятно, не являются единственно возможными, они только наиболее употребительны. Время, затраченное на составление подобных таблиц, вполне окупается впоследствии — в процессе составления задач самим преподавателем.

Наряду с изменением числовых данных, важно и изменение формулировки условия. Оба метода могут применяться и одновременно, но второй, к сожалению, мало употребляющийся, имеет в отличие от первого принципиальное значение.. Варьирование формулировки условия задачи представляется нам обязательным для упражнений по основным теоремам и формулам.

Проиллюстрируем этот метод примером.

Пусть исходная задача такова:

Катеты прямоугольного треугольника относятся, как 5:12, а гипотенуза его равна 52 см. Найти катеты. Чтобы несколько «завуалировать» либо тип треугольника, либо величину гипотенузы, условие можно сформулировать иначе.

1. Катеты прямоугольного треугольника относятся как, 5:12. Ной-пи их, если известно, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна 26 см.

2. Стороны прямоугольника относятся как 5:12. Найти их, зная, что радиус описанной окружности равен 26 см.

3. Диагонали ромба относятся как 5:12, а сторона его ровна 52 см. Вычислить диагонали.

4. Длина хорды относится к расстоянию хорды от центра окружности как 5:6. Найти длину хорды, если радиус окружности равен 52 см.

Легко убедиться, что задачи 1—4 равносильны исходной, но требуют от решающего некоторых дополнительных размышлений.

Иногда при изменении условия задачи умышленно переставляют местами данные и искомые элементы. Вместо задачи о вписывании в данный треугольник квадрата предлагают вокруг данного квадрата описать треугольник, подобный данному. Вместо построения треугольника по основанию, высоте и радиусу описанной окружности предлагают в данную окружность вписать треугольник, имеющий данное основание и данную высоту. Вместо вычисления радиуса вписанной окружности по сторонам треугольника предлагают найти стороны треугольника, зная их отношение и радиус вписанной окружности.

При таком изменении формулировки условия можно представить задачу в ином свете. Изменение формулировки можно и следует сопровождать изменением числовых данных.

Третьим важным методом является упрощение или усложнение условия задачи. Упрощение может потребоваться в тех случаях, когда учащиеся слабо подготовлены или когда учитель не располагает достаточным количеством времени. Конечно, иногда упрощение может быть проведено путем изменения числовых данных. Но одним изменением числовых данных не всегда можно добиться желаемого результата. В основном к цели ведут два приема.

1. Уменьшение объема задачи

Из всех вопросов, которые рассматриваются в ходе решения задачи, выбирают наиболее важные или интересные. Пусть, например, имеем задачу:

По медианам треугальника найти его площадь.

Возможны два пути решения, а именно: 1) по медианам находят стороны, после чего применяют формулу Герона; 2) доказывают, что площадь треугольника, построенного на медианах данного треугольника, составляет — площади данного треугольника; затем определяют площадь треугольника, построенного на медианах данного, по формуле Герона и т. д.

Смотря по тому, что именно интересует нас,, можно либо ограничиться определением стороны, либо вместо медиан дать площадь треугольника, построенного на медианах.

Пусть нужно определить биссектрису по отношению сторон и площади треугольника. Учитывая, что главное — определение биссектрисы*, можно сразу дать величины сторон.

Подобные упрощения, разумеется, не всегда допустимы, но в отдельных случаях могут быть целесообразными.

2. Изменение фигуры

Иногда для упрощения условия задачи приходится заменять одну фигуру другой — аналогичной, но более простой.

Так можно заменять тупые углы дополнительными, вместо произвольного треугольника

* Формула ученикам неизвестна, она не входит в программу. Вычисление происходит иначе.

брать прямоугольный, равнобедренный или равносторонний, вместо 24-угольника брать 12-угольник и т. д.

Такой прием особенно важен при решении стереометрических задач (о расстоянии точки от плоскости, высоте пирамиды и т. д.).

Значительно чаще приходится усложнять условие. Это вызывается необходимостью тренировать учащихся в решении комбинированных задач, которых в стабильном задачнике недостаточно. Усложнение условия задачи может быть, как мы это покажем ниже, проведено таким образом, что в новой редакции задача, будучи доступной учащимся, потребует от решающего знаний нескольких разделов курса, а не одного.

Каковы же основные приемы усложнения условия задачи?

1. «Надстройка»

Сущность этого приема заключается в том, что решающему приходится до решения основной задачи решить некоторую вспомогательную.

Возьмем задачу:

Стороны параллелограма равны 13 и 16 см, а одна из диагоналей его 25 см. Найти площадь параллелограма.

Здесь решение сводится к применению формулы Герона с последующим удвоением результата. Чтобы усложнить задачу, можно вместо диагонали дать отношение диагоналей (3:5) или разность их.

Вместо диагоналей ромба можно дать их отношение и величину периметра (или высоту); можно дать сумму (или разность) диагоналей и сторону (или высоту) ромба.

Определение площади правильного /г-угольника можно усложнить тем, что вместо числа п дается величина внутреннего угла.

Примерами таких усложненных задач могут служить:

а) Высота прямоугольного параллелепипеда выражается тем же числом, что и площадь основания, а диагональ параллелепипеда на 1 см больше высоты. Вычислить объем параллелепипеда, зная, что периметр основания равен 18 см.

б) Стороны прямоугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию. Найти его площадь, зная, что проведенная к гипотенузе высота равна 7,2 см.

2. Отбор рациональных путей решения

Нередко задача может быть решена различными путями. При этом не всегда видна разница между ними с точки зрения удобства и быстроты получения результата.

Пусть имеем задачу: В треугольнике ABC проведена BD — перпендикуляр к гипотенузе АС. В треугольники ABC, ABD и DBC вписаны окружности, радиусы которых соответственно равны rl9 г2 и г3. Доказать, что

Здесь можно исходить из того, что

где с — гипотенуза. Тогда можно записать:

Сложив почленно эти равенства и приняв во внимание, что AD+DC = AC, получим искомое соотношение.

Но можно было отправляться и от формулы г = —. Тогда гх = —. Из подобия треугольников ABC, ABD и DBC найдем, что

Следовательно:

Второй путь несколько длинее, но назвать его нерациональным все же нельзя.

Бывают случаи, когда разница значительна.

В задаче: Плоскость отсекает на ребрах прямого трехгранного угла отрезки, составляющие арифметическую прогрессию с разностью 2 см. Найти отрезки, если площадь сечения равна 14 кв. см—важно обозначение неизвестных.

Если отрезки обозначить по трафарету (черт. 1):

Черт. 1

то стороны треугольника ЛВС будут равны соответственно:

Использовав формулу

мы придем к уравнению:

Решить такое уравнение большинство девятиклассников не сумеет.

Между тем, обозначив отрезки х— 2, х и х+2, мы после аналогичных преобразований пришли бы к уравнению:

Составляя задачу, преподаватель должен иметь в виду возможные методы ее решения. Пусть дана задача, решение которой сводится к применению теоремы Пифагора. Усложнив ее, можем получить, например, такое условие: В круг вписан четырехугольник, стороны которого 16, 39, 52 и 63. Определить радиус круга.

«Естественное» решение таково: найти диагональ*, а потом применить формулу:

/?==|^. Однако, обратив внимание, что 162 +632 = 392 + 522, убедимся, что одна из диагоналей четырехугольника является диаметром круга. Поэтому R = -i- \f 162-f 632 =32,5.

Обычно, площадь треугольника ищут по фор муле Герона. Учитывая это, можно подобрать такое условие, когда этот прием будет невыгоден.

В треугольник, стороны которого 13, 14 и 15, вписана окружность. Соединив прямыми точки касания, получим треугольник, площадь которого требуется найти.

Здесь вычисление сторон достаточно трудно. Более простое решение основано на применении теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Еще пример. Точка М, лежащая внутри равностороннего треугольника, удалена от двух его сторон на а и Ь\ найти расстояние ее от третьей стороны, зная, что сторона треугольника равна m (черт. 2).

Здесь к цели наиболее просто ведет подсчет площадей. В самом деле, из равенства:

£д Авм -f- Sa всм + асм = abc легко получить ответ:

Другие пути гораздо сложнее.

В ходе составления задач следует непременно стремиться к тому, чтобы задача имела возможно меньшее количество рациональных путей решения.

3. Замена фигуры более сложной

Путем изменения числовых данных можно добиться усложнения решения, но увлекаться этим не следует, так как при слишком громоздких вычислениях геометрическая сущность задачи оттесняется на задний план. Поэтому, кроме изменения числовых данных, следует искать иные пути.

Пусть имеем задачу:

В египетском треугольнике в середине О гипотенузы восставлен перпендикуляр к гипотенузе, пересекающий один катет в точке М, а продолжение второго в N. Определить MN.

Задача сводится к определению из пропорции отрезков ОМ и ON. Не затеняя геометрической сущности задачи, можно ее видоизменить, введя квадраты, построенные на сторонах треугольника.

1. На гипотенузе египетского треугольника вне треугольника построен квадрат. Найти расстояние от центра его до катетов.

2. На гипотенузе прямоугольного треугольника вне треугольника ЛВС (прямой угол С) построен квадрат. Из его центра О опущены перпендикуляры ОМ и ON на катеты. Вычислить площадь четырехугольника OMCN.

3. На катетах и гипотенузе египетского треугольника построены вне треугольника квадраты. Найти расстояние тежду их центрами.

Черт. 2

* Если а, Ь, с и d— стороны, a m и п — диагонали вписанного четырехугольника, то тп = ас+-

Последние две задачи требуют применения теоремы Пифагора и значительно сложнее первой.

Рассмотрим такую задачу: Стороны треугольника равны 5 м, 5 м и 8 м. Найти расстояние между центром тяжести и центром вписанной окружности.

Так как треугольник равнобедренный, то обе замечательные точки лежат на высоте. Искомое расстояние равно:

Если взять треугольник разносторонний, но такой, что стороны его составляют арифметическую прогрессию, то r=-~-, h — высота, опущенная на среднюю сторону треугольника. Поэтому искомое расстояние будет равно расстоянию от проекции центра тяжести на среднюю сторону треугольника до точки касания вписанной окружности с этой стороной. Если стороны были равны 13 м, 14 м и 15 му то искомое расстояние будет составлять -~- м.

Если взять произвольный треугольник, то придется применять теорему Пифагора. Пусть, например, стороны равны 25, 36 и 29 см. Тогда

Следовательно,

Расстояние между проекциями центра тяжести и центра вписанной окружности равно 2 см. Поэтому

Таким образом, постепенное изменение формы треугольника ведет к усложнению решения, к расширению круга вопросов, с которыми приходится иметь дело учащимся в процессе решения.

Особого внимания заслуживают незначительные, на первый взгляд, изменения, которые существенно меняют решение. Подобных задач-близнецов много среди задач на построение. Например, нужно построить треугольник по а, hb и ть. Задача легко решается семиклассниками. Если же вместо ть взять тс, построение изменится и станет менее очевидным. То же можно сказать и о построениях треугольников по а, Ау та и по а, А, ть.

Хорошим примером такой пары будут служить две задачи из сборника Попруженко:

1. На сторонах треугольника ABC взяты точки Си Вх и Ах так, что АСХ = AB, ВАХ = ~ ВС и СВХ = -у- АС. Найти площадь треугольника Ах Вх Сх, зная, что площадь треугольника ABC равна S.

2. На сторонах треугольника ABC взяты точки Съ Вг и Аг так, что АСг = -i- AB, ВАХ = ~ВС и CBX = ^L АС. Прямые AA1, ВВ1 и ССХ пересекаются в точках К, L и М. Определить площадь треугольника KLM, зная, что площадь треугольника ABC равна S.

Вторая задача требует проведения вспомогательных линий (KB, LC и MA) и более сложных рассуждений, чем первая.

Еще пример такой пары.

1. Найти сторону равностороннего треугольника, вершины которого лежат на трех данных параллельных прямых, расстояние между которыми а и Ь.

2. Найти сторону равностороннего треугольника, вершины которого лежат на трех концентрических окружностях, радиусы которых суть a, b и с.

Здесь сходство чисто внешнее. Методы решения обеих задач ничего общего между собой не имеют. Если решать, например, построением, то в первом случае удобен метод алгебраический, а во втором — подобия.

Составлением задач в той или иной степени должен заниматься каждый учитель геометрии. Трудности, встречающиеся в процессе переделки и составления задач, преодолимы. Они не должны отпугивать преподавателя, так как затраченные усилия с избытком окупаются.

О ГРАФИЧЕСКОМ РЕШЕНИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

А. И. ВОЛХОНСКИЙ (Можайск)

В третьем номере журнала «Математика в школе» за 1949 г. помещена статья А. М. Нечай «Графическая запись условия при решении арифметических задач». Мне кажется, что вопрос о роли чертежа в арифметике трактуется этой статьей несколько неясно. Заглавие отводит ему слишком скромную роль (одно из средств для записи условия), а между тем в тексте статьи автор, естественно, не может удержаться в поставленных рамках. Чертеж используется автором как средство, облегчающее анализ условия задачи, и, наконец, даже как средство, позволяющее сделать некоторые выводы в ходе решения. В рассуждениях, сопровождающих решение, делаются ссылки на чертеж: «Из рисунка учащиеся видят...», «Решение задачи вытекает из приведенной схемы...» и т. д.; чертеж, как заметила редакция журнала (см. примечание к статье), подменяет логические рассуждения.

С моей точки зрения, последнее совершенно недопустимо*, ибо выводит нас из области арифметических методов решения; по крайней мере, здесь автор должен был сделать соответствующую оговорку.

Я хочу разграничить две основные функции, которые может выполнять чертеж при решении арифметической задачи.

1. Применение чертежей как зрительного материала для облегчения логических рассуждений, проводимых при решении задач обычными методами.

2. Применение чертежей как особого метода решения задач.

Первую функцию чертежа я нахожу наиболее ответственной и уместной для классной работы.

В самом деле, как решаем трудную задачу мы — учителя? Разве мы начинаем решение сразу с голых силлогизмов? Разыскивая метод решения, мы чертим на бумаге столбики и отрезки, площади и т. п. геометрические образы тех величин, которые входят в условие задачи. Этот «геометрический способ мышления» кажется нам более легким, чем «голая логика». Тем более нужен он ученику, жизненный опыт которого еще очень невелик, которому гораздо легче рассуждать над тем, что он видит.

Итак, чертеж (в данном случае) должен лишь облегчить «обычные» логические рассуждения, а не заменить их.

Здесь важно соблюдение двух методических условий: во-первых, схемы-графики такого вида, как приведены в статье, не должны заготовляться заранее (я не полагаю, что автор статьи думает иначе, а лишь подчеркиваю это), а должны составляться в классе при активном участии самих учащихся, являться результатом проводимых рассуждений; во-вторых, надо доводить решение до ясного, логически полного письменного оформления, не допуская ссылок на чертеж: «по чертежу видно...»

В качестве примера рассмотрим решение известной задачи о рыбаках и рыбках:

Два рыбака ловили рыбу. Один поймал 3 рыбы, другой 4 такие же рыбы. Из этой рыбы они сварили уху и съели ее вместе с подошедшим третьим рыбаком, разделив еду поровну. Последний не имел рыбы и поэтому заплатил за еду 7 руб. Сколько денег должен получить каждый из двух рыбаков?

а) Анализируем условие и отыскиваем решение.

Вот три равных отрезка, изображающих рыбу первого рыбака, вот четыре отрезка, изображающие рыбу второго (черт. 1).

Черт. 1

Уху ели втроем поровну. Так как третий ел рыбу и от первого и от второго, то его долю поместим посредине (черт. 2).

Черт. 2

7 отрезков нацело на 3 не делятся; при делении получаются третьи доли. Поэтому разобьем каждый из семи отрезков на 3 равные доли. Тогда всего получится 3-7 = 21 малая доля. Значит, уха, съеденная каждым, составляет 21 :3 = 7 малых долей. Итак, каждая съеденная часть состоит из семи малых долей (черт. 3).

* Здесь я не имею в виду, что ссылка на чертеж «недопустима в классе»; речь идет о статье, написанной для учителя.

Теперь видно, что третий съел 2 доли от рыбы первого и 5 долей от рыбы второго. Значит, и отданные им 7 руб. надо разделить в отношении 2 :5, т. е. первый должен получить 2 руб., второй 5 руб.

б) Оформляем письменное решение (переходим к решению без чертежа).

Мы получили ответ на вопрос задачи, когда узнали, сколько «малых долей» съел третий от рыбы первого и от рыбы второго, а для этого нам пришлось каждый «отрезок-рыбу» принять за 3 доли. Следовательно, первым пунктом нашей записи должен быть следующий:

1) Вес каждой рыбы принимаем за 3 части. Возвращаемся к чертежу 1. На нем мы отделяли рыбу первого от рыбы второго в ухе обоих. Значит, дальше должна быть такая запись:

2) Сколько частей составляет вес рыбы первого?

3x3 = 9 (частей).

3) Сколько частей составляет вес рыбы второго ?

3X4 = 12 (частей).

4) Сколько частей составляет вся уха?

9 + 12 = 21 (часть).

На следующем чертеже (черт. 2) мы отделяем, сколько съел каждый из трех. Значит, в записи должно быть:

5) Сколько частей составляет доля, съеденная каждым?

21:3 -7 (частей).

На чертеже 3 мы установили, сколько «малых долей» съел третий от рыбы каждого из двух первых рыбаков. Значит, в записи будет:

6) Сколько частей составляет рыба, съеденная третьим из доли первого?

9 — 7 = 2 (части).

7) То же из доли второго?

12 — 7 = 5 (частей).

После этого, уже без чертежа, мы узнавали: 8) Сколько рублей уплачено за одну часть? 7:7=1 (руб.) и т. д.

Как видим, получилось самое обычное решение «на части», применяемое к задачам на пропорциональное деление. Конечно, это решение не является самым простым,—проще было бы решать, например, так: цена одной третьей части ухи составляет 7 руб., значит, вся уха стоила 7X^ = 21 (руб.), а так как она была сварена из семи рыб, то одна рыба стоила 21 :7 = 3 (руб.),—но оно,пожалуй, самое прямое, естественное: все эти операции с чертежами в конце концов очень похожи на непосредственное раскладывание рыбы на три кучи.

Рассмотрим вторую функцию чертежа. Разрешим теперь себе делать ссылку на чертеж. Тогда мы получим очень сильный метод, дающий возможность решать трудные задачи. Ограничимся одним примером.

В книге А. Н. Барсукова «Уравнения первой степени в средней школе» на стр. 121 (первое издание) дана задача:

В одном резервуаре 48 ведер, а в другом 22 ведра воды. Из первого отлили воды вдвое больше, чем из второго, и тогда в первом осталось втрое больше воды, чем во втором. Сколько ведер вылито из каждого?

Там же об этой задаче сказано: «Такая задача, как и вообще задачи, приводящие к уравнениям вида

не поддается арифметическому решению». Решим эту задачу методом чертежей.

Вот два отрезка, изображающие соответственно 48 ведер одного резервуара и 22 ведра другого (черт. 4).

Теперь отливаем воду: сколько-то ведер из второго, например «вот столько» (черт. 5), и вдвое больше из первого.

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

После этого в нервом резервуаре осталось втрое больше воды, чем во втором. Значит, согласно условию, маленький отрезок, изображающий остаток воды во втором резервуаре, должен уложиться в отрезке, изображающем остаток воды в первом резервуаре, три раза (черт. 6).

Вычтем из первого отрезка второй дважды. Для этого сперва отнимем два отрезка «отлили из II», а потом два маленьких отрезка «осталось». Разность, как мы видим (черт. 3), равна одному маленькому отрезку.

Значит, этот «маленький отрезок» (он же отрезок «осталось» или «разность») составляет:

48 — 22 — 22 = 4 (вед.).

Три таких отрезка, изображающих остаток в первом резервуаре, составляют 4X3 = 12 (вед.). Значит, из первого резервуара было вылито:

48— 12 = 36 (вед.), из второго:

22 — 4 =18 (вед.).

Письменное оформление решения может выглядеть примерно так:

1) Чему равна одна треть остатка воды в первом резервуаре?

48 — 22 — 22 = 4 (вед.).

Пояснение: видно по чертежу.

2) Чему равен весь остаток воды в первом резервуаре?

4X3= 12 (вед.) и т. д.

Задача решена.

Это решение, конечно, не является «чисто арифметическим», так же как не является «чисто арифметическим» способ решения «на части». Но так ли уж очевидна разница между этим решением и «арифметическим» решением задачи о рыбаках и рыбках? Во всяком случае, может ли обнаружить эту разницу ученик V класса?

Возможность применения чертежей в арифметике является общепризнанным фактом (нет ни одной методики арифметики, в которой не говорилось бы об этом). «Пояснение» к первому вопросу в ученических тетрадях могло бы быть опущено: из очень простых рассуждений* видно, что данные действия действительно дадут величину одной трети остатка. Наконец, самое главное, решение доступно для ученика V класса. И при всем этом решена задача, которая «арифметическими», т. е. прочими доступными пятому классу методами, не решается. (В этом ссылаюсь на авторитет А. Н. Барсукова.)

Есть еще одна особенность в этом решении. Отрезок «отлили из второго резервуара» изображает у нас неизвестное число, и мы оперируем с ним так же, как с отрезками, изображающими известные числа. Это очень сближает наш метод с алгебраическим методом, с методом уравнений. Почти очевидно, что именно в силу этой близости рассматриваемым методом может быть решена, вообще говоря, любая задача, приводящая к уравнению первой степени.

Таким образом, стоит лишь нам разрешить ученику пользоваться фразой «по чертежу видно...», и все задачи, приводящие к уравнению первой степени, становятся «арифметическими», т. е. доступными для решения в V классе.

Из сказанного я делаю следующие выводы.

Употребление чертежей в начале курса арифметики средней школы, т. е. при решении типовых задач, не должно подменять логических рассуждений, а должно лишь облегчать их, давать зрительный материал для рассуждений. Учитель должен понимать, что, желая оставаться в рамках арифметики, он, вообще говоря, не имеет права допускать ссылок на чертеж (нужно ли оставаться в рамках арифметики, это другой вопрос). Позже (особенно в порядке кружковой работы) целесообразно, в целях расширения математических навыков учащихся, ознакомить их с применением чертежей как особого метода решений. При этом, вероятно, нет смысла объяснять учащимся, что здесь они пользуются чем-то новым (пусть это разграничение функций чертежа останется для учителя), а просто на ряде задач показать решение со ссылкой на чертеж. Особенно эффектно можно сделать это на задачах, которые не решаются «арифметически» или, не являясь «стандартными», требуют особой догадки; здесь метод чертежей незаменим.

Черт. 6

* Однако эти рассуждения связаны с чертежом; даже если они производятся только мысленно, мы вынуждены оперировать если не с геометрическими образами, то с какой-то заменой их („некоторая величина“, „неизвестное число“ и т. п.).

КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ В АРИФМЕТИКЕ

А. В. ЛАНКОВ (Молотов)

В методической литературе встречается значительное число различных классификаций задач. Различают, например, задачи простые и сложные, арифметические и алгебраические, конкретные и отвлеченные, жизненные и искусственные, производственные и непроизводственные. Известны попытки классификации задач по типам (типизация задач). В любом сборнике задачи распределяются по темам программы. Наконец, нередко в особые классы выделяются исторические задачи, задачи-шутки, задачи-софизмы и пр.

Бесспорными и существенными в методическом отношении являются две классификации: 1) по темам программы и 2) по числу действий.

По темам программы обычно задачи распределяются следующим образом: задачи на целые числа, на обыкновенные дроби, на десятичные дроби, на проценты, на отношения и пропорции, на пропорциональную зависимость величин, на пропорциональное деление и смешанные задачи (повторительные). В старых «сборниках» задач выделялись задачи на коммерческий учет векселей, задачи на математический учет векселей, цепное правило, правило смешения и, иногда, вычисление сроков*. В задачах на целые числа нередко выделяются в особый класс задачи на составные именованные числа. Задачи на пропорциональную зависимость величин в старых «сборниках» именовались задачами на простое и сложное тройное правило.

Классификация задач по программным темам является естественной классификацией: решение задач связывается с прохождением того или иного теоретического материала, который и определяет класс задач.

По количеству действий задачи делятся на простые и сложные. Простой называется задача, решаемая одним действием. Задача, решаемая более чем одним действием, называется сложной (составной). Всякая сложная задача состоит из простых задач. На простых задачах выясняется смысл действий. Решение сложной задачи возможно при наличии двух условий: навыка сложную задачу разбить на простые задачи и уменья решать простые задачи. Таким образом эта классификация является необходимой с точки зрения требований дидактики. Возможно продолжение этой классификации. Сложные задачи можно распределить так: 1) задачи, решаемые при помощи двух действий, 2) задачи, решаемые при помощи трех действий, и т. д.

Не подлежит сомнению, что задачи, решаемые при помощи двух действий, составляют первую ступень трудности при освоении сложных задач. Правда, встречаются задачи, которые могут и не подчиняться этому условию.

Возьмем задачи:

1. В одном ящике на 65 кг яблок больше, чем в другом. Сколько килограммов надо переложить из первого ящика во второй, чтобы в первом ящике было на 25 кг больше, чем во втором?

2. Определить вес товарного поезда в составе 40 вагонов, если паровоз с тендером весит 130 тонн, пустой вагон весит 6 тонн, товар, погруженный в вагон, весит 13 тонн?

Первая задача решается двумя действиями, а вторая — тремя. На собственном опыте легко убедиться, что вторая задача легче первой.

О задачах, представляющих особую трудность, будем говорить в дальнейшем.

Деление задач на арифметические и алгебраические встречается в литературе очень часто**. Эту классификацию следует отнести к числу условных и искусственных. Прежде всего неясно основание классификации. Можно говорить о методах решения и относить к арифметическим те задачи, которые решаются арифметическими методами, и считать алгебраическими задачи, решаемые алгебраическим методом (составление уравнения или системы уравнений). Однако все без исключения задачи можно решать алгебраическим методом, и очень многие задачи допускают арифметическое решение, хотя и сопряженное с трудностями.

Большинство авторов, поддерживающих эту классификацию, принимают за основание субъективный признак трудности решения, относя к алгебраическим замысловатые задачи, которые легко решаются алгебраическим методом и требуют применения искусственных приемов при арифметическом решении.

Например, имеем задачу:

1. Отцу 40 лет, сыну 12 лет. Через сколько лет отец будет в 3 раза старше сына?

При алгебраическом решении задача приводится к несложному уравнению:

* Например, Арбузов В., Минин А., Минин В. и Назаров Д., Систематический сборник арифметических задач, изд. 17-е, 1913.

** Аржеников, Березанская, Гольденберг, Егоров, Шохор-Троцкий и др.

Арифметическое решение сведется к «подбору» искомого.

В примитивном виде этот «подбор» проводится таким образом: прибавляем по 1; получим 41 и 13; пробуем пригодность 41 :13^=3; прибавляем по 2, получим 42 и 14; пробуем 42:14 = 3; следовательно, ответ равен 2.

Анализируя условие задачи, делаем заключение, что первое число будет больше 40, а второе — больше 12, причем первое число должно быть кратно 3.

Первое число, кратное 3 и большее 40, будет 42. Разность между новым и старым значением будет 42 — 40 = 2; второе число будет 12 + 2 = 14.

Проверяем 42 :14 = 3; следовательно, 2 — ответ задачи. Но и этот прием решения в конечном выводе сводится к «подбору».

2. 2 стола и 5 стульев куплены за 350 руб.; по тем же ценам 3 стола и 4 стула куплены за 385 р. Сколько заплатали за каждый предмет в отдельности?

Алгебраическое решение задачи приводит к несложной системе:

При арифметическом решении применяем искусственный прием, увеличивая всю первую покупку в 3 раза и вторую в 2 раза. Тогда стоимость первой покупки будет равна 350 -3 =1050. Стоимость второй покупки равна 385-2 = 770. Первая покупка дороже второй на 1050 — 770 = 280 и т. д.

Совершенно очевидно, что при арифметическом решении мы применяем составление системы в замаскированном виде, не пользуясь символикой (риторическая алгебра). Так, например, решал системы Моххамед бен Муза Альхваризми.

3. Один килограмм земляники стоит 3 руб., килограмм вишни — 5 руб. За 8 килограммов ягод заплатили 30 руб. Сколько килограммов ягод каждого сорта было куплено? Алгебраическое решение приводит к простой системе:

При арифметическом решении применяется так называемый способ «предположения», которым умели пользоваться древние египтяне; способ этот усовершенствовали индусы; в математической литературе он известен под именем способа régula falsi.

Предположим, что куплено 8 кг земляники. Она будет стоить 3*8 = 24.

На сколько в действительности уплачено больше?

30 — 24 = 6

На сколько дороже стоил килограмм вишни?

5 — 3 = 2

Сколько было килограммов вишни?

6:2 = 3 и т. д.

Эрн, желая уточнить признак алгебраических задач, алгебраическими называет те задачи, которые решаются при помощи предположения. Задачи на предположение при алгебраическом решении, как мы видели, приводят к системе типа:

Но к алгебраическим задачам относятся и задачи, приводящиеся к уравнению типа ах+Ь — с (лг + d), и задачи, приводящиеся к системам уравнений. Класс замысловатых задач, арифметическое решение которых связано со значительными затруднениями, не ограничивается задачами на предположение. Шохор-Троцкий, деля задачи на чисто арифметические и алгебраические*, делает попытку обоснования классификации. По его мнению, задача называется арифметической, если, «исходя из вопроса, можно путем более или менее общих рассуждений добраться до установления плана решения довольно скоро, если предложенные чисто арифметические задачи, конечно, не принадлежат к числу особенно многосложных». В алгебраических задачах зависимость между данными и неизвестными, по выражению автора, «запрятана». Такую же примерно попытку обоснования предлагал и А. И. Гольденберг, считавший, что в арифметических задачах «зависимость искомого числа от данных чисел настолько проста, что представляется возможным обнять как бы сразу или почти сразу те действия, выполнение которых необходимо и достаточно для определения искомого». В алгебраических задачах, наоборот, эта зависимость не настолько «прозрачна».

Все предложенные критерии (Эрна, Шохор-Троцкого, Гольденберга) являются субъективными и не могут точно определить класс. Приходится считаться с фактом, что имеется большое количество задач, алгебраическое решение которых не представляет затруднений, а арифметическое — требует применения искусственных приемов.

* Шохор-Троцкий С. И., Методика арифметики, 1935, стр. 252 - 259.

Деление задач на конкретные и отвлеченные основывается на характере содержания. Задача называется конкретной, если в ее условии речь идет о вещах и величинах, взятых из практической жизни; отвлеченные задачи строятся главным образом на отношениях из области арифметической теории. Эта классификация имеет методическое значение: конкретные задачи более легко воспринимаются и решаются учащимися.

1. Сумма двух чисел 64, разность 16. Найти числа.

2. В двух классах 64 чел. учащихся; в одном из них на 16 чел. больше, чем в другом. Сколько учащихся в каждом классе?

Первая задача — отвлеченная, вторая — конкретная. Вторая задача проще для восприятия, хотя арифметическое содержание задач одно и то же.

Задачи жизненные и искусственные нельзя смешивать с конкретными и отвлеченными.

Отвлеченная задача может быть жизненной (например, только что приведенная выше задача), и конкретная задача может быть искусственной. Жизненность задачи определяется, с одной стороны, характером данных и с другой — ситуацией связэй между искомым и данными. Задача будет нежизненной, если в условии, например, приводятся цены на товары, далекие от действительной жизни, если поезда передвигаются со скоростью пешеходов и пешеходы идут со скоростью поездов и т. д. В данном случае жизненность задачи определяется масштабами практических отношений.

Приведем примеры искусственных задач по этому признаку.

1. Длина обыкновенной комнатной мухи около 7 мм. Какова была бы ее длина при увеличении в миллион раз? (Чекмарев и Филичев).

2. Паровоз израсходовал 148 л воды на 1 км пробега. Сколько надо было запасти воды для пробега паровоза в 141-^- км, если для безопасности необходимо иметь двойной запас воды? (Березанская.)

Обе задачи содержат данные, несоразмеримые с действительностью: муха не может иметь длину 7 км и пробег паровоза не измеряется с точностью до третьих долей километра, а вода, потребляемая паровозом,— с точностью до -g- литра.

Искусственность задачи может находиться в зависимости от той ситуации, которая принята при размещении данных, хотя каждое данное в отдельности может быть жизненным.

Примеры.

1. Найти вес рыбы, зная, что хвост ее весит 4 кг, голова весит столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище — сколько голова и хвост вместе. (Чекмарев и Филичев).

2. Из кассы выдано -уу- всех имеющихся денег, потом остатка, далее -у- нового остатка и, наконец, -g- третьего остатка; после этого в кассе осталось 650 руб. Сколько денгг было в кассе первоначально? (Березанская).

В первой задаче соразмерность отдельных частей рыбы реальна, но сопоставление частей (взаимосвязи) искусственно.

Во второй задаче учет выдачи денег из кассы взят в искусственной ситуации.

В американской методике арифметики жизненность понимается как утилитарная полезность; отвергается теоретическая значимость изучения действительности, к материалу применяется деляческий подход (Торндайк)*. Обучение выполняет социальный заказ правящих классов США.

Остановимся на делении задач на производственные и непроизводственные. Производственные задачи существуют. Под этим именем мы имеем в виду задачи, возникшие непосредственно на производстве: с ними приходится встречаться рабочим, мастеру на заводе, бригадиру в колхозе, ученику ремесленного училища и т. д.**.

В «сборниках» задач для общеобразовательной средней школы имеются такие задачи:

1. Диаметр шкива мотора, делающего 1200 оборотов в 1 мин., равен 200 мм. На сколько нужно уменьшить диаметр шкива, чтобы при увеличении числа оборотов до 1600 оборотов в 1 мин. скорость движения приводного ремня осталась прежней? (Березанская, № 1918).

* Интересны темы исследований в американской методике:

Вильсон, Анализ общественного и делового применения арифметики.

Митчель, Некоторые социальные вопросы к курсу арифметики (исследование построено на анализе поваренной книги).

Вудд и Клиффорд, Арифметика, применяемая в торговле (анализ торговых документов в трех магазинах).

Галлауэй, Математические сведения, необходимые для изучения портняжного дела.

Адамс, Математика при чтении газет и журналов.

** Морев В. И., Сборник производственных задач по математике, 1933 г.

2. Если волочильный барабан, изготовляющий железную проволоку, будет делать 60 оборотов в 1 мин., то на барабан навьется 2^0 м проволоки в течение 3 час. 30 мин.

Во сколько времени на барабан навьется 100 м проволоки, если он будет делать 2 41 оборота в 1 мин.? (Березанская, № 1822) и др.

«Производственность» этих задач несомненна, если бы из поля зрения ученика не исчезло самое производство. Первую задачу можно решать, имея перед собой мотор, зная принцип передачи. Вторая задача должна решаться также около «волочильного барабана». Место таких задач на курсах по повышению квалификации рабочих, мастеров, в школах по подготовке трудовых резервов. В общеобразовательной средней школе они воспринимаются схоластически и не оправдывают затраченного на решение времени.

Нередко производственными называются задачи, содержащие в условии производственную терминологию.

Например:

1. При перегонке нефти получается 30% керосина и 63% мазута, а остальное уходит на топливо и потери при обработке. Сколько керосина и мазута получается из 64 m нефти? (Березанская, № 1949).

2. Двумя рабочими в литейном цехе „Новое Сормово“ 18 ноября 1937 г. был установлен небывалый до того времени рекорд — за смену была ими выполнена норма на 1070%, причем обычно заработок этих рабочих за смену составлял 27,2 руб. Сколько рублей составил их заработок за эту смену?

Эти обыкновенные жизненные задачи, условие которых связано с живой действительностью. Такие задачи весьма полезны, если их условия не загромождены незнакомыми терминами и вполне реальны.

Исторические задачи в методическом отношении очень полезны: они вносят оживление и интерес в работу. В литературе встречается большое количество таких задач. В «Сборнике» Чекмарева и Филичева дано много таких задач. Две задачи греческого математика Метродора помещены в «Сборнике» Березанской (№№ 2223 и 2224); там же имеется задача Л. Н. Толстого о косцах (№ 2225). Пользуется известностью задача И. Ньютона (о быках).

В книгах Перельмана*, Игнатьева**, Лямина*** имеется большое количество исторических задач, задач-шуток и задач-софизмов.

В «Сборнике» задач для средней школы должен быть необязательный отдел такого рода задач для самостоятельной работы учащихся «вне задания». Все исторические задачи принадлежат к типу искусственных, увлекательность их условия заставит учащихся заниматься ими в «часы досуга».

В 1820 г. вышла книга «Полный курс чистой математики, сочиненной артиллерии штык-юнкером и математики партикулярным учителем Ефимом Войтяховским, в пользу и употребление юношества и упражняющихся в математике», 4 тома. Задачи Войтяховского не трудны, остроумны по содержанию и в большинстве случаев оригинальны.

Арифметика—серьезная и трудная наука. Но если мы против нудных и скучных уроков, то будем последовательны, высказав пожелание, чтобы наши «Сборники» задач не были тягучими, нудными и тяжеловесными. Прав Е. И. Игнатьев, сделавший такое резюме к одной из глав своей книги:

«Следующие составители наших арифметических учебников и задачников не развивали идеи Войтяховского — предлагать задачи и примеры в легкой, доступной и даже забавной форме. Об этом надо пожалеть».

В «Сборнике» задач для средней школы полезны и необходимы и иллюстрации.

Приветствуя в этом смысле почин Е. С. Березанской, поместившей в своем «Сборнике» рисунки (стр. 189—190), мы должны пожелать, чтобы их число было увеличено и содержание расширено (у Березанской даны лишь рисунки зубчатого сцепления, дрели и шкивы). Хорошие иллюстрации оживляют учебник, задачники же давно имеют право на оживление.

* Занимательная арифметика. 1938 г.

** В царстве смекалки, 1923 г.

*** Физико-математическая хрестоматия, т. 1. Арифметика, 1913 г.

ПО ПОВОДУ СТАТЬИ А. А. МОГИЛЬНИЦКОГО и А. И. ЦВИНТАРНОЙ «НАШ ОПЫТ ПО РЕШЕНИЮ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПИСЬМЕННЫМ ОБЪЯСНЕНИЕМ»

И. Н. ГОЛАЙДО (Брянская обл.)

В журнале «Математика в школе», № 3 за 1950 г., опубликована статья тт. Могильницкого и Цвинтарной, в которой авторы рассказывают о своем опыте по обучению учащихся давать письменные объяснения при решении арифметических задач. Постановка этого вопроса (хотя он и не нов) заслуживает внимания, но само осуществление его авторами на практике вызывает ряд возражений.

Во-первых, авторы считают, «что письменные объяснения к решению задач нужно давать уже в IV классе и требовать от учащихся письменных объяснений при решении всех контрольных и, тем более, экзаменационных работ». И далее: «контрольная работа в IV и, тем более, в V классе может быть оценена баллом «4» или «5» только в том случае, когда к решению даны письменные объяснения, заключающиеся не только в постановке вопросов».

Не касаясь пока характера объяснений, рекомендуемых авторами, отметим, что от четвероклассников достаточно требовать развернутого плана решения (например, в традиционной форме вопросов), проверки решения и письменного ответа на вопрос задачи.

Требование особых письменных объяснений (и тем более снижение оценки за отсутствие их в письменных работах) от учеников IV класса является преждевременным. Письменные объяснения вызывают у учащихся затруднения уже не математического характера. Ведь сами авторы ниже пишут: «Часто бывало, что ученик хорошо устно проводил анализ решения, но при записи получалась какая-то нелепость» (это у пятиклассников!). И далее: «такие полные письменные объяснения вызывают затруднения не только у учеников V класса, но и у учеников старших классов».

Мы, конечно, не против того, чтобы учить учащихся давать объяснения решению задачи. Учить нужно, но в IV классе и в первом полугодии в V классе следует ограничиться требованием устного мотивированного анализа задачи и устных объяснений выполняемых действий при ее решении и лишь со второго полугодия в V классе продуманно вводить письменные объяснения. Эта работа в большем объеме и с большей требовательностью будет продолжаться в VI классе, особенно при повторении арифметики во втором полугодии, когда учащиеся, знакомые уже со всем курсом арифметики, будут иметь перед собой одну трудность — грамотно записать то, что продумано и понято. Приобретенные к тому времени навыки в правописании будут способствовать более успешному решению этой задачи.

Во-вторых, авторы рассказывают, что, например, в IV классе эту работу они проводили так: после уяснения условия задачи классом один ученик делает устный анализ задачи, формулирует и записывает на доске первый вопрос, дает объяснение к тому действию, посредством которого находится ответ на этот вопрос. Это объяснение редактируется учителем и записывается (под диктовку! — И. Г.) учащимися. После объяснения следует выполнение действия и т. д.

Авторы приводят и образец такого решения несложной задачи в 4 действия. Вот как выглядят «объяснения» к 3-му вопросу :

«Сколько килограммов меда продал колхоз за первый месяц?

Известно, что за первый месяц продано меда на 4227 руб. 40 коп., и мы узнаем, что один килограмм меда стоит 4 руб. 60 коп. Следовательно, сколько раз вместится (?) по 4 руб. 60 коп. в 4 227 руб. 40 коп., столько будет килограммов меда. Чтобы узнать, сколько раз вместится по 4 руб. 60 коп. в 4 227 руб. 40 коп., нужно 4 227 руб. 40 коп. разделить на 4 руб. 60 коп.».

Такие «объяснения» к одной задаче содержат более 250 слов и вместе с выполнением самих действий над именованными числами должны занять около 4 страниц в тетрада четвероклассника.

Трудно поверить, что вся эта работа может быть выполнена даже за все 45 минут урока. Ведь надо же учитывать и темп письма и быструю утомляемость руки 10 — 11-летнего ребенка.

Авторы указывают, что в IV классе было решено 40 задач всех типов с письменным объяснением и, кроме того, 42 задачи ученики решили самостоятельно. Невольно напрашивается вопрос, сколько драгоценного учебного времени потрачено зря на эту, по сути дела, бесполезную писанину? В порядке опыта можно было поставить эту работу и в IV классе, но надо же знать меру.

Таким же образом проводилась работа по обучению письменным объяснениям и в V классе.

Наконец, какова цель в требовании таких письменных объяснений? Чему они учат ученика? Если ученик устно провел анализ задачи, правильно наметил план решения и сформулировал вопрос, то он, конечно, понимает и скажет, какое действие нужно произвести, чтобы ответить на этот вопрос. Наибольшие трудности и наибольшее напряжение ученик испытывает при отыскании решения задачи, а затем это напряжение спадает, и запись объяснения к каждому действию кажется ученику ненужной и нудной работой. Почти ничего не дают такие объяснения и в развитии логического мышления ученика, так как для него это — пройденный этап, все это он уже «переварил» в уме. Наоборот, быстрое письмо таких пространных объяснений (надо же успеть!) будет насаждать безграмотность и портить неустоявшуюся каллиграфию письма учащихся IV и V классов.

Другое дело — запись анализа задачи. Здесь ученик должен показать свое уменье рассуждать, должен показать, как он пришел к избранному им способу решения задачи, должен показать уменье лаконично записать свои рассуждения. Эта работа приходится на наиболее напряженный для ученика этап в решении задачи и в большой степени способствует развитию логического мышления учащегося. Поэтому именно анализу и записи анализа задачи мы должны учить учащихся V и VI классов. Приобретенные здесь учащимся навыки сыграют свою роль также и впоследствии при решении задач по алгебре и геометрии.

Кроме того, необходимо требовать проверки решения задачи, причем к этому надо приучать учащихся еще с младших классов. О значении проверки сделанной работы говорить не приходится.

Таким образом, в контрольных и экзаменационных работах учащихся V и VI классов мы должны видеть: 1) анализ задачи, 2) решение (с планом в форме вопросов или в форме кратких пояснений, например: 3) 4227 руб. 40 коп.: 4 руб. 60 коп. = 919; 919 кг меда продал колхоз за первый месяц), 3) проверку и 4) ответ. Здесь каждый этап в решении задачи целенаправлен и потому необходим.

В работах четвероклассников будет отсутствовать запись анализа задачи. При решении типовых задач, анализ которых часто затруднителен, вместо анализа ученик может ограничиться указанием типа задачи.

Вышеуказанная статья в методическом журнале может толкнуть отдельных преподавателей на ненужное и вредное для дела подражание авторам, поэтому мы и решились высказать свои соображения.

От редакции. По вопросу о письменных объяснениях при решении арифметических задач в журнале было напечатано несколько статей (см. 1947— № 3, 1950 —№ 3 и № 5).

Различные точки зрения, высказанные в этих статьях, а также в откликах на них показывают, что вопрос о письменных объяснениях при решении арифметических задач требует широкого обсуждения. В порядке этого обсуждения и помещена в настоящем номере статья тов. Голайдо.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ И О НЕРАВЕНСТВАХ, СВЯЗЫВАЮЩИХ sinmx и sinx*

Н. Н. ШОЛАСТЕР (Елец)

1. При определении длины окружности в средней школе принимается без доказательства, что предел, к которому стремится периметр правильного вписанного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон, не зависит от того, с какого многоугольника начинается процесс удвоения сторон. Этот пробел можно устранить при помощи следующего вспомогательного неравенства.

Возьмем какую-нибудь дугу AB (черт. 1), меньшую полуокружности, и разделим ее точками Bit Въ..., Вп на п+\ равных частей.

Проекции этих точек на хорду AB разделят ее на я+l неравных частей AB'V BXB'V..,, В'пВ. Среди них наименьшими будут АВ'Х и В'пВ. Поэтому:

Разделим теперь хорду AB точками Cv C2,...tCn на /г + 1 равных частей. Тогда имеем:

* От редакции. Статья т. Шоластера печатается в качестве материала для занятий школьных кружков.

Отсюда следует, что в треугольнике АВпСп угол при вершине Сп будет тупой, а поэтому

или

(*)

2. Пусть теперь хорда AB есть сторона правильного вписанного л-угольника. Тогда хорда АВп будет стороной правильного вписанного я+1-угольника, а из неравенства (*) следует, что

где Рп + 1 и Рп — периметры соответствующих правильных вписанных многоугольников.

Последовательность периметров правильных вписанных в данную окружность многоугольников есть, следовательно, монотонно возрастающая последовательность, которая в силу своей ограниченности сверху имеет предел. Этот предел примем, по определению, за длину окружности.

Предел, к которому стремится периметр правильного вписанного в данную окружность многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон, очевидно, будет тот же.

3. Воспользуемся теперь неравенством (*) для вывода следующих тригонометрических неравенств:

(1)

(2)

величины X и тх при этом не превышают +j .

Доказательство проведем для рационального значения т. Пусть величина n]^\ дуги AB будет 2 а. Тогда хорда

хорда

Из неравенства (*) получаем: Отсюда следует далее, что

(**)

где р<д — натуральные числа, а дуга qo. меньше, чем четверть окружности.

Пусть m = -у- (следовательно, т< 1). Положим:

Из неравенства (**) получим: или

Если теперь положить:

(следовательно, /и]>1) и

то получим: и

Примеры.

Итак :

Отсюда :

Черт. 1

ИЗ ОПЫТА

ОПЫТ РАБОТЫ ПО АРИФМЕТИКЕ В V КЛАССЕ

С. ПИЛЬМАН (Минск)

Единодушно мнение преподавателей математики о том, что V классы — самые «трудные». Нередко можно услышать из уст квалифицированных учителей, что они не любят «возиться» с V классами. Вместе с тем преподаватели математики VIII—X классов постоянно жалуются на неудовлетворительные знания арифметики своих учащихся. Изложенные соображения побудили меня поставить перед собой «проблему» V классов.

Посвятив ей два учебных года, я пришел к ряду выводов, которые изложены в настоящей статье.

1947/48 учебный год целиком прошел в наблюдениях, в констатировании фактов и в их накоплении. Вот наиболее существенные из них.

1. Черновики или «грязевики», как нередко называют их учащиеся, — это настоящее зло. Ведутся они без всякой системы. Ни учащиеся, ни педагог, конечно, не в состоянии в них разобраться. А между тем учителя почему-то обычно их забирают, и нередко учащиеся в чистовой тетради записывают только действия и их результаты, а производство этих действий выполняется в черновиках, где его можно отыскать с большим трудом.

2. Учащиеся I — IV классов плохо знают правила порядка действий. Все они усвоили, что действия 2-й ступени —умножение и деление — производятся раньше действий 1-й ступени — сложения и вычитания. Однако если в процессе вычислений получаются выражения, в которые входят действия только одной ступени, как, например:

то результаты получаются самые различные.

3. Весьма распространена ошибка, когда знаками равенства соединяется ряд неравных величин. Примеры:

4. Учащиеся затрудняются в делении многозначных чисел, например 566286 : 834. Нам не приходилось наблюдать, чтобы учащиеся IV классов знали, что в таких случаях следует мысленно оставлять в делителе один только высший разряд. Деление, таким образом, сводится к делению двухзначного числа на однозначное.

5. Несмотря на преимущества операций с десятичными дробями, учащиеся обычно предпочитают иметь дело с обыкновенными дробями, переводя десятичные дроби в обыкновенные, а не наоборот.

6. Учащиеся не умеют пользоваться приемами устных вычислений даже в тех случаях, когда последние им известны.

7. Существует разрыв в том, как оцениваются работы учащихся в I —IV классах и в V классе. Часто это ведет к некоторой «травме» для учащихся V классов.

8. Учителя V классов обычно приводят резкую грань между разделами обыкновенных и десятичных дробей. В результате плохого обучения наблюдалось множество случаев, когда учащиеся не смогли назвать знаменатель десятичной дроби.

9. Учитель мало обращает внимания на запись условия задач. Одни записывают целиком

условие, воспроизводя на доске почти весь текст задачи, загромождая условие ненужными деталями и занимая всю доску. Другие пишут на доске одни только числа, а учащиеся должны запомнить и держать в уме все условие.

Приведенные замечания сделаны на основании как личного опыта, так и богатого материала, собранного по школам БССР.

Продумав все дефекты преподавания арифметики в V классах, я решил, что, если несколько перестроить программный материал, результаты должны получиться более эффективными.

В начале учебного года, одновременно с повторением материала предыдущих лет, я повторил и заново обучил учащихся ряду приемов устных и полуписьменных вычислений. Начал с того, что каждая ученица должна была научиться быстро в уме дополнить до 100 любое двузначное число. Я называл, например, 37; весь класс считал дополнение до 100 и поднимал руки. Я предлагал одной из учениц ответить, и если она отвечала: «63», то все, сосчитавшие 63, должны были опустить руку. Оставались поднятыми руки только тех учениц, которые получили другой ответ.

Затем были усвоены следующие приемы устного счета.

I. По сложению

1. Разложение слагаемых на разрядные числа: 57 + 29 = (50 + 20) + (7 + 9) = 70 +16 = 86.

2. Разложение второго слагаемого на разрядные числа:

372 + 125 = 372 + 100 -f 20 -f 5 = 497.

3. Округление слагаемых, если последние близки к круглому числу:

6030 + 998 = 6030 +1000-2 = 7028.

4. Наиболее рациональная перестановка слагаемых:

745 + 844 + 948 -f 255 + 156 = (745 -f 255) -f + (844 -f 156) + 948 = 2948.

Должен оговориться я, что широко применял и полуписьменные упражнения, где наряду с звуковой принимает участие и зрительная память.

II. По вычитанию

1. Разложение вычитаемого на разрядные числа:

134 — 67 = 134 — 60 — 7=67.

2. Округление при вычитании. Ряд примеров убедил учащихся в том, что разность не изменяется, если одновременно уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить на одно и то же число. Пользуясь этим, они в уме заменяют одно вычитание другим:

215 —97 = 218 —100= 118; 302 — 86 = 300 — 84 = 216

(учащиеся умеют дополнять любое двузначное число до 100).

3. Дополнение вычитаемого до уменьшаемого. Объясняя этот прием, я рассказывал, что на практике кассиры в магазинах часто им пользуются. Сдавая в кассу чек на 42 руб. и 100 руб. наличными, покупатель получает 8 руб. и кассир при этом говорит: 50, а затем он выдает еще 50 рублей, скажем, десятками, считая: 60, 70, 80, 90, 100.

134 — 67 = 3 + 30 + 34 = 67.

Приходится, к сожалению, часто наблюдать, как учащиеся X классов затрудняются устно производить такого рода вычитания в уме.

III. По умножению и делению

1. Все учащиеся должны были уметь полуписьменно делить любое многозначное число на однозначное. Деление протекало следующим образом. На доске и в тетрадях учащиеся писали, например:

27624780 : 9 = 3069420,

устно учащиеся перемножали разряды частного на делитель и производили вычитание. Для этой цели я, кроме собственных примеров, взял из задачника Березанской №№ 221 — 224.

2. Когда учащиеся научились делить многозначные числа на однозначные, они переходили к полуписьменному умножению любого многозначного числа на 5, 50, 500, 5С00 и т. д. Числа делились на 2, а результат умножился на 10, 100 и т. д., причем, если числа были четные, то к результатам приписывались один, два, три, четыре и т. д. нулей, а при нечетных числах вместо нулей к результату приписывались 5, 50, 500, 5000 и т. д.

3. Разложение множимого на разрядные числа:

4. Разложение множителя на разрядные числа:

5. Округление множимого или множителя:

6. Умножение двузначного числа на 101 сводится к написанию дважды рядом двузначного числа:

47X 101 =4747.

7. Умножение на 1001 трехзначного числа сводится к написанию дважды рядом трехзначного числа:

457X1001=457457.

8. Умножение числа на 4 сводится к двукратному умножению числа на 2.

9. Умножение двузначного числа на 11 сводится к тому, что между разрядами двузначного числа ставится сумма этих разрядов. Если же эта сумма представляет собой двузначное число, то десятки его прибавляются к сотням:

42ХИ = 462.

10. Умножение числа на 15 сводится к умножению данного числа на 10 и на 5. Практически число переписывается с нулем в конце, после чего к нему добавляется его половина.

11. Наиболее рациональная перестановка сомножителей:

46 X 25 X 2 X 5 X 4 = 46 X (25 X 4) X X (2X5) = 46000.

12. Полуписьменное умножение любого числа на 25 сводится к делению его на 4 и приписыванию к результату двух нулей, если остатка при делении нет; 25—вместо двух нулей, если в остатке единица; 50 — если в остатке два, и 75—если в остатке три.

13. Умножение на 125 чисел, делящихся на восемь. Так как 125 X 8 = 1000, то получается столько тысяч, сколько раз в сомножителе содержится по восемь:

264X 125 = 33000.

14. Деление чисел с нулем в конце на 5 сводится к делению его на 10 и умножению результата на 2.

15. Деление на 50 чисел, оканчивающихся нулями, сводится к делению их на 100 и умножению результата на 2.

16. Учащиеся должны уметь любое число или десятичную дробь разделить на 10, 100 и т. д.

17. Учащиеся должны уметь любую десятичную дробь умножить на единицу с нулями передвижением запятой.

После того как учащиеся ознакомились и усвоили приемы устных и полуписьменных вычислений, они обязаны пользоваться ими в ежедневной работе как в классе, так и дома. За неиспользование этих приемов оценка снижается.

Черновики были мною отменены. Я не возражал, если учащиеся пользовались чем-то вроде черновиков, однако я никогда их не забирал, они для меня не существовали. Я неизменно требовал, чтобы все записи, в том числе и вспомогательные вычисления, производились в тетради для контрольных, домашних и классных работ. Для вспомогательных вычислений в тетради отводилась треть или половина страницы, которая отделялась вертикальной жирной линией. Отсутствие в тетради вычислений, за исключением тех, которые производились устно (что я неизменно проверял), влекло снижение оценки. Записи в тетради должны были быть аккуратными, допускалось аккуратное перечеркивание неправильной записи, а не взятие в скобки, как это обычно имеет место.

Учащиеся твердо усвоили правила порядка арифметических действий, которые заключаются в том, что действия второй ступени производятся раньше действий первой ступени. В пределах же одной и той же ступени действия производятся в порядке, указанном в самом примере.

Пользуясь в основном учебником, я старался, если представлялась возможность, несколько разнообразить материал. Приведу примеры.

1. Признак делимости на 4. Чтобы судить, делится ли данное число на 4, обращают внимание на разряд десятков. Если этот раз; яд четный, тогда число делится на 4, если цифра единиц делится на 4: если же цифра десятков нечетная, тогда к единицам прибавляют столько раз по два (остаток от деления 10 на 4), сколько в числе содержится десятков, и полученную сумму делят на 4*.

374786 (не делится на 4, так как 6 на 4 не делится)

27896 (делится на 4, так как 2X9 + 6 = 24 на 4 делится)

2. Признак делимости на 8. Если число сотен четное, тогда обращается внимание только на число, состоящее из десятков и единиц данного числа, которое надлежит делить на 8. Если же число сотен нечетное, тогда к числу десятков и добавляют столько раз по 4 (остаток от деления 100 на 4), сколько в числе сотен, полученная сумма должна делится на 8**.

16894 (не делится на 8, так как 94 на 8 не делится)

24754 (4X7 + 54 =82 на 8 не делится).

3. Проверка действия девяткой.

4. Индусский способ умножения двузначных чисел:

* От редакции. Непонятно, зачем автор усложнил известный признак делимости на 4: в случае нечетного числа десятков к единицам прибавляется 2 (а не 2, умноженное на число десятков).

** Аналогично предыдущему, и здесь достаточно прибавить просто 4.

трижды семь —двадцать один, пишем один и замечаем два, трижды два — шесть и два — восемь, четырежды семь—двадцать восемь и восемь — тридцать шесть, шесть пишем, три замечаем, четырежды два —восемь и три — одиннадцать, которые записываем.

5. Нахождение общего наибольшего делителя:

Делим все данные числа только на те делители, которые общи всем данным числам. 6. Нахождение общего наименьшего кратного:

Как видно из приведенного примера, каждое из данных чисел либо делится на данный делитель, тогда оно заменяется частным, или же сносится целиком, если оно на него не делится,

Переходя к изучению дробей, учащиеся при помощи различных измерений приходят к выводу, что при измерениях какой либо единицей меры весьма часто оказывается, что эта единица не «укладывается» целое число раз. Чтобы измерить остаток, приходится данную меру заменить меньшей мерой, которая представляет собой часть предыдущей меры. Размер этой части первоначальной меры и находит свое отражение в знаменателе дроби. Много труда я положил на то, чтобы учащиеся себе ясно представляли природу знаменателя дроби. Любую единицу измерения, любое целое мы можем дробить, отсюда получаются различные доли: половины, пятые доли, седьмые, тридцать четвертые и так далее. В знаменателе следует видеть «сорт» долей, в то время как числитель указывает целое число, количество долей данного «сорта». Пишем ряды дробей:

и так далее. Целое число выступает в данном случае как частный случай дробного числа.

Из бесконечного множества всевозможных долей человечество выделило группу десятичных долей, как наиболее удобную для практической деятельности. Преимущества десятичных дробей я подчеркиваю каждый раз на протяжении всего курса, когда к этому представляется возможность, например:

1. Легкость обращения смешанного десятичного числа в неправильную дробь.

2. Легкость исключения целых чисел из неправильных десятичных дробей.

3. Легкость приведения десятичных дробей к одному знаменателю.

4. Легкость сравнения десятичных дробей.

5. Десятичные дроби без труда складываются, вычитаются, умножаются.

6. Легко умножить и делить десятичную дробь на единицу с нулями.

При каждом удобном случае я подчеркиваю то обстоятельство, что десятичные дроби ничем не отличаются от обыкновенных дробей, что все они подчиняются одним и тем же правилам, законам. Объясняя, например, сложение и вычитание обыкновенных дробей и показывая, что для этой операции необходимо предварительна дроби привести к одному знаменателю, я показываю, что, оперируя с десятичными дробями, приходится проделывать то же самое, но производится оно гораздо проще. Говоря о том, что для умножения дробей следует перемножить их числители и знаменатели, я показываю, что то же происходит при умножении десятичных дробей: и здесь перемножаются раньше числители, а затем в уме перемножаются знаменатели, и первое произведение делится на второе. Параллельно я, таким образом, прохожу разделы обыкновенных и десятичных дробей, с постоянным подчеркиванием преимущества последних перед первыми.

Далее я объяснил, что из всех десятичных знаменателей для практических расчетов оказалось удобным число 100, в соответствии с этим сотые доли получили особое название — проценты.

Потребность быстро сравнивать между собой различные числа приводит к необходимости

выражать дробные числа в одних и тех же долях. В десятичной системе счисления за такие доли следует взять либо десятые, либо сотые, либо тысячные и т. д. Как показала практика, наиболее удачными оказались сотые доли.

В соответствии с этим число 100 берется в качестве «универсального» знаменателя.

Таким образом, не превращая проценты в нечто самодовлеющее, в особый раздел, я упорно повторял, что проценты — это те же десятичные дроби и ничем от них не отличаются, если не считать несколько иную форму записи. Вполне законно соединять знаками равенства -^г, 0,32 и 32%, ибо это одно и то же.

Нахождение процента числа — то же, что нахождение дроби числа; нахождение числа по его проценту ничем не отличается от нахождения числа по данному значению его дроби; нахождение процентного отношения двух чисел сводится к нахождению их отношения, которое преобразовывается в процент.

Объяснив учащимся смысл умножения на дробь, я пользовался следующей формой записи:

Объясняя смысл деления на дробь, я записывал. Найти число:

Нахождение процентного отношения чисел я сводил к нахождению их отношения, которое затем выражалось в виде процентов. Какой процент от 320 руб. составляют 16 руб.?

16:320 = 0,05 = 5%.

Как я уже сказал, десятичные дроби и проценты не были выделены мною в особые разделы курса, а проходились параллельно с обыкновенными дробями, с постоянным подчеркиванием преимущества десятичных дробей.

Учащиеся научились устно переводить в десятичную дробь, а затем в проценты, например, такие дроби:

Чтобы преобразовать дробь в процент, учащиеся увеличивали дробь в сто раз; если дробь десятичная, они в уме передвигали запятую и ставили ее на надлежащее место.

Учащиеся быстро преобразовывали процент в дробь, деля в уме процент на сто, и, если это было нужно, сокращали дробь.

Все учащиеся знали, что:

Пользуясь этим, я задавал учащимся такие примерно вопросы: Определите:

Учащиеся переносили запятую соответствующим образом.

Учащиеся делили данные числа на 5, а если число оканчивалось нулем, они делили его на 10 и результат удваивали.

Учащиеся делили данные числа на 4.

Учащиеся делили данные числа на 3. В классе была решена задача №2107 из задачника Е. Березанской:

Найти 35% от 65 и 65% от 35 и сравнить полученные результаты. Результаты сказались одинаковыми. Решив еще несколько подобных примеров, я широко использовал данное положение. Вызванный к доске учащийся записывал по вертикали под мою диктовку:

Остальные учащиеся записывали то же самое в тетради, и каждый выписывал результат, рассуждая в уме так:

Проверка результатов производилась следующим образом: руку поднимали только те учащиеся, ответ которых расходился с ответом, выписанным на доске, после чего устанавливался правильный результат, а также то, в чем заключалась ошибка.

Устным и полуписьменным вычислениям я продолжал придавать весьма важное значение. Я их расширял, углублял. Таким образом, казалось мне, я боролся с шаблоном и с формализмом.

Тем не менее у моих учащихся бывали и такого рода записи:

Учащиеся знали, как устно умножать числа на 25, на 125, когда я давал такого рода примеры: преобразовать в неправильные дроби:

Учащиеся должны уметь применять свои знания на практике.

Я часто повторял, что математика требует вдумчивости, что нельзя спешить, всегда следует ранее продумать и взвесить, как можно сделать легче, целесообразнее. С этой целью я давал такие примеры:

Учащиеся знали, что дробь увеличивается в несколько раз при увеличении ее числителя или уменьшении ее знаменателя, дробь уменьшается в несколько раз при увеличении ее знаменателя или уменьшении числителя. Я давал такого рода примеры:

Увеличить в 5 раз:

Уменьшить в 3 раза:

Я требовал наиболее рациональных решений. Часто я задавал такие вопросы: разделите на следующие числа: 48,

57, 60, 124, 180, 250, для того чтобы учащиеся яснее представляли себе разницу между делением на 2, 3, 5 и делением

Дроби, общим знаменателем которых является произведение знаменателей, а числителем — единицы, учащиеся всегда складывали и вычитали устно. Например:

Я требовал устных вычислений при выполнении, например, таких действий:

Вычитания я рекомендовал производить так:

Не приходится говорить о том, что в V классе особое внимание следует обращать на решение задач.

Прежде всего —о записи условия задач. Я уже говорил, что существующая в школах практика записи условия задачи не рациональна. Одна запись — многословна, расплывчата, занимает непомерно много места и не фиксирует внимания учащихся на главные, основные мо-

менты, важные для решения. Другая, фиксирующая одни только числовые данные, заставляет учащихся целиком запоминать содержание задачи, обременяя их память ненужными деталями.

В своей работе я практиковал краткую, четко по вертикали написанную, лаконическую, схематическую запись, вполне заменяющую текст задачи и, в большинстве случаев, содержащую «ориентиры» будущего решения. Привожу примеры подобной записи:

1. Задачи на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме и кратному их отношению.

Все задачи взяты из задачника Е. Березанской.

№ 1087. Сумма двух чисел равна 17-^- , одно из них в 5 раз больше другого. Нейти эти числа.

Подробно я остановился на том, как можно сравнивать между собой два числа. Если соединить их знаком вычитания, то мы узнаем, на сколько одно число больше другого. А знак деления указывает, во сколько раз одно число больше другого.

Вот запись условия задачи № 1088.

Учащийся, не зная текста, читает по этой записи. Сумма двух чисел 1 i--, одно из них больше другого в 1-^- раза. Найти оба числа.

2. Задачи на нахождение двух чисел по их разности и кратному их отношению.

Задача №1564.

Читаю условие по данной записи. Одно число больше другого на 0,63, причем первое число больше второго в 10 раз (в задачнике: частное от деления большего числа на меньшее равно 10). Найти эти числа.

3. Задачи, решаемые методом предположения.

Вот запись условия задачи №1116.

По этой записи учащиеся читают текст. Вес сосновой шпалы 27,8 кг, а дубовой 45,5 кг. Общий вес 10 шпал обоих сортов 384,2 кг. Сколько было отдельно сосновых и дубовых шпал?

Конечно , не все задачи поддаются такой схематической записи. Однако и учителя и учащиеся обязаны продумывать, как лаконичнее и выразительнее записывать тексты задач.

Решение каждой задачи обязательно должно оканчиваться подробным ответом, после чего я требовал в обязательном порядке проверки решения.

Время от времени я практиковал решение задач в виде изложения. Привожу пример такого решения.

Куплено 2 куска сукна одного сорта. Первый кусок стоит 3060 pуб., второй кусок—1904 руб. Сколько метров в каждом куске, если первый кусок на 17 метров длиннее второго?

Условие

Сукно обоих кусков—одного сорта,

Стоимость I куска — 3060 руб. „ II куска — 1904 руб.

Длина I — длина II =17 M

Длина I куска — ?

Длина II „ — ?

Решение. Сукно обоих кусков—одного сорта, т. е. одной цены, а стоимость этих кусков неодинаковая. Это потому, что количество метров в кусках различное. Действительно, согласно условию, I кусок длиннее II на 17 м. Разность в стоимости кусков составляет стоимость 17 м сукна.

Итак, 17 м сукна стоят 1156 руб., что дает возможность узнать цену 1 м сукна, которая должно быть в 17 раз меньше, чем 1156 руб.

Зная стоимость всего куска и цену 1 м, мы можем узнать количество метров в каждом куске:

Ответы: I кусок сукна содержал 45 (м)

“ » 28 (л*).

Проверка 45—28=17 (ж). Действительно, в условии сказано, что I кусок на 17 м длиннее II.

Ценил я в особенности решение задач способом составления формулы решения.

Вот образец такого решения.

№ 1017. Кооператив предал 3 куска материи. В первом куске было 180 м, число метров во втором куске составляло числа метров первого куска, а число метров в третьем куске составляло ~ того, что было в первом а во втором кусках вместе. Сколько выручено от продажи этих трех кусков материала, если метр первого куска продавался по 5 руб., метр второго — по 4— руб., а метр третьего — по 4+ руб.

Запись условия

Решение формулой

В результате оценок, как четвертных, так и по переводным испытаниям, учебный год был закончен по V «Б» классу со следующим итогом:

12 учащихся с оценкой «5»,

13 „ „ «3»,

1 не допущен к весенним испытаниям.

К МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА КОМБИНАЦИЮ ШАРА С ДРУГИМИ ТЕЛАМИ

И. И. СМИРНОВ (Москва)

При решении задач на комбинацию шара с многогранниками и телами вращения приходится устанавливать зависимость между радиусом шара и линейными элементами тел, входящих в комбинацию.

Успешное решение таких задач требует отчетливого представления о положении центра шара в данной комбинации. Дополнительный чертеж, в котором радиус шара и связанные с ним элементы другого тела даются в натуральную величину (в разрезе), служит тем же целям.

Рассмотрим основные виды задач, решение которых требует от учащихся X класса предварительного определения положения центра шара.

I. Шар, описанный около многогранника

Шар называется описанным около многогранника, если все вершины многогранника лежат на поверхности шара. Отсюда следует, что все вершины многогранника, вписанного в шар, находятся на одном и том же расстоянии от центра шара, равном радиусу шара.

А. Прямая призма. Так как центр шара равно удален от вершин основания призмы, то он находится на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через центр окружности, описанной около основания. Этот перпендикуляр и боковое ребро параллельны (два перпендикуляра к одной плоскости) и определяют плоскость, в которой центр шара должен находиться на перпендикуляре к боковому ребру, проходящем через его середину. В самом деле, центр шара принадлежит геометрическому месту точек, равно отстоящих от концов бокового ребра. Итак, центр шара есть середина высоты призмы, преходящей через центр окружности, описанной около основания. Следствия:

1. Шар может быть описан около прямой призмы, если в основании последней лежит многоугольник, около которого можно описать

окружность; любой правильный многоугольник (правильная призма); любой треугольник (треугольная прямая призма); четырехугольник, если суммы противоположных углов равны — прямоугольник, равнобочная трапеция и др.

2. Центр шара может находиться внутри призмы, на боковой грани, вне призмы — в зависимости от положения центра окружности, описанной около основания.

1°. Для правильной призмы с четным (или нечетным) числом сторон основания (черт. 1 и 2).

Зависимость между диаметром шара (радиусом шара), высотой призмы и элементами основания устанавливается при помощи треугольника ЛСХС (или при помощи треугольника Л00.2).

При решении задач в общем виде (/1-угольная призма) на чертеже достаточно представить часть призмы АВ02 АгВхОи где ААгВхВ— боковая грань призмы, Ох02 — ось призмы.

2°. В неправильной призме следует предварительно определить положение центра описанной около основания окружности в соответствии с данными задачами. Приводим пример.

Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см. Высота призмы 24 см. Определить радиус описанного шара.

В основании призмы лежит прямоугольный треугольник ЛВС. Центром окружности, описанной около основания призмы, является середина гипотенузы АС — точка 02. Таким образом, центр описанного около призмы шара лежит на середине высоты (Ох02) большей боковой грани (ААХССХ) в точке О, которая делит эту высоту пополам (черт. 3). На чертеже АХС — диагональ прямоугольника ААгС^С — является диаметром описанного шара и АхО = ОС (точка О — центр симметрии прямоугольника) — радиусом шара.

Б. Пирамида. Центр шара, описанного около пирамиды, лежит на пересечении перпендикуляра к плоскости основания пирамиды, проходящего через центр описанной около основания окружности, и плоскости, перпендикулярной к боковому ребру, проходящей через середину последнего. Шар можно описать около пирамиды, если можно описать окружность около основания последней.

Центр описанного шара может располагаться внутри, на боковой грани, на основании и вне пирамиды. Точное определение положения центра шара в каждом конкретном случае делается на основе анализа данных.

В задачах на шар, описанный около пирамиды, решаемых в средней школе, преимущественно встречаются пирамиды, в которых перпендикуляр к плоскости основания, проходящий через центр описанной около основания окружности, и одно из боковых ребер лежит в одной плоскости. В этом случае центр описанного шара лежит в той же плоскости на пересечении перпендикуляра к основанию пирамиды и перпендикуляра к боковому ребру, проходящего через середину ребра. Переходим к частным случаям.

1. Правильная пирамида. На чертеже 4 изображена правильная вписанная в шар

Черт, 1

Черт. 2

Черт. 3

пирамида с четным числом сторон основания, на чертеже 5 — с нечетным.

Если даны значения линейных элементов или углов, то следует определить положение центра шара относительно основания пирамиды. Для указанной цели следует рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой и радиусом основания пирамиды. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр к гипотенузе, проведенный через ее середину, пересекает больший катет и продолжение меньшего катета. Действительно (черт. 6), перпендикуляр CD, проведенный из вершины прямого угла на гипотенузу, пересекает последнюю в точке D, которая ближе к вершине большего острого угла (А). Отсюда следует, что если высота пирамиды больше радиуса основания (или угол между боковым ребром и радиусом основания — больший из двух острых), то центр шара расположен внутри пирамиды. При равенстве названных элементов центр шара лежит в основании пирамиды. Если высота меньше радиуса основания, то центр шара находится вне пирамиды, на продолжении высоты.

Зависимость между радиусом шара и линейными элементами пирамиды устанавливается посредством треугольника А00х или SOK. Следует иметь в виду, что У А001 = 2 У ASOt (треугольник ASO—равнобедренный).

Примечание: Для /z-угольной правильной пирамиды на чертеже достаточно изобразить часть пирамиды SAOxD, где SOx— высота пирамиды, SAD — боковая грань.

2. Неправильная пирамида. Здесь, как было указано, положение центра описанного шара устанавливается анализом заданных в условии задачи элементов.

Приведем примеры.

Радиус шара, списанного около пирамиды S АБС, равен т. Угол А основания пирамиды Pl. вен а, угол основания С равен ß, боковое ребро пирамиды SA наклонено к основанию под углом f. Вершина пирамиды (S) проектируется в центр окружности, описанной около основания. Определить объем, если m = 12,03, а =113°, ß = 50°, у = 37°.

В основании пирамиды ABC угол А — тупой (113°), поэтому центр описанной около основания окружности О, перпендикуляр к плоскости основаная (S0X) и центр описанного шара (О) лежат вне пирамиды (за боковой гранью).

Угол между боковым ребром (SA) и радиусом описанной около основания окружности (АОх) меньше 45° (у = 37°), поэтому центр описанного шара лежит ниже плоскости основания (черт. 7).

Для иллюстрации приведем чертеж к задаче из сборника Рыбкина (II ч., § 23, № 21).

Основанием пирамиды служит правильный треугольник, сторона которого равна 3 дм. Одно из боковых ребер перпендикулярно к основанию и равно 2 дм. Найти радиус списанного шара (черт. 8).

Заметим, что центр описанного шара может лежать на уровне вершины пирамиды и выше ее.

В. Усеченная пирамида. Остановимся на случае правильной пирамиды (черт. 9). Центр описанного шара лежит в точке пересечения оси усеченной пирамиды (Ох02) с перпендику-

Черт. 4

Черт 5 Черт. 6 Черт. 7 Черт. 8

ляром к боковому ребру ААЪ лежащим в плоскости AAlOl02 и проходящим через середину ребра АгА. Связь между радиусом описанного шара (А20 = Л10), элементами оснований пирамиды и ее высотой определяется из треугольников: А002 и Л1010

Для неправильной пирамиды детали чертежа определяются согласно конкретным данным задачи.

II. Шар, описанный около круглых тел

При определении положения центра шара, описанного около цилиндра, полного и усеченного конусов, приходится рассматривать перпендикуляр к плоскости основания, проходящий через его центр (геометрическое место точек, одинаково удаленных от точек окружности) и перпендикуляр к образующей, проведенный через ее середину в плоскости осевого сечения.

В решение задач здесь ничего принципиально нового не вносится по сравнению с решением задач на шар, описанный около призмы или пирамиды. На чертеже можно ограничиться сечением шара — большим кругом и вписанным в него осевым сечением круглого тела.

III. Шар, вписанный в прямую призму

Шар называется вписанным в многогранник, если все грани многогранника касаются поверхности шара.

Следствие. Центр шара удален от всех граней описанного многогранника на одно и то же расстояние, равное радиусу шара.

При установлении положения центра шара, вписанного в прямую призму, целесообразно использовать свойства биссектральной плоскости двугранного угла.

1. Биссектральная плоскость двугранного угла пересекает плоскость линейного угла по его биссектрисе.

2. Биссектральная плоскость двугранного угла является геометрическим местом точек, одинаково удаленных от граней двугранного угла.

В прямой призме биссектральные плоскости двугранных углов при боковых ребрах пересекают углы основания (линейные углы этих двугранных углов) по их биссектрисам. Если биссектрисы углов основания пересекаются в одной точке (центре вписанного круга), то биссектральные плоскости всех двугранных углов пересекутся по одной прямой, перпендикулярной к плоскости основания; все точки этого перпендикуляра находятся от всех боковых граней призмы на равном расстоянии. Отсюда следует, что центр шара, вписанного в прямую призму, есть середина ее вы:ог (шар касается оснований), проведенной через центр круга, вписанного в основание.

Следствие. В прямую призму можно вписать шар, если в ее основание можно вписать круг и если высота призмы равна удвоенному радиусу этого круга.

На чертеже 10 в основании призмы лежит ромб, на чертеже 11—шар вписан в правильную треугольную призму.

При решении задач радиус шара связывается с линейными элементами призмы или

Черт. 9

Черт. 10

Черт. 11

через высоту призмы (равен половине высоты), или через радиус вписанной в основание призмы окружности (равен последнему).

IV. Шар, вписанный в пирамиду, и тела вращения

Рассмотрим отдельные случаи.

А. Пирамида. Рассмотрим шар, вписанный в правильную треугольную пирамиду (черт. 12), определим положение центра. В прямоугольный треугольник SOxD, образованный высотой пирамиды (SOx) и апофемами боковой грани и основания, впишем полукруг, центр которого лежит на пересечении высоты пирамиды с биссектрисой угла SDOx, а диаметр (NOx) лежит на высоте пирамиды. При вращении полученного полукруга около диаметра NOx получится шар, вписанный в пирамиду. Действительно, точка D при вращении Д SOxD будет лежать внутри треугольника ЛВС, за исключением тех положений, когда катет OxD будет совпадать с апофемами основания ОхМ и Оха; поэтому гипотенуза SD и лежащая на ней точка К шаровой поверхности при вращении будут находиться внутри пирамиды, за исключением тех случаев, когда SD совпадает с апофемами боковых граней. Таким образом, поверхность шара касается боковых граней, имея с ними по единственной общей точке (лежащей на апофемах боковых граней). Поверхность шара касается и плоскости основания (перпендикулярной к радиусу шара ООх) в точке Ov Следовательно, центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит в точке пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла, образованного апофемами боковой грани и основания.

Связь между радиусом шара и линейными элементами пирамиды может быть установлена несколькими способами: на основании свойства биссектрисы (OD) внутреннего угла треугольника; на основе зависимости между касательной (SK=SD — KD = SD — OxD), секущей (SOx) и ее внешней частью (ЗУ = S01 — 200x); из подобия треугольников SOK и SOxD и т. д.; для применения тригонометрии могут быть использованы треугольники:

Для неправильной пирамиды, вершина которой проектируется в центр вписанного в основание круга, аналогично устанавливается, что центр вписанного шара лежит в точке пересечения высоты пирамиды и биссектрисы линейного угла, образованного высотой боковой грани и радиусом вписанного в основание круга.

Б. Усеченная пирамида. На чертеже 13 изображен шар, вписанный в усеченную пирамиду, боковые грани которой одинаково наклонены к основанию равнобочной трапеции. Вращением прямоугольной трапеции Ох^хаО^ и вписанного в нее полукруга 01/VOa около стороны трапеции Ох02 устанавливаем, что центр шара, вписанного в усеченную пирамиду, есть середина высоты, проходящей через центр вписанного в основание круга. Шар касается боковой грани на линии пересечения этой грани с плоскостью, проходящею через высоту (010.)) пирамиды и радиус вписанной в основание окружности, проведенной в точку касания окружности со стороной основания (на апофеме боковой грани для правильной пирамиды).

Черт. 12

Черт. 13

Зависимость между радиусом шара и линейными элементами пирамиды устанавливается при помощи треугольника о^/Са, в котором катет ccj/e — высота пирамиды — равен диаметру шара, катет Ка равен разности радиусов вписанных в основания окружностей.

В. Цилиндр и конус. Комбинацию цилиндра и вписанного шара можно рассматривать как результат вращения прямоугольника и вписанного в него полукруга, диаметр которого совпадает с большей стороной прямоугольника, около диаметра полукруга; комбинацию конуса и вписанного в него шара—как результат вращения прямоугольного треугольника и вписанного в него полукруга.

Комбинацию усеченного конуса и вписанного шара можно рассматривать как результат вращения прямоугольной трапеции и вписанного в нее полукруга около боковой стороны трапеции, перпендикулярной к основанию. При таком рассмотрении нахождение положения центра вписанного шара и установление зависимостей между радиусом шара и линейными элементами круглых тел не встречает затруднений.

Г. Шаровой сектор. Приводим чертеж и объяснения к задаче. В сферический сектор, радиус которого К и центральный угол в осевом сечении а., вписан шар. Определить длину линии касания поверхности шара и конической поверхности сектора (черт. 14).

Имеем: ОАВСО — осевое сечение шарового сектора, OB — его ось, LBE — касательная к дуге ABC, ЕОх — биссектриса угла LEO. Приняв точку Ох за центр, впишем в прямоугольный треугольник ОВЕ радиусом 0±В полуокружность KBFK. При вращении треугольника ОВЕ около катета OB круговой сектор ОВС образует сферический сектор, а полукруг KBFK—вписанный в сектор шар. Центр шара (Ог) расположен на оси сферического сектора. Точка (F) касания полуокружности и образующей конической поверхности сектора при вращении опишет окружность с радиусом F02 (F02 _L OB).

V. Случай пересечения поверхности шара и других тел

Остановимся на рассмотрении конкретных задач.

1°. Шар касается ребер правильного тетраэдра. Определить объем части шара, заключенней внутри тетраэдра, если ребро тетраэдра равно а (черт. 15).

Рассмотрим сечение шара какой-либо гранью тетраэдра, например, основанием (черт. 16). В сечении будет круг, вписанный в правильный треугольник, следовательно, касающийся середин сторон треугольника. Отсюда следует, что поверхность шара касается середин ребер тетраэдра и что центр шара лежит на перпендикуляре к ребру тетраэдра, проходящем через его середину. С другой стороны, радиус шара, перпендикулярный к плоскости сечения, проходит через центр сечения (круга); для основания тетраэдра таким перпендикуляром является высота тетраэдра SOv Таким образом, центр шара, поверхность которого касается ребер тетраэдра, лежит в плоскости ASOx, в точке пересечения высоты тетраэдра (SC^),

Черт. 14

Черт. 15

Черт. 16

и перпендикуляра к ребру SA, проведенного через середину SA. Как видно, этот центр совладает с центром шара, описанного около правильного тетраэдра, а также с центром вписанного шара, так как треугольник ASD — равнобедренный {AD = SD, DDK _L AS, AK=KS). На чертеже OS — радиус описанного шара, ООг — вписанного, OD — касающегося ребер. Высота шарового сегмента, отсекаемого гранью тетраэдра, равна разности OD — ООх, его сферический радиус — OD. Вычисление требуемого объема не представляет затруднений.

Рассмотрим другую задачу.

2°. Шар касается всех ребер тетраэдра S ABC. Ребра тетраэдра соответственно равны: SA = SC = b, АС —СВ = а. Определить радиус шара.

Пусть D, Е, F, M, N, К — точки касания поверхности шара с ребрами тетраэдра (черт. 17).

Сечение шара гранью SBC—круг; пусть точка 02 — центр этого круга. Центр О шара одинаково удален от сторон треугольника SBC (точек D, Е и К), а потому точка О находится на перпендикуляре к грани SAB, проходящем через центр (02) круга, вписанного в эту грань. Так как по условию шар, касающийся всех ребер, существует, то все четыре перпендикуляра к граням тетраэдра, проходящие через центры (соответственные) вписанных кругов, пересекаются в одной точке — в центре шара.

Пусть Ог— центр круга, вписанного в основание ABC тетраэдра. Радиусы 02К и ОгК окружностей, вписанных в треугольники SBC и ABC, —перпендикулярны ВС, угол ОхКО% — линейный угол двугранного угла ВС. Отрезки ООх и 002 — перпендикулярны к граням ВС, а потому лежат в плоскости линейного угла ОхК02. Итак, точки О, Ol9 02 и К лежат в одной плоскости.

Радиус шара OK есть диагональ четырехугольника 002КОг, в котором известны (непосредственно) два элемента: ^ОО2К=^/0ОхК= 90°.

Для установления связи между прочими элементами этого четырехугольника исследуем свойства тетраэдра, исходя из условий задачи.

На чертеже 18 изображена боковая грань SBC и вписанный в нее круг.

Имеем:

(1)

Рассматривая основание тетраэдра, получим (черт. 17):

(2)

Из равенств (1) и (2) получаем:

(3)

Аналогично покажем, что

(4)

Окончательно из сопоставления (3) и (4) имеем:

т. е. (черт. 17): суммы противоположных ребер тетраэдра равны.

Выведенное соотношение определяет необходимое условие, при котором шар может касаться всех ребер тетраэдра.

Имеем согласно условию задачи:

Черт. 17

Черт. 18

Тетраэдр S ABC — правильная треугольная пирамида (черт. 19).

Определяем ОгК (черт. 18) по формуле выражения радиуса вписанного круга по трем сторонам треугольника:

ОхК — апофема правильного треугольника со стороной а (черт. 19):

Определяем LK (черт. 20) из прямоугольного треугольника 02KL (02L J_ OvK).

из прямоугольного треугольника OD2R (OR _L _L 02L) имеем:

Так как ^ 002R = ^ 02KO = а (острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами), то:

Вычисление sin a и cos a через данные О и b не представляет затруднений.

Наконец, определяем OK из прямоугольного треугольника 002К.

Черт. 19 Черт. 20

ЗАДАЧИ НА ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ШАРЫ

Б. И. ЖИТОМИРСКАЯ (Харьков)

В настоящей статье приведены образцы решения ряда задач на вписанные и описанные шары, содержащихся в школьных задачниках по геометрии и тригонометрии.

Задача 1. Как относятся между собой поверхности трех шаров, если первая поверхность касается граней правильного тетраэдра, вторая касается ребер, а третья проходит через его вершины (черт. 1)?

Решение. Центр вписанного шара есть точка пересечения высоты пирамиды с биссектрисой угла, образованного апофемой пирамиды и апофемой ее основания. Радиус этого шара равен 00х; по теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника имеем:

откуда:

(1)

Обозначим ребро тетраэдра через а. Тогда:

Из Д S DO по теореме Пифагора найдем:

Подставляя полученные значения в (1), получим:

Черт. 1

Пл. ASB _1_ пл. DOxS. Опустим из точки Ох перпендикуляр ОгЕ на пл. ASB, имеем:

Д РЕОх = Л РООх (по гипотенузе и острому углу).

Отсюда:

Следовательно, ЛЕ = ES (по двум катетам: ОхЕ±_АЕ; О^ J_ SE)* Отсюда :

значит, Ог — центр описанного шара.

Радиусом этого шара является отрезок OxS.

Имеем:

(по трем сторонам). Следовательно, равны высоты, опущенные на равные стороны AS и AB, т. е. Ох — центр шара, касающегося ребер. Радиусом этого шара является отрезок OxD.

Поверхности шаров относятся как квадраты их радиусов:

Задача 2. По объему V и поверхности S многоугольника найти радиус вписанного шара.

Решение. Объем V многогранника можно рассматривать как сумму объемов пирамид, основаниями которых являются грани многогранника, а вершина общая в центре вписанного шара. Высота каждой из этих пирамид равна радиусу г вписанного шара. Объем многранника равен:

Задача 3. По ребру а правильного октаэдра определить радиусы шаров описанного и вписанного (черт. 2).

Решение. Высота Д АЕС, опущенная из вершины Е, делит АС пополам. Высота Д BED, опущенная из вершины Е, делит сторону BD пополам. Но АС и BD делятся пополам в точке их пересечения, следовательно, у Д АЕС и /\ВЕО—общая высота, которая перпендикулярна к плоскости ABCD, т. е. является высотой пирамиды EABCD. Имеем:

как проекции равных наклонных к плоскости, проведенных из одной точки. Рассуждая аналогично, получим:

BO = DO = EO*=FO,

т. е. О есть центр описанного шара. Радиусом этого шара является расстояние от О до любой из вершин октаэдра. Из Д СОВ имеем:

Радиус вписанного шара можно найти как частное от деления утроенного объема октаэдра на его поверхность:

Задача 4. В данной пирамиде все боковые ребра равны 9 см, а ее высота 5 см. Определить радиус описанного шара (черт. 3).

Решение.

1-й способ. Из равенства боковых ребер следует равенство их проекций на плоскость основания. Значит, высота пирамиды SO есть геометрическое место точек, одинаково удаленных от вершин ее основания. Перпендикуляр, проведенный в плоскости Д ASO к боковому ребру через его середину, есть геометрическое (в указанной плоскости) место точек, одинаково удаленных от вершины пирамиды и соответствующей вершины ее основания. Следовательно, точка пересечения указанного перпендикуляра с высотой пирамиды есть центр описанного шара. OxS— радиус описанного шара. Имеем:

Откуда:

Черт. 2 Черт. 3

2-й способ. Центр описанного шара (черт. 4) лежит на высоте пирамиды (или на ее продолжении). Продлим высоту пирамиды до пересечения с поверхностью шара в точке Sx. Сечение шара плоскостью, проведенной ^ерез боковое ребро и высоту пирамиды, есть большой круг. Имеем: ^ SASX = 90° (как вписанный угол, опирающийся на диаметр) и AO±SSx. Поэтому:

Откуда:

Задача 5. В правильной шестиугольной усеченной пирамиде стороны оснований 3 м и 4 м, высота 7 м. Найти радиус описанного мара.

Решение. Сечение описанного шара плоскостью, проходящей через ось пирамиды и боковое ребро, есть большой круг, описанный около диагонального сечения — равнобедренной трапеции, у которой основания соответственно равны удвоенным сторонам оснований пирамиды, а боковые стороны — боковым ребрам пирамиды (черт. 5).

Центром окружности, описанной около трапеции AAXDXD (центром шара описанного около пирамиды AD1)f является точка пересечения прямой, проходящей через середины оснований трапеции, с перпендикуляром к боковой стороне (Dj^D), проведенным через ее середину (Р). Пусть 02 — центр описанной окружности (описанного шара), 02D1 — ее радиус. Имеем: ^KDXD = ^LP02 (как углы с перпендикулярными сторонами).

Поэтому Л KDXD со Д LP02. Отсюда находим:

Из A°2PDi найдем 02DX.

Задача 6. Даны четыре равных шара радиуса R, из которых каждый касается трех других. Найти радиус шара, касательного ко всем трем шарам. (Два случая.)

Решение. Первый случай, когда искомый шар объемлет данные шары (внутреннее касание).

Второй случай, когда данные шары касаются искомого внешне. Центры данных шаров можно принять за вершины правильного тетраэдра с ребром, равным 2R. Радиус искомого шара в первом случае больше радиуса шара, описанного около указанного тетраэдра, на R.

В случае внешнего касания радиус искомого шара меньше радиуса шара, описанного около указанного тетраэдра, на R.

Радиус шара, описанного около тетраэдра с ребром 2/?, равен

(см. решение задачи 1).

Радиус искомого шара в случае внутреннего касания равен:

а в случае внешнего касания равен:

Задача 7. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом а; двугранные углы при основании равны ср. Опре-

Черт. 4

Черт. 5

делить радиус шара, вписанного в эту пирамиду (черт. 6).

Решение. Из равенства двугранных углов при основании следует, что вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей ромба.

Центр вписанного шара лежит в точке пересечения высоты пирамиды и биссектрисы линейного угла, образованного высотами боковой грани и радиусом круга, вписанного в основание. Пусть Ох — центр вписанного шара, ООх— радиус.

Чтобы определить ООх, из Д 0±ОЕ, найдем сторону ОЕ.

Находим DF из f\AFDy где DF±AF.

Имеем:

Из Д ОхОЕ имеем:

Задача 8. Определить радиус шара, описанного около усеченного конуса, в котором радиусы оснований R и r, а образующая наклон та к плоскости нижнего основания под углом а (черт. 7).

Решение. Усеченный конус и описанный шар можно рассматривать как комбинацию тел, полученных от вращения полукруга и прямоугольной трапеции, вписанной в него, вокруг меньшей боковой стороны, лежащей на диаметре полукруга. Центр описанного шара лежит на оси ООх (или на ее продолжении). Плоскость, проведенная через ось конуса, пересечет описанный шар по большому кругу, описанному около осевого сечения усеченного конуса.

Радиус X этого круга (радиус шара) можно найти как радиус окружности, описанной около ДАВгВ:

Откуда Из Д ВХВ2В имеем:

Из Д АВ2Вг имеем:

Следовательно,

От редакции. Две статьи т. И. И. Смирнова и т. Б. И. Житомирской, посвященные решению задач на вписанные и описанные шары, помещаются редакцией главным образом в порядке помощи начинающему учителю. Так как основной теоретический материал изложен в статье т. Смирнова, редакция поместила статью т. Житомирской в сокращенном виде, взяв из этой статьи примеры решения задач.

Черт. 6

Черт. 7

О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ НА МНОГОГРАННИКИ ДЛЯ X КЛАССА

Б. А. КОРДЕМСКИЙ (Москва)

Ученик нередко затрудняется расчленить, когда это необходимо, метрическую задачу стереометрии на ряд задач для плоских фигур, причем первая (и обычно главная) трудность для него состоит в том, с какой фигуры начать решение задачи.

Значительное место в курсе геометрии X класса занимают задачи о многогранниках.

Если объектом задачи является правильная пирамида или призма, то выбор пути решения облегчается знанием свойств этих тел.

Труднее «разглядеть» чертеж неправильной пирамиды и наклонной призмы. В школьном курсе геометрии почти нет теорем, отмечающих характерные геометрические свойства, присущие не только правильным призмам и пирамидам. Это обстоятельство, затрудняющее типизацию решений задач о неправильных многогранниках, приводит к тому, что ученик слишком индивидуализирует решение каждой такой задачи, не приучается выявлять в сходных задачах то или иное общее опорное геометрическое свойство и поэтому нередко излишне долго блуждает в поисках начального звена решения задачи.

В школьной практике решается большое число задач о пирамидах с равнонаклоненными боковыми ребрами или равнонаклоненными боковыми гранями, о наклонных призмах с парой равных плоских углов при какой-либо из вершин и т. п.

Главным мотивом, определяющим ход решения всех задач этого цикла, является выяснение геометрических признаков проекции вершины тела на его основание.

Эти геометрические признаки целесообразно сообщить ученикам перед решением соответствующего цикла задач, облекая их в форму несложных теорем (их можно предлагать в виде задач на доказательство).

Теорема I (обобщение теоремы о трех перпендикулярах)

Если через основание В наклонней AB проведены на плоскости Р два луча BD и ЬЕ, составляющие с наклонней равные углы, то ее проекция ВС является биссектрисой угла DBE, образованного лучами*.

Частный случай. </ABD=</ЛБЕ=90°; два луча сливаются в одну прямую линию, перпендикулярную с наклонной,—получается теорема о трех перпендикулярах.

Теоремы II и III

Вершина пирамиды, все боковые ребра (грани) которой составляет с плоскостью основания равные углы, проектируется в центр круга, описанного (вписанного) около основания (в основание) пирамиды.

Доказательство теорем элементарно.

Примечания. 1. Условие равенства углов наклона боковых (граней) может быть заменено условием равенства боковых ребер (апофем пирамиды) между собой.

2. Из равенства углов наклона боковых граней (теорема III) следует равенство апофем пирамиды, и для вычисления площади боковой поверхности остается в силе формула: «произведение половины периметра основания на апофему ».

В сущности, эти теоремы могут быть полезными уже в IX классе для решения таких, например, задач: найти расстояние от точки А до плоскости треугольника BCD, если известны (равные) расстояния от А до сторон треугольника BCD и длины его сторон; для решения ряда задач § 5 « Сборника э Н. Рыбкина (ч. II) и т. п.

Опыт показывает, что и ученики X класса, опираясь на эти теоремы, быстрее подбирают ключ к построению плана решения соответствущих задач.

Приведу решение одной из таких задач. Задача. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна b и угол при основании равен а.

Боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания под углом ß, Найmu площадь сечения, проходящего через высоту пирамиды и вершину угла а.

Условия, при которых задача имеет решение, не приведены. Учащийся должен сам их выявить в процессе решения.

По теореме II, точка О — центр круга, описанного около основания ABC (черт. 1). В этом — ключ как к решению задачи, так и к геометрическому анализу ее условия. Если точка О окажется вне треугольника, то задача теряет смысл, так как пересечение плоскости с продолжением боковой грани мы не считаем сечением пирамиды.

* В Сборнике задач по геометрии Н. Рыбкина (ч. II) эта теорема содержится как эпизодическая задача (§ 1, № 28).

Точка О будет внутри треугольника ABC, если ^ЛС£<90°. Но </АСВ=Ш° — — 2«; 180°— 2а<90° ,а>45°; одновременно 2а< 180°; а<90°.

Таким образом, задача имеет смысл при 45°<а<90°.

Очевидно также, что ß<90°.

По теореме синусов:

Найдем АЕ. Имеем:

из Д АЕС:

следовательно, 5сеч > 0.

Небесполезно завершить решение задачи исследованием знака функции Sce4 при переменном а (0<а<90 ) и постоянном (4 и истолковать геометрически результаты исследования.

Из формулы для Sce4 следует, что Sce4>0 при cos3a<0, а это неравенство имеет место, например, в интервале 30°<а<90°. Но геометрические соображения привели нас к тому, что только при a j>45° сечение пирамиды будет внутренним, при а = 45° сечение совпадет с боковой гранью пирамиды. При дальнейшем уменьшении угла а сечение становится внешним (пересечение с продолжением грани пирамиды), причем в интервале 30°<а<45° формула для Sce4 дает положительное число. При а = 30° формула для v9ce4 теряет смысл: «сечение» становится параллельным грани пирамиды.

Наконец, при 0<*<30° формула для £сеч дает отрицательное число. Сечение продолжает оставаться внешним, но плоскость сечения пересекает продолжение боковой грани DCB уже по другую сторону ребра ОС.

Таким образом, если наряду с внутренним сечением пирамиды рассматривать и внешнее, то для любых допустимых а и ß площадь сечения выражается формулой:

Сильному составу учащихся очень полезно дать понятие о площади ориентированной фигуры на ориентированной плоскости и связать изменение знака площади сечения Sdae с изменением ориентации треугольника ÜAE*.

Условимся обходить периферию треугольника DAE последовательно от вершины D к вершине А и далее к вершине Е и будем наблюдать направление обхода, например, из точки С.

До тех пор, пока угол а уменьшается до 30°, Д UAE будет ориентирован по отношению к вершине С по движению часовой стрелки, расположенной в плоскости треугольника, а при значениях а<30° [\DAE будет ориентирован против движения часовой стрелки относительно той же точки С (черт. 2).

Задачи, решение которых опирается на предложения, сформулированные в этой статье в форме теорем, имеются в задачниках по стереометрии

Черт. 1

Черт. 2

* От редакции. Вопрос о площади ориентированной фигуры может явиться лишь предметом кружковых занятий.

и тригонометрии H. Рыбкина. Их следует разнообразить и дополнить.

Задачи из сборников Н. Рыбкина и несколько дополнительных задач для удобства использования сгруппируем в соответствии с приведенными теоремами.

К теореме I:

1) Из сборника задач по стереометрии: § 5, №№ 4, 5, 9; § 8, № 28; § 16, №№ 45 (1, 2), 46, 47, 48.

2) В параллелепипеде длины трех ребер, выходящих из одной вершины, a, b и с; ребра, длины которых а и b, взаимно перпендикулярны, а ребро длиною с образует с каждым из них угол ос. Найти объем параллелепипеда.

3) Боковые ребра треугольной пирамиды имеют одинаковую длину т. Из трех плоских углов при вершине два по a, a третий ß. Найти объем пирамиды.

4) В основании пирамиды — прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с. Боковое ребро, пересекающее оба катета, составляет с каждым из них равные углы. Плоскость, проведенная через это ребро и высоту пирамиды, делит пополам гипотенузу основания. Вычислить площадь сечения и объем пирамиды, если ее высота равна Л.

5) Доказать, что если хотя бы одно боковое ребро треугольной пирамиды составляет равные углы со сторонами основания, пересекающими это ребро, и плоскость, проведенная через это ребро и высоту пирамиды, делит ее на две равновеликие части, то в основании пирамиды— равнобедренный треугольник.

6) Основания параллелепипеда — квадраты, а боковые грани — ромбы. Боковое ребро наклонено под углом а к сторонам основания. Найти углы наклона бокового ребра и боковых граней к плоскости основания.

К теореме II:

1) Из сборника задач по стереометрии: § 1, №№ 15, 20; § 8, № 29; § 9, №№ 5,7; § 17, №№12, 14, 15, 16, 22; § 20, № 7.

2) Из сборника задач по тригонометрии: § 16, № 11; § 21, №№ 16, 18.

3) Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами а и Ь. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом а. Найти объем пирамиды.

4) В треугольной пирамиде все боковые ребра и две стороны основания имеют длину т\ угол между этими сторонами основания равен а. Определить объем пирамиды.

5) Основанием пирамиды служит прямоугольник с углом а между диагоналями, а боковые ребра образуют с плоскостью основания угол ср. Определить объем этой пирамиды, если радиус описанного около нее шара равен R.

6) Боковые ребра треугольной пирамиды равны между собой и каждое равно т\ плоские углы при вершине пирамиды — а; ß; у. Найти объем пирамиды.

К теореме III:

1) Из сборника задач по стереометрии: § 1, № 21; § 9, № 6; § 17, №№ 17 (1, 2), 18, 19; § 20, №№ 13, 14, 15.

2) Из сборника задач по тригонометрии: § 19, №№ 22, 27, 29, 30; § 22, № 8.

3) Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с острым углом ß и высотой h. Двугранные углы при основании равны ср. Определить боковую и полную поверхность пирамиды.

4) Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом при основании, равным ос. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ß. Определить ребро куба, равновеликого этой пирамиде.

5) В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом при вершине а. Из вершины пирамиды любой диаметр вписанного в треугольник круга виден под углом ß. Определить расстояние от вершины пирамиды до сторон основания.

6) Основание пирамиды—треугольник со сторонами а, Ь, с. Двугранные углы при основании равны между собой и каждый равен ср. Найти объем пирамиды.

САМОДЕЛЬНАЯ ШКОЛЬНАЯ АСТРОЛЯБИЯ

А. ГРИГОРЬЕВ (с. Рождествено, Московской области)

При изучении курса геометрии в шестых и седьмых классах крайне необходимо дать учащимся ряд практических навыков, увязать узловые моменты программы с практической деятельностью и, тем самым, достигнуть более глубокого усвоения теории. При изучении геометрии одним из очень важных видов практических работ является измерение площадей земельных участков, определение расстояний до недоступных целей, вычерчивание заснятых планов местности и ряд других работ. Однако для их выполнения необходимо иметь хотя бы простую астролябию, позволяющую измерять углы с точностью до 30'. Приобретение такой астролябии для школ довольно затруднительно. В то же время не составит большого труда своими силами изготовить астролябию, вполне отвечающую указанным выше требованиям.

Здесь приводится описание астролябии, изготовленной из самых простых материалов, всегда имеющихся под рукой в любой школе. Несмотря на простоту изготовления, такая астролябия вполне отвечает довольно высоким требованиям, позволяя-измерять углы с точностью до 30'.

Наиболее тонкую и кропотливую работу придется проделать при изготовлении лимба и алидады. Для этой цели хорошо использовать лист ватманской бумаги. На нем вычерчивают окружность радиусом, равным приблизительно 20 см. Для получения большей точности при измерении углов мы рекомендуем взять радиус не менее 20 см, хотя в целях уменьшения габаритов алидады можно величину радиуса уменьшить. Дугу вычерченной окружности придется разделить на 360 равных частей. Для этой цели ее делят вначале на 4 равные части, получая углы в 90° каждый. Затем каждый из прямых углов делится на 3 равные части известным в геометрии приемом. Снова каждый из полученных углов в 30° делится на 3 равные части. Таким путем дуга всей окружности будет разделена на дуги, содержащие по 10°. Каждую из этих дуг снова делят пополам, получая уже дуги по 5°.

Далее придется деление произвести «на глаз». Однако такое деление, если умело воспользоваться измерителем, даст очень хорошие результаты. Ошибка не превысит 10', и поэтому при измерении углов максимальная ошибка не превысит 20', что для самодельной школьной астролябии является вполне удовлетворительным.

Общий вид разграфленной окружности приведен на чертеже 1.

Далее изготовляется подвижная часть лимба, на которой впоследствии надо будет укрепить диоптры. Для этой цели нами взята дубовая деревянная планка, размеры и форма которой видны на чертеже 2. В центре этой планки высверливается отверстие под шуруп, с расчетом, чтобы он входил в него с небольшим трением. К концам планки тонкими гвоздями прибиваются два целлулоидных указателя, формы и размеры которых указаны на чертеже 3. Эти указатели прибиваются острыми концами наружу планки с таким расчетом, чтобы оба острия касались тех делений алидады, где размечены градусы (другими словами, концы целлулоидных указателей должны доходить почти до самых краев разграфленной на градусы окружности).

Затем к верхней части подвижной планки лимба укрепляются мелкими шурупами два диоптра. Как щель, так и волосок диоптров должны лежать на одной прямой, проходящей через центр подвижной планки лимба и оба острия целлулоидных наконечников.

Устройство диоптров ясно из чертежей 4 и 5. Это тонкие алюминиевые пластинки, в одной из которых прорезана узкая полумиллиметровая щель, а в другом — прямоугольное отверстие, посреди которого натянута тонкая проволока.

Сборку всей верхней части астролябии надо проводить в такой последовательности:

1) В центре алидады, с нижней стороны, прибивается гладкий круглый цилиндр, размеры которого даны на чертеже 6. Размеры его подобраны к соответствующей консервной банке, и поэтому каждый может брать размеры такими, какие подойдут к его конструкции.

2) Подвижная часть лимба — планка с прикрепленными к ней целлулоидными указателями и диоптрами посредством упругой латунной пластинки (черт. 7) привинчивается шурупом к алидаде так, чтобы планка могла вращаться с легким трением. Сборка указана на чертеже 8.

Для изготовления штатива надо заготовить три ножки, по размерам, указанным на чертеже 9, три планки (черт. 10), трехгранную призму, найти три болта длиной не менее 60 мм, гайки к ним и шайбы.

Затем в отверстия планок пропускаются болты, и эти планки прибиваются к призме так, как указано на сборочном чертеже 12.

После этого на выступающие части болтов надеваются ножки штатива и притягиваются к

планкам гайками, к верхней части призмы прибивается пустая консервная банка размерами под цилиндр. Цилиндр должен с небольшим трением входить в эту банку.

На этом и заканчиваается сборка астролябии.

Чтобы круг с делениями не коробился, следует снизу прибить к нему несколько ровных планок.

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

ДМИТРИЙ МАТВЕЕВИЧ СИНЦОВ

Проф. И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)

Д. М. Синцов родился в г. Вятке (ныне Киров) в семье врача 9 (21) октября 1867 года. Ц. М. окончил с золотою медалью гимназию в Казани, а затем в 1890 году с дипломом 1-й степени математическое отделение Казанского университета, получив на IV курсе золотую медаль за сочинение «О функциях Якова Бернулли». В 1894 году Д. М. сдал магистерские экзамены и начал преподавание в университете. После защиты диссертаций — в 1895 г. на степень магистра («Теория коннексов в пространстве в связи с теорией дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка», «Ученые записки Казанского университета», 1894 и 1895) и 1896 году на степень доктора («Рациональные интегралы линейных уравнений», «Ученые записки Казанского университета», 1898) — Д. М. в 1899 году был назначен ординарным профессором кафедры высшей математики в только что открытом Высшем горном училище в Екатеринославе (ныне Днепропетровск).

С 1904 года Д. М. состоял профессором Харьковского университета, в котором читал курсы аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и интегрирования дифференциальных уравнений. Все эти курсы появились в печатных изданиях.

С 1906 года в течение нескольких десятков лет Д. М. занимал почетный пост председателя Харьковского математического общества, явившись преемником академика В. А. Стеклова.

Особенно характерен для Д. М. его живейший интерес ко всем общественным начинаниям в области повышения математической культуры в России и улучшения преподавания математики. Эта черта, очевидно, привилась Д. М. от его учителя проф. А. В. Васильева. С девяностых годов Д. М, являлся активнейшим деятелем физико-математического общества при Казанском университете, в журнале которого он напечатал много статей. С того же времени его имя появляется десятки раз на

страницах одесского «Вестника опытной физики и элементарной математики». Д. М. был одной из центральных фигур среди организаторов и докладчиков на обоих всероссийских съездах преподавателей математики. Д. М. с любовью занимался библиографией русской математики, издав «Систематический указатель книг и статей по математике, напечатанных в Казани в 1800—1820 гг.», а позднее — такую же библиографию математических книг и статей, напечатанных в Харькове, и кроме того — семь выпусков библиографии математики в России за годы 1896, 1897, 1899, 1900 (Казань) и 1908 и 1909 (Одесса). Для ознакомления зарубежных математиков с русскими математическими достижениями Д. М. реферирует в течение длинного ряда лет русские работы в журнале «Revue semestrielle» и «Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik».

Д. M. перевел на русский язык ряд книг, сопровождая их своими статьями, организовал издание серии «Харьковская математическая библиотека» (Лобачевский, Пикар, Дирихле, Риман, Липшиц, Штейнер), принимал деятельное участие в работах Международной комиссии по реформе преподавания математики, участвовал на международных съездах.

Особенно широкую и плодотворную деятельность развил Д. М. с момента Великой Октябрьской революции, которую он горячо приветствовал. Руководимая им Харьковская геометрическая школа ни на день не прерывала своей работы в дни революции, и Харьковский исследовательский институт математики начал организованную научную работу одним из первых после революции. Д. М. попрежнему принимал самое живое участие в разных изданиях для учителей математики («Математическое образование», «Математическое просвещение» и др.). Написав еще до революции учебник аналитической геометрии для средней школы, Д. М. участвовал после революции в составлении различных учебников и задачников для средней и высшей школы.

Плодотворная деятельность Д. М. получила высокую оценку: в 1938 г. он был избран депутатом Верховного Совета УССР, в 1939 г. — действительным членом Украинской Академии наук, ему было присвоено звание заслуженного деятеля науки, в 1945 г. Д. М. был награжден орденом Трудового Красного Знамени.

Д. М. Синцов скончался 28 января 1946 г.

В лице Д. М. Синцова советское математическое образование потеряло представителя математической науки, который всю свою долгую жизнь горел интересами преподавания математики в школе.

Из работ Д. М., представляющих интерес для учителя математики средней школы, кроме статей в упомянутых журналах и трудах съездов, укажем:

Учебник аналитической геометрии для средней школы.

Задачник по высшей математике.

Основания арифметики и алгебры, 1923 (совместно с Е. Н. Марчевской).

Математический задачник для школ рабочей молодежи, 1924 (составлен группой лиц — И. Гордон и др.—под редакцией Д. М. Синцова).

Роль интуиции при преподавании математики, сб. «Наука на Украине».

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

НОВАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ

В. А. НЕВСКИЙ (Москва)

ПЕРВОЕ ПОЛУГОДИЕ 1950 г.

I. История математики, советская математика, классики

Виноградов И. М. и Мусхелишвили Н. И. Советская математика. (Сборн. «Иосифу Виссарионовичу Сталину, Академия наук СССР». М. 1949, стр. 356-367.)

Основные достижения советской математики за годы Советской власти.

Александров П. С. Советская математическая школа. (Сборн. «Вопросы истории отечественной науки. Общее собрание Академии наук СССР 5 — 11 янв. 1949 г.» М.—Л. 1949, стр. 63-85.)

«Истоки и основные линии развития советской математики за 30 лет».

Лобачевский Н. И. Полное собрание сочинений. Том 2, М.—Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1949, 604 стр. с черт, и 7 л. илл. Тираж 5000 экз. Цена в перепл. 24 р. 95 к.

Книга содержит две основные работы Н. И. Лобачевского по геометрии: «Геометрия» и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных».

Чеботарев Н. Г. Собрание сочинений. Том 2, М.-Л. Изд. Академии наук СССР, 1949, 420 стр. с черт. Тираж 2 000 экз. Цена в перепл. 25 р.

В этом томе помещены 44 статьи Н. Г. Чеботарева по различным вопросам высшей математики.

Чеботарев Н. Г. Собрание сочинений. Том 3, М.—Л. Изд. Академии наук СССР. 1950, 172 стр. Тираж 2 000 экз. Цена в перепл. 13 р.

Проблема современной теории Галуа. «Многоугольник Ньютона» и его роль в современном развитии математики. О работе Н. Г. Чеботарева «Определение плотности совокупности простых чисел, принадлежащих к заданному классу подстановок» (статья И. Р. Шафаревича). Математическая автобиография Н. Г. Чеботарева. Хронологический указатель статей Н. Г. Чеботарева.

Делоне Б. Н. Геометрия И. И. Лобачевского и некоторые ее применения. (Сборн. «Вопросы истории отечественной науки. Общее собрание Академии наук СССР 5—11 янв. 1948 г.». М.—Л. 1949, стр. 113—141.)

Широков П. А. и Каган В. Ф. Строение неевклидовой геометрии. (Сборн. статей). М.—Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1950, 182 стр. с черт. Тираж 4 000 экз. Цена в перепл. 6 р. 50 к.

Книга содержит две статьи: П. А. Широков. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. В. Ф. Каган. Строение неевклидовой геометрии у Лобачевского, Гаусса и Больаи.

Каган В. Ф. Архимед. Краткий очерк о жизни и творчестве. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. М,—Л. 1949, 52 стр. с черт, и карт, и 2 л. илл. Тираж 20 000 экз. цена 80 к.

Лунц Г. Л. Аналитические работы Н. И. Лобачевского. («Успехи математических наук», вып. 1, 1950, стр. 187—195.)

Добровольский В. В. П. Л. Чебышев и его работы. («Вестник машиностроения», 1950, № 2, стр. 73—75.)

Приложен список литературы о жизни и научной деятельности П. Л. Чебышева.

Присуждение сталинских премий (за 1949 г.), («Успехи математических наук», вып. 3, 1950.)

Об)зор математических работ лауреатов Сталинской премии И. Н. Векуа и А. В. Погорелова.

Виноградов И. М. Софья Ковалевская. К 100-летию со для рождения. («Октябрь», 1950. № 1, стр. 129—137.)

Жизнь и научная работа С. В. Ковалевской.

Молчанов Г. Ф. Софья Васильевна Ковалевская. («Наука и жизнь», 1950, № 1, стр. 42.)

Краткий очерк жизни и деятельности.

Полубаринова-Кочина П. Я. Научные работы С. В. Ковалевской. («Прикладная математика и механика», вып. 3, 1950, стр. 229—235.)

Прудников В. Е. С. В. Ковалевская и П. Л. Чебышев. «Природа», 1950, № 4, стр. 72—76.)

Дружеские взаимоотношения двух великих математиков (на основе некоторых новых материалов).

Н. Г. Чеботарев (1894—1947). («Известия Казанского физико-математич. о-ва при Казанском гос. университете», т. XIV, серия 3, 1949, стр. 3—5.)

Краткий очерк жизни и трудов.

Смирнов В. И. Жизнь и деятельность А. М. Ляпунова. К 30-летию со дня смерти. (В сборн. «Вопросы истории отечественной науки.

Общее собрание Академии наук СССР 5—11 янв. 1949 г.» М.—Л. 1949, стр. 100-112.)

Сарымсаков Т. А. Всеволод Иванович Романовский. К 70-летию со дня рождения. («Успехи математических наук», вып. 3, 1950, стр. 184—186.)

Боголюбов Н. Н. Николай Митрофанович Крылов. (К 70-летию со дня рождения . («Успехи математических наук», вып. 1, 1950, стр. 230—233.)

Белоусова В. П. и Ильин И. Г. Борис Яковлевич Букреев. К 90-летию со дня рождения. («Успехи математических наук», вып. 2, 1950, стр. 199—202.)

Рыбников К. А. Виктор Викторович Бобынин (1849—1919). «Успехи математических наук», вып. 1, 1950, стр. 203—210.)

Наркевич А. Победа математика Понтрягина. (Биографический очерк).(«Техника-молодежи», 1950, № 3, стр. 21 — 22.)

Александров П. С. Павел Самуилович Урысон (1898—1924). («Успехи математических наук», вып. 1, стр. 196—202.)

Александров П. С. Создатель советской топологии—П. С. Урысон. (К 25-летию со дня смерти). («Вестник Академии наук СССР», 1950, № 4, стр. 88—90.)

К 70-летию Сергея Натановича Бернштейна. («Известия Академии наук СССР. Серия математическая», 1950, № 3, стр. 193—198.)

Краткая биография и библиография трудов С. Н. Бернштейна.

Гончаров В. Л. Сергей Натанович Бернштейн. К 70-летию со дня рождения. («Успехи математических наук», вып. 3, 1950, стр. 172—183.)

Колмогоров А. Н. Лазарь Аронович Люстерник. (К 50-летию со дня рождения). («Успехи математических наук», вып. 1, 1950, стр. 234—235.)

II. Учебники и учебные пособия

Вольберг. О. А. Основные идеи проективной геометрии. Пособие для учителей средней школы. Под ред. проф. Н. В. Ефимова. Изд. 3-е, переработ, и дополн. М.—Л., Учпедгиз, 1949, 188 стр. с черт. Цена в перепл. 4 р. 50 к.

Гребенча М. К. и Новоселов С. И. Курс математического анализа. Для физико-математических факультетов педагогич. институтов. Том 2. М., Учпедгиз, 1949, 560 стр. с черт. Цена в перепл. 13 р. 90 к.

Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. (Учебник для высших технических учебных заведений). М.—Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 248 стр. с черт. Тираж 50 000 экз. Цена в перепл. 7 р. 20 к.

Кречмар В. А. Задачник по алгебре Изд. 4-е. М.—Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 440 стр. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 10 р. 80 к.

Курош А. Г. Курс высшей алгебры. (Учебник для гос. университетов и пед. институтов). Изд. 2-е., М.—Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 335 стр. с черт. Тираж 15 000 экз. Цена в перепл. 10 р. 90 к.

Кутузов Б. В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии. Пособие для учителей средней школы. М., Учпедгиз, 1950, 128 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена 4 р. 15 к. в перепл.

Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. (Учебное пособие для высших учебных заведений.) М.—Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 703 стр. с черт. Тираж 15 000 экз. Цена 29 р. в перепл.

Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. (Учебное пособие для высших учебных заведений.) М.—Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 399 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл 16. р. 40 к.

Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. Изд. 3-е, переработ. (Учебник для гос. университетов.) М.—Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 428 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 12 р. 20 к.

Смирнов В. И. Курс высшей математики. (Учебник для физико-математических факультетов университетов.)

Том 2. Изд. 10-е стереотипное. М.—Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 623 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 20 р.

Том 3. Часть 1. Изд. 4-е. М.—Л. 1950, 336 стр. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 11 р. 20 к.

Том 3. Часть 2. Изд. 4-е. М.—Л. 1950, 672 стр. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 20 р. 55 к.

III. Методика преподавания математики

Попов И. Г. Устные вычисления. Пособие для учителей. М., Учпедгиз, 1950, 96 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 1 р. 65 к.

Моденов П. С. Сборник конкурсных задач по математике с анализом ошибок. (Задачи, предложенные на приемных испытаниях в высших учебных заведениях.) М., изд-во «Советская наука». 1950, 176 стр. с черт. Тираж 50 000 экз. Цена в перепл. 5 р. 50 к.

Мисюркеев И. В. Геометрические построения. Пособие для учителей. М., Учпедгиз, 1950, 148 стр. с черт. Тираж 25 000 экз. Цена в перепл. 3 р. 50 к.

О преподавании математики в V— X классах. Под ред. Н. Н. Никитина. М., изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1949, 104 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена 2 р. 25 к.

Состояние преподавания арифметики, геометрии, алгебры и тригонометрии в школах РСФСР и методические указания по улучшению преподавания.

Никитин Н. Н. Устные вычисления на уроках арифметики в V — VII классах средней школы. М., изд. Академии педагогических наук РСФСР, 1950, 20 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 40 к. (Заочная методическая консультация.)

Песков Т. А. Борьба с формализмом в преподавании математики в средней школе. Идейно-политическое воспитание учащихся при решении арифметических задач в средней школе. Методическое пособие для преподавателей математики. Уфа. Башгосиздат, 1949, 92 стр. с черт. Тираж 3 000 экз. Цена 2 р. 50 к.

Предупреждение неуспеваемости по математике. (Доклады, прочитанные на 1-й научно-практической конференции учителей. Алма-Ата, изд. Министерства просвещения КССР, 1950, 31 стр. Тираж 3000 экз.

Привитие учащимся практических навыков при изучении математики в V-X классах. Кишинев. Изд. научно-исследовательского института школ Министерства просвещения Молдав. ССР, 1950, 20 стр. Тираж 450 экз. Цена не указ.

Никулин Н.А. Тригонометрические уравнения. Симферополь Крымиздат, 1949, 124 стр. с черт. Тираж 3 000 экз. Цена 5 р. (Крымский пед. институт им. М. В. Фрунзе. В помощь учителю.)

В помощь учителю. (Сборн. статей). Вып. 1.

Иркутск. Обл. гос. изд-во, 1950, 96 стр. с илл. Тираж 5 000 экз. Цена 1 р. 95 к.

Из 9 статей сборника две статьи посвящены работе по математике в старших классах средней школы: Учет знаний учащихся по математике (Н. В. Пасшак). - Математический вечер, посвященный С. В. Ковалевской (Е. К. Серебровская).

В помощь учителю математики. (Сборн. статей). Рязань. Изд. Рязанского обл. института усовершенствования учителей. 1950, 40 стр. с черт. Тираж 3 250 экз. Цена 2 р. 50 к.

В помощь учителям математики, выдвинутым на работу в пятые классы из начальных школ. Куйбышев. Изд. Обл. института усовершенствования учителей. 1950, 112 стр. с илл. Тираж 1 500 экз. Цена не указ.

Иванов С. М. Сборн. методических статей в помощь учителю математики. (Из опыта работы заслуженного учителя РСФСР С. М. Иванова). Махачкала. Дагучпедгиз. 1949, 40 стр. с илл. Тираж 1 0J0 экз. Цена 1 р. 50 к.

Сергунова О. П. Метод геометрических мест. Методическое пособие для учителей математики средней школы. Киев. Изд-во »Радян, школа“. 1949, 60 стр. с черт. Тираж 3 000 экз. на украинск. языке. Цена 1 р. 20 к.

Яралянц П. Г. Образец развернутого решения геометрических задач на построение. (Методические указания для учителей средней школы.) («Ученые записки Грозненского гос. педагогич. института». № 4. Серия физико-математич., вып. 1, 1949, стр. 129—125).

Ланков А. В. К вопросу о теоретических основах систематического курса арифметики. Задачи в систематическом курсе арифметики. Опыт исследования. («Ученые записки Молотовского гос. педагогич. института», вып. 12, 1949, стр. 179—206.)

Грибанов В. У. К вопросу о приближенных вычислениях в средней школе. («Ученые записки Молотовского гос. педагогич. института», вып. 12, 1949, стр. 207-223.)

Дорф П. Из опыта педагогической практики математического отделения Московского городского педагогич. института им. В. П. Потемкина. («Советская педагогика», 1950, № 5, стр. 59—67.)

Ленинградская математическая олимпиада, 1949—1950. Тренировочные задачи для учащихся VIII, IX и X классов. Л. Изд. Ленинградского гос. университета им. А. А. Жданова. 1949, 32 стр. Тираж 3 000 экз.

Московская городская математическая олимпиада, 13. 1950. Сборник подготовительных задач. М. Изд. Московского университета. 1950, 16 стр. Тираж 5 000 экз.

IV. Книги по различным вопросам высшей математики

Александров А. Д. Выпуклые многогранники. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1950, 428 стр. с черт. Тираж 4 000 экз. Цена 24 р. 80 к. в перепл.

Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.— Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1950, 252 стр. Тираж 3 000 экз. Цена 9 р. 60 к.

Выгодский М. И. Дифференциальная геометрия. М. — Л. Гос. изд. технико-теоретической литературы. 1949, 512 стр. с илл. Цена в перепл. 17 р. 40 к.

Геронимус Я. Л. Теория ортогональных многочленов. Обзор достижений отечественной математики. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1950, 164 стр. Тираж 3 000 экз. Цена 5 р. 40 к.

Гнеденко Б. В. и Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1949, 264 стр. Тираж 3 000 экз. Цена в перепл. 13 р. 15 к.

Дубнов Я. С. Основы векторного исчисления. Часть 1. Векторная алгебра. Элементы векторного анализа. Изд. 4-е, переработ. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1950, 368 стр. с черт. Тираж 10 0J0 экз. Цена в перепл. 11 р. 35 к.

Каган В. Ф. Основания геометрии. Учение об обосновании геометрии в ходе его исторического развития. Часть 1. Геометрия Лобачевского и ее предистория. При ред. участии Я. С. Дубнова. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1949, 492 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена в перепл. 17 р. 50 к.

Канторович Л. В. и Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. Изд. 3-е. М.— Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1949, 696 стр. с черт. Тираж 5 000 экз. Цена в перепл. 20 р.

Канторович Л. В., Вулих Б. З. и Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1950, 548 стр. Тираж 3 000 экз. Цена в перепл. 26 р. 80 к.

Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. (Сборн. статей.) Перев. с франц. Б. А. Розенфельда. Под ред. и с примеч. П. К. Рашевского. М. изд-во иностранной литературы. 1949,334 стр. с черт. Цена в перепл. 22 р. 50 к.

Левитан Б. М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1950, 160 стр. Тираж 3 000 экз. Цена 5 р. 30 к. в перепл. («Современные проблемы математики».)

Лефшец С. Алгебраическая топология. Перевод с англ. M. Р. Шура-Бура. С предисл. П. С. Александрова. М. изд-во иностранной литературы. 1949, 503 стр. Цена в перепл. 33 р. 50 к.

Мурнаган, Фрэнсис Д. Теория представления групп. Перев. с англ. А. М. Яглома. М. изд-во иностранной литературы. 1950, 486 стр. Тираж не указ. Цена 24 р. 40 к. в перепл.

Меньшов Д. Е. О сходимости по мере тригонометрических функций. (Труды математического института им. В. А. Стеклова, вып. 32.) М. — Л. Изд. Академии наук СССР. 1950, 99 стр. Тираж 2 000 экз. Цена 4 р. 20 к.

Мейер Шур Капеллен В. Математические инструменты. Перев. со 2-го немецк. доп. издания А. И. Слуцкого. Под ред. Н. Е. Кобринского М., изд-во иностранной литературы. 1950, 316 стр. с илл. Цена в перепл. 18 р. 40 к.

Немыцкий В. В. и Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. Изд. 2-е, переработ, и дополн. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1949, 550 стр. с черт. Тирж 10 000 экз. Цена в перепл. 23 р. 50 к.

Норден А. П. Пространства аффинной связности. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1950, 463 стр. Тираж 3 000 экз. Цена в перепл. 17 р. 65 к.

Фиников С. П. Теория конгруэнкций. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы.

1950, 528 стр. с черт. Тираж 3 000 экз. Цена 25 р. 25 к. в перепл.

Франклин Ф. Математический анализ. Том 1. Перев. с англ. Н. Д. Айзенштат и С. А. Гальперн. Под ред. С. А. Гальперн. М. изд-во иностранной литературы. 1950, 336 стр. с черт. Цена 18 р. 75 к. в перепл.

Фрезер Р., Дункан В. и Коллар А. Теория матриц и ее приложения к дифференциальным уравнениям и динамике. Перевод с англ. Л. И. Головиной и А. К. Колосовской. М. изд-во иностранной литературы. 1950, 446 стр. с черт. Цена в перепл. 22 р.

V. Научно-популярная литература

Берман Г. Н. Счет и число. Изд. 3-е, исправл. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1949, 40 стр.

Маркушевич А. И. Возвратные последовательности. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1950, 48 стр. Тираж 25000 экз. Цена 90 к. (Популярные лекции по математике.)

Натансон И. 11. Простейшие задачи на максимум и минимум. М.— Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1950, 32 стр. с черт. Тираж 15 000 экз. Цена 50 к.

Перельман Я. И. Занимательная алгебра. Под ред. д-ра физ.-математическ. на) к Д. А. Райкова. Изд. 4-е пересмотр, и исправлен. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1949, 184 стр. с илл. 1ираж 100 000 экз. Цена 3 р. 10 к.

Перельман Я. И. Занимательная геометрия. Изд. 7-е, переработ. Под ред. и с дополн. Б. А. Кордемского. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1950, 296 стр. с илл. Тираж 150 000 экз. Цена в перепл. 5 р. 60 к.

Хинчин А. Я. Цепные дроби. Изд. 2-е. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1949, 116 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена 1 р. 85 к.

Окунев Л. Я. Проблема резольвент Чеботарева. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1949, 55 стр. Тираж 15 0оо экз. Цена 90 к.

Семендяев К. А. Счетная линейка. Краткое руководство. Изд. 2-е. М.- Л. Гос. изд-во техьико-теоретической литературы. 1950, 47 стр. с илл. Тираж 50 000 экз. Цена 1 р.

Ремез Е. Я. и Маергойз Д. М. Логарифмы и связанные с ними вопросы школьной математики. Киев — Львов. Изд-во «Радян, школа». 1949, 188 стр. с черт, и 1 л. черт. Тираж 4000 экз. на украинск. языке. Цена в перепл. 5 р.

Градштейн И. С. Прямая и обратная теоремы. Изд. 2-е, переработ. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1950, 80 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена 1 р. 70 к.

Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. Изд. 2-е. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1950, 144 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Дена 2 р. 20 к.

VI. Литература для заочников

Игнатьев Н. И. Контрольные работы по математике. Для студентов-заочников педагогических училищ. М., Учпедгиз, 1950, 63 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 1 р. 35 к.

Киссин В. Э. Высшая математика. Пособие для самостоятельной работы студентов-заочников учительских институтов. М., Учпедгиз, 1950, 336 стр. с черт. Тираж 10 000 экз. Цена 11 р. 70 к.

Математика. (Университет на дому). Под ред. М. А. Лаврентьева. Вып. 2. Уравнения и кривые. Состав. И. Б. Погребинский и П. Ф. Фильчиков. Киев —Львов. Изд-во „Радян, школа“. 1950, 152 стр. с черт. Тираж 750 экз. Цена 6 р.

Позойский Р. И. и Тыкочинский И. Д. Математика (Алгебра). Материалы для самостоятельной работы учащихся-заочников педагогических училищ. М., Учпедгиз, 1950, 184 стр. Тираж 25 000 экз. Цена 6 р. 40 к.

Школьник А. Г. Математический анализ. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление. Учебно-методическое пособие для заочников педагогических институтов. М., Учпедгиз, 1949, 216 стр. с черт. Тираж 8 000 экз. Цена в перепл. 7 р. 45 к.

Справочные издания

Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Перев. с немецк. Под ред. С. В. Фомина. М. изд-во иностранной литературы. 1950,328 стр. с черт. Цена в перепл. 37 р.30 к.

Митропольский А. К. Краткие таблицы (с приложением очерка вычислительной техники). Л. изд. Лесотехнической академии им. С. М. Кирова. 1950, 192 стр. с илл. Тираж 1000 экз. Цена 13 р. в перепл.

Панов Д. Ю. Справочник по численному решению дифференциальных уравнений в частных производных. Изд. 4-е. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950, 183 стр. с черт. Тираж 20 000 экз. Цена 3 р. 20 к.

Сегал Б. И. и Семендяев К. А. Пятизначные математические таблицы. М.— Л. Изд. Академии на) к СССР. 1950,464 стр. Тираж 6 000 экз. Цена в перепл. 40 р.

Фаддеева В. Н. и Гавурин М. К. Таблицы функций Бесселя 1 п (х) целых номеров от 0 до 120. Под ред. Л. В. Канторовича. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литерат)ры, 1950, 440 стр. Тираж 4 000 экз. Цена в перепл. 21 р.

О'Рурк. Таблицы умножения. М., Гостатиздат. 1949, 336 стр. Тираж 15110 экз. Цеьа в перепл.

8 р. 50 к.

Хренов Л. С. Пятизначные таблицы тригонометрических функций, содержание начальные значения шести тригонометрических ф)нкций через каждою минуту от 0 до 360° и значения котангенсов и косекансов через кажд)ю сек)нду дуги от 0°00 до 0 00' и через каждые 10“ дуги от 0 до 10°. Изд. 2-е. М. — Л. Гос. изд-во технико-теоретической литераторы, 1949, 104 стр. Тираж 20 000 экз. Цена в перепл. 5 р. 40 к.

Яковкин М. В. Таблицы умножения двухзначных чисел на трехзначные и многозначные числа. М. Гостехиздат, 1950, 60 стр. Тираж 1000 экз. Цена 2 р. 45 к.

ХРОНИКА

СЕССИЯ УКРАИНСКОГО НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ИНСТИТУТА ПЕДАГОГИКИ

М. Б. ГЕЛЬФАНД (Киев)

В апреле 1950 г. в г. Киеве состоялась сессия Украинского научно-исследовательского института педагогики, посвященная вопросам преподавания арифметики в средней школе. В работе сессии, кроме научных работников и методистов, приняли участие 217 учителей школ ряда областей УССР и г. Киева.

Участники сессии заслушали доклады заслуженного деятеля науки УССР профессора А. М. Астряба — «Задачи и содержание курса арифметики в семилетней школе» и «Практическая подготовка учеников по арифметике», доцента М. Б. Гельфанда—«Теоретическая подготовка учеников по арифметике,» доцента Д. М. Маергойза и старшего научного работника М. Д. Дегтяревой — «Арифметические задачи в школьном курсе арифметики», заслуженного учителя школы УССР П. А. Горбатого — «Наглядность в преподавании арифметики», кандидата педагогических наук О. П. Сергуновой— «Повторение арифметики в старших классах».

Передовые учителя, выступавшие в обсуждении докладов, рассказывали о своих достижениях. Заслуженный учитель школы УССР, преподаватель 7-й железнодорожной школы г. Киева Г. Д. Гриневич, рассказал, как он строит изложение первых уроков арифметики в V классе, учитель В. М. Бурый (Полтавская область) сообщил о том, как он использует данные социалистического строительства для составления арифметических задач, учитель 141-й школы г. Киева А. В. Семенец поделился опытом изложения темы «Умножение на дробь».

С большим интересом сессия выслушала выступление заслуженной учительницы школы УССР, преподавателя 65-й средней школы г. Киева 3. П. Лысенко, об опыте формирования у учеников V класса правильного представления о дроби. Опираясь на знания, приобретенные учениками в III и IV классах, она расширяет круг представлений, связанных с понятием о дробном числе.

Обращение к явлениям окружающей действительности, наглядность, графические иллюстрации, всестороннее стимулирование самостоятельной работы учеников приводят к хорошим результатам. Ученики 3. П. Лысенко проявляют интерес к математике, любят ее и имеют твердые знания.

Преподаватель С. А. Маркевич, проработавшие в школе 45 лет (преимущественно в V — VI классах), посвятил свое выступление теме «Умножение на дробь». На этом же вопросе детально остановился и учитель 141-й школы А. В. Семенец.

Заслуженный учитель школы УССР П. А. Горбатый детально рассказал о методике использования изготовленных им пособий в преподавание школьного курса арифметики.

Учитель школы с. Петровцы Киево-Святошинского района Г. И. Ефимчук продемонстрировал изготовленные им и его учениками наглядные пособия по арифметике и рассказал, как он привлек детей к активной работе по изготовлению наглядных пособий. Лучшие экспонаты, привезенные тов. Ефимчуком (прибор для иллюстрации идеи нумерации, мер длины, площадей, объемов и т. д.), переданы на республиканскую педагогическую выставку.

Учительница семилетней школы с. Горениц на Киевщине т. Е. А. Гасс поделилась опытом организации экскурсии на колхозную ферму. Эта экскурсия дала богатый материал для составления задач и разных таблиц.

Многие учителя математики составляют задачи, содержанием которых являются факты нашей советской действительности: рост экономики, культуры нашей родины, патриотические дела наших советских людей.

Подчеркнув наличие успехов в преподавании арифметики в средней школе, сессия вскрыла недочеты, которые еще имеются в преподавании арифметики, Прежде всего отмечалось, что в ряде школ теоретические знания учащихся недостаточно глубоки и формальны. Правильно выполняя арифметические действия, формулируя основные положения и правила по арифметике, некоторые ученики не представляют их логическую суть, не могут на их основе обосновать правила действия, не знают, как применить арифметические законы для рационализации вычислений.

Приводились примеры, свидетельствующие о недостаточном усвоении некоторыми учащимися отдельных вопросов, например, принципа поместного значения цифр, вопросов, связанных с расширением понятия числа в курсе арифметики, и т. п.

Это объясняется тем, что в преподавании арифметики еще недостаточно внимания уделялся теоретическим вопросам. Урок арифметики очень часто сводится к урокам-упражнениям с краткими объяснениями, без обобщений.

Преждевременный переход к упражнениям, наблюдающийся в отдельных школах, почти всегда приводит к образованию у учеников нетвердых навыков. Только после уяснения учениками теоретических положений учитель должен переходить к упражнениям.

На сессии также отмечалось чрезмерное увлечение отдельными преподавателями только определенными приемами и методами (хотя бы и очень полезными) за счет других, возможно, не менее полезных. Например, чрезмерное увлечение аналитическим методом решений арифметических задач и игнорирование синтетического метода.

Необходимо улучшить программу по арифметике, она должна быть четкой и ясной для каждого преподавателя. Количество тем нужно строго ограничить, точно определив объем материала каждой темы.

Назрела необходимость в издании детальной объяснительной записки к программе, с указанием требований к каждой теме, а также добавочной учебной литературы для тех тем, изложения которых нет в учебнике. Желательно вместе с программой издать типовой рабочий план для каждого класса, в котором должны быть помещены образцы примеров и задач к каждой теме.

Нельзя мириться с перегрузкой программы по арифметике для IV—V классов. В частности, программа для IV класса должна быть освобождена от пропедевтики дробей и процентов, на которую до сих пор по программе выделяется около 25 часов. Что касается программы для V класса, то она в основном должна быть посвящена изучению дробных чисел и направлена на твердое усвоение только основных типов задач. Более трудные задачи должны быть перенесены в VI класс. В VI и старших классах средней школы нужно систематически практиковать повторение курса арифметики в связи с изучением других математических дисциплин.

Весьма ощутимым является разрыв в требованиях и методах преподавания между IV и V классами. Часто наблюдаются случаи, когда ученики, находясь в IV классе, получают отличные оценки, а перейдя в V класс, снижают успеваемость. Это объясняется, вероятно, новыми, непривычными для учеников методами преподавания и совершенно новыми требованиями. Необходимо обеспечить более естественную последовательность преподавания от IV к V классу.

Участники сессии вполне обоснованно выдвинунули требования начинать систематический курс арифметики с IV класса, передав в нем преподавание учителю-предметнику. Эффективность предметного преподавания доказана практикой, и опыт Проскуровской школы, которая это уже применяет, заслуживает внимания.

Участники сессии справедливо указали на существующее несоответствие между программой и учебниками по арифметике. В программу ежегодно вносятся те или иные изменения, которые, к сожалению, не учитываются в новых изданиях учебников. В учебниках, в связи с преподаванием некоторых тем, должна быть освещена роль отечественных ученых в развитии математической науки.

Чувствуется острая потребность в коренной переработке задачника по арифметике. Необходимо, чтобы в нем было обеспечено методически правильное распределение учебного материала, чтобы содержание задач отражало практику социалистического строительства.

Сессия Украинского научно-исследовательского института педагогики показала, что в школах Украины накоплен огромный опыт преподавания арифметики. В республике есть много учителей, которые достигли высокой успеваемости учеников по арифметике. Опыт этих учителей должен быть обобщен и внедрен в практику школьной работы.

От редакции. В № 5 (1950 г.) журнала „Математика в школе“ вкрались следующие погрешности:

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 4 ЗА 1950 год

№ 51

Имеются два сосуда с водой. Температура воды в 1-м сосуде в течение 1 минуты понижается на q°, а во 2-м — на п°. Если сосуды подогревать на плитке, то температура воды в течение 1 минуты в 1-м сосуде повышается на р°, а во 2-м на т°. Желая нагреть воду в обеих сосудах до одинаковой температуры и располагая только одной плитной, поставили на плитку сначала только 1-й сосуд, затем по истечении некоторого времени сняли этот сосуд с плитки и поставили на нее 2-й сосуд. Через некоторое время вода в обоих сосудах достигла требуемой одинаковой температуры.

Определить общее время нагревания обоих сосудов, если известно, что температура воды (перед началом нагревания 1-го сосуда) в 1-м сосуде была на а°, а во 2-м на Ь°ниже требуемой.

Решение. Пусть первый сосуд нагревался в течение х минут, а 2-й в течение у минут.

После нагревания 1-го сосуда температура воды в нем поднялась на рх градусов, а в течение последующих у минут понизилась на qy градусов. В итоге температура в 1-м сосуде повысилась на рх—qy градусов, что согласно условию задачи должно дать повышение на а градусов. Имеем:

px—qy-^a. (1)

Температура воды во 2-м сосуде за первые х минут понизилась на пх градусов и за следующие у минут повысилась на ту градусов. Аналогично предыдущему, будем иметь:

— пх + ту=Ь. (2)

Решив систему уравнений (1) и (2), найдем:

Искомое общее время нагревания равно

Задача имеет решение при условии mp>nq.

Если предположить в соответствии со смыслом задачи, что /и>л и p>q, то, очевидно, это условие имеет место.

Можно, как это делалось в некоторых решениях, взять за неизвестное х непосредственно общее время нагревания обоих сосудов (что и требуется задачей), но решение будет несколько более сложным.

Чисто графическое решение задачи дано т. Лейман.

Неверные решения получались или вследствие непонимания условия задачи (например, время нагревания каждого сосуда считалось одинаковым), или вследствие ошибок в преобразованиях.

№ 52

Две группы туристов направляются одновременно из пункта А в пункт В, находящийся в S км от А. Первая группа сначала идет пешком со скоростью V км в час. Вторая группа едет на автомобиле со скоростью и км в час. Последняя, проехав некоторую часть пути, продолжает далее двигаться пешком. Автомобиль же возвращается до встречи с первой группой, которая с этого момента продолжает путь на автомобиле и прибывает в В одновременно со второй группой.

Определить время, затраченное каждой группой на путь от А до В.

Решение 1. Пусть вторая группа ехала на автомобиле х часов и шла пешком у часов. Отсюда имеем (черт. 1):

(1)

(ясно, что вторая группа шла пешком с той же скоростью, что и первая, так как в противном случае задача становится неопределенной). За X часов первая группа прошла расстояние

Черт. 1

После этого автомобиль и первая группа двигались навстречу друг другу и прошли расстояние

за время:

встретясь в точке Е. Значит, первая группа прошла пешком путь АЕ за

(2)

Остальной путь первая группа проехала на автомобиле, затратив на путь ED

(3)

на путь DB

(4)

Гак как обе группы начали и закончили путь одновременно, то из (2), (3) и (4) имеем:

(5)

Отсюда после простых преобразований получим:

2 их ^(u + v)y. (6)

Решим систему уравнений (1) и (6): умножив (1) ла 2 и сделав подстановку из (6), найдем:

(7)

Подстановка из (7) в (6) дает:

(8)

Наконец, из (7) и (8):

(9)

Выражение (9) и является ответом на вопрос задачи.

Таково, с небольшими вариациями, подавляющее большинство решений.

Решение 2. Решение значительно упрощается, если учесть, что пути, пройденные каждой группой пешком (и соответственно на автомобиле), должны быть одинаковы, Или, что то же, время, затраченное каждой группой на каждый из видов движения, должно быть одно и то же.

Тогда, получив уравнение (1), устанавливаем, что первая группа затратила на путь пешком часов (см. выражение 2) и сразу получаем:

т. е. уравнение (6), которое вместе с (1) и дает решение задачи.

Установить равенство времен, затраченных на каждый вид пути, можно хотя бы таким образом. Введем следующие обозначения:

пешком на авт.

Время, затраченное первой группой

Тогда имеем:

(1)

(2) (3)

Из (1) и (2) имеем:

(4)

Из (3):

(5)

Если хфт (а значит, и п ф у), то деля (4) на (5), получим:

v = u,

чего, очевидно, не может быть (так как тогда обе группы все время двигались бы вместе). Значит,

х-т.

Это условие (без доказательства) было принято в решении т. Утемова и привело его к более короткому и простому решению.

И для этой задачи было дано несколько графических решений.

№ 53

Определить число целых неотрицательных решений уравнения:

(1)

где а — целое число, большее

целая часть дроби

Решение. Установим значения jc, при которых обе части уравнения (1) равны нулю. Будем иметь условие:

Отсюда легко получаем:

Итак, решениями уравнения (1) являются:

О, 1, 2,... (д — 2).

Получаем а — 1 решений. Положим теперь:

Для этого должно быть:

Отсюда:

Получаем а —2 решений:

Аналогично, для

получим д — 3 решений:

и т. д.

Наконец, для

будем иметь:

Получаем одно решение:

X = а (а — 2).

Покажем, что больше решений быть не может. Положим, т^а—1.

Тогда:

Чтобы неравенства имели решение, должно быть:

откуда:

что противоречит нашему предположению. Итак, имеем всего решений:

№ 54

Определить частное и остаток от деления 3 на 2 “+1 (п— натуральное число), если известно, что

(1)

Решение. Умножив (1) на 3, получим:

(2)

Положим:

(3)

а) Пусть q— число четное, q = 2m. Тогда из (2) имеем:

(4)

Если Зг<2л+1 , то из сравнения (4) и (2) получим:

(I)

Если Зг>2“+1, то будем иметь:

(5)

Покажем, что

Действительно, по условию имеем:

откуда:

а значит, и подавно

Тогда из сравнения (5) и (2) имеем:

(И)

Пусть теперь q — число нечетное: q ==2m + 1. Тогда из (2) имеем:

(6)

Если 3 г

и из (6) имеем:

(III)

по предыдущему имеем, что из (6) получим:

(7)

Отсюда имеем:

(IV)

Формулы (I —(IV) дают значения х и у в зависимости от q, г и п.

№ 55

В додекаэдр вложены 12 равных шаров радиуса г так, что каждый шар касается пяти соседних шаров и одной грани додекаэдра. Определить поверхность многогранника, вершинами которого служат центры шаров.

Решение. В каждой вершине додекаэдра сходятся три его грани. Каждой грани касается один из вложенных шаров, которые касаются и друг друга. Центры этих шаров образуют правильный треугольник со стороной а~2г. Очевидно, что таких треугольников будет столько сколько вершин имеет додекаэдр, т. е. 20. Итак, центры шаров образуют икосаэдр, поверхность которого равна

№ 56

Определить полную поверхность многогранника, вершинами которого служат центры граней додекаэдра; ребро додекаэдра равно а.

Решение. Известно, что правильные додекаэдр и икосаэдр—„дуальны“, или «взаимны-,

т. е. центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра и наоборот. Следовательно, соединив центры граней додекаэдра, мы получим икосаэдр. Для определения его поверхности, равной (см. предыдущую задачу)

(1)

где X—ребро икосаэдра, достаточно выразить через а величину х.

Проведем через середину M ребра AB (черт. 2) плоскость, перпендикулярную AB. Легко показать, что она пройдет через центры 0\ и 02 двух смежных граней и через центр О додекаэдра (он же и центр икосаэдра). При этом ООх и 002 перпендикулярны к граням додекаэдра. Получим прямоугольный треугольник OOiM, в котором по известным формулам:

(2)

(как апофема правильного пятиугольника со стороной а),

(3)

(как радиус шара, вписанного в додекаэдр). Отсюда определим гипотенузу

(4)

Из того же треугольника ООхМу где 0\К 1_ ОМ, определим х = 2 0хК-

(5)

Произведя подстановку в (5) из (2), (3) и (4), после элементарных преобразований получим:

(6)

Наконец, подстановка из (6) в (1) дает:

Можно, конечно, было и не пользоваться готовыми формулами (2) и (3), а вывести их.

№ 57

Определить объем додекаэдра, ребро которого равно а.

Решение. Проведя плоскости через центр додекаэдра и через каждое его ребро, разобьем додекаедр на 12 равных правильных пирамид. Следовательно, объем додекаэдра

(1)

где Q — площадь основания каждой пирамиды, а H — ее высота.

Но Q является площадью правильного пятиугольника со стороной a. Отсюда имеем:

(эту площадь легко вычислить и непосредственно) Высота же // есть радиус шара, вписанного в додекаэдр. Отсюда (см. задачу №56):

Сделав подстановку в (1), после обычных упрощений найдем:

№ 53

Исключить X из системы уравнений:

(1) (2)

Решение. Предполагаем sin х ф 0 и cos^^-0 (так как в противном случае выражения (1) и (2) или одно из них теряют смысл). Из (1) и (2) имеем:

(3)

Перемножив равенства (3), получим:

(4)

Сложив те же равенства (3), найдем:

Отсюда, приняв во внимание (4), найдем:

(5)

Наконец, по возведении (5) в квадрат, получим:

Это и есть требуемое соотношение — результат исключения х из (1) и (2). После обычных упрощений это равенство можно привести к более простому виду:

№ 59

Исключить X и у из системы:

(3)

Решение 1. Рассмотрим сначала частный случай, когда х +у равно кратному числу —, т. е.

(4)

1. Пусть k = 2m. Тогда из (3) имеем:

Подстановка в (1) и (2) дает а = 0, b = Q. 2. Пусть k = 2 т+ \. Тогда из (3) имеем:

Далее:

(4) (5)

Из (4) и (5) следует, что а = Ь. 3. Пусть теперь х + уф k -pp. Тогда из (3) и (1) получим:

(6) Из (2):

или, принимая во внимание (1):

(7)

Подставив из (7) в (6), получим результат исключения х и у:

(8)

Как видим, формула (8) подходит и для случая 2.

Решение 2. Из (1) и (2) соответственно имеем:

Отсюда:

Вычитая 2-е из этих равенств из (1), получим:

Отсюда:

что совпадает с (8).

№ 60

Решить систему уравнений:

(1

(2) (3)

Решение. Положим х=0. Тогда уравнения дают:

yz=zQ,

откуда у ~ 0, z ~ m или у = m, z — 0, где m — произвольное число.

Если хф 0, но у=0, то уравнения дают х = т, * = 0.

Итак, имеем так называемые «тривиальные» решения:

где m — произвольное число (в частности и нуль). Пусть теперь ни одно из неизвестных не равно нулю. Умножив (2) на —у и (3) на — 32, перепишем нашу систему в таком виде:

(4) (5) (6)

Сложив эти три уравнения, получим по сокращении на 9:

(7) (8)

Подстановка из (7) в (5) и (6) дает по сокращении:

(9) (10)

Перемножив (8), (9), (10) и сократив на xyz, найдем:

(11)

Умножив (8) на х и подставив из (11), получим: х= ±2.

Умножив (9) на аналогично предыдущему найдем:

* = ±3.

Наконец, из (10) таким же образом получим: у=±\.

Учитывая (11), получим такие решения:

№ 61

В окружности хорда CD пересекает диаметр MN и параллельную ему хорду AB. Найти условие, при котором произведение отрезков хорды AB равнялось бы произведению отрезков диаметра MN.

Решение. Введем для краткости обозначения отрезков, как указано на чертеже 3. По условию имеем:

ab = cd. (1)

По свойству пересекающихся хорд имеем:

(2) (3)

Подставив из (2) и (3) в (1) получим:

откуда:

m = р. (4)

Итак, для равенства (1) необходимым условием является равенство (4). Покажем, что оно и достаточно. Действительно, пусть (4) имеет место. Тогда, подставив m вместо р в (2) и (3), получим:

откуда следует и (1).

Исходя из равенства (4), т. Тралмак дал искомому условию другую формулировку. Приведем ее.

Согласно (4) имеем (черт. 4):

Опустив перпендикуляр OK на CD, получим два равных прямоугольных треугольника ОКС и OKD, из которых имеем:

/_ОСЕ= £ODP. (5)

Но тогда равны и треугольники ОСЕ и ODF (по двум сторонам и углу между ними). Значит ОЕ =* = OF. Отсюда следует, что при наличии равен-

ства (1) точки Е и F лежат на окружности, концентрической данной, т. е. последнее является необходимым условием для (1). Покажем, что оно и достаточно. Действительно, из равенства ОЕ = OF легко прийти к равенству (4), а от него к (1).

№ 62

Внутри равнобедренной трапеции ABCD дана произвольная точка М. Доказать, что из отрезков MA, MB, MC, MD можно построить четырехугольник

Решение 1. Пусть M — данная точка (черт.5).

Тогда из треугольников АМВ и CMD имеем:

Но по условию AB = CD. Следовательно, требуемый четырехугольник легко построить, беря CD за диагональ и строя на ней как на основании треугольники АМВ и CMD по трем сторонам. Для получения выпуклого четырехугольника строим треугольники по разные стороны от CD. Получим четырехугольник MCM\D.

Посмотрим теперь, не может ли в некоторых случаях четырехугольник МСМ^ выродиться в треугольник. Очевидно, что это будет иметь место в двух случаях:

(1) (2)

Черт. 3

Черт. 4

Черт. 5

причем оба эти случая одновременно не могут иметь места. Действительно, тогда имели бы:

^l + z:2-t-^3-r-^4 = 360o.

чего не может быть, так как каждый из этих углов меньше соответствующего угла трапеции (часть которого он составляет), а последние дают в сумме 360°.

Не теряя общности, достаточно рассмотреть какой-либо один из этих двух случаев. Возьмем случай (1) (черт. 6).

Приложим ДАМБ к ДСЛШ так, чтобы он расположился по другую сторону от СМО и точка В совпала ci) (а точка А с С (черт. 7).

Тогда будем иметь:

так как в трапеции

Аналогично:

так как

Значит, фигура MCMXD — непременно четырехугольник.

Но, конечно, как правильно указал т. Бешкарев, проще всего в случае черт. 6 несколько деформировать фигуру iViCM\Dv не меняя длин сторон.

Решение 2. Приведем еще остроумное решение, данное предложившим задачу (т. Скопец).

Пусть M — заданная точка (черт. 8). Через точку M проведем отрезки:

MN\\ AD; PQ || AB; MR = AP

(последний проводим так, чтобы образовались Две равнобедренные трапеции).

Соединив точки Р, R, Q, N, получим требуемый четырехугольник. Действительно, из равнобедренных трапеций

MPAR, MRBQ, MQCN, MNDP

имеем:

PR = MA, RQ = MB, QN--MC, NP = MD.

Недостаток этого доказательства в его незаконченности: не рассмотрены могущие встретиться здесь особые случаи, например, когда точка R совпадет с В или окажется на продолжении AB.

№ 63

В плоскости равностороннего треугольника со стороной а дана точка, расстояния которой от вершин треугольника равны т,п и р. Доказать, что

(1)

Решение. В зависимости от положения данной точки M могут представиться следующие 4 случая (черт. 9):

Во всех случаях имеем:

(2) (3)

По возведении в квадрат:

Черт. 6

Черт. 7

Черт. 8

Черт. 9

Сделав подстановку из (3), по умножении на 4 получим:

После подстановки получим:

По раскрытии скобок и приведении подобных членов получим соотношение (1).

№ 64

В тетраэдре Т (AXA2A^AJ три пары противоположных ребер:

АгА2,АвА4; А3АвАААг; A^AvA2Ai

соответственно равны:

аха4; а2аъ\ а3а6.

Доказать, что сумма произведений двух пар противоположных ребер больше произведения ребер третьей пары, т. е. что

где l% J, k различны и принимают значения /, 2, 3.

Решение 1. Повернем грань Л2Л4у43 вокруг ребра /4._>Л3 (черт. 10) до совпадения с плоскостью грани А^2АВ (по разные стороны от А2А?). Проведем в четырехугольнике АХА2А^АВ диагональ

Пусть ее пересечением с А2Аг будет точка M (может быть и на продолжении А>Л3). Соединив Afc/44, получим, очевидно, MAi~MÄA. Из треугольника АХМА± имеем:

(1)

Далее, для четырехугольника Л^Л^ по теореме Птоломея (см., например, Адамар, «Элементарная геометрия», ч 1, § 237, или Зетель «Задачи на максимум и минимум», № 225) имеем:

(знак равенства имеет место в том случае, если

четырехугольник вписуем)

или

(2)

Если теперь во (2) заменим х меньшей величиной аъ [см. (1)], то неравенство усилим и будем иметь:

Аналогично поворотом двух других боковых граней вокруг ребер основания придем к двум остальным неравенствам.

Таково решение подавляющего большинства.

Приведем еще решение автора задачи (т. Скопец).

Решение 2. Проведем через три точки АХ,А^А^ сферу, пересекающую боковые ребра в точках BbB*Bz (черт. 11).

Тогда будем иметь:

(1)

(2)

Треугольники АХА4А2 и ВХВАВ2 подобны. Из (1) имеем: АХА4 : А2АА = В2В4 : ВХВ± и угол АХА4А2 — общий.

Отсюда имеем:

Откуда:

(3)

Аналогично, для двух других граней получим:

(4)

Черт. 10

Черт. 11

(5)

Из (3), (4) и (5) имеем:

или, по умножении на а4а5а6:

или, приняв во внимание (1):

(6)

Но в треугольнике В^В2ВВ каждая сторона меньше суммы двух других. Отсюда и из (6) получаем все три неравенства.

№ 65

Около правильного тетраэдра описана сфера. Доказать, что расстояния т, п, р, q любой точки сферы от вершин тетраэдра удовлетворяют соотношению:

(1)

Решение. Пусть точка /?, взятая на сфере, описанной около тетраэдра, соединена с его вершинами. Пересечем прямые RA, RB, RC и RD плоскостью я, параллельной плоскости, касательной к сфере в точке R. Получим четыре точки пересечения — М% N, Р, Q. Пусть

Тогда будем иметь (см. зад. № 63):

(4)

В зависимости от положения точки Q будем иметь (черт. 12):

Во всех случаях имеем:

(3)

Преобразовывая (2) так же, как в зад. № 63, получим:

cos- а 4- cos2 ß + cos3 y — 2 cos a cos ß cos т = 1, (4) где [находим из (2)]:

После подстановки в (4) и упрощении получим (1).

Были даны и другие способы решения. Так, тт. Ахвердов и Тралмак проектируют точку M на основание тетраэдра и рассматривают проекции отрезков m, п, р, q. Недостаток места не позволяет привести их интересное, но довольно длинное решение (как и некоторые другие).

Черт. 12

ОТ РЕДАКЦИИ

Редакция просит преподавателя математики тов. Федотова из БССР, не сообщившего в письме в редакцию своего адреса, сообщить его.

ЗАДАЧИ

Срок присылки решений 15 марта

I. Решить уравнение:

Г. Капралов (Горький)

2. Найти величину выражения:

Г. Капралов

3. Во вписанном четырехугольнике со взаимно перпендикулярными диагоналями сумма квадратов противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности. Доказать.

Б. Кашин (Вышний Волочок)

4. О — точка пересечения диагоналей в описанном четырехугольнике ABCD. Найти зависимость между радиусами окружностей, описанных около треугольников АОВ, ВОС, COD и DOA.

Б. Кашин.

5. Отношение объемов двух пирамид, имеющих по равному двугранному углу при основании, прямо пропорционально произведению площадей граней, заключающих этот угол, и обратно пропорционально длине его ребер. Доказать.

Б. Кашин.

6. Решить уравнение:

М. Кекелия (Бандза, Груз. ССР)

7. Решить уравнение:

М. Кекелия

8. При каком наименьшем натуральном п имеет место неравенство

М. Кекелия

9. Доказать тождество:

С. Лебензон (Малаховка, Московск. обл.)

10. Упростить произведение:

С. Лебензон.

11. Доказать для положительных я, Ь, с, d, соотношение:

Г. Пискарев (Рождествено, Яросл. обл.)

12. Доказать для треугольника соотношение:

Г. Пискарев.

13. На шахматной доске расставлены две ладьи так, что они не могут бить одна другую. Сколькими способами может быть осуществлена такая расстановка.

Л. Лоповок (Проскуров)

14. Могут ли цифры простого числа, не превышающего 104, представлять собой арифметическую или геометрическую прогрессию?

Л. Лоповок.

15. Восстановить запись.

где различные буквы заменяют различные числа.

Л. Лоповок.

16. Десять мальчиков: Александр, Борис, Василий, Георгий, Дмитрий, Евгений, Захар, Иван, Кирилл, и Леонид учатся все в разных классах одной средней школы.

Старший брат Дмитрия оканчивает семилетку, а младший брат Евгения учится в V классе. Александр старше Кирилла на один класс, а Леонид старше Евгения на два класса.

Василий не оканчивает школу в этом году. Иван при окончании III класса получил похвальную грамоту.

Борис — пионервожатый в V классе, а Василий в IV.

Александр, Кирилл и шестиклассник начали сдавать нормы на значок БГТО, а Борис, Евгений и восьмиклассник уже получили значки ГТО.

Александр и семиклассник живут на улице Ленина, Георгий и пятиклассник — на улице Куйбышева, Дмитрий, первоклассник и восьмиклассник.— на Садовой, а Кирилл, пятиклассник и восьмиклассник, — в пер. Буденного.

Борис помогает отстающему Евгению, Иван получает помощь от Дмитрия, а Александр — от Георгия.

Кто из них в каком классе учится?

Л. Лоповок.

СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 4 ЗА 1950 Г.

Г. Автух (Витебская обл.) 55, 52, 58—63; К. Агринский (Москва) 52, 56—60, 63; At. Адигамов (Чкалов) 51, 58—63; Я- Айзенштат и Б. Белоцерковская (Киев) 51—53, 55—63; Л. Акопян (Тбилиси) 51, 52, 57, 59; Б. Акопджанян (Баку) 52, 57— 59, 61; Е. Алмазова (Беднодемьяновск) 58—62; И. Альтшулер (Ленинград) 51—53, 57—62; С. Афонина (Ташкент) 52, 56, 58, 59, 61—63; Г. Ахвердов (Ленинград) 51—65; И. Байков (Московская область) 51, 54—56, 58-63; Л. Бауэр (Мариинск) 51 — 65; М. Беккер (Черкассы) 51—65; Л. Белогуров (Дзауджикау) 58, 59; Н. Белоусов (Л>цк) 62; Р. Беляцкина (Аягуз) 51—62; С. Берколайко (Харьков) 51, 52, 58, 59, 62, 63; В. Ьешкарев (Горький) 51—62, 64, 65; И. Богуславский (Харьковская область) 57, 62; Е. Боков (Краснодарский край) 51, 52, 56—63; Б. Вайнман (Киев) 55-62; Е. Ванновская (Тамбов) 58—60; В. Варганов (Москва) 51, 52, 55, 57— 63; С. Вашакмадзе (Тбилиси) 58—61; М. Веткин (Калининская область) 51, 52, 55—63; Н. Винников (Зеленогорск) 51, 52, 58, 59, 61—63; Л. Владимиров (Ялта) 51, 52, 55—64; Н. Восканян (Баку) 59, 61; А. Гаас (Карагасда) 51, 52, 57-60, 62, 63; И. Гапонов (Воронежская область) 51, 52, 55—63, 65; И. Гоз (Чкалов) 51, 52, 55, 58, 59; И. Галайдо (Брянская область) 51—53, 55—65; В. Голубев (Кувшиново) 52—55, 57—62; Г. Голянд (Калужская область) 51—53, 58—62; К- Горев (Лукоянов) 51—63, 65; И. Го п (Казань) 51, 52, 55- 65; Л. Григорян (Ереван) 58—61 ; Е. Грозовский (Ворошилове^ 51, 52; Л. Дейнега (Устье) 51, 52, 55, 57—59, 61—64; В. Демчинский (Ровно) 51, 55-65; Н. Дерябин (Чкалов) 51—53; И. Десятов (Мичуринск) 51, 52, 55, 57 - 59, 61—63; Ш. Джабраилов (Азербайджанская ССР) 56—61, 63; И. Дзигава (Тбилиси) 55, 56, 58, 60—63; М. Дзоценидзе (Грузинская ССР) 58; Н. Доброгай (Мелитополь) 57— 59; Ф. Донцов (Минская область) 55, 57—64; И. Донченко (Ворошиловград) 51, 52, 55—64; Ф. Дрезинь (Латвийская ССР) 51, 52, 55-57, 59-63; Б. Дудолькевич (Киевская облас!ь) 52, 55, 57—59, 63; Ю. Елкин и М. Лиман 61, 52, 58—62; Д. Есипович (Богородск) 55 60; Л. Зискинд (Винница) 51, 52, 55, 57—61, 63; И. Иванов (Исков) 51 54, 56-63; Г. И мае (Умань) 52, 58—69; Al. Кабинетов (Тула) 51—53, 55—60; #. Каганцов (Воркута) 51, 52, 54, 55; Ф. Калиниченко (Синельниково) 60; Г. Капралов (Горький) 51—53, 55—63; Л. Карпов (Собинка) 51, 53—59, 61, 62; М. Карпов (Ворошиловград) 51, 52, 54—65; Б.Кашин (Вышний Ьолочек) 51, 57, 58, 60—63; Д. Клименченко (Каменец-Подольская область) П. Козлов (Минская область) 52, 55—59, 61—63; С. Колесник (Харьков) 51, 52, 55—59, 61 — 64; Al. Крайсман (Львов) 52, 57—61; П. Краснов (Полоцкая область) 51—53, 55, 57—59, 61, 62; И. Кугай (Новоград-Волынский) 58—60; В. Кузнецов (Архангельск) 51—65; И. Кухарев (Уфа) 55, 57—64; Г. Лебедев (Обоянь) 52, 58, 59; М. Лейбман (Свердловская область) 51, 53—62, Л. Лейман (Здолбуново) 51 — 59, 61 —64; И. Лемонджава (Грузинская ССР) 60; Ф. Личманенко (Полтавская область) Л. Лоповок (Проскуров) 51—59, 61—63; 65; Л. Лордкипанидзе (Тбилиси) 51—54, 47—59, 61—65; Al. Ляпин (Казань) 51—64; К. Максимов (Тамбовская область) 51, 52, 55, 56, 58—62; Л. Малюгин (Горький) 51—53, 55—63; В. Маневич (Москва) 61, 62; В. Марченко (Ворошиловградская область) 51—53, 55—63; Математический кружок Казанского Суворовского училища 51—63, 5ö—62, 64; Л. Медведев (Себряково) 54, 56—62; Л. Мильштейн (Умань) 52, 58—ЬО; И. Молибога (Ворошиловградская область) 51, 52, 54— 63; м. Мошкович и И. Мошкович (Москва) 51, 52, 54, 58, 59, 61—64; п. Мурашко (Калинковичи) 51, 52, 55, 56, 58—63; Р. АХхитарян (Ереван) 51, 52, 61; Г. Мышакова (Одесса) 51—65; М. Нечипуренко (Челябинск) 51, 52, 58—63; Я- Носков (Омская область) 61; Г. Нуратов (Ташкентская область) 52, 69; И. Павлов (Чувашская АССР) 51, 55, 56, 58, 61; Ф. Певишев (Шилово) 51, 52, 56—63; С. Петров (Винницкая область) 08—62; М. Пилютин (Московская область) 51—63; И. Писаренко (Молдавская ССР) 51, 52, 55—59, 62; и. Пищик (Золочев) öl, 53-62; Г. Полознев (Томск) 51, 52, 59; П. Постников (Ряжск) 51, 52,55—61, 63; Г. Пушкаревский (Башкирская АССР) 61, 62; И. Рассанов (Башкирская АССР) 54—59, 61—63; Б. Рахмель (Сталинская область) 51—55, 58—63; Л. Рейзиньш (Рига) 51, 52, 54—сб, 58—62; П. Рубцов (Спирово) 52, 56, 60—63; С. Саканян (Армянская ССР) 58—60; Г. Сакович (Киев) 51—5У, 61, 62; Н. Сандров (Старый Крым) 51, 52, 55—59, 62, 64; В. Саннинский (Ворошиловград) 51—63; Г. Саркисьян (Москва) 51—53, 55—59, 61—63; И. Сергачев (Малый Ярославец) 58, 59, 61; Ф. Сергиенко (Запорожье) 51—53, 55—65; С. Синакевич (Ленинград) 51—54, 58, 59, 61—63; И. Слепухин (Ворошиловград) 51 53, 55, 57—65; Л. Сошников (Клайпеда) 59; В. Стасюк (Старый) 51—54, 57—63; И. Твердое (Воскресенск) 51—54, 58—63; И. Титов (Казань) 51—64; AT. Горбик (Брянская область) 51— 63; Л. Тралмак (Ленинград) 51—65; С. Тубин (Омск) 58, 59; К. Устинова (Лениногорск) öl, 52, 58—61; В. Утемов (Красноуфимск) 51, 52, 55, 57—65; Е. Файнштейн (Кишенев) 51—53, 55—62; И. Федотов (Казань) 51—53, 55—64; Н. Фокин (Смоленск) 51-53, 5j, 56, 59, 60, 62; H. Фомкин (Каменец-Подольск) 51, 52, 58, 59, 61; Л. Хавтаси (Батуми) 52, 58, 59, 62, 63; М. Хведелидзе (Тбилиси) 52, 58—61; М. Хуторян (Одесса) 51—55, 58—62; Б. Цакоев (Рязанская область) 51, 52, 55, 58—62; И. Чемисов (Дмитровск) 51—62; М. Червонный (Геленджик) 51, о2, 55—63; В. Чередниченко (Ворошиловградская область) 51—53, 57—62; Ф. Чердаков (Чувашская АССР) 51, 52, 55, 58, 59, 61-63; М. Черепнин (Караганда) 51, 52, 55, 58—62; //. Чучукин (Галич) ü2, 57-62; Al. Шатохин (Орел) 52-63; Л. Шевелев (Орел) 51—63; В. Шевченко (Алтайский край) 51, 58, 59, 61, 62; Н. Шерман (Астрахань) 51, 52, 59; К). Шустов (Ленинград) 51—53, 58, 59; Эпельфельд (Горький) 51, 52, 59, 62; М. Ягунд (Казань) 51—64; Ф. Яремчук (Дрогобыч) 52, 59—62; .9. Ясиновый (Куйбышев), 51, 52, 54—65.

СОДЕРЖАНИЕ

H. П. Шароватов — О некоторых вопросах материалистической диалектики в математике ............................... 1

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

Ю. М. Гайдук — Систематические дроби, действительные и р-адические числа 12

С. А. Дахия—Теорема Пифагора как эквивалент постулата Евклида..... 25

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

С. В. Назарьев — К истории учебной литературы по геометрии........ 27

МЕТОДИКА

Ф. Ф. Нагибин — Выяснение вопроса о предмете математики в курсе средней школы.................................. 31

Л. М. Лоповок — О составлении геометрических задач............ 36

A. И. Волхонский — О графическом решении арифметических задач..... 44

Л. В. Ланков — Классификации задач в арифметике.............. 47

И. Н. Голайдо— По поводу статьи А. А. Могильницкого и А. И. Цвинтарной „Наш опыт по решению арифметических задач с письменным объяснением“ 51

H. Н. Шоластер — Об определении длины окружности и о неравенствах, связывающих sin mx и sin x......................... 52

ИЗ ОПЫТА

С. Пильман — Опыт работы по арифметике в V классе............ 54

И. И. Смирнов — К методике решения задач на комбинацию шара с другими телами.................................. 61

Б. И. Житомирская—Задачи на вписанные и описанные шары....... 68

Б. А. Кордемский — О некоторых задачах на многогранники для X класса . . 72

А. Григорьев — Самодельная школьная астролябия.............. 75

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ

И. Я. Депман — Дмитрий Матвеевич Синцов................. 77

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

B. А. Невский — Новая литература по математике............... 79

ХРОНИКА

М. Б. Гельфанд — Сессия Украинского научно-исследовательского института педагогики................................ 83

ЗАДАЧИ

Решения задач, помещенных в № 4 за 1950 год................ 85

Задачи.................................... 94

Сводка решений задач............................ 95

Редакционная коллегия:

Редактор А. Н. Барсуков. Зам. редактора С. И. Новоселов

Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкий, А. П. Садиков, Н. Ф. Четверухин

Зав редакцией Ф. М. Мидлер. Технический редактор В. С. Якунина

Корректор Л. Л. Журавлев

Адрес редакции: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР

Сдано в производство 11/XI 1950 г. Подписано к печати 16/1 1951 Тир. 50 000. Бумага 84 X 108 1ie*ae

3 б. л. - 9,84 п. л._А 01738._Учетно-изд. л. 10,84._Тип. зн. в 1 п. л. 80 0о0._Зак. 1915. Цена 4 р. 50 к.

13-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Москва, Гарднеровский пер., 1а.

Цена 4 p. 50 к.

ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ:

1. ВОЛЬБЕРГ О. А. Лекции по начертательной геометрии. Утверждено Министерством просвещения РСФСР в качестве учебного пособия для физико-математических факультетов педагогических институтов. Учпедгиз. 1947 г. Цена 12 руб. 80 коп.

2. ЛОПШИЦ А. М. Аналитическая геометрия. Для физико-математических факультетов пединститутов. Учпедгиз, 1948 г. Цена 15 руб.

3. НОРДЕН А. П. Дифференциальная геометрия. Учебное пособие для педагогических институтов. Учпедгиз. 1948 г. Цена 6 руб. 25 коп.

4. ЛУЗИН Н, Н. Теория функций действительного переменного. Общая часть. Учебное пособие для педвузов. Издание 2-е. Учпедгиз. 1948 г. Цена 9 руб. 80 коп.

5. МОДЕНОВ П. С. Сборник задач по дифференциальной геометрии. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебного пособия для педагогических институтов и государственных университетов. Учпедгиз. 1949 г. Цена 7 руб. 10 коп.

6. КОСТИН В. И. Основания геометрии. Издание 2-е. Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве учебника для педагогических институтов. Учпедгиз. 1948 г. Цена 8 руб. 10 коп.

7. АЛЕКСАНДРОВ И. И. Сборник геометрических задач на построение с решениями. Издание 18-е. Утверждено Министерством просвещения РСФСР в качестве пособия для учителей средней школы. Учпедгиз. 1950 г. Цена 4 руб. 25 коп.

Продажа в книжных магазинах и киосках.

Письменные заказы выполняются отделами «Книга — почтой» республиканских, краевых и областных Книготоргов.

СОЮЗОПТКНИГОТОРГ